এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
- সমান্তরাল সরলরেখা
- সরলরেখার ধনাত্মক ও ঋণাত্মক পার্শ
- কোনো সরলরেখার সাপেক্ষে মূলবিন্দুর অবস্থান
- একটি নির্দিষ্ট বিন্দু হতে একটি সরলরেখার লম্ব দূরত্ব
- মূলবিন্দু হতে একটি সরলরেখার লম্ব দূরত্ব
- দুইটি সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব
- দুইটি পরস্পরছেদী সরলরেখার অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ
- একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটি এবং বাহুগুলির মাধ্যমে ত্রিভুজটির অন্তঃকেন্দ্র নির্ণয়
- \(ax+by+c=0\) সরলরেখার সমান্তরাল এবং \(d\) একক দূরবর্তী সরলরেখার সমীকরণ
- দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুর একটি নির্দিষ্ট সরলরেখা সাপেক্ষে অবস্থান
- দুইটি পরস্পরছেদী সরলরেখার অন্তর্ভুক্ত স্থুলকোণের বা, সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ
- একটি নির্দিষ্ট বিন্দুধারী কোণ ও নির্দিষ্ট বিন্দুধারী কোণের সমদ্বিখন্ডিক সরলরেখার সমীকরণ
- মূলবিন্দুধারী কোণ ও মূলবিন্দুধারী কোণের সমদ্বিখন্ডিক সরলরেখার সমীকরণ
- সরলরেখার প্রতিচ্ছবি
- দুইটি পরস্পরছেদী সরলরেখার সাপেক্ষে একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর অবস্থান
- একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুর সাপেক্ষে এর কোণগুলি সম্পর্কে ধারণা জ্ঞাপন
- সমাধানকৃত উদাহরণমালা
- অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন-উত্তর
- সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন-উত্তর
- বর্ণনামূলক প্রশ্ন-উত্তর
- সৃজনশীল প্রশ্ন এবং সমাধান
সমান্তরাল সরলরেখাঃ
যদি একই সমতলে অবস্থিত দুই বা ততোধিক সরলরেখা চলার পথে পরস্পরকে কোথাও স্পর্শ না করে সর্বদা সমান দূরত্ব বজায় রেখে চলে তবে তাদেরকে সমান্তরাল সরলরেখা বলা হয়।
আবার, প্রত্যেক সরলরেখা তার নিজের সমান্তরাল। এক্ষেত্রে সমান্তরাল সরলরেখাগুলি মিলিত হয়।
সমান্তরাল রেখাগুলি নির্দিষ্ট পরিস্থিতিতে, দেখা করতে পারে।
দৃষ্টান্তঃ একই সমতলে অবস্থিত দীর্ঘ্য সোজা দুইটি রেল-লাইন অসীম দূরত্বে মিলিত হয়েছে বলে দেখা যায়। অর্থাৎ কাল্পনিকভাবে সমান্তরাল সরলরেখাগুলি মিলিত হতে পারে।
আবার, প্রত্যেক সরলরেখা তার নিজের সমান্তরাল। এক্ষেত্রে সমান্তরাল সরলরেখাগুলি মিলিত হয়।
সমান্তরাল রেখাগুলি নির্দিষ্ট পরিস্থিতিতে, দেখা করতে পারে।
দৃষ্টান্তঃ একই সমতলে অবস্থিত দীর্ঘ্য সোজা দুইটি রেল-লাইন অসীম দূরত্বে মিলিত হয়েছে বলে দেখা যায়। অর্থাৎ কাল্পনিকভাবে সমান্তরাল সরলরেখাগুলি মিলিত হতে পারে।
মূলবিন্দু সাপেক্ষে সরলরেখার ধনাত্মক ও ঋণাত্মক পার্শঃ
\(ax+by+c=0\) সরলরেখার যে কোনো পার্শের যে কোনো বিন্দু \((x_{1}, y_{1})\) এর জন্য যদি \(ax_{1}+by_{1}+c\) সর্বদা ধনাত্মক হয় তবে ঐ পার্শটিকে \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দু সাপেক্ষে সরলরেখাটির ধনাত্মক পার্শ এবং তার বিপরীত পার্শটিকে ঋনাত্মক পার্শ বলা হয়।
\(ax+by+c=0\) সরলরেখার যে কোনো পার্শের যে কোনো বিন্দু \((x_{1}, y_{1})\) এর জন্য যদি \(ax_{1}+by_{1}+c\) সর্বদা ধনাত্মক হয় তবে ঐ পার্শটিকে \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দু সাপেক্ষে সরলরেখাটির ধনাত্মক পার্শ এবং তার বিপরীত পার্শটিকে ঋনাত্মক পার্শ বলা হয়। কোনো সরলরেখার সাপেক্ষে মূলবিন্দুর অবস্থানঃ
যদি \(ax+by+c=0\) সমীকরণের \(c\) ধনাত্মক হয়, তবে মূলবিন্দু \(ax+by+c=0\) সরলরেখার ধনাত্মক পার্শে এবং \(c\) ঋনাত্মক হলে, মূলবিন্দু রেখাটির ঋনাত্মক পার্শে অবস্থিত হবে।
যদি \(ax+by+c=0\) সমীকরণের \(c\) ধনাত্মক হয়, তবে মূলবিন্দু \(ax+by+c=0\) সরলরেখার ধনাত্মক পার্শে এবং \(c\) ঋনাত্মক হলে, মূলবিন্দু রেখাটির ঋনাত্মক পার্শে অবস্থিত হবে।
মূলবিন্দু ও অপর যে কোনো বিন্দুর অবস্থানঃ
\(ax+by+c=0\) সরলরেখার ক্ষেত্রে, যদি \(ax_{1}+by_{1}+c\) এবং \(c\) একই চিহ্নবিশিষ্ট হয় তবে মূলবিন্দু এবং \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দু সরলরেখাটির একই পার্শে অবস্থিত হবে। আর যদি বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট হয় তবে মূলবিন্দু এবং \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দু সরলরেখাটির বিপরীত পার্শে অবস্থিত হবে।
\(ax+by+c=0\) সরলরেখার ক্ষেত্রে, যদি \(ax_{1}+by_{1}+c\) এবং \(c\) একই চিহ্নবিশিষ্ট হয় তবে মূলবিন্দু এবং \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দু সরলরেখাটির একই পার্শে অবস্থিত হবে। আর যদি বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট হয় তবে মূলবিন্দু এবং \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দু সরলরেখাটির বিপরীত পার্শে অবস্থিত হবে।
লম্ব দূরত্ব
\(1.\) একটি নির্দিষ্ট বিন্দু হতে একটি সরলরেখার লম্ব দূরত্ব।
\((x_{1}, y_{1})\) বিন্দু থেকে \(ax+by+c=0\) সরলরেখার লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{\left|ax_{1}+by_{1}+c\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(2.\) মূলবিন্দু হতে একটি সরলরেখার লম্ব দূরত্ব।
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) বিন্দু থেকে \(ax+by+c=0\) সরলরেখার লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{\left|c \right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(3.\) দুইটি সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব।
\(ax+by+c_{1}=0\) ও \(ax+by+c_{2}=0\) সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{\left|c_{1}-c_{2}\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(4.\) দুইটি পরস্পরছেদী সরলরেখার অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ।
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ,
\(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=\pm \frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\).\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ,
\(5.\) একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটি এবং বাহুগুলির মাধ্যমে ত্রিভুজটির অন্তঃকেন্দ্র নির্ণয়।
\(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু তিনটি \((x_{1}, y_{1})\), \((x_{2}, y_{2})\) এবং \((x_{3}, y_{3})\) এবং বাহুগুলি \(BC=a, \ CA=b, \ AB=c \) হলে, এর অন্তঃকেন্দ্র,
\(I\left(\frac{ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}}{a+b+c}, \frac{ay_{1}+by_{2}+cy_{3}}{a+b+c}\right)\).
\(6.\) \(ax+by+c=0\) সরলরেখার সমান্তরাল এবং \(d\) একক দূরবর্তী সরলরেখার সমীকরণঃ
\(ax+by+c\pm d\sqrt{a^{2}+b^{2}}=0\).
দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুর একটি নির্দিষ্ট সরলরেখা সাপেক্ষে অবস্থানঃ
\(7.\) \((x_{1}, y_{1})\) এবং \((x_{2}, y_{2})\) বিন্দুদ্বয় \(ax+by+c=0\) সরলরেখার একই পার্শে অথবা বিপরীত পার্শে অবস্থিত কিনা তা নির্ণয়ঃ
ধরি,
\(f(x,y)\equiv ax+by+c=0 ......(1)\)
\(P(x_{1}, y_{1})\)
\(Q(x_{2}, y_{2})\)
\((a)\) \(f(x_{1},y_{1})\) এবং \(f(x_{2},y_{2})\) রাশিদ্বয় একই চিহ্ন বিশিষ্ট হলে, \(P\) ও \(Q\) বিন্দুদ্বয় \((1)\) নং সরলরেখার একই পার্শে অবস্থান করবে।
\(f(x,y)\equiv ax+by+c=0 ......(1)\)
\(P(x_{1}, y_{1})\)
\(Q(x_{2}, y_{2})\)
\((a)\) \(f(x_{1},y_{1})\) এবং \(f(x_{2},y_{2})\) রাশিদ্বয় একই চিহ্ন বিশিষ্ট হলে, \(P\) ও \(Q\) বিন্দুদ্বয় \((1)\) নং সরলরেখার একই পার্শে অবস্থান করবে।
\((b)\) \(f(x_{1},y_{1})\) এবং \(f(x_{2},y_{2})\) রাশিদ্বয় বিপরীত চিহ্ন বিশিষ্ট হলে, \(P\) ও \(Q\) বিন্দুদ্বয় \((1)\) নং সরলরেখার বিপরীত পার্শে অবস্থান করবে। অনুসিদ্ধান্তঃ
\(8.\) দুইটি পরস্পরছেদী সরলরেখার অন্তর্ভুক্ত স্থুলকোণের বা, সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ।
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
\((a)\) যদি,\( (a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2})>0\) হয়, তবে
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত স্থুলকোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখার সমীকরণ,
\(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\).
এবং
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখার সমীকরণ,
\(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=-\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\).
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
\((a)\) যদি,\( (a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2})>0\) হয়, তবে
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত স্থুলকোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখার সমীকরণ,
\(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\).
এবং
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখার সমীকরণ,
\(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=-\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\).
\((b)\) যদি,\( 0>(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2})\) হয়, তবে
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত স্থুলকোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখার সমীকরণ,
\(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=-\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\).
এবং
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখার সমীকরণ,
\(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\).
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত স্থুলকোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখার সমীকরণ,
\(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=-\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\).
এবং
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখার সমীকরণ,
\(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\).
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(9.\) একটি নির্দিষ্ট বিন্দুধারী কোণ ও নির্দিষ্ট বিন্দুধারী কোণের সমদ্বিখন্ডিক সরলরেখার সমীকরণ।
\(f(x,y)\equiv a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0\)\(g(x,y)\equiv a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0\)
\((a)\) যদি,\( f(\alpha,\beta)\times g(\alpha,\beta)>0\) হয়, তবে \(f(x,y)\) ও \(g(x,y)\) রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণদ্বয়ের \(P(\alpha,\beta)\) বিন্দুধারী কোণটির সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ হবে,
\((b)\) যদি, \( f(\alpha,\beta)\times g(\alpha,\beta) < 0 \) হয়, তবে
\(f(x,y)\) ও \(g(x,y)\) রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণদ্বয়ের \(P(\alpha,\beta)\) বিন্দুধারী কোণটির সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ হবে,
\(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=-\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\)
\(f(x,y)\) ও \(g(x,y)\) রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণদ্বয়ের \(P(\alpha,\beta)\) বিন্দুধারী কোণটির সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ হবে,\(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=-\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(10.\) মূলবিন্দুধারী কোণ ও মূলবিন্দুধারী কোণের সমদ্বিখন্ডিক সরলরেখার সমীকরণ।
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ......(1)\)\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 .......(2)\)
\((a)\) যদি,\( c_{1}\) ও \( c_{2}\) সমচিহ্নযুক্ত হয়, তবে
\((1)\) ও \((2)\) রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণদ্বয়ের মূলবিন্দুধারী কোণটির সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ হবে,
\(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\)
\((b)\) যদি, \( c_{1}\) ও \( c_{2}\) বিপরীত চিহ্নযুক্ত হয়, তবে
\((1)\) ও \((2)\) রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণদ্বয়ের মূলবিন্দুধারী কোণটির সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ হবে,
\(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=-\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\)
\((1)\) ও \((2)\) রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণদ্বয়ের মূলবিন্দুধারী কোণটির সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ হবে,
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(11.\) সরলরেখার প্রতিচ্ছবি।
\(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=\pm \frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\) রেখাদ্বয়ের সাপেক্ষে \(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0\) ও \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0\) রেখা দুইটি পরস্পর প্রতিচ্ছবি অনুসিদ্ধান্তঃ
\(12.\) দুইটি পরস্পরছেদী সরলরেখার সাপেক্ষে একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর অবস্থান।
\((a)\) যদি,\( (a_{1}\acute{x}+ b_{1}\acute{y}+c_{1})(a_{2}\acute{x}+ b_{2}\acute{y}+c_{2})(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2})>0\) হয়, তবে\(P(\acute{x}, \acute{y})\) বিন্দুটি \(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0\) ও \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0\) রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত স্থুলকোণের মধ্যে অবস্থিত হবে।
\((b)\) যদি,\( 0>(a_{1}\acute{x}+ b_{1}\acute{y}+c_{1})(a_{2}\acute{x}+ b_{2}\acute{y}+c_{2})(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2})\) হয়, তবে
\(P(\acute{x}, \acute{y})\) বিন্দুটি \(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0\) ও \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0\) রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্মকোণের মধ্যে অবস্থিত হবে।
\(P(\acute{x}, \acute{y})\) বিন্দুটি \(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0\) ও \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0\) রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্মকোণের মধ্যে অবস্থিত হবে।
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(13.\) একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুর সাপেক্ষে এর কোণগুলি সম্পর্কে ধারণা জ্ঞাপন।
\(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটি \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\), \(C(x_{3}, y_{3})\)।\((a)\) যদি,\( (x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})+(y_{1}-y_{2})(y_{1}-y_{3})>0\) হয়, তবে \(\angle A\) হবে সূক্ষ্মকোণ।
\((b)\) যদি,\( 0>(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})+(y_{1}-y_{2})(y_{1}-y_{3})\) হয়, তবে \(\angle A\) হবে স্থুলকোণ।
\(1.\) \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দু থেকে \(ax+by+c=0\) সরলরেখার লম্ব দূরত্ব নির্ণয়ঃ
ধরি,
\(P(x_{1}, y_{1})\)
\(ax+by+c=0 ..............(1)\)
\((1)\) এর উপর যে কোনো বিন্দু \(Q(x_{2}, y_{2})\)
\((1)\) এর ঢাল \(m_{1}=-\frac{a}{b}\)
\(PQ\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\)
শর্তমতে,
\((1)\) সরলরেখা এবং \(PQ\) রেখাংশ পরস্পর লম্ব।
\(\therefore m_{1}\times m_{2}=-1\)
\(\Rightarrow -\frac{a}{b}\times \frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{ay_{1}-ay_{2}}{bx_{1}-bx_{2}}=1\)
\(\Rightarrow ay_{1}-ay_{2}=bx_{1}-bx_{2}\)
\(\Rightarrow ay_{1}-ay_{2}-bx_{1}+bx_{2}=0\)
\(\Rightarrow bx_{2}-bx_{1}+ay_{1}-ay_{2}=0 ...........(2)\)
আবার,
\(Q\) বিন্দুটি \((1)\) এর উপর অবস্থিত।
\(\therefore ax_{2}+by_{2}+c=0 ......(3)\)
\((2)\) ও \((3)\) সমাধান করে \(x_{2}\) ও \(y_{2}\) এর মান নির্ণয় করি।
\((2)\times b+(3)\times a\) এর সাহায্যে,
\(b^{2}x_{2}-b^{2}x_{1}+aby_{1}-aby_{2}+a^{2}x_{2}+aby_{2}+ac=0\)
\(\Rightarrow b^{2}x_{2}-b^{2}x_{1}+aby_{1}+a^{2}x_{2}+ac=0\)
\(\Rightarrow x_{2}(b^{2}+a^{2})=b^{2}x_{1}-aby_{1}-ac\)
\(\therefore x_{2}=\frac{b^{2}x_{1}-aby_{1}-ac}{b^{2}+a^{2}}\)
\((2)\times a-(3)\times b\) এর সাহায্যে,
\(ab^{2}x_{2}-abx_{1}+a^{2}y_{1}-a^{2}y_{2}-abx_{2}-b^{2}y_{2}-bc=0\)
\(\Rightarrow -abx_{1}+a^{2}y_{1}-a^{2}y_{2}-b^{2}y_{2}-bc=0\)
\(\Rightarrow -y_{2}(a^{2}+b^{2})=abx_{1}-a^{2}y_{1}+bc\)
\(\therefore y_{2}=-\frac{abx_{1}-a^{2}y_{1}+bc}{a^{2}+b^{2}}\)
এখন,
লম্ব দূরত্ব
\(d=PQ=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}\)
\(=\sqrt{(x_{1}-\frac{b^{2}x_{1}-aby_{1}-ac}{b^{2}+a^{2}})^{2}+(y_{1}+\frac{abx_{1}-a^{2}y_{1}+bc}{a^{2}+b^{2}})^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{b^{2}x_{1}+a^{2}x_{1}-b^{2}x_{1}+aby_{1}+ac}{a^{2}+b^{2}})^{2}+(\frac{a^{2}y_{1}+b^{2}y_{1}+abx_{1}-a^{2}y_{1}+bc}{a^{2}+b^{2}})^{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{(a^{2}x_{1}+aby_{1}+ac)^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}+\frac{(b^{2}y_{1}+abx_{1}+bc)^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}\)
\(=\sqrt{\frac{a^{2}(ax_{1}+by_{1}+c)^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}+\frac{b^{2}(ax_{1}+by_{1}+c)^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}\)
\(=\sqrt{\frac{(ax_{1}+by_{1}+c)^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}\times (a^{2}+b^{2})}\)
\(=\sqrt{\frac{(ax_{1}+by_{1}+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\)
\(=\frac{\left|ax_{1}+by_{1}+c\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(\therefore \) লম্ব দূরত্ব \(d=\frac{\left|ax_{1}+by_{1}+c\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(P(x_{1}, y_{1})\)
\(ax+by+c=0 ..............(1)\)
\((1)\) এর উপর যে কোনো বিন্দু \(Q(x_{2}, y_{2})\)
\((1)\) এর ঢাল \(m_{1}=-\frac{a}{b}\)
\(PQ\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\)
শর্তমতে,
\((1)\) সরলরেখা এবং \(PQ\) রেখাংশ পরস্পর লম্ব।
\(\therefore m_{1}\times m_{2}=-1\)
\(\Rightarrow -\frac{a}{b}\times \frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{ay_{1}-ay_{2}}{bx_{1}-bx_{2}}=1\)
\(\Rightarrow ay_{1}-ay_{2}=bx_{1}-bx_{2}\)
\(\Rightarrow ay_{1}-ay_{2}-bx_{1}+bx_{2}=0\)
\(\Rightarrow bx_{2}-bx_{1}+ay_{1}-ay_{2}=0 ...........(2)\)
আবার,
\(Q\) বিন্দুটি \((1)\) এর উপর অবস্থিত।
\(\therefore ax_{2}+by_{2}+c=0 ......(3)\)
\((2)\) ও \((3)\) সমাধান করে \(x_{2}\) ও \(y_{2}\) এর মান নির্ণয় করি।
\((2)\times b+(3)\times a\) এর সাহায্যে,
\(b^{2}x_{2}-b^{2}x_{1}+aby_{1}-aby_{2}+a^{2}x_{2}+aby_{2}+ac=0\)
\(\Rightarrow b^{2}x_{2}-b^{2}x_{1}+aby_{1}+a^{2}x_{2}+ac=0\)
\(\Rightarrow x_{2}(b^{2}+a^{2})=b^{2}x_{1}-aby_{1}-ac\)
\(\therefore x_{2}=\frac{b^{2}x_{1}-aby_{1}-ac}{b^{2}+a^{2}}\)
\((2)\times a-(3)\times b\) এর সাহায্যে,
\(ab^{2}x_{2}-abx_{1}+a^{2}y_{1}-a^{2}y_{2}-abx_{2}-b^{2}y_{2}-bc=0\)
\(\Rightarrow -abx_{1}+a^{2}y_{1}-a^{2}y_{2}-b^{2}y_{2}-bc=0\)
\(\Rightarrow -y_{2}(a^{2}+b^{2})=abx_{1}-a^{2}y_{1}+bc\)
\(\therefore y_{2}=-\frac{abx_{1}-a^{2}y_{1}+bc}{a^{2}+b^{2}}\)
এখন,
লম্ব দূরত্ব
\(d=PQ=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}\)
\(=\sqrt{(x_{1}-\frac{b^{2}x_{1}-aby_{1}-ac}{b^{2}+a^{2}})^{2}+(y_{1}+\frac{abx_{1}-a^{2}y_{1}+bc}{a^{2}+b^{2}})^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{b^{2}x_{1}+a^{2}x_{1}-b^{2}x_{1}+aby_{1}+ac}{a^{2}+b^{2}})^{2}+(\frac{a^{2}y_{1}+b^{2}y_{1}+abx_{1}-a^{2}y_{1}+bc}{a^{2}+b^{2}})^{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{(a^{2}x_{1}+aby_{1}+ac)^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}+\frac{(b^{2}y_{1}+abx_{1}+bc)^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}\)
\(=\sqrt{\frac{a^{2}(ax_{1}+by_{1}+c)^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}+\frac{b^{2}(ax_{1}+by_{1}+c)^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}\)
\(=\sqrt{\frac{(ax_{1}+by_{1}+c)^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}\times (a^{2}+b^{2})}\)
\(=\sqrt{\frac{(ax_{1}+by_{1}+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\)
\(=\frac{\left|ax_{1}+by_{1}+c\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(\therefore \) লম্ব দূরত্ব \(d=\frac{\left|ax_{1}+by_{1}+c\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
বিকল্প পদ্ধতিঃ
ধরি,
\(P(x_{1}, y_{1})\)
\(ax+by+c=0 .........(1)\)
\(P\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব \(d\).
\((1)\) হতে,
\(ax+by=-c\)
\(\Rightarrow \frac{ax}{-c}+\frac{by}{-c}=\frac{-c}{-c}\) ➜ উভয় পার্শে \(-c\) ভাগ করে
\(\Rightarrow \frac{x}{\frac{-c}{a}}+\frac{y}{\frac{-c}{b}}=1\)
\(\therefore (1)\) নং সরলরেখা অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A(-\frac{c}{a}, 0)\) ও \(B(0, -\frac{c}{b})\) বিন্দুতে ছেদ করে।
এখন,
\(\triangle ABP=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}-\frac{c}{a} \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ x_{1} \ \ \ -\frac{c}{a}\\ 0 \ -\frac{c}{b} \ \ \ \ \ y_{1} \ \ \ \ \ \ \ \ 0\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{(\frac{c^{2}}{ab}-0)+(0+\frac{cx_{1}}{b})+(0+\frac{cy_{1}}{a})\}\)
\(=\frac{1}{2}\{\frac{c^{2}}{ab}+\frac{cx_{1}}{b}+\frac{cy_{1}}{a}\}\)
\(=\frac{1}{2}\times \frac{c}{ab}\{c+ax_{1}+by_{1}\}\)
\(=\frac{c}{2ab}(ax_{1}+by_{1}+c)\)
\(AB=\sqrt{(-\frac{c}{a}-0)^{2}+(0+\frac{c}{b})^{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}}+\frac{c^{2}}{b^{2}}}\)
\(=\sqrt{\frac{c^{2}(a^{2}+b^{2})}{a^{2}b^{2}}}\)
\(=\frac{c}{ab}\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)
কিন্তু,
\(\frac{1}{2}\times AB\times d=\triangle ABP\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}\times \frac{c}{ab}\sqrt{a^{2}+b^{2}}\times d=\frac{c}{2ab}(ax_{1}+by_{1}+c)\)
\(\Rightarrow d=\frac{c}{2ab}(ax_{1}+by_{1}+c)\times 2\times \frac{ab}{c\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(\Rightarrow d=\frac{\left| ax_{1}+by_{1}+c\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(P(x_{1}, y_{1})\)
\(ax+by+c=0 .........(1)\)
\(P\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব \(d\).
\((1)\) হতে,
\(ax+by=-c\)
\(\Rightarrow \frac{ax}{-c}+\frac{by}{-c}=\frac{-c}{-c}\) ➜ উভয় পার্শে \(-c\) ভাগ করে
\(\Rightarrow \frac{x}{\frac{-c}{a}}+\frac{y}{\frac{-c}{b}}=1\)
\(\therefore (1)\) নং সরলরেখা অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A(-\frac{c}{a}, 0)\) ও \(B(0, -\frac{c}{b})\) বিন্দুতে ছেদ করে।
এখন,
\(\triangle ABP=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}-\frac{c}{a} \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ x_{1} \ \ \ -\frac{c}{a}\\ 0 \ -\frac{c}{b} \ \ \ \ \ y_{1} \ \ \ \ \ \ \ \ 0\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{(\frac{c^{2}}{ab}-0)+(0+\frac{cx_{1}}{b})+(0+\frac{cy_{1}}{a})\}\)
\(=\frac{1}{2}\{\frac{c^{2}}{ab}+\frac{cx_{1}}{b}+\frac{cy_{1}}{a}\}\)
\(=\frac{1}{2}\times \frac{c}{ab}\{c+ax_{1}+by_{1}\}\)
\(=\frac{c}{2ab}(ax_{1}+by_{1}+c)\)
\(AB=\sqrt{(-\frac{c}{a}-0)^{2}+(0+\frac{c}{b})^{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}}+\frac{c^{2}}{b^{2}}}\)
\(=\sqrt{\frac{c^{2}(a^{2}+b^{2})}{a^{2}b^{2}}}\)
\(=\frac{c}{ab}\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)
কিন্তু,
\(\frac{1}{2}\times AB\times d=\triangle ABP\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}\times \frac{c}{ab}\sqrt{a^{2}+b^{2}}\times d=\frac{c}{2ab}(ax_{1}+by_{1}+c)\)
\(\Rightarrow d=\frac{c}{2ab}(ax_{1}+by_{1}+c)\times 2\times \frac{ab}{c\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(\Rightarrow d=\frac{\left| ax_{1}+by_{1}+c\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(2.\) মূলবিন্দু হতে একটি সরলরেখার লম্ব দূরত্ব নির্ণয়ঃ
ধরি,
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\)
\(ax+by+c=0 ...........(1)\)
\(O(0, 0)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব \(d=\frac{\left|a.0+b.0+c\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(\Rightarrow d=\frac{\left|0+0+c\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(\therefore d=\frac{\left|c\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\)
\(ax+by+c=0 ...........(1)\)
\(O(0, 0)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব \(d=\frac{\left|a.0+b.0+c\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(\Rightarrow d=\frac{\left|0+0+c\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(\therefore d=\frac{\left|c\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(3.\) দুইটি সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব নির্ণয়ঃ
ধরি,
\(ax+by+c_{1}=0 ......(1)\)
\(ax+by+c_{2}=0 ......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব \(d\)
\(p(x_{1}, y_{1})\) বিন্দুটি \((2)\) এর উপর অবস্থিত,
\(\therefore ax_{1}+by_{1}+c_{2}=0\)
\(\Rightarrow ax_{1}+by_{1}=-c_{2}...........(3)\)
আবার,
\(p(x_{1}, y_{1})\) বিন্দু হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{\left|ax_{1}+bx_{1}+c_{1}\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(=\frac{\left|-c_{2}+c_{1}\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\) ➜ \((3)\) এর সাহায্যে
\(=\frac{\left|c_{1}-c_{2}\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(\therefore d=\frac{\left|c_{1}-c_{2}\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(ax+by+c_{1}=0 ......(1)\)
\(ax+by+c_{2}=0 ......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব \(d\)
\(p(x_{1}, y_{1})\) বিন্দুটি \((2)\) এর উপর অবস্থিত,
\(\therefore ax_{1}+by_{1}+c_{2}=0\)
\(\Rightarrow ax_{1}+by_{1}=-c_{2}...........(3)\)
আবার,
\(p(x_{1}, y_{1})\) বিন্দু হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{\left|ax_{1}+bx_{1}+c_{1}\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(=\frac{\left|-c_{2}+c_{1}\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\) ➜ \((3)\) এর সাহায্যে
\(=\frac{\left|c_{1}-c_{2}\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(\therefore d=\frac{\left|c_{1}-c_{2}\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(4.\) দুইটি পরস্পরছেদী সরলরেখার অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয়ঃ
ধরি,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখাদ্বয়ের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)।
\(P(x, y)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব \(d_{1}=\frac{\left| a_{1}x+b_{1}y+c_{1} \right|}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}}\)
\(P(x, y)\) হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব \(d_{2}=\frac{\left| a_{2}x+b_{2}y+c_{2} \right|}{\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}\)
শর্তমতে,
\(d_{1}=d_{2}\)
\(\Rightarrow \frac{\left| a_{1}x+b_{1}y+c_{1} \right|}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}}=\frac{\left| a_{2}x+b_{2}y+c_{2} \right|}{\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{ a_{1}x+b_{1}y+c_{1} }{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}}=\pm \frac{ a_{2}x+b_{2}y+c_{2} }{\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}\)
ইহাই নির্ণেয় সমদ্বিখন্ডক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ।
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখাদ্বয়ের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)।
\(P(x, y)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব \(d_{1}=\frac{\left| a_{1}x+b_{1}y+c_{1} \right|}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}}\)
\(P(x, y)\) হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব \(d_{2}=\frac{\left| a_{2}x+b_{2}y+c_{2} \right|}{\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}\)
শর্তমতে,
\(d_{1}=d_{2}\)
\(\Rightarrow \frac{\left| a_{1}x+b_{1}y+c_{1} \right|}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}}=\frac{\left| a_{2}x+b_{2}y+c_{2} \right|}{\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{ a_{1}x+b_{1}y+c_{1} }{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}}=\pm \frac{ a_{2}x+b_{2}y+c_{2} }{\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}\)
ইহাই নির্ণেয় সমদ্বিখন্ডক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ।
\(5.\) \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু তিনটি \((x_{1}, y_{1})\), \((x_{2}, y_{2})\) এবং \((x_{3}, y_{3})\)। বাহুগুলি \(BC=a, \ CA=b, \ AB=c \) হলে, এর অন্তঃকেন্দ্র নির্ণয়ঃ
ধরি,
\(\triangle ABC\) এর \(\angle A\), \(\angle B\) কোণ দুইটির সমদ্বিখন্ডক \(AD\) ও \(BE\) পরস্পর \(I\) বিন্দুতে ছেদ করে যা ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র।
শর্তমতে,
\(\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}\)
\(\Rightarrow \frac{BD}{DC}=\frac{c}{b}\)
\(\Rightarrow BD:DC=c:b\)
\(\therefore D(\frac{bx_{2}+cx_{3}}{b+c}, \frac{by_{2}+cy_{3}}{b+c})\)
আবার,
\(\frac{AI}{ID}=\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CD}=\frac{AB+AC}{BD+CD}\)
\(\Rightarrow \frac{AI}{ID}=\frac{c+b}{BC}\)
\(\Rightarrow \frac{AI}{ID}=\frac{c+b}{a}\)
\(\Rightarrow AI:ID=(c+b):a\)
\(\therefore I(\frac{(b+c).\frac{bx_{2}+cx_{3}}{b+c}+a.x_{1}}{a+b+c}, \frac{(b+c).\frac{by_{2}+cy_{3}}{b+c}+a.y_{1}}{a+b+c})\)
\(\Rightarrow I(\frac{bx_{2}+cx_{3}+ax_{1}}{a+b+c}, \frac{by_{2}+cy_{3}+ay_{1}}{a+b+c})\)
\(\Rightarrow I(\frac{ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}}{a+b+c}, \frac{ay_{1}+by_{2}+cy_{3}}{a+b+c})\).
\(\therefore \triangle ABC \) এর অন্তঃকেন্দ্র \(I(\frac{ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}}{a+b+c}, \frac{ay_{1}+by_{2}+cy_{3}}{a+b+c})\).
\(\triangle ABC\) এর \(\angle A\), \(\angle B\) কোণ দুইটির সমদ্বিখন্ডক \(AD\) ও \(BE\) পরস্পর \(I\) বিন্দুতে ছেদ করে যা ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র।
শর্তমতে,
\(\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}\)
\(\Rightarrow \frac{BD}{DC}=\frac{c}{b}\)
\(\Rightarrow BD:DC=c:b\)
\(\therefore D(\frac{bx_{2}+cx_{3}}{b+c}, \frac{by_{2}+cy_{3}}{b+c})\)
আবার,
\(\frac{AI}{ID}=\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CD}=\frac{AB+AC}{BD+CD}\)
\(\Rightarrow \frac{AI}{ID}=\frac{c+b}{BC}\)
\(\Rightarrow \frac{AI}{ID}=\frac{c+b}{a}\)
\(\Rightarrow AI:ID=(c+b):a\)
\(\therefore I(\frac{(b+c).\frac{bx_{2}+cx_{3}}{b+c}+a.x_{1}}{a+b+c}, \frac{(b+c).\frac{by_{2}+cy_{3}}{b+c}+a.y_{1}}{a+b+c})\)
\(\Rightarrow I(\frac{bx_{2}+cx_{3}+ax_{1}}{a+b+c}, \frac{by_{2}+cy_{3}+ay_{1}}{a+b+c})\)
\(\Rightarrow I(\frac{ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}}{a+b+c}, \frac{ay_{1}+by_{2}+cy_{3}}{a+b+c})\).
\(\therefore \triangle ABC \) এর অন্তঃকেন্দ্র \(I(\frac{ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}}{a+b+c}, \frac{ay_{1}+by_{2}+cy_{3}}{a+b+c})\).
\(6.\) \(ax+by+c=0\) সরলরেখার সমান্তরাল এবং \(d\) একক দূরবর্তী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয়ঃ
ধরি,
\(ax+by+c=0 ............(1)\)
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(ax+by+k=0 ............(2)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((1)\) ও \((2)\) এর মধ্যবর্তী দূরত্ব \(=\frac{|k-c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
শর্তমতে,
\(\frac{|k-c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=d\)
\(\Rightarrow \pm \frac{k-c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=d\)
\(\Rightarrow \frac{k-c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\pm d\)
\(\Rightarrow k-c=\pm d \sqrt{a^{2}+b^{2}}\)
\(\therefore k=c\pm d \sqrt{a^{2}+b^{2}}\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(ax+by+c\pm d \sqrt{a^{2}+b^{2}}=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(ax+by+c=0 ............(1)\)
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(ax+by+k=0 ............(2)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((1)\) ও \((2)\) এর মধ্যবর্তী দূরত্ব \(=\frac{|k-c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
শর্তমতে,
\(\frac{|k-c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=d\)
\(\Rightarrow \pm \frac{k-c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=d\)
\(\Rightarrow \frac{k-c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\pm d\)
\(\Rightarrow k-c=\pm d \sqrt{a^{2}+b^{2}}\)
\(\therefore k=c\pm d \sqrt{a^{2}+b^{2}}\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(ax+by+c\pm d \sqrt{a^{2}+b^{2}}=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
সমান্তরাল রেখাগুলি নির্দিষ্ট পরিস্থিতিতে, দেখা করতে পারে।
অনুশীলনী \(3.G\) উদাহরণসমুহ
উদাহরণ \(1.\) দেখাও যে, \((-6, 0)\) বিন্দুটি \(3x+4y-1=0\) এবং \(4x-3y+5=0\) রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণদ্বয়ের একটি সমদ্বিখন্ডকের উপর অবস্থিত।
উদাহরণ \(2.\) \(y=2x+1\) ও \(2y-x=4\) রেখা দুইটির মধ্যবর্তী কোণের সমদ্বিখন্ডকসমুহ \(Y\) অক্ষকে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(PQ\) এর দূরত্ব নর্ণয় কর।
উদাহরণ \(3.\) \(15x-8y+3=0\) ও \(4x+3y+5=0\) রেখা দুইটির মধ্যবর্তী কোণের সমদ্বিখন্ডকসমুহ \(Y\) অক্ষকে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(PQ\) এর দূরত্ব নর্ণয় কর।
উদাহরণ \(4.\) একটি সরলরেখা অক্ষদ্বয় হতে সমমানের যোগবোধক অংশ ছেদ করে। মূলবিন্দু হতে রেখাটির দূরত্ব \(6\) একক। রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(5.\) দেখাও যে, \((\sqrt{5}, 0)\) ও \((-\sqrt{5}, 0)\) বিন্দু দুইটি হতে \(2x\cos\alpha-3y\sin\alpha=6\) এর উপর অঙ্কিত লম্ব দুইটির গুনফল \(\alpha\) মুক্ত।
[কুঃ ২০০৫, রাঃ ২০০৭।]
উদাহরণ \(6.\) \(4x-3y+2=0\) ও \(8x-6y-9=0\) সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০৫।]
উদাহরণ \(7.\) \(12x-5y=7\) রেখার \(2\) দুই একক দূরবর্তী সমান্তরাল রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১৪, সিঃ ২০১২।]
উদাহরণ \(8.\) \(3x-4y+8=0\) রেখার সমান্তরাল দিকে \(3x+y+4=0\) রেখা থেকে \((1, 2)\) বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর।
[বঃ ২০০৮, রাঃ ২০০২।]
উদাহরণ \(9.\) দেখাও যে, \(y=1\), \(3x-4y=5\) ও \(5x+12y+13=0\) রেখা তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের অন্তকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক মূলবিন্দুতে অবস্থিত।
উদাহরণ \(10.\) এমন সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((3, 6)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং মূলবিন্দু থেকে যার দূরত্ব \(6\) একক।
উদাহরণ \(11.\) \((\sqrt{3}, 1)\) বিন্দু হতে \(x\sqrt{3}-y+8=0\) সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর এ লম্ব \(X\) অক্ষের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(12.\) \((3, -2)\) \((-3, -1)\) বিন্দু দুইটি \(3x-8y=7\) রেখার একই অথবা বিপরীত পার্শে অবস্থিত কি না নির্ণয় কর। বিন্দু দুইটির কোনটি রেখাটির যে পার্শে মূলবিন্দু, সেই পার্শে অবস্থিত?
উদাহরণ \(2.\) \(y=2x+1\) ও \(2y-x=4\) রেখা দুইটির মধ্যবর্তী কোণের সমদ্বিখন্ডকসমুহ \(Y\) অক্ষকে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(PQ\) এর দূরত্ব নর্ণয় কর।
উদাহরণ \(3.\) \(15x-8y+3=0\) ও \(4x+3y+5=0\) রেখা দুইটির মধ্যবর্তী কোণের সমদ্বিখন্ডকসমুহ \(Y\) অক্ষকে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(PQ\) এর দূরত্ব নর্ণয় কর।
উদাহরণ \(4.\) একটি সরলরেখা অক্ষদ্বয় হতে সমমানের যোগবোধক অংশ ছেদ করে। মূলবিন্দু হতে রেখাটির দূরত্ব \(6\) একক। রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(5.\) দেখাও যে, \((\sqrt{5}, 0)\) ও \((-\sqrt{5}, 0)\) বিন্দু দুইটি হতে \(2x\cos\alpha-3y\sin\alpha=6\) এর উপর অঙ্কিত লম্ব দুইটির গুনফল \(\alpha\) মুক্ত।
[কুঃ ২০০৫, রাঃ ২০০৭।]
উদাহরণ \(6.\) \(4x-3y+2=0\) ও \(8x-6y-9=0\) সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০৫।]
উদাহরণ \(7.\) \(12x-5y=7\) রেখার \(2\) দুই একক দূরবর্তী সমান্তরাল রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১৪, সিঃ ২০১২।]
উদাহরণ \(8.\) \(3x-4y+8=0\) রেখার সমান্তরাল দিকে \(3x+y+4=0\) রেখা থেকে \((1, 2)\) বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর।
[বঃ ২০০৮, রাঃ ২০০২।]
উদাহরণ \(9.\) দেখাও যে, \(y=1\), \(3x-4y=5\) ও \(5x+12y+13=0\) রেখা তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের অন্তকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক মূলবিন্দুতে অবস্থিত।
উদাহরণ \(10.\) এমন সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((3, 6)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং মূলবিন্দু থেকে যার দূরত্ব \(6\) একক।
উদাহরণ \(11.\) \((\sqrt{3}, 1)\) বিন্দু হতে \(x\sqrt{3}-y+8=0\) সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর এ লম্ব \(X\) অক্ষের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(12.\) \((3, -2)\) \((-3, -1)\) বিন্দু দুইটি \(3x-8y=7\) রেখার একই অথবা বিপরীত পার্শে অবস্থিত কি না নির্ণয় কর। বিন্দু দুইটির কোনটি রেখাটির যে পার্শে মূলবিন্দু, সেই পার্শে অবস্থিত?
উদাহরণ \(13.\) দেখাও যে, \((\pm 4, 0)\) বিন্দু দুইটি হতে \(3x\cos\theta+5y\sin\theta=15\) এর উপর অঙ্কিত লম্ব দুইটির গুনফল \(\theta\) বর্জিত ।
[কুঃ ২০০৫, রাঃ ২০০৭।]
উদাহরণ \(14.\) \(4x+3y=c\) এবং \(12x-5y=2(c+3)\) সরলরেখা দুইটি মূলবিন্দু হতে সমদূরবর্তী। \(c\) এর ধনাত্মক মান নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০১৬ ২০০৯, যঃ ২০১৪, ২০০৫,রাঃ ২০১২, চঃ ২০০৬, ২০০৪, বঃ ২০০৪, ২০০৩।]
উদাহরণ \(15.\) মূলবিন্দু হতে \(7\) একক দূরত্বে এবং \(3x-4y+7=0\) সরলরেখার উপর লম্ব এরূপ সরলরেখাগুলির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(16.\)
চিত্রেঃ \(G, \triangle ABC\) এর ভরকেন্দ্র; \(D, BC\) এর মধ্যবিন্দু এবং \(EB\perp BC\)।
\((a)\) \(\triangle ABC\) এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। ।
\((b)\) দেখাও যে \(G\) বিন্দুটি \(AD\) রেখাকে \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\((c)\) \(\angle EBC\) এর সমদ্বিখন্ডক রেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(17.\)
\(3y=4x-10 ........(1)\)
\(y=1 ........(2)\)
\(3x-4y=5 ........(3)\)
\(5x+12y+13=0 ........(4)\)
\((a)\) \(2x+y+3=0\) ও \(3x-4y+7=0\) রেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০০৪, সিঃ ২০১০।]
। \((b)\) \(Y\) অক্ষের উপরিস্থিত যে বিন্দুগুলি হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব \(4\) একক হয় তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[চঃ ২০১০।]
। \((c)\) \((2)\), \((3)\) ও \((4)\) রেখা তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের অন্তকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[কুঃ ২০০৫, রাঃ ২০০৭।]
উদাহরণ \(14.\) \(4x+3y=c\) এবং \(12x-5y=2(c+3)\) সরলরেখা দুইটি মূলবিন্দু হতে সমদূরবর্তী। \(c\) এর ধনাত্মক মান নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০১৬ ২০০৯, যঃ ২০১৪, ২০০৫,রাঃ ২০১২, চঃ ২০০৬, ২০০৪, বঃ ২০০৪, ২০০৩।]
উদাহরণ \(15.\) মূলবিন্দু হতে \(7\) একক দূরত্বে এবং \(3x-4y+7=0\) সরলরেখার উপর লম্ব এরূপ সরলরেখাগুলির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(16.\)
চিত্রেঃ \(G, \triangle ABC\) এর ভরকেন্দ্র; \(D, BC\) এর মধ্যবিন্দু এবং \(EB\perp BC\)।\((a)\) \(\triangle ABC\) এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। ।
\((b)\) দেখাও যে \(G\) বিন্দুটি \(AD\) রেখাকে \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\((c)\) \(\angle EBC\) এর সমদ্বিখন্ডক রেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(17.\)
\(3y=4x-10 ........(1)\)
\(y=1 ........(2)\)
\(3x-4y=5 ........(3)\)
\(5x+12y+13=0 ........(4)\)
\((a)\) \(2x+y+3=0\) ও \(3x-4y+7=0\) রেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০০৪, সিঃ ২০১০।]
। \((b)\) \(Y\) অক্ষের উপরিস্থিত যে বিন্দুগুলি হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব \(4\) একক হয় তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[চঃ ২০১০।]
। \((c)\) \((2)\), \((3)\) ও \((4)\) রেখা তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের অন্তকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(1.\) দেখাও যে, \((-6, 0)\) বিন্দুটি \(3x+4y-1=0\) এবং \(4x-3y+5=0\) রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণদ্বয়ের একটি সমদ্বিখন্ডকের উপর অবস্থিত।
সমাধানঃ
মনে করি,
\(3x+4y-1=0 ........(1)\)
\(4x-3y+5=0 ........(2)\)
এবং \(P(-6, 0)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণেরদ্বয়ের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{3x+4y-1}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=\pm \frac{4x-3y+5}{\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+4y-1}{\sqrt{9+16}}=\pm \frac{4x-3y+5}{\sqrt{16+9}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+4y-1}{\sqrt{25}}=\pm \frac{4x-3y+5}{\sqrt{25}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+4y-1}{5}=\pm \frac{4x-3y+5}{5}\)
\(\Rightarrow 3x+4y-1=\pm (4x-3y+5)\)
\(\Rightarrow 3x+4y-1=4x-3y+5\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 4x-3y+5=3x+4y-1\)
\(\Rightarrow 4x-3y+5-3x-4y+1=0\)
\(\therefore x-7y+6=0 ..........(3)\)
\(\Rightarrow 3x+4y-1=-(4x-3y+5)\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 3x+4y-1=-4x+3y-5\)
\(\Rightarrow 3x+4y-1+4x-3y+5=0\)
\(\therefore 7x+y+4=0 ..........(4)\)
\(P(-6, 0)\) বিন্দুটি \((3)\) এ বসাই,
\(-6-7.0+6=0\)
\(\Rightarrow -6-0+6=0\)
\(\Rightarrow -6+6=0\)
\(\Rightarrow 0=0\)
\(P(-6, 0)\) বিন্দুটি \((3)\) নং সমীকরণ সিদ্ধ করে।
\(P(-6, 0)\) বিন্দুটি \((4)\) এ বসাই,
\( 7.(-6)+0+4=0\)
\(\Rightarrow -6-0+4=0\)
\(\Rightarrow -2=0\)
\(P(-6, 0)\) বিন্দুটি \((4)\) নং সমীকরণ সিদ্ধ করে না।
\(\therefore P(-6, 0)\) বিন্দুটি একটি সমদ্বিখন্ডকের উপর অবস্থিত।
\(3x+4y-1=0 ........(1)\)
\(4x-3y+5=0 ........(2)\)
এবং \(P(-6, 0)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণেরদ্বয়ের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{3x+4y-1}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=\pm \frac{4x-3y+5}{\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+4y-1}{\sqrt{9+16}}=\pm \frac{4x-3y+5}{\sqrt{16+9}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+4y-1}{\sqrt{25}}=\pm \frac{4x-3y+5}{\sqrt{25}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+4y-1}{5}=\pm \frac{4x-3y+5}{5}\)
\(\Rightarrow 3x+4y-1=\pm (4x-3y+5)\)
\(\Rightarrow 3x+4y-1=4x-3y+5\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 4x-3y+5=3x+4y-1\)
\(\Rightarrow 4x-3y+5-3x-4y+1=0\)
\(\therefore x-7y+6=0 ..........(3)\)
\(\Rightarrow 3x+4y-1=-(4x-3y+5)\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 3x+4y-1=-4x+3y-5\)
\(\Rightarrow 3x+4y-1+4x-3y+5=0\)
\(\therefore 7x+y+4=0 ..........(4)\)
\(P(-6, 0)\) বিন্দুটি \((3)\) এ বসাই,
\(-6-7.0+6=0\)
\(\Rightarrow -6-0+6=0\)
\(\Rightarrow -6+6=0\)
\(\Rightarrow 0=0\)
\(P(-6, 0)\) বিন্দুটি \((3)\) নং সমীকরণ সিদ্ধ করে।
\(P(-6, 0)\) বিন্দুটি \((4)\) এ বসাই,
\( 7.(-6)+0+4=0\)
\(\Rightarrow -6-0+4=0\)
\(\Rightarrow -2=0\)
\(P(-6, 0)\) বিন্দুটি \((4)\) নং সমীকরণ সিদ্ধ করে না।
\(\therefore P(-6, 0)\) বিন্দুটি একটি সমদ্বিখন্ডকের উপর অবস্থিত।
উদাহরণ \(2.\) \(y=2x+1\) ও \(2y-x=4\) রেখা দুইটির মধ্যবর্তী কোণের সমদ্বিখন্ডকসমুহ \(Y\) অক্ষকে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(PQ\) এর দূরত্ব নর্ণয় কর।
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=2x+1\Rightarrow 2x-y+1=0........(1)\)
\(2y-x=4\Rightarrow x-2y+4=0........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণেরদ্বয়ের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{2x-y+1}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}=\pm \frac{x-2y+4}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x-y+1}{\sqrt{4+1}}=\pm \frac{x-2y+4}{\sqrt{1+4}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x-y+1}{\sqrt{5}}=\pm \frac{x-2y+4}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow 2x-y+1=\pm (x-2y+4)\)
\(\Rightarrow 2x-y+1=x-2y+4\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 4x-3y+5=3x+4y-1\)
\(\Rightarrow 2x-y+1-x+2y-4=0\)
\(\therefore x+y-3=0 ...........(3)\)
\(\Rightarrow 2x-y+1=-(x-2y+4)\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 2x-y+1=-x+2y-4)\)
\(\Rightarrow 2x-y+1+x-2y+4=0\)
\(\therefore 3x-3y+5=0 ...........(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) সরলরেখা \(Y\) অক্ষকে যথাক্রমে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((3)\) নং সরলরেখা যখন \(Y\) অক্ষকে ছেদ করে তখন \(x=0\)
\(\therefore 0+y-3=0\)
\(\Rightarrow y-3=0\)
\(\Rightarrow y=3\)
\(\therefore P(0, 3)\)
\((4)\) নং সরলরেখা যখন \(Y\) অক্ষকে ছেদ করে তখন \(x=0\)
\(\therefore 3.0-3y+5=0\)
\(\Rightarrow 0-3y+5=0\)
\(\Rightarrow -3y+5=0\)
\(\Rightarrow -3y=-5\)
\(\Rightarrow y=\frac{-5}{-3}\)
\(\Rightarrow y=\frac{5}{3}\)
\(\therefore Q(0, \frac{5}{3})\)
এখন,
\(PQ=\sqrt{(0-0)^{2}+(3-\frac{5}{3})^{2}}\)
\(=\sqrt{0+(\frac{9-5}{3})^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{4}{3})^{2}}\)
\(=\frac{4}{3}\)
\(\therefore PQ=\frac{4}{3}\) একক।
\(y=2x+1\Rightarrow 2x-y+1=0........(1)\)
\(2y-x=4\Rightarrow x-2y+4=0........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণেরদ্বয়ের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{2x-y+1}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}=\pm \frac{x-2y+4}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x-y+1}{\sqrt{4+1}}=\pm \frac{x-2y+4}{\sqrt{1+4}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x-y+1}{\sqrt{5}}=\pm \frac{x-2y+4}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow 2x-y+1=\pm (x-2y+4)\)
\(\Rightarrow 2x-y+1=x-2y+4\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 4x-3y+5=3x+4y-1\)
\(\Rightarrow 2x-y+1-x+2y-4=0\)
\(\therefore x+y-3=0 ...........(3)\)
\(\Rightarrow 2x-y+1=-(x-2y+4)\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 2x-y+1=-x+2y-4)\)
\(\Rightarrow 2x-y+1+x-2y+4=0\)
\(\therefore 3x-3y+5=0 ...........(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) সরলরেখা \(Y\) অক্ষকে যথাক্রমে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((3)\) নং সরলরেখা যখন \(Y\) অক্ষকে ছেদ করে তখন \(x=0\)
\(\therefore 0+y-3=0\)
\(\Rightarrow y-3=0\)
\(\Rightarrow y=3\)
\(\therefore P(0, 3)\)
\((4)\) নং সরলরেখা যখন \(Y\) অক্ষকে ছেদ করে তখন \(x=0\)
\(\therefore 3.0-3y+5=0\)
\(\Rightarrow 0-3y+5=0\)
\(\Rightarrow -3y+5=0\)
\(\Rightarrow -3y=-5\)
\(\Rightarrow y=\frac{-5}{-3}\)
\(\Rightarrow y=\frac{5}{3}\)
\(\therefore Q(0, \frac{5}{3})\)
এখন,
\(PQ=\sqrt{(0-0)^{2}+(3-\frac{5}{3})^{2}}\)
\(=\sqrt{0+(\frac{9-5}{3})^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{4}{3})^{2}}\)
\(=\frac{4}{3}\)
\(\therefore PQ=\frac{4}{3}\) একক।
উদাহরণ \(4.\) একটি সরলরেখা অক্ষদ্বয় হতে সমমানের যোগবোধক অংশ ছেদ করে। মূলবিন্দু হতে রেখাটির দূরত্ব \(6\) একক। রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
শর্তমতে,
রেখাটির সমীকরণ,
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1\)
\(\Rightarrow x+y=a\) ➜ \(a\) দ্বারা গুণ করে।
\(\Rightarrow 4x-3y+5=3x+4y-1\)
\(\Rightarrow x+y-a=0........(1)\)
মূলবিন্দু \(O(0, 0)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব \(6\) একক।
\(\therefore \frac{|-a|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=6\)
\(\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{1+1}}=6\)
\(\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{2}}=6\)
\(\therefore a=6\sqrt{2}\)
\(a\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x+y-6\sqrt{2}=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
রেখাটির সমীকরণ,
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1\)
\(\Rightarrow x+y=a\) ➜ \(a\) দ্বারা গুণ করে।
\(\Rightarrow 4x-3y+5=3x+4y-1\)
\(\Rightarrow x+y-a=0........(1)\)
মূলবিন্দু \(O(0, 0)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব \(6\) একক।
\(\therefore \frac{|-a|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=6\)
\(\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{1+1}}=6\)
\(\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{2}}=6\)
\(\therefore a=6\sqrt{2}\)
\(a\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x+y-6\sqrt{2}=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
উদাহরণ \(5.\) দেখাও যে, \((\sqrt{5}, 0)\) ও \((-\sqrt{5}, 0)\) বিন্দু দুইটি হতে \(2x\cos\alpha-3y\sin\alpha=6\) এর উপর অঙ্কিত লম্ব দুইটির গুনফল \(\alpha\) মুক্ত। [কুঃ ২০০৫, রাঃ ২০০৭।]
সমাধানঃ
মনে করি,
\(P(\sqrt{5}, 0)\) ও \(Q(-\sqrt{5}, 0)\)
এবং
\(2x\cos\alpha-3y\sin\alpha=6\)
\(\Rightarrow 2x\cos\alpha-3y\sin\alpha-6=0 ...........(1)\)
\(P(\sqrt{5}, 0)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব \(d_{1}=\frac{|2\times \sqrt{5}\cos\alpha-3.0.\sin\alpha-6|}{\sqrt{(2\cos\alpha)^{2}+(3\sin\alpha)^{2}}}\)
\(=\frac{|2\sqrt{5}\cos\alpha-6|}{\sqrt{4\cos^{2}\alpha+9\sin^{2}\alpha}}\)
\(=\frac{|2\sqrt{5}\cos\alpha-6|}{\sqrt{4\cos^{2}\alpha+9(1-\cos^{2}\alpha)}}\)
\(=\frac{|-(6-2\sqrt{5}\cos\alpha)|}{\sqrt{4\cos^{2}\alpha+9-9\cos^{2}\alpha}}\)
\(=\frac{(6-2\sqrt{5}\cos\alpha)}{\sqrt{9-5\cos^{2}\alpha}}\)
\(Q(-\sqrt{5}, 0)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব \(d_{2}=\frac{|2\times -\sqrt{5}\cos\alpha-3.0.\sin\alpha-6|}{\sqrt{(2\cos\alpha)^{2}+(3\sin\alpha)^{2}}}\)
\(=\frac{|-2\sqrt{5}\cos\alpha-6|}{\sqrt{4\cos^{2}\alpha+9\sin^{2}\alpha}}\)
\(=\frac{|-(2\sqrt{5}\cos\alpha+6)|}{\sqrt{4\cos^{2}\alpha+9(1-\cos^{2}\alpha)}}\)
\(=\frac{|2\sqrt{5}\cos\alpha+6|}{\sqrt{4\cos^{2}\alpha+9-9\cos^{2}\alpha}}\)
\(=\frac{(6+2\sqrt{5}\cos\alpha)}{\sqrt{9-5\cos^{2}\alpha}}\)
এখন,
\(d_{1}\times d_{2}=\frac{(6-2\sqrt{5}\cos\alpha)}{\sqrt{9-5\cos^{2}\alpha}}\times \frac{(6+2\sqrt{5}\cos\alpha)}{\sqrt{9-5\cos^{2}\alpha}}\)
\(=\frac{6^{2}-(2\sqrt{5}\cos\alpha)^{2}}{(\sqrt{9-5\cos^{2}\alpha})^{2}}\)
\(=\frac{6^{2}-(2\sqrt{5}\cos\alpha)^{2}}{9-5\cos^{2}\alpha}\)
\(=\frac{36-4\times 5\cos\alpha}{9-5\cos^{2}\alpha}\)
\(=\frac{36-20\cos\alpha}{9-5\cos^{2}\alpha}\)
\(=\frac{4(9-5\cos\alpha)}{9-5\cos^{2}\alpha}\)
\(=4\) যা \(\alpha\) মুক্ত।
[ দেখানো হলো। ]
\(P(\sqrt{5}, 0)\) ও \(Q(-\sqrt{5}, 0)\)
এবং
\(2x\cos\alpha-3y\sin\alpha=6\)
\(\Rightarrow 2x\cos\alpha-3y\sin\alpha-6=0 ...........(1)\)
\(P(\sqrt{5}, 0)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব \(d_{1}=\frac{|2\times \sqrt{5}\cos\alpha-3.0.\sin\alpha-6|}{\sqrt{(2\cos\alpha)^{2}+(3\sin\alpha)^{2}}}\)
\(=\frac{|2\sqrt{5}\cos\alpha-6|}{\sqrt{4\cos^{2}\alpha+9\sin^{2}\alpha}}\)
\(=\frac{|2\sqrt{5}\cos\alpha-6|}{\sqrt{4\cos^{2}\alpha+9(1-\cos^{2}\alpha)}}\)
\(=\frac{|-(6-2\sqrt{5}\cos\alpha)|}{\sqrt{4\cos^{2}\alpha+9-9\cos^{2}\alpha}}\)
\(=\frac{(6-2\sqrt{5}\cos\alpha)}{\sqrt{9-5\cos^{2}\alpha}}\)
\(Q(-\sqrt{5}, 0)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব \(d_{2}=\frac{|2\times -\sqrt{5}\cos\alpha-3.0.\sin\alpha-6|}{\sqrt{(2\cos\alpha)^{2}+(3\sin\alpha)^{2}}}\)
\(=\frac{|-2\sqrt{5}\cos\alpha-6|}{\sqrt{4\cos^{2}\alpha+9\sin^{2}\alpha}}\)
\(=\frac{|-(2\sqrt{5}\cos\alpha+6)|}{\sqrt{4\cos^{2}\alpha+9(1-\cos^{2}\alpha)}}\)
\(=\frac{|2\sqrt{5}\cos\alpha+6|}{\sqrt{4\cos^{2}\alpha+9-9\cos^{2}\alpha}}\)
\(=\frac{(6+2\sqrt{5}\cos\alpha)}{\sqrt{9-5\cos^{2}\alpha}}\)
এখন,
\(d_{1}\times d_{2}=\frac{(6-2\sqrt{5}\cos\alpha)}{\sqrt{9-5\cos^{2}\alpha}}\times \frac{(6+2\sqrt{5}\cos\alpha)}{\sqrt{9-5\cos^{2}\alpha}}\)
\(=\frac{6^{2}-(2\sqrt{5}\cos\alpha)^{2}}{(\sqrt{9-5\cos^{2}\alpha})^{2}}\)
\(=\frac{6^{2}-(2\sqrt{5}\cos\alpha)^{2}}{9-5\cos^{2}\alpha}\)
\(=\frac{36-4\times 5\cos\alpha}{9-5\cos^{2}\alpha}\)
\(=\frac{36-20\cos\alpha}{9-5\cos^{2}\alpha}\)
\(=\frac{4(9-5\cos\alpha)}{9-5\cos^{2}\alpha}\)
\(=4\) যা \(\alpha\) মুক্ত।
[ দেখানো হলো। ]
উদাহরণ \(6.\) \(4x-3y+2=0\) ও \(8x-6y-9=0\) সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০৫।]
সমাধানঃ
মনে করি,
\(4x-3y+2=0 ............(1)\)
এবং
\(8x-6y-9=0\)
\(\Rightarrow 2(4x-3y-\frac{9}{2})=0\)
\(\Rightarrow 4x-3y-\frac{9}{2}=\frac{0}{2}\)
\(\Rightarrow 4x-3y-\frac{9}{2}=0 ............(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর মধ্যবর্তী দূরত্ব,
\(d=\frac{|2-(-\frac{9}{2})|}{\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}}\)
\(=\frac{|2+\frac{9}{2}|}{\sqrt{16+9}}\)
\(=\frac{\frac{4+9}{2}}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{\frac{13}{2}}{5}\)
\(=\frac{13}{2}\times \frac{1}{5}\)
\(=\frac{13}{10}\) একক।
\(4x-3y+2=0 ............(1)\)
এবং
\(8x-6y-9=0\)
\(\Rightarrow 2(4x-3y-\frac{9}{2})=0\)
\(\Rightarrow 4x-3y-\frac{9}{2}=\frac{0}{2}\)
\(\Rightarrow 4x-3y-\frac{9}{2}=0 ............(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর মধ্যবর্তী দূরত্ব,
\(d=\frac{|2-(-\frac{9}{2})|}{\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}}\)
\(=\frac{|2+\frac{9}{2}|}{\sqrt{16+9}}\)
\(=\frac{\frac{4+9}{2}}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{\frac{13}{2}}{5}\)
\(=\frac{13}{2}\times \frac{1}{5}\)
\(=\frac{13}{10}\) একক।
উদাহরণ \(7.\) \(12x-5y=7\) রেখার \(2\) দুই একক দূরবর্তী সমান্তরাল রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১৪, সিঃ ২০১২।]
সমাধানঃ
মনে করি,
\(12x-5y-7=0 ............(1)\)
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(12x-5y+k=0 ............(2)\) ➜ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা ।
\((1)\) ও \((2)\) এর মধ্যবর্তী দূরত্ব \(d=\frac{|-7-k|}{\sqrt{12^{2}+(-5)^{2}}}\)
\(=\frac{|-(7+k)|}{\sqrt{144+25}}\)
\(=\frac{|(7+k)|}{\sqrt{169}}\)
\(=\frac{|(7+k)|}{13}\)
শর্তমতে,
\(\frac{|(7+k)|}{13}=2\)
\(\Rightarrow \pm \frac{(7+k)}{13}=2\)
\(\Rightarrow \frac{(7+k)}{13}=2\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 7+k=26\)
\(\Rightarrow k=26-7\)
\(\Rightarrow k=19\)
আবার,
\(\Rightarrow -\frac{(7+k)}{13}=2\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 7+k=-26\)
\(\Rightarrow k=-26-7\)
\(\Rightarrow k=-33\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
যখন, \(k=19\), \(12x-5y+19=0\)
যখন, \(k=-33\), \(12x-5y-33=0\)
\(\therefore \) নির্ণেয় সমীকরণ, \(12x-5y+19=0\) অথবা, \(12x-5y-33=0\)
\(12x-5y-7=0 ............(1)\)
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(12x-5y+k=0 ............(2)\) ➜ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা ।
\((1)\) ও \((2)\) এর মধ্যবর্তী দূরত্ব \(d=\frac{|-7-k|}{\sqrt{12^{2}+(-5)^{2}}}\)
\(=\frac{|-(7+k)|}{\sqrt{144+25}}\)
\(=\frac{|(7+k)|}{\sqrt{169}}\)
\(=\frac{|(7+k)|}{13}\)
শর্তমতে,
\(\frac{|(7+k)|}{13}=2\)
\(\Rightarrow \pm \frac{(7+k)}{13}=2\)
\(\Rightarrow \frac{(7+k)}{13}=2\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 7+k=26\)
\(\Rightarrow k=26-7\)
\(\Rightarrow k=19\)
আবার,
\(\Rightarrow -\frac{(7+k)}{13}=2\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 7+k=-26\)
\(\Rightarrow k=-26-7\)
\(\Rightarrow k=-33\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
যখন, \(k=19\), \(12x-5y+19=0\)
যখন, \(k=-33\), \(12x-5y-33=0\)
\(\therefore \) নির্ণেয় সমীকরণ, \(12x-5y+19=0\) অথবা, \(12x-5y-33=0\)
উদাহরণ \(8.\) \(3x-4y+8=0\) রেখার সমান্তরাল দিকে \(3x+y+4=0\) রেখা থেকে \((1, 2)\) বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর।
[বঃ ২০০৮, রাঃ ২০০২।]
সমাধানঃ
মনে করি,
\(3x-4y+8=0 ............(1)\)
\(3x+y+4=0 ............(2)\)
\(A(1, 2)\)
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x-4y+k=0 ............(3)\) ➜ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা ।
\((3)\) নং সরলরেখা \(A(1, 2)\) বিন্দুগামী,
\(\therefore 3.1-4.2+k=0\)
\(\Rightarrow 3-8+k=0\)
\(\Rightarrow -5+k=0\)
\(\Rightarrow k=5\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(3x-4y+5=0 ............(4)\)
\((2)\) ও \((4)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((2)\times 4+(4)\) এর সাহায্যে,
\(12x+4y+16+3x-4y+5=0\)
\(\Rightarrow 15x+21=0\)
\(\Rightarrow 15x=-21\)
\(\Rightarrow x=\frac{-21}{15}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{7}{5}\)
\((2)\) হতে,
\(3.(-\frac{7}{5})+y+4=0\)
\(\Rightarrow -\frac{21}{5}+y+4=0\)
\(\Rightarrow y=\frac{21}{5}-4\)
\(\Rightarrow y=\frac{21-20}{5}\)
\(\Rightarrow y=\frac{1}{5}\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \(B(-\frac{7}{5}, \frac{1}{5})\)
এখন,
\(AB=\sqrt{(1+\frac{7}{5})^{2}+(2-\frac{1}{5})^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{5+7}{5})^{2}+(\frac{10-1}{5})^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{12}{5})^{2}+(\frac{9}{5})^{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{144}{25}+\frac{81}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{144+81}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{225}{25}}\)
\(=\sqrt{9}\)
\(=3\) একক।
ইহাই নির্ণেয় দূরত্ব।
\(3x-4y+8=0 ............(1)\)
\(3x+y+4=0 ............(2)\)
\(A(1, 2)\)
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x-4y+k=0 ............(3)\) ➜ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা ।
\((3)\) নং সরলরেখা \(A(1, 2)\) বিন্দুগামী,
\(\therefore 3.1-4.2+k=0\)
\(\Rightarrow 3-8+k=0\)
\(\Rightarrow -5+k=0\)
\(\Rightarrow k=5\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(3x-4y+5=0 ............(4)\)
\((2)\) ও \((4)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((2)\times 4+(4)\) এর সাহায্যে,
\(12x+4y+16+3x-4y+5=0\)
\(\Rightarrow 15x+21=0\)
\(\Rightarrow 15x=-21\)
\(\Rightarrow x=\frac{-21}{15}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{7}{5}\)
\((2)\) হতে,
\(3.(-\frac{7}{5})+y+4=0\)
\(\Rightarrow -\frac{21}{5}+y+4=0\)
\(\Rightarrow y=\frac{21}{5}-4\)
\(\Rightarrow y=\frac{21-20}{5}\)
\(\Rightarrow y=\frac{1}{5}\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \(B(-\frac{7}{5}, \frac{1}{5})\)
এখন,
\(AB=\sqrt{(1+\frac{7}{5})^{2}+(2-\frac{1}{5})^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{5+7}{5})^{2}+(\frac{10-1}{5})^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{12}{5})^{2}+(\frac{9}{5})^{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{144}{25}+\frac{81}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{144+81}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{225}{25}}\)
\(=\sqrt{9}\)
\(=3\) একক।
ইহাই নির্ণেয় দূরত্ব।
উদাহরণ \(10.\) এমন সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((3, 6)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং মূলবিন্দু থেকে যার দূরত্ব \(6\) একক।
সমাধানঃ
ধরি,
\(A(3, 6)\)
\(A\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-6=m(x-3)\)
\(\Rightarrow m(x-3)=y-6\)
\(\Rightarrow mx-3m-y+6=0\)
\(\Rightarrow mx-y+6-3m=0 ...........(1)\)
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব \(d=\frac{|6-3m|}{\sqrt{m^{2}+(-1)^{2}}}\)
\(=\frac{|6-3m|}{\sqrt{m^{2}+1}}\)
শর্তমতে,
\(d=6\)
\(\Rightarrow \frac{|6-3m|}{\sqrt{m^{2}+1}}=6\)
\(\Rightarrow \frac{(6-3m)^{2}}{m^{2}+1}=36\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{36-36m+9m^{2}}{m^{2}+1}=36\)
\(\Rightarrow 36m^{2}+36=36-36m+9m^{2}\)
\(\Rightarrow 36m^{2}+36-36+36m-9m^{2}=0\)
\(\Rightarrow 27m^{2}+36m=0\)
\(\Rightarrow 9m(3m+4)=0\)
\(\Rightarrow 9m=0, \ 3m+4=0\)
\(\Rightarrow m=0, \ 3m=-4\)
\(\Rightarrow m=0, \ m=-\frac{4}{3}\)
\(m\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
যখন, \(m=0\), \(y-6=0\)
যখন, \(m=m=-\frac{4}{3}\), \(-\frac{4}{3}\times x-y+6-3\times -\frac{4}{3}=0\)
\(\Rightarrow -\frac{4x}{3}-y+6+4=0\)
\(\Rightarrow -\frac{4x}{3}-y+10=0\)
\(\therefore 4x+3y-30=0\) ➜ উভয় পার্শে \(-3\) গুণ করে।
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখা দ্বয়ের সমীকরণ \(y-6=0 \) অথবা, \( 4x+3y-30=0\)
\(A(3, 6)\)
\(A\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-6=m(x-3)\)
\(\Rightarrow m(x-3)=y-6\)
\(\Rightarrow mx-3m-y+6=0\)
\(\Rightarrow mx-y+6-3m=0 ...........(1)\)
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব \(d=\frac{|6-3m|}{\sqrt{m^{2}+(-1)^{2}}}\)
\(=\frac{|6-3m|}{\sqrt{m^{2}+1}}\)
শর্তমতে,
\(d=6\)
\(\Rightarrow \frac{|6-3m|}{\sqrt{m^{2}+1}}=6\)
\(\Rightarrow \frac{(6-3m)^{2}}{m^{2}+1}=36\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{36-36m+9m^{2}}{m^{2}+1}=36\)
\(\Rightarrow 36m^{2}+36=36-36m+9m^{2}\)
\(\Rightarrow 36m^{2}+36-36+36m-9m^{2}=0\)
\(\Rightarrow 27m^{2}+36m=0\)
\(\Rightarrow 9m(3m+4)=0\)
\(\Rightarrow 9m=0, \ 3m+4=0\)
\(\Rightarrow m=0, \ 3m=-4\)
\(\Rightarrow m=0, \ m=-\frac{4}{3}\)
\(m\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
যখন, \(m=0\), \(y-6=0\)
যখন, \(m=m=-\frac{4}{3}\), \(-\frac{4}{3}\times x-y+6-3\times -\frac{4}{3}=0\)
\(\Rightarrow -\frac{4x}{3}-y+6+4=0\)
\(\Rightarrow -\frac{4x}{3}-y+10=0\)
\(\therefore 4x+3y-30=0\) ➜ উভয় পার্শে \(-3\) গুণ করে।
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখা দ্বয়ের সমীকরণ \(y-6=0 \) অথবা, \( 4x+3y-30=0\)
উদাহরণ \(11.\) \((\sqrt{3}, 1)\) বিন্দু হতে \(x\sqrt{3}-y+8=0\) সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর এ লম্ব \(X\) অক্ষের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ধরি,
\(A(\sqrt{3}, 1
\(x\sqrt{3}-y+8=0 .........(1)\)
\(A(\sqrt{3}, 1)\) হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{\sqrt{3}.\sqrt{3}-1+8}{\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(-1)^{2}}}\)
\(=\frac{3-1+8}{\sqrt{3+1}}\)
\(=\frac{11-1}{\sqrt{4}}\)
\(=\frac{10}{2}\)
\(=5\) একক।
এখন,
\((1)\) নং সরলরেখার ঢাল \(m_{1}=-\frac{\sqrt{3}}{-1}\)
\(\therefore m_{1}=\sqrt{3}\)
\((1)\) উপর লম্ব সরলরেখার ঢাল \(m_{2}\)
\(\therefore m_{1}\times m_{2}=-1\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}\times m_{2}=-1\)
\(\Rightarrow m_{2}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\therefore \) লম্ব রেখাটির ঢাল \(\tan\theta=-\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \tan\theta=-\tan30^{o}\)
\(\Rightarrow \tan\theta=\tan(180^{o}-30^{o})\)
\(\Rightarrow \theta=(180^{o}-30^{o})\)
\(\Rightarrow \theta=150^{o}\)
\(\therefore \) লম্ব রেখাটি \(X\) অক্ষের সাথে \(150^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে।
\(A(\sqrt{3}, 1
\(x\sqrt{3}-y+8=0 .........(1)\)
\(A(\sqrt{3}, 1)\) হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{\sqrt{3}.\sqrt{3}-1+8}{\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(-1)^{2}}}\)
\(=\frac{3-1+8}{\sqrt{3+1}}\)
\(=\frac{11-1}{\sqrt{4}}\)
\(=\frac{10}{2}\)
\(=5\) একক।
এখন,
\((1)\) নং সরলরেখার ঢাল \(m_{1}=-\frac{\sqrt{3}}{-1}\)
\(\therefore m_{1}=\sqrt{3}\)
\((1)\) উপর লম্ব সরলরেখার ঢাল \(m_{2}\)
\(\therefore m_{1}\times m_{2}=-1\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}\times m_{2}=-1\)
\(\Rightarrow m_{2}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\therefore \) লম্ব রেখাটির ঢাল \(\tan\theta=-\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \tan\theta=-\tan30^{o}\)
\(\Rightarrow \tan\theta=\tan(180^{o}-30^{o})\)
\(\Rightarrow \theta=(180^{o}-30^{o})\)
\(\Rightarrow \theta=150^{o}\)
\(\therefore \) লম্ব রেখাটি \(X\) অক্ষের সাথে \(150^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে।
উদাহরণ \(12.\) \((3, -2)\) \((-3, -1)\) বিন্দু দুইটি \(3x-8y=7\) রেখার একই অথবা বিপরীত পার্শে অবস্থিত কি না নির্ণয় কর। বিন্দু দুইটির কোনটি রেখাটির যে পার্শে মূলবিন্দু, সেই পার্শে অবস্থিত?
