দ্বিপদী বিস্তৃতি (Binomial Expansions) মূলত একটি বিতরণমূলক কিংবা শ্রেণিকরণ প্রক্রিয়া যা গাণিতিক আরোহ বিধি ব্যাখ্যা করে। একটি সাধারণ সূত্রের সাহায্যে দ্বিপদী রাশির মান নির্ণয় করা হয়ে থাকে, যা দ্বিপদী বিস্তৃতি নামে পরিচিত। দুই পদবিশিষ্ট যে কোনো রাশিকে দ্বিপদী রাশি বলে। যেমনঃ \(3x+7, \ 5x-7y, \ ax+b, \ px^3-qy^4\) ইত্যাদি প্রত্যেকটি এক একটি দ্বিপদী রাশি, কারণ প্রত্যেকটি রাশি দুইটি পদ দ্বারা গঠিত।

আরোহ বিধিঃ স্বাভাবিক সংখ্যার চলরাশি সম্বলিত গাণিতিক বাক্যের সত্যতা প্রমাণ করতে গাণিতিক আরোহ পদ্ধতি ব্যবহৃত হয়। তাছাড়া বহু গাণিতিক সূত্রাবলি রয়েছে যেগুলি প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে প্রমাণ করা কষ্টসাধ্য, কিন্তু গাণিতিক আরোহ পদ্ধতিতে সহজেই প্রমাণ করা যায়।
বর্ণনাঃ মনে করি \(P(n)\) একটি স্বাভাবিক চলরাশি সম্বলিত গাণিতিক বাক্য এবং \(n=1\) এর জন্য \(P(n)\) সত্য। \(n\) এর একটি নির্দিষ্ট মান \(m\) অর্থাৎ \(n=m\) এর জন্য \(P(n)\) বাক্যটিকে সত্য ধরে নিয়ে যদি দেখানো যায় \(n=m+1\) এর জন্য \(P(n)\) সত্য তাহলে সকল \(n\in{\mathbb{N}}\) এর জন্য \(P(n)\) বাক্যটি সত্য। অর্থাৎ \(P(n)\) এর সত্যতা প্রমাণের জন্য দুইটি ধাপ প্রমাণ করাই যথেষ্ট।
প্রথম ধাপ (ভিত্তি): \(P(1)\) সত্য
দ্বিতীয় ধাপ (আরোহ ধাপ): \(P(m)\) সত্য ধরে \(P(m+1)\) সত্য যেখানে, \(m\in{\mathbb{N}}\)
ব্যাখ্যাঃ প্রথম \(n\) সংখ্যক বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি \(n^2\) বা \(1+3+5+......+(2n-1)=n^2; \ n\in{\mathbb{N}}\) বাক্যটিকে \(P(n)\) দ্বারা সূচিত করা যাক। যেখানে \(P(n)\) এর জন্য প্রথম ও দ্বিতীয় ধাপ প্রমাণ করা যায়।
যেহেতু \(n=1\) এর জন্য বাক্যটি সত্য অর্থাৎ \(P(1)\) সত্য।
তাহলে দ্বিতীয় ধাপ অনুযায়ী \(P(1)\) সত্য হলে \(P(1+1)\) বা \(P(2)\) সত্য একইভাবে \(P(2)\) সত্য হলে \(P(2+1)\) বা \(P(3)\) সত্য। এভাবে যেকোনো \(n\in{\mathbb{N}}\) এর জন্য \(P(n)\) বাক্যটি সত্য হবে।
অতএব, স্বাভাবিক চলরাশি সম্বলিত কোনো উক্তি সকল \(n\in{\mathbb{N}}\) এর জন্য সত্য হবে যদি উক্তিটি \(n=1\) এর জন্য সত্য হয় এবং \(n=m\) এর জন্য সত্য ধরলে তা \(n=m+1\) এর জন্য সত্য হয়, যেখানে \(m\in{\mathbb{N}}.\)
