কনিক (Conics): কোন কার্তেসীয় সমতলে একটি বিন্দু যদি এমনভাবে চলে যে ঐ সমতলস্থিত একটি স্থির বিন্দু থেকে দূরত্ব এবং একটি নির্দিষ্ট রেখা থেকে লম্বদূরত্বের অনুপাত একটি স্থির রাশি , তবে ঐ বিন্দুর সঞ্চারপথকে কনিক বলা হয়। স্থির বিন্দুটিকে কনিকের উপকেন্দ্র (Focus), নির্দিষ্ট সরলরেখাটিকে এর নিয়ামক রেখা (Directrix) এবং ঐ স্থির রাশিকে উৎকেন্দ্রিকতা বা বিকেন্দ্রিকতা (Eccentricity) বলাহয়। জ্যামিতিক ব্যাখ্যাঃ মনে করি, কোন সমতলে \(S\) একটি স্থির বিন্দু এবং \(CD\) একটি স্থির সরলরেখা। একটি চলমান বিন্দু \(P(x, y)\) যা সমতলের উপর অবস্থিত। \(P\) বিন্দু হতে \(S\) বিন্দুর দূরত্ব \(PS\) এবং \(P\) বিন্দু হতে \(CD\) এর উপর লম্ব-দূরত্ব \(PM\) এর অনুপাত সর্বদা স্থির হয়, তাহলে \(P\) এর সঞ্চারপথকে কনিক বলে। স্থির রাশিটিকে \(e\) দ্বারা প্রকাশ করলে \(\frac{PS}{PM}=e\) হয়। এখানে \(e\) কে উৎকেন্দ্রিকতা (Eccentricity) বলে। সুতরাং \(PS=e.PM\) কনিকের সমীকরণ প্রকাশ করে।

অক্ষরেখাঃ উপকেন্দ্রের মধ্যদিয়ে নিয়ামকরেখার উপর অঙ্কিত লম্ব রেখাটিকে (AX) পরাবৃত্তের অক্ষরেখা বা অক্ষ (Axis) বলা হয়।
শীর্ষবিন্দুঃ পরাবৃত্ত ও অক্ষরেখার ছেদবিন্দুকে (A) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু (Vertex) বলে।
উপকেন্দ্রঃ পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে নির্দিষ্ট বিন্দুটিকে (S) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র (Focus) বলে।
নিয়ামকরেখাঃ পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে নির্দিষ্ট সরলরেখাটিকে (CD) পরাবৃত্তের নিয়ামকরেখা (Directrix) বলে।
উৎকেন্দ্রিকতাঃ পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে স্থির অনুপাতটিকে \((e)\) পরাবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা (Eccentricity) বলে।
নিয়ামকরেখার পাদবিন্দুঃ নিয়ামকরেখা ও অক্ষরেখার ছেদবিন্দুকে (Z) নিয়ামকরেখার পাদবিন্দু (Foot point) বলে।
উপকেন্দ্রিক দূরত্বঃ উপকেন্দ্র থেকে পরাবৃত্তের যে কোন বিন্দুর দূরত্বকে উপকেন্দ্রিক দূরত্ব (Focal distance) বলে।
উপকেন্দ্রিক জ্যাঃ পরাবৃত্তের যে জ্যা পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র দিয়ে গমন করে তাকে উপকেন্দ্রিক জ্যা (Focal chord) বলে।
উপকেন্দ্রিক লম্বঃ উপকেন্দ্রিক জ্যা অক্ষের উপর লম্ব হলে \(L\acute L\) তাকে পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্ব (Latus rectum) বলে।

\(e\) এর বিভিন্ন মানের জন্য সঞ্চারপথের আকৃতি বিভিন্ন হয়, যা নিম্নরূপঃ
বৃত্তঃ \(e=0\) হলে, সঞ্চারপথকে বৃত্ত (Circle) বলা হয়। অতএব বৃত্ত হলো উপবৃত্তের একটি সীমায়িত অবস্থান যার বিকেন্দ্রিকতা শুন্য এবং যার নিয়ামক অসীমে থাকে। আবার একটি বৃত্ত বিন্দুতে পরিণত হতে পারে যখন এর ব্যাসার্ধ শুন্য হয়।
পরাবৃত্তঃ \(e=1\) হলে, সঞ্চারপথকে পরাবৃত্ত (Parabola) বলা হয়। অতএব, পরাবৃত্তস্থ প্রত্যেকটি বিন্দু উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা থেকে সমান দূরে অবস্থিত।
উপবৃত্তঃ \(1>e>0\) হলে, সঞ্চারপথকে উপবৃত্ত (Ellipse) বলা হয়। উপবৃত্তস্থ প্রত্যেকটি বিন্দু থেকে উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখার দূরত্বের অনুপাত একটি স্থির রাশি যার মাণ শুন্য অপেক্ষা বড় এবং \(1\) অপেক্ষা ছোট।
অধিবৃত্তঃ \(e>1\) হলে, সঞ্চারপথকে অধিবৃত্ত (Hyperbola) বলা হয়। অধিবৃত্তস্থ প্রত্যেকটি বিন্দু থেকে উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখার দূরত্বের অনুপাত একটি স্থির রাশি যার মাণ \(1\) অপেক্ষা বড় ।
যুগল সরলরেখাঃ \(e>1\) এবং উপকেন্দ্র নিয়ামকের উপর অবস্থিত হলে, সঞ্চারপথকে যুগল সরলরেখা (Pair of Straight Lines) বলা হয়। অতএব এক্ষেত্রে কনিকটি দুইটি বাস্তব ও ভিন্ন সরলরেখা নির্দেশ করেন।

কোনো কনিকের উপকেন্দ্র \(S\) নিয়ামক রেখা \(MZ\acute M\) ( পরাবৃত্তের ক্ষেত্রে ) এবং \(MZ\) ও \(\acute M\acute Z\) ( উপবৃত্ত ও অধিবৃত্তের ক্ষেত্রে ) উৎকেন্দ্রিকতা \(e\) এবং উক্ত কনিকের উপরস্থ যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\) হলে উক্ত কনিকের সমীকরণ \(\frac{PS}{PM}=e\)।

কোণ থেকে কনিকের উৎপত্তি। একটি নির্দিষ্ট সরলরেখা কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে অপর একটি সরলরেখার এক প্রান্ত বেধে রেখে যদি রেখাটিকে ঐ নির্দিষ্ট রেখার চারিদিকে সূক্ষ্ণকোণে আবর্তন করানো হয়, তবে একটি বৃত্তীয় কোণ উৎপন্ন হয়। নির্দিষ্ট রেখাটি \((AO)\) ভূমির সহিত লম্ব অর্থাৎ \(\angle AOB=90^o\) হলে একটি সমবৃত্তীয় কোণ উৎপন্ন হয়। নির্দিষ্ট বিন্দুটিকে কোণের শীর্ষবিন্দু, নির্দিষ্ট সরলরেখাকে অক্ষ এবং ঘূর্নায়মান রেখাকে কারিক রেখা (Generating line) বলা হয়।
চিত্রে, \(AO\) অক্ষ (Axis) \(AB\) কারিক রেখা (Generating line) এবং \(\angle OAB\) কে অর্ধশীর্ষ কোণ বলা হয়ে থাকে।

সমতল দ্বারা কোণের ছেদন বা কর্তনের ফলে কনিক উৎপন্ন হয়। বৃত্ত, পরাবৃত্ত, উপবৃত্ত, অধিবৃত্ত এবং যুগল সরলরেখা।
ভূমির সমান্তরাল কিন্তু শীর্ষবিন্দুগামী নয় এরূপ কোনো সমতল দ্বারা যদি সমবৃত্তীয় কোনোককে সম্পূর্ণরূপে ছেদ করা হয় তবে ছেদক রেখাটি একটি বৃত্ত (Circle) উৎপন্ন করে।
কারিক রেখার সমান্তরাল কিন্তু শীর্ষবিন্দুগামী নয় এরূপ কোনো সমতল দ্বারা যদি সমবৃত্তীয় কোনোককে ছেদ বা কর্তন করা হয়, তবে ছেদক রেখাটি একটি পরাবৃত্ত (parabola) উৎপন্ন করে।
কারিক রেখা ও ভূমির সমান্তরাল নয় এবং শীর্ষবিন্দুগামীও নয় এরূপ কোনো সমতল দ্বারা যদি সমবৃত্তীয় কোনোককে সম্পূর্ণরূপে ছেদ করা হয় তবে ছেদক রেখাটি একটি উপবৃত্ত (Ellipse) উৎপন্ন করে।
শীর্ষবিন্দুগামী নয় এরূপ কোনো সমতল দ্বারা যদি কোনো দ্বিকোণকে এমনভাবে ছেদ করা হয় যেন তা উভয় কোণকে ছেদ করে, তবে ছেদক রেখাটি একটি অধিবৃত্ত (Hyperbola) উৎপন্ন করে।
শীর্ষবিন্দুগামী এবং ভূমির সহিত লম্ব এরূপ কোনো সমতল দ্বারা যদি সমবৃত্তীয় কোনোককে সম্পূর্ণরূপে ছেদ করা হয় তবে ছেদক রেখাটি একজোড়া সরলরেখা ( Pair of straight line) উৎপন্ন করে।

পরাবৃত্তের সমীকরণে \(x^2\) অথবা, \(y^2\) যুক্ত পদ বিদ্যমান। \(x\) ও \(y\) যুক্ত পদ থাকতেও পারে নাও থাকতে পারে।

পরাবৃত্তের সমীকরণ \(y^2=4ax \ (a\gt{0})\)

• শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(0, 0)\)
• উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a, 0)\)
• নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x=-a\)
• অক্ষরেখার সমীকরণ \(y=0\)
• উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(x=a\)
• উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
• শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \(x=0\)
• নিয়ামকরেখার পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(Z(-a, 0)\)
• \(P(x, y)\) বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব \(=a+|x|\)

পরাবৃত্তের সমীকরণ \(x^2=4ay \ (a\gt{0})\)

• শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(0, 0)\)
• উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(0, a)\)
• নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(y=-a\)
• অক্ষরেখার সমীকরণ \(x=0\)
• উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(y=a\)
• উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
• শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \(y=0\)
• নিয়ামকরেখার পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(Z(0, -a)\)
• \(P(x, y)\) বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব \(=a+|y|\)

পরাবৃত্তের সমীকরণ \(y^2=-4ax \ (a\gt{0})\)

• শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(0, 0)\)
• উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(-a, 0)\)
• নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x=a\)
• অক্ষরেখার সমীকরণ \(y=0\)
• উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(x=-a\)
• উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
• শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \(x=0\)
• নিয়ামকরেখার পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(Z(a, 0)\)
• \(P(x, y)\) বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব \(=a+|x|\)

পরাবৃত্তের সমীকরণ \(x^2=-4ay \ (a\gt{0})\)

• শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(0, 0)\)
• উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(0, -a)\)
• নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(y=a\)
• অক্ষরেখার সমীকরণ \(x=0\)
• উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(y=-a\)
• উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
• শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \(y=0\)
• নিয়ামকরেখার পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(Z(0, a)\)
• \(P(x, y)\) বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব \(=a+|y|\)

মূলবিন্দুকে উপকেন্দ্রক ধরে পরাবৃত্তের সমীকরণ \(y^2=4a(x+a) \ (a\gt{0})\)

• শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(-a, 0)\)
• উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(0, 0)\)
• নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x+2a=0\)
• অক্ষরেখার সমীকরণ \(y=0\)
• উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(x=0\)
• উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
• শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \(x+a=0\)
• নিয়ামকরেখার পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(Z(-2a, 0)\)

\(Y\)-অক্ষকে নিয়ামকরেখা এবং \(X\)-অক্ষকে অক্ষরেখা ধরে পরাবৃত্তের সমীকরণ \(y^2=4a(x-a) \ (a\gt{0})\)

• শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(a, 0)\)
• উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(2a, 0)\)
• নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x=0\)
• অক্ষরেখার সমীকরণ \(y=0\)
• উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(x-2a=0\)
• উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
• শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \(x-a=0\)
• নিয়ামকরেখার পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(Z(0, 0)\)

পরাবৃত্তের সমীকরণ \(x=ay^2+by+c\)

• অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল।
• শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A\left(-\frac{b^2-4ac}{4a}, -\frac{b}{2a}\right)\)
• উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{1}{a}|\)

• অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল।
• শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(\alpha, \beta)\)
• উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a+\alpha, \beta)\)

Proof

পরাবৃত্তের সমীকরণ \(y=ax^2+bx+c\)

• অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল।
• শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\)
• উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{1}{a}|\)

• অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল।
• শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(\alpha, \beta)\)
• উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(\alpha, a+\beta)\)

Proof

কোনো সরলরেখা পরাবৃত্তের স্পর্শক হওয়ার শর্ত, স্পর্শকের সমীকরণ এবং স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক।
মনে করি,
সরলরেখা ও পরাবৃত্তটির সমীকরণ যথাক্রমে
\(y=mx+c .............(1) \)
\(y^2=4ax ........(2) \)
সরলরেখা \((2)\) নং পরাবৃত্তকে স্পর্শ করার শর্তঃ \(c=\frac{a}{m}\)
স্পর্শকের সমীকরণঃ \(y=mx+\frac{a}{m}\)
স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্কঃ \(\left(\frac{a}{m^2}, \frac{2a}{m}\right)\)
Proof \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তের উপরিস্থিত \(P(x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \(yy_1=2a(x+x_1)\)
\(x^2=4ay\) পরাবৃত্তের উপরিস্থিত \(P(x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \(xx_1=2a(y+y_1)\)

পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র দিয়ে যার এবং এর অক্ষরেখার উপর লম্ব হয়, এরূপ জ্যাকে এর উপকেন্দ্রিক লম্ব (Letus rectum) বলা হয়। \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তের \(AS\) অক্ষরেখার উপর \(L\acute{L}\) লম্ব আঁকি। সুতরাং \(L\acute{L}\) পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্রিক লম্ব, এর উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a, 0)\) । \(L\acute{L}\) উপকেন্দ্রিক লম্বটি \(S\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয়। \(L\) বিন্দু থেকে \(MZ\acute{M}\)-এর উপর \(LM\) লম্ব আঁকি।
পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
\(SL=ML\)
\(=ZS\)
\(=ZA+AS\)
\(=a+a\)
\(=2a\)
অনুরূপভাবে,
\(S\acute{L}=-2a\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য্‌
\(L\acute{L}=|2a-(-2a)|=|2a+2a|=|4a|\)
আবার,
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য,
\(L\acute{L}=SL+S\acute{L}\)
\(=SL+SL\)
\(=2SL\)
\(=2\times ML\)
\(=2\times SZ\)
\(=2\times \) উপকেন্দ্র হতে নিয়ামকরেখার লম্বদূরত্ব।
\(\therefore \) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=2\times \) উপকেন্দ্র হতে নিয়ামকরেখার লম্বদূরত্ব।

উপবৃত্তঃ কোনো কার্তেসীয় সমতলে একটি বিন্দু যদি এমনভাবে চলে যে ঐ সমতলস্থিত একটি স্থির বিন্দু থেকে দূরত্ব এবং একটি নির্দিষ্ট রেখা থেকে লম্ব দূরত্বের অনুপাত একটি স্থির রাশি এবং ঐ স্থির রাশিটির মান \(1\) অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর, তবে ঐ বিন্দুর সঞ্চারপথকে উপবৃত্ত বলা হয়। উক্ত স্থির রাশিকে উৎকেন্দ্রতা (Eccentricity) বলা হয়, এবং ইহাকে \(e\) দ্বারা সূচিত করা হয়,যেখানে \(1 > e > 0\) হবে । উপকেন্দ্র দুইটির মধ্যদিয়ে অঙ্কিত উপবৃত্তের সর্ববৃহত রেখাংশ \(A\acute A\) কে বৃহৎ অক্ষ (Major axis) বলা হয়। বৃহদাক্ষের লম্ব দ্বিখন্ডক রেখাংশ \(B\acute B\) কে ক্ষুদ্র অক্ষ (Minor axis) বলা হয়। অক্ষদ্বয়ের মিলিত বিন্দু \(C\) কে কেন্দ্র এবং বৃহদাক্ষের প্রান্ত বিন্দু দুইটিকে শীর্ষবিন্দু বলা হয়।

ধরি,
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S\) নিয়ামকরেখা \(MZ\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e (0 < e < 1)\), নিয়ামকরেখার উপর \(SZ\) লম্ব আঁকি। \(SZ\) রেখাকে \(A\) ও \(\acute A\) বিন্দুদ্বয় \(e:1\) অনুপাতে যথাক্রমে অন্তর্বিভক্ত ও বহিঃর্বিভক্ত করে, যেন \(SA=e.AZ\) এবং \(S\acute A=e.\acute AZ\)।
তাহলে, \(A\) ও \(\acute A\) উপবৃত্তের উপর দুইটি বিন্দু অর্থাৎ শীর্ষবিন্দু।
মনে করি \(A\acute A\)-এর মধ্যবিন্দু \(C\) এবং \(A\acute A=2a\)
তাহলে, \(CA=C\acute A=a\)
এখন,
\(SA=e.AZ\)
\(\therefore a-CS=e(CZ-a) .......(1)\) ➜Note \(\because SA=CA-CS=a-CS; AZ=CZ-CA=CZ-a\)
এবং \(S\acute A=e.\acute AZ\)
\(\therefore a+CS=e(CZ+a) ........(2)\) ➜Note \(\because S\acute A=C\acute A+CS=a+CS; \acute AZ=CZ+CA=CZ+a\)
\((1)\) ও \((2)\) যোগ করে,
\(a-CS+a+CS=e(CZ-a)+e(CZ+a)\)
\(\Rightarrow 2a=e(CZ-a+CZ+a)\)
\(\Rightarrow 2a=e.2CZ\)
\(\Rightarrow a=e.CZ\)
\(\Rightarrow e.CZ=a\)
\(\therefore CZ=\frac{a}{e}\)
\((2)\) - \((1)\)-এর সাহায্যে,
\(a+CS-a+CS=e(CZ+a)-e(CZ-a)\)
\(\Rightarrow 2CS=e(CZ+a-CZ+a)\)
\(\Rightarrow 2CS=e.2a\)
\(\Rightarrow CS=e.a\)
\(\therefore CS=ae\)
\(C\)-কে মূলবিন্দু , \(CX\) ও \(CY\)-কে যথাক্রমে \(x\)-অক্ষ ও \(y\)-অক্ষ বিবেচনা করি। উপবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)। \(P\) বিন্দু হতে \(A\acute A\)-এর উপর \(PN\) ও নিয়ামকরেখার উপর \(PM\) লম্ব আঁকি।
সুতরাং উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে, \(SP=e.PM\)
\(\Rightarrow SP=e.NZ\) ➜Note \(\because PM=NZ\)
\(\Rightarrow SP^2=e^2.NZ^2\) ➜Note উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow SN^2+PN^2=e^2(CN+CZ)^2\) ➜Note \(\because SP^2=SN^2+PN^2; NZ=CN+CZ\)
\(\Rightarrow (ae+x)^2+y^2=e^2\left(x+\frac{a}{e}\right)^2\) ➜Note \(\because SN=CS+CN=ae+x; NZ=x+\frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow (ae+x)^2+y^2=e^2\left(\frac{ex+a}{e}\right)^2\)
\(\Rightarrow (ae+x)^2+y^2=e^2.\frac{(ex+a)^2}{e^2}\)
\(\Rightarrow (ae+x)^2+y^2=(ex+a)^2\)
\(\Rightarrow a^2e^2+2aex+x^2+y^2=e^2x^2+2aex+a^2\)
\(\Rightarrow x^2-e^2x^2+y^2=2aex+a^2-a^2e^2-2aex\)
\(\Rightarrow x^2(1-e^2)+y^2=a^2-a^2e^2\)
\(\Rightarrow x^2(1-e^2)+y^2=a^2(1-e^2)\)
\(\Rightarrow \frac{x^2(1-e^2)}{a^2(1-e^2)}+\frac{y^2}{a^2(1-e^2)}=1\) ➜Note উভয় পার্শে \(a^2(1-e^2)\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2(1-e^2)}=1 .......(3)\)
\((3)\) নং সমীকরণে \(x=0\) বসিয়ে,
\(\frac{0^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2(1-e^2)}=1\)
\(\Rightarrow \frac{0}{a^2}+\frac{y^2}{a^2(1-e^2)}=1\)
\(\Rightarrow 0+\frac{y^2}{a^2(1-e^2)}=1\)
\(\Rightarrow y^2=a^2(1-e^2)\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{a^2(1-e^2)}\)
\(\therefore y=\pm a\sqrt{(1-e^2)}\); ইহা স্পষ্ট যে \(Y\)-অক্ষ উপবৃত্তকে দুইটি বাস্তব বিন্দুতে (যেহেতু \(1>e \)) ছেদ করে।
ধরি,
\(B\) ও \(\acute B\) বিন্দু দুইটি \(C\)-এর বিপরীত দিকে এমনভাবে অবস্থিত যে,
\(CB=C\acute B=a\sqrt{(1-e^2)}\)।
ধরি,
\(CB=C\acute B=b\)
তাহলে, \(b=a\sqrt{(1-e^2)}\)
\(\therefore b^2=a^2(1-e^2) ........(4)\) ➜Note উভয় পার্শে বর্গ করে।
\((4)\)-এর সাহায্য নিয়ে \((3)\) হতে পাই,
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
ইহাই উপবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ।

মূলবিন্দু কেন্দ্রবিশিষ্ট উপবৃত্তের প্রমিত সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)-এ \(x\) বা \(y\) যুক্ত পদ থাকবে না। শুধু \(x^2\) ও \(y^2\) যুক্ত পদ বিদ্যমান। \(x^2\)-এর সহগ \(\frac{1}{a^2}\) এবং \(y^2\)-এর সহগ \(\frac{1}{b^2}\) অসমান ও অভিন্ন চিহ্নযুক্ত।

উপবৃত্তের সমীকরণে \(x^2\) ও \(y^2\) যুক্ত পদ বিদ্যমান। \(x^2\)-এর সহগ এবং \(y^2\)-এর সহগ অসমান ও অভিন্ন চিহ্নযুক্ত। \(x\) ও \(y\) যুক্ত পদ থাকতেও পারে নাও থাকতে পারে।

\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল \(=\pi ab\)

উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \ (a>b)\)

• উপবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(C(0, 0)\)
• উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
• বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2a|\)
• ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2b|\)
• বৃহদাক্ষের সমীকরণ \(y=0\)
• ক্ষুদ্রাক্ষের সমীকরণ \(x=0\)
• উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\pm ae, 0)\)
• নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x=\pm \frac{a}{e}\)
• উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{2b^2}{a}|\)
• উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(x=\pm ae\)
• শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\pm a, 0)\)
• নিয়ামকরেখার পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\pm \frac{a}{e}, 0)\)
• উপকেন্দ্রের মধ্যকার দূরত্ব \(=|2ae|\)
• নিয়ামকদ্বয়ের মধ্যকার দূরত্ব \(=|\frac{2a}{e}|\)
• একই দিকের উপকেন্দ্র ও অনুরূপ নিয়ামকরেখার মধ্যকার দূরত্ব \(|\frac{a}{e}-ae|\)

উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \ (b > a)\)

• উপবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(C(0, 0)\)
• উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
• বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2b|\)
• ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2a|\)
• বৃহদাক্ষের সমীকরণ \(x=0\)
• ক্ষুদ্রাক্ষের সমীকরণ \(y=0\)
• উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((0, \pm be)\)
• নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(y=\pm \frac{b}{e}\)
• উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{2a^2}{b}|\)
• উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(y=\pm be\)
• শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((0, \pm b)\)
• নিয়ামকরেখার পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((0, \pm \frac{b}{e})\)
• উপকেন্দ্রের মধ্যকার দূরত্ব \(=|2be|\)
• নিয়ামকদ্বয়ের মধ্যকার দূরত্ব \(=|\frac{2b}{e}|\)
• একই দিকের উপকেন্দ্র ও অনুরূপ নিয়ামকরেখার মধ্যকার দূরত্ব \(=|\frac{b}{e}-be|\)

উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{(x-\alpha)^2}{a^2}+\frac{(y-\beta)^2}{b^2}=1 \ (a\gt{b})\)

• শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\pm a+\alpha, 0)\)
• উপবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(C(\alpha, \beta)\)
• উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
• বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2a|\)
• ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2b|\)
• বৃহদাক্ষের সমীকরণ \(y-\beta=0\)
• ক্ষুদ্রাক্ষের সমীকরণ \(x-\alpha=0\)
• উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\pm ae+\alpha, \beta)\)
• নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x-\alpha=\pm \frac{a}{e}\)
• উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{2b^2}{a}|\)
• উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(x-\alpha=\pm ae\)

উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{(x-\alpha)^2}{a^2}+\frac{(y-\beta)^2}{b^2}=1 \ (a\lt{b})\)

কোনো সরলরেখা উপবৃত্তের স্পর্শক হওয়ার শর্ত, স্পর্শকের সমীকরণ এবং স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক।
মনে করি,
সরলরেখা ও উপবৃত্তটির সমীকরণ যথাক্রমে
\(y=mx+c .............(1) \)
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(2) \)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং উপবৃত্তকে স্পর্শ করার শর্তঃ \(c=\pm \sqrt{(a^2m^2+b^2)}\)
স্পর্শকের সমীকরণঃ \(y=mx\pm \sqrt{(a^2m^2+b^2)}\)
স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্কঃ \(\left(\frac{\pm a^2m}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}, \frac{\pm b^2}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}\right)\)
Proof কোনো সরলরেখা উপবৃত্তের স্পর্শক হওয়ার শর্ত এবং স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক।
মনে করি,
সরলরেখা ও উপবৃত্তটির সমীকরণ যথাক্রমে
\(x\cos\alpha + y\sin\alpha=p.............(1) \)
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(2) \)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং উপবৃত্তকে স্পর্শ করার শর্তঃ \(p^2=a^2\cos^2\alpha+b^2\sin^2\alpha\)
স্পর্শকের সমীকরণঃ \(x\cos\alpha + y\sin\alpha \pm \sqrt{(a^2\cos^2\alpha+b^2\sin^2\alpha)}=0\)
স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্কঃ \(\left(\frac{a^2\cos\alpha}{p}, \frac{b^2\sin\alpha}{p}\right)\)
কোনো সরলরেখা উপবৃত্তের স্পর্শক হওয়ার শর্ত এবং স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক।
মনে করি,
সরলরেখা ও উপবৃত্তটির সমীকরণ যথাক্রমে
\(lx+my+n=0.............(1) \)
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(2) \)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং উপবৃত্তকে স্পর্শ করার শর্তঃ \(a^2l^2+b^2m^2=n^2\)
স্পর্শকের সমীকরণঃ \(lx+my \pm \sqrt{(a^2l^2+b^2m^2)}=0\)
স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্কঃ \(\left(\frac{-a^2l}{n}, \frac{-b^2m}{n}\right)\)

মনে করি,
একটি নির্দিষ্ট বিন্দু এবং একটি উপবৃত্ত যথাক্রমে \(P(x_1, y_1)\)
এবং \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1) \)
\(P(x_1, y_1)\) বিন্দুটি \((1)\) নং উপবৃত্তের উপরে অবস্থান করার শর্তঃ \(\frac{x^2_1}{a^2}+\frac{y^2_1}{b^2}=0\)
\(P(x_1, y_1)\) বিন্দুটি \((1)\) নং উপবৃত্তের ভিতরে অবস্থান করার শর্তঃ \(0>\frac{x^2_1}{a^2}+\frac{y^2_1}{b^2}\)
\(P(x_1, y_1)\) বিন্দুটি \((1)\) নং উপবৃত্তের বাহিরে অবস্থান করার শর্তঃ \(\frac{x^2_1}{a^2}+\frac{y^2_1}{b^2} > 0\)
উপবৃত্তের উপরিস্থিত কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ।
মনে করি,
একটি নির্দিষ্ট বিন্দু এবং একটি উপবৃত্ত যথাক্রমে \(P(x_1, y_1)\)
এবং \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1) \)
\((1)\) নং উপবৃত্তের উপরিস্থিত \(P(x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণঃ \(\frac{xx_1}{a^2}+\frac{yy_1}{b^2}=1\)

একটি উপবৃত্তের দুইটি উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা আছে। যেহেতু, উপবৃত্তটি \(y\) অক্ষ বরাবর প্রতিসম তাই তাকে \(B\acute B\) বরাবর ভাঁজ করা হলে উপবৃত্তের ডান ও বাম পক্ষ দুইটি পরস্পরের সাথে সমাপতিত হয়। এখন \(x\) অক্ষের উপর \(\acute S\) ও \(\acute Z\) দুইটি বিন্দু এমনভাবে নেওয়া হয়, যেন \(C\acute S=CS=ae \) এবং \(C\acute Z=CZ=\frac{a}{e}\) হয়। \(Z\acute Z\)-এর উপর \(\acute M\acute Z\) লম্ব আঁকি। তাহলে প্রতিসাম্য অনুযায়ী, এটি স্পষ্ট যে, \(\acute S\)-কে উপকেন্দ্র এবং \(\acute M\acute Z\)-কে নিয়ামকরেখা ধরে আমরা একই উপবৃত্ত পাই। অতএব, উপবৃত্তের দুইটি উপকেন্দ্র এবং দুইটি নিয়ামকরেখা আছে।

উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
\(a>b\) ধরে \(C(0, 0)\) বিন্দু উপবৃত্তের কেন্দ্র।
\((1)\) নং সমীকরণে \(y=0\) বসিয়ে পাই \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}+\frac{0}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}+0=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}=1\)
\(\Rightarrow x^2=a^2\)
\(\therefore x=\pm a\) সুতরাং উপবৃত্ত \(X\)-অক্ষকে \(A(a, 0)\) এবং \(\acute A(-a, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(A\acute A\) বৃহদাক্ষ এবং এর দৈর্ঘ্য
\(A\acute A=AC+C\acute A=a+a=2a\)
\(\therefore \) বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2a|\)।
আবার,
\((1)\) নং সমীকরণে \(x=0\) বসিয়ে পাই \(\frac{0^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{0}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow 0+\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow y^2=b^2\)
\(\therefore y=\pm b\)
সুতরাং উপবৃত্ত \(Y\)-অক্ষকে \(B(0, b)\) এবং \(\acute B(0, -b)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(B\acute B\) ক্ষুদ্রাক্ষ এবং এর দৈর্ঘ্য \(B\acute B=BC+C\acute B=b+b=2b\)
\(\therefore \) ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2b|\)।

আমরা জানি,
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1; (a > b)\)
এবং
\(b^2=a^2(1-e^2)\)
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=1-e^2\)
\(\Rightarrow e^2=1-\frac{b^2}{a^2}\)
\(\therefore e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
যেহেতু, উপবৃত্তের \(e\)-এর মান \(1 > e > 0\)
সুতরাং \(e\)-কে ধনাত্মক হিসাবে বিবেচনা করা হয়েছে।
উপবৃত্তের বৃহদাক্ষ হতে \(a\)-এর মান এবং ক্ষুদ্রাক্ষ হতে \(b\)-এর মান জানা থাকলে উৎকেন্দ্রতা \(e\)-এর মান নির্ণয় করা যায়।

মনে করি,
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1; (a > b)\)
এবং
\(b^2=a^2(1-e^2)\) ➜Note এখানে \(e\) উৎকেন্দ্রিকতা।
আবার,
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S\) ও \(\acute S\) এবং নিয়ামক রেখা \(MZ\) ও \(\acute M\acute Z\)।
\(Z\acute Z\) রেখা \(S\) এবং \(\acute S\) বিন্দুগামী। \(Z\acute Z\) রেখা নিয়ামকদ্বয়ের উপর লম্ব।
\(SZ\)-এর উপর \(A\) এমন একটি বিন্দু নেওয়া হল যেন \(SA=eAZ ........(1)\)
আবার,
\(SZ\)-এর বর্দ্ধিতাংশের উপর \(\acute A\) এমন একটি বিন্দু নেওয়া হল যেন \(S\acute A=e\acute AZ\)
ধরি,
\(A\acute A=2a\) এবং \(C\) হল \(A\acute A\)-এর মধ্যবিন্দু। \(C\)-কে কেন্দ্র বিন্দু বলা হয় যার স্থানাঙ্ক \(C(0, 0)\)।
\((1)\) ও \((2)\) যোগ করে পাই
\(SA+S\acute A=eAZ+e\acute AZ\)
\(\Rightarrow A\acute A=e(AZ+\acute AZ)\)
\(\Rightarrow 2a=e(AZ+A\acute A+AZ)\) ➜Note \(\because \acute AZ=A\acute A+AZ\)
\(\Rightarrow 2a=e(A\acute A+2AZ)\)
\(\Rightarrow 2a=e(2a+2AZ)\)
\(\Rightarrow 2a=2e(a+AZ)\)
\(\Rightarrow a=e(a+AZ)\)
\(\Rightarrow a=eCZ\) ➜Note \(\because CZ=CA+AZ=a+AZ\)
\(\Rightarrow eCZ=a\)
\(\therefore CZ=\frac{a}{e} ......(3)\)
আবার,
\(CS=CA-AS\)
\(\Rightarrow CS=CA-eAZ\) ➜Note \(\because AS=eAZ\)
\(\Rightarrow CS=CA-e(CZ-CA)\)
\(\Rightarrow CS=a-e\left(\frac{a}{e}-a\right)\)
\(\Rightarrow CS=a-a+ae\)
\(\therefore CS=ae .........(4)\)
\(C\) বিন্দুকে মূলবিন্দু ধরে \(CX\)-কে \(x\)অক্ষ এবং \(CY\)-কে \(y\)অক্ষ বিবেচনা করি। যেহেতু \(S\) বিন্দু \(x\)অক্ষের উপর অবস্থিত ।
অতএব, \(S\)-এর স্থানাঙ্ক \((ae, 0)\) এখানে \(S\)-কে উপকেন্দ্র বলে। যেহেতু উপকেন্দ্র \(S\) ও \(\acute S\) সুতরাং এদের স্থানাঙ্ক লেখা হয় \((\pm ae, 0)\)।
এবং নিয়ামক রেখা \(\acute M\acute Z\)-এর সমীকরণ \(x=CZ=\frac{a}{e}\)
\(\therefore x=\frac{a}{e}\)
অনুরূপভাবে, নিয়ামক রেখা \(MZ\)-এর সমীকরণ \(x=-\frac{a}{e}\)
সুতরাং উপবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x=\pm \frac{a}{e}\)

উপবৃত্তের যে কোনো উপকেন্দ্রের মধ্য দিয়ে অঙ্কিত বৃহদাক্ষের উপর লম্ব রেখার উপবৃত্তের অন্তর্গত অংশই উপকেন্দ্রিক লম্ব। যদি \(L\acute L\) উপকেন্দ্রিক লম্ব হয়, তবে \(SL=S\acute L\) এবং \(\acute L\)-এর স্থানাঙ্ক \((-ae, SL)\) ।
\(\acute L(-ae, SL)\) বিন্দুটি উপবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1; (a > b)\)-এর উপর অবস্থিত।
\(\Rightarrow \frac{(-ae)^2}{a^2}+\frac{SL^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{a^2e^2}{a^2}+\frac{SL^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow e^2+\frac{SL^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{SL^2}{b^2}=1-e^2 \)
\(\Rightarrow SL^2=b^2(1-e^2) \)
\(\Rightarrow SL^2=b^2\times \frac{b^2}{a^2} \) ➜Note \(\because 1-e^2=\frac{b^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow SL^2=\frac{b^4}{a^2} \)
\(\therefore SL=\frac{b^2}{a} \)
\(\therefore L\acute L=2SL=\frac{2b^2}{a} \)

ধরি,
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তের উপরিস্থিত কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)।
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটি \(S\) ও \(\acute S\) এবং নিয়ামক রেখা দুইটি যথাক্রমে \(MZ\) ও \(\acute M\acute Z\) ।
\(SP\) এবং \(\acute SP\) যোগ করি এবং নিয়ামক রেখা দইটির উপর \(MP\acute M\) লম্ব আঁকি।
এখন,
উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
\(SP=e.PM .......(1)\)
এবং \(\acute SP=e.P\acute M .......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) যোগ করে,
\(SP+\acute SP=e.PM+e.P\acute M\)
\(\Rightarrow SP+\acute SP=e(PM+P\acute M)\)
\(\Rightarrow SP+\acute SP=e\{(CZ+CN)+(C\acute Z-CN)\}\) ➜Note \(\because PM=CZ+CN; P\acute M=C\acute Z-CN\)
\(\Rightarrow SP+\acute SP=e\{CZ+CN+C\acute Z-CN\}\)
\(\Rightarrow SP+\acute SP=e\{CZ+C\acute Z\}\)
\(\Rightarrow SP+\acute SP=e\{CZ+CZ\}\) ➜Note \(\because CZ=C\acute Z\)
\(\Rightarrow SP+\acute SP=e.2CZ\)
\(\Rightarrow SP+\acute SP=2.e.CZ\)
\(\Rightarrow SP+\acute SP=2.CA\) ➜Note \(\because e.CZ=CA\)
\(\Rightarrow SP+\acute SP=A\acute A\) ➜Note \(\because 2.CA=A\acute A\)
\(\therefore SP+\acute SP=2a\) ➜Note \(\because A\acute A=2a\)
\(\therefore \) উপবৃত্তের উপরিস্থিত \(P(x, y)\) বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব দুইটির সমষ্টি, বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্যের সমান। ইহা অতি গুরুত্বপূর্ণ।
দ্রঃ উপবৃত্তের বৃহৎ অক্ষ এর বৃহত্তম জ্যা।