সমাধানঃ
ধরি,
\(A(3, -2)\)
\(B(-3, -1)\)
\(f(x,y)\equiv 3x-8y-7=0 ...........(1)\)
এখন,
\(\Rightarrow f(3,-2)=3.3-8.(-2)-7 \)
\(\Rightarrow f(3,-2)=9+16-7 \)
\(\Rightarrow f(3,-2)=25-7 \)
\(\therefore f(3,-2)=18=+ve \)
আবার,
\(\Rightarrow f(-3,-1)=3.(-3)-8.(-1)-7 \)
\(\Rightarrow f(-3,-1)=-9+8-7 \)
\(\Rightarrow f(-3,-1)=-16+8 \)
\(\therefore f(-3,-1)=-8=-ve \)
\(\because f(3,-2)\) এবং \(f(-3,-1)\) বিপরীত চিহ্ন বিশিষ্ট,
\(\therefore \) বিন্দুদ্বয় \((1)\) সরলরেখার পরস্পর বিপরীত পার্শে অবস্থিত।
আবার,
\(f(-3,-1)\) ঋনাত্মক চিহ্ন বিশিষ্ট হওয়ায় \(B(-3, -1)\) বিন্দুটি, \((1)\) সরলরেখার যে পার্শে মূলবিন্দু অবস্থিত সেই পার্শে অবস্থান করে।
\(A(3, -2)\)
\(B(-3, -1)\)
\(f(x,y)\equiv 3x-8y-7=0 ...........(1)\)
এখন,
\(\Rightarrow f(3,-2)=3.3-8.(-2)-7 \)
\(\Rightarrow f(3,-2)=9+16-7 \)
\(\Rightarrow f(3,-2)=25-7 \)
\(\therefore f(3,-2)=18=+ve \)
আবার,
\(\Rightarrow f(-3,-1)=3.(-3)-8.(-1)-7 \)
\(\Rightarrow f(-3,-1)=-9+8-7 \)
\(\Rightarrow f(-3,-1)=-16+8 \)
\(\therefore f(-3,-1)=-8=-ve \)
\(\because f(3,-2)\) এবং \(f(-3,-1)\) বিপরীত চিহ্ন বিশিষ্ট,
\(\therefore \) বিন্দুদ্বয় \((1)\) সরলরেখার পরস্পর বিপরীত পার্শে অবস্থিত।
আবার,
\(f(-3,-1)\) ঋনাত্মক চিহ্ন বিশিষ্ট হওয়ায় \(B(-3, -1)\) বিন্দুটি, \((1)\) সরলরেখার যে পার্শে মূলবিন্দু অবস্থিত সেই পার্শে অবস্থান করে।
উদাহরণ \(14.\) \(4x+3y=c\) এবং \(12x-5y=2(c+3)\) সরলরেখা দুইটি মূলবিন্দু হতে সমদূরবর্তী। \(c\) এর ধনাত্মক মান নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০১৬ ২০০৯, যঃ ২০১৪, ২০০৫,রাঃ ২০১২, চঃ ২০০৬, ২০০৪, বঃ ২০০৪, ২০০৩।]
[ঢাঃ ২০১৬ ২০০৯, যঃ ২০১৪, ২০০৫,রাঃ ২০১২, চঃ ২০০৬, ২০০৪, বঃ ২০০৪, ২০০৩।]
সমাধানঃ
ধরি,
\(4x+3y-c=0 ...........(1)\)
\(12x-5y-2(c+3)=0 ...........(2)\)
এবং মূলবিন্দু \(O(0, 0)\).
মূলবিন্দু \(O(0, 0)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব \(d_{1}=\frac{|-c|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}\)
\(=\frac{|c|}{\sqrt{16+9}}\)
\(=\frac{|c|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{|c|}{5}\)
মূলবিন্দু \(O(0, 0)\) হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব \(d_{2}=\frac{|-2(c+3)|}{\sqrt{12^{2}+(-5)^{2}}}\)
\(=\frac{|2(c+3)|}{\sqrt{144+25}}\)
\(=\frac{|2(c+3)|}{\sqrt{169}}\)
\(=\frac{|2(c+3)|}{13}\)
শর্তমতে,
\(d_{1}=d_{2}\)
\(\Rightarrow \frac{|c|}{5}=\frac{|2(c+3)|}{13}\)
\(\Rightarrow \frac{c}{5}=\pm \frac{2(c+3)}{13}\)
\(\Rightarrow \frac{c}{5}=\frac{2(c+3)}{13}\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 13c=10(c+3)\)
\(\Rightarrow 13c=10c+30\)
\(\Rightarrow 13c-10c=30\)
\(\Rightarrow 3c=30\)
\(\Rightarrow c=\frac{30}{3}\)
\(\therefore c=10\)
আবার,
\(\Rightarrow \frac{c}{5}=-\frac{2(c+3)}{13}\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 13c=-10(c+3)\)
\(\Rightarrow 13c=-10c-30\)
\(\Rightarrow 13c+10c=-30\)
\(\Rightarrow 23c=-30\)
\(\therefore c=-\frac{30}{23}\)
\(\therefore c\) এর ধনাত্মক মান \(10\)।
\(4x+3y-c=0 ...........(1)\)
\(12x-5y-2(c+3)=0 ...........(2)\)
এবং মূলবিন্দু \(O(0, 0)\).
মূলবিন্দু \(O(0, 0)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব \(d_{1}=\frac{|-c|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}\)
\(=\frac{|c|}{\sqrt{16+9}}\)
\(=\frac{|c|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{|c|}{5}\)
মূলবিন্দু \(O(0, 0)\) হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব \(d_{2}=\frac{|-2(c+3)|}{\sqrt{12^{2}+(-5)^{2}}}\)
\(=\frac{|2(c+3)|}{\sqrt{144+25}}\)
\(=\frac{|2(c+3)|}{\sqrt{169}}\)
\(=\frac{|2(c+3)|}{13}\)
শর্তমতে,
\(d_{1}=d_{2}\)
\(\Rightarrow \frac{|c|}{5}=\frac{|2(c+3)|}{13}\)
\(\Rightarrow \frac{c}{5}=\pm \frac{2(c+3)}{13}\)
\(\Rightarrow \frac{c}{5}=\frac{2(c+3)}{13}\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 13c=10(c+3)\)
\(\Rightarrow 13c=10c+30\)
\(\Rightarrow 13c-10c=30\)
\(\Rightarrow 3c=30\)
\(\Rightarrow c=\frac{30}{3}\)
\(\therefore c=10\)
আবার,
\(\Rightarrow \frac{c}{5}=-\frac{2(c+3)}{13}\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 13c=-10(c+3)\)
\(\Rightarrow 13c=-10c-30\)
\(\Rightarrow 13c+10c=-30\)
\(\Rightarrow 23c=-30\)
\(\therefore c=-\frac{30}{23}\)
\(\therefore c\) এর ধনাত্মক মান \(10\)।
উদাহরণ \(15.\) মূলবিন্দু হতে \(7\) একক দূরত্বে এবং \(3x-4y+7=0\) সরলরেখার উপর লম্ব এরূপ সরলরেখাগুলির সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ধরি,
\(3x-4y+7=0 ........(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(4x+3y+k=0 .......(2)\) ➜ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।
মূলবিন্দু হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব \(d=\frac{|k|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}\)
\(=\frac{|k|}{\sqrt{16+9}}\)
\(=\frac{|k|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{|k|}{5}\)
শর্তমতে,
\(d=7\)
\(\Rightarrow \frac{|k|}{5}=7\)
\(\Rightarrow \pm \frac{k}{5}=7\)
\(\therefore k=\pm 35\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(4x+3y\pm 35=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ।
\(3x-4y+7=0 ........(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(4x+3y+k=0 .......(2)\) ➜ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।
মূলবিন্দু হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব \(d=\frac{|k|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}\)
\(=\frac{|k|}{\sqrt{16+9}}\)
\(=\frac{|k|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{|k|}{5}\)
শর্তমতে,
\(d=7\)
\(\Rightarrow \frac{|k|}{5}=7\)
\(\Rightarrow \pm \frac{k}{5}=7\)
\(\therefore k=\pm 35\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(4x+3y\pm 35=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ।
উদাহরণ \(16.\)
চিত্রেঃ \(G, \triangle ABC\) এর ভরকেন্দ্র; \(D, BC\) এর মধ্যবিন্দু এবং \(EB\perp BC\)।
\((a)\) \(\triangle ABC\) এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। ।
\((b)\) দেখাও যে \(G\) বিন্দুটি \(AD\) রেখাকে \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\((c)\) \(\angle EBC\) এর সমদ্বিখন্ডক রেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
চিত্রেঃ \(G, \triangle ABC\) এর ভরকেন্দ্র; \(D, BC\) এর মধ্যবিন্দু এবং \(EB\perp BC\)।\((a)\) \(\triangle ABC\) এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। ।
\((b)\) দেখাও যে \(G\) বিন্দুটি \(AD\) রেখাকে \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\((c)\) \(\angle EBC\) এর সমদ্বিখন্ডক রেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
\((a)\)
চিত্রে হতে,
\(A(3, 5), \ B(2, 1), \ C(6, 3)\)
\(\therefore \triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}3 \ \ \ \ 2 \ \ \ \ 6 \ \ \ \ 3\\ 5 \ \ \ \ 1 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ 5\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{(3.1-2.5)+(2.3-6.1)+(6.5-3.3)\}\)
\(=\frac{1}{2}\{(3-10)+(6-6)+(30-9)\}\)
\(=\frac{1}{2}\{-7+0+21\}\)
\(=\frac{1}{2}\times 14\)
\(=7\) বর্গ একক।
চিত্রে হতে,
\(A(3, 5), \ B(2, 1), \ C(6, 3)\)
\(\therefore \triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}3 \ \ \ \ 2 \ \ \ \ 6 \ \ \ \ 3\\ 5 \ \ \ \ 1 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ 5\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{(3.1-2.5)+(2.3-6.1)+(6.5-3.3)\}\)
\(=\frac{1}{2}\{(3-10)+(6-6)+(30-9)\}\)
\(=\frac{1}{2}\{-7+0+21\}\)
\(=\frac{1}{2}\times 14\)
\(=7\) বর্গ একক।
\((b)\)
চিত্রে হতে,
\(A(3, 5), \ B(2, 1), \ C(6, 3)\)
\(D, BC\) এর মধ্যবিন্দু \(\therefore D(\frac{2+6}{2}, \frac{1+3}{2})\)
\(\Rightarrow D(\frac{8}{2}, \frac{4}{2})\)
\(\therefore D(4, 2)\)
\(G, \triangle ABC\) এর ভরকেন্দ্র \(\therefore G(\frac{3+2+6}{3}, \frac{5+1+3}{3})\)
\(\Rightarrow G(\frac{11}{3}, \frac{9}{3})\)
\(\therefore G(\frac{11}{3}, 3)\)
ধরি,
\(G, AD\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore G(\frac{m.4+n.3}{m+n}, \frac{m.2+n.5}{m+n})\)
\(\therefore G(\frac{4m+3n}{m+n}, \frac{2m+5n}{m+n})\)
এখন,
\(G(\frac{4m+3n}{m+n}, \frac{2m+5n}{m+n})\Rightarrow G(\frac{11}{3}, 3)\)
\(\Rightarrow \frac{4m+3n}{m+n}=\frac{11}{3}, \frac{2m+5n}{m+n}=3\)
\(\Rightarrow \frac{2m+5n}{m+n}=3\)
\(\Rightarrow 3(m+n)=2m+5n\)
\(\Rightarrow 3m+3n=2m+5n\)
\(\Rightarrow 3m-2m=5n-3n\)
\(\Rightarrow m=2n\)
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{2}{1}\)
\(\therefore m:n=2:1\)
\(\therefore G, AD\) কে \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
চিত্রে হতে,
\(A(3, 5), \ B(2, 1), \ C(6, 3)\)
\(D, BC\) এর মধ্যবিন্দু \(\therefore D(\frac{2+6}{2}, \frac{1+3}{2})\)
\(\Rightarrow D(\frac{8}{2}, \frac{4}{2})\)
\(\therefore D(4, 2)\)
\(G, \triangle ABC\) এর ভরকেন্দ্র \(\therefore G(\frac{3+2+6}{3}, \frac{5+1+3}{3})\)
\(\Rightarrow G(\frac{11}{3}, \frac{9}{3})\)
\(\therefore G(\frac{11}{3}, 3)\)
ধরি,
\(G, AD\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore G(\frac{m.4+n.3}{m+n}, \frac{m.2+n.5}{m+n})\)
\(\therefore G(\frac{4m+3n}{m+n}, \frac{2m+5n}{m+n})\)
এখন,
\(G(\frac{4m+3n}{m+n}, \frac{2m+5n}{m+n})\Rightarrow G(\frac{11}{3}, 3)\)
\(\Rightarrow \frac{4m+3n}{m+n}=\frac{11}{3}, \frac{2m+5n}{m+n}=3\)
\(\Rightarrow \frac{2m+5n}{m+n}=3\)
\(\Rightarrow 3(m+n)=2m+5n\)
\(\Rightarrow 3m+3n=2m+5n\)
\(\Rightarrow 3m-2m=5n-3n\)
\(\Rightarrow m=2n\)
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{2}{1}\)
\(\therefore m:n=2:1\)
\(\therefore G, AD\) কে \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\((c)\) 
চিত্রে হতে,
\(A(3, 5), \ B(2, 1), \ C(6, 3)\)
\(BC\) রেখার সমীকরণ,
\(\frac{x-2}{2-6}=\frac{y-1}{1-3}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{-4}=\frac{y-1}{-2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{1}\)
\(\Rightarrow x-2=2(y-1)\)
\(\Rightarrow x-2=2y-2\)
\(\Rightarrow x-2-2y+2=0\)
\(\therefore x-2y=0 .......(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x+y+k=0 .......(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \(B(2, 1)\) বিন্দুগামী,
\(\therefore 2.2+1+k=0\)
\(\Rightarrow 4+1+k=0\)
\(\Rightarrow 5+k=0\)
\(\therefore k=-5\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(2x+y-5=0 .......(3)\) যা \(BE\) সরলরেখা নির্দেশ করে।
\((1)\) ও \((3)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকদ্বয়ের সমীকরণ,
\(\frac{x-2y}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}=\pm \frac{2x+y-5}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2y}{\sqrt{1+4}}=\pm \frac{2x+y-5}{\sqrt{4+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2y}{\sqrt{5}}=\pm \frac{2x+y-5}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow x-2y=\pm (2x+y-5)\)
\(\Rightarrow x-2y=2x+y-5\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 2x+y-5=x-2y\)
\(\Rightarrow 2x+y-5-x+2y=0\)
\(\therefore x+3y-5=0\)
আবার,
\(\Rightarrow x-2y=-(2x+y-5)\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow x-2y=-2x-y+5\)
\(\Rightarrow x-2y+2x+y-5=0\)
\(\therefore 3x-y-5=0\)
\(\therefore \) সমদ্বিখন্ডকদ্বয়ের সমীকরণ \(x+3y-5=0, \ 3x-y-5=0\)
চিত্রে হতে,
\(A(3, 5), \ B(2, 1), \ C(6, 3)\)
\(BC\) রেখার সমীকরণ,
\(\frac{x-2}{2-6}=\frac{y-1}{1-3}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{-4}=\frac{y-1}{-2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{1}\)
\(\Rightarrow x-2=2(y-1)\)
\(\Rightarrow x-2=2y-2\)
\(\Rightarrow x-2-2y+2=0\)
\(\therefore x-2y=0 .......(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x+y+k=0 .......(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \(B(2, 1)\) বিন্দুগামী,
\(\therefore 2.2+1+k=0\)
\(\Rightarrow 4+1+k=0\)
\(\Rightarrow 5+k=0\)
\(\therefore k=-5\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(2x+y-5=0 .......(3)\) যা \(BE\) সরলরেখা নির্দেশ করে।
\((1)\) ও \((3)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকদ্বয়ের সমীকরণ,
\(\frac{x-2y}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}=\pm \frac{2x+y-5}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2y}{\sqrt{1+4}}=\pm \frac{2x+y-5}{\sqrt{4+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2y}{\sqrt{5}}=\pm \frac{2x+y-5}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow x-2y=\pm (2x+y-5)\)
\(\Rightarrow x-2y=2x+y-5\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 2x+y-5=x-2y\)
\(\Rightarrow 2x+y-5-x+2y=0\)
\(\therefore x+3y-5=0\)
আবার,
\(\Rightarrow x-2y=-(2x+y-5)\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow x-2y=-2x-y+5\)
\(\Rightarrow x-2y+2x+y-5=0\)
\(\therefore 3x-y-5=0\)
\(\therefore \) সমদ্বিখন্ডকদ্বয়ের সমীকরণ \(x+3y-5=0, \ 3x-y-5=0\)
উদাহরণ \(17.\) \(3y=4x-10 ........(1)\)
\(y=1 ........(2)\)
\(3x-4y=5 ........(3)\)
\(5x+12y+13=0 ........(4)\)
\((a)\) \(2x+y+3=0\) ও \(3x-4y+7=0\) রেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০০৪, সিঃ ২০১০।]
\((b)\) \(Y\) অক্ষের উপরিস্থিত যে বিন্দুগুলি হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব \(4\) একক হয় তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[চঃ ২০১০।]
\((c)\) \((2)\), \((3)\) ও \((4)\) রেখা তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের অন্তকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\(y=1 ........(2)\)
\(3x-4y=5 ........(3)\)
\(5x+12y+13=0 ........(4)\)
\((a)\) \(2x+y+3=0\) ও \(3x-4y+7=0\) রেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০০৪, সিঃ ২০১০।]
\((b)\) \(Y\) অক্ষের উপরিস্থিত যে বিন্দুগুলি হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব \(4\) একক হয় তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[চঃ ২০১০।]
\((c)\) \((2)\), \((3)\) ও \((4)\) রেখা তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের অন্তকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
\((a)\)
মনেকরি,
\(2x+y+3=0 ..........(5)\)
\(3x-4y+7=0 .........(6)\)
এখানে,
\(a_{1}=2, b_{1}=1, a_{2}=3, b_{2}=-4\)
\(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=2.3+1.(-4)=6-4=2>0 \)
\(\therefore (5)\) ও \((6)\) এর অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{2x+y+3}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}=-\frac{3x-4y+7}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x+y+3}{\sqrt{4+1}}=-\frac{3x-4y+7}{\sqrt{9+16}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x+y+3}{\sqrt{5}}=-\frac{3x-4y+7}{\sqrt{25}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x+y+3}{\sqrt{5}}=-\frac{3x-4y+7}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{2x+y+3}{\sqrt{5}}=-\frac{3x-4y+7}{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow 2x+y+3=-\frac{3x-4y+7}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{5}x+\sqrt{5}y+3\sqrt{5}=-(3x-4y+7)\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{5}x+\sqrt{5}y+3\sqrt{5}+(3x-4y+7)=0\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{5}x+\sqrt{5}y+3\sqrt{5}+3x-4y+7=0\)
\(\therefore (2\sqrt{5}+3)x+(\sqrt{5}-4)y+3\sqrt{5}+7=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(2x+y+3=0 ..........(5)\)
\(3x-4y+7=0 .........(6)\)
এখানে,
\(a_{1}=2, b_{1}=1, a_{2}=3, b_{2}=-4\)
\(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=2.3+1.(-4)=6-4=2>0 \)
\(\therefore (5)\) ও \((6)\) এর অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{2x+y+3}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}=-\frac{3x-4y+7}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x+y+3}{\sqrt{4+1}}=-\frac{3x-4y+7}{\sqrt{9+16}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x+y+3}{\sqrt{5}}=-\frac{3x-4y+7}{\sqrt{25}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x+y+3}{\sqrt{5}}=-\frac{3x-4y+7}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{2x+y+3}{\sqrt{5}}=-\frac{3x-4y+7}{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow 2x+y+3=-\frac{3x-4y+7}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{5}x+\sqrt{5}y+3\sqrt{5}=-(3x-4y+7)\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{5}x+\sqrt{5}y+3\sqrt{5}+(3x-4y+7)=0\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{5}x+\sqrt{5}y+3\sqrt{5}+3x-4y+7=0\)
\(\therefore (2\sqrt{5}+3)x+(\sqrt{5}-4)y+3\sqrt{5}+7=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\((b)\)
\(3y=4x-10\)
\(\Rightarrow 4x-10=3y\)
\(\Rightarrow 4x-3y-10=0 ......(1)\)
এখন,
\(Y\) অক্ষের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(0, b)\).
\(P(0, b)\) হতে \((1)\) এর দূরত্ব \(d=\frac{|4.0-3b-10|}{\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}}\)
\(=\frac{|0-3b-10|}{\sqrt{16+9}}\)
\(=\frac{|-(3b+10)|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{|3b+10|}{5}\)
শর্তমতে,
\(d=4\)
\(\Rightarrow \frac{|3b+10|}{5}=4\)
\(\Rightarrow \pm \frac{3b+10}{5}=4\)
\(\Rightarrow \frac{3b+10}{5}=4\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 3b+10=20\)
\(\Rightarrow 3b=20-10\)
\(\Rightarrow 3b=10\)
\(\Rightarrow b=\frac{10}{3}\)
আবার,
\(-\frac{3b+10}{5}=4\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 3b+10=-20\)
\(\Rightarrow 3b=-20-10\)
\(\Rightarrow 3b=-30\)
\(\Rightarrow b=\frac{-30}{3}\)
\(\Rightarrow b=-10\)
নির্ণেয় বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক \((0, \frac{10}{3}), \ (0, -10)\)।
\(3y=4x-10\)
\(\Rightarrow 4x-10=3y\)
\(\Rightarrow 4x-3y-10=0 ......(1)\)
এখন,
\(Y\) অক্ষের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(0, b)\).
\(P(0, b)\) হতে \((1)\) এর দূরত্ব \(d=\frac{|4.0-3b-10|}{\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}}\)
\(=\frac{|0-3b-10|}{\sqrt{16+9}}\)
\(=\frac{|-(3b+10)|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{|3b+10|}{5}\)
শর্তমতে,
\(d=4\)
\(\Rightarrow \frac{|3b+10|}{5}=4\)
\(\Rightarrow \pm \frac{3b+10}{5}=4\)
\(\Rightarrow \frac{3b+10}{5}=4\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 3b+10=20\)
\(\Rightarrow 3b=20-10\)
\(\Rightarrow 3b=10\)
\(\Rightarrow b=\frac{10}{3}\)
আবার,
\(-\frac{3b+10}{5}=4\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 3b+10=-20\)
\(\Rightarrow 3b=-20-10\)
\(\Rightarrow 3b=-30\)
\(\Rightarrow b=\frac{-30}{3}\)
\(\Rightarrow b=-10\)
নির্ণেয় বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক \((0, \frac{10}{3}), \ (0, -10)\)।
\((c)\)
\(y-1=0 ........(2)\)
\(3x-4y-5=0 ........(3)\)
\(5x+12y+13=0 ........(4)\)
চিত্র থেকে এটা স্পষ্ট যে \((2)\) ও \((3)\) এর অন্তর্ভুক্ত \(\angle A\) একটি সূক্ষ্মকোণ।
এখন,
\(a_{1}=0, b_{1}=1, a_{2}=3, b_{2}=-4\)
\(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=0.3+1.(-4)=0-4=-4\)
\(\because 0>a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}\)
সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{y-1}{\sqrt{0^{2}+1^{2}}}=\frac{3x-4y-5}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{y-1}{\sqrt{0+1}}=\frac{3x-4y-5}{\sqrt{9+16}}\)
\(\Rightarrow \frac{y-1}{\sqrt{1}}=\frac{3x-4y-5}{\sqrt{25}}\)
\(\Rightarrow \frac{y-1}{1}=\frac{3x-4y-5}{5}\)
\(\Rightarrow 5(y-1)=3x-4y-5\)
\(\Rightarrow 5y-5=3x-4y-5\)
\(\Rightarrow 3x-4y-5=5y-5\)
\(\Rightarrow 3x-4y-5-5y+5=0\)
\(\Rightarrow 3x-9y=0 ..........(7)\)
আবার,
চিত্র থেকে \((2)\) ও \((4)\) এর অন্তর্ভুক্ত \(\angle C\) একটি সূক্ষ্মকোণ।
এখন,
\(a_{1}=0, b_{1}=1, a_{2}=5, b_{2}=12\)
\(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=0.5+1.12=0+12=12>0\)
সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{y-1}{\sqrt{0^{2}+1^{2}}}=-\frac{5x+12y+13}{\sqrt{5^{2}+12^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{y-1}{\sqrt{0+1}}=-\frac{5x+12y+13}{\sqrt{25+144}}\)
\(\Rightarrow \frac{y-1}{\sqrt{1}}=-\frac{5x+12y+13}{\sqrt{169}}\)
\(\Rightarrow \frac{y-1}{1}=-\frac{5x+12y+13}{13}\)
\(\Rightarrow 13(y-1)=-(5x+12y+13)\)
\(\Rightarrow 13y-13=-5x-12y-13\)
\(\Rightarrow 13y-13+5x+12y+13=0\)
\(\Rightarrow 5x+25y=0 ..........(8)\)
\((7)\) ও \((8)\) এর ছেদবিন্দু \(O(0, 0) \because \) উভয় সরলরেখা মূলবিন্দুগামী।
\(\therefore \) ত্রিভুজের অন্তকেন্দ্র \(O(0, 0)\).
\(y-1=0 ........(2)\)
\(3x-4y-5=0 ........(3)\)
\(5x+12y+13=0 ........(4)\)
চিত্র থেকে এটা স্পষ্ট যে \((2)\) ও \((3)\) এর অন্তর্ভুক্ত \(\angle A\) একটি সূক্ষ্মকোণ।
এখন,
\(a_{1}=0, b_{1}=1, a_{2}=3, b_{2}=-4\)
\(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=0.3+1.(-4)=0-4=-4\)
\(\because 0>a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}\)
সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{y-1}{\sqrt{0^{2}+1^{2}}}=\frac{3x-4y-5}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{y-1}{\sqrt{0+1}}=\frac{3x-4y-5}{\sqrt{9+16}}\)
\(\Rightarrow \frac{y-1}{\sqrt{1}}=\frac{3x-4y-5}{\sqrt{25}}\)
\(\Rightarrow \frac{y-1}{1}=\frac{3x-4y-5}{5}\)
\(\Rightarrow 5(y-1)=3x-4y-5\)
\(\Rightarrow 5y-5=3x-4y-5\)
\(\Rightarrow 3x-4y-5=5y-5\)
\(\Rightarrow 3x-4y-5-5y+5=0\)
\(\Rightarrow 3x-9y=0 ..........(7)\)
আবার,
চিত্র থেকে \((2)\) ও \((4)\) এর অন্তর্ভুক্ত \(\angle C\) একটি সূক্ষ্মকোণ।
এখন,
\(a_{1}=0, b_{1}=1, a_{2}=5, b_{2}=12\)
\(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=0.5+1.12=0+12=12>0\)
সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{y-1}{\sqrt{0^{2}+1^{2}}}=-\frac{5x+12y+13}{\sqrt{5^{2}+12^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{y-1}{\sqrt{0+1}}=-\frac{5x+12y+13}{\sqrt{25+144}}\)
\(\Rightarrow \frac{y-1}{\sqrt{1}}=-\frac{5x+12y+13}{\sqrt{169}}\)
\(\Rightarrow \frac{y-1}{1}=-\frac{5x+12y+13}{13}\)
\(\Rightarrow 13(y-1)=-(5x+12y+13)\)
\(\Rightarrow 13y-13=-5x-12y-13\)
\(\Rightarrow 13y-13+5x+12y+13=0\)
\(\Rightarrow 5x+25y=0 ..........(8)\)
\((7)\) ও \((8)\) এর ছেদবিন্দু \(O(0, 0) \because \) উভয় সরলরেখা মূলবিন্দুগামী।
\(\therefore \) ত্রিভুজের অন্তকেন্দ্র \(O(0, 0)\).
অনুশীলনী \(3.G\) / \(Q.1\)-এর অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
\(Q.1.(i).(a) - Q.1.(i).(i)\) লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\(Q.1.(i).(a)\) \((2, -3)\) বিন্দু হতে \(4x-3y+33=0\);\(Q.1.(i).(b)\) \((4, -2)\) বিন্দু হতে \(5x+12y=3\);
\(Q.1.(i).(c)\) \((0, 0)\) বিন্দু হতে \(4x+3y+5=0\);
\(Q.1.(i).(d)\) মূলবিন্দু হতে \(8x+6y+25=0\);
\(Q.1.(i).(e)\) \(5x+12y=23\) হতে \(5x+12y+29=0\);
\(Q.1.(i).(f)\) \(3x-2y=2\) হতে \(6x-4y+9=0\);
\(Q.1.(i).(g)\) \(5x+12y+3=0\) হতে \(5x+12y+29=0\);
\(Q.1.(i).(h)\) \(3x-2y=1\) হতে \(6x-4y+9=0\);
\(Q.1.(i).(i)\) \(4y=3(x-4)\) হতে \(4y=3(x-1)\);
উত্তরঃ \((a) \ 10;\) \((b) \ \frac{7}{13};\)
\((c) \ 1;\) \((d) \ \frac{5}{2};\)
\((e) \ 4;\) \((f) \ \frac{\sqrt{13}}{2};\)
\((g) \ 2;\) \((h) \ \frac{11}{2\sqrt{13}};\)
\((i) \ \frac{9}{5}\)।
\(Q.1.(ii)\) \(4x-4y+3=0\) ও \(x+7y-2=0\) রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণসমুহের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর। প্রমাণ কর যে, দ্বিখন্ডকদ্বয় পরস্পর লম্ব। এদের মধ্যে কোনটি মূলবিন্দু অন্তর্ধারী কোণের সমদ্বিখন্ডক।
[যঃ ২০১২]
উত্তরঃ \(16x-48y+23=0; \ 24x+8y+7=0\),
দ্বিতীয়টি।
\(Q.1.(iii)\) \(P\) বিন্দু হতে \(2x+y-1=0\) এবং \(x+2y+1=0\) সরলরেখাদ্বয়ের দূরত্বের অনুপাত \(2:1\) হলে, \(P\) এর সঞ্চার পথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x+5y+1=0; \ y+1=0\)।
\(Q.1.(iv)\) দেখাও যে, \(7x-9y+10=0\) সরলরেখাটির উপরিস্থিত যে কোনো বিন্দু \(3x+4y-5=0\) এবং \(12x+5y-7=0\) রেখাদ্বয় হতে সমদূরবর্তী।
\(Q.1.(v)\) এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যারা \(y-2x+2=0\) এবং \(y-3x+5=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং মূলবিন্দু হতে যাদের দূরত্ব \(\frac{7}{\sqrt{2}}\) একক।
উত্তরঃ \(x+y=7\) এবং \(17x+31y=175\)।
\(Q.1.(vi)\) \(12x-5y=7\) রেখার \(2\) একক দূরে অবস্থিত সমান্তরাল রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০১২, রাঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(12x-5y+19=0; \ 12x-5y-33=0\)।
\(Q.1.(vii)\) \(4x-3y=8\) সরলরেখার সমান্তরাল এবং তা থেকে \(2\) একক দূরে অবস্থিত সরলরেখাগুলির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(4x-3y+2=0; \ 4x-3y-18=0\)।
\(Q.1.(viii)\) প্রমাণ কর যে, \((\pm c, 0)\) বিন্দুদ্বয় হতে \(bx\cos\theta+ay\sin\theta=ab\) এর উপর অঙ্কিত লম্বদ্বয়ের গুণফল \(b^{2}\) হবে যখন \(a^{2}=b^{2}+c^{2}\)।
\(Q.1.(ix)\) দেখাও যে, \((0, 1)\) বিন্দুটি \(12x-5y+1=0\) এবং \(5x+12y-16=0 \) এর অন্তর্ভুক্ত কোণগুলির একটি সমদ্বিখন্ডকের উপর অবস্থিত।
[ কুঃ ২০১১, ২০১৩, যঃ ২০১১, দিঃ ২০১৩ ]
\(Q.1.(x)\) দেখাও যে, \(4x+7y-26=0\) রেখার উপরিস্থিত যে কোনো বিন্দু , \(3x+4y-12=0 \) এবং \(5x+12y-52=0 \) সরলরেখাদ্বয় হতে সমদূরবর্তী।
\(Q.1.(xi)\) মূলবিন্দু হতে \(x\sec\theta-y \ cosec \ \theta=k \) ও \(x\cos\theta-y\sin\theta=k\cos2\theta \) রেখদ্বয়ের লম্ব দূরত্ব যথাক্রমে \(P\) ও \(P_{1}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(4P^{2}+P_{1}^{2}=k^{2}\)।
[ চঃ ২০১১]
\(Q.1.(xii)\) \((1, 2)\) বিন্দু হতে \(x-\sqrt{3}y+4=0\) রেখার উপর একটি লম্ব অঙ্কিত হলো। মূলবিন্দু থেকে এ লম্বের লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{3}+2}{2}\)।
\(Q.1.(xiii)\) \((2, 3)\) বিন্দু এবং \(4x+3y-7=0\) রেখার সাপেক্ষে উক্ত বিন্দুর প্রতিবিম্বের মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4\) একক।
\(Q.1.(xiv)\) \((x, y)\) বিন্দুটি \(3x-4y+1=0\) এবং \(4x+3y+1=0\) রেখা দুইটি হতে সমদূরবর্তী হলে দেখাও যে, \(x+7y=0\) অথবা, \(7x-y+2=0\)।
\(Q.1.(xv)\) \((7, 17)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \((1, 9)\) বিন্দু থেকে \(6\) একক দূরে অবস্থিত সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(7x-24y+359=0\)।
\(Q.1.(xvi)\) একটি সরলরেখা অক্ষ দুইটি থেকে সমমানের যোগবোধক অংশ ছেদ করে। মূলবিন্দু থেকে তার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য \(4\) একক। তার সমীকরণ বের কর।
[ বঃ,কুঃ ২০১১; সিঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(x+y=4\sqrt{2}\)।
\(Q.1.(xvii)\) \(x+3y=7\) রেখার সাপেক্ষে \((3, 8)\) বিন্দুর প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-1, -4)\)।
[ ঢাঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(4x-3y+2=0; \ 4x-3y-18=0\)।
\(Q.1.(viii)\) প্রমাণ কর যে, \((\pm c, 0)\) বিন্দুদ্বয় হতে \(bx\cos\theta+ay\sin\theta=ab\) এর উপর অঙ্কিত লম্বদ্বয়ের গুণফল \(b^{2}\) হবে যখন \(a^{2}=b^{2}+c^{2}\)।
\(Q.1.(ix)\) দেখাও যে, \((0, 1)\) বিন্দুটি \(12x-5y+1=0\) এবং \(5x+12y-16=0 \) এর অন্তর্ভুক্ত কোণগুলির একটি সমদ্বিখন্ডকের উপর অবস্থিত।
[ কুঃ ২০১১, ২০১৩, যঃ ২০১১, দিঃ ২০১৩ ]
\(Q.1.(x)\) দেখাও যে, \(4x+7y-26=0\) রেখার উপরিস্থিত যে কোনো বিন্দু , \(3x+4y-12=0 \) এবং \(5x+12y-52=0 \) সরলরেখাদ্বয় হতে সমদূরবর্তী।
\(Q.1.(xi)\) মূলবিন্দু হতে \(x\sec\theta-y \ cosec \ \theta=k \) ও \(x\cos\theta-y\sin\theta=k\cos2\theta \) রেখদ্বয়ের লম্ব দূরত্ব যথাক্রমে \(P\) ও \(P_{1}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(4P^{2}+P_{1}^{2}=k^{2}\)।
[ চঃ ২০১১]
\(Q.1.(xii)\) \((1, 2)\) বিন্দু হতে \(x-\sqrt{3}y+4=0\) রেখার উপর একটি লম্ব অঙ্কিত হলো। মূলবিন্দু থেকে এ লম্বের লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{3}+2}{2}\)।
\(Q.1.(xiii)\) \((2, 3)\) বিন্দু এবং \(4x+3y-7=0\) রেখার সাপেক্ষে উক্ত বিন্দুর প্রতিবিম্বের মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4\) একক।
\(Q.1.(xiv)\) \((x, y)\) বিন্দুটি \(3x-4y+1=0\) এবং \(4x+3y+1=0\) রেখা দুইটি হতে সমদূরবর্তী হলে দেখাও যে, \(x+7y=0\) অথবা, \(7x-y+2=0\)।
\(Q.1.(xv)\) \((7, 17)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \((1, 9)\) বিন্দু থেকে \(6\) একক দূরে অবস্থিত সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(7x-24y+359=0\)।
\(Q.1.(xvi)\) একটি সরলরেখা অক্ষ দুইটি থেকে সমমানের যোগবোধক অংশ ছেদ করে। মূলবিন্দু থেকে তার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য \(4\) একক। তার সমীকরণ বের কর।
[ বঃ,কুঃ ২০১১; সিঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(x+y=4\sqrt{2}\)।
\(Q.1.(xvii)\) \(x+3y=7\) রেখার সাপেক্ষে \((3, 8)\) বিন্দুর প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-1, -4)\)।
লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\(Q.1.(i).(a)\) \((2, -3)\) বিন্দু হতে \(4x-3y+33=0\)
উত্তরঃ \((a) \ 10\)
উত্তরঃ \((a) \ 10\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(A(2, -3)\)
\(4x-3y+33=0 .........(1)\)
\(A\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(= \frac{|4.2-3.(-3)+33|}{\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}}\) ➜ \(\because d=\frac{|ax_{1}+by_{1}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(= \frac{8+9+33}{\sqrt{16+9}}\)
\(= \frac{50}{\sqrt{25}}\)
\(= \frac{50}{5}\)
\(=10\) একক ।
ইহাই নির্ণেয় লম্ব দূরত্ব।
\(A(2, -3)\)
\(4x-3y+33=0 .........(1)\)
\(A\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(= \frac{|4.2-3.(-3)+33|}{\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}}\) ➜ \(\because d=\frac{|ax_{1}+by_{1}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(= \frac{8+9+33}{\sqrt{16+9}}\)
\(= \frac{50}{\sqrt{25}}\)
\(= \frac{50}{5}\)
\(=10\) একক ।
ইহাই নির্ণেয় লম্ব দূরত্ব।
লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\(Q.1.(i).(b)\) \((4, -2)\) বিন্দু হতে \(5x+12y=3\)
উত্তরঃ \((b) \ \frac{7}{13}\)
উত্তরঃ \((b) \ \frac{7}{13}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(A(4, -2)\)
\(5x+12y=3\)
\(\Rightarrow 5x+12y-3=0 .........(1)\)
\(A\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(= \frac{|5.4+12.(-2)-3|}{\sqrt{5^{2}+12^{2}}}\)
\(= \frac{|20-24-3|}{\sqrt{25+144}}\)
\(= \frac{|-7|}{\sqrt{169}}\)
\(= \frac{7}{13}\) একক ।
ইহাই নির্ণেয় লম্ব দূরত্ব।
\(A(4, -2)\)
\(5x+12y=3\)
\(\Rightarrow 5x+12y-3=0 .........(1)\)
\(A\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(= \frac{|5.4+12.(-2)-3|}{\sqrt{5^{2}+12^{2}}}\)
\(= \frac{|20-24-3|}{\sqrt{25+144}}\)
\(= \frac{|-7|}{\sqrt{169}}\)
\(= \frac{7}{13}\) একক ।
ইহাই নির্ণেয় লম্ব দূরত্ব।
লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\(Q.1.(i).(c)\) \((0, 0)\) বিন্দু হতে \(4x+3y+5=0\)
উত্তরঃ \((c) \ 1\)
উত্তরঃ \((c) \ 1\)
সমাধানঃ
\(Q.1.(i).(c)\) মনে করি,
\(O(0, 0)\)
\(4x+3y+5=0 .........(1)\)
মূলবিন্দু তথা \(O\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(= \frac{|5|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}\) ➜ \(\because d=\frac{|c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(= \frac{5}{\sqrt{16+9}}\)
\(= \frac{5}{\sqrt{25}}\)
\(= \frac{5}{5}\)
\(= 1\) একক ।
ইহাই নির্ণেয় লম্ব দূরত্ব।
\(O(0, 0)\)
\(4x+3y+5=0 .........(1)\)
মূলবিন্দু তথা \(O\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(= \frac{|5|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}\) ➜ \(\because d=\frac{|c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(= \frac{5}{\sqrt{16+9}}\)
\(= \frac{5}{\sqrt{25}}\)
\(= \frac{5}{5}\)
\(= 1\) একক ।
ইহাই নির্ণেয় লম্ব দূরত্ব।
লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\(Q.1.(i).(d)\) মূলবিন্দু হতে \(8x+6y+25=0\)
উত্তরঃ \((d) \ \frac{5}{2}\)
উত্তরঃ \((d) \ \frac{5}{2}\)
সমাধানঃ
\(Q.1.(i).(d)\) মনে করি,
\(8x+6y+25=0 .........(1)\)
মূলবিন্দু তথা \(O\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(= \frac{|25|}{\sqrt{8^{2}+6^{2}}}\) ➜ \(\because d=\frac{|c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(= \frac{25}{\sqrt{64+36}}\)
\(= \frac{25}{\sqrt{100}}\)
\(= \frac{25}{10}\)
\(= \frac{5}{2}\) একক ।
ইহাই নির্ণেয় লম্ব দূরত্ব।
\(8x+6y+25=0 .........(1)\)
মূলবিন্দু তথা \(O\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(= \frac{|25|}{\sqrt{8^{2}+6^{2}}}\) ➜ \(\because d=\frac{|c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(= \frac{25}{\sqrt{64+36}}\)
\(= \frac{25}{\sqrt{100}}\)
\(= \frac{25}{10}\)
\(= \frac{5}{2}\) একক ।
ইহাই নির্ণেয় লম্ব দূরত্ব।
লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\(Q.1.(i).(e)\) \(5x+12y=23\) হতে \(5x+12y+29=0\)
উত্তরঃ \((e) \ 4\)
উত্তরঃ \((e) \ 4\)
সমাধানঃ
\(Q.1.(i).(e)\) মনে করি,
\(5x+12y-23=0 .........(1)\)
\(5x+12y+29=0 .........(2)\)
\((1)\) হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(= \frac{|-23-29|}{\sqrt{5^{2}+12^{2}}}\) ➜ \(\because d=\frac{|c_{1}-c_{2}|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(= \frac{|-52|}{\sqrt{25+144}}\)
\(= \frac{52}{\sqrt{169}}\)
\(= \frac{25}{13}\)
\(= 4\) একক ।
ইহাই নির্ণেয় লম্ব দূরত্ব।
\(5x+12y-23=0 .........(1)\)
\(5x+12y+29=0 .........(2)\)
\((1)\) হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(= \frac{|-23-29|}{\sqrt{5^{2}+12^{2}}}\) ➜ \(\because d=\frac{|c_{1}-c_{2}|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(= \frac{|-52|}{\sqrt{25+144}}\)
\(= \frac{52}{\sqrt{169}}\)
\(= \frac{25}{13}\)
\(= 4\) একক ।
ইহাই নির্ণেয় লম্ব দূরত্ব।
লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\(Q.1.(i).(f)\) \(3x-2y=2\) হতে \(6x-4y+9=0\)
উত্তরঃ \((f) \ \frac{\sqrt{13}}{2}\)
উত্তরঃ \((f) \ \frac{\sqrt{13}}{2}\)
সমাধানঃ
\(Q.1.(i).(f)\) মনে করি,
\(3x-2y-2=0 .........(1)\)
এবং
\(6x-4y+9=0\)
\(\Rightarrow 2(3x-2y+\frac{9}{2})=0\)
\(\Rightarrow 3x-2y+\frac{9}{2}=\frac{0}{2}\)
\(3x-2y+\frac{9}{2}=0 .........(2)\)
\((1)\) হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(= \frac{|-2-\frac{9}{2}|}{\sqrt{3^{2}+(-2)^{2}}}\)| \(\because d=\frac{|c_{1}-c_{2}|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(= \frac{|\frac{-4-9}{2}|}{\sqrt{9+4}}\)
\(= \frac{|-\frac{13}{2}|}{\sqrt{13}}\)
\(= \frac{\frac{13}{2}}{\sqrt{13}}\)
\(= \frac{13}{2}\times \frac{1}{\sqrt{13}}\)
\(= \frac{\sqrt{13}\times \sqrt{13}}{2}\times \frac{1}{\sqrt{13}}\)
\(= \frac{\sqrt{13}}{2}\) একক ।
ইহাই নির্ণেয় লম্ব দূরত্ব।
\(3x-2y-2=0 .........(1)\)
এবং
\(6x-4y+9=0\)
\(\Rightarrow 2(3x-2y+\frac{9}{2})=0\)
\(\Rightarrow 3x-2y+\frac{9}{2}=\frac{0}{2}\)
\(3x-2y+\frac{9}{2}=0 .........(2)\)
\((1)\) হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(= \frac{|-2-\frac{9}{2}|}{\sqrt{3^{2}+(-2)^{2}}}\)| \(\because d=\frac{|c_{1}-c_{2}|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(= \frac{|\frac{-4-9}{2}|}{\sqrt{9+4}}\)
\(= \frac{|-\frac{13}{2}|}{\sqrt{13}}\)
\(= \frac{\frac{13}{2}}{\sqrt{13}}\)
\(= \frac{13}{2}\times \frac{1}{\sqrt{13}}\)
\(= \frac{\sqrt{13}\times \sqrt{13}}{2}\times \frac{1}{\sqrt{13}}\)
\(= \frac{\sqrt{13}}{2}\) একক ।
ইহাই নির্ণেয় লম্ব দূরত্ব।
\(Q.1.(ii)\) \(4x-4y+3=0\) ও \(x+7y-2=0\) রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণসমুহের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর। প্রমাণ কর যে, দ্বিখন্ডকদ্বয় পরস্পর লম্ব। এদের মধ্যে কোনটি মূলবিন্দু অন্তর্ধারী কোণের সমদ্বিখন্ডক।
[যঃ ২০১২]
উত্তরঃ \(16x-48y+23=0; \ 24x+8y+7=0\), দ্বিতীয়টি।
[যঃ ২০১২]
উত্তরঃ \(16x-48y+23=0; \ 24x+8y+7=0\), দ্বিতীয়টি।
সমাধানঃ
মনে করি,
\(4x-4y+3=0 ..........(1)\)
\(x+7y-2=0 ..........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{4x-4y+3}{\sqrt{4^{2}+(-4)^{2}}}=\pm \frac{x+7y-2}{\sqrt{1^{2}+7^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{4x-4y+3}{\sqrt{16+16}}=\pm \frac{x+7y-2}{\sqrt{1+49}}\)
\(\Rightarrow \frac{4x-4y+3}{\sqrt{2\times 16}}=\pm \frac{x+7y-2}{\sqrt{50}}\)
\(\Rightarrow \frac{4x-4y+3}{\sqrt{2\times 4^{2}}}=\pm \frac{x+7y-2}{\sqrt{2\times 5^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{4x-4y+3}{4\sqrt{2}}=\pm \frac{x+7y-2}{5\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{4x-4y+3}{4}=\pm \frac{x+7y-2}{5}\)
\(\Rightarrow 5(4x-4y+3)=\pm 4(x+7y-2)\)
\(\Rightarrow 5(4x-4y+3)=4(x+7y-2)\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 20x-20y+15=4x+28y-8\)
\(\Rightarrow 20x-20y+15-4x-28y+8=0\)
\(\therefore 16x-48y+23=0\) এর ঢাল \(m_{1}=-\frac{16}{-48}=\frac{1}{3}\)
আবার,
\(\Rightarrow 5(4x-4y+3)=-4(x+7y-2)\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 20x-20y+15=-4x-28y+8\)
\(\Rightarrow 20x-20y+15+4x+28y-8=0\)
\(\therefore 24x+8y+7=0\) এর ঢাল \(m_{2}=-\frac{24}{8}=-3\)
এখানে,
\(m_{1}\times m_{2}=\frac{1}{3}\times -3\)
\(=-1\)
\(\because m_{1}\times m_{2}=-1\)
\(\therefore \) দ্বিখন্ডকদ্বয় পরস্পর লম্ব।
আবার,
\(c_{1}=3=+ve, c_{2}=-2=-ve\)
\(\because c_{1}\) এবং \(c_{2}\) বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট , ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহারকরে প্রাপ্ত সমদ্বিখন্ডকটি হবে মূলবিন্দু অন্তর্ধারী কোণের সমদ্বিখন্ডক।
\(\therefore \) সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ \(16x-48y+23=0, \ 24x+8y+7=0\); দ্বিতীয়টি।
\(4x-4y+3=0 ..........(1)\)
\(x+7y-2=0 ..........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{4x-4y+3}{\sqrt{4^{2}+(-4)^{2}}}=\pm \frac{x+7y-2}{\sqrt{1^{2}+7^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{4x-4y+3}{\sqrt{16+16}}=\pm \frac{x+7y-2}{\sqrt{1+49}}\)
\(\Rightarrow \frac{4x-4y+3}{\sqrt{2\times 16}}=\pm \frac{x+7y-2}{\sqrt{50}}\)
\(\Rightarrow \frac{4x-4y+3}{\sqrt{2\times 4^{2}}}=\pm \frac{x+7y-2}{\sqrt{2\times 5^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{4x-4y+3}{4\sqrt{2}}=\pm \frac{x+7y-2}{5\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{4x-4y+3}{4}=\pm \frac{x+7y-2}{5}\)
\(\Rightarrow 5(4x-4y+3)=\pm 4(x+7y-2)\)
\(\Rightarrow 5(4x-4y+3)=4(x+7y-2)\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 20x-20y+15=4x+28y-8\)
\(\Rightarrow 20x-20y+15-4x-28y+8=0\)
\(\therefore 16x-48y+23=0\) এর ঢাল \(m_{1}=-\frac{16}{-48}=\frac{1}{3}\)
আবার,
\(\Rightarrow 5(4x-4y+3)=-4(x+7y-2)\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 20x-20y+15=-4x-28y+8\)
\(\Rightarrow 20x-20y+15+4x+28y-8=0\)
\(\therefore 24x+8y+7=0\) এর ঢাল \(m_{2}=-\frac{24}{8}=-3\)
এখানে,
\(m_{1}\times m_{2}=\frac{1}{3}\times -3\)
\(=-1\)
\(\because m_{1}\times m_{2}=-1\)
\(\therefore \) দ্বিখন্ডকদ্বয় পরস্পর লম্ব।
আবার,
\(c_{1}=3=+ve, c_{2}=-2=-ve\)
\(\because c_{1}\) এবং \(c_{2}\) বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট , ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহারকরে প্রাপ্ত সমদ্বিখন্ডকটি হবে মূলবিন্দু অন্তর্ধারী কোণের সমদ্বিখন্ডক।
\(\therefore \) সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ \(16x-48y+23=0, \ 24x+8y+7=0\); দ্বিতীয়টি।
\(Q.1.(iii)\) \(P\) বিন্দু হতে \(2x+y-1=0\) এবং \(x+2y+1=0\) সরলরেখাদ্বয়ের দূরত্বের অনুপাত \(2:1\) হলে, \(P\) এর সঞ্চার পথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x+5y+1=0; \ y+1=0\)।
উত্তরঃ \(4x+5y+1=0; \ y+1=0\)।
সমাধানঃ
মনে করি,
\(P(x, y)\)
\(2x+y-1=0 .......(1)\)
এবং \(x+2y+1=0 .......(2)\)
\(P(x, x)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d_{1}=\frac{|2x+y-1|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}\)
\(=\frac{|2x+y-1|}{\sqrt{4+1}}\)
\(=\frac{|2x+y-1|}{\sqrt{5}}\)
\(P(x, x)\) হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d_{2}=\frac{|x+2y+1|}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}\)
\(=\frac{|x+2y+1|}{\sqrt{1+4}}\)
\(=\frac{|x+2y+1|}{\sqrt{5}}\)
শর্তমতে,
\(d_{1}:d_{2}=2:1\)
\(\Rightarrow \frac{d_{1}}{d_{2}}=\frac{2}{1}\)
\(\Rightarrow d_{1}=2d_{2}\)
\(\Rightarrow \frac{|2x+y-1|}{\sqrt{5}}=2\frac{|x+2y+1|}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x+y-1}{\sqrt{5}}=\pm 2\frac{x+2y+1}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow 2x+y-1=\pm 2(x+2y+1)\)
\(\Rightarrow 2x+y-1=2(x+2y+1)\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 2x+y-1=2x+4y+2\)
\(\Rightarrow 2x+y-1-2x-4y-2=0\)
\(\Rightarrow -3y-3=0\)
\(\Rightarrow -3(y+1)=0\)
\(\Rightarrow (y+1)=\frac{0}{-3}\)
\(\therefore y+1=0\)
আবার,
\(\Rightarrow 2x+y-1=-2(x+2y+1)\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 2x+y-1=-2x-4y-2\)
\(\Rightarrow 2x+y-1+2x+4y+2=0\)
\(\therefore 4x+5y+1=0\)
\(\therefore \) সঞ্চার পথের সমীকরণ , \(4x+5y+1=0, \ y+1=0\)
\(P(x, y)\)
\(2x+y-1=0 .......(1)\)
এবং \(x+2y+1=0 .......(2)\)
\(P(x, x)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d_{1}=\frac{|2x+y-1|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}\)
\(=\frac{|2x+y-1|}{\sqrt{4+1}}\)
\(=\frac{|2x+y-1|}{\sqrt{5}}\)
\(P(x, x)\) হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d_{2}=\frac{|x+2y+1|}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}\)
\(=\frac{|x+2y+1|}{\sqrt{1+4}}\)
\(=\frac{|x+2y+1|}{\sqrt{5}}\)
শর্তমতে,
\(d_{1}:d_{2}=2:1\)
\(\Rightarrow \frac{d_{1}}{d_{2}}=\frac{2}{1}\)
\(\Rightarrow d_{1}=2d_{2}\)
\(\Rightarrow \frac{|2x+y-1|}{\sqrt{5}}=2\frac{|x+2y+1|}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x+y-1}{\sqrt{5}}=\pm 2\frac{x+2y+1}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow 2x+y-1=\pm 2(x+2y+1)\)
\(\Rightarrow 2x+y-1=2(x+2y+1)\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 2x+y-1=2x+4y+2\)
\(\Rightarrow 2x+y-1-2x-4y-2=0\)
\(\Rightarrow -3y-3=0\)
\(\Rightarrow -3(y+1)=0\)
\(\Rightarrow (y+1)=\frac{0}{-3}\)
\(\therefore y+1=0\)
আবার,
\(\Rightarrow 2x+y-1=-2(x+2y+1)\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 2x+y-1=-2x-4y-2\)
\(\Rightarrow 2x+y-1+2x+4y+2=0\)
\(\therefore 4x+5y+1=0\)
\(\therefore \) সঞ্চার পথের সমীকরণ , \(4x+5y+1=0, \ y+1=0\)
\(Q.1.(iv)\) দেখাও যে, \(7x-9y+10=0\) সরলরেখাটির উপরিস্থিত যে কোনো বিন্দু \(3x+4y-5=0\) এবং \(12x+5y-7=0\) রেখাদ্বয় হতে সমদূরবর্তী।
সমাধানঃ
মনে করি,
\(3x+4y-5=0 ..........(1)\)
\(12x+5y-7=0 ..........(2)\)
\(7x-9y+10=0 ..........(3)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{3x+4y-5}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=\pm \frac{12x+5y-7}{\sqrt{12^{2}+5^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+4y-5}{\sqrt{9+16}}=\pm \frac{12x+5y-7}{\sqrt{144+25}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+4y-5}{\sqrt{25}}=\pm \frac{12x+5y-7}{\sqrt{169}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+4y-5}{5}=\pm \frac{12x+5y-7}{13}\)
\(\Rightarrow 13(3x+4y-5)=\pm 5(12x+5y-7)\)
\(\Rightarrow 13(3x+4y-5)=5(12x+5y-7)\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 5(12x+5y-7)=13(3x+4y-5)\)
\(\Rightarrow 60x+25y-35=39x+52y-65\)
\(\Rightarrow 60x+25y-35-39x-52y+65=0\)
\(\Rightarrow 21x-27y+30=0\)
\(\therefore 7x-9y+10=0\) যা \((3)\) নং সমীকরণের অনুরূপ।
\(\therefore (3)\) নং সরলরেখাটির উপরিস্থিত যে কোনো বিন্দু \((1)\) এবং \((2)\) রেখাদ্বয় হতে সমদূরবর্তী।
\(3x+4y-5=0 ..........(1)\)
\(12x+5y-7=0 ..........(2)\)
\(7x-9y+10=0 ..........(3)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{3x+4y-5}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=\pm \frac{12x+5y-7}{\sqrt{12^{2}+5^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+4y-5}{\sqrt{9+16}}=\pm \frac{12x+5y-7}{\sqrt{144+25}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+4y-5}{\sqrt{25}}=\pm \frac{12x+5y-7}{\sqrt{169}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+4y-5}{5}=\pm \frac{12x+5y-7}{13}\)
\(\Rightarrow 13(3x+4y-5)=\pm 5(12x+5y-7)\)
\(\Rightarrow 13(3x+4y-5)=5(12x+5y-7)\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 5(12x+5y-7)=13(3x+4y-5)\)
\(\Rightarrow 60x+25y-35=39x+52y-65\)
\(\Rightarrow 60x+25y-35-39x-52y+65=0\)
\(\Rightarrow 21x-27y+30=0\)
\(\therefore 7x-9y+10=0\) যা \((3)\) নং সমীকরণের অনুরূপ।
\(\therefore (3)\) নং সরলরেখাটির উপরিস্থিত যে কোনো বিন্দু \((1)\) এবং \((2)\) রেখাদ্বয় হতে সমদূরবর্তী।
\(Q.1.(v)\) এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যারা \(y-2x+2=0\) এবং \(y-3x+5=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং মূলবিন্দু হতে যাদের দূরত্ব \(\frac{7}{\sqrt{2}}\) একক।
উত্তরঃ \(x+y=7\) এবং \(17x+31y=175\)।
উত্তরঃ \(x+y=7\) এবং \(17x+31y=175\)।
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y-2x+2=0 ..........(1)\)
