অন্তরীকরণঃ কোনো ফাংশণের স্বাধীন চলকের সাপেক্ষে অধীন চলকের পরিবর্তনের হারকে ঐ ফাংশণের অন্তরজ বলা হয়। আর অন্তরজ নির্ণয়ের পদ্ধতিকে বলা হয় অন্তরীকরণ।

অন্তরীকরণের প্রতীকঃ \(x\)-এর সাপেক্ষে \(f(x)\)-এর অন্তরজকে \(y^{\prime}, \frac{dy}{dx}, f^{\prime}(x)\) প্রভৃতি প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়ে থাকে।

মনে করি \(y=f(x)\) বক্ররেখাটির উপর \(P(x, y)\) একটি নির্দিষ্ট বিন্দু। বক্ররেখাটির উপর আর একটি বিন্দু \(Q\) যার স্থানাঙ্ক \((x+\delta x, y+\delta y)\) । তাহলে, \(y=f(x)\) হলে \(y+\delta y=f(x+\delta x)\) হবে।
\(\therefore \delta y=f(x+\delta x)-\delta x \)
প্রদত্ত চিত্র থেকে এটি স্পষ্ট যে, \(PQ\) ছেদকের ঢাল,
\(\frac{\delta y}{\delta x}=\frac{f(x+\delta x)-f(x) }{\delta x} .....(1)\)
\(x\) কে স্থির রেখে যখন \(\delta x\rightarrow 0\) হয়, তখন \(Q\) বিন্দু ক্রমশ \(P\)-এর দিকে অগ্রসর হয়ে \(P\)-এর সাথে প্রায় মিলে যায়। এ অবস্থায়, \(QP\) ছেদকটি \(P\) বিন্দুতে স্পর্শকে পরিনত হয়।
সুতরাং, \[\lim_{\delta x \rightarrow 0}\frac{\delta y}{\delta x}=\lim_{\delta x \rightarrow 0}\frac{f(x+\delta x)-f(x)}{\delta x} ....(2)\]
\[\lim_{\delta x \rightarrow 0}\frac{\delta y}{\delta x}\] হচ্ছে প্রকৃতপক্ষে \(P(x, y)\) বিন্দুতে \(y=f(x)\) বক্ররেখার স্পর্শকের ঢাল।
\((2)\) নং এ উল্লেখিত ডানদিকের রাশিটিকে ফাংশন \(f\)-এর অন্তরজ বলা হয়। এবং \(\frac{dy}{dx}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
\[\therefore \frac{dy}{dx}=\lim_{\delta x \rightarrow 0}\frac{f(x+\delta x)-f(x)}{\delta x} ....(3)\]
\[\delta x=h\] লিখে \[(3)\] থেকে পাই,
\[\frac{dy}{dx}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
সংজ্ঞাঃ যদি \[y=f(x), x\]-এর একটি ফাংশন হয়, তবে
\[\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\] কে \[x\]-এর সাপেক্ষে \[f(x)\]-এর অন্তরজ বলে। যা \[\frac{d}{dx}\{f(x)\}\] দ্বারা সূচিত করা হয়।
অর্থাৎ, \[\frac{d}{dx}\{f(x)\}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
\[\therefore \] অন্তরজ একটি বিশেষ ধরনের লিমিট।
অন্তরজ নির্ণয়ের এই পদ্ধতি মূল নিয়ম নামে পরিচিত।
বিশেষভাবে লক্ষণিয়ঃ \(x\)-এর সাপেক্ষে \(f(x)\)-এর অন্তরজকে \(y^{\prime}, \frac{dy}{dx}, f^{\prime}(x)\) প্রভৃতি প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়ে থাকে।

মূল নিয়মে অন্তরীকরণঃ যদি \[y=f(x), x\]-এর একটি ফাংশন হয়, তবে
\[\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\] কে \[x\]-এর সাপেক্ষে \[f(x)\]-এর অন্তরজ বলে। যা \[\frac{d}{dx}\{f(x)\}\] দ্বারা সূচিত করা হয়।
অর্থাৎ, \[\frac{d}{dx}\{f(x)\}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
\[\therefore \] অন্তরজ একটি বিশেষ ধরনের লিমিট। অন্তরজ নির্ণয়ের এই পদ্ধতি মূল নিয়ম নামে পরিচিত।

ধরি,
\(y=\log_{x}a\)
\(\Rightarrow y=\frac{\ln{a}}{\ln{x}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln{a}}{\ln{x}}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\ln{a}\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\ln{x}}\right)\)
\(=\ln{a}\left(-\frac{1}{(\ln{x})^2}\right)\frac{d}{dx}(\ln{x})\) ➜ Note \(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}\)
\(=-\frac{\ln{a}}{(\ln{x})^2}\times{\frac{1}{x}}\) ➜ Note \(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}\)
\(=-\frac{\ln{a}}{x(\ln{x})^2}\)
বিঃদ্রঃ যদি লগারিদমের ভিত্তি \(x\) এর ফাংশণ বা \(x\) হয় তবে সেক্ষেত্রে নেপিয়ার লগারিদমে ( ভিত্তি \(e\) ) পরিণত করে অন্তরজ নির্ণয় করতে হয়।

\(\frac{d}{dx}(u\pm v\pm w\pm ...)=\frac{d}{dx}(u)\pm \frac{d}{dx}(v)\pm \frac{d}{dx}(w)\pm ...\)