সংযুক্ত ও যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
Trigonometric ratio of connected and composite angles
Posted on August 21, 2023, 6:52 am By admin
barcode
এ অধ্যায়ের পাঠ্যসূচী
সংযুক্ত ও যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
Trigonometric ratio of combined and composite angles
এ অধ্যায়ের মূল আলোচ্য বিষয় সংযুক্ত ও যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের গুণফল হতে যোগফল অথবা বিয়োগফলে রূপান্তর এবং যোগফল ও বিয়োগফলকে গুণফলে প্রকাশ করা।
যেমনঃ \(\sin{(A+B)}+\sin{(A-B)}=2\sin{A}\cos{B},\) \(\cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}=2\sin{A}\sin{B},\) \(\tan{(A+B)}+\tan{(A-B)}=\frac{2\sin{2A}}{\cos{2A}+\cos{2B}},\) \(\sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}},\) \(\cos{D}-\cos{C}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}, ......\) ইত্যাদি।
\(\sin{(A+B)}+\sin{(A-B)}=2\sin{A}\cos{B}\)
\(A\) ও \(B\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \((A+B)\lt90^{o}\) ও \(A\gt B\)
\(\sin{(A+B)}+\sin{(A-B)}=2\sin{A}\cos{B}\)

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
\(\sin{(A+B)}=\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B} ........(1)\)
\(\sin{(A-B)}=\sin{A}\cos{B}-\cos{A}\sin{B} ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) যোগ করে,
\(\sin{(A+B)}+\sin{(A-B)}=\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}+\sin{A}\cos{B}-\cos{A}\sin{B}\)
\(\therefore \sin{(A+B)}+\sin{(A-B)}=2\sin{A}\cos{B}\)
\(\sin{(A+B)}+\sin{(A-B)}=2\sin{A}\cos{B}\)
\(\sin{(A+B)}-\sin{(A-B)}=2\cos{A}\sin{B}\)
\(A\) ও \(B\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \((A+B)\lt90^{o}\) ও \(A\gt B\)
\(\sin{(A+B)}-\sin{(A-B)}=2\cos{A}\sin{B}\)

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
\(\sin{(A+B)}=\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B} ........(1)\)
\(\sin{(A-B)}=\sin{A}\cos{B}-\cos{A}\sin{B} ........(2)\)
\((1)\) হতে \((2)\) বিয়োগ করে,
\(\sin{(A+B)}-\sin{(A-B)}=\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}-\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}\)
\(\therefore \sin{(A+B)}-\sin{(A-B)}=2\cos{A}\sin{B}\)
\(\sin{(A+B)}-\sin{(A-B)}=2\cos{A}\sin{B}\)
\(\cos{(A-B)}+\cos{(A+B)}=2\cos{A}\cos{B}\)
\(A\) ও \(B\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \((A+B)\lt90^{o}\) ও \(A\gt B\)
\(\cos{(A-B)}+\cos{(A+B)}=2\cos{A}\cos{B}\)

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
\(\cos{(A+B)}=\cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B} ........(1)\)
\(\cos{(A-B)}=\cos{A}\cos{B}+\sin{A}\sin{B} ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) যোগ করে,
\(\cos{(A+B)}+\cos{(A-B)}=\cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}+\cos{A}\cos{B}+\sin{A}\sin{B}\)
\(\therefore \cos{(A-B)}+\cos{(A+B)}=2\cos{A}\cos{B}\)
\(\cos{(A-B)}+\cos{(A+B)}=2\cos{A}\cos{B}\)
\(\cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}=2\sin{A}\sin{B}\)
\(A\) ও \(B\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \((A+B)\lt90^{o}\) ও \(A\gt B\)
\(\cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}=2\sin{A}\sin{B}\)

