ধরি, সঞ্চারপথের উপর চলমান বিন্দুটি \(P(x, y)\) ।
\(O, P\) যোগ করি। \(P\) বিন্দু হতে \(X\) অক্ষের উপর \(PN\) লম্ব টানি।
এখানে,
\(OP=r\) ➜Note বৃত্তের ব্যাসার্ধ
\(ON=x, PN=y\)
\(\triangle OPN\) সমকোণী। \(OP\) ইহার অতিভুজ।
\(\therefore ON^{2}+PN^{2}=OP^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}=r^{2}\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

দেওয়া আছে,
কেন্দ্র \(C(h, k)\) এবং ব্যাসার্ধ \(r \ (r>0)\)
ধরি,
সঞ্চারপথের উপর চলমান বিন্দুটি \(P(x, y)\) ।
\(C, P\) যোগ করি। \(C\) এবং \(P\) বিন্দু হতে \(X\) অক্ষের উপর যথাক্রমে \(CM\) এবং \(PN\) লম্ব টানি।
এখানে,
\(CP=r\) ➜Note বৃত্তের ব্যাসার্ধ
\(ON=x, PN=y, OM=h, CM=k\)
\(CQ=MN=ON-OM=x-h\)
\(PQ=PN-QN=PN-CM=y-k\) ➜Note \(\because CM=QN\)
\(\triangle CPQ\) সমকোণী। \(CP\) ইহার অতিভুজ।
\(\therefore CQ^{2}+PQ^{2}=CP^{2}\)
\(\Rightarrow (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

আমরা জানি,
কেন্দ্র \(C(h, k)\) এবং ব্যাসার্ধ \(r \ (r>0)\) হলে,
বৃত্তের সমীকরণ হয়,
\(\Rightarrow (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2} ..........(1)\)
এখন,
কেন্দ্র \(C(h, k)\Rightarrow c(-g, -f)\)
অর্থাৎ \(h=-g, k=-f\)
এবং ব্যাসার্ধ \(r \Rightarrow \sqrt{g^{2}+f^{2}-c}\) হলে,
\((1)\) সমীকরণ হতে পাই,
\((x+g)^{2}+(y+f)^{2}=(\sqrt{g^{2}+f^{2}-c})^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}+2gx+g^{2}+y^{2}+2fy+f^{2}=g^{2}+f^{2}-c\)
\(\Rightarrow x^{2}+2gx+g^{2}+y^{2}+2fy+f^{2}-g^{2}-f^{2}+c=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0\)
ইহাই বৃত্তের নির্ণেয় সাধারণ সমীকরণ।

আমরা জানি,
কেন্দ্র \(C(h, k)\) এবং ব্যাসার্ধ \(r \ (r>0)\) হলে,
বৃত্তের সমীকরণ হয়,
\(\Rightarrow (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2} ..........(1)\)
\((1)\) নং বৃত্তটি \((\alpha, \beta)\) বিন্দু দিয়ে যায়,
\(\therefore (\alpha-h)^{2}+(\beta-k)^{2}=r^{2}\)
\(\Rightarrow r^{2}=(\alpha-h)^{2}+(\beta-k)^{2}\)
\(r^{2}\) এর এই মান \((1)\) এ বসিয়ে পাই,
\((x-h)^{2}+(y-k)^{2}=(\alpha-h)^{2}+(\beta-k)^{2} \)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

মনে করি,
\(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\)
এবং বৃত্তের পরিধীর উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\)
\(A, P\) এবং \(B, P\) যোগ করি।
এখন,
\(\angle APB\) অর্ধবৃত্তস্থ বিধায় এক সমকোণ।
\(\therefore PA\perp PB\)
\(PA\) এর ঢাল \(m_{1}=\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}\)
\(PB\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{y-y_{2}}{x-x_{2}}\)
শর্তমতে,
\(m_{1}\times m_{2}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}\times \frac{y-y_{2}}{x-x_{2}}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{(y-y_{1})(y-y_{2})}{(x-x_{1})(x-x_{2})}=-1\)
\(\Rightarrow (y-y_{1})(y-y_{2})=-(x-x_{1})(x-x_{2})\)
\(\therefore (x-x_{1})(x-x_{2})+(y-y_{1})(y-y_{2})=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

আমরা জানি,
বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ,
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0 ..........(1)\)
\((1)\) নং বৃত্ত মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) দিয়ে যায়,
\(0^{2}+0^{2}+2g.0+2f.0+c=0\)
\(\Rightarrow 0+0+0+0+c=0\)
\(\Rightarrow 0+c=0\)
\(\Rightarrow c=0\)
\(c\) এর এই মান \((1)\) এ বসিয়ে পাই,
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+0=0\)
\(\therefore x^{2}+y^{2}+2gx+2fy=0\)
ইহাই নির্ণেয় মূলবিন্দুগামী বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ।

আমরা জানি,
বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ,
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0 ..........(1)\)
ধরি,
\((1)\) নং বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে \(A(x_{1}, 0)\) ও \(B(x_{2}, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে,
সুতরাং, \((1)\) নং সমীকরণে \(y=0\) বসিয়ে পাই,
\(x^{2}+2gx+c=0\) যা \(x\) এর দ্বিঘাত সমীকরণ যার মূলদ্বয় \(x_{1}\) ও \(x_{2}\)।
\(\therefore\) মূলদ্বয়ের যোগফল, \(x_{1}+x_{2}=-2g\)
এবং মূলদ্বয়ের গুনফল, \(x_{1}x_{2}=c\)
সুতরাং, বৃত্তটি দ্বারা \(X\) অক্ষের ছেদিতাংশের পরিমাণ \(=|x_{1}-x_{2}|\)
\(=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}}\)
\(=\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}\)
\(=\sqrt{(-2g)^{2}-4c}\)
\(=\sqrt{4g^{2}-4c}\)
\(=\sqrt{4(g^{2}-c)}\)
\(=2\sqrt{g^{2}-c}\)
ইহাই নির্ণেয় ছেদিতাংশ ।

আমরা জানি,
বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ,
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0 ..........(1)\)
ধরি,
\((1)\) নং বৃত্তটি \(Y\) অক্ষকে \(C(x_{1}, 0)\) ও \(D(x_{2}, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে,
সুতরাং, \((1)\) নং সমীকরণে \(x=0\) বসিয়ে পাই,
\(y^{2}+2fy+c=0\) যা \(y\) এর দ্বিঘাত সমীকরণ যার মূলদ্বয় \(y_{1}\) ও \(y_{2}\)।
\(\therefore\) মূলদ্বয়ের যোগফল, \(y_{1}+y_{2}=-2f\)
এবং মূলদ্বয়ের গুনফল, \(y_{1}y_{2}=c\)
সুতরাং, বৃত্তটি দ্বারা \(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশের পরিমাণ \(=|y_{1}-y_{2}|\)
\(=\sqrt{(y_{1}-y_{2})^{2}}\)
\(=\sqrt{(y_{1}+y_{2})^{2}-4y_{1}y_{2}}\)
\(=\sqrt{(-2f)^{2}-4c}\)
\(=\sqrt{4f^{2}-4c}\)
\(=\sqrt{4(f^{2}-c)}\)
\(=2\sqrt{f^{2}-c}\)
ইহাই নির্ণেয় ছেদিতাংশ ।

ধরি,
\(A(x_{1}, y_{1})\) ও \(B(x_{2}, y_{2})\)
\(AB\) কে ব্যাস ধরে বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-x_{1})(x-x_{2})+(y-y_{1})(y-y_{2})=0 ......(1)\)
আবার,
\(AB\) সরলরেখার সমীকরণ,
\(\frac{x-x_{1}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{y-y_{1}}{y_{1}-y_{2}}\)
\(\Rightarrow (x-x_{1})(y_{1}-y_{2})=(y-y_{1})(x_{1}-x_{2})\)
\(\Rightarrow (x-x_{1})(y_{1}-y_{2})-(y-y_{1})(x_{1}-x_{2})=0 ....(2)\)
\((1)\) নং বৃত্ত ও \((2)\) নং সরলরেখার ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-x_{1})(x-x_{2})+(y-y_{1})(y-y_{2})+\)\(k\{(x-x_{1})(y_{1}-y_{2})-(y-y_{1})(x_{1}-x_{2})\}=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

আমরা জানি,
কেন্দ্র মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) এবং ব্যাসার্ধ \(a \ (a>0)\) বৃত্তের সমীকরণ
\(x^{2}+y^{2}=a^{2} ........(1)\)
বৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\) এর পোলার স্থানাঙ্ক \(P(r\cos\theta, r\sin\theta)\) হলে,
\(x=r\cos\theta, \ y=r\sin\theta\)
তবে, \( (1)\) হতে পাই,
\((r\cos\theta)^{2}+(r\sin\theta)^{2}=a^{2}\)
\(\Rightarrow r^{2}\cos^{2}\theta+r^{2}\sin^{2}\theta=a^{2}\)
\(\Rightarrow r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=a^{2}\)
\(\Rightarrow r^{2}.1=a^{2}\) ➜Note \(\because \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1\)
\(\Rightarrow r^{2}=a^{2}\)
\(\therefore r=a\)
ইহাই নির্ণেয় পোলার সমীকরণ।

আমরা জানি,
কেন্দ্র \(C(h, k)\) ব্যাসার্ধ \(a\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-h)^{2}+(y-k)^{2}=a^{2} ....(2)\)
মনে করি,
বৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\) এর পোলার স্থানাঙ্ক \(P(r\cos\theta, r\sin\theta)\)
এবং কেন্দ্র \(C(h, k)\) এর পোলার স্থানাঙ্ক \(P(r_{1}\cos\theta_{1}, r_{1}\sin\theta_{1})\)
তাহলে,
\(x=r\cos\theta, y=r\sin\theta\) এবং \(h=r_{1}\cos\theta_{1}, k=r_{1}\sin\theta_{1}\)
\((2)\) হতে,
\(\Rightarrow (r\cos\theta-r_{1}\cos\theta_{1})^{2}+(r\sin\theta-r_{1}\sin\theta_{1})^{2}=a^{2}\)
\(\Rightarrow r^{2}\cos^{2}\theta+r^{2}_{1}\cos^{2}\theta_{1}-2rr_{1}\cos\theta\cos\theta_{1}+r^{2}\sin^{2}\theta+\)\(r^{2}_{1}\sin^{2}\theta_{1}-2rr_{1}\sin\theta\sin\theta_{1}=a^{2}\)
\(\Rightarrow r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)-2rr_{1}(\cos\theta\cos\theta_{1}+\sin\theta\sin\theta_{1})\)\(+r^{2}_{1}(\cos^{2}\theta_{1}+\sin^{2}\theta_{1})=a^{2}\)
\(\Rightarrow r^{2}.1-2rr_{1}\cos(\theta-\theta_{1})+r^{2}_{1}.1=a^{2}\)
\(\therefore r^{2}-2rr_{1}\cos(\theta-\theta_{1})+r^{2}_{1}=a^{2}\)
ইহাই নির্ণেয় পোলার সমীকরণ।

আমরা জানি,
বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ,
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0 ...(3)\)
কেন্দ্রঃ \(C(-g, -f)\)
ব্যাসার্ধঃ \(=\sqrt{g^{2}+f^{2}-c}\) যখন, \((g^{2}+f^{2}>c)\)
মনে করি,
বৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\) এর পোলার স্থানাঙ্ক \(P(r\cos\theta, r\sin\theta)\)
এবং কেন্দ্র \(C(-g, -f)\) এর পোলার স্থানাঙ্ক \(P(r_{1}\cos\theta_{1}, r_{1}\sin\theta_{1})\)
তাহলে,
\(x=r\cos\theta, y=r\sin\theta\) এবং \(-g=r_{1}\cos\theta_{1}, -f=r_{1}\sin\theta_{1}\)
\((3)\) হতে,
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+2gx+g^{2}+y^{2}+2fy+f^{2}-g^{2}-f^{2}+c=0\)
\(\Rightarrow (x+g)^{2}+(y+f)^{2}-g^{2}-f^{2}+c=0\)
\(\Rightarrow \{x-(-g)\}^{2}+\{y-(-f)\}^{2}-(-g)^{2}-(-f)^{2}+c=0\)
\(\Rightarrow (r\cos\theta-r_{1}\cos\theta_{1})^{2}+(r\sin\theta-r_{1}\sin\theta_{1})^{2}-\)\((r_{1}\cos\theta_{1})^{2}-(r_{1}\sin\theta_{1})^{2}+c=0\)
\(\Rightarrow r^{2}\cos^{2}\theta+r^{2}_{1}\cos^{2}\theta_{1}-2rr_{1}\cos\theta\cos\theta_{1}+r^{2}\sin^{2}\theta+\)\(r^{2}_{1}\sin^{2}\theta_{1}\)\(-2rr_{1}\sin\theta\sin\theta_{1}-r^{2}_{1}\cos^{2}\theta_{1}-r^{2}_{1}\sin^{2}\theta_{1}+c=0\)
\(\Rightarrow r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)-2rr_{1}(\cos\theta\cos\theta_{1}+\)\(\sin\theta\sin\theta_{1})+c=0\)
\(\Rightarrow r^{2}.1-2rr_{1}\cos(\theta-\theta_{1})+c=0\)
\(\therefore r^{2}-2rr_{1}\cos(\theta-\theta_{1})+c=0\)
ইহাই নির্ণেয় পোলার সমীকরণ।

আমরা জানি,
কেন্দ্র \((h, k)\)
ব্যাসার্ধ \(r\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\)
এখানে,
কেন্দ্র \((h, k)\Rightarrow (2, -3)\)
ব্যাসার্ধ \(r\Rightarrow 5\)
\(\therefore \) বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-2)^{2}+(y+3)^{2}=5^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.2+2^{2}+y^{2}+2.y.3+3^{2}=5^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-4x+4+y^{2}+6y+9=25\)
\(\Rightarrow x^{2}-4x+4+y^{2}+6y+9-25=0\)
\(\therefore x^{2}+y^{2}-4x+6y-12=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

\(2x^{2}+2y^{2}-2x+6y-15=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-x+3y-\frac{15}{2}=\frac{0}{2}\) ➜Note উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
ধরি,
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-x+3y-\frac{15}{2}=0 ......(1)\)
\(2g=-1, 2f=3, c=-\frac{15}{2}\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{1}{2}, f=\frac{3}{2}, c=-\frac{15}{2}\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\Rightarrow \{-(-\frac{1}{2}), -\frac{3}{2}\}\)
\(\therefore (\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})\)
ব্যাসার্ধ \(\sqrt{g^{2}+f^{2}-c}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(-\frac{1}{2})^{2}+(\frac{3}{2})^{2}-(-\frac{15}{2})}\)
\(\Rightarrow \sqrt{\frac{1}{4}+\frac{9}{4}+\frac{15}{2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{\frac{1+9+30}{4}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{\frac{40}{4}}\)
\(\therefore \sqrt{10}\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \((\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})\); ব্যাসার্ধ \(\sqrt{10}\) .

ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0 ......(1)\)
যার কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\therefore (-g, -f)\Rightarrow (4, -8)\)
\(\Rightarrow -g=4, -f=-8\)
\(\therefore g=-4, f=8\)
আবার,
\((1)\) নং বৃত্ত \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করে।
\(\therefore f^{2}=c\)
\(\Rightarrow c=f^{2}\)
\(\Rightarrow c=8^{2}\)
\(\Rightarrow c=64\)
এখন,
\( g, f, c\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x^{2}+y^{2}+2.(-4).x+2.8.y+64=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-8x+16y+64=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0 ......(1)\)
যার কেন্দ্র \((-g, -f)\)
দেওয়া আছে,
কেন্দ্র \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত,
\(\therefore -g=0\)
\(\Rightarrow g=0\)
\((1)\) হতে,
\(x^{2}+y^{2}+2.0.x+2fy+c=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}+2fy+c=0 ......(2)\)
\((2)\) নং বৃত্ত \((3, 0)\) এবং \((-4, 1)\) বিন্দু দিয়ে যায় ,
\(\therefore 3^{2}+0^{2}+2f.0+c=0 \)
\(\Rightarrow 9+0+0+c=0 \)
\(\Rightarrow 9+c=0 \)
\(\therefore c=-9 \)
আবার,
\(\therefore (-4)^{2}+1^{2}+2f.1-9=0 \)
\(\therefore 16+1+2f-9=0 \)
\(\therefore 8+2f=0 \)
\(\therefore 2f=-8 \)
\(\therefore f=-\frac{8}{2} \)
\(\therefore f=-4 \)
\( g, f, c\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x^{2}+y^{2}+2.0.x+2.(-4).y+(-9)=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-8y-9=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0 ......(1)\)
\((1)\) বৃত্ত \(A(-6, 5)\), \(B(-3, -4)\) এবং \(C(2, 1)\) বিন্দুত্রয় দিয়ে অতিক্রম করে।
ফলে \((1)\) হতে,
\((-6)^{2}+5^{2}+2g.(-6)+2f.5+c=0\)
\(\Rightarrow 36+25-12g+10f+c=0\)
\(\therefore 61-12g+10f+c=0 ......(2)\)
আবার,
\((-3)^{2}+(-4)^{2}+2g.(-3)+2f.(-4)+c=0\)
\(\Rightarrow 9+16-6g-8f+c=0\)
\(\therefore 25-6g-8f+c=0 .....(3)\)
আবার,
\(2^{2}+1^{2}+2g.2+2f.1+c=0\)
\(\Rightarrow 4+1+4g+2f+c=0\)
\(\therefore 5+4g+2f+c=0 ....(4)\)
\((3)-(2)\) এর সাহায্যে,
\(25-6g-8f+c-61+12g-10f-c=0 \)
\(\Rightarrow 6g-18f-36=0 \)
\(\Rightarrow 6(g-3f-6)=0 \)
\(\Rightarrow g-3f-6=\frac{0}{6} \)
\(\therefore g-3f-6=0 ....(5)\)
\((4)-(3)\) এর সাহায্যে,
\(5+4g+2f+c-25+6g+8f-c=0 \)
\(\Rightarrow 10g+10f-20=0 \)
\(\Rightarrow 10(g+f-2)=0 \)
\(\Rightarrow g+f-2=\frac{0}{10} \)
\(\therefore g+f-2=0 ....(6)\)
\((4)-(3)\) এর সাহায্যে,
\(g+f-2-g+3f+6=0 \)
\(\Rightarrow 4f+4=0 \)
\(\Rightarrow 4(f+1)=0 \)
\(\Rightarrow f+1=\frac{0}{4} \)
\(\Rightarrow f+1=0 \)
\(\therefore f=-1 \)
\((6)\) হতে,
\(g-1-2=0\)
\(\Rightarrow g-3=0\)
\(\Rightarrow g=3\)
আবার,
\((4)\) হতে,
\(5+4.3+2.(-1)+c=0\)
\(\Rightarrow 5+12-2+c=0\)
\(\Rightarrow 15+c=0\)
\(\Rightarrow c=-15\)
\( g, f, c\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x^{2}+y^{2}+2.3.x+2.(-1).y+(-15)=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}+6x-2y-15=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
কেন্দ্র \((-g, -f)\Rightarrow (-3, 1)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^{2}+f^{2}-c}\)
\(=\sqrt{3^{2}+(-1)^{2}-(-15)}\)
\(=\sqrt{9+1+15}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)

আমরা জানি,
\((x_{1}, y_{1})\) ও \((x_{2}, y_{2})\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাকে ব্যাস ধরে বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-x_{1})(x-x_{2})+(y-y_{1})(y-y_{2})=0 ..........(1)\)
এখানে,
\((x_{1}, y_{1})\Rightarrow (0, -1)\) এবং \((x_{2}, y_{2})\Rightarrow (2, 3)\)
\(\Rightarrow x_{1}=0, y_{1}=-1\) এবং \(\Rightarrow x_{2}=2, y_{2}=3 \)
\(\therefore (1)\) হতে,
\((x-0)(x-2)+(y+1)(y-3)=0 \)
\(\Rightarrow x(x-2)+y^{2}-2y-3=0 \)
\(\Rightarrow x^{2}-2x+y^{2}-2y-3=0 \)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-2x-2y-3=0 .......(2)\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
আবার,
\((2)\) হতে,
\(2g=-2, 2f=-2, c=-3\)
\(\Rightarrow g=-\frac{2}{2}, f=-\frac{2}{2}, c=-3\)
\(\Rightarrow g=-1, f=-1, c=-3\)
\((2)\) নং বৃত্ত দ্বারা \(X\) অক্ষের ছেদাংশ \(=2\sqrt{g^{2}-c}\)
\(=2\sqrt{(-1)^{2}-(-3)}\)
\(=2\sqrt{1+3}\)
\(=2\sqrt{4}\)
\(=2.2\)
\(=4\)

ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0 ......(1)\)
যার কেন্দ্র \((-g, -f)\), \(2x-y=3\) রেখার উপর অবস্থিত।
\(\therefore 2(-g)-(-f)=3\)
\(\Rightarrow -2g+f=3\)
\(\Rightarrow 3=-2g+f\)
\(\Rightarrow 2g-f+3=0 ....(2)\)
\((1)\) নং বৃত্ত \(A(3, -2)\) ও \(B(-2, 0)\) বিন্দুদ্বয় দিয়ে যায়।
\(\therefore 3^{2}+(-2)^{2}+2g.3+2f.(-2)+c=0\)
\(\Rightarrow 9+4+6g-4f+c=0\)
\(\Rightarrow 13+6g-4f+c=0 .....(3)\)
আবার,
\((-2)^{2}+0^{2}+2g.(-2)+2f.0+c=0\)
\(\Rightarrow 4+0-4g+0+c=0\)
\(\Rightarrow 4-4g+c=0 .....(4)\)
\((3)-(4)\) এর সাহায্যে,
\(13+6g-4f+c-4+4g-c=0\)
\(\therefore 10g-4f+9=0 ....(5)\)
\((5)-(2)\times 4\) এর সাহায্যে,
\(10g-4f+9-8g+4f-12=0\)
\(\Rightarrow 2g-3=0\)
\(\Rightarrow 2g=3\)
\(\Rightarrow g=\frac{3}{2}\)
\((2)\) হতে,
\(2.(\frac{3}{2})-f+3=0 \)
\(\Rightarrow 3-f+3=0 \)
\(\Rightarrow -f+6=0 \)
\(\Rightarrow -f=-6 \)
\(\Rightarrow f=6 \)
\((4)\) হতে,
\(4-4.(\frac{3}{2})+c=0\)
\(\Rightarrow 4-2.3+c=0\)
\(\Rightarrow 4-6+c=0\)
\(\Rightarrow -2+c=0\)
\(\Rightarrow c=2\)
\( g, f, c\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x^{2}+y^{2}+2.(\frac{3}{2}).x+2.6.y+2=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}+3x+12y+2=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0 ......(1)\)
\((1)\) নং বৃত্ত \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে,
\(\therefore g^{2}=c .....(2)\)
\((1)\) নং বৃত্ত \((4, 0)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore 4^{2}+0^{2}+2g.4+2f.0+c=0\)
\(\Rightarrow 16+0+8g+0+g^{2}=0\) ➜Note \((2)\) এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow g^{2}+8g+16=0\)
\(\Rightarrow (g+4)^{2}=0\)
\(\Rightarrow g+4=0\)
\(\Rightarrow g=-4\)
\((2)\) এর সাহায্যে।
\(\therefore (-4)^{2}=c \)
\(\Rightarrow 16=c \)
\(\therefore c=16 \)
আবার,
\((1)\) নং বৃত্ত দ্বারা \(Y\) অক্ষের খন্ডিতাংশ \(=2\sqrt{f^{2}-c}\)
\(=2\sqrt{f^{2}-16}\)
কিন্তু দেওয়া আছে, \(Y\) অক্ষের খন্ডিতাংশ \(=6\)
\(\therefore 2\sqrt{f^{2}-16}=6\)
\(\Rightarrow \sqrt{f^{2}-16}=\frac{6}{2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{f^{2}-16}=3\)
\(\Rightarrow f^{2}-16=3^{2}\) ➜Note উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow f^{2}-16=9\)
\(\Rightarrow f^{2}=16+9\)
\(\Rightarrow f^{2}=25\)
\(\Rightarrow f=\pm \sqrt{25}\)
\(\therefore f=\pm 5\)
\(f\) এই দুইটি মান \(\) অক্ষের দুই পার্শে দুইটি বৃত্ত নির্দেশ করে।
\( g, f, c\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x^{2}+y^{2}+2.(-4).x+2.(\pm 5).y+16=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-8x\pm 10y+16=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তদ্বয়ের সমীকরণ।

ধরি,
\(x^{2}+y^{2}+4x-6y-12=0 .....(1)\)
এখানে,
\(2g=4, 2f=-6, c=-12\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=\frac{4}{2}, f=-\frac{6}{2}, c=-12\)
\(\Rightarrow g=2, f=-3, c=-12\)
\(\therefore (1)\) বৃত্তের কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\Rightarrow (-2, -\times -3)\)
\(\therefore (-2, 3)\)
এখন,
\((4, 5)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট যেকোনো বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-4)^{2}+(y-5)^{2}=r^{2} ......(2)\)
\((2)\) নং বৃত্ত \((-2, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore (-2-4)^{2}+(3-5)^{2}=r^{2}\)
\(\Rightarrow (-6)^{2}+(-2)^{2}=r^{2}\)
\(\Rightarrow 36+4=r^{2}\)
\(\Rightarrow 40=r^{2}\)
\(\therefore r^{2}=40\)
\(r^{2}\) এর মান \(\) এ বসিয়ে,
\((x-4)^{2}+(y-5)^{2}=40\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.4+4^{2}+y^{2}-2.y.5+5^{2}=40\)
\(\Rightarrow x^{2}-8x+16+y^{2}-10y+25-40=0\)
\(\therefore x^{2}+y^{2}-8x-10y+1=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

দেওয়া আছে,
\(C(1, 2)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে।
অর্থাৎ কেন্দ্রের \(y\) স্থানাঙ্ক ব্যাসার্ধের সমান,
\(\therefore \) ব্যাসার্ধ \(r=2\)
এখন,
\(C(1, 2)\) কেন্দ্র এবং \(r=2\) ব্যসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-1)^{2}+(y-2)^{2}=2^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.1+1^{2}+y^{2}-2.y.2+2^{2}=2^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-2x+1+y^{2}-4y+4=4\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-2x-4y+5-4=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-2x-4y+1=0 .....(1)\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
আবার,
\((1)\) হতে,
\(2g=-2, 2f=-4, c=1\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{2}{2}, f=-\frac{4}{2}, c=1\)
\(\Rightarrow g=-1, f=-2, c=1\)
\(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশের পরিমাণ,
\(=2\sqrt{f^{2}-c}\)
\(=2\sqrt{(-2)^{2}-1}\)
\(=2\sqrt{4-1}\)
\(=2\sqrt{3}\)

এখানে,
\(O\) মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\)
\(OA, X\) অক্ষ বরাবর এবং \(OB, Y\) অক্ষ বরাবর অবস্থিত।
তাহলে,
\(A(3, 0)\) এবং \(B(0, 5)\)।
আমরা জানি,
মূলবিন্দুগামী বৃত্তের সধারণ সমীকরণ,
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy=0 .....(1)\)
\((1)\) নং বৃত্ত \(A(3, 0)\) এবং \(B(0, 5)\) দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore 3^{2}+0^{2}+2g.3+2f.0=0 \)
\(\Rightarrow 9+0+6g+0=0 \)
\(\Rightarrow 9+6g=0 \)
\(\Rightarrow 6g=-9 \)
\(\Rightarrow g=-\frac{9}{6} \)
\(\therefore g=-\frac{3}{2} \)
আবার,
\(0^{2}+5^{2}+2g.0+2f.5=0 \)
\(\Rightarrow 0+25+0+10f=0 \)
\(\Rightarrow 25+10f=0 \)
\(\Rightarrow 10f=-25 \)
\(\Rightarrow f=-\frac{25}{10} \)
\(\therefore f=-\frac{5}{2} \)
\( g, f\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x^{2}+y^{2}+2.(-\frac{3}{2}).x+2.(-\frac{5}{2}).y=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-3x-5y=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

\((1, 2)\) ও \((3, 2)\) বিন্দু দিয়ে যায় এরূপ বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-1)(x-3)+(y-2)(y-2)+k\{(x-1)(2-2)\)\(-(y-2)(1-3)\}=0\) ➜Note দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \((x_{1}, y_{1})\) এবং \((x_{2}, y_{2})\) দিয়ে গমনকারী বৃত্তের সমীকরণ, \((x-x_{1})(x-x_{2})+(y-y_{1})(y-y_{2})\)\(+k\{(x-x_{1})(y_{1}-y_{2})-(y-y_{1})(x_{1}-x_{2})\}=0\) ( খলিফার নিয়ম। )
\(\Rightarrow x^{2}-x-3x+3+y^{2}-2y-2y+4+k\{(x-1).0+\)\(2(y-2)\}=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-4x-4y+7+k\{0+2y-4\}=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-4x-4y+7+2ky-4k=0\)
\(\therefore x^{2}+y^{2}-4x+(2k-4)y+7-4k=0 ......(1)\)
এখানে,
\(2g=-4, 2f=2k-4, c=7-4k\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{4}{2}, f=\frac{2(k-2)}{2}, c=7-4k\)
\(\therefore g=-2, f=(k-2), c=7-4k\)
\((1)\) নং বৃত্ত \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে,
\(\therefore g^{2}=c\)
\(\Rightarrow (-2)^{2}=7-4k\)
\(\Rightarrow 4=7-4k\)
\(\Rightarrow 4k=7-4\)
\(\Rightarrow 4k=3\)
\(\Rightarrow k=\frac{3}{4}\)
\(k\) এর মান \(\) এ বসিয়ে,
\(x^{2}+y^{2}-4x+(2\times \frac{3}{4}-4)y+7-4\times \frac{3}{4}=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-4x+(\frac{3}{2}-4)y+7-3=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-4x+(\frac{3-8}{2})y+4=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-4x+(\frac{-5}{2})y+4=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-4x-\frac{5}{2}y+4=0\)
\(\therefore 2x^{2}+2y^{2}-8x-5y+8=0\) ➜Note উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

ধরি,
\(C(4, 3)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ যার ব্যাসার্ধ \(r\)
\((x-4)^{2}+(y-3)^{2}=r^{2} .....(1)\)
এবং দেওয়া আছে,
\(x^{2}+y^{2}=4\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}=2^{2} ...(2)\)
\((2)\) এর কেন্দ্র \(O(0, 0)\) এবং ব্যাসার্ধ \(2\)
\((1)\) ও \((2)\) বৃত্তদ্বয় পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে।
\(\therefore CO=r+2\) ➜Note \(x^{2}+y^{2}+2g_{1}x+2f_{1}y+c_{1}=0 ....(1)\) বৃত্তের, কেন্দ্রঃ \(C_{1}\) ব্যাসার্ধঃ \(r_{1}\); \(x^{2}+y^{2}+2g_{2}x+2f_{2}y+c_{2}=0 ....(2)\) বৃত্তের, কেন্দ্রঃ \(C_{2}\) ব্যাসার্ধঃ \(r_{2}\); \((1)\) ও \((2)\) বৃত্তদ্বয় পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করবে যদি, \(C_{1}C_{2}=r_{1}+r_{2}\) হয়।
\(\Rightarrow \sqrt{(4-0)^{2}+(3-0)^{2}}=r+2\)
\(\Rightarrow \sqrt{16+9}=r+2\)
\(\Rightarrow \sqrt{25}=r+2\)
\(\Rightarrow 5=r+2\)
\(\Rightarrow r+2=5\)
\(\Rightarrow r=5-2\)
\(\therefore r=3\)
\(r\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\((x-4)^{2}+(y-3)^{2}=3^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.4+4^{2}+y^{2}-2.y.3+3^{2}=9\)
\(\Rightarrow x^{2}-8x+16+y^{2}-6y+9-9=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-8x-6y+16=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

আমরা জানি,
কেন্দ্র \((r_{1}, \theta_{1})\) এবং ব্যাসার্ধ \(a\) বৃত্তের পোলার সমীকরণ,
\(r^{2}-2rr_{1}\cos(\theta-\theta_{1})+r^{2}_{1}=a^{2} ......(1)\)
এখানে,
\((r_{1}, \theta_{1})\Rightarrow (4, 45^{o})\)
\(\Rightarrow r_{1}=4, \theta_{1}=45^{o}\)
\((1)\) হতে,
\(r^{2}-2r.4\cos(\theta-45^{o})+4^{2}=a^{2}\)
\(\Rightarrow r^{2}-8r\cos(\theta-45^{o})+16=a^{2} ......(2)\)
\((2)\) নং বৃত্ত পোল তথা মূলবিন্দু \(O(0, 0^{o})\) দিয়ে যায়।
\(\therefore 0^{2}-8.0.\cos(0-45^{o})+16=a^{2}\)
\(\Rightarrow 0-0+16=a^{2}\)
\(\Rightarrow 16=a^{2}\)
\(\therefore a^{2}=16\)
\(a^{2}\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(r^{2}-8r\cos(\theta-45^{o})+16=16\)
\(\Rightarrow r^{2}-8r\cos(\theta-45^{o})+16-16=0\)
\(\Rightarrow r^{2}-8r\cos(\theta-45^{o})=0\)
\(\Rightarrow r^{2}=8r\cos(\theta-45^{o})\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের পোলার সমীকরণ।

ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0 .....(1)\)
যার কেন্দ্র \((-g, -f)\)
বৃত্তটি \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করে এবং \(Y\) অক্ষ হতে যার কেন্দ্রের দূরত্ব \(4\) একক।
\(\therefore -g=\pm 4\)
\(\Rightarrow g=\pm 4\)
আবার,
\(f^{2}=c .....(2)\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করার শর্ত, \(f^2=c\)
আবার,
\((1)\) বৃত্ত \((0, -3)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(0^{2}+(-3)^{2}+2g.0+2f(-3)+c=0\)
\(\Rightarrow 0+9+0-6f+f^{2}=0\) ➜Note \((2)\) এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow f^{2}-6f+9=0\)
\(\Rightarrow (f-3)^{2}=0\)
\(\Rightarrow f-3=0\)
\(\Rightarrow f=3\)
\((2)\) হতে,
\(3^{2}=c \)
\(\Rightarrow 9=c \)
\(\therefore c=9 \)
\(g, f, c\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x^{2}+y^{2}+2.(\pm 4).x+2.3.y+9=0\)
\(\therefore x^{2}+y^{2}\pm 8x+6y+9=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

\((a)\)
দেওয়া আছে,
\((x-2)^{2}+(y+3)^{2}=5^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.2+2^{2}+y^{2}+2.y.3+3^{2}=25\)
\(\Rightarrow x^{2}-4x+4+y^{2}+6y+9-25=0\)
\(\therefore x^{2}+y^{2}-4x+6y-12=0 .......(1)\)
\((1)\) হতে,
\(2g=-4, 2f=6, c=-12\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{4}{2}, f=\frac{6}{2}, c=-12\)
\(\therefore g=-2, f=3, c=-12\)
\((1)\) বৃত্ত দ্বারা \(X\) অক্ষের ছেদাংশ,
\(=2\sqrt{g^{2}-c}\)
\(=2\sqrt{(-2)^{2}-(-12)}\)
\(=2\sqrt{4+12}\)
\(=2\sqrt{16}\)
\(=2\times 4\)
\(=8\)
নির্ণেয় ছেদিতাংশ।
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(r^{2}-4r(\cos\theta+\sqrt{3}\sin\theta)+7=0\)
\(\Rightarrow r^{2}-4r.2(\cos\theta\times \frac{1}{2}+\sin\theta\times \frac{\sqrt{3}}{2})+7=0\)
\(\Rightarrow r^{2}-2r.4(\cos\theta\cos60^{o}+\sin\theta\sin60^{o})+16-9=0\)
\(\Rightarrow r^{2}-2r.4\cos(\theta-60^{o})+4^{2}=9\)
\(\Rightarrow r^{2}-2r.4\cos(\theta-60^{o})+4^{2}=3^{2}\)
এখানে,
\(r_{1}=4, \theta_{1}=60^{o}, a=3\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \((4, 60^{o})\)
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(3x+4y=12\)
\(\Rightarrow \frac{3x}{12}+\frac{4y}{12}=\frac{12}{12}\) ➜Note উভয় পার্শে \(12\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1.....(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A(4, 0)\) ও \(B(0, 3)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((2)\) নং সরলরেখা অক্ষদ্বয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজ \(OAB\)।
এখন,
\(O, A, B\) বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করতে হবে।
\(A(4, 0)\) ও \(B(0, 3)\) বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-4)(x-0)+(y-0)(y-3)+k\{(x-4)(0-3)\)\(-(y-0)(4-0)\}=0\) ➜Note দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \((x_{1}, y_{1})\) এবং \((x_{2}, y_{2})\) দিয়ে গমনকারী বৃত্তের সমীকরণ, \((x-x_{1})(x-x_{2})+(y-y_{1})(y-y_{2})\)\(+k\{(x-x_{1})(y_{1}-y_{2})-(y-y_{1})(x_{1}-x_{2})\}=0\) ( খলিফার নিয়ম। )
\(\Rightarrow x^{2}-4x+y^{2}-3y+k\{-3x+12-4y\}=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-4x-3y-k\{3x+4y-12\}=0 .....(1)\)
শর্তমতে,
\((1)\) নং বৃত্ত মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 0^{2}+0^{2}-4.0-3.0-k\{3.0+4.0-12\}=0\)
\(\Rightarrow 0-k\{0-12\}=0\)
\(\Rightarrow 12k=0\)
\(\Rightarrow k=\frac{0}{12}\)
\(\therefore k=0\)
\(k\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-4x-3y-0.\{3x+4y-12\}=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-4x-3y-0=0\)
\(\therefore x^{2}+y^{2}-4x-3y=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

কেন্দ্র \((3, -10)\)
ব্যাসার্ধ \(r\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-3)^{2}+(y+10)^{2}=r^{2} .....(1)\)
\((1)\) বৃত্ত \(A(11, -16)\) বিন্দু দিয়ে যায়,
\((11-3)^{2}+(-16+10)^{2}=r^{2}\)
\(\Rightarrow 8^{2}+(-6)^{2}=r^{2}\)
\(\Rightarrow 64+36=r^{2}\)
\(\Rightarrow 100=r^{2}\)
\(\therefore r^{2}=100\)
\(r^{2}\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\((x-3)^{2}+(y+10)^{2}=100\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.3+3^{2}+y^{2}+2.y.10+10^{2}-100=0\)
\(\Rightarrow x^{2}-6x+9+y^{2}+20y+100-100=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-6x+20y+9=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

ধরি,
মূলবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy=0 .....(1)\)
\((1)\) নং বৃত্ত \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করে,
\(\therefore f^{2}=c\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করার শর্ত, \(f^2=c\)
\(\Rightarrow f^{2}=0\) ➜Note \(\because c=0\)
\(\therefore f=0\)
আবার,
\((1)\) নং বৃত্ত \((3, -4)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(3^{2}+(-4)^{2}+2g.3+2f(-4)=0\)
\(\Rightarrow 9+16+6g-8f=0\)
\(\Rightarrow 25+6g-8.0=0\)
\(\Rightarrow 25+6g-0=0\)
\(\Rightarrow 25+6g=0\)
\(\Rightarrow 6g=-25\)
\(\Rightarrow g=-\frac{25}{6}\)
\(g, f\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x^{2}+y^{2}+2.(-\frac{25}{6}).x+2.0.y=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-\frac{25}{3}x=0\)
\(\Rightarrow 3x^{2}+3y^{2}-25x=0\) ➜Note উভয় পার্শে \(3\) গুণ করে।
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

