এ অধ্যায়ের পাঠ্যসূচী
- সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ (Vector Equation of a Straight line)
- শর্তসাপেক্ষে সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ (Conditional vector equation of straight line)
- দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ (The vector equation of a straight line through two fixed points)
- সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ থেকে কার্তেসীয় সমীকরণ (Cartesian equation from vector equation of straight line)
- ন্যূনতম দূরত্ব (Shortest distance)
- তিনটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী সমতলের ভেক্টর সমীকরণ (The vector equation of a plane through three fixed points)
- একটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী এবং দুইটি ভেক্টরের সমান্তরাল সমতলের ভেক্টর সমীকরণ (The vector equation of a plane through a point and parallel to two vectors)
- দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী এবং একটি ভেক্টরের সমান্তরাল সমতলের ভেক্টর সমীকরণ (The vector equation of a plane through two points which parallel to a vectors)
- একটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী এবং একটি ভেক্টরের উপর লম্ব সমতলের ভেক্টর সমীকরণ (The vector equation of a plane through a point which perpendicular to a vector)
- দুইটি রেখার মধ্যবর্তী ন্যূনতম দূরত্ব (Shortest distance between two vector lines)
- বাহু সাপেক্ষে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল (Area of Parallelogram to the side)
- ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল (Area of Triangle)
- কর্ণ সাপেক্ষে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল (Area of Parallelogram to the diagonals)
- ধার সাপেক্ষে চতুস্তলকটির আয়তন (Area of Tetrahedron to the edges)
- শীর্ষবিন্দু সাপেক্ষে চতুস্তলকটির আয়তন (Area of Tetrahedron to the vertices)
- শীর্ষবিন্দু সাপেক্ষে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল (Area of Triangle to the vertices)
- অধ্যায় \(C\)-এর উদাহরণসমুহ
- অধ্যায় \(C\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(C\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(C\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(C\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ
Vector Equation of a Straight line
\(A(\overline{a})\) বিন্দুগামী \(\overline{B}\) ভেক্টরের সমান্তরাল রেখার ভেক্টর সমীকরণঃ
\(\overline{r}=\overline{a}+t\overline{b}\)
অথবা,
\((\overline{r}-\overline{a})\times\overline{b}=0\)
জাতীয়ঃ ২০১৮,২০০৮,২০০৩ ।
দ্রঃ সরলরেখাটি যদি মূলবিন্দুগামী হয় তাহলে, \(\overline{a}=\overline{0}\)
অথবা,
\(\overline{r}\times\overline{b}=0\)
\(\overline{r}=\overline{a}+t\overline{b}\)
অথবা,
\((\overline{r}-\overline{a})\times\overline{b}=0\)
জাতীয়ঃ ২০১৮,২০০৮,২০০৩ ।
দ্রঃ সরলরেখাটি যদি মূলবিন্দুগামী হয় তাহলে, \(\overline{a}=\overline{0}\)
সুতরাং, মূলবিন্দুগামী এবং \(\overline{b}\) ভেক্টরের সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ,
\(\overline{r}=t\overline{b}\)অথবা,
\(\overline{r}\times\overline{b}=0\)
শর্তসাপেক্ষে সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ
Conditional vector equation of straight line
\(A(\overline{a})\) বিন্দুগামী এবং \(B(\overline{b})\) ও \(C(\overline{c})\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ,
\(\overline{r}=\overline{a}+t(\overline{b}-\overline{c})\)
অথবা,
\((\overline{r}-\overline{a})\times(\overline{c}-\overline{b})=0\)
\(\overline{r}=\overline{a}+t(\overline{b}-\overline{c})\)
অথবা,
\((\overline{r}-\overline{a})\times(\overline{c}-\overline{b})=0\)
দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ
The vector equation of a straight line through two fixed points
\(A(\overline{a})\) এবং \(B(\overline{b})\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ,
\(\overline{r}=(1-t)\overline{a}+t\overline{b}\)
অথবা,
\((\overline{r}-\overline{a})\times(\overline{b}-\overline{a})=0\)
\(\overline{r}=(1-t)\overline{a}+t\overline{b}\)
অথবা,
\((\overline{r}-\overline{a})\times(\overline{b}-\overline{a})=0\)
সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ থেকে কার্তেসীয় সমীকরণ
Cartesian equation from vector equation of straight line
ভেক্টর সমীকরণ \(\overline{r}=\overline{a}+t\overline{b}\) এর কার্তেসীয় সমীকরণ,
\(\frac{x-a_{1}}{b_{1}}=\frac{y-a_{2}}{b_{2}}=\frac{z-a_{3}}{b_{3}}\)
