এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
- ঐতিহাসিক পটভূমি
- কনিকের গঠনগত ব্যাখ্যা
- সংজ্ঞাসমূহ
- বিভিন্ন প্রকৃতির কনিক
- চিত্রের সাহায্যে কনিক উপস্থাপন
- কোনোকের এবং সমতলের ছেদবিন্দুর সঞ্চারপথই যে কনিক তা চিত্রের সাহায্যে প্রকাশ
- সমতল দ্বারা কোণের ছেদন বা কর্তনের ফলে কনিক উৎপন্ন হয়। যেমনঃ বৃত্ত, পরাবৃত্ত, উপবৃত্ত, অধিবৃত্ত এবং যুগল সরলরেখা
- পরাবৃত্তের সমীকরণ সনাক্তকরণ
- পরাবৃত্তের সমীকরণ \(y^2=4ax \ (a>0)\) এর বিবরণ
- পরাবৃত্তের সমীকরণ \(x^2=4ay \ (a>0)\) এর বিবরণ
- পরাবৃত্তের সমীকরণ \(y^2=-4ax \ (a>0)\) এর বিবরণ
- পরাবৃত্তের সমীকরণ \(x^2=-4ay \ (a>0)\) এর বিবরণ
- মূলবিন্দুকে উপকেন্দ্রক ধরে পরাবৃত্তের সমীকরণ \(y^2=4a(x+a) \ (a>0)\) এর বিবরণ
- \(Y\)-অক্ষকে নিয়ামকরেখা এবং \(X\)-অক্ষকে অক্ষরেখা ধরে পরাবৃত্তের সমীকরণ \(y^2=4a(x-a) \ (a>0)\) এর বিবরণ
- পরাবৃত্তের সমীকরণ \(x=ay^2+by+c\) এর বিবরণ
- পরাবৃত্তের সমীকরণ \(y=ax^2+bx+c\) এর বিবরণ
- পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য
- কনিকের সাধারণ সমীকরণ হতে বৃত্ত, পরাবৃত্ত, উপবৃত্ত, অধিবৃত্ত এবং যুগল সরলরেখা শনাক্তকরণ
- কোনো সরলরেখা পরাবৃত্তের স্পর্শক হওয়ার শর্ত, স্পর্শকের সমীকরণ এবং স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক
- পরাবৃত্তের উপরিস্থিত কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ
- সমাধানকৃত উদাহরণমালা
- অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন-উত্তর
- সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন-উত্তর
- বর্ণনামূলক প্রশ্ন-উত্তর
- সৃজনশীল প্রশ্ন এবং সমাধান
ঐতিহাসিক পটভূমি
কনিক
Conics
Manaechmus
(৩৮০-৩২০ খৃষ্টপুর্ব)
কোণক দ্বারা সমতলে বক্ররেখার ছেদাংশের বিভিন্ন অংশকে পরাবৃত্ত, উপবৃত্ত ও অধিবৃত্ত নামকরণ করেন।
একটি স্থির বিন্দু ও একটি সরলরেখা হতে যে সব বিন্দুর দূরত্বের অনুপাত একটি স্থির রাশি, তাদের সেটকে কনিক বলা হয়। স্থির বিন্দুটিকে উপকেন্দ্র বা ফোকাস, নির্দিষ্ট সরলরেখাকে নিয়ামক বা দিকাক্ষ এবং স্থির রাশিকে উৎকেন্দ্রিকতা (Eccentricity) বলা হয়। স্থির রাশিটিকে \(e\) দ্বারা সূচিত করা হয়। এই স্থির রাশির মানের উপর কনিকের আকৃতি নির্ভশীল।
কনিক পরস্পরছেদী এমন একটি বক্রতা, যা একটি সমতলের কৌণিকতা সৃষ্টি করে এবং যার আকৃতি মোচাকৃতি। সৃষ্টি জগতের অতি কৌতূহলী, আকর্ষণীয় ও দুর্বোধ্য ক্ষেত্র থেকেই মানুষ কনিকের ধারণা লাভ করে আসছে। বাস্তব ও জটিল সংখ্যার স্থানাঙ্ক এবং ম্যাট্রিক্স নির্ণয়ে কনিক ব্যবহৃত হয়। প্রাচীন জ্যামিতিক পদ্ধতিতে এর তিনটি গঠন প্রয়োগ করা হত। যেমনঃ পরাবৃত্ত, উপবৃত্ত এবং অধিবৃত্ত ।