\(y-3x+5=0 ..........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছদবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-2x+2+k(y-3x+5)=0 ..........(3)\) ➜ \(k\) শুন্য ব্যতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা ।
\(\Rightarrow y-2x+2+ky-3kx+5k=0\)
\(\Rightarrow (1+k)y-(2+3k)x+(2+5k)=0\)
মূলবিন্দু হতে লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{|2+5k|}{\sqrt{(1+k)^{2}+\{-(2+3k)\}^{2}}}\)
\(=\frac{|2+5k|}{\sqrt{(1+k)^{2}+(2+3k)^{2}}}\)
শর্তমতে,
\(d=\frac{7}{\sqrt{2}}\)
\(\therefore \frac{|2+5k|}{\sqrt{(1+k)^{2}+(2+3k)^{2}}}=\frac{7}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{(2+5k)^{2}}{(1+k)^{2}+(2+3k)^{2}}=\frac{49}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{4+20k+25k^{2}}{1+2k+k^{2}+4+12k+9k^{2}}=\frac{49}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{25k^{2}+20k+4}{10k^{2}+14k+5}=\frac{49}{2}\)
\(\Rightarrow 490k^{2}+686k+245=50k^{2}+40k+8\)
\(\Rightarrow 490k^{2}+686k+245-50k^{2}-40k-8=0\)
\(\Rightarrow 440k^{2}+646k+237=0\)
\(\Rightarrow k=\frac{-646\pm \sqrt{(646)^{2}-4\times 440\times 237}}{2\times 440}\)
\(\Rightarrow k=\frac{-646\pm \sqrt{417316-417120}}{880}\)
\(\Rightarrow k=\frac{-646\pm \sqrt{196}}{880}\)
\(\Rightarrow k=\frac{-646\pm 14}{880}\)
\(\Rightarrow k=\frac{-646+14}{880}, \ \frac{-646-14}{880}\)
\(\Rightarrow k=\frac{-632}{880}, \ \frac{-660}{880}\)
\(\Rightarrow k=-\frac{79}{110}, \ -\frac{3}{4}\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(y-2x+2-\frac{79}{110}(y-3x+5)=0\) ➜ যখন \(k=-\frac{79}{110}\)
\(\Rightarrow 100(y-2x+2)-79(y-3x+5)=0\) ➜ উভয় পার্শে \(110\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 100y-220x+220-79y+237x-395=0\)
\(\therefore 17x+31y-175=0\)
আবার,
\(y-2x+2-\frac{3}{4}(y-3x+5)=0\) ➜ যখন \(k=-\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow 4(y-2x+2)-3(y-3x+5)=0\) ➜ উভয় পার্শে \(4\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 4y-8x+8-3y+9x-15=0\)
\(\therefore x+y-7=0\)
\(\therefore \) সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, \(17x+31y-175=0; \ x+y-7=0 \)
\(y-2x+2=0 ..........(1)\)
\(y-3x+5=0 ..........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছদবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-2x+2+k(y-3x+5)=0 ..........(3)\) ➜ \(k\) শুন্য ব্যতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা ।
\(\Rightarrow y-2x+2+ky-3kx+5k=0\)
\(\Rightarrow (1+k)y-(2+3k)x+(2+5k)=0\)
মূলবিন্দু হতে লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{|2+5k|}{\sqrt{(1+k)^{2}+\{-(2+3k)\}^{2}}}\)
\(=\frac{|2+5k|}{\sqrt{(1+k)^{2}+(2+3k)^{2}}}\)
শর্তমতে,
\(d=\frac{7}{\sqrt{2}}\)
\(\therefore \frac{|2+5k|}{\sqrt{(1+k)^{2}+(2+3k)^{2}}}=\frac{7}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{(2+5k)^{2}}{(1+k)^{2}+(2+3k)^{2}}=\frac{49}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{4+20k+25k^{2}}{1+2k+k^{2}+4+12k+9k^{2}}=\frac{49}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{25k^{2}+20k+4}{10k^{2}+14k+5}=\frac{49}{2}\)
\(\Rightarrow 490k^{2}+686k+245=50k^{2}+40k+8\)
\(\Rightarrow 490k^{2}+686k+245-50k^{2}-40k-8=0\)
\(\Rightarrow 440k^{2}+646k+237=0\)
\(\Rightarrow k=\frac{-646\pm \sqrt{(646)^{2}-4\times 440\times 237}}{2\times 440}\)
\(\Rightarrow k=\frac{-646\pm \sqrt{417316-417120}}{880}\)
\(\Rightarrow k=\frac{-646\pm \sqrt{196}}{880}\)
\(\Rightarrow k=\frac{-646\pm 14}{880}\)
\(\Rightarrow k=\frac{-646+14}{880}, \ \frac{-646-14}{880}\)
\(\Rightarrow k=\frac{-632}{880}, \ \frac{-660}{880}\)
\(\Rightarrow k=-\frac{79}{110}, \ -\frac{3}{4}\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(y-2x+2-\frac{79}{110}(y-3x+5)=0\) ➜ যখন \(k=-\frac{79}{110}\)
\(\Rightarrow 100(y-2x+2)-79(y-3x+5)=0\) ➜ উভয় পার্শে \(110\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 100y-220x+220-79y+237x-395=0\)
\(\therefore 17x+31y-175=0\)
আবার,
\(y-2x+2-\frac{3}{4}(y-3x+5)=0\) ➜ যখন \(k=-\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow 4(y-2x+2)-3(y-3x+5)=0\) ➜ উভয় পার্শে \(4\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 4y-8x+8-3y+9x-15=0\)
\(\therefore x+y-7=0\)
\(\therefore \) সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, \(17x+31y-175=0; \ x+y-7=0 \)
\(Q.1.(vi)\) \(12x-5y=7\) রেখার \(2\) একক দূরে অবস্থিত সমান্তরাল রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০১২, রাঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(12x-5y+19=0; \ 12x-5y-33=0\)।
[ সিঃ ২০১২, রাঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(12x-5y+19=0; \ 12x-5y-33=0\)।
সমাধানঃ
মনে করি,
\(12x-5y-7=0 ...........(1)\)
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(12x-5y+k=0 ...........(2)\) ➜ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা ।
\((1)\) ও \((2)\) এর মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{|k+7|}{\sqrt{12^{2}+(-5)^{2}}}\)
\(=\frac{|k+7|}{\sqrt{144+25}}\)
\(=\frac{|k+7|}{\sqrt{169}}\)
\(=\frac{|k+7|}{13}\)
শর্তমতে,
\(d=2\)
\(\Rightarrow \frac{|k+7|}{13}=2\)
\(\Rightarrow \pm \frac{k+7}{13}=2\)
\(\Rightarrow k+7=\pm 26\)
\(\Rightarrow k+7=26\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow k=26-7\)
\(\Rightarrow k=19\)
আবার,
\(\Rightarrow k+7=-26\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow k=-26-7\)
\(\Rightarrow k=-33\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(12x-5y+19=0\); যখন \(k=19\)
\(12x-5y-33=0\) ; যখন \(k=-33\)
\(\therefore \) সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, \(12x-5y+19=0; \ 12x-5y-33=0 \)
\(12x-5y-7=0 ...........(1)\)
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(12x-5y+k=0 ...........(2)\) ➜ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা ।
\((1)\) ও \((2)\) এর মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{|k+7|}{\sqrt{12^{2}+(-5)^{2}}}\)
\(=\frac{|k+7|}{\sqrt{144+25}}\)
\(=\frac{|k+7|}{\sqrt{169}}\)
\(=\frac{|k+7|}{13}\)
শর্তমতে,
\(d=2\)
\(\Rightarrow \frac{|k+7|}{13}=2\)
\(\Rightarrow \pm \frac{k+7}{13}=2\)
\(\Rightarrow k+7=\pm 26\)
\(\Rightarrow k+7=26\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow k=26-7\)
\(\Rightarrow k=19\)
আবার,
\(\Rightarrow k+7=-26\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow k=-26-7\)
\(\Rightarrow k=-33\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(12x-5y+19=0\); যখন \(k=19\)
\(12x-5y-33=0\) ; যখন \(k=-33\)
\(\therefore \) সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, \(12x-5y+19=0; \ 12x-5y-33=0 \)
\(Q.1.(viii)\) প্রমাণ কর যে, \((\pm c, 0)\) বিন্দুদ্বয় হতে \(bx\cos\theta+ay\sin\theta=ab\) এর উপর অঙ্কিত লম্বদ্বয়ের গুণফল \(b^{2}\) হবে যখন \(a^{2}=b^{2}+c^{2}\)।
সমাধানঃ
মনে করি, 
\((\pm c, 0)\Rightarrow \)\(A(c, 0)\), \(B(-c, 0)\)
\(bx\cos\theta+ay\sin\theta-ab=0 ........(1)\)
\(a^{2}=b^{2}+c^{2} ........(2)\)
\(A(c, 0)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d_{1}=\frac{|bc\cos\theta+a.0.\sin\theta-ab|}{\sqrt{(b\cos\theta)^{2}+(a\sin\theta)^{2}}}\)
\(=\frac{|bc\cos\theta+0-ab|}{\sqrt{b^{2}\cos^{2}\theta+a^{2}\sin^{2}\theta}}\)
\(=\frac{|-b(a-c\cos\theta)|}{\sqrt{b^{2}\cos^{2}\theta+a^{2}\sin^{2}\theta}}\)
\(=\frac{b(a-c\cos\theta)}{\sqrt{b^{2}\cos^{2}\theta+a^{2}\sin^{2}\theta}}\)
আবার,
\(B(-c, 0)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d_{2}=\frac{|b.(-c).\cos\theta+a.0.\sin\theta-ab|}{\sqrt{(b\cos\theta)^{2}+(a\sin\theta)^{2}}}\)
\(=\frac{|-bc\cos\theta+0-ab|}{\sqrt{b^{2}\cos^{2}\theta+a^{2}\sin^{2}\theta}}\)
\(=\frac{|-b(a+c\cos\theta)|}{\sqrt{b^{2}\cos^{2}\theta+a^{2}\sin^{2}\theta}}\)
\(=\frac{b(a+c\cos\theta)}{\sqrt{b^{2}\cos^{2}\theta+a^{2}\sin^{2}\theta}}\)
লম্বদ্বয়ের গুণফল,
\(=d_{1}\times d_{2}\)
\(=\frac{b(a-c\cos\theta)}{\sqrt{b^{2}\cos^{2}\theta+a^{2}\sin^{2}\theta}}\times \frac{b(a+c\cos\theta)}{\sqrt{b^{2}\cos^{2}\theta+a^{2}\sin^{2}\theta}}\)
\(=\frac{b^{2}\{(a)^{2}-(c\cos\theta)^{2}\}}{b^{2}\cos^{2}\theta+a^{2}\sin^{2}\theta}\)
\(=\frac{b^{2}\{a^{2}-c^{2}\cos^{2}\theta\}}{b^{2}\cos^{2}\theta+a^{2}\sin^{2}\theta}\)
\(=\frac{b^{2}\{a^{2}-c^{2}\cos^{2}\theta\}}{b^{2}\cos^{2}\theta+(b^{2}+c^{2})\sin^{2}\theta}\) ➜ \(\because a^{2}=b^{2}+c^{2}\)
\(=\frac{b^{2}\{a^{2}-c^{2}\cos^{2}\theta\}}{b^{2}\cos^{2}\theta+b^{2}\sin^{2}\theta+c^{2}\sin^{2}\theta}\)
\(=\frac{b^{2}\{a^{2}-c^{2}\cos^{2}\theta\}}{b^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)+c^{2}\sin^{2}\theta}\)
\(=\frac{b^{2}\{a^{2}-c^{2}\cos^{2}\theta\}}{b^{2}+c^{2}\sin^{2}\theta}\) ➜ \(\because \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1\)
\(=\frac{b^{2}\{a^{2}-c^{2}\cos^{2}\theta\}}{b^{2}+c^{2}(1-\cos^{2}\theta)}\)
\(=\frac{b^{2}\{a^{2}-c^{2}\cos^{2}\theta\}}{b^{2}+c^{2}-c^{2}\cos^{2}\theta}\)
\(=\frac{b^{2}\{a^{2}-c^{2}\cos^{2}\theta\}}{a^{2}-c^{2}\cos^{2}\theta}\) ➜ \(\because a^{2}=b^{2}+c^{2}\)
\(=b^{2}\)
[ প্রমাণিত ]
\((\pm c, 0)\Rightarrow \)\(A(c, 0)\), \(B(-c, 0)\)
\(bx\cos\theta+ay\sin\theta-ab=0 ........(1)\)
\(a^{2}=b^{2}+c^{2} ........(2)\)
\(A(c, 0)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d_{1}=\frac{|bc\cos\theta+a.0.\sin\theta-ab|}{\sqrt{(b\cos\theta)^{2}+(a\sin\theta)^{2}}}\)
\(=\frac{|bc\cos\theta+0-ab|}{\sqrt{b^{2}\cos^{2}\theta+a^{2}\sin^{2}\theta}}\)
\(=\frac{|-b(a-c\cos\theta)|}{\sqrt{b^{2}\cos^{2}\theta+a^{2}\sin^{2}\theta}}\)
\(=\frac{b(a-c\cos\theta)}{\sqrt{b^{2}\cos^{2}\theta+a^{2}\sin^{2}\theta}}\)
আবার,
\(B(-c, 0)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d_{2}=\frac{|b.(-c).\cos\theta+a.0.\sin\theta-ab|}{\sqrt{(b\cos\theta)^{2}+(a\sin\theta)^{2}}}\)
\(=\frac{|-bc\cos\theta+0-ab|}{\sqrt{b^{2}\cos^{2}\theta+a^{2}\sin^{2}\theta}}\)
\(=\frac{|-b(a+c\cos\theta)|}{\sqrt{b^{2}\cos^{2}\theta+a^{2}\sin^{2}\theta}}\)
\(=\frac{b(a+c\cos\theta)}{\sqrt{b^{2}\cos^{2}\theta+a^{2}\sin^{2}\theta}}\)
লম্বদ্বয়ের গুণফল,
\(=d_{1}\times d_{2}\)
\(=\frac{b(a-c\cos\theta)}{\sqrt{b^{2}\cos^{2}\theta+a^{2}\sin^{2}\theta}}\times \frac{b(a+c\cos\theta)}{\sqrt{b^{2}\cos^{2}\theta+a^{2}\sin^{2}\theta}}\)
\(=\frac{b^{2}\{(a)^{2}-(c\cos\theta)^{2}\}}{b^{2}\cos^{2}\theta+a^{2}\sin^{2}\theta}\)
\(=\frac{b^{2}\{a^{2}-c^{2}\cos^{2}\theta\}}{b^{2}\cos^{2}\theta+a^{2}\sin^{2}\theta}\)
\(=\frac{b^{2}\{a^{2}-c^{2}\cos^{2}\theta\}}{b^{2}\cos^{2}\theta+(b^{2}+c^{2})\sin^{2}\theta}\) ➜ \(\because a^{2}=b^{2}+c^{2}\)
\(=\frac{b^{2}\{a^{2}-c^{2}\cos^{2}\theta\}}{b^{2}\cos^{2}\theta+b^{2}\sin^{2}\theta+c^{2}\sin^{2}\theta}\)
\(=\frac{b^{2}\{a^{2}-c^{2}\cos^{2}\theta\}}{b^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)+c^{2}\sin^{2}\theta}\)
\(=\frac{b^{2}\{a^{2}-c^{2}\cos^{2}\theta\}}{b^{2}+c^{2}\sin^{2}\theta}\) ➜ \(\because \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1\)
\(=\frac{b^{2}\{a^{2}-c^{2}\cos^{2}\theta\}}{b^{2}+c^{2}(1-\cos^{2}\theta)}\)
\(=\frac{b^{2}\{a^{2}-c^{2}\cos^{2}\theta\}}{b^{2}+c^{2}-c^{2}\cos^{2}\theta}\)
\(=\frac{b^{2}\{a^{2}-c^{2}\cos^{2}\theta\}}{a^{2}-c^{2}\cos^{2}\theta}\) ➜ \(\because a^{2}=b^{2}+c^{2}\)
\(=b^{2}\)
[ প্রমাণিত ]
\(Q.1.(ix)\) দেখাও যে, \((0, 1)\) বিন্দুটি \(12x-5y+1=0\) এবং \(5x+12y-16=0 \) এর অন্তর্ভুক্ত কোণগুলির একটি সমদ্বিখন্ডকের উপর অবস্থিত।
[ কুঃ ২০১১, ২০১৩, যঃ ২০১১, দিঃ ২০১৩ ]
[ কুঃ ২০১১, ২০১৩, যঃ ২০১১, দিঃ ২০১৩ ]
সমাধানঃ
মনে করি, 
\(A(0, 1)\)
\(12x-5y+1=0 ..........(1)\)
\(5x+12y-16=0 ..........(2)\)
\(A(0, 1)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d_{1}=\frac{|12.0-5.1+1|}{\sqrt{12^{2}+(-5)^{2}}}\)
\(=\frac{|0-5+1|}{\sqrt{144+25}}\)
\(=\frac{|-4|}{\sqrt{169}}\)
\(=\frac{4}{13}\)
আবার,
\(A(0, 1)\) হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d_{2}=\frac{|5.0+12.1-16|}{\sqrt{5^{2}+12^{2}}}\)
\(=\frac{|0+12-16|}{\sqrt{25+144}}\)
\(=\frac{|-4|}{\sqrt{169}}\)
\(=\frac{4}{13}\)
\(\because d_{1}=d_{2}\)
\(\therefore A(0, 1)\) বিন্দুটি \((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণগুলির একটি সমদ্বিখন্ডকের উপর অবস্থিত।
\(A(0, 1)\)
\(12x-5y+1=0 ..........(1)\)
\(5x+12y-16=0 ..........(2)\)
\(A(0, 1)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d_{1}=\frac{|12.0-5.1+1|}{\sqrt{12^{2}+(-5)^{2}}}\)
\(=\frac{|0-5+1|}{\sqrt{144+25}}\)
\(=\frac{|-4|}{\sqrt{169}}\)
\(=\frac{4}{13}\)
আবার,
\(A(0, 1)\) হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d_{2}=\frac{|5.0+12.1-16|}{\sqrt{5^{2}+12^{2}}}\)
\(=\frac{|0+12-16|}{\sqrt{25+144}}\)
\(=\frac{|-4|}{\sqrt{169}}\)
\(=\frac{4}{13}\)
\(\because d_{1}=d_{2}\)
\(\therefore A(0, 1)\) বিন্দুটি \((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণগুলির একটি সমদ্বিখন্ডকের উপর অবস্থিত।
\(Q.1.(xi)\) মূলবিন্দু হতে \(x\sec\theta-y \ cosec \ \theta=k \) ও \(x\cos\theta-y\sin\theta=k\cos2\theta \) রেখদ্বয়ের লম্ব দূরত্ব যথাক্রমে \(P\) ও \(P_{1}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(4P^{2}+P_{1}^{2}=k^{2}\)।
[ চঃ ২০১১]
[ চঃ ২০১১]
সমাধানঃ
মনে করি,
\(x\sec\theta-y \ cosec \ \theta-k=0 ..........(1)\)
\(x\cos\theta-y\sin\theta-k\cos2\theta=0 ..........(2)\)
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(P=\frac{|-k|}{\sqrt{(\sec\theta)^{2}+(cosec \ \theta)^{2}}}\)
\(=\frac{k}{\sqrt{\sec^{2}\theta+cosec^{2} \ \theta}}\)
\(=\frac{k}{\sqrt{\frac{1}{\cos^{2}\theta}+\frac{1}{\sin^{2}\theta}}}\)
\(=\frac{k}{\sqrt{\frac{\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta}{\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta}}}\)
\(=\frac{k}{\sqrt{\frac{1}{\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta}}}\)
\(=\frac{k}{\frac{1}{\sin\theta\cos\theta}}\)
\(=k\sin\theta\cos\theta\)
\(=\frac{1}{2}k\times 2\sin\theta\cos\theta\)
\(=\frac{1}{2}k\sin2\theta\)
আবার,
\(O(0, 0)\) হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(P_{1}=\frac{|-k\cos2\theta|}{\sqrt{(\cos\theta)^{2}+(\sin\theta)^{2}}}\)
\(=\frac{k\cos2\theta}{\sqrt{\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta}}\)
\(=\frac{k\cos2\theta}{\sqrt{1}}\) ➜ \(\because \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1\)
\(=\frac{k\cos2\theta}{1}\)
\(=k\cos2\theta\)
\(\therefore L.H.S=4P^{2}+P_{1}^{2}\)
\(=4(\frac{1}{2}k\sin2\theta)^{2}+(k\cos2\theta)^{2}\)
\(=4\frac{1}{4}k^{2}\sin^{2}2\theta+k^{2}\cos^{2}2\theta\)
\(=k^{2}(\sin^{2}2\theta+\cos^{2}2\theta)\)
\(=k^{2}.(1)\)
\(=k^{2}\)
\(=R.H.S\)
[ প্রমাণিত ]
\(x\sec\theta-y \ cosec \ \theta-k=0 ..........(1)\)
\(x\cos\theta-y\sin\theta-k\cos2\theta=0 ..........(2)\)
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(P=\frac{|-k|}{\sqrt{(\sec\theta)^{2}+(cosec \ \theta)^{2}}}\)
\(=\frac{k}{\sqrt{\sec^{2}\theta+cosec^{2} \ \theta}}\)
\(=\frac{k}{\sqrt{\frac{1}{\cos^{2}\theta}+\frac{1}{\sin^{2}\theta}}}\)
\(=\frac{k}{\sqrt{\frac{\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta}{\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta}}}\)
\(=\frac{k}{\sqrt{\frac{1}{\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta}}}\)
\(=\frac{k}{\frac{1}{\sin\theta\cos\theta}}\)
\(=k\sin\theta\cos\theta\)
\(=\frac{1}{2}k\times 2\sin\theta\cos\theta\)
\(=\frac{1}{2}k\sin2\theta\)
আবার,
\(O(0, 0)\) হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(P_{1}=\frac{|-k\cos2\theta|}{\sqrt{(\cos\theta)^{2}+(\sin\theta)^{2}}}\)
\(=\frac{k\cos2\theta}{\sqrt{\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta}}\)
\(=\frac{k\cos2\theta}{\sqrt{1}}\) ➜ \(\because \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1\)
\(=\frac{k\cos2\theta}{1}\)
\(=k\cos2\theta\)
\(\therefore L.H.S=4P^{2}+P_{1}^{2}\)
\(=4(\frac{1}{2}k\sin2\theta)^{2}+(k\cos2\theta)^{2}\)
\(=4\frac{1}{4}k^{2}\sin^{2}2\theta+k^{2}\cos^{2}2\theta\)
\(=k^{2}(\sin^{2}2\theta+\cos^{2}2\theta)\)
\(=k^{2}.(1)\)
\(=k^{2}\)
\(=R.H.S\)
[ প্রমাণিত ]
\(Q.1.(xii)\) \((1, 2)\) বিন্দু হতে \(x-\sqrt{3}y+4=0\) রেখার উপর একটি লম্ব অঙ্কিত হলো। মূলবিন্দু থেকে এ লম্বের লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{3}+2}{2}\)।
উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{3}+2}{2}\)।
সমাধানঃ
মনে করি, 
\(A(1, 2)\)
\(x-\sqrt{3}y+4=0 ..........(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(\sqrt{3}x+y+k=0 ..........(2)\) ➜ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা ।
\((2)\) নং সরলরেখা \(A(1, 2)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore \sqrt{3}.1+2+k=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}+2+k=0\)
\(\Rightarrow k=-(\sqrt{3}+2)\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(\sqrt{3}x+y-(\sqrt{3}+2)=0 ..........(3)\)
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) হতে \((3)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{|-(\sqrt{3}+2)|}{\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1^{2}}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3+1}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{4}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}+2}{2}\)
ইহাই নির্ণেয় লম্ব দূরত্ব।
\(A(1, 2)\)
\(x-\sqrt{3}y+4=0 ..........(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(\sqrt{3}x+y+k=0 ..........(2)\) ➜ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা ।
\((2)\) নং সরলরেখা \(A(1, 2)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore \sqrt{3}.1+2+k=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}+2+k=0\)
\(\Rightarrow k=-(\sqrt{3}+2)\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(\sqrt{3}x+y-(\sqrt{3}+2)=0 ..........(3)\)
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) হতে \((3)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{|-(\sqrt{3}+2)|}{\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1^{2}}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3+1}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{4}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}+2}{2}\)
ইহাই নির্ণেয় লম্ব দূরত্ব।
\(Q.1.(xiii)\) \((2, 3)\) বিন্দু এবং \(4x+3y-7=0\) রেখার সাপেক্ষে উক্ত বিন্দুর প্রতিবিম্বের মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4\) একক।
উত্তরঃ \(4\) একক।
সমাধানঃ
মনে করি,
\(A(2, 3)\)
\(4x+3y-7=0 .........(1)\)
\(A(2, 3)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{4.2+3.3-7}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}\)
\(=\frac{8+9-7}{\sqrt{16+9}}\)
\(=\frac{17-7}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{10}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{10}{5}\)
\(=2\)
এখন,
\((1)\) এর সাপেক্ষে \(A(2, 3)\) এর প্রতিবিম্বের দূরত্ব,
\(=2\times 2\)
\(=4\)
\(A(2, 3)\)
\(4x+3y-7=0 .........(1)\)
\(A(2, 3)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{4.2+3.3-7}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}\)
\(=\frac{8+9-7}{\sqrt{16+9}}\)
\(=\frac{17-7}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{10}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{10}{5}\)
\(=2\)
এখন,
\((1)\) এর সাপেক্ষে \(A(2, 3)\) এর প্রতিবিম্বের দূরত্ব,
\(=2\times 2\)
\(=4\)
\(Q.1.(xiv)\) \((x, y)\) বিন্দুটি \(3x-4y+1=0\) এবং \(4x+3y+1=0\) রেখা দুইটি হতে সমদূরবর্তী হলে দেখাও যে, \(x+7y=0\) অথবা, \(7x-y+2=0\)।
সমাধানঃ
মনে করি,
\(A(x, y)\)
\(3x-4y+1=0 ......(1)\)
\(4x+3y+1=0 ......(2)\)
\(A(x, y)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d_{1}=\frac{|3x-4y+1|}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}\)
\(=\frac{|3x-4y+1|}{\sqrt{9+16}}\)
\(=\frac{|3x-4y+1|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{|3x-4y+1|}{5}\)
\(A(x, y)\) হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d_{2}=\frac{|4x+3y+1|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}\)
\(=\frac{|4x+3y+1|}{\sqrt{16+9}}\)
\(=\frac{|4x+3y+1|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{|4x+3y+1|}{5}\)
শর্তমতে,
\(d_{1}=d_{2}\)
\(\Rightarrow \frac{|3x-4y+1|}{5}=\frac{|4x+3y+1|}{5}\)
\(\Rightarrow |3x-4y+1|=|4x+3y+1|\)
\(\Rightarrow 3x-4y+1=\pm (4x+3y+1)\)
\(\Rightarrow 3x-4y+1=4x+3y+1\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 3x-4y+1-4x-3y-1=0\)
\(\Rightarrow -x-7y=0)\)
\(\Rightarrow x+7y=0)\)
আবার,
\(\Rightarrow 3x-4y+1=-(4x+3y+1)\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 3x-4y+1=-4x-3y-1=0\)
\(\Rightarrow 3x-4y+1+4x+3y+1=0\)
\(\Rightarrow 7x-y+2=0)\)
[ দেখানো হলো। ]
\(A(x, y)\)
\(3x-4y+1=0 ......(1)\)
\(4x+3y+1=0 ......(2)\)
\(A(x, y)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d_{1}=\frac{|3x-4y+1|}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}\)
\(=\frac{|3x-4y+1|}{\sqrt{9+16}}\)
\(=\frac{|3x-4y+1|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{|3x-4y+1|}{5}\)
\(A(x, y)\) হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d_{2}=\frac{|4x+3y+1|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}\)
\(=\frac{|4x+3y+1|}{\sqrt{16+9}}\)
\(=\frac{|4x+3y+1|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{|4x+3y+1|}{5}\)
শর্তমতে,
\(d_{1}=d_{2}\)
\(\Rightarrow \frac{|3x-4y+1|}{5}=\frac{|4x+3y+1|}{5}\)
\(\Rightarrow |3x-4y+1|=|4x+3y+1|\)
\(\Rightarrow 3x-4y+1=\pm (4x+3y+1)\)
\(\Rightarrow 3x-4y+1=4x+3y+1\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 3x-4y+1-4x-3y-1=0\)
\(\Rightarrow -x-7y=0)\)
\(\Rightarrow x+7y=0)\)
আবার,
\(\Rightarrow 3x-4y+1=-(4x+3y+1)\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 3x-4y+1=-4x-3y-1=0\)
\(\Rightarrow 3x-4y+1+4x+3y+1=0\)
\(\Rightarrow 7x-y+2=0)\)
[ দেখানো হলো। ]
\(Q.1.(xv)\) \((7, 17)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \((1, 9)\) বিন্দু থেকে \(6\) একক দূরে অবস্থিত সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(7x-24y+359=0\)।
উত্তরঃ \(7x-24y+359=0\)।
সমাধানঃ
মনে করি, 
\(A(7, 17)\) এবং \(B(1, 9)\)
\(A(7, 17)\) বিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-17=m(x-7) ......(1)\)
\(\Rightarrow m(x-7)=y-17\)
\(\Rightarrow mx-7m-y+17=0\)
\(\Rightarrow mx-y+17-7m=0\)
\(B(1, 9)\) বিন্দু হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{|m.1-9+17-7m|}{\sqrt{m^{2}+(-1)^{2}}}\)
\(=\frac{|m-9+17-7m|}{\sqrt{m^{2}+1}}\)
\(=\frac{|8-6m|}{\sqrt{m^{2}+1}}\)
শর্তমতে,
\(\frac{|8-6m|}{\sqrt{m^{2}+1}}=6\)
\(\Rightarrow \frac{(8-6m)^{2}}{m^{2}+1}=36\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 36(m^{2}+1)=(8-6m)^{2}\)
\(\Rightarrow 36m^{2}+36=64-96m+36m^{2}\)
\(\Rightarrow 36m^{2}-36m^{2}+96m=64-36\)
\(\Rightarrow 96m=28\)
\(\Rightarrow m=\frac{28}{96}\)
\(\Rightarrow m=\frac{7}{24}\)
\(m\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(y-17=\frac{7}{24}(x-7)\)
\(\Rightarrow 24(y-17)=7(x-7)\)
\(\Rightarrow 7(x-7)=24(y-17)\)
\(\Rightarrow 7x-49=24y-408\)
\(\Rightarrow 7x-49-24y+408=0\)
\(\therefore 7x-24y+359=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(A(7, 17)\) এবং \(B(1, 9)\)
\(A(7, 17)\) বিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-17=m(x-7) ......(1)\)
\(\Rightarrow m(x-7)=y-17\)
\(\Rightarrow mx-7m-y+17=0\)
\(\Rightarrow mx-y+17-7m=0\)
\(B(1, 9)\) বিন্দু হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{|m.1-9+17-7m|}{\sqrt{m^{2}+(-1)^{2}}}\)
\(=\frac{|m-9+17-7m|}{\sqrt{m^{2}+1}}\)
\(=\frac{|8-6m|}{\sqrt{m^{2}+1}}\)
শর্তমতে,
\(\frac{|8-6m|}{\sqrt{m^{2}+1}}=6\)
\(\Rightarrow \frac{(8-6m)^{2}}{m^{2}+1}=36\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 36(m^{2}+1)=(8-6m)^{2}\)
\(\Rightarrow 36m^{2}+36=64-96m+36m^{2}\)
\(\Rightarrow 36m^{2}-36m^{2}+96m=64-36\)
\(\Rightarrow 96m=28\)
\(\Rightarrow m=\frac{28}{96}\)
\(\Rightarrow m=\frac{7}{24}\)
\(m\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(y-17=\frac{7}{24}(x-7)\)
\(\Rightarrow 24(y-17)=7(x-7)\)
\(\Rightarrow 7(x-7)=24(y-17)\)
\(\Rightarrow 7x-49=24y-408\)
\(\Rightarrow 7x-49-24y+408=0\)
\(\therefore 7x-24y+359=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(Q.1.(xvi)\) একটি সরলরেখা অক্ষ দুইটি থেকে সমমানের যোগবোধক অংশ ছেদ করে। মূলবিন্দু থেকে তার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য \(4\) একক। তার সমীকরণ বের কর।
[ বঃ,কুঃ ২০১১; সিঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(x+y=4\sqrt{2}\)।
[ বঃ,কুঃ ২০১১; সিঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(x+y=4\sqrt{2}\)।
সমাধানঃ
শর্তমতে,
সরলরেখাটির সমীকরণ,
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x+y}{a}=1\)
\(\Rightarrow x+y=a\)
\(\therefore x+y-a=0 ......(1)\)
মূলবিন্দু থেকে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{|-a|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{1+1}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{2}}\)
শর্তমতে,
\(d=4\)
\(\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{2}}=4\)
\(\Rightarrow a=4\sqrt{2}\)
\(a\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x+y-4\sqrt{2}=0\)
\(\therefore x+y=4\sqrt{2}\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
সরলরেখাটির সমীকরণ,
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x+y}{a}=1\)
\(\Rightarrow x+y=a\)
\(\therefore x+y-a=0 ......(1)\)
মূলবিন্দু থেকে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{|-a|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{1+1}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{2}}\)
শর্তমতে,
\(d=4\)
\(\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{2}}=4\)
\(\Rightarrow a=4\sqrt{2}\)
\(a\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x+y-4\sqrt{2}=0\)
\(\therefore x+y=4\sqrt{2}\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(Q.1.(xvii)\) \(x+3y=7\) রেখার সাপেক্ষে \((3, 8)\) বিন্দুর প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। উত্তরঃ \((-1, -4)\)।
সমাধানঃ
মনে করি,
\(A(3, 8)\)
\(x+3y-7=0 ..........(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x-y+k=0 ..........(2)\) ➜ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা \(A(3, 8)\) বিন্দুগামী ,
\(3.3-8+k=0\)
\(\Rightarrow 9-8+k=0\)
\(\Rightarrow 1+k=0\)
\(\therefore k=-1\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(3x-y-1=0 ..........(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি।
\(\frac{x}{\{(3).(-1)-(-7).(-1)\}}=\frac{y}{\{(-7).3-(1).(-1)\}}=\frac{1}{\{1.(-1)-3.3\}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\{-3-7\}}=\frac{y}{\{-21+1\}}=\frac{1}{\{-1-9\}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-10}=\frac{y}{-20}=\frac{1}{-10}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-10}=\frac{1}{-10}, \ \frac{y}{-20}=\frac{1}{-10}\)
\(\Rightarrow x=1, \ y=2\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \(B(1, 2)\)
\((1)\) এর সাপেক্ষে \(A(3, 8)\) বিন্দুর প্রতিবিম্ব বিন্দু \(C(x, y)\) হলে,
\(AC\) এর মধ্যবিন্দু হবে \(B\).
\(\therefore AC\) এর মধ্যবিন্দু \(B(\frac{3+x}{2}, \frac{8+y}{2})\)
কিন্তু \(B(1, 2)\)।
\(\therefore B(\frac{3+x}{2}, \frac{8+y}{2})\Rightarrow B(1, 2)\)
\(\Rightarrow \frac{3+x}{2}=1, \frac{8+y}{2}=2\)
\(\Rightarrow 3+x=1\times 2, 8+y =2\times 2\)
\(\Rightarrow 3+x=2, 8+y =4\)
\(\Rightarrow x=2-3, y=4-8\)
\(\therefore x=-1, y=-4\)
\(\therefore \) প্রতিবিম্ব বিন্দু \(C(-1, -4)\).
\(A(3, 8)\)
\(x+3y-7=0 ..........(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x-y+k=0 ..........(2)\) ➜ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা \(A(3, 8)\) বিন্দুগামী ,
\(3.3-8+k=0\)
\(\Rightarrow 9-8+k=0\)
\(\Rightarrow 1+k=0\)
\(\therefore k=-1\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(3x-y-1=0 ..........(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি।
\(\frac{x}{\{(3).(-1)-(-7).(-1)\}}=\frac{y}{\{(-7).3-(1).(-1)\}}=\frac{1}{\{1.(-1)-3.3\}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\{-3-7\}}=\frac{y}{\{-21+1\}}=\frac{1}{\{-1-9\}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-10}=\frac{y}{-20}=\frac{1}{-10}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-10}=\frac{1}{-10}, \ \frac{y}{-20}=\frac{1}{-10}\)
\(\Rightarrow x=1, \ y=2\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \(B(1, 2)\)
\((1)\) এর সাপেক্ষে \(A(3, 8)\) বিন্দুর প্রতিবিম্ব বিন্দু \(C(x, y)\) হলে,
\(AC\) এর মধ্যবিন্দু হবে \(B\).
\(\therefore AC\) এর মধ্যবিন্দু \(B(\frac{3+x}{2}, \frac{8+y}{2})\)
কিন্তু \(B(1, 2)\)।
\(\therefore B(\frac{3+x}{2}, \frac{8+y}{2})\Rightarrow B(1, 2)\)
\(\Rightarrow \frac{3+x}{2}=1, \frac{8+y}{2}=2\)
\(\Rightarrow 3+x=1\times 2, 8+y =2\times 2\)
\(\Rightarrow 3+x=2, 8+y =4\)
\(\Rightarrow x=2-3, y=4-8\)
\(\therefore x=-1, y=-4\)
\(\therefore \) প্রতিবিম্ব বিন্দু \(C(-1, -4)\).
অনুশীলনী \(3.G\) / \(Q.2\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
\(Q.2.(i)\) \(x-y-4=0\) ও \(7x+y+20=0\) রেখদ্বয়ের ছেদবিন্দু এবং মূলবিন্দুর সংযোগ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, তা প্রদত্ত রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত একটি কোণকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
উত্তরঃ \(3x-y=0\)।
\(Q.2.(ii)\)\(2x+y+3=0\) ও \(2x-4y+7=0\) রেখদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণগুলির সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x+6y-1=0; \ 6x-2y+13=0\)।
\(Q.2.(iii)\) \((a, b)\) বিন্দুটি \(3x-4y+1=0\) এবং \(4x+3y+1=0\) রেখাদ্বয় হতে সমদূরবর্তী হলে, দেখাও যে, \(a+7b=0\) অথবা \(7a-b+2=0\)।
[চঃ ২০১৩ ]
\(Q.2.(iv)\) \(4x+3y+2=0\) এবং \(12x+5y+13=0\) রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত যে কোণটি মূলবিন্দুধারী তার সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(8x-14y+39=0\)।
\(Q.2.(v)\) \(3x-4y+8=0\) রেখার সমান্তরালে \(3x+y+4=0\) রেখা থেকে \((1, 2)\) বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর ।
[ যঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(3\)।
\(Q.2.(vi)\) \(bx+ay=ab\) এবং \(ax-by=ab\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু হতে \(ax-by=0\) এর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য ও তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}, \ bx+ay=ab\)।
\(Q.2.(vii)\) \((1, -2)\) বিন্দু থেকে \(7\frac{1}{2}\) একক দূরবর্তী এবং \(3x+4y=7\) রেখাটির সমান্তরাল রেখাগুলির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[চঃ ২০১২, যঃ, সিঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(6x+8y=65, \ 6x+8y+85=0\)।
\(Q.2.(viii)\) মূলবিন্দু থেকে \(7\) একক দূরত্বে এবং \(3x-4y+7=0\) রেখার উপর লম্ব এরূপ রেখাগুলির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[বঃ,সিঃ ২০১১, দিঃ ২০১২]
উত্তরঃ \(4x+3y\pm 35=0\)।
উত্তরঃ \(3x-y=0\)।
\(Q.2.(ii)\)\(2x+y+3=0\) ও \(2x-4y+7=0\) রেখদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণগুলির সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x+6y-1=0; \ 6x-2y+13=0\)।
\(Q.2.(iii)\) \((a, b)\) বিন্দুটি \(3x-4y+1=0\) এবং \(4x+3y+1=0\) রেখাদ্বয় হতে সমদূরবর্তী হলে, দেখাও যে, \(a+7b=0\) অথবা \(7a-b+2=0\)।
[চঃ ২০১৩ ]
\(Q.2.(iv)\) \(4x+3y+2=0\) এবং \(12x+5y+13=0\) রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত যে কোণটি মূলবিন্দুধারী তার সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(8x-14y+39=0\)।
\(Q.2.(v)\) \(3x-4y+8=0\) রেখার সমান্তরালে \(3x+y+4=0\) রেখা থেকে \((1, 2)\) বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর ।
[ যঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(3\)।
\(Q.2.(vi)\) \(bx+ay=ab\) এবং \(ax-by=ab\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু হতে \(ax-by=0\) এর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য ও তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}, \ bx+ay=ab\)।
\(Q.2.(vii)\) \((1, -2)\) বিন্দু থেকে \(7\frac{1}{2}\) একক দূরবর্তী এবং \(3x+4y=7\) রেখাটির সমান্তরাল রেখাগুলির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[চঃ ২০১২, যঃ, সিঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(6x+8y=65, \ 6x+8y+85=0\)।
\(Q.2.(viii)\) মূলবিন্দু থেকে \(7\) একক দূরত্বে এবং \(3x-4y+7=0\) রেখার উপর লম্ব এরূপ রেখাগুলির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[বঃ,সিঃ ২০১১, দিঃ ২০১২]
উত্তরঃ \(4x+3y\pm 35=0\)।
\(Q.2.(ix)\) \(8x-6y+5=0\) রেখার উপর লম্ব এবং মূলবিন্দু হতে \(4\) একক দূরে অবস্থিত সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(6x+8y\pm 40=0\)।
\(Q.2.(x)\) দেখাও যে, \((-\frac{1}{2}, -2)\) বিন্দুটি \(2x-3y+4=0\) এবং \(6x+4y-7=0\) রেখাদ্বয় হতে সমদূরবর্তী।
\(Q.2.(xi)\) \(Y\) অক্ষের উপরিস্থিত যে বিন্দুগুলি হতে \(3y=4x-10\) রেখার লম্ব দূরত্ব \(4\) একক তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \((0, -10), \ (0, \frac{10}{3}) \)।
\(Q.2.(xii)\) \(X\) অক্ষের উপরিস্থিত যে বিন্দুগুলি হতে \(3x+4y=15\) রেখার লম্বদূরত্ব \(6\) একক তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \((-5, 0), \ (15, 0)\)।
➜ Hints: \(X\) অক্ষের উপরিস্থিত যে কোনো বিন্দু \(A(a, 0)\)
\(Q.2.(xiii)\) \(5x-12y-6=0\), \(3x+4y+2=0\) এবং \(y=2\) রেখার সমম্বয়ে গঠিত ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((\frac{1}{6}, \frac{5}{6})\)।
\(Q.2.(xiv)\) \(2x+y+3=0\) এবং \(3x-4y+7=0\) রেখা দুইটির মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \(Q.2.(2\sqrt{5}+3)x+(\sqrt{5}-4)y+3\sqrt{5}+7=0\)।
\(Q.2.(xv)\) \(x+y+1=0\) রেখাটি \(3x-4y+3=0\) এবং \(AB\) রেখা দুইটির মধ্যবর্তী কোণদ্বয়ের একটি সমদ্বিখন্ডক। \(AB\) রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x-3y+4=0\)।
\(Q.2.(xvi)\)\(12x+5y=4=0\) ও \(3x+4y+7=0\) রেখদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণগুলির সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(21x-27y-111=0; \ 99x+77y+71=0\)।
\(Q.2.(xvii)\) যে ত্রিভুজের বাহুগুলির সমীকরণ \(4x+3y=12\), \(3x-4y+16=0\) এবং \(4x-3y=12\) তার অন্তঃকেন্দ্র নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((3, \frac{25}{7})\)।
উত্তরঃ \(6x+8y\pm 40=0\)।
\(Q.2.(x)\) দেখাও যে, \((-\frac{1}{2}, -2)\) বিন্দুটি \(2x-3y+4=0\) এবং \(6x+4y-7=0\) রেখাদ্বয় হতে সমদূরবর্তী।
\(Q.2.(xi)\) \(Y\) অক্ষের উপরিস্থিত যে বিন্দুগুলি হতে \(3y=4x-10\) রেখার লম্ব দূরত্ব \(4\) একক তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \((0, -10), \ (0, \frac{10}{3}) \)।
\(Q.2.(xii)\) \(X\) অক্ষের উপরিস্থিত যে বিন্দুগুলি হতে \(3x+4y=15\) রেখার লম্বদূরত্ব \(6\) একক তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \((-5, 0), \ (15, 0)\)।
➜ Hints: \(X\) অক্ষের উপরিস্থিত যে কোনো বিন্দু \(A(a, 0)\)
\(Q.2.(xiii)\) \(5x-12y-6=0\), \(3x+4y+2=0\) এবং \(y=2\) রেখার সমম্বয়ে গঠিত ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((\frac{1}{6}, \frac{5}{6})\)।
\(Q.2.(xiv)\) \(2x+y+3=0\) এবং \(3x-4y+7=0\) রেখা দুইটির মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \(Q.2.(2\sqrt{5}+3)x+(\sqrt{5}-4)y+3\sqrt{5}+7=0\)।
\(Q.2.(xv)\) \(x+y+1=0\) রেখাটি \(3x-4y+3=0\) এবং \(AB\) রেখা দুইটির মধ্যবর্তী কোণদ্বয়ের একটি সমদ্বিখন্ডক। \(AB\) রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x-3y+4=0\)।
\(Q.2.(xvi)\)\(12x+5y=4=0\) ও \(3x+4y+7=0\) রেখদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণগুলির সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(21x-27y-111=0; \ 99x+77y+71=0\)।
\(Q.2.(xvii)\) যে ত্রিভুজের বাহুগুলির সমীকরণ \(4x+3y=12\), \(3x-4y+16=0\) এবং \(4x-3y=12\) তার অন্তঃকেন্দ্র নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((3, \frac{25}{7})\)।
\(Q.2.(i)\) \(x-y-4=0\) ও \(7x+y+20=0\) রেখদ্বয়ের ছেদবিন্দু এবং মূলবিন্দুর সংযোগ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, তা প্রদত্ত রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত একটি কোণকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
উত্তরঃ \(3x-y=0\)।
উত্তরঃ \(3x-y=0\)।
সমাধানঃ
মনে করি,
\(x-y-4=0 ............(1)\)
\(7x+y+20=0 ............(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x-y-4+k(7x+y+20)=0 ............(3)\) ➜ \(k\) শুন্য ব্যতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখা মূলবিন্দুগামী
\(\therefore 0-0-4+k(7.0+0+20)=0\)
\(\Rightarrow -4+20k=0\)
\(\Rightarrow 20k=4\)
\(\Rightarrow k=\frac{4}{20}\)
\(\Rightarrow k=\frac{1}{5}\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(x-y-4+\frac{1}{5}(7x+y+20)=0\)
\(\Rightarrow 5(x-y-4)+1(7x+y+20)=0\) ➜ উভয় পার্শে \(5\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 5x-5y-20+7x+y+20=0\)
\(\Rightarrow 12x-4y=0\)
\(\Rightarrow 4(3x-y)=0\)
\(\Rightarrow 3x-y=\frac{0}{4}\)
\(\therefore 3x-y=0 .........(4)\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকদ্বয়ের সমীকরণ,
\(\frac{x-y-4}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}=\pm \frac{7x+y+20}{\sqrt{7^{2}+1^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-y-4}{\sqrt{2+1}}=\pm \frac{7x+y+20}{\sqrt{49+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-y-4}{\sqrt{2}}=\pm \frac{7x+y+20}{\sqrt{50}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-y-4}{\sqrt{2}}=\pm \frac{7x+y+20}{\sqrt{2\times 25}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-y-4}{\sqrt{2}}=\pm \frac{7x+y+20}{5\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow x-y-4=\pm \frac{7x+y+20}{5}\)
\(\Rightarrow 5(x-y-4)=\pm (7x+y+20)\)
\(\Rightarrow 5(x-y-4)=-(7x+y+20)\) ➜ ঋণাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 5x-5y-20+7x+y+20=0\)
\(\Rightarrow 12x-4y=0\)
\(\Rightarrow 4(3x-y)=0\)
\(\Rightarrow 3x-y=\frac{0}{4}\)
\(\therefore 3x-y=0\) যা নির্ণেয় \((4)\) নং সমীকরণের অনুরূপ।
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখাটি প্রদত্ত রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত একটি কোণকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
\(x-y-4=0 ............(1)\)
\(7x+y+20=0 ............(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x-y-4+k(7x+y+20)=0 ............(3)\) ➜ \(k\) শুন্য ব্যতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখা মূলবিন্দুগামী
\(\therefore 0-0-4+k(7.0+0+20)=0\)
\(\Rightarrow -4+20k=0\)
\(\Rightarrow 20k=4\)
\(\Rightarrow k=\frac{4}{20}\)
\(\Rightarrow k=\frac{1}{5}\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(x-y-4+\frac{1}{5}(7x+y+20)=0\)
\(\Rightarrow 5(x-y-4)+1(7x+y+20)=0\) ➜ উভয় পার্শে \(5\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 5x-5y-20+7x+y+20=0\)
\(\Rightarrow 12x-4y=0\)
\(\Rightarrow 4(3x-y)=0\)
\(\Rightarrow 3x-y=\frac{0}{4}\)
\(\therefore 3x-y=0 .........(4)\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকদ্বয়ের সমীকরণ,
\(\frac{x-y-4}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}=\pm \frac{7x+y+20}{\sqrt{7^{2}+1^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-y-4}{\sqrt{2+1}}=\pm \frac{7x+y+20}{\sqrt{49+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-y-4}{\sqrt{2}}=\pm \frac{7x+y+20}{\sqrt{50}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-y-4}{\sqrt{2}}=\pm \frac{7x+y+20}{\sqrt{2\times 25}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-y-4}{\sqrt{2}}=\pm \frac{7x+y+20}{5\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow x-y-4=\pm \frac{7x+y+20}{5}\)
\(\Rightarrow 5(x-y-4)=\pm (7x+y+20)\)
\(\Rightarrow 5(x-y-4)=-(7x+y+20)\) ➜ ঋণাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 5x-5y-20+7x+y+20=0\)
\(\Rightarrow 12x-4y=0\)
\(\Rightarrow 4(3x-y)=0\)
\(\Rightarrow 3x-y=\frac{0}{4}\)
\(\therefore 3x-y=0\) যা নির্ণেয় \((4)\) নং সমীকরণের অনুরূপ।
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখাটি প্রদত্ত রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত একটি কোণকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
\(Q.2.(ii)\)\(2x+y+3=0\) ও \(2x-4y+7=0\) রেখদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণগুলির সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x+6y-1=0; \ 6x-2y+13=0\)।
উত্তরঃ \(2x+6y-1=0; \ 6x-2y+13=0\)।
সমাধানঃ
মনে করি,
\(2x+y+3=0 ............(1)\)
\(2x-4y+7=0 ............(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকদ্বয়ের সমীকরণ,
\(\frac{2x+y+3}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}=\pm \frac{2x-4y+7}{\sqrt{2^{2}+(-4)^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x+y+3}{\sqrt{4+1}}=\pm \frac{2x-4y+7}{\sqrt{4+16}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x+y+3}{\sqrt{5}}=\pm \frac{2x-4y+7}{\sqrt{20}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x+y+3}{\sqrt{5}}=\pm \frac{2x-4y+7}{\sqrt{5\times 4}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x+y+3}{\sqrt{5}}=\pm \frac{2x-4y+7}{2\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow 2x+y+3=\pm \frac{2x-4y+7}{2}\)
\(\Rightarrow 2(2x+y+3)=\pm (2x-4y+7)\)
\(\Rightarrow 4x+2y+6=2x-4y+7\) ➜ ধণাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 4x+2y+6-2x+4y-7=0\)
\(\therefore 2x+6y-1=0\)
আবার,
\(\Rightarrow 4x+2y+6=-(2x-4y+7)\) ➜ ঋণাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 4x+2y+6=-2x+4y-7\)
\(\Rightarrow 4x+2y+6+2x-4y+7=0\)
\(\therefore 6x-2y+13=0\)
\(\therefore \) সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ \(2x+6y-1=0, \ 6x-2y+13=0\).
\(2x+y+3=0 ............(1)\)
\(2x-4y+7=0 ............(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকদ্বয়ের সমীকরণ,
\(\frac{2x+y+3}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}=\pm \frac{2x-4y+7}{\sqrt{2^{2}+(-4)^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x+y+3}{\sqrt{4+1}}=\pm \frac{2x-4y+7}{\sqrt{4+16}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x+y+3}{\sqrt{5}}=\pm \frac{2x-4y+7}{\sqrt{20}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x+y+3}{\sqrt{5}}=\pm \frac{2x-4y+7}{\sqrt{5\times 4}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x+y+3}{\sqrt{5}}=\pm \frac{2x-4y+7}{2\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow 2x+y+3=\pm \frac{2x-4y+7}{2}\)
\(\Rightarrow 2(2x+y+3)=\pm (2x-4y+7)\)
\(\Rightarrow 4x+2y+6=2x-4y+7\) ➜ ধণাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 4x+2y+6-2x+4y-7=0\)
\(\therefore 2x+6y-1=0\)
আবার,
\(\Rightarrow 4x+2y+6=-(2x-4y+7)\) ➜ ঋণাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 4x+2y+6=-2x+4y-7\)
\(\Rightarrow 4x+2y+6+2x-4y+7=0\)
\(\therefore 6x-2y+13=0\)
\(\therefore \) সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ \(2x+6y-1=0, \ 6x-2y+13=0\).
\(Q.2.(iii)\) \((a, b)\) বিন্দুটি \(3x-4y+1=0\) এবং \(4x+3y+1=0\) রেখাদ্বয় হতে সমদূরবর্তী হলে, দেখাও যে, \(a+7b=0\) অথবা \(7a-b+2=0\)।
[চঃ ২০১৩ ]
[চঃ ২০১৩ ]
সমাধানঃ
মনে করি,
\(A(a, b)\)
\(3x-4y+1=0 ............(1)\)
\(4x+3y+1=0 ............(2)\)
\(A(a, b)\) হতে \((1)\) ও \((2)\) সমদূরবর্তী
\(\therefore \frac{|3.a-4.b+1|}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}=\frac{|4.a+3.b+1|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{|3a-4b+1|}{\sqrt{9+16}}=\frac{|4a+3b+1|}{\sqrt{16+9}}\)
\(\Rightarrow \frac{|3a-4b+1|}{\sqrt{25}}=\frac{|4a+3b+1|}{\sqrt{25}}\)
\(\Rightarrow \frac{|3a-4b+1|}{5}=\frac{|4a+3b+1|}{5}\)
\(\Rightarrow |3a-4b+1|=|4a+3b+1|\)
\(\Rightarrow 3a-4b+1=\pm (4a+3b+1)\)
\(\Rightarrow 3a-4b+1=4a+3b+1\) ➜ ধণাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 4a+3b+1=3a-4b+1\)
\(\Rightarrow 4a+3b+1-3a+4b-1=0\)
\(\therefore a+7b=0\)
আবার,
\(\Rightarrow 3a-4b+1=-(4a+3b+1)\) ➜ ঋণাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 3a-4b+1=-4a-3b-1\)
\(\Rightarrow 3a-4b+1+4a+3b+1=0\)
\(\therefore 7a-b+2=0\)
\(\therefore a+7b=0\) অথবা, \(7a-b+2=0\).
