এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
- বৃত্তের স্পর্শক এবং অভিলম্বের সমীকরণ
- দুইটি বৃত্তের সাধারণ স্পর্শক এবং সাধারণ স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয়
- দুইটি বৃত্তের সাধারণ জ্যা
- স্পর্শ জ্যা
- \(y=mx+c\) রেখাটি \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তের স্পর্শক হওয়ার শর্ত
- \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তের উপরস্থ \((x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ
- \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তের উপরস্থ \((x_1, y_1)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ
- \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের উপরস্থ \((x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ
- \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের উপরস্থ \((x_1, y_1)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ
- \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তের বহিঃস্থ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ
- \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের বহিঃস্থ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ
- \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তের বহিঃস্থ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য
- \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের বহিঃস্থ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য
- \(S_1\equiv x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0\) ও \(S_2\equiv x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0\) বৃত্ত দ্বয়ের সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ
- \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তে অঙ্কিত জ্যা-এর মধ্যবিন্দু \((x_1, y_1)\) হলে, জ্যা-এর সমীকরণ
- \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তের বহিঃস্থ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয়ের স্পর্শ জ্যা-এর সমীকরণ
- \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের বহিঃস্থ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয়ের স্পর্শ জ্যা-এর সমীকরণ
- \(A(x_1, y_1)\) বিন্দুগামী এবং \(ax+by+c=0\) রেখা ও \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ
- সমাধানকৃত উদাহরণমালা
- অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন-উত্তর
- সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন-উত্তর
- বর্ণনামূলক প্রশ্ন-উত্তর
- সৃজনশীল প্রশ্ন এবং সমাধান
- ভর্তি পরীক্ষায় আসা প্রশ্ন এবং সমাধান
বৃত্তের স্পর্শক এবং অভিলম্বের সমীকরণ
Tangent and Normal of a circle
মনে করি, 
একটি সরলরেখা কোনো বৃত্তকে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে। এখন \(Q\) বিন্দুটি বৃত্তের পরিধির উপর দিয়ে ঘুরে \(P\) এর সন্নিকটবর্তী হলে অর্থাৎ \(P\) এর উপর \(Q\) সমপতিত হলে, ছেদক রেখাটিকে \(P\) বিন্দুতে প্রদত্ত বৃত্তের স্পর্শক বলা হয়। এখানে \(PT\) হলো স্পর্শক এবং \(P\) কে স্পর্শবিন্দু বলে। \(PT\) এবং বৃত্ত উভয়ে একই সমতলে অবস্থান করে।
কোনো বৃত্তের স্পর্শবিন্দুতে স্পর্শকের উপর অঙ্কিত লম্বরেখাকে ঐ বিন্দুতে বৃত্তের অভিলম্ব (Normal) বলে। বৃত্তের অভিলম্ব সর্বদা বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে গমন করে।
একটি সরলরেখা কোনো বৃত্তকে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে। এখন \(Q\) বিন্দুটি বৃত্তের পরিধির উপর দিয়ে ঘুরে \(P\) এর সন্নিকটবর্তী হলে অর্থাৎ \(P\) এর উপর \(Q\) সমপতিত হলে, ছেদক রেখাটিকে \(P\) বিন্দুতে প্রদত্ত বৃত্তের স্পর্শক বলা হয়। এখানে \(PT\) হলো স্পর্শক এবং \(P\) কে স্পর্শবিন্দু বলে। \(PT\) এবং বৃত্ত উভয়ে একই সমতলে অবস্থান করে।
কোনো বৃত্তের স্পর্শবিন্দুতে স্পর্শকের উপর অঙ্কিত লম্বরেখাকে ঐ বিন্দুতে বৃত্তের অভিলম্ব (Normal) বলে। বৃত্তের অভিলম্ব সর্বদা বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে গমন করে। দুইটি বৃত্তের সাধারণ স্পর্শক এবং সাধারণ স্পর্শকের সমীকরণ
Direct and Trans verse Common tangents
ধরি,
বৃত্ত দুইটির সমীকরণ,
\((x-\alpha_1)^2+(y-\beta_1)^2=r^2_1 ........(1)\)
\((x-\alpha_2)^2+(y-\beta_2)^2=r^2_2 ........(1)\)
\((1)\) এর কেন্দ্র \((\alpha_1, \beta_1)\), ব্যাসার্ধ \(r_1\)
\((2)\) এর কেন্দ্র \((\alpha_2, \beta_2)\), ব্যাসার্ধ \(r_2\)
চিত্রে,
\(A_1A_2\) ও \(\acute A_1\acute A_2\) স্পর্শকদ্বয় বৃত্তদ্বয়ের সরল সাধারণ স্পর্শক (Direct Common tangents) আর \(B_1B_2\) ও \(\acute B_1\acute B_2\) স্পর্শকদ্বয় তীর্যক সাধারণ স্পর্শক (Trans verse Common tangents) নির্দেশ করে। প্রথম জোড়া \(T_1\) বিদুতে এবং দ্বিতীয় জোড়া \(T_2\) বিন্দুতে ছেদ করেছে। বিন্দু দুইটি বৃত্তদ্বয়ের কেন্দ্রগামী \(C_1C_2\) রেখার উপর অবস্থিত।
যেহেতু, \(A_1C_1T_1\) ও \(A_2C_2T_1\) ত্রিভুজ দুইটি সদৃশ
ফলে \(\frac{C_1T_1}{C_2T_1}=\frac{C_1A_1}{C_2A_2}=\frac{r_1}{r_2}\)
\(\Rightarrow C_1T_1:C_2T_1=r_1:r_2\) ➜ অর্থাৎ \(C_1C_2\) রেখাংশকে \(T_1\) বিন্দুটি \(r_1:r_2\) অনুপাতে বহিঃর্বিভক্ত করে।
আবার,
\(A_1C_1T_2\) ও \(A_2C_2T_2\) ত্রিভুজ দুইটি সদৃশ
ফলে \(\frac{C_1T_2}{C_2T_2}=\frac{C_1B_1}{C_2B_2}=\frac{r_1}{r_2}\)
\(\Rightarrow C_1T_2:C_2T_2=r_1:r_2\) ➜ অর্থাৎ \(C_1C_2\) রেখাংশকে \(T_2\) বিন্দুটি \(r_1:r_2\) অনুপাতে অন্তঃর্বিভক্ত করে।
এটা স্পষ্ট যে \(T_1\) ও \(T_2\) বিন্দুদ্বয় \(C_1C_2\) রেখাংশকে যথাক্রমে \(r_1:r_2\) অনুপাতে বহিঃর্বিভক্ত ও অন্তঃর্বিভক্ত করে। \(T_1\) ও \(T_2\) বিন্দুকে সদৃশ কেন্দ্র (Centre of Similitude ) আর \(T_1T_2\) রেখাংশকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তকে সাদৃশ্য বৃত্ত (Circle of similitude) বলে।
বৃত্ত দুইটির সমীকরণ,
\((x-\alpha_1)^2+(y-\beta_1)^2=r^2_1 ........(1)\)
\((x-\alpha_2)^2+(y-\beta_2)^2=r^2_2 ........(1)\)
\((1)\) এর কেন্দ্র \((\alpha_1, \beta_1)\), ব্যাসার্ধ \(r_1\)
\((2)\) এর কেন্দ্র \((\alpha_2, \beta_2)\), ব্যাসার্ধ \(r_2\)
চিত্রে,
\(A_1A_2\) ও \(\acute A_1\acute A_2\) স্পর্শকদ্বয় বৃত্তদ্বয়ের সরল সাধারণ স্পর্শক (Direct Common tangents) আর \(B_1B_2\) ও \(\acute B_1\acute B_2\) স্পর্শকদ্বয় তীর্যক সাধারণ স্পর্শক (Trans verse Common tangents) নির্দেশ করে। প্রথম জোড়া \(T_1\) বিদুতে এবং দ্বিতীয় জোড়া \(T_2\) বিন্দুতে ছেদ করেছে। বিন্দু দুইটি বৃত্তদ্বয়ের কেন্দ্রগামী \(C_1C_2\) রেখার উপর অবস্থিত।
যেহেতু, \(A_1C_1T_1\) ও \(A_2C_2T_1\) ত্রিভুজ দুইটি সদৃশ
ফলে \(\frac{C_1T_1}{C_2T_1}=\frac{C_1A_1}{C_2A_2}=\frac{r_1}{r_2}\)
\(\Rightarrow C_1T_1:C_2T_1=r_1:r_2\) ➜ অর্থাৎ \(C_1C_2\) রেখাংশকে \(T_1\) বিন্দুটি \(r_1:r_2\) অনুপাতে বহিঃর্বিভক্ত করে।
আবার,
\(A_1C_1T_2\) ও \(A_2C_2T_2\) ত্রিভুজ দুইটি সদৃশ
ফলে \(\frac{C_1T_2}{C_2T_2}=\frac{C_1B_1}{C_2B_2}=\frac{r_1}{r_2}\)
\(\Rightarrow C_1T_2:C_2T_2=r_1:r_2\) ➜ অর্থাৎ \(C_1C_2\) রেখাংশকে \(T_2\) বিন্দুটি \(r_1:r_2\) অনুপাতে অন্তঃর্বিভক্ত করে।
এটা স্পষ্ট যে \(T_1\) ও \(T_2\) বিন্দুদ্বয় \(C_1C_2\) রেখাংশকে যথাক্রমে \(r_1:r_2\) অনুপাতে বহিঃর্বিভক্ত ও অন্তঃর্বিভক্ত করে। \(T_1\) ও \(T_2\) বিন্দুকে সদৃশ কেন্দ্র (Centre of Similitude ) আর \(T_1T_2\) রেখাংশকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তকে সাদৃশ্য বৃত্ত (Circle of similitude) বলে।
সঙ্গাঃ দুইটি বৃত্তের কেন্দ্র সংযোজক রেখাংশকে ব্যাসার্ধদ্বয়ের অনুপাতে বহিঃর্বিভক্ত ও অন্তঃর্বিভক্তকারী বিন্দুদ্বয়কে বৃত্ত দুইটির সাদৃশ্য কেন্দ্র আর সাদৃশ্য কেন্দ্র দুইটির সংযোজক রেখাংশকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তকে সাদৃশ্য বৃত্ত বলে।
\(T_1\) ও \(T_2\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক বের করা এবং সাধারণ স্পর্শকগুলির সমীকরণ নির্ণয় করা সহজ। \(T_1(x_1, y_1)\) বহিঃস্থ বিন্দু থেকে কোন বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয়ের সাহায্যে সহজেই সরল সাধারণ স্পর্শক এবং \(T_2(x_2, y_2)\) বিন্দুগামী তীর্যক সাধারণ স্পর্শক নির্ণয় করা সম্ভব।
দুইটি বৃত্তের সাধারণ জ্যা
Common Chord of two circles
যদি,
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে ছেদ করে। তবে ঐ বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে উক্ত বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা বলে।
মনে করি,\(S_1\equiv x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0\) ও \(S_2\equiv x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0\) দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে \(A\) ও \(B\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে ছেদ করে। তবে \(A,B\) এর সংযোগ রেখাংশকে উক্ত \(S_1, S_2\) বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা বলে।
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে ছেদ করে। তবে ঐ বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে উক্ত বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা বলে।
মনে করি,\(S_1\equiv x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0\) ও \(S_2\equiv x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0\) দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে \(A\) ও \(B\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে ছেদ করে। তবে \(A,B\) এর সংযোগ রেখাংশকে উক্ত \(S_1, S_2\) বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা বলে।
সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ
\(S_{1} -S_{2}=0\)
স্পর্শ জ্যা
Chord of contact
একটি বৃত্তের বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে বৃত্তটিতে দুইটি স্পর্শক অঙ্কিত হলে স্পর্শবিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখটিকে ঐ বৃত্তের স্পর্শক জ্যা বলে।
প্রয়োজনীয় এবং স্মরণীয় সূত্রসমূহ।
\(1.\) \(y=mx+c\) রেখাটি \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তের স্পর্শক হওয়ার শর্ত।
\(c=\pm a\sqrt{1+m^2}\)
স্পর্শকের সমীকরণ ।
\(y=mx\pm a\sqrt{1+m^2}\)
স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক ।
\((\frac{ma}{\sqrt{1+m^2}}, -\frac{a}{\sqrt{1+m^2}})\)\(4.\) \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের উপরস্থ \((x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ।
\(xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0\)
\(5.\) \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের উপরস্থ \((x_1, y_1)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ।
\((x_1+g)y-(y_1+f)x+fx_1-gy_1=0\)
\(6.\) \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তের বহিঃস্থ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ।
\( (x^2+y^2-a^2)(x^2_1+y^2_1-a^2)=(xx_1+yy_1-a^2)^2\)
\(7.\) \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের বহিঃস্থ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ।
\( (x^2+y^2+2gx+2fy+c)(x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c)\)\(=\{xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c\}^2\)
\(8.\) \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তের বহিঃস্থ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য।
\(PT=\sqrt{x^2_1+y^2_1-a^2}\)
\(9.\) \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের বহিঃস্থ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য।
\( PT=\sqrt{x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c}\)
\(10.\) \(S_1\equiv x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0\) ও \(S_2\equiv x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0\) বৃত্ত দ্বয়ের সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ ।
\( S_1-S_2\equiv 2(g_1-g_2)x+2(f_1-f_2)y+c_1-c_2=0\)
\(11.\) \((a)\) \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তে অঙ্কিত জ্যা-এর মধ্যবিন্দু \(C(x_1, y_1)\) হলে, জ্যা-এর সমীকরণ ।
\(xx_1+yy_1\)=\(x^2_1+y^2_1\)
\((b)\) \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তে অঙ্কিত জ্যা-এর মধ্যবিন্দু \(C(x_1, y_1)\) হলে, জ্যা-এর সমীকরণ ।
\(xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)\)=\(x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1\)
\(12.\) \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তের বহিঃস্থ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয়ের স্পর্শ জ্যা-এর সমীকরণ।
\(xx_1+yy_1=a^2\)
\(13.\) \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের বহিঃস্থ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয়ের স্পর্শ জ্যা-এর সমীকরণ।
\(xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0\)
\(14.\) \(A(x_1, y_1)\) বিন্দুগামী এবং \(ax+by+c=0\) রেখা ও \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ।
\(\frac{x^2+y^2+2gx+2fy+c}{ax+by+c}=\frac{x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c}{ax_1+by_1+c}\)
\(1.\) \(y=mx+c\) রেখাটি \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তের স্পর্শক হওয়ার শর্ত, স্পর্শকের সমীকরণ এবং স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয়ঃ
ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ \(x^2+y^2=a^2 .....(1)\)
এবং সরলরেখার সমীকরণ \(y=mx+c ....(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(x^2+(mx+c)^2=a^2\)
\(\Rightarrow x^2+m^2x^2+2mxc+c^2-a^2=0\)
\(\Rightarrow (1+m^2)x^2+2mxc+(c^2-a^2)=0 ......(3)\)
ইহা স্পষ্ট যে \((3)\) নং \(x\)-এর একটি দ্বিঘাত সমীকরণ, এখানে \(x\) এর দুইটি মান যথাক্রমে \(x_1\) ও \(x_2\) যা \((2)\) নং সরলরেখা \((1)\) নং বৃত্তকে \(P(x_1, y_1)\) ও \(Q(x_2, y_2)\) বিন্দুতে ছেদ করে এমনটি বোঝায়। কিন্তু দেওয়া আছে, \((2)\) নং সরলরেখা \((1)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করে। সে ক্ষেত্রে \(x_1=x_2\) হবে। তাহলে, \((3)\) নং সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হবে। অর্থাৎ, নিশ্চায়ক \(=0\) হবে।
\(\therefore (2mc)^2-4(1+m^2)(c^2-a^2)=0\) ➜ \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমাণ হওয়ার শর্ত, \(b^2-4ac=0\)
\(\Rightarrow 4m^2c^2-4(c^2-a^2+m^2c^2-m^2a^2)=0\)
\(\Rightarrow 4\{m^2c^2-(c^2-a^2+m^2c^2-m^2a^2)\}=0\)
\(\Rightarrow m^2c^2-(c^2-a^2+m^2c^2-m^2a^2)=0\)
\(\Rightarrow m^2c^2-c^2+a^2-m^2c^2+m^2a^2=0\)
\(\Rightarrow a^2+m^2a^2=c^2\)
\(\Rightarrow a^2(1+m^2)=c^2\)
\(\Rightarrow c^2=a^2(1+m^2)\)
\(\Rightarrow c=\pm \sqrt{a^2(1+m^2)}\)
\(\Rightarrow c=\pm a\sqrt{1+m^2}\)
ইহাই নির্ণেয় শর্ত।
আবার,
\(c\) এর মান \(2\) এ বসিয়ে,
\(y=mx\pm a\sqrt{1+m^2}\)
যা স্পর্শকের সমীকরণ।
আবার,
ধরি, স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((x_1, y_1)\)
\(\therefore (x_1, y_1)\) বিন্দুতে \((1)\) নং বৃত্তের স্পর্শকের সমীকরণ \(xx_1+yy_1=a^2 .....(4)\)
\((2)\) হতে,
\(\Rightarrow -mx+y=c ......(5)\)
\((4)\) ও \((5)\) একই সরলরেখা নির্দেশ করে।
\(\frac{x_1}{-m}=\frac{y_1}{1}=\frac{a^2}{c}\)
\(\Rightarrow \frac{x_1}{-m}=\frac{a^2}{c}, \frac{y_1}{1}=\frac{a^2}{c}\)
\(\Rightarrow x_1=-\frac{ma^2}{c}, y_1=\frac{a^2}{c}\)
\(\Rightarrow x_1=-\frac{ma^2}{a\sqrt{1+m^2}}, y_1=\frac{a^2}{a\sqrt{1+m^2}}\)
যখন, \(c=a\sqrt{1+m^2}\)
\(\Rightarrow x_1=-\frac{ma}{\sqrt{1+m^2}}, y_1=\frac{a}{\sqrt{1+m^2}}\)
আবার, যখন, \(c=-a\sqrt{1+m^2}\)
\(\Rightarrow x_1=-\frac{ma^2}{-a\sqrt{1+m^2}}, y_1=\frac{a^2}{-a\sqrt{1+m^2}}\)
\(\Rightarrow x_1=\frac{ma}{a\sqrt{1+m^2}}, y_1=-\frac{a}{\sqrt{1+m^2}}\)
\(\therefore \) স্পর্শবিন্দু \(\left(-\frac{ma}{\sqrt{1+m^2}}, \frac{a}{\sqrt{1+m^2}}\right)\)
অথবা, \(\left(\frac{ma}{\sqrt{1+m^2}}, -\frac{a}{\sqrt{1+m^2}}\right)\)
বৃত্তের সমীকরণ \(x^2+y^2=a^2 .....(1)\)
এবং সরলরেখার সমীকরণ \(y=mx+c ....(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(x^2+(mx+c)^2=a^2\)
\(\Rightarrow x^2+m^2x^2+2mxc+c^2-a^2=0\)
\(\Rightarrow (1+m^2)x^2+2mxc+(c^2-a^2)=0 ......(3)\)
ইহা স্পষ্ট যে \((3)\) নং \(x\)-এর একটি দ্বিঘাত সমীকরণ, এখানে \(x\) এর দুইটি মান যথাক্রমে \(x_1\) ও \(x_2\) যা \((2)\) নং সরলরেখা \((1)\) নং বৃত্তকে \(P(x_1, y_1)\) ও \(Q(x_2, y_2)\) বিন্দুতে ছেদ করে এমনটি বোঝায়। কিন্তু দেওয়া আছে, \((2)\) নং সরলরেখা \((1)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করে। সে ক্ষেত্রে \(x_1=x_2\) হবে। তাহলে, \((3)\) নং সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হবে। অর্থাৎ, নিশ্চায়ক \(=0\) হবে।
\(\therefore (2mc)^2-4(1+m^2)(c^2-a^2)=0\) ➜ \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমাণ হওয়ার শর্ত, \(b^2-4ac=0\)
\(\Rightarrow 4m^2c^2-4(c^2-a^2+m^2c^2-m^2a^2)=0\)
\(\Rightarrow 4\{m^2c^2-(c^2-a^2+m^2c^2-m^2a^2)\}=0\)
\(\Rightarrow m^2c^2-(c^2-a^2+m^2c^2-m^2a^2)=0\)
\(\Rightarrow m^2c^2-c^2+a^2-m^2c^2+m^2a^2=0\)
\(\Rightarrow a^2+m^2a^2=c^2\)
\(\Rightarrow a^2(1+m^2)=c^2\)
\(\Rightarrow c^2=a^2(1+m^2)\)
\(\Rightarrow c=\pm \sqrt{a^2(1+m^2)}\)
\(\Rightarrow c=\pm a\sqrt{1+m^2}\)
ইহাই নির্ণেয় শর্ত।
আবার,
\(c\) এর মান \(2\) এ বসিয়ে,
\(y=mx\pm a\sqrt{1+m^2}\)
যা স্পর্শকের সমীকরণ।
আবার,
ধরি, স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((x_1, y_1)\)
\(\therefore (x_1, y_1)\) বিন্দুতে \((1)\) নং বৃত্তের স্পর্শকের সমীকরণ \(xx_1+yy_1=a^2 .....(4)\)
\((2)\) হতে,
\(\Rightarrow -mx+y=c ......(5)\)
\((4)\) ও \((5)\) একই সরলরেখা নির্দেশ করে।
\(\frac{x_1}{-m}=\frac{y_1}{1}=\frac{a^2}{c}\)
\(\Rightarrow \frac{x_1}{-m}=\frac{a^2}{c}, \frac{y_1}{1}=\frac{a^2}{c}\)
\(\Rightarrow x_1=-\frac{ma^2}{c}, y_1=\frac{a^2}{c}\)
\(\Rightarrow x_1=-\frac{ma^2}{a\sqrt{1+m^2}}, y_1=\frac{a^2}{a\sqrt{1+m^2}}\)
যখন, \(c=a\sqrt{1+m^2}\)
\(\Rightarrow x_1=-\frac{ma}{\sqrt{1+m^2}}, y_1=\frac{a}{\sqrt{1+m^2}}\)
আবার, যখন, \(c=-a\sqrt{1+m^2}\)
\(\Rightarrow x_1=-\frac{ma^2}{-a\sqrt{1+m^2}}, y_1=\frac{a^2}{-a\sqrt{1+m^2}}\)
\(\Rightarrow x_1=\frac{ma}{a\sqrt{1+m^2}}, y_1=-\frac{a}{\sqrt{1+m^2}}\)
\(\therefore \) স্পর্শবিন্দু \(\left(-\frac{ma}{\sqrt{1+m^2}}, \frac{a}{\sqrt{1+m^2}}\right)\)
অথবা, \(\left(\frac{ma}{\sqrt{1+m^2}}, -\frac{a}{\sqrt{1+m^2}}\right)\)
\(2.\) \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তের উপরস্থ \((x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয়ঃ
দেওয়া আছে,
বৃত্তের সমীকরণ \(x^2+y^2=a^2 .....(1)\)
কেন্দ্র \(C(0, 0)\) এবং ব্যাসার্ধ \(a \ (a>0)\)
ধরি,
বৃত্তের উপরস্থ বিন্দু \(P(x_1, y_1)\)
\(\therefore x^2_1+y^2_1=a^2 .....(2)\)
স্পর্শকের উপর যে কোন বিন্দু \(Q(x, y)\)
\(PO\) রেখার ঢাল \(m_1=\frac{y_1-0}{x_1-0}\)
\(=\frac{y_1}{x_1}\)
\(PQ\) রেখার ঢাল \(m_2=\frac{y-y_1}{x-x_1}\)
এখানে,
\(PO\perp PQ\)
\(\therefore m_1\times m_2=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y_1}{x_1}\times \frac{y-y_1}{x-x_1}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{yy_1-y^2_1}{xx_1-x^2_1}=-1\)
\(\Rightarrow yy_1-y^2_1=-(xx_1-x^2_1)\)
\(\Rightarrow yy_1-y^2_1=-xx_1+x^2_1\)
\(\Rightarrow xx_1+yy_1=x^2_1+y^2_1\)
\(\therefore xx_1+yy_1=a^2\) ➜ \((2)\) এর সাহায্যে।
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
বৃত্তের সমীকরণ \(x^2+y^2=a^2 .....(1)\)
কেন্দ্র \(C(0, 0)\) এবং ব্যাসার্ধ \(a \ (a>0)\)
ধরি,
বৃত্তের উপরস্থ বিন্দু \(P(x_1, y_1)\)
\(\therefore x^2_1+y^2_1=a^2 .....(2)\)
স্পর্শকের উপর যে কোন বিন্দু \(Q(x, y)\)
\(PO\) রেখার ঢাল \(m_1=\frac{y_1-0}{x_1-0}\)
\(=\frac{y_1}{x_1}\)
\(PQ\) রেখার ঢাল \(m_2=\frac{y-y_1}{x-x_1}\)
এখানে,
\(PO\perp PQ\)
\(\therefore m_1\times m_2=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y_1}{x_1}\times \frac{y-y_1}{x-x_1}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{yy_1-y^2_1}{xx_1-x^2_1}=-1\)
\(\Rightarrow yy_1-y^2_1=-(xx_1-x^2_1)\)
\(\Rightarrow yy_1-y^2_1=-xx_1+x^2_1\)
\(\Rightarrow xx_1+yy_1=x^2_1+y^2_1\)
\(\therefore xx_1+yy_1=a^2\) ➜ \((2)\) এর সাহায্যে।
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
\(3.\) \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তের উপরস্থ \((x_1, y_1)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয়ঃ
দেওয়া আছে,
বৃত্তের সমীকরণ \(x^2+y^2=a^2 .....(1)\)
বৃত্তের উপরস্থ \(P(x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(xx_1+yy_1=a^2 .......(2)\)
\((2)\) এর উপর লম্ব যে কোন রেখার সমীকরণ,
\(xy_1-yx_1+k=0.......(3)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং রেখা \(P(x_1, y_1)\) বিন্দুগামী,
\(\therefore x_1y_1-y_1x_1+k=0\)
\(\Rightarrow 0+k=0\)
\(\therefore k=0\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(xy_1-yx_1+0=0\)
\(\Rightarrow xy_1-yx_1=0\)
ইহাই নির্ণেয় অভিলম্বের সমীকরণ।
বৃত্তের সমীকরণ \(x^2+y^2=a^2 .....(1)\)
বৃত্তের উপরস্থ \(P(x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(xx_1+yy_1=a^2 .......(2)\)
\((2)\) এর উপর লম্ব যে কোন রেখার সমীকরণ,
\(xy_1-yx_1+k=0.......(3)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং রেখা \(P(x_1, y_1)\) বিন্দুগামী,
\(\therefore x_1y_1-y_1x_1+k=0\)
\(\Rightarrow 0+k=0\)
\(\therefore k=0\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(xy_1-yx_1+0=0\)
\(\Rightarrow xy_1-yx_1=0\)
ইহাই নির্ণেয় অভিলম্বের সমীকরণ।
\(4.\) \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের উপরস্থ \((x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয়ঃ
দেওয়া আছে,
বৃত্তের সমীকরণ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 .....(1)\)
\(P(x_1, y_1)\) ও \(Q(x_2, y_2)\) \((1)\) নং বৃত্তের উপরস্থ দুইটি বিন্দু ।
\(PQ\) রেখার ঢাল \(m=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} ....(2)\)
যেহেতু \(P(x_1, y_1)\) ও \(Q(x_2, y_2)\) \((1)\) নং বৃত্তের উপরস্থ দুইটি বিন্দু ।
\(x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c=0 .....(3)\)
\(x^2_2+y^2_2+2gx_2+2fy_2+c=0 .....(4)\)
\((3)\)-\((4)\) এর সাহায্যে
\(x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c-x^2_2-y^2_2-2gx_2-2fy_2-c=0 \)
\(\Rightarrow x^2_1-x^2_2+y^2_1-y^2_2+2gx_1-2gx_2+2fy_1-2fy_2=0 \)
\(\Rightarrow (x_1-x_2)(x_1+x_2)+(y_1-y_2)(y_1+y_2)+2g(x_1-x_2)+2f(y_1-y_2)=0 \)
\(\Rightarrow (x_1-x_2)(x_1+x_2)+2g(x_1-x_2)+(y_1-y_2)(y_1+y_2)+2f(y_1-y_2)=0 \)
\(\Rightarrow (x_1-x_2)(x_1+x_2+2g)+(y_1-y_2)(y_1+y_2+2f)=0 \)
\(\Rightarrow (y_1-y_2)(y_1+y_2+2f)=-(x_1-x_2)(x_1+x_2+2g) \)
\(\Rightarrow \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=-\frac{x_1+x_2+2g}{y_1+y_2+2f} \)
\(\Rightarrow m=-\frac{x_1+x_2+2g}{y_1+y_2+2f} \) ➜ \((2)\) এর সাহায্যে।
এখন ,
\(PQ\) ছেদকটি হবে \(m\) ঢালবিশিষ্ট এবং \(P(x_1, y_1)\) বিন্দুগামী সরলরেখা।
\(\therefore PQ\) এর সমীকরণ,
\(y-y_1=m(x-x_1)\)
\(\Rightarrow y-y_1=-\frac{x_1+x_2+2g}{y_1+y_2+2f}(x-x_1)\)
\(\Rightarrow (y-y_1)(y_1+y_2+2f)=-(x-x_1)(x_1+x_2+2g)\)
\(\Rightarrow (x-x_1)(x_1+x_2+2g)+(y-y_1)(y_1+y_2+2f)=0 ........(5)\)
এখন যদি \(Q\) বিন্দুটি বৃত্তের পরিধির উপর দিয়ে ক্রমশঃ অগ্রসর হয়ে \(P\) বিন্দুর উপর সমাপতিত হয়, তবে \(PQ\) ছেদক \(P\) বিন্দুতে \(PT\) স্পর্শক হবে এবং সীমাস্থ অবস্থায় \(x_2=x_1\) ও \(y_2=y_1\) ।
\((5)\) সমিকরণে \(x_2=x_1, y_2=y_1\) বসিয়ে পাই।
\((x-x_1)(x_1+x_1+2g)+(y-y_1)(y_1+y_1+2f)=0\)
\(\Rightarrow (x-x_1)(2x_1+2g)+(y-y_1)(2y_1+2f)=0\)
\(\Rightarrow 2(x-x_1)(x_1+g)+2(y-y_1)(y_1+f)=0\)
\(\Rightarrow (x-x_1)(x_1+g)+(y-y_1)(y_1+f)=\frac{0}{2}\)
\(\Rightarrow xx_1+gx-x^2_1-gx_1+yy_1+fy-y^2_1-fy_1=0\)
\(\Rightarrow xx_1+yy_1+gx+gx_1+fy+fy_1-x^2_1-y^2_1-2gx_1-2fy_1=0\)
\(\Rightarrow xx_1+yy_1+gx+gx_1+fy+fy_1=x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1\)
\(\Rightarrow xx_1+yy_1+gx+gx_1+fy+fy_1+c=x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c\)
\(\Rightarrow xx_1+yy_1+gx+gx_1+fy+fy_1+c=0\) ➜ \((3)\) এর সাহায্যে।
\(\therefore xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
বৃত্তের সমীকরণ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 .....(1)\)
\(P(x_1, y_1)\) ও \(Q(x_2, y_2)\) \((1)\) নং বৃত্তের উপরস্থ দুইটি বিন্দু ।
\(PQ\) রেখার ঢাল \(m=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} ....(2)\)
যেহেতু \(P(x_1, y_1)\) ও \(Q(x_2, y_2)\) \((1)\) নং বৃত্তের উপরস্থ দুইটি বিন্দু ।
\(x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c=0 .....(3)\)
\(x^2_2+y^2_2+2gx_2+2fy_2+c=0 .....(4)\)
\((3)\)-\((4)\) এর সাহায্যে
\(x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c-x^2_2-y^2_2-2gx_2-2fy_2-c=0 \)
\(\Rightarrow x^2_1-x^2_2+y^2_1-y^2_2+2gx_1-2gx_2+2fy_1-2fy_2=0 \)
\(\Rightarrow (x_1-x_2)(x_1+x_2)+(y_1-y_2)(y_1+y_2)+2g(x_1-x_2)+2f(y_1-y_2)=0 \)
\(\Rightarrow (x_1-x_2)(x_1+x_2)+2g(x_1-x_2)+(y_1-y_2)(y_1+y_2)+2f(y_1-y_2)=0 \)
\(\Rightarrow (x_1-x_2)(x_1+x_2+2g)+(y_1-y_2)(y_1+y_2+2f)=0 \)
\(\Rightarrow (y_1-y_2)(y_1+y_2+2f)=-(x_1-x_2)(x_1+x_2+2g) \)
\(\Rightarrow \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=-\frac{x_1+x_2+2g}{y_1+y_2+2f} \)
\(\Rightarrow m=-\frac{x_1+x_2+2g}{y_1+y_2+2f} \) ➜ \((2)\) এর সাহায্যে।
এখন ,
\(PQ\) ছেদকটি হবে \(m\) ঢালবিশিষ্ট এবং \(P(x_1, y_1)\) বিন্দুগামী সরলরেখা।
\(\therefore PQ\) এর সমীকরণ,
\(y-y_1=m(x-x_1)\)
\(\Rightarrow y-y_1=-\frac{x_1+x_2+2g}{y_1+y_2+2f}(x-x_1)\)
\(\Rightarrow (y-y_1)(y_1+y_2+2f)=-(x-x_1)(x_1+x_2+2g)\)
\(\Rightarrow (x-x_1)(x_1+x_2+2g)+(y-y_1)(y_1+y_2+2f)=0 ........(5)\)
এখন যদি \(Q\) বিন্দুটি বৃত্তের পরিধির উপর দিয়ে ক্রমশঃ অগ্রসর হয়ে \(P\) বিন্দুর উপর সমাপতিত হয়, তবে \(PQ\) ছেদক \(P\) বিন্দুতে \(PT\) স্পর্শক হবে এবং সীমাস্থ অবস্থায় \(x_2=x_1\) ও \(y_2=y_1\) ।
\((5)\) সমিকরণে \(x_2=x_1, y_2=y_1\) বসিয়ে পাই।
\((x-x_1)(x_1+x_1+2g)+(y-y_1)(y_1+y_1+2f)=0\)
\(\Rightarrow (x-x_1)(2x_1+2g)+(y-y_1)(2y_1+2f)=0\)
\(\Rightarrow 2(x-x_1)(x_1+g)+2(y-y_1)(y_1+f)=0\)
\(\Rightarrow (x-x_1)(x_1+g)+(y-y_1)(y_1+f)=\frac{0}{2}\)
\(\Rightarrow xx_1+gx-x^2_1-gx_1+yy_1+fy-y^2_1-fy_1=0\)
\(\Rightarrow xx_1+yy_1+gx+gx_1+fy+fy_1-x^2_1-y^2_1-2gx_1-2fy_1=0\)
\(\Rightarrow xx_1+yy_1+gx+gx_1+fy+fy_1=x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1\)
\(\Rightarrow xx_1+yy_1+gx+gx_1+fy+fy_1+c=x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c\)
\(\Rightarrow xx_1+yy_1+gx+gx_1+fy+fy_1+c=0\) ➜ \((3)\) এর সাহায্যে।
\(\therefore xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
\(5.\) \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের উপরস্থ \((x_1, y_1)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয়ঃ
মনে করি,
বৃত্তের সমীকরণ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 ......(1)\)
\((1)\) বৃত্তের পরিধীর উপরস্থ \((x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ।
\(xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0\)
\(\Rightarrow xx_1+yy_1+gx+gx_1+fy+fy_1+c=0\)
\(\Rightarrow xx_1+gx+yy_1+fy+gx_1+fy_1+c=0\)
\(\Rightarrow x(x_1+g)+y(y_1+f)=-(gx_1+fy_1+c)\)
\(\Rightarrow y(y_1+f)=-x(x_1+g)-(gx_1+fy_1+c)\)
\(\therefore y=-\frac{x_1+g}{y_1+f}x-\frac{gx_1+fy_1+c}{y_1+f} .......(2)\)
আবার,
\((x_1, y_1)\) বিন্দুগামী যে কোন রেখার সমীকরণ, \(y-y_1=m(x-x_1) .......(3)\)
যদি, \((3)\) নং রেখাটি \(\) বিন্দুতে অভিলম্ব হয়, তবে তা অবশ্যই \((2)\) নং রেখার উপর লম্ব হবে।
\(\therefore -\frac{x_1+g}{y_1+f}\times m=-1\)
\(\Rightarrow \frac{x_1+g}{y_1+f}\times m=1\)
\(\therefore m=\frac{y_1+f}{x_1+g}\)
\(m\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(y-y_1=\frac{y_1+f}{x_1+g}(x-x_1)\)
\(\Rightarrow y-y_1=\frac{(y_1+f)(x-x_1)}{x_1+g}\)
\(\Rightarrow (y_1+f)(x-x_1)=(y-y_1)(x_1+g)\)
\(\Rightarrow x(y_1+f)-x_1y_1-fx_1=y(x_1+g)-y_1x_1-gy_1\)
\(\therefore x(y_1+f)-y(x_1+g)-fx_1+gy_1=0\)
ইহাই নির্ণেয় অভিলম্বের সমীকরণ।
বৃত্তের সমীকরণ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 ......(1)\)
\((1)\) বৃত্তের পরিধীর উপরস্থ \((x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ।
\(xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0\)
\(\Rightarrow xx_1+yy_1+gx+gx_1+fy+fy_1+c=0\)
\(\Rightarrow xx_1+gx+yy_1+fy+gx_1+fy_1+c=0\)
\(\Rightarrow x(x_1+g)+y(y_1+f)=-(gx_1+fy_1+c)\)
\(\Rightarrow y(y_1+f)=-x(x_1+g)-(gx_1+fy_1+c)\)
\(\therefore y=-\frac{x_1+g}{y_1+f}x-\frac{gx_1+fy_1+c}{y_1+f} .......(2)\)
আবার,
\((x_1, y_1)\) বিন্দুগামী যে কোন রেখার সমীকরণ, \(y-y_1=m(x-x_1) .......(3)\)
যদি, \((3)\) নং রেখাটি \(\) বিন্দুতে অভিলম্ব হয়, তবে তা অবশ্যই \((2)\) নং রেখার উপর লম্ব হবে।
\(\therefore -\frac{x_1+g}{y_1+f}\times m=-1\)
\(\Rightarrow \frac{x_1+g}{y_1+f}\times m=1\)
\(\therefore m=\frac{y_1+f}{x_1+g}\)
\(m\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(y-y_1=\frac{y_1+f}{x_1+g}(x-x_1)\)
\(\Rightarrow y-y_1=\frac{(y_1+f)(x-x_1)}{x_1+g}\)
\(\Rightarrow (y_1+f)(x-x_1)=(y-y_1)(x_1+g)\)
\(\Rightarrow x(y_1+f)-x_1y_1-fx_1=y(x_1+g)-y_1x_1-gy_1\)
\(\therefore x(y_1+f)-y(x_1+g)-fx_1+gy_1=0\)
ইহাই নির্ণেয় অভিলম্বের সমীকরণ।
\(6.\) \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তের বহিঃস্থ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয়ঃ
দেওয়া আছে,
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2=a^2 ..........(1)\)
কেন্দ্র \(O(0, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(a\) যখন, \(a>0)\)
\((1)\) নং বৃত্তের বহিঃস্থ কোন বিন্দু \((x_1, y_1)\)
ধরি,
\((x_1, y_1)\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-y_1=m(x-x_1)\)
\(\Rightarrow 0=m(x-x_1)-y+y_1\)
\(\Rightarrow m(x-x_1)-y+y_1=0 .....(2)\)
\(\Rightarrow m(x-x_1)=y-y_1\)
\(\Rightarrow m=\frac{y-y_1}{x-x_1} .......(3)\)
\((2)\) নং রেখাটি \( (1)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি কেন্দ্র \(O(0, 0)\) হতে রেখটির উপর অঙ্কিত লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
\(\therefore \frac{y_1-mx_1}{\sqrt{1+m^2}}=a\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow y_1-mx_1=a\sqrt{1+m^2}\)
\(\Rightarrow (y_1-mx_1)^2=a^2(1+m^2)\)
\(\Rightarrow (y_1-\frac{y-y_1}{x-x_1}x_1)^2=a^2\{1+\left(\frac{y-y_1}{x-x_1}\right)^2\}\) ➜ \((3)\) এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow (y_1-\frac{x_1y-x_1y_1}{x-x_1})^2=a^2\{1+\frac{(y-y_1)^2}{(x-x_1)^2}\}\)
\(\Rightarrow (\frac{xy_1-x_1y_1-x_1y+x_1y_1}{x-x_1})^2=a^2\{\frac{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2}{(x-x_1)^2}\}\)
\(\Rightarrow \frac{(xy_1-x_1y)^2}{(x-x_1)^2}=a^2\{\frac{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2}{(x-x_1)^2}\}\)
\(\Rightarrow (xy_1-x_1y)^2=a^2\{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2\}\)
\(\Rightarrow (xy_1-x_1y)^2=a^2\{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2\}\)
\(\therefore (x^2+y^2-a^2)(x^2_1+y^2_1-a^2)=(xx_1+yy_1-a^2)^2\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
অনুরূপভাবে দেখানো যায় যে, বহিঃস্থ কোন বিন্দু \(\) হতে \(\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক দুইটির সমীকরণ,
\(\therefore (x^2+y^2+2gx+2fy+c)(x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c)\)\(=\{xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c\}^2\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2=a^2 ..........(1)\)
কেন্দ্র \(O(0, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(a\) যখন, \(a>0)\)
\((1)\) নং বৃত্তের বহিঃস্থ কোন বিন্দু \((x_1, y_1)\)
ধরি,
\((x_1, y_1)\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-y_1=m(x-x_1)\)
\(\Rightarrow 0=m(x-x_1)-y+y_1\)
\(\Rightarrow m(x-x_1)-y+y_1=0 .....(2)\)
\(\Rightarrow m(x-x_1)=y-y_1\)
\(\Rightarrow m=\frac{y-y_1}{x-x_1} .......(3)\)
\((2)\) নং রেখাটি \( (1)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি কেন্দ্র \(O(0, 0)\) হতে রেখটির উপর অঙ্কিত লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
\(\therefore \frac{y_1-mx_1}{\sqrt{1+m^2}}=a\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow y_1-mx_1=a\sqrt{1+m^2}\)
\(\Rightarrow (y_1-mx_1)^2=a^2(1+m^2)\)
\(\Rightarrow (y_1-\frac{y-y_1}{x-x_1}x_1)^2=a^2\{1+\left(\frac{y-y_1}{x-x_1}\right)^2\}\) ➜ \((3)\) এর সাহায্যে।\(\Rightarrow (y_1-\frac{x_1y-x_1y_1}{x-x_1})^2=a^2\{1+\frac{(y-y_1)^2}{(x-x_1)^2}\}\)
\(\Rightarrow (\frac{xy_1-x_1y_1-x_1y+x_1y_1}{x-x_1})^2=a^2\{\frac{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2}{(x-x_1)^2}\}\)
\(\Rightarrow \frac{(xy_1-x_1y)^2}{(x-x_1)^2}=a^2\{\frac{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2}{(x-x_1)^2}\}\)
\(\Rightarrow (xy_1-x_1y)^2=a^2\{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2\}\)
\(\Rightarrow (xy_1-x_1y)^2=a^2\{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2\}\)
\(\therefore (x^2+y^2-a^2)(x^2_1+y^2_1-a^2)=(xx_1+yy_1-a^2)^2\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
অনুরূপভাবে দেখানো যায় যে, বহিঃস্থ কোন বিন্দু \(\) হতে \(\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক দুইটির সমীকরণ,
\(\therefore (x^2+y^2+2gx+2fy+c)(x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c)\)\(=\{xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c\}^2\)
\(8.\) \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তের বহিঃস্থ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয়ঃ
ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2=a^2 ..........(1)\)
কেন্দ্র \(O(0, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(OT=a\) যখন, \(a>0)\)
\((1)\) নং বৃত্তের বহিঃস্থ কোন বিন্দু \(P(x_1, y_1)\) এবং বৃত্তের পরিধির উপরোস্থ বিন্দু \(T\).
এখন,
\(PO=\sqrt{(x_1-0)^2+(y_1-0)^2}\) ➜\(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)
\(\Rightarrow PO=\sqrt{x^2_1+y^2_1}\)
\(\therefore PO^2=x^2_1+y^2_1\)
\((1)\) নং বৃত্তের পরিধির উপরোস্থ বিন্দু \(T\) তে \(PT\) স্পর্শক।
\(\therefore OT\perp PT\)
অতএব,
\(PT^2+OT^2=PO^2\)
\(\Rightarrow PT^2=PO^2-OT^2\)
\(\Rightarrow PT=\sqrt{PO^2-OT^2}\)
\(\therefore PT=\sqrt{x^2_1+y^2_1-a^2}\)
ইহাই স্পর্শকের দৈর্ঘ্য।
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2=a^2 ..........(1)\)
কেন্দ্র \(O(0, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(OT=a\) যখন, \(a>0)\)
\((1)\) নং বৃত্তের বহিঃস্থ কোন বিন্দু \(P(x_1, y_1)\) এবং বৃত্তের পরিধির উপরোস্থ বিন্দু \(T\).
এখন,
\(PO=\sqrt{(x_1-0)^2+(y_1-0)^2}\) ➜\(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)
\(\Rightarrow PO=\sqrt{x^2_1+y^2_1}\)
\(\therefore PO^2=x^2_1+y^2_1\)
\((1)\) নং বৃত্তের পরিধির উপরোস্থ বিন্দু \(T\) তে \(PT\) স্পর্শক।
\(\therefore OT\perp PT\)
অতএব,
\(PT^2+OT^2=PO^2\)
\(\Rightarrow PT^2=PO^2-OT^2\)
\(\Rightarrow PT=\sqrt{PO^2-OT^2}\)
\(\therefore PT=\sqrt{x^2_1+y^2_1-a^2}\)
ইহাই স্পর্শকের দৈর্ঘ্য।
\(9.\) \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের বহিঃস্থ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয়ঃ
ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 ..........(1)\)
কেন্দ্র \(O(-g, -f)\)
ব্যাসার্ধ \(OT=\sqrt{g^2+f^2-c}\) যখন, \(g^2+f^2>c)\)
\((1)\) নং বৃত্তের বহিঃস্থ কোন বিন্দু \(P(x_1, y_1)\) এবং বৃত্তের পরিধির উপরোস্থ বিন্দু \(T\).
এখন,
\(PO=\sqrt{(x_1+g)^2+(y_1+f)^2}\)
\(\therefore PO^2=(x_1+g)^2+(y_1+f)^2\)
\((1)\) নং বৃত্তের পরিধির উপরোস্থ বিন্দু \(T\) তে \(PT\) স্পর্শক।
\(\therefore OT\perp PT\)
অতএব,
\(PT^2+OT^2=PO^2\)
\(\Rightarrow PT^2=PO^2-OT^2\)
\(\Rightarrow PT=\sqrt{PO^2-OT^2}\)
\(\therefore PT=\sqrt{(x_1+g)^2+(y_1+f)^2-(\sqrt{g^2+f^2-c})^2}\)
\(=\sqrt{(x_1+g)^2+(y_1+f)^2-g^2-f^2+c}\)
\(=\sqrt{x^2_1+2gx_1+g^2+y^2_1+2fy_1+f^2-g^2-f^2+c}\)
\(=\sqrt{x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c}\)
ইহাই স্পর্শকের দৈর্ঘ্য।
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 ..........(1)\)
কেন্দ্র \(O(-g, -f)\)
ব্যাসার্ধ \(OT=\sqrt{g^2+f^2-c}\) যখন, \(g^2+f^2>c)\)
\((1)\) নং বৃত্তের বহিঃস্থ কোন বিন্দু \(P(x_1, y_1)\) এবং বৃত্তের পরিধির উপরোস্থ বিন্দু \(T\).
এখন,
\(PO=\sqrt{(x_1+g)^2+(y_1+f)^2}\)
\(\therefore PO^2=(x_1+g)^2+(y_1+f)^2\)
\((1)\) নং বৃত্তের পরিধির উপরোস্থ বিন্দু \(T\) তে \(PT\) স্পর্শক।
\(\therefore OT\perp PT\)
অতএব,
\(PT^2+OT^2=PO^2\)
\(\Rightarrow PT^2=PO^2-OT^2\)
\(\Rightarrow PT=\sqrt{PO^2-OT^2}\)
\(\therefore PT=\sqrt{(x_1+g)^2+(y_1+f)^2-(\sqrt{g^2+f^2-c})^2}\)
\(=\sqrt{(x_1+g)^2+(y_1+f)^2-g^2-f^2+c}\)
\(=\sqrt{x^2_1+2gx_1+g^2+y^2_1+2fy_1+f^2-g^2-f^2+c}\)
\(=\sqrt{x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c}\)
ইহাই স্পর্শকের দৈর্ঘ্য।
\(10.\) \(S_1\equiv x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0\) ও \(S_2\equiv x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0\) বৃত্ত দ্বয়ের সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয়ঃ
ধরি,
বৃত্তদ্বয়ের সমীকরণ,
\(S_1\equiv x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0 ..........(1)\)
\(S_2\equiv x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0 ..........(2)\)
\((1)\)-\((2)\) এর সাহায্যে,
\(S_1-S_2\equiv x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1-x^2-\)\(y^2-2g_2x-2f_2y-c_2=0 \)
\(\Rightarrow S_1-S_2\equiv 2g_1x+2f_1y+c_1-2g_2x-2f_2y-c_2=0 \)
\(\Rightarrow S_1-S_2\equiv 2(g_1-g_2)x+2(f_1-f_2)y+c_1-c_2=0 \)
\(\therefore 2(g_1-g_2)x+2(f_1-f_2)y+c_1-c_2=0 \)
ইহাই নির্ণেয় সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ।
বৃত্তদ্বয়ের সমীকরণ,
\(S_1\equiv x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0 ..........(1)\)
\(S_2\equiv x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0 ..........(2)\)
\((1)\)-\((2)\) এর সাহায্যে,
\(S_1-S_2\equiv x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1-x^2-\)\(y^2-2g_2x-2f_2y-c_2=0 \)
\(\Rightarrow S_1-S_2\equiv 2g_1x+2f_1y+c_1-2g_2x-2f_2y-c_2=0 \)
\(\Rightarrow S_1-S_2\equiv 2(g_1-g_2)x+2(f_1-f_2)y+c_1-c_2=0 \)
\(\therefore 2(g_1-g_2)x+2(f_1-f_2)y+c_1-c_2=0 \)
ইহাই নির্ণেয় সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ।
\(11.\) \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তে অঙ্কিত জ্যা-এর মধ্যবিন্দু \(C(x_1, y_1)\) হলে, জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয়ঃ
ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 ..........(1)\)
কেন্দ্র \(O(-g, -f)\)।
\(AB\) জ্যা-এর মধ্যবিন্দু \(C(x_1, y_1)\)।
কেন্দ্র হতে জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোগ সরলরেখা জ্যা-এর উপর লম্ব হয়।
\(OC\perp AB\)
\(OC\) এর ঢাল \(m=\frac{-f-y_1}{-g-x_1}\)
\(=\frac{-(f+y_1)}{-(g+x_1)}\)
\(=\frac{f+y_1}{g+x_1}\)
\(\therefore AB\) জ্যা-এর ঢাল \(=-\frac{1}{m}\)
\(=-\frac{1}{\frac{f+y_1}{g+x_1}}\)
\(=-\frac{g+x_1}{f+y_1}\)
\(AB\) এর সমীকরণ,
\(y-y_1=-\frac{g+x_1}{f+y_1}(x-x_1)\)
\(\Rightarrow (y-y_1)(f+y_1)=-(x-x_1)(g+x_1)\)
\(\Rightarrow yf+yy_1-y_1f-y^2_1=-(xg+xx_1-x_1g-x^2_1)\)
\(\Rightarrow yf+yy_1-y_1f-y^2_1=-xg-xx_1+x_1g+x^2_1)\)
\(\Rightarrow xx_1+yy_1+xg+yf=x^2_1+y^2_1+gx_1+fy_1\)
\(\Rightarrow xx_1+yy_1+xg+gx_1+yf+fy_1=x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1\)
\(\therefore xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)=x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1\)
ইহাই নির্ণেয় জ্যা-এর সমীকরণ।
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 ..........(1)\)
কেন্দ্র \(O(-g, -f)\)।
\(AB\) জ্যা-এর মধ্যবিন্দু \(C(x_1, y_1)\)।
কেন্দ্র হতে জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোগ সরলরেখা জ্যা-এর উপর লম্ব হয়।
\(OC\perp AB\)
\(OC\) এর ঢাল \(m=\frac{-f-y_1}{-g-x_1}\)
\(=\frac{-(f+y_1)}{-(g+x_1)}\)
\(=\frac{f+y_1}{g+x_1}\)
\(\therefore AB\) জ্যা-এর ঢাল \(=-\frac{1}{m}\)
\(=-\frac{1}{\frac{f+y_1}{g+x_1}}\)
\(=-\frac{g+x_1}{f+y_1}\)
\(AB\) এর সমীকরণ,
\(y-y_1=-\frac{g+x_1}{f+y_1}(x-x_1)\)
\(\Rightarrow (y-y_1)(f+y_1)=-(x-x_1)(g+x_1)\)
\(\Rightarrow yf+yy_1-y_1f-y^2_1=-(xg+xx_1-x_1g-x^2_1)\)
\(\Rightarrow yf+yy_1-y_1f-y^2_1=-xg-xx_1+x_1g+x^2_1)\)
\(\Rightarrow xx_1+yy_1+xg+yf=x^2_1+y^2_1+gx_1+fy_1\)
\(\Rightarrow xx_1+yy_1+xg+gx_1+yf+fy_1=x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1\)
\(\therefore xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)=x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1\)
ইহাই নির্ণেয় জ্যা-এর সমীকরণ।
\(12.\) \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তের বহিঃস্থ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয়ের স্পর্শ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয়ঃ
ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2=a^2 ..........(1)\)
\((1)\) নং বৃত্তের বহিঃস্থ একটি বিন্দু \(P(x_1, y_1)\)। \(P\) হতে \((1)\) নং বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় যথাক্রমে \(PA\) ও \(PB\)।
ধরি,
স্পর্শবিন্দুদ্বয় যথাক্রমে \(A(x_2, y_2)\) ও \(B(x_3, y_3)\) ।
এখন,
\((1)\) নং বৃত্তের উপরোস্থ \(A(x_2, y_2)\) ও \(B(x_3, y_3)\) বিন্দুতে স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ,
\(xx_2+yy_2=a^2 ..........(2)\)
\(xx_3+yy_3=a^2 ..........(3)\)
যেহেতু স্পর্শকদ্বয় \(P(x_1, y_1)\) বিন্দুগামী,
\(x_1x_2+y_1y_2=a^2 ..........(4)\)
\(x_1x_3+y_1y_3=a^2 ..........(5)\)
\((4)\) ও \((5)\) সমীকরণ দুইটি হতে প্রমাণিত হয় যে, \(A(x_2, y_2)\) ও \(B(x_3, y_3)\) বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক দ্বারা নিম্নলিখিত সমীকরণটি সিদ্ধ হয়।
\(xx_1+yy_1=a^2 ..........(6)\)
\((6)\) নং সমীকরণটি একটি সরলরেখা সূচিত করে।
অতএব, ইহাই নির্ণেয় স্পর্শ জ্যা-এর সমীকরণ।
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2=a^2 ..........(1)\)
\((1)\) নং বৃত্তের বহিঃস্থ একটি বিন্দু \(P(x_1, y_1)\)। \(P\) হতে \((1)\) নং বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় যথাক্রমে \(PA\) ও \(PB\)।
ধরি,
স্পর্শবিন্দুদ্বয় যথাক্রমে \(A(x_2, y_2)\) ও \(B(x_3, y_3)\) ।
এখন,
\((1)\) নং বৃত্তের উপরোস্থ \(A(x_2, y_2)\) ও \(B(x_3, y_3)\) বিন্দুতে স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ,
\(xx_2+yy_2=a^2 ..........(2)\)
\(xx_3+yy_3=a^2 ..........(3)\)
যেহেতু স্পর্শকদ্বয় \(P(x_1, y_1)\) বিন্দুগামী,
\(x_1x_2+y_1y_2=a^2 ..........(4)\)
\(x_1x_3+y_1y_3=a^2 ..........(5)\)
\((4)\) ও \((5)\) সমীকরণ দুইটি হতে প্রমাণিত হয় যে, \(A(x_2, y_2)\) ও \(B(x_3, y_3)\) বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক দ্বারা নিম্নলিখিত সমীকরণটি সিদ্ধ হয়।
\(xx_1+yy_1=a^2 ..........(6)\)
\((6)\) নং সমীকরণটি একটি সরলরেখা সূচিত করে।
অতএব, ইহাই নির্ণেয় স্পর্শ জ্যা-এর সমীকরণ।
\(13.\) \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের বহিঃস্থ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয়ের স্পর্শ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয়ঃ
ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 ..........(1)\)
\((1)\) নং বৃত্তের বহিঃস্থ একটি বিন্দু \(P(x_1, y_1)\)। \(P\) হতে \((1)\) নং বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় যথাক্রমে \(PA\) ও \(PB\)।
ধরি,
স্পর্শবিন্দুদ্বয় যথাক্রমে \(A(x_2, y_2)\) ও \(B(x_3, y_3)\) ।
এখন,
\((1)\) নং বৃত্তের উপরোস্থ \(A(x_2, y_2)\) ও \(B(x_3, y_3)\) বিন্দুতে স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ,
\(xx_2+yy_2+g(x+x_2)+f(y+y_2)+c=0 ..........(2)\)
\(xx_3+yy_3+g(x+x_3)+f(y+y_3)+c=0 ..........(3)\)
যেহেতু স্পর্শকদ্বয় \(P(x_1, y_1)\) বিন্দুগামী,
\(x_1x_2+y_1y_2+g(x_1+x_2)+f(y_1+y_2)+c=0 ..........(4)\)
\(x_1x_3+y_1y_3+g(x_1+x_3)+f(y_1+y_3)+c=0 ..........(5)\)
\((4)\) ও \((5)\) সমীকরণ দুইটি হতে প্রমাণিত হয় যে, \(A(x_2, y_2)\) ও \(B(x_3, y_3)\) বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক দ্বারা নিম্নলিখিত সমীকরণটি সিদ্ধ হয়।
\(xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0 ..........(6)\)
\((6)\) নং সমীকরণটি একটি সরলরেখা সূচিত করে।
অতএব, ইহাই নির্ণেয় স্পর্শ জ্যা-এর সমীকরণ।
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 ..........(1)\)
\((1)\) নং বৃত্তের বহিঃস্থ একটি বিন্দু \(P(x_1, y_1)\)। \(P\) হতে \((1)\) নং বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় যথাক্রমে \(PA\) ও \(PB\)।
ধরি,
স্পর্শবিন্দুদ্বয় যথাক্রমে \(A(x_2, y_2)\) ও \(B(x_3, y_3)\) ।
এখন,
\((1)\) নং বৃত্তের উপরোস্থ \(A(x_2, y_2)\) ও \(B(x_3, y_3)\) বিন্দুতে স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ,
\(xx_2+yy_2+g(x+x_2)+f(y+y_2)+c=0 ..........(2)\)
\(xx_3+yy_3+g(x+x_3)+f(y+y_3)+c=0 ..........(3)\)
যেহেতু স্পর্শকদ্বয় \(P(x_1, y_1)\) বিন্দুগামী,
\(x_1x_2+y_1y_2+g(x_1+x_2)+f(y_1+y_2)+c=0 ..........(4)\)
\(x_1x_3+y_1y_3+g(x_1+x_3)+f(y_1+y_3)+c=0 ..........(5)\)
\((4)\) ও \((5)\) সমীকরণ দুইটি হতে প্রমাণিত হয় যে, \(A(x_2, y_2)\) ও \(B(x_3, y_3)\) বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক দ্বারা নিম্নলিখিত সমীকরণটি সিদ্ধ হয়।
\(xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0 ..........(6)\)
\((6)\) নং সমীকরণটি একটি সরলরেখা সূচিত করে।
অতএব, ইহাই নির্ণেয় স্পর্শ জ্যা-এর সমীকরণ।
অনুশীলনী \(4.B\) উদাহরণসমুহ
উদাহরণ \(1.\) \(x^{2}+y^{2}-2x-4y-4=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক, \(3x-4y-1=0\) রেখার সমান্তরাল। স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(2.\) \(k\) এর মান কত হলে, \(3x+4y=k\) রেখাটি \(x^2+y^2=10x\) বৃত্তকে স্পর্শ করবে?
[ ঢাঃ ২০১৪ ]
উদাহরণ \(3.\) \((4, -2)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত \(x^2+y^2-2y-15=0\) বৃত্তটিকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(4.\) \(x^2+y^2=144\) বৃত্তের যে জ্যা \((4, -6)\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয় তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(5.\) \(x^2+y^2+4x-8y+2=0\) বৃত্তের স্পর্শক অক্ষদ্বয় থেকে একই চিহ্নবিশিষ্ট সমমানের অংশ ছেদ করে। স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(6.\) \(x^2+y^2+2x+3y+1=0\) ও \(x^2+y^2+4x+3y+2=0\) বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা যে বৃত্তের ব্যাস তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১৪ ]
উদাহরণ \(7.\) \(y=mx\) রেখাটি \(x^2+y^2+2gx+c=0\) বৃত্তের স্পর্শক হলে, \(m\)-এর মান নির্ণয় কর এবং এর সাহায্যে মূলবিন্দু থেকে \(x^2+y^2-10x+20=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১১ ]
উদাহরণ \(8.\) \(x^2+y^2-3x+10y-15=0\) বৃত্তের \((4, -11)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১৪; সিঃ ২০১০, ২০০২; রাঃ ২০০৯]
উদাহরণ \(9.\) \(x^2+y^2=b(5x-12y)\) বৃত্তের একটি ব্যাস মূলবিন্দু দিয়ে যায়। এই ব্যাসের সমীকরণ এবং মূলবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢঃ ২০০৪]
উদাহরণ \(10.\) \(3x+by-1=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-8x-2y+4=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। \(b\) এর মান নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০২, ২০০০; রাঃ ২০১৪, ২০১২; কুঃ ২০১০, ২০০৪; বঃ ২০১২,২০০৯; চঃ ২০১১ ; যঃ ২০১০; সিঃ ২০০৮; মাঃ ২০১২, ২০০৫। ]
উদাহরণ \(11.\) মূলবিন্দু থেকে \((1, 2)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \(2\) একক। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢঃ ২০১০; রাঃ ২০০৬; চঃ ২০০৭,২০০৪; বঃ ২০০৬; সিঃ ২০০৭; যঃ ২০০৪; রাঃ ২০০০ ]
উদাহরণ \(12.\) \(X\) অক্ষকে \((4, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \(Y\) অক্ষ হতে \(6\) একক দৈর্ঘ্যের জ্যা কর্তন করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢঃ ২০০৯; কুঃ ২০১০, যঃ ২০১১, ২০০৯; সিঃ ২০০৫; চঃ ২০১১,২০০৯; রাঃ২০০৯ ]
উদাহরণ \(13.\) মূলবিন্দু থেকে \(x^{2}+y^{2}-10x+20=0\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শক দুইটির সমীকরণ এবং দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(14.\) \(x^2+y^2-4x+6y-36=0\) ও \(x^2+y^2-5x+8y-43=0\) বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(2.\) \(k\) এর মান কত হলে, \(3x+4y=k\) রেখাটি \(x^2+y^2=10x\) বৃত্তকে স্পর্শ করবে?
[ ঢাঃ ২০১৪ ]
উদাহরণ \(3.\) \((4, -2)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত \(x^2+y^2-2y-15=0\) বৃত্তটিকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(4.\) \(x^2+y^2=144\) বৃত্তের যে জ্যা \((4, -6)\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয় তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(5.\) \(x^2+y^2+4x-8y+2=0\) বৃত্তের স্পর্শক অক্ষদ্বয় থেকে একই চিহ্নবিশিষ্ট সমমানের অংশ ছেদ করে। স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(6.\) \(x^2+y^2+2x+3y+1=0\) ও \(x^2+y^2+4x+3y+2=0\) বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা যে বৃত্তের ব্যাস তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১৪ ]
উদাহরণ \(7.\) \(y=mx\) রেখাটি \(x^2+y^2+2gx+c=0\) বৃত্তের স্পর্শক হলে, \(m\)-এর মান নির্ণয় কর এবং এর সাহায্যে মূলবিন্দু থেকে \(x^2+y^2-10x+20=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১১ ]
উদাহরণ \(8.\) \(x^2+y^2-3x+10y-15=0\) বৃত্তের \((4, -11)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১৪; সিঃ ২০১০, ২০০২; রাঃ ২০০৯]
উদাহরণ \(9.\) \(x^2+y^2=b(5x-12y)\) বৃত্তের একটি ব্যাস মূলবিন্দু দিয়ে যায়। এই ব্যাসের সমীকরণ এবং মূলবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢঃ ২০০৪]
উদাহরণ \(10.\) \(3x+by-1=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-8x-2y+4=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। \(b\) এর মান নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০২, ২০০০; রাঃ ২০১৪, ২০১২; কুঃ ২০১০, ২০০৪; বঃ ২০১২,২০০৯; চঃ ২০১১ ; যঃ ২০১০; সিঃ ২০০৮; মাঃ ২০১২, ২০০৫। ]
উদাহরণ \(11.\) মূলবিন্দু থেকে \((1, 2)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \(2\) একক। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢঃ ২০১০; রাঃ ২০০৬; চঃ ২০০৭,২০০৪; বঃ ২০০৬; সিঃ ২০০৭; যঃ ২০০৪; রাঃ ২০০০ ]
উদাহরণ \(12.\) \(X\) অক্ষকে \((4, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \(Y\) অক্ষ হতে \(6\) একক দৈর্ঘ্যের জ্যা কর্তন করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢঃ ২০০৯; কুঃ ২০১০, যঃ ২০১১, ২০০৯; সিঃ ২০০৫; চঃ ২০১১,২০০৯; রাঃ২০০৯ ]
উদাহরণ \(13.\) মূলবিন্দু থেকে \(x^{2}+y^{2}-10x+20=0\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শক দুইটির সমীকরণ এবং দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(14.\) \(x^2+y^2-4x+6y-36=0\) ও \(x^2+y^2-5x+8y-43=0\) বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(15.\) \(x^{2}+y^{2}-8x-10y=8\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক, \(5x-12y-9=0\) রেখার সমান্তরাল। স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০৬; কুঃ ২০০৭,২০১৪; সিঃ ২০১১;চঃ ২০১২;ঢাঃ ২০১৪। ]
উদাহরণ \(16.\) \(x^2+y^2=81\) বৃত্তের একটি জ্যা \((-2, 3)\) বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত হয়। ঐ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০০৬; বঃ২০০৮,২০১০;সিঃ ২০০৮; যঃ ২০০৯,২০১৩;চঃ ২০০৬,২০১২,২০১৫; রাঃ ২০০৬,২০১১; দিঃ ২০১৩;মাঃ ২০০৬,২০০৭।]
উদাহরণ \(17.\)
\(x^2+y^2+2x+3y+1=0 .........(1)\)
\(x^2+y^2+4x+3y+2=0 .........(2)\)
\(x^2+y^2-4x+6y-7=0 .........(3)\)
\((a)\) \((3, 2)\) বিন্দু হতে \((2)\) নং বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \((1)\) ও \((2)\) নং বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা যে বৃত্তের ব্যস তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(x+2y=11\) সরলরেখা হতে \((3)\) নং বৃত্তের উপর যে বিন্দুটির দূরত্ব ক্ষুদ্রতম তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(18.\) \(x^2+y^2=25\) বৃত্তের স্পর্শক দুইটি \(X\) অক্ষের সাথে \(60^o\) কোণ উৎপন্ন করলে তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(19.\) \(x^2+y^2-6x+4y+3=0\) বৃত্তের \((2, 1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(20.\) \((4, 7)\) বিন্দু থেকে \(2x^{2}+2y^{2}-8x-14y+11=0\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(21.\) \(x^2+y^2=r^2\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক দুইটি লম্বভাবে ছেদ করলে ছেদবিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(22.\) \((1, -3)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত \(2x-y-4=0\) রেখাকে স্পর্শ করে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(23.\) \(x^{2}+y^{2}-4x-6y+c=0\) বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে। \(c\) এর মান এবং স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(24.\) \(y=2x \) যদি \(x^2+y^2=10x\) বৃত্তের কোন জ্যা-এর সমীকরণ হয়, তবে উক্ত জ্যাকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(25.\) \((1, -1)\) বিন্দু থেকে \(2x^{2}+2y^{2}-x+3y+1=0\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(26.\) \(x^2+y^2=20\) বৃত্তের \(2\) ভুজবিশিষ্ট বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(27.\) \(x^2+y^2=16\) ও \(x^2+y^2+6x-8y=0\) বৃত্ত দুইটির সাধারণ স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(28.\) \(x^2+y^2-4x-2y+4=0\) ও \(x^2+y^2+4x+2y-4=0\) বৃত্ত দুইটির তীর্যক সাধারণ স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(29.\) \(x^2+y^2-3x+10y-15=0\) বৃত্তের \((4, -11)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০১০, ২০০২; রাঃ ২০০৯]
[ যঃ ২০০৬; কুঃ ২০০৭,২০১৪; সিঃ ২০১১;চঃ ২০১২;ঢাঃ ২০১৪। ]
উদাহরণ \(16.\) \(x^2+y^2=81\) বৃত্তের একটি জ্যা \((-2, 3)\) বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত হয়। ঐ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০০৬; বঃ২০০৮,২০১০;সিঃ ২০০৮; যঃ ২০০৯,২০১৩;চঃ ২০০৬,২০১২,২০১৫; রাঃ ২০০৬,২০১১; দিঃ ২০১৩;মাঃ ২০০৬,২০০৭।]
উদাহরণ \(17.\)
\(x^2+y^2+2x+3y+1=0 .........(1)\)
\(x^2+y^2+4x+3y+2=0 .........(2)\)
\(x^2+y^2-4x+6y-7=0 .........(3)\)
\((a)\) \((3, 2)\) বিন্দু হতে \((2)\) নং বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \((1)\) ও \((2)\) নং বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা যে বৃত্তের ব্যস তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(x+2y=11\) সরলরেখা হতে \((3)\) নং বৃত্তের উপর যে বিন্দুটির দূরত্ব ক্ষুদ্রতম তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(18.\) \(x^2+y^2=25\) বৃত্তের স্পর্শক দুইটি \(X\) অক্ষের সাথে \(60^o\) কোণ উৎপন্ন করলে তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(19.\) \(x^2+y^2-6x+4y+3=0\) বৃত্তের \((2, 1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(20.\) \((4, 7)\) বিন্দু থেকে \(2x^{2}+2y^{2}-8x-14y+11=0\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(21.\) \(x^2+y^2=r^2\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক দুইটি লম্বভাবে ছেদ করলে ছেদবিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(22.\) \((1, -3)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত \(2x-y-4=0\) রেখাকে স্পর্শ করে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(23.\) \(x^{2}+y^{2}-4x-6y+c=0\) বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে। \(c\) এর মান এবং স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(24.\) \(y=2x \) যদি \(x^2+y^2=10x\) বৃত্তের কোন জ্যা-এর সমীকরণ হয়, তবে উক্ত জ্যাকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(25.\) \((1, -1)\) বিন্দু থেকে \(2x^{2}+2y^{2}-x+3y+1=0\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(26.\) \(x^2+y^2=20\) বৃত্তের \(2\) ভুজবিশিষ্ট বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(27.\) \(x^2+y^2=16\) ও \(x^2+y^2+6x-8y=0\) বৃত্ত দুইটির সাধারণ স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(28.\) \(x^2+y^2-4x-2y+4=0\) ও \(x^2+y^2+4x+2y-4=0\) বৃত্ত দুইটির তীর্যক সাধারণ স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(29.\) \(x^2+y^2-3x+10y-15=0\) বৃত্তের \((4, -11)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০১০, ২০০২; রাঃ ২০০৯]
উদাহরণ \(1.\) \(x^{2}+y^{2}-2x-4y-4=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক, \(3x-4y-1=0\) রেখার সমান্তরাল। স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ধরি,
\(x^{2}+y^{2}-2x-4y-4=0 .....(1)\)
\(3x-4y-1=0 .....(2)\)
\((1)\) নং বৃত্তের ক্ষেত্রে,
\(2g=-2, 2f=-4, c=-4\)
\(\Rightarrow g=-1, f=-2, c=-4\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(C(1, 2)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2-(-4)}\)
\(=\sqrt{1+4+4}\)
\(=\sqrt{9}\)
\(=3\)
\((2)\) নং সরলরেখার সমান্তরাল যে কোন সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x-4y+k=0 .....(3)\)
\((3)\) নং সরলরেখা \((1)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
\(\therefore \frac{|3.1-4.2+k|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=3\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|3-8+k|}{\sqrt{9+16}}=3\)
\(\Rightarrow \frac{|-5+k|}{\sqrt{25}}=3\)
\(\Rightarrow \frac{|k-5|}{5}=3\)
\(\Rightarrow |k-5|=15\)
\(\Rightarrow k-5=15\) ➜ ধনাত্মক মান ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow k=15+5\)
\(\therefore k=20\)
\(\Rightarrow -(k-5)=15\) ➜ ঋনাত্মক মান ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow k-5=-15\)
\(\Rightarrow k=-15+5\)
\(\therefore k=-10\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
যখন, \(k=2০\)
\(3x-4y+20=0\)
যখন, \(k=-1০\)
\(3x-4y-10=0\)
\(\therefore\) নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ \( 3x-4y+20=0; 3x-4y-10=0\).
