সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব
Perpendicular distance between parallel straight lines
barcode
এ অধ্যায়ের পাঠ্যসূচী।
সমান্তরাল সরলরেখা
Parallel Straight lines
যদি একই সমতলে অবস্থিত দুই বা ততোধিক সরলরেখা চলার পথে পরস্পরকে কোথাও স্পর্শ না করে সর্বদা সমান দূরত্ব বজায় রেখে চলে তবে তাদেরকে সমান্তরাল সরলরেখা বলা হয়।
আবার, প্রত্যেক সরলরেখা তার নিজের সমান্তরাল। এক্ষেত্রে সমান্তরাল সরলরেখাগুলি মিলিত হয়।
সমান্তরাল রেখাগুলি নির্দিষ্ট পরিস্থিতিতে, দেখা করতে পারে।

straight3
দৃষ্টান্তঃ একই সমতলে অবস্থিত দীর্ঘ্য সোজা দুইটি রেল-লাইন অসীম দূরত্বে মিলিত হয়েছে বলে দেখা যায়। অর্থাৎ কাল্পনিকভাবে সমান্তরাল সরলরেখাগুলি মিলিত হতে পারে।
মূলবিন্দু সাপেক্ষে সরলরেখার ধনাত্মক ও ঋণাত্মক পার্শ
Positive and negative sides of a straight line with respect to the origin
straight3straight3
\(ax+by+c=0\) সরলরেখার যে কোনো পার্শের যে কোনো বিন্দু \((x_{1}, y_{1})\) এর জন্য যদি \(ax_{1}+by_{1}+c\) সর্বদা ধনাত্মক হয় তবে ঐ পার্শটিকে \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দু সাপেক্ষে সরলরেখাটির ধনাত্মক পার্শ এবং তার বিপরীত পার্শটিকে ঋনাত্মক পার্শ বলা হয়।
কোনো সরলরেখার সাপেক্ষে মূলবিন্দুর অবস্থান
The position of the origin relative to a straight line
যদি \(ax+by+c=0\) সমীকরণের \(c\) ধনাত্মক হয়, তবে মূলবিন্দু \(ax+by+c=0\) সরলরেখার ধনাত্মক পার্শে এবং \(c\) ঋনাত্মক হলে, মূলবিন্দু রেখাটির ঋনাত্মক পার্শে অবস্থিত হবে।
মূলবিন্দু ও অপর যে কোনো বিন্দুর অবস্থানঃ
\(ax+by+c=0\) সরলরেখার ক্ষেত্রে, যদি \(ax_{1}+by_{1}+c\) এবং \(c\) একই চিহ্নবিশিষ্ট হয় তবে মূলবিন্দু এবং \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দু সরলরেখাটির একই পার্শে অবস্থিত হবে। আর যদি বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট হয় তবে মূলবিন্দু এবং \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দু সরলরেখাটির বিপরীত পার্শে অবস্থিত হবে।
লম্ব দূরত্ব
Perpendicular Distance
\((x_{1}, y_{1})\) বিন্দু থেকে \(ax+by+c=0\) সরলরেখার লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{\left|ax_{1}+by_{1}+c\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)

