এ অধ্যায়ের পাঠ্যসূচী
- স্বাধীন ও অধীন চলকের অন্তরীকরণ (Differentiation of dependent and independent variable)
- লগারিদমের সাহায্যে অন্তরীকরণ (Logarithmic differentiation)
- \(\frac{d}{dx}\left(\frac{uv}{w}\right)=\frac{uv}{w}\left(\frac{1}{u}\frac{du}{dx}+\frac{1}{v}\frac{dv}{dx}-\frac{1}{w}\frac{dw}{dx}\right)\)
- \(\frac{d}{dx}\left(u^{v}\right)=u^{v}\left(\frac{v}{u}\frac{du}{dx}+\ln{u}\frac{dv}{dx}\right)\)
- \(c\) এবং ফাংশন \(f\) এর মধ্যে সূচকের রূপ (Form of exponent between \(c\) and function \(f\))
- \(log_{x^{a}}\) এর অন্তরীকরণ (Differentiation of \(log_{x^{a}}\))
- অধ্যায় \(ix.E\)-এর উদাহরণসমুহ
- অধ্যায় \(ix.E\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(ix.E\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(ix.E\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(ix.E\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
স্বাধীন ও অধীন চলকের অন্তরীকরণ
Differentiation of dependent and independent variable
কোনো ফাংশনের পরিবর্তনের হার নির্ণয়ের পদ্ধতিই হলো ঐ ফাংশনের অন্তরীকরণ। \(f(x)\) ফাংশনের স্বাধীন চলক \(x\) এর অন্তরক হচ্ছে \(dx=x\) এর ক্ষুদ্র বৃদ্ধি (increment of x) \(\delta{x}\). অধীন চলক \(y\) এর অন্তরক হচ্ছে \(dy=f^{\prime}(x)dx\) অর্থাৎ অধীন চলকের অন্তরক = স্বাধীন চলক বিশিষ্ট ফাংশণের অন্তরজ \(\times\) স্বাধীন চলকের অন্তরক ।
লগারিদমের সাহায্যে অন্তরীকরণ
Logarithmic differentiation
কোনো ফাংশনের সূচক অন্য আরেকটি ফাংশন হলে অথবা কোনো ফাংশন কয়েকটি ফাংশনের গুনফল ও ভাগফল দ্বারা গঠিত হলে, প্রথমে ফাংশনটিতে \(\ln\) সংযোজন করে অন্তরজ নির্ণয় সহজতর হয়।
\(y=\frac{uv}{w}\) এর অন্তরজ
Differentiation of \(y=\frac{uv}{w}\)
যখন, \(u, \ v\) ও \(w\) প্রত্যেকে \(x\) এর ফাংশন এবং \(y=\frac{uv}{w}\) এই ক্ষেত্রে।
\(\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(\frac{uv}{w}\right)=\frac{uv}{w}\left(\frac{1}{u}\frac{du}{dx}+\frac{1}{v}\frac{dv}{dx}-\frac{1}{w}\frac{dw}{dx}\right)\) \(y=u^{v}\) এর অন্তরজ
Differentiation of \(y=u^{v}\)
যখন, \(u\) ও \(v\) প্রত্যেকে \(x\) এর ফাংশন এবং \(y=u^{v}\) এই ক্ষেত্রে।
\(\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(u^{v}\right)=u^{v}\left(\frac{v}{u}\frac{du}{dx}+\ln{u}\frac{dv}{dx}\right)\) \(c\) এবং ফাংশন \(f\) এর মধ্যে সূচকের রূপ
Form of exponent between \(c\) and function \(f\)
ধ্রুবক বা স্থির রাশি \(c\) এবং ফাংশন \(f\) এই দুইটির মধ্যে সূচকের চারটি রূপ দেখা যায়। যেমনঃ
\((a)\) ফাংশনের সূচক ধ্রুবক \(f^{c}\)
\((b)\) ধ্রুবকের সূচক ফাংশন \(c^{f}\)
\((c)\) ধ্রুবকের সূচক ধ্রুবক \(c^{c}\)
\((d)\) ফাংশনের সূচক ফাংশন \(f^{f}\)
\((b)\) ধ্রুবকের সূচক ফাংশন \(c^{f}\)
\((c)\) ধ্রুবকের সূচক ধ্রুবক \(c^{c}\)
\((d)\) ফাংশনের সূচক ফাংশন \(f^{f}\)
উদাহরণসহ ব্যাখ্যাঃ
\((a)\) ফাংশনের সূচক ধ্রুবক \(f^{c}\): এই ক্ষেত্রে \(\frac{d}{dx}x^{n}\) এর সূত্র ব্যবহার করা হয়।যেমনঃ \(\frac{d}{dx}(\sin^{2}{x})\)
