এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
- সঞ্চারপথের বিস্তারিত বিবরণ।
- কোনো সমতলে এক বা একাধিক শর্তাধীনে কোনো বিন্দুর চলার পথ
- সেটের ধারণা থেকে কোনো বিন্দুর সঞ্চারপথ
- সঞ্চারপথের সমীকরণ
- সমাধানকৃত উদাহরণমালা
- অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন-উত্তর
- সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন-উত্তর
- বর্ণনামূলক প্রশ্ন-উত্তর
- সৃজনশীল প্রশ্ন এবং সমাধান
সঞ্চারপথঃ কোনো সমতলে এক বা একাধিক শর্তাধীনে চলমান কোনো বিন্দু যে সরল বা বক্ররেখায় সঞ্চরণ করে তাকে প্রদত্ত শর্তাধীনে ঐ বিন্দুর সঞ্চারপথ বলা হয়। মাধ্যমিক জ্যামিতিতে আমরা তিনটি সঞ্চারপথের সহিত পরিচিত।
\(1.\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(A, B\) থেকে সমদূরবর্তী বিন্দুর সঞ্চারপথ \(AB\) রেখাংশের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখা। এখানে \(PA=PB\) শর্তাধীনে \(P\) বিন্দু চলমান, যেখানে \(PA\) ও \(PB\) যথাক্রমে \(P\) বিন্দু হতে \(A\) ও \(B\) বিন্দুর দূরত্ত বুঝায়।
কোনো সমতলে এক বা একাধিক শর্তাধীনে কোনো বিন্দুর চলার পথঃ
\(2.\) একটি নির্দিষ্ট কোণ \(\angle AOB\) এর বাহু দুইটি হতে যে চলমান বিন্দু \(P\) এর লম্ব দূরত্ত সমান, তার সঞ্চারপথ উক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক রেখা। এখানে \(PM=PN\) শর্থাধীনে \(P\) বিন্দু চলমান যেখানে \(PN\) ও \(PM \ P\) বিন্দু হতে \(OA\) ও \(OB\) বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য বুঝায়।
\(3.\) একটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(O\) থেকে নির্দিষ্ট দূরত্তে চলমান বিন্দুর সঞ্চারপথ একটি বৃত্ত, যার কেন্দ্র ঐ নির্দিষ্ট বিন্দু এবং যার ব্যাসার্ধ ঐ নির্দিষ্ট দূরত্ত \(a\)। এখানে \(OP=a\) শর্থাধীনে \(P\) বিন্দু চলমান।
সেটের ভাষায় সঞ্চারপথঃ
সেটের ভাষায় বলা যায়, সমতলে যে সব বিন্দু কোনো প্রদত্ত শর্ত বা শর্তাবলি পূরণ করে তাদের সেট একটি সঞ্চারপথ। সঞ্চারপথের প্রত্যেক বিন্দু প্রদত্ত ঐ শর্ত বা শর্তাবলি পূরণ করে এবং সঞ্চারপথের বহির্ভূত কোনো বিন্দু ঐ শর্ত বা শর্তাবলি মেনে চলে না।
সঞ্চারপথের সমীকরণঃ
প্রদত্ত শর্ত বা শর্তসমূহ হতে সঞ্চারপথ নির্দেশক সেটের যে কোনো বিন্দুর ভুজ এবং কোটির মধ্যে যে বীজগণিতীয় সম্পর্ক পাওয়া যায় তাকে সঞ্চারপথের সমীকরণ বলে। সঞ্চারপথের যে কোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক তার সমীকরণকে সিদ্ধ করে।
বিপরীতক্রমে, কোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক যদি কোনো সঞ্চারপথের সমীকরণকে সিদ্ধ করে তবে উক্ত বিন্দুটি অবশ্যই সেই সঞ্চারপথের উপর অবস্থিত হবে।
বিপরীতক্রমে, কোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক যদি কোনো সঞ্চারপথের সমীকরণকে সিদ্ধ করে তবে উক্ত বিন্দুটি অবশ্যই সেই সঞ্চারপথের উপর অবস্থিত হবে।
উদাহরণঃ
একটি বৃত্তের সঞ্চারপথের যে কোনো বিন্দু \((2, 2)\) তার সমীকরণ \(x^2+y^2=8\) কে সিদ্ধ করবে।
বিপরীতক্রমে, যদি কোনো বিন্দু \((0, 2)\) বৃত্তের সঞ্চারপথের সমীকরণ \(x^2+y^2=4\) কে সিদ্ধ করে তবে উক্ত বিন্দু অবশ্যই বৃত্তের সঞ্চারপথের উপর অবস্থিত হবে।
বিপরীতক্রমে, যদি কোনো বিন্দু \((0, 2)\) বৃত্তের সঞ্চারপথের সমীকরণ \(x^2+y^2=4\) কে সিদ্ধ করে তবে উক্ত বিন্দু অবশ্যই বৃত্তের সঞ্চারপথের উপর অবস্থিত হবে।
এ অধ্যায়ে বিশেষ কোনো সূত্র নেই তবে, পূর্ববর্তী সকল সূত্র প্রয়োজনীয় এবং স্মরণীয়।
অনুশীলনী \(3.D\) উদাহরণসমুহ
উদাহরণ \(1.\) এমন একটি সঞ্চারপথের সমীকরণ বের কর যা দুইটি প্রদত্ত বিন্দু \((b, 0)\) এবং \((-b, 0)\) থেকে সর্বদা সমদূরবর্তী \((b\neq 0)\)।
উত্তরঃ নির্ণেয় সঞ্চারপথটি \(Y\) অক্ষ বা, \(x=0\)।
উদাহরণ \(2.\) মূলবিন্দু থেকে যে সকল বিন্দুর দূরত্ত একটি ধ্রুবক \(a\) এর সমান সেই বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}=a^{2}\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
উদাহরণ \(3.\) মূলবিন্দু এবং \((0, 4)\) বিন্দু থেকে যে সকল বিন্দুর দূরত্বের অনুপাত \(2:3\) তাদের সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5x^{2}+5y^{2}+32y-64=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
উত্তরঃ নির্ণেয় সঞ্চারপথটি \(Y\) অক্ষ বা, \(x=0\)।
উদাহরণ \(2.\) মূলবিন্দু থেকে যে সকল বিন্দুর দূরত্ত একটি ধ্রুবক \(a\) এর সমান সেই বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}=a^{2}\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
উদাহরণ \(3.\) মূলবিন্দু এবং \((0, 4)\) বিন্দু থেকে যে সকল বিন্দুর দূরত্বের অনুপাত \(2:3\) তাদের সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5x^{2}+5y^{2}+32y-64=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
উদাহরণ \(4.\) \((-2, 5)\) বিন্দু এবং \(X\) অক্ষ থেকে সর্বদা সমদূরবর্তী বিন্দুসমূহের সেট দ্বারা সৃষ্ট সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{2}+4x-10y+29=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
উদাহরণ \(5.\) \(A(a, 0)\) এবং \(B(0, a)\) বিন্দু দুইটি থেকে একটি সেটের বিন্দুসমূহের দূরত্বের বর্গের অন্তরফল সর্বদা \(2a\) একক হলে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y=x\pm 1\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
উদাহরণ \(6.\) মূলবিন্দু এবং \((-5, 0)\) বিন্দু থেকে একটি প্রদত্ত সেটের বিন্দুসমূহের দূরত্বের অনুপাত \(3:4\). উক্ত সেট দ্বারা সৃষ্ট সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(7x^{2}+7y^{2}-90x-225=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
উত্তরঃ \(x^{2}+4x-10y+29=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
উদাহরণ \(5.\) \(A(a, 0)\) এবং \(B(0, a)\) বিন্দু দুইটি থেকে একটি সেটের বিন্দুসমূহের দূরত্বের বর্গের অন্তরফল সর্বদা \(2a\) একক হলে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y=x\pm 1\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
উদাহরণ \(6.\) মূলবিন্দু এবং \((-5, 0)\) বিন্দু থেকে একটি প্রদত্ত সেটের বিন্দুসমূহের দূরত্বের অনুপাত \(3:4\). উক্ত সেট দ্বারা সৃষ্ট সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(7x^{2}+7y^{2}-90x-225=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
উদাহরণ \(1.\) এমন একটি সঞ্চারপথের সমীকরণ বের কর যা দুইটি প্রদত্ত বিন্দু \((b, 0)\) এবং \((-b, 0)\) থেকে সর্বদা সমদূরবর্তী \((b\neq 0)\)।
উত্তরঃ নির্ণেয় সঞ্চারপথটি \(Y\) অক্ষ বা, \(x=0\)।
উত্তরঃ নির্ণেয় সঞ্চারপথটি \(Y\) অক্ষ বা, \(x=0\)।
সমাধানঃ
মনে করি, \(A(b, 0)\) এবং \(B(-b, 0)\) এবং সঞ্চারপথের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\).
শর্তমতে, \(PA=PB\)
\(\Rightarrow PA^{2}=PB^{2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x-b)^{2}+(y-0)^{2}=(x+b)^{2}+(y-0)^{2}\) ➜ \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow (x-b)^{2}+y^{2}=(x+b)^{2}+y^{2}\)
\(\Rightarrow (x-b)^{2}+y^{2}-(x+b)^{2}-y^{2}=0\)
\(\Rightarrow (x-b)^{2}-(x+b)^{2}=0\)
\(\Rightarrow (x+b)^{2}-(x-b)^{2}=0\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 4xb=0\) ➜ \(\because (a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab\)
\(\Rightarrow x=0\) ➜ \(\because 4b\neq 0\)
\(\therefore \) নির্ণেয় সঞ্চারপথটি \(Y\) অক্ষ বা, \(x=0\)।
শর্তমতে, \(PA=PB\)
\(\Rightarrow PA^{2}=PB^{2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x-b)^{2}+(y-0)^{2}=(x+b)^{2}+(y-0)^{2}\) ➜ \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow (x-b)^{2}+y^{2}=(x+b)^{2}+y^{2}\)
\(\Rightarrow (x-b)^{2}+y^{2}-(x+b)^{2}-y^{2}=0\)
\(\Rightarrow (x-b)^{2}-(x+b)^{2}=0\)
\(\Rightarrow (x+b)^{2}-(x-b)^{2}=0\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 4xb=0\) ➜ \(\because (a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab\)
\(\Rightarrow x=0\) ➜ \(\because 4b\neq 0\)
\(\therefore \) নির্ণেয় সঞ্চারপথটি \(Y\) অক্ষ বা, \(x=0\)।
উদাহরণ \(2.\) মূলবিন্দু থেকে যে সকল বিন্দুর দূরত্ত একটি ধ্রুবক \(a\) এর সমান সেই বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}=a^{2}\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}=a^{2}\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
সমাধানঃ
মনে করি,
সঞ্চারপথের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\) এবং মূলবিন্দু \(O(0, 0)\).