\(x^{2}+y^{2}-2x-4y-4=0 .....(1)\)
\(3x-4y-1=0 .....(2)\)
\((1)\) নং বৃত্তের ক্ষেত্রে,
\(2g=-2, 2f=-4, c=-4\)
\(\Rightarrow g=-1, f=-2, c=-4\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(C(1, 2)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2-(-4)}\)
\(=\sqrt{1+4+4}\)
\(=\sqrt{9}\)
\(=3\)
\((2)\) নং সরলরেখার সমান্তরাল যে কোন সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x-4y+k=0 .....(3)\)
\((3)\) নং সরলরেখা \((1)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
\(\therefore \frac{|3.1-4.2+k|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=3\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|3-8+k|}{\sqrt{9+16}}=3\)
\(\Rightarrow \frac{|-5+k|}{\sqrt{25}}=3\)
\(\Rightarrow \frac{|k-5|}{5}=3\)
\(\Rightarrow |k-5|=15\)
\(\Rightarrow k-5=15\) ➜ ধনাত্মক মান ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow k=15+5\)
\(\therefore k=20\)
\(\Rightarrow -(k-5)=15\) ➜ ঋনাত্মক মান ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow k-5=-15\)
\(\Rightarrow k=-15+5\)
\(\therefore k=-10\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
যখন, \(k=2০\)
\(3x-4y+20=0\)
যখন, \(k=-1০\)
\(3x-4y-10=0\)
\(\therefore\) নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ \( 3x-4y+20=0; 3x-4y-10=0\).
উদাহরণ \(2.\) \(k\) এর মান কত হলে, \(3x+4y=k\) রেখাটি \(x^2+y^2=10x\) বৃত্তকে স্পর্শ করবে?
সমাধানঃ
ধরি,
\(3x+4y-k=0 .....(1)\)
\(x^2+y^2-10x=0 .....(2)\)
\((2)\) নং বৃত্তের ক্ষেত্রে,
\(2g=-10, 2f=0, c=0\)
\(\Rightarrow g=-5, f=0, c=0\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(C(5, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-5)^2+0^2-0}\)
\(=\sqrt{25+0-0}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
\(\therefore \frac{|3.5+4.0-k|}{\sqrt{3^2+4^2}}=5\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|15+0-k|}{\sqrt{9+16}}=5\)
\(\Rightarrow \frac{|15-k|}{\sqrt{25}}=5\)
\(\Rightarrow \frac{|15-k|}{5}=5\)
\(\Rightarrow |15-k|=25\)
\(\Rightarrow 15-k=25\) ➜ ধনাত্মক মান ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow -k=25-15\)
\(\Rightarrow -k=10\)
\(\therefore k=-10\)
\(\Rightarrow -(15-k)=25\) ➜ ঋনাত্মক মান ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow -15+k=25\)
\(\Rightarrow k=25+15\)
\(\therefore k=40\)
\(\therefore k\) এর মান \(40; -10\) .
\(3x+4y-k=0 .....(1)\)
\(x^2+y^2-10x=0 .....(2)\)
\((2)\) নং বৃত্তের ক্ষেত্রে,
\(2g=-10, 2f=0, c=0\)
\(\Rightarrow g=-5, f=0, c=0\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(C(5, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-5)^2+0^2-0}\)
\(=\sqrt{25+0-0}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
\(\therefore \frac{|3.5+4.0-k|}{\sqrt{3^2+4^2}}=5\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|15+0-k|}{\sqrt{9+16}}=5\)
\(\Rightarrow \frac{|15-k|}{\sqrt{25}}=5\)
\(\Rightarrow \frac{|15-k|}{5}=5\)
\(\Rightarrow |15-k|=25\)
\(\Rightarrow 15-k=25\) ➜ ধনাত্মক মান ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow -k=25-15\)
\(\Rightarrow -k=10\)
\(\therefore k=-10\)
\(\Rightarrow -(15-k)=25\) ➜ ঋনাত্মক মান ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow -15+k=25\)
\(\Rightarrow k=25+15\)
\(\therefore k=40\)
\(\therefore k\) এর মান \(40; -10\) .
উদাহরণ \(3.\) \((4, -2)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত \(x^2+y^2-2y-15=0\) বৃত্তটিকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2-2y-15=0 ......(1)\)
\((1)\) নং বৃত্তের ক্ষেত্রে,
\(2g=0, 2f=-2, c=-15\)
\(\Rightarrow g=0, f=-1, c=-15\)
কেন্দ্র \(C_1(-g, -f)\)
\(C_1(0, 1)\)
ব্যাসার্ধ \(r_1=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{0^2+(-1)^2-(-15)}\)
\(=\sqrt{0+1+15}\)
\(=\sqrt{16}\)
\(=4\)
আবার,
নির্ণেয় বৃত্তের কেন্দ্র \(C_2(4, -2)\), ব্যাসার্ধ \(r_2\) হলে বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-4)^2+(y+2)^2=r^2_2 ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শকরে।
\(\therefore C_1C_2=r_1+r_2\)
\(\Rightarrow \sqrt{(0-4)^2+(1+2)^2}=4+r_2\)
\(\Rightarrow \sqrt{(-4)^2+(3)^2}=4+r_2\)
\(\Rightarrow \sqrt{16+9}=4+r_2\)
\(\Rightarrow \sqrt{25}=4+r_2\)
\(\Rightarrow 5=4+r_2\)
\(\Rightarrow 4+r_2=5\)
\(\Rightarrow r_2=5-4\)
\(\therefore r_2=1\)
\(r_2\) এর মান \(\) এ বসিয়ে,
\((x-4)^2+(y+2)^2=(1)^2\)
\(\therefore x^2-2.x.4+4^2+y^2+2.y.2+2^2=1\)
\(\Rightarrow x^2-8x+16+y^2+4y+4-1=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-8x+4y+19=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2-2y-15=0 ......(1)\)
\((1)\) নং বৃত্তের ক্ষেত্রে,
\(2g=0, 2f=-2, c=-15\)
\(\Rightarrow g=0, f=-1, c=-15\)
কেন্দ্র \(C_1(-g, -f)\)
\(C_1(0, 1)\)
ব্যাসার্ধ \(r_1=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{0^2+(-1)^2-(-15)}\)
\(=\sqrt{0+1+15}\)
\(=\sqrt{16}\)
\(=4\)
আবার,
নির্ণেয় বৃত্তের কেন্দ্র \(C_2(4, -2)\), ব্যাসার্ধ \(r_2\) হলে বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-4)^2+(y+2)^2=r^2_2 ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শকরে।
\(\therefore C_1C_2=r_1+r_2\)
\(\Rightarrow \sqrt{(0-4)^2+(1+2)^2}=4+r_2\)
\(\Rightarrow \sqrt{(-4)^2+(3)^2}=4+r_2\)
\(\Rightarrow \sqrt{16+9}=4+r_2\)
\(\Rightarrow \sqrt{25}=4+r_2\)
\(\Rightarrow 5=4+r_2\)
\(\Rightarrow 4+r_2=5\)
\(\Rightarrow r_2=5-4\)
\(\therefore r_2=1\)
\(r_2\) এর মান \(\) এ বসিয়ে,
\((x-4)^2+(y+2)^2=(1)^2\)
\(\therefore x^2-2.x.4+4^2+y^2+2.y.2+2^2=1\)
\(\Rightarrow x^2-8x+16+y^2+4y+4-1=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-8x+4y+19=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
উদাহরণ \(4.\) \(x^2+y^2=144\) বৃত্তের যে জ্যা \((4, -6)\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয় তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2-144=0 ......(1)\)
দেওয়া আছে জ্যা-এর মধ্যবিন্দু \((4, -6)\)
জ্যা-এর সমীকরণ,
\(x.4+y.(-6)-144=4^2+(-6)^2-144\)
\(\Rightarrow 4x-6y-144=16+36-144\)
\(\Rightarrow 4x-6y-144=52-144\)
\(\Rightarrow 4x-6y-144=-92\)
\(\Rightarrow 4x-6y-144+92=0\)
\(\Rightarrow 4x-6y-52=0\)
\(\Rightarrow 2(2x-3y-26)=0\)
\(\Rightarrow 2x-3y-26=\frac{0}{2}\)
\(\therefore 2x-3y-26=0\)
ইহাই নির্ণেয় জ্যা-এর সমীকরণ।
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2-144=0 ......(1)\)
দেওয়া আছে জ্যা-এর মধ্যবিন্দু \((4, -6)\)
জ্যা-এর সমীকরণ,
\(x.4+y.(-6)-144=4^2+(-6)^2-144\)
\(\Rightarrow 4x-6y-144=16+36-144\)
\(\Rightarrow 4x-6y-144=52-144\)
\(\Rightarrow 4x-6y-144=-92\)
\(\Rightarrow 4x-6y-144+92=0\)
\(\Rightarrow 4x-6y-52=0\)
\(\Rightarrow 2(2x-3y-26)=0\)
\(\Rightarrow 2x-3y-26=\frac{0}{2}\)
\(\therefore 2x-3y-26=0\)
ইহাই নির্ণেয় জ্যা-এর সমীকরণ।
উদাহরণ \(5.\) \(x^2+y^2+4x-8y+2=0\) বৃত্তের স্পর্শক অক্ষদ্বয় থেকে একই চিহ্নবিশিষ্ট সমমানের অংশ ছেদ করে। স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2+4x-8y+2=0 ......(1)\)
\((1)\) নং বৃত্তের ক্ষেত্রে,
\(2g=4, 2f=-8, c=2\)
\(\Rightarrow g=2, f=-4, c=2\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(C(-2, 4)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{2^2+(-4)^2-2}\)
\(=\sqrt{4+16-2}\)
\(=\sqrt{20-2}\)
\(=\sqrt{18}\)
\(=\sqrt{2\times 9}\)
\(=3\sqrt{2}\)
অক্ষদ্বয় হতে সমমানের অংশ ছেদ করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ,
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x+y}{a}=1\)
\(\Rightarrow x+y=a\)
\(\therefore x+y-a=0 .......(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \((1)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করে। অর্থাৎ কেন্দ্র হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান।
\(\therefore \frac{।-2+4-a।}{\sqrt{1^2+1^2}}=3\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow \frac{।2-a।}{\sqrt{1+1}}=3\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow \frac{।2-a।}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow ।2-a।=3\sqrt{2}\times \sqrt{2}\)
\(\Rightarrow ।2-a।=3\times 2\)
\(\Rightarrow ।2-a।=6 \)
\(\Rightarrow 2-a=6 \) ➜ ধনাত্মক মান ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow -a=6-2 \)
\(\Rightarrow -a=4 \)
\(\therefore a=-4 \)
\(\Rightarrow -(2-a)=6 \) ➜ ঋনাত্মক মান ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow -2+a=6 \)
\(\Rightarrow a=6+2 \)
\(\therefore a=8 \)
\(a\)এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
যখন, \(a=-4 \) স্পর্শকের সমীকরণ ,
\(x+y+4=0\)
যখন, \(a=8 \) স্পর্শকের সমীকরণ ,
\(x+y-8=0\)
\(\therefore \) নির্ণেয় স্পর্শদ্বয়ের সমীকরণ \(x+y+4=0; x+y-8=0\)।
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2+4x-8y+2=0 ......(1)\)
\((1)\) নং বৃত্তের ক্ষেত্রে,
\(2g=4, 2f=-8, c=2\)
\(\Rightarrow g=2, f=-4, c=2\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(C(-2, 4)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{2^2+(-4)^2-2}\)
\(=\sqrt{4+16-2}\)
\(=\sqrt{20-2}\)
\(=\sqrt{18}\)
\(=\sqrt{2\times 9}\)
\(=3\sqrt{2}\)
অক্ষদ্বয় হতে সমমানের অংশ ছেদ করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ,
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x+y}{a}=1\)
\(\Rightarrow x+y=a\)
\(\therefore x+y-a=0 .......(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \((1)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করে। অর্থাৎ কেন্দ্র হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান।
\(\therefore \frac{।-2+4-a।}{\sqrt{1^2+1^2}}=3\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow \frac{।2-a।}{\sqrt{1+1}}=3\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow \frac{।2-a।}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow ।2-a।=3\sqrt{2}\times \sqrt{2}\)
\(\Rightarrow ।2-a।=3\times 2\)
\(\Rightarrow ।2-a।=6 \)
\(\Rightarrow 2-a=6 \) ➜ ধনাত্মক মান ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow -a=6-2 \)
\(\Rightarrow -a=4 \)
\(\therefore a=-4 \)
\(\Rightarrow -(2-a)=6 \) ➜ ঋনাত্মক মান ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow -2+a=6 \)
\(\Rightarrow a=6+2 \)
\(\therefore a=8 \)
\(a\)এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
যখন, \(a=-4 \) স্পর্শকের সমীকরণ ,
\(x+y+4=0\)
যখন, \(a=8 \) স্পর্শকের সমীকরণ ,
\(x+y-8=0\)
\(\therefore \) নির্ণেয় স্পর্শদ্বয়ের সমীকরণ \(x+y+4=0; x+y-8=0\)।
উদাহরণ \(6.\) \(x^2+y^2+2x+3y+1=0\) ও \(x^2+y^2+4x+3y+2=0\) বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা যে বৃত্তের ব্যাস তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১৪ ]
[ ঢাঃ ২০১৪ ]
সমাধানঃ
ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2x+3y+1=0 ..........(1)\)
\(x^2+y^2+4x+3y+2=0 ..........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) বৃত্ত দ্বয়ের সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2x+3y+1-x^2-y^2-4x-3y-2=0 \) ➜ \((1)-(2)\) এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow -2x-1=0 \)
\(\Rightarrow 2x+1=0 ........(3)\)
এখন,
\((1)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2x+3y+1+k(2x+1)=0 ..........(4)\) ➜ \(k\) শুন্য ব্যতীত যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\(\Rightarrow x^2+y^2+2x+3y+1+2kx+k=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+(2+2k)x+3y+(1+k)=0\)
এখানে,
\(2g=2+2k, 2f=3, c=1+k\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow 2g=2(1+k), 2f=3, c=1+k\)
\(\Rightarrow g=(1+k), f=\frac{3}{2}, c=1+k\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(C(-(1+k), -\frac{3}{2})\)
এই কেন্দ্র \((3)\) নং সরলরেখার উপর অবস্থিত। যেহেতু , \((3)\) নং সরলরেখা নির্ণেয় বৃত্তের ব্যাস।
\(\therefore -2(1+k)+1=0\)
\(\Rightarrow -2-2k+1=0\)
\(\Rightarrow -1-2k=0\)
\(\Rightarrow -2k=1\)
\(\therefore k=-\frac{1}{2}\)
\(k\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে,
\(x^2+y^2+2x+3y+1-\frac{1}{2}(2x+1)=0\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2+4x+6y+2-(2x+1)=0\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2+4x+6y+2-2x-1=0\)
\(\therefore 2x^2+2y^2+2x+6y+1=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2x+3y+1=0 ..........(1)\)
\(x^2+y^2+4x+3y+2=0 ..........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) বৃত্ত দ্বয়ের সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2x+3y+1-x^2-y^2-4x-3y-2=0 \) ➜ \((1)-(2)\) এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow -2x-1=0 \)
\(\Rightarrow 2x+1=0 ........(3)\)
এখন,
\((1)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2x+3y+1+k(2x+1)=0 ..........(4)\) ➜ \(k\) শুন্য ব্যতীত যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\(\Rightarrow x^2+y^2+2x+3y+1+2kx+k=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+(2+2k)x+3y+(1+k)=0\)
এখানে,
\(2g=2+2k, 2f=3, c=1+k\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow 2g=2(1+k), 2f=3, c=1+k\)
\(\Rightarrow g=(1+k), f=\frac{3}{2}, c=1+k\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(C(-(1+k), -\frac{3}{2})\)
এই কেন্দ্র \((3)\) নং সরলরেখার উপর অবস্থিত। যেহেতু , \((3)\) নং সরলরেখা নির্ণেয় বৃত্তের ব্যাস।
\(\therefore -2(1+k)+1=0\)
\(\Rightarrow -2-2k+1=0\)
\(\Rightarrow -1-2k=0\)
\(\Rightarrow -2k=1\)
\(\therefore k=-\frac{1}{2}\)
\(k\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে,
\(x^2+y^2+2x+3y+1-\frac{1}{2}(2x+1)=0\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2+4x+6y+2-(2x+1)=0\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2+4x+6y+2-2x-1=0\)
\(\therefore 2x^2+2y^2+2x+6y+1=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
উদাহরণ \(7.\) \(y=mx\) রেখাটি \(x^2+y^2+2gx+c=0\) বৃত্তের স্পর্শক হলে, \(m\)-এর মান নির্ণয় কর এবং এর সাহায্যে মূলবিন্দু থেকে \(x^2+y^2-10x+20=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১১ ]
[ ঢাঃ ২০১১ ]
সমাধানঃ
ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2gx+c=0 ......(1)\)
যার কেন্দ্র \(C(-g, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2-c}\)
\(y-mx=0 ....(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \((1)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করে।
\(\therefore \frac{|0-m\times -g|}{\sqrt{1^2+(-m)^2}}=\sqrt{g^2-c}\)
\(\Rightarrow \frac{|mg|}{\sqrt{1+m^2}}=\sqrt{g^2-c}\)
\(\Rightarrow \frac{m^2g^2}{1+m^2}=g^2-c\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow m^2g^2=(1+m^2)(g^2-c)\)
\(\Rightarrow m^2g^2=g^2-c+m^2g^2-m^2c\)
\(\Rightarrow m^2g^2-m^2g^2+m^2c=g^2-c\)
\(\Rightarrow m^2c=g^2-c\)
\(\Rightarrow m^2=\frac{g^2-c}{c}\)
\(\therefore m=\pm \sqrt{\frac{g^2-c}{c}}\)
ইহাই নির্ণেয় \(m\) এর মান।
আবার,
\(x^2+y^2-10x+20=0 .....(3)\)
এখানে,
\(2g=-10, 2f=0, c=20\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-5, f=0, c=20\)
ধরি, মূলবিন্দু হতে \((3)\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ \(y=mx ........ (4)\)
এখন,
\(m=\pm \sqrt{\frac{(-5)^2-20}{20}}\)
\(=\pm \sqrt{\frac{25-20}{20}}\)
\(=\pm \sqrt{\frac{5}{20}}\)
\(=\pm \sqrt{\frac{1}{4}}\)
\(=\pm \frac{1}{2}\)
\(m\) এর মান \(\) এ বসিয়ে,
\(y=\pm \frac{1}{2}x\)
\(\Rightarrow 2y=\pm x\)
\(\therefore 2y\pm x=0\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2gx+c=0 ......(1)\)
যার কেন্দ্র \(C(-g, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2-c}\)
\(y-mx=0 ....(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \((1)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করে।
\(\therefore \frac{|0-m\times -g|}{\sqrt{1^2+(-m)^2}}=\sqrt{g^2-c}\)
\(\Rightarrow \frac{|mg|}{\sqrt{1+m^2}}=\sqrt{g^2-c}\)
\(\Rightarrow \frac{m^2g^2}{1+m^2}=g^2-c\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow m^2g^2=(1+m^2)(g^2-c)\)
\(\Rightarrow m^2g^2=g^2-c+m^2g^2-m^2c\)
\(\Rightarrow m^2g^2-m^2g^2+m^2c=g^2-c\)
\(\Rightarrow m^2c=g^2-c\)
\(\Rightarrow m^2=\frac{g^2-c}{c}\)
\(\therefore m=\pm \sqrt{\frac{g^2-c}{c}}\)
ইহাই নির্ণেয় \(m\) এর মান।
আবার,
\(x^2+y^2-10x+20=0 .....(3)\)
এখানে,
\(2g=-10, 2f=0, c=20\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-5, f=0, c=20\)
ধরি, মূলবিন্দু হতে \((3)\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ \(y=mx ........ (4)\)
এখন,
\(m=\pm \sqrt{\frac{(-5)^2-20}{20}}\)
\(=\pm \sqrt{\frac{25-20}{20}}\)
\(=\pm \sqrt{\frac{5}{20}}\)
\(=\pm \sqrt{\frac{1}{4}}\)
\(=\pm \frac{1}{2}\)
\(m\) এর মান \(\) এ বসিয়ে,
\(y=\pm \frac{1}{2}x\)
\(\Rightarrow 2y=\pm x\)
\(\therefore 2y\pm x=0\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
উদাহরণ \(8.\) \(x^2+y^2-3x+10y-15=0\) বৃত্তের \((4, -11)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১৪; সিঃ ২০১০, ২০০২; রাঃ ২০০৯]
[ ঢাঃ ২০১৪; সিঃ ২০১০, ২০০২; রাঃ ২০০৯]
সমাধানঃ
ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2-3x+10y-15=0 ......(1)\)
এখানে,
\(2g=-3, 2f=10, c=-15\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{3}{2}, f=5, c=-15\)
\((4, -11)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.4+y.(-11)-\frac{3}{2}(x+4)+5(y-11)-15=0\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, \( xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0\)
\(\Rightarrow 4x-11y-\frac{3x+12}{2}+5y-55-15=0\)
\(\Rightarrow 8x-22y-3x-12+10y-110-30=0\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 5x-12y-152=0\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2-3x+10y-15=0 ......(1)\)
এখানে,
\(2g=-3, 2f=10, c=-15\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{3}{2}, f=5, c=-15\)
\((4, -11)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.4+y.(-11)-\frac{3}{2}(x+4)+5(y-11)-15=0\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, \( xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0\)
\(\Rightarrow 4x-11y-\frac{3x+12}{2}+5y-55-15=0\)
\(\Rightarrow 8x-22y-3x-12+10y-110-30=0\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 5x-12y-152=0\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
উদাহরণ \(9.\) \(x^2+y^2=b(5x-12y)\) বৃত্তের একটি ব্যাস মূলবিন্দু দিয়ে যায়। এই ব্যাসের সমীকরণ এবং মূলবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢঃ ২০০৪]
[ ঢঃ ২০০৪]
সমাধানঃ
ধরি,
\(x^2+y^2-5bx+12by=0.....(1)\)
এখানে,
\(2g=-5b, 2f=12b, c=0\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{5b}{2}, f=6b, c=0\)
\(\therefore (1)\) বৃত্তের কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(\frac{5b}{2}, -6b)\)
এবং মূলবিন্দু \(O(0, 0)\)
এখন,
মূলবিন্দুগামী ব্যাস অর্থাৎ \(CO\) এর সমীকরণ,
\(\frac{x-\frac{5b}{2}}{\frac{5b}{2}-0}=\frac{y+6b}{-6b-0}\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{2x-5b}{2}}{\frac{5b}{2}}=\frac{y+6b}{-6b}\)
\(\Rightarrow \frac{2x-5b}{2}\times \frac{2}{5b}=\frac{y+6b}{-6b}\)
\(\Rightarrow \frac{2x-5b}{5b}=\frac{y+6b}{-6b}\)
\(\Rightarrow 6(2x-5b)=-5(y+6b)\)
\(\Rightarrow 12x-30b=-5y-30b\)
\(\Rightarrow 12x-30b+5y+30b=0\)
\(\therefore 12x+5y=0\)
ইহাই নির্ণেয় ব্যাসের সমীকরণ।
মূলবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক উক্ত ব্যাসের উপর লম্ব হবে।
অতএব, ব্যাসের উপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ,
\(5x-12y+k=0 ........(2)\) যা মূলবিন্দুগামী।
\(\therefore 5.0-12.0+k=0\)
\(\Rightarrow 0-0+k=0\)
\(\therefore k=0\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(5x-12y+0=0\)
\(\therefore 5x-12y=0\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
\(x^2+y^2-5bx+12by=0.....(1)\)
এখানে,
\(2g=-5b, 2f=12b, c=0\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। \(\Rightarrow g=-\frac{5b}{2}, f=6b, c=0\)
\(\therefore (1)\) বৃত্তের কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(\frac{5b}{2}, -6b)\)
এবং মূলবিন্দু \(O(0, 0)\)
এখন,
মূলবিন্দুগামী ব্যাস অর্থাৎ \(CO\) এর সমীকরণ,
\(\frac{x-\frac{5b}{2}}{\frac{5b}{2}-0}=\frac{y+6b}{-6b-0}\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{2x-5b}{2}}{\frac{5b}{2}}=\frac{y+6b}{-6b}\)
\(\Rightarrow \frac{2x-5b}{2}\times \frac{2}{5b}=\frac{y+6b}{-6b}\)
\(\Rightarrow \frac{2x-5b}{5b}=\frac{y+6b}{-6b}\)
\(\Rightarrow 6(2x-5b)=-5(y+6b)\)
\(\Rightarrow 12x-30b=-5y-30b\)
\(\Rightarrow 12x-30b+5y+30b=0\)
\(\therefore 12x+5y=0\)
ইহাই নির্ণেয় ব্যাসের সমীকরণ।
মূলবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক উক্ত ব্যাসের উপর লম্ব হবে।
অতএব, ব্যাসের উপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ,
\(5x-12y+k=0 ........(2)\) যা মূলবিন্দুগামী।
\(\therefore 5.0-12.0+k=0\)
\(\Rightarrow 0-0+k=0\)
\(\therefore k=0\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(5x-12y+0=0\)
\(\therefore 5x-12y=0\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
উদাহরণ \(10.\) \(3x+by-1=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-8x-2y+4=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। \(b\) এর মান নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০২, ২০০০; রাঃ ২০১৪, ২০১২; কুঃ ২০১০, ২০০৪; বঃ ২০১২,২০০৯; চঃ ২০১১ ; যঃ ২০১০; সিঃ ২০০৮; মাঃ ২০১২, ২০০৫। ]
[ ঢাঃ ২০০২, ২০০০; রাঃ ২০১৪, ২০১২; কুঃ ২০১০, ২০০৪; বঃ ২০১২,২০০৯; চঃ ২০১১ ; যঃ ২০১০; সিঃ ২০০৮; মাঃ ২০১২, ২০০৫। ]
সমাধানঃ
ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2-8x-2y+4=0 ......(1)\)
এখানে,
\(2g=-8, 2f=-2, c=4\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-4, f=-1, c=4\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(4, 1)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-4)^2+(-1)^2-4}\)
\(=\sqrt{16+1-4}\)
\(=\sqrt{17-4}\)
\(=\sqrt{13}\)
\(3x+by-1=0 ....(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \((1)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করে।
\(\therefore \frac{|3.4+b.1-1|}{\sqrt{3^2+b^2}}=\sqrt{13}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|12+b-1|}{\sqrt{9+b^2}}=\sqrt{13}\)
\(\Rightarrow \frac{(11+b)^2}{9+b^2}=13\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 13(9+b^2)=(11+b)^2\)
\(\Rightarrow 117+13b^2=11^2+2.11.b+b^2\)
\(\Rightarrow 117+13b^2=121+22b+b^2\)
\(\Rightarrow 117+13b^2-121-22b-b^2=0\)
\(\Rightarrow 12b^2-22b-4=0\)
\(\Rightarrow 2(6b^2-11b-2)=0\)
\(\Rightarrow 6b^2-11b-2=\frac{0}{2}\)
\(\Rightarrow 6b^2-11b-2=0\)
\(\Rightarrow 6b^2-12b+b-2=0\)
\(\Rightarrow 6b(b-2)+1(b-2)=0\)
\(\Rightarrow (b-2)(6b+1)=0\)
\(\Rightarrow b-2=0, 6b+1=0\)
\(\Rightarrow b=2, 6b=-1\)
\(\Rightarrow b=2, b=-\frac{1}{6}\)
\(\therefore b=2, -\frac{1}{6}\)
ইহাই নির্ণেয় \(b\) এর মান।
\(x^2+y^2-8x-2y+4=0 ......(1)\)
এখানে,
\(2g=-8, 2f=-2, c=4\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-4, f=-1, c=4\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(4, 1)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-4)^2+(-1)^2-4}\)
\(=\sqrt{16+1-4}\)
\(=\sqrt{17-4}\)
\(=\sqrt{13}\)
\(3x+by-1=0 ....(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \((1)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করে।
\(\therefore \frac{|3.4+b.1-1|}{\sqrt{3^2+b^2}}=\sqrt{13}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|12+b-1|}{\sqrt{9+b^2}}=\sqrt{13}\)
\(\Rightarrow \frac{(11+b)^2}{9+b^2}=13\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 13(9+b^2)=(11+b)^2\)
\(\Rightarrow 117+13b^2=11^2+2.11.b+b^2\)
\(\Rightarrow 117+13b^2=121+22b+b^2\)
\(\Rightarrow 117+13b^2-121-22b-b^2=0\)
\(\Rightarrow 12b^2-22b-4=0\)
\(\Rightarrow 2(6b^2-11b-2)=0\)
\(\Rightarrow 6b^2-11b-2=\frac{0}{2}\)
\(\Rightarrow 6b^2-11b-2=0\)
\(\Rightarrow 6b^2-12b+b-2=0\)
\(\Rightarrow 6b(b-2)+1(b-2)=0\)
\(\Rightarrow (b-2)(6b+1)=0\)
\(\Rightarrow b-2=0, 6b+1=0\)
\(\Rightarrow b=2, 6b=-1\)
\(\Rightarrow b=2, b=-\frac{1}{6}\)
\(\therefore b=2, -\frac{1}{6}\)
ইহাই নির্ণেয় \(b\) এর মান।
উদাহরণ \(11.\) মূলবিন্দু থেকে \((1, 2)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \(2\) একক। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢঃ ২০১০; রাঃ ২০০৬; চঃ ২০০৭,২০০৪; বঃ ২০০৬; সিঃ ২০০৭; যঃ ২০০৪; রাঃ ২০০০ ]
[ ঢঃ ২০১০; রাঃ ২০০৬; চঃ ২০০৭,২০০৪; বঃ ২০০৬; সিঃ ২০০৭; যঃ ২০০৪; রাঃ ২০০০ ]
সমাধানঃ
এখানে,
\(O\) মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\)
\(C(1, 2)\) বৃত্তটির কেন্দ্র এবং মূলবিন্দু \(O\) থেকে বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের স্পর্শবিন্দু \(P(x, y)\).
অতএব,
\(CP\perp OP\) এবং \(OP=2\)
\(\triangle OCP\) সমকোণী।
\(\therefore OP^2+PC^2=CO^2\)
\(\therefore 2^2+(x-1)^2+(y-2)^2=(1-0)^2+(2-0)^2\)
\(\therefore 4+x^2-2.x.1+1^2+y^2-2.y.2+2^2=1+4\)
\(\therefore 4+x^2+y^2-2x+1-4y+4=5\)
\(\therefore x^2+y^2-2x-4y+9-5=0\)
\(\therefore x^2+y^2-2x-4y+4=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
\(O\) মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\)
\(C(1, 2)\) বৃত্তটির কেন্দ্র এবং মূলবিন্দু \(O\) থেকে বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের স্পর্শবিন্দু \(P(x, y)\).
অতএব,
\(CP\perp OP\) এবং \(OP=2\)
\(\triangle OCP\) সমকোণী।
\(\therefore OP^2+PC^2=CO^2\)
\(\therefore 2^2+(x-1)^2+(y-2)^2=(1-0)^2+(2-0)^2\)
\(\therefore 4+x^2-2.x.1+1^2+y^2-2.y.2+2^2=1+4\)
\(\therefore 4+x^2+y^2-2x+1-4y+4=5\)
\(\therefore x^2+y^2-2x-4y+9-5=0\)
\(\therefore x^2+y^2-2x-4y+4=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
উদাহরণ \(12.\) \(X\) অক্ষকে \((4, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \(Y\) অক্ষ হতে \(6\) একক দৈর্ঘ্যের জ্যা কর্তন করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢঃ ২০০৯; কুঃ ২০১০, যঃ ২০১১, ২০০৯; সিঃ ২০০৫; চঃ ২০১১,২০০৯; রাঃ২০০৯ ]
[ ঢঃ ২০০৯; কুঃ ২০১০, যঃ ২০১১, ২০০৯; সিঃ ২০০৫; চঃ ২০১১,২০০৯; রাঃ২০০৯ ]
সমাধানঃ
ধরি,
মূলবিন্দু \(O(0, 0)\)
স্পর্শবিন্দু \(P(4, 0)\)
জ্যা \(AB\)
বৃত্তের কেন্দ্র \(C\) হতে \(AB\) এর উপর \(CD\) লম্ব আঁকি।
এখানে,
\(AB=6\Rightarrow AD=BD=3\)
\(BC=CP, CD=OP=4\)
\(\triangle BCD\) সমকোণী।
\(\therefore BC^2=CD^2+BD^2\)
\(\Rightarrow BC^2=OP^2+BD^2\)
\(\Rightarrow BC^2=4^2+3^2\)
\(\Rightarrow BC^2=16+9\)
\(\Rightarrow BC^2=25\)
\(\Rightarrow BC=\pm \sqrt{25}\)
\(\Rightarrow BC=\pm 5\)
\(\therefore CP=\pm 5\)
এই ক্ষেত্রে দুইটি বৃত্ত অঙ্কন সম্ভব।
একটির কেন্দ্র \((4, 5)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=5\) ।
অপরটির কেন্দ্র \((4, -5)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=5\) ।
প্রথম বৃত্ত, \((x-4)^2+(y-5)^2=5^2\)
\(\Rightarrow x^2-2.x.4+4^2+y^2-2.y.5+5^2=25\)
\(\Rightarrow x^2-8x+16+y^2-10y+25-25=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-8x-10y+16=0\)
দ্বিতীয় বৃত্ত, \((x-4)^2+(y+5)^2=5^2\)
\(\Rightarrow x^2-2.x.4+4^2+y^2+2.y.5+5^2=25\)
\(\Rightarrow x^2-8x+16+y^2+10y+25-25=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-8x+10y+16=0\)
\(\therefore \) নির্ণেয় বৃত্তদ্বয়ের সমীকরণ, \(x^2+y^2-8x-10y+16=0; x^2+y^2-8x+10y+16=0\)।
মূলবিন্দু \(O(0, 0)\)
স্পর্শবিন্দু \(P(4, 0)\)
জ্যা \(AB\)
বৃত্তের কেন্দ্র \(C\) হতে \(AB\) এর উপর \(CD\) লম্ব আঁকি।
এখানে,
\(AB=6\Rightarrow AD=BD=3\)
\(BC=CP, CD=OP=4\)
\(\triangle BCD\) সমকোণী।
\(\therefore BC^2=CD^2+BD^2\)
\(\Rightarrow BC^2=OP^2+BD^2\)
\(\Rightarrow BC^2=4^2+3^2\)
\(\Rightarrow BC^2=16+9\)
\(\Rightarrow BC^2=25\)
\(\Rightarrow BC=\pm \sqrt{25}\)
\(\Rightarrow BC=\pm 5\)
\(\therefore CP=\pm 5\)
এই ক্ষেত্রে দুইটি বৃত্ত অঙ্কন সম্ভব।
একটির কেন্দ্র \((4, 5)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=5\) ।
অপরটির কেন্দ্র \((4, -5)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=5\) ।
প্রথম বৃত্ত, \((x-4)^2+(y-5)^2=5^2\)
\(\Rightarrow x^2-2.x.4+4^2+y^2-2.y.5+5^2=25\)
\(\Rightarrow x^2-8x+16+y^2-10y+25-25=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-8x-10y+16=0\)
দ্বিতীয় বৃত্ত, \((x-4)^2+(y+5)^2=5^2\)
\(\Rightarrow x^2-2.x.4+4^2+y^2+2.y.5+5^2=25\)
\(\Rightarrow x^2-8x+16+y^2+10y+25-25=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-8x+10y+16=0\)
\(\therefore \) নির্ণেয় বৃত্তদ্বয়ের সমীকরণ, \(x^2+y^2-8x-10y+16=0; x^2+y^2-8x+10y+16=0\)।
উদাহরণ \(13.\) মূলবিন্দু থেকে \(x^{2}+y^{2}-10x+20=0\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শক দুইটির সমীকরণ এবং দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ধরি,
\(x^{2}+y^{2}-10x+20=0 .......(1)\)
এখানে,
\(2g=-10, 2f=0, c=20\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-5, f=0, c=20\)
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) হতে \((1)\) নং বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ,
\((x^{2}+y^{2}-10x+20)(0^{2}+0^{2}-10.0+20)\)\(=\{x.0+y.0-5(x+0)+0(y+0)+20\}^2\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ, \( (x^2+y^2-r^2)(x^2_1+y^2_1-r^2)=(xx_1+yy_1-r^2)^2\)
\(\Rightarrow (x^{2}+y^{2}-10x+20).20=\{-5x+20\}^2\)
\(\Rightarrow (x^{2}+y^{2}-10x+20).20=\{-5(x-4)\}^2\)
\(\Rightarrow (x^{2}+y^{2}-10x+20).20=25(x-4)^2\)
\(\Rightarrow (x^{2}+y^{2}-10x+20).4=5(x-4)^2\)
\(\Rightarrow 5(x-4)^2=4(x^{2}+y^{2}-10x+20)\)
\(\Rightarrow 5(x^2-2.x.4+4^2)=4x^{2}+4y^{2}-40x+80\)
\(\Rightarrow 5(x^2-8x+16)=4x^{2}+4y^{2}-40x+80\)
\(\Rightarrow 5x^2-40x+80-4x^{2}-4y^{2}+40x-80=0\)
\(\Rightarrow x^2-4y^{2}=0\)
\(\Rightarrow x^2-(2y)^{2}=0\)
\(\Rightarrow (x+2y)(x-2y)=0\)
\(\Rightarrow x+2y=0, x-2y=0\)
\(\therefore\) নির্ণেয় স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ \(x+2y=0, x-2y=0\)
স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \(=\sqrt{0^{2}+0^{2}-10.0+20}\)
\(=\sqrt{0+0-0+20}\)
\(=\sqrt{20}\)
\(=\sqrt{5\times 4}\)
\(=2\sqrt{5}\) একক।
\(x^{2}+y^{2}-10x+20=0 .......(1)\)
এখানে,
\(2g=-10, 2f=0, c=20\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-5, f=0, c=20\)
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) হতে \((1)\) নং বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ,
\((x^{2}+y^{2}-10x+20)(0^{2}+0^{2}-10.0+20)\)\(=\{x.0+y.0-5(x+0)+0(y+0)+20\}^2\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ, \( (x^2+y^2-r^2)(x^2_1+y^2_1-r^2)=(xx_1+yy_1-r^2)^2\)
\(\Rightarrow (x^{2}+y^{2}-10x+20).20=\{-5x+20\}^2\)
\(\Rightarrow (x^{2}+y^{2}-10x+20).20=\{-5(x-4)\}^2\)
\(\Rightarrow (x^{2}+y^{2}-10x+20).20=25(x-4)^2\)
\(\Rightarrow (x^{2}+y^{2}-10x+20).4=5(x-4)^2\)
\(\Rightarrow 5(x-4)^2=4(x^{2}+y^{2}-10x+20)\)
\(\Rightarrow 5(x^2-2.x.4+4^2)=4x^{2}+4y^{2}-40x+80\)
\(\Rightarrow 5(x^2-8x+16)=4x^{2}+4y^{2}-40x+80\)
\(\Rightarrow 5x^2-40x+80-4x^{2}-4y^{2}+40x-80=0\)
\(\Rightarrow x^2-4y^{2}=0\)
\(\Rightarrow x^2-(2y)^{2}=0\)
\(\Rightarrow (x+2y)(x-2y)=0\)
\(\Rightarrow x+2y=0, x-2y=0\)
\(\therefore\) নির্ণেয় স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ \(x+2y=0, x-2y=0\)
স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \(=\sqrt{0^{2}+0^{2}-10.0+20}\)
\(=\sqrt{0+0-0+20}\)
\(=\sqrt{20}\)
\(=\sqrt{5\times 4}\)
\(=2\sqrt{5}\) একক।
উদাহরণ \(14.\) \(x^2+y^2-4x+6y-36=0\) ও \(x^2+y^2-5x+8y-43=0\) বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2-4x+6y-36=0 ..........(1)\)
\(x^2+y^2-5x+8y-43=0 ..........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) বৃত্ত দ্বয়ের সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ,
\(x^2+y^2-4x+6y-36-x^2-y^2+5x-8y+43=0 \) ➜ \((1)-(2)\) এর সাহায্যে।
\(\therefore x-2y+7=0 \)
ইহাই নির্ণেয় সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ।
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2-4x+6y-36=0 ..........(1)\)
\(x^2+y^2-5x+8y-43=0 ..........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) বৃত্ত দ্বয়ের সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ,
\(x^2+y^2-4x+6y-36-x^2-y^2+5x-8y+43=0 \) ➜ \((1)-(2)\) এর সাহায্যে।
\(\therefore x-2y+7=0 \)
ইহাই নির্ণেয় সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ।
উদাহরণ \(17.\)
\(x^2+y^2+2x+3y+1=0 .........(1)\)
\(x^2+y^2+4x+3y+2=0 .........(2)\)
\(x^2+y^2-4x+6y-7=0 .........(3)\)
\((a)\) \((3, 2)\) বিন্দু হতে \((2)\) নং বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \((1)\) ও \((2)\) নং বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা যে বৃত্তের ব্যস তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(x+2y=11\) সরলরেখা হতে \((3)\) নং বৃত্তের উপর যে বিন্দুটির দূরত্ব ক্ষুদ্রতম তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\(x^2+y^2+2x+3y+1=0 .........(1)\)
\(x^2+y^2+4x+3y+2=0 .........(2)\)
\(x^2+y^2-4x+6y-7=0 .........(3)\)
\((a)\) \((3, 2)\) বিন্দু হতে \((2)\) নং বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \((1)\) ও \((2)\) নং বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা যে বৃত্তের ব্যস তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(x+2y=11\) সরলরেখা হতে \((3)\) নং বৃত্তের উপর যে বিন্দুটির দূরত্ব ক্ষুদ্রতম তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
\((a)\) দেওয়া আছে, 
\(x^2+y^2+4x+3y+2=0 .........(2)\)
এখানে,
\(2g=4, 2f=3, c=2\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=2, f=\frac{3}{2}, c=2\)
\((3, 2)\) বিন্দু হতে \((2)\) নং বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শ জ্যা-এর সমীকরণ ,
\(x.3+y.2+2(x+3)+\frac{3}{2}(y+2)+2=0\) ➜ বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু \((x_1, y_1)\) হতে স্পর্শ জ্যা-এর সমীকরণ, \(xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0\)
\(\Rightarrow 3x+2y+2x+6+\frac{3y+6}{2}+2=0\)
\(\Rightarrow 5x+2y+\frac{3y+6}{2}+8=0\)
\(\Rightarrow 10x+4y+3y+6+16=0\)
\(\Rightarrow 10x+7y+22=0\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শ জ্যা-এর সমীকরণ।
\((b)\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2x+3y+1=0 ..........(1)\)
\(x^2+y^2+4x+3y+2=0 ..........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) বৃত্ত দ্বয়ের সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2x+3y+1-x^2-y^2-4x-3y-2=0 \) ➜ \((1)-(2)\) এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow -2x-1=0 \)
\(\Rightarrow 2x+1=0 ........(3)\)
এখন,
\((1)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2x+3y+1+k(2x+1)=0 ..........(4)\) ➜ \(k\) শুন্য ব্যতীত যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\(\Rightarrow x^2+y^2+2x+3y+1+2kx+k=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+(2+2k)x+3y+(1+k)=0\)
এখানে,
\(2g=2+2k, 2f=3, c=1+k\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow 2g=2(1+k), 2f=3, c=1+k\)
\(\Rightarrow g=(1+k), f=\frac{3}{2}, c=1+k\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(C(-(1+k), -\frac{3}{2})\)
এই কেন্দ্র \((3)\) নং সরলরেখার উপর অবস্থিত। যেহেতু , \((3)\) নং সরলরেখা নির্ণেয় বৃত্তের ব্যাস।
\(\therefore -2(1+k)+1=0\)
\(\Rightarrow -2-2k+1=0\)
\(\Rightarrow -1-2k=0\)
\(\Rightarrow -2k=1\)
\(\therefore k=-\frac{1}{2}\)
\(k\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে,
\(x^2+y^2+2x+3y+1-\frac{1}{2}(2x+1)=0\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2+4x+6y+2-(2x+1)=0\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2+4x+6y+2-2x-1=0\)
\(\therefore 2x^2+2y^2+2x+6y+1=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
\(x^2+y^2+4x+3y+2=0 .........(2)\)
এখানে,
\(2g=4, 2f=3, c=2\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=2, f=\frac{3}{2}, c=2\)
\((3, 2)\) বিন্দু হতে \((2)\) নং বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শ জ্যা-এর সমীকরণ ,
\(x.3+y.2+2(x+3)+\frac{3}{2}(y+2)+2=0\) ➜ বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু \((x_1, y_1)\) হতে স্পর্শ জ্যা-এর সমীকরণ, \(xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0\)
\(\Rightarrow 3x+2y+2x+6+\frac{3y+6}{2}+2=0\)
\(\Rightarrow 5x+2y+\frac{3y+6}{2}+8=0\)
\(\Rightarrow 10x+4y+3y+6+16=0\)
\(\Rightarrow 10x+7y+22=0\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শ জ্যা-এর সমীকরণ।
\((b)\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2x+3y+1=0 ..........(1)\)
\(x^2+y^2+4x+3y+2=0 ..........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) বৃত্ত দ্বয়ের সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2x+3y+1-x^2-y^2-4x-3y-2=0 \) ➜ \((1)-(2)\) এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow -2x-1=0 \)
\(\Rightarrow 2x+1=0 ........(3)\)
এখন,
\((1)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2x+3y+1+k(2x+1)=0 ..........(4)\) ➜ \(k\) শুন্য ব্যতীত যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\(\Rightarrow x^2+y^2+2x+3y+1+2kx+k=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+(2+2k)x+3y+(1+k)=0\)
এখানে,
\(2g=2+2k, 2f=3, c=1+k\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow 2g=2(1+k), 2f=3, c=1+k\)
\(\Rightarrow g=(1+k), f=\frac{3}{2}, c=1+k\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(C(-(1+k), -\frac{3}{2})\)
এই কেন্দ্র \((3)\) নং সরলরেখার উপর অবস্থিত। যেহেতু , \((3)\) নং সরলরেখা নির্ণেয় বৃত্তের ব্যাস।
\(\therefore -2(1+k)+1=0\)
\(\Rightarrow -2-2k+1=0\)
\(\Rightarrow -1-2k=0\)
\(\Rightarrow -2k=1\)
\(\therefore k=-\frac{1}{2}\)
\(k\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে,
\(x^2+y^2+2x+3y+1-\frac{1}{2}(2x+1)=0\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2+4x+6y+2-(2x+1)=0\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2+4x+6y+2-2x-1=0\)
\(\therefore 2x^2+2y^2+2x+6y+1=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(x^2+y^2-4x+6y-7=0 .........(3)\)
এখানে,
\(2g=-4, 2f=6, c=-7\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-2, f=3, c=-7\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(2, -3)\)
ব্যাসার্ধ \(CA=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-2)^2+3^2-(-7)}\)
\(=\sqrt{4+9+7}\)
\(=\sqrt{20}\)
\(=\sqrt{5\times 4}\)
\(=2\sqrt{5}\)
দেওয়া আছে,
\(x+2y=11\)
\(\therefore x+2y-11=0 .....(4)\)
\((4)\) এর উপর লম্ব যে কোন সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x-y+k=0 .....(5)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((5)\) নং সরলরেখা \(C(2, -3)\) বিন্দুগামী হলে,
\(2.2-(-3)+k=0\)
\(\Rightarrow 4+3+k=0\)
\(\Rightarrow 7+k=0\)
\(\therefore k=-7\)
\(k\) এর মান \( (5)\) এ বসিয়ে,
\(2x-y-7=0 .....(6)\)
\((4)\) ও \((6)\) সমাধান করি,
\((4)\times 2-(6)\) এর সাহায্যে,
\(2x+4y-22-2x+y+7=0\)
\(\Rightarrow 5y-15=0\)
\(\Rightarrow 5y=15\)
\(\therefore y=3\)
\((4)\) হতে,
\(x+2.3-11=0\)
\(\Rightarrow x+6-11=0\)
\(\Rightarrow x-5=0\)
\(\therefore x=5\)
\(\therefore B(5, 3)\)
\(BC=\sqrt{(5-2)^2+(3+3)^2}\)
\(=\sqrt{(3)^2+(6)^2}\)
\(=\sqrt{9+36}\)
\(=\sqrt{45}\)
\(=\sqrt{5\times 9}\)
\(=3\sqrt{5}\)
ধরি নির্ণেয় বিন্দুটি \(A(x, y)\)
\(AB=BC-CA=3\sqrt{5}-2\sqrt{5}\)
\(=\sqrt{5}\)
\(\therefore CA:AB=2\sqrt{5}:\sqrt{5}\)
\(\Rightarrow CA:AB=2:1\)
\(\therefore A\left(\frac{2.5+1.2}{2+1}, \frac{2.3+1.(-3)}{2+1} \right)\)
\(\Rightarrow A\left(\frac{10+2}{3}, \frac{6-3}{3} \right)\)
\(\Rightarrow A\left(\frac{12}{3}, \frac{3}{3} \right)\)
\(\therefore A(4, 1)\)
ইহাই নির্ণেয় বিন্দু।
দেওয়া আছে,
\(x^2+y^2-4x+6y-7=0 .........(3)\)
এখানে,
\(2g=-4, 2f=6, c=-7\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-2, f=3, c=-7\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(2, -3)\)
ব্যাসার্ধ \(CA=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-2)^2+3^2-(-7)}\)
\(=\sqrt{4+9+7}\)
\(=\sqrt{20}\)
\(=\sqrt{5\times 4}\)
\(=2\sqrt{5}\)
দেওয়া আছে,
\(x+2y=11\)
\(\therefore x+2y-11=0 .....(4)\)
\((4)\) এর উপর লম্ব যে কোন সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x-y+k=0 .....(5)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((5)\) নং সরলরেখা \(C(2, -3)\) বিন্দুগামী হলে,
\(2.2-(-3)+k=0\)
\(\Rightarrow 4+3+k=0\)
\(\Rightarrow 7+k=0\)
\(\therefore k=-7\)
\(k\) এর মান \( (5)\) এ বসিয়ে,
\(2x-y-7=0 .....(6)\)
\((4)\) ও \((6)\) সমাধান করি,
\((4)\times 2-(6)\) এর সাহায্যে,
\(2x+4y-22-2x+y+7=0\)
\(\Rightarrow 5y-15=0\)
\(\Rightarrow 5y=15\)
\(\therefore y=3\)
\((4)\) হতে,
\(x+2.3-11=0\)
\(\Rightarrow x+6-11=0\)
\(\Rightarrow x-5=0\)
\(\therefore x=5\)
\(\therefore B(5, 3)\)
\(BC=\sqrt{(5-2)^2+(3+3)^2}\)
\(=\sqrt{(3)^2+(6)^2}\)
\(=\sqrt{9+36}\)
\(=\sqrt{45}\)
\(=\sqrt{5\times 9}\)
\(=3\sqrt{5}\)
ধরি নির্ণেয় বিন্দুটি \(A(x, y)\)
\(AB=BC-CA=3\sqrt{5}-2\sqrt{5}\)
\(=\sqrt{5}\)
\(\therefore CA:AB=2\sqrt{5}:\sqrt{5}\)
\(\Rightarrow CA:AB=2:1\)
\(\therefore A\left(\frac{2.5+1.2}{2+1}, \frac{2.3+1.(-3)}{2+1} \right)\)
\(\Rightarrow A\left(\frac{10+2}{3}, \frac{6-3}{3} \right)\)
\(\Rightarrow A\left(\frac{12}{3}, \frac{3}{3} \right)\)
\(\therefore A(4, 1)\)
ইহাই নির্ণেয় বিন্দু।
উদাহরণ \(18.\) \(x^2+y^2=25\) বৃত্তের স্পর্শক দুইটি \(X\) অক্ষের সাথে \(60^o\) কোণ উৎপন্ন করলে তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ধরি,
\(x^2+y^2=5^2 ..........(1)\)
\((1)\) এর কেন্দ্র \(O(0, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(r=5\)
স্পর্শক \(X\) অক্ষের সহিত \(60^o\) কোণ উৎপন্ন করে।
\(\therefore \) স্পর্শকের ঢাল \(m=\tan60^o\)
\(=\sqrt{3}\)
স্পর্শকের সমীকরণ,
\(y=mx+c\)
\(\Rightarrow y=\sqrt{3}x+c\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}x+c=y\)
\(\therefore \sqrt{3}x-y+c=0 ........(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \((1)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করে,
\(\therefore \frac{|\sqrt{3}.0-0+c|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}}=5\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|0-0+c|}{\sqrt{(3+1}}=5\)
\(\Rightarrow \frac{|c|}{\sqrt{3+1}}=5\)
\(\Rightarrow \frac{|c|}{\sqrt{4}}=5\)
\(\Rightarrow \frac{|c|}{2}=5\)
\(\Rightarrow |c|=10\)
\(\Rightarrow \pm c=10\)
\(\therefore c=\pm 10\)
\(c\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(\sqrt{3}x-y\pm 10=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}x\pm 10=y\)
\(\therefore y=\sqrt{3}x\pm 10\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
\(x^2+y^2=5^2 ..........(1)\)
\((1)\) এর কেন্দ্র \(O(0, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(r=5\)
স্পর্শক \(X\) অক্ষের সহিত \(60^o\) কোণ উৎপন্ন করে।
\(\therefore \) স্পর্শকের ঢাল \(m=\tan60^o\)
\(=\sqrt{3}\)
স্পর্শকের সমীকরণ,
\(y=mx+c\)
\(\Rightarrow y=\sqrt{3}x+c\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}x+c=y\)
\(\therefore \sqrt{3}x-y+c=0 ........(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \((1)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করে,
\(\therefore \frac{|\sqrt{3}.0-0+c|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}}=5\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|0-0+c|}{\sqrt{(3+1}}=5\)
\(\Rightarrow \frac{|c|}{\sqrt{3+1}}=5\)
\(\Rightarrow \frac{|c|}{\sqrt{4}}=5\)
\(\Rightarrow \frac{|c|}{2}=5\)
\(\Rightarrow |c|=10\)
\(\Rightarrow \pm c=10\)
\(\therefore c=\pm 10\)
\(c\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(\sqrt{3}x-y\pm 10=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}x\pm 10=y\)
\(\therefore y=\sqrt{3}x\pm 10\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
উদাহরণ \(20.\) \((4, 7)\) বিন্দু থেকে \(2x^{2}+2y^{2}-8x-14y+11=0\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ধরি,
\(2x^{2}+2y^{2}-8x-14y+11=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-4x-7y+\frac{11}{2}=0 .......(1)\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
এখানে,
\(2g=-4, 2f=-7, c=\frac{11}{2}\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-2, f=-\frac{7}{2}, c=\frac{11}{2}\)
এবং \(x_1=4, y_1=7\)
\((4, 7)\) বিন্দু থেকে \((1)\) নং বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য,
\(=\sqrt{x^{2}_1+y^{2}_1+2gx_1+2fy_1+c}\)
\(=\sqrt{(4)^{2}+(7)^{2}+2.(-2).4+2.(-\frac{7}{2}).7+\frac{11}{2}}\)
\(=\sqrt{16+49-16-49+\frac{11}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{11}{2}}\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের দৈর্ঘ্য।
\(2x^{2}+2y^{2}-8x-14y+11=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-4x-7y+\frac{11}{2}=0 .......(1)\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
এখানে,
\(2g=-4, 2f=-7, c=\frac{11}{2}\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-2, f=-\frac{7}{2}, c=\frac{11}{2}\)
এবং \(x_1=4, y_1=7\)
\((4, 7)\) বিন্দু থেকে \((1)\) নং বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য,
\(=\sqrt{x^{2}_1+y^{2}_1+2gx_1+2fy_1+c}\)
\(=\sqrt{(4)^{2}+(7)^{2}+2.(-2).4+2.(-\frac{7}{2}).7+\frac{11}{2}}\)
\(=\sqrt{16+49-16-49+\frac{11}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{11}{2}}\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের দৈর্ঘ্য।
উদাহরণ \(21.\) \(x^2+y^2=r^2\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক দুইটি লম্বভাবে ছেদ করলে ছেদবিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ধরি,
\(x^2+y^2=r^2 .....(1)\)
\((1)\) নং বৃত্তের স্পর্শকের সমীকরন,
\(y=mx\pm r\sqrt{1+m^2}\) যখন \(m\) স্পর্শকের ঢাল নির্দেশ করে।
\(\Rightarrow y-mx=\pm r\sqrt{1+m^2}\)
\(\Rightarrow (y-mx)^2=r^2(1+m^2)\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow y^2-2mxy+m^2x^2=r^2+r^2m^2\)
\(\Rightarrow y^2-2mxy+m^2x^2-r^2-r^2m^2=0\)
\(\Rightarrow (x^2-r^2)m^2-2mxy+(y^2-r^2)=0 ........(2)\)
যা \(m\) এর দ্বিঘাত সমীকরণ, এখানে \(m\) এর দুইটি মান যথাক্রমে \(m_1\) ও \(m_2\)।
\(\therefore m_1m_2=\frac{y^2-r^2}{x^2-r^2} ......(3)\)
আবার,
স্পর্শকদ্বয় পরস্পর লম্ব বলে,
\(m_1m_2=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2-r^2}{x^2-r^2}=-1\) ➜ \((3)\) এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow y^2-r^2=-x^2+r^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=r^2+r^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=2r^2\)
ইহাই নির্ণেয় সঞ্চার পথের সমীকরণ।
\(x^2+y^2=r^2 .....(1)\)
\((1)\) নং বৃত্তের স্পর্শকের সমীকরন,
\(y=mx\pm r\sqrt{1+m^2}\) যখন \(m\) স্পর্শকের ঢাল নির্দেশ করে।
\(\Rightarrow y-mx=\pm r\sqrt{1+m^2}\)
\(\Rightarrow (y-mx)^2=r^2(1+m^2)\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow y^2-2mxy+m^2x^2=r^2+r^2m^2\)
\(\Rightarrow y^2-2mxy+m^2x^2-r^2-r^2m^2=0\)
\(\Rightarrow (x^2-r^2)m^2-2mxy+(y^2-r^2)=0 ........(2)\)
যা \(m\) এর দ্বিঘাত সমীকরণ, এখানে \(m\) এর দুইটি মান যথাক্রমে \(m_1\) ও \(m_2\)।
\(\therefore m_1m_2=\frac{y^2-r^2}{x^2-r^2} ......(3)\)
আবার,
স্পর্শকদ্বয় পরস্পর লম্ব বলে,
\(m_1m_2=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2-r^2}{x^2-r^2}=-1\) ➜ \((3)\) এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow y^2-r^2=-x^2+r^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=r^2+r^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=2r^2\)
ইহাই নির্ণেয় সঞ্চার পথের সমীকরণ।
উদাহরণ \(22.\) \((1, -3)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত \(2x-y-4=0\) রেখাকে স্পর্শ করে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ধরি,
\(2x-y-4=0 .....(1)\)
বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(=r\)
এবং কেন্দ্র দেওয়া আছে \(C(1, -3)\)
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-1)^2+(y+3)^2=r^2 ......(2)\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করে,
\(\frac{|2.1-(-3)-4|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=r \) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|2+3-4|}{\sqrt{4+1}}=r \)
\(\Rightarrow \frac{|5-4|}{\sqrt{5}}=r \)
\(\Rightarrow \frac{|1|}{\sqrt{5}}=r \)
\(\therefore r=\frac{1}{\sqrt{5}} \)
\(r\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\((x-1)^2+(y+3)^2=(\frac{1}{\sqrt{5}})^2\)
\(\Rightarrow x^2-2.x.1+1^2+y^2+2.y.3+3^2=\frac{1}{5}\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2+6y+9=\frac{1}{5}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2x+6y+10=\frac{1}{5}\)
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2-10x+30y+50=1\)
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2-10x+30y+50-1=0\)
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2-10x+30y+49=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
\(2x-y-4=0 .....(1)\)
বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(=r\)
এবং কেন্দ্র দেওয়া আছে \(C(1, -3)\)
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-1)^2+(y+3)^2=r^2 ......(2)\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করে,
\(\frac{|2.1-(-3)-4|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=r \) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|2+3-4|}{\sqrt{4+1}}=r \)
\(\Rightarrow \frac{|5-4|}{\sqrt{5}}=r \)
\(\Rightarrow \frac{|1|}{\sqrt{5}}=r \)
\(\therefore r=\frac{1}{\sqrt{5}} \)
\(r\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\((x-1)^2+(y+3)^2=(\frac{1}{\sqrt{5}})^2\)
\(\Rightarrow x^2-2.x.1+1^2+y^2+2.y.3+3^2=\frac{1}{5}\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2+6y+9=\frac{1}{5}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2x+6y+10=\frac{1}{5}\)
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2-10x+30y+50=1\)
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2-10x+30y+50-1=0\)
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2-10x+30y+49=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
উদাহরণ \(23.\) \(x^{2}+y^{2}-4x-6y+c=0\) বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে। \(c\) এর মান এবং স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ধরি,
\(x^{2}+y^{2}-4x-6y+c=0 ......(1)\)
এখানে,
\(2g=-4, 2f=-6, c_1=c\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-2, f=-3, c_1=c\)
কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(therefore (2, 3)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{(-2)^2+(-3)^2-c}\)
\(=\sqrt{4+9-c}\)
\(=\sqrt{13-c}\)
\(\because \) বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে। অতএব, কেন্দ্রের \(y\) স্থানাঙ্ক ব্যাসার্ধের সমান হবে।
\(\therefore \sqrt{13-c}=3\)
\(\Rightarrow 13-c=3^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 13-c=9\)
\(\Rightarrow 13-9=c\)
\(\Rightarrow 4=c\)
\(\therefore c=4\)
ইহাই নির্ণেয় \(c\) এর মান।
আবার ধরি, \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে বলে \(y=0\)
\((1)\) হতে,
\(x^{2}+0^{2}-4x-6.0+4=0\)
\(\Rightarrow x^{2}-4x+4=0\)
\(\Rightarrow (x-2)^{2}=0\)
\(\Rightarrow x-2=0\)
\(\therefore x=2\)
\(\therefore \) স্পর্শবিন্দু \((2, 0)\) .
\(x^{2}+y^{2}-4x-6y+c=0 ......(1)\)
এখানে,
\(2g=-4, 2f=-6, c_1=c\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-2, f=-3, c_1=c\)
কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(therefore (2, 3)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{(-2)^2+(-3)^2-c}\)
\(=\sqrt{4+9-c}\)
\(=\sqrt{13-c}\)
\(\because \) বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে। অতএব, কেন্দ্রের \(y\) স্থানাঙ্ক ব্যাসার্ধের সমান হবে।
\(\therefore \sqrt{13-c}=3\)
\(\Rightarrow 13-c=3^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 13-c=9\)
\(\Rightarrow 13-9=c\)
\(\Rightarrow 4=c\)
\(\therefore c=4\)
ইহাই নির্ণেয় \(c\) এর মান।
আবার ধরি, \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে বলে \(y=0\)
\((1)\) হতে,
\(x^{2}+0^{2}-4x-6.0+4=0\)
\(\Rightarrow x^{2}-4x+4=0\)
\(\Rightarrow (x-2)^{2}=0\)
\(\Rightarrow x-2=0\)
\(\therefore x=2\)
\(\therefore \) স্পর্শবিন্দু \((2, 0)\) .
উদাহরণ \(24.\) \(y=2x \) যদি \(x^2+y^2=10x\) বৃত্তের কোন জ্যা-এর সমীকরণ হয়, তবে উক্ত জ্যাকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ধরি,
\(x^2+y^2-10x=0 ......(1)\)
\(y-2x=0 ......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোন বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2-10x+k(y-2x)=0 ......(3)\) ➜ \(k\) শুন্য ব্যাতীত যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\(\Rightarrow x^2+y^2-10x+ky-2kx=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-(10+2k)x+ky=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2(5+k)x+ky=0\)
এখানে,
\(2g=-2(5+k), 2f=k, c=0\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-(5+k), f=\frac{k}{2}, c=0\)
কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\Rightarrow (5+k, -\frac{k}{2})\)
শর্তমতে যা \((2)\) নং সরলরেখার উপর অবস্থিত।
\(\therefore -\frac{k}{2}-2(5+k)=0\)
\(\Rightarrow -\frac{k}{2}-10-2k=0\)
\(\Rightarrow -\frac{k}{2}-2k=10\)
\(\Rightarrow \frac{k}{2}+2k=-10\)
\(\Rightarrow \frac{k+4k}{2}=-10\)
\(\Rightarrow \frac{5k}{2}=-10\)
\(\Rightarrow 5k=-20\)
\(\Rightarrow k=-\frac{20}{5}\)
\(\therefore k=-4\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(x^2+y^2-10x-4(y-2x)=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-10x-4y+8x=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2x-4y=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
\(x^2+y^2-10x=0 ......(1)\)
\(y-2x=0 ......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোন বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2-10x+k(y-2x)=0 ......(3)\) ➜ \(k\) শুন্য ব্যাতীত যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\(\Rightarrow x^2+y^2-10x+ky-2kx=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-(10+2k)x+ky=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2(5+k)x+ky=0\)
এখানে,
\(2g=-2(5+k), 2f=k, c=0\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-(5+k), f=\frac{k}{2}, c=0\)
কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\Rightarrow (5+k, -\frac{k}{2})\)
শর্তমতে যা \((2)\) নং সরলরেখার উপর অবস্থিত।
\(\therefore -\frac{k}{2}-2(5+k)=0\)
\(\Rightarrow -\frac{k}{2}-10-2k=0\)
\(\Rightarrow -\frac{k}{2}-2k=10\)
\(\Rightarrow \frac{k}{2}+2k=-10\)
\(\Rightarrow \frac{k+4k}{2}=-10\)
\(\Rightarrow \frac{5k}{2}=-10\)
\(\Rightarrow 5k=-20\)
\(\Rightarrow k=-\frac{20}{5}\)
\(\therefore k=-4\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(x^2+y^2-10x-4(y-2x)=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-10x-4y+8x=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2x-4y=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
উদাহরণ \(26.\) \(x^2+y^2=20\) বৃত্তের \(2\) ভুজবিশিষ্ট বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ধরি,
\(x^2+y^2=20 .......(1)\)
\(2\) ভুজবিশিষ্ট বিন্দু \((2, \alpha)\) শর্তমতে যা \((1)\) নং বৃত্তের উপর অবস্থিত।
\(\therefore 2^2+(\alpha)^2=20\)
\(\Rightarrow 4+(\alpha)^2=20\)
\(\Rightarrow (\alpha)^2=20-4\)
\(\Rightarrow (\alpha)^2=16\)
\(\therefore \alpha=\pm 4\)
\(\therefore \) স্পর্শবিন্দু \((2, \pm 4)\)
\((1)\) এর উপর \((2, \pm 4)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.2+y.(\pm 4)=20\)
\(\Rightarrow 2x\pm 4y=20\)
\(\Rightarrow 2(x\pm 2y)=20\)
\(\therefore x\pm 2y=10\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
\(x^2+y^2=20 .......(1)\)
\(2\) ভুজবিশিষ্ট বিন্দু \((2, \alpha)\) শর্তমতে যা \((1)\) নং বৃত্তের উপর অবস্থিত।
\(\therefore 2^2+(\alpha)^2=20\)
\(\Rightarrow 4+(\alpha)^2=20\)
\(\Rightarrow (\alpha)^2=20-4\)
\(\Rightarrow (\alpha)^2=16\)
\(\therefore \alpha=\pm 4\)
\(\therefore \) স্পর্শবিন্দু \((2, \pm 4)\)
\((1)\) এর উপর \((2, \pm 4)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.2+y.(\pm 4)=20\)
\(\Rightarrow 2x\pm 4y=20\)
\(\Rightarrow 2(x\pm 2y)=20\)
\(\therefore x\pm 2y=10\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
উদাহরণ \(27.\) \(x^2+y^2=16\) ও \(x^2+y^2+6x-8y=0\) বৃত্ত দুইটির সাধারণ স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ধরি,
\(x^2+y^2=4^2 ......(1)\)
\(x^2+y^2+6x-8y=0 ......(2)\)
\((1)\) এর কেন্দ্র \(C_1(0, 0)\) এবং ব্যাসার্ধ \(r_1=4\)
\((2)\) এর ক্ষেত্রে,
\(2g=6, 2f=-8, c=0\)
\(\Rightarrow g=3, f=-4, c=0\)
\(\therefore (2)\) এর কেন্দ্র \(C_2(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C_2(-3, 4)\)
এবং ব্যাসার্ধ \(r_2=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(r_2=\sqrt{3^2+(-4)^2-0}\)
\(=\sqrt{9+16}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)
সরল সাধারণ স্পর্শকদ্বয়ের ছেদবিন্দু \(P(x_1, y_1)\).
