মনে করি, দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) দিয়ে গমনকারী কোনো সরলরেখা \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\theta \) কোণ উৎপন্ন করে।
\(A\) ও \(B\) বিন্দু হতে \(OX\) এর উপর যথাক্রমে \(AM\) ও \(BN\) লম্ব আঁকি।
\(RM\parallel BS\) বলে, \(\angle ARM=\angle ABS=\theta \).
এখানে,
\(ON=x_{2}, OM=x_{1}, BN=y_{2}, AM=y_{1} \)
আবার,
\(BS=NM=OM-ON=x_{1}-x_{2}=\delta_{x}\)
\(AS=AM-SM=AM-BN=y_{1}-y_{2}=\delta_{y} \)
সরলরেখাটির ঢাল \(=m=\tan\theta=\frac{AS}{BS}\)
\(=\frac{\delta_{y}}{\delta_{x}}\)
\(=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\)
\(\therefore \) ঢাল \(=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\)

\(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক \((x_{1}, 0)\), \((x_{2}, 0)\), \((x_{3}, 0)\) ......\((x_{n}, 0)\).
এখানে, ইহা স্পষ্ট যে, \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত সকল বিন্দুর \(y\) স্থানাঙ্ক \(0\).
\(\therefore X\) অক্ষের সমীকরণ \(y=0\).

\(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক \((0, y_{1})\), \((0, y_{2})\), \((0, y_{3})\) .........\((0, y_{n})\).
এখানে, ইহা স্পষ্ট যে, \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত সকল বিন্দুর \(x\) স্থানাঙ্ক \(0\).
\(\therefore Y\) অক্ষের সমীকরণ \(x=0\).

মনে করি, \(PQ\) এবং \(\acute{P}\acute{Q}\) সরলরেখাদ্বয় \(X\) অক্ষের সমান্তরাল এবং রেখাদ্বয় \(X\) অক্ষকে যথাক্রমে \(R\) ও \(\acute{R}\) বিন্দুতে ছেদ করে যেন, \(OR=b\) এবং \(O\acute{R}=\left|-b\right|=b\) হয়।
ধরি, \(PQ\) এবং \(\acute{P}\acute{Q}\) এর উপর যথাক্রমে \(A(x, y)\) ও \(\acute{A}(x, y)\) দুইটি বিন্দু ।
\(X\) অক্ষের উপর \(A(x, y)\), \(\acute{A}(x, y)\) বিন্দু হতে যথাক্রমে \(AC\) ও \(\acute{A}\acute{C}\) লম্ব অঙ্কন করি।
\(\therefore AC=RO \Rightarrow y=b\)
আবার, \(\acute{A}\acute{C}=\acute{R}O\Rightarrow y=\left|-b\right|=b\)
\(\therefore X\) অক্ষের সমান্তরাল বা, \(Y\) অক্ষের উপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ \(y=b\).

মনে করি, \(PQ\) এবং \(\acute{P}\acute{Q}\) সরলরেখাদ্বয় \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং রেখাদ্বয় \(Y\) অক্ষকে যথাক্রমে \(R\) ও \(\acute{R}\) বিন্দুতে ছেদ করে যেন, \(OR=a\) এবং \(O\acute{R}=\left|-a\right|=a\) হয়।
ধরি, \(PQ\) এবং \(\acute{P}\acute{Q}\) এর উপর যথাক্রমে \(A(x, y)\) ও \(\acute{A}(x, y)\) দুইটি বিন্দু ।
\(X\) অক্ষের উপর \(A(x, y)\), \(\acute{A}(x, y)\) বিন্দু হতে যথাক্রমে \(AC\) ও \(\acute{A}\acute{C}\) লম্ব অঙ্কন করি।
\(\therefore AC=RO \Rightarrow x=a\)
আবার, \(\acute{A}\acute{C}=\acute{R}O\Rightarrow x=\left|-a\right|=a\)
\(\therefore Y\) অক্ষের সমান্তরাল বা, \(X\) অক্ষের উপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ \(x=a\).

মনে করি, \(AB\) সরলরেখাটি মূলবিন্দু দিয়ে গমন করে এবং \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\theta\) কোণ উৎপন্ন করে। \(AB\) এর উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\) হতে \(OX\) এর উপর \(PM\) লম্ব অঙ্কন করি।
এখানে,
\(OM=x, PM=y\) এবং \(\angle POM=\theta\).
তাহলে,
\(\tan\theta=\frac{PM}{OM}\)
\(\Rightarrow \tan\theta=\frac{y}{x}\)
\(\Rightarrow m=\frac{y}{x}\) ➜Note \(\because m=\tan\theta\)
\(\Rightarrow y=mx \)
\(\therefore\) মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ \(y=mx\).

মনে করি, \(AB\) সরলরেখাটি \(Y\) অক্ষকে \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে এবং \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\theta\) কোণ উৎপন্ন করে। \(AB\) এর উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\) হতে \(OX\) এর উপর \(PM\) এবং \(Q\) হতে \(PM\) এর উপর \(QR\) লম্ব অঙ্কন করি।
এখানে,
\(OQ=RM=c, OM=QR=x, PM=y.\) \(\therefore PR=PM-RM=y-c\) এবং \(\angle PQR=\theta\).
তাহলে,
\(\tan\theta=\frac{PR}{QR}\)
\(\Rightarrow \tan\theta=\frac{y-c}{x}\)
\(\Rightarrow m=\frac{y-c}{x}\) ➜Note \(\because m=\tan\theta\)
\(\Rightarrow y-c=mx \)
\(\Rightarrow y=mx+c \)
\(\therefore\) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ \(y=mx+c\).

মনে করি, \(CD\) সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A(a, 0)\) ও \(B(0, b)\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(CD\) এর উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\) হতে \(OX\) এবং \(OY\) এর উপর যথাক্রমে \(PM\) এবং \(PN\) লম্ব অঙ্কন করি। অতপর \(P, O\) যোগ করি।
এখানে,
\(OA=a, OB=b, OM=PN=x, PM=y.\)
তাহলে,
\(\triangle AOB=\triangle AOP+\triangle BOP\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}a.b=\frac{1}{2}a.y+\frac{1}{2}b.x\) ➜Note \(\because \triangle =\frac{1}{2}\times Base \times Height\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}(ay+bx)\)
\(\Rightarrow ab=ay+bx\) ➜Note উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow \frac{ab}{ab}=\frac{ay}{ab}+\frac{bx}{ab}\) ➜Note উভয় পার্শে \(ab\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow 1=\frac{y}{b}+\frac{x}{a}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\).

মনে করি, \(AB\) সরলরেখাটি \(X\) অক্ষকে \(C\) বিন্দুতে ছেদ করে এবং নির্দিষ্ট \(Q(x_{1}, y_{1})\) বিন্দুদিয়ে গমন করে। \(AB\) এর উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\) এবং \(Q\) বিন্দু হতে \(OX\) এর উপর যথাক্রমে \(PM\) ও \(QN\) লম্ব আঁকি।
এখানে,
\(ON=x_{1}, OM=x, PM=y, QN=y_{1}.\)
\(QR=OM-ON=x-x_{1},\) \(PR=PM-RM=PM-QN=y-y_{1}.\)
এবং \(\angle PCM=\angle PQR=\theta.\)
তাহলে,
\(\tan\theta=\frac{PR}{QR}\)
\(\Rightarrow m=\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}\) ➜Note \(\because m=\tan\theta\)
\(\Rightarrow y-y_{1}=m(x-x_{1})\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ \(y-y_{1}=m(x-x_{1})\).

মনে করি, \(AB\) সরলরেখাটি দুইটি নির্দিষ্ট \(Q(x_{1}, y_{1})\), \(R(x_{2}, y_{2})\) বিন্দুদিয়ে গমন করে এবং \(X\) অক্ষকে \(E\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(AB\) এর উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\)।
এখন,
\(PQ\) এর ঢাল \(m_{1}=\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}\).
\(QR\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\).
\(P, \ Q, \ R\) একই সরলরেখা \(AB\) এর উপর অবস্থিত।
তাহলে,
\(m_{1}=m_{2}\)
\(\Rightarrow \frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{y-y_{1}}{y_{1}-y_{2}}=\frac{x-x_{1}}{x_{1}-x_{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-x_{1}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{y-y_{1}}{y_{1}-y_{2}}\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ \(\frac{x-x_{1}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{y-y_{1}}{y_{1}-y_{2}}\).

মূলবিন্দু \(O(0, 0)\) এবং একটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(P(x_{1}, y_{1})\) দিয়ে গমনকারী সরলরেখার সমীকরণ।
অর্থাৎ \(OP\) এর সমীকরণ
\(\frac{x-0}{0-x_{1}}=\frac{y-0}{0-y_{1}}\) ➜Note \(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-x_{1}}=\frac{y}{-y_{1}}\)
\(\Rightarrow \frac{x\times -y_{1}}{-x_{1}}=y\)
\(\Rightarrow y=\frac{x\times y_{1}}{x_{1}}\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ \(y=\frac{y_{1}}{x_{1}}x\).

মনে করি, \(PQ\) সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(O\) বিন্দু হতে \(PQ\) এর উপর \(OC\) লম্ব আঁকি। \(OC\) লম্বের দৈর্ঘ্য \(p\) এবং লম্বটি \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\alpha \) কোণ উৎপন্ন করে।
এখন,
\(OA=\frac{OA}{OC}\times OC\)
\(\Rightarrow OA=\sec\alpha \times p\)
\(\Rightarrow OA=p\sec\alpha \)
আবার,
\(OB=\frac{OB}{OC}\times OC\)
\(\Rightarrow OB=\sec\angle COB \times p\)
\(\Rightarrow OB=p\sec(90^{o}-\alpha)\) ➜Note \(\because \angle COB=90^{o}-\alpha \)
\(\Rightarrow OB=p\ cosec\alpha \)
\(\therefore AB\) এর সমীকরণ \(\frac{x}{OA}+\frac{y}{OB}=1\) ➜Note \(\because \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{p\sec\alpha}+\frac{y}{p\ cosec\alpha}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{p}\times \frac{1}{\sec\alpha}+\frac{y}{p}\times \frac{1}{\ cosec\alpha}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{p}\cos\alpha+\frac{y}{p}\sin\alpha=1\)
\(\Rightarrow x\cos\alpha+y\sin\alpha=p\) ➜Note উভয় পার্শে \(p\) গুণ করে।
\(\therefore\) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ \(x\cos\alpha + y\sin\alpha=p\).

মনে করি, \(AB\) সরলরেখাটি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(Q(x_{1}, y_{1})\) দিয়ে গমন করে, \(X\) অক্ষকে \(C\) বিন্দুতে ছেদ করে এবং \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\theta \) কোণ উৎপন্ন করে। \(P\) ও \(Q\) হতে \(OX\) এর উপর যথাক্রমে \(PM\), \(QN\) এবং \(Q\) হতে \(PM\) এর উপর \(QL\) লম্ব আঁকি।
এখানে,
\(OM=x, \ ON=x_{1}, \ PM=y,\)
\(QN=y_{1}, \ PQ=r,\)
\(\angle PCM=\angle PQL=\theta \)
\(QL=NM=OM-ON=x-x_{1},\)
\(PL=PM-LM=PM-QN=y-y_{1}\)
\(\sin\theta=\frac{PL}{PQ}\)
\(\Rightarrow \sin\theta=\frac{y-y_{1}}{r}\)
\(\Rightarrow r=\frac{y-y_{1}}{\sin\theta}\)
\(\Rightarrow \frac{y-y_{1}}{\sin\theta}=r ........(i)\)
আবার,
\(\cos\theta=\frac{QL}{PQ}\)
\(\Rightarrow \cos\theta=\frac{x-x_{1}}{r}\)
\(\Rightarrow r=\frac{x-x_{1}}{\cos\theta}\)
\(\Rightarrow \frac{x-x_{1}}{\cos\theta}=r ........(ii)\)
\((i)\) ও \((ii)\) হতে পাই,
\(\Rightarrow \frac{x-x_{1}}{\cos\theta}=\frac{y-y_{1}}{\sin\theta}=r\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ \(\frac{x-x_{1}}{\cos\theta}=\frac{y-y_{1}}{\sin\theta}=r\).

