পরাবৃত্ত
Parabola
barcode
এ অধ্যায়ের পাঠ্যসূচী।
ঐতিহাসিক পটভূমি ( Historical Background )
straight3
Manaechmus (৩৮০-৩২০ খৃষ্টপুর্ব)
কোণক দ্বারা সমতলে বক্ররেখার ছেদাংশের বিভিন্ন অংশকে পরাবৃত্ত, উপবৃত্ত ও অধিবৃত্ত নামকরণ করেন।
একটি স্থির বিন্দু ও একটি সরলরেখা হতে যে সব বিন্দুর দূরত্বের অনুপাত একটি স্থির রাশি, তাদের সেটকে কনিক বলা হয়। স্থির বিন্দুটিকে উপকেন্দ্র বা ফোকাস, নির্দিষ্ট সরলরেখাকে নিয়ামক বা দিকাক্ষ এবং স্থির রাশিকে উৎকেন্দ্রিকতা (Eccentricity) বলা হয়। স্থির রাশিটিকে \(e\) দ্বারা সূচিত করা হয়। এই স্থির রাশির মানের উপর কনিকের আকৃতি নির্ভশীল। কনিক পরস্পরছেদী এমন একটি বক্রতা, যা একটি সমতলের কৌণিকতা সৃষ্টি করে এবং যার আকৃতি মোচাকৃতি। সৃষ্টি জগতের অতি কৌতূহলী, আকর্ষণীয় ও দুর্বোধ্য ক্ষেত্র থেকেই মানুষ কনিকের ধারণা লাভ করে আসছে। বাস্তব ও জটিল সংখ্যার স্থানাঙ্ক এবং ম্যাট্রিক্স নির্ণয়ে কনিক ব্যবহৃত হয়। প্রাচীন জ্যামিতিক পদ্ধতিতে এর তিনটি গঠন প্রয়োগ করা হত। যেমনঃ পরাবৃত্ত, উপবৃত্ত এবং অধিবৃত্ত । প্রাচীন গণিতবিদ ম্যানাকমাস straight3ম্যানাকমাস (Manaechmus) (৩৮০-৩২০ খৃষ্টপুর্ব) । ইউডক্সাস straight3 ইউডক্সাস (Eudoxus) (৩৯০-৩৩৭ খৃষ্টপুর্ব) গ্রীক গণিতবিদ ও জ্যোতির্বিদ । (Manaechmus & Eudoxus) \(4^{th}\) century-তে প্লেটোর straight3 প্লেটো (Plato) (খ্রিষ্টপূর্ব ৪২৭ - খ্রিষ্টপূর্ব ৩৪৭) বিশ্ববিখ্যাত গ্রিক দার্শনিক। তিনি দার্শনিক সক্রেটিসের ছাত্র ছিলেন এবং দার্শনিক এরিস্টটল তার ছাত্র ছিলেন। (Plato) স্কুলে কনিকের এ ত্রিগঠন সংযোজন করেন। Elements গ্রন্থে ইউক্লিড straight3 ইউক্লিড (৩০০-২৫০ খ্রিষ্টপূর্ব) বিখ্যাত গ্রিক গণিতজ্ঞ। তার লেখা গ্রন্থগুলির মধ্যে মাত্র তিনটির সন্ধান পাওয়া গিয়েছে এগুলো, ডাটা, অপটিক্স ও এলিমেন্টস। এলিমেন্টস বইটি মোট ১৩ খণ্ডে প্রকাশিত হয়েছিল। (৩০০-২৫০ খ্রিষ্টপূর্ব) কনিক সম্পর্কে বিস্তারিত আলোচনা করেন।এবং পরবর্তীতে "Quadrature of Parabola" গ্রন্থে আর্কিমিডিস straight3 আর্কিমিডিস (২৮৭-২১২ খ্রিষ্টপূর্ব) একজন গ্রিক গণিতবিদ, পদার্থবিজ্ঞানী, প্রকৌশলী, জ্যোতির্বিদ ও দার্শনিক। তাঁকে গণিতের জনক বলা হয়। (২৮৭-২১২ খ্রিষ্টপূর্ব) এবং অ্যাপোলোনিয়াস কনিকের প্রথম সিরিজ আকারে আটটি গ্রন্থে কনিক সম্পর্কে মৌলিক ও মূল্যবান তত্ত্ব ও তথ্যাবলির উপস্থাপন করেন। গ্রিক বিজ্ঞানীদের উদ্ভাবিত এসব তথ্য ও উপাত্তকে সপ্তদশ শতাব্দীতে জোহান ক্যাপলার straight3 জোহান কেপলার (Johannes Kepler) (১৫৭১-১৬৩০) ছিলেন দক্ষিণ পশ্চিম জার্মানির গণিতবিদ ও জ্যোতির্বিদ। কেপলারের প্রিয় বিষয়গুলি ছিল গণিত ও জ্যোতির্বিদ্যা। কেপলারের সবচেয়ে উল্লেখযোগ্য পুস্তকটির নাম ‘নিউ অ্যাসট্রোনমি’, যা প্রকাশের পর বিজ্ঞানীরা জানতে পারলেন, সূর্যের চারদিকে গ্রহরা একটি উপবৃত্তাকার পথে পরিভ্রমণ করছে। (Johannes Kepler) (১৫৭১-১৬৩০) এবং রেনে দেকার্তে straight3প্রখ্যাত ফরাসি দার্শনিক, গণিতবিদ রেনে দেকার্তে আধুনিক ফাংশনের ধারণা দেন । (Rene Descartes) (১৫৯৬-১৬৫০) বৈজ্ঞানিকরূপে প্রতিষ্ঠিত করেন। আধুনিক বিজ্ঞানে কনিকের বিস্তার ও প্রয়োগ ব্যপকভাবে বৃদ্ধি পায়। গ্রহ, উপগ্রহ, ধূমকেতু, নৌকা চালনায়, শিল্পকারখানায় যন্ত্রপাতি ( গিয়ার), অ্যান্টেনা, আলোকবিজ্ঞান, দূরবিক্ষণ যন্ত্র ইত্যাদিতে কনিকের ব্যবহার পরিলক্ষিত হয়।
কনিকের গঠনগত ব্যাখ্যা
Stractural explanation of Conics
straight3 কনিক (Conics): কোন কার্তেসীয় সমতলে একটি বিন্দু যদি এমনভাবে চলে যে ঐ সমতলস্থিত একটি স্থির বিন্দু থেকে দূরত্ব এবং একটি নির্দিষ্ট রেখা থেকে লম্বদূরত্বের অনুপাত একটি স্থির রাশি , তবে ঐ বিন্দুর সঞ্চারপথকে কনিক বলা হয়। স্থির বিন্দুটিকে কনিকের উপকেন্দ্র (Focus), নির্দিষ্ট সরলরেখাটিকে এর নিয়ামক রেখা (Directrix) এবং ঐ স্থির রাশিকে উৎকেন্দ্রিকতা বা বিকেন্দ্রিকতা (Eccentricity) বলা হয়। জ্যামিতিক ব্যাখ্যাঃ মনে করি, কোন সমতলে \(S\) একটি স্থির বিন্দু এবং \(CD\) একটি স্থির সরলরেখা। একটি চলমান বিন্দু \(P(x, y)\) যা সমতলের উপর অবস্থিত। \(P\) বিন্দু হতে \(S\) বিন্দুর দূরত্ব \(PS\) এবং \(P\) বিন্দু হতে \(CD\) এর উপর লম্ব-দূরত্ব \(PM\) এর অনুপাত সর্বদা স্থির হয়, তাহলে \(P\) এর সঞ্চারপথকে কনিক বলে। স্থির রাশিটিকে \(e\) দ্বারা প্রকাশ করলে \(\frac{PS}{PM}=e\) হয়। এখানে \(e\) কে উৎকেন্দ্রিকতা (Eccentricity) বলে। সুতরাং \(PS=e.PM\) কনিকের সমীকরণ প্রকাশ করে।
সংজ্ঞাসমূহ
Definitions
অক্ষরেখা, শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্র, নিয়ামকরেখা, উৎকেন্দ্রিকতা,নিয়ামকরেখার পাদবিন্দু , উপকেন্দ্রিক দূরত্ব, উপকেন্দ্রিক জ্যা ও উপকেন্দ্রিক লম্ব।
Axis, Vertex, Focus, Directrix, Eccentricity, Foot point, Focal distance, Focal chord and Latus rectum.
অক্ষরেখা (Axis): উপকেন্দ্রের মধ্যদিয়ে নিয়ামকরেখার উপর অঙ্কিত লম্ব রেখাটিকে (AX) পরাবৃত্তের অক্ষরেখা বা অক্ষ বলা হয়।
শীর্ষবিন্দু (Vertex): পরাবৃত্ত ও অক্ষরেখার ছেদবিন্দুকে (A) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু বলে।
উপকেন্দ্র (Focus): পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে নির্দিষ্ট বিন্দুটিকে (S) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র বলে।
নিয়ামকরেখা (Directrix): পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে নির্দিষ্ট সরলরেখাটিকে (CD) পরাবৃত্তের নিয়ামকরেখা বলে।
উৎকেন্দ্রিকতা (Eccentricity): পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে স্থির অনুপাতটিকে \((e)\) পরাবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা বলে।
নিয়ামকরেখার পাদবিন্দু (Foot point): নিয়ামকরেখা ও অক্ষরেখার ছেদবিন্দুকে (Z) নিয়ামকরেখার পাদবিন্দু বলে।
উপকেন্দ্রিক দূরত্ব (Focal distance): উপকেন্দ্র থেকে পরাবৃত্তের যে কোন বিন্দুর দূরত্বকে উপকেন্দ্রিক দূরত্ব বলে।
উপকেন্দ্রিক জ্যা (Focal chord): পরাবৃত্তের যে জ্যা পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র দিয়ে গমন করে তাকে উপকেন্দ্রিক জ্যা বলে।
উপকেন্দ্রিক লম্ব (Latus rectum): উপকেন্দ্রিক জ্যা অক্ষের উপর লম্ব হলে \(LL^{\prime}\) তাকে পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্ব বলে।
বিভিন্ন প্রকৃতির কনিক
Different types of Conic
বৃত্ত, পরাবৃত্ত, উপবৃত্ত, অধিবৃত্ত এবং যুগল সরলরেখা।
Circle, Parabola, Ellipse, Hyperbola and Pair of Straight Lines
\(e\) এর বিভিন্ন মানের জন্য সঞ্চারপথের আকৃতি বিভিন্ন হয়, যা নিম্নরূপঃ
বৃত্ত (Circle): \(e=0\) হলে, সঞ্চারপথকে বৃত্ত (Circle) বলা হয়। অতএব বৃত্ত হলো উপবৃত্তের একটি সীমায়িত অবস্থান যার বিকেন্দ্রিকতা শুন্য এবং যার নিয়ামক অসীমে থাকে। আবার একটি বৃত্ত বিন্দুতে পরিণত হতে পারে যখন এর ব্যাসার্ধ শুন্য হয়।
পরাবৃত্ত (Parabola): \(e=1\) হলে, সঞ্চারপথকে পরাবৃত্ত (Parabola) বলা হয়। অতএব, পরাবৃত্তস্থ প্রত্যেকটি বিন্দু উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা থেকে সমান দূরে অবস্থিত।
উপবৃত্ত (Ellipse): \(1>e>0\) হলে, সঞ্চারপথকে উপবৃত্ত (Ellipse) বলা হয়। উপবৃত্তস্থ প্রত্যেকটি বিন্দু থেকে উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখার দূরত্বের অনুপাত একটি স্থির রাশি যার মাণ শুন্য অপেক্ষা বড় এবং \(1\) অপেক্ষা ছোট।
অধিবৃত্ত (Hyperbola): \(e>1\) হলে, সঞ্চারপথকে অধিবৃত্ত (Hyperbola) বলা হয়। অধিবৃত্তস্থ প্রত্যেকটি বিন্দু থেকে উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখার দূরত্বের অনুপাত একটি স্থির রাশি যার মাণ \(1\) অপেক্ষা বড় ।
যুগল সরলরেখা (Pair of Straight Lines): \(e>1\) এবং উপকেন্দ্র নিয়ামকের উপর অবস্থিত হলে, সঞ্চারপথকে যুগল সরলরেখা (Pair of Straight Lines) বলা হয়। অতএব এক্ষেত্রে কনিকটি দুইটি বাস্তব ও ভিন্ন সরলরেখা নির্দেশ করে।
চিত্রের সাহায্যে কনিক উপস্থাপন
Representation of Conic by diagram
কোনো কনিকের উপকেন্দ্র \(S\) নিয়ামক রেখা \(MZ\acute M\) ( পরাবৃত্তের ক্ষেত্রে ) এবং \(MZ\) ও \(\acute M\acute Z\) ( উপবৃত্ত ও অধিবৃত্তের ক্ষেত্রে ) উৎকেন্দ্রিকতা \(e\) এবং উক্ত কনিকের উপরস্থ যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\) হলে উক্ত কনিকের সমীকরণ \(\frac{PS}{PM}=e\)।
straight3
কনিকটি একটি পরাবৃত্ত (Parabola) প্রকাশ করে; যখন \(e=1\) এবং \(SP=PM\)।
straight3
কনিকটি একটি উপবৃত্ত (Ellipse) প্রকাশ করে; যখন \(1 > e > 0\) এবং \(SP=e.PM\)।
straight3
কনিকটি একটি অধিবৃত্ত (Hyperbola) প্রকাশ করে; যখন \(e>1\) এবং \(SP=e.PM\)।
কোনোকের এবং সমতলের ছেদবিন্দুর সঞ্চারপথই যে কনিক তা চিত্রের সাহায্যে প্রকাশ
Conic which representing the locus of intersection of cone and a plane by diagram
straight3 কোণ থেকে কনিকের উৎপত্তি। একটি নির্দিষ্ট সরলরেখা কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে অপর একটি সরলরেখার এক প্রান্ত বেধে রেখে যদি রেখাটিকে ঐ নির্দিষ্ট রেখার চারিদিকে সূক্ষ্ণকোণে আবর্তন করানো হয়, তবে একটি বৃত্তীয় কোণ উৎপন্ন হয়। নির্দিষ্ট রেখাটি \((AO)\) ভূমির সহিত লম্ব অর্থাৎ \(\angle AOB=90^o\) হলে একটি সমবৃত্তীয় কোণ উৎপন্ন হয়। নির্দিষ্ট বিন্দুটিকে কোণের শীর্ষবিন্দু, নির্দিষ্ট সরলরেখাকে অক্ষ এবং ঘূর্নায়মান রেখাকে কারিক রেখা (Generating line) বলা হয়।
চিত্রে, \(AO\) অক্ষ (Axis) \(AB\) কারিক রেখা (Generating line) এবং \(\angle OAB\) কে অর্ধশীর্ষ কোণ বলা হয়ে থাকে।
সমতল দ্বারা কোণের ছেদন
Intersection of a Cone by a plane
ভূমির সমান্তরাল কিন্তু শীর্ষবিন্দুগামী নয় এরূপ কোনো সমতল দ্বারা যদি সমবৃত্তীয় কোনোককে সম্পূর্ণরূপে ছেদ করা হয় তবে ছেদক রেখাটি একটি বৃত্ত (Circle) উৎপন্ন করে।
straight3
কারিক রেখার সমান্তরাল কিন্তু শীর্ষবিন্দুগামী নয় এরূপ কোনো সমতল দ্বারা যদি সমবৃত্তীয় কোনোককে ছেদ বা কর্তন করা হয়, তবে ছেদক রেখাটি একটি পরাবৃত্ত (parabola) উৎপন্ন করে।
straight3
কারিক রেখা ও ভূমির সমান্তরাল নয় এবং শীর্ষবিন্দুগামীও নয় এরূপ কোনো সমতল দ্বারা যদি সমবৃত্তীয় কোনোককে সম্পূর্ণরূপে ছেদ করা হয় তবে ছেদক রেখাটি একটি উপবৃত্ত (Ellipse) উৎপন্ন করে।
straight3
শীর্ষবিন্দুগামী নয় এরূপ কোনো সমতল দ্বারা যদি কোনো দ্বিকোণকে এমনভাবে ছেদ করা হয় যেন তা উভয় কোণকে ছেদ করে, তবে ছেদক রেখাটি একটি অধিবৃত্ত (Hyperbola) উৎপন্ন করে।
straight3
শীর্ষবিন্দুগামী এবং ভূমির সহিত লম্ব এরূপ কোনো সমতল দ্বারা যদি সমবৃত্তীয় কোনোককে সম্পূর্ণরূপে ছেদ করা হয় তবে ছেদক রেখাটি একজোড়া সরলরেখা ( Pair of straight line) উৎপন্ন করে।
straight3
পরাবৃত্তের সমীকরণ সনাক্তকরণ
Identifying the equation of the parabola
পরাবৃত্তের সমীকরণে \(x^2\) অথবা, \(y^2\) যুক্ত পদ বিদ্যমান। \(x\) ও \(y\) যুক্ত পদ থাকতেও পারে নাও থাকতে পারে।
মূলবিন্দুগামী এবং \(x\) অক্ষের ধনাত্মক দিকে প্রতিসম পরাবৃত্তের সমীকরণ
Equation of the parabola symmetrical about the origin and positive to the \(x\) axis
পরাবৃত্তের সমীকরণ \(y^2=4ax \ (a>0)\)
straight3
  • শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(0, 0)\)
  • উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a, 0)\)
  • নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x=-a\)
  • অক্ষরেখার সমীকরণ \(y=0\)
  • উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(x=a\)
  • উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
  • শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \(x=0\)
  • নিয়ামকরেখার পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(Z(-a, 0)\)
  • \(P(x, y)\) বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব \(=a+|x|\)

