ফাংশনের গরিষ্ঠমান ও লঘিষ্ঠমান
Maximum and minimum of the functions
barcode
এ অধ্যায়ের পাঠ্যসূচী
ফাংশনের অন্তরীকরণ যোগ্যতা
Differentiability of functions
ধরি, \(f(x)\) ফাংশন \([a, b]\) ব্যবধিতে সংজ্ঞায়িত \(a>c>b\) হলে ফাংশনটি \(x=c\) বিন্দুতে অন্তরীকরণযোগ্য বলা হয় যদি
\[f^{\prime}(c)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\] বিদ্যমান থাকে এবং \[\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\] ও \[\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\] এর মাণ সসীম ও পরস্পর সমান হয়।
বিশেষ স্বরনীয় বিষয়
Special mention
\(x=c\) বিন্দুতে অন্তরীকরণযোগ্য ফাংশন \(x=c\) বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হয়।
\(x=c\) বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন ফাংশন \(x=c\) বিন্দুতে অন্তরীকরণযোগ্য নাও হতে পারে।
ফাংশন \(f(x)\)-কে \((a, b)\) খোলা ব্যবধিতে অন্তরীকরণযোগ্য বলা হবে যদি সকল \(x\in(a, b)\) বিন্দুতে \(f(x)\) অন্তরীকরণযোগ্য হয়।
রোলের উপপাদ্য
Rolle's theorem
যদি \(f(x)\) ফাংশন
\([a, b]\) বদ্ধ ব্যবধিতে অবিচ্ছিন্ন হয়।
\((a, b)\) খোলা ব্যবধিতে অন্তরীকরণযোগ্য এবং
\(f(a)=f(b)\) হয়, তবে \(a\) ও \( b\) এর মধ্যে অন্ততঃপক্ষে \(x\)এর এমন একটি মান \(c\) পাওয়া যাবে যেখানে \(f^{\prime}(c)=0\) হবে।
অর্থাৎ \(a>c>b\) খোলা ব্যবধিতে \(f^{\prime}(c)=0\) হবে।
টেলরের ধারা
Taylor's clause
যদি \(f(x)\) ফাংশন এবং \(f^{\prime}(x), f^{\prime\prime}(x), f^{\prime\prime\prime}(x), .......f^{n-1}(x)\) ফাংশনগুলি \([a, a+h]\) বদ্ধ ব্যবধিতে অবিচ্ছিন্ন হয় এবং \(f^{n}(x)\) ফাংশনটি \((a, a+h)\) খোলা ব্যবধিতে বিদ্যমান থাকে, তবে,
\(f(a+h)=f(a)+hf^{\prime}(a)+\frac{h^2}{l^2}f^{\prime\prime}(a)+\frac{h^3}{l^3}f^{\prime\prime\prime}(a)+ ........\)
গড়মান উপপাদ্য
Mean value theorem
যদি \(f(x)\) ফাংশন \([a, b]\) ব্যবধিতে অবিচ্ছিন্ন এবং \((a, b)\) ব্যবধিতে অন্তরীকরণযোগ্য হয় তবে \(a\) ও \( b\) এর মধ্যে অন্ততঃপক্ষে \(x\)এর এমন একটি মান \(c\) পাওয়া যাবে যাতে \(f(b)-f(a)=(b-a)f^{\prime}(c)\) হয়।