\(P\) বিন্দুতে \(C_1\) এবং \(C_2\) এর সংযোগ রেখা \(4:5\) অনুপাতে বহির্বিভক্ত হয়।
\(\therefore P\left(\frac{4.(-3)-5.0}{4-5}, \frac{4.4-5.0}{4-5}\right)\)
\(\Rightarrow P\left(\frac{-12-0}{-1}, \frac{16-0}{-1}\right)\)
\(\Rightarrow P\left(\frac{-12}{-1}, \frac{16}{-1}\right)\)
\(\therefore P(12, -16)\)
এখন,
\(P(12, -16)\) হতে \((1)\) নং বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ,
\((x^2+y^2-4^2)\{12^2+(-16)^2-4^2\}\)\(=\{x.12+y.(-16)-4^2\}^2 \) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ, \( (x^2+y^2-r^2)(x^2_1+y^2_1-r^2)=(xx_1+yy_1-r^2)^2\)
\(\Rightarrow (x^2+y^2-16)\{144+256-16\}=(12x-16y-16)^2 \)
\(\Rightarrow (x^2+y^2-16)(384)=16(3x-4y-4)^2 \)
\(\Rightarrow (x^2+y^2-16).24=(3x-4y-4)^2 \)
\(\Rightarrow 24x^2+24y^2-384=9x^2+16y^2+16-24xy-24x+32y \)
\(\Rightarrow 24x^2+24y^2-384-9x^2-16y^2-16+24xy+24x-32y=0 \)
\(\therefore 15x^2+24xy+8y^2+24x-32y-400=0 \)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ।
\(x^2+y^2=4^2 ......(1)\)
\(x^2+y^2+6x-8y=0 ......(2)\)
\((1)\) এর কেন্দ্র \(C_1(0, 0)\) এবং ব্যাসার্ধ \(r_1=4\)
\((2)\) এর ক্ষেত্রে,
\(2g=6, 2f=-8, c=0\)
\(\Rightarrow g=3, f=-4, c=0\)
\(\therefore (2)\) এর কেন্দ্র \(C_2(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C_2(-3, 4)\)
এবং ব্যাসার্ধ \(r_2=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(r_2=\sqrt{3^2+(-4)^2-0}\)
\(=\sqrt{9+16}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)
সরল সাধারণ স্পর্শকদ্বয়ের ছেদবিন্দু \(P(x_1, y_1)\).
\(P\) বিন্দুতে \(C_1\) এবং \(C_2\) এর সংযোগ রেখা \(4:5\) অনুপাতে বহির্বিভক্ত হয়।
\(\therefore P\left(\frac{4.(-3)-5.0}{4-5}, \frac{4.4-5.0}{4-5}\right)\)
\(\Rightarrow P\left(\frac{-12-0}{-1}, \frac{16-0}{-1}\right)\)
\(\Rightarrow P\left(\frac{-12}{-1}, \frac{16}{-1}\right)\)
\(\therefore P(12, -16)\)
এখন,
\(P(12, -16)\) হতে \((1)\) নং বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ,
\((x^2+y^2-4^2)\{12^2+(-16)^2-4^2\}\)\(=\{x.12+y.(-16)-4^2\}^2 \) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ, \( (x^2+y^2-r^2)(x^2_1+y^2_1-r^2)=(xx_1+yy_1-r^2)^2\)
\(\Rightarrow (x^2+y^2-16)\{144+256-16\}=(12x-16y-16)^2 \)
\(\Rightarrow (x^2+y^2-16)(384)=16(3x-4y-4)^2 \)
\(\Rightarrow (x^2+y^2-16).24=(3x-4y-4)^2 \)
\(\Rightarrow 24x^2+24y^2-384=9x^2+16y^2+16-24xy-24x+32y \)
\(\Rightarrow 24x^2+24y^2-384-9x^2-16y^2-16+24xy+24x-32y=0 \)
\(\therefore 15x^2+24xy+8y^2+24x-32y-400=0 \)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ।
উদাহরণ \(28.\) \(x^2+y^2-4x-2y+4=0\) ও \(x^2+y^2+4x+2y-4=0\) বৃত্ত দুইটির তীর্যক সাধারণ স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ধরি,
\(x^2+y^2-4x-2y+4=0 ......(1)\)
\(x^2+y^2+4x+2y-4=0 ......(2)\)
\((1)\) এর ক্ষেত্রে,
\(2g=-4, 2f=-2, c=4\)
\(\Rightarrow g=-2, f=-1, c=4\)
\(\therefore (1)\) এর কেন্দ্র \(C_1(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C_1(2, 1)\)
এবং ব্যাসার্ধ \(r_1=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(r_2=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2-4}\)
\(=\sqrt{4+1-4}\)
\(=\sqrt{1}\)
\(=1\)
\((2)\) এর ক্ষেত্রে,
\(2g=4, 2f=2, c=-4\)
\(\Rightarrow g=2, f=1, c=-4\)
\(\therefore (2)\) এর কেন্দ্র \(C_2(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C_2(-2, -1)\)
এবং ব্যাসার্ধ \(r_2=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(r_2=\sqrt{2^2+1^2-(-4)}\)
\(=\sqrt{4+1+4}\)
\(=\sqrt{9}\)
\(=3\)
তীর্যক সাধারণ স্পর্শকদ্বয়ের ছেদবিন্দু \(P(x_1, y_1)\).
\(P\) বিন্দুতে \(C_1\) এবং \(C_2\) এর সংযোগ রেখা \(1:3\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়।
\(\therefore P\left(\frac{1.(-2)+3.2}{1+3}, \frac{1.(-1)+3.1}{1+3}\right)\)
\(\Rightarrow P\left(\frac{-2+6}{4}, \frac{-1+3}{4}\right)\)
\(\Rightarrow P\left(\frac{4}{4}, \frac{2}{4}\right)\)
\(\Rightarrow P\left(1, \frac{1}{2}\right)\)
\(P\left(1, \frac{1}{2}\right)\) হতে \((1)\) নং বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ,
\((x^2+y^2-4x-2y+4)(1^2+(\frac{1}{2})^2-4.1-2.\frac{1}{2}+4)\)\(=\{x.1+y.\frac{1}{2}-2(x+1)-1(y+\frac{1}{2})+4\}^2 \) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ, \((x^2+y^2+2gx+2fy+c)(x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c)\)\(=\{x.x_1+y.y_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c\}^2\)
\(\Rightarrow (x^2+y^2-4x-2y+4)(1+\frac{1}{4}-4-1+4)=\{x+\frac{y}{2}-2x-2-y-\frac{1}{2}+4\}^2 \)
\(\Rightarrow (x^2+y^2-4x-2y+4)\times \frac{1}{4}=\{\frac{-y}{2}-x+\frac{3}{2}\}^2 \)
\(\Rightarrow (x^2+y^2-4x-2y+4)\times \frac{1}{4}=\frac{y^2}{4}+x^2+\frac{9}{4}+xy-3x-\frac{3y}{2} \)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x-2y+4=y^2+4x^2+9+4xy-12x-6y \)
\(\Rightarrow y^2+4x^2+9+4xy-12x-6y=x^2+y^2-4x-2y+4 \)
\(\Rightarrow y^2+4x^2+9+4xy-12x-6y-x^2-y^2+4x+2y-4=0 \)
\(\Rightarrow 3x^2+4xy-8x-4y+5=0 \)
\(\Rightarrow 3x(x-1)+4y(x-1)-5(x-1)=0 \)
\(\Rightarrow (x-1)(3x+4y-5)=0 \)
\(\therefore x-1=0, 3x+4y-5=0 \)
নির্ণেয় স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ \( x-1=0\) এবং \(3x+4y-5=0 \)।
\(x^2+y^2-4x-2y+4=0 ......(1)\)
\(x^2+y^2+4x+2y-4=0 ......(2)\)
\((1)\) এর ক্ষেত্রে,
\(2g=-4, 2f=-2, c=4\)
\(\Rightarrow g=-2, f=-1, c=4\)
\(\therefore (1)\) এর কেন্দ্র \(C_1(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C_1(2, 1)\)
এবং ব্যাসার্ধ \(r_1=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(r_2=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2-4}\)
\(=\sqrt{4+1-4}\)
\(=\sqrt{1}\)
\(=1\)
\((2)\) এর ক্ষেত্রে,
\(2g=4, 2f=2, c=-4\)
\(\Rightarrow g=2, f=1, c=-4\)
\(\therefore (2)\) এর কেন্দ্র \(C_2(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C_2(-2, -1)\)
এবং ব্যাসার্ধ \(r_2=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(r_2=\sqrt{2^2+1^2-(-4)}\)
\(=\sqrt{4+1+4}\)
\(=\sqrt{9}\)
\(=3\)
তীর্যক সাধারণ স্পর্শকদ্বয়ের ছেদবিন্দু \(P(x_1, y_1)\).
\(P\) বিন্দুতে \(C_1\) এবং \(C_2\) এর সংযোগ রেখা \(1:3\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়।
\(\therefore P\left(\frac{1.(-2)+3.2}{1+3}, \frac{1.(-1)+3.1}{1+3}\right)\)
\(\Rightarrow P\left(\frac{-2+6}{4}, \frac{-1+3}{4}\right)\)
\(\Rightarrow P\left(\frac{4}{4}, \frac{2}{4}\right)\)
\(\Rightarrow P\left(1, \frac{1}{2}\right)\)
\(P\left(1, \frac{1}{2}\right)\) হতে \((1)\) নং বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ,
\((x^2+y^2-4x-2y+4)(1^2+(\frac{1}{2})^2-4.1-2.\frac{1}{2}+4)\)\(=\{x.1+y.\frac{1}{2}-2(x+1)-1(y+\frac{1}{2})+4\}^2 \) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ, \((x^2+y^2+2gx+2fy+c)(x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c)\)\(=\{x.x_1+y.y_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c\}^2\)
\(\Rightarrow (x^2+y^2-4x-2y+4)(1+\frac{1}{4}-4-1+4)=\{x+\frac{y}{2}-2x-2-y-\frac{1}{2}+4\}^2 \)
\(\Rightarrow (x^2+y^2-4x-2y+4)\times \frac{1}{4}=\{\frac{-y}{2}-x+\frac{3}{2}\}^2 \)
\(\Rightarrow (x^2+y^2-4x-2y+4)\times \frac{1}{4}=\frac{y^2}{4}+x^2+\frac{9}{4}+xy-3x-\frac{3y}{2} \)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x-2y+4=y^2+4x^2+9+4xy-12x-6y \)
\(\Rightarrow y^2+4x^2+9+4xy-12x-6y=x^2+y^2-4x-2y+4 \)
\(\Rightarrow y^2+4x^2+9+4xy-12x-6y-x^2-y^2+4x+2y-4=0 \)
\(\Rightarrow 3x^2+4xy-8x-4y+5=0 \)
\(\Rightarrow 3x(x-1)+4y(x-1)-5(x-1)=0 \)
\(\Rightarrow (x-1)(3x+4y-5)=0 \)
\(\therefore x-1=0, 3x+4y-5=0 \)
নির্ণেয় স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ \( x-1=0\) এবং \(3x+4y-5=0 \)।
উদাহরণ \(29.\) \(x^2+y^2-3x+10y-15=0\) বৃত্তের \((4, -11)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০১০, ২০০২; রাঃ ২০০৯]
[ সিঃ ২০১০, ২০০২; রাঃ ২০০৯]
সমাধানঃ
ধরি,
\(x^2+y^2-3x+10y-15=0 ......(1)\)
\((1)\) এর ক্ষেত্রে,
\(2g=-3, 2f=10, c=-15\)
\(\Rightarrow g=-\frac{3}{2}, f=5, c=-15\)
\((1)\) নং বৃত্তের উপরস্থ \((4, -11)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ,
\((-\frac{3}{2}+4)y-(5-11)x+5.4-(-\frac{3}{2})(-11)=0\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ, \((g+x_1)y-(f+y_1)x+fx_1-gy_1=0\)
\(\Rightarrow \frac{-3+8}{2}y-(-6)x+20-\frac{33}{2}=0\)
\(\Rightarrow \frac{5}{2}y+6x+\frac{40-33}{2}=0\)
\(\Rightarrow \frac{5}{2}y+6x+\frac{7}{2}=0\)
\(\Rightarrow 5y+12x+7=0\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 12x+5y+7=0\)
ইহাই নির্ণেয় অভিলম্বের সমীকরণ।
\(x^2+y^2-3x+10y-15=0 ......(1)\)
\((1)\) এর ক্ষেত্রে,
\(2g=-3, 2f=10, c=-15\)
\(\Rightarrow g=-\frac{3}{2}, f=5, c=-15\)
\((1)\) নং বৃত্তের উপরস্থ \((4, -11)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ,
\((-\frac{3}{2}+4)y-(5-11)x+5.4-(-\frac{3}{2})(-11)=0\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ, \((g+x_1)y-(f+y_1)x+fx_1-gy_1=0\)
\(\Rightarrow \frac{-3+8}{2}y-(-6)x+20-\frac{33}{2}=0\)
\(\Rightarrow \frac{5}{2}y+6x+\frac{40-33}{2}=0\)
\(\Rightarrow \frac{5}{2}y+6x+\frac{7}{2}=0\)
\(\Rightarrow 5y+12x+7=0\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 12x+5y+7=0\)
ইহাই নির্ণেয় অভিলম্বের সমীকরণ।
অনুশীলনী \(4.B\) / \(Q.1\)-এর অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
\(Q.1.(i)\) প্রমাণ কর যে, \(3x+4y-38=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-6x-2y=15\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। স্পর্শবিন্দুটি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((6, 5)\)
\(Q.1.(ii)\) \(x-5y+2=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-ax+2y+1=0\) বৃত্তের একটি ব্যাস হলে, \(a\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a=-14\)
\(Q.1.(iii)\) \(2x^2+2y^2-4x+12y-5=0\) বৃত্তের একটি ব্যাসের সমীকরণ নির্ণয় কর যা,
\((a)\) \(6x+8y=11\) রেখার উপর লম্ব।
\((b)\) \(6x+8y=11\) রেখার সমান্তরাল।
উত্তরঃ \((a) 4x-3y-13=0; (b) 3x+4y+9=0\)।
\(Q.1.(iv)\) প্রমাণ কর যে, \(x-3y=5\) রেখাটি \(x^2+y^2-6x+8y+15=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসের সমীকরণও নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(3x+y=5\)।
\(Q.1.(v)\) মূলবিন্দু হতে \(x^2+y^2-10x+20=0\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১১; বঃ ২০১২; রাঃ,চঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(x-2y=0, x+2y=0\)।
\(Q.1.(vi)\) \((1, -3)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত \(2x-y-4=0\) রেখাকে স্পর্শ করে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(5x^2+5y^2-10x+30y+49=0\)।
\(Q.1.(vii)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((4, 3)\) এবং যা \(5x-12y+3=0\) সরলরেখাকে স্পর্শ করে।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-8x-6y+24=0\)।
\(Q.1.(viii)\) \(2x+3y-5=0\)রেখাটি \((3, 4)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের স্পর্শক। বৃত্তটি \(Y\) অক্ষের যে অংশ ছেদ করে তার পরিমাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4\)।
\(Q.1.(ix)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নীর্ণয় কর যার কেন্দ্র \((4, 3)\) এবং একটি স্পর্শক \(5x-12y+3=0\)।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-8x-6y+24=0\)।
\(Q.1.(x)\) \(x^2+y^2-3x+10y=15\) বৃত্তের \((4, -11)\) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০১০]
উত্তরঃ \(5x-12y=152\)।
\(Q.1.(xi)\) \(p, q\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত মূলবিন্দুগামী। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। দেখাও যে মূলবিন্দুতে বৃত্তটির স্পর্শক \(px+qy=0\)।
[যঃ ২০০৭; দিঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2px-2qy=0 \)।
\(Q.1.(xii)\) \(px+qy=1\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}=a^2\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। দেখাও যে, \((p, q)\) বিন্দুটি একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত।
[ ঢাঃ ২০০৬; বঃ ২০০৮; যঃ ২০১২ ]
।
\(Q.1.(xiii)\) \(x^2+y^2=4\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(x-2y+7=0\) রেখার উপর লম্ব হবে।
উত্তরঃ \(2x+y\pm 2\sqrt{5}=0 \)।
\(Q.1.(xiv)\) \(x^{2}+y^{2}-2x-4y-4=0\) বৃত্তে অঙ্কিত যে স্পর্শক \(3x-4y+5=0\) রেখার উপর লম্ব তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১২; সিঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(4x+3y-25=0, 4x+3y+5=0\)।
\(Q.1.(xv)\) দেখাও যে, \(3x+4y-9=0\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}-2x+2y=2\) বৃত্তের একটি স্পর্শক। এমন দুইটি স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যারা উক্ত স্পর্শকটির উপর লম্ব।
[দিঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(4x-3y+3=0, 4x-3y-17=0 \)।
উত্তরঃ \((6, 5)\)
\(Q.1.(ii)\) \(x-5y+2=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-ax+2y+1=0\) বৃত্তের একটি ব্যাস হলে, \(a\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a=-14\)
\(Q.1.(iii)\) \(2x^2+2y^2-4x+12y-5=0\) বৃত্তের একটি ব্যাসের সমীকরণ নির্ণয় কর যা,
\((a)\) \(6x+8y=11\) রেখার উপর লম্ব।
\((b)\) \(6x+8y=11\) রেখার সমান্তরাল।
উত্তরঃ \((a) 4x-3y-13=0; (b) 3x+4y+9=0\)।
\(Q.1.(iv)\) প্রমাণ কর যে, \(x-3y=5\) রেখাটি \(x^2+y^2-6x+8y+15=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসের সমীকরণও নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(3x+y=5\)।
\(Q.1.(v)\) মূলবিন্দু হতে \(x^2+y^2-10x+20=0\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১১; বঃ ২০১২; রাঃ,চঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(x-2y=0, x+2y=0\)।
\(Q.1.(vi)\) \((1, -3)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত \(2x-y-4=0\) রেখাকে স্পর্শ করে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(5x^2+5y^2-10x+30y+49=0\)।
\(Q.1.(vii)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((4, 3)\) এবং যা \(5x-12y+3=0\) সরলরেখাকে স্পর্শ করে।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-8x-6y+24=0\)।
\(Q.1.(viii)\) \(2x+3y-5=0\)রেখাটি \((3, 4)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের স্পর্শক। বৃত্তটি \(Y\) অক্ষের যে অংশ ছেদ করে তার পরিমাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4\)।
\(Q.1.(ix)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নীর্ণয় কর যার কেন্দ্র \((4, 3)\) এবং একটি স্পর্শক \(5x-12y+3=0\)।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-8x-6y+24=0\)।
\(Q.1.(x)\) \(x^2+y^2-3x+10y=15\) বৃত্তের \((4, -11)\) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০১০]
উত্তরঃ \(5x-12y=152\)।
\(Q.1.(xi)\) \(p, q\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত মূলবিন্দুগামী। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। দেখাও যে মূলবিন্দুতে বৃত্তটির স্পর্শক \(px+qy=0\)।
[যঃ ২০০৭; দিঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2px-2qy=0 \)।
\(Q.1.(xii)\) \(px+qy=1\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}=a^2\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। দেখাও যে, \((p, q)\) বিন্দুটি একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত।
[ ঢাঃ ২০০৬; বঃ ২০০৮; যঃ ২০১২ ]
।
\(Q.1.(xiii)\) \(x^2+y^2=4\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(x-2y+7=0\) রেখার উপর লম্ব হবে।
উত্তরঃ \(2x+y\pm 2\sqrt{5}=0 \)।
\(Q.1.(xiv)\) \(x^{2}+y^{2}-2x-4y-4=0\) বৃত্তে অঙ্কিত যে স্পর্শক \(3x-4y+5=0\) রেখার উপর লম্ব তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১২; সিঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(4x+3y-25=0, 4x+3y+5=0\)।
\(Q.1.(xv)\) দেখাও যে, \(3x+4y-9=0\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}-2x+2y=2\) বৃত্তের একটি স্পর্শক। এমন দুইটি স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যারা উক্ত স্পর্শকটির উপর লম্ব।
[দিঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(4x-3y+3=0, 4x-3y-17=0 \)।
\(Q.1.(xvi)\) \(x^{2}+y^{2}-2x-4y-4=0\) বৃত্তের স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর যারা \(3x-4y-1=0\) রেখার সমান্তরাল।
উত্তরঃ \(3x-4y-10=0; 3x-4y+20=0\)।
\(Q.1.(xvii)\) \(x^{2}+y^{2}-8x-10y-8=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক \(5x-12y=9\) রেখার সমান্তরাল । স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[চঃ ২০১২, সিঃ২০১১ ]
উত্তরঃ \(5x-12y-51=0; 5x-12y+131=0 \)।
\(Q.1.(xviii)\) \(x^{2}+y^{2}-10x-10y=0\) বৃত্তের উপর দুইটি স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যারা \(y=x\) রেখার সমান্তরাল হবে।
উত্তরঃ \(x-y\pm 10=0 \)।
\(Q.1.(xix)\) \(x^{2}+y^{2}+6x-8y+21=0\) বৃত্তের যে স্পর্শক \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল; ঐ স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+5=0, x+1=0\)।
\(Q.1.(xx)\) \(x^{2}+y^{2}+6x-8y+21=0\) বৃত্তের যে স্পর্শক \(X\) অক্ষের সমান্তরাল; তাদের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y+2=0, y+6=0\)।
\(Q.1.(xxi)\) দেখাও যে, \(y-3x=10\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}=10\) বৃত্তটিকে সমাপতিত বিন্দুতে ছেদ করে। বিন্দুটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-3, 1)\)
➜ সমাপতিত বিন্দুতে ছেদ করে অর্থাৎ স্পর্শ করে। স্পর্শ বিন্দুটি নির্ণয় করতে হবে।
\(Q.1.(xxii)\) দেখাও যে, \(y-3x=10\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}=10\) বৃত্তটিকে স্পর্শ করে।
\(Q.1.(xxiii)\) দেখাও যে, \(4x+3y-3=0\) ও \(12x+5y-13=0\) রেখাটি দুইটি \((-2, -3)\) কেন্দ্র ও \(4\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের স্পর্শক।
➜ কেন্দ্র হতে সরলরেখাগুলির লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান দেখাতে হবে। অর্থাৎ \(Q.1.(i)\)-এর প্রথম অংশের অনুরূপ।
\(Q.1.(xxiv)\) \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা
\((a)\) অক্ষ দুইটির সাথে \(a^2\) ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজ গঠন করে।
\((b)\) \(x^2+y^2=20\) বৃত্তের \(2\) ভুজবিশিষ্ট বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ দিঃ ২০১১; রাঃ ২০১০; সিঃ ২০০৯; বঃ ২০০৫; কুঃ ২০০২; মাঃ ২০১০, ২০০৮]
উত্তরঃ \(x+2y=10, x-2y=10\)
\(Q.1.(xxv)\) দেখাও যে, \(X\) অক্ষ, \(x^2+y^2-4x-5y+4=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। মূলবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী অপর স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(9y+40x=0\)।
\(Q.1.(xxvi)\) \((4, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী বৃত্ত \(3x+4y-1=0\) ও \(x-3=0\) রেখা দুইটিকে স্পর্শ করে। \(r\) বৃত্তটির ব্যাসার্ধ হলে দেখাও যে, \(r^2-20r+40=0\)।
\(Q.1.(xxvii)\) মূলবিন্দু হতে \(x^2+y^2-6x-4y+9=0\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শক দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১১; বঃ ২০১২; রাঃ,চঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(\tan^{-1}(\frac{12}{5})\)।
\(Q.1.(xxviii)\) \((x+5)^2+y^2=25\) বৃত্তের উপর \((-2, 4)\) বিন্দুতে স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x+4y-10=0, 4x-3y+20=0\)।
\(Q.1.(xxix)\) যে বৃত্তের কেন্দ্র মূলবিন্দুতে এবং \(2x+\sqrt{5}y-1=0\) রেখাকে স্পর্শ করে। তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(9x^2+9y^2=1\)।
উত্তরঃ \(3x-4y-10=0; 3x-4y+20=0\)।
\(Q.1.(xvii)\) \(x^{2}+y^{2}-8x-10y-8=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক \(5x-12y=9\) রেখার সমান্তরাল । স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[চঃ ২০১২, সিঃ২০১১ ]
উত্তরঃ \(5x-12y-51=0; 5x-12y+131=0 \)।
\(Q.1.(xviii)\) \(x^{2}+y^{2}-10x-10y=0\) বৃত্তের উপর দুইটি স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যারা \(y=x\) রেখার সমান্তরাল হবে।
উত্তরঃ \(x-y\pm 10=0 \)।
\(Q.1.(xix)\) \(x^{2}+y^{2}+6x-8y+21=0\) বৃত্তের যে স্পর্শক \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল; ঐ স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+5=0, x+1=0\)।
\(Q.1.(xx)\) \(x^{2}+y^{2}+6x-8y+21=0\) বৃত্তের যে স্পর্শক \(X\) অক্ষের সমান্তরাল; তাদের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y+2=0, y+6=0\)।
\(Q.1.(xxi)\) দেখাও যে, \(y-3x=10\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}=10\) বৃত্তটিকে সমাপতিত বিন্দুতে ছেদ করে। বিন্দুটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-3, 1)\)
➜ সমাপতিত বিন্দুতে ছেদ করে অর্থাৎ স্পর্শ করে। স্পর্শ বিন্দুটি নির্ণয় করতে হবে।
\(Q.1.(xxii)\) দেখাও যে, \(y-3x=10\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}=10\) বৃত্তটিকে স্পর্শ করে।
\(Q.1.(xxiii)\) দেখাও যে, \(4x+3y-3=0\) ও \(12x+5y-13=0\) রেখাটি দুইটি \((-2, -3)\) কেন্দ্র ও \(4\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের স্পর্শক।
➜ কেন্দ্র হতে সরলরেখাগুলির লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান দেখাতে হবে। অর্থাৎ \(Q.1.(i)\)-এর প্রথম অংশের অনুরূপ।
\(Q.1.(xxiv)\) \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা
\((a)\) অক্ষ দুইটির সাথে \(a^2\) ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজ গঠন করে।
\((b)\) \(x^2+y^2=20\) বৃত্তের \(2\) ভুজবিশিষ্ট বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ দিঃ ২০১১; রাঃ ২০১০; সিঃ ২০০৯; বঃ ২০০৫; কুঃ ২০০২; মাঃ ২০১০, ২০০৮]
উত্তরঃ \(x+2y=10, x-2y=10\)
\(Q.1.(xxv)\) দেখাও যে, \(X\) অক্ষ, \(x^2+y^2-4x-5y+4=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। মূলবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী অপর স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(9y+40x=0\)।
\(Q.1.(xxvi)\) \((4, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী বৃত্ত \(3x+4y-1=0\) ও \(x-3=0\) রেখা দুইটিকে স্পর্শ করে। \(r\) বৃত্তটির ব্যাসার্ধ হলে দেখাও যে, \(r^2-20r+40=0\)।
\(Q.1.(xxvii)\) মূলবিন্দু হতে \(x^2+y^2-6x-4y+9=0\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শক দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১১; বঃ ২০১২; রাঃ,চঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(\tan^{-1}(\frac{12}{5})\)।
\(Q.1.(xxviii)\) \((x+5)^2+y^2=25\) বৃত্তের উপর \((-2, 4)\) বিন্দুতে স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x+4y-10=0, 4x-3y+20=0\)।
\(Q.1.(xxix)\) যে বৃত্তের কেন্দ্র মূলবিন্দুতে এবং \(2x+\sqrt{5}y-1=0\) রেখাকে স্পর্শ করে। তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(9x^2+9y^2=1\)।
\(Q.1.(i)\) প্রমাণ কর যে, \(3x+4y-38=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-6x-2y=15\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। স্পর্শবিন্দুটি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((6, 5)\) .
উত্তরঃ \((6, 5)\) .
সমাধানঃ
ধরি, 
\(3x+4y-38=0 .....(1)\)
এবং
\(x^2+y^2-6x-2y=15\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-6x-2y-15=0 ......(2)\)
এখানে,
\(2g=-6, 2f=-2, c=-15\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-3, f=-1, c=-15\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(3, 1)\)
ব্যসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-3)^2+(-1)^2-(-15)}\)
\(=\sqrt{9+1+15}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)
\((2)\) এর কেন্দ্র হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{|3.3+4.1-38|}{\sqrt{3^2+4^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|9+4-38|}{\sqrt{9+16}}\)
\(=\frac{|13-38|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{|-25|}{5}\)
\(=\frac{25}{5}\)
\(=5=r=\) ব্যাসার্ধ।
\(\therefore (1)\) নং সরলরেখা \((ii)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করে।
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোন সরলরেখার সমীকরণ,
\(4x-3y+k=0 .....(3)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা
\((3)\) নং সরলরেখা \(C(3, 1)\) বিন্দুগামী হবে।
\(\therefore 4.3-3.1+k=0\)
\(\Rightarrow 12-3+k=0\)
\(\Rightarrow 9+k=0\)
\(\therefore k=-9\)
\(k\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(4x-3y-9=0 .....(4)\)
এখন,
\((1)\) ও \((4)\) এর ছেদবিন্দু হবে স্পর্শবিন্দু।
\((1)\) ও \((4)\) বজ্রগুণ করে।
\(\frac{x}{-36-114}=\frac{y}{-152+27}=\frac{1}{-9-16}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-150}=\frac{y}{-125}=\frac{1}{-25}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-150}=\frac{1}{-25}, \frac{y}{-125}=\frac{1}{-25}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-150}{-25}, y=\frac{-125}{-25}\)
\(\therefore x=6, y=5\)
\(\therefore \) স্পর্শবিন্দু \((6, 5)\) ।
\(3x+4y-38=0 .....(1)\)
এবং
\(x^2+y^2-6x-2y=15\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-6x-2y-15=0 ......(2)\)
এখানে,
\(2g=-6, 2f=-2, c=-15\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-3, f=-1, c=-15\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(3, 1)\)
ব্যসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-3)^2+(-1)^2-(-15)}\)
\(=\sqrt{9+1+15}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)
\((2)\) এর কেন্দ্র হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{|3.3+4.1-38|}{\sqrt{3^2+4^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|9+4-38|}{\sqrt{9+16}}\)
\(=\frac{|13-38|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{|-25|}{5}\)
\(=\frac{25}{5}\)
\(=5=r=\) ব্যাসার্ধ।
\(\therefore (1)\) নং সরলরেখা \((ii)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করে।
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোন সরলরেখার সমীকরণ,
\(4x-3y+k=0 .....(3)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা
\((3)\) নং সরলরেখা \(C(3, 1)\) বিন্দুগামী হবে।
\(\therefore 4.3-3.1+k=0\)
\(\Rightarrow 12-3+k=0\)
\(\Rightarrow 9+k=0\)
\(\therefore k=-9\)
\(k\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(4x-3y-9=0 .....(4)\)
এখন,
\((1)\) ও \((4)\) এর ছেদবিন্দু হবে স্পর্শবিন্দু।
\((1)\) ও \((4)\) বজ্রগুণ করে।
\(\frac{x}{-36-114}=\frac{y}{-152+27}=\frac{1}{-9-16}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-150}=\frac{y}{-125}=\frac{1}{-25}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-150}=\frac{1}{-25}, \frac{y}{-125}=\frac{1}{-25}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-150}{-25}, y=\frac{-125}{-25}\)
\(\therefore x=6, y=5\)
\(\therefore \) স্পর্শবিন্দু \((6, 5)\) ।
\(Q.1.(ii)\) \(x-5y+2=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-ax+2y+1=0\) বৃত্তের একটি ব্যাস হলে, \(a\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a=-14\)
উত্তরঃ \(a=-14\)
সমাধানঃ
ধরি, 
\(x-5y+2=0 .....(1)\)
এবং
\(x^2+y^2-ax+2y+1=0 ......(2)\)
এখানে,
\(2g=-a, 2f=2, c=1\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{a}{2}, f=1, c=1\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(\frac{a}{2}, -1)\)
শর্তমতে,
\((1)\) নং সরলরেখা কেন্দ্র \(C(\frac{a}{2}, -1)\) দিয়ে যায়।
\(\therefore \frac{a}{2}-5.(-1)+2=0\)
\(\Rightarrow \frac{a}{2}+5+2=0\)
\(\Rightarrow \frac{a}{2}+7=0\)
\(\Rightarrow \frac{a}{2}=-7\)
\(\therefore a=-14\)
\(x-5y+2=0 .....(1)\)
এবং
\(x^2+y^2-ax+2y+1=0 ......(2)\)
এখানে,
\(2g=-a, 2f=2, c=1\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{a}{2}, f=1, c=1\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(\frac{a}{2}, -1)\)
শর্তমতে,
\((1)\) নং সরলরেখা কেন্দ্র \(C(\frac{a}{2}, -1)\) দিয়ে যায়।
\(\therefore \frac{a}{2}-5.(-1)+2=0\)
\(\Rightarrow \frac{a}{2}+5+2=0\)
\(\Rightarrow \frac{a}{2}+7=0\)
\(\Rightarrow \frac{a}{2}=-7\)
\(\therefore a=-14\)
\(Q.1.(iii)\) \(2x^2+2y^2-4x+12y-5=0\) বৃত্তের একটি ব্যাসের সমীকরণ নির্ণয় কর যা,
\((a)\) \(6x+8y=11\) রেখার উপর লম্ব।
\((b)\) \(6x+8y=11\) রেখার সমান্তরাল।
উত্তরঃ \((a) 4x-3y-13=0; (b) 3x+4y+9=0\)।
\((a)\) \(6x+8y=11\) রেখার উপর লম্ব।
\((b)\) \(6x+8y=11\) রেখার সমান্তরাল।
উত্তরঃ \((a) 4x-3y-13=0; (b) 3x+4y+9=0\)।
সমাধানঃ
ধরি, 
\(2x^2+2y^2-4x+12y-5=0\)
\(\Rightarrow 2\left(x^2+y^2-2x+6y-\frac{5}{2}\right)=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2x+6y-\frac{5}{2}=\frac{0}{2}\)
\(\therefore x^2+y^2-2x+6y-\frac{5}{2}=0 .....(1)\)
এখানে,
\(2g=-2, 2f=6, c=-\frac{5}{2}\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-1, f=3, c=-\frac{5}{2}\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(1, -3)\)
\((a)\) \(6x+8y=11\)
\(\Rightarrow 6x+8y-11=0 ......(2)\)
\((2)\) এর উপর লম্ব যে কোন সরলরেখার সমীকরণ,
\(8x-6y+k=0 .....(3)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
শর্তমতে,
\((3)\) নং সরলরেখা কেন্দ্র \(C(1, -3)\) দিয়ে যায়।
\(\therefore 8.1-6.(-3)+k=0\)
\(\Rightarrow 8+18+k=0\)
\(\Rightarrow 26+k=0\)
\(\Rightarrow k=-26\)
\(k\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(8x-6y-26=0\)
\(\Rightarrow 2(4x-3y-13)=0\)
\(\therefore 4x-3y-13=0\)
ইহাই নির্ণেয় ব্যাসের সমীকরণ।
\((b)\) \(6x+8y=11\)
\(\Rightarrow 6x+8y-11=0 ......(4)\)
\((4)\) -এর সমান্তরাল যে কোন সরলরেখার সমীকরণ, \(6x+8y+k=0 .....(5)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
শর্তমতে,
\((5)\) নং সরলরেখা কেন্দ্র \(C(1, -3)\) দিয়ে যায়।
\(\therefore 6.1+8.(-3)+k=0\)
\(\Rightarrow 6-24+k=0\)
\(\Rightarrow -18+k=0\)
\(\Rightarrow k=18\)
\(k\) এর মাণ \((5)\) এ বসিয়ে,
\(6x+8y+18=0\)
\(\Rightarrow 2(3x+4y+9)=0\)
\(\therefore 3x+4y+9=0\)
ইহাই নির্ণেয় ব্যাসের সমীকরণ।
\(2x^2+2y^2-4x+12y-5=0\)
\(\Rightarrow 2\left(x^2+y^2-2x+6y-\frac{5}{2}\right)=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2x+6y-\frac{5}{2}=\frac{0}{2}\)
\(\therefore x^2+y^2-2x+6y-\frac{5}{2}=0 .....(1)\)
এখানে,
\(2g=-2, 2f=6, c=-\frac{5}{2}\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-1, f=3, c=-\frac{5}{2}\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(1, -3)\)
\((a)\) \(6x+8y=11\)
\(\Rightarrow 6x+8y-11=0 ......(2)\)
\((2)\) এর উপর লম্ব যে কোন সরলরেখার সমীকরণ,
\(8x-6y+k=0 .....(3)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
শর্তমতে,
\((3)\) নং সরলরেখা কেন্দ্র \(C(1, -3)\) দিয়ে যায়।
\(\therefore 8.1-6.(-3)+k=0\)
\(\Rightarrow 8+18+k=0\)
\(\Rightarrow 26+k=0\)
\(\Rightarrow k=-26\)
\(k\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(8x-6y-26=0\)
\(\Rightarrow 2(4x-3y-13)=0\)
\(\therefore 4x-3y-13=0\)
ইহাই নির্ণেয় ব্যাসের সমীকরণ।
\((b)\) \(6x+8y=11\)
\(\Rightarrow 6x+8y-11=0 ......(4)\)
\((4)\) -এর সমান্তরাল যে কোন সরলরেখার সমীকরণ, \(6x+8y+k=0 .....(5)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
শর্তমতে,
\((5)\) নং সরলরেখা কেন্দ্র \(C(1, -3)\) দিয়ে যায়।
\(\therefore 6.1+8.(-3)+k=0\)
\(\Rightarrow 6-24+k=0\)
\(\Rightarrow -18+k=0\)
\(\Rightarrow k=18\)
\(k\) এর মাণ \((5)\) এ বসিয়ে,
\(6x+8y+18=0\)
\(\Rightarrow 2(3x+4y+9)=0\)
\(\therefore 3x+4y+9=0\)
ইহাই নির্ণেয় ব্যাসের সমীকরণ।
\(Q.1.(iv)\)
প্রমাণ কর যে, \(x-3y=5\) রেখাটি \(x^2+y^2-6x+8y+15=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসের সমীকরণও নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(3x+y=5\)।
[ চঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(3x+y=5\)।
সমাধানঃ
ধরি, 
\(x-3y-5=0 .....(1)\)
\(x^2+y^2-6x+8y+15=0 .......(2)\)
এখানে,
\(2g=-6, 2f=8, c=15\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-3, f=4, c=15\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(3, -4)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-3)^2+4^2-15}\)
\(=\sqrt{9+16-15}\)
\(=\sqrt{10}\)
কেন্দ্র হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|3-3.(-4)-5|}{\sqrt{1^2+(-3)^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|3+12-5|}{\sqrt{1+9}}\)
\(=\frac{|10|}{\sqrt{10}}\)
\(=\frac{\sqrt{10}\times \sqrt{10}}{\sqrt{10}}\)
\(=\sqrt{10}=r=\) ব্যাসার্ধ।
\(\therefore (1)\) সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করে।
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোন সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x+y+k=0 .....(3)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখা কেন্দ্র \(C(3, -4)\) দিয়ে যায়।
\(\therefore 3.3+(-4)+k=0\)
\(\Rightarrow 9-4+k=0\)
\(\Rightarrow 5+k=0\)
\(\therefore k=-5\)
\(k\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(3x+y-5=0\)
\(\therefore 3x+y=5\) ইহাই নির্ণেয় ব্যাসের সমীকরণ।
\(x-3y-5=0 .....(1)\)
\(x^2+y^2-6x+8y+15=0 .......(2)\)
এখানে,
\(2g=-6, 2f=8, c=15\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-3, f=4, c=15\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(3, -4)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-3)^2+4^2-15}\)
\(=\sqrt{9+16-15}\)
\(=\sqrt{10}\)
কেন্দ্র হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|3-3.(-4)-5|}{\sqrt{1^2+(-3)^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|3+12-5|}{\sqrt{1+9}}\)
\(=\frac{|10|}{\sqrt{10}}\)
\(=\frac{\sqrt{10}\times \sqrt{10}}{\sqrt{10}}\)
\(=\sqrt{10}=r=\) ব্যাসার্ধ।
\(\therefore (1)\) সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করে।
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোন সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x+y+k=0 .....(3)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখা কেন্দ্র \(C(3, -4)\) দিয়ে যায়।
\(\therefore 3.3+(-4)+k=0\)
\(\Rightarrow 9-4+k=0\)
\(\Rightarrow 5+k=0\)
\(\therefore k=-5\)
\(k\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(3x+y-5=0\)
\(\therefore 3x+y=5\) ইহাই নির্ণেয় ব্যাসের সমীকরণ।
\(Q.1.(v)\) মূলবিন্দু হতে \(x^2+y^2-10x+20=0\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১১; বঃ ২০১২; রাঃ,চঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(x-2y=0, x+2y=0\)।
[ ঢাঃ ২০১১; বঃ ২০১২; রাঃ,চঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(x-2y=0, x+2y=0\)।
সমাধানঃ
ধরি, 
\(x^2+y^2-10x+20=0 .....(1)\)
এখানে,
\(2g=-10, 2f=0, c=20\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-5, f=0, c=20\)
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) হতে \((1)\) নং বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ,
\((x^2+y^2-10x+20)(0^2+0^2-10.0+20)\)\(=\{x.0+y.0+(-5)(x+0)+0(y+0)+20\}^2\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ, \((x^2+y^2+2gx+2fy+c)(x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c)\)\(=\{x.x_1+y.y_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c\}^2\)
\(\Rightarrow (x^2+y^2-10x+20).20\)\(=\{-5x+20\}^2\)
\(\Rightarrow (x^2+y^2-10x+20).20=25(x-4)^2\)
\(\Rightarrow (x^2+y^2-10x+20).4=5(x-4)^2\)
\(\Rightarrow 4x^2+4y^2-40x+80=5(x^2-8x+16)\)
\(\Rightarrow 4x^2+4y^2-40x+80=5x^2-40x+80)\)
\(\Rightarrow 4x^2+4y^2-40x+80-5x^2+40x-80=0)\)
\(\Rightarrow 4y^2-x^2=0)\)
\(\Rightarrow x^2-4y^2=0)\) ➜ \(-1\) দ্বারা গুণ করে।
\(\Rightarrow x^2-(2y)^2=0)\)
\(\Rightarrow (x+2y)(x-2y)=0)\)
\(\therefore x+2y=0, x-2y=0)\) নির্ণেয় স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ।
\(x^2+y^2-10x+20=0 .....(1)\)
এখানে,
\(2g=-10, 2f=0, c=20\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-5, f=0, c=20\)
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) হতে \((1)\) নং বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ,
\((x^2+y^2-10x+20)(0^2+0^2-10.0+20)\)\(=\{x.0+y.0+(-5)(x+0)+0(y+0)+20\}^2\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ, \((x^2+y^2+2gx+2fy+c)(x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c)\)\(=\{x.x_1+y.y_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c\}^2\)
\(\Rightarrow (x^2+y^2-10x+20).20\)\(=\{-5x+20\}^2\)
\(\Rightarrow (x^2+y^2-10x+20).20=25(x-4)^2\)
\(\Rightarrow (x^2+y^2-10x+20).4=5(x-4)^2\)
\(\Rightarrow 4x^2+4y^2-40x+80=5(x^2-8x+16)\)
\(\Rightarrow 4x^2+4y^2-40x+80=5x^2-40x+80)\)
\(\Rightarrow 4x^2+4y^2-40x+80-5x^2+40x-80=0)\)
\(\Rightarrow 4y^2-x^2=0)\)
\(\Rightarrow x^2-4y^2=0)\) ➜ \(-1\) দ্বারা গুণ করে।
\(\Rightarrow x^2-(2y)^2=0)\)
\(\Rightarrow (x+2y)(x-2y)=0)\)
\(\therefore x+2y=0, x-2y=0)\) নির্ণেয় স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ।
\(Q.1.(vi)\) \((1, -3)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত \(2x-y-4=0\) রেখাকে স্পর্শ করে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(5x^2+5y^2-10x+30y+49=0\)।
[ যঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(5x^2+5y^2-10x+30y+49=0\)।
সমাধানঃ
ধরি, 
\(2x-y-4=0 ....(1)\)
দেওয়া আছে কেন্দ্র \((1, -3)\) ।
ধরি, ব্যাসার্ধ \(r\)।
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-1)^2+(y+3)^2=r^2 .....(2)\) ।
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি কেন্দ্র হতে \((1)\) নং সরলরেখা লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমাণ হয়।
\(r=\frac{|2.1-(-3)-4|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|2+3-4|}{\sqrt{4+1}}\)
\(=\frac{|5-4|}{\sqrt{5}}\)
\(=\frac{|1|}{\sqrt{5}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{5}}\)
\(r\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\((x-1)^2+(y+3)^2=\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2+6y+9=\frac{1}{5}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2x+6y+10=\frac{1}{5}\)
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2-10x+30y+50=1\)
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2-10x+30y+50-1=0\)
\(\therefore 5x^2+5y^2-10x+30y+49=0\) ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
\(2x-y-4=0 ....(1)\)
দেওয়া আছে কেন্দ্র \((1, -3)\) ।
ধরি, ব্যাসার্ধ \(r\)।
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-1)^2+(y+3)^2=r^2 .....(2)\) ।
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি কেন্দ্র হতে \((1)\) নং সরলরেখা লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমাণ হয়।
\(r=\frac{|2.1-(-3)-4|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|2+3-4|}{\sqrt{4+1}}\)
\(=\frac{|5-4|}{\sqrt{5}}\)
\(=\frac{|1|}{\sqrt{5}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{5}}\)
\(r\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\((x-1)^2+(y+3)^2=\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2+6y+9=\frac{1}{5}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2x+6y+10=\frac{1}{5}\)
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2-10x+30y+50=1\)
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2-10x+30y+50-1=0\)
\(\therefore 5x^2+5y^2-10x+30y+49=0\) ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(viii)\)
\(2x+3y-5=0\)রেখাটি \((3, 4)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের স্পর্শক। বৃত্তটি \(Y\) অক্ষের যে অংশ ছেদ করে তার পরিমাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4\)।
উত্তরঃ \(4\)।
সমাধানঃ
ধরি, 
\(2x+3y-5=0 ....(1)\)
দেওয়া আছে কেন্দ্র \((3, 4)\) .
ধরি, ব্যাসার্ধ \(r\)।
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-3)^2+(y-4)^2=r^2 .....(2)\) ।
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি কেন্দ্র হতে \((1)\) নং সরলরেখা লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমাণ হয়।
\(r=\frac{|2.3+3.4-5|}{\sqrt{2^2+3^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|6+12-5|}{\sqrt{4+9}}\)
\(=\frac{|13|}{\sqrt{13}}\)
\(=\frac{13}{\sqrt{13}}\)
\(=\frac{\sqrt{13}\times \sqrt{13}}{\sqrt{13}}\)
\(=\sqrt{13}\)
\(r\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\((x-3)^2+(y-4)^2=(\sqrt{13})^2\)
\(\Rightarrow x^2-6x+9+y^2-8y+16=13\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-6x-8y+12=0\)
\(\therefore x^2+y^2-6x-8y+12=0\)
এখানে,
\(2g=-6, 2f=-8, c=12\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-3, f=-4, c=12\)
বৃত্তটি দ্বারা \(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশের পরিমাণ \(=2\sqrt{f^2-c}\)
\(=2\sqrt{(-4)^2-12}\)
\(=2\sqrt{16-12}\)
\(=2\sqrt{4}\)
\(=2\times 2\)
\(=4\)
\(2x+3y-5=0 ....(1)\)
দেওয়া আছে কেন্দ্র \((3, 4)\) .
ধরি, ব্যাসার্ধ \(r\)।
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-3)^2+(y-4)^2=r^2 .....(2)\) ।
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি কেন্দ্র হতে \((1)\) নং সরলরেখা লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমাণ হয়।
\(r=\frac{|2.3+3.4-5|}{\sqrt{2^2+3^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|6+12-5|}{\sqrt{4+9}}\)
\(=\frac{|13|}{\sqrt{13}}\)
\(=\frac{13}{\sqrt{13}}\)
\(=\frac{\sqrt{13}\times \sqrt{13}}{\sqrt{13}}\)
\(=\sqrt{13}\)
\(r\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\((x-3)^2+(y-4)^2=(\sqrt{13})^2\)
\(\Rightarrow x^2-6x+9+y^2-8y+16=13\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-6x-8y+12=0\)
\(\therefore x^2+y^2-6x-8y+12=0\)
এখানে,
\(2g=-6, 2f=-8, c=12\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-3, f=-4, c=12\)
বৃত্তটি দ্বারা \(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশের পরিমাণ \(=2\sqrt{f^2-c}\)
\(=2\sqrt{(-4)^2-12}\)
\(=2\sqrt{16-12}\)
\(=2\sqrt{4}\)
\(=2\times 2\)
\(=4\)
\(Q.1.(x)\) \(x^2+y^2-3x+10y=15\) বৃত্তের \((4, -11)\) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০১০]
উত্তরঃ \(5x-12y=152\)।
[ সিঃ ২০১০]
উত্তরঃ \(5x-12y=152\)।
সমাধানঃ
ধরি, 
\(x^2+y^2-3x+10y=15\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-3x+10y-15=0 .....(1)\)
এখানে,
\(2g=-3, 2f=10, c=-15\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{3}{2}, f=5, c=-15\)
\((1)\) নং বৃত্তের \((4, -11)\) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.4+y.(-11)+\left(-\frac{3}{2}\right)(x+4)+5(y-11)-15=0\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, \( xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0\)
\(\Rightarrow 4x-11y+\left(-\frac{3}{2}\right)(x+4)+5y-55-15=0\)
\(\Rightarrow 4x-6y+\left(-\frac{3}{2}\right)(x+4)-70=0\)
\(\Rightarrow 8x-12y-3(x+4)-140=0\) ➜ \(2\) দ্বারা গুণ করে।
\(\Rightarrow 8x-12y-3x-12-140=0\)
\(\Rightarrow 5x-12y-152=0\)
\(\therefore 5x-12y=152\) ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
\(x^2+y^2-3x+10y=15\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-3x+10y-15=0 .....(1)\)
এখানে,
\(2g=-3, 2f=10, c=-15\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{3}{2}, f=5, c=-15\)
\((1)\) নং বৃত্তের \((4, -11)\) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.4+y.(-11)+\left(-\frac{3}{2}\right)(x+4)+5(y-11)-15=0\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, \( xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0\)
\(\Rightarrow 4x-11y+\left(-\frac{3}{2}\right)(x+4)+5y-55-15=0\)
\(\Rightarrow 4x-6y+\left(-\frac{3}{2}\right)(x+4)-70=0\)
\(\Rightarrow 8x-12y-3(x+4)-140=0\) ➜ \(2\) দ্বারা গুণ করে।
\(\Rightarrow 8x-12y-3x-12-140=0\)
\(\Rightarrow 5x-12y-152=0\)
\(\therefore 5x-12y=152\) ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
\(Q.1.(xi)\) \(p, q\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত মূলবিন্দুগামী। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। দেখাও যে মূলবিন্দুতে বৃত্তটির স্পর্শক \(px+qy=0\)।
[যঃ ২০০৭; দিঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2px-2qy=0 \)।
[যঃ ২০০৭; দিঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2px-2qy=0 \)।
সমাধানঃ
ধরি, 
দেওয়া আছে কেন্দ্র \(p, q\).
ধরি, ব্যাসার্ধ \(r\)।
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-p)^2+(y-q)^2=r^2 .....(2)\).
\((2)\) নং বৃত্ত মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) দিয়ে যায়।
\(\therefore (0-p)^2+(0-q)^2=r^2\)
\(\Rightarrow p^2+q^2=r^2\)
\(\therefore r^2=p^2+q^2\)
\(r^2\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\((x-p)^2+(y-q)^2=p^2+q^2\)
\(\Rightarrow x^2-2px+p^2+y^2-2qy+q^2-p^2-q^2=0\)
\(\therefore x^2+y^2-2px-2qy=0\) ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
এখানে,
\(2g=-2p, 2f=-2q, c=0\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-p, f=-q, c=0\)
নির্ণেয় বৃত্তের উপর মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.0+y.0+(-p)(x+0)+(-q)(y+0)+0=0\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, \( xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0\)
\(\Rightarrow -px-qy=0\)
\(\therefore px+qy=0\)
[Showed]
দেওয়া আছে কেন্দ্র \(p, q\).
ধরি, ব্যাসার্ধ \(r\)।
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-p)^2+(y-q)^2=r^2 .....(2)\).
\((2)\) নং বৃত্ত মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) দিয়ে যায়।
\(\therefore (0-p)^2+(0-q)^2=r^2\)
\(\Rightarrow p^2+q^2=r^2\)
\(\therefore r^2=p^2+q^2\)
\(r^2\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\((x-p)^2+(y-q)^2=p^2+q^2\)
\(\Rightarrow x^2-2px+p^2+y^2-2qy+q^2-p^2-q^2=0\)
\(\therefore x^2+y^2-2px-2qy=0\) ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
এখানে,
\(2g=-2p, 2f=-2q, c=0\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-p, f=-q, c=0\)
নির্ণেয় বৃত্তের উপর মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.0+y.0+(-p)(x+0)+(-q)(y+0)+0=0\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, \( xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0\)
\(\Rightarrow -px-qy=0\)
\(\therefore px+qy=0\)
[Showed]
\(Q.1.(xii)\) \(px+qy=1\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}=a^2\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। দেখাও যে, \((p, q)\) বিন্দুটি একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত।
[ ঢাঃ ২০০৬; বঃ ২০০৮; যঃ ২০১২ ]
।
[ ঢাঃ ২০০৬; বঃ ২০০৮; যঃ ২০১২ ]
।
সমাধানঃ
ধরি, 
\(px+qy-1=0 .....(1)\)
\(x^{2}+y^{2}=a^2 .....(2)\)
\((2)\) নং বৃত্তের কেন্দ্র \(O(0, 0)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=a\) ।
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি কেন্দ্র হতে \((1)\) নং সরলরেখা লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমাণ হয়।
\(\therefore \frac{|p.0+q.0-1|}{\sqrt{p^2+q^2}}=a\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|-1|}{\sqrt{p^2+q^2}}=a\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{p^2+q^2}}=a\)
\(\Rightarrow \frac{1}{p^2+q^2}=a^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{1}{a^2}=p^2+q^2\)
\(\therefore p^2+q^2=\frac{1}{a^2}\)
এখানে ইহা স্পষ্ট যে, \((p, q)\) বিন্দুটি \(x^2+y^2=\frac{1}{a^2}\) বৃত্তের উপর অবস্থিত।
[ দেখানো হলো।]
\(px+qy-1=0 .....(1)\)
\(x^{2}+y^{2}=a^2 .....(2)\)
\((2)\) নং বৃত্তের কেন্দ্র \(O(0, 0)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=a\) ।
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি কেন্দ্র হতে \((1)\) নং সরলরেখা লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমাণ হয়।
\(\therefore \frac{|p.0+q.0-1|}{\sqrt{p^2+q^2}}=a\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|-1|}{\sqrt{p^2+q^2}}=a\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{p^2+q^2}}=a\)
\(\Rightarrow \frac{1}{p^2+q^2}=a^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{1}{a^2}=p^2+q^2\)
\(\therefore p^2+q^2=\frac{1}{a^2}\)
এখানে ইহা স্পষ্ট যে, \((p, q)\) বিন্দুটি \(x^2+y^2=\frac{1}{a^2}\) বৃত্তের উপর অবস্থিত।
[ দেখানো হলো।]
\(Q.1.(xiii)\) \(x^2+y^2=4\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(x-2y+7=0\) রেখার উপর লম্ব হবে।
উত্তরঃ \(2x+y\pm 2\sqrt{5}=0 \)।
উত্তরঃ \(2x+y\pm 2\sqrt{5}=0 \)।
সমাধানঃ
ধরি, 
\(x-2y+7=0 .......(1)\)
এবং
\(x^2+y^2=4\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=2^2 ........(2)\)
\((2)\) নং বৃত্তের কেন্দ্র \(O(0, 0)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=2\) ।
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোন সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x+y+k=0 .......(3)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি কেন্দ্র হতে \((3)\) নং সরলরেখা লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমাণ হয়।
\(\therefore \frac{|2.0+0+k|}{\sqrt{2^2+1^2}}=2\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|k|}{\sqrt{4+1}}=2\)
\(\Rightarrow \frac{|k|}{\sqrt{5}}=2\)
\(\Rightarrow |k|=2\sqrt{5}\)
\(\therefore k=\pm 2\sqrt{5}\)
\(k\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(2x+y\pm 2\sqrt{5}=0\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
\(x-2y+7=0 .......(1)\)
এবং
\(x^2+y^2=4\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=2^2 ........(2)\)
\((2)\) নং বৃত্তের কেন্দ্র \(O(0, 0)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=2\) ।
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোন সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x+y+k=0 .......(3)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি কেন্দ্র হতে \((3)\) নং সরলরেখা লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমাণ হয়।
\(\therefore \frac{|2.0+0+k|}{\sqrt{2^2+1^2}}=2\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|k|}{\sqrt{4+1}}=2\)
\(\Rightarrow \frac{|k|}{\sqrt{5}}=2\)
\(\Rightarrow |k|=2\sqrt{5}\)
\(\therefore k=\pm 2\sqrt{5}\)
\(k\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(2x+y\pm 2\sqrt{5}=0\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
\(Q.1.(xv)\) দেখাও যে, \(3x+4y-9=0\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}-2x+2y=2\) বৃত্তের একটি স্পর্শক। এমন দুইটি স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যারা উক্ত স্পর্শকটির উপর লম্ব।
[দিঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(4x-3y+3=0, 4x-3y-17=0 \)।
[দিঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(4x-3y+3=0, 4x-3y-17=0 \)।
সমাধানঃ
ধরি, 
\(3x+4y-9=0 .....(1)\)
\(x^{2}+y^{2}-2x+2y=2\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-2x+2y-2=0 .....(2)\)
এখানে,
\(2g=-2, 2f=2, c=-2\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-1, f=1, c=-2\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(1, -1)\)
এবং ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)।
\(=\sqrt{(-1)^2+1^2-(-2)}\)।
\(=\sqrt{1+1+2}\)।
\(=\sqrt{4}\)।
\(=2\)।
কেন্দ্র \(C(1, -1)\) হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{|3.1+4.(-1)-9|}{\sqrt{3^2+4^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|3-4-9|}{\sqrt{9+16}}\)
\(=\frac{|-10|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{10}{5}\)
\(=2=r=\) ব্যাসার্ধ ।
\(\therefore (1)\) নং সরলরেখা \((2)\) বৃত্তের একটি স্পর্শক।
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোন সরলরেখার সমীকরণ,
\(4x-3y+k=0 .....(3)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি কেন্দ্র হতে \((3)\) নং সরলরেখা লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমাণ হয়।
\(\therefore \frac{|4.1-3.(-1)+k|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=2\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|4+3+k|}{\sqrt{16+9}}=2\)
\(\Rightarrow \frac{|7+k|}{\sqrt{25}}=2\)
\(\Rightarrow \frac{|7+k|}{5}=2\)
\(\Rightarrow |7+k|=10\)
\(\Rightarrow 7+k=\pm 10\)
\(\Rightarrow k=\pm 10-7\)
\(\Rightarrow k=10-7\) ➜ ধনাত্মক মান ব্যবহার করে।
\(\therefore k=3\)
আবার,
\(\Rightarrow k=-10-7\) ➜ ঋনাত্মক মান ব্যবহার করে।
\(\therefore k=-17\)
\(k\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
যখন, \(k=3\) স্পর্শকের সমীকরণ, \(4x-3y+3=0 \)
যখন, \(k=-17\) স্পর্শকের সমীকরণ, \(4x-3y-17=0 \)
\(3x+4y-9=0 .....(1)\)
\(x^{2}+y^{2}-2x+2y=2\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-2x+2y-2=0 .....(2)\)
এখানে,
\(2g=-2, 2f=2, c=-2\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-1, f=1, c=-2\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(1, -1)\)
এবং ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)।
\(=\sqrt{(-1)^2+1^2-(-2)}\)।
\(=\sqrt{1+1+2}\)।
\(=\sqrt{4}\)।
\(=2\)।
কেন্দ্র \(C(1, -1)\) হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{|3.1+4.(-1)-9|}{\sqrt{3^2+4^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|3-4-9|}{\sqrt{9+16}}\)
\(=\frac{|-10|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{10}{5}\)
\(=2=r=\) ব্যাসার্ধ ।
\(\therefore (1)\) নং সরলরেখা \((2)\) বৃত্তের একটি স্পর্শক।
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোন সরলরেখার সমীকরণ,
\(4x-3y+k=0 .....(3)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি কেন্দ্র হতে \((3)\) নং সরলরেখা লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমাণ হয়।
\(\therefore \frac{|4.1-3.(-1)+k|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=2\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|4+3+k|}{\sqrt{16+9}}=2\)
\(\Rightarrow \frac{|7+k|}{\sqrt{25}}=2\)
\(\Rightarrow \frac{|7+k|}{5}=2\)
\(\Rightarrow |7+k|=10\)
\(\Rightarrow 7+k=\pm 10\)
\(\Rightarrow k=\pm 10-7\)
\(\Rightarrow k=10-7\) ➜ ধনাত্মক মান ব্যবহার করে।
\(\therefore k=3\)
আবার,
\(\Rightarrow k=-10-7\) ➜ ঋনাত্মক মান ব্যবহার করে।
\(\therefore k=-17\)
\(k\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
যখন, \(k=3\) স্পর্শকের সমীকরণ, \(4x-3y+3=0 \)
যখন, \(k=-17\) স্পর্শকের সমীকরণ, \(4x-3y-17=0 \)
\(Q.1.(xvi)\) \(x^{2}+y^{2}-2x-4y-4=0\) বৃত্তের স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর যারা \(3x-4y-1=0\) রেখার সমান্তরাল।
উত্তরঃ \(3x-4y-10=0; 3x-4y+20=0\)।
উত্তরঃ \(3x-4y-10=0; 3x-4y+20=0\)।
সমাধানঃ
ধরি, 
\(3x-4y-1=0 .....(1)\)
\(x^{2}+y^{2}-2x-4y-4=0 .....(2)\)
এখানে,
\(2g=-2, 2f=-4, c=-4\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-1, f=-2, c=-4\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(1, 2)\)
এবং ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)।
\(=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2-(-4)}\)।
\(=\sqrt{1+4+4}\)।
\(=\sqrt{9}\)।
\(=3\)।
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোন সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x-4y+k=0 .....(3)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি কেন্দ্র হতে \((3)\) নং সরলরেখা লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমাণ হয়।
\(\therefore \frac{|3.1-4.2+k|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=3\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|3-8+k|}{\sqrt{9+16}}=3\)
\(\Rightarrow \frac{|-5+k|}{\sqrt{25}}=3\)
\(\Rightarrow \frac{|k-5|}{5}=3\)
\(\Rightarrow |k-5|=15\)
\(\Rightarrow k-5=\pm 15\)
\(\Rightarrow k=\pm 15+5\)
\(\Rightarrow k=15+5\) ➜ ধনাত্মক মান ব্যবহার করে।
\(\therefore k=20\)
আবার,
\(\Rightarrow k=-15+5\) ➜ ঋনাত্মক মান ব্যবহার করে।
\(\therefore k=-10\) \(k\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
যখন, \(k=20\) স্পর্শকের সমীকরণ, \(3x-4y+20=0 \)
যখন, \(k=-10\) স্পর্শকের সমীকরণ, \(3x-4y-10=0 \)
\(3x-4y-1=0 .....(1)\)
\(x^{2}+y^{2}-2x-4y-4=0 .....(2)\)
এখানে,
\(2g=-2, 2f=-4, c=-4\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-1, f=-2, c=-4\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(1, 2)\)
এবং ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)।
\(=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2-(-4)}\)।
\(=\sqrt{1+4+4}\)।
\(=\sqrt{9}\)।
\(=3\)।
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোন সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x-4y+k=0 .....(3)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি কেন্দ্র হতে \((3)\) নং সরলরেখা লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমাণ হয়।
\(\therefore \frac{|3.1-4.2+k|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=3\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|3-8+k|}{\sqrt{9+16}}=3\)
\(\Rightarrow \frac{|-5+k|}{\sqrt{25}}=3\)
\(\Rightarrow \frac{|k-5|}{5}=3\)
\(\Rightarrow |k-5|=15\)
\(\Rightarrow k-5=\pm 15\)
\(\Rightarrow k=\pm 15+5\)
\(\Rightarrow k=15+5\) ➜ ধনাত্মক মান ব্যবহার করে।
\(\therefore k=20\)
আবার,
\(\Rightarrow k=-15+5\) ➜ ঋনাত্মক মান ব্যবহার করে।
\(\therefore k=-10\) \(k\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
যখন, \(k=20\) স্পর্শকের সমীকরণ, \(3x-4y+20=0 \)
যখন, \(k=-10\) স্পর্শকের সমীকরণ, \(3x-4y-10=0 \)
\(Q.1.(xxiv)\) \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা
\((a)\) অক্ষ দুইটির সাথে \(a^2\) ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজ গঠন করে।
\((b)\) \(x^2+y^2=20\) বৃত্তের \(2\) ভুজবিশিষ্ট বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ দিঃ ২০১১; রাঃ ২০১০; সিঃ ২০০৯; বঃ ২০০৫; কুঃ ২০০২; মাঃ ২০১০, ২০০৮]
উত্তরঃ \((a) x+y=\pm a\sqrt{2}\); \((b)x+2y=10, x-2y=10\).
\((a)\) অক্ষ দুইটির সাথে \(a^2\) ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজ গঠন করে।
\((b)\) \(x^2+y^2=20\) বৃত্তের \(2\) ভুজবিশিষ্ট বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ দিঃ ২০১১; রাঃ ২০১০; সিঃ ২০০৯; বঃ ২০০৫; কুঃ ২০০২; মাঃ ২০১০, ২০০৮]
উত্তরঃ \((a) x+y=\pm a\sqrt{2}\); \((b)x+2y=10, x-2y=10\).
সমাধানঃ
ধরি,
\(x^2+y^2=a^2 ......(1)\)
\((1)\) এর কেন্দ্র \(O(0, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(r=a\)
\((a)\)
অক্ষ দুইটির সাথে \(a^2\) ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজ গঠন করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ,
\(\frac{x}{p}+\frac{y}{p}=1\)
\(\Rightarrow x+y=p\) ➜ উভয় পার্শে \(p\) গুণ করে।
\(\therefore x+y-p=0 .......(2)\)
\((2\) নং সরলরেখা \((1)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি কেন্দ্র হতে \((2)\) নং সরলরেখা লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমাণ হয়।
\(\frac{|0+0-p|}{\sqrt{1^2+1^2}}=a\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|-p|}{\sqrt{1+1}}=a\)
\(\Rightarrow \frac{|p|}{\sqrt{2}}=a\)
\(\Rightarrow |p|=a\sqrt{2}\)
\(\therefore p=\pm a\sqrt{2}\)
\(p\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(x+y\pm a\sqrt{2}=0\)
\(\therefore x+y=\pm a\sqrt{2}\) ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ ।
\((b)\)
\(x^2+y^2=20\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=(2\sqrt{5})^2 ....(3)\)
\((3)\) এর কেন্দ্র \(O(0, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(r=2\sqrt{5}\)
\((3)\) নং বৃত্তের পরিধির উপর কোন বিন্দুর ভুজ \(2\) অর্থাৎ \(x=2\)।
\(\therefore 2^2+y^2=(2\sqrt{5})^2\) ➜ \((3)\) নং বৃত্ত হতে।
\(\Rightarrow 4+y^2=20\)
\(\Rightarrow y^2=20-4\)
\(\Rightarrow y^2=16\)
\(\therefore y=\pm 4\)
\(\therefore 2 \) ভুজবিশিষ্ট বিন্দু \((2, \pm 4)\).
\((3)\) এর উপর \((2, \pm 4)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.2+y.\pm 4=(2\sqrt{5})^2\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, \( xx_1+yy_1=a^2\)
\(\Rightarrow 2x\pm 4y=20\)
\(\therefore x\pm 2y=10\) ➜ \(2\) দ্বারা ভাগ করে।
\(\therefore \) স্পর্শকের সমীকরণ, \(x+2y=10, x-2y=10\).