প্রাচীন গণিতবিদ ম্যানাকমাস ম্যানাকমাস (Manaechmus) (৩৮০-৩২০ খৃষ্টপুর্ব) । ও ইউডক্সাস 
ইউডক্সাস (Eudoxus) (৩৯০-৩৩৭ খৃষ্টপুর্ব) গ্রীক গণিতবিদ ও জ্যোতির্বিদ । (Manaechmus & Eudoxus) \(4^{th}\) century-তে প্লেটোর 
প্লেটো (Plato) (খ্রিষ্টপূর্ব ৪২৭ - খ্রিষ্টপূর্ব ৩৪৭) বিশ্ববিখ্যাত গ্রিক দার্শনিক। তিনি দার্শনিক সক্রেটিসের ছাত্র ছিলেন এবং দার্শনিক এরিস্টটল তার ছাত্র ছিলেন। (Plato) স্কুলে কনিকের এ ত্রিগঠন সংযোজন করেন। Elements গ্রন্থে ইউক্লিড 
ইউক্লিড (৩০০-২৫০ খ্রিষ্টপূর্ব) বিখ্যাত গ্রিক গণিতজ্ঞ। তার লেখা গ্রন্থগুলির মধ্যে মাত্র তিনটির সন্ধান পাওয়া গিয়েছে এগুলো, ডাটা, অপটিক্স ও এলিমেন্টস। এলিমেন্টস বইটি মোট ১৩ খণ্ডে প্রকাশিত হয়েছিল। (৩০০-২৫০ খ্রিষ্টপূর্ব) কনিক সম্পর্কে বিস্তারিত আলোচনা করেন।এবং পরবর্তীতে "Quadrature of Parabola" গ্রন্থে আর্কিমিডিস 
আর্কিমিডিস (২৮৭-২১২ খ্রিষ্টপূর্ব) একজন গ্রিক গণিতবিদ, পদার্থবিজ্ঞানী, প্রকৌশলী, জ্যোতির্বিদ ও দার্শনিক। তাঁকে গণিতের জনক বলা হয়। (২৮৭-২১২ খ্রিষ্টপূর্ব) এবং অ্যাপোলোনিয়াস কনিকের প্রথম সিরিজ আকারে আটটি গ্রন্থে কনিক সম্পর্কে মৌলিক ও মূল্যবান তত্ত্ব ও তথ্যাবলির উপস্থাপন করেন। গ্রিক বিজ্ঞানীদের উদ্ভাবিত এসব তথ্য ও উপাত্তকে সপ্তদশ শতাব্দীতে জোহান ক্যাপলার 
জোহান কেপলার (Johannes Kepler) (১৫৭১-১৬৩০) ছিলেন দক্ষিণ পশ্চিম জার্মানির গণিতবিদ ও জ্যোতির্বিদ। কেপলারের প্রিয় বিষয়গুলি ছিল গণিত ও জ্যোতির্বিদ্যা। কেপলারের সবচেয়ে উল্লেখযোগ্য পুস্তকটির নাম ‘নিউ অ্যাসট্রোনমি’, যা প্রকাশের পর বিজ্ঞানীরা জানতে পারলেন, সূর্যের চারদিকে গ্রহরা একটি উপবৃত্তাকার পথে পরিভ্রমণ করছে। (Johannes Kepler) (১৫৭১-১৬৩০) এবং রেনে দেকার্তে 
প্রখ্যাত ফরাসি দার্শনিক, গণিতবিদ রেনে দেকার্তে আধুনিক ফাংশনের ধারণা দেন । (Rene Descartes) (১৫৯৬-১৬৫০) বৈজ্ঞানিকরূপে প্রতিষ্ঠিত করেন। আধুনিক বিজ্ঞানে কনিকের বিস্তার ও প্রয়োগ ব্যপকভাবে বৃদ্ধি পায়। গ্রহ, উপগ্রহ, ধূমকেতু, নৌকা চালনায়, শিল্পকারখানায় যন্ত্রপাতি ( গিয়ার), অ্যান্টেনা, আলোকবিজ্ঞান, দূরবিক্ষণ যন্ত্র ইত্যাদিতে কনিকের ব্যবহার পরিলক্ষিত হয়।
ম্যানাকমাস (Manaechmus) (৩৮০-৩২০ খৃষ্টপুর্ব) । ও ইউডক্সাস ইউডক্সাস (Eudoxus) (৩৯০-৩৩৭ খৃষ্টপুর্ব) গ্রীক গণিতবিদ ও জ্যোতির্বিদ । (Manaechmus & Eudoxus) \(4^{th}\) century-তে প্লেটোর প্লেটো (Plato) (খ্রিষ্টপূর্ব ৪২৭ - খ্রিষ্টপূর্ব ৩৪৭) বিশ্ববিখ্যাত গ্রিক দার্শনিক। তিনি দার্শনিক সক্রেটিসের ছাত্র ছিলেন এবং দার্শনিক এরিস্টটল তার ছাত্র ছিলেন। (Plato) স্কুলে কনিকের এ ত্রিগঠন সংযোজন করেন। Elements গ্রন্থে ইউক্লিড ইউক্লিড (৩০০-২৫০ খ্রিষ্টপূর্ব) বিখ্যাত গ্রিক গণিতজ্ঞ। তার লেখা গ্রন্থগুলির মধ্যে মাত্র তিনটির সন্ধান পাওয়া গিয়েছে এগুলো, ডাটা, অপটিক্স ও এলিমেন্টস। এলিমেন্টস বইটি মোট ১৩ খণ্ডে প্রকাশিত হয়েছিল। (৩০০-২৫০ খ্রিষ্টপূর্ব) কনিক সম্পর্কে বিস্তারিত আলোচনা করেন।