লগারিদমের সাহায্যে অন্তরীকরণ
Differentiation using logarithms
barcode
এ অধ্যায়ের পাঠ্যসূচী
স্বাধীন ও অধীন চলকের অন্তরীকরণ
Differentiation of dependent and independent variable
কোনো ফাংশনের পরিবর্তনের হার নির্ণয়ের পদ্ধতিই হলো ঐ ফাংশনের অন্তরীকরণ। \(f(x)\) ফাংশনের স্বাধীন চলক \(x\) এর অন্তরক হচ্ছে \(dx=x\) এর ক্ষুদ্র বৃদ্ধি (increment of x) \(\delta{x}\). অধীন চলক \(y\) এর অন্তরক হচ্ছে \(dy=f^{\prime}(x)dx\) অর্থাৎ অধীন চলকের অন্তরক = স্বাধীন চলক বিশিষ্ট ফাংশণের অন্তরজ \(\times\) স্বাধীন চলকের অন্তরক ।
লগারিদমের সাহায্যে অন্তরীকরণ
Logarithmic differentiation
কোনো ফাংশনের সূচক অন্য আরেকটি ফাংশন হলে অথবা কোনো ফাংশন কয়েকটি ফাংশনের গুনফল ও ভাগফল দ্বারা গঠিত হলে, প্রথমে ফাংশনটিতে \(\ln\) সংযোজন করে অন্তরজ নির্ণয় সহজতর হয়।
\(y=\frac{uv}{w}\) এর অন্তরজ
Differentiation of \(y=\frac{uv}{w}\)
যখন, \(u, \ v\) ও \(w\) প্রত্যেকে \(x\) এর ফাংশন এবং \(y=\frac{uv}{w}\) এই ক্ষেত্রে।
\(\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(\frac{uv}{w}\right)=\frac{uv}{w}\left(\frac{1}{u}\frac{du}{dx}+\frac{1}{v}\frac{dv}{dx}-\frac{1}{w}\frac{dw}{dx}\right)\)
\(y=u^{v}\) এর অন্তরজ
Differentiation of \(y=u^{v}\)
যখন, \(u\) ও \(v\) প্রত্যেকে \(x\) এর ফাংশন এবং \(y=u^{v}\) এই ক্ষেত্রে।
\(\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(u^{v}\right)=u^{v}\left(\frac{v}{u}\frac{du}{dx}+\ln{u}\frac{dv}{dx}\right)\)
\(c\) এবং ফাংশন \(f\) এর মধ্যে সূচকের রূপ
Form of exponent between \(c\) and function \(f\)
ধ্রুবক বা স্থির রাশি \(c\) এবং ফাংশন \(f\) এই দুইটির মধ্যে সূচকের চারটি রূপ দেখা যায়। যেমনঃ
\((a)\) ফাংশনের সূচক ধ্রুবক \(f^{c}\)
\((b)\) ধ্রুবকের সূচক ফাংশন \(c^{f}\)
\((c)\) ধ্রুবকের সূচক ধ্রুবক \(c^{c}\)
\((d)\) ফাংশনের সূচক ফাংশন \(f^{f}\)
উদাহরণসহ ব্যাখ্যাঃ
\((a)\) ফাংশনের সূচক ধ্রুবক \(f^{c}\): এই ক্ষেত্রে \(\frac{d}{dx}x^{n}\) এর সূত্র ব্যবহার করা হয়।
যেমনঃ \(\frac{d}{dx}(\sin^{2}{x})\)
\(=2\sin{x}.\frac{d}{dx}\sin{x}\) ➜ প্রথমে \(\frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}\) সূত্র প্রয়োগ করা হয়েছে।
\(=2\sin{x}\cos{x}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}\sin{x}=\cos{x}\)
\(=\sin{2x}\) ➜ \(\because 2\sin{A}\cos{A}=\sin{2A}\)
\((b)\) ধ্রুবকের সূচক ফাংশন \(c^{f}\): এই ক্ষেত্রে \(\frac{d}{dx}a^{x}\) এর সূত্র ব্যবহার করা হয়।
যেমনঃ \(\frac{d}{dx}(5^{\sin{x}})\)
\(=5^{\sin{x}}\ln{5}.\frac{d}{dx}\sin{x}\) ➜ প্রথমে \(\frac{d}{dx}a^{x}=a^{x}\ln{a}\) সূত্র প্রয়োগ করা হয়েছে।
