আদর্শ সূত্র ব্যবহার করে যোগজীকরণ
Integration using standard formulas
barcode
এ অধ্যায়ের পাঠ্যসূচী
কতিপয় আদর্শ যোগজ
Some standard Integration
যোগজীকরণের সূত্র
\(\int{\frac{1}{a^2+x^2}dx}\)\(=\frac{1}{a}\tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+c\)
যোগজীকরণের সূত্র
\(\int{\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx}\)\(=\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+c\)

\(\frac{1}{x\sqrt{x^2-a^2}}\) এবং \(\frac{1}{a^2-x^2}\) এর যোগজীকরণ
Interpretation of \(\frac{1}{x\sqrt{x^2-a^2}}\) and \(\frac{1}{a^2-x^2}\)
যোগজীকরণের সূত্র
\(\int{\frac{1}{x\sqrt{x^2-a^2}}dx}\)\(=\frac{1}{a}\sec^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+c\)
যোগজীকরণের সূত্র
\(\int{\frac{1}{a^2-x^2}dx}\)\(=\frac{1}{2a}\ln{\left|\frac{a+x}{a-x}\right|}+c\)

\(\frac{1}{x^2-a^2}\) এবং \(\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}\) এর যোগজীকরণ
Interpretation of \(\frac{1}{x^2-a^2}\) and \(\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}\)
যোগজীকরণের সূত্র
\(\int{\frac{1}{x^2-a^2}dx}\)\(=\frac{1}{2a}\ln{\left|\frac{x-a}{x+a}\right|}+c\)
যোগজীকরণের সূত্র
\(\int{\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}dx}\)\(=\ln{|\sqrt{a^2+x^2}+x|}+c\)

\(\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}\) এবং \(\sqrt{a^2-x^2}\) এর যোগজীকরণ
Interpretation of \(\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}\) and \(\sqrt{a^2-x^2}\)
যোগজীকরণের সূত্র
\(\int{\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx}\)\(=\ln{|\sqrt{x^2-a^2}+x|}+c\)
যোগজীকরণের সূত্র
\(\int{\sqrt{a^2-x^2}dx}\)\(=\frac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2}+\frac{a^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{a}\right)}+c\)

বিশেষ আকারের যোগজ \(\frac{1}{ax^2+bx+c}\) এর যোগজীকরণ
Interpretation of Special shaped integration \(\frac{1}{ax^2+bx+c}\)
\(\int{\frac{1}{ax^2+bx+c}dx}\) আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।
\(\int{\frac{1}{ax^2+bx+c}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)}dx}\)
\(=\frac{1}{a}\int{\frac{1}{x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}}dx}\)
\(=\frac{1}{a}\int{\frac{1}{x^2+2.x.\frac{b}{2a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}}dx}\)
\(=\frac{1}{a}\int{\frac{1}{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}}dx}\)
\(=\frac{1}{a}\int{\frac{1}{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2}}dx}\)
\(=\frac{1}{a}\int{\frac{1}{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a^2}}dx}\)
\(=\frac{1}{a}\int{\frac{1}{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}\right)^2}dx}\)
এখন \(x+\frac{b}{2a}\) কে \(t\) দ্বারা প্রতিস্থাপন করে আদর্শ যোগজের সূত্র প্রয়োগ করে সমাধান করতে হয়।
যেমনঃ
\(\int{\frac{1}{x^2+8x+25}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।

\(\frac{1}{(ax+b)\sqrt{cx+d}}\) এর যোগজীকরণ
Interpretation of \(\frac{1}{(ax+b)\sqrt{cx+d}}\)
\(\int{\frac{1}{(ax+b)\sqrt{cx+d}}dx}\) আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।
\(\sqrt{cx+d}\) কে \(t\) দ্বারা প্রতিস্থাপন করে আদর্শ যোগজের সূত্র প্রয়োগ করে সমাধান করতে হয়।
যেমনঃ
\(\int{\frac{1}{(2x+3)\sqrt{4x+5}}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।

\(\frac{1}{(cx+d)\sqrt{ax^2+bx+c}}\) এর যোগজীকরণ
Interpretation of \(\frac{1}{(cx+d)\sqrt{ax^2+bx+c}}\)
\(\int{\frac{1}{(cx+d)\sqrt{ax^2+bx+c}}dx}\) আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।
\(\sqrt{cx+d}\) কে \(\frac{1}{t}\) দ্বারা প্রতিস্থাপন করে আদর্শ যোগজের সূত্র প্রয়োগ করে সমাধান করতে হয়।
যেমনঃ
\(\int{\frac{1}{(x-1)\sqrt{x^2+1}}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।