\(=2\sin{x}.\frac{d}{dx}\sin{x}\) ➜ প্রথমে \(\frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}\) সূত্র প্রয়োগ করা হয়েছে।
\(=2\sin{x}\cos{x}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}\sin{x}=\cos{x}\)
\(=\sin{2x}\) ➜ \(\because 2\sin{A}\cos{A}=\sin{2A}\)
\((b)\) ধ্রুবকের সূচক ফাংশন \(c^{f}\): এই ক্ষেত্রে \(\frac{d}{dx}a^{x}\) এর সূত্র ব্যবহার করা হয়।
যেমনঃ \(\frac{d}{dx}(5^{\sin{x}})\)
\(=5^{\sin{x}}\ln{5}.\frac{d}{dx}\sin{x}\) ➜ প্রথমে \(\frac{d}{dx}a^{x}=a^{x}\ln{a}\) সূত্র প্রয়োগ করা হয়েছে।
\(=5^{\sin{x}}\ln{5}\cos{x}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}\sin{x}=\cos{x}\)
\((c)\) ধ্রুবকের সূচক ধ্রুবক \(c^{c}\): এই ক্ষেত্রে \(\frac{d}{dx}(c)=0\), (c=ধ্রুবক) এর সূত্র ব্যবহার করা হয়।
যেমনঃ \(\frac{d}{dx}(a^{c})\)
\(=0\) ➜ \(\frac{d}{dx}(c)=0\) সূত্র প্রয়োগ করা হয়েছে।
\((d)\) ফাংশনের সূচক ফাংশন \(f^{f}\): এই ক্ষেত্রে ফাংশনের সূচক একটি ফাংশন তাই এটিকে সরাসরি অন্তরীকরণ করা কষ্টসাধ্য। প্রথমে ফাংশনটিতে \(\ln\) সংযোজন করে সূচক অপসারণ করা হয় অথবা \(z=e^{\ln{z}}\) সূত্র প্রয়োগ করা হয়, অতপর ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করা হয়।
যেমনঃ \(\frac{d}{dx}(x^{\sin{x}})\)
\(=\frac{d}{dx}(e^{\ln{x^{\sin{x}}}})\) ➜ \(z=e^{\ln{z}}\) সূত্র প্রয়োগ করা হয়েছে।
\(=\frac{d}{dx}(e^{\sin{x}\ln{x}})\) ➜ \(\because \ln{x^n}=n\ln{x}\)
\(=e^{\sin{x}\ln{x}}.\frac{d}{dx}(\sin{x}\ln{x})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(e^{x})=e^{x}\)
\(=e^{\ln{x^{\sin{x}}}}\{\sin{x}\frac{d}{dx}(\ln{x})+\ln{x}\frac{d}{dx}(\sin{x})\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=x^{\sin{x}}\left(\sin{x}\frac{1}{x}+\ln{x}\cos{x}\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}, \ \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\)
\(=x^{\sin{x}}\left(\frac{1}{x}\sin{x}+\ln{x}\cos{x}\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}, \ \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\)
\(log_{x^{a}}\) এর অন্তরীকরণ
Differentiation of \(log_{x^{a}}\)
\(x\) এর সাপেক্ষে \(log_{x^{a}}\) এর অন্তরীকরণ।
ধরি,\(y=log_{x^{a}}\)
\(\Rightarrow y=\frac{\ln{a}}{\ln{x}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln{a}}{\ln{x}}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\ln{a}\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\ln{x}}\right)\)
\(=\ln{a}\left(-\frac{1}{(\ln{x})^2}\right)\frac{d}{dx}(\ln{x})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}\)
\(=-\frac{\ln{a}}{(\ln{x})^2}\times{\frac{1}{x}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}\)
\(=-\frac{\ln{a}}{x(\ln{x})^2}\)
বিঃদ্রঃ যদি লগারিদমের ভিত্তি \(x\) এর ফাংশণ বা \(x\) হয় তবে সেক্ষেত্রে নেপিয়ার লগারিদমে ( ভিত্তি \(e\) ) পরিণত করে অন্তরজ নির্ণয় করতে হয়।
Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000008