মনে করি, কোনো ত্রিভুজের বাহু তিনটি যথাক্রমে
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 .........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 .........(2)\)
\(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0 .........(3)\)
\((1)\), \((2)\), \((3)\) হতে \(x, y\) অপনয়ন করে পাই
\(\Delta=\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|\)
ধরি,
\((2)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দু \(A(x_{1},y_{1})\Rightarrow a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2}=0 ........(4),\)
\(a_{3}x_{1}+b_{3}y_{1}+c_{3}=0 .........(5)\)
\((3)\) ও \((1)\) এর ছেদবিন্দু \(B(x_{2},y_{2})\Rightarrow a_{3}x_{2}+b_{3}y_{2}+c_{3}=0 ........(6),\)
\(a_{1}x_{2}+b_{1}y_{2}+c_{1}=0 ........(7) \)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু \(C(x_{3},y_{3})\Rightarrow a_{1}x_{3}+b_{1}y_{3}+c_{1}=0 ........(8),\)
\(a_{2}x_{3}+b_{2}y_{3}+c_{2}=0 ........(9) \)
এখন, \(\triangle ABC\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ y_{1} \ \ \ \ 1\\x_{2} \ \ y_{2} \ \ \ \ 1\\x_{3} \ \ y_{3} \ \ \ \ 1\end{array}\right| \)
\(=\frac{1}{2}\frac{\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ y_{1} \ \ \ \ 1\\x_{2} \ \ y_{2} \ \ \ \ 1\\x_{3} \ \ y_{3} \ \ \ \ 1\end{array}\right|\times \left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|} \)
\(=\frac{\left|\begin{array}{c}a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1} \ \ \ \ a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2} \ \ \ \ a_{3}x_{1}+b_{3}y_{1}+c_{3} \\ a_{1}x_{2}+b_{1}y_{2}+c_{1} \ \ \ \ a_{2}x_{2}+b_{2}y_{2}+c_{2} \ \ \ \ a_{3}x_{2}+b_{3}y_{2}+c_{3}\\ a_{1}x_{3}+b_{1}y_{3}+c_{1} \ \ \ \ a_{2}x_{3}+b_{2}y_{3}+c_{2} \ \ \ \ a_{3}x_{3}+b_{3}y_{3}+c_{3}\end{array}\right|}{2\Delta} \)
\(=\frac{\left|\begin{array}{c}a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a_{2}x_{2}+b_{2}y_{2}+c_{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a_{3}x_{3}+b_{3}y_{3}+c_{3}\end{array}\right|}{2\Delta} \) ➜Note (4),(5),(6),(7),(8),(9) এর সাহায্যে
\(=\frac{(a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1})(a_{2}x_{2}+b_{2}y_{2}+c_{2})(a_{3}x_{3}+b_{3}y_{3}+c_{3})}{2\Delta} ..........(10)\)
ধরি,
\(a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1}=k_{1}\)
\(\Rightarrow a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1}-k_{1}=0 ............. (11)\)
\(a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2}=0 ............(12)\)
\(a_{3}x_{1}+b_{3}y_{1}+c_{3}=0 ............. (13)\)
\((11), (12), (13)\) হতে \(x_{1}, y_{1}\) অপনয়ন করে পাই ,
\(\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}-k_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ \ \ \ \ c_{2} \ \ \ \ \\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ \ \ \ \ c_{3} \ \ \ \ \end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow \left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ -k_{1}\\a_{2} \ \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \\a_{3} \ \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow \Delta-k_{1}\left|\begin{array}{c}a_{2} \ \ \ \ b_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3}\end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow \Delta-k_{1}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})=0\)
\(\Rightarrow \Delta-k_{1}C_{1}=0\) ➜Note \(C_{1}= \Delta \) নির্ণায়কে \( c_{1}\) এর সহগুণক।
\(\Rightarrow \Delta=k_{1}C_{1}\)
\(\Rightarrow k_{1}C_{1}=\Delta\)
\(\therefore k_{1}=\frac{\Delta}{C_{1}}\)
অনুরূপভাবে,
\(a_{2}x_{2}+b_{2}y_{2}+c_{2}=k_{2}, \ a_{3}x_{3}+b_{3}y_{3}+c_{3}=k_{3} \) কল্পনা করে পাই
\(k_{2}=-\frac{\Delta}{C_{2}}, \ k_{3}=\frac{\Delta}{C_{3}}\) ➜Note \(C_{2}, C_{3}\) যথাক্রমে \(\Delta \) নির্ণায়কে \( c_{2},c_{3} \) এর সহগুণক।
এখন \((10)\) হতে পাই,
\(\triangle ABC\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{\frac{\Delta}{C_{1}}\times -\frac{\Delta}{C_{2}}\times \frac{\Delta}{C_{3}}}{2\Delta\times C_{1}C_{2}C_{3}}\)
\(=-\frac{\Delta^{3}}{2\Delta\times C_{1}C_{2}C_{3}}\)
\(=\frac{\Delta^{2}}{2C_{1}C_{2}C_{3}}\) ➜Note \(\triangle \neq -ve\)

মনে করি,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 .........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 .........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) ( বজ্রগুণ পদ্ধতিতে ) সমাধান করি,
\(\frac{x}{b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}}=\frac{y}{a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2}}=\frac{1}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}}=\frac{1}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}, \ \frac{y}{a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2}}=\frac{1}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}\)
\(\Rightarrow x=\frac{b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}, \ y=\frac{a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}\)
\(\therefore (1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু \(P(\frac{b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}, \frac{a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}})\)

মনে করি,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 .........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 .........(2)\)
\((1)\) নং সরলরেখার ঢাল \(m_{1}=-\frac{a_{1}}{b_{1}}\) ➜Note \(ax+by+c=0\) সরলরেখার ঢাল \(m=-\frac{a}{b}\)
\((2)\) নং সরলরেখার ঢাল \(m_{2}=-\frac{a_{2}}{b_{2}}\) ➜Note \(ax+by+c=0\) সরলরেখার ঢাল \(m=-\frac{a}{b}\)
\(\because (1)\) ও \((2)\) সমীকরণ একই সরলরেখা নির্দেশ করে,
\(\therefore m_{1}=m_{2}\)
\(\Rightarrow -\frac{a_{1}}{b_{1}}=-\frac{a_{2}}{b_{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}\)
\(\therefore \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} ....(3)\)
আবার,
\((1)\) নং সরলরেখার দ্বারা \(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(=-\frac{c_{1}}{b_{1}}\) ➜Note \(ax+by+c=0\) সরলরেখা দ্বারা \(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(=-\frac{c}{b}\)
\((2)\) নং সরলরেখার দ্বারা \(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(=-\frac{c_{2}}{b_{2}}\) ➜Note \(ax+by+c=0\) সরলরেখা দ্বারা \(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(=-\frac{c}{b}\)
\(\because (1)\) ও \((2)\) সমীকরণ একই সরলরেখা নির্দেশ করে,
\(\therefore -\frac{c_{1}}{b_{1}}=-\frac{c_{2}}{b_{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{c_{1}}{b_{1}}=\frac{c_{2}}{b_{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{c_{2}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{b_{1}}\)
\(\therefore \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}} .....(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) হতে,
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)
ইহাই নির্ণেয় শর্ত।

মনে করি, \(ax+by+c=0 .........(1)\)
এখানে, \(a, \ b, \ c\) ধ্রুবক।
\((1)\) নং সমীকরণের সঞ্চারপথের উপর \((x_{1}, y_{1}), \ (x_{2}, y_{2}), \ (x_{3}, y_{3})\) যে কোনো তিনটি বিন্দু।
তাহলে, \(ax_{1}+by_{1}+c=0 .........(2)\)
\(ax_{2}+by_{2}+c=0 .........(3)\)
\(ax_{3}+by_{3}+c=0 .........(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) বজ্রগুণ করে,
\(\frac{a}{y_{2}-y_{3}}=\frac{b}{x_{3}-x_{2}}=\frac{c}{x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}}=k\) ( ধরি )
\(\therefore a=k(y_{2}-y_{3}), \ b=k(x_{3}-x_{2}), \ c=k(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})\)
\(a, \ b, \ c\) এর মাণ \((2)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(k(y_{2}-y_{3})x_{1}+k(x_{3}-x_{2})y_{1}+k(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})=0\)
\(\Rightarrow k\{(y_{2}-y_{3})x_{1}+(x_{3}-x_{2})y_{1}+(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})\}=0\)
\(\Rightarrow (y_{2}-y_{3})x_{1}+(x_{3}-x_{2})y_{1}+(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})=0; \ \because k\ne{0}\)
\(\Rightarrow x_{1}(y_{2}-y_{3})-y_{1}(x_{2}-x_{3})+1(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})=0\)
\(\therefore \left|\begin{array}{c}x_{1}&y_{1}&1\\ x_{2}&y_{2}&1 \\ x_{3}&y_{3}&1\end{array}\right|=0\)
যা, \((x_{1}, y_{1}), \ (x_{2}, y_{2}), \ (x_{3}, y_{3})\) বিন্দু তিনটির সমরেখ হওয়ার শর্ত।
যেহেতু এই সমরেখ বিন্দুত্রয় \((1)\) নং এর সঞ্চারপথের উপর অবস্থান করে,
সুতরাং, \(ax+by+c=0\) যে কোনো সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ।

মনে করি,
সরলরেখাটির সমীকরণ \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 ........(1)\).
\((1)\) নং রেখাটি অক্ষ দ্বয়কে যথাক্রমে \(A(a, 0)\) এবং \(B(0, b)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
শর্তমতে, \(A(a, 0)\) এবং \(B(0, b)\) বিন্দু দুইটির সংযোগ রেখাংশের মধ্যবিন্দু \(C(1, 5)\)।
আবার, \(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(C(\frac{a+0}{2}, \frac{0+b}{2})\)। ➜ Note \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\therefore C(\frac{a+0}{2}, \frac{0+b}{2})\Rightarrow C(1, 5)\)
\(\Rightarrow \frac{a+0}{2}=1, \frac{0+b}{2}=5\)
\(\Rightarrow \frac{a}{2}=1, \frac{b}{2}=5\)
\(\Rightarrow a=2, b=10\)
\(a\) ও \(b\) এর মান \(\) এ বসিয়ে পাই।
\(\frac{x}{2}+\frac{y}{10}=1\)
\(\Rightarrow \frac{5x+y}{10}=1\)
\(\Rightarrow 5x+y=10\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

মনে করি,
\(y=m_{1}x........(1)\).
\(y=m_{2}x........(2)\).
\(y=b........(3)\).
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি। \(m_{1}x=m_{2}x\)
\(\Rightarrow m_{1}x-m_{2}x=0\)
\(\Rightarrow x(m_{1}-m_{2})=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{0}{m_{1}-m_{2}}\)
\(\therefore x=0\)
\((1)\) হতে পাই \(y=0\)
\(\therefore (1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু \(O(0, 0)\)
\((2)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি। \(m_{2}x=b\)
\(\Rightarrow x=\frac{b}{m_{2}}\)
\((3)\) হতে পাই \(y=b\)
\(\therefore (2)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দু \(A(\frac{b}{m_{2}}, b)\)
\((2)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি। \(m_{1}x=b\)
\(\Rightarrow x=\frac{b}{m_{1}}\)
\((3)\) হতে পাই \(y=b\)
\(\therefore (2)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দু \(B(\frac{b}{m_{1}}, b)\)
এখন,
\(\triangle OAB=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}0 \ \ \frac{b}{m_{2}} \ \ \frac{b}{m_{1}} \ \ \ \ 0\\ 0 \ \ \ \ b \ \ \ \ b \ \ \ \ 0\end{array}\right| \) ➜Note কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, \(\triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ x_{2} \ \ x_{3}\ \ x_{1}\\y_{1} \ \ y_{2} \ \ y_{3} \ \ y_{1}\end{array}\right|\)
\(\Rightarrow OAB=\frac{1}{2}\{(0-0)+(\frac{b^{2}}{m_{2}}-\frac{b^{2}}{m_{1}})+(0-0)\} \)
\(\Rightarrow OAB=\frac{1}{2}(\frac{b^{2}}{m_{2}}-\frac{b^{2}}{m_{1}})\)
\(\Rightarrow OAB=-\frac{b^{2}}{2}(\frac{1}{m_{1}}-\frac{1}{m_{2}})\)
\(\therefore OAB=\frac{b^{2}}{2}(\frac{1}{m_{1}}-\frac{1}{m_{2}})\) বর্গ একক। ➜Note \(\because \triangle \neq -ve\)

মনে করি,
সরলরেখাটির সমীকরণ \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=p\) যেখানে \(\alpha = 45^{o}\)। \(\therefore x\cos45^{o}+y\sin45^{o}=p\)
\(\Rightarrow x\times \frac{1}{\sqrt{2}}+y\times \frac{1}{\sqrt{2}}=p\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{y}{\sqrt{2}}=p\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{2}p}+\frac{y}{\sqrt{2}p}=1 .........(1)\) ➜Note উভয় পার্শে \(p\) ভাগ করে।
\((1)\) নং রেখাটি অক্ষ দ্বয়কে যথাক্রমে \(A(\sqrt{2}p, 0)\) এবং \(B(0, \sqrt{2}p)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
শর্তমতে, \(\triangle AOB=\frac{1}{2}\times OA\times OB=8\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}\times \sqrt{2}p\times \sqrt{2}p=8\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}\times 2p^{2}=8\)
\(\Rightarrow p^{2}=8\)
\(\Rightarrow p=\sqrt{8}\)
\(\Rightarrow p=\sqrt{2\times 4}\)
\(\Rightarrow p=\sqrt{2\times 2^{2}}\)
\(\Rightarrow p=2\sqrt{2}\) ➜Note \(\because p \neq -ve\)
\(p\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে পাই।
\(\frac{x}{\sqrt{2}\times 2\sqrt{2}}+\frac{y}{\sqrt{2}\times 2\sqrt{2}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{4}+\frac{y}{4}=1\)
\(\therefore x+y=4\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

মনে করি,
\(x=3 .......(1)\)
\(x=5 .......(2)\)
\(y=4 .......(3)\)
\(y=6 .......(4)\)
\((1)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দু \(A(3, 4)\)
\((3)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু \(B(5, 4)\)
\((2)\) ও \((4)\) এর ছেদবিন্দু \(C(5, 6)\)
\((1)\) ও \((4)\) এর ছেদবিন্দু \(D(3, 6)\)
এখন,
\(AC\) কর্ণের সমীকরণ \(\frac{x-3}{3-5}=\frac{y-4}{4-6}\) ➜Note\(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{-2}=\frac{y-4}{-2}\)
\(\Rightarrow x-3=y-4\)
\(\Rightarrow x-3-y+4=0\)
\(\therefore x-y+1=0\)
আবার,
\(BD\) কর্ণের সমীকরণ \(\frac{x-5}{5-3}=\frac{y-4}{4-6}\) ➜Note\(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-5}{2}=\frac{y-4}{-2}\)
\(\Rightarrow x-5=-(y-4)\)
\(\Rightarrow x-5=-y+4\)
\(\Rightarrow x-5+y-4=0\)
\(\therefore x+y-9=0\)
\(\therefore \) কর্ণদ্বয়ের সমীকরণ \(x-y+1=0\) এবং \(x+y-9=0\)।

\(x+3y-12=0\)
\(\Rightarrow x+3y=12\)
\(\Rightarrow \frac{x+3y}{12}=\frac{12}{12}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{12}+\frac{3y}{12}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{12}+\frac{y}{4}=1 ........(1)\)
\((1)\) নং রেখাটি অক্ষ দ্বয়কে যথাক্রমে \(A(12, 0)\) এবং \(B(0, 4)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
ধরি, \(P\) এবং \(Q\) বিন্দু দুইটি \(AB\) রেখাংশকে সমান তিন ভাগে বিভক্ত করে।
অর্থাৎ \(P\) এবং \(Q\) বিন্দু দুইটি \(AB\) রেখাংশকে যথাক্রমে \(1:2\) এবং \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(P(\frac{1.0+2.12}{1+2}, \frac{1.4+2.0}{1+2})\) ➜Note \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow P(\frac{0+24}{3}, \frac{4+0}{3})\)
\(\Rightarrow P(\frac{24}{3}, \frac{4}{3})\)
\(\therefore P(8, \frac{4}{3})\)
আবার,
\(Q\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(Q(\frac{2.0+1.12}{2+1}, \frac{2.4+1.0}{2+1})\) ➜Note \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow Q(\frac{0+12}{3}, \frac{8+0}{3})\)
\(\Rightarrow Q(\frac{12}{3}, \frac{8}{3})\)
\(\therefore Q(4, \frac{8}{3})\)
এখন,
\(OP\) এর ঢাল \(m_{1}=\frac{0-\frac{4}{3}}{0-8}\) ➜Note \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\);\(PQ\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)
\(=\frac{\frac{4}{3}}{8}\)
\(=\frac{4}{3\times 8}\)
\(=\frac{1}{3\times 2}\)
\(=\frac{1}{6}\)
আবার,
\(OQ\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{0-\frac{8}{3}}{0-4}\) ➜Note \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\);\(PQ\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)
\(=\frac{\frac{8}{3}}{4}\)
\(=\frac{8}{3\times 4}\)
\(=\frac{2}{3}\)
\(OP\) এর সমীকরণ \(y=m_{1}x\)
\(\Rightarrow y=\frac{1}{6}x\)
\(\Rightarrow 6y=x\)
\(\Rightarrow x=6y\)
\(\therefore x-6y=0\)
\(OQ\) এর সমীকরণ \(y=m_{2}x\)
\(\Rightarrow y=\frac{2}{3}x\)
\(\Rightarrow 3y=2x\)
\(\Rightarrow 2x=3y\)
\(\therefore 2x-3y=0\)
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখা দ্বয়ের সমীকরণ \( x-6y=0\) এবং \( 2x-3y=0\).

