এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
- অসমান্তরাল সরলরেখা
- দুইটি অসমান্তরাল সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ
- দুইটি সরলরেখার পরস্পর লম্ব এবং সমান্তরাল হওয়ার শর্ত
- দুইটি সরলরেখার ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ
- নির্দিষ্ট বিন্দু এবং দুইটি সরলরেখার ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ
- একটি নির্দিষ্ট সরলরেখার সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ
- একটি নির্দিষ্ট সরলরেখার উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ
- তিনটি সরলরেখার সমবিন্দু তথা এক বিন্দুতে মিলিত হওয়ার শর্ত
- সমাধানকৃত উদাহরণমালা
- অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন-উত্তর
- সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন-উত্তর
- বর্ণনামূলক প্রশ্ন-উত্তর
- সৃজনশীল প্রশ্ন এবং সমাধান
অসমান্তরাল সরলরেখাঃ
যদি একই সমতলে অবস্থিত দুই বা ততোধিক সরলরেখা চলার পথে কোনো একটি বিন্দুতে মিলিত হয় তবে তাদেরকে অসমান্তরাল সরলরেখা বলা হয়।
প্রয়োজনীয় এবং স্মরণীয় সূত্রসমূহ।
দুইটি অসমান্তরাল সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ
\(1.\) দুইটি অসমান্তরাল সরলরেখা উভয়ই \(Y\) অক্ষের অসমান্তরাল হলে, তাদের মধ্যবর্তী কোণঃ
ধরি,
\(y=m_{1}x+c_{1} ........(1)\)
\(y=m_{2}x+c_{2} ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণঃ
\(\theta=tan^{-1}\left(\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}\right)\).
এখানে,
\((1)\) নং সরলরেখার ঢাল \(=m_{1}\)
\((2)\) নং সরলরেখার ঢাল \(=m_{2}\)
\(y=m_{1}x+c_{1} ........(1)\)
\(y=m_{2}x+c_{2} ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণঃ
\(\theta=tan^{-1}\left(\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}\right)\).
এখানে,
\((1)\) নং সরলরেখার ঢাল \(=m_{1}\)
\((2)\) নং সরলরেখার ঢাল \(=m_{2}\)
সরলরেখাদ্বয়ের আকার সাধারণ হলে
অর্থাৎ রেখাদ্বয়,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণঃ
\(\theta=tan^{-1}\left(\pm \frac{a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}}{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}}\right)\).
এখানে,
\((1)\) নং সরলরেখার ঢাল \(=-\frac{a_{1}}{b_{1}}\)
\((2)\) নং সরলরেখার ঢাল \(=-\frac{a_{2}}{b_{2}}\)
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণঃ
\(\theta=tan^{-1}\left(\pm \frac{a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}}{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}}\right)\).
এখানে,
\((1)\) নং সরলরেখার ঢাল \(=-\frac{a_{1}}{b_{1}}\)
\((2)\) নং সরলরেখার ঢাল \(=-\frac{a_{2}}{b_{2}}\)
\(2.\) দুইটি সরলরেখার পরস্পর লম্ব এবং সমান্তরাল হওয়ার শর্ত
ধরি,
\(y=m_{1}x+c_{1} ........(1)\)
\(y=m_{2}x+c_{2} ........(2)\)
\((a) \ (1)\) ও \((2)\) সরলরেখার পরস্পর সমান্তরাল হওয়ার শর্তঃ \(m_{1}=m_{2}\). \((b) \ (1)\) ও \((2)\) সরলরেখার পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্তঃ \(m_{1}\times m_{2}=-1\).
\(y=m_{1}x+c_{1} ........(1)\)
\(y=m_{2}x+c_{2} ........(2)\)
\((a) \ (1)\) ও \((2)\) সরলরেখার পরস্পর সমান্তরাল হওয়ার শর্তঃ \(m_{1}=m_{2}\). \((b) \ (1)\) ও \((2)\) সরলরেখার পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্তঃ \(m_{1}\times m_{2}=-1\).
সরলরেখাদ্বয়ের আকার সাধারণ হলে
অর্থাৎ রেখাদ্বয়,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
\((a) \ (1)\) ও \((2)\) সরলরেখার পরস্পর সমান্তরাল হওয়ার শর্তঃ \(a_{1}b_{2}=a_{2}b_{1}\). \((b) \ (1)\) ও \((2)\) সরলরেখার পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্তঃ \(a_{1}a_{2}+ b_{1}b_{2}=0\).
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
\((a) \ (1)\) ও \((2)\) সরলরেখার পরস্পর সমান্তরাল হওয়ার শর্তঃ \(a_{1}b_{2}=a_{2}b_{1}\). \((b) \ (1)\) ও \((2)\) সরলরেখার পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্তঃ \(a_{1}a_{2}+ b_{1}b_{2}=0\).
\(3.\) দুইটি সরলরেখার ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ
ধরি,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণঃ
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}+k(a_{2}x+b_{2}y+c_{2})=0\).
এখানে,
\(k\) শুন্য ব্যাতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা। ইহাকে ইচ্ছামূলক ধ্রুবক (Arbitrary Constant) ও বলা হয়ে থাকে।
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণঃ
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}+k(a_{2}x+b_{2}y+c_{2})=0\).
এখানে,
\(k\) শুন্য ব্যাতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা। ইহাকে ইচ্ছামূলক ধ্রুবক (Arbitrary Constant) ও বলা হয়ে থাকে।
\(4.\) একটি নির্দিষ্ট বিন্দু এবং দুইটি সরলরেখার ছেদবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ
ধরি,
নির্দিষ্ট বিন্দুটি \(P(x_{1}, y_{1})\) এবং সরলরেখা দ্বয়,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
\(P(x_{1}, y_{1})\) বিন্দু এবং \((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণঃ
\(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1}}=\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2}}\).
নির্দিষ্ট বিন্দুটি \(P(x_{1}, y_{1})\) এবং সরলরেখা দ্বয়,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
\(P(x_{1}, y_{1})\) বিন্দু এবং \((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণঃ
\(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1}}=\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2}}\).
\(5.\) একটি নির্দিষ্ট সরলরেখার সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ
\(6.\) একটি নির্দিষ্ট সরলরেখার উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ
\(7.\) তিনটি সরলরেখার সমবিন্দু তথা এক বিন্দুতে মিলিত হওয়ার শর্ত
ধরি, সরলরেখা তিনটি ,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
\(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0 ........(3)\)
\((1)\) , \((2)\) , \((3)\) নং সরলরেখাত্রয় সমবিন্দু হবে যদি , \(\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|=0\) হয় ।
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
\(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0 ........(3)\)
\((1)\) , \((2)\) , \((3)\) নং সরলরেখাত্রয় সমবিন্দু হবে যদি , \(\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|=0\) হয় ।
\(1.\) দুইটি অসমান্তরাল সরলরেখা উভয়ই \(Y\) অক্ষের অসমান্তরাল হলে, তাদের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয়ঃ
ধরি,
\(y=m_{1}x+c_{1} ........(1)\)
\(y=m_{2}x+c_{2} ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\).
\(BC\Rightarrow (1)\) ও \(AC\Rightarrow (2)\) রেখাদ্বয় পরস্পর \(C\) বিন্দুতে এবং অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(B\) ও \(A\) ছেদ করে ।
\((1)\) ও \((2)\) সরলরেখাদ্বয় অক্ষদ্বয়ের সহিত যথাক্রমে \(\theta_{1}\) ও \(\theta_{2}\) কোণ উৎপন্ন করে।
\(\therefore m_{1}=\tan\theta_{1}, \ m_{2}=\tan\theta_{2}\)
এখানে,
\(\angle ACB=\theta, \ \angle CBA=\theta_{1}, \ \angle CAX=\theta_{2},\)
\(\angle ACB+\angle CBA=\angle CAX\) ➜ ত্রিভুজের একবাহু বর্ধিত করায় উৎপন্ন বহিঃ কোণ, অন্তস্ত অপর দুই কোণের যোগফলের সমান।
\(\Rightarrow \theta+\theta_{1}=\theta_{2}\)
\(\Rightarrow \theta=\theta_{2}-\theta_{1}\)
\(\therefore \theta=-(\theta_{1}-\theta_{2}) ........(3)\)
আবার বিপরীতক্রমে,
\(BC\Rightarrow (2)\) ও \(AC\Rightarrow (1)\) বিবেচনা করে ।
\(\angle ACB+\angle CBA=\angle CAX\)
\(\Rightarrow \theta+\theta_{2}=\theta_{1}\)
\(\Rightarrow \theta=\theta_{1}-\theta_{2}\)
\(\therefore \theta=\theta_{1}-\theta_{2} ...........(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) সমন্বয় করে,
\(\theta=\pm (\theta_{1}-\theta_{2}) ...........(5)\)
\(\Rightarrow \tan\theta=\tan\pm (\theta_{1}-\theta_{2})\) ➜ উভয় পার্শে \(\tan\) অনুপাত নিয়ে।
\(\Rightarrow \tan\theta=\pm \tan(\theta_{1}-\theta_{2})\)
\(\Rightarrow \tan\theta=\pm \frac{\tan\theta_{1}-\tan\theta_{2}}{1+\tan\theta_{1}\tan\theta_{2}}\)
\(\Rightarrow \tan\theta=\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}\) ➜ \(\because m_{1}=\tan\theta_{1}, \ m_{2}=\tan\theta_{2}\)
\(\therefore \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})\)
\(y=m_{1}x+c_{1} ........(1)\)
\(y=m_{2}x+c_{2} ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\).
\(BC\Rightarrow (1)\) ও \(AC\Rightarrow (2)\) রেখাদ্বয় পরস্পর \(C\) বিন্দুতে এবং অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(B\) ও \(A\) ছেদ করে ।
\((1)\) ও \((2)\) সরলরেখাদ্বয় অক্ষদ্বয়ের সহিত যথাক্রমে \(\theta_{1}\) ও \(\theta_{2}\) কোণ উৎপন্ন করে।
\(\therefore m_{1}=\tan\theta_{1}, \ m_{2}=\tan\theta_{2}\)
এখানে,
\(\angle ACB=\theta, \ \angle CBA=\theta_{1}, \ \angle CAX=\theta_{2},\)
\(\angle ACB+\angle CBA=\angle CAX\) ➜ ত্রিভুজের একবাহু বর্ধিত করায় উৎপন্ন বহিঃ কোণ, অন্তস্ত অপর দুই কোণের যোগফলের সমান।
\(\Rightarrow \theta+\theta_{1}=\theta_{2}\)
\(\Rightarrow \theta=\theta_{2}-\theta_{1}\)
\(\therefore \theta=-(\theta_{1}-\theta_{2}) ........(3)\)
আবার বিপরীতক্রমে,
\(BC\Rightarrow (2)\) ও \(AC\Rightarrow (1)\) বিবেচনা করে ।
\(\angle ACB+\angle CBA=\angle CAX\)
\(\Rightarrow \theta+\theta_{2}=\theta_{1}\)
\(\Rightarrow \theta=\theta_{1}-\theta_{2}\)
\(\therefore \theta=\theta_{1}-\theta_{2} ...........(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) সমন্বয় করে,
\(\theta=\pm (\theta_{1}-\theta_{2}) ...........(5)\)
\(\Rightarrow \tan\theta=\tan\pm (\theta_{1}-\theta_{2})\) ➜ উভয় পার্শে \(\tan\) অনুপাত নিয়ে।
\(\Rightarrow \tan\theta=\pm \tan(\theta_{1}-\theta_{2})\)
\(\Rightarrow \tan\theta=\pm \frac{\tan\theta_{1}-\tan\theta_{2}}{1+\tan\theta_{1}\tan\theta_{2}}\)
\(\Rightarrow \tan\theta=\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}\) ➜ \(\because m_{1}=\tan\theta_{1}, \ m_{2}=\tan\theta_{2}\)
\(\therefore \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})\)
\(2.\)দুইটি সরলরেখার পরস্পর সমান্তরাল হওয়ার শর্ত নির্ণয়ঃ
ধরি,
\(y=m_{1}x+c_{1} ........(1)\)
\(y=m_{2}x+c_{2} ........(2)\)
\( (1)\) ও \((2)\) সরলরেখার ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}\) ও \(m_{2}\)
\((a)\) সরলরেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল হবে যদি তাদের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta=0\) হয়।
\(\therefore \tan^{-1}(\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})=0\)
\(\Rightarrow \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}=\tan0\)
\(\Rightarrow \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}=0\) ➜ \(\because \tan0=0\)
\(\Rightarrow m_{1}-m_{2}=0\times (1+m_{1}m_{2})\)
\(\Rightarrow m_{1}-m_{2}=0\)
\(\therefore m_{1}=m_{2}\) ইহাই সমান্তরাল হওয়ার শর্ত।
\((b)\) সরলরেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে যদি তাদের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta=90^{o}\) হয়।
\(\therefore \tan^{-1}(\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})=90^{o}\)
\(\Rightarrow \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}=\tan90^{o}\)
\(\Rightarrow \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}=\infty\) ➜ \(\because \tan90^{o}=\infty\)
\(\Rightarrow \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}=\frac{1}{0}\) ➜ \(\because \infty=\frac{1}{0}\)
\(\Rightarrow 1+m_{1}m_{2}=0\times (m_{1}-m_{2})\)
\(\Rightarrow 1+m_{1}m_{2}=0\)
\(\therefore m_{1}m_{2}=-1\) ইহাই লম্ব হওয়ার শর্ত।
\(y=m_{1}x+c_{1} ........(1)\)
\(y=m_{2}x+c_{2} ........(2)\)
\( (1)\) ও \((2)\) সরলরেখার ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}\) ও \(m_{2}\)
\((a)\) সরলরেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল হবে যদি তাদের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta=0\) হয়।
\(\therefore \tan^{-1}(\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})=0\)
\(\Rightarrow \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}=\tan0\)
\(\Rightarrow \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}=0\) ➜ \(\because \tan0=0\)
\(\Rightarrow m_{1}-m_{2}=0\times (1+m_{1}m_{2})\)
\(\Rightarrow m_{1}-m_{2}=0\)
\(\therefore m_{1}=m_{2}\) ইহাই সমান্তরাল হওয়ার শর্ত।
\((b)\) সরলরেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে যদি তাদের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta=90^{o}\) হয়।
\(\therefore \tan^{-1}(\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})=90^{o}\)
\(\Rightarrow \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}=\tan90^{o}\)
\(\Rightarrow \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}=\infty\) ➜ \(\because \tan90^{o}=\infty\)
\(\Rightarrow \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}=\frac{1}{0}\) ➜ \(\because \infty=\frac{1}{0}\)
\(\Rightarrow 1+m_{1}m_{2}=0\times (m_{1}-m_{2})\)
\(\Rightarrow 1+m_{1}m_{2}=0\)
\(\therefore m_{1}m_{2}=-1\) ইহাই লম্ব হওয়ার শর্ত।
\(3.\) দুইটি সরলরেখার ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয়ঃ
ধরি,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু \((x_{1}, y_{1})\)
\(\therefore (1)\) ও \((2)\) হতে পাই,
\(a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1}=0 ........(3)\)
\(a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2}=0\)
\(\Rightarrow k(a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2})=0........(4)\) ➜ \(\because \infty=\frac{1}{0}\)
এখানে,
\(k\) শুন্য ব্যাতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা। ইহাকে ইচ্ছামূলক ধ্রুবক (Arbitrary Constant) ও বলা হয়ে থাকে।
\((3)\) ও \((4)\) যোগ করে পাই,
\(a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1}+k(a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2})=0........(5)\)
\(\Rightarrow a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1}+ka_{2}x_{1}+kb_{2}y_{1}+kc_{2}=0\)
\(\Rightarrow (a_{1}+ka_{2})x_{1}+(b_{1}+kb_{2})y_{1}+(c_{1}+kc_{2})=0\)
\(\Rightarrow (a_{1}+ka_{2})x+(b_{1}+kb_{2})y+(c_{1}+kc_{2})=0\)
ইহা স্পষ্ট যে \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুটি \((5)\) নং সমীকরণকে সিদ্ধ করে। সমীকরণটি \(x, \ y\) এর একঘাত সমীকরণ তাই ইহা একটি সরলরেখা নির্দেশ করে। অতএব, \((5)\) নং সরলরেখাটি \((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রান্ত একটি সরলরেখা। প্রকৃতপক্ষে \(k\) এর বিভিন্ন মানের \((k\neq 0)\) জন্য \((5)\) সরলরেখাটি বিভিন্ন সরলরেখা প্রকাশ করে; যাদের প্রত্যেকটি \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু \((x_{1}, y_{1})\)
\(\therefore (1)\) ও \((2)\) হতে পাই,
\(a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1}=0 ........(3)\)
\(a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2}=0\)
\(\Rightarrow k(a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2})=0........(4)\) ➜ \(\because \infty=\frac{1}{0}\)
এখানে,
\(k\) শুন্য ব্যাতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা। ইহাকে ইচ্ছামূলক ধ্রুবক (Arbitrary Constant) ও বলা হয়ে থাকে।
\((3)\) ও \((4)\) যোগ করে পাই,
\(a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1}+k(a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2})=0........(5)\)
\(\Rightarrow a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1}+ka_{2}x_{1}+kb_{2}y_{1}+kc_{2}=0\)
\(\Rightarrow (a_{1}+ka_{2})x_{1}+(b_{1}+kb_{2})y_{1}+(c_{1}+kc_{2})=0\)
\(\Rightarrow (a_{1}+ka_{2})x+(b_{1}+kb_{2})y+(c_{1}+kc_{2})=0\)
ইহা স্পষ্ট যে \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুটি \((5)\) নং সমীকরণকে সিদ্ধ করে। সমীকরণটি \(x, \ y\) এর একঘাত সমীকরণ তাই ইহা একটি সরলরেখা নির্দেশ করে। অতএব, \((5)\) নং সরলরেখাটি \((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রান্ত একটি সরলরেখা। প্রকৃতপক্ষে \(k\) এর বিভিন্ন মানের \((k\neq 0)\) জন্য \((5)\) সরলরেখাটি বিভিন্ন সরলরেখা প্রকাশ করে; যাদের প্রত্যেকটি \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(4.\) একটি নির্দিষ্ট বিন্দু এবং দুইটি সরলরেখার ছেদবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয়ঃ
ধরি,
নির্দিষ্ট বিন্দুটি \(P(x_{1}, y_{1})\) এবং সরলরেখা দ্বয়,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ ,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}+k(a_{2}x+b_{2}y+c_{2})=0 ........(3)\)
এখানে,
\(k\) শুন্য ব্যাতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা। ইহাকে ইচ্ছামূলক ধ্রুবক (Arbitrary Constant) ও বলা হয়ে থাকে।
\((3)\) নং সরলরেখাটি \(P(x_{1}, y_{1})\) বিন্দু দিয়ে যায়,
\(\therefore a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1}+k(a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2})=0\)
\(\Rightarrow k(a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2})=-(a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1})\)
\(\therefore k=-\frac{a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1}}{a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2}}\)
\(k\) এর এই মান \((3)\) সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}+(-\frac{a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1}}{a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2}})(a_{2}x+b_{2}y+c_{2})=0\)
\(\Rightarrow a_{1}x+b_{1}y+c_{1}-\frac{a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1}}{a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2}}(a_{2}x+b_{2}y+c_{2})=0\)
\(\Rightarrow a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=\frac{a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1}}{a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2}}(a_{2}x+b_{2}y+c_{2})\)
\(\therefore \frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1}}=\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2}}\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
নির্দিষ্ট বিন্দুটি \(P(x_{1}, y_{1})\) এবং সরলরেখা দ্বয়,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ ,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}+k(a_{2}x+b_{2}y+c_{2})=0 ........(3)\)
এখানে,
\(k\) শুন্য ব্যাতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা। ইহাকে ইচ্ছামূলক ধ্রুবক (Arbitrary Constant) ও বলা হয়ে থাকে।
\((3)\) নং সরলরেখাটি \(P(x_{1}, y_{1})\) বিন্দু দিয়ে যায়,
\(\therefore a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1}+k(a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2})=0\)
\(\Rightarrow k(a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2})=-(a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1})\)
\(\therefore k=-\frac{a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1}}{a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2}}\)
\(k\) এর এই মান \((3)\) সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}+(-\frac{a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1}}{a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2}})(a_{2}x+b_{2}y+c_{2})=0\)
\(\Rightarrow a_{1}x+b_{1}y+c_{1}-\frac{a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1}}{a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2}}(a_{2}x+b_{2}y+c_{2})=0\)
\(\Rightarrow a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=\frac{a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1}}{a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2}}(a_{2}x+b_{2}y+c_{2})\)
\(\therefore \frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1}}=\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2}}\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(5.\) একটি নির্দিষ্ট সরলরেখার সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয়ঃ
ধরি,
নির্দিষ্ট সরলরেখাটি,
\(ax+by+c=0 ........(1)\)
\(\Rightarrow by=-ax-c\)
\(\Rightarrow y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}\)
\(\therefore (1)\) এর ঢাল \(=-\frac{a}{b}\)
\(\therefore (1)\) এর সমান্তরাল সরলরেখার ঢাল \(=-\frac{a}{b}\) হবে।
ফলে \((1)\) নং সরলরেখার সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ \(y=-\frac{a}{b}x+d\)
\(\Rightarrow y=-\frac{ax}{b}+d\)
\(\Rightarrow y=\frac{-ax+bd}{b}\)
\(\Rightarrow by=-ax+bd\)
\(\Rightarrow ax+by-bd=0\)
\(\Rightarrow ax+by+k=0\) যেখানে \(-bd=k\); \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা। ইহাকে ইচ্ছামূলক ধ্রুবক (Arbitrary Constant) ও বলা হয়ে থাকে।
\(\therefore ax+by+k=0, \ (1)\) নং সরলরেখার সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ।
নির্দিষ্ট সরলরেখাটি,
\(ax+by+c=0 ........(1)\)
\(\Rightarrow by=-ax-c\)
\(\Rightarrow y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}\)
\(\therefore (1)\) এর ঢাল \(=-\frac{a}{b}\)
\(\therefore (1)\) এর সমান্তরাল সরলরেখার ঢাল \(=-\frac{a}{b}\) হবে।
ফলে \((1)\) নং সরলরেখার সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ \(y=-\frac{a}{b}x+d\)
\(\Rightarrow y=-\frac{ax}{b}+d\)
\(\Rightarrow y=\frac{-ax+bd}{b}\)
\(\Rightarrow by=-ax+bd\)
\(\Rightarrow ax+by-bd=0\)
\(\Rightarrow ax+by+k=0\) যেখানে \(-bd=k\); \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা। ইহাকে ইচ্ছামূলক ধ্রুবক (Arbitrary Constant) ও বলা হয়ে থাকে।
\(\therefore ax+by+k=0, \ (1)\) নং সরলরেখার সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ।
\(6.\) একটি নির্দিষ্ট সরলরেখার উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয়ঃ
ধরি,
নির্দিষ্ট সরলরেখাটি,
\(ax+by+c=0 ........(1)\)
\(\Rightarrow by=-ax-c\)
\(\Rightarrow y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}\)
\(\therefore (1)\) এর ঢাল \(=-\frac{a}{b}\)
\(\therefore (1)\) এর উপর লম্ব সরলরেখার ঢাল \(=\frac{b}{a}\) হবে।
ফলে \((1)\) নং সরলরেখার উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ \(y=\frac{b}{a}x+d\)
\(\Rightarrow y=\frac{bx}{a}+d\)
\(\Rightarrow y=\frac{bx+ad}{a}\)
\(\Rightarrow ay=bx+ad\)
\(\Rightarrow -bx+ay-ad=0\)
\(\Rightarrow bx-ay+ad=0\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\(\Rightarrow bx-ay+k=0\) যেখানে \(ad=k\); \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা। ইহাকে ইচ্ছামূলক ধ্রুবক (Arbitrary Constant) ও বলা হয়ে থাকে।
\(\therefore bx-ay+k=0, \ (1)\) নং সরলরেখার উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ।
নির্দিষ্ট সরলরেখাটি,
\(ax+by+c=0 ........(1)\)
\(\Rightarrow by=-ax-c\)
\(\Rightarrow y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}\)
\(\therefore (1)\) এর ঢাল \(=-\frac{a}{b}\)
\(\therefore (1)\) এর উপর লম্ব সরলরেখার ঢাল \(=\frac{b}{a}\) হবে।
ফলে \((1)\) নং সরলরেখার উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ \(y=\frac{b}{a}x+d\)
\(\Rightarrow y=\frac{bx}{a}+d\)
\(\Rightarrow y=\frac{bx+ad}{a}\)
\(\Rightarrow ay=bx+ad\)
\(\Rightarrow -bx+ay-ad=0\)
\(\Rightarrow bx-ay+ad=0\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\(\Rightarrow bx-ay+k=0\) যেখানে \(ad=k\); \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা। ইহাকে ইচ্ছামূলক ধ্রুবক (Arbitrary Constant) ও বলা হয়ে থাকে।
\(\therefore bx-ay+k=0, \ (1)\) নং সরলরেখার উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ।
\(7.\) তিনটি সরলরেখার সমবিন্দু তথা এক বিন্দুতে মিলিত হওয়ার শর্ত নির্ণয়ঃ
ধরি, সরলরেখা তিনটি ,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
\(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0 ........(3)\)
\((2)\) ও \((3)\) ( বজ্রগুণ পদ্ধতিতে ) সমাধান করি,
\(\frac{x}{b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2}}=\frac{y}{a_{3}c_{2}-a_{2}c_{3}}=\frac{1}{a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2}}=\frac{1}{a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}}, \ \frac{y}{a_{3}c_{2}-a_{2}c_{3}}=\frac{1}{a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}}\)
\(\Rightarrow x=\frac{b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2}}{a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}}, \ y=\frac{a_{3}c_{2}-a_{2}c_{3}}{a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}}\)
\(\therefore (2)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দু \(P(\frac{b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2}}{a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}}, \frac{a_{3}c_{2}-a_{2}c_{3}}{a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}})\)
শর্তমতে ,\(P\) বিন্দুটি \(\) নং সমীকরণকে সিদ্ধ করবে।
\(a_{1}\frac{b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2}}{a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}}+b_{1}\frac{a_{3}c_{2}-a_{2}c_{3}}{a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}}+c_{1}=0\)
\(\Rightarrow \frac{a_{1}(b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2})}{a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}}+\frac{b_{1}(a_{3}c_{2}-a_{2}c_{3})}{a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}}+c_{1}=0\)
\(\Rightarrow a_{1}(b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2})+b_{1}(a_{3}c_{2}-a_{2}c_{3})+c_{1}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})=0\) ➜ উভয় পার্শে \(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\) গুণ করে
\(\Rightarrow \left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|=0\)
ইহাই নির্ণেয় শর্ত।
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
\(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0 ........(3)\)
\((2)\) ও \((3)\) ( বজ্রগুণ পদ্ধতিতে ) সমাধান করি,
\(\frac{x}{b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2}}=\frac{y}{a_{3}c_{2}-a_{2}c_{3}}=\frac{1}{a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2}}=\frac{1}{a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}}, \ \frac{y}{a_{3}c_{2}-a_{2}c_{3}}=\frac{1}{a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}}\)
\(\Rightarrow x=\frac{b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2}}{a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}}, \ y=\frac{a_{3}c_{2}-a_{2}c_{3}}{a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}}\)
\(\therefore (2)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দু \(P(\frac{b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2}}{a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}}, \frac{a_{3}c_{2}-a_{2}c_{3}}{a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}})\)
শর্তমতে ,\(P\) বিন্দুটি \(\) নং সমীকরণকে সিদ্ধ করবে।
\(a_{1}\frac{b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2}}{a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}}+b_{1}\frac{a_{3}c_{2}-a_{2}c_{3}}{a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}}+c_{1}=0\)
\(\Rightarrow \frac{a_{1}(b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2})}{a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}}+\frac{b_{1}(a_{3}c_{2}-a_{2}c_{3})}{a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}}+c_{1}=0\)
\(\Rightarrow a_{1}(b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2})+b_{1}(a_{3}c_{2}-a_{2}c_{3})+c_{1}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})=0\) ➜ উভয় পার্শে \(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\) গুণ করে
\(\Rightarrow \left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|=0\)
ইহাই নির্ণেয় শর্ত।
অনুশীলনী \(3.F\) উদাহরণসমুহ
উদাহরণ \(1.\) এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((1, 2)\) বিন্দুগামী এবং \((a) \ 3x-4y+8=0\) রেখার উপর লম্ব হয়। \((b) \ 3x-4y+8=0 \) রেখার সমান্তরাল হয়।
উদাহরণ \(2.\) \(2x-y+2=0\) এবং \(x+3y-6=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং অক্ষদ্বয় থেকে একই চিহ্ন বিশিষ্ট সমান অংশ ছেদ করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(3.\) \(2x+by+4=0\), \(4x-y-2b=0\) এবং \(3x+y-1=0\) রেখাত্রয় সমবিন্দু হলে, \(b\) এর মান নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(4.\) \((2, -1)\) বিন্দু হতে \(3x-4y+5=0\)রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০০৫, ২০০৭, ২০১২, যঃ ২০০৬, ২০১২, কুঃ ২০০৪, চঃ ২০০৭, ২০১০, রাঃ ২০১২, দিঃ ২০১২ ]
উদাহরণ \(5.\) দুইটি সরলরেখা \((1, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(2x+y=7\) রেখার সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। তাদের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(6.\) দুইটি সরলরেখা \((3, 4)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(x-y+4=0\) রেখার সাথে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। তাদের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[সিঃ ২০১০, কুঃ ২০০৬, ২০১৩, দিঃ ২০১১ ]
উদাহরণ \(7.\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(2x-7y+11=0\) ও \(x+3y-8=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
[ সিঃ ২০১১,যঃ ২০১২ ]
উদাহরণ \(8.\) \(AB\) ও \(AC\) রেখাদুইটির সমীকরণ যথাক্রমে \(y=2x+1\) ও \(y=4x-1\)। \(AB\) এর উপর অঙ্কিত লম্ব \(AP\)এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০৬, সিঃ ২০০৮, কুঃ ২০১২, বঃ ২০১২, ২০১৫, যঃ ২০১৩। ]
উদাহরণ \(9.\) \(x-3y+2=0\), \(x-6y+3=0\), \(ax+by+1=0\) ও \(x+ay=0\) সরলরেখাচতুষ্টয় সমবিন্দু হলে, \(a\) ও \(b\) এর মান নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(2.\) \(2x-y+2=0\) এবং \(x+3y-6=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং অক্ষদ্বয় থেকে একই চিহ্ন বিশিষ্ট সমান অংশ ছেদ করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(3.\) \(2x+by+4=0\), \(4x-y-2b=0\) এবং \(3x+y-1=0\) রেখাত্রয় সমবিন্দু হলে, \(b\) এর মান নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(4.\) \((2, -1)\) বিন্দু হতে \(3x-4y+5=0\)রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০০৫, ২০০৭, ২০১২, যঃ ২০০৬, ২০১২, কুঃ ২০০৪, চঃ ২০০৭, ২০১০, রাঃ ২০১২, দিঃ ২০১২ ]
উদাহরণ \(5.\) দুইটি সরলরেখা \((1, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(2x+y=7\) রেখার সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। তাদের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(6.\) দুইটি সরলরেখা \((3, 4)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(x-y+4=0\) রেখার সাথে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। তাদের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[সিঃ ২০১০, কুঃ ২০০৬, ২০১৩, দিঃ ২০১১ ]
উদাহরণ \(7.\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(2x-7y+11=0\) ও \(x+3y-8=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
[ সিঃ ২০১১,যঃ ২০১২ ]
উদাহরণ \(8.\) \(AB\) ও \(AC\) রেখাদুইটির সমীকরণ যথাক্রমে \(y=2x+1\) ও \(y=4x-1\)। \(AB\) এর উপর অঙ্কিত লম্ব \(AP\)এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০৬, সিঃ ২০০৮, কুঃ ২০১২, বঃ ২০১২, ২০১৫, যঃ ২০১৩। ]
উদাহরণ \(9.\) \(x-3y+2=0\), \(x-6y+3=0\), \(ax+by+1=0\) ও \(x+ay=0\) সরলরেখাচতুষ্টয় সমবিন্দু হলে, \(a\) ও \(b\) এর মান নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(10.\) \(A(2, 1)\) এবং \(B(5, 2)\) বিন্দু দুইটির সংযোগ রেখাংশের লম্ব সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর। রেখাটি \(Y\) অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[যঃ ২০০৮, চঃ ২০০৮, রাঃ ২০১১, বঃ ২০০৭, ঢঃ ২০১০ ]
উদাহরণ \(11.\) \(k\) এর মান যাই হক না কেন \((1+2k)x+(2-k)y+(3+7k)=0\) সরলরেখাটি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যায় তা নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(12.\) \(2x+3y-1=0\) এবং \(x-2y+3=0\) রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্ণকোণটি নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(13.\) এমন একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(2x+3y+4=0\) এবং \(3x+4y-5=0\) রেখাদুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(6x-7y+8=0\) রেখার উপর লম্ব হয়।
উদাহরণ \(14.\) এমন একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(5x-3y-7=0\) এবং \(4x+y-9=0\) রেখাদুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(13x-y-1=0\) রেখার সমান্তরাল হয়।
উদাহরণ \(15.\) \(4x-2y+7=0\) সরলরেখার উপর এমন একটি বিন্দু নির্ণয় কর যা \((2, 3)\) ও \((-2, 4)\) বিন্দু দুইটি থেকে সমদূরবর্তী।
উদাহরণ \(16.\) একটি আলোক রশ্মি \(x-2y-3=0\) সরলরেখা বরাবর পাঠানো হয়। \(3x-2y-5=0\) সরলরেখাতে আসার পর তা থেকে প্রতিফলিত হয়। প্রতিফলিত রশ্মি বরাবর সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(17.\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((-3, -2)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(2x+3y=3\) সরলরেখার উপর লম্ব হয়। মূলবিন্দু এবং উপরোক্ত রেখা দুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এরূপ রেখাটিরও সমীকরণ নির্ণয় কর।
[কুঃ ২০১৪ ]
উদাহরণ \(18.\) দেখাও যে, \((a, b)\) ও \((c, d)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার লম্বদ্বিখন্ডকের সমীকরণ \((a-c)x+(b-d)y=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})\)
[ বঃ ২০০১ ]
[যঃ ২০০৮, চঃ ২০০৮, রাঃ ২০১১, বঃ ২০০৭, ঢঃ ২০১০ ]
উদাহরণ \(11.\) \(k\) এর মান যাই হক না কেন \((1+2k)x+(2-k)y+(3+7k)=0\) সরলরেখাটি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যায় তা নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(12.\) \(2x+3y-1=0\) এবং \(x-2y+3=0\) রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্ণকোণটি নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(13.\) এমন একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(2x+3y+4=0\) এবং \(3x+4y-5=0\) রেখাদুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(6x-7y+8=0\) রেখার উপর লম্ব হয়।
উদাহরণ \(14.\) এমন একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(5x-3y-7=0\) এবং \(4x+y-9=0\) রেখাদুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(13x-y-1=0\) রেখার সমান্তরাল হয়।
উদাহরণ \(15.\) \(4x-2y+7=0\) সরলরেখার উপর এমন একটি বিন্দু নির্ণয় কর যা \((2, 3)\) ও \((-2, 4)\) বিন্দু দুইটি থেকে সমদূরবর্তী।
উদাহরণ \(16.\) একটি আলোক রশ্মি \(x-2y-3=0\) সরলরেখা বরাবর পাঠানো হয়। \(3x-2y-5=0\) সরলরেখাতে আসার পর তা থেকে প্রতিফলিত হয়। প্রতিফলিত রশ্মি বরাবর সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(17.\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((-3, -2)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(2x+3y=3\) সরলরেখার উপর লম্ব হয়। মূলবিন্দু এবং উপরোক্ত রেখা দুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এরূপ রেখাটিরও সমীকরণ নির্ণয় কর।
[কুঃ ২০১৪ ]
উদাহরণ \(18.\) দেখাও যে, \((a, b)\) ও \((c, d)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার লম্বদ্বিখন্ডকের সমীকরণ \((a-c)x+(b-d)y=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})\)
[ বঃ ২০০১ ]
উদাহরণ \(1.\) এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((1, 2)\) বিন্দুগামী এবং \((a) \ 3x-4y+8=0\) রেখার উপর লম্ব হয়। \((b) \ 3x-4y+8=0 \) রেখার সমান্তরাল হয়।
সমাধানঃ
\((a)\) \( 3x-4y+8=0 .....(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখার উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(4x+3y+k=0 .....(2)\) ➜ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা \((1, 2)\) বিন্দু দিয়ে যায়,
\(4.1+3.2+k=0\)
\(\Rightarrow 4+6+k=0\)
\(\Rightarrow 10+k=0\)
\(\therefore k=-10\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে পাই,
\(4x+3y-10=0\)
\(\therefore 4x+3y-10=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\((b)\) \( 3x-4y+8=0 .....(3)\)
\((3)\) নং সরলরেখার সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x-4y+k=0 .....(4)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \((1, 2)\) বিন্দু দিয়ে যায়,
\(3.1-4.2+k=0\)
\(\Rightarrow 3-8+k=0\)
\(\Rightarrow -5+k=0\)
\(\therefore k=5\)
\(k\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে পাই,
\(3x-4y+5=0\)
\(\therefore 3x-4y+5=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\((1)\) নং সরলরেখার উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(4x+3y+k=0 .....(2)\) ➜ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।\((2)\) নং সরলরেখা \((1, 2)\) বিন্দু দিয়ে যায়,
\(4.1+3.2+k=0\)
\(\Rightarrow 4+6+k=0\)
\(\Rightarrow 10+k=0\)
\(\therefore k=-10\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে পাই,
\(4x+3y-10=0\)
\(\therefore 4x+3y-10=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\((b)\) \( 3x-4y+8=0 .....(3)\)
\((3)\) নং সরলরেখার সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x-4y+k=0 .....(4)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \((1, 2)\) বিন্দু দিয়ে যায়,
\(3.1-4.2+k=0\)
\(\Rightarrow 3-8+k=0\)
\(\Rightarrow -5+k=0\)
\(\therefore k=5\)
\(k\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে পাই,
\(3x-4y+5=0\)
\(\therefore 3x-4y+5=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
উদাহরণ \(2.\) \(2x-y+2=0\) এবং \(x+3y-6=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং অক্ষদ্বয় থেকে একই চিহ্ন বিশিষ্ট সমান অংশ ছেদ করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
মনে করি, \(2x-y+2=0........(1)\).
\(x+3y-6=0........(2)\).
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x-y+2+k(x+3y-6)=0........(3)\)
\(\Rightarrow 2x-y+2+kx+3ky-6k=0\)
\(\Rightarrow (2+k)x+(3k-1)y+2-6k=0\)
\(\Rightarrow (2+k)x+(3k-1)y=6k-2\)
\(\Rightarrow \frac{(2+k)x}{6k-2}+\frac{(3k-1)y}{6k-2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\frac{6k-2}{2+k}}+\frac{y}{\frac{6k-2}{3k-1}}=1\)
এখানে,
\(X\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(=\frac{6k-2}{2+k}\)
\(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(=\frac{6k-2}{3k-1}\)
শর্তমতে,
\(\frac{6k-2}{2+k}=\frac{6k-2}{3k-1}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2+k}=\frac{1}{3k-1}\) ➜ \(\because 6k-2\neq 0\) উভয় পার্শে \(6k-2\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow 3k-1=2+k\)
\(\Rightarrow 3k-k=2+1\)
\(\Rightarrow 2k=3\)
\(\Rightarrow k=\frac{3}{2}\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে পাই,
\(2x-y+2+\frac{3}{2}(x+3y-6)=0\)
\(\Rightarrow 2(2x-y+2)+3(x+3y-6)=0\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 4x-2y+4+3x+9y-18=0\)
\(\Rightarrow 7x+7y-14=0\)
\(\Rightarrow x+y-2=0\) ➜ উভয় পার্শে \(7\) ভাগ করে।
\(\therefore x+y-2=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(x+3y-6=0........(2)\).
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x-y+2+k(x+3y-6)=0........(3)\)
\(\Rightarrow 2x-y+2+kx+3ky-6k=0\)
\(\Rightarrow (2+k)x+(3k-1)y+2-6k=0\)
\(\Rightarrow (2+k)x+(3k-1)y=6k-2\)
\(\Rightarrow \frac{(2+k)x}{6k-2}+\frac{(3k-1)y}{6k-2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\frac{6k-2}{2+k}}+\frac{y}{\frac{6k-2}{3k-1}}=1\)
এখানে,
\(X\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(=\frac{6k-2}{2+k}\)
\(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(=\frac{6k-2}{3k-1}\)
শর্তমতে,
\(\frac{6k-2}{2+k}=\frac{6k-2}{3k-1}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2+k}=\frac{1}{3k-1}\) ➜ \(\because 6k-2\neq 0\) উভয় পার্শে \(6k-2\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow 3k-1=2+k\)
\(\Rightarrow 3k-k=2+1\)
\(\Rightarrow 2k=3\)
\(\Rightarrow k=\frac{3}{2}\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে পাই,
\(2x-y+2+\frac{3}{2}(x+3y-6)=0\)
\(\Rightarrow 2(2x-y+2)+3(x+3y-6)=0\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 4x-2y+4+3x+9y-18=0\)
\(\Rightarrow 7x+7y-14=0\)
\(\Rightarrow x+y-2=0\) ➜ উভয় পার্শে \(7\) ভাগ করে।
\(\therefore x+y-2=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
উদাহরণ \(3.\) \(2x+by+4=0\), \(4x-y-2b=0\) এবং \(3x+y-1=0\) রেখাত্রয় সমবিন্দু হলে, \(b\) এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
মনে করি, \(2x+by+4=0 .......(1)\)
\(4x-y-2b=0 .......(2)\)
\(3x+y-1=0 .......(3)\)
\((1), \ (2)\) ও \((3)\) সমবিন্দু হবে যদি,
\(\left|\begin{array}{c}2 \ \ \ \ \ \ b \ \ \ \ \ \ 4\\4 \ -1 \ -2b\\3 \ \ \ \ \ \ 1 \ \ -1\end{array}\right|=0\) হয়।
\(\Rightarrow 2{(-1).(-1)-1.(-2b)}-b{4.(-1)-(-2b).3}\)\(+4{4.1-(-1).3}=0\)
\(\Rightarrow 2{1+2b}-b{-4+6b}+4{4+3}=0\)
\(\Rightarrow 2+4b+4b-6b^{2}+4.7=0\)
\(\Rightarrow 2+8b-6b^{2}+28=0\)
\(\Rightarrow -6b^{2}+8b+30=0\)
\(\Rightarrow 3b^{2}-4b-15=0\) ➜ উভয় পার্শে \(-2\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow 3b^{2}-9b+5b-15=0\)
\(\Rightarrow 3b(b-3)+5(b-3)=0\)
\(\Rightarrow (b-3)(3b+5)=0\)
\(\Rightarrow b-3=0\) বা, \( 3b+5=0\)
\(\Rightarrow b=3\) বা, \( 3b=-5\)
\(\therefore b=3\) বা, \( b=-\frac{5}{3}\)
\(4x-y-2b=0 .......(2)\)
\(3x+y-1=0 .......(3)\)
\((1), \ (2)\) ও \((3)\) সমবিন্দু হবে যদি,
\(\left|\begin{array}{c}2 \ \ \ \ \ \ b \ \ \ \ \ \ 4\\4 \ -1 \ -2b\\3 \ \ \ \ \ \ 1 \ \ -1\end{array}\right|=0\) হয়।
\(\Rightarrow 2{(-1).(-1)-1.(-2b)}-b{4.(-1)-(-2b).3}\)\(+4{4.1-(-1).3}=0\)
\(\Rightarrow 2{1+2b}-b{-4+6b}+4{4+3}=0\)
\(\Rightarrow 2+4b+4b-6b^{2}+4.7=0\)
\(\Rightarrow 2+8b-6b^{2}+28=0\)
\(\Rightarrow -6b^{2}+8b+30=0\)
\(\Rightarrow 3b^{2}-4b-15=0\) ➜ উভয় পার্শে \(-2\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow 3b^{2}-9b+5b-15=0\)
\(\Rightarrow 3b(b-3)+5(b-3)=0\)
\(\Rightarrow (b-3)(3b+5)=0\)
\(\Rightarrow b-3=0\) বা, \( 3b+5=0\)
\(\Rightarrow b=3\) বা, \( 3b=-5\)
\(\therefore b=3\) বা, \( b=-\frac{5}{3}\)
উদাহরণ \(4.\) \((2, -1)\) বিন্দু হতে \(3x-4y+5=0\)রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০০৫, ২০০৭, ২০১২, যঃ ২০০৬, ২০১২, কুঃ ২০০৪, চঃ ২০০৭, ২০১০, রাঃ ২০১২, দিঃ ২০১২ ]
[ সিঃ ২০০৫, ২০০৭, ২০১২, যঃ ২০০৬, ২০১২, কুঃ ২০০৪, চঃ ২০০৭, ২০১০, রাঃ ২০১২, দিঃ ২০১২ ]
সমাধানঃ
মনে করি, \(3x-4y+5=0 .......(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(4x+3y+k=0 .......(2)\) ➜ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা \((2, -1)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(4.2+3.(-1)+k=0\)
\(\Rightarrow 8-3+k=0\)
\(\Rightarrow 5+k=0\)
\(\therefore k=-5\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে পাই,
\(4x+3y-5=0 .......(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) সমাধান করি,
\(\frac{x}{(-4).(-5)-5.3}=\frac{y}{5.4-3.(-5)}=\frac{1}{3.3-(-4).4}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{20-15}=\frac{y}{20+15}=\frac{1}{9+16}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{5}=\frac{y}{35}=\frac{1}{25}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{5}=\frac{1}{25}, \ \frac{y}{35}=\frac{1}{25}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{25}\times 5, \ y=\frac{1}{25}\times 35\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{5}, \ y=\frac{7}{5}\)
\(\therefore \) পাদবিদুর স্থানাঙ্ক \((\frac{1}{5}, \frac{7}{5})\)।
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(4x+3y+k=0 .......(2)\) ➜ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা \((2, -1)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(4.2+3.(-1)+k=0\)
\(\Rightarrow 8-3+k=0\)
\(\Rightarrow 5+k=0\)
\(\therefore k=-5\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে পাই,
\(4x+3y-5=0 .......(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) সমাধান করি,
\(\frac{x}{(-4).(-5)-5.3}=\frac{y}{5.4-3.(-5)}=\frac{1}{3.3-(-4).4}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{20-15}=\frac{y}{20+15}=\frac{1}{9+16}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{5}=\frac{y}{35}=\frac{1}{25}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{5}=\frac{1}{25}, \ \frac{y}{35}=\frac{1}{25}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{25}\times 5, \ y=\frac{1}{25}\times 35\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{5}, \ y=\frac{7}{5}\)
\(\therefore \) পাদবিদুর স্থানাঙ্ক \((\frac{1}{5}, \frac{7}{5})\)।
উদাহরণ \(5.\) দুইটি সরলরেখা \((1, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(2x+y=7\) রেখার সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। তাদের সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
মনেকরি, \(2x+y-7=0 .........(1)\)
\((1)\) এর ঢাল \(m_{1}=-\frac{2}{1}\)
\(\Rightarrow m_{1}=-2\)
\((1, 3)\) বিন্দুগামী \(m\) ঢাল বিশিষ্ট যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-3=m(x-1) .........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(45^{o}\).