প্রমাণঃ
ধরি,straight3
\(P(x_{1}, y_{1})\)
\(ax+by+c=0 ..............(1)\)
\((1)\) এর উপর যে কোনো বিন্দু \(Q(x_{2}, y_{2})\)
\((1)\) এর ঢাল \(m_{1}=-\frac{a}{b}\)
\(PQ\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\)
শর্তমতে,
\((1)\) সরলরেখা এবং \(PQ\) রেখাংশ পরস্পর লম্ব।
\(\therefore m_{1}\times m_{2}=-1\)
\(\Rightarrow -\frac{a}{b}\times \frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{ay_{1}-ay_{2}}{bx_{1}-bx_{2}}=1\)
\(\Rightarrow ay_{1}-ay_{2}=bx_{1}-bx_{2}\)
\(\Rightarrow ay_{1}-ay_{2}-bx_{1}+bx_{2}=0\)
\(\Rightarrow bx_{2}-bx_{1}+ay_{1}-ay_{2}=0 ...........(2)\)
আবার,
\(Q\) বিন্দুটি \((1)\) এর উপর অবস্থিত।
\(\therefore ax_{2}+by_{2}+c=0 ......(3)\)
\((2)\) ও \((3)\) সমাধান করে \(x_{2}\) ও \(y_{2}\) এর মান নির্ণয় করি।
\((2)\times b+(3)\times a\) এর সাহায্যে,
\(b^{2}x_{2}-b^{2}x_{1}+aby_{1}-aby_{2}+a^{2}x_{2}+aby_{2}+ac=0\)
\(\Rightarrow b^{2}x_{2}-b^{2}x_{1}+aby_{1}+a^{2}x_{2}+ac=0\)
\(\Rightarrow x_{2}(b^{2}+a^{2})=b^{2}x_{1}-aby_{1}-ac\)
\(\therefore x_{2}=\frac{b^{2}x_{1}-aby_{1}-ac}{b^{2}+a^{2}}\)
\((2)\times a-(3)\times b\) এর সাহায্যে,
\(ab^{2}x_{2}-abx_{1}+a^{2}y_{1}-a^{2}y_{2}-abx_{2}-b^{2}y_{2}-bc=0\)
\(\Rightarrow -abx_{1}+a^{2}y_{1}-a^{2}y_{2}-b^{2}y_{2}-bc=0\)
\(\Rightarrow -y_{2}(a^{2}+b^{2})=abx_{1}-a^{2}y_{1}+bc\)
\(\therefore y_{2}=-\frac{abx_{1}-a^{2}y_{1}+bc}{a^{2}+b^{2}}\)
এখন,
লম্ব দূরত্ব
\(d=PQ=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}\)
\(=\sqrt{(x_{1}-\frac{b^{2}x_{1}-aby_{1}-ac}{b^{2}+a^{2}})^{2}+(y_{1}+\frac{abx_{1}-a^{2}y_{1}+bc}{a^{2}+b^{2}})^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{b^{2}x_{1}+a^{2}x_{1}-b^{2}x_{1}+aby_{1}+ac}{a^{2}+b^{2}})^{2}+(\frac{a^{2}y_{1}+b^{2}y_{1}+abx_{1}-a^{2}y_{1}+bc}{a^{2}+b^{2}})^{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{(a^{2}x_{1}+aby_{1}+ac)^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}+\frac{(b^{2}y_{1}+abx_{1}+bc)^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}\)
\(=\sqrt{\frac{a^{2}(ax_{1}+by_{1}+c)^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}+\frac{b^{2}(ax_{1}+by_{1}+c)^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}\)
\(=\sqrt{\frac{(ax_{1}+by_{1}+c)^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}\times (a^{2}+b^{2})}\)
\(=\sqrt{\frac{(ax_{1}+by_{1}+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\)
\(=\frac{\left|ax_{1}+by_{1}+c\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(\therefore \) লম্ব দূরত্ব \(d=\frac{\left|ax_{1}+by_{1}+c\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
বিকল্প পদ্ধতিঃ
ধরি,straight3
\(P(x_{1}, y_{1})\)
\(ax+by+c=0 .........(1)\)
\(P\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব \(d\).
\((1)\) হতে,
\(ax+by=-c\)
\(\Rightarrow \frac{ax}{-c}+\frac{by}{-c}=\frac{-c}{-c}\) ➜ উভয় পার্শে \(-c\) ভাগ করে
\(\Rightarrow \frac{x}{\frac{-c}{a}}+\frac{y}{\frac{-c}{b}}=1\)
\(\therefore (1)\) নং সরলরেখা অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A(-\frac{c}{a}, 0)\) ও \(B(0, -\frac{c}{b})\) বিন্দুতে ছেদ করে।
এখন,
\(\triangle ABP=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}-\frac{c}{a} \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ x_{1} \ \ \ -\frac{c}{a}\\ 0 \ -\frac{c}{b} \ \ \ \ \ y_{1} \ \ \ \ \ \ \ \ 0\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{(\frac{c^{2}}{ab}-0)+(0+\frac{cx_{1}}{b})+(0+\frac{cy_{1}}{a})\}\)
\(=\frac{1}{2}\{\frac{c^{2}}{ab}+\frac{cx_{1}}{b}+\frac{cy_{1}}{a}\}\)
\(=\frac{1}{2}\times \frac{c}{ab}\{c+ax_{1}+by_{1}\}\)
\(=\frac{c}{2ab}(ax_{1}+by_{1}+c)\)
\(AB=\sqrt{(-\frac{c}{a}-0)^{2}+(0+\frac{c}{b})^{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}}+\frac{c^{2}}{b^{2}}}\)
\(=\sqrt{\frac{c^{2}(a^{2}+b^{2})}{a^{2}b^{2}}}\)
\(=\frac{c}{ab}\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)
কিন্তু,
\(\frac{1}{2}\times AB\times d=\triangle ABP\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}\times \frac{c}{ab}\sqrt{a^{2}+b^{2}}\times d=\frac{c}{2ab}(ax_{1}+by_{1}+c)\)
\(\Rightarrow d=\frac{c}{2ab}(ax_{1}+by_{1}+c)\times 2\times \frac{ab}{c\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(\Rightarrow d=\frac{\left| ax_{1}+by_{1}+c\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
মূলবিন্দু হতে একটি সরলরেখার লম্ব দূরত্ব
Perpendicular distance of a straight line from the origin
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) বিন্দু থেকে \(ax+by+c=0\) সরলরেখার লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{\left|c \right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)