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
\(\cos{(A+B)}=\cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B} ........(1)\)
\(\cos{(A-B)}=\cos{A}\cos{B}+\sin{A}\sin{B} ........(2)\)
\((2)\) হতে \((1)\) বিয়োগ করে,
\(\cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}=\cos{A}\cos{B}+\sin{A}\sin{B}-\cos{A}\cos{B}+\sin{A}\sin{B}\)
\(\therefore \cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}=2\sin{A}\sin{B}\)
\(\cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}=2\sin{A}\sin{B}\)
\(\tan{(A+B)}+\tan{(A-B)}=\frac{2\sin{2A}}{\cos{2A}+\cos{2B}}\)
\(A\) ও \(B\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \((A+B)\lt90^{o}\) ও \(A\gt B\)
\(\tan{(A+B)}+\tan{(A-B)}=\frac{2\sin{2A}}{\cos{2A}+\cos{2B}}\)

প্রমাণঃ
লেখা যায়,
\(\tan{(A+B)}+\tan{(A-B)}=\frac{\sin{(A+B)}}{\cos{(A+B)}}+\frac{\sin{(A-B)}}{\cos{(A-B)}}\)
\(=\frac{\sin{(A+B)}\cos{(A-B)}+\cos{(A+B)}\sin{(A-B)}}{\cos{(A+B)}\cos{(A-B)}}\)
\(=\frac{\sin{(A+B+A-B)}}{\cos^2{A}-\sin^2{B}}\) ➜ \(\because \sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}=\sin{(A+B)}\)
এবং \(\cos{(A+B)}\cos{(A-B)}=\cos^2{A}-\sin^2{B}\)

\(=\frac{\sin{2A}}{\cos^2{A}-\sin^2{B}}\)
\(=\frac{2\sin{2A}}{2\cos^2{A}-2\sin^2{B}}\) ➜ লব ও হরকে \(2\) দ্বারা গুণ করে।

\(=\frac{2\sin{2A}}{1+\cos{2A}-(1-\cos{2B})}\) ➜ \(\because 2\cos^2{P}=1+\cos{2P}\)
এবং \(2\sin^2{P}=1-\cos{2P}\)

\(=\frac{2\sin{2A}}{1+\cos{2A}-1+\cos{2B}}\)
\(=\frac{2\sin{2A}}{\cos{2A}+\cos{2B}}\)
\(\therefore \tan{(A+B)}+\tan{(A-B)}=\frac{2\sin{2A}}{\cos{2A}+\cos{2B}}\)

\(\tan{(A+B)}+\tan{(A-B)}=\frac{2\sin{2A}}{\cos{2A}+\cos{2B}}\)
\(\tan{(A+B)}-\tan{(A-B)}=\frac{2\sin{2B}}{\cos{2A}+\cos{2B}}\)
\(A\) ও \(B\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \((A+B)\lt90^{o}\) ও \(A\gt B\)
\(\tan{(A+B)}-\tan{(A-B)}=\frac{2\sin{2B}}{\cos{2A}+\cos{2B}}\)

প্রমাণঃ
লেখা যায়,
\(\tan{(A+B)}-\tan{(A-B)}=\frac{\sin{(A+B)}}{\cos{(A+B)}}-\frac{\sin{(A-B)}}{\cos{(A-B)}}\)
\(=\frac{\sin{(A+B)}\cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}\sin{(A-B)}}{\cos{(A+B)}\cos{(A-B)}}\)
\(=\frac{\sin{(A+B-A+B)}}{\cos^2{A}-\sin^2{B}}\) ➜ \(\because \sin{A}\cos{B}-\cos{A}\sin{B}=\sin{(A-B)}\)
এবং \(\cos{(A+B)}\cos{(A-B)}=\cos^2{A}-\sin^2{B}\)

\(=\frac{\sin{2B}}{\cos^2{A}-\sin^2{B}}\)
\(=\frac{2\sin{2B}}{2\cos^2{A}-2\sin^2{B}}\) ➜ লব ও হরকে \(2\) দ্বারা গুণ করে।

\(=\frac{2\sin{2B}}{1+\cos{2A}-(1-\cos{2B})}\) ➜ \(\because 2\cos^2{P}=1+\cos{2P}\)
এবং \(2\sin^2{P}=1-\cos{2P}\)

\(=\frac{2\sin{2B}}{1+\cos{2A}-1+\cos{2B}}\)
\(=\frac{2\sin{2B}}{\cos{2A}+\cos{2B}}\)
\(\therefore \tan{(A+B)}-\tan{(A-B)}=\frac{2\sin{2B}}{\cos{2A}+\cos{2B}}\)