উদাহরণঃ গাণিতিক আরোহ পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে, \(1+2+3+.........+n=\frac{1}{2}n(n+1)\) যেখানে \(n\in{\mathbb{N}}\)
Click Me to Proof

বর্ণনাঃ সকল \(n\in{\mathbb{N}}\) এর জন্য,
\((a+x)^n=a^n+^nC_{1}a^{n-1}x+^nC_{2}a^{n-2}x^2+ ......\)\(...+^nC_{r}a^{n-r}x^r+......+x^n\)
Click Me to Proof
\((a+x)^n=a^n+\ ^nC_{1}a^{n-1}x+\ ^nC_{2}a^{n-2}x^2+ ......\)\(+\ ^nC_{r}a^{n-r}x^r+......+x^n\)
সকল \(n\in{\mathbb{N}}\) এর জন্য,
\((a+x)^n=a^n+\ ^nC_{1}a^{n-1}x+\ ^nC_{2}a^{n-2}x^2+ ....\)\(.....+\ ^nC_{r}a^{n-r}x^r+......+x^n ....(1)\)
অনুসিদ্ধান্ত-I: \((1)\) নং এ \(x\) এর পরিবর্তে \((-x)\) বসিয়ে,
\((a-x)^n=a^n-\ ^nC_{1}a^{n-1}x+\ ^nC_{2}a^{n-2}x^2- ....\)\(...+(-1)^{r}\ ^nC_{r}a^{n-r}x^r......+(-1)^{n}x^n\)
\((a-x)^n=a^n-\ ^nC_{1}a^{n-1}x+\ ^nC_{2}a^{n-2}x^2- ...\)\(...+(-1)^{r}\ ^nC_{r}a^{n-r}x^r......+(-1)^{n}x^n\)
অনুসিদ্ধান্ত-II: \((1)\) নং এ \(a=1\) বসিয়ে,
\((1+x)^n=1+\ ^nC_{1}x+\ ^nC_{2}x^2+ .....\)\(....+\ ^nC_{r}x^r+......+x^n\)
\((1+x)^n=1+\ ^nC_{1}x+\ ^nC_{2}x^2+ ......\)\(...+\ ^nC_{r}x^r+......+x^n\)
অনুসিদ্ধান্ত-III: অনুসিদ্ধান্ত-II এ \(x\) এর পরিবর্তে \((-x)\) বসিয়ে,
\((1-x)^n=1-\ ^nC_{1}x+\ ^nC_{2}x^2- ......\)\(...+(-1)^r\ ^nC_{r}x^r ......+(-1)^{n}x^n\)
\((1-x)^n=1-\ ^nC_{1}x+\ ^nC_{2}x^2- .......\)\(..+(-1)^r\ ^nC_{r}x^r ......+(-1)^{n}x^n\)
\((a+x)^n\) এর বিস্তৃতিতে পদসংখ্যাঃ \((a+x)^n\) এর বিস্তৃতিতে দেখা যায় যে, প্রথম পদে \(x\) এর ঘাত শূন্য এবং পরবর্তী পদগুলিতে \(x\) এর ঘাত ধারাবাহিকভাবে বৃদ্ধি পায় এবং শেষ পদে \(x\) এর ঘাত \(n\) হয়। তাই \(x\) এর ঘাত জ্ঞাপক সংখ্যা \(r\) হলে \(r\) এর মান \(0, 1, 2, 3, ...., n\) পর্যন্ত অর্থাৎ \(r\) এর মান সংখ্যা \((n+1)\);
সুতরাং \((a+x)^n\) এর বিস্তৃতিতে মোট পদসংখ্যা \((n+1)\)।

\((a+x)\) দ্বিপদী রাশিটিকে একই রাশি দিয়ে বারবার গুণ করতে থাকলে পর্যায়ক্রমে
\((a+x)^2, \ (a+x)^3, \ (a+x)^4, \ (a+x)^5, \ (a+x)^6 ...\)\( ...\) ইত্যাদি পাওয়া যাবে।
এক্ষেত্রে, \((a+x)^2=(a+x)(a+x)=a^2+2ax+x^2\)