ধরি,
মূলবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy=0 .....(1)\)
\((1)\) নং বৃত্ত অক্ষদ্বয়ের ধনাত্মক দিক থেকে যথাক্রমে \(h\) ও \(k\) অংশ ছেদ করে।
\(\therefore 2|\sqrt{g^{2}-c}|=h, 2|\sqrt{f^{2}-c}|=k\)
\(\Rightarrow |\sqrt{g^{2}-0}|=\frac{h}{2}, |\sqrt{f^{2}-0}|=\frac{k}{2}\) ➜Note \(\because c=0\)
\(\Rightarrow \pm g=\frac{h}{2}, \pm f=\frac{k}{2}\)
\(\Rightarrow -g=\frac{h}{2}, -f=\frac{k}{2}\)
\(\therefore g=-\frac{h}{2}, f=-\frac{k}{2}\)
\(g, f\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x^{2}+y^{2}+2.(-\frac{h}{2}).x+2.(-\frac{k}{2}).y=0\)
\(\therefore x^{2}+y^{2}-hx-ky=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

ধরি,
বৃত্তের কেন্দ্র \((h, k)\) যা \(y=3x-7\) রেখার উপর অবস্থিত।
\(\therefore k=3h-7 ......(1)\)
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ \(\frac{1}{2}\sqrt{10}\)
বৃত্তটির সমীকরণ,
\((x-h)^{2}+(y-k)^{2}=(\frac{1}{2}\sqrt{10})^{2}\)
\(\Rightarrow (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=\frac{1}{4}\times 10\)
\(\therefore (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=\frac{5}{2} ........(2)\)
\((1)\) নং বৃত্ত \((1, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে ,
\(\therefore (1-h)^{2}+(1-k)^{2}=\frac{5}{2}\)
\(\Rightarrow (1-h)^{2}+(1-3h+7)^{2}=\frac{5}{2}\) ➜Note \((1)\) এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow (1-h)^{2}+(8-3h)^{2}=\frac{5}{2}\)
\(\Rightarrow 1-2h+h^{2}+64-48h+9h^{2}=\frac{5}{2}\)
\(\Rightarrow 10h^{2}-50h+65=\frac{5}{2}\)
\(\Rightarrow 5(2h^{2}-10h+13)=\frac{5}{2}\)
\(\Rightarrow 2h^{2}-10h+13=\frac{5}{2\times 5}\)
\(\Rightarrow 2h^{2}-10h+13=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow 4h^{2}-20h+26=1\) ➜Note উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 4h^{2}-20h+26-1=0\)
\(\Rightarrow 4h^{2}-20h+25=0\)
\(\Rightarrow (2h-5)^{2}=0\)
\(\Rightarrow 2h-5=0\)
\(\Rightarrow 2h=5\)
\(\Rightarrow h=\frac{5}{2}\)
\((1)\) হতে,
\(k=3\times \frac{5}{2}-7\)
\(\Rightarrow k=\frac{15}{2}-7\)
\(\Rightarrow k=\frac{15-14}{2}\)
\(\Rightarrow k=\frac{1}{2}\)
\(h, k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(\therefore (x-\frac{5}{2})^{2}+(y-\frac{1}{2})^{2}=\frac{5}{2}\)
\(\therefore (\frac{2x-5}{2})^{2}+(\frac{2y-1}{2})^{2}=\frac{5}{2}\)
\(\therefore \frac{(2x-5)^{2}}{4}+\frac{(2y-1)^{2}}{4}=\frac{5}{2}\)
\(\therefore (2x-5)^{2}+(2y-1)^{2}=10\) ➜Note উভয় পার্শে \(4\) গুণ করে।
\(\therefore 4x^{2}-20x+25+4y^{2}-4y+1-10=0\)
\(\therefore 4x^{2}+4y^{2}-20x-4y+16=0\)
\(\therefore 4(x^{2}+y^{2}-5x-y+4)=0\)
\(\therefore x^{2}+y^{2}-5x-y+4=\frac{0}{4}\)
\(\therefore x^{2}+y^{2}-5x-y+4=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

আমরা জানি,
কেন্দ্র \((r_{1}, \theta_{1})\)
ব্যাসার্ধ \(a\)
বৃত্তের পোলার সমীকরণ,
\(r^{2}-2rr_{1}\cos(\theta-\theta_{1})+r^{2}_{1}=a^{2} .....(1)\)
এখানে,
\((r_{1}, \theta_{1})\Rightarrow (6, \frac{\pi}{4})\)
\(\Rightarrow r_{1}=6, \theta_{1}=\frac{\pi}{4}\) এবং \(a=5\)
\((1)\) হতে,
\(r^{2}-2r.6\cos(\theta-\frac{\pi}{4})+6^{2}=5^{2}\)
\(\Rightarrow r^{2}-12r\cos(\theta-\frac{\pi}{4})+36-25=0\)
\(\therefore r^{2}-12r\cos(\theta-\frac{\pi}{4})+11=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের পোলার সমীকরণ।

দেওয়া আছে,
বৃত্তের কেন্দ্র \((1, 2)\) এবং বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে।
\(\therefore \) ব্যাসার্ধ \(=2\)
\(\therefore \) বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-1)^{2}+(y-2)^{2}=2^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-2x+1+y^{2}-4y+4=4\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-2x-4y+1=0 .......(1)\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
আবার,
\((1)\) হতে,
\(2g=-2, 2f=-4, c=1\)
\(\Rightarrow g=-\frac{2}{2}, f=-\frac{4}{2}, c=1\)
\(\therefore g=-1, f=-2, c=1\)
\(Y\) অক্ষের ছদাংশ \(=2\sqrt{f^{2}-c}\)
\(=2\sqrt{(-2)^{2}-1}\)
\(=2\sqrt{4-1}\)
\(=2\sqrt{3}\) একক।

ধরি,
\(x=0 ......(1)\)
\(y=0 ......(2)\)
\(x=a ......(3)\)
শর্তমতে,
বৃত্তের ব্যাস \(=a\)
ব্যাসার্ধ \(=\frac{a}{2}\)
\(\because \) বৃত্তটি উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে,
\(\therefore \) কেন্দ্র \((\frac{a}{2}, \frac{a}{2})\) যা ১ম চৌকোণে অবস্থিত।
বৃত্তটি \((3)\) নং সরলরেখাকে স্পর্শ করে বলে এর কেন্দ্র চতুর্থ চৌকোণেও অবস্থিত হবে।
সে ক্ষেত্রে কেন্দ্র \((\frac{a}{2}, -\frac{a}{2})\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \((\frac{a}{2}, \pm \frac{a}{2})\)
এখন বৃত্তটির সমীকরণ,
\((x-\frac{a}{2})^{2}+(y\pm \frac{a}{2})^{2}=(\frac{a}{2})^{2}\)
\(\Rightarrow (\frac{2x-a}{2})^{2}+(\frac{2y\pm a}{2})^{2}=\frac{a^{2}}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{(2x-a)^{2}}{4}+\frac{(2y\pm a)^{2}}{4}=\frac{a^{2}}{4}\)
\(\Rightarrow (2x-a)^{2}+(2y\pm a)^{2}=a^{2}\)
\(\Rightarrow 4x^{2}-4ax+a^{2}+4y^{2}\pm 4ay+a^{2}-a^{2}=0\)
\(\Rightarrow 4(x^{2}+y^{2})-4ax\pm 4ay+a^{2}=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0 .....(1)\)
\((1)\) নং বৃত্ত \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করে ,
\(f^{2}=c ......(2)\)
\((1)\) নং বৃত্ত \((0, -4)\) বিন্দু দিয়ে যায়,
\(0^{2}+(-4)^{2}+2g.0+2f(-4)+c=0\)
\(\Rightarrow 0+16+0-8f+f^{2}=0\) ➜Note \((2)\) এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow f^{2}-8f+16=0\)
\(\Rightarrow (f-4)^{2}=0\)
\(\Rightarrow f-4=0\)
\(\Rightarrow f=4\)
\((2)\) এর সাহায্যে,
\(4^{2}=c \)
\(\Rightarrow 16=c \)
\(\therefore c=16 \)
\((1)\) নং বৃত্ত দ্বারা \(X\) অক্ষের ছেদিতাংশ,
\(2\sqrt{g^{2}-c}=6\)
\(\Rightarrow \sqrt{g^{2}-16}=\frac{6}{2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{g^{2}-16}=3\)
\(\Rightarrow g^{2}-16=3^{2}\)
\(\Rightarrow g^{2}-16=9\)
\(\Rightarrow g^{2}=16+9\)
\(\Rightarrow g^{2}=25\)
\(\Rightarrow g=\pm \sqrt{25}\)
\(\therefore g=\pm 5\)
\(g, f, c\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x^{2}+y^{2}+2.(\pm 5).x+2.4.y+16=0\)
\(\therefore x^{2}+y^{2}\pm 10x+8y+16=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(i).(a)\) দেওয়া আছে,
\(x^{2}+y^{2}=25\)
\(\Rightarrow r^{2}=25\) ➜Note \(\because x^{2}+y^{2}=r^{2}\)
\(\Rightarrow r^{2}=5^{2}\)
\(\Rightarrow r=5\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের পোলার সমীকরণ।

\(Q.1.(i).(d)\)
দেওয়া আছে,
কেন্দ্র \((4, 30^{o})\), ব্যাসার্ধ \(5\)
এখানে,
\((r_{1}, \theta_{1})\Rightarrow (4, 30^{o}), a\Rightarrow 5\)
\(\Rightarrow r_{1}=4, \theta_{1}=30^{o}, a=5\)
\(\therefore \) বৃত্তের সমীকরণ,
\(r^{2}-2r.4\cos(\theta-30^{o})+4^{2}=5^{2}\) ➜Note \(\because r^{2}-2r.r_{1}\cos(\theta-\theta_{1})+r^{2}_{1}=a^{2}\)
\(\Rightarrow r^{2}-8r\cos(\theta-30^{o})+16-25=0\)
\(\Rightarrow r^{2}-8r\cos(\theta-\frac{\pi}{6})-9=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের পোলার সমীকরণ।

\(Q.1.(i).(e)\)
দেওয়া আছে,
কেন্দ্র \((3, 0^{o})\) এবং পোলগামী ,
এখানে,
\((r_{1}, \theta_{1})\Rightarrow (3, 0^{o})\)
\(\Rightarrow r_{1}=3, \theta_{1}=0^{o}\)
\(\therefore \) বৃত্তের সমীকরণ,
\(r^{2}-2r.3\cos(\theta-0^{o})+3^{2}=a^{2}\) ➜Note \(\because r^{2}-2r.r_{1}\cos(\theta-\theta_{1})+r^{2}_{1}=a^{2}\)
\(r^{2}-6r\cos\theta+9=a^{2} .....(1)\)
শর্ত মতে,
\((1)\) নং বৃত্ত পোলগামী,
অর্থাৎ \( (0, 0^{o})\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 0^{2}-6.0.\cos\theta+9=a^{2}\)
\(\Rightarrow 0-0+9=a^{2}\)
\(\Rightarrow 9=a^{2}\)
\(\therefore a^{2}=9\)
\(a^{2}\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(r^{2}-6r\cos\theta+9=9\)
\(\Rightarrow r^{2}-6r\cos\theta+9-9=0\)
\(\Rightarrow r(r-6\cos\theta)=0\)
\(\Rightarrow r-6\cos\theta=\frac{0}{r}\)
\(\Rightarrow r-6\cos\theta=0\)
\(\therefore r=6\cos\theta\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের পোলার সমীকরণ।

\(Q.1.(i).(f)\)
আমরা জানি,
কেন্দ্র \((r_{1}, \theta_{1})\), ব্যাসার্ধ \(a_{1}\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\(r^{2}-2r.r_{1}\cos(\theta-\theta_{1})+r^{2}_{1}=a^{2}_{1} ...(1)\)
শর্ত মতে,
\((1)\) নং বৃত্ত \((0, 0^{o})\), \((a, 0^{o})\) এবং \((b, 90^{o})\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 0^{2}-2.0.r_{1}\cos(0^{o}-\theta_{1})+r^{2}_{1}=a^{2}_{1}\)
\(\Rightarrow 0-0+r^{2}_{1}=a^{2}_{1}\)
\(\Rightarrow 0+r^{2}_{1}=a^{2}_{1}\)
\(\Rightarrow r^{2}_{1}=a^{2}_{1}\)
\(\therefore r_{1}=a_{1}\)
আবার,
\(\therefore a^{2}-2.a.r_{1}\cos(0^{o}-\theta_{1})+r^{2}_{1}=a^{2}_{1}\)
\(\Rightarrow a^{2}-2ar_{1}\cos\theta_{1}+a^{2}_{1}-a^{2}_{1}=0\)
\(\Rightarrow a^{2}-2ar_{1}\cos\theta_{1}=0\)
\(\Rightarrow a(a-2r_{1}\cos\theta_{1})=0\)
\(\therefore a-2r_{1}\cos\theta_{1}=0\)
\(\therefore a=2r_{1}\cos\theta_{1} ....(2)\)
আবার,
\(\therefore b^{2}-2.b.r_{1}\cos(90^{o}-\theta_{1})+r^{2}_{1}=a^{2}_{1}\)
\(\Rightarrow b^{2}-2br_{1}\sin\theta_{1}+a^{2}_{1}-a^{2}_{1}=0\)
\(\Rightarrow b(b-2r_{1}\sin\theta_{1})=0\)
\(\Rightarrow b-2r_{1}\sin\theta_{1}=\frac{0}{b}\)
\(\therefore b-2r_{1}\sin\theta_{1}=0\)
\(\therefore b=2r_{1}\sin\theta_{1} ......(3)\)
এখন,
\((1)\) হতে,
\(r^{2}-2r.r_{1}\cos(\theta-\theta_{1})+a^{2}_{1}-a^{2}_{1}=0 \) ➜Note \(\because r_{1}=a_{1}\)
\(\Rightarrow r^{2}-2r.r_{1}\cos(\theta-\theta_{1})=0\)
\(\Rightarrow r^{2}-2r.r_{1}(\cos\theta\cos\theta_{1}+\sin\theta\sin\theta_{1})=0\)
\(\Rightarrow r^{2}-r(\cos\theta.2r_{1}\cos\theta_{1}+\sin\theta.2r_{1}\sin\theta_{1})=0\)
\(\Rightarrow r^{2}-r(\cos\theta.a+\sin\theta.b)=0\) ➜Note \((2)\) ও \((3)\) এর সাহয্যে।
\(\Rightarrow r^{2}-r(a\cos\theta+b\sin\theta)=0\)
\(\Rightarrow r\{r-(a\cos\theta+b\sin\theta)\}=0\)
\(\Rightarrow r-(a\cos\theta+b\sin\theta)=\frac{0}{r}\)
\(\Rightarrow r-(a\cos\theta+b\sin\theta)=0\)
\(\Rightarrow r=a\cos\theta+b\sin\theta\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের পোলার সমীকরণ।

\(Q.1.(ii).(a)\)
দেওয়া আছে,
\(r^{2}-12r\cos(\theta-\frac{\pi}{4})+11=0\)
\(\Rightarrow r^{2}-12r(\cos\theta\cos\frac{\pi}{4}+\sin\theta\sin\frac{\pi}{4})+11=0\)
\(\Rightarrow r^{2}-12r(\cos\theta\times \frac{1}{\sqrt{2}}+\sin\theta\times \frac{1}{\sqrt{2}})+11=0\)
\(\Rightarrow r^{2}-12r(\frac{\cos\theta}{\sqrt{2}}+\frac{\sin\theta}{\sqrt{2}})+11=0\)
\(\Rightarrow r^{2}-12(\frac{r\cos\theta}{\sqrt{2}}+\frac{r\sin\theta}{\sqrt{2}})+11=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-12(\frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{y}{\sqrt{2}})+11=0\) ➜Note \(\because r^{2}=x^{2}+y^{2}, x=r\cos\theta, y=r\sin\theta\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-12\frac{x+y}{\sqrt{2}}+11=0\)
\(\therefore \sqrt{2}(x^{2}+y^{2})-(12x+12y)+11\sqrt{2}=0\) ➜Note \(\sqrt{2}\) দ্বারা গুন করে।
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের কার্তেসীয় সমীকরণ।

\(Q.1.(ii).(b)\)
দেওয়া আছে,
\(r^{2}=8r\cos(\theta-45^{o})\)
\(\Rightarrow r^{2}=8r(\cos\theta\cos45^{o}+\sin\theta\sin45^{o})\)
\(\Rightarrow r^{2}=8r(\cos\theta\times \frac{1}{\sqrt{2}}+\sin\theta\times \frac{1}{\sqrt{2}})\)
\(\Rightarrow r^{2}=8r(\frac{\cos\theta}{\sqrt{2}}+\frac{\sin\theta}{\sqrt{2}})\)
\(\Rightarrow r^{2}=8(\frac{r\cos\theta}{\sqrt{2}}+\frac{r\sin\theta}{\sqrt{2}})\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}=8(\frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{y}{\sqrt{2}})\) ➜Note \(\because r^{2}=x^{2}+y^{2}, x=r\cos\theta, y=r\sin\theta\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}=8\frac{x+y}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}=\frac{8x+8y}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{2}(x^{2}+y^{2})=8x+8y\)
\(\therefore \sqrt{2}(x^{2}+y^{2})-8x-8y=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের কার্তেসীয় সমীকরণ।

\(Q.1.(ii).(c)\)
দেওয়া আছে,
\(r=a\)
\(\Rightarrow r^{2}=a^{2}\) ➜Note উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}=a^{2}\) ➜Note \(\because r^{2}=x^{2}+y^{2}, x=r\cos\theta, y=r\sin\theta\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের কার্তেসীয় সমীকরণ।

\(Q.1.(ii).(d)\)
দেওয়া আছে,
\(r^{2}-4r(\cos\theta+\sqrt{3}\sin\theta)+7=0\)
\(\Rightarrow r^{2}-4(r\cos\theta+\sqrt{3}r\sin\theta)+7=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-4(x+\sqrt{3}y)+7=0\) ➜Note \(\because r^{2}=x^{2}+y^{2}, x=r\cos\theta, y=r\sin\theta\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের কার্তেসীয় সমীকরণ।

\(Q.1.(iii).(a)\)
দেওয়া আছে,
\(x^{2}+y^{2}-8x+6y+9=0\)
এখানে,
\(2g=-8, 2f=6, c=9\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{8}{2}, f=\frac{6}{2}, c=9\)
\(\Rightarrow g=-4, f=3, c=9\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\Rightarrow (4, -3)\)
এবং ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{(-4)^{2}+3^{2}-9}\)
\(=\sqrt{16+9-9}\)
\(=\sqrt{16}\)
\(=4\)

\(Q.1.(iii).(b)\)
দেওয়া আছে,
\(4(x^{2}+y^{2})+24x-4y-27=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}+6x-y-\frac{27}{4}=0\) ➜Note উভয় পার্শে \(4\) গুণ করে।
এখানে,
\(2g=6, 2f=-1, c=-\frac{27}{4}\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=\frac{6}{2}, f=-\frac{1}{2}, c=-\frac{27}{4}\)
\(\Rightarrow g=3, f=-\frac{1}{2}, c=-\frac{27}{4}\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\Rightarrow (-3, \frac{1}{2})\)
এবং ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^{2}+f^{2}-c}\)
\(=\sqrt{3^{2}+(-\frac{1}{2})^{2}+\frac{27}{4}}\)
\(=\sqrt{9+\frac{1}{4}+\frac{27}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{36+1+27}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{64}{4}}\)
\(=\sqrt{16}\)
\(=4\)

\(Q.1.(iii).(c)\)
দেওয়া আছে,
\(x^{2}+y^{2}-by=0\)
এখানে,
\(2g=0, 2f=-b, c=0\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=\frac{0}{2}, f=-\frac{b}{2}, c=0\)
\(\Rightarrow g=0, f=-\frac{b}{2}, c=0\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\Rightarrow (0, \frac{b}{2})\)
এবং ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^{2}+f^{2}-c}\)
\(=\sqrt{0^{2}+(-\frac{b}{2})^{2}-0}\)
\(=\sqrt{0+\frac{b^{2}}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{b^{2}}{4}}\)
\(=\frac{b}{2}\)