\(\therefore \tan45^{o}=\pm \frac{m_{1}-m}{1+m_{1}m}\)
\(\Rightarrow 1=\pm \frac{-2-m}{1+(-2)m}\)
\(\Rightarrow 1=\pm \frac{m+2}{1-2m}\)
\(\Rightarrow 1-2m=\pm (m+2)\)
\(\Rightarrow 1-2m=m+2\) ➜ \(+ve\) চিহ্ন ব্যাবহার করে।
\(\Rightarrow -2m-m=2-1\)
\(\Rightarrow -3m=1\)
\(\Rightarrow m=\frac{1}{-3}\)
\(\therefore m=-\frac{1}{3}\)
আবার,
\(\Rightarrow 1-2m=-(m+2)\) ➜ \(-ve\) চিহ্ন ব্যাবহার করে।
\(\Rightarrow 1-2m=-m-2)\)
\(\Rightarrow -2m+m=-2-1\)
\(\Rightarrow -m=-3\)
\(\therefore m=3\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\(m\) এর মান \((2)\) বসিয়ে,
যখন, \(m=-\frac{1}{3}\) তখন, \(y-3=-\frac{1}{3}(x-1)\)
\(\Rightarrow 3(y-3)=-(x-1)\)
\(\Rightarrow 3y-9=-x+1\)
\(\Rightarrow x+3y-9-1=0\)
\(\therefore x+3y-10=0\)
যখন, \(m=3\) তখন, \(y-3=3(x-1)\)
\(\Rightarrow y-3=3x-3)\)
\(\Rightarrow 3x-3=y-3\)
\(\Rightarrow 3x-3-y+3=0\)
\(\therefore 3x-y=0\)
\(\therefore \) রেখাদ্বয়ের সমীকরণ \(x+3y-10=0; \ 3x-y=0\)।
\((1)\) এর ঢাল \(m_{1}=-\frac{2}{1}\)
\(\Rightarrow m_{1}=-2\)
\((1, 3)\) বিন্দুগামী \(m\) ঢাল বিশিষ্ট যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-3=m(x-1) .........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(45^{o}\).
\(\therefore \tan45^{o}=\pm \frac{m_{1}-m}{1+m_{1}m}\)
\(\Rightarrow 1=\pm \frac{-2-m}{1+(-2)m}\)
\(\Rightarrow 1=\pm \frac{m+2}{1-2m}\)
\(\Rightarrow 1-2m=\pm (m+2)\)
\(\Rightarrow 1-2m=m+2\) ➜ \(+ve\) চিহ্ন ব্যাবহার করে।
\(\Rightarrow -2m-m=2-1\)
\(\Rightarrow -3m=1\)
\(\Rightarrow m=\frac{1}{-3}\)
\(\therefore m=-\frac{1}{3}\)
আবার,
\(\Rightarrow 1-2m=-(m+2)\) ➜ \(-ve\) চিহ্ন ব্যাবহার করে।
\(\Rightarrow 1-2m=-m-2)\)
\(\Rightarrow -2m+m=-2-1\)
\(\Rightarrow -m=-3\)
\(\therefore m=3\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\(m\) এর মান \((2)\) বসিয়ে,
যখন, \(m=-\frac{1}{3}\) তখন, \(y-3=-\frac{1}{3}(x-1)\)
\(\Rightarrow 3(y-3)=-(x-1)\)
\(\Rightarrow 3y-9=-x+1\)
\(\Rightarrow x+3y-9-1=0\)
\(\therefore x+3y-10=0\)
যখন, \(m=3\) তখন, \(y-3=3(x-1)\)
\(\Rightarrow y-3=3x-3)\)
\(\Rightarrow 3x-3=y-3\)
\(\Rightarrow 3x-3-y+3=0\)
\(\therefore 3x-y=0\)
\(\therefore \) রেখাদ্বয়ের সমীকরণ \(x+3y-10=0; \ 3x-y=0\)।
উদাহরণ \(7.\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(2x-7y+11=0\) ও \(x+3y-8=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
সমাধানঃ
মনে করি,
\(2x-7y+11=0 ........(1)\)
\(x+3y-8=0 ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এরূপ সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x-7y+11+k(x+3y-8)=0 ........(3)\)
\(\Rightarrow 2x-7y+11+kx+3ky-8k=0 \)
\(\Rightarrow (2+k)x+(3k-7)y+11-8k=0 ......(4)\)
\(\because (4)\) নং সরলরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল ,
\(\therefore y\) এর সহগ \(=0\) হবে,
\(\therefore 3k-7=0\)
\(\Rightarrow 3k=7\)
\(\therefore k=\frac{7}{3}\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(2x-7y+11+\frac{7}{3}(x+3y-8)=0\)
\(\Rightarrow 3(2x-7y+11)+7(x+3y-8)=0\) ➜ উভয় পার্শে \(3\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 6x-21y+33+7x+21y-56=0\)
\(\Rightarrow 13x-23=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(2x-7y+11=0 ........(1)\)
\(x+3y-8=0 ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এরূপ সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x-7y+11+k(x+3y-8)=0 ........(3)\)
\(\Rightarrow 2x-7y+11+kx+3ky-8k=0 \)
\(\Rightarrow (2+k)x+(3k-7)y+11-8k=0 ......(4)\)
\(\because (4)\) নং সরলরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল ,
\(\therefore y\) এর সহগ \(=0\) হবে,
\(\therefore 3k-7=0\)
\(\Rightarrow 3k=7\)
\(\therefore k=\frac{7}{3}\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(2x-7y+11+\frac{7}{3}(x+3y-8)=0\)
\(\Rightarrow 3(2x-7y+11)+7(x+3y-8)=0\) ➜ উভয় পার্শে \(3\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 6x-21y+33+7x+21y-56=0\)
\(\Rightarrow 13x-23=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
উদাহরণ \(8.\) \(AB\) ও \(AC\) রেখাদুইটির সমীকরণ যথাক্রমে \(y=2x+1\) ও \(y=4x-1\)। \(AB\) এর উপর অঙ্কিত লম্ব \(AP\) এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০৬, সিঃ ২০০৮, কুঃ ২০১২, বঃ ২০১২, ২০১৫, যঃ ২০১৩। ]
সমাধানঃ
\(y=2x+1\)
\(\Rightarrow 2x+1=y\)
\(\Rightarrow 2x-y+1=0 ........(1)\)
\(y=4x-1\)
\(\Rightarrow 4x-1=y\)
\(\Rightarrow 4x-y-1=0 .........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x-y+1+k(4x-y-1)=0 ........(3)\)
\(\Rightarrow 2x-y+1+4kx-ky-k=0 \)
\(\Rightarrow (2+4k)x-(1+k)y+(1-k)=0 ........(4)\)
শর্তমতে, \((1)\) ও \((4)\) সরলরেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব,
\(\therefore 2(2+4k)+(-1){-(1+k)}=0\) ➜ \(\because a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=0\)
\(\Rightarrow 4+8k+1+k=0\)
\(\Rightarrow 9k+5=0\)
\(\Rightarrow 9k=-5\)
\(\therefore k=-\frac{5}{9}\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে পাই,
\(2x-y+1-\frac{5}{9}(4x-y-1)=0\)
\(\Rightarrow 9(2x-y+1)-5(4x-y-1)=0\) ➜ উভয় পার্শে \(9\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 18x-9y+9-20x+5y+5=0\)
\(\Rightarrow -2x-4y+14=0\)
\(\Rightarrow x+2y-7=0\) ➜ উভয় পার্শে \(-2\) ভাগ করে।
\(\therefore x+2y-7=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(\Rightarrow 2x+1=y\)
\(\Rightarrow 2x-y+1=0 ........(1)\)
\(y=4x-1\)
\(\Rightarrow 4x-1=y\)
\(\Rightarrow 4x-y-1=0 .........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x-y+1+k(4x-y-1)=0 ........(3)\)
\(\Rightarrow 2x-y+1+4kx-ky-k=0 \)
\(\Rightarrow (2+4k)x-(1+k)y+(1-k)=0 ........(4)\)
শর্তমতে, \((1)\) ও \((4)\) সরলরেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব,
\(\therefore 2(2+4k)+(-1){-(1+k)}=0\) ➜ \(\because a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=0\)
\(\Rightarrow 4+8k+1+k=0\)
\(\Rightarrow 9k+5=0\)
\(\Rightarrow 9k=-5\)
\(\therefore k=-\frac{5}{9}\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে পাই,
\(2x-y+1-\frac{5}{9}(4x-y-1)=0\)
\(\Rightarrow 9(2x-y+1)-5(4x-y-1)=0\) ➜ উভয় পার্শে \(9\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 18x-9y+9-20x+5y+5=0\)
\(\Rightarrow -2x-4y+14=0\)
\(\Rightarrow x+2y-7=0\) ➜ উভয় পার্শে \(-2\) ভাগ করে।
\(\therefore x+2y-7=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
উদাহরণ \(9.\) \(x-3y+2=0\), \(x-6y+3=0\), \(ax+by+1=0\) ও \(x+ay=0\) সরলরেখাচতুষ্টয় সমবিন্দু হলে, \(a\) ও \(b\) এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
মনে করি,
\(x-3y+2=0 ........(1)\)
\(x-6y+3=0 ........(2)\)
\(ax+by+1=0 ........(3)\)
\(x+ay=0 ........(4)\)
\((1)\), \((2)\) ও \((3)\) সমবিন্দু বলে,
\(\left|\begin{array}{c}1 \ \ -3 \ \ \ \ 2\\1 \ \ -6 \ \ \ \ 3\\a \ \ \ \ \ \ b \ \ \ \ \ \ 1\end{array}\right|=0\) হয়। ➜\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\) \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\) \(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0 .....(3)\) \((1)\) , \((2)\) , \((3)\) নং সরলরেখাত্রয় সমবিন্দু হবে যদি , \(\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|=0\) হয় ।
\(\Rightarrow 1{b.0-1.a}-(-3){1.0-3.1}+2{1.a-(-6).1}=0\)
\(\Rightarrow {0-3a}+3{0-3}+2{a+6}=0\)
\(\Rightarrow -3a-9+2a+12=0\)
\(\Rightarrow -a+3=0\)
\(\Rightarrow -a=-3\)
\(\therefore a=3\)| উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
আবার,
\((1)\), \((2)\) ও \((4)\) সমবিন্দু বলে,
\(\left|\begin{array}{c}1 \ \ -3 \ \ \ \ 2\\1 \ \ -6 \ \ \ \ 3\\1 \ \ \ \ \ \ a \ \ \ \ \ \ 0\end{array}\right|=0\) হয়। ➜\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\) \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\) \(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0 .....(3)\) \((1)\) , \((2)\) , \((3)\) নং সরলরেখাত্রয় সমবিন্দু হবে যদি , \(\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|=0\) হয় ।
\(\Rightarrow 1{(-6).1-3.b}-(-3){1.1-3.a}+2{1.b-(-6).a}=0\)
\(\Rightarrow {-6-3b}+3{1-3a}+2{b+6a}=0\)
\(\Rightarrow -6-3b+3-9a+2b+12a=0\)
\(\Rightarrow -b+3a-3=0\)
\(\Rightarrow -b+3.3-3=0\) ➜ \(\because a=3\)
\(\Rightarrow -b+9-3=0\)
\(\Rightarrow -b+6=0\)
\(\Rightarrow -b=-6\)
\(\therefore b=6\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\(\therefore a=3, \ b=6\).
\(x-3y+2=0 ........(1)\)
\(x-6y+3=0 ........(2)\)
\(ax+by+1=0 ........(3)\)
\(x+ay=0 ........(4)\)
\((1)\), \((2)\) ও \((3)\) সমবিন্দু বলে,
\(\left|\begin{array}{c}1 \ \ -3 \ \ \ \ 2\\1 \ \ -6 \ \ \ \ 3\\a \ \ \ \ \ \ b \ \ \ \ \ \ 1\end{array}\right|=0\) হয়। ➜\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\) \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\) \(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0 .....(3)\) \((1)\) , \((2)\) , \((3)\) নং সরলরেখাত্রয় সমবিন্দু হবে যদি , \(\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|=0\) হয় ।
\(\Rightarrow 1{b.0-1.a}-(-3){1.0-3.1}+2{1.a-(-6).1}=0\)
\(\Rightarrow {0-3a}+3{0-3}+2{a+6}=0\)
\(\Rightarrow -3a-9+2a+12=0\)
\(\Rightarrow -a+3=0\)
\(\Rightarrow -a=-3\)
\(\therefore a=3\)| উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
আবার,
\((1)\), \((2)\) ও \((4)\) সমবিন্দু বলে,
\(\left|\begin{array}{c}1 \ \ -3 \ \ \ \ 2\\1 \ \ -6 \ \ \ \ 3\\1 \ \ \ \ \ \ a \ \ \ \ \ \ 0\end{array}\right|=0\) হয়। ➜\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\) \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\) \(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0 .....(3)\) \((1)\) , \((2)\) , \((3)\) নং সরলরেখাত্রয় সমবিন্দু হবে যদি , \(\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|=0\) হয় ।
\(\Rightarrow 1{(-6).1-3.b}-(-3){1.1-3.a}+2{1.b-(-6).a}=0\)
\(\Rightarrow {-6-3b}+3{1-3a}+2{b+6a}=0\)
\(\Rightarrow -6-3b+3-9a+2b+12a=0\)
\(\Rightarrow -b+3a-3=0\)
\(\Rightarrow -b+3.3-3=0\) ➜ \(\because a=3\)
\(\Rightarrow -b+9-3=0\)
\(\Rightarrow -b+6=0\)
\(\Rightarrow -b=-6\)
\(\therefore b=6\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\(\therefore a=3, \ b=6\).
উদাহরণ \(10.\) \(A(2, 1)\) এবং \(B(5, 2)\) বিন্দু দুইটির সংযোগ রেখাংশের লম্ব সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর। রেখাটি \(Y\) অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[যঃ ২০০৮, চঃ ২০০৮, রাঃ ২০১১, বঃ ২০০৭, ঢঃ ২০১০ ]
[যঃ ২০০৮, চঃ ২০০৮, রাঃ ২০১১, বঃ ২০০৭, ঢঃ ২০১০ ]
সমাধানঃ
মনে করি, \(A(2, 1)\) এবং \(B(5, 2)\)
\(\therefore AB\) এর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(C(\frac{2+5}{2}, \frac{1+2}{2})\) ➜ \(\because C(\frac{x_{1}+x_{}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\)
\(\Rightarrow C(\frac{7}{2}, \frac{3}{2})\)
\(AB\) রেখার ঢাল \(=\frac{1-2}{2-5}\)
\(=\frac{-1}{-3}\)
\(=\frac{1}{3}\)
\(\therefore AB\) উপর লম্ব রেখার ঢাল \(=-3\)
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ \(y-\frac{3}{2}=-3(x-\frac{7}{2})\)
\(\Rightarrow \frac{2y-3}{2}=-3x+\frac{21}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{2y-3}{2}=\frac{-6x+21}{2}\)
\(\Rightarrow 2y-3=-6x+21\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 6x+2y-3-21=0\)
\(\Rightarrow 6x+2y-24=0\)
\(\therefore 3x+y-12=0\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(\therefore AB\) এর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(C(\frac{2+5}{2}, \frac{1+2}{2})\) ➜ \(\because C(\frac{x_{1}+x_{}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\)
\(\Rightarrow C(\frac{7}{2}, \frac{3}{2})\)
\(AB\) রেখার ঢাল \(=\frac{1-2}{2-5}\)
\(=\frac{-1}{-3}\)
\(=\frac{1}{3}\)
\(\therefore AB\) উপর লম্ব রেখার ঢাল \(=-3\)
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ \(y-\frac{3}{2}=-3(x-\frac{7}{2})\)
\(\Rightarrow \frac{2y-3}{2}=-3x+\frac{21}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{2y-3}{2}=\frac{-6x+21}{2}\)
\(\Rightarrow 2y-3=-6x+21\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 6x+2y-3-21=0\)
\(\Rightarrow 6x+2y-24=0\)
\(\therefore 3x+y-12=0\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
উদাহরণ \(11.\) \(k\) এর মান যাই হক না কেন \((1+2k)x+(2-k)y+(3+7k)=0\) সরলরেখাটি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যায় তা নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, \((1+2k)x+(2-k)y+(3+7k)=0\)
\(\Rightarrow x+2kx+2y-ky+3+7k=0\)
\(\Rightarrow x+2y+3+2kx-ky+7k=0\) \(\Rightarrow x+2y+3+k(2x-y+7)=0 ........(1)\)
ইহা স্পষ্ট যে \((1)\) নং রেখাটি \(x+2y+3=0 ........(2)\) এবং \(2x-y+7=0 ........(3)\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায়।
\((2)\) এবং \((3)\) সমাধান করি,
\((2)+(3)\times 2\) এর সাহায্যে,
\(x+2y+3+4x-2y+14=0\)
\(\Rightarrow 5x+17=0\)
\(\Rightarrow 5x=-17\)
\(\Rightarrow x=-\frac{17}{5}\)
\(x\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(2.(-\frac{17}{5})-y+7=0\)
\(\Rightarrow -\frac{34}{5}-y+7=0\)
\(\Rightarrow \frac{-34-5y+35}{5}=0\)
\(\Rightarrow -34-5y+35=0\times 5\)
\(\Rightarrow -5y+1=0\)
\(\Rightarrow -5y=-1\)
\(\Rightarrow y=\frac{-1}{-5}\)
\(\Rightarrow y=\frac{1}{5}\)
\(\therefore \) নির্ণেয় নির্দিষ্ট বিন্দুটি \((-\frac{17}{5}, \frac{1}{5})\)।
\(\Rightarrow x+2kx+2y-ky+3+7k=0\)
\(\Rightarrow x+2y+3+2kx-ky+7k=0\) \(\Rightarrow x+2y+3+k(2x-y+7)=0 ........(1)\)
ইহা স্পষ্ট যে \((1)\) নং রেখাটি \(x+2y+3=0 ........(2)\) এবং \(2x-y+7=0 ........(3)\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায়।
\((2)\) এবং \((3)\) সমাধান করি,
\((2)+(3)\times 2\) এর সাহায্যে,
\(x+2y+3+4x-2y+14=0\)
\(\Rightarrow 5x+17=0\)
\(\Rightarrow 5x=-17\)
\(\Rightarrow x=-\frac{17}{5}\)
\(x\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(2.(-\frac{17}{5})-y+7=0\)
\(\Rightarrow -\frac{34}{5}-y+7=0\)
\(\Rightarrow \frac{-34-5y+35}{5}=0\)
\(\Rightarrow -34-5y+35=0\times 5\)
\(\Rightarrow -5y+1=0\)
\(\Rightarrow -5y=-1\)
\(\Rightarrow y=\frac{-1}{-5}\)
\(\Rightarrow y=\frac{1}{5}\)
\(\therefore \) নির্ণেয় নির্দিষ্ট বিন্দুটি \((-\frac{17}{5}, \frac{1}{5})\)।
উদাহরণ \(12.\) \(2x+3y-1=0\) এবং \(x-2y+3=0\) রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত সূক্ষনকোণটি নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
মনে করি, \(2x+3y-1=0 .......(1)\)
\(x-2y+3=0 .........(2)\)
\((1)\) নং সরলরেখার ঢাল \(m_{1}=-\frac{2}{3}\)
\((2)\) নং সরলরেখার ঢাল \(m_{2}=-\frac{1}{-2}\)
\(=\frac{1}{2}\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ \(=\tan^{-1}(\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{-\frac{2}{3}-\frac{1}{2}}{1+(-\frac{2}{3}).\frac{1}{2}})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{-4-3}{6}}{1-\frac{1}{3}})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{-7}{6}}{\frac{3-1}{3}})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{-7}{6}}{\frac{2}{3}})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{-7}{6}\times \frac{3}{2})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{-7}{2}\times \frac{1}{2})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{-7}{4})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{7}{4})\)
\(\therefore \) সূক্ষনকোণটি \(=\tan^{-1}(\frac{7}{4})\) ➜ সূক্ষ্ণকোণের জন্য \(\tan\theta\) এর মান ধনাত্মক।
\(x-2y+3=0 .........(2)\)
\((1)\) নং সরলরেখার ঢাল \(m_{1}=-\frac{2}{3}\)
\((2)\) নং সরলরেখার ঢাল \(m_{2}=-\frac{1}{-2}\)
\(=\frac{1}{2}\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ \(=\tan^{-1}(\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{-\frac{2}{3}-\frac{1}{2}}{1+(-\frac{2}{3}).\frac{1}{2}})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{-4-3}{6}}{1-\frac{1}{3}})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{-7}{6}}{\frac{3-1}{3}})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{-7}{6}}{\frac{2}{3}})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{-7}{6}\times \frac{3}{2})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{-7}{2}\times \frac{1}{2})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{-7}{4})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{7}{4})\)
\(\therefore \) সূক্ষনকোণটি \(=\tan^{-1}(\frac{7}{4})\) ➜ সূক্ষ্ণকোণের জন্য \(\tan\theta\) এর মান ধনাত্মক।
উদাহরণ \(13.\) এমন একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(2x+3y+4=0\) এবং \(3x+4y-5=0\) রেখাদুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(6x-7y+8=0\) রেখার উপর লম্ব হয়।
সমাধানঃ
মনে করি, \(2x+3y+4=0 .......(1)\)
\(3x+4y-5=0 .......(2)\)
\(6x-7y+8=0 .......(3)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x+3y+4+k(3x+4y-5)=0 ........(3)\)
\(\Rightarrow 2x+3y+4+3kx+4ky-5k=0 \)
\(\Rightarrow (2+3k)x+(3+4k)y+(4-5k)=0 ........(4)\)
শর্তমতে, \((3)\) ও \((4)\) সরলরেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব,
\(\therefore 6(2+3k)+(-7)(3+4k)=0\) ➜ \(\because a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=0\)
\(\Rightarrow 12+18k-21-28k=0\)
\(\Rightarrow -10k-9=0\)
\(\Rightarrow -10k=9\)
\(\Rightarrow k=\frac{9}{-10}\)
\(\therefore k=-\frac{9}{10}\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে পাই,
\(2x+3y+4+(-\frac{9}{10})(3x+4y-5)=0\)
\(\Rightarrow 2x+3y+4-\frac{9}{10}(3x+4y-5)=0\)
\(\Rightarrow 10(2x+3y+4)-9(3x+4y-5)=0\) ➜ উভয় পার্শে \(10\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 20x+30y+40-27x-36y+45=0\)
\(\Rightarrow -7x-6y+85=0\)
\(\therefore 7x+6y-85=0\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(3x+4y-5=0 .......(2)\)
\(6x-7y+8=0 .......(3)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x+3y+4+k(3x+4y-5)=0 ........(3)\)
\(\Rightarrow 2x+3y+4+3kx+4ky-5k=0 \)
\(\Rightarrow (2+3k)x+(3+4k)y+(4-5k)=0 ........(4)\)
শর্তমতে, \((3)\) ও \((4)\) সরলরেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব,
\(\therefore 6(2+3k)+(-7)(3+4k)=0\) ➜ \(\because a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=0\)
\(\Rightarrow 12+18k-21-28k=0\)
\(\Rightarrow -10k-9=0\)
\(\Rightarrow -10k=9\)
\(\Rightarrow k=\frac{9}{-10}\)
\(\therefore k=-\frac{9}{10}\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে পাই,
\(2x+3y+4+(-\frac{9}{10})(3x+4y-5)=0\)
\(\Rightarrow 2x+3y+4-\frac{9}{10}(3x+4y-5)=0\)
\(\Rightarrow 10(2x+3y+4)-9(3x+4y-5)=0\) ➜ উভয় পার্শে \(10\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 20x+30y+40-27x-36y+45=0\)
\(\Rightarrow -7x-6y+85=0\)
\(\therefore 7x+6y-85=0\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
উদাহরণ \(14.\) এমন একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(5x-3y-7=0\) এবং \(4x+y-9=0\) রেখাদুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(13x-y-1=0\) রেখার সমান্তরাল হয়।
সমাধানঃ
মনে করি, \(5x-3y-7=0 .......(1)\)
\(4x+y-9=0 .......(2)\)
\(13x-y-1=0 .......(3)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(5x-3y-7+k(4x+y-9)=0 ........(3)\)
\(\Rightarrow 5x-3y-7+4kx+ky-9k=0 \)
\(\Rightarrow (5+4k)x+(k-3)y-(7+9k)=0 ........(4)\)
শর্তমতে, \((3)\) ও \((4)\) সরলরেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল ,
\(\therefore 13.(k-3)=(5+4k).(-1)\) ➜ \(\because a_{1}b_{2}=a_{2}b_{1}\)
\(\Rightarrow 13k-39=-5-4k\)
\(\Rightarrow 13k+4k=-5+39\)
\(\Rightarrow 17k=34\)
\(\Rightarrow k=\frac{34}{17}\)
\(\therefore k=2\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে পাই,
\(5x-3y-7+2(4x+y-9)=0\)
\(\Rightarrow 5x-3y-7+8x+2y-18=0\)
\(\Rightarrow 13x-y-25=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(4x+y-9=0 .......(2)\)
\(13x-y-1=0 .......(3)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(5x-3y-7+k(4x+y-9)=0 ........(3)\)
\(\Rightarrow 5x-3y-7+4kx+ky-9k=0 \)
\(\Rightarrow (5+4k)x+(k-3)y-(7+9k)=0 ........(4)\)
শর্তমতে, \((3)\) ও \((4)\) সরলরেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল ,
\(\therefore 13.(k-3)=(5+4k).(-1)\) ➜ \(\because a_{1}b_{2}=a_{2}b_{1}\)
\(\Rightarrow 13k-39=-5-4k\)
\(\Rightarrow 13k+4k=-5+39\)
\(\Rightarrow 17k=34\)
\(\Rightarrow k=\frac{34}{17}\)
\(\therefore k=2\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে পাই,
\(5x-3y-7+2(4x+y-9)=0\)
\(\Rightarrow 5x-3y-7+8x+2y-18=0\)
\(\Rightarrow 13x-y-25=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
উদাহরণ \(15.\) \(4x-2y+7=0\) সরলরেখার উপর এমন একটি বিন্দু নির্ণয় কর যা \((2, 3)\) ও \((-2, 4)\) বিন্দু দুইটি থেকে সমদূরবর্তী।
সমাধানঃ
মনেকরি,
\(4x-2y+7=0 ..........(1)\)
\((1)\) এর উপর অবস্থিত \(P(x, y)\) বিন্দুটি \(A(2, 3)\) ও \(B(-2, 4)\) বিন্দু দুইটি থেকে সমদূরবর্তী,
\(PA=\sqrt{(x-2)^{2}+(y-3)^{2}}\)
\(PB=\sqrt{(x+2)^{2}+(y-4)^{2}}\)
শর্তমতে,
\(PA=PB\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^{2}+(y-3)^{2}}=\sqrt{(x+2)^{2}+(y-4)^{2}}\)
\(\Rightarrow (x-2)^{2}+(y-3)^{2}=(x+2)^{2}+(y-4)^{2}\)
\(\Rightarrow (x-2)^{2}+(y-3)^{2}-(x+2)^{2}-(y-4)^{2}=0\)
\(\Rightarrow x^{2}-4x+4+y^{2}-6y+9-x+^{2}-4x-4-y^{2}+8y-16=0\)
\(\Rightarrow -8x+2y-7=0\)
\(\Rightarrow 8x-2y+7=0 .........(2)\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\((1)\) ও \((2)\) সমাধান করি,
\((2)-(1)\) এর সাহায্যে,
\(8x-2y+7-4x+2y-7=0 \)
\(\Rightarrow 4x=0 \)
\(\Rightarrow x=\frac{0}{4} \)
\(\Rightarrow x=0 \)
\(x\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(4.0-2y+7=0 \)
\(\Rightarrow 0-2y+7=0 \)
\(\Rightarrow -2y=-7 \)
\(\Rightarrow y=\frac{-7}{-2} \)
\(\Rightarrow y=\frac{7}{2} \)
\(\therefore \) নির্ণেয় বিন্দুটি \((0, \frac{7}{2})\)।
\(4x-2y+7=0 ..........(1)\)
\((1)\) এর উপর অবস্থিত \(P(x, y)\) বিন্দুটি \(A(2, 3)\) ও \(B(-2, 4)\) বিন্দু দুইটি থেকে সমদূরবর্তী,
\(PA=\sqrt{(x-2)^{2}+(y-3)^{2}}\)
\(PB=\sqrt{(x+2)^{2}+(y-4)^{2}}\)
শর্তমতে,
\(PA=PB\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^{2}+(y-3)^{2}}=\sqrt{(x+2)^{2}+(y-4)^{2}}\)
\(\Rightarrow (x-2)^{2}+(y-3)^{2}=(x+2)^{2}+(y-4)^{2}\)
\(\Rightarrow (x-2)^{2}+(y-3)^{2}-(x+2)^{2}-(y-4)^{2}=0\)
\(\Rightarrow x^{2}-4x+4+y^{2}-6y+9-x+^{2}-4x-4-y^{2}+8y-16=0\)
\(\Rightarrow -8x+2y-7=0\)
\(\Rightarrow 8x-2y+7=0 .........(2)\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\((1)\) ও \((2)\) সমাধান করি,
\((2)-(1)\) এর সাহায্যে,
\(8x-2y+7-4x+2y-7=0 \)
\(\Rightarrow 4x=0 \)
\(\Rightarrow x=\frac{0}{4} \)
\(\Rightarrow x=0 \)
\(x\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(4.0-2y+7=0 \)
\(\Rightarrow 0-2y+7=0 \)
\(\Rightarrow -2y=-7 \)
\(\Rightarrow y=\frac{-7}{-2} \)
\(\Rightarrow y=\frac{7}{2} \)
\(\therefore \) নির্ণেয় বিন্দুটি \((0, \frac{7}{2})\)।
উদাহরণ \(16.\) একটি আলোক রশ্মি \(x-2y-3=0\) সরলরেখা বরাবর পাঠানো হয়। \(3x-2y-5=0\) সরলরেখাতে আসার পর তা থেকে প্রতিফলিত হয়। প্রতিফলিত রশ্মি বরাবর সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
মনেকরি,
\(AB\)এর সমীকরণ \(x-2y-3=0 ...........(1)\)
\(EF\)এর সমীকরণ \(3x-2y-5=0 ...........(2)\)
\((1)\) এর ঢাল \(m_{1}=-\frac{1}{-2}\) ➜ \(ax+by+c=0\) সরলরেখার ঢাল \(m=-\frac{a}{b}\)
\(=\frac{1}{2}\)
\((2)\) এর ঢাল \(m_{2}=-\frac{3}{-2}\) ➜ \(ax+by+c=0\) সরলরেখার ঢাল \(m=-\frac{a}{b}\)
\(=\frac{3}{2}\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((2)-(1)\) এর সাহায্যে,
\(3x-2y-5-x+2y+3=0\)
\(\Rightarrow 2x-2=0\)
\(\Rightarrow 2x=2\)
\(\Rightarrow x=\frac{2}{2}\)
\(\Rightarrow x=1\)
\(x\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(1-2y-3=0\)
\(\Rightarrow -2y-2=0\)
\(\Rightarrow -2y=2\)
\(\Rightarrow y=\frac{2}{-2}\)
\(\Rightarrow y=-1\)
\(\therefore AB\) ও \(EF\)এর ছেদবিন্দু \(B(1, -1)\)
প্রতিফলিত রশ্মি \(BC\) এর সমীকরণ \(y+1=m(x-1) .....(3)\)
শর্তমতে, \(AB\) ও \(BC\) উভয়ে \((2)\) নং সরলরেখার সহিত সমান কোণ উৎপন্ন করে।
\(\therefore \tan^{-1}(\frac{m-m_{2}}{1+m.m_{2}})=\tan^{-1}(\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}-m_{2}})\)
\(\Rightarrow \frac{m-\frac{3}{2}}{1+m.\frac{3}{2}}=\frac{\frac{1}{2}-\frac{3}{2}}{1+\frac{1}{2}.\frac{3}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{2m-3}{2}}{\frac{2+3m}{2}}=\frac{\frac{1-3}{2}}{1+\frac{3}{4}}\)
\(\Rightarrow \frac{2m-3}{2}\times \frac{2}{2+3m}=\frac{\frac{-2}{2}}{\frac{4+3}{4}}\)
\(\Rightarrow \frac{2m-3}{2+3m}=\frac{-2}{2}\times\frac{4}{7}\)
\(\Rightarrow \frac{2m-3}{2+3m}=-\frac{4}{7}\)
\(\Rightarrow \frac{2m-3}{2+3m}=\frac{4}{7}\) ➜ সূক্ষনকোণের জন্য \(\tan\theta\) এর মান ধনাত্মক।
\(\Rightarrow 7(2m-3)=4(2+3m)\)
\(\Rightarrow 14m-21=8+12m)\)
\(\Rightarrow 14m-21-12m-8=0\)
\(\Rightarrow 2m-29=0\)
\(\Rightarrow 2m=29\)
\(\therefore m=\frac{29}{2}\)
\(m\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(\Rightarrow y+1=\frac{29}{2}(x-1)\)
\(\Rightarrow 2(y+1)=29(x-1)\)
\(\Rightarrow 2y+2=29x-29\)
\(\Rightarrow 29x-29=2y+2\)
\(\Rightarrow 29x-29-2y-2=0\)
\(\Rightarrow 29x-2y-31=0\) ইহাই প্রতিফলিত রশ্মি বরাবর সরলরেখার সমীকরণ।
\(AB\)এর সমীকরণ \(x-2y-3=0 ...........(1)\)
\(EF\)এর সমীকরণ \(3x-2y-5=0 ...........(2)\)
\((1)\) এর ঢাল \(m_{1}=-\frac{1}{-2}\) ➜ \(ax+by+c=0\) সরলরেখার ঢাল \(m=-\frac{a}{b}\)
\(=\frac{1}{2}\)
\((2)\) এর ঢাল \(m_{2}=-\frac{3}{-2}\) ➜ \(ax+by+c=0\) সরলরেখার ঢাল \(m=-\frac{a}{b}\)
\(=\frac{3}{2}\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((2)-(1)\) এর সাহায্যে,
\(3x-2y-5-x+2y+3=0\)
\(\Rightarrow 2x-2=0\)
\(\Rightarrow 2x=2\)
\(\Rightarrow x=\frac{2}{2}\)
\(\Rightarrow x=1\)
\(x\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(1-2y-3=0\)
\(\Rightarrow -2y-2=0\)
\(\Rightarrow -2y=2\)
\(\Rightarrow y=\frac{2}{-2}\)
\(\Rightarrow y=-1\)
\(\therefore AB\) ও \(EF\)এর ছেদবিন্দু \(B(1, -1)\)
প্রতিফলিত রশ্মি \(BC\) এর সমীকরণ \(y+1=m(x-1) .....(3)\)
শর্তমতে, \(AB\) ও \(BC\) উভয়ে \((2)\) নং সরলরেখার সহিত সমান কোণ উৎপন্ন করে।
\(\therefore \tan^{-1}(\frac{m-m_{2}}{1+m.m_{2}})=\tan^{-1}(\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}-m_{2}})\)
\(\Rightarrow \frac{m-\frac{3}{2}}{1+m.\frac{3}{2}}=\frac{\frac{1}{2}-\frac{3}{2}}{1+\frac{1}{2}.\frac{3}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{2m-3}{2}}{\frac{2+3m}{2}}=\frac{\frac{1-3}{2}}{1+\frac{3}{4}}\)
\(\Rightarrow \frac{2m-3}{2}\times \frac{2}{2+3m}=\frac{\frac{-2}{2}}{\frac{4+3}{4}}\)
\(\Rightarrow \frac{2m-3}{2+3m}=\frac{-2}{2}\times\frac{4}{7}\)
\(\Rightarrow \frac{2m-3}{2+3m}=-\frac{4}{7}\)
\(\Rightarrow \frac{2m-3}{2+3m}=\frac{4}{7}\) ➜ সূক্ষনকোণের জন্য \(\tan\theta\) এর মান ধনাত্মক।
\(\Rightarrow 7(2m-3)=4(2+3m)\)
\(\Rightarrow 14m-21=8+12m)\)
\(\Rightarrow 14m-21-12m-8=0\)
\(\Rightarrow 2m-29=0\)
\(\Rightarrow 2m=29\)
\(\therefore m=\frac{29}{2}\)
\(m\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(\Rightarrow y+1=\frac{29}{2}(x-1)\)
\(\Rightarrow 2(y+1)=29(x-1)\)
\(\Rightarrow 2y+2=29x-29\)
\(\Rightarrow 29x-29=2y+2\)
\(\Rightarrow 29x-29-2y-2=0\)
\(\Rightarrow 29x-2y-31=0\) ইহাই প্রতিফলিত রশ্মি বরাবর সরলরেখার সমীকরণ।
উদাহরণ \(17.\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((-3, -2)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(2x+3y=3\) সরলরেখার উপর লম্ব হয়। মূলবিন্দু এবং উপরোক্ত রেখা দুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এরূপ রেখাটিরও সমীকরণ নির্ণয় কর।
[কুঃ ২০১৪ ]
সমাধানঃ
মনেকরি,
\(2x+3y-3=0 .......(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x-2y+k=0 .........(2)\) ➜ \(k\) যেকোনো বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা \(A(-3, -2)\) বিন্দু দিয়ে যায়,
\(3.(-3)-2.(-2)+k=0\)
\(\Rightarrow -9+4+k=0\)
\(\Rightarrow -5+k=0\)
\(\therefore k=5\)
\(k\)এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(3x-2y+5=0 .........(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\(\frac{x}{3.5-(-3).(-2)}=\frac{y}{(-3).3-2.5}=\frac{1}{2.(-2)-3.3}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{15-6}=\frac{y}{-9-10}=\frac{1}{-4-9}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{9}=\frac{y}{-19}=\frac{1}{-13}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{9}=\frac{1}{-13}, \ \frac{y}{-19}=\frac{1}{-13}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{-13}\times 9, \ y=\frac{1}{-13}\times -19\)
\(\Rightarrow x=-\frac{9}{13}, \ y=\frac{19}{13}\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \(B(-\frac{9}{13}, \frac{19}{13})\)
\(OB\) এর সমীকরণ,
\(\frac{x-0}{0+\frac{9}{13}}=\frac{y-0}{0-\frac{19}{13}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\frac{9}{13}}=\frac{y}{-\frac{19}{13}}\)
\(\Rightarrow \frac{13x}{9}=\frac{-13y}{19}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{9}=\frac{-y}{19}\) ➜ উভয় পার্শে \(13\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow 19x=-9y\)
\(\Rightarrow 19x+9y=0\)ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(2x+3y-3=0 .......(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x-2y+k=0 .........(2)\) ➜ \(k\) যেকোনো বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা \(A(-3, -2)\) বিন্দু দিয়ে যায়,
\(3.(-3)-2.(-2)+k=0\)
\(\Rightarrow -9+4+k=0\)
\(\Rightarrow -5+k=0\)
\(\therefore k=5\)
\(k\)এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(3x-2y+5=0 .........(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\(\frac{x}{3.5-(-3).(-2)}=\frac{y}{(-3).3-2.5}=\frac{1}{2.(-2)-3.3}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{15-6}=\frac{y}{-9-10}=\frac{1}{-4-9}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{9}=\frac{y}{-19}=\frac{1}{-13}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{9}=\frac{1}{-13}, \ \frac{y}{-19}=\frac{1}{-13}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{-13}\times 9, \ y=\frac{1}{-13}\times -19\)
\(\Rightarrow x=-\frac{9}{13}, \ y=\frac{19}{13}\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \(B(-\frac{9}{13}, \frac{19}{13})\)
\(OB\) এর সমীকরণ,
\(\frac{x-0}{0+\frac{9}{13}}=\frac{y-0}{0-\frac{19}{13}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\frac{9}{13}}=\frac{y}{-\frac{19}{13}}\)
\(\Rightarrow \frac{13x}{9}=\frac{-13y}{19}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{9}=\frac{-y}{19}\) ➜ উভয় পার্শে \(13\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow 19x=-9y\)
\(\Rightarrow 19x+9y=0\)ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
উদাহরণ \(18.\) দেখাও যে, \((a, b)\) ও \((c, d)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার লম্বদ্বিখন্ডকের সমীকরণ \((a-c)x+(b-d)y=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})\)
[ বঃ ২০০১ ]
সমাধানঃ
মনেকরি,
\(A(a, b)\) ও \(B(c, d)\)
\(AB\)এর মধ্যবিন্দু \(C(\frac{a+c}{2}, \frac{b+d}{2})\)
\(AB\)এর ঢাল \(=\frac{b-d}{a-c}\)
\(AB\)এর উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার ঢাল \(=-\frac{a-c}{b-d}\)
\(AB\)এর উপর লম্ব এবং \(C\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ \(y-\frac{b+d}{2}=-\frac{a-c}{b-d}(x-\frac{a+c}{2})\)
\(\Rightarrow y-\frac{b+d}{2}=-\frac{(a-c)x}{b-d}+\frac{(a-c)}{b-d}\times \frac{a+c}{2}\)
\(\Rightarrow y+\frac{(a-c)x}{b-d}=\frac{b+d}{2}+\frac{(a-c)}{b-d}\times \frac{a+c}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{(b-d)y+(a-c)x}{b-d}=\frac{b+d}{2}+\frac{(a+c)(a-c)}{2(b-d)}\)
\(\Rightarrow \frac{(b-d)y+(a-c)x}{b-d}=\frac{1}{2}{b+d+\frac{(a+c)(a-c)}{b-d}}\)
\(\Rightarrow \frac{(b-d)y+(a-c)x}{b-d}=\frac{1}{2}\frac{(b+d)(b-d)+(a+c)(a-c)}{b-d}\)
\(\Rightarrow (b-d)y+(a-c)x=\frac{1}{2}(b^{2}-d^{2}+a^{2}-c^{2})\) ➜ উভয় পার্শে \((b-d)\) গুণ করে।
\(\Rightarrow (a-c)x+(b-d)y=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})\)
[ দেখানো হলো। ]
\(A(a, b)\) ও \(B(c, d)\)
\(AB\)এর মধ্যবিন্দু \(C(\frac{a+c}{2}, \frac{b+d}{2})\)
\(AB\)এর ঢাল \(=\frac{b-d}{a-c}\)
\(AB\)এর উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার ঢাল \(=-\frac{a-c}{b-d}\)
\(AB\)এর উপর লম্ব এবং \(C\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ \(y-\frac{b+d}{2}=-\frac{a-c}{b-d}(x-\frac{a+c}{2})\)
\(\Rightarrow y-\frac{b+d}{2}=-\frac{(a-c)x}{b-d}+\frac{(a-c)}{b-d}\times \frac{a+c}{2}\)
\(\Rightarrow y+\frac{(a-c)x}{b-d}=\frac{b+d}{2}+\frac{(a-c)}{b-d}\times \frac{a+c}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{(b-d)y+(a-c)x}{b-d}=\frac{b+d}{2}+\frac{(a+c)(a-c)}{2(b-d)}\)
\(\Rightarrow \frac{(b-d)y+(a-c)x}{b-d}=\frac{1}{2}{b+d+\frac{(a+c)(a-c)}{b-d}}\)
\(\Rightarrow \frac{(b-d)y+(a-c)x}{b-d}=\frac{1}{2}\frac{(b+d)(b-d)+(a+c)(a-c)}{b-d}\)
\(\Rightarrow (b-d)y+(a-c)x=\frac{1}{2}(b^{2}-d^{2}+a^{2}-c^{2})\) ➜ উভয় পার্শে \((b-d)\) গুণ করে।
\(\Rightarrow (a-c)x+(b-d)y=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})\)
[ দেখানো হলো। ]
অনুশীলনী \(3.F\) / \(Q.1\)-এর অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
নিচের রেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্মকোণ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(i).(a)\) \(y=5\) এবং \(x+y-2=0;\)\(Q.1.(i).(b)\) \(x-2y+1=0\) এবং \(3x-y+5=0;\)
\(Q.1.(i).(c)\) \(3x+4y-2=0\) এবং \(4x-3y+7=0;\)
\(Q.1.(i).(d)\) \(y-\sqrt{3}x-5=0\) এবং \(\sqrt{3}y-x+6=0;\)
\(Q.1.(i).(e)\) \((2-\sqrt{3})x-y+5=0\) এবং \((2+\sqrt{3})(x-3)-y=0;\)
\(Q.1.(i).(f)\) \(3x+4y-2=0\) এবং \(4x+3y+7=0\)এর মধ্যবর্তী স্থুলকোণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 45^{o}; \ (b) \ 45^{o};\) \((c) \ 90^{o}; \ (d) \ 30^{o};\) \((e) \ 60^{o};\) \((f) \ \tan^{-1}(-\frac{25}{24});\)
\(Q.1.(ii)\) \(k\) এর মান কত হলে \(5x+4y-1=0\) এবং \(2x+ky-7=0\) রেখাদুইটি সমান্তরাল হবে?