[ দেখানো হলো। ]
\(A(a, b)\)
\(3x-4y+1=0 ............(1)\)
\(4x+3y+1=0 ............(2)\)
\(A(a, b)\) হতে \((1)\) ও \((2)\) সমদূরবর্তী
\(\therefore \frac{|3.a-4.b+1|}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}=\frac{|4.a+3.b+1|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{|3a-4b+1|}{\sqrt{9+16}}=\frac{|4a+3b+1|}{\sqrt{16+9}}\)
\(\Rightarrow \frac{|3a-4b+1|}{\sqrt{25}}=\frac{|4a+3b+1|}{\sqrt{25}}\)
\(\Rightarrow \frac{|3a-4b+1|}{5}=\frac{|4a+3b+1|}{5}\)
\(\Rightarrow |3a-4b+1|=|4a+3b+1|\)
\(\Rightarrow 3a-4b+1=\pm (4a+3b+1)\)
\(\Rightarrow 3a-4b+1=4a+3b+1\) ➜ ধণাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 4a+3b+1=3a-4b+1\)
\(\Rightarrow 4a+3b+1-3a+4b-1=0\)
\(\therefore a+7b=0\)
আবার,
\(\Rightarrow 3a-4b+1=-(4a+3b+1)\) ➜ ঋণাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 3a-4b+1=-4a-3b-1\)
\(\Rightarrow 3a-4b+1+4a+3b+1=0\)
\(\therefore 7a-b+2=0\)
\(\therefore a+7b=0\) অথবা, \(7a-b+2=0\).
[ দেখানো হলো। ]
\(Q.2.(iv)\) \(4x+3y+2=0\) এবং \(12x+5y+13=0\) রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত যে কোণটি মূলবিন্দুধারী তার সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(8x-14y+39=0\)।
উত্তরঃ \(8x-14y+39=0\)।
সমাধানঃ
মনে করি,
\(4x+3y+2=0 ............(1)\)
\(12x+5y+13=0 ............(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকদ্বয়ের সমীকরণ,
\(\frac{4x+3y+2}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}=\pm \frac{12x+5y+13}{\sqrt{12^{2}+5^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{4x+3y+2}{\sqrt{16+9}}=\pm \frac{12x+5y+13}{\sqrt{144+25}}\)
\(\Rightarrow \frac{4x+3y+2}{\sqrt{25}}=\pm \frac{12x+5y+13}{\sqrt{169}}\)
\(\Rightarrow \frac{4x+3y+2}{5}=\pm \frac{12x+5y+13}{13}\)
\(\Rightarrow 13(4x+3y+2)=\pm 5(12x+5y+13)\)
এখানে,
\(c_{1}=2=+ve\) এবং \(c_{2}=13=+ve\) উভয়ে সমচিহ্নবিশিষ্ট , তাই উপরোক্ত সমীকরণ হতে ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহারে প্রাপ্ত সমীকরণ হবে মূলবিন্দুধারী কোণের সমদ্বিখন্ডক।
\(\therefore 13(4x+3y+2)=5(12x+5y+13)\)
\(\Rightarrow 60x+25y+65=52x+39y+26\)
\(\Rightarrow 60x+25y+65-52x-39y-26=0\)
\(\Rightarrow 8x-14y+39=0\)
ইহাই নির্ণেয় সমীকরণ।
\(4x+3y+2=0 ............(1)\)
\(12x+5y+13=0 ............(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকদ্বয়ের সমীকরণ,
\(\frac{4x+3y+2}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}=\pm \frac{12x+5y+13}{\sqrt{12^{2}+5^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{4x+3y+2}{\sqrt{16+9}}=\pm \frac{12x+5y+13}{\sqrt{144+25}}\)
\(\Rightarrow \frac{4x+3y+2}{\sqrt{25}}=\pm \frac{12x+5y+13}{\sqrt{169}}\)
\(\Rightarrow \frac{4x+3y+2}{5}=\pm \frac{12x+5y+13}{13}\)
\(\Rightarrow 13(4x+3y+2)=\pm 5(12x+5y+13)\)
এখানে,
\(c_{1}=2=+ve\) এবং \(c_{2}=13=+ve\) উভয়ে সমচিহ্নবিশিষ্ট , তাই উপরোক্ত সমীকরণ হতে ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহারে প্রাপ্ত সমীকরণ হবে মূলবিন্দুধারী কোণের সমদ্বিখন্ডক।
\(\therefore 13(4x+3y+2)=5(12x+5y+13)\)
\(\Rightarrow 60x+25y+65=52x+39y+26\)
\(\Rightarrow 60x+25y+65-52x-39y-26=0\)
\(\Rightarrow 8x-14y+39=0\)
ইহাই নির্ণেয় সমীকরণ।
\(Q.2.(v)\) \(3x-4y+8=0\) রেখার সমান্তরালে \(3x+y+4=0\) রেখা থেকে \((1, 2)\) বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর ।
[ যঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(3\)।
[ যঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(3\)।
সমাধানঃ
মনে করি,
\(3x-4y+8=0 ............(1)\)
\(3x+y+4=0 ............(2)\)
এবং \(A(1, 2)\)
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x-4y+k=0 ............(3)\) ➜ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা (ইচ্ছামূলক ধ্রুবক)।
\((3)\) নং সরলরেখা \(A(1, 2)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 3.1-4.2+k=0 \)
\(\Rightarrow 3-8+k=0 \)
\(\Rightarrow -5+k=0 \)
\(\therefore k=5 \)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(3x-4y+5=0 ............(4)\)
\((2)\) ও \((4)\) এর ছেদবিন্দু \(B\) নির্ণয় করি,
\(\frac{x}{1.5-4.(-4)}=\frac{y}{4.3-3.5}=\frac{1}{3.(-4)-1.3}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{5+16}=\frac{y}{12-15}=\frac{1}{-12-3}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{21}=\frac{y}{-3}=\frac{1}{-15}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{21}=\frac{1}{-15}, \ \frac{y}{-3}=\frac{1}{-15}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{-15}\times 21, \ y=\frac{1}{-15}\times -3\)
\(\Rightarrow x=-\frac{7}{5}, \ y=\frac{1}{5}\)
\(\therefore B(-\frac{7}{5}, \frac{1}{5})\)
এখন,
\(AB=\sqrt{(1+\frac{7}{5})^{2}+(2-\frac{1}{5})^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{5+7}{5})^{2}+(\frac{10-1}{5})^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{12}{5})^{2}+(\frac{9}{5})^{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{144}{25}+\frac{81}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{144+81}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{225}{25}}\)
\(=\sqrt{9}\)
\(=3\)
ইহাই নির্ণেয় দূরত্ব।
\(3x-4y+8=0 ............(1)\)
\(3x+y+4=0 ............(2)\)
এবং \(A(1, 2)\)
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x-4y+k=0 ............(3)\) ➜ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা (ইচ্ছামূলক ধ্রুবক)।
\((3)\) নং সরলরেখা \(A(1, 2)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 3.1-4.2+k=0 \)
\(\Rightarrow 3-8+k=0 \)
\(\Rightarrow -5+k=0 \)
\(\therefore k=5 \)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(3x-4y+5=0 ............(4)\)
\((2)\) ও \((4)\) এর ছেদবিন্দু \(B\) নির্ণয় করি,
\(\frac{x}{1.5-4.(-4)}=\frac{y}{4.3-3.5}=\frac{1}{3.(-4)-1.3}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{5+16}=\frac{y}{12-15}=\frac{1}{-12-3}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{21}=\frac{y}{-3}=\frac{1}{-15}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{21}=\frac{1}{-15}, \ \frac{y}{-3}=\frac{1}{-15}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{-15}\times 21, \ y=\frac{1}{-15}\times -3\)
\(\Rightarrow x=-\frac{7}{5}, \ y=\frac{1}{5}\)
\(\therefore B(-\frac{7}{5}, \frac{1}{5})\)
এখন,
\(AB=\sqrt{(1+\frac{7}{5})^{2}+(2-\frac{1}{5})^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{5+7}{5})^{2}+(\frac{10-1}{5})^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{12}{5})^{2}+(\frac{9}{5})^{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{144}{25}+\frac{81}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{144+81}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{225}{25}}\)
\(=\sqrt{9}\)
\(=3\)
ইহাই নির্ণেয় দূরত্ব।
\(Q.2.(vi)\) \(bx+ay=ab\) এবং \(ax-by=ab\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু হতে \(ax-by=0\) এর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য ও তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}, \ bx+ay=ab\)।
উত্তরঃ \(\frac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}, \ bx+ay=ab\)।
সমাধানঃ
মনে করি,
\(bx+ay-ab=0 ............(1)\)
\(ax-by-ab=0 ............(2)\)
\(ax-by=0 ............(3)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু \(A\) নির্ণয় করি,
\(\frac{x}{a.(-ab)-(-ab).(-b)}=\frac{y}{(-ab).a-b.(-ab)}=\frac{1}{b.(-b)-a.a}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-a^{2}b-ab^{2}}=\frac{y}{-a^{2}b+ab^{2}}=\frac{1}{-b^{2}-a^{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-a^{2}b-ab^{2}}=\frac{1}{-b^{2}-a^{2}}, \ \frac{y}{-a^{2}b+ab^{2}}=\frac{1}{-b^{2}-a^{2}}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-a^{2}b-ab^{2}}{-b^{2}-a^{2}}, \ y=\frac{-a^{2}b+ab^{2}}{-b^{2}-a^{2}}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-(a^{2}b+ab^{2})}{-(a^{2}+b^{2})}, \ y=\frac{-(a^{2}b-ab^{2})}{-(a^{2}+b^{2})}\)
\(\Rightarrow x=\frac{a^{2}b+ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}, \ y=\frac{a^{2}b-ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}\)
\(\therefore A(\frac{a^{2}b+ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}, \frac{a^{2}b-ab^{2}}{a^{2}+b^{2}})\)
এখন,
\(A\) হতে \((3)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{a.\frac{a^{2}b+ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}-b.\frac{a^{2}b-ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}}{\sqrt{a^{2}+(-b)^{2}}}\)
\(=\frac{\frac{a^{3}b+a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}-\frac{a^{2}b^{2}-ab^{3}}{a^{2}+b^{2}}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(=\frac{\frac{a^{3}b+a^{2}b^{2}-a^{2}b^{2}+ab^{3}}{a^{2}+b^{2}}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(=\frac{\frac{a^{3}b+ab^{3}}{a^{2}+b^{2}}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(=\frac{\frac{ab(a^{2}+b^{2})}{a^{2}+b^{2}}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(=\frac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
ইহাই নির্ণেয় লম্ব দূরত্ব,
\((3)\) এর উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার সমীকরণ,
\(bx+ay+k=0 ............(4)\)
\((4)\) নং সরলরেখা \(A\) বিন্দুগামী,
\(\therefore b.\frac{a^{2}b+ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}+a.\frac{a^{2}b-ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}+k=0\)
\(\therefore \frac{a^{2}b^{2}+ab^{3}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{3}b-a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+k=0\)
\(\therefore \frac{a^{2}b^{2}+ab^{3}+a^{3}b-a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+k=0\)
\(\therefore \frac{ab^{3}+a^{3}b}{a^{2}+b^{2}}+k=0\)
\(\therefore \frac{ab(b^{2}+a^{2})}{a^{2}+b^{2}}+k=0\)
\(\therefore ab+k=0\)
\(\therefore k=-ab\)
\(k\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে,
\(bx+ay-ab=0\)
\(\therefore bx+ay=ab\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(bx+ay-ab=0 ............(1)\)
\(ax-by-ab=0 ............(2)\)
\(ax-by=0 ............(3)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু \(A\) নির্ণয় করি,
\(\frac{x}{a.(-ab)-(-ab).(-b)}=\frac{y}{(-ab).a-b.(-ab)}=\frac{1}{b.(-b)-a.a}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-a^{2}b-ab^{2}}=\frac{y}{-a^{2}b+ab^{2}}=\frac{1}{-b^{2}-a^{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-a^{2}b-ab^{2}}=\frac{1}{-b^{2}-a^{2}}, \ \frac{y}{-a^{2}b+ab^{2}}=\frac{1}{-b^{2}-a^{2}}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-a^{2}b-ab^{2}}{-b^{2}-a^{2}}, \ y=\frac{-a^{2}b+ab^{2}}{-b^{2}-a^{2}}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-(a^{2}b+ab^{2})}{-(a^{2}+b^{2})}, \ y=\frac{-(a^{2}b-ab^{2})}{-(a^{2}+b^{2})}\)
\(\Rightarrow x=\frac{a^{2}b+ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}, \ y=\frac{a^{2}b-ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}\)
\(\therefore A(\frac{a^{2}b+ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}, \frac{a^{2}b-ab^{2}}{a^{2}+b^{2}})\)
এখন,
\(A\) হতে \((3)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{a.\frac{a^{2}b+ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}-b.\frac{a^{2}b-ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}}{\sqrt{a^{2}+(-b)^{2}}}\)
\(=\frac{\frac{a^{3}b+a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}-\frac{a^{2}b^{2}-ab^{3}}{a^{2}+b^{2}}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(=\frac{\frac{a^{3}b+a^{2}b^{2}-a^{2}b^{2}+ab^{3}}{a^{2}+b^{2}}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(=\frac{\frac{a^{3}b+ab^{3}}{a^{2}+b^{2}}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(=\frac{\frac{ab(a^{2}+b^{2})}{a^{2}+b^{2}}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(=\frac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
ইহাই নির্ণেয় লম্ব দূরত্ব,
\((3)\) এর উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার সমীকরণ,
\(bx+ay+k=0 ............(4)\)
\((4)\) নং সরলরেখা \(A\) বিন্দুগামী,
\(\therefore b.\frac{a^{2}b+ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}+a.\frac{a^{2}b-ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}+k=0\)
\(\therefore \frac{a^{2}b^{2}+ab^{3}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{3}b-a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+k=0\)
\(\therefore \frac{a^{2}b^{2}+ab^{3}+a^{3}b-a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+k=0\)
\(\therefore \frac{ab^{3}+a^{3}b}{a^{2}+b^{2}}+k=0\)
\(\therefore \frac{ab(b^{2}+a^{2})}{a^{2}+b^{2}}+k=0\)
\(\therefore ab+k=0\)
\(\therefore k=-ab\)
\(k\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে,
\(bx+ay-ab=0\)
\(\therefore bx+ay=ab\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(Q.2.(vii)\) \((1, -2)\) বিন্দু থেকে \(7\frac{1}{2}\) একক দূরবর্তী এবং \(3x+4y=7\) রেখাটির সমান্তরাল রেখাগুলির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[চঃ ২০১২, যঃ, সিঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(6x+8y=65, \ 6x+8y+85=0\)।
[চঃ ২০১২, যঃ, সিঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(6x+8y=65, \ 6x+8y+85=0\)।
সমাধানঃ
মনে করি,
\(3x+4y-7=0 ............(1)\)
\(A(1, -2)\) \((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x+4y+k=0 ............(2)\)
\(A(1, -2)\) বিন্দু হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{|3.1+4.(-2)+k|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}\)
\(=\frac{|3-8+k|}{\sqrt{9+16}}\)
\(=\frac{|-5+k|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{|-5+k|}{5}\)
শর্তমতে,
\(d=7\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{|-5+k|}{5}=\frac{15}{2}\)
\(\Rightarrow \pm \frac{-5+k}{5}=\frac{15}{2}\)
\(\Rightarrow -5+k=\pm \frac{75}{2}\)
\(\Rightarrow k=\pm \frac{75}{2}+5\)
\(\Rightarrow k=\frac{75}{2}+5\) ➜ ধণাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow k=\frac{75+10}{2}\)
\(\therefore k=\frac{85}{2}\)
আবার,
\(\Rightarrow k=-\frac{75}{2}+5\) ➜ ঋণাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow k=\frac{-75+10}{2}\)
\(\therefore k=\frac{-65}{2}\)
\(\therefore k=-\frac{65}{2}\)
\(k\) এর মান \( (2)\) এ বসিয়ে,
\(3x+4y+\frac{85}{2}=0 \) ➜ যখন \(k=\frac{85}{2}\)
\(\therefore 6x+8y+85=0 \) ➜ উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(3x+4y-\frac{65}{2}=0 \) ➜ যখন \(k=-\frac{65}{2}\)
\(\Rightarrow 6x+8y-65=0 \) ➜ উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(\therefore 6x+8y=65 \)
\(\therefore \) রেখাগুলির সমীকরণ \(6x+8y=65, \ 6x+8y+85=0\)।
\(3x+4y-7=0 ............(1)\)
\(A(1, -2)\) \((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x+4y+k=0 ............(2)\)
\(A(1, -2)\) বিন্দু হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{|3.1+4.(-2)+k|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}\)
\(=\frac{|3-8+k|}{\sqrt{9+16}}\)
\(=\frac{|-5+k|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{|-5+k|}{5}\)
শর্তমতে,
\(d=7\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{|-5+k|}{5}=\frac{15}{2}\)
\(\Rightarrow \pm \frac{-5+k}{5}=\frac{15}{2}\)
\(\Rightarrow -5+k=\pm \frac{75}{2}\)
\(\Rightarrow k=\pm \frac{75}{2}+5\)
\(\Rightarrow k=\frac{75}{2}+5\) ➜ ধণাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow k=\frac{75+10}{2}\)
\(\therefore k=\frac{85}{2}\)
আবার,
\(\Rightarrow k=-\frac{75}{2}+5\) ➜ ঋণাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow k=\frac{-75+10}{2}\)
\(\therefore k=\frac{-65}{2}\)
\(\therefore k=-\frac{65}{2}\)
\(k\) এর মান \( (2)\) এ বসিয়ে,
\(3x+4y+\frac{85}{2}=0 \) ➜ যখন \(k=\frac{85}{2}\)
\(\therefore 6x+8y+85=0 \) ➜ উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(3x+4y-\frac{65}{2}=0 \) ➜ যখন \(k=-\frac{65}{2}\)
\(\Rightarrow 6x+8y-65=0 \) ➜ উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(\therefore 6x+8y=65 \)
\(\therefore \) রেখাগুলির সমীকরণ \(6x+8y=65, \ 6x+8y+85=0\)।
\(Q.2.(viii)\) মূলবিন্দু থেকে \(7\) একক দূরত্বে এবং \(3x-4y+7=0\) রেখার উপর লম্ব এরূপ রেখাগুলির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[বঃ,সিঃ ২০১১, দিঃ ২০১২]
উত্তরঃ \(4x+3y\pm 35=0\)।
[বঃ,সিঃ ২০১১, দিঃ ২০১২]
উত্তরঃ \(4x+3y\pm 35=0\)।
সমাধানঃ
মনে করি,
\(3x-4y+7=0 ............(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(4x+3y+k=0 ............(2)\) ➜ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা ।
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{|k|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}\)
\(=\frac{|k|}{\sqrt{16+9}}\)
\(=\frac{|k|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{|k|}{5}\)
শর্তমতে,
\(d=7\)
\(\Rightarrow \frac{|k|}{5}=7\)
\(\Rightarrow |k|=35\)
\(\Rightarrow \pm k=35\)
\(\therefore k=\pm 35\)
\(k\) এর \((2)\) এ বসিয়ে,
\(4x+3y\pm 35=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(3x-4y+7=0 ............(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(4x+3y+k=0 ............(2)\) ➜ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা ।
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{|k|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}\)
\(=\frac{|k|}{\sqrt{16+9}}\)
\(=\frac{|k|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{|k|}{5}\)
শর্তমতে,
\(d=7\)
\(\Rightarrow \frac{|k|}{5}=7\)
\(\Rightarrow |k|=35\)
\(\Rightarrow \pm k=35\)
\(\therefore k=\pm 35\)
\(k\) এর \((2)\) এ বসিয়ে,
\(4x+3y\pm 35=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(Q.2.(x)\) দেখাও যে, \((-\frac{1}{2}, -2)\) বিন্দুটি \(2x-3y+4=0\) এবং \(6x+4y-7=0\) রেখাদ্বয় হতে সমদূরবর্তী।
সমাধানঃ
মনে করি,
\(2x-3y+4=0 ............(1)\)
\(6x+4y-7=0 ............(2)\)
\(A(-\frac{1}{2}, -2)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d_{1}=\frac{|2.(-\frac{1}{2})-3(-2)+4|}{\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}}}\)
\(=\frac{|-1+6+4|}{\sqrt{4+9}}\)
\(=\frac{|9|}{\sqrt{13}}\)
\(=\frac{9}{\sqrt{13}}\)
\(A(-\frac{1}{2}, -2)\) হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d_{2}=\frac{|6.(-\frac{1}{2})+4(-2)-7|}{\sqrt{6^{2}+4^{2}}}\)
\(=\frac{|-3-8-7|}{\sqrt{36+16}}\)
\(=\frac{|-18|}{\sqrt{13\times 4}}\)
\(=\frac{18}{2\sqrt{13}}\)
\(=\frac{9}{\sqrt{13}}\)
\(\therefore d_{1}=d_{2}\)
[ দেখানো হলো ।]
\(2x-3y+4=0 ............(1)\)
\(6x+4y-7=0 ............(2)\)
\(A(-\frac{1}{2}, -2)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d_{1}=\frac{|2.(-\frac{1}{2})-3(-2)+4|}{\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}}}\)
\(=\frac{|-1+6+4|}{\sqrt{4+9}}\)
\(=\frac{|9|}{\sqrt{13}}\)
\(=\frac{9}{\sqrt{13}}\)
\(A(-\frac{1}{2}, -2)\) হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d_{2}=\frac{|6.(-\frac{1}{2})+4(-2)-7|}{\sqrt{6^{2}+4^{2}}}\)
\(=\frac{|-3-8-7|}{\sqrt{36+16}}\)
\(=\frac{|-18|}{\sqrt{13\times 4}}\)
\(=\frac{18}{2\sqrt{13}}\)
\(=\frac{9}{\sqrt{13}}\)
\(\therefore d_{1}=d_{2}\)
[ দেখানো হলো ।]
\(Q.2.(xi)\) \(Y\) অক্ষের উপরিস্থিত যে বিন্দুগুলি হতে \(3y=4x-10\) রেখার লম্ব দূরত্ব \(4\) একক তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \((0, -10), \ (0, \frac{10}{3}) \)।
[ চঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \((0, -10), \ (0, \frac{10}{3}) \)।
সমাধানঃ
মনে করি,
\(Y\) অক্ষের উপরিস্থিত যে কোনো বিন্দু \(A(0, b)\)
এবং
\(3y=4x-10\)
\(\Rightarrow 4x-10=3y\)
\(\Rightarrow 4x-3y-10=0 ...............(1)\)
\(A(0, b)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{|4.0-3.b-10|}{\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}}\)
\(=\frac{|0-3b-10|}{\sqrt{16+9}}\)
\(=\frac{|-(3b+10)|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{|(3b+10)|}{5}\)
শর্তমতে,
\(d=4\)
\(\Rightarrow \frac{|(3b+10)|}{5}=4\)
\(\Rightarrow \pm \frac{(3b+10)}{5}=4\)
\(\Rightarrow 3b+10=\pm 20\)
\(\Rightarrow 3b=\pm 20-10\)
\(\Rightarrow 3b=\pm 20-10\)
\(\Rightarrow 3b=20-10\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 3b=10\)
\(\therefore b=\frac{10}{3}\)
আবার,
\(\Rightarrow 3b=-20-10\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 3b=-30\)
\(\therefore b=-10\)
\(\therefore \) বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক \((0, -10), \ (0, \frac{10}{3}) \)।
\(Y\) অক্ষের উপরিস্থিত যে কোনো বিন্দু \(A(0, b)\)
এবং
\(3y=4x-10\)
\(\Rightarrow 4x-10=3y\)
\(\Rightarrow 4x-3y-10=0 ...............(1)\)
\(A(0, b)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{|4.0-3.b-10|}{\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}}\)
\(=\frac{|0-3b-10|}{\sqrt{16+9}}\)
\(=\frac{|-(3b+10)|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{|(3b+10)|}{5}\)
শর্তমতে,
\(d=4\)
\(\Rightarrow \frac{|(3b+10)|}{5}=4\)
\(\Rightarrow \pm \frac{(3b+10)}{5}=4\)
\(\Rightarrow 3b+10=\pm 20\)
\(\Rightarrow 3b=\pm 20-10\)
\(\Rightarrow 3b=\pm 20-10\)
\(\Rightarrow 3b=20-10\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 3b=10\)
\(\therefore b=\frac{10}{3}\)
আবার,
\(\Rightarrow 3b=-20-10\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 3b=-30\)
\(\therefore b=-10\)
\(\therefore \) বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক \((0, -10), \ (0, \frac{10}{3}) \)।
\(Q.2.(xiii)\) \(5x-12y-6=0\), \(3x+4y+2=0\) এবং \(y=2\) রেখার সমম্বয়ে গঠিত ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((\frac{1}{6}, \frac{5}{6})\)।
উত্তরঃ \((\frac{1}{6}, \frac{5}{6})\)।
সমাধানঃ
মনে করি,
\(5x-12y-6=0 ........(1)\)
\(3x+4y+2=0 ........(2)\)
\(y-2=0 ........(3)\)
চিত্র থেকে এটা স্পষ্ট যে \((1)\) ও \((3)\) এর অন্তর্ভুক্ত \(\angle A\) একটি সূক্ষ্মকোণ।
এখন,
\(a_{1}=5, b_{1}=-12, a_{2}=0, b_{2}=1\)
\(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=5.0+(-12).1=0-12=-12 \)
\(\because 0>a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}\)
সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{5x-12y-6}{\sqrt{5^{2}+(-12)^{2}}}=\frac{y-2}{\sqrt{0^{2}+1^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{5x-12y-6}{\sqrt{25+144}}=\frac{y-2}{\sqrt{0+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{5x-12y-6}{\sqrt{169}}=\frac{y-2}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \frac{5x-12y-6}{13}=\frac{y-2}{1}\)
\(\Rightarrow 5x-12y-6=13(y-2)\)
\(\Rightarrow 5x-12y-6=13y-26\)
\(\Rightarrow 5x-12y-6-13y+26=0\)
\(\Rightarrow 5x-25y+20=0\)
\(\Rightarrow 5(x-5y+4)=0\)
\(\Rightarrow (x-5y+4)=\frac{0}{5}\)
\(\therefore x-5y+4=0 ..........(4)\)
আবার,
চিত্র থেকে \((2)\) ও \((3\) এর অন্তর্ভুক্ত \(\angle B\) একটি সূক্ষ্মকোণ।
এখন,
\(a_{1}=3, b_{1}=4, a_{2}=0, b_{2}=1\)
\(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=3.0+4.1=0+4=4>0 \)
সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{3x+4y+2}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=-\frac{y-2}{\sqrt{0^{2}+1^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+4y+2}{\sqrt{9+16}}=-\frac{y-2}{\sqrt{0+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+4y+2}{\sqrt{25}}=-\frac{y-2}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+4y+2}{5}=-\frac{y-2}{1}\)
\(\Rightarrow 3x+4y+2=-5(y-2)\)
\(\Rightarrow 3x+4y+2=-5y+10\)
\(\Rightarrow 3x+4y+2+5y-10=0\)
\(\therefore 3x+9y-8=0 ..........(5)\)
\((4)\) ও \((5)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\(\frac{x}{(-5).(-8)-4.9}=\frac{y}{4.3-1.(-8)}=\frac{1}{1.9-(-5).3}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{40-36}=\frac{y}{12+8}=\frac{1}{9+15}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{4}=\frac{y}{20}=\frac{1}{24}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{4}=\frac{1}{24}, \ \frac{y}{20}=\frac{1}{24}\)
\(\Rightarrow x=\frac{4}{24}, \ y=\frac{20}{24}\)
\(\therefore x=\frac{1}{6}, \ y=\frac{5}{6}\)
\(\therefore \) ত্রিভুজের অন্তকেন্দ্র \(I(\frac{1}{6}, \frac{5}{6})\).
\(5x-12y-6=0 ........(1)\)
\(3x+4y+2=0 ........(2)\)
\(y-2=0 ........(3)\)
চিত্র থেকে এটা স্পষ্ট যে \((1)\) ও \((3)\) এর অন্তর্ভুক্ত \(\angle A\) একটি সূক্ষ্মকোণ।
এখন,
\(a_{1}=5, b_{1}=-12, a_{2}=0, b_{2}=1\)
\(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=5.0+(-12).1=0-12=-12 \)
\(\because 0>a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}\)
সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{5x-12y-6}{\sqrt{5^{2}+(-12)^{2}}}=\frac{y-2}{\sqrt{0^{2}+1^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{5x-12y-6}{\sqrt{25+144}}=\frac{y-2}{\sqrt{0+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{5x-12y-6}{\sqrt{169}}=\frac{y-2}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \frac{5x-12y-6}{13}=\frac{y-2}{1}\)
\(\Rightarrow 5x-12y-6=13(y-2)\)
\(\Rightarrow 5x-12y-6=13y-26\)
\(\Rightarrow 5x-12y-6-13y+26=0\)
\(\Rightarrow 5x-25y+20=0\)
\(\Rightarrow 5(x-5y+4)=0\)
\(\Rightarrow (x-5y+4)=\frac{0}{5}\)
\(\therefore x-5y+4=0 ..........(4)\)
আবার,
চিত্র থেকে \((2)\) ও \((3\) এর অন্তর্ভুক্ত \(\angle B\) একটি সূক্ষ্মকোণ।
এখন,
\(a_{1}=3, b_{1}=4, a_{2}=0, b_{2}=1\)
\(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=3.0+4.1=0+4=4>0 \)
সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{3x+4y+2}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=-\frac{y-2}{\sqrt{0^{2}+1^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+4y+2}{\sqrt{9+16}}=-\frac{y-2}{\sqrt{0+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+4y+2}{\sqrt{25}}=-\frac{y-2}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+4y+2}{5}=-\frac{y-2}{1}\)
\(\Rightarrow 3x+4y+2=-5(y-2)\)
\(\Rightarrow 3x+4y+2=-5y+10\)
\(\Rightarrow 3x+4y+2+5y-10=0\)
\(\therefore 3x+9y-8=0 ..........(5)\)
\((4)\) ও \((5)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\(\frac{x}{(-5).(-8)-4.9}=\frac{y}{4.3-1.(-8)}=\frac{1}{1.9-(-5).3}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{40-36}=\frac{y}{12+8}=\frac{1}{9+15}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{4}=\frac{y}{20}=\frac{1}{24}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{4}=\frac{1}{24}, \ \frac{y}{20}=\frac{1}{24}\)
\(\Rightarrow x=\frac{4}{24}, \ y=\frac{20}{24}\)
\(\therefore x=\frac{1}{6}, \ y=\frac{5}{6}\)
\(\therefore \) ত্রিভুজের অন্তকেন্দ্র \(I(\frac{1}{6}, \frac{5}{6})\).
\(Q.2.(xiv)\) \(2x+y+3=0\) এবং \(3x-4y+7=0\) রেখা দুইটির মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \((2\sqrt{5}+3)x+(\sqrt{5}-4)y+3\sqrt{5}+7=0\)।
[ সিঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \((2\sqrt{5}+3)x+(\sqrt{5}-4)y+3\sqrt{5}+7=0\)।
সমাধানঃ
মনে করি,
\(2x+y+3=0 ........(1)\)
\(3x-4y+7=0 ........(2)\)
এখন,
\(a_{1}=2, b_{1}=1, a_{2}=3, b_{2}=-4\)
\(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=2.3+1.(-4)=6-4=2>0 \)
\((1)\) ও \( (2)\) এর অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{2x+y+3}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}=-\frac{3x-4y+7}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x+y+3}{\sqrt{4+1}}=-\frac{3x-4y+7}{\sqrt{9+16}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x+y+3}{\sqrt{5}}=-\frac{3x-4y+7}{\sqrt{25}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x+y+3}{\sqrt{5}}=-\frac{3x-4y+7}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{2x+y+3}{\sqrt{5}}=-\frac{3x-4y+7}{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x+y+3}{1}=-\frac{3x-4y+7}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{5}(2x+y+3)=-(3x-4y+7)\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{5}x+\sqrt{5}y+3\sqrt{5}=-3x+4y-7\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{5}x+\sqrt{5}y+3\sqrt{5}+3x-4y+7=0\)
\(\therefore (2\sqrt{5}+3)x+(\sqrt{5}-4)y+3\sqrt{5}+7=0\)
\(2x+y+3=0 ........(1)\)
\(3x-4y+7=0 ........(2)\)
এখন,
\(a_{1}=2, b_{1}=1, a_{2}=3, b_{2}=-4\)
\(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=2.3+1.(-4)=6-4=2>0 \)
\((1)\) ও \( (2)\) এর অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{2x+y+3}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}=-\frac{3x-4y+7}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x+y+3}{\sqrt{4+1}}=-\frac{3x-4y+7}{\sqrt{9+16}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x+y+3}{\sqrt{5}}=-\frac{3x-4y+7}{\sqrt{25}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x+y+3}{\sqrt{5}}=-\frac{3x-4y+7}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{2x+y+3}{\sqrt{5}}=-\frac{3x-4y+7}{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x+y+3}{1}=-\frac{3x-4y+7}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{5}(2x+y+3)=-(3x-4y+7)\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{5}x+\sqrt{5}y+3\sqrt{5}=-3x+4y-7\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{5}x+\sqrt{5}y+3\sqrt{5}+3x-4y+7=0\)
\(\therefore (2\sqrt{5}+3)x+(\sqrt{5}-4)y+3\sqrt{5}+7=0\)
\(Q.2.(xv)\) \(x+y+1=0\) রেখাটি \(3x-4y+3=0\) এবং \(AB\) রেখা দুইটির মধ্যবর্তী কোণদ্বয়ের একটি সমদ্বিখন্ডক। \(AB\) রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x-3y+4=0\)।
উত্তরঃ \(4x-3y+4=0\)।
সমাধানঃ
মনে করি,
\(x+y+1=0 ........(1)\)
\(3x-4y+3=0 ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\(\frac{x}{(1.3-1.(-4)}=\frac{y}{1.3-1.3}=\frac{1}{1.(-4)-1.3}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{3+4}=\frac{y}{3-3}=\frac{1}{-4-3}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{7}=\frac{y}{0}=\frac{1}{-7}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{7}=\frac{1}{-7}, \ \frac{y}{0}=\frac{1}{-7}\)
\(\Rightarrow x=\frac{7}{-7}, \ y=\frac{0}{-7}\)
\(\Rightarrow x=-1, \ y=0\)
\(\therefore x=-1, \ y=0\) ছেদবিন্দু \(C(-1, 0)\).
শর্তমতে,
\(AB\) সরলরেখা \(C(-1, 0)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore AB\) এর সমীকরণ,
\(y-0=m(x+1)\)
\(\Rightarrow y=m(x+1) ..........(3)\)
\((1)\) এর ঢাল \(m_{1}=-\frac{1}{1}=-1\)
\((2)\) এর ঢাল \(m_{2}=-\frac{3}{-4}=\frac{3}{4}\)
\((3)\) এর ঢাল \(m_{3}=m\)
\((1)\) ও \((2)\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(\tan\theta_{1}=\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}\)
\(=\frac{-1-\frac{3}{4}}{1+(-1)\times \frac{3}{4}}\)
\(=\frac{\frac{-4-3}{4}}{1-\frac{3}{4}}\)
\(=\frac{\frac{-7}{4}}{\frac{4-3}{4}}\)
\(=\frac{-\frac{7}{4}}{\frac{1}{4}}\)
\(=-\frac{7}{4}\times \frac{4}{1}\)
\(=-7\)
\(=7\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\((1)\) ও \((3)\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(\tan\theta_{2}=\frac{-1-m}{1+(-1)m}\)
\(=\frac{-1-m}{1-m}\)
শর্তমতে,
\(\tan\theta_{2}=\tan\theta_{1} \)
\(\Rightarrow \frac{-1-m}{1-m}=7\)
\(\Rightarrow -1-m=7(1-m)\)
\(\Rightarrow -1-m=7-7m\)
\(\Rightarrow 7m-m=7+1\)
\(\Rightarrow 6m=8\)
\(\Rightarrow m=\frac{8}{6}\)
\(\Rightarrow m=\frac{4}{3}\)
\(m\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(y=\frac{4}{3}(x+1)\)
\(\Rightarrow 3y=4(x+1)\)
\(\Rightarrow 4(x+1)=3y\)
\(\Rightarrow 4x+4=3y\)
\(\therefore 4x-3y+4=0\)
ইহাই নির্ণেয় \(AB\) রেখার সমীকরণ,
\(x+y+1=0 ........(1)\)
\(3x-4y+3=0 ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\(\frac{x}{(1.3-1.(-4)}=\frac{y}{1.3-1.3}=\frac{1}{1.(-4)-1.3}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{3+4}=\frac{y}{3-3}=\frac{1}{-4-3}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{7}=\frac{y}{0}=\frac{1}{-7}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{7}=\frac{1}{-7}, \ \frac{y}{0}=\frac{1}{-7}\)
\(\Rightarrow x=\frac{7}{-7}, \ y=\frac{0}{-7}\)
\(\Rightarrow x=-1, \ y=0\)
\(\therefore x=-1, \ y=0\) ছেদবিন্দু \(C(-1, 0)\).
শর্তমতে,
\(AB\) সরলরেখা \(C(-1, 0)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore AB\) এর সমীকরণ,
\(y-0=m(x+1)\)
\(\Rightarrow y=m(x+1) ..........(3)\)
\((1)\) এর ঢাল \(m_{1}=-\frac{1}{1}=-1\)
\((2)\) এর ঢাল \(m_{2}=-\frac{3}{-4}=\frac{3}{4}\)
\((3)\) এর ঢাল \(m_{3}=m\)
\((1)\) ও \((2)\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(\tan\theta_{1}=\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}\)
\(=\frac{-1-\frac{3}{4}}{1+(-1)\times \frac{3}{4}}\)
\(=\frac{\frac{-4-3}{4}}{1-\frac{3}{4}}\)
\(=\frac{\frac{-7}{4}}{\frac{4-3}{4}}\)
\(=\frac{-\frac{7}{4}}{\frac{1}{4}}\)
\(=-\frac{7}{4}\times \frac{4}{1}\)
\(=-7\)
\(=7\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\((1)\) ও \((3)\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(\tan\theta_{2}=\frac{-1-m}{1+(-1)m}\)
\(=\frac{-1-m}{1-m}\)
শর্তমতে,
\(\tan\theta_{2}=\tan\theta_{1} \)
\(\Rightarrow \frac{-1-m}{1-m}=7\)
\(\Rightarrow -1-m=7(1-m)\)
\(\Rightarrow -1-m=7-7m\)
\(\Rightarrow 7m-m=7+1\)
\(\Rightarrow 6m=8\)
\(\Rightarrow m=\frac{8}{6}\)
\(\Rightarrow m=\frac{4}{3}\)
\(m\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(y=\frac{4}{3}(x+1)\)
\(\Rightarrow 3y=4(x+1)\)
\(\Rightarrow 4(x+1)=3y\)
\(\Rightarrow 4x+4=3y\)
\(\therefore 4x-3y+4=0\)
ইহাই নির্ণেয় \(AB\) রেখার সমীকরণ,
অনুশীলনী \(3.G\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(Q.3.(i)\) \(4y-3x=3\) এবং \(3y-4x=5\) রেখা দুইটির অন্তর্গত স্থুলকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+y+2=0\)।
\(Q.3.(ii)\) \(y=4\) এবং \(Y\) অক্ষের অন্তর্গত কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+y-4=0, \ x-y+4=0\)।
\(Q.3.(iii)\) একটি ত্রিভুজের বাহুত্রয়ের সমীকরণ \(x-2y=0\), \(3x+y=0\) এবং \(2x-3y+11=0\) হলে, এর লম্বকেন্দ্র নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((2, -3)\)।
\(Q.3.(iv)\) \(\triangle ABC\) এর শীর্ষ তিনটি \(A(4, 0)\), \(B(0, 2)\) ও \(C(3, 5)\) হলে, ত্রিভুজের লম্বকেন্দ্র নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((\frac{5}{3}, \frac{7}{3})\)।
\(Q.3.(v)\) \(\triangle ABC\) এর দুইটি শীর্ষ \(A(5, -1)\), \(B(-4, -7)\) এবং লম্বকেন্দ্র \(O(0, 0)\) হলে, \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-2, 3)\)।
\(Q.3.(vi)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর, যা \(X\) অক্ষের সাথে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এবং মূলবিন্দু হতে \(4\) একক দূরে অবস্থিত।
উত্তরঃ \(\sqrt{3}x-y\pm 8=0\)।
\(Q.3.(vii)\) এমন একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর, যার ঢাল \(-1\) এবং মূলবিন্দু হতে যার দূরত্ব \(4\) একক।
[সিঃ ২০০৯, কুঃ ২০১২]
উত্তরঃ \(x+y\pm 4\sqrt{2}=0\)।
উত্তরঃ \(x+y+2=0\)।
\(Q.3.(ii)\) \(y=4\) এবং \(Y\) অক্ষের অন্তর্গত কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+y-4=0, \ x-y+4=0\)।
\(Q.3.(iii)\) একটি ত্রিভুজের বাহুত্রয়ের সমীকরণ \(x-2y=0\), \(3x+y=0\) এবং \(2x-3y+11=0\) হলে, এর লম্বকেন্দ্র নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((2, -3)\)।
\(Q.3.(iv)\) \(\triangle ABC\) এর শীর্ষ তিনটি \(A(4, 0)\), \(B(0, 2)\) ও \(C(3, 5)\) হলে, ত্রিভুজের লম্বকেন্দ্র নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((\frac{5}{3}, \frac{7}{3})\)।
\(Q.3.(v)\) \(\triangle ABC\) এর দুইটি শীর্ষ \(A(5, -1)\), \(B(-4, -7)\) এবং লম্বকেন্দ্র \(O(0, 0)\) হলে, \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-2, 3)\)।
\(Q.3.(vi)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর, যা \(X\) অক্ষের সাথে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এবং মূলবিন্দু হতে \(4\) একক দূরে অবস্থিত।
উত্তরঃ \(\sqrt{3}x-y\pm 8=0\)।
\(Q.3.(vii)\) এমন একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর, যার ঢাল \(-1\) এবং মূলবিন্দু হতে যার দূরত্ব \(4\) একক।
[সিঃ ২০০৯, কুঃ ২০১২]
উত্তরঃ \(x+y\pm 4\sqrt{2}=0\)।
\(Q.3.(viii)\) মূলবিন্দু হতে \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য \(P\) হলে, দেখাও যে, \(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=\frac{1}{P^{2}}\)।
\(Q.3.(ix)\) একটি বর্গক্ষেত্রের দুই বাহু \(6x-8y+5=0\) এবং \(3x-4y+10=0\) রেখা দুইটির উপর অবস্থিত এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{9}{4}\) বর্গ একক।
\(Q.3.(x)\) \((0, 0)\), \((0, 3)\) এবং \((4, 0)\) শীর্ষবিশিষ্ট ত্রিভুজের কোণসমুহের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে তারা সমবিন্দু ।
[ঢাঃ ২০০৪, কু ২০১০, সিঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(x-y=0, \ x+3y-4=0, \ 2x+y-3=0\)।
\(Q.3.(xi)\) যে ত্রিভুজের বাহুগুলির সমীকরণ \(x=3\), \(y=4\) এবং \(4x+3y=12\) তার কোণগুলির সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y=x+1, \ x+2y=8, \ 3x+y=9\)।
\(Q.3.(xii)\) \(5x+12y=15\) রেখা এবং অক্ষদুইটির সমম্বয়ে গঠিত ত্রিভুজের কোণতিনটির বহিঃদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5x-y-15=0, \ 8x-12y+15=0, \ x+y=0\)।
\(Q.3.(xiii)\) \(\triangle ABC\) এর দুইটি শীর্ষ \(A(5, 0)\), \(B(-4, -3)\) এবং অন্তঃকেন্দ্র \((1, 2)\) হলে, \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((1, 12)\)।
\(Q.3.(ix)\) একটি বর্গক্ষেত্রের দুই বাহু \(6x-8y+5=0\) এবং \(3x-4y+10=0\) রেখা দুইটির উপর অবস্থিত এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{9}{4}\) বর্গ একক।
\(Q.3.(x)\) \((0, 0)\), \((0, 3)\) এবং \((4, 0)\) শীর্ষবিশিষ্ট ত্রিভুজের কোণসমুহের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে তারা সমবিন্দু ।
[ঢাঃ ২০০৪, কু ২০১০, সিঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(x-y=0, \ x+3y-4=0, \ 2x+y-3=0\)।
\(Q.3.(xi)\) যে ত্রিভুজের বাহুগুলির সমীকরণ \(x=3\), \(y=4\) এবং \(4x+3y=12\) তার কোণগুলির সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y=x+1, \ x+2y=8, \ 3x+y=9\)।
\(Q.3.(xii)\) \(5x+12y=15\) রেখা এবং অক্ষদুইটির সমম্বয়ে গঠিত ত্রিভুজের কোণতিনটির বহিঃদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5x-y-15=0, \ 8x-12y+15=0, \ x+y=0\)।
\(Q.3.(xiii)\) \(\triangle ABC\) এর দুইটি শীর্ষ \(A(5, 0)\), \(B(-4, -3)\) এবং অন্তঃকেন্দ্র \((1, 2)\) হলে, \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((1, 12)\)।
\(Q.3.(i)\) \(4y-3x=3\) এবং \(3y-4x=5\) রেখা দুইটির অন্তর্গত স্থুলকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+y+2=0\)।
উত্তরঃ \(x+y+2=0\)।
সমাধানঃ
মনে করি,
\(4y-3x-3=0 ........(1)\)
\(3y-4x-5=0 ........(2)\)
এখন,
\(a_{1}=-3, b_{1}=4, a_{2}=-4, b_{2}=3\)
\(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=(-3).(-4)+4.3=12+12=24>0 \)
\((1)\) ও \( (2)\) এর অন্তর্ভুক্ত স্থুলকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{4y-3x-3}{\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}}=\frac{3y-4x-5}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{4y-3x-3}{\sqrt{16+9}}=\frac{3y-4x-5}{\sqrt{9+16}}\)
\(\Rightarrow \frac{4y-3x-3}{\sqrt{25}}=\frac{3y-4x-5}{\sqrt{25}}\)
\(\Rightarrow 4y-3x-3=3y-4x-5\)
\(\Rightarrow 4y-3x-3-3y+4x+5=0\)
\(\Rightarrow x+y+2=0\)
ইহাই নির্ণেয় সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ।
\(4y-3x-3=0 ........(1)\)
\(3y-4x-5=0 ........(2)\)
এখন,
\(a_{1}=-3, b_{1}=4, a_{2}=-4, b_{2}=3\)
\(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=(-3).(-4)+4.3=12+12=24>0 \)
\((1)\) ও \( (2)\) এর অন্তর্ভুক্ত স্থুলকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{4y-3x-3}{\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}}=\frac{3y-4x-5}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{4y-3x-3}{\sqrt{16+9}}=\frac{3y-4x-5}{\sqrt{9+16}}\)
\(\Rightarrow \frac{4y-3x-3}{\sqrt{25}}=\frac{3y-4x-5}{\sqrt{25}}\)
\(\Rightarrow 4y-3x-3=3y-4x-5\)
\(\Rightarrow 4y-3x-3-3y+4x+5=0\)
\(\Rightarrow x+y+2=0\)
ইহাই নির্ণেয় সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ।
\(Q.3.(ii)\) \(y=4\) এবং \(Y\) অক্ষের অন্তর্গত কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+y-4=0, \ x-y+4=0\)।
উত্তরঃ \(x+y-4=0, \ x-y+4=0\)।
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y-4=0 ........(1)\)
এবং \(Y\) অক্ষের সমীকরণ
\(x=0 ........(2)\)
\((1)\) ও \( (2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{y-4}{\sqrt{0^{2}+1^{2}}}=\pm \frac{x}{\sqrt{1^{2}+0^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{y-4}{\sqrt{0+1}}=\pm \frac{x}{\sqrt{1+0}}\)
\(\Rightarrow \frac{y-4}{\sqrt{1}}=\pm \frac{x}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow y-4=\pm x\)
\(\Rightarrow y-4=x\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow x=y-4\)
\(\Rightarrow x-y+4=0\)
আবার,
\(y-4=-x\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow x+y-4=0\)
\(\therefore \) সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ, \(x+y-4=0, \ x-y+4=0\)।
\(y-4=0 ........(1)\)
এবং \(Y\) অক্ষের সমীকরণ
\(x=0 ........(2)\)
\((1)\) ও \( (2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{y-4}{\sqrt{0^{2}+1^{2}}}=\pm \frac{x}{\sqrt{1^{2}+0^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{y-4}{\sqrt{0+1}}=\pm \frac{x}{\sqrt{1+0}}\)
\(\Rightarrow \frac{y-4}{\sqrt{1}}=\pm \frac{x}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow y-4=\pm x\)
\(\Rightarrow y-4=x\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow x=y-4\)
\(\Rightarrow x-y+4=0\)
আবার,
\(y-4=-x\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow x+y-4=0\)
\(\therefore \) সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ, \(x+y-4=0, \ x-y+4=0\)।
\(Q.3.(iii)\) একটি ত্রিভুজের বাহুত্রয়ের সমীকরণ \(x-2y=0\), \(3x+y=0\) এবং \(2x-3y+11=0\) হলে, এর লম্বকেন্দ্র নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((2, -3)\)।
উত্তরঃ \((2, -3)\)।
সমাধানঃ
মনে করি,
\(x-2y=0 ........(1)\)
\(3x+y=0 ........(2)\)
\(2x-3y+11=0 ........(3)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু \(O(0, 0)\) ➜ \(\because \) উভয়েই মূলবিন্দুগামী ।
\(O\) হতে \(AB\) এর উপর \(OE\) লম্ব আঁকি।
\((3)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x+2y+k=0 ........(4)\)
\((4)\) নং সরলরেখা মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore 3.0+2.0+k=0 \)
\(\Rightarrow 0+0+k=0 \)
\(\therefore k=0 \)
\(k\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে,
\(3x+2y=0 ........(5)\) যা \(OE\) এর সমীকরণ ।
আবার,
\((2)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((2)\times 3+(3)\) এর সাহায্যে,
\(9x+3y+2x-3y+11=0 \)
\(\Rightarrow 11x+11=0 \)
\(\Rightarrow 11x=-11 \)
\(\Rightarrow x=\frac{-11}{11} \)
\(\Rightarrow x=-1 \)
\((2)\) হতে,
\(3.(-1)+y=0\)
\(\Rightarrow -3+y=0\)
\(\therefore y=3\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \(A(-1, 3)\)
\(A\) হতে \(BO\) এর বর্ধিতাংশের উপর \(AD\) লম্ব আঁকি।
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x+y+k=0 ........(6)\)
\((6)\) নং সরলরেখা \(A(-1, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore 2.(-1)+3+k=0 \)
\(\Rightarrow -2+3+k=0 \)
\(\Rightarrow 1+k=0 \)
\(\Rightarrow k=-1 \)
\(k\) এর মান \((6)\) এ বসিয়ে,
\(2x+y-1=0 ........(7)\) যা \(AD\) এর সমীকরণ ।
\(AD\) এবং \(EO\) এর বর্ধিতাংশের ছেদবিন্দু হবে \(\triangle ABC\) এর লম্বকেন্দ্র।
\((5)\) ও \((7)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((5)-(7)\times 2\) এর সাহায্যে,
\(3x+2y-4x-2y+2=0\)
\(\Rightarrow -x+2=0\)
\(\Rightarrow 2=x\)
\(\therefore x=2\)
\((5)\) হতে,
\(3.2+2y=0\)
\(\Rightarrow 6+2y=0\)
\(\Rightarrow 2y=-6\)
\(\Rightarrow y=\frac{-6}{2}\)
\(\therefore y=-3\)
\(\therefore \) নির্ণেয় লম্বকেন্দ্র \((2, -3)\)।
\(x-2y=0 ........(1)\)
\(3x+y=0 ........(2)\)
\(2x-3y+11=0 ........(3)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু \(O(0, 0)\) ➜ \(\because \) উভয়েই মূলবিন্দুগামী ।
\(O\) হতে \(AB\) এর উপর \(OE\) লম্ব আঁকি।
\((3)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x+2y+k=0 ........(4)\)
\((4)\) নং সরলরেখা মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore 3.0+2.0+k=0 \)
\(\Rightarrow 0+0+k=0 \)
\(\therefore k=0 \)
\(k\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে,
\(3x+2y=0 ........(5)\) যা \(OE\) এর সমীকরণ ।
আবার,
\((2)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((2)\times 3+(3)\) এর সাহায্যে,
\(9x+3y+2x-3y+11=0 \)
\(\Rightarrow 11x+11=0 \)
\(\Rightarrow 11x=-11 \)
\(\Rightarrow x=\frac{-11}{11} \)
\(\Rightarrow x=-1 \)
\((2)\) হতে,
\(3.(-1)+y=0\)
\(\Rightarrow -3+y=0\)
\(\therefore y=3\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \(A(-1, 3)\)
\(A\) হতে \(BO\) এর বর্ধিতাংশের উপর \(AD\) লম্ব আঁকি।
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x+y+k=0 ........(6)\)
\((6)\) নং সরলরেখা \(A(-1, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore 2.(-1)+3+k=0 \)
\(\Rightarrow -2+3+k=0 \)
\(\Rightarrow 1+k=0 \)
\(\Rightarrow k=-1 \)
\(k\) এর মান \((6)\) এ বসিয়ে,
\(2x+y-1=0 ........(7)\) যা \(AD\) এর সমীকরণ ।
\(AD\) এবং \(EO\) এর বর্ধিতাংশের ছেদবিন্দু হবে \(\triangle ABC\) এর লম্বকেন্দ্র।
\((5)\) ও \((7)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((5)-(7)\times 2\) এর সাহায্যে,
\(3x+2y-4x-2y+2=0\)
\(\Rightarrow -x+2=0\)
\(\Rightarrow 2=x\)
\(\therefore x=2\)
\((5)\) হতে,
\(3.2+2y=0\)
\(\Rightarrow 6+2y=0\)
\(\Rightarrow 2y=-6\)
\(\Rightarrow y=\frac{-6}{2}\)
\(\therefore y=-3\)
\(\therefore \) নির্ণেয় লম্বকেন্দ্র \((2, -3)\)।
\(Q.3.(iv)\) \(\triangle ABC\) এর শীর্ষ তিনটি \(A(4, 0)\), \(B(0, 2)\) ও \(C(3, 5)\) হলে, ত্রিভুজের লম্বকেন্দ্র নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((\frac{5}{3}, \frac{7}{3})\)।
উত্তরঃ \((\frac{5}{3}, \frac{7}{3})\)।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(\triangle ABC\) এর শীর্ষ তিনটি \(A(4, 0)\), \(B(0, 2)\) ও \(C(3, 5)\)
\(A\) হতে \(BC\) এর উপর \(AD\) এবং \(C\) হতে \(AB\) এর উপর \(CF\) লম্ব আঁকি।
\(AD\) এবং \(CF\) এর ছেদবিন্দু হবে \(\triangle ABC\) এর লম্বকেন্দ্র।
\(AB\) এর ঢাল \(=\frac{0-2}{4-0}\)
\(=\frac{-2}{4}\)
\(=\frac{-1}{2}\)
\(=-\frac{1}{2}\)
\(\therefore AB\) এর উপর লম্ব সরলরেখার ঢাল \(=2\)
\(\therefore AB\) এর উপর লম্ব এবং \(C(3, 5)\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-5=2(x-3)\)
\(\Rightarrow 2(x-3)=y-5\)
\(\Rightarrow 2x-6=y-5\)
\(\Rightarrow 2x-6-y+5=0\)
\(\therefore 2x-y-1=0 ...........(1)\) যা \(CF\) এর সমীকরণ ।
\(BC\) এর ঢাল \(=\frac{2-5}{0-3}\)
\(=\frac{-3}{-3}\)
\(=1\)
\(\therefore BC\) এর উপর লম্ব সরলরেখার ঢাল \(=-1\)
\(\therefore BC\) এর উপর লম্ব এবং \(A(4, 0)\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-0=-1(x-4)\)
\(\Rightarrow y=-x+4\)
\(\Rightarrow x+y-4=0 ...........(2)\) যা \(AD\) এর সমীকরণ ।
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((1)+(2)\) এর সাহায্যে,
\(2x-y-1+x+y-4=0\)
\(\Rightarrow 3x-5=0\)
\(\Rightarrow 3x=5\)
\(\therefore x=\frac{5}{3}\)
\((2)\) হতে,
\(\frac{5}{3}+y-4=0 \)
\(\Rightarrow y=4-\frac{5}{3}\)
\(\Rightarrow y=\frac{12-5}{3}\)
\(\therefore y=\frac{7}{3}\)
\(\therefore \) ত্রিভুজের লম্বকেন্দ্র \((\frac{5}{3}, \frac{7}{3})\)।
\(\triangle ABC\) এর শীর্ষ তিনটি \(A(4, 0)\), \(B(0, 2)\) ও \(C(3, 5)\)
\(A\) হতে \(BC\) এর উপর \(AD\) এবং \(C\) হতে \(AB\) এর উপর \(CF\) লম্ব আঁকি।
\(AD\) এবং \(CF\) এর ছেদবিন্দু হবে \(\triangle ABC\) এর লম্বকেন্দ্র।
\(AB\) এর ঢাল \(=\frac{0-2}{4-0}\)
\(=\frac{-2}{4}\)
\(=\frac{-1}{2}\)
\(=-\frac{1}{2}\)
\(\therefore AB\) এর উপর লম্ব সরলরেখার ঢাল \(=2\)
\(\therefore AB\) এর উপর লম্ব এবং \(C(3, 5)\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-5=2(x-3)\)
\(\Rightarrow 2(x-3)=y-5\)
\(\Rightarrow 2x-6=y-5\)
\(\Rightarrow 2x-6-y+5=0\)
\(\therefore 2x-y-1=0 ...........(1)\) যা \(CF\) এর সমীকরণ ।
\(BC\) এর ঢাল \(=\frac{2-5}{0-3}\)
\(=\frac{-3}{-3}\)
\(=1\)
\(\therefore BC\) এর উপর লম্ব সরলরেখার ঢাল \(=-1\)
\(\therefore BC\) এর উপর লম্ব এবং \(A(4, 0)\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-0=-1(x-4)\)
\(\Rightarrow y=-x+4\)
\(\Rightarrow x+y-4=0 ...........(2)\) যা \(AD\) এর সমীকরণ ।
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((1)+(2)\) এর সাহায্যে,
\(2x-y-1+x+y-4=0\)
\(\Rightarrow 3x-5=0\)
\(\Rightarrow 3x=5\)
\(\therefore x=\frac{5}{3}\)
\((2)\) হতে,
\(\frac{5}{3}+y-4=0 \)
\(\Rightarrow y=4-\frac{5}{3}\)
\(\Rightarrow y=\frac{12-5}{3}\)
\(\therefore y=\frac{7}{3}\)
\(\therefore \) ত্রিভুজের লম্বকেন্দ্র \((\frac{5}{3}, \frac{7}{3})\)।
\(Q.3.(v)\) \(\triangle ABC\) এর দুইটি শীর্ষ \(A(5, -1)\), \(B(-4, -7)\) এবং লম্বকেন্দ্র \(O(0, 0)\) হলে, \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-2, 3)\)।
উত্তরঃ \((-2, 3)\)।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(\triangle ABC\) এর দুইটি শীর্ষ \(A(5, -1)\), \(B(-4, -7)\)
ধরি, তৃতীয় শীর্ষ \(C(x, y)\)
\(A\) হতে \(BC\) এর উপর \(AD\) এবং \(C\) হতে \(AB\) এর উপর \(CF\) লম্ব আঁকি।
\(AD\) এবং \(CF\) এর ছেদবিন্দু \(O(0, 0)\) যা \(\triangle ABC\) এর লম্বকেন্দ্র।
\(AB\) এর ঢাল \(=\frac{-1+7}{5+4}\)
\(=\frac{6}{9}\)
\(=\frac{2}{3}\)
\(CF\) তথা \(CO\) এর ঢাল \(=\frac{y-0}{x-0}\)
\(=\frac{y}{x}\)
\(AB\) ও \(CF\) পরস্পর লম্ব।
\(\therefore \frac{y}{x}\times \frac{2}{3}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{2y}{3x}=-1\)
\(\Rightarrow 2y=-3x\)
\(\therefore 3x+2y=0 .........(1)\)
আবার,
\(BC\) এর ঢাল \(=\frac{-7-y}{-4-x}\)
\(=\frac{-(7+y)}{-(4+x)}\)
\(=\frac{7+y}{4+x}\)
\(AD\) তথা \(AO\) এর ঢাল \(=\frac{-1-0}{5-0}\)
\(=\frac{-1}{5}\)
\(=-\frac{1}{5}\)
\(BC\) ও \(AD\) পরস্পর লম্ব।
\(\therefore \frac{7+y}{4+x}\times -\frac{1}{5}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{7+y}{4+x}\times \frac{1}{5}=1\)
\(\Rightarrow \frac{7+y}{20+5x}=1\)
\(\Rightarrow 20+5x=y+7\)
\(\Rightarrow 20+5x-y-7=0\)
\(\Rightarrow 5x-y+13=0 ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((2)\times 2+(1)\) এর সাহায্যে,
\(10x-2y+26+3x+2y=0\)
\(\Rightarrow 13x+26=0\)
\(\Rightarrow 13x=-26\)
\(\Rightarrow x=\frac{-26}{13}\)
\(\therefore x=-2\)
\((2)\) হতে,
\(5(-2)-y+13=0\)
\(\Rightarrow -10-y+13=0\)
\(\Rightarrow -y+3=0\)
\(\Rightarrow -y=-3\)
\(\therefore y=3\)
\(\therefore \) তৃতীয় শীর্ষ \(C(-2, 3)\).
\(\triangle ABC\) এর দুইটি শীর্ষ \(A(5, -1)\), \(B(-4, -7)\)
ধরি, তৃতীয় শীর্ষ \(C(x, y)\)
\(A\) হতে \(BC\) এর উপর \(AD\) এবং \(C\) হতে \(AB\) এর উপর \(CF\) লম্ব আঁকি।
\(AD\) এবং \(CF\) এর ছেদবিন্দু \(O(0, 0)\) যা \(\triangle ABC\) এর লম্বকেন্দ্র।
\(AB\) এর ঢাল \(=\frac{-1+7}{5+4}\)
\(=\frac{6}{9}\)
\(=\frac{2}{3}\)
\(CF\) তথা \(CO\) এর ঢাল \(=\frac{y-0}{x-0}\)
\(=\frac{y}{x}\)
\(AB\) ও \(CF\) পরস্পর লম্ব।
\(\therefore \frac{y}{x}\times \frac{2}{3}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{2y}{3x}=-1\)
\(\Rightarrow 2y=-3x\)
\(\therefore 3x+2y=0 .........(1)\)
আবার,
\(BC\) এর ঢাল \(=\frac{-7-y}{-4-x}\)
\(=\frac{-(7+y)}{-(4+x)}\)
\(=\frac{7+y}{4+x}\)
\(AD\) তথা \(AO\) এর ঢাল \(=\frac{-1-0}{5-0}\)
\(=\frac{-1}{5}\)
\(=-\frac{1}{5}\)
\(BC\) ও \(AD\) পরস্পর লম্ব।
\(\therefore \frac{7+y}{4+x}\times -\frac{1}{5}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{7+y}{4+x}\times \frac{1}{5}=1\)
\(\Rightarrow \frac{7+y}{20+5x}=1\)
\(\Rightarrow 20+5x=y+7\)
\(\Rightarrow 20+5x-y-7=0\)
\(\Rightarrow 5x-y+13=0 ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((2)\times 2+(1)\) এর সাহায্যে,
\(10x-2y+26+3x+2y=0\)
\(\Rightarrow 13x+26=0\)
\(\Rightarrow 13x=-26\)
\(\Rightarrow x=\frac{-26}{13}\)
\(\therefore x=-2\)
\((2)\) হতে,
\(5(-2)-y+13=0\)
\(\Rightarrow -10-y+13=0\)
\(\Rightarrow -y+3=0\)
\(\Rightarrow -y=-3\)
\(\therefore y=3\)
\(\therefore \) তৃতীয় শীর্ষ \(C(-2, 3)\).