\(\tan{(A+B)}-\tan{(A-B)}=\frac{2\sin{2B}}{\cos{2A}+\cos{2B}}\)
\(\cot{(A+B)}+\cot{(A-B)}=\frac{2\sin{2A}}{\cos{2B}-\cos{2A}}\)
\(A\) ও \(B\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \((A+B)\lt90^{o}\) ও \(A\gt B\)
\(\cot{(A+B)}+\cot{(A-B)}=\frac{2\sin{2A}}{\cos{2B}-\cos{2A}}\)

প্রমাণঃ
লেখা যায়,
\(\cot{(A+B)}+\cot{(A-B)}=\frac{\cos{(A+B)}}{\sin{(A+B)}}+\frac{\cos{(A-B)}}{\sin{(A-B)}}\)
\(=\frac{\sin{(A-B)}\cos{(A+B)}+\cos{(A-B)}\sin{(A+B)}}{\sin{(A+B)}\sin{(A-B)}}\)
\(=\frac{\sin{(A+B)}\cos{(A-B)}+\cos{(A+B)}\sin{(A-B)}}{\sin{(A+B)}\sin{(A-B)}}\)
\(=\frac{\sin{(A+B+A-B)}}{\sin^2{A}-\sin^2{B}}\) ➜ \(\because \sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}=\sin{(A+B)}\)
এবং \(\sin{(A+B)}\sin{(A-B)}=\sin^2{A}-\sin^2{B}\)

\(=\frac{\sin{2A}}{\sin^2{A}-\sin^2{B}}\)
\(=\frac{2\sin{2A}}{2\sin^2{A}-2\sin^2{B}}\) ➜ লব ও হরকে \(2\) দ্বারা গুণ করে।

\(=\frac{2\sin{2A}}{1-\cos{2A}-(1-\cos{2B})}\) ➜ \(\because 2\sin^2{P}=1-\cos{2P}\)

\(=\frac{2\sin{2A}}{1-\cos{2A}-1+\cos{2B}}\)
\(=\frac{2\sin{2A}}{\cos{2B}-\cos{2A}}\)
\(\therefore \cot{(A+B)}+\cot{(A-B)}=\frac{2\sin{2A}}{\cos{2B}-\cos{2A}}\)

\(\cot{(A+B)}+\cot{(A-B)}=\frac{2\sin{2A}}{\cos{2B}-\cos{2A}}\)
\(\cot{(A+B)}-\cot{(A-B)}=\frac{2\sin{2B}}{\cos{2A}-\cos{2B}}\)
\(A\) ও \(B\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \((A+B)\lt90^{o}\) ও \(A\gt B\)
\(\cot{(A+B)}-\cot{(A-B)}=\frac{2\sin{2B}}{\cos{2A}-\cos{2B}}\)

প্রমাণঃ
লেখা যায়,
\(\cot{(A+B)}-\cot{(A-B)}=\frac{\cos{(A+B)}}{\sin{(A+B)}}-\frac{\cos{(A-B)}}{\sin{(A-B)}}\)
\(=\frac{\sin{(A-B)}\cos{(A+B)}-\cos{(A-B)}\sin{(A+B)}}{\sin{(A+B)}\sin{(A-B)}}\)
\(=\frac{\sin{(A-B-A-B)}}{\sin^2{A}-\sin^2{B}}\) ➜ \(\because \sin{A}\cos{B}-\cos{A}\sin{B}=\sin{(A-B)}\)
এবং \(\sin{(A+B)}\sin{(A-B)}=\sin^2{A}-\sin^2{B}\)

\(=\frac{\sin{(-2B)}}{\sin^2{A}-\sin^2{B}}\)
\(=\frac{-\sin{(2B)}}{\sin^2{A}-\sin^2{B}}\) ➜ \(\because \sin{(-\theta)}=-\sin{\theta}\)