উত্তরঃ \(k=\frac{8}{5}\)।
\(Q.1.(iii)\) \(a\) এর মান কত হলে \(2x-y+3=0\) এবং \(3x+ay-2=0\) রেখাদুইটি পরস্পর লম্ব হবে?
উত্তরঃ \( a=6\).
\(Q.1.(iv)\) মূলবিন্দু এবং \(x-y-4=0\) ও \(7x+y+20=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x-y=0\)।
\(Q.1.(v)\) মূলবিন্দু এবং \(4x+3y-8=0\) ও \(x+y=1\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \(4x+5y=0\)।
\(Q.1.(vi)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা মূলবিন্দু এবং \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) ও \(\frac{x}{b}+\frac{y}{a}=1\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
উত্তরঃ \(x-y=0\)।
\(Q.1.(vii)\) \((3, 2)\) বিন্দু এবং \(x-y+4=0\) ও \(2x-y+5=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+4y-11=0\)।
\(Q.1.(viii)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((4, 6)\) ও \((-2, 4)\) বিন্দু দুইটির সংযোগ রেখার মধ্যবিন্দু এবং \(2x+3y-6=0\) ও \(5x+4y-1=0\) রেখা দুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায়।
উত্তরঃ \(x-4y+19=0\)।
\(Q.1.(ix)\) \((2, -3)\) বিন্দু দিয়ে গমনকারী এবং \(2x-3y=7\) রেখার উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(3x+2y=0\)।
\(Q.1.(x)\) এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((2, 5)\) বিন্দুগামী এবং \(3x+12y-7=0\) রেখার উপর লম্ব।
[ কুঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(12x-3y-9=0\)।
\(Q.1.(xi)\) একটি সরলরেখা \((-3, -2)\) বিন্দুগামী এবং \(4x+5y-2=0\) রেখার উপর লম্ব । রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০০ ]
উত্তরঃ \(5x-4y+7=0\)।
\(Q.1.(xii)\) \((-3, -1)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(2y-11x+7=0\) রেখার উপর লম্ব এমন একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর ।
[ ঢাঃ ২০০২]
উত্তরঃ \(2x+11y+17=0\)।
\(Q.1.(xiii)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় যা \(3x+2y+6=0\) এবং \(2x+3y-11=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(4x+6y+15=0\) রেখার উপর লম্ব ।
উত্তরঃ \(3x-2y+42=0\)।
\(Q.1.(xiv)\) \(5x-9y+13=0\)এবং \(9x-5y+11=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(X\) অক্ষের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এরূপ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১২]
উত্তরঃ \(7x-7y+12=0; \ 2x+2y-1=0\)।
\(Q.1.(xv)\) \(AB\) ও \(AC\)রেখা দুইটির সমীকরণ \(y=2x+1\) ও \(y=4x-1\) হলে, \(AB\) এর উপর অঙ্কিত লম্ব \(AP\) এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০১২, কুঃ ২০১২, যঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(x+2y=7\)।
\(Q.1.(xvi)\) \(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=1\) রেখার উপর লম্ব এবং প্রদত্ত রেখা ও \(X\) অক্ষের ছেদবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \(ax+by=a^{2}\)।
\(Q.1.(xvii)\) \((4, -3)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(2x+11y-2=0\) রেখাটির সমান্তরাল এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(2x+11y+25=0\)।
\(Q.1.(xviii)\) \(4x+3y+12=0\) রেখার সমান্তরাল এবং \(x+y-5=0\) ও \(2x-y-7=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x+3y-19=0\)।
\(Q.1.(xix)\) \(A(8, 5)\)\(B(-4, -3)\) রেখাংশের লম্বদ্বিখন্ডক সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০১২, যঃ ২০১২, সিঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(3x+2y-8=0\)।
\(Q.1.(xx)\) \((8, 5)\),\((-4, -3)\) বিন্দু দুইটির সংযোগ রেখাংশের লম্বদ্বিখন্ডক সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x+y=10\)।
\(Q.1.(xxi)\) \(A(1, 1)\),\(B(3, 4)\)\(C(5, -2)\) বিন্দুগুলি \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু । \(A\) বিন্দুগামী এবং \(BC\) রেখার উপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-3y+2=0 \)।
\(Q.1.(xxii)\) এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(3x+2y=9\) ও \(2x+3y=11\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং প্রথম রেখার উপর লম্ব।
উত্তরঃ \(2x-3y+7=0 \)।
\(Q.1.(xxiii)\) \((3, 2)\) বিন্দু এবং \(x-y+4=0\) ও \(y-2x-5=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুর সংযোগ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর এবং এই রেখার সাথে প্রদত্ত রেখ দুইটি কি কোণে আনত তাও নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+4y=11; \ \tan^{-1}(\frac{5}{3}), \ \tan^{-1}(\frac{9}{2}) \)।
\(Q.1.(xxiv)\) \(k\) এর মান কত হলে \(5x+4y-6=0\) ও \(2x+ky+9=0\) রেখা দুইটি সমান্তরাল হবে?
উত্তরঃ \(k=\frac{8}{5} \)।
\(Q.1.(xxv)\) \(k\) এর মান কত হলে \(2x-y+7=0\) ও \(3x+ky-5=0\) রেখা দুইটি পরস্পর লম্ব হবে?
উত্তরঃ \(k=6 \)।
উত্তরঃ \(3x-2y+42=0\)।
\(Q.1.(xiv)\) \(5x-9y+13=0\)এবং \(9x-5y+11=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(X\) অক্ষের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এরূপ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১২]
উত্তরঃ \(7x-7y+12=0; \ 2x+2y-1=0\)।
\(Q.1.(xv)\) \(AB\) ও \(AC\)রেখা দুইটির সমীকরণ \(y=2x+1\) ও \(y=4x-1\) হলে, \(AB\) এর উপর অঙ্কিত লম্ব \(AP\) এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০১২, কুঃ ২০১২, যঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(x+2y=7\)।
\(Q.1.(xvi)\) \(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=1\) রেখার উপর লম্ব এবং প্রদত্ত রেখা ও \(X\) অক্ষের ছেদবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \(ax+by=a^{2}\)।
\(Q.1.(xvii)\) \((4, -3)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(2x+11y-2=0\) রেখাটির সমান্তরাল এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(2x+11y+25=0\)।
\(Q.1.(xviii)\) \(4x+3y+12=0\) রেখার সমান্তরাল এবং \(x+y-5=0\) ও \(2x-y-7=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x+3y-19=0\)।
\(Q.1.(xix)\) \(A(8, 5)\)\(B(-4, -3)\) রেখাংশের লম্বদ্বিখন্ডক সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০১২, যঃ ২০১২, সিঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(3x+2y-8=0\)।
\(Q.1.(xx)\) \((8, 5)\),\((-4, -3)\) বিন্দু দুইটির সংযোগ রেখাংশের লম্বদ্বিখন্ডক সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x+y=10\)।
\(Q.1.(xxi)\) \(A(1, 1)\),\(B(3, 4)\)\(C(5, -2)\) বিন্দুগুলি \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু । \(A\) বিন্দুগামী এবং \(BC\) রেখার উপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-3y+2=0 \)।
\(Q.1.(xxii)\) এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(3x+2y=9\) ও \(2x+3y=11\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং প্রথম রেখার উপর লম্ব।
উত্তরঃ \(2x-3y+7=0 \)।
\(Q.1.(xxiii)\) \((3, 2)\) বিন্দু এবং \(x-y+4=0\) ও \(y-2x-5=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুর সংযোগ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর এবং এই রেখার সাথে প্রদত্ত রেখ দুইটি কি কোণে আনত তাও নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+4y=11; \ \tan^{-1}(\frac{5}{3}), \ \tan^{-1}(\frac{9}{2}) \)।
\(Q.1.(xxiv)\) \(k\) এর মান কত হলে \(5x+4y-6=0\) ও \(2x+ky+9=0\) রেখা দুইটি সমান্তরাল হবে?
উত্তরঃ \(k=\frac{8}{5} \)।
\(Q.1.(xxv)\) \(k\) এর মান কত হলে \(2x-y+7=0\) ও \(3x+ky-5=0\) রেখা দুইটি পরস্পর লম্ব হবে?
উত্তরঃ \(k=6 \)।
নিচের রেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্মকোণ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(i).(a)\) \(y=5\) এবং \(x+y-2=0\)
উত্তরঃ \((a) \ 45^{o}\)
উত্তরঃ \((a) \ 45^{o}\)
সমাধানঃ
মনে করি, 
\(y-5=0 .......(1)\)
\(x+y-2=0 ............(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=0, \ m_{2}=-\frac{1}{1}=-1\)
\(\therefore (1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ \(\theta=\tan^{-1}(\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{0-(-1)}{1+0.(-1)})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{0+1}{1+0})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{1}{1})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm 1)\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}1\) ➜ \(\because \theta\) সূক্ষ্ণকোণ।
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}\tan45^{o}\)
\(\therefore \theta=45^{o}\) ইহাই নির্ণেয় সূক্ষ্ণকোণ।
\(y-5=0 .......(1)\)
\(x+y-2=0 ............(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=0, \ m_{2}=-\frac{1}{1}=-1\)
\(\therefore (1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ \(\theta=\tan^{-1}(\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{0-(-1)}{1+0.(-1)})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{0+1}{1+0})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{1}{1})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm 1)\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}1\) ➜ \(\because \theta\) সূক্ষ্ণকোণ।
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}\tan45^{o}\)
\(\therefore \theta=45^{o}\) ইহাই নির্ণেয় সূক্ষ্ণকোণ।
নিচের রেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্মকোণ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(i).(b)\) \(x-2y+1=0\) এবং \(3x-y+5=0\)
উত্তরঃ \((b) \ 45^{o}\)
উত্তরঃ \((b) \ 45^{o}\)
সমাধানঃ
মনে করি, \(x-2y+1=0 .......(1)\)
\(3x-y+5=0 ............(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}, \ m_{2}=-\frac{3}{-1}=3\)
\(\therefore (1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ \(\theta=\tan^{-1}(\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{1}{2}-3}{1+\frac{1}{2}.3})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{1-6}{2}}{1+\frac{3}{2}})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{-5}{2}}{\frac{2+3}{2}})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{-\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}{\pm (-1)}\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}1\) ➜ \(\because \theta\) সূক্ষ্ণকোণ।
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}\tan45^{o}\)
\(\therefore \theta=45^{o}\) ইহাই নির্ণেয় সূক্ষ্ণকোণ।
\(3x-y+5=0 ............(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}, \ m_{2}=-\frac{3}{-1}=3\)
\(\therefore (1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ \(\theta=\tan^{-1}(\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{1}{2}-3}{1+\frac{1}{2}.3})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{1-6}{2}}{1+\frac{3}{2}})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{-5}{2}}{\frac{2+3}{2}})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{-\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}{\pm (-1)}\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}1\) ➜ \(\because \theta\) সূক্ষ্ণকোণ।
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}\tan45^{o}\)
\(\therefore \theta=45^{o}\) ইহাই নির্ণেয় সূক্ষ্ণকোণ।
নিচের রেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্মকোণ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(i).(c)\) \(3x+4y-2=0\) এবং \(4x-3y+7=0\)
উত্তরঃ \((c) \ 90^{o}\)
উত্তরঃ \((c) \ 90^{o}\)
সমাধানঃ
মনে করি, \(3x+4y-2=0 .......(1)\)
\(4x-3y+7=0 ............(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=-\frac{3}{4}, \ m_{2}=-\frac{4}{-3}=\frac{4}{3}\)
\(\therefore (1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ \(\theta=\tan^{-1}(\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{-\frac{3}{4}-\frac{4}{3}}{1+(-\frac{3}{4}).\frac{4}{3}})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{-\frac{3}{4}-\frac{4}{3}}{1-\frac{3}{4}.\frac{4}{3}})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{-9-16}{12}}{1-1})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{-25}{12}}{0})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \times -\infty)\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}\infty\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}\tan90^{o}\)
\(\therefore \theta=90^{o}\) ইহাই নির্ণেয় সূক্ষ্ণকোণ।
\(4x-3y+7=0 ............(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=-\frac{3}{4}, \ m_{2}=-\frac{4}{-3}=\frac{4}{3}\)
\(\therefore (1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ \(\theta=\tan^{-1}(\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{-\frac{3}{4}-\frac{4}{3}}{1+(-\frac{3}{4}).\frac{4}{3}})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{-\frac{3}{4}-\frac{4}{3}}{1-\frac{3}{4}.\frac{4}{3}})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{-9-16}{12}}{1-1})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{-25}{12}}{0})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \times -\infty)\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}\infty\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}\tan90^{o}\)
\(\therefore \theta=90^{o}\) ইহাই নির্ণেয় সূক্ষ্ণকোণ।
নিচের রেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্মকোণ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(i).(d)\) \(y-\sqrt{3}x-5=0\) এবং \(\sqrt{3}y-x+6=0\)
উত্তরঃ \((d) \ 30^{o}\)
উত্তরঃ \((d) \ 30^{o}\)
সমাধানঃ
\(Q.1.(i).(d)\) মনে করি, \(y-\sqrt{3}x-5=0 .......(1)\)
\(\sqrt{3}y-x+6=0 ............(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=-\frac{-\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}, \ m_{2}=-\frac{-1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\therefore (1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ \(\theta=\tan^{-1}(\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{3}}}{1+\sqrt{3}.\frac{1}{\sqrt{3}}})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{3-1}{\sqrt{3}}}{1+1})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{2})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{2}{\sqrt{3}}\times \frac{1}{2})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{1}{\sqrt{3}})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}\tan30^{o}\) ➜ \(\because \theta\) সূক্ষ্ণকোণ।
\(\therefore \theta=30^{o}\) ইহাই নির্ণেয় সূক্ষ্ণকোণ।
\(\sqrt{3}y-x+6=0 ............(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=-\frac{-\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}, \ m_{2}=-\frac{-1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\therefore (1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ \(\theta=\tan^{-1}(\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{3}}}{1+\sqrt{3}.\frac{1}{\sqrt{3}}})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{3-1}{\sqrt{3}}}{1+1})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{2})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{2}{\sqrt{3}}\times \frac{1}{2})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{1}{\sqrt{3}})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}\tan30^{o}\) ➜ \(\because \theta\) সূক্ষ্ণকোণ।
\(\therefore \theta=30^{o}\) ইহাই নির্ণেয় সূক্ষ্ণকোণ।
নিচের রেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্মকোণ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(i).(e)\) \((2-\sqrt{3})x-y+5=0\) এবং \((2+\sqrt{3})(x-3)-y=0\)
উত্তরঃ \((e) \ 60^{o}\)
উত্তরঃ \((e) \ 60^{o}\)
সমাধানঃ
মনে করি, \((2-\sqrt{3})x-y+5=0 .......(1)\)
\((2+\sqrt{3})(x-3)-y=0\)
\(\Rightarrow (2+\sqrt{3})x-y-3(2+\sqrt{3})=0 ............(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=-\frac{2-\sqrt{3}}{-1}=2-\sqrt{3}, \ m_{2}=-\frac{2+\sqrt{3}}{-1}=2+\sqrt{3}\)
\(\therefore (1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ \(\theta=\tan^{-1}(\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{2-\sqrt{3}-2-\sqrt{3}}{1+(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{-2\sqrt{3}}{1+4-3})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{-2\sqrt{3}}{2})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \times -\sqrt{3})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \sqrt{3})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\sqrt{3})\) ➜ \(\because \theta\) সূক্ষ্ণকোণ।
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}\tan60^{o}\)
\(\therefore \theta=60^{o}\) ইহাই নির্ণেয় সূক্ষ্ণকোণ।
\((2+\sqrt{3})(x-3)-y=0\)
\(\Rightarrow (2+\sqrt{3})x-y-3(2+\sqrt{3})=0 ............(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=-\frac{2-\sqrt{3}}{-1}=2-\sqrt{3}, \ m_{2}=-\frac{2+\sqrt{3}}{-1}=2+\sqrt{3}\)
\(\therefore (1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ \(\theta=\tan^{-1}(\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{2-\sqrt{3}-2-\sqrt{3}}{1+(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{-2\sqrt{3}}{1+4-3})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{-2\sqrt{3}}{2})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \times -\sqrt{3})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \sqrt{3})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\sqrt{3})\) ➜ \(\because \theta\) সূক্ষ্ণকোণ।
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}\tan60^{o}\)
\(\therefore \theta=60^{o}\) ইহাই নির্ণেয় সূক্ষ্ণকোণ।
নিচের রেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্মকোণ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(i).(f)\) \(3x+4y-2=0\) এবং \(4x+3y+7=0\) এর মধ্যবর্তী স্থুলকোণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((f) \ \tan^{-1}(-\frac{25}{24})\)
উত্তরঃ \((f) \ \tan^{-1}(-\frac{25}{24})\)
সমাধানঃ
মনে করি, \(3x+4y-2=0 .......(1)\)
\(4x+3y+7=0 ............(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=-\frac{3}{4}, \ m_{2}=-\frac{4}{3}\)
\(\therefore (1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ \(\theta=\tan^{-1}(\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{-\frac{3}{4}+\frac{4}{3}}{1+(-\frac{3}{4}).(-\frac{4}{3})})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{-9+16}{12}}{1+1})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{7}{12}\frac{1}{2})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{7}{24})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(-\frac{7}{24})\) ➜ \(\because \theta\) সূক্ষ্ণকোণ।
ইহাই নির্ণেয় সস্থুলকোণ।
\(4x+3y+7=0 ............(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=-\frac{3}{4}, \ m_{2}=-\frac{4}{3}\)
\(\therefore (1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ \(\theta=\tan^{-1}(\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{-\frac{3}{4}+\frac{4}{3}}{1+(-\frac{3}{4}).(-\frac{4}{3})})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{-9+16}{12}}{1+1})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{7}{12}\frac{1}{2})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{7}{24})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(-\frac{7}{24})\) ➜ \(\because \theta\) সূক্ষ্ণকোণ।
ইহাই নির্ণেয় সস্থুলকোণ।
\(Q.1.(ii)\) \(k\) এর মান কত হলে \(5x+4y-1=0\) এবং \(2x+ky-7=0\) রেখাদুইটি সমান্তরাল হবে?
উত্তরঃ \(k=\frac{8}{5}\)।
উত্তরঃ \(k=\frac{8}{5}\)।
সমাধানঃ
মনে করি, \(5x+4y-1=0 .......(1)\)
\(2x+ky-7=0 ............(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=-\frac{5}{4}, \ m_{2}=-\frac{2}{k}\)
শর্তমতে, \(m_{1}=m_{2}\)
\(\Rightarrow -\frac{5}{4}=-\frac{2}{k}\)
\(\Rightarrow \frac{5}{4}=\frac{2}{k}\)
\(\Rightarrow \frac{2}{k}=\frac{5}{4}\)
\(\Rightarrow 5k=8\)
\(\therefore k=\frac{8}{5}\)
\(2x+ky-7=0 ............(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=-\frac{5}{4}, \ m_{2}=-\frac{2}{k}\)
শর্তমতে, \(m_{1}=m_{2}\)
\(\Rightarrow -\frac{5}{4}=-\frac{2}{k}\)
\(\Rightarrow \frac{5}{4}=\frac{2}{k}\)
\(\Rightarrow \frac{2}{k}=\frac{5}{4}\)
\(\Rightarrow 5k=8\)
\(\therefore k=\frac{8}{5}\)
\(Q.1.(iii)\) \(a\) এর মান কত হলে \(2x-y+3=0\) এবং \(3x+ay-2=0\) রেখাদুইটি পরস্পর লম্ব হবে?
উত্তরঃ \( a=6\).
উত্তরঃ \( a=6\).
সমাধানঃ
মনে করি, \(2x-y+3=0 .......(1)\)
\(3x+ay-2=0 ............(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=-\frac{2}{-1}=2, \ m_{2}=-\frac{3}{a}\)
শর্তমতে, \(m_{1}\times m_{2}=-1\)
\(\Rightarrow 2\times -\frac{3}{a}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{6}{a}=1\)
\(\therefore a=6\)
\(3x+ay-2=0 ............(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=-\frac{2}{-1}=2, \ m_{2}=-\frac{3}{a}\)
শর্তমতে, \(m_{1}\times m_{2}=-1\)
\(\Rightarrow 2\times -\frac{3}{a}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{6}{a}=1\)
\(\therefore a=6\)
\(Q.1.(iv)\) মূলবিন্দু এবং \(x-y-4=0\) ও \(7x+y+20=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x-y=0\)।
উত্তরঃ \(3x-y=0\)।
সমাধানঃ
মনে করি, \(x-y-4=0 .......(1)\)
\(7x+y+20=0 ............(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x-y-4+k(7x+y+20)=0 ......(3)\) ➜ \(k\) শুন্য ব্যাতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখটি মূলবিন্দু দিয়ে যায়,
\(\therefore 0-0-4+k(7.0+0+20)=0\)
\(\Rightarrow -4+k(20)=0\)
\(\Rightarrow 20k=4\)
\(\Rightarrow k=\frac{4}{20}\)
\(\therefore k=\frac{1}{5}\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(x-y-4+\frac{1}{5}(7x+y+20)=0\)
\(5(x-y-4)+7x+y+20=0\times 5\) ➜ উভয় পার্শে \(5\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 5x-5y-20+7x+y+20=0\)
\(\Rightarrow 12x-4y=0\)
\(\Rightarrow 3x-y=0\) ➜ উভয় পার্শে \(4\) ভাগ করে।
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(7x+y+20=0 ............(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x-y-4+k(7x+y+20)=0 ......(3)\) ➜ \(k\) শুন্য ব্যাতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখটি মূলবিন্দু দিয়ে যায়,
\(\therefore 0-0-4+k(7.0+0+20)=0\)
\(\Rightarrow -4+k(20)=0\)
\(\Rightarrow 20k=4\)
\(\Rightarrow k=\frac{4}{20}\)
\(\therefore k=\frac{1}{5}\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(x-y-4+\frac{1}{5}(7x+y+20)=0\)
\(5(x-y-4)+7x+y+20=0\times 5\) ➜ উভয় পার্শে \(5\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 5x-5y-20+7x+y+20=0\)
\(\Rightarrow 12x-4y=0\)
\(\Rightarrow 3x-y=0\) ➜ উভয় পার্শে \(4\) ভাগ করে।
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(Q.1.(vii)\) \((3, 2)\) বিন্দু এবং \(x-y+4=0\) ও \(2x-y+5=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+4y-11=0\)।
উত্তরঃ \(x+4y-11=0\)।
সমাধানঃ
মনে করি, \(x-y+4=0 .......(1)\)
\(2x-y+5=0 ............(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x-y+4+k(2x-y+5)=0 ......(3)\) ➜ \(k\) শুন্য ব্যাতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখটি \((3, 2)\) দিয়ে যায়,
\(3-2+4+k(2.3-2+5)=0 \)
\(\Rightarrow 5+k(6-2+5)=0 \)
\(\Rightarrow 5+k(9)=0 \)
\(\Rightarrow 9k=-5 \)
\(\Rightarrow k=\frac{-5}{9}\)
\(\Rightarrow k=-\frac{5}{9}\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(x-y+4-\frac{5}{9}(2x-y+5)=0\)
\(\Rightarrow 9(x-y+4)-5(2x-y+5)=0\times 9\) ➜ উভয় পার্শে \(9\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 9x-9y+36-10x+5y-25=0\)
\(\Rightarrow -x-4y+11=0\)
\(\therefore x+4y-11=0\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(2x-y+5=0 ............(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x-y+4+k(2x-y+5)=0 ......(3)\) ➜ \(k\) শুন্য ব্যাতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখটি \((3, 2)\) দিয়ে যায়,
\(3-2+4+k(2.3-2+5)=0 \)
\(\Rightarrow 5+k(6-2+5)=0 \)
\(\Rightarrow 5+k(9)=0 \)
\(\Rightarrow 9k=-5 \)
\(\Rightarrow k=\frac{-5}{9}\)
\(\Rightarrow k=-\frac{5}{9}\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(x-y+4-\frac{5}{9}(2x-y+5)=0\)
\(\Rightarrow 9(x-y+4)-5(2x-y+5)=0\times 9\) ➜ উভয় পার্শে \(9\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 9x-9y+36-10x+5y-25=0\)
\(\Rightarrow -x-4y+11=0\)
\(\therefore x+4y-11=0\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(Q.1.(viii)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((4, 6)\) ও \((-2, 4)\) বিন্দু দুইটির সংযোগ রেখার মধ্যবিন্দু এবং \(2x+3y-6=0\) ও \(5x+4y-1=0\) রেখা দুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায়।
উত্তরঃ \(x-4y+19=0\)।
উত্তরঃ \(x-4y+19=0\)।
সমাধানঃ
মনে করি, \(A(4, 6)\) ও \(B(-2, 4)\)
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(C(\frac{4-2}{2}, \frac{6+4}{2})\)
\(\Rightarrow C(\frac{2}{2}, \frac{10}{2})\)
\(\therefore C(1, 5)\)
\(2x+3y-6=0 .......(1)\)
\(5x+4y-1=0 ............(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x+3y-6+k(5x+4y-1)=0 ......(3)\) ➜ \(k\) শুন্য ব্যাতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখটি \(C(1, 5)\) দিয়ে যায়,
\(2.1+3.5-6+k(5.1+4.5-1)=0\)
\(\Rightarrow 2+15-6+k(5+20-1)=0\)
\(\Rightarrow 11+k(24)=0\)
\(\Rightarrow 24k=-11\)
\(\Rightarrow k=\frac{-11}{24}\)
\(\therefore k=-\frac{11}{24}\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(2x+3y-6-\frac{11}{24}(5x+4y-1)=0\)
\(\Rightarrow 24(2x+3y-6)-11(5x+4y-1)=0\) ➜ উভয় পার্শে \(24\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 48x+72y-144-55x-44y+11=0\)
\(\Rightarrow -7x+28y-133=0\)
\(\therefore x-4y+19=0\) ➜ উভয় পার্শে \(-7\) ভাগ করে।
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(C(\frac{4-2}{2}, \frac{6+4}{2})\)
\(\Rightarrow C(\frac{2}{2}, \frac{10}{2})\)
\(\therefore C(1, 5)\)
\(2x+3y-6=0 .......(1)\)
\(5x+4y-1=0 ............(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x+3y-6+k(5x+4y-1)=0 ......(3)\) ➜ \(k\) শুন্য ব্যাতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখটি \(C(1, 5)\) দিয়ে যায়,
\(2.1+3.5-6+k(5.1+4.5-1)=0\)
\(\Rightarrow 2+15-6+k(5+20-1)=0\)
\(\Rightarrow 11+k(24)=0\)
\(\Rightarrow 24k=-11\)
\(\Rightarrow k=\frac{-11}{24}\)
\(\therefore k=-\frac{11}{24}\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(2x+3y-6-\frac{11}{24}(5x+4y-1)=0\)
\(\Rightarrow 24(2x+3y-6)-11(5x+4y-1)=0\) ➜ উভয় পার্শে \(24\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 48x+72y-144-55x-44y+11=0\)
\(\Rightarrow -7x+28y-133=0\)
\(\therefore x-4y+19=0\) ➜ উভয় পার্শে \(-7\) ভাগ করে।
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(Q.1.(ix)\) \((2, -3)\) বিন্দু দিয়ে গমনকারী এবং \(2x-3y=7\) রেখার উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(3x+2y=0\)।
[ যঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(3x+2y=0\)।
সমাধানঃ
মনে করি, \(A(2, -3)\)
\(2x-3y-7=0 .......(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখার উপর লম্ব এরূপ যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x+2y+k=0 ......(2)\) ➜ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখটি \(A(2, -3)\) দিয়ে যায়,
\(\therefore 3.2+2.(-3)+k=0\)
\(\Rightarrow 6-6+k=0\)
\(\therefore k=0\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(3x+2y+0=0\)
\(\therefore 3x+2y=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(2x-3y-7=0 .......(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখার উপর লম্ব এরূপ যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x+2y+k=0 ......(2)\) ➜ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখটি \(A(2, -3)\) দিয়ে যায়,
\(\therefore 3.2+2.(-3)+k=0\)
\(\Rightarrow 6-6+k=0\)
\(\therefore k=0\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(3x+2y+0=0\)
\(\therefore 3x+2y=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(Q.1.(xiii)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় যা \(3x+2y+6=0\) এবং \(2x+3y-11=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(4x+6y+15=0\) রেখার উপর লম্ব ।
উত্তরঃ \(3x-2y+42=0\)।
সমাধানঃ
মনে করি, \(3x+2y+6=0 .......(1)\)
\(2x+3y-11=0 .......(2)\)
\(4x+6y+15=0 .......(3)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x+2y+6+k(2x+3y-11)=0 ......(4)\) ➜ \(k\) শুন্য ব্যাতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।
\(\Rightarrow 3x+2y+6+2kx+3ky-11k=0\)
\(\Rightarrow (3+2k)x+(2+3k)y+6-11k=0 ......(5)\)
\((3)\) ও \((5)\) এর ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=-\frac{4}{6}=-\frac{2}{3}\) ও \(m_{2}=-\frac{3+2k}{2+3k}\)
শর্তমতে,
\(m_{1}\times m_{2}=-1\) ➜ পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত \(m_{1}\times m_{2}=-1\)
\(\Rightarrow -\frac{2}{3}\times -\frac{3+2k}{2+3k}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{2(3+2k)}{3(2+3k)}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{6+4k}{6+9k)}=-1\)
\(\Rightarrow 6+9k=-1(6+4k)\)
\(\Rightarrow 6+9k=-6-4k\)
\(\Rightarrow 9k+4k=-6-6\)
\(\Rightarrow 13k=-12\)
\(\therefore k=-\frac{12}{13}\)
\(k\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে,
\(3x+2y+6-\frac{12}{13}(2x+3y-11)=0\)
\(\Rightarrow 13(3x+2y+6)-12(2x+3y-11)=0\) ➜ উভয় পার্শে \(13\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 39x+26y+78-24x-36y+132=0\)
\(\Rightarrow 15x-10y+210=0\)
\(\therefore 3x-2y+42=0\) ➜ উভয় পার্শে \(5\) ভাগ করে।
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(2x+3y-11=0 .......(2)\)
\(4x+6y+15=0 .......(3)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x+2y+6+k(2x+3y-11)=0 ......(4)\) ➜ \(k\) শুন্য ব্যাতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।
\(\Rightarrow 3x+2y+6+2kx+3ky-11k=0\)
\(\Rightarrow (3+2k)x+(2+3k)y+6-11k=0 ......(5)\)
\((3)\) ও \((5)\) এর ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=-\frac{4}{6}=-\frac{2}{3}\) ও \(m_{2}=-\frac{3+2k}{2+3k}\)
শর্তমতে,
\(m_{1}\times m_{2}=-1\) ➜ পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত \(m_{1}\times m_{2}=-1\)
\(\Rightarrow -\frac{2}{3}\times -\frac{3+2k}{2+3k}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{2(3+2k)}{3(2+3k)}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{6+4k}{6+9k)}=-1\)
\(\Rightarrow 6+9k=-1(6+4k)\)
\(\Rightarrow 6+9k=-6-4k\)
\(\Rightarrow 9k+4k=-6-6\)
\(\Rightarrow 13k=-12\)
\(\therefore k=-\frac{12}{13}\)
\(k\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে,
\(3x+2y+6-\frac{12}{13}(2x+3y-11)=0\)
\(\Rightarrow 13(3x+2y+6)-12(2x+3y-11)=0\) ➜ উভয় পার্শে \(13\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 39x+26y+78-24x-36y+132=0\)
\(\Rightarrow 15x-10y+210=0\)
\(\therefore 3x-2y+42=0\) ➜ উভয় পার্শে \(5\) ভাগ করে।
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(Q.1.(xiv)\) \(5x-9y+13=0\)এবং \(9x-5y+11=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(X\) অক্ষের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এরূপ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১২]
উত্তরঃ \(7x-7y+12=0; \ 2x+2y-1=0\)।
[ ঢাঃ ২০১২]
উত্তরঃ \(7x-7y+12=0; \ 2x+2y-1=0\)।
সমাধানঃ
মনে করি, \(5x-9y+13=0 .......(1)\)
\(9x-5y+11=0 .......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(5x-9y+13+k(9x-5y+11)=0 ......(3)\) ➜ \(k\) শুন্য ব্যাতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।
\(\Rightarrow 5x-9y+13+9kx-5ky+11k=0\)
\(\Rightarrow (5+9k)x-(9+5k)y+(13+11k)=0 ......(4)\)
\((4)\) এর ঢাল \(=-\frac{5+9k}{-(9+5k)}\)
\(=\frac{5+9k}{9+5k}\)
শর্তমতে, \(\frac{5+9k}{9+5k}=\pm \tan45^{o}\)
\(\Rightarrow \frac{5+9k}{9+5k}=\pm 1\)
\(\Rightarrow 5+9k=9+5k\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যাবহার করে।
\(\Rightarrow 9k-5k=9-5\)
\(\Rightarrow 4k=4\)
\(\Rightarrow k=1\) ➜ উভয় পার্শে \(4\) ভাগ করে।
আবার,
\(5+9k=-9-5k\) ➜ ঋণাত্মক চিহ্ন ব্যাবহার করে।
\(\Rightarrow 9k+5k=-9-5\)
\(\Rightarrow 14k=-14\)
\(\Rightarrow k=-1\) ➜ উভয় পার্শে \(14\) ভাগ করে।
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(5x-9y+13+1(9x-5y+11)=0\); যখন \(k=1\)
\(\Rightarrow 5x-9y+13+9x-5y+11=0\)
\(\Rightarrow 14x-14y+24=0\)
\(\therefore 7x-7y+12=0\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(5x-9y+13-1(9x-5y+11)=0\); যখন \(k=-1\)
\(\Rightarrow 5x-9y+13-9x+5y-11=0\)
\(\Rightarrow -4x-4y+2=0\)
\(\therefore 2x+2y-1=0\) ➜ উভয় পার্শে \(-2\) ভাগ করে।
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ। \(7x-7y+12=0, \ 2x+2y-1=0\)।
\(9x-5y+11=0 .......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(5x-9y+13+k(9x-5y+11)=0 ......(3)\) ➜ \(k\) শুন্য ব্যাতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।
\(\Rightarrow 5x-9y+13+9kx-5ky+11k=0\)
\(\Rightarrow (5+9k)x-(9+5k)y+(13+11k)=0 ......(4)\)
\((4)\) এর ঢাল \(=-\frac{5+9k}{-(9+5k)}\)
\(=\frac{5+9k}{9+5k}\)
শর্তমতে, \(\frac{5+9k}{9+5k}=\pm \tan45^{o}\)
\(\Rightarrow \frac{5+9k}{9+5k}=\pm 1\)
\(\Rightarrow 5+9k=9+5k\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যাবহার করে।
\(\Rightarrow 9k-5k=9-5\)
\(\Rightarrow 4k=4\)
\(\Rightarrow k=1\) ➜ উভয় পার্শে \(4\) ভাগ করে।
আবার,
\(5+9k=-9-5k\) ➜ ঋণাত্মক চিহ্ন ব্যাবহার করে।
\(\Rightarrow 9k+5k=-9-5\)
\(\Rightarrow 14k=-14\)
\(\Rightarrow k=-1\) ➜ উভয় পার্শে \(14\) ভাগ করে।
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(5x-9y+13+1(9x-5y+11)=0\); যখন \(k=1\)
\(\Rightarrow 5x-9y+13+9x-5y+11=0\)
\(\Rightarrow 14x-14y+24=0\)
\(\therefore 7x-7y+12=0\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(5x-9y+13-1(9x-5y+11)=0\); যখন \(k=-1\)
\(\Rightarrow 5x-9y+13-9x+5y-11=0\)
\(\Rightarrow -4x-4y+2=0\)
\(\therefore 2x+2y-1=0\) ➜ উভয় পার্শে \(-2\) ভাগ করে।
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ। \(7x-7y+12=0, \ 2x+2y-1=0\)।
\(Q.1.(xv)\) \(AB\) ও \(AC\)রেখা দুইটির সমীকরণ \(y=2x+1\) ও \(y=4x-1\) হলে, \(AB\) এর উপর অঙ্কিত লম্ব \(AP\) এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০১২, কুঃ ২০১২, যঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(x+2y=7\)।
[ বঃ ২০১২, কুঃ ২০১২, যঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(x+2y=7\)।
সমাধানঃ
মনে করি, \(y=2x+1 \Rightarrow 2x-y+1=0 .......(1)\)
\(y=4x-1 \Rightarrow 4x-y-1=0 .......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু \(A\) নির্ণয় করি,
\((2) - (1)\) এরসাহায্যে,
\(4x-y-1-2x+y-1=0\)
\(\Rightarrow 2x-2=0\)
\(\Rightarrow 2x=2\)
\(\Rightarrow x=1\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(x\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(2.1-y+1=0\)
\(\Rightarrow 2-y+1=0\)
\(\Rightarrow -y+3=0\)
\(\Rightarrow -y=-3\)
\(\Rightarrow y=3\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\(\therefore A(1, 3)\)
\(AB\) তথা \((1)\) নং সরলরেখার উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x+2y+k=0 ......(3)\) ➜ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখা \(A(1, 3)\) বিন্দুগামী,
\(1+2.3+k=0\)
\(\Rightarrow 1+6+k=0\)
\(\Rightarrow 7+k=0\)
\(\therefore k=-7\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(x+2y-7=0\)
\(\therefore x+2y=7\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(y=4x-1 \Rightarrow 4x-y-1=0 .......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু \(A\) নির্ণয় করি,
\((2) - (1)\) এরসাহায্যে,
\(4x-y-1-2x+y-1=0\)
\(\Rightarrow 2x-2=0\)
\(\Rightarrow 2x=2\)
\(\Rightarrow x=1\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(x\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(2.1-y+1=0\)
\(\Rightarrow 2-y+1=0\)
\(\Rightarrow -y+3=0\)
\(\Rightarrow -y=-3\)
\(\Rightarrow y=3\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\(\therefore A(1, 3)\)
\(AB\) তথা \((1)\) নং সরলরেখার উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x+2y+k=0 ......(3)\) ➜ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখা \(A(1, 3)\) বিন্দুগামী,
\(1+2.3+k=0\)
\(\Rightarrow 1+6+k=0\)
\(\Rightarrow 7+k=0\)
\(\therefore k=-7\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(x+2y-7=0\)
\(\therefore x+2y=7\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(Q.1.(xvi)\) \(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=1\) রেখার উপর লম্ব এবং প্রদত্ত রেখা ও \(X\) অক্ষের ছেদবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \(ax+by=a^{2}\)।
[ কুঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \(ax+by=a^{2}\)।
সমাধানঃ
মনে করি, \(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=1 .......(1)\)
\((1)\) নং রেখা যখন \(X\) অক্ষকে ছেদ করে তখন \(y=0\),
\(\therefore (1)\) হতে,
\(\frac{x}{a}-\frac{0}{b}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{a}-0=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{a}=1\)
\(\therefore x=a\)
\((1)\) ও \(X\) অক্ষের ছেদবিন্দু \(A(a, 0)\)
\((1)\) নং সরলরেখার উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(\frac{x}{b}+\frac{y}{a}+k=0 ..........(2)\) ➜ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা \(A(a, 0)\) বিন্দুগামী,
\(\frac{a}{b}+\frac{0}{a}+k=0\)
\(\Rightarrow \frac{a}{b}+0+k=0\)
\(\therefore k=-\frac{a}{b}\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(\frac{x}{b}+\frac{y}{a}-\frac{a}{b}=0\)
\(\Rightarrow \frac{ax+by}{ab}=\frac{a}{b}\)
\(\Rightarrow ax+by=\frac{a}{b}\times ab\)
\(\therefore ax+by=a^{2}\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\((1)\) নং রেখা যখন \(X\) অক্ষকে ছেদ করে তখন \(y=0\),
\(\therefore (1)\) হতে,
\(\frac{x}{a}-\frac{0}{b}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{a}-0=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{a}=1\)
\(\therefore x=a\)
\((1)\) ও \(X\) অক্ষের ছেদবিন্দু \(A(a, 0)\)
\((1)\) নং সরলরেখার উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(\frac{x}{b}+\frac{y}{a}+k=0 ..........(2)\) ➜ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা \(A(a, 0)\) বিন্দুগামী,
\(\frac{a}{b}+\frac{0}{a}+k=0\)
\(\Rightarrow \frac{a}{b}+0+k=0\)
\(\therefore k=-\frac{a}{b}\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(\frac{x}{b}+\frac{y}{a}-\frac{a}{b}=0\)
\(\Rightarrow \frac{ax+by}{ab}=\frac{a}{b}\)
\(\Rightarrow ax+by=\frac{a}{b}\times ab\)
\(\therefore ax+by=a^{2}\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(Q.1.(xvii)\) \((4, -3)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(2x+11y-2=0\) রেখাটির সমান্তরাল এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(2x+11y+25=0\)।
[ বঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(2x+11y+25=0\)।
সমাধানঃ
মনে করি, \(2x+11y-2=0 .......(1)\) এবং \(A(4, -3)\)
\((1)\) নং সরলরেখার সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x+11y+k=0 ..........(2)\) ➜ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা \(A(4, -3)\) বিন্দুগামী,
\(2.4+11.(-3)+k=0\)
\(\Rightarrow 8-33+k=0\)
\(\Rightarrow -25+k=0\)
\(\Rightarrow k=25\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(2x+11y+25=0\)
\(\therefore 2x+11y+25=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\((1)\) নং সরলরেখার সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x+11y+k=0 ..........(2)\) ➜ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা \(A(4, -3)\) বিন্দুগামী,
\(2.4+11.(-3)+k=0\)
\(\Rightarrow 8-33+k=0\)
\(\Rightarrow -25+k=0\)
\(\Rightarrow k=25\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(2x+11y+25=0\)
\(\therefore 2x+11y+25=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(Q.1.(xviii)\) \(4x+3y+12=0\) রেখার সমান্তরাল এবং \(x+y-5=0\) ও \(2x-y-7=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x+3y-19=0\)।
উত্তরঃ \(4x+3y-19=0\)।
সমাধানঃ
মনে করি, \(4x+3y+12=0 .......(1)\)
\(x+y-5=0 .......(2)\)
\(2x-y-7=0 .......(3)\)
\((2)\) ও \((3)\) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x+y-5+k(2x-y-7)=0 ......(4)\) ➜ \(k\) শুন্য ব্যাতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।
\(\Rightarrow x+y-5+2kx-ky-7k=0\)
\(\Rightarrow (1+2k)x+(1-k)y-(5+7k)=0 .....(5)\)
\((1)\) ও \((5)\) নং সরলরেখার ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=-\frac{4}{3}, \ m_{2}=-\frac{1+2k}{1-k}\)
শর্তমতে, \(m_{1}=m_{2}\)
\(\Rightarrow -\frac{4}{3}=-\frac{1+2k}{1-k}\)
\(\Rightarrow \frac{4}{3}=\frac{1+2k}{1-k}\)
\(\Rightarrow 3+6k=4-4k\)
\(\Rightarrow 6k+4k=4-3\)
\(\Rightarrow 10k=1\)
\(\Rightarrow k=\frac{1}{10}\)
\(k\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে,
\(x+y-5+\frac{1}{10}(2x-y-7)=0\)
\(\Rightarrow 10(x+y-5)+1(2x-y-7)=0\) ➜ উভয় পার্শে \(10\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 10x+10y-50+2x-y-7=0\)
\(\Rightarrow 12x+9y-57=0\)
\(\therefore 4x+3y-19=0\) ➜ উভয় পার্শে \(3\) ভাগ করে।
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(x+y-5=0 .......(2)\)
\(2x-y-7=0 .......(3)\)