\((a+x)^3=(a+x)(a+x)^2=(a+x)(a^2+2ax+x^2)=a^3+3a^2x+3ax^2+x^3\), এভাবে দীর্ঘ গুণ প্রক্রিয়ার সাহায্যে \((a+x)^4, \ (a+x)^5, \ (a+x)^6 ... ...\) ইত্যাদি রাশিগুলির বিস্তৃতি বের করা যায়। কিন্তু \((a+x)^n\) আকারের রাশির বিস্তৃতি একটি বিশেষ ছাঁচে (pattern) নিচের মত করে সাজানো যায়-
\begin{matrix}n\text{ এর মান}&&(a+x)^n\text{ এর বিস্তৃতি}&&\text{ পদ সংখ্যা}\\n=0&&1&&1\\n=1&&a+x&&2\\n=2&&a^2+2ax+x^2&&3\\n=3 &&a^3+3a^2x+3ax^2+x^3&&4\\n=4&&a^4+4a^3x+6a^2x^2+4ax^3+x^4&&5\\n=5&&a^5+5a^4x+10a^3x^2+10a^2x^3+5ax^4+x^5&&6\\n=6&&a^6+6a^5x+15a^4x^2+20a^3x^3+15a^2x^4+6ax^5+x^6&&7 \\...&&... ... ... ... ... ... ... ... ... ... &&...\end{matrix}
উপরের বিস্তৃতিগুলি লক্ষ করে বলা যায়, \((a+x)^n\) এর বিস্তৃতিতে
\((n+1)\) সংখ্যক পদ থাকবে।
প্রথম পদে \(a\) এর ঘাত \(n\) ও \(x\) এর ঘাত শূন্য হবে, পরবর্তী প্রতিটি পদে পর্যায়ক্রমে \(a\) এর ঘাত \(1\) কমবে ও \(x\) এর ঘাত \(1\) বৃদ্ধি পাবে। এভাবে শেষপদে \(a\) এর ঘাত শূন্য ও \(x\) এর ঘাত \(n\) হবে।
আবার উপরের প্রতিটি দ্বিপদী বিস্তৃতির জন্য এদের সহগগুলিকে নিম্নোক্ত ত্রিভুজ আকারে প্রকাশ করা যায়।
\(\begin{matrix}n=0&&&&&&&&&1\\n=1&&&&&&&&1&&1\\n=2&&&&&&&1&&2&&1\\n=3 &&&&&&1&&3&&3&&1\\n=4&&&&&1&&4&&6&&4&&1\\n=5&&&&1&&5&&10&&10&&5&&1\\n=6&&&1&&6&&15&&20&&15&&6&&1\\n=7&&1&&7&&21&&35&&35&&21&&7&&1\\n=8&1&&8&&28&&56&&70&&56&&28&&8&&1\end{matrix}\)
প্যাসকেলের ত্রিভুজ
দ্বিপদী সহগগুলির উল্লেখিত ত্রিভুজাকার সজ্জাকে প্যাসকেলের ত্রিভুজ বলে। এই ত্রিভুজের প্রথম সারির উপাদান \(1;\) দ্বিতীয় সারির উপাদান \(1 \ \ 1;\) তৃতীয় সারি থেকে পরবর্তী সকল সারির প্রান্তিক উপাদান \(1, \ 1\) এবং কোনো সারির ১ম ও ২য় উপাদানের যোগফল হবে পরবর্তী সারির ২য় উপাদান, ২য় ও ৩য় উপাদানের যোগফল হবে পরবর্তী সারির ৩য় উপাদান। এভাবে যে কোনো সারি হতে পরবর্তী সারির উপাদানগুলি নির্ণয় করা যায়।
\(n=6\) এর জন্য
\((a+x)^6=a^6+6a^5x+15a^4x^2+20a^3x^3+\)\(15a^2x^4+6ax^5+x^6\)

সাধারণ পদ বা \((r+1)\) তম পদ বা \(T_{r+1}\)
সকল \(n\in{\mathbb{N}}\) এর জন্য,
\((a+x)^n=a^n+^nC_{1}a^{n-1}x+^nC_{2}a^{n-2}x^2+ .....\)\(....+^nC_{r}a^{n-r}x^r+......+x^n .........(1)\)