প্রমাণঃ
ধরি,
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S\) এবং নিয়ামকরেখা \(MZ\acute M\)। উপকেন্দ্র \(S\) হতে নিয়ামকরেখার উপর \(SZ\) লম্ব আঁকি এবং \(SZ\) রেখা \(A\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয়। তাহলে \(SA=AZ\); সংজ্ঞানুসারে \(A\) শীর্ষবিন্দু এবং \(ZX\) পরাবৃত্তের অক্ষ। \(A\) বিন্দুকে মূলবিন্দু এবং \(AX\) ও \(AY\) রেখাকে যথাক্রমে \(X\)-অক্ষ ও \(Y\)-অক্ষ বিবেচনা করি।
আবার, \(AS=a=ZA\) এবং পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)। \(S,P\) যোগ করি এবং \(P\) বিন্দু হতে নিয়ামক রেখার উপর \(PM\) ও \(AX\)-এর উপর \(PN\) লম্ব আঁকি।
পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
\(SP=PM\)
\(\Rightarrow SP=ZN\) ➜ \(PM=ZN\)
\(\Rightarrow SP=ZA+AN\)
\(\Rightarrow SP=a+x\) ➜ \(AN=x, ZA=a\)
\(\Rightarrow SP^2=(a+x)^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow SP^2=(a+x)^2\)
\(\Rightarrow SN^2+PN^2=(a+x)^2\) ➜ \(SPN\) সমকোণী ত্রিভুজে \(SP^2=SN^2+PN^2\)
\(\Rightarrow (x-a)^2+y^2=(a+x)^2\) ➜ \(\because SN=AN-AS=x-a\)
\(\Rightarrow y^2=(a+x)^2-(x-a)^2\)
\(\therefore y^2=4ax\) ➜ \(\because (a+b)^2-(a-b)^2=4ab\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
বিকল্প পদ্ধতিঃ
আমরা জানি,
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
নিয়ামকের সমীকরণ \(x=-a \Rightarrow x+a=0 \)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=1\)
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে, \(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-a)^2+(y-0)^2}=\frac{|x+a|}{\sqrt{1^2+0^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-a)^2+y^2}=\frac{|x+a|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-a)^2+y^2}=\frac{|x+a|}{1}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-a)^2+y^2}=|x+a|\)
\(\Rightarrow (x-a)^2+y^2=(x+a)^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow y^2=(x+a)^2-(x-a)^2\)
\(\therefore y^2=4ax\) ➜ \(\because (a+b)^2-(a-b)^2=4ab\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
মূলবিন্দুগামী এবং \(y\) অক্ষের ধনাত্মক দিকে প্রতিসম পরাবৃত্তের সমীকরণ
Equation of the parabola symmetrical about the origin and positive to the \(y\) axis
পরাবৃত্তের সমীকরণ \(x^2=4ay \ (a>0)\)
straight3
  • শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(0, 0)\)
  • উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(0, a)\)
  • নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(y=-a\)
  • অক্ষরেখার সমীকরণ \(x=0\)
  • উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(y=a\)
  • উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
  • শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \(y=0\)
  • নিয়ামকরেখার পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(Z(0, -a)\)
  • \(P(x, y)\) বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব \(=a+|y|\)