\((2)\) ও \((3)\) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x+y-5+k(2x-y-7)=0 ......(4)\) ➜ \(k\) শুন্য ব্যাতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।
\(\Rightarrow x+y-5+2kx-ky-7k=0\)
\(\Rightarrow (1+2k)x+(1-k)y-(5+7k)=0 .....(5)\)
\((1)\) ও \((5)\) নং সরলরেখার ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=-\frac{4}{3}, \ m_{2}=-\frac{1+2k}{1-k}\)
শর্তমতে, \(m_{1}=m_{2}\)
\(\Rightarrow -\frac{4}{3}=-\frac{1+2k}{1-k}\)
\(\Rightarrow \frac{4}{3}=\frac{1+2k}{1-k}\)
\(\Rightarrow 3+6k=4-4k\)
\(\Rightarrow 6k+4k=4-3\)
\(\Rightarrow 10k=1\)
\(\Rightarrow k=\frac{1}{10}\)
\(k\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে,
\(x+y-5+\frac{1}{10}(2x-y-7)=0\)
\(\Rightarrow 10(x+y-5)+1(2x-y-7)=0\) ➜ উভয় পার্শে \(10\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 10x+10y-50+2x-y-7=0\)
\(\Rightarrow 12x+9y-57=0\)
\(\therefore 4x+3y-19=0\) ➜ উভয় পার্শে \(3\) ভাগ করে।
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(Q.1.(xix)\) \(A(8, 5)\)\(B(-4, -3)\) রেখাংশের লম্বদ্বিখন্ডক সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০১২, যঃ ২০১২, সিঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(3x+2y-8=0\)।
[ রাঃ ২০১২, যঃ ২০১২, সিঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(3x+2y-8=0\)।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, \(A(8, 5)\), \(B(-4, -3)\)
\(AB\) এর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(C(\frac{8-4}{2}, \frac{5-3}{2})\)
\(\Rightarrow C(\frac{4}{2}, \frac{2}{2})\)
\(\Rightarrow C(2, 1)\)
\(AB\) এর ঢাল \(=\frac{5+3}{8+4}\)
\(=\frac{8}{12}\)
\(=\frac{2}{3}\)
\(AB\) এর উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার ঢাল \(=-\frac{3}{2}\)
\(\therefore C(2, 1)\) বিন্দুগামী এবং \(-\frac{3}{2}\)ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-1=-\frac{3}{2}(x-2)\)
\(\Rightarrow 2(y-1)=-3(x-2)\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 2y-2=-3x+6\)
\(\Rightarrow 3x+2y-2-6=0\)
\(\therefore 3x+2y-8=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(AB\) এর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(C(\frac{8-4}{2}, \frac{5-3}{2})\)
\(\Rightarrow C(\frac{4}{2}, \frac{2}{2})\)
\(\Rightarrow C(2, 1)\)
\(AB\) এর ঢাল \(=\frac{5+3}{8+4}\)
\(=\frac{8}{12}\)
\(=\frac{2}{3}\)
\(AB\) এর উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার ঢাল \(=-\frac{3}{2}\)
\(\therefore C(2, 1)\) বিন্দুগামী এবং \(-\frac{3}{2}\)ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-1=-\frac{3}{2}(x-2)\)
\(\Rightarrow 2(y-1)=-3(x-2)\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 2y-2=-3x+6\)
\(\Rightarrow 3x+2y-2-6=0\)
\(\therefore 3x+2y-8=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(Q.1.(xxi)\) \(A(1, 1)\),\(B(3, 4)\), \(C(5, -2)\) বিন্দুগুলি \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু । \(A\) বিন্দুগামী এবং \(BC\) রেখার উপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-3y+2=0 \)।
উত্তরঃ \(x-3y+2=0 \)।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
\(A(1, 1)\),\(B(3, 4)\)\(C(5, -2)\) বিন্দুগুলি \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু ।
\(BC\) এর ঢাল \(=\frac{4+2}{3-5}\)
\(=\frac{6}{-2}\)
\(=-3\)
\(BC\) এর উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার ঢাল \(=\frac{1}{3}\)
\(\therefore A(1, 1)\) বিন্দুগামী এবং \(\frac{1}{3}\)ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-1=\frac{1}{3}(x-1)\)
\(\Rightarrow 3(y-1)=1(x-1)\) ➜ উভয় পার্শে \(3\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 3y-3=x-1\)
\(\Rightarrow x-1=3y-3\)
\(\Rightarrow x-3y-1+3=0\)
\(\Rightarrow x-3y+2=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(A(1, 1)\),\(B(3, 4)\)\(C(5, -2)\) বিন্দুগুলি \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু ।
\(BC\) এর ঢাল \(=\frac{4+2}{3-5}\)
\(=\frac{6}{-2}\)
\(=-3\)
\(BC\) এর উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার ঢাল \(=\frac{1}{3}\)
\(\therefore A(1, 1)\) বিন্দুগামী এবং \(\frac{1}{3}\)ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-1=\frac{1}{3}(x-1)\)
\(\Rightarrow 3(y-1)=1(x-1)\) ➜ উভয় পার্শে \(3\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 3y-3=x-1\)
\(\Rightarrow x-1=3y-3\)
\(\Rightarrow x-3y-1+3=0\)
\(\Rightarrow x-3y+2=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(Q.1.(xxii)\) এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(3x+2y=9\) ও \(2x+3y=11\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং প্রথম রেখার উপর লম্ব।
উত্তরঃ \(2x-3y+7=0 \)।
উত্তরঃ \(2x-3y+7=0 \)।
সমাধানঃ
মনে করি, 
\(3x+2y=9\Rightarrow 3x+2y-9=0 .......(1)\)
\(2x+3y=11\Rightarrow 2x+3y-11=0.......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x+2y-9+k(2x+3y-11)=0 ......(3)\) ➜ \(k\) শুন্য ব্যাতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।
\(\Rightarrow 3x+2y-9+2kx+3ky-11k=0\)
\(\Rightarrow (3+2k)x+(2+3k)y-(9+11k)=0 ......(4)\)
\((1)\) ও \((4)\) নং সরলরেখার ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=-\frac{3}{2}, \ m_{2}=-\frac{3+2k}{2+3k}\)
শর্তমতে, \(m_{1}\times m_{2}=-1\)
\(\Rightarrow -\frac{3}{2}\times -\frac{3+2k}{2+3k}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{3(3+2k)}{2(2+3k)}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{9+6k}{4+6k}=-1\)
\(\Rightarrow 9+6k=-4-6k\)
\(\Rightarrow 6k+6k=-4-9\)
\(\Rightarrow 12k=-13\)
\(\Rightarrow k=-\frac{13}{12}\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(3x+2y-9-\frac{13}{12}(2x+3y-11)=0\)
\(\Rightarrow 12(3x+2y-9)-13(2x+3y-11)=0\) ➜ উভয় পার্শে \(12\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 36x+24y-108-26x-39y+143=0\)
\(\Rightarrow 10x-15y+35=0\)
\(\Rightarrow 2x-3y+7=0\) ➜ উভয় পার্শে \(5\) ভাগ করে।
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(3x+2y=9\Rightarrow 3x+2y-9=0 .......(1)\)
\(2x+3y=11\Rightarrow 2x+3y-11=0.......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x+2y-9+k(2x+3y-11)=0 ......(3)\) ➜ \(k\) শুন্য ব্যাতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।
\(\Rightarrow 3x+2y-9+2kx+3ky-11k=0\)
\(\Rightarrow (3+2k)x+(2+3k)y-(9+11k)=0 ......(4)\)
\((1)\) ও \((4)\) নং সরলরেখার ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=-\frac{3}{2}, \ m_{2}=-\frac{3+2k}{2+3k}\)
শর্তমতে, \(m_{1}\times m_{2}=-1\)
\(\Rightarrow -\frac{3}{2}\times -\frac{3+2k}{2+3k}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{3(3+2k)}{2(2+3k)}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{9+6k}{4+6k}=-1\)
\(\Rightarrow 9+6k=-4-6k\)
\(\Rightarrow 6k+6k=-4-9\)
\(\Rightarrow 12k=-13\)
\(\Rightarrow k=-\frac{13}{12}\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(3x+2y-9-\frac{13}{12}(2x+3y-11)=0\)
\(\Rightarrow 12(3x+2y-9)-13(2x+3y-11)=0\) ➜ উভয় পার্শে \(12\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 36x+24y-108-26x-39y+143=0\)
\(\Rightarrow 10x-15y+35=0\)
\(\Rightarrow 2x-3y+7=0\) ➜ উভয় পার্শে \(5\) ভাগ করে।
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(Q.1.(xxiii)\)\((3, 2)\) বিন্দু এবং \(x-y+4=0\) ও \(y-2x-5=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুর সংযোগ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর এবং এই রেখার সাথে প্রদত্ত রেখ দুইটি কি কোণে আনত তাও নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+4y=11; \ \tan^{-1}(\frac{5}{3}), \ \tan^{-1}(\frac{9}{2}) \)।
উত্তরঃ \(x+4y=11; \ \tan^{-1}(\frac{5}{3}), \ \tan^{-1}(\frac{9}{2}) \)।
সমাধানঃ
মনে করি, 
\(x-y+4=0 .......(1)\)
\(y-2x-5=0.......(2)\)
এবং \(A(3, 2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x-y+4+k(y-2x-5)=0 ......(3)\) ➜ \(k\) শুন্য ব্যাতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখা \(A(3, 2)\) বিন্দুগামী,
\(3-2+4+k(2-2.3-5)=0\)
\(\Rightarrow 5+k(2-6-5)=0\)
\(\Rightarrow 5+k(-9)=0\)
\(\Rightarrow -9k=-5\)
\(\Rightarrow k=\frac{-5}{-9}\)
\(\Rightarrow k=\frac{5}{9}\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(x-y+4+\frac{5}{9}(y-2x-5)=0\)
\(\Rightarrow 9(x-y+4)+5(y-2x-5)=0\) ➜ উভয় পার্শে \(9\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 9x-9y+36+5y-10x-25=0\)
\(\Rightarrow -x-4y+11=0\)
\(\Rightarrow x+4y-11=0\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\(\Rightarrow x+4y=11\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
আবার,
ধরি,
\(x+4y=11 ...........(3)\)
\((1)\), \((2)\) ও \((3)\) সরলরেখার ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=-\frac{1}{-1}=1, \ m_{2}=-\frac{-2}{1}=2, \ m_{3}=-\frac{1}{4}\)
\((1)\) ও \((3)\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(=\tan^{-1}(\pm \frac{1+\frac{1}{4}}{1+1.(-\frac{1}{4})})\) ➜ \(\because \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{4+1}{4}}{1-\frac{1}{4}})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{5}{4}}{\frac{4-1}{4}})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{5}{4}}{\frac{3}{4}})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{5}{4}\times \frac{4}{3})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{5}{3})\)
\(=\tan^{-1}(\frac{5}{3})\) ➜ সূক্ষ্ণকোণের জন্য ধনাত্মক মান নিয়ে।
\((2)\) ও \((3)\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(=\tan^{-1}(\pm \frac{2+\frac{1}{4}}{1+2.(-\frac{1}{4})})\) ➜ \(\because \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{8+1}{4}}{1-\frac{1}{2}})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{9}{4}}{\frac{2-1}{2}})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{5}{4}}{\frac{1}{2}})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{9}{4}\times \frac{2}{1})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{9}{2})\)
\(=\tan^{-1}(\frac{9}{2})\) ➜ সূক্ষ্ণকোণের জন্য ধনাত্মক মান নিয়ে।
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখা ও মধ্যবর্তী কোণগুলি যথাক্রমে \(x+4y=11; \ \tan^{-1}(\frac{5}{3}), \ \tan^{-1}(\frac{9}{2}) \)।
\(x-y+4=0 .......(1)\)
\(y-2x-5=0.......(2)\)
এবং \(A(3, 2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x-y+4+k(y-2x-5)=0 ......(3)\) ➜ \(k\) শুন্য ব্যাতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখা \(A(3, 2)\) বিন্দুগামী,
\(3-2+4+k(2-2.3-5)=0\)
\(\Rightarrow 5+k(2-6-5)=0\)
\(\Rightarrow 5+k(-9)=0\)
\(\Rightarrow -9k=-5\)
\(\Rightarrow k=\frac{-5}{-9}\)
\(\Rightarrow k=\frac{5}{9}\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(x-y+4+\frac{5}{9}(y-2x-5)=0\)
\(\Rightarrow 9(x-y+4)+5(y-2x-5)=0\) ➜ উভয় পার্শে \(9\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 9x-9y+36+5y-10x-25=0\)
\(\Rightarrow -x-4y+11=0\)
\(\Rightarrow x+4y-11=0\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\(\Rightarrow x+4y=11\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
আবার,
ধরি,
\(x+4y=11 ...........(3)\)
\((1)\), \((2)\) ও \((3)\) সরলরেখার ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=-\frac{1}{-1}=1, \ m_{2}=-\frac{-2}{1}=2, \ m_{3}=-\frac{1}{4}\)
\((1)\) ও \((3)\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(=\tan^{-1}(\pm \frac{1+\frac{1}{4}}{1+1.(-\frac{1}{4})})\) ➜ \(\because \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{4+1}{4}}{1-\frac{1}{4}})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{5}{4}}{\frac{4-1}{4}})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{5}{4}}{\frac{3}{4}})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{5}{4}\times \frac{4}{3})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{5}{3})\)
\(=\tan^{-1}(\frac{5}{3})\) ➜ সূক্ষ্ণকোণের জন্য ধনাত্মক মান নিয়ে।
\((2)\) ও \((3)\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(=\tan^{-1}(\pm \frac{2+\frac{1}{4}}{1+2.(-\frac{1}{4})})\) ➜ \(\because \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{8+1}{4}}{1-\frac{1}{2}})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{9}{4}}{\frac{2-1}{2}})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{5}{4}}{\frac{1}{2}})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{9}{4}\times \frac{2}{1})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{9}{2})\)
\(=\tan^{-1}(\frac{9}{2})\) ➜ সূক্ষ্ণকোণের জন্য ধনাত্মক মান নিয়ে।
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখা ও মধ্যবর্তী কোণগুলি যথাক্রমে \(x+4y=11; \ \tan^{-1}(\frac{5}{3}), \ \tan^{-1}(\frac{9}{2}) \)।
অনুশীলনী \(3.F\) / \(Q.2\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
\(Q.2.(i)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((-3, 2)\) ও \((3, 8)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাকে \(1:2\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে এবং উক্ত রেখার উপর লম্ব হয়।
উত্তরঃ \(x+y-3=0\)।
\(Q.2.(ii)\) দুইটি সরলরেখা \((6, -7)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(y+x\sqrt{3}-1=0\) রেখার সাথে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। এদের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০৫,কুঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(y+7=0; \ y+7=\sqrt{3}(x-6)\)।
\(Q.2.(iii)\) দুইটি সরলরেখা \((3, 4)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(x-y+4=0\) রেখার সাথে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। এদের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \((2\pm \sqrt{3})x+y=10\pm 3\sqrt{3}\)।
\(Q.2.(iv)\) দুইটি সরলরেখা \((-1, 2)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(3x-y+7=0\) রেখার সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। রেখা দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর এবং এদের সমীকরণ থেকে প্রমাণ কর যে, তারা পরস্পর লম্ব।
[ ঢাঃ ২০১১, যঃ ২০১১, সিঃ ২০১২, চঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(2x+y=0\) বা, \(x-2y+5=0\)।
\(Q.2.(v)\) দুইটি সরলরেখা \((6, 7)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(3x+4y=11\) রেখার সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। এদের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০১১, ২০১৩, চঃ ২০১১, ২০১৩ ]
উত্তরঃ \((x-7y+43=0; \ 7x+y-49=0\)।
\(Q.2.(vi)\) \(3x+8y-10=0\) রেখাটি একটি বর্গের কর্ণ নির্দেশ করে এবং বর্গের একটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((3, -4)\) এ বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে বর্গের বাহু দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(11x+5y-13=0; \ 5x-11y-59=0\)।
➜ hints: \((3, -4)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং \(3x+8y-10=0\) রেখার সহিত \(45^{o}\) কোণ উতপন্ন করে
\(Q.2.(vii)\) এমন একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা, \(x-2y-1=0\) এবং \(2x+3y+2=0\) রেখা দুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং যার ঢাল \(\tan45^{o}\) ।
[কুঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(7x-7y-3=0\)।
\(Q.2.(viii)\) দুইটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা, \((3, -2)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং \(2x+y-4=0\) রেখার সাথে \(\tan^{-1}\frac{1}{3}\) কোণ উৎপন্ন করে।
উত্তরঃ \(x+y-1=0, \ 7x+y-19=0\)।
\(Q.2.(ix)\) দুইটি সরলরেখা মূলবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(3y=2x\) রেখার সাথে \(\tan^{-1}\frac{1}{2}\) কোণ উৎপন্ন করে। রেখা দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(x=8y, \ 7x=4y\)।
\(Q.2.(x)\) একটি সরলরেখা \((2, 5)\) এবং \((5, 6)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে; ঐ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, তা \((-4, 5)\) ও \((-3, 2)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার উপর লম্ব হবে ।
উত্তরঃ \(x-3y+13=0\)।
\(Q.2.(xi)\) \(a, B, C\) বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((1, -2)\), \((-3, 0)\) এবং \((5, 6)\), প্রমাণ কর যে, \(AB\) ও \(AC\) সরলরেখাদ্বয় পরস্পর লম্বভাবে ছেদ করে। উক্ত বিন্দুগুলিকে কোনো আয়তক্ষেত্রের তিনটি শীর্ষবিন্দু ধরলে তার চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \((1, 8)\)।
\(Q.2.(xii)\) একটি সামান্তরিকের দুইটি বাহুর সমীকরণ যথাক্রমে \(x-2y+3=0\) ও \(2x+3y-1=0\) এবং এর কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু \((2, -3)\), ঐ সামান্তরিকের অপর বাহুদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \(2x+3y+11=0; \ x-2y-19=0\)।
\(Q.2.(xiii)\) মূলবিন্দু এবং \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুর সংযোজক সরলরেখা যদি \((b, 0)\) এবং \((x_{2}, y_{2})\) বিন্দু দুইটির সংযোজক সরলরেখার উপর লম্ব হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=bx_{1}\) ।
[ ঢাঃ ২০১৩, রাঃ ২০১৩ ]
\(Q.2.(xiv)\) \((2, 3)\) বিন্দু হতে \(4x+3y-7=0\) রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর এবং এর সাহায্যে বিন্দুটি থেকে সরলরেখার লম্বদূরত্ব নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১০, কুঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \((\frac{2}{5}, \frac{9}{5}); \ 2 \)।
\(Q.2.(xv)\) \((3, 1)\) বিন্দু হতে \(2x+y-3=0\) রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর এবং এর সাহায্যে বিন্দুটি থেকে সরলরেখার লম্বদূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((\frac{7}{5}, \frac{1}{5})\)।
\(Q.2.(xvi)\) দেখাও যে, \(x=4-2t\), \(y=t+3\) এবং \(2x=3-4t\), \(y=t+2\) রেখা দুইটি পরস্পর সমান্তরাল।
\((xvii)\) দেখাও যে, \(x=t\), \(y=2t+1\) এবং \(x=2t\), \(y=-t-4\) রেখা দুইটি \((-2, -3)\) বিন্দুতে পরস্পর লম্বভাবে ছেদ করে।
উত্তরঃ \(x+y-3=0\)।
\(Q.2.(ii)\) দুইটি সরলরেখা \((6, -7)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(y+x\sqrt{3}-1=0\) রেখার সাথে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। এদের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০৫,কুঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(y+7=0; \ y+7=\sqrt{3}(x-6)\)।
\(Q.2.(iii)\) দুইটি সরলরেখা \((3, 4)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(x-y+4=0\) রেখার সাথে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। এদের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \((2\pm \sqrt{3})x+y=10\pm 3\sqrt{3}\)।
\(Q.2.(iv)\) দুইটি সরলরেখা \((-1, 2)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(3x-y+7=0\) রেখার সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। রেখা দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর এবং এদের সমীকরণ থেকে প্রমাণ কর যে, তারা পরস্পর লম্ব।
[ ঢাঃ ২০১১, যঃ ২০১১, সিঃ ২০১২, চঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(2x+y=0\) বা, \(x-2y+5=0\)।
\(Q.2.(v)\) দুইটি সরলরেখা \((6, 7)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(3x+4y=11\) রেখার সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। এদের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০১১, ২০১৩, চঃ ২০১১, ২০১৩ ]
উত্তরঃ \((x-7y+43=0; \ 7x+y-49=0\)।
\(Q.2.(vi)\) \(3x+8y-10=0\) রেখাটি একটি বর্গের কর্ণ নির্দেশ করে এবং বর্গের একটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((3, -4)\) এ বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে বর্গের বাহু দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(11x+5y-13=0; \ 5x-11y-59=0\)।
➜ hints: \((3, -4)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং \(3x+8y-10=0\) রেখার সহিত \(45^{o}\) কোণ উতপন্ন করে
\(Q.2.(vii)\) এমন একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা, \(x-2y-1=0\) এবং \(2x+3y+2=0\) রেখা দুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং যার ঢাল \(\tan45^{o}\) ।
[কুঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(7x-7y-3=0\)।
\(Q.2.(viii)\) দুইটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা, \((3, -2)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং \(2x+y-4=0\) রেখার সাথে \(\tan^{-1}\frac{1}{3}\) কোণ উৎপন্ন করে।
উত্তরঃ \(x+y-1=0, \ 7x+y-19=0\)।
\(Q.2.(ix)\) দুইটি সরলরেখা মূলবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(3y=2x\) রেখার সাথে \(\tan^{-1}\frac{1}{2}\) কোণ উৎপন্ন করে। রেখা দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(x=8y, \ 7x=4y\)।
\(Q.2.(x)\) একটি সরলরেখা \((2, 5)\) এবং \((5, 6)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে; ঐ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, তা \((-4, 5)\) ও \((-3, 2)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার উপর লম্ব হবে ।
উত্তরঃ \(x-3y+13=0\)।
\(Q.2.(xi)\) \(a, B, C\) বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((1, -2)\), \((-3, 0)\) এবং \((5, 6)\), প্রমাণ কর যে, \(AB\) ও \(AC\) সরলরেখাদ্বয় পরস্পর লম্বভাবে ছেদ করে। উক্ত বিন্দুগুলিকে কোনো আয়তক্ষেত্রের তিনটি শীর্ষবিন্দু ধরলে তার চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \((1, 8)\)।
\(Q.2.(xii)\) একটি সামান্তরিকের দুইটি বাহুর সমীকরণ যথাক্রমে \(x-2y+3=0\) ও \(2x+3y-1=0\) এবং এর কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু \((2, -3)\), ঐ সামান্তরিকের অপর বাহুদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \(2x+3y+11=0; \ x-2y-19=0\)।
\(Q.2.(xiii)\) মূলবিন্দু এবং \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুর সংযোজক সরলরেখা যদি \((b, 0)\) এবং \((x_{2}, y_{2})\) বিন্দু দুইটির সংযোজক সরলরেখার উপর লম্ব হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=bx_{1}\) ।
[ ঢাঃ ২০১৩, রাঃ ২০১৩ ]
\(Q.2.(xiv)\) \((2, 3)\) বিন্দু হতে \(4x+3y-7=0\) রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর এবং এর সাহায্যে বিন্দুটি থেকে সরলরেখার লম্বদূরত্ব নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১০, কুঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \((\frac{2}{5}, \frac{9}{5}); \ 2 \)।
\(Q.2.(xv)\) \((3, 1)\) বিন্দু হতে \(2x+y-3=0\) রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর এবং এর সাহায্যে বিন্দুটি থেকে সরলরেখার লম্বদূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((\frac{7}{5}, \frac{1}{5})\)।
\(Q.2.(xvi)\) দেখাও যে, \(x=4-2t\), \(y=t+3\) এবং \(2x=3-4t\), \(y=t+2\) রেখা দুইটি পরস্পর সমান্তরাল।
\((xvii)\) দেখাও যে, \(x=t\), \(y=2t+1\) এবং \(x=2t\), \(y=-t-4\) রেখা দুইটি \((-2, -3)\) বিন্দুতে পরস্পর লম্বভাবে ছেদ করে।
\(Q.2.(xviii)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((-3, -2)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(2x+3y=3\) রেখার উপর লম্ব হয়। মূলবিন্দু এবং উপরোক্ত রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এরূপ রেখাটিরও সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x-2y+5=0, \ 19x+9y=0 \)।
\(Q.2.(xix)\) \(A(2, 1)\) ও \(B(5, 2)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে এরূপ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর ; রেখাটি \(Y\) অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে ঐ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১০, রাঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(3x+y=12, \ (0, 12) \)।
\(Q.2.(xx)\) \(3x+5y-2=0\), \(2x+3y=0\) ও \(ax+by+1=0\) রেখাত্রয় সমবিন্দু হলে, \(a\) ও \(b\) এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় কর।
[ দিঃ ২০১১, চঃ ২০১২, যঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(6a-4b=1\)।
\(Q.2.(xxi)\) \(a\) এর মান কত হলে \(x-3y+2=0\), \(x-6y+3=0\) ও \(x+ay=0\) রেখাত্রয় একটি বিন্দুতে ছেদ করবে।
[ বঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(a=3\)।
\(Q.2.(xxii)\) \(ax+by+c=0\) রেখাটি \(bx+cy+a=0\) এবং \(cx+ay+b=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে গেলে প্রমাণ কর যে, \(a+b+c=0\) ।
[সিঃ ২০০১ ]
।
\(Q.2.(xxiii)\) \(X\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(x-3y+2=0\) ও \(x+y-2=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এরূপ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[কুঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(y-1=0\)।
\(Q.2.(xxiv)\) \(X\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(4x+3y=6\) ও \(x-2y=7\) রেখাদ্বয়ের সমবিন্দু রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[কুঃ ২০০৫, দিঃ ২০১০, সিঃ ২০১০, ঢাঃ ২০০৭, ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(y+2=0\)।
\(Q.2.(xxv)\) \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(2x-3y+4=0\) ও \(3x+3y-5=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এরূপ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[চঃ ২০০৪,যঃ ২০১০,বঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \(5x-1=0\)।
\(Q.2.(xxvi)\) \(2x-3y-15=0\) ও \(3x+3y-5=0\) রেখাদ্বয়ের সাথে একটি সরলরেখা সমবিন্দু এবং \(x=0\) রেখার সমান্তরাল হলে, রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-4=0\)।
\(Q.2.(xxvii)\) এরূপ একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((1, 2)\) ও \((4, 5)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাকে \(3:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে এবং ঐ রেখার উপর লম্ব হয়।
উত্তরঃ \(2x+2y=15\)।
\(Q.2.(xxviii)\) এরূপ একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(4x+7y=11\) রেখার উপর লম্ব এবং \(Y\) অক্ষ হতে \(2\) একক দৈর্ঘ্য কর্তন করে।
উত্তরঃ \(7x-4y\pm 8=0\)।
\(Q.2.(xxix)\) \(3x-4y+8=0\) রেখার সমান্তরাল দিকে \(3x+y+4=0\) রেখা হতে \((1, 2)\) বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3\) একক।
\(Q.2.(xxx)\) যে সরলরেখা \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(\tan^{-1}(\frac{3}{4})\) কোণ উৎপন্ন করে তার সমান্তরাল বরাবর \(3x+5y-11=0\) রেখা হতে \((-1, 1)\) বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{5}{3}\) একক।
\(Q.2.(xxxi)\) যে সরলরেখা \(y=2x\)রেখার সঙ্গে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে তার সমান্তরাল বরাবর \(3x-4y=15\) রেখা হতে মূলবিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(\sqrt{10}\) একক বা, \(3\sqrt{10}\) একক।
\(Q.2.(xxxii)\) \(ABCD\) রম্বসের দুইটি বাহু \(x-y=5\) ও \(7x-y=3\) এর সমান্তরাল, কর্ণদ্বয় \((2, 1)\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(A\) বিন্দু \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত হলে \(A\) এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((4, 0)\) বা, \((\frac{3}{2}, 0)\) ।
\(Q.2.(xxxiii)\) \(P(h, k)\) বিন্দু হতে মূলবিন্দুগামী সরলরেখার উপর লম্বের পাদবিন্দুর সঞ্চারপথ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}=hx+ky\) ।
\(Q.2.(xxxiv)\) \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(2x-7y+11=0\) ও \(x+3y-8=0\) রেখা দুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(13x-23=0 \) ।
উত্তরঃ \(3x-2y+5=0, \ 19x+9y=0 \)।
\(Q.2.(xix)\) \(A(2, 1)\) ও \(B(5, 2)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে এরূপ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর ; রেখাটি \(Y\) অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে ঐ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১০, রাঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(3x+y=12, \ (0, 12) \)।
\(Q.2.(xx)\) \(3x+5y-2=0\), \(2x+3y=0\) ও \(ax+by+1=0\) রেখাত্রয় সমবিন্দু হলে, \(a\) ও \(b\) এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় কর।
[ দিঃ ২০১১, চঃ ২০১২, যঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(6a-4b=1\)।
\(Q.2.(xxi)\) \(a\) এর মান কত হলে \(x-3y+2=0\), \(x-6y+3=0\) ও \(x+ay=0\) রেখাত্রয় একটি বিন্দুতে ছেদ করবে।
[ বঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(a=3\)।
\(Q.2.(xxii)\) \(ax+by+c=0\) রেখাটি \(bx+cy+a=0\) এবং \(cx+ay+b=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে গেলে প্রমাণ কর যে, \(a+b+c=0\) ।
[সিঃ ২০০১ ]
।
\(Q.2.(xxiii)\) \(X\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(x-3y+2=0\) ও \(x+y-2=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এরূপ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[কুঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(y-1=0\)।
\(Q.2.(xxiv)\) \(X\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(4x+3y=6\) ও \(x-2y=7\) রেখাদ্বয়ের সমবিন্দু রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[কুঃ ২০০৫, দিঃ ২০১০, সিঃ ২০১০, ঢাঃ ২০০৭, ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(y+2=0\)।
\(Q.2.(xxv)\) \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(2x-3y+4=0\) ও \(3x+3y-5=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এরূপ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[চঃ ২০০৪,যঃ ২০১০,বঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \(5x-1=0\)।
\(Q.2.(xxvi)\) \(2x-3y-15=0\) ও \(3x+3y-5=0\) রেখাদ্বয়ের সাথে একটি সরলরেখা সমবিন্দু এবং \(x=0\) রেখার সমান্তরাল হলে, রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-4=0\)।
\(Q.2.(xxvii)\) এরূপ একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((1, 2)\) ও \((4, 5)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাকে \(3:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে এবং ঐ রেখার উপর লম্ব হয়।
উত্তরঃ \(2x+2y=15\)।
\(Q.2.(xxviii)\) এরূপ একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(4x+7y=11\) রেখার উপর লম্ব এবং \(Y\) অক্ষ হতে \(2\) একক দৈর্ঘ্য কর্তন করে।
উত্তরঃ \(7x-4y\pm 8=0\)।
\(Q.2.(xxix)\) \(3x-4y+8=0\) রেখার সমান্তরাল দিকে \(3x+y+4=0\) রেখা হতে \((1, 2)\) বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3\) একক।
\(Q.2.(xxx)\) যে সরলরেখা \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(\tan^{-1}(\frac{3}{4})\) কোণ উৎপন্ন করে তার সমান্তরাল বরাবর \(3x+5y-11=0\) রেখা হতে \((-1, 1)\) বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{5}{3}\) একক।
\(Q.2.(xxxi)\) যে সরলরেখা \(y=2x\)রেখার সঙ্গে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে তার সমান্তরাল বরাবর \(3x-4y=15\) রেখা হতে মূলবিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(\sqrt{10}\) একক বা, \(3\sqrt{10}\) একক।
\(Q.2.(xxxii)\) \(ABCD\) রম্বসের দুইটি বাহু \(x-y=5\) ও \(7x-y=3\) এর সমান্তরাল, কর্ণদ্বয় \((2, 1)\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(A\) বিন্দু \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত হলে \(A\) এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((4, 0)\) বা, \((\frac{3}{2}, 0)\) ।
\(Q.2.(xxxiii)\) \(P(h, k)\) বিন্দু হতে মূলবিন্দুগামী সরলরেখার উপর লম্বের পাদবিন্দুর সঞ্চারপথ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}=hx+ky\) ।
\(Q.2.(xxxiv)\) \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(2x-7y+11=0\) ও \(x+3y-8=0\) রেখা দুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(13x-23=0 \) ।
\(Q.2.(i)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((-3, 2)\) ও \((3, 8)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাকে \(1:2\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে এবং উক্ত রেখার উপর লম্ব হয়।
উত্তরঃ \(x+y-3=0\)।
উত্তরঃ \(x+y-3=0\)।
সমাধানঃ
মনে করি, 
\(A(-3, 2)\) ও \(B(3, 8)\)
\(AB\) কে \(1:2\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে এরূপ বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(C(\frac{1.3+2.(-3)}{1+2}, \frac{1.8+2.2}{1+2})\)।
\(\Rightarrow C(\frac{3-6}{3}, \frac{8+4}{3})\)
\(\Rightarrow C(\frac{-3}{3}, \frac{12}{3})\)
\(\Rightarrow C(-1, 4)\)
\(AB\)এর ঢাল \(=\frac{2-8}{-3-3}\),
\(=\frac{-6}{-6}\)
\(=1\)
\(AB\)এর উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার ঢাল \(=-1\),
\(\therefore C(-1, 4)\) বিন্দুগামী \(-1\) ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-4=-1(x+1)\)
\(\Rightarrow y-4=-x-1\)
\(\Rightarrow x+y-4+1=0\)
\(\therefore x+y-3=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(A(-3, 2)\) ও \(B(3, 8)\)
\(AB\) কে \(1:2\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে এরূপ বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(C(\frac{1.3+2.(-3)}{1+2}, \frac{1.8+2.2}{1+2})\)।
\(\Rightarrow C(\frac{3-6}{3}, \frac{8+4}{3})\)
\(\Rightarrow C(\frac{-3}{3}, \frac{12}{3})\)
\(\Rightarrow C(-1, 4)\)
\(AB\)এর ঢাল \(=\frac{2-8}{-3-3}\),
\(=\frac{-6}{-6}\)
\(=1\)
\(AB\)এর উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার ঢাল \(=-1\),
\(\therefore C(-1, 4)\) বিন্দুগামী \(-1\) ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-4=-1(x+1)\)
\(\Rightarrow y-4=-x-1\)
\(\Rightarrow x+y-4+1=0\)
\(\therefore x+y-3=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(Q.2.(ii)\) দুইটি সরলরেখা \((6, -7)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(y+x\sqrt{3}-1=0\) রেখার সাথে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। এদের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০৫,কুঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(y+7=0; \ y+7=\sqrt{3}(x-6)\)।
[ ঢাঃ ২০০৫,কুঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(y+7=0; \ y+7=\sqrt{3}(x-6)\)।
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y+x\sqrt{3}-1=0 .........(1)\)
এবং \(A(6, -7)\)।
\(A(6, -7)\) বিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(y+7=m(x-6) .............(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) সরলরেখার ঢাল যথাক্রমে \(=-\frac{\sqrt{3}}{1}=-\sqrt{3}, \ m\)
শর্তমতে,
\(\tan60^{o}=\pm \frac{-\sqrt{3}-m}{1+(-\sqrt{3}).m}\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}=\pm \frac{-\sqrt{3}-m}{1-m\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}=\pm \frac{\sqrt{3}+m}{1-m\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}+m}{1-m\sqrt{3}}\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যাবহার করে।
\(\Rightarrow \sqrt{3}+m=\sqrt{3}(1-m\sqrt{3})\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}+m=\sqrt{3}-3m\)
\(\Rightarrow m+3m=\sqrt{3}-\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow 4m=0\)
\(\Rightarrow m=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}=-\frac{\sqrt{3}+m}{1-m\sqrt{3}}\) ➜ ঋণাত্মক চিহ্ন ব্যাবহার করে।
\(\Rightarrow -\sqrt{3}(1-m\sqrt{3})=\sqrt{3}+m\)
\(\Rightarrow -\sqrt{3}+3m=\sqrt{3}+m\)
\(\Rightarrow 3m-m=\sqrt{3}+\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow 2m=2\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow m=\sqrt{3}\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(m\)এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(y+7=0.(x-6)\); যখন \(m=0\)
\(\Rightarrow y+7=0\)
\(y+7=\sqrt{3}(x-6)\); যখন \(m=\sqrt{3}\)
\(\therefore \) নির্ণেয় রেখাদ্বয়ের সমীকরণ, \(y+7=0, \ y+7=\sqrt{3}(x-6)\)।
\(y+x\sqrt{3}-1=0 .........(1)\)
এবং \(A(6, -7)\)।
\(A(6, -7)\) বিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(y+7=m(x-6) .............(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) সরলরেখার ঢাল যথাক্রমে \(=-\frac{\sqrt{3}}{1}=-\sqrt{3}, \ m\)
শর্তমতে,
\(\tan60^{o}=\pm \frac{-\sqrt{3}-m}{1+(-\sqrt{3}).m}\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}=\pm \frac{-\sqrt{3}-m}{1-m\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}=\pm \frac{\sqrt{3}+m}{1-m\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}+m}{1-m\sqrt{3}}\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যাবহার করে।
\(\Rightarrow \sqrt{3}+m=\sqrt{3}(1-m\sqrt{3})\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}+m=\sqrt{3}-3m\)
\(\Rightarrow m+3m=\sqrt{3}-\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow 4m=0\)
\(\Rightarrow m=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}=-\frac{\sqrt{3}+m}{1-m\sqrt{3}}\) ➜ ঋণাত্মক চিহ্ন ব্যাবহার করে।
\(\Rightarrow -\sqrt{3}(1-m\sqrt{3})=\sqrt{3}+m\)
\(\Rightarrow -\sqrt{3}+3m=\sqrt{3}+m\)
\(\Rightarrow 3m-m=\sqrt{3}+\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow 2m=2\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow m=\sqrt{3}\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(m\)এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(y+7=0.(x-6)\); যখন \(m=0\)
\(\Rightarrow y+7=0\)
\(y+7=\sqrt{3}(x-6)\); যখন \(m=\sqrt{3}\)
\(\therefore \) নির্ণেয় রেখাদ্বয়ের সমীকরণ, \(y+7=0, \ y+7=\sqrt{3}(x-6)\)।
\(Q.2.(vii)\) এমন একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা, \(x-2y-1=0\) এবং \(2x+3y+2=0\) রেখা দুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং যার ঢাল \(\tan45^{o}\) ।
[কুঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(7x-7y-3=0\)।
[কুঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(7x-7y-3=0\)।
সমাধানঃ
মনে করি, 
\(x-2y-1=0 .........(1)\)
\(2x+3y+2=0 .........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x-2y-1+k(2x+3y+2)=0 ......(3)\) ➜ \(k\) শুন্য ব্যাতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।
\(x-2y-1+2kx+3ky+2k=0\)
\((1+2k)x+(3k-2)y+(2k-1)=0 ...........(4)\)
\((4)\) এর ঢাল \(=-\frac{1+2k}{3k-2}\) ।
শর্তমতে, \(-\frac{1+2k}{3k-2}=\tan45^{o}\)
\(\Rightarrow -\frac{1+2k}{3k-2}=1\) ➜ \(\because \tan45^{o}=1\)
\(\Rightarrow 3k-2=-(1+2k)\)
\(\Rightarrow 3k-2=-1-2k\)
\(\Rightarrow 3k+2k=-1+2\)
\(\Rightarrow 5k=1\)
\(\Rightarrow k=\frac{1}{5}\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(x-2y-1+\frac{1}{5}(2x+3y+2)=0\)
\(\Rightarrow 5(x-2y-1)+1(2x+3y+2)=0\) ➜ উভয় পার্শে \(5\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 5x-10y-5+2x+3y+2=0\)
\(\Rightarrow 7x-7y-3=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(x-2y-1=0 .........(1)\)
\(2x+3y+2=0 .........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x-2y-1+k(2x+3y+2)=0 ......(3)\) ➜ \(k\) শুন্য ব্যাতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।
\(x-2y-1+2kx+3ky+2k=0\)
\((1+2k)x+(3k-2)y+(2k-1)=0 ...........(4)\)
\((4)\) এর ঢাল \(=-\frac{1+2k}{3k-2}\) ।
শর্তমতে, \(-\frac{1+2k}{3k-2}=\tan45^{o}\)
\(\Rightarrow -\frac{1+2k}{3k-2}=1\) ➜ \(\because \tan45^{o}=1\)
\(\Rightarrow 3k-2=-(1+2k)\)
\(\Rightarrow 3k-2=-1-2k\)
\(\Rightarrow 3k+2k=-1+2\)
\(\Rightarrow 5k=1\)
\(\Rightarrow k=\frac{1}{5}\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(x-2y-1+\frac{1}{5}(2x+3y+2)=0\)
\(\Rightarrow 5(x-2y-1)+1(2x+3y+2)=0\) ➜ উভয় পার্শে \(5\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 5x-10y-5+2x+3y+2=0\)
\(\Rightarrow 7x-7y-3=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(Q.2.(x)\) একটি সরলরেখা \((2, 5)\) এবং \((5, 6)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে; ঐ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, তা \((-4, 5)\) ও \((-3, 2)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার উপর লম্ব হবে ।
উত্তরঃ \(x-3y+13=0\)।
উত্তরঃ \(x-3y+13=0\)।
সমাধানঃ
মনে করি, 
\(A(2, 5)\) এবং \(B(5, 6)\)
\(AB\) এর সমীকরণ , \(\frac{x-2}{2-5}=\frac{y-5}{5-6}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{-3}=\frac{y-5}{-1}\)
\(\Rightarrow x-2=3(y-5)\) ➜ উভয় পার্শে \(-3\) গুণ করে।
\(\Rightarrow x-2=3y-15\)
\(\Rightarrow x-2-3y+15=0\)
\(\therefore x-3y+13=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
উপরোক্ত নির্ণেয় সরলরেখার ঢাল \(m_{1}=-\frac{1}{-3}\)
\(=\frac{1}{3}\)
আবার,
\(C(-4, 5)\) ও \(D(-3, 2)\)
\(CD\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{5-2}{-4+3}\)
\(=\frac{3}{-1}\)
\(=-3\)
এখন,
\(m_{1}\times m_{2}=\frac{1}{3}\times -3\)
\(\Rightarrow m_{1}\times m_{2}=-1\)
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখা \(CD\) এর উপর লম্ব।
\(A(2, 5)\) এবং \(B(5, 6)\)
\(AB\) এর সমীকরণ , \(\frac{x-2}{2-5}=\frac{y-5}{5-6}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{-3}=\frac{y-5}{-1}\)
\(\Rightarrow x-2=3(y-5)\) ➜ উভয় পার্শে \(-3\) গুণ করে।
\(\Rightarrow x-2=3y-15\)
\(\Rightarrow x-2-3y+15=0\)
\(\therefore x-3y+13=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
উপরোক্ত নির্ণেয় সরলরেখার ঢাল \(m_{1}=-\frac{1}{-3}\)
\(=\frac{1}{3}\)
আবার,
\(C(-4, 5)\) ও \(D(-3, 2)\)
\(CD\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{5-2}{-4+3}\)
\(=\frac{3}{-1}\)
\(=-3\)
এখন,
\(m_{1}\times m_{2}=\frac{1}{3}\times -3\)
\(\Rightarrow m_{1}\times m_{2}=-1\)
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখা \(CD\) এর উপর লম্ব।
\(Q.2.(xi)\) \(a, B, C\) বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((1, -2)\), \((-3, 0)\) এবং \((5, 6)\), প্রমাণ কর যে, \(AB\) ও \(AC\) সরলরেখাদ্বয় পরস্পর লম্বভাবে ছেদ করে। উক্ত বিন্দুগুলিকে কোনো আয়তক্ষেত্রের তিনটি শীর্ষবিন্দু ধরলে তার চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \((1, 8)\)।
[ যঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \((1, 8)\)।
সমাধানঃ
মনে করি, 
\(A(1, -2)\), \(B(-3, 0)\) , \(C(5, 6)\) এবং \(D(x, y)\).