প্রমাণঃ
ধরি,straight3
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\)
\(ax+by+c=0 ...........(1)\)
\(O(0, 0)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব \(d=\frac{\left|a.0+b.0+c\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(\Rightarrow d=\frac{\left|0+0+c\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(\therefore d=\frac{\left|c\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
দুইটি সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব
Perpendicular distance between two parallel straight lines
\(ax+by+c_{1}=0\) ও \(ax+by+c_{2}=0\) সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{\left|c_{1}-c_{2}\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)

প্রমাণঃ
ধরি,straight3
\(ax+by+c_{1}=0 ......(1)\)
\(ax+by+c_{2}=0 ......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব \(d\)
\(p(x_{1}, y_{1})\) বিন্দুটি \((2)\) এর উপর অবস্থিত,
\(\therefore ax_{1}+by_{1}+c_{2}=0\)
\(\Rightarrow ax_{1}+by_{1}=-c_{2}...........(3)\)
আবার,
\(p(x_{1}, y_{1})\) বিন্দু হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{\left|ax_{1}+bx_{1}+c_{1}\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(=\frac{\left|-c_{2}+c_{1}\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\) ➜ \((3)\) এর সাহায্যে
\(=\frac{\left|c_{1}-c_{2}\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(\therefore d=\frac{\left|c_{1}-c_{2}\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
দুইটি পরস্পরছেদী সরলরেখার অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ
Equation of the bisector of the angle included by two intersecting straight lines
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ,
\(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=\pm \frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\).

প্রমাণঃ
ধরি,straight3
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখাদ্বয়ের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)।
\(P(x, y)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব \(d_{1}=\frac{\left| a_{1}x+b_{1}y+c_{1} \right|}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}}\)
\(P(x, y)\) হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব \(d_{2}=\frac{\left| a_{2}x+b_{2}y+c_{2} \right|}{\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}\)
শর্তমতে,
\(d_{1}=d_{2}\)
\(\Rightarrow \frac{\left| a_{1}x+b_{1}y+c_{1} \right|}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}}=\frac{\left| a_{2}x+b_{2}y+c_{2} \right|}{\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{ a_{1}x+b_{1}y+c_{1} }{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}}=\pm \frac{ a_{2}x+b_{2}y+c_{2} }{\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}\)
ইহাই নির্ণেয় সমদ্বিখন্ডক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ।
ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র ও অন্তঃব্যাসার্ধ নির্ণয়
Finding incenter and inradius of a triangle
\(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু তিনটি \((x_{1}, y_{1})\), \((x_{2}, y_{2})\) এবং \((x_{3}, y_{3})\) এবং বাহুগুলি \(BC=a, \ CA=b, \ AB=c \) হলে, এর অন্তঃকেন্দ্র,
\(I\left(\frac{ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}}{a+b+c}, \frac{ay_{1}+by_{2}+cy_{3}}{a+b+c}\right)\).
এবং অন্তঃব্যাসার্ধ
\(r=\frac{|\delta_{ABC}|}{a+b+c}\).

