এ অধ্যায়ের পাঠ্যসূচী
- কতিপয় আদর্শ যোগজ (Some standard Integration)
- \(\int{\frac{1}{a^2+x^2}dx}\)\(=\frac{1}{a}\tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+c\)
- \(\int{\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx}\)\(=\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+c\)
- \(\int{\frac{1}{x\sqrt{x^2-a^2}}dx}\)\(=\frac{1}{a}\sec^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+c\)
- \(\int{\frac{1}{a^2-x^2}dx}\)\(=\frac{1}{2a}\ln{\left|\frac{a+x}{a-x}\right|}+c\)
- \(\int{\frac{1}{x^2-a^2}dx}\)\(=\frac{1}{2a}\ln{\left|\frac{x-a}{x+a}\right|}+c\)
- \(\int{\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}dx}\)\(=\ln{|\sqrt{a^2+x^2}+x|}+c\)
- \(\int{\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx}\)\(=\ln{|\sqrt{x^2-a^2}+x|}+c\)
- \(\int{\sqrt{a^2-x^2}dx}\)\(=\frac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2}+\frac{a^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{a}\right)}+c\)
- \(\int{\frac{1}{ax^2+bx+c}dx}\) আকারের যোগজ
- \(\int{\frac{1}{(ax+b)\sqrt{cx+d}}dx}\) আকারের যোগজ
- \(\int{\frac{1}{(cx+d)\sqrt{ax^2+bx+c}}dx}\) আকারের যোগজ
- \(\int{\frac{1}{(ax^2+b)\sqrt{cx^2+d}}dx}\) আকারের যোগজ
- \(\int{\frac{1}{\sin^{m}{x}\cos^{n}{x}}dx}\), \(m+n=p\) জোড় সংখ্যা, আকারের যোগজ
- \(\int{\frac{1}{\sin^{m}{x}+\cos^{m}{x}}dx}\), \(m\) জোড় সংখ্যা, আকারের যোগজ
- \(\int{\frac{1}{x^{\frac{1}{a}}-x^{\frac{1}{b}}}dx}\), \(\int{\frac{x^{\frac{1}{a}}}{1+x^{\frac{1}{b}}}dx}\), \(b>a\) আকারের যোগজ
- \(\int{\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}dx}\) আকারের যোগজ
- \(\int{\frac{dx}{\sqrt{(x-\alpha)(x-\beta)}}}\), \(\int{\frac{dx}{\sqrt{(x-\alpha)(\beta-x)}}}\) আকারের যোগজ
- \(\int{\frac{dx}{a+b\sin{x}}}\), \(\int{\frac{dx}{a+b\cos{x}}}\) এবং \(\int{\frac{dx}{a\sin{x}+b\cos{x}+c}}\) আকারের যোগজ
- \(\int{\frac{dx}{a\sin{x}+b\cos{x}}}\) আকারের যোগজ
- \(\int{\frac{p\cos{x}+q\sin{x}}{a\cos{x}+b\sin{x}}dx}\) এবং \(\int{\frac{p\cos{x}+q\sin{x}+r}{a\cos{x}+b\sin{x}+c}dx}\) আকারের যোগজ
- \(\int{\frac{1}{(x-a)^m(x-b)^n}dx}\) আকারের যোগজ
- অধ্যায় \(x.D\)-এর উদাহরণসমুহ
- অধ্যায় \(x.D\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(x.D\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(x.D\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(x.D\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
কতিপয় আদর্শ যোগজ
Some standard Integration
\(\frac{1}{x\sqrt{x^2-a^2}}\) এবং \(\frac{1}{a^2-x^2}\) এর যোগজীকরণ
Interpretation of \(\frac{1}{x\sqrt{x^2-a^2}}\) and \(\frac{1}{a^2-x^2}\)
\(\frac{1}{x^2-a^2}\) এবং \(\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}\) এর যোগজীকরণ
Interpretation of \(\frac{1}{x^2-a^2}\) and \(\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}\) এবং \(\sqrt{a^2-x^2}\) এর যোগজীকরণ
Interpretation of \(\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}\) and \(\sqrt{a^2-x^2}\)