\(AB\) এর ঢাল \(m_{1}=\frac{-2-0}{1+3}\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\);\(PQ\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)
\(=\frac{-2}{4}\)
\(=-\frac{1}{2}\)
\(AC\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{-2-6}{1-5}\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\);\(PQ\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)
\(=\frac{-8}{-4}\)
\(=2\)
এখন,
\(m_{1}\times m_{2}=-\frac{1}{2}\times 2\)
\(\Rightarrow m_{1}\times m_{2}=-1\)
\(\therefore AB\) ও \(Ac\) পরস্পর লম্ব।
শর্তমতে, \(AD\) ও \(BC\) আয়তক্ষেত্রটির দুইটি কর্ণ যারা পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
\(AD\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{1+x}{2}, \frac{-2+y}{2})\)
\(BC\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{-3+5}{2}, \frac{0+6}{2})\)
\(\Rightarrow E(\frac{2}{2}, \frac{6}{2})\)
\(\therefore E(1, 3)\)
এখন,
\(E(\frac{1+x}{2}, \frac{-2+y}{2})\Rightarrow E(1, 3)\)
\(\Rightarrow \frac{1+x}{2}=1, \frac{-2+y}{2}=3\)
\(\Rightarrow 1+x=2, -2+y=6\)
\(\Rightarrow x=2-1, y=6+2\)
\(\Rightarrow x=1, y=8\)
\(\therefore \) চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((1, 8)\) .
\(A(1, -2)\), \(B(-3, 0)\) , \(C(5, 6)\) এবং \(D(x, y)\).
\(AB\) এর ঢাল \(m_{1}=\frac{-2-0}{1+3}\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\);\(PQ\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)
\(=\frac{-2}{4}\)
\(=-\frac{1}{2}\)
\(AC\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{-2-6}{1-5}\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\);\(PQ\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)
\(=\frac{-8}{-4}\)
\(=2\)
এখন,
\(m_{1}\times m_{2}=-\frac{1}{2}\times 2\)
\(\Rightarrow m_{1}\times m_{2}=-1\)
\(\therefore AB\) ও \(Ac\) পরস্পর লম্ব।
শর্তমতে, \(AD\) ও \(BC\) আয়তক্ষেত্রটির দুইটি কর্ণ যারা পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
\(AD\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{1+x}{2}, \frac{-2+y}{2})\)
\(BC\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{-3+5}{2}, \frac{0+6}{2})\)
\(\Rightarrow E(\frac{2}{2}, \frac{6}{2})\)
\(\therefore E(1, 3)\)
এখন,
\(E(\frac{1+x}{2}, \frac{-2+y}{2})\Rightarrow E(1, 3)\)
\(\Rightarrow \frac{1+x}{2}=1, \frac{-2+y}{2}=3\)
\(\Rightarrow 1+x=2, -2+y=6\)
\(\Rightarrow x=2-1, y=6+2\)
\(\Rightarrow x=1, y=8\)
\(\therefore \) চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((1, 8)\) .
\(Q.2.(xii)\) একটি সামান্তরিকের দুইটি বাহুর সমীকরণ যথাক্রমে \(x-2y+3=0\) ও \(2x+3y-1=0\) এবং এর কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু \((2, -3)\), ঐ সামান্তরিকের অপর বাহুদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \(2x+3y+11=0; \ x-2y-19=0\)।
উত্তরঃ \(2x+3y+11=0; \ x-2y-19=0\)।
সমাধানঃ
মনে করি, 
\(AB\) এর সমীকরণ \(x-2y+3=0 ........(1)\)
\(AD\) এর সমীকরণ \(2x+3y-1=0 .........(2)\)
এবং \(C(x, y)\).
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু \(A\) নির্ণয় করি,
\((1)\times 2-(2)\) এর সাহয্যে,
\(2(x-2y+3)-(2x+3y-1)=0\)
\(\Rightarrow -7y+7=0\)
\(\Rightarrow -7y=-7\)
\(\Rightarrow y=\frac{-7}{-7}\)
\(\therefore y=1\)
\(y\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x-2.1+3=0\)
\(\Rightarrow x-2+3=0\)
\(\Rightarrow x+1=0\)
\(\therefore x=-1\)
\(\therefore A(-1, 1)\)
শর্তমতে, সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে \(AC\) ও \(BD\)
\(AC\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{-1+x}{2}, \frac{1+y}{2})\)
কিন্তু কর্ণের মধ্যবিন্দু দেওয়া আছে \(E(2, -3)\)
\(\therefore E(\frac{-1+x}{2}, \frac{1+y}{2})\Rightarrow E(2, -3)\)
\(\Rightarrow \frac{-1+x}{2}=2, \frac{1+y}{2}=-3\)
\(\Rightarrow -1+x=4, 1+y=-6\)
\(\Rightarrow x=4+1, y=-6-1\)
\(\Rightarrow x=5, y=-7\)
\(\therefore C(5, -7)\)
সামান্তরিকের \(DC\) বাহু \(AB\) এর সমান্তরাল,
\(\therefore AB \) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ , \(x-2y+k=0 ........(3)\)
\((3)\) নং সরলরেখা \(C(5, -7)\) বিন্দুগামী,
\(5-2.(-7)+k=0\)
\(\Rightarrow 5+14+k=0\)
\(\Rightarrow 19+k=0\)
\(\Rightarrow k=-19\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে পাই,
\(x-2y-19=0\)
আবার,
সামান্তরিকের \(BC\) বাহু \(AD\) এর সমান্তরাল,
\(\therefore AD \) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ , \(2x+3y+k=0 ........(4)\)
\((4)\) নং সরলরেখা \(C(5, -7)\) বিন্দুগামী,
\(2.5+3.(-7)+k=0\)
\(\Rightarrow 10-21+k=0\)
\(\Rightarrow -11+k=0\)
\(\Rightarrow k=11\)
\(k\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে পাই,
\(2x+3y+11=0\)
\(\therefore \) সামান্তরিকের অপর বাহুদ্বয়ের সমীকরণ \(2x+3y+11=0, \ x-2y-19=0 \)
\(AB\) এর সমীকরণ \(x-2y+3=0 ........(1)\)
\(AD\) এর সমীকরণ \(2x+3y-1=0 .........(2)\)
এবং \(C(x, y)\).
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু \(A\) নির্ণয় করি,
\((1)\times 2-(2)\) এর সাহয্যে,
\(2(x-2y+3)-(2x+3y-1)=0\)
\(\Rightarrow -7y+7=0\)
\(\Rightarrow -7y=-7\)
\(\Rightarrow y=\frac{-7}{-7}\)
\(\therefore y=1\)
\(y\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x-2.1+3=0\)
\(\Rightarrow x-2+3=0\)
\(\Rightarrow x+1=0\)
\(\therefore x=-1\)
\(\therefore A(-1, 1)\)
শর্তমতে, সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে \(AC\) ও \(BD\)
\(AC\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{-1+x}{2}, \frac{1+y}{2})\)
কিন্তু কর্ণের মধ্যবিন্দু দেওয়া আছে \(E(2, -3)\)
\(\therefore E(\frac{-1+x}{2}, \frac{1+y}{2})\Rightarrow E(2, -3)\)
\(\Rightarrow \frac{-1+x}{2}=2, \frac{1+y}{2}=-3\)
\(\Rightarrow -1+x=4, 1+y=-6\)
\(\Rightarrow x=4+1, y=-6-1\)
\(\Rightarrow x=5, y=-7\)
\(\therefore C(5, -7)\)
সামান্তরিকের \(DC\) বাহু \(AB\) এর সমান্তরাল,
\(\therefore AB \) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ , \(x-2y+k=0 ........(3)\)
\((3)\) নং সরলরেখা \(C(5, -7)\) বিন্দুগামী,
\(5-2.(-7)+k=0\)
\(\Rightarrow 5+14+k=0\)
\(\Rightarrow 19+k=0\)
\(\Rightarrow k=-19\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে পাই,
\(x-2y-19=0\)
আবার,
সামান্তরিকের \(BC\) বাহু \(AD\) এর সমান্তরাল,
\(\therefore AD \) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ , \(2x+3y+k=0 ........(4)\)
\((4)\) নং সরলরেখা \(C(5, -7)\) বিন্দুগামী,
\(2.5+3.(-7)+k=0\)
\(\Rightarrow 10-21+k=0\)
\(\Rightarrow -11+k=0\)
\(\Rightarrow k=11\)
\(k\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে পাই,
\(2x+3y+11=0\)
\(\therefore \) সামান্তরিকের অপর বাহুদ্বয়ের সমীকরণ \(2x+3y+11=0, \ x-2y-19=0 \)
\(Q.2.(xiii)\) মূলবিন্দু এবং \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুর সংযোজক সরলরেখা যদি \((b, 0)\) এবং \((x_{2}, y_{2})\) বিন্দু দুইটির সংযোজক সরলরেখার উপর লম্ব হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=bx_{1}\) ।
সমাধানঃ
মনে করি,
\(O(0, 0)\), \(A(x_{1}, y_{1})\),\(B(b, 0)\) এবং \(C(x_{2}, y_{2})\)
\(AO\)এর ঢাল \(m_{1}=\frac{y_{1}-0}{x_{1}-0}\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\);\(PQ\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)
\(=\frac{y_{1}}{x_{1}}\) \(CB\)এর ঢাল \(m_{2}=\frac{y_{2}-0}{x_{2}-b}\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\);\(PQ\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)
\(=\frac{y_{2}}{x_{2}-b}\)
শর্তমতে, \(m_{1}\times m_{2}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y_{1}}{x_{1}}\times \frac{y_{2}}{x_{2}-b}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y_{1}y_{2}}{x_{1}(x_{2}-b)}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y_{1}y_{2}}{x_{1}x_{2}-bx_{1}}=-1\)
\(\Rightarrow y_{1}y_{2}=-x_{1}x_{2}+bx_{1}\)
\(\Rightarrow y_{1}y_{2}+x_{1}x_{2}=bx_{1}\)
\(\therefore x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=bx_{1}\) দেখানো হলো।
\(O(0, 0)\), \(A(x_{1}, y_{1})\),\(B(b, 0)\) এবং \(C(x_{2}, y_{2})\)
\(AO\)এর ঢাল \(m_{1}=\frac{y_{1}-0}{x_{1}-0}\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\);\(PQ\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)
\(=\frac{y_{1}}{x_{1}}\) \(CB\)এর ঢাল \(m_{2}=\frac{y_{2}-0}{x_{2}-b}\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\);\(PQ\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)
\(=\frac{y_{2}}{x_{2}-b}\)
শর্তমতে, \(m_{1}\times m_{2}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y_{1}}{x_{1}}\times \frac{y_{2}}{x_{2}-b}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y_{1}y_{2}}{x_{1}(x_{2}-b)}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y_{1}y_{2}}{x_{1}x_{2}-bx_{1}}=-1\)
\(\Rightarrow y_{1}y_{2}=-x_{1}x_{2}+bx_{1}\)
\(\Rightarrow y_{1}y_{2}+x_{1}x_{2}=bx_{1}\)
\(\therefore x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=bx_{1}\) দেখানো হলো।
\(Q.2.(xiv)\) \((2, 3)\) বিন্দু হতে \(4x+3y-7=0\) রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর এবং এর সাহায্যে বিন্দুটি থেকে সরলরেখার লম্বদূরত্ব নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১০, কুঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \((\frac{2}{5}, \frac{9}{5}); \ 2 \)।
[ ঢাঃ ২০১০, কুঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \((\frac{2}{5}, \frac{9}{5}); \ 2 \)।
সমাধানঃ
মনে করি,
\(A(2, 3)\)
এবং \(4x+3y-7=0 ............(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x-4y+k=0 ............(2)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা \(A(2, 3)\) বিন্দুগামী,
\(3.2-4.3+k=0\)
\(\Rightarrow 6-12+k=0\)
\(\Rightarrow -6+k=0\)
\(\Rightarrow k=6\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে পাই,
\(3x-4y+6=0 ............(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((1)\times 4+(3)\times 3\) এর সাহায্যে,
\(4(4x+3y-7)+3(3x-4y+6)=0\)
\(\Rightarrow 16x+12y-28+9x-12y+18=0\)
\(\Rightarrow 25x-10=0\)
\(\Rightarrow 25x=10\)
\(\Rightarrow x=\frac{10}{25}\)
\(\Rightarrow x=\frac{2}{5}\)
\(x\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(3.(\frac{2}{5})-4y+6=0\)
\(\Rightarrow \frac{6-20y+30}{5}=0\)
\(\Rightarrow 6-20y+30=0\times 5\)
\(\Rightarrow -20y+36=0\)
\(\Rightarrow -20y=-36\)
\(\Rightarrow y=\frac{-36}{-20}\)
\(\Rightarrow y=\frac{9}{5}\)
\(\therefore \) পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \( P(\frac{2}{5}, \frac{9}{5})\).
বিন্দুটি থেকে সরলরেখার লম্বদূরত্ব \(=AP\)
\(=\sqrt{(2-\frac{2}{5})^{2}+(3-\frac{9}{5})^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{10-2}{5})^{2}+(\frac{15-9}{5})^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{8}{5})^{2}+(\frac{6}{5})^{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{64}{25}+\frac{36}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{64+36}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{100}{25}}\)
\(=\sqrt{4}\)
\(=2\)
\(\therefore \) পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \( P(\frac{2}{5}, \frac{9}{5})\) এবং লম্বদূরত্ব \(2\) একক।
\(A(2, 3)\)
এবং \(4x+3y-7=0 ............(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x-4y+k=0 ............(2)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা \(A(2, 3)\) বিন্দুগামী,
\(3.2-4.3+k=0\)
\(\Rightarrow 6-12+k=0\)
\(\Rightarrow -6+k=0\)
\(\Rightarrow k=6\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে পাই,
\(3x-4y+6=0 ............(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((1)\times 4+(3)\times 3\) এর সাহায্যে,
\(4(4x+3y-7)+3(3x-4y+6)=0\)
\(\Rightarrow 16x+12y-28+9x-12y+18=0\)
\(\Rightarrow 25x-10=0\)
\(\Rightarrow 25x=10\)
\(\Rightarrow x=\frac{10}{25}\)
\(\Rightarrow x=\frac{2}{5}\)
\(x\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(3.(\frac{2}{5})-4y+6=0\)
\(\Rightarrow \frac{6-20y+30}{5}=0\)
\(\Rightarrow 6-20y+30=0\times 5\)
\(\Rightarrow -20y+36=0\)
\(\Rightarrow -20y=-36\)
\(\Rightarrow y=\frac{-36}{-20}\)
\(\Rightarrow y=\frac{9}{5}\)
\(\therefore \) পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \( P(\frac{2}{5}, \frac{9}{5})\).
বিন্দুটি থেকে সরলরেখার লম্বদূরত্ব \(=AP\)
\(=\sqrt{(2-\frac{2}{5})^{2}+(3-\frac{9}{5})^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{10-2}{5})^{2}+(\frac{15-9}{5})^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{8}{5})^{2}+(\frac{6}{5})^{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{64}{25}+\frac{36}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{64+36}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{100}{25}}\)
\(=\sqrt{4}\)
\(=2\)
\(\therefore \) পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \( P(\frac{2}{5}, \frac{9}{5})\) এবং লম্বদূরত্ব \(2\) একক।
\(Q.2.(xvi)\) দেখাও যে, \(x=4-2t\), \(y=t+3\) এবং \(2x=3-4t\), \(y=t+2\) রেখা দুইটি পরস্পর সমান্তরাল।
সমাধানঃ
মনে করি,
\(x=4-2t ............(1)\)
\(y=t+3 ............(2)\)
\(2x=3-4t ............(3)\)
\(y=t+2 ............(4)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(x=4-2t, \ y=t+3\)
\(\Rightarrow 2t=4-x, \ t+3=y\)
\(\Rightarrow t=\frac{4-x}{2}, \ t=y-3\)
\(\therefore \frac{4-x}{2}=y-3\)
\(\Rightarrow 2(y-3)=4-x\)
\(\Rightarrow 2y-6=4-x\)
\(\Rightarrow x+2y-6-4=0\)
\(\Rightarrow x+2y-10=0 ............(5)\)
আবার,
\((3)\) ও \((4)\) হতে,
\(2x=3-4t, \ y=t+2\)
\(\Rightarrow 4t=3-2x, \ t+2=y\)
\(\Rightarrow t=\frac{3-2x}{4}, \ t=y-2\)
\(\therefore \frac{3-2x}{4}=y-2\)
\(\Rightarrow 4(y-2)=3-2x\)
\(\Rightarrow 4y-8=3-2x\)
\(\Rightarrow 2x+4y-8-3=0\)
\(\Rightarrow 2x+4y-11=0 ............(6)\)
\((5)\) ও \((6)\) এর ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=-\frac{1}{2}\) এবং \(m_{2}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}\)
\(\because m_{1}=m_{2} \therefore \) রেখা দুইটি পরস্পর সমান্তরাল।
\(x=4-2t ............(1)\)
\(y=t+3 ............(2)\)
\(2x=3-4t ............(3)\)
\(y=t+2 ............(4)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(x=4-2t, \ y=t+3\)
\(\Rightarrow 2t=4-x, \ t+3=y\)
\(\Rightarrow t=\frac{4-x}{2}, \ t=y-3\)
\(\therefore \frac{4-x}{2}=y-3\)
\(\Rightarrow 2(y-3)=4-x\)
\(\Rightarrow 2y-6=4-x\)
\(\Rightarrow x+2y-6-4=0\)
\(\Rightarrow x+2y-10=0 ............(5)\)
আবার,
\((3)\) ও \((4)\) হতে,
\(2x=3-4t, \ y=t+2\)
\(\Rightarrow 4t=3-2x, \ t+2=y\)
\(\Rightarrow t=\frac{3-2x}{4}, \ t=y-2\)
\(\therefore \frac{3-2x}{4}=y-2\)
\(\Rightarrow 4(y-2)=3-2x\)
\(\Rightarrow 4y-8=3-2x\)
\(\Rightarrow 2x+4y-8-3=0\)
\(\Rightarrow 2x+4y-11=0 ............(6)\)
\((5)\) ও \((6)\) এর ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=-\frac{1}{2}\) এবং \(m_{2}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}\)
\(\because m_{1}=m_{2} \therefore \) রেখা দুইটি পরস্পর সমান্তরাল।
\(Q.2.(xviii)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((-3, -2)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(2x+3y=3\) রেখার উপর লম্ব হয়। মূলবিন্দু এবং উপরোক্ত রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এরূপ রেখাটিরও সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x-2y+5=0, \ 19x+9y=0 \)।
উত্তরঃ \(3x-2y+5=0, \ 19x+9y=0 \)।
সমাধানঃ
মনে করি,
\(A(-3, -2)\)
\(2x+3y=3 \Rightarrow 2x+3y-3=0 .......(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখার উপর লম্ব এরূপ যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x-2y+k=0 ......(2)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখটি \(A(-3, -2)\) দিয়ে যায়,
\(\therefore 3.(-3)-2.(-2)+k=0\)
\(\Rightarrow -9+4+k=0\)
\(\Rightarrow -5+k=0\)
\(\therefore k=5\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(3x-2y+5=0\)
\(\therefore 3x-2y+5=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
আবার, ধরি,
\(3x-2y+5=0 .......(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x+3y-3+k(3x-2y+5)=0 ......(4)\) ➜ \(k\) শুন্য ব্যতীত যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((4)\) নং সরলরেখটি মূলবিন্দু দিয়ে যায়,
\(2.0+3.0-3+k(3.0-2.0+5)=0\)
\(\Rightarrow 0+0-3+k(0-0+5)=0\)
\(\Rightarrow -3+k(5)=0\)
\(\Rightarrow -3+5k=0\)
\(\Rightarrow 5k=3\)
\(\Rightarrow k=\frac{3}{5}\)
\(k\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে,
\(2x+3y-3+\frac{3}{5}(3x-2y+5)=0\)
\(\Rightarrow 5(2x+3y-3)+3(3x-2y+5)=0\) ➜ উভয় পার্শে \(5\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 10x+15y-15+9x-6y+15=0\)
\(\therefore 19x+9y=0\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সরলরেখারদ্বয়ের সমীকরণ, \(3x-2y+5=0, \ 19x+9y=0\)
\(A(-3, -2)\)
\(2x+3y=3 \Rightarrow 2x+3y-3=0 .......(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখার উপর লম্ব এরূপ যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x-2y+k=0 ......(2)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখটি \(A(-3, -2)\) দিয়ে যায়,
\(\therefore 3.(-3)-2.(-2)+k=0\)
\(\Rightarrow -9+4+k=0\)
\(\Rightarrow -5+k=0\)
\(\therefore k=5\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(3x-2y+5=0\)
\(\therefore 3x-2y+5=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
আবার, ধরি,
\(3x-2y+5=0 .......(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x+3y-3+k(3x-2y+5)=0 ......(4)\) ➜ \(k\) শুন্য ব্যতীত যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((4)\) নং সরলরেখটি মূলবিন্দু দিয়ে যায়,
\(2.0+3.0-3+k(3.0-2.0+5)=0\)
\(\Rightarrow 0+0-3+k(0-0+5)=0\)
\(\Rightarrow -3+k(5)=0\)
\(\Rightarrow -3+5k=0\)
\(\Rightarrow 5k=3\)
\(\Rightarrow k=\frac{3}{5}\)
\(k\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে,
\(2x+3y-3+\frac{3}{5}(3x-2y+5)=0\)
\(\Rightarrow 5(2x+3y-3)+3(3x-2y+5)=0\) ➜ উভয় পার্শে \(5\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 10x+15y-15+9x-6y+15=0\)
\(\therefore 19x+9y=0\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সরলরেখারদ্বয়ের সমীকরণ, \(3x-2y+5=0, \ 19x+9y=0\)
\(Q.2.(xix)\) \(A(2, 1)\) ও \(B(5, 2)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে এরূপ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর ; রেখাটি \(Y\) অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে ঐ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১০, রাঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(3x+y=12, \ (0, 12) \)।
[ ঢাঃ ২০১০, রাঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(3x+y=12, \ (0, 12) \)।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(A(2, 1)\) ও \(B(5, 2)\)
\(AB\) এর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(C(\frac{2+5}{2}, \frac{1+2}{2})\)
\(\Rightarrow C(\frac{7}{2}, \frac{3}{2})\)
\(AB\) এর ঢাল \(=\frac{1-2}{2-5}\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\);\(PQ\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)
\(=\frac{-1}{-3}\)
\(=\frac{1}{3}\)
\(AB\) এর উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার ঢাল \(=-3\)
\(\therefore C(\frac{7}{2}, \frac{3}{2})\) বিন্দুগামী এবং \(-3\) ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-\frac{3}{2}=-3(x-\frac{7}{2})\)
\(\Rightarrow \frac{2y-3}{2}=-3x+\frac{21}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{2y-3}{2}=\frac{-6x+21}{2}\)
\(\Rightarrow 2y-3=-6x+21\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 6x+2y-24=0\)
\(\therefore 3x+y-12=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
আবার, ধরি,
\(3x+y-12=0 .......(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখাটি যখন \(Y\) অক্ষকে ছেদ করে তখন \(x=0\)
\((1)\) হতে,
\(3.0+y-12=0\)
\(\Rightarrow 0+y-12=0\)
\(\Rightarrow y-12=0\)
\(\Rightarrow y=12\)
\(Y\) অক্ষের ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((0, 12)\) .
\(A(2, 1)\) ও \(B(5, 2)\)
\(AB\) এর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(C(\frac{2+5}{2}, \frac{1+2}{2})\)
\(\Rightarrow C(\frac{7}{2}, \frac{3}{2})\)
\(AB\) এর ঢাল \(=\frac{1-2}{2-5}\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\);\(PQ\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)
\(=\frac{-1}{-3}\)
\(=\frac{1}{3}\)
\(AB\) এর উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার ঢাল \(=-3\)
\(\therefore C(\frac{7}{2}, \frac{3}{2})\) বিন্দুগামী এবং \(-3\) ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-\frac{3}{2}=-3(x-\frac{7}{2})\)
\(\Rightarrow \frac{2y-3}{2}=-3x+\frac{21}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{2y-3}{2}=\frac{-6x+21}{2}\)
\(\Rightarrow 2y-3=-6x+21\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 6x+2y-24=0\)
\(\therefore 3x+y-12=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
আবার, ধরি,
\(3x+y-12=0 .......(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখাটি যখন \(Y\) অক্ষকে ছেদ করে তখন \(x=0\)
\((1)\) হতে,
\(3.0+y-12=0\)
\(\Rightarrow 0+y-12=0\)
\(\Rightarrow y-12=0\)
\(\Rightarrow y=12\)
\(Y\) অক্ষের ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((0, 12)\) .
\(Q.2.(xx)\) \(3x+5y-2=0\), \(2x+3y=0\) ও \(ax+by+1=0\) রেখাত্রয় সমবিন্দু হলে, \(a\) ও \(b\) এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় কর।
[ দিঃ ২০১১, চঃ ২০১২, যঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(6a-4b=1\)।
[ দিঃ ২০১১, চঃ ২০১২, যঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(6a-4b=1\)।
সমাধানঃ
মনে করি,
\(3x+5y-2=0 ............(1)\)
\(2x+3y+0=0 ............(2)\)
\(ax+by+1=0 ............(3)\)
\((1)\), \((2)\) এবং \((3)\) রেখাত্রয় সমবিন্দু হবে যদি,
\(\left|\begin{array}{c}3 \ \ \ \ 5 \ \ -2\\2 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ \ \ 0\\a \ \ \ \ b \ \ \ \ \ \ 1\end{array}\right|=0\) হয়। ➜\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ......(1)\) \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 .....(2)\) \(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0 ......(3)\) \((1)\) , \((2)\) , \((3)\) নং সরলরেখাত্রয় সমবিন্দু হবে যদি , \(\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|=0\) হয় ।
\(\Rightarrow 3(3.1-b.0)-5(2.1-0.a)-2(2.b-3.a)=0\)
\(\Rightarrow 3(3-0)-5(2-0)-2(2b-3a)=0\)
\(\Rightarrow 9-10-4b+6a=0\)
\(\Rightarrow 6a-4b-1=0\)
\(\Rightarrow 6a-4b=1\)
ইহাই নির্ণেয় সম্পর্ক।
\(3x+5y-2=0 ............(1)\)
\(2x+3y+0=0 ............(2)\)
\(ax+by+1=0 ............(3)\)
\((1)\), \((2)\) এবং \((3)\) রেখাত্রয় সমবিন্দু হবে যদি,
\(\left|\begin{array}{c}3 \ \ \ \ 5 \ \ -2\\2 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ \ \ 0\\a \ \ \ \ b \ \ \ \ \ \ 1\end{array}\right|=0\) হয়। ➜\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ......(1)\) \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 .....(2)\) \(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0 ......(3)\) \((1)\) , \((2)\) , \((3)\) নং সরলরেখাত্রয় সমবিন্দু হবে যদি , \(\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|=0\) হয় ।
\(\Rightarrow 3(3.1-b.0)-5(2.1-0.a)-2(2.b-3.a)=0\)
\(\Rightarrow 3(3-0)-5(2-0)-2(2b-3a)=0\)
\(\Rightarrow 9-10-4b+6a=0\)
\(\Rightarrow 6a-4b-1=0\)
\(\Rightarrow 6a-4b=1\)
ইহাই নির্ণেয় সম্পর্ক।
\(Q.2.(xxiii)\) \(X\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(x-3y+2=0\) ও \(x+y-2=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এরূপ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[কুঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(y-1=0\)।
[কুঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(y-1=0\)।
সমাধানঃ
মনে করি,
\(X\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ
\(y=b \Rightarrow y-b=0 \Rightarrow x.0+y-b=0............(1)\)
এবং
\(x-3y+2=0 ............(2)\)
\(x+y-2=0 ............(3)\)
শর্তমতে,
\((1)\), \((2)\) এবং \((3)\) রেখাত্রয় সমবিন্দু হবে ,
\(\therefore \left|\begin{array}{c}0 \ \ \ \ \ \ 1 \ \ -b\\1 \ \ -3 \ \ \ \ \ \ 2\\1 \ \ \ \ \ \ 1 \ \ -2\end{array}\right|=0\) ➜\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 .....(1)\) \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 .....(2)\) \(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0 ....(3)\) \((1)\) , \((2)\) , \((3)\) নং সরলরেখাত্রয় সমবিন্দু হবে যদি , \(\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|=0\) হয় ।
\(\Rightarrow 0{(-3).(-2)-2.1}-1{1.(-2)-2.1}-b{1.1-(-3).1}=0\)
\(\Rightarrow 0{6-2}-1{-2-2}-b{1+3}=0\)
\(\Rightarrow 0-1{-4}-b{4}=0\)
\(\Rightarrow 4-4b=0\)
\(\Rightarrow -4b=-4\)
\(\Rightarrow b=\frac{-4}{-4}\)
\(\Rightarrow b=1\)
\(b\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(y=1\)
\(\therefore y-1=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(X\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ
\(y=b \Rightarrow y-b=0 \Rightarrow x.0+y-b=0............(1)\)
এবং
\(x-3y+2=0 ............(2)\)
\(x+y-2=0 ............(3)\)
শর্তমতে,
\((1)\), \((2)\) এবং \((3)\) রেখাত্রয় সমবিন্দু হবে ,
\(\therefore \left|\begin{array}{c}0 \ \ \ \ \ \ 1 \ \ -b\\1 \ \ -3 \ \ \ \ \ \ 2\\1 \ \ \ \ \ \ 1 \ \ -2\end{array}\right|=0\) ➜\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 .....(1)\) \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 .....(2)\) \(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0 ....(3)\) \((1)\) , \((2)\) , \((3)\) নং সরলরেখাত্রয় সমবিন্দু হবে যদি , \(\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|=0\) হয় ।
\(\Rightarrow 0{(-3).(-2)-2.1}-1{1.(-2)-2.1}-b{1.1-(-3).1}=0\)
\(\Rightarrow 0{6-2}-1{-2-2}-b{1+3}=0\)
\(\Rightarrow 0-1{-4}-b{4}=0\)
\(\Rightarrow 4-4b=0\)
\(\Rightarrow -4b=-4\)
\(\Rightarrow b=\frac{-4}{-4}\)
\(\Rightarrow b=1\)
\(b\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(y=1\)
\(\therefore y-1=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(Q.2.(xxvii)\) এরূপ একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((1, 2)\) ও \((4, 5)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাকে \(3:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে এবং ঐ রেখার উপর লম্ব হয়।
উত্তরঃ \(2x+2y=15\)।
উত্তরঃ \(2x+2y=15\)।
সমাধানঃ
মনে করি,
\(A(1, 2)\) ও \(B(4, 5)\)
\(AB\) কে \(3:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে এরূপ বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(P(\frac{3.4+1.1}{3+1}, \frac{3.5+1.2}{3+1})\)
\(\Rightarrow P(\frac{12+1}{4}, \frac{15+2}{4})\)
\(\therefore P(\frac{13}{4}, \frac{17}{4})\)
\(AB\) এর ঢাল \(=\frac{2-5}{1-4}\)
\(=\frac{-3}{-3}\)
\(=1\)
\(AB\) এর উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার ঢাল \(=-1\)
\(P\) বিন্দুগামী \(=-1\) ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-\frac{17}{4}=-1(x-\frac{13}{4})\)
\(\Rightarrow y-\frac{17}{4}=-x+\frac{13}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{4y-17}{4}=\frac{-4x+13}{4}\)
\(\Rightarrow 4y-17=-4x+13 \) ➜ উভয় পার্শে \(4\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 4x+4y-17-13=0 \)
\(\Rightarrow 4x+4y-30=0 \)
\(\Rightarrow 2x+2y-15=0 \) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(A(1, 2)\) ও \(B(4, 5)\)
\(AB\) কে \(3:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে এরূপ বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(P(\frac{3.4+1.1}{3+1}, \frac{3.5+1.2}{3+1})\)
\(\Rightarrow P(\frac{12+1}{4}, \frac{15+2}{4})\)
\(\therefore P(\frac{13}{4}, \frac{17}{4})\)
\(AB\) এর ঢাল \(=\frac{2-5}{1-4}\)
\(=\frac{-3}{-3}\)
\(=1\)
\(AB\) এর উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার ঢাল \(=-1\)
\(P\) বিন্দুগামী \(=-1\) ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-\frac{17}{4}=-1(x-\frac{13}{4})\)
\(\Rightarrow y-\frac{17}{4}=-x+\frac{13}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{4y-17}{4}=\frac{-4x+13}{4}\)
\(\Rightarrow 4y-17=-4x+13 \) ➜ উভয় পার্শে \(4\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 4x+4y-17-13=0 \)
\(\Rightarrow 4x+4y-30=0 \)
\(\Rightarrow 2x+2y-15=0 \) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(Q.2.(xxviii)\) এরূপ একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(4x+7y=11\) রেখার উপর লম্ব এবং \(Y\) অক্ষ হতে \(2\) একক দৈর্ঘ্য কর্তন করে।
উত্তরঃ \(7x-4y\pm 8=0\)।
উত্তরঃ \(7x-4y\pm 8=0\)।
সমাধানঃ
মনে করি,
\(4x+7y=11 ...........(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(7x-4y+k=0 ...........(2)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\(\Rightarrow 7x-4y=-k\)
\(\Rightarrow \frac{7x-4y}{-k}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(-k\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{7x}{-k}+\frac{-4y}{-k}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\frac{-k}{7}}+\frac{y}{\frac{-k}{-4}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\frac{-k}{7}}+\frac{y}{\frac{k}{4}}=1\)
\((2)\) নং সরলরেখা দ্বারা \(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(=\frac{k}{4}\)
শর্তমতে,
\(\left|\frac{k}{4}\right|=2\)
\(\Rightarrow \pm (\frac{k}{4})=2\)
\(\Rightarrow \frac{k}{4}=\pm 2\)
\(\Rightarrow k=\pm 2\times 4\)
\(\Rightarrow k=\pm 8\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(7x-4y\pm 8=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(4x+7y=11 ...........(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(7x-4y+k=0 ...........(2)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\(\Rightarrow 7x-4y=-k\)
\(\Rightarrow \frac{7x-4y}{-k}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(-k\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{7x}{-k}+\frac{-4y}{-k}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\frac{-k}{7}}+\frac{y}{\frac{-k}{-4}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\frac{-k}{7}}+\frac{y}{\frac{k}{4}}=1\)
\((2)\) নং সরলরেখা দ্বারা \(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(=\frac{k}{4}\)
শর্তমতে,
\(\left|\frac{k}{4}\right|=2\)
\(\Rightarrow \pm (\frac{k}{4})=2\)
\(\Rightarrow \frac{k}{4}=\pm 2\)
\(\Rightarrow k=\pm 2\times 4\)
\(\Rightarrow k=\pm 8\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(7x-4y\pm 8=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(Q.2.(xxix)\) \(3x-4y+8=0\) রেখার সমান্তরাল দিকে \(3x+y+4=0\) রেখা হতে \((1, 2)\) বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3\) একক।
উত্তরঃ \(3\) একক।
সমাধানঃ
মনেকরি,
\(3x-4y+8=0 ......(1)\)
\(3x+y+4=0 ......(2)\)
এবং \(A(1, 2)\)
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x-4y+k=0 ......(3)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখা \(A(1, 2)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore 3.1-4.2+k=0\)
\(\Rightarrow 3-8+k=0\)
\(\Rightarrow -5+k=0\)
\(\Rightarrow k=5\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(3x-4y+5=0 ......(4)\)
\((2)\) ও \((4)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((4)-(2)\) এর সাহায্যে,
\(3x-4y+5-3x-y-4=0\)
\(\Rightarrow -5y+1=0\)
\(\Rightarrow -5y=-1\)
\(\Rightarrow y=\frac{-1}{-5}\)
\(\therefore y=\frac{1}{5}\)
\((2)\) হতে,
\(3x+\frac{1}{5}+4=0\)
\(\Rightarrow 3x+\frac{1+20}{5}=0\)
\(\Rightarrow 3x+\frac{21}{5}=0\)
\(\Rightarrow 3x=-\frac{21}{5}\)
\(\Rightarrow 3x=-\frac{21}{5\times 3}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{7}{5}\)
\(\therefore (2)\) ও \((4)\) এর ছেদবিন্দু \(B(-\frac{7}{5}, \frac{1}{5})\)
\(AB=\sqrt{(1+\frac{7}{5})^{2}+(2-\frac{1}{5})^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{5+7}{5})^{2}+(\frac{10-1}{5})^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{12}{5})^{2}+(\frac{9}{5})^{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{144}{25}+\frac{81}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{144+81}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{225}{25}}\)
\(=\sqrt{9}\)
\(=3\) একক।
ইহাই নির্ণেয় দূরত্ব।
\(3x-4y+8=0 ......(1)\)
\(3x+y+4=0 ......(2)\)
এবং \(A(1, 2)\)
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x-4y+k=0 ......(3)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখা \(A(1, 2)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore 3.1-4.2+k=0\)
\(\Rightarrow 3-8+k=0\)
\(\Rightarrow -5+k=0\)
\(\Rightarrow k=5\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(3x-4y+5=0 ......(4)\)
\((2)\) ও \((4)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((4)-(2)\) এর সাহায্যে,
\(3x-4y+5-3x-y-4=0\)
\(\Rightarrow -5y+1=0\)
\(\Rightarrow -5y=-1\)
\(\Rightarrow y=\frac{-1}{-5}\)
\(\therefore y=\frac{1}{5}\)
\((2)\) হতে,
\(3x+\frac{1}{5}+4=0\)
\(\Rightarrow 3x+\frac{1+20}{5}=0\)
\(\Rightarrow 3x+\frac{21}{5}=0\)
\(\Rightarrow 3x=-\frac{21}{5}\)
\(\Rightarrow 3x=-\frac{21}{5\times 3}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{7}{5}\)
\(\therefore (2)\) ও \((4)\) এর ছেদবিন্দু \(B(-\frac{7}{5}, \frac{1}{5})\)
\(AB=\sqrt{(1+\frac{7}{5})^{2}+(2-\frac{1}{5})^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{5+7}{5})^{2}+(\frac{10-1}{5})^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{12}{5})^{2}+(\frac{9}{5})^{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{144}{25}+\frac{81}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{144+81}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{225}{25}}\)
\(=\sqrt{9}\)
\(=3\) একক।
ইহাই নির্ণেয় দূরত্ব।
\(Q.2.(xxx)\) যে সরলরেখা \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(\tan^{-1}(\frac{3}{4})\) কোণ উৎপন্ন করে তার সমান্তরাল বরাবর \(3x+5y-11=0\) রেখা হতে \((-1, 1)\) বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{5}{3}\) একক।
উত্তরঃ \(\frac{5}{3}\) একক।
সমাধানঃ
মনেকরি,
\(3x+5y-11=0 ......(1)\)
এবং \(A(-1, 1)\)
\(A(-1, 1)\) বিন্দুগামী এবং \(\frac{3}{4}\) ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-1=\frac{3}{4}(x+1)\)
\(\Rightarrow 4(y-1)=3(x+1)\) ➜ উভয় পার্শে \(4\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 4y-4=3x+3\)
\(\Rightarrow 3x+3=4y-4\)
\(\Rightarrow 3x-4y+3+4=0\)
\(\Rightarrow 3x-4y+7=0 .............(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((1)-(2)\) এর সাহায্যে,
\(3x+5y-11-3x+4y-7=0\)
\(\Rightarrow 9y-18=0\)
\(\Rightarrow 9y=18\)
\(\Rightarrow y=\frac{18}{9}\)
\(\therefore y=2\)
\((1)\) হতে,
\(3x+5.2-11=0\)
\(\Rightarrow 3x+10-11=0\)
\(\Rightarrow 3x-1=0\)
\(\Rightarrow 3x=1\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{3}\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু \(B(\frac{1}{3}, 2)\)
\(AB=\sqrt{(-1-\frac{1}{3})^{2}+(1-2)^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{-3-1}{3})^{2}+(-1)^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{-4}{3})^{2}+1}\)
\(=\sqrt{\frac{16}{9}+1}\)
\(=\sqrt{\frac{16+9}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{25}{9}}\)
\(=\frac{5}{3}\) একক।
ইহাই নির্ণেয় দূরত্ব।
\(3x+5y-11=0 ......(1)\)
এবং \(A(-1, 1)\)
\(A(-1, 1)\) বিন্দুগামী এবং \(\frac{3}{4}\) ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-1=\frac{3}{4}(x+1)\)
\(\Rightarrow 4(y-1)=3(x+1)\) ➜ উভয় পার্শে \(4\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 4y-4=3x+3\)
\(\Rightarrow 3x+3=4y-4\)
\(\Rightarrow 3x-4y+3+4=0\)
\(\Rightarrow 3x-4y+7=0 .............(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((1)-(2)\) এর সাহায্যে,
\(3x+5y-11-3x+4y-7=0\)
\(\Rightarrow 9y-18=0\)
\(\Rightarrow 9y=18\)
\(\Rightarrow y=\frac{18}{9}\)
\(\therefore y=2\)
\((1)\) হতে,
\(3x+5.2-11=0\)
\(\Rightarrow 3x+10-11=0\)
\(\Rightarrow 3x-1=0\)
\(\Rightarrow 3x=1\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{3}\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু \(B(\frac{1}{3}, 2)\)
\(AB=\sqrt{(-1-\frac{1}{3})^{2}+(1-2)^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{-3-1}{3})^{2}+(-1)^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{-4}{3})^{2}+1}\)
\(=\sqrt{\frac{16}{9}+1}\)
\(=\sqrt{\frac{16+9}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{25}{9}}\)
\(=\frac{5}{3}\) একক।
ইহাই নির্ণেয় দূরত্ব।
\(Q.2.(xxxi)\) যে সরলরেখা \(y=2x\) রেখার সঙ্গে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে তার সমান্তরাল বরাবর \(3x-4y=15\) রেখা হতে মূলবিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\sqrt{10}\) একক বা, \(3\sqrt{10}\) একক।
সমাধানঃ
মনেকরি,
\(y=2x\Rightarrow y-2x=0 ......(1)\)
\(3x-4y=15\Rightarrow 3x-4y-15=0 ...........(2) \)
এবং মূলবিন্দু \(O(0, 0)\)
মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ,
\(y=mx ............(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) এর ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=2, \ m_{2}=m\)
এখন,
\(\tan45^{o}=\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}\)
\(\Rightarrow 1=\pm \frac{2-m}{1+2m}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{2-m}{1+2m}\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 1+2m=2-m\)
\(\Rightarrow m+2m=2-1\)
\(\Rightarrow 3m=1\)
\(\Rightarrow m=\frac{1}{3}\)
আবার,
\(\Rightarrow 1=-\frac{2-m}{1+2m}\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 1+2m=-2+m\)
\(\Rightarrow 2m-m=-2-1\)
\(\Rightarrow m=-3\)
\(m\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(y=\frac{1}{3}x\); যখন ,\(m=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow 3y=x\)
\(\Rightarrow x=3y\)
\(\Rightarrow x-3y=0 ...........(4)\)
\(y=-3x\) ➜ যখন ,\(m=-3\)
\(\Rightarrow 3x+y=0 ...........(5)\)
\((2)\) ও \((4)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((2)-(4)\times 3\) এর সাহায্যে,
\(3x-4y-15-3x+9y=0\)
\(\Rightarrow -15+5y=0\)
\(\Rightarrow 5y=15\)
\(\Rightarrow y=\frac{15}{5}\)
\(\therefore y=3\)
\((4)\) হতে,
\(x-3.3=0\)
\(\Rightarrow x-9=0\)
\(\therefore x=9\)
\((2)\) ও \((4)\) এর ছেদবিন্দু \(A(9, 3)\)
আবার,
\((2)\) ও \((5)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((2)+(5)\times 4\) এর সাহায্যে,
\(3x-4y-15+12x+4y=0\)
\(\Rightarrow 15x-15=0\)
\(\Rightarrow 15x=15\)
\(\Rightarrow x=\frac{15}{15}\)
\(\therefore x=1\)
\((5)\) হতে,
\(3.1+y=0\)
\(\Rightarrow 3+y=0\)
\(\therefore y=-3\)
\((2)\) ও \((5)\) এর ছেদবিন্দু \(B(1, -3)\)
\(AO=\sqrt{(9-0)^{2}+(3-0)^{2}}\)
\(=\sqrt{(9)^{2}+(3)^{2}}\)
\(=\sqrt{81+9}\)
\(=\sqrt{90}\)
\(=\sqrt{10\times 9}\)
\(=3\sqrt{10}\)
আবার,
\(BO=\sqrt{(1-0)^{2}+(-3-0)^{2}}\)
\(=\sqrt{(1)^{2}+(-3)^{2}}\)
\(=\sqrt{1+9}\)
\(=\sqrt{10}\)
\(\therefore \) নির্ণেয় দূরত্ব \(\sqrt{10}\) একক বা, \(3\sqrt{10}\) একক।
\(y=2x\Rightarrow y-2x=0 ......(1)\)
\(3x-4y=15\Rightarrow 3x-4y-15=0 ...........(2) \)
এবং মূলবিন্দু \(O(0, 0)\)
মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ,
\(y=mx ............(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) এর ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=2, \ m_{2}=m\)
এখন,
\(\tan45^{o}=\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}\)
\(\Rightarrow 1=\pm \frac{2-m}{1+2m}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{2-m}{1+2m}\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 1+2m=2-m\)
\(\Rightarrow m+2m=2-1\)
\(\Rightarrow 3m=1\)
\(\Rightarrow m=\frac{1}{3}\)
আবার,
\(\Rightarrow 1=-\frac{2-m}{1+2m}\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 1+2m=-2+m\)
\(\Rightarrow 2m-m=-2-1\)
\(\Rightarrow m=-3\)
\(m\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(y=\frac{1}{3}x\); যখন ,\(m=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow 3y=x\)
\(\Rightarrow x=3y\)
\(\Rightarrow x-3y=0 ...........(4)\)
\(y=-3x\) ➜ যখন ,\(m=-3\)
\(\Rightarrow 3x+y=0 ...........(5)\)
\((2)\) ও \((4)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((2)-(4)\times 3\) এর সাহায্যে,
\(3x-4y-15-3x+9y=0\)
\(\Rightarrow -15+5y=0\)
\(\Rightarrow 5y=15\)
\(\Rightarrow y=\frac{15}{5}\)
\(\therefore y=3\)
\((4)\) হতে,
\(x-3.3=0\)
\(\Rightarrow x-9=0\)
\(\therefore x=9\)
\((2)\) ও \((4)\) এর ছেদবিন্দু \(A(9, 3)\)
আবার,
\((2)\) ও \((5)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((2)+(5)\times 4\) এর সাহায্যে,
\(3x-4y-15+12x+4y=0\)
\(\Rightarrow 15x-15=0\)
\(\Rightarrow 15x=15\)
\(\Rightarrow x=\frac{15}{15}\)
\(\therefore x=1\)
\((5)\) হতে,
\(3.1+y=0\)
\(\Rightarrow 3+y=0\)
\(\therefore y=-3\)
\((2)\) ও \((5)\) এর ছেদবিন্দু \(B(1, -3)\)
\(AO=\sqrt{(9-0)^{2}+(3-0)^{2}}\)
\(=\sqrt{(9)^{2}+(3)^{2}}\)
\(=\sqrt{81+9}\)
\(=\sqrt{90}\)
\(=\sqrt{10\times 9}\)
\(=3\sqrt{10}\)
আবার,
\(BO=\sqrt{(1-0)^{2}+(-3-0)^{2}}\)
\(=\sqrt{(1)^{2}+(-3)^{2}}\)
\(=\sqrt{1+9}\)
\(=\sqrt{10}\)
\(\therefore \) নির্ণেয় দূরত্ব \(\sqrt{10}\) একক বা, \(3\sqrt{10}\) একক।
\(Q.2.(xxxii)\) \(ABCD\) রম্বসের দুইটি বাহু \(x-y=5\) ও \(7x-y=3\) এর সমান্তরাল, কর্ণদ্বয় \((2, 1)\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(A\) বিন্দু \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত হলে \(A\) এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((4, 0)\) বা, \((\frac{3}{2}, 0)\) ।
উত্তরঃ \((4, 0)\) বা, \((\frac{3}{2}, 0)\) ।
সমাধানঃ
মনে করি,
\(x-y=5 ......(1)\)
\(7x-y=3 ......(2)\)
\(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত \(A(a, 0)\) এবং কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু \(E(2, 1)\)
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো রেখার সমীকরণ,
\(x-y+k=0 ......(3)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখাটি \(A(a, 0)\) বিন্দু দিয়ে গেলে,
\(a-0+k=0\)
\(\Rightarrow a+k=0\)
\(\Rightarrow k=-a\)
\((3)\) হতে,
\(x-y-a=0 ......(4)\)
আবার,
\((3)\) নং সরলরেখাটি \(E(2, 1)\) বিন্দু দিয়ে গেলে,
\(2-1+k=0\)
\(\Rightarrow 1+k=0\)
\(\Rightarrow k=-1\)
\((3)\) হতে,
\(x-y-1=0 ......(5)\)
\((2)\) এর সমান্তরাল যে কোনো রেখার সমীকরণ,
\(7x-y+k=0 ......(6)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((6)\) নং সরলরেখাটি \(A(a, 0)\) বিন্দু দিয়ে গেলে,
\(7a-0+k=0\)
\(\Rightarrow 7a+k=0\)
\(\Rightarrow k=-7a\)
\((6)\) হতে,
\(7x-y-7a=0 ......(7)\)
আবার,
\((6)\) নং সরলরেখাটি \(E(2, 1)\) বিন্দু দিয়ে গেলে,
\(7.2-1+k=0\)
\(\Rightarrow 14-1+k=0\)
\(\Rightarrow 13+k=0\)
\(\Rightarrow k=-13\)
\((6)\) হতে,
\(7x-y-13=0 ......(8)\)
\((4)\) ও \((8)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((8)-(4)\) এর সাহায্যে,
\(7x-y-13-x+y+a=0\)
\(\Rightarrow 6x-13+a=0\)
\(\Rightarrow 6x=13-a\)
\(\Rightarrow x=\frac{13-a}{6}\)
\((8)\) হতে,
\(7\times \frac{13-a}{6}-y-13=0 \)
\(\Rightarrow \frac{7(13-a)}{6}-13=y \)
\(\Rightarrow \frac{7(13-a)-78}{6}=y \)
\(\Rightarrow y=\frac{91-7a-78}{6}\)
\(\Rightarrow y=\frac{13-7a}{6}\)
\(\therefore (4)\) ও \((8)\) এর ছেদবিন্দু \(F(\frac{13-a}{6}, \frac{13-7a}{6})\)
\((5)\) ও \((7)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((7)-(5)\) এর সাহায্যে,
\(7x-y-7a-x+y+1=0\)
\(\Rightarrow 6x+1-7a=0\)
\(\Rightarrow 6x=7a-1\)
\(\Rightarrow x=\frac{7a-1}{6}\)
\((7)\) হতে,
\(7\times \frac{7a-1}{6}-y-7a=0 \)
\(\Rightarrow \frac{7(7a-1)}{6}-7a=y \)
\(\Rightarrow \frac{49a-7-42a}{6}=y \)
\(\therefore y=\frac{7a-7}{6}\)
\(\therefore (5)\) ও \((7)\) এর ছেদবিন্দু \(G(\frac{7a-1}{6}, \frac{7a-7}{6})\)
\(F\) এবং \(G\) রম্বসের সন্নিহিত দুইটি বাহুর মধ্যবিন্দু,
\(\therefore AF=AG\)
\(\Rightarrow AF^{2}=AG^{2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (a-\frac{13-a}{6})^{2}+(0-\frac{13-7a}{6})^{2}=(a-\frac{7a-1}{6})^{2}+(0-\frac{7a-7}{6})^{2}\)
\(\Rightarrow (\frac{6a-13+a}{6})^{2}+(\frac{13-7a}{6})^{2}=(\frac{6a-7a+1}{6})^{2}+(\frac{7a-7}{6})^{2}\)
\(\Rightarrow (\frac{7a-13}{6})^{2}+(\frac{13-7a}{6})^{2}=(\frac{1-a}{6})^{2}+(\frac{7a-7}{6})^{2}\)
\(\Rightarrow \frac{(7a-13)^{2}}{36}+\frac{(13-7a)^{2}}{36}=\frac{(1-a)^{2}}{36}+\frac{(7a-7)^{2}}{36}\)
\(\Rightarrow \frac{(7a-13)^{2}}{36}+\frac{(7a-13)^{2}}{36}=\frac{(a-1)^{2}}{36}+\frac{49(a-1)^{2}}{36}\)
\(\Rightarrow \frac{2(7a-13)^{2}}{36}=\frac{(1-a)^{2}+49(a-1)^{2}}{36}\)
\(\Rightarrow \frac{2(7a-13)^{2}}{36}=\frac{50(a-1)^{2}}{36}\)
\(\Rightarrow \frac{(7a-13)^{2}}{18}=\frac{25(a-1)^{2}}{18}\)
\(\Rightarrow (7a-13)^{2}=25(a-1)^{2}\)
\(\Rightarrow (7a-13)^{2}=\{5(a-1)\}^{2}\)
\(\Rightarrow 7a-13=\pm 5(a-1)\)
\(\Rightarrow 7a-13=5(a-1)\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 7a-13=5a-5\)
\(\Rightarrow 7a-5a=13-5\)
\(\Rightarrow 2a=8\)
\(\Rightarrow a=\frac{8}{2}\)
\(\Rightarrow a=4\)
\(\Rightarrow 7a-13=-5(a-1)\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 7a-13=-5a+5\)
\(\Rightarrow 7a+5a=13+5\)
\(\Rightarrow 12a=18\)
\(\Rightarrow a=\frac{18}{12}\)
\(\Rightarrow a=\frac{3}{2}\)
\(\therefore A\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((4, 0)\) বা, \((\frac{3}{2}, 0)\).