মনে করি,
\(ax+by+c=0 ........(1)\)
\(bx+cy+a=0 ........(2)\)
\(cx+ay+b=0 ........(3)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((1)\times c-(2)\times b\) এর সাহায্যে,
\((ax+by+c)\times c-(bx+cy+a)\times b=0\times c-0\times b\)
\(\Rightarrow acx+bcy+c^{2}-b^{2}x-bcy-ab=0-0\)
\(\Rightarrow acx+c^{2}-b^{2}x-ab=0\)
\(\Rightarrow x(ac-b^{2})+c^{2}-ab=0\)
\(\Rightarrow x(ac-b^{2})=ab-c^{2}\)
\(\therefore x=\frac{ab-c^{2}}{ac-b^{2}}\)
আবার,
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবন্দু নির্ণয় করি,
\((1)\times b-(2)\times a\) এর সাহায্যে,
\((ax+by+c)\times b-(bx+cy+a)\times a=0\times b-0\times a\)
\(\Rightarrow abx+b^{2}y+bc-abx-acy-a^{2}=0-0\)
\(\Rightarrow b^{2}y+bc-acy-a^{2}=0\)
\(\Rightarrow y(b^{2}-ac)-a^{2}+bc=0\)
\(\Rightarrow y(b^{2}-ac)=a^{2}-bc\)
\(\therefore y=\frac{a^{2}-bc}{b^{2}-ac}\)
\(\therefore \) \((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবন্দু \((\frac{ab-c^{2}}{ac-b^{2}}, \frac{a^{2}-bc}{b^{2}-ac})\) যা \((3)\) নং সমীকরণকে সিদ্ধ করে।
\(\therefore c\times \frac{ab-c^{2}}{ac-b^{2}}+a\times \frac{a^{2}-bc}{b^{2}-ac}+b=0\)
\(\Rightarrow \frac{abc-c^{3}}{ac-b^{2}}-\frac{a^{3}-abc}{ac-b^{2}}+b=0\)
\(\Rightarrow \frac{abc-c^{3}-a^{3}+abc+b(ac-b^{2})}{ac-b^{2}}=0\)
\(\Rightarrow abc-c^{3}-a^{3}+abc+abc-b^{3}=0\times (ac-b^{2})\)
\(\Rightarrow -a^{3}-b^{3}-c^{3}+3abc=0\)
\(\Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=0\times -1\)
\(\Rightarrow (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)=0\)
\(\Rightarrow a+b+c=0\) কিন্তু \(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca \neq 0\) ➜Note \((a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)=0\) হলে, সমীকরণ তিনটির ভিন্নতা থাকে না।
\(\therefore a+b+c=0\) দেখানো হলো।

মনে করি, \(A(-1, 3)\) এবং \(B(4,-2)\)
\(\therefore AB\) এর সমীকরণ \(\frac{x+1}{-1-4}=\frac{y-3}{3+2}\) ➜Note\(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x+1}{-5}=\frac{y-3}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{x+1}{-1}=\frac{y-3}{1}\)
\(\Rightarrow x+1=-(y-3)\)
\(\Rightarrow x+1=-y+3\)
\(\Rightarrow x+1+y-3=0\)
\(\Rightarrow x+y-2=0\)
\(\therefore x+y=2\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
আবার,
\(x+y=2\)
\(\Rightarrow \frac{x}{2}+\frac{y}{2}=1 .........(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(C(2, 0)\) ও \(D(0, 2 )\) বিন্দুতে ছেদ করে।
এখন,
\(CD=\sqrt{(2-0)^{2}+(0-2)^{2}}\) ➜Note \(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)
\(=\sqrt{(2)^{2}+(-2)^{2}}\)
\(=\sqrt{4+4}\)
\(=\sqrt{8}\)
\(=\sqrt{2\times 4}\)
\(=\sqrt{2\times (2)^{2}}\)
\(=2\sqrt{2}\) ইহাই অক্ষদ্বয় দ্বারা খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য।

মনে করি, \(3x-4y-12=0 ........(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখার ঢাল \(=-\frac{3}{-4}\) ➜Note \(ax+by+c=0\) সরলরেখার ঢাল \(m=-\frac{a}{b}\)
\(=\frac{3}{4}\)
\(X\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(=-\frac{-12}{3}\) ➜Note \(ax+by+c=0\) সরলরেখা দ্বারা \(X\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(=-\frac{c}{a}\)
\(=4\)
\(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(=-\frac{-12}{-4}\) ➜Note \(ax+by+c=0\) সরলরেখা দ্বারা \(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(=-\frac{c}{b}\)
\(=-3\)
\(\therefore \) ঢাল \(=\frac{3}{4}\); ছেদিতাংশ \(=4\) এবং \(=-3\)

মনে করি, \(3x+4y+6=0 .......(1)\)
\(\Rightarrow 3x+4y=-6\)
\(\Rightarrow \frac{3x}{5}+\frac{4y}{5}=\frac{-6}{5}\) ➜Note \(\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\) দ্বারা ভাগ করে।
\(\Rightarrow x\frac{3}{5}+y\frac{4}{5}=-\frac{6}{5}\)
\(\Rightarrow x(-\frac{3}{5})+y(-\frac{4}{5})=\frac{6}{5}\) ➜Note উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
এখানে,
\(\cos\alpha=-\frac{3}{5}, \sin\alpha=-\frac{4}{5}, p=\frac{6}{5}\) ➜Note \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=p\) এর সঙ্গে তুলুনা করে।
\(\therefore \) মূলবিন্দু হতে সরলরেখাটির দূরত্ব \(=\frac{6}{5}\)
আবার,
ধরি \((1)\) নং সরলরেখা \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\alpha \) কোণ উৎপন্ন করে ।
তবে,
\(m=\tan\alpha=-\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow \tan\alpha=-\frac{3}{4} \Rightarrow \sin\alpha=\frac{3}{5}, \ \cos\alpha=-\frac{4}{5}\) অথবা, \( \sin\alpha=-\frac{3}{5}, \ \cos\alpha=\frac{4}{5}\)
এ ক্ষেত্রে \((1)\) নং সমীকরণকে লিখা যায়।
\(\frac{x-2}{\cos\alpha}=\frac{y+3}{\sin\alpha}=10\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{\cos\alpha}=10, \ \frac{y+3}{\sin\alpha}=10\)
\(\Rightarrow x-2=10\cos\alpha, \ y+3=10\sin\alpha\)
\(\Rightarrow x=10\cos\alpha+2, \ y=10\sin\alpha-3\)
যখন, \(\sin\alpha=\frac{3}{5}, \ \cos\alpha=-\frac{4}{5}\) তখন, \( x=10\times -\frac{4}{5}+2, \ y=10\times \frac{3}{5}-3\)
\(\Rightarrow x=-8+2, \ y=6-3\)
\(\therefore x=-6, \ y=3\)
যখন, \(\sin\alpha=-\frac{3}{5}, \ \cos\alpha=\frac{4}{5}\) তখন, \( x=10\times \frac{4}{5}+2, \ y=10\times -\frac{3}{5}-3\)
\(\Rightarrow x=8+2, \ y=-6-3\)
\(\therefore x=10, \ y=-9\)
\(\therefore \) নির্ণেয় বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((-6, 3)\) এবং \((10, -9)\) ।

মনে করি, \(x\) সংখ্যক বাল্ব তৈরী করতে খরচ হয় \(y\) টাকা।
তাহলে,
\(P(x_{1}, y_{1})\Rightarrow P(200, 800)\)
\(Q(x_{2}, y_{2})\Rightarrow Q(400, 1200)\)
\(PQ\) এর সমীকরণ \(\frac{x-200}{200-400}=\frac{y-800}{800-1200}\) ➜Note\(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-200}{-200}=\frac{y-800}{-400}\)
\(\Rightarrow x-200=\frac{y-800}{2}\)
\(\Rightarrow 2(x-200)=y-800\)
\(\Rightarrow 2x-400=y-800\)
\(\Rightarrow y-800=2x-400\)
\(\Rightarrow y=2x-400+800\)
\(\therefore y=2x+400\) যা নির্ণেয় সমীকরণ।
এখন, বাল্বের সংখ্যা \(x=300\) হলে,
\(y=2\times 300+400\)
\(\Rightarrow y=600+400\)
\(\Rightarrow y=1000\)
\(\therefore 300\) বাল্ব তৈরী করতে খরচ হবে \(1000 \) টাকা।

\((a)\) মনে করি, রেখাটির সমীকরণ \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 ......(3) \)।
\((3)\) নং রেখাটি অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A(a, 0)\) ও \(B(0, b)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(C(\frac{a+0}{2}, \frac{0+b}{2})\) ➜Note \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
আবার, \(AB\) এর মধ্যবিন্দু দেওয়া আছে \(C(2, 3)\)।
\(\therefore C(\frac{a+0}{2}, \frac{0+b}{2})\Rightarrow C(2, 3)\)
\(\Rightarrow \frac{a+0}{2}=2 , \frac{0+b}{2}=3 \)
\(\Rightarrow \frac{a}{2}=2 , \frac{b}{2}=3 \)
\(\Rightarrow a=4 , b=6 \)
\((3)\) নং হতে পাই,
\(\frac{x}{4}+\frac{y}{6}=1\)
\(\Rightarrow \frac{3x+2y}{12}=1\)
\(\Rightarrow 3x+2y=12\)
\(\therefore \) রেখাটির সমীকরণ \(3x+2y=12\)।

\((b)\) দেওয়া আছে,
\(ax+by-c=0 ........(1)\)
\(x\cos\alpha+y\sin\alpha-p=0 ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) একই সরলরেখা প্রকাশ করবে যদি,
\(\frac{a}{\cos\alpha}=\frac{b}{\sin\alpha}=\frac{c}{p}\) হয়। ➜ Note\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 .....(1)\) \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 .....(2)\) \((1)\) ও \((2)\) নং সমীকরণ একই সরলরেখা নির্দেশ করবে যদি , \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\) হয় ।
\(\Rightarrow \frac{a}{\cos\alpha}=\frac{c}{p}, \ \frac{b}{\sin\alpha}=\frac{c}{p}\)
\(\Rightarrow c\cos\alpha=ap, \ c\sin\alpha=bp \)
\(\Rightarrow \cos\alpha=\frac{ap}{c} .........(3), \ \sin\alpha=\frac{bp}{c} ........(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) বর্গ করে যোগ করি।
\(\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha=(\frac{ap}{c})^{2}+(\frac{bp}{c})^{2}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{a^{2}p^{2}}{c^{2}}+\frac{b^{2}p^{2}}{c^{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{a^{2}p^{2}}{c^{2}}+\frac{b^{2}p^{2}}{c^{2}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{a^{2}p^{2}+b^{2}p^{2}}{c^{2}}=1\)
\(\Rightarrow p^{2}\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}}=1\)
\(\Rightarrow p^{2}=\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}\)
\(\Rightarrow p=\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\)
\(\therefore p=\pm \frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)

\((c)\) দেওয়া আছে, \(a=3, b=4, c=25\)।
সে ক্ষেত্রে \((1)\) নং সমীকরণ দাঁড়ায় \(3x+4y-25=0 .........(1) \)।
এখন, \((1)\) নং সরলরেখা যদি \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের \(\alpha \) কোণ উৎপন্ন করে।
তবে, এর ঢাল হবে \(m=\tan\alpha=-\frac{3}{4}\)।
\(\Rightarrow \tan\alpha=-\frac{3}{4} \Rightarrow \sin\alpha=\frac{3}{5}, \ \cos\alpha=-\frac{4}{5}\) অথবা, \( \sin\alpha=-\frac{3}{5}, \ \cos\alpha=\frac{4}{5}\)
এ ক্ষেত্রে \((1)\) নং সমীকরণকে লিখা যায়।
\(\frac{x+5}{\cos\alpha}=\frac{y-10}{\sin\alpha}=10\)
\(\Rightarrow \frac{x+5}{\cos\alpha}=10, \ \frac{y-10}{\sin\alpha}=10\)
\(\Rightarrow x+5=10\cos\alpha, \ y-10=10\sin\alpha\)
\(\Rightarrow x=10\cos\alpha-5, \ y=10\sin\alpha+10\)
যখন, \(\sin\alpha=\frac{3}{5}, \ \cos\alpha=-\frac{4}{5}\) তখন, \( x=10\times -\frac{4}{5}-5, \ y=10\times \frac{3}{5}+10\)
\(\Rightarrow x=-8-5, \ y=6+10\)
\(\therefore x=-13, \ y=16\)
যখন, \(\sin\alpha=-\frac{3}{5}, \ \cos\alpha=\frac{4}{5}\) তখন, \( x=10\times \frac{4}{5}-5, \ y=10\times -\frac{3}{5}+10\)
\(\Rightarrow x=8-5, \ y=-6+10\)
\(\therefore x=3, \ y=4\)
\(\therefore \) নির্ণেয় বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((16, -13)\) এবং \((3, 4)\) ।