এবং পরবর্তীতে "Quadrature of Parabola" গ্রন্থে আর্কিমিডিস আর্কিমিডিস (২৮৭-২১২ খ্রিষ্টপূর্ব) একজন গ্রিক গণিতবিদ, পদার্থবিজ্ঞানী, প্রকৌশলী, জ্যোতির্বিদ ও দার্শনিক। তাঁকে গণিতের জনক বলা হয়। (২৮৭-২১২ খ্রিষ্টপূর্ব) এবং অ্যাপোলোনিয়াস কনিকের প্রথম সিরিজ আকারে আটটি গ্রন্থে কনিক সম্পর্কে মৌলিক ও মূল্যবান তত্ত্ব ও তথ্যাবলির উপস্থাপন করেন। গ্রিক বিজ্ঞানীদের উদ্ভাবিত এসব তথ্য ও উপাত্তকে সপ্তদশ শতাব্দীতে জোহান ক্যাপলার জোহান কেপলার (Johannes Kepler) (১৫৭১-১৬৩০) ছিলেন দক্ষিণ পশ্চিম জার্মানির গণিতবিদ ও জ্যোতির্বিদ। কেপলারের প্রিয় বিষয়গুলি ছিল গণিত ও জ্যোতির্বিদ্যা। কেপলারের সবচেয়ে উল্লেখযোগ্য পুস্তকটির নাম ‘নিউ অ্যাসট্রোনমি’, যা প্রকাশের পর বিজ্ঞানীরা জানতে পারলেন, সূর্যের চারদিকে গ্রহরা একটি উপবৃত্তাকার পথে পরিভ্রমণ করছে। (Johannes Kepler) (১৫৭১-১৬৩০) এবং রেনে দেকার্তে প্রখ্যাত ফরাসি দার্শনিক, গণিতবিদ রেনে দেকার্তে আধুনিক ফাংশনের ধারণা দেন । (Rene Descartes) (১৫৯৬-১৬৫০) বৈজ্ঞানিকরূপে প্রতিষ্ঠিত করেন। আধুনিক বিজ্ঞানে কনিকের বিস্তার ও প্রয়োগ ব্যপকভাবে বৃদ্ধি পায়। গ্রহ, উপগ্রহ, ধূমকেতু, নৌকা চালনায়, শিল্পকারখানায় যন্ত্রপাতি ( গিয়ার), অ্যান্টেনা, আলোকবিজ্ঞান, দূরবিক্ষণ যন্ত্র ইত্যাদিতে কনিকের ব্যবহার পরিলক্ষিত হয়। কনিকের গঠনগত ব্যাখ্যা
Stractural explanation of Conics
কনিক (Conics): কোন কার্তেসীয় সমতলে একটি বিন্দু যদি এমনভাবে চলে যে ঐ সমতলস্থিত একটি স্থির বিন্দু থেকে দূরত্ব এবং একটি নির্দিষ্ট রেখা থেকে লম্বদূরত্বের অনুপাত একটি স্থির রাশি , তবে ঐ বিন্দুর সঞ্চারপথকে কনিক বলা হয়।
স্থির বিন্দুটিকে কনিকের উপকেন্দ্র (Focus), নির্দিষ্ট সরলরেখাটিকে এর নিয়ামক রেখা (Directrix) এবং ঐ স্থির রাশিকে উৎকেন্দ্রিকতা বা বিকেন্দ্রিকতা (Eccentricity) বলা হয়।
জ্যামিতিক ব্যাখ্যাঃ মনে করি, কোন সমতলে \(S\) একটি স্থির বিন্দু এবং \(CD\) একটি স্থির সরলরেখা। একটি চলমান বিন্দু \(P(x, y)\) যা সমতলের উপর অবস্থিত। \(P\) বিন্দু হতে \(S\) বিন্দুর দূরত্ব \(PS\) এবং \(P\) বিন্দু হতে \(CD\) এর উপর লম্ব-দূরত্ব \(PM\) এর অনুপাত সর্বদা স্থির হয়, তাহলে \(P\) এর সঞ্চারপথকে কনিক বলে। স্থির রাশিটিকে \(e\) দ্বারা প্রকাশ করলে \(\frac{PS}{PM}=e\) হয়। এখানে \(e\) কে উৎকেন্দ্রিকতা (Eccentricity) বলে। সুতরাং \(PS=e.PM\) কনিকের সমীকরণ প্রকাশ করে। সংজ্ঞাসমূহ
Definitions
অক্ষরেখা, শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্র, নিয়ামকরেখা, উৎকেন্দ্রিকতা,নিয়ামকরেখার পাদবিন্দু , উপকেন্দ্রিক দূরত্ব, উপকেন্দ্রিক জ্যা ও উপকেন্দ্রিক লম্ব।