উদাহরণঃ
\((1, 3)\) ব্যবধিতে \(f(x)=x^2-2x+3\) ফাংশনের জন্য গড়মান উপপাদ্যটির সত্যতা নিরূপণ কর।
মধ্যবর্তী মান উপপাদ্য
Intermediate value theorem
geo1
যদি \([a, b]\) বদ্ধ ব্যবধিতে \(f(x)\) অবিচ্ছিন্ন ফাংশন হয় এবং \(k\) যে কোনো একটি সংখ্যা \(f(a)\) ও \(f(b)\) এর মধ্যে অবস্থিত হয় তাহলে \([a, b]\) ব্যবধির মধ্যে কমপক্ষে একটি সংখ্যা থাকবে যেখানে \(f(x)=l\).
geo1 প্রতিজ্ঞাঃ
যদি কোনো ফাংশন \(f(x), [a, b]\) বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হয় এবং \(f(a)\) ও \(f(b)\) শূন্য না হয় এবং বিপরীত চিহ্ন বিশিষ্ট হয় তবে \(f(x)=0\) সমীকরণের \((a, b)\) ব্যবধিতে কমপক্ষে একটি সমাধান বিদ্যমান।
উদাহরণঃ
মধ্যমান উপপাদ্য ব্যবহার করে দেখাও যে, \([-1, 0]\) ব্যবধিতে \(f(x)=x^3+x+1\) সমীকরণের সমাধান আছে।
ক্রমবর্ধমান ও ক্রমহ্রাসমান ফাংশন
Increasing and Decreasing function
geo1 ক্রমবর্ধমান ফাংশনঃ
যদি \(x\) এর মাণ বৃদ্ধির জন্য কোনো ফাংশন \(y=f(x)\) এর মাণ বৃদ্ধি পায় অর্থাৎ \(y=f(x)\) ফাংশনের উপরস্থ যে কোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের ঢাল ধনাত্মক হয়, তবে \(y=f(x)\) কে ক্রমবর্ধমান ফাংশন বলা হয়। ক্রমবর্ধমান ফাংশনের ক্ষেত্রে স্পর্শকের ঢাল ধনাত্মক।
অর্থাৎ, \(\frac{dy}{dx}>0\) এখানে \(\frac{dy}{dx}=\tan{\theta}\) এবং \(90^{o}>\theta\).
geo1 ক্রমহ্রাসমান ফাংশনঃ
যদি \(x\) এর মাণ বৃদ্ধির জন্য কোনো ফাংশন \(y=f(x)\) এর মাণ হ্রাস পায় অর্থাৎ \(y=f(x)\) ফাংশনের উপরস্থ যে কোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের ঢাল ঋনাত্মক হয়, তবে \(y=f(x)\) কে ক্রমহ্রাসমান ফাংশন বলা হয়। ক্রমহ্রাসমান ফাংশনের ক্ষেত্রে স্পর্শকের ঢাল ঋনাত্মক।
অর্থাৎ, \(\frac{dy}{dx}<0\) এখানে \(\frac{dy}{dx}=\tan{\theta}\) এবং \(\theta>90^{o}\).
মন্তব্যঃ
\(b>x>a\) এর সকল \(x\) এর জন্য \(f^{\prime}(x)>0\) হয়, তবে \(y=f(x)\) ফাংশন \((a, b)\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান হবে।
\(b>x>a\) এর সকল \(x\) এর জন্য \(f^{\prime}(x)<0\) হয়, তবে \(y=f(x)\) ফাংশন \((a, b)\) ব্যবধিতে ক্রমহ্রাসমান হবে।
ফাংশনের চরম মাণ
Extreme values of function
geo1
ফাংশনের চরম মাণঃ
\(y=f(x)\) অবিচ্ছিন্ন ফাংশনটির লেখচিত্র থেকে আমরা দেখতে পাই যে, \(P_{1}\) বিন্দুর ডান ও বাম দিকে একটি ক্ষুদ্র ব্যবধি \(L_{1}L_{2}\) এর অন্তর্গত \(x\) এর সকল মানের মধ্যে \(x=OC_{1}=c\) এর জন্য \(f(x)=f(c)\) এর মাণ বৃহত্তম।
অনুরূপভাবে, \(P_{2}, P_{3}, P_{4}\) বিন্দুগুলিতেও বিন্দুগুলির উভয় দিকে \(x\) এর মাণসমূহের একটি ক্ষুদ্র ব্যবধির মধ্যে \(x\) এর একটি নির্দিষ্ট মানের জন্য \(f(x)\) এর মাণ বৃহত্তম।
অতএব, কোনো বিন্দুতে \(f(x)\) এর মাণ বৃহত্তমের অর্থ এই নয় যে, ফাংশনটির মাণ সে বিন্দুতে চুড়ান্তভাবে বৃহত্তম। ফাংশনটির ক্ষুদ্রতম মানও একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। কোনো বিন্দুতে একটি ফাংশনের মাণ ক্ষুদ্রতম-এর অর্থ এই নয় যে, বিন্দুটিতে ফাংশনটির মাণ চুড়ান্তভাবে ক্ষুদ্রতম। লক্ষ করলে আরও দেখা যায় যে, কোনো বিন্দুতে ফাংশনটির ক্ষুদ্রতম মাণ আর একটি বিন্দুতে ফাংশনটির বৃহত্তম মানের চেয়ে বৃহত্তম। সুতরাং একটি ফাংশনের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মানগুলি প্রকৃতপক্ষে আপেক্ষিকভাবে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মাণ। ফাংশনের আপেক্ষিক বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মানগুলিকে ফাংশনের গুরুমান ও লঘুমান এবং এদের একত্রে ফাংশনের চরম মাণ বলা হয়। অর্থাৎ আপেক্ষিক বৃহত্তম মাণ ও আপেক্ষিক ক্ষুদ্রতম মাণ বুঝাতে আমরা 'গুরুমান' ও 'লঘুমান' ব্যবহার করব।
মন্তব্যঃ
একটি ফাংশনের একাধিক গুরুমান ও লঘুমাণ থাকতে পারে।
কোনো বিন্দুতে ফাংশনের লঘুমান অন্য একটি বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমানের চেয়ে বড় হতে পারে।