\(Q.1.(iii).(d)\)
দেওয়া আছে,
\(r^{2}-4\sqrt{3}r\cos\theta-4r\sin\theta+15=0\)
\(\Rightarrow r^{2}-4r(\sqrt{3}\cos\theta+\sin\theta)+15=0\)
\(\Rightarrow r^{2}-4r.2.(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta+\frac{1}{2}\sin\theta)+15=0\)
\(\Rightarrow r^{2}-2r.4.(\cos\theta\frac{\sqrt{3}}{2}+\sin\theta\frac{1}{2})+16-1=0\)
\(\Rightarrow r^{2}-2r.4.(\cos\theta\cos\frac{\pi}{6}+\sin\theta\sin\frac{\pi}{6})+16=1\)
\(\Rightarrow r^{2}-2r.4.\cos(\theta-\frac{\pi}{6})+4^{2}=1^{2}\)
এখানে,
\((4, \frac{\pi}{6})\Rightarrow (r_{1, \theta_{1}}); a\Rightarrow 1\)
অতএব,
কেন্দ্র \((4, \frac{\pi}{6})\)
এবং ব্যাসার্ধ \(1\)

\(Q.1.(iii).(e)\)
দেওয়া আছে,
\(r=2a\cos\theta\)
\(\Rightarrow r^{2}=2ar\cos\theta\) ➜Note উভয় পার্শে \(r\) গুণ করে।
\(\Rightarrow r^{2}-2ar\cos\theta=0\)
\(\Rightarrow r^{2}-2r.a.\cos(\theta-0^{o})+a^{2}=a^{2}\)
এখানে,
\((a, 0^{o})\Rightarrow (r_{1, \theta_{1}}); a\Rightarrow a\)
অতএব,
কেন্দ্র \((a, 0^{o})\)
এবং ব্যাসার্ধ \(a\)

\(Q.1.(iii).(f)\)
দেওয়া আছে,
\(x^{2}+y^{2}=2gx-2fy\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-2gx+2fy=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}+2(-g)x+2fy+0=0\)
এখন,
কেন্দ্র \((g, -f)\)
এবং ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{(-g)^{2}+f^{2}-0}\)
\(=\sqrt{g^{2}+f^{2}}\)

\(Q.1.(iii).(g)\)
দেওয়া আছে,
\(2(x^{2}+y^{2})-3x+4y=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-\frac{3}{2}x+2y=0\) ➜Note উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
এখানে,
\(2g=-\frac{3}{2}, 2f=2, c=0\)
\(\Rightarrow g=-\frac{3}{4}, f=\frac{2}{2}, c=0\)
\(\therefore g=-\frac{3}{4}, f=1, c=0\)
এখন,
কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\Rightarrow (\frac{3}{4}, -1)\)
এবং ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{(-\frac{3}{4})^{2}+1^{2}-0}\)
\(=\sqrt{\frac{9}{16}+1}\)
\(=\sqrt{\frac{9+16}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{25}{16}}\)
\(=\frac{5}{4}\)

আমরা জানি,
কেন্দ্র \((h, k)\)
ব্যাসার্ধ \(r\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\)
এখানে,
\((h, k)\Rightarrow (3, -2), r\Rightarrow 6\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-3)^{2}+(y+2)^{2}=6^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.3+3^{2}+y^{2}+2.y.2+2^{2}=36\)
\(\Rightarrow x^{2}-6x+9+y^{2}+4y+4-36=0\)
\(\therefore x^{2}+y^{2}-6x+4y-23=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

দেওয়া আছে,
\((x-y+3)^{2}+(kx+2)(y-1)=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}+3^{2}-2.x.y-2.y.3+2.x.3+kxy+2y-kx-2=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}+9-2xy+6x-6y+kxy+2y-kx-2=0\)
\(\therefore x^{2}+y^{2}+(k-2)xy+(6-k)x-4y+7=0 ....(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণটি একটি বৃত্ত প্রকাশ করবে যদি,
\(xy\) এর সহগ শুন্য হয়।
\(\therefore k-2=0\) ➜Note সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ \(ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c=0\)-এর বৃত্ত প্রকাশ করার শর্তাবলী, \((a)\) \(x^{2}\) এবং \(y^{2}\) এর সহগদ্বয় সমান হবে, অর্থাৎ \(a=b\)। \((b)\) \(xy\) সম্বলিত কোনো পদ থাকবে না, অর্থাৎ \(h=0\)। \((c)\) \(g^{2}+f^{2}>c\) হবে। এই ক্ষেত্রে বৃত্তের, কেন্দ্রঃ \((-g, -f)\) ব্যাসার্ধঃ \(=\sqrt{g^{2}+f^{2}-c}\) যখন, \((g^{2}+f^{2}>c)\)
\(\Rightarrow k=2\)

মনে করি,
\(ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c=0 ............(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণটির একটি বৃত্ত সূচিত করার শর্তগুলি নিম্নরূপ
\((a)\) \(x^{2}\) এবং \(y^{2}\) এর সহগদ্বয় সমান, অর্থাৎ \(a=b\)।
\((b)\) \(xy\) সম্বলিত কোনো পদ থাকবে না, অর্থাৎ \(h=0\)।
\((c)\) \(g^{2}+f^{2}>c\) হবে।
আবার,
\(x^{2}+y^{2}+4x-6y+17=0 .....(2)\)
এখানে,
\(a=b=1, h=0, 2g=4, 2f=-6, c=17\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=b=1, h=0, g=\frac{4}{2}, f=-\frac{6}{2}, c=17\)
\(\therefore a=b=1, h=0, g=2, f=-3, c=17\)
এখন,
\(g^{2}+f^{2}=2^{2}+(-3)^{2}\)
\(=4+9\)
\(=13\) কিন্তু \(c=17\)
\(\therefore c>g^{2}+f^{2} \)
\(\therefore (2)\) নং সমীকরণটি \((a)\) এবং \((b)\) শর্ত সিদ্ধ করে, কিন্তু \((c)\) শর্ত সিদ্ধ করে না।
\(\therefore (2)\) নং সমীকরণটি কোন বাস্তব বৃত্ত সূচিত করে না।

মনে করি,
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0 .........(1)\)
\((1)\) নং বৃত্ত উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে,
\(\therefore g^{2}=f^{2}=c .......(2)\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের উভয় অক্ষকে স্পর্শ করার শর্ত, \( g^2=f^2=c\)
\(\Rightarrow g^{2}=f^{2}\)
\(\Rightarrow g=f ..........(3)\)
আবার,
\((1)\) নং বৃত্ত \((1, 8)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(1^{2}+8^{2}+2g.1+2f.8+c=0\)
\(\Rightarrow 1+64+2g+16f+c=0\)
\(\Rightarrow 65+2g+16g+g^{2}=0\) ➜Note \((2)\) ও \((3)\) হতে।
\(\Rightarrow g^{2}+18g+65=0\)
\(\Rightarrow g^{2}+5g+13g+65=0\)
\(\Rightarrow g(g+5)+13(g+13)=0\)
\(\Rightarrow (g+5)(g+13)=0\)
\(\Rightarrow g+5=0, g+13=0\)
\(\therefore g=-5, g=-13\)
\((3)\) হতে,
\(g=-5\Rightarrow f=-5, g=-13\Rightarrow f=-13\)
\((2)\) হতে,
\(g=-5, f=-5 \Rightarrow c=25;\) এবং \(g=-13, f=-13\Rightarrow c=169\)
\(g, f, c \) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
যখন,
\(g=-5, f=-5, c=25;\)
\(x^{2}+y^{2}+2(-5)x+2(-5)y+25=0 \)
\(\therefore x^{2}+y^{2}-10x-10y+25=0 \)
যখন,
\(g=-13, f=-13, c=169;\)
\(x^{2}+y^{2}+2(-13)x+2(-13)y+169=0 \)
\(\therefore x^{2}+y^{2}-26x-26y+169=0 \)
\(\therefore \) নির্ণেয় বৃত্তদ্বয়ের সমীকরণ,
\(x^{2}+y^{2}-10x-10y+25=0; x^{2}+y^{2}-26x-26y+169=0\)।

ধরি,
\(A(2, 1)\), \(B(-6, 5)\) এবং \(C(-3, -4)\)
খলিফার নিয়মানুসারে,\(A(2, 1)\) ও \(B(-6, 5)\) বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-2)(x+6)+(y-1)(y-5)+k\{(x-2)(1-5)\)\(-(y-1)(2+6)\}=0\) ➜Note দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \((x_{1}, y_{1})\) এবং \((x_{2}, y_{2})\) দিয়ে গমনকারী বৃত্তের সমীকরণ, \((x-x_{1})(x-x_{2})+(y-y_{1})(y-y_{2})\)\(+k\{(x-x_{1})(y_{1}-y_{2})-(y-y_{1})(x_{1}-x_{2})\}=0\) ( খলিফার নিয়ম। )
\(\Rightarrow x^{2}-2x+6x-12+y^{2}-y-5y+5+k\{-4(x-2)\)\(-8(y-1)\}=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}+4x-6y-7+k\{-4x+8-8y+8\}=0\)
\(\therefore x^{2}+y^{2}+4x-6y-7+k(-4x-8y+16)=0 ....(1)\)
শর্তমতে,
\((1)\) নং বৃত্তটি \(C(-3, -4)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore (-3)^{2}+(-4)^{2}+4(-3)-6(-4)-7+k\{-4(-3)\)\(-8(-4)+16\}=0\)
\(\Rightarrow 9+16-12+24-7+k\{12+32+16\}=0\)
\(\Rightarrow 49-19+k.60=0\)
\(\Rightarrow 30+60k=0\)
\(\Rightarrow 60k=-30\)
\(\Rightarrow k=-\frac{30}{60}\)
\(\therefore k=-\frac{1}{2}\)
\(k\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x^{2}+y^{2}+4x-6y-7+(-\frac{1}{2})(-4x-8y+16)=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}+4x-6y-7-\frac{1}{2}(-4x-8y+16)=0\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}+8x-12y-14-(-4x-8y+16)=0\) ➜Note উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}+8x-12y-14+4x+8y-16=0\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}+12x-4y-30=0\)
\(\therefore x^{2}+y^{2}+6x-2y-15=0 ..(2)\) ➜Note উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ ।
আবার,
\((2)\) নং সমীকরণ হতে,
\(2g=6, 2f=-2, c=-15\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=\frac{6}{2}, f=-\frac{2}{2}, c=-15\)
\(\therefore g=3, f=-1, c=-15\)
এখন,
কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\Rightarrow (-3, 1)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^{2}+f^{2}-c}\)
\(=\sqrt{3^{2}+(-1)^{2}-(-15)}\)
\(=\sqrt{9+1+15}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)

কেন্দ্র \((4, -5)\)
ব্যাসার্ধ \(=r\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-4)^{2}+(y+5)^{2}=r^{2} ........(1)\) ➜Note কেন্দ্র \(C(h, k)\), ব্যাসার্ধ \(r\), বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)
\((1)\) নং বৃত্ত মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore (0-4)^{2}+(0+5)^{2}=r^{2}\)
\(\Rightarrow 16+25=r^{2}\)
\(\Rightarrow 41=r^{2}\)
\(\therefore r^{2}=41\)
\(r^{2}\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\((x-4)^{2}+(y+5)^{2}=41\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.4+4^{2}+y^{2}+2.y.5+5^{2}=41\)
\(\Rightarrow x^{2}-8x+16+y^{2}+10y+25-41=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-8x+10y=0 .......(2)\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ ।
আবার,
\((2)\) নং সমীকরণ হতে,
\(2g=-8, 2f=10, c=0\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{8}{2}, f=\frac{10}{2}, c=0\)
\(\therefore g=-4, f=5, c=0\)
অক্ষদ্বয়ের ছেদাংশ যথাক্রমে \( 2\sqrt{g^{2}-c}, 2\sqrt{f^{2}-c}\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{(-4)^{2}-0}, 2\sqrt{5^{2}-0}\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{16}, 2\sqrt{25}\)
\(\Rightarrow 2.4, 2.5\)
\(\therefore 8, 10\)

মনেকরি,
\(A(1, 5)\), \(B(7, -3)\)
বৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
\(AB\) ব্যাস \(P\) বিন্দুতে সর্বদা এক সমকোণ উৎপন্ন করে।
অর্থাৎ \(PA\perp PB\)
\(PA\) এর ঢাল \(m_{1}=\frac{y-5}{x-1}\) ➜Note \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\);\(PQ\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)
\(PB\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{y+3}{x-7}\) ➜Note \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\);\(PQ\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)
শর্ত মতে,
\(m_{1}\times m_{2}=-1\) ➜Note \(y=m_1x+c_1\), \(y=m_2x+c_2\) সরলরেখাদ্বয়ের পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত, \(m_1\times m_2=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y-5}{x-1}\times \frac{y+3}{x-7}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{(y-5)(y+3)}{(x-1)(x-7)}=-1\)
\(\Rightarrow (y-5)(y+3)=-(x-1)(x-7)\)
\(\therefore (x-1)(x-7)+(y-5)(y+3)=0 ......(1)\)
[ প্রমাণিত ]
\(\because AB=\) ব্যাস।
\(\therefore AB\) এর মধ্যবিন্দু হবে কেন্দ্র।
কেন্দ্র \((\frac{1+7}{2}, \frac{5-3}{2})\) ➜Note \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow (\frac{8}{2}, \frac{2}{2})\)
\(\Rightarrow (4, 1)\)
ব্যাসার্ধ \(=\frac{1}{2}AB\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{(1-7)^{2}+(5+3)^{2}}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{(-6)^{2}+(8)^{2}}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{36+64}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{100}\)
\(=\frac{1}{2}\times 10\)
\(=5\)

মনে করি,
\(x^{2}+y^{2}-4x+5y+9=0 ........(1)\)
এখানে,
\(2g=-4, 2f=5, c=9\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{4}{2}, f=\frac{5}{2}, c=9\)
\(\therefore g=-2, f=\frac{5}{2}, c=9\)
কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\Rightarrow (2, -\frac{5}{2})\)
এখন,
কেন্দ্র \((2, -\frac{5}{2})\)
ব্যাসার্ধ \(r\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-2)^2+\left(y+\frac{5}{2}\right)^2=r^2\) ➜Note কেন্দ্র \(C(h, k)\), ব্যাসার্ধ \(r\), বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)
\(\Rightarrow (x-2)^2+\left(\frac{2y+5}{2}\right)^2=r^2 .......(2)\)
\((2)\) বৃত্ত \((2, -1)\) বিন্দুগামী ।
\(\therefore (2-2)^2+\left\{\frac{2.(-1)+5}{2}\right\}^2=r^2\)
\(\Rightarrow (0)^2+\left\{\frac{-2+5}{2}\right\}^2=r^2\)
\(\Rightarrow 0+\left\{\frac{3}{2}\right\}^2=r^2\)
\(\Rightarrow \frac{9}{4}=r^2\)
\(\therefore r^2=\frac{9}{4}\)
\(r^2\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\((x-2)^2+\left(\frac{2y+5}{2}\right)^2=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow (x-2)^2+\frac{(2y+5)^2}{4}=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow 4(x-2)^2+(2y+5)^2=9\) ➜Note উভয় পার্শে \(4\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 4(x^2-2.x.2+2^2)+4y^2+2.2y.5+5^2=9\)
\(\Rightarrow 4(x^2-4x+4)+4y^2+20y+25-9=0\)
\(\Rightarrow 4x^2-16x+16+4y^2+20y+25-9=0\)
\(\Rightarrow 4x^2+4y^2-16x+20y+32=0\)
\(\Rightarrow 4(x^2+y^2-4x+5y+8)=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x+5y+8=\frac{0}{4}\)
\(\therefore x^2+y^2-4x+5y+8=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

মনে করি,
\(x^{2}+y^{2}-6x-10y-15=0 ........(1)\)
এখানে,
\(2g=-6, 2f=-10, c=-15\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{6}{2}, f=-\frac{10}{2}, c=-15\)
\(\therefore g=-3, f=-5, c=-15\)
কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\Rightarrow (3, 5)\)
এখন,
কেন্দ্র \((7, 2)\)
ব্যাসার্ধ \(r\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-7)^2+(y-2)^2=r^2 .......(2)\) ➜Note কেন্দ্র \(C(h, k)\), ব্যাসার্ধ \(r\), বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)
\((2)\) বৃত্ত \((3, 5)\) বিন্দুগামী ।
\(\therefore (3-7)^2+(5-2)^2=r^2\)
\(\Rightarrow (-4)^2+3^2=r^2\)
\(\Rightarrow 16+9=r^2\)
\(\Rightarrow 25=r^2\)
\(\Rightarrow r^2=25\)
\(r^2\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\((x-7)^2+(y-2)^2=25\)
\(\Rightarrow x^2-2.x.7+7^2+y^2-2.y.2+2^2=25\)
\(\Rightarrow x^2-14x+49+y^2-4y+4-25=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-14x-4y+28=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

মনে করি,
\(x^{2}+y^{2}-4x=0 ........(1)\)
\(x-3=0 .........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদ বিন্দুগামী যে কোনো বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^{2}+y^{2}-4x+k(x-3)=0 ........(3)\) ➜Note \(ax+by+c_{1}=0\) রেখা ও \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ, \(x^2+y^2+2gx+2fy+c+k(ax+by+c_{1})=0\); \(k\) শুন্য ব্যতীত যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-4x+kx-3k=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}+(k-4)x-3k=0\)
এখানে,
\(2g=k-4, 2f=0, c=-3k\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=\frac{k-4}{2}, f=\frac{0}{2}, c=-3k\)
\(\Rightarrow g=\frac{k-4}{2}, f=0, c=-3k\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\Rightarrow (-\frac{k-4}{2}, 0)\)
কিন্তু দেওয়া আছে কেন্দ্র \((6, 0)\)
\(\therefore (-\frac{k-4}{2}, 0)\Rightarrow (6, 0)\)
\(\Rightarrow -\frac{k-4}{2}=6 \)
\(\Rightarrow k-4=-12 \)
\(\Rightarrow k=4-12 \)
\(\Rightarrow k=-8 \)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(x^{2}+y^{2}-4x-8(x-3)=0 \)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-4x-8x+24=0 \)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-12x+24=0 \)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

মনে করি,
\(x^{2}+y^{2}-2x-4y-4=0 ........(1)\)
\(2x+3y+1=0 .........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদ বিন্দুগামী যে কোনো বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^{2}+y^{2}-2x-4y-4+k(2x+3y+1)=0 ........(3)\) ➜Note \(ax+by+c_{1}=0\) রেখা ও \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ, \(x^2+y^2+2gx+2fy+c+k(ax+by+c_{1})=0\); \(k\) শুন্য ব্যতীত যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) বৃত্ত মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) বিন্দুগামী ।
\(\therefore 0^{2}+0^{2}-2.0-4.0-4+k(2.0+3.0+1)=0\)
\(\Rightarrow 0-4+k(0+1)=0\)
\(\Rightarrow -4+k.1=0\)
\(\Rightarrow -4+k=0\)
\(\therefore k=4\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(x^{2}+y^{2}-2x-4y-4+4(2x+3y+1)=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-2x-4y-4+8x+12y+4=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}+6x+8y=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

মূলবিন্দুগামী বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2gx+2fy=0 ........(1)\)
\((1)\) নং বৃত্ত অক্ষদ্বয়ের ধনাত্মক দিক হতে যথাক্রমে \(3\) ও \(5\) একক অংশ ছেদ করে।
অর্থাৎ বৃত্তটি যথাক্রমে \(A(3, 0)\) ও \(B(0, 5)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore 3^2+0^2+2g.3+2f.0=0\)
\(\Rightarrow 9+0+6g+0=0\)
\(\Rightarrow 9+6g=0\)
\(\Rightarrow 6g=-9\)
\(\Rightarrow g=-\frac{9}{6}\)
\(\Rightarrow g=-\frac{3}{2}\)
আবার,
\(0^2+5^2+2g.0+2f.5=0\)
\(\Rightarrow 0+25+0+10f=0\)
\(\Rightarrow 25+10f=0\)
\(\Rightarrow 10f=-25\)
\(\Rightarrow f=-\frac{25}{10}\)
\(\Rightarrow f=-\frac{5}{2}\)
এখন,
\(g, f\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x^2+y^2+2\left(-\frac{3}{2}\right)x+2\left(-\frac{5}{2}\right)y=0\)
\(\therefore x^2+y^2-3x-5y=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