\(x^2+y^2=a^2 ......(1)\)
\((1)\) এর কেন্দ্র \(O(0, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(r=a\)
\((a)\)
অক্ষ দুইটির সাথে \(a^2\) ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজ গঠন করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ,
\(\frac{x}{p}+\frac{y}{p}=1\)
\(\Rightarrow x+y=p\) ➜ উভয় পার্শে \(p\) গুণ করে।
\(\therefore x+y-p=0 .......(2)\)
\((2\) নং সরলরেখা \((1)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি কেন্দ্র হতে \((2)\) নং সরলরেখা লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমাণ হয়।
\(\frac{|0+0-p|}{\sqrt{1^2+1^2}}=a\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|-p|}{\sqrt{1+1}}=a\)
\(\Rightarrow \frac{|p|}{\sqrt{2}}=a\)
\(\Rightarrow |p|=a\sqrt{2}\)
\(\therefore p=\pm a\sqrt{2}\)
\(p\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(x+y\pm a\sqrt{2}=0\)
\(\therefore x+y=\pm a\sqrt{2}\) ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ ।
\((b)\)
\(x^2+y^2=20\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=(2\sqrt{5})^2 ....(3)\)
\((3)\) এর কেন্দ্র \(O(0, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(r=2\sqrt{5}\)
\((3)\) নং বৃত্তের পরিধির উপর কোন বিন্দুর ভুজ \(2\) অর্থাৎ \(x=2\)।
\(\therefore 2^2+y^2=(2\sqrt{5})^2\) ➜ \((3)\) নং বৃত্ত হতে।
\(\Rightarrow 4+y^2=20\)
\(\Rightarrow y^2=20-4\)
\(\Rightarrow y^2=16\)
\(\therefore y=\pm 4\)
\(\therefore 2 \) ভুজবিশিষ্ট বিন্দু \((2, \pm 4)\).
\((3)\) এর উপর \((2, \pm 4)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.2+y.\pm 4=(2\sqrt{5})^2\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, \( xx_1+yy_1=a^2\)
\(\Rightarrow 2x\pm 4y=20\)
\(\therefore x\pm 2y=10\) ➜ \(2\) দ্বারা ভাগ করে।
\(\therefore \) স্পর্শকের সমীকরণ, \(x+2y=10, x-2y=10\).
\(Q.1.(xxv)\) দেখাও যে, \(X\) অক্ষ, \(x^2+y^2-4x-5y+4=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। মূলবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী অপর স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(9y+40x=0\)।
উত্তরঃ \(9y+40x=0\)।
সমাধানঃ
ধরি, 
\(x^2+y^2-4x-5y+4=0 ......(1)\)
এখানে,
\(2g=-4, 2f=-5, c=4\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-2, f=-\frac{5}{2}, c=4\)
এখন,
\(g^2=(-2)^2=4=c\) ➜ \(\because X\) অক্ষকে স্পর্শ করার শর্ত \(g^2=c\)
\(\therefore (1)\) নং বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে।
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) বিন্দু হতে \((1)\) এর উপর অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ,
\((x^2+y^2-4x-5y+4)(0^2+0^2-4.0-5.0+4)\)\(=\{x.0+y.0+(-2)(x+0)+(-\frac{5}{2})(y+0)+4\}^2\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ,
\((x^2+y^2+2gx+2fy+c)(x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c)\)\(=\{x.x_1+y.y_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c\}^2\)
\(\Rightarrow (x^2+y^2-4x-5y+4).4=\{-2x-\frac{5y}{2}+4\}^2\)
\(\Rightarrow 4x^2+4y^2-16x-20y+16=\{2x+\frac{5y}{2}-4\}^2\)
\(\Rightarrow 4x^2+4y^2-16x-20y+16=4x^2+\frac{25y^2}{4}+16+2.2x.\frac{5y}{2}-2.\frac{5y}{2}.4-2.4.2x\)
\(\Rightarrow 4x^2+4y^2-16x-20y+16=4x^2+\frac{25y^2}{4}+16+10xy-20y-16x\)
\(\Rightarrow 4y^2=\frac{25y^2}{4}+10xy\)
\(\Rightarrow 16y^2=25y^2+40xy\) ➜ উভয় পার্শে \(4\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 16y^2=25y^2+40xy\)
\(\Rightarrow 25y^2+40xy=16y^2\)
\(\Rightarrow 25y^2+40xy-16y^2=0\)
\(\Rightarrow 9y^2+40xy=0\)
\(\Rightarrow y(9y+40x)=0\)
\(\therefore y=0, 9y+40x=0\)
\(\therefore \) মূলবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী অপর স্পর্শকটির সমীকরণ, \(9y+40x=0\)
\(x^2+y^2-4x-5y+4=0 ......(1)\)
এখানে,
\(2g=-4, 2f=-5, c=4\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-2, f=-\frac{5}{2}, c=4\)
এখন,
\(g^2=(-2)^2=4=c\) ➜ \(\because X\) অক্ষকে স্পর্শ করার শর্ত \(g^2=c\)
\(\therefore (1)\) নং বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে।
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) বিন্দু হতে \((1)\) এর উপর অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ,
\((x^2+y^2-4x-5y+4)(0^2+0^2-4.0-5.0+4)\)\(=\{x.0+y.0+(-2)(x+0)+(-\frac{5}{2})(y+0)+4\}^2\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ,
\((x^2+y^2+2gx+2fy+c)(x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c)\)\(=\{x.x_1+y.y_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c\}^2\)
\(\Rightarrow (x^2+y^2-4x-5y+4).4=\{-2x-\frac{5y}{2}+4\}^2\)
\(\Rightarrow 4x^2+4y^2-16x-20y+16=\{2x+\frac{5y}{2}-4\}^2\)
\(\Rightarrow 4x^2+4y^2-16x-20y+16=4x^2+\frac{25y^2}{4}+16+2.2x.\frac{5y}{2}-2.\frac{5y}{2}.4-2.4.2x\)
\(\Rightarrow 4x^2+4y^2-16x-20y+16=4x^2+\frac{25y^2}{4}+16+10xy-20y-16x\)
\(\Rightarrow 4y^2=\frac{25y^2}{4}+10xy\)
\(\Rightarrow 16y^2=25y^2+40xy\) ➜ উভয় পার্শে \(4\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 16y^2=25y^2+40xy\)
\(\Rightarrow 25y^2+40xy=16y^2\)
\(\Rightarrow 25y^2+40xy-16y^2=0\)
\(\Rightarrow 9y^2+40xy=0\)
\(\Rightarrow y(9y+40x)=0\)
\(\therefore y=0, 9y+40x=0\)
\(\therefore \) মূলবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী অপর স্পর্শকটির সমীকরণ, \(9y+40x=0\)
\(Q.1.(xxvi)\) \((4, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী বৃত্ত \(3x+4y-1=0\) ও \(x-3=0\) রেখা দুইটিকে স্পর্শ করে। \(r\) বৃত্তটির ব্যাসার্ধ হলে দেখাও যে, \(r^2-20r+40=0\)।
সমাধানঃ
ধরি, 
বৃত্তটির কেন্দ্র \(C(h, k)\)
দেওয়া আছে, ব্যাসার্ধ \(r\)
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2 ......(1)\)
\((1)\) বৃত্তটি \((4, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore (4-h)^2+(1-k)^2=r^2 ......(2)\)
আবার,
\(3x+4y-1=0 .......(3)\)
\(x-3=0 ......(4)\)
\((4)\) নং সরলরেখটি \((1)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি , কেন্দ্র হতে \((4)\) নং সরলরেখা লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমাণ হয়।
\(\frac{|h-3|}{\sqrt{1^2+0^2}}=r\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|h-3|}{\sqrt{1}}=r\)
\(\Rightarrow |h-3|=r\)
\(\Rightarrow h-3=r\) ➜ ধনাত্মক মাণ ব্যবহার করে।
\(\therefore h=r+3\)
আবার,
\((3)\) নং সরলরেখটি \((1)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি , কেন্দ্র হতে \((3)\) নং সরলরেখা লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমাণ হয়।
\(\frac{|3h+4k-1|}{\sqrt{3^2+4^2}}=r\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|3h+4k-1|}{\sqrt{9+16}}=r\)
\(\Rightarrow \frac{|3h+4k-1|}{\sqrt{25}}=r\)
\(\Rightarrow \frac{|3h+4k-1|}{5}=r\)
\(\Rightarrow |3h+4k-1|=5r\)
\(\Rightarrow 3h+4k-1=5r\) ➜ ধনাত্মক মাণ ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 3(r+3)+4k-1=5r\) ➜ \(h=r+3\) বসিয়ে,
\(\Rightarrow 3r+9+4k-1=5r\)
\(\Rightarrow 3r+4k+8=5r\)
\(\Rightarrow 4k=5r-3r-8\)
\(\Rightarrow 4k=2r-8\)
\(\Rightarrow k=\frac{2(r-4)}{4}\)
\(\therefore k=\frac{r-4}{2}\)
\(\therefore h\) ও \(k\) এর মাণ \( (2)\) এ বসিয়ে,
\((4-r-3)^2+\left(1-\frac{r-4}{2}\right)^2=r^2\)
\(\Rightarrow (1-r)^2+\left(\frac{2-r+4}{2}\right)^2=r^2\)
\(\Rightarrow (1-r)^2+\frac{(6-r)^2}{4}=r^2\)
\(\Rightarrow 4(1-2r+r^2)+(6-r)^2=4r^2\) ➜ উভয় পার্শে \(4\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 4-8r+4r^2+36-12r+r^2=4r^2\)
\(\therefore r^2-20r+40=0\)
[ দেখানো হলো। ]
বৃত্তটির কেন্দ্র \(C(h, k)\)
দেওয়া আছে, ব্যাসার্ধ \(r\)
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2 ......(1)\)
\((1)\) বৃত্তটি \((4, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore (4-h)^2+(1-k)^2=r^2 ......(2)\)
আবার,
\(3x+4y-1=0 .......(3)\)
\(x-3=0 ......(4)\)
\((4)\) নং সরলরেখটি \((1)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি , কেন্দ্র হতে \((4)\) নং সরলরেখা লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমাণ হয়।
\(\frac{|h-3|}{\sqrt{1^2+0^2}}=r\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|h-3|}{\sqrt{1}}=r\)
\(\Rightarrow |h-3|=r\)
\(\Rightarrow h-3=r\) ➜ ধনাত্মক মাণ ব্যবহার করে।
\(\therefore h=r+3\)
আবার,
\((3)\) নং সরলরেখটি \((1)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি , কেন্দ্র হতে \((3)\) নং সরলরেখা লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমাণ হয়।
\(\frac{|3h+4k-1|}{\sqrt{3^2+4^2}}=r\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|3h+4k-1|}{\sqrt{9+16}}=r\)
\(\Rightarrow \frac{|3h+4k-1|}{\sqrt{25}}=r\)
\(\Rightarrow \frac{|3h+4k-1|}{5}=r\)
\(\Rightarrow |3h+4k-1|=5r\)
\(\Rightarrow 3h+4k-1=5r\) ➜ ধনাত্মক মাণ ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 3(r+3)+4k-1=5r\) ➜ \(h=r+3\) বসিয়ে,
\(\Rightarrow 3r+9+4k-1=5r\)
\(\Rightarrow 3r+4k+8=5r\)
\(\Rightarrow 4k=5r-3r-8\)
\(\Rightarrow 4k=2r-8\)
\(\Rightarrow k=\frac{2(r-4)}{4}\)
\(\therefore k=\frac{r-4}{2}\)
\(\therefore h\) ও \(k\) এর মাণ \( (2)\) এ বসিয়ে,
\((4-r-3)^2+\left(1-\frac{r-4}{2}\right)^2=r^2\)
\(\Rightarrow (1-r)^2+\left(\frac{2-r+4}{2}\right)^2=r^2\)
\(\Rightarrow (1-r)^2+\frac{(6-r)^2}{4}=r^2\)
\(\Rightarrow 4(1-2r+r^2)+(6-r)^2=4r^2\) ➜ উভয় পার্শে \(4\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 4-8r+4r^2+36-12r+r^2=4r^2\)
\(\therefore r^2-20r+40=0\)
[ দেখানো হলো। ]
\(Q.1.(xxvii)\) মূলবিন্দু হতে \(x^2+y^2-6x-4y+9=0\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শক দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১১; বঃ ২০১২; রাঃ,চঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(\tan^{-1}(\frac{12}{5})\)।
[ ঢাঃ ২০১১; বঃ ২০১২; রাঃ,চঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(\tan^{-1}(\frac{12}{5})\)।
সমাধানঃ
ধরি, 
\(x^2+y^2-6x-4y+9=0 .......(1)\)
এখানে,
\(2g=-6, 2f=-4, c=9\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-3, f=-2, c=9\)
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) বিন্দু হতে \((1)\) এর উপর অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ,
\((x^2+y^2-6x-4y+9)(0^2+0^2-6.0-4.0+9)\)\(=\{x.0+y.0+(-3)(x+0)+(-2)(y+0)+9\}^2\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ, \((x^2+y^2+2gx+2fy+c)(x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c)\)\(=\{x.x_1+y.y_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c\}^2\)
\(\Rightarrow (x^2+y^2-6x-4y+9).9=\{-3x-2y+9\}^2\)
\(\Rightarrow 9x^2+9y^2-54x-36y+81=(3x+2y-9)^2\)
\(\Rightarrow 9x^2+9y^2-54x-36y+81=9x^2+4y^2+81+12xy-36y-54x\)
\(\Rightarrow 9y^2=4y^2+12xy\)
\(\Rightarrow 9y^2-4y^2-12xy=0\)
\(\Rightarrow 5y^2-12xy=0\)
\(\Rightarrow y(5y-12x)=0\)
\(\therefore y=0, 5y-12x=0\)
\(\therefore \) স্পর্শক দুইটির সমীকরণ,
\(y=0 ......(2)\)
\(5y-12x=0 .......(3)\)
এখন, \( (2)\) এর ঢাল \(m_1=-\frac{0}{1}=0\) ➜ ঢাল \(m=-\frac{a}{b}\)
\( (3)\) এর ঢাল \(m_2=-\frac{-12}{5}=\frac{12}{5}\)
\((2)\) ও \((3)\) এর মধ্যবর্তী কোন,
\(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{|0-\frac{12}{5}|}{1+0.\frac{12}{5}}\right)\) ➜ মধ্যবর্তী কোণ \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{|m_1-m_2|}{1+m_1m_2}\right)\)
\(=\tan^{-1}\left(\frac{\frac{12}{5}}{1}\right)\)
\(=\tan^{-1}\left(\frac{12}{5}\right)\)
ইহাই নির্ণেয় কোণ।
\(x^2+y^2-6x-4y+9=0 .......(1)\)
এখানে,
\(2g=-6, 2f=-4, c=9\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-3, f=-2, c=9\)
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) বিন্দু হতে \((1)\) এর উপর অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ,
\((x^2+y^2-6x-4y+9)(0^2+0^2-6.0-4.0+9)\)\(=\{x.0+y.0+(-3)(x+0)+(-2)(y+0)+9\}^2\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ, \((x^2+y^2+2gx+2fy+c)(x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c)\)\(=\{x.x_1+y.y_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c\}^2\)
\(\Rightarrow (x^2+y^2-6x-4y+9).9=\{-3x-2y+9\}^2\)
\(\Rightarrow 9x^2+9y^2-54x-36y+81=(3x+2y-9)^2\)
\(\Rightarrow 9x^2+9y^2-54x-36y+81=9x^2+4y^2+81+12xy-36y-54x\)
\(\Rightarrow 9y^2=4y^2+12xy\)
\(\Rightarrow 9y^2-4y^2-12xy=0\)
\(\Rightarrow 5y^2-12xy=0\)
\(\Rightarrow y(5y-12x)=0\)
\(\therefore y=0, 5y-12x=0\)
\(\therefore \) স্পর্শক দুইটির সমীকরণ,
\(y=0 ......(2)\)
\(5y-12x=0 .......(3)\)
এখন, \( (2)\) এর ঢাল \(m_1=-\frac{0}{1}=0\) ➜ ঢাল \(m=-\frac{a}{b}\)
\( (3)\) এর ঢাল \(m_2=-\frac{-12}{5}=\frac{12}{5}\)
\((2)\) ও \((3)\) এর মধ্যবর্তী কোন,
\(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{|0-\frac{12}{5}|}{1+0.\frac{12}{5}}\right)\) ➜ মধ্যবর্তী কোণ \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{|m_1-m_2|}{1+m_1m_2}\right)\)
\(=\tan^{-1}\left(\frac{\frac{12}{5}}{1}\right)\)
\(=\tan^{-1}\left(\frac{12}{5}\right)\)
ইহাই নির্ণেয় কোণ।
\(Q.1.(xxviii)\) \((x+5)^2+y^2=25\) বৃত্তের উপর \((-2, 4)\) বিন্দুতে স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x+4y-10=0, 4x-3y+20=0\)।
উত্তরঃ \(3x+4y-10=0, 4x-3y+20=0\)।
সমাধানঃ
ধরি, 
\((x+5)^2+y^2=25\)
\(\Rightarrow x^2+10x+25+y^2-25=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+10x=0 .......(1)\)
এখানে,
\(2g=10, 2f=0, c=0\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=5, f=0, c=0\)
\((-2, 4)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.(-2)+y.4+5(x-2)=0\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, \( xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0\)
\(\Rightarrow -2x+4y+5x-10=0\)
\(\Rightarrow 3x+4y-10=0\)
আবার,
\((-2, 4)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ,
\((5-2)y-(0+4)x+0.(-2)-5.4=0\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ, \((g+x_1)y-(f+y_1)x+fx_1-gy_1=0\)
\(\Rightarrow 3y-4x-20=0\)
\(\therefore 4x-3y+20=0\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\((x+5)^2+y^2=25\)
\(\Rightarrow x^2+10x+25+y^2-25=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+10x=0 .......(1)\)
এখানে,
\(2g=10, 2f=0, c=0\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=5, f=0, c=0\)
\((-2, 4)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.(-2)+y.4+5(x-2)=0\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, \( xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0\)
\(\Rightarrow -2x+4y+5x-10=0\)
\(\Rightarrow 3x+4y-10=0\)
আবার,
\((-2, 4)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ,
\((5-2)y-(0+4)x+0.(-2)-5.4=0\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ, \((g+x_1)y-(f+y_1)x+fx_1-gy_1=0\)
\(\Rightarrow 3y-4x-20=0\)
\(\therefore 4x-3y+20=0\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\(Q.1.(xxix)\) যে বৃত্তের কেন্দ্র মূলবিন্দুতে এবং \(2x+\sqrt{5}y-1=0\) রেখাকে স্পর্শ করে। তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(9x^2+9y^2=1\)।
উত্তরঃ \(9x^2+9y^2=1\)।
সমাধানঃ
ধরি, 
\(2x+\sqrt{5}y-1=0 ......(1)\)
বৃত্তের ব্যাসার্ধ্য \(r\)
দেওয়া আছে, কেন্দ্র \(O(0, 0)\)
বৃত্তের সমীকরণ, \(x^2+y^2=r^2 ........(2)\)
\((1\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((1)\) নং সরলরেখা লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমাণ হয়।
\(\frac{|2.0+\sqrt{5}.0-1|}{\sqrt{2^2+(\sqrt{5})^2}}=r\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|-1|}{\sqrt{4+5}}=r\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{9}}=r\)
\(\Rightarrow \frac{1}{3}=r\)
\(\therefore r=\frac{1}{3}\)
\(r\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\(x^2+y^2=(\frac{1}{3})^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=\frac{1}{9}\)
\(\therefore 9x^2+9y^2=1\) ➜ উভয় পার্শে \(9\) গুণ করে।
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
\(2x+\sqrt{5}y-1=0 ......(1)\)
বৃত্তের ব্যাসার্ধ্য \(r\)
দেওয়া আছে, কেন্দ্র \(O(0, 0)\)
বৃত্তের সমীকরণ, \(x^2+y^2=r^2 ........(2)\)
\((1\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((1)\) নং সরলরেখা লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমাণ হয়।
\(\frac{|2.0+\sqrt{5}.0-1|}{\sqrt{2^2+(\sqrt{5})^2}}=r\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|-1|}{\sqrt{4+5}}=r\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{9}}=r\)
\(\Rightarrow \frac{1}{3}=r\)
\(\therefore r=\frac{1}{3}\)
\(r\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\(x^2+y^2=(\frac{1}{3})^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=\frac{1}{9}\)
\(\therefore 9x^2+9y^2=1\) ➜ উভয় পার্শে \(9\) গুণ করে।
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
অনুশীলনী \(4.B\) / \(Q.2\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
\(Q.2.(i)\) একটি বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের একটি \((2, -4)\) এবং অপরটি মূলবিন্দু; বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। এ বৃত্তে যে স্পর্শকদ্বয় প্রদত্ত ব্যাসের সমান্তরাল তাদের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2x+4y=0; 2x+y\pm 5=0\)।
\(Q.2.(ii)\) \((-4, 3)\) এবং \((8, -2)\) বিন্দু দুইটি কোন বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দু হলে ঐ বৃত্তের একটি জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর যার মধ্যবিন্দু মূলবিন্দুতে অবস্থিত।
উত্তরঃ \(4x+y=0 \)।
\(Q.2.(iii)\) \((2, -5)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তটি মূ্লবিন্দুগামী। ঐ বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। প্রমণ কর যে, মূলবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ \(2x-5y=0\)।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-4x+10y=0 \); \(x^{2}+y^{2}+2x=0 \)।
\(Q.2.(iv)\) \((1, 2)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট যে বৃত্তটি \(2x+y=9\) রেখাকে স্পর্শ করে তার সমীকরণ নির্ণয় কর। প্রমাণ কর যে প্রদত্ত রেখাটি \(4(x^2+y^2)-4x-24y+17=0\) বৃত্তেরও একটি স্পর্শক।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2x-4y=0 \)।
\(Q.2.(v)\) \(x^2+y^2=81\) বৃত্তের একটি জ্যা-এর মধ্যবিন্দু \((-2, 3)\) ঐ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০১১; চঃ ২০১২; যঃ, দিঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(2x-3y+13=0 \)।
\(Q.2.(vi)\) \(x^{2}+y^{2}=16\)বৃত্তের জ্যা \((-2, 3)\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয়। ঐ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x-3y+13=0\)।
\(Q.2.(vii)\) \(y=2x\) যদি \(x^2+y^2-10x=0\) বৃত্তের কোন জ্যা-এর সমীকরণ হয়, তবে উক্ত জ্যা কে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০০৮; যঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2x-4y=0 \)।
\(Q.2.(viii)\) \(3x-4y=k\) রেখাটি \(x^2+y^2-8x=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করলে \(\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( 32, -8 \)।
\(Q.2.(ix)\) \(x^2+y^2-4x-6y+c=0\) বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে। \(c\) এর মাণ ও স্পর্শবিন্দু নির্ণয় কর।
[ঢাঃ, যঃ ২০১১ ; রাঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(c=4, (2, 0) \)।
\(Q.2.(x)\) \(3x+cy=1\) রেখাটি \(x^2+y^2-8x-2y+4=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। \(c\) এর মাণ নির্ণয় কর।
[বঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(c=2, -\frac{1}{6} \)।
\(Q.2.(xi)\) দেখাও যে, \(lx+my=1\) রেখাটি \(x^2+y^2-2ax=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি \(a^2m^2+2al=1 \) হয়।
[চঃ ২০১০; কুঃ, রাঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2x+4y=0; 2x+y\pm 5=0\)।
\(Q.2.(ii)\) \((-4, 3)\) এবং \((8, -2)\) বিন্দু দুইটি কোন বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দু হলে ঐ বৃত্তের একটি জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর যার মধ্যবিন্দু মূলবিন্দুতে অবস্থিত।
উত্তরঃ \(4x+y=0 \)।
\(Q.2.(iii)\) \((2, -5)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তটি মূ্লবিন্দুগামী। ঐ বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। প্রমণ কর যে, মূলবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ \(2x-5y=0\)।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-4x+10y=0 \); \(x^{2}+y^{2}+2x=0 \)।
\(Q.2.(iv)\) \((1, 2)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট যে বৃত্তটি \(2x+y=9\) রেখাকে স্পর্শ করে তার সমীকরণ নির্ণয় কর। প্রমাণ কর যে প্রদত্ত রেখাটি \(4(x^2+y^2)-4x-24y+17=0\) বৃত্তেরও একটি স্পর্শক।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2x-4y=0 \)।
\(Q.2.(v)\) \(x^2+y^2=81\) বৃত্তের একটি জ্যা-এর মধ্যবিন্দু \((-2, 3)\) ঐ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০১১; চঃ ২০১২; যঃ, দিঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(2x-3y+13=0 \)।
\(Q.2.(vi)\) \(x^{2}+y^{2}=16\)বৃত্তের জ্যা \((-2, 3)\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয়। ঐ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x-3y+13=0\)।
\(Q.2.(vii)\) \(y=2x\) যদি \(x^2+y^2-10x=0\) বৃত্তের কোন জ্যা-এর সমীকরণ হয়, তবে উক্ত জ্যা কে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০০৮; যঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2x-4y=0 \)।
\(Q.2.(viii)\) \(3x-4y=k\) রেখাটি \(x^2+y^2-8x=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করলে \(\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( 32, -8 \)।
\(Q.2.(ix)\) \(x^2+y^2-4x-6y+c=0\) বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে। \(c\) এর মাণ ও স্পর্শবিন্দু নির্ণয় কর।
[ঢাঃ, যঃ ২০১১ ; রাঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(c=4, (2, 0) \)।
\(Q.2.(x)\) \(3x+cy=1\) রেখাটি \(x^2+y^2-8x-2y+4=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। \(c\) এর মাণ নির্ণয় কর।
[বঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(c=2, -\frac{1}{6} \)।
\(Q.2.(xi)\) দেখাও যে, \(lx+my=1\) রেখাটি \(x^2+y^2-2ax=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি \(a^2m^2+2al=1 \) হয়।
[চঃ ২০১০; কুঃ, রাঃ ২০১৩ ]
\(Q.2.(xii)\) \(x^2+y^2=20\) বৃত্তের \(x=2\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[রাঃ ২০১০; দিঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \( x+2y=10, x-2y=10 \)।
\(Q.2.(xiii)\) \(x^2+y^2=13\) বৃত্তের যে বিন্দুতে কটি \(2\), উক্ত বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[যঃ ২০০৮]
উত্তরঃ \( 2y\pm 3x=13 \)।
\(Q.2.(xiv)\) \(x^2+y^2-4x+6y-12=0\) বৃত্তের পরিধিস্থ \((6, -6)\) বিন্দুতে স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x-3y-42=0, 3x+4y+6=0 \)।
\(Q.2.(xv)\) মূলবিন্দু হতে \((1, 2)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \(2\), বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০৬, ২০১০ ;চঃ, যঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2x-4y+4=0 \)।
\(Q.2.(xvi)\) \((1, -2)\) বিন্দু থেকে \(x^2+y^2-4x=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ ও দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y+2=0, 4x+3y+2=0; 1 \)।
\(Q.2.(xvii)\) দেখাও যে, \(12x+5y-4=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-6x-8y+9=0\)বৃত্তের একটি স্পর্শক; এ বৃত্তের যে ব্যাসটি স্পর্শবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5x-12y+33=0 \)।
\(Q.2.(xviii)\) মূলবিন্দুগামী একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার একটি ব্যাস \(2y=3x\) এবং একটি স্পর্শক \(2x+3y+13=0\)।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}+2x+3y=0 \)।
\(Q.2.(xix)\) \(2x+3y-5=0\) রেখাটি \((3, 4)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের স্পর্শক। বৃত্তটি \(Y\) অক্ষ থেকে যে পরিমাণ অংশ ছেদ করে তার পরিমাণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০৪; কুঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \( 4 \)।
\(Q.2.(xx)\) \((3, -1)\) বিন্দু দিয়ে গমনকারী বৃত্ত \(X\)অক্ষকে \((2, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে । বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। মূলবিন্দু দিয়ে গমনকারী অপর স্পর্শকটির সমীকরণও নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ, কুঃ ২০১২;সিঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(x^2+y^2-4x+2y+4=0; 4x+3y=0 \)।
\(Q.2.(xxi)\) \(x^2+y^2=45\) বৃত্তের \((6, -3)\) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক \(x^2+y^2-4x+2y-35=0\) বৃত্তকে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে। দেখাও যে, \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক পরস্পর লম্ব ।
[রাঃ ২০১০; দিঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \( x+2y=10, x-2y=10 \)।
\(Q.2.(xiii)\) \(x^2+y^2=13\) বৃত্তের যে বিন্দুতে কটি \(2\), উক্ত বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[যঃ ২০০৮]
উত্তরঃ \( 2y\pm 3x=13 \)।
\(Q.2.(xiv)\) \(x^2+y^2-4x+6y-12=0\) বৃত্তের পরিধিস্থ \((6, -6)\) বিন্দুতে স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x-3y-42=0, 3x+4y+6=0 \)।
\(Q.2.(xv)\) মূলবিন্দু হতে \((1, 2)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \(2\), বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০৬, ২০১০ ;চঃ, যঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2x-4y+4=0 \)।
\(Q.2.(xvi)\) \((1, -2)\) বিন্দু থেকে \(x^2+y^2-4x=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ ও দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y+2=0, 4x+3y+2=0; 1 \)।
\(Q.2.(xvii)\) দেখাও যে, \(12x+5y-4=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-6x-8y+9=0\)বৃত্তের একটি স্পর্শক; এ বৃত্তের যে ব্যাসটি স্পর্শবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5x-12y+33=0 \)।
\(Q.2.(xviii)\) মূলবিন্দুগামী একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার একটি ব্যাস \(2y=3x\) এবং একটি স্পর্শক \(2x+3y+13=0\)।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}+2x+3y=0 \)।
\(Q.2.(xix)\) \(2x+3y-5=0\) রেখাটি \((3, 4)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের স্পর্শক। বৃত্তটি \(Y\) অক্ষ থেকে যে পরিমাণ অংশ ছেদ করে তার পরিমাণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০৪; কুঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \( 4 \)।
\(Q.2.(xx)\) \((3, -1)\) বিন্দু দিয়ে গমনকারী বৃত্ত \(X\)অক্ষকে \((2, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে । বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। মূলবিন্দু দিয়ে গমনকারী অপর স্পর্শকটির সমীকরণও নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ, কুঃ ২০১২;সিঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(x^2+y^2-4x+2y+4=0; 4x+3y=0 \)।
\(Q.2.(xxi)\) \(x^2+y^2=45\) বৃত্তের \((6, -3)\) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক \(x^2+y^2-4x+2y-35=0\) বৃত্তকে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে। দেখাও যে, \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক পরস্পর লম্ব ।
\(Q.2.(i)\) একটি বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের একটি \((2, -4)\) এবং অপরটি মূলবিন্দু; বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। এ বৃত্তে যে স্পর্শকদ্বয় প্রদত্ত ব্যাসের সমান্তরাল তাদের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2x+4y=0; 2x+y\pm 5=0\)।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2x+4y=0; 2x+y\pm 5=0\)।
সমাধানঃ
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দুদ্বয় যথাক্রমে \(A(2, -4)\) \(O(0, 0)\) ।
\(AO\) কে ব্যাস ধরে বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-2)(x-0)+(y+4)(y-0)=0\) ➜\(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB\) কে ব্যাস ধরে বৃত্তের সমীকরণ, \((x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0\)
\(\Rightarrow (x-2).x+(y+4).y=0\)
\(\Rightarrow x^2-2x+y^2+4y=0\)
\(\therefore x^2+y^2-2x+4y=0 ......(1)\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
এখানে,
\(2g=-2, 2f=4, c=0\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-1, f=2, c=0\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(C(1, -2)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{(-1)^2+2^2-0}\)।
\(=\sqrt{1+4}\)।
\(=\sqrt{5}\)।
আবার,
\(AO\) এর সমীকরণ, \(\frac{x-2}{2-0}=\frac{y+4}{-4-0}\) ➜\(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB\) সরলরেখার সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{2}=\frac{y+4}{-4}\)
\(\Rightarrow 2(x-2)=-(y+4)\) ➜ উভয় পার্শে \(4\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 2x-4=-y-4\)
\(\Rightarrow 2x+y-4+4=0\)
\(\therefore 2x+y=0 ......(2)\)
\((1)\) নং সরলরেখার সমান্তরাল যে কোন সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x+y+k=0 ......(3)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখা \((1)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((3)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
\(\therefore \frac{|2.1+(-2)+k|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\sqrt{5}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\therefore \frac{|2-2+k|}{\sqrt{4+1}}=\sqrt{5}\)
\(\therefore \frac{|k|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\)
\(\therefore |k|=\sqrt{5}\times \sqrt{5}\)
\(\therefore |k|=5\)
\(\therefore k=\pm 5\)
\(k\) এর মাণ \( (3)\) এ বসিয়ে,
\(2x+y\pm 5=0\) ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ।
বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দুদ্বয় যথাক্রমে \(A(2, -4)\) \(O(0, 0)\) ।
\(AO\) কে ব্যাস ধরে বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-2)(x-0)+(y+4)(y-0)=0\) ➜\(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB\) কে ব্যাস ধরে বৃত্তের সমীকরণ, \((x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0\)
\(\Rightarrow (x-2).x+(y+4).y=0\)
\(\Rightarrow x^2-2x+y^2+4y=0\)
\(\therefore x^2+y^2-2x+4y=0 ......(1)\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
এখানে,
\(2g=-2, 2f=4, c=0\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-1, f=2, c=0\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(C(1, -2)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{(-1)^2+2^2-0}\)।
\(=\sqrt{1+4}\)।
\(=\sqrt{5}\)।
আবার,
\(AO\) এর সমীকরণ, \(\frac{x-2}{2-0}=\frac{y+4}{-4-0}\) ➜\(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB\) সরলরেখার সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{2}=\frac{y+4}{-4}\)
\(\Rightarrow 2(x-2)=-(y+4)\) ➜ উভয় পার্শে \(4\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 2x-4=-y-4\)
\(\Rightarrow 2x+y-4+4=0\)
\(\therefore 2x+y=0 ......(2)\)
\((1)\) নং সরলরেখার সমান্তরাল যে কোন সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x+y+k=0 ......(3)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখা \((1)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((3)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
\(\therefore \frac{|2.1+(-2)+k|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\sqrt{5}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\therefore \frac{|2-2+k|}{\sqrt{4+1}}=\sqrt{5}\)
\(\therefore \frac{|k|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\)
\(\therefore |k|=\sqrt{5}\times \sqrt{5}\)
\(\therefore |k|=5\)
\(\therefore k=\pm 5\)
\(k\) এর মাণ \( (3)\) এ বসিয়ে,
\(2x+y\pm 5=0\) ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ।
\(Q.2.(ii)\) \((-4, 3)\) এবং \((8, -2)\) বিন্দু দুইটি কোন বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দু হলে ঐ বৃত্তের একটি জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর যার মধ্যবিন্দু মূলবিন্দুতে অবস্থিত।
উত্তরঃ \(4x+y=0 \)।
উত্তরঃ \(4x+y=0 \)।
সমাধানঃ
ধরি, 
\(A(-4, 3)\) এবং \(B(8, -2)\)
\(AB\) কে ব্যাস ধরে বৃত্তের সমীকরণ,
\((x+4)(x-8)+(y-3)(y+2)=0\) ➜\(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB\) কে ব্যাস ধরে বৃত্তের সমীকরণ, \((x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0\)
\(\Rightarrow x^2+4x-8x-32+y^2-3y+2y-6=0\)
\(\therefore x^2+y^2-4x-y-38=0 ......(1)\)
এখানে,
\(2g=-4, 2f=-1, c=-38\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-2, f=-\frac{1}{2}, c=-38\)
\((1)\) বৃত্তের একটি জ্যা-এর সমীকরণ, যার মধ্যবিন্দু মূলবিন্দুতে তথা \(O(0, 0)\) অবস্থিত.
\(x.0+y.0+(-2)(x+0)-\frac{1}{2}(y+0)-38\)=\(0^2+0^2+4.0-0-38\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তে অঙ্কিত জ্যা-এর মধ্যবিন্দু \(C(x_1, y_1)\) হলে, জ্যা-এর সমীকরণ, \(xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c\)\(=x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c\)
\(\Rightarrow -2x-\frac{y}{2}-38=-38\)
\(\Rightarrow -2x-\frac{y}{2}=0\)
\(\therefore 4x+y=0\) ➜ উভয় পার্শে \(-2\) গুণ করে।
ইহাই নির্ণেয় জ্যা-এর সমীকরণ।
\(A(-4, 3)\) এবং \(B(8, -2)\)
\(AB\) কে ব্যাস ধরে বৃত্তের সমীকরণ,
\((x+4)(x-8)+(y-3)(y+2)=0\) ➜\(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB\) কে ব্যাস ধরে বৃত্তের সমীকরণ, \((x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0\)
\(\Rightarrow x^2+4x-8x-32+y^2-3y+2y-6=0\)
\(\therefore x^2+y^2-4x-y-38=0 ......(1)\)
এখানে,
\(2g=-4, 2f=-1, c=-38\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-2, f=-\frac{1}{2}, c=-38\)
\((1)\) বৃত্তের একটি জ্যা-এর সমীকরণ, যার মধ্যবিন্দু মূলবিন্দুতে তথা \(O(0, 0)\) অবস্থিত.
\(x.0+y.0+(-2)(x+0)-\frac{1}{2}(y+0)-38\)=\(0^2+0^2+4.0-0-38\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তে অঙ্কিত জ্যা-এর মধ্যবিন্দু \(C(x_1, y_1)\) হলে, জ্যা-এর সমীকরণ, \(xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c\)\(=x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c\)
\(\Rightarrow -2x-\frac{y}{2}-38=-38\)
\(\Rightarrow -2x-\frac{y}{2}=0\)
\(\therefore 4x+y=0\) ➜ উভয় পার্শে \(-2\) গুণ করে।
ইহাই নির্ণেয় জ্যা-এর সমীকরণ।
\(Q.2.(iii)\) \((2, -5)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তটি মূ্লবিন্দুগামী। ঐ বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। প্রমণ কর যে, মূলবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ \(2x-5y=0\)।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-4x+10y=0 \)।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-4x+10y=0 \)।
সমাধানঃ
ধরি, 
বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(r\)।
দেওয়া আছে, কেন্দ্র \((2, -5)\) ।
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-2)^2+(y+5)^2=r^2 .......(1)\)
\((1)\) নং বৃত্ত মূ্লবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) বিন্দু দিয়ে যায়,
\(\therefore (0-2)^2+(0+5)^2=r^2\)
\(\Rightarrow 4+25=r^2\)
\(\Rightarrow 29=r^2\)
\(\Rightarrow r^2=29\)
\(r^2\) এর মাণ \((1)\) এ বসিয়ে,
\((x-2)^2+(y+5)^2=29 \)
\(\Rightarrow x^2-4x+4+y^2+10y+25-29=0 \)
\(\therefore x^2+y^2-4x+10y=0 ......(2)\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
এখানে,
\(2g=-4, 2f=10, c=0\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-2, f=5, c=0\)
\((2)\) নং বৃত্তের পরিধির উপরস্থ মূলবিন্দুতে তথা \(O(0, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.0+y.0+(-2)(x+0)+5(y+0)=0\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, \( xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0\)
\(\Rightarrow -2x+5y=0\)
\(\therefore 2x-5y=0\)
[ দেখানো হলো। ]
বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(r\)।
দেওয়া আছে, কেন্দ্র \((2, -5)\) ।
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-2)^2+(y+5)^2=r^2 .......(1)\)
\((1)\) নং বৃত্ত মূ্লবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) বিন্দু দিয়ে যায়,
\(\therefore (0-2)^2+(0+5)^2=r^2\)
\(\Rightarrow 4+25=r^2\)
\(\Rightarrow 29=r^2\)
\(\Rightarrow r^2=29\)
\(r^2\) এর মাণ \((1)\) এ বসিয়ে,
\((x-2)^2+(y+5)^2=29 \)
\(\Rightarrow x^2-4x+4+y^2+10y+25-29=0 \)
\(\therefore x^2+y^2-4x+10y=0 ......(2)\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
এখানে,
\(2g=-4, 2f=10, c=0\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-2, f=5, c=0\)
\((2)\) নং বৃত্তের পরিধির উপরস্থ মূলবিন্দুতে তথা \(O(0, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.0+y.0+(-2)(x+0)+5(y+0)=0\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, \( xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0\)
\(\Rightarrow -2x+5y=0\)
\(\therefore 2x-5y=0\)
[ দেখানো হলো। ]
\(Q.2.(iv)\) \((1, 2)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট যে বৃত্তটি \(2x+y=9\) রেখাকে স্পর্শ করে তার সমীকরণ নির্ণয় কর। প্রমাণ কর যে প্রদত্ত রেখাটি \(4(x^2+y^2)-4x-24y+17=0\) বৃত্তেরও একটি স্পর্শক।
উত্তরঃ\(x^{2}+y^{2}-2x-4y=0 \)।
উত্তরঃ\(x^{2}+y^{2}-2x-4y=0 \)।
সমাধানঃ
ধরি, 
\(2x+y-9=0 .....(1)\)
বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(r\)।
দেওয়া আছে, কেন্দ্র \((1, 2)\) ।
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-1)^2+(y-2)^2=r^2 .......(2)\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
\(\therefore \frac{|2.1+2-9|}{\sqrt{2^2+1^2}}=r\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\therefore \frac{|2+2-9|}{\sqrt{4+1}}=r\)
\(\Rightarrow \frac{|-5|}{\sqrt{5}}=r\)
\(\Rightarrow \frac{5}{\sqrt{5}}=r\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}{\sqrt{5}}=r\)
\(\Rightarrow \sqrt{5}=r\)
\(\therefore r=\sqrt{5}\)
\(r\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\((x-1)^2+(y-2)^2=(\sqrt{5})^2\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2-4y+4=5\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2x-4y+5-5=0\)
\(\therefore x^2+y^2-2x-4y=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
আবার,
\(4(x^2+y^2)-4x-24y+17=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-x-6y+\frac{17}{4}=0 ......(3)\) ➜ উভয় পার্শে \(4\) ভাগ করে।
এখানে,
\(2g=-1, 2f=-6, c=\frac{17}{4}\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{1}{2}, f=-3, c=\frac{17}{4}\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(\frac{1}{2}, 3)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2+(-3)^2-\frac{17}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{4}+9-\frac{17}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{1+36-17}{4}}\)
\(=\sqrt{5}\)
কেন্দ্র \(C(\frac{1}{2}, 3)\) হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{|2.\frac{1}{2}+3-9|}{\sqrt{2^2+1^2}}\)
\(=\frac{|1-6|}{\sqrt{4+1}}\)
\(=\frac{|-5|}{\sqrt{5}}\)
\(=\frac{5}{\sqrt{5}}\)
\(=\frac{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}{\sqrt{5}}\)
\(=\sqrt{5}=r=\) ব্যাসার্ধ।
\(\therefore (1)\) নং সরলরেখাটি \((3)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করে।
[ দেখানো হলো। ]
\(2x+y-9=0 .....(1)\)
বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(r\)।
দেওয়া আছে, কেন্দ্র \((1, 2)\) ।
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-1)^2+(y-2)^2=r^2 .......(2)\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
\(\therefore \frac{|2.1+2-9|}{\sqrt{2^2+1^2}}=r\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\therefore \frac{|2+2-9|}{\sqrt{4+1}}=r\)
\(\Rightarrow \frac{|-5|}{\sqrt{5}}=r\)
\(\Rightarrow \frac{5}{\sqrt{5}}=r\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}{\sqrt{5}}=r\)
\(\Rightarrow \sqrt{5}=r\)
\(\therefore r=\sqrt{5}\)
\(r\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\((x-1)^2+(y-2)^2=(\sqrt{5})^2\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2-4y+4=5\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2x-4y+5-5=0\)
\(\therefore x^2+y^2-2x-4y=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
আবার,
\(4(x^2+y^2)-4x-24y+17=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-x-6y+\frac{17}{4}=0 ......(3)\) ➜ উভয় পার্শে \(4\) ভাগ করে।
এখানে,
\(2g=-1, 2f=-6, c=\frac{17}{4}\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{1}{2}, f=-3, c=\frac{17}{4}\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(\frac{1}{2}, 3)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2+(-3)^2-\frac{17}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{4}+9-\frac{17}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{1+36-17}{4}}\)
\(=\sqrt{5}\)
কেন্দ্র \(C(\frac{1}{2}, 3)\) হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{|2.\frac{1}{2}+3-9|}{\sqrt{2^2+1^2}}\)
\(=\frac{|1-6|}{\sqrt{4+1}}\)
\(=\frac{|-5|}{\sqrt{5}}\)
\(=\frac{5}{\sqrt{5}}\)
\(=\frac{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}{\sqrt{5}}\)
\(=\sqrt{5}=r=\) ব্যাসার্ধ।
\(\therefore (1)\) নং সরলরেখাটি \((3)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করে।
[ দেখানো হলো। ]
\(Q.2.(v)\) \(x^2+y^2=81\) বৃত্তের একটি জ্যা-এর মধ্যবিন্দু \((-2, 3)\) ঐ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০১১; চঃ ২০১২; যঃ, দিঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(2x-3y+13=0 \)।
[ রাঃ ২০১১; চঃ ২০১২; যঃ, দিঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(2x-3y+13=0 \)।
সমাধানঃ
ধরি, 
\(x^2+y^2-81=0 .....(1)\)
\((1)\) বৃত্তের একটি জ্যা-এর সমীকরণ, যার মধ্যবিন্দু \((-2, 3)\) .
\(x.(-2)+y.3-81=(-2)^2+3^2-81\) ➜ \(x^2+y^2=r^2\) বৃত্তে অঙ্কিত জ্যা-এর মধ্যবিন্দু \(C(x_1, y_1)\) হলে, জ্যা-এর সমীকরণ, \(xx_1+yy_1-r^2=x^2_1+y^2_1-r^2\)
\(\Rightarrow -2x+3y=4+9\)
\(\Rightarrow -2x+3y=13\)
\(\Rightarrow -2x+3y-13=0\)
\(\therefore 2x-3y+13=0\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
ইহাই নির্ণেয় জ্যা-এর সমীকরণ ।
\(x^2+y^2-81=0 .....(1)\)
\((1)\) বৃত্তের একটি জ্যা-এর সমীকরণ, যার মধ্যবিন্দু \((-2, 3)\) .
\(x.(-2)+y.3-81=(-2)^2+3^2-81\) ➜ \(x^2+y^2=r^2\) বৃত্তে অঙ্কিত জ্যা-এর মধ্যবিন্দু \(C(x_1, y_1)\) হলে, জ্যা-এর সমীকরণ, \(xx_1+yy_1-r^2=x^2_1+y^2_1-r^2\)
\(\Rightarrow -2x+3y=4+9\)
\(\Rightarrow -2x+3y=13\)
\(\Rightarrow -2x+3y-13=0\)
\(\therefore 2x-3y+13=0\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
ইহাই নির্ণেয় জ্যা-এর সমীকরণ ।
\(Q.2.(vii)\) \(y=2x\) যদি \(x^2+y^2-10x=0\) বৃত্তের কোন জ্যা-এর সমীকরণ হয়, তবে উক্ত জ্যা কে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০০৮; যঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2x-4y=0 \)।
[ কুঃ ২০০৮; যঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2x-4y=0 \)।
সমাধানঃ
ধরি, 
\(2x-y=0 ......(1)\)
\(x^2+y^2-10x=0 .....(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) ছেদবিন্দুগামী যে কোন বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2-10x+k(2x-y)=0 .....(3)\) ➜ \(k\) শুন্য ব্যাতীত যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\(\Rightarrow x^2+y^2-10x+2kx-ky=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2(5-k)x-ky=0\)
এখানে,
\(2g=-2(5-k), 2f=-k, c=0\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-(5-k), f=-\frac{k}{2}, c=0\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C\left(5-k, \frac{k}{2}\right)\)
শর্তমতে,
কেন্দ্র \(C\left(5-k, \frac{k}{2}\right)\), \((1)\) নং সরলরেখার উপর অবস্থিত।
\(\therefore 2(5-k)-\frac{k}{2}=0\)
\(\Rightarrow 10-2k-\frac{k}{2}=0\)
\(\Rightarrow 20-4k-k=0\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 20-5k=0\)
\(\Rightarrow -5k=-20\)
\(\Rightarrow k=\frac{-20}{-5}\)
\(\therefore k=4\)
\(k\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(x^2+y^2-10x+4(2x-y)=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-10x+8x-4y=0\)
\(\therefore x^2+y^2-2x-4y=0\) ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
\(2x-y=0 ......(1)\)
\(x^2+y^2-10x=0 .....(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) ছেদবিন্দুগামী যে কোন বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2-10x+k(2x-y)=0 .....(3)\) ➜ \(k\) শুন্য ব্যাতীত যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\(\Rightarrow x^2+y^2-10x+2kx-ky=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2(5-k)x-ky=0\)
এখানে,
\(2g=-2(5-k), 2f=-k, c=0\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-(5-k), f=-\frac{k}{2}, c=0\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C\left(5-k, \frac{k}{2}\right)\)
শর্তমতে,
কেন্দ্র \(C\left(5-k, \frac{k}{2}\right)\), \((1)\) নং সরলরেখার উপর অবস্থিত।
\(\therefore 2(5-k)-\frac{k}{2}=0\)
\(\Rightarrow 10-2k-\frac{k}{2}=0\)
\(\Rightarrow 20-4k-k=0\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 20-5k=0\)
\(\Rightarrow -5k=-20\)
\(\Rightarrow k=\frac{-20}{-5}\)
\(\therefore k=4\)
\(k\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(x^2+y^2-10x+4(2x-y)=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-10x+8x-4y=0\)
\(\therefore x^2+y^2-2x-4y=0\) ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.2.(viii)\) \(3x-4y=k\) রেখাটি \(x^2+y^2-8x=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করলে \(k\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( 32, -8 \)।
উত্তরঃ \( 32, -8 \)।
সমাধানঃ
ধরি, 
\(3x-4y-k=0 ....(1)\)
\(x^2+y^2-8x=0 ......(2)\)
এখানে,
\(2g=-8, 2f=0, c=0\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-4, f=0, c=0\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(4, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-4)^2+0^2-0}\)
\(=\sqrt{16+0}\)
\(=\sqrt{16}\)
\(=4\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
\(\therefore \frac{|3.4-4.0-k|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=4\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|12-k|}{\sqrt{9+16}}=4\)
\(\Rightarrow \frac{|12-k|}{\sqrt{25}}=4\)
\(\Rightarrow \frac{|12-k|}{5}=4\)
\(\Rightarrow |12-k|=20\)
\(\Rightarrow 12-k=\pm 20\)
\(\Rightarrow -k=\pm 20-12\)
\(\Rightarrow k=\pm 20+12\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\(\Rightarrow k=\pm 20+12\)
\(\Rightarrow k=20+12\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\therefore k=32\)
আবার,
\(\Rightarrow k=-20+12\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow k=-8\)
\(\therefore k=32, -8\)
\(3x-4y-k=0 ....(1)\)
\(x^2+y^2-8x=0 ......(2)\)
এখানে,
\(2g=-8, 2f=0, c=0\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-4, f=0, c=0\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(4, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-4)^2+0^2-0}\)
\(=\sqrt{16+0}\)
\(=\sqrt{16}\)
\(=4\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
\(\therefore \frac{|3.4-4.0-k|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=4\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|12-k|}{\sqrt{9+16}}=4\)
\(\Rightarrow \frac{|12-k|}{\sqrt{25}}=4\)
\(\Rightarrow \frac{|12-k|}{5}=4\)
\(\Rightarrow |12-k|=20\)
\(\Rightarrow 12-k=\pm 20\)
\(\Rightarrow -k=\pm 20-12\)
\(\Rightarrow k=\pm 20+12\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\(\Rightarrow k=\pm 20+12\)
\(\Rightarrow k=20+12\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\therefore k=32\)
আবার,
\(\Rightarrow k=-20+12\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow k=-8\)
\(\therefore k=32, -8\)
\(Q.2.(ix)\) \(x^2+y^2-4x-6y+c=0\) বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে। \(c\) এর মাণ ও স্পর্শবিন্দু নির্ণয় কর।
[ঢাঃ, যঃ ২০১১ ; রাঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(c=4, (2, 0) \)।
[ঢাঃ, যঃ ২০১১ ; রাঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(c=4, (2, 0) \)।
সমাধানঃ
ধরি, 
\(x^{2}+y^{2}-4x-6y+c=0 ......(1)\)
এখানে,
\(2g=-4, 2f=-6, c_1=c\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-2, f=-3, c_1=c\)
কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\therefore (2, 3)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{(-2)^2+(-3)^2-c}\)
\(=\sqrt{4+9-c}\)
\(=\sqrt{13-c}\)
\(\because \) বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে। অতএব, কেন্দ্রের \(y\) স্থানাঙ্ক ব্যাসার্ধের সমান হবে।
\(\therefore \sqrt{13-c}=3\)
\(\Rightarrow 13-c=3^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 13-c=9\)
\(\Rightarrow 13-9=c\)
\(\Rightarrow 4=c\)
\(\therefore c=4\)
ইহাই নির্ণেয় \(c\) এর মান।
আবার ধরি, \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে বলে \(y=0\)
\((1)\) হতে,
\(x^{2}+0^{2}-4x-6.0+4=0\)
\(\Rightarrow x^{2}-4x+4=0\)
\(\Rightarrow (x-2)^{2}=0\)
\(\Rightarrow x-2=0\)
\(\therefore x=2\)
\(\therefore \) স্পর্শবিন্দু \((2, 0)\) .
\(x^{2}+y^{2}-4x-6y+c=0 ......(1)\)
এখানে,
\(2g=-4, 2f=-6, c_1=c\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-2, f=-3, c_1=c\)
কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\therefore (2, 3)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{(-2)^2+(-3)^2-c}\)
\(=\sqrt{4+9-c}\)
\(=\sqrt{13-c}\)
\(\because \) বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে। অতএব, কেন্দ্রের \(y\) স্থানাঙ্ক ব্যাসার্ধের সমান হবে।
\(\therefore \sqrt{13-c}=3\)
\(\Rightarrow 13-c=3^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 13-c=9\)
\(\Rightarrow 13-9=c\)
\(\Rightarrow 4=c\)
\(\therefore c=4\)
ইহাই নির্ণেয় \(c\) এর মান।
আবার ধরি, \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে বলে \(y=0\)
\((1)\) হতে,
\(x^{2}+0^{2}-4x-6.0+4=0\)
\(\Rightarrow x^{2}-4x+4=0\)
\(\Rightarrow (x-2)^{2}=0\)
\(\Rightarrow x-2=0\)
\(\therefore x=2\)
\(\therefore \) স্পর্শবিন্দু \((2, 0)\) .
\(Q.2.(x)\) \(3x+cy=1\) রেখাটি \(x^2+y^2-8x-2y+4=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। \(c\) এর মাণ নির্ণয় কর।
[বঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(c=2, -\frac{1}{6} \)।
[বঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(c=2, -\frac{1}{6} \)।
সমাধানঃ
ধরি, 
\(3x+cy-1=0 .....(1)\)
\(x^2+y^2-8x-2y+4=0 ......(2)\)
এখানে,
\(2g=-8, 2f=-2, c=4\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-4, f=-1, c=4\)
কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(therefore (4, 1)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{(-4)^2+(-1)^2-4}\)
\(=\sqrt{16+1-4}\)
\(=\sqrt{17-4}\)
\(=\sqrt{13}\)
\(\because \) বৃত্তটি \((1)\) নং সরলরেখাকে স্পর্শ করে।
\(\therefore \frac{|3.4+c.1-1|}{\sqrt{3^2+c^2}}=\sqrt{13}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|12+c-1|}{\sqrt{9+c^2}}=\sqrt{13}\)
\(\Rightarrow \frac{|c+11|}{\sqrt{9+c^2}}=\sqrt{13}\)
\(\Rightarrow \frac{(c+11)^2}{9+c^2}=13\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 13(9+c^2)=(c+11)^2\)
\(\Rightarrow 117+13c^2=c^2+22c+121\)
\(\Rightarrow 117+13c^2-c^2-22c-121=0\)
\(\Rightarrow 12c^2-22c-4=0\)
\(\Rightarrow 6c^2-11c-2=0\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow 6c^2-12c+c-2=0\)
\(\Rightarrow 6c(c-2)+1(c-2)=0\)
\(\Rightarrow (c-2)(6c+1)=0\)
\(\Rightarrow c-2=0, 6c+1=0\)
\(\Rightarrow c=2, 6c=-1\)
\(\therefore c=2, c=-\frac{1}{6}\)
ইহাই নির্ণেয় \(c\) এর মান।
\(3x+cy-1=0 .....(1)\)
\(x^2+y^2-8x-2y+4=0 ......(2)\)
এখানে,
\(2g=-8, 2f=-2, c=4\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-4, f=-1, c=4\)
কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(therefore (4, 1)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{(-4)^2+(-1)^2-4}\)
\(=\sqrt{16+1-4}\)
\(=\sqrt{17-4}\)
\(=\sqrt{13}\)
\(\because \) বৃত্তটি \((1)\) নং সরলরেখাকে স্পর্শ করে।
\(\therefore \frac{|3.4+c.1-1|}{\sqrt{3^2+c^2}}=\sqrt{13}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|12+c-1|}{\sqrt{9+c^2}}=\sqrt{13}\)
\(\Rightarrow \frac{|c+11|}{\sqrt{9+c^2}}=\sqrt{13}\)
\(\Rightarrow \frac{(c+11)^2}{9+c^2}=13\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 13(9+c^2)=(c+11)^2\)
\(\Rightarrow 117+13c^2=c^2+22c+121\)
\(\Rightarrow 117+13c^2-c^2-22c-121=0\)
\(\Rightarrow 12c^2-22c-4=0\)
\(\Rightarrow 6c^2-11c-2=0\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow 6c^2-12c+c-2=0\)
\(\Rightarrow 6c(c-2)+1(c-2)=0\)
\(\Rightarrow (c-2)(6c+1)=0\)
\(\Rightarrow c-2=0, 6c+1=0\)
\(\Rightarrow c=2, 6c=-1\)
\(\therefore c=2, c=-\frac{1}{6}\)
ইহাই নির্ণেয় \(c\) এর মান।
\(Q.2.(xi)\) দেখাও যে, \(lx+my=1\) রেখাটি \(x^2+y^2-2ax=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি \(a^2m^2+2al=1 \) হয়।
[চঃ ২০১০; কুঃ, রাঃ ২০১৩ ]
[চঃ ২০১০; কুঃ, রাঃ ২০১৩ ]
সমাধানঃ
ধরি, 
\(lx+my-1=0 .....(1)\)
\(x^2+y^2-2ax=0 ......(2)\)
এখানে,
\(2g=-2a, 2f=0, c=0\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-a, f=0, c=0\)
কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(therefore (a, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{(-a)^2+0^2-0}\)
\(=\sqrt{a^2+0-0}\)
\(=\sqrt{a^2}\)
\(=a\)
\(\because \) বৃত্তটি \((1)\) নং সরলরেখাকে স্পর্শ করে।
\(\therefore \frac{|l.a+m.0-1|}{\sqrt{l^2+m^2}}=a\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|l.a+m.0-1|}{\sqrt{l^2+m^2}}=a\)
\(\Rightarrow \frac{|al-1|}{\sqrt{l^2+m^2}}=a\)
\(\Rightarrow \frac{(al-1)^2}{l^2+m^2}=a^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow a^2(l^2+m^2)=(al-1)^2\)
\(\Rightarrow a^2l^2+a^2m^2=a^2l^2-2al+1\)
\(\Rightarrow a^2l^2+a^2m^2-a^2l^2+2al=1\)
\(\therefore a^2m^2+2al=1\)
[ showed ]
\(lx+my-1=0 .....(1)\)
\(x^2+y^2-2ax=0 ......(2)\)
এখানে,
\(2g=-2a, 2f=0, c=0\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-a, f=0, c=0\)
কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(therefore (a, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{(-a)^2+0^2-0}\)
\(=\sqrt{a^2+0-0}\)
\(=\sqrt{a^2}\)
\(=a\)
\(\because \) বৃত্তটি \((1)\) নং সরলরেখাকে স্পর্শ করে।
\(\therefore \frac{|l.a+m.0-1|}{\sqrt{l^2+m^2}}=a\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|l.a+m.0-1|}{\sqrt{l^2+m^2}}=a\)
\(\Rightarrow \frac{|al-1|}{\sqrt{l^2+m^2}}=a\)
\(\Rightarrow \frac{(al-1)^2}{l^2+m^2}=a^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow a^2(l^2+m^2)=(al-1)^2\)
\(\Rightarrow a^2l^2+a^2m^2=a^2l^2-2al+1\)
\(\Rightarrow a^2l^2+a^2m^2-a^2l^2+2al=1\)
\(\therefore a^2m^2+2al=1\)
[ showed ]
\(Q.2.(xii)\) \(x^2+y^2=20\) বৃত্তের \(x=2\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[রাঃ ২০১০; দিঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \( x+2y=10, x-2y=10 \)।
[রাঃ ২০১০; দিঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \( x+2y=10, x-2y=10 \)।
সমাধানঃ
ধরি,
\(x^2+y^2=20\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=(2\sqrt{5})^2 ....(3)\)
\((3)\) এর কেন্দ্র \(O(0, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(r=2\sqrt{5}\)
\((3)\) নং বৃত্তের পরিধির উপর কোন বিন্দু \(x=2\) অর্থাৎ বিন্দুটির ভুজ \(2\)।
\(\therefore 2^2+y^2=(2\sqrt{5})^2\) ➜ \((3)\) নং বৃত্ত হতে।
\(\Rightarrow 4+y^2=20\)
\(\Rightarrow y^2=20-4\)
\(\Rightarrow y^2=16\)
\(\therefore y=\pm 4\)
\(\therefore 2 \) ভুজবিশিষ্ট বিন্দু \((2, \pm 4)\).
\((3)\) এর উপর \((2, \pm 4)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.2+y.\pm 4=(2\sqrt{5})^2\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, \( xx_1+yy_1=a^2\)
\(\Rightarrow 2x\pm 4y=20\)
\(\therefore x\pm 2y=10\) ➜ \(2\) দ্বারা ভাগ করে।
\(\therefore \) স্পর্শকের সমীকরণ, \(x+2y=10, x-2y=10\).
\(x^2+y^2=20\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=(2\sqrt{5})^2 ....(3)\)
\((3)\) এর কেন্দ্র \(O(0, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(r=2\sqrt{5}\)
\((3)\) নং বৃত্তের পরিধির উপর কোন বিন্দু \(x=2\) অর্থাৎ বিন্দুটির ভুজ \(2\)।
\(\therefore 2^2+y^2=(2\sqrt{5})^2\) ➜ \((3)\) নং বৃত্ত হতে।
\(\Rightarrow 4+y^2=20\)
\(\Rightarrow y^2=20-4\)
\(\Rightarrow y^2=16\)
\(\therefore y=\pm 4\)
\(\therefore 2 \) ভুজবিশিষ্ট বিন্দু \((2, \pm 4)\).
\((3)\) এর উপর \((2, \pm 4)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.2+y.\pm 4=(2\sqrt{5})^2\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, \( xx_1+yy_1=a^2\)
\(\Rightarrow 2x\pm 4y=20\)
\(\therefore x\pm 2y=10\) ➜ \(2\) দ্বারা ভাগ করে।
\(\therefore \) স্পর্শকের সমীকরণ, \(x+2y=10, x-2y=10\).