ফাংশনের গরিষ্ঠমান
Maximum Value of a function
ফাংশনের গরিষ্ঠমানঃ
geo1 \(f(c)\) কে \(f(x)\) ফাংশনের গরিষ্ঠমান বলা হবে যদি অতি ক্ষুদ্র \(h>0\) এর জন্য \((c-h, c+h)\) ব্যবধিতে \(x\)এর সকল মানের জন্য \(f(c)\) সর্বদাই \(f(x)\) এর অন্যান্য মাণ অপেক্ষা বৃহৎ থাকে।
অর্থাৎ \(f(c)>f(x)\) যেখানে \(x\in{(c-h, c+h)}\) কিন্তু \(x\ne{c}\)
তাহলে, \(f(c+h)-f(c)<0\)
অন্যভাবে, যদি \(x=c\) বিন্দুর নিকট প্রতিবেশীতে \(f(c)\) এর মাণ সর্দাই \(f(x)\) এর অন্যান্য মাণ অপেক্ষা বৃহৎ থাকে তবে, \(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) এর গরিষ্ঠমান আছে এবং উহা \(f(c)\)
ফাংশনের লঘিষ্ঠমান
Minimum Value of a function
ফাংশনের লঘিষ্ঠমানঃ
geo1 \(f(d)\) কে \(f(x)\) ফাংশনের লঘিষ্ঠমান বলা হবে যদি অতি ক্ষুদ্র \(h>0\) এর জন্য \((d-h, d+h)\) ব্যবধিতে \(x\)এর সকল মানের জন্য \(f(d)\) সর্বদাই \(f(x)\) এর অন্যান্য মাণ অপেক্ষা ক্ষুদ্র থাকে।
অর্থাৎ \(f(d)>f(x)\) যেখানে \(x\in{(d-h, d+h)}\) কিন্তু \(x\ne{d}\)
তাহলে, \(f(d+h)-f(d)>0\)
অন্যভাবে, যদি \(x=d\) বিন্দুর নিকট প্রতিবেশীতে \(f(d)\) এর মাণ সর্দাই \(f(x)\) এর অন্যান্য মাণ অপেক্ষা ক্ষুদ্র থাকে তবে, \(x=d\) বিন্দুতে \(f(x)\) এর লঘিষ্ঠমান আছে এবং উহা \(f(d)\)
ফাংশনের গরিষ্ঠমান ও লঘিষ্ঠমান বিদ্যমান থাকার প্রয়োজনীয় শর্ত
Necessary condition for existence of maximum and minimum of function
যদি \(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) ফাংশনের গরিষ্ঠমান ও লঘিষ্ঠমান থাকে এবং \(f^{\prime}(c)\) এর মাণ বিদ্যমান থাকে তবে \(f^{\prime}(c)=0\) হবে।
ফাংশনের গরিষ্ঠমান ও লঘিষ্ঠমান নির্ণয়
Finding the maximum and minimum of a function
\(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) ফাংশন অবিচ্ছিন্ন এবং \(f^{\prime}(c)=0\) ও \(f^{\prime\prime}(c)\ne{0}\) হলে,
\(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) এর গরিষ্ঠমাণ থাকবে যদি \(f^{\prime\prime}(c)<0\) হয়।
বিন্দুতে \(f(x)\) এর লঘিষ্ঠমান থাকবে যদি \(f^{\prime\prime}(c)>0\) হয়।
ফাংশনের গরিষ্ঠমান ও লঘিষ্ঠমান নির্ণয়ের পদ্ধতি
Methods of finding maxima and minima of functions
প্রদত্ত ফাংশনটিকে \(f(x)\) ধরতে হবে।
\(f^{\prime}(x)\) নির্ণয় করতে হবে।
ফাংশনটির গরিষ্ঠমাণ ও লঘিষ্ঠমানের জন্য \(f^{\prime}(x)=0\) ধরে \(x\) এর মান নির্ণয় করতে হবে।
ধরি, \(x=a, b, c\)
\(f^{\prime\prime}(x)\) নির্ণয় করতে হবে।
\(x=a\) মানের জন্য \(f^{\prime\prime}(x)\gt{0}\) হলে, বুঝতে হবে \(x=a\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান আছে এবং ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান \(=f(a)\)
\(x=b\) মানের জন্য \(f^{\prime\prime}(x)\lt{0}\) হলে, বুঝতে হবে \(x=b\) বিন্দুতে ফাংশনটির গরিষ্ঠমাণ আছে এবং ফাংশনটির গরিষ্ঠমাণ \(=f(b)\)
\(x=c\) মানের জন্য \(f^{\prime\prime}(x)=0\) হলে, বুঝতে হবে \(x=c\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান ও গরিষ্ঠমাণ থাকতেও পারে আবার নাও থাকতে পারে। যা উচ্চতর পর্যায়ে শেখানো হবে।
খোলা ও বদ্ধ ব্যবধি
Open and Close Interval
খোলা ব্যবধি \((a, b)\Rightarrow ]a, b[ \Rightarrow \{x\in{\mathbb{R}}: b\gt{x}\gt{a}\}\)
বদ্ধ খোলা ব্যবধি \([a, b) \Rightarrow [a, b[ \Rightarrow \{x\in{\mathbb{R}}: b\ge{x}\gt{a}\}\)
খোলা বদ্ধ ব্যবধি \((a, b]\Rightarrow ]a, b] \Rightarrow \{x\in{\mathbb{R}}: b\gt{x}\ge{a}\}\)
বদ্ধ ব্যবধি \([a, b]\Rightarrow [a, b] \Rightarrow \{x\in{\mathbb{R}}: b\ge{x}\ge{a}\}\)
উদাহরণসমুহ
\(Ex.(1)\) \([2, 5]\) ব্যবধিতে \(f(x)=2x^2-7x+10\) ফাংশনের ল্যাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্যের বৈধতা যাচাই কর।