শর্তমতে, \(PO=a\)
\(\Rightarrow PO^{2}=a^{2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x-0)^{2}+(y-0)^{2}=a^{2}\)
\(\therefore x^{2}+y^{2}=a^{2}\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
সঞ্চারপথের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\) এবং মূলবিন্দু \(O(0, 0)\).
শর্তমতে, \(PO=a\)
\(\Rightarrow PO^{2}=a^{2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x-0)^{2}+(y-0)^{2}=a^{2}\)
\(\therefore x^{2}+y^{2}=a^{2}\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
উদাহরণ \(3.\) মূলবিন্দু এবং \((0, 4)\) বিন্দু থেকে যে সকল বিন্দুর দূরত্বের অনুপাত \(2:3\) তাদের সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5x^{2}+5y^{2}+32y-64=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
উত্তরঃ \(5x^{2}+5y^{2}+32y-64=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
সমাধানঃ
মনে করি, \(A(0, 4)\), সঞ্চারপথের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\) এবং মূলবিন্দু \(O(0, 0)\).
শর্তমতে, \(PO:PA=2:3\)
\(\Rightarrow \frac{PO}{PA}=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{PO^{2}}{PA^{2}}=\frac{4}{9}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 9PO^{2}=4PA^{2}\)
\(\Rightarrow 9\{(x-0)^{2}+(y-0)^{2}\}=4\{(x-0)^{2}+(y-4)^{2}\}\) ➜ \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow 9(x^{2}+y^{2})=4(x^{2}+y^{2}-2.y.4+4^{2})\)
\(\Rightarrow 9(x^{2}+y^{2})=4(x^{2}+y^{2}-8y+16)\)
\(\Rightarrow 9x^{2}+9y^{2}-4x^{2}-4y^{2}+32y-64=0\)
\(\therefore 5x^{2}+5y^{2}+32y-64=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
শর্তমতে, \(PO:PA=2:3\)
\(\Rightarrow \frac{PO}{PA}=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{PO^{2}}{PA^{2}}=\frac{4}{9}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 9PO^{2}=4PA^{2}\)
\(\Rightarrow 9\{(x-0)^{2}+(y-0)^{2}\}=4\{(x-0)^{2}+(y-4)^{2}\}\) ➜ \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow 9(x^{2}+y^{2})=4(x^{2}+y^{2}-2.y.4+4^{2})\)
\(\Rightarrow 9(x^{2}+y^{2})=4(x^{2}+y^{2}-8y+16)\)
\(\Rightarrow 9x^{2}+9y^{2}-4x^{2}-4y^{2}+32y-64=0\)
\(\therefore 5x^{2}+5y^{2}+32y-64=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
উদাহরণ \(4.\) \((-2, 5)\) বিন্দু এবং \(X\) অক্ষ থেকে সর্বদা সমদূরবর্তী বিন্দুসমূহের সেট দ্বারা সৃষ্ট সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{2}+4x-10y+29=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
উত্তরঃ \(x^{2}+4x-10y+29=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
সমাধানঃ
মনে করি, \(A(-2, 5)\), সঞ্চারপথের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\).
\(P(x, y)\) বিন্দু হতে \(X\) অক্ষের দূরত্ব \(=y\)।
শর্তমতে, \(PA=y\)
\(\Rightarrow PA^{2}=y^{2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x+2)^{2}+(y-5)^{2}=y^{2}\) ➜ \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}+2.x.2+2^{2}+y^{2}-2.y.5+5^{2}=y^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}+4x+4+y^{2}-10y+25-y^{2}=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+4x-10y+29=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
\(P(x, y)\) বিন্দু হতে \(X\) অক্ষের দূরত্ব \(=y\)।
শর্তমতে, \(PA=y\)
\(\Rightarrow PA^{2}=y^{2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x+2)^{2}+(y-5)^{2}=y^{2}\) ➜ \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}+2.x.2+2^{2}+y^{2}-2.y.5+5^{2}=y^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}+4x+4+y^{2}-10y+25-y^{2}=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+4x-10y+29=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
উদাহরণ \(6.\) মূলবিন্দু এবং \((-5, 0)\) বিন্দু থেকে একটি প্রদত্ত সেটের বিন্দুসমূহের দূরত্বের অনুপাত \(3:4\). উক্ত সেট দ্বারা সৃষ্ট সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(7x^{2}+7y^{2}-90x-225=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
উত্তরঃ \(7x^{2}+7y^{2}-90x-225=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
সমাধানঃ
মনে করি, \(A(-5, 0)\), সঞ্চারপথের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\) এবং মূলবিন্দু \(O(0, 0)\). 
শর্তমতে, \(PO:PA=3:4\)
\(\Rightarrow \frac{PO}{PA}=\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{PO^{2}}{PA^{2}}=\frac{9}{16}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 16PO^{2}=9PA^{2}\)
\(\Rightarrow 16\{(x-0)^{2}+(y-0)^{2}\}=9\{(x+5)^{2}+(y-0)^{2}\}\) ➜ \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow 16(x^{2}+y^{2})=9(x^{2}+2.x.5+5^{2}+y^{2})\)
\(\Rightarrow 16(x^{2}+y^{2})=9(x^{2}+10x+25+y^{2})\)
\(\Rightarrow 16x^{2}+16y^{2}=9x^{2}+90x+225+9y^{2}\)
\(\Rightarrow 16x^{2}+16y^{2}-9x^{2}-90x-225-9y^{2}=0\)
\(\therefore 7x^{2}+7y^{2}-90x-225=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
শর্তমতে, \(PO:PA=3:4\)
\(\Rightarrow \frac{PO}{PA}=\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{PO^{2}}{PA^{2}}=\frac{9}{16}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 16PO^{2}=9PA^{2}\)
\(\Rightarrow 16\{(x-0)^{2}+(y-0)^{2}\}=9\{(x+5)^{2}+(y-0)^{2}\}\) ➜ \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow 16(x^{2}+y^{2})=9(x^{2}+2.x.5+5^{2}+y^{2})\)
\(\Rightarrow 16(x^{2}+y^{2})=9(x^{2}+10x+25+y^{2})\)
\(\Rightarrow 16x^{2}+16y^{2}=9x^{2}+90x+225+9y^{2}\)
\(\Rightarrow 16x^{2}+16y^{2}-9x^{2}-90x-225-9y^{2}=0\)
\(\therefore 7x^{2}+7y^{2}-90x-225=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
অনুশীলনী \(3.D\) / \(Q 1.\)-এর অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
\(Q 1.(i)\) \((3, 0)\) ও \((-4, 0)\) বিন্দু থেকে সমদূরবর্তী বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(2x+1=0\).
\(Q 1.(ii)\) \((a, 0)\) বিন্দু ও \(x+a=0\) সরলরেখা থেকে সমদূরবর্তী বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(y^{2}=4ax\).
\(Q 1.(iii)\) \((2, 0)\) বিন্দু থেকে একটি চলমান বিন্দুর দূরত্ব \(x=0\) সরলরেখা থেকে ঐ বিন্দুর দূরত্বের তিনগুণ। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(y^{2}-8x^{2}-4x+4=0\).
[ রাঃ ২০০৯।]
\(Q 1.(iv)\) \((3, 0)\) ও \((-3, 0)\) বিন্দুদ্বয় হতে যে সেটের বিন্দুসমূহের দূরত্বের সমষ্টি সর্বদা \(10\) একক, ঐ সেট দ্বারা সৃষ্ট সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(16x^{2}+25y^{2}=400\).
\(Q 1.(v)\) \((2, 0)\) বিন্দু থেকে একটি সেটের বিন্দুসমূহের দূরত্ব, \(Y\) অক্ষ থেকে তার দূরত্বের তিনগুন। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(y^{2}-8x^{2}-4x+4=0\).
[ রাঃ ২০০৯।]
\(Q 1.(vi)\) \(Y\) অক্ষ থেকে একটি সেটের বিন্দুসমূহের দূরত্ব, \((2, 2)\) বিন্দু হতে তার দূরত্বের দ্বিগুণ। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(3x^{2}+4y^{2}-16x-16y+32=0\).
Ans: \(2x+1=0\).
\(Q 1.(ii)\) \((a, 0)\) বিন্দু ও \(x+a=0\) সরলরেখা থেকে সমদূরবর্তী বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(y^{2}=4ax\).
\(Q 1.(iii)\) \((2, 0)\) বিন্দু থেকে একটি চলমান বিন্দুর দূরত্ব \(x=0\) সরলরেখা থেকে ঐ বিন্দুর দূরত্বের তিনগুণ। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(y^{2}-8x^{2}-4x+4=0\).
[ রাঃ ২০০৯।]
\(Q 1.(iv)\) \((3, 0)\) ও \((-3, 0)\) বিন্দুদ্বয় হতে যে সেটের বিন্দুসমূহের দূরত্বের সমষ্টি সর্বদা \(10\) একক, ঐ সেট দ্বারা সৃষ্ট সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(16x^{2}+25y^{2}=400\).
\(Q 1.(v)\) \((2, 0)\) বিন্দু থেকে একটি সেটের বিন্দুসমূহের দূরত্ব, \(Y\) অক্ষ থেকে তার দূরত্বের তিনগুন। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(y^{2}-8x^{2}-4x+4=0\).
[ রাঃ ২০০৯।]
\(Q 1.(vi)\) \(Y\) অক্ষ থেকে একটি সেটের বিন্দুসমূহের দূরত্ব, \((2, 2)\) বিন্দু হতে তার দূরত্বের দ্বিগুণ। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(3x^{2}+4y^{2}-16x-16y+32=0\).
\(Q 1.(vii)\) একটি সেটের বিন্দুসমূহ \((2, -1)\) বিদু থেকে সর্বদা \(4\) একক দূরত্বে অবস্থান করে। ঐ সেটটি দ্বারা সৃষ্ট সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(x^{2}+y^{2}-4x+2y-11=0\).
[রাঃ ২০০৫, কুঃ ২০১২]
\(Q 1.(viii)\) একটি বিন্দু-সেটের যে কোনো উপাদান \((2, -1)\) বিন্দু থেকে সর্বদা \(4\) একক দূরত্বে অবস্থান করে। ঐ সেটটি দ্বারা সৃষ্ট সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(x^{2}+y^{2}-4x+2y-11=0\).
\(Q 1.(ix)\) একটি বিন্দু এমনভাবে চলে যে, \((4, 0)\) এবং \((-4, 0)\) বিন্দু হতে তার দূরত্বের অন্তর সর্বদা একই হয়। বিন্দুটির সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(x=0\) বা, \(Y\) অক্ষ.
\(Q 1.(x)\) \(X\) অক্ষ থেকে একটি বিন্দু-সেটের প্রতিটি বিন্দুর দূরত্বের বর্গ \(Y\) অক্ষ থেকে বিন্দুটির দূরত্বের 4a গুণ। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(y^{2}=\pm 4ax\).
\(Q 1.(xi)\) \((2a, 0)\) বিন্দু এবং \(Y\) অক্ষ রেখা থেকে একটি সেটের বিন্দুগুলির দূরত্ব সমান । সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(y^{2}=4a(x-a)\).