\(=5^{\sin{x}}\ln{5}\cos{x}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}\sin{x}=\cos{x}\)
\((c)\) ধ্রুবকের সূচক ধ্রুবক \(c^{c}\): এই ক্ষেত্রে \(\frac{d}{dx}(c)=0\), (c=ধ্রুবক) এর সূত্র ব্যবহার করা হয়।
যেমনঃ \(\frac{d}{dx}(a^{c})\)
\(=0\) ➜ \(\frac{d}{dx}(c)=0\) সূত্র প্রয়োগ করা হয়েছে।
\((d)\) ফাংশনের সূচক ফাংশন \(f^{f}\): এই ক্ষেত্রে ফাংশনের সূচক একটি ফাংশন তাই এটিকে সরাসরি অন্তরীকরণ করা কষ্টসাধ্য। প্রথমে ফাংশনটিতে \(\ln\) সংযোজন করে সূচক অপসারণ করা হয় অথবা \(z=e^{\ln{z}}\) সূত্র প্রয়োগ করা হয়, অতপর ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করা হয়।
যেমনঃ \(\frac{d}{dx}(x^{\sin{x}})\)
\(=\frac{d}{dx}(e^{\ln{x^{\sin{x}}}})\) ➜ \(z=e^{\ln{z}}\) সূত্র প্রয়োগ করা হয়েছে।
\(=\frac{d}{dx}(e^{\sin{x}\ln{x}})\) ➜ \(\because \ln{x^n}=n\ln{x}\)
\(=e^{\sin{x}\ln{x}}.\frac{d}{dx}(\sin{x}\ln{x})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(e^{x})=e^{x}\)
\(=e^{\ln{x^{\sin{x}}}}\{\sin{x}\frac{d}{dx}(\ln{x})+\ln{x}\frac{d}{dx}(\sin{x})\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=x^{\sin{x}}\left(\sin{x}\frac{1}{x}+\ln{x}\cos{x}\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}, \ \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\)
\(=x^{\sin{x}}\left(\frac{1}{x}\sin{x}+\ln{x}\cos{x}\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}, \ \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\)
\(log_{x^{a}}\) এর অন্তরীকরণ
Differentiation of \(log_{x^{a}}\)
\(x\) এর সাপেক্ষে \(log_{x^{a}}\) এর অন্তরীকরণ।
ধরি,
\(y=log_{x^{a}}\)
\(\Rightarrow y=\frac{\ln{a}}{\ln{x}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln{a}}{\ln{x}}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\ln{a}\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\ln{x}}\right)\)
\(=\ln{a}\left(-\frac{1}{(\ln{x})^2}\right)\frac{d}{dx}(\ln{x})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}\)
\(=-\frac{\ln{a}}{(\ln{x})^2}\times{\frac{1}{x}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}\)
\(=-\frac{\ln{a}}{x(\ln{x})^2}\)
বিঃদ্রঃ যদি লগারিদমের ভিত্তি \(x\) এর ফাংশণ বা \(x\) হয় তবে সেক্ষেত্রে নেপিয়ার লগারিদমে ( ভিত্তি \(e\) ) পরিণত করে অন্তরজ নির্ণয় করতে হয়।
উদাহরণসমুহ
নিচের ফাংশনগুটির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর
\(Ex.(1)\) \(y=(1-x)(1-2x)(1-3x)(1-4x)\)
উত্তরঃ \( -(1-x)(1-2x)(1-3x)(1-4x)\)\(\left(\frac{1}{1-x}+\frac{2}{1-2x}+\frac{3}{1-3x}+\frac{4}{1-4x}\right)\)