\(Q.1.(i).(a)\)
মনে করি, \(A(2, -1)\) এবং \(B(-3, 5)\)
\(AB\)এর সমীকরণ \(\frac{x-2}{2+3}=\frac{y+1}{-1-5}\) ➜Note \(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{5}=\frac{y+1}{-6}\)
\(\Rightarrow 5(y+1)=-6(x-2)\)
\(\Rightarrow 5y+5=-6x+12\)
\(\Rightarrow 5y+5+6x-12=0\)
\(\therefore 6x+5y-7=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

\(Q.1.(i).(b)\)মনে করি, \(A(6, 7)\) এবং \(B(0, -4)\)
\(AB\)এর সমীকরণ \(\frac{x-6}{6-0}=\frac{y-7}{7+4}\) ➜Note \(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-6}{6}=\frac{y-7}{11}\)
\(\Rightarrow 11(x-6)=6(y-7)\)
\(\Rightarrow 11x-66=6y-42\)
\(\Rightarrow 11x-66-6y+42=0\)
\(\therefore 11x-6y-24=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

\(Q.1.(i).(c)\) মনে করি, \(A(a, b)\) এবং \(B(-a, -b)\)
\(AB\)এর সমীকরণ \(\frac{x-a}{a+a}=\frac{y-b}{b+b}\) ➜Note \(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-a}{2a}=\frac{y-b}{2b}\)
\(\Rightarrow \frac{x-a}{a}=\frac{y-b}{b}\)
\(\Rightarrow b(x-a)=a(y-b)\)
\(\Rightarrow bx-ab=ay-ab\)
\(\Rightarrow bx-ab-ay+ab=0\)
\(\therefore bx-ay=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

\(Q.1.(i).(d)\) মনে করি, \(A(a, b)\) এবং \(B(a+b, a-b)\)
\(AB\)এর সমীকরণ \(\frac{x-a}{a-a-b}=\frac{y-b}{b-a+b}\) ➜Note \(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-a}{-b}=\frac{y-b}{2b-a}\)
\(\Rightarrow (2b-a)(x-a)=-b(y-b)\)
\(\Rightarrow x(2b-a)-2ab+a^{2}=-by+b^{2}\)
\(\Rightarrow x(2b-a)-2ab+a^{2}+by-b^{2}=0\)
\(\therefore (2b-a)x+by+a^{2}-2ab-b^{2}=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

মনে করি, \(O(0, 0)\) এবং \(A(3, 4)\)
\(AB\)এর সমীকরণ \(\frac{x-0}{0-3}=\frac{y-0}{0-4}\) ➜Note \(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-3}=\frac{y}{-4}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{3}=\frac{y}{4}\)
\(\Rightarrow 4x=3y\)
\(\therefore 4x-3y=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

\((a)\) দেওয়া আছে, \( \theta=60^{o}\)
\(\Rightarrow m=\tan\theta=\tan60^{o}\)
\(\Rightarrow m=\tan60^{o}\)
\(\Rightarrow m=\sqrt{3}\) ➜Note \(\because \tan60^{o}=\sqrt{3}\)
এখন,
মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ \(y=mx\)।
\(\Rightarrow y=\sqrt{3}x\)
\(\therefore y-\sqrt{3}x=0\)ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\((b)\) দেওয়া আছে, \( \theta=135^{o}\)
\(\Rightarrow m=\tan\theta=\tan135^{o}\)
\(\Rightarrow m=\tan135^{o}\)
\(\Rightarrow m=\tan(90^{o}\times 2-45^{o})\)
\(\Rightarrow m=-\tan45^{o}\) ➜Note দ্বিতীয় চৌকোণে \(\tan\) অনুপাত ঋণাত্মক
\(\Rightarrow m=-1\) ➜Note \(\because \tan45^{o}=1\)
এখন,
মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ \(y=mx\)।
\(\Rightarrow y=-1\times x\)
\(\Rightarrow y=-x\)
\(\therefore x+y=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

মনে করি, \(6x-5y+30=0 ........(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখার ঢাল \(=-\frac{6}{-5}\) ➜Note \(ax+by+c=0\) সরলরেখার ঢাল \(m=-\frac{a}{b}\)
\(=\frac{6}{5}\)
\(X\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(=-\frac{30}{6}\) ➜Note \(ax+by+c=0\) সরলরেখা দ্বারা \(X\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(=-\frac{c}{a}\)
\(=-5\)
\(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(=-\frac{30}{-5}\) ➜Note \(ax+by+c=0\) সরলরেখা দ্বারা \(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(=-\frac{c}{b}\)
\(=6\)
\(\therefore \) ঢাল \(=\frac{6}{5}\); ছেদিতাংশ \(=-5\) এবং \(=6\)

মনে করি, \(X\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ \(y=b ........(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((3, -4)\) বন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore -4=b\)
\(\Rightarrow b=-4\)
\((1)\) নং সমীকরণ হতে।
\(y=-4\)
\(\therefore y+4=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
আবার,
মনে করি, \(X\) অক্ষের উপর লম্ব বা \(Y\) সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ \(x=a ........(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \((3, -4)\) বন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore 3=a\)
\(\Rightarrow a=3\)
\((2)\) নং সমীকরণ হতে।
\(x=3\)
\(\therefore x-3=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

মনে করি, \(ax+by-c=0 .........(1)\)
এবং \(x\cos\alpha+y\sin\alpha-p=0 ...........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) একই সরলরেখা প্রকাশ করবে যদি,
\(\frac{a}{\cos\alpha}=\frac{b}{\sin\alpha}=\frac{c}{p}\) হয়। ➜Note\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 .....(1)\) \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 .....(2)\) \((1)\) ও \((2)\) নং সমীকরণ একই সরলরেখা নির্দেশ করবে যদি , \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\) হয় ।
\(\Rightarrow \frac{a}{\cos\alpha}=\frac{c}{p}, \ \frac{b}{\sin\alpha}=\frac{c}{p}\)
\(\Rightarrow c\cos\alpha=ap, \ c\sin\alpha=bp \)
\(\Rightarrow \cos\alpha=\frac{ap}{c} .........(3), \ \sin\alpha=\frac{bp}{c} ........(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) বর্গ করে যোগ করি।
\(\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha=(\frac{ap}{c})^{2}+(\frac{bp}{c})^{2}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{a^{2}p^{2}}{c^{2}}+\frac{b^{2}p^{2}}{c^{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{a^{2}p^{2}}{c^{2}}+\frac{b^{2}p^{2}}{c^{2}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{a^{2}p^{2}+b^{2}p^{2}}{c^{2}}=1\)
\(\Rightarrow p^{2}\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}}=1\)
\(\Rightarrow p^{2}=\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}\)
\(\Rightarrow p=\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\)
\(\therefore p=\pm \frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\) ইহাই নির্ণেয় \(p\) এর মান।

মনে করি, \(3x+7y-21=0 .........(1)\)
\(2ax-3by+6=0 .........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) একই সরলরেখা প্রকাশ করবে যদি,
\(\frac{2a}{3}=\frac{-3b}{7}=\frac{6}{-21}\) হয়। ➜Note\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 .....(1)\) \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 .....(2)\) \((1)\) ও \((2)\) নং সমীকরণ একই সরলরেখা নির্দেশ করবে যদি , \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\) হয় ।
\(\Rightarrow \frac{2a}{3}=\frac{6}{-21}, \ \frac{-3b}{7}=\frac{6}{-21}\)
\(\Rightarrow a=\frac{6}{-21}\times \frac{3}{2}, \ b=\frac{6}{-21}\times \frac{7}{-3}\)
\(\therefore a=-\frac{3}{7}, \ b=\frac{2}{3}\)।

মনে করি,
\(x-2y+5=0 .........(1)\)
\(x-2y-5=0 .........(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখার উপর যে কোনো বিন্দু \(A(x, y)\)
এবং দেওয়া আছে নির্দিষ্ট বিন্দুটি \(B(-3, 6)\)
\(AB\)এর মধ্যবিন্দু \((\frac{x-3}{2}, \frac{y+6}{2})\) এই বিন্দুটি \((1)\) এ বসিয়ে পাই।
\(\frac{x-3}{2}-2\frac{y+6}{2}+5=0\)
\(\Rightarrow \frac{x-3-2(y+6)+10}{2}=0\)
\(\Rightarrow x-3-2(y+6)+10=0\times 2\)
\(\Rightarrow x-3-2y-12+10=0\)
\(\Rightarrow x-2y-15+10=0\)
\(\therefore x-2y-5=0\) যা \((2)\) সমীকরণ।
দেখানো হলো।

মনে করি,
\(A(1, 2)\) ও \(B(3, 4)\) এবং \(AB\) এর উপর চলমান বিন্দু \((x, y)\)।
\(AB\) এর সমীকরণ \(\frac{x-1}{1-3}=\frac{y-2}{2-4}\)
\(\Rightarrow \frac{x-1}{-2}=\frac{y-2}{-2}\)
\(\Rightarrow x-1=y-2\)
\(\Rightarrow x-1-y+2=0\)
\(\therefore x-y+1=0\) দেখানো হলো।

দেওয়া আছে, \(P(x, y)\) \(C(1, 2)\), \(A(-7, 3)\) এবং \(B(1, -5)\)
\(PC\) এর ঢাল \(m_{1}=\frac{y-2}{x-1}\) ➜Note \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\);\(PQ\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)
\(AB\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{3+5}{-7-1}\) ➜Note \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\);\(PQ\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)
\(\Rightarrow m_{2}=\frac{8}{-8}\)
\(\therefore m_{2}=-1\)
শর্তমতে,
\(m_{1}\times m_{2}=-1\) ➜Note \(y=m_1x+c_1\), \(y=m_2x+c_2\) সরলরেখাদ্বয়ের পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত, \(m_1\times m_2=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y-2}{x-1}\times -1=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y-2}{x-1}=1\)
\(\Rightarrow x-1=y-2\)
\(\Rightarrow x-1-y+2=0\)
\(\therefore x-y+1=0\) দেখানো হলো।

মনে করি, \(A(a, b)\), \(B(\acute{a}, \acute{b})\), \(C(a-\acute{a}, b-\acute{b})\)
\(AB\) এর ঢাল \(m_{1}=\frac{b-\acute{b}}{a-\acute{a}}\) ➜Note \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\);\(PQ\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)
\(AC\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{b-(b-\acute{b})}{a-(a-\acute{a})}\) ➜Note \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\);\(PQ\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)
\(\Rightarrow m_{2}=\frac{b-b+\acute{b}}{a-a+\acute{a}}\)
\(\Rightarrow m_{2}=\frac{\acute{b}}{\acute{a}}\)
বিন্দুগুলি সমরেখ বলে,
\(m_{1}=m_{2}\)
\(\Rightarrow \frac{b-\acute{b}}{a-\acute{a}}=\frac{\acute{b}}{\acute{a}}\)
\(\Rightarrow a\acute{b}-\acute{a}\acute{b}=\acute{a}b-\acute{a}\acute{b}\)
\(\Rightarrow a\acute{b}-\acute{a}\acute{b}+\acute{a}\acute{b}=\acute{a}b\)
\(\therefore a\acute{b}=\acute{a}b\)
এখন ,
\(AC\) এর সমীকরণ \(\frac{x-a}{a-a+\acute{a}}=\frac{y-b}{b-b+\acute{b}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-a}{\acute{a}}=\frac{y-b}{\acute{b}}\)
\(\Rightarrow \acute{b}x-a\acute{b}=\acute{a}y-\acute{a}b\)
\(\Rightarrow \acute{b}x-a\acute{b}=\acute{a}y-a\acute{b}\) ➜Note \(\because a\acute{b}=\acute{a}b\)
\(\Rightarrow \acute{b}x-a\acute{b}+a\acute{b}=\acute{a}y\)
\(\Rightarrow \acute{b}x=\acute{a}y\) যা মূলবিন্দুগামী সরলরেখা।
\(\therefore \) বিন্দুত্রয় সমরেখ হলে, এদের সংযোগ রেখাটি মূলবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(a\acute{b}=\acute{a}b\)।
দেখানো হলো।

দেওয়া আছে, সরলরেখাটি \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(135^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে ।
\(\therefore \) সরলরেখাটির ঢাল \(m=\tan135^{o}\)।
\(=\tan\theta=\tan135^{o}\)
\(=\tan135^{o}\)
\(=\tan(90^{o}\times 2-45^{o})\)
\(=-\tan45^{o}\) ➜Note দ্বিতীয় চৌকোণে \(\tan\) অনুপাত ঋণাত্মক
\(=-1\) [\(\because \tan45^{o}=1\)]
\(\therefore \) \(A(3, 5)\) বিন্দুগামী এবং \(-1\) ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ।
\(y-5=-1(x-3)\) ➜Note \(\because y-y_{1}=m(x-x_{1})\)
\(\Rightarrow y-5=-x+3\)
\(\Rightarrow y-5+x-3=0\)
\(\Rightarrow x+y-8=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

মনে করি, সরলরেখাটির সমীকরণ \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 ........(1)\) ।
\((1)\) নং সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A(a, 0)\) ও \(B(0, b)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{a+0}{2}, \frac{0+b}{2})\)। ➜Note \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow E(\frac{a}{2}, \frac{b}{2})\)
শর্তমতে, \(E(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}) \Rightarrow E(2, 3)\)
\(\Rightarrow \frac{a}{2}=2, \frac{b}{2}=3\)
\(\Rightarrow a=4, b=6\)
\((1)\) নং সমীকরণ হতে পাই।
\(\frac{x}{4}+\frac{y}{6}=1\)
\(\Rightarrow \frac{3x+2y}{12}=1\)
\(\therefore 3x+2y=12\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