\(Q 1.(xii)\) \((a, 0)\) বিন্দু এবং \(x+a=0\) রেখা থেকে সমদূরবর্তী বিন্দুসমূহের সেট যে সঞ্চারপথ গঠন করে তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(y^{2}=4ax\).
Ans: \(x^{2}+y^{2}-4x+2y-11=0\).
[রাঃ ২০০৫, কুঃ ২০১২]
\(Q 1.(viii)\) একটি বিন্দু-সেটের যে কোনো উপাদান \((2, -1)\) বিন্দু থেকে সর্বদা \(4\) একক দূরত্বে অবস্থান করে। ঐ সেটটি দ্বারা সৃষ্ট সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(x^{2}+y^{2}-4x+2y-11=0\).
\(Q 1.(ix)\) একটি বিন্দু এমনভাবে চলে যে, \((4, 0)\) এবং \((-4, 0)\) বিন্দু হতে তার দূরত্বের অন্তর সর্বদা একই হয়। বিন্দুটির সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(x=0\) বা, \(Y\) অক্ষ.
\(Q 1.(x)\) \(X\) অক্ষ থেকে একটি বিন্দু-সেটের প্রতিটি বিন্দুর দূরত্বের বর্গ \(Y\) অক্ষ থেকে বিন্দুটির দূরত্বের 4a গুণ। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(y^{2}=\pm 4ax\).
\(Q 1.(xi)\) \((2a, 0)\) বিন্দু এবং \(Y\) অক্ষ রেখা থেকে একটি সেটের বিন্দুগুলির দূরত্ব সমান । সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(y^{2}=4a(x-a)\).
\(Q 1.(xii)\) \((a, 0)\) বিন্দু এবং \(x+a=0\) রেখা থেকে সমদূরবর্তী বিন্দুসমূহের সেট যে সঞ্চারপথ গঠন করে তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(y^{2}=4ax\).
\(Q 1.(i)\) \((3, 0)\) ও \((-4, 0)\) বিন্দু থেকে সমদূরবর্তী বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(2x+1=0\).
Ans: \(2x+1=0\).
সমাধানঃ
মনে করি, 
\(A(3, 0)\) ও \(B(-4, 0)\) সঞ্চারপথের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\).
শর্তমতে, \(PA=PB\)
\(\Rightarrow PA^{2}=PB^{2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x-3)^{2}+(y-0)^{2}=(x+4)^{2}+(y-0)^{2}\) ➜ \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.3+3^{2}+y^{2}=x^{2}+2.x.4+4^{2}+y^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-6x+9+y^{2}=x^{2}+8x+16+y^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-6x+9+y^{2}-x^{2}-8x-16-y^{2}=0\)
\(\Rightarrow -14x-7=0\)
\(\Rightarrow -7(2x+1)=0\)
\(\Rightarrow (2x+1)=\frac{0}{-7}\) ➜ উভয় পার্শে \(-7\) ভাগ করে।
\(\therefore (2x+1)=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
\(A(3, 0)\) ও \(B(-4, 0)\) সঞ্চারপথের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\).শর্তমতে, \(PA=PB\)
\(\Rightarrow PA^{2}=PB^{2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x-3)^{2}+(y-0)^{2}=(x+4)^{2}+(y-0)^{2}\) ➜ \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.3+3^{2}+y^{2}=x^{2}+2.x.4+4^{2}+y^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-6x+9+y^{2}=x^{2}+8x+16+y^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-6x+9+y^{2}-x^{2}-8x-16-y^{2}=0\)
\(\Rightarrow -14x-7=0\)
\(\Rightarrow -7(2x+1)=0\)
\(\Rightarrow (2x+1)=\frac{0}{-7}\) ➜ উভয় পার্শে \(-7\) ভাগ করে।
\(\therefore (2x+1)=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
\(Q 1.(ii)\) \((a, 0)\) বিন্দু ও \(x+a=0\) সরলরেখা থেকে সমদূরবর্তী বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(y^{2}=4ax\).
Ans: \(y^{2}=4ax\).
সমাধানঃ
মনে করি, \(A(a, 0)\) এবং সঞ্চারপথের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\). 
\(P\) থেকে \(x+a=0\) সরলরেখার লম্ব দূরত্ব=\(\left| x+a\right|\)
শর্তমতে, \(PA=\left| x+a\right|\)
\(\Rightarrow PA^{2}=(x+a)^{2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x-a)^{2}+(y-0)^{2}=(x+a)^{2}\) ➜ \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow (x-a)^{2}+y^{2}=(x+a)^{2}\)
\(\Rightarrow y^{2}=(x+a)^{2}-(x-a)^{2}\)
\(\Rightarrow y^{2}=4ax\) ➜ \(\because (a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab\)
\(\therefore y^{2}=4ax\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
\(P\) থেকে \(x+a=0\) সরলরেখার লম্ব দূরত্ব=\(\left| x+a\right|\)
শর্তমতে, \(PA=\left| x+a\right|\)
\(\Rightarrow PA^{2}=(x+a)^{2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x-a)^{2}+(y-0)^{2}=(x+a)^{2}\) ➜ \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow (x-a)^{2}+y^{2}=(x+a)^{2}\)
\(\Rightarrow y^{2}=(x+a)^{2}-(x-a)^{2}\)
\(\Rightarrow y^{2}=4ax\) ➜ \(\because (a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab\)
\(\therefore y^{2}=4ax\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
\(Q 1.(iii)\) \((2, 0)\) বিন্দু থেকে একটি চলমান বিন্দুর দূরত্ব \(x=0\) সরলরেখা থেকে ঐ বিন্দুর দূরত্বের তিনগুণ। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(y^{2}-8x^{2}-4x+4=0\).
[ রাঃ ২০০৯।]
Ans: \(y^{2}-8x^{2}-4x+4=0\).
[ রাঃ ২০০৯।]
সমাধানঃ
মনে করি, 
\(A(2, 0)\) এবং সঞ্চারপথের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\).
\(P\) থেকে \(x=0\) বা, \(Y\) অক্ষ রেখার লম্ব দূরত্ব=\(\left| x\right|\)
শর্তমতে, \(PA=3\left| x\right|\)
\(\Rightarrow PA^{2}=9x^{2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x-2)^{2}+(y-0)^{2}=9x^{2}\) ➜ \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.2+2^{2}+y^{2}=9x^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-4x+4+y^{2}=9x^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-4x+4+y^{2}-9x^{2}=0\)
\(\Rightarrow y^{2}-8x^{2}-4x+4=0\)
\(\therefore y^{2}-8x^{2}-4x+4=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
\(A(2, 0)\) এবং সঞ্চারপথের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\).
\(P\) থেকে \(x=0\) বা, \(Y\) অক্ষ রেখার লম্ব দূরত্ব=\(\left| x\right|\)
শর্তমতে, \(PA=3\left| x\right|\)
\(\Rightarrow PA^{2}=9x^{2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x-2)^{2}+(y-0)^{2}=9x^{2}\) ➜ \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.2+2^{2}+y^{2}=9x^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-4x+4+y^{2}=9x^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-4x+4+y^{2}-9x^{2}=0\)
\(\Rightarrow y^{2}-8x^{2}-4x+4=0\)
\(\therefore y^{2}-8x^{2}-4x+4=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
\(Q 1.(iv)\) \((3, 0)\) ও \((-3, 0)\) বিন্দুদ্বয় হতে যে সেটের বিন্দুসমূহের দূরত্বের সমষ্টি সর্বদা \(10\) একক, ঐ সেট দ্বারা সৃষ্ট সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(16x^{2}+25y^{2}=400\).
Ans: \(16x^{2}+25y^{2}=400\).
সমাধানঃ
মনে করি, \(A(3, 0)\) ও \(B(-3, 0)\) এবং সঞ্চারপথের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\).
শর্তমতে, \(PA+PB=10\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-3)^{2}+(y-0)^{2}}+\sqrt{(x+3)^{2}+(y-0)^{2}}=10\) ➜\(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-3)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}=10\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-3)^{2}+y^{2}}=10-\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}\)
\(\Rightarrow (x-3)^{2}+y^{2}=(10-\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}})^{2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x-3)^{2}+y^{2}=10^{2}-2.10.\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}+(\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}})^{2}\)
\(\Rightarrow (x-3)^{2}+y^{2}=100-20\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}+(x+3)^{2}+y^{2}\)
\(\Rightarrow 20\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}=100+(x+3)^{2}+y^{2}-(x-3)^{2}-y^{2}\)
\(\Rightarrow 20\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}=100+(x+3)^{2}-(x-3)^{2}\)
\(\Rightarrow 20\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}=100+4.x.3\) ➜ \(\because (a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab\)
\(\Rightarrow 20\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}=100+12x\)
\(\Rightarrow 20\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}=4(25+3x)\)
\(\Rightarrow 5\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}=25+3x\) ➜ উভয় পার্শে \(4\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow (5\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}})^{2}=(25+3x)^{2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 25\{x^{2}+2.x.3+3^{2}+y^{2}\}=25^{2}+2.25.3x+(3x)^{2}\)
\(\Rightarrow 25\{x^{2}+6x+9+y^{2}\}=625+150x+9x^{2}\)
\(\Rightarrow 25x^{2}+150x+225+25y^{2}-625-150x-9x^{2}=0\)
\(\Rightarrow 16x^{2}+25y^{2}-400=0\)
\(\Rightarrow 16x^{2}+25y^{2}=400\)
\(\therefore 16x^{2}+25y^{2}=400\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
শর্তমতে, \(PA+PB=10\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-3)^{2}+(y-0)^{2}}+\sqrt{(x+3)^{2}+(y-0)^{2}}=10\) ➜\(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-3)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}=10\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-3)^{2}+y^{2}}=10-\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}\)
\(\Rightarrow (x-3)^{2}+y^{2}=(10-\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}})^{2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x-3)^{2}+y^{2}=10^{2}-2.10.\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}+(\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}})^{2}\)
\(\Rightarrow (x-3)^{2}+y^{2}=100-20\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}+(x+3)^{2}+y^{2}\)
\(\Rightarrow 20\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}=100+(x+3)^{2}+y^{2}-(x-3)^{2}-y^{2}\)
\(\Rightarrow 20\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}=100+(x+3)^{2}-(x-3)^{2}\)
\(\Rightarrow 20\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}=100+4.x.3\) ➜ \(\because (a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab\)
\(\Rightarrow 20\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}=100+12x\)
\(\Rightarrow 20\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}=4(25+3x)\)
\(\Rightarrow 5\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}=25+3x\) ➜ উভয় পার্শে \(4\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow (5\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}})^{2}=(25+3x)^{2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 25\{x^{2}+2.x.3+3^{2}+y^{2}\}=25^{2}+2.25.3x+(3x)^{2}\)
\(\Rightarrow 25\{x^{2}+6x+9+y^{2}\}=625+150x+9x^{2}\)
\(\Rightarrow 25x^{2}+150x+225+25y^{2}-625-150x-9x^{2}=0\)
\(\Rightarrow 16x^{2}+25y^{2}-400=0\)
\(\Rightarrow 16x^{2}+25y^{2}=400\)
\(\therefore 16x^{2}+25y^{2}=400\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
\(Q 1.(vii)\) একটি সেটের বিন্দুসমূহ \((2, -1)\) বিদু থেকে সর্বদা \(4\) একক দূরত্বে অবস্থান করে। ঐ সেটটি দ্বারা সৃষ্ট সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(x^{2}+y^{2}-4x+2y-11=0\).