\(Q.3.(vi)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর, যা \(X\) অক্ষের সাথে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এবং মূলবিন্দু হতে \(4\) একক দূরে অবস্থিত।
উত্তরঃ \(\sqrt{3}x-y\pm 8=0\)।
উত্তরঃ \(\sqrt{3}x-y\pm 8=0\)।
সমাধানঃ
দেওয়াআছে,
\(\theta=60^{o}\)
\(\therefore\) সরলরেখটির ঢাল \(m=\tan\theta\)
\(=\tan60^{o}\)
\(=\sqrt{3}\)
\(\therefore\) সরলরেখটির সমীকরণ \(y=mx+c\)
\(\Rightarrow y=\sqrt{3} x+c\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}x+c=y\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}x-y+c=0 ..........(1)\)
মূলবিন্দু হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{|c|}{\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(-1)^{2}}}\)
\(=\frac{|c|}{\sqrt{3+1}}\)
\(=\frac{|c|}{\sqrt{4}}\)
\(=\frac{|c|}{2}\)
শর্তমতে,
\(d=4\)
\(\Rightarrow \frac{|c|}{2}=4\)
\(\Rightarrow \pm \frac{c}{2}=4\)
\(\Rightarrow c=\pm 8\)
\(c\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(\sqrt{3}x-y\pm 8=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(\theta=60^{o}\)
\(\therefore\) সরলরেখটির ঢাল \(m=\tan\theta\)
\(=\tan60^{o}\)
\(=\sqrt{3}\)
\(\therefore\) সরলরেখটির সমীকরণ \(y=mx+c\)
\(\Rightarrow y=\sqrt{3} x+c\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}x+c=y\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}x-y+c=0 ..........(1)\)
মূলবিন্দু হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{|c|}{\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(-1)^{2}}}\)
\(=\frac{|c|}{\sqrt{3+1}}\)
\(=\frac{|c|}{\sqrt{4}}\)
\(=\frac{|c|}{2}\)
শর্তমতে,
\(d=4\)
\(\Rightarrow \frac{|c|}{2}=4\)
\(\Rightarrow \pm \frac{c}{2}=4\)
\(\Rightarrow c=\pm 8\)
\(c\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(\sqrt{3}x-y\pm 8=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(Q.3.(viii)\) মূলবিন্দু হতে \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য \(P\) হলে, দেখাও যে, \(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=\frac{1}{P^{2}}\)।
সমাধানঃ
মনে করি,
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}-1=0 ........(1)\)
মূলবিন্দু হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{|-1|}{\sqrt{(\frac{1}{a})^{2}+(\frac{1}{b})^{2}}}\) ➜ \(\because d=\frac{|c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{\frac{b^{2}+a^{2}}{a^{2}b^{2}}}}\)
\(=\frac{1}{\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{ab}}\)
\(=\frac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
শর্তমতে,
\(d=P\)
\(\Rightarrow \frac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=P\)
\(\Rightarrow \frac{a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}=P^{2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow a^{2}b^{2}=P^{2}(a^{2}+b^{2})\)
\(\Rightarrow \frac{a^{2}b^{2}}{a^{2}b^{2}P^{2}}=\frac{P^{2}(a^{2}+b^{2})}{a^{2}b^{2}P^{2}}\) ➜ উভয় পার্শে \(a^{2}b^{2}P^{2}\) দ্বারা ভাগ করে ।
\(\Rightarrow \frac{1}{P^{2}}=\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}b^{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{P^{2}}=\frac{(a^{2}}{a^{2}b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}b^{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{P^{2}}=\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{a^{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{a^{2}}=\frac{1}{P^{2}}\)
\(\therefore \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=\frac{1}{P^{2}}\)
[ দেখানো হলো। ]
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}-1=0 ........(1)\)
মূলবিন্দু হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{|-1|}{\sqrt{(\frac{1}{a})^{2}+(\frac{1}{b})^{2}}}\) ➜ \(\because d=\frac{|c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{\frac{b^{2}+a^{2}}{a^{2}b^{2}}}}\)
\(=\frac{1}{\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{ab}}\)
\(=\frac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
শর্তমতে,
\(d=P\)
\(\Rightarrow \frac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=P\)
\(\Rightarrow \frac{a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}=P^{2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow a^{2}b^{2}=P^{2}(a^{2}+b^{2})\)
\(\Rightarrow \frac{a^{2}b^{2}}{a^{2}b^{2}P^{2}}=\frac{P^{2}(a^{2}+b^{2})}{a^{2}b^{2}P^{2}}\) ➜ উভয় পার্শে \(a^{2}b^{2}P^{2}\) দ্বারা ভাগ করে ।
\(\Rightarrow \frac{1}{P^{2}}=\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}b^{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{P^{2}}=\frac{(a^{2}}{a^{2}b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}b^{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{P^{2}}=\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{a^{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{a^{2}}=\frac{1}{P^{2}}\)
\(\therefore \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=\frac{1}{P^{2}}\)
[ দেখানো হলো। ]
\(Q.3.(ix)\) একটি বর্গক্ষেত্রের দুই বাহু \(6x-8y+5=0\) এবং \(3x-4y+10=0\) রেখা দুইটির উপর অবস্থিত এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{9}{4}\) বর্গ একক।
উত্তরঃ \(\frac{9}{4}\) বর্গ একক।
সমাধানঃ
\(6x-8y+5=0\)
\(\Rightarrow 2(3x-4y+\frac{5}{2})=0\)
\(\Rightarrow 3x-4y+\frac{5}{2}=\frac{0}{2}\)
মনে করি,
\(\Rightarrow 3x-4y+\frac{5}{2}=0 .......... (1)\)
\(3x-4y+10=0 .......... (2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর মধ্যবর্তী দূরত্ব,
\(d=\frac{|\frac{5}{2}-10|}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}\) ➜ \(\because d=\frac{|c_{1}-c_{2}|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(d=\frac{|\frac{5-20}{2}|}{\sqrt{9+16}}\)
\(d=\frac{|\frac{-15}{2}|}{\sqrt{25}}\)
\(d=\frac{|-\frac{15}{2}|}{5}\)
\(d=\frac{\frac{15}{2}}{5}\)
\(d=\frac{15}{2}\times \frac{1}{5}\)
\(d=\frac{3}{2}\)
শর্তমতে,
বর্গের একবাহুর দৈর্ঘ্য \(=d\)
বর্গের ক্ষেত্রফল \(=d^{2}\)
\(=(\frac{3}{2})^{2}\)
\(=\frac{9}{4}\) বর্গ একক।
\(\Rightarrow 2(3x-4y+\frac{5}{2})=0\)
\(\Rightarrow 3x-4y+\frac{5}{2}=\frac{0}{2}\)
মনে করি,
\(\Rightarrow 3x-4y+\frac{5}{2}=0 .......... (1)\)
\(3x-4y+10=0 .......... (2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর মধ্যবর্তী দূরত্ব,
\(d=\frac{|\frac{5}{2}-10|}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}\) ➜ \(\because d=\frac{|c_{1}-c_{2}|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(d=\frac{|\frac{5-20}{2}|}{\sqrt{9+16}}\)
\(d=\frac{|\frac{-15}{2}|}{\sqrt{25}}\)
\(d=\frac{|-\frac{15}{2}|}{5}\)
\(d=\frac{\frac{15}{2}}{5}\)
\(d=\frac{15}{2}\times \frac{1}{5}\)
\(d=\frac{3}{2}\)
শর্তমতে,
বর্গের একবাহুর দৈর্ঘ্য \(=d\)
বর্গের ক্ষেত্রফল \(=d^{2}\)
\(=(\frac{3}{2})^{2}\)
\(=\frac{9}{4}\) বর্গ একক।
\(Q.3.(x)\) \((0, 0)\), \((0, 3)\) এবং \((4, 0)\) শীর্ষবিশিষ্ট ত্রিভুজের কোণসমুহের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে তারা সমবিন্দু ।
[ঢাঃ ২০০৪, কু ২০১০, সিঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(x-y=0, \ x+3y-4=0, \ 2x+y-3=0\)।
[ঢাঃ ২০০৪, কু ২০১০, সিঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(x-y=0, \ x+3y-4=0, \ 2x+y-3=0\)।
সমাধানঃ
মনে করি, 
\(O(0, 0)\), \(A(0, 3)\) এবং \(B(4, 0)\).
\(OA\) বাহুর সমীকরণ,
\(\frac{x-0}{0-0}=\frac{y-0}{0-3}\) ➜\(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{0}=\frac{y}{-3}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{0}=-\frac{y}{3}\)
\(\Rightarrow 3x=-y\times 0\)
\(\Rightarrow 3x=0\)
\(\therefore x=0 .......(1)\)
\(AB\) বাহুর সমীকরণ,
\(\frac{x-0}{0-4}=\frac{y-3}{3-0}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-4}=\frac{y-3}{3}\)
\(\Rightarrow 3x=-4(y-3)\)
\(\Rightarrow 3x=-4y+12\)
\(\Rightarrow 3x+4y-12=0 .........(2)\)
\(OB\) বাহুর সমীকরণ,
\(\frac{x-0}{0-4}=\frac{y-0}{0-0}\) ➜\(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-4}=\frac{y}{0}\)
\(\Rightarrow x\times 0=y\times -4\)
\(\Rightarrow 0=-4y\)
\(\Rightarrow -4y=0\)
\(\Rightarrow y=0 .......(3)\)
চিত্র হতে ইহা স্পষ্ট যে,
\((1)\) ও \((2)\) এর মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডক নির্ণয় করতে হবে।
এখানে,
\(a_{1}=1, b_{1}=0, a_{2}=3, b_{2}=4 \)
\(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=1.3+0.4=3+0=3>0 \)
\(\therefore \) সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{x}{\sqrt{1^{2}+0^{2}}}=-\frac{3x+4y-12}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}\) ➜\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\) \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\) \((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, \(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=\pm \frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\).
\(\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{1+0}}=-\frac{3x+4y-12}{\sqrt{9+16}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{1}}=-\frac{3x+4y-12}{\sqrt{25}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{1}=-\frac{3x+4y-12}{5}\)
\(\Rightarrow 5x=-(3x+4y-12)\)
\(\Rightarrow 5x=-3x-4y+12\)
\(\Rightarrow 5x+3x+4y-12=0\)
\(\Rightarrow 8x+4y-12=0\)
\(\Rightarrow 4(2x+y-3)=0\)
\(\Rightarrow 2x+y-3=\frac{0}{4}\)
\(\therefore 2x+y-3=0\)
চিত্র হতে ইহা স্পষ্ট যে,
\((2)\) ও \((3)\) এর মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডক নির্ণয় করতে হবে।
এখানে,
\(a_{1}=3, b_{1}=4, a_{2}=0, b_{2}=1 \)
\(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=1.0+4.1=0+4=4>0 \)
\(\therefore \) সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{3x+4y-12}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=-\frac{y}{\sqrt{0^{2}+1^{2}}}\) ➜\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\) \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\) \((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, \(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=\pm \frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\).
\(\Rightarrow \frac{3x+4y-12}{\sqrt{9+16}}=-\frac{y}{\sqrt{0+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+4y-12}{\sqrt{25}}=-\frac{y}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+4y-12}{5}=-\frac{y}{1}\)
\(\Rightarrow 3x+4y-12=-5y\)
\(\Rightarrow 3x+4y-12+5y=0\)
\(\Rightarrow 3x+9y-12=0\)
\(\Rightarrow 3(x+3y-4)=0\)
\(\Rightarrow x+3y-4=\frac{0}{3}\)
\(\Rightarrow x+3y-4=0\)
চিত্র হতে ইহা স্পষ্ট যে,
\((1)\) ও \((3)\) পরস্পর লম্ব,
এদের মধ্যবর্তী কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{x}{\sqrt{1^{2}+0^{2}}}=\pm \frac{y}{\sqrt{0^{2}+1^{2}}}\) ➜\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\) \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\) \((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, \(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=\pm \frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\).
\(\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{1+0}}=\pm \frac{y}{\sqrt{0+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{1}}=\pm \frac{y}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{1}=\pm \frac{y}{1}\)
\(\Rightarrow x=\pm y\)
\(\Rightarrow x=y\) ➜ চিত্রের সাহায্যে ।
\(\therefore x-y=0\)
\(\therefore \) সমদ্বিখন্দক ত্রয়ের সমীকরণ,
\(x-y=0, \ x+3y-4=0, \ 2x+y-3=0\)।
আবার,
সমদ্বিখন্দকগুলি হতে পাই,
\(a_{1}=1, b_{1}=-1, c_{1}=0\)
\(a_{2}=1, b_{2}=3, c_{2}=-4\)
\(a_{3}=2, b_{3}=1, c_{3}=-3\)
\(\therefore \Delta=\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|\) ➜\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\) \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\) \(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0 ........(3)\) \((1)\) , \((2)\) , \((3)\) নং সরলরেখাত্রয় সমবিন্দু হবে যদি , \(\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|=0\) হয় ।
\(=\left|\begin{array}{c}1 \ \ -1 \ \ \ \ 0\\1 \ \ \ \ 3 \ \ -4\\2 \ \ \ \ 1 \ \ -3\end{array}\right|\)
\(=1\{3.(-3)-(-4).1\}-(-1)\{1.(-3)-(-4).2\}+0\)
\(=1\{-9+4\}+\{-3+8\}+0\)
\(=1\{-5\}+\{5\}+0\)
\(=-5+5+0\)
\(=0\)
\(\because \Delta=0 \therefore \) সমদ্বিখন্দকগুলি সমবিন্দু।
\(O(0, 0)\), \(A(0, 3)\) এবং \(B(4, 0)\).
\(OA\) বাহুর সমীকরণ,
\(\frac{x-0}{0-0}=\frac{y-0}{0-3}\) ➜\(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{0}=\frac{y}{-3}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{0}=-\frac{y}{3}\)
\(\Rightarrow 3x=-y\times 0\)
\(\Rightarrow 3x=0\)
\(\therefore x=0 .......(1)\)
\(AB\) বাহুর সমীকরণ,
\(\frac{x-0}{0-4}=\frac{y-3}{3-0}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-4}=\frac{y-3}{3}\)
\(\Rightarrow 3x=-4(y-3)\)
\(\Rightarrow 3x=-4y+12\)
\(\Rightarrow 3x+4y-12=0 .........(2)\)
\(OB\) বাহুর সমীকরণ,
\(\frac{x-0}{0-4}=\frac{y-0}{0-0}\) ➜\(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-4}=\frac{y}{0}\)
\(\Rightarrow x\times 0=y\times -4\)
\(\Rightarrow 0=-4y\)
\(\Rightarrow -4y=0\)
\(\Rightarrow y=0 .......(3)\)
চিত্র হতে ইহা স্পষ্ট যে,
\((1)\) ও \((2)\) এর মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডক নির্ণয় করতে হবে।
এখানে,
\(a_{1}=1, b_{1}=0, a_{2}=3, b_{2}=4 \)
\(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=1.3+0.4=3+0=3>0 \)
\(\therefore \) সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{x}{\sqrt{1^{2}+0^{2}}}=-\frac{3x+4y-12}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}\) ➜\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\) \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\) \((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, \(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=\pm \frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\).
\(\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{1+0}}=-\frac{3x+4y-12}{\sqrt{9+16}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{1}}=-\frac{3x+4y-12}{\sqrt{25}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{1}=-\frac{3x+4y-12}{5}\)
\(\Rightarrow 5x=-(3x+4y-12)\)
\(\Rightarrow 5x=-3x-4y+12\)
\(\Rightarrow 5x+3x+4y-12=0\)
\(\Rightarrow 8x+4y-12=0\)
\(\Rightarrow 4(2x+y-3)=0\)
\(\Rightarrow 2x+y-3=\frac{0}{4}\)
\(\therefore 2x+y-3=0\)
চিত্র হতে ইহা স্পষ্ট যে,
\((2)\) ও \((3)\) এর মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডক নির্ণয় করতে হবে।
এখানে,
\(a_{1}=3, b_{1}=4, a_{2}=0, b_{2}=1 \)
\(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=1.0+4.1=0+4=4>0 \)
\(\therefore \) সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{3x+4y-12}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=-\frac{y}{\sqrt{0^{2}+1^{2}}}\) ➜\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\) \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\) \((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, \(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=\pm \frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\).
\(\Rightarrow \frac{3x+4y-12}{\sqrt{9+16}}=-\frac{y}{\sqrt{0+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+4y-12}{\sqrt{25}}=-\frac{y}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+4y-12}{5}=-\frac{y}{1}\)
\(\Rightarrow 3x+4y-12=-5y\)
\(\Rightarrow 3x+4y-12+5y=0\)
\(\Rightarrow 3x+9y-12=0\)
\(\Rightarrow 3(x+3y-4)=0\)
\(\Rightarrow x+3y-4=\frac{0}{3}\)
\(\Rightarrow x+3y-4=0\)
চিত্র হতে ইহা স্পষ্ট যে,
\((1)\) ও \((3)\) পরস্পর লম্ব,
এদের মধ্যবর্তী কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{x}{\sqrt{1^{2}+0^{2}}}=\pm \frac{y}{\sqrt{0^{2}+1^{2}}}\) ➜\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\) \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\) \((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, \(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=\pm \frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\).
\(\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{1+0}}=\pm \frac{y}{\sqrt{0+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{1}}=\pm \frac{y}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{1}=\pm \frac{y}{1}\)
\(\Rightarrow x=\pm y\)
\(\Rightarrow x=y\) ➜ চিত্রের সাহায্যে ।
\(\therefore x-y=0\)
\(\therefore \) সমদ্বিখন্দক ত্রয়ের সমীকরণ,
\(x-y=0, \ x+3y-4=0, \ 2x+y-3=0\)।
আবার,
সমদ্বিখন্দকগুলি হতে পাই,
\(a_{1}=1, b_{1}=-1, c_{1}=0\)
\(a_{2}=1, b_{2}=3, c_{2}=-4\)
\(a_{3}=2, b_{3}=1, c_{3}=-3\)
\(\therefore \Delta=\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|\) ➜\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\) \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\) \(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0 ........(3)\) \((1)\) , \((2)\) , \((3)\) নং সরলরেখাত্রয় সমবিন্দু হবে যদি , \(\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|=0\) হয় ।
\(=\left|\begin{array}{c}1 \ \ -1 \ \ \ \ 0\\1 \ \ \ \ 3 \ \ -4\\2 \ \ \ \ 1 \ \ -3\end{array}\right|\)
\(=1\{3.(-3)-(-4).1\}-(-1)\{1.(-3)-(-4).2\}+0\)
\(=1\{-9+4\}+\{-3+8\}+0\)
\(=1\{-5\}+\{5\}+0\)
\(=-5+5+0\)
\(=0\)
\(\because \Delta=0 \therefore \) সমদ্বিখন্দকগুলি সমবিন্দু।
\(Q.3.(xi)\) যে ত্রিভুজের বাহুগুলির সমীকরণ \(x=3\), \(y=4\) এবং \(4x+3y=12\) তার কোণগুলির সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y=x+1, \ x+2y=8, \ 3x+y=9\)।
উত্তরঃ \(y=x+1, \ x+2y=8, \ 3x+y=9\)।
সমাধানঃ
মনে করি,
\(x-3=0 ...........(1)\)
\(y-4=0 ...........(2)\)
\(4x+3y-12=0...........(3)\)
চিত্র হতে ইহা স্পষ্ট যে,
\((1)\) ও \((3)\) পরস্পর লম্ব,
আবার,
\(c_{1}=-3, c_{2}=-4\) অর্থাৎ \(c_{1}, c_{2}\) সমচিহ্নবিশিষ্ট
তাই মূলবিন্দুধারী কোণের সমদ্বিখন্ডক নির্ণয় করতে হবে।
সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{x-3}{\sqrt{1^{2}+0^{2}}}=\frac{y-4}{\sqrt{0^{2}+1^{2}}}\) ➜\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\) \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\) \((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, \(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\). ধনাত্মক চিহ্নযুক্ত।
\(\Rightarrow \frac{x-3}{\sqrt{1+0}}=\frac{y-4}{\sqrt{0+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{\sqrt{1}}=\frac{y-4}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{1}=\frac{y-4}{1}\)
\(\Rightarrow x-3=(y-4)\)
\(\Rightarrow y-4=x-3\)
\(\Rightarrow y=x-3+4\)
\(\therefore y=x+1\)
চিত্র হতে ইহা স্পষ্ট যে,
\((2)\) ও \((3)\) এর মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডক নির্ণয় করতে হবে।
এখানে,
\(a_{1}=0, b_{1}=1, a_{2}=4, b_{2}=3 \)
\(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=0.4+1.3=0+3=3>0 \)
\(\therefore \) সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{y-4}{\sqrt{0^{2}+1^{2}}}=-\frac{4x+3y-12}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}\) ➜\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\) \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\) \((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, \(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=\pm \frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\).
\(\Rightarrow \frac{y-4}{\sqrt{0+1}}=-\frac{4x+3y-12}{\sqrt{16+9}}\)
\(\Rightarrow \frac{y-4}{\sqrt{1}}=-\frac{4x+3y-12}{\sqrt{25}}\)
\(\Rightarrow \frac{y-4}{1}=-\frac{4x+3y-12}{5}\)
\(\Rightarrow 5(y-4)=-(4x+3y-12)\)
\(\Rightarrow 5y-20=-4x-3y+12\)
\(\Rightarrow 5y+4x+3y=20+12\)
\(\Rightarrow 4x+8y=20+12\)
\(\Rightarrow 4(x+2y)=32\)
\(\Rightarrow x+2y=\frac{32}{4}\)
\(\therefore x+2y=8\)
চিত্র হতে ইহা স্পষ্ট যে,
\((1)\) ও \((3)\) এর মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডক নির্ণয় করতে হবে।
এখানে,
\(a_{1}=1, b_{1}=0, a_{2}=4, b_{2}=3 \)
\(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=1.4+0.3=4+0=4>0 \)
\(\therefore \) সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ, \(\frac{x-3}{\sqrt{1^{2}+0^{2}}}=-\frac{4x+3y-12}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}\) ➜\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\) \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\) \((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, \(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=\pm \frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\).
\(\Rightarrow \frac{x-3}{\sqrt{1+0}}=-\frac{4x+3y-12}{\sqrt{16+9}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{\sqrt{1}}=-\frac{4x+3y-12}{\sqrt{25}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{1}=-\frac{4x+3y-12}{5}\)
\(\Rightarrow 5(x-3)=-(4x+3y-12)\)
\(\Rightarrow 5x-15=-4x-3y+12\)
\(\Rightarrow 5x+4x+3y=15+12\)
\(\Rightarrow 9x+3y=27\)
\(\Rightarrow 3(3x+y)=27\)
\(\Rightarrow 3x+y=\frac{27}{3}\)
\(\Rightarrow 3x+y=9\)
\(\therefore \) সমদ্বিখন্দক ত্রয়ের সমীকরণ,
\(y=x+1, \ x+2y=8, \ 3x+y=9\)।
\(x-3=0 ...........(1)\)
\(y-4=0 ...........(2)\)
\(4x+3y-12=0...........(3)\)
চিত্র হতে ইহা স্পষ্ট যে,
\((1)\) ও \((3)\) পরস্পর লম্ব,
আবার,
\(c_{1}=-3, c_{2}=-4\) অর্থাৎ \(c_{1}, c_{2}\) সমচিহ্নবিশিষ্ট
তাই মূলবিন্দুধারী কোণের সমদ্বিখন্ডক নির্ণয় করতে হবে।
সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{x-3}{\sqrt{1^{2}+0^{2}}}=\frac{y-4}{\sqrt{0^{2}+1^{2}}}\) ➜\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\) \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\) \((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, \(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\). ধনাত্মক চিহ্নযুক্ত।
\(\Rightarrow \frac{x-3}{\sqrt{1+0}}=\frac{y-4}{\sqrt{0+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{\sqrt{1}}=\frac{y-4}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{1}=\frac{y-4}{1}\)
\(\Rightarrow x-3=(y-4)\)
\(\Rightarrow y-4=x-3\)
\(\Rightarrow y=x-3+4\)
\(\therefore y=x+1\)
চিত্র হতে ইহা স্পষ্ট যে,
\((2)\) ও \((3)\) এর মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডক নির্ণয় করতে হবে।
এখানে,
\(a_{1}=0, b_{1}=1, a_{2}=4, b_{2}=3 \)
\(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=0.4+1.3=0+3=3>0 \)
\(\therefore \) সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{y-4}{\sqrt{0^{2}+1^{2}}}=-\frac{4x+3y-12}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}\) ➜\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\) \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\) \((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, \(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=\pm \frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\).
\(\Rightarrow \frac{y-4}{\sqrt{0+1}}=-\frac{4x+3y-12}{\sqrt{16+9}}\)
\(\Rightarrow \frac{y-4}{\sqrt{1}}=-\frac{4x+3y-12}{\sqrt{25}}\)
\(\Rightarrow \frac{y-4}{1}=-\frac{4x+3y-12}{5}\)
\(\Rightarrow 5(y-4)=-(4x+3y-12)\)
\(\Rightarrow 5y-20=-4x-3y+12\)
\(\Rightarrow 5y+4x+3y=20+12\)
\(\Rightarrow 4x+8y=20+12\)
\(\Rightarrow 4(x+2y)=32\)
\(\Rightarrow x+2y=\frac{32}{4}\)
\(\therefore x+2y=8\)
চিত্র হতে ইহা স্পষ্ট যে,
\((1)\) ও \((3)\) এর মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডক নির্ণয় করতে হবে।
এখানে,
\(a_{1}=1, b_{1}=0, a_{2}=4, b_{2}=3 \)
\(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=1.4+0.3=4+0=4>0 \)
\(\therefore \) সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ, \(\frac{x-3}{\sqrt{1^{2}+0^{2}}}=-\frac{4x+3y-12}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}\) ➜\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\) \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\) \((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, \(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=\pm \frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\).
\(\Rightarrow \frac{x-3}{\sqrt{1+0}}=-\frac{4x+3y-12}{\sqrt{16+9}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{\sqrt{1}}=-\frac{4x+3y-12}{\sqrt{25}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{1}=-\frac{4x+3y-12}{5}\)
\(\Rightarrow 5(x-3)=-(4x+3y-12)\)
\(\Rightarrow 5x-15=-4x-3y+12\)
\(\Rightarrow 5x+4x+3y=15+12\)
\(\Rightarrow 9x+3y=27\)
\(\Rightarrow 3(3x+y)=27\)
\(\Rightarrow 3x+y=\frac{27}{3}\)
\(\Rightarrow 3x+y=9\)
\(\therefore \) সমদ্বিখন্দক ত্রয়ের সমীকরণ,
\(y=x+1, \ x+2y=8, \ 3x+y=9\)।
\(Q.3.(xii)\) \(5x+12y=15\) রেখা এবং অক্ষদুইটির সমম্বয়ে গঠিত ত্রিভুজের কোণতিনটির বহিঃদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5x-y-15=0, \ 8x-12y+15=0, \ x+y=0\)।
উত্তরঃ \(5x-y-15=0, \ 8x-12y+15=0, \ x+y=0\)।
সমাধানঃ
মনে করি,
\(5x+12y-15=0 .........(1)\)
এবং অক্ষদুইটির সমীকরণ,
\(y=0 .........(2)\)
\(x=0 .........(3)\)
চিত্র হতে ইহা স্পষ্ট যে,
\((1)\) ও \((2)\) এর মধ্যবর্তী স্থুলকোণের সমদ্বিখন্ডক নির্ণয় করতে হবে।
এখানে,
\(a_{1}=5, b_{1}=12, a_{2}=0, b_{2}=1 \)
\(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=5.0+12.1=0+12=12>0 \)
\(\therefore \) স্থুলকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{5x+12y-15}{\sqrt{5^{2}+12^{2}}}=\frac{y}{\sqrt{0^{2}+1^{2}}}\) ➜\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\) \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\) \((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, \(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=\pm \frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\).
\(\Rightarrow \frac{5x+12y-15}{\sqrt{25+144}}=\frac{y}{\sqrt{0+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{5x+12y-15}{\sqrt{169}}=\frac{y}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \frac{5x+12y-15}{13}=\frac{y}{1}\)
\(\Rightarrow 5x+12y-15-13y=0\)
\(\therefore 5x-y-15=0\)
চিত্র হতে ইহা স্পষ্ট যে,
\((1)\) ও \((3)\) এর মধ্যবর্তী স্থুলকোণের সমদ্বিখন্ডক নির্ণয় করতে হবে।
এখানে,
\(a_{1}=5, b_{1}=12, a_{2}=1, b_{2}=0 \)
\(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=5.1+12.0=5+0=5>0 \)
\(\therefore \) স্থুলকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{5x+12y-15}{\sqrt{5^{2}+12^{2}}}=\frac{x}{\sqrt{1^{2}+0^{2}}}\) ➜\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\) \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\) \((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, \(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=\pm \frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\).
\(\Rightarrow \frac{5x+12y-15}{\sqrt{25+144}}=\frac{x}{\sqrt{1+0}}\)
\(\Rightarrow \frac{5x+12y-15}{\sqrt{169}}=\frac{x}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \frac{5x+12y-15}{13}=\frac{x}{1}\)
\(\Rightarrow 13x=5x+12y-15\)
\(\Rightarrow 13x-5x-12y+15=0\)
\(\Rightarrow 8x-12y+15=0\)
চিত্র হতে ইহা স্পষ্ট যে
\((1)\) ও \((3)\) পরস্পর লম্ব,
এদের মধ্যবর্তী কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{x}{\sqrt{1^{2}+0^{2}}}=\pm \frac{y}{\sqrt{0^{2}+1^{2}}}\) ➜\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\) \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\) \((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, \(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=\pm \frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\).
\(\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{1+0}}=\pm \frac{y}{\sqrt{0+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{1}}=\pm \frac{y}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{1}=\pm \frac{y}{1}\)
\(\Rightarrow x=\pm y\)
\(\Rightarrow x=-y\) ➜ চিত্রের সাহায্যে।
\(\therefore x+y=0\)
\(\therefore \) বহিঃদ্বিখন্দক ত্রয়ের সমীকরণ,
\(5x-y-15=0, \ 8x-12y+15=0, \ x+y=0\)।
\(5x+12y-15=0 .........(1)\)
এবং অক্ষদুইটির সমীকরণ,
\(y=0 .........(2)\)
\(x=0 .........(3)\)
চিত্র হতে ইহা স্পষ্ট যে,
\((1)\) ও \((2)\) এর মধ্যবর্তী স্থুলকোণের সমদ্বিখন্ডক নির্ণয় করতে হবে।
এখানে,
\(a_{1}=5, b_{1}=12, a_{2}=0, b_{2}=1 \)
\(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=5.0+12.1=0+12=12>0 \)
\(\therefore \) স্থুলকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{5x+12y-15}{\sqrt{5^{2}+12^{2}}}=\frac{y}{\sqrt{0^{2}+1^{2}}}\) ➜\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\) \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\) \((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, \(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=\pm \frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\).
\(\Rightarrow \frac{5x+12y-15}{\sqrt{25+144}}=\frac{y}{\sqrt{0+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{5x+12y-15}{\sqrt{169}}=\frac{y}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \frac{5x+12y-15}{13}=\frac{y}{1}\)
\(\Rightarrow 5x+12y-15-13y=0\)
\(\therefore 5x-y-15=0\)
চিত্র হতে ইহা স্পষ্ট যে,
\((1)\) ও \((3)\) এর মধ্যবর্তী স্থুলকোণের সমদ্বিখন্ডক নির্ণয় করতে হবে।
এখানে,
\(a_{1}=5, b_{1}=12, a_{2}=1, b_{2}=0 \)
\(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=5.1+12.0=5+0=5>0 \)
\(\therefore \) স্থুলকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{5x+12y-15}{\sqrt{5^{2}+12^{2}}}=\frac{x}{\sqrt{1^{2}+0^{2}}}\) ➜\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\) \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\) \((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, \(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=\pm \frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\).
\(\Rightarrow \frac{5x+12y-15}{\sqrt{25+144}}=\frac{x}{\sqrt{1+0}}\)
\(\Rightarrow \frac{5x+12y-15}{\sqrt{169}}=\frac{x}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \frac{5x+12y-15}{13}=\frac{x}{1}\)
\(\Rightarrow 13x=5x+12y-15\)
\(\Rightarrow 13x-5x-12y+15=0\)
\(\Rightarrow 8x-12y+15=0\)
চিত্র হতে ইহা স্পষ্ট যে
\((1)\) ও \((3)\) পরস্পর লম্ব,
এদের মধ্যবর্তী কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{x}{\sqrt{1^{2}+0^{2}}}=\pm \frac{y}{\sqrt{0^{2}+1^{2}}}\) ➜\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\) \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\) \((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, \(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}}}=\pm \frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}}}\).
\(\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{1+0}}=\pm \frac{y}{\sqrt{0+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{1}}=\pm \frac{y}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{1}=\pm \frac{y}{1}\)
\(\Rightarrow x=\pm y\)
\(\Rightarrow x=-y\) ➜ চিত্রের সাহায্যে।
\(\therefore x+y=0\)
\(\therefore \) বহিঃদ্বিখন্দক ত্রয়ের সমীকরণ,
\(5x-y-15=0, \ 8x-12y+15=0, \ x+y=0\)।
\(Q.3.(xiii)\) \(\triangle ABC\) এর দুইটি শীর্ষ \(A(5, 0)\), \(B(-4, -3)\) এবং অন্তঃকেন্দ্র \((1, 2)\) হলে, \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((1, 12)\)।
উত্তরঃ \((1, 12)\)।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(\triangle ABC\) এর দুইটি শীর্ষ \(A(5, 0)\), \(B(-4, -3)\) এবং অন্তঃকেন্দ্র \(I(1, 2)\)
ধরি, তৃতীয় শীর্ষ \(C(x, y)\)
\(AB\) এর ঢাল \(m_{1}=\frac{0+3}{5+4}\)
\(=\frac{3}{9}\)
\(=\frac{1}{3}\)
\(AI\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{0-2}{5-1}\)
\(=\frac{-2}{4}\)
\(=-\frac{1}{2}\)
\(BI\) এর ঢাল \(m_{3}=\frac{-3-2}{-4-1}\)
\(=\frac{-5}{-5}\)
\(=1\)
ধরি,\(AC\) এর ঢাল \(m_{4}\) এবং \(BC\) এর ঢাল \(m_{5}\)
\(\because \angle BAI=\angle CAI\)
\(\therefore \tan^{-1}\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}=\tan^{-1}\frac{m_{2}-m_{4}}{1+m_{2}m_{4}}\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{3}\times -\frac{1}{2}}=\frac{-\frac{1}{2}-m_{4}}{1-\frac{1}{2}\times m_{4}}\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{2+3}{6}}{1-\frac{1}{6}}=\frac{\frac{-1-2m_{4}}{2}}{1-\frac{m_{4}}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{5}{6}}{\frac{6-1}{6}}=\frac{\frac{-1-2m_{4}}{2}}{\frac{2-m_{4}}{2}}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{-1-2m_{4}}{2}\times \frac{2}{2-m_{4}}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{-1-2m_{4}}{2-m_{4}}\)
\(\Rightarrow 2-m_{4}=-1-2m_{4}\)
\(\Rightarrow -m_{4}+2m_{4}=-1-2\)
\(\therefore m_{4}=-3\)
\(\therefore AC\) এর সমীকরণ,
\(y-0=m_{4}(x-5)\)
\(\Rightarrow y=-3x+15 .......(1)\)
\(\because \angle ABI=\angle CBI\)
\(\therefore \tan^{-1}\frac{m_{1}-m_{3}}{1+m_{1}m_{3}}=\tan^{-1}\frac{m_{3}-m_{5}}{1+m_{3}m_{5}}\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{1}{3}-1}{1+\frac{1}{3}\times 1}=\frac{1-m_{5}}{1+1\times m_{5}}\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{1-3}{3}}{\frac{3+1}{3}}=\frac{1-m_{5}}{1+m_{5}}\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{-2}{3}}{\frac{4}{3}}=\frac{1-m_{5}}{1+m_{5}}\)
\(\Rightarrow -\frac{2}{3}\times \frac{3}{4}=\frac{1-m_{5}}{1+m_{5}}\)
\(\Rightarrow -\frac{1}{2}=\frac{1-m_{5}}{1+m_{5}}\)
\(\Rightarrow -1-m_{5}=2-2m_{5}\)
\(\Rightarrow -m_{5}+2m_{5}=2+1\)
\(\therefore m_{5}=3\)
\(\therefore BC\) এর সমীকরণ,
\(y+3=m_{5}(x+4)\)
\(\Rightarrow y+3=3(x+4)\)
\(\Rightarrow 3(x+4)=y+3\)
\(\Rightarrow 3x+12-y-3=0\)
\(\Rightarrow 3x-y+9=0 ......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) সমাধান করি,
\(3x+3x-15+9=0 \)
\(\Rightarrow 6x-6=0 \)
\(\Rightarrow 6x=6 \)
\(\Rightarrow x=1 \)
\((1)\) হতে, \(y=-3.1+15\)
\(\Rightarrow y=-3+15\)
\(\therefore y=12\)
\(\therefore C(1, 12)\).
\(\triangle ABC\) এর দুইটি শীর্ষ \(A(5, 0)\), \(B(-4, -3)\) এবং অন্তঃকেন্দ্র \(I(1, 2)\)
ধরি, তৃতীয় শীর্ষ \(C(x, y)\)
\(AB\) এর ঢাল \(m_{1}=\frac{0+3}{5+4}\)
\(=\frac{3}{9}\)
\(=\frac{1}{3}\)
\(AI\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{0-2}{5-1}\)
\(=\frac{-2}{4}\)
\(=-\frac{1}{2}\)
\(BI\) এর ঢাল \(m_{3}=\frac{-3-2}{-4-1}\)
\(=\frac{-5}{-5}\)
\(=1\)
ধরি,\(AC\) এর ঢাল \(m_{4}\) এবং \(BC\) এর ঢাল \(m_{5}\)
\(\because \angle BAI=\angle CAI\)
\(\therefore \tan^{-1}\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}=\tan^{-1}\frac{m_{2}-m_{4}}{1+m_{2}m_{4}}\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{3}\times -\frac{1}{2}}=\frac{-\frac{1}{2}-m_{4}}{1-\frac{1}{2}\times m_{4}}\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{2+3}{6}}{1-\frac{1}{6}}=\frac{\frac{-1-2m_{4}}{2}}{1-\frac{m_{4}}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{5}{6}}{\frac{6-1}{6}}=\frac{\frac{-1-2m_{4}}{2}}{\frac{2-m_{4}}{2}}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{-1-2m_{4}}{2}\times \frac{2}{2-m_{4}}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{-1-2m_{4}}{2-m_{4}}\)
\(\Rightarrow 2-m_{4}=-1-2m_{4}\)
\(\Rightarrow -m_{4}+2m_{4}=-1-2\)
\(\therefore m_{4}=-3\)
\(\therefore AC\) এর সমীকরণ,
\(y-0=m_{4}(x-5)\)
\(\Rightarrow y=-3x+15 .......(1)\)
\(\because \angle ABI=\angle CBI\)
\(\therefore \tan^{-1}\frac{m_{1}-m_{3}}{1+m_{1}m_{3}}=\tan^{-1}\frac{m_{3}-m_{5}}{1+m_{3}m_{5}}\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{1}{3}-1}{1+\frac{1}{3}\times 1}=\frac{1-m_{5}}{1+1\times m_{5}}\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{1-3}{3}}{\frac{3+1}{3}}=\frac{1-m_{5}}{1+m_{5}}\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{-2}{3}}{\frac{4}{3}}=\frac{1-m_{5}}{1+m_{5}}\)
\(\Rightarrow -\frac{2}{3}\times \frac{3}{4}=\frac{1-m_{5}}{1+m_{5}}\)
\(\Rightarrow -\frac{1}{2}=\frac{1-m_{5}}{1+m_{5}}\)
\(\Rightarrow -1-m_{5}=2-2m_{5}\)
\(\Rightarrow -m_{5}+2m_{5}=2+1\)
\(\therefore m_{5}=3\)
\(\therefore BC\) এর সমীকরণ,
\(y+3=m_{5}(x+4)\)
\(\Rightarrow y+3=3(x+4)\)
\(\Rightarrow 3(x+4)=y+3\)
\(\Rightarrow 3x+12-y-3=0\)
\(\Rightarrow 3x-y+9=0 ......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) সমাধান করি,
\(3x+3x-15+9=0 \)
\(\Rightarrow 6x-6=0 \)
\(\Rightarrow 6x=6 \)
\(\Rightarrow x=1 \)
\((1)\) হতে, \(y=-3.1+15\)
\(\Rightarrow y=-3+15\)
\(\therefore y=12\)
\(\therefore C(1, 12)\).
অনুশীলনী \(3.G\) / \(Q.4\)-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমুহ
\(Q.4.(i)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ \(3x-4y+8=0\)।
\((a)\) সরলরেখার ঢাল বলতে কি বুঝ? উপরে উল্লেখিত সরলরেখার ঢাল এবং \(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশের পরিমাণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0\) এবং \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0\) সমীকরণ দুইটি একই সরলরেখা নির্দেশ করার শর্তটি লিখ।
\((c)\) \(ax+by+c=0\) এবং \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=P\) সমীকরণ দুইটি একই সরলরেখা সূচীত করলে, \(P\) এর মান \(a, b, c\) এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{3}{4}, 2;\) \((c) \ P=\pm \frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\) ।
\(Q.4.(ii)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ \(3x-2y+4=0\)।
\((a)\) \(y=m_{1}x+c_{1}\) এবং \(y=m_{2}x+c_{2}\) সরলরেখা দুইটি পরস্পর লম্ব হলে, দেখাও যে,\(m_{1}m_{2}=-1\) ।
\((b)\) \(x=2\) এবং \(y=2\) সরলরেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণসমুহের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর। দেখাও যে, একটি সমদ্বিখন্ডক অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
\((c)\) একটি সরলরেখা \(-3, 2\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং \(X\) অক্ষের সাথে \(120^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) \ x=y; \ x+y=4.\) \((c) \ \sqrt{3}x+y+3\sqrt{3}-2=0 \) ।
\(Q.4.(iii)\) তিনটি সরলরেখার সমীকরণ
\(x+2y+5=0 .......(1)\)
\(kx+4y-7=0 .......(2)\)
\(4x-5y+1=0 .......(3)\)
\((a)\) দুইটি সরলরেখার সমীকরণ দেওয়া হলো। এদের ঢাল নির্ণয় না করে তুমি কিভাবে বুঝবে রেখা দুইটি সমান্তরাল না পরস্পর লম্ব।
\((b)\) চিত্র অঙ্কন করে \(y=mx+c\) সমীকরণটি প্রতিষ্ঠা কর। \(m\) ও \(c\) এর ব্যাখ্যা দাও।
\((c)\) উদ্দীপকের দ্বিতীয় সমীকরণে \(k=2\) অথবা, \(5\) হলে, উক্ত রেখাত্রয় কিরূপ হবে তা বিশ্লেষণ কর।
উত্তরঃ \((c) \ (1)\) ও \((2)\) সমান্তরাল, \((2)\) ও \((3)\) পরস্পর লম্ব।
\(Q.4.(iv)\) \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=P\) সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((a)\) \(A(8, 5)\) \(B(-4, -3)\) রেখার লম্বদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\alpha \) কে পরিবর্তনশীল ধরে \(AB\) এর মধ্যবিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(5x-9y+13=0\) ও \(9x-5y+11=0\) রেখা দুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(X\) অক্ষের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 3x+2y=8;\) \((b) \ P^{2}(x^{2}+y^{2})=4x^{2}y^{2};\) \((c) \ 7x-7y+12=0, 2x+2y-1=0\) ।
\(Q.4.(v)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ \(8x-6y+9=0\)।
\((a)\) \(A(-1, 2)\) বিন্দুগামী এবং প্রদত্ত সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(ax+by+c_{1}=0\) এবং \(ax+by+c_{2}=0\) সমান্তরাল রেখা দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্রটি প্রতিষ্ঠা কর। সূত্রটির সাহায্যে প্রদত্ত ও নির্ণেয় রেখার দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((c)\) \((2, -1)\) বিন্দু হতে \(3x-4y+5=0\) রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 4x-3y+10=0;\) \((b) \ \frac{11}{10};\) \((c) \ (\frac{1}{5}, \frac{7}{5})\) ।
\(Q.4.(vi)\) দুইটি সরলরেখার সমীকরণ \(y=2x+1\) এবং \(2y-x=4\)।
\((a)\) মূলবিন্দু এবং প্রদত্ত রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) রেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণদ্বয়ের সমদ্বিখন্ডক \(Y\) অক্ষকে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করলে \(PQ\) এর দূরত্ব নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০১৩, ২০১৪; সিঃ ২০০৫; বঃ ২০১২; কুঃ ২০১৪; চুয়েটঃ ২০০৮, ২০১০ ]
\((c)\) মূলবিন্দু থেকে \(\sqrt{5}\) একক দূরত্বে এবং \(2y-x=4\) রেখার উপর লম্ব রেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 7x-2y=0;\) \((b) \ \frac{4}{3};\) \((c) \ 2x+y\pm 5=0\) ।
\(Q.4.(vii)\) \(\triangle ABC\) এর শীর্ষ তিনটি যথাক্রমে \(A(1, 1)\), \(B(3, 4)\) এবং \(C(5, -2)\)।
\((a)\) \(\triangle ABC\) এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) ও \(AC\) এর মধ্যবিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০০৬, ২০০৮, ২০১৪; ঢাঃ ২০১১; যঃ ২০০৯; ]
\((c)\) \(\triangle ABC\) এর কোণগুলির সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 9\) বর্গ একক; \((b) \ 6x+2y-17=0;\) \((c) \ \) ।
\(Q.4.(viii)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\(ABCD\) সামান্তরিকে \(AB\) বাহু \(X\) অক্ষের সমান্তরাল।
\((a)\) \(AD\) বাহুর সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) (AB\) এর মধ্যবিন্দুগামী এবং \(AB\) এর সাথে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এরূপ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(\angle ABC\) এর সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ x-y+6=0;\) \((b) \ 2\sqrt{3}x-2y+12-5\sqrt{3}=0;\) \((c) \ x+(\sqrt{2}-1)y+1+6\sqrt{2}=0\) ।
\(Q.4.(ix)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\((a)\) \(AB\) বাহু বিশিষ্ট বর্গের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((b)\) \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \((1, -1)\) বিন্দুগামী এবং \(AB\) রেখার সহিত \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এরূপ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ ;\) \((b) \ ;\) \((c) \ \) ।
\(Q.4.(x)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\(ABCD\) একটি সামান্তরিক।
\((a)\) \(D\) বিন্দু হতে \(AB\) এর লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AC\) বাহু বিবেচনা করে অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((c)\) \(B\) বিন্দু হতে \(DA\) এর উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ ;\) \((b) \ ;\) \((c) \ \) ।
\(Q.4.(xi)\) \(A(1, 1)\), \(B(-4, 13)\), \(C(8, 8)\) এবং \(D\) বিন্দুগুলি একটি রম্বসের কৌনিক বিন্দু।
\((a)\) \(AC\) কর্ণ দ্বারা \(Y\) অক্ষের খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\((b)\) \(BD\) কর্ণের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) ভেক্টর পদ্ধতিতে \(\angle ABC\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ ;\) \((b) \ ;\) \((c) \ \) ।
\(Q.4.(xii)\) একটি সরলরেখা \((3, 2)\) বিন্দুদিয়ে গমন করে এবং অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে যেন, \(OA-OB=2\) হয়, যেখানে \(O\) মূলবিন্দু।
\((a)\) পোলার স্থানাঙ্ক \((\sqrt{2}), \frac{5\pi}{4}\) কে কার্তেশীয় স্থানাঙ্কে প্রকাশ কর।
\((b)\) মূলবিন্দু থেকে সরলরেখাটির লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((c)\) \(P\) বিন্দুটি \(AB\) এর মধ্যবিন্দু হলে, \(\triangle AOB:\triangle AOP\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (1, 1);\) \((b) \ \frac{12}{\sqrt{13}}, \ \frac{1}{\sqrt{2}};\) \((c) \ 2:1. \) ।
\(Q.4.(xiii)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\(AB\) এর লম্বদ্বিখন্ডক \(Y\) অক্ষকে \(C\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((a)\) \(X\) অক্ষ থেকে একটি সেটের প্রতিটি বিন্দুর দূরত্বের বর্গ, \(Y\) অক্ষ থেকে বিন্দুটির দূরত্বের \(4\) গুণ। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \(E\) বিন্দুটি \(BC\) এর মধ্যবিন্দু। \(E\) বিন্দু থেকে \(AB\) এর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (y^{2}=4x);\) \((b) \ (0, 3);\) \((c) \ \frac{\sqrt{13}}{2}. \) ।
\(Q.4.(xiv)\) \(x-4=0\), \(y-5=0\), \(x+1=0\) এবং \(y+4=0\) রেখাগুলি একটি চতুর্ভুজ গঠন করে।
\((a)\) \((-3, 4)\) এবং \((2, -1)\) বিন্দুদ্বয় \(2x-3y+4=0\) রেখার একই পার্শে অথবা, বিপরীত পার্শে অবস্থিত কিনা নির্ণয় কর।
\((b)\) কর্ণ দুইটি অন্তর্গত সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(Y\) অক্ষের উপরিস্থিত যে বিন্দুগুলি হতে কর্ণদ্বয়ের লম্ব দূরত্ব \(4\) একক উহার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a)\) বিপরীত পার্শে; \((b) \ 2x-3=0;\) \((c) \ (0, 6.04), (0, -10.44), (0, 11.44), (0, -5.04) \) ।
\(Q.4.(xv)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\((a)\) \(AB\) রেখাকে \(Y\) অক্ষ যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।
\((b)\) \(Q\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \(C\) বিন্দুগামী এবং \(AB\) রেখার সহিত \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 1:2;\) \((b) \ Q(\frac{6}{5}, \frac{2}{5})\) \((c) \ x-3y+1=0, \ 3x+y+13=0 \) ।
\(Q.4.(xvi)\) \(A(2, 4)\), \(B(3, 1)\),, \(C(4, 5)\); \(2x-y+2=0\), \(x-2y+3=0\).
\((a)\) \(Y\) অক্ষ এবং \((k, 4)\) বিন্দু থেকে \(A(2, 4)\) বিন্দুর দূরত্ব সমান হলে, \(k\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) \(C\) বিন্দু থেকে \(AB\) সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকের আলোকে রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডক অক্ষদ্বয়ের সাথে যে ত্রিভুজ গঠন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০১৭ ]
উত্তরঃ \((a) \ (k=0, 4);\) \((b) \ (\frac{19}{10}, \frac{43}{10});\) \((c) \ \frac{25}{18}\) বর্গ একক।
\(Q.4.(xvii)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\((a)\) \(PB\) এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(P\), \(\triangle ABC\) এর লম্বকেন্দ্র হলে, \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \(D\),\(E\) ও \(F\) যথাক্রমে \(AC\),\(AB\) ও \(BC\) এর মধ্যবিন্দু হলে, \(\triangle ABC:\triangle DEF\) নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১৭ ]
উত্তরঃ \((a) \ 2x+y-8=0;\) \((b) \ (-2, -3);\) \((c) \ 4:1\)।
\(Q.4.(xviii)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\((a)\) \((3, 5)\) ও \((6, 7)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার লম্বদ্বিখন্ডকের ঢাল নির্ণয় কর।
\((b)\) চিত্রের আলোকে \(AB\) রেখা হতে \(3\) একক দূরবর্তী সমান্তরাল রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) চিত্রের মূলবিন্দু ও \(\) রেখাংশের সমত্রিখন্ডণ বিন্দুদ্বয় যে ত্রিভুজ গঠন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ -\frac{3}{2};\) \((b) \ 3x+4y+3=0; \ 3x+4y-27=0;\) \((c) \ 2\) বর্গ একক।
\((a)\) সরলরেখটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) মূলবিন্দু থেকে সরলরেখাটির লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((c)\) অক্ষদ্বয়ের সাথে সরলরেখটি যে ত্রিভুজ গঠন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ x-2y+14=0;\) \((b) \ \frac{14}{\sqrt{10}};\) \((c) \ 49\) বর্গ একক।
\((a)\) সরলরেখার ঢাল বলতে কি বুঝ? উপরে উল্লেখিত সরলরেখার ঢাল এবং \(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশের পরিমাণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0\) এবং \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0\) সমীকরণ দুইটি একই সরলরেখা নির্দেশ করার শর্তটি লিখ।
\((c)\) \(ax+by+c=0\) এবং \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=P\) সমীকরণ দুইটি একই সরলরেখা সূচীত করলে, \(P\) এর মান \(a, b, c\) এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{3}{4}, 2;\) \((c) \ P=\pm \frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\) ।
\(Q.4.(ii)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ \(3x-2y+4=0\)।
\((a)\) \(y=m_{1}x+c_{1}\) এবং \(y=m_{2}x+c_{2}\) সরলরেখা দুইটি পরস্পর লম্ব হলে, দেখাও যে,\(m_{1}m_{2}=-1\) ।
\((b)\) \(x=2\) এবং \(y=2\) সরলরেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণসমুহের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর। দেখাও যে, একটি সমদ্বিখন্ডক অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
\((c)\) একটি সরলরেখা \(-3, 2\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং \(X\) অক্ষের সাথে \(120^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) \ x=y; \ x+y=4.\) \((c) \ \sqrt{3}x+y+3\sqrt{3}-2=0 \) ।
\(Q.4.(iii)\) তিনটি সরলরেখার সমীকরণ
\(x+2y+5=0 .......(1)\)
\(kx+4y-7=0 .......(2)\)
\(4x-5y+1=0 .......(3)\)
\((a)\) দুইটি সরলরেখার সমীকরণ দেওয়া হলো। এদের ঢাল নির্ণয় না করে তুমি কিভাবে বুঝবে রেখা দুইটি সমান্তরাল না পরস্পর লম্ব।
\((b)\) চিত্র অঙ্কন করে \(y=mx+c\) সমীকরণটি প্রতিষ্ঠা কর। \(m\) ও \(c\) এর ব্যাখ্যা দাও।
\((c)\) উদ্দীপকের দ্বিতীয় সমীকরণে \(k=2\) অথবা, \(5\) হলে, উক্ত রেখাত্রয় কিরূপ হবে তা বিশ্লেষণ কর।
উত্তরঃ \((c) \ (1)\) ও \((2)\) সমান্তরাল, \((2)\) ও \((3)\) পরস্পর লম্ব।
\(Q.4.(iv)\) \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=P\) সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((a)\) \(A(8, 5)\) \(B(-4, -3)\) রেখার লম্বদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\alpha \) কে পরিবর্তনশীল ধরে \(AB\) এর মধ্যবিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(5x-9y+13=0\) ও \(9x-5y+11=0\) রেখা দুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(X\) অক্ষের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 3x+2y=8;\) \((b) \ P^{2}(x^{2}+y^{2})=4x^{2}y^{2};\) \((c) \ 7x-7y+12=0, 2x+2y-1=0\) ।
\(Q.4.(v)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ \(8x-6y+9=0\)।
\((a)\) \(A(-1, 2)\) বিন্দুগামী এবং প্রদত্ত সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(ax+by+c_{1}=0\) এবং \(ax+by+c_{2}=0\) সমান্তরাল রেখা দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্রটি প্রতিষ্ঠা কর। সূত্রটির সাহায্যে প্রদত্ত ও নির্ণেয় রেখার দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((c)\) \((2, -1)\) বিন্দু হতে \(3x-4y+5=0\) রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 4x-3y+10=0;\) \((b) \ \frac{11}{10};\) \((c) \ (\frac{1}{5}, \frac{7}{5})\) ।
\(Q.4.(vi)\) দুইটি সরলরেখার সমীকরণ \(y=2x+1\) এবং \(2y-x=4\)।
\((a)\) মূলবিন্দু এবং প্রদত্ত রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) রেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণদ্বয়ের সমদ্বিখন্ডক \(Y\) অক্ষকে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করলে \(PQ\) এর দূরত্ব নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০১৩, ২০১৪; সিঃ ২০০৫; বঃ ২০১২; কুঃ ২০১৪; চুয়েটঃ ২০০৮, ২০১০ ]
\((c)\) মূলবিন্দু থেকে \(\sqrt{5}\) একক দূরত্বে এবং \(2y-x=4\) রেখার উপর লম্ব রেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 7x-2y=0;\) \((b) \ \frac{4}{3};\) \((c) \ 2x+y\pm 5=0\) ।
\(Q.4.(vii)\) \(\triangle ABC\) এর শীর্ষ তিনটি যথাক্রমে \(A(1, 1)\), \(B(3, 4)\) এবং \(C(5, -2)\)।
\((a)\) \(\triangle ABC\) এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) ও \(AC\) এর মধ্যবিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০০৬, ২০০৮, ২০১৪; ঢাঃ ২০১১; যঃ ২০০৯; ]
\((c)\) \(\triangle ABC\) এর কোণগুলির সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 9\) বর্গ একক; \((b) \ 6x+2y-17=0;\) \((c) \ \) ।
\(Q.4.(viii)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\(ABCD\) সামান্তরিকে \(AB\) বাহু \(X\) অক্ষের সমান্তরাল।
\((a)\) \(AD\) বাহুর সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) (AB\) এর মধ্যবিন্দুগামী এবং \(AB\) এর সাথে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এরূপ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(\angle ABC\) এর সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ x-y+6=0;\) \((b) \ 2\sqrt{3}x-2y+12-5\sqrt{3}=0;\) \((c) \ x+(\sqrt{2}-1)y+1+6\sqrt{2}=0\) ।
\(Q.4.(ix)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\((a)\) \(AB\) বাহু বিশিষ্ট বর্গের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((b)\) \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \((1, -1)\) বিন্দুগামী এবং \(AB\) রেখার সহিত \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এরূপ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ ;\) \((b) \ ;\) \((c) \ \) ।
\(Q.4.(x)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\(ABCD\) একটি সামান্তরিক।
\((a)\) \(D\) বিন্দু হতে \(AB\) এর লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AC\) বাহু বিবেচনা করে অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((c)\) \(B\) বিন্দু হতে \(DA\) এর উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ ;\) \((b) \ ;\) \((c) \ \) ।
\(Q.4.(xi)\) \(A(1, 1)\), \(B(-4, 13)\), \(C(8, 8)\) এবং \(D\) বিন্দুগুলি একটি রম্বসের কৌনিক বিন্দু।
\((a)\) \(AC\) কর্ণ দ্বারা \(Y\) অক্ষের খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\((b)\) \(BD\) কর্ণের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) ভেক্টর পদ্ধতিতে \(\angle ABC\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ ;\) \((b) \ ;\) \((c) \ \) ।
\(Q.4.(xii)\) একটি সরলরেখা \((3, 2)\) বিন্দুদিয়ে গমন করে এবং অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে যেন, \(OA-OB=2\) হয়, যেখানে \(O\) মূলবিন্দু।
\((a)\) পোলার স্থানাঙ্ক \((\sqrt{2}), \frac{5\pi}{4}\) কে কার্তেশীয় স্থানাঙ্কে প্রকাশ কর।
\((b)\) মূলবিন্দু থেকে সরলরেখাটির লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((c)\) \(P\) বিন্দুটি \(AB\) এর মধ্যবিন্দু হলে, \(\triangle AOB:\triangle AOP\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (1, 1);\) \((b) \ \frac{12}{\sqrt{13}}, \ \frac{1}{\sqrt{2}};\) \((c) \ 2:1. \) ।
\(Q.4.(xiii)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\(AB\) এর লম্বদ্বিখন্ডক \(Y\) অক্ষকে \(C\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((a)\) \(X\) অক্ষ থেকে একটি সেটের প্রতিটি বিন্দুর দূরত্বের বর্গ, \(Y\) অক্ষ থেকে বিন্দুটির দূরত্বের \(4\) গুণ। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \(E\) বিন্দুটি \(BC\) এর মধ্যবিন্দু। \(E\) বিন্দু থেকে \(AB\) এর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (y^{2}=4x);\) \((b) \ (0, 3);\) \((c) \ \frac{\sqrt{13}}{2}. \) ।
\(Q.4.(xiv)\) \(x-4=0\), \(y-5=0\), \(x+1=0\) এবং \(y+4=0\) রেখাগুলি একটি চতুর্ভুজ গঠন করে।
\((a)\) \((-3, 4)\) এবং \((2, -1)\) বিন্দুদ্বয় \(2x-3y+4=0\) রেখার একই পার্শে অথবা, বিপরীত পার্শে অবস্থিত কিনা নির্ণয় কর।
\((b)\) কর্ণ দুইটি অন্তর্গত সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(Y\) অক্ষের উপরিস্থিত যে বিন্দুগুলি হতে কর্ণদ্বয়ের লম্ব দূরত্ব \(4\) একক উহার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a)\) বিপরীত পার্শে; \((b) \ 2x-3=0;\) \((c) \ (0, 6.04), (0, -10.44), (0, 11.44), (0, -5.04) \) ।
\(Q.4.(xv)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\((a)\) \(AB\) রেখাকে \(Y\) অক্ষ যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।
\((b)\) \(Q\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \(C\) বিন্দুগামী এবং \(AB\) রেখার সহিত \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 1:2;\) \((b) \ Q(\frac{6}{5}, \frac{2}{5})\) \((c) \ x-3y+1=0, \ 3x+y+13=0 \) ।
\(Q.4.(xvi)\) \(A(2, 4)\), \(B(3, 1)\),, \(C(4, 5)\); \(2x-y+2=0\), \(x-2y+3=0\).