\((1)\) এর ডানপক্ষের পদগুলিকে যথাক্রমে \(T_{1}, \ T_{2}, \ T_{3}, ....., T_{r}, \ T_{r+1}, ....\) ইত্যাদি দ্বারা সূচিত করে পাই,
\(T_{1}=\ ^nC_{0}a^{n-0}x^0=a^n\)
\(T_{2}=\ ^nC_{1}a^{n-1}x\)
\(T_{3}=\ ^nC_{2}a^{n-2}x^2\)
\(... ... ... ... ... ... ...\)
\(T_{r}=\ ^nC_{r-1}a^{n-r+1}x^{r-1}\)
\(T_{r+1}=\ ^nC_{r}a^{n-r}x^{r}\)
\(T_{r+1}\) বা \((r+1)\) তম পদকে \((a+x)^n\) এর বিস্তৃতিতে সাধারণ পদ বলে।
\((a+x)^n\) এর বিস্তৃতিতে সাধারণ পদ,
\(T_{r+1}=\ ^nC_{r}a^{n-r}x^{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}a^{n-r}x^{r}\)
\((a-x)^n\) এর বিস্তৃতিতে সাধারণ পদ,
\(T_{r+1}=(-1)^r\ ^nC_{r}a^{n-r}x^{r}=(-1)^r\frac{n!}{r!(n-r)!}a^{n-r}x^{r}\)
\((1+x)^n\) এর বিস্তৃতিতে সাধারণ পদ,
\(T_{r+1}=\ ^nC_{r}x^{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}x^{r}\)
\((1-x)^n\) এর বিস্তৃতিতে সাধারণ পদ,
\(T_{r+1}=(-1)^r\ ^nC_{r}x^{r}=(-1)^r\frac{n!}{r!(n-r)!}x^{r}\)
\((ax^p+bx^q)^n\) এর বিস্তৃতিতে সাধারণ পদ বা \((r+1)\) তম পদ \(x^m\) সম্বলিত হলে \(r=\frac{np-mq}{p-q}\) এবং \(x^m\) এর সহগ \(=\ ^nC_{r}a^{n-r}b^r\) যেখানে \(m, \ n\in{\mathbb{N}}.\)
মধ্যপদ (Middle Term):
দুই বা ততোধিক পদবিশিষ্ট বহুপদীর যে পদটির বা পদদ্বয়ের উভয় পাশে সমান সংখ্যক পদ থাকে তাকে বা তাদেরকে মধ্যপদ বলে। বিজোড় সংখ্যক পদবিশিষ্ট বহুপদে মধ্যপদের সংখ্যা একটি। জোড় সংখ্যক পদবিশিষ্ট বহুপদে মধ্যপদের সংখ্যা দুইটি।
\((a+x)^n\) এর বিস্তৃতিতে যখন \(n\) একটি জোড় সংখ্যা তখন পদসংখ্যা \((n+1)\) বিজোড়। সে ক্ষেত্রে মধ্যপদ হয় একটি এবং তা \(\left(\frac{n}{2}+1\right)\) তম পদ।
মধ্যপদ \(=\ ^nC_{\frac{n}{2}}a^{\frac{n}{2}}x^{\frac{n}{2}}\)
মধ্যপদ \(=\ ^nC_{\frac{n}{2}}a^{\frac{n}{2}}x^{\frac{n}{2}}\)
যেমনঃ \((a+x)^2=a^2+2ax+x^2\) এখানে, \(n=2\) যা জোড় সংখ্যা এবং পদসংখ্যা \(n+1=2+1=3\) যা বিজোড় এবং মধ্যপদ \(=2ax\)
আবার সূত্রমতে মধ্যপদ \(=\ ^2C_{\frac{2}{2}}a^{\frac{2}{2}}x^{\frac{2}{2}}\)
\(=\ ^2C_{1}a^{1}x^{1}\)
\(=\frac{2!}{1!(2-1)!}ax\)
\(=\frac{2\times1}{1\times1}ax\)
\(=2ax\)