\(=\frac{-2\sin{2B}}{2\sin^2{A}-2\sin^2{B}}\) ➜ লব ও হরকে \(2\) দ্বারা গুণ করে।

\(=\frac{-2\sin{2B}}{1-\cos{2A}-(1-\cos{2B})}\) ➜ \(\because 2\sin^2{P}=1-\cos{2P}\)

\(=\frac{-2\sin{2B}}{1-\cos{2A}-1+\cos{2B}}\)
\(=\frac{-2\sin{2B}}{-(\cos{2A}-\cos{2B})}\)
\(=\frac{2\sin{2B}}{\cos{2A}-\cos{2B}}\)
\(\therefore \cot{(A+B)}-\cot{(A-B)}=\frac{2\sin{2B}}{\cos{2A}-\cos{2B}}\)

\(\cot{(A+B)}-\cot{(A-B)}=\frac{2\sin{2B}}{\cos{2A}-\cos{2B}}\)
\(\sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)
\(C\) ও \(D\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \(\frac{(C+D)}{2}\lt90^{o}\) ও \(C\gt D\)
\(\sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
\(\sin{(A+B)}+\sin{(A-B)}=2\sin{A}\cos{B} ......(1)\)
ধরি,
\(A+B=C ......(2)\)
\(A-B=D ......(3)\)
\((2)\) ও \((3)\) যোগ করে,
\(A+B+A-B=C+D\)
\(\Rightarrow 2A=C+D\)
\(\therefore A=\frac{C+D}{2}\)
আবার, \((2)\) হতে \((3)\) বিয়োগ করে,
\(A+B-A+B=C-D\)
\(\Rightarrow 2B=C-D\)
\(\therefore B=\frac{C-D}{2}\)
এখন, \((1)\) হতে,
\(\sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\) ➜ \(\because A+B=C\)
\(A-B=D\)
\(A=\frac{C+D}{2}\)
এবং \(B=\frac{C-D}{2}\)

\(\sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)
\(\sin{C}-\sin{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)
\(C\) ও \(D\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \(\frac{(C+D)}{2}\lt90^{o}\) ও \(C\gt D\)
\(\sin{C}-\sin{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
\(\sin{(A+B)}-\sin{(A-B)}=2\cos{A}\sin{B} ......(1)\)
ধরি,
\(A+B=C ......(2)\)
\(A-B=D ......(3)\)
\((2)\) ও \((3)\) যোগ করে,
\(A+B+A-B=C+D\)
\(\Rightarrow 2A=C+D\)
\(\therefore A=\frac{C+D}{2}\)
আবার, \((2)\) হতে \((3)\) বিয়োগ করে,
\(A+B-A+B=C-D\)
\(\Rightarrow 2B=C-D\)
\(\therefore B=\frac{C-D}{2}\)
এখন, \((1)\) হতে,
\(\sin{C}-\sin{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\) ➜ \(\because A+B=C\)
\(A-B=D\)
\(A=\frac{C+D}{2}\)
এবং \(B=\frac{C-D}{2}\)

\(\sin{C}-\sin{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)
\(\cos{D}+\cos{C}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)
\(C\) ও \(D\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \(\frac{(C+D)}{2}\lt90^{o}\) ও \(C\gt D\)
\(\cos{D}+\cos{C}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
\(\cos{(A-B)}+\cos{(A+B)}=2\cos{A}\cos{B} ......(1)\)
ধরি,
\(A+B=C ......(2)\)
\(A-B=D ......(3)\)
\((2)\) ও \((3)\) যোগ করে,
\(A+B+A-B=C+D\)
\(\Rightarrow 2A=C+D\)
\(\therefore A=\frac{C+D}{2}\)
আবার, \((2)\) হতে \((3)\) বিয়োগ করে,
\(A+B-A+B=C-D\)
\(\Rightarrow 2B=C-D\)
\(\therefore B=\frac{C-D}{2}\)
এখন, \((1)\) হতে,
\(\cos{D}+\cos{C}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\) ➜ \(\because A+B=C\)
\(A-B=D\)
\(A=\frac{C+D}{2}\)
এবং \(B=\frac{C-D}{2}\)