নিচের ফাংশনগুটির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর
\(Ex.(2)\) \(x^{\sin{x}}\)
উত্তরঃ \(x^{\sin{x}}\left(\frac{\sin{x}}{x}+\ln{x}\cos{x}\right)\)

\(Ex.(3)\) \((\sin^{-1}{x})^{\ln{x}}\)
উত্তরঃ \( (\sin^{-1}{x})^{\ln{x}}\left(\frac{\ln{\sin^{-1}{x}}}{x}+\frac{\ln{x}}{\sqrt{1-x^2}\sin^{-1}{x}}\right)\)

\(Ex.(4)\) \(x^{\ln{x}}\)
উত্তরঃ \(x^{\ln{x}}\frac{2\ln{x}}{x}\)

\(Ex.(5)\) \(x^{\sin^{-1}{x}}\)
উত্তরঃ \(x^{\sin^{-1}{x}}\left(\frac{\sin^{-1}{x}}{x}+\frac{\ln{x}}{\sqrt{1-x^2}}\right)\)
ঢাঃ ২০১৩,২১০,২০০৫ ;রাঃ ২০১৪,২০১০,২০০৭,২০০৫; কুঃ ২০১৩,২০১০,২০০৭,২০০৩; যঃ ২০১৪,২০১০,২০০৩; সিঃ ২০০৮,২০০৬; দিঃ ২০১৫,২০০৯; চঃ ২০১৪; বঃ ২০১০,২০০৬,২০০৩; মাঃ ২০১১

\(Ex.(6)\) \(x^{x^{x}}\)
উত্তরঃ \(x^{x^{x}}x^{x}\{\frac{1}{x}+\ln{x}(1+\ln{x})\}\)
বুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯; বুটেক্সঃ ২০০৫-২০০৬; কুঃ ২০০৫; যঃ ২০১১,২০০৯; সিঃ ২০১৬,২০০৪; রাঃ ২০১৬,২০০৮,২০০৬

\(Ex.(7)\) \(x^{x}\)
উত্তরঃ \(x^{x}(1+\ln{x})\)
ঢাঃ ২০০৯; রাঃ ২০১৩; কুঃ ২০১২; সিঃ ২০১২

\(Ex.(8)\) \((\sin{x})^{\cos{x}}+(\cos{x})^{\sin{x}}\)
উত্তরঃ \((\sin{x})^{\cos{x}}\{\cot{x}\cos{x}-\sin{x}\ln{\sin{x}}\}\)\(+(\cos{x})^{\sin{x}}\{-\sin{x}\tan{x}+\cos{x}\ln{\cos{x}}\}\)
রাঃ ২০১১

\(Ex.(9)\) \(\frac{x\sin{x}}{1+\cos{x}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\sin{x}+x}{1+\cos{x}}\)
ঢাঃ ২০০৮; রাঃ ২০১৩; চঃ ২০১৪,২০১১; সিঃ ২০১৪,২০১০; বঃ ২০০৮,২০১৪ দিঃ ২০১৪;মাঃ ২০১৪,২০১৫

\(Ex.(10)\) \((\cos{x})^{\tan{x}}\)
উত্তরঃ \((\cos{x})^{\tan{x}}(\ln{\cos{x}}\sec^2{x}-\tan^2{x})\)

\((11)\) \((\sin^{-1}{x})^{\ln{x}}\)
উত্তরঃ \((\sin^{-1}{x})^{\ln{x}}\left(\frac{1}{x}\ln{\sin^{-1}{x}}+\frac{\ln{x}}{\sqrt{1-x^2}\sin^{-1}{x}}\right)\)

\(Ex.(12)\) \(x^{\cos^{-1}{x}}\)
উত্তরঃ \(x^{\cos^{-1}{x}}\left(\frac{\cos^{-1}{x}}{x}-\frac{\ln{x}}{\sqrt{1-x^2}}\right)\)
ঢাঃ ২০১৩; রাঃ ২১৪,২০১০; কুঃ ২০১৩; চঃ ২০১৪; যঃ ২০১৪,২০১০; বঃ ২০১০; সিঃ ২০০৮; দিঃ ২০১৫

Read Example
Q.2-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.3-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.4-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.5-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমূহ
ভর্তি পরীক্ষায় আসা প্রশ্নসমূহ

Read More

Post List

Mathematics

Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
Trigonometry 11 and 12 standard
Diff. Calculus 11 and 12 standard
Int. Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard
Vector 11 and 12 standard
Vector Honours course standard
Statics 11 and 12 standard
Dynamics 11 and 12 standard

Chemistry