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(0, a)\)
নিয়ামকের সমীকরণ \(y=-a \Rightarrow y+a=0 \)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=1\)
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে, \(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-0)^2+(y-a)^2}=\frac{|y+a|}{\sqrt{0^2+1^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-0)^2+(y-a)^2}=\frac{|y+a|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+(y-a)^2}=\frac{|y+a|}{1}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+(y-a)^2}=|y+a|\)
\(\Rightarrow x^2+(y-a)^2=(y+a)^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2=(y+a)^2-(y-a)^2\)
\(\therefore x^2=4ay\) ➜ \(\because (a+b)^2-(a-b)^2=4ab\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
মূলবিন্দুগামী এবং \(x\) অক্ষের ঋনাত্মক দিকে প্রতিসম পরাবৃত্তের সমীকরণ
Equation of the parabola symmetrical about the origin and negative to the \(x\) axis
পরাবৃত্তের সমীকরণ \(y^2=-4ax \ (a>0)\)
straight3
  • শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(0, 0)\)
  • উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(-a, 0)\)
  • নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x=a\)
  • অক্ষরেখার সমীকরণ \(y=0\)
  • উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(x=-a\)
  • উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
  • শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \(x=0\)
  • নিয়ামকরেখার পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(Z(a, 0)\)
  • \(P(x, y)\) বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব \(=a+|x|\)

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(-a, 0)\)
নিয়ামকের সমীকরণ \(x=a \Rightarrow x-a=0 \)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=1\)
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে, \(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+a)^2+(y-0)^2}=\frac{|x-a|}{\sqrt{1^2+0^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+a)^2+y^2}=\frac{|x-a|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+a)^2+y^2}=\frac{|x-a|}{1}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+a)^2+y^2}=|x-a|\)
\(\Rightarrow (x+a)^2+y^2=(x-a)^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow y^2=(x-a)^2-(x+a)^2\)
\(\Rightarrow y^2=-\{(x+a)^2-(x-a)^2\}\)
\(\therefore y^2=-4ax\) ➜ \(\because (a+b)^2-(a-b)^2=4ab\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
মূলবিন্দুগামী এবং \(y\) অক্ষের ঋনাত্মক দিকে প্রতিসম পরাবৃত্তের সমীকরণ
Equation of the parabola symmetrical about the origin and negative to the \(y\) axis
পরাবৃত্তের সমীকরণ \(x^2=-4ay \ (a>0)\)
straight3
  • শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(0, 0)\)
  • উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(0, -a)\)
  • নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(y=a\)
  • অক্ষরেখার সমীকরণ \(x=0\)
  • উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(y=-a\)
  • উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
  • শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \(y=0\)
  • নিয়ামকরেখার পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(Z(0, a)\)
  • \(P(x, y)\) বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব \(=a+|y|\)

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(0, -a)\)
নিয়ামকের সমীকরণ \(y=a \Rightarrow y-a=0 \)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=1\)
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে, \(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-0)^2+(y+a)^2}=\frac{|y-a|}{\sqrt{0^2+1^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-0)^2+(y+a)^2}=\frac{|y-a|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+(y+a)^2}=\frac{|y-a|}{1}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+(y+a)^2}=|y-a|\)
\(\Rightarrow x^2+(y+a)^2=(y-a)^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2=(y-a)^2-(y+a)^2\)
\(\Rightarrow x^2=-\{(y+a)^2-(y-a)^2\}\)
\(\therefore x^2=-4ay\) ➜ \(\because (a+b)^2-(a-b)^2=4ab\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
মূলবিন্দুকে উপকেন্দ্রক ধরে পরাবৃত্তের সমীকরণ
Equation of a parabola with origin as epicenter
পরাবৃত্তের সমীকরণ \(y^2=4a(x+a) \ (a>0)\)
straight3
  • শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(-a, 0)\)
  • উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(0, 0)\)
  • নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x+2a=0\)
  • অক্ষরেখার সমীকরণ \(y=0\)
  • উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(x=0\)
  • উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
  • শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \(x+a=0\)
  • নিয়ামকরেখার পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(Z(-2a, 0)\)

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(0, 0)\)
নিয়ামকের সমীকরণ \(x+2a=0 \)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=1\)
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে, \(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}=\frac{|x+2a|}{\sqrt{1^2+0^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+x^2}=\frac{|x+2a|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}=\frac{|x+2a|}{1}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}=|x+2a|\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=(x+2a)^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2+y^2=x^2+4ax+4a^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-x^2=4ax+4a^2\)
\(\Rightarrow y^2=4ax+4a^2\)
\(\therefore y^2=4a(x+a)\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\(Y\)-অক্ষকে নিয়ামকরেখা এবং \(X\)-অক্ষকে অক্ষরেখা ধরে পরাবৃত্তের সমীকরণ
Equation of the parabola with the \(Y\)-axis as the directrix and the \(X\)-axis as the focus
পরাবৃত্তের সমীকরণ \(y^2=4a(x-a) \ (a>0)\)
straight3
  • শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(a, 0)\)
  • উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(2a, 0)\)
  • নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x=0\)
  • অক্ষরেখার সমীকরণ \(y=0\)
  • উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(x-2a=0\)
  • উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
  • শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \(x-a=0\)
  • নিয়ামকরেখার পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(Z(0, 0)\)

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(2a, 0)\)
নিয়ামকের সমীকরণ \(x=0 \)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=1\)
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে, \(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2a)^2+(y-0)^2}=\frac{|x|}{\sqrt{1^2+0^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2a)^2+(y-0)^2}=\frac{|x|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2a)^2+y^2}=\frac{|x|}{1}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2-4ax+4a^2+y^2}=|x|\)
\(\Rightarrow x^2-4ax+4a^2+y^2=x^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2+y^2-x^2=4ax-4a^2\)
\(\therefore y^2=4a(x-a)\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\(X\) অক্ষের সমান্তরাল অক্ষরেখা বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকর
Equation of the parabola with axis parallel to the \(X\) axis
পরাবৃত্তের সমীকরণ \(x=ay^2+by+c\)
straight3
  • অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল।
  • শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A\left(-\frac{b^2-4ac}{4a}, -\frac{b}{2a}\right)\)
  • উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{1}{a}|\)
উপরোক্ত পরাবৃত্তের সমীকরণের বিকল্পরূপ \((y-\beta)^2=4a(x-\alpha)\)
  • অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল।
  • শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(\alpha, \beta)\)
  • উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a+\alpha, \beta)\)

প্রমাণঃ
ধরি,
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A(\alpha, \beta)\)
এবং \(AZ=AS=a\) পরাবৃত্তের অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল।
পরবৃত্তের ফোকাস \(S(\alpha +a, \beta)\)
এবং নিয়ামকরেখার পাদবিন্দু \(Z(\alpha -a, \beta)\)
নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x=\alpha-a\)
\(\Rightarrow x-\alpha +a=0\)
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
পরাবৃত্তের সমীকরণ \(PS=PM\)
\(\Rightarrow PS=ZN\) ➜ \(\because PM=ZN\)
\(\Rightarrow PS^2=ZN^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \{x-(\alpha +a)\}^2+(y-\beta)^2=\{x-(\alpha -a)\}^2\) ➜ \(\because ZN=x-(\alpha -a)\)
\(\Rightarrow \{x-\alpha -a\}^2+(y-\beta)^2=\{x-\alpha +a\}^2\)
\(\Rightarrow \{(x-\alpha)-a\}^2+(y-\beta)^2=\{(x-\alpha)+a\}^2\)
\(\Rightarrow (y-\beta)^2=\{(x-\alpha)+a\}^2-\{(x-\alpha)-a\}^2\)
\(\Rightarrow (y-\beta)^2=4(x-\alpha)a\) ➜ \(\because (a+b)^2-(a-b)^2=4ab\)
\(\Rightarrow (y-\beta)^2=4a(x-\alpha)\)
এখন,
\(4a(x-\alpha)=(y-\beta)^2\)
\(\Rightarrow 4ax-4a\alpha=y^2-2y\beta+\beta^2\)
\(\Rightarrow 4ax=y^2-2y\beta+\beta^2+4a\alpha\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{4a}y^2-\frac{2y\beta}{4a}+\frac{\beta^2+4a\alpha}{4a}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{4a}y^2+\frac{-\beta}{2a}y+\frac{\beta^2+4a\alpha}{4a} ........(1)\)
ধরি,
\(\acute a=\frac{1}{4a}, b=\frac{-\beta}{2a}, c=\frac{\beta^2+4a\alpha}{4a}\)
তাহলে \((1)\) নং সমীকরণ দাঁড়ায়,
\(x=\acute ay^2+by+c \)
\(\therefore x=ay^2+by+c \) ➜ \(\acute a\) কে \(a\) দ্বারা প্রতিস্থাপন করে।
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
এখন,
\(x=ay^2+by+c \)
\(\Rightarrow ay^2+by+c=x \)
\(\Rightarrow ay^2+by=x-c \)
\(\Rightarrow y^2+\frac{by}{a}=\frac{x-c}{a} \)
\(\Rightarrow y^2+2\frac{b}{2a}y+(\frac{b}{2a})^2=\frac{x-c}{a}+(\frac{b}{2a})^2 \)
\(\Rightarrow (y+\frac{b}{2a})^2=\frac{x-c}{a}+\frac{b^2}{4a^2} \)
\(\Rightarrow (y+\frac{b}{2a})^2=\frac{4ax-4ac+b^2}{4a^2} \)
\(\Rightarrow (y+\frac{b}{2a})^2=\frac{4ax+b^2-4ac}{4a^2} \)
\(\Rightarrow (y+\frac{b}{2a})^2=\frac{4ax}{4a^2}+\frac{b^2-4ac}{4a^2} \)
\(\Rightarrow (y+\frac{b}{2a})^2=\frac{x}{a}+\frac{b^2-4ac}{4a^2} \)
\(\Rightarrow (y+\frac{b}{2a})^2=\frac{1}{a}\left(x+\frac{b^2-4ac}{4a} \right) \)
\(\Rightarrow Y^2=\frac{1}{a}X ........(2)\) ➜ ধরি, \(X=x+\frac{b^2-4ac}{4a}, Y=y+\frac{b}{2a}\)
\((2)\) নং পরাবৃত্তের ক্ষেত্রে,
শীর্ষ বিন্দু \(A(0, 0 )\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0 \)
\(\Rightarrow x+\frac{b^2-4ac}{4a}=0, y+\frac{b}{2a}=0 \) ➜ \(\because X=x+\frac{b^2-4ac}{4a}, Y=y+\frac{b}{2a}\)
\(\therefore x=-\frac{b^2-4ac}{4a}, y=-\frac{b}{2a} \)
\(\therefore \) শীর্ষ বিন্দু দাঁড়ায় \(A\left(-\frac{b^2-4ac}{4a}, -\frac{b}{2a} \right)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{1}{a}|\) ➜ \((2)\) নং পরাবৃত্তের ক্ষেত্রে, \(4a\Rightarrow \frac{1}{a}\)
\(y\) অক্ষের সমান্তরাল অক্ষরেখা বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকর
Equation of the parabola with axis parallel to the \(y\) axis
পরাবৃত্তের সমীকরণ \(y=ax^2+bx+c\)
straight3
  • অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল।
  • শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\)
  • উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{1}{a}|\)
উপরোক্ত পরাবৃত্তের সমীকরণের বিকল্পরূপ \((x-\alpha)^2=4a(y-\beta)\)
  • অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল।
  • শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(\alpha, \beta)\)
  • উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(\alpha, a+\beta)\)

