অব্যক্ত ফাংশনের অন্তরীকরণ
Differentiation of implicit function
barcode
এ অধ্যায়ের পাঠ্যসূচী
অব্যক্ত ফাংশনের অন্তরীকরণ
Differentiation implicit function
যদি \(x\) ও \(y\) এর সমন্বয়ে কোনো সমীকরণ গঠিত হয় এবং এই সমীকরণে \(y\) কে সরাসরি \(x\) এর মাধ্যমে প্রকাশ করা না যায়, তবে ফাংশনটিকে অব্যক্ত ফাংশন বলে। অব্যক্ত ফাংশনকে সাধারণত \(f(x, y)=0\) সমীকরণ দ্বারা প্রকাশ করা হয়। যেমনঃ \(x^{y}=y^{x}, x^3+\cos{xy}=0 ........\) ইত্যাদি। অব্যক্ত ফাংশনের ক্ষেত্রে \(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে \(y\) কে \(x\) এর একটি অজ্ঞাত ফাংশনরূপে গণ্য করে সমীকরণের প্রতিটি পদকে অন্তরীকরণ করা হয় এবং পরে \(\frac{dy}{dx}\) এর মাণ নির্ণয় করা হয়।
পরামিতিক সমীকরণের অন্তরীকরণ
Differentiation of Parametric equation
অনেক সময় সুবিধার জন্য কোনো বক্ররেখার সমীকরণে \(x\) এবং \(y\) কে তৃতীয় আর একটি চলরাশির মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়। এ তৃতীয় চলরাশিকে পরামিতি (Parameter) এবং সমীকরণটিকে পরামিতিক সমীকরণ বলা হয়। পরামিতি অপসারণ না করেও \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় করা করা যায়।
মনে করি,
\(x=\phi(t)\) এবং \(y=f(t)\)
তাহলে \[\frac{dy}{dx}=\lim_{\delta{x} \rightarrow 0}\frac{\delta{y}}{\delta{x}}\]
\[=\lim_{\delta{x} \rightarrow 0}\left(\frac{\delta{y}}{\delta{t}}\div{\frac{\delta{x}}{\delta{t}}}\right)\]
\[=\lim_{\delta{x} \rightarrow 0}\frac{\delta{y}}{\delta{t}}\div{\lim_{\delta{x} \rightarrow 0}\frac{\delta{x}}{\delta{t}}}\]
\[=\frac{dy}{dt}\div{\frac{dx}{dt}}\]
উদাহরণসমুহ
নিচের অব্যক্ত ফাংশনটি হতে \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় কর
\(Ex.(1)\) \(\ln{xy}=x^2+y^2\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{(2x^2-1)y}{(1-2y^2)x}\)

নিচের অব্যক্ত ফাংশনটি হতে \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় কর
\(Ex.(2)\) \(x^y=e^{x-y}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{\ln{x}}{(1\ln{x})^2}\)

\(Ex.(3)\) \(\sqrt{x}+\sin{y}=x^2\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{4x\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}\cos{y}}\)

\(Ex.(4)\) \(4x^4-x^2y+2y^3=0\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{2x(8x^2-y)}{x^2-6y^2}\)

\(Ex.(5)\) \(x^y=y^x\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{y(x\ln{y}-y)}{x(y\ln{x}-x)}\)

\(Ex.(6)\) \(x=a(\theta-\sin{\theta})\) এবং \(y=a(1-\cos{\theta})\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\cot{\frac{\theta}{2}}\)

\(Ex.(7)\) \(x=at^2\) এবং \(y=2at\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{t}\)

\(Ex.(8)\) \(\tan{y}=\frac{2t}{1-t^2}\) এবং \(\sin{x}=\frac{2t}{1+t^2}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=1\)

\(Ex.(9)\) \(x=a\cos^3{\theta}\) এবং \(y=a\sin^3{\theta}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=-\tan{\theta}\)

\(Ex.(10)\) \(x=e^t\cos{t}\) এবং \(y=e^t\sin{t}\)
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=\frac{\sin{t}+\cos{t}}{\cos{t}-\sin{t}}\)

\(Ex.(11)\) যদি \(x^yy^x=1\) হয়, তাহলে প্রমাণ কর যে, \(\frac{dy}{dx}=-\frac{y^2}{x^2}.\frac{1-ln{x}}{1-\ln{y}}\)

\(Ex.(12)\) যদি \(x^4+x^2y^2+y^4=1\) দ্বারা কোনো অব্যক্ত ফাংশন বর্ণিত হলে \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{dy}{dx}=-\frac{x(2x^2+y^2)}{y(x^2+2y^2)}\)

Read Example
Q.2-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.3-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.4-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.5-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমূহ
ভর্তি পরীক্ষায় আসা প্রশ্নসমূহ

Read More

Post List

Mathematics

Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
Trigonometry 11 and 12 standard
Diff. Calculus 11 and 12 standard
Int. Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard
Vector 11 and 12 standard
Vector Honours course standard
Statics 11 and 12 standard
Dynamics 11 and 12 standard

Chemistry