প্রমাণঃ
ধরি,straight3
\(\triangle ABC\) এর \(\angle A\), \(\angle B\) কোণ দুইটির সমদ্বিখন্ডক \(AD\) ও \(BE\) পরস্পর \(I\) বিন্দুতে ছেদ করে যা ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র।
শর্তমতে,
\(\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}\)
\(\Rightarrow \frac{BD}{DC}=\frac{c}{b}\)
\(\Rightarrow BD:DC=c:b\)
\(\therefore D(\frac{bx_{2}+cx_{3}}{b+c}, \frac{by_{2}+cy_{3}}{b+c})\)
আবার,
\(\frac{AI}{ID}=\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CD}=\frac{AB+AC}{BD+CD}\)
\(\Rightarrow \frac{AI}{ID}=\frac{c+b}{BC}\)
\(\Rightarrow \frac{AI}{ID}=\frac{c+b}{a}\)
\(\Rightarrow AI:ID=(c+b):a\)
\(\therefore I(\frac{(b+c).\frac{bx_{2}+cx_{3}}{b+c}+a.x_{1}}{a+b+c}, \frac{(b+c).\frac{by_{2}+cy_{3}}{b+c}+a.y_{1}}{a+b+c})\)
\(\Rightarrow I(\frac{bx_{2}+cx_{3}+ax_{1}}{a+b+c}, \frac{by_{2}+cy_{3}+ay_{1}}{a+b+c})\)
\(\Rightarrow I(\frac{ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}}{a+b+c}, \frac{ay_{1}+by_{2}+cy_{3}}{a+b+c})\).
\(\therefore \triangle ABC \) এর অন্তঃকেন্দ্র \(I(\frac{ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}}{a+b+c}, \frac{ay_{1}+by_{2}+cy_{3}}{a+b+c})\).
আবার,
\(\triangle{ABC}=\frac{1}{2}|\delta_{ABC}|=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{1}\\ y_{1}&y_{2}&y_{3}&y_{1}\end{array}\right|\)
যেখানে, \(\delta_{ABC}=\left|\begin{array}{c}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{1}\\ y_{1}&y_{2}&y_{3}&y_{1}\end{array}\right|\)
এখন, \(\triangle{BIC}+\triangle{AIC}+\triangle{AIB}=\triangle{ABC}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}BC\times{r}+\frac{1}{2}AC\times{r}+\frac{1}{2}AB\times{r}=\frac{1}{2}\delta_{ABC}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}r(BC+AC+AB)=\frac{1}{2}|\delta_{ABC}|\)
\(\Rightarrow r(BC+AC+AB)=|\delta_{ABC}|\)
\(\Rightarrow r=\frac{|\delta_{ABC}|}{BC+AC+AB}\)
\(\therefore r=\frac{|\delta_{ABC}|}{a+b+c}\)
কোনো সরলরেখার সমান্তরাল এবং নির্দিষ্ট একক দূরবর্তী সরলরেখার সমীকরণ
Equation of a straight line parallel to and a given unit distance from a straight line
\(ax+by+c=0\) সরলরেখার সমান্তরাল এবং \(d\) একক দূরবর্তী সরলরেখার সমীকরণঃ
\(ax+by+c\pm d\sqrt{a^{2}+b^{2}}=0\).

প্রমাণঃ
ধরি,straight3
\(ax+by+c=0 ............(1)\)
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(ax+by+k=0 ............(2)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((1)\) ও \((2)\) এর মধ্যবর্তী দূরত্ব \(=\frac{|k-c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
শর্তমতে,
\(\frac{|k-c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=d\)
\(\Rightarrow \pm \frac{k-c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=d\)
\(\Rightarrow \frac{k-c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\pm d\)
\(\Rightarrow k-c=\pm d \sqrt{a^{2}+b^{2}}\)
\(\therefore k=c\pm d \sqrt{a^{2}+b^{2}}\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(ax+by+c\pm d \sqrt{a^{2}+b^{2}}=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
কোনো সরলরেখার উপরোস্থ নির্দিষ্ট বিন্দু হতে নির্দিষ্ট একক দূরবর্তী লম্ব রেখার সমীকরণ
The equation of a perpendicular line given a given unit distance from a given point on a straight line
\(ax+by+c=0\) সরলরেখার উপরোস্থ \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দু হতে \(d\) একক দূরবর্তী লম্ব রেখার সমীকরণঃ
\(b(x-x_{1})-a(y-y_{1})\pm d\sqrt{a^{2}+b^{2}}=0\).