বিশেষ আকারের যোগজ \(\frac{1}{ax^2+bx+c}\) এর যোগজীকরণ
Interpretation of Special shaped integration \(\frac{1}{ax^2+bx+c}\)
\(\int{\frac{1}{ax^2+bx+c}dx}\) আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।
\(\int{\frac{1}{ax^2+bx+c}dx}\)\(=\int{\frac{1}{a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)}dx}\)
\(=\frac{1}{a}\int{\frac{1}{x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}}dx}\)
\(=\frac{1}{a}\int{\frac{1}{x^2+2.x.\frac{b}{2a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}}dx}\)
\(=\frac{1}{a}\int{\frac{1}{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}}dx}\)
\(=\frac{1}{a}\int{\frac{1}{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2}}dx}\)
\(=\frac{1}{a}\int{\frac{1}{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a^2}}dx}\)
\(=\frac{1}{a}\int{\frac{1}{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}\right)^2}dx}\)
এখন \(x+\frac{b}{2a}\) কে \(t\) দ্বারা প্রতিস্থাপন করে আদর্শ যোগজের সূত্র প্রয়োগ করে সমাধান করতে হয়।
যেমনঃ
\(\int{\frac{1}{x^2+8x+25}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর। \(\frac{1}{(ax+b)\sqrt{cx+d}}\) এর যোগজীকরণ
Interpretation of \(\frac{1}{(ax+b)\sqrt{cx+d}}\)
\(\int{\frac{1}{(ax+b)\sqrt{cx+d}}dx}\) আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।
\(\sqrt{cx+d}\) কে \(t\) দ্বারা প্রতিস্থাপন করে আদর্শ যোগজের সূত্র প্রয়োগ করে সমাধান করতে হয়।যেমনঃ
\(\int{\frac{1}{(2x+3)\sqrt{4x+5}}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর। \(\frac{1}{(cx+d)\sqrt{ax^2+bx+c}}\) এর যোগজীকরণ
Interpretation of \(\frac{1}{(cx+d)\sqrt{ax^2+bx+c}}\)
\(\int{\frac{1}{(cx+d)\sqrt{ax^2+bx+c}}dx}\) আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।
\(\sqrt{cx+d}\) কে \(\frac{1}{t}\) দ্বারা প্রতিস্থাপন করে আদর্শ যোগজের সূত্র প্রয়োগ করে সমাধান করতে হয়।যেমনঃ
\(\int{\frac{1}{(x-1)\sqrt{x^2+1}}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর। \(\frac{1}{(ax^2+b)\sqrt{cx^2+d}}\) এর যোগজীকরণ
Interpretation of \(\frac{1}{(ax^2+b)\sqrt{cx^2+d}}\)
\(\int{\frac{1}{(ax^2+b)\sqrt{cx^2+d}}dx}\) আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।
\(\frac{\sqrt{cx^2+d}}{x}\) কে \(t\) দ্বারা প্রতিস্থাপন করে আদর্শ যোগজের সূত্র প্রয়োগ করে সমাধান করতে হয়।যেমনঃ
\(\int{\frac{1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+4}}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর। \(\frac{1}{\sin^{m}{x}\cos^{n}{x}}\) এর যোগজীকরণ
Interpretation of \(\frac{1}{\sin^{m}{x}\cos^{n}{x}}\)
\(\int{\frac{1}{\sin^{m}{x}\cos^{n}{x}}dx}\), \(m+n=p\) জোড় সংখ্যা, আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।
লব ও হরের সহিত \(\sec^{p}{x}\) দ্বারা গুণ করে, অতঃপর \(\tan{x}\) কে \(t\) দ্বারা প্রতিস্থাপন করে সমাধান করতে হয়।যেমনঃ
\(\int{\frac{1}{\sqrt{\sin^3{x}}\sqrt{\cos^5{x}}}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর। \(\frac{1}{\sin^{m}{x}+\cos^{m}{x}}\) এর যোগজীকরণ