\((a+x)^n\) এর বিস্তৃতিতে যখন \(n\) একটি বিজোড় সংখ্যা তখন পদসংখ্যা \((n+1)\) জোড়। সে ক্ষেত্রে মধ্যপদ হয় দুইটি, সেগুলি যথাক্রমে \(\left(\frac{n-1}{2}+1\right)\) এবং \(\left(\frac{n+1}{2}+1\right)\) তম পদ।
১ম মধ্যপদ \(=\ ^nC_{\frac{n-1}{2}}a^{\frac{n+1}{2}}x^{\frac{n-1}{2}}\)
১ম মধ্যপদ \(=\ ^nC_{\frac{n-1}{2}}a^{\frac{n+1}{2}}x^{\frac{n-1}{2}}\)
২য় মধ্যপদ \(=\ ^nC_{\frac{n+1}{2}}a^{\frac{n-1}{2}}x^{\frac{n+1}{2}}\)
২য় মধ্যপদ \(=\ ^nC_{\frac{n+1}{2}}a^{\frac{n-1}{2}}x^{\frac{n+1}{2}}\)
যেমনঃ \((a+x)^3=a^3+3a^2x+3ax^2+x^3\) এখানে, \(n=3\) যা বিজোড় সংখ্যা এবং পদসংখ্যা \(n+1=3+1=4\) যা জোড় এবং ১ম মধ্যপদ \(=3a^2x\), ২য় মধ্যপদ \(=3ax^2\)
আবার সূত্রমতে ১ম মধ্যপদ \(=\ ^3C_{\frac{3-1}{2}}a^{\frac{3+1}{2}}x^{\frac{3-1}{2}}\)
\(=\ ^3C_{1}a^{2}x^{1}\)
\(=\frac{3!}{1!(3-1)!}a^2x\)
\(=\frac{3\times2!}{1\times2!}a^2x\)
\(=3a^2x\)
২য় মধ্যপদ \(=\ ^3C_{\frac{3+1}{2}}a^{\frac{3-1}{2}}x^{\frac{3+1}{2}}\)
\(=\ ^3C_{2}a^{1}x^{2}\)
\(=\frac{3!}{2!(3-2)!}ax^2\)
\(=\frac{3\times2!}{2!\times1}ax^2\)
\(=3ax^2\)
সমদূরবর্তী পদ (Equidistant Terms):
সকল \(n\in{\mathbb{N}}\) এর জন্য, \((a+x)^n\) বা \((1+x)^n\) এর বিস্তৃতির প্রথম ও শেষ হতে সমান দূরের পদগুলির সহগ সমান। অর্থাৎ প্রথম পদ হতে ডানদিকে এবং শেষ পদ হতে বামদিকে সমান দূরের পদগুলির সহগ সমান।
\((a+x)^n\) বা \((1+x)^n\) এর বিস্তৃতিতে \((n+1)\) সংখ্যক পদ আছে। প্রথম থেকে \((r+1)\) তম পদের সহগ \(^nC_{r}\), শেষ থেকে \((r+1)\) তম পদটি প্রথম থেকে \(\{(n+1)-r\}=(n-r+1)\) তম পদ।
অতএব এই পদের সহগ \(=\ ^nC_{n-r}\)
এখন, \(^nC_{n-r}=\frac{n!}{(n-r)!\{n-(n-r)\}!}\)
\(=\frac{n!}{(n-r)!\{n-n+r\}!}\)
\(=\frac{n!}{(n-r)!r!}\)
\(=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
\(=\ ^nC_{r}\)
অতএব \((a+x)^n\) বা \((1+x)^n\) এর বিস্তৃতির প্রথম ও শেষ হতে \((r+1)\) তম পদের সহগ সমান।

\((1+x)^n\) এর বিস্তৃতির দ্বিপদী সহগগুলি যথাক্রমে \(\ ^nC_{0}, \ ^nC_{1}, \ ^nC_{2}, \ ^nC_{3} ... ... \ ^nC_{r} ... ..., \ ^nC_{n}\)।
\(\ ^nC_{0}=\frac{n!}{0!(n-0)!}\)
\(=\frac{n!}{1.n!}, \ \because 0!=1\)