প্রমাণঃ
ধরি,straight3
\(ax+by+c=0 ............(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(bx-ay+k=0 ............(2)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((x_{1}, y_{1})\) বিন্দু হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|bx_{1}-ay_{1}+k|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
শর্তমতে,
\(\frac{|bx_{1}-ay_{1}+k|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=d\)
\(\Rightarrow |bx_{1}-ay_{1}+k|=d\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)
\(\Rightarrow bx_{1}-ay_{1}+k=\pm d\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)
\(\therefore k=ay_{1}-bx_{1}\pm d\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(bx-ay+ay_{1}-bx_{1}\pm d\sqrt{a^{2}+b^{2}}=0\)
\(\therefore b(x-x_{1})-a(y-y_{1})\pm d\sqrt{a^{2}+b^{2}}=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুর একটি নির্দিষ্ট সরলরেখা সাপেক্ষে অবস্থান
The position of two fixed points relative to a fixed straight line
\((x_{1}, y_{1})\) এবং \((x_{2}, y_{2})\) বিন্দুদ্বয় \(ax+by+c=0\) সরলরেখার একই পার্শে অথবা বিপরীত পার্শে অবস্থিত কিনা তা নির্ণয়ঃ
ধরি,straight3
\(f(x,y)\equiv ax+by+c=0 ......(1)\)
\(P(x_{1}, y_{1})\)
\(Q(x_{2}, y_{2})\)
\(f(x_{1},y_{1})\) এবং \(f(x_{2},y_{2})\) রাশিদ্বয় একই চিহ্ন বিশিষ্ট হলে, \(P\) ও \(Q\) বিন্দুদ্বয় \((1)\) নং সরলরেখার একই পার্শে অবস্থান করবে।
straight3 \(f(x_{1},y_{1})\) এবং \(f(x_{2},y_{2})\) রাশিদ্বয় বিপরীত চিহ্ন বিশিষ্ট হলে, \(P\) ও \(Q\) বিন্দুদ্বয় \((1)\) নং সরলরেখার বিপরীত পার্শে অবস্থান করবে।
দুইটি সরলরেখার অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ
Equation of two straight lines bisector of the angle included by two straight lines
দুইটি পরস্পরছেদী সরলরেখার অন্তর্ভুক্ত স্থুলকোণের বা, সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ।
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\)straight3
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
যদি,\( (a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2})\gt{0}\) হয়, তবে
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত স্থুলকোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখার সমীকরণ,
\(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\).

এবং
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখার সমীকরণ,
\(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=-\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\).
যদি,\((a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2})\lt{0}\) হয়, তবে
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত স্থুলকোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখার সমীকরণ,
\(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=-\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\).