প্রমাণঃ
ধরি,
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A(\alpha, \beta)\)
এবং \(AZ=AS=a\) পরাবৃত্তের অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল।
পরবৃত্তের ফোকাস \(S(\alpha, \beta +a)\)
এবং নিয়ামকরেখার পাদবিন্দু \(Z(\alpha, \beta -a)\)
নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(y=\beta -a\)
\(\Rightarrow y-\beta +a=0\)
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
পরাবৃত্তের সমীকরণ \(PS=PM\)
\(\Rightarrow PS=ZN\) ➜ \(\because PM=ZN\)
\(\Rightarrow PS^2=ZN^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x-\alpha)^2+\{y-(\beta +a)\}^2=\{y-(\beta -a)\}^2\) ➜ \(\because ZN=y-(\beta -a)\)
\(\Rightarrow (x-\alpha)^2+\{y-\beta -a\}^2=\{y-\beta +a\}^2\)
\(\Rightarrow (x-\alpha)^2+\{(y-\beta) -a\}^2=\{(y-\beta)+a\}^2\)
\(\Rightarrow (x-\alpha)^2=\{(y-\beta)+a\}^2-\{(y-\beta)-a\}^2\)
\(\Rightarrow (x-\alpha)^2=4(y-\beta)a\) ➜ \(\because (a+b)^2-(a-b)^2=4ab\)
\(\Rightarrow (x-\alpha)^2=4a(y-\beta)\)
এখন,
\(4a(y-\beta)=(x-\alpha)^2\)
\(\Rightarrow 4ay-4a\beta=x^2-2x\alpha+\alpha^2\)
\(\Rightarrow 4ay=x^2-2x\alpha+\alpha^2+4a\beta\)
\(\Rightarrow y=\frac{1}{4a}x^2-\frac{2x\alpha}{4a}+\frac{\alpha^2+4a\beta}{4a}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{4a}x^2+\frac{-\alpha}{2a}x+\frac{\alpha^2+4a\beta}{4a} ........(1)\)
ধরি,
\(\acute a=\frac{1}{4a}, b=\frac{-\alpha}{2a}, c=\frac{\alpha^2+4a\beta}{4a}\)
তাহলে \((1)\) নং সমীকরণ দাঁড়ায়,
\(y=\acute ax^2+bx+c \)
\(\therefore y=ax^2+bx+c \) ➜ \(\acute a\) কে \(a\) দ্বারা প্রতিস্থাপন করে।
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
এখন,
\(y=ax^2+bx+c \)
\(\Rightarrow ax^2+bx+c=y \)
\(\Rightarrow ax^2+bx=y-c \)
\(\Rightarrow x^2+\frac{bx}{a}=\frac{y-c}{a} \)
\(\Rightarrow x^2+2\frac{b}{2a}x+(\frac{b}{2a})^2=\frac{y-c}{a}+(\frac{b}{2a})^2 \)
\(\Rightarrow (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{y-c}{a}+\frac{b^2}{4a^2} \)
\(\Rightarrow (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{4ay-4ac+b^2}{4a^2} \)
\(\Rightarrow (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{4ay+b^2-4ac}{4a^2} \)
\(\Rightarrow (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{4ay}{4a^2}+\frac{b^2-4ac}{4a^2} \)
\(\Rightarrow (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{y}{a}+\frac{b^2-4ac}{4a^2} \)
\(\Rightarrow (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{1}{a}\left(y+\frac{b^2-4ac}{4a} \right) \)
\(\Rightarrow X^2=\frac{1}{a}Y ........(2)\) ➜ ধরি, \(X=x+\frac{b}{2a}, Y=y+\frac{b^2-4ac}{4a}, \)
\((2)\) নং পরাবৃত্তের ক্ষেত্রে,
শীর্ষ বিন্দু \(A(0, 0 )\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0 \)
\(\Rightarrow x+\frac{b}{2a}=0, y+\frac{b^2-4ac}{4a}=0 \) ➜ \(\because X=x+\frac{b}{2a}, Y=y+\frac{b^2-4ac}{4a},\)
\(\therefore x=-\frac{b}{2a}, y=-\frac{b^2-4ac}{4a} \)
\(\therefore \) শীর্ষ বিন্দু দাঁড়ায় \(A\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4a} \right)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{1}{a}|\) ➜ \((2)\) নং পরাবৃত্তের ক্ষেত্রে, \(4a\Rightarrow \frac{1}{a}\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য
Letus rectum of parabola
straight3 পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র দিয়ে যার এবং এর অক্ষরেখার উপর লম্ব হয়, এরূপ জ্যাকে এর উপকেন্দ্রিক লম্ব (Letus rectum) বলা হয়। \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তের \(AS\) অক্ষরেখার উপর \(L\acute{L}\) লম্ব আঁকি। সুতরাং \(L\acute{L}\) পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্রিক লম্ব, এর উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a, 0)\) । \(L\acute{L}\) উপকেন্দ্রিক লম্বটি \(S\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয়। \(L\) বিন্দু থেকে \(MZ\acute{M}\)-এর উপর \(LM\) লম্ব আঁকি।
পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
\(SL=ML\)
\(=ZS\)
\(=ZA+AS\)
\(=a+a\)
\(=2a\)
অনুরূপভাবে,
\(S\acute{L}=-2a\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য্‌
\(L\acute{L}=|2a-(-2a)|=|2a+2a|=|4a|\)
আবার,
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য,
\(L\acute{L}=SL+S\acute{L}\)
\(=SL+SL\)
\(=2SL\)
\(=2\times ML\)
\(=2\times SZ\)
\(=2\times \) উপকেন্দ্র হতে নিয়ামকরেখার লম্বদূরত্ব।
\(\therefore \) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=2\times \) উপকেন্দ্র হতে নিয়ামকরেখার লম্বদূরত্ব।
কনিকের সাধারণ সমীকরণ শনাক্তকরণ
Identification of Conic's general equation
এখানে, \(\Delta \equiv abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2\)
  • \(\Delta\ne{0},\) \(a=b\) এবং \(h=0\) হলে, কনিকটি একটি বৃত্ত নির্দেশ করবে।
  • \(\Delta\ne{0}, \ ab-h^2=0\) এবং \(a+b\ne{0}\) হলে, কনিকটি একটি পরাবৃত্ত নির্দেশ করবে।
  • \(\Delta\ne{0}, \ ab-h^2>0\) এবং \(a+b\ne{0}\) হলে, কনিকটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করবে।
  • \(\Delta\ne{0}, \ ab-h^2<0\) এবং \(a+b\ne{0}\) হলে, কনিকটি একটি অধিবৃত্ত নির্দেশ করবে।
  • \(\Delta\ne{0}, \ ab-h^2<0 \) এবং \(a+b=0\) হলে, কনিকটি একটি আয়াতাকার অধিবৃত্ত নির্দেশ করবে।
  • \(\Delta=0\) হলে, কনিকটি একজোড়া সরলরেখা নির্দেশ করবে।
কোনো সরলরেখা পরাবৃত্তের স্পর্শক হওয়ার শর্ত
Condition for a straight line to be tangent to a parabola
কোনো সরলরেখা পরাবৃত্তের স্পর্শক হওয়ার শর্ত, স্পর্শকের সমীকরণ এবং স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক।
মনে করি,
সরলরেখা ও পরাবৃত্তটির সমীকরণ যথাক্রমে
\(y=mx+c .............(1) \)
\(y^2=4ax ........(2) \)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং পরাবৃত্তকে স্পর্শ করার শর্তঃ \(c=\frac{a}{m}\)
স্পর্শকের সমীকরণঃ \(y=mx+\frac{a}{m}\)
স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্কঃ \(\left(\frac{a}{m^2}, \frac{2a}{m}\right)\)

প্রমাণঃ
ধরি,straight3
পরাবৃত্তের সমীকরণ \(y^2=4ax ....(1)\)
\(PQ\) সরলরেখার সমীকরণ \(y=mx+c ....(2)\)
পরাবৃত্তের উপর \(P\) একটি বিন্দু এবং \(PQ\) যে কোনো ছেদকরেখা। \(Q\) বিন্দু ক্রমশ \(P\) বিন্দুর দিকে অগ্রসর হয়ে \(P\) বিন্দুর উপর সমপতিত হলে ছেদকরেখাটি \(P\) বিন্দুতে উৎপন্ন পরাবৃত্তের একটি স্পর্শক হবে।
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\((mx+c)^2=4ax\)
\(\Rightarrow m^2x^2+2mcx+c^2=4ax\)
\(\Rightarrow m^2x^2+2mcx-4ax+c^2=0\)
\(\therefore m^2x^2+2(mc-2a)x+c^2=0 .......(3)\)
\(PQ\) সরলরেখাটি \((1)\) নং পরাবৃত্তের একটি স্পর্শক হবে যদি \((3)\) নং সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হয়।
\(\therefore \{2(mc-2a)\}^2=4m^2c^2\) ➜ \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমাণ হওয়ার শর্ত, \(b^2=4ac\)
\(\Rightarrow 4(mc-2a)^2=4m^2c^2\)
\(\Rightarrow (mc-2a)^2=m^2c^2\)
\(\Rightarrow m^2c^2-4amc+4a^2=m^2c^2\)
\(\Rightarrow -4amc+4a^2=m^2c^2-m^2c^2\)
\(\Rightarrow -4amc+4a^2=0\)
\(\Rightarrow -4amc=-4a^2\)
\(\Rightarrow amc=a^2\)
\(\Rightarrow c=\frac{a^2}{am}\)
\(\therefore c=\frac{a}{m}\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শক হওয়ার শর্ত।
আবার,
\((3)\) নং সমীকরণে \(c=\frac{a}{m}\) বসিয়ে,
\(m^2x^2+2\left(m\times \frac{a}{m}-2a\right)x+(\frac{a}{m})^2=0\)
\(\Rightarrow m^2x^2+2\left(a-2a\right)x+\frac{a^2}{m^2}=0\)
\(\Rightarrow m^2x^2-2ax+\frac{a^2}{m^2}=0\)
\(\Rightarrow \left(mx-\frac{a}{m}\right)^2=0\)
\(\Rightarrow mx-\frac{a}{m}=0\)
\(\Rightarrow mx=\frac{a}{m}\)
\(\therefore x=\frac{a}{m^2}\)
আবার,
\((3)\) নং সমীকরণ হতে,
\(y=m\times \frac{a}{m^2}+\frac{a}{m}\)
\(\Rightarrow y=\frac{a}{m}+\frac{a}{m}\)
\(\therefore y=\frac{2a}{m}\)
\(\therefore\) স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{a}{m^2},\frac{2a}{m}\right)\)
পরাবৃত্তের উপরিস্থিত কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ
Equation of the tangent at a given point on the parabola
মনে করি,
একটি নির্দিষ্ট বিন্দু এবং একটি পরাবৃত্ত যথাক্রমে \(P(x_1, y_1)\)
এবং \(y^2=4ax ........(1) \)
\((1)\) নং পরাবৃত্তের উপরিস্থিত \(P(x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \(yy_1=2a(x+x_1)\)
\(y^2=4ax\) পরাবৃত্তের উপরিস্থিত \(P(x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \(yy_1=2a(x+x_1)\)
\(x^2=4ay\) পরাবৃত্তের উপরিস্থিত \(P(x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \(xx_1=2a(y+y_1)\)
পরাবৃত্তের জ্যা এর সমীকরণ যার মধ্যবিন্দু দেয়া আছে
Equation of the chord of a parabola whose midpoint is given
\(y^2=4ax\) পরাবৃত্তের জ্যা এর সমীকরণ, যার মধ্যবিন্দু \(P(x_1, y_1)\)
\(yy_1-2a(x+x_1)=y_{1}^2-4ax_{1}\)
উদাহরণসমুহ
\(Ex.1.\) \(5x^{2}+30x+2y+59=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্র, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, অক্ষরেখা এবং দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(10y+69=0\)
ঢাঃ ২০০৬, ২০১০; সিঃ ২০০২, ২০১১; যঃ ২০০৩, ২০১১; চঃ ২০০৬; কুঃ ২০০৮,২০১২,২০১৪; দিঃ ২০১৩; বঃ, রাঃ ২০১৪।