মনে করি, সরলরেখাটির সমীকরণ \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 ........(1)\) ।
\((1)\) নং সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A(a, 0)\) ও \(B(0, b)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(AB\) কে \(2:3\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে এরূপ বিন্দু \(E(\frac{2.0+3.a}{2+3}, \frac{2.b+3.0}{2+3})\) ➜Note \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow E(\frac{0+3a}{5}, \frac{2b+0}{5})\)
\(\Rightarrow E(\frac{3a}{5}, \frac{2b}{5})\)
শর্তমতে, \(E(\frac{3a}{5}, \frac{2b}{5}) \Rightarrow E(6, 2)\)
\(\Rightarrow \frac{3a}{5}=6, \frac{2b}{5}=2\)
\(\Rightarrow 3a=30, 2b=10\)
\(\Rightarrow a=\frac{30}{3}, b=\frac{10}{2}\)
\(\Rightarrow a=10, b=5\)
\((1)\) নং সমীকরণ হতে পাই।
\(\frac{x}{10}+\frac{y}{5}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x+2y}{10}=1\)
\(\Rightarrow x+2y=10\)
\(\therefore x+2y-10=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

দেওয়া আছে, \(5x+4y-20=0 \) ।
\(\Rightarrow 5x+4y=20 \)
\(\Rightarrow \frac{5x}{20}+\frac{4y}{20}=\frac{20}{20} \) ➜Note উভয় পার্শে \(20\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x}{4}+\frac{y}{5}=1 ..........(1) \)
\((1)\) নং সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A(4, 0)\) ও \(B(0, 5)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(P\) এবং \(Q\) বিন্দুদ্বয় \(AB\) কে সমান তিনভাগে বিভক্ত করে।
অর্থাৎ \(P\) এবং \(Q\) বিন্দুদ্বয় \(AB\) কে যথাক্রমে \(1:2\) এবং \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(P\) এর স্থানাঙ্ক \(P(\frac{1.0+2.4}{1+2}, \frac{1.5+2.0}{1+2})\) ➜Note \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow P(\frac{0+8}{3}, \frac{5+0}{3})\)।
\(\Rightarrow P(\frac{8}{3}, \frac{5}{3})\)।
\(Q\) এর স্থানাঙ্ক \(Q(\frac{2.0+1.4}{2+1}, \frac{2.5+1.0}{2+1})\) ➜Note \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow Q(\frac{0+4}{3}, \frac{10+0}{3})\)।
\(\Rightarrow Q(\frac{4}{3}, \frac{10}{3})\)।
\(OP\) এর সমীকরণ \(\frac{x-0}{0-\frac{8}{3}}=\frac{y-0}{0-\frac{5}{3}}\) ➜Note \(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-\frac{8}{3}}=\frac{y}{-\frac{5}{3}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\frac{8}{3}}=\frac{y}{\frac{5}{3}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x}{8}=\frac{3y}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{8}=\frac{y}{5}\) ➜Note উভয় পার্শে \(3\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow 5x=8y\)
\(\therefore 5x-8y=0\)
\(OQ\) এর সমীকরণ \(\frac{x-0}{0-\frac{4}{3}}=\frac{y-0}{0-\frac{10}{3}}\) ➜Note \(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-\frac{4}{3}}=\frac{y}{-\frac{10}{3}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\frac{4}{3}}=\frac{y}{\frac{10}{3}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x}{4}=\frac{3y}{10}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{4}=\frac{y}{10}\) ➜Note উভয় পার্শে \(3\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow 10x=4y\)
\(\Rightarrow 5x=2y\) ➜Note উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\therefore 5x-2y=0\)
\(\therefore \) সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ \(\therefore 5x-8y=0\) এবং \(\therefore 5x-2y=0\)।

মনে করি, সরলরেখাটির সমীকরণ \(y=mx+c ........(1)\)
দেওয়া আছে, \(\theta=\sin^{-1}(\frac{5}{13}), \ c= 5 \) ।
\(\therefore \) সরলরেখাটির ঢাল \(m=\tan\theta=\tan\sin^{-1}(\frac{5}{13})\)
\(=\tan\tan^{-1}(\frac{5}{12})\) ➜Note \(\because \sin^{-1}(\frac{5}{13})=\tan^{-1}(\frac{5}{12})\)
\(=\frac{5}{12}\)
\((1)\) হতে পাই।
\(y=\frac{5}{12}x+5\)
\(\Rightarrow 12y=5x+60\) ➜Note উভয় পার্শে \(12\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 5x+60=12y\)
\(\therefore 5x-12y+60=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

মনে করি, \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=p ........(1)\)
\(\Rightarrow \frac{x\cos\alpha}{p}+\frac{y\sin\alpha}{p}=\frac{p}{p}\) ➜Note উভয় পার্শে \(p\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x\cos\alpha}{p}+\frac{y\sin\alpha}{p}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\frac{p}{\cos\alpha}}+\frac{y}{\frac{p}{\sin\alpha}}=1 ..........(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A(\frac{p}{\cos\alpha}, 0)\) ও \(B(0, \frac{p}{\sin\alpha})\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \((\frac{\frac{p}{\cos\alpha}+0}{2}, \frac{0+\frac{p}{\sin\alpha}}{2})\) ➜Note \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow (\frac{\frac{p}{\cos\alpha}}{2}, \frac{\frac{p}{\sin\alpha}}{2})\).
\(\Rightarrow (\frac{p}{2\cos\alpha}, \frac{p}{2\sin\alpha})\).
এখানে,
\(\frac{p}{2\cos\alpha}=x, \frac{p}{2\sin\alpha}=y\).
\(\Rightarrow 2x\cos\alpha=p, 2y\sin\alpha=p\).
\(\therefore \cos\alpha=\frac{p}{2x} .........(3), \sin\alpha=\frac{p}{2y} .........(4)\).
\((3)\) ও \((4)\) বর্গ করে যোগ করি,
\((\cos\alpha)^{2}+(\sin\alpha)^{2}=(\frac{p}{2x})^{2}+(\frac{p}{2y})^{2}\)
\(\Rightarrow \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=\frac{p^{2}}{4x^{2}}+\frac{p^{2}}{4y^{2}}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{p^{2}y^{2}+p^{2}x^{2}}{4x^{2}y^{2}}\)
\(\Rightarrow p^{2}y^{2}+p^{2}x^{2}=4x^{2}y^{2}\)
\(\therefore p^{2}(x^{2}+y^{2})=4x^{2}y^{2}\)
দেখানো হলো।

মনে করি, বর্গের কর্ণদ্বয় \(AC\) ও \(BD\) যথাক্রমে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ বরাবর ।
দেওয়া আছে, \(AC=BD=4\)।
\(\Rightarrow AO=CO=BO=DO=2\)
তাহলে, \( A(-2, 0), C(2, 0), B(0, -2), D(0, 2)\)
\(AB\) এর সমীকরণ \(\frac{x+2}{-2-0}=\frac{y-0}{0+2}\)
\(\Rightarrow \frac{x+2}{-2}=\frac{y}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{x+2}{-1}=\frac{y}{1}\) ➜Note উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow x+2=-y\)
\(\therefore x+y+2=0\)
\(BC\) এর সমীকরণ \(\frac{x-0}{0-2}=\frac{y+2}{-2-0}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-2}=\frac{y+2}{-2}\)
\(\Rightarrow x=y+2\) ➜Note উভয় পার্শে \(-2\) গুণ করে।
\(\therefore x-y-2=\)
\(CD\) এর সমীকরণ \(\frac{x-2}{2-0}=\frac{y-0}{0-2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{2}=\frac{y}{-2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{1}=\frac{y}{-1}\) ➜Note উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow x-2=-y\)
\(\therefore x+y-2=0\)
\(AD\) এর সমীকরণ \(\frac{x+2}{-2-0}=\frac{y-0}{0-2}\)
\(\Rightarrow \frac{x+2}{-2}=\frac{y}{-2}\)
\(\Rightarrow x+2=y\) ➜Note উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(\therefore x-y+2=0\)
\(\therefore \) বর্গের চারটি বাহুগুলির সমীকরণ \(x+y+2=0;\) \(x-y-2=0;\) \(x+y-2=0;\) \(x-y+2=0\)।

মনে করি, সরলরেখাটির সমীকরণ \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 .........(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2, 6)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে ।
\(\therefore \frac{2}{a}+\frac{6}{b}=1\)
\(\Rightarrow \frac{2b+6a}{ab}=1\)
\(\Rightarrow 2b+6a=ab\)
\(\Rightarrow 2b+6a-ab=0\)
\(\Rightarrow -b(a-2)=-6a\)
\(\Rightarrow b=\frac{-6a}{-(a-2)}\)
\(\therefore b=\frac{6a}{a-2} .........(2)\)
শর্তমতে, \(a+b=15\)
\(\Rightarrow a+\frac{6a}{a-2}=15\) ➜Note \(\because b=\frac{6a}{a-2}\)
\(\Rightarrow \frac{a^{2}-2a+6a}{a-2}=15\)
\(\Rightarrow \frac{a^{2}+4a}{a-2}=15\)
\(\Rightarrow a^{2}+4a=15a-30\)
\(\Rightarrow a^{2}+4a-15a+30=0\)
\(\Rightarrow a^{2}-11a+30=0\)
\(\Rightarrow a^{2}-5a-6a+30=0\)
\(\Rightarrow a(a-5)-6(a-5)=0\)
\(\Rightarrow (a-5)(a-6)=0\)
\(\Rightarrow a-5=0, \ a-6=0\)
\(\Rightarrow a=5, \ a=6\)
\((2)\) হতে যখন \(a=5 \Rightarrow b=\frac{6.5}{5-2}\)
\(\Rightarrow b=\frac{30}{3}\)
\(\therefore b=10\)
\((2)\) হতে যখন \(a=6 \Rightarrow b=\frac{6.6}{6-2}\)
\(\Rightarrow b=\frac{36}{4}\)
\(\therefore b=9\)
\(\therefore (1)\) নং সমীকরণে \(a\) ও \(b\) এর মান বসিয়ে ।
যখন \(a=5, b=10\) সরলরেখার সমীকরণ \(\frac{x}{5}+\frac{y}{10}=1\)
\(\Rightarrow \frac{2x+y}{10}=1\)
\(\therefore 2x+y=10\)
যখন \(a=6, b=9\) সরলরেখার সমীকরণ \(\frac{x}{6}+\frac{y}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{3x+2y}{18}=1\)
\(\therefore 3x+2y=18\)
\(\therefore \) রেখাটির সমীকরণ \(2x+y=10\) বা, \(3x+2y=18\)।

মনে করি, সরলরেখাটির সমীকরণ \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 .........(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((-2, 6)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে ।
\(\therefore \frac{-2}{a}+\frac{6}{b}=1\)
\(\Rightarrow \frac{-2b+6a}{ab}=1\)
\(\Rightarrow -2b+6a=ab\)
\(\Rightarrow -2b+6a-ab=0\)
\(\Rightarrow -b(a+2)=-6a\)
\(\Rightarrow b=\frac{-6a}{-(a+2)}\)
\(\therefore b=\frac{6a}{a+2} .........(2)\)
শর্তমতে, \(ab=6\)
\(\Rightarrow a\frac{6a}{a+2}=6\) ➜Note \(\because b=\frac{6a}{a-2}\)
\(\Rightarrow \frac{6a^{2}}{a+2}=6\)
\(\Rightarrow 6a^{2}=6a+12\)
\(\Rightarrow 6a^{2}-6a-12=0\)
\(\Rightarrow 6(a^{2}-a-2)=0\)
\(\Rightarrow a^{2}-a-2=\frac{0}{6}\) ➜Note উভয় পার্শে \(6\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow a^{2}-2a+a-2=0\)
\(\Rightarrow a(a-2)+1(a-2)=0\)
\(\Rightarrow (a-2)(a+1)=0\)
\(\Rightarrow a-2=0, \ a+1=0\)
\(\Rightarrow a=2, \ a=-1\)
\((2)\) হতে যখন \(a=2 \Rightarrow b=\frac{6.2}{2+2}\)
\(\Rightarrow b=\frac{12}{4}\)
\(\therefore b=3\)
\((2)\) হতে যখন \(a=-1 \Rightarrow b=\frac{6.(-1)}{-1+2}\)
\(\Rightarrow b=\frac{-6}{1}\)
\(\therefore b=-6\)
\(\therefore (1)\) নং সমীকরণে \(a\) ও \(b\) এর মান বসিয়ে ।
যখন \(a=2, b=3\) সরলরেখার সমীকরণ \(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1\)
\(\Rightarrow \frac{3x+2y}{6}=1\)
\(\Rightarrow 3x+2y=6\)
\(\therefore 3x+2y-6=0\)
যখন \(a=-1, b=-6\) সরলরেখার সমীকরণ \(\frac{x}{-1}+\frac{y}{-6}=1\)
\(\Rightarrow \frac{6x+y}{-6}=1\)
\(\Rightarrow 6x+y=-6\)
\(\therefore 6x+y+6=0\)
\(\therefore \) রেখাটির সমীকরণ \(6x+y-6=0\) বা, \(6x+y+6=0\)।

শর্তমতে, সরলরেখাটির সমীকরণ হবে \(\frac{x}{a}+\frac{y}{\pm a}=1\)।
\(\Rightarrow \frac{x}{a}\pm \frac{y}{a}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x\pm y}{a}=1\)
\(\Rightarrow x\pm y=a\)
\(\Rightarrow x+y=a .........(1)\)
\(\Rightarrow x-y=a .........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) উভয় সরলরেখা \(A(\alpha, \beta)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\((1)\) ও \((2)\) হতে যথাক্রমে \(\alpha+\beta=a \) এবং \(\alpha-\beta=a \)
\(\Rightarrow a=\alpha+\beta\) এবং \(a=\alpha-\beta \)
\((1)\) ও \((2)\) নং সমীকরণ হতে পাই।
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ \(x+y=\alpha+\beta\) বা, \(x-y=\alpha-\beta \)।