\((a)\) \(Y\) অক্ষ এবং \((k, 4)\) বিন্দু থেকে \(A(2, 4)\) বিন্দুর দূরত্ব সমান হলে, \(k\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) \(C\) বিন্দু থেকে \(AB\) সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকের আলোকে রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডক অক্ষদ্বয়ের সাথে যে ত্রিভুজ গঠন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০১৭ ]
উত্তরঃ \((a) \ (k=0, 4);\) \((b) \ (\frac{19}{10}, \frac{43}{10});\) \((c) \ \frac{25}{18}\) বর্গ একক।
\(Q.4.(xvii)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\((a)\) \(PB\) এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(P\), \(\triangle ABC\) এর লম্বকেন্দ্র হলে, \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \(D\),\(E\) ও \(F\) যথাক্রমে \(AC\),\(AB\) ও \(BC\) এর মধ্যবিন্দু হলে, \(\triangle ABC:\triangle DEF\) নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১৭ ]
উত্তরঃ \((a) \ 2x+y-8=0;\) \((b) \ (-2, -3);\) \((c) \ 4:1\)।
\(Q.4.(xviii)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\((a)\) \((3, 5)\) ও \((6, 7)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার লম্বদ্বিখন্ডকের ঢাল নির্ণয় কর।
\((b)\) চিত্রের আলোকে \(AB\) রেখা হতে \(3\) একক দূরবর্তী সমান্তরাল রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) চিত্রের মূলবিন্দু ও \(\) রেখাংশের সমত্রিখন্ডণ বিন্দুদ্বয় যে ত্রিভুজ গঠন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ -\frac{3}{2};\) \((b) \ 3x+4y+3=0; \ 3x+4y-27=0;\) \((c) \ 2\) বর্গ একক।
নিজে করঃ
\(Q.4.(xix)\) একটি সরলরেখা \((-4, -5)\) বিন্দুদিয়ে গমন করে এবং অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে যেন, \(OA+2OB=0\) হয়, যেখানে \(O\) মূলবিন্দু।\((a)\) সরলরেখটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) মূলবিন্দু থেকে সরলরেখাটির লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((c)\) অক্ষদ্বয়ের সাথে সরলরেখটি যে ত্রিভুজ গঠন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ x-2y+14=0;\) \((b) \ \frac{14}{\sqrt{10}};\) \((c) \ 49\) বর্গ একক।
নিজে করঃ
\(Q.4.(xx)\) \((5x-4y-1=0)\) ও \((-8x+7y+1=0)\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু স্টেশনমাস্টারের কক্ষে অবস্থিত। \(4x+3y-5=0\) সরলরেখা বরাবর রেলপথের একটি লাইন অবস্থিত।
\((a)\) \((-1, 2)\) ও \((3, -4)\) বিন্দুগামী সরলরেখটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) স্টেশনমাস্টারের কক্ষ বিন্দু হতে রেললাইনের উপর অঙ্কিত লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) রেললাইনের সাথে \(3x-4y+6=0\) রেখা দ্বারা উৎপন্ন সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১৭ ]
উত্তরঃ \((a) \ 7x+4y=1;\) \((b) \ 3x-4y+1=0;\) \((c) \ \) বর্গ একক।
\((a)\) \(B\) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) \(D\) বিন্দু \(AC\) বাহুকে \(3:4\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করলে, \(D\) হতে \(BC\) এর লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((c)\) \(\angle ACB\) কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (2\sqrt{2}, \frac{5\pi}{4});\) \((b) \ \frac{17}{7\sqrt{2}};\)
\((c) \ 7(\sqrt{5}-1)x-7(\sqrt{54}+3)y+71=0,\) \(7(\sqrt{5}-1)x-7(\sqrt{54}-3)y-83=0 \)
\((a)\) বিন্দু দুইটির কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) রেখার উপর লম্ব এবং \((2, 3)\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(3x-2y+4=0\) এবং \(AB\) এর উপর লম্ব রেখাদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ A(1, 1), \ B(0, -2);\) \((b) \ x+3y-11=0;\) \((c) \ \pm \tan^{-1}\frac{11}{3}\)।
\((a)\) \(A\) ও \(B\) হতে সমদূরবর্তী বিন্দুসমুহের সঞ্চারপথ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর যেন, \(PA:PB=2:3\) হয়।
\((c)\) দেখাও যে, \((0, 2)\) বিন্দু এবং \(AB\) সরলরেখা হতে সমদূরবর্তী বিন্দুসমুহের সঞ্চারপথ একটি প্যারাবোলা।
উত্তরঃ \((a) \ y=3x+2;\) \((b) \ 5x^{2}+5y^{2}-44x-22y+49=0\)।
\((a)\) \(\triangle ABC\) এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AD\) \(BE\) মধ্যমাত্রয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর ।
\((c)\) দেখাও যে, \(AD\) মধ্যমা \(G\) বিন্দুতে \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়।
উত্তরঃ \((a) \ 56;\) বর্গ একক। \((b) \ 11x-y-18=0, \ x-2y-8=0;\)।
\(AB\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ \(3x-y+7=0\)।
\((a)\) \(A\) ও \(B\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং \(X\) অক্ষের সাথে রেখাটির উৎপন্ন কোণ নির্ণয় কর।
\((b)\) রেখাটির সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এবং \((-1, 2)\) বিন্দুগানী এরূপ রেখাগুলির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \((2, -1)\) বিন্দু হতে রেখাটির উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (-\frac{7}{3}, 0), \ (0, 7), \ \tan^{-1}(\pm 3);\)
\((b) \ y+2x=0, x-2y+5=0, \ x-2y-8=0;\) \((c) \ (-\frac{11}{5}, \frac{2}{5})\)
\((a)\) মূলবিন্দু ও \((-2, -5)\) বিন্দুগামী রেখা \(X\) অক্ষের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর।
\((b)\) সরলরেখটির সমীকরণ নির্ণয় কর।।
\((c)\) মূলবিন্দু হতে সরলরেখটির লম্ব দূরত্ব এবং লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \tan^{-1}\frac{5}{2}\) \((b) \ x-2y-8=0;\)
\((c) \ \frac{8}{\sqrt{5}}, 2x+y=0 \)
\((a)\) \(C\) বিন্দুর স্থানাংক নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AC\) কর্ণের দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(OB\) কর্ণের দৈর্ঘ্য এবং \(OABC\) এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (-1, 2);\) \((b) \ 2\sqrt{2}, \ x-y+3=0;\) \((c) \ 2\sqrt{2},\ 6\) বর্গ একক।
\(A(3, 2)\), \(B(2, -1)\), \(C(8, -3)\), \(D(x, y)\)
\((a)\) \(AB\) এর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(ABCD\) আয়ত গঠন করলে \(D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \(ABC\) ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, \(ABC\) সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে।
উত্তরঃ \((a) \ 3x-y-7=0;\) \((b) \ (9, 12);\) \((c) \ (\frac{13}{3}, -\frac{2}{3})\)
\(A(h, k)\) বিন্দুটি \(6x-y=1\) রেখার উপর অবস্থিত এবং \(B(k, h)\) বিন্দুটি \(2x-5y=5\) রেখার উপর অবস্থিত
\((a)\) \(\sqrt{3}x+y+5=0\) সরলরেখা \(X\) অক্ষের সহিত যে কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকের সরলরেখা দুইটির মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 120^{o};\) \((b) \ x+y-6=0;\)
\((c) \ (6\sqrt{29}+2\sqrt{37})x-(\sqrt{29}+5\sqrt{37})y-(\sqrt{29}+5\sqrt{37})=0\)
\(A(1, 1)\), \(B(3, 4)\), \(C(5, -2)\), \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষত্রয়।
\((a)\) \((0, 2)\) বিন্দু থেকে \(AB\) এর সংযোগ সরলরেখার লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\triangle ABC\) এর \(A\) থেকে \(BC\) এর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\((c)\) \(AB\) ও \(AC\) এর মধ্যবিন্দুর সংযোগ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, তা \(BC\) এর সমান্তরাল।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{5}{\sqrt{13}};\) \((b) \ \frac{9\sqrt{10}}{10};\)
\((c) \ 6x+2y=17\)
\(3x+by+1=0 ........(1)\)
\(ax+6y+1=0 ........(2)\)
\((a)\) \((1)\) ও \((2)\) উভয় \((5, 4)\) বিন্দুগামী হলে \(a\) ও \(b\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) প্রদত্ত সরলরেখা দুইটির ছেদবিন্দুগুলি ও মূলবিন্দুগামী সরলরেখার লম্ব সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) প্রদত্ত সরলরেখা দুইটির ছেদবিন্দুগামী সরলরেখা \(\) অক্ষের সমান্তরাল হলে তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ a=-4, \ b=-5;\) \((b) \ 7x+11y-18=0;\)
\((c) \ 2y-7=0\)
\((a)\) \(AD\) মধ্যমার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) দেখাও যে, \(AB\) ও \(AC\) এর মধ্যবিন্দুর সংযোগ সরলরেখা \(BC\) এর সমান্তরাল।
\((c)\) \(AB\) ও \(AC\) এর মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 2x-3y+1=0;\) \((c) \ \tan^{-1}(\frac{18}{17})\)।
\((a)\) মূলবিন্দু থেকে \(3x-y+7=0\) রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\((b)\) \((-1, 2)\) বিন্দু থেকে \(\sqrt{10}\) একক দূরবর্তী এবং \(3x-y+7=0\) সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকের সরলরেখা দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{7}{\sqrt{10}}\) একক।
\((b) \ 3x-y+17=0, \ 3x-y-3=0;\) \((c) \ 2x+y=0, \ x-2y+5=0\)
\(2x-3y+4=0 ........(1)\)
\(3x+3y-5=0 ........(2)\)
\((a)\) রেখাদ্বয়ের ঢালের গুণফল নির্ণয় কর।
\((b)\) \((2, -1)\) বিন্দু থেকে প্রথম সরলরেখটির উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকের সরলরেখা দুইটির ছেদবিন্দুগামী এবং \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ -\frac{2}{3}\)। \((b) \ (\frac{56}{13}, \frac{20}{13});\) \((c) \ 5x-1=0\)
\(A(2, 1)\), \(B(5, 2)\)
\((a)\) \(AB\) দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) এর লম্ব সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(AB\) এর সমান্তরাল এবং \(AB\) থেকে \(\sqrt{10}\) একক দূরবর্তী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \sqrt{10}\) একক। \((b) \ 3x+y=12;\) \((c) \ x-3y-9=0, \ x-3y+11=0\)
\(y=2x+1 ........(1)\)
\(2y-x=4 ........(2)\)
\((a)\) \(3x-2y=1\) ও \(6x-4y+9=0\) রেখাদুইটির মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((b)\) উদ্দীপকের রেখা দুইটি \(Y\) অক্ষকে যথাক্রমে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করলে, \(PQ\) দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((c)\) মূলবিন্দু থেকে \(\sqrt{5}\) একক দূরবর্তী এবং উদ্দীপকের দ্বিতীয় সরলরেখার উপর লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{11}{2\sqrt{13}}\) একক।
\((b) \ 1\frac{1}{3}\) একক। \((c) \ 2x-y\pm 5=0 \)
\((a)\) \(AB\) রেখার ঢাল নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) রেখার \(4\) একক দূরবর্তী সমান্তরাল রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(AB\) রেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খণ্ডিতাংশের ত্রিখন্ডক বিন্দুদ্বয়ের সঙ্গে মূলবিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ -\frac{1}{3};\) \((b) \ x+3y\pm 4\sqrt{10}-9=0\)।
\((c) \ x-6y=0, \ 2x-3y=0\)
\((a)\) \(CD\) ও \(DE\) ঢালদ্বয়ের গুণফল নির্ণয় কর।
\((b)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা উদ্দীপকের \((-4, 4)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে যেন, \(OA-OB=2\) হয়, যেখানে \(O\) মূলবিন্দু।
\((c)\) উদ্দীপকের \(CD\) সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্ব \(DF\) রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ -\frac{2}{21}\) একক।
\((b) 2x+y+4=0, \ x+2y-4=0\). \((c) \ 91x+26y-215=0 \)
\((a)\) রেখাটি দ্বারা অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিতাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) উপরোক্ত খন্ডিতাংশ অক্ষদ্বয়ের সাথে যে ত্রিভুজ গঠন তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((c)\) মূলবিন্দু হতে প্রদত্ত রেখাটির উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (-\frac{7}{2}, -\frac{7}{4})\)। \((b) \frac{49}{4}\) বর্গ একক।
\((c) \ (-\frac{7}{5}, -\frac{14}{5}) \)
\((a)\) \(A\) ও \(B\) বিন্দুগামী রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।
\((b)\) প্রদত্ত রেখাটি \(X\) অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে ঐ বিন্দুতে রেখাটির উপর লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\)\(A\) ও \(B\) এর সংযোগকারী রেখাকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে এরূপ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর এবং রেখাটি \(Y\) অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{1}{3}\)। \((b) \ ax+by=a^{2}\)। \((c) \ y-12=0, \ (0, 12)\)
\(AB\) রেখাংশের সমীকরণ \(3x-y+7=0\).
\((a)\) \(AB\) রেখাংশকে কোনো বর্গের বাহু বিবেচনা করে বর্গের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((b)\) রেখাটির সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এবং \((-1, 2)\) বিন্দুগামী এরূপ রেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \((2, -1)\) বিন্দু হতে রেটির উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 54\frac{4}{9};\) বর্গ একক। \((b) \ 2x+y=0, \ x-2y+5=0\)।
\((c) \ (-\frac{11}{5}, \frac{2}{5})\)
\((a)\) \((-1, 2)\) ও \((3, -4)\) বিন্দুগামী সরলরেখটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) স্টেশনমাস্টারের কক্ষ বিন্দু হতে রেললাইনের উপর অঙ্কিত লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) রেললাইনের সাথে \(3x-4y+6=0\) রেখা দ্বারা উৎপন্ন সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১৭ ]
উত্তরঃ \((a) \ 7x+4y=1;\) \((b) \ 3x-4y+1=0;\) \((c) \ \) বর্গ একক।
নিজে করঃ
\(Q.4.(xxi)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,\((a)\) \(B\) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) \(D\) বিন্দু \(AC\) বাহুকে \(3:4\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করলে, \(D\) হতে \(BC\) এর লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((c)\) \(\angle ACB\) কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (2\sqrt{2}, \frac{5\pi}{4});\) \((b) \ \frac{17}{7\sqrt{2}};\)
\((c) \ 7(\sqrt{5}-1)x-7(\sqrt{54}+3)y+71=0,\) \(7(\sqrt{5}-1)x-7(\sqrt{54}-3)y-83=0 \)
নিজে করঃ
\(Q.4.(xxii)\) দুইটি বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(A(\sqrt{2}, \frac{\pi}{4})\) ও \(B(2, 270^{o})\)।\((a)\) বিন্দু দুইটির কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) রেখার উপর লম্ব এবং \((2, 3)\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(3x-2y+4=0\) এবং \(AB\) এর উপর লম্ব রেখাদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ A(1, 1), \ B(0, -2);\) \((b) \ x+3y-11=0;\) \((c) \ \pm \tan^{-1}\frac{11}{3}\)।
নিজে করঃ
\(Q.4.(xxiii)\) \(A(2, 3)\) ও \(B(-1, 4)\) দুইটি স্থীর বিন্দু।\((a)\) \(A\) ও \(B\) হতে সমদূরবর্তী বিন্দুসমুহের সঞ্চারপথ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর যেন, \(PA:PB=2:3\) হয়।
\((c)\) দেখাও যে, \((0, 2)\) বিন্দু এবং \(AB\) সরলরেখা হতে সমদূরবর্তী বিন্দুসমুহের সঞ্চারপথ একটি প্যারাবোলা।
উত্তরঃ \((a) \ y=3x+2;\) \((b) \ 5x^{2}+5y^{2}-44x-22y+49=0\)।
নিজে করঃ
\(Q.4.(xxiv)\) \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দুত্রয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(B(2, 4)\), \(B(-4, -6)\) এবং \(B(6, -8)\)। মধ্যমাত্রয় \(AD\), \(BE\) এবং \(CF\); \(G\) বিন্দুতে ছেদ করে।\((a)\) \(\triangle ABC\) এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AD\) \(BE\) মধ্যমাত্রয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর ।
\((c)\) দেখাও যে, \(AD\) মধ্যমা \(G\) বিন্দুতে \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়।
উত্তরঃ \((a) \ 56;\) বর্গ একক। \((b) \ 11x-y-18=0, \ x-2y-8=0;\)।
নিজে করঃ
\(Q.4.(xxv)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,\(AB\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ \(3x-y+7=0\)।
\((a)\) \(A\) ও \(B\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং \(X\) অক্ষের সাথে রেখাটির উৎপন্ন কোণ নির্ণয় কর।
\((b)\) রেখাটির সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এবং \((-1, 2)\) বিন্দুগানী এরূপ রেখাগুলির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \((2, -1)\) বিন্দু হতে রেখাটির উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (-\frac{7}{3}, 0), \ (0, 7), \ \tan^{-1}(\pm 3);\)
\((b) \ y+2x=0, x-2y+5=0, \ x-2y-8=0;\) \((c) \ (-\frac{11}{5}, \frac{2}{5})\)
নিজে করঃ
\(Q.4.(xxvi)\) একটি সরলরেখা \((-2, -5)\) বিন্দুদিয়ে গমন করে এবং অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে যেন, \(OA+2OB=0\) হয়, যেখানে \(O\) মূলবিন্দু।\((a)\) মূলবিন্দু ও \((-2, -5)\) বিন্দুগামী রেখা \(X\) অক্ষের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর।
\((b)\) সরলরেখটির সমীকরণ নির্ণয় কর।।
\((c)\) মূলবিন্দু হতে সরলরেখটির লম্ব দূরত্ব এবং লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \tan^{-1}\frac{5}{2}\) \((b) \ x-2y-8=0;\)
\((c) \ \frac{8}{\sqrt{5}}, 2x+y=0 \)
নিজে করঃ
\(Q.4.(xxvii)\) \(OABC\) একটি সামান্তরিক। \(X\) অক্ষ বরাবর \(OA\) অবস্থিত। \(OC\) এর সমীকরণ \(y=-2x\) এবং \(B\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((-4, 2)\)।\((a)\) \(C\) বিন্দুর স্থানাংক নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AC\) কর্ণের দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(OB\) কর্ণের দৈর্ঘ্য এবং \(OABC\) এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (-1, 2);\) \((b) \ 2\sqrt{2}, \ x-y+3=0;\) \((c) \ 2\sqrt{2},\ 6\) বর্গ একক।
নিজে করঃ
\(Q.4.(xxviii)\) নিচের বিন্দু চারটি লক্ষ কর।\(A(3, 2)\), \(B(2, -1)\), \(C(8, -3)\), \(D(x, y)\)
\((a)\) \(AB\) এর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(ABCD\) আয়ত গঠন করলে \(D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \(ABC\) ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, \(ABC\) সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে।
উত্তরঃ \((a) \ 3x-y-7=0;\) \((b) \ (9, 12);\) \((c) \ (\frac{13}{3}, -\frac{2}{3})\)
নিজে করঃ
\(Q.4.(xxix)\) নিচের উদ্দীপকটি লক্ষ কর।\(A(h, k)\) বিন্দুটি \(6x-y=1\) রেখার উপর অবস্থিত এবং \(B(k, h)\) বিন্দুটি \(2x-5y=5\) রেখার উপর অবস্থিত
\((a)\) \(\sqrt{3}x+y+5=0\) সরলরেখা \(X\) অক্ষের সহিত যে কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকের সরলরেখা দুইটির মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 120^{o};\) \((b) \ x+y-6=0;\)
\((c) \ (6\sqrt{29}+2\sqrt{37})x-(\sqrt{29}+5\sqrt{37})y-(\sqrt{29}+5\sqrt{37})=0\)
নিজে করঃ
\(Q.4.(xxx)\) নিচের উদ্দীপকটি লক্ষ কর।\(A(1, 1)\), \(B(3, 4)\), \(C(5, -2)\), \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষত্রয়।
\((a)\) \((0, 2)\) বিন্দু থেকে \(AB\) এর সংযোগ সরলরেখার লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\triangle ABC\) এর \(A\) থেকে \(BC\) এর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\((c)\) \(AB\) ও \(AC\) এর মধ্যবিন্দুর সংযোগ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, তা \(BC\) এর সমান্তরাল।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{5}{\sqrt{13}};\) \((b) \ \frac{9\sqrt{10}}{10};\)
\((c) \ 6x+2y=17\)
নিজে করঃ
\(Q.4.(xxxi)\) সমীকরণ দুইটি লক্ষণীয় ।\(3x+by+1=0 ........(1)\)
\(ax+6y+1=0 ........(2)\)
\((a)\) \((1)\) ও \((2)\) উভয় \((5, 4)\) বিন্দুগামী হলে \(a\) ও \(b\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) প্রদত্ত সরলরেখা দুইটির ছেদবিন্দুগুলি ও মূলবিন্দুগামী সরলরেখার লম্ব সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) প্রদত্ত সরলরেখা দুইটির ছেদবিন্দুগামী সরলরেখা \(\) অক্ষের সমান্তরাল হলে তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ a=-4, \ b=-5;\) \((b) \ 7x+11y-18=0;\)
\((c) \ 2y-7=0\)
নিজে করঃ
\(Q.4.(xxxii)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,\((a)\) \(AD\) মধ্যমার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) দেখাও যে, \(AB\) ও \(AC\) এর মধ্যবিন্দুর সংযোগ সরলরেখা \(BC\) এর সমান্তরাল।
\((c)\) \(AB\) ও \(AC\) এর মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 2x-3y+1=0;\) \((c) \ \tan^{-1}(\frac{18}{17})\)।
নিজে করঃ
\(Q.4.(xxxiii)\) দুইটি সরলরেখা \((-1, 2)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(3x-y+7=0\) সরলরেখার সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে।\((a)\) মূলবিন্দু থেকে \(3x-y+7=0\) রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\((b)\) \((-1, 2)\) বিন্দু থেকে \(\sqrt{10}\) একক দূরবর্তী এবং \(3x-y+7=0\) সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকের সরলরেখা দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{7}{\sqrt{10}}\) একক।
\((b) \ 3x-y+17=0, \ 3x-y-3=0;\) \((c) \ 2x+y=0, \ x-2y+5=0\)
নিজে করঃ
\(Q.4.(xxxiv)\) সমীকরণ দুইটি লক্ষণীয় ।\(2x-3y+4=0 ........(1)\)
\(3x+3y-5=0 ........(2)\)
\((a)\) রেখাদ্বয়ের ঢালের গুণফল নির্ণয় কর।
\((b)\) \((2, -1)\) বিন্দু থেকে প্রথম সরলরেখটির উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকের সরলরেখা দুইটির ছেদবিন্দুগামী এবং \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ -\frac{2}{3}\)। \((b) \ (\frac{56}{13}, \frac{20}{13});\) \((c) \ 5x-1=0\)
নিজে করঃ
\(Q.4.(xxxv)\) নিচের বিন্দু দুইটি একটি ত্রিভুজের দুইটি শীর্ষবিন্দু ।\(A(2, 1)\), \(B(5, 2)\)
\((a)\) \(AB\) দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) এর লম্ব সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(AB\) এর সমান্তরাল এবং \(AB\) থেকে \(\sqrt{10}\) একক দূরবর্তী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \sqrt{10}\) একক। \((b) \ 3x+y=12;\) \((c) \ x-3y-9=0, \ x-3y+11=0\)
নিজে করঃ
\(Q.4.(xxxvi)\) সমীকরণ দুইটি লক্ষণীয় ।\(y=2x+1 ........(1)\)
\(2y-x=4 ........(2)\)
\((a)\) \(3x-2y=1\) ও \(6x-4y+9=0\) রেখাদুইটির মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((b)\) উদ্দীপকের রেখা দুইটি \(Y\) অক্ষকে যথাক্রমে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করলে, \(PQ\) দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((c)\) মূলবিন্দু থেকে \(\sqrt{5}\) একক দূরবর্তী এবং উদ্দীপকের দ্বিতীয় সরলরেখার উপর লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{11}{2\sqrt{13}}\) একক।
\((b) \ 1\frac{1}{3}\) একক। \((c) \ 2x-y\pm 5=0 \)
নিজে করঃ
\(Q.4.(xxxvii)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,\((a)\) \(AB\) রেখার ঢাল নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) রেখার \(4\) একক দূরবর্তী সমান্তরাল রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(AB\) রেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খণ্ডিতাংশের ত্রিখন্ডক বিন্দুদ্বয়ের সঙ্গে মূলবিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ -\frac{1}{3};\) \((b) \ x+3y\pm 4\sqrt{10}-9=0\)।
\((c) \ x-6y=0, \ 2x-3y=0\)
নিজে করঃ
\(Q.4.(xxxviii)\) \((-4, 4)\) একটি নির্দিষ্ট বিন্দু। \(CD\) রেখার সমীকরণ \(2x-7y+11=0\) এবং \(DE\) রেখার সমীকরণ \(x+3y-8=0\).\((a)\) \(CD\) ও \(DE\) ঢালদ্বয়ের গুণফল নির্ণয় কর।
\((b)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা উদ্দীপকের \((-4, 4)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে যেন, \(OA-OB=2\) হয়, যেখানে \(O\) মূলবিন্দু।
\((c)\) উদ্দীপকের \(CD\) সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্ব \(DF\) রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ -\frac{2}{21}\) একক।
\((b) 2x+y+4=0, \ x+2y-4=0\). \((c) \ 91x+26y-215=0 \)
নিজে করঃ
\(Q.4.(xxxix)\) \(x+2y+7=0\) একটি সরলরেখার সমীকরণ ।\((a)\) রেখাটি দ্বারা অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিতাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) উপরোক্ত খন্ডিতাংশ অক্ষদ্বয়ের সাথে যে ত্রিভুজ গঠন তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((c)\) মূলবিন্দু হতে প্রদত্ত রেখাটির উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (-\frac{7}{2}, -\frac{7}{4})\)। \((b) \frac{49}{4}\) বর্গ একক।
\((c) \ (-\frac{7}{5}, -\frac{14}{5}) \)
নিজে করঃ
\(Q.4.(xL)\) \(A(2, 1)\) এবং \(B(5, 2)\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=1\) একটি সরলরেখার সমীকরণ ।\((a)\) \(A\) ও \(B\) বিন্দুগামী রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।
\((b)\) প্রদত্ত রেখাটি \(X\) অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে ঐ বিন্দুতে রেখাটির উপর লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\)\(A\) ও \(B\) এর সংযোগকারী রেখাকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে এরূপ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর এবং রেখাটি \(Y\) অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{1}{3}\)। \((b) \ ax+by=a^{2}\)। \((c) \ y-12=0, \ (0, 12)\)
নিজে করঃ
\(Q.4.(xLi)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,\(AB\) রেখাংশের সমীকরণ \(3x-y+7=0\).
\((a)\) \(AB\) রেখাংশকে কোনো বর্গের বাহু বিবেচনা করে বর্গের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((b)\) রেখাটির সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এবং \((-1, 2)\) বিন্দুগামী এরূপ রেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \((2, -1)\) বিন্দু হতে রেটির উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 54\frac{4}{9};\) বর্গ একক। \((b) \ 2x+y=0, \ x-2y+5=0\)।
\((c) \ (-\frac{11}{5}, \frac{2}{5})\)
নিজে করঃ
\(Q.4.(i)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ \(3x-4y+8=0\)।
\((a)\) সরলরেখার ঢাল বলতে কি বুঝ? উপরে উল্লেখিত সরলরেখার ঢাল এবং \(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশের পরিমাণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0\) এবং \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0\) সমীকরণ দুইটি একই সরলরেখা নির্দেশ করার শর্তটি লিখ।
\((c)\) \(ax+by+c=0\) এবং \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=P\) সমীকরণ দুইটি একই সরলরেখা সূচীত করলে, \(P\) এর মান \(a, b, c\) এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{3}{4}, 2;\) \((c) \ P=\pm \frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\) ।
\((a)\) সরলরেখার ঢাল বলতে কি বুঝ? উপরে উল্লেখিত সরলরেখার ঢাল এবং \(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশের পরিমাণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0\) এবং \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0\) সমীকরণ দুইটি একই সরলরেখা নির্দেশ করার শর্তটি লিখ।
\((c)\) \(ax+by+c=0\) এবং \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=P\) সমীকরণ দুইটি একই সরলরেখা সূচীত করলে, \(P\) এর মান \(a, b, c\) এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{3}{4}, 2;\) \((c) \ P=\pm \frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\) ।
সমাধানঃ
\(Q.4.(i).(a)\) সরলরেখার ঢালঃ কোনো সরলরেখা \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত যে কোণ উৎপন্ন করে তার \(tangent\) অনুপাতকে ঐ সরলরেখার ঢাল বলে।
ধরি, \(3x-4y+8=0 .......(1)\)
\((i)\) এর ঢাল \( =-\frac{3}{-4}\)
\( =\frac{3}{4}\)
\((1)\) হতে পাই,
\(3x-4y=-8\)
\(\Rightarrow \frac{3x}{-8}-\frac{4y}{-8}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(-8\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x}{\frac{-8}{3}}+\frac{y}{2}=1\)
\(\therefore Y\) অক্ষের ছেদিতাংশের পরিমাণ \(=2\)
\(Q.4.(i).(b)\) ধরি,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 .......(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 .......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সমীকরণের একই সরলরেখা প্রকাশ করার শর্তটি নিম্নরূপ।
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)
\(Q.4.(i).(c)\)
ধরি,
\(ax+by+c=0 ...........(1)\)
\(x\cos\alpha+y\sin\alpha-P=0 .........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সমীকরণের একই সরলরেখা প্রকাশ করবে যদি,
\(\frac{a}{\cos\alpha}=\frac{b}{\sin\alpha}=\frac{c}{-P}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{\cos\alpha}=\frac{c}{-P}, \frac{b}{\sin\alpha}=\frac{c}{-P}\)
\(\Rightarrow c\cos\alpha=-aP, c\sin\alpha=-bP\)
\(\Rightarrow \cos\alpha=-\frac{aP}{c}, \sin\alpha=-\frac{bP}{c}\)
\(\cos\alpha=-\frac{aP}{c} .........(3)\)
\(\sin\alpha=-\frac{bP}{c} .........(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) নং সমীকরণ বর্গ করে যোগ করি,
\(\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha=\frac{a^{2}P^{2}}{c^{2}}+\frac{b^{2}P^{2}}{c^{2}} \)
\(\Rightarrow 1=\frac{a^{2}P^{2}+b^{2}P^{2}}{c^{2}} \)
\(\Rightarrow 1=P^{2}.\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}} \)
\(\Rightarrow P^{2}.\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}}=1 \)
\(\Rightarrow P^{2}=\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}} \)
\(\Rightarrow P=\pm \sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}} \)
\(\therefore P=\pm \frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \)
ধরি, \(3x-4y+8=0 .......(1)\)
\((i)\) এর ঢাল \( =-\frac{3}{-4}\)
\( =\frac{3}{4}\)
\((1)\) হতে পাই,
\(3x-4y=-8\)
\(\Rightarrow \frac{3x}{-8}-\frac{4y}{-8}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(-8\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x}{\frac{-8}{3}}+\frac{y}{2}=1\)
\(\therefore Y\) অক্ষের ছেদিতাংশের পরিমাণ \(=2\)
\(Q.4.(i).(b)\) ধরি,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 .......(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 .......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সমীকরণের একই সরলরেখা প্রকাশ করার শর্তটি নিম্নরূপ।
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)
\(Q.4.(i).(c)\)
ধরি,
\(ax+by+c=0 ...........(1)\)
\(x\cos\alpha+y\sin\alpha-P=0 .........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সমীকরণের একই সরলরেখা প্রকাশ করবে যদি,
\(\frac{a}{\cos\alpha}=\frac{b}{\sin\alpha}=\frac{c}{-P}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{\cos\alpha}=\frac{c}{-P}, \frac{b}{\sin\alpha}=\frac{c}{-P}\)
\(\Rightarrow c\cos\alpha=-aP, c\sin\alpha=-bP\)
\(\Rightarrow \cos\alpha=-\frac{aP}{c}, \sin\alpha=-\frac{bP}{c}\)
\(\cos\alpha=-\frac{aP}{c} .........(3)\)
\(\sin\alpha=-\frac{bP}{c} .........(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) নং সমীকরণ বর্গ করে যোগ করি,
\(\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha=\frac{a^{2}P^{2}}{c^{2}}+\frac{b^{2}P^{2}}{c^{2}} \)
\(\Rightarrow 1=\frac{a^{2}P^{2}+b^{2}P^{2}}{c^{2}} \)
\(\Rightarrow 1=P^{2}.\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}} \)
\(\Rightarrow P^{2}.\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}}=1 \)
\(\Rightarrow P^{2}=\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}} \)
\(\Rightarrow P=\pm \sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}} \)
\(\therefore P=\pm \frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \)
\(Q.4.(ii)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ \(3x-2y+4=0\)।
\((a)\) \(y=m_{1}x+c_{1}\) এবং \(y=m_{2}x+c_{2}\) সরলরেখা দুইটি পরস্পর লম্ব হলে, দেখাও যে,\(m_{1}m_{2}=-1\) ।
\((b)\) \(x=2\) এবং \(y=2\) সরলরেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণসমুহের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর। দেখাও যে, একটি সমদ্বিখন্ডক অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
\((c)\) একটি সরলরেখা \((-3, 2)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং \(X\) অক্ষের সাথে \(120^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) \ x-y=0; \ x+y-4=0.\) \((c) \ \sqrt{3}x+y+3\sqrt{3}-2=0\) ।
\((a)\) \(y=m_{1}x+c_{1}\) এবং \(y=m_{2}x+c_{2}\) সরলরেখা দুইটি পরস্পর লম্ব হলে, দেখাও যে,\(m_{1}m_{2}=-1\) ।
\((b)\) \(x=2\) এবং \(y=2\) সরলরেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণসমুহের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর। দেখাও যে, একটি সমদ্বিখন্ডক অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
\((c)\) একটি সরলরেখা \((-3, 2)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং \(X\) অক্ষের সাথে \(120^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) \ x-y=0; \ x+y-4=0.\) \((c) \ \sqrt{3}x+y+3\sqrt{3}-2=0\) ।
সমাধানঃ
\(Q.4.(ii).(a)\) ধরি,
\(y=m_{1}x+c_{1} .........(1)\)
\(y=m_{2}x+c_{2} .........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) সরলরেখার ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}\) ও \(m_{2}\) ।
তাদের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta=\tan^{-1}(\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})\)
সরলরেখা দুইটি পরস্পর লম্ব হলে, \(\theta=90^{o}\) হবে।
\(\therefore 90^{o}=\tan^{-1}(\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}(\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})=90^{o}\)
\(\Rightarrow \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}=\tan90^{o}\)
\(\Rightarrow \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}=\frac{1}{0}\)
\(\Rightarrow 1+m_{1}m_{2}=0(m_{1}-m_{2})\)
\(\Rightarrow 1+m_{1}m_{2}=0\)
\(\therefore m_{1}m_{2}=-1\)
\(Q.4.(ii).(b)\)
ধরি,
\(x-2=0 ........(1)\)
\(y-2=0 ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর মধ্যবর্তী কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{x-2}{\sqrt{1^{2}+0^{2}}}=\pm \frac{y-2}{\sqrt{0^{2}+1^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{\sqrt{1+0}}=\pm \frac{y-2}{\sqrt{0+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{\sqrt{1}}=\pm \frac{y-2}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow x-2=\pm (y-2)\)
\(\Rightarrow x-2=y-2\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow x-2-y+2=0\)
\(\therefore x-y=0\)
আবার,
\(\Rightarrow x-2=-(y-2)\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow x-2=-y+2\)
\(\Rightarrow x-2+y-2=0\)
\(\therefore x+y-4=0\)
\(\therefore \) সমদ্বিখন্ডকদ্বয়ের সমীকরণ , \( x-y=0; \ x+y-4=0.\)
এখানে,
\(x-y=0\) সমদ্বিখন্ডকটি মূলবিন্দুগামী এবং এর ঢাল \(\tan\theta=-\frac{1}{-1}\)
\(\Rightarrow \tan\theta=1\)
\(\Rightarrow \tan\theta=\tan45^{o}\)
\(\Rightarrow \theta=45^{o}\)
\(\therefore \) সমদ্বিখন্ডকটি মূলবিন্দুগামী এবং \(X\) অক্ষের সহিত \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে।
ফলে ইহা অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণের একটি সমদ্বিখন্ডক।
\(Q.4.(ii).(c)\)
দেওয়া আছে,
\(\theta=120^{o}\)
\(\therefore \) সরলরেখাটির ঢাল \(m=\tan120^{o}\)
\(=\tan(90^{o}\times 2-60^{o})\)
\(=-\tan60^{o}\) ➜ দ্বিতীয় চৌকোণে
\(=-\sqrt{3}\)
\(\therefore (-3, 2)\) বিদুগামী এবং \(m\) ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-2=m(x+3)\)
\(\Rightarrow y-2=-\sqrt{3}(x+3)\)
\(\Rightarrow y-2=-\sqrt{3}x-3\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}x+y-2+3\sqrt{3}=0\)
\(\therefore \sqrt{3}x+y+3\sqrt{3}-2=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(y=m_{1}x+c_{1} .........(1)\)
\(y=m_{2}x+c_{2} .........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) সরলরেখার ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}\) ও \(m_{2}\) ।
তাদের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta=\tan^{-1}(\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})\)
সরলরেখা দুইটি পরস্পর লম্ব হলে, \(\theta=90^{o}\) হবে।
\(\therefore 90^{o}=\tan^{-1}(\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}(\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})=90^{o}\)
\(\Rightarrow \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}=\tan90^{o}\)
\(\Rightarrow \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}=\frac{1}{0}\)
\(\Rightarrow 1+m_{1}m_{2}=0(m_{1}-m_{2})\)
\(\Rightarrow 1+m_{1}m_{2}=0\)
\(\therefore m_{1}m_{2}=-1\)
\(Q.4.(ii).(b)\)
ধরি,
\(x-2=0 ........(1)\)
\(y-2=0 ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর মধ্যবর্তী কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{x-2}{\sqrt{1^{2}+0^{2}}}=\pm \frac{y-2}{\sqrt{0^{2}+1^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{\sqrt{1+0}}=\pm \frac{y-2}{\sqrt{0+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{\sqrt{1}}=\pm \frac{y-2}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow x-2=\pm (y-2)\)
\(\Rightarrow x-2=y-2\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow x-2-y+2=0\)
\(\therefore x-y=0\)
আবার,
\(\Rightarrow x-2=-(y-2)\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow x-2=-y+2\)
\(\Rightarrow x-2+y-2=0\)
\(\therefore x+y-4=0\)
\(\therefore \) সমদ্বিখন্ডকদ্বয়ের সমীকরণ , \( x-y=0; \ x+y-4=0.\)
এখানে,
\(x-y=0\) সমদ্বিখন্ডকটি মূলবিন্দুগামী এবং এর ঢাল \(\tan\theta=-\frac{1}{-1}\)
\(\Rightarrow \tan\theta=1\)
\(\Rightarrow \tan\theta=\tan45^{o}\)
\(\Rightarrow \theta=45^{o}\)
\(\therefore \) সমদ্বিখন্ডকটি মূলবিন্দুগামী এবং \(X\) অক্ষের সহিত \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে।
ফলে ইহা অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণের একটি সমদ্বিখন্ডক।
\(Q.4.(ii).(c)\)
দেওয়া আছে,
\(\theta=120^{o}\)
\(\therefore \) সরলরেখাটির ঢাল \(m=\tan120^{o}\)
\(=\tan(90^{o}\times 2-60^{o})\)
\(=-\tan60^{o}\) ➜ দ্বিতীয় চৌকোণে
\(=-\sqrt{3}\)
\(\therefore (-3, 2)\) বিদুগামী এবং \(m\) ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-2=m(x+3)\)
\(\Rightarrow y-2=-\sqrt{3}(x+3)\)
\(\Rightarrow y-2=-\sqrt{3}x-3\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}x+y-2+3\sqrt{3}=0\)
\(\therefore \sqrt{3}x+y+3\sqrt{3}-2=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(Q.4.(iii)\) তিনটি সরলরেখার সমীকরণ
\(x+2y+5=0 .......(1)\)
\(kx+4y-7=0 .......(2)\)
\(4x-5y+1=0 .......(3)\)
\((a)\) দুইটি সরলরেখার সমীকরণ দেওয়া হলো। এদের ঢাল নির্ণয় না করে তুমি কিভাবে বুঝবে রেখা দুইটি সমান্তরাল না পরস্পর লম্ব।
\((b)\) চিত্র অঙ্কন করে \(y=mx+c\) সমীকরণটি প্রতিষ্ঠা কর। \(m\) ও \(c\) এর ব্যাখ্যা দাও।
\((c)\) উদ্দীপকের দ্বিতীয় সমীকরণে \(k=2\) অথবা, \(5\) হলে, উক্ত রেখাত্রয় কিরূপ হবে তা বিশ্লেষণ কর।
উত্তরঃ \((c) \ (1)\) ও \((2)\) সমান্তরাল, \((2)\) ও \((3)\) পরস্পর লম্ব।
\(x+2y+5=0 .......(1)\)
\(kx+4y-7=0 .......(2)\)
\(4x-5y+1=0 .......(3)\)
\((a)\) দুইটি সরলরেখার সমীকরণ দেওয়া হলো। এদের ঢাল নির্ণয় না করে তুমি কিভাবে বুঝবে রেখা দুইটি সমান্তরাল না পরস্পর লম্ব।
\((b)\) চিত্র অঙ্কন করে \(y=mx+c\) সমীকরণটি প্রতিষ্ঠা কর। \(m\) ও \(c\) এর ব্যাখ্যা দাও।
\((c)\) উদ্দীপকের দ্বিতীয় সমীকরণে \(k=2\) অথবা, \(5\) হলে, উক্ত রেখাত্রয় কিরূপ হবে তা বিশ্লেষণ কর।
উত্তরঃ \((c) \ (1)\) ও \((2)\) সমান্তরাল, \((2)\) ও \((3)\) পরস্পর লম্ব।
সমাধানঃ
\(Q.4.(iii).(a)\)
দুইটি সরলরেখার সমীকরণ
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) সরলরেখার পরস্পর সমান্তরাল হবে যদি,
\(a_{1}b_{2}=a_{2}b_{1}\) হয়।
আবার,
\((1)\) ও \((2)\) সরলরেখার পরস্পর লম্ব হবে যদি,
\(a_{1}a_{2}+ b_{1}b_{2}=0\)
\(Q.4.(iii).(b)\)
মনে করি, \(AB\) সরলরেখাটি \(Y\) অক্ষকে \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে এবং \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\theta\) কোণ উৎপন্ন করে। \(AB\) এর উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\) হতে \(OX\) এর উপর \(PM\) এবং \(Q\) হতে \(PM\) এর উপর \(QR\) লম্ব অঙ্কন করি।
এখানে,
\(OQ=RM=c,\) \(OM=QR=x,\) \(PM=y.\) \(\therefore PR=PM-RM=y-c\) এবং \(\angle PQR=\theta\).
তাহলে,
\(\tan\theta=\frac{PR}{QR}\)
\(\Rightarrow \tan\theta=\frac{y-c}{x}\)
\(\Rightarrow m=\frac{y-c}{x}\) ➜ \(\because m=\tan\theta\)
\(\Rightarrow y-c=mx \)
\(\Rightarrow y=mx+c \)
\(\therefore\) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ \(y=mx+c\).
\(Q.4.(iii).(c)\) উদ্দীপকের দ্বিতীয় সমীকরণে \(k=2\) হলে,
সমীকরণটি দাঁড়ায়,
\(x+2y+5=0 .......(1)\)
\(2x+4y-7=0\)
\(\Rightarrow 2(x+2y-\frac{7}{2})=0\)
\(\Rightarrow x+2y-\frac{7}{2}=\)
\(\Rightarrow x+2y-\frac{7}{2}=0 .......(2)\)
\(4x-5y+1=0 .......(3)\)
এ ক্ষেত্রে,
\((1)\) ও \((2)\) সমান্তরাল।
আবার,
উদ্দীপকের দ্বিতীয় সমীকরণে \(k=5\) হলে,
সমীকরণটি দাঁড়ায়,
\(x+2y+5=0 .......(1)\)
\(5x+4y-7=0 .......(2)\)
\(4x-5y+1=0 .......(3)\)
এ ক্ষেত্রে,
\((2)\) ও \((3)\) পরস্পর লম্ব।
দুইটি সরলরেখার সমীকরণ
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) সরলরেখার পরস্পর সমান্তরাল হবে যদি,
\(a_{1}b_{2}=a_{2}b_{1}\) হয়।
আবার,
\((1)\) ও \((2)\) সরলরেখার পরস্পর লম্ব হবে যদি,
\(a_{1}a_{2}+ b_{1}b_{2}=0\)
\(Q.4.(iii).(b)\)
মনে করি, \(AB\) সরলরেখাটি \(Y\) অক্ষকে \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে এবং \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\theta\) কোণ উৎপন্ন করে। \(AB\) এর উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\) হতে \(OX\) এর উপর \(PM\) এবং \(Q\) হতে \(PM\) এর উপর \(QR\) লম্ব অঙ্কন করি।
এখানে,
\(OQ=RM=c,\) \(OM=QR=x,\) \(PM=y.\) \(\therefore PR=PM-RM=y-c\) এবং \(\angle PQR=\theta\).
তাহলে,
\(\tan\theta=\frac{PR}{QR}\)
\(\Rightarrow \tan\theta=\frac{y-c}{x}\)
\(\Rightarrow m=\frac{y-c}{x}\) ➜ \(\because m=\tan\theta\)
\(\Rightarrow y-c=mx \)
\(\Rightarrow y=mx+c \)
\(\therefore\) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ \(y=mx+c\).
\(Q.4.(iii).(c)\) উদ্দীপকের দ্বিতীয় সমীকরণে \(k=2\) হলে,
সমীকরণটি দাঁড়ায়,
\(x+2y+5=0 .......(1)\)
\(2x+4y-7=0\)
\(\Rightarrow 2(x+2y-\frac{7}{2})=0\)
\(\Rightarrow x+2y-\frac{7}{2}=\)
\(\Rightarrow x+2y-\frac{7}{2}=0 .......(2)\)
\(4x-5y+1=0 .......(3)\)
এ ক্ষেত্রে,
\((1)\) ও \((2)\) সমান্তরাল।
আবার,
উদ্দীপকের দ্বিতীয় সমীকরণে \(k=5\) হলে,
সমীকরণটি দাঁড়ায়,
\(x+2y+5=0 .......(1)\)
\(5x+4y-7=0 .......(2)\)
\(4x-5y+1=0 .......(3)\)
এ ক্ষেত্রে,
\((2)\) ও \((3)\) পরস্পর লম্ব।
\(Q.4.(iv)\) \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=p\) সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((a)\) \(A(8, 5)\) \(B(-4, -3)\) রেখার লম্বদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\alpha \) কে পরিবর্তনশীল ধরে \(AB\) এর মধ্যবিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(5x-9y+13=0\) ও \(9x-5y+11=0\) রেখা দুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(X\) অক্ষের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 3x+2y=8;\) \((b) \ P^{2}(x^{2}+y^{2})=4x^{2}y^{2};\)
\((c) \ 7x-7y+12=0, 2x+2y-1=0\) ।
\((a)\) \(A(8, 5)\) \(B(-4, -3)\) রেখার লম্বদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\alpha \) কে পরিবর্তনশীল ধরে \(AB\) এর মধ্যবিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(5x-9y+13=0\) ও \(9x-5y+11=0\) রেখা দুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(X\) অক্ষের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 3x+2y=8;\) \((b) \ P^{2}(x^{2}+y^{2})=4x^{2}y^{2};\)
\((c) \ 7x-7y+12=0, 2x+2y-1=0\) ।
সমাধানঃ
\(Q.4.(iv).(a)\) দেওয়া আছে,
\(A(8, 5)\) \(B(-4, -3)\)
\(AB\) এর ঢাল \(=\frac{5+3}{8+4}\)
\(=\frac{8}{12}\)
\(=\frac{2}{3}\)
\(AB\) এর উপর লম্ব সরলরেখার ঢাল \(m=-\frac{3}{2}\)
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(C(\frac{8-4}{2}, \frac{5-3}{2})\)
\(\Rightarrow C(\frac{4}{2}, \frac{2}{2})\)
\(\therefore C(2, 1)\)
\(C(2, 1)\) বিন্দুগামী এবং \(m\) ঢাবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-1=m(x-2)\)
\(\Rightarrow y-1=-\frac{3}{2}(x-2)\)
\(\Rightarrow 2(y-1)=-3(x-2)\)
\(\Rightarrow 2y-2=-3x+6\)
\(\Rightarrow 2y-2+3x-6=0\)
\(\Rightarrow 3x+2y-8=0\)
\(\therefore 3x+2y=8\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(Q.4.(iv).(b)\)
মনে করি, \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=p ........(1)\)
\(\Rightarrow \frac{x\cos\alpha}{p}+\frac{y\sin\alpha}{p}=\frac{p}{p}\) ➜ উভয় পার্শে \(p\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x\cos\alpha}{p}+\frac{y\sin\alpha}{p}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\frac{p}{\cos\alpha}}+\frac{y}{\frac{p}{\sin\alpha}}=1 ..........(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A(\frac{p}{\cos\alpha}, 0)\) ও \(B(0, \frac{p}{\sin\alpha})\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \((\frac{\frac{p}{\cos\alpha}+0}{2}, \frac{0+\frac{p}{\sin\alpha}}{2})\).
\(\Rightarrow (\frac{\frac{p}{\cos\alpha}}{2}, \frac{\frac{p}{\sin\alpha}}{2})\).
\(\Rightarrow (\frac{p}{2\cos\alpha}, \frac{p}{2\sin\alpha})\).
এখানে,
\(\frac{p}{2\cos\alpha}=x, \frac{p}{2\sin\alpha}=y\).
\(\Rightarrow 2x\cos\alpha=p, 2y\sin\alpha=p\).
\(\therefore \cos\alpha=\frac{p}{2x} .........(3), \sin\alpha=\frac{p}{2y} .........(4)\).
\((3)\) ও \((4)\) বর্গ করে যোগ করি,
\((\cos\alpha)^{2}+(\sin\alpha)^{2}=(\frac{p}{2x})^{2}+(\frac{p}{2y})^{2}\)
\(\Rightarrow \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=\frac{p^{2}}{4x^{2}}+\frac{p^{2}}{4y^{2}}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{p^{2}y^{2}+p^{2}x^{2}}{4x^{2}y^{2}}\)
\(\Rightarrow p^{2}y^{2}+p^{2}x^{2}=4x^{2}y^{2}\)
\(\therefore p^{2}(x^{2}+y^{2})=4x^{2}y^{2}\)
দেখানো হলো।
\(Q.4.(iv).(c)\)
মনে করি, \(5x-9y+13=0 .......(1)\)
\(9x-5y+11=0 .......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(5x-9y+13+k(9x-5y+11)=0 ......(3)\) ➜ \(k\) শুন্য ব্যতীত যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\(\Rightarrow 5x-9y+13+9kx-5ky+11k=0\)
\(\Rightarrow (5+9k)x-(9+5k)y+(13+11k)=0 ......(4)\)
\((4)\) এর ঢাল \(=-\frac{5+9k}{-(9+5k)}\)
\(=\frac{5+9k}{9+5k}\)
শর্তমতে, \(\frac{5+9k}{9+5k}=\pm \tan45^{o}\)
\(\Rightarrow \frac{5+9k}{9+5k}=\pm 1\)
\(\Rightarrow 5+9k=9+5k\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যাবহার করে।
\(\Rightarrow 9k-5k=9-5\)
\(\Rightarrow 4k=4\)
\(\Rightarrow k=1\) ➜ উভয় পার্শে \(4\) ভাগ করে।
আবার,
\(5+9k=-9-5k\) ➜ ঋণাত্মক চিহ্ন ব্যাবহার করে।
\(\Rightarrow 9k+5k=-9-5\)
\(\Rightarrow 14k=-14\)
\(\Rightarrow k=-1\) ➜ উভয় পার্শে \(14\) গুণ করে।
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(5x-9y+13+1(9x-5y+11)=0\); যখন \(k=1\)
\(\Rightarrow 5x-9y+13+9x-5y+11=0\)
\(\Rightarrow 14x-14y+24=0\)
\(\therefore 7x-7y+12=0\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(5x-9y+13-1(9x-5y+11)=0\); যখন \(k=-1\)
\(\Rightarrow 5x-9y+13-9x+5y-11=0\)
\(\Rightarrow -4x-4y+2=0\)
\(\therefore 2x+2y-1=0\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ। \(7x-7y+12=0, \ 2x+2y-1=0\)।
\(A(8, 5)\) \(B(-4, -3)\)
\(AB\) এর ঢাল \(=\frac{5+3}{8+4}\)
\(=\frac{8}{12}\)
\(=\frac{2}{3}\)
\(AB\) এর উপর লম্ব সরলরেখার ঢাল \(m=-\frac{3}{2}\)
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(C(\frac{8-4}{2}, \frac{5-3}{2})\)
\(\Rightarrow C(\frac{4}{2}, \frac{2}{2})\)
\(\therefore C(2, 1)\)
\(C(2, 1)\) বিন্দুগামী এবং \(m\) ঢাবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-1=m(x-2)\)
\(\Rightarrow y-1=-\frac{3}{2}(x-2)\)
\(\Rightarrow 2(y-1)=-3(x-2)\)
\(\Rightarrow 2y-2=-3x+6\)
\(\Rightarrow 2y-2+3x-6=0\)
\(\Rightarrow 3x+2y-8=0\)
\(\therefore 3x+2y=8\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(Q.4.(iv).(b)\)
মনে করি, \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=p ........(1)\)
\(\Rightarrow \frac{x\cos\alpha}{p}+\frac{y\sin\alpha}{p}=\frac{p}{p}\) ➜ উভয় পার্শে \(p\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x\cos\alpha}{p}+\frac{y\sin\alpha}{p}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\frac{p}{\cos\alpha}}+\frac{y}{\frac{p}{\sin\alpha}}=1 ..........(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A(\frac{p}{\cos\alpha}, 0)\) ও \(B(0, \frac{p}{\sin\alpha})\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \((\frac{\frac{p}{\cos\alpha}+0}{2}, \frac{0+\frac{p}{\sin\alpha}}{2})\).
\(\Rightarrow (\frac{\frac{p}{\cos\alpha}}{2}, \frac{\frac{p}{\sin\alpha}}{2})\).
\(\Rightarrow (\frac{p}{2\cos\alpha}, \frac{p}{2\sin\alpha})\).
এখানে,
\(\frac{p}{2\cos\alpha}=x, \frac{p}{2\sin\alpha}=y\).
\(\Rightarrow 2x\cos\alpha=p, 2y\sin\alpha=p\).
\(\therefore \cos\alpha=\frac{p}{2x} .........(3), \sin\alpha=\frac{p}{2y} .........(4)\).