Axis, Vertex, Focus, Directrix, Eccentricity, Foot point, Focal distance, Focal chord and Latus rectum.
অক্ষরেখা (Axis): উপকেন্দ্রের মধ্যদিয়ে নিয়ামকরেখার উপর অঙ্কিত লম্ব রেখাটিকে (AX) পরাবৃত্তের অক্ষরেখা বা অক্ষ বলা হয়।
শীর্ষবিন্দু (Vertex): পরাবৃত্ত ও অক্ষরেখার ছেদবিন্দুকে (A) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু বলে।
উপকেন্দ্র (Focus): পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে নির্দিষ্ট বিন্দুটিকে (S) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র বলে।
নিয়ামকরেখা (Directrix): পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে নির্দিষ্ট সরলরেখাটিকে (CD) পরাবৃত্তের নিয়ামকরেখা বলে।
উৎকেন্দ্রিকতা (Eccentricity): পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে স্থির অনুপাতটিকে \((e)\) পরাবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা বলে।
নিয়ামকরেখার পাদবিন্দু (Foot point): নিয়ামকরেখা ও অক্ষরেখার ছেদবিন্দুকে (Z) নিয়ামকরেখার পাদবিন্দু বলে।
উপকেন্দ্রিক দূরত্ব (Focal distance): উপকেন্দ্র থেকে পরাবৃত্তের যে কোন বিন্দুর দূরত্বকে উপকেন্দ্রিক দূরত্ব বলে।
উপকেন্দ্রিক জ্যা (Focal chord): পরাবৃত্তের যে জ্যা পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র দিয়ে গমন করে তাকে উপকেন্দ্রিক জ্যা বলে।
উপকেন্দ্রিক লম্ব (Latus rectum): উপকেন্দ্রিক জ্যা অক্ষের উপর লম্ব হলে \(L\acute L\) তাকে পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্ব বলে।
শীর্ষবিন্দু (Vertex): পরাবৃত্ত ও অক্ষরেখার ছেদবিন্দুকে (A) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু বলে।
উপকেন্দ্র (Focus): পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে নির্দিষ্ট বিন্দুটিকে (S) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র বলে।
নিয়ামকরেখা (Directrix): পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে নির্দিষ্ট সরলরেখাটিকে (CD) পরাবৃত্তের নিয়ামকরেখা বলে।
উৎকেন্দ্রিকতা (Eccentricity): পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে স্থির অনুপাতটিকে \((e)\) পরাবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা বলে।
নিয়ামকরেখার পাদবিন্দু (Foot point): নিয়ামকরেখা ও অক্ষরেখার ছেদবিন্দুকে (Z) নিয়ামকরেখার পাদবিন্দু বলে।
উপকেন্দ্রিক দূরত্ব (Focal distance): উপকেন্দ্র থেকে পরাবৃত্তের যে কোন বিন্দুর দূরত্বকে উপকেন্দ্রিক দূরত্ব বলে।
উপকেন্দ্রিক জ্যা (Focal chord): পরাবৃত্তের যে জ্যা পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র দিয়ে গমন করে তাকে উপকেন্দ্রিক জ্যা বলে।