শর্তমতে, সরলরেখাটির সমীকরণ হবে \(\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1\)।
\(\Rightarrow \frac{x+y}{a}=1\)
\(\Rightarrow x+y=a .........(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখটি \((-3, 8)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore -3+8=a \)
\(\Rightarrow 5=a \)
\(\Rightarrow a=5\)
\((1)\) নং সমীকরণ হতে পাই।
\(x+y=5\)
\(\therefore x+y-5=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

শর্তমতে, সরলরেখাটির সমীকরণ হবে \(\frac{x}{a}+\frac{y}{-a}=1\)।
\(\Rightarrow \frac{x}{a}-\frac{y}{a}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x-y}{a}=1\)
\(\Rightarrow x-y=a .........(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখটি \((3, 7)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore 3-7=a \)
\(\Rightarrow -4=a \)
\(\Rightarrow a=-4\)
\((1)\) নং সমীকরণ হতে পাই।
\(x-y=-4\)
\(\therefore x-y+4=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

শর্তমতে, সরলরেখাটির সমীকরণ হবে \(\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1\)।
\(\Rightarrow \frac{x+y}{a}=1\)
\(\Rightarrow x+y=a ..........(1)\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{y}{\sqrt{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}\) ➜Note উভয় পার্শে \(\sqrt{(x \ এর \ সহগ)^{2}+(y \ এর \ সহগ)^{2}}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow x\frac{1}{\sqrt{2}}+y\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow x\cos\alpha+y\sin\alpha=p\) যেখানে \(\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}}, \ \sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}}, \ p=\frac{a}{\sqrt{2}}\)
\(\therefore p=\frac{a}{\sqrt{2}}=4\)
\(\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{2}}=4\)
\(\Rightarrow a=4\sqrt{2}\)
\((1)\) সমীকরণ হতে পাই।
\(\therefore x+y=4\sqrt{2}\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

মনে করি, সরলরেখাটির সমীকরণ \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 .........(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((1, 4)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে ।
\(\therefore \frac{1}{a}+\frac{4}{b}=1\)
\(\Rightarrow \frac{b+4a}{ab}=1\)
\(\Rightarrow b+4a=ab\)
\(\Rightarrow b+4a-ab=0\)
\(\Rightarrow -b(a-1)=-4a\)
\(\Rightarrow b=\frac{-4a}{-(a-1)}\)
\(\therefore b=\frac{4a}{a-1} .........(2)\)
শর্তমতে, \(\frac{1}{2}ab=8\)
\(ab=8\times 2\)
\(\Rightarrow a\frac{4a}{a-1}=16\) ➜Note \(\because b=\frac{6a}{a-2}\)
\(\Rightarrow \frac{4a^{2}}{a-1}=16\)
\(\Rightarrow 4a^{2}=16a-16\)
\(\Rightarrow 4a^{2}-16a+16=0\)
\(\Rightarrow 4(a^{2}-4a+4)=0\)
\(\Rightarrow a^{2}-4a+4=\frac{0}{4}\) ➜Note উভয় পার্শে \(4\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow (a-2)^{2}=0\)
\(\Rightarrow (a-2)=\sqrt{0}\)
\(\Rightarrow (a-2)=0\)
\(\Rightarrow a=2\)
\((2)\) হতে যখন \(a=2 \Rightarrow b=\frac{4.2}{2-1}\)
\(\Rightarrow b=\frac{8}{1}\)
\(\therefore b=8\)
\(\therefore (1)\) নং সমীকরণে \(a\) ও \(b\) এর মান বসিয়ে ।
\(\frac{x}{2}+\frac{y}{8}=1\)
\(\Rightarrow \frac{4x+y}{8}=1\)
\(\therefore 4x+y=8\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

মনে করি,
\(6x-y-1=0 .........(1)\)
\(2x-5y-5=0 .........(2)\)
\(A(h, k)\) ও \(B(k, h)\) বিন্দুদ্বয় যথাক্রমে \((1)\) ও \((2)\) এর উপর অবস্থিত তাই।
\((1)\) ও \((2)\) হতে পাই।
\(6h-k-1=0 .........(3)\)
এবং
\(2k-5h-5=0\)
\(\Rightarrow -5h+2k-5=0 .........(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) সমীকরণদ্বয় সমাধান করি।
\(\frac{h}{(-1).(-5)-(-1).2}=\frac{k}{(-1).(-5)-6.(-5)}=\frac{1}{6.2-(-1).(-5)}\)
\(\Rightarrow \frac{h}{5+2}=\frac{k}{5+30}=\frac{1}{12-5}\)
\(\Rightarrow \frac{h}{7}=\frac{k}{35}=\frac{1}{7}\)
\(\Rightarrow \frac{h}{7}=\frac{1}{7}, \ \frac{k}{35}=\frac{1}{7}\)
\(\Rightarrow h=\frac{1}{7}\times 7, \ k=\frac{1}{7}\times 35\)
\(\therefore h=1, \ k=5\)
\(\therefore A(h, k), B(k, h)\Rightarrow A(1, 5), B(5, 1)\)
\(AB\) এর সমীকরণ \(\frac{x-1}{1-5}=\frac{y-5}{5-1}\)
\(\Rightarrow \frac{x-1}{-4}=\frac{y-5}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{x-1}{-1}=\frac{y-5}{1}\)
\(\Rightarrow x-1=-(y-5)\)
\(\Rightarrow x-1=-y+5\)
\(\Rightarrow x-1+y-5=0\)
\(\Rightarrow x+y-6=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

মনে করি,
\(x=a .........(1)\)
\(y=b .........(2)\)
\(y=mx ........(3)\)
\((1)\) ও \((2)\) ছেদ বিন্দু \(A(a, b)\)
\((2)\) ও \((3)\) ছেদ বিন্দু \(B(\frac{b}{m}, b)\) ➜Note \(y=b, \ y=mx\Rightarrow b=mx\Rightarrow x=\frac{b}{m}\)
\((1)\) ও \((3)\) ছেদ বিন্দু \(C(a, ma)\) ➜Note \(x=a, \ y=mx\Rightarrow y=ma\)
\(\triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}a \ \ \ \ \frac{b}{m} \ \ \ \ a \ \ \ \ a\\b \ \ \ \ b \ \ \ \ ma \ \ \ \ b\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{a.b-(\frac{b}{m}).b+(\frac{b}{m}).(ma)-a.b+a.b-a.(ma)\}\)
\(=\frac{1}{2}\{ab-\frac{b^{2}}{m}+ab-ab+ab-a^{2}m\}\)
\(=\frac{1}{2}\{2ab-\frac{b^{2}}{m}-a^{2}m\}\)
\(=-\frac{1}{2}\{\frac{b^{2}}{m}-2ab+a^{2}m\}\)
\(=\frac{1}{2}\{\frac{b^{2}-2abm+a^{2}m^{2}}{m}\}\) ➜Note \(\triangle \neq -ve\)
\(=\frac{1}{2m}\{b^{2}-2abm+a^{2}m^{2}\}\)
\(=\frac{1}{2m}\{b^{2}-2b.ma+(ma)^{2}\}\)
\(\therefore \triangle ABC=\frac{1}{2m}(b-ma)^{2}\)
[ দেখানো হলো ]

মনে করি, সরলরেখাটির সমীকরণ \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=p ........(1)\)
দেওয়া আছে, \(p=5, \alpha=120^{o}\)
\(\therefore (1)\) হতে পাই।
\(x\cos120^{o}+y\sin120^{o}=5\)
\(\Rightarrow x\cos(90^{o}\times 2-60^{o})+y\sin(90^{o}\times 2-60^{o})=5\)
\(\Rightarrow -x\cos60^{o}+y\sin60^{o}=5\)
\(\Rightarrow -x\frac{1}{2}+y\frac{\sqrt{3}}{2}=5\)
\(\Rightarrow x-\sqrt{3}y=5\times -2\) ➜Note উভয় পার্শে \(-2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow x-\sqrt{3}y=-10\)
\(\therefore x-\sqrt{3}y+10=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

মনে করি, সরলরেখাটির সমীকরণ \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 .........(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A(a, 0)\) ও \(B(0, b)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
অর্থাৎ \(OA=a, OB=b\)
আবার,
\((1)\) নং সরলরেখা \((-2, -3)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে ।
\(\therefore \frac{-2}{a}+\frac{-3}{b}=1\)
\(\Rightarrow \frac{-2b-3a}{ab}=1\)
\(\Rightarrow -2b-3a=ab\)
\(\Rightarrow -2b-3a-ab=0\)
\(\Rightarrow -b(a+2)=3a\)
\(\Rightarrow b=\frac{3a}{-(a+2)}\)
\(\therefore b=-\frac{3a}{a+2} .........(2)\)
শর্তমতে, \(OA+2.OB=0\)
\(a+2b=0\) ➜Note \(\because OA=a, \ OB=b\)
\(\Rightarrow a-2\frac{3a}{a+2}=0\) ➜Note \(\because b=\frac{6a}{a-2}\)
\(\Rightarrow \frac{a^{2}+2a-6a}{a+2}=0\)
\(\Rightarrow a^{2}-6a=0\)
\(\Rightarrow a(a-6)=0\)
\(\Rightarrow a\neq 0, a-6=0\)
\(\Rightarrow a=6\)
\((2)\) হতে যখন \(a=6 \Rightarrow b=-\frac{3.6}{6+2}\)
\(\Rightarrow b=-\frac{18}{8}\)
\(\therefore b=-\frac{9}{4}\)
\(\therefore (1)\) নং সমীকরণে \(a\) ও \(b\) এর মান বসিয়ে ।
\(\frac{x}{6}+\frac{y}{-\frac{9}{4}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{6}-\frac{4y}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{3x-8y}{18}=1\)
\(\therefore 3x-8y=18\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

শর্তমতে, সরলরেখাটির সমীকরণ হবে \(\frac{x}{a}+\frac{y}{-a}=1\).
\(\Rightarrow \frac{x}{a}-\frac{y}{a}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x-y}{a}=1\)
\(\Rightarrow x-y=a .........(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখটি \(A(2, 5)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore 2-5=a \)
\(\Rightarrow -3=a \)
\(\Rightarrow a=-3\)
\((1)\) নং সমীকরণ হতে পাই।
\(x-y=-3\)
\(\therefore x-y+3=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
ধরি, বিন্দুটির ভুজ=\(x\)
\(\therefore \) বিন্দুটির কটি \(2x\)
\(\therefore \) বিন্দুটি \(P(x, 2x)\)
\(P\) বিন্দুটি নির্ণেয় সরলরেখা \(x-y=-3\) এর উপর অবস্থিত তাই।
\(x-2x=-3\)
\(\Rightarrow -x=-3\)
\(\Rightarrow x=3\)
\(\therefore \) নির্ণেয় বিন্দুটি \(P(3, 2\times 3)\)
\(\Rightarrow P(3, 6)\) ইহাই নির্ণেয় বিন্দু।

মনে করি, সরলরেখাটির সমীকরণ \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=p ........(1)\)
দেওয়া আছে, \(\alpha=30^{o}\)
\((1)\) হতে পাই।
\(x\cos30^{o}+y\sin30^{o}=p\)
\(\Rightarrow x\frac{\sqrt{3}}{2}+y\frac{1}{2}=p\)
\(\Rightarrow \frac{x\sqrt{3}}{2p}+\frac{y}{2p}=\frac{p}{p}\) ➜Note উভয় পার্শে \(p\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x}{\frac{2p}{\sqrt{3}}}+\frac{y}{2p}=1 .........(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A(\frac{2p}{\sqrt{3}}, 0)\) ও \(B(0, 2p)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
অর্থাৎ \(OA=\frac{2p}{\sqrt{3}}, OB=2p\)
\(\therefore \triangle OAB=\frac{50}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}OA\times OB=\frac{50}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}\times \frac{2p}{\sqrt{3}}\times 2p=\frac{50}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \frac{2p^{2}}{\sqrt{3}}=\frac{50}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow p^{2}=\frac{50}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow p^{2}=25\)
\(\Rightarrow p=\sqrt{25}\)
\(\Rightarrow p=5\)
\((2)\) নং সমীকরণে \(p\) এর মান বসিয়ে।
\(\frac{x}{\frac{2\times 5}{\sqrt{3}}}+\frac{y}{2\times 5}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x\sqrt{3}}{10}+\frac{y}{10}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x\sqrt{3}+y}{10}=1\)
\(\Rightarrow x\sqrt{3}+y=10\) ➜Note উভয় পার্শে \(10\) গুণ করে।
\(\therefore \sqrt{3}x+y-10=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

দেওয়া আছে,\(x+2y+7=0\)
\(\Rightarrow x+2y=-7\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-7}+\frac{2y}{-7}=\frac{-7}{-7}\) ➜Note উভয় পার্শে \(7\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x}{-7}+\frac{y}{-\frac{7}{2}}=1 .........(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A(-7, 0)\) ও \(B(0, -\frac{7}{2})\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \((\frac{-7+0}{2}, \frac{0-\frac{7}{2}}{2})\)
\(\Rightarrow (\frac{-7}{2}, \frac{-\frac{7}{2}}{2})\)
\(\Rightarrow (-\frac{7}{2}, -\frac{7}{2}\times \frac{1}{2})\)
\(\therefore (-\frac{7}{2}, -\frac{7}{4})\) ইহাই নির্ণেয় বিন্দুর স্থানাঙ্ক ।
শর্তমতে বর্গের একবাহু \(=AB\)
\(\therefore \) বর্গের ক্ষেত্রফল \(=AB^{2}\)
\(=(-7-0)^{2}+(0+\frac{7}{2})^{2}\)
\(=(-7)^{2}+(\frac{7}{2})^{2}\)
\(=49+\frac{49}{4}\)
\(=49(1+\frac{1}{4})\)
\(=49\times \frac{4+1}{4}\)
\(=49\times \frac{5}{4}\)
\(=\frac{245}{4}\)
\(=61\frac{1}{4}\) বর্গ একক।