\(\frac{1}{(ax^2+b)\sqrt{cx^2+d}}\) এর যোগজীকরণ
Interpretation of \(\frac{1}{(ax^2+b)\sqrt{cx^2+d}}\)
\(\int{\frac{1}{(ax^2+b)\sqrt{cx^2+d}}dx}\) আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।
\(\frac{\sqrt{cx^2+d}}{x}\) কে \(t\) দ্বারা প্রতিস্থাপন করে আদর্শ যোগজের সূত্র প্রয়োগ করে সমাধান করতে হয়।
যেমনঃ
\(\int{\frac{1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+4}}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।

\(\frac{1}{\sin^{m}{x}\cos^{n}{x}}\) এর যোগজীকরণ
Interpretation of \(\frac{1}{\sin^{m}{x}\cos^{n}{x}}\)
\(\int{\frac{1}{\sin^{m}{x}\cos^{n}{x}}dx}\), \(m+n=p\) জোড় সংখ্যা, আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।
লব ও হরের সহিত \(\sec^{p}{x}\) দ্বারা গুণ করে, অতঃপর \(\tan{x}\) কে \(t\) দ্বারা প্রতিস্থাপন করে সমাধান করতে হয়।
যেমনঃ
\(\int{\frac{1}{\sqrt{\sin^3{x}}\sqrt{\cos^5{x}}}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।

\(\frac{1}{\sin^{m}{x}+\cos^{m}{x}}\) এর যোগজীকরণ
Interpretation of \(\frac{1}{\sin^{m}{x}+\cos^{m}{x}}\)
\(\int{\frac{1}{\sin^{m}{x}+\cos^{m}{x}}dx}\), \(m\) জোড় সংখ্যা, আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।
লব ও হরের সহিত \(\sec^{m}{x}\) দ্বারা গুণ করে, অতঃপর \(\tan{x}\) কে \(t\) দ্বারা প্রতিস্থাপন করে সমাধান করতে হয়।
যেমনঃ
\(\int{\frac{\sin{x}\cos{x}}{\sin^4{x}+\cos^4{x}}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।

\(\frac{1}{x^{\frac{1}{a}}-x^{\frac{1}{b}}}\) এবং \(\frac{x^{\frac{1}{a}}}{1+x^{\frac{1}{b}}}\) এর যোগজীকরণ
Interpretation of \(\frac{1}{x^{\frac{1}{a}}-x^{\frac{1}{b}}}\) and \(\frac{x^{\frac{1}{a}}}{1+x^{\frac{1}{b}}}\)
\(\int{\frac{1}{x^{\frac{1}{a}}-x^{\frac{1}{b}}}dx}\), \(\int{\frac{x^{\frac{1}{a}}}{1+x^{\frac{1}{b}}}dx}\), \(b\gt{a}\) আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।
\(a\) ও \(b\) এর ল. সা. গু. \(c\) হলে, \(x\) কে \(t^{c}\) দ্বারা প্রতিস্থাপন করে সমাধান করতে হয়।
যেমনঃ
\(\int{\frac{dx}{x^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{1}{4}}}}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।

\(\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\) এর যোগজীকরণ
Interpretation of \(\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\)
\(\int{\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}dx}\) আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।
লবকে কে বর্গমূল \((\sqrt{})\) মুক্ত করে সমাধান করতে হয়।
যেমনঃ
\(\int{\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\sin^{-1}{x}+\sqrt{1-x^2}+c\)

\(\frac{1}{\sqrt{(x-\alpha)(x-\beta)}}\) এবং \(\frac{1}{\sqrt{(x-\alpha)(\beta-x)}}\) এর যোগজীকরণ
Interpretation of \(\frac{1}{\sqrt{(x-\alpha)(x-\beta)}}\) and \(\frac{1}{\sqrt{(x-\alpha)(\beta-x)}}\)
\(\int{\frac{dx}{\sqrt{(x-\alpha)(x-\beta)}}}\), \(\int{\frac{dx}{\sqrt{(x-\alpha)(\beta-x)}}}\) আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।
১ম যোগজের ক্ষেত্রে \(\sqrt{x-\alpha}+\sqrt{x-\beta}=t\) ধরে সমাধান করতে হয়।
যেমনঃ
\(\int{\frac{dx}{\sqrt{(x-2)(x-3)}}}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2\ln{|\sqrt{x-2}+\sqrt{x-3}|}+c\)

২য় যোগজের ক্ষেত্রে \(\sqrt{x-\alpha}=t\) ধরে সমাধান করতে হয়।
যেমনঃ
\(\int{\frac{dx}{\sqrt{(x-2)(3-x)}}}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2\sin^{-1}{(\sqrt{x-2})}+c\)