\(x-y=5 ......(1)\)
\(7x-y=3 ......(2)\)
\(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত \(A(a, 0)\) এবং কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু \(E(2, 1)\)
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো রেখার সমীকরণ,
\(x-y+k=0 ......(3)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখাটি \(A(a, 0)\) বিন্দু দিয়ে গেলে,
\(a-0+k=0\)
\(\Rightarrow a+k=0\)
\(\Rightarrow k=-a\)
\((3)\) হতে,
\(x-y-a=0 ......(4)\)
আবার,
\((3)\) নং সরলরেখাটি \(E(2, 1)\) বিন্দু দিয়ে গেলে,
\(2-1+k=0\)
\(\Rightarrow 1+k=0\)
\(\Rightarrow k=-1\)
\((3)\) হতে,
\(x-y-1=0 ......(5)\)
\((2)\) এর সমান্তরাল যে কোনো রেখার সমীকরণ,
\(7x-y+k=0 ......(6)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((6)\) নং সরলরেখাটি \(A(a, 0)\) বিন্দু দিয়ে গেলে,
\(7a-0+k=0\)
\(\Rightarrow 7a+k=0\)
\(\Rightarrow k=-7a\)
\((6)\) হতে,
\(7x-y-7a=0 ......(7)\)
আবার,
\((6)\) নং সরলরেখাটি \(E(2, 1)\) বিন্দু দিয়ে গেলে,
\(7.2-1+k=0\)
\(\Rightarrow 14-1+k=0\)
\(\Rightarrow 13+k=0\)
\(\Rightarrow k=-13\)
\((6)\) হতে,
\(7x-y-13=0 ......(8)\)
\((4)\) ও \((8)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((8)-(4)\) এর সাহায্যে,
\(7x-y-13-x+y+a=0\)
\(\Rightarrow 6x-13+a=0\)
\(\Rightarrow 6x=13-a\)
\(\Rightarrow x=\frac{13-a}{6}\)
\((8)\) হতে,
\(7\times \frac{13-a}{6}-y-13=0 \)
\(\Rightarrow \frac{7(13-a)}{6}-13=y \)
\(\Rightarrow \frac{7(13-a)-78}{6}=y \)
\(\Rightarrow y=\frac{91-7a-78}{6}\)
\(\Rightarrow y=\frac{13-7a}{6}\)
\(\therefore (4)\) ও \((8)\) এর ছেদবিন্দু \(F(\frac{13-a}{6}, \frac{13-7a}{6})\)
\((5)\) ও \((7)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((7)-(5)\) এর সাহায্যে,
\(7x-y-7a-x+y+1=0\)
\(\Rightarrow 6x+1-7a=0\)
\(\Rightarrow 6x=7a-1\)
\(\Rightarrow x=\frac{7a-1}{6}\)
\((7)\) হতে,
\(7\times \frac{7a-1}{6}-y-7a=0 \)
\(\Rightarrow \frac{7(7a-1)}{6}-7a=y \)
\(\Rightarrow \frac{49a-7-42a}{6}=y \)
\(\therefore y=\frac{7a-7}{6}\)
\(\therefore (5)\) ও \((7)\) এর ছেদবিন্দু \(G(\frac{7a-1}{6}, \frac{7a-7}{6})\)
\(F\) এবং \(G\) রম্বসের সন্নিহিত দুইটি বাহুর মধ্যবিন্দু,
\(\therefore AF=AG\)
\(\Rightarrow AF^{2}=AG^{2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (a-\frac{13-a}{6})^{2}+(0-\frac{13-7a}{6})^{2}=(a-\frac{7a-1}{6})^{2}+(0-\frac{7a-7}{6})^{2}\)
\(\Rightarrow (\frac{6a-13+a}{6})^{2}+(\frac{13-7a}{6})^{2}=(\frac{6a-7a+1}{6})^{2}+(\frac{7a-7}{6})^{2}\)
\(\Rightarrow (\frac{7a-13}{6})^{2}+(\frac{13-7a}{6})^{2}=(\frac{1-a}{6})^{2}+(\frac{7a-7}{6})^{2}\)
\(\Rightarrow \frac{(7a-13)^{2}}{36}+\frac{(13-7a)^{2}}{36}=\frac{(1-a)^{2}}{36}+\frac{(7a-7)^{2}}{36}\)
\(\Rightarrow \frac{(7a-13)^{2}}{36}+\frac{(7a-13)^{2}}{36}=\frac{(a-1)^{2}}{36}+\frac{49(a-1)^{2}}{36}\)
\(\Rightarrow \frac{2(7a-13)^{2}}{36}=\frac{(1-a)^{2}+49(a-1)^{2}}{36}\)
\(\Rightarrow \frac{2(7a-13)^{2}}{36}=\frac{50(a-1)^{2}}{36}\)
\(\Rightarrow \frac{(7a-13)^{2}}{18}=\frac{25(a-1)^{2}}{18}\)
\(\Rightarrow (7a-13)^{2}=25(a-1)^{2}\)
\(\Rightarrow (7a-13)^{2}=\{5(a-1)\}^{2}\)
\(\Rightarrow 7a-13=\pm 5(a-1)\)
\(\Rightarrow 7a-13=5(a-1)\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 7a-13=5a-5\)
\(\Rightarrow 7a-5a=13-5\)
\(\Rightarrow 2a=8\)
\(\Rightarrow a=\frac{8}{2}\)
\(\Rightarrow a=4\)
\(\Rightarrow 7a-13=-5(a-1)\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 7a-13=-5a+5\)
\(\Rightarrow 7a+5a=13+5\)
\(\Rightarrow 12a=18\)
\(\Rightarrow a=\frac{18}{12}\)
\(\Rightarrow a=\frac{3}{2}\)
\(\therefore A\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((4, 0)\) বা, \((\frac{3}{2}, 0)\).
\(Q.2.(xxxiii)\) \(P(h, k)\) বিন্দু হতে মূলবিন্দুগামী সরলরেখার উপর লম্বের পাদবিন্দুর সঞ্চারপথ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}=hx+ky\) ।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}=hx+ky\) ।
সমাধানঃ
মনে করি,
মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ \(y=mx \Rightarrow y-mx=0 .........(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(my+x+E=0 ........(2)\) ➜ \(E\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা \(P(h, k)\) বিন্দুগামী,
\(mk+h+E=0\)
\(\Rightarrow E=-(h+km)\)
\(E\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(my+x-(h+km)=0 ..........(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) এর ছেদ বিন্দু হবে পাদবিন্দু।
\((1)\) হতে \(m\) এরমান নির্ণয় করে \((3)\) এ বসিয়ে পাই,
\(\frac{y}{x}\times y+x-(h+k\times \frac{y}{x})=0\)
\(\Rightarrow \frac{y^{2}}{x}+x-(\frac{ky}{x}+h)=0\)
\(\Rightarrow \frac{y^{2}+x^{2}}{x}=\frac{ky+hx}{x}\)
\(\Rightarrow y^{2}+x^{2}=ky+hx\) ➜ উভয় পার্শে \(x\) গুণ করে।
\(\therefore x^{2}+y^{2}=hx+ky\)
ইহাই পাদবিন্দুর সঞ্চারপথ।
মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ \(y=mx \Rightarrow y-mx=0 .........(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(my+x+E=0 ........(2)\) ➜ \(E\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা \(P(h, k)\) বিন্দুগামী,
\(mk+h+E=0\)
\(\Rightarrow E=-(h+km)\)
\(E\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(my+x-(h+km)=0 ..........(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) এর ছেদ বিন্দু হবে পাদবিন্দু।
\((1)\) হতে \(m\) এরমান নির্ণয় করে \((3)\) এ বসিয়ে পাই,
\(\frac{y}{x}\times y+x-(h+k\times \frac{y}{x})=0\)
\(\Rightarrow \frac{y^{2}}{x}+x-(\frac{ky}{x}+h)=0\)
\(\Rightarrow \frac{y^{2}+x^{2}}{x}=\frac{ky+hx}{x}\)
\(\Rightarrow y^{2}+x^{2}=ky+hx\) ➜ উভয় পার্শে \(x\) গুণ করে।
\(\therefore x^{2}+y^{2}=hx+ky\)
ইহাই পাদবিন্দুর সঞ্চারপথ।
অনুশীলনী \(3.F\)/ \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(Q.3.(i)\) একটি সরলরেখা \(2x+5y-9=0\) ও \(3x-4y-7=0\) রেখাদ্বয়ের সাথে সমবিন্দু এবং \(x=y\) রেখার সমান্তরাল হলে, রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(23x-23y=58\)।
\(Q.3.(ii)\)দুইটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যাদের অক্ষদ্বয়ের ছেদক অংশের সংখ্যা মান সমান এবং যারা \(2x+3y=1\) ও \(x-2y+3=0\) রেখাদুইটি সাথে সমবিন্দু ।
উত্তরঃ \(x-y+2=0; \ x+y=0\)।
\(Q.3.(iii)\) \(3x-4y+1=0\) এবং \(5x+y=1\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং অক্ষদ্বয় হতে একই চিহ্নবিশিষ্ট সমান সমান অংশ ছেদ করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(23x+23y=11\)।
\(Q.3.(iv)\) \(3x-7y+5=0\) এবং \(x-2y-7=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং অক্ষদ্বয় হতে একই চিহ্নবিশিষ্ট সমান সমান অংশ ছেদ করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+y=85\)।
\(Q.3.(v)\)দুইটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যারা \(7x+13y-87=0\) ও \(5x-8y+7=0\) রেখাদুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং অক্ষ দুইটি হতে সমান সংখ্যা মানের অংশ ছেদ করে।
উত্তরঃ \(x+y-9=0; \ x-y-1=0\)।
\(Q.3.(vi)\) সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যারা \(4x-3y=1\) ও \(2x-5y+3=0\) রেখাদুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং অক্ষদ্বয়ের সাথে সমান সমান কোণ উৎপন্ন করে।
উত্তরঃ \(x+y=2; \ x-y=0\)।
\(Q.3.(vii)\)\(P\) বিন্দুটি \(x-3y=2\)রেখার উপর অবস্থিত এবং তা \((2, 3)\), \((6, -5)\) বিন্দু হতে সমদূরবর্তী। \(P\) এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \((14, 4)\)।
\(Q.3.(viii)\) \(x+2y+2=0\)রেখার উপর এরূপ একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর যা \((2, -1)\), \((3, 4)\) বিন্দু হতে সমদূরবর্তী।
উত্তরঃ \((-10, 4)\)।
\(Q.3.(ix)\) \(P(x, y)\)বিন্দুটি একটি সরলরেখার উপর অবস্থিত যা \(Q(2, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(A(-1, 2)\) \(B(-5, 4)\) রেখার উপর লম্ব। দেখাও যে, \(2x-y-1=0\)।
\(Q.3.(x)\) \(P(h, k)\) বিন্দু থেকে \(X\) ও \(Y\) অক্ষের উপর অঙ্কিত লম্ব যথাক্রমে \(PA\) ও \(PB\) হলে, \(P\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(AB\) এর উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(hx-ky=h^{2}-k^{2}\)।
\(Q.3.(xi)\) একটি ত্রিভুজের দুইটি শীর্ষবিন্দু যথাক্রমে \(A(6, 1)\) ও \(B(1, 6)\) এবং এর লম্ববিন্দু \(P(3, 2)\); অবশিষ্ট শীর্ষের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \((-2, -3)\)।
\(Q.3.(xii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের \(AD\), \(BE\) ও \(CF\)উচ্চতা তিনটির সমীকরণ যথাক্রমে \(4x+3y=6\), \(x-2y=7\) ও \(2x-y=8\) এবং \(A\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((0, 2)\) হলে, \(AB\) এবং \(AC\) বাহুর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+2y-4=0, \ 2x+y-2=0\)।
\(Q.3.(xiii)\) \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) সরলরেখাটি \(2x-y=1\) এবং \(3x-4y+6=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(4x+3y-6=0\) রেখার সমান্তরাল হয়, তবে \(a\) এবং \(b\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a=\frac{17}{4}, \ b=\frac{17}{3}\)।
উত্তরঃ \(23x-23y=58\)।
\(Q.3.(ii)\)দুইটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যাদের অক্ষদ্বয়ের ছেদক অংশের সংখ্যা মান সমান এবং যারা \(2x+3y=1\) ও \(x-2y+3=0\) রেখাদুইটি সাথে সমবিন্দু ।
উত্তরঃ \(x-y+2=0; \ x+y=0\)।
\(Q.3.(iii)\) \(3x-4y+1=0\) এবং \(5x+y=1\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং অক্ষদ্বয় হতে একই চিহ্নবিশিষ্ট সমান সমান অংশ ছেদ করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(23x+23y=11\)।
\(Q.3.(iv)\) \(3x-7y+5=0\) এবং \(x-2y-7=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং অক্ষদ্বয় হতে একই চিহ্নবিশিষ্ট সমান সমান অংশ ছেদ করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+y=85\)।
\(Q.3.(v)\)দুইটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যারা \(7x+13y-87=0\) ও \(5x-8y+7=0\) রেখাদুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং অক্ষ দুইটি হতে সমান সংখ্যা মানের অংশ ছেদ করে।
উত্তরঃ \(x+y-9=0; \ x-y-1=0\)।
\(Q.3.(vi)\) সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যারা \(4x-3y=1\) ও \(2x-5y+3=0\) রেখাদুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং অক্ষদ্বয়ের সাথে সমান সমান কোণ উৎপন্ন করে।
উত্তরঃ \(x+y=2; \ x-y=0\)।
\(Q.3.(vii)\)\(P\) বিন্দুটি \(x-3y=2\)রেখার উপর অবস্থিত এবং তা \((2, 3)\), \((6, -5)\) বিন্দু হতে সমদূরবর্তী। \(P\) এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \((14, 4)\)।
\(Q.3.(viii)\) \(x+2y+2=0\)রেখার উপর এরূপ একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর যা \((2, -1)\), \((3, 4)\) বিন্দু হতে সমদূরবর্তী।
উত্তরঃ \((-10, 4)\)।
\(Q.3.(ix)\) \(P(x, y)\)বিন্দুটি একটি সরলরেখার উপর অবস্থিত যা \(Q(2, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(A(-1, 2)\) \(B(-5, 4)\) রেখার উপর লম্ব। দেখাও যে, \(2x-y-1=0\)।
\(Q.3.(x)\) \(P(h, k)\) বিন্দু থেকে \(X\) ও \(Y\) অক্ষের উপর অঙ্কিত লম্ব যথাক্রমে \(PA\) ও \(PB\) হলে, \(P\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(AB\) এর উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(hx-ky=h^{2}-k^{2}\)।
\(Q.3.(xi)\) একটি ত্রিভুজের দুইটি শীর্ষবিন্দু যথাক্রমে \(A(6, 1)\) ও \(B(1, 6)\) এবং এর লম্ববিন্দু \(P(3, 2)\); অবশিষ্ট শীর্ষের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \((-2, -3)\)।
\(Q.3.(xii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের \(AD\), \(BE\) ও \(CF\)উচ্চতা তিনটির সমীকরণ যথাক্রমে \(4x+3y=6\), \(x-2y=7\) ও \(2x-y=8\) এবং \(A\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((0, 2)\) হলে, \(AB\) এবং \(AC\) বাহুর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+2y-4=0, \ 2x+y-2=0\)।
\(Q.3.(xiii)\) \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) সরলরেখাটি \(2x-y=1\) এবং \(3x-4y+6=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(4x+3y-6=0\) রেখার সমান্তরাল হয়, তবে \(a\) এবং \(b\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a=\frac{17}{4}, \ b=\frac{17}{3}\)।
\(Q.3.(xiv)\) দেখাও যে, \(3x+5y-6=0\) ও \(2x-3y+2=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু এবং \((4, 9)\) বিন্দুর সংযোগ রেখাটি মূলবিন্দুগামী।
\(Q.3.(xv)\) \(ABCD\) সামান্তরিকের \(AB\) ও \(BC\) বাহুদ্বয়ের সমীকরণ যথাক্রমে \(2x+y-8=0\) ও \(x-y+2=0\) এবং \(D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((2, -4)\); অপর বাহুদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-y-6=0, \ 2x+y=0\)।
\(Q.3.(xvi)\) একটি সামান্তরিকের দুইটি বাহুর সমীকরণ \(3x-4y+1=0\) ও \(2x-y-1=0\) এবং কর্ণদুইটির ছেদবিন্দু \((4, 5)\) । এর অপর বাহু দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x-4y+15=0, \ 2x-y-5=0\)।
\(Q.3.(xvii)\) প্রমণ কর যে, \(2x+y+5=0\) এবং \(x-2y-3=0\) রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব। রেখাদ্বয়কে কোনো আয়তক্ষেত্রের দুইটি সন্নিহিত বাহু ধরলে এবং অপর বাহুদ্বয় \((3, 4)\) বিন্দুতে পরস্পর ছেদ করলে অপর বাহুদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-2y+5=0, \ 2x+y-10=0\)।
\(Q.3.(xviii)\) \(k\) এর যে কোনো বাস্থব মানের জন্য \((2k-3)x+(3k-2)y-(4k-1)=0\) রেখাটি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যায়। বিন্দুটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-1, 2)\)।
\(Q.3.(xix)\) দেখাও যে, \(k\) এর সকল বাস্থব মানের জন্য একগুচ্ছ সরলরেখা \((3+2k)x+5ky-3=0\) একটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী। বিন্দুটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((1, -\frac{2}{5})\)।
\(Q.3.(xx)\) \(4x+7y-12=0\) রেখাটি একটি বর্গের কর্ণ নির্দেশ করে এবং বর্গের একটি শীর্ষ \((3, 2)\) বিন্দুতে অবস্থিত। এ বিন্দুটি দিয়ে অতিক্রমকারী বর্গের বাহু দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x-11y+13=0, \ 11x+3y-39=0\)।
\(Q.3.(xxi)\) \(A(3,-1)\),\(B(-2, 3)\) বিন্দু দুইটি একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু এবং তার লম্ববিন্দুটি মূলবিন্দুতে অবস্থিত। তৃতীয় শীর্ষের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-\frac{36}{7}, -\frac{45}{7})\)।
\(Q.3.(xxii)\) একটি সামান্তরিকের দুইটি বাহুর সমীকরণ \(x-y+1=0\) ও \(2x+3y-6=0\) এবং এর কর্ণদ্বয় পরস্পরকে \((1, \frac{1}{2})\) বিন্দুতে ছেদ করে। সামান্তরিকের অপর দুই বাহুর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x+3y-1=0; \ x-y-2=0\)।
\(Q.3.(xxiii)\) \((2, 1)\), \((6, 3)\) বিন্দু দুইটি এবং \((6, 3)\), \((8, 1)\) বিন্দু দুইটির সংযোগ সরলরেখার লম্বদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, এ লম্ব দ্বিখন্ডক দুইটির ছেদবিন্দু \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
উত্তরঃ \(2x+y-10=0, \ x-y-5=0; \ (5, 0)\)।
\(Q.3.(xxiv)\) দেখাও যে, \(4x-6y-24=0\), \(3x+7y+5=0\) এবং \(4x-3y-18=0\)রেখাত্রয় সমবিন্দু। এদের ছেদবিন্দু নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((3, -2)\)।
\(Q.3.(xxv)\) \((x, y)\) এমনেই একটি সরলরেখার উপর অবস্থিত যা \((2, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \((-1, 2)\) ও \((-5, 4)\) বিন্দু দুইটির সংযোগ রেখার উপর লম্ব হয়। দেখাও যে, \(2x-y-1=0\)।
\(Q.3.(xxvi)\) \(\lambda\) এর যে কোনো বাস্থব মানের জন্য \(y(1+\lambda)-x(3+2\lambda)-11-9\lambda=0\) রেখাটি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যায়। বিন্দুটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-2, 5)\)।
\(Q.3.(xv)\) \(ABCD\) সামান্তরিকের \(AB\) ও \(BC\) বাহুদ্বয়ের সমীকরণ যথাক্রমে \(2x+y-8=0\) ও \(x-y+2=0\) এবং \(D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((2, -4)\); অপর বাহুদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-y-6=0, \ 2x+y=0\)।
\(Q.3.(xvi)\) একটি সামান্তরিকের দুইটি বাহুর সমীকরণ \(3x-4y+1=0\) ও \(2x-y-1=0\) এবং কর্ণদুইটির ছেদবিন্দু \((4, 5)\) । এর অপর বাহু দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x-4y+15=0, \ 2x-y-5=0\)।
\(Q.3.(xvii)\) প্রমণ কর যে, \(2x+y+5=0\) এবং \(x-2y-3=0\) রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব। রেখাদ্বয়কে কোনো আয়তক্ষেত্রের দুইটি সন্নিহিত বাহু ধরলে এবং অপর বাহুদ্বয় \((3, 4)\) বিন্দুতে পরস্পর ছেদ করলে অপর বাহুদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-2y+5=0, \ 2x+y-10=0\)।
\(Q.3.(xviii)\) \(k\) এর যে কোনো বাস্থব মানের জন্য \((2k-3)x+(3k-2)y-(4k-1)=0\) রেখাটি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যায়। বিন্দুটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-1, 2)\)।
\(Q.3.(xix)\) দেখাও যে, \(k\) এর সকল বাস্থব মানের জন্য একগুচ্ছ সরলরেখা \((3+2k)x+5ky-3=0\) একটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী। বিন্দুটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((1, -\frac{2}{5})\)।
\(Q.3.(xx)\) \(4x+7y-12=0\) রেখাটি একটি বর্গের কর্ণ নির্দেশ করে এবং বর্গের একটি শীর্ষ \((3, 2)\) বিন্দুতে অবস্থিত। এ বিন্দুটি দিয়ে অতিক্রমকারী বর্গের বাহু দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x-11y+13=0, \ 11x+3y-39=0\)।
\(Q.3.(xxi)\) \(A(3,-1)\),\(B(-2, 3)\) বিন্দু দুইটি একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু এবং তার লম্ববিন্দুটি মূলবিন্দুতে অবস্থিত। তৃতীয় শীর্ষের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-\frac{36}{7}, -\frac{45}{7})\)।
\(Q.3.(xxii)\) একটি সামান্তরিকের দুইটি বাহুর সমীকরণ \(x-y+1=0\) ও \(2x+3y-6=0\) এবং এর কর্ণদ্বয় পরস্পরকে \((1, \frac{1}{2})\) বিন্দুতে ছেদ করে। সামান্তরিকের অপর দুই বাহুর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x+3y-1=0; \ x-y-2=0\)।
\(Q.3.(xxiii)\) \((2, 1)\), \((6, 3)\) বিন্দু দুইটি এবং \((6, 3)\), \((8, 1)\) বিন্দু দুইটির সংযোগ সরলরেখার লম্বদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, এ লম্ব দ্বিখন্ডক দুইটির ছেদবিন্দু \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
উত্তরঃ \(2x+y-10=0, \ x-y-5=0; \ (5, 0)\)।
\(Q.3.(xxiv)\) দেখাও যে, \(4x-6y-24=0\), \(3x+7y+5=0\) এবং \(4x-3y-18=0\)রেখাত্রয় সমবিন্দু। এদের ছেদবিন্দু নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((3, -2)\)।
\(Q.3.(xxv)\) \((x, y)\) এমনেই একটি সরলরেখার উপর অবস্থিত যা \((2, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \((-1, 2)\) ও \((-5, 4)\) বিন্দু দুইটির সংযোগ রেখার উপর লম্ব হয়। দেখাও যে, \(2x-y-1=0\)।
\(Q.3.(xxvi)\) \(\lambda\) এর যে কোনো বাস্থব মানের জন্য \(y(1+\lambda)-x(3+2\lambda)-11-9\lambda=0\) রেখাটি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যায়। বিন্দুটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-2, 5)\)।
\(Q.3.(i)\) একটি সরলরেখা \(2x+5y-9=0\) ও \(3x-4y-7=0\) রেখাদ্বয়ের সাথে সমবিন্দু এবং \(x=y\) রেখার সমান্তরাল হলে, রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(23x-23y=58\)।
উত্তরঃ \(23x-23y=58\)।
সমাধানঃ
মনেকরি,
\(2x+5y-9=0 ...............(1)\)
\(3x-4y-7=0 ..............(2)\)
এবং \(x=y\Rightarrow x-y=0 .......(3)\)
\((3)\) নং রেখার সমান্তরাল যে কোনো রেখার সমীকরণ,
\(x-y+k=0 .......(4)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
শর্তমতে,
\((1)\), \((2)\) ও \((4)\) সমবিন্দু,
\(\therefore \left|\begin{array}{c}2 \ \ \ \ 5 \ \ -9\\3 \ \ -4 \ \ -7\\1 \ \ -1 \ \ \ \ k\end{array}\right|=0\) ➜\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 .....(1)\) \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 .....(2)\) \(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0 .....(3)\) \((1)\) , \((2)\) , \((3)\) নং সরলরেখাত্রয় সমবিন্দু হবে যদি , \(\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|=0\) হয় ।
\(\Rightarrow 2\{(-4).k-(-7).(-1)\}-5\{3.k-(-7).1\}\)
\(-9\{3.(-1)-(-4).1\}=0\)
\(\Rightarrow 2\{-4k-7\}-5\{3k+7\}-9\{-3+4\}=0\)
\(\Rightarrow -23k-58=0\)
\(\Rightarrow -23k=58\)
\(\Rightarrow k=\frac{58}{-23}\)
\(\Rightarrow k=-\frac{58}{23}\)
\(k\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে,
\(x-y-\frac{58}{23}=0\)
\(\Rightarrow x-y=\frac{58}{23}\)
\(\Rightarrow 23x-23y=58\) ➜ উভয় পার্শে \(23\) গুণ করে।
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(2x+5y-9=0 ...............(1)\)
\(3x-4y-7=0 ..............(2)\)
এবং \(x=y\Rightarrow x-y=0 .......(3)\)
\((3)\) নং রেখার সমান্তরাল যে কোনো রেখার সমীকরণ,
\(x-y+k=0 .......(4)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
শর্তমতে,
\((1)\), \((2)\) ও \((4)\) সমবিন্দু,
\(\therefore \left|\begin{array}{c}2 \ \ \ \ 5 \ \ -9\\3 \ \ -4 \ \ -7\\1 \ \ -1 \ \ \ \ k\end{array}\right|=0\) ➜\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 .....(1)\) \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 .....(2)\) \(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0 .....(3)\) \((1)\) , \((2)\) , \((3)\) নং সরলরেখাত্রয় সমবিন্দু হবে যদি , \(\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|=0\) হয় ।
\(\Rightarrow 2\{(-4).k-(-7).(-1)\}-5\{3.k-(-7).1\}\)
\(-9\{3.(-1)-(-4).1\}=0\)
\(\Rightarrow 2\{-4k-7\}-5\{3k+7\}-9\{-3+4\}=0\)
\(\Rightarrow -23k-58=0\)
\(\Rightarrow -23k=58\)
\(\Rightarrow k=\frac{58}{-23}\)
\(\Rightarrow k=-\frac{58}{23}\)
\(k\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে,
\(x-y-\frac{58}{23}=0\)
\(\Rightarrow x-y=\frac{58}{23}\)
\(\Rightarrow 23x-23y=58\) ➜ উভয় পার্শে \(23\) গুণ করে।
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(Q.3.(ii)\)দুইটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যাদের অক্ষদ্বয়ের ছেদক অংশের সংখ্যা মান সমান এবং যারা \(2x+3y=1\) ও \(x-2y+3=0\) রেখাদুইটি সাথে সমবিন্দু ।
উত্তরঃ \(x-y+2=0; \ x+y=0\)।
উত্তরঃ \(x-y+2=0; \ x+y=0\)।
সমাধানঃ
মনেকরি,
\(2x+3y-1=0 ...............(1)\)
\(x-2y+3=0 ..............(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x+3y-1+k(x-2y+3)=0 .........(3)\) ➜ \(k\) শুন্য ব্যতীত যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\(\Rightarrow 2x+3y-1+kx-2ky+3k=0\)
\(\Rightarrow (2+k)x+(3-2k)y-1+3k=0\)
\(\Rightarrow (2+k)x+(3-2k)y=1+3k\)
\(\Rightarrow \frac{(2+k)x}{1+3k}+\frac{(3-2k)y}{1+3k}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(1+2k\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x}{\frac{1+3k}{2+k}}+\frac{y}{\frac{1+3k}{3-2k}}=1 .........(4)\)
\((4)\) নং সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের ছেদিতাংশ যথাক্রমে \(\frac{1+3k}{2+k}, \ \frac{1+3k}{3-2k}\)
শর্তমতে,
\(\frac{1+3k}{2+k}=\pm \frac{1+3k}{3-2k}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2+k}=\pm \frac{1}{3-2k}\) ➜ উভয় পার্শে \(1+3k\) ভাগ করে। \(\because 1+3k\ne 0\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2+k}=\frac{1}{3-2k}\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 2+k=3-2k\)
\(\Rightarrow k+2k=3-2\)
\(\Rightarrow 3k=1\)
\(\therefore k=\frac{1}{3}\)
আবার,
\(\Rightarrow \frac{1}{2+k}=-\frac{1}{3-2k}\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow -2-k=3-2k\)
\(\Rightarrow -k+2k=3+2\)
\(\therefore k=5\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(2x+3y-1+\frac{1}{3}(x-2y+3)=0\); যখন, \(k=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow 3(2x+3y-1)+1(x-2y+3)=0\) ➜ উভয় পার্শে \(3\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 6x+9y-3+x-2y+3=0\)
\(\Rightarrow 7x+7y=0\) \(\therefore x+y=0\) ➜ উভয় পার্শে \(7\) ভাগ করে।
\(2x+3y-1+5(x-2y+3)=0\) যখন, \(k=5\)
\(\Rightarrow 2x+3y-1+5x-10y+15=0\)
\(\Rightarrow 7x-7y+14=0\)
\(\therefore x-y+2=0\) ➜ উভয় পার্শে \(7\) ভাগ করে।
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, \(x-y+2=0, \ x+y=0\)।
\(2x+3y-1=0 ...............(1)\)
\(x-2y+3=0 ..............(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x+3y-1+k(x-2y+3)=0 .........(3)\) ➜ \(k\) শুন্য ব্যতীত যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\(\Rightarrow 2x+3y-1+kx-2ky+3k=0\)
\(\Rightarrow (2+k)x+(3-2k)y-1+3k=0\)
\(\Rightarrow (2+k)x+(3-2k)y=1+3k\)
\(\Rightarrow \frac{(2+k)x}{1+3k}+\frac{(3-2k)y}{1+3k}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(1+2k\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x}{\frac{1+3k}{2+k}}+\frac{y}{\frac{1+3k}{3-2k}}=1 .........(4)\)
\((4)\) নং সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের ছেদিতাংশ যথাক্রমে \(\frac{1+3k}{2+k}, \ \frac{1+3k}{3-2k}\)
শর্তমতে,
\(\frac{1+3k}{2+k}=\pm \frac{1+3k}{3-2k}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2+k}=\pm \frac{1}{3-2k}\) ➜ উভয় পার্শে \(1+3k\) ভাগ করে। \(\because 1+3k\ne 0\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2+k}=\frac{1}{3-2k}\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 2+k=3-2k\)
\(\Rightarrow k+2k=3-2\)
\(\Rightarrow 3k=1\)
\(\therefore k=\frac{1}{3}\)
আবার,
\(\Rightarrow \frac{1}{2+k}=-\frac{1}{3-2k}\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow -2-k=3-2k\)
\(\Rightarrow -k+2k=3+2\)
\(\therefore k=5\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(2x+3y-1+\frac{1}{3}(x-2y+3)=0\); যখন, \(k=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow 3(2x+3y-1)+1(x-2y+3)=0\) ➜ উভয় পার্শে \(3\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 6x+9y-3+x-2y+3=0\)
\(\Rightarrow 7x+7y=0\) \(\therefore x+y=0\) ➜ উভয় পার্শে \(7\) ভাগ করে।
\(2x+3y-1+5(x-2y+3)=0\) যখন, \(k=5\)
\(\Rightarrow 2x+3y-1+5x-10y+15=0\)
\(\Rightarrow 7x-7y+14=0\)
\(\therefore x-y+2=0\) ➜ উভয় পার্শে \(7\) ভাগ করে।
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, \(x-y+2=0, \ x+y=0\)।
বিকল্প পদ্ধতিঃ
মনেকরি,
\(2x+3y-1=0 ...............(1)\)
\(x-2y+3=0 ..............(2)\)
এবং অক্ষদ্বয়ের ছেদক অংশের সংখ্যা মান সমান এরূপ সরলরেখার সমীকরণ, \(\frac{x}{a}+\frac{y}{\pm a}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{a}\mp \frac{y}{a}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x\mp y}{a}=1\)
\(\Rightarrow x\mp y=a\)
\(\therefore x\mp y-a=0 .........(3)\)
শর্তমতে,
\((1)\), \((2)\) ও \((3)\) সমবিন্দু,
\(\therefore \left|\begin{array}{c}2 \ \ \ \ \ \ \ 3 \ \ -1\\1 \ \ -2 \ \ \ \ \ \ \ 3\\1 \ \ \mp 1 \ \ -a\end{array}\right|=0\) ➜\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ....(1)\) \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ....(2)\) \(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0 ....(3)\) \((1)\) , \((2)\) , \((3)\) নং সরলরেখাত্রয় সমবিন্দু হবে যদি , \(\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|=0\) হয় ।
\(\Rightarrow 2\{(-2).(-a)-3.(\mp 1)\}-3\{1.(-a)-3.1\}-1\{1.(\mp 1)-(-2).1\}=0\)
\(\Rightarrow 2\{2a\pm 3\}-3\{-a-3\}-1\{\mp 1+2\}=0\)
\(\Rightarrow 4a\pm 6+3a+9\pm 1-2=0\)
\(\Rightarrow 4a+6+3a+9+1-2=0\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 7a+14=0\)
\(\Rightarrow 7a=-14\)
\(\Rightarrow a=-\frac{14}{7}\)
\(\therefore a=-2\)
আবার,
\(\Rightarrow 4a-6+3a+9-1-2=0\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 7a=0\)
\(\Rightarrow a=\frac{0}{7}\)
\(\therefore a=0\)
\(a\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(x-y-(-2)=0\) যখন, \(a=-2\)
\(\Rightarrow x-y+2=0\)
\(x+y-0=0\) যখন, \(a=0\)
\(\Rightarrow x+y=0\)
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, \(x-y+2=0, \ x+y=0\)।
\(2x+3y-1=0 ...............(1)\)
\(x-2y+3=0 ..............(2)\)
এবং অক্ষদ্বয়ের ছেদক অংশের সংখ্যা মান সমান এরূপ সরলরেখার সমীকরণ, \(\frac{x}{a}+\frac{y}{\pm a}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{a}\mp \frac{y}{a}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x\mp y}{a}=1\)
\(\Rightarrow x\mp y=a\)
\(\therefore x\mp y-a=0 .........(3)\)
শর্তমতে,
\((1)\), \((2)\) ও \((3)\) সমবিন্দু,
\(\therefore \left|\begin{array}{c}2 \ \ \ \ \ \ \ 3 \ \ -1\\1 \ \ -2 \ \ \ \ \ \ \ 3\\1 \ \ \mp 1 \ \ -a\end{array}\right|=0\) ➜\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ....(1)\) \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ....(2)\) \(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0 ....(3)\) \((1)\) , \((2)\) , \((3)\) নং সরলরেখাত্রয় সমবিন্দু হবে যদি , \(\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|=0\) হয় ।
\(\Rightarrow 2\{(-2).(-a)-3.(\mp 1)\}-3\{1.(-a)-3.1\}-1\{1.(\mp 1)-(-2).1\}=0\)
\(\Rightarrow 2\{2a\pm 3\}-3\{-a-3\}-1\{\mp 1+2\}=0\)
\(\Rightarrow 4a\pm 6+3a+9\pm 1-2=0\)
\(\Rightarrow 4a+6+3a+9+1-2=0\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 7a+14=0\)
\(\Rightarrow 7a=-14\)
\(\Rightarrow a=-\frac{14}{7}\)
\(\therefore a=-2\)
আবার,
\(\Rightarrow 4a-6+3a+9-1-2=0\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 7a=0\)
\(\Rightarrow a=\frac{0}{7}\)
\(\therefore a=0\)
\(a\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(x-y-(-2)=0\) যখন, \(a=-2\)
\(\Rightarrow x-y+2=0\)
\(x+y-0=0\) যখন, \(a=0\)
\(\Rightarrow x+y=0\)
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, \(x-y+2=0, \ x+y=0\)।
\(Q.3.(vi)\) সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যারা \(4x-3y=1\) ও \(2x-5y+3=0\) রেখাদুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং অক্ষদ্বয়ের সাথে সমান সমান কোণ উৎপন্ন করে।
উত্তরঃ \(x+y=2; \ x-y=0\)।
উত্তরঃ \(x+y=2; \ x-y=0\)।
সমাধানঃ
মনেকরি,
\(4x-3y=1\Rightarrow 4x-3y-1=0...............(1)\)
\(2x-5y+3=0 ..............(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(4x-3y-1+k(2x-5y+3)=0 .........(3)\) ➜ \(k\) শুন্য ব্যতীত যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\(\Rightarrow 4x-3y-1+2kx-5ky+3k=0\)
\(\Rightarrow (4+2k)x-(3+5k)y-(1-3k)=0 ......(4)\)
\((4)\) এর ঢাল \(=-\frac{4+2k}{-(3+5k)}\)
\(=\frac{4+2k}{3+5k}\)
শর্তমতে,
\(\frac{4+2k}{3+5k}=\tan(\pm 45^{o})\)
\(\Rightarrow \frac{4+2k}{3+5k}=\pm \tan45^{o}\)
\(\Rightarrow \frac{4+2k}{3+5k}=\pm 1\)
\(\Rightarrow \frac{4+2k}{3+5k}=1\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 3+5k=4+2k\)
\(\Rightarrow 5k-2k=4-3\)
\(\Rightarrow 3k=1\)
\(\therefore k=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{4+2k}{3+5k}=-1\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 3+5k=-4-2k\)
\(\Rightarrow 5k+2k=-4-3\)
\(\Rightarrow 7k=-7\)
\(\Rightarrow k=\frac{-7}{7}\)
\(\therefore k=-1\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(4x-3y-1+\frac{1}{3}(2x-5y+3)=0\); যখন, \(k=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow 3(4x-3y-1)+1(2x-5y+3)=0\) ➜ উভয় পার্শে \(3\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 12x-9y-3+2x-5y+3=0\)
\(\Rightarrow 14x-14y=0\)
\(\therefore x-y=0\) ➜ উভয় পার্শে \(7\) ভাগ করে।
\(4x-3y-1-1(2x-5y+3)=0\); যখন, \(k=-1\)
\(\Rightarrow 4x-3y-1-2x+5y-3=0\)
\(\Rightarrow 2x+2y-4=0\)
\(\therefore x+y-2=0\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, \(x-y=0, \ x+y-2=0\)।
\(4x-3y=1\Rightarrow 4x-3y-1=0...............(1)\)
\(2x-5y+3=0 ..............(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(4x-3y-1+k(2x-5y+3)=0 .........(3)\) ➜ \(k\) শুন্য ব্যতীত যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\(\Rightarrow 4x-3y-1+2kx-5ky+3k=0\)
\(\Rightarrow (4+2k)x-(3+5k)y-(1-3k)=0 ......(4)\)
\((4)\) এর ঢাল \(=-\frac{4+2k}{-(3+5k)}\)
\(=\frac{4+2k}{3+5k}\)
শর্তমতে,
\(\frac{4+2k}{3+5k}=\tan(\pm 45^{o})\)
\(\Rightarrow \frac{4+2k}{3+5k}=\pm \tan45^{o}\)
\(\Rightarrow \frac{4+2k}{3+5k}=\pm 1\)
\(\Rightarrow \frac{4+2k}{3+5k}=1\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 3+5k=4+2k\)
\(\Rightarrow 5k-2k=4-3\)
\(\Rightarrow 3k=1\)
\(\therefore k=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{4+2k}{3+5k}=-1\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 3+5k=-4-2k\)
\(\Rightarrow 5k+2k=-4-3\)
\(\Rightarrow 7k=-7\)
\(\Rightarrow k=\frac{-7}{7}\)
\(\therefore k=-1\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(4x-3y-1+\frac{1}{3}(2x-5y+3)=0\); যখন, \(k=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow 3(4x-3y-1)+1(2x-5y+3)=0\) ➜ উভয় পার্শে \(3\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 12x-9y-3+2x-5y+3=0\)
\(\Rightarrow 14x-14y=0\)
\(\therefore x-y=0\) ➜ উভয় পার্শে \(7\) ভাগ করে।
\(4x-3y-1-1(2x-5y+3)=0\); যখন, \(k=-1\)
\(\Rightarrow 4x-3y-1-2x+5y-3=0\)
\(\Rightarrow 2x+2y-4=0\)
\(\therefore x+y-2=0\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, \(x-y=0, \ x+y-2=0\)।
\(Q.3.(vii)\) \(P\) বিন্দুটি \(x-3y=2\)রেখার উপর অবস্থিত এবং তা \((2, 3)\), \((6, -5)\) বিন্দু হতে সমদূরবর্তী। \(P\) এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \((14, 4)\)।
উত্তরঃ \((14, 4)\)।
সমাধানঃ
মনেকরি,
\(x-3y=2\Rightarrow x-3y-2=0...............(1)\)
এবং \(P(x, y)\), \(A(2, 3)\), \(B(6, -5)\)
শর্তমতে,
\(PA=PB\)
\(\Rightarrow PA^{2}=PB^{2}\)
\(\Rightarrow (x-2)^{2}+(y-3)^{2}=(x-6)^{2}+(y+5)^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-4x+4+y^{2}-6y+9=x^{2}-12x+36+y^{2}+10y+25\)
\(\Rightarrow x^{2}-4x+4+y^{2}-6y+9-x^{2}+12x-36-y^{2}-10y-25=0\)
\(\Rightarrow 8x-16y-48=0\)
\(\Rightarrow x-2y-6=0 .......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) সমাধান করি, ➜ \(\because P, (1)\)-এর উপর অবস্থিত।
\((2)-(1)\) এর সাহায্যে,
\(x-2y-6-x+3y+2=0\)
\(\Rightarrow y-4=0\)
\(\therefore y=4\)
\((1)\) হতে,
\(x-3.4-2=0\)
\(\Rightarrow x-12-2=0\)
\(\Rightarrow x-14=0\)
\(\therefore x=14\)
\(\therefore P(14, 4)\).