এবং
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখার সমীকরণ,
\(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\).straight3
একটি নির্দিষ্ট বিন্দুধারী কোণের সমদ্বিখন্ডিক সরলরেখার সমীকরণ
Equation of an isosceles straight line about a given acute angle
একটি নির্দিষ্ট বিন্দুধারী কোণ ও নির্দিষ্ট বিন্দুধারী কোণের সমদ্বিখন্ডিক সরলরেখার সমীকরণ।
straight3 \(f(x,y)\equiv a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0\)
\(g(x,y)\equiv a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0\)
যদি,\( f(\alpha,\beta)\times g(\alpha,\beta)\gt{0}\) হয়, তবে \(f(x,y)\) ও \(g(x,y)\) রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণদ্বয়ের \(P(\alpha,\beta)\) বিন্দুধারী কোণটির সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ হবে,
\(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\)
যদি, \( f(\alpha,\beta)\times g(\alpha,\beta)\lt{0} \) হয়, তবে
straight3 \(f(x,y)\) ও \(g(x,y)\) রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণদ্বয়ের \(P(\alpha,\beta)\) বিন্দুধারী কোণটির সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ হবে,
\(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=-\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\)
মূলবিন্দুধারী কোণের সমদ্বিখন্ডিক সরলরেখার সমীকরণ
Equations of isosceles straight lines of angles with focal points
মূলবিন্দুধারী কোণ ও মূলবিন্দুধারী কোণের সমদ্বিখন্ডিক সরলরেখার সমীকরণ।
straight3 \(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ......(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 .......(2)\)
যদি,\( c_{1}\) ও \( c_{2}\) সমচিহ্নযুক্ত হয়, তবে
\((1)\) ও \((2)\) রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণদ্বয়ের মূলবিন্দুধারী কোণটির সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ হবে,
\(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\)
যদি, \( c_{1}\) ও \( c_{2}\) বিপরীত চিহ্নযুক্ত হয়, তবেstraight3
\((1)\) ও \((2)\) রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণদ্বয়ের মূলবিন্দুধারী কোণটির সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ হবে,
\(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=-\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\)
সরলরেখার প্রতিচ্ছবি
The image of a straight line
straight3 \(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=\pm \frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\) রেখাদ্বয়ের সাপেক্ষে \(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0\) ও \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0\) রেখা দুইটি পরস্পর প্রতিচ্ছবি
দুইটি পরস্পরছেদী সরলরেখার সাপেক্ষে একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর অবস্থান
The position of a fixed point relative to two intersecting straight lines
যদি,\((a_{1}\acute{x}+ b_{1}\acute{y}+c_{1})(a_{2}\acute{x}+ b_{2}\acute{y}+c_{2})(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2})\gt{0}\) হয়, তবে
\(P(\acute{x}, \acute{y})\) বিন্দুটি \(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0\) ও \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0\) রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত স্থুলকোণের মধ্যে অবস্থিত হবে।
যদি,\((a_{1}\acute{x}+ b_{1}\acute{y}+c_{1})(a_{2}\acute{x}+ b_{2}\acute{y}+c_{2})(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2})\lt{0}\) হয়, তবে
\(P(\acute{x}, \acute{y})\) বিন্দুটি \(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0\) ও \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0\) রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্মকোণের মধ্যে অবস্থিত হবে।
একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুর সাপেক্ষে এর কোণগুলি সম্পর্কে ধারণা জ্ঞাপন
Conceptualize the angles of a triangle with respect to its vertices
\(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটি \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\), \(C(x_{3}, y_{3})\)।
যদি,\( (x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})+(y_{1}-y_{2})(y_{1}-y_{3})\gt{0}\) হয়, তবে \(\angle A\) হবে সূক্ষ্মকোণ
যদি,\( (x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})+(y_{1}-y_{2})(y_{1}-y_{3})\lt{0}\) হয়, তবে \(\angle A\) হবে স্থুলকোণ
একটি ত্রিভুজের বাহুগুলির সাপেক্ষে এর কোণগুলি সম্পর্কে ধারণা জ্ঞাপন
Conceptualize the angles of a triangle with respect to its sides
\(ABC\) ত্রিভুজের \(AB\), \(BC\), \(CA\) বাহু তিনটির সমীকরণ যথাক্রমে \(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0,\) \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0,\) \(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0\)।
যদি,\(\left|\begin{array}{c}a_{1}&b_{1}\\ a_{2}&b_{2}\end{array}\right|\times\left|\begin{array}{c}a_{2}&b_{2}\\ a_{3}&b_{3}\end{array}\right|\times(a_{1}a_{3}+b_{1}b_{3})\gt{0}\) হয়, তবে \(\angle{A}\) হবে স্থুলকোণ
যদি,\(\left|\begin{array}{c}a_{1}&b_{1}\\ a_{2}&b_{2}\end{array}\right|\times\left|\begin{array}{c}a_{2}&b_{2}\\ a_{3}&b_{3}\end{array}\right|\times(a_{1}a_{3}+b_{1}b_{3})\lt{0}\) হয়, তবে \(\angle{A}\) হবে সূক্ষ্মকোণ
উদাহরণসমুহ
\(Ex.1.\) দেখাও যে, \((-6, 0)\) বিন্দুটি \(3x+4y-1=0\) এবং \(4x-3y+5=0\) রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণদ্বয়ের একটি সমদ্বিখন্ডকের উপর অবস্থিত।

\(Ex.2.\) \(y=2x+1\) ও \(2y-x=4\) রেখা দুইটির মধ্যবর্তী কোণের সমদ্বিখন্ডকসমুহ \(Y\) অক্ষকে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(PQ\) এর দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{4}{3}\) একক।
রাঃ ২০১১,২০১৪; সিঃ ২০০৫; বঃ ২০১২; কুঃ২০১৪; চুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯।