Interpretation of \(\frac{1}{\sin^{m}{x}+\cos^{m}{x}}\)
\(\int{\frac{1}{\sin^{m}{x}+\cos^{m}{x}}dx}\), \(m\) জোড় সংখ্যা, আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।
লব ও হরের সহিত \(\sec^{m}{x}\) দ্বারা গুণ করে, অতঃপর \(\tan{x}\) কে \(t\) দ্বারা প্রতিস্থাপন করে সমাধান করতে হয়।যেমনঃ
\(\int{\frac{\sin{x}\cos{x}}{\sin^4{x}+\cos^4{x}}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর। \(\frac{1}{x^{\frac{1}{a}}-x^{\frac{1}{b}}}\) এবং \(\frac{x^{\frac{1}{a}}}{1+x^{\frac{1}{b}}}\) এর যোগজীকরণ
Interpretation of \(\frac{1}{x^{\frac{1}{a}}-x^{\frac{1}{b}}}\) and \(\frac{x^{\frac{1}{a}}}{1+x^{\frac{1}{b}}}\)
\(\int{\frac{1}{x^{\frac{1}{a}}-x^{\frac{1}{b}}}dx}\), \(\int{\frac{x^{\frac{1}{a}}}{1+x^{\frac{1}{b}}}dx}\), \(b\gt{a}\) আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।
\(a\) ও \(b\) এর ল. সা. গু. \(c\) হলে, \(x\) কে \(t^{c}\) দ্বারা প্রতিস্থাপন করে সমাধান করতে হয়।যেমনঃ
\(\int{\frac{dx}{x^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{1}{4}}}}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর। \(\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\) এর যোগজীকরণ
Interpretation of \(\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\)
\(\int{\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}dx}\) আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।
লবকে কে বর্গমূল \((\sqrt{})\) মুক্ত করে সমাধান করতে হয়।যেমনঃ
\(\int{\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।উত্তরঃ \(\sin^{-1}{x}+\sqrt{1-x^2}+c\)
\(\frac{1}{\sqrt{(x-\alpha)(x-\beta)}}\) এবং \(\frac{1}{\sqrt{(x-\alpha)(\beta-x)}}\) এর যোগজীকরণ
Interpretation of \(\frac{1}{\sqrt{(x-\alpha)(x-\beta)}}\) and \(\frac{1}{\sqrt{(x-\alpha)(\beta-x)}}\)
\(\int{\frac{dx}{\sqrt{(x-\alpha)(x-\beta)}}}\), \(\int{\frac{dx}{\sqrt{(x-\alpha)(\beta-x)}}}\) আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।
১ম যোগজের ক্ষেত্রে \(\sqrt{x-\alpha}+\sqrt{x-\beta}=t\) ধরে সমাধান করতে হয়। যেমনঃ
\(\int{\frac{dx}{\sqrt{(x-2)(x-3)}}}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।উত্তরঃ \(2\ln{|\sqrt{x-2}+\sqrt{x-3}|}+c\)
২য় যোগজের ক্ষেত্রে \(\sqrt{x-\alpha}=t\) ধরে সমাধান করতে হয়।
যেমনঃ
\(\int{\frac{dx}{\sqrt{(x-2)(3-x)}}}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।উত্তরঃ \(2\sin^{-1}{(\sqrt{x-2})}+c\)
\(\frac{1}{a+b\sin{x}}, \ \frac{1}{a+b\cos{x}}\) এবং \(\frac{1}{a\sin{x}+b\cos{x}+c}\) এর যোগজীকরণ
Interpretation of \(\frac{1}{a+b\sin{x}}, \ \frac{1}{a+b\cos{x}}\) and \(\frac{1}{a\sin{x}+b\cos{x}+c}\)
\(\int{\frac{dx}{a+b\sin{x}}}\), \(\int{\frac{dx}{a+b\cos{x}}}\) এবং \(\int{\frac{dx}{a\sin{x}+b\cos{x}+c}}\) আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।
\(\sin{x}\) এবং \(\cos{x}\) কে \(\tan{\frac{x}{2}}\) এ রুপান্তর করে, অতঃপর \(\tan{\frac{x}{2}}=t\) ধরে সমাধান করতে হয়।যেমনঃ