দেওয়া আছে,
\(b\) বাহুবিশিষ্ট \(OABC\) একটি বর্গ । \(OA\) এবং \(OC\) অক্ষদ্বয় বরাবর।
\(\therefore O(0, 0), A(b, 0), C(0, b) \)
তাহলে,
নির্ণেয় বৃত্তটি মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\), \(A(b, 0)\) এবং \(C(0, b)\) বিন্দুগামী।
মূলবিন্দুগামী বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2gx+2fy=0 ........(1)\)
\((1)\) নং বৃত্তটি যথাক্রমে \(A(b, 0)\) ও \(C(0, b)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore b^2+0^2+2g.b+2f.0=0\)
\(\Rightarrow b^2+0+2bg+0=0\)
\(\Rightarrow b^2+2bg=0\)
\(\Rightarrow b(b+2g)=0\)
\(\Rightarrow b\ne 0, b+2g=0\)
\(\Rightarrow 2g=-b\)
\(\Rightarrow g=-\frac{b}{2}\)
আবার,
\(\therefore 0^2+b^2+2g.0+2f.b=0\)
\(\Rightarrow 0+b^2+0+2bf=0\)
\(\Rightarrow b^2+2bf=0\)
\(\Rightarrow b(b+2f)=0\)
\(\Rightarrow b\ne 0, b+2f=0\)
\(\Rightarrow 2f=-b\)
\(\Rightarrow f=-\frac{b}{2}\)
\(g, f\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x^2+y^2+2\left(-\frac{b}{2}\right)x+2\left(-\frac{b}{2}\right)y=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-bx-by=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=bx+by\)
\(\therefore x^2+y^2=b(x+y)\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

ধরি,
\(ax^{2}+2bxy-2y^{2}+8x+12y+6=0 .......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণকে, সাধারণ সমীকরণ \(a_1x^{2}+2h_1xy+b_1y^{2}+2g_1x+2f_1y+c_1=0\) এর সহিত তুলুনা করে,
\(a_1=a, b_1=-2, 2h_1=2b, 2g_1=8, 2f_1=12, c_1=6\)
\(\Rightarrow a_1=a, b_1=-2, h_1=b, g_1=4, f_1=6, c_1=6\)
\((1)\) নং সমীকরণ একটি বৃত্ত নির্দেশ করবে যদি,
\((a) a_1=b_1\) হয়।
\(\therefore a=-2\)
\((b) h_1=0\) হয়।
\(\therefore b=0\)
এই ক্ষেত্রে \((1)\) নং সমীকরণটি দাঁড়ায়,
\(-2x^{2}+2.0.xy-2y^{2}+8x+12y+6=0\)
\(\Rightarrow -2x^{2}-2y^{2}+8x+12y+6=0\)
\(\Rightarrow -2(x^{2}+y^{2}-4x-6y-3)=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-4x-6y-3=\frac{0}{-2}\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-4x-6y-3=0 .......(2)\)
এখানে,
\(2g=-4, 2f=-6, c=-3\)
\(\Rightarrow g=-\frac{4}{2}, f=-\frac{6}{2}, c=-3\)
\(\Rightarrow g=-2, f=-3, c=-3\)
কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\Rightarrow (2, 3)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-2)^2+(-3)^2-(-3)}\)
\(=\sqrt{4+9+3}\)
\(=\sqrt{16}\)
\(=4\)

আমরা জানি,
কেন্দ্র \((h ,k)\)
ব্যাসার্ধ \(r\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-h)^2+(y-k)^2=r^2 .....(1)\) ➜Note কেন্দ্র \(C(h, k)\), ব্যাসার্ধ \(r\), বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)
এখানে,
\((h ,k)\Rightarrow (a, b), r\Rightarrow \sqrt{a^{2}+b^{2}}\)
\(\Rightarrow h=a, k=b; r\Rightarrow \sqrt{a^{2}+b^{2}}\)
\(\therefore (1)\) হতে,
\((x-a)^2+(y-b)^2=(\sqrt{a^2+b^2})^2\)
\(\Rightarrow x^2-2.x.a+a^2+y^2-2.y.b+b^2=a^2+b^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-a^2-b^2=0\)
\(\therefore x^2+y^2-2ax-2by=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

ধরি,
\(x^{2}+y^{2}-8x-6y+16=0 ......(1)\)
এখানে,
\(2g=-8, 2f=-6, c=16\)
\(\Rightarrow g=-\frac{8}{2}, f=-\frac{6}{2}, c=16\)
\(\therefore g=-4, f=-3, c=16\)
এবং
\(g^2=(-4)^2=16=c\)
\(\therefore g^2=c\)
\(\therefore (1)\) নং বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে ।

ধরি,
\(x^{2}+y^{2}-4x+6y-12=0 .........(1)\)
এবং
\(3x^{2}+3y^{2}-12x+18y+28=0\)
\(\Rightarrow 3(x^{2}+y^{2}-4x+6y+\frac{28}{3})=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-4x+6y+\frac{28}{3}=\frac{0}{3}\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-4x+6y+\frac{28}{3}=0 ..........(2)\)
\((1)\) নং সমীকরণের ক্ষেত্রে,
\(2g=-4, 2f=6\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{4}{2}, f=\frac{6}{2}\)
\(\therefore g=-2, f=3\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\Rightarrow (2, -3)\)
আবার,
\((2)\) নং সমীকরণের ক্ষেত্রে অনুরূপ,
\(2g=-4, 2f=6\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{4}{2}, f=\frac{6}{2}\)
\(\therefore g=-2, f=3\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\Rightarrow (2, -3)\)
\(\therefore \) বৃত্ত দুইটি এককেন্দ্রিক।

ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0 ......(1)\) ➜Note কেন্দ্র \(C(-g, -f)\), ব্যাসার্ধ \(\sqrt{g^{2}+f^{2}-c}\), বৃত্তের সমীকরণ,\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0\)
যার কেন্দ্র \((-g, -f)\)
এখানে,
\((-g, -f)\Rightarrow (2, 3)\)
\(\Rightarrow -g=2, -f=3\)
\(\therefore g=-2, f=-3\)
\((1)\) নং বৃত্ত \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে,
\(g^2=c\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করার শর্ত, \( g^2=c\)
\(\Rightarrow (-2)^2=c\)
\(\Rightarrow 4=c\)
\(\Rightarrow c=4\)
\(g, f, c\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x^{2}+y^{2}+2.(-2).x+2.(-3).y+4=0 \)
\(\therefore x^{2}+y^{2}-4x-6y+4=0 \)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
আবার,
বৃত্তটি দ্বারা \(Y\) অক্ষের ছদাংশ \(=2\sqrt{f^2-c}\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্ত দ্বারা \(Y\) অক্ষের খন্ডিতাংশ, \(=2\sqrt{f^2-c}\)
\(=2\sqrt{(-3)^2-4}\)
\(=2\sqrt{9-4}\)
\(=2\sqrt{5}\)

শর্তমতে,
বৃত্তটি মূলবিন্দুগামী,
\(\therefore \) বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy=0 ......(1)\)
যার কেন্দ্র \((-g, -f)\)
এবং ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^2+f^2}\)
আবার,
\((1)\) নং বৃত্ত \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করে,
\(\therefore f^2=c\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করার শর্ত, \(f^2=c\)
\(\Rightarrow f^2=0\) ➜Note \(\because c=0\)
\(\therefore f=0\)
আবার,
\((1)\) নং বৃত্ত \(3x-4y+8=0\) সরলরেখাকে স্পর্শ করে।
ফলে কেন্দ্র হতে সরলরেখাটির লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হবে।
\(\sqrt{g^2+f^2}=\frac{|3.(-g)-4(-f)+8|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}\) ➜Note \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{g^2+f^2}=\frac{|-3g+4f+8|}{\sqrt{9+16}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{g^2+0^2}=\frac{|-3g+4.0+8|}{\sqrt{25}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{g^2}=\frac{|-(3g-8)|}{5}\)
\(\Rightarrow g=\frac{|(3g-8)|}{5}\)
\(\Rightarrow 5g=|(3g-8)|\)
\(\Rightarrow 5g=\pm (3g-8)\)
\(\Rightarrow 5g=3g-8\) ➜Note ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 5g-3g=-8\)
\(\Rightarrow 2g=-8\)
\(\Rightarrow g=-\frac{8}{2}\)
\(\therefore g=-4\)
আবার,
\(\Rightarrow 5g=-3g+8\) ➜Note ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 5g+3g=8\)
\(\Rightarrow 8g=8\)
\(\Rightarrow g=\frac{8}{8}\)
\(\therefore g=1\)
\(g, f\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
যখন,
\(g=-4, f=0 \)
\(x^{2}+y^{2}+2.(-4).x+2.0.y=0 \)
\(\therefore x^{2}+y^{2}-8x=0 \)
যখন,
\(g=1, f=0 \)
\(x^{2}+y^{2}+2.1.x+2.0.y=0 \)
\(\therefore x^{2}+y^{2}+2x=0 \)
নির্ণেয় বৃত্তদ্বয়ের সমীকরণ \(x^{2}+y^{2}-8x=0, x^{2}+y^{2}+2x=0 \)

ধরি,
\(A(1, 2)\), \(B(3, 2)\)
খলিফার নিয়মানুসারে,
\(A(1, 2)\) ও \(B(3, 2)\) বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-1)(x-3)+(y-2)(y-2)+k\{(x-1)(2-2)\)\(-(y-2)(1-3)\}=0\) ➜Note দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \((x_{1}, y_{1})\) এবং \((x_{2}, y_{2})\) দিয়ে গমনকারী বৃত্তের সমীকরণ, \((x-x_{1})(x-x_{2})+(y-y_{1})(y-y_{2})\)\(+k\{(x-x_{1})(y_{1}-y_{2})-(y-y_{1})(x_{1}-x_{2})\}=0\) ( খলিফার নিয়ম। )
\(\Rightarrow x^2-x-3x+3+(y-2)^2+k\{(x-1).0+\)\(2(y-2)\}=0\)
\(\Rightarrow x^2-4x+3+y^2-4y+4+k\{0+2y-4\}=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x-4y+7+2ky-4k=0\)
\(\therefore x^2+y^2-4x+(2k-4)y+7-4k=0 ......(1)\)
এখানে,
\(2g=-4, 2f=2k-4, c=7-4k\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{4}{2}, f=\frac{2k-4}{2}, c=7-4k\)
\(\Rightarrow g=-2, f=\frac{2(k-2)}{2}, c=7-4k\)
\(\therefore g=-2, f=k-2, c=7-4k\)
\(\because (1)\) নং বৃত্ত \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে ।
\(\therefore g^2=c\)
\(\Rightarrow (-2)^2=7-4k\)
\(\Rightarrow 4=7-4k\)
\(\Rightarrow 4k=7-4\)
\(\Rightarrow 4k=3\)
\(\therefore k=\frac{3}{4}\)
\(k\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x^2+y^2-4x+(2\times \frac{3}{4}-4)y+7-4\times \frac{3}{4}=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x+(\frac{3}{2}-4)y+7-3=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x+\frac{3-8}{2}y+4=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x-\frac{5}{2}y+4=0\)
\(\therefore 2(x^2+y^2)-8x-5y+8=0\) ➜Note উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

শর্তমতে,
বৃত্তটি \((0, 0)\), \((1, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
খলিফার নিয়মানুসারে,
\((0, 0)\), \((1, 3)\) বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-0)(x-1)+(y-0)(y-3)+k\{(x-0)(0-3)\)\(-(y-0)(0-1)\}=0\) ➜Note দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \((x_{1}, y_{1})\) এবং \((x_{2}, y_{2})\) দিয়ে গমনকারী বৃত্তের সমীকরণ, \((x-x_{1})(x-x_{2})+(y-y_{1})(y-y_{2})\)\(+k\{(x-x_{1})(y_{1}-y_{2})-(y-y_{1})(x_{1}-x_{2})\}=0\) ( খলিফার নিয়ম। )
\(\Rightarrow x(x-1)+y(y-3)+k\{-3x+y\}=0\)
\(\Rightarrow x^2-x+y^2-3y-3kx+ky=0\)
\(\therefore x^2+y^2-(1+3k)x+(k-3)y=0 ......(1)\)
এখানে,
\(2g=-(1+3k), 2f=k-3, c=0\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{(1+3k)}{2}, f=\frac{k-3}{2}, c=0\)
\(\because (1)\) নং বৃত্ত \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে ।
\(\therefore g^2=c\)
\(\Rightarrow (-\frac{(1+3k)}{2})^2=0\)
\(\Rightarrow (\frac{(1+3k)}{2})^2=0\)
\(\Rightarrow \frac{(1+3k)}{2}=\sqrt{0}\)
\(\Rightarrow 1+3k=0\times 2\)
\(\Rightarrow 1+3k=0\)
\(\Rightarrow 3k=-1\)
\(\therefore k=-\frac{1}{3}\)
\(k\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x^2+y^2-(1+3\times -\frac{1}{3})x+(-\frac{1}{3}-3)y=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-0.x+\frac{(-1-9)}{3}y=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+\frac{-10}{3}y=0\)
\(\Rightarrow 3(x^2+y^2)-10y=0\) ➜Note উভয় পার্শে \(3\) গুণ করে।
\(\therefore 3(x^2+y^2)=10y\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

আমরা জানি,
কেন্দ্র \((h, k)\)
ব্যাসার্ধ \(r\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\) ➜Note কেন্দ্র \(C(h, k)\), ব্যাসার্ধ \(r\), বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)
অনুরূপভাবে
কেন্দ্র \(C(3, 4)\)
ব্যাসার্ধ \(r\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-3)^2+(y-4)^2=r^2 .......(1)\) ➜Note কেন্দ্র \(C(h, k)\), ব্যাসার্ধ \(r\), বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)
আবার,
দেওয়া আছে,
\(x^{2}+y^{2}=9\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}=3^2 ........(2)\)
\((2)\) এর কেন্দ্র \(O(0, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(3\)
\((1)\) ও \((2)\) নং বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ করবে যদি,
\(CO=r\pm 3\) হয়। ➜Note \(x^{2}+y^{2}+2g_{1}x+2f_{1}y+c_{1}=0 ....(1)\) বৃত্তের, কেন্দ্রঃ \(C_{1}\) ব্যাসার্ধঃ \(r_{1}\) \(x^{2}+y^{2}+2g_{2}x+2f_{2}y+c_{2}=0 ....(2)\) বৃত্তের, কেন্দ্রঃ \(C_{2}\) ব্যাসার্ধঃ \(r_{2}\); \((1)\) ও \((2)\) বৃত্তদ্বয় পরস্পরকে স্পর্শ করবে যদি, \(C_{1}C_{2}=r_{1}\pm r_{2}\) হয়।
\(\Rightarrow \sqrt{(3-0)^2+(4-0)^2}=r\pm 3\)
\(\Rightarrow \sqrt{9+16}=r\pm 3\)
\(\Rightarrow \sqrt{25}=r\pm 3\)
\(\Rightarrow 5=r\pm 3\)
\(\Rightarrow r\pm 3=5\)
\(\Rightarrow r+3=5\) ➜Note ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow r=5-3\)
\(\therefore r=2\)
আবার,
\(\Rightarrow r-3=5\) ➜Note ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow r=5+3\)
\(\therefore r=8\)
\(r\) এর মান \((1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
যখন,
\(r=2\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-3)^2+(y-4)^2=2^2 \)
\(\Rightarrow x^2-2.x.3+3^2+y^2-2.y.4+4^2=4 \)
\(\Rightarrow x^2-6x+9+y^2-8y+16-4=0 \)
\(\therefore x^2+y^2-6x-8y+21=0 \)
যখন,
\(r=8\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-3)^2+(y-4)^2=8^2 \)
\(\Rightarrow x^2-2.x.3+3^2+y^2-2.y.4+4^2=64 \)
\(\Rightarrow x^2-6x+9+y^2-8y+16-64=0 \)
\(\therefore x^2+y^2-6x-8y-39=0 \)
\(\therefore \) নির্ণেয় বৃত্ত দ্বয়ের সমীকরণ, \(x^{2}+y^{2}-6x-8y+21=0 \); \(x^{2}+y^{2}-6x-8y-39=0 \)।

দেওয়া আছে,
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য \(=4\sqrt{2}\)
\(\therefore \) বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য \(=4\sqrt{2}\sqrt{2}\) ➜Note \(\because \) বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য \(=a\sqrt{2}\)
\(=4(\sqrt{2})^2\)
\(=4\times 2\)
\(=8\)
তাহলে বর্গের কর্ণের প্রান্ত বিন্দুদ্বয় হবে,
\(O(0, 0)\) এবং \(A(\pm 8, 0)\)।
\(OA\)কে ব্যাস ধরে বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-0)(x\pm 8)+(y-0)(y-0)=0\)
\(\Rightarrow x(x\pm 8)+y^2=0\)
\(\Rightarrow x^2\pm 8x+y^2=0\)
\(\therefore x^2+y^2\pm 8x=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

ধরি,
\(y-4=0 ........(1)\)
\(y-10=0 ........(2)\)
এবং \(x=0........(3)\)
\((1)\) ও \((2)\) সমান্তরাল রেখাদ্বয় কে বৃত্তটি স্পর্শ করে,
\(\therefore \) বৃত্তটির ব্যাস \(=\frac{|10-4|}{\sqrt{0^2+1^2}}\)
\(=\frac{6}{\sqrt{1}}\)
\(=6\)
\(\therefore \) বৃত্তটির ব্যাসার্ধ \(=\frac{6}{2}\)
\(=3\)
আবার,
বৃত্তটি \((3)\) নং সরলরেখা তথা \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করে,
\(\therefore \) কেন্দ্রের \(x\) স্থানাঙ্ক ব্যাসার্ধের সমান হবে।
\(\therefore \) কেন্দ্র \(C(\pm 3, k)\)
শর্তমতে,
কেন্দ্র \(C(\pm 3, k)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হবে।
\(\therefore \frac{|k-4|}{\sqrt{0^2+1^2}}=3\)
\(\Rightarrow \frac{|k-4|}{\sqrt{1}}=3\)
\(\Rightarrow |k-4|=3\)
\(\Rightarrow k-4=\pm 3\)
\(\Rightarrow k-4=3, k-4\ne -3\)
\(\Rightarrow k=3+4\)
\(\therefore k=7\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \(C(\pm 3, 7)\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\((x\pm 3)^2+(y-7)^2=3^2\)
\(\Rightarrow x^2\pm 2.x.3+3^2+y^2-2.y.7+7^2=9\)
\(\Rightarrow x^2\pm 6x+9+y^2-14y+49-9=0\)
\(\therefore x^2+y^2\pm 6x-14y+49=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