\((3)\) ও \((4)\) বর্গ করে যোগ করি,
\((\cos\alpha)^{2}+(\sin\alpha)^{2}=(\frac{p}{2x})^{2}+(\frac{p}{2y})^{2}\)
\(\Rightarrow \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=\frac{p^{2}}{4x^{2}}+\frac{p^{2}}{4y^{2}}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{p^{2}y^{2}+p^{2}x^{2}}{4x^{2}y^{2}}\)
\(\Rightarrow p^{2}y^{2}+p^{2}x^{2}=4x^{2}y^{2}\)
\(\therefore p^{2}(x^{2}+y^{2})=4x^{2}y^{2}\)
দেখানো হলো।
\(Q.4.(iv).(c)\)
মনে করি, \(5x-9y+13=0 .......(1)\)
\(9x-5y+11=0 .......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(5x-9y+13+k(9x-5y+11)=0 ......(3)\) ➜ \(k\) শুন্য ব্যতীত যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\(\Rightarrow 5x-9y+13+9kx-5ky+11k=0\)
\(\Rightarrow (5+9k)x-(9+5k)y+(13+11k)=0 ......(4)\)
\((4)\) এর ঢাল \(=-\frac{5+9k}{-(9+5k)}\)
\(=\frac{5+9k}{9+5k}\)
শর্তমতে, \(\frac{5+9k}{9+5k}=\pm \tan45^{o}\)
\(\Rightarrow \frac{5+9k}{9+5k}=\pm 1\)
\(\Rightarrow 5+9k=9+5k\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যাবহার করে।
\(\Rightarrow 9k-5k=9-5\)
\(\Rightarrow 4k=4\)
\(\Rightarrow k=1\) ➜ উভয় পার্শে \(4\) ভাগ করে।
আবার,
\(5+9k=-9-5k\) ➜ ঋণাত্মক চিহ্ন ব্যাবহার করে।
\(\Rightarrow 9k+5k=-9-5\)
\(\Rightarrow 14k=-14\)
\(\Rightarrow k=-1\) ➜ উভয় পার্শে \(14\) গুণ করে।
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(5x-9y+13+1(9x-5y+11)=0\); যখন \(k=1\)
\(\Rightarrow 5x-9y+13+9x-5y+11=0\)
\(\Rightarrow 14x-14y+24=0\)
\(\therefore 7x-7y+12=0\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(5x-9y+13-1(9x-5y+11)=0\); যখন \(k=-1\)
\(\Rightarrow 5x-9y+13-9x+5y-11=0\)
\(\Rightarrow -4x-4y+2=0\)
\(\therefore 2x+2y-1=0\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ। \(7x-7y+12=0, \ 2x+2y-1=0\)।
\(Q.4.(v)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ \(8x-6y+9=0\)।
\((a)\) \(A(-1, 2)\) বিন্দুগামী এবং প্রদত্ত সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(ax+by+c_{1}=0\) এবং \(ax+by+c_{2}=0\) সমান্তরাল রেখা দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্রটি প্রতিষ্ঠা কর। সূত্রটির সাহায্যে প্রদত্ত ও নির্ণেয় রেখার দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((c)\) \((2, -1)\) বিন্দু হতে \(3x-4y+5=0\) রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 4x-3y+10=0;\) \((b) \ \frac{11}{10};\)
\((c) \ (\frac{1}{5}, \frac{7}{5})\) ।
\((a)\) \(A(-1, 2)\) বিন্দুগামী এবং প্রদত্ত সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(ax+by+c_{1}=0\) এবং \(ax+by+c_{2}=0\) সমান্তরাল রেখা দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্রটি প্রতিষ্ঠা কর। সূত্রটির সাহায্যে প্রদত্ত ও নির্ণেয় রেখার দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((c)\) \((2, -1)\) বিন্দু হতে \(3x-4y+5=0\) রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 4x-3y+10=0;\) \((b) \ \frac{11}{10};\)
\((c) \ (\frac{1}{5}, \frac{7}{5})\) ।
সমাধানঃ
\(Q.4.(v).(a)\) দেওয়া আছে,
\(A(-1, 2)\)
ধরি,
\(8x-6y+9=0 ........(1)\)
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(8x-6y+k=0 ........(2)\) ➜ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা ।
\((2)\) নং সরলরেখা \(A(-1, 2)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 8.(-1)-6.2+k=0\)
\(\therefore -8-12+k=0\)
\(\therefore -20+k=0\)
\(\therefore k=20\)
\(k=\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(8x-6y+20=0\)
\(\therefore 4x-3y+10=0\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
ইহাই নির্ণেয় সমীকরণ।
\(Q.4.(v).(b)\)
ধরি,
\(ax+by+c_{1}=0 ......(1)\)
\(ax+by+c_{2}=0 ......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব \(d\)
\(p(x_{1}, y_{1})\) বিন্দুটি \((2)\) এর উপর অবস্থিত,
\(\therefore ax_{1}+by_{1}+c_{2}=0\)
\(\Rightarrow ax_{1}+by_{1}=-c_{2}...........(3)\)
আবার,
\(p(x_{1}, y_{1})\) বিন্দু হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{\left|ax_{1}+bx_{1}+c_{1}\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(=\frac{\left|-c_{2}+c_{1}\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\) ➜ \((3)\)-এর সাহায্যে
\(=\frac{\left|c_{1}-c_{2}\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(\therefore d=\frac{\left|c_{1}-c_{2}\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
প্রদত্ত সমীকরণ,
\(8x-6y+9=0\)
\(\Rightarrow 4x-3y+\frac{9}{2}=0 ........(1)\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
নির্ণেয় সমীকরণ,
\(4x-3y+10=0 ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর মধ্যবর্তী দূরত্ব,
\(=\frac{|\frac{9}{2}-10|}{\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}}\)
\(=\frac{|\frac{9-20}{2}|}{\sqrt{16+9}}\)
\(=\frac{|\frac{-11}{2}|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{|-\frac{11}{2}|}{5}\)
\(=\frac{11}{2}\times \frac{1}{5}\)
\(=\frac{11}{10}\)
ইহাই নির্ণেয় দূরত্ব।
\(Q.4.(v).(c)\) মনে করি,
\(3x-4y+5=0 .......(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(4x+3y+k=0 .......(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \((2, -1)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(4.2+3.(-1)+k=0\)
\(\Rightarrow 8-3+k=0\)
\(\Rightarrow 5+k=0\)
\(\therefore k=-5\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে পাই,
\(4x+3y-5=0 .......(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) সমাধান করি,
\(\frac{x}{(-4).(-5)-5.3}=\frac{y}{5.4-3.(-5)}=\frac{1}{3.3-(-4).4}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{20-15}=\frac{y}{20+15}=\frac{1}{9+16}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{5}=\frac{y}{35}=\frac{1}{25}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{5}=\frac{1}{25}, \ \frac{y}{35}=\frac{1}{25}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{25}\times 5, \ y=\frac{1}{25}\times 35\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{5}, \ y=\frac{7}{5}\)
\(\therefore \) পাদবিদুর স্থানাঙ্ক \((\frac{1}{5}, \frac{7}{5})\)।
\(A(-1, 2)\)
ধরি,
\(8x-6y+9=0 ........(1)\)
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(8x-6y+k=0 ........(2)\) ➜ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা ।
\((2)\) নং সরলরেখা \(A(-1, 2)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 8.(-1)-6.2+k=0\)
\(\therefore -8-12+k=0\)
\(\therefore -20+k=0\)
\(\therefore k=20\)
\(k=\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(8x-6y+20=0\)
\(\therefore 4x-3y+10=0\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
ইহাই নির্ণেয় সমীকরণ।
\(Q.4.(v).(b)\)
ধরি,
\(ax+by+c_{1}=0 ......(1)\)
\(ax+by+c_{2}=0 ......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব \(d\)
\(p(x_{1}, y_{1})\) বিন্দুটি \((2)\) এর উপর অবস্থিত,
\(\therefore ax_{1}+by_{1}+c_{2}=0\)
\(\Rightarrow ax_{1}+by_{1}=-c_{2}...........(3)\)
আবার,
\(p(x_{1}, y_{1})\) বিন্দু হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{\left|ax_{1}+bx_{1}+c_{1}\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(=\frac{\left|-c_{2}+c_{1}\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\) ➜ \((3)\)-এর সাহায্যে
\(=\frac{\left|c_{1}-c_{2}\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(\therefore d=\frac{\left|c_{1}-c_{2}\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
প্রদত্ত সমীকরণ,
\(8x-6y+9=0\)
\(\Rightarrow 4x-3y+\frac{9}{2}=0 ........(1)\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
নির্ণেয় সমীকরণ,
\(4x-3y+10=0 ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর মধ্যবর্তী দূরত্ব,
\(=\frac{|\frac{9}{2}-10|}{\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}}\)
\(=\frac{|\frac{9-20}{2}|}{\sqrt{16+9}}\)
\(=\frac{|\frac{-11}{2}|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{|-\frac{11}{2}|}{5}\)
\(=\frac{11}{2}\times \frac{1}{5}\)
\(=\frac{11}{10}\)
ইহাই নির্ণেয় দূরত্ব।
\(Q.4.(v).(c)\) মনে করি,\(3x-4y+5=0 .......(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(4x+3y+k=0 .......(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \((2, -1)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(4.2+3.(-1)+k=0\)
\(\Rightarrow 8-3+k=0\)
\(\Rightarrow 5+k=0\)
\(\therefore k=-5\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে পাই,
\(4x+3y-5=0 .......(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) সমাধান করি,
\(\frac{x}{(-4).(-5)-5.3}=\frac{y}{5.4-3.(-5)}=\frac{1}{3.3-(-4).4}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{20-15}=\frac{y}{20+15}=\frac{1}{9+16}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{5}=\frac{y}{35}=\frac{1}{25}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{5}=\frac{1}{25}, \ \frac{y}{35}=\frac{1}{25}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{25}\times 5, \ y=\frac{1}{25}\times 35\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{5}, \ y=\frac{7}{5}\)
\(\therefore \) পাদবিদুর স্থানাঙ্ক \((\frac{1}{5}, \frac{7}{5})\)।
\(Q.4.(vi)\) দুইটি সরলরেখার সমীকরণ \(y=2x+1\) এবং \(2y-x=4\)।
\((a)\) মূলবিন্দু এবং প্রদত্ত রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) রেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণদ্বয়ের সমদ্বিখন্ডক \(Y\) অক্ষকে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করলে \(PQ\) এর দূরত্ব নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০১৩, ২০১৪; সিঃ ২০০৫; বঃ ২০১২; কুঃ ২০১৪; চুয়েটঃ ২০০৮, ২০১০ ]
\((c)\) মূলবিন্দু থেকে \(\sqrt{5}\) একক দূরত্বে এবং \(2y-x=4\) রেখার উপর লম্ব রেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 7x-2y=0;\) \((b) \ \frac{4}{3};\)
\((c) \ 2x+y\pm 5=0\) ।
\((a)\) মূলবিন্দু এবং প্রদত্ত রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) রেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণদ্বয়ের সমদ্বিখন্ডক \(Y\) অক্ষকে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করলে \(PQ\) এর দূরত্ব নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০১৩, ২০১৪; সিঃ ২০০৫; বঃ ২০১২; কুঃ ২০১৪; চুয়েটঃ ২০০৮, ২০১০ ]
\((c)\) মূলবিন্দু থেকে \(\sqrt{5}\) একক দূরত্বে এবং \(2y-x=4\) রেখার উপর লম্ব রেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 7x-2y=0;\) \((b) \ \frac{4}{3};\)
\((c) \ 2x+y\pm 5=0\) ।
সমাধানঃ
\(Q.4.(vi).(a)\)
মনে করি,
\(y=2x+1\Rightarrow 2x-y+1=0........(1)\)
\(2y-x=4\Rightarrow x-2y+4=0........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x-y+1+k(x-2y+4)=0........(3)\) ➜ \(k\) শুন্য ব্যতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা ।
\((3)\) নং সরলরেখা মূলবিন্দুগামী,
\(\therefore 2.0-0+1+k(0-2.0+4)=0\)
\(\therefore 0+1+k(0+4)=0\)
\(\therefore 1+4k=0\)
\(\therefore 4k=-1\)
\(\therefore k=\frac{-1}{4}\)
\(\therefore k=-\frac{1}{4}\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(2x-y+1-\frac{1}{4}(x-2y+4)=0\)
\(\Rightarrow 4(2x-y+1)-(x-2y+4)=0\)| উভয় পার্শে \(4\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 8x-4y+4-x+2y-4=0\)
\(\therefore 7x-2y=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(Q.4.(vi).(b)\)
মনে করি,
\(y=2x+1\Rightarrow 2x-y+1=0........(1)\)
\(2y-x=4\Rightarrow x-2y+4=0........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণেরদ্বয়ের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{2x-y+1}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}=\pm \frac{x-2y+4}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x-y+1}{\sqrt{4+1}}=\pm \frac{x-2y+4}{\sqrt{1+4}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x-y+1}{\sqrt{5}}=\pm \frac{x-2y+4}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow 2x-y+1=\pm (x-2y+4)\)
\(\Rightarrow 2x-y+1=x-2y+4\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 2x-y+1-x+2y-4=0\)
\(\therefore x+y-3=0 ...........(3)\)
\(\Rightarrow 2x-y+1=-(x-2y+4)\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 2x-y+1=-x+2y-4)\)
\(\Rightarrow 2x-y+1+x-2y+4=0\)
\(\therefore 3x-3y+5=0 ...........(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) সরলরেখা \(Y\) অক্ষকে যথাক্রমে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((3)\) নং সরলরেখা যখন \(Y\) অক্ষকে ছেদ করে তখন \(x=0\)
\(\therefore 0+y-3=0\)
\(\Rightarrow y-3=0\)
\(\Rightarrow y=3\)
\(\therefore P(0, 3)\)
\((4)\) নং সরলরেখা যখন \(Y\) অক্ষকে ছেদ করে তখন \(x=0\)
\(\therefore 3.0-3y+5=0\)
\(\Rightarrow 0-3y+5=0\)
\(\Rightarrow -3y+5=0\)
\(\Rightarrow -3y=-5\)
\(\Rightarrow y=\frac{-5}{-3}\)
\(\Rightarrow y=\frac{5}{3}\)
\(\therefore Q(0, \frac{5}{3})\)
এখন,
\(PQ=\sqrt{(0-0)^{2}+(3-\frac{5}{3})^{2}}\)
\(=\sqrt{0+(\frac{9-5}{3})^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{4}{3})^{2}}\)
\(=\frac{4}{3}\)
\(\therefore PQ=\frac{4}{3}\) একক।
\(Q.4.(vi).(c)\)
মনে করি,
\(2y-x-4=0 .......(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(y+2x+k=0 .......(2)\) ➜ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{|k|}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}\)
\(=\frac{|k|}{\sqrt{1+4}}\)
\(=\frac{|k|}{\sqrt{5}}\)
শর্তমতে,
\(d=\sqrt{5}\)
\(\Rightarrow \frac{|k|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\)
\(\Rightarrow |k|=5\)
\(\Rightarrow \pm k=5\)
\(\therefore k=\pm 5\)
\(k\) এর মান \((2)\) বসিয়ে,
\(y+2x\pm 5=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
মনে করি,
\(y=2x+1\Rightarrow 2x-y+1=0........(1)\)
\(2y-x=4\Rightarrow x-2y+4=0........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x-y+1+k(x-2y+4)=0........(3)\) ➜ \(k\) শুন্য ব্যতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা ।
\((3)\) নং সরলরেখা মূলবিন্দুগামী,
\(\therefore 2.0-0+1+k(0-2.0+4)=0\)
\(\therefore 0+1+k(0+4)=0\)
\(\therefore 1+4k=0\)
\(\therefore 4k=-1\)
\(\therefore k=\frac{-1}{4}\)
\(\therefore k=-\frac{1}{4}\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(2x-y+1-\frac{1}{4}(x-2y+4)=0\)
\(\Rightarrow 4(2x-y+1)-(x-2y+4)=0\)| উভয় পার্শে \(4\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 8x-4y+4-x+2y-4=0\)
\(\therefore 7x-2y=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(Q.4.(vi).(b)\)মনে করি,
\(y=2x+1\Rightarrow 2x-y+1=0........(1)\)
\(2y-x=4\Rightarrow x-2y+4=0........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণেরদ্বয়ের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{2x-y+1}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}=\pm \frac{x-2y+4}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x-y+1}{\sqrt{4+1}}=\pm \frac{x-2y+4}{\sqrt{1+4}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x-y+1}{\sqrt{5}}=\pm \frac{x-2y+4}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow 2x-y+1=\pm (x-2y+4)\)
\(\Rightarrow 2x-y+1=x-2y+4\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 2x-y+1-x+2y-4=0\)
\(\therefore x+y-3=0 ...........(3)\)
\(\Rightarrow 2x-y+1=-(x-2y+4)\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 2x-y+1=-x+2y-4)\)
\(\Rightarrow 2x-y+1+x-2y+4=0\)
\(\therefore 3x-3y+5=0 ...........(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) সরলরেখা \(Y\) অক্ষকে যথাক্রমে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((3)\) নং সরলরেখা যখন \(Y\) অক্ষকে ছেদ করে তখন \(x=0\)
\(\therefore 0+y-3=0\)
\(\Rightarrow y-3=0\)
\(\Rightarrow y=3\)
\(\therefore P(0, 3)\)
\((4)\) নং সরলরেখা যখন \(Y\) অক্ষকে ছেদ করে তখন \(x=0\)
\(\therefore 3.0-3y+5=0\)
\(\Rightarrow 0-3y+5=0\)
\(\Rightarrow -3y+5=0\)
\(\Rightarrow -3y=-5\)
\(\Rightarrow y=\frac{-5}{-3}\)
\(\Rightarrow y=\frac{5}{3}\)
\(\therefore Q(0, \frac{5}{3})\)
এখন,
\(PQ=\sqrt{(0-0)^{2}+(3-\frac{5}{3})^{2}}\)
\(=\sqrt{0+(\frac{9-5}{3})^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{4}{3})^{2}}\)
\(=\frac{4}{3}\)
\(\therefore PQ=\frac{4}{3}\) একক।
\(Q.4.(vi).(c)\)মনে করি,
\(2y-x-4=0 .......(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(y+2x+k=0 .......(2)\) ➜ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{|k|}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}\)
\(=\frac{|k|}{\sqrt{1+4}}\)
\(=\frac{|k|}{\sqrt{5}}\)
শর্তমতে,
\(d=\sqrt{5}\)
\(\Rightarrow \frac{|k|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\)
\(\Rightarrow |k|=5\)
\(\Rightarrow \pm k=5\)
\(\therefore k=\pm 5\)
\(k\) এর মান \((2)\) বসিয়ে,
\(y+2x\pm 5=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(Q.4.(vii)\) \(\triangle ABC\) এর শীর্ষ তিনটি যথাক্রমে \(A(1, 1)\), \(B(3, 4)\) এবং \(C(5, -2)\)।
\((a)\) \(\triangle ABC\) এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) ও \(AC\) এর মধ্যবিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০০৬, ২০০৮, ২০১৪; ঢাঃ ২০১১; যঃ ২০০৯; ]
\((c)\) \(\triangle ABC\) এর কোণগুলির সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 9\) বর্গ একক; \((b) \ 6x+2y-17=0;\)
\((c) \ (3\sqrt{10}+3\sqrt{13})x-(2\sqrt{10}-\sqrt{13})y-\sqrt{10}-13\sqrt{13}=0\),
\((3\sqrt{5}+3\sqrt{2})x+(\sqrt{5}+4\sqrt{2})y-13\sqrt{5}-7\sqrt{2}=0\),
\((15-3\sqrt{13})x-(10+4\sqrt{13})y+7\sqrt{13}-5=0\) ।
\((a)\) \(\triangle ABC\) এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) ও \(AC\) এর মধ্যবিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০০৬, ২০০৮, ২০১৪; ঢাঃ ২০১১; যঃ ২০০৯; ]
\((c)\) \(\triangle ABC\) এর কোণগুলির সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 9\) বর্গ একক; \((b) \ 6x+2y-17=0;\)
\((c) \ (3\sqrt{10}+3\sqrt{13})x-(2\sqrt{10}-\sqrt{13})y-\sqrt{10}-13\sqrt{13}=0\),
\((3\sqrt{5}+3\sqrt{2})x+(\sqrt{5}+4\sqrt{2})y-13\sqrt{5}-7\sqrt{2}=0\),
\((15-3\sqrt{13})x-(10+4\sqrt{13})y+7\sqrt{13}-5=0\) ।
সমাধানঃ
\(Q.4.(vii).(a)\)
দেওয়া আছে, \(A(1, 1)\), \(B(3, 4)\) এবং \(C(5, -2)\)।
\(\therefore \triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}1 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ 5 \ \ \ \ 1\\1 \ \ \ \ 4 \ \ \ -2 \ \ \ \ \ 1\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{1.4-3.1+3.(-2)-5.4+5.1-1.(-2)\}\)
\(=\frac{1}{2}\{4-3-6-20+5+2\}\)
\(=\frac{1}{2}\{11-29\}\)
\(=\frac{1}{2}\times -18\)
\(=-9\)
\(=9\) ➜ \(\because \triangle \neq -ve\)
\(\therefore \triangle ABC=9\) বর্গ একক।
\(Q.4.(vii).(b)\)
দেওয়া আছে, \(A(1, 1)\), \(B(3, 4)\) এবং \(C(5, -2)\)।
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{1+3}{2}, \frac{1+4}{2})\)
\(\Rightarrow E(\frac{4}{2}, \frac{5}{2})\)
\(\Rightarrow E(2, \frac{5}{2})\)
\(AC\) এর মধ্যবিন্দু \(F(\frac{1+5}{2}, \frac{1-2}{2})\)
\(\Rightarrow F(\frac{6}{2}, \frac{-1}{2})\)
\(\Rightarrow F(3, -\frac{1}{2})\)
\(EF\) এর সমীকরণ,
\(\frac{x-2}{2-3}=\frac{y-\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}+\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{-1}=\frac{\frac{2y-5}{2}}{\frac{5+1}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{-1}=\frac{\frac{2y-5}{2}}{\frac{6}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{-1}=\frac{\frac{2y-5}{2}}{\frac{3}{1}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{-1}=\frac{2y-5}{2}\times \frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{-1}=\frac{2y-5}{6}\)
\(\Rightarrow 6(x-2)=-(2y-5)\)
\(\Rightarrow 6x-12=-2y+5\)
\(\Rightarrow 6x-12+2y-5=0\)
\(\therefore 6x+2y-17=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(Q.4.(vii).(c)\)
দেওয়া আছে, \(A(1, 1)\), \(B(3, 4)\) এবং \(C(5, -2)\)।
\(AB\) বাহুর সমীকরণ,
\(\frac{x-1}{1-3}=\frac{y-1}{1-4}\)
\(\Rightarrow \frac{x-1}{-2}=\frac{y-1}{-3}\)
\(\Rightarrow \frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{3}\)
\(\Rightarrow 3(x-1)=2(y-1)\)
\(\Rightarrow 3x-3=2y-2\)
\(\Rightarrow 3x-3-2y+2=0\)
\(\therefore 3x-2y-1=0 .......(1)\)
\(BC\) বাহুর সমীকরণ,
\(\frac{x-3}{3-5}=\frac{y-4}{4+2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{-2}=\frac{y-4}{6}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{-1}=\frac{y-4}{3}\)
\(\Rightarrow 3(x-3)=-1(y-4)\)
\(\Rightarrow 3x-9=-y+4\)
\(\Rightarrow 3x-9+y-4=0\)
\(\Rightarrow 3x+y-13=0 .......(2)\)
\(AC\) বাহুর সমীকরণ,
\(\frac{x-1}{1-5}=\frac{y-1}{1+2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-1}{-4}=\frac{y-1}{3}\)
\(\Rightarrow 3(x-1)=-4(y-1)\)
\(\Rightarrow 3x-3=-4y+4\)
\(\Rightarrow 3x-3+4y-4=0\)
\(\Rightarrow 3x+4y-7=0 .......(3)\)
চিত্র হতে ইহা স্পষ্ট যে,
\((1)\) ও \((2)\) এর মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডক নির্ণয় করতে হবে।
এখানে,
\(a_{1}=3, b_{1}=-2, a_{2}=3, b_{2}=1 \)
\(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=3.3+(-2).1=9-2=7>0 \)
\(\therefore \) সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{3x-2y-1}{\sqrt{3^{2}+(-2)^{2}}}=-\frac{3x+y-13}{\sqrt{3^{2}+1^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x-2y-1}{\sqrt{9+4}}=-\frac{3x+y-13}{\sqrt{9+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x-2y-1}{\sqrt{13}}=-\frac{3x+y-13}{\sqrt{10}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{10}(3x-2y-1)=-\sqrt{13}(3x+y-13)\)
\(\Rightarrow 3\sqrt{10}x-2\sqrt{10}y-\sqrt{10}=-3\sqrt{13}x-\sqrt{13}y+13\sqrt{13}\)
\(\Rightarrow 3\sqrt{10}x-2\sqrt{10}y-\sqrt{10}+3\sqrt{13}x+\sqrt{13}y-13\sqrt{13}=0\)
\(\therefore (3\sqrt{10}+3\sqrt{13})x-(2\sqrt{10}-\sqrt{13})y-\sqrt{10}-13\sqrt{13}=0\)
চিত্র হতে ইহা স্পষ্ট যে,
\((2)\) ও \((3)\) এর মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডক নির্ণয় করতে হবে।
এখানে,
\(a_{1}=3, b_{1}=1, a_{2}=3, b_{2}=4 \)
\(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=3.3+1.4=9+4=13>0 \)
\(\therefore \) সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{3x+y-13}{\sqrt{3^{2}+1^{2}}}=-\frac{3x+4y-7}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+y-13}{\sqrt{9+1}}=-\frac{3x+4y-7}{\sqrt{9+16}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+y-13}{\sqrt{10}}=-\frac{3x+4y-7}{\sqrt{25}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+y-13}{\sqrt{10}}=-\frac{3x+4y-7}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+y-13}{\sqrt{2}\times \sqrt{5}}=-\frac{3x+4y-7}{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+y-13}{\sqrt{2}}=-\frac{3x+4y-7}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{5}(3x+y-13)=-\sqrt{2}(3x+4y-7)\)
\(\Rightarrow 3\sqrt{5}x+\sqrt{5}y-13\sqrt{5}=-3\sqrt{2}x-4\sqrt{2}y+7\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow 3\sqrt{5}x+\sqrt{5}y-13\sqrt{5}+3\sqrt{2}x+4\sqrt{2}y-7\sqrt{2}=0\)
\(\therefore (3\sqrt{5}+3\sqrt{2})x+(\sqrt{5}+4\sqrt{2})y-13\sqrt{5}-7\sqrt{2}=0\)
চিত্র হতে ইহা স্পষ্ট যে,
\((1)\) ও \((3)\) মধ্যবর্তী স্থুলকোণের সমদ্বিখন্ডক নির্ণয় করতে হবে।
এখানে,
\(a_{1}=3, b_{1}=-2, a_{2}=3, b_{2}=4 \)
\(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=3.3+(-2).4=9-8=1>0 \)
\(\therefore \) স্থুলকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{3x-2y-1}{\sqrt{3^{2}+(-2)^{2}}}=\frac{3x+4y-7}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x-2y-1}{\sqrt{9+4}}=\frac{3x+4y-7}{\sqrt{9+16}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x-2y-1}{\sqrt{13}}=\frac{3x+4y-7}{\sqrt{25}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x-2y-1}{\sqrt{13}}=\frac{3x+4y-7}{5}\)
\(\Rightarrow 5(3x-2y-1)=\sqrt{13}(3x+4y-7)\)
\(\Rightarrow 15x-10y-5=3\sqrt{13}x+4\sqrt{13}y-7\sqrt{13}\)
\(\Rightarrow 15x-10y-5-3\sqrt{13}x-4\sqrt{13}y+7\sqrt{13}=0\)
\(\Rightarrow (15-3\sqrt{13})x-(10+4\sqrt{13})y+7\sqrt{13}-5=0\)
দেওয়া আছে, \(A(1, 1)\), \(B(3, 4)\) এবং \(C(5, -2)\)।
\(\therefore \triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}1 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ 5 \ \ \ \ 1\\1 \ \ \ \ 4 \ \ \ -2 \ \ \ \ \ 1\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{1.4-3.1+3.(-2)-5.4+5.1-1.(-2)\}\)
\(=\frac{1}{2}\{4-3-6-20+5+2\}\)
\(=\frac{1}{2}\{11-29\}\)
\(=\frac{1}{2}\times -18\)
\(=-9\)
\(=9\) ➜ \(\because \triangle \neq -ve\)
\(\therefore \triangle ABC=9\) বর্গ একক।
\(Q.4.(vii).(b)\)
দেওয়া আছে, \(A(1, 1)\), \(B(3, 4)\) এবং \(C(5, -2)\)।
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{1+3}{2}, \frac{1+4}{2})\)
\(\Rightarrow E(\frac{4}{2}, \frac{5}{2})\)
\(\Rightarrow E(2, \frac{5}{2})\)
\(AC\) এর মধ্যবিন্দু \(F(\frac{1+5}{2}, \frac{1-2}{2})\)
\(\Rightarrow F(\frac{6}{2}, \frac{-1}{2})\)
\(\Rightarrow F(3, -\frac{1}{2})\)
\(EF\) এর সমীকরণ,
\(\frac{x-2}{2-3}=\frac{y-\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}+\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{-1}=\frac{\frac{2y-5}{2}}{\frac{5+1}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{-1}=\frac{\frac{2y-5}{2}}{\frac{6}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{-1}=\frac{\frac{2y-5}{2}}{\frac{3}{1}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{-1}=\frac{2y-5}{2}\times \frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{-1}=\frac{2y-5}{6}\)
\(\Rightarrow 6(x-2)=-(2y-5)\)
\(\Rightarrow 6x-12=-2y+5\)
\(\Rightarrow 6x-12+2y-5=0\)
\(\therefore 6x+2y-17=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(Q.4.(vii).(c)\)দেওয়া আছে, \(A(1, 1)\), \(B(3, 4)\) এবং \(C(5, -2)\)।
\(AB\) বাহুর সমীকরণ,
\(\frac{x-1}{1-3}=\frac{y-1}{1-4}\)
\(\Rightarrow \frac{x-1}{-2}=\frac{y-1}{-3}\)
\(\Rightarrow \frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{3}\)
\(\Rightarrow 3(x-1)=2(y-1)\)
\(\Rightarrow 3x-3=2y-2\)
\(\Rightarrow 3x-3-2y+2=0\)
\(\therefore 3x-2y-1=0 .......(1)\)
\(BC\) বাহুর সমীকরণ,
\(\frac{x-3}{3-5}=\frac{y-4}{4+2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{-2}=\frac{y-4}{6}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{-1}=\frac{y-4}{3}\)
\(\Rightarrow 3(x-3)=-1(y-4)\)
\(\Rightarrow 3x-9=-y+4\)
\(\Rightarrow 3x-9+y-4=0\)
\(\Rightarrow 3x+y-13=0 .......(2)\)
\(AC\) বাহুর সমীকরণ,
\(\frac{x-1}{1-5}=\frac{y-1}{1+2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-1}{-4}=\frac{y-1}{3}\)
\(\Rightarrow 3(x-1)=-4(y-1)\)
\(\Rightarrow 3x-3=-4y+4\)
\(\Rightarrow 3x-3+4y-4=0\)
\(\Rightarrow 3x+4y-7=0 .......(3)\)
চিত্র হতে ইহা স্পষ্ট যে,
\((1)\) ও \((2)\) এর মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডক নির্ণয় করতে হবে।
এখানে,
\(a_{1}=3, b_{1}=-2, a_{2}=3, b_{2}=1 \)
\(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=3.3+(-2).1=9-2=7>0 \)
\(\therefore \) সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{3x-2y-1}{\sqrt{3^{2}+(-2)^{2}}}=-\frac{3x+y-13}{\sqrt{3^{2}+1^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x-2y-1}{\sqrt{9+4}}=-\frac{3x+y-13}{\sqrt{9+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x-2y-1}{\sqrt{13}}=-\frac{3x+y-13}{\sqrt{10}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{10}(3x-2y-1)=-\sqrt{13}(3x+y-13)\)
\(\Rightarrow 3\sqrt{10}x-2\sqrt{10}y-\sqrt{10}=-3\sqrt{13}x-\sqrt{13}y+13\sqrt{13}\)
\(\Rightarrow 3\sqrt{10}x-2\sqrt{10}y-\sqrt{10}+3\sqrt{13}x+\sqrt{13}y-13\sqrt{13}=0\)
\(\therefore (3\sqrt{10}+3\sqrt{13})x-(2\sqrt{10}-\sqrt{13})y-\sqrt{10}-13\sqrt{13}=0\)
চিত্র হতে ইহা স্পষ্ট যে,
\((2)\) ও \((3)\) এর মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডক নির্ণয় করতে হবে।
এখানে,
\(a_{1}=3, b_{1}=1, a_{2}=3, b_{2}=4 \)
\(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=3.3+1.4=9+4=13>0 \)
\(\therefore \) সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{3x+y-13}{\sqrt{3^{2}+1^{2}}}=-\frac{3x+4y-7}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+y-13}{\sqrt{9+1}}=-\frac{3x+4y-7}{\sqrt{9+16}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+y-13}{\sqrt{10}}=-\frac{3x+4y-7}{\sqrt{25}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+y-13}{\sqrt{10}}=-\frac{3x+4y-7}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+y-13}{\sqrt{2}\times \sqrt{5}}=-\frac{3x+4y-7}{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+y-13}{\sqrt{2}}=-\frac{3x+4y-7}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{5}(3x+y-13)=-\sqrt{2}(3x+4y-7)\)
\(\Rightarrow 3\sqrt{5}x+\sqrt{5}y-13\sqrt{5}=-3\sqrt{2}x-4\sqrt{2}y+7\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow 3\sqrt{5}x+\sqrt{5}y-13\sqrt{5}+3\sqrt{2}x+4\sqrt{2}y-7\sqrt{2}=0\)
\(\therefore (3\sqrt{5}+3\sqrt{2})x+(\sqrt{5}+4\sqrt{2})y-13\sqrt{5}-7\sqrt{2}=0\)
চিত্র হতে ইহা স্পষ্ট যে,
\((1)\) ও \((3)\) মধ্যবর্তী স্থুলকোণের সমদ্বিখন্ডক নির্ণয় করতে হবে।
এখানে,
\(a_{1}=3, b_{1}=-2, a_{2}=3, b_{2}=4 \)
\(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=3.3+(-2).4=9-8=1>0 \)
\(\therefore \) স্থুলকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{3x-2y-1}{\sqrt{3^{2}+(-2)^{2}}}=\frac{3x+4y-7}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x-2y-1}{\sqrt{9+4}}=\frac{3x+4y-7}{\sqrt{9+16}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x-2y-1}{\sqrt{13}}=\frac{3x+4y-7}{\sqrt{25}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x-2y-1}{\sqrt{13}}=\frac{3x+4y-7}{5}\)
\(\Rightarrow 5(3x-2y-1)=\sqrt{13}(3x+4y-7)\)
\(\Rightarrow 15x-10y-5=3\sqrt{13}x+4\sqrt{13}y-7\sqrt{13}\)
\(\Rightarrow 15x-10y-5-3\sqrt{13}x-4\sqrt{13}y+7\sqrt{13}=0\)
\(\Rightarrow (15-3\sqrt{13})x-(10+4\sqrt{13})y+7\sqrt{13}-5=0\)
\(Q.4.(viii)\) চিত্রটি লক্ষণীয়, \(ABCD\) সামান্তরিকে \(AB\) বাহু \(X\) অক্ষের সমান্তরাল।\((a)\) \(AD\) বাহুর সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) এর মধ্যবিন্দুগামী এবং \(AB\) এর সাথে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এরূপ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(\angle ABC\) এর সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ x-y+6=0;\) \((b) \ 2\sqrt{3}x-2y+12-5\sqrt{3}=0;\)
\((c) \ (\sqrt{2}+1)x+y-5\sqrt{2}-11=0\) ।
সমাধানঃ
\(Q.4.(viii).(a)\)
দেওয়া আছে,
\(AB\) বাহু \(X\) অক্ষের সমান্তরাল।
এবং \(B(5, 6)\)
\(A\) বিন্দু \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত। ফলে এর \(x\) স্থানাঙ্ক \(0\) এবং \(y\) স্থানাঙ্ক \(B\) এর \(y\) স্থানাংকের সমান।
\(\therefore A(0, 6)\)
\(AD\) রেখা \(AB\) এর সহিত \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। ➜ চিত্রমতে ।
ধরি,
\(AD\) এর সমীকরণ,
\(y-6=m(x-0)\)
\(\Rightarrow y-6=mx .....(1)\)
\((1)\) এর ঢাল \(m_{1}=m\)
\(AB\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{6-6}{0-5}\)
\(m_{2}=\frac{0}{-5}\)
\(m_{2}=0\)
এখন,
\(\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}=\tan\theta\)
\(\Rightarrow \frac{m-0}{1+m.0}=\tan45^{o}\)
\(\Rightarrow \frac{m}{1}=1\)
\(\therefore m=1\)
\(m\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(y-6=1.x\)
\(\Rightarrow y-6=x\)
\(\Rightarrow x=y-6\)
\(\therefore x-y+6=0\)
\(\therefore AD\) এর সমীকরণ, \(x-y+6=0\).
\(Q.4.(viii).(b)\)
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{0+5}{2}, \frac{6+6}{2})\)
\(\Rightarrow E(\frac{5}{2}, \frac{12}{2})\)
\(\therefore E(\frac{5}{2}, 6)\)
\(E(\frac{5}{2}, 6)\) বিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-6=m(x-\frac{5}{2})\)
\(\Rightarrow y-6=m(\frac{2x-5}{2})\)
\(\Rightarrow y-6=\frac{m(2x-5)}{2}\)
\(\Rightarrow 2y-12=m(2x-5) ......(2)\)
\((2)\) এর ঢাল \(m_{1}=m\)
\(AB\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{6-6}{0-5}\)
\(m_{2}=\frac{0}{-5}\)
\(m_{2}=0\)
এখন,
\(\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}=\tan\theta\)
\(\Rightarrow \frac{m-0}{1+m.0}=\tan60^{o}\)
\(\Rightarrow \frac{m}{1}=\sqrt{3}\)
\(\therefore m=\sqrt{3}\)
\(m\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(2y-12=\sqrt{3}(2x-5)\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}(2x-5)=2y-12\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{3}x-2y+12-5\sqrt{3}=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(Q.4.(viii).(c)\)
চিত্রমতে ,
\(\angle ABC=180^{o}-45^{o}\)
\(\Rightarrow \angle ABC=135^{o}\)
\(\therefore \angle ABC\) এর সমদ্বিখন্ডক \(AB\) এর সহিত \(\frac{135^{o}}{2}\) কোণ উৎপন্ন করে।
ধরি,
\(\angle ABC\) এর সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(y-6=m(x-5) .........(3)\)
\((3)\) এর ঢাল \(m_{1}=m\)
\(AB\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{6-6}{0-5}\)
\(m_{2}=\frac{0}{-5}\)
\(m_{2}=0\)
এখন,
\(\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}=\tan\theta\)
\(\Rightarrow \pm \frac{m-0}{1+m.0}=\tan\frac{135^{o}}{2}\)
\(\Rightarrow \pm \frac{m}{1}=\tan\frac{180^{o}-45^{o}}{2}\)
\(\therefore \pm m=\tan(90^{o}-\frac{45^{o}}{2})\)
\(\therefore \pm m=\cot\frac{45^{o}}{2}\)
\(\therefore \pm m=\frac{\cos\frac{45^{o}}{2}}{\sin\frac{45^{o}}{2}}\)
\(\therefore \pm m=\frac{2\cos^{2}\frac{45^{o}}{2}}{2\sin\frac{45^{o}}{2}\cos\frac{45^{o}}{2}}\) ➜ লব ও হর কে \(2\cos\frac{45^{o}}{2}\) দ্বারা গুণ করে
\(\therefore \pm m=\frac{1+\cos45^{o}}{\sin45^{o}}\)
\(\therefore \pm m=\frac{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\)
\(\therefore \pm m=\frac{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\)
\(\therefore \pm m=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{1}\)
\(\therefore \pm m=\sqrt{2}+1\)
\(\therefore m=\pm (\sqrt{2}+1)\)
\(\therefore m=-(\sqrt{2}+1)\) ➜ চিত্রমতে ।
\(m\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(y-6=-(\sqrt{2}+1)(x-5)\)
\(\Rightarrow y-6=-(\sqrt{2}+1)x+5(\sqrt{2}+1)\)
\(\Rightarrow y-6+(\sqrt{2}+1)x-5(\sqrt{2}+1)=0\)
\(\Rightarrow (\sqrt{2}+1)x+y-5\sqrt{2}-5-6=0\)
\(\therefore (\sqrt{2}+1)x+y-5\sqrt{2}-11=0\)
ইহাই নির্ণেয় সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ।
দেওয়া আছে,
\(AB\) বাহু \(X\) অক্ষের সমান্তরাল।
এবং \(B(5, 6)\)
\(A\) বিন্দু \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত। ফলে এর \(x\) স্থানাঙ্ক \(0\) এবং \(y\) স্থানাঙ্ক \(B\) এর \(y\) স্থানাংকের সমান।
\(\therefore A(0, 6)\)
\(AD\) রেখা \(AB\) এর সহিত \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। ➜ চিত্রমতে ।
ধরি,
\(AD\) এর সমীকরণ,
\(y-6=m(x-0)\)
\(\Rightarrow y-6=mx .....(1)\)
\((1)\) এর ঢাল \(m_{1}=m\)
\(AB\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{6-6}{0-5}\)
\(m_{2}=\frac{0}{-5}\)
\(m_{2}=0\)
এখন,
\(\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}=\tan\theta\)
\(\Rightarrow \frac{m-0}{1+m.0}=\tan45^{o}\)
\(\Rightarrow \frac{m}{1}=1\)
\(\therefore m=1\)
\(m\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(y-6=1.x\)
\(\Rightarrow y-6=x\)
\(\Rightarrow x=y-6\)
\(\therefore x-y+6=0\)
\(\therefore AD\) এর সমীকরণ, \(x-y+6=0\).
\(Q.4.(viii).(b)\)
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{0+5}{2}, \frac{6+6}{2})\)
\(\Rightarrow E(\frac{5}{2}, \frac{12}{2})\)
\(\therefore E(\frac{5}{2}, 6)\)
\(E(\frac{5}{2}, 6)\) বিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-6=m(x-\frac{5}{2})\)
\(\Rightarrow y-6=m(\frac{2x-5}{2})\)
\(\Rightarrow y-6=\frac{m(2x-5)}{2}\)
\(\Rightarrow 2y-12=m(2x-5) ......(2)\)
\((2)\) এর ঢাল \(m_{1}=m\)
\(AB\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{6-6}{0-5}\)
\(m_{2}=\frac{0}{-5}\)
\(m_{2}=0\)
এখন,
\(\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}=\tan\theta\)
\(\Rightarrow \frac{m-0}{1+m.0}=\tan60^{o}\)
\(\Rightarrow \frac{m}{1}=\sqrt{3}\)
\(\therefore m=\sqrt{3}\)
\(m\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(2y-12=\sqrt{3}(2x-5)\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}(2x-5)=2y-12\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{3}x-2y+12-5\sqrt{3}=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(Q.4.(viii).(c)\)চিত্রমতে ,
\(\angle ABC=180^{o}-45^{o}\)
\(\Rightarrow \angle ABC=135^{o}\)
\(\therefore \angle ABC\) এর সমদ্বিখন্ডক \(AB\) এর সহিত \(\frac{135^{o}}{2}\) কোণ উৎপন্ন করে।
ধরি,
\(\angle ABC\) এর সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(y-6=m(x-5) .........(3)\)
\((3)\) এর ঢাল \(m_{1}=m\)
\(AB\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{6-6}{0-5}\)
\(m_{2}=\frac{0}{-5}\)
\(m_{2}=0\)
এখন,
\(\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}=\tan\theta\)
\(\Rightarrow \pm \frac{m-0}{1+m.0}=\tan\frac{135^{o}}{2}\)
\(\Rightarrow \pm \frac{m}{1}=\tan\frac{180^{o}-45^{o}}{2}\)
\(\therefore \pm m=\tan(90^{o}-\frac{45^{o}}{2})\)
\(\therefore \pm m=\cot\frac{45^{o}}{2}\)
\(\therefore \pm m=\frac{\cos\frac{45^{o}}{2}}{\sin\frac{45^{o}}{2}}\)
\(\therefore \pm m=\frac{2\cos^{2}\frac{45^{o}}{2}}{2\sin\frac{45^{o}}{2}\cos\frac{45^{o}}{2}}\) ➜ লব ও হর কে \(2\cos\frac{45^{o}}{2}\) দ্বারা গুণ করে
\(\therefore \pm m=\frac{1+\cos45^{o}}{\sin45^{o}}\)
\(\therefore \pm m=\frac{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\)
\(\therefore \pm m=\frac{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\)
\(\therefore \pm m=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{1}\)
\(\therefore \pm m=\sqrt{2}+1\)
\(\therefore m=\pm (\sqrt{2}+1)\)
\(\therefore m=-(\sqrt{2}+1)\) ➜ চিত্রমতে ।
\(m\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(y-6=-(\sqrt{2}+1)(x-5)\)
\(\Rightarrow y-6=-(\sqrt{2}+1)x+5(\sqrt{2}+1)\)
\(\Rightarrow y-6+(\sqrt{2}+1)x-5(\sqrt{2}+1)=0\)
\(\Rightarrow (\sqrt{2}+1)x+y-5\sqrt{2}-5-6=0\)
\(\therefore (\sqrt{2}+1)x+y-5\sqrt{2}-11=0\)
ইহাই নির্ণেয় সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ।
\(Q.4.(ix)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,\((a)\) \(AB\) বাহু বিশিষ্ট বর্গের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((b)\) \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \((1, -1)\) বিন্দুগামী এবং \(AB\) রেখার সহিত \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এরূপ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) 61\) বর্গ একক। \((b) C(\frac{160}{61}, \frac{174}{61})\)
\((c) x+11y+10=0, \ 11x-y-12=0 \) ।
সমাধানঃ
\(Q.4.(ix).(a)\)
চিত্রে দেওয়া আছে, \(A(5, 0)\), \(B(0, 6)\)
\(AB=\sqrt{(5-0)^{2}+(0-6)^{2}}\)
\(=\sqrt{(5)^{2}+(6)^{2}}\)
\(=\sqrt{25+36}\)
\(=\sqrt{61}\)
\(\therefore AB\) বাহু বিশিষ্ট বর্গের ক্ষেত্রফল ,
\(=(AB)^{2}\)
\(=(\sqrt{61})^{2}\)
\(=61\) বর্গ একক।
\(Q.4.(ix).(b)\)
\(AB\) এর সমীকরণ,
\(\frac{x}{5}+\frac{y}{6}=1\)
\(\Rightarrow \frac{6x+5y}{30}=1\)
\(\Rightarrow 6x+5y=30\)
\(\Rightarrow 6x+5y-30=0 ....(1)\)
\(AB\) এর ঢাল \(=\frac{0-6}{5-0}\)
\(=\frac{-6}{5}\)
\(=-\frac{6}{5}\)
\(AB\) এর উপর লম্ব রেখার ঢাল \(=\frac{5}{6}\)
এখন,
\((-2, -1)\) বিন্দুগামী \(=\frac{5}{6}\) ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,
\(y+1=\frac{5}{6}(x+2)\)
\(\Rightarrow 6(y+1)=5(x+2)\)
\(\Rightarrow 6y+6=5x+10\)
\(\Rightarrow 5x+10=6y+6\)
\(\Rightarrow 5x+10-6y-6=0\)
\(\Rightarrow 5x-6y+4=0 .......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\(\frac{x}{5.4-(-30).(-6)}=\frac{y}{(-30).5-6.4}=\frac{1}{6.(-6)-5.5}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{20-180}=\frac{y}{-150-24}=\frac{1}{-36-25}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-160}=\frac{y}{-174}=\frac{1}{-61}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-160}=\frac{1}{-61}, \frac{y}{-174}=\frac{1}{-61}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-160}{-61}, y=\frac{-174}{-61}\)
\(\Rightarrow x=\frac{160}{61}, y=\frac{174}{61}\)
\(\therefore C(\frac{160}{61}, \frac{174}{61})\)
\(Q.4.(ix).(c)\)
\((1, -1)\) বিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(y+1=m(x-1) .......(3)\)
\((3)\) এর ঢাল \(m_{1}=m\)
\(AB\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{0-6}{5-0}\)
\(=\frac{-6}{5}\)
\(=-\frac{6}{5}\)
এখন,
\(\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}=\tan\theta\)
\(\pm \frac{m+\frac{6}{5}}{1+m\times -\frac{6}{5}}=\tan45^{o}\)
\(\Rightarrow \pm \frac{\frac{5m+6}{5}}{1-\frac{6m}{5}}=1\)
\(\Rightarrow \pm \frac{\frac{5m+6}{5}}{\frac{5-6m}{5}}=1\)
\(\Rightarrow \pm \frac{5m+6}{5}\times \frac{5}{5-6m}=1\)
\(\Rightarrow \pm \frac{5m+6}{5-6m}=1\)
\(\Rightarrow \frac{5m+6}{5-6m}=1\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 5m+6=5-6m\)
\(\Rightarrow 6m+5m=5-6\)
\(\Rightarrow 11m=-1\)
\(\Rightarrow m=-\frac{1}{11}\)
আবার,
\(\Rightarrow -\frac{5m+6}{5-6m}=1\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow -5m-6=5-6m\)
\(\Rightarrow -5m+6m=5+6\)
\(\Rightarrow m=11\)
\(m\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(y+1=-\frac{1}{11}(x-1)\) ➜ যখন \(m=-\frac{1}{11}\)
\(\Rightarrow 11y+11=-1(x-1)\)
\(\Rightarrow 11y+11=-x+1\)
\(\Rightarrow x-1+11y+11=0\)
\(\therefore x+11y+10=0\)
\(y+1=11(x-1)\) ➜ যখন \(m=11\)
\(\Rightarrow y+1=11x-11\)
\(\Rightarrow 11x-11=y+1\)
\(\Rightarrow 11x-11-y-1=0\)
\(\therefore 11x-y-12=0\)
নির্ণেয় সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, \( x+11y+10=0, \ 11x-y-12=0\)
চিত্রে দেওয়া আছে, \(A(5, 0)\), \(B(0, 6)\)
\(AB=\sqrt{(5-0)^{2}+(0-6)^{2}}\)
\(=\sqrt{(5)^{2}+(6)^{2}}\)
\(=\sqrt{25+36}\)
\(=\sqrt{61}\)
\(\therefore AB\) বাহু বিশিষ্ট বর্গের ক্ষেত্রফল ,
\(=(AB)^{2}\)
\(=(\sqrt{61})^{2}\)
\(=61\) বর্গ একক।
\(Q.4.(ix).(b)\)\(AB\) এর সমীকরণ,
\(\frac{x}{5}+\frac{y}{6}=1\)
\(\Rightarrow \frac{6x+5y}{30}=1\)
\(\Rightarrow 6x+5y=30\)
\(\Rightarrow 6x+5y-30=0 ....(1)\)
\(AB\) এর ঢাল \(=\frac{0-6}{5-0}\)
\(=\frac{-6}{5}\)
\(=-\frac{6}{5}\)
\(AB\) এর উপর লম্ব রেখার ঢাল \(=\frac{5}{6}\)
এখন,
\((-2, -1)\) বিন্দুগামী \(=\frac{5}{6}\) ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,
\(y+1=\frac{5}{6}(x+2)\)
\(\Rightarrow 6(y+1)=5(x+2)\)
\(\Rightarrow 6y+6=5x+10\)
\(\Rightarrow 5x+10=6y+6\)
\(\Rightarrow 5x+10-6y-6=0\)
\(\Rightarrow 5x-6y+4=0 .......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\(\frac{x}{5.4-(-30).(-6)}=\frac{y}{(-30).5-6.4}=\frac{1}{6.(-6)-5.5}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{20-180}=\frac{y}{-150-24}=\frac{1}{-36-25}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-160}=\frac{y}{-174}=\frac{1}{-61}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-160}=\frac{1}{-61}, \frac{y}{-174}=\frac{1}{-61}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-160}{-61}, y=\frac{-174}{-61}\)
\(\Rightarrow x=\frac{160}{61}, y=\frac{174}{61}\)
\(\therefore C(\frac{160}{61}, \frac{174}{61})\)
\(Q.4.(ix).(c)\)\((1, -1)\) বিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(y+1=m(x-1) .......(3)\)
\((3)\) এর ঢাল \(m_{1}=m\)
\(AB\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{0-6}{5-0}\)
\(=\frac{-6}{5}\)
\(=-\frac{6}{5}\)
এখন,
\(\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}=\tan\theta\)
\(\pm \frac{m+\frac{6}{5}}{1+m\times -\frac{6}{5}}=\tan45^{o}\)
\(\Rightarrow \pm \frac{\frac{5m+6}{5}}{1-\frac{6m}{5}}=1\)
\(\Rightarrow \pm \frac{\frac{5m+6}{5}}{\frac{5-6m}{5}}=1\)
\(\Rightarrow \pm \frac{5m+6}{5}\times \frac{5}{5-6m}=1\)
\(\Rightarrow \pm \frac{5m+6}{5-6m}=1\)
\(\Rightarrow \frac{5m+6}{5-6m}=1\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 5m+6=5-6m\)
\(\Rightarrow 6m+5m=5-6\)
\(\Rightarrow 11m=-1\)
\(\Rightarrow m=-\frac{1}{11}\)
আবার,
\(\Rightarrow -\frac{5m+6}{5-6m}=1\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow -5m-6=5-6m\)
\(\Rightarrow -5m+6m=5+6\)
\(\Rightarrow m=11\)
\(m\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(y+1=-\frac{1}{11}(x-1)\) ➜ যখন \(m=-\frac{1}{11}\)
\(\Rightarrow 11y+11=-1(x-1)\)
\(\Rightarrow 11y+11=-x+1\)
\(\Rightarrow x-1+11y+11=0\)
\(\therefore x+11y+10=0\)
\(y+1=11(x-1)\) ➜ যখন \(m=11\)
\(\Rightarrow y+1=11x-11\)
\(\Rightarrow 11x-11=y+1\)
\(\Rightarrow 11x-11-y-1=0\)
\(\therefore 11x-y-12=0\)
নির্ণেয় সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, \( x+11y+10=0, \ 11x-y-12=0\)
\(Q.4.(x)\) চিত্রটি লক্ষণীয়, \(ABCD\) একটি সামান্তরিক।\((a)\) \(D\) বিন্দু হতে \(AB\) এর লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AC\) বাহু বিবেচনা করে অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((c)\) \(B\) বিন্দু হতে \(DA\) এর উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \frac{13}{\sqrt{41}};\) একক। \((b) \ 34\) বর্গ একক।
\((c) \ (-\frac{13}{5}, -\frac{6}{5})\)
সমাধানঃ
\(Q.4.(x).(a)\)
দেওয়া আছে, \(A(-5, 0)\), \(B(0, 4)\), \(D(-7, 1)\)
\(AB\) এর সমীকরণ,
\(\frac{x+5}{-5-0}=\frac{y-0}{0-4}\)
\(\Rightarrow \frac{x+5}{-5}=\frac{y}{-4}\)
\(\Rightarrow \frac{x+5}{5}=\frac{y}{4}\)
\(\Rightarrow 4x+20=5y\)
\(\therefore 4x-5y+20=0\)
এখন,
\(D(-7, 1)\) বিন্দু হতে \(AB\) এর লম্ব দূরত্ব ,
\(=\frac{|4.(-7)-5.1+20|}{\sqrt{4^{2}+(-5)^{2}}}\)
\(=\frac{|-28-5+20|}{\sqrt{16+25}}\)
\(=\frac{|-13|}{\sqrt{41}}\)
\(=\frac{13}{\sqrt{41}}\)
\(Q.4.(x).(b)\)
দেওয়া আছে, \(A(-5, 0)\), \(B(0, 4)\), \(D(-7, 1)\)
ধরি, \(C(x, y)\)
\(ABCD\) একটি সামান্তরিক, \(AC\) এবং \(BD\) ইহার দুইটি কর্ণ পরস্পরকে \(E\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
\(AC\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{-5+x}{2},\frac{0+y}{2})\)
\(BD\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{0-7}{2},\frac{4+1}{2})\)
\(\Rightarrow E(\frac{-7}{2},\frac{5}{2})\)
\(\therefore E(\frac{-5+x}{2},\frac{0+y}{2})\Rightarrow E(\frac{-7}{2},\frac{5}{2})\)
\(\Rightarrow \frac{-5+x}{2}=\frac{-7}{2}, \frac{0+y}{2}=\frac{5}{2}\)
\(\Rightarrow -5+x=-7, 0+y=5\)
\(\Rightarrow x=-7+5, y=5\)
\(\therefore x=-2, y=5\)
\(\therefore C(-2, 5)\)
\(AC=\sqrt{(-5+2)^{2}+(0-5)^{2}}\)
\(=\sqrt{(-3)^{2}+(-5)^{2}}\)
\(=\sqrt{9+25}\)
\(=\sqrt{34}\)
\(AC\) বাহুবিশিষ্ট বর্গের ক্ষেত্রফল,
\(=(AC)^{2}\)
\(=(\sqrt{34})^{2}\)
\(=34\) বর্গ একক।
\(Q.4.(x).(c)\)
দেওয়া আছে, \(A(-5, 0)\), \(B(0, 4)\), \(D(-7, 1)\)
\(AD\) সরলরেখার সমীকরণ
\(\frac{x+5}{-5+7}=\frac{y-0}{0-1}\)
\(\Rightarrow \frac{x+5}{2}=\frac{y}{-1}\)
\(\Rightarrow \frac{x+5}{2}=-y\)
\(\Rightarrow x+5=-2y\)
\(\Rightarrow x+2y+5=0\)
\(\therefore x+2y+5=0 .......(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x-y+k=0 .......(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \(B(0, 4)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(2.0-4+k=0\)
\(\Rightarrow 0-4+k=0\)
\(\Rightarrow -4+k=0\)
\(\therefore k=4\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে পাই,
\(2x-y+4=0 .......(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) সমাধান করি,
\(\frac{x}{2.4-5.(-1)}=\frac{y}{5.2-1.4}=\frac{1}{1.(-1)-2.2}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{8+5}=\frac{y}{10-4}=\frac{1}{-1-4}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{13}=\frac{y}{6}=\frac{1}{-5}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{13}=\frac{1}{-5}, \frac{y}{6}=\frac{1}{-5}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{13}{5}, y=-\frac{6}{5}\)
\(\therefore \) পাদবিদুর স্থানাঙ্ক \((-\frac{13}{5}, -\frac{6}{5})\)।
দেওয়া আছে, \(A(-5, 0)\), \(B(0, 4)\), \(D(-7, 1)\)
\(AB\) এর সমীকরণ,
\(\frac{x+5}{-5-0}=\frac{y-0}{0-4}\)
\(\Rightarrow \frac{x+5}{-5}=\frac{y}{-4}\)
\(\Rightarrow \frac{x+5}{5}=\frac{y}{4}\)
\(\Rightarrow 4x+20=5y\)
\(\therefore 4x-5y+20=0\)
এখন,
\(D(-7, 1)\) বিন্দু হতে \(AB\) এর লম্ব দূরত্ব ,
\(=\frac{|4.(-7)-5.1+20|}{\sqrt{4^{2}+(-5)^{2}}}\)
\(=\frac{|-28-5+20|}{\sqrt{16+25}}\)
\(=\frac{|-13|}{\sqrt{41}}\)
\(=\frac{13}{\sqrt{41}}\)
\(Q.4.(x).(b)\)
দেওয়া আছে, \(A(-5, 0)\), \(B(0, 4)\), \(D(-7, 1)\)
ধরি, \(C(x, y)\)
\(ABCD\) একটি সামান্তরিক, \(AC\) এবং \(BD\) ইহার দুইটি কর্ণ পরস্পরকে \(E\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
\(AC\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{-5+x}{2},\frac{0+y}{2})\)
\(BD\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{0-7}{2},\frac{4+1}{2})\)
\(\Rightarrow E(\frac{-7}{2},\frac{5}{2})\)
\(\therefore E(\frac{-5+x}{2},\frac{0+y}{2})\Rightarrow E(\frac{-7}{2},\frac{5}{2})\)
\(\Rightarrow \frac{-5+x}{2}=\frac{-7}{2}, \frac{0+y}{2}=\frac{5}{2}\)
\(\Rightarrow -5+x=-7, 0+y=5\)
\(\Rightarrow x=-7+5, y=5\)
\(\therefore x=-2, y=5\)
\(\therefore C(-2, 5)\)
\(AC=\sqrt{(-5+2)^{2}+(0-5)^{2}}\)
\(=\sqrt{(-3)^{2}+(-5)^{2}}\)
\(=\sqrt{9+25}\)
\(=\sqrt{34}\)
\(AC\) বাহুবিশিষ্ট বর্গের ক্ষেত্রফল,
\(=(AC)^{2}\)
\(=(\sqrt{34})^{2}\)
\(=34\) বর্গ একক।
\(Q.4.(x).(c)\)দেওয়া আছে, \(A(-5, 0)\), \(B(0, 4)\), \(D(-7, 1)\)
\(AD\) সরলরেখার সমীকরণ
\(\frac{x+5}{-5+7}=\frac{y-0}{0-1}\)
\(\Rightarrow \frac{x+5}{2}=\frac{y}{-1}\)
\(\Rightarrow \frac{x+5}{2}=-y\)
\(\Rightarrow x+5=-2y\)
\(\Rightarrow x+2y+5=0\)
\(\therefore x+2y+5=0 .......(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x-y+k=0 .......(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \(B(0, 4)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(2.0-4+k=0\)
\(\Rightarrow 0-4+k=0\)
\(\Rightarrow -4+k=0\)
\(\therefore k=4\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে পাই,
\(2x-y+4=0 .......(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) সমাধান করি,
\(\frac{x}{2.4-5.(-1)}=\frac{y}{5.2-1.4}=\frac{1}{1.(-1)-2.2}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{8+5}=\frac{y}{10-4}=\frac{1}{-1-4}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{13}=\frac{y}{6}=\frac{1}{-5}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{13}=\frac{1}{-5}, \frac{y}{6}=\frac{1}{-5}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{13}{5}, y=-\frac{6}{5}\)
\(\therefore \) পাদবিদুর স্থানাঙ্ক \((-\frac{13}{5}, -\frac{6}{5})\)।
\(Q.4.(xi)\) \(A(1, 1)\), \(B(-4, 13)\), \(C(8, 8)\) এবং \(D\) বিন্দুগুলি একটি রম্বসের কৌনিক বিন্দু।
\((a)\) \(AC\) কর্ণ দ্বারা \(Y\) অক্ষের খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\((b)\) \(BD\) কর্ণের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) ভেক্টর পদ্ধতিতে \(\angle ABC\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 0\) একক। \((b) \ x+y-9=0;\)
\((c) \ \cos^{-1}(\frac{120}{169})\) ।
\((a)\) \(AC\) কর্ণ দ্বারা \(Y\) অক্ষের খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\((b)\) \(BD\) কর্ণের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) ভেক্টর পদ্ধতিতে \(\angle ABC\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 0\) একক। \((b) \ x+y-9=0;\)
\((c) \ \cos^{-1}(\frac{120}{169})\) ।
সমাধানঃ
\(Q.4.(xi).(a)\) দেওয়া আছে,
\(A(1, 1)\), \(B(-4, 13)\), \(C(8, 8)\)
\(AC\) এর সমীকরণ,
\(\frac{x-1}{1-8}=\frac{y-1}{1-8}\)
\(\Rightarrow \frac{x-1}{-7}=\frac{y-1}{-7}\)
\(\Rightarrow x-1=y-1\)
\(\Rightarrow x-y-1+1=0\)
\(\therefore x-y=0\)
\(AC\) কর্ণ মূলবিন্দুগামী ।
তাই , \(AC\) কর্ণ দ্বারা \(Y\) অক্ষের খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য \(0\) একক।
\(Q.4.(xi).(b)\)
দেওয়া আছে,
\(A(1, 1)\), \(B(-4, 13)\), \(C(8, 8)\)
ধরি, \(D(x, y)\)
\(ABCD\) একটি রম্বস, \(AC\) এবং \(BD\) ইহার দুইটি কর্ণ পরস্পরকে \(E\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
\(AC\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{1+8}{2},\frac{1+8}{2})\)
\(\Rightarrow E(\frac{9}{2},\frac{9}{2})\)
\(BD\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{-4+x}{2},\frac{13+y}{2})\)
\(\therefore E(\frac{-4+x}{2},\frac{13+y}{2})\Rightarrow E(\frac{9}{2},\frac{9}{2})\)
\(\Rightarrow \frac{-4+x}{2}=\frac{9}{2}, \frac{13+y}{2}=\frac{9}{2}\)
\(\Rightarrow -4+x=9, 13+y=9\)
\(\Rightarrow x=9+4, y=9-13\)
\(\Rightarrow x=13, y=-4\)
\(\therefore D(13, -4)\)
\(BD\) কর্ণের সমীকরণ,
\(\frac{x+4}{-4-13}=\frac{y-13}{13+4}\)
\(\Rightarrow \frac{x+4}{-17}=\frac{y-13}{17}\)
\(\Rightarrow \frac{x+4}{-1}=\frac{y-13}{1}\)
\(\Rightarrow x+4=-y+13\)
\(\Rightarrow x+4+y-13=0\)
\(\therefore x+y-9=0\)
\(Q.4.(xi).(c)\)
দেওয়া আছে,
\(A(1, 1)\), \(B(-4, 13)\), \(C(8, 8)\)
এখন,
\(\overrightarrow{BA}=(1+4)\widehat{i}+(1-13)\widehat{j}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{BA}=5\widehat{i}-12\widehat{j}\)
\(\Rightarrow |\overrightarrow{BA}|=\sqrt{5^{2}+(-12)^{2}}\)
\(\Rightarrow |\overrightarrow{BA}|=\sqrt{25+144}\)
\(\Rightarrow |\overrightarrow{BA}|=\sqrt{169}\)
\(\therefore |\overrightarrow{BA}|=13\)
\(\overrightarrow{BC}=(8+4)\widehat{i}+(8-13)\widehat{j}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{BC}=12\widehat{i}-5\widehat{j}\)
\(\Rightarrow |\overrightarrow{BC}|=\sqrt{12^{2}+(-5)^{2}}\)
\(\Rightarrow |\overrightarrow{BC}|=\sqrt{144+25}\)
\(\Rightarrow |\overrightarrow{BC}|=\sqrt{169}\)
\(\therefore |\overrightarrow{BC}|=13\)
\(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=5.12+(-12).(-5)\)
\(=60+60\)
\(=120\)
আমরা জানি,
\(\angle ABC=\cos^{-1}(\frac{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|})\)
\(=\cos^{-1}(\frac{120}{13 \times13})\)
\(=\cos^{-1}(\frac{120}{169})\)
\(A(1, 1)\), \(B(-4, 13)\), \(C(8, 8)\)
\(AC\) এর সমীকরণ,
\(\frac{x-1}{1-8}=\frac{y-1}{1-8}\)
\(\Rightarrow \frac{x-1}{-7}=\frac{y-1}{-7}\)
\(\Rightarrow x-1=y-1\)
\(\Rightarrow x-y-1+1=0\)
\(\therefore x-y=0\)
\(AC\) কর্ণ মূলবিন্দুগামী ।
তাই , \(AC\) কর্ণ দ্বারা \(Y\) অক্ষের খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য \(0\) একক।
\(Q.4.(xi).(b)\)
দেওয়া আছে,
\(A(1, 1)\), \(B(-4, 13)\), \(C(8, 8)\)
ধরি, \(D(x, y)\)
\(ABCD\) একটি রম্বস, \(AC\) এবং \(BD\) ইহার দুইটি কর্ণ পরস্পরকে \(E\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
\(AC\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{1+8}{2},\frac{1+8}{2})\)
\(\Rightarrow E(\frac{9}{2},\frac{9}{2})\)
\(BD\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{-4+x}{2},\frac{13+y}{2})\)
\(\therefore E(\frac{-4+x}{2},\frac{13+y}{2})\Rightarrow E(\frac{9}{2},\frac{9}{2})\)
\(\Rightarrow \frac{-4+x}{2}=\frac{9}{2}, \frac{13+y}{2}=\frac{9}{2}\)
\(\Rightarrow -4+x=9, 13+y=9\)
\(\Rightarrow x=9+4, y=9-13\)
\(\Rightarrow x=13, y=-4\)
\(\therefore D(13, -4)\)
\(BD\) কর্ণের সমীকরণ,
\(\frac{x+4}{-4-13}=\frac{y-13}{13+4}\)
\(\Rightarrow \frac{x+4}{-17}=\frac{y-13}{17}\)
\(\Rightarrow \frac{x+4}{-1}=\frac{y-13}{1}\)
\(\Rightarrow x+4=-y+13\)
\(\Rightarrow x+4+y-13=0\)
\(\therefore x+y-9=0\)
\(Q.4.(xi).(c)\)
দেওয়া আছে,
\(A(1, 1)\), \(B(-4, 13)\), \(C(8, 8)\)
এখন,
\(\overrightarrow{BA}=(1+4)\widehat{i}+(1-13)\widehat{j}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{BA}=5\widehat{i}-12\widehat{j}\)
\(\Rightarrow |\overrightarrow{BA}|=\sqrt{5^{2}+(-12)^{2}}\)
\(\Rightarrow |\overrightarrow{BA}|=\sqrt{25+144}\)
\(\Rightarrow |\overrightarrow{BA}|=\sqrt{169}\)
\(\therefore |\overrightarrow{BA}|=13\)
\(\overrightarrow{BC}=(8+4)\widehat{i}+(8-13)\widehat{j}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{BC}=12\widehat{i}-5\widehat{j}\)
\(\Rightarrow |\overrightarrow{BC}|=\sqrt{12^{2}+(-5)^{2}}\)
\(\Rightarrow |\overrightarrow{BC}|=\sqrt{144+25}\)
\(\Rightarrow |\overrightarrow{BC}|=\sqrt{169}\)
\(\therefore |\overrightarrow{BC}|=13\)
\(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=5.12+(-12).(-5)\)
\(=60+60\)
\(=120\)
আমরা জানি,
\(\angle ABC=\cos^{-1}(\frac{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|})\)
\(=\cos^{-1}(\frac{120}{13 \times13})\)
\(=\cos^{-1}(\frac{120}{169})\)
\(Q.4.(xii)\) একটি সরলরেখা \((3, 2)\) বিন্দুদিয়ে গমন করে এবং অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে যেন, \(OA-OB=2\) হয়, যেখানে \(O\) মূলবিন্দু।
\((a)\) পোলার স্থানাঙ্ক \((\sqrt{2}, \frac{5\pi}{4})\) কে কার্তেশীয় স্থানাঙ্কে প্রকাশ কর।
\((b)\) মূলবিন্দু থেকে সরলরেখাটির লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((c)\) \(P\) বিন্দুটি \(AB\) এর মধ্যবিন্দু হলে, \(\triangle AOB:\triangle AOP\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (-1, -1);\) \((b) \ \frac{12}{\sqrt{13}}, \ \frac{1}{\sqrt{2}};\)
\((c) \ 2:1; \ 2:1\) ।
\((a)\) পোলার স্থানাঙ্ক \((\sqrt{2}, \frac{5\pi}{4})\) কে কার্তেশীয় স্থানাঙ্কে প্রকাশ কর।
\((b)\) মূলবিন্দু থেকে সরলরেখাটির লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((c)\) \(P\) বিন্দুটি \(AB\) এর মধ্যবিন্দু হলে, \(\triangle AOB:\triangle AOP\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (-1, -1);\) \((b) \ \frac{12}{\sqrt{13}}, \ \frac{1}{\sqrt{2}};\)
\((c) \ 2:1; \ 2:1\) ।
সমাধানঃ
\(Q.4.(xii).(a)\)
দেওয়া আছে,
পোলার স্থানাঙ্ক \(A(\sqrt{2}, \frac{5\pi}{4})\)
অর্থাৎ,
\(r=\sqrt{2}, \theta=\frac{5\pi}{4}\)
আমরা জানি,
\(x=r\cos\theta, \ y=r\sin\theta\)
\(\Rightarrow x=\sqrt{2}\cos\frac{5\pi}{4}, \ y=\sqrt{2}\sin\frac{5\pi}{4}\)
\(\Rightarrow x=\sqrt{2}\cos(\pi+\frac{\pi}{4}), \ y=\sqrt{2}\sin(\pi+\frac{\pi}{4})\)
\(\Rightarrow x=-\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{4}, \ y=-\sqrt{2}\sin\frac{\pi}{4}\) ➜ তৃতীয় চৌকোণে
\(\Rightarrow x=-\sqrt{2}\times \frac{1}{\sqrt{2}}, \ y=-\sqrt{2}\times \frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow x=-1, \ y=-1\)
\(\therefore A\) এর কার্তেশীয় স্থানাঙ্ক \(A(-1, -1)\).