\(\int{\frac{dx}{3+2\sin{x}}}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।উত্তরঃ \(\frac{2}{\sqrt{5}}\tan^{-1}{\left\{\frac{1}{\sqrt{5}}(3\tan{\frac{x}{2}}+2)\right\}}+c\)
যেমনঃ
\(\int{\frac{dx}{3+2\cos{x}}}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।উত্তরঃ \(\frac{2}{\sqrt{5}}\tan^{-1}{\left(\frac{\tan{\frac{x}{2}}}{\sqrt{5}}\right)}+c\)
যেমনঃ
\(\int{\frac{dx}{\sin{x}-\cos{x}+1}}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।উত্তরঃ \(\ln{\left|\frac{\tan{\frac{x}{2}}}{1+\tan{\frac{x}{2}}}\right|}+c\)
বুয়েটঃ ২০১১-২০১২
\(\frac{dx}{a\sin{x}+b\cos{x}}\) এর যোগজীকরণ
Interpretation of \(\frac{dx}{a\sin{x}+b\cos{x}}\)
\(\int{\frac{dx}{a\sin{x}+b\cos{x}}}\) আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।
\(a=r\cos{\alpha}\) এবং \(b=r\sin{\alpha}\) বসালে যোগজটি \(\frac{1}{r}\int{cosec \ {x+\alpha}}\) আকার ধারণ করে, যেখানে \(r=\sqrt{a^2+b^2}\) অতঃপর \(x+\alpha=t\) ধরে সমাধান করতে হয়।যেমনঃ
\(\int{\frac{dx}{a\cos{x}+b\sin{x}}}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\ln{\left|\tan{\frac{1}{2}\left\{x+\tan^{-1}{\left(\frac{a}{b}\right)}\right\}}\right|}+c\)
কুয়েটঃ ২০০৯-২০১০
\(\frac{p\cos{x}+q\sin{x}}{a\cos{x}+b\sin{x}}\) এবং \(\frac{p\cos{x}+q\sin{x}+r}{a\cos{x}+b\sin{x}+c}\) এর যোগজীকরণ
Interpretation of \(\frac{p\cos{x}+q\sin{x}}{a\cos{x}+b\sin{x}}\) and \(\frac{p\cos{x}+q\sin{x}+r}{a\cos{x}+b\sin{x}+c}\)
\(\int{\frac{p\cos{x}+q\sin{x}}{a\cos{x}+b\sin{x}}dx}\) এবং \(\int{\frac{p\cos{x}+q\sin{x}+r}{a\cos{x}+b\sin{x}+c}dx}\) আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।
১ম যোগজের ক্ষেত্রে লব= \(L\times\) ( হর ) +\(M\times\) ( হরের অন্তরকসহগ ) ধরে উভয় পার্শ হতে \(\sin{x}\) ও \(\cos{x}\) এর সহগ সমীকৃত করে, অতঃপর \(L\) ও \(M\) নির্ণয় করে সমাধান করতে হয়। যেমনঃ
\(\int{\frac{2\sin{x}+3\cos{x}}{7\sin{x}-2\cos{x}}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।উত্তরঃ \(\frac{8x}{53}+\frac{25}{53}\ln{|7\sin{x}-2\cos{x}|}+c\)
২য় যোগজের ক্ষেত্রে লব= \(L\times\) ( হর ) +\(M\times\) ( হরের অন্তরকসহগ ) +\(N\) ধরে উভয় পার্শ হতে \(\sin{x}\) ও \(\cos{x}\) এর সহগ এবং ধ্রুবক রাশি সমীকৃত করে, অতঃপর \(L\), \(M\) ও \(N\) নির্ণয় করে সমাধান করতে হয়।
যেমনঃ
\(\int{\frac{1-\sin{x}+\cos{x}}{1+\sin{x}-\cos{x}}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।উত্তরঃ \(-x+2\ln{\left|\frac{\tan{\frac{x}{2}}}{1+\tan{\frac{x}{2}}}\right|}+c\)
\(\frac{1}{(x-a)^m(x-b)^n}\) এর যোগজীকরণ
Interpretation of \(\frac{1}{(x-a)^m(x-b)^n}\)
\(\int{\frac{1}{(x-a)^m(x-b)^n}dx}\) আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।
\(x-a=t(x-b)\) ধরে সমাধান করতে হয়।যেমনঃ
\(\int{\frac{dx}{(x-b)^3(x-a)^2}}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।উত্তরঃ \(\frac{1}{(a-b)^4}\left[\frac{3(x-a)}{x-b}+3\ln{\left|\frac{x-b}{x-a}\right|}-\frac{(x-a)^2}{2(x-b)^2}-\frac{x-b}{x-a}\right]+c\)
Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000010