ধরি, \(p(x, y)\)
\(\therefore (2t+2, t-4)\Rightarrow (x, y)\)
\(\Rightarrow 2t+2=x, \ t-4=y\)
\(\Rightarrow 2t=x-2, \ t=y+4\)
\(\Rightarrow t=\frac{x-2}{2} ........(1), \ t=y+4 ............(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে পাই।
\(\frac{x-2}{2}=y+4\)
\(\Rightarrow x-2=2(y+4)\)
\(\Rightarrow x-2=2y+8\)
\(\Rightarrow x-2y=8+2\)
\(\Rightarrow x-2y=10\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
আবার, সঞ্চারপথটিকে লিখা যায়।
\( x-2y=10\)
\(\Rightarrow \frac{x}{10}-\frac{2y}{10}=\frac{10}{10}\) ➜Note উভয় পার্শে \(10\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x}{10}+\frac{y}{-5}=1 .........(3)\)
\((3)\) নং সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A(10, 0)\) ও \(B(0, -5)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
অর্থাৎ \(OA=10, OB=-5\)
\(\therefore \triangle OAB=\frac{1}{2}\times OA\times OB\)
\(=\frac{1}{2}\times 10\times -5\)
\(=5\times -5\)
\(=-25\)
\(\therefore \triangle OAB=25\) বর্গ একক। ➜Note \(\because \triangle \neq -ve\)
\(\therefore \) সঞ্চারপথটি অক্ষদ্বয়ের সাথে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন করে তার ক্ষেত্রফল \(=25\) বর্গ একক।

মনে করি,
\(3x+by+1=0 ..........(1)\)
\(ax+6y+1=0 ...........(2)\)
শর্তমতে, \(C(5, 4 )\) বিন্দুটি উভয় সরলরেখার উপর অবস্থিত।
\((1)\) হতে, \(3.5+b.4+1=0\)
\(\Rightarrow 15+4b+1=0\)
\(\Rightarrow 4b+16=0\)
\(\Rightarrow 4b=-16\)
\(\Rightarrow b=\frac{-16}{4}\)
\(\Rightarrow b=-4\)
আবার,
\((2)\) হতে, \(a.5+6.4+1=0\)
\(\Rightarrow 5a+24+1=0\)
\(\Rightarrow 5a+25=0\)
\(\Rightarrow 5a=-25\)
\(\Rightarrow a=\frac{-25}{5}\)
\(\Rightarrow a=-5\)
\(\therefore a=-5, \ b=-4\)
আবার,
\((1)\) নং সরলরেখা যখন \(X\) অক্ষকে \(A\) বিন্দুতে ছেদ করে তখন \(y=0\)।
\((1)\) হতে, \(3x+b.0+1=0\)
\(\Rightarrow 3x+0+1=0\)
\(\Rightarrow 3x+1=0\)
\(\Rightarrow 3x=-1\)
\(\Rightarrow x=\frac{-1}{3}\)
\(\therefore x=-\frac{1}{3}\)
\(\therefore A(-\frac{1}{3}, 0)\)
\((2)\) নং সরলরেখা যখন \(Y\) অক্ষকে \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে তখন \(x=0\)।
\((2)\) হতে, \(a.0+6y+1=0\)
\(\Rightarrow 0+6y+1=0\)
\(\Rightarrow 6y+1=0\)
\(\Rightarrow 6y=-1\)
\(\Rightarrow y=\frac{-1}{6}\)
\(\therefore y=-\frac{1}{6}\)
\(\therefore B(0, -\frac{1}{6})\)
\(AB\) সরলরেখার সমীকরণ \(\frac{x+\frac{1}{3}}{-\frac{1}{3}-0}=\frac{y-0}{0+\frac{1}{6}}\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{3x+1}{3}}{-\frac{1}{3}}=\frac{y}{\frac{1}{6}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+1}{3}\times-\frac{3}{1}=y\times \frac{6}{1}\)
\(\Rightarrow -(3x+1)=6y\)
\(\Rightarrow -3x-1=6y\)
\(\Rightarrow -3x-6y-1=0\)
\(\Rightarrow 3x+6y+1=0\) ➜Note উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\(\therefore AB\) সরলরেখার সমীকরণ \(3x+6y+1=0\).

মনে করি,
\(3x+2y-5=0 ..........(1)\)
\(ax+4y-9=0 ...........(2)\)
\(x+2y-7=0 ...........(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) এর ছেদ বিন্দু নির্ণয় করি।
\(\frac{x}{2.(-7)-(-5).2}=\frac{y}{(-5).1-3.(-7)}=\frac{1}{3.2-2.1}\); বজ্রগুণ করে ।
\(\Rightarrow \frac{x}{-14+10}=\frac{y}{-5+21}=\frac{1}{6-2}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-4}=\frac{y}{16}=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-4}=\frac{1}{4}, \frac{y}{16}=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{4}\times -4, \ y=\frac{1}{4}\times 16\)
\(\Rightarrow x=-1, \ y=4\)
\(\therefore \) ছেদ বিন্দু \((-1, 4)\)
শর্তমতে, \((-1, 4)\) বিন্দুটি \((2)\) নং সরলরেখার উপর অবস্থিত।
\((2)\) হতে পাই ।
\(a.(-1)+4.4-9=0\)
\(\Rightarrow -a+16-9=0\)
\(\Rightarrow -a+7=0\)
\(\Rightarrow -a=-7\)
\(\Rightarrow a=7\)
প্রথম অবস্থাঃ \(a=2\) হলে, \((ii)\) ও \((iii)\) সমান্তরাল হবে।
দ্বিতীয় অবস্থাঃ \(a=6\) হলে, \((i)\) ও \((ii)\) সমান্তরাল হবে।

দেওয়া আছে,
\(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু \(A(1, 1)\), \(B(3, 4)\) এবং \(C(5, -2)\)
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(D(\frac{1+3}{2}, \frac{1+4}{2})\) ➜Note \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow D(\frac{4}{2}, \frac{5}{2})\)
\(\Rightarrow D(2, \frac{5}{2})\)
\(AC\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{1+5}{2}, \frac{1-2}{2})\) ➜Note \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow E(\frac{6}{2}, \frac{-1}{2})\)
\(\Rightarrow E(3, -\frac{1}{2})\)
\(DE\) এর সমীকরণ \(\frac{x-2}{2-3}=\frac{y-\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}+\frac{1}{2}}\) ➜Note \(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{-1}=\frac{\frac{2y-5}{2}}{\frac{5+1}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{-1}=\frac{\frac{2y-5}{2}}{\frac{6}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{-1}=\frac{2y-5}{2}\times\frac{2}{6}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{-1}=\frac{2y-5}{6}\)
\(\Rightarrow 6(x-2)=-(2y-5)\)
\(\Rightarrow 6x-12=-2y+5\)
\(\Rightarrow 6x-12+2y-5=0\)
\(\therefore 6x+2y-17=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
আবার,
\(DE\) এর ঢাল \(m_{1}=-\frac{6}{2}\)
\(=-3\)
\(BC\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{4+2}{3-5}\) ➜Note \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\);\(PQ\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)
\(m_{2}=\frac{6}{-2}\)
\(=-3\)
\(\because m_{1}=m_{2}\)
\(\therefore DE\) ও \(BC\) পরস্পর সমান্তরাল।
[ দেখানো হলো ]

দেওয়া আছে,
\(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু \(A(2, 4)\), \(B(-4, -6)\) এবং \(C(6, -8)\)
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(D(\frac{2-4}{2}, \frac{4-6}{2})\) ➜Note \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow D(\frac{-2}{2}, \frac{-2}{2})\)
\(\Rightarrow D(-1, -1)\)
\(BC\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{-4+6}{2}, \frac{-6-8}{2})\) ➜Note \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow E(\frac{2}{2}, \frac{-14}{2})\)
\(\Rightarrow E(1, -7)\)
\(AC\) এর মধ্যবিন্দু \(F(\frac{2+6}{2}, \frac{4-8}{2})\) ➜Note \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow F(\frac{8}{2}, \frac{-4}{2})\)
\(\Rightarrow F(4, -2)\)
\(ABC\) ত্রিভুজের মধ্যমাগুলি হবে \(AE, BF, CD\)।
এখন,
\(AE\) এর সমীকরণ \(\frac{x-2}{2-1}=\frac{y-4}{4+7}\) ➜Note \(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{1}=\frac{y-4}{11}\)
\(\Rightarrow 11(x-2)=y-4\)
\(\Rightarrow 11x-22=y-4\)
\(\Rightarrow 11x-22-y+4=0\)
\(\Rightarrow 11x-y-18=0\)
\(BF\) এর সমীকরণ \(\frac{x+4}{-4-4}=\frac{y+6}{-6+2}\) ➜Note \(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x+4}{-8}=\frac{y+6}{-4}\)
\(\Rightarrow \frac{x+4}{2}=\frac{y+6}{1}\) ➜Note উভয় পার্শে \(-4\) গুণ করে।
\(\Rightarrow x+4=2(y+6)\)
\(\Rightarrow x+4=2y+12\)
\(\Rightarrow x+4-2y-12=0\)
\(\Rightarrow x-2y-8=0\)
\(CD\) এর সমীকরণ \(\frac{x-6}{6+1}=\frac{y+8}{-8+1}\)
\(\Rightarrow \frac{x-6}{7}=\frac{y+8}{-7}\)
\(\Rightarrow \frac{x-6}{1}=\frac{y+8}{-1}\) ➜Note উভয় পার্শে \(7\) গুণ করে।
\(\Rightarrow x-6=-1(y+8)\)
\(\Rightarrow x-6=-y-8\)
\(\Rightarrow x-6+y+8=0\)
\(\Rightarrow x+y+2=0\)
\(\therefore \) মধ্যমাগুলির সমীকরণ \(11x-y-18=0\), \(x-2y-8=0\), \(x+y+2=0\)।

দেওয়া আছে,
\(BC, AC, AB\) বাহুগুলির মধ্যবিন্দু যথক্রমে \(D(1, 2)\), \(E(4, 4)\) এবং \(F(2, 8)\)।
\(BC\) এবং \(EF\) সমান্তরাল ফলে তাদের ঢালদ্বয় সমান হবে।
\(\therefore BC\) এর ঢাল \(m_{1}=\frac{4-8}{4-2}\) ➜Note \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\);\(PQ\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)
\(=\frac{-4}{2}\)
\(=-2\)
\(\therefore BC\) এর সমীকরণ \(y-2=m_{1}(x-1)\)
\(\Rightarrow y-2=-2(x-1)\)
\(\Rightarrow y-2=-2x+2)\)
\(\Rightarrow y-2+2x-2=0\)
\(\Rightarrow 2x+y-4=0\)
\(AC\) এবং \(DF\) সমান্তরাল ফলে তাদের ঢালদ্বয় সমান হবে।
\(\therefore AC\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{2-8}{1-2}\)
\(=\frac{-6}{-1}\)
\(=6\)
\(\therefore AC\) এর সমীকরণ \(y-4=m_{2}(x-4)\)
\(\Rightarrow y-4=6(x-4)\)
\(\Rightarrow y-4=6x-24)\)
\(\Rightarrow y-4-6x+24=0\)
\(\Rightarrow -6x+y+20=0\)
\(\Rightarrow 6x-y-20=0\) ➜Note উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\(AB\) এবং \(DE\) সমান্তরাল ফলে তাদের ঢালদ্বয় সমান হবে।
\(\therefore AB\) এর ঢাল \(m_{3}=\frac{2-4}{1-4}\)
\(=\frac{-2}{-3}\)
\(=\frac{2}{3}\)
\(\therefore AB\) এর সমীকরণ \(y-8=m_{3}(x-2)\)
\(\Rightarrow y-8=\frac{2}{3}(x-2)\)
\(\Rightarrow 3(y-8)=2(x-2))\)
\(\Rightarrow 3y-24=2x-4=0\)
\(\Rightarrow 3y-24-2x+4=0\)
\(\Rightarrow -2x+3y-20=0\)
\(\Rightarrow 2x-3y+20=0\) ➜Note উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\(\therefore \) ত্রিভুজের বাহুগুলির সমীকরণ \(2x+y-4=0\), \(6x-y-20=0\), \(2x-3y+20=0\)।

দেওয়া আছে, \(OC\) রেখার সমীকরণ \(y=2x .......(1)\)
\(X\) অক্ষ বরাবর \(OA\) অবস্থিত এবং \(B(4, 2)\)।
\(O\) মূলবিন্দু \(CB\) এবং \(OA\) সমান্তরাল । ফলে \(C\) ও \(B\) এর \(y\) স্থানাঙ্ক সমান।
ফলে \(C\) এর \(y\) স্থানাঙ্ক \(2\) ।
\((1)\) হতে \(2=2x\)
\(\Rightarrow 2x=2\)
\(\Rightarrow x=\frac{2}{2}\)
\(\Rightarrow x=1\)
\(\therefore C(1, 2)\)
এখন,
\(CB=\sqrt{(1-4)^{2}+(2-2)^{2}}\)
\(=\sqrt{3^{2}+0^{2}}\)
\(=\sqrt{3^{2}+0}\)
\(=\sqrt{3^{2}}\)
\(=3\)
\(\therefore CB=OA=3\)
\(\therefore A(3, 0)\)
\(AC\) কর্ণের সমীকরণ \(\frac{x-3}{3-1}=\frac{y-0}{0-2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{2}=\frac{y}{-2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{1}=\frac{y}{-1}\) ➜Note উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow x-3=-y\)
\(\Rightarrow x+y-3=0\)
\(\therefore A(3, 0), C(1, 2); x+y-3=0\).