\(Q.4.(xii).(b)\)
ধরি,
সরলরেখাটির সমীকরণ,
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 ........(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখা অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A(a, 0)\) ও \(B(0, b)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
এখানে,
\(OA=a, \ OB=b\)
দেওয়া আছে,
\(OA-OB=2\)
\(\Rightarrow a-b=2\)
\(\therefore a=b+2 ......(2)\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((3, 2)\) বিন্দুগামী,
\(\therefore \frac{3}{a}+\frac{2}{b}=1\)
\(\Rightarrow \frac{3b+2a}{ab}=1\)
\(\Rightarrow 3b+2a=ab\)
\(\Rightarrow 3b+2(b+2)=(b+2)b\); \((2)\) এর সাহায্যে
\(\Rightarrow 3b+2b+4=b^{2}+2b\)
\(\Rightarrow b^{2}+2b=3b+2b+4\)
\(\Rightarrow b^{2}+2b=5b+4\)
\(\Rightarrow b^{2}+2b-5b-4=0\)
\(\Rightarrow b^{2}-3b-4=0\)
\(\Rightarrow b^{2}-4b+b-4=0\)
\(\Rightarrow b(b-4)+1(b-4)=0\)
\(\Rightarrow (b-4)(b+1)=0\)
\(\Rightarrow b-4=0, b+1=0\)
\(\Rightarrow b=4, b=-1\)
\((2)\) হতে,
\(b=4\Rightarrow a=4+2=6, \ b=-1\Rightarrow a=-1+2=1\)
\(a\) ও \(b\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(\frac{x}{6}+\frac{y}{4}=1\), যখন \(a=6, b=4\)
\(\Rightarrow \frac{2x+3y}{12}=1\)
\(\Rightarrow 2x+3y=12\)
\(\therefore 2x+3y-12=0 .........(3)\)
\(\frac{x}{1}+\frac{y}{-1}=1\), যখন \(a=1, b=-1\)
\(\Rightarrow x-y=1\)
\(\therefore x-y-1=0 .........(4)\)
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) হতে \( (3)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{|-12|}{\sqrt{2^{2}+3^{2}}}\)
\(=\frac{12}{\sqrt{4+9}}\)
\(=\frac{12}{\sqrt{13}}\)
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) হতে \( (4)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{|-1|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{1+1}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\therefore \) দূরত্বদ্বয় যথাক্রমে, \(\frac{12}{\sqrt{13}}, \ \frac{1}{\sqrt{2}}\)।
\(Q.4.(xii).(c)\)
\((b)\) হতে প্রাপ্ত,
\(A(6, 0)\), \(B(0, 4)\)
অথবা,
\(A(1, 0)\), \(B(0, -1)\)
দেওয়া আছে,
\(P\) বিন্দুটি \(AB\) এর মধ্যবিন্দু ,
\(\therefore P(\frac{6+0}{2}, \frac{0+4}{2})\) অথবা, \(P(\frac{1+0}{2}, \frac{0-1}{2})\)
\(\Rightarrow P(\frac{6}{2}, \frac{4}{2})\) অথবা, \(P(\frac{1}{2}, \frac{-1}{2})\)
\(\Rightarrow P(3, 2)\) অথবা, \(P(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})\)
যখন,
\(A(6, 0)\), \(B(0, 4)\), \(P(3, 2)\)।
\(\triangle AOB=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}6 \ \ \ \ 0 \ \ \ \ 0 \ \ \ \ 6\\ 0 \ \ \ \ 0 \ \ \ \ 4 \ \ \ \ 0\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{6.0-0.0+0.4-0.0+0.0-6.4\}\)
\(=\frac{1}{2}\{0-0+0-0+0-24\}\)
\(=\frac{1}{2}\times -24\)
\(=-12\)
\(=12\) ➜ \(\because \triangle \ne -ve\)
\(\triangle AOP=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}6 \ \ \ \ 0 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ 6\\ 0 \ \ \ \ 0 \ \ \ \ 2 \ \ \ \ 0\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{6.0-0.0+0.2-3.0+3.0-6.2\}\)
\(=\frac{1}{2}\{0-0+0-0+0-12\}\)
\(=\frac{1}{2}\times -12\)
\(=-6\)
\(=6\) ➜ \(\because \triangle \ne -ve\)
\(\therefore \triangle AOB:\triangle AOP=12:6\)
\(\Rightarrow \triangle AOB:\triangle AOP=2:1\)
যখন,
\(A(1, 0)\), \(B(0, -1)\), \(P(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})\)।
\(\triangle AOB=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}1 \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ 1\\ 0 \ \ \ \ 0 \ \ -1 \ \ \ \ 0\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{1.0-0.0+0.(-1)-0.0+0.0-1.(-1)\}\)
\(=\frac{1}{2}\{0-0+0-0+0+1\}\)
\(=\frac{1}{2}\times 1\)
\(=\frac{1}{2}\)
\(\triangle AOP=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}1 \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \frac{1}{2} \ \ \ \ \ 1\\ 0 \ \ \ \ 0 \ \ -\frac{1}{2} \ \ \ \ 0\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{1.0-0.0+0.(-\frac{1}{2})-\frac{1}{2}.0+\frac{1}{2}.0-1.(-\frac{1}{2})\}\)
\(=\frac{1}{2}\{0-0+0-0+0+\frac{1}{2}\}\)
\(=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\)
\(=\frac{1}{4}\)
\(\therefore \triangle AOB:\triangle AOP=\frac{1}{2}:\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow \triangle AOB:\triangle AOP=2:1\)
দেওয়া আছে,
পোলার স্থানাঙ্ক \(A(\sqrt{2}, \frac{5\pi}{4})\)
অর্থাৎ,
\(r=\sqrt{2}, \theta=\frac{5\pi}{4}\)
আমরা জানি,
\(x=r\cos\theta, \ y=r\sin\theta\)
\(\Rightarrow x=\sqrt{2}\cos\frac{5\pi}{4}, \ y=\sqrt{2}\sin\frac{5\pi}{4}\)
\(\Rightarrow x=\sqrt{2}\cos(\pi+\frac{\pi}{4}), \ y=\sqrt{2}\sin(\pi+\frac{\pi}{4})\)
\(\Rightarrow x=-\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{4}, \ y=-\sqrt{2}\sin\frac{\pi}{4}\) ➜ তৃতীয় চৌকোণে
\(\Rightarrow x=-\sqrt{2}\times \frac{1}{\sqrt{2}}, \ y=-\sqrt{2}\times \frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow x=-1, \ y=-1\)
\(\therefore A\) এর কার্তেশীয় স্থানাঙ্ক \(A(-1, -1)\).
\(Q.4.(xii).(b)\)
ধরি,
সরলরেখাটির সমীকরণ,
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 ........(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখা অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A(a, 0)\) ও \(B(0, b)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
এখানে,
\(OA=a, \ OB=b\)
দেওয়া আছে,
\(OA-OB=2\)
\(\Rightarrow a-b=2\)
\(\therefore a=b+2 ......(2)\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((3, 2)\) বিন্দুগামী,
\(\therefore \frac{3}{a}+\frac{2}{b}=1\)
\(\Rightarrow \frac{3b+2a}{ab}=1\)
\(\Rightarrow 3b+2a=ab\)
\(\Rightarrow 3b+2(b+2)=(b+2)b\); \((2)\) এর সাহায্যে
\(\Rightarrow 3b+2b+4=b^{2}+2b\)
\(\Rightarrow b^{2}+2b=3b+2b+4\)
\(\Rightarrow b^{2}+2b=5b+4\)
\(\Rightarrow b^{2}+2b-5b-4=0\)
\(\Rightarrow b^{2}-3b-4=0\)
\(\Rightarrow b^{2}-4b+b-4=0\)
\(\Rightarrow b(b-4)+1(b-4)=0\)
\(\Rightarrow (b-4)(b+1)=0\)
\(\Rightarrow b-4=0, b+1=0\)
\(\Rightarrow b=4, b=-1\)
\((2)\) হতে,
\(b=4\Rightarrow a=4+2=6, \ b=-1\Rightarrow a=-1+2=1\)
\(a\) ও \(b\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(\frac{x}{6}+\frac{y}{4}=1\), যখন \(a=6, b=4\)
\(\Rightarrow \frac{2x+3y}{12}=1\)
\(\Rightarrow 2x+3y=12\)
\(\therefore 2x+3y-12=0 .........(3)\)
\(\frac{x}{1}+\frac{y}{-1}=1\), যখন \(a=1, b=-1\)
\(\Rightarrow x-y=1\)
\(\therefore x-y-1=0 .........(4)\)
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) হতে \( (3)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{|-12|}{\sqrt{2^{2}+3^{2}}}\)
\(=\frac{12}{\sqrt{4+9}}\)
\(=\frac{12}{\sqrt{13}}\)
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) হতে \( (4)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{|-1|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{1+1}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\therefore \) দূরত্বদ্বয় যথাক্রমে, \(\frac{12}{\sqrt{13}}, \ \frac{1}{\sqrt{2}}\)।
\(Q.4.(xii).(c)\)
\((b)\) হতে প্রাপ্ত,
\(A(6, 0)\), \(B(0, 4)\)
অথবা,
\(A(1, 0)\), \(B(0, -1)\)
দেওয়া আছে,
\(P\) বিন্দুটি \(AB\) এর মধ্যবিন্দু ,
\(\therefore P(\frac{6+0}{2}, \frac{0+4}{2})\) অথবা, \(P(\frac{1+0}{2}, \frac{0-1}{2})\)
\(\Rightarrow P(\frac{6}{2}, \frac{4}{2})\) অথবা, \(P(\frac{1}{2}, \frac{-1}{2})\)
\(\Rightarrow P(3, 2)\) অথবা, \(P(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})\)
যখন,
\(A(6, 0)\), \(B(0, 4)\), \(P(3, 2)\)।
\(\triangle AOB=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}6 \ \ \ \ 0 \ \ \ \ 0 \ \ \ \ 6\\ 0 \ \ \ \ 0 \ \ \ \ 4 \ \ \ \ 0\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{6.0-0.0+0.4-0.0+0.0-6.4\}\)
\(=\frac{1}{2}\{0-0+0-0+0-24\}\)
\(=\frac{1}{2}\times -24\)
\(=-12\)
\(=12\) ➜ \(\because \triangle \ne -ve\)
\(\triangle AOP=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}6 \ \ \ \ 0 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ 6\\ 0 \ \ \ \ 0 \ \ \ \ 2 \ \ \ \ 0\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{6.0-0.0+0.2-3.0+3.0-6.2\}\)
\(=\frac{1}{2}\{0-0+0-0+0-12\}\)
\(=\frac{1}{2}\times -12\)
\(=-6\)
\(=6\) ➜ \(\because \triangle \ne -ve\)
\(\therefore \triangle AOB:\triangle AOP=12:6\)
\(\Rightarrow \triangle AOB:\triangle AOP=2:1\)
যখন,
\(A(1, 0)\), \(B(0, -1)\), \(P(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})\)।
\(\triangle AOB=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}1 \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ 1\\ 0 \ \ \ \ 0 \ \ -1 \ \ \ \ 0\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{1.0-0.0+0.(-1)-0.0+0.0-1.(-1)\}\)
\(=\frac{1}{2}\{0-0+0-0+0+1\}\)
\(=\frac{1}{2}\times 1\)
\(=\frac{1}{2}\)
\(\triangle AOP=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}1 \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \frac{1}{2} \ \ \ \ \ 1\\ 0 \ \ \ \ 0 \ \ -\frac{1}{2} \ \ \ \ 0\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{1.0-0.0+0.(-\frac{1}{2})-\frac{1}{2}.0+\frac{1}{2}.0-1.(-\frac{1}{2})\}\)
\(=\frac{1}{2}\{0-0+0-0+0+\frac{1}{2}\}\)
\(=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\)
\(=\frac{1}{4}\)
\(\therefore \triangle AOB:\triangle AOP=\frac{1}{2}:\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow \triangle AOB:\triangle AOP=2:1\)
\(Q.4.(xiii)\) চিত্রটি লক্ষণীয়, \(AB\) এর লম্বদ্বিখন্ডক \(Y\) অক্ষকে \(C\) বিন্দুতে ছেদ করে।\((a)\) \(X\) অক্ষ থেকে একটি সেটের প্রতিটি বিন্দুর দূরত্বের বর্গ, \(Y\) অক্ষ থেকে বিন্দুটির দূরত্বের \(4\) গুণ। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \(E\) বিন্দুটি \(BC\) এর মধ্যবিন্দু। \(E\) বিন্দু থেকে \(AB\) এর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (y^{2}=4x);\) \((b) \ (0, 3);\)
\((c) \ \frac{\sqrt{13}}{2}. \) ।
সমাধানঃ
\(Q.4.(xiii).(a)\)
মনেকরি,
বিন্দু সেটটি \(P(x, y)\)
\(X\) অক্ষ থেকে \(P(x, y)\) এর দূরত্ব \(=y\)
\(Y\) অক্ষ থেকে \(P(x, y)\) এর দূরত্ব \(=x\)
শর্তমতে,
\(y^{2}=4x\)
ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
\(Q.4.(xiii).(b)\)
চিত্রমতে,
\(A(1, 8)\), \(B(5, 2)\)
ধরি,
\(C(0, y)\)
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(F(\frac{1+5}{2}, \frac{8+2}{2})\)
\(\Rightarrow F(\frac{6}{2}, \frac{10}{2})\)
\(\Rightarrow F(3, 5)\)
\(AB\) এর ঢাল \(m_{1}=\frac{8-2}{1-5}\)
\(=\frac{6}{-4}\)
\(=-\frac{3}{2}\)
\(CF\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{y-5}{0-3}\)
\(=\frac{y-5}{-3}\)
\(=-\frac{y-5}{3}\)
চিত্রমতে,
\(m_{1}m_{2}=-1\)
\(\Rightarrow -\frac{3}{2}\times -\frac{y-5}{3}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y-5}{2}=-1\)
\(\Rightarrow y-5=-2\)
\(\Rightarrow y=5-2\)
\(\Rightarrow y=3\)
\(\therefore C(0, 3)\)
\(Q.4.(xiii).(c)\)
চিত্রমতে,
\(A(1, 8)\),\(B(5, 2)\)
\(\therefore AB\) এর সমীকরণ,
\(\frac{x-1}{1-5}=\frac{y-8}{8-2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-1}{-4}=\frac{y-8}{6}\)
\(\Rightarrow \frac{x-1}{-2}=\frac{y-8}{3}\)
\(\Rightarrow 3(x-1)=-2(y-8)\)
\(\Rightarrow 3x-3=-2y+16\)
\(\Rightarrow 3x-3+2y-16=0\)
\(\therefore 3x+2y-19=0 .........(1)\)
\((b)\) হতে প্রাপ্ত \(C(0, 3)\)
\(BC\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{5+0}{2}, \frac{2+3}{2})\)
\(\Rightarrow E(\frac{5}{2}, \frac{5}{2})\)
\(E\) বিন্দু হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{|3.\frac{5}{2}+2.\frac{5}{2}-19|}{\sqrt{3^{2}+2^{2}}}\)
\(=\frac{|\frac{15}{2}+5-19|}{\sqrt{9+4}}\)
\(=\frac{|\frac{15}{2}-14|}{\sqrt{13}}\)
\(=\frac{|\frac{15-28}{2}|}{\sqrt{13}}\)
\(=\frac{|\frac{-13}{2}|}{\sqrt{13}}\)
\(=\frac{\frac{13}{2}}{\sqrt{13}}\)
\(=\frac{13}{2}\times \frac{1}{\sqrt{13}}\)
\(=\frac{\sqrt{13}\times \sqrt{13}}{2}\times \frac{1}{\sqrt{13}}\)
\(=\frac{\sqrt{13}}{2}\)
ইহাই নির্ণেয় দূরত্ব।
মনেকরি,
বিন্দু সেটটি \(P(x, y)\)
\(X\) অক্ষ থেকে \(P(x, y)\) এর দূরত্ব \(=y\)
\(Y\) অক্ষ থেকে \(P(x, y)\) এর দূরত্ব \(=x\)
শর্তমতে,
\(y^{2}=4x\)
ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
\(Q.4.(xiii).(b)\)
চিত্রমতে,
\(A(1, 8)\), \(B(5, 2)\)
ধরি,
\(C(0, y)\)
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(F(\frac{1+5}{2}, \frac{8+2}{2})\)
\(\Rightarrow F(\frac{6}{2}, \frac{10}{2})\)
\(\Rightarrow F(3, 5)\)
\(AB\) এর ঢাল \(m_{1}=\frac{8-2}{1-5}\)
\(=\frac{6}{-4}\)
\(=-\frac{3}{2}\)
\(CF\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{y-5}{0-3}\)
\(=\frac{y-5}{-3}\)
\(=-\frac{y-5}{3}\)
চিত্রমতে,
\(m_{1}m_{2}=-1\)
\(\Rightarrow -\frac{3}{2}\times -\frac{y-5}{3}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y-5}{2}=-1\)
\(\Rightarrow y-5=-2\)
\(\Rightarrow y=5-2\)
\(\Rightarrow y=3\)
\(\therefore C(0, 3)\)
\(Q.4.(xiii).(c)\)
চিত্রমতে,
\(A(1, 8)\),\(B(5, 2)\)
\(\therefore AB\) এর সমীকরণ,
\(\frac{x-1}{1-5}=\frac{y-8}{8-2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-1}{-4}=\frac{y-8}{6}\)
\(\Rightarrow \frac{x-1}{-2}=\frac{y-8}{3}\)
\(\Rightarrow 3(x-1)=-2(y-8)\)
\(\Rightarrow 3x-3=-2y+16\)
\(\Rightarrow 3x-3+2y-16=0\)
\(\therefore 3x+2y-19=0 .........(1)\)
\((b)\) হতে প্রাপ্ত \(C(0, 3)\)
\(BC\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{5+0}{2}, \frac{2+3}{2})\)
\(\Rightarrow E(\frac{5}{2}, \frac{5}{2})\)
\(E\) বিন্দু হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{|3.\frac{5}{2}+2.\frac{5}{2}-19|}{\sqrt{3^{2}+2^{2}}}\)
\(=\frac{|\frac{15}{2}+5-19|}{\sqrt{9+4}}\)
\(=\frac{|\frac{15}{2}-14|}{\sqrt{13}}\)
\(=\frac{|\frac{15-28}{2}|}{\sqrt{13}}\)
\(=\frac{|\frac{-13}{2}|}{\sqrt{13}}\)
\(=\frac{\frac{13}{2}}{\sqrt{13}}\)
\(=\frac{13}{2}\times \frac{1}{\sqrt{13}}\)
\(=\frac{\sqrt{13}\times \sqrt{13}}{2}\times \frac{1}{\sqrt{13}}\)
\(=\frac{\sqrt{13}}{2}\)
ইহাই নির্ণেয় দূরত্ব।
\(Q.4.(xiv)\) \(x-4=0\), \(y-5=0\), \(x+1=0\) এবং \(y+4=0\) রেখাগুলি একটি চতুর্ভুজ গঠন করে।
\((a)\) \((-3, 4)\) এবং \((2, -1)\) বিন্দুদ্বয় \(2x-3y+4=0\) রেখার একই পার্শে অথবা, বিপরীত পার্শে অবস্থিত কিনা নির্ণয় কর।
\((b)\) কর্ণ দুইটি অন্তর্গত সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(Y\) অক্ষের উপরিস্থিত যে বিন্দুগুলি হতে কর্ণদ্বয়ের লম্ব দূরত্ব \(4\) একক উহার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a)\) বিপরীত পার্শে; \((b) \ 2x-3=0;\)
\((c) \ (0, 6.04), (0, -10.44), (0, 11.44), (0, -5.04) \) ।
\((a)\) \((-3, 4)\) এবং \((2, -1)\) বিন্দুদ্বয় \(2x-3y+4=0\) রেখার একই পার্শে অথবা, বিপরীত পার্শে অবস্থিত কিনা নির্ণয় কর।
\((b)\) কর্ণ দুইটি অন্তর্গত সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(Y\) অক্ষের উপরিস্থিত যে বিন্দুগুলি হতে কর্ণদ্বয়ের লম্ব দূরত্ব \(4\) একক উহার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a)\) বিপরীত পার্শে; \((b) \ 2x-3=0;\)
\((c) \ (0, 6.04), (0, -10.44), (0, 11.44), (0, -5.04) \) ।
সমাধানঃ
\(Q.4.(xiv).(a)\) মনেকরি,
\(A(-3, 4)\), \(B(2, -1)\)
এবং
\(f(x,y)=2x-3y+4 \)
এখন,
\(f(A)=f(-3,4)=2.(-3)-3.4+4\)
\(=-6-12+4\)
\(=-18+4\)
\(=-14\)
আবার,
\(f(B)=f(2,-1)=2.2-3.(-1)+4\)
\(=4+3+4\)
\(=11\)
\(\because f(A)\) এবং \(f(B)\) বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট,
\(\therefore \) বিন্দুদ্বয় রেখাটির পরস্পর বিপরীত পার্শে অবস্থিত।
\(Q.4.(xiv).(b)\) মনেকরি,
\(x-4=0.......(1)\)
\(y-5=0.......(2)\)
\(x+1=0.......(3)\)
\(y+4=0.......(4)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু \(A(4, 5)\)
\((2)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দু \(B(-1, 5)\)
\((3)\) ও \((4)\) এর ছেদবিন্দু \(C(-1, -4)\)
\((1)\) ও \((4)\) এর ছেদবিন্দু \(D(4, -4)\)
\(AC\) কর্ণের সমীকরণ, \(\frac{x-4}{4+1}=\frac{y-5}{5+4}\)
\(\Rightarrow \frac{x-4}{5}=\frac{y-5}{9}\)
\(\Rightarrow 9x-36=5y-25\)
\(\Rightarrow 9x-36-5y+25=0\)
\(\therefore 9x-5y-11=0 .....(5)\)
\(BD\) কর্ণের সমীকরণ, \(\frac{x+1}{-1-4}=\frac{y-5}{5+4}\)
\(\Rightarrow \frac{x+1}{-5}=\frac{y-5}{9}\)
\(\Rightarrow 9x+9=-5y+25\)
\(\Rightarrow 9x+9+5y-25=0\)
\(\therefore 9x+5y-16=0 ........(6)\)
\((5)\) ও \((6)\) হতে,
\(a_{1}=9, b_{1}=-5, a_{2}=9, b_{2}=5,\)
এখন,
\(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=9.9+(-5).5=81-25=56>0\)
\(\therefore (5)\) ও \((6)\) এর সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{9x-5y-11}{\sqrt{9^{2}+(-5)^{2}}}=-\frac{9x+5y-16}{\sqrt{9^{2}+5^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{9x-5y-11}{\sqrt{81+25}}=-\frac{9x+5y-16}{\sqrt{81+25}}\)
\(\Rightarrow 9x-5y-11=-(9x+5y-16)\)
\(\Rightarrow 9x-5y-11=-9x-5y+16\)
\(\Rightarrow 9x-5y-11+9x+5y-16=0\)
\(\Rightarrow 18x-27=0\)
\(\Rightarrow 9(2x-3)=0\)
\(\Rightarrow 2x-3=\frac{0}{9}\) ➜ \(\because 9\ne 0\)
\(\therefore 2x-3=0\)
ইহাই নির্ণেয় সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ।
\(Q.4.(xiv).(c)\)
মনেকরি,
\(Y\) অক্ষের উপরিস্থিত যে কোনো বিন্দু \(P(0, y)\)
\(P(0, y)\) হতে \((5)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d_{1}=\frac{|9.0-5y-11|}{\sqrt{9^{2}+(-5)^{2}}}\)
\(=\frac{|-5y-11|}{\sqrt{81+25}}\)
\(=\frac{|-(5y+11)|}{\sqrt{106}}\)
\(=\frac{|(5y+11)|}{\sqrt{106}}\)
শর্তমতে,
\(d_{1}=4\)
\(\Rightarrow \frac{|(5y+11)|}{\sqrt{106}}=4\)
\(\Rightarrow \pm \frac{5y+11}{\sqrt{106}}=4\)
\(\Rightarrow 5y+11=\pm 4\sqrt{106}\)
\(\Rightarrow 5y=-11\pm 4\sqrt{106}\)
\(\Rightarrow y=\frac{-11\pm 4\sqrt{106}}{5}\)
\(\Rightarrow y=\frac{-11+4\sqrt{106}}{5}, \frac{-11-4\sqrt{106}}{5}\)
\(\Rightarrow y=6.04, -10.44\)
এই ক্ষেত্রে বিন্দুগুলি,
\((0, 6.04)\), \((0, -10.44)\)
আবার,
\(P(0, y)\) হতে \((6)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d_{2}=\frac{|9.0+5y-16|}{\sqrt{9^{2}+5^{2}}}\)
\(=\frac{|5y-16|}{\sqrt{81+25}}\)
\(=\frac{|5y-16|}{\sqrt{106}}\)
শর্তমতে,
\(d_{2}=4\)
\(\Rightarrow \frac{|5y-16|}{\sqrt{106}}=4\)
\(\Rightarrow \pm \frac{5y-16}{\sqrt{106}}=4\)
\(\Rightarrow 5y-16=\pm 4\sqrt{106}\)
\(\Rightarrow 5y=16\pm 4\sqrt{106}\)
\(\Rightarrow y=\frac{16\pm 4\sqrt{106}}{5}\)
\(\Rightarrow y=\frac{16+4\sqrt{106}}{5}, \frac{16-4\sqrt{106}}{5}\)
\(\Rightarrow y=11.44, -5.04\)
এই ক্ষেত্রে বিন্দুগুলি,
\((0, 11.44)\), \((0, -5.04)\)
\(A(-3, 4)\), \(B(2, -1)\)
এবং
\(f(x,y)=2x-3y+4 \)
এখন,
\(f(A)=f(-3,4)=2.(-3)-3.4+4\)
\(=-6-12+4\)
\(=-18+4\)
\(=-14\)
আবার,
\(f(B)=f(2,-1)=2.2-3.(-1)+4\)
\(=4+3+4\)
\(=11\)
\(\because f(A)\) এবং \(f(B)\) বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট,
\(\therefore \) বিন্দুদ্বয় রেখাটির পরস্পর বিপরীত পার্শে অবস্থিত।
\(Q.4.(xiv).(b)\) মনেকরি,
\(x-4=0.......(1)\)
\(y-5=0.......(2)\)
\(x+1=0.......(3)\)
\(y+4=0.......(4)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু \(A(4, 5)\)
\((2)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দু \(B(-1, 5)\)
\((3)\) ও \((4)\) এর ছেদবিন্দু \(C(-1, -4)\)
\((1)\) ও \((4)\) এর ছেদবিন্দু \(D(4, -4)\)
\(AC\) কর্ণের সমীকরণ, \(\frac{x-4}{4+1}=\frac{y-5}{5+4}\)
\(\Rightarrow \frac{x-4}{5}=\frac{y-5}{9}\)
\(\Rightarrow 9x-36=5y-25\)
\(\Rightarrow 9x-36-5y+25=0\)
\(\therefore 9x-5y-11=0 .....(5)\)
\(BD\) কর্ণের সমীকরণ, \(\frac{x+1}{-1-4}=\frac{y-5}{5+4}\)
\(\Rightarrow \frac{x+1}{-5}=\frac{y-5}{9}\)
\(\Rightarrow 9x+9=-5y+25\)
\(\Rightarrow 9x+9+5y-25=0\)
\(\therefore 9x+5y-16=0 ........(6)\)
\((5)\) ও \((6)\) হতে,
\(a_{1}=9, b_{1}=-5, a_{2}=9, b_{2}=5,\)
এখন,
\(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=9.9+(-5).5=81-25=56>0\)
\(\therefore (5)\) ও \((6)\) এর সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{9x-5y-11}{\sqrt{9^{2}+(-5)^{2}}}=-\frac{9x+5y-16}{\sqrt{9^{2}+5^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{9x-5y-11}{\sqrt{81+25}}=-\frac{9x+5y-16}{\sqrt{81+25}}\)
\(\Rightarrow 9x-5y-11=-(9x+5y-16)\)
\(\Rightarrow 9x-5y-11=-9x-5y+16\)
\(\Rightarrow 9x-5y-11+9x+5y-16=0\)
\(\Rightarrow 18x-27=0\)
\(\Rightarrow 9(2x-3)=0\)
\(\Rightarrow 2x-3=\frac{0}{9}\) ➜ \(\because 9\ne 0\)
\(\therefore 2x-3=0\)
ইহাই নির্ণেয় সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ।
\(Q.4.(xiv).(c)\) মনেকরি,
\(Y\) অক্ষের উপরিস্থিত যে কোনো বিন্দু \(P(0, y)\)
\(P(0, y)\) হতে \((5)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d_{1}=\frac{|9.0-5y-11|}{\sqrt{9^{2}+(-5)^{2}}}\)
\(=\frac{|-5y-11|}{\sqrt{81+25}}\)
\(=\frac{|-(5y+11)|}{\sqrt{106}}\)
\(=\frac{|(5y+11)|}{\sqrt{106}}\)
শর্তমতে,
\(d_{1}=4\)
\(\Rightarrow \frac{|(5y+11)|}{\sqrt{106}}=4\)
\(\Rightarrow \pm \frac{5y+11}{\sqrt{106}}=4\)
\(\Rightarrow 5y+11=\pm 4\sqrt{106}\)
\(\Rightarrow 5y=-11\pm 4\sqrt{106}\)
\(\Rightarrow y=\frac{-11\pm 4\sqrt{106}}{5}\)
\(\Rightarrow y=\frac{-11+4\sqrt{106}}{5}, \frac{-11-4\sqrt{106}}{5}\)
\(\Rightarrow y=6.04, -10.44\)
এই ক্ষেত্রে বিন্দুগুলি,
\((0, 6.04)\), \((0, -10.44)\)
আবার,
\(P(0, y)\) হতে \((6)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d_{2}=\frac{|9.0+5y-16|}{\sqrt{9^{2}+5^{2}}}\)
\(=\frac{|5y-16|}{\sqrt{81+25}}\)
\(=\frac{|5y-16|}{\sqrt{106}}\)
শর্তমতে,
\(d_{2}=4\)
\(\Rightarrow \frac{|5y-16|}{\sqrt{106}}=4\)
\(\Rightarrow \pm \frac{5y-16}{\sqrt{106}}=4\)
\(\Rightarrow 5y-16=\pm 4\sqrt{106}\)
\(\Rightarrow 5y=16\pm 4\sqrt{106}\)
\(\Rightarrow y=\frac{16\pm 4\sqrt{106}}{5}\)
\(\Rightarrow y=\frac{16+4\sqrt{106}}{5}, \frac{16-4\sqrt{106}}{5}\)
\(\Rightarrow y=11.44, -5.04\)
এই ক্ষেত্রে বিন্দুগুলি,
\((0, 11.44)\), \((0, -5.04)\)
\(Q.4.(xv)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,\((a)\) \(AB\) রেখাকে \(Y\) অক্ষ যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।
\((b)\) \(Q\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \(C\) বিন্দুগামী এবং \(AB\) রেখার সহিত \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 1:2;\) \((b) \ Q(\frac{6}{5}, \frac{2}{5})\)
\((c) \ x-3y+1=0, \ 3x+y+13=0 \) ।
সমাধানঃ
\(Q.4.(xv).(a)\) চিত্রে দেওয়া আছে,
\(A(-2, 2)\),\(B(4, -1)\)
ধরি,
\(AB\) কে \(Y\) অক্ষরেখা \(D(0, y)\) বিন্দুতে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore D(\frac{m.4+n.(-2)}{m+n}, \frac{m.(-1)+n.2}{m+n})\)
\(\Rightarrow D(\frac{4m-2n}{m+n}, \frac{-m+2n}{m+n})\)
কিন্তু \(D(0, y)\)
\(\therefore \frac{4m-2n}{m+n}=0\)
\(\Rightarrow 4m-2n=0\times (m+n)\)
\(\Rightarrow 4m-2n=0\)
\(\Rightarrow 4m=2n\)
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{2}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow m:n=1:2\)
\(\therefore AB\) কে \(Y\) \(1:2\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(Q.4.(xv).(b)\)
চিত্রে দেওয়া আছে,
\(A(-2, 2)\),\(B(4, -1)\),\(P(3, 4)\)
এবং \(AB\perp PQ\)
\(AB\) এর সমীকরণ,
\(\frac{x+2}{-2-4}=\frac{y-2}{2+1}\)
\(\Rightarrow \frac{x+2}{-6}=\frac{y-2}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{x+2}{-2}=\frac{y-2}{1}\)
\(\Rightarrow x+2=-2y+4\)
\(\Rightarrow x+2+2y-4=0\)
\(\Rightarrow x+2y-2=0 ......(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x-y+k=0 ......(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \(P(3, 4)\) বিন্দুগামী হলে,
\(2.3-4+k=0\)
\(\Rightarrow 6-4+k=0\)
\(\Rightarrow 2+k=0\)
\(\Rightarrow k=-2\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(2x-y-2=0 ......(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((1)+(3)\times 2\) এর সাহায্যে,
\(\Rightarrow x+2y-2+4x-2y-4=0\)
\(\Rightarrow 5x-6=0\)
\(\Rightarrow 5x=6\)
\(\Rightarrow x=\frac{6}{5}\)
\((3)\) হতে,
\(2.\frac{6}{5}-y-2=0\)
\(\Rightarrow \frac{12}{5}-2=y\)
\(\Rightarrow y=\frac{12}{5}-2\)
\(\Rightarrow y=\frac{12-10}{5}\)
\(\Rightarrow y=\frac{2}{5}\)
\(\therefore Q(\frac{6}{5}, \frac{2}{5})\)
\(Q.4.(xv).(c)\)
চিত্রে দেওয়া আছে,
\(A(-2, 2)\),\(B(4, -1)\),\(C(-4, -1)\)
\(AB\)এর ঢাল \(m_{1}=\frac{2+1}{-2-4}\)
\(=\frac{3}{-6}\)
\(=-\frac{1}{2}\)
\(C(-4, -1)\) বিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(y+1=m(x+4) ......(4)\)
\((4)\) এর ঢাল \(m_{2}=m\)
\((4)\) নং রেখা \(AB\) এর সহিত \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করলে,
\(\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}=\tan\theta\)
\(\Rightarrow \pm \frac{-\frac{1}{2}-m}{1+(-\frac{1}{2})m}=\tan45^{o}\)
\(\Rightarrow \pm \frac{\frac{1}{2}+m}{1-\frac{m}{2}}=1\)
\(\Rightarrow \pm \frac{\frac{1+2m}{2}}{\frac{2-m}{2}}=1\)
\(\Rightarrow \pm \frac{1+2m}{2}\times \frac{2}{2-m}=1\)
\(\Rightarrow \frac{1+2m}{2-m}=\pm 1\)
\(\Rightarrow \frac{1+2m}{2-m}=1\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 1+2m=2-m\)
\(\Rightarrow 2m+m=2-1\)
\(\Rightarrow 3m=1\)
\(\therefore m=\frac{1}{3}\)
আবার,
\(\Rightarrow \frac{1+2m}{2-m}=-1\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 1+2m=-2+m\)
\(\Rightarrow 2m-m=-2-1\)
\(\therefore m=-3\)
\(m\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে,
\(y+1=\frac{1}{3}(x+4)\); যখন, \(m=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow 3y+3=x+4\)
\(\Rightarrow x+4=3y+3\)
\(\Rightarrow x+4-3y-3=0\)
\(\therefore x-3y+1=0\)
\(y+1=-3(x+4)\); যখন, \(m=-3\)
\(\Rightarrow y+1=-3x-12\)
\(\Rightarrow y+1+3x+12=0\)
\(\therefore 3x+y+13=0\)
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ,
\(x-3y+1=0, 3x+y+13=0\)
\(A(-2, 2)\),\(B(4, -1)\)
ধরি,
\(AB\) কে \(Y\) অক্ষরেখা \(D(0, y)\) বিন্দুতে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore D(\frac{m.4+n.(-2)}{m+n}, \frac{m.(-1)+n.2}{m+n})\)
\(\Rightarrow D(\frac{4m-2n}{m+n}, \frac{-m+2n}{m+n})\)
কিন্তু \(D(0, y)\)
\(\therefore \frac{4m-2n}{m+n}=0\)
\(\Rightarrow 4m-2n=0\times (m+n)\)
\(\Rightarrow 4m-2n=0\)
\(\Rightarrow 4m=2n\)
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{2}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow m:n=1:2\)
\(\therefore AB\) কে \(Y\) \(1:2\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(Q.4.(xv).(b)\)
চিত্রে দেওয়া আছে,
\(A(-2, 2)\),\(B(4, -1)\),\(P(3, 4)\)
এবং \(AB\perp PQ\)
\(AB\) এর সমীকরণ,
\(\frac{x+2}{-2-4}=\frac{y-2}{2+1}\)
\(\Rightarrow \frac{x+2}{-6}=\frac{y-2}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{x+2}{-2}=\frac{y-2}{1}\)
\(\Rightarrow x+2=-2y+4\)
\(\Rightarrow x+2+2y-4=0\)
\(\Rightarrow x+2y-2=0 ......(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x-y+k=0 ......(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \(P(3, 4)\) বিন্দুগামী হলে,
\(2.3-4+k=0\)
\(\Rightarrow 6-4+k=0\)
\(\Rightarrow 2+k=0\)
\(\Rightarrow k=-2\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(2x-y-2=0 ......(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((1)+(3)\times 2\) এর সাহায্যে,
\(\Rightarrow x+2y-2+4x-2y-4=0\)
\(\Rightarrow 5x-6=0\)
\(\Rightarrow 5x=6\)
\(\Rightarrow x=\frac{6}{5}\)
\((3)\) হতে,
\(2.\frac{6}{5}-y-2=0\)
\(\Rightarrow \frac{12}{5}-2=y\)
\(\Rightarrow y=\frac{12}{5}-2\)
\(\Rightarrow y=\frac{12-10}{5}\)
\(\Rightarrow y=\frac{2}{5}\)
\(\therefore Q(\frac{6}{5}, \frac{2}{5})\)
\(Q.4.(xv).(c)\)চিত্রে দেওয়া আছে,
\(A(-2, 2)\),\(B(4, -1)\),\(C(-4, -1)\)
\(AB\)এর ঢাল \(m_{1}=\frac{2+1}{-2-4}\)
\(=\frac{3}{-6}\)
\(=-\frac{1}{2}\)
\(C(-4, -1)\) বিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(y+1=m(x+4) ......(4)\)
\((4)\) এর ঢাল \(m_{2}=m\)
\((4)\) নং রেখা \(AB\) এর সহিত \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করলে,
\(\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}=\tan\theta\)
\(\Rightarrow \pm \frac{-\frac{1}{2}-m}{1+(-\frac{1}{2})m}=\tan45^{o}\)
\(\Rightarrow \pm \frac{\frac{1}{2}+m}{1-\frac{m}{2}}=1\)
\(\Rightarrow \pm \frac{\frac{1+2m}{2}}{\frac{2-m}{2}}=1\)
\(\Rightarrow \pm \frac{1+2m}{2}\times \frac{2}{2-m}=1\)
\(\Rightarrow \frac{1+2m}{2-m}=\pm 1\)
\(\Rightarrow \frac{1+2m}{2-m}=1\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 1+2m=2-m\)
\(\Rightarrow 2m+m=2-1\)
\(\Rightarrow 3m=1\)
\(\therefore m=\frac{1}{3}\)
আবার,
\(\Rightarrow \frac{1+2m}{2-m}=-1\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 1+2m=-2+m\)
\(\Rightarrow 2m-m=-2-1\)
\(\therefore m=-3\)
\(m\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে,
\(y+1=\frac{1}{3}(x+4)\); যখন, \(m=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow 3y+3=x+4\)
\(\Rightarrow x+4=3y+3\)
\(\Rightarrow x+4-3y-3=0\)
\(\therefore x-3y+1=0\)
\(y+1=-3(x+4)\); যখন, \(m=-3\)
\(\Rightarrow y+1=-3x-12\)
\(\Rightarrow y+1+3x+12=0\)
\(\therefore 3x+y+13=0\)
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ,
\(x-3y+1=0, 3x+y+13=0\)
\(Q.4.(xvi)\) \(A(2, 4)\), \(B(3, 1)\),, \(C(4, 5)\); \(2x-y+2=0\), \(x-2y+3=0\).
\((a)\) \(Y\) অক্ষ এবং \((k, 4)\) বিন্দু থেকে \(A(2, 4)\) বিন্দুর দূরত্ব সমান হলে, \(k\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) \(C\) বিন্দু থেকে \(AB\) সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকের আলোকে রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডক অক্ষদ্বয়ের সাথে যে ত্রিভুজ গঠন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০১৭ ]
উত্তরঃ \((a) \ (k=0, 4);\) \((b) \ (\frac{19}{10}, \frac{43}{10});\)
\((c) \ \frac{25}{18}\) বর্গ একক।
\((a)\) \(Y\) অক্ষ এবং \((k, 4)\) বিন্দু থেকে \(A(2, 4)\) বিন্দুর দূরত্ব সমান হলে, \(k\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) \(C\) বিন্দু থেকে \(AB\) সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকের আলোকে রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডক অক্ষদ্বয়ের সাথে যে ত্রিভুজ গঠন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০১৭ ]
উত্তরঃ \((a) \ (k=0, 4);\) \((b) \ (\frac{19}{10}, \frac{43}{10});\)
\((c) \ \frac{25}{18}\) বর্গ একক।
সমাধানঃ
\(Q.4.(xvi).(a)\)
দেওয়া আছে,
\(A(2, 4)\)
ধরি,
\(P(k, 4)\)
\(A(2, 4)\) হতে \(Y\) অক্ষের দূরত্ব \(=2\)
আবার,
\(PA=\sqrt{(k-2)^{2}+(4-4)^{2}}\)
\(=\sqrt{(k-2)^{2}+0^{2}}\)
\(=\sqrt{(k-2)^{2}}\)
শর্তমতে,
\(\sqrt{(k-2)^{2}}=2\)
\(\Rightarrow (k-2)^{2}=4\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow k^{2}-4k+4-4=0\)
\(\Rightarrow k^{2}-4k=0\)
\(\Rightarrow k(k-4)=0\)
\(\Rightarrow k=0, k-4=0\)
\(\Rightarrow k=0, k=4\)
\(\therefore k=0, 4\)
\(Q.4.(xvi).(b)\)
দেওয়া আছে,
\(A(2, 4)\), \(B(3, 1)\), \(C(4, 5)\)
\(AB\) এর সমীকরণ,
\(\frac{x-2}{2-3}=\frac{y-4}{4-1}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{-1}=\frac{y-4}{3}\)
\(\Rightarrow 3x-6=-y+4\)
\(\Rightarrow 3x-6+y-4=0\)
\(\therefore 3x+y-10=0 .....(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x-3y+k=0 .....(2)\) ➜ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা ।
\((2)\) নং সরলরেখা \(C(4, 5)\) বিব্দুগামী হলে,
\(4-3.5+k=0\)
\(\Rightarrow 4-15+k=0\)
\(\Rightarrow -11+k=0\)
\(\Rightarrow k=11\)
\(k\)এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(x-3y+11=0 .....(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) সমাধান করি,
\((1)-(3)\times 3\) এর সাহায্যে,
\(3x+y-10-3x+9y-33=0\)
\(\Rightarrow 10y-43=0\)
\(\Rightarrow 10y=43\)
\(\Rightarrow y=\frac{43}{10}\)
\((3)\) হতে,
\(x-3.\frac{43}{10}+11=0\)
\(\Rightarrow x-\frac{129}{10}+11=0\)
\(\Rightarrow \frac{10x-129+110}{10}=0\)
\(\Rightarrow \frac{10x-19}{10}=0\)
\(\Rightarrow 10x-19=0\)
\(\Rightarrow 10x=19\)
\(\therefore x=\frac{19}{10}\)
\(\therefore \) পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \( (\frac{19}{10}, \frac{43}{10})\) ।
\(Q.4.(xvi).(c)\)
মনেকরি,
\(2x-y+2=0 ......(1)\)
\(x-2y+3=0 ......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(a_{1}=2, b_{1}=-1, a_{2}=1, b_{2}=-2,\)
এখন,
\(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=2.1+(-1).(-2)=2+2=4>0\)
\(\therefore (1)\) ও \((2)\) এর সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{2x-y+2}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}=-\frac{x-2y+3}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x-y+2}{\sqrt{4+1}}=-\frac{x-2y+3}{\sqrt{1+4}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x-y+2}{\sqrt{5}}=-\frac{x-2y+3}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow 2x-y+2=-(x-2y+3)\)
\(\Rightarrow 2x-y+2=-x+2y-3)\)
\(\Rightarrow 2x-y+2+x-2y+3=0)\)
\(\Rightarrow 3x-3y+5=0)\)
\(\Rightarrow 3x-3y=-5)\)
\(\Rightarrow \frac{3x-3y}{-5}=1)\) ➜ উভয় পার্শে \(5\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{3x}{-5}-\frac{3y}{-5}=1)\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-\frac{5}{3}}+\frac{y}{\frac{5}{3}}=1)\)
\(\therefore \) সমদ্বিখণ্ডকটি অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(P(-\frac{5}{3}, 0)\) ও \(Q(0, \frac{5}{3})\) বিন্দুতে ছেদ করে।
সমদ্বিখণ্ডকটি অক্ষদ্বয়ের সহিত যে ত্রিভুজ গঠন করে তার ক্ষেত্রফল,
\(=\frac{1}{2}\times -\frac{5}{3}\times \frac{5}{3}\)
\(=\frac{1}{2}\times -\frac{25}{9}\)
\(=-\frac{25}{18}\)
\(=\frac{25}{18}\) বর্গ একক। ➜ \(\triangle \ne -ve\)
দেওয়া আছে,
\(A(2, 4)\)
ধরি,
\(P(k, 4)\)
\(A(2, 4)\) হতে \(Y\) অক্ষের দূরত্ব \(=2\)
আবার,
\(PA=\sqrt{(k-2)^{2}+(4-4)^{2}}\)
\(=\sqrt{(k-2)^{2}+0^{2}}\)
\(=\sqrt{(k-2)^{2}}\)
শর্তমতে,
\(\sqrt{(k-2)^{2}}=2\)
\(\Rightarrow (k-2)^{2}=4\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow k^{2}-4k+4-4=0\)
\(\Rightarrow k^{2}-4k=0\)
\(\Rightarrow k(k-4)=0\)
\(\Rightarrow k=0, k-4=0\)
\(\Rightarrow k=0, k=4\)
\(\therefore k=0, 4\)
\(Q.4.(xvi).(b)\)দেওয়া আছে,
\(A(2, 4)\), \(B(3, 1)\), \(C(4, 5)\)
\(AB\) এর সমীকরণ,
\(\frac{x-2}{2-3}=\frac{y-4}{4-1}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{-1}=\frac{y-4}{3}\)
\(\Rightarrow 3x-6=-y+4\)
\(\Rightarrow 3x-6+y-4=0\)
\(\therefore 3x+y-10=0 .....(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x-3y+k=0 .....(2)\) ➜ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা ।
\((2)\) নং সরলরেখা \(C(4, 5)\) বিব্দুগামী হলে,
\(4-3.5+k=0\)
\(\Rightarrow 4-15+k=0\)
\(\Rightarrow -11+k=0\)
\(\Rightarrow k=11\)
\(k\)এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(x-3y+11=0 .....(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) সমাধান করি,
\((1)-(3)\times 3\) এর সাহায্যে,
\(3x+y-10-3x+9y-33=0\)
\(\Rightarrow 10y-43=0\)
\(\Rightarrow 10y=43\)
\(\Rightarrow y=\frac{43}{10}\)
\((3)\) হতে,
\(x-3.\frac{43}{10}+11=0\)
\(\Rightarrow x-\frac{129}{10}+11=0\)
\(\Rightarrow \frac{10x-129+110}{10}=0\)
\(\Rightarrow \frac{10x-19}{10}=0\)
\(\Rightarrow 10x-19=0\)
\(\Rightarrow 10x=19\)
\(\therefore x=\frac{19}{10}\)
\(\therefore \) পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \( (\frac{19}{10}, \frac{43}{10})\) ।
\(Q.4.(xvi).(c)\)মনেকরি,
\(2x-y+2=0 ......(1)\)
\(x-2y+3=0 ......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(a_{1}=2, b_{1}=-1, a_{2}=1, b_{2}=-2,\)
এখন,
\(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=2.1+(-1).(-2)=2+2=4>0\)
\(\therefore (1)\) ও \((2)\) এর সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{2x-y+2}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}=-\frac{x-2y+3}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x-y+2}{\sqrt{4+1}}=-\frac{x-2y+3}{\sqrt{1+4}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x-y+2}{\sqrt{5}}=-\frac{x-2y+3}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow 2x-y+2=-(x-2y+3)\)
\(\Rightarrow 2x-y+2=-x+2y-3)\)
\(\Rightarrow 2x-y+2+x-2y+3=0)\)
\(\Rightarrow 3x-3y+5=0)\)
\(\Rightarrow 3x-3y=-5)\)
\(\Rightarrow \frac{3x-3y}{-5}=1)\) ➜ উভয় পার্শে \(5\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{3x}{-5}-\frac{3y}{-5}=1)\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-\frac{5}{3}}+\frac{y}{\frac{5}{3}}=1)\)
\(\therefore \) সমদ্বিখণ্ডকটি অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(P(-\frac{5}{3}, 0)\) ও \(Q(0, \frac{5}{3})\) বিন্দুতে ছেদ করে।
সমদ্বিখণ্ডকটি অক্ষদ্বয়ের সহিত যে ত্রিভুজ গঠন করে তার ক্ষেত্রফল,
\(=\frac{1}{2}\times -\frac{5}{3}\times \frac{5}{3}\)
\(=\frac{1}{2}\times -\frac{25}{9}\)
\(=-\frac{25}{18}\)
\(=\frac{25}{18}\) বর্গ একক। ➜ \(\triangle \ne -ve\)
\(Q.4.(xvii)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,\((a)\) \(PB\) এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(P\), \(\triangle ABC\) এর লম্বকেন্দ্র হলে, \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \(D\),\(E\) ও \(F\) যথাক্রমে \(AC\),\(AB\) ও \(BC\) এর মধ্যবিন্দু হলে, \(\triangle ABC:\triangle DEF\) নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১৭ ]
উত্তরঃ \((a) \ 2x+y-8=0;\) \((b) \ (-2, -3);\) \((c) \ 4:1\)।
সমাধানঃ
\(Q.4.(xvii).(a)\) চিত্রে দেওয়া আছে,
\(P(3, 2)\),\(B(1, 6)\)
\(PB\) এর সমীকরণ নির্ণয় কর,
\(\frac{x-3}{3-1}=\frac{y-2}{2-6}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{2}=\frac{y-2}{-4}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{1}=\frac{y-2}{-2}\)
\(\Rightarrow 2(x-3)=-(y-2)\)
\(\Rightarrow 2x-6=-y+2\)
\(\Rightarrow 2x-6+y-2=0\)
\(\therefore 2x+y-8=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(Q.4.(xvii).(b)\)
চিত্রে দেওয়া আছে,
\(\triangle ABC\) এর দুইটি শীর্ষ \(A(6, 1)\), \(B(1, 6)\) এবং লম্বকেন্দ্র \(P(3, 2)\)।
ধরি, তৃতীয় শীর্ষ \(C(x, y)\)
\(A\) হতে \(BC\) এর উপর \(AM\) এবং \(C\) হতে \(AB\) এর উপর \(CN\) লম্ব আঁকি।
\(AM\) এবং \(CN\) এর ছেদবিন্দু \(P(3, 2)\) যা \(\triangle ABC\) এর লম্বকেন্দ্র।
\(AB\) এর ঢাল \(=\frac{1-6}{6-1}\)
\(=\frac{-5}{5}\)
\(=-1\)
\(CN\) তথা \(CP\) এর ঢাল \(=\frac{y-2}{x-3}\)
\(AB\) ও \(CN\) পরস্পর লম্ব।
\(\therefore -1\times \frac{y-2}{x-3}=-1\)
\(\Rightarrow -\frac{y-2}{x-3}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y-2}{x-3}=1\)
\(\Rightarrow x-3=y-2\)
\(\Rightarrow x-3-y+2=0\)
\(\therefore x-y-1=0 .........(1)\)
আবার,
\(CB\) এর ঢাল \(=\frac{y-6}{x-1}\)
\(AM\) তথা \(AP\) এর ঢাল \(=\frac{1-2}{6-3}\)
\(=\frac{-1}{3}\)
\(=-\frac{1}{3}\)
\(CB\) ও \(AM\) পরস্পর লম্ব।
\(\therefore \frac{y-6}{x-1}\times -\frac{1}{3}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y-6}{x-1}\times \frac{1}{3}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y-6}{3x-3}=1\)
\(\Rightarrow 3x-3=y-6\)
\(\Rightarrow 3x-3-y+6=0\)
\(\therefore 3x-y+3=0 ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((2) - (1)\) এর সাহায্যে,
\(3x-y+3-x+y+1=0\)
\(\Rightarrow 2x+4=0\)
\(\Rightarrow 2x=-4\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4}{2}\)
\(\therefore x=-2\)
\((2)\) হতে,
\(3(-2)-y+3=0\)
\(\Rightarrow -6-y+3=0\)
\(\Rightarrow -y-3=0\)
\(\Rightarrow -y=3\)
\(\therefore y=-3\)
\(\therefore \) তৃতীয় শীর্ষ \(C(-2, -3)\).
\(Q.4.(xvii).(c)\)
চিত্রে দেওয়া আছে,
\(A(6, 1)\), \(B(1, 6)\),\(C(-2, -3)\).
\(D\),\(E\) ও \(F\) যথাক্রমে \(AC\),\(AB\) ও \(BC\) এর মধ্যবিন্দু,
\(AC\) এর মধ্যবিন্দু \(D(\frac{6-2}{2}, \frac{1-3}{2})\)
\(\Rightarrow D(\frac{4}{2}, \frac{-2}{2})\)
\(\Rightarrow D(2, -1)\)
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{6+1}{2}, \frac{1+6}{2})\)
\(\Rightarrow E(\frac{7}{2}, \frac{7}{2})\)
\(BC\) এর মধ্যবিন্দু \(F(\frac{1-2}{2}, \frac{6-3}{2})\)
\(\Rightarrow F(\frac{-1}{2}, \frac{3}{2})\)
\(\Rightarrow F(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2})\)
এখন,
\(\triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}6 \ \ \ \ 1 \ \ \ -2 \ \ \ \ \ \ 6\\ 1 \ \ \ \ 6 \ \ \ \ -3 \ \ \ \ \ \ 1\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{6.6-1.1+1.(-3)-(-2).6+(-2).1-6.(-3)\}\)
\(=\frac{1}{2}\{36-1-3+12-2+18\}\)
\(=\frac{1}{2}\{\{66-6\}\)
\(=\frac{1}{2}\times 60\)
\(=30\) বর্গ একক।
\(\triangle DEF=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}2 \ \ \ \ \frac{7}{2} \ -\frac{1}{2} \ \ \ \ \ \ 2\\ -1 \ \ \ \ \frac{7}{2} \ \ \ \ \ \frac{3}{2} \ \ \ -1\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{2.\frac{7}{2}-\frac{7}{2}.(-1)+\frac{7}{2}.\frac{3}{2}-(-\frac{1}{2}).\frac{7}{2}+(-\frac{1}{2}).(-1)-2.\frac{3}{2}]
\)
\(=\frac{1}{2}\{7+\frac{7}{2}+\frac{21}{4}+\frac{7}{4}+\frac{1}{2}-3\}\)
\(=\frac{1}{2}\{\frac{16+14+21+7+2}{4}\}\)
\(=\frac{1}{2}\times \frac{60}{4}\)
\(=\frac{1}{2}\times 15\)
\(=\frac{15}{2}\) বর্গ একক।
এখন,
\(\triangle ABC:\triangle DEF=30:\frac{15}{2}\)
\(=60:15\)
\(=4:1\)
\(P(3, 2)\),\(B(1, 6)\)
\(PB\) এর সমীকরণ নির্ণয় কর,
\(\frac{x-3}{3-1}=\frac{y-2}{2-6}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{2}=\frac{y-2}{-4}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{1}=\frac{y-2}{-2}\)
\(\Rightarrow 2(x-3)=-(y-2)\)
\(\Rightarrow 2x-6=-y+2\)
\(\Rightarrow 2x-6+y-2=0\)
\(\therefore 2x+y-8=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\(Q.4.(xvii).(b)\)
চিত্রে দেওয়া আছে,
\(\triangle ABC\) এর দুইটি শীর্ষ \(A(6, 1)\), \(B(1, 6)\) এবং লম্বকেন্দ্র \(P(3, 2)\)।
ধরি, তৃতীয় শীর্ষ \(C(x, y)\)
\(A\) হতে \(BC\) এর উপর \(AM\) এবং \(C\) হতে \(AB\) এর উপর \(CN\) লম্ব আঁকি।
\(AM\) এবং \(CN\) এর ছেদবিন্দু \(P(3, 2)\) যা \(\triangle ABC\) এর লম্বকেন্দ্র।
\(AB\) এর ঢাল \(=\frac{1-6}{6-1}\)
\(=\frac{-5}{5}\)
\(=-1\)
\(CN\) তথা \(CP\) এর ঢাল \(=\frac{y-2}{x-3}\)
\(AB\) ও \(CN\) পরস্পর লম্ব।
\(\therefore -1\times \frac{y-2}{x-3}=-1\)
\(\Rightarrow -\frac{y-2}{x-3}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y-2}{x-3}=1\)
\(\Rightarrow x-3=y-2\)
\(\Rightarrow x-3-y+2=0\)
\(\therefore x-y-1=0 .........(1)\)
আবার,
\(CB\) এর ঢাল \(=\frac{y-6}{x-1}\)
\(AM\) তথা \(AP\) এর ঢাল \(=\frac{1-2}{6-3}\)
\(=\frac{-1}{3}\)
\(=-\frac{1}{3}\)
\(CB\) ও \(AM\) পরস্পর লম্ব।
\(\therefore \frac{y-6}{x-1}\times -\frac{1}{3}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y-6}{x-1}\times \frac{1}{3}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y-6}{3x-3}=1\)
\(\Rightarrow 3x-3=y-6\)
\(\Rightarrow 3x-3-y+6=0\)
\(\therefore 3x-y+3=0 ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((2) - (1)\) এর সাহায্যে,
\(3x-y+3-x+y+1=0\)
\(\Rightarrow 2x+4=0\)
\(\Rightarrow 2x=-4\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4}{2}\)
\(\therefore x=-2\)
\((2)\) হতে,
\(3(-2)-y+3=0\)
\(\Rightarrow -6-y+3=0\)
\(\Rightarrow -y-3=0\)
\(\Rightarrow -y=3\)
\(\therefore y=-3\)
\(\therefore \) তৃতীয় শীর্ষ \(C(-2, -3)\).
\(Q.4.(xvii).(c)\)
চিত্রে দেওয়া আছে,
\(A(6, 1)\), \(B(1, 6)\),\(C(-2, -3)\).
\(D\),\(E\) ও \(F\) যথাক্রমে \(AC\),\(AB\) ও \(BC\) এর মধ্যবিন্দু,
\(AC\) এর মধ্যবিন্দু \(D(\frac{6-2}{2}, \frac{1-3}{2})\)
\(\Rightarrow D(\frac{4}{2}, \frac{-2}{2})\)
\(\Rightarrow D(2, -1)\)
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{6+1}{2}, \frac{1+6}{2})\)
\(\Rightarrow E(\frac{7}{2}, \frac{7}{2})\)
\(BC\) এর মধ্যবিন্দু \(F(\frac{1-2}{2}, \frac{6-3}{2})\)
\(\Rightarrow F(\frac{-1}{2}, \frac{3}{2})\)
\(\Rightarrow F(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2})\)
এখন,
\(\triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}6 \ \ \ \ 1 \ \ \ -2 \ \ \ \ \ \ 6\\ 1 \ \ \ \ 6 \ \ \ \ -3 \ \ \ \ \ \ 1\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{6.6-1.1+1.(-3)-(-2).6+(-2).1-6.(-3)\}\)
\(=\frac{1}{2}\{36-1-3+12-2+18\}\)
\(=\frac{1}{2}\{\{66-6\}\)
\(=\frac{1}{2}\times 60\)
\(=30\) বর্গ একক।
\(\triangle DEF=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}2 \ \ \ \ \frac{7}{2} \ -\frac{1}{2} \ \ \ \ \ \ 2\\ -1 \ \ \ \ \frac{7}{2} \ \ \ \ \ \frac{3}{2} \ \ \ -1\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{2.\frac{7}{2}-\frac{7}{2}.(-1)+\frac{7}{2}.\frac{3}{2}-(-\frac{1}{2}).\frac{7}{2}+(-\frac{1}{2}).(-1)-2.\frac{3}{2}]
\)
\(=\frac{1}{2}\{7+\frac{7}{2}+\frac{21}{4}+\frac{7}{4}+\frac{1}{2}-3\}\)
\(=\frac{1}{2}\{\frac{16+14+21+7+2}{4}\}\)
\(=\frac{1}{2}\times \frac{60}{4}\)
\(=\frac{1}{2}\times 15\)
\(=\frac{15}{2}\) বর্গ একক।
এখন,
\(\triangle ABC:\triangle DEF=30:\frac{15}{2}\)
\(=60:15\)
\(=4:1\)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000006