ধরি,
বৃত্তটির সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 .........(1)\)
যার কেন্দ্র \(C(-g, -f)\), \(x+2=0\) রেখার উপর অবস্থিত।
\(\therefore -g+2=0\)
\(\Rightarrow -g=-2\)
\(\therefore g=2\)
আবার,
\((1)\) নং বৃত্ত \((-7, 1)\) ও \((-1, 3)\) বিন্দুগামী ।
\(\therefore(-7)^2+1^2+2g.(-7)+2f.1+c=0\)
\(\Rightarrow 49+1-14g+2f+c=0\)
\(\Rightarrow 50-14.2+2f+c=0\) ➜Note \(\because g=2\)
\(\Rightarrow 50-28+2f+c=0\)
\(\Rightarrow 22+2f+c=0\)
\(\therefore 2f+c+22=0 ......(2)\)
আবার,
\(\therefore(-1)^2+3^2+2g.(-1)+2f.3+c=0\)
\(\Rightarrow 1+9-2g+6f+c=0\)
\(\Rightarrow 10-2.2+6f+c=0\) ➜Note \(\because g=2\)
\(\Rightarrow 10-4+6f+c=0\)
\(\Rightarrow 6+6f+c=0\)
\(\therefore 6f+c+6=0 ......(3)\)
এখন,
\((3)-(2)\) এর সাহায্যে,
\(6f+c+6-2f-c-22=0\)
\(\Rightarrow 4f-16=0\)
\(\Rightarrow 4f=16\)
\(\Rightarrow f=\frac{16}{4}\)
\(\therefore f=4\)
\((3)\) হতে,
\(6.4+c+6=0\)
\(\Rightarrow 24+c+6=0\)
\(\Rightarrow c+30=0\)
\(\therefore c=-30\)
\(g, f, c\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x^2+y^2+2g.2+2f.4+(-30)=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+4g+8f-30=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

ধরি,
\(A(-4, 3)\) ও \(B(12, -1)\)
\(AB\) কে ব্যাস ধরে বৃত্তের সমীকরণ,
\((x+4)(x-12)+(y-3)(y+1)=0\) ➜Note\(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB\) কে ব্যাস ধরে বৃত্তের সমীকরণ, \((x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0\)
\(\Rightarrow x^2+4x-12x-48+y^2-3y+y-3=0\)
\(\therefore x^2+y^2-8x-2y-51=0 .........(1)\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
আবার,
\((1)\) হতে,
\(2g=-8, 2f=-2, c=-51\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{8}{2}, f=-\frac{2}{2}, c=-51\)
\(\Rightarrow g=-4, f=-1, c=-51\)
বৃত্তটি দ্বারা \(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশের পরিমাণ \(=2\sqrt{f^2-c}\)
\(=2\sqrt{(-1)^2-(-51)}\)
\(=2\sqrt{1+51}\)
\(=2\sqrt{52}\)
\(=2\sqrt{4\times 13}\)
\(=2\times 2\sqrt{13}\)
\(=4\sqrt{13}\)

ধরি,
\(O(0, 0)\), \(A(p, q)\)
খলিফার নিয়মানুসারে,
\(O(0, 0)\) ও \(A(p, q)\) বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-0)(x-p)+(y-0)(y-q)+k\{(x-0)(0-q)\)\(-(y-0)(0-p)\}=0\) ➜Note দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \((x_{1}, y_{1})\) এবং \((x_{2}, y_{2})\) দিয়ে গমনকারী বৃত্তের সমীকরণ, \((x-x_{1})(x-x_{2})+(y-y_{1})(y-y_{2})\)\(+k\{(x-x_{1})(y_{1}-y_{2})-(y-y_{1})(x_{1}-x_{2})\}=0\) ( খলিফার নিয়ম। )
\(\Rightarrow x(x-p)+y(y-q)+k\{-qx+py\}=0\)
\(\Rightarrow x^2-px+y^2-qy-qkx+pky=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-(p+qk)x+(pk-q)y=0 ........(1)\)
এখানে,
\(2g=-(p+qk), 2f=(pk-q), c=0\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{p+qk}{2}, f=\frac{pk-q}{2}, c=0\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\therefore C(\frac{p+qk}{2}, -\frac{pk-q}{2})\)
দেওয়া আছে
\((1)\) নং বৃত্তের কেন্দ্র \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত ।
\(\therefore \frac{(p+qk)}{2}=0\)
\(\Rightarrow p+qk=0\times 2\)
\(\Rightarrow p+qk=0\)
\(\Rightarrow qk=-p\)
\(\therefore k=-\frac{p}{q}\)
\(k\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x^2+y^2-(p+q\times -\frac{p}{q})x+(p\times -\frac{p}{q}-q)y=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-(p-p)x+(\frac{-p^2-q^2}{q})y=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-0.x-\frac{p^2+q^2}{q}y=0\)
\(\therefore q(x^2+y^2)-(p^2+q^2)y=0\) ➜Note উভয় পার্শে \(q\) গুণ করে।
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

ধরি,
\(x^{2}+y^{2}+2x-8y+8=0 .........(1)\)
\(x^{2}+y^{2}+10x-2y+22=0 ........(2)\)
\((1)\) এর ক্ষেত্রে,
\(2g=2, 2f=-8, c=8\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=\frac{2}{2}, f=-\frac{8}{2}, c=8\)
\(\Rightarrow g=1, f=-4, c=8\)
কেন্দ্র \(C_1(-1, 4)\)
ব্যাসার্ধ \(r_1=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{1^2+(-4)^2-8}\)
\(=\sqrt{1+16-8}\)
\(=\sqrt{1+8}\)
\(=\sqrt{9}\)
\(=3\)
\((2)\) এর ক্ষেত্রে,
\(2g=10, 2f=-2, c=8\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=\frac{10}{2}, f=-\frac{2}{2}, c=22\)
\(\Rightarrow g=5, f=-1, c=22\)
কেন্দ্র \(C_2(-5, 1)\)
ব্যাসার্ধ \(r_2=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{5^2+(-1)^2-22}\)
\(=\sqrt{25+1-22}\)
\(=\sqrt{26-22}\)
\(=\sqrt{4}\)
\(=2\)
এখন,
\(C_1C_2=\sqrt{(-1+5)^2+(4-1)^2}\)
\(=\sqrt{4^2+3^2}\)
\(=\sqrt{16+9}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)
\(=3+2\)
\(=r_1+r_2\)
\(\therefore C_1C_2=r_1+r_2\)
\(\therefore \) বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে।
প্রমাণিত।

ধরি,
\(A(1, 1)\) এবং \(B(2, 2)\)
খলিফার নিয়মানুসারে,
\(A(1, 1)\) এবং \(B(2, 2)\) বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-1)(x-2)+(y-1)(y-2)+k\{(x-1)(1-2)\)\(-(y-1)(1-2)\}=0\) ➜Note দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \((x_{1}, y_{1})\) এবং \((x_{2}, y_{2})\) দিয়ে গমনকারী বৃত্তের সমীকরণ, \((x-x_{1})(x-x_{2})+(y-y_{1})(y-y_{2})\)\(+k\{(x-x_{1})(y_{1}-y_{2})-(y-y_{1})(x_{1}-x_{2})\}=0\) ( খলিফার নিয়ম। )
\(\Rightarrow x^2-x-2x+2+y^2-y-2y+2+k\{-(x-1)\)\(+(y-1)\}=0\)
\(\Rightarrow x^2-3x+2+y^2-3y+2+k\{-x+1+y-1\}=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-3x-3y+4+k\{-x+y\}=0\)
\(\therefore x^2+y^2-3x-3y+4-kx+ky=0 \)
\(\therefore x^2+y^2-(3+k)x-(3-k)y+4=0 ........(1)\)
এখানে,
\(2g=-(3+k), 2f=-(3-k), c=4\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{(3+k)}{2}, f=-\frac{(3-k)}{2}, c=4\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{\left(-\frac{(3+k)}{2}\right)^2+\left(-\frac{(3-k)}{2}\right)^2-4}\)
\(=\sqrt{\frac{(3+k)^2}{4}+\frac{(3-k)^2}{4}-4}\)
\(=\sqrt{\frac{(3+k)^2+(3-k)^2-16}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{2.3^2+2.k^2-16}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{2.9+2k^2-16}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{18+2k^2-16}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{2k^2+2}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{2(k^2+1)}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{k^2+1}{2}}\)
শর্তমতে,
\(\sqrt{\frac{k^2+1}{2}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{k^2+1}{2}=1\) ➜Note উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow k^2+1=2\)
\(\Rightarrow k^2=2-1\)
\(\Rightarrow k^2=1\)
\(\therefore k=\pm 1\)
\(k\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
যখন,
\(k=1\),
\(x^2+y^2-(3+1)x-(3-1)y+4=0\)
\(\therefore x^2+y^2-4x-2y+4=0\)
যখন,
\(k=-1\),
\(x^2+y^2-(3-1)x-(3+1)y+4=0\)
\(\therefore x^2+y^2-2x-4y+4=0\)
নির্ণেয় বৃত্ত দ্বয়ের সমীকরণ, \(x^{2}+y^{2}-4x-2y+4=0\);\(x^{2}+y^{2}-2x-4y+4=0\)।

ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 .........(1)\)
কেন্দ্র \((-g, -f)\) যা \(x+y=3\) রেখার উপর অবস্থিত।
\(-g-f=3\)
\(\Rightarrow g+f=-3\) ➜Note উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\(\Rightarrow g+f+3=0 .........(2)\)
\((1)\) নং বৃত্ত \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে ।
\(\Rightarrow g^2=c ......(3)\)
আবার,
\((1)\) নং বৃত্ত \((1, 1)\) বিন্দু দিয়ে যায় ।
\(\therefore 1^2+1^2+2g.1+2f.1+c=0\)
\(\Rightarrow 1+1+2g+2f+g^2=0\) ➜Note \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow g^2+2g+2f+2=0 .....(4)\)
\((4)-(2)\times 2\) এর সাহায্যে।
\(g^2+2g+2f+2-2g-2f-6=0\)
\(\Rightarrow g^2-4=0\)
\(\Rightarrow g^2=4\)
\(\therefore g=\pm 2\)
\((2)\) হতে,
\(g=2\Rightarrow f=-5\)
\(g=-2\Rightarrow f=-1\)
\((3)\) হতে,
\(g=\pm 2\Rightarrow c=4\)
এখন,
\(g, f, c\) এর মান \((1)\) এ বিসিয়ে,
যখন,
\(g=2, f=-5, c=4\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2.2.x+2.(-5).y+4=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+4x-10y+4=0\)
যখন,
\(g=-2, f=-1, c=4\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2.(-2).x+2.(-1).y+4=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x-2y+4=0\)
নির্ণেয় বৃত্ত দ্বয়ের সমীকরণ, \(x^{2}+y^{2}-4x-2y+4=0\); \(x^2+y^2+4x-10y+4=0\)।

ধরি,
\(x^{2}+y^{2}+6x+2y+6=0 ......(1)\)
\(x^{2}+y^{2}+8x+y+10=0 ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ,
\(x^{2}+y^{2}+8x+y+10-x^{2}-y^{2}-6x-2y-6=0\) ➜Note \(S_1\equiv x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0\) ও \(S_2\equiv x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0\) দুইটি বৃত্ত। বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ \(S_{1} -S_{2}=0\).
\(\therefore 2x-y+4=0 ........(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^{2}+y^{2}+6x+2y+6+k(2x-y+4)=0 ......(4)\) ➜Note \(ax+by+c_{1}=0\) রেখা ও \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ, \(x^2+y^2+2gx+2fy+c+k(ax+by+c_{1})=0\); \(k\) শুন্য ব্যতীত যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}+6x+2y+6+2kx-ky+4k=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}+(6+2k)x+(2-k)y+6+4k=0\)
এখানে,
\(2g=(6+2k), 2f=(2-k), c=6+4k\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=\frac{(6+2k)}{2}, f=\frac{(2-k)}{2}, c=6+4k\)
\(\Rightarrow g=\frac{2(3+k)}{2}, f=\frac{(2-k)}{2}, c=6+4k\)
\(\therefore g=3+k, f=\frac{(2-k)}{2}, c=6+4k\)
কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\((-(3+k), -\frac{(2-k)}{2})\)
শর্তমতে,
উক্ত কেন্দ্র, সাধারণ জ্যা \((3)\) এর উপর অবস্থিত।
\(2\{-(3+k)\}-\left\{-\frac{(2-k)}{2}\right\}+4=0\)
\(\Rightarrow -2(3+k)+\frac{(2-k)}{2}+4=0\)
\(\Rightarrow -4(3+k)+2-k+8=0\) ➜Note উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow -12-4k+2-k+8=0\)
\(\Rightarrow -2-5k=0\)
\(\Rightarrow -5k=2\)
\(\Rightarrow k=\frac{2}{-5}\)
\(\therefore k=-\frac{2}{5}\)
\(k\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে,
\(x^{2}+y^{2}+6x+2y+6-\frac{2}{5}(2x-y+4)=0\)
\(\Rightarrow 5(x^{2}+y^{2}+6x+2y+6)-2(2x-y+4)=0\) ➜Note উভয় পার্শে \(5\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 5(x^{2}+y^{2})+30x+10y+30-4x+2y-8=0\)
\(\therefore 5(x^{2}+y^{2})+26x+12y+22=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

ধরি,
\(x^{2}+y^{2}=3^2 .........(1)\)
\(x^{2}+y^{2}+2x+4y+1=0 .....(2)\)
\((1)\) নং বৃত্তের,
কেন্দ্র \(O(0, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(OP=3\)
এখন,
\((1)\) ও \((2)\) বৃত্তের সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ,
\((2)-(1)\) এর সাহায্যে,
\(x^{2}+y^{2}+2x+4y+1-x^{2}-y^{2}=0-3^2\) ➜Note \(S_1\equiv x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0\) ও \(S_2\equiv x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0\) দুইটি বৃত্ত। বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ \(S_{1} -S_{2}=0\).
\(\Rightarrow 2x+4y+1=0-9\)
\(\Rightarrow 2x+4y+1+9=0\)
\(\Rightarrow 2x+4y+10=0\)
\(\Rightarrow 2(x+2y+5)=0\)
\(\Rightarrow x+2y+5=\frac{0}{2}\)
\(\therefore x+2y+5=0 ......(3)\)
ইহাই সাধারণ জ্যে-এর সমীকরণ।
আবার,
কেন্দ্র \(O(0, 0)\) হতে সাধারণ জ্যে-এর লম্ব দূরত্ব \(OR=\frac{|0+2.0+5|}{\sqrt{1^2+2^2}}\) ➜Note \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|5|}{\sqrt{1+4}}\)
\(=\frac{5}{\sqrt{5}}\)
\(=\frac{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}{\sqrt{5}}\)
\(=\sqrt{5}\)
\(\triangle OPR\) সমকোণী।
\(\therefore OR^2+PR^2=OP^2\)
\(\Rightarrow PR^2=OP^2-OR^2\)
\(\therefore PR=\sqrt{OP^2-OR^2}\)
\(=\sqrt{3^2-(\sqrt{5})^2}\)
\(=\sqrt{9-5}\)
\(=\sqrt{4}\)
\(=2\)
এখন,
সাধারণ জ্যা \(PQ=2\times PR\)
\(=2\times 2\)
\(=4\)

শর্তমতে,
বৃত্তটি \(A(2, 0)\) এবং \(B(-2, 0)\) দিয়ে অতিক্রম করে।
খলিফার নিয়মানুসারে,
\(A(2, 0)\) এবং \(B(-2, 0)\) দিয়ে অতিক্রমকারী বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-2)(x+2)+(y-0)(y-0)+k\{(x-2)(0-0)\)\(-(y-0)(2+2)\}=0\) ➜Note দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \((x_{1}, y_{1})\) এবং \((x_{2}, y_{2})\) দিয়ে গমনকারী বৃত্তের সমীকরণ, \((x-x_{1})(x-x_{2})+(y-y_{1})(y-y_{2})\)\(+k\{(x-x_{1})(y_{1}-y_{2})-(y-y_{1})(x_{1}-x_{2})\}=0\) ( খলিফার নিয়ম। )
\(\Rightarrow x^2-2^2+y^2+k\{(x-2).0-(y-0).4\}=0\)
\(\Rightarrow x^2-4+y^2+k\{0-4y\}=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4-4ky=0\)
\(\therefore x^2+y^2-4ky-4=0 ......(1)\)
এখানে,
\(2g=0, 2f=-4k, c=-4\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=\frac{0}{2}, f=-\frac{4k}{2}, c=-4\)
\(\therefore g=0, f=-2k, c=-4\)
ব্যাসার্ধ \( =\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\( =\sqrt{0^2+(-2k)^2-(-4)}\)
\( =\sqrt{0+4k^2+4}\)
\( =\sqrt{4k^2+4}\)
শর্তমতে,
\(\sqrt{4k^2+4}=5\)
\(\Rightarrow 4k^2+4=25\)
\(\Rightarrow 4k^2=25-4\)
\(\Rightarrow k^2=\frac{21}{4}\)
\(\therefore k=\pm \frac{\sqrt{21}}{2}\)
\(k\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x^2+y^2-4.(\pm \frac{\sqrt{21}}{2}).y-4=0\)
\(\therefore x^2+y^2\pm 2\sqrt{21}y-4=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

ধরি,
\(f(x,y)\equiv x^{2}+y^{2}+4x+6y-12=0 ....(1)\)
এখানে,
\(2g=4, 2f=6, c=-12\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=\frac{4}{2}, f=\frac{6}{2}, c=-12\)
\(\Rightarrow g=2, f=3, c=-12\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(-2, -3)\)
\(A(1, 1)\) বিন্দুটি \((1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(f(x,y)= 1+1+4+6-12\)
\(\Rightarrow f(x,y)=12-12\)
\(\therefore f(x,y)=0\)
\(\because f(x,y)=0 \), \(\therefore A(1, 1)\) বিন্দুটি \((1)\) নং বৃত্তের উপর অবস্থিত।
আবার,
\(A(1, 1)\) বিন্দুগামী ব্যাসটির অপর প্রান্তবিন্দু \(B(x, y)\) হলে,
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু হবে কেন্দ্র \(C(-2, -3)\)
আবার,
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(C(\frac{1+x}{2}, \frac{1+y}{2})\) ➜Note \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\therefore C(\frac{1+x}{2}, \frac{1+y}{2})\Rightarrow C(-2, -3)\)
\(\Rightarrow \frac{1+x}{2}=-2, \frac{1+y}{2}=-3\)
\(\Rightarrow 1+x=-4, 1+y=-6\)
\(\Rightarrow x=-4-1, y=-6-1\)
\(\Rightarrow x=-5, y=-7\)
\(\therefore B(-5, -7)\)
\(\therefore \) ব্যাসের অপর প্রান্তবিন্দু \(B(-5, -7)\).

ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 .........(1)\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\) যা \(2x-y=6\) রেখার উপর অবস্থিত।
\(\therefore -2g+f=6\)
\(\Rightarrow f=6+2g .....(2)\)
\((1)\) নং বৃত্ত অক্ষ দ্বয় হতে যথাক্রমে \(5\) এবং \(2\) একক দৈর্ঘ্যের সমান অংশ কর্তন করে।
\(\therefore 2\sqrt{g^2-c}=5\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্ত দ্বারা \(X\) অক্ষের খন্ডিতাংশ, \(=2\sqrt{g^2-c}\)
\(\Rightarrow \sqrt{g^2-c}=\frac{5}{2}\)
\(\Rightarrow g^2-c=\frac{25}{4} ......(3)\) ➜Note উভয় পার্শে বর্গ করে।
আবার,
\(2\sqrt{f^2-c}=2\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্ত দ্বারা \(Y\) অক্ষের খন্ডিতাংশ, \(=2\sqrt{f^2-c}\)
\(\Rightarrow \sqrt{f^2-c}=\frac{2}{2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{f^2-c}=1\)
\(\Rightarrow f^2-c=1 ......(4)\) ➜Note উভয় পার্শে বর্গ করে।
\((3)-(4)\) এর সাহায্যে,
\(g^2-c-f^2+c=\frac{25}{4}-1\)
\(\Rightarrow g^2-f^2=\frac{25-4}{4}\)
\(\Rightarrow g^2-f^2=\frac{21}{4}\)
\(\Rightarrow g^2-(6+2g)^2=\frac{21}{4}\) ➜Note \((2)\) শাহায্যে।
\(\Rightarrow g^2-6^2-2.6.2g-(2g)^2=\frac{21}{4}\)
\(\Rightarrow g^2-36-24g-4g^2=\frac{21}{4}\)
\(\Rightarrow -3g^2-24g-36=\frac{21}{4}\)
\(\Rightarrow 4g^2+32g+48=-7\) ➜Note উভয় পার্শে \(-\frac{4}{3}\) গুন করে ।
\(\Rightarrow 4g^2+32g+48+7=0\)
\(\Rightarrow 4g^2+32g+55=0\)
\(\Rightarrow g=\frac{-32\pm \sqrt{32^2-4.4.55}}{2.4}\)
\(\Rightarrow g=\frac{-32\pm \sqrt{1024-880}}{8}\)
\(\Rightarrow g=\frac{-32\pm \sqrt{144}}{8}\)
\(\Rightarrow g=\frac{-32\pm 12}{8}\)
\(\Rightarrow g=\frac{-32+12}{8}, \frac{-32-12}{8}\)
\(\Rightarrow g=\frac{-20}{8}, \frac{-44}{8}\)
\(\therefore g=-\frac{5}{2}, -\frac{11}{2}\)
\((2)\) ও \((4)\) হতে,
\(g=-\frac{5}{2}\Rightarrow f=1, c=0; g=-\frac{11}{2}\Rightarrow f=-5, c=24\)
\(g, f, c\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
যখন,
\(g=-\frac{5}{2}, f=1, c=0\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2.(-\frac{5}{2}).x+2.1.y+0=0\)
\(\therefore x^2+y^2-5x+2y=0\)
যখন,
\(g=-\frac{11}{2}, f=-5, c=24\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2.(-\frac{11}{2}).x+2.(-5).y+24=0\)
\(\therefore x^2+y^2-11x-10y+24=0\)
নির্ণেয় বৃত্তদ্বয়ের সমীকরণ,
\(x^{2}+y^{2}-5x+2y=0\);\(x^{2}+y^{2}-11x-10y+24=0\)।

ধরি,
\(A(2, 5)\)
\(x^{2}+y^{2}-8x+6y+21=0 ..........(1)\)
এখানে,
\(2g=-8, 2f=6, c=21\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{8}{2}, f=\frac{6}{2}, c=21\)
\(\Rightarrow g=-4, f=3, c=21\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(4, -3)\)
বৃত্তের ব্যাস এর কেন্দ্র \(C(4, -3)\) বিন্দুগামী,
\(\therefore AC\) তথা ব্যাসের সমীকরণ,
\(\frac{x-2}{2-4}=\frac{y-5}{5+3}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{-2}=\frac{y-5}{8}\)
\(\Rightarrow 8(x-2)=-2(y-5)\)
\(\Rightarrow 4(x-2)=-(y-5)\) ➜Note উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow 4x-8=-y+5\)
\(\Rightarrow 4x-8+y-5=0\)
\(\therefore 4x+y-13=0\)
ইহাই নির্ণেয় ব্যাসের সমীকরণ।

ধরি,
\(x^{2}+y^{2}-4y=0 ......(1)\)
\(y-2=0 .......(2)\)
\(C(0, 3)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^{2}+y^{2}-4y+k(y-2)=0 ......(3)\) ➜Note \(ax+by+c_{1}=0\) রেখা ও \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ, \(x^2+y^2+2gx+2fy+c+k(ax+by+c_{1})=0\); \(k\) শুন্য ব্যতীত যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-4y+ky-2k=0 \)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-(4-k)y-2k=0 \) এখানে,

\(2g=0, 2f=-(4-k), c=-2k\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=\frac{0}{2}, f=-\frac{(4-k)}{2}, c=-2k\)
\(\Rightarrow g=0, f=-\frac{(4-k)}{2}, c=-2k\)
কেন্দ্র
\((0, \frac{(4-k)}{2})\)
কিন্তু কেন্দ্র দেওয়া আছে, \(C(0, 3)\)
\(\therefore \frac{(4-k)}{2}=3\)
\(\Rightarrow 4-k=6\)
\(\Rightarrow -k=6-4\)
\(\Rightarrow -k=2\)
\(\therefore k=-2\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(x^{2}+y^{2}-4y-2(y-2)=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-4y-2y+4=0\)
\(\therefore x^{2}+y^{2}-6y+4=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

ধরি,
\(x^{2}+y^{2}+2ax+c=0 ......(1)\)
\(x^{2}+y^{2}+2by+c=0 .......(2)\)
\((1)\) এর ক্ষেত্রে,
\(2g=2a, 2f=0, c_1=c\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=\frac{2a}{2}, f=\frac{0}{2}, c_1=c\)
\(\Rightarrow g=a, f=0, c_1=c\)
কেন্দ্র \(C_1(-a, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(r_1=\sqrt{g^2+f^2-c_1}\)
\(=\sqrt{a^2+0^2-c}\)
\(=\sqrt{a^2-c}\)
\((2)\) এর ক্ষেত্রে,
\(2g=0, 2f=2b, c_2=c\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=\frac{0}{2}, f=\frac{2b}{2}, c_2=c\)
\(\Rightarrow g=0, f=b, c_2=c\)
কেন্দ্র \(C_1(0, -b)\)
ব্যাসার্ধ \(r_2=\sqrt{0^2+b^2-c_2}\)
\(=\sqrt{0^2+b^2-c}\)
\(=\sqrt{b^2-c}\)
\(\because \) বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে স্পর্শ করে ।
\(\therefore C_1C_2=r_1+r_2\) ➜Note \(x^{2}+y^{2}+2g_{1}x+2f_{1}y+c_{1}=0 ....(1)\) বৃত্তের, কেন্দ্রঃ \(C_{1}\), ব্যাসার্ধঃ \(r_{1}\), \(x^{2}+y^{2}+2g_{2}x+2f_{2}y+c_{2}=0 ....(2)\) বৃত্তের, কেন্দ্রঃ \(C_{2}\), ব্যাসার্ধঃ \(r_{2}\); \((1)\) ও \((2)\) বৃত্তদ্বয় পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করবে যদি, \(C_{1}C_{2}=r_{1}+r_{2}\) হয়।
\(\therefore \sqrt{(-a-0)^2+(0+b)^2}=\sqrt{a^2-c}+\sqrt{b^2-c}\)
\(\Rightarrow \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{a^2-c}+\sqrt{b^2-c}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2=(\sqrt{a^2-c}+\sqrt{b^2-c})^2\) ➜Note উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow a^2+b^2=(\sqrt{a^2-c})^2+(\sqrt{b^2-c})^2+2\sqrt{a^2-c}\sqrt{b^2-c}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2=a^2-c+b^2-c+2\sqrt{a^2-c}\sqrt{b^2-c}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2-a^2+c-b^2+c=2\sqrt{a^2-c}\sqrt{b^2-c}\)
\(\Rightarrow 2c=2\sqrt{a^2-c}\sqrt{b^2-c}\)
\(\Rightarrow c=\sqrt{a^2-c}\sqrt{b^2-c}\)
\(\Rightarrow c^2=(a^2-c)(b^2-c)\) ➜Note উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow c^2=a^2b^2-cb^2-ca^2+c^2\)
\(\Rightarrow cb^2+ca^2=a^2b^2+c^2-c^2\)
\(\Rightarrow cb^2+ca^2=a^2b^2\)
\(\Rightarrow \frac{cb^2}{a^2b^2c}+\frac{ca^2}{a^2b^2c}=\frac{a^2b^2}{a^2b^2c}\) ➜Note উভয় পার্শে \(a^2b^2c\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{c}\)
দেখানো হলো।

শর্তমতে,
বৃত্তের কেন্দ্র \(C(7, 0)\)
কেন্দ্রের পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি।
এখানে,
\(x=7, y=0\)
আমরা জানি,
\(r=\sqrt{x^2+y^2}, \theta=\tan^-1\left( \frac{y}{x}\right)\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{7^2+0^2}, \theta=\tan^-1\left( \frac{0}{7}\right)\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{7^2}, \theta=\tan^-1 0\)
\(\Rightarrow r=7, \theta=0^o\)
কেন্দ্রের পোলার স্থানাঙ্ক \((7, 0^o)\)
এখন,
কেন্দ্র \((r_1, \theta_1)\)
ব্যাসার্ধ \(a\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\(r^2-2rr_1\cos(\theta-\theta_1)+r^2_1=a^2\)
এখানে,
\((r_1, \theta_1)\Rightarrow (7, 0^o)\)
\(\Rightarrow r_1=7, \theta_1=0^o\)
ব্যাসার্ধ \(a\Rightarrow 4 \)
\(\therefore \) বৃত্তের সমীকরণ,
\(r^2-2r.7\cos(\theta-0^o)+7^2=4^2\)
\(\Rightarrow r^2-14r\cos\theta+49=16\)
\(\Rightarrow r^2-14r\cos\theta+49-16=0\)
\(\therefore r^2-14r\cos\theta+33=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

দেওয়া আছে,
কেন্দ্র \((3, 30^{o})\) এর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি,
এখানে,
\(r=3, \theta=30^o\)
আমরা জানি,
\(x=r\cos\theta, y=r\sin\theta\)
\(\Rightarrow x=3\cos30^o, y=3\sin30^o\)
\(\Rightarrow x=3\times \frac{\sqrt{3}}{2}, y=3\times \frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{3\sqrt{3}}{2}, y=\frac{3}{2}\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \((\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2})\)
\(\because \) বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে,
\(\therefore \) কেন্দ্রের \(y\) স্থানাঙ্ক ব্যাসার্ধের সমান হবে।
\(\therefore \) ব্যাসার্ধ \(a=\frac{3}{2}\)
এখন,
কেন্দ্র \((r_1, \theta_1)\)
ব্যাসার্ধ \(a\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\(r^2-2rr_1\cos(\theta-\theta_1)+r^2_1=a^2\)
এখানে,
\((r_1, \theta_1)\Rightarrow (3, 30^{o})\)
\(\Rightarrow r_1=3, \theta_1=30^o\)
ব্যাসার্ধ \(a\Rightarrow \frac{3}{2} \)
\(\therefore \) বৃত্তের সমীকরণ,
\(r^2-2r.3\cos(\theta-30^o)+3^2=\left(\frac{3}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow r^2-6r\cos(\theta-30^o)+9=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow 4r^2-24r\cos(\theta-30^o)+36=9\) ➜Note উভয় পার্শে \(\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 4r^2-24r\cos(\theta-30^o)+36-9=0\)
\(\therefore 4r^2-24r\cos(\theta-30^o)+27=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

আমরা জানি,
কেন্দ্র \((r_1, \theta_1)\)
ব্যাসার্ধ \(a\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\(r^2-2rr_1\cos(\theta-\theta_1)+r^2_1=a^2\)
এখানে,
\((r_1, \theta_1)\Rightarrow (4,\frac{\pi}{3})\)
\(\Rightarrow r_1=4, \theta_1=\frac{\pi}{3}\)
ব্যাসার্ধ \(a\Rightarrow 3 \)
\(\therefore \) বৃত্তের সমীকরণ,
\(r^2-2r.4\cos(\theta-\frac{\pi}{3})+4^2=3^2\)
\(\Rightarrow r^2-8r(\cos\theta\cos\frac{\pi}{3}+\sin\theta\sin\frac{\pi}{3})+16=9\)
\(\Rightarrow r^2-8r(\cos\theta\times \frac{1}{2}+\sin\theta\times \frac{\sqrt{3}}{2})+16-9=0\)
\(\Rightarrow r^2-8r\times \frac{1}{2}(\cos\theta+\sqrt{3}\sin\theta)+7=0\)
\(\therefore r^2-4r(\cos\theta+\sqrt{3}\sin\theta)+7=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

দেওয়া আছে,
\((1+5\cos\theta, -3+5\sin\theta)\Rightarrow (4, 1)\)
\(\Rightarrow 1+5\cos\theta=4, -3+5\sin\theta=1\)
\(\Rightarrow 5\cos\theta=4-1, 5\sin\theta=1+3\)
\(\Rightarrow 5\cos\theta=3, 5\sin\theta=4\)
\(\Rightarrow \cos\theta=\frac{3}{5}, \sin\theta=\frac{4}{5}\)
আমরা জানি,
অপর প্রান্তের বিন্দু নির্ধারণে \(\theta\) এর মান \(180^o\) বৃদ্ধি পায়।
\(\therefore \cos(180^o+\theta)=-\cos\theta, \sin(180^o+\theta)=-\sin\theta\)
\(\Rightarrow \cos(180^o+\theta)=-\frac{3}{5}, \sin(180^o+\theta)=-\frac{4}{5}\)
\(\therefore (4,1)\) বিন্দুগামী ব্যাসের অপর প্রান্তের স্থানাঙ্ক \((1+5\times -\frac{3}{5}, -3+5\times -\frac{4}{5})\)
\(\Rightarrow (1-3, -3-4)\)
\(\therefore (-2, -7)\)

দেওয়া আছে,
\(2x^{2}+2y^{2}-3x-4y+1=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-\frac{3}{2}x-2y+\frac{1}{2}=0 .......(1)\)
এবং
\(16x^{2}+16y^{2}-32x-1=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-2x-\frac{1}{16}=0 ......(2)\)
\((1)\) এর ক্ষেত্রে,
\(2g=-\frac{3}{2}, 2f=-2, c=\frac{1}{2}\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{3}{4}, f=-1, c=\frac{1}{2}\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \(C_1(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C_1(\frac{3}{4}, 1)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{\left(-\frac{3}{4}\right)^2+(-1)^2-\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{9}{16}+1-\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{9+16-8}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{17}{16}}\)
\(=\frac{\sqrt{17}}{4}\)
\((2)\) এর ক্ষেত্রে,
\(2g=-2, 2f=0, c=-\frac{1}{16}\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-1, f=0, c=-\frac{1}{16}\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \(C_2(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C_2(1, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-1)^2+0^2+\frac{1}{16}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{1}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{16+1}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{17}{16}}\)
\(=\frac{\sqrt{17}}{4}\)
উভয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ সমান।
আবার,
\(C_1C_2=\sqrt{\left(\frac{3}{4}-1\right)^2+(1-0)^2}\)
\(=\sqrt{\left(\frac{3-4}{4}\right)^2+1^2}\)
\(=\sqrt{\left(\frac{-1}{4}\right)^2+1}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{16}+1}\)
\(=\sqrt{\frac{1+16}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{17}{16}}\)
\(=\frac{\sqrt{17}}{4}\)
\(\therefore C_1C_2=\)উভয় বৃত্তের ব্যসার্ধ।
অর্থাৎ কেন্দ্র দ্বয়ের দূরত্ব, উভয় বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমাণ।
\(\therefore \) বৃত্ত দুইটির প্রতিটির কেন্দ্র, অপরটির পরিধির উপর অবস্থিত ।

দেওয়া আছে,
\(2x^{2}+2y^{2}-3x-4y+1=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-\frac{3}{2}x-2y+\frac{1}{2}=0 .......(1)\)
এবং
\(16x^{2}+16y^{2}-32x-1=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-2x-\frac{1}{16}=0 ......(2)\)
\((1)\) এর ক্ষেত্রে,
\(2g=-\frac{3}{2}, 2f=-2, c=\frac{1}{2}\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{3}{4}, f=-1, c=\frac{1}{2}\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \(C_1(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C_1(\frac{3}{4}, 1)\)
\((2)\) এর ক্ষেত্রে,
\(2g=-2, 2f=0, c=-\frac{1}{16}\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-1, f=0, c=\frac{1}{16}\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \(C_2(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C_2(1, 0)\)
\((1)\) এর কেন্দ্র \((2)\) এ বসিয়ে,
\((\frac{3}{4})^{2}+1^{2}-2\times \frac{3}{4}-\frac{1}{16}=0\)
\(\Rightarrow \frac{9}{16}+1-\frac{3}{2}-\frac{1}{16}=0\)
\(\Rightarrow \frac{9+16-24-1}{16}=0\)
\(\Rightarrow \frac{25-25}{16}=0\)
\(\Rightarrow \frac{0}{16}=0\)
\(\Rightarrow 0=0\)
অর্থাৎ \((1)\) নং বৃত্তের কেন্দ্র \((2)\) নং বৃত্তকে সিদ্ধ করে।
আবার,
\((2)\) এর কেন্দ্র \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x^{2}+y^{2}-\frac{3}{2}x-2y+\frac{1}{2}=0\)
\(\Rightarrow 1^{2}+0^{2}-\frac{3}{2}.1-2.0+\frac{1}{2}=0\)
\(\Rightarrow 1-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=0\)
\(\Rightarrow \frac{2-3+1}{2}=0\)
\(\Rightarrow \frac{3-3}{2}=0\)
\(\Rightarrow \frac{0}{2}=0\)
\(\Rightarrow 0=0\)
অর্থাৎ \((2)\) নং বৃত্তের কেন্দ্র \((1)\) নং বৃত্তকে সিদ্ধ করে।
\(\therefore \) বৃত্ত দুইটির প্রতিটির কেন্দ্র, অপরটির পরিধির উপর অবস্থিত ।

দেওয়া আছে,
\(x=a(\cos\theta-1), y=a(\sin\theta+1)\)
\(\Rightarrow x=a\cos\theta-a, y=a\sin\theta+a\)
\(\Rightarrow x+a=a\cos\theta, y-a=a\sin\theta\)
\(\Rightarrow \frac{x+a}{a}=\cos\theta, \frac{y-a}{a}=\sin\theta\)
\(\therefore \frac{x+a}{a}=\cos\theta ......(1)\)
\(\frac{y-a}{a}=\sin\theta ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) বর্গ করে যোগ করি,
\(\left(\frac{x+a}{a}\right)^2+\left(\frac{y-a}{a}\right)^2\)\(=\cos^2\theta+\sin^2\theta\)
\(\Rightarrow \frac{(x+a)^2}{a^2}+\frac{(y-a)^2}{a^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2+2ax+a^2+y^2-2ay+a^2}{a^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2+y^2+2ax-2ay+2a^2}{a^2}=1\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+2ax-2ay+2a^2=a^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+2ax-2ay+2a^2-a^2=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+2ax-2ay+a^2=0 .....(3)\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
\((3)\) হতে,
\(2g=2a, 2f=-2a, c=a^2\)
\(\Rightarrow g=a, f=-a, c=a^2\)
কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\Rightarrow (-a, a)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{a^2+(-a)^2-a^2}\)
\(=\sqrt{a^2+a^2-a^2}\)
\(=\sqrt{a^2}\)
\(=a\)

ধরি,
\(x^{2}+y^{2}-6x+6y-18=0 ........(1)\)
\(x^{2}+y^{2}+4x-18y+36=0 ........(2)\)
\((1)\) এর ক্ষেত্রে,
\(2g=-6, 2f=6, c=-18\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{6}{2}, f=\frac{6}{2}, c=-18\)
\(\Rightarrow g=-3, f=3, c=-18\)
কেন্দ্র \(C_1(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C_1(3, -3)\)
ব্যাসার্ধ \(r_1=\sqrt{(-3)^2+3^2-(-18)}\)
\(=\sqrt{9+9+18}\)
\(=\sqrt{36}\)
\(=6\)
\((2)\) এর ক্ষেত্রে,
\(2g=4, 2f=-18, c=36\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=\frac{4}{2}, f=-\frac{18}{2}, c=36\)
\(\Rightarrow g=2, f=-9, c=36\)
কেন্দ্র \(C_2(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C_2(-2, 9)\)\
ব্যাসার্ধ \(r_2=\sqrt{2^2+(-9)^2-36}\)
\(=\sqrt{4+81-36}\)
\(=\sqrt{85-36}\)
\(=\sqrt{49}\)
\(=7\)
এখন,
\(C_1C_2=\sqrt{(3+2)^2+(-3-9)^2}\)
\(=\sqrt{(5)^2+(-12)^2}\)
\(=\sqrt{25+144}\)
\(=\sqrt{169}\)
\(=13\)
\(=6+7\)
\(=r_1+r_2\)
\(\therefore C_1C_2=r_1+r_2\)
\(\therefore \) বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে।
এই ক্ষেত্রে স্পর্শবিন্দুটি \(C_1C_2\) কে \(r_1:r_2\Rightarrow 6:7\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore \) স্পর্শবিন্দুটির স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{6.(-2)+7.3}{6+7}, \frac{6.9+7.(-3)}{6+7}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{-12+21}{13}, \frac{54-21}{13}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{9}{13}, \frac{33}{13}\right)\)

ধরি,
\(x^{2}+y^{2}-4x+6y+8=0 .......(1)\)
\(x^{2}+y^{2}-10x-6y+14=0 ......(2)\)
\(A(3, -1)\)
\((1)\) নং বৃত্তে \(A(3, -1)\) বিন্দুটি বসিয়ে,
\(3^{2}+(-1)^{2}-4.3+6(-1)+8=0\)
\(\Rightarrow 9+1-12-6+8=0\)
\(\Rightarrow 18-18=0\)
\(\Rightarrow 0=0\)
\(\therefore A(3, -1)\) বিন্দুটি \((1)\) নং বৃত্তকে সিদ্ধ করে।
আবার,
\((2)\) নং বৃত্তে \(A(3, -1)\) বিন্দুটি বসিয়ে,
\(3^{2}+(-1)^{2}-10.3-6(-1)+14=0\)
\(\Rightarrow 9+1-30+6+14=0\)
\(\Rightarrow 30-30=0\)
\(\Rightarrow 0=0\)
\(\therefore A(3, -1)\) বিন্দুটি \((2)\) নং বৃত্তকে সিদ্ধ করে।
\(\therefore (1)\) ও \((2)\) বৃত্তদ্বয় \(A(3, -1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। অর্থাৎ বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে \((3, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে।

ধরি,
\(x^{2}+y^{2}-2x-2y+1=0 .......(1)\)
এখানে,
\(2g=-2, 2f=-2, c=1\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{2}{2}, f=-\frac{2}{2}, c=1\)
\(\Rightarrow g=-1, f=-1, c=1\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(1, 1)\)
এখন,
\(g^2=(-1)^2=1\)
\(f^2=(-1)^2=1\)
\(\therefore g^2=f^2=c\)
অতএব, বৃত্তটি উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে।
আবার,
মূলবিন্দু \(O(0, 0)\)
মূলবিন্দুগামী ব্যাস অবশ্যই \(C(1, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(CO\) এর সমীকরণ,
\(\frac{x-1}{1-0}=\frac{y-1}{1-0}\) ➜Note \(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow x-1=y-1\)
\(\Rightarrow x-1+1=y\)
\(\Rightarrow x=y\)
\(\therefore y=x\)
\(\therefore \) মূলবিন্দুগামী ব্যাসের সমীকরণ \(y=x\).