\(x-3y=2\Rightarrow x-3y-2=0...............(1)\)
এবং \(P(x, y)\), \(A(2, 3)\), \(B(6, -5)\)
শর্তমতে,
\(PA=PB\)
\(\Rightarrow PA^{2}=PB^{2}\)
\(\Rightarrow (x-2)^{2}+(y-3)^{2}=(x-6)^{2}+(y+5)^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-4x+4+y^{2}-6y+9=x^{2}-12x+36+y^{2}+10y+25\)
\(\Rightarrow x^{2}-4x+4+y^{2}-6y+9-x^{2}+12x-36-y^{2}-10y-25=0\)
\(\Rightarrow 8x-16y-48=0\)
\(\Rightarrow x-2y-6=0 .......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) সমাধান করি, ➜ \(\because P, (1)\)-এর উপর অবস্থিত।
\((2)-(1)\) এর সাহায্যে,
\(x-2y-6-x+3y+2=0\)
\(\Rightarrow y-4=0\)
\(\therefore y=4\)
\((1)\) হতে,
\(x-3.4-2=0\)
\(\Rightarrow x-12-2=0\)
\(\Rightarrow x-14=0\)
\(\therefore x=14\)
\(\therefore P(14, 4)\).
\(Q.3.(ix)\) \(P(x, y)\)বিন্দুটি একটি সরলরেখার উপর অবস্থিত যা \(Q(2, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(A(-1, 2)\) \(B(-5, 4)\) রেখার উপর লম্ব। দেখাও যে, \(2x-y-1=0\)।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(A(-1, 2)\) \(B(-5, 4)\)
\(AB\) এর ঢাল \(=\frac{2-4}{-1+5}\)
\(=\frac{-2}{4}\)
\(=-\frac{1}{2}\)
\(AB\) এর উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার ঢাল \(=2\)
এখন,
\(PQ\) এর সমীকরণ, \(y-3=2(x-2)\) ➜ \(\because y-y_{1}=m(x-x_{1})\)
\(\Rightarrow 2(x-2)=y-3\)
\(\Rightarrow 2x-4=y-3\)
\(\Rightarrow 2x-4-y+3=0\)
\(\therefore 2x-y-1=0\)
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, \(2x-y-1=0\)।
\(A(-1, 2)\) \(B(-5, 4)\)
\(AB\) এর ঢাল \(=\frac{2-4}{-1+5}\)
\(=\frac{-2}{4}\)
\(=-\frac{1}{2}\)
\(AB\) এর উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার ঢাল \(=2\)
এখন,
\(PQ\) এর সমীকরণ, \(y-3=2(x-2)\) ➜ \(\because y-y_{1}=m(x-x_{1})\)
\(\Rightarrow 2(x-2)=y-3\)
\(\Rightarrow 2x-4=y-3\)
\(\Rightarrow 2x-4-y+3=0\)
\(\therefore 2x-y-1=0\)
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, \(2x-y-1=0\)।
\(Q.3.(x)\) \(P(h, k)\) বিন্দু থেকে \(X\) ও \(Y\) অক্ষের উপর অঙ্কিত লম্ব যথাক্রমে \(PA\) ও \(PB\) হলে, \(P\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(AB\) এর উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(hx-ky=h^{2}-k^{2}\)।
উত্তরঃ \(hx-ky=h^{2}-k^{2}\)।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(P(h, k)\)
শর্তমতে,
\(A(h, 0)\)\(B(0, k)\)
\(AB\) এর ঢাল \(=\frac{0-k}{h-0}\)
\(=\frac{-k}{h}\)
\(=-\frac{k}{h}\)
\(AB\) এর উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার ঢাল \(=\frac{h}{k}\)
এখন,
\(P\)বিন্দুগামী এবং \(AB\) এর উপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ, \(y-k=\frac{h}{k}(x-h)\) ➜ \(\because y-y_{1}=m(x-x_{1})\)
\(\Rightarrow \frac{h}{k}(x-h)=y-k\)
\(\Rightarrow h(x-h)=k(y-k)\)
\(\Rightarrow hx-h^{2}=ky-k^{2}\)
\(\therefore hx-ky=h^{2}-k^{2}\)
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, \(hx-ky=h^{2}-k^{2}\)।
\(P(h, k)\)
শর্তমতে,
\(A(h, 0)\)\(B(0, k)\)
\(AB\) এর ঢাল \(=\frac{0-k}{h-0}\)
\(=\frac{-k}{h}\)
\(=-\frac{k}{h}\)
\(AB\) এর উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার ঢাল \(=\frac{h}{k}\)
এখন,
\(P\)বিন্দুগামী এবং \(AB\) এর উপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ, \(y-k=\frac{h}{k}(x-h)\) ➜ \(\because y-y_{1}=m(x-x_{1})\)
\(\Rightarrow \frac{h}{k}(x-h)=y-k\)
\(\Rightarrow h(x-h)=k(y-k)\)
\(\Rightarrow hx-h^{2}=ky-k^{2}\)
\(\therefore hx-ky=h^{2}-k^{2}\)
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, \(hx-ky=h^{2}-k^{2}\)।
\(Q.3.(xi)\) একটি ত্রিভুজের দুইটি শীর্ষবিন্দু যথাক্রমে \(A(6, 1)\) ও \(B(1, 6)\) এবং এর লম্ববিন্দু \(P(3, 2)\); অবশিষ্ট শীর্ষের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \((-2, -3)\)।
[ ঢাঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \((-2, -3)\)।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের দুইটি শীর্ষবিন্দু \(A(6, 1)\) ও \(B(1, 6)\) এবং এর লম্ববিন্দু \(P(3, 2)\)
ধরি, তৃতীয় শীর্ষবিন্দু \(C(x, y)\)
এখন,
ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বগুলি যথাক্রমে \(AD, BE, CF\) যারা পরস্পর \(P(3, 2)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(BC\) এর ঢাল \(m_{1}=\frac{6-y}{1-x}\)
\(AP\) তথা, \(AD\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{1-2}{6-3}\)
\(=\frac{-1}{3}\)
\(=-\frac{1}{3}\)
এখন,
\(m_{1}\times m_{2}=-1\) ➜ \(\because BC\perp AD\)
\(\Rightarrow \frac{6-y}{1-x}\times -\frac{1}{3}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{6-y}{1-x}\times \frac{1}{3}=1\)
\(\Rightarrow \frac{6-y}{3(1-x)}=1\)
\(\Rightarrow 6-y=3(1-x)\)
\(\Rightarrow 6-y=3-3x\)
\(\Rightarrow 3x-y+6-3=0\)
\(\therefore 3x-y+3=0 ........(1)\)
আবার,
\(AC\) এর ঢাল \(m_{1}=\frac{1-y}{6-x}\)
\(BP\) তথা, \(BE\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{6-2}{1-3}\)
\(=\frac{4}{-2}\)
\(=-2\)
এখন,
\(m_{1}\times m_{2}=-1\) ➜ \(\because AC\perp BE\)
\(\Rightarrow \frac{1-y}{6-x}\times -2=-1\)
\(\Rightarrow \frac{1-y}{6-x}\times 2=1\)
\(\Rightarrow \frac{2(1-y)}{6-x}=1\)
\(\Rightarrow 2-2y=6-x\)
\(\Rightarrow x-2y+2-6=0\)
\(\Rightarrow x-2y-4=0 ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) সমাধান করি,
\(\frac{x}{(-1).(-4)-3.(-2)}=\frac{y}{3.1-3.(-4)}=\frac{1}{3.(-2)-(-1).1}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{4+6}=\frac{y}{3+12}=\frac{1}{-6+1}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{10}=\frac{y}{15}=\frac{1}{-5}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{10}=\frac{1}{-5}, \ \frac{y}{15}=\frac{1}{-5}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{-5}\times 10, \ y=\frac{1}{-5}\times 15\)
\(\therefore x=-2, \ y=-3\)
\(\therefore \) অবশিষ্ট শীর্ষের স্থানাঙ্ক \(C(-2, -3)\)।
ত্রিভুজের দুইটি শীর্ষবিন্দু \(A(6, 1)\) ও \(B(1, 6)\) এবং এর লম্ববিন্দু \(P(3, 2)\)
ধরি, তৃতীয় শীর্ষবিন্দু \(C(x, y)\)
এখন,
ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বগুলি যথাক্রমে \(AD, BE, CF\) যারা পরস্পর \(P(3, 2)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(BC\) এর ঢাল \(m_{1}=\frac{6-y}{1-x}\)
\(AP\) তথা, \(AD\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{1-2}{6-3}\)
\(=\frac{-1}{3}\)
\(=-\frac{1}{3}\)
এখন,
\(m_{1}\times m_{2}=-1\) ➜ \(\because BC\perp AD\)
\(\Rightarrow \frac{6-y}{1-x}\times -\frac{1}{3}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{6-y}{1-x}\times \frac{1}{3}=1\)
\(\Rightarrow \frac{6-y}{3(1-x)}=1\)
\(\Rightarrow 6-y=3(1-x)\)
\(\Rightarrow 6-y=3-3x\)
\(\Rightarrow 3x-y+6-3=0\)
\(\therefore 3x-y+3=0 ........(1)\)
আবার,
\(AC\) এর ঢাল \(m_{1}=\frac{1-y}{6-x}\)
\(BP\) তথা, \(BE\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{6-2}{1-3}\)
\(=\frac{4}{-2}\)
\(=-2\)
এখন,
\(m_{1}\times m_{2}=-1\) ➜ \(\because AC\perp BE\)
\(\Rightarrow \frac{1-y}{6-x}\times -2=-1\)
\(\Rightarrow \frac{1-y}{6-x}\times 2=1\)
\(\Rightarrow \frac{2(1-y)}{6-x}=1\)
\(\Rightarrow 2-2y=6-x\)
\(\Rightarrow x-2y+2-6=0\)
\(\Rightarrow x-2y-4=0 ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) সমাধান করি,
\(\frac{x}{(-1).(-4)-3.(-2)}=\frac{y}{3.1-3.(-4)}=\frac{1}{3.(-2)-(-1).1}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{4+6}=\frac{y}{3+12}=\frac{1}{-6+1}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{10}=\frac{y}{15}=\frac{1}{-5}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{10}=\frac{1}{-5}, \ \frac{y}{15}=\frac{1}{-5}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{-5}\times 10, \ y=\frac{1}{-5}\times 15\)
\(\therefore x=-2, \ y=-3\)
\(\therefore \) অবশিষ্ট শীর্ষের স্থানাঙ্ক \(C(-2, -3)\)।
\(Q.3.(xii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের \(AD\), \(BE\) ও \(CF\)উচ্চতা তিনটির সমীকরণ যথাক্রমে \(4x+3y=6\), \(x-2y=7\) ও \(2x-y=8\) এবং \(A\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((0, 2)\) হলে, \(AB\) এবং \(AC\) বাহুর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+2y-4=0, \ 2x+y-2=0\)।
উত্তরঃ \(x+2y-4=0, \ 2x+y-2=0\)।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(ABC\) ত্রিভুজের \(AD\), \(BE\) ও \(CF\)উচ্চতা তিনটির সমীকরণ যথাক্রমে \(4x+3y=6\), \(x-2y=7\) ও \(2x-y=8\) এবং \(A\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((0, 2)\)
ধরি,
\(4x+3y=6 ...........(1)\)
\(x-2y=7 ...........(2)\)
\(2x-y=8 ...........(3)\)
এবং \(A(0, 2)\)
\((3)\) নং সমীকরণ তথা \(CF\) এর উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার সমীকরণ, \(x+2y+k=0 .........(4)\)
\((4)\) নং সরলরেখা \(A(0, 2)\) বিন্দুগামী, ➜ \(\because AB\perp CF\)
\(0+2.2+k=0\)
\(\Rightarrow 4+k=0\)
\(\therefore k=-4\)
\(k\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে,
\(x+2y-4=0\) যা, \(AB\) এর সমীকরণ।
আবার,
\((2)\) নং সমীকরণ তথা \(BE\) এর উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার সমীকরণ, \(2x+y+k=0 .........(5)\)
\((5)\) নং সরলরেখা \(A(0, 2)\) বিন্দুগামী, ➜ \(\because AC\perp BE\)
\(2.0+2+k=0\)
\(\Rightarrow 2+k=0\)
\(\therefore k=-2\)
\(k\) এর মান \((5)\) এ বসিয়ে,
\(2x+y-2=0\) যা, \(AC\) এর সমীকরণ।
\(\therefore AB\) এবং \(AC\) বাহুর সমীকরণ যথাক্রমে \(x+2y-4=0, \ 2x+y-2=0\)।
\(ABC\) ত্রিভুজের \(AD\), \(BE\) ও \(CF\)উচ্চতা তিনটির সমীকরণ যথাক্রমে \(4x+3y=6\), \(x-2y=7\) ও \(2x-y=8\) এবং \(A\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((0, 2)\)
ধরি,
\(4x+3y=6 ...........(1)\)
\(x-2y=7 ...........(2)\)
\(2x-y=8 ...........(3)\)
এবং \(A(0, 2)\)
\((3)\) নং সমীকরণ তথা \(CF\) এর উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার সমীকরণ, \(x+2y+k=0 .........(4)\)
\((4)\) নং সরলরেখা \(A(0, 2)\) বিন্দুগামী, ➜ \(\because AB\perp CF\)
\(0+2.2+k=0\)
\(\Rightarrow 4+k=0\)
\(\therefore k=-4\)
\(k\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে,
\(x+2y-4=0\) যা, \(AB\) এর সমীকরণ।
আবার,
\((2)\) নং সমীকরণ তথা \(BE\) এর উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার সমীকরণ, \(2x+y+k=0 .........(5)\)
\((5)\) নং সরলরেখা \(A(0, 2)\) বিন্দুগামী, ➜ \(\because AC\perp BE\)
\(2.0+2+k=0\)
\(\Rightarrow 2+k=0\)
\(\therefore k=-2\)
\(k\) এর মান \((5)\) এ বসিয়ে,
\(2x+y-2=0\) যা, \(AC\) এর সমীকরণ।
\(\therefore AB\) এবং \(AC\) বাহুর সমীকরণ যথাক্রমে \(x+2y-4=0, \ 2x+y-2=0\)।
\(Q.3.(xiii)\) \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) সরলরেখাটি \(2x-y=1\) এবং \(3x-4y+6=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(4x+3y-6=0\) রেখার সমান্তরাল হয়, তবে \(a\) এবং \(b\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a=\frac{17}{4}, \ b=\frac{17}{3}\)।
উত্তরঃ \(a=\frac{17}{4}, \ b=\frac{17}{3}\)।
সমাধানঃ
মনে করি,
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 ......(1)\)
\(2x-y=1\Rightarrow 2x-y-1=0 .......(2)\)
\(3x-4y+6=0.......(3)\)
\(4x+3y-6=0.......(4)\)
শর্তমতে,
\((1)\) ও \((4)\) সমান্তরাল,
\(\frac{4}{\frac{1}{a}}=\frac{3}{\frac{1}{b}}\)
\(\Rightarrow 4a=3b\)
\(\Rightarrow a=\frac{3b}{4} ......(5)\)
আবার,
\((2)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\(\frac{x}{(-1).6-(-1).(-4)}=\frac{y}{(-1).3-2.6}=\frac{1}{2.(-4)-(-1).3}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-6-4}=\frac{y}{-3-12}=\frac{1}{-8+3}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-10}=\frac{y}{-15}=\frac{1}{-5}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-10}=\frac{1}{-5}, \ \frac{y}{-15}=\frac{1}{-5}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{-5}\times -10, \ y=\frac{1}{-5}\times -15\)
\(\Rightarrow x=2, \ y=3\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \((2, 3)\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\frac{2}{a}+\frac{3}{b}=1\)
\(\Rightarrow \frac{2}{\frac{3b}{4}}+\frac{3}{b}=1\) ➜ \((5)\) এর সাহায্য।
\(\Rightarrow \frac{8}{3b}+\frac{3}{b}=1\)
\(\Rightarrow \frac{8+9}{3b}=1\)
\(\Rightarrow \frac{17}{3b}=1\)
\(\Rightarrow 3b=17\)
\(\therefore b=\frac{17}{3}\)
\((5)\) হতে
\(a=\frac{3\times \frac{17}{3}}{4}\)
\(\therefore a=\frac{17}{4}\)
\(\therefore a=\frac{17}{4}, \ b=\frac{17}{3}\)
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 ......(1)\)
\(2x-y=1\Rightarrow 2x-y-1=0 .......(2)\)
\(3x-4y+6=0.......(3)\)
\(4x+3y-6=0.......(4)\)
শর্তমতে,
\((1)\) ও \((4)\) সমান্তরাল,
\(\frac{4}{\frac{1}{a}}=\frac{3}{\frac{1}{b}}\)
\(\Rightarrow 4a=3b\)
\(\Rightarrow a=\frac{3b}{4} ......(5)\)
আবার,
\((2)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\(\frac{x}{(-1).6-(-1).(-4)}=\frac{y}{(-1).3-2.6}=\frac{1}{2.(-4)-(-1).3}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-6-4}=\frac{y}{-3-12}=\frac{1}{-8+3}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-10}=\frac{y}{-15}=\frac{1}{-5}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-10}=\frac{1}{-5}, \ \frac{y}{-15}=\frac{1}{-5}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{-5}\times -10, \ y=\frac{1}{-5}\times -15\)
\(\Rightarrow x=2, \ y=3\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \((2, 3)\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\frac{2}{a}+\frac{3}{b}=1\)
\(\Rightarrow \frac{2}{\frac{3b}{4}}+\frac{3}{b}=1\) ➜ \((5)\) এর সাহায্য।
\(\Rightarrow \frac{8}{3b}+\frac{3}{b}=1\)
\(\Rightarrow \frac{8+9}{3b}=1\)
\(\Rightarrow \frac{17}{3b}=1\)
\(\Rightarrow 3b=17\)
\(\therefore b=\frac{17}{3}\)
\((5)\) হতে
\(a=\frac{3\times \frac{17}{3}}{4}\)
\(\therefore a=\frac{17}{4}\)
\(\therefore a=\frac{17}{4}, \ b=\frac{17}{3}\)
\(Q.3.(xiv)\) দেখাও যে, \(3x+5y-6=0\) ও \(2x-3y+2=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু এবং \((4, 9)\) বিন্দুর সংযোগ রেখাটি মূলবিন্দুগামী।
সমাধানঃ
মনেকরি,
\(3x+5y-6=0 ..........(1)\)
\(2x-3y+2=0 ...........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x+5y-6+k(2x-3y+2)=0 .........(3)\) ➜ \(k\) শুন্য ব্যতীত যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখা \((4, 9)\) বিদু দিয়ে যায়,
\(3.4+5.9-6+k(2.4-3.9+2)=0\)
\(\Rightarrow 12+45-6+k(8-27+2)=0\)
\(\Rightarrow 57-6+k(10-27)=0\)
\(\Rightarrow 51+k.(-17)=0\)
\(\Rightarrow k.(-17)=-51\)
\(\Rightarrow k=\frac{-51}{-17}\)
\(\therefore k=3\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(3x+5y-6+3(2x-3y+2)=0\)
\(\Rightarrow 3x+5y-6+6x-9y+6=0\)
\(\Rightarrow 9x-4y=0\) ধ্রূবক মুক্ত অর্থাৎ মূলবিন্দুগামী।
\(3x+5y-6=0 ..........(1)\)
\(2x-3y+2=0 ...........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x+5y-6+k(2x-3y+2)=0 .........(3)\) ➜ \(k\) শুন্য ব্যতীত যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখা \((4, 9)\) বিদু দিয়ে যায়,
\(3.4+5.9-6+k(2.4-3.9+2)=0\)
\(\Rightarrow 12+45-6+k(8-27+2)=0\)
\(\Rightarrow 57-6+k(10-27)=0\)
\(\Rightarrow 51+k.(-17)=0\)
\(\Rightarrow k.(-17)=-51\)
\(\Rightarrow k=\frac{-51}{-17}\)
\(\therefore k=3\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(3x+5y-6+3(2x-3y+2)=0\)
\(\Rightarrow 3x+5y-6+6x-9y+6=0\)
\(\Rightarrow 9x-4y=0\) ধ্রূবক মুক্ত অর্থাৎ মূলবিন্দুগামী।
\(Q.3.(xv)\) \(ABCD\) সামান্তরিকের \(AB\) ও \(BC\) বাহুদ্বয়ের সমীকরণ যথাক্রমে \(2x+y-8=0\) ও \(x-y+2=0\) এবং \(D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((2, -4)\); অপর বাহুদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-y-6=0, \ 2x+y=0\)।
উত্তরঃ \(x-y-6=0, \ 2x+y=0\)।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(ABCD\) সামান্তরিকের \(AB\) ও \(BC\) বাহুদ্বয়ের সমীকরণ যথাক্রমে \(3x+5y-6=0\) ও \(2x-3y+2=0\) এবং \(D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((2, -4)\); \(AD\) ও \(CD\) এর সমীকরণ নির্ণয় করতে হবে, যারা যথাক্রমে \(BC\) ও \(AB\) এর সমান্তরাল এবং \(D\) বিন্দুগামী।
ধরি,
\(2x+y-8=0 .........(1)\)
\(x-y+2=0 ..........(2)\)
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x+y+k=0 .........(3)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখা \(D(2, -4)\) বিন্দুগামী।
\(2.2+(-4)+k=0\)
\(\Rightarrow 4-4+k=0\)
\(\Rightarrow 0+k=0\)
\(\Rightarrow k=0\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(2x+y+0=0\)
\(\Rightarrow 2x+y=0\)
আবার,
\((2)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x-y+k=0 .........(4)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((4)\) নং সরলরেখা \(D(2, -4)\) বিন্দুগামী।
\(2-(-4)+k=0\)
\(\Rightarrow 2+4+k=0\)
\(\Rightarrow 6+k=0\)
\(\Rightarrow k=-6\)
\(k\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে,
\(x-y-6=0\)
\(\therefore \) অপর বাহুদ্বয়ের সমীকরণ, \(x-y-6=0, \ 2x+y=0\)।
\(ABCD\) সামান্তরিকের \(AB\) ও \(BC\) বাহুদ্বয়ের সমীকরণ যথাক্রমে \(3x+5y-6=0\) ও \(2x-3y+2=0\) এবং \(D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((2, -4)\); \(AD\) ও \(CD\) এর সমীকরণ নির্ণয় করতে হবে, যারা যথাক্রমে \(BC\) ও \(AB\) এর সমান্তরাল এবং \(D\) বিন্দুগামী।
ধরি,
\(2x+y-8=0 .........(1)\)
\(x-y+2=0 ..........(2)\)
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x+y+k=0 .........(3)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখা \(D(2, -4)\) বিন্দুগামী।
\(2.2+(-4)+k=0\)
\(\Rightarrow 4-4+k=0\)
\(\Rightarrow 0+k=0\)
\(\Rightarrow k=0\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(2x+y+0=0\)
\(\Rightarrow 2x+y=0\)
আবার,
\((2)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x-y+k=0 .........(4)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((4)\) নং সরলরেখা \(D(2, -4)\) বিন্দুগামী।
\(2-(-4)+k=0\)
\(\Rightarrow 2+4+k=0\)
\(\Rightarrow 6+k=0\)
\(\Rightarrow k=-6\)
\(k\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে,
\(x-y-6=0\)
\(\therefore \) অপর বাহুদ্বয়ের সমীকরণ, \(x-y-6=0, \ 2x+y=0\)।
\(Q.3.(xvi)\) একটি সামান্তরিকের দুইটি বাহুর সমীকরণ \(3x-4y+1=0\) ও \(2x-y-1=0\) এবং কর্ণদুইটির ছেদবিন্দু \((4, 5)\) । এর অপর বাহু দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x-4y+15=0, \ 2x-y-5=0\)।
উত্তরঃ \(3x-4y+15=0, \ 2x-y-5=0\)।
সমাধানঃ
মনে করি,
\(ABCD\) সামান্তরিকের \(AB\) ও \(AD\) বাহুদ্বয়ের সমীকরণ যথাক্রমে \(3x-4y+1=0\) ও \(2x-y-1=0\)
কর্ণদুইটির ছেদবিন্দু \(E(4, 5)\) এবং তৃতীয় শীর্ষবিন্দু \(C(x, y)\)
\(3x-4y+1=0 ........(1)\)
\(2x-y-1=0 ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু \(A\) নির্ণয় করি।
\(\frac{x}{(-4).(-1)-1.(-1)}=\frac{y}{1.2-3.(-1)}=\frac{1}{3.(-1)-(-4).2}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{4+1}=\frac{y}{2+3}=\frac{1}{-3+8}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{5}=\frac{y}{5}=\frac{1}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{5}=\frac{1}{5}, \ \frac{y}{5}=\frac{1}{5}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{5}\times 5, \ y=\frac{1}{5}\times 5\)
\(\Rightarrow x=1, \ y=1\)
\(\therefore A(1, 1)\)
\(AC\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{1+x}{2}, \frac{1+y}{2})\)
দেওয়া আছে, কর্ণদুইটির ছেদবিন্দু অর্থাৎ \(AC\) এর মধ্যবিন্দু \(E(4, 5)\)
\(\therefore E(\frac{1+x}{2}, \frac{1+y}{2})\Rightarrow E(4, 5)\)
\(\Rightarrow \frac{1+x}{2}=4, \frac{1+y}{2}=5\)
\(\Rightarrow 1+x=8, 1+y=10\)
\(\Rightarrow x=8-1, y=10-1\)
\(\Rightarrow x=7, y=9\)
\(\therefore C(7, 9)\)
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x-4y+k=0 ........(3)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) সরলরেখা \(C(7, 9)\) বিন্দুগামী,
\(3.7-4.9+k=0\)
\(\Rightarrow 21-36+k=0\)
\(\Rightarrow -15+k=0\)
\(\Rightarrow k=15\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(3x-4y+15=0\)
আবার,
\((2)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x-y+k=0 ........(4)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((4)\) সরলরেখা \(C(7, 9)\) বিন্দুগামী,
\(2.7-9+k=0\)
\(\Rightarrow 14-9+k=0\)
\(\Rightarrow 5+k=0\)
\(\Rightarrow k=-5\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(2x-y-5=0\)
\(\therefore \) অপর বাহু দুইটির সমীকরণ, \(3x-4y+15=0, \ 2x-y-5=0\)
\(ABCD\) সামান্তরিকের \(AB\) ও \(AD\) বাহুদ্বয়ের সমীকরণ যথাক্রমে \(3x-4y+1=0\) ও \(2x-y-1=0\)
কর্ণদুইটির ছেদবিন্দু \(E(4, 5)\) এবং তৃতীয় শীর্ষবিন্দু \(C(x, y)\)
\(3x-4y+1=0 ........(1)\)
\(2x-y-1=0 ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু \(A\) নির্ণয় করি।
\(\frac{x}{(-4).(-1)-1.(-1)}=\frac{y}{1.2-3.(-1)}=\frac{1}{3.(-1)-(-4).2}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{4+1}=\frac{y}{2+3}=\frac{1}{-3+8}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{5}=\frac{y}{5}=\frac{1}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{5}=\frac{1}{5}, \ \frac{y}{5}=\frac{1}{5}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{5}\times 5, \ y=\frac{1}{5}\times 5\)
\(\Rightarrow x=1, \ y=1\)
\(\therefore A(1, 1)\)
\(AC\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{1+x}{2}, \frac{1+y}{2})\)
দেওয়া আছে, কর্ণদুইটির ছেদবিন্দু অর্থাৎ \(AC\) এর মধ্যবিন্দু \(E(4, 5)\)
\(\therefore E(\frac{1+x}{2}, \frac{1+y}{2})\Rightarrow E(4, 5)\)
\(\Rightarrow \frac{1+x}{2}=4, \frac{1+y}{2}=5\)
\(\Rightarrow 1+x=8, 1+y=10\)
\(\Rightarrow x=8-1, y=10-1\)
\(\Rightarrow x=7, y=9\)
\(\therefore C(7, 9)\)
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x-4y+k=0 ........(3)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) সরলরেখা \(C(7, 9)\) বিন্দুগামী,
\(3.7-4.9+k=0\)
\(\Rightarrow 21-36+k=0\)
\(\Rightarrow -15+k=0\)
\(\Rightarrow k=15\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(3x-4y+15=0\)
আবার,
\((2)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x-y+k=0 ........(4)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((4)\) সরলরেখা \(C(7, 9)\) বিন্দুগামী,
\(2.7-9+k=0\)
\(\Rightarrow 14-9+k=0\)
\(\Rightarrow 5+k=0\)
\(\Rightarrow k=-5\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(2x-y-5=0\)
\(\therefore \) অপর বাহু দুইটির সমীকরণ, \(3x-4y+15=0, \ 2x-y-5=0\)
\(Q.3.(xvii)\) প্রমণ কর যে, \(2x+y+5=0\) এবং \(x-2y-3=0\) রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব। রেখাদ্বয়কে কোনো আয়তক্ষেত্রের দুইটি সন্নিহিত বাহু ধরলে এবং অপর বাহুদ্বয় \((3, 4)\) বিন্দুতে পরস্পর ছেদ করলে অপর বাহুদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-2y+5=0, \ 2x+y-10=0\)।
উত্তরঃ \(x-2y+5=0, \ 2x+y-10=0\)।
সমাধানঃ
মনেকরি,
\(2x+y+5=0 .........(1)\)
\(x-2y-3=0 ........(2)\)
এবং \(C(3, 4)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=-\frac{2}{1}, \ m_{2}=-\frac{1}{-2}\)
\(\Rightarrow m_{1}=-2, \ m_{2}=\frac{1}{2}\)
এখন,
\(m_{1}\times m_{2}=-2\times -\frac{1}{2}\)
\(=-1\)
\(\because m_{1}\times m_{2}=-1 \therefore \) রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব।
\(ABCD\) আয়তক্ষেত্রের দুইটি সন্নিহিত বাহু যথাক্রমে \((1)\) ও \((2)\) তথা \(AB\) ও \(AD\) হলে,
\(BC\) ও \(DC\) এর সমীকরণ নির্ণয় করতে হবে,
\((2)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x-2y+k=0 .........(3)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখা \(C(3, 4)\) বিন্দুগামী।
\(3-2.4+k=0\)
\(\Rightarrow 3-8+k=0\)
\(\Rightarrow -5+k=0\)
\(\Rightarrow k=5\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(x-2y+5=0\)
আবার,
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x+y+k=0 .........(4)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((4)\) নং সরলরেখা \(C(3, 4)\) বিন্দুগামী।
\(2.3+4+k=0\)
\(\Rightarrow 6+4+k=0\)
\(\Rightarrow 10+k=0\)
\(\Rightarrow k=-10\)
\(k\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে,
\(2x+y-10=0\)
\(\therefore \) অপর বাহুদ্বয়ের সমীকরণ \(x-2y+5=0, \ 2x+y-10=0\)।
\(2x+y+5=0 .........(1)\)
\(x-2y-3=0 ........(2)\)
এবং \(C(3, 4)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=-\frac{2}{1}, \ m_{2}=-\frac{1}{-2}\)
\(\Rightarrow m_{1}=-2, \ m_{2}=\frac{1}{2}\)
এখন,
\(m_{1}\times m_{2}=-2\times -\frac{1}{2}\)
\(=-1\)
\(\because m_{1}\times m_{2}=-1 \therefore \) রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব।
\(ABCD\) আয়তক্ষেত্রের দুইটি সন্নিহিত বাহু যথাক্রমে \((1)\) ও \((2)\) তথা \(AB\) ও \(AD\) হলে,
\(BC\) ও \(DC\) এর সমীকরণ নির্ণয় করতে হবে,
\((2)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x-2y+k=0 .........(3)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখা \(C(3, 4)\) বিন্দুগামী।
\(3-2.4+k=0\)
\(\Rightarrow 3-8+k=0\)
\(\Rightarrow -5+k=0\)
\(\Rightarrow k=5\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(x-2y+5=0\)
আবার,
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x+y+k=0 .........(4)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((4)\) নং সরলরেখা \(C(3, 4)\) বিন্দুগামী।
\(2.3+4+k=0\)
\(\Rightarrow 6+4+k=0\)
\(\Rightarrow 10+k=0\)
\(\Rightarrow k=-10\)
\(k\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে,
\(2x+y-10=0\)
\(\therefore \) অপর বাহুদ্বয়ের সমীকরণ \(x-2y+5=0, \ 2x+y-10=0\)।
\(Q.3.(xviii)\) \(k\) এর যে কোনো বাস্থব মানের জন্য \((2k-3)x+(3k-2)y-(4k-1)=0\) রেখাটি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যায়। বিন্দুটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-1, 2)\)।
উত্তরঃ \((-1, 2)\)।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\((2k-3)x+(3k-2)y-(4k-1)=0\)
\(\Rightarrow 2kx-3x+3ky-2y-4k+1=0\)
\(\Rightarrow -3x-2y+1+2kx+3ky-4k=0\)
\(\Rightarrow -3x-2y+1+k(2x+3y-4)=0 .........(1)\)
ইহা স্পষ্ট যে \((1)\) নং সরলরেখা সর্বদা \(-3x-2y+1=0 ......(2)\) এবং \(2x+3y-4=0 ........(3)\) এর ছেদবিন্দু দিয়ে যায়।
\((2)\) এবং \((3)\) সমাধান করি,
\(\frac{x}{(-2).(-4)-1.3}=\frac{y}{1.2-(-3).(-4)}=\frac{1}{(-3).3-(-2).2}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{8-3}=\frac{y}{2-10}=\frac{1}{-9+4}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{5}=\frac{y}{-10}=\frac{1}{-5}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{5}=\frac{1}{-5}, \ \frac{y}{-10}=\frac{1}{-5}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{-5}\times 5, \ y=\frac{1}{-5}\times -10\)
\(\Rightarrow x=-1, \ y=2\)
\(\therefore (-1, 2)\)
\(\therefore \) বিন্দুটির স্থানাঙ্ক \((-1, 2)\).