\(Ex.3.\) \(15x-8y+3=0\) ও \(4x+3y+5=0\) রেখা দুইটির মধ্যবর্তী কোণের সমদ্বিখন্ডকসমুহ \(Y\) অক্ষকে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(PQ\) এর দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1190}{143}\) একক।

\(Ex.4.\) একটি সরলরেখা অক্ষদ্বয় হতে সমমানের যোগবোধক অংশ ছেদ করে। মূলবিন্দু হতে রেখাটির দূরত্ব \(6\) একক। রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+y-6\sqrt{2}=0\)

\(Ex.5.\) দেখাও যে, \((\sqrt{5}, 0)\) ও \((-\sqrt{5}, 0)\) বিন্দু দুইটি হতে \(2x\cos\alpha-3y\sin\alpha=6\) এর উপর অঙ্কিত লম্ব দুইটির গুনফল \(\alpha\) মুক্ত।
কুঃ ২০০৫, রাঃ ২০০৭।

\(Ex.6.\) \(4x-3y+2=0\) ও \(8x-6y-9=0\) সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{13}{10}\) একক।
রাঃ ২০০৫।

\(Ex.7.\) \(12x-5y=7\) রেখার \(2\) দুই একক দূরবর্তী সমান্তরাল রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(12x-5y+19=0\) অথবা, \(12x-5y-33=0\)
চঃ ২০১৪, সিঃ ২০১২।

\(Ex.8.\) \(3x-4y+8=0\) রেখার সমান্তরাল দিকে \(3x+y+4=0\) রেখা থেকে \((1, 2)\) বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3\) একক।
বঃ ২০০৮, রাঃ ২০০২।

\(Ex.9.\) দেখাও যে, \(y=1\), \(3x-4y=5\) ও \(5x+12y+13=0\) রেখা তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের অন্তকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক মূলবিন্দুতে অবস্থিত।
উত্তরঃ ত্রিভুজের অন্তকেন্দ্র \(O(0, 0)\)

\(Ex.10.\) এমন সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((3, 6)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং মূলবিন্দু থেকে যার দূরত্ব \(6\) একক।
উত্তরঃ \(y-6=0 \) অথবা, \(4x+3y-30=0\)

\(Ex.11.\) \((\sqrt{3}, 1)\) বিন্দু হতে \(\sqrt{3}x-y+8=0\) সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর এ লম্ব \(X\) অক্ষের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5;\) \(150^{o}\)
কুঃ ২০০৭।

\(Ex.12.\) \((3, -2)\), \((-3, -1)\) বিন্দু দুইটি \(3x-8y=7\) রেখার একই অথবা বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত কি না নির্ণয় কর। বিন্দু দুইটির কোনটি রেখাটির যে পার্শ্বে মূলবিন্দু, সেই পার্শ্বে অবস্থিত?
উত্তরঃ বিন্দুদ্বয় \((1)\) সরলরেখার পরস্পর বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত। \(B(-3, -1)\) বিন্দুটি, \((1)\) সরলরেখার যে পার্শ্বে মূলবিন্দু অবস্থিত সেই পার্শ্বে অবস্থান করে।

\(Ex.13.\) দেখাও যে, \((\pm4, 0)\) বিন্দু দুইটি হতে \(3x\cos\theta+5y\sin\theta=15\) এর উপর অঙ্কিত লম্ব দুইটির গুনফল \(\theta\) বর্জিত ।
কুঃ ২০১৩, ঢাঃ ২০০৬; বঃ ২০০৮।

\(Ex.14.\) \(4x+3y=c\) এবং \(12x-5y=2(c+3)\) সরলরেখা দুইটি মূলবিন্দু হতে সমদূরবর্তী। \(c\) এর ধনাত্মক মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(c=10\)
ঢাঃ ২০১৬ ২০০৯, যঃ ২০১৪, ২০০৫,রাঃ ২০১২, চঃ ২০০৬, ২০০৪, বঃ ২০০৪, ২০০৩।