\(\frac{1}{a+b\sin{x}}, \ \frac{1}{a+b\cos{x}}\) এবং \(\frac{1}{a\sin{x}+b\cos{x}+c}\) এর যোগজীকরণ
Interpretation of \(\frac{1}{a+b\sin{x}}, \ \frac{1}{a+b\cos{x}}\) and \(\frac{1}{a\sin{x}+b\cos{x}+c}\)
\(\int{\frac{dx}{a+b\sin{x}}}\), \(\int{\frac{dx}{a+b\cos{x}}}\) এবং \(\int{\frac{dx}{a\sin{x}+b\cos{x}+c}}\) আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।
\(\sin{x}\) এবং \(\cos{x}\) কে \(\tan{\frac{x}{2}}\) এ রুপান্তর করে, অতঃপর \(\tan{\frac{x}{2}}=t\) ধরে সমাধান করতে হয়।
যেমনঃ
\(\int{\frac{dx}{3+2\sin{x}}}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{2}{\sqrt{5}}\tan^{-1}{\left\{\frac{1}{\sqrt{5}}(3\tan{\frac{x}{2}}+2)\right\}}+c\)

যেমনঃ
\(\int{\frac{dx}{3+2\cos{x}}}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{2}{\sqrt{5}}\tan^{-1}{\left(\frac{\tan{\frac{x}{2}}}{\sqrt{5}}\right)}+c\)

যেমনঃ
\(\int{\frac{dx}{\sin{x}-\cos{x}+1}}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\ln{\left|\frac{\tan{\frac{x}{2}}}{1+\tan{\frac{x}{2}}}\right|}+c\)
বুয়েটঃ ২০১১-২০১২

\(\frac{dx}{a\sin{x}+b\cos{x}}\) এর যোগজীকরণ
Interpretation of \(\frac{dx}{a\sin{x}+b\cos{x}}\)
\(\int{\frac{dx}{a\sin{x}+b\cos{x}}}\) আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।
\(a=r\cos{\alpha}\) এবং \(b=r\sin{\alpha}\) বসালে যোগজটি \(\frac{1}{r}\int{cosec \ {x+\alpha}}\) আকার ধারণ করে, যেখানে \(r=\sqrt{a^2+b^2}\) অতঃপর \(x+\alpha=t\) ধরে সমাধান করতে হয়।
যেমনঃ
\(\int{\frac{dx}{a\cos{x}+b\sin{x}}}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\ln{\left|\tan{\frac{1}{2}\left\{x+\tan^{-1}{\left(\frac{a}{b}\right)}\right\}}\right|}+c\)
কুয়েটঃ ২০০৯-২০১০

\(\frac{p\cos{x}+q\sin{x}}{a\cos{x}+b\sin{x}}\) এবং \(\frac{p\cos{x}+q\sin{x}+r}{a\cos{x}+b\sin{x}+c}\) এর যোগজীকরণ
Interpretation of \(\frac{p\cos{x}+q\sin{x}}{a\cos{x}+b\sin{x}}\) and \(\frac{p\cos{x}+q\sin{x}+r}{a\cos{x}+b\sin{x}+c}\)
\(\int{\frac{p\cos{x}+q\sin{x}}{a\cos{x}+b\sin{x}}dx}\) এবং \(\int{\frac{p\cos{x}+q\sin{x}+r}{a\cos{x}+b\sin{x}+c}dx}\) আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।
১ম যোগজের ক্ষেত্রে লব= \(L\times\) ( হর ) +\(M\times\) ( হরের অন্তরকসহগ ) ধরে উভয় পার্শ হতে \(\sin{x}\) ও \(\cos{x}\) এর সহগ সমীকৃত করে, অতঃপর \(L\) ও \(M\) নির্ণয় করে সমাধান করতে হয়।
যেমনঃ
\(\int{\frac{2\sin{x}+3\cos{x}}{7\sin{x}-2\cos{x}}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{8x}{53}+\frac{25}{53}\ln{|7\sin{x}-2\cos{x}|}+c\)

২য় যোগজের ক্ষেত্রে লব= \(L\times\) ( হর ) +\(M\times\) ( হরের অন্তরকসহগ ) +\(N\) ধরে উভয় পার্শ হতে \(\sin{x}\) ও \(\cos{x}\) এর সহগ এবং ধ্রুবক রাশি সমীকৃত করে, অতঃপর \(L\), \(M\) ও \(N\) নির্ণয় করে সমাধান করতে হয়।
যেমনঃ
\(\int{\frac{1-\sin{x}+\cos{x}}{1+\sin{x}-\cos{x}}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-x+2\ln{\left|\frac{\tan{\frac{x}{2}}}{1+\tan{\frac{x}{2}}}\right|}+c\)