\(Ex.2.\) \((1, 1)\) উপকেন্দ্র \(3x+4y=1\) দিকাক্ষ রেখা বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। তার অক্ষেরও সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x-3y-1=0\)
ঢাঃ ২০০৭; সিঃ ২০০৮; যঃ ২০০২, ২০১০; চঃ ২০১২,২০১৪; কুঃ ২০০৫; দিঃ ২০১৪; বঃ২০০৫,২০১১; রাঃ ২০০৫।

\(Ex.3.\) দেখাও যে, \(lx+my+n=0\) সরলরেখাটি \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি \(ln=am^2\) হয়।
রাঃ, কুঃ ২০০৫

\(Ex.4.\) একটি পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(4x+3y-5=0\) এবং শীর্ষবিন্দু \((3, 1)\) হলে, পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(9x^2-24xy+16y^2-190x-80y+625=0\)
রাঃ ২০০২; মাঃ ২০০৩

\(Ex.5.\) \(y=ax^2+bx+c\) পরাবৃত্তটির শীর্ষ \((-2, 3)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং তা \((0, 5)\) বিন্দুদিয়ে অতিক্রম করে। \(a,b,c\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a=\frac{1}{2}, b=2, c=5\)
যঃ ২০০৫,২০১৪;বঃ ২০০২,২০১২;কুঃ ২০০১, ২০০৭,২০১৩; ঢাঃ ২০০৬,২০০৯,২০১৩দিঃ ২০০৯,২০১২; রাঃ ২০১১,২০১৪; চঃ ২০১২

\(Ex.6.\) \(3y^2=5x\) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(S\left(\frac{5}{12}, 0\right)\)

\(Ex.7.\) \(y^2=8px\) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর, যেখানে পরাবৃত্তটি \((4, -8)\) বিন্দুগামী।
উত্তরঃ \(S(4, 0)\)

\(Ex.8.\) \(y^2=8x-8y\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং পরাবৃত্তের অক্ষ ও নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(A(-2, -4), \ 8\) একক।
\(S(0, -4), \ y+4=0, \ x+4=0\)
দিঃ ২০১১; কুঃ ২০০০

\(Ex.9.\) \(3x^2-4y+6x-5=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক, পরাবৃত্তের অক্ষ ও নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(A(-1, -2), \ \frac{4}{3}\) একক।
\(S(-1, -\frac{5}{3}), \ x+1=0, \ 3y+7=0\)
যঃ ২০০১

\(Ex.10.\) \(x^2+4x+2y=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক, পরাবৃত্তের অক্ষ, নিয়ামক রেখার সমীকরণ ও উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(A(-2, 2), \ 2y-3=0, \ S\left(-2, \frac{3}{2}\right), \ 2\) একক।
\(x+2=0, \ 2y-5=0\)
বঃ ২০০৪

\(Ex.11.\) \((-1, 1)\) উপকেন্দ্র এবং \(x+y+1=0\) নিয়ামকরেখা বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। পরাবৃত্তের অক্ষের সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((x-y)^2+2x-6y+3=0, x-y+2=0\)
\(\sqrt{2}\) একক। \(x+y=0\)
দিঃ ২০১২,২০১০; সিঃ ২০১০; রাঃ ২০০৮; ঢাঃ ২০০৫; কুঃ ২০০৩

\(Ex.12.\) \(y^2=8x\) পরাবৃত্তের উপরিস্থিত যে বিন্দুর উপকেদ্রিক দূরত্ব \(8\) তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((6, 4\sqrt{3})\) এবং \((6, -4\sqrt{3})\)
রাঃ ২০০৯, ২০১১; চঃ ২০১১,২০০৭; যঃ ২০১০;বঃ ২০১০,২০০৮; সিঃ ২০১০; ঢাঃ ২০০৭;কুঃ২০০৬

\(Ex.13.\) \((-1, 1)\) উপকেন্দ্র এবং \((2, -3)\) শীর্ষবিন্দু বিশিষ্ট পরাবৃত্তের অক্ষ ও নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x+3y+1=0, \ 3x-4y-43=0\)
রাঃ ২০০৩

\(Ex.14.\) \(5y^2=12x\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5x+3=0\)

\(Ex.15.\) \(7y^2=3px\) পরাবৃত্ত যদি \((2, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায় তাহলে উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{9}{2}\) একক।
\(S\left(\frac{9}{8}, 0\right), \ 8x+9=0\)

\(Ex.16.\) \(y^2=4y+4x-16\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং পরাবৃত্তের অক্ষ ও নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(A(3, 2), \ 4\) একক। \(x-4=0\)
\(S(4, 2), \ y-2=0, \ x-1=0\)

\(Ex.17.\) \(5x^2+15x-10y-4=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং পরাবৃত্তের অক্ষ ও নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(A(-\frac{3}{2}, -\frac{13}{8}); \ 2\) একক।
\(8y+9=0, \ \left(-\frac{3}{2}, -\frac{9}{8}\right); \ 2x+3=0, \ 8y+17=0 \)

\(Ex.18.\) \(y^2=4px\) পরাবৃত্ত যদি \((3, -2)\) বিন্দু দিয়ে যায় তাহলে উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{4}{3}\) একক। \(S\left(\frac{1}{3}, 0\right)\)

\(Ex.19.\) \((-8, -2)\) উপকেন্দ্র এবং \(2x-y-9=0\) নিয়ামকরেখা বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((x+2y)^2+116x+2y+259=0\)
ঢাঃ ২০১৪,২০১২; বঃ ২০১৪; দিঃ ২০১২

\(Ex.20.\) একটি পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \((0, 0)\) এবং শীর্ষবিন্দু \((-2, -1)\) পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ এবং পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x+y+10=0, \ (x-2y)^2-40x-20y-100=0\)

\(Ex.21.\) \(y^2=16x\) পরাবৃত্তের উপরিস্থিত যে বিন্দুর উপকেদ্রিক দূরত্ব \(6\) তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((2, 4\sqrt{2})\) এবং \((2, -4\sqrt{2})\)
যঃ ২০১৫;বঃ ২০১৩; সিঃ ২০১2; ঢাঃ ২০১২

\(Ex.22.\) \(y^2-6x+4y+11=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং পরাবৃত্তের অক্ষ ও নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(A\left(\frac{7}{6}, -2\right), \ 6\) একক।
\(3x-8=0, \ S\left(\frac{8}{3}, -2\right), \ y+2=0, \ 3x+1=0\)

\(Ex.23.\) একটি পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \((-6, -3)\) এবং শীর্ষবিন্দু \((-2, 1)\) পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+y-7=0\)

\(Ex.24.\) একটি পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \((1, -3)\) এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(3x-2y+5=0\) ঐ পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((2x+3y)^2-56x+98y+105=0\)

\(Ex.25.\) যে পরাবৃত্ত \(Y\) অক্ষ সাপেক্ষে প্রতিসম, শীর্ষবিন্দু মূলবিন্দুতে এবং \((5, 2)\) বিন্দুগামী তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x^2=25y\)

\(Ex.26.\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষ \((4, -3)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং দিকাক্ষ \(X\)-অক্ষের সমান্তরাল এবং যা \((-4, -7)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
উত্তরঃ \(x^2-8x+16y+64=0\)
চঃ ২০০২; সিঃ ২০০৫

\(Ex.27.\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((1, -1)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং \(x-y+2=0\) রেখাটি শীর্ষবিন্দুতে অক্ষের উপর লম্ব।
উত্তরঃ \((x+y)^2-16x+16y-32=0\)
বুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯।

\(Ex.28.\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((1, -1)\) বিন্দুতে এবং শীর্ষ \((-1, 3)\) বিন্দুতে অবস্থিত ।
উত্তরঃ \((2x+y)^2-48x+86y-351=0\)

\(Ex.29.\) একটি পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু ও নিয়ামকরেখার পাদবিন্দু \((-2, 0)\) এর দূরত্ব \(\frac{\sqrt{10}}{2}\) একক। নিয়ামকরেখা \((0, -6)\) বিন্দুগামী হলে পরাবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((x-3y)^2-56x-32y-16=0, \ (x-3y)^2+64x+8y+224=0\)

Read Example
Q.1-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
নিচের পরাবৃত্তগুলির শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, অক্ষের সমীকরণ এবং নিয়ামক রেখা বা দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\(Q.1.(i).(a)\) \( y^2=9x\)
উত্তরঃ \((0, 0) , \left(\frac{9}{4}, 0\right), 9, 4x-9=0, y=0, 4x+9=0\)

নিচের পরাবৃত্তগুলির শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, অক্ষের সমীকরণ এবং নিয়ামক রেখা বা দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\(Q.1.(i).(b)\) \( x^2=-12y\)
উত্তরঃ \((0, 0) , (0, -3), 12, y+3=0, x=0, y-3=0\)

\(Q.1.(i).(c)\) \( x^2+4x+2y=0\)
উত্তরঃ \((-2, 2) , \left(-2, \frac{3}{2}\right), 2, 2y-3=0, x+2=0, 2y-5=0\)
বঃ ২০০৮

\(Q.1.(i).(d)\) \( y^2+8x-2y-23=0\)
উত্তরঃ \((3, 1); (1, 1); 8; x-1=0; y-1=0; x-5=0 \)
ঢাঃ ২০০০; কুঃ ২০০৬