[রাঃ ২০০৫, কুঃ ২০১২].
Ans: \(x^{2}+y^{2}-4x+2y-11=0\).
[রাঃ ২০০৫, কুঃ ২০১২].
সমাধানঃ
মনে করি, \(A(2, -1)\) এবং সঞ্চারপথের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\).
শর্তমতে, \(PA=4\)
\(\Rightarrow PA^{2}=4^{2}\)
\(\Rightarrow (x-2)^{2}+(y+1)^{2}=16\) ➜ \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.2+2^{2}+y^{2}+2.y.1+1^{2}=16\)
\(\Rightarrow x^{2}-4x+4+y^{2}+2y+1-16=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-4x+2y-11=0\)
\(\therefore x^{2}+y^{2}-4x+2y-11=0\)
ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
শর্তমতে, \(PA=4\)
\(\Rightarrow PA^{2}=4^{2}\)
\(\Rightarrow (x-2)^{2}+(y+1)^{2}=16\) ➜ \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.2+2^{2}+y^{2}+2.y.1+1^{2}=16\)
\(\Rightarrow x^{2}-4x+4+y^{2}+2y+1-16=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-4x+2y-11=0\)
\(\therefore x^{2}+y^{2}-4x+2y-11=0\)
ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
\(Q 1.(ix)\) একটি বিন্দু এমনভাবে চলে যে, \((4, 0)\) এবং \((-4, 0)\) বিন্দু হতে তার দূরত্বের অন্তর সর্বদা একই হয়। বিন্দুটির সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(x=0\) বা, \(Y\) অক্ষ.
Ans: \(x=0\) বা, \(Y\) অক্ষ.
সমাধানঃ
মনে করি, \(A(4, 0)\) এবং \(B(-4, 0)\) এবং সঞ্চারপথের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\).
শর্তমতে, \(PA=PB\)
\(\Rightarrow PA^{2}=PB^{2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x-4)^{2}+(y-0)^{2}=(x+4)^{2}+(y-0)^{2}\) ➜ \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow (x-4)^{2}+y^{2}=(x+4)^{2}+y^{2}\)
\(\Rightarrow (x-4)^{2}+y^{2}-(x+4)^{2}-y^{2}=0\)
\(\Rightarrow (x-4)^{2}-(x+4)^{2}=0\)
\(\Rightarrow (x+4)^{2}-(x-4)^{2}=0\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 4.x.4=0\) ➜ \(\because (a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab\)
\(\Rightarrow 16x=0\)
\(\Rightarrow x=0\) ➜ উভয় পার্শে \(16\) ভাগ করে।
\(\therefore x=0\) বা, \(Y\) অক্ষ। ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
শর্তমতে, \(PA=PB\)
\(\Rightarrow PA^{2}=PB^{2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x-4)^{2}+(y-0)^{2}=(x+4)^{2}+(y-0)^{2}\) ➜ \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow (x-4)^{2}+y^{2}=(x+4)^{2}+y^{2}\)
\(\Rightarrow (x-4)^{2}+y^{2}-(x+4)^{2}-y^{2}=0\)
\(\Rightarrow (x-4)^{2}-(x+4)^{2}=0\)
\(\Rightarrow (x+4)^{2}-(x-4)^{2}=0\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 4.x.4=0\) ➜ \(\because (a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab\)
\(\Rightarrow 16x=0\)
\(\Rightarrow x=0\) ➜ উভয় পার্শে \(16\) ভাগ করে।
\(\therefore x=0\) বা, \(Y\) অক্ষ। ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
\(Q 1.(x)\) \(X\) অক্ষ থেকে একটি বিন্দু-সেটের প্রতিটি বিন্দুর দূরত্বের বর্গ \(Y\) অক্ষ থেকে বিন্দুটির দূরত্বের 4a গুণ। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(y^{2}=\pm 4ax\).
Ans: \(y^{2}=\pm 4ax\).
সমাধানঃ
মনে করি, সঞ্চারপথের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\).
\(X\) অক্ষ থেকে \(P\) এর লম্ব দূরত্ব=\(\left| y \right|\).
\(Y\) অক্ষ থেকে \(P\) এর লম্ব দূরত্ব=\(\left| x \right|\).
শর্তমতে, \((\left| y \right|)^{2}=4a\left| x \right|\)
\(\Rightarrow y^{2}=4a\times \pm x\)
\(\therefore y^{2}=\pm 4ax\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
\(X\) অক্ষ থেকে \(P\) এর লম্ব দূরত্ব=\(\left| y \right|\).
\(Y\) অক্ষ থেকে \(P\) এর লম্ব দূরত্ব=\(\left| x \right|\).
শর্তমতে, \((\left| y \right|)^{2}=4a\left| x \right|\)
\(\Rightarrow y^{2}=4a\times \pm x\)
\(\therefore y^{2}=\pm 4ax\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
\(Q 1.(xi)\) \((2a, 0)\) বিন্দু এবং \(Y\) অক্ষ রেখা থেকে একটি সেটের বিন্দুগুলির দূরত্ব সমান । সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(y^{2}=4a(x-a)\).
Ans: \(y^{2}=4a(x-a)\).
সমাধানঃ
মনে করি, \(A(2a, 0)\) এবং সঞ্চারপথের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\).
\(Y\) অক্ষ থেকে \(P\) এর লম্ব দূরত্ব=\(\left| x \right|\).
শর্তমতে, \(PA=\left| x \right|\)
\(\Rightarrow PA^{2}=(\left| x \right|)^{2}\)
\(\Rightarrow (x-2a)^{2}+(y-0)^{2}=x^{2}\) ➜ \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.2a+(2a)^{2}+y^{2}=x^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.2a+(2a)^{2}+y^{2}-x^{2}=0\)
\(\Rightarrow -4ax+4a^{2}+y^{2}=0\)
\(\Rightarrow y^{2}=4ax-4a^{2}\)
\(\Rightarrow y^{2}=4a(x-a)\)
\(\therefore y^{2}=4a(x-a)\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
\(Y\) অক্ষ থেকে \(P\) এর লম্ব দূরত্ব=\(\left| x \right|\).
শর্তমতে, \(PA=\left| x \right|\)
\(\Rightarrow PA^{2}=(\left| x \right|)^{2}\)
\(\Rightarrow (x-2a)^{2}+(y-0)^{2}=x^{2}\) ➜ \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.2a+(2a)^{2}+y^{2}=x^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.2a+(2a)^{2}+y^{2}-x^{2}=0\)
\(\Rightarrow -4ax+4a^{2}+y^{2}=0\)
\(\Rightarrow y^{2}=4ax-4a^{2}\)
\(\Rightarrow y^{2}=4a(x-a)\)
\(\therefore y^{2}=4a(x-a)\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
অনুশীলনী \(3.D\) / \(Q 2.\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমুহ
\(Q 2.(i)\) \(A(a, 0)\) এবং \(B(0, a)\) বিন্দু দুইটি থেকে একটি বিন্দুর দূরত্বের বর্গের অন্তরফল সর্বদা \(2a\)। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(y=x\pm 1\).
[ঢাঃ ২০০৭, যঃ ২০০৭, ২০১২, বঃ ২০০৮, ২০০৩।]
\(Q 2.(ii)\) \(A(2, 3)\) এবং \(B(-1, 4)\) দুইটি স্থির বিন্দু। \(P\) বিন্দুটি এমনভাবে চলে যে, \(PA:PB=2:3\) হয়। \(P\) বিন্দুটির সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(5x^{2}+5y^{2}-44x-22y+49=0\).
[দিঃ ২০১১, চঃ ২০১১, বঃ ২০১২।]
\(Q 2.(iii)\) \(A(2, 3)\) এবং \(B(-1, 4)\) দুইটি স্থির বিন্দু। একটি বিন্দু-সেট এমনভাবে গঠন করা হয়েছে। যেন, \(A\) এবং \(B\) বিন্দু থেকে সেটের যে কোনো বিন্দুর দূরত্বের অনুপাত \(2:3\)। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(5x^{2}+5y^{2}-44x-22y+49=0\).
[দিঃ ২০১১, চঃ ২০১১, বঃ ২০১২।]
Ans: \(y=x\pm 1\).
[ঢাঃ ২০০৭, যঃ ২০০৭, ২০১২, বঃ ২০০৮, ২০০৩।]
\(Q 2.(ii)\) \(A(2, 3)\) এবং \(B(-1, 4)\) দুইটি স্থির বিন্দু। \(P\) বিন্দুটি এমনভাবে চলে যে, \(PA:PB=2:3\) হয়। \(P\) বিন্দুটির সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(5x^{2}+5y^{2}-44x-22y+49=0\).
[দিঃ ২০১১, চঃ ২০১১, বঃ ২০১২।]
\(Q 2.(iii)\) \(A(2, 3)\) এবং \(B(-1, 4)\) দুইটি স্থির বিন্দু। একটি বিন্দু-সেট এমনভাবে গঠন করা হয়েছে। যেন, \(A\) এবং \(B\) বিন্দু থেকে সেটের যে কোনো বিন্দুর দূরত্বের অনুপাত \(2:3\)। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(5x^{2}+5y^{2}-44x-22y+49=0\).
[দিঃ ২০১১, চঃ ২০১১, বঃ ২০১২।]
\(Q 2.(iv)\) একটি সেট এমনভাবে গঠন করা হয়েছে যে, \(X\) অক্ষ থেকে এর প্রতিটি বিন্দুর দূরত্বের বর্গ, \(Y\) অক্ষ থেকে বিন্দুটির দূরত্বের \(4\) গুণ হলে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(y^{2}=\pm 4x\).
\(Q 2.(v)\) \(Y\) অক্ষ থেকে একটি বিন্দু-সেটের যে কোনো উপাদেনের দূরত্ব মূলবিন্দু হতে তার দূরত্বের অর্ধেক। ঐ সেটটি দ্বারা সৃষ্ট সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(y^{2}=3x^{2}\).
[ বুয়েট ২০০৪, ২০০৫ ]
\(Q 2.(vi)\) \(K\) এর যে কোনো মানের জন্য \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((2ak, ak^{2})\)। \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(x^{2}=4ay\).
Ans: \(y^{2}=\pm 4x\).
\(Q 2.(v)\) \(Y\) অক্ষ থেকে একটি বিন্দু-সেটের যে কোনো উপাদেনের দূরত্ব মূলবিন্দু হতে তার দূরত্বের অর্ধেক। ঐ সেটটি দ্বারা সৃষ্ট সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(y^{2}=3x^{2}\).