\(\frac{1}{(x-a)^m(x-b)^n}\) এর যোগজীকরণ
Interpretation of \(\frac{1}{(x-a)^m(x-b)^n}\)
\(\int{\frac{1}{(x-a)^m(x-b)^n}dx}\) আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।
\(x-a=t(x-b)\) ধরে সমাধান করতে হয়।
যেমনঃ
\(\int{\frac{dx}{(x-b)^3(x-a)^2}}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{(a-b)^4}\left[\frac{3(x-a)}{x-b}+3\ln{\left|\frac{x-b}{x-a}\right|}-\frac{(x-a)^2}{2(x-b)^2}-\frac{x-b}{x-a}\right]+c\)

উদাহরণসমুহ
\(Ex.(1)\) \(\int{\frac{dx}{x^2+25}}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{5}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{5}\right)}+c\)

\(Ex.(2)\) \(\int{\frac{dx}{\sqrt{9-4x^2}}}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{2x}{3}\right)}+c\)

\(Ex.(3)\) \(\int{\frac{1}{9x^2-16}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{24}\ln{|\frac{3x-4}{3x+4}|}+c\)

\(Ex.(4)\) \(\int{\frac{1}{x^2+x+1}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{2}{\sqrt{3}}\tan^{-1}{\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)}+c\)

\(Ex.(5)\) \(\int{\frac{xdx}{2x^4-3x^2-2}}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{10}\ln{\left|\frac{x^2-2}{2x^2+1}\right|}+c\)

\(Ex.(6)\) \(\int{\frac{e^xdx}{5-4e^x-e^{2x}}}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{6}\ln{\left|\frac{5+e^x}{1-e^x}\right|}+c\)

\(Ex.(7)\) \(\int{\frac{(3x-5)dx}{x^2-2x+10}}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{3}{2}\ln{\left|x^2-2x+10\right|}-\frac{2}{3}\tan^{-1}{\left(\frac{x-1}{3}\right)}+c\)

\(Ex.(8)\) \(\int{\frac{dx}{\sqrt{2x^2+3x+4}}}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{2}}\ln{\left|x+\frac{3}{4}+\sqrt{x^2+\frac{3}{2}x+2}\right|}+c\)

\(Ex.(9)\) \(\int{\frac{dx}{\sqrt{3-5x-2x^2}}}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin^{-1}{\left(\frac{4x+5}{7}\right)}+c\)

\(Ex.(10)\) \(\int{\frac{(x+1)}{\sqrt{4+8x-5x^2}}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{9}{5\sqrt{5}}\sin^{-1}{\left(\frac{5x-4}{6}\right)}-\frac{1}{5}\sqrt{4+8x-5x^2}+c\)

\(Ex.(11)\) \(\int{\frac{dx}{(2x-3)\sqrt{3x+2}}}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{26}}\ln{\left|\frac{\sqrt{6x+4}-\sqrt{13}}{\sqrt{6x+4}+\sqrt{13}}\right|}+c\)

\(Ex.(12)\) \(\int{\frac{dx}{(x-3)\sqrt{2x^2-12x+17}}}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\sin^{-1}{\left(\frac{1}{\sqrt{2}(x-3)}\right)}+c\)

\(Ex.(13)\) \(\int{\frac{dx}{(2x^2+a^2)\sqrt{x^2+a^2}}}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{a^2}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}\right)}+c\)

\(Ex.(14)\) \(\int{\frac{1}{(x-b)^3(x-a)^2}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{(a-b)^4}\left[\frac{3(x-a)}{x-b}+3\ln{\left|\frac{x-b}{x-a}\right|}-\frac{(x-a)^2}{2(x-b)^2}-\frac{x-b}{x-a}\right]+c\)

\(Ex.(15)\) \(\int{\frac{dx}{9x^2+4}}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{6}\tan^{-1}{\left(\frac{3x}{2}\right)}+c\)

\(Ex.(16)\) \(\int{\frac{dx}{\sqrt{5-4x^2}}}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\sin^{-1}{\left(\frac{2x}{\sqrt{5}}\right)}+c\)

\(Ex.(17)\) \(\int{\frac{dx}{16x^2-9}}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{24}\ln{\left|\frac{4x-3}{4x+2}\right|}+c\)

Read Example
Q.2-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.3-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.4-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Q.5-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমূহ
ভর্তি পরীক্ষায় আসা প্রশ্নসমূহ

Read More

Post List

Mathematics

Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
Trigonometry 11 and 12 standard
Diff. Calculus 11 and 12 standard
Int. Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard
Vector 11 and 12 standard
Vector Honours course standard
Statics 11 and 12 standard
Dynamics 11 and 12 standard

Chemistry