\(Ex.15.\) মূলবিন্দু হতে \(7\) একক দূরত্বে এবং \(3x-4y+7=0\) সরলরেখার উপর লম্ব এরূপ সরলরেখাগুলির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x+3y\pm 35=0\)
চঃ ২০০৫; সিঃ ২০০৬,২০১১; রাঃ ২০০৯; দিঃ ২০০৯,২০১১,২০১২; বঃ ২০১১; মাঃ ২০১৪।

carte
\(Ex.16.\)
চিত্রেঃ \(G, \triangle ABC\) এর ভরকেন্দ্র; \(D, BC\) এর মধ্যবিন্দু এবং \(EB\perp BC\)।
\((a)\) \(\triangle ABC\) এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((b)\) দেখাও যে \(G\) বিন্দুটি \(AD\) রেখাকে \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\((c)\) \(\angle EBC\) এর সমদ্বিখন্ডক রেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 7\) বর্গ একক।
\((c) \ x+3y-5=0, \ 3x-y-5=0\)

\(Ex.17.\) \(3y=4x-10 ........(1)\)
\(y=1 ........(2)\)
\(3x-4y=5 ........(3)\)
\(5x+12y+13=0 ........(4)\)
\((a)\) \(2x+y+3=0\) ও \(3x-4y+7=0\) রেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
কুঃ ২০০৪, সিঃ ২০১০।
\((b)\) \(Y\) অক্ষের উপরিস্থিত যে বিন্দুগুলি হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব \(4\) একক হয় তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
চঃ ২০১০।
\((c)\) \((2)\), \((3)\) ও \((4)\) রেখা তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের অন্তকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 2\sqrt{5}+3)x+(\sqrt{5}-4)y+3\sqrt{5}+7=0\)
\((c)\) ত্রিভুজের অন্তকেন্দ্র \(O(0, 0)\).

\(Ex.18.\) \(3x-4y+7=0\) একটি সরলরেখার সমীকরণ।
\((a)\) ঢালের সাহায্যে দেখাও যে, \((1, 2), \ (3, 4)\) ও \((5, 6)\) বিন্দুত্রয় একই সরলরেখায় অবস্থিত।
\((b)\) উদ্দীপকের রেখার উপর লম্ব এবং মূলবিন্দু থেকে \(7\) একক দূরবর্তী রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকের রেখাটির অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিত অংশকে \(3:7\) অনুপাতে অন্তর্ভূক্ত করা বিন্দুর সাথে মূলবিন্দুর সংযোজক রেখার সমান্তরাল রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা, \((3, 1)\) বিন্দুগামী।
উত্তরঃ \((b) \ 4x+3y\pm35=0\)
\((c) \ 9x+28y-55=0\)

\(Ex.19.\) পদ্মা সেতুর একটি আয়তাকার স্প্যান চারটি খুঁটির উপর বসানো আছে যার দুইটি খুঁটির স্থানাংক \(A(1, 0)\) এবং \(B(3, 2)\)। অপর একটি স্প্যান বর্গাকার যার একটি ধার, \(x+y=1\) রেখার উপর অবস্থিত এবং রেখাটি দ্বারা অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিত অংশ ধারের দৈর্ঘ্যের সমান।
\((a)\) \(B\) বিন্দুর পোলার স্থানাংক নির্ণয় কর।
\((b)\) আয়তাকার স্প্যানের একটি খুঁটি \(y\) অক্ষের উপর অবস্থিত হলে উক্ত খুঁটির স্থানাংক এবং স্প্যানটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((c)\) বর্গাকার স্প্যানটির অপর ধারগুলির প্রান্তবিন্দুসমূহ অক্ষদ্বয়ের সাথে সংযুক্ত এবং এটি চারটি খুঁটির উপর বসানো হলে খুঁটিগুলির স্থানাংক এবং অবশিষ্ট ধারত্রয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \left(\sqrt{13}, \tan^{-1}{\frac{2}{3}}\right)\)
\((b) \ 4\) বর্গ একক।
\((c) \ x-y+1=0, \ x+y+1=0, \ x-y-1=0\)

Read Example
Q.2-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.3-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.4-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.5-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমূহ
ভর্তি পরীক্ষায় আসা প্রশ্নসমূহ

Read More

Post List

Mathematics

Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
Trigonometry 11 and 12 standard
Diff. Calculus 11 and 12 standard
Int. Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard
Vector 11 and 12 standard
Vector Honours course standard
Statics 11 and 12 standard
Dynamics 11 and 12 standard

Chemistry