\(Q.1.(i).(e)\) \(y^2=8x-8y\)
উত্তরঃ \(A(-2, -4), \ 8\) একক। \(x=0\)
\(S(0, -4), \ y+4=0, \ x+4=0\)
কুঃ ২০০০

\(Q.1.(i).(f)\) \((y-1)^2=4(x-2)\)
উত্তরঃ \(A(2, 1), \ 4\) একক। \(x-3=0\)
\(S(3, 1), \ y-1=0, \ x-1=0\)
ঢাঃ ২০০২

\(Q.1.(i).(g)\) \(y^2=4y+4x-8\)
উত্তরঃ \(A(1, 2), \ 4\) একক। \(x-2=0\)
\(S(2, 2), \ y-2=0, \ x=0\)
কুঃ ২০০১; যঃ ২০০৭

\(Q.1.(i).(h)\) \(x^2+4y-4=0\)
উত্তরঃ \((0, 1); (0, 0); 4; y=0; x=0; y-2=0\)
রাঃ ২০০৪

\(Q.1.(i).(i)\) \(y^2=4y+4x-16\)
উত্তরঃ \(A(3, 2), \ 4\) একক। \(x-4=0\)
\(S(4, 2), \ y-2=0, \ x-1=0\)
যঃ ২০০৫

\(Q.1.(i).(j)\) \(x^2+2y-8x+7=0\)
উত্তরঃ \(A\left(4, \frac{9}{2}\right), \ 2\) একক। \(y-4=0\)
\(S(4, 4), \ x-4=0, \ y-5=0\)

\(Q.1.(i).(k)\) \(y^2=6x\)।
উত্তরঃ \(A(0, 0), \ 6\) একক। \(2x-3=0\)
\(S\left(\frac{3}{2}, 0\right), \ y=0, \ 2x+3=0\)

\(Q.1.(i).(l)\) \(x^2=-6y\)।
উত্তরঃ \((0, 0); \ 6\) একক। \(2y+3=0\)
\(S\left(0, -\frac{3}{2}\right); \ x=0; 2y-3=0\)

\(Q.1.(i).(m)\) \(y^2=-8x\)।
উত্তরঃ \((0, 0); 8\) একক। \(x+2=0\)
\((-2, 0), \ y=0; x-2=0\)

\(Q.1.(i).(n)\) \(x^2=-8y\)।
উত্তরঃ \((0, 0), \ 8\) একক। \(y+2=0\)
\((0, -2), \ x=0; \ y-2=0\)

\(Q.1.(i).(o)\) \((y-2)^2=8(x-4)\)
উত্তরঃ \((4, 2), \ 8\) একক। \(x-6=0\)
\((6, 2), \ y-2=0, \ x-2=0 \)
ঢাঃ ২০০২

\(Q.1.(i).(p)\) \(3y^2-10x-12y-18=0\)
উত্তরঃ \((-3, 2) ; \left(-\frac{13}{6}; 2\right); \frac{10}{3}; 6x+13=0; y-2=0, 6x+23=0 \)
ঢাঃ ২০০২

\(Q.1.(i).(q)\) \( 5x^2+15x-10y-4=0\)
উত্তরঃ \(A(-\frac{3}{2}, -\frac{13}{8}); \left(-\frac{3}{2}, -\frac{9}{8}\right);\)
\(2; 8y+9=0; 2x+3=0, 8y+17=0 \)
কুঃ ২০১১,২০০৪;সিঃ২০০৯,২০০৫;ঢাঃ ২০০৮;রাঃ ২০০৭;মাঃ ২০০২

\(Q.1.(i).(r)\) \((x-4)^2=-4(y-5)\)
উত্তরঃ \((4, 5), \ 4\) একক। \( y-4=0\)
\((4, 4), \ x-4=0, \ y-6=0\)

\(Q.1.(i).(s)\) \( y^2=4x\)
উত্তরঃ \((0, 0) , \left(1, 0\right), 4, x-1=0, y=0, x+1=0\)

\(Q.1.(i).(t)\) \(x^2=-10y\)।
উত্তরঃ \((0, 0), \ 10\) একক। \(2y+5=0\)
\(\left(0, -\frac{5}{2}\right), \ x=0; \ 2y-5=0\)

\(Q.1.(i).(u)\) \(y^2=4(x-2)\)
উত্তরঃ \((2, 0), \ 10\) একক। \(y=0\)
\((3, 0), \ x-1=0; \ x+1=0\)
রাঃ ২০০২।

নিম্নলিখিত কনিকগুলির আকার কি হবে তা কারণসহ উল্লেখ কর। চিত্রের সাহায্যে কনিকগুলি উপস্থাপন কর।
\(Q.1.(ii).(a)\) \((y-2)^2=8(x-1)\)
উত্তরঃ পরাবৃত্ত

নিম্নলিখিত কনিকগুলির আকার কি হবে তা কারণসহ উল্লেখ কর। চিত্রের সাহায্যে কনিকগুলি উপস্থাপন কর।
\(Q.1.(ii).(b)\) \(16x^2+25y^2=400\)
উত্তরঃ উপবৃত্ত

\(Q.1.(ii).(c)\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1\)
উত্তরঃ অধিবৃত্ত

পরাবৃত্তগুলির লেখচিত্র অঙ্কন করে শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্র ও নিয়ামক রেখা চিহ্নিত কর।
\(Q.1.(iii).(a)\) \(y^2=8x\)

পরাবৃত্তগুলির লেখচিত্র অঙ্কন করে শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্র ও নিয়ামক রেখা চিহ্নিত কর।
\(Q.1.(iii).(b)\) \(x^2=12y\)

\(Q.1.(iv).(a)\) \(y=x^2-x\) পরাবৃত্তের লেখচিত্র অঙ্কন কর।

Read Short Question
Q.2-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(Q.2.(i)\) \((-1, 1)\) উপকেন্দ্র এবং \((2, -3)\) শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ট পরাবৃত্তের অক্ষ ও দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x+3y+1=0, 3x-4y-43=0\)
রাঃ ২০০৩

\(Q.2.(ii)\) এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার উপকেন্দ্র \((-8, -2)\) এবং দিকাক্ষের সমীকরণ \(2x-y=9\) ।
উত্তরঃ \( (x+2y)^2+116x+2y+259=0\)।
ঢাঃ ২০০০, ২০১০; কুঃ ২০০০,২০০৭; রাঃ ২০০১,২০০৪,২০০৬; সিঃ২০০১,২০০৪যঃ২০০৬।

\(Q.2.(iii).(a)\) \((1, 1)\) উপকেন্দ্র এবং \(3x+4y=1\) দিকাক্ষ বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। এর অক্ষেরও সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((4x-3y)^2-44x-42y+49=0, 4x-3y-1=0\)।
রাঃ ২০০০,২০০৫; বঃ,চঃ,কুঃ ২০০৫; ঢাঃ,বঃ ২০০১,২০০৪; রাঃ,সিঃ ২০০২; ঢাঃ ২০০৭।

\(Q.2.(iii).(b)\) \((2, 3)\) উপকেন্দ্র এবং \(3x-4y-1=0\) দিকাক্ষ বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((4x+3y)^2-94x-142y+324=0\)।
মাঃ ২০১৯।

\(Q.2.(iv)\) \((-1, 1)\) উপকেন্দ্র এবং \(x+y+1=0\) দিকাক্ষ বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। উক্ত পরাবৃত্তের অক্ষের সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((x-y)^2+2x-6y+3=0, x-y+2=0, \sqrt{2}\) একক।
কুঃ,ঢাঃ ২০০৩; ঢাঃ ২০০৫।

\(Q.2.(v)\) \(5x^2+30x+2y+59=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং পরাবৃত্তের অক্ষ ও নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (-3, -7), \ \frac{2}{5}\) একক। \(10y+71=0\) ।
\(\left(-3, \frac{71}{10}\right), \ x+3=0, \ 10y+69=0\) ।
ঢাঃ ২০০১,২০০৬,২০১০;সিঃ২০০২;চঃ ২০০৬,২০০৯

\(Q.2.(vi).(a)\) \((3, 4)\) উপকেন্দ্র এবং \((0, 0)\) শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ট পরাবৃত্তের দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x+4y+25=0\)।
বঃ ২০০৭;চঃ২০০২;সিঃ২০০৯;যঃ২০০৪

\(Q.2.(vi).(b)\) \((-2, 2)\) উপকেন্দ্র এবং \((1, -2)\) শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ট পরাবৃত্তের দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x-4y-36=0\)।
চঃ ২০১৭।

\(Q.2.(vii).(a)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র মূলবিন্দুতে অবস্থিত এবং \(x-y+1=0\) রেখাটি পরাবৃত্তকে এর শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শ করে।
উত্তরঃ \((x+y)^2-4x+4y-4=0\)।
বুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬।

carte
\(Q.2.(vii).(b)\) \(O\) কে উপকেন্দ্র এবং \(AB\) কে শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শক ধরে অংকিত পরাবৃত্তের নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-y+8=0\)
সিঃ ২০১৯।

\(Q.2.(viii)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((2, 5)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং \(x=4\) রেখাটি পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দুতে অক্ষের উপর লম্ব।
উত্তরঃ \(y^2-10y+8x-7=0\)।
যঃ ২০০৮; কুঃ ২০১২; সিঃ ২০১৩।

\(Q.2.(ix)\) \(y^2=8x\) পরাবৃত্তের উপরস্থ কোনো বিন্দুর ফোকাস দূরত্ব \(6\) ঐ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((4, \pm 4\sqrt{2})\)।
যঃ ২০০০; ঢাঃ ২০০৫।

\(Q.2.(x)\) \(y^2=4px\) পরাবৃত্তটি \((3, -2)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করলে তার উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয়।
উত্তরঃ \(\frac{4}{3}, \left(\frac{1}{3}, 0\right), 3x+1=0\)।
রাঃ ২০০৬; বঃ ২০০৫; সিঃ ২০০১,২০০৭;যঃ২০০২;কুঃ২০০৩;দিঃ২০০৯।

\(Q.2.(xi)\) \(y=2x+2\) রেখাটি \(y^{2}=4ax\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করে, তবে উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(16\)।

\(Q.2.(xii)\) এমন একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার শীর্ষবিন্দু \((2, 3)\) এবং দিকাক্ষ \(y=6\)। এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^2-4x+12y-32=0, 12 \)।
বঃ ২০০৩।

\(Q.2.(xiii)\) একটি পরাবৃত্তের দিকাক্ষ \(2x+y=0\) এবং শীর্ষবিন্দু \((3, -1)\) পরাবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((x-2y)^2-70x+40y+325=0\)।

\(Q.2.(xiv)\) একটি পরাবৃত্তের দিকাক্ষের সমীকরণ \(x-c=0\) এবং উপকেন্দ্র \((a, 0)\) বিন্দুতে অবস্থিত । পরাবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( y^2=(a-c)(2x-a-c)\)।
যঃ ২০০৬।