[ বুয়েট ২০০৪, ২০০৫ ]
\(Q 2.(vi)\) \(K\) এর যে কোনো মানের জন্য \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((2ak, ak^{2})\)। \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(x^{2}=4ay\).
\(Q 2.(ii)\) \(A(2, 3)\) এবং \(B(-1, 4)\) দুইটি স্থির বিন্দু। \(P\) বিন্দুটি এমনভাবে চলে যে, \(PA:PB=2:3\) হয়। \(P\) বিন্দুটির সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(5x^{2}+5y^{2}-44x-22y+49=0\).
[দিঃ ২০১১, চঃ ২০১১, বঃ ২০১২।]
Ans: \(5x^{2}+5y^{2}-44x-22y+49=0\).
[দিঃ ২০১১, চঃ ২০১১, বঃ ২০১২।]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, \(A(2, 3)\) এবং \(B(-1, 4)\) এবং সঞ্চারপথের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\).
আবার, \(PA:PB=2:3\)
\(\Rightarrow \frac{PA}{PB}=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{PA^{2}}{PB^{2}}=\frac{4}{9}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 9PA^{2}=4PB^{2}\)
\(\Rightarrow 9\{(x-2)^{2}+(y-3)^{2}\}=4\{(x+1)^{2}+(y-4)^{2}\}\) ➜ \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow 9\{x^{2}-2.x.2+2^{2}+y^{2}-2.y.3+3^{2}\}=4\{x^{2}+2.x.1+1^{2}+y^{2}-2.y.4+4^{2}\}\)
\(\Rightarrow 9\{x^{2}-4x+4+y^{2}-6y+9]=4[x^{2}+2x+1+y^{2}-8y+16\}\)
\(\Rightarrow 9x^{2}-36x+36+9y^{2}-54y+81=4x^{2}+8x+4+4y^{2}-32y+64\)
\(\Rightarrow 9x^{2}-36x+36+9y^{2}-54y+81-4x^{2}-8x-4-4y^{2}+32y-64=0\)
\(\Rightarrow 5x^{2}+5y^{2}-44x-22y+49=0\)
\(\therefore 5x^{2}+5y^{2}-44x-22y+49=0\)
ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
আবার, \(PA:PB=2:3\)
\(\Rightarrow \frac{PA}{PB}=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{PA^{2}}{PB^{2}}=\frac{4}{9}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 9PA^{2}=4PB^{2}\)
\(\Rightarrow 9\{(x-2)^{2}+(y-3)^{2}\}=4\{(x+1)^{2}+(y-4)^{2}\}\) ➜ \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow 9\{x^{2}-2.x.2+2^{2}+y^{2}-2.y.3+3^{2}\}=4\{x^{2}+2.x.1+1^{2}+y^{2}-2.y.4+4^{2}\}\)
\(\Rightarrow 9\{x^{2}-4x+4+y^{2}-6y+9]=4[x^{2}+2x+1+y^{2}-8y+16\}\)
\(\Rightarrow 9x^{2}-36x+36+9y^{2}-54y+81=4x^{2}+8x+4+4y^{2}-32y+64\)
\(\Rightarrow 9x^{2}-36x+36+9y^{2}-54y+81-4x^{2}-8x-4-4y^{2}+32y-64=0\)
\(\Rightarrow 5x^{2}+5y^{2}-44x-22y+49=0\)
\(\therefore 5x^{2}+5y^{2}-44x-22y+49=0\)
ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
\(Q 2.(iv)\) একটি সেট এমনভাবে গঠন করা হয়েছে যে, \(X\) অক্ষ থেকে এর প্রতিটি বিন্দুর দূরত্বের বর্গ, \(Y\) অক্ষ থেকে বিন্দুটির দূরত্বের \(4\) গুণ হলে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(y^{2}=\pm 4x\).
Ans: \(y^{2}=\pm 4x\).
সমাধানঃ
মনে করি, সঞ্চারপথের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\).
\(X\) অক্ষ থেকে \(P\) এর লম্ব দূরত্ব=\(\left| y \right|\).
\(Y\) অক্ষ থেকে \(P\) এর লম্ব দূরত্ব=\(\left| x \right|\).
শর্তমতে, \((\left| y \right|)^{2}=4\left| x \right|\)
\(\Rightarrow y^{2}=4\times \pm x\)
\(\therefore y^{2}=\pm 4x\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
\(X\) অক্ষ থেকে \(P\) এর লম্ব দূরত্ব=\(\left| y \right|\).
\(Y\) অক্ষ থেকে \(P\) এর লম্ব দূরত্ব=\(\left| x \right|\).
শর্তমতে, \((\left| y \right|)^{2}=4\left| x \right|\)
\(\Rightarrow y^{2}=4\times \pm x\)
\(\therefore y^{2}=\pm 4x\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
\(Q 2.(v)\) \(Y\) অক্ষ থেকে একটি বিন্দু-সেটের যে কোনো উপাদেনের দূরত্ব মূলবিন্দু হতে তার দূরত্বের অর্ধেক। ঐ সেটটি দ্বারা সৃষ্ট সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(y^{2}=3x^{2}\).
[ বুয়েট ২০০৪, ২০০৫ ]
Ans: \(y^{2}=3x^{2}\).
[ বুয়েট ২০০৪, ২০০৫ ]
সমাধানঃ
মনে করি, সঞ্চারপথের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\) এবং মূলবিন্দু \(O(0, 0)\).
\(Y\) অক্ষ থেকে \(P\) এর লম্ব দূরত্ব=\(\left| x \right|\).
শর্তমতে, \(\left| x \right|=\frac{1}{2}PO\)
\(\Rightarrow (\left| x \right|)^{2}=\frac{1}{4}PO^{2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x)^{2}=\frac{1}{4}\{(x-0)^{2}+(y-0)^{2}\}\) ➜ \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}=\frac{1}{4}\{x^{2}+y^{2}\}\)
\(\Rightarrow 4x^{2}=x^{2}+y^{2}\)
\(\Rightarrow 4x^{2}-x^{2}=y^{2}\)
\(\Rightarrow 3x^{2}=y^{2}\)
\(\Rightarrow y^{2}= 3x^{2}\)
\(\therefore y^{2}= 3x^{2}\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
\(Y\) অক্ষ থেকে \(P\) এর লম্ব দূরত্ব=\(\left| x \right|\).
শর্তমতে, \(\left| x \right|=\frac{1}{2}PO\)
\(\Rightarrow (\left| x \right|)^{2}=\frac{1}{4}PO^{2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x)^{2}=\frac{1}{4}\{(x-0)^{2}+(y-0)^{2}\}\) ➜ \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}=\frac{1}{4}\{x^{2}+y^{2}\}\)
\(\Rightarrow 4x^{2}=x^{2}+y^{2}\)
\(\Rightarrow 4x^{2}-x^{2}=y^{2}\)
\(\Rightarrow 3x^{2}=y^{2}\)
\(\Rightarrow y^{2}= 3x^{2}\)
\(\therefore y^{2}= 3x^{2}\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
\(Q 2.(vi)\) \(K\) এর যে কোনো মানের জন্য \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((2ak, ak^{2})\)। \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(x^{2}=4ay\).
Ans: \(x^{2}=4ay\).
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, \(P(2ak, ak^{2})\).
এখানে, \(2ak=x, ak^{2}=y\)
\(\Rightarrow k=\frac{x}{2a} ......(i), k^{2}=\frac{y}{a} .......(ii)\)
\((i)\) ও \((ii)\) এর সাহায্যে
\(\Rightarrow (\frac{x}{2a})^{2}=\frac{y}{a}\)
\(\Rightarrow \frac{x^{2}}{4a^{2}}=\frac{y}{a}\)
\(\Rightarrow \frac{x^{2}}{4a}=y\) ➜ উভয় পার্শে \(a\) গুণ করে।
\(\therefore x^{2}=4ay\) ➜ উভয় পার্শে \(4a\) গুণ করে।
ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
এখানে, \(2ak=x, ak^{2}=y\)
\(\Rightarrow k=\frac{x}{2a} ......(i), k^{2}=\frac{y}{a} .......(ii)\)
\((i)\) ও \((ii)\) এর সাহায্যে
\(\Rightarrow (\frac{x}{2a})^{2}=\frac{y}{a}\)
\(\Rightarrow \frac{x^{2}}{4a^{2}}=\frac{y}{a}\)
\(\Rightarrow \frac{x^{2}}{4a}=y\) ➜ উভয় পার্শে \(a\) গুণ করে।
\(\therefore x^{2}=4ay\) ➜ উভয় পার্শে \(4a\) গুণ করে।
ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
অনুশীলনী \(3.D\) / \(Q 3.\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(Q 3.(i)\) \(A(0, 4)\) এবং \(B(0, 6)\) দুইটি স্থির বিন্দু। কার্তেসীয় সমতলে বিন্দুসমূহের এমন একটি সেট গঠন করা হয়েছে যে, \(AB\) রেখাংশ ঐ সেটের যে কোনো বিন্দুতে এক সমকোণ উৎপন্ন করে। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(x^{2}+y^{2}-10y+24=0\).
[ রাঃ ২০১৪।]
\(Q 3.(ii)\) একটি বিন্দু সেটের যে কোনো উপাদান \(A\) ও \(B\) বিন্দুর সাথে একটি সমকোণী ত্রিভুজ উৎপন্ন করে। \(A\) এবং \(B\) এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((0, b)\) ও\((a, b)\) হলে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(x^{2}+y^{2}-ax-2by+b^{2}=0\).
[ যঃ ২০১০, চঃ ২০১৩।]
\(Q 3.(iii)\) একটি বিন্দু সেটের যে কোনো উপাদান \(A\) ও \(B\) বিন্দুর সাথে একটি সমকোণী ত্রিভুজ উৎপন্ন করে। \(A(a, b)\) এবং \(B(0, b)\) হলে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(x^{2}+y^{2}-ax-2by+b^{2}=0\).
[ যঃ ২০১০, রাঃ ২০১৩।]
\(Q 3.(iv)\) \(A(1, 2)\), \(B(-4, 0)\), \(P(x, y)\) এবং \(P\) এরূপ সেটের সদস্য যার প্রত্যেকটি বিন্দুর জন্য \(\) হয়, তবে \(\) এর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(x^{2}+y^{2}+3x-2y-4=0\).
\(Q 3.(v)\) \(O, A, B, C\) এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((0, 0)\), \((3, 5)\), \((2, 6)\), \((x, y)\); \(B\) ও \(C\) বিন্দু দুইটি \(OA\) রেখার এক পার্শে অবস্থিত। এবং \((x, y)\) বিন্দুটি এরূপ সেটের সদস্য যার প্রত্যেক বিন্দুর ক্ষেত্রে \(\triangle OAC=2\triangle OAB\) হয়, তাহলে দেখাও যে, ঐ সেট দ্বারা গঠিত সঞ্চারপথের সমীকরণ \(5x-3y+16=0\)।
\(Q 3.(vi)\) \(B(2, 6)\) ও \(C(x, y)\) বিন্দু দুইটি \((0, 0)\) ও \((3, 5)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগরেখার একই পার্শে অবস্থিত। \(C(x, y)\) বিন্দুটি এরূপ সেটের সদস্য যার প্রতিটি বিন্দুর জন্য \(\triangle OAC=2\triangle OAB\) হয়, ঐ সেট দ্বারা গঠিত সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(5x-3y+16=0\).
