ধরি,
\(x=a\) সরলরেখা \(y=f(x)\) বক্ররেখাকে \(B_{0}\) বিন্দুতে এবং \(x\)-অক্ষরেখাকে \(A_{0}\) বিন্দুতে ছেদ করে। এবং \(x=b\) সরলরেখা উক্ত বক্ররেখা এবং \(x\)-অক্ষরেখাকে যথাক্রমে \(B_{n}\) এবং \(A_{n}\) বিন্দুতে ছেদ করে। অতএব, \(y=f(x)\) বক্ররেখা \(x=a, x=b\) এবং \(y=0\) কতৃক গঠিত ক্ষেত্র \(A_{0}A_{n}B_{n}B_{0}\) এবং মনে করি, এর ক্ষেত্রফল \(S\). এখন \(A_{0}A_{n}\) রেখাংশকে \(A_{1} A_{2} A_{3} ......... A_{n}\) বিন্দু দ্বারা সমান \(n\) ভাগে ভাগ করি যেন \(A_{0}A_{n}=nh\) হয়, অর্থাৎ \(b-a=nh\) হয়। \(x=a\) এর সমান্তরাল করে \(A_{1} A_{2} A_{3} ......... A_{n}\) বিন্দুগুলির মধ্যদিয়ে অঙ্কিত রেখাগুলি \(y=f(x)\) বক্ররেখাকে যথাক্রমে \(B_{1} B_{2} B_{3} ......... B_{n}\) বিন্দুতে ছেদ করে।

এখানে,
\(B_{0}\) বিন্দুর ভুজ \(=a\) এবং কটি \(=A_{0}B_{0}=f(a)\).
\(B_{1}\) বিন্দুর ভুজ \(=a+h\) এবং কটি \(A_{1}B_{1}=f(a+h)\).
\(B_{2}\) বিন্দুর ভুজ \(=a+2h\) এবং কটি \(A_{2}B_{2}=f(a+2h)\) ইত্যাদি।
আবার ধরি,
\(S_{n}= A_{0}B_{0}.A_{0}A_{1}+A_{1}B_{1}.A_{1}A_{2}+A_{2}B_{2}.A_{2}A_{3}+ ....... +A_{n-1}B_{n-1}.A_{n-1}A_{n}\)
\(= f(a).h+f(a+h).h+f(a+2h).h+ ....... +f(a+\overline{n-1}.h).h\)
\(=h\{f(a)+f(a+h)+f(a+2h)+ ....... +f(a+\overline{n-1}.h)\}\)
\(h\) অতি ক্ষুদ্র হলে, \(B_{0}A_{0}A_{1}B_{1}, B_{1}A_{1}A_{2}B_{2} ..... \) ক্ষেত্রগুলি আয়তক্ষেত্রের আকার ধারণ করে।
অতএব, \(n\rightarrow\infty\) হলে \(n\rightarrow 0\) হবে এবং এক্ষেত্রে
\(A_{0}A_{n}B_{n}B_{0}\) এর ক্ষেত্রফল \[=\lim_{a \rightarrow b}h\{f(a)+f(a+h)+f(a+2h)+f(a+3h)+ ..........+f(a+\overline{n-1}.h)\}\] হবে।
এ সীমাস্থ মানকে নির্দিষ্ট যোগজ বলে, যাকে \(\int_{a}^{b}{f(x)dx}\) প্রতীক দ্বারা সূচিত করা হয়।
\(\therefore \int_{a}^{b}{f(x)dx}\) \[=\lim_{a \rightarrow b}h\{f(a)+f(a+h)+f(a+2h)+f(a+3h)+ ..........+f(a+\overline{n-1}.h)\}\]
(proved)