ধরি,
\(A(0, 1)\) ও \(B(a, b)\)
\(AB\)রেখকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-0)(x-a)+(y-1)(y-b)=0\) ➜Note\(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB\) কে ব্যাস ধরে বৃত্তের সমীকরণ, \((x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0\)
\(\Rightarrow x(x-a)+y^2-y-by+b=0\)
\(\Rightarrow x^2-ax+y^2-y-by+b=0\)
\(\therefore x^2+y^2-ax-(1+b)y+b=0 ......(1)\)
\((1)\) নং বৃত্তটি যখন \(X\) অক্ষকে ছেদ করে, ছেদবিন্দুতে \(y=0\)
\(\therefore x^2+0^2-ax-(1+b).0+b=0\)
\(\therefore x^2-ax+b=0\)
সুতরাং \((1)\) নং বৃত্তটি \(X\)অক্ষকে দুইটি বিন্দুতে ছেদ করে, যার ভুজ হবে \(x^{2}-ax+b=0\) সমীকরণের মূলদ্বয়।

দেওয়া আছে,
\(ABC\) সমবাহু ত্রিভুজের দুইটি শীর্ষ,
\(A(1, 0)\) ও \(B(2, 0)\)
ধরি,
তৃতীয় শীর্ষ \(C(x, y)\)
\(AB=BC=AC\)
\(\Rightarrow \sqrt{(1-2)^2+(0-0)^2}=\sqrt{(2-x)^2+(0-y)^2}=\)\(\sqrt{(1-x)^2+(0-y)^2}\) ➜Note\(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(-1)^2}=\sqrt{(2-x)^2+y^2}=\sqrt{(1-x)^2+y^2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1^2}=\sqrt{(2-x)^2+y^2}=\sqrt{(1-x)^2+y^2}\)
\(\Rightarrow 1^2=(2-x)^2+y^2=(1-x)^2+y^2\)
\(\Rightarrow (2-x)^2+y^2=(1-x)^2+y^2\)
\(\Rightarrow (2-x)^2=(1-x)^2\)
\(\Rightarrow 2-x=-(1-x)\)
\(\Rightarrow 2-x=-1+x\)
\(\Rightarrow 2-x+1-x=0\)
\(\Rightarrow -2x=-3\)
\(\Rightarrow 2x=3\)
\(\Rightarrow x=\frac{3}{2}\)
আবার,
\(\Rightarrow 1^2=(1-x)^2+y^2\)
\(\Rightarrow (\frac{2-3}{2})^2+y^2=1\)
\(\Rightarrow (-\frac{1}{2})^2+y^2=1\)
\(\Rightarrow \frac{1}{4}+y^2=1\)
\(\Rightarrow y^2=1-\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{4-1}{4}\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow y=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\therefore C(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})\)
\(BC\) কে ব্যাস ধরে বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-2)(x-\frac{3}{2})+(y-0)(y-\frac{\sqrt{3}}{2})=0\) ➜Note\(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB\) কে ব্যাস ধরে বৃত্তের সমীকরণ, \((x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0\)
\(\Rightarrow x^2-2x-\frac{3}{2}x+3+y^2-\frac{\sqrt{3}}{2}y=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-\frac{7}{2}x-\frac{\sqrt{3}}{2}y+3=0\)
\(\Rightarrow 2(x^2+y^2)-7x-\sqrt{3}y+3=0\)
\(\therefore 2(x^2+y^2)-7x-\sqrt{3}y+3=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

ধরি,
\(x^{2}+2ax-b^{2}=0 ......(1)\)
\(x^{2}+2px-q^{2}=0 ........(2)\)
\((1)\) এর মূলদ্বয় \(x_1, x_2\)
\(x_1+x_2=-2a, x_1x_2=-b^2\)
\((2)\) এর মূলদ্বয় \(y_1, y_2\)
\(y_1+y_2=-2p, y_1y_2=-q^2\)
এই ক্ষেত্রে,
\(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\)
\(AB\) ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0\) ➜Note\(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB\) কে ব্যাস ধরে বৃত্তের সমীকরণ, \((x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0\)
\(\Rightarrow x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2+y^2-(y_1+y_2)y+\)\(y_1y_2=0\)
\(\Rightarrow x^2-(-2a)x-b^2+y^2-(-2p)y-q^2=0\)
\(\Rightarrow x^2+2ax-b^2+y^2+2py-q^2=0\)
\(\therefore x^2+y^2+2ax+2py-b^2-q^2=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

ধরি,
\((x-3)^{2}+(y-4)^{2}=5^2 ........(1)\)
\((1)\) কেন্দ্র \(C(3, 4)\)
ব্যাসার্ধ \(CA=5\)
\(AB\) জ্যা-এর মধ্যবিন্দু \(D\)
এখানে,
\(CD=3\)
\(\triangle ACD\) সমকোণী।
\(\therefore AD^2+CD^2=AC^2\)
\(\Rightarrow AD^2=AC^2-CD^2\)
\(\Rightarrow AD=\sqrt{5^2-3^2}\)
\(\Rightarrow AD=\sqrt{25-9}\)
\(\Rightarrow AD=\sqrt{16}\)
\(\therefore AD=4\)
জ্যা-এর দৈর্ঘ্য \(AB=2.4 \)
\(=8\)

\(Q.4.(i)(a)\)
দেওয়া আছে,
\(2x^2+2y^2+4x+6y+4=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+2x+3y+2=0 ............(1)\) ➜Note উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
এখানে,
\(2g=2, 2f=3, c=2\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=\frac{2}{2}, f=\frac{3}{2}, c=2\)
\(\Rightarrow g=1, f=\frac{3}{2}, c=2\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(-1, -\frac{3}{2})\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{1^2+\left(\frac{3}{2}\right)^2-2}\)
\(=\sqrt{1+\frac{9}{4}-2}\)
\(=\sqrt{\frac{4+9-8}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{13-8}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{5}{4}}\)
\(=\frac{\sqrt{5}}{2}\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \(C(-1, -\frac{3}{2})\); ব্যাসার্ধ \(=\frac{\sqrt{5}}{2}\)
\(Q.4.(i)(b)\)
ধরি,
দৃশ্যকল্পের বৃত্তটি
\(x^2+y^2-10x-16y+64=0 ..........(1)\)
এবং
\(3x-4y-8=0 ......(2)\)
\((1)\) হতে,
\(2g=-10, 2f=-16, c=64\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{10}{2}, f=-\frac{16}{2}, c=64\)
\(\Rightarrow g=-5, f=-8, c=64\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(5, 8)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{(-5)^2+(-8)^2-64}\)
\(=\sqrt{25+64-64}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)
এখন,
কেন্দ্র হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|3.5-4.8-8|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}\) ➜Note \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|15-32-8|}{\sqrt{9+16}}\)
\(=\frac{|15-40|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{|-25|}{5}\)
\(=\frac{25}{5}\)
\(=5\)
\(\because \) কেন্দ্র হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব \(=r\)
\(\therefore \) দৃশ্যকল্পের বৃত্তটিকে, \(3x-4y-8=0\) রেখাটি স্পর্শ করে ।
\(Q.4.(i)(c)\)
ধরি,
কেন্দ্র
\(C(0, -1)\)
দৃশ্যকল্পের রেখা,
\(4x+3y+8=0 .........(1)\)
কেন্দ্র হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব হবে নির্ণেয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
ব্যাসার্ধ \(=\frac{|4.0+3(-1)+8|}{\sqrt{4^2+3^2}}\) ➜Note \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|-3+8|}{\sqrt{16+9}}\)
\(=\frac{|5|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{5}{5}\)
\(=1\)
এখন,
কেন্দ্র \(C(0, -1)\)
ব্যাসার্ধ \(=1\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-0)^2+(y+1)^2=1^2\) ➜Note কেন্দ্র \(C(h, k)\), ব্যাসার্ধ \(r\), বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+2.y.1+1^2=1\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+2y+1-1=0\)
\(\therefore x^2+y^2+2y=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.4.(ii)(a)\)
দেওয়া আছে, \(3(x^2+y^2)-5x+y+1=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-\frac{5}{3}x+\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}=0 .......(1)\) ➜Note উভয় পার্শে \(3\) ভাগ করে।
এখানে,
\(2g=-\frac{5}{3}, 2f=\frac{1}{3}, c=\frac{1}{3}\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{5}{6}, f=\frac{1}{6}, c=\frac{1}{3}\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(\frac{5}{6}, -\frac{1}{6})\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{\left(-\frac{5}{6}\right)^2+\left(\frac{1}{6}\right)^2-\frac{1}{3}}\)
\(=\sqrt{\frac{25}{36}+\frac{1}{36}-\frac{1}{3}}\)
\(=\sqrt{\frac{25+1-12}{36}}\)
\(=\sqrt{\frac{26-12}{36}}\)
\(=\sqrt{\frac{14}{36}}\)
\(=\frac{\sqrt{14}}{6}\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \(C(\frac{5}{6}, -\frac{1}{6})\); ব্যাসার্ধ \(=\frac{\sqrt{14}}{6}\)
\(Q.4.(ii)(b)\)
দেওয়া আছে,
\(OA=4\) এবং \(OB=3\)
\(A(4, 0)\) এবং \(B(0, 3)\)
\(AB\) এর সমীকরণ,
\(\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1\) ➜Note উভয় অক্ষের ছেদিতাংশ \(a, b\) দেওয়া থাকিলে সরলরেখার সমীকরণ \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)
\(\Rightarrow \frac{3x+4y}{12}=1\)
\(\Rightarrow 3x+4y=12\)
\(\Rightarrow 3x+4y-12=0 .....(1)\)
চিত্র হতে বৃত্তের কেন্দ্র \((3, 3)\)
শর্তমতে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(=\frac{|3.3+4.3-12|}{\sqrt{3^2+4^2}}\) ➜Note \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|9+12-12|}{\sqrt{9+16}}\)
\(=\frac{9}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{9}{5}\)
এখন,
কেন্দ্র \((3, 3)\)
ব্যাসার্ধ \(= \frac{9}{5}\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-3)^2+(y-3)^2=\left( \frac{9}{5}\right)^2\) ➜Note কেন্দ্র \(C(h, k)\), ব্যাসার্ধ \(r\), বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)
\(\Rightarrow x^2-2.x.3+3^2+y^2-2.y.3+3^2=\frac{81}{25}\)
\(\Rightarrow x^2-6x+9+y^2-6y+9=\frac{81}{25}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-6x-6y+18=\frac{81}{25}\)
\(\Rightarrow 25x^2+25y^2-150x-150y+450=81\) ➜Note উভয় পার্শে \(25\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 25x^2+25y^2-150x-150y+450-81=0\)
\(\therefore 25x^2+25y^2-150x-150y+369=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.4.(ii)(c)\)
চিত্রে \( EF=2\times \) ব্যাসার্ধ ,
\(=2\times \frac{9}{5}\)
\(=\frac{18}{5}\)
\(AB\) এর সমান্তরাল রেখার সমীকরণ,
\(\Rightarrow 3x+4y+k=0 .....(2)\)
শর্তমতে,
\(\frac{|k+12|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{18}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{|k+12|}{\sqrt{9+16}}=\frac{18}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{|k+12|}{\sqrt{25}}=\frac{18}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{|k+12|}{5}=\frac{18}{5}\)
\(\Rightarrow |k+12|=18\)
\(\Rightarrow -(k+12)=18\); চিত্র মতে।
\(\Rightarrow k+12=-18\)
\(\Rightarrow k=-18-12\)
\(\therefore k=-30\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(3x+4y-30=0 .......(3)\) যা \(CD\) রেখা নির্দেশ করে।
\(\Rightarrow 3x+4y=30\)
\(\Rightarrow \frac{3x}{30}+\frac{4y}{30}=\frac{30}{30}\) ➜Note উভয় পার্শে \(30\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x}{10}+\frac{2y}{15}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{10}+\frac{y}{\frac{15}{2}}=1\)
\(\therefore C(0, \frac{15}{2}), D(10, 0)\)
\(AB\) এর উপর লম্ব রেখার সমীকরণ,
\(4x-3y+k=0 .....(5)\)
\((5)\) নং সরলরেখা \((3, 3)\) বিন্দুগামী,
\(\therefore 4.3-3.3+k=0\)
\(\Rightarrow 12-9+k=0\)
\(\Rightarrow 3+k=0\)
\(\therefore k=-3\)
\(k\) এর মান \((5)\) এ বসিয়ে,
\(4x-3y-3=0 .....(6)\)
\((3)\) ও \((6)\) এর ছেদবিন্দু \(F\) নির্ণয় করি।
\(\frac{x}{(-3).(-30)-(-3).4}=\frac{y}{(-3).3-4.(-30)}=\frac{1}{4.4-(-3).3}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{90+12}=\frac{y}{-9+120}=\frac{1}{16+9}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{102}=\frac{y}{111}=\frac{1}{25}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{102}==\frac{1}{25}, \frac{y}{111}=\frac{1}{25}\)
\(\Rightarrow x=\frac{102}{25}, y=\frac{111}{25}\)
\(\therefore F\left(\frac{102}{25}, \frac{111}{25}\right)\)
\(FD\) কে ব্যাস ধরে বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-\frac{102}{25})(x-10)+(y-\frac{111}{25})(y-0)=0\)
\(\Rightarrow x^2-\left(\frac{102}{25}+10\right)x+\frac{102}{25}\times 10+y^2-\frac{111}{25}\times y=0\)
\(\Rightarrow x^2-\left(\frac{102+250}{25}\right)x+\frac{1020}{25}+y^2-\frac{111}{25}\times y=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-\frac{352}{25}x-\frac{111}{25}y+\frac{1020}{25}=0\)
\(\therefore 25x^2+25y^2-352x-111y+1020=0\) ➜Note উভয় পার্শে \(25\) গুণ করে।
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.4.(iii)(a)\)
দেওয়া আছে,
ব্যাসের প্রান্ত বিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((2, -4)\) এবং \((-3, 1)\) ।
ধরি,
\(A(2, -4)\) এবং \(B(-3, 1)\) ।
ব্যাসের দৈর্ঘ্য \(AB=\sqrt{(2+3)^2+(-4-1)^2}\) ➜Note\(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)
\(=\sqrt{5^2+(-5)^2}\)
\(=\sqrt{25+25}\)
\(=\sqrt{2\times 25}\)
\(=5\sqrt{2}\) একক।
\(Q.4.(iii)(b)\)
দেওয়া আছে,
\(A(2, -4)\) এবং \(B(-3, 1)\) ।
\(AB\) কে ব্যাস ধরে বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-2)(x+3)+(y+4)(y-1)=0\) ➜Note\(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB\) কে ব্যাস ধরে বৃত্তের সমীকরণ, \((x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0\)
\(\Rightarrow x^2-2x+3x-6+y^2+4y-y-4=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+x+3y-10=0\)
এখানে,
\(2g=1, 2f=3, c=-10\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=\frac{1}{2}, f=\frac{3}{2}, c=-10\)
\(\therefore X\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(=2\sqrt{g^2-c}\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্ত দ্বারা \(X\) অক্ষের খন্ডিতাংশ, \(=2\sqrt{g^2-c}\)
\(=2\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2-(-10)}\)
\(=2\sqrt{\frac{1}{4}+10}\)
\(=2\sqrt{\frac{1+40}{4}}\)
\(=2\sqrt{\frac{41}{4}}\)
\(=2\frac{\sqrt{41}}{2}\)
\(=\sqrt{41}\) একক।
\(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(=2\sqrt{f^2-c}\) ➜Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্ত দ্বারা \(Y\) অক্ষের খন্ডিতাংশ, \(=2\sqrt{f^2-c}\)
\(=2\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2-(-10)}\)
\(=2\sqrt{\frac{9}{4}+10}\)
\(=2\sqrt{\frac{9+40}{4}}\)
\(=2\sqrt{\frac{49}{4}}\)
\(=2\frac{7}{2}\)
\(=7\) একক।
\(Q.4.(iii)(c)\)
\((b)\) হতে প্রাপ্ত বৃত্তের সমীকরণ,
\(f(x,y)\equiv x^2+y^2+x+3y-10=0 ........(1)\)
ধরি,
\(C(1, -3)\) এবং \(D(2, 3)\)
\(C(1, -3)\) বিন্দুটি \((1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(f(1,-3)=1^2+(-3)^2+1+3.(-3)-10\)
\(=1+9+1-9-10\)
\(=11-19\)
\(=-8\)
\(\therefore f(1,-3)<0\)
\(\therefore C(1, -3)\) বিন্দুটি \((1)\) নং বৃত্তের ভিতরে অবস্থান করে।
আবার,
\(D(2, 3)\) বিন্দুটি \((1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(f(2, 3)=2^2+3^2+2+3.3-10\)
\(=4+9+2+9-10\)
\(=24-10\)
\(=14>0\)
\(\therefore D(2, 3)\) বিন্দুটি \((1)\) নং বৃত্তের বাহিরে অবস্থান করে।
আবার,
\((b)\)হতে প্রাপ্ত
\(\Rightarrow g=\frac{1}{2}, f=\frac{3}{2}, c=-10\)
কেন্দ্র \(C_1(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C_1(-\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})\)
\(CC_1\) এর সমীকরণ,
\(\frac{x-1}{1+\frac{1}{2}}=\frac{y+3}{-3+\frac{3}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-1}{\frac{2+1}{2}}=\frac{y+3}{\frac{-6+3}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-1}{\frac{3}{2}}=\frac{y+3}{\frac{-3}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-1}{\frac{3}{2}}=-\frac{y+3}{\frac{3}{2}}\)
\(\Rightarrow x-1=-(y+3)\)
\(\Rightarrow x-1+y+3=0\)
\(\therefore x+y+2=0\)
ইহাই নির্ণেয় ব্যাসের সমীকরণ।