\(Ex.(2)\) দেখাও যে, \(f(x)=x^3-3x^2+18x+15\) একটি ক্রমবর্ধমান ফাংশন।

\(Ex.(3)\) দেখাও যে, \(f(x)=1-13x+6x^2-x^3\) একটি ক্রমহ্রাসমান ফাংশন।
যঃ ২০০৯; ঢাঃ ২০১২,২০০৯,২০০৪; সিঃ ২০০৬; রাঃ ২০০৭; কুঃ ২০০৭; বঃ ২০১২; দিঃ ২০১২

\(Ex.(4)\) \(x\) এর মাণ কত হলে \(y=x(12-2x)^2\) ফাংশনের গুরুমান অথবা লঘুমান হবে?
রুয়েটঃ ২০১২-২০১৩; যঃ ২০০৫

\(Ex.(5)\) দেখাও যে, \(f(x)=x^3-6x^2+24x+4\) এর কোনো গুরুমান অথবা লঘুমান নেই।
যঃ ২০১১; বঃ ২০০১

\(Ex.(6)\) গুরুমান ও লঘুমানগুলি নির্ণয় করঃ \(1+2\sin{x}+3\cos^2{x}, \left(0\le{x}\le{\frac{\pi}{2}}\right)\)
উত্তরঃ গুরুমান \(=4\frac{1}{3}\); লঘুমান \(=3\);
ঢাঃ ২০০৮; বঃ ২০০১

\(Ex.(7)\) \(y=4x(6-x)^2\) \(f(x)=e^{\tan^{-1}{x}}\)
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{2x}}{x}\] এর মাণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(y\) এর গরিষ্ঠমাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) প্রমাণ কর যে, \((1+x^2)f^{\prime\prime}(x)+(2x-1)f^{\prime}(x)=0\)
উত্তরঃ \((a)\) \(=0\);
\((b)\) গরিষ্ঠমাণ \(=128\)
কুঃ ২০১৭