\(Q.2.(xiv)\) \(x^2+y^2-4x+6y-12=0\) বৃত্তের পরিধিস্থ \((6, -6)\) বিন্দুতে স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x-3y-42=0, 3x+4y+6=0 \)।
উত্তরঃ \(4x-3y-42=0, 3x+4y+6=0 \)।
সমাধানঃ
ধরি, 
\(x^2+y^2-4x+6y-12=0 .......(1)\) এখানে, \(2g=-4, 2f=6, c=-12\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-2, f=3, c=-12\)
\((6, -6)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.6+y.(-6)+(-2)(x+6)+3(y-6)-12=0\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, \( xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0\)
\(\Rightarrow 6x-6y-2x-12+3y-18-12=0\)
\(\Rightarrow 4x-3y-42=0\)
আবার,
\((6, -6)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ,
\((-2+6)y-(3-6)x+3.6-(-2).(-6)=0\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ, \((g+x_1)y-(f+y_1)x+fx_1-gy_1=0\)
\(\Rightarrow 4y+3x+18-12=0\)
\(\therefore 3x+4y+6=0\)
\(x^2+y^2-4x+6y-12=0 .......(1)\) এখানে, \(2g=-4, 2f=6, c=-12\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-2, f=3, c=-12\)
\((6, -6)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.6+y.(-6)+(-2)(x+6)+3(y-6)-12=0\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, \( xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0\)
\(\Rightarrow 6x-6y-2x-12+3y-18-12=0\)
\(\Rightarrow 4x-3y-42=0\)
আবার,
\((6, -6)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ,
\((-2+6)y-(3-6)x+3.6-(-2).(-6)=0\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ, \((g+x_1)y-(f+y_1)x+fx_1-gy_1=0\)
\(\Rightarrow 4y+3x+18-12=0\)
\(\therefore 3x+4y+6=0\)
\(Q.2.(xv)\) মূলবিন্দু হতে \((1, 2)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \(2\), বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০৬, ২০১০ ;চঃ, যঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2x-4y+4=0 \)।
[ঢাঃ ২০০৬, ২০১০ ;চঃ, যঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2x-4y+4=0 \)।
সমাধানঃ
ধরি, 
ব্যাসার্ধ \(r\)
দেওয়া আছে,
কেন্দ্র \(C(1, 2)\)
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-1)^2+(y-2)^2=r^2 .......(1)\)
মুলবিন্দু \(O(0, 0)\) হতে অঙ্কিত স্পর্শক \(OT=2\)।
আবার,
\(OC=\sqrt{(0-1)^2+(0-2)^2}\)
\(=\sqrt{1+4}\)
\(=\sqrt{5}\)
এখানে,
\(OT\perp CT\)
\(\triangle OCT\) সমকোণী।
\(\therefore CT^2+OT^2=OC^2\)
\(\Rightarrow r^2+2^2=(\sqrt{5})^2\)
\(\Rightarrow r^2+4=5\)
\(\Rightarrow r^2=5-4\)
\(\therefore r^2=1\)
\(r^2\) এর মাণ \((1)\) এ বসিয়ে,
\((x-1)^2+(y-2)^2=1\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2-4y+4-1=0\)
\(\therefore x^2+y^2-2x-4y+4=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
ব্যাসার্ধ \(r\)
দেওয়া আছে,
কেন্দ্র \(C(1, 2)\)
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-1)^2+(y-2)^2=r^2 .......(1)\)
মুলবিন্দু \(O(0, 0)\) হতে অঙ্কিত স্পর্শক \(OT=2\)।
আবার,
\(OC=\sqrt{(0-1)^2+(0-2)^2}\)
\(=\sqrt{1+4}\)
\(=\sqrt{5}\)
এখানে,
\(OT\perp CT\)
\(\triangle OCT\) সমকোণী।
\(\therefore CT^2+OT^2=OC^2\)
\(\Rightarrow r^2+2^2=(\sqrt{5})^2\)
\(\Rightarrow r^2+4=5\)
\(\Rightarrow r^2=5-4\)
\(\therefore r^2=1\)
\(r^2\) এর মাণ \((1)\) এ বসিয়ে,
\((x-1)^2+(y-2)^2=1\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2-4y+4-1=0\)
\(\therefore x^2+y^2-2x-4y+4=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.2.(xvi)\) \((1, -2)\) বিন্দু থেকে \(x^2+y^2-4x=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ ও দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y+2=0, 4x+3y+2=0; 1 \)।
উত্তরঃ \(y+2=0, 4x+3y+2=0; 1 \)।
সমাধানঃ
ধরি, 
\(x^2+y^2-4x=0 ......(1)\)
এখানে,
\(2g=-4, 2f=0, c=0\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-2, f=0, c=0\)
\((1, -2)\) বিন্দু থেকে \((1)\) নং বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ,
\((x^2+y^2-4x)\{1^2+(-2)^2-4.1\}\)\(=\{x.1+y.(-2)+(-2)(x+1)\}^2\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ, \((x^2+y^2+2gx+2fy+c)(x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c)\)\(=\{x.x_1+y.y_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c\}^2\)
\(\Rightarrow (x^2+y^2-4x)\{1+4-4\}\)\(=\{x-2y-2x-2\}^2\)
\(\Rightarrow (x^2+y^2-4x).1\)\(=\{-x-2y-2\}^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x=(x+2y+2)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x=x^2+4y^2+4+4xy+8y+4x\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x-x^2-4y^2-4-4xy-8y-4x\)
\(\Rightarrow -3y^2-4-4xy-8x-8y=0\)
\(\Rightarrow 3y^2+4xy+8x+8y+4=0\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 3y^2+4xy+6y+8x+2y+4=0\)
\(\Rightarrow y(3y+4x+2)+2(4x+3y+2)=0\)
\(\Rightarrow (3y+4x+2)(y+2)=0\)
\(\therefore 4x+3y+2=0, y+2=0\)
\(\therefore \) স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ, \(y+2=0, 4x+3y+2=0\)
আবার, স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \(=\sqrt{1^2+(-2)^2-4.1}\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য , \(=\sqrt{x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c}\)
\(=\sqrt{1+4-4}\)
\(=\sqrt{1}\)
\(=1\)
\(x^2+y^2-4x=0 ......(1)\)
এখানে,
\(2g=-4, 2f=0, c=0\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-2, f=0, c=0\)
\((1, -2)\) বিন্দু থেকে \((1)\) নং বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ,
\((x^2+y^2-4x)\{1^2+(-2)^2-4.1\}\)\(=\{x.1+y.(-2)+(-2)(x+1)\}^2\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ, \((x^2+y^2+2gx+2fy+c)(x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c)\)\(=\{x.x_1+y.y_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c\}^2\)
\(\Rightarrow (x^2+y^2-4x)\{1+4-4\}\)\(=\{x-2y-2x-2\}^2\)
\(\Rightarrow (x^2+y^2-4x).1\)\(=\{-x-2y-2\}^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x=(x+2y+2)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x=x^2+4y^2+4+4xy+8y+4x\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x-x^2-4y^2-4-4xy-8y-4x\)
\(\Rightarrow -3y^2-4-4xy-8x-8y=0\)
\(\Rightarrow 3y^2+4xy+8x+8y+4=0\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 3y^2+4xy+6y+8x+2y+4=0\)
\(\Rightarrow y(3y+4x+2)+2(4x+3y+2)=0\)
\(\Rightarrow (3y+4x+2)(y+2)=0\)
\(\therefore 4x+3y+2=0, y+2=0\)
\(\therefore \) স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ, \(y+2=0, 4x+3y+2=0\)
আবার, স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \(=\sqrt{1^2+(-2)^2-4.1}\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য , \(=\sqrt{x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c}\)
\(=\sqrt{1+4-4}\)
\(=\sqrt{1}\)
\(=1\)
\(Q.2.(xvii)\) দেখাও যে, \(12x+5y-4=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-6x-8y+9=0\)বৃত্তের একটি স্পর্শক; এ বৃত্তের যে ব্যাসটি স্পর্শবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5x-12y+33=0 \)।
উত্তরঃ \(5x-12y+33=0 \)।
সমাধানঃ
ধরি, 
\(12x+5y-4=0 .......(1)\)
\(x^2+y^2-6x-8y+9=0 ....(2)\)
এখানে,
\(2g=-6, 2f=-8, c=9\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-3, f=-4, c=9\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(3, 4)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2-9}\)
\(=\sqrt{9+16-9}\)
\(=\sqrt{16}\)
\(=4\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
কেন্দ্র \(C(3, 4)\) হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{|12.3+5.4-4|}{\sqrt{12^2+5^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|36+20-4|}{\sqrt{144+25}}\)
\(=\frac{52}{\sqrt{169}}\)
\(=\frac{52}{13}\)
\(=4=r=\)ব্যাসার্ধ ।
\((1)\) সরলরেখাটি \((2)\) বৃত্তকে স্পর্শ করে।
\((1)\) নং সরলরেখার উপর লম্ব যে কোন সরলরেখার সমীকরণ,
\(5x-12y+k=0 .......(3)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখা \(C(3, 4)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore 5.3-12.4+k=0\) ➜ ব্যাস, বৃত্তের কেন্দ্রগামী এবং স্পর্শবিন্দুতে স্পর্শকের উপর লম্ব হয়।
\(\Rightarrow 15-48+k=0\)
\(\Rightarrow -33+k=0\)
\(\therefore k=33\)
\(k\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(5x-12y+33=0\)
\(12x+5y-4=0 .......(1)\)
\(x^2+y^2-6x-8y+9=0 ....(2)\)
এখানে,
\(2g=-6, 2f=-8, c=9\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-3, f=-4, c=9\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(3, 4)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2-9}\)
\(=\sqrt{9+16-9}\)
\(=\sqrt{16}\)
\(=4\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
কেন্দ্র \(C(3, 4)\) হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{|12.3+5.4-4|}{\sqrt{12^2+5^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|36+20-4|}{\sqrt{144+25}}\)
\(=\frac{52}{\sqrt{169}}\)
\(=\frac{52}{13}\)
\(=4=r=\)ব্যাসার্ধ ।
\((1)\) সরলরেখাটি \((2)\) বৃত্তকে স্পর্শ করে।
\((1)\) নং সরলরেখার উপর লম্ব যে কোন সরলরেখার সমীকরণ,
\(5x-12y+k=0 .......(3)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখা \(C(3, 4)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore 5.3-12.4+k=0\) ➜ ব্যাস, বৃত্তের কেন্দ্রগামী এবং স্পর্শবিন্দুতে স্পর্শকের উপর লম্ব হয়।
\(\Rightarrow 15-48+k=0\)
\(\Rightarrow -33+k=0\)
\(\therefore k=33\)
\(k\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(5x-12y+33=0\)
\(Q.2.(xviii)\) মূলবিন্দুগামী একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার একটি ব্যাস \(2y=3x\) এবং একটি স্পর্শক \(2x+3y+13=0\)।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}+2x+3y=0 \)।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}+2x+3y=0 \)।
সমাধানঃ
ধরি, 
\(2y=3x ........(1)\)
\(2x+3y+13=0 ......(2)\)
মূলবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ ,
\(x^2+y^2+2gx+2fy=0 .......(3)\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2}\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\), \((1)\) নং সরলরেখার উপর অবস্থিত। ➜ \(\because (1)\) নং সরলরেখা বৃত্তটির ব্যাস।
\(\therefore 2(-f)=3(-g)\)
\(\Rightarrow -2f=-3g\)
\(\Rightarrow f=\frac{-3g}{-2}\)
\(\Rightarrow f=\frac{3g}{2} .......(4)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \((3)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((2)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
\(\frac{|2(-g)+3(-f)+13|}{\sqrt{2^2+3^2}}=\sqrt{g^2+f^2}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|-2g-3f+13|}{\sqrt{4+9}}=\sqrt{g^2+f^2}\)
\(\Rightarrow \frac{|2g+3(\frac{3g}{2})-13|}{\sqrt{13}}=\sqrt{g^2+(\frac{3g}{2})^2}\) ➜ \((4)\) নং এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow \frac{|2g+\frac{9g}{2}-13|}{\sqrt{13}}=\sqrt{g^2+\frac{9g^2}{4}}\)
\(\Rightarrow \frac{|\frac{4g+9g-26}{2}|}{\sqrt{13}}=\sqrt{\frac{4g^2+9g^2}{4}}\)
\(\Rightarrow \frac{|\frac{13g-26}{2}|}{\sqrt{13}}=\sqrt{\frac{13g^2}{4}}\)
\(\Rightarrow |\frac{13g-26}{2}|=\sqrt{13}\sqrt{\frac{13g^2}{4}}\)
\(\Rightarrow \frac{(13g-26)^2}{4}=13\left(\frac{13g^2}{4}\right)\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{13^2(g-2)^2}{4}=13^2\left(\frac{g^2}{4}\right)\)
\(\Rightarrow (g-2)^2=g^2\)
\(\Rightarrow g^2-4g+4=g^2\)
\(\Rightarrow -4g+4=0\)
\(\Rightarrow -4g=-4\)
\(\therefore g=1\)
\(\therefore f=\frac{3}{2}\) ➜ \((4)\) নং এর সাহায্যে।
\(g, f\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(x^2+y^2+2.1.x+2.\frac{3}{2}.y=0\)
\(\therefore x^2+y^2+2x+3y=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
\(2y=3x ........(1)\)
\(2x+3y+13=0 ......(2)\)
মূলবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ ,
\(x^2+y^2+2gx+2fy=0 .......(3)\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2}\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\), \((1)\) নং সরলরেখার উপর অবস্থিত। ➜ \(\because (1)\) নং সরলরেখা বৃত্তটির ব্যাস।
\(\therefore 2(-f)=3(-g)\)
\(\Rightarrow -2f=-3g\)
\(\Rightarrow f=\frac{-3g}{-2}\)
\(\Rightarrow f=\frac{3g}{2} .......(4)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \((3)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((2)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
\(\frac{|2(-g)+3(-f)+13|}{\sqrt{2^2+3^2}}=\sqrt{g^2+f^2}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|-2g-3f+13|}{\sqrt{4+9}}=\sqrt{g^2+f^2}\)
\(\Rightarrow \frac{|2g+3(\frac{3g}{2})-13|}{\sqrt{13}}=\sqrt{g^2+(\frac{3g}{2})^2}\) ➜ \((4)\) নং এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow \frac{|2g+\frac{9g}{2}-13|}{\sqrt{13}}=\sqrt{g^2+\frac{9g^2}{4}}\)
\(\Rightarrow \frac{|\frac{4g+9g-26}{2}|}{\sqrt{13}}=\sqrt{\frac{4g^2+9g^2}{4}}\)
\(\Rightarrow \frac{|\frac{13g-26}{2}|}{\sqrt{13}}=\sqrt{\frac{13g^2}{4}}\)
\(\Rightarrow |\frac{13g-26}{2}|=\sqrt{13}\sqrt{\frac{13g^2}{4}}\)
\(\Rightarrow \frac{(13g-26)^2}{4}=13\left(\frac{13g^2}{4}\right)\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{13^2(g-2)^2}{4}=13^2\left(\frac{g^2}{4}\right)\)
\(\Rightarrow (g-2)^2=g^2\)
\(\Rightarrow g^2-4g+4=g^2\)
\(\Rightarrow -4g+4=0\)
\(\Rightarrow -4g=-4\)
\(\therefore g=1\)
\(\therefore f=\frac{3}{2}\) ➜ \((4)\) নং এর সাহায্যে।
\(g, f\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(x^2+y^2+2.1.x+2.\frac{3}{2}.y=0\)
\(\therefore x^2+y^2+2x+3y=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.2.(xix)\) \(2x+3y-5=0\) রেখাটি \((3, 4)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের স্পর্শক। বৃত্তটি \(Y\) অক্ষ থেকে যে পরিমাণ অংশ ছেদ করে তার পরিমাণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০৪; কুঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \( 4 \)।
[ যঃ ২০০৪; কুঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \( 4 \)।
সমাধানঃ
ধরি, 
\(2x+3y-5=0 .....(1)\)
ব্যাসার্ধ \(r\)
দেওয়া আছে,
কেন্দ্র \((3, 4)\)
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-3)^2+(y-4)^2=r^2 .......(2)\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
\(\frac{|2.3+3.4-5|}{\sqrt{2^2+3^2}}=r\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|6+12-5|}{\sqrt{4+9}}=r\)
\(\Rightarrow \frac{13}{\sqrt{13}}=r\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{13}\times \sqrt{13}}{\sqrt{13}}=r\)
\(\Rightarrow \sqrt{13}=r\)
\(\therefore r=\sqrt{13}\)
\(r\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\((x-3)^2+(y-4)^2=(\sqrt{13})^2 \)
\(\Rightarrow x^2-6x+9+y^2-8y+16=13 \)
\(\Rightarrow x^2+y^2-6x-8y+25-13=0 \)
\(\therefore x^2+y^2-6x-8y+12=0 .........(3)\)
এখানে,
\(2g=-6, 2f=-8, c=12\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-3, f=-4, c=12\)
\((3)\) নং বৃত্ত দ্বারা \(\) অক্ষের ছেদিতাংশের পরিমাণ,
\(=2\sqrt{f^2-c}\)
\(=2\sqrt{(-4)^2-12}\)
\(=2\sqrt{16-12}\)
\(=2\sqrt{4}\)
\(=2.2\)
\(=4\)
ইহাই নির্ণেয় ছেদিতাংশের মাণ।
\(2x+3y-5=0 .....(1)\)
ব্যাসার্ধ \(r\)
দেওয়া আছে,
কেন্দ্র \((3, 4)\)
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-3)^2+(y-4)^2=r^2 .......(2)\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
\(\frac{|2.3+3.4-5|}{\sqrt{2^2+3^2}}=r\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|6+12-5|}{\sqrt{4+9}}=r\)
\(\Rightarrow \frac{13}{\sqrt{13}}=r\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{13}\times \sqrt{13}}{\sqrt{13}}=r\)
\(\Rightarrow \sqrt{13}=r\)
\(\therefore r=\sqrt{13}\)
\(r\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\((x-3)^2+(y-4)^2=(\sqrt{13})^2 \)
\(\Rightarrow x^2-6x+9+y^2-8y+16=13 \)
\(\Rightarrow x^2+y^2-6x-8y+25-13=0 \)
\(\therefore x^2+y^2-6x-8y+12=0 .........(3)\)
এখানে,
\(2g=-6, 2f=-8, c=12\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-3, f=-4, c=12\)
\((3)\) নং বৃত্ত দ্বারা \(\) অক্ষের ছেদিতাংশের পরিমাণ,
\(=2\sqrt{f^2-c}\)
\(=2\sqrt{(-4)^2-12}\)
\(=2\sqrt{16-12}\)
\(=2\sqrt{4}\)
\(=2.2\)
\(=4\)
ইহাই নির্ণেয় ছেদিতাংশের মাণ।
\(Q.2.(xx)\) \((3, -1)\) বিন্দু দিয়ে গমনকারী বৃত্ত \(X\)অক্ষকে \((2, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে । বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। মূলবিন্দু দিয়ে গমনকারী অপর স্পর্শকটির সমীকরণও নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ, কুঃ ২০১২;সিঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(x^2+y^2-4x+2y+4=0; 4x+3y=0 \)।
[ ঢাঃ, কুঃ ২০১২;সিঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(x^2+y^2-4x+2y+4=0; 4x+3y=0 \)।
সমাধানঃ
ধরি, 
বৃত্তটির কেন্দ্র \(C(h, k)\)
বৃত্তটি \(X\)অক্ষকে স্পর্শ করে ।
\(\therefore \) বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(=h\) ➜ কোনো বৃত্ত \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করলে, তার কেন্দ্রের \(y\) স্থানাঙ্ক ব্যাসার্ধের সমান হয়।
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=k^2 .....(1)\)
\((1)\) নং বৃত্ত \((3, -1)\) ও \((2, 0)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\((3-h)^2+(-1-k)^2=k^2\)
\((3-h)^2+(1+k)^2=k^2 .......(2)\)
আবার,
\((2-h)^2+(0-k)^2=k^2\)
\(\Rightarrow (2-h)^2+k^2=k^2\)
\(\Rightarrow (2-h)^2=0\)
\(\Rightarrow 2-h=0\)
\(\Rightarrow -h=-2\)
\(\therefore h=2\)
\((2)\) হতে,
\((3-2)^2+(1+k)^2=k^2\)
\(\Rightarrow 1^2+(1+k)^2-k^2=0\)
\(\Rightarrow 1+(1+k+k)(1+k-k)=0\)
\(\Rightarrow 1+(1+2k).1=0\)
\(\Rightarrow 1+1+2k=0\)
\(\Rightarrow 2+2k=0\)
\(\Rightarrow 2k=-2\)
\(\Rightarrow k=-1\)
\(h, k\) এর মাণ \((1)\) এ বসিয়ে,
\((x-2)^2+(y+1)^2=(-1)^2\)
\(\Rightarrow x^2-4x+4+y^2+2y+1=1\)
\(\therefore x^2+y^2-4x+2y+4=0 ........(3)\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
এখানে,
\(2g=-4, 2f=2, c=4\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-2, f=1, c=4\)
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) বিন্দু হতে \((3)\) এর উপর অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ,
\((x^2+y^2-4x+2y+4)(0^2+0^2-4.0+2.0+4)\)\(=\{x.0+y.0+(-2)(x+0)+1(y+0)+4\}^2\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ, \((x^2+y^2+2gx+2fy+c)(x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c)\)\(=\{x.x_1+y.y_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c\}^2\)
\(\Rightarrow (x^2+y^2-4x+2y+4).4=(-2x+y+4)^2\)
\(\Rightarrow 4x^2+4y^2-16x+8y+16=4x^2+y^2+16-4xy+8y-16x\)
\(\Rightarrow 4y^2-y^2+4xy=0\)
\(\Rightarrow 3y^2+4xy=0\)
\(\Rightarrow y(3y+4x)=0\)
\(\therefore y=0, 4x+3y=0\)
\(\therefore \) মূলবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী অপর স্পর্শকটির সমীকরণ, \(4x+3y=0\)
বৃত্তটির কেন্দ্র \(C(h, k)\)
বৃত্তটি \(X\)অক্ষকে স্পর্শ করে ।
\(\therefore \) বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(=h\) ➜ কোনো বৃত্ত \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করলে, তার কেন্দ্রের \(y\) স্থানাঙ্ক ব্যাসার্ধের সমান হয়।
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=k^2 .....(1)\)
\((1)\) নং বৃত্ত \((3, -1)\) ও \((2, 0)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\((3-h)^2+(-1-k)^2=k^2\)
\((3-h)^2+(1+k)^2=k^2 .......(2)\)
আবার,
\((2-h)^2+(0-k)^2=k^2\)
\(\Rightarrow (2-h)^2+k^2=k^2\)
\(\Rightarrow (2-h)^2=0\)
\(\Rightarrow 2-h=0\)
\(\Rightarrow -h=-2\)
\(\therefore h=2\)
\((2)\) হতে,
\((3-2)^2+(1+k)^2=k^2\)
\(\Rightarrow 1^2+(1+k)^2-k^2=0\)
\(\Rightarrow 1+(1+k+k)(1+k-k)=0\)
\(\Rightarrow 1+(1+2k).1=0\)
\(\Rightarrow 1+1+2k=0\)
\(\Rightarrow 2+2k=0\)
\(\Rightarrow 2k=-2\)
\(\Rightarrow k=-1\)
\(h, k\) এর মাণ \((1)\) এ বসিয়ে,
\((x-2)^2+(y+1)^2=(-1)^2\)
\(\Rightarrow x^2-4x+4+y^2+2y+1=1\)
\(\therefore x^2+y^2-4x+2y+4=0 ........(3)\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
এখানে,
\(2g=-4, 2f=2, c=4\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-2, f=1, c=4\)
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) বিন্দু হতে \((3)\) এর উপর অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ,
\((x^2+y^2-4x+2y+4)(0^2+0^2-4.0+2.0+4)\)\(=\{x.0+y.0+(-2)(x+0)+1(y+0)+4\}^2\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ, \((x^2+y^2+2gx+2fy+c)(x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c)\)\(=\{x.x_1+y.y_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c\}^2\)
\(\Rightarrow (x^2+y^2-4x+2y+4).4=(-2x+y+4)^2\)
\(\Rightarrow 4x^2+4y^2-16x+8y+16=4x^2+y^2+16-4xy+8y-16x\)
\(\Rightarrow 4y^2-y^2+4xy=0\)
\(\Rightarrow 3y^2+4xy=0\)
\(\Rightarrow y(3y+4x)=0\)
\(\therefore y=0, 4x+3y=0\)
\(\therefore \) মূলবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী অপর স্পর্শকটির সমীকরণ, \(4x+3y=0\)
\(Q.2.(xxi)\) \(x^2+y^2=45\) বৃত্তের \((6, -3)\) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক \(x^2+y^2-4x+2y-35=0\) বৃত্তকে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে। দেখাও যে, \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক পরস্পর লম্ব ।
সমাধানঃ
ধরি, 
\(x^2+y^2-45=0 .....(1)\)
\(x^2+y^2-4x+2y-35=0 ......(2)\)
এখানে,
\(2g=-4, 2f=2, c=-35\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-2, f=1, c=-35\)
\((1)\) নং বৃত্তের \((6, -3)\) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.6+y.(-3)-45=0\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, \( xx_1+yy_1-r^2=0\)
\(\Rightarrow 6x-3y-45=0\)
\(\Rightarrow 2x-y-15=0\) ➜ উভয় পার্শে \(3\) ভাগ করে।
\(\therefore y=2x-15 ......(3)\)
\((2)\) ও \((3)\) হতে,
\(x^2+(2x-15)^2-4x+2(2x-15)-35=0\)
\(\Rightarrow x^2+4x^2-60x+225-4x+4x-30-35=0\)
\(\Rightarrow 5x^2-60x+160=0\)
\(\Rightarrow x^2-12x+32=0\) ➜ উভয় পার্শে \(5\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow x^2-8x-4x+32=0\)
\(\Rightarrow x(x-8)-4(x-8)=0\)
\(\Rightarrow (x-8)(x-4)=0\)
\(\Rightarrow x-8=0, x-4=0\)
\(\therefore x=8, x=4\)
\((3)\) হতে,
\(x=8\Rightarrow y=1, x=4\Rightarrow y=-7\)
\(\therefore A(8, 1)\) এবং \(B(4, -7)\)
\((2)\) নং বৃত্তের \(A(8, 1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.8+y.1+(-2)(x+8)+1(y+1)-35=0\)
\(\Rightarrow 8x+y-2x-16+y+1-35=0\)
\(\Rightarrow 6x+2y-50=0\)
\(\Rightarrow 3x+y-25=0 .......(4)\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\((2)\) নং বৃত্তের \(B(4, -7)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.4+y.(-7)+(-2)(x+4)+1(y-7)-35=0\)
\(\Rightarrow 4x-7y-2x-8+y-7-35=0\)
\(\Rightarrow 2x-6y-50=0\)
\(\Rightarrow x-3y-25=0 .......(5)\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\((4)\) এর ঢাল \(m_1=-\frac{3}{1}=-3\) ➜ ঢাল \(m=-\frac{a}{b}\)
\((5)\) এর ঢাল \(m_2=-\frac{1}{-3}=\frac{1}{3}\)
\(m_1\times m_2=-3\times \frac{1}{3}=-1\)
\(\therefore (4)\) ও \((5)\) স্পর্শকদ্বয় পরস্পর লম্ব।
[ দেখানো হলো।]
\(x^2+y^2-45=0 .....(1)\)
\(x^2+y^2-4x+2y-35=0 ......(2)\)
এখানে,
\(2g=-4, 2f=2, c=-35\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-2, f=1, c=-35\)
\((1)\) নং বৃত্তের \((6, -3)\) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.6+y.(-3)-45=0\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, \( xx_1+yy_1-r^2=0\)
\(\Rightarrow 6x-3y-45=0\)
\(\Rightarrow 2x-y-15=0\) ➜ উভয় পার্শে \(3\) ভাগ করে।
\(\therefore y=2x-15 ......(3)\)
\((2)\) ও \((3)\) হতে,
\(x^2+(2x-15)^2-4x+2(2x-15)-35=0\)
\(\Rightarrow x^2+4x^2-60x+225-4x+4x-30-35=0\)
\(\Rightarrow 5x^2-60x+160=0\)
\(\Rightarrow x^2-12x+32=0\) ➜ উভয় পার্শে \(5\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow x^2-8x-4x+32=0\)
\(\Rightarrow x(x-8)-4(x-8)=0\)
\(\Rightarrow (x-8)(x-4)=0\)
\(\Rightarrow x-8=0, x-4=0\)
\(\therefore x=8, x=4\)
\((3)\) হতে,
\(x=8\Rightarrow y=1, x=4\Rightarrow y=-7\)
\(\therefore A(8, 1)\) এবং \(B(4, -7)\)
\((2)\) নং বৃত্তের \(A(8, 1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.8+y.1+(-2)(x+8)+1(y+1)-35=0\)
\(\Rightarrow 8x+y-2x-16+y+1-35=0\)
\(\Rightarrow 6x+2y-50=0\)
\(\Rightarrow 3x+y-25=0 .......(4)\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\((2)\) নং বৃত্তের \(B(4, -7)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.4+y.(-7)+(-2)(x+4)+1(y-7)-35=0\)
\(\Rightarrow 4x-7y-2x-8+y-7-35=0\)
\(\Rightarrow 2x-6y-50=0\)
\(\Rightarrow x-3y-25=0 .......(5)\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\((4)\) এর ঢাল \(m_1=-\frac{3}{1}=-3\) ➜ ঢাল \(m=-\frac{a}{b}\)
\((5)\) এর ঢাল \(m_2=-\frac{1}{-3}=\frac{1}{3}\)
\(m_1\times m_2=-3\times \frac{1}{3}=-1\)
\(\therefore (4)\) ও \((5)\) স্পর্শকদ্বয় পরস্পর লম্ব।
[ দেখানো হলো।]
অনুশীলনী \(4.B\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(Q.3.(i)\) \((3, 7)\) এবং \((9, 1)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাকে ব্যাস ধরে একটি বৃত্ত অঙ্কন করা হয়েছে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর এবং প্রমাণ কর যে, \(x+y=4\) রেখাটি ঐ বৃত্তের একটি স্পর্শক। স্পর্শবিন্দুটি নির্ণয় কর।
[ দিঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(x^2+y^2-12x-8y+34=0; (3, 1)\)।
\(Q.3.(ii)\) \((b, 0)\) বিন্দু হতে \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তের স্পর্শকের উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর সঞ্চারপথ নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \((x^{2}+y^{2}-bx)^2=a^2\{y^2+(b-x)^2\} \)।
\(Q.3.(iii)\) \(x^2+y^2=25\) বৃত্তের একটি স্পর্শক \(X\) অক্ষের সাথে \(60^o\) কোণ উৎপন্ন করে। স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y=\sqrt{3}x\pm 10\)।
\(Q.3.(iv)\)\(x^2+y^2=16\) বৃত্তের একটি স্পর্শক \(X\) অক্ষের সাথে \(30^o\) কোণ উৎপন্ন করে। স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চঃ২০১০; বঃ ২০১১; কুঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(\sqrt{3}y=x\pm 8\)।
\(Q.3.(v)\) \(x^2+y^2=(3x-4y)\) বৃত্তের একটি ব্যাস মূলবিন্দু দিয়ে যায়। ব্যাসটির সমীকরণ এবং মূলবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x+3y=0, 3x-4y=0\)।
\(Q.3.(vi)\) \(x^2+y^2=b(5x-12y)\) বৃত্তের একটি ব্যাস মূলবিন্দু দিয়ে যায়। ব্যাসটির সমীকরণ এবং মূলবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(12x+5y=0, 5x-12y=0\)।
\(Q.3.(vii)\) দেখাও যে, \(x-2y+1=0\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}-6x+6y-2=0\) বৃত্তের একটি স্পর্শক। এ বৃত্তের যে ব্যাসটি স্পর্শবিন্দুগামী তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+2y-3=0\)।
\(Q.3.(viii)\) দেখাও যে, \(x^2+y^2-2x+4y-31=0\) এবং \(x^2+y^2+4x-4y+7=0\) বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করে। সাধারণ স্পর্শক ও স্পর্শবিন্দু নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০১১]
উত্তরঃ \(3x-4y+19=0, (-\frac{13}{5}, \frac{14}{5}) \)।
\(Q.3.(ix)\) দেখাও যে, \(X\) অক্ষ \(x^2+y^2-6x-10y+9=0\) বৃত্তের একটি স্পর্শক। মূলবিন্দুগামী অপর স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(15x+8y=0\)।
\(Q.3.(x)\) \((-5, 4)\) বিন্দু থেকে \(x^{2}+y^{2}-2x-4y+1=0\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(y-4=0, 3x+4y-1=0 \)।
\(Q.3.(xi)\) দেখাও যে, \(y=3x+10\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}=10\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। স্পর্শবিন্দুটি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-3, 1)\)।
\(Q.3.(xii)\) \((-2, 3)\) বিন্দু হতে \(2x^{2}+2y^{2}=3\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\sqrt{\frac{23}{2}} \)।
\(Q.3.(xiii)\) \(3x+by-1=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-8x-2y+4=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। \(b\)এর মাণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১১; রাঃ ২০১২; ঢাঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(b=2, -\frac{1}{6}\)।
\(Q.3.(xiv)\) \(ax+2y-1=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-8x-2y+4=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। \(a\)এর মাণ নির্ণয় কর।
[রাঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(a=3, -\frac{17}{3} \)।
\(Q.3.(xv)\) দেখাও যে, \(x+2y=17\) রেখাটি \(x^2+y^2-2x-6y=10\) বৃত্তের একটি স্পর্শক এবং এ বৃত্তের যে ব্যাসটি স্পর্শবিন্দু দিয়ে অতিক্রম তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[রাঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \(2x-y+1=0 \)।
\(Q.3.(xvi)\) \((1, -1)\) বিন্দু থেকে \(2x^{2}+2y^{2}-x+3y+1=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১১, কুঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)।
\(Q.3.(xvii)\) \(\sqrt{2}\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুইটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যারা \(x+y+1=0\) রেখাকে স্পর্শ করে এবং যাদের কেন্দ্র \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2x-1=0\);\(x^{2}+y^{2}+6x+7=0\)।
\(Q.3.(xviii)\) \(x^{2}+y^{2}+2x+3y+1=0\) এবং \(x^{2}+y^{2}+4x+3y+2=0\) বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা যে বৃত্তের ব্যাস তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১১ ; বঃ, সিঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(2x^{2}+2y^{2}+2x+6y+1=0\)।
[ দিঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(x^2+y^2-12x-8y+34=0; (3, 1)\)।
\(Q.3.(ii)\) \((b, 0)\) বিন্দু হতে \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তের স্পর্শকের উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর সঞ্চারপথ নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \((x^{2}+y^{2}-bx)^2=a^2\{y^2+(b-x)^2\} \)।
\(Q.3.(iii)\) \(x^2+y^2=25\) বৃত্তের একটি স্পর্শক \(X\) অক্ষের সাথে \(60^o\) কোণ উৎপন্ন করে। স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y=\sqrt{3}x\pm 10\)।
\(Q.3.(iv)\)\(x^2+y^2=16\) বৃত্তের একটি স্পর্শক \(X\) অক্ষের সাথে \(30^o\) কোণ উৎপন্ন করে। স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চঃ২০১০; বঃ ২০১১; কুঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(\sqrt{3}y=x\pm 8\)।
\(Q.3.(v)\) \(x^2+y^2=(3x-4y)\) বৃত্তের একটি ব্যাস মূলবিন্দু দিয়ে যায়। ব্যাসটির সমীকরণ এবং মূলবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x+3y=0, 3x-4y=0\)।
\(Q.3.(vi)\) \(x^2+y^2=b(5x-12y)\) বৃত্তের একটি ব্যাস মূলবিন্দু দিয়ে যায়। ব্যাসটির সমীকরণ এবং মূলবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(12x+5y=0, 5x-12y=0\)।
\(Q.3.(vii)\) দেখাও যে, \(x-2y+1=0\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}-6x+6y-2=0\) বৃত্তের একটি স্পর্শক। এ বৃত্তের যে ব্যাসটি স্পর্শবিন্দুগামী তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+2y-3=0\)।
\(Q.3.(viii)\) দেখাও যে, \(x^2+y^2-2x+4y-31=0\) এবং \(x^2+y^2+4x-4y+7=0\) বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করে। সাধারণ স্পর্শক ও স্পর্শবিন্দু নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০১১]
উত্তরঃ \(3x-4y+19=0, (-\frac{13}{5}, \frac{14}{5}) \)।
\(Q.3.(ix)\) দেখাও যে, \(X\) অক্ষ \(x^2+y^2-6x-10y+9=0\) বৃত্তের একটি স্পর্শক। মূলবিন্দুগামী অপর স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(15x+8y=0\)।
\(Q.3.(x)\) \((-5, 4)\) বিন্দু থেকে \(x^{2}+y^{2}-2x-4y+1=0\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(y-4=0, 3x+4y-1=0 \)।
\(Q.3.(xi)\) দেখাও যে, \(y=3x+10\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}=10\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। স্পর্শবিন্দুটি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-3, 1)\)।
\(Q.3.(xii)\) \((-2, 3)\) বিন্দু হতে \(2x^{2}+2y^{2}=3\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\sqrt{\frac{23}{2}} \)।
\(Q.3.(xiii)\) \(3x+by-1=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-8x-2y+4=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। \(b\)এর মাণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১১; রাঃ ২০১২; ঢাঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(b=2, -\frac{1}{6}\)।
\(Q.3.(xiv)\) \(ax+2y-1=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-8x-2y+4=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। \(a\)এর মাণ নির্ণয় কর।
[রাঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(a=3, -\frac{17}{3} \)।
\(Q.3.(xv)\) দেখাও যে, \(x+2y=17\) রেখাটি \(x^2+y^2-2x-6y=10\) বৃত্তের একটি স্পর্শক এবং এ বৃত্তের যে ব্যাসটি স্পর্শবিন্দু দিয়ে অতিক্রম তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[রাঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \(2x-y+1=0 \)।
\(Q.3.(xvi)\) \((1, -1)\) বিন্দু থেকে \(2x^{2}+2y^{2}-x+3y+1=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১১, কুঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)।
\(Q.3.(xvii)\) \(\sqrt{2}\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুইটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যারা \(x+y+1=0\) রেখাকে স্পর্শ করে এবং যাদের কেন্দ্র \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2x-1=0\);\(x^{2}+y^{2}+6x+7=0\)।
\(Q.3.(xviii)\) \(x^{2}+y^{2}+2x+3y+1=0\) এবং \(x^{2}+y^{2}+4x+3y+2=0\) বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা যে বৃত্তের ব্যাস তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১১ ; বঃ, সিঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(2x^{2}+2y^{2}+2x+6y+1=0\)।
\(Q.3.(xix)\) \(3\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তের কেন্দ্র \(y=x-1\) রেখার উপর অবস্থিত এবং এটি \((7, 3)\) বিন্দুদিয়ে অতিক্রম করে। তার সমীকরণ নির্ণয় কর। দেখাও যে, এরূপ দুইটি বৃত্ত পাওয়া যায় এবং এদের একটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে।
উত্তরঃ \((x-4)^2+(y-3)^2=9; (x-7)^2+(y-6)^2=9\)।
\(Q.3.(xx)\) \(x^2+y^2+4x-2y+3=0\) ও \(x^2+y^2-4x+6y-21=0\) বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ এবং দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-y+3=0; 2\sqrt{2}\)।
\(Q.3.(xxi)\) নীচের বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করঃ
\(x^2+y^2-12x+16y-69=0\)
\(x^2+y^2-9x+12y-59=0\)
উত্তরঃ \(10\)।
\(Q.3.(xxii)\) \((3, -3)\) বিন্দু থেকে \(x^{2}+y^{2}+8x+4y-5=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ এবং দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x-4y=21, 4x+3y=3, 10\)।
\(Q.3.(xxiii)\) \(b\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্ত যার কেন্দ্রের ভুজ ও কটি উভয়ই ধনাত্মক , \(X\) অক্ষ এবং \(3y=4x\) সরলরেখাকে স্পর্শ করে। তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^2+y^2-4bx-2by+4b^2=0\)।
\(Q.3.(xxiv)\) \(x^{2}+y^{2}-6x+10y-21=0\) বৃত্তের একটি জ্যা-এর সমীকরণ ও দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর যার মধ্যবিন্দু \((1, -2)\) বিন্দুতে অবস্থিত।
উত্তরঃ \(2x-3y-8=0, 2\sqrt{42}\)।
\(Q.3.(xxv)\) \(x^{2}+y^{2}+6x+2y+6=0\) এবং \(x^{2}+y^{2}+8x+y+10=0\) বৃত্তের সাধারণ জ্যা যে বৃত্তের ব্যাস তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[বঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(5(x^{2}+y^{2})+26x+12y+22=0\)।
\(Q.3.(xxvi)\) \((x-p)^2+(y-q)^2=r^2\) ও \((x-q)^2+(y-p)^2=r^2\) বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\sqrt{4r^2-2(p-q)^2}\)।
\(Q.3.(xxvii)\) \(x^2+y^2-4x+6y-36=0\) ও \(x^2+y^2-5x+8y-43=0\) বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ এবং দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-y+3=0; 2\sqrt{2}\)।
\(Q.3.(xxviii)\) দেখাও যে, \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের উপরস্থ যে কোন বিন্দু হতে \(x^2+y^2+2gx+2fy+\acute c=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \(\sqrt{\acute c-c}\)।
\(Q.3.(xxix)\) \(x=0\), \(y=0\) এবং \(x=a\) রেখা তিনটিকে স্পর্শ করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০৫; কুঃ ২০১১]
উত্তরঃ \(x^2+y^2-ax\pm ay+\frac{1}{4}a^2=0\)
\(Q.3.(xxx)\) \(\sqrt{2}\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে এবং যার কেন্দ্র তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত ।
উত্তরঃ \(x^2+y^2+2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y+2=0\)
\(Q.3.(xxxi)\) \((-5, -6)\) বিন্দুগামী একটি বৃত্ত \(3x+4y-11=0\) রেখাকে \((1, 2)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^2+y^2+4x+4y-17=0\)
\(Q.3.(xxxii)\) \(12x+5y=212\) সরলরেখা হতে \(x^2+y^2-2x-2y=167\) বৃত্তের উপর যে বিন্দুটির দূরত্ব ক্ষুদ্রতম তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((13, 6)\) .
\(Q.3.(xxxiii)\) \(x^2+y^2=r^2\) বৃত্তের যেসব জ্যা \((\alpha, \beta)\) বিন্দুগামী তাদের মধ্যবিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x(x-\alpha)+y(y-\beta)=0\) .
\(Q.3.(xxxiv)\) \((h, k)\) বিন্দু থেকে \(x^2+y^2=12\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \(x^2+y^2+5x+5y=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ। \((h, k)\) বিন্দুটির সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x^2+3y^2+20x+20y+12=0\)।
\(Q.3.(xxxv)\) যেসব বিন্দু থেকে \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক দুইটি পরস্পর লম্ব হয় তাদের সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^2+y^2=2a^2\)।
\(Q.3.(xxxvi)\) \(3x-y-1=0\) সরলরেখা \((x-2)^2+y^2=5\) বৃত্তকে যে সূক্ষ্ণকোণে ছেদ করে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(45^o\)।
\(Q.3.(xxxvii)\) দেখাও যে, \(P(h, k)\) বিন্দু থেকে মূলবিন্দুগামী সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর সঞ্চারপথ একটি বৃত্ত।
\(Q.3.(xxxviii)\) দেখাও যে, \(x^2+y^2-2ax-2ay+a^2=0\) বৃত্তটি উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে। স্পর্শ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+y=a, \sqrt{2}a\)
উত্তরঃ \((x-4)^2+(y-3)^2=9; (x-7)^2+(y-6)^2=9\)।
\(Q.3.(xx)\) \(x^2+y^2+4x-2y+3=0\) ও \(x^2+y^2-4x+6y-21=0\) বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ এবং দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-y+3=0; 2\sqrt{2}\)।
\(Q.3.(xxi)\) নীচের বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করঃ
\(x^2+y^2-12x+16y-69=0\)
\(x^2+y^2-9x+12y-59=0\)
উত্তরঃ \(10\)।
\(Q.3.(xxii)\) \((3, -3)\) বিন্দু থেকে \(x^{2}+y^{2}+8x+4y-5=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ এবং দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x-4y=21, 4x+3y=3, 10\)।
\(Q.3.(xxiii)\) \(b\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্ত যার কেন্দ্রের ভুজ ও কটি উভয়ই ধনাত্মক , \(X\) অক্ষ এবং \(3y=4x\) সরলরেখাকে স্পর্শ করে। তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^2+y^2-4bx-2by+4b^2=0\)।
\(Q.3.(xxiv)\) \(x^{2}+y^{2}-6x+10y-21=0\) বৃত্তের একটি জ্যা-এর সমীকরণ ও দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর যার মধ্যবিন্দু \((1, -2)\) বিন্দুতে অবস্থিত।
উত্তরঃ \(2x-3y-8=0, 2\sqrt{42}\)।
\(Q.3.(xxv)\) \(x^{2}+y^{2}+6x+2y+6=0\) এবং \(x^{2}+y^{2}+8x+y+10=0\) বৃত্তের সাধারণ জ্যা যে বৃত্তের ব্যাস তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[বঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(5(x^{2}+y^{2})+26x+12y+22=0\)।
\(Q.3.(xxvi)\) \((x-p)^2+(y-q)^2=r^2\) ও \((x-q)^2+(y-p)^2=r^2\) বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\sqrt{4r^2-2(p-q)^2}\)।
\(Q.3.(xxvii)\) \(x^2+y^2-4x+6y-36=0\) ও \(x^2+y^2-5x+8y-43=0\) বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ এবং দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-y+3=0; 2\sqrt{2}\)।
\(Q.3.(xxviii)\) দেখাও যে, \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের উপরস্থ যে কোন বিন্দু হতে \(x^2+y^2+2gx+2fy+\acute c=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \(\sqrt{\acute c-c}\)।
\(Q.3.(xxix)\) \(x=0\), \(y=0\) এবং \(x=a\) রেখা তিনটিকে স্পর্শ করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০৫; কুঃ ২০১১]
উত্তরঃ \(x^2+y^2-ax\pm ay+\frac{1}{4}a^2=0\)
\(Q.3.(xxx)\) \(\sqrt{2}\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে এবং যার কেন্দ্র তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত ।
উত্তরঃ \(x^2+y^2+2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y+2=0\)
\(Q.3.(xxxi)\) \((-5, -6)\) বিন্দুগামী একটি বৃত্ত \(3x+4y-11=0\) রেখাকে \((1, 2)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^2+y^2+4x+4y-17=0\)
\(Q.3.(xxxii)\) \(12x+5y=212\) সরলরেখা হতে \(x^2+y^2-2x-2y=167\) বৃত্তের উপর যে বিন্দুটির দূরত্ব ক্ষুদ্রতম তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((13, 6)\) .
\(Q.3.(xxxiii)\) \(x^2+y^2=r^2\) বৃত্তের যেসব জ্যা \((\alpha, \beta)\) বিন্দুগামী তাদের মধ্যবিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x(x-\alpha)+y(y-\beta)=0\) .
\(Q.3.(xxxiv)\) \((h, k)\) বিন্দু থেকে \(x^2+y^2=12\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \(x^2+y^2+5x+5y=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ। \((h, k)\) বিন্দুটির সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x^2+3y^2+20x+20y+12=0\)।
\(Q.3.(xxxv)\) যেসব বিন্দু থেকে \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক দুইটি পরস্পর লম্ব হয় তাদের সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^2+y^2=2a^2\)।
\(Q.3.(xxxvi)\) \(3x-y-1=0\) সরলরেখা \((x-2)^2+y^2=5\) বৃত্তকে যে সূক্ষ্ণকোণে ছেদ করে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(45^o\)।
\(Q.3.(xxxvii)\) দেখাও যে, \(P(h, k)\) বিন্দু থেকে মূলবিন্দুগামী সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর সঞ্চারপথ একটি বৃত্ত।
\(Q.3.(xxxviii)\) দেখাও যে, \(x^2+y^2-2ax-2ay+a^2=0\) বৃত্তটি উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে। স্পর্শ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+y=a, \sqrt{2}a\)
\(Q.3.(i)\) \((3, 7)\) এবং \((9, 1)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাকে ব্যাস ধরে একটি বৃত্ত অঙ্কন করা হয়েছে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর এবং প্রমাণ কর যে, \(x+y=4\) রেখাটি ঐ বৃত্তের একটি স্পর্শক। স্পর্শবিন্দুটি নির্ণয় কর।
[ দিঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(x^2+y^2-12x-8y+34=0; (3, 1)\)।
[ দিঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(x^2+y^2-12x-8y+34=0; (3, 1)\)।
সমাধানঃ
ধরি,
\(x+y-4=0 .....(1)\)
\(A(3, 7)\) এবং \(B(9, 1)\)
\(AB\) কে ব্যাস ধরে বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-3)(x-9)+(y-7)(y-1)=0\) ➜\(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB\) কে ব্যাস ধরে বৃত্তের সমীকরণ, \((x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0\)
\(\Rightarrow x^2-3x-9x+27+y^2-7y-y+7=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-12x-8y+34=0 .....(2)\)
এখানে,
\(2g=-12, 2f=-8, c=34\)
\(\Rightarrow g=-6, f=-4, c=34\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(6, 4)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-6)^2+(-4)^2-34}\)
\(=\sqrt{36+16-34}\)
\(=\sqrt{52-34}\)
\(=\sqrt{18}\)
\(=\sqrt{2.9}\)
\(=3\sqrt{2}\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
কেন্দ্র \(C(6, 4)\) হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{|6+4-4|}{\sqrt{1^2+1^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|6|}{\sqrt{1+1}}\)
\(=\frac{6}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{3.2}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{3.\sqrt{2}.\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)
\(=3\sqrt{2}=r=\) ব্যাসার্ধ।
\(\therefore (1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করে।
আবার,
\((1)\) নং সরলরেখা হতে, \(y=4-x ......(3)\)
\(((2)\) ও \((3)\) হতে,
\(x^2+(4-x)^2-12x-8(4-x)+34=0\)
\(\Rightarrow x^2+(4-x)^2-12x-8(4-x)+34=0\)
\(\Rightarrow x^2+16-8x+x^2-12x-32+8x+34=0\)
\(\Rightarrow 2x^2-12x+18=0\)
\(\Rightarrow x^2-6x+9=0\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow (x-3)^2=0\)
\(\Rightarrow x-3=0\)
\(\therefore x=3\)
\((3)\) হতে, \( x=3\Rightarrow y=1\)
\(\therefore \) স্পর্শবিন্দু \((3, 1)\) .
\(x+y-4=0 .....(1)\)
\(A(3, 7)\) এবং \(B(9, 1)\)
\(AB\) কে ব্যাস ধরে বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-3)(x-9)+(y-7)(y-1)=0\) ➜\(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB\) কে ব্যাস ধরে বৃত্তের সমীকরণ, \((x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0\)
\(\Rightarrow x^2-3x-9x+27+y^2-7y-y+7=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-12x-8y+34=0 .....(2)\)
এখানে,
\(2g=-12, 2f=-8, c=34\)
\(\Rightarrow g=-6, f=-4, c=34\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(6, 4)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-6)^2+(-4)^2-34}\)
\(=\sqrt{36+16-34}\)
\(=\sqrt{52-34}\)
\(=\sqrt{18}\)
\(=\sqrt{2.9}\)
\(=3\sqrt{2}\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
কেন্দ্র \(C(6, 4)\) হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{|6+4-4|}{\sqrt{1^2+1^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|6|}{\sqrt{1+1}}\)
\(=\frac{6}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{3.2}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{3.\sqrt{2}.\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)
\(=3\sqrt{2}=r=\) ব্যাসার্ধ।
\(\therefore (1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করে।
আবার,
\((1)\) নং সরলরেখা হতে, \(y=4-x ......(3)\)
\(((2)\) ও \((3)\) হতে,
\(x^2+(4-x)^2-12x-8(4-x)+34=0\)
\(\Rightarrow x^2+(4-x)^2-12x-8(4-x)+34=0\)
\(\Rightarrow x^2+16-8x+x^2-12x-32+8x+34=0\)
\(\Rightarrow 2x^2-12x+18=0\)
\(\Rightarrow x^2-6x+9=0\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow (x-3)^2=0\)
\(\Rightarrow x-3=0\)
\(\therefore x=3\)
\((3)\) হতে, \( x=3\Rightarrow y=1\)
\(\therefore \) স্পর্শবিন্দু \((3, 1)\) .
\(Q.3.(ii)\) \((b, 0)\) বিন্দু হতে \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তের স্পর্শকের উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর সঞ্চারপথ নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \((x^{2}+y^{2}-bx)^2=a^2\{y^2+(b-x)^2\} \)।
[ঢাঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \((x^{2}+y^{2}-bx)^2=a^2\{y^2+(b-x)^2\} \)।
সমাধানঃ
ধরি,
\(x^2+y^2=a^2 ........(1)\)
কেন্দ্র \(O(0, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(=a\)
\((1)\) বৃত্তের স্পর্শক \(y=mx+c\Rightarrow mx-y+c=0 ....(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \((1)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((2)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
\(\frac{|m.0-0+c|}{\sqrt{m^2+1^2}}=a\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|c|}{\sqrt{m^2+1}}=a\)
\(\Rightarrow |c|=a\sqrt{(m^2+1)}\)
\(\therefore c=\pm a\sqrt{(m^2+1)}\)
\(c\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\(mx-y\pm a\sqrt{(m^2+1)}=0\)
\(\Rightarrow mx-y=\pm a\sqrt{(m^2+1)}\)
\(\Rightarrow (mx-y)^2=a^2(m^2+1) .......(3)\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\((2)\) এর উপর লম্ব যে কোন সরলরেখার ঢাল \(=-\frac{1}{m}\)
\((b, 0)\) বিন্দুগামী এবং \((2)\) এর উপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-0=-\frac{1}{m}(x-b)\)
\(\Rightarrow y=-\frac{1}{m}(x-b)\)
\(\therefore m=-\frac{x-b}{y}\)
\(m\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(\left(-\frac{x-b}{y}.x-y\right)^2=a^2\{(-\frac{x-b}{y})^2+1\}\)
\(\Rightarrow \left(-\frac{x^2-bx}{y}-y\right)^2=a^2\{\frac{(x-b)^2}{y^2}+1\}\)
\(\Rightarrow \left(\frac{x^2-bx}{y}+y\right)^2=a^2\{\frac{(x-b)^2+y^2}{y^2}\}\)
\(\Rightarrow \left(\frac{x^2+y^2-bx}{y}\right)^2=a^2\{\frac{(x-b)^2+y^2}{y^2}\}\)
\(\Rightarrow \frac{(x^2+y^2-bx)^2}{y^2}=a^2\{\frac{(x-b)^2+y^2}{y^2}\}\)
\(\therefore (x^2+y^2-bx)^2=a^2\{(x-b)^2+y^2\}\)
ইহাই নির্ণেয় সঞ্চার পথের সমীকরণ।
\(x^2+y^2=a^2 ........(1)\)
কেন্দ্র \(O(0, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(=a\)
\((1)\) বৃত্তের স্পর্শক \(y=mx+c\Rightarrow mx-y+c=0 ....(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \((1)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((2)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
\(\frac{|m.0-0+c|}{\sqrt{m^2+1^2}}=a\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|c|}{\sqrt{m^2+1}}=a\)
\(\Rightarrow |c|=a\sqrt{(m^2+1)}\)
\(\therefore c=\pm a\sqrt{(m^2+1)}\)
\(c\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\(mx-y\pm a\sqrt{(m^2+1)}=0\)
\(\Rightarrow mx-y=\pm a\sqrt{(m^2+1)}\)
\(\Rightarrow (mx-y)^2=a^2(m^2+1) .......(3)\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\((2)\) এর উপর লম্ব যে কোন সরলরেখার ঢাল \(=-\frac{1}{m}\)
\((b, 0)\) বিন্দুগামী এবং \((2)\) এর উপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-0=-\frac{1}{m}(x-b)\)
\(\Rightarrow y=-\frac{1}{m}(x-b)\)
\(\therefore m=-\frac{x-b}{y}\)
\(m\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(\left(-\frac{x-b}{y}.x-y\right)^2=a^2\{(-\frac{x-b}{y})^2+1\}\)
\(\Rightarrow \left(-\frac{x^2-bx}{y}-y\right)^2=a^2\{\frac{(x-b)^2}{y^2}+1\}\)
\(\Rightarrow \left(\frac{x^2-bx}{y}+y\right)^2=a^2\{\frac{(x-b)^2+y^2}{y^2}\}\)
\(\Rightarrow \left(\frac{x^2+y^2-bx}{y}\right)^2=a^2\{\frac{(x-b)^2+y^2}{y^2}\}\)
\(\Rightarrow \frac{(x^2+y^2-bx)^2}{y^2}=a^2\{\frac{(x-b)^2+y^2}{y^2}\}\)
\(\therefore (x^2+y^2-bx)^2=a^2\{(x-b)^2+y^2\}\)
ইহাই নির্ণেয় সঞ্চার পথের সমীকরণ।
\(Q.3.(iii)\) \(x^2+y^2=25\) বৃত্তের একটি স্পর্শক \(X\) অক্ষের সাথে \(60^o\) কোণ উৎপন্ন করে। স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y=\sqrt{3}x\pm 10\)।
উত্তরঃ \(y=\sqrt{3}x\pm 10\)।
সমাধানঃ
ধরি,
\(x^2+y^2=5^2 .....(1)\)
কেন্দ্র \(O(0, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(=5\)
\((1)\) বৃত্তের স্পর্শক \(y=mx+c\Rightarrow mx-y+c=0 ....(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \((1)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((2)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
\(\frac{|m.0-0+c|}{\sqrt{m^2+1^2}}=5\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|c|}{\sqrt{m^2+1}}=5\)
\(\Rightarrow |c|=5\sqrt{(m^2+1)}\)
\(\Rightarrow c=\pm 5\sqrt{(m^2+1)}\)
\(c\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\(mx-y\pm 5\sqrt{(m^2+1)}=0 .......(3)\)
আবার,
\((2)\) নং সরলরেখা \(X\) অক্ষের সাথে \(60^o\) কোণ উৎপন্ন করে।
অর্থাৎ \(m=\tan60^o\)
\(=\sqrt{3}\) ➜ \(\because \tan60^o=\sqrt{3}\)
\(m\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(\sqrt{3}x-y\pm 5\sqrt{\{(\sqrt{3})^2+1\}}=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}x-y\pm 5\sqrt{\{3+1\}}=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}x-y\pm 5\sqrt{4}=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}x-y\pm 5.2=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}x-y\pm 10=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}x\pm 10=y\)
\(\therefore y=\sqrt{3}x\pm 10\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
\(x^2+y^2=5^2 .....(1)\)
কেন্দ্র \(O(0, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(=5\)
\((1)\) বৃত্তের স্পর্শক \(y=mx+c\Rightarrow mx-y+c=0 ....(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \((1)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((2)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
\(\frac{|m.0-0+c|}{\sqrt{m^2+1^2}}=5\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|c|}{\sqrt{m^2+1}}=5\)
\(\Rightarrow |c|=5\sqrt{(m^2+1)}\)
\(\Rightarrow c=\pm 5\sqrt{(m^2+1)}\)
\(c\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\(mx-y\pm 5\sqrt{(m^2+1)}=0 .......(3)\)
আবার,
\((2)\) নং সরলরেখা \(X\) অক্ষের সাথে \(60^o\) কোণ উৎপন্ন করে।
অর্থাৎ \(m=\tan60^o\)
\(=\sqrt{3}\) ➜ \(\because \tan60^o=\sqrt{3}\)
\(m\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(\sqrt{3}x-y\pm 5\sqrt{\{(\sqrt{3})^2+1\}}=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}x-y\pm 5\sqrt{\{3+1\}}=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}x-y\pm 5\sqrt{4}=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}x-y\pm 5.2=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}x-y\pm 10=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}x\pm 10=y\)
\(\therefore y=\sqrt{3}x\pm 10\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
\(Q.3.(v)\) \(x^2+y^2=(3x-4y)\) বৃত্তের একটি ব্যাস মূলবিন্দু দিয়ে যায়। ব্যাসটির সমীকরণ এবং মূলবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x+3y=0, 3x-4y=0\)।
উত্তরঃ \(4x+3y=0, 3x-4y=0\)।
সমাধানঃ
ধরি,
\(x^2+y^2-3x+4y=0.....(1)\)
এখানে,
\(2g=-3, 2f=4, c=0\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{3}{2}, f=2, c=0\)
\(\therefore (1)\) বৃত্তের কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(\frac{3}{2}, -2)\)
এবং মূলবিন্দু \(O(0, 0)\)
এখন,
মূলবিন্দুগামী ব্যাস অর্থাৎ \(CO\) এর সমীকরণ,
\(\frac{x-\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}-0}=\frac{y+2}{-2-0}\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{2x-3}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{y+2}{-2}\)
\(\Rightarrow \frac{2x-3}{2}\times \frac{2}{3}=\frac{y+2}{-2}\)
\(\Rightarrow \frac{2x-3}{3}=\frac{y+2}{-2}\)
\(\Rightarrow 2(2x-3)=-3(y+2)\)
\(\Rightarrow 4x-6=-3y-6\)
\(\Rightarrow 4x-6+3y+6=0\)
\(\therefore 4x+3y=0\)
ইহাই নির্ণেয় ব্যাসের সমীকরণ।
মূলবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক উক্ত ব্যাসের উপর লম্ব হবে।
অতএব, ব্যাসের উপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x-4y+k=0 ........(2)\) যা মূলবিন্দুগামী। ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\(\therefore 5.0-12.0+k=0\)
\(\Rightarrow 0-0+k=0\)
\(\therefore k=0\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(3x-4y+0=0\)
\(\therefore 3x-4y=0\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
\(x^2+y^2-3x+4y=0.....(1)\)
এখানে,
\(2g=-3, 2f=4, c=0\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{3}{2}, f=2, c=0\)
\(\therefore (1)\) বৃত্তের কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(\frac{3}{2}, -2)\)
এবং মূলবিন্দু \(O(0, 0)\)
এখন,
মূলবিন্দুগামী ব্যাস অর্থাৎ \(CO\) এর সমীকরণ,
\(\frac{x-\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}-0}=\frac{y+2}{-2-0}\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{2x-3}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{y+2}{-2}\)
\(\Rightarrow \frac{2x-3}{2}\times \frac{2}{3}=\frac{y+2}{-2}\)
\(\Rightarrow \frac{2x-3}{3}=\frac{y+2}{-2}\)
\(\Rightarrow 2(2x-3)=-3(y+2)\)
\(\Rightarrow 4x-6=-3y-6\)
\(\Rightarrow 4x-6+3y+6=0\)
\(\therefore 4x+3y=0\)
ইহাই নির্ণেয় ব্যাসের সমীকরণ।
মূলবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক উক্ত ব্যাসের উপর লম্ব হবে।
অতএব, ব্যাসের উপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x-4y+k=0 ........(2)\) যা মূলবিন্দুগামী। ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\(\therefore 5.0-12.0+k=0\)
\(\Rightarrow 0-0+k=0\)
\(\therefore k=0\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(3x-4y+0=0\)
\(\therefore 3x-4y=0\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
\(Q.3.(vii)\) দেখাও যে, \(x-2y+1=0\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}-6x+6y-2=0\) বৃত্তের একটি স্পর্শক। এ বৃত্তের যে ব্যাসটি স্পর্শবিন্দুগামী তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x+y-3=0\)।
উত্তরঃ \(2x+y-3=0\)।
সমাধানঃ
ধরি,
\(x-2y+1=0 .......(1)\)
\(x^{2}+y^{2}-6x+6y-2=0 ....(2)\)
এখানে,
\(2g=-6, 2f=6, c=-2\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-3, f=3, c=-2\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(3, -3)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-3)^2+3^2+2}\)
\(=\sqrt{9+9+2}\)
\(=\sqrt{20}\)
\(=\sqrt{5.4}\)
\(=2\sqrt{5}\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
কেন্দ্র \(C(3, -3)\) হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{|3-2(-3)+1|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|3+6+1|}{\sqrt{1+4}}\)
\(=\frac{|10|}{\sqrt{5}}\)
\(=\frac{2.5}{\sqrt{5}}\)
\(=\frac{2.\sqrt{5}.\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\)
\(=2\sqrt{5}=r=\)ব্যাসার্ধ ।
\((1)\) সরলরেখাটি \((2)\) বৃত্তকে স্পর্শ করে।
\((1)\) নং সরলরেখার উপর লম্ব যে কোন সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x+y+k=0 .......(3)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখা \(C(3, -3)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore 2.3-3+k=0\) ➜ ব্যাস, বৃত্তের কেন্দ্রগামী এবং স্পর্শবিন্দুতে স্পর্শকের উপর লম্ব হয়।
\(\Rightarrow 6-3+k=0\)
\(\Rightarrow 3+k=0\)
\(\therefore k=-3\)
\(k\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(2x+y-3=0\)
\(x-2y+1=0 .......(1)\)
\(x^{2}+y^{2}-6x+6y-2=0 ....(2)\)
এখানে,
\(2g=-6, 2f=6, c=-2\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-3, f=3, c=-2\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(3, -3)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-3)^2+3^2+2}\)
\(=\sqrt{9+9+2}\)
\(=\sqrt{20}\)
\(=\sqrt{5.4}\)
\(=2\sqrt{5}\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
কেন্দ্র \(C(3, -3)\) হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{|3-2(-3)+1|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|3+6+1|}{\sqrt{1+4}}\)
\(=\frac{|10|}{\sqrt{5}}\)
\(=\frac{2.5}{\sqrt{5}}\)
\(=\frac{2.\sqrt{5}.\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\)
\(=2\sqrt{5}=r=\)ব্যাসার্ধ ।
\((1)\) সরলরেখাটি \((2)\) বৃত্তকে স্পর্শ করে।
\((1)\) নং সরলরেখার উপর লম্ব যে কোন সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x+y+k=0 .......(3)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখা \(C(3, -3)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore 2.3-3+k=0\) ➜ ব্যাস, বৃত্তের কেন্দ্রগামী এবং স্পর্শবিন্দুতে স্পর্শকের উপর লম্ব হয়।
\(\Rightarrow 6-3+k=0\)
\(\Rightarrow 3+k=0\)
\(\therefore k=-3\)
\(k\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(2x+y-3=0\)
\(Q.3.(viii)\) দেখাও যে, \(x^2+y^2-2x+4y-31=0\) এবং \(x^2+y^2+4x-4y+7=0\) বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে অন্তস্থভাবে স্পর্শ করে। সাধারণ স্পর্শক ও স্পর্শবিন্দু নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০১১]
উত্তরঃ \(3x-4y+19=0, (-\frac{13}{5}, \frac{14}{5}) \)।
[ বঃ ২০১১]
উত্তরঃ \(3x-4y+19=0, (-\frac{13}{5}, \frac{14}{5}) \)।
সমাধানঃ
ধরি,
\(x^2+y^2-2x+4y-31=0 ........(1)\)
এখানে,
\(2g=-2, 2f=4, c=-31\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-1, f=2, c=-31\)
কেন্দ্র \(C_1(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C_1(1, -2)\)
ব্যাসার্ধ \(r_1=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-1)^2+2^2+31}\)
\(=\sqrt{1+4+31}\)
\(=\sqrt{36}\)
\(=6\)
\(x^2+y^2+4x-4y+7=0 .......(2)\)
এখানে,
\(2g=4, 2f=-4, c=7\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=2, f=-2, c=7\)
কেন্দ্র \(C_2(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C_2(-2, 2)\)
ব্যাসার্ধ \(r_2=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{2^2+(-2)^2-7}\)
\(=\sqrt{4+4-7}\)
\(=\sqrt{8-7}\)
\(=\sqrt{1}\)
\(=1\)
এখন,
\(C_1C_2=\sqrt{(1+2)^2+(-2-2)^2}\)
\(=\sqrt{3^2+(-4)^2}\)
\(=\sqrt{9+16}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)
\(=6-1\)
\(=r_1-r_2\)
\(\therefore C_1C_2=r_1-r_2\)
\(\therefore \) বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে অন্তস্থভাবে স্পর্শ করে।
ধরি, স্পর্শবিন্দুটি \(P(x, y)\) যা \(C_1\) ও \(C_2\) এর সংযোগ সরলরেখাকে \(r_1:r_2\Rightarrow 6:1\) অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে।
\(\therefore P\left(\frac{6\times -2-1\times 1}{6-1}, \frac{6\times 2-1\times -2}{6-1}\right)\) ➜ \(p(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে বহিঃর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2-nx_1}{m-n}, \frac{my_2-ny_1}{m-n}\right)\)
\(\Rightarrow P\left(\frac{-12-1}{5}, \frac{12+2}{5}\right)\)
\(\Rightarrow P\left(\frac{-13}{5}, \frac{14}{5}\right)\)
\(\therefore P\left(-\frac{13}{5}, \frac{14}{5}\right)\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শ বিন্দু
সাধারণ স্পর্শকের সমীকরণ, অর্থাৎ \((2)\) নং বৃত্তের \(P\left(-\frac{13}{5}, \frac{14}{5}\right)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.(-\frac{13}{5})+y.\frac{14}{5}+2(x-\frac{13}{5})-2(y+\frac{14}{5})+7=0\)| \(\because (x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, \( xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0\)
\(\Rightarrow -\frac{13x}{5}+\frac{14y}{5}+2x-\frac{26}{5}-2y-\frac{28}{5}+7=0\)
\(\Rightarrow 13x-14y-10x+26+10y+28-35=0\) ➜ উভয় পার্শে \(-5\) গুণ করে।
\(\therefore 3x-4y+19=0\)ইহাই নির্ণেয় সাধারণ স্পর্শক।
\(x^2+y^2-2x+4y-31=0 ........(1)\)
এখানে,
\(2g=-2, 2f=4, c=-31\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-1, f=2, c=-31\)
কেন্দ্র \(C_1(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C_1(1, -2)\)
ব্যাসার্ধ \(r_1=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-1)^2+2^2+31}\)
\(=\sqrt{1+4+31}\)
\(=\sqrt{36}\)
\(=6\)
\(x^2+y^2+4x-4y+7=0 .......(2)\)
এখানে,
\(2g=4, 2f=-4, c=7\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=2, f=-2, c=7\)
কেন্দ্র \(C_2(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C_2(-2, 2)\)
ব্যাসার্ধ \(r_2=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{2^2+(-2)^2-7}\)
\(=\sqrt{4+4-7}\)
\(=\sqrt{8-7}\)
\(=\sqrt{1}\)
\(=1\)
এখন,
\(C_1C_2=\sqrt{(1+2)^2+(-2-2)^2}\)
\(=\sqrt{3^2+(-4)^2}\)
\(=\sqrt{9+16}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)
\(=6-1\)
\(=r_1-r_2\)
\(\therefore C_1C_2=r_1-r_2\)
\(\therefore \) বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে অন্তস্থভাবে স্পর্শ করে।
ধরি, স্পর্শবিন্দুটি \(P(x, y)\) যা \(C_1\) ও \(C_2\) এর সংযোগ সরলরেখাকে \(r_1:r_2\Rightarrow 6:1\) অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে।
\(\therefore P\left(\frac{6\times -2-1\times 1}{6-1}, \frac{6\times 2-1\times -2}{6-1}\right)\) ➜ \(p(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে বহিঃর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2-nx_1}{m-n}, \frac{my_2-ny_1}{m-n}\right)\)
\(\Rightarrow P\left(\frac{-12-1}{5}, \frac{12+2}{5}\right)\)
\(\Rightarrow P\left(\frac{-13}{5}, \frac{14}{5}\right)\)
\(\therefore P\left(-\frac{13}{5}, \frac{14}{5}\right)\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শ বিন্দু
সাধারণ স্পর্শকের সমীকরণ, অর্থাৎ \((2)\) নং বৃত্তের \(P\left(-\frac{13}{5}, \frac{14}{5}\right)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.(-\frac{13}{5})+y.\frac{14}{5}+2(x-\frac{13}{5})-2(y+\frac{14}{5})+7=0\)| \(\because (x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, \( xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0\)
\(\Rightarrow -\frac{13x}{5}+\frac{14y}{5}+2x-\frac{26}{5}-2y-\frac{28}{5}+7=0\)
\(\Rightarrow 13x-14y-10x+26+10y+28-35=0\) ➜ উভয় পার্শে \(-5\) গুণ করে।
\(\therefore 3x-4y+19=0\)ইহাই নির্ণেয় সাধারণ স্পর্শক।
\(Q.3.(ix)\) দেখাও যে, \(X\) অক্ষ \(x^2+y^2-6x-10y+9=0\) বৃত্তের একটি স্পর্শক। মূলবিন্দুগামী অপর স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(15x+8y=0\)।
উত্তরঃ \(15x+8y=0\)।
সমাধানঃ
ধরি,
\(x^2+y^24-6x-10y+9=0 ......(1)\)
এখানে,
\(2g=-6, 2f=-10, c=9\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-3, f=-5, c=9\)
এখন,
\(g^2=(-3)^2=9=c\) ➜ \(\because X\) অক্ষকে স্পর্শ করার শর্ত \(g^2=c\)
\(\therefore (1)\) নং বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে।
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) বিন্দু হতে \((1)\) এর উপর অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ,
\((x^2+y^24-6x-10y+9)(0^2+0^24-6.0-10.0+9)\)\(=\{x.0+y.0+(-3)(x+0)+(-5)(y+0)+9\}^2\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ, \((x^2+y^2+2gx+2fy+c)(x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c)\)\(=\{x.x_1+y.y_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c\}^2\)
\(\Rightarrow (x^2+y^24-6x-10y+9).9=(-3x-5y+9)^2\)
\(\Rightarrow 9x^2+9y^24-54x-90y+81=(3x+5y-9)^2\)
\(\Rightarrow 9x^2+9y^24-54x-90y+81=9x^2+25y^2+81+30xy-90y-54x\)
\(\Rightarrow 9x^2+9y^24-54x-90y+81-9x^2-25y^2-81-30xy+90y+54x=0\)
\(\Rightarrow 9y^24-25y^2-30xy=0\)
\(\Rightarrow -16y^2-30xy=0\)
\(\Rightarrow -2y(8y+15x)=0\)
\(\Rightarrow -2y=0, 8y+15x=0\)
\(\therefore y=0, 15x+8y=0\)
\(\therefore \) মূলবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী অপর স্পর্শকটির সমীকরণ, \(15x+8y=0\)
\(x^2+y^24-6x-10y+9=0 ......(1)\)
এখানে,
\(2g=-6, 2f=-10, c=9\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-3, f=-5, c=9\)
এখন,
\(g^2=(-3)^2=9=c\) ➜ \(\because X\) অক্ষকে স্পর্শ করার শর্ত \(g^2=c\)
\(\therefore (1)\) নং বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে।
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) বিন্দু হতে \((1)\) এর উপর অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ,
\((x^2+y^24-6x-10y+9)(0^2+0^24-6.0-10.0+9)\)\(=\{x.0+y.0+(-3)(x+0)+(-5)(y+0)+9\}^2\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ, \((x^2+y^2+2gx+2fy+c)(x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c)\)\(=\{x.x_1+y.y_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c\}^2\)
\(\Rightarrow (x^2+y^24-6x-10y+9).9=(-3x-5y+9)^2\)
\(\Rightarrow 9x^2+9y^24-54x-90y+81=(3x+5y-9)^2\)
\(\Rightarrow 9x^2+9y^24-54x-90y+81=9x^2+25y^2+81+30xy-90y-54x\)
\(\Rightarrow 9x^2+9y^24-54x-90y+81-9x^2-25y^2-81-30xy+90y+54x=0\)
\(\Rightarrow 9y^24-25y^2-30xy=0\)
\(\Rightarrow -16y^2-30xy=0\)
\(\Rightarrow -2y(8y+15x)=0\)
\(\Rightarrow -2y=0, 8y+15x=0\)
\(\therefore y=0, 15x+8y=0\)
\(\therefore \) মূলবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী অপর স্পর্শকটির সমীকরণ, \(15x+8y=0\)
\(Q.3.(x)\) \((-5, 4)\) বিন্দু থেকে \(x^{2}+y^{2}-2x-4y+1=0\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(y-4=0, 3x+4y-1=0 \)।
[ঢাঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(y-4=0, 3x+4y-1=0 \)।
সমাধানঃ
ধরি,
\(x^{2}+y^{2}-2x-4y+1=0 ......(1)\)
এখানে,
\(2g=-2, 2f=-4, c=1\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-1, f=-2, c=1\)
\((-5, 4)\) বিন্দু হতে \((1)\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ,
\((x^{2}+y^{2}-2x-4y+1)\{(-5)^{2}+4^{2}-2(-5)-4.4+1\}\)\(=\{x.(-5)+y.4+(-1)(x-5)+(-2)(y+4)+1\}^2\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ, \((x^2+y^2+2gx+2fy+c)(x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c)\)\(=\{x.x_1+y.y_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c\}^2\)
\(\Rightarrow (x^{2}+y^{2}-2x-4y+1)\{25+16+10-16+1\}\)\(=\{-5x+4y-x+5-2y-8+1\}^2\)
\(\Rightarrow (x^{2}+y^{2}-2x-4y+1).36=(-6x+2y-2)^2\)
\(\Rightarrow (x^{2}+y^{2}-2x-4y+1).36=4(3x-y+1)^2\)
\(\Rightarrow (x^{2}+y^{2}-2x-4y+1).9=(3x-y+1)^2\)
\(\Rightarrow 9x^{2}+9y^{2}-18x-36y+9=9x^2+y^2+1-6xy-2y+6x\)
\(\Rightarrow 9x^{2}+9y^{2}-18x-36y+9-9x^2-y^2-1+6xy+2y-6x=0\)
\(\Rightarrow 8y^{2}-24x-34y+6xy+8=0\)
\(\Rightarrow 4y^{2}-12x-17y+3xy+4=0\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow 3xy+4y^{2}-y-12x-16y+4=0\)
\(\Rightarrow y(3x+4y-1)-4(3x+4y-1)=0\)
\(\therefore 3x+4y-1=0, y-4=0\) নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
\(x^{2}+y^{2}-2x-4y+1=0 ......(1)\)
এখানে,
\(2g=-2, 2f=-4, c=1\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-1, f=-2, c=1\)
\((-5, 4)\) বিন্দু হতে \((1)\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ,
\((x^{2}+y^{2}-2x-4y+1)\{(-5)^{2}+4^{2}-2(-5)-4.4+1\}\)\(=\{x.(-5)+y.4+(-1)(x-5)+(-2)(y+4)+1\}^2\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ, \((x^2+y^2+2gx+2fy+c)(x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c)\)\(=\{x.x_1+y.y_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c\}^2\)
\(\Rightarrow (x^{2}+y^{2}-2x-4y+1)\{25+16+10-16+1\}\)\(=\{-5x+4y-x+5-2y-8+1\}^2\)
\(\Rightarrow (x^{2}+y^{2}-2x-4y+1).36=(-6x+2y-2)^2\)
\(\Rightarrow (x^{2}+y^{2}-2x-4y+1).36=4(3x-y+1)^2\)
\(\Rightarrow (x^{2}+y^{2}-2x-4y+1).9=(3x-y+1)^2\)
\(\Rightarrow 9x^{2}+9y^{2}-18x-36y+9=9x^2+y^2+1-6xy-2y+6x\)
\(\Rightarrow 9x^{2}+9y^{2}-18x-36y+9-9x^2-y^2-1+6xy+2y-6x=0\)
\(\Rightarrow 8y^{2}-24x-34y+6xy+8=0\)
\(\Rightarrow 4y^{2}-12x-17y+3xy+4=0\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow 3xy+4y^{2}-y-12x-16y+4=0\)
\(\Rightarrow y(3x+4y-1)-4(3x+4y-1)=0\)
\(\therefore 3x+4y-1=0, y-4=0\) নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
\(Q.3.(xi)\) দেখাও যে, \(y=3x+10\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}=10\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। স্পর্শবিন্দুটি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-3, 1)\)।
উত্তরঃ \((-3, 1)\)।
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=3x+10 .......(1)\)
\(\Rightarrow 3x-y+10=0\)
\(x^{2}+y^{2}=10\)
\(x^{2}+y^{2}=(\sqrt{10})^2 .......(2)\)
কেন্দ্র \(O(0, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{10}\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
কেন্দ্র \(O(0, 0)\) হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{|3.0-0+10|}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|10|}{\sqrt{9+1}}\)
\(=\frac{10}{\sqrt{10}}\)
\(=\frac{\sqrt{10}.\sqrt{10}}{\sqrt{10}}\)
\(=\sqrt{10}=r=\)ব্যাসার্ধ ।
\(\therefore (1)\) সরলরেখাটি \((2)\) বৃত্তকে স্পর্শ করে।
আবার,
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(x^{2}+(3x+10)^{2}=10\)
\(\Rightarrow x^{2}+9x^2+60x+100-10=0\)
\(\Rightarrow 10x^2+60x+90=0\)
\(\Rightarrow x^2+6x+9=0\) ➜ উভয় পার্শে \(10\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow (x+3)^2=0\)
\(\Rightarrow x+3=0\)
\(\therefore x=-3\)
\((1)\) হতে, \(x=-3\Rightarrow y=1\)
\(\therefore \) স্পর্শবিন্দু \((-3, 1)\)।
\(y=3x+10 .......(1)\)
\(\Rightarrow 3x-y+10=0\)
\(x^{2}+y^{2}=10\)
\(x^{2}+y^{2}=(\sqrt{10})^2 .......(2)\)
কেন্দ্র \(O(0, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{10}\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
কেন্দ্র \(O(0, 0)\) হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{|3.0-0+10|}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|10|}{\sqrt{9+1}}\)
\(=\frac{10}{\sqrt{10}}\)
\(=\frac{\sqrt{10}.\sqrt{10}}{\sqrt{10}}\)
\(=\sqrt{10}=r=\)ব্যাসার্ধ ।
\(\therefore (1)\) সরলরেখাটি \((2)\) বৃত্তকে স্পর্শ করে।
আবার,
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(x^{2}+(3x+10)^{2}=10\)
\(\Rightarrow x^{2}+9x^2+60x+100-10=0\)
\(\Rightarrow 10x^2+60x+90=0\)
\(\Rightarrow x^2+6x+9=0\) ➜ উভয় পার্শে \(10\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow (x+3)^2=0\)
\(\Rightarrow x+3=0\)
\(\therefore x=-3\)
\((1)\) হতে, \(x=-3\Rightarrow y=1\)
\(\therefore \) স্পর্শবিন্দু \((-3, 1)\)।
\(Q.3.(xii)\) \((-2, 3)\) বিন্দু হতে \(2x^{2}+2y^{2}=3\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\sqrt{\frac{23}{2}} \)।
উত্তরঃ \(\sqrt{\frac{23}{2}} \)।
সমাধানঃ
ধরি,
\(2x^{2}+2y^{2}=3\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-\frac{3}{2}=0 ......(1)\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(P(-2, 3)\) বিন্দু হতে \((1)\) নং বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য,
\(PT=\sqrt{(-2)^{2}+3^{2}-\frac{3}{2}}\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য , \(=\sqrt{x^2_1+y^2_1-r^2}\)
\(=\sqrt{4+9-\frac{3}{2}}\)
\(=\sqrt{13-\frac{3}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{26-3}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{23}{2}}\) একক।
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের দৈর্ঘ্য ।
\(2x^{2}+2y^{2}=3\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-\frac{3}{2}=0 ......(1)\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(P(-2, 3)\) বিন্দু হতে \((1)\) নং বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য,
\(PT=\sqrt{(-2)^{2}+3^{2}-\frac{3}{2}}\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য , \(=\sqrt{x^2_1+y^2_1-r^2}\)
\(=\sqrt{4+9-\frac{3}{2}}\)
\(=\sqrt{13-\frac{3}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{26-3}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{23}{2}}\) একক।
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের দৈর্ঘ্য ।
\(Q.3.(xiii)\) \(3x+by-1=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-8x-2y+4=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করে। \(b\)এর মাণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১১; রাঃ ২০১২; ঢাঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(b=2, -\frac{1}{6}\)।
[ চঃ ২০১১; রাঃ ২০১২; ঢাঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(b=2, -\frac{1}{6}\)।
সমাধানঃ
ধরি,
\(3x+by-1=0 .......(1)\)
\(x^2+y^2-8x-2y+4=0 \)
এখানে,
\(2g=-8, 2f=-2, c=4\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-4, f=-1, c=4\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(4, 1)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-4)^2+(-1)^2-4}\)
\(=\sqrt{16+1-4}\)
\(=\sqrt{13}\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
\(\frac{|3.4+b.1-1|}{\sqrt{3^2+b^2}}=\sqrt{13}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|11+b|}{\sqrt{9+b^2}}=\sqrt{13}\)
\(\Rightarrow \frac{(11+b)^2}{9+b^2}=13\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 13(9+b^2)=(11+b)^2\)
\(\Rightarrow 117+13b^2=121+22b+b^2\)
\(\Rightarrow 117+13b^2-121-22b-b^2=0\)
\(\Rightarrow 12b^2-22b-4=0\)
\(\Rightarrow 6b^2-11b-2=0\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow 6b^2-12b+b-2=0\)
\(\Rightarrow 6b(b-2)+1(b-2)=0\)
\(\Rightarrow (b-2)(6b+1)=0\)
\(\Rightarrow b-2=0, 6b+1=0\)
\(\Rightarrow b=2, 6b=-1\)
\(\therefore b=2, b=-\frac{1}{6}\)
ইহাই \(b\)এর মাণ।
\(3x+by-1=0 .......(1)\)
\(x^2+y^2-8x-2y+4=0 \)
এখানে,
\(2g=-8, 2f=-2, c=4\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-4, f=-1, c=4\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(4, 1)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-4)^2+(-1)^2-4}\)
\(=\sqrt{16+1-4}\)
\(=\sqrt{13}\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
\(\frac{|3.4+b.1-1|}{\sqrt{3^2+b^2}}=\sqrt{13}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|11+b|}{\sqrt{9+b^2}}=\sqrt{13}\)
\(\Rightarrow \frac{(11+b)^2}{9+b^2}=13\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 13(9+b^2)=(11+b)^2\)
\(\Rightarrow 117+13b^2=121+22b+b^2\)
\(\Rightarrow 117+13b^2-121-22b-b^2=0\)
\(\Rightarrow 12b^2-22b-4=0\)
\(\Rightarrow 6b^2-11b-2=0\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow 6b^2-12b+b-2=0\)
\(\Rightarrow 6b(b-2)+1(b-2)=0\)
\(\Rightarrow (b-2)(6b+1)=0\)
\(\Rightarrow b-2=0, 6b+1=0\)
\(\Rightarrow b=2, 6b=-1\)
\(\therefore b=2, b=-\frac{1}{6}\)
ইহাই \(b\)এর মাণ।
\(Q.3.(xvi)\) \((1, -1)\) বিন্দু থেকে \(2x^{2}+2y^{2}-x+3y+1=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১১, কুঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)।
[ চঃ ২০১১, কুঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)।
সমাধানঃ
ধরি,
\(2x^{2}+2y^{2}-x+3y+1=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}=0 ......(1)\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\((1, -1)\) বিন্দু হতে \((1)\) নং বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য,
\(=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}-\frac{1}{2}.1+\frac{3}{2}(-1)+\frac{1}{2}}\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য , \(=\sqrt{x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c}\)
\(=\sqrt{1+1-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{2-\frac{3}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{4-3}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{2}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\) একক।
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের দৈর্ঘ্য ।
\(2x^{2}+2y^{2}-x+3y+1=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}=0 ......(1)\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\((1, -1)\) বিন্দু হতে \((1)\) নং বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য,
\(=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}-\frac{1}{2}.1+\frac{3}{2}(-1)+\frac{1}{2}}\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য , \(=\sqrt{x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c}\)
\(=\sqrt{1+1-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{2-\frac{3}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{4-3}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{2}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\) একক।
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের দৈর্ঘ্য ।
\(Q.3.(xvii)\) \(\sqrt{2}\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুইটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যারা \(x+y+1=0\) রেখাকে স্পর্শ করে এবং যাদের কেন্দ্র \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2x-1=0\);\(x^{2}+y^{2}+6x+7=0\)।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2x-1=0\);\(x^{2}+y^{2}+6x+7=0\)।
সমাধানঃ
ধরি,
\(x+y+1=0 ......(1)\)
কেন্দ্র \(C(h, 0)\) ➜ \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত বিন্দুর \(y\) স্থানাঙ্ক \(0\) হয়।
দেওয়া আছে ব্যাসার্ধ \(\sqrt{2}\)
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-0)^2=(\sqrt{2})^2\) ➜ কেন্দ্র \(C(h, k)\), ব্যাসার্ধ \(r\), বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)
\(\Rightarrow (x-h)^2+y^2=2 .......(2)\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
\(\frac{|h+0+1|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|h+1|}{\sqrt{1+1}}=\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow \frac{|h+1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow |h+1|=\sqrt{2}\times \sqrt{2}\)
\(\Rightarrow |h+1|=2\)
\(\Rightarrow h+1=\pm 2\)
\(\Rightarrow h=\pm 2-1\)
\(\Rightarrow h=2-1\) ➜ ধনাত্মক মান ব্যবহার করে।
\(\therefore h=1\)
আবার,
\(\Rightarrow h=-2-1\) ➜ ঋনাত্মক মান ব্যবহার করে।
\(\therefore h=-3\)
\(h\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\(h=1\Rightarrow (x-1)^2+y^2=2\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2-2=0\)
\(\therefore x^2+y^2-2x-1=0\)
আবার,
\(h=-3\Rightarrow (x+3)^2+y^2=2\)
\(\Rightarrow x^2+6x+9+y^2-2=0\)
\(\therefore x^2+y^2+7x+7=0\)
\(\therefore \) নির্ণেয় বৃত্তদ্বয়ের সমীকরণ , \(x^{2}+y^{2}-2x-1=0\);\(x^{2}+y^{2}+6x+7=0\)।
\(x+y+1=0 ......(1)\)
কেন্দ্র \(C(h, 0)\) ➜ \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত বিন্দুর \(y\) স্থানাঙ্ক \(0\) হয়।
দেওয়া আছে ব্যাসার্ধ \(\sqrt{2}\)
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-0)^2=(\sqrt{2})^2\) ➜ কেন্দ্র \(C(h, k)\), ব্যাসার্ধ \(r\), বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)
\(\Rightarrow (x-h)^2+y^2=2 .......(2)\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
\(\frac{|h+0+1|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|h+1|}{\sqrt{1+1}}=\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow \frac{|h+1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow |h+1|=\sqrt{2}\times \sqrt{2}\)
\(\Rightarrow |h+1|=2\)
\(\Rightarrow h+1=\pm 2\)
\(\Rightarrow h=\pm 2-1\)
\(\Rightarrow h=2-1\) ➜ ধনাত্মক মান ব্যবহার করে।
\(\therefore h=1\)
আবার,
\(\Rightarrow h=-2-1\) ➜ ঋনাত্মক মান ব্যবহার করে।
\(\therefore h=-3\)
\(h\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\(h=1\Rightarrow (x-1)^2+y^2=2\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2-2=0\)
\(\therefore x^2+y^2-2x-1=0\)
আবার,
\(h=-3\Rightarrow (x+3)^2+y^2=2\)
\(\Rightarrow x^2+6x+9+y^2-2=0\)
\(\therefore x^2+y^2+7x+7=0\)
\(\therefore \) নির্ণেয় বৃত্তদ্বয়ের সমীকরণ , \(x^{2}+y^{2}-2x-1=0\);\(x^{2}+y^{2}+6x+7=0\)।
\(Q.3.(xviii)\) \(x^{2}+y^{2}+2x+3y+1=0\) এবং \(x^{2}+y^{2}+4x+3y+2=0\) বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা যে বৃত্তের ব্যাস তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১১ ; বঃ, সিঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(2x^{2}+2y^{2}+2x+6y+1=0\)।
[ কুঃ ২০১১ ; বঃ, সিঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(2x^{2}+2y^{2}+2x+6y+1=0\)।
সমাধানঃ
ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2x+3y+1=0 ..........(1)\)
\(x^2+y^2+4x+3y+2=0 ..........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) বৃত্ত দ্বয়ের সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2x+3y+1-x^2-y^2-4x-3y-2=0 \) ➜ \((1)-(2)\) এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow -2x-1=0 \)
\(\Rightarrow 2x+1=0 ........(3)\)
এখন,
\((1)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2x+3y+1+k(2x+1)=0 ..........(4)\) ➜ \(k\) শুন্য ব্যতীত যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\(\Rightarrow x^2+y^2+2x+3y+1+2kx+k=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+(2+2k)x+3y+(1+k)=0\)
এখানে,
\(2g=2+2k, 2f=3, c=1+k\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow 2g=2(1+k), 2f=3, c=1+k\)
\(\Rightarrow g=(1+k), f=\frac{3}{2}, c=1+k\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(C(-(1+k), -\frac{3}{2})\)
এই কেন্দ্র \((3)\) নং সরলরেখার উপর অবস্থিত। যেহেতু , \((3)\) নং সরলরেখা নির্ণেয় বৃত্তের ব্যাস।
\(\therefore -2(1+k)+1=0\)
\(\Rightarrow -2-2k+1=0\)
\(\Rightarrow -1-2k=0\)
\(\Rightarrow -2k=1\)
\(\therefore k=-\frac{1}{2}\)
\(k\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে,
\(x^2+y^2+2x+3y+1-\frac{1}{2}(2x+1)=0\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2+4x+6y+2-(2x+1)=0\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2+4x+6y+2-2x-1=0\)
\(\therefore 2x^2+2y^2+2x+6y+1=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2x+3y+1=0 ..........(1)\)
\(x^2+y^2+4x+3y+2=0 ..........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) বৃত্ত দ্বয়ের সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2x+3y+1-x^2-y^2-4x-3y-2=0 \) ➜ \((1)-(2)\) এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow -2x-1=0 \)
\(\Rightarrow 2x+1=0 ........(3)\)
এখন,
\((1)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2x+3y+1+k(2x+1)=0 ..........(4)\) ➜ \(k\) শুন্য ব্যতীত যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\(\Rightarrow x^2+y^2+2x+3y+1+2kx+k=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+(2+2k)x+3y+(1+k)=0\)
এখানে,
\(2g=2+2k, 2f=3, c=1+k\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow 2g=2(1+k), 2f=3, c=1+k\)
\(\Rightarrow g=(1+k), f=\frac{3}{2}, c=1+k\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(C(-(1+k), -\frac{3}{2})\)
এই কেন্দ্র \((3)\) নং সরলরেখার উপর অবস্থিত। যেহেতু , \((3)\) নং সরলরেখা নির্ণেয় বৃত্তের ব্যাস।
\(\therefore -2(1+k)+1=0\)
\(\Rightarrow -2-2k+1=0\)
\(\Rightarrow -1-2k=0\)
\(\Rightarrow -2k=1\)
\(\therefore k=-\frac{1}{2}\)
\(k\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে,
\(x^2+y^2+2x+3y+1-\frac{1}{2}(2x+1)=0\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2+4x+6y+2-(2x+1)=0\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2+4x+6y+2-2x-1=0\)
\(\therefore 2x^2+2y^2+2x+6y+1=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.3.(xix)\) \(3\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তের কেন্দ্র \(y=x-1\) রেখার উপর অবস্থিত এবং এটি \((7, 3)\) বিন্দুদিয়ে অতিক্রম করে। তার সমীকরণ নির্ণয় কর। দেখাও যে, এরূপ দুইটি বৃত্ত পাওয়া যায় এবং এদের একটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে।
উত্তরঃ \((x-4)^2+(y-3)^2=9; (x-7)^2+(y-6)^2=9\).