\(=1\)
\(\ ^nC_{0}=1\)
\(\ ^nC_{1}=\frac{n!}{1!(n-1)!}\)
\(=\frac{n(n-1)!}{1.(n-1)!}, \ \because 1!=1\)
\(=n\)
\(\ ^nC_{1}=n\)
\(\ ^nC_{2}=\frac{n!}{2!(n-2)!}\)
\(=\frac{n(n-1)(n-2)!}{2!(n-2)!}\)
\(=\frac{n(n-1)}{2!}\)
\(\ ^nC_{2}=\frac{n(n-1)}{2!}\)
\(\ ^nC_{3}=\frac{n!}{3!(n-3)!}\)
\(=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)!}{3!(n-3)!}\)
\(=\frac{n(n-1)(n-3)}{3!}\)
\(\ ^nC_{3}=\frac{n(n-1)(n-3)}{3!}\)
\(... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...\)
\(\ ^nC_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
\(=\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+1)(n-r)!}{r!(n-r)!}\)
\(=\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+1)}{r!}\)
\(\ ^nC_{r}=\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+1)}{r!}\)
\(\frac{^nC_{r}}{^nC_{r-1}}=\frac{\frac{n!}{r!(n-r)!}}{\frac{n!}{(r-1)!(n-r+1)!}}\)
\(=\frac{n!}{r!(n-r)!}\times\frac{(r-1)!(n-r+1)!}{n!}\)
\(=\frac{n!}{r(r-1)!(n-r)!}\times\frac{(r-1)!(n-r+1)(n-r)!}{n!}\)
\(=\frac{n-r+1}{r}\)
\(\frac{^nC_{r}}{^nC_{r-1}}=\frac{n-r+1}{r}\)
\(t_{r+1}=\ ^nC_{r}, \ t_{r}=\ ^nC_{r-1}\)
\(\frac{t_{r+1}}{t_{r}}=\frac{n-r+1}{r}\)
আবার,
\((1+x)^n\) এর বিস্তৃতির দ্বিপদী সহগগুলি যথাক্রমে \(^nC_{0}, ^nC_{1}, ^nC_{2} ......., ^nC_{n}\)। এদেরকে যথাক্রমে \(C_{0}, C_{1}, C_{2} ......., C_{n}\) দ্বারা সূচিত করা হয়। তাহলে, \((1+x)^n=1+^nC_{1}x+^nC_{2}x^2+.........\)\(+^nC_{r}x^r+......+x^n\)
\(=\ ^nC_{0}+^nC_{1}x+^nC_{2}x^2+ ... +^nC_{n}x^n\) ➜Note \(\because 1=\ ^nC_{0}, \ 1=\ ^nC_{n}\)

\(=C_{0}+C_{1}x+C_{2}x^2+ .........+C_{n}x^n\) ➜Note \(\because ^nC_{0}, ^nC_{1}, ^nC_{2} ......., ^nC_{n}\) এর
পরিবর্তিত রূপ \(C_{0}, C_{1}, C_{2} ......., C_{n}\)

\(\therefore (1+x)^n=C_{0}+C_{1}x+C_{2}x^2+ .........+C_{n}x^n\)
\((1+x)^n=C_{0}+C_{1}x+C_{2}x^2+ .........+C_{n}x^n\)
উপরোক্ত বিস্তৃতিতে \(x\) এর পরিবর্তে \((-x)\) বসিয়ে,
\(\therefore (1-x)^n=C_{0}-C_{1}x+C_{2}x^2- ......\)\(...+(-1)^n\ C_{n}x^n\)