\(\frac{x-a_{1}}{b_{1}}=\frac{y-a_{2}}{b_{2}}=\frac{z-a_{3}}{b_{3}}\)
ন্যূনতম দূরত্ব
Shortest distance
\(C(\overline{c})\) বিন্দু হতে \(A(\overline{a})\) এবং \(B(\overline{b})\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ সরলরেখার ন্যূনতম দূরত্ব,
CL=\(\left|(\overline{c}-\overline{a})\times\frac{\overline{b}-\overline{a}}{|\overline{b}-\overline{a}|}\right|\)
CL=\(\left|(\overline{c}-\overline{a})\times\frac{\overline{b}-\overline{a}}{|\overline{b}-\overline{a}|}\right|\)
তিনটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী সমতলের ভেক্টর সমীকরণ
The vector equation of a plane through three fixed points
\(A(\overline{a}),\) \(B(\overline{b})\) এবং \(C(\overline{c})\) বিন্দুগামী সমতলের ভেক্টর সমীকরণ,
\([\overline{r} \ \overline{a} \ \overline{b}]+[\overline{r} \ \overline{b} \ \overline{c}]+[\overline{r} \ \overline{c} \ \overline{a}]=[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]\)
\([\overline{r} \ \overline{a} \ \overline{b}]+[\overline{r} \ \overline{b} \ \overline{c}]+[\overline{r} \ \overline{c} \ \overline{a}]=[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]\)
একটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী এবং দুইটি ভেক্টরের সমান্তরাল সমতলের ভেক্টর সমীকরণ
The vector equation of a plane through a point and parallel to two vectors
\(A(\overline{a})\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{b}\) ও \(\overline{c}\) ভেক্টরের সমান্তরাল সমতলের ভেক্টর সমীকরণ,
\([\overline{r} \ \overline{b} \ \overline{c}]=[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]\)
\([\overline{r} \ \overline{b} \ \overline{c}]=[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]\)
দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী এবং একটি ভেক্টরের সমান্তরাল সমতলের ভেক্টর সমীকরণ
The vector equation of a plane through two points which parallel to a vectors
\(A(\overline{a})\) ও \(B(\overline{b})\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{c}\) ভেক্টরের সমান্তরাল সমতলের ভেক্টর সমীকরণ,
\([\overline{r} \ \overline{b} \ \overline{c}]+[\overline{r} \ \overline{c} \ \overline{a}]=[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]\)
অথবা,
\((\overline{r}-\overline{a}).\{(\overline{b}-\overline{a})\times\overline{c}\}=0\)
জাতীয়ঃ ২০০৭ ।
\([\overline{r} \ \overline{b} \ \overline{c}]+[\overline{r} \ \overline{c} \ \overline{a}]=[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]\)
অথবা,
\((\overline{r}-\overline{a}).\{(\overline{b}-\overline{a})\times\overline{c}\}=0\)
জাতীয়ঃ ২০০৭ ।
একটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী এবং একটি ভেক্টরের উপর লম্ব সমতলের ভেক্টর সমীকরণ
The vector equation of a plane through a point which perpendicular to a vector
\(A(\overline{a})\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{n}\) ভেক্টরের উপর লম্ব সমতলের ভেক্টর সমীকরণ,
\(\overline{r}.\overline{n}=\overline{a}.\overline{n}\)
\(\overline{r}.\overline{n}=P\)
যেখানে, \(\overline{n}=l\hat{i}+m\hat{j}+n\hat{k}\)
\((\overline{r}-\overline{a}).\overline{n}=0\)
\((\overline{r}-\overline{a}).(\overline{n_{1}}\times\overline{n_{2}})=0\)
\((\overline{r}-\overline{a}).\{(\overline{b}-\overline{a})\times\overline{d}\}=0\)
\(\overline{r}.\overline{n}=\overline{a}.\overline{n}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(lx+my+nz=P\) সমতলের ভেক্টর সমীকরণ, \(\overline{r}.\overline{n}=P\)
যেখানে, \(\overline{n}=l\hat{i}+m\hat{j}+n\hat{k}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(A(\overline{a})\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{r}.\overline{n}=P\) সমতলের সমান্তরাল সমতলের ভেক্টর সমীকরণ, \((\overline{r}-\overline{a}).\overline{n}=0\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(A(\overline{a})\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{r}.\overline{n_{1}}=p\) ও \(\overline{r}.\overline{n_{2}}=q\) সমতলদ্বয়ের ছেদরেখার উপর লম্ব সমতলের ভেক্টর সমীকরণ \((\overline{r}-\overline{a}).(\overline{n_{1}}\times\overline{n_{2}})=0\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(A(\overline{a})\) ও \(B(\overline{b})\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{r}=\overline{c}+t\overline{d} \) সরলরেখার সমান্তরাল সমতলের ভেক্টর সমীকরণ, \((\overline{r}-\overline{a}).\{(\overline{b}-\overline{a})\times\overline{d}\}=0\)