উত্তরঃ \((x-4)^2+(y-3)^2=9; (x-7)^2+(y-6)^2=9\).
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=x-1 .........(1)\)
কেন্দ্র \(C(h, k)\)
দেওয়া আছে ব্যাসার্ধ \(3\)
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=(3)^2\) ➜ কেন্দ্র \(C(h, k)\), ব্যাসার্ধ \(r\), বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)
\(\Rightarrow (x-h)^2+(y-k)^2=9 .......(2)\)
\((2)\) নং বৃত্ত \((7, 3)\) বিন্দুদিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore (7-h)^2+(3-k)^2=9 .......(3)\)
আবার,
কেন্দ্র \(C(h, k)\), \((1)\) নং সরলরেখার উপর অবস্থিত।
\(\therefore k=h-1 .........(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) হতে,
\(\therefore (7-h)^2+(3-h+1)^2=9\)
\(\Rightarrow (7-h)^2+(4-h)^2=9\)
\(\Rightarrow 49-14h+h^2+16-8h+h^2-9=0\)
\(\Rightarrow 2h^2-22h+56=0\)
\(\Rightarrow h^2-11h+28=0\)| উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow h^2-7h-4h+28=0\)
\(\Rightarrow h(h-7)-4(h-7)=0\)
\(\Rightarrow (h-7)(h-4)=0\)
\(\Rightarrow h-7=0, h-4=0\)
\(\therefore h=7, h=4\)
\((4)\) হতে,
\(h=7\Rightarrow k=6\)
\(h=4\Rightarrow k=3\)
\(h\) ও \(k\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\(h=7, k=6\Rightarrow (x-7)^2+(y-6)^2=9\)
\(h=4, k=3\Rightarrow (x-4)^2+(y-3)^2=9\)
\(\therefore \) বৃত্তদ্বয়ের সমীকরণ, \((x-4)^2+(y-3)^2=9; (x-7)^2+(y-6)^2=9\).
\(y=x-1 .........(1)\)
কেন্দ্র \(C(h, k)\)
দেওয়া আছে ব্যাসার্ধ \(3\)
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=(3)^2\) ➜ কেন্দ্র \(C(h, k)\), ব্যাসার্ধ \(r\), বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)
\(\Rightarrow (x-h)^2+(y-k)^2=9 .......(2)\)
\((2)\) নং বৃত্ত \((7, 3)\) বিন্দুদিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore (7-h)^2+(3-k)^2=9 .......(3)\)
আবার,
কেন্দ্র \(C(h, k)\), \((1)\) নং সরলরেখার উপর অবস্থিত।
\(\therefore k=h-1 .........(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) হতে,
\(\therefore (7-h)^2+(3-h+1)^2=9\)
\(\Rightarrow (7-h)^2+(4-h)^2=9\)
\(\Rightarrow 49-14h+h^2+16-8h+h^2-9=0\)
\(\Rightarrow 2h^2-22h+56=0\)
\(\Rightarrow h^2-11h+28=0\)| উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow h^2-7h-4h+28=0\)
\(\Rightarrow h(h-7)-4(h-7)=0\)
\(\Rightarrow (h-7)(h-4)=0\)
\(\Rightarrow h-7=0, h-4=0\)
\(\therefore h=7, h=4\)
\((4)\) হতে,
\(h=7\Rightarrow k=6\)
\(h=4\Rightarrow k=3\)
\(h\) ও \(k\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\(h=7, k=6\Rightarrow (x-7)^2+(y-6)^2=9\)
\(h=4, k=3\Rightarrow (x-4)^2+(y-3)^2=9\)
\(\therefore \) বৃত্তদ্বয়ের সমীকরণ, \((x-4)^2+(y-3)^2=9; (x-7)^2+(y-6)^2=9\).
\(Q.3.(xx)\) \(x^2+y^2+4x-2y+3=0\) ও \(x^2+y^2-4x+6y-21=0\) বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ এবং দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-y+3=0; 2\sqrt{2}\)।
উত্তরঃ \(x-y+3=0; 2\sqrt{2}\)।
সমাধানঃ
ধরি,
\(S_1=x^2+y^2+4x-2y+3=0 .........(1)\)
এখানে,
\(2g=4, 2f=-2, c=3\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=2, f=-1, c=3\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(-2, 1)\)
ব্যসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{2^2+(-1)^2-3}\)
\(=\sqrt{4+1-3}\)
\(=\sqrt{5-3}\)
\(=\sqrt{2}\)
\(S_2=x^2+y^2-4x+6y-21=0 .........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ,
\(S_1-S_2=0\) ➜ \(S_1=0\) ও \(S_2=0\) বৃত্তের সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ, \(S_1-S_2=0\) ➜
\(\Rightarrow x^2+y^2+4x-2y+3-x^2-y^2+4x-6y+21=0\)
\(\Rightarrow 8x-8y+24=0\)
\(\therefore x-y+3=0 ......(3)\) ➜ উভয় পার্শে \(8\) ভাগ করে।
ইহাই নির্ণেয় সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ।
কেন্দ্র \(C(-2, 1)\) থেকে \(CD\), সাধারণ জ্যা- \((3)\) উপর লম্ব।
\(\therefore CD=\frac{|-2-1+3|}{\sqrt{1^2+1^2}}\)
\(=\frac{|0|}{\sqrt{1+1}}\)
\(=\frac{0}{\sqrt{2}}\)
\(=0\)
\(\therefore \) কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর লম্ব দূরত্ব শুন্য, অর্থাৎ সাধারন জ্যা-\((3), S_1=0\) বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়। সাধারণ জ্যা-\((3), S_1=0\) বৃত্তের ব্যাস।
\(\therefore \) সাধারণ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য \(=2\times r\)ব্যসার্ধ
\(=2\times \sqrt{2}\)
\(=2\sqrt{2}\)
ইহাই নির্ণেয় সাধারণ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য ।
\(S_1=x^2+y^2+4x-2y+3=0 .........(1)\)
এখানে,
\(2g=4, 2f=-2, c=3\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=2, f=-1, c=3\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(-2, 1)\)
ব্যসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{2^2+(-1)^2-3}\)
\(=\sqrt{4+1-3}\)
\(=\sqrt{5-3}\)
\(=\sqrt{2}\)
\(S_2=x^2+y^2-4x+6y-21=0 .........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ,
\(S_1-S_2=0\) ➜ \(S_1=0\) ও \(S_2=0\) বৃত্তের সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ, \(S_1-S_2=0\) ➜
\(\Rightarrow x^2+y^2+4x-2y+3-x^2-y^2+4x-6y+21=0\)
\(\Rightarrow 8x-8y+24=0\)
\(\therefore x-y+3=0 ......(3)\) ➜ উভয় পার্শে \(8\) ভাগ করে।
ইহাই নির্ণেয় সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ।
কেন্দ্র \(C(-2, 1)\) থেকে \(CD\), সাধারণ জ্যা- \((3)\) উপর লম্ব।
\(\therefore CD=\frac{|-2-1+3|}{\sqrt{1^2+1^2}}\)
\(=\frac{|0|}{\sqrt{1+1}}\)
\(=\frac{0}{\sqrt{2}}\)
\(=0\)
\(\therefore \) কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর লম্ব দূরত্ব শুন্য, অর্থাৎ সাধারন জ্যা-\((3), S_1=0\) বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়। সাধারণ জ্যা-\((3), S_1=0\) বৃত্তের ব্যাস।
\(\therefore \) সাধারণ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য \(=2\times r\)ব্যসার্ধ
\(=2\times \sqrt{2}\)
\(=2\sqrt{2}\)
ইহাই নির্ণেয় সাধারণ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য ।
\(Q.3.(xxii)\) \((3, -3)\) বিন্দু থেকে \(x^{2}+y^{2}+8x+4y-5=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ এবং দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x-4y=21, 4x+3y=3, 5\) একক।
উত্তরঃ \(3x-4y=21, 4x+3y=3, 5\) একক।
সমাধানঃ
ধরি,
\(x^{2}+y^{2}+8x+4y-5=0 ......(1)\)
এখানে,
\(2g=8, 2f=4, c=-5\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=4, f=2, c=-5\)
\((3, -3)\) বিন্দু হতে \((1)\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ,
\((x^{2}+y^{2}+8x+4y-5)\{3^{2}+(-3)^{2}+8.3+4.(-3)-5\}\)\(=\{x.3+y.(-3)+4(x+3)+2(y-3)-5\}^2\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ, \((x^2+y^2+2gx+2fy+c)(x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c)\)\(=\{x.x_1+y.y_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c\}^2\)
\(\Rightarrow (x^{2}+y^{2}+8x+4y-5)(9+9+24-12-5)\)\(=\{3x-3y+4x+12+2y-6-5\}^2\)
\(\Rightarrow (x^{2}+y^{2}+8x+4y-5)(42-17)\)\(=(7x-y+1)^2\)
\(\Rightarrow (x^{2}+y^{2}+8x+4y-5).25=49x^2+y^2+1-14xy-2y+14x\)
\(\Rightarrow 25x^{2}+25y^{2}+200x+100y-125-49x^2-y^2-1+14xy+2y-14x=0\)
\(\Rightarrow -24x^{2}+14xy+24y^{2}+186x+102y-126=0\)
\(\Rightarrow 12x^{2}-7xy-12y^{2}-93x-51y+63=0\) ➜ উভয় পার্শে \(-2\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow 12x^{2}-16xy+9xy-12y^{2}-93x-51y+63=0\)
\(\Rightarrow 4x(3x-4y)+3y(3x-4y)-93x-51y+63=0\)
\(\therefore (3x-4y)(4x+3y)-93x-51y+63=0 .........(2)\)
ধরি,
\((3x-4y+m)(4x+3y+n)\equiv (3x-4y)(4x+3y)-93x-51y+63 ........(3)\)
\((2)\) এর উভয় পার্শ হতে \(x\) ও \(y\) এর সহগের সমতা নিয়ে,
\(4m+3n=-93 .......(4)\)
\(3m-4n=-51 .......(5)\)
\((4)\times 4+(5)\times 3\) এর সাহায্যে,
\(16m+12n+9m-12n=-372-153\)
\(\Rightarrow 25m=-525\)
\(\Rightarrow m=-\frac{525}{25}\)
\(\therefore m=-21\)
আবার,
\((4)\times 3-(5)\times 4\) এর সাহায্যে,
\(12m+9n-12m+16n=-279+204\)
\(\Rightarrow 25n=-75\)
\(\Rightarrow n=-\frac{75}{25}\)
\(\therefore n=-3\)
\(m, n\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\((3x-4y-21)(4x+3y-3)\equiv (3x-4y)(4x+3y)-93x-51y+63 ........(6)\)
\((2)\) ও \((6)\) হতে পাই,
\((3x-4y-21)(4x+3y-3)=0\)
\(\therefore 3x-4y-21=0, 4x+3y-3=0\)
\(\therefore \) স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ, \( 3x-4y-21=0, 4x+3y-3=0\)
আবার,
\((3, -3)\) বিন্দু থেকে \((1)\) নং বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য,
\(=\sqrt{3^{2}+(-3)^{2}+8.3+4(-3)-5}\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য , \(=\sqrt{x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c}\)
\(=\sqrt{9+9+24-12-5}\)
\(=\sqrt{42-17}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\) একক।
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের দৈর্ঘ্য।
\(x^{2}+y^{2}+8x+4y-5=0 ......(1)\)
এখানে,
\(2g=8, 2f=4, c=-5\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=4, f=2, c=-5\)
\((3, -3)\) বিন্দু হতে \((1)\) বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ,
\((x^{2}+y^{2}+8x+4y-5)\{3^{2}+(-3)^{2}+8.3+4.(-3)-5\}\)\(=\{x.3+y.(-3)+4(x+3)+2(y-3)-5\}^2\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ, \((x^2+y^2+2gx+2fy+c)(x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c)\)\(=\{x.x_1+y.y_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c\}^2\)
\(\Rightarrow (x^{2}+y^{2}+8x+4y-5)(9+9+24-12-5)\)\(=\{3x-3y+4x+12+2y-6-5\}^2\)
\(\Rightarrow (x^{2}+y^{2}+8x+4y-5)(42-17)\)\(=(7x-y+1)^2\)
\(\Rightarrow (x^{2}+y^{2}+8x+4y-5).25=49x^2+y^2+1-14xy-2y+14x\)
\(\Rightarrow 25x^{2}+25y^{2}+200x+100y-125-49x^2-y^2-1+14xy+2y-14x=0\)
\(\Rightarrow -24x^{2}+14xy+24y^{2}+186x+102y-126=0\)
\(\Rightarrow 12x^{2}-7xy-12y^{2}-93x-51y+63=0\) ➜ উভয় পার্শে \(-2\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow 12x^{2}-16xy+9xy-12y^{2}-93x-51y+63=0\)
\(\Rightarrow 4x(3x-4y)+3y(3x-4y)-93x-51y+63=0\)
\(\therefore (3x-4y)(4x+3y)-93x-51y+63=0 .........(2)\)
ধরি,
\((3x-4y+m)(4x+3y+n)\equiv (3x-4y)(4x+3y)-93x-51y+63 ........(3)\)
\((2)\) এর উভয় পার্শ হতে \(x\) ও \(y\) এর সহগের সমতা নিয়ে,
\(4m+3n=-93 .......(4)\)
\(3m-4n=-51 .......(5)\)
\((4)\times 4+(5)\times 3\) এর সাহায্যে,
\(16m+12n+9m-12n=-372-153\)
\(\Rightarrow 25m=-525\)
\(\Rightarrow m=-\frac{525}{25}\)
\(\therefore m=-21\)
আবার,
\((4)\times 3-(5)\times 4\) এর সাহায্যে,
\(12m+9n-12m+16n=-279+204\)
\(\Rightarrow 25n=-75\)
\(\Rightarrow n=-\frac{75}{25}\)
\(\therefore n=-3\)
\(m, n\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\((3x-4y-21)(4x+3y-3)\equiv (3x-4y)(4x+3y)-93x-51y+63 ........(6)\)
\((2)\) ও \((6)\) হতে পাই,
\((3x-4y-21)(4x+3y-3)=0\)
\(\therefore 3x-4y-21=0, 4x+3y-3=0\)
\(\therefore \) স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ, \( 3x-4y-21=0, 4x+3y-3=0\)
আবার,
\((3, -3)\) বিন্দু থেকে \((1)\) নং বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য,
\(=\sqrt{3^{2}+(-3)^{2}+8.3+4(-3)-5}\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য , \(=\sqrt{x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c}\)
\(=\sqrt{9+9+24-12-5}\)
\(=\sqrt{42-17}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\) একক।
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের দৈর্ঘ্য।
\(Q.3.(xxiii)\) \(b\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্ত যার কেন্দ্রের ভুজ ও কটি উভয়ই ধনাত্মক , \(X\) অক্ষ এবং \(3y=4x\) সরলরেখাকে স্পর্শ করে। তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^2+y^2-4bx-2by+4b^2=0\)।
উত্তরঃ \(x^2+y^2-4bx-2by+4b^2=0\)।
সমাধানঃ
ধরি,
\(3y=4x\)
\(4x-3y=0 .......(1)\)
কেন্দ্র \(C(h, k)\)
ব্যাসার্ধ \(b\)
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=b^2 .....(2)\)
\(X\) অক্ষ \((2)\) নং বৃত্তটিকে স্পর্শ করে, তাহলে কেন্দ্রের \(y\) স্থানাঙ্ক ব্যাসার্ধের সমান হবে।
\(\therefore k=b\)
আবার,
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তটিকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমাণ হয়।
\(\therefore \frac{|4x-3y|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=b\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|4h-3k|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=b\)
\(\Rightarrow \frac{|4h-3k|}{\sqrt{16+9}}=b\)
\(\Rightarrow \frac{|4h-3k|}{\sqrt{25}}=b\)
\(\Rightarrow \frac{|4h-3k|}{5}=b\)
\(\Rightarrow |4h-3k|=5b\)
\(\Rightarrow 4h-3k=\pm 5b\)
\(\Rightarrow 4h=3k\pm 5b\)
\(\Rightarrow h=\frac{3k\pm 5b}{4}\)
\(\Rightarrow h=\frac{3b\pm 5b}{4}\) ➜ \(\because k=b\)
\(\Rightarrow h=\frac{3b+5b}{4}\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow h=\frac{8b}{4}\)
\(\therefore h=2b\)
আবার,
\(\Rightarrow h=\frac{3b-5b}{4}\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow h=\frac{-2b}{4}\)
\(\Rightarrow h=-\frac{b}{2}\)
\(\therefore h\ne-\frac{b}{2}\)
\(h, k\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\(h=2b, k=b \Rightarrow (x-2b)^2+(y-b)^2=b^2\)
\(\Rightarrow x^2-4bx+4b^2+y^2-2by+b^2-b^2=0\)
\(\therefore x^2+y^2-4bx-2by+4b^2=0\) ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
\(3y=4x\)
\(4x-3y=0 .......(1)\)
কেন্দ্র \(C(h, k)\)
ব্যাসার্ধ \(b\)
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=b^2 .....(2)\)
\(X\) অক্ষ \((2)\) নং বৃত্তটিকে স্পর্শ করে, তাহলে কেন্দ্রের \(y\) স্থানাঙ্ক ব্যাসার্ধের সমান হবে।
\(\therefore k=b\)
আবার,
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তটিকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমাণ হয়।
\(\therefore \frac{|4x-3y|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=b\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|4h-3k|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=b\)
\(\Rightarrow \frac{|4h-3k|}{\sqrt{16+9}}=b\)
\(\Rightarrow \frac{|4h-3k|}{\sqrt{25}}=b\)
\(\Rightarrow \frac{|4h-3k|}{5}=b\)
\(\Rightarrow |4h-3k|=5b\)
\(\Rightarrow 4h-3k=\pm 5b\)
\(\Rightarrow 4h=3k\pm 5b\)
\(\Rightarrow h=\frac{3k\pm 5b}{4}\)
\(\Rightarrow h=\frac{3b\pm 5b}{4}\) ➜ \(\because k=b\)
\(\Rightarrow h=\frac{3b+5b}{4}\) ➜ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow h=\frac{8b}{4}\)
\(\therefore h=2b\)
আবার,
\(\Rightarrow h=\frac{3b-5b}{4}\) ➜ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow h=\frac{-2b}{4}\)
\(\Rightarrow h=-\frac{b}{2}\)
\(\therefore h\ne-\frac{b}{2}\)
\(h, k\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\(h=2b, k=b \Rightarrow (x-2b)^2+(y-b)^2=b^2\)
\(\Rightarrow x^2-4bx+4b^2+y^2-2by+b^2-b^2=0\)
\(\therefore x^2+y^2-4bx-2by+4b^2=0\) ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.3.(xxiv)\) \(x^{2}+y^{2}-6x+10y-21=0\) বৃত্তের একটি জ্যা-এর সমীকরণ ও দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর যার মধ্যবিন্দু \((1, -2)\) বিন্দুতে অবস্থিত।
উত্তরঃ \(2x-3y-8=0, 2\sqrt{42}\)।
উত্তরঃ \(2x-3y-8=0, 2\sqrt{42}\)।
সমাধানঃ
ধরি,
\(x^{2}+y^{2}-6x+10y-21=0 .....(1)\)
\(2g=-6, 2f=10, c=-21\)
\(\Rightarrow g=-3, f=5, c=-21\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(3, -5)\)
ব্যাসার্ধ \(BC=AC=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-3)^2+5^2+21}\)
\(=\sqrt{9+25+21}\)
\(=\sqrt{55}\)
\((1)\) বৃত্তের একটি জ্যা-এর সমীকরণ, যার মধ্যবিন্দু \(D(1, -2)\) .
\(x.1+y.(-2)-3(x+1)+5(y-2)-21\)\(=1^{2}+(-2)^{2}-6.1+10(-2)-21\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তে অঙ্কিত জ্যা-এর মধ্যবিন্দু \(D(x_1, y_1)\) হলে, জ্যা-এর সমীকরণ, \(xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c\)\(=x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c\)
\(\Rightarrow x-2y-3x-3+5y-10-21=1+4-6-20-21\)
\(\Rightarrow -2x+3y-34=5-47\)
\(\Rightarrow -2x+3y-34=-42\)
\(\Rightarrow -2x+3y-34+42=0\)
\(\Rightarrow -2x+3y+8=0\)
\(\therefore 2x-3y-8=0 ........(2)\)
ইহাই নির্ণেয় সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ।
এখন,
\(CD=\sqrt{(3-1)^2+(-5+2)^2}\)
\(=\sqrt{2^2+(-3)^2}\)
\(=\sqrt{4+9}\)
\(=\sqrt{13}\)
কেন্দ্র \(C(3, -5)\) থেকে \(CD\),জ্যা- \(AB\) উপর লম্ব।
তাহলে, \(\triangle ACD\) সমকোণী।
\(\therefore AD^2+CD^2=AC^2\)
\(\Rightarrow AD^2=AC^2-CD^2\)
\(\Rightarrow AD=\sqrt{(\sqrt{55})^2-(\sqrt{13})^2}\)
\(=\sqrt{55-13}\)
\(=\sqrt{42}\)
জ্যা-এর দৈর্ঘ্য \(AB=2\times AD\)
\(=2\times \sqrt{42}\)
\(=2\sqrt{42}\)
ইহাই নির্ণেয় সাধারণ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য ।
\(x^{2}+y^{2}-6x+10y-21=0 .....(1)\)
\(2g=-6, 2f=10, c=-21\)
\(\Rightarrow g=-3, f=5, c=-21\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(3, -5)\)
ব্যাসার্ধ \(BC=AC=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-3)^2+5^2+21}\)
\(=\sqrt{9+25+21}\)
\(=\sqrt{55}\)
\((1)\) বৃত্তের একটি জ্যা-এর সমীকরণ, যার মধ্যবিন্দু \(D(1, -2)\) .
\(x.1+y.(-2)-3(x+1)+5(y-2)-21\)\(=1^{2}+(-2)^{2}-6.1+10(-2)-21\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তে অঙ্কিত জ্যা-এর মধ্যবিন্দু \(D(x_1, y_1)\) হলে, জ্যা-এর সমীকরণ, \(xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c\)\(=x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c\)
\(\Rightarrow x-2y-3x-3+5y-10-21=1+4-6-20-21\)
\(\Rightarrow -2x+3y-34=5-47\)
\(\Rightarrow -2x+3y-34=-42\)
\(\Rightarrow -2x+3y-34+42=0\)
\(\Rightarrow -2x+3y+8=0\)
\(\therefore 2x-3y-8=0 ........(2)\)
ইহাই নির্ণেয় সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ।
এখন,
\(CD=\sqrt{(3-1)^2+(-5+2)^2}\)
\(=\sqrt{2^2+(-3)^2}\)
\(=\sqrt{4+9}\)
\(=\sqrt{13}\)
কেন্দ্র \(C(3, -5)\) থেকে \(CD\),জ্যা- \(AB\) উপর লম্ব।
তাহলে, \(\triangle ACD\) সমকোণী।
\(\therefore AD^2+CD^2=AC^2\)
\(\Rightarrow AD^2=AC^2-CD^2\)
\(\Rightarrow AD=\sqrt{(\sqrt{55})^2-(\sqrt{13})^2}\)
\(=\sqrt{55-13}\)
\(=\sqrt{42}\)
জ্যা-এর দৈর্ঘ্য \(AB=2\times AD\)
\(=2\times \sqrt{42}\)
\(=2\sqrt{42}\)
ইহাই নির্ণেয় সাধারণ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য ।
\(Q.3.(xxviii)\) দেখাও যে, \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের উপরস্থ যে কোন বিন্দু হতে \(x^2+y^2+2gx+2fy+\acute c=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \(\sqrt{\acute c-c}\)।
সমাধানঃ
ধরি,
\(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 ........(1)\)
\(x^2+y^2+2gx+2fy+\acute c=0.......(2)\)
\(P(a, b)\), \((1)\) নং বৃত্তের উপর যে কোন বিন্দু।
\(\therefore a^2+b^2+2ga+2fb+c=0 ........(3)\)
\(P(a, b)\) হতে \((2)\) নং বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য,
\(=\sqrt{a^2+b^2+2ga+2fb+\acute c}\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য , \(=\sqrt{x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c}\)
\(=\sqrt{a^2+b^2+2ga+2fb+c+\acute c-c}\) \(=\sqrt{0+\acute c-c}\) ➜ \((3)\) এর সাহায্যে।
\(=\sqrt{\acute c-c}\)
[ Showed ]
\(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 ........(1)\)
\(x^2+y^2+2gx+2fy+\acute c=0.......(2)\)
\(P(a, b)\), \((1)\) নং বৃত্তের উপর যে কোন বিন্দু।
\(\therefore a^2+b^2+2ga+2fb+c=0 ........(3)\)
\(P(a, b)\) হতে \((2)\) নং বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য,
\(=\sqrt{a^2+b^2+2ga+2fb+\acute c}\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য , \(=\sqrt{x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c}\)
\(=\sqrt{a^2+b^2+2ga+2fb+c+\acute c-c}\) \(=\sqrt{0+\acute c-c}\) ➜ \((3)\) এর সাহায্যে।
\(=\sqrt{\acute c-c}\)
[ Showed ]
\(Q.3.(xxix)\) \(x=0\), \(y=0\) এবং \(x=a\) রেখা তিনটিকে স্পর্শ করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০৫; কুঃ ২০১১]
উত্তরঃ \(x^2+y^2-ax\pm ay+\frac{1}{4}a^2=0\)
[ রাঃ ২০০৫; কুঃ ২০১১]
উত্তরঃ \(x^2+y^2-ax\pm ay+\frac{1}{4}a^2=0\)
সমাধানঃ
ধরি,
\(x=0 ......(1)\)
\(y=0 ......(2)\)
\(x=a ......(3)\)
শর্তমতে,
বৃত্তের ব্যাস \(=a\) ➜ \(\because \) বৃত্তটি \(x=a\) রেখাকে স্পর্শ করে।
ব্যাসার্ধ \(=\frac{a}{2}\)
\(\because \) বৃত্তটি উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে,
\(\therefore \) কেন্দ্র \((\frac{a}{2}, \frac{a}{2})\) যা ১ম চৌকোণে অবস্থিত।
বৃত্তটি \((3)\) নং সরলরেখাকে স্পর্শ করে বলে এর কেন্দ্র চতুর্থ চৌকোণেও অবস্থিত হবে।
সে ক্ষেত্রে কেন্দ্র \((\frac{a}{2}, -\frac{a}{2})\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \((\frac{a}{2}, \pm \frac{a}{2})\)
এখন বৃত্তটির সমীকরণ,
\((x-\frac{a}{2})^{2}+(y\pm \frac{a}{2})^{2}=(\frac{a}{2})^{2}\) ➜ কেন্দ্র \(C(h, k)\), ব্যাসার্ধ \(r\), বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)
\(\Rightarrow (\frac{2x-a}{2})^{2}+(\frac{2y\pm a}{2})^{2}=\frac{a^{2}}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{(2x-a)^{2}}{4}+\frac{(2y\pm a)^{2}}{4}=\frac{a^{2}}{4}\)
\(\Rightarrow (2x-a)^{2}+(2y\pm a)^{2}=a^{2}\)
\(\Rightarrow 4x^{2}-4ax+a^{2}+4y^{2}\pm 4ay+a^{2}-a^{2}=0\)
\(\Rightarrow 4(x^{2}+y^{2})-4ax\pm 4ay+a^{2}=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
\(x=0 ......(1)\)
\(y=0 ......(2)\)
\(x=a ......(3)\)
শর্তমতে,
বৃত্তের ব্যাস \(=a\) ➜ \(\because \) বৃত্তটি \(x=a\) রেখাকে স্পর্শ করে।
ব্যাসার্ধ \(=\frac{a}{2}\)
\(\because \) বৃত্তটি উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে,
\(\therefore \) কেন্দ্র \((\frac{a}{2}, \frac{a}{2})\) যা ১ম চৌকোণে অবস্থিত।
বৃত্তটি \((3)\) নং সরলরেখাকে স্পর্শ করে বলে এর কেন্দ্র চতুর্থ চৌকোণেও অবস্থিত হবে।
সে ক্ষেত্রে কেন্দ্র \((\frac{a}{2}, -\frac{a}{2})\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \((\frac{a}{2}, \pm \frac{a}{2})\)
এখন বৃত্তটির সমীকরণ,
\((x-\frac{a}{2})^{2}+(y\pm \frac{a}{2})^{2}=(\frac{a}{2})^{2}\) ➜ কেন্দ্র \(C(h, k)\), ব্যাসার্ধ \(r\), বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)
\(\Rightarrow (\frac{2x-a}{2})^{2}+(\frac{2y\pm a}{2})^{2}=\frac{a^{2}}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{(2x-a)^{2}}{4}+\frac{(2y\pm a)^{2}}{4}=\frac{a^{2}}{4}\)
\(\Rightarrow (2x-a)^{2}+(2y\pm a)^{2}=a^{2}\)
\(\Rightarrow 4x^{2}-4ax+a^{2}+4y^{2}\pm 4ay+a^{2}-a^{2}=0\)
\(\Rightarrow 4(x^{2}+y^{2})-4ax\pm 4ay+a^{2}=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.3.(xxx)\) \(\sqrt{2}\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে এবং যার কেন্দ্র তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত ।
উত্তরঃ \(x^2+y^2+2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y+2=0\)
উত্তরঃ \(x^2+y^2+2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y+2=0\)
সমাধানঃ
ধরি,
বৃত্তের কেন্দ্র \(C(h, k)\)
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ \(\sqrt{2}\).
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=(\sqrt{2})^2\) ➜ কেন্দ্র \(C(h, k)\), ব্যাসার্ধ \(r\), বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)
\(\Rightarrow (x-h)^2+(y-k)^2=2 ........(1)\)
\((1)\) নং বৃত্ত উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে। তাহলে, কেন্দ্রের \(x\) এবং \(y\) স্থানাঙ্ক উভয়ে ব্যাসার্ধের সমান হবে।
\(h=k=-\sqrt{2}\) ➜ দেওয়া আছে, কেন্দ্র তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
\(h, k\) এর মাণ \((1)\) এ বসিয়ে,
\((x+\sqrt{2})^2+(y+\sqrt{2})^2=2\)
\(\Rightarrow (x+\sqrt{2})^2+(y+\sqrt{2})^2=2\)
\(\Rightarrow x^2+2\sqrt{2}x+2+y^2+2\sqrt{2}y+2-2=0\)
\(\therefore x^2+y^2+2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y+2=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
বৃত্তের কেন্দ্র \(C(h, k)\)
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ \(\sqrt{2}\).
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=(\sqrt{2})^2\) ➜ কেন্দ্র \(C(h, k)\), ব্যাসার্ধ \(r\), বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)
\(\Rightarrow (x-h)^2+(y-k)^2=2 ........(1)\)
\((1)\) নং বৃত্ত উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে। তাহলে, কেন্দ্রের \(x\) এবং \(y\) স্থানাঙ্ক উভয়ে ব্যাসার্ধের সমান হবে।
\(h=k=-\sqrt{2}\) ➜ দেওয়া আছে, কেন্দ্র তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
\(h, k\) এর মাণ \((1)\) এ বসিয়ে,
\((x+\sqrt{2})^2+(y+\sqrt{2})^2=2\)
\(\Rightarrow (x+\sqrt{2})^2+(y+\sqrt{2})^2=2\)
\(\Rightarrow x^2+2\sqrt{2}x+2+y^2+2\sqrt{2}y+2-2=0\)
\(\therefore x^2+y^2+2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y+2=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.3.(xxxi)\) \((-5, -6)\) বিন্দুগামী একটি বৃত্ত \(3x+4y-11=0\) রেখাকে \((1, 2)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^2+y^2+4x+4y-17=0\)
উত্তরঃ \(x^2+y^2+4x+4y-17=0\)
সমাধানঃ
ধরি,
\(3x+4y-11=0 .......(1)\)
\((1, 2)\) বিন্দুতে বিন্দুবৃত্তের সমীকরণ,
\((x-1)^2+(y-2)^2=0\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2-4y+4=0\)
\(\therefore x^2+y^2-2x-4y+5=0 ......(2)\)
এখন,
\((-5, -6)\) বিন্দুগামী এবং \((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ।
\(\frac{x^2+y^2-2x-4y+5}{3x+4y-11}=\frac{(-5)^2+(-6)^2-2(-5)-4(-6)+5}{3(-5)+4(-6)-11}\) ➜ \(A(x_1, y_1)\) বিন্দুগামী এবং \(ax+by+c=0\) রেখা ও \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2+y^2+2gx+2fy+c}{ax+by+c}=\frac{x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c}{ax_1+by_1+c}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2+y^2-2x-4y+5}{3x+4y-11}=\frac{25+36+10+24+5}{-15-24-11}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2+y^2-2x-4y+5}{3x+4y-11}=\frac{100}{-50}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2+y^2-2x-4y+5}{3x+4y-11}=-2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2x-4y+5=-6x-8y+22\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2x-4y+5+6x+8y-22=0\)
\(\therefore x^2+y^2+4x+4y-17=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
\(3x+4y-11=0 .......(1)\)
\((1, 2)\) বিন্দুতে বিন্দুবৃত্তের সমীকরণ,
\((x-1)^2+(y-2)^2=0\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2-4y+4=0\)
\(\therefore x^2+y^2-2x-4y+5=0 ......(2)\)
এখন,
\((-5, -6)\) বিন্দুগামী এবং \((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ।
\(\frac{x^2+y^2-2x-4y+5}{3x+4y-11}=\frac{(-5)^2+(-6)^2-2(-5)-4(-6)+5}{3(-5)+4(-6)-11}\) ➜ \(A(x_1, y_1)\) বিন্দুগামী এবং \(ax+by+c=0\) রেখা ও \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2+y^2+2gx+2fy+c}{ax+by+c}=\frac{x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c}{ax_1+by_1+c}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2+y^2-2x-4y+5}{3x+4y-11}=\frac{25+36+10+24+5}{-15-24-11}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2+y^2-2x-4y+5}{3x+4y-11}=\frac{100}{-50}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2+y^2-2x-4y+5}{3x+4y-11}=-2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2x-4y+5=-6x-8y+22\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2x-4y+5+6x+8y-22=0\)
\(\therefore x^2+y^2+4x+4y-17=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.3.(xxxii)\) \(12x+5y=212\) সরলরেখা হতে \(x^2+y^2-2x-2y=167\) বৃত্তের উপর যে বিন্দুটির দূরত্ব ক্ষুদ্রতম তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((13, 6)\) .
উত্তরঃ \((13, 6)\) .
সমাধানঃ
ধরি,
\(12x+5y-212=0 ........(1)\)
\(x^2+y^2-2x-2y-167=0 ......(2)\)
এখানে,
\(2g=-2, 2f=-2, c=-167\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-1, f=-1, c=-167\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(1, 1)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+167}\)
\(=\sqrt{1+1+167}\)
\(=\sqrt{169}\)
\(=13\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোন সরলরেখার সমীকরণ,
\(5x-12y+k=0 ........(3)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখা কেন্দ্র \(C(1, 1)\) দিয়ে যায়,
\(\therefore 5.1-12.1+k=0\)
\(\Rightarrow 5-12+k=0\)
\(\Rightarrow -7+k=0\)
\(\therefore k=7\)
\(k\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(5x-12y+7=0 ........(4)\)
\((1)\) ও \((4)\) এর ছেদবিন্দু \(\) নির্ণয় করি,
\(\frac{x}{5\times 7-(-12)\times (-212)}=\frac{y}{5\times (-212)-12\times 7}=\frac{1}{12\times (-12)-5\times 5}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{35-2544}=\frac{y}{-1060-84}=\frac{1}{-144-25}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-2509}=\frac{y}{-1144}=\frac{1}{-169}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-2509}=\frac{1}{-169}, \frac{y}{-1144}=\frac{1}{-169}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-2509}{-169}, y=\frac{-1144}{-169}\)
\(\Rightarrow x=\frac{193}{13}, y=\frac{88}{13}\)
\(\therefore M(\frac{193}{13}, \frac{88}{13})\)
\(MC=\sqrt{(\frac{193}{13}-1)^2+(\frac{88}{13}-1)^2}\)
\(=\sqrt{(\frac{193-13}{13})^2+(\frac{88-13}{13})^2}\)
\(=\sqrt{(\frac{180}{13})^2+(\frac{75}{13})^2}\)
\(=\sqrt{\frac{32400}{169}+\frac{5625}{169}}\)
\(=\sqrt{\frac{32400+5625}{169}}\)
\(=\sqrt{\frac{38025}{169}}\)
\(=\sqrt{225}\)
\(=15\)
ধরি, নির্ণেয় বিন্দুটি \(p(\alpha, \beta)\)
\(CP=r=13\)
\(PM=CM-CP=15-13=2\)
\(P\) বিন্দুটি \(CM\) কে \(13:2\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore P\left(\frac{13\times \frac{193}{13}+2\times 1}{13+2}, \frac{13\times \frac{88}{13}+2\times 1}{13+2}\right)\) ➜ \(p(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow P\left(\frac{193+2}{15}, \frac{88+2}{15}\right)\)
\(\Rightarrow P\left(\frac{195}{15}, \frac{90}{15}\right)\)
\(\therefore P(13, 6)\)
ইহাই নির্ণেয় বিন্দু।
\(12x+5y-212=0 ........(1)\)
\(x^2+y^2-2x-2y-167=0 ......(2)\)
এখানে,
\(2g=-2, 2f=-2, c=-167\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-1, f=-1, c=-167\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(1, 1)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+167}\)
\(=\sqrt{1+1+167}\)
\(=\sqrt{169}\)
\(=13\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোন সরলরেখার সমীকরণ,
\(5x-12y+k=0 ........(3)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখা কেন্দ্র \(C(1, 1)\) দিয়ে যায়,
\(\therefore 5.1-12.1+k=0\)
\(\Rightarrow 5-12+k=0\)
\(\Rightarrow -7+k=0\)
\(\therefore k=7\)
\(k\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(5x-12y+7=0 ........(4)\)
\((1)\) ও \((4)\) এর ছেদবিন্দু \(\) নির্ণয় করি,
\(\frac{x}{5\times 7-(-12)\times (-212)}=\frac{y}{5\times (-212)-12\times 7}=\frac{1}{12\times (-12)-5\times 5}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{35-2544}=\frac{y}{-1060-84}=\frac{1}{-144-25}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-2509}=\frac{y}{-1144}=\frac{1}{-169}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-2509}=\frac{1}{-169}, \frac{y}{-1144}=\frac{1}{-169}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-2509}{-169}, y=\frac{-1144}{-169}\)
\(\Rightarrow x=\frac{193}{13}, y=\frac{88}{13}\)
\(\therefore M(\frac{193}{13}, \frac{88}{13})\)
\(MC=\sqrt{(\frac{193}{13}-1)^2+(\frac{88}{13}-1)^2}\)
\(=\sqrt{(\frac{193-13}{13})^2+(\frac{88-13}{13})^2}\)
\(=\sqrt{(\frac{180}{13})^2+(\frac{75}{13})^2}\)
\(=\sqrt{\frac{32400}{169}+\frac{5625}{169}}\)
\(=\sqrt{\frac{32400+5625}{169}}\)
\(=\sqrt{\frac{38025}{169}}\)
\(=\sqrt{225}\)
\(=15\)
ধরি, নির্ণেয় বিন্দুটি \(p(\alpha, \beta)\)
\(CP=r=13\)
\(PM=CM-CP=15-13=2\)
\(P\) বিন্দুটি \(CM\) কে \(13:2\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore P\left(\frac{13\times \frac{193}{13}+2\times 1}{13+2}, \frac{13\times \frac{88}{13}+2\times 1}{13+2}\right)\) ➜ \(p(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow P\left(\frac{193+2}{15}, \frac{88+2}{15}\right)\)
\(\Rightarrow P\left(\frac{195}{15}, \frac{90}{15}\right)\)
\(\therefore P(13, 6)\)
ইহাই নির্ণেয় বিন্দু।
\(Q.3.(xxxiii)\) \(x^2+y^2=r^2\) বৃত্তের যেসব জ্যা \((\alpha, \beta)\) বিন্দুগামী তাদের মধ্যবিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x(x-\alpha)+y(y-\beta)=0\) .
উত্তরঃ \(x(x-\alpha)+y(y-\beta)=0\) .
সমাধানঃ
ধরি,
\(x^2+y^2=r^2 ......(1)\)
((1)\) এর কেন্দ্র \(O(0, 0)\)
\(A(\alpha, \beta)\) বিন্দুগামী জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সঞ্চার পথের \(P(x, y)\) যে কোন বিন্দু।
ফলে, \(PA\perp PO\)
\(PA\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y-\beta}{x-\alpha}\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\);\(PQ\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)
\(PO\) এর ঢাল \(m_2=\frac{y-0}{x-0}\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\);\(PQ\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)
\(=\frac{y}{x}\)
শর্তমতে,
\(m_1\times m_2=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y-\beta}{x-\alpha}\times \frac{y}{x}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y(y-\beta)}{x(x-\alpha)}=-1\)
\(\Rightarrow y(y-\beta)=-x(x-\alpha)\)
\(\therefore x(x-\alpha)+y(y-\beta)=0\)
ইহাই নির্ণেয় সঞ্চার পথের সমীকরণ।
\(x^2+y^2=r^2 ......(1)\)
((1)\) এর কেন্দ্র \(O(0, 0)\)
\(A(\alpha, \beta)\) বিন্দুগামী জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সঞ্চার পথের \(P(x, y)\) যে কোন বিন্দু।
ফলে, \(PA\perp PO\)
\(PA\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y-\beta}{x-\alpha}\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\);\(PQ\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)
\(PO\) এর ঢাল \(m_2=\frac{y-0}{x-0}\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\);\(PQ\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)
\(=\frac{y}{x}\)
শর্তমতে,
\(m_1\times m_2=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y-\beta}{x-\alpha}\times \frac{y}{x}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y(y-\beta)}{x(x-\alpha)}=-1\)
\(\Rightarrow y(y-\beta)=-x(x-\alpha)\)
\(\therefore x(x-\alpha)+y(y-\beta)=0\)
ইহাই নির্ণেয় সঞ্চার পথের সমীকরণ।
\(Q.3.(xxxiv)\) \((h, k)\) বিন্দু থেকে \(x^2+y^2=12\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \(x^2+y^2+5x+5y=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ। \((h, k)\) বিন্দুটির সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x^2+3y^2+20x+20y+12=0\)।
উত্তরঃ \(3x^2+3y^2+20x+20y+12=0\)।
সমাধানঃ
ধরি,
\(x^2+y^2-12=0 .....(1)\)
\(x^2+y^2+5x+5y=0 .....(2)\)
\(P(h, k)\) বিন্দু হতে \((1)\) নং বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য,
\(PT_1=\sqrt{h^2+k^2-12}\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য , \(=\sqrt{x^2_1+y^2_1-r^2}\)
\(P(h, k)\) বিন্দু হতে \((2)\) নং বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য,
\(PT_2=\sqrt{h^2+k^2+5h+5k}\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য , \(=\sqrt{x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c}\)
শর্তমতে,
\(PT_1=2PT_2\)
\(\Rightarrow \sqrt{h^2+k^2-12}=2\sqrt{h^2+k^2+5h+5k}\)
\(\Rightarrow h^2+k^2-12=4(h^2+k^2+5h+5k)\)
\(\Rightarrow 4(h^2+k^2+5h+5k)=h^2+k^2-12\)
\(\Rightarrow 4h^2+4k^2+20h+20k-h^2-k^2+12=0\)
\(\Rightarrow 3h^2+3k^2+20h+20k+12=0\)
\(\therefore P(h, k)\) বিন্দুর সঞ্চার পথ, \(3x^2+3y^2+20x+20y+12=0\).
\(x^2+y^2-12=0 .....(1)\)
\(x^2+y^2+5x+5y=0 .....(2)\)
\(P(h, k)\) বিন্দু হতে \((1)\) নং বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য,
\(PT_1=\sqrt{h^2+k^2-12}\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য , \(=\sqrt{x^2_1+y^2_1-r^2}\)
\(P(h, k)\) বিন্দু হতে \((2)\) নং বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য,
\(PT_2=\sqrt{h^2+k^2+5h+5k}\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বহিঃস্থ কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য , \(=\sqrt{x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c}\)
শর্তমতে,
\(PT_1=2PT_2\)
\(\Rightarrow \sqrt{h^2+k^2-12}=2\sqrt{h^2+k^2+5h+5k}\)
\(\Rightarrow h^2+k^2-12=4(h^2+k^2+5h+5k)\)
\(\Rightarrow 4(h^2+k^2+5h+5k)=h^2+k^2-12\)
\(\Rightarrow 4h^2+4k^2+20h+20k-h^2-k^2+12=0\)
\(\Rightarrow 3h^2+3k^2+20h+20k+12=0\)
\(\therefore P(h, k)\) বিন্দুর সঞ্চার পথ, \(3x^2+3y^2+20x+20y+12=0\).