\((1-x)^n=C_{0}-C_{1}x+C_{2}x^2- .........+(-1)^n\ C_{n}x^n\)
সকল \(n\in{\mathbb{N}}\) এর জন্য, \((1+x)^n\) এর বিস্তৃতির দ্বিপদী সহগগুলি যথাক্রমে \(^nC_{0}, ^nC_{1}, ^nC_{2} ......., ^nC_{n}\)। এদেরকে যথাক্রমে \(C_{0}, C_{1}, C_{2} ......., C_{n}\) দ্বারা সূচিত করা হয়।
তাহলে, \((1+x)^n=C_{0}+C_{1}x+C_{2}x^2+ .........+C_{n}x^n\) সে ক্ষেত্রে,
\(C_{0}+C_{1}+C_{2}+ .......+C_{n}=2^n\)
\(C_{0}+C_{2}+C_{4}+ .......=C_{1}+C_{3}+C_{5}+ ....\)\(...=2^{n-1}\)
Click Me to Proof

\((a+x)^n\) অথবা \((1+x)^n\) এর বিস্তৃতিতে বৃহত্তম সহগ নির্ণয় করতে হবে, যখন \(n\) একটি যোগবোধক পূর্ণ সংখ্যা।
ধরি, বৃহত্তম সহগটি \((r+1)\) তম পদে আছে। কিন্তু এদের যে কোনো বিস্তৃতিতে এই পদের সহগ \(^nC_{r}.\)
এখন, \(r\) এর কোন মানের জন্য \(^nC_{r}\) বৃহত্তম তা নির্ণয় করতে হবে।
সমাবেশ অধ্যায়ের \(^nC_{r}\) এর বৃহত্তম মান আলোচনা থেকে আমরা জানি, \(n\) জোড় সংখ্যা হলে, \(^nC_{r}\) এর মান বৃহত্তম হবে যদি \(r=\frac{n}{2}\) হয়।
\(n\) বিজোড় সংখ্যা হলে, \(^nC_{r}\) এর মান বৃহত্তম হবে যদি \(r=\frac{1}{2}(n-1)\) অথবা \(r=\frac{1}{2}(n+1)\) হয়।
অতএব, যখন \(n\) জোড় সংখ্যা, \((a+x)^n\) অথবা \((1+x)^n\) এর বিস্তৃতিতে বৃহত্তম সহগ হবে \(\ ^nC_{\frac{n}{2}}\)
আবার, যখন \(n\) বিজোড় সংখ্যা, \((a+x)^n\) অথবা \((1+x)^n\) এর বিস্তৃতিতে বৃহত্তম সহগ হবে \(\ ^nC_{\frac{1}{2}(n-1)}\) অথবা \(\ ^nC_{\frac{1}{2}(n+1)}\)

\((a+x)^n\) এর বিস্তৃতিতে সংখ্যা সূচক বৃহত্তম পদটি নির্ণয় করতে হবে, যখন \(n\) একটি যোগবোধক পূর্ণ সংখ্যা।
পদসমূহের সংখ্যা সূচক মানের জন্য কেবল \(x\) এর যোগবোধক মান সমূহ বিবেচনা করি।
ধরি, \(t_{r},\) \((a+x)^n\) এর বিস্তৃতিতে \(r\) তম পদ প্রকাশ করে।
তাহলে, \(t_{r+1}=\frac{n(n-1)(n-2) ... .... (n-r+2)(n-r+1)}{r!}a^{n-r}x^r\)
এবং \(t_{r}=\frac{n(n-1)(n-2) ... .... (n-r+2)}{(r-1)!}a^{n-r+1}x^{r-1}\)
\(\therefore \frac{t_{r+1}}{t_{r}}=\frac{\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+2)(n-r+1)}{r!}a^{n-r}x^r}{\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+2)}{(r-1)!}a^{n-r+1}x^{r-1}}\)