Ans: \(x^{2}+y^{2}-10y+24=0\).
[ রাঃ ২০১৪।]
\(Q 3.(ii)\) একটি বিন্দু সেটের যে কোনো উপাদান \(A\) ও \(B\) বিন্দুর সাথে একটি সমকোণী ত্রিভুজ উৎপন্ন করে। \(A\) এবং \(B\) এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((0, b)\) ও\((a, b)\) হলে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(x^{2}+y^{2}-ax-2by+b^{2}=0\).
[ যঃ ২০১০, চঃ ২০১৩।]
\(Q 3.(iii)\) একটি বিন্দু সেটের যে কোনো উপাদান \(A\) ও \(B\) বিন্দুর সাথে একটি সমকোণী ত্রিভুজ উৎপন্ন করে। \(A(a, b)\) এবং \(B(0, b)\) হলে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(x^{2}+y^{2}-ax-2by+b^{2}=0\).
[ যঃ ২০১০, রাঃ ২০১৩।]
\(Q 3.(iv)\) \(A(1, 2)\), \(B(-4, 0)\), \(P(x, y)\) এবং \(P\) এরূপ সেটের সদস্য যার প্রত্যেকটি বিন্দুর জন্য \(\) হয়, তবে \(\) এর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(x^{2}+y^{2}+3x-2y-4=0\).
\(Q 3.(v)\) \(O, A, B, C\) এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((0, 0)\), \((3, 5)\), \((2, 6)\), \((x, y)\); \(B\) ও \(C\) বিন্দু দুইটি \(OA\) রেখার এক পার্শে অবস্থিত। এবং \((x, y)\) বিন্দুটি এরূপ সেটের সদস্য যার প্রত্যেক বিন্দুর ক্ষেত্রে \(\triangle OAC=2\triangle OAB\) হয়, তাহলে দেখাও যে, ঐ সেট দ্বারা গঠিত সঞ্চারপথের সমীকরণ \(5x-3y+16=0\)।
\(Q 3.(vi)\) \(B(2, 6)\) ও \(C(x, y)\) বিন্দু দুইটি \((0, 0)\) ও \((3, 5)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগরেখার একই পার্শে অবস্থিত। \(C(x, y)\) বিন্দুটি এরূপ সেটের সদস্য যার প্রতিটি বিন্দুর জন্য \(\triangle OAC=2\triangle OAB\) হয়, ঐ সেট দ্বারা গঠিত সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(5x-3y+16=0\).
\(Q 3.(vii)\) \(A(x, y)\), \(B(1, 1)\) ও \(C(-1, -1)\) বিন্দুত্রয় একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু। \(\triangle ABC\) এর ক্ষেত্রফল \(5\) বর্গ একক হলে, \(A\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(x-y=\pm 5\).
\(Q 3.(viii)\) একটি সেটের প্রতিটি বিন্দু \((1, 1)\), \((-1, -1)\) বিন্দু দুইটির সঙ্গে এমন একটি ত্রিভুজ গঠন করে যার ক্ষেত্রফল \(5\) বর্গ একক। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(x-y=\pm 5\).
\(Q 3.(ix)\) \(A, B, C\) তিনটি স্থির বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((a, 0)\), \((-a, 0)\) ও \((c, 0)\); \(P(x, y)\) একটি চলমান বিন্দু যেন, \(PA^{2}+PB^{2}=2PC^{2}\). \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(2cx=c^{2}-a^{2}\).
\(Q 3.(x)\) একটি ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় \(A(x, y)\), \(B(-6, -3)\) এবং \(C(6, 3)\); \(A\) বিন্দুটি একটি সেটের সদস্য যে সেটটির যে কোনো বিন্দু হতে \(BC\) এর উপর অঙ্কিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য একটি স্থির সংখ্যা \(5\) একক। দেখাও যে \(A\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ, \(x^{2}+y^{2}=25\).
\(Q 3.(xi)\) \(A(x, y)\), \(B(-6, -3)\) এবং \(C(6, 3)\) বিন্দুগুলি একটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু। \(A\) বিন্দুটি একটি সেটের সদস্য যে সেটটির যে কোনো বিন্দু হতে \(BC\) এর উপর অঙ্কিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য একটি স্থির সংখ্যা \(7\) একক। দেখাও যে \(A\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ, \(x^{2}+y^{2}=49\).
\(Q 3.(xii)\) \(A, B, C\) তিনটি স্থির বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((4, -3)\), \((2, 5)\), \((-3, 1)\). \(P(x, y)\) এমন একটি চলমান বিন্দু যেন সর্বদা \(\triangle PBC=\frac{1}{4}\triangle ABC\) খাটে। \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(4x-5y+5=0\).
Ans: \(x-y=\pm 5\).
\(Q 3.(viii)\) একটি সেটের প্রতিটি বিন্দু \((1, 1)\), \((-1, -1)\) বিন্দু দুইটির সঙ্গে এমন একটি ত্রিভুজ গঠন করে যার ক্ষেত্রফল \(5\) বর্গ একক। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(x-y=\pm 5\).
\(Q 3.(ix)\) \(A, B, C\) তিনটি স্থির বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((a, 0)\), \((-a, 0)\) ও \((c, 0)\); \(P(x, y)\) একটি চলমান বিন্দু যেন, \(PA^{2}+PB^{2}=2PC^{2}\). \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(2cx=c^{2}-a^{2}\).
\(Q 3.(x)\) একটি ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় \(A(x, y)\), \(B(-6, -3)\) এবং \(C(6, 3)\); \(A\) বিন্দুটি একটি সেটের সদস্য যে সেটটির যে কোনো বিন্দু হতে \(BC\) এর উপর অঙ্কিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য একটি স্থির সংখ্যা \(5\) একক। দেখাও যে \(A\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ, \(x^{2}+y^{2}=25\).
\(Q 3.(xi)\) \(A(x, y)\), \(B(-6, -3)\) এবং \(C(6, 3)\) বিন্দুগুলি একটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু। \(A\) বিন্দুটি একটি সেটের সদস্য যে সেটটির যে কোনো বিন্দু হতে \(BC\) এর উপর অঙ্কিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য একটি স্থির সংখ্যা \(7\) একক। দেখাও যে \(A\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ, \(x^{2}+y^{2}=49\).
\(Q 3.(xii)\) \(A, B, C\) তিনটি স্থির বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((4, -3)\), \((2, 5)\), \((-3, 1)\). \(P(x, y)\) এমন একটি চলমান বিন্দু যেন সর্বদা \(\triangle PBC=\frac{1}{4}\triangle ABC\) খাটে। \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(4x-5y+5=0\).
\(Q 3.(i)\) \(A(0, 4)\) এবং \(B(0, 6)\) দুইটি স্থির বিন্দু। কার্তেসীয় সমতলে বিন্দুসমূহের এমন একটি সেট গঠন করা হয়েছে যে, \(AB\) রেখাংশ ঐ সেটের যে কোনো বিন্দুতে এক সমকোণ উৎপন্ন করে। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(x^{2}+y^{2}-10y+24=0\).
[ রাঃ ২০১৪।]
Ans: \(x^{2}+y^{2}-10y+24=0\).
[ রাঃ ২০১৪।]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, \(A(0, 4)\), \(B(0, 6)\) ধরি, সঞ্চারপথের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\).
শর্তমতে, \(PA^{2}+PB^{2}=AB^{2}\)
\(\Rightarrow (x-0)^{2}+(y-4)^{2}+(x-0)^{2}+(y-6)^{2}=(0-0)^{2}+(4-6)^{2}\) ➜ \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-2.y.4+4^{2}+x^{2}+y^{2}-2.y.6+6^{2}=0^{2}+(-2)^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-8y+16+x^{2}+y^{2}-12y+36=0+4\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}-20y+52=4\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}-20y+52-4=0\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}-20y+48=0\)
\(\Rightarrow 2(x^{2}+y^{2}-10y+24)=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-10y+24=\frac{0}{2}\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\therefore x^{2}+y^{2}-10y+24=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
শর্তমতে, \(PA^{2}+PB^{2}=AB^{2}\)
\(\Rightarrow (x-0)^{2}+(y-4)^{2}+(x-0)^{2}+(y-6)^{2}=(0-0)^{2}+(4-6)^{2}\) ➜ \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-2.y.4+4^{2}+x^{2}+y^{2}-2.y.6+6^{2}=0^{2}+(-2)^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-8y+16+x^{2}+y^{2}-12y+36=0+4\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}-20y+52=4\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}-20y+52-4=0\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}-20y+48=0\)
\(\Rightarrow 2(x^{2}+y^{2}-10y+24)=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-10y+24=\frac{0}{2}\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\therefore x^{2}+y^{2}-10y+24=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
\(Q 3.(ii)\) একটি বিন্দু সেটের যে কোনো উপাদান \(A\) ও \(B\) বিন্দুর সাথে একটি সমকোণী ত্রিভুজ উৎপন্ন করে। \(A\) এবং \(B\) এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((0, b)\) ও\((a, b)\) হলে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(x^{2}+y^{2}-ax-2by+b^{2}=0\).
[ যঃ ২০১০, চঃ ২০১৩।]
Ans: \(x^{2}+y^{2}-ax-2by+b^{2}=0\).
[ যঃ ২০১০, চঃ ২০১৩।]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, \(A(0, b)\) ও\(B(a, b)\) ধরি, সঞ্চারপথের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\).
শর্তমতে, \(PA^{2}+PB^{2}=AB^{2}\)
\(\Rightarrow (x-0)^{2}+(y-b)^{2}+(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=(0-a)^{2}+(b-b)^{2}\) ➜ \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}+2(y-b)^{2}+(x-a)^{2}=(-a)^{2}+0^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}+2(y^{2}-2.y.b+b^{2})+x^{2}-2.x.a+a^{2}=a^{2}+0\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}-4by+2b^{2}-2ax+a^{2}=a^{2}\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}-4by+2b^{2}-2ax+a^{2}-a^{2}=0\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}-2ax-4by+2b^{2}=0\)
\(\Rightarrow 2(x^{2}+y^{2}-ax-2by+b^{2})=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-ax-2by+b^{2}=\frac{0}{2}\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\therefore x^{2}+y^{2}-ax-2by+b^{2}=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
শর্তমতে, \(PA^{2}+PB^{2}=AB^{2}\)
\(\Rightarrow (x-0)^{2}+(y-b)^{2}+(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=(0-a)^{2}+(b-b)^{2}\) ➜ \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}+2(y-b)^{2}+(x-a)^{2}=(-a)^{2}+0^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}+2(y^{2}-2.y.b+b^{2})+x^{2}-2.x.a+a^{2}=a^{2}+0\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}-4by+2b^{2}-2ax+a^{2}=a^{2}\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}-4by+2b^{2}-2ax+a^{2}-a^{2}=0\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}-2ax-4by+2b^{2}=0\)
\(\Rightarrow 2(x^{2}+y^{2}-ax-2by+b^{2})=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-ax-2by+b^{2}=\frac{0}{2}\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\therefore x^{2}+y^{2}-ax-2by+b^{2}=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
\(Q 3.(iv)\) \(A(1, 2)\), \(B(-4, 0)\), \(P(x, y)\) এবং \(P\) এরূপ সেটের সদস্য যার প্রত্যেকটি বিন্দুর জন্য \(AP\bot BP\) হয়, তবে \(P\) এর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। Ans: \(x^{2}+y^{2}+3x-2y-4=0\).