\(Ex.(8)\) দেখাও যে, \(x=2\) বিন্দুতে \(f(x)=x^3-3x^2+3x\) ফাংশনটি বৃদ্ধি পায়।

\(Ex.(9)\) \(f(x)=17-15x+9x^2-x^3\) একটি ফাংশন।
\((a)\) ইহার চরমবিন্দু নির্ণয় কর।
\((b)\) ইহা কোন ব্যবধিতে হ্রাস পায় এবং কোন ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় নির্ণয় কর।
\((c)\) ইহার সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
\((d)\) ইহার লেখচিত্র অঙ্কন কর।
উত্তরঃ \((a)\) চরমবিন্দু \((1, 10); (5, 42)\)

\(Ex.(10)\) \(f(x)=2x^3-21x^2+36x-20\) এর সর্বোচ্চ মান ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বোচ্চ মান \(=-3\) ; সর্বনিম্ন মান \(=-128\)
বঃ, দিঃ, ঢাঃ ২০১২; কুঃ,রাঃ ২০১৩; যঃ ২০০৯, মাঃ ২০১৪,২০১৫

\(Ex.(11)\) দেখাও যে, \(f(x)=x^3-3x^2+6x+3\) এর কোনো সর্বোচ্চ মান অথবা সর্বনিম্ন মান নেই।
সিঃ ২০০৯; বঃ ২০১১,২০১৪; কুঃ ২০১৩, মাঃ ২০১৫

\(Ex.(12)\) \(f(x)=3\sin^2{x}+4\cos^2{x}, 0\le{x}\le{\frac{\pi}{2}}\) ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান ও সর্বোচ্চ মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বোচ্চ মান \(=4\) ; সর্বনিম্ন মান \(=3\)

\(Ex.(13)\) \((0, 9)\) ব্যবধিতে \(f(x)=x^3-18x^2+96x\) ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান ও সর্বোচ্চ মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বোচ্চ মান \(=160\) ; সর্বনিম্ন মান \(=128\)

\(Ex.(14)\) \(f(x)=3x^2-2x-4\) একটি ফাংশন।
\((a)\) \(x\) এর সাপেক্ষে \(f(x)=x^{\sin^{-1}{x}}\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{\sin^{-1}{x}}\left(\frac{\sin^{-1}{x}}{x}+\frac{\ln{x}}{\sqrt{1-x^2}}\right)\)
\((b)\) উদ্দীপকের বক্ররেখার বৃদ্ধিপ্রাপ্ত ও হ্রাসপ্রাপ্ত অঞ্চল নির্ণয় পূর্বক চরম মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}>x\) ব্যবধিতে ফাংশনটি হ্রাস পায়, \(x>\frac{1}{3}\) ব্যবধিতে ফাংশনটি বৃদ্ধি পায়। লঘুমান \(=-\frac{13}{3}\)
\((c)\) বক্ররেখার স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(x+10y-7=0\) রেখার উপর লম্ব।
উত্তরঃ স্পর্শকের সমীকরণ \(10x-y-16=0\)

\(Ex.(15)\) দৃশ্যকল্প-১: \(\tan{\theta}=\frac{a+bx}{a-bx}\) এবং দৃশ্যকল্প-২: \(f(x)=\cos{x}\)
\((a)\) দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে \[\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{1-f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)^2}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১ হতে \(\frac{d\theta}{dx}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{ab}{a^2+b^2x^2}\)
\((c)\) \(y=f(2\sin^{-1}{x})\) হলে, দৃশ্যকল্প-২ হতে দেখাও যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}+4y=0\)

\(Ex.(16)\) \(f(x)=x^4-4x^3+4x^2+5\) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘিষ্ঠমাণ \( =5\) ; গরিষ্ঠমাণ \( =6\)

\(Ex.(17)\) দেখাও যে, \(x^3+\frac{1}{x^3}\) এর বৃহত্তম মান ক্ষুদ্রতম মান অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।

Read Example
Q.2-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.3-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.4-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.5-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমূহ
ভর্তি পরীক্ষায় আসা প্রশ্নসমূহ

Read More

Post List

Mathematics

Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
Trigonometry 11 and 12 standard
Diff. Calculus 11 and 12 standard
Int. Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard
Vector 11 and 12 standard
Vector Honours course standard
Statics 11 and 12 standard
Dynamics 11 and 12 standard

Chemistry