\(=\frac{\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+2)(n-r+1)}{r!}x}{\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+2)}{(r-1)!}a}\)
\(=\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+2)(n-r+1)}{r!}\times\)\(\frac{(r-1)!}{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+2)}.\frac{x}{a}\)
\(=\frac{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+2)(n-r+1)}{r(r-1)!}\times\)\(\frac{(r-1)!}{n(n-1)(n-2) ... ... (n-r+2)}.\frac{x}{a}\)
\(=\frac{n-r+1}{r}.\frac{x}{a}\)
\(=\frac{(n-r+1)x}{ar}\)
এখন যদি, \(t_{r+1}\gt{t_{r}}\) অথবা \(t_{r+1}=t_{r}\) অথবা \(t_{r+1}\lt{t_{r}}\) হয়।
তাহলে, \((n-r+1)x\gt{ar}\) অথবা \((n-r+1)x=ar\) অথবা \((n-r+1)x\lt{ar}\) হবে।
\(\Rightarrow nx-rx+x\gt{ar}\) অথবা \(nx-rx+x=ar\) অথবা \(nx-rx+x\lt{ar}\)
\(\Rightarrow nx+x\gt{ar+rx}\) অথবা \(nx+x=ar+rx\) অথবা \(nx+x\lt{ar+rx}\)
\(\Rightarrow (n+1)x\gt{(a+x)r}\) অথবা \((n+1)x=(a+x)r\) অথবা \((n+1)x\lt{(a+x)r}\)
\(\Rightarrow (a+x)r\lt{(n+1)x}\) অথবা \((a+x)r=(n+1)x\) অথবা \((a+x)r\gt{(n+1)x}\)
\(\therefore r\lt{\frac{(n+1)}{a+x}x}\) অথবা \(r=\frac{(n+1)}{a+x}x\) অথবা \(r\gt{\frac{(n+1)}{a+x}x}\)
\((i)\) যদি, \(\frac{(n+1)}{a+x}x\) একটি পূর্ণ সংখ্যা হয়, তবে ধরি, \(\frac{(n+1)}{a+x}x=p\)
তাহলে, যতক্ষণ পর্যন্ত \(r\lt{p}, \ t_{r+1}\gt{t_{r}}\) এবং পদগুলি বৃদ্ধি পেতে থাকে।
যখন \(r=p, \ t_{r+1}=t_{r}\)
\(\Rightarrow t_{p+1}=t_{p}\)
আবার, যখন \(r\gt{p}, \ t_{r+1}\lt{t_{r}}\) এবং পদগুলি হ্রাস পায়।
সুতরাং, \(t_{p+1}=t_{p}\) এবং অন্য যে কোনো পদ হতে এদের মান বৃহত্তর।
\((ii)\) যদি, \(\frac{(n+1)}{a+x}x=p+f\) যেখানে \(f\) একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ।
এইক্ষেত্রে যতক্ষণ পর্যন্ত \(r\lt{p+f}, \ t_{r+1}\gt{t_{r}}\) এবং
যখন \(r\gt{p+f}, \ t_{r+1}\lt{t_{r}},\)
অতএব, \(r\le{p}\) এর জন্য পদসমূহ বৃদ্ধি পেতে থাকে, \(t_{p+1}\) পদটি, \(t_{p}\) এবং সকল পূর্ব্বর্তী পদসমূহ অপেক্ষা বৃহত্তর।
\(r\ge{p+1}\) এর জন্য \(t_{r+1}\lt{t_{r}}\) এর পদসমূহ হ্রাস পায়।
অতএব, \(t_{p+1}\) পদটি বৃহত্তম।