দুইটি রেখার মধ্যবর্তী ন্যূনতম দূরত্ব
Shortest distance between two vector lines
\(\overline{r}=\overline{a_{1}}+t\overline{b_{1}}\) ও \(\overline{r}=\overline{a_{2}}+s\overline{b_{2}}\) রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী ন্যূনতম দূরত্ব,
S.D=\(\left|(\overline{a_{1}}-\overline{a_{2}}).\frac{\overline{b_{1}}\times\overline{b_{2}}}{|\overline{b_{1}}\times\overline{b_{2}}|}\right|\)
\((\overline{r}-\overline{a_{1}}).\{\overline{b_{1}}\times(\overline{b_{1}}\times\overline{b_{2}})\}=0\)
\((\overline{r}-\overline{a_{1}}).\{\overline{b_{1}}\times(\overline{b_{1}}\times\overline{b_{2}})\}=0=(\overline{r}-\overline{a_{2}}).\{\overline{b_{2}}\times(\overline{b_{1}}\times\overline{b_{2}})\}\)
S.D=\(\left|(\overline{a_{1}}-\overline{a_{2}}).\frac{\overline{b_{1}}\times\overline{b_{2}}}{|\overline{b_{1}}\times\overline{b_{2}}|}\right|\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(\overline{r}=\overline{a_{1}}+t\overline{b_{1}}\) রেখা এবং ন্যূনতম দূরত্ব রেখাগামী সমতলের ভেক্টর সমীকরণ, \((\overline{r}-\overline{a_{1}}).\{\overline{b_{1}}\times(\overline{b_{1}}\times\overline{b_{2}})\}=0\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(\overline{r}=\overline{a_{1}}+t\overline{b_{1}}\) রেখা এবং ন্যূনতম দূরত্ব রেখাগামী রেখার ভেক্টর সমীকরণ \((\overline{r}-\overline{a_{1}}).\{\overline{b_{1}}\times(\overline{b_{1}}\times\overline{b_{2}})\}=0=(\overline{r}-\overline{a_{2}}).\{\overline{b_{2}}\times(\overline{b_{1}}\times\overline{b_{2}})\}\)
বাহু সাপেক্ষে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল
Area of Parallelogram to the side
কোনো সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহু \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) দ্বারা সূচিত হলে ঐ সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল,
\(▱=|\overline{a}\times\overline{b}|\)
\(▱=|\overline{a}\times\overline{b}|\)
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
Area of Triangle
কোনো ত্রিভুজের দুইটি বাহু \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) দ্বারা সূচিত হলে ঐ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল,
\(\triangle=\frac{1}{2}|\overline{a}\times\overline{b}|\)
\(\triangle=\frac{1}{2}|\overline{a}\times\overline{b}|\)
বাহু সাপেক্ষে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল
Area of Parallelogram to the diagonals
\(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) ভেক্টর দ্বারা কোনো সামান্তরিকের দুইটি কর্ণ সূচিত হলে ঐ সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফল,
\(▱=\frac{1}{2}|\overline{a}\times\overline{b}|\)
\(▱=\frac{1}{2}|\overline{a}\times\overline{b}|\)
ধার সাপেক্ষে চতুস্তলকটির আয়তন
Area of Tetrahedron to the edges
কোনো চতুস্তলকের সমবিন্দু ধারসমূহ \(\overline{a},\) \(\overline{b}\) ও \(\overline{c}\) ভেক্টর দ্বারা সূচিত হলে ঐ চতুস্তলকটির আয়তন,
\(\frac{1}{6}[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}].\)
\(\frac{1}{6}[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}].\)
শীর্ষবিন্দু সাপেক্ষে চতুস্তলকটির আয়তন
Area of Tetrahedron to the vertices
কোনো চতুস্তলকের চারটি শীর্ষবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{a},\) \(\overline{b},\) \(\overline{c},\) \(\overline{d}\) হলে ঐ চতুস্তলকটির আয়তন,
\(\frac{1}{6}\{[\overline{b} \ \overline{c} \ \overline{d}]-[\overline{c} \ \overline{d} \ \overline{a}]+[\overline{d} \ \overline{a} \ \overline{b}]-[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]\}.\)
\(\frac{1}{6}\{[\overline{b} \ \overline{c} \ \overline{d}]-[\overline{c} \ \overline{d} \ \overline{a}]+[\overline{d} \ \overline{a} \ \overline{b}]-[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]\}.\)
শীর্ষবিন্দু সাপেক্ষে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
Area of Triangle to the vertices
যদি, \(ABC\) ত্রিভুজের \(A , \ B, \ C\) শীর্ষবিন্দু সমূহের অবস্থান ভেক্টর \(\overline{a},\) \(\overline{b},\) \(\overline{c}\) হয় তবে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল,
\(\triangle=\frac{1}{2}|\overline{a}\times\overline{b}+\overline{b}\times\overline{c}+\overline{c}\times\overline{a}|\)
\(\triangle=\frac{1}{2}|\overline{a}\times\overline{b}+\overline{b}\times\overline{c}+\overline{c}\times\overline{a}|\)
Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000001