ধরি,
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1; (a>b) ........(1)\)
এবং উপবৃত্তের উপরিস্থিত একটি বিন্দু \(P(x, y)\)
উপবৃত্তের বৃহদাক্ষকে ব্যাস ধরে সহায়ক বৃত্ত অঙ্কন করি, যার সমীকরণ \(x^2+y^2=a^2 .......(2)\)
\(P(x, y)\) বিন্দু থেকে বৃহদাক্ষের উপর একটি লম্ব অঙ্কন করে বর্ধিত করি যা বৃহদাক্ষকে \(N\) এবং বৃত্তকে \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(C\) ও \(Q\) যোগ করি।
মনে করি,
\(\angle QCN=\theta\), এখানে \(\theta\)-কে উপকেন্দ্র কোণ বলা হয়।
\(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((x, y)\) হওয়ায়, \(CN=x\) এবং \(PN=y\)
এখন, \(QCN\) সমকোণী ত্রিভুজে \(\cos\theta=\frac{CN}{CQ}\)
\(\Rightarrow CN=CQ\cos\theta\)
\(\therefore x=a\cos\theta ........(3)\) ➜Note \(\because CQ=a=\)বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
\(x=a\cos\theta\)-এর এই মান \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{(a\cos\theta)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{a^2\cos^2\theta}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \cos^2\theta+\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{b^2}=1-\cos^2\theta\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{b^2}=\sin^2\theta\)
\(\Rightarrow y^2=b^2\sin^2\theta\)
\(\therefore y=b\sin\theta ......(4)\)
সুতরাং, \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\)
\(\theta\)-এর যে কোনো মানের জন্য \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\) বিন্দুটি উপবৃত্তের উপর অবস্থিত, যাকে উপবৃত্তের পরামিতিক স্থানাঙ্ক বলা হয় এবং \(\theta\)-কে পরামিতি (parameter) বলা হয়।
আবার,
\((3)\) ও \((4)\) হতে যথাক্রমে,
\(\cos\theta=\frac{x}{a} ........(5)\)
\(\sin\theta=\frac{y}{b} ........(6)\)
\(\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{\frac{y}{b}}{\frac{x}{a}}\) ➜Note \((6)\)-কে \((5)\) দিয়ে ভাগ করে।
\(\Rightarrow \tan\theta=\frac{ay}{bx}\)
\(\therefore \theta=\tan^{-1}\left(\frac{ay}{bx}\right)\)
\(\theta \)-এর এই মাণ নির্ণয়ের সময় বিন্দুটি কোন চতুর্ভাগে অবস্থিত তা লক্ষনীয়।
\(x=a\cos\theta\) এবং \(y=b\sin\theta\)-কে একত্রে \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তের পরামিতিক সমীকরণ বলে।
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1; (a>b) \) উপবৃত্তের উপর \(P(x, y)\) বিন্দুর পরামিতিক স্থানাংক \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\), যেখানে \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{ay}{bx}\right)\)।
দ্রঃ ইহা স্পষ্ট যে উপবৃত্তের আকার যাই হউকনা কেন ইহার উপরোস্থ যে কোনো বিন্দুর পরামিতিক স্থানাঙ্ক হবে \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\), যেখানে \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{ay}{bx}\right)\). এবং উপবৃত্তের পরামিতিক সমীকরণ হবে
\(x=a\cos\theta\),\(y=b\sin\theta\).

উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{b^2}=1-\frac{x^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{b^2}=\frac{a^2-x^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{b^2(a^2-x^2)}{a^2}\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{\frac{b^2(a^2-x^2)}{a^2}}\)
\(\therefore y=\pm b\sqrt{\frac{(a^2-x^2)}{a^2}}\)
\(\therefore a>x\)-এর যে কোনো মানের জন্য \(y\)-এর দুইটি মান পাওয়া যায়। মান দুইটি সমান কিন্তু বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট। অতএব, ইহা স্পষ্ট যে,উপবৃত্তটি \(X\)-অক্ষ ( বৃহৎ অক্ষ ) বরাবর প্রতিসম।
আবার,
\(x\)-এর সর্বোচ্চ মান \(a\) এবং সর্বনিম্ন মান \(-a\) কারণ, যদি \(x > a\) বা \(-a>x\) হয়, তবে,
\(\frac{a^2-x^2}{a^2}\) ঋনাত্মক হয় এবং \(y\)-এর মান দুইটি অবাস্তব হয়।
অতএব, উপবৃত্তের কোনো অংশই \(x\)-অক্ষের উপর \(A\) ও \(\acute A\) বিন্দু দুইটির বাইরে অবস্থিত হবে না।
উপবৃত্তের সমীকরণটিকে নিম্নোক্তভাবেও লেখা যায়,\(\therefore x=\pm a\sqrt{\frac{(b^2-y^2)}{b^2}}\)
\(\therefore b > y\)-এর যে কোনো মানের জন্য \(x\)-এর দুইটি মান পাওয়া যায়। মান দুইটি সমান কিন্তু বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট। অতএব, ইহা স্পষ্ট যে,উপবৃত্তটি \(Y\)-অক্ষ (ক্ষুদ্র অক্ষ ) বরাবর প্রতিসম।
\(y\)-এর সর্বোচ্চ মান \(b\) এবং সর্বনিম্ন মান \(-b\) কারণ, যদি \(y > b\) বা \(-b > y\) হয়, তবে,
\(\frac{b^2-y^2}{b^2}\) ঋনাত্মক হয় এবং \(x\)-এর মান দুইটি অবাস্তব হয়।
অতএব, উপবৃত্তের কোনো অংশই \(y\)-অক্ষের উপর \(B\) ও \(\acute B\) বিন্দু দুইটির বাইরে অবস্থিত হবে না।
অতএব , উপবৃত্ত একটি সীমাবদ্ধ বক্ররেখা, যা, পুরাপুরি \(x=\pm a, y=\pm b\) সরলরেখা চতুষ্টয় দ্বারা সীমিত আয়তের মধ্যে অবস্থিত।
অক্ষদ্বয়ের দৈর্ঘ্য \(2a\) ও \(2b\) এবং তাদের সমীকরণ যথাক্রমে \(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0\) ও \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0\) উপবৃত্তের সমীকরণ,
\(\frac{1}{a^2}\left(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_{1}^2+b_{1}^2}}\right)^2+\frac{1}{b^2}\left(\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_{2}^2+b_{2}^2}}\right)^2=1\)

অধিবৃত্তঃ কোনো কার্তেসীয় সমতলে একটি বিন্দু যদি এমনভাবে চলে যে ঐ সমতলস্থিত একটি স্থির বিন্দু থেকে দূরত্ব এবং একটি নির্দিষ্ট রেখা থেকে লম্ব দূরত্বের অনুপাত একটি স্থির রাশি এবং ঐ স্থির রাশিটির মান \(1\) অপেক্ষা বৃহত্তর, তবে ঐ বিন্দুর সঞ্চারপথকে অধিবৃত্ত বলা হয়। উক্ত স্থির রাশিকে উৎকেন্দ্রতা (Eccentricity) বলা হয়, এবং ইহাকে \(e\) দ্বারা সূচিত করা হয়,যেখানে \( e > 1\) হবে । উপকেন্দ্র দুইটির মধ্যদিয়ে অঙ্কিত অধিবৃত্তের সর্ববৃহত রেখাংশ \(A\acute A\) কে প্রধান বা আড় অক্ষ ( Transverse axis) বলা হয়। প্রধান অক্ষের লম্ব দ্বিখন্ডক রেখাংশ \(B\acute B\) কে অনুবন্ধী অক্ষ ( Conjugate axis) বলা হয়। অক্ষদ্বয়ের মিলিত বিন্দু \(C\) কে কেন্দ্র বলা হয়।

ধরি,
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S\) নিয়ামকরেখা \(MZ\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e, (e > 1)\), নিয়ামকরেখার উপর \(SZ\) লম্ব আঁকি। \(SZ\) রেখাকে \(A\) ও \(\acute A\) বিন্দুদ্বয় \(e:1\) অনুপাতে যথাক্রমে অন্তর্বিভক্ত ও বহিঃর্বিভক্ত করে, যেন \(SA=e.AZ\) এবং \(S\acute A=e.\acute AZ\)।
তাহলে, \(A\) ও \(\acute A\) অধিবৃত্তের উপর দুইটি বিন্দু।
মনে করি \(A\acute A\)-এর মধ্যবিন্দু \(C\) এবং \(A\acute A=2a\)
তাহলে, \(CA=C\acute A=a\)
এখন,
\(SA=e.AZ\)
\(\therefore CS-a=e(a-CZ) .......(1)\) ➜Note \(\because SA=CA-CS=CS-a; AZ=CZ-CA=a-CZ\)
এবং \(S\acute A=e.\acute AZ\)
\(\therefore CS+a=e(a+CZ) ........(2)\) ➜Note \(\because S\acute A=C\acute A+CS=CS+a; \acute AZ=CZ+CA=a+CZ\)
\((1)\) ও \((2)\) যোগ করে,
\(CS-a+CS+a=e(a-CZ)+e(a+CZ)\)
\(\Rightarrow 2CS=e(a-CZ+a+CZ)\)
\(\Rightarrow 2CS=e.2a\)
\(\therefore CS=ae\)
\((2)\) - \((1)\)-এর সাহায্যে,
\(CS+a-CS+a=e(a+CZ)-e(a-CZ)\)
\(\Rightarrow 2a=e(a+CZ-a+CZ)\)
\(\Rightarrow 2a=e.2CZ\)
\(\Rightarrow a=eCZ\)
\(\Rightarrow eCZ=a\)
\(\therefore CZ=\frac{a}{e}\)
\(C\)-কে মূলবিন্দু , \(CX\) ও \(CY\)-কে যথাক্রমে \(x\)-অক্ষ ও \(y\)-অক্ষ বিবেচনা করি। অধিবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)। \(P\) বিন্দু হতে \(A\acute A\)-এর উপর \(PN\) ও নিয়ামকরেখার উপর \(PM\) লম্ব আঁকি।
সুতরাং অধিবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে, \(SP=e.PM\)
\(\Rightarrow SP=e.NZ\) ➜Note \(\because PM=NZ\)
\(\Rightarrow SP^2=e^2.NZ^2\) ➜Note উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow SN^2+PN^2=e^2(CN-CZ)^2\) ➜Note \(\because SP^2=SN^2+PN^2; NZ=CN-CZ\)
\(\Rightarrow (x-ae)^2+y^2=e^2\left(x-\frac{a}{e}\right)^2\) ➜Note \(\because SN=CS+CN=x-ae; NZ=x-\frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow (x-ae)^2+y^2=e^2\left(\frac{ex-a}{e}\right)^2\)
\(\Rightarrow (x-ae)^2+y^2=e^2.\frac{(ex-a)^2}{e^2}\)
\(\Rightarrow (x-ae)^2+y^2=(ex-a)^2\)
\(\Rightarrow x^2+a^2e^2-2aex+y^2=e^2x^2-2aex+a^2\)
\(\Rightarrow x^2-e^2x^2+y^2=2aex+a^2-a^2e^2-2aex\)
\(\Rightarrow -x^2(e^2-1)+y^2=a^2-a^2e^2\)
\(\Rightarrow -x^2(e^2-1)+y^2=-a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow x^2(e^2-1)-y^2=a^2(e^2-1)\) ➜Note উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^2(e^2-1)}{a^2(e^2-1)}-\frac{y^2}{a^2(e^2-1)}=1\) ➜Note উভয় পার্শে \(a^2(e^2-1)\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2(e^2-1)}=1 .......(3)\)
যেহেতু \(e>1, a^2(e^2-1)\) ধনাত্মক।
অতএব, লিখা যায় \(b^2=a^2(e^2-1)\) ➜Note \(b\) একটি ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা।
\(\therefore b^2=a^2(e^2-1) ........(4)\)
\((4)\)-এর সাহায্য নিয়ে \((3)\) হতে পাই,
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
ইহাই অধিবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ।

মূলবিন্দু কেন্দ্রবিশিষ্ট অধিবৃত্তের প্রমিত সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1; \frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এ \(x\) বা \(y\) যুক্ত পদ থাকবে না। শুধু \(x^2\) ও \(y^2\) যুক্ত পদ বিদ্যমান। \(x^2\)-এর সহগ \(\frac{1}{a^2}\) এবং \(y^2\)-এর সহগ \(-\frac{1}{b^2}\) অসমান ও ভিন্ন চিহ্নযুক্ত।

অধিবৃত্তের সমীকরণে \(x^2\) ও \(y^2\) যুক্ত পদ বিদ্যমান। \(x^2\)-এর সহগ এবং \(y^2\)-এর সহগ অসমান ও ভিন্ন চিহ্নযুক্ত। \(x\) ও \(y\) যুক্ত পদ থাকতেও পারে নাও থাকতে পারে।

অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)

• অধিবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(C(0, 0)\)
• উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
• আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2a|\)
• অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2b|\)
• আড় অক্ষের সমীকরণ \(y=0\)
• অনুবন্ধী অক্ষের সমীকরণ \(x=0\)
• উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\pm ae, 0)\)
• নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x=\pm \frac{a}{e}\)
• উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{2b^2}{a}|\)
• উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(x=\pm ae\)
• শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\pm a, 0)\)
• নিয়ামকরেখার পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\pm \frac{a}{e}, 0)\)
• উপকেন্দ্রের মধ্যকার দূরত্ব \(=|2ae|\)
• নিয়ামকদ্বয়ের মধ্যকার দূরত্ব \(=|\frac{2a}{e}|\)
• একই দিকের উপকেন্দ্র ও অনুরূপ নিয়ামকরেখার মধ্যকার দূরত্ব \(|\frac{a}{e}-ae|\)
• অসীমতটের সমীকরণ \( y=\pm \frac{b}{a}x\)

অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)

• অধিবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(C(0, 0)\)
• উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\)
• আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2b|\)
• অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2a|\)
• আড় অক্ষের সমীকরণ \(x=0\)
• অনুবন্ধী অক্ষের সমীকরণ \(y=0\)
• উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((0, \pm be)\)
• নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(y=\pm \frac{b}{e}\)
• উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{2a^2}{b}|\)
• উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(y=\pm be\)
• শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((0, \pm b)\)
• নিয়ামকরেখার পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((0, \pm \frac{b}{e})\)
• উপকেন্দ্রের মধ্যকার দূরত্ব \(=|2be|\)
• নিয়ামকদ্বয়ের মধ্যকার দূরত্ব \(=|\frac{2b}{e}|\)
• একই দিকের উপকেন্দ্র ও অনুরূপ নিয়ামকরেখার মধ্যকার দূরত্ব \(|\frac{b}{e}-be|\)
• অসীমতটের সমীকরণ \( y=\pm \frac{b}{a}x\)

অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{(x-\alpha)^2}{a^2}-\frac{(y-\beta)^2}{b^2}=1\)

• অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\pm a+\alpha, 0)\)
• অধিবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(C(\alpha, \beta)\)
• উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
• আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2a|\)
• অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2b|\)
• আড় অক্ষের সমীকরণ \(y-\beta=0\)
• অনুবন্ধী অক্ষের সমীকরণ \(x-\alpha=0\)
• উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\pm ae+\alpha, \beta)\)
• নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x-\alpha=\pm \frac{a}{e}\)
• উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{2b^2}{a}|\)
• উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(x-\alpha=\pm ae\)
• অসীমতটের সমীকরণ \( y-\beta=\pm \frac{b}{a}(x-\alpha)\)

অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{(y-\beta)^2}{b^2}-\frac{(x-\alpha)^2}{a^2}=1\)

• অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((0, \pm b+\beta)\)
• অধিবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(C(\alpha, \beta)\)
• উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\)
• আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2b|\)
• অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2a|\)
• আড় অক্ষের সমীকরণ \(x-\alpha=0\)
• অনুবন্ধী অক্ষের সমীকরণ \(y-\beta=0\)
• উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\alpha, \pm be+\beta)\)
• নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(y-\beta=\pm \frac{b}{e}\)
• উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{2a^2}{b}|\)
• উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(y-\beta=\pm be\)
• অসীমতটের সমীকরণ \( y-\beta=\pm \frac{b}{a}(x-\alpha)\)

মনে করি,
সরলরেখা ও অধিবৃত্তটির সমীকরণ যথাক্রমে
\(y=mx+c .............(1) \)
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ........(2) \)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং অধিবৃত্তকে স্পর্শ করার শর্তঃ \(c=\pm \sqrt{(a^2m^2-b^2)}\)
স্পর্শকের সমীকরণঃ \(y=mx\pm \sqrt{(a^2m^2-b^2)}\)
স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্কঃ \(\left(\frac{\pm a^2m}{\sqrt{(a^2m^2-b^2)}}, \frac{\pm b^2}{\sqrt{(a^2m^2-b^2)}}\right)\)
Proof মনে করি,
সরলরেখা ও অধিবৃত্তটির সমীকরণ যথাক্রমে
\(x\cos\alpha + y\sin\alpha=p.............(1) \)
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ........(2) \)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং অধিবৃত্তকে স্পর্শ করার শর্তঃ \(p^2=a^2\cos^2\alpha-b^2\sin^2\alpha\)
স্পর্শকের সমীকরণঃ \(x\cos\alpha + y\sin\alpha \pm \sqrt{(a^2\cos^2\alpha-b^2\sin^2\alpha)}=0\)
স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্কঃ \(\left(\frac{a^2\cos\alpha}{p}, \frac{b^2\sin\alpha}{p}\right)\)
মনে করি,
সরলরেখা ও অধিবৃত্তটির সমীকরণ যথাক্রমে
\(lx+my+n=0.............(1) \)
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ........(2) \)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং অধিবৃত্তকে স্পর্শ করার শর্তঃ \(a^2l^2-b^2m^2=n^2\)
স্পর্শকের সমীকরণঃ \(lx+my \pm \sqrt{(a^2l^2-b^2m^2)}=0\)
স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্কঃ \(\left(\frac{-a^2l}{n}, \frac{b^2m}{n}\right)\)

মনে করি,
একটি নির্দিষ্ট বিন্দু এবং একটি অধিবৃত্ত যথাক্রমে \(P(x_1, y_1)\)
এবং \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1) \)
\(P(x_1, y_1)\) বিন্দুটি \((1)\) নং অধিবৃত্তের উপরে অবস্থান করার শর্তঃ \(\frac{x^2_1}{a^2}-\frac{y^2_1}{b^2}=0\)
\(P(x_1, y_1)\) বিন্দুটি \((1)\) নং অধিবৃত্তের ভিতরে অবস্থান করার শর্তঃ \(\frac{y^2_1}{b^2}>\frac{x^2_1}{a^2}\)
\(P(x_1, y_1)\) বিন্দুটি \((1)\) নং উপবৃত্তের বাহিরে অবস্থান করার শর্তঃ \(\frac{x^2_1}{a^2}>\frac{y^2_1}{b^2}\)

মনে করি,
একটি নির্দিষ্ট বিন্দু এবং একটি অধিবৃত্ত যথাক্রমে \(P(x_1, y_1)\)
এবং \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1) \)
\((1)\) নং উপবৃত্তের উপরিস্থিত \(P(x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণঃ \(\frac{xx_1}{a^2}-\frac{yy_1}{b^2}=1\)

একটি অধিবৃত্তের দুইটি উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা আছে। যেহেতু, অধিবৃত্তটি \(y\) অক্ষ বরাবর প্রতিসম তাই তাকে \(B\acute B\) বরাবর ভাঁজ করা হলে অধিবৃত্তের ডান ও বাম পক্ষ দুইটি পরস্পরের সাথে সমাপতিত হয়। এখন \(x\) অক্ষের উপর \(\acute S\) ও \(\acute Z\) দুইটি বিন্দু এমনভাবে নেওয়া হয়, যেন \(C\acute S=CS=ae \) এবং \(C\acute Z=CZ=\frac{a}{e}\) হয়। \(Z\acute Z\)-এর উপর \(\acute M\acute Z\) লম্ব আঁকি। তাহলে প্রতিসাম্য অনুযায়ী, এটি স্পষ্ট যে, \(\acute S\)-কে উপকেন্দ্র এবং \(\acute M\acute Z\)-কে নিয়ামকরেখা ধরে আমরা একই অধিবৃত্ত পাই। অতএব, অধিবৃত্তের দুইটি উপকেন্দ্র এবং দুইটি নিয়ামকরেখা আছে।

অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
\(C(0, 0)\) বিন্দু উপবৃত্তের কেন্দ্র।
\((1)\) নং সমীকরণে \(y=0\) বসিয়ে পাই \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}-\frac{0}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}-0=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}=1\)
\(\Rightarrow x^2=a^2\)
\(\therefore x=\pm a\)
সুতরাং অধিবৃত্ত \(X\)-অক্ষকে \(A(a, 0)\) এবং \(\acute A(-a, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(A\acute A\) আড় অক্ষ এবং এর দৈর্ঘ্য
\(A\acute A=AC+C\acute A=a+a=2a\)
\(\therefore \) আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2a|\)।
আবার,
\((1)\) নং সমীকরণে \(x=0\) বসিয়ে পাই \(\frac{0^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{0}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow 0-\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow -\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow y^2=-b^2\)
\(\Rightarrow y=\sqrt{-b^2}\)
\(\Rightarrow y=b\sqrt{-1}\)
\(\therefore y=\pm ib\) ➜Note \(\because i=\sqrt{-1}\)
সুতরাং অধিবৃত্ত \(Y\)-অক্ষকে কাল্পনিকভাবে \(B(0, ib)\) এবং \(\acute B(0, -ib)\) ( কাল্পনিক ) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(B\acute B\) অনুবন্ধী অক্ষ এবং এর দৈর্ঘ্য \(B\acute B=BC+C\acute B=b+b=2b\)
\(\therefore \) অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2b|\)।

আমরা জানি,
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
এবং
\(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=e^2-1\)
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}+1=e^2\)
\(\Rightarrow e^2=1+\frac{b^2}{a^2}\)
\(\therefore e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
যেহেতু, অধিবৃত্তের \(e\)-এর মান \(e > 1\)
সুতরাং \(e\)-কে ধনাত্মক হিসাবে বিবেচনা করা হয়েছে।
অধিবৃত্তের আড় অক্ষ হতে \(a\)-এর মান এবং অনুবন্ধী অক্ষ হতে \(b\)-এর মান জানা থাকলে উৎকেন্দ্রতা \(e\)-এর মান নির্ণয় করা যায়।

মনে করি,
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
এবং
\(b^2=a^2(e^2-1)\) ➜Note এখানে \(e\) উৎকেন্দ্রিকতা।
আবার,
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S\) ও \(\acute S\) এবং নিয়ামক রেখা \(MZ\) ও \(\acute M\acute Z\)।
\(Z\acute Z\) রেখা \(S\) এবং \(\acute S\) বিন্দুগামী। \(Z\acute Z\) রেখা নিয়ামকদ্বয়ের উপর লম্ব।
\(SZ\)-এর উপর \(A\) এমন একটি বিন্দু নেওয়া হল যেন \(SA=eAZ ........(1)\)
আবার,
\(SZ\)-এর বর্দ্ধিতাংশের উপর \(\acute A\) এমন একটি বিন্দু নেওয়া হল যেন \(S\acute A=e\acute AZ\)
ধরি,
\(A\acute A=2a\) এবং \(C\) হল \(A\acute A\)-এর মধ্যবিন্দু। \(C\)-কে কেন্দ্র বিন্দু বলা হয় যার স্থানাঙ্ক \(C(0, 0)\)।
\((1)\) ও \((2)\) যোগ করে পাই
\(SA+S\acute A=eAZ+e\acute AZ\)
\(\Rightarrow A\acute A=e(AZ+\acute AZ)\)
\(\Rightarrow 2a=e(AZ+A\acute A+AZ)\) ➜Note \(\because \acute AZ=A\acute A+AZ\)
\(\Rightarrow 2a=e(A\acute A+2AZ)\)
\(\Rightarrow 2a=e(2a+2AZ)\)
\(\Rightarrow 2a=2e(a+AZ)\)
\(\Rightarrow a=e(a+AZ)\)
\(\Rightarrow a=eCZ\) ➜Note \(\because CZ=CA+AZ=a+AZ\)
\(\Rightarrow eCZ=a\)
\(\therefore CZ=\frac{a}{e} ......(3)\)
আবার,
\(CS=CA-AS\)
\(\Rightarrow CS=CA-eAZ\) ➜Note \(\because AS=eAZ\)
\(\Rightarrow CS=CA-e(CZ-CA)\)
\(\Rightarrow CS=a-e\left(\frac{a}{e}-a\right)\)
\(\Rightarrow CS=a-a+ae\)
\(\therefore CS=ae .........(4)\)
\(C\) বিন্দুকে মূলবিন্দু ধরে \(CX\)-কে \(x\) অক্ষ এবং \(CY\)-কে \(y\) অক্ষ বিবেচনা করি। যেহেতু \(S\) বিন্দু \(x\) অক্ষের উপর অবস্থিত ।
অতএব, \(S\)-এর স্থানাঙ্ক \((ae, 0)\) এখানে \(S\)-কে উপকেন্দ্র বলে। যেহেতু উপকেন্দ্র \(S\) ও \(\acute S\) সুতরাং এদের স্থানাঙ্ক লেখা হয় \((\pm ae, 0)\)।
এবং নিয়ামক রেখা \(\acute M\acute Z\)-এর সমীকরণ \(x=CZ=\frac{a}{e}\)
\(\therefore x=\frac{a}{e}\)
অনুরূপভাবে, নিয়ামক রেখা \(MZ\)-এর সমীকরণ \(x=-\frac{a}{e}\)
সুতরাং উপবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x=\pm \frac{a}{e}\)

ধরি,
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(\alpha, \beta)\), নিয়ামকরেখার সমীকরণ, \(ax+by+c=0\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e; (e>1)\)।
অধিবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\) । \(P\) বিন্দু থেকে নিয়ামকরেখার উপর \(PM\) লম্ব আঁকি এবং \(S, p\) যোগ করি।
এখন,
\(P(x, y)\) ও \(S(\alpha, \beta)\) বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব \(PS=\sqrt{(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2}\)
এবং \(P(x, y)\) হতে নিয়ামকরেখার লম্ব দূরত্ব \(PM=\frac{ax+by+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
অধিবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে, \(PS=e.PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2}=e.\frac{ax+by+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow (x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=e^2.\frac{(ax+by+c)^2}{a^2+b^2}\) ➜Note উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\therefore (a^2+b^2)\{(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2\}=e^2(ax+by+c)^2\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

অধিবৃত্তের যে কোনো উপকেন্দ্রের মধ্য দিয়ে অঙ্কিত আড় অক্ষের উপর লম্ব রেখার অধিবৃত্তের অন্তর্গত অংশই উপকেন্দ্রিক লম্ব। যদি \(L\acute L\) উপকেন্দ্রিক লম্ব হয়, তবে \(SL=S\acute L\) এবং \(\acute L\)-এর স্থানাঙ্ক \((-ae, SL)\) ।
\(\acute L(-ae, SL)\) বিন্দুটি উপবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর উপর অবস্থিত।
\(\Rightarrow \frac{(-ae)^2}{a^2}-\frac{SL^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{a^2e^2}{a^2}-\frac{SL^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow e^2-\frac{SL^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow e^2-1=\frac{SL^2}{b^2} \)
\(\Rightarrow \frac{SL^2}{b^2}=e^2-1 \)
\(\Rightarrow SL^2=b^2(e^2-1) \)
\(\Rightarrow SL^2=b^2\times \frac{b^2}{a^2} \) ➜Note \(\because e^2-1=\frac{b^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow SL^2=\frac{b^4}{a^2} \)
\(\therefore SL=\frac{b^2}{a} \)
\(\therefore L\acute L=2SL=\frac{2b^2}{a} \)

ধরি,
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1........(1)\)
এবং অধিবৃত্তের উপরিস্থিত একটি বিন্দু \(P(x, y)\)
অধিবৃত্তের আড় অক্ষকে ব্যাস ধরে সহায়ক বৃত্ত অঙ্কন করি, যার সমীকরণ \(x^2+y^2=a^2 .......(2)\)
\(P(x, y)\) বিন্দু থেকে আড় অক্ষের উপর \(PN\) লম্ব অঙ্কন করি। \(N\) থেকে সহায়ক বৃত্তে \(NQ\) স্পর্শক আঁকি এবং \(C\) ও \(Q\) যোগ করি।
মনে করি,
\(\angle QCN=\theta\), এখানে \(\theta\)-কে উপকেন্দ্র কোণ বলা হয়। \(C(0, 0)\) অধিবৃত্তের কেন্দ্র।
\(\therefore \angle QCN=90^{o}\)
\(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((x, y)\) হওয়ায়, \(CN=x\) এবং \(PN=y\)
এখন, \(CQN\) সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
\(\cos \theta=\frac{CQ}{CN}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\cos \theta}=\frac{CN}{CQ}\)
\(\Rightarrow \sec \theta=\frac{CN}{CQ}\)
\(\Rightarrow CN=CQ\sec \theta\)
\(\therefore x=a\sec\theta ........(3)\) ➜Note \(\because CQ=a=\)বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
\(x=a\sec\theta\)-এর এই মান \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{(a\sec\theta)^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{a^2\sec^2\theta}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \sec^2\theta-\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \sec^2\theta-1=\frac{y^2}{b^2}\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{b^2}=1+\sec^2\theta\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{b^2}=\tan^2\theta\)
\(\Rightarrow y^2=b^2\tan^2\theta\)
\(\therefore y=b\tan\theta ......(4)\)
সুতরাং, \(P(a\sec\theta, b\tan\theta)\)
\(\theta\)-এর যে কোনো মানের জন্য \(P(a\sec\theta, b\tan\theta)\) বিন্দুটি অধিবৃত্তের উপর অবস্থিত, যাকে অধিবৃত্তের পরামিতিক স্থানাঙ্ক বলা হয় এবং \(\theta\)-কে পরামিতি (parameter) বলা হয়।
আবার,
\((4)\) হতে যথাক্রমে,
\(b\tan\theta=y\)
\(\Rightarrow \tan\theta=\frac{y}{b}\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)\)
\(\therefore \theta=\tan^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)\)
\(\theta \)-এর এই মাণ নির্ণয়ের সময় বিন্দুটি কোন চতুর্ভাগে অবস্থিত তা লক্ষনীয়।
\(x=a\sec\theta\) এবং \(y=b\tan\theta\)-কে একত্রে \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের পরামিতিক সমীকরণ বলে।
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \) অধিবৃত্তের উপর \(P(x, y)\) বিন্দুর পরামিতিক স্থানাংক \(P(a\sec\theta, b\tan\theta)\), যেখানে \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)\)।
\(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \) অধিবৃত্তের উপর \(P(x, y)\) বিন্দুর পরামিতিক স্থানাংক \(P(a\tan\theta, b\sec\theta)\), যেখানে \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)\)।

অসীমতটঃ একটি সরলরেখা কোনো বক্ররেখার সহিত অসীম দূরে অবস্থিত দুইটি সমাপতিত বিন্দুতে ছেদ করলে, ঐ সরলরেখা নিজে সম্পুর্ণ অসীমে অবস্থিত নয়, তবে ঐ সরলরেখাকে বক্ররেখাটির অসীমতট বলে।
অধিবৃত্তের অসীমতটঃ কোনো রেখাকে বর্ধিত করলে যদি অধিবৃত্তকে অসীমে ছেদ করে কিন্তু রেখা নিজে অসীমে অবস্থিত নয় তবে ঐ রেখাকে অধিবৃত্তের অসীমতট বলা হয়। অধিবৃত্তের সমীকরণের ডান পক্ষে \(1\)-এর পরিবর্তে \(0\) প্রতিস্থাপন করলে এর দইটি অসীমতট পাওয়া যায়।
ধরি,
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1........(1)\)
এবং সরলরেখার সমীকরণ, \(y=mx+c ....(2)\)
\((2)\) হতে \(y\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{(mx+c)^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{b^2x^2-a^2(mx+c)^2}{a^2b^2}=1\)
\(\Rightarrow b^2x^2-a^2(mx+c)^2=a^2b^2\)
\(\Rightarrow b^2x^2-a^2(m^2x^2+2mcx+c^2)=a^2b^2\)
\(\Rightarrow b^2x^2-a^2m^2x^2-2a^2mcx-a^2c^2=a^2b^2\)
\(\Rightarrow x^2(b^2-a^2m^2)-2a^2mcx-a^2c^2-a^2b^2=0\)
\(\therefore x^2(b^2-a^2m^2)-2a^2mcx-a^2(c^2+b^2)=0 ....(3)\)
\((1)\) নং অধিবৃত্তকে \((2)\) নং সরলরেখা অসীমে ছেদ করলে সেক্ষেত্রে \((3)\) নং দ্বিঘাত সমীকরনের \(x^2\) ও \(x\)-এর সহগ শুন্য হবে। অর্থাৎ \((3)\) নং দ্বিঘাত সমীকরনের উভয় মূলই অসীম হবে।
\(\therefore b^2-a^2m^2=0; -2a^2mc=0\)
\(\Rightarrow -a^2m^2=-b^2; c=0; -2a^2m\ne 0\)
\(\Rightarrow m^2=\frac{b^2}{a^2}; c=0\)
\(\therefore m=\pm \frac{b}{a}; c=0\)
\(m\) ও \(c\)-এর মাণ \((2)\) -এ বসিয়ে,
\(y=\pm \frac{b}{a}x+0 \)
\(\therefore y=\pm \frac{b}{a}x \)
ইহাই নির্ণেয় অসীমতটের সমীকরণ।

\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের অসীমতট রেখার সমীকরণঃ \( y=\pm \frac{b}{a}x\) \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\) অধিবৃত্তের অসীমতট রেখার সমীকরণঃ \( y=\pm \frac{b}{a}x\) \(\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের অসীমতট রেখার সমীকরণঃ \( y-k=\pm \frac{b}{a}(x-h)\) \(\frac{(y-k)^2}{b^2}-\frac{(x-h)^2}{a^2}=1\) অধিবৃত্তের অসীমতট রেখার সমীকরণঃ \( y-k=\pm \frac{b}{a}(x-h)\)

অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর লেখচিত্র ।

অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) থেকে দেখা যাচ্ছে যে, যখন \(y=0; x=\pm a\) অতএব অধিবৃত্ত \(X\) অক্ষকে \(A(a, 0)\) এবং \(\acute{A}(-a, 0)\) বিন্দু দইটিতে ছেদ করে। \(A\) ও \(\acute{A}\) বিন্দু দুইটি অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু এবং \(A\acute{A}\) অধিবৃত্তের আড় অক্ষ।
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) এ যখন \(x=0; y^2=-b^2\) এ ক্ষেত্রে \(y\)-এর কোনো বাস্তব মাণ পাওয়া যায় না। \(Y\) অক্ষের উপর \(B(0, b)\) এবং \(\acute{B}(0, -b)\) বিন্দু দুইটি নেই। উল্লেখ্য যে, \(B\acute{B}\) অধিবৃত্তের অনুবন্ধী অক্ষ।
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) থেকে পাই, \(\frac{x^2}{a^2}=1+\frac{y^2}{b^2}\geq 1\)
অতএব, \(|x|\leq a\) অর্থাৎ \(x\leq +a\) এবং \(x\geq -a\) সুতরাং \(x=a\) এবং \(x=-a\) রেখা দুইটির মধ্যে লেখের কোনো বিন্দু নেই। প্রত্যেক অধিবৃত্তের তাই দুইটি শাখা রয়েছে। যদি \((x, y)\) লেখের উপর কোনো বিন্দু হয় তবে \((-x, y)\) বিন্দুটিও লেখের উপর অবস্থিত। অর্থাৎ, লেখটি \(Y\) অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসম। অনুরূপভাবে এটি দেখানো যায় যে, লেখটি \(X\) অক্ষের সাপেক্ষেও প্রতিসম। \(x\) এর মাণ বৃদ্ধির সাথে সাথে \(y\) এর মাণ অসীম পর্যন্ত বৃদ্ধি পায়। অতএব, অধিবৃত্ত দুইদিকে অসীমে বিস্তৃত হয়।

\(a, \ h\) ও \(b\) এর প্রত্যেকটির মাণ শূন্য না হলে \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণটিকে সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ বলা হয়। এই সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণটি ভিন্ন ভিন্ন নির্দিষ্ট শর্ত সাপেক্ষে যুগল সরলরেখা, বৃত্ত ও কণিক সূচিত করে।

কনিকের সাধারণ সমীকরণ হতে বৃত্ত, পরাবৃত্ত, উপবৃত্ত, অধিবৃত্ত এবং যুগল সরলরেখা শনাক্তকরণ।
কনিকের সাধারণ সমীকরণ \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\)
এখানে, \(\Delta \equiv abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2\)

• \(\Delta\ne{0},\) \(a=b\) এবং \(h=0\) হলে, কনিকটি একটি বৃত্ত নির্দেশ করবে।
• \(\Delta\ne{0}, \ ab-h^2=0\) এবং \(a+b\ne{0}\) হলে, কনিকটি একটি পরাবৃত্ত নির্দেশ করবে।
• \(\Delta\ne{0}, \ ab-h^2\gt{0}\) এবং \(a+b\ne{0}\) হলে, কনিকটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করবে।
• \(\Delta\ne{0}, \ ab-h^2\lt{0}\) এবং \(a+b\ne{0}\) হলে, কনিকটি একটি অধিবৃত্ত নির্দেশ করবে।
• \(\Delta\ne{0}, \ ab-h^2\lt{0}\) এবং \(a+b=0\) হলে, কনিকটি একটি আয়াতাকার অধিবৃত্ত নির্দেশ করবে।
• \(\Delta=0\) হলে, কনিকটি একজোড়া সরলরেখা নির্দেশ করবে।

কোনো কণিকের বহিঃস্থ একটি বিন্দু \(P(x_{1}, y_{1})\) হতে উহার উপর দুইটি স্পর্শক অঙ্কন করা যায়। স্পর্শক দুইটির স্পর্শবিন্দুদ্বয়ের সংযোগ সরলরেখাকে স্পর্শ জ্যা (Chord of Contact) বলা হয়।

মনে করি,
স্পর্শকদ্বয় \(PT\) এবং \(PT^{\prime}\) যারা প্রদত্ত কণিককে \(T\) ও \(T^{\prime}\) বিন্দুতে স্পর্শ করে। স্পর্শ বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ সরলরেখা \(TT^{\prime}\) কে \(P\) হতে কণিকের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের স্পর্শ জ্যা বলা হয়।

পোল ও পোলারঃ একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে কোনো কণিকের যে সব জ্যা অতিক্রম করে তাদের প্রান্তবিন্দুতে অঙ্কিত যুগল স্পর্শকগুলোর ছেদবিন্দুর সঞ্চারপথকে কণিকটির প্রেক্ষিতে ঐ বিন্দুর পোলার বলা হয়। প্রদত্ত বিন্দুটিকে এই পোলারের পোল বলে।

দ্রষ্টব্যঃ কণিকের পোলার ও স্পর্শকের সমীকরণের আকার একই হলেও ইহারা মূলত ভিন্ন। স্পর্শকের জন্য \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুটি অবশ্যই কণিকের উপর অবস্থিত কিন্তু পোলার রেখার জন্য \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুটি কণিকের উপর হতে হবে এমন নয়, কণিকের বাইরে এবং ভিতরে অবস্থান করতে পারে। তবে বিন্দুটি কণিকের উপর অবস্থিত হলে স্পর্শক ও পোলার সমপতিত হয়।

ব্যাসঃ একটি কণিকের একশ্রেণী সমান্তরাল জ্যা-এর মধ্যবিন্দুসমূহের সঞ্চার পথকে কণিকের একটি ব্যাস বলে।
অনুবন্ধী ব্যাসঃ একটি কণিকের দুইটি ব্যাস যদি এরূপ হয় যে ওদের প্রত্যেকে অপরের সমান্তরাল জ্যাসমূহকে সমদ্বিখণ্ডিত করে তবে তাদেরকে ঐ কণিকের অনুবন্ধী ব্যাস বলে।
অনুবন্ধী রেখাঃ দুইটি সরলরেখা যদি এরূপ হয় যে প্রত্যেকের পোল অপরের ওপর থাকে তবে তাদেরকে অনুবন্ধী রেখা বলে।
নির্দেশক (নিয়ত) বৃত্তঃ কোনো কণিকের পরস্পর লম্ব দুইটি স্পর্শকের ছেদবিন্দুর সঞ্চার পথকে কণিকটির নির্দেশক (নিয়ত) বৃত্ত বলা হয়। এটিকে চালক বৃত্ত ও বলা হয়ে থাকে।

চালক বৃত্তের সমীকরণ \((ab-h^2)(x^2+y^2)+2(bg-hf)x+2(af-hg)y+\) \((a+b)c-g^2-f^2=0\) কে নিম্নলিখিতভাবে প্রকাশ করা যায়
\((ab-h^2)(x^2+y^2)-2(hf-bg)x-2(hg-af)y+\) \((bc-f^2)+(ca-g^2)=0\)
\(\therefore C(x^2+y^2)-2Gx-2Fy+A+B=0 .........(1)\)
যেখানে, \(A, \ B, \ C, \ F, \ G \) হলো
\(\Delta=\left|\begin{array}{c}a & h & g\\ h & b & f\\ g & f & c \end{array}\right|\) নির্ণায়কের যথাক্রমে
\(a, \ b, \ c, \ f, \ g \) এর সহগূণক।
অর্থাৎ, \(A=bc-f^2, \ B=ca-g^2, \ C=ab-h^2, \ F=gh-af,\) \(G=hf-bg \)
এখন, \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) কণিকটি যদি একটি পরাবৃত্ত নির্দেশ করে তবে,
\(C=ab-h^2=0\) হয়।
ফলে, \((1)\) নং সমীকরণটি দাঁড়ায়
\(-2Gx-2Fy+A+B=0\)
\(\therefore 2Gx+2Fy-(A+B)=0\)
যা, পরাবৃত্তটির নিয়ামক নির্দেশ করে।
আবার, পরাবৃত্তটির ফোকাস \(S(x_{1}, y_{1})\)
\(\frac{ax_{1}+hy_{1}+g}{2G}=\frac{hx_{1}+by_{1}+f}{2F}=\frac{gx_{1}+fy_{1}+c}{-(A+B)}\)
এর উপর অবস্থান করে।

\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) একটি কেন্দ্রীয় কনিক যার ফোকাস \(S(x_{1}, y_{1})\)
এই ক্ষেত্রে ফোকাস \(S(x_{1}, y_{1})\)
\(\frac{(ax_{1}+hy_{1}+g)^2-(hx_{1}+by_{1}+f)^2}{a-b}=\frac{(ax_{1}+hy_{1}+g)(hx_{1}+by_{1}+f)}{h}=\) \(ax_{1}^2+2hx_{1}y_{1}+by_{1}^2+2gx_{1}+2fy_{1}+c\)
এর উপর অবস্থান করে।

অসীমতটঃ যদি কোনো সরলরেখা একটি অধিবৃত্তের অসীমে অবস্থিত একটি বিন্দুতে মিলিত হয় কিন্তু সরলরেখাটি সম্পূর্ণ অসীমে অবস্থান করে না, তবে এরূপ সরলরেখাকে অধিবৃত্তের অসীমতট বলা হয়।

কণিক শ্রেণীঃ যদি \(S=0\) ও \(S^{\prime}\) দুইটি কণিকের সমীকরণ হয় তবে ধ্রুবক \(\lambda\) এর যে কোনো মানের জন্য \(S+\lambda{S^{\prime}}=0\) সমীকরণটি একটি কণিক নির্দেশ করবে।
\(S=0\) এবং \(S^{\prime}\) এর উভয়কে সিদ্ধ করে এরূপ প্রতিটি বিন্দুই \(S+\lambda{S^{\prime}}=0\) সমীকরণকে সিদ্ধ করবে। কাজেই \(\lambda\) এর যেকোনো মানের জন্য \(S+\lambda{S^{\prime}}=0\) সমীকরণটি \(S=0\) ও \(S^{\prime}\) কণিক দুইটির ছেদবিন্দুগামী একটি কণিক নির্দেশ করে। \(\lambda\) এর বিভিন্ন মানের জন্য এটা বিভিন্ন কণিক নির্দেশ করে।
\(\therefore S=0\) ও \(S^{\prime}\) এর দ্বারা নির্ণীত কণিক শ্রেণীর সমীকরণ,
\(S+\lambda{S^{\prime}}=0\)

অনুবন্ধী অধিবৃত্তঃ একটি অধিবৃত্তের আড় অক্ষ ও অনুবন্ধী অক্ষ যথাক্রমে \(x\) ও \(y\) অক্ষ বরাবর বা এদের সমান্তরাল আবার, অপর একটি অধিবৃত্তের আড় অক্ষ ও অনুবন্ধী অক্ষ যথাক্রমে \(y\) ও \(x\) অক্ষ বরাবর বা এদের সমান্তরাল হয় তবে অধিবৃত্তদ্বয় পরস্পরের অনুবন্ধী হবে।
অধিবৃত্তের সমীকরণঃ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) অনুবন্ধী অধিবৃত্তের সমীকরণঃ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)

অধিবৃত্তের সমীকরণঃ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ......(1)\) অসীমতটের সমীকরণঃ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0 .......(2)\) অনুবন্ধী অধিবৃত্তের সমীকরণঃ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1 .......(3)\)
ইহা স্পষ্ট যে \((1)\) ও \((2)\) নং সমীকরণের মধ্যে যে ধ্রুবকের পার্থক্য, \((2)\) ও \((3)\) নং সমীকরণের মধ্যে সেই একই ধ্রুবকের পার্থক্য। মূলবিন্দু স্থানান্তর বা অক্ষদ্বয়কে আবর্তন করলে উপরোক্ত তিনটি সমীকরণের বামপক্ষ একই আকারে রূপান্তরিত হবে এবং ডানপক্ষের ধ্রুবক গুলির এরূপ পরিবর্তন হবে, যাতে এদের সম্পর্ক পূর্বের ন্যায় থাকে। সুতরাং অধিবৃত্তের সমীকরণ যাই হোক না কেন, এর অসীমতটের সমীকরণের সহিত কেবলমাত্র একটি ধ্রুবকের পার্থক্য থাকবে এবং অসীমতটের সমীকরণের সহিত অনুবন্ধী অধিবৃত্তের সমীকরণেরও একই পার্থক্য থাকবে।

অধিবৃত্তের সমীকরণঃ \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+k_{1}=0 ....(1)\) অসীমতটের সমীকরণঃ \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+k_{2}=0 ....(2)\) অনুবন্ধী অধিবৃত্তের সমীকরণঃ \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+k_{3}=0 ....(3)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সমীকরণের মধ্যে ধ্রুবকের পার্থক্য \(=k_{1}-k_{2}\)
\((2)\) ও \((3)\) নং সমীকরণের মধ্যে ধ্রুবকের পার্থক্য \(=k_{2}-k_{3}\)
\(\therefore k_{1}-k_{2}=k_{2}-k_{3}\)
\(\Rightarrow k_{1}+k_{3}=2k_{2}\)
\(\therefore 2k_{2}=k_{1}+k_{3}\)
\(k_{1}=2k_{2}-k_{3}\) \(k_{2}=\frac{1}{2}(k_{1}+k_{3})\) \(k_{3}=2k_{2}-k_{1}\) অনুবন্ধী অধিবৃত্তের সমীকরণ, \(2\times\)( অসীমতটের সমীকরণ ) - অধিবৃত্তের সমীকরণ \(=0\)