উপকেন্দ্রিক লম্ব (Latus rectum): উপকেন্দ্রিক জ্যা অক্ষের উপর লম্ব হলে \(L\acute L\) তাকে পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্ব বলে।
বিভিন্ন প্রকৃতির কনিক
Different types of Conic
বৃত্ত, পরাবৃত্ত, উপবৃত্ত, অধিবৃত্ত এবং যুগল সরলরেখা।
Circle, Parabola, Ellipse, Hyperbola and Pair of Straight Lines
\(e\) এর বিভিন্ন মানের জন্য সঞ্চারপথের আকৃতি বিভিন্ন হয়, যা নিম্নরূপঃ
বৃত্ত (Circle): \(e=0\) হলে, সঞ্চারপথকে বৃত্ত (Circle) বলা হয়। অতএব বৃত্ত হলো উপবৃত্তের একটি সীমায়িত অবস্থান যার বিকেন্দ্রিকতা শুন্য এবং যার নিয়ামক অসীমে থাকে। আবার একটি বৃত্ত বিন্দুতে পরিণত হতে পারে যখন এর ব্যাসার্ধ শুন্য হয়।
পরাবৃত্ত (Parabola): \(e=1\) হলে, সঞ্চারপথকে পরাবৃত্ত (Parabola) বলা হয়। অতএব, পরাবৃত্তস্থ প্রত্যেকটি বিন্দু উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা থেকে সমান দূরে অবস্থিত।
উপবৃত্ত (Ellipse): \(1>e>0\) হলে, সঞ্চারপথকে উপবৃত্ত (Ellipse) বলা হয়। উপবৃত্তস্থ প্রত্যেকটি বিন্দু থেকে উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখার দূরত্বের অনুপাত একটি স্থির রাশি যার মাণ শুন্য অপেক্ষা বড় এবং \(1\) অপেক্ষা ছোট।
অধিবৃত্ত (Hyperbola): \(e>1\) হলে, সঞ্চারপথকে অধিবৃত্ত (Hyperbola) বলা হয়। অধিবৃত্তস্থ প্রত্যেকটি বিন্দু থেকে উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখার দূরত্বের অনুপাত একটি স্থির রাশি যার মাণ \(1\) অপেক্ষা বড় ।
যুগল সরলরেখা (Pair of Straight Lines): \(e>1\) এবং উপকেন্দ্র নিয়ামকের উপর অবস্থিত হলে, সঞ্চারপথকে যুগল সরলরেখা (Pair of Straight Lines) বলা হয়। অতএব এক্ষেত্রে কনিকটি দুইটি বাস্তব ও ভিন্ন সরলরেখা নির্দেশ করে।
পরাবৃত্ত (Parabola): \(e=1\) হলে, সঞ্চারপথকে পরাবৃত্ত (Parabola) বলা হয়। অতএব, পরাবৃত্তস্থ প্রত্যেকটি বিন্দু উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা থেকে সমান দূরে অবস্থিত।
উপবৃত্ত (Ellipse): \(1>e>0\) হলে, সঞ্চারপথকে উপবৃত্ত (Ellipse) বলা হয়। উপবৃত্তস্থ প্রত্যেকটি বিন্দু থেকে উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখার দূরত্বের অনুপাত একটি স্থির রাশি যার মাণ শুন্য অপেক্ষা বড় এবং \(1\) অপেক্ষা ছোট।
অধিবৃত্ত (Hyperbola): \(e>1\) হলে, সঞ্চারপথকে অধিবৃত্ত (Hyperbola) বলা হয়। অধিবৃত্তস্থ প্রত্যেকটি বিন্দু থেকে উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখার দূরত্বের অনুপাত একটি স্থির রাশি যার মাণ \(1\) অপেক্ষা বড় ।