দেওয়া আছে,\(x+by=b\) এবং \(Q(0, -9)\)
\(\Rightarrow \frac{x}{b}+\frac{by}{b}=\frac{b}{b}\) ➜Note উভয় পার্শে \(b\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x}{b}+\frac{y}{1}=1 .........(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখা অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A(b, 0)\) ও \(B(0, 1)\) বিন্দুতে ছেদ করে ফলে \(OA=b, OB=1\) ।
আবার,
\(OA=3.OB\)
\(\Rightarrow b=3.1\)
\(\Rightarrow b=3\)
\(\therefore A(3, 0)\)
\(\therefore AQ\) এর সমীকরণ \(\frac{x-3}{3-0}=\frac{y-0}{0+9}\) ➜Note \(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{3}=\frac{y}{9}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{1}=\frac{y}{3}\) ➜Note উভয় পার্শে \(3\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 3(x-3)=y\)
\(\Rightarrow 3x-9=y\)
\(\therefore 3x-y=9\)
আবার, \(AQ\) এর ঢাল \(m_{1}=-\frac{3}{-1}\)
\(=3\)
\(AB\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{0-1}{3-0}\)
\(=\frac{-1}{3}\)
\(=-\frac{1}{3}\)
এখন,
\(m_{1}m_{2}=3\times -\frac{1}{3}\)
\(=-1\)
\(\because m_{1}m_{2}=-1\)
\(\therefore AQ\perp AB\).

দেওয়া আছে,
\(x=4 ......(1)\)
\(x=8 ......(2)\)
\(y=6 ......(3)\)
\(y=10 ......(4)\)
\((1)\) ও \((3)\) এর ছেদ বিন্দু \(A(4, 6)\)
\((2)\) ও \((3)\) এর ছেদ বিন্দু \(B(8, 6)\)
\((2)\) ও \((4)\) এর ছেদ বিন্দু \(C(8, 10)\)
\((1)\) ও \((4)\) এর ছেদ বিন্দু \(D(4, 10)\)
\(AC\) এর সমীকরণ \(\frac{x-4}{4-8}=\frac{y-6}{6-10}\)
\(\Rightarrow \frac{x-4}{-4}=\frac{y-6}{-4}\)
\(\Rightarrow x-4=y-6\) ➜Note উভয় পার্শে \(-4\) গুণ করে।
\(\Rightarrow x-4-y+6=0\)
\(\therefore x-y+2=0\)
\(BD\) এর সমীকরণ \(\frac{x-8}{8-4}=\frac{y-6}{6-10}\)
\(\Rightarrow \frac{x-8}{4}=\frac{y-6}{-4}\)
\(\Rightarrow x-8=-1(y-6)\) ➜Note উভয় পার্শে \(4\) গুণ করে।
\(\Rightarrow x-8=-y+6)\)
\(\Rightarrow x-8+y-6=0\)
\(\therefore x+y-14=0\)
\(\therefore \) কর্ণদ্বয়ের সমীকরণ \(x-y+2=0\), \(x+y-14=0\)।

দেওয়া আছে, \(PR\) ও \(QS\) রেখাদ্বয়ের সমীকরণ যথাক্রমে \(4x+3y+6=0\) এবং \(x+2y-1=0\)
\(\Rightarrow 4x+3y=-6\)
\(\Rightarrow \frac{4x}{-6}+\frac{3y}{-6}=\frac{-6}{-6}\) ➜Note উভয় পার্শে \(-6\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{2x}{-3}+\frac{y}{-2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\frac{-3}{2}}+\frac{y}{-2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-\frac{3}{2}}+\frac{y}{-2}=1 ........(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখা অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(P(-\frac{3}{2}, 0)\) ও \(R(0, -2)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
আবার,
\(x+2y-1=0\)
\(\Rightarrow x+2y=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{1}+\frac{2y}{1}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{1}+\frac{y}{\frac{1}{2}}=1 ........(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(Q(1, 0)\) ও \(S(0, \frac{1}{2})\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(PQ=\sqrt{(-\frac{3}{2}-1)^{2}+(0-0)^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{3}{2}+1)^{2}+0^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{3+2}{2})^{2}+0}\)
\(=\sqrt{(\frac{5}{2})^{2}}\)
\(=\frac{5}{2}\)
\(RS=\sqrt{(0-0)^{2}+(-2-\frac{1}{2})^{2}}\)
\(=\sqrt{0^{2}+(2+\frac{1}{2})^{2}}\)
\(=\sqrt{0+(\frac{4+1}{2})^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{5}{2})^{2}}\)
\(=\frac{5}{2}\)
\(\therefore PQ=RS\)
[ দেখানো হলো ]

দেওয়া আছে, \((2, -1)\) বিন্দুগামী সরলরেখা ঢাল \(-\frac{3}{4}\)
ধরি সরলরেখাটি \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\alpha \) কোণ উৎপন্ন করে ।
তবে,
\(m=\tan\alpha=-\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow \tan\alpha=-\frac{3}{4} \Rightarrow \sin\alpha=\frac{3}{5}, \ \cos\alpha=-\frac{4}{5}\) অথবা, \( \sin\alpha=-\frac{3}{5}, \ \cos\alpha=\frac{4}{5}\)
এ ক্ষেত্রে সরলরেখাটির সমীকরণ হবে নিম্নরূপ।
\(\frac{x-2}{\cos\alpha}=\frac{y+1}{\sin\alpha}=15\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{\cos\alpha}=15, \ \frac{y+1}{\sin\alpha}=15\)
\(\Rightarrow x-2=15\cos\alpha, \ y+1=15\sin\alpha\)
\(\Rightarrow x=15\cos\alpha+2, \ y=15\sin\alpha-1\)
যখন, \(\sin\alpha=\frac{3}{5}, \ \cos\alpha=-\frac{4}{5}\) তখন, \( x=15\times -\frac{4}{5}+2, \ y=15\times \frac{3}{5}-1\)
\(\Rightarrow x=-12+2, \ y=9-1\)
\(\therefore x=-10, \ y=8\)
যখন, \(\sin\alpha=-\frac{3}{5}, \ \cos\alpha=\frac{4}{5}\) তখন, \( x=15\times \frac{4}{5}+2, \ y=15\times -\frac{3}{5}-1\)
\(\Rightarrow x=12+2, \ y=-9-1\)
\(\therefore x=14, \ y=-10\)
\(\therefore \) নির্ণেয় বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((-10, 8\) এবং \((14, -10)\) ।

দেওয়া আছে, \(A(3, -\frac{7}{2})\) বিন্দুগামী সরলরেখা ঢাল \(-\frac{5}{12}\)
ধরি সরলরেখাটি \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\alpha \) কোণ উৎপন্ন করে এবং \(P(x, y)\) ।
তবে,
\(m=\tan\alpha=\frac{5}{12}\)
\(\Rightarrow \tan\alpha=\frac{5}{12} \Rightarrow \sin\alpha=\frac{5}{13}, \ \cos\alpha=\frac{12}{13}\) অথবা, \( \sin\alpha=-\frac{5}{13}, \ \cos\alpha=-\frac{12}{13}\)
এ ক্ষেত্রে সরলরেখাটির সমীকরণ হবে নিম্নরূপ।
\(\frac{x-3}{\cos\alpha}=\frac{y+\frac{7}{2}}{\sin\alpha}=\frac{13}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{\cos\alpha}=\frac{13}{2}, \ \frac{\frac{2y+7}{2}}{\sin\alpha}=\frac{13}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{\cos\alpha}=\frac{13}{2}, \ \frac{2y+7}{2\sin\alpha}=\frac{13}{2}\)
\(\Rightarrow x-3=\frac{13\cos\alpha}{2}, \ \frac{2y+7}{\sin\alpha}=13\)
\(\Rightarrow x=\frac{13\cos\alpha}{2}+3, \ 2y+7=13\sin\alpha\)
\(\Rightarrow x=\frac{13\cos\alpha}{2}+3, \ 2y=13\sin\alpha-7\)
\(\Rightarrow x=\frac{13\cos\alpha}{2}+3, \ y=\frac{13\sin\alpha-7}{2}\)
যখন, \(\sin\alpha=\frac{5}{13}, \ \cos\alpha=\frac{12}{13}\) তখন, \( x=\frac{13\times \frac{12}{13}}{2}+3, \ y=\frac{13\times \frac{5}{13}-7}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{12}{2}+3, \ y=\frac{5-7}{2}\)
\(\therefore x=6+3, \ y=\frac{-2}{2}\)
\(\therefore x=9, \ y=-1\)
যখন, \(\sin\alpha=-\frac{5}{13}, \ \cos\alpha=-\frac{12}{13}\) তখন, \( x=\frac{13\times -\frac{12}{13}}{2}+3, \ y=\frac{13\times -\frac{5}{13}-7}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-12}{2}+3, \ y=\frac{-5-7}{2}\)
\(\therefore x=-6+3, \ y=\frac{-12}{2}\)
\(\therefore x=-3, \ y=-6\)
\(\therefore \) নির্ণেয় বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((9, -1)\), \((-3. -6)\) ।

মনে করি, জিনিসের সংখ্যা \(=x\) এবং খরচ \(=y\)
তাহলে,
\(A(75, 350)\Rightarrow (x_{1}, y_{1})\) এবং \(B(100, 400)\Rightarrow (x_{2}, y_{2})\)
\(AB\) এর সমীকরণ \(\frac{x-75}{75-100}=\frac{y-350}{350-400}\)
\(\Rightarrow \frac{x-75}{-25}=\frac{y-350}{-50}\)
\(\Rightarrow x-75=\frac{y-350}{2}\) ➜Note উভয় পার্শে \(-25\) গুণ করে।
\(\Rightarrow y-350=2(x-75)\)
\(\Rightarrow y-350=2x-150\)
\(\Rightarrow y=2x-150+350\)
\(\therefore y=2x+200\) ইহাই নির্ণেয় সরলরৈখিক সম্পর্ক ।
আবার,
\(x=150\) হলে, উপরক্ত সমীকরণ হতে পাই।
\(y=2\times 150+200\)
\(\Rightarrow y=300+200\)
\(\therefore y=500\)
\(\therefore \) খরচ \(500\) টাকা ।

\((a)\)
দেওয়া আছে, \( \theta=135^{o}\)
\(\Rightarrow m=\tan\theta=\tan135^{o}\)
\(\Rightarrow m=\tan135^{o}\)
\(\Rightarrow m=\tan(90^{o}\times 2-45^{o})\)
\(\Rightarrow m=-\tan45^{o}\) ➜Note দ্বিতীয় চৌকোণে \(\tan\) অনুপাত ঋণাত্মক
\(\Rightarrow m=-1\) ➜Note \(\because \tan45^{o}=1\)
এখন,
মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ \(y=mx\)।
\(\Rightarrow y=-1\times x\)
\(\Rightarrow y=-x\)
\(\therefore x+y=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\((b)\) মনে করি, সরলরেখাটির সমীকরণ \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 ........(1)\) ।
\((1)\) নং সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A(a, 0)\) ও \(B(0, b)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(AB\) কে \(5:3\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে এরূপ বিন্দু \(E(\frac{5.0+3.a}{5+3}, \frac{5.b+3.0}{5+3})\) ➜Note \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow E(\frac{0+3a}{8}, \frac{5b+0}{8})\)
\(\Rightarrow E(\frac{3a}{8}, \frac{5b}{8})\)
শর্তমতে, \(E(\frac{3a}{8}, \frac{5b}{8}) \Rightarrow E(-4, 3)\)
\(\Rightarrow \frac{3a}{8}=-4, \frac{5b}{8}=3\)
\(\Rightarrow 3a=-32, 5b=24\)
\(\Rightarrow a=\frac{-32}{3}, b=\frac{24}{5}\)
\(\Rightarrow a=-\frac{32}{3}, b=\frac{24}{5}\)
\((1)\) নং সমীকরণ হতে পাই।
\(\frac{x}{-\frac{32}{3}}+\frac{y}{\frac{24}{5}}=1\)
\(\frac{3x}{-32}+\frac{5y}{24}=1\)
\(\Rightarrow \frac{-9x+20y}{96}=1\)
\(\Rightarrow -9x+20y=96\)
\(\Rightarrow -9x+20y-96=0\)
\(\therefore 9x-20y+96=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\((c)\) মনে করি, সরলরেখাটির সমীকরণ \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=p ........(1)\)
দেওয়া আছে, \(\alpha=45^{o}\)
\((1)\) হতে পাই।
\(x\cos45^{o}+y\sin45^{o}=p\)
\(\Rightarrow x\frac{1}{\sqrt{2}}+y\frac{1}{\sqrt{2}}=p\)
\(\Rightarrow x\frac{1}{p\sqrt{2}}+y\frac{1}{p\sqrt{2}}=\frac{p}{p}\) ➜Note উভয় পার্শে \(p\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x}{p\sqrt{2}}+\frac{y}{p\sqrt{2}}=1 .........(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A(p\sqrt{2}, 0)\) ও \(B(0, p\sqrt{2})\) বিন্দুতে ছেদ করে।
অর্থাৎ \(OA=p\sqrt{2}, OB=p\sqrt{2}\)
\(\therefore \triangle OAB=8\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}OA\times OB=8\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}\times p\sqrt{2}\times p\sqrt{2}=8\)
\(\Rightarrow \frac{2p^{2}}{2}=8\)
\(\Rightarrow p^{2}=8\)
\(\Rightarrow p=\pm \sqrt{8}\)
\(\Rightarrow p=\pm \sqrt{2\times 4}\)
\(\Rightarrow p=\pm 2\sqrt{2}\)
\((2)\) নং সমীকরণে \(p\) এর মান বসিয়ে।
\(\frac{x}{\pm 2\sqrt{2}.\sqrt{2}}+\frac{y}{\pm 2\sqrt{2}.\sqrt{2}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\pm 2.2}+\frac{y}{\pm 2.2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\pm 4}+\frac{y}{\pm 4}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x+y}{\pm 4}=1\)
\(\Rightarrow x+y=\pm 4\) ➜Note উভয় পার্শে \(\pm 4\) গুণ করে।
\(\Rightarrow x+y\pm 4=0\)
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ \(x+y+4=0\) বা, \(x+y-4=0\)

\((a)\) চিত্র হতে।
\(A(3, 0), B(0, 4)\)
অর্থাৎ
\(X\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(a=3\)
\(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(b=4\)
\(AB\) এর সমীকরণ \(\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1\) ➜Note \(\because \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)
\(\Rightarrow \frac{4x+3y}{12}=1\)
\(\therefore 4x+3y=12\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।