\(Q.3.(xxxv)\) যেসব বিন্দু থেকে \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক দুইটি পরস্পর লম্ব হয় তাদের সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^2+y^2=2a^2\)।
উত্তরঃ \(x^2+y^2=2a^2\)।
সমাধানঃ
ধরি,
\(x^2+y^2=a^2 .......(1)\)
\((1)\) এর কেন্দ্র \(O(0, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(=a\)
আবার,
সঞ্চার পথের উপর যে কোন বিন্দু \(P(x, y)\) হতে \((1)\) নং বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় \(PA\) এবং \(PB\) পরস্পর লম্ব।
\(\therefore \Box PAOB\)-এ \(\angle A=\angle B=\angle P=90^o\)
\(\therefore \angle O=90^o\)
আবার,
\(AO=BO=a=\)ব্যাসার্ধ ।
\(\therefore \Box PAOB\)একটি বর্গক্ষেত্র যার প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য \(=a\) একক।
এখন,
\(PO^2=PA^2+AO^2\)
\(\Rightarrow (x-0)^2+(y-0)^2=a^2+a^2\)
\(\therefore x^2+y^2=2a^2\)
ইহাই নির্ণেয় সঞ্চার পথের সমীকরন।
বিকল্প পদ্ধতিঃ
\(x^2+y^2=a^2 .......(1)\)
\((1)\) নং বৃত্তে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(y=mx\pm a\sqrt{1+m^2}\)
\(\Rightarrow y-mx=\pm a\sqrt{1+m^2}\)
\(\Rightarrow (y-mx)^2=a^2(1+m^2)\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow y^2-2mxy+m^2x^2=a^2+m^2a^2\)
\(\Rightarrow y^2-2mxy+m^2x^2-a^2-m^2a^2=0\)
\(\therefore (x^2-a^2)m^2-2mxy+(y^2-a^2)=0 .....(2)\) যা \(m\) এর দ্বিঘাত সমীকরণ। এখানে \(m\) এর দুইটি মাণ যথাক্রমে \(m_1\) ও \(m_2\)।
\(\therefore m_1m_2=\frac{y^2-a^2}{x^2-a^2} .....(3)\) ➜\(ax^2+bx+c=0\) এর মূলদ্বয় \(\alpha, \beta \) হলে, মূল দ্বয়ের গুনফল \(\alpha \beta=\frac{c}{a}\)
আবার,
স্পর্শকদ্বয় পরস্পর লম্ব বলে, \(m_1m_2=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2-a^2}{x^2-a^2}=-1\)
\(\Rightarrow y^2-a^2=-(x^2-a^2)\)
\(\Rightarrow y^2-a^2=-x^2+a^2\)
\(\Rightarrow y^2-a^2+x^2=a^2\)
\(\Rightarrow y^2+x^2=a^2+a^2\)
\(\therefore y^2+x^2=2a^2\)
ইহাই নির্ণেয় সঞ্চার পথের সমীকরন।
\(x^2+y^2=a^2 .......(1)\)
\((1)\) এর কেন্দ্র \(O(0, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(=a\)
আবার,
সঞ্চার পথের উপর যে কোন বিন্দু \(P(x, y)\) হতে \((1)\) নং বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় \(PA\) এবং \(PB\) পরস্পর লম্ব।
\(\therefore \Box PAOB\)-এ \(\angle A=\angle B=\angle P=90^o\)
\(\therefore \angle O=90^o\)
আবার,
\(AO=BO=a=\)ব্যাসার্ধ ।
\(\therefore \Box PAOB\)একটি বর্গক্ষেত্র যার প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য \(=a\) একক।
এখন,
\(PO^2=PA^2+AO^2\)
\(\Rightarrow (x-0)^2+(y-0)^2=a^2+a^2\)
\(\therefore x^2+y^2=2a^2\)
ইহাই নির্ণেয় সঞ্চার পথের সমীকরন।
বিকল্প পদ্ধতিঃ
\(x^2+y^2=a^2 .......(1)\)
\((1)\) নং বৃত্তে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(y=mx\pm a\sqrt{1+m^2}\)
\(\Rightarrow y-mx=\pm a\sqrt{1+m^2}\)
\(\Rightarrow (y-mx)^2=a^2(1+m^2)\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow y^2-2mxy+m^2x^2=a^2+m^2a^2\)
\(\Rightarrow y^2-2mxy+m^2x^2-a^2-m^2a^2=0\)
\(\therefore (x^2-a^2)m^2-2mxy+(y^2-a^2)=0 .....(2)\) যা \(m\) এর দ্বিঘাত সমীকরণ। এখানে \(m\) এর দুইটি মাণ যথাক্রমে \(m_1\) ও \(m_2\)।
\(\therefore m_1m_2=\frac{y^2-a^2}{x^2-a^2} .....(3)\) ➜\(ax^2+bx+c=0\) এর মূলদ্বয় \(\alpha, \beta \) হলে, মূল দ্বয়ের গুনফল \(\alpha \beta=\frac{c}{a}\)
আবার,
স্পর্শকদ্বয় পরস্পর লম্ব বলে, \(m_1m_2=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2-a^2}{x^2-a^2}=-1\)
\(\Rightarrow y^2-a^2=-(x^2-a^2)\)
\(\Rightarrow y^2-a^2=-x^2+a^2\)
\(\Rightarrow y^2-a^2+x^2=a^2\)
\(\Rightarrow y^2+x^2=a^2+a^2\)
\(\therefore y^2+x^2=2a^2\)
ইহাই নির্ণেয় সঞ্চার পথের সমীকরন।
\(Q.3.(xxxvi)\) \(3x-y-1=0\) সরলরেখা \((x-2)^2+y^2=5\) বৃত্তকে যে সূক্ষ্ণকোণে ছেদ করে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(45^o\)।
উত্তরঃ \(45^o\)।
সমাধানঃ
ধরি,
\(3x-y-1=0\)
\(\Rightarrow y=3x-1 .....(1)\)
\((x-2)^2+y^2=5 ......(2)\)
\((2)\) এর কেন্দ্র \(C(2, 0)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((x-2)^2+(3x-1)^2=5\)
\(\Rightarrow x^2-4x+4+9x^2-6x+1-5=0\)
\(\Rightarrow 10x^2-10x=0\)
\(\Rightarrow 10x(x-1)=0\)
\(\Rightarrow 10x=0, x-1=0\)
\(\therefore x=0, x=1\)
\(x\) এর মাণ \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x=0\Rightarrow y=-1, x=1\Rightarrow y=2\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু \(A(0, -1)\) এবং \(B(1, 2)\)
\(A(0, -1)\) বিন্দুতে অভিলম্ব \(CA\) এর ঢাল \(m=\frac{0+1}{2-0}\)
\(=\frac{1}{2}\)
\(A(0, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের এর ঢাল \(m_1=-2\)
\((1)\) সরলরেখার ঢাল \(m_2=3\)
\((1)\) সরলরেখা ও \(A(0, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) নির্ণয় করতে হবে।
\(\therefore \theta=\tan^{-1}\left(\frac{|m_1-m_2|}{1+m_1m_2}\right)\)
\(=\tan^{-1}\left(\frac{-2-3}{1+(-2).3}\right)\)
\(=\tan^{-1}\left(\frac{-5}{1-6}\right)\)
\(=\tan^{-1}\left(\frac{-5}{-5}\right)\)
\(=\tan^{-1}1\)
\(=\tan^{-1}\tan45^o\)
\(=45^o\)
ইহাই নির্ণেয় সূক্ষ্ণকোণ।
\(3x-y-1=0\)
\(\Rightarrow y=3x-1 .....(1)\)
\((x-2)^2+y^2=5 ......(2)\)
\((2)\) এর কেন্দ্র \(C(2, 0)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((x-2)^2+(3x-1)^2=5\)
\(\Rightarrow x^2-4x+4+9x^2-6x+1-5=0\)
\(\Rightarrow 10x^2-10x=0\)
\(\Rightarrow 10x(x-1)=0\)
\(\Rightarrow 10x=0, x-1=0\)
\(\therefore x=0, x=1\)
\(x\) এর মাণ \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x=0\Rightarrow y=-1, x=1\Rightarrow y=2\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু \(A(0, -1)\) এবং \(B(1, 2)\)
\(A(0, -1)\) বিন্দুতে অভিলম্ব \(CA\) এর ঢাল \(m=\frac{0+1}{2-0}\)
\(=\frac{1}{2}\)
\(A(0, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের এর ঢাল \(m_1=-2\)
\((1)\) সরলরেখার ঢাল \(m_2=3\)
\((1)\) সরলরেখা ও \(A(0, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) নির্ণয় করতে হবে।
\(\therefore \theta=\tan^{-1}\left(\frac{|m_1-m_2|}{1+m_1m_2}\right)\)
\(=\tan^{-1}\left(\frac{-2-3}{1+(-2).3}\right)\)
\(=\tan^{-1}\left(\frac{-5}{1-6}\right)\)
\(=\tan^{-1}\left(\frac{-5}{-5}\right)\)
\(=\tan^{-1}1\)
\(=\tan^{-1}\tan45^o\)
\(=45^o\)
ইহাই নির্ণেয় সূক্ষ্ণকোণ।
\(Q.3.(xxxvii)\) দেখাও যে, \(P(h, k)\) বিন্দু থেকে মূলবিন্দুগামী সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর সঞ্চারপথ একটি বৃত্ত।
সমাধানঃ
ধরি,
মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,
\(y=mx\)
\(\Rightarrow m=\frac{y}{x} ......(1)\)
পাদবিন্দুর সঞ্চার পথের উপর যে কোন বিন্দু \(Q(x, y)\)
দেওয়া আছে, \(P(h, k)\)
\(PQ\) এর ঢাল \(m_1=\frac{k-y}{h-x}\)
\((1)\) নং সরলরেখা এবং \(PQ\) পরস্পর লম্ব।
\(\therefore m\times m_1=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y}{x}\times \frac{k-y}{h-x}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y(k-y)}{x(h-x)}=-1\)
\(\Rightarrow -x(h-x)=y(k-y)\)
\(\Rightarrow -hx+x^2=ky-y^2\)
\(\Rightarrow -hx+x^2-ky+y^2=0\)
\(\therefore x^2+y^2-hx-ky=0\) যা একটি বৃত্তের সমীকরণ।
মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,
\(y=mx\)
\(\Rightarrow m=\frac{y}{x} ......(1)\)
পাদবিন্দুর সঞ্চার পথের উপর যে কোন বিন্দু \(Q(x, y)\)
দেওয়া আছে, \(P(h, k)\)
\(PQ\) এর ঢাল \(m_1=\frac{k-y}{h-x}\)
\((1)\) নং সরলরেখা এবং \(PQ\) পরস্পর লম্ব।
\(\therefore m\times m_1=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y}{x}\times \frac{k-y}{h-x}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y(k-y)}{x(h-x)}=-1\)
\(\Rightarrow -x(h-x)=y(k-y)\)
\(\Rightarrow -hx+x^2=ky-y^2\)
\(\Rightarrow -hx+x^2-ky+y^2=0\)
\(\therefore x^2+y^2-hx-ky=0\) যা একটি বৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.3.(xxxviii)\) দেখাও যে, \(x^2+y^2-2ax-2ay+a^2=0\) বৃত্তটি উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে। স্পর্শ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+y=a, \sqrt{2}a\)
উত্তরঃ \(x+y=a, \sqrt{2}a\)
সমাধানঃ
ধরি,
\(x^2+y^2-2ax-2ay+a^2=0 ......(1)\)
এখানে,
\(2g=-2a, 2f=-2a, c=a^2\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-a, f=-a, c=a^2\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(a, a)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-a)^2+(-a)^2-a^2}\)
\(=\sqrt{a^2+a^2-a^2}\)
\(=\sqrt{a^2}\)
\(=a\)
এখন,
\(g^2=(-a)^2=a^2=c\)
\(f^2=(-a)^2=a^2=c\)
\(\therefore g^2=f^2=c\)
\(\therefore (1)\) বৃত্তটি উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে।
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) হতে \((1)\) নং বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শ জ্যা-এর সমীকরণ,
\(x.0+y.0-a(x+0)-a(y+0)+a^2=0\) ➜ বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু \((x_1, y_1)\) হতে স্পর্শ জ্যা-এর সমীকরণ, \(xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0\)
\(\Rightarrow -ax-ay+a^2=0\)
\(\Rightarrow x+y-a=0\) ➜ উভয় পার্শে \(-a\) ভাগ করে।
\(\therefore x+y=a\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শ জ্যা-এর সমীকরণ।
কেন্দ্র হতে স্পর্শ জ্যা \(AB\)-এর উপর অঙ্কিত লম্ব \(CD=\frac{|a+a-a|}{\sqrt{1^2+1^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|a|}{\sqrt{1+1}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{2}}\)
\(D, AB\)-এর মধ্যবিন্দু।
\(\triangle ACD\) সমকোণী।
\(\therefore AD^2+CD^2=AC^2\)
\(\Rightarrow AD^2=AC^2-CD^2\)
\(\Rightarrow AD=\sqrt{AC^2-CD^2}\)
\(=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{2a^2-a^2}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{a^2}{2}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{2}}\)
স্পর্শ জ্য-এর দৈর্ঘ্য, \(AB=2AD\)
\(=2\times \frac{a}{\sqrt{2}}\)
\(=\sqrt{2}\times \sqrt{2}\times \frac{a}{\sqrt{2}}\)
\(=\sqrt{2}a\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য।
\(x^2+y^2-2ax-2ay+a^2=0 ......(1)\)
এখানে,
\(2g=-2a, 2f=-2a, c=a^2\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-a, f=-a, c=a^2\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(a, a)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-a)^2+(-a)^2-a^2}\)
\(=\sqrt{a^2+a^2-a^2}\)
\(=\sqrt{a^2}\)
\(=a\)
এখন,
\(g^2=(-a)^2=a^2=c\)
\(f^2=(-a)^2=a^2=c\)
\(\therefore g^2=f^2=c\)
\(\therefore (1)\) বৃত্তটি উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে।
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) হতে \((1)\) নং বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শ জ্যা-এর সমীকরণ,
\(x.0+y.0-a(x+0)-a(y+0)+a^2=0\) ➜ বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু \((x_1, y_1)\) হতে স্পর্শ জ্যা-এর সমীকরণ, \(xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0\)
\(\Rightarrow -ax-ay+a^2=0\)
\(\Rightarrow x+y-a=0\) ➜ উভয় পার্শে \(-a\) ভাগ করে।
\(\therefore x+y=a\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শ জ্যা-এর সমীকরণ।
কেন্দ্র হতে স্পর্শ জ্যা \(AB\)-এর উপর অঙ্কিত লম্ব \(CD=\frac{|a+a-a|}{\sqrt{1^2+1^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|a|}{\sqrt{1+1}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{2}}\)
\(D, AB\)-এর মধ্যবিন্দু।
\(\triangle ACD\) সমকোণী।
\(\therefore AD^2+CD^2=AC^2\)
\(\Rightarrow AD^2=AC^2-CD^2\)
\(\Rightarrow AD=\sqrt{AC^2-CD^2}\)
\(=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{2a^2-a^2}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{a^2}{2}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{2}}\)
স্পর্শ জ্য-এর দৈর্ঘ্য, \(AB=2AD\)
\(=2\times \frac{a}{\sqrt{2}}\)
\(=\sqrt{2}\times \sqrt{2}\times \frac{a}{\sqrt{2}}\)
\(=\sqrt{2}a\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য।
অনুশীলনী \(4.A\) / \(Q.4\)-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমুহ
\(Q.4.(i)\) কোন বৃত্তের একটি ব্যাসের প্রান্তবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((1, 5)\) \((7, -3)\) ।
\((a)\) অর্ধবৃত্তস্থ কোণ একসমকোণ এটা প্রয়োগ করে বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) অপর একটি ব্যাসের সমীকরণ নির্ণয় কর যা, উল্লেখিত ব্যাসের উপর লম্ব।
\((c)\) মূলবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(X\) ও \(Y\) অক্ষের ধনাত্মক দিক হতে যথাক্রমে \(3\) ও \(5\) একক অংশ ছেদ করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) x^2+y^2-8x-2y-8=0 ;\)
\((b) \ 3x-4y-8=0;\)
\((c) \ x^2+y^2-3x-5y=0 \) ।
\(Q.4.(ii)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ \(x^2+y^2+4x-6y-12=0\)
\((a)\) দেখাও যে, \(x^2+y^2-8x-6y+16=0\) এবং \(x^2+y^2=4\) বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে।
\((b)\) \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণটি কি শর্তে একটি বাস্তব বৃত্ত সূচিত করে?
\((c)\) এরূপ একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((4, 5)\) এবং প্রদত্ত বৃত্তের কেন্দ্রগামী ।
উত্তরঃ \((c) \ x^2+y^2-8x-10y+1=0 \) ।
\(Q.4.(iii)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ \(x^2+y^2-4x+4y=4\) এবং একটি সরলরেখার সমীকরণ \(3x+4y=9\) ।
\((a)\) দেখাও যে, বৃত্তটি উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে।
\((b)\) \(2x-3y-9=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-2x-4y+c=0\) বৃত্তের একটি স্পর্শক হলে, \(c\)এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত বৃত্তের দুইটি স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা প্রদত্ত রেখাটির উপর লম্ব ।
উত্তরঃ \((b) 8\) । \((c) \) ।
\(Q.4.(iv)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ \(x^2+y^2+4x+6y-12=0\)।
\((a)\) দেখাও যে, \(A(1, 1)\) বিন্দুটি প্রদত্ত বৃত্তের উপর অবস্থিত।
\((b)\) \(A\) বিন্দুগামী ব্যাসের অপর প্রান্তবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) দেখাও যে, \(lx+my=1\) রেখাটি \(x^2y^2-2ax=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি \(a^2m^2+2al=1\) হয় ।
উত্তরঃ \((b) (-5, -7) \)।
\(Q.4.(v)\) \(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ।
\((a)\) বৃত্তটি দ্বারা অক্ষদ্বয়ের খন্ডিতাংশের পরিমাণ নির্ণয়ের সূত্রটি প্রতিষ্ঠা কর।
\((b)\) বৃত্তটির \(X\) ও \(Y\) অক্ষদ্বয়কে স্পর্শ করার শর্ত নির্ণয় কর ।
\((c)\) \(x^2+y^2=16\) বৃত্তের স্পর্শক \(X\) অক্ষের সহিত \(30^o\) কোণ উৎপন্ন করে। স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((c) \sqrt{3}y=x\pm 8 \)।
\(Q.4.(vi)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\(x^2+y^2-12x-2y+12=0\) বৃত্তে \(AB\)একটি জ্যা যার মধ্যবিন্দু \(D(2, 3)\)।
\((a)\) বৃত্তটির কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
\((b)\) এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা প্রদত্ত বৃত্তের সাথে এককেন্দ্রিক এবং \(D(2, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\((c)\) \(AB\) জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (6, 1), 5\) একক। \((b) \ x^2+y^2-12x-2y+17=0\) \((c) \ 2x-y-1=0\)।
\(Q.4.(vii)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\(M\) বিন্দুটি \(AB\) জ্যা-এর মধ্যবিন্দু এবং \(PQ\) রেখার সমীকরণ \(x+y-6=0\)।
\((a)\) \(OM\) রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(OACB\) বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(PQ\) যে বৃত্তের ব্যাস তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 3x-4y=0 \)
\((b) \ x^2+y^2-4x-3y=0\)
\((c) \ 2x^2+2y^2-13x-11y+30=0\)।
\((a)\) বৃত্তটি দ্বারা \(X\) অক্ষ থেকে খন্ডিতাংশের পরিমাণ নির্ণয় কর।
\((b)\) উক্ত জ্যাকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর ।
\((c)\) এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((5, 10)\) এবং প্রদত্ত বৃত্তকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে।
উত্তরঃ \((a) \ 10 \) একক।
\((b) \ x^2+y^2-2x-4y=0\)
\((c) \ x^2+y^2-10x-20y+100=0\)।
\(C\) কেন্দ্রবিশীষ্ট বৃত্তে \(AB\) একটি ব্যাস।
\((a)\) বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) বৃত্তটি দ্বারা \(X\) ও \(Y\) অক্ষ থেকে খন্ডিতাংশের পরিমাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(A, B\) এবং মূলবিন্দুগামী বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ x^2+y^2-8x-2y-51=0 \)
\((b) \ 2\sqrt{67}, 4\sqrt{13}\)
\((c) \ 16x^2+16y^2-230x-440y=0\)।
\((a)\) অর্ধবৃত্তস্থ কোণ একসমকোণ এটা প্রয়োগ করে বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) অপর একটি ব্যাসের সমীকরণ নির্ণয় কর যা, উল্লেখিত ব্যাসের উপর লম্ব।
\((c)\) মূলবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(X\) ও \(Y\) অক্ষের ধনাত্মক দিক হতে যথাক্রমে \(3\) ও \(5\) একক অংশ ছেদ করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) x^2+y^2-8x-2y-8=0 ;\)
\((b) \ 3x-4y-8=0;\)
\((c) \ x^2+y^2-3x-5y=0 \) ।
\(Q.4.(ii)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ \(x^2+y^2+4x-6y-12=0\)
\((a)\) দেখাও যে, \(x^2+y^2-8x-6y+16=0\) এবং \(x^2+y^2=4\) বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে।
\((b)\) \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণটি কি শর্তে একটি বাস্তব বৃত্ত সূচিত করে?
\((c)\) এরূপ একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((4, 5)\) এবং প্রদত্ত বৃত্তের কেন্দ্রগামী ।
উত্তরঃ \((c) \ x^2+y^2-8x-10y+1=0 \) ।
\(Q.4.(iii)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ \(x^2+y^2-4x+4y=4\) এবং একটি সরলরেখার সমীকরণ \(3x+4y=9\) ।
\((a)\) দেখাও যে, বৃত্তটি উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে।
\((b)\) \(2x-3y-9=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-2x-4y+c=0\) বৃত্তের একটি স্পর্শক হলে, \(c\)এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত বৃত্তের দুইটি স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা প্রদত্ত রেখাটির উপর লম্ব ।
উত্তরঃ \((b) 8\) । \((c) \) ।
\(Q.4.(iv)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ \(x^2+y^2+4x+6y-12=0\)।
\((a)\) দেখাও যে, \(A(1, 1)\) বিন্দুটি প্রদত্ত বৃত্তের উপর অবস্থিত।
\((b)\) \(A\) বিন্দুগামী ব্যাসের অপর প্রান্তবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) দেখাও যে, \(lx+my=1\) রেখাটি \(x^2y^2-2ax=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি \(a^2m^2+2al=1\) হয় ।
উত্তরঃ \((b) (-5, -7) \)।
\(Q.4.(v)\) \(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ।
\((a)\) বৃত্তটি দ্বারা অক্ষদ্বয়ের খন্ডিতাংশের পরিমাণ নির্ণয়ের সূত্রটি প্রতিষ্ঠা কর।
\((b)\) বৃত্তটির \(X\) ও \(Y\) অক্ষদ্বয়কে স্পর্শ করার শর্ত নির্ণয় কর ।
\((c)\) \(x^2+y^2=16\) বৃত্তের স্পর্শক \(X\) অক্ষের সহিত \(30^o\) কোণ উৎপন্ন করে। স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((c) \sqrt{3}y=x\pm 8 \)।
\(Q.4.(vi)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\(x^2+y^2-12x-2y+12=0\) বৃত্তে \(AB\)একটি জ্যা যার মধ্যবিন্দু \(D(2, 3)\)।\((a)\) বৃত্তটির কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
\((b)\) এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা প্রদত্ত বৃত্তের সাথে এককেন্দ্রিক এবং \(D(2, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\((c)\) \(AB\) জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (6, 1), 5\) একক। \((b) \ x^2+y^2-12x-2y+17=0\) \((c) \ 2x-y-1=0\)।
\(Q.4.(vii)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\(M\) বিন্দুটি \(AB\) জ্যা-এর মধ্যবিন্দু এবং \(PQ\) রেখার সমীকরণ \(x+y-6=0\)।
\((a)\) \(OM\) রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(OACB\) বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(PQ\) যে বৃত্তের ব্যাস তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 3x-4y=0 \)
\((b) \ x^2+y^2-4x-3y=0\)
\((c) \ 2x^2+2y^2-13x-11y+30=0\)।
নিজে কর।
\(Q.4.(viii)\) \(2x-y=0\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}=10x\) বৃত্তটির একটি জ্যা। \((a)\) বৃত্তটি দ্বারা \(X\) অক্ষ থেকে খন্ডিতাংশের পরিমাণ নির্ণয় কর।
\((b)\) উক্ত জ্যাকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর ।
\((c)\) এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((5, 10)\) এবং প্রদত্ত বৃত্তকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে।
উত্তরঃ \((a) \ 10 \) একক।
\((b) \ x^2+y^2-2x-4y=0\)
\((c) \ x^2+y^2-10x-20y+100=0\)।
নিজে কর।
\(Q.4.(ix)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,\(C\) কেন্দ্রবিশীষ্ট বৃত্তে \(AB\) একটি ব্যাস।
\((a)\) বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) বৃত্তটি দ্বারা \(X\) ও \(Y\) অক্ষ থেকে খন্ডিতাংশের পরিমাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(A, B\) এবং মূলবিন্দুগামী বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ x^2+y^2-8x-2y-51=0 \)
\((b) \ 2\sqrt{67}, 4\sqrt{13}\)
\((c) \ 16x^2+16y^2-230x-440y=0\)।
নিজে কর।
\(Q.4.(x)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\(2x-y=3\) রেখার উপর কেন্দ্রবিশীষ্ট একটি বৃত্ত \((3, -2)\) ও \((-2, 0)\) বিন্দুগামী।
\((a)\) বৃত্তটির কেন্দ্র \(h, k\) হলে, \(h\) ও \(k\) এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) বৃত্তটি দ্বারা \(Y\) অক্ষ থেকে খন্ডিতাংশের পরিমাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ k=2h-3 \)
\((b) \ (-2, -7)\)
\((c) \ 2\sqrt{45}\) একক।
\((a)\) বৃত্তটির কেন্দ্র ও \(c\) এর মাণ নির্ণয় কর।
\((b)\) স্পর্শবিন্দু ও বৃত্তটি দ্বারা \(Y\) অক্ষ থেকে খন্ডিতাংশের পরিমাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) দেখাও যে, \(A(-6, -2)\) বিন্দুটি বৃত্তটির উপর অবস্থিত। \(A\) বিন্দু দিয়ে বৃত্তটির যে ব্যাস অঙ্কন করা যায় তার অপর প্রান্তের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (-2, -5), c=4 \)
\((b) \ (-2, 0), \sqrt{21}\) একক।
\((c) (2, -8)\)।
\((a)\) বৃত্তটির কেন্দ্র ও ব্যসার্ধ নির্ণয় কর।
\((b)\) উক্ত জ্যাকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর ।
\((c)\) এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((5, 10)\) এবং প্রদত্ত বৃত্তকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে।
উত্তরঃ \((a) \ (5, 0), 5 \) একক।
\((b) \ x^2+y^2-2x-4y=0\) একক।
\((c) \ x^2+y^2-10x-20y+100=0\)।
\((a)\) দেখাও যে, স্পর্শক থেকে কেন্দ্রের দূরত্ব বৃত্তটির ব্যাসার্ধের সমান।
\((b)\) এরূপ দুইটি স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা উল্লেখিত রেখার উপর লম্ব হবে।
\((c)\) \((4, -3)\) বিন্দু থেকে বৃত্তটির উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য এবং সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) \ 4x-3y+3=0, 4x-3y-17=0\)।
\((c) \ 3, 12x+5y-33=0\)।
\((a)\) \(OC\) এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\((b)\) \(OP\) স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) বৃত্তটির যে জ্যা \(\left(1, \frac{3}{2}\right)\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয় তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \sqrt{3} \) একক।
\((b) \ 3x-4y=0\)
\((c) \ 2y-3=0\)।
\((a)\) সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর ।
\((b)\) বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা-কে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা মূলবিন্দু ও প্রদত্ত বৃত্তদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যাবে।
উত্তরঃ \((a) \ x+1=0\)। \((b)
\ x^2+y^2+3y-1=0\)।
\((c) \ x^2+y^2+x+3y=0\)।
\(2x-y=3\) রেখার উপর কেন্দ্রবিশীষ্ট একটি বৃত্ত \((3, -2)\) ও \((-2, 0)\) বিন্দুগামী।
\((a)\) বৃত্তটির কেন্দ্র \(h, k\) হলে, \(h\) ও \(k\) এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) বৃত্তটি দ্বারা \(Y\) অক্ষ থেকে খন্ডিতাংশের পরিমাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ k=2h-3 \)
\((b) \ (-2, -7)\)
\((c) \ 2\sqrt{45}\) একক।
নিজে কর।
\(Q.4.(xi)\) \(x^2+y^2+4x+10y+c=0\) বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে। \((a)\) বৃত্তটির কেন্দ্র ও \(c\) এর মাণ নির্ণয় কর।
\((b)\) স্পর্শবিন্দু ও বৃত্তটি দ্বারা \(Y\) অক্ষ থেকে খন্ডিতাংশের পরিমাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) দেখাও যে, \(A(-6, -2)\) বিন্দুটি বৃত্তটির উপর অবস্থিত। \(A\) বিন্দু দিয়ে বৃত্তটির যে ব্যাস অঙ্কন করা যায় তার অপর প্রান্তের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (-2, -5), c=4 \)
\((b) \ (-2, 0), \sqrt{21}\) একক।
\((c) (2, -8)\)।
নিজে কর।
\(Q.4.(xii)\) \(y=2x\) রেখাটি \(x^{2}+y^{2}=10x\) বৃত্তটির একটি জ্যা। \((a)\) বৃত্তটির কেন্দ্র ও ব্যসার্ধ নির্ণয় কর।
\((b)\) উক্ত জ্যাকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর ।
\((c)\) এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((5, 10)\) এবং প্রদত্ত বৃত্তকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে।
উত্তরঃ \((a) \ (5, 0), 5 \) একক।
\((b) \ x^2+y^2-2x-4y=0\) একক।
\((c) \ x^2+y^2-10x-20y+100=0\)।
নিজে কর।
\(Q.4.(xiii)\) \(x^2+y^2-2x+2y=2\) বৃত্তের একটি স্পর্শক \(3x+4y-9=0\)। \((a)\) দেখাও যে, স্পর্শক থেকে কেন্দ্রের দূরত্ব বৃত্তটির ব্যাসার্ধের সমান।
\((b)\) এরূপ দুইটি স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা উল্লেখিত রেখার উপর লম্ব হবে।
\((c)\) \((4, -3)\) বিন্দু থেকে বৃত্তটির উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য এবং সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) \ 4x-3y+3=0, 4x-3y-17=0\)।
\((c) \ 3, 12x+5y-33=0\)।
নিজে কর।
\(Q.4.(xiv)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,\((a)\) \(OC\) এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\((b)\) \(OP\) স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) বৃত্তটির যে জ্যা \(\left(1, \frac{3}{2}\right)\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয় তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \sqrt{3} \) একক।
\((b) \ 3x-4y=0\)
\((c) \ 2y-3=0\)।
নিজে কর।
\(Q.4.(xv)\) \(x^2+y^2+2x+3y+1=0\) এবং \(x^2+y^2+4x+3y+3=0\) বৃত্তদ্বয় পরস্পরকে ছেদ করে। \((a)\) সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর ।
\((b)\) বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা-কে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা মূলবিন্দু ও প্রদত্ত বৃত্তদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যাবে।
উত্তরঃ \((a) \ x+1=0\)। \((b)
\ x^2+y^2+3y-1=0\)।
\((c) \ x^2+y^2+x+3y=0\)।
নিজে কর।
\(Q.4.(i)\) কোন বৃত্তের একটি ব্যাসের প্রান্তবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((1, 5)\) \((7, -3)\) ।
\((a)\) অর্ধবৃত্তস্থ কোণ একসমকোণ এটা প্রয়োগ করে বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) অপর একটি ব্যাসের সমীকরণ নির্ণয় কর যা, উল্লেখিত ব্যাসের উপর লম্ব।
\((c)\) মূলবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(X\) ও \(Y\) অক্ষের ধনাত্মক দিক হতে যথাক্রমে \(3\) ও \(5\) একক অংশ ছেদ করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) x^2+y^2-8x-2y-8=0 ;\)
\((b) \ 3x-4y-8=0;\)
\((c) \ x^2+y^2-3x-5y=0 \) ।
\((a)\) অর্ধবৃত্তস্থ কোণ একসমকোণ এটা প্রয়োগ করে বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) অপর একটি ব্যাসের সমীকরণ নির্ণয় কর যা, উল্লেখিত ব্যাসের উপর লম্ব।
\((c)\) মূলবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(X\) ও \(Y\) অক্ষের ধনাত্মক দিক হতে যথাক্রমে \(3\) ও \(5\) একক অংশ ছেদ করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) x^2+y^2-8x-2y-8=0 ;\)
\((b) \ 3x-4y-8=0;\)
\((c) \ x^2+y^2-3x-5y=0 \) ।
সমাধানঃ
\(Q.4.(i).(a)\)
ধরি,
\(A(1, 5)\) \(B(7, -3)\)
বৃত্তের পরিধির উপর যে কোন বিন্দু \(P(x, y)\)
\(\therefore \) অর্ধবৃত্তস্থ কোণ \(\angle APB=90^o\)
তাহলে, \(PA\perp PB\)
\(PA\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y-5}{x-1}\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\);\(PQ\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)
\(PB\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y+3}{x-7}\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\);\(PQ\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)
শর্তমতে,
\(m_1\times m_2=-1\) ➜ \(y=m_1x+c_1\), \(y=m_2x+c_2\) সরলরেখাদ্বয়ের পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত, \(m_1\times m_2=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y-5}{x-1}\times \frac{y+3}{x-7}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{(y-5)(y+3)}{(x-1)(x-7)}=-1\)
\(\Rightarrow (y-5)(y+3)=-(x-1)(x-7)\)
\(\Rightarrow y^2-5y+3y-15=-(x^2-x-7x+7)\)
\(\Rightarrow y^2-2y-15=-(x^2-8x+7)\)
\(\Rightarrow y^2-2y-15=-x^2+8x-7\)
\(\Rightarrow y^2-2y-15+x^2-8x+7=0\)
\(\therefore x^2+y^2-8x-2y-8=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.4.(i).(b)\)
ধরি,
\((a)\) হতে প্রাপ্ত
\(x^2+y^2-8x-2y-8=0 ......(1)\)
এখানে,
\(2g=-8, 2f=-2, c=-8\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-4, f=-1, c=-8\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(4, 1)\)
আবার,
\(A(1, 5)\) \(B(7, -3)\)
\(AB\) ব্যাসের ঢাল \(=\frac{5+3}{1-7}=\frac{8}{-6}=-\frac{4}{3}\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\);\(PQ\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)
\(AB\) ব্যাসের উপর লম্ব রেখার ঢাল \(m=\frac{3}{4}\)
\(AB\) ব্যাসের উপর লম্ব রেখার সমীকরণ, \(y=\frac{3}{4}x+c .........(2)\)
\((2)\) নং রেখা কেন্দ্র \(C(4, 1)\) দিয়ে যায়,
\(\therefore 1=\frac{3}{4}4+c \)
\(\Rightarrow 1=3+c \)
\(\Rightarrow 3+c=1 \)
\(\Rightarrow c=1-2 \)
\(\therefore c=-1 \)
\(c\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\(y=\frac{3}{4}x-1\)
\(\Rightarrow y=\frac{3x}{4}-1\)
\(\Rightarrow y=\frac{3x-4}{4}\)
\(\Rightarrow 3x-4=4y\)
\(\therefore 3x-4y-4=0\)
\(Q.4.(i).(c)\)
দেওয়া আছে,
\(X\) ও \(Y\) অক্ষের ধনাত্মক দিক হতে যথাক্রমে \(3\) ও \(5\) একক অংশ ছেদ করে।
অর্থাৎ বৃত্তটি \(A(3, 0)\) এবং \(B(0, 5)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
ধরি,
মূলবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2gx+2fy=0 ......(3)\)
\((3)\) নং বৃত্তটি \(A(3, 0)\) এবং \(B(0, 5)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore 3^2+0^2+2g.3+2f.0=0 \)
\(\Rightarrow 9+6g=0 \)
\(\Rightarrow 6g=-9 \)
\(\Rightarrow g=-\frac{9}{6} \)
\(\therefore g=-\frac{3}{2} \)
আবার,
\(\therefore 0^2+5^2+2g.0+2f.5=0 \)
\(\Rightarrow 25+10f=0 \)
\(\Rightarrow 10f=-25 \)
\(\Rightarrow f=-\frac{25}{10} \)
\(\therefore f=-\frac{5}{2} \)
\(g, f\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(x^2+y^2+2(-\frac{3}{2})x+2(-\frac{5}{2})y=0\)
\(\therefore x^2+y^2-3x-5y=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
ধরি,
\(A(1, 5)\) \(B(7, -3)\)
বৃত্তের পরিধির উপর যে কোন বিন্দু \(P(x, y)\)
\(\therefore \) অর্ধবৃত্তস্থ কোণ \(\angle APB=90^o\)
তাহলে, \(PA\perp PB\)
\(PA\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y-5}{x-1}\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\);\(PQ\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)
\(PB\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y+3}{x-7}\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\);\(PQ\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)
শর্তমতে,
\(m_1\times m_2=-1\) ➜ \(y=m_1x+c_1\), \(y=m_2x+c_2\) সরলরেখাদ্বয়ের পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত, \(m_1\times m_2=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y-5}{x-1}\times \frac{y+3}{x-7}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{(y-5)(y+3)}{(x-1)(x-7)}=-1\)
\(\Rightarrow (y-5)(y+3)=-(x-1)(x-7)\)
\(\Rightarrow y^2-5y+3y-15=-(x^2-x-7x+7)\)
\(\Rightarrow y^2-2y-15=-(x^2-8x+7)\)
\(\Rightarrow y^2-2y-15=-x^2+8x-7\)
\(\Rightarrow y^2-2y-15+x^2-8x+7=0\)
\(\therefore x^2+y^2-8x-2y-8=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.4.(i).(b)\)
ধরি,
\((a)\) হতে প্রাপ্ত
\(x^2+y^2-8x-2y-8=0 ......(1)\)
এখানে,
\(2g=-8, 2f=-2, c=-8\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-4, f=-1, c=-8\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(4, 1)\)
আবার,
\(A(1, 5)\) \(B(7, -3)\)
\(AB\) ব্যাসের ঢাল \(=\frac{5+3}{1-7}=\frac{8}{-6}=-\frac{4}{3}\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\);\(PQ\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)
\(AB\) ব্যাসের উপর লম্ব রেখার ঢাল \(m=\frac{3}{4}\)
\(AB\) ব্যাসের উপর লম্ব রেখার সমীকরণ, \(y=\frac{3}{4}x+c .........(2)\)
\((2)\) নং রেখা কেন্দ্র \(C(4, 1)\) দিয়ে যায়,
\(\therefore 1=\frac{3}{4}4+c \)
\(\Rightarrow 1=3+c \)
\(\Rightarrow 3+c=1 \)
\(\Rightarrow c=1-2 \)
\(\therefore c=-1 \)
\(c\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\(y=\frac{3}{4}x-1\)
\(\Rightarrow y=\frac{3x}{4}-1\)
\(\Rightarrow y=\frac{3x-4}{4}\)
\(\Rightarrow 3x-4=4y\)
\(\therefore 3x-4y-4=0\)
\(Q.4.(i).(c)\)
দেওয়া আছে,
\(X\) ও \(Y\) অক্ষের ধনাত্মক দিক হতে যথাক্রমে \(3\) ও \(5\) একক অংশ ছেদ করে।
অর্থাৎ বৃত্তটি \(A(3, 0)\) এবং \(B(0, 5)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
ধরি,
মূলবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2gx+2fy=0 ......(3)\)
\((3)\) নং বৃত্তটি \(A(3, 0)\) এবং \(B(0, 5)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore 3^2+0^2+2g.3+2f.0=0 \)
\(\Rightarrow 9+6g=0 \)
\(\Rightarrow 6g=-9 \)
\(\Rightarrow g=-\frac{9}{6} \)
\(\therefore g=-\frac{3}{2} \)
আবার,
\(\therefore 0^2+5^2+2g.0+2f.5=0 \)
\(\Rightarrow 25+10f=0 \)
\(\Rightarrow 10f=-25 \)
\(\Rightarrow f=-\frac{25}{10} \)
\(\therefore f=-\frac{5}{2} \)
\(g, f\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(x^2+y^2+2(-\frac{3}{2})x+2(-\frac{5}{2})y=0\)
\(\therefore x^2+y^2-3x-5y=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.4.(ii)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ \(x^2+y^2+4x-6y-12=0\)
\((a)\) দেখাও যে, \(x^2+y^2-8x-6y+16=0\) এবং \(x^2+y^2=4\) বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে।
\((b)\) \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণটি কি শর্তে একটি বাস্তব বৃত্ত সূচিত করে?
\((c)\) এরূপ একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((4, 5)\) এবং প্রদত্ত বৃত্তের কেন্দ্রগামী ।
উত্তরঃ \((c) \ x^2+y^2-8x-10y+1=0 \) ।
\((a)\) দেখাও যে, \(x^2+y^2-8x-6y+16=0\) এবং \(x^2+y^2=4\) বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে।
\((b)\) \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণটি কি শর্তে একটি বাস্তব বৃত্ত সূচিত করে?
\((c)\) এরূপ একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((4, 5)\) এবং প্রদত্ত বৃত্তের কেন্দ্রগামী ।
উত্তরঃ \((c) \ x^2+y^2-8x-10y+1=0 \) ।
সমাধানঃ
\(Q.4.(ii).(a)\)
ধরি,
\(x^2+y^2-8x-6y+16=0 ........(1)\)
এখানে,
\(2g=-8, 2f=-6, c=16\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-4, f=-3, c=16\)
কেন্দ্র \(C_1(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C_1(4, 3)\)
ব্যাসার্ধ \(r_1=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-4)^2+(-3)^2-16}\)
\(=\sqrt{16+9-16}\)
\(=\sqrt{9}\)
\(=3\)
\(x^2+y^2=2^2 .......(2)\)
এখানে,
কেন্দ্র \(C_2(0, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(r_2=2\)
এখন,
\(C_1C_2=\sqrt{(4-0)^2+(3-0)^2}\)
\(=\sqrt{4^2+3^2}\)
\(=\sqrt{16+9}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)
\(=3+2\)
\(=r_1+r_2\)
\(\therefore C_1C_2=r_1+r_2\)
\(\therefore \) বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে।
\(Q.4.(ii).(b)\)
ধরি,
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0 ......(3)\)
ইহা \(x, y\) এর সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ। বাস্তব বৃত্ত সূচিত করার শর্তগুলি নিম্নরূপ।
\((1)\) \(x^{2}\) এবং \(y^{2}\) এর সহগদ্বয় সমান হবে, অর্থাৎ \(a=b\)।
\((2)\) \(xy\) সম্বলিত কোনো পদ থাকবে না, অর্থাৎ \(h=0\)।
\((3)\) \(g^{2}+f^{2}>c\) ।
\(Q.4.(ii).(c)\)
ধরি,
\(x^2+y^2+4x-6y-12=0 .....(4)\)
এখানে,
\(2g=4, 2f=-6, c=-12\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=2, f=-3, c=-12\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(-2, 3)\)
দেওয়া আছে,
নির্ণেয় বৃত্তের কেন্দ্র \((4, 5)\)
ধরি, ব্যাসার্ধ \(r\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-4)^2+(y-5)^2=r^2 .......(5)\)
\((5)\) নং বৃত্ত \(C(-2, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore (-2-4)^2+(3-5)^2=r^2\)
\(\Rightarrow (-6)^2+(-2)^2=r^2\)
\(\Rightarrow 36+4=r^2\)
\(\Rightarrow 40=r^2\)
\(\therefore r^2=40\)
\(r^2\) এর মাণ \((5)\) এ বসিয়ে,
\(\therefore(x-4)^2+(y-5)^2=40\)
\(\therefore x^2+y^2-8x-10y+1=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
ধরি,
\(x^2+y^2-8x-6y+16=0 ........(1)\)
এখানে,
\(2g=-8, 2f=-6, c=16\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-4, f=-3, c=16\)
কেন্দ্র \(C_1(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C_1(4, 3)\)
ব্যাসার্ধ \(r_1=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-4)^2+(-3)^2-16}\)
\(=\sqrt{16+9-16}\)
\(=\sqrt{9}\)
\(=3\)
\(x^2+y^2=2^2 .......(2)\)
এখানে,
কেন্দ্র \(C_2(0, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(r_2=2\)
এখন,
\(C_1C_2=\sqrt{(4-0)^2+(3-0)^2}\)
\(=\sqrt{4^2+3^2}\)
\(=\sqrt{16+9}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)
\(=3+2\)
\(=r_1+r_2\)
\(\therefore C_1C_2=r_1+r_2\)
\(\therefore \) বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে।
\(Q.4.(ii).(b)\)
ধরি,
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0 ......(3)\)
ইহা \(x, y\) এর সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ। বাস্তব বৃত্ত সূচিত করার শর্তগুলি নিম্নরূপ।
\((1)\) \(x^{2}\) এবং \(y^{2}\) এর সহগদ্বয় সমান হবে, অর্থাৎ \(a=b\)।
\((2)\) \(xy\) সম্বলিত কোনো পদ থাকবে না, অর্থাৎ \(h=0\)।
\((3)\) \(g^{2}+f^{2}>c\) ।
\(Q.4.(ii).(c)\)
ধরি,
\(x^2+y^2+4x-6y-12=0 .....(4)\)
এখানে,
\(2g=4, 2f=-6, c=-12\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=2, f=-3, c=-12\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(-2, 3)\)
দেওয়া আছে,
নির্ণেয় বৃত্তের কেন্দ্র \((4, 5)\)
ধরি, ব্যাসার্ধ \(r\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-4)^2+(y-5)^2=r^2 .......(5)\)
\((5)\) নং বৃত্ত \(C(-2, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore (-2-4)^2+(3-5)^2=r^2\)
\(\Rightarrow (-6)^2+(-2)^2=r^2\)
\(\Rightarrow 36+4=r^2\)
\(\Rightarrow 40=r^2\)
\(\therefore r^2=40\)
\(r^2\) এর মাণ \((5)\) এ বসিয়ে,
\(\therefore(x-4)^2+(y-5)^2=40\)
\(\therefore x^2+y^2-8x-10y+1=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.4.(iii)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ \(x^2+y^2-4x-4y+4=0\) এবং একটি সরলরেখার সমীকরণ \(3x+4y=9\) ।
\((a)\) দেখাও যে, বৃত্তটি উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে।
\((b)\) \(2x-3y-9=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-2x-4y+c=0\) বৃত্তের একটি স্পর্শক হলে, \(c\) এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত বৃত্তের দুইটি স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা প্রদত্ত রেখাটির উপর লম্ব ।
উত্তরঃ \((b) -8\) । \((c) 4x-3y+8=0, 4x-3y-12=0\) ।
\((a)\) দেখাও যে, বৃত্তটি উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে।
\((b)\) \(2x-3y-9=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-2x-4y+c=0\) বৃত্তের একটি স্পর্শক হলে, \(c\) এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত বৃত্তের দুইটি স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা প্রদত্ত রেখাটির উপর লম্ব ।
উত্তরঃ \((b) -8\) । \((c) 4x-3y+8=0, 4x-3y-12=0\) ।
সমাধানঃ
\(Q.4.(iii).(a)\)
ধরি,
\(x^2+y^2-4x-4y+4=0 .........(1)\)
এখানে,
\(2g=-4, 2f=-4, c=4\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-2, f=-2, c=4\)
এখন,
\(g^2=(-2)^2=4=c\)
\(f^2=(-2)^2=4=c\)
\(\therefore g^2=f^2=c\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের উভয় অক্ষকে স্পর্শ করার শর্ত, \( g^2=f^2=c\)
\(\therefore (1)\) নং বৃত্তটি উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে।
\(Q.4.(iii).(b)\)
ধরি,
\(2x-3y-9=0 .......(1)\)
\(x^2+y^2-2x-4y+c=0 ......(2)\)
এখানে,
\(2g=-2, 2f=-4, c=c\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-1, f=-2, c=c\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(1, 2)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2-c}\)
\(=\sqrt{1+4-c}\)
\(=\sqrt{5-c}\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র \(C(1, 2)\) হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমণ হয়।
\(\therefore \frac{|2.1-3.2-9|}{\sqrt{2^2+(-3)^2}}=\sqrt{5-c}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|2-6-9|}{\sqrt{4+9}}=\sqrt{5-c}\)
\(\Rightarrow \frac{|-13|}{\sqrt{13}}=\sqrt{5-c}\)
\(\Rightarrow \frac{13}{\sqrt{13}}=\sqrt{5-c}\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{13}\times \sqrt{13}}{\sqrt{13}}=\sqrt{5-c}\)
\(\Rightarrow \sqrt{13}=\sqrt{5-c}\)
\(\Rightarrow 13=5-c\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow c=5-13\)
\(\therefore c=-8\)
\(Q.4.(iii).(c)\)
ধরি,
\(3x+4y-9=0 .......(1)\)
\(x^2+y^2-4x-4y+4=0 .......(2)\)
এখানে,
\(2g=-4, 2f=-4, c=4\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-2, f=-2, c=4\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(2, 2)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{(-2)^2+(-2)^2-4}\)
\(=\sqrt{4+4-4}\)
\(=\sqrt{4}\)
\(=2\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোন সরলরেখার সমীকরণ,
\(4x-3y+k=0 .......(3)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র \(C(2, -2)\) হতে \((3)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমণ হয়।
\(\therefore \frac{|4.2-3.2+k|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=2\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|8-6+k|}{\sqrt{16+9}}=2\)
\(\Rightarrow \frac{|2+k|}{\sqrt{25}}=2\)
\(\Rightarrow \frac{|2+k|}{5}=2\)
\(\Rightarrow |2+k|=10\)
\(\Rightarrow 2+k=\pm 10\)
\(\Rightarrow k=\pm 10-2\)
\(\Rightarrow k=8, -12\)
\(k\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(4x-3y+8=0, 4x-3y-12=0\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
ধরি,
\(x^2+y^2-4x-4y+4=0 .........(1)\)
এখানে,
\(2g=-4, 2f=-4, c=4\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-2, f=-2, c=4\)
এখন,
\(g^2=(-2)^2=4=c\)
\(f^2=(-2)^2=4=c\)
\(\therefore g^2=f^2=c\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের উভয় অক্ষকে স্পর্শ করার শর্ত, \( g^2=f^2=c\)
\(\therefore (1)\) নং বৃত্তটি উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে।
\(Q.4.(iii).(b)\)
ধরি,
\(2x-3y-9=0 .......(1)\)
\(x^2+y^2-2x-4y+c=0 ......(2)\)
এখানে,
\(2g=-2, 2f=-4, c=c\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-1, f=-2, c=c\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(1, 2)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2-c}\)
\(=\sqrt{1+4-c}\)
\(=\sqrt{5-c}\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র \(C(1, 2)\) হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমণ হয়।
\(\therefore \frac{|2.1-3.2-9|}{\sqrt{2^2+(-3)^2}}=\sqrt{5-c}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|2-6-9|}{\sqrt{4+9}}=\sqrt{5-c}\)
\(\Rightarrow \frac{|-13|}{\sqrt{13}}=\sqrt{5-c}\)
\(\Rightarrow \frac{13}{\sqrt{13}}=\sqrt{5-c}\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{13}\times \sqrt{13}}{\sqrt{13}}=\sqrt{5-c}\)
\(\Rightarrow \sqrt{13}=\sqrt{5-c}\)
\(\Rightarrow 13=5-c\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow c=5-13\)
\(\therefore c=-8\)
\(Q.4.(iii).(c)\)
ধরি,
\(3x+4y-9=0 .......(1)\)
\(x^2+y^2-4x-4y+4=0 .......(2)\)
এখানে,
\(2g=-4, 2f=-4, c=4\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-2, f=-2, c=4\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(2, 2)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{(-2)^2+(-2)^2-4}\)
\(=\sqrt{4+4-4}\)
\(=\sqrt{4}\)
\(=2\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোন সরলরেখার সমীকরণ,
\(4x-3y+k=0 .......(3)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র \(C(2, -2)\) হতে \((3)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমণ হয়।
\(\therefore \frac{|4.2-3.2+k|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=2\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|8-6+k|}{\sqrt{16+9}}=2\)
\(\Rightarrow \frac{|2+k|}{\sqrt{25}}=2\)
\(\Rightarrow \frac{|2+k|}{5}=2\)
\(\Rightarrow |2+k|=10\)
\(\Rightarrow 2+k=\pm 10\)
\(\Rightarrow k=\pm 10-2\)
\(\Rightarrow k=8, -12\)
\(k\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(4x-3y+8=0, 4x-3y-12=0\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
\(Q.4.(iv)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ \(x^2+y^2+4x+6y-12=0\)।
\((a)\) দেখাও যে, \(A(1, 1)\) বিন্দুটি প্রদত্ত বৃত্তের উপর অবস্থিত।
\((b)\) \(A\) বিন্দুগামী ব্যাসের অপর প্রান্তবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) দেখাও যে, \(lx+my=1\) রেখাটি \(x^2y^2-2ax=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি \(a^2m^2+2al=1\) হয় ।
উত্তরঃ \((b) (-5, -7) \)।
\((a)\) দেখাও যে, \(A(1, 1)\) বিন্দুটি প্রদত্ত বৃত্তের উপর অবস্থিত।
\((b)\) \(A\) বিন্দুগামী ব্যাসের অপর প্রান্তবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) দেখাও যে, \(lx+my=1\) রেখাটি \(x^2y^2-2ax=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি \(a^2m^2+2al=1\) হয় ।
উত্তরঃ \((b) (-5, -7) \)।
সমাধানঃ
\(Q.4.(iv).(a)\)
ধরি,
\(x^2+y^2+4x+6y-12=0 ......(1)\)
দেওয়া আছে,
\(A(1, 1)\)
এখন,
\(A(1, 1)\) বিন্দুটি \((1)\) বৃত্তে বসাই,
\(\therefore 1^2+1^2+4.1+6.1-12=0\)
\(\Rightarrow 1+1+4+6-12=0\)
\(\Rightarrow 12-12=0\)
\(\Rightarrow 0=0\)
\(A(1, 1)\) বিন্দুটি \((1)\) বৃত্তেকে সিদ্ধ করে।
\(\therefore \) বিন্দুটি বৃত্তের পরিধির উপর অবস্থিত।
\(Q.4.(iv).(b)\)
ধরি,
\(x^2+y^2+4x+6y-12=0 ......(1)\)
এখানে,
\(2g=4, 2f=6, c=-12\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=2, f=3, c=-12\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(-2, -3)\)
ব্যাসের অপর প্রান্তবিন্দু \(B(x, y)\) হলে, C(-2, -3)\) হবে \(AB\) ব্যাসের মধ্যবিন্দু।
\(\therefore \frac{1+x}{2}=-2, \frac{1+y}{2}=-3\)
\(\Rightarrow 1+x=-4, 1+y=-6\)
\(\Rightarrow x=-4-1, y=-6-1\)
\(\therefore x=-5, y=-7\)
\(\therefore B(-5, -7)\)
ইহাই ব্যাসের অপর প্রান্তবিন্দুর স্থানাঙ্ক
\(Q.4.(iv).(c)\)
ধরি,
\(lx+my-1=0 .....(1)\)
\(x^2+y^2-2ax=0 ......(2)\)
এখানে,
\(2g=-2a, 2f=0, c=0\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-a, f=0, c=0\)
কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\therefore (a, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{(-a)^2+0^2-0}\)
\(=\sqrt{a^2+0-0}\)
\(=\sqrt{a^2}\)
\(=a\)
\(\because \) বৃত্তটি \((1)\) নং সরলরেখাকে স্পর্শ করে।
\(\therefore \frac{|l.a+m.0-1|}{\sqrt{l^2+m^2}}=a\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|l.a+m.0-1|}{\sqrt{l^2+m^2}}=a\)
\(\Rightarrow \frac{|al-1|}{\sqrt{l^2+m^2}}=a\)
\(\Rightarrow \frac{(al-1)^2}{l^2+m^2}=a^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow a^2(l^2+m^2)=(al-1)^2\)
\(\Rightarrow a^2l^2+a^2m^2=a^2l^2-2al+1\)
\(\Rightarrow a^2l^2+a^2m^2-a^2l^2+2al=1\)
\(\therefore a^2m^2+2al=1\)
[ showed ]
ধরি,
\(x^2+y^2+4x+6y-12=0 ......(1)\)
দেওয়া আছে,
\(A(1, 1)\)
এখন,
\(A(1, 1)\) বিন্দুটি \((1)\) বৃত্তে বসাই,
\(\therefore 1^2+1^2+4.1+6.1-12=0\)
\(\Rightarrow 1+1+4+6-12=0\)
\(\Rightarrow 12-12=0\)
\(\Rightarrow 0=0\)
\(A(1, 1)\) বিন্দুটি \((1)\) বৃত্তেকে সিদ্ধ করে।
\(\therefore \) বিন্দুটি বৃত্তের পরিধির উপর অবস্থিত।
\(Q.4.(iv).(b)\)
ধরি,
\(x^2+y^2+4x+6y-12=0 ......(1)\)
এখানে,
\(2g=4, 2f=6, c=-12\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=2, f=3, c=-12\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(-2, -3)\)
ব্যাসের অপর প্রান্তবিন্দু \(B(x, y)\) হলে, C(-2, -3)\) হবে \(AB\) ব্যাসের মধ্যবিন্দু।
\(\therefore \frac{1+x}{2}=-2, \frac{1+y}{2}=-3\)
\(\Rightarrow 1+x=-4, 1+y=-6\)
\(\Rightarrow x=-4-1, y=-6-1\)
\(\therefore x=-5, y=-7\)
\(\therefore B(-5, -7)\)
ইহাই ব্যাসের অপর প্রান্তবিন্দুর স্থানাঙ্ক
\(Q.4.(iv).(c)\)
ধরি,
\(lx+my-1=0 .....(1)\)
\(x^2+y^2-2ax=0 ......(2)\)
এখানে,
\(2g=-2a, 2f=0, c=0\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-a, f=0, c=0\)
কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\therefore (a, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{(-a)^2+0^2-0}\)
\(=\sqrt{a^2+0-0}\)
\(=\sqrt{a^2}\)
\(=a\)
\(\because \) বৃত্তটি \((1)\) নং সরলরেখাকে স্পর্শ করে।
\(\therefore \frac{|l.a+m.0-1|}{\sqrt{l^2+m^2}}=a\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|l.a+m.0-1|}{\sqrt{l^2+m^2}}=a\)
\(\Rightarrow \frac{|al-1|}{\sqrt{l^2+m^2}}=a\)
\(\Rightarrow \frac{(al-1)^2}{l^2+m^2}=a^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow a^2(l^2+m^2)=(al-1)^2\)
\(\Rightarrow a^2l^2+a^2m^2=a^2l^2-2al+1\)
\(\Rightarrow a^2l^2+a^2m^2-a^2l^2+2al=1\)
\(\therefore a^2m^2+2al=1\)
[ showed ]
\(Q.4.(v)\) \(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ।
\((a)\) বৃত্তটি দ্বারা অক্ষদ্বয়ের খন্ডিতাংশের পরিমাণ নির্ণয়ের সূত্রটি প্রতিষ্ঠা কর।
\((b)\) বৃত্তটির \(X\) ও \(Y\) অক্ষদ্বয়কে স্পর্শ করার শর্ত নির্ণয় কর ।
\((c)\) \(x^2+y^2=16\) বৃত্তের স্পর্শক \(X\) অক্ষের সহিত \(30^o\) কোণ উৎপন্ন করে। স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((c) \sqrt{3}y=x\pm 8 \)।
\((a)\) বৃত্তটি দ্বারা অক্ষদ্বয়ের খন্ডিতাংশের পরিমাণ নির্ণয়ের সূত্রটি প্রতিষ্ঠা কর।
\((b)\) বৃত্তটির \(X\) ও \(Y\) অক্ষদ্বয়কে স্পর্শ করার শর্ত নির্ণয় কর ।
\((c)\) \(x^2+y^2=16\) বৃত্তের স্পর্শক \(X\) অক্ষের সহিত \(30^o\) কোণ উৎপন্ন করে। স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((c) \sqrt{3}y=x\pm 8 \)।
সমাধানঃ
\(Q.4.(v).(a)\)
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0 ..........(1)\)
ধরি,
\((1)\) নং বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে \(A(x_{1}, 0)\) ও \(B(x_{2}, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে,
সুতরাং, \((1)\) নং সমীকরণে \(y=0\) বসিয়ে পাই,
\(x^{2}+2gx+c=0\) যা \(x\) এর দ্বিঘাত সমীকরণ যার মূলদ্বয় \(x_{1}\) ও \(x_{2}\)।
\(\therefore\) মূলদ্বয়ের যোগফল, \(x_{1}+x_{2}=-2g\)
এবং মূলদ্বয়ের গুনফল, \(x_{1}x_{2}=c\)
সুতরাং, বৃত্তটি দ্বারা \(X\) অক্ষের ছেদিতাংশের পরিমাণ \(=|x_{1}-x_{2}|\)
\(=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}}\)
\(=\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}\)
\(=\sqrt{(-2g)^{2}-4c}\)
\(=\sqrt{4g^{2}-4c}\)
\(=\sqrt{4(g^{2}-c)}\)
\(=2\sqrt{g^{2}-c}\)
ইহাই নির্ণেয় \(X\) অক্ষের ছেদিতাংশ ।
আবার,
\((1)\) নং বৃত্তটি \(Y\) অক্ষকে \(C(x_{1}, 0)\) ও \(D(x_{2}, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে,
সুতরাং, \((1)\) নং সমীকরণে \(x=0\) বসিয়ে পাই,
\(y^{2}+2fy+c=0\) যা \(y\) এর দ্বিঘাত সমীকরণ যার মূলদ্বয় \(y_{1}\) ও \(y_{2}\)।
\(\therefore\) মূলদ্বয়ের যোগফল, \(y_{1}+y_{2}=-2f\)
এবং মূলদ্বয়ের গুনফল, \(y_{1}y_{2}=c\)
সুতরাং, বৃত্তটি দ্বারা \(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশের পরিমাণ \(=|y_{1}-y_{2}|\)
\(=\sqrt{(y_{1}-y_{2})^{2}}\)
\(=\sqrt{(y_{1}+y_{2})^{2}-4y_{1}y_{2}}\)
\(=\sqrt{(-2f)^{2}-4c}\)
\(=\sqrt{4f^{2}-4c}\)
\(=\sqrt{4(f^{2}-c)}\)
\(=2\sqrt{f^{2}-c}\)
ইহাই নির্ণেয় \(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশ ।
\(Q.4.(v).(b)\)
ধরি,
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0 ..........(1)\)
কেন্দ্রঃ \((-g, -f)\)
ব্যাসার্ধঃ \(=\sqrt{g^{2}+f^{2}-c}\) যখন, \((g^{2}+f^{2}>c)\)
\((1)\) নং বৃত্ত , যখন \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে তখন কেন্দ্রের \(y\) স্থানাংক ব্যাসার্ধের সমান হয়,
\(\therefore \sqrt{g^{2}+f^{2}-c}=-f\)
\(\Rightarrow g^{2}+f^{2}-c=(-f)^{2}\)
\(\Rightarrow g^{2}+f^{2}-c=f^{2}\)
\(\Rightarrow g^{2}+f^{2}-c-f^{2}=0\)
\(\Rightarrow g^{2}-c=0\)
\(\therefore g^{2}=c\)
ইহাই নির্ণেয় \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করার শর্ত।
আবার,
\((1)\) নং বৃত্ত , যখন \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করে তখন কেন্দ্রের \(x\) স্থানাংক ব্যাসার্ধের সমান হয়,
\(\therefore \sqrt{g^{2}+f^{2}-c}=-g\)
\(\Rightarrow g^{2}+f^{2}-c=(-g)^{2}\)
\(\Rightarrow g^{2}+f^{2}-c=g^{2}\)
\(\Rightarrow g^{2}+f^{2}-c-g^{2}=0\)
\(\Rightarrow f^{2}-c=0\)
\(\therefore f^{2}=c\)
ইহাই নির্ণেয় \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করার শর্ত।
\(Q.4.(v).(c)\)
\(x^2+y^2=4^2 .....(1)\)
কেন্দ্র \(O(0, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(=4\)
\((1)\) বৃত্তের স্পর্শক \(y=mx+c\Rightarrow mx-y+c=0 ....(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \((1)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((2)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
\(\frac{|m.0-0+c|}{\sqrt{m^2+1^2}}=4\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|c|}{\sqrt{m^2+1}}=4\)
\(\Rightarrow |c|=4\sqrt{(m^2+1)}\)
\(\Rightarrow c=\pm 4\sqrt{(m^2+1)}\)
\(c\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\(mx-y\pm 4\sqrt{(m^2+1)}=0 .......(3)\)
আবার,
\((2)\) নং সরলরেখা \(X\) অক্ষের সাথে \(30^o\) কোণ উৎপন্ন করে।
অর্থাৎ \(m=\tan30^o\)
\(=\frac{1}{\sqrt{3}}\) ➜ \(\because \tan30^o=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(m\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(\frac{1}{\sqrt{3}}x-y\pm 4\sqrt{\{(\frac{1}{\sqrt{3}})^2+1\}}=0\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{3}}-y\pm 4\sqrt{\{\frac{1}{3}+1\}}=0\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{3}}-y\pm 4\sqrt{\{\frac{1+3}{3}\}}=0\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{3}}-y\pm 4\sqrt{\frac{4}{3}}=0\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{3}}-y\pm 4.\frac{2}{\sqrt{3}}=0\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{3}}-y\pm \frac{8}{\sqrt{3}}=0\)
\(\Rightarrow x-\sqrt{3}y\pm 8=0\) ➜ উভয় পার্শে \(\sqrt{3}\) গুণ করে।
\(\Rightarrow x\pm 8=\sqrt{3}y\)
\(\therefore \sqrt{3}y=x\pm 8\) ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0 ..........(1)\)
ধরি,
\((1)\) নং বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে \(A(x_{1}, 0)\) ও \(B(x_{2}, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে,
সুতরাং, \((1)\) নং সমীকরণে \(y=0\) বসিয়ে পাই,
\(x^{2}+2gx+c=0\) যা \(x\) এর দ্বিঘাত সমীকরণ যার মূলদ্বয় \(x_{1}\) ও \(x_{2}\)।
\(\therefore\) মূলদ্বয়ের যোগফল, \(x_{1}+x_{2}=-2g\)
এবং মূলদ্বয়ের গুনফল, \(x_{1}x_{2}=c\)
সুতরাং, বৃত্তটি দ্বারা \(X\) অক্ষের ছেদিতাংশের পরিমাণ \(=|x_{1}-x_{2}|\)
\(=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}}\)
\(=\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}\)
\(=\sqrt{(-2g)^{2}-4c}\)
\(=\sqrt{4g^{2}-4c}\)
\(=\sqrt{4(g^{2}-c)}\)
\(=2\sqrt{g^{2}-c}\)
ইহাই নির্ণেয় \(X\) অক্ষের ছেদিতাংশ ।
আবার,
\((1)\) নং বৃত্তটি \(Y\) অক্ষকে \(C(x_{1}, 0)\) ও \(D(x_{2}, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে,
সুতরাং, \((1)\) নং সমীকরণে \(x=0\) বসিয়ে পাই,
\(y^{2}+2fy+c=0\) যা \(y\) এর দ্বিঘাত সমীকরণ যার মূলদ্বয় \(y_{1}\) ও \(y_{2}\)।
\(\therefore\) মূলদ্বয়ের যোগফল, \(y_{1}+y_{2}=-2f\)
এবং মূলদ্বয়ের গুনফল, \(y_{1}y_{2}=c\)
সুতরাং, বৃত্তটি দ্বারা \(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশের পরিমাণ \(=|y_{1}-y_{2}|\)
\(=\sqrt{(y_{1}-y_{2})^{2}}\)
\(=\sqrt{(y_{1}+y_{2})^{2}-4y_{1}y_{2}}\)
\(=\sqrt{(-2f)^{2}-4c}\)
\(=\sqrt{4f^{2}-4c}\)
\(=\sqrt{4(f^{2}-c)}\)
\(=2\sqrt{f^{2}-c}\)
ইহাই নির্ণেয় \(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশ ।
\(Q.4.(v).(b)\)
ধরি,
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0 ..........(1)\)
কেন্দ্রঃ \((-g, -f)\)
ব্যাসার্ধঃ \(=\sqrt{g^{2}+f^{2}-c}\) যখন, \((g^{2}+f^{2}>c)\)
\((1)\) নং বৃত্ত , যখন \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে তখন কেন্দ্রের \(y\) স্থানাংক ব্যাসার্ধের সমান হয়,
\(\therefore \sqrt{g^{2}+f^{2}-c}=-f\)
\(\Rightarrow g^{2}+f^{2}-c=(-f)^{2}\)
\(\Rightarrow g^{2}+f^{2}-c=f^{2}\)
\(\Rightarrow g^{2}+f^{2}-c-f^{2}=0\)
\(\Rightarrow g^{2}-c=0\)
\(\therefore g^{2}=c\)
ইহাই নির্ণেয় \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করার শর্ত।
আবার,
\((1)\) নং বৃত্ত , যখন \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করে তখন কেন্দ্রের \(x\) স্থানাংক ব্যাসার্ধের সমান হয়,
\(\therefore \sqrt{g^{2}+f^{2}-c}=-g\)
\(\Rightarrow g^{2}+f^{2}-c=(-g)^{2}\)
\(\Rightarrow g^{2}+f^{2}-c=g^{2}\)
\(\Rightarrow g^{2}+f^{2}-c-g^{2}=0\)
\(\Rightarrow f^{2}-c=0\)
\(\therefore f^{2}=c\)
ইহাই নির্ণেয় \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করার শর্ত।
\(Q.4.(v).(c)\)
\(x^2+y^2=4^2 .....(1)\)
কেন্দ্র \(O(0, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(=4\)
\((1)\) বৃত্তের স্পর্শক \(y=mx+c\Rightarrow mx-y+c=0 ....(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \((1)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((2)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
\(\frac{|m.0-0+c|}{\sqrt{m^2+1^2}}=4\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|c|}{\sqrt{m^2+1}}=4\)
\(\Rightarrow |c|=4\sqrt{(m^2+1)}\)
\(\Rightarrow c=\pm 4\sqrt{(m^2+1)}\)
\(c\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\(mx-y\pm 4\sqrt{(m^2+1)}=0 .......(3)\)
আবার,
\((2)\) নং সরলরেখা \(X\) অক্ষের সাথে \(30^o\) কোণ উৎপন্ন করে।
অর্থাৎ \(m=\tan30^o\)
\(=\frac{1}{\sqrt{3}}\) ➜ \(\because \tan30^o=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(m\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(\frac{1}{\sqrt{3}}x-y\pm 4\sqrt{\{(\frac{1}{\sqrt{3}})^2+1\}}=0\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{3}}-y\pm 4\sqrt{\{\frac{1}{3}+1\}}=0\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{3}}-y\pm 4\sqrt{\{\frac{1+3}{3}\}}=0\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{3}}-y\pm 4\sqrt{\frac{4}{3}}=0\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{3}}-y\pm 4.\frac{2}{\sqrt{3}}=0\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{3}}-y\pm \frac{8}{\sqrt{3}}=0\)
\(\Rightarrow x-\sqrt{3}y\pm 8=0\) ➜ উভয় পার্শে \(\sqrt{3}\) গুণ করে।
\(\Rightarrow x\pm 8=\sqrt{3}y\)
\(\therefore \sqrt{3}y=x\pm 8\) ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
\(Q.4.(vi)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\(x^2+y^2-12x-2y+12=0\) বৃত্তে \(AB\)একটি জ্যা যার মধ্যবিন্দু \(D(2, 3)\)।
\((a)\) বৃত্তটির কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
\((b)\) এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা প্রদত্ত বৃত্তের সাথে এককেন্দ্রিক এবং \(D(2, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\((c)\) \(AB\) জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (6, 1), 5\) একক।
\((b) \ x^2+y^2-12x-2y+17=0\)