যুগল সরলরেখা (Pair of Straight Lines): \(e>1\) এবং উপকেন্দ্র নিয়ামকের উপর অবস্থিত হলে, সঞ্চারপথকে যুগল সরলরেখা (Pair of Straight Lines) বলা হয়। অতএব এক্ষেত্রে কনিকটি দুইটি বাস্তব ও ভিন্ন সরলরেখা নির্দেশ করে।
চিত্রের সাহায্যে কনিক উপস্থাপন
Representation of Conic by diagram
কোনো কনিকের উপকেন্দ্র \(S\) নিয়ামক রেখা \(MZ\acute M\) ( পরাবৃত্তের ক্ষেত্রে ) এবং \(MZ\) ও \(\acute M\acute Z\) ( উপবৃত্ত ও অধিবৃত্তের ক্ষেত্রে ) উৎকেন্দ্রিকতা \(e\) এবং উক্ত কনিকের উপরস্থ যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\) হলে উক্ত কনিকের সমীকরণ \(\frac{PS}{PM}=e\)।
কনিকটি একটি পরাবৃত্ত (Parabola) প্রকাশ করে; যখন \(e=1\) এবং \(SP=PM\)।
কনিকটি একটি উপবৃত্ত (Ellipse) প্রকাশ করে; যখন \(1 > e > 0\) এবং \(SP=e.PM\)।
কনিকটি একটি অধিবৃত্ত (Hyperbola) প্রকাশ করে; যখন \(e>1\) এবং \(SP=e.PM\)।
কোনোকের এবং সমতলের ছেদবিন্দুর সঞ্চারপথই যে কনিক তা চিত্রের সাহায্যে প্রকাশ
Conic which representing the locus of intersection of cone and a plane by diagram
কোণ থেকে কনিকের উৎপত্তি। একটি নির্দিষ্ট সরলরেখা কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে অপর একটি সরলরেখার এক প্রান্ত বেধে রেখে যদি রেখাটিকে ঐ নির্দিষ্ট রেখার চারিদিকে সূক্ষ্ণকোণে আবর্তন করানো হয়, তবে একটি বৃত্তীয় কোণ উৎপন্ন হয়। নির্দিষ্ট রেখাটি \((AO)\) ভূমির সহিত লম্ব অর্থাৎ \(\angle AOB=90^o\) হলে একটি সমবৃত্তীয় কোণ উৎপন্ন হয়। নির্দিষ্ট বিন্দুটিকে কোণের শীর্ষবিন্দু, নির্দিষ্ট সরলরেখাকে অক্ষ এবং ঘূর্নায়মান রেখাকে কারিক রেখা (Generating line) বলা হয়।চিত্রে, \(AO\) অক্ষ (Axis) \(AB\) কারিক রেখা (Generating line) এবং \(\angle OAB\) কে অর্ধশীর্ষ কোণ বলা হয়ে থাকে।
সমতল দ্বারা কোণের ছেদন বা কর্তনের ফলে কনিক উৎপন্ন হয়। যেমনঃ বৃত্ত, পরাবৃত্ত, উপবৃত্ত, অধিবৃত্ত এবং যুগল সরলরেখা।
ভূমির সমান্তরাল কিন্তু শীর্ষবিন্দুগামী নয় এরূপ কোনো সমতল দ্বারা যদি সমবৃত্তীয় কোনোককে সম্পূর্ণরূপে ছেদ করা হয় তবে ছেদক রেখাটি একটি বৃত্ত (Circle) উৎপন্ন করে।
কারিক রেখার সমান্তরাল কিন্তু শীর্ষবিন্দুগামী নয় এরূপ কোনো সমতল দ্বারা যদি সমবৃত্তীয় কোনোককে ছেদ বা কর্তন করা হয়, তবে ছেদক রেখাটি একটি পরাবৃত্ত (parabola) উৎপন্ন করে।
কারিক রেখা ও ভূমির সমান্তরাল নয় এবং শীর্ষবিন্দুগামীও নয় এরূপ কোনো সমতল দ্বারা যদি সমবৃত্তীয় কোনোককে সম্পূর্ণরূপে ছেদ করা হয় তবে ছেদক রেখাটি একটি উপবৃত্ত (Ellipse) উৎপন্ন করে।
শীর্ষবিন্দুগামী নয় এরূপ কোনো সমতল দ্বারা যদি কোনো দ্বিকোণকে এমনভাবে ছেদ করা হয় যেন তা উভয় কোণকে ছেদ করে, তবে ছেদক রেখাটি একটি অধিবৃত্ত (Hyperbola) উৎপন্ন করে।
শীর্ষবিন্দুগামী এবং ভূমির সহিত লম্ব এরূপ কোনো সমