এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
- অন্তর্বিভক্তিকরণ সূত্র
- বহির্বিভক্তিকরণ সূত্র
- মধ্যবিন্দুর সূত্র
- ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র
- সমাধানকৃত উদাহরণমালা
- অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন-উত্তর
- সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন-উত্তর
- বর্ণনামূলক প্রশ্ন-উত্তর
- সৃজনশীল প্রশ্ন এবং সমাধান
প্রয়োজনীয় এবং স্মরণীয় সূত্রসমুহ
বিভক্তিকরণ সূত্র (Section Formulae)
অন্তর্বিভক্তিকরণ সূত্রঃ
\(1.\) কোন সমতলে \(P(x_{1}, y_{1})\) এবং \(Q(x_{2}, y_{2})\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(R(x, y)\) বিন্দু \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। তবে, এর স্থানাঙ্ক হবে,
\(R\left(\frac{mx_{2}+nx_{1}}{m+n}, \frac{my_{2}+ny_{1}}{m+n}\right)\) বহির্বিভক্তিকরণ সূত্রঃ
\(2.\) কোন সমতলে \(P(x_{1}, y_{1})\) এবং \(Q(x_{2}, y_{2})\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(R(x, y)\) বিন্দু \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে। তবে, এর স্থানাঙ্ক হবে,
\(R\left(\frac{mx_{2}-nx_{1}}{m-n}, \frac{my_{2}-ny_{1}}{m-n}\right)\) মধ্যবিন্দুর সূত্রঃ
\(3.\) কোন সমতলে \(P(x_{1}, y_{1})\) এবং \(Q(x_{2}, y_{2})\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(R(x, y)\) বিন্দু \(PQ\) এর মধ্যবিন্দু হলে, এর স্থানাঙ্ক হবে,
\(R\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\) ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রঃ
\(4.\) কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) কোন ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু হলে, \(\triangle ABC\) এর ভরকেন্দ্রের স্থনাংক হবে,
\(G\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\)\(1.\) অন্তর্বিভক্তিকরণ সূত্র নির্ণয়ঃ
মনে করি, \(XY\) সমতলে \(P(x_{1}, y_{1})\) এবং \(Q(x_{2}, y_{2})\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু। \(P\), \(Q\) যোগ করি। \(R(x, y)\) বিন্দু \(PQ\) রেখাংশকে এরূপভাবে অন্তর্বিভক্ত করেছে যে, \(PR:RQ=m:n\).
\(P, Q, R\) হতে \(OX\) এর উপর যথাক্রমে \(PM\), \(QN\) ও \(RS\) লম্ব টানি। আবার \(P\) হতে \(RS\) এর উপর \(PL\) এবং \(R\) হতে \(QN\) এর উপর \(RT\) লম্ব টানি।
স্পষ্টতঃ \(\ OM=x_{1}, \ OS=x, \ ON=x_{2}\) এবং \( \ PM=y_{1}, \ RS=y, \ QN=y_{2}, \ PR=m, \ RQ=n\)
এখন,
\(\ PL=MS=OS-OM=x-x_{1}\)
\(\ RT=SN=ON-OS=x_{2}-x\)
\(\ RL=RS-SL=RS-PM=y-y_{1}\) ➜ \(\because SL=PM\)
\(\ QT=QN-TN=QN-RS=y_{2}-y\) ➜ \(\because TN=RS\)
এখন, \(QTR\) ও \(RLP\) সদৃশ ত্রিভুজ সদৃশ ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক। হতে পাই,
\(\frac{PL}{RT}=\frac{RL}{QT}=\frac{PR}{RQ}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow \frac{PL}{RT}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow \frac{x-x_{1}}{x_{2}-x}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow nx-nx_{1}=mx_{2}-mx\)
\(\Rightarrow mx+nx=mx_{2}+nx_{1}\)
\(\Rightarrow x(m+n)=mx_{2}+nx_{1}\)
\(\therefore x=\frac{mx_{2}+nx_{1}}{(m+n)}\)
আবার,
\(\Rightarrow \frac{RL}{QT}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow \frac{y-y_{1}}{y_{2}-y}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow ny-ny_{1}=my_{2}-my\)
\(\Rightarrow my+ny=my_{2}+ny_{1}\)
\(\Rightarrow y(m+n)=my_{2}+ny_{1}\)
\(\therefore y=\frac{my_{2}+ny_{1}}{(m+n)}\)
\(\therefore R\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক,\((\frac{mx_{2}+nx_{1}}{m+n}, \frac{my_{2}+ny_{1}}{m+n})\)
\(P, Q, R\) হতে \(OX\) এর উপর যথাক্রমে \(PM\), \(QN\) ও \(RS\) লম্ব টানি। আবার \(P\) হতে \(RS\) এর উপর \(PL\) এবং \(R\) হতে \(QN\) এর উপর \(RT\) লম্ব টানি।
স্পষ্টতঃ \(\ OM=x_{1}, \ OS=x, \ ON=x_{2}\) এবং \( \ PM=y_{1}, \ RS=y, \ QN=y_{2}, \ PR=m, \ RQ=n\)
এখন,
\(\ PL=MS=OS-OM=x-x_{1}\)
\(\ RT=SN=ON-OS=x_{2}-x\)
\(\ RL=RS-SL=RS-PM=y-y_{1}\) ➜ \(\because SL=PM\)
\(\ QT=QN-TN=QN-RS=y_{2}-y\) ➜ \(\because TN=RS\)
এখন, \(QTR\) ও \(RLP\) সদৃশ ত্রিভুজ সদৃশ ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক। হতে পাই,
\(\frac{PL}{RT}=\frac{RL}{QT}=\frac{PR}{RQ}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow \frac{PL}{RT}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow \frac{x-x_{1}}{x_{2}-x}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow nx-nx_{1}=mx_{2}-mx\)
\(\Rightarrow mx+nx=mx_{2}+nx_{1}\)
\(\Rightarrow x(m+n)=mx_{2}+nx_{1}\)
\(\therefore x=\frac{mx_{2}+nx_{1}}{(m+n)}\)
আবার,
\(\Rightarrow \frac{RL}{QT}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow \frac{y-y_{1}}{y_{2}-y}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow ny-ny_{1}=my_{2}-my\)
\(\Rightarrow my+ny=my_{2}+ny_{1}\)
\(\Rightarrow y(m+n)=my_{2}+ny_{1}\)
\(\therefore y=\frac{my_{2}+ny_{1}}{(m+n)}\)
\(\therefore R\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক,\((\frac{mx_{2}+nx_{1}}{m+n}, \frac{my_{2}+ny_{1}}{m+n})\)
\(2.\) বহির্বিভক্তিকরণ সূত্র নির্ণয়ঃ
মনে করি, \(XY\) সমতলে \(P(x_{1}, y_{1})\) এবং \(Q(x_{2}, y_{2})\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু। \(P\), \(Q\) যোগ করে বর্ধিত করি। ধরি, \(PQ\) এর বর্ধিতাংশের উপর \(R(x, y)\) এমন একটি বিন্দু যেন, \(PR:RQ=m:n\).
অর্থাৎ \(R(x, y)\) বিন্দু \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে।
\(P, Q, R\) হতে \(OX\) এর উপর যথাক্রমে \(PM\), \(QN\) ও \(RS\) লম্ব টানি। আবার \(P\) হতে \(RS\) এর উপর \(PL\) এবং \(Q\) হতে \(RS\) এর উপর \(QT\) লম্ব টানি।
স্পষ্টতঃ \(\ OM=x_{1}, \ OS=x, \ ON=x_{2}\) এবং \( \ PM=y_{1}, \ RS=y, \ QN=y_{2}, \ PR=m, \ RQ=n\)
\(\ PL=MS=OS-OM=x-x_{1}\)
\(\ QT=NS=OS-ON=x-x_{2}\)
\(\ RL=RS-LS=RS-PM=y-y_{1}\) ➜ \(\because SL=PM\)
\(\ RT=RS-TS=RS-QN=y-y_{2}\) ➜ \(\because TS=QN\)
এখন, \(RLP\) ও \(RTQ\) সদৃশ ত্রিভুজ সদৃশ ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক। হতে পাই,
\(\frac{PL}{QT}=\frac{RL}{RT}=\frac{PR}{RQ}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow \frac{PL}{QT}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow \frac{x-x_{1}}{x-x_{2}}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow nx-nx_{1}=mx-mx_{2}\)
\(\Rightarrow mx-mx_{2}=nx-nx_{1}\)
\(\Rightarrow mx-nx=mx_{2}-nx_{1}\)
\(\Rightarrow x(m-n)=mx_{2}-nx_{1}\)
\(\therefore x=\frac{mx_{2}-nx_{1}}{(m-n)}\)
আবার,
\(\Rightarrow \frac{RL}{RT}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow \frac{y-y_{1}}{y-y_{2}}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow ny-ny_{1}=my-my_{2}\)
\(\Rightarrow my-my_{2}=ny-ny_{1}\)
\(\Rightarrow my-ny=my_{2}-ny_{1}\)
\(\Rightarrow y(m-n)=my_{2}-ny_{1}\)
\(\therefore y=\frac{my_{2}-ny_{1}}{(m-n)}\)
\(\therefore R\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক,\((\frac{mx_{2}-nx_{1}}{m-n}, \frac{my_{2}-ny_{1}}{m-n})\)
অর্থাৎ \(R(x, y)\) বিন্দু \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে।
\(P, Q, R\) হতে \(OX\) এর উপর যথাক্রমে \(PM\), \(QN\) ও \(RS\) লম্ব টানি। আবার \(P\) হতে \(RS\) এর উপর \(PL\) এবং \(Q\) হতে \(RS\) এর উপর \(QT\) লম্ব টানি।
স্পষ্টতঃ \(\ OM=x_{1}, \ OS=x, \ ON=x_{2}\) এবং \( \ PM=y_{1}, \ RS=y, \ QN=y_{2}, \ PR=m, \ RQ=n\)
\(\ PL=MS=OS-OM=x-x_{1}\)
\(\ QT=NS=OS-ON=x-x_{2}\)
\(\ RL=RS-LS=RS-PM=y-y_{1}\) ➜ \(\because SL=PM\)
\(\ RT=RS-TS=RS-QN=y-y_{2}\) ➜ \(\because TS=QN\)
এখন, \(RLP\) ও \(RTQ\) সদৃশ ত্রিভুজ সদৃশ ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক। হতে পাই,
\(\frac{PL}{QT}=\frac{RL}{RT}=\frac{PR}{RQ}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow \frac{PL}{QT}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow \frac{x-x_{1}}{x-x_{2}}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow nx-nx_{1}=mx-mx_{2}\)
\(\Rightarrow mx-mx_{2}=nx-nx_{1}\)
\(\Rightarrow mx-nx=mx_{2}-nx_{1}\)
\(\Rightarrow x(m-n)=mx_{2}-nx_{1}\)
\(\therefore x=\frac{mx_{2}-nx_{1}}{(m-n)}\)
আবার,
\(\Rightarrow \frac{RL}{RT}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow \frac{y-y_{1}}{y-y_{2}}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow ny-ny_{1}=my-my_{2}\)
\(\Rightarrow my-my_{2}=ny-ny_{1}\)
\(\Rightarrow my-ny=my_{2}-ny_{1}\)
\(\Rightarrow y(m-n)=my_{2}-ny_{1}\)
\(\therefore y=\frac{my_{2}-ny_{1}}{(m-n)}\)
\(\therefore R\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক,\((\frac{mx_{2}-nx_{1}}{m-n}, \frac{my_{2}-ny_{1}}{m-n})\)
\(3.\) মধ্যবিন্দুর সূত্র নির্ণয়ঃ
মনে করি, 
\(XY\) সমতলে \(P(x_{1}, y_{1})\) এবং \(Q(x_{2}, y_{2})\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(R(x, y)\) বিন্দু \(PQ\) এর মধ্যবিন্দু হলে, \(m=n\) হবে। সে ক্ষেত্রে \(R\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক, \(R(\frac{mx_{2}+mx_{1}}{m+m}, \frac{my_{2}+my_{1}}{m+m})\)
\(\Rightarrow R(\frac{m(x_{2}+x_{1})}{2m}, \frac{m(y_{2}+y_{1})}{2m})\)
\(\Rightarrow R(\frac{x_{2}+x_{1}}{2}, \frac{y_{2}+y_{1}}{2})\)
\(\Rightarrow R(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2})\)
\(\therefore \) মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(R(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2})\)
\(XY\) সমতলে \(P(x_{1}, y_{1})\) এবং \(Q(x_{2}, y_{2})\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(R(x, y)\) বিন্দু \(PQ\) এর মধ্যবিন্দু হলে, \(m=n\) হবে। সে ক্ষেত্রে \(R\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক, \(R(\frac{mx_{2}+mx_{1}}{m+m}, \frac{my_{2}+my_{1}}{m+m})\)
\(\Rightarrow R(\frac{m(x_{2}+x_{1})}{2m}, \frac{m(y_{2}+y_{1})}{2m})\)
\(\Rightarrow R(\frac{x_{2}+x_{1}}{2}, \frac{y_{2}+y_{1}}{2})\)
\(\Rightarrow R(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2})\)
\(\therefore \) মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(R(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2})\)
\(4.\) ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র নির্ণয়ঃ
মনে করি, কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) কোন ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু, \(\triangle ABC\) এর ভরকেন্দ্রের \(G\).
\(BC\) এর মধ্যবিন্দু \(D\), তাহলে \(AD\) হবে একটি মধ্যমা। \(AD\) এর উপর ভরকেন্দ্র \(G\) অবস্থান করবে। অর্থাৎ মধ্যমাগুলির ছেদবিন্দুই হবে ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র।
ধরি, \(G(x, y)\).
এখন,
\(D\), \(BC\) এর মধ্যবিন্দু \(\therefore D(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2})\).
আবার,
\(AG:GD=2:1\) ➜ ত্রিভুজের মধ্যমাগুলি পরস্পরকে \(2:1\) অনপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore G(\frac{2\times \frac{x_{2}+x_{3}}{2}+1\times x_{1}}{2+1}, \frac{2\times \frac{y_{2}+y_{3}}{2}+1\times y_{1}}{2+1})\).
\(\Rightarrow G(\frac{x_{2}+x_{3}+x_{1}}{3}, \frac{y_{2}+y_{3}+y_{1}}{3})\).
\(\therefore G(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})\).
\(\therefore \) \(\triangle ABC\) এর ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})\).
\(BC\) এর মধ্যবিন্দু \(D\), তাহলে \(AD\) হবে একটি মধ্যমা। \(AD\) এর উপর ভরকেন্দ্র \(G\) অবস্থান করবে। অর্থাৎ মধ্যমাগুলির ছেদবিন্দুই হবে ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র।
ধরি, \(G(x, y)\).
এখন,
\(D\), \(BC\) এর মধ্যবিন্দু \(\therefore D(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2})\).
আবার,
\(AG:GD=2:1\) ➜ ত্রিভুজের মধ্যমাগুলি পরস্পরকে \(2:1\) অনপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore G(\frac{2\times \frac{x_{2}+x_{3}}{2}+1\times x_{1}}{2+1}, \frac{2\times \frac{y_{2}+y_{3}}{2}+1\times y_{1}}{2+1})\).
\(\Rightarrow G(\frac{x_{2}+x_{3}+x_{1}}{3}, \frac{y_{2}+y_{3}+y_{1}}{3})\).
\(\therefore G(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})\).
\(\therefore \) \(\triangle ABC\) এর ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})\).
অনুশীলনী \(3.B\) উদাহরণসমুহ
উদাহরণ \(1.\) \((1, 4)\) ও \((9, -12)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী সরলরেখা যে বিন্দুতে \(5:3\) অনপাতে অন্তর্বিভক্ত ও বহির্বিভক্ত করে তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(2.\) \((7, 7)\) ও \((-5, -10)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \(X\)-অক্ষরেখা যে অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে তা বের কর; বিভাজন বিন্দুর ভুজ নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০১২, রাঃ ২০১২, সিঃ ২০১১, বঃ ২০১৩, দিঃ ২০১৪]
উদাহরণ \(3.\) \(A\) ও \(B\) বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-2, 4)\) ও \((4, -5)\)। \(AB\) রেখা \(C\) বিন্দু পর্যন্ত এমনভাবে বর্দ্ধিত করা হল যেন \(AB=3BC\) হয়। \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০৮, রাঃ ২০১৩, কুঃ২০০৯, চঃ ২০১১, সিঃ ২০১০, দিঃ ২০১৫,২০১২,২০১০]
উদাহরণ \(4.\) কোন সামান্তরিকের একটি কর্ণের প্রান্ত বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((3, -4)\) এবং \((-6, 5)\)। এর তৃতীয় শীর্ষ \((-2, -1)\) হলে চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০৭, রাঃ ২০১৪, কুঃ ২০০৭, চঃ ২০১৪, সিঃ ২০১৪, বঃ ২০০৮, যঃ ২০১১, মাঃ ২০০৪,২০০৬]
উদাহরণ \(2.\) \((7, 7)\) ও \((-5, -10)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \(X\)-অক্ষরেখা যে অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে তা বের কর; বিভাজন বিন্দুর ভুজ নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০১২, রাঃ ২০১২, সিঃ ২০১১, বঃ ২০১৩, দিঃ ২০১৪]
উদাহরণ \(3.\) \(A\) ও \(B\) বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-2, 4)\) ও \((4, -5)\)। \(AB\) রেখা \(C\) বিন্দু পর্যন্ত এমনভাবে বর্দ্ধিত করা হল যেন \(AB=3BC\) হয়। \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০৮, রাঃ ২০১৩, কুঃ২০০৯, চঃ ২০১১, সিঃ ২০১০, দিঃ ২০১৫,২০১২,২০১০]
উদাহরণ \(4.\) কোন সামান্তরিকের একটি কর্ণের প্রান্ত বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((3, -4)\) এবং \((-6, 5)\)। এর তৃতীয় শীর্ষ \((-2, -1)\) হলে চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০৭, রাঃ ২০১৪, কুঃ ২০০৭, চঃ ২০১৪, সিঃ ২০১৪, বঃ ২০০৮, যঃ ২০১১, মাঃ ২০০৪,২০০৬]
উদাহরণ \(5.\) \(P(1, -1)\) ও \(Q(8, 6)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে যে বিন্দুটি \((3:4)\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(6.\) \(P(3, 4)\) ও \(Q(5, 9)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে যে বিন্দুটি \((2:3)\) অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(7.\) একটি ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((2, 0)\)। এর দুইটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((1, 2)\) ও \((3, -1)\) হলে তৃতীয় শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(8.\) যদি \(A(2, 5)\), \(B(5, 9)\) এবং \(D(6, 8)\) বিন্দুত্রয় \(ABCD\) রম্বসের শীর্ষ বিন্দু হয়, তাহলে \(C\) এর স্থানাঙ্ক এবং রম্বসের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(9.\) \(P(4, -5)\) ও \(Q(6, 8)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে যে বিন্দুটি \((4:3)\) অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(10.\) \(P(3, 2)\) ও \(Q(6, 8)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশের \((a)\) সমদ্বিখন্ডন বিন্দু এবং \((b)\) সমত্রিখন্ডন বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(6.\) \(P(3, 4)\) ও \(Q(5, 9)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে যে বিন্দুটি \((2:3)\) অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(7.\) একটি ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((2, 0)\)। এর দুইটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((1, 2)\) ও \((3, -1)\) হলে তৃতীয় শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(8.\) যদি \(A(2, 5)\), \(B(5, 9)\) এবং \(D(6, 8)\) বিন্দুত্রয় \(ABCD\) রম্বসের শীর্ষ বিন্দু হয়, তাহলে \(C\) এর স্থানাঙ্ক এবং রম্বসের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(9.\) \(P(4, -5)\) ও \(Q(6, 8)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে যে বিন্দুটি \((4:3)\) অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(10.\) \(P(3, 2)\) ও \(Q(6, 8)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশের \((a)\) সমদ্বিখন্ডন বিন্দু এবং \((b)\) সমত্রিখন্ডন বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(1.\) \((1, 4)\) ও \((9, -12)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী সরলরেখা যে বিন্দুতে \(5:3\) অনপাতে অন্তর্বিভক্ত ও বহির্বিভক্ত করে তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
মনে করি, \(A(1, 4)\), \(B(9, -12)\) এবং বিভক্তকারী বিন্দু \(C(x, y)\)।
এখানে, \(m:n \Rightarrow 5:3\)
\(C\) যখন \(AB\) কে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore C(\frac{5\times 9+3\times 1}{5+3},\frac{5\times -12+3\times 4}{5+3})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow C(\frac{45+3}{8},\frac{-60+12}{8})\)
\(\Rightarrow C(\frac{48}{8},\frac{-48}{8})\)
\(\Rightarrow C(6, -6)\)
\(C\) যখন \(AB\) কে বহির্বিভক্ত করে।
\(\therefore C(\frac{5\times 9-3\times 1}{5-3},\frac{5\times -12-3\times 4}{5-3})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে বহিঃর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2-nx_1}{m-n}, \frac{my_2-ny_1}{m-n}\right)\)
\(\Rightarrow C(\frac{45-3}{2},\frac{-60-12}{2})\)
\(\Rightarrow C(\frac{42}{2},\frac{-72}{2})\)
\(\Rightarrow C(21, -36)\)
\(\therefore \) অন্তর্বিভক্তিকরণ বিন্দু \(\ C(6, -6)\)
\(\therefore \) বহির্বিভক্তিকরণ বিন্দু \(\ C(21, -36)\)
এখানে, \(m:n \Rightarrow 5:3\)
\(C\) যখন \(AB\) কে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore C(\frac{5\times 9+3\times 1}{5+3},\frac{5\times -12+3\times 4}{5+3})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow C(\frac{45+3}{8},\frac{-60+12}{8})\)
\(\Rightarrow C(\frac{48}{8},\frac{-48}{8})\)
\(\Rightarrow C(6, -6)\)
\(C\) যখন \(AB\) কে বহির্বিভক্ত করে।
\(\therefore C(\frac{5\times 9-3\times 1}{5-3},\frac{5\times -12-3\times 4}{5-3})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে বহিঃর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2-nx_1}{m-n}, \frac{my_2-ny_1}{m-n}\right)\)
\(\Rightarrow C(\frac{45-3}{2},\frac{-60-12}{2})\)
\(\Rightarrow C(\frac{42}{2},\frac{-72}{2})\)
\(\Rightarrow C(21, -36)\)
\(\therefore \) অন্তর্বিভক্তিকরণ বিন্দু \(\ C(6, -6)\)
\(\therefore \) বহির্বিভক্তিকরণ বিন্দু \(\ C(21, -36)\)
উদাহরণ \(2.\) \((7, 7)\) ও \((-5, -10)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \(X\)-অক্ষরেখা যে অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে তা বের কর; বিভাজন বিন্দুর ভুজ নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০১২, রাঃ ২০১২, সিঃ ২০১১, বঃ ২০১৩, দিঃ ২০১৪]
[ঢাঃ ২০১২, রাঃ ২০১২, সিঃ ২০১১, বঃ ২০১৩, দিঃ ২০১৪]
সমাধানঃ
মনে করি, \(A(7, 7)\), \(B(-5, -10)\) এবং \(AB\) কে \(X\)-অক্ষরেখা \(C(x, 0)\) বিন্দুতে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
শর্তমতে, \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(C(\frac{m\times -5+n\times 7}{m+n}, \frac{m\times -10+n\times 7}{m+n})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\therefore C(\frac{-5m+7n}{m+n}, \frac{-10m+7n}{m+n})\)
কিন্তু \(X\)-অক্ষের উপর \(C(x, 0)\)।
\(\therefore \frac{-10m+7n}{m+n}=0\)
\(\Rightarrow -10m+7n=0\)
\(\Rightarrow -10m=-7n\)
\(\Rightarrow 10m=7n\) ➜ উভয়পার্শে \(-1\) গুন করে।
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{7}{10}\)
\(\Rightarrow m:n=7:10\)
\(\therefore \) নির্ণেয় অনুপাত \(\ =7:10\)
আবার, বিভাজন বিন্দুর ভুজ \(= \frac{7\times -5+10\times 7}{7+10}=\frac{-35+70}{17}=\frac{35}{17}\)।
শর্তমতে, \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(C(\frac{m\times -5+n\times 7}{m+n}, \frac{m\times -10+n\times 7}{m+n})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\therefore C(\frac{-5m+7n}{m+n}, \frac{-10m+7n}{m+n})\)
কিন্তু \(X\)-অক্ষের উপর \(C(x, 0)\)।
\(\therefore \frac{-10m+7n}{m+n}=0\)
\(\Rightarrow -10m+7n=0\)
\(\Rightarrow -10m=-7n\)
\(\Rightarrow 10m=7n\) ➜ উভয়পার্শে \(-1\) গুন করে।
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{7}{10}\)
\(\Rightarrow m:n=7:10\)
\(\therefore \) নির্ণেয় অনুপাত \(\ =7:10\)
আবার, বিভাজন বিন্দুর ভুজ \(= \frac{7\times -5+10\times 7}{7+10}=\frac{-35+70}{17}=\frac{35}{17}\)।
উদাহরণ \(3.\) \(A\) ও \(B\) বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-2, 4)\) ও \((4, -5)\)। \(AB\) রেখা \(C\) বিন্দু পর্যন্ত এমনভাবে বর্দ্ধিত করা হল যেন \(AB=3BC\) হয়। \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০৮, রাঃ ২০১৩, কুঃ২০০৯, চঃ ২০১১, সিঃ ২০১০, দিঃ ২০১৫,২০১২,২০১০]
[ঢাঃ ২০০৮, রাঃ ২০১৩, কুঃ২০০৯, চঃ ২০১১, সিঃ ২০১০, দিঃ ২০১৫,২০১২,২০১০]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, \(A(-2, 4)\), \(B(4, -5)\) এবং \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((x, y)\)।
\(AB\) রেখা \(C\) বিন্দু পর্যন্ত বর্দ্ধিত করায় \(AB=3BC\) হয়।
\(\Rightarrow \frac{AB}{BC}=3\)
\(\Rightarrow AB:BC=3:1\)
অর্থাৎ \(B\) বিন্দু \(AC\) কে \(\ 3:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore B\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\ (\frac{3\times x+1\times -2}{3+1}, \frac{3\times y+1\times 4}{3+1})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow B(\frac{3x-2}{4}, \frac{3y+4}{4})\)
কিন্তু দেওয়া আছে, \(B(4, -5)\)
\(\therefore \frac{3x-2}{4}=4, \ \frac{3y+4}{4}=-5\)
\(\Rightarrow 3x-2=16, \ 3y+4=-20\)
\(\Rightarrow 3x=16+2, \ 3y=-20-4\)
\(\Rightarrow 3x=18, \ 3y=-24\)
\(\Rightarrow x=\frac{18}{3}, \ y=\frac{-24}{3}\)
\(\Rightarrow x=6, \ y=-8\)
\(\therefore C(6, -8)\).
\(AB\) রেখা \(C\) বিন্দু পর্যন্ত বর্দ্ধিত করায় \(AB=3BC\) হয়।
\(\Rightarrow \frac{AB}{BC}=3\)
\(\Rightarrow AB:BC=3:1\)
অর্থাৎ \(B\) বিন্দু \(AC\) কে \(\ 3:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore B\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\ (\frac{3\times x+1\times -2}{3+1}, \frac{3\times y+1\times 4}{3+1})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow B(\frac{3x-2}{4}, \frac{3y+4}{4})\)
কিন্তু দেওয়া আছে, \(B(4, -5)\)
\(\therefore \frac{3x-2}{4}=4, \ \frac{3y+4}{4}=-5\)
\(\Rightarrow 3x-2=16, \ 3y+4=-20\)
\(\Rightarrow 3x=16+2, \ 3y=-20-4\)
\(\Rightarrow 3x=18, \ 3y=-24\)
\(\Rightarrow x=\frac{18}{3}, \ y=\frac{-24}{3}\)
\(\Rightarrow x=6, \ y=-8\)
\(\therefore C(6, -8)\).
উদাহরণ \(4.\) কোন সামান্তরিকের একটি কর্ণের প্রান্ত বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((3, -4)\) এবং \((-6, 5)\)। এর তৃতীয় শীর্ষ \((-2, -1)\) হলে চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০৭, রাঃ ২০১৪, কুঃ ২০০৭, চঃ ২০১৪, সিঃ ২০১৪, বঃ ২০০৮, যঃ ২০১১, মাঃ ২০০৪,২০০৬]
[ঢাঃ ২০০৭, রাঃ ২০১৪, কুঃ ২০০৭, চঃ ২০১৪, সিঃ ২০১৪, বঃ ২০০৮, যঃ ২০১১, মাঃ ২০০৪,২০০৬]
সমাধানঃ
মনে করি,
\(ABCD\) সামান্তরিকের শীর্ষবিন্দু চারটি \(A(-2, -1)\), \(B(3, -4)\) \(C(x, y)\) এবং \(D(-6, 5)\).
\(\therefore BD\) কর্ণের মধ্যবিন্দু \(E(\frac{3-6}{2}, \frac{-4+5}{2})=E(\frac{-3}{2}, \frac{1}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
আবার,
\(AC\) কর্ণের মধ্যবিন্দু \(E(\frac{-2+x}{2}, \frac{-1+y}{2})\)
সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। \(\therefore E(\frac{-2+x}{2}, \frac{-1+y}{2})\Rightarrow E(\frac{-3}{2}, \frac{1}{2})\)
\(\Rightarrow \frac{-2+x}{2}=\frac{-3}{2},\ \frac{-1+y}{2}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow -2+x=-3,\ -1+y=1\)
\(\Rightarrow x=2-3,\ y=1+1\)
\(\Rightarrow x=-1,\ y=2\)
\(\therefore \) চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((-1, 2)\).
\(ABCD\) সামান্তরিকের শীর্ষবিন্দু চারটি \(A(-2, -1)\), \(B(3, -4)\) \(C(x, y)\) এবং \(D(-6, 5)\).
\(\therefore BD\) কর্ণের মধ্যবিন্দু \(E(\frac{3-6}{2}, \frac{-4+5}{2})=E(\frac{-3}{2}, \frac{1}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
আবার,
\(AC\) কর্ণের মধ্যবিন্দু \(E(\frac{-2+x}{2}, \frac{-1+y}{2})\)
সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। \(\therefore E(\frac{-2+x}{2}, \frac{-1+y}{2})\Rightarrow E(\frac{-3}{2}, \frac{1}{2})\)
\(\Rightarrow \frac{-2+x}{2}=\frac{-3}{2},\ \frac{-1+y}{2}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow -2+x=-3,\ -1+y=1\)
\(\Rightarrow x=2-3,\ y=1+1\)
\(\Rightarrow x=-1,\ y=2\)
\(\therefore \) চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((-1, 2)\).
উদাহরণ \(5.\) \(P(1, -1)\) ও \(Q(8, 6)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে যে বিন্দুটি \((3:4)\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(P(1, -1)\) ও \(Q(8, 6)\)। ধরি, বিভক্তকারী বিন্দু \(R(x, y)\)।
এখানে, \(m:n\Rightarrow 3:4\)
\(\therefore R(\frac{3\times 8+4\times 1}{3+4}, \frac{3\times 6+4\times -1}{3+4})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow R(\frac{24+4}{7}, \frac{18-4}{7})\)
\(\Rightarrow R(\frac{28}{7}, \frac{14}{7})\)
\(\Rightarrow R(4, 2)\)
\(\therefore \) বিভক্তকারী বিন্দু \( R(4, 2)\).
\(P(1, -1)\) ও \(Q(8, 6)\)। ধরি, বিভক্তকারী বিন্দু \(R(x, y)\)।
এখানে, \(m:n\Rightarrow 3:4\)
\(\therefore R(\frac{3\times 8+4\times 1}{3+4}, \frac{3\times 6+4\times -1}{3+4})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow R(\frac{24+4}{7}, \frac{18-4}{7})\)
\(\Rightarrow R(\frac{28}{7}, \frac{14}{7})\)
\(\Rightarrow R(4, 2)\)
\(\therefore \) বিভক্তকারী বিন্দু \( R(4, 2)\).
উদাহরণ \(6.\) \(P(3, 4)\) ও \(Q(5, 9)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে যে বিন্দুটি \((2:3)\) অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, \(P(3, 4)\) ও \(Q(5, 9)\)। ধরি, বিভক্তকারী বিন্দু \(R(x, y)\)।
এখানে, \(m:n\Rightarrow 2:3\)
\(\therefore R(\frac{2\times 5-3\times 3}{2-3}, \frac{2\times 9-3\times 4}{2-3})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে বহিঃর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2-nx_1}{m-n}, \frac{my_2-ny_1}{m-n}\right)\)
\(\Rightarrow R(\frac{10-9}{-1}, \frac{18-12}{-1})\)
\(\Rightarrow R(\frac{1}{-1}, \frac{6}{-1})\)
\(\Rightarrow R(-1, -6)\)
\(\therefore \) বিভক্তকারী বিন্দু \( R(-1, -6)\).
এখানে, \(m:n\Rightarrow 2:3\)
\(\therefore R(\frac{2\times 5-3\times 3}{2-3}, \frac{2\times 9-3\times 4}{2-3})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে বহিঃর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2-nx_1}{m-n}, \frac{my_2-ny_1}{m-n}\right)\)
\(\Rightarrow R(\frac{10-9}{-1}, \frac{18-12}{-1})\)
\(\Rightarrow R(\frac{1}{-1}, \frac{6}{-1})\)
\(\Rightarrow R(-1, -6)\)
\(\therefore \) বিভক্তকারী বিন্দু \( R(-1, -6)\).
উদাহরণ \(7.\) একটি ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((2, 0)\)। এর দুইটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((1, 2)\) ও \((3, -1)\) হলে তৃতীয় শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
মনে করি, \(A(1, 2)\) ও \(B(3, -1)\) তৃতীয় শীর্ষবিন্দু \(C(x, y)\) এবং ভরকেন্দ্র \(G(2, 0)\)।
এখন,
\(ABC\) এর ভরকেন্দ্র \(G(\frac{1+3+x}{3}, \frac{2-1+y}{3})\) ➜ কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, এর ভরকেন্দ্র \(G(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})\) হয়।
\(\therefore G(\frac{1+3+x}{3}, \frac{2-1+y}{3}) \Rightarrow G(2, 0)\)
\(\Rightarrow \frac{1+3+x}{3}=2, \ \frac{2-1+y}{3}=0\)
\(\Rightarrow 1+3+x=6, \ 2-1+y=0\)
\(\Rightarrow x=6-4, \ y=-1\)
\(\Rightarrow x=2, \ y=-1\)
\(\therefore \) তৃতীয় শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \( C(2, -1)\).
এখন,
\(ABC\) এর ভরকেন্দ্র \(G(\frac{1+3+x}{3}, \frac{2-1+y}{3})\) ➜ কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, এর ভরকেন্দ্র \(G(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})\) হয়।
\(\therefore G(\frac{1+3+x}{3}, \frac{2-1+y}{3}) \Rightarrow G(2, 0)\)
\(\Rightarrow \frac{1+3+x}{3}=2, \ \frac{2-1+y}{3}=0\)
\(\Rightarrow 1+3+x=6, \ 2-1+y=0\)
\(\Rightarrow x=6-4, \ y=-1\)
\(\Rightarrow x=2, \ y=-1\)
\(\therefore \) তৃতীয় শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \( C(2, -1)\).
উদাহরণ \(8.\) যদি \(A(2, 5)\), \(B(5, 9)\) এবং \(D(6, 8)\) বিন্দুত্রয় \(ABCD\) রম্বসের শীর্ষ বিন্দু হয়, তাহলে \(C\) এর স্থানাঙ্ক এবং রম্বসের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
\(A(2, 5)\), \(B(5, 9)\) এবং \(D(6, 8)\)। ধারি, \(C(x, y)\)।
এখন,
\(\therefore BD\) কর্ণের মধ্যবিন্দু \(E(\frac{5+6}{2}, \frac{9+8}{2})=E(\frac{11}{2}, \frac{17}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
আবার,
\(AC\) কর্ণের মধ্যবিন্দু \(E(\frac{2+x}{2}, \frac{5+y}{2})\)
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে। \(\therefore E(\frac{2+x}{2}, \frac{5+y}{2})\Rightarrow E(\frac{11}{2}, \frac{17}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{2+x}{2}=\frac{11}{2},\ \frac{5+y}{2}=\frac{17}{2}\)
\(\Rightarrow 2+x=11,\ 5+y=17\)
\(\Rightarrow x=11-2,\ y=17-5\)
\(\Rightarrow x=9,\ y=12\)
\(\therefore C\) এর স্থানাঙ্ক \((9, 12)\).
\(A(2, 5)\), \(B(5, 9)\) এবং \(D(6, 8)\)। ধারি, \(C(x, y)\)।
এখন,
\(\therefore BD\) কর্ণের মধ্যবিন্দু \(E(\frac{5+6}{2}, \frac{9+8}{2})=E(\frac{11}{2}, \frac{17}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
আবার,
\(AC\) কর্ণের মধ্যবিন্দু \(E(\frac{2+x}{2}, \frac{5+y}{2})\)
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে। \(\therefore E(\frac{2+x}{2}, \frac{5+y}{2})\Rightarrow E(\frac{11}{2}, \frac{17}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{2+x}{2}=\frac{11}{2},\ \frac{5+y}{2}=\frac{17}{2}\)
\(\Rightarrow 2+x=11,\ 5+y=17\)
\(\Rightarrow x=11-2,\ y=17-5\)
\(\Rightarrow x=9,\ y=12\)
\(\therefore C\) এর স্থানাঙ্ক \((9, 12)\).
উদাহরণ \(9.\) \(P(4, -5)\) ও \(Q(6, 8)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে যে বিন্দুটি \((4:3)\) অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(P(4, -5)\) ও \(Q(6, 8)\)। ধরি, বিভক্তকারী বিন্দু \(R(x, y)\)।
এখানে, \(m:n\Rightarrow 4:3\)
\(\therefore R(\frac{4\times 6-3\times 4}{4-3}, \frac{4\times 8-3\times -5}{4-3})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে বহিঃর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2-nx_1}{m-n}, \frac{my_2-ny_1}{m-n}\right)\)
\(\Rightarrow R(\frac{24-12}{1}, \frac{32+15}{1})\)
\(\Rightarrow R(\frac{12}{1}, \frac{47}{1})\)
\(\Rightarrow R(12, 47)\)
\(\therefore \) বিভক্তকারী বিন্দু \( R(12, 47)\).
\(P(4, -5)\) ও \(Q(6, 8)\)। ধরি, বিভক্তকারী বিন্দু \(R(x, y)\)।
এখানে, \(m:n\Rightarrow 4:3\)
\(\therefore R(\frac{4\times 6-3\times 4}{4-3}, \frac{4\times 8-3\times -5}{4-3})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে বহিঃর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2-nx_1}{m-n}, \frac{my_2-ny_1}{m-n}\right)\)
\(\Rightarrow R(\frac{24-12}{1}, \frac{32+15}{1})\)
\(\Rightarrow R(\frac{12}{1}, \frac{47}{1})\)
\(\Rightarrow R(12, 47)\)
\(\therefore \) বিভক্তকারী বিন্দু \( R(12, 47)\).
উদাহরণ \(10.\) \(P(3, 2)\) ও \(Q(6, 8)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশের \((a)\) সমদ্বিখন্ডন বিন্দু এবং \((b)\) সমত্রিখন্ডন বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, \(P(3, 2)\) ও \(Q(6, 8)\) । ধরি, বিভক্তকারী বিন্দু \(R(x, y)\)।
\((a)\) সমদ্বিখন্ডন বিন্দু অর্থাৎ মধ্যবিন্দু \(R\) এর স্থানাঙ্ক \((\frac{3+6}{2},\frac{2+8}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow (\frac{9}{2}, \frac{10}{2})\)
\(\Rightarrow (\frac{9}{2}, 5)\)
\(\therefore \) সমদ্বিখন্ডন বিন্দু \( R(\frac{9}{2}, 5)\).
\((b)\) সমত্রিখন্ডন বিন্দু অর্থাৎ \(R\), \(PQ\) কে যথাক্রমে \(1:2\) এবং \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
যখন,\(1:2\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore R(\frac{1\times 6+2\times 3}{1+2},\frac{1\times 8+2\times 2}{1+2} )\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow (\frac{6+6}{3}, \frac{8+4}{3})\)
\(\Rightarrow (\frac{12}{3}, \frac{12}{3})\)
\(\Rightarrow (4, 4)\)
\(\therefore \) প্রথম সমত্রিখন্ডন বিন্দু \( R(4, 4)\).
আবার,
যখন,\(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore R(\frac{2\times 6+1\times 3}{2+1},\frac{2\times 8+1\times 2}{2+1} )\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow (\frac{12+3}{3}, \frac{16+2}{3})\)
\(\Rightarrow (\frac{15}{3}, \frac{18}{3})\)
\(\Rightarrow (5, 6)\)
\(\therefore \) দ্বিতীয় সমত্রিখন্ডন বিন্দু \( R(5, 6)\).
\((a)\) সমদ্বিখন্ডন বিন্দু অর্থাৎ মধ্যবিন্দু \(R\) এর স্থানাঙ্ক \((\frac{3+6}{2},\frac{2+8}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow (\frac{9}{2}, \frac{10}{2})\)
\(\Rightarrow (\frac{9}{2}, 5)\)
\(\therefore \) সমদ্বিখন্ডন বিন্দু \( R(\frac{9}{2}, 5)\).
\((b)\) সমত্রিখন্ডন বিন্দু অর্থাৎ \(R\), \(PQ\) কে যথাক্রমে \(1:2\) এবং \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
যখন,\(1:2\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore R(\frac{1\times 6+2\times 3}{1+2},\frac{1\times 8+2\times 2}{1+2} )\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow (\frac{6+6}{3}, \frac{8+4}{3})\)
\(\Rightarrow (\frac{12}{3}, \frac{12}{3})\)
\(\Rightarrow (4, 4)\)
\(\therefore \) প্রথম সমত্রিখন্ডন বিন্দু \( R(4, 4)\).
আবার,
যখন,\(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore R(\frac{2\times 6+1\times 3}{2+1},\frac{2\times 8+1\times 2}{2+1} )\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow (\frac{12+3}{3}, \frac{16+2}{3})\)
\(\Rightarrow (\frac{15}{3}, \frac{18}{3})\)
\(\Rightarrow (5, 6)\)
\(\therefore \) দ্বিতীয় সমত্রিখন্ডন বিন্দু \( R(5, 6)\).
অনুশীলনী \(3.B\) / \(Q.1\)-এর অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
নিম্নলিখিত বিন্দু দুইটির সংযোগ রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\(Q.1.(i).(a)\) \((-3, 4)\) এবং \((7, 6)\)উত্তরঃ \(R(2, 5)\).
\(Q.1.(i).(b)\) \((-2, -8)\) এবং \((2, 8)\)
উত্তরঃ \(R(0, 0)\).
\(Q.1.(i).(c)\) \((t+2, -t+4)\) এবং \((t, 3t)\)
উত্তরঃ \(R(t+1, t+2)\).
\(Q.1.(i).(d)\) \((a+b, -a-b)\) এবং \((a-b, a+b)\)
উত্তরঃ \(R(a, 0)\).
\(Q.1.(ii)\) \((3, 1)\) বিন্দুটি \((1, -3)\) ও \((6, 7)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে যে অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2:3\)
\(Q.1.(iii)\) \((7, -8)\) বিন্দুটি \((3, -2)\) ও \((-3, 7)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে যে অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2:5\)
\(Q.1.(iv)\) \((1, 4)\) ও \((9, -12)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী সরলরেখা \((6, -6)\) বিন্দুতে যে অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয় তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( 5:3 \)
\(Q.1.(v)\) \((-1, 2)\) ও \((4, -5)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী সরলরেখা \((-11, 16)\) বিন্দুতে যে অনুপাতে বহির্বিভক্ত হয় তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2:3 \)
\(Q.1.(vi)\) \((1, 2)\) ও \((6, 7)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী সরলরেখাংশকে \((3, 4)\) বিন্দুটি যে অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2:3 \)
\(Q.1.(vii)\) \((3, 4)\) ও \((5, 9)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী সরলরেখা \((2:3)\) অনুপাতে যে বিন্দুতে অন্তর্বিভক্ত ও বহির্বিভক্ত হয় তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ অন্তবিভক্তকারী বিন্দু \((\frac{19}{5}, 6)\); বহিবিভক্তকারী বিন্দু \((-1, -6)\)।
\(Q.1.(viii)\) \((2, 0)\) ও \((7, 5)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী রেখাংশকে যে বিন্দু \((2:3)\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে তার স্থানাংক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((4, 2) \)
\(Q.1.(ix)\) একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর, যা \((-2, 3)\) ও \((6, -8)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \((1:2)\) অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে।
উত্তরঃ \( (-10, 14) \)
\(Q.1.(x)\) একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর, যা \((-3, 4)\) ও \((7, 9)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \((3:2)\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত ও বহির্বিভক্ত করে।
উত্তরঃ \( (3, 7), (27, 19) \)
\(Q.1.(xi)\) \(A\) ও \(B\) বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((7, 3)\) এবং \((-1, -5)\)। \(AB\) রেখা \(C\) পর্যন্ত বর্দ্ধিত করা হল যেন, \(AC=2AB\) হয় । \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( C(-9, -13)\)
\(Q.1.(xii)\) \((7, 5)\) ও \((-2, -1)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার সমত্রিখন্ডক বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করা।
উত্তরঃ \( (4, 3); (1, 1) \)
[রাঃ ২০১১,২০০৯, বঃ ২০০৫]
\(Q.1.(xiii)\) \(AB\) সরলরেখাটি \(P(3, 3)\) ও \(Q(8, 5)\) বিন্দু দুটি দ্বারা সমত্রিখন্ডিত করা হয়; \(A\) ও \(B\) এর স্থানাঙ্ক নির্ণয়।
উত্তরঃ \( A(-2, 1); B(13, 7)\)
[বঃ২০১১,২০০৯]
\(Q.1.(xiv)\) \(PQ\) রেখাংশের মধ্যবিন্দু \((2, 3)\) এবং \(Q\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((-1, 6)\) হলে, \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( p(5, 0)\)
\(Q.1.(xv)\) \(A\) ও \(B\) বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-2, 4)\) এবং \((4, -5)\)। \(AB\) রেখাংশকে \(C\) পর্যন্ত বর্দ্ধিত করা হল যেন, \((a)\) \(AB=2BC\), \(Q.1.(b)\) \(AB=3BC\) হয় । \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a)\) \((7, -\frac{19}{2})\), \((b)\) \((6, -8)\)
[কুঃ ২০০৯, চঃ ২০১১, সিঃ ২০১০, রাঃ ২০১৩, ঢাঃ ২০১৪ দিঃ ২০১২, ২০১৫]
\(Q.1.(xvi)\) দেখাও যে, \((2, -2)\) এবং \((-1, 4)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশ অক্ষ দ্বয় দ্বারা সমান তিনভাগে বিভক্ত হয়। বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(C(1, 0); D(0, 2)\)
[কুঃ ২০১৫,সিঃ ২০১৩,২০০৫, বঃ ২০০৭]
\(Q.1.(xvii)\) দেখাও যে, মূলবিন্দু \((-3, -2)\) এবং \((6, 4)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার একটি সমত্রিখন্ডন বিন্দু, অপর সমত্রিখন্ডন বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((3, 2)\)
[ ঢাঃ ২০০৬, সিঃ ২০০৮, যঃ ২০১৩, ২০০৯]
\(Q.1.(xviii)\) \((2, -4)\) এবং \((-3, 6)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে অক্ষ দ্বয় যে যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( 2:3; 2:3 \)
[ঢাঃ ২০০৯, রাঃ ২০০৮, যঃ ২০০২]
\(Q.1.(xix)\) \((2, -5)\) এবং \((2, 3)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \(X\) অক্ষরেখা যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর। ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5:3; (2, 0)\)
\(Q.1.(xx)\) \((7, 7)\) এবং \((-5, 10)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \(X\) অক্ষরেখা যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর। ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(7:10; \ \frac{35}{17}\)
\(Q.1.(xxi)\) \((2, -4)\) এবং \((-4, 6)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \(X\) এবং \(Y\) অক্ষরেখা যে যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2:3; \ 1:2\)
\(Q.1.(xxii)\) \((-1, 2)\) এবং \((3, -4)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \(X\) এবং \(Y\) অক্ষরেখা যে যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1:2; \ 1:3\)
\(Q.1.(xxiii)\) \(A(8, 10)\) এবং \(B(18, 20)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \(Q\) এবং \(R\) বিন্দু দুইটি \(2:3\) অনুপাতে যথাক্রমে অন্তর্বিভক্ত ও বহির্বিভক্ত করে। \(Q\) এবং \(R\) এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর এবং \(P\) বিন্দু \(AB\) এর মধ্যবিন্দু হলে দেখাও যে,\(PQ.PR=PB^{2}\)
উত্তরঃ \(Q(12, 14)\); \(R(-12, -10)\)
[ কুঃ ২০১৪ ]
\(Q.1.(xxiv)\) \((8, 3)\) এবং \((2, -9)\) বিন্দু দুইটি যে বৃত্তের একটি ব্যাসের প্রান্ত বিন্দু তার কেন্দ্র এবং ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ কেন্দ্র \((5, -3)\) ; ব্যসার্ধ \(=3\sqrt{5}\)
\(Q.1.(xxv)\) মূলবিন্দুটি \((x, y)\) এবং \((r\cos\theta, r\sin\theta)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশের মধ্যবিন্দু। প্রমাণ কর যে, \(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)।
\(Q.1.(xxvi)\) \((-6, 8)\) এবং \((8, -6)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে সমান চারভাগে বিভক্ত করা হয়। বিভাজন বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(C(-\frac{5}{2}, \frac{9}{2})\), \(D(1, 1)\) এবং \(E(\frac{9}{2}, -\frac{5}{2})\).
উত্তরঃ \( p(5, 0)\)
\(Q.1.(xv)\) \(A\) ও \(B\) বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-2, 4)\) এবং \((4, -5)\)। \(AB\) রেখাংশকে \(C\) পর্যন্ত বর্দ্ধিত করা হল যেন, \((a)\) \(AB=2BC\), \(Q.1.(b)\) \(AB=3BC\) হয় । \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a)\) \((7, -\frac{19}{2})\), \((b)\) \((6, -8)\)
[কুঃ ২০০৯, চঃ ২০১১, সিঃ ২০১০, রাঃ ২০১৩, ঢাঃ ২০১৪ দিঃ ২০১২, ২০১৫]
\(Q.1.(xvi)\) দেখাও যে, \((2, -2)\) এবং \((-1, 4)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশ অক্ষ দ্বয় দ্বারা সমান তিনভাগে বিভক্ত হয়। বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(C(1, 0); D(0, 2)\)
[কুঃ ২০১৫,সিঃ ২০১৩,২০০৫, বঃ ২০০৭]
\(Q.1.(xvii)\) দেখাও যে, মূলবিন্দু \((-3, -2)\) এবং \((6, 4)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার একটি সমত্রিখন্ডন বিন্দু, অপর সমত্রিখন্ডন বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((3, 2)\)
[ ঢাঃ ২০০৬, সিঃ ২০০৮, যঃ ২০১৩, ২০০৯]
\(Q.1.(xviii)\) \((2, -4)\) এবং \((-3, 6)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে অক্ষ দ্বয় যে যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( 2:3; 2:3 \)
[ঢাঃ ২০০৯, রাঃ ২০০৮, যঃ ২০০২]
\(Q.1.(xix)\) \((2, -5)\) এবং \((2, 3)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \(X\) অক্ষরেখা যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর। ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5:3; (2, 0)\)
\(Q.1.(xx)\) \((7, 7)\) এবং \((-5, 10)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \(X\) অক্ষরেখা যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর। ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(7:10; \ \frac{35}{17}\)
\(Q.1.(xxi)\) \((2, -4)\) এবং \((-4, 6)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \(X\) এবং \(Y\) অক্ষরেখা যে যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2:3; \ 1:2\)
\(Q.1.(xxii)\) \((-1, 2)\) এবং \((3, -4)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \(X\) এবং \(Y\) অক্ষরেখা যে যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1:2; \ 1:3\)
\(Q.1.(xxiii)\) \(A(8, 10)\) এবং \(B(18, 20)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \(Q\) এবং \(R\) বিন্দু দুইটি \(2:3\) অনুপাতে যথাক্রমে অন্তর্বিভক্ত ও বহির্বিভক্ত করে। \(Q\) এবং \(R\) এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর এবং \(P\) বিন্দু \(AB\) এর মধ্যবিন্দু হলে দেখাও যে,\(PQ.PR=PB^{2}\)
উত্তরঃ \(Q(12, 14)\); \(R(-12, -10)\)
[ কুঃ ২০১৪ ]
\(Q.1.(xxiv)\) \((8, 3)\) এবং \((2, -9)\) বিন্দু দুইটি যে বৃত্তের একটি ব্যাসের প্রান্ত বিন্দু তার কেন্দ্র এবং ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ কেন্দ্র \((5, -3)\) ; ব্যসার্ধ \(=3\sqrt{5}\)
\(Q.1.(xxv)\) মূলবিন্দুটি \((x, y)\) এবং \((r\cos\theta, r\sin\theta)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশের মধ্যবিন্দু। প্রমাণ কর যে, \(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)।
\(Q.1.(xxvi)\) \((-6, 8)\) এবং \((8, -6)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে সমান চারভাগে বিভক্ত করা হয়। বিভাজন বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(C(-\frac{5}{2}, \frac{9}{2})\), \(D(1, 1)\) এবং \(E(\frac{9}{2}, -\frac{5}{2})\).
নিম্নলিখিত বিন্দু দুইটির সংযোগ রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\(Q.1.(a)\) \((-3, 4)\) এবং \((7, 6)\)
উত্তরঃ \(R(2, 5)\).
উত্তরঃ \(R(2, 5)\).
সমাধানঃ
মনে করি, 
\(P(-3, 4)\), \(Q(7, 6)\) এবং মধ্যবিন্দু \(R(x, y)\)
\(\therefore PQ\) এর মধ্যবিন্দু
\(R\) এর স্থানাঙ্ক \((\frac{-3+7}{2}, \frac{4+6}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow (\frac{4}{2}, \frac{10}{2})\)
\(\Rightarrow (2, 5)\)
\(\therefore \) মধ্যবিন্দু \(R(2, 5)\).
\(P(-3, 4)\), \(Q(7, 6)\) এবং মধ্যবিন্দু \(R(x, y)\)
\(\therefore PQ\) এর মধ্যবিন্দু
\(R\) এর স্থানাঙ্ক \((\frac{-3+7}{2}, \frac{4+6}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow (\frac{4}{2}, \frac{10}{2})\)
\(\Rightarrow (2, 5)\)
\(\therefore \) মধ্যবিন্দু \(R(2, 5)\).
নিম্নলিখিত বিন্দু দুইটির সংযোগ রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\(Q.1.(i).(b)\) \((-2, -8)\) এবং \((2, 8)\)
উত্তরঃ \(R(0, 0)\).
উত্তরঃ \(R(0, 0)\).
সমাধানঃ
মনে করি,
\(P(-2, -8)\), \(Q(2, 8)\) এবং মধ্যবিন্দু \(R(x, y)\)
\(\therefore PQ\) এর মধ্যবিন্দু
\(R\) এর স্থানাঙ্ক \((\frac{-2+2}{2}, \frac{-8+8}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow (\frac{0}{2}, \frac{0}{2})\)
\(\Rightarrow (0, 0)\)
\(\therefore \) মধ্যবিন্দু \(R(0, 0)\).
\(P(-2, -8)\), \(Q(2, 8)\) এবং মধ্যবিন্দু \(R(x, y)\)
\(\therefore PQ\) এর মধ্যবিন্দু
\(R\) এর স্থানাঙ্ক \((\frac{-2+2}{2}, \frac{-8+8}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow (\frac{0}{2}, \frac{0}{2})\)
\(\Rightarrow (0, 0)\)
\(\therefore \) মধ্যবিন্দু \(R(0, 0)\).
নিম্নলিখিত বিন্দু দুইটির সংযোগ রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\(Q.1.(i).(c)\) \((t+2, -t+4)\) এবং \((t, 3t)\)
উত্তরঃ \(R(t+1, t+2)\)
উত্তরঃ \(R(t+1, t+2)\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(P(t+2, -t+4)\), \(Q(t, 3t)\) এবং মধ্যবিন্দু \(R(x, y)\).
\(\therefore PQ\) এর মধ্যবিন্দু
\(R\) এর স্থানাঙ্ক \((\frac{t+2+t}{2}, \frac{-t+4+3t}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow (\frac{2t+2}{2}, \frac{2t+4}{2})\)
\(\Rightarrow (\frac{2(t+1)}{2}, \frac{2(t+2)}{2})\)
\(\Rightarrow (t+1, t+2)\)
\(\therefore \) মধ্যবিন্দু \(R(t+1, t+2)\)
\(P(t+2, -t+4)\), \(Q(t, 3t)\) এবং মধ্যবিন্দু \(R(x, y)\).
\(\therefore PQ\) এর মধ্যবিন্দু
\(R\) এর স্থানাঙ্ক \((\frac{t+2+t}{2}, \frac{-t+4+3t}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow (\frac{2t+2}{2}, \frac{2t+4}{2})\)
\(\Rightarrow (\frac{2(t+1)}{2}, \frac{2(t+2)}{2})\)
\(\Rightarrow (t+1, t+2)\)
\(\therefore \) মধ্যবিন্দু \(R(t+1, t+2)\)
নিম্নলিখিত বিন্দু দুইটির সংযোগ রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\(Q.1.(i).(d)\) \((a+b, -a-b)\) এবং \((a-b, a+b)\)
উত্তরঃ \(R(a, 0)\).
উত্তরঃ \(R(a, 0)\).
সমাধানঃ
মনে করি, 
\(P(a+b, -a-b)\), \(Q(a-b, a+b)\) এবং মধ্যবিন্দু \(R(x, y)\).
\(\therefore PQ\) এর মধ্যবিন্দু
\(R\) এর স্থানাঙ্ক \((\frac{a+b+a-b}{2}, \frac{-a-b+a+b}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow (\frac{2a}{2}, \frac{0}{2})\)
\(\Rightarrow (a, 0)\)
\(\therefore \) মধ্যবিন্দু \(R(a, 0)\).
\(P(a+b, -a-b)\), \(Q(a-b, a+b)\) এবং মধ্যবিন্দু \(R(x, y)\).
\(\therefore PQ\) এর মধ্যবিন্দু
\(R\) এর স্থানাঙ্ক \((\frac{a+b+a-b}{2}, \frac{-a-b+a+b}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow (\frac{2a}{2}, \frac{0}{2})\)
\(\Rightarrow (a, 0)\)
\(\therefore \) মধ্যবিন্দু \(R(a, 0)\).
\(Q.1.(ii)\) \((3, 1)\) বিন্দুটি \((1, -3)\) ও \((6, 7)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে যে অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2:3\)
উত্তরঃ \(2:3\)
সমাধান
মনে করি, \(P(1, -3)\), \(Q(6, 7)\) এবং \(R(3, 1)\).
\(R\), \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore R\) এর স্থানাঙ্ক \((\frac{m\times 6+n\times 1}{m+n}, \frac{m\times 7+n\times -3}{m+n})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow (\frac{6m+n}{m+n}, \frac{7m-3n}{m+n})\)
কিন্তু দেওয়া আছে,\(R(3, 1)\)
\(\therefore (\frac{6m+n}{m+n}, \frac{7m-3n}{m+n})\Rightarrow (3, 1)\)
\(\Rightarrow \frac{6m+n}{m+n}=3, \ \frac{7m-3n}{m+n}=1\)
\(\Rightarrow \frac{6m+n}{m+n}=3\)
\(\Rightarrow 6m+n=3m+3n\)
\(\Rightarrow 6m-3m=3n-n\)
\(\Rightarrow 3m=2n\)
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow m:n=2:3\)
\(\therefore \) নির্ণেয় অনুপাত \(2:3\)।
\(R\), \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore R\) এর স্থানাঙ্ক \((\frac{m\times 6+n\times 1}{m+n}, \frac{m\times 7+n\times -3}{m+n})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow (\frac{6m+n}{m+n}, \frac{7m-3n}{m+n})\)
কিন্তু দেওয়া আছে,\(R(3, 1)\)
\(\therefore (\frac{6m+n}{m+n}, \frac{7m-3n}{m+n})\Rightarrow (3, 1)\)
\(\Rightarrow \frac{6m+n}{m+n}=3, \ \frac{7m-3n}{m+n}=1\)
\(\Rightarrow \frac{6m+n}{m+n}=3\)
\(\Rightarrow 6m+n=3m+3n\)
\(\Rightarrow 6m-3m=3n-n\)
\(\Rightarrow 3m=2n\)
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow m:n=2:3\)
\(\therefore \) নির্ণেয় অনুপাত \(2:3\)।
\(Q.1.(iii)\) \((7, -8)\) বিন্দুটি \((3, -2)\) ও \((-3, 7)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে যে অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2:5\)
উত্তরঃ \(2:5\)
সমাধানঃ
মনে করি, \(P(3, -2)\), \(Q(-3, 7)\) এবং \(R(7, -8)\).
\(R\), \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে।
\(\therefore R\) এর স্থানাঙ্ক \((\frac{m\times -3-n\times 3}{m-n}, \frac{m\times 7-n\times -2}{m-n})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে বহিঃর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2-nx_1}{m-n}, \frac{my_2-ny_1}{m-n}\right)\)
\(\Rightarrow (\frac{-3m-3n}{m-n}, \frac{7m+2n}{m-n})\)
কিন্তু দেওয়া আছে,\(R(7, -8)\)
\(\therefore (\frac{-3m-3n}{m-n}, \frac{7m+2n}{m-n})\Rightarrow (7, -8)\)
\(\Rightarrow \frac{-3m-3n}{m-n}=7, \ \frac{7m+2n}{m-n}=-8\)
\(\Rightarrow \frac{-3m-3n}{m-n}=7\)
\(\Rightarrow -3m-3n=7m-7n\)
\(\Rightarrow -3m-7m=3n-7n\)
\(\Rightarrow -10m=-4n\)
\(\Rightarrow 10m=4n\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{4}{10}\)
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{2}{5}\)
\(\Rightarrow m:n=2:5\)
\(\therefore \) নির্ণেয় অনুপাত \(2:5\)।
\(R\), \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে।
\(\therefore R\) এর স্থানাঙ্ক \((\frac{m\times -3-n\times 3}{m-n}, \frac{m\times 7-n\times -2}{m-n})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে বহিঃর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2-nx_1}{m-n}, \frac{my_2-ny_1}{m-n}\right)\)
\(\Rightarrow (\frac{-3m-3n}{m-n}, \frac{7m+2n}{m-n})\)
কিন্তু দেওয়া আছে,\(R(7, -8)\)
\(\therefore (\frac{-3m-3n}{m-n}, \frac{7m+2n}{m-n})\Rightarrow (7, -8)\)
\(\Rightarrow \frac{-3m-3n}{m-n}=7, \ \frac{7m+2n}{m-n}=-8\)
\(\Rightarrow \frac{-3m-3n}{m-n}=7\)
\(\Rightarrow -3m-3n=7m-7n\)
\(\Rightarrow -3m-7m=3n-7n\)
\(\Rightarrow -10m=-4n\)
\(\Rightarrow 10m=4n\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{4}{10}\)
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{2}{5}\)
\(\Rightarrow m:n=2:5\)
\(\therefore \) নির্ণেয় অনুপাত \(2:5\)।
\(Q.1.(vii)\) \((3, 4)\) ও \((5, 9)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী সরলরেখা \((2:3)\) অনুপাতে যে বিন্দুতে অন্তর্বিভক্ত ও বহির্বিভক্ত হয় তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ অন্তবিভক্তকারী বিন্দু \((\frac{19}{5}, 6)\); বহিবিভক্তকারী বিন্দু \((-1, -6)\)
উত্তরঃ অন্তবিভক্তকারী বিন্দু \((\frac{19}{5}, 6)\); বহিবিভক্তকারী বিন্দু \((-1, -6)\)
সমাধানঃ
মনে করি, \(P(3, 4)\), \(Q(5, 9)\) এবং বিভক্তকারী বিন্দু \(R(x, y)\).
যখন অন্তর্বিভক্ত করে,
এখানে, \(m:n\Rightarrow 2:3\)
\(\therefore R\) এর স্থানাঙ্ক \((\frac{2\times 5+3\times 3}{2+3}, \frac{2\times 9+3\times 4}{2+3})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow (\frac{10+9}{5}, \frac{18+12}{5})\)
\(\Rightarrow (\frac{19}{5}, \frac{30}{5})\)
\(\Rightarrow (\frac{19}{5}, 6)\)
\(\therefore \) নির্ণেয় বিভক্তকারী বিন্দু \((\frac{19}{5}, 6)\)।
যখন বহির্বিভক্ত করে,
এখানে, \(m:n\Rightarrow 2:3\)
\(\therefore R\) এর স্থানাঙ্ক \((\frac{2\times 5-3\times 3}{2-3}, \frac{2\times 9-3\times 4}{2-3})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে বহিঃর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2-nx_1}{m-n}, \frac{my_2-ny_1}{m-n}\right)\)
\(\Rightarrow (\frac{10-9}{-1}, \frac{18-12}{-1})\)
\(\Rightarrow (\frac{1}{-1}, \frac{6}{-1})\)
\(\Rightarrow (-1, -6)\)
\(\therefore \) নির্ণেয় বিভক্তকারী বিন্দু \((-1, -6)\)।
\(\therefore \) নির্ণেয় অন্তবিভক্তকারী বিন্দু \((\frac{19}{5}, 6)\)। নির্ণেয় বহিবিভক্তকারী বিন্দু \((-1, -6)\)।
যখন অন্তর্বিভক্ত করে,
এখানে, \(m:n\Rightarrow 2:3\)
\(\therefore R\) এর স্থানাঙ্ক \((\frac{2\times 5+3\times 3}{2+3}, \frac{2\times 9+3\times 4}{2+3})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow (\frac{10+9}{5}, \frac{18+12}{5})\)
\(\Rightarrow (\frac{19}{5}, \frac{30}{5})\)
\(\Rightarrow (\frac{19}{5}, 6)\)
\(\therefore \) নির্ণেয় বিভক্তকারী বিন্দু \((\frac{19}{5}, 6)\)।
যখন বহির্বিভক্ত করে,
এখানে, \(m:n\Rightarrow 2:3\)
\(\therefore R\) এর স্থানাঙ্ক \((\frac{2\times 5-3\times 3}{2-3}, \frac{2\times 9-3\times 4}{2-3})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে বহিঃর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2-nx_1}{m-n}, \frac{my_2-ny_1}{m-n}\right)\)
\(\Rightarrow (\frac{10-9}{-1}, \frac{18-12}{-1})\)
\(\Rightarrow (\frac{1}{-1}, \frac{6}{-1})\)
\(\Rightarrow (-1, -6)\)
\(\therefore \) নির্ণেয় বিভক্তকারী বিন্দু \((-1, -6)\)।
\(\therefore \) নির্ণেয় অন্তবিভক্তকারী বিন্দু \((\frac{19}{5}, 6)\)। নির্ণেয় বহিবিভক্তকারী বিন্দু \((-1, -6)\)।
\(Q.1.(xi)\) \(A\) ও \(B\) বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((7, 3)\) এবং \((-1, -5)\)। \(AB\) রেখা \(C\) পর্যন্ত বর্দ্ধিত করা হল যেন, \(AC=2AB\) হয় । \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( C(-9, -13)\)
উত্তরঃ \( C(-9, -13)\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, \(A(7, 3)\), \(B(-1, -5)\) এবং \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((x, y)\)।
\(AB\) রেখা \(C\) বিন্দু পর্যন্ত বর্দ্ধিত করায় \(AC=2AB\) হয়।
অর্থাৎ \(B\), \(AC\) এর মধ্যবিন্দু।
\(\therefore B\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\ (\frac{7+x}{2}, \frac{3+y}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
কিন্তু দেওয়া আছে, \(B(-1, -5)\)
\(\therefore (\frac{7+x}{2}, \frac{3+y}{2})\Rightarrow (-1, -5)\)
\(\Rightarrow \frac{7+x}{2}=-1, \ \frac{3+y}{2}=-5\)
\(\Rightarrow 7+x=-2, \ 3+y=-10\)
\(\Rightarrow x=-2-7, \ y=-10-3\)
\(\Rightarrow x=-9, \ y=-13\)
\(\therefore C(-9, -13)\).
\(AB\) রেখা \(C\) বিন্দু পর্যন্ত বর্দ্ধিত করায় \(AC=2AB\) হয়।
অর্থাৎ \(B\), \(AC\) এর মধ্যবিন্দু।
\(\therefore B\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\ (\frac{7+x}{2}, \frac{3+y}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
কিন্তু দেওয়া আছে, \(B(-1, -5)\)
\(\therefore (\frac{7+x}{2}, \frac{3+y}{2})\Rightarrow (-1, -5)\)
\(\Rightarrow \frac{7+x}{2}=-1, \ \frac{3+y}{2}=-5\)
\(\Rightarrow 7+x=-2, \ 3+y=-10\)
\(\Rightarrow x=-2-7, \ y=-10-3\)
\(\Rightarrow x=-9, \ y=-13\)
\(\therefore C(-9, -13)\).
\(Q.1.(xii)\) \((7, 5)\) ও \((-2, -1)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার সমত্রিখন্ডক বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করা।
উত্তরঃ \( (4, 3); (1, 1) \)
উত্তরঃ \( (4, 3); (1, 1) \)
সমাধানঃ
মনে করি, \(P(7, 5)\), \(Q(-2, -1)\) এবং বিভক্তকারী বিন্দু \(R(x, y)\).
শর্তমতে, \(PQ\) কে সমান তিনভাগে বিভক্ত করে এরূপ দুইটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করতে হবে। এই দুইটি বিন্দু \(PQ\) কে \(1:2\) এবং \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
যখন \(1:2\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে,
তখন \(R(\frac{1\times -2+2\times 7}{1+2}, \frac{1\times -1+2\times 5}{1+2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow R(\frac{-2+14}{3}, \frac{-1+10}{3})\)
\(\Rightarrow R(\frac{12}{3}, \frac{9}{3})\)
\(\Rightarrow R(4, 3)\)
\(\therefore \) প্রথম সমত্রিখন্ডক বিন্দু \((4, 3)\)।
যখন \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে,
তখন \(R(\frac{2\times -2+1\times 7}{2+1}, \frac{2\times -1+1\times 5}{2+1})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow R(\frac{-4+7}{3}, \frac{-2+5}{3})\)
\(\Rightarrow R(\frac{3}{3}, \frac{3}{3})\)
\(\Rightarrow R(1, 1)\)
\(\therefore \) দ্বিতীয় সমত্রিখন্ডক বিন্দু \((1, 1)\)।
শর্তমতে, \(PQ\) কে সমান তিনভাগে বিভক্ত করে এরূপ দুইটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করতে হবে। এই দুইটি বিন্দু \(PQ\) কে \(1:2\) এবং \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
যখন \(1:2\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে,
তখন \(R(\frac{1\times -2+2\times 7}{1+2}, \frac{1\times -1+2\times 5}{1+2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow R(\frac{-2+14}{3}, \frac{-1+10}{3})\)
\(\Rightarrow R(\frac{12}{3}, \frac{9}{3})\)
\(\Rightarrow R(4, 3)\)
\(\therefore \) প্রথম সমত্রিখন্ডক বিন্দু \((4, 3)\)।
যখন \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে,
তখন \(R(\frac{2\times -2+1\times 7}{2+1}, \frac{2\times -1+1\times 5}{2+1})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow R(\frac{-4+7}{3}, \frac{-2+5}{3})\)
\(\Rightarrow R(\frac{3}{3}, \frac{3}{3})\)
\(\Rightarrow R(1, 1)\)
\(\therefore \) দ্বিতীয় সমত্রিখন্ডক বিন্দু \((1, 1)\)।
\(Q.1.(xiii)\) \(AB\) সরলরেখাটি \(P(3, 3)\) ও \(Q(8, 5)\) বিন্দু দুটি দ্বারা সমত্রিখন্ডিত করা হয়; \(A\) ও \(B\) এর স্থানাঙ্ক নির্ণয়।
উত্তরঃ \( A(-2, 1); B(13, 7)\)
উত্তরঃ \( A(-2, 1); B(13, 7)\)
সমাধানঃ
মনে করি, \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং বিভক্তকারী বিন্দু \(P(3, 3)\), \(Q(8, 5)\).
শর্তমতে,\(P\) ও \(Q\); \(AB\) কে সমান তিনভাগে বিভক্ত করে। অর্থাৎ \(AB\) কে \(P\) ও \(Q\) যথাক্রমে \(1:2\) এবং \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
ফলে, \(P\)ও \(Q\) হবে যথাক্রমে \(AQ\) এবং \(PB\) এর মধ্যবিন্দু।
যখন \(P\), \(AQ\) এর মধ্যবিন্দু,
\(P(\frac{x_{1}+8}{2}, \frac{y_{1}+5}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
কিন্তু দেওয়া আছে, \(P(3, 3)\)
\(\therefore P(\frac{x_{1}+8}{2}, \frac{y_{1}+5}{2})\Rightarrow P(3, 3)\)
\(\Rightarrow \frac{x_{1}+8}{2}=3, \ \frac{y_{1}+5}{2}=3\)
\(\Rightarrow x_{1}+8=6, \ y_{1}+5=6\)
\(\Rightarrow x_{1}=6-8, \ y_{1}=6-5\)
\(\Rightarrow x_{1}=-2, \ y_{1}=1\)
\(\therefore A(-2, 1)\)
যখন \(Q\), \(PB\) এর মধ্যবিন্দু,
\(Q(\frac{3+x_{2}}{2}, \frac{3+y_{1}}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
কিন্তু দেওয়া আছে, \(Q(8, 5)\)
\(\therefore Q(\frac{3+x_{2}}{2}, \frac{3+y_{2}}{2})\Rightarrow Q(8, 5)\)
\(\Rightarrow \frac{3+x_{2}}{2}=8, \ \frac{3+y_{2}}{2}=5\)
\(\Rightarrow 3+x_{2}=16, \ 3+y_{2}=10\)
\(\Rightarrow x_{2}=16-3, \ y_{2}=10-3\)
\(\Rightarrow x_{2}=13, \ y_{2}=7\)
\(\therefore B(13, 7)\)
শর্তমতে,\(P\) ও \(Q\); \(AB\) কে সমান তিনভাগে বিভক্ত করে। অর্থাৎ \(AB\) কে \(P\) ও \(Q\) যথাক্রমে \(1:2\) এবং \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
ফলে, \(P\)ও \(Q\) হবে যথাক্রমে \(AQ\) এবং \(PB\) এর মধ্যবিন্দু।
যখন \(P\), \(AQ\) এর মধ্যবিন্দু,
\(P(\frac{x_{1}+8}{2}, \frac{y_{1}+5}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
কিন্তু দেওয়া আছে, \(P(3, 3)\)
\(\therefore P(\frac{x_{1}+8}{2}, \frac{y_{1}+5}{2})\Rightarrow P(3, 3)\)
\(\Rightarrow \frac{x_{1}+8}{2}=3, \ \frac{y_{1}+5}{2}=3\)
\(\Rightarrow x_{1}+8=6, \ y_{1}+5=6\)
\(\Rightarrow x_{1}=6-8, \ y_{1}=6-5\)
\(\Rightarrow x_{1}=-2, \ y_{1}=1\)
\(\therefore A(-2, 1)\)
যখন \(Q\), \(PB\) এর মধ্যবিন্দু,
\(Q(\frac{3+x_{2}}{2}, \frac{3+y_{1}}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
কিন্তু দেওয়া আছে, \(Q(8, 5)\)
\(\therefore Q(\frac{3+x_{2}}{2}, \frac{3+y_{2}}{2})\Rightarrow Q(8, 5)\)
\(\Rightarrow \frac{3+x_{2}}{2}=8, \ \frac{3+y_{2}}{2}=5\)
\(\Rightarrow 3+x_{2}=16, \ 3+y_{2}=10\)
\(\Rightarrow x_{2}=16-3, \ y_{2}=10-3\)
\(\Rightarrow x_{2}=13, \ y_{2}=7\)
\(\therefore B(13, 7)\)
\(Q.1.(xiv)\) \(PQ\) রেখাংশের মধ্যবিন্দু \((2, 3)\) এবং \(Q\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((-1, 6)\) হলে, \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( p(5, 0)\)
উত্তরঃ \( p(5, 0)\)
সমাধানঃ
মনে করি, \(P(x, y)\).
দেওয়া আছে, \(Q(-1, 6)\) এবং মধ্যবিন্দু \(R(2, 3)\)
এখন, \(PQ\) রেখাংশের মধ্যবিন্দু \(R(\frac{x-1}{2}, \frac{y+6}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
কিন্তু দেওয়া আছে, \(R(2, 3)\)
\(\therefore R(\frac{x-1}{2}, \frac{y+6}{2})\Rightarrow R(2, 3)\)
\(\Rightarrow \frac{x-1}{2}=2, \ \frac{y+6}{2}=3\)
\(\Rightarrow x-1=4, \ y+6=6\)
\(\Rightarrow x=4+1, \ y=6-6\)
\(\Rightarrow x=5, \ y=0\)
\(\therefore p(5, 0)\).
দেওয়া আছে, \(Q(-1, 6)\) এবং মধ্যবিন্দু \(R(2, 3)\)
এখন, \(PQ\) রেখাংশের মধ্যবিন্দু \(R(\frac{x-1}{2}, \frac{y+6}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
কিন্তু দেওয়া আছে, \(R(2, 3)\)
\(\therefore R(\frac{x-1}{2}, \frac{y+6}{2})\Rightarrow R(2, 3)\)
\(\Rightarrow \frac{x-1}{2}=2, \ \frac{y+6}{2}=3\)
\(\Rightarrow x-1=4, \ y+6=6\)
\(\Rightarrow x=4+1, \ y=6-6\)
\(\Rightarrow x=5, \ y=0\)
\(\therefore p(5, 0)\).
\(Q.1.(xv)\) \(A\) ও \(B\) বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-2, 4)\) এবং \((4, -5)\)। \(AB\) রেখাংশকে \(C\) পর্যন্ত বর্দ্ধিত করা হল যেন, \((a)\) \(AB=2BC\), \((b)\) \(AB=3BC\) হয় । \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a)\) \((7, -\frac{19}{2})\), \((b)\) \((6, -8)\)
[কুঃ ২০০৯, চঃ ২০১১, সিঃ ২০১০, রাঃ ২০১৩, ঢাঃ ২০১৪ দিঃ ২০১২, ২০১৫]
উত্তরঃ \((a)\) \((7, -\frac{19}{2})\), \((b)\) \((6, -8)\)
[কুঃ ২০০৯, চঃ ২০১১, সিঃ ২০১০, রাঃ ২০১৩, ঢাঃ ২০১৪ দিঃ ২০১২, ২০১৫]
সমাধানঃ
\((a)\) দেওয়া আছে, \(A(-2, 4)\), \(B(4, -5)\) এবং ধরি, \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((x, y)\)।
\(AB\) রেখা \(C\) বিন্দু পর্যন্ত বর্দ্ধিত করায় \(AB=2BC\) হয়।
\(\Rightarrow \frac{AB}{BC}=2\)
\(\Rightarrow AB:BC=2:1\)
অর্থাৎ \(B\) বিন্দু \(AC\) কে \( 2:1 \) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore B\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\ (\frac{2\times x+1\times -2}{2+1}, \frac{2\times y+1\times 4}{2+1})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow B(\frac{2x-2}{3}, \frac{2y+4}{3})\)
কিন্তু দেওয়া আছে, \(B(4, -5)\)
\(\therefore \frac{2x-2}{3}=4, \ \frac{2y+4}{3}=-5\)
\(\Rightarrow 2x-2=12, \ 2y+4=-15\)
\(\Rightarrow 2x=12+2, \ 2y=-15-4\)
\(\Rightarrow 2x=14, \ 2y=-19\)
\(\Rightarrow x=\frac{14}{2}, \ y=\frac{-19}{2}\)
\(\Rightarrow x=7, \ y=-\frac{19}{2}\)
\(\therefore C(7, -\frac{19}{2})\).
\((b)\) দেওয়া আছে, \(A(-2, 4)\), \(B(4, -5)\) এবং ধরি, \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((x, y)\)।
\(AB\) রেখা \(C\) বিন্দু পর্যন্ত বর্দ্ধিত করায় \(AB=3BC\) হয়।
\(\Rightarrow \frac{AB}{BC}=3\)
\(\Rightarrow AB:BC=3:1\)
অর্থাৎ \(B\) বিন্দু \(AC\) কে \(\ 3:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore B\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\ (\frac{3\times x+1\times -2}{3+1}, \frac{3\times y+1\times 4}{3+1})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow B(\frac{3x-2}{4}, \frac{3y+4}{4})\)
কিন্তু দেওয়া আছে, \(B(4, -5)\)
\(\therefore \frac{3x-2}{4}=4, \ \frac{3y+4}{4}=-5\)
\(\Rightarrow 3x-2=16, \ 3y+4=-20\)
\(\Rightarrow 3x=16+2, \ 3y=-20-4\)
\(\Rightarrow 3x=18, \ 3y=-24\)
\(\Rightarrow x=\frac{18}{3}, \ y=\frac{-24}{3}\)
\(\Rightarrow x=6, \ y=-8\)
\(\therefore C(6, -8)\).
\(AB\) রেখা \(C\) বিন্দু পর্যন্ত বর্দ্ধিত করায় \(AB=2BC\) হয়।
\(\Rightarrow \frac{AB}{BC}=2\)
\(\Rightarrow AB:BC=2:1\)
অর্থাৎ \(B\) বিন্দু \(AC\) কে \( 2:1 \) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore B\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\ (\frac{2\times x+1\times -2}{2+1}, \frac{2\times y+1\times 4}{2+1})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow B(\frac{2x-2}{3}, \frac{2y+4}{3})\)
কিন্তু দেওয়া আছে, \(B(4, -5)\)
\(\therefore \frac{2x-2}{3}=4, \ \frac{2y+4}{3}=-5\)
\(\Rightarrow 2x-2=12, \ 2y+4=-15\)
\(\Rightarrow 2x=12+2, \ 2y=-15-4\)
\(\Rightarrow 2x=14, \ 2y=-19\)
\(\Rightarrow x=\frac{14}{2}, \ y=\frac{-19}{2}\)
\(\Rightarrow x=7, \ y=-\frac{19}{2}\)
\(\therefore C(7, -\frac{19}{2})\).
\((b)\) দেওয়া আছে, \(A(-2, 4)\), \(B(4, -5)\) এবং ধরি, \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((x, y)\)।
\(AB\) রেখা \(C\) বিন্দু পর্যন্ত বর্দ্ধিত করায় \(AB=3BC\) হয়।
\(\Rightarrow \frac{AB}{BC}=3\)
\(\Rightarrow AB:BC=3:1\)
অর্থাৎ \(B\) বিন্দু \(AC\) কে \(\ 3:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore B\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\ (\frac{3\times x+1\times -2}{3+1}, \frac{3\times y+1\times 4}{3+1})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow B(\frac{3x-2}{4}, \frac{3y+4}{4})\)
কিন্তু দেওয়া আছে, \(B(4, -5)\)
\(\therefore \frac{3x-2}{4}=4, \ \frac{3y+4}{4}=-5\)
\(\Rightarrow 3x-2=16, \ 3y+4=-20\)
\(\Rightarrow 3x=16+2, \ 3y=-20-4\)
\(\Rightarrow 3x=18, \ 3y=-24\)
\(\Rightarrow x=\frac{18}{3}, \ y=\frac{-24}{3}\)
\(\Rightarrow x=6, \ y=-8\)
\(\therefore C(6, -8)\).
\(Q.1.(xvi)\) দেখাও যে, \((2, -2)\) এবং \((-1, 4)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশ অক্ষ দ্বয় দ্বারা সমান তিনভাগে বিভক্ত হয়। বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((C(1, 0); D(0, 2)\)
[কুঃ ২০১৫,সিঃ ২০১৩,২০০৫, বঃ ২০০৭]
উত্তরঃ \((C(1, 0); D(0, 2)\)
[কুঃ ২০১৫,সিঃ ২০১৩,২০০৫, বঃ ২০০৭]
সমাধানঃ
মনে করি, \(A(2, -2)\), \(B(-1, 4)\) এবং \(AB\) রেখাংশ অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(C(x, 0)\) ও \(D(0, y)\) বিন্দুতে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। যখন \(X\) অক্ষরেখা \(AB\) কে \(C\) বিন্দুতে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
তখন, \(C(\frac{m\times -1+n\times 2}{m+n}, \frac{m\times 4+n\times -2}{m+n})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow C(\frac{-m+2n}{m+n}, \frac{4m-2n}{m+n})\)
কিন্তু \(C(x, 0)\)
\(\therefore C(\frac{-m+2n}{m+n}, \frac{4m-2n}{m+n})\Rightarrow C(x, 0)\)
\(\Rightarrow \frac{-m+2n}{m+n}=x, \ \frac{4m-2n}{m+n}=0\)
\(\Rightarrow \frac{4m-2n}{m+n})=0\)
\(\Rightarrow 4m-2n=0\)
\(\Rightarrow 4m=2n\)
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{2}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow m:n=1:2\)
\(\therefore X\) অক্ষরেখা \(AB\) কে \(1:2\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
যখন \(Y\) অক্ষরেখা \(AB\) কে \(D\) বিন্দুতে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
তখন, \(D(\frac{m\times -1+n\times 2}{m+n}, \frac{m\times 4+n\times -2}{m+n})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow D(\frac{-m+2n}{m+n}, \frac{4m-2n}{m+n})\)
কিন্তু \(D(0, y)\)
\(\therefore D(\frac{-m+2n}{m+n}, \frac{4m-2n}{m+n})\Rightarrow D(0, y)\)
\(\Rightarrow \frac{-m+2n}{m+n}=0, \ \frac{4m-2n}{m+n}=y\)
\(\Rightarrow \frac{-m+2n}{m+n}=0\)
\(\Rightarrow -m+2n=0\)
\(\Rightarrow -m=-2n\)
\(\Rightarrow m=2n\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{2}{1}\)
\(\Rightarrow m:n=2:1\)
\(\therefore Y\) অক্ষরেখা \(AB\) কে \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
ফলে, অক্ষরেখাদ্বয় \(AB\) কে সমান তিনভাগে বিভক্ত করে।
এখন,
\( X\) অক্ষরেখা এবং \(AB\) এর ছেদবিন্দু \((\frac{-m+2n}{m+n}, 0)\)
\(\Rightarrow (\frac{-1+2.2}{1+2}, 0)\)
\(\Rightarrow (\frac{-1+4}{3}, 0)\)
\(\Rightarrow (\frac{3}{3}, 0)\)
\(\therefore C(1, 0)\)
\( Y\) অক্ষরেখা এবং \(AB\) এর ছেদবিন্দু \((0, \frac{4m-2n}{m+n})\)
\(\Rightarrow (0, \frac{4.2-2.1}{2+1})\)
\(\Rightarrow (0, \frac{8-2}{3})\)
\(\Rightarrow (0, \frac{6}{3})\)
\(\therefore D(0, 2)\)
তখন, \(C(\frac{m\times -1+n\times 2}{m+n}, \frac{m\times 4+n\times -2}{m+n})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow C(\frac{-m+2n}{m+n}, \frac{4m-2n}{m+n})\)
কিন্তু \(C(x, 0)\)
\(\therefore C(\frac{-m+2n}{m+n}, \frac{4m-2n}{m+n})\Rightarrow C(x, 0)\)
\(\Rightarrow \frac{-m+2n}{m+n}=x, \ \frac{4m-2n}{m+n}=0\)
\(\Rightarrow \frac{4m-2n}{m+n})=0\)
\(\Rightarrow 4m-2n=0\)
\(\Rightarrow 4m=2n\)
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{2}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow m:n=1:2\)
\(\therefore X\) অক্ষরেখা \(AB\) কে \(1:2\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
যখন \(Y\) অক্ষরেখা \(AB\) কে \(D\) বিন্দুতে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
তখন, \(D(\frac{m\times -1+n\times 2}{m+n}, \frac{m\times 4+n\times -2}{m+n})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow D(\frac{-m+2n}{m+n}, \frac{4m-2n}{m+n})\)
কিন্তু \(D(0, y)\)
\(\therefore D(\frac{-m+2n}{m+n}, \frac{4m-2n}{m+n})\Rightarrow D(0, y)\)
\(\Rightarrow \frac{-m+2n}{m+n}=0, \ \frac{4m-2n}{m+n}=y\)
\(\Rightarrow \frac{-m+2n}{m+n}=0\)
\(\Rightarrow -m+2n=0\)
\(\Rightarrow -m=-2n\)
\(\Rightarrow m=2n\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{2}{1}\)
\(\Rightarrow m:n=2:1\)
\(\therefore Y\) অক্ষরেখা \(AB\) কে \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
ফলে, অক্ষরেখাদ্বয় \(AB\) কে সমান তিনভাগে বিভক্ত করে।
এখন,
\( X\) অক্ষরেখা এবং \(AB\) এর ছেদবিন্দু \((\frac{-m+2n}{m+n}, 0)\)
\(\Rightarrow (\frac{-1+2.2}{1+2}, 0)\)
\(\Rightarrow (\frac{-1+4}{3}, 0)\)
\(\Rightarrow (\frac{3}{3}, 0)\)
\(\therefore C(1, 0)\)
\( Y\) অক্ষরেখা এবং \(AB\) এর ছেদবিন্দু \((0, \frac{4m-2n}{m+n})\)
\(\Rightarrow (0, \frac{4.2-2.1}{2+1})\)
\(\Rightarrow (0, \frac{8-2}{3})\)
\(\Rightarrow (0, \frac{6}{3})\)
\(\therefore D(0, 2)\)
\(Q.1.(xvii)\) দেখাও যে, মূলবিন্দু \((-3, -2)\) এবং \((6, 4)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার একটি সমত্রিখন্ডন বিন্দু, অপর সমত্রিখন্ডন বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((3, 2)\)
[ঢাঃ ২০০৬, সিঃ ২০০৮, যঃ ২০১৩, ২০০৯]
উত্তরঃ \((3, 2)\)
[ঢাঃ ২০০৬, সিঃ ২০০৮, যঃ ২০১৩, ২০০৯]
সমাধানঃ
মনে করি, \(A(-3, -2)\), \(B(6, 4)\) এবং মূলবিন্দু \(AB\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(AB\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে এরূপ বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\frac{m\times 6+n\times -3}{m+n}, \frac{m\times 4+n\times -2}{m+n})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
এটি যদি মূলবিন্দু হয় তাহলে,
\((\frac{m\times 6+n\times -3}{m+n}, \frac{m\times 4+n\times -2}{m+n})\Rightarrow (0, 0)\)
\(\Rightarrow (\frac{6m-3n}{m+n}, \frac{4m-2n}{m+n})\Rightarrow (0, 0)\)
\(\Rightarrow \frac{6m-3n}{m+n}=0, \ \frac{4m-2n}{m+n}=0 \)
\(\Rightarrow 6m-3n=0\)
\(\Rightarrow 6m=3n\)
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{3}{6}\)
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow m:n=1:2\)
\(\therefore \) মূলবিন্দু \(AB\) কে \(1:2\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। অর্থাৎ মূলবিন্দু \(AB\) এর একটি সমত্রিখন্ডন বিন্দু।
অপর সমত্রিখন্ডন বিন্দু \(AB\) কে \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করবে।
\(\therefore \) \((\frac{2\times 6+1\times -3}{2+1}, \frac{2\times 4+1\times -2}{2+1})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow (\frac{12-3}{3}, \frac{8-2}{3})\)
\(\Rightarrow (\frac{9}{3}, \frac{6}{3})\)
\(\Rightarrow (3, 2)\)
\(\therefore \) অপর সমত্রিখন্ডন বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((3, 2)\)।
\(AB\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে এরূপ বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\frac{m\times 6+n\times -3}{m+n}, \frac{m\times 4+n\times -2}{m+n})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
এটি যদি মূলবিন্দু হয় তাহলে,
\((\frac{m\times 6+n\times -3}{m+n}, \frac{m\times 4+n\times -2}{m+n})\Rightarrow (0, 0)\)
\(\Rightarrow (\frac{6m-3n}{m+n}, \frac{4m-2n}{m+n})\Rightarrow (0, 0)\)
\(\Rightarrow \frac{6m-3n}{m+n}=0, \ \frac{4m-2n}{m+n}=0 \)
\(\Rightarrow 6m-3n=0\)
\(\Rightarrow 6m=3n\)
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{3}{6}\)
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow m:n=1:2\)
\(\therefore \) মূলবিন্দু \(AB\) কে \(1:2\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। অর্থাৎ মূলবিন্দু \(AB\) এর একটি সমত্রিখন্ডন বিন্দু।
অপর সমত্রিখন্ডন বিন্দু \(AB\) কে \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করবে।
\(\therefore \) \((\frac{2\times 6+1\times -3}{2+1}, \frac{2\times 4+1\times -2}{2+1})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow (\frac{12-3}{3}, \frac{8-2}{3})\)
\(\Rightarrow (\frac{9}{3}, \frac{6}{3})\)
\(\Rightarrow (3, 2)\)
\(\therefore \) অপর সমত্রিখন্ডন বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((3, 2)\)।
\(Q.1.(xviii)\) \((2, -4)\) এবং \((-3, 6)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে অক্ষ দ্বয় যে যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2:3; 2:3 \)
[ঢাঃ ২০০৯, রাঃ ২০০৮, যঃ ২০০২]
উত্তরঃ \(2:3; 2:3 \)
[ঢাঃ ২০০৯, রাঃ ২০০৮, যঃ ২০০২]
সমাধানঃ
মনে করি, \(A(2, -4)\), \(B(-3, 6)\) এবং অক্ষ দ্বয় \(AB\) কে \(C(x, 0)\) ও \(D(0, y)\) বিন্দুতে যথাক্রমে \(m:n\) ও \(p:q\) অনুপাতে বিভক্ত করে। ➜ \(X\) ও \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(C(x, 0)\) ও \(D(0, y)\)
\(AB\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে এরূপ বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\frac{m\times -3+n\times 2}{m+n}, \frac{m\times 6+n\times -4}{m+n})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{-3m+2n}{m+n}, \frac{6m-4n}{m+n}\right)\)
এটি যদি \(C(x, 0)\) হয় তাহলে,
\(\Rightarrow \left(\frac{-3m+2n}{m+n}, \frac{6m-4n}{m+n}\right)\Rightarrow (x, 0)\)
\(\Rightarrow \frac{-3m+2n}{m+n}=x, \frac{6m-4n}{m+n}=0\)
\(\Rightarrow \frac{6m-4n}{m+n}=0\)
\(\Rightarrow 6m-4n=0\)
\(\Rightarrow 6m=4n\)
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{4}{6}\)
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow m:n=2:3\)
\(\therefore X\) অক্ষ \(AB\) কে \(2:3\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
আবার,
\(AB\) কে \(p:q\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে এরূপ বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\frac{p\times -3+q\times 2}{p+q}, \frac{p\times 6+q\times -4}{p+q})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{-3p+2q}{p+q}, \frac{6p-4q}{p+q}\right)\)
এটি যদি \(D(0, y)\) হয় তাহলে,
\(\Rightarrow \left(\frac{-3p+2q}{p+q}, \frac{6p-4q}{p+q}\right)\Rightarrow (0, y)\)
\(\Rightarrow \frac{-3p+2q}{p+q}=0, \frac{6p-4q}{p+q}=y\)
\(\Rightarrow \frac{-3p+2q}{p+q}=0\)
\(\Rightarrow -3p+2q=0\)
\(\Rightarrow -3p=-2q\)
\(\Rightarrow 3p=2q\)
\(\Rightarrow \frac{p}{q}=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow p:q=2:3\)
\(\therefore Y\) অক্ষ \(AB\) কে \(2:3\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(AB\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে এরূপ বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\frac{m\times -3+n\times 2}{m+n}, \frac{m\times 6+n\times -4}{m+n})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{-3m+2n}{m+n}, \frac{6m-4n}{m+n}\right)\)
এটি যদি \(C(x, 0)\) হয় তাহলে,
\(\Rightarrow \left(\frac{-3m+2n}{m+n}, \frac{6m-4n}{m+n}\right)\Rightarrow (x, 0)\)
\(\Rightarrow \frac{-3m+2n}{m+n}=x, \frac{6m-4n}{m+n}=0\)
\(\Rightarrow \frac{6m-4n}{m+n}=0\)
\(\Rightarrow 6m-4n=0\)
\(\Rightarrow 6m=4n\)
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{4}{6}\)
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow m:n=2:3\)
\(\therefore X\) অক্ষ \(AB\) কে \(2:3\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
আবার,
\(AB\) কে \(p:q\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে এরূপ বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\frac{p\times -3+q\times 2}{p+q}, \frac{p\times 6+q\times -4}{p+q})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{-3p+2q}{p+q}, \frac{6p-4q}{p+q}\right)\)
এটি যদি \(D(0, y)\) হয় তাহলে,
\(\Rightarrow \left(\frac{-3p+2q}{p+q}, \frac{6p-4q}{p+q}\right)\Rightarrow (0, y)\)
\(\Rightarrow \frac{-3p+2q}{p+q}=0, \frac{6p-4q}{p+q}=y\)
\(\Rightarrow \frac{-3p+2q}{p+q}=0\)
\(\Rightarrow -3p+2q=0\)
\(\Rightarrow -3p=-2q\)
\(\Rightarrow 3p=2q\)
\(\Rightarrow \frac{p}{q}=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow p:q=2:3\)
\(\therefore Y\) অক্ষ \(AB\) কে \(2:3\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(Q.1.(xix)\) \((2, -5)\) এবং \((2, 3)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \(X\) অক্ষরেখা যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর। ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5:3; (2, 0)\)
উত্তরঃ \(5:3; (2, 0)\)
সমাধানঃ
মনে করি, \(A(2, -5)\), \(B(2, 3)\) এবং \(X\) অক্ষরেখা \(AB\) কে \(C(x, 0)\) বিন্দুতে \(m:n\) অনুপাতে বিভক্ত করে। ➜ \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(C(x, 0)\)
\(AB\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে এরূপ বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\frac{m\times 2+n\times 2}{m+n}, \frac{m\times 3+n\times -5}{m+n})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{2m+2n}{m+n}, \frac{3m-5n}{m+n}\right)\)
এটি যদি \(C(x, 0)\) হয় তাহলে,
\(\Rightarrow \left(\frac{2m+2n}{m+n}, \frac{3m-5n}{m+n}\right)\Rightarrow (x, 0)\)
\(\Rightarrow \frac{2m+2n}{m+n}=x, \frac{3m-5n}{m+n}=0\)
\(\Rightarrow \frac{3m-5n}{m+n}=0\)
\(\Rightarrow 3m-5n=0\)
\(\Rightarrow 3m=5n\)
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{5}{3}\)
\(\Rightarrow m:n=5:3\)
\(\therefore X\) অক্ষ \(AB\) কে \(5:3\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
আবার,
ছেদবিন্দু \(\left(\frac{2m+2n}{m+n}, \frac{3m-5n}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{2.5+2.3}{5+3}, \frac{3.5-5.3}{5+3}\right)\) ➜ \(\because m:n=5:3\)
\(\Rightarrow \left(\frac{10+6}{8}, \frac{15-15}{8}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{16}{8}, \frac{0}{8}\right)\)
\(\therefore (2, 0)\)
\(AB\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে এরূপ বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\frac{m\times 2+n\times 2}{m+n}, \frac{m\times 3+n\times -5}{m+n})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{2m+2n}{m+n}, \frac{3m-5n}{m+n}\right)\)
এটি যদি \(C(x, 0)\) হয় তাহলে,
\(\Rightarrow \left(\frac{2m+2n}{m+n}, \frac{3m-5n}{m+n}\right)\Rightarrow (x, 0)\)
\(\Rightarrow \frac{2m+2n}{m+n}=x, \frac{3m-5n}{m+n}=0\)
\(\Rightarrow \frac{3m-5n}{m+n}=0\)
\(\Rightarrow 3m-5n=0\)
\(\Rightarrow 3m=5n\)
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{5}{3}\)
\(\Rightarrow m:n=5:3\)
\(\therefore X\) অক্ষ \(AB\) কে \(5:3\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
আবার,
ছেদবিন্দু \(\left(\frac{2m+2n}{m+n}, \frac{3m-5n}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{2.5+2.3}{5+3}, \frac{3.5-5.3}{5+3}\right)\) ➜ \(\because m:n=5:3\)
\(\Rightarrow \left(\frac{10+6}{8}, \frac{15-15}{8}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{16}{8}, \frac{0}{8}\right)\)
\(\therefore (2, 0)\)
\(Q.1.(xxiii)\) \(A(8, 10)\) এবং \(B(18, 20)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \(Q\) এবং \(R\) বিন্দু দুইটি \(2:3\) অনুপাতে যথাক্রমে অন্তর্বিভক্ত ও বহির্বিভক্ত করে। \(Q\) এবং \(R\) এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর এবং \(P\) বিন্দু \(AB\) এর মধ্যবিন্দু হলে দেখাও যে,\(PQ.PR=PB^{2}\)।
উত্তরঃ \(Q(12, 14)\); \(R(-12, -10)\)
[কুঃ ২০১৪]
উত্তরঃ \(Q(12, 14)\); \(R(-12, -10)\)
[কুঃ ২০১৪]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, \(A(8, 10)\) এবং \(B(18, 20)\)। 
\(Q\), \(AB\) কে \(2:3\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে,
\(\therefore Q(\frac{2\times 18+3\times 8}{2+3}, \frac{2\times 20+3\times 10}{2+3})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow Q(\frac{36+24}{5}, \frac{40+30}{5})\)
\(\Rightarrow Q(\frac{60}{5}, \frac{70}{5})\)
\(\therefore Q(12, 14)\)
\(R\), \(AB\) কে \(2:3\) অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে,
\(\therefore R(\frac{2\times 18-3\times 8}{2-3}, \frac{2\times 20-3\times 10}{2-3})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে বহিঃর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2-nx_1}{m-n}, \frac{my_2-ny_1}{m-n}\right)\)
\(\Rightarrow R(\frac{36-24}{-1}, \frac{40-30}{-1})\)
\(\Rightarrow R(\frac{12}{-1}, \frac{10}{-1})\)
\(\therefore R(-12, -10)\)
আবার,
\(P\), \(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(P(\frac{8+18}{2}, \frac{10+20}{2})\)
\(\Rightarrow P(\frac{26}{2}, \frac{30}{2})\)
\(\Rightarrow P(13, 15)\)
আবার,
\(PB^{2}=(13-18)^{2}+(15-20)^{2}\)
\(=(-5)^{2}+(-5)^{2}\)
\(=25+25\)
\(=50\)
\(PQ=\sqrt{(13-12)^{2}+(15-14)^{2}}\)
\(=\sqrt{(1)^{2}+(1)^{2}}\)
\(=\sqrt{1+1}\)
\(=\sqrt{2}\)
\(PR=\sqrt{(13+12)^{2}+(15+10)^{2}}\)
\(=\sqrt{(25)^{2}+(25)^{2}}\)
\(=\sqrt{625+625}\)
\(=\sqrt{2\times 625}\)
\(=\sqrt{2\times 25^{2}}\)
\(=25\sqrt{2}\)
এখন,
\(PQ.PR=\sqrt{2}\times 25\sqrt{2}=25\times (\sqrt{2})^{2}=25\times 2=50=PB^{2}\)
\(\therefore PQ.PR=PB^{2}\) দেখানো হলো।
\(Q\), \(AB\) কে \(2:3\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে,
\(\therefore Q(\frac{2\times 18+3\times 8}{2+3}, \frac{2\times 20+3\times 10}{2+3})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow Q(\frac{36+24}{5}, \frac{40+30}{5})\)
\(\Rightarrow Q(\frac{60}{5}, \frac{70}{5})\)
\(\therefore Q(12, 14)\)
\(R\), \(AB\) কে \(2:3\) অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে,
\(\therefore R(\frac{2\times 18-3\times 8}{2-3}, \frac{2\times 20-3\times 10}{2-3})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে বহিঃর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2-nx_1}{m-n}, \frac{my_2-ny_1}{m-n}\right)\)
\(\Rightarrow R(\frac{36-24}{-1}, \frac{40-30}{-1})\)
\(\Rightarrow R(\frac{12}{-1}, \frac{10}{-1})\)
\(\therefore R(-12, -10)\)
আবার,
\(P\), \(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(P(\frac{8+18}{2}, \frac{10+20}{2})\)
\(\Rightarrow P(\frac{26}{2}, \frac{30}{2})\)
\(\Rightarrow P(13, 15)\)
আবার,
\(PB^{2}=(13-18)^{2}+(15-20)^{2}\)
\(=(-5)^{2}+(-5)^{2}\)
\(=25+25\)
\(=50\)
\(PQ=\sqrt{(13-12)^{2}+(15-14)^{2}}\)
\(=\sqrt{(1)^{2}+(1)^{2}}\)
\(=\sqrt{1+1}\)
\(=\sqrt{2}\)
\(PR=\sqrt{(13+12)^{2}+(15+10)^{2}}\)
\(=\sqrt{(25)^{2}+(25)^{2}}\)
\(=\sqrt{625+625}\)
\(=\sqrt{2\times 625}\)
\(=\sqrt{2\times 25^{2}}\)
\(=25\sqrt{2}\)
এখন,
\(PQ.PR=\sqrt{2}\times 25\sqrt{2}=25\times (\sqrt{2})^{2}=25\times 2=50=PB^{2}\)
\(\therefore PQ.PR=PB^{2}\) দেখানো হলো।
\(Q.1.(xxiv)\) \((8, 3)\) এবং \((2, -9)\) বিন্দু দুইটি যে বৃত্তের একটি ব্যাসের প্রান্ত বিন্দু তার কেন্দ্র এবং ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ কেন্দ্র \((5, -3)\) ; ব্যসার্ধ \(=3\sqrt{5}\)
উত্তরঃ কেন্দ্র \((5, -3)\) ; ব্যসার্ধ \(=3\sqrt{5}\)
সমাধানঃ
মনে করি,\(A(8, 3)\) এবং \(B(2, -9)\)
এখন,
\(AB\) এর মধ্যবিন্দুই হবে বৃত্তের কেন্দ্র,
\((\frac{8+2}{2}, \frac{3-9}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow (\frac{10}{2}, \frac{-6}{2})\)
\(\Rightarrow (5, -3)\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \((5, -3)\)
ব্যসার্ধ \(=\frac{1}{2}\times AB\)
\(=\frac{1}{2}\times \sqrt{(8-2)^{2}+(3+9)^{2}}\)
\(=\frac{1}{2}\times \sqrt{6^{2}+12^{2}}\)
\(=\frac{1}{2}\times \sqrt{36+144}\)
\(=\frac{1}{2}\times \sqrt{180}\)
\(=\frac{1}{2}\times \sqrt{5\times 36}\)
\(=\frac{1}{2}\times \sqrt{5\times 6^{2}}\)
\(=\frac{1}{2}\times 6\sqrt{5}\)
\(=3\sqrt{5}\) একক।
এখন,
\(AB\) এর মধ্যবিন্দুই হবে বৃত্তের কেন্দ্র,
\((\frac{8+2}{2}, \frac{3-9}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow (\frac{10}{2}, \frac{-6}{2})\)
\(\Rightarrow (5, -3)\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \((5, -3)\)
ব্যসার্ধ \(=\frac{1}{2}\times AB\)
\(=\frac{1}{2}\times \sqrt{(8-2)^{2}+(3+9)^{2}}\)
\(=\frac{1}{2}\times \sqrt{6^{2}+12^{2}}\)
\(=\frac{1}{2}\times \sqrt{36+144}\)
\(=\frac{1}{2}\times \sqrt{180}\)
\(=\frac{1}{2}\times \sqrt{5\times 36}\)
\(=\frac{1}{2}\times \sqrt{5\times 6^{2}}\)
\(=\frac{1}{2}\times 6\sqrt{5}\)
\(=3\sqrt{5}\) একক।
\(Q.1.(xxv)\) মূলবিন্দুটি \((x, y)\) এবং \((r\cos\theta, r\sin\theta)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশের মধ্যবিন্দু। প্রমাণ কর যে, \(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)।
সমাধানঃ
মনে করি,\(A(x, y)\) এবং \(B(r\cos\theta, r\sin\theta)\)। 
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \((\frac{x+r\cos\theta}{2}, \frac{y+r\sin\theta}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
এটি যদি মূলবিন্দু হয় তাহলে,
\((\frac{x+r\cos\theta}{2}, \frac{y+r\sin\theta}{2})\Rightarrow (0, 0)\)
\(\Rightarrow \frac{x+r\cos\theta}{2}=0, \ \frac{y+r\sin\theta}{2}=0\)
\(\Rightarrow x+r\cos\theta=0, \ y+r\sin\theta=0\)
\(\Rightarrow x=-r\cos\theta ........(i), \ y=-r\sin\theta ........(ii)\)
\((i)\) ও \((ii)\) বর্গ করে যোগ করি।
\(\therefore x^{2}+y^{2}=(-r\cos\theta)^{2}+(-r\sin\theta)^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}=r^{2}\cos^{2}\theta+r^{2}\sin^{2}\theta\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}=r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}=r^{2}.1\) ➜ \(\because \ \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1\)
\(\therefore x^{2}+y^{2}=r^{2}\) প্রমাণিত।
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \((\frac{x+r\cos\theta}{2}, \frac{y+r\sin\theta}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
এটি যদি মূলবিন্দু হয় তাহলে,
\((\frac{x+r\cos\theta}{2}, \frac{y+r\sin\theta}{2})\Rightarrow (0, 0)\)
\(\Rightarrow \frac{x+r\cos\theta}{2}=0, \ \frac{y+r\sin\theta}{2}=0\)
\(\Rightarrow x+r\cos\theta=0, \ y+r\sin\theta=0\)
\(\Rightarrow x=-r\cos\theta ........(i), \ y=-r\sin\theta ........(ii)\)
\((i)\) ও \((ii)\) বর্গ করে যোগ করি।
\(\therefore x^{2}+y^{2}=(-r\cos\theta)^{2}+(-r\sin\theta)^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}=r^{2}\cos^{2}\theta+r^{2}\sin^{2}\theta\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}=r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}=r^{2}.1\) ➜ \(\because \ \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1\)
\(\therefore x^{2}+y^{2}=r^{2}\) প্রমাণিত।
\(Q.1.(xxvi)\) \((-6, 8)\) এবং \((8, -6)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে সমান চারভাগে বিভক্ত করা হয়। বিভাজন বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(C(-\frac{5}{2}, \frac{9}{2})\), \(D(1, 1)\) এবং \(E(\frac{9}{2}, -\frac{5}{2})\).
উত্তরঃ \(C(-\frac{5}{2}, \frac{9}{2})\), \(D(1, 1)\) এবং \(E(\frac{9}{2}, -\frac{5}{2})\).
সমাধানঃ
মনে করি, \(A(-6, 8)\) এবং \(B(8, -6)\)।
\(AB\) কে সমান চার ভাগে বিভক্ত করে এরূপ বিন্দুর সংখ্যা তিনটি। \(C, D, E\)।
\(C\), \(AB\) কে \(1:3\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore C(\frac{1\times 8+3\times -6}{1+3}, \frac{1\times -6+3\times 8}{1+3})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow C(\frac{8-18}{4}, \frac{-6+24}{4})\)
\(\Rightarrow C(\frac{-10}{4}, \frac{18}{4})\)
\(\therefore C(-\frac{5}{2}, \frac{9}{2})\).
\(D\), \(AB\) এর মধ্যবিন্দু। \(\therefore D(\frac{-6+8}{2}, \frac{8-6}{2})\)
\(\Rightarrow D(\frac{2}{2}, \frac{2}{2})\)
\(\therefore D(1, 1)\).
\(E\), \(AB\) কে \(3:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore E(\frac{3\times 8+1\times -6}{3+1}, \frac{3\times -6+1\times 8}{3+1})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow E(\frac{24-6}{4}, \frac{-18+8}{4})\)
\(\Rightarrow E(\frac{18}{4}, \frac{-10}{4})\)
\(\therefore E(\frac{9}{2}, -\frac{5}{2})\).
\(\therefore \).বিভাজন বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক \(C(-\frac{5}{2}, \frac{9}{2})\), \(D(1, 1)\) এবং \(E(\frac{9}{2}, -\frac{5}{2})\).
\(AB\) কে সমান চার ভাগে বিভক্ত করে এরূপ বিন্দুর সংখ্যা তিনটি। \(C, D, E\)।
\(C\), \(AB\) কে \(1:3\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore C(\frac{1\times 8+3\times -6}{1+3}, \frac{1\times -6+3\times 8}{1+3})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow C(\frac{8-18}{4}, \frac{-6+24}{4})\)
\(\Rightarrow C(\frac{-10}{4}, \frac{18}{4})\)
\(\therefore C(-\frac{5}{2}, \frac{9}{2})\).
\(D\), \(AB\) এর মধ্যবিন্দু। \(\therefore D(\frac{-6+8}{2}, \frac{8-6}{2})\)
\(\Rightarrow D(\frac{2}{2}, \frac{2}{2})\)
\(\therefore D(1, 1)\).
\(E\), \(AB\) কে \(3:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore E(\frac{3\times 8+1\times -6}{3+1}, \frac{3\times -6+1\times 8}{3+1})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow E(\frac{24-6}{4}, \frac{-18+8}{4})\)
\(\Rightarrow E(\frac{18}{4}, \frac{-10}{4})\)
\(\therefore E(\frac{9}{2}, -\frac{5}{2})\).
\(\therefore \).বিভাজন বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক \(C(-\frac{5}{2}, \frac{9}{2})\), \(D(1, 1)\) এবং \(E(\frac{9}{2}, -\frac{5}{2})\).
অনুশীলনী \(3.B\) / \(Q.2\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
\(Q.2.(i)\) একটি ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র \(X\) অক্ষে মূলবিন্দু হতে \(2\) একক দূরে অবস্থিত। ত্রিভুজটির দুইটি কৌনিক বিন্দু \((-3, 5)\) এবং \((12, 4)\) হলে তৃতীয় কৌনিক বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(C(-3, -9)\)
\(Q.2.(ii)\) একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুত্রয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((at_{1}^{2}, 2at_{1})\), \((at_{2}^{2}, 2at_{2})\) এবং \((at_{3}^{2}, 2at_{3})\)। এর ভরকেন্দ্র \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত হলে দেখাও যে, \(t_{1}+t_{2}+t_{3}=0\)
[কুঃ ২০০৬, সিঃ ২০০৫, যঃ ২০০৯, বঃ ২০১৪]
\(Q.2.(iii)\) \(A(1, 1)\), \(B(2, 3)\) এবং \(C(-2, 2)\); \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুত্রয়। দেখাও যে \(AB\) ও \(AC\) বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোগ সরলরেখাটি তৃতীয় বাহুর অর্ধেক।
\(Q.2.(iv)\) \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুত্রয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(A(5, 6)\), \(B(-3, 2)\), \(C(-8, -5)\) এবং \(D\), \(BC\) এর মধ্যবিন্দু; \(G\) বিন্দু \(AD\) রেখাকে এমনভাবে অন্তর্বিভক্ত করে যেন \(AG:GD=2:1\) হয়। \(G\) এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(G(-2, 1)\)
\(Q.2.(v)\) দেখাও যে, \(A(1, -1)\), \(B(-1, 1)\) এবং \(C(\sqrt{3}, \sqrt{3})\) বিন্দুত্রয় একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু। ঐ ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ভরকেন্দ্র \(G(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})\)।
\(Q.2.(vi)\) একটি ত্রিভুজের দুইটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((2, 7)\), \((6, 1)\) এবং এর ভরকেন্দ্র \((6, 4)\); তৃতীয় শীর্ষবিন্দু নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(C(10, 4)\)
উত্তরঃ \(C(-3, -9)\)
\(Q.2.(ii)\) একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুত্রয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((at_{1}^{2}, 2at_{1})\), \((at_{2}^{2}, 2at_{2})\) এবং \((at_{3}^{2}, 2at_{3})\)। এর ভরকেন্দ্র \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত হলে দেখাও যে, \(t_{1}+t_{2}+t_{3}=0\)
[কুঃ ২০০৬, সিঃ ২০০৫, যঃ ২০০৯, বঃ ২০১৪]
\(Q.2.(iii)\) \(A(1, 1)\), \(B(2, 3)\) এবং \(C(-2, 2)\); \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুত্রয়। দেখাও যে \(AB\) ও \(AC\) বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোগ সরলরেখাটি তৃতীয় বাহুর অর্ধেক।
\(Q.2.(iv)\) \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুত্রয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(A(5, 6)\), \(B(-3, 2)\), \(C(-8, -5)\) এবং \(D\), \(BC\) এর মধ্যবিন্দু; \(G\) বিন্দু \(AD\) রেখাকে এমনভাবে অন্তর্বিভক্ত করে যেন \(AG:GD=2:1\) হয়। \(G\) এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(G(-2, 1)\)
\(Q.2.(v)\) দেখাও যে, \(A(1, -1)\), \(B(-1, 1)\) এবং \(C(\sqrt{3}, \sqrt{3})\) বিন্দুত্রয় একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু। ঐ ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ভরকেন্দ্র \(G(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})\)।
\(Q.2.(vi)\) একটি ত্রিভুজের দুইটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((2, 7)\), \((6, 1)\) এবং এর ভরকেন্দ্র \((6, 4)\); তৃতীয় শীর্ষবিন্দু নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(C(10, 4)\)
\(Q.2.(vii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((7, 2)\)। \(A\) ও \(B\) শীর্ষবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((3, 5)\) এবং \((7, -1)\) । \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((11, 2)\)
\(Q.2.(viii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের \(BC\), \(CA\) এবং \(AB\) বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে \((3, -5)\), \((5, -2)\) এবং \((-2, -1)\) হলে, \((a)\) \(A, \ B, \ C\) শীর্ষত্রয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। \((b)\) ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) A(0, 2), B(-4, -4), C(10, -6)\); \((b) G(2, -\frac{8}{3})\)
\(Q.2.(ix)\) \(ABC\) ত্রিভুজের \(BC\), \(CA\) এবং \(AB\) বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে \((2, 4)\), \((5, 0)\) এবং \((4, -2)\) হলে, \((a)\) \(A, \ B, \ C\) শীর্ষত্রয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। \((b)\) ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(A(7, -6), B(1, 2), C(3, 6)\) এবং ভরকেন্দ্র \(G(\frac{11}{3}, \frac{2}{3})\)
\(Q.2.(x)\) \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় \(A(10, 20)\), \(B(20, 30)\) এবং \(C(30, 10)\)। \(ABC\) ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র \(G\) হলে \(GBC\) ত্রিভুজের \(GD\) মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ মধ্যমার দৈর্ঘ্য \(5\) একক।
\(Q.2.(xi)\) স্থানাঙ্কের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ত্রিভুজের দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা এর তৃতীয় বাহুর অর্ধেক।
উত্তরঃ \((11, 2)\)
\(Q.2.(viii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের \(BC\), \(CA\) এবং \(AB\) বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে \((3, -5)\), \((5, -2)\) এবং \((-2, -1)\) হলে, \((a)\) \(A, \ B, \ C\) শীর্ষত্রয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। \((b)\) ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) A(0, 2), B(-4, -4), C(10, -6)\); \((b) G(2, -\frac{8}{3})\)
\(Q.2.(ix)\) \(ABC\) ত্রিভুজের \(BC\), \(CA\) এবং \(AB\) বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে \((2, 4)\), \((5, 0)\) এবং \((4, -2)\) হলে, \((a)\) \(A, \ B, \ C\) শীর্ষত্রয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। \((b)\) ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(A(7, -6), B(1, 2), C(3, 6)\) এবং ভরকেন্দ্র \(G(\frac{11}{3}, \frac{2}{3})\)
\(Q.2.(x)\) \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় \(A(10, 20)\), \(B(20, 30)\) এবং \(C(30, 10)\)। \(ABC\) ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র \(G\) হলে \(GBC\) ত্রিভুজের \(GD\) মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ মধ্যমার দৈর্ঘ্য \(5\) একক।
\(Q.2.(xi)\) স্থানাঙ্কের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ত্রিভুজের দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা এর তৃতীয় বাহুর অর্ধেক।
\(Q.2.(i)\) একটি ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র \(X\) অক্ষে মূলবিন্দু হতে \(2\) একক দূরে অবস্থিত। ত্রিভুজটির দুইটি কৌনিক বিন্দু \((-3, 5)\) এবং \((12, 4)\) হলে তৃতীয় কৌনিক বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(C(-3, -9)\)
উত্তরঃ \(C(-3, -9)\)
সমাধানঃ
মনে করি, ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি \(A(-3, 5)\), \(B(12, 4)\) এবং \(C(x, y)\).
শর্তমতে, ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র \(G(2. 0)\)
কিন্তু \(ABC\) এর ভরকেন্দ্র \(G(\frac{-3+12+x}{3}, \frac{5+4+y}{3})\) ➜ কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, এর ভরকেন্দ্র \(G(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})\) হয়।
\(\Rightarrow G(\frac{9+x}{3}, \frac{9+y}{3})\)
\(\therefore (\frac{9+x}{3}, \frac{9+y}{3}) \Rightarrow (2. 0)\)
\(\Rightarrow \frac{9+x}{3}=2, \ \frac{9+y}{3}=0\)
\(\Rightarrow 9+x=6, \ 9+y=0\)
\(\Rightarrow x=6-9, \ y=-9\)
\(\Rightarrow x=-3, \ y=-9\)
\(\therefore \) তৃতীয় কৌনিক বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(C(-3, -9)\)
শর্তমতে, ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র \(G(2. 0)\)
কিন্তু \(ABC\) এর ভরকেন্দ্র \(G(\frac{-3+12+x}{3}, \frac{5+4+y}{3})\) ➜ কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, এর ভরকেন্দ্র \(G(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})\) হয়।
\(\Rightarrow G(\frac{9+x}{3}, \frac{9+y}{3})\)
\(\therefore (\frac{9+x}{3}, \frac{9+y}{3}) \Rightarrow (2. 0)\)
\(\Rightarrow \frac{9+x}{3}=2, \ \frac{9+y}{3}=0\)
\(\Rightarrow 9+x=6, \ 9+y=0\)
\(\Rightarrow x=6-9, \ y=-9\)
\(\Rightarrow x=-3, \ y=-9\)
\(\therefore \) তৃতীয় কৌনিক বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(C(-3, -9)\)
\(Q 2.(ii)\) একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুত্রয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((at_{1}^{2}, 2at_{1})\), \((at_{2}^{2}, 2at_{2})\) এবং \((at_{3}^{2}, 2at_{3})\)। এর ভরকেন্দ্র \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত হলে দেখাও যে, \(t_{1}+t_{2}+t_{3}=0\)
[কুঃ ২০০৬, সিঃ ২০০৫, যঃ ২০০৯, বঃ ২০১৪]
[কুঃ ২০০৬, সিঃ ২০০৫, যঃ ২০০৯, বঃ ২০১৪]
সমাধানঃ
মনে করি, ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি \(A(at_{1}^{2}, 2at_{1})\), \(B(at_{2}^{2}, 2at_{2})\) এবং \(C(at_{3}^{2}, 2at_{3})\).
\(ABC\) এর ভরকেন্দ্র \(G(\frac{at_{1}^{2}+at_{2}^{2}+at_{3}^{2}}{3}, \frac{2at_{1}+2at_{2}+2at_{3}}{3})\) ➜ কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, এর ভরকেন্দ্র \(G(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})\) হয়।
\(\therefore G(\frac{a(t_{1}^{2}+t_{2}^{2}+t_{3}^{2})}{3}, \frac{2a(t_{1}+t_{2}+t_{3})}{3})\)
কিন্তু \(X\) অক্ষের উপর যে কোন বিন্দু \(G(x, 0)\)
\(\therefore G(\frac{a(t_{1}^{2}+t_{2}^{2}+t_{3}^{2})}{3}, \frac{2a(t_{1}+t_{2}+t_{3})}{3}) \Rightarrow G(x, 0)\)
\(\Rightarrow \frac{a(t_{1}^{2}+t_{2}^{2}+t_{3}^{2})}{3}=x, \ \frac{2a(t_{1}+t_{2}+t_{3})}{3}=0\)
\(\Rightarrow \frac{2a(t_{1}+t_{2}+t_{3})}{3}=0\)
\(\Rightarrow 2a(t_{1}+t_{2}+t_{3})=0\)
\(\Rightarrow t_{1}+t_{2}+t_{3}=0\) ➜ উভয় পার্শে \(2a\) ভাগ করে।
\(\therefore t_{1}+t_{2}+t_{3}=0\)
[দেখানো হলো।]
\(ABC\) এর ভরকেন্দ্র \(G(\frac{at_{1}^{2}+at_{2}^{2}+at_{3}^{2}}{3}, \frac{2at_{1}+2at_{2}+2at_{3}}{3})\) ➜ কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, এর ভরকেন্দ্র \(G(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})\) হয়।
\(\therefore G(\frac{a(t_{1}^{2}+t_{2}^{2}+t_{3}^{2})}{3}, \frac{2a(t_{1}+t_{2}+t_{3})}{3})\)
কিন্তু \(X\) অক্ষের উপর যে কোন বিন্দু \(G(x, 0)\)
\(\therefore G(\frac{a(t_{1}^{2}+t_{2}^{2}+t_{3}^{2})}{3}, \frac{2a(t_{1}+t_{2}+t_{3})}{3}) \Rightarrow G(x, 0)\)
\(\Rightarrow \frac{a(t_{1}^{2}+t_{2}^{2}+t_{3}^{2})}{3}=x, \ \frac{2a(t_{1}+t_{2}+t_{3})}{3}=0\)
\(\Rightarrow \frac{2a(t_{1}+t_{2}+t_{3})}{3}=0\)
\(\Rightarrow 2a(t_{1}+t_{2}+t_{3})=0\)
\(\Rightarrow t_{1}+t_{2}+t_{3}=0\) ➜ উভয় পার্শে \(2a\) ভাগ করে।
\(\therefore t_{1}+t_{2}+t_{3}=0\)
[দেখানো হলো।]
\(Q 2.(iii)\) \(A(1, 1)\), \(B(2, 3)\) এবং \(C(-2, 2)\); \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুত্রয়। দেখাও যে \(AB\) ও \(AC\) বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোগ সরলরেখাটি তৃতীয় বাহুর অর্ধেক।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,\(A(1, 1)\), \(B(2, 3)\) এবং \(C(-2, 2)\)।
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(D(\frac{1+2}{2}, \frac{1+3}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow D(\frac{3}{2}, \frac{4}{2})\)
\(\therefore D(\frac{3}{2}, 2)\)
\(AC\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{1-2}{2}, \frac{1+2}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow E(\frac{-1}{2}, \frac{3}{2})\)
\(\therefore E(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2})\)
এখন,
\( DE=\sqrt{(\frac{3}{2}+\frac{1}{2})^{2}+(2-\frac{3}{2})^{2}}\) ➜\(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)
\(=\sqrt{(\frac{3+1}{2})^{2}+(\frac{4-3}{2})^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{4}{2})^{2}+(\frac{1}{2})^{2}}\)
\(=\sqrt{(2)^{2}+(\frac{1}{2})^{2}}\)
\(=\sqrt{4+\frac{1}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{16+1}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{17}{4}}\)
\(=\frac{\sqrt{17}}{2}\)
আবার,
\( BC=\sqrt{(2+2)^{2}+(3-2)^{2}}\)
\(=\sqrt{(4)^{2}+(1)^{2}}\)
\(=\sqrt{16+1}\)
\(=\sqrt{17}\)
এখন,
\(DE=\frac{\sqrt{17}}{2}=\frac{1}{2}\times \sqrt{17}=\frac{1}{2}\times BC\)
\(\therefore DE\) তৃতীয় বাহু \(BC\) এর অর্ধেক।
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(D(\frac{1+2}{2}, \frac{1+3}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow D(\frac{3}{2}, \frac{4}{2})\)
\(\therefore D(\frac{3}{2}, 2)\)
\(AC\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{1-2}{2}, \frac{1+2}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow E(\frac{-1}{2}, \frac{3}{2})\)
\(\therefore E(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2})\)
এখন,
\( DE=\sqrt{(\frac{3}{2}+\frac{1}{2})^{2}+(2-\frac{3}{2})^{2}}\) ➜\(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)
\(=\sqrt{(\frac{3+1}{2})^{2}+(\frac{4-3}{2})^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{4}{2})^{2}+(\frac{1}{2})^{2}}\)
\(=\sqrt{(2)^{2}+(\frac{1}{2})^{2}}\)
\(=\sqrt{4+\frac{1}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{16+1}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{17}{4}}\)
\(=\frac{\sqrt{17}}{2}\)
আবার,
\( BC=\sqrt{(2+2)^{2}+(3-2)^{2}}\)
\(=\sqrt{(4)^{2}+(1)^{2}}\)
\(=\sqrt{16+1}\)
\(=\sqrt{17}\)
এখন,
\(DE=\frac{\sqrt{17}}{2}=\frac{1}{2}\times \sqrt{17}=\frac{1}{2}\times BC\)
\(\therefore DE\) তৃতীয় বাহু \(BC\) এর অর্ধেক।
\(Q 2.(iv)\) \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুত্রয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(A(5, 6)\), \(B(-3, 2)\), \(C(-8, -5)\) এবং \(D\), \(BC\) এর মধ্যবিন্দু; \(G\) বিন্দু \(AD\) রেখাকে এমনভাবে অন্তর্বিভক্ত করে যেন \(AG:GD=2:1\) হয়। \(G\) এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(G(-2, 1)\)
উত্তরঃ \(G(-2, 1)\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,\(A(5, 6)\), \(B(-3, 2)\) এবং \(C(-8, -5)\)।
প্রশ্নমতে,\(G\) , \(ABC\) ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র \(\therefore G(\frac{5-3-8}{3}, \frac{6+2-5}{3})\) ➜ কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, এর ভরকেন্দ্র \(G(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})\) হয়।
\(\Rightarrow G(\frac{-6}{3}, \frac{3}{3})\)
\(\Rightarrow G(-2, 1)\)
\(\therefore G\) এর স্থানাঙ্ক \(G(-2, 1)\)।
প্রশ্নমতে,\(G\) , \(ABC\) ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র \(\therefore G(\frac{5-3-8}{3}, \frac{6+2-5}{3})\) ➜ কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, এর ভরকেন্দ্র \(G(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})\) হয়।
\(\Rightarrow G(\frac{-6}{3}, \frac{3}{3})\)
\(\Rightarrow G(-2, 1)\)
\(\therefore G\) এর স্থানাঙ্ক \(G(-2, 1)\)।
\(Q 2.(v)\) দেখাও যে, \(A(1, -1)\), \(B(-1, 1)\) এবং \(C(\sqrt{3}, \sqrt{3})\) বিন্দুত্রয় একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু। ঐ ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ভরকেন্দ্র \(G(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})\)
উত্তরঃ ভরকেন্দ্র \(G(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,\(A(1, -1)\), \(B(-1, 1)\) এবং \(C(\sqrt{3}, \sqrt{3})\)
এখন,
\( AB=\sqrt{(1+1)^{2}+(-1-1)^{2}}\) ➜ \(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)
\( AB=\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}}\)
\( AB=\sqrt{4+4}\)
\( AB=\sqrt{8}\)
\( AB=\sqrt{2\times 4}\)
\( AB=\sqrt{2\times 2^{2}}\)
\(\therefore AB=2\sqrt{2}\)
আবার,
\( BC=\sqrt{(1-\sqrt{3})^{2}+(-1-\sqrt{3})^{2}}\)
\( BC=\sqrt{(1-\sqrt{3})^{2}+(1+\sqrt{3})^{2}}\)
\( BC=\sqrt{2.1^{2}+2.(\sqrt{3})^{2}}\) ➜ \(\because (a+b)^{2}+(a-b)^{2}=2a^{2}+2b^{2}\)
\( BC=\sqrt{2.1+2.3}\)
\( BC=\sqrt{2+6}\)
\( BC=\sqrt{8}\)
\( BC=\sqrt{2\times 2^{2}}\)
\(\therefore BC=2\sqrt{2}\)
আবার,
\( AC=\sqrt{(-1-\sqrt{3})^{2}+(1-\sqrt{3})^{2}}\)
\( AC=\sqrt{(1+\sqrt{3})^{2}+(1-\sqrt{3})^{2}}\)
\( AC=\sqrt{2.1^{2}+2.(\sqrt{3})^{2}}\) ➜ \(\because (a+b)^{2}+(a-b)^{2}=2a^{2}+2b^{2}\)
\( AC=\sqrt{2.1+2.3}\)
\( AC=\sqrt{2+6}\)
\( AC=\sqrt{8}\)
\( AC=\sqrt{2\times 2^{2}}\)
\(\therefore AC=2\sqrt{2}\)
\(\because AB=BC=AC\) \(\therefore ABC\) ত্রিভুজ সমবাহু।
এখন,
\(ABC\) ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র \(G(\frac{1-1+\sqrt{3}}{3}, \frac{-1+1+\sqrt{3}}{3})\)।
\(\Rightarrow G(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})\)
\(\therefore \triangle ABC\) এর ভরকেন্দ্র \(G(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})\)।
এখন,
\( AB=\sqrt{(1+1)^{2}+(-1-1)^{2}}\) ➜ \(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)
\( AB=\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}}\)
\( AB=\sqrt{4+4}\)
\( AB=\sqrt{8}\)
\( AB=\sqrt{2\times 4}\)
\( AB=\sqrt{2\times 2^{2}}\)
\(\therefore AB=2\sqrt{2}\)
আবার,
\( BC=\sqrt{(1-\sqrt{3})^{2}+(-1-\sqrt{3})^{2}}\)
\( BC=\sqrt{(1-\sqrt{3})^{2}+(1+\sqrt{3})^{2}}\)
\( BC=\sqrt{2.1^{2}+2.(\sqrt{3})^{2}}\) ➜ \(\because (a+b)^{2}+(a-b)^{2}=2a^{2}+2b^{2}\)
\( BC=\sqrt{2.1+2.3}\)
\( BC=\sqrt{2+6}\)
\( BC=\sqrt{8}\)
\( BC=\sqrt{2\times 2^{2}}\)
\(\therefore BC=2\sqrt{2}\)
আবার,
\( AC=\sqrt{(-1-\sqrt{3})^{2}+(1-\sqrt{3})^{2}}\)
\( AC=\sqrt{(1+\sqrt{3})^{2}+(1-\sqrt{3})^{2}}\)
\( AC=\sqrt{2.1^{2}+2.(\sqrt{3})^{2}}\) ➜ \(\because (a+b)^{2}+(a-b)^{2}=2a^{2}+2b^{2}\)
\( AC=\sqrt{2.1+2.3}\)
\( AC=\sqrt{2+6}\)
\( AC=\sqrt{8}\)
\( AC=\sqrt{2\times 2^{2}}\)
\(\therefore AC=2\sqrt{2}\)
\(\because AB=BC=AC\) \(\therefore ABC\) ত্রিভুজ সমবাহু।
এখন,
\(ABC\) ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র \(G(\frac{1-1+\sqrt{3}}{3}, \frac{-1+1+\sqrt{3}}{3})\)।
\(\Rightarrow G(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})\)
\(\therefore \triangle ABC\) এর ভরকেন্দ্র \(G(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})\)।
\(Q 2.(vi)\) একটি ত্রিভুজের দুইটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((2, 7)\), \((6, 1)\) এবং এর ভরকেন্দ্র \((6, 4)\); তৃতীয় শীর্ষবিন্দু নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(C(10, 4)\)
উত্তরঃ \(C(10, 4)\)
সমাধানঃ
মনে করি, \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি যথাক্রমে, \(A(2, 7)\), \(B(6, 1)\), \(C(x, y)\) এবং ভরকেন্দ্র \(G(6, 4)\)
এখন,
\(ABC\) ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র \(G(\frac{2+6+x}{3}, \frac{7+1+y}{3})\) ➜ কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, এর ভরকেন্দ্র \(G(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})\) হয়।
\(\therefore G(\frac{8+x}{3}, \frac{8+y}{3})\)
কিন্তু দেওয়া আছে, \(G(6, 4)\)
\(\therefore G(\frac{8+x}{3}, \frac{8+y}{3})\Rightarrow G(6, 4)\)
\(\Rightarrow \frac{8+x}{3}=6, \ \frac{8+y}{3}=4\)
\(\Rightarrow 8+x=18, \ 8+y=12\)
\(\Rightarrow x=18-8, \ y=12-8\)
\(\Rightarrow x=10, \ y=4\)
\(\therefore \) তৃতীয় শীর্ষবিন্দু \(C(10, 4)\).
এখন,
\(ABC\) ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র \(G(\frac{2+6+x}{3}, \frac{7+1+y}{3})\) ➜ কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, এর ভরকেন্দ্র \(G(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})\) হয়।
\(\therefore G(\frac{8+x}{3}, \frac{8+y}{3})\)
কিন্তু দেওয়া আছে, \(G(6, 4)\)
\(\therefore G(\frac{8+x}{3}, \frac{8+y}{3})\Rightarrow G(6, 4)\)
\(\Rightarrow \frac{8+x}{3}=6, \ \frac{8+y}{3}=4\)
\(\Rightarrow 8+x=18, \ 8+y=12\)
\(\Rightarrow x=18-8, \ y=12-8\)
\(\Rightarrow x=10, \ y=4\)
\(\therefore \) তৃতীয় শীর্ষবিন্দু \(C(10, 4)\).
\(Q 2.(viii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের \(BC\), \(CA\) এবং \(AB\) বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে \((3, -5)\), \((5, -2)\) এবং \((-2, -1)\) হলে, \((a)\) \(A, \ B, \ C\) শীর্ষত্রয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। \((b)\) ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) A(0, 2), B(-4, -4), C(10, -6)\); \((b) G(2, -\frac{8}{3})\)
উত্তরঃ \((a) A(0, 2), B(-4, -4), C(10, -6)\); \((b) G(2, -\frac{8}{3})\)
সমাধানঃ
\((a)\) মনে করি, \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\)
\(BC\), \(CA\) এবং \(AB\) বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে \(D(3, -5)\), \(E(5, -2)\) এবং \(F(-2, -1)\).
কিন্তু
\(BC\) এর মধ্যবিন্দু \(D(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\therefore D(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2})\Rightarrow D(3, -5)\)
\(\Rightarrow \frac{x_{2}+x_{3}}{2}=3, \ \frac{y_{2}+y_{3}}{2}=-5\)
\(\Rightarrow x_{2}+x_{3}=6 .......(i), \ y_{2}+y_{3}=-10 ......(ii)\)
আবার,
\(CA\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{x_{3}+x_{1}}{2}, \frac{y_{3}+y_{1}}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\) \(\therefore E(\frac{x_{3}+x_{1}}{2}, \frac{y_{3}+y_{1}}{2})\Rightarrow E(5, -2)\) \(\Rightarrow \frac{x_{3}+x_{1}}{2}=5, \ \frac{y_{3}+y_{1}}{2}=-2\) \(\Rightarrow x_{3}+x_{1}=10 .......(iii), \ y_{3}+y_{1}=-4 ......(iv)\) আবার, \(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(F(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\therefore F(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2})\Rightarrow F(-2, -1)\)
\(\Rightarrow \frac{x_{1}+x_{2}}{2}=-2, \ \frac{y_{1}+y_{2}}{2}=-1\)
\(\Rightarrow x_{1}+x_{2}=-4 .......(v), \ y_{1}+y_{2}=-2 ......(vi)\)
এখন,
\((i)+(iii)+(v)\) এর সাহায্যে,
\(x_{2}+x_{3}+x_{3}+x_{1}+x_{1}+x_{2}=6+10-4\)
\(\Rightarrow 2(x_{1}+x_{2}+x_{3})=12\)
\(\Rightarrow x_{1}+x_{2}+x_{3}=\frac{12}{2}\)
\(\Rightarrow x_{1}+x_{2}+x_{3}=6 ........(vii)\)
\((ii)+(iv)+(vi)\) এর সাহায্যে,
\(y_{2}+y_{3}+y_{3}+y_{1}+y_{1}+y_{2}=-10-4-2\)
\(\Rightarrow 2(y_{1}+y_{2}+y_{3})=-16\)
\(\Rightarrow y_{1}+y_{2}+y_{3}=\frac{-16}{2}\)
\(\Rightarrow y_{1}+y_{2}+y_{3}=-8 ........(viii)\)
আবার,
\((vii)-(i)\) এর সাহায্যে, \(x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{2}-x_{3}=6-6\) \(\Rightarrow x_{1}=0\)
\((vii)-(iii)\) এর সাহায্যে, \(x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{3}-x_{1}=6-10\) \(\Rightarrow x_{2}=-4\)
\((vii)-(v)\) এর সাহায্যে, \(x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{1}-x_{2}=6+4\) \(\Rightarrow x_{3}=10\)
আবার,
\((viii)-(ii)\) এর সাহায্যে, \(y_{1}+y_{2}+y_{3}-y_{2}-y_{3}=-8+10\) \(\Rightarrow y_{1}=2\)
\((viii)-(iv)\) এর সাহায্যে, \(y_{1}+y_{2}+y_{3}-y_{3}-y_{1}=-8+4\) \(\Rightarrow y_{2}=-4\)
\((viii)-(vi)\) এর সাহায্যে, \(y_{1}+y_{2}+y_{3}-y_{1}-y_{2}=-8+2\) \(\Rightarrow y_{3}=-6\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দুত্রয় \(A(0, 2), B(-4, -4), C(10, -6)\).
\((b)\) \(ABC\) ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(G(\frac{0-4+10}{3}, \frac{2-4-6}{3})\) ➜ কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, এর ভরকেন্দ্র \(G(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})\) হয়।
\(\Rightarrow G(\frac{6}{3}, \frac{-8}{3})\)
\(\therefore G(2, -\frac{8}{3})\)
\(\therefore \) ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(G(2, -\frac{8}{3})\)
\(BC\), \(CA\) এবং \(AB\) বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে \(D(3, -5)\), \(E(5, -2)\) এবং \(F(-2, -1)\).
কিন্তু
\(BC\) এর মধ্যবিন্দু \(D(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\therefore D(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2})\Rightarrow D(3, -5)\)
\(\Rightarrow \frac{x_{2}+x_{3}}{2}=3, \ \frac{y_{2}+y_{3}}{2}=-5\)
\(\Rightarrow x_{2}+x_{3}=6 .......(i), \ y_{2}+y_{3}=-10 ......(ii)\)
আবার,
\(CA\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{x_{3}+x_{1}}{2}, \frac{y_{3}+y_{1}}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\) \(\therefore E(\frac{x_{3}+x_{1}}{2}, \frac{y_{3}+y_{1}}{2})\Rightarrow E(5, -2)\) \(\Rightarrow \frac{x_{3}+x_{1}}{2}=5, \ \frac{y_{3}+y_{1}}{2}=-2\) \(\Rightarrow x_{3}+x_{1}=10 .......(iii), \ y_{3}+y_{1}=-4 ......(iv)\) আবার, \(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(F(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\therefore F(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2})\Rightarrow F(-2, -1)\)
\(\Rightarrow \frac{x_{1}+x_{2}}{2}=-2, \ \frac{y_{1}+y_{2}}{2}=-1\)
\(\Rightarrow x_{1}+x_{2}=-4 .......(v), \ y_{1}+y_{2}=-2 ......(vi)\)
এখন,
\((i)+(iii)+(v)\) এর সাহায্যে,
\(x_{2}+x_{3}+x_{3}+x_{1}+x_{1}+x_{2}=6+10-4\)
\(\Rightarrow 2(x_{1}+x_{2}+x_{3})=12\)
\(\Rightarrow x_{1}+x_{2}+x_{3}=\frac{12}{2}\)
\(\Rightarrow x_{1}+x_{2}+x_{3}=6 ........(vii)\)
\((ii)+(iv)+(vi)\) এর সাহায্যে,
\(y_{2}+y_{3}+y_{3}+y_{1}+y_{1}+y_{2}=-10-4-2\)
\(\Rightarrow 2(y_{1}+y_{2}+y_{3})=-16\)
\(\Rightarrow y_{1}+y_{2}+y_{3}=\frac{-16}{2}\)
\(\Rightarrow y_{1}+y_{2}+y_{3}=-8 ........(viii)\)
আবার,
\((vii)-(i)\) এর সাহায্যে, \(x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{2}-x_{3}=6-6\) \(\Rightarrow x_{1}=0\)
\((vii)-(iii)\) এর সাহায্যে, \(x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{3}-x_{1}=6-10\) \(\Rightarrow x_{2}=-4\)
\((vii)-(v)\) এর সাহায্যে, \(x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{1}-x_{2}=6+4\) \(\Rightarrow x_{3}=10\)
আবার,
\((viii)-(ii)\) এর সাহায্যে, \(y_{1}+y_{2}+y_{3}-y_{2}-y_{3}=-8+10\) \(\Rightarrow y_{1}=2\)
\((viii)-(iv)\) এর সাহায্যে, \(y_{1}+y_{2}+y_{3}-y_{3}-y_{1}=-8+4\) \(\Rightarrow y_{2}=-4\)
\((viii)-(vi)\) এর সাহায্যে, \(y_{1}+y_{2}+y_{3}-y_{1}-y_{2}=-8+2\) \(\Rightarrow y_{3}=-6\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দুত্রয় \(A(0, 2), B(-4, -4), C(10, -6)\).
\((b)\) \(ABC\) ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(G(\frac{0-4+10}{3}, \frac{2-4-6}{3})\) ➜ কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, এর ভরকেন্দ্র \(G(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})\) হয়।
\(\Rightarrow G(\frac{6}{3}, \frac{-8}{3})\)
\(\therefore G(2, -\frac{8}{3})\)
\(\therefore \) ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(G(2, -\frac{8}{3})\)
\(Q 2.(x)\) \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় \(A(10, 20)\), \(B(20, 30)\) এবং \(C(30, 10)\)। \(ABC\) ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র \(G\) হলে \(GBC\) ত্রিভুজের \(GD\) মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ মধ্যমার দৈর্ঘ্য \(5\) একক।
উত্তরঃ মধ্যমার দৈর্ঘ্য \(5\) একক।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় \(A(10, 20)\), \(B(20, 30)\) এবং \(C(30, 10)\)।
\(ABC\) ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র \(G(\frac{10+20+30}{3}, \frac{20+30+10}{3})\)| কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, এর ভরকেন্দ্র \(G(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})\) হয়।
\(\Rightarrow G(\frac{60}{3}, \frac{60}{3})\)
\(\Rightarrow G(20, 20)\)
\(BC\) এর মধ্যবিন্দু \(D(\frac{20+30}{2}, \frac{30+10}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow D(\frac{50}{2}, \frac{40}{2})\)
\(\Rightarrow D(25, 20)\)
এখন,
\(GD=\sqrt{(20-25)^{2}+(20-20)^{2}}\) ➜\(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)
\(\Rightarrow GD=\sqrt{(-5)^{2}+0^{2}}\)
\(\Rightarrow GD=\sqrt{25+0}\)
\(\Rightarrow GD=\sqrt{5^{2}}\)
\(\Rightarrow GD=5\)
\(GD\) মধ্যমার দৈর্ঘ্য \(5\).
\(ABC\) ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র \(G(\frac{10+20+30}{3}, \frac{20+30+10}{3})\)| কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, এর ভরকেন্দ্র \(G(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})\) হয়।
\(\Rightarrow G(\frac{60}{3}, \frac{60}{3})\)
\(\Rightarrow G(20, 20)\)
\(BC\) এর মধ্যবিন্দু \(D(\frac{20+30}{2}, \frac{30+10}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow D(\frac{50}{2}, \frac{40}{2})\)
\(\Rightarrow D(25, 20)\)
এখন,
\(GD=\sqrt{(20-25)^{2}+(20-20)^{2}}\) ➜\(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)
\(\Rightarrow GD=\sqrt{(-5)^{2}+0^{2}}\)
\(\Rightarrow GD=\sqrt{25+0}\)
\(\Rightarrow GD=\sqrt{5^{2}}\)
\(\Rightarrow GD=5\)
\(GD\) মধ্যমার দৈর্ঘ্য \(5\).
\(Q 2.(xi)\) স্থানাঙ্কের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ত্রিভুজের দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা এর তৃতীয় বাহুর অর্ধেক।
সমাধানঃ
মনে করি, \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\)
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(D(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(AC\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{x_{1}+x_{3}}{2}, \frac{y_{1}+y_{3}}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(DE=\sqrt{(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}-\frac{x_{1}+x_{3}}{2})^{2}+(\frac{y_{1}+y_{2}}{2}-\frac{y_{1}+y_{3}}{2})^{2}}\) ➜\(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)
\(\Rightarrow DE=\sqrt{(\frac{x_{1}+x_{2}-x_{1}-x_{3}}{2})^{2}+(\frac{y_{1}+y_{2}-y_{1}-y_{3}}{2})^{2}}\)
\(\Rightarrow DE=\sqrt{(\frac{x_{2}-x_{3}}{2})^{2}+(\frac{y_{2}-y_{3}}{2})^{2}}\)
\(\Rightarrow DE=\sqrt{\frac{(x_{2}-x_{3})^{2}}{4}+\frac{(y_{2}-y_{3})^{2}}{4}}\)
\(\therefore DE=\frac{1}{2}\times \sqrt{(x_{2}-x_{3})^{2}+(y_{2}-y_{3})^{2}}\)
আবার,
\(BC=\sqrt{(x_{2}-x_{3})^{2}+(y_{2}-y_{3})^{2}}\) ➜\(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)
এখন,
\(DE=\frac{1}{2}\times \sqrt{(x_{2}-x_{3})^{2}+(y_{2}-y_{3})^{2}}\)
\(\Rightarrow DE=\frac{1}{2}\times BC\)
\(\therefore \) ত্রিভুজের দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা এর তৃতীয় বাহুর অর্ধেক।
[ দেখানো হলো। ]
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(D(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(AC\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{x_{1}+x_{3}}{2}, \frac{y_{1}+y_{3}}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(DE=\sqrt{(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}-\frac{x_{1}+x_{3}}{2})^{2}+(\frac{y_{1}+y_{2}}{2}-\frac{y_{1}+y_{3}}{2})^{2}}\) ➜\(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)
\(\Rightarrow DE=\sqrt{(\frac{x_{1}+x_{2}-x_{1}-x_{3}}{2})^{2}+(\frac{y_{1}+y_{2}-y_{1}-y_{3}}{2})^{2}}\)
\(\Rightarrow DE=\sqrt{(\frac{x_{2}-x_{3}}{2})^{2}+(\frac{y_{2}-y_{3}}{2})^{2}}\)
\(\Rightarrow DE=\sqrt{\frac{(x_{2}-x_{3})^{2}}{4}+\frac{(y_{2}-y_{3})^{2}}{4}}\)
\(\therefore DE=\frac{1}{2}\times \sqrt{(x_{2}-x_{3})^{2}+(y_{2}-y_{3})^{2}}\)
আবার,
\(BC=\sqrt{(x_{2}-x_{3})^{2}+(y_{2}-y_{3})^{2}}\) ➜\(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)
এখন,
\(DE=\frac{1}{2}\times \sqrt{(x_{2}-x_{3})^{2}+(y_{2}-y_{3})^{2}}\)
\(\Rightarrow DE=\frac{1}{2}\times BC\)
\(\therefore \) ত্রিভুজের দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা এর তৃতীয় বাহুর অর্ধেক।
[ দেখানো হলো। ]
অনুশীলনী \(3.B\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(Q.3.(i)\) \(ABCD\) সামান্তরিকের \(A, \ B, \ C\) এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-2, -1)\), \((1, 3)\) এবং \((1, 6)\) হলে, \(D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-2, 2)\)
\(Q.3.(ii)\) \(ABCD\) রম্বসের \(A, \ B, \ C\) এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-2, -1)\), \((1, 3)\) এবং \((5, 6)\) হলে, \(D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং রম্বসটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(D(2, 2)\)
\(Q.3.(iii)\) \(ABCD\) বর্গক্ষেত্রের তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(A(8, 8)\), \(B(9, -5)\) এবং \(C(-4, -6)\) হলে, এর চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-5, 7)\); \(170\) বর্গ একক।
উত্তরঃ \((-2, 2)\)
\(Q.3.(ii)\) \(ABCD\) রম্বসের \(A, \ B, \ C\) এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-2, -1)\), \((1, 3)\) এবং \((5, 6)\) হলে, \(D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং রম্বসটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(D(2, 2)\)
\(Q.3.(iii)\) \(ABCD\) বর্গক্ষেত্রের তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(A(8, 8)\), \(B(9, -5)\) এবং \(C(-4, -6)\) হলে, এর চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-5, 7)\); \(170\) বর্গ একক।
\(Q.3.(iv)\) \(ABCD\) আয়তক্ষেত্রের তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(A(3, 2)\), \((2, -1)\) এবং \((8, -3)\)। এর চতুর্থ শীর্ষবিন্দু \(D\) এর স্থানাঙ্ক এবং আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((9, 0)\); \(20\) বর্গ একক।
[ঢাঃ ২০০৩, চঃ ২০০৬, বঃ ২০১৪]
\(Q.3.(v)\) যদি \(A(2, 5)\), \((5, 9)\) এবং \((6, 8)\) বিন্দু তিনটি \(ABCD\) রম্বসের শীর্ষবিন্দু হয়, তাহলে চতুর্থ শীর্ষবিন্দু \(C\) এর স্থানাঙ্ক এবং রম্বসটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(C(9, 12)\).
[ঢাঃ ২০১০, ২০০৫, সিঃ ২০০৯, বঃ ২০০৯ ]
\(Q.3.(vi)\) কোন সামান্তরিকের একটি কর্ণের প্রান্তবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((3, -4)\) এবং \((-6, 5)\)। এর তৃতীয় শীর্ষবিন্দু \((-2, -1)\) হলে চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণিয় কর।
উত্তরঃ চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((-1, 2)\).
[ঢাঃ ২০০৭, রাঃ ২০১৪, চঃ ২০১৪, সিঃ ২০১৪, যঃ ২০১১, বঃ ২০০৮]
উত্তরঃ \((9, 0)\); \(20\) বর্গ একক।
[ঢাঃ ২০০৩, চঃ ২০০৬, বঃ ২০১৪]
\(Q.3.(v)\) যদি \(A(2, 5)\), \((5, 9)\) এবং \((6, 8)\) বিন্দু তিনটি \(ABCD\) রম্বসের শীর্ষবিন্দু হয়, তাহলে চতুর্থ শীর্ষবিন্দু \(C\) এর স্থানাঙ্ক এবং রম্বসটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(C(9, 12)\).
[ঢাঃ ২০১০, ২০০৫, সিঃ ২০০৯, বঃ ২০০৯ ]
\(Q.3.(vi)\) কোন সামান্তরিকের একটি কর্ণের প্রান্তবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((3, -4)\) এবং \((-6, 5)\)। এর তৃতীয় শীর্ষবিন্দু \((-2, -1)\) হলে চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণিয় কর।
উত্তরঃ চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((-1, 2)\).
[ঢাঃ ২০০৭, রাঃ ২০১৪, চঃ ২০১৪, সিঃ ২০১৪, যঃ ২০১১, বঃ ২০০৮]
\(Q.3.(i)\) \(ABCD\) সামান্তরিকের \(A, \ B, \ C\) এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-2, -1)\), \((1, 3)\) এবং \((1, 6)\) হলে, \(D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-2, 2)\)
উত্তরঃ \((-2, 2)\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(A(-2, -1)\), \(B(1, 3)\) এবং \(C(1, 6)\).
ধরি, \(D(x, y)\)
\(AC\) কর্ণের মধ্যবিন্দু \(E(\frac{-2+1}{2}, \frac{-1+6}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\therefore E(\frac{-1}{2}, \frac{5}{2})\)
\(BD\) কর্ণের মধ্যবিন্দু \(E(\frac{1+x}{2}, \frac{3+y}{2})\) ➜ \(\because \) সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
\(\therefore E(\frac{1+x}{2}, \frac{3+y}{2})\Rightarrow E(\frac{-1}{2}, \frac{5}{2})\)
\(\Rightarrow \frac{1+x}{2}=\frac{-1}{2}, \ \frac{3+y}{2}=\frac{5}{2}\)
\(\Rightarrow 1+x=-1, \ 3+y=5\)
\(\Rightarrow x=-1-1, \ y=5-3\)
\(\Rightarrow x=-2, \ y=2\)
\(\therefore D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((-2, 2)\).
\(A(-2, -1)\), \(B(1, 3)\) এবং \(C(1, 6)\).
ধরি, \(D(x, y)\)
\(AC\) কর্ণের মধ্যবিন্দু \(E(\frac{-2+1}{2}, \frac{-1+6}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\therefore E(\frac{-1}{2}, \frac{5}{2})\)
\(BD\) কর্ণের মধ্যবিন্দু \(E(\frac{1+x}{2}, \frac{3+y}{2})\) ➜ \(\because \) সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
\(\therefore E(\frac{1+x}{2}, \frac{3+y}{2})\Rightarrow E(\frac{-1}{2}, \frac{5}{2})\)
\(\Rightarrow \frac{1+x}{2}=\frac{-1}{2}, \ \frac{3+y}{2}=\frac{5}{2}\)
\(\Rightarrow 1+x=-1, \ 3+y=5\)
\(\Rightarrow x=-1-1, \ y=5-3\)
\(\Rightarrow x=-2, \ y=2\)
\(\therefore D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((-2, 2)\).
\(Q 3.(iii)\) \(ABCD\) বর্গক্ষেত্রের তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(A(8, 8)\), \(B(9, -5)\) এবং \(C(-4, -6)\) হলে, এর চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-5, 7)\); \(170\) বর্গ একক।
উত্তরঃ \((-5, 7)\); \(170\) বর্গ একক।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(A(8, 8)\), \(B(9, -5)\) এবং \(C(-4, -6)\).
ধরি চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক, \(D(x, y)\)
\(AC\) কর্ণের মধ্যবিন্দু \(E(\frac{8-4}{2}, \frac{8-6}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow E(\frac{4}{2}, \frac{2}{2})\)
\(\therefore E(2, 1)\)
\(BD\) কর্ণের মধ্যবিন্দু \(E(\frac{9+x}{2}, \frac{-5+y}{2})\) ➜ \(\because \) বর্গক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে
\(\therefore E(\frac{9+x}{2}, \frac{-5+y}{2})\Rightarrow E(2, 1)\)
\(\Rightarrow \frac{9+x}{2}=2, \ \frac{-5+y}{2}=1\)
\(\Rightarrow 9+x=4, \ -5+y=2\)
\(\Rightarrow x=4-9, \ y=2+5\)
\(\Rightarrow x=-5, \ y=7\)
\(\therefore D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((-5, 7)\).
বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল \(=AB^{2}\) ➜ \(\because a\) বাহুবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=a^{2}\) বর্গ একক।
\(=(8-9)^{2}+(8+5)^{2}\)
\(=(-1)^{2}+(13)^{2}\)
\(=1+169\)
\(=170\) বর্গ একক।
\(A(8, 8)\), \(B(9, -5)\) এবং \(C(-4, -6)\).
ধরি চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক, \(D(x, y)\)
\(AC\) কর্ণের মধ্যবিন্দু \(E(\frac{8-4}{2}, \frac{8-6}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow E(\frac{4}{2}, \frac{2}{2})\)
\(\therefore E(2, 1)\)
\(BD\) কর্ণের মধ্যবিন্দু \(E(\frac{9+x}{2}, \frac{-5+y}{2})\) ➜ \(\because \) বর্গক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে
\(\therefore E(\frac{9+x}{2}, \frac{-5+y}{2})\Rightarrow E(2, 1)\)
\(\Rightarrow \frac{9+x}{2}=2, \ \frac{-5+y}{2}=1\)
\(\Rightarrow 9+x=4, \ -5+y=2\)
\(\Rightarrow x=4-9, \ y=2+5\)
\(\Rightarrow x=-5, \ y=7\)
\(\therefore D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((-5, 7)\).
বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল \(=AB^{2}\) ➜ \(\because a\) বাহুবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=a^{2}\) বর্গ একক।
\(=(8-9)^{2}+(8+5)^{2}\)
\(=(-1)^{2}+(13)^{2}\)
\(=1+169\)
\(=170\) বর্গ একক।
\(Q 3.(iv)\) \(ABCD\) আয়তক্ষেত্রের তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((3, 2)\), \((2, -1)\) এবং \((8, -3)\)। এর চতুর্থ শীর্ষবিন্দু \(D\) এর স্থানাঙ্ক এবং আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((9, 0)\); \(20\) বর্গ একক।
[ঢাঃ ২০০৩, চঃ ২০০৬, বঃ ২০১৪]
উত্তরঃ \((9, 0)\); \(20\) বর্গ একক।
[ঢাঃ ২০০৩, চঃ ২০০৬, বঃ ২০১৪]
সমাধানঃ
মনে করি,\(A(3, 2)\), \(B(2, -1)\), \(C(8, -3)\) এবং \(D(x, y)\).
\(AC\) কর্ণের মধ্যবিন্দু \(E(\frac{3+8}{2}, \frac{2-3}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\therefore E(\frac{11}{2}, \frac{-1}{2})\)
\(BD\) কর্ণের মধ্যবিন্দু \(E(\frac{2+x}{2}, \frac{-1+y}{2})\) ➜ \(\because \) আয়তক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে ।
\(\therefore E(\frac{2+x}{2}, \frac{-1+y}{2})\Rightarrow E(\frac{11}{2}, \frac{-1}{2})\)
\(\Rightarrow \frac{2+x}{2}=\frac{11}{2}, \ \frac{-1+y}{2}=\frac{-1}{2}\)
\(\Rightarrow 2+x=11, \ -1+y=-1\)
\(\Rightarrow x=11-2, \ y=-1+1\)
\(\Rightarrow x=9, \ y=0\)
\(\therefore D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((9, 0)\).
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=AB\times BC\) ➜ \(\because \) আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ \(\times \) প্রস্ত।
\(=\sqrt{(3-2)^{2}+(2+1)^{2}}\times \sqrt{(2-8)^{2}+(-1+3)^{2}}\) ➜\(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)
\(=\sqrt{1^{2}+3^{2}}\times \sqrt{(-6)^{2}+2^{2}}\)
\(=\sqrt{1+9}\times \sqrt{36+4}\)
\(=\sqrt{10}\times \sqrt{40}\)
\(=\sqrt{10\times 40}\)
\(=\sqrt{400}\)
\(=\sqrt{20^{2}}\)
\(=20\) বর্গ একক।
\(AC\) কর্ণের মধ্যবিন্দু \(E(\frac{3+8}{2}, \frac{2-3}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\therefore E(\frac{11}{2}, \frac{-1}{2})\)
\(BD\) কর্ণের মধ্যবিন্দু \(E(\frac{2+x}{2}, \frac{-1+y}{2})\) ➜ \(\because \) আয়তক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে ।
\(\therefore E(\frac{2+x}{2}, \frac{-1+y}{2})\Rightarrow E(\frac{11}{2}, \frac{-1}{2})\)
\(\Rightarrow \frac{2+x}{2}=\frac{11}{2}, \ \frac{-1+y}{2}=\frac{-1}{2}\)
\(\Rightarrow 2+x=11, \ -1+y=-1\)
\(\Rightarrow x=11-2, \ y=-1+1\)
\(\Rightarrow x=9, \ y=0\)
\(\therefore D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((9, 0)\).
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=AB\times BC\) ➜ \(\because \) আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ \(\times \) প্রস্ত।
\(=\sqrt{(3-2)^{2}+(2+1)^{2}}\times \sqrt{(2-8)^{2}+(-1+3)^{2}}\) ➜\(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)
\(=\sqrt{1^{2}+3^{2}}\times \sqrt{(-6)^{2}+2^{2}}\)
\(=\sqrt{1+9}\times \sqrt{36+4}\)
\(=\sqrt{10}\times \sqrt{40}\)
\(=\sqrt{10\times 40}\)
\(=\sqrt{400}\)
\(=\sqrt{20^{2}}\)
\(=20\) বর্গ একক।
অনুশীলনী \(3.B\) / \(Q.4\)-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমুহ
\(Q.4.(i)\) \(A\) ও \(B\) বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-3, -2)\) এবং \((6, 4)\).
\((a)\) একটি ত্রিভুজের দুইটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((3, 5)\), \((7, -1)\) এবং এর ভরকেন্দ্র \((7, 2)\); তৃতীয় শীর্ষবিন্দু নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) বাহুর সমত্রিখন্ডক বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \(AB\) এর মধ্যবিন্দু হতে \(\frac{\sqrt{5}}{2}\) একক দূরে অবস্থিত একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর যার কটি ভুজের দ্বিগুণ।
উত্তরঃ \((a)\) \((11, 2)\).
উত্তরঃ \((b)\) \(C(0, 0)\) এবং \(D(3, 2)\).
উত্তরঃ \((c)\) \((1, 2)\) অথবা, \((\frac{2}{5}, \frac{4}{5})\).
\((a)\) একটি ত্রিভুজের দুইটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((3, 5)\), \((7, -1)\) এবং এর ভরকেন্দ্র \((7, 2)\); তৃতীয় শীর্ষবিন্দু নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) বাহুর সমত্রিখন্ডক বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \(AB\) এর মধ্যবিন্দু হতে \(\frac{\sqrt{5}}{2}\) একক দূরে অবস্থিত একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর যার কটি ভুজের দ্বিগুণ।
উত্তরঃ \((a)\) \((11, 2)\).
উত্তরঃ \((b)\) \(C(0, 0)\) এবং \(D(3, 2)\).
উত্তরঃ \((c)\) \((1, 2)\) অথবা, \((\frac{2}{5}, \frac{4}{5})\).
\(Q.4.(ii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((7, 2)\)। \(A\) ও \(B\) শীর্ষবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((3, 5)\) এবং \((7, -1)\) ।
\((a)\) \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) বাহুর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \(AB\) এর মধ্যবিন্দু হতে \(4\) একক দূরে অবস্থিত একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর যার কটি ভুজের দ্বিগুণ।
উত্তরঃ \((a)\) \((11, 2)\)
উত্তরঃ \((b)\) \((5, 2)\).
উত্তরঃ \((c)\) \((\frac{13}{5}, \frac{26}{5})\) অথবা, \((1, 2)\)
\((a)\) \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) বাহুর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \(AB\) এর মধ্যবিন্দু হতে \(4\) একক দূরে অবস্থিত একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর যার কটি ভুজের দ্বিগুণ।
উত্তরঃ \((a)\) \((11, 2)\)
উত্তরঃ \((b)\) \((5, 2)\).
উত্তরঃ \((c)\) \((\frac{13}{5}, \frac{26}{5})\) অথবা, \((1, 2)\)
\(Q 4.(i)\) \(A\) ও \(B\) বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-3, -2)\) এবং \((6, 4)\).
\((a)\) একটি ত্রিভুজের দুইটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((3, 5)\), \((7, -1)\) এবং এর ভরকেন্দ্র \((7, 2)\); তৃতীয় শীর্ষবিন্দু নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) বাহুর সমত্রিখন্ডক বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \(AB\) এর মধ্যবিন্দু হতে \(\frac{\sqrt{5}}{2}\) একক দূরে অবস্থিত একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর যার কটি ভুজের দ্বিগুণ।
উত্তরঃ \((a)\) \((11, 2)\).
উত্তরঃ \((b)\) \(C(0, 0)\) এবং \(D(3, 2)\).
উত্তরঃ \((c)\) \((1, 2)\) অথবা, \((\frac{2}{5}, \frac{4}{5})\).
\((a)\) একটি ত্রিভুজের দুইটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((3, 5)\), \((7, -1)\) এবং এর ভরকেন্দ্র \((7, 2)\); তৃতীয় শীর্ষবিন্দু নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) বাহুর সমত্রিখন্ডক বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \(AB\) এর মধ্যবিন্দু হতে \(\frac{\sqrt{5}}{2}\) একক দূরে অবস্থিত একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর যার কটি ভুজের দ্বিগুণ।
উত্তরঃ \((a)\) \((11, 2)\).
উত্তরঃ \((b)\) \(C(0, 0)\) এবং \(D(3, 2)\).
উত্তরঃ \((c)\) \((1, 2)\) অথবা, \((\frac{2}{5}, \frac{4}{5})\).
সমাধানঃ
\((a)\)
মনে করি, \(A(3, 5)\), \(B(7, -1)\), \(C(x, y)\) এবং এর ভরকেন্দ্র \(G(7, 2)\).
এখন, \(ABC\) ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র \(G(\frac{3+7+x}{3}, \frac{5-1+y}{3})\) ➜ কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, এর ভরকেন্দ্র \(G(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})\) হয়।
\(\therefore G(\frac{10+x}{3}, \frac{4+y}{3})\)
কিন্তু, দেওয়া আছে, \(G(7, 2)\).
\(\therefore G(\frac{10+x}{3}, \frac{4+y}{3})\Rightarrow G(7, 2)\)
\(\Rightarrow \frac{10+x}{3}=7, \ \frac{}{3}=2 \)
\(\Rightarrow 10+x=21, \ 4+y=6 \)
\(\Rightarrow x=21-10, \ y=6-4 \)
\(\Rightarrow x=11, \ y=2 \)
\(\therefore C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((11, 2)\).
\((b)\)
দেওয়া আছে, \(A(-3, -2)\) এবং \(B(6, 4)\).
ধরি, সমত্রিখন্ডক বিন্দুদ্বয় \(C\) এবং \(D\) যা \(AB\) কে যথাক্রমে \(1:2\) এবং \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore C\) এর স্থানাঙ্ক \((\frac{1\times 6+2\times -3}{1+2}, \frac{1\times 4+2\times -2}{1+2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow (\frac{6-6}{3}, \frac{4-4}{3})\)
\(\Rightarrow (\frac{0}{3}, \frac{0}{3})\)
\(\Rightarrow (0, 0)\)
\(\therefore D\) এর স্থানাঙ্ক \((\frac{2\times 6+1\times -3}{2+1}, \frac{2\times 4+1\times -2}{2+1})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow (\frac{12-3}{3}, \frac{8-2}{3})\)
\(\Rightarrow (\frac{9}{3}, \frac{6}{3})\)
\(\Rightarrow (3, 2)\)
\(\therefore \) সমত্রিখন্ডক বিন্দুদ্বয় \(C(0, 0)\) এবং \(D(3, 2)\).
\((c)\)
দেওয়া আছে, \(A(-3, -2)\) এবং \(B(6, 4)\).
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(C(\frac{-3+6}{2}, \frac{-2+4}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow C(\frac{3}{2}, \frac{2}{2})\)
\(\therefore C(\frac{3}{2}, 1)\)
\(C\) হতে \(\frac{\sqrt{5}}{2}\) একক দূরে অবস্থিত বিন্দু \(D(x, 2x)\) যার কটি ভুজের দ্বিগুণ।
\(\therefore DC=\frac{\sqrt{5}}{2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-\frac{3}{2})^{2}+(2x-1)^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}\) ➜\(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)
\(\Rightarrow (x-\frac{3}{2})^{2}+(2x-1)^{2}=\frac{5}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{(2x-3)^{2}}{4}+(2x)^{2}-2.2x.1+(1)^{2}=\frac{5}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{(2x-3)^{2}}{4}+4x^{2}-4x+1=\frac{5}{4}\)
\(\Rightarrow (2x-3)^{2}+16x^{2}-16x+4=5\)
\(\Rightarrow (2x)^{2}-2.2x.3+(3)^{2}+16x^{2}-16x+4-5=0\)
\(\Rightarrow 4x^{2}-12x+9+16x^{2}-16x-1=0\)
\(\Rightarrow 20x^{2}-28x+8=0\)
\(\Rightarrow 5x^{2}-7x+2=0\) ➜ উভয় পার্শে \(4\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow 5x^{2}-5x-2x+2=0\)
\(\Rightarrow 5x(x-1)-2(x-1)=0\)
\(\Rightarrow (x-1)(5x-2)=0\)
\(\Rightarrow x-1=0, \ 5x-2=0\)
\(\Rightarrow x=1, \ 5x=2\)
\(\Rightarrow x=1, \ x=\frac{2}{5}\)
\(\therefore \) বিন্দুটির স্থানাঙ্ক হবে \((1, 2)\) অথবা, \((\frac{2}{5}, \frac{4}{5})\).
মনে করি, \(A(3, 5)\), \(B(7, -1)\), \(C(x, y)\) এবং এর ভরকেন্দ্র \(G(7, 2)\).
এখন, \(ABC\) ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র \(G(\frac{3+7+x}{3}, \frac{5-1+y}{3})\) ➜ কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, এর ভরকেন্দ্র \(G(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})\) হয়।
\(\therefore G(\frac{10+x}{3}, \frac{4+y}{3})\)
কিন্তু, দেওয়া আছে, \(G(7, 2)\).
\(\therefore G(\frac{10+x}{3}, \frac{4+y}{3})\Rightarrow G(7, 2)\)
\(\Rightarrow \frac{10+x}{3}=7, \ \frac{}{3}=2 \)
\(\Rightarrow 10+x=21, \ 4+y=6 \)
\(\Rightarrow x=21-10, \ y=6-4 \)
\(\Rightarrow x=11, \ y=2 \)
\(\therefore C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((11, 2)\).
\((b)\)
দেওয়া আছে, \(A(-3, -2)\) এবং \(B(6, 4)\).
ধরি, সমত্রিখন্ডক বিন্দুদ্বয় \(C\) এবং \(D\) যা \(AB\) কে যথাক্রমে \(1:2\) এবং \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore C\) এর স্থানাঙ্ক \((\frac{1\times 6+2\times -3}{1+2}, \frac{1\times 4+2\times -2}{1+2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow (\frac{6-6}{3}, \frac{4-4}{3})\)
\(\Rightarrow (\frac{0}{3}, \frac{0}{3})\)
\(\Rightarrow (0, 0)\)
\(\therefore D\) এর স্থানাঙ্ক \((\frac{2\times 6+1\times -3}{2+1}, \frac{2\times 4+1\times -2}{2+1})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow (\frac{12-3}{3}, \frac{8-2}{3})\)
\(\Rightarrow (\frac{9}{3}, \frac{6}{3})\)
\(\Rightarrow (3, 2)\)
\(\therefore \) সমত্রিখন্ডক বিন্দুদ্বয় \(C(0, 0)\) এবং \(D(3, 2)\).
\((c)\)
দেওয়া আছে, \(A(-3, -2)\) এবং \(B(6, 4)\).
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(C(\frac{-3+6}{2}, \frac{-2+4}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow C(\frac{3}{2}, \frac{2}{2})\)
\(\therefore C(\frac{3}{2}, 1)\)
\(C\) হতে \(\frac{\sqrt{5}}{2}\) একক দূরে অবস্থিত বিন্দু \(D(x, 2x)\) যার কটি ভুজের দ্বিগুণ।
\(\therefore DC=\frac{\sqrt{5}}{2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-\frac{3}{2})^{2}+(2x-1)^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}\) ➜\(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)
\(\Rightarrow (x-\frac{3}{2})^{2}+(2x-1)^{2}=\frac{5}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{(2x-3)^{2}}{4}+(2x)^{2}-2.2x.1+(1)^{2}=\frac{5}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{(2x-3)^{2}}{4}+4x^{2}-4x+1=\frac{5}{4}\)
\(\Rightarrow (2x-3)^{2}+16x^{2}-16x+4=5\)
\(\Rightarrow (2x)^{2}-2.2x.3+(3)^{2}+16x^{2}-16x+4-5=0\)
\(\Rightarrow 4x^{2}-12x+9+16x^{2}-16x-1=0\)
\(\Rightarrow 20x^{2}-28x+8=0\)
\(\Rightarrow 5x^{2}-7x+2=0\) ➜ উভয় পার্শে \(4\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow 5x^{2}-5x-2x+2=0\)
\(\Rightarrow 5x(x-1)-2(x-1)=0\)
\(\Rightarrow (x-1)(5x-2)=0\)
\(\Rightarrow x-1=0, \ 5x-2=0\)
\(\Rightarrow x=1, \ 5x=2\)
\(\Rightarrow x=1, \ x=\frac{2}{5}\)
\(\therefore \) বিন্দুটির স্থানাঙ্ক হবে \((1, 2)\) অথবা, \((\frac{2}{5}, \frac{4}{5})\).
\(Q.4.(ii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((7, 2)\)। \(A\) ও \(B\) শীর্ষবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((3, 5)\) এবং \((7, -1)\) ।
\((a)\) \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) বাহুর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \(AB\) এর মধ্যবিন্দু হতে \(4\) একক দূরে অবস্থিত একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর যার কটি ভুজের দ্বিগুণ।
উত্তরঃ \((a)\) \((11, 2)\)
উত্তরঃ \((b)\) \(D(5, 2)\)
উত্তরঃ \((c)\) \((\frac{13}{5}, \frac{26}{5})\) অথবা, \((1, 2)\) .
\((a)\) \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) বাহুর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \(AB\) এর মধ্যবিন্দু হতে \(4\) একক দূরে অবস্থিত একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর যার কটি ভুজের দ্বিগুণ।
উত্তরঃ \((a)\) \((11, 2)\)
উত্তরঃ \((b)\) \(D(5, 2)\)
উত্তরঃ \((c)\) \((\frac{13}{5}, \frac{26}{5})\) অথবা, \((1, 2)\) .
সমাধানঃ
\((a)\)
মনে করি, \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি যথাক্রমে, \(A(3, 5)\), \(B(7, -1)\), \(C(x, y)\) এবং ভরকেন্দ্র \(G(7, 2)\)
এখন,
\(ABC\) ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র \(G(\frac{3+7+x}{3}, \frac{5-1+y}{3})\) ➜ কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, এর ভরকেন্দ্র \(G(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})\) হয়।
\(\therefore G(\frac{10+x}{3}, \frac{4+y}{3})\)
কিন্তু দেওয়া আছে, \(G(7, 2)\)
\(\therefore G(\frac{10+x}{3}, \frac{4+y}{3})\Rightarrow G(7, 2)\)
\(\Rightarrow \frac{10+x}{3}=7, \ \frac{4+y}{3}=2\)
\(\Rightarrow 10+x=21, \ 4+y=6\)
\(\Rightarrow x=21-10, \ y=6-4\)
\(\Rightarrow x=11, \ y=2\)
\(\therefore \) তৃতীয় শীর্ষবিন্দু \(C(11, 2)\).
\((b)\) দেওয়া আছে, \(A(3, 5)\) এবং \(B(7, -1)\).
ধরি, মধ্যবিন্দু \(D\)
\(\therefore D\) এর স্থানাঙ্ক \((\frac{3+7}{2}, \frac{5-1}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)এর মধ্যবিন্দু। \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow (\frac{10}{2}, \frac{4}{2})\)
\(\Rightarrow (5, 2)\)
\(\therefore \) মধ্যবিন্দু \(D(5, 2)\).
\((c)\)
\((b)\) হতে প্রাপ্ত মধ্যবিন্দু \(D(5, 2)\).
\(D\) হতে \(4\) একক দূরে অবস্থিত বিন্দু \(P(x, 2x)\) যার কটি ভুজের দ্বিগুণ।
\(\therefore DP=4\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-5)^{2}+(2x-2)^{2}}=4\) ➜\(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)
\(\Rightarrow (x-5)^{2}+4(x-1)^{2}=16\)
\(\Rightarrow x^{2}-10x+25+4(x^{2}-2x+1)=16\)
\(\Rightarrow x^{2}-10x+25+4x^{2}-8x+4=16\)
\(\Rightarrow 5x^{2}-18x+29=16\)
\(\Rightarrow 5x^{2}-18x+29-16=0\)
\(\Rightarrow 5x^{2}-18x+13=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{-(-18)\pm{\sqrt{(-18)^2-4.5.13}}}{2.5}\)
\(\Rightarrow x=\frac{18\pm{\sqrt{324-260}}}{10}\)
\(\Rightarrow x=\frac{18\pm{\sqrt{64}}}{10}\)
\(\Rightarrow x=\frac{18\pm{8}}{10}\)
\(\Rightarrow x=\frac{18+8}{10}, \frac{18-8}{10}\)
\(\Rightarrow x=\frac{26}{10}, \frac{10}{10}\)
\(\Rightarrow x=\frac{13}{5}, 1\)
\(\therefore \) বিন্দুটির স্থানাঙ্ক হবে \((\frac{13}{5}, \frac{26}{5})\) অথবা, \((1, 2)\) .
মনে করি, \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি যথাক্রমে, \(A(3, 5)\), \(B(7, -1)\), \(C(x, y)\) এবং ভরকেন্দ্র \(G(7, 2)\)
এখন,
\(ABC\) ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র \(G(\frac{3+7+x}{3}, \frac{5-1+y}{3})\) ➜ কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, এর ভরকেন্দ্র \(G(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})\) হয়।
\(\therefore G(\frac{10+x}{3}, \frac{4+y}{3})\)
কিন্তু দেওয়া আছে, \(G(7, 2)\)
\(\therefore G(\frac{10+x}{3}, \frac{4+y}{3})\Rightarrow G(7, 2)\)
\(\Rightarrow \frac{10+x}{3}=7, \ \frac{4+y}{3}=2\)
\(\Rightarrow 10+x=21, \ 4+y=6\)
\(\Rightarrow x=21-10, \ y=6-4\)
\(\Rightarrow x=11, \ y=2\)
\(\therefore \) তৃতীয় শীর্ষবিন্দু \(C(11, 2)\).
\((b)\) দেওয়া আছে, \(A(3, 5)\) এবং \(B(7, -1)\).
ধরি, মধ্যবিন্দু \(D\)
\(\therefore D\) এর স্থানাঙ্ক \((\frac{3+7}{2}, \frac{5-1}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)এর মধ্যবিন্দু। \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow (\frac{10}{2}, \frac{4}{2})\)
\(\Rightarrow (5, 2)\)
\(\therefore \) মধ্যবিন্দু \(D(5, 2)\).
\((c)\)
\((b)\) হতে প্রাপ্ত মধ্যবিন্দু \(D(5, 2)\).
\(D\) হতে \(4\) একক দূরে অবস্থিত বিন্দু \(P(x, 2x)\) যার কটি ভুজের দ্বিগুণ।
\(\therefore DP=4\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-5)^{2}+(2x-2)^{2}}=4\) ➜\(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)
\(\Rightarrow (x-5)^{2}+4(x-1)^{2}=16\)
\(\Rightarrow x^{2}-10x+25+4(x^{2}-2x+1)=16\)
\(\Rightarrow x^{2}-10x+25+4x^{2}-8x+4=16\)
\(\Rightarrow 5x^{2}-18x+29=16\)
\(\Rightarrow 5x^{2}-18x+29-16=0\)
\(\Rightarrow 5x^{2}-18x+13=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{-(-18)\pm{\sqrt{(-18)^2-4.5.13}}}{2.5}\)
\(\Rightarrow x=\frac{18\pm{\sqrt{324-260}}}{10}\)
\(\Rightarrow x=\frac{18\pm{\sqrt{64}}}{10}\)
\(\Rightarrow x=\frac{18\pm{8}}{10}\)
\(\Rightarrow x=\frac{18+8}{10}, \frac{18-8}{10}\)
\(\Rightarrow x=\frac{26}{10}, \frac{10}{10}\)
\(\Rightarrow x=\frac{13}{5}, 1\)
\(\therefore \) বিন্দুটির স্থানাঙ্ক হবে \((\frac{13}{5}, \frac{26}{5})\) অথবা, \((1, 2)\) .
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000010