\(\cos{D}+\cos{C}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)
\(\cos{D}-\cos{C}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)
\(C\) ও \(D\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \(\frac{(C+D)}{2}\lt90^{o}\) ও \(C\gt D\)
\(\cos{D}-\cos{C}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
\(\cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}=2\sin{A}\sin{B} ......(1)\)
ধরি,
\(A+B=C ......(2)\)
\(A-B=D ......(3)\)
\((2)\) ও \((3)\) যোগ করে,
\(A+B+A-B=C+D\)
\(\Rightarrow 2A=C+D\)
\(\therefore A=\frac{C+D}{2}\)
আবার, \((2)\) হতে \((3)\) বিয়োগ করে,
\(A+B-A+B=C-D\)
\(\Rightarrow 2B=C-D\)
\(\therefore B=\frac{C-D}{2}\)
এখন, \((1)\) হতে,
\(\cos{D}-\cos{C}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\) ➜ \(\because A+B=C\)
\(A-B=D\)
\(A=\frac{C+D}{2}\)
এবং \(B=\frac{C-D}{2}\)

\(\cos{D}-\cos{C}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)
উদাহরণসমুহ
\(Ex.1.\) প্রমাণ কর যে, \(\tan{20^{o}}\tan{40^{o}}\tan{80^{o}}=\sqrt{3}\)
রাঃ ২০১০; কুঃ২০০৯; বঃ২০০৭,২০০৩; চঃ২০১৯,২০০৬; ঢাঃ২০১৭; বুটেক্সঃ২০১১-১২।

\(Ex.2.\) যদি \(a\cos{\alpha}+b\sin{\alpha}=a\cos{\beta}+b\sin{\beta}\) হয় তবে প্রমাণ কর যে, \(\cos^2{\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}-\sin^2{\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\)
কুঃ২০০৮; সিঃ২০০৩।

\(Ex.3.\) \(\sin{\alpha}+\sin{\beta}=a\) এবং \(\cos{\alpha}+\cos{\beta}=b\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(\cos{(\alpha+\beta)}=\frac{b^2-a^2}{b^2+a^2}\)
সিঃ২০১৬,২০১১,২০০১; কুঃ২০১৪; রাঃ২০০৮,২০০৩; কুয়েটঃ২০১১-২০১২,২০০৯-২০১০।

\(Ex.4.\) \(\sin{\alpha}+\sin{\beta}=a\) এবং \(\cos{\alpha}+\cos{\beta}=b\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(\cos^2{\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}-\sin^2{\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}=\frac{b^2-a^2}{b^2+a^2}\)
সিঃ ২০০৩।

\(Ex.5.\) \(\sin{x}+\sin{y}=a\) এবং \(\cos{x}+\cos{y}=b\) হলে, \(\cos{(x+y)}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{b^2-a^2}{b^2+a^2}\)
কুঃ ২০১৭।

\(Ex.6.\) যদি \(\sin{x}+\sin{y}=a\) এবং \(\cos{x}+\cos{y}=b\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\sin{\frac{1}{2}(x-y)}=\pm\frac{1}{2}\sqrt{4-a^2-b^2}\)
কুঃ ২০১৯; বঃ ২০১৭।

\(Ex.7.\) যদি \(\alpha+\beta=\theta\) এবং \(\cos{\alpha}=k\cos{\beta}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\tan{\frac{1}{2}(\alpha-\beta)}=\frac{1-k}{1+k}\cot{\frac{\theta}{2}}\)

\(Ex.8.\) প্রমাণ কর যে, \(\sin{10^{o}}\sin{50^{o}}\sin{70^{o}}=\frac{1}{8}\)

Read Example
Q.1-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
Q.2-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.3-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.4-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.5-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমূহ
ভর্তি পরীক্ষায় আসা প্রশ্নসমূহ

Read More

Post List

Mathematics

Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
Trigonometry 11 and 12 standard
Diff. Calculus 11 and 12 standard
Int. Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard
Vector 11 and 12 standard
Vector Honours course standard
Statics 11 and 12 standard
Dynamics 11 and 12 standard
    Coming Soon !

Chemistry

Physical chemistry 11 and 12 standard

Post List

Multiple Choise

Ctagory

Copyright © Mathgr All Right Reserved. 2024