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, \(A(1, 2)\), \(B(-4, 0)\) এবং সঞ্চারপথের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\).
শর্তমতে, \(PA^{2}+PB^{2}=AB^{2}\)
\(\Rightarrow (x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(x+4)^{2}+(y-0)^{2}=(1+4)^{2}+(2-0)^{2}\) ➜ \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.1+1^{2}+y^{2}-2.y.2+2^{2}+x^{2}+2.x.4+4^{2}+y^{2}=5^{2}+2^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-2x+1+y^{2})-4y+4+x^{2}+8x+16+y^{2}=25+4\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}+6x-4y+21=29\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}+6x-4y+21-29=0\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}+6x-4y-8=0\)
\(\Rightarrow 2(x^{2}+y^{2}+3x-2y-4)=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}+3x-2y-4=\frac{0}{2}\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\therefore x^{2}+y^{2}+3x-2y-4=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
শর্তমতে, \(PA^{2}+PB^{2}=AB^{2}\)
\(\Rightarrow (x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(x+4)^{2}+(y-0)^{2}=(1+4)^{2}+(2-0)^{2}\) ➜ \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.1+1^{2}+y^{2}-2.y.2+2^{2}+x^{2}+2.x.4+4^{2}+y^{2}=5^{2}+2^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-2x+1+y^{2})-4y+4+x^{2}+8x+16+y^{2}=25+4\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}+6x-4y+21=29\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}+6x-4y+21-29=0\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}+6x-4y-8=0\)
\(\Rightarrow 2(x^{2}+y^{2}+3x-2y-4)=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}+3x-2y-4=\frac{0}{2}\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\therefore x^{2}+y^{2}+3x-2y-4=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
অনুশীলনী \(3.D\) সৃজনশীল প্রশ্নসমুহ
\(Q.4.(i)\) \(ABP\) ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় \(A(a, b)\), \(B(0, b)\), \(P(x, y)\) এবং মূলবিন্দু \(O(0, 0)\)।
\((a)\) \(\theta\) পরিবর্তনশীল হলে, \(P(1+2\cos\theta, -2+2\sin\theta)\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\angle APB=90^{o}\) হলে, \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(B\) ও \(P\) বিন্দু \(OA\) এর বিপরীত পার্শে অবস্থিত। \(\triangle OAP=3\triangle OAB\) হলে, \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \((a)\) \(x^{2}+y^{2}-2x+4y+1=0;\)
\((b)\) \(x^{2}+y^{2}-ax-2by+b^{2}=0;\)
\((c)\) \(3bx-3ay-ab=0\)
\((a)\) \(\theta\) পরিবর্তনশীল হলে, \(P(1+2\cos\theta, -2+2\sin\theta)\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\angle APB=90^{o}\) হলে, \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(B\) ও \(P\) বিন্দু \(OA\) এর বিপরীত পার্শে অবস্থিত। \(\triangle OAP=3\triangle OAB\) হলে, \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \((a)\) \(x^{2}+y^{2}-2x+4y+1=0;\)
\((b)\) \(x^{2}+y^{2}-ax-2by+b^{2}=0;\)
\((c)\) \(3bx-3ay-ab=0\)
\(Q.4.(ii)\) \(A, B, C\) তিনটি স্থির বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((a, 0)\), \((-a, 0)\) ও \((c, 0)\); \(P(x, y)\) একটি চলমান বিন্দু ।
\((a)\) \(PA^{2}+PB^{2}=2PC^{2}\) হলে, \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\angle APC=90^{o}\) হলে, \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(B\) ও \(P\) বিন্দু \(OA\) এর বিপরীত পার্শে অবস্থিত। \(\triangle OAP=3\triangle OAB\) হলে, \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \((a)\) \(2cx=c^{2}-a^{2};\)
\((b)\) \(2x^{2}+2y^{2}-b^2-2(ax+cx-ac)=0;\)
\((c)\) \(y=0\)
\((a)\) \(PA^{2}+PB^{2}=2PC^{2}\) হলে, \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\angle APC=90^{o}\) হলে, \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(B\) ও \(P\) বিন্দু \(OA\) এর বিপরীত পার্শে অবস্থিত। \(\triangle OAP=3\triangle OAB\) হলে, \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \((a)\) \(2cx=c^{2}-a^{2};\)
\((b)\) \(2x^{2}+2y^{2}-b^2-2(ax+cx-ac)=0;\)
\((c)\) \(y=0\)
\(Q.4.(i)\) \(ABP\) ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় \(A(a, b)\), \(B(0, b)\), \(P(x, y)\) এবং মূলবিন্দু \(O(0, 0)\)।
\((a)\) \(\theta\) পরিবর্তনশীল হলে, \(P(1+2\cos\theta, -2+2\sin\theta)\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\angle APB=90^{o}\) হলে, \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(B\) ও \(P\) বিন্দু \(OA\) এর বিপরীত পার্শে অবস্থিত। \(3\triangle OAP=\triangle OAB\) হলে, \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \((a)\) \(x^{2}+y^{2}-2x+4y+1=0;\)
\((b)\) \(x^{2}+y^{2}-ax-2by+b^{2}=0;\)
\((c)\) \(3bx-3ay-ab=0\)
\((a)\) \(\theta\) পরিবর্তনশীল হলে, \(P(1+2\cos\theta, -2+2\sin\theta)\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\angle APB=90^{o}\) হলে, \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(B\) ও \(P\) বিন্দু \(OA\) এর বিপরীত পার্শে অবস্থিত। \(3\triangle OAP=\triangle OAB\) হলে, \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \((a)\) \(x^{2}+y^{2}-2x+4y+1=0;\)
\((b)\) \(x^{2}+y^{2}-ax-2by+b^{2}=0;\)
\((c)\) \(3bx-3ay-ab=0\)
সমাধানঃ
\((a)\) দেওয়া আছে, \(P(1+2\cos\theta, -2+2\sin\theta)\)
এখানে, \(1+2\cos\theta=x, -2+2\sin\theta=y\)
\(\Rightarrow 2\cos\theta=x-1, 2\sin\theta=y+2\)
\(\Rightarrow \cos\theta=\frac{x-1}{2} ......(i), \sin\theta=\frac{y+2}{2} .......(ii)\)
\((i)\) ও \((ii)\) বর্গ করে যোগ করি।
\(\Rightarrow \cos^{2}\theta\sin^{2}\theta=(\frac{x-1}{2})^{2}+(\frac{y+2}{2})^{2}\)
\(\Rightarrow \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=\frac{(x-1)^{2}}{4}+\frac{(y+2)^{2}}{4}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{x^2-2.x.1+1^{2}}{4}+\frac{y^{2}+2.y.2+2^{2}}{4}\)
\(\Rightarrow 4=x^2-2.x.1+1^{2}+y^{2}+2.y.2+2^{2}\) ➜ উভয় পার্শে \(4\) গুণ করে।
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^{2}+4y+4=4\)
\(\Rightarrow x^2+y^{2}-2x+4y+5-4=0\)
\(\therefore x^2+y^{2}-2x+4y+1=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
\((b)\) দেওয়া আছে, \(A(a, b)\), \(B(0, b)\), \(P(x, y)\).
এবং \(\angle APB=90^{o}\)
\(\therefore PA^2+PB^{2}=AB^{2}\)
\(\Rightarrow (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(x-0)^{2}+(y-b)^{2}=(a-0)^{2}+(b-b)^{2}\) ➜ \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow (x-a)^{2}+2(y-b)^{2}+x^{2}=(-a)^{2}+0^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.a+a^{2}+2(y^{2}-2.y.b+b^{2})+x^{2}=a^{2}+0\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}-2ax+a^{2}-4by+2b^{2}=a^{2}\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}-2ax+a^{2}-4by+2b^{2}-a^{2}=0\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}-2ax-4by+2b^{2}=0\)
\(\Rightarrow 2(x^{2}+y^{2}-ax-2by+b^{2})=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-ax-2by+b^{2}=\frac{0}{2}\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\therefore x^{2}+y^{2}-ax-2by+b^{2}=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
\((c)\) দেওয়া আছে, \(A(a, b)\), \(B(0, b)\), \(P(x, y)\) এবং মূলবিন্দু \(O(0, 0)\)। এবং \(3\triangle OAP=\triangle OAB\).
শর্তমতে, \(3\triangle OAP=-\triangle OAB\).
\(\Rightarrow 3\times \frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}0 \ \ \ \ a \ \ \ \ x \ \ \ \ 0\\ 0 \ \ \ \ b \ \ \ \ y \ \ \ \ 0\end{array}\right|=-\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}0 \ \ \ \ a \ \ \ \ 0 \ \ \ \ 0\\ 0 \ \ \ \ b \ \ \ \ b \ \ \ \ 0\end{array}\right|\) ➜ কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, \(\triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ x_{2} \ \ x_{3}\ \ x_{1}\\y_{1} \ \ y_{2} \ \ y_{3} \ \ y_{1}\end{array}\right|\)
\(\Rightarrow 3(0.b-a.0+a.y-x.b+x.0-0.y)=-(0.b-a.0+a.b-0.b+0.0-0.b)\)
\(\Rightarrow 3(0-0+ay-bx+0-0)=-(0-0+ab-0+0-0)\)
\(\Rightarrow 3ay-3bx=-ab\)
\(\Rightarrow 3bx-3ay=ab\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 3bx-3ay-ab=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
এখানে, \(1+2\cos\theta=x, -2+2\sin\theta=y\)
\(\Rightarrow 2\cos\theta=x-1, 2\sin\theta=y+2\)
\(\Rightarrow \cos\theta=\frac{x-1}{2} ......(i), \sin\theta=\frac{y+2}{2} .......(ii)\)
\((i)\) ও \((ii)\) বর্গ করে যোগ করি।
\(\Rightarrow \cos^{2}\theta\sin^{2}\theta=(\frac{x-1}{2})^{2}+(\frac{y+2}{2})^{2}\)
\(\Rightarrow \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=\frac{(x-1)^{2}}{4}+\frac{(y+2)^{2}}{4}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{x^2-2.x.1+1^{2}}{4}+\frac{y^{2}+2.y.2+2^{2}}{4}\)
\(\Rightarrow 4=x^2-2.x.1+1^{2}+y^{2}+2.y.2+2^{2}\) ➜ উভয় পার্শে \(4\) গুণ করে।
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^{2}+4y+4=4\)
\(\Rightarrow x^2+y^{2}-2x+4y+5-4=0\)
\(\therefore x^2+y^{2}-2x+4y+1=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
\((b)\) দেওয়া আছে, \(A(a, b)\), \(B(0, b)\), \(P(x, y)\).