\((c) \ 2x-y-1=0\)
\(x^2+y^2-12x-2y+12=0\) বৃত্তে \(AB\)একটি জ্যা যার মধ্যবিন্দু \(D(2, 3)\)।
\((a)\) বৃত্তটির কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
\((b)\) এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা প্রদত্ত বৃত্তের সাথে এককেন্দ্রিক এবং \(D(2, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\((c)\) \(AB\) জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (6, 1), 5\) একক।
\((b) \ x^2+y^2-12x-2y+17=0\)
\((c) \ 2x-y-1=0\)
সমাধানঃ
\(Q.4.(vi).(a)\)
ধরি,
\(x^2+y^2-12x-2y+12=0 .......(1)\)
এখানে,
\(2g=-12, 2f=-2, c=12\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-6, f=-1, c=12\)
কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\therefore (6, 1)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{(-6)^2+(-1)^2-12}\)
\(=\sqrt{36+1-12}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)
\(Q.4.(vi).(b)\)
\((a)\) হতে প্রাপ্ত বৃত্তের কেন্দ্র \( (6, 1)\),
ধরি, ব্যাসার্ধ \(r\)
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-6)^2+(y-1)^2=r^2 .........(2)\) ➜ কেন্দ্র \(C(h, k)\), ব্যাসার্ধ \(r\), বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)
\((2)\) নং বৃত্ত \(D(2, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore (2-6)^2+(3-1)^2=r^2\)
\(\Rightarrow (-4)^2+(2)^2=r^2\)
\(\Rightarrow 16+4=r^2\)
\(\Rightarrow 20=r^2\)
\(\therefore r^2=20\)
\(r^2\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\((x-6)^2+(y-1)^2=20\)
\(\Rightarrow x^2-12x+36+y^2-2y+1-20=0\)
\(\therefore x^2+y^2-12x-2y+17=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.4.(vi).(c)\)
দেওয়া আছে,
ধরি, ব্যাসার্ধ \(r\)
\((1)\) নং বৃত্তে \(AB\)একটি জ্যা যার মধ্যবিন্দু \(D(2, 3)\)।
জে-এর সমীকরণ,
\(x.2+y.3-6(x+2)-1(y+3)+12\)\(=2^2+3^2-12.2-2.3+12\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তে অঙ্কিত জ্যা-এর মধ্যবিন্দু \(C(x_1, y_1)\) হলে, জ্যা-এর সমীকরণ, \(xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c\)\(=x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c\)
\(\Rightarrow 2x+3y-6x-12-y-3+12\)\(=4+9-24-6+12\)
\(\Rightarrow -4x+2y-3=25-30\)
\(\Rightarrow -4x+2y-3=-5\)
\(\Rightarrow -4x+2y-3+5=0\)
\(\Rightarrow -4x+2y+2=0\)
\(\therefore 2x-y-1=0\) ➜ উভয় পার্শে \(-2\) ভাগ করে।
ইহাই নির্ণেয় জ্যা-এর সমীকরণ।
ধরি,
\(x^2+y^2-12x-2y+12=0 .......(1)\)
এখানে,
\(2g=-12, 2f=-2, c=12\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-6, f=-1, c=12\)
কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\therefore (6, 1)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{(-6)^2+(-1)^2-12}\)
\(=\sqrt{36+1-12}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)
\(Q.4.(vi).(b)\)
\((a)\) হতে প্রাপ্ত বৃত্তের কেন্দ্র \( (6, 1)\),
ধরি, ব্যাসার্ধ \(r\)
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-6)^2+(y-1)^2=r^2 .........(2)\) ➜ কেন্দ্র \(C(h, k)\), ব্যাসার্ধ \(r\), বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)
\((2)\) নং বৃত্ত \(D(2, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore (2-6)^2+(3-1)^2=r^2\)
\(\Rightarrow (-4)^2+(2)^2=r^2\)
\(\Rightarrow 16+4=r^2\)
\(\Rightarrow 20=r^2\)
\(\therefore r^2=20\)
\(r^2\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\((x-6)^2+(y-1)^2=20\)
\(\Rightarrow x^2-12x+36+y^2-2y+1-20=0\)
\(\therefore x^2+y^2-12x-2y+17=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.4.(vi).(c)\)
দেওয়া আছে,
ধরি, ব্যাসার্ধ \(r\)
\((1)\) নং বৃত্তে \(AB\)একটি জ্যা যার মধ্যবিন্দু \(D(2, 3)\)।
জে-এর সমীকরণ,
\(x.2+y.3-6(x+2)-1(y+3)+12\)\(=2^2+3^2-12.2-2.3+12\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তে অঙ্কিত জ্যা-এর মধ্যবিন্দু \(C(x_1, y_1)\) হলে, জ্যা-এর সমীকরণ, \(xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c\)\(=x^2_1+y^2_1+2gx_1+2fy_1+c\)
\(\Rightarrow 2x+3y-6x-12-y-3+12\)\(=4+9-24-6+12\)
\(\Rightarrow -4x+2y-3=25-30\)
\(\Rightarrow -4x+2y-3=-5\)
\(\Rightarrow -4x+2y-3+5=0\)
\(\Rightarrow -4x+2y+2=0\)
\(\therefore 2x-y-1=0\) ➜ উভয় পার্শে \(-2\) ভাগ করে।
ইহাই নির্ণেয় জ্যা-এর সমীকরণ।
ভর্তি পরীক্ষায় আসা \(Q.5\)-এর প্রশ্নসমূহ
\(Q.5.(i)\) \(C\) কেন্দ্রবিশিষ্ট \(x^2+y^2+6x-4y+4=0\) বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(X\) অক্ষের খন্ডিতাংশ \(AB\) এবং \(ABC\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫]
উত্তরঃ \(2\sqrt{5}, 2\sqrt{5}\) বর্গ একক।
\(Q.5.(ii)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা, \(y=2\) রেখাকে \((3, 2)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \((1, 4)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
[ বুয়েটঃ ২০১৩-২০১৪, ২০০৭-২০০৮ ]
উত্তরঃ \((x-3)^{2}+(y-4)^{2}=4 \)।
\(Q.5.(iii)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা, \(X\) অক্ষকে \((4, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \(Y\) অক্ষ হতে \(6\) একক দীর্ঘ একটি জ্যা খণ্ডিত করে।
[ বুয়েটঃ ২০১১-২০১২, ২০০২-২০০৩ ]
উত্তরঃ \(x^2+y^2-8x+10y+16=0,\) \(x^2+y^2-8x-10y+16=0\)।
\(Q.5.(iv)\)\(x^2+y^2=45\) বৃত্তের \((6, -3)\) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক \(x^2+y^2-4x+2y-35=0\) বৃত্তকে \(A\)ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে । দেখাও যে, \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে স্পর্শকদ্বয় পরস্পর লম্ব।
[ বুয়েটঃ ২০০০-২০০১ ]
\(Q.5.(v)\)\(x^2+y^2=9\) বৃত্তের স্পর্শক \(X\) অক্ষের সাথে \(45^o\) কোণ উৎপন্ন করে, স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুটেক্সঃ ২০১১-২০১২ ]
উত্তরঃ \(x-y\pm 3\sqrt{2}=0\)।
\(Q.5.(vi)\) বৃত্ত \(x^2+y^2+4x-8y+2=0\) এর স্পর্শক গুলির সমীকরণ নির্ণয় কর যারা অক্ষদ্বয়কে সমান ও বিপরীত চিহ্নে খণ্ডিত করে।
[ বুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ]
উত্তরঃ \(x-y=0, x-y+12=0\)।
\(Q.5.(vii)\) \(2x^2+2y^2-3x-4y+1=0\) এবং \(16x^2+16y^2-32x-1=0\) দুইটি বৃত্ত। দেখাও যে, তাদের একটির কেন্দ্র অপরটির পরিধির উপর অবস্থিত।
[ বুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯ ]
[ বুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫]
উত্তরঃ \(2\sqrt{5}, 2\sqrt{5}\) বর্গ একক।
\(Q.5.(ii)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা, \(y=2\) রেখাকে \((3, 2)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \((1, 4)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
[ বুয়েটঃ ২০১৩-২০১৪, ২০০৭-২০০৮ ]
উত্তরঃ \((x-3)^{2}+(y-4)^{2}=4 \)।
\(Q.5.(iii)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা, \(X\) অক্ষকে \((4, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \(Y\) অক্ষ হতে \(6\) একক দীর্ঘ একটি জ্যা খণ্ডিত করে।
[ বুয়েটঃ ২০১১-২০১২, ২০০২-২০০৩ ]
উত্তরঃ \(x^2+y^2-8x+10y+16=0,\) \(x^2+y^2-8x-10y+16=0\)।
\(Q.5.(iv)\)\(x^2+y^2=45\) বৃত্তের \((6, -3)\) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক \(x^2+y^2-4x+2y-35=0\) বৃত্তকে \(A\)ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে । দেখাও যে, \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে স্পর্শকদ্বয় পরস্পর লম্ব।
[ বুয়েটঃ ২০০০-২০০১ ]
\(Q.5.(v)\)\(x^2+y^2=9\) বৃত্তের স্পর্শক \(X\) অক্ষের সাথে \(45^o\) কোণ উৎপন্ন করে, স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুটেক্সঃ ২০১১-২০১২ ]
উত্তরঃ \(x-y\pm 3\sqrt{2}=0\)।
\(Q.5.(vi)\) বৃত্ত \(x^2+y^2+4x-8y+2=0\) এর স্পর্শক গুলির সমীকরণ নির্ণয় কর যারা অক্ষদ্বয়কে সমান ও বিপরীত চিহ্নে খণ্ডিত করে।
[ বুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ]
উত্তরঃ \(x-y=0, x-y+12=0\)।
\(Q.5.(vii)\) \(2x^2+2y^2-3x-4y+1=0\) এবং \(16x^2+16y^2-32x-1=0\) দুইটি বৃত্ত। দেখাও যে, তাদের একটির কেন্দ্র অপরটির পরিধির উপর অবস্থিত।
[ বুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯ ]
\(Q.5.(viii)\) \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করে এবং \((3, 0)\) ও \((7, 0)\) বিন্দুদ্বয় দিয়ে গমনকারী বৃত্তগুলির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮ ]
উত্তরঃ \(x^2+y^2-10x\pm 2\sqrt{21}y+21=0\) ।
\(Q.5.(ix)\) \(r\)-এর মাণ কত হলে, \(r\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট শুধুমাত্র একটিই বৃত্ত পাওয়া যাবে যা, \((6, 7)\) ও \((12, 13)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
[ বুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭ ]
উত্তরঃ \(3\sqrt{2}\) ।
\(Q.5.(x)\) \(X\) অক্ষকে \((4, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \(Y\) অক্ষ হতে \(6\) একক দৈর্ঘ্যের জ্যা কর্তন করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]
উত্তরঃ \(x^2+y^2-8x\pm 10y+16=0\) ।
\(Q.5.(xi)\) \(x^2+y^2=b(5x-12y)\) বৃত্তের অঙ্কিত ব্যাস মূলবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। এ ব্যাসের সমীকরণ নির্ণয় কর এবং মূলবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫ ]
উত্তরঃ \(12x+5y=0, 5x-12y=0\) ।
\(Q.5.(xii)\) \(x^2+y^2-4x-6y+c=0\) বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করলে \(c\)-এর মাণ এবং স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]
উত্তরঃ \(4, (2, 0)\) ।
\(Q.5.(xiii)\) এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে এবং \((1, 8)\) বিন্দু দিয়ে গমন করে ।
[ বুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯ ]
উত্তরঃ \((x-5)^{2}+(y-5)^{2}=25\) ।
\(Q.5.(xiv)\) \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তের এমন দুইটি স্পর্শকের ছেদবিন্দুর সঞ্চারপথ নির্ণয় কর যারা পরস্পর লম্ব।
[ বুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫]
উত্তরঃ \(x^{2}+x^{2}=2a^2\) ।
[ বুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮ ]
উত্তরঃ \(x^2+y^2-10x\pm 2\sqrt{21}y+21=0\) ।
\(Q.5.(ix)\) \(r\)-এর মাণ কত হলে, \(r\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট শুধুমাত্র একটিই বৃত্ত পাওয়া যাবে যা, \((6, 7)\) ও \((12, 13)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
[ বুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭ ]
উত্তরঃ \(3\sqrt{2}\) ।
\(Q.5.(x)\) \(X\) অক্ষকে \((4, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \(Y\) অক্ষ হতে \(6\) একক দৈর্ঘ্যের জ্যা কর্তন করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]
উত্তরঃ \(x^2+y^2-8x\pm 10y+16=0\) ।
\(Q.5.(xi)\) \(x^2+y^2=b(5x-12y)\) বৃত্তের অঙ্কিত ব্যাস মূলবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। এ ব্যাসের সমীকরণ নির্ণয় কর এবং মূলবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫ ]
উত্তরঃ \(12x+5y=0, 5x-12y=0\) ।
\(Q.5.(xii)\) \(x^2+y^2-4x-6y+c=0\) বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করলে \(c\)-এর মাণ এবং স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]
উত্তরঃ \(4, (2, 0)\) ।
\(Q.5.(xiii)\) এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে এবং \((1, 8)\) বিন্দু দিয়ে গমন করে ।
[ বুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯ ]
উত্তরঃ \((x-5)^{2}+(y-5)^{2}=25\) ।
\(Q.5.(xiv)\) \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তের এমন দুইটি স্পর্শকের ছেদবিন্দুর সঞ্চারপথ নির্ণয় কর যারা পরস্পর লম্ব।
[ বুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫]
উত্তরঃ \(x^{2}+x^{2}=2a^2\) ।
\(Q.5.(i)\) \(C\) কেন্দ্রবিশিষ্ট \(x^2+y^2+6x-4y+4=0\) বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(X\) অক্ষের খন্ডিতাংশ \(AB\) এবং \(ABC\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫]
উত্তরঃ \(2\sqrt{5}, 2\sqrt{5}\) বর্গ একক।
উত্তরঃ \(2\sqrt{5}, 2\sqrt{5}\) বর্গ একক।
সমাধানঃ
ধরি,
\(x^2+y^2+6x-4y+4=0 .......(1)\)
এখানে,
\(2g=6, 2f=-4, c=4\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=3, f=-2, c=12\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\therefore C(-3, 2)\)
\(X\) অক্ষের খন্ডিতাংশ \(AB=2\sqrt{g^2-c}\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্ত দ্বারা \(X\) অক্ষের খন্ডিতাংশ, \(=2\sqrt{g^2-c}\)
\(=2\sqrt{3^2-4}\)
\(=2\sqrt{9-4}\)
\(=2\sqrt{5}\)
কেন্দ্র \(C(-3, 2)\) হতে \(X\) অক্ষের লম্ব দূরত্ব \(=2\) ➜ কেন্দ্রের \(y\) স্থানাঙ্কের সমান।
\(\therefore \triangle ABC=\frac{1}{2}\times 2\times AB\)
\(=2\sqrt{5}\) বর্গ একক। ➜ \(\because AB=2\sqrt{5}\)
\(x^2+y^2+6x-4y+4=0 .......(1)\)
এখানে,
\(2g=6, 2f=-4, c=4\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=3, f=-2, c=12\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\therefore C(-3, 2)\)
\(X\) অক্ষের খন্ডিতাংশ \(AB=2\sqrt{g^2-c}\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্ত দ্বারা \(X\) অক্ষের খন্ডিতাংশ, \(=2\sqrt{g^2-c}\)
\(=2\sqrt{3^2-4}\)
\(=2\sqrt{9-4}\)
\(=2\sqrt{5}\)
কেন্দ্র \(C(-3, 2)\) হতে \(X\) অক্ষের লম্ব দূরত্ব \(=2\) ➜ কেন্দ্রের \(y\) স্থানাঙ্কের সমান।
\(\therefore \triangle ABC=\frac{1}{2}\times 2\times AB\)
\(=2\sqrt{5}\) বর্গ একক। ➜ \(\because AB=2\sqrt{5}\)
\(Q.5.(ii)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা, \(y=2\) রেখাকে \((3, 2)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \((1, 4)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
[ বুয়েটঃ ২০১৩-২০১৪, ২০০৭-২০০৮ ]
উত্তরঃ \((x-3)^{2}+(y-4)^{2}=4 \)।
[ বুয়েটঃ ২০১৩-২০১৪, ২০০৭-২০০৮ ]
উত্তরঃ \((x-3)^{2}+(y-4)^{2}=4 \)।
সমাধানঃ
ধরি,
\(y-2=0 ......(1)\)
কেন্দ্র \(C(h, k)\)
\((1)\) নং সরলরেখা বৃত্তটিকে স্পর্শ করে। তাই, কেন্দ্র \(C(h, k)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমণ হবে।
ব্যাসার্ধ \(r=\frac{|k-2|}{\sqrt{0^2+1^2}}\)
\(=\frac{|k-2|}{\sqrt{0+1}}\)
\(=\frac{|k-2|}{\sqrt{1}}\)
\(=|k-2|\)
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=(k-2)^2 .......(2)\)
\((2)\) নং বৃত্ত \((3, 2)\) এবং \((1, 4)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore (3-h)^2+(2-k)^2=(k-2)^2 .......(3)\)
এবং
\((1-h)^2+(4-k)^2=(k-2)^2 .......(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) হতে,
\((3-h)^2+(2-k)^2=(1-h)^2+(4-k)^2\)
\(\Rightarrow (3-h)^2-(1-h)^2=(4-k)^2-(2-k)^2\)
\(\Rightarrow (3-h+1-h)(3-h-1+h)=(4-k+2-k)(4-k-2+k)\)
\(\Rightarrow (4-2h).2=(6-2k).2\)
\(\Rightarrow 4-2h=6-2k\)
\(\Rightarrow 2(2-h)=2(3-k)\)
\(\Rightarrow 2-h=3-k\)
\(\Rightarrow k=3-2+h\)
\(\Rightarrow k=1+h .......(5)\)
\((4)\) ও \((5)\) হতে,
\((1-h)^2+(4-1-h)^2=(1+h-2)^2\)
\(\Rightarrow (1-h)^2+(3-h)^2=(h-1)^2\)
\(\Rightarrow (1-h)^2=(h-1)^2-(3-h)^2\)
\(\Rightarrow 1-2h+h^2=(h-1+3-h)(h-1-3+h)\)
\(\Rightarrow h^2-2h+1=2.(2h-4)\)
\(\Rightarrow h^2-2h+1=4h-8\)
\(\Rightarrow h^2-2h+1-4h+8=0\)
\(\Rightarrow h^2-6h+9=0\)
\(\Rightarrow (h-3)^2=0\)
\(\Rightarrow h-3=0\)
\(\therefore h=3\)
\((5)\) হতে, \(h=3\Rightarrow k=4\)
\(h, k\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\((x-3)^2+(y-4)^2=(4-2)^2\)
\(\Rightarrow (x-3)^2+(y-4)^2=2^2\)
\(\therefore (x-3)^2+(y-4)^2=4\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
\(y-2=0 ......(1)\)
কেন্দ্র \(C(h, k)\)
\((1)\) নং সরলরেখা বৃত্তটিকে স্পর্শ করে। তাই, কেন্দ্র \(C(h, k)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমণ হবে।
ব্যাসার্ধ \(r=\frac{|k-2|}{\sqrt{0^2+1^2}}\)
\(=\frac{|k-2|}{\sqrt{0+1}}\)
\(=\frac{|k-2|}{\sqrt{1}}\)
\(=|k-2|\)
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=(k-2)^2 .......(2)\)
\((2)\) নং বৃত্ত \((3, 2)\) এবং \((1, 4)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore (3-h)^2+(2-k)^2=(k-2)^2 .......(3)\)
এবং
\((1-h)^2+(4-k)^2=(k-2)^2 .......(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) হতে,
\((3-h)^2+(2-k)^2=(1-h)^2+(4-k)^2\)
\(\Rightarrow (3-h)^2-(1-h)^2=(4-k)^2-(2-k)^2\)
\(\Rightarrow (3-h+1-h)(3-h-1+h)=(4-k+2-k)(4-k-2+k)\)
\(\Rightarrow (4-2h).2=(6-2k).2\)
\(\Rightarrow 4-2h=6-2k\)
\(\Rightarrow 2(2-h)=2(3-k)\)
\(\Rightarrow 2-h=3-k\)
\(\Rightarrow k=3-2+h\)
\(\Rightarrow k=1+h .......(5)\)
\((4)\) ও \((5)\) হতে,
\((1-h)^2+(4-1-h)^2=(1+h-2)^2\)
\(\Rightarrow (1-h)^2+(3-h)^2=(h-1)^2\)
\(\Rightarrow (1-h)^2=(h-1)^2-(3-h)^2\)
\(\Rightarrow 1-2h+h^2=(h-1+3-h)(h-1-3+h)\)
\(\Rightarrow h^2-2h+1=2.(2h-4)\)
\(\Rightarrow h^2-2h+1=4h-8\)
\(\Rightarrow h^2-2h+1-4h+8=0\)
\(\Rightarrow h^2-6h+9=0\)
\(\Rightarrow (h-3)^2=0\)
\(\Rightarrow h-3=0\)
\(\therefore h=3\)
\((5)\) হতে, \(h=3\Rightarrow k=4\)
\(h, k\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\((x-3)^2+(y-4)^2=(4-2)^2\)
\(\Rightarrow (x-3)^2+(y-4)^2=2^2\)
\(\therefore (x-3)^2+(y-4)^2=4\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.5.(iii)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা, \(X\) অক্ষকে \((4, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \(Y\) অক্ষ হতে \(6\) একক দীর্ঘ একটি জ্যা খণ্ডিত করে।
[ বুয়েটঃ ২০১১-২০১২, ২০০২-২০০৩ ]
উত্তরঃ \(x^2+y^2-8x+10y+16=0, x^2+y^2-8x-10y+16=0\)।
[ বুয়েটঃ ২০১১-২০১২, ২০০২-২০০৩ ]
উত্তরঃ \(x^2+y^2-8x+10y+16=0, x^2+y^2-8x-10y+16=0\)।
সমাধানঃ
ধরি,
মূলবিন্দু \(O(0, 0)\)
স্পর্শবিন্দু \(P(4, 0)\)
জ্যা \(AB\)
বৃত্তের কেন্দ্র \(C\) হতে \(AB\) এর উপর \(CD\) লম্ব আঁকি।
এখানে,
\(AB=6\Rightarrow AD=BD=3\)
\(BC=CP, CD=OP=4\)
\(\triangle BCD\) সমকোণী।
\(\therefore BC^2=CD^2+BD^2\)
\(\Rightarrow BC^2=OP^2+BD^2\)
\(\Rightarrow BC^2=4^2+3^2\)
\(\Rightarrow BC^2=16+9\)
\(\Rightarrow BC^2=25\)
\(\Rightarrow BC=\pm \sqrt{25}\)
\(\Rightarrow BC=\pm 5\)
\(\therefore CP=\pm 5\)
এই ক্ষেত্রে দুইটি বৃত্ত অঙ্কন সম্ভব।
একটির কেন্দ্র \((4, 5)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=5\) ।
অপরটির কেন্দ্র \((4, -5)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=5\) ।
প্রথম বৃত্ত, \((x-4)^2+(y-5)^2=5^2\)
\(\Rightarrow x^2-2.x.4+4^2+y^2-2.y.5+5^2=25\)
\(\Rightarrow x^2-8x+16+y^2-10y+25-25=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-8x-10y+16=0\)
দ্বিতীয় বৃত্ত, \((x-4)^2+(y+5)^2=5^2\)
\(\Rightarrow x^2-2.x.4+4^2+y^2+2.y.5+5^2=25\)
\(\Rightarrow x^2-8x+16+y^2+10y+25-25=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-8x+10y+16=0\)
\(\therefore \) নির্ণেয় বৃত্তদ্বয়ের সমীকরণ, \(x^2+y^2-8x-10y+16=0; x^2+y^2-8x+10y+16=0\)।
মূলবিন্দু \(O(0, 0)\)
স্পর্শবিন্দু \(P(4, 0)\)
জ্যা \(AB\)
বৃত্তের কেন্দ্র \(C\) হতে \(AB\) এর উপর \(CD\) লম্ব আঁকি।
এখানে,
\(AB=6\Rightarrow AD=BD=3\)
\(BC=CP, CD=OP=4\)
\(\triangle BCD\) সমকোণী।
\(\therefore BC^2=CD^2+BD^2\)
\(\Rightarrow BC^2=OP^2+BD^2\)
\(\Rightarrow BC^2=4^2+3^2\)
\(\Rightarrow BC^2=16+9\)
\(\Rightarrow BC^2=25\)
\(\Rightarrow BC=\pm \sqrt{25}\)
\(\Rightarrow BC=\pm 5\)
\(\therefore CP=\pm 5\)
এই ক্ষেত্রে দুইটি বৃত্ত অঙ্কন সম্ভব।
একটির কেন্দ্র \((4, 5)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=5\) ।
অপরটির কেন্দ্র \((4, -5)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=5\) ।
প্রথম বৃত্ত, \((x-4)^2+(y-5)^2=5^2\)
\(\Rightarrow x^2-2.x.4+4^2+y^2-2.y.5+5^2=25\)
\(\Rightarrow x^2-8x+16+y^2-10y+25-25=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-8x-10y+16=0\)
দ্বিতীয় বৃত্ত, \((x-4)^2+(y+5)^2=5^2\)
\(\Rightarrow x^2-2.x.4+4^2+y^2+2.y.5+5^2=25\)
\(\Rightarrow x^2-8x+16+y^2+10y+25-25=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-8x+10y+16=0\)
\(\therefore \) নির্ণেয় বৃত্তদ্বয়ের সমীকরণ, \(x^2+y^2-8x-10y+16=0; x^2+y^2-8x+10y+16=0\)।
\(Q.5.(iv)\) \(x^2+y^2=45\) বৃত্তের \((6, -3)\) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক \(x^2+y^2-4x+2y-35=0\) বৃত্তকে \(A\)ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে । দেখাও যে, \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে স্পর্শকদ্বয় পরস্পর লম্ব।
[ বুয়েটঃ ২০০০-২০০১ ]
।
[ বুয়েটঃ ২০০০-২০০১ ]
।
সমাধানঃ
ধরি,
\(x^2+y^2-45=0 .....(1)\)
\(x^2+y^2-4x+2y-35=0 ......(2)\)
এখানে,
\(2g=-4, 2f=2, c=-35\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-2, f=1, c=-35\)
\((1)\) নং বৃত্তের \((6, -3)\) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.6+y.(-3)-45=0\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, \( xx_1+yy_1-r^2=0\)
\(\Rightarrow 6x-3y-45=0\)
\(\Rightarrow 2x-y-15=0\) ➜ উভয় পার্শে \(3\) ভাগ করে।
\(\therefore y=2x-15 ......(3)\)
\((2)\) ও \((3)\) হতে,
\(x^2+(2x-15)^2-4x+2(2x-15)-35=0\)
\(\Rightarrow x^2+4x^2-60x+225-4x+4x-30-35=0\)
\(\Rightarrow 5x^2-60x+160=0\)
\(\Rightarrow x^2-12x+32=0\) ➜ উভয় পার্শে \(5\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow x^2-8x-4x+32=0\)
\(\Rightarrow x(x-8)-4(x-8)=0\)
\(\Rightarrow (x-8)(x-4)=0\)
\(\Rightarrow x-8=0, x-4=0\)
\(\therefore x=8, x=4\)
\((3)\) হতে,
\(x=8\Rightarrow y=1, x=4\Rightarrow y=-7\)
\(\therefore A(8, 1)\) এবং \(B(4, -7)\)
\((2)\) নং বৃত্তের \(A(8, 1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.8+y.1+(-2)(x+8)+1(y+1)-35=0\)
\(\Rightarrow 8x+y-2x-16+y+1-35=0\)
\(\Rightarrow 6x+2y-50=0\)
\(\Rightarrow 3x+y-25=0 .......(4)\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\((2)\) নং বৃত্তের \(B(4, -7)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.4+y.(-7)+(-2)(x+4)+1(y-7)-35=0\)
\(\Rightarrow 4x-7y-2x-8+y-7-35=0\)
\(\Rightarrow 2x-6y-50=0\)
\(\Rightarrow x-3y-25=0 .......(5)\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\((4)\) এর ঢাল \(m_1=-\frac{3}{1}=-3\) ➜ ঢাল \(m=-\frac{a}{b}\)
\((5)\) এর ঢাল \(m_2=-\frac{1}{-3}=\frac{1}{3}\)
\(m_1\times m_2=-3\times \frac{1}{3}=-1\)
\(\therefore (4)\) ও \((5)\) স্পর্শকদ্বয় পরস্পর লম্ব।
[ দেখানো হলো।]
\(x^2+y^2-45=0 .....(1)\)
\(x^2+y^2-4x+2y-35=0 ......(2)\)
এখানে,
\(2g=-4, 2f=2, c=-35\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-2, f=1, c=-35\)
\((1)\) নং বৃত্তের \((6, -3)\) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.6+y.(-3)-45=0\) ➜ \(\because (x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, \( xx_1+yy_1-r^2=0\)
\(\Rightarrow 6x-3y-45=0\)
\(\Rightarrow 2x-y-15=0\) ➜ উভয় পার্শে \(3\) ভাগ করে।
\(\therefore y=2x-15 ......(3)\)
\((2)\) ও \((3)\) হতে,
\(x^2+(2x-15)^2-4x+2(2x-15)-35=0\)
\(\Rightarrow x^2+4x^2-60x+225-4x+4x-30-35=0\)
\(\Rightarrow 5x^2-60x+160=0\)
\(\Rightarrow x^2-12x+32=0\) ➜ উভয় পার্শে \(5\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow x^2-8x-4x+32=0\)
\(\Rightarrow x(x-8)-4(x-8)=0\)
\(\Rightarrow (x-8)(x-4)=0\)
\(\Rightarrow x-8=0, x-4=0\)
\(\therefore x=8, x=4\)
\((3)\) হতে,
\(x=8\Rightarrow y=1, x=4\Rightarrow y=-7\)
\(\therefore A(8, 1)\) এবং \(B(4, -7)\)
\((2)\) নং বৃত্তের \(A(8, 1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.8+y.1+(-2)(x+8)+1(y+1)-35=0\)
\(\Rightarrow 8x+y-2x-16+y+1-35=0\)
\(\Rightarrow 6x+2y-50=0\)
\(\Rightarrow 3x+y-25=0 .......(4)\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\((2)\) নং বৃত্তের \(B(4, -7)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.4+y.(-7)+(-2)(x+4)+1(y-7)-35=0\)
\(\Rightarrow 4x-7y-2x-8+y-7-35=0\)
\(\Rightarrow 2x-6y-50=0\)
\(\Rightarrow x-3y-25=0 .......(5)\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\((4)\) এর ঢাল \(m_1=-\frac{3}{1}=-3\) ➜ ঢাল \(m=-\frac{a}{b}\)
\((5)\) এর ঢাল \(m_2=-\frac{1}{-3}=\frac{1}{3}\)
\(m_1\times m_2=-3\times \frac{1}{3}=-1\)
\(\therefore (4)\) ও \((5)\) স্পর্শকদ্বয় পরস্পর লম্ব।
[ দেখানো হলো।]
\(Q.5.(v)\) \(x^2+y^2=9\) বৃত্তের স্পর্শক \(X\) অক্ষের সাথে \(45^o\) কোণ উৎপন্ন করে, স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুটেক্সঃ ২০১১-২০১২ ]
উত্তরঃ \(x-y\pm 3\sqrt{2}=0\)।
[ বুটেক্সঃ ২০১১-২০১২ ]
উত্তরঃ \(x-y\pm 3\sqrt{2}=0\)।
সমাধানঃ
ধরি,
\(x^2+y^2=3^2 .....(1)\)
কেন্দ্র \(O(0, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(=3\)
\((1)\) বৃত্তের স্পর্শক \(y=mx+c\Rightarrow mx-y+c=0 ....(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \((1)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((2)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
\(\frac{|m.0-0+c|}{\sqrt{m^2+1^2}}=3\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|c|}{\sqrt{m^2+1}}=3\)
\(\Rightarrow |c|=3\sqrt{(m^2+1)}\)
\(\Rightarrow c=\pm 3\sqrt{(m^2+1)}\)
\(c\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\(mx-y\pm 3\sqrt{(m^2+1)}=0 .......(3)\)
আবার,
\((2)\) নং সরলরেখা \(X\) অক্ষের সাথে \(45^o\) কোণ উৎপন্ন করে।
অর্থাৎ \(m=\tan45^o\)
\(=1\) ➜ \(\because \tan45^o=1\)
\(m\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(x-y\pm 5\sqrt{\{1^2+1\}}=0\)
\(\Rightarrow x-y\pm 3\sqrt{\{1+1\}}=0\)
\(\Rightarrow x-y\pm 3\sqrt{2}=0\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
\(x^2+y^2=3^2 .....(1)\)
কেন্দ্র \(O(0, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(=3\)
\((1)\) বৃত্তের স্পর্শক \(y=mx+c\Rightarrow mx-y+c=0 ....(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \((1)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি, কেন্দ্র হতে \((2)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়।
\(\frac{|m.0-0+c|}{\sqrt{m^2+1^2}}=3\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|c|}{\sqrt{m^2+1}}=3\)
\(\Rightarrow |c|=3\sqrt{(m^2+1)}\)
\(\Rightarrow c=\pm 3\sqrt{(m^2+1)}\)
\(c\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\(mx-y\pm 3\sqrt{(m^2+1)}=0 .......(3)\)
আবার,
\((2)\) নং সরলরেখা \(X\) অক্ষের সাথে \(45^o\) কোণ উৎপন্ন করে।
অর্থাৎ \(m=\tan45^o\)
\(=1\) ➜ \(\because \tan45^o=1\)
\(m\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(x-y\pm 5\sqrt{\{1^2+1\}}=0\)
\(\Rightarrow x-y\pm 3\sqrt{\{1+1\}}=0\)
\(\Rightarrow x-y\pm 3\sqrt{2}=0\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
\(Q.5.(vi)\) বৃত্ত \(x^2+y^2+4x-8y+2=0\) এর স্পর্শক গুলির সমীকরণ নির্ণয় কর যারা অক্ষদ্বয়কে সমান ও বিপরীত চিহ্নে খণ্ডিত করে।
[ বুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ]
উত্তরঃ \(x-y=0, x-y+12=0\)।
[ বুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ]
উত্তরঃ \(x-y=0, x-y+12=0\)।
সমাধানঃ
ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2+4x-8y+2=0 ......(1)\)
\((1)\) নং বৃত্তের ক্ষেত্রে,
\(2g=4, 2f=-8, c=2\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=2, f=-4, c=2\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(C(-2, 4)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{2^2+(-4)^2-2}\)
\(=\sqrt{4+16-2}\)
\(=\sqrt{20-2}\)
\(=\sqrt{18}\)
\(=\sqrt{2\times 9}\)
\(=3\sqrt{2}\)
অক্ষদ্বয় হতে সমমানের বিপরীত চিহ্নে খণ্ডিত করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ,
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{-a}=1\)
\(\frac{x}{a}-\frac{y}{a}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x-y}{a}=1\)
\(\Rightarrow x-y=a\)
\(\therefore x-y-a=0 .......(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \((1)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করে। অর্থাৎ কেন্দ্র হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান।
\(\therefore \frac{।-2-4-a।}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=3\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow \frac{।-6-a।}{\sqrt{1+1}}=3\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow \frac{।6+a।}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow ।6+a।=3\sqrt{2}\times \sqrt{2}\)
\(\Rightarrow ।6+a।=3\times 2\)
\(\Rightarrow ।6+a।=6 \)
\(\Rightarrow 6+a=\pm 6 \)
\(\Rightarrow 6+a=6 \) ➜ ধনাত্মক মান ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow a=6-6 \)
\(\therefore a=0 \)
\(\Rightarrow 6+a=-6 \) ➜ ঋনাত্মক মান ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow a=-6-6 \)
\(\therefore a=-12 \)
\(a\)এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
যখন, \(a=0 \) স্পর্শকের সমীকরণ ,
\(x-y=0\)
যখন, \(a=-12 \) স্পর্শকের সমীকরণ ,
\(x-y-12=0\)
\(\therefore \) নির্ণেয় স্পর্শদ্বয়ের সমীকরণ \(x-y=0; x-y-12=0\)।
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2+4x-8y+2=0 ......(1)\)
\((1)\) নং বৃত্তের ক্ষেত্রে,
\(2g=4, 2f=-8, c=2\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=2, f=-4, c=2\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(C(-2, 4)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{2^2+(-4)^2-2}\)
\(=\sqrt{4+16-2}\)
\(=\sqrt{20-2}\)
\(=\sqrt{18}\)
\(=\sqrt{2\times 9}\)
\(=3\sqrt{2}\)
অক্ষদ্বয় হতে সমমানের বিপরীত চিহ্নে খণ্ডিত করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ,
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{-a}=1\)
\(\frac{x}{a}-\frac{y}{a}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x-y}{a}=1\)
\(\Rightarrow x-y=a\)
\(\therefore x-y-a=0 .......(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \((1)\) নং বৃত্তকে স্পর্শ করে। অর্থাৎ কেন্দ্র হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান।
\(\therefore \frac{।-2-4-a।}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=3\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow \frac{।-6-a।}{\sqrt{1+1}}=3\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow \frac{।6+a।}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow ।6+a।=3\sqrt{2}\times \sqrt{2}\)
\(\Rightarrow ।6+a।=3\times 2\)
\(\Rightarrow ।6+a।=6 \)
\(\Rightarrow 6+a=\pm 6 \)
\(\Rightarrow 6+a=6 \) ➜ ধনাত্মক মান ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow a=6-6 \)
\(\therefore a=0 \)
\(\Rightarrow 6+a=-6 \) ➜ ঋনাত্মক মান ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow a=-6-6 \)
\(\therefore a=-12 \)
\(a\)এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
যখন, \(a=0 \) স্পর্শকের সমীকরণ ,
\(x-y=0\)
যখন, \(a=-12 \) স্পর্শকের সমীকরণ ,
\(x-y-12=0\)
\(\therefore \) নির্ণেয় স্পর্শদ্বয়ের সমীকরণ \(x-y=0; x-y-12=0\)।
\(Q.5.(vii)\) \(2x^2+2y^2-3x-4y+1=0\) এবং \(16x^2+16y^2-32x-1=0\) দুইটি বৃত্ত। দেখাও যে, তাদের একটির কেন্দ্র অপরটির পরিধির উপর অবস্থিত।
[ বুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯ ]
।
[ বুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯ ]
।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(2x^{2}+2y^{2}-3x-4y+1=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-\frac{3}{2}x-2y+\frac{1}{2}=0 .......(1)\)
এবং
\(16x^{2}+16y^{2}-32x-1=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-2x-\frac{1}{16}=0 ......(2)\)
\((1)\) এর ক্ষেত্রে,
\(2g=-\frac{3}{2}, 2f=-2, c=\frac{1}{2}\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{3}{4}, f=-1, c=\frac{1}{2}\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \(C_1(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C_1(\frac{3}{4}, 1)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{\left(-\frac{3}{4}\right)^2+(-1)^2-\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{9}{16}+1-\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{9+16-8}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{17}{16}}\)
\(=\frac{\sqrt{17}}{4}\)
\((2)\) এর ক্ষেত্রে,
\(2g=-2, 2f=0, c=-\frac{1}{16}\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-1, f=0, c=-\frac{1}{16}\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \(C_2(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C_2(1, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-1)^2+0^2+\frac{1}{16}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{1}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{16+1}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{17}{16}}\)
\(=\frac{\sqrt{17}}{4}\)
উভয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ সমান।
আবার,
\(C_1C_2=\sqrt{\left(\frac{3}{4}-1\right)^2+(1-0)^2}\)
\(=\sqrt{\left(\frac{3-4}{4}\right)^2+1^2}\)
\(=\sqrt{\left(\frac{-1}{4}\right)^2+1}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{16}+1}\)
\(=\sqrt{\frac{1+16}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{17}{16}}\)
\(=\frac{\sqrt{17}}{4}\)
\(\therefore C_1C_2=\)উভয় বৃত্তের ব্যসার্ধ।
অর্থাৎ কেন্দ্র দ্বয়ের দূরত্ব, উভয় বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমণ।
\(\therefore \) বৃত্ত দুইটির প্রতিটির কেন্দ্র, অপরটির পরিধির উপর অবস্থিত ।
\(2x^{2}+2y^{2}-3x-4y+1=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-\frac{3}{2}x-2y+\frac{1}{2}=0 .......(1)\)
এবং
\(16x^{2}+16y^{2}-32x-1=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-2x-\frac{1}{16}=0 ......(2)\)
\((1)\) এর ক্ষেত্রে,
\(2g=-\frac{3}{2}, 2f=-2, c=\frac{1}{2}\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{3}{4}, f=-1, c=\frac{1}{2}\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \(C_1(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C_1(\frac{3}{4}, 1)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{\left(-\frac{3}{4}\right)^2+(-1)^2-\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{9}{16}+1-\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{9+16-8}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{17}{16}}\)
\(=\frac{\sqrt{17}}{4}\)
\((2)\) এর ক্ষেত্রে,
\(2g=-2, 2f=0, c=-\frac{1}{16}\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-1, f=0, c=-\frac{1}{16}\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \(C_2(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C_2(1, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-1)^2+0^2+\frac{1}{16}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{1}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{16+1}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{17}{16}}\)
\(=\frac{\sqrt{17}}{4}\)
উভয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ সমান।
আবার,
\(C_1C_2=\sqrt{\left(\frac{3}{4}-1\right)^2+(1-0)^2}\)
\(=\sqrt{\left(\frac{3-4}{4}\right)^2+1^2}\)
\(=\sqrt{\left(\frac{-1}{4}\right)^2+1}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{16}+1}\)
\(=\sqrt{\frac{1+16}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{17}{16}}\)
\(=\frac{\sqrt{17}}{4}\)
\(\therefore C_1C_2=\)উভয় বৃত্তের ব্যসার্ধ।
অর্থাৎ কেন্দ্র দ্বয়ের দূরত্ব, উভয় বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমণ।
\(\therefore \) বৃত্ত দুইটির প্রতিটির কেন্দ্র, অপরটির পরিধির উপর অবস্থিত ।
বিকল্প পদ্ধতিঃ
দেওয়া আছে,
\(2x^{2}+2y^{2}-3x-4y+1=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-\frac{3}{2}x-2y+\frac{1}{2}=0 .......(1)\)
এবং
\(16x^{2}+16y^{2}-32x-1=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-2x-\frac{1}{16}=0 ......(2)\)
\((1)\) এর ক্ষেত্রে,
\(2g=-\frac{3}{2}, 2f=-2, c=\frac{1}{2}\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{3}{4}, f=-1, c=\frac{1}{2}\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \(C_1(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C_1(\frac{3}{4}, 1)\)
\((2)\) এর ক্ষেত্রে,
\(2g=-2, 2f=0, c=-\frac{1}{16}\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-1, f=0, c=\frac{1}{16}\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \(C_2(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C_2(1, 0)\)
\((1)\) এর কেন্দ্র \((2)\) এ বসিয়ে,
\((\frac{3}{4})^{2}+1^{2}-2\times \frac{3}{4}-\frac{1}{16}=0\)
\(\Rightarrow \frac{9}{16}+1-\frac{3}{2}-\frac{1}{16}=0\)
\(\Rightarrow \frac{9+16-24-1}{16}=0\)
\(\Rightarrow \frac{25-25}{16}=0\)
\(\Rightarrow \frac{0}{16}=0\)
\(\Rightarrow 0=0\)
অর্থাৎ \((1)\) নং বৃত্তের কেন্দ্র \((2)\) নং বৃত্তকে সিদ্ধ করে।
আবার,
\((2)\) এর কেন্দ্র \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x^{2}+y^{2}-\frac{3}{2}x-2y+\frac{1}{2}=0\)
\(\Rightarrow 1^{2}+0^{2}-\frac{3}{2}.1-2.0+\frac{1}{2}=0\)
\(\Rightarrow 1-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=0\)
\(\Rightarrow \frac{2-3+1}{2}=0\)
\(\Rightarrow \frac{3-3}{2}=0\)
\(\Rightarrow \frac{0}{2}=0\)
\(\Rightarrow 0=0\)
অর্থাৎ \((2)\) নং বৃত্তের কেন্দ্র \((1)\) নং বৃত্তকে সিদ্ধ করে।
\(\therefore \) বৃত্ত দুইটির প্রতিটির কেন্দ্র, অপরটির পরিধির উপর অবস্থিত ।
\(2x^{2}+2y^{2}-3x-4y+1=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-\frac{3}{2}x-2y+\frac{1}{2}=0 .......(1)\)
এবং
\(16x^{2}+16y^{2}-32x-1=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-2x-\frac{1}{16}=0 ......(2)\)
\((1)\) এর ক্ষেত্রে,
\(2g=-\frac{3}{2}, 2f=-2, c=\frac{1}{2}\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{3}{4}, f=-1, c=\frac{1}{2}\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \(C_1(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C_1(\frac{3}{4}, 1)\)
\((2)\) এর ক্ষেত্রে,
\(2g=-2, 2f=0, c=-\frac{1}{16}\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-1, f=0, c=\frac{1}{16}\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \(C_2(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C_2(1, 0)\)
\((1)\) এর কেন্দ্র \((2)\) এ বসিয়ে,
\((\frac{3}{4})^{2}+1^{2}-2\times \frac{3}{4}-\frac{1}{16}=0\)
\(\Rightarrow \frac{9}{16}+1-\frac{3}{2}-\frac{1}{16}=0\)
\(\Rightarrow \frac{9+16-24-1}{16}=0\)
\(\Rightarrow \frac{25-25}{16}=0\)
\(\Rightarrow \frac{0}{16}=0\)
\(\Rightarrow 0=0\)
অর্থাৎ \((1)\) নং বৃত্তের কেন্দ্র \((2)\) নং বৃত্তকে সিদ্ধ করে।
আবার,
\((2)\) এর কেন্দ্র \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x^{2}+y^{2}-\frac{3}{2}x-2y+\frac{1}{2}=0\)
\(\Rightarrow 1^{2}+0^{2}-\frac{3}{2}.1-2.0+\frac{1}{2}=0\)
\(\Rightarrow 1-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=0\)
\(\Rightarrow \frac{2-3+1}{2}=0\)
\(\Rightarrow \frac{3-3}{2}=0\)
\(\Rightarrow \frac{0}{2}=0\)
\(\Rightarrow 0=0\)
অর্থাৎ \((2)\) নং বৃত্তের কেন্দ্র \((1)\) নং বৃত্তকে সিদ্ধ করে।
\(\therefore \) বৃত্ত দুইটির প্রতিটির কেন্দ্র, অপরটির পরিধির উপর অবস্থিত ।
\(Q.5.(viii)\) \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করে এবং \((3, 0)\) ও \((7, 0)\) বিন্দুদ্বয় দিয়ে গমনকারী বৃত্তগুলির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮ ]
উত্তরঃ \(x^2+y^2-10x\pm 2\sqrt{21}y+21=0\) ।
[ বুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮ ]
উত্তরঃ \(x^2+y^2-10x\pm 2\sqrt{21}y+21=0\) ।
সমাধানঃ
ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 .......(1)\)
\((1)\) নং বৃত্ত \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করে,
\(\therefore f^2=c .....(2)\)
আবার,
\((1)\) নং বৃত্ত \((3, 0)\) ও \((7, 0)\) বিন্দুদ্বয় দিয়ে যায়।
\(\therefore 3^2+0^2+2g.3+2f.0+c=0\)
\(\Rightarrow 9+6g+c=0 .....(3)\)
এবং
\(7^2+0^2+2g.7+2f.0+c=0\)
\(\Rightarrow 49+14g+c=0 .....(4)\)
\((4)\)-\((3)\) এর সাহায্যে,
\(49+14g+c-9-6g-c=0\)
\(\Rightarrow 8g+40=0\)
\(\Rightarrow 8g=-40\)
\(\Rightarrow g=-\frac{40}{8}\)
\(\Rightarrow g=-5\)
\((3)\) হতে,
\(g=-5\Rightarrow c=21\)
\((2)\) হতে,
\(c=21\Rightarrow f=\pm \sqrt{21}\)
\(g, f, c\) এর মাণ \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x^2+y^2-10x\pm 2\sqrt{21}y+21=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 .......(1)\)
\((1)\) নং বৃত্ত \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করে,
\(\therefore f^2=c .....(2)\)
আবার,
\((1)\) নং বৃত্ত \((3, 0)\) ও \((7, 0)\) বিন্দুদ্বয় দিয়ে যায়।
\(\therefore 3^2+0^2+2g.3+2f.0+c=0\)
\(\Rightarrow 9+6g+c=0 .....(3)\)
এবং
\(7^2+0^2+2g.7+2f.0+c=0\)
\(\Rightarrow 49+14g+c=0 .....(4)\)
\((4)\)-\((3)\) এর সাহায্যে,
\(49+14g+c-9-6g-c=0\)
\(\Rightarrow 8g+40=0\)
\(\Rightarrow 8g=-40\)
\(\Rightarrow g=-\frac{40}{8}\)
\(\Rightarrow g=-5\)
\((3)\) হতে,
\(g=-5\Rightarrow c=21\)
\((2)\) হতে,
\(c=21\Rightarrow f=\pm \sqrt{21}\)
\(g, f, c\) এর মাণ \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x^2+y^2-10x\pm 2\sqrt{21}y+21=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.5.(ix)\) \(r\)-এর মাণ কত হলে, \(r\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট শুধুমাত্র একটিই বৃত্ত পাওয়া যাবে যা, \((6, 7)\) ও \((12, 13)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
[ বুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭ ]
উত্তরঃ \(3\sqrt{2}\) ।
[ বুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭ ]
উত্তরঃ \(3\sqrt{2}\) ।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
ব্যসার্ধ \(r\)
ধরি,
কেন্দ্র \(C(h, k)\)
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2 ........(1)\) ➜ কেন্দ্র \(C(h, k)\), ব্যাসার্ধ \(r\), বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)
\((1)\) নং বৃত্ত \((6, 7)\) ও \((12, 13)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore (6-h)^2+(7-k)^2=r^2 ........(2)\)
এবং
\((12-h)^2+(13-k)^2=r^2 ........(3)\)
\((2)\) ও \((3)\) হতে \(\) এর সমতা নিয়ে।
\((6-h)^2+(7-k)^2=(12-h)^2+(13-k)^2\)
\(\Rightarrow (6-h)^2-(12-h)^2=(13-k)^2-(7-k)^2\)
\(\Rightarrow (6-h+12-h)(6-h-12+h)\)\(=(13-k+7-k)(13-k-7+k)\)
\(\Rightarrow (18-2h).(-6)=(20-2k).6\)
\(\Rightarrow -(18-2h)=20-2k\)
\(\Rightarrow -2(9-h)=2(10-k)\)
\(\Rightarrow -9+h=10-k\)
\(\Rightarrow h=10-k+9\)
\(\Rightarrow h=19-k ........(4)\)
\((2)\) ও \((4)\) হতে,
\((6-19+k)^2+(7-k)^2=r^2\)
\(\Rightarrow (-13+k)^2+(7-k)^2=r^2\)
\(\Rightarrow (13-k)^2+(7-k)^2=r^2\)
\(\Rightarrow (13-k-7+k)^2+2(13-k)(7-k)=r^2\)
\(\Rightarrow (6)^2+2(13-k)(7-k)=r^2\)
\(\Rightarrow 36+2(91-20k+k^2)=r^2\)
\(\Rightarrow 36+182-40k+2k^2=r^2\)
\(\Rightarrow 2k^2-40k+218-r^2=0\)
\(\therefore 2k^2-40k+(218-r^2)=0\) যা \(k\)-এর দ্বিঘাত সমীকরণ। এখানে \(k\)-এর দুইটি মাণ আছে। \(k\)-এর এই দুইটি মানের জন্য দুইটি বৃত্তের সমীকরণ পাওয়া যাবে।
\(k\)-এর মাণ দ্বয় সমান হলে, সেই ক্ষেত্রে শুধুমাত্র একটিই বৃত্ত পাওয়া যাবে।
\(\therefore (-40)^2=4.2(218-r^2)\) ➜ \(ax^2+bx+c=0\) এর মূলদ্বয় সমান হওয়ার শর্ত, \(b^2=4ac\)
\(\Rightarrow 1600=8(218-r^2)\)
\(\Rightarrow 200=218-r^2\)
\(\Rightarrow r^2=218-200\)
\(\Rightarrow r^2=18\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{18}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{2.9}\)
\(\therefore r=3\sqrt{2}\)
ইহাই নির্ণেয় \(r\)-এর মাণ।
ব্যসার্ধ \(r\)
ধরি,
কেন্দ্র \(C(h, k)\)
বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2 ........(1)\) ➜ কেন্দ্র \(C(h, k)\), ব্যাসার্ধ \(r\), বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)
\((1)\) নং বৃত্ত \((6, 7)\) ও \((12, 13)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore (6-h)^2+(7-k)^2=r^2 ........(2)\)
এবং
\((12-h)^2+(13-k)^2=r^2 ........(3)\)
\((2)\) ও \((3)\) হতে \(\) এর সমতা নিয়ে।
\((6-h)^2+(7-k)^2=(12-h)^2+(13-k)^2\)
\(\Rightarrow (6-h)^2-(12-h)^2=(13-k)^2-(7-k)^2\)
\(\Rightarrow (6-h+12-h)(6-h-12+h)\)\(=(13-k+7-k)(13-k-7+k)\)
\(\Rightarrow (18-2h).(-6)=(20-2k).6\)
\(\Rightarrow -(18-2h)=20-2k\)
\(\Rightarrow -2(9-h)=2(10-k)\)
\(\Rightarrow -9+h=10-k\)
\(\Rightarrow h=10-k+9\)
\(\Rightarrow h=19-k ........(4)\)
\((2)\) ও \((4)\) হতে,
\((6-19+k)^2+(7-k)^2=r^2\)
\(\Rightarrow (-13+k)^2+(7-k)^2=r^2\)
\(\Rightarrow (13-k)^2+(7-k)^2=r^2\)
\(\Rightarrow (13-k-7+k)^2+2(13-k)(7-k)=r^2\)
\(\Rightarrow (6)^2+2(13-k)(7-k)=r^2\)
\(\Rightarrow 36+2(91-20k+k^2)=r^2\)
\(\Rightarrow 36+182-40k+2k^2=r^2\)
\(\Rightarrow 2k^2-40k+218-r^2=0\)
\(\therefore 2k^2-40k+(218-r^2)=0\) যা \(k\)-এর দ্বিঘাত সমীকরণ। এখানে \(k\)-এর দুইটি মাণ আছে। \(k\)-এর এই দুইটি মানের জন্য দুইটি বৃত্তের সমীকরণ পাওয়া যাবে।
\(k\)-এর মাণ দ্বয় সমান হলে, সেই ক্ষেত্রে শুধুমাত্র একটিই বৃত্ত পাওয়া যাবে।
\(\therefore (-40)^2=4.2(218-r^2)\) ➜ \(ax^2+bx+c=0\) এর মূলদ্বয় সমান হওয়ার শর্ত, \(b^2=4ac\)
\(\Rightarrow 1600=8(218-r^2)\)
\(\Rightarrow 200=218-r^2\)
\(\Rightarrow r^2=218-200\)
\(\Rightarrow r^2=18\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{18}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{2.9}\)
\(\therefore r=3\sqrt{2}\)
ইহাই নির্ণেয় \(r\)-এর মাণ।
\(Q.5.(x)\) \(X\) অক্ষকে \((4, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \(Y\) অক্ষ হতে \(6\) একক দৈর্ঘ্যের জ্যা কর্তন করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]
উত্তরঃ \(x^2+y^2-8x\pm 10y+16=0\) ।
[ বুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]
উত্তরঃ \(x^2+y^2-8x\pm 10y+16=0\) ।
সমাধানঃ
ধরি,
মূলবিন্দু \(O(0, 0)\)
স্পর্শবিন্দু \(P(4, 0)\)
জ্যা \(AB\)
বৃত্তের কেন্দ্র \(C\) হতে \(AB\) এর উপর \(CD\) লম্ব আঁকি।
এখানে,
\(AB=6\Rightarrow AD=BD=3\)
\(BC=CP, CD=OP=4\)
\(\triangle BCD\) সমকোণী।
\(\therefore BC^2=CD^2+BD^2\)
\(\Rightarrow BC^2=OP^2+BD^2\)
\(\Rightarrow BC^2=4^2+3^2\)
\(\Rightarrow BC^2=16+9\)
\(\Rightarrow BC^2=25\)
\(\Rightarrow BC=\pm \sqrt{25}\)
\(\Rightarrow BC=\pm 5\)
\(\therefore CP=\pm 5\)
এই ক্ষেত্রে দুইটি বৃত্ত অঙ্কন সম্ভব।
একটির কেন্দ্র \((4, 5)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=5\) ।
অপরটির কেন্দ্র \((4, -5)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=5\) ।
প্রথম বৃত্ত, \((x-4)^2+(y-5)^2=5^2\)
\(\Rightarrow x^2-2.x.4+4^2+y^2-2.y.5+5^2=25\)
\(\Rightarrow x^2-8x+16+y^2-10y+25-25=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-8x-10y+16=0\)
দ্বিতীয় বৃত্ত, \((x-4)^2+(y+5)^2=5^2\)
\(\Rightarrow x^2-2.x.4+4^2+y^2+2.y.5+5^2=25\)
\(\Rightarrow x^2-8x+16+y^2+10y+25-25=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-8x+10y+16=0\)
\(\therefore \) নির্ণেয় বৃত্তদ্বয়ের সমীকরণ, \(x^2+y^2-8x-10y+16=0; x^2+y^2-8x+10y+16=0\)।
মূলবিন্দু \(O(0, 0)\)
স্পর্শবিন্দু \(P(4, 0)\)
জ্যা \(AB\)
বৃত্তের কেন্দ্র \(C\) হতে \(AB\) এর উপর \(CD\) লম্ব আঁকি।
এখানে,
\(AB=6\Rightarrow AD=BD=3\)
\(BC=CP, CD=OP=4\)
\(\triangle BCD\) সমকোণী।
\(\therefore BC^2=CD^2+BD^2\)
\(\Rightarrow BC^2=OP^2+BD^2\)
\(\Rightarrow BC^2=4^2+3^2\)
\(\Rightarrow BC^2=16+9\)
\(\Rightarrow BC^2=25\)
\(\Rightarrow BC=\pm \sqrt{25}\)
\(\Rightarrow BC=\pm 5\)
\(\therefore CP=\pm 5\)
এই ক্ষেত্রে দুইটি বৃত্ত অঙ্কন সম্ভব।
একটির কেন্দ্র \((4, 5)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=5\) ।
অপরটির কেন্দ্র \((4, -5)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=5\) ।
প্রথম বৃত্ত, \((x-4)^2+(y-5)^2=5^2\)
\(\Rightarrow x^2-2.x.4+4^2+y^2-2.y.5+5^2=25\)
\(\Rightarrow x^2-8x+16+y^2-10y+25-25=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-8x-10y+16=0\)
দ্বিতীয় বৃত্ত, \((x-4)^2+(y+5)^2=5^2\)
\(\Rightarrow x^2-2.x.4+4^2+y^2+2.y.5+5^2=25\)
\(\Rightarrow x^2-8x+16+y^2+10y+25-25=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-8x+10y+16=0\)
\(\therefore \) নির্ণেয় বৃত্তদ্বয়ের সমীকরণ, \(x^2+y^2-8x-10y+16=0; x^2+y^2-8x+10y+16=0\)।
\(Q.5.(xi)\) \(x^2+y^2=b(5x-12y)\) বৃত্তের অঙ্কিত ব্যাস মূলবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। এ ব্যাসের সমীকরণ নির্ণয় কর এবং মূলবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫ ]
উত্তরঃ \(12x+5y=0, 5x-12y=0\) ।
[ বুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫ ]
উত্তরঃ \(12x+5y=0, 5x-12y=0\) ।
সমাধানঃ
ধরি,
\(x^2+y^2-5bx+12by=0.....(1)\)
এখানে,
\(2g=-5b, 2f=12b, c=0\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{5b}{2}, f=6b, c=0\)
\(\therefore (1)\) বৃত্তের কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(\frac{5b}{2}, -6b)\)
এবং মূলবিন্দু \(O(0, 0)\)
এখন,
মূলবিন্দুগামী ব্যাস অর্থাৎ \(CO\) এর সমীকরণ,
\(\frac{x-\frac{5b}{2}}{\frac{5b}{2}-0}=\frac{y+6b}{-6b-0}\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{2x-5b}{2}}{\frac{5b}{2}}=\frac{y+6b}{-6b}\)
\(\Rightarrow \frac{2x-5b}{2}\times \frac{2}{5b}=\frac{y+6b}{-6b}\)
\(\Rightarrow \frac{2x-5b}{5b}=\frac{y+6b}{-6b}\)
\(\Rightarrow 6(2x-5b)=-5(y+6b)\)
\(\Rightarrow 12x-30b=-5y-30b\)
\(\Rightarrow 12x-30b+5y+30b=0\)
\(\therefore 12x+5y=0\)
ইহাই নির্ণেয় ব্যাসের সমীকরণ।
মূলবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক উক্ত ব্যাসের উপর লম্ব হবে।
অতএব, ব্যাসের উপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ,
\(5x-12y+k=0 ........(2)\) যা মূলবিন্দুগামী।
\(\therefore 5.0-12.0+k=0\)
\(\Rightarrow 0-0+k=0\)
\(\therefore k=0\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(5x-12y+0=0\)
\(\therefore 5x-12y=0\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
\(x^2+y^2-5bx+12by=0.....(1)\)
এখানে,
\(2g=-5b, 2f=12b, c=0\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। \(\Rightarrow g=-\frac{5b}{2}, f=6b, c=0\)
\(\therefore (1)\) বৃত্তের কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(\frac{5b}{2}, -6b)\)
এবং মূলবিন্দু \(O(0, 0)\)
এখন,
মূলবিন্দুগামী ব্যাস অর্থাৎ \(CO\) এর সমীকরণ,
\(\frac{x-\frac{5b}{2}}{\frac{5b}{2}-0}=\frac{y+6b}{-6b-0}\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{2x-5b}{2}}{\frac{5b}{2}}=\frac{y+6b}{-6b}\)
\(\Rightarrow \frac{2x-5b}{2}\times \frac{2}{5b}=\frac{y+6b}{-6b}\)
\(\Rightarrow \frac{2x-5b}{5b}=\frac{y+6b}{-6b}\)
\(\Rightarrow 6(2x-5b)=-5(y+6b)\)
\(\Rightarrow 12x-30b=-5y-30b\)
\(\Rightarrow 12x-30b+5y+30b=0\)
\(\therefore 12x+5y=0\)
ইহাই নির্ণেয় ব্যাসের সমীকরণ।
মূলবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক উক্ত ব্যাসের উপর লম্ব হবে।
অতএব, ব্যাসের উপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ,
\(5x-12y+k=0 ........(2)\) যা মূলবিন্দুগামী।
\(\therefore 5.0-12.0+k=0\)
\(\Rightarrow 0-0+k=0\)
\(\therefore k=0\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(5x-12y+0=0\)
\(\therefore 5x-12y=0\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
\(Q.5.(xii)\) \(x^2+y^2-4x-6y+c=0\) বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করলে \(c\)-এর মাণ এবং স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]
উত্তরঃ \(4, (2, 0)\) ।
[ বুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]
উত্তরঃ \(4, (2, 0)\) ।
সমাধানঃ
ধরি,
\(x^{2}+y^{2}-4x-6y+c=0 ......(1)\)
এখানে,
\(2g=-4, 2f=-6, c_1=c\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-2, f=-3, c_1=c\)
কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\therefore (2, 3)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{(-2)^2+(-3)^2-c}\)
\(=\sqrt{4+9-c}\)
\(=\sqrt{13-c}\)
\(\because \) বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে। অতএব, কেন্দ্রের \(y\) স্থানাঙ্ক ব্যাসার্ধের সমান হবে।
\(\therefore \sqrt{13-c}=3\)
\(\Rightarrow 13-c=3^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 13-c=9\)
\(\Rightarrow 13-9=c\)
\(\Rightarrow 4=c\)
\(\therefore c=4\)
ইহাই নির্ণেয় \(c\) এর মান।
আবার ধরি, \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে বলে \(y=0\)
\((1)\) হতে,
\(x^{2}+0^{2}-4x-6.0+4=0\)
\(\Rightarrow x^{2}-4x+4=0\)
\(\Rightarrow (x-2)^{2}=0\)
\(\Rightarrow x-2=0\)
\(\therefore x=2\)
\(\therefore \) স্পর্শবিন্দু \((2, 0)\) .
\(x^{2}+y^{2}-4x-6y+c=0 ......(1)\)
এখানে,
\(2g=-4, 2f=-6, c_1=c\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-2, f=-3, c_1=c\)
কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\therefore (2, 3)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{(-2)^2+(-3)^2-c}\)
\(=\sqrt{4+9-c}\)
\(=\sqrt{13-c}\)
\(\because \) বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে। অতএব, কেন্দ্রের \(y\) স্থানাঙ্ক ব্যাসার্ধের সমান হবে।
\(\therefore \sqrt{13-c}=3\)
\(\Rightarrow 13-c=3^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 13-c=9\)
\(\Rightarrow 13-9=c\)
\(\Rightarrow 4=c\)
\(\therefore c=4\)
ইহাই নির্ণেয় \(c\) এর মান।
আবার ধরি, \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে বলে \(y=0\)
\((1)\) হতে,
\(x^{2}+0^{2}-4x-6.0+4=0\)
\(\Rightarrow x^{2}-4x+4=0\)
\(\Rightarrow (x-2)^{2}=0\)
\(\Rightarrow x-2=0\)
\(\therefore x=2\)
\(\therefore \) স্পর্শবিন্দু \((2, 0)\) .
\(Q.5.(xiii)\) এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে এবং \((1, 8)\) বিন্দু দিয়ে গমন করে ।
[ বুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯ ]
উত্তরঃ \((x-5)^{2}+(y-5)^{2}=25\) ।
[ বুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯ ]
উত্তরঃ \((x-5)^{2}+(y-5)^{2}=25\) ।
সমাধানঃ
মনে করি,
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0 .........(1)\)
\((1)\) নং বৃত্ত উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে,
\(\therefore g^{2}=f^{2}=c .......(2)\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের উভয় অক্ষকে স্পর্শ করার শর্ত, \( g^2=f^2=c\)
\(\Rightarrow g^{2}=f^{2}\)
\(\Rightarrow g=f ..........(3)\)
আবার,
\((1)\) নং বৃত্ত \((1, 8)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(1^{2}+8^{2}+2g.1+2f.8+c=0\)
\(\Rightarrow 1+64+2g+16f+c=0\)
\(\Rightarrow 65+2g+16g+g^{2}=0\) ➜ \((2)\) ও \((3)\) হতে।
\(\Rightarrow g^{2}+18g+65=0\)
\(\Rightarrow g^{2}+5g+13g+65=0\)
\(\Rightarrow g(g+5)+13(g+13)=0\)
\(\Rightarrow (g+5)(g+13)=0\)
\(\Rightarrow g+5=0, g+13=0\)
\(\therefore g=-5, g=-13\)
\((3)\) হতে,
\(g=-5\Rightarrow f=-5, g=-13\Rightarrow f=-13\)
\((2)\) হতে,
\(g=-5, f=-5 \Rightarrow c=25;\) এবং \(g=-13, f=-13\Rightarrow c=169\)
\(g, f, c \) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
যখন,
\(g=-5, f=-5, c=25;\)
\(x^{2}+y^{2}+2(-5)x+2(-5)y+25=0 \)
\(\therefore x^{2}+y^{2}-10x-10y+25=0 \)
যখন,
\(g=-13, f=-13, c=169;\)
\(x^{2}+y^{2}+2(-13)x+2(-13)y+169=0 \)
\(\therefore x^{2}+y^{2}-26x-26y+169=0 \)
\(\therefore \) নির্ণেয় বৃত্তদ্বয়ের সমীকরণ,
\(x^{2}+y^{2}-10x-10y+25=0; x^{2}+y^{2}-26x-26y+169=0\)।
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0 .........(1)\)
\((1)\) নং বৃত্ত উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে,
\(\therefore g^{2}=f^{2}=c .......(2)\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের উভয় অক্ষকে স্পর্শ করার শর্ত, \( g^2=f^2=c\)
\(\Rightarrow g^{2}=f^{2}\)
\(\Rightarrow g=f ..........(3)\)
আবার,
\((1)\) নং বৃত্ত \((1, 8)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(1^{2}+8^{2}+2g.1+2f.8+c=0\)
\(\Rightarrow 1+64+2g+16f+c=0\)
\(\Rightarrow 65+2g+16g+g^{2}=0\) ➜ \((2)\) ও \((3)\) হতে।
\(\Rightarrow g^{2}+18g+65=0\)
\(\Rightarrow g^{2}+5g+13g+65=0\)
\(\Rightarrow g(g+5)+13(g+13)=0\)
\(\Rightarrow (g+5)(g+13)=0\)
\(\Rightarrow g+5=0, g+13=0\)
\(\therefore g=-5, g=-13\)
\((3)\) হতে,
\(g=-5\Rightarrow f=-5, g=-13\Rightarrow f=-13\)
\((2)\) হতে,
\(g=-5, f=-5 \Rightarrow c=25;\) এবং \(g=-13, f=-13\Rightarrow c=169\)
\(g, f, c \) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
যখন,
\(g=-5, f=-5, c=25;\)
\(x^{2}+y^{2}+2(-5)x+2(-5)y+25=0 \)
\(\therefore x^{2}+y^{2}-10x-10y+25=0 \)
যখন,
\(g=-13, f=-13, c=169;\)
\(x^{2}+y^{2}+2(-13)x+2(-13)y+169=0 \)
\(\therefore x^{2}+y^{2}-26x-26y+169=0 \)
\(\therefore \) নির্ণেয় বৃত্তদ্বয়ের সমীকরণ,
\(x^{2}+y^{2}-10x-10y+25=0; x^{2}+y^{2}-26x-26y+169=0\)।
\(Q.5.(xiv)\) \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তের এমন দুইটি স্পর্শকের ছেদবিন্দুর সঞ্চারপথ নির্ণয় কর যারা পরস্পর লম্ব।
[ বুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫]
উত্তরঃ \(x^{2}+x^{2}=2a^2\) ।
[ বুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫]
উত্তরঃ \(x^{2}+x^{2}=2a^2\) ।
সমাধানঃ
ধরি,
\(x^2+y^2=a^2 .......(1)\)
\((1)\) এর কেন্দ্র \(O(0, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(=a\)
আবার,
সঞ্চার পথের উপর যে কোন বিন্দু \(P(x, y)\) হতে \((1)\) নং বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় \(PA\) এবং \(PB\) পরস্পর লম্ব।
\(\therefore \Box PAOB\)-এ \(\angle A=\angle B=\angle P=90^o\)
\(\therefore \angle O=90^o\)
আবার,
\(AO=BO=a=\)ব্যাসার্ধ ।
\(\therefore \Box PAOB\)একটি বর্গক্ষেত্র যার প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য \(=a\) একক।
এখন,
\(PO^2=PA^2+AO^2\)
\(\Rightarrow (x-0)^2+(y-0)^2=a^2+a^2\)
\(\therefore x^2+y^2=2a^2\)
ইহাই নির্ণেয় সঞ্চার পথের সমীকরন।
\((1)\) নং বৃত্তে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(y=mx\pm a\sqrt{1+m^2}\)
\(\Rightarrow y-mx=\pm a\sqrt{1+m^2}\)
\(\Rightarrow (y-mx)^2=a^2(1+m^2)\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow y^2-2mxy+m^2x^2=a^2+m^2a^2\)
\(\Rightarrow y^2-2mxy+m^2x^2-a^2-m^2a^2=0\)
\(\therefore (x^2-a^2)m^2-2mxy+(y^2-a^2)=0 .....(2)\) যা \(m\) এর দ্বিঘাত সমীকরণ। এখানে \(m\) এর দুইটি মাণ যথাক্রমে \(m_1\) ও \(m_2\)।
\(\therefore m_1m_2=\frac{y^2-a^2}{x^2-a^2} .....(3)\) ➜\(ax^2+bx+c=0\) এর মূলদ্বয় \(\alpha, \beta \) হলে, মূল দ্বয়ের গুনফল \(\alpha \beta=\frac{c}{a}\)
আবার,
স্পর্শকদ্বয় পরস্পর লম্ব বলে, \(m_1m_2=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2-a^2}{x^2-a^2}=-1\)
\(\Rightarrow y^2-a^2=-(x^2-a^2)\)
\(\Rightarrow y^2-a^2=-x^2+a^2\)
\(\Rightarrow y^2-a^2+x^2=a^2\)
\(\Rightarrow y^2+x^2=a^2+a^2\)
\(\therefore y^2+x^2=2a^2\)
ইহাই নির্ণেয় সঞ্চার পথের সমীকরন।
\(x^2+y^2=a^2 .......(1)\)
\((1)\) এর কেন্দ্র \(O(0, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(=a\)
আবার,
সঞ্চার পথের উপর যে কোন বিন্দু \(P(x, y)\) হতে \((1)\) নং বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় \(PA\) এবং \(PB\) পরস্পর লম্ব।
\(\therefore \Box PAOB\)-এ \(\angle A=\angle B=\angle P=90^o\)
\(\therefore \angle O=90^o\)
আবার,
\(AO=BO=a=\)ব্যাসার্ধ ।
\(\therefore \Box PAOB\)একটি বর্গক্ষেত্র যার প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য \(=a\) একক।
এখন,
\(PO^2=PA^2+AO^2\)
\(\Rightarrow (x-0)^2+(y-0)^2=a^2+a^2\)
\(\therefore x^2+y^2=2a^2\)
ইহাই নির্ণেয় সঞ্চার পথের সমীকরন।
বিকল্প পদ্ধতিঃ
\(x^2+y^2=a^2 .......(1)\)\((1)\) নং বৃত্তে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(y=mx\pm a\sqrt{1+m^2}\)
\(\Rightarrow y-mx=\pm a\sqrt{1+m^2}\)
\(\Rightarrow (y-mx)^2=a^2(1+m^2)\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow y^2-2mxy+m^2x^2=a^2+m^2a^2\)
\(\Rightarrow y^2-2mxy+m^2x^2-a^2-m^2a^2=0\)
\(\therefore (x^2-a^2)m^2-2mxy+(y^2-a^2)=0 .....(2)\) যা \(m\) এর দ্বিঘাত সমীকরণ। এখানে \(m\) এর দুইটি মাণ যথাক্রমে \(m_1\) ও \(m_2\)।
\(\therefore m_1m_2=\frac{y^2-a^2}{x^2-a^2} .....(3)\) ➜\(ax^2+bx+c=0\) এর মূলদ্বয় \(\alpha, \beta \) হলে, মূল দ্বয়ের গুনফল \(\alpha \beta=\frac{c}{a}\)
আবার,
স্পর্শকদ্বয় পরস্পর লম্ব বলে, \(m_1m_2=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2-a^2}{x^2-a^2}=-1\)
\(\Rightarrow y^2-a^2=-(x^2-a^2)\)
\(\Rightarrow y^2-a^2=-x^2+a^2\)
\(\Rightarrow y^2-a^2+x^2=a^2\)
\(\Rightarrow y^2+x^2=a^2+a^2\)
\(\therefore y^2+x^2=2a^2\)
ইহাই নির্ণেয় সঞ্চার পথের সমীকরন।
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000008