\(Q.2.(xv)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((-6, -3)\) এবং শীর্ষবিন্দু \((-2, 1)\) ।
উত্তরঃ \( (x-y)^2+38x+26y+41=0\)।
চঃ ২০০০

\(Q.2.(xvi)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার শীর্ষ \((4, -3)\) বিন্দুতে অবস্থিত, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(4\) এবং অক্ষটি \(x\)-অক্ষের সমান্তরাল।
উত্তরঃ \( (y+3)^2=4(x-4)\)।
সিঃ ২০৩; ২০০৪।

\(Q.2.(xvii)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার শীর্ষবিন্দু \((0, 2)\) অক্ষরেখা \(Y\)-অক্ষের সমান্তরাল এবং যা \((2, 5)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
উত্তরঃ \(3x^2=4(y-2) \)।

\(Q.2.(xviii).(a)\) \(y^2=4x\) পরাবৃত্তের \((1, 2)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-y+1=0\)।

\(Q.2.(xviii).(b)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের একটি স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(x+2y-1=0\) রেখার উপর লম্ব।
উত্তরঃ \(4x-2y+3=0\)।

\(Q.2.(xviii).(c)\) \(x^2=8y\) পরাবৃত্তের একটি স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(x+y+1=0\) রেখার উপর লম্ব।
উত্তরঃ \(x-y-2=0\)।

\(Q.2.(xviii).(d)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের \((3, 6)\) বিন্দুতে স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x-2y+3=0\)।

\(Q.2.(xviii).(e)\) \(y=3x+1\) রেখাটি \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করে। পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(12\) একক।

\(Q.2.(xviii).(f)\) \(y=4x+2\) রেখাটি \(y^2=12x\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করলে স্পর্শ বিন্দুর স্থানাংক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ স্পর্শ করে না।
বুটেক্সঃ ২০১৮-২০১৯।

\(Q.2.(xix)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু ও উপকেন্দ্রিক লম্বের ধনাত্মক দিকের প্রান্তবিন্দুর সংযোজক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( y=2x \)।
ঢাঃ ২০০৪।

\(Q.2.(xx)\) \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় ও শীর্ষবিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y\pm2x=0\)

\(Q.2.(xxi)\) \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তটির শীর্ষ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((0, 0); 4a\) একক।
চঃ ২০০৪।

\(Q.2.(xxii)\) \(x^2=4(1-y)\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু , উপকেন্দ্র এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((0, 1); (0, 0) y-2=0\)
সিঃ, চঃ ২০০১১;বঃ ২০০৯;রাঃ ২০০৮,২০০৪

\(Q.2.(xxiii).(a)\) \(y^{2}=8x+5\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু ও উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\left(-\frac{5}{8}, 0\right); 8\)
চঃ ২০০৪।

\(Q.2.(xxiii).(b)\) \(y^{2}=8y+5x\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু ও উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\left(-\frac{16}{5}, 4\right); 5\) একক।
প্র.ভ.পঃ ১৯৮৬।

\(Q.2.(xxiv).(a)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের যে বিন্দুতে কটি ভুজের দ্বিগুণ তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((3, 6)\)।

\(Q.2.(xxiv).(b)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের উপর \(P\) একটি বিন্দু। \(x\) অক্ষ হতে \(P\) বিন্দুর দূরত্ব \(y\) অক্ষ হতে এর দূরত্বের দ্বিগুণ হলে, \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(P(3, \pm6)\)।

\(Q.2.(xxv)\) একটি পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র মূলবিন্দু এবং \(2x+y-1=0\) রেখাকে নিয়ামক রেখা ধরে পরাবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। পরাবৃত্তের অক্ষের সমীকরণও নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((x-2y)^2+4x+2y-1=0, x-2y=0\)

\(Q.2.(xxvi)\) \((2, 0)\) উপকেন্দ্র এবং \(x+2=0\) দিকাক্ষ বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y^2=8x\)।
কুঃ২০০৮ ;মাঃ ২০০৫।

\(Q.2.(xxvii)\) \((0, -4)\) উপকেন্দ্র এবং \(y-4=0\) দিকাক্ষ বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^2=-16y\)।
কুঃ২০০৮ ;মাঃ ২০০৫।

\(Q.2.(xxviii)\) \((3, 4)\) উপকেন্দ্র এবং \((0, 0)\) শীর্ষবিন্দু বিশিষ্ট পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \( 3x+4y+25=0\)।
ঢাঃ ২০১১,২০০৮;দিঃ ২০১১;রাঃ,সিঃ ২০০৯কুঃ,চঃ ২০০৮;বঃ২০০৭,২০০৪

Read Board Question2
Q.3-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(Q.3.(i).(a)\) \(y^2=2(x+3)\) পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-3, 0), \left(-\frac{5}{2}, 0\right), 2x+7=0 \)।
বঃ ২০০৩

\(Q.3.(i).(b)\) \(y^2=2(x-2)\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((2, 0), \ 2\) একক।
রাঃ ২০০২

\(Q.3.(ii)\) \(x^2=2(1-y)\) পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((0, 1), (0, 0), y=2 \)।
বঃ ২০০৯;রাঃ ২০০৮

\(Q.3.(iii)\) \(x^2-2y-8x+6=0 \) পরাবৃত্তের শীর্ষ, ফোকাস এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((4, -5), \left(4, -\frac{9}{2}\right), 2 \)।

\(Q.3.(iv).(a)\) \(3x^2-4y+6x-5=0 \) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, অক্ষ এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-1, -2), \ \left(-1, -\frac{5}{3}\right), \ x+1=0, \ 3y+7=0, \ \frac{4}{3}\) একক।
যঃ ২০০১;সিঃ২০০৬

\(Q.3.(iv).(b)\) \(y^2+6y-4x=0 \) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4\) একক।
যঃ ২০০১;সিঃ২০০৬

\(Q.3.(iv).(c)\) \(x^2+6x+3y=0 \) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্র এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-3, 3), \ \left(-3, \frac{9}{4}\right), \ 3\) একক।
যঃ ২০০১;সিঃ২০০৬

\(Q.3.(v)\) পরাবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( y^2=4ax\)।
সিঃ ২০০৩

\(Q.3.(vi)\) \(x^{2}-8x+2y+7=0\) পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্র ও শীর্ষবিন্দু নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((4, 4), \left(4, \frac{9}{2}\right)\)।
বঃ ২০০১,২০০৬;ঢাঃ ২০০৩

\(Q.3.(vii)\) \((y-1)^2=4(x-2) \) পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((2, 1), (3, 1), 4 \)।
ঢাঃ ২০০২

\(Q.3.(viii)\) একটি পরাবৃত্তের নিয়ামকের সমীকরণ \(4x+3y-5=0\) এবং শীর্ষবিন্দু \((3, 1)\) হলে, পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (3x-4y)^2-190x-80y+625=0 \)।
রাঃ ২০০২

\(Q.3.(ix)\) \(5x^2+15x-10y-4=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষ, অক্ষরেখা ও দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\left(-\frac{3}{2}, -\frac{13}{8}\right) 2x+3=0, 8y+17=0\)।
কুঃ ২০০২,২০০৪,২০০৮;সিঃ ২০০৫,২০০৯ ; রাঃ ২০০৭;ঢাঃ২০০৮

\(Q.3.(x)\) এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((0, a)\) এবং নিয়ামক রেখা \(y+2=0\) ।
উত্তরঃ \(x^2=4ay \)।
বঃ ২০১২

\(Q.3.(xi)\) এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দু \((2, 3)\) এবং নিয়ামক রেখা \(y=6\)। এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্যও নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^2-4x+12y-32=0, 12 \)।
যঃ ২০১২;রাঃ ২০০৯

\(Q.3.(xii)\) এরুপ একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((2, 5)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং \(x=4\) রেখাটি এর শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শ করে।
উত্তরঃ \( y^2-10y+8x-7=0\)।
কুঃ ২০১২

\(Q.3.(xiii)\) একটি পরাবৃত্তের নিয়ামকের সমীকরণ \(x-c=0\) এবং তার শীর্ষ \((c^{\prime}, 0)\) বিন্দুতে অবস্থিত। দেখাও যে পরাবৃত্তের সমীকরণ \(y^2=4(c^{\prime}-c)(x-c^{\prime})\)।

\(Q.3.(xiv)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার অক্ষরেখা \(x\) অক্ষের সমান্তরাল এবং শীর্ষবিন্দু \(y\) অক্ষের উপর অবস্থিত এবং যা \((0, 2)\), \(\left(\frac{1}{2}, 0\right)\) বিন্দু দুইটি দিয়ে অতিক্রম করে।
উত্তরঃ \(y^2-8x-4y+4=0 \)।

\(Q.3.(xv)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দু \((0, 2)\) অক্ষরেখা \(y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং যা \((2, 5)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
উত্তরঃ \(3x^2=4(y-2) \)।

\(Q.3.(xvi)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষ \((4, -3)\) বিন্দুতে অবস্থিত উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(4\) এবং অক্ষটি \(x\) অক্ষের সমান্তরাল।
উত্তরঃ \((y+3)^2=4(x-4)\)।

\(Q.3.(xvii).(a)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((-1, 3)\) এবং শীর্ষ \((4, 3)\) বিন্দুতে অবস্থিত।
উত্তরঃ \((y-3)^2=-20(x-4)\)।
কুঃ ২০১১;সিঃ২০০৬;মাঃ২০০৮।

\(Q.3.(xvii).(b)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \(S(7, 3)\), শীর্ষ \(A(-1, 3)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং উৎকেন্দ্রিকতা\(=1\)।
উত্তরঃ \((y-3)^2=32(x+1)\)।
কুঃ ২০১৭।

\(Q.3.(xvii).(c)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \(S(0, 2)\), শীর্ষ \(A(3, 2)\) বিন্দুতে অবস্থিত।
উত্তরঃ \((y-2)^2=-12(x-3)\)।
সিঃ ২০১৭।

\(Q.3.(xvii).(d)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \(S(3, 2)\), শীর্ষ \(A(-1, 2)\) বিন্দুতে অবস্থিত।
উত্তরঃ \(y^2-16x-4y-12=0\)।
যঃ ২০১৯।

\(Q.3.(xvii).(e)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \(S(-2, 3)\), শীর্ষ \(A(5, 3)\) বিন্দুতে অবস্থিত।
উত্তরঃ \(y^2+28x-6y-131=0\)।
রাঃ ২০১৯।

\(Q.3.(xvii).(f)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দু \(A(2, 0)\) এবং নিয়ামকের পাদবিন্দু \(Z(-1, 0)\)।
উত্তরঃ \(y^2-12x+24=0\)।
কুঃ ২০১৯।