প্রমাণ কর যে, একটি কণিকের সমীকরণ সর্বদাই একটি দ্বিঘাত সমীকরণ কিন্তু বিপরীতক্রমে এটি সর্বদা সত্য নয়।
Proof কোনো কণিকের উৎকেন্দ্রতা \(e\) উপকেন্দ্র \(S(\alpha, \beta)\) এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(lx+my+n=0\) হলে কণিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ\((l^2+m^2-e^2l^2)x^2-2lme^2xy+(l^2+m^2-e^2m^2)y^2-\) \(2\{\alpha(l^2+m^2)+e^2ln\}x-2\{\beta(l^2+m^2)+e^2mn\}y+\) \((l^2+m^2)(\alpha^2+\beta^2)-e^2n^2=0\)
সমাধান যে শর্তে সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ কণিক প্রকাশ করে তা নির্ণয় কর।
সমাধান \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) কণিকের কেন্দ্র
\(\left(\frac{hf-bg}{ab-h^2}, \frac{gh-af}{ab-h^2}\right)\)
সমাধান \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) কেন্দ্রিক কণিকের প্রমাণ আকার
\(a^{\prime}x^2+b^{\prime}y^2+\frac{\Delta}{ab-h^2}=0\)
সমাধান \(Ax^2+2Hxy+By^2=1\) কণিকের ক্ষেত্রেঃ
যদি কণিকের অর্ধাক্ষের দৈর্ঘ্য \(r\) হয় তবে, \((AB-H^2)r^4-(A+B)r^2+1=0\) \(r_{1}\) এবং \(r_{2}\) উভয়ে ধনাত্মক হলে কণিকটি উপবৃত্ত হবে সেক্ষেত্রেঃ
বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2r_{1}, \ \ r_{1}>r_{2}\)
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2r_{2}, \ \ r_{1}>r_{2}\)
\(r_{1}\) এবং \(r_{2}\) এর একটি ধনাত্মক এবং অপরটি ঋণাত্মক হলে কণিকটি অধিবৃত্ত হবে সেক্ষেত্রেঃ
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2r_{1}\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2\sqrt{|r_{2}^2|}\)
উভয় ক্ষেত্রে উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\left|\frac{2r_{2}^2}{r_{1}}\right|\)
উভয় ক্ষেত্রে বিকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{r_{2}^2}{r_{1}^2}}, \ \ r_{1}>r_{2}\)
বৃহৎ অক্ষের সমীকরণ \(\left(A-\frac{1}{r_{1}^2}\right)x+Hy=0\) ক্ষুদ্রাক্ষের সমীকরণ \(\left(A-\frac{1}{r_{2}^2}\right)x+Hy=0\) শীর্ষদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \(A(\alpha+r_{1}\cos{\theta}, \beta+r_{1}\sin{\theta})\) এবং \(A^{\prime}(\alpha-r_{1}\cos{\theta}, \beta-r_{1}\sin{\theta})\) যেখানে, কেন্দ্র \(C(\alpha, \beta)\) ফোকাসদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \(S(\alpha+r_{1}e\cos{\theta}, \beta+r_{1}e\sin{\theta})\) এবং \(S^{\prime}(\alpha-r_{1}e\cos{\theta}, \beta-r_{1}e\sin{\theta})\) যেখানে, কেন্দ্র \(C(\alpha, \beta)\) নিয়ামকদ্বয়ের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক
\(Z\left(\alpha+\frac{r_{1}}{e}\cos{\theta}, \beta+\frac{r_{1}}{e}\sin{\theta}\right)\) এবং \(Z^{\prime}\left(\alpha-\frac{r_{1}}{e}\cos{\theta}, \beta-\frac{r_{1}}{e}\sin{\theta}\right)\) যেখানে, কেন্দ্র \(C(\alpha, \beta)\)
Proof \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) কেন্দ্রবিহীন কণিকের প্রমাণ আকার
\(y^2=4a^{\prime}x\)
যেখানে, \(a^{\prime}=\frac{\sqrt{(k\sqrt{a}-g)^2+(k\sqrt{b}-f)^2}}{2(a+b)}\)
এবং \(k=\frac{g\sqrt{a}+f\sqrt{b}}{a+b}\)
সমাধান \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) কণিকের উপরস্থ \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে এর স্পর্শকের সমীকরণ
\(axx_{1}+h(xy_{1}+x_{1}y)+byy_{1}+g(x+x_{1})+\) \(f(y+y_{1})+c=0\)
Proof \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) কণিকের উপরস্থ \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে এর অভিলম্বের সমীকরণ
\(\frac{x-x_{1}}{ax_{1}+hy_{1}+g}=\frac{y-y_{1}}{hx_{1}+by_{1}+f}\)
Proof \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দু হতে \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) কণিকে অঙ্কিত স্পর্শক যুগলের সমীকরণ
\(T^2=SS_{1}\)
যেখানে, \(S=ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c\)
\(S_{1}=ax_{1}^2+2hx_{1}y_{1}+by_{1}^2+2gx_{1}+2fy_{1}+c=0\)
\(T=axx_{1}+h(xy_{1}+x_{1}y)+byy_{1}+g(x+x_{1})+f(y+y_{1})\) \(+c\)
Proof কণিকের উপরে অবস্থিত নয় এরূপ কোনো বিন্দু হতে কণিকে কেবলমাত্র দুইটি স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
Proof \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দু হতে \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) কণিকের স্পর্শ জ্যা এর সমীকরণ
\(axx_{1}+h(xy_{1}+x_{1}y)+byy_{1}+g(x+x_{1})+\) \(f(y+y_{1})+c=0\)
Proof \(lx+my+n=0\) সরলরেখাটি \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) কণিকের একটি স্পর্শক হওয়ার শর্ত
\(\left|\begin{array}{c}a & h & g & l\\ h & b & f & m\\ g & f & c & n\\ l & m & n & 0\end{array}\right|=0\)
Proof একটি কণিকের কোনো জ্যা এর মধ্যবিন্দু জানা থাকলে এর সমীকরণ
\(T=S_{1}\).
যেখানে, \(T=axx_{1}+h(xy_{1}+x_{1}y)+byy_{1}+g(x+x_{1})+f(y+y_{1})\) \(+c\)
\(S_{1}=ax_{1}^2+2hx_{1}y_{1}+by_{1}^2+2gx_{1}+2fy_{1}+c=0\)
Proof \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) কণিক সাপেক্ষে \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুর পোলারের সমীকরণ
\(axx_{1}+h(xy_{1}+x_{1}y)+byy_{1}+g(x+x_{1})+\) \(f(y+y_{1})+c=0\)
Proof \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) কণিক সাপেক্ষে কোনো সরলরেখার পোল নির্ণয় কর।
Proof \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) কণিকের ব্যাসের সমীকরণ
\(ax+hy+g+m(hx_{1}+by_{1}+f)=0\).
এবং এটি কণিকের কেন্দ্রগামী
Proof \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) কণিকের দুইটি ব্যাস যথাক্রমে \(y=m_{1}x+c_{1}\) ও \(y=m_{2}x+c_{2}\) পরস্পর অনুবন্ধী হওয়ার শর্ত
\(a+h(m_{1}+m_{2})+bm_{1}m_{2}=0\)
Proof \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) কণিকে সাপেক্ষে \(P(x_{1}, y_{1})\) বিন্দুর পোলার যদি \(Q(x_{2}, y_{2})\) বিন্দুগামী হয়, তবে \(Q(x_{2}, y_{2})\) বিন্দুর পোলারও \(P(x_{1}, y_{1})\) বিন্দুগামী হবে।
Proof \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) কণিকে সাপেক্ষে \(l_{1}x+m_{1}y+n_{1}=0\) ও \(l_{2}x+m_{2}y+n_{2}=0\) সরলরেখাদ্বয়ের পরস্পর অনুবন্ধী হওয়ার শর্ত
\(\left|\begin{array}{c}a & h & g & l_{1}\\ h & b & f & m_{1}\\ g & f & c & n_{1}\\ l_{2} & m_{2} & n_{2} & 0\end{array}\right|=0\)
Proof \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) কণিকের নির্দেশক (নিয়ত) বৃত্ত বা চালক বৃত্তের সমীকরণ
\((ab-h^2)(x^2+y^2)+2(bg-hf)x+2(af-hg)y+\) \((a+b)c-g^2-f^2=0\)
Proof
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) অধিবৃত্তে অসীমতটের সমীকরণ
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=\frac{\Delta}{ab-h^2}\)
অথবা,
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy-g\alpha-f\beta=0\)
অথবা,
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c+k=0\)
যেখানে, অধিবৃত্তের কেন্দ্র \(C(\alpha, \beta)\)
Proof দ্রষ্টব্যঃ \(l_{1}x+m_{1}y+n_{1}=0\) ও \(l_{2}x+m_{2}y+n_{2}=0\) অসীমতট বিশিষ্ট অধিবৃত্তের সমীকরণ
\((l_{1}x+m_{1}y+n_{1})(l_{2}x+m_{2}y+n_{2})+k=0\)
এখানে, \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।
দ্রষ্টব্যঃ উপবৃত্ত অসীম পদ পর্যন্ত বিস্তৃত নয় তাই ইহার অসীমতট নেই। পরাবৃত্তের অসীমতট অসীমে অবস্থান করে সুতরাং ইহার বাস্তব অসীমতট নেই। শুধুমাত্র অধিবৃত্তের অসীমতট বাস্তবে নির্ণয় করা যায়।
দুইটি সমউপকেন্দ্রিক কনিক পরস্পরকে সমকোণে ছেদ করে।
Proof
দ্রষ্টব্যঃ দুইটি সমউপকেন্দ্রিক কণিকের অভিন্ন কেন্দ্র ও অক্ষ থাকে।
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 .........(1), \ (a\gt{b})\)
\((1)\) নং উপবৃত্তের ফোকাস দুইটি \((\pm{ae}, 0)\)
\(\Rightarrow \left(\pm{a\times{\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}}}, 0\right)\)
\(\therefore (\pm{\sqrt{a^2-b^2}}, 0)\) ➜Note \(\because e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\)

এখন ধ্রুবক \(k\) এর যেকোনো মানের জন্য
\(\frac{x^2}{a^2+k}+\frac{y^2}{b^2+k}=1 .........(2)\)
\((2)\) নং সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত উপবৃত্তের ফোকাস দুইটি
\((\pm{\sqrt{(a^2+k)-(b^2+k)}}, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm{\sqrt{a^2+k-b^2-k}}, 0)\)
\(\therefore (\pm{\sqrt{a^2-b^2}}, 0)\)
যারা \((1)\) নং উপবৃত্তের ফোকাস দুইটির অনুরূপ।
কাজেই \((2)\) নং উপবৃত্তটি \((1)\) নং উপবৃত্তের সাথে সমউপকেন্দ্রিক কনিক শ্রেণী প্রকাশ করে।
যদি \(k>0\) এবং \(k\) এর মাণ ক্রমশ বৃদ্ধি পেতে থাকে তবে, \(a^2+k\) ও \(b^2+k\) উভয়ে বৃদ্ধি পেতে থাকবে অর্থাৎ \((2)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত উপবৃত্তটি ক্রমশ স্ফীত হয়ে গোলাকৃতি হতে থাকবে এবং \(k\) এর মাণ যখন অসীমে পৌঁছাবে তখন এটা একটি অসীম ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তে পরিণত হবে।
কোনো কণিকের উপকেন্দ্র পোল হলে কণিকটির পোলার সমীকরণ ও দিকাক্ষের পোলার সমীকরণ
কণিকের পোলার সমীকরণঃ \(\frac{l}{r}=1-e\cos{\theta}\)
দিকাক্ষের পোলার সমীকরণঃ \(\frac{l}{r}=e\cos{\theta}\)
Proof কোনো কণিকের অক্ষরেখা আদি রেখার সহিত \(\alpha\) কোণ উৎপন্ন করলে এবং এটির উপকেন্দ্র পোল হলে কণিকটির পোলার সমীকরণ ও দিকাক্ষের পোলার সমীকরণ
কণিকের পোলার সমীকরণঃ \(\frac{l}{r}=1-e\cos{(\theta-\alpha)}\)
দিকাক্ষের পোলার সমীকরণঃ \(\frac{l}{r}=e\cos{(\theta-\alpha)}\)
Proof \(\frac{l}{r}=1-e\cos{\theta}\) কণিকের ক্ষেত্রে
জ্যা এর সমীকরণঃ \(\frac{l}{r}=\sec{\frac{\beta-\alpha}{2}}\cos{\left(\theta-\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}-e\cos{\theta}\)
যেখানে, \(\alpha\) এবং \(\beta\) জ্যা এর প্রান্ত বিন্দুর ভেক্টর কোণ।
\(\alpha\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণঃ \(\frac{l}{r}=\cos{(\theta-\alpha)}-e\cos{\theta}\)
Proof কেন্দ্রীয় কনিক \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) এর বিকেন্দ্রিকতা \(e\) হলে,
\(e^4+\frac{(a-b)^2+4h^2}{ab-h^2}(e^2-1)=0\)
Proof