এবং \(\angle APB=90^{o}\)
\(\therefore PA^2+PB^{2}=AB^{2}\)
\(\Rightarrow (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(x-0)^{2}+(y-b)^{2}=(a-0)^{2}+(b-b)^{2}\) ➜ \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow (x-a)^{2}+2(y-b)^{2}+x^{2}=(-a)^{2}+0^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.a+a^{2}+2(y^{2}-2.y.b+b^{2})+x^{2}=a^{2}+0\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}-2ax+a^{2}-4by+2b^{2}=a^{2}\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}-2ax+a^{2}-4by+2b^{2}-a^{2}=0\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}-2ax-4by+2b^{2}=0\)
\(\Rightarrow 2(x^{2}+y^{2}-ax-2by+b^{2})=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-ax-2by+b^{2}=\frac{0}{2}\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\therefore x^{2}+y^{2}-ax-2by+b^{2}=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
\((c)\) দেওয়া আছে, \(A(a, b)\), \(B(0, b)\), \(P(x, y)\) এবং মূলবিন্দু \(O(0, 0)\)। এবং \(3\triangle OAP=\triangle OAB\).
শর্তমতে, \(3\triangle OAP=-\triangle OAB\).
\(\Rightarrow 3\times \frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}0 \ \ \ \ a \ \ \ \ x \ \ \ \ 0\\ 0 \ \ \ \ b \ \ \ \ y \ \ \ \ 0\end{array}\right|=-\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}0 \ \ \ \ a \ \ \ \ 0 \ \ \ \ 0\\ 0 \ \ \ \ b \ \ \ \ b \ \ \ \ 0\end{array}\right|\) ➜ কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, \(\triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ x_{2} \ \ x_{3}\ \ x_{1}\\y_{1} \ \ y_{2} \ \ y_{3} \ \ y_{1}\end{array}\right|\)
\(\Rightarrow 3(0.b-a.0+a.y-x.b+x.0-0.y)=-(0.b-a.0+a.b-0.b+0.0-0.b)\)
\(\Rightarrow 3(0-0+ay-bx+0-0)=-(0-0+ab-0+0-0)\)
\(\Rightarrow 3ay-3bx=-ab\)
\(\Rightarrow 3bx-3ay=ab\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 3bx-3ay-ab=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
\(Q.4.(ii)\) \(A, B, C\) তিনটি স্থির বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((a, 0)\), \((-a, 0)\) ও \((c, 0)\); \(P(x, y)\) একটি চলমান বিন্দু ।
\((a)\) \(PA^{2}+PB^{2}=2PC^{2}\) হলে, \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\angle APC=90^{o}\) হলে, \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(B\) ও \(P\) বিন্দু \(OA\) এর বিপরীত পার্শে অবস্থিত। \(\triangle OAP=3\triangle OAB\) হলে, \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \((a)\) \(2cx=c^{2}-a^{2};\)
\((b)\) \(2x^{2}+2y^{2}-b^2-2(ax+cx-ac)=0;\)
\((c)\) \(y=0\)
\((a)\) \(PA^{2}+PB^{2}=2PC^{2}\) হলে, \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\angle APC=90^{o}\) হলে, \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(B\) ও \(P\) বিন্দু \(OA\) এর বিপরীত পার্শে অবস্থিত। \(\triangle OAP=3\triangle OAB\) হলে, \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \((a)\) \(2cx=c^{2}-a^{2};\)
\((b)\) \(2x^{2}+2y^{2}-b^2-2(ax+cx-ac)=0;\)
\((c)\) \(y=0\)
সমাধানঃ
\((a)\) দেওয়া আছে, \(A(a, 0)\), \(B(-a, 0)\) ও \(C(c, 0)\); \(P(x, y)\) একটি চলমান বিন্দু ।
এবং \(PA^{2}+PB^{2}=2PC^{2}\).
\(\Rightarrow (x-a)^{2}+(y-0)^{2}+(x+a)^{2}+(y-0)^{2}=2\{(x-c)^{2}+(y-0)^{2}\}\) ➜ \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow (x+a)^{2}+(x-a)^{2}+2(y-0)^{2}=2\{(x-c)^{2}+(y-0)^{2}\}\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2a^{2}+2y^{2}=2(x^{2}-2.x.c+c^{2}+y^{2})\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2a^{2}+2y^{2}=2x^{2}-4cx+2c^{2}+2y^{2}\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2a^{2}+2y^{2}-2x^{2}+4cx-2y^{2}=2c^{2}\)
\(\Rightarrow 2a^{2}+4cx=2c^{2}\)
\(\Rightarrow 4cx=2c^{2}-2a^{2}\)
\(\Rightarrow 2cx=c^{2}-a^{2}\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\therefore 2cx=c^{2}-a^{2}\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
\((b)\) দেওয়া আছে, \(A(a, 0)\), \(C(c, 0)\) ও \(P(x, y)\).
এবং \(\angle APC=90^{o}\)
\(\therefore PA^2+PC^{2}=AC^{2}\)
\(\Rightarrow (x-a)^{2}+(y-0)^{2}+(x-c)^{2}+(y-0)^{2}=(a-c)^{2}+(b-0)^{2}\) ➜ \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow (x-a)^{2}+y^{2}+(x-c)^{2}+y^2=(a-c)^{2}+b^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.a+a^{2}+2y^{2}+x^{2}-2.x.c+c^{2}=a^{2}-2ac+c^2+b^2\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}-2ax-2cx+2ac-b^2=0\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}-b^2-2(ax+cx-ac)=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
\((c)\) দেওয়া আছে, \(A(a, 0)\), \(B(-a, 0)\), \(P(x, y)\) এবং মূলবিন্দু \(O(0, 0)\)।
এবং \(3\triangle OAP=\triangle OAB\).
শর্তমতে, \(3\triangle OAP=-\triangle OAB\).
\(\Rightarrow 3\times \frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}0 \ \ \ \ a \ \ \ \ x \ \ \ \ 0\\ 0 \ \ \ \ 0 \ \ \ \ y \ \ \ \ 0\end{array}\right|=-\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}0 \ \ \ \ a \ \ -a \ \ \ \ 0\\ 0 \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ 0\end{array}\right|\) ➜ কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, \(\triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ x_{2} \ \ x_{3}\ \ x_{1}\\y_{1} \ \ y_{2} \ \ y_{3} \ \ y_{1}\end{array}\right|\)
\(\Rightarrow 3\left|\begin{array}{c}0 \ \ \ \ a \ \ \ \ x \ \ \ \ 0\\ 0 \ \ \ \ 0 \ \ \ \ y \ \ \ \ 0\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{c}0 \ \ \ \ a \ \ -a \ \ \ \ 0\\ 0 \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ 0\end{array}\right|\)
\(\Rightarrow 3(0.0-a.0+a.y-x.0+x.0-0.y)=-(0.0-a.0+a.0+0.a-a.0-0.0)\)
\(\Rightarrow 3(0-0+ay-0+0-0)=0\)
\(\Rightarrow 3ay=0\)
\(\Rightarrow y=0\) ➜ উভয় পার্শে \(3a\) ভাগ করে।
\(\therefore y=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
এবং \(PA^{2}+PB^{2}=2PC^{2}\).
\(\Rightarrow (x-a)^{2}+(y-0)^{2}+(x+a)^{2}+(y-0)^{2}=2\{(x-c)^{2}+(y-0)^{2}\}\) ➜ \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow (x+a)^{2}+(x-a)^{2}+2(y-0)^{2}=2\{(x-c)^{2}+(y-0)^{2}\}\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2a^{2}+2y^{2}=2(x^{2}-2.x.c+c^{2}+y^{2})\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2a^{2}+2y^{2}=2x^{2}-4cx+2c^{2}+2y^{2}\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2a^{2}+2y^{2}-2x^{2}+4cx-2y^{2}=2c^{2}\)
\(\Rightarrow 2a^{2}+4cx=2c^{2}\)
\(\Rightarrow 4cx=2c^{2}-2a^{2}\)
\(\Rightarrow 2cx=c^{2}-a^{2}\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\therefore 2cx=c^{2}-a^{2}\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
\((b)\) দেওয়া আছে, \(A(a, 0)\), \(C(c, 0)\) ও \(P(x, y)\).
এবং \(\angle APC=90^{o}\)
\(\therefore PA^2+PC^{2}=AC^{2}\)
\(\Rightarrow (x-a)^{2}+(y-0)^{2}+(x-c)^{2}+(y-0)^{2}=(a-c)^{2}+(b-0)^{2}\) ➜ \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow (x-a)^{2}+y^{2}+(x-c)^{2}+y^2=(a-c)^{2}+b^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.a+a^{2}+2y^{2}+x^{2}-2.x.c+c^{2}=a^{2}-2ac+c^2+b^2\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}-2ax-2cx+2ac-b^2=0\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}-b^2-2(ax+cx-ac)=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
\((c)\) দেওয়া আছে, \(A(a, 0)\), \(B(-a, 0)\), \(P(x, y)\) এবং মূলবিন্দু \(O(0, 0)\)।
এবং \(3\triangle OAP=\triangle OAB\).
শর্তমতে, \(3\triangle OAP=-\triangle OAB\).
\(\Rightarrow 3\times \frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}0 \ \ \ \ a \ \ \ \ x \ \ \ \ 0\\ 0 \ \ \ \ 0 \ \ \ \ y \ \ \ \ 0\end{array}\right|=-\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}0 \ \ \ \ a \ \ -a \ \ \ \ 0\\ 0 \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ 0\end{array}\right|\) ➜ কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, \(\triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ x_{2} \ \ x_{3}\ \ x_{1}\\y_{1} \ \ y_{2} \ \ y_{3} \ \ y_{1}\end{array}\right|\)
\(\Rightarrow 3\left|\begin{array}{c}0 \ \ \ \ a \ \ \ \ x \ \ \ \ 0\\ 0 \ \ \ \ 0 \ \ \ \ y \ \ \ \ 0\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{c}0 \ \ \ \ a \ \ -a \ \ \ \ 0\\ 0 \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ 0\end{array}\right|\)
\(\Rightarrow 3(0.0-a.0+a.y-x.0+x.0-0.y)=-(0.0-a.0+a.0+0.a-a.0-0.0)\)
\(\Rightarrow 3(0-0+ay-0+0-0)=0\)
\(\Rightarrow 3ay=0\)
\(\Rightarrow y=0\) ➜ উভয় পার্শে \(3a\) ভাগ করে।
\(\therefore y=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000006