\((2k-3)x+(3k-2)y-(4k-1)=0\)
\(\Rightarrow 2kx-3x+3ky-2y-4k+1=0\)
\(\Rightarrow -3x-2y+1+2kx+3ky-4k=0\)
\(\Rightarrow -3x-2y+1+k(2x+3y-4)=0 .........(1)\)
ইহা স্পষ্ট যে \((1)\) নং সরলরেখা সর্বদা \(-3x-2y+1=0 ......(2)\) এবং \(2x+3y-4=0 ........(3)\) এর ছেদবিন্দু দিয়ে যায়।
\((2)\) এবং \((3)\) সমাধান করি,
\(\frac{x}{(-2).(-4)-1.3}=\frac{y}{1.2-(-3).(-4)}=\frac{1}{(-3).3-(-2).2}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{8-3}=\frac{y}{2-10}=\frac{1}{-9+4}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{5}=\frac{y}{-10}=\frac{1}{-5}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{5}=\frac{1}{-5}, \ \frac{y}{-10}=\frac{1}{-5}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{-5}\times 5, \ y=\frac{1}{-5}\times -10\)
\(\Rightarrow x=-1, \ y=2\)
\(\therefore (-1, 2)\)
\(\therefore \) বিন্দুটির স্থানাঙ্ক \((-1, 2)\).
\(Q.3.(xx)\) \(4x+7y-12=0\) রেখাটি একটি বর্গের কর্ণ নির্দেশ করে এবং বর্গের একটি শীর্ষ \((3, 2)\) বিন্দুতে অবস্থিত। এ বিন্দুটি দিয়ে অতিক্রমকারী বর্গের বাহু দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x-11y+13=0, \ 11x+3y-39=0\)।
উত্তরঃ \(3x-11y+13=0, \ 11x+3y-39=0\)।
সমাধানঃ
মনে করি,
\(4x+7y-12=0 ......(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখাটি কোনো বর্গের কর্ণ নির্দেশ করে যার সহিত বর্গের বাহুগুলি সর্বদা \(45^{o}\) কোণ তৈরী করে।
\((1)\) এর ঢাল \(m_{1}=-\frac{4}{7}\)
\((3, 2)\) বিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-2=m(x-3) ...........(2)\)
\((2)\) এর ঢাল \(m_{2}=m\)
শর্তমতে,
\(\tan45^{o}=\pm \frac{-\frac{4}{7}-m}{1+(-\frac{4}{7})m}\) ➜ \(\because \tan\theta=\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}\)
\(\Rightarrow 1=\pm \frac{\frac{-4-7m}{7}}{1-\frac{4m}{7}}\)
\(\Rightarrow 1=\pm \frac{\frac{-4-7m}{7}}{\frac{7-4m}{7}}\)
\(\Rightarrow 1=\pm \frac{-4-7m}{7}\times \frac{7}{7-4m}\)
\(\Rightarrow 1=\pm \frac{-4-7m}{7-4m}\)
\(\Rightarrow 1=\pm \frac{4+7m}{7-4m}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{4+7m}{7-4m}\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 4+7m=7-4m\)
\(\Rightarrow 4m+7m=7-4\)
\(\Rightarrow 11m=3\)
\(\Rightarrow m=\frac{3}{11}\)
আবার,
\(\Rightarrow 1=-\frac{4+7m}{7-4m}\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 4+7m=-7+4m\)
\(\Rightarrow -4m+7m=-7-4\)
\(\Rightarrow 3m=-11\)
\(\Rightarrow m=-\frac{11}{3}\)
\(m\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(y-2=\frac{3}{11}(x-3)\); যখন \(m=\frac{3}{11}\)
\(\Rightarrow 11(y-2)=3(x-3)\) ➜ উভয় পার্শে \(11\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 3(x-3)=11(y-2)\)
\(\Rightarrow 3x-9=11y-22\)
\(\Rightarrow 3x-11y+22-9=0\)
\(\therefore 3x-11y+13=0\)
আবার,
\(y-2=-\frac{11}{3}(x-3)\); যখন \(m=-\frac{11}{3}\)
\(\Rightarrow 3(y-2)=-11(x-3)\) ➜ উভয় পার্শে \(3\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 3y-6=-11x+33\)
\(\Rightarrow 11x-33+3y-6=0\)
\(\therefore 11x+3y-39=0\)
\(\therefore\) বর্গের বাহু দুইটির সমীকরণ \(3x-11y+13=0, \ 11x+3y-39=0\)।
\(4x+7y-12=0 ......(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখাটি কোনো বর্গের কর্ণ নির্দেশ করে যার সহিত বর্গের বাহুগুলি সর্বদা \(45^{o}\) কোণ তৈরী করে।
\((1)\) এর ঢাল \(m_{1}=-\frac{4}{7}\)
\((3, 2)\) বিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-2=m(x-3) ...........(2)\)
\((2)\) এর ঢাল \(m_{2}=m\)
শর্তমতে,
\(\tan45^{o}=\pm \frac{-\frac{4}{7}-m}{1+(-\frac{4}{7})m}\) ➜ \(\because \tan\theta=\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}\)
\(\Rightarrow 1=\pm \frac{\frac{-4-7m}{7}}{1-\frac{4m}{7}}\)
\(\Rightarrow 1=\pm \frac{\frac{-4-7m}{7}}{\frac{7-4m}{7}}\)
\(\Rightarrow 1=\pm \frac{-4-7m}{7}\times \frac{7}{7-4m}\)
\(\Rightarrow 1=\pm \frac{-4-7m}{7-4m}\)
\(\Rightarrow 1=\pm \frac{4+7m}{7-4m}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{4+7m}{7-4m}\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 4+7m=7-4m\)
\(\Rightarrow 4m+7m=7-4\)
\(\Rightarrow 11m=3\)
\(\Rightarrow m=\frac{3}{11}\)
আবার,
\(\Rightarrow 1=-\frac{4+7m}{7-4m}\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 4+7m=-7+4m\)
\(\Rightarrow -4m+7m=-7-4\)
\(\Rightarrow 3m=-11\)
\(\Rightarrow m=-\frac{11}{3}\)
\(m\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(y-2=\frac{3}{11}(x-3)\); যখন \(m=\frac{3}{11}\)
\(\Rightarrow 11(y-2)=3(x-3)\) ➜ উভয় পার্শে \(11\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 3(x-3)=11(y-2)\)
\(\Rightarrow 3x-9=11y-22\)
\(\Rightarrow 3x-11y+22-9=0\)
\(\therefore 3x-11y+13=0\)
আবার,
\(y-2=-\frac{11}{3}(x-3)\); যখন \(m=-\frac{11}{3}\)
\(\Rightarrow 3(y-2)=-11(x-3)\) ➜ উভয় পার্শে \(3\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 3y-6=-11x+33\)
\(\Rightarrow 11x-33+3y-6=0\)
\(\therefore 11x+3y-39=0\)
\(\therefore\) বর্গের বাহু দুইটির সমীকরণ \(3x-11y+13=0, \ 11x+3y-39=0\)।
\(Q.3.(xxiii)\) \((2, 1)\), \((6, 3)\) বিন্দু দুইটি এবং \((6, 3)\), \((8, 1)\) বিন্দু দুইটির সংযোগ সরলরেখার লম্বদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, এ লম্ব দ্বিখন্ডক দুইটির ছেদবিন্দু \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
উত্তরঃ \(2x+y-10=0, \ x-y-5=0; \ (5, 0)\)।
উত্তরঃ \(2x+y-10=0, \ x-y-5=0; \ (5, 0)\)।
সমাধানঃ
মনে করি,
\(A(2, 1)\), \(B(6, 3)\) এবং \(C(8, 1)\)
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{2+6}{2}, \frac{1+3}{2})\)
\(\Rightarrow E(\frac{8}{2}, \frac{4}{2})\)
\(\Rightarrow E(4, 2)\)
\(AB\) এর ঢাল \(m_{1}=\frac{1-3}{2-6}\)
\(=\frac{-2}{-4}\)
\(=\frac{1}{2}\)
\(AB\) এর উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার ঢাল \(=-2\)
\(A, B\) এর সংযোগ সরলরেখার লম্বদ্বিখন্ডকের সমীকরণ, \(y-2=-2(x-4)\)
\(\Rightarrow y-2=-2x+8\)
\(\Rightarrow 2x-8+y-2=0\)
\(\therefore 2x+y-10=0\)
আবার,
\(BC\) এর মধ্যবিন্দু \(F(\frac{6+8}{2}, \frac{3+1}{2})\)
\(\Rightarrow F(\frac{14}{2}, \frac{4}{2})\)
\(\Rightarrow F(7, 2)\)
\(BC\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{3-1}{6-8}\)
\(=\frac{2}{-2}\)
\(=-1\)
\(BC\) এর উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার ঢাল \(=1\)
\(B, C\) এর সংযোগ সরলরেখার লম্বদ্বিখন্ডকের সমীকরণ, \(y-2=1(x-7)\)
\(\Rightarrow y-2=x-7\)
\(\Rightarrow x-7=y-2\)
\(\Rightarrow x-7-y+2=0\)
\(\therefore x-y-5=0\)
\(\therefore \) লম্বদ্বিখন্ডকদ্বয়ের সমীকরণ \(2x+y-10=0, \ x-y-5=0;\)।
তাদের ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\(\frac{x}{1.(-5)-(-10).(-1)}=\frac{y}{(-10).1-2.(-5)}=\frac{1}{2.(-1)-1.1}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-5-10}=\frac{y}{-10+10}=\frac{1}{-2-1}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-15}=\frac{y}{0}=\frac{1}{-3}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-15}=\frac{1}{-3}, \ \frac{y}{0}=\frac{1}{-3}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{-3}\times -15, \ y=\frac{1}{-3}\times 0\)
\(\Rightarrow x=5, \ y=0\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \((5, 0)\) যার \(y\) স্থানাঙ্ক \(0\) এবং যা \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
\(A(2, 1)\), \(B(6, 3)\) এবং \(C(8, 1)\)
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{2+6}{2}, \frac{1+3}{2})\)
\(\Rightarrow E(\frac{8}{2}, \frac{4}{2})\)
\(\Rightarrow E(4, 2)\)
\(AB\) এর ঢাল \(m_{1}=\frac{1-3}{2-6}\)
\(=\frac{-2}{-4}\)
\(=\frac{1}{2}\)
\(AB\) এর উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার ঢাল \(=-2\)
\(A, B\) এর সংযোগ সরলরেখার লম্বদ্বিখন্ডকের সমীকরণ, \(y-2=-2(x-4)\)
\(\Rightarrow y-2=-2x+8\)
\(\Rightarrow 2x-8+y-2=0\)
\(\therefore 2x+y-10=0\)
আবার,
\(BC\) এর মধ্যবিন্দু \(F(\frac{6+8}{2}, \frac{3+1}{2})\)
\(\Rightarrow F(\frac{14}{2}, \frac{4}{2})\)
\(\Rightarrow F(7, 2)\)
\(BC\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{3-1}{6-8}\)
\(=\frac{2}{-2}\)
\(=-1\)
\(BC\) এর উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার ঢাল \(=1\)
\(B, C\) এর সংযোগ সরলরেখার লম্বদ্বিখন্ডকের সমীকরণ, \(y-2=1(x-7)\)
\(\Rightarrow y-2=x-7\)
\(\Rightarrow x-7=y-2\)
\(\Rightarrow x-7-y+2=0\)
\(\therefore x-y-5=0\)
\(\therefore \) লম্বদ্বিখন্ডকদ্বয়ের সমীকরণ \(2x+y-10=0, \ x-y-5=0;\)।
তাদের ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\(\frac{x}{1.(-5)-(-10).(-1)}=\frac{y}{(-10).1-2.(-5)}=\frac{1}{2.(-1)-1.1}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-5-10}=\frac{y}{-10+10}=\frac{1}{-2-1}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-15}=\frac{y}{0}=\frac{1}{-3}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-15}=\frac{1}{-3}, \ \frac{y}{0}=\frac{1}{-3}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{-3}\times -15, \ y=\frac{1}{-3}\times 0\)
\(\Rightarrow x=5, \ y=0\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \((5, 0)\) যার \(y\) স্থানাঙ্ক \(0\) এবং যা \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
\(Q.3.(xxiv)\) দেখাও যে, \(4x-6y-24=0\), \(3x+7y+5=0\) এবং \(4x-3y-18=0\)রেখাত্রয় সমবিন্দু। এদের ছেদবিন্দু নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((3, -2)\)।
উত্তরঃ \((3, -2)\)।
সমাধানঃ
মনে করি,
\(4x-6y-24=0 ...........(1)\)
\(3x+7y+5=0 .............(2)\)
এবং \(4x-3y-18=0 ..........(3)\)
এখানে,
\(\Delta=\left|\begin{array}{c}4 \ \ -6 \ \ -24\\3 \ \ \ \ \ \ 7 \ \ \ \ \ \ \ \ \ 5\\4 \ \ -3 \ \ -18\end{array}\right|\) ➜\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ......(1)\) \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 .....(2)\) \(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0 .....(3)\) \((1)\) , \((2)\) , \((3)\) নং সরলরেখাত্রয় সমবিন্দু হবে যদি , \(\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|=0\) হয় ।
\(=4\{7.(-18)-5.(-3)\}-(-6)\{3.(-18)-5.4\}+(-24)\{3.(-3)-7.4\}\)
\(=4\{-126+15\}+6\{-54-20\}-24\{-9-28\}\)
\(=4\{-111\}+6\{-74\}-24\{-37\}\)
\(=-444-444+888\)
\(=-888+888\)
\(=0\)
\(\because \Delta=0\) অতএব, রেখাত্রয় সমবিন্দু।
এই ক্ষেত্রে উপরের যে কোনো দুইটি সরলরেখার ছেদবিন্দু নির্ণয় করাই যতেষ্ট।
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\(\frac{x}{(-6).5-(-24).7}=\frac{y}{(-24).3-4.5}=\frac{1}{4.7-(-6).3}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-30+168}=\frac{y}{-72-20}=\frac{1}{28+18}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{138}=\frac{y}{-92}=\frac{1}{46}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{138}=\frac{1}{46}, \ \frac{y}{-92}=\frac{1}{46}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{46}\times 138, \ y=\frac{1}{46}\times -92\)
\(\Rightarrow x=3, \ y=-2\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \((3, -2)\)।
\(4x-6y-24=0 ...........(1)\)
\(3x+7y+5=0 .............(2)\)
এবং \(4x-3y-18=0 ..........(3)\)
এখানে,
\(\Delta=\left|\begin{array}{c}4 \ \ -6 \ \ -24\\3 \ \ \ \ \ \ 7 \ \ \ \ \ \ \ \ \ 5\\4 \ \ -3 \ \ -18\end{array}\right|\) ➜\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ......(1)\) \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 .....(2)\) \(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0 .....(3)\) \((1)\) , \((2)\) , \((3)\) নং সরলরেখাত্রয় সমবিন্দু হবে যদি , \(\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|=0\) হয় ।
\(=4\{7.(-18)-5.(-3)\}-(-6)\{3.(-18)-5.4\}+(-24)\{3.(-3)-7.4\}\)
\(=4\{-126+15\}+6\{-54-20\}-24\{-9-28\}\)
\(=4\{-111\}+6\{-74\}-24\{-37\}\)
\(=-444-444+888\)
\(=-888+888\)
\(=0\)
\(\because \Delta=0\) অতএব, রেখাত্রয় সমবিন্দু।
এই ক্ষেত্রে উপরের যে কোনো দুইটি সরলরেখার ছেদবিন্দু নির্ণয় করাই যতেষ্ট।
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\(\frac{x}{(-6).5-(-24).7}=\frac{y}{(-24).3-4.5}=\frac{1}{4.7-(-6).3}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-30+168}=\frac{y}{-72-20}=\frac{1}{28+18}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{138}=\frac{y}{-92}=\frac{1}{46}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{138}=\frac{1}{46}, \ \frac{y}{-92}=\frac{1}{46}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{46}\times 138, \ y=\frac{1}{46}\times -92\)
\(\Rightarrow x=3, \ y=-2\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \((3, -2)\)।
অনুশীলনী \(3.F\) / \(Q.4\) সৃজনশীল প্রশ্নসমুহ
\(Q.4.(i)\)
\(x+y+3=0 ...........(1)\)
\(x-y+2=0 .............(2)\)
\(4x+3y+5=0 .............(3)\)
এবং \(x+3y-12=0 ..........(4)\)
\((a)\) দেখাও যে, \((1)\) ও \((2)\) সরলরেখা পরস্পর লম্ব।
\((b)\) \((3)\) নং সরলরেখার সমান্তরাল এবং \((1, 2)\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \((4)\) নং সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খণ্ডিত অংশকে সমান তিনভাগে বিভক্ত করে এমন বিন্দুদ্বয়ের সাথে মূলবিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\(Q.4.(ii)\) চিত্রে, \(A\) ও \(B\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ \(3x-y+7=0\)।
\((a)\) \(A\) ও \(B\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং \(AB\) সরলরেখার ঢাল নির্ণয় কর।
\((b)\) রেখাটির সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এবং \((-1, 2)\) বিন্দু দিয়ে যায় এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(AB\) রেখাংশকে কোনো বর্গের একটি বাহু কল্পনা করে ঐ বর্গের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\(x+y+3=0 ...........(1)\)
\(x-y+2=0 .............(2)\)
\(4x+3y+5=0 .............(3)\)
এবং \(x+3y-12=0 ..........(4)\)
\((a)\) দেখাও যে, \((1)\) ও \((2)\) সরলরেখা পরস্পর লম্ব।
\((b)\) \((3)\) নং সরলরেখার সমান্তরাল এবং \((1, 2)\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \((4)\) নং সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খণ্ডিত অংশকে সমান তিনভাগে বিভক্ত করে এমন বিন্দুদ্বয়ের সাথে মূলবিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\(Q.4.(ii)\) চিত্রে, \(A\) ও \(B\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ \(3x-y+7=0\)।
\((a)\) \(A\) ও \(B\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং \(AB\) সরলরেখার ঢাল নির্ণয় কর।
\((b)\) রেখাটির সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এবং \((-1, 2)\) বিন্দু দিয়ে যায় এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(AB\) রেখাংশকে কোনো বর্গের একটি বাহু কল্পনা করে ঐ বর্গের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\(Q.4.(iii)\) \(ABCD\) রম্বসের তিনটি শীর্ষবিন্দু \(A(2, 5)\), \(B(5, 9)\) এবং \(D(6, 8)\) ।
\((a)\) তিনটি বিন্দুর সমরেখ হওয়ার শর্তটি লিখ এবং \(\triangle ABD\) এর ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) রম্বসের চতুর্থ শীর্ষবিন্দু \(C\) এর স্থানাঙ্ক এবং রম্বসটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((c)\) মূলবিন্দু হতে \(\) রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর এবং এর সাহায্যে মূলবিন্দু হতে \(\) রেখার লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((a)\) তিনটি বিন্দুর সমরেখ হওয়ার শর্তটি লিখ এবং \(\triangle ABD\) এর ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) রম্বসের চতুর্থ শীর্ষবিন্দু \(C\) এর স্থানাঙ্ক এবং রম্বসটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((c)\) মূলবিন্দু হতে \(\) রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর এবং এর সাহায্যে মূলবিন্দু হতে \(\) রেখার লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\(Q.4.(i)\)
\(x+y+3=0 ...........(1)\)
\(x-y+2=0 .............(2)\)
\(4x+3y+5=0 .............(3)\)
এবং \(x+3y-12=0 ..........(4)\)
\((a)\) দেখাও যে, \((1)\) ও \((2)\) সরলরেখা পরস্পর লম্ব।
\((b)\) \((3)\) নং সরলরেখার সমান্তরাল এবং \((1, 2)\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \((4)\) নং সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খণ্ডিত অংশকে সমান তিনভাগে বিভক্ত করে এমন বিন্দুদ্বয়ের সাথে মূলবিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\(x+y+3=0 ...........(1)\)
\(x-y+2=0 .............(2)\)
\(4x+3y+5=0 .............(3)\)
এবং \(x+3y-12=0 ..........(4)\)
\((a)\) দেখাও যে, \((1)\) ও \((2)\) সরলরেখা পরস্পর লম্ব।
\((b)\) \((3)\) নং সরলরেখার সমান্তরাল এবং \((1, 2)\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \((4)\) নং সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খণ্ডিত অংশকে সমান তিনভাগে বিভক্ত করে এমন বিন্দুদ্বয়ের সাথে মূলবিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
\(Q.4.(i).(a)\)
শর্তমতে,
\((1)\) ও \((2)\) সরলরেখা হলো।
\(x+y+3=0 ...........(1)\)
\(x-y+2=0 .............(2)\)
এখানে,
\(a_{1}=1, \ b_{1}=1, \ a_{2}=1, \ b_{2}=-1, \)
\(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=1.1+1.(-1)\)
\(=1-1\)
\(=0\)
\(\because a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=0 \therefore (1)\) ও \((2)\) সরলরেখা পরস্পর লম্ব। \(Q.4.(i).(b)\)
\((3)\) নং সরলরেখার সমীকরণ,
\(4x+3y+5=0 .............(3)\)
এবং \(A(1, 2)\)
\((3)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(4x+3y+k=0 .............(4)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((4)\) নং সরলরেখা \(A(1, 2)\) বিন্দুগামী,
\(\therefore 4.1+3.2+k=0\)
\(\Rightarrow 4+6+k=0\)
\(\Rightarrow 10+k=0\)
\(\Rightarrow k=-10\)
\(k\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে,
\(4x+3y-10=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ। \(Q.4.(i).(c)\)
\((4)\) নং সরলরেখার সমীকরণ,
\(x+3y-12=0 ..........(4)\)
\(\Rightarrow x+3y=12\)
\(\Rightarrow \frac{x}{12}+\frac{3y}{12}=\frac{12}{12}\) ➜ উভয় পার্শে \(12\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x}{12}+\frac{y}{4}=1 \)
\(\therefore (4)\) নং সরলরেখা অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A(12, 0)\) ও \(B(0, 4)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
শর্তমতে,
\(AB\) কে \(C\) এবং \(D\) বিন্দুদ্বয় যথাক্রমে \(1:2\) এবং \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore C(\frac{1.0+2.12}{1+2}, \frac{1.4+2.0}{1+2})\)
\(\Rightarrow C(\frac{0+24}{3}, \frac{4+0}{3})\)
\(\Rightarrow C(\frac{24}{3}, \frac{4}{3})\)
\(\Rightarrow C(8, \frac{4}{3})\)
এবং
\(D(\frac{2.0+1.12}{2+1}, \frac{2.4+1.0}{2+1})\)
\(\Rightarrow D(\frac{0+12}{3}, \frac{8+0}{3})\)
\(\Rightarrow D(\frac{12}{3}, \frac{8}{3})\)
\(\Rightarrow D(4, \frac{8}{3})\)
\(OC\) এর সমীকরণ ,
\(y=\frac{\frac{4}{3}}{8}x\) ➜ \(\because y=\frac{y_{1}}{x_{1}}x\)
\(\Rightarrow y=\frac{4}{3\times 8}x\)
\(\Rightarrow y=\frac{x}{3\times 2}\)
\(\Rightarrow y=\frac{x}{6}\)
\(\therefore x=6y\)
\(OD\) এর সমীকরণ ,
\(y=\frac{\frac{8}{3}}{4}x\) ➜ \(\because y=\frac{y_{1}}{x_{1}}x\)
\(\Rightarrow y=\frac{8}{3\times 4}x\)
\(\Rightarrow y=\frac{2x}{3}\)
\(\therefore 2x=3y\)
নির্ণেয় সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ \(x=6y, \ 2x=3y \)।
শর্তমতে,
\((1)\) ও \((2)\) সরলরেখা হলো।
\(x+y+3=0 ...........(1)\)
\(x-y+2=0 .............(2)\)
এখানে,
\(a_{1}=1, \ b_{1}=1, \ a_{2}=1, \ b_{2}=-1, \)
\(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=1.1+1.(-1)\)
\(=1-1\)
\(=0\)
\(\because a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=0 \therefore (1)\) ও \((2)\) সরলরেখা পরস্পর লম্ব। \(Q.4.(i).(b)\)
\((3)\) নং সরলরেখার সমীকরণ,
\(4x+3y+5=0 .............(3)\)
এবং \(A(1, 2)\)
\((3)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(4x+3y+k=0 .............(4)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((4)\) নং সরলরেখা \(A(1, 2)\) বিন্দুগামী,
\(\therefore 4.1+3.2+k=0\)
\(\Rightarrow 4+6+k=0\)
\(\Rightarrow 10+k=0\)
\(\Rightarrow k=-10\)
\(k\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে,
\(4x+3y-10=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ। \(Q.4.(i).(c)\)
\((4)\) নং সরলরেখার সমীকরণ,
\(x+3y-12=0 ..........(4)\)
\(\Rightarrow x+3y=12\)
\(\Rightarrow \frac{x}{12}+\frac{3y}{12}=\frac{12}{12}\) ➜ উভয় পার্শে \(12\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x}{12}+\frac{y}{4}=1 \)
\(\therefore (4)\) নং সরলরেখা অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A(12, 0)\) ও \(B(0, 4)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
শর্তমতে,
\(AB\) কে \(C\) এবং \(D\) বিন্দুদ্বয় যথাক্রমে \(1:2\) এবং \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore C(\frac{1.0+2.12}{1+2}, \frac{1.4+2.0}{1+2})\)
\(\Rightarrow C(\frac{0+24}{3}, \frac{4+0}{3})\)
\(\Rightarrow C(\frac{24}{3}, \frac{4}{3})\)
\(\Rightarrow C(8, \frac{4}{3})\)
এবং
\(D(\frac{2.0+1.12}{2+1}, \frac{2.4+1.0}{2+1})\)
\(\Rightarrow D(\frac{0+12}{3}, \frac{8+0}{3})\)
\(\Rightarrow D(\frac{12}{3}, \frac{8}{3})\)
\(\Rightarrow D(4, \frac{8}{3})\)
\(OC\) এর সমীকরণ ,
\(y=\frac{\frac{4}{3}}{8}x\) ➜ \(\because y=\frac{y_{1}}{x_{1}}x\)
\(\Rightarrow y=\frac{4}{3\times 8}x\)
\(\Rightarrow y=\frac{x}{3\times 2}\)
\(\Rightarrow y=\frac{x}{6}\)
\(\therefore x=6y\)
\(OD\) এর সমীকরণ ,
\(y=\frac{\frac{8}{3}}{4}x\) ➜ \(\because y=\frac{y_{1}}{x_{1}}x\)
\(\Rightarrow y=\frac{8}{3\times 4}x\)
\(\Rightarrow y=\frac{2x}{3}\)
\(\therefore 2x=3y\)
নির্ণেয় সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ \(x=6y, \ 2x=3y \)।
\(Q.4.(ii)\) । 
\(A\) ও \(B\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ \(3x-y+7=0\)
\((a)\) \(A\) ও \(B\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং \(AB\) সরলরেখার ঢাল নির্ণয় কর।
\((b)\) রেখাটির সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এবং \((-1, 2)\) বিন্দু দিয়ে যায় এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(AB\) রেখাংশকে কোনো বর্গের একটি বাহু কল্পনা করে ঐ বর্গের ক্ষেত্রফল এবং একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\(A\) ও \(B\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ \(3x-y+7=0\)
\((a)\) \(A\) ও \(B\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং \(AB\) সরলরেখার ঢাল নির্ণয় কর।
\((b)\) রেখাটির সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এবং \((-1, 2)\) বিন্দু দিয়ে যায় এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(AB\) রেখাংশকে কোনো বর্গের একটি বাহু কল্পনা করে ঐ বর্গের ক্ষেত্রফল এবং একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
\(Q.4.(ii).(a)\)
চিত্রে, \(A\) ও \(B\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ \(3x-y+7=0 ........(i)\)
\(\Rightarrow 3x-y=-7\)
\(\Rightarrow \frac{3x}{-7}-\frac{y}{-7}=\frac{-7}{-7}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\frac{-7}{3}}+\frac{y}{7}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-\frac{7}{3}}+\frac{y}{7}=1\)
\(\therefore A(-\frac{7}{3}, 0), \ B(0, 7)\)
\(AB\) এর ঢাল \(=-\frac{3}{-1}\)
\(=3\)
\(\therefore A\) ও \(B\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \( A(-\frac{7}{3}, 0), \ B(0, 7)\) এবং \(AB\) এর ঢাল \(=3\)। \(Q.4.(ii).(b)\)
\(AB\) এর ঢাল \(m_{1}=3\)
\((-1, 2)\) বিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-2=m(x+1) ..........(2)\)
\((2)\) এর ঢাল \(m_{2}=m\)
শর্তমতে,
\(\tan45^{o}=\pm \frac{3-m}{1+3.m}\) ➜ \(\because \tan\theta=\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}\)
\(\Rightarrow 1=\pm \frac{3-m}{1+3m}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{3-m}{1+3m}\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 1+3m=3-m\)
\(\Rightarrow 3m+m=3-1\)
\(\Rightarrow 4m=2\)
\(\Rightarrow m=\frac{2}{4}\)
\(\therefore m=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow 1=-\frac{3-m}{1+3m}\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 1+3m=-3+m\)
\(\Rightarrow 3m-m=-3-1\)
\(\Rightarrow 2m=-4\)
\(\Rightarrow m=\frac{-4}{2}\)
\(\therefore m=-2\)
\(m\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(y-2=\frac{1}{2}(x+1)\); যখন, \(m=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow 2(y-2)=x+1\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 2y-4=x+1\)
\(\Rightarrow x+1=2y-4\)
\(\Rightarrow x+1-2y+4=0\)
\(\therefore x-2y+5=0\)
আবার,
\(y-2=-2(x+1)\); যখন, \(m=-2\)
\(\Rightarrow y-2=-2x-2\)
\(\Rightarrow y-2+2x+2=0\)
\(\therefore 2x+y=0\)
\(\therefore \) সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ \( x-2y+5=0, \ 2x+y=0 \)। \(Q.4.(ii).(c)\)
\((a)\) হতে প্রাপ্ত \(A\) ও \(B\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \( A(-\frac{7}{3}, 0), \ B(0, 7)\)
\(\therefore AB=\sqrt{(-\frac{7}{3}-0)^{2}+(0-7)^{2}}\)
\(=\sqrt{(-\frac{7}{3})^{2}+(-7)^{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{49}{9}+49}\)
\(=\sqrt{49(\frac{1}{9}+1)}\)
\(=\sqrt{7^{2}\times (\frac{1+9}{9})}\)
\(=7\sqrt{\frac{10}{9}}\)
\(=\frac{7}{3}\sqrt{10}\)
\(=\frac{7\sqrt{10}}{3}\)
\(\therefore \) বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল \(=(\frac{7\sqrt{10}}{3})^{2}\)
\(=\frac{49\times 10}{9}\)
\(=\frac{490}{9}\)
\(=54\frac{4}{9}\)বর্গ একক।
আবার,
কর্ণের দৈর্ঘ্য \(=\frac{7\sqrt{10}}{3}\times \sqrt{2}\)
\(=\frac{7\sqrt{20}}{3}\)
\(=\frac{7\sqrt{4\times 5}}{3}\)
\(=\frac{7\times 2\sqrt{5}}{3}\)
\(=\frac{14\sqrt{5}}{3}\) একক।
চিত্রে, \(A\) ও \(B\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ \(3x-y+7=0 ........(i)\)
\(\Rightarrow 3x-y=-7\)
\(\Rightarrow \frac{3x}{-7}-\frac{y}{-7}=\frac{-7}{-7}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\frac{-7}{3}}+\frac{y}{7}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-\frac{7}{3}}+\frac{y}{7}=1\)
\(\therefore A(-\frac{7}{3}, 0), \ B(0, 7)\)
\(AB\) এর ঢাল \(=-\frac{3}{-1}\)
\(=3\)
\(\therefore A\) ও \(B\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \( A(-\frac{7}{3}, 0), \ B(0, 7)\) এবং \(AB\) এর ঢাল \(=3\)। \(Q.4.(ii).(b)\)
\(AB\) এর ঢাল \(m_{1}=3\)
\((-1, 2)\) বিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-2=m(x+1) ..........(2)\)
\((2)\) এর ঢাল \(m_{2}=m\)
শর্তমতে,
\(\tan45^{o}=\pm \frac{3-m}{1+3.m}\) ➜ \(\because \tan\theta=\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}\)
\(\Rightarrow 1=\pm \frac{3-m}{1+3m}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{3-m}{1+3m}\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 1+3m=3-m\)
\(\Rightarrow 3m+m=3-1\)
\(\Rightarrow 4m=2\)
\(\Rightarrow m=\frac{2}{4}\)
\(\therefore m=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow 1=-\frac{3-m}{1+3m}\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 1+3m=-3+m\)
\(\Rightarrow 3m-m=-3-1\)
\(\Rightarrow 2m=-4\)
\(\Rightarrow m=\frac{-4}{2}\)
\(\therefore m=-2\)
\(m\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(y-2=\frac{1}{2}(x+1)\); যখন, \(m=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow 2(y-2)=x+1\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 2y-4=x+1\)
\(\Rightarrow x+1=2y-4\)
\(\Rightarrow x+1-2y+4=0\)
\(\therefore x-2y+5=0\)
আবার,
\(y-2=-2(x+1)\); যখন, \(m=-2\)
\(\Rightarrow y-2=-2x-2\)
\(\Rightarrow y-2+2x+2=0\)
\(\therefore 2x+y=0\)
\(\therefore \) সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ \( x-2y+5=0, \ 2x+y=0 \)। \(Q.4.(ii).(c)\)
\((a)\) হতে প্রাপ্ত \(A\) ও \(B\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \( A(-\frac{7}{3}, 0), \ B(0, 7)\)
\(\therefore AB=\sqrt{(-\frac{7}{3}-0)^{2}+(0-7)^{2}}\)
\(=\sqrt{(-\frac{7}{3})^{2}+(-7)^{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{49}{9}+49}\)
\(=\sqrt{49(\frac{1}{9}+1)}\)
\(=\sqrt{7^{2}\times (\frac{1+9}{9})}\)
\(=7\sqrt{\frac{10}{9}}\)
\(=\frac{7}{3}\sqrt{10}\)
\(=\frac{7\sqrt{10}}{3}\)
\(\therefore \) বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল \(=(\frac{7\sqrt{10}}{3})^{2}\)
\(=\frac{49\times 10}{9}\)
\(=\frac{490}{9}\)
\(=54\frac{4}{9}\)বর্গ একক।
আবার,
কর্ণের দৈর্ঘ্য \(=\frac{7\sqrt{10}}{3}\times \sqrt{2}\)
\(=\frac{7\sqrt{20}}{3}\)
\(=\frac{7\sqrt{4\times 5}}{3}\)
\(=\frac{7\times 2\sqrt{5}}{3}\)
\(=\frac{14\sqrt{5}}{3}\) একক।
\(Q.4.(iii)\)
\(ABCD\) রম্বসের তিনটি শীর্ষবিন্দু \(A(2, 5)\), \(B(5, 9)\) এবং \(D(6, 8)\) ।
\((a)\) তিনটি বিন্দুর সমরেখ হওয়ার শর্তটি লিখ এবং \(\triangle ABD\) এর ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) রম্বসের চতুর্থ শীর্ষবিন্দু \(C\) এর স্থানাঙ্ক এবং রম্বসটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((c)\) মূলবিন্দু হতে \(BD\) রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর এবং এর সাহায্যে মূলবিন্দু হতে \(BD\) রেখার লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\(ABCD\) রম্বসের তিনটি শীর্ষবিন্দু \(A(2, 5)\), \(B(5, 9)\) এবং \(D(6, 8)\) ।
\((a)\) তিনটি বিন্দুর সমরেখ হওয়ার শর্তটি লিখ এবং \(\triangle ABD\) এর ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) রম্বসের চতুর্থ শীর্ষবিন্দু \(C\) এর স্থানাঙ্ক এবং রম্বসটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((c)\) মূলবিন্দু হতে \(BD\) রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর এবং এর সাহায্যে মূলবিন্দু হতে \(BD\) রেখার লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
\(Q.4.(iii).(a)\) তিনটি বিন্দু \(P, Q, R\) সমরেখ হবে যদি তারা একই সরলরেখায় অবস্থান করে অর্থাৎ \(\triangle PQR=0\) হয়।
দেওয়া আছ,
\(A(2, 5)\), \(B(5, 9)\) এবং \(D(6, 8)\) ।
\(\triangle ABD\) এর ভরকেন্দ্র \(G(\frac{2+5+6}{3}, \frac{5+9+8}{3})\)
\(\Rightarrow G(\frac{13}{3}, \frac{22}{3})\)
\(\therefore \) ভরকেন্দ্র \(G(\frac{13}{3}, \frac{22}{3})\) \(Q.4.(iii).(b)\)
দেওয়া আছ,
\(ABCD\) রম্বসের তিনটি শীর্ষবিন্দু \(A(2, 5)\), \(B(5, 9)\) এবং \(D(6, 8)\) ।
ধরি, রম্বসের চতুর্থ শীর্ষবিন্দু \(C(x, y)\)
\(AC\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{2+x}{2}, \frac{5+y}{2})\)
\(BD\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{5+6}{2}, \frac{9+8}{2})\)
\(\Rightarrow E(\frac{11}{2}, \frac{17}{2})\)
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে,
\(\therefore E(\frac{2+x}{2}, \frac{5+y}{2})\Rightarrow E(\frac{11}{2}, \frac{17}{2})\)
\(\Rightarrow \frac{2+x}{2}=\frac{11}{2}, \frac{5+y}{2}=\frac{17}{2}\)
\(\Rightarrow 2+x=11, 5+y=17\)
\(\Rightarrow x=11-2, y=17-5\)
\(\Rightarrow x=9, y=12\)
\(\therefore \) রম্বসের চতুর্থ শীর্ষবিন্দু \(C(9, 12)\).
\(ABCD\) রম্বসের ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\times AC\times BD\)
\(=\frac{1}{2}\times \{\sqrt{(2-9)^{2}+(5-12)^{2}}\}\times \{\sqrt{(5-6)^{2}+(9-8)^{2}}\}\)
\(=\frac{1}{2}\times \{\sqrt{(-7)^{2}+(-7)^{2}}]\times \{\sqrt{(-1)^{2}+(1)^{2}}\}\)
\(=\frac{1}{2}\times \{\sqrt{(49+49}]\times \{\sqrt{1+1}\}\)
\(=\frac{1}{2}\times \{\sqrt{2\times 49}\}\times \{\sqrt{2}\}\)
\(=\frac{1}{2}\times \{7\sqrt{2}]\times \{\sqrt{2}\}\)
\(=\frac{1}{2}\times 7\times 2\)
\(=7\) বর্গ একক। \(Q.4.(iii).(c)\)
দেওয়া আছ,
\(B(5, 9)\) এবং \(D(6, 8)\) ।
\(BD\) এর সমীকরণ, \(\frac{x-5}{5-6}=\frac{y-9}{9-8}\)
\(\Rightarrow \frac{x-5}{-1}=\frac{y-9}{1}\)
\(\Rightarrow x-5=-(y-9)\)
\(\Rightarrow x-5=-y+9\)
\(\Rightarrow x-5+y-9=0\)
\(\therefore x+y-14=0 ........(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x-y+k=0 ........(2)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা মূলবিন্দুগামী,
\(\therefore 0-0+k=0\)
\(\Rightarrow k=0\)
\(k\)এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(x-y+0=0\)
\(\Rightarrow x-y=0 ........(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((1)+(3)\) এর সাহায্যে,
\(x+y-14+x-y=0\)
\(\Rightarrow 2x-14=0\)
\(\Rightarrow 2x=14\)
\(\Rightarrow x=\frac{14}{2}\)
\(\Rightarrow x=7\)
\((3)\) হতে,
\(7-y=0 \)
\(\Rightarrow 7=y \)
\(\therefore y=7 \)
\(\therefore \) পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(P(7, 7)\)
এবং লম্ব দূরত্ব \(OP=\sqrt{(0-7)^{2}+(0-7)^{2}}\)
\(=\sqrt{(-7)^{2}+(-7)^{2}}\)
\(=\sqrt{49+49}\)
\(=\sqrt{2\times 49}\)
\(=7\sqrt{2}\) একক।
দেওয়া আছ,
\(A(2, 5)\), \(B(5, 9)\) এবং \(D(6, 8)\) ।
\(\triangle ABD\) এর ভরকেন্দ্র \(G(\frac{2+5+6}{3}, \frac{5+9+8}{3})\)
\(\Rightarrow G(\frac{13}{3}, \frac{22}{3})\)
\(\therefore \) ভরকেন্দ্র \(G(\frac{13}{3}, \frac{22}{3})\) \(Q.4.(iii).(b)\)
দেওয়া আছ,
\(ABCD\) রম্বসের তিনটি শীর্ষবিন্দু \(A(2, 5)\), \(B(5, 9)\) এবং \(D(6, 8)\) ।
ধরি, রম্বসের চতুর্থ শীর্ষবিন্দু \(C(x, y)\)
\(AC\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{2+x}{2}, \frac{5+y}{2})\)
\(BD\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{5+6}{2}, \frac{9+8}{2})\)
\(\Rightarrow E(\frac{11}{2}, \frac{17}{2})\)
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে,
\(\therefore E(\frac{2+x}{2}, \frac{5+y}{2})\Rightarrow E(\frac{11}{2}, \frac{17}{2})\)
\(\Rightarrow \frac{2+x}{2}=\frac{11}{2}, \frac{5+y}{2}=\frac{17}{2}\)
\(\Rightarrow 2+x=11, 5+y=17\)
\(\Rightarrow x=11-2, y=17-5\)
\(\Rightarrow x=9, y=12\)
\(\therefore \) রম্বসের চতুর্থ শীর্ষবিন্দু \(C(9, 12)\).
\(ABCD\) রম্বসের ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\times AC\times BD\)
\(=\frac{1}{2}\times \{\sqrt{(2-9)^{2}+(5-12)^{2}}\}\times \{\sqrt{(5-6)^{2}+(9-8)^{2}}\}\)
\(=\frac{1}{2}\times \{\sqrt{(-7)^{2}+(-7)^{2}}]\times \{\sqrt{(-1)^{2}+(1)^{2}}\}\)
\(=\frac{1}{2}\times \{\sqrt{(49+49}]\times \{\sqrt{1+1}\}\)
\(=\frac{1}{2}\times \{\sqrt{2\times 49}\}\times \{\sqrt{2}\}\)
\(=\frac{1}{2}\times \{7\sqrt{2}]\times \{\sqrt{2}\}\)
\(=\frac{1}{2}\times 7\times 2\)
\(=7\) বর্গ একক। \(Q.4.(iii).(c)\)
দেওয়া আছ,
\(B(5, 9)\) এবং \(D(6, 8)\) ।
\(BD\) এর সমীকরণ, \(\frac{x-5}{5-6}=\frac{y-9}{9-8}\)
\(\Rightarrow \frac{x-5}{-1}=\frac{y-9}{1}\)
\(\Rightarrow x-5=-(y-9)\)
\(\Rightarrow x-5=-y+9\)
\(\Rightarrow x-5+y-9=0\)
\(\therefore x+y-14=0 ........(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x-y+k=0 ........(2)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা মূলবিন্দুগামী,
\(\therefore 0-0+k=0\)
\(\Rightarrow k=0\)
\(k\)এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(x-y+0=0\)
\(\Rightarrow x-y=0 ........(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((1)+(3)\) এর সাহায্যে,
\(x+y-14+x-y=0\)
\(\Rightarrow 2x-14=0\)
\(\Rightarrow 2x=14\)
\(\Rightarrow x=\frac{14}{2}\)
\(\Rightarrow x=7\)
\((3)\) হতে,
\(7-y=0 \)
\(\Rightarrow 7=y \)
\(\therefore y=7 \)
\(\therefore \) পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(P(7, 7)\)
এবং লম্ব দূরত্ব \(OP=\sqrt{(0-7)^{2}+(0-7)^{2}}\)
\(=\sqrt{(-7)^{2}+(-7)^{2}}\)
\(=\sqrt{49+49}\)
\(=\sqrt{2\times 49}\)
\(=7\sqrt{2}\) একক।
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000004