\(Q.3.(xvii).(g)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \(S(5, 2)\), শীর্ষ \(A(3, 4)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং \(e=1\)।
উত্তরঃ \((x+y)^2-30x+2y+33=0\)।
বঃ ২০১৭।

\(Q.3.(xvii).(h)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \(S(-6, -6)\), শীর্ষ \(A(-2, 2)\) বিন্দুতে অবস্থিত।
উত্তরঃ \((2x-y)^2+104x+148y-124=0\)।
ঢাঃ ২০১৯।

\(Q.3.(xvii).(i)\) \((-1, 2)\) কে শীর্ষবিন্দু এবং \(S(5, 8)\) কে উপকেন্দ্র ধরে অংকিত পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((x-y)^2-42x-54y+57=0\)।
যঃ ২০১৭।

\(Q.3.(xviii)\) \(y^2=8x+5\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\left(-\frac{5}{8}, 0\right), 8 \)।
কুঃ ২০০৪।

\(Q.3.(xix)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের উপর \(P\) একটি বিন্দু । \(X\) অক্ষ হতে \(P\) বিন্দুর দূরত্ব \(Y\) অক্ষ হতে তার দূরত্বের দ্বিগুণ হলে \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((3, 6)\) বা \( (3, -6)\)।

\(Q.3.(xx)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল, শীর্ষবিন্দু \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত এবং যা \((0, 2)\), \((1, 0)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
উত্তরঃ \((y-2)^2=4x\)
প্র.ভ.পঃ ১৯৮৬।

\(Q.3.(xxi)\) \(y^2=32x\) পরাবৃত্তের উপরিস্থিত যে বিন্দুর উপকেদ্রিক দূরত্ব \(10\) তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((2, \pm8)\)
কুঃ ২০১৭

\(Q.3.(xxii)\) একটি পরাবৃত্তের অক্ষরেখা ও নিয়ামক রেখার সমীকরণ যথাক্রমে \(x-3y+2=0\) ও \(3x+y-14=0\) পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্র হতে নিয়ামক রেখার দূরত্ব \(\sqrt{10}\) একক হলে এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((x-3y)^2-56x-32y+384=0,\)\((x-3y)^2+64x+8y-176=0\)

\(Q.3.(xxiii)\) একটি পরাবৃত্তের অক্ষ রেখার সমীকরণ \(x-3y+2=0\) পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্র \((1, 1)\) ও শীর্ষবিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব \(\frac{\sqrt{10}}{2}\) একক হলে এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((x-3y)^2-56x-32y-16=0,\) \((x-3y)^2+64x+8y-176=0\)

Read Board Question3
Q.4-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(Q.4.(i)\) \(y^2=9x\) পরাবৃত্তের উপরিস্থিত \(P\) বিন্দুর কটি \(12\) হলে, ঐ বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(18\frac{1}{4}\) একক।
সিঃ,বঃ ২০০২।

\(Q.4.(ii)\) \(y^2=4(x-2)\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু এবং উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((2, 0) , (3, 0)\)।
রাঃ ২০০২।

\(Q.4.(iii)\) \(3y^2-10x-12y-18=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র, অক্ষরেখা ও দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-3, 2), \left(-\frac{13}{6}, 2\right), y-2=0, 6x+23=0\)
চঃ ২০০৩।

\(Q.4.(iv)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত এবং যা \((3, 2)\) ও \((-2, -1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
উত্তরঃ \(5y^2=3x+11\)।

\(Q.4.(v)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত এবং যা \((-2, 1)\) , \((1, 2)\) এবং \((-1, 3)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
উত্তরঃ \(5y^2-21y+2x+20=0\)।

\(Q.4.(vi)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত এবং যা \((4, 5)\) , \((-2, 11)\) এবং \((-4, 21)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
উত্তরঃ \(x^2-4x-2y+10=0\)।

\(Q.4.(vii)\) এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((3, 5)\) ও \((3, -3)\) ।
উত্তরঃ \(y^2-2y-8x+9=0, y^2-2y+8x-39=0\)।

\(Q.4.(viii).(a)\) এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((-2, 2)\) ও \((-2, -4)\) ।
উত্তরঃ \(y^2-6x+2y-20=0, y^2+6x+2y+4=0\)।

\(Q.4.(viii).(b)\) এরূপ পরাবৃত্তের নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((0, 15)\) ও \((12, -1)\)।
উত্তরঃ \(4x+3y-95=0, \ 4x+3y+5=0\)।

\(Q.4.(ix)\) এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষ \((4, 3)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(y=7\), এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((x-4)^2=-16(y-3), 16\)।
কুঃ ২০০৯,২০০৫,২০০৩।

\(Q.4.(x)\) একটি পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র এবং শীর্ষবিন্দু যথাক্রমে \((0, 0)\) ও \((-2, -1)\) বিন্দুতে অবস্থান করে। পরাবৃত্তটির সমীকরণও নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x+y+10=0, (x-2y)^2-40x-20y-100=0 \)।
সিঃ ২০১১,চঃ ২০১০;যঃ ২০০৮।

\(Q.4.(xi)\) যে, পরাবৃত্তের শীর্ষ \((2, 3)\) বিন্দুতে এবং নাভিলম্বের সমীকরণ \(x=4\) তার সমীকরণ নির্ণয় কর। নাভিলম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((y-3)^2=8(x-2), (4, 7), (4, -1)\)
বঃ ২০০৩।

\(Q.4.(xii).(a)\) \((2, 5)\) বিন্দুগামী পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষ \((0, 2)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল।
উত্তরঃ \(3x^2=4(y-2)\)।
সিঃ ২০১২,২০০৫; চঃ ২০০২।

\(Q.4.(xii).(b)\) \((4, 5)\) বিন্দুগামী পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষ \((2, 3)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল।
উত্তরঃ \(x^2-4x-2y+10=0\)।

\(Q.4.(xiii)\) \((y-2)^2=5(x-1)\) পরাবৃত্তের উপরিস্থিত কোনো বিন্দুর ফোকাস দূরত্ব \(\frac{25}{4} \) উক্ত বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((6, 7), (6, -3)\)।
কুঃ ২০১৪।

\(Q.4.(xiv)\) \(y^2=16x\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(32 \) বর্গ একক।

\(Q.4.(xv)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের ঋনাত্মক প্রান্তবিন্দু এবং নিয়ামক ও অক্ষের ছেদবিন্দুর সংযোজক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+y+3=0 \)।

\(Q.4.(xvi)\) যে পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় \((-2, 2)\) ও \((-2, -4)\) তার সমীকরণ নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \(y^2+2y+6x+4=0, y^2+2y-6x-20=0 \)।

\(Q.4.(xvii)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং শীর্ষবিন্দু \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত এবং যা \((4, 0)\) ও \(\left(0, \frac{1}{2}\right)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
উত্তরঃ \(x^2-8x-32y+16=0\)।

\(Q.4.(xviii)\) \(x^2=-6ay\) পরাবৃত্তটি \((9, 4)\) বিন্দুগামী হলে, এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{81}{4}, \left(0, \frac{81}{16}\right)\)।

\(Q.4.(xix)\) \(x+2y-2=0\) সরলরেখাটি যে পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দুতে তার অক্ষের উপর লম্ব এবং যার উপকেন্দ্র \((-6, -6)\) তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (2x-y)^2+104x+148y-124=0\)।

\(Q.4.(xx)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষ \((2, -3)\) অক্ষরেখা \((a) \ X\) অক্ষের সমান্তরাল \((b) \ Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(12\) একক।
উত্তরঃ \((a) (y+3)^2=12(x-2); (b) (x-2)^2=12(y+3)\)।

\(Q.4.(xxi)\)একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষ \((4, -3)\) অক্ষরেখা \((a) \ X\) অক্ষের সমান্তরাল \((b) \ Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(4\) একক।
উত্তরঃ \((a) (y+3)^2=4(x-4); (b) (x-2)^2=4(y+4)\)।

\(Q.4.(xxii)\) \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তটি \(2x^2+2y^2-4x+12y-1=0\) বৃত্তের কেন্দ্রগামী হলে, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\left(\frac{9}{4}, 0\right); 9\)।

\(Q.4.(xxiii)\) দেখাও যে, \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তস্থ \((x_1, y_1)\) এবং \((x_2, y_2)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক জ্যা-এর সমীকরণ \((y-y_1)(y-y_2)=y^2-4ax \)।

\(Q.4.(xxiv)\) \(y^2=24x\) পরাবৃত্তের একটি জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর যার মধ্যবিন্দুর স্থানাংক \((2, 3)\)।
উত্তরঃ \(4x-y-5=0\)।

\(Q.4.(xxv)\) \(y^2=4x\) পরাবৃত্তের একটি জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((2, 0)\) বিন্দুতে \(1:2\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়।
উত্তরঃ \(2x-y-4=y, \ 2x+y-4=0\)।

\(Q.4.(xxvi)\) একটি সরলরেখা \(x^2+y^2=2a^2\) বৃত্ত ও \(y^2=8ax\) পরাবৃত্ত উভয়কে স্পর্শ করে। দেখাও যে রেখাটির সমীকরণ \(y=\pm(x+2a)\)

\(Q.4.(xxvii)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(y^2=8ax\) পরাবৃত্ত ও \((x+1)^2+y^2=1\) বৃত্ত উভয়কে স্পর্শ করে।
উত্তরঃ \(\sqrt{3}y=\pm(x+3)\)।

\(Q.4.(xxviii)\) \(y^2=4x\) ও \(x^2=4y\) পরাবৃত্তদ্বয়ের সাধারণ স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+y+1=0\)।

\(Q.4.(xxix)\) \((8, 2)\) বিন্দু হতে \(x^2=4y\) পরাবৃত্তে অবস্থিত নিকটতম বিন্দুর স্থানাংক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((4, 4)\)।

\(Q.4.(xxx)\) \((18, 0)\) বিন্দু হতে \(y=x^2\) পরাবৃত্তে অবস্থিত নিকটতম বিন্দুর স্থানাংক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((2, 4)\)।
বুটেক্সঃ ২০১৮-২০১৯

\(Q.4.(xxxi)\) একটি পরাবৃত্তাকার খিলানের উচ্চতা \(18\) ফুট ও তার প্রান্তদ্বয়ের আনুভূমিক দূরত্ব \(24\) ফুট। প্রান্তদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশের মধ্যবিন্দু হতে \(8\) ফুট দূরে খিলানের উচ্চতা কত?
উত্তরঃ \(10\) ফুট।

Read Board Question4
Q.5-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমূহ
Read Creative Question
ভর্তি পরীক্ষায় আসা প্রশ্নসমূহ
Read Admission Question

Post List

Mathematics
Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
Trigonometry 11 and 12 standard
Diff. Calculus 11 and 12 standard
Int. Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard
Vector 11 and 12 standard
Vector Honours course standard
Algebra 9 and 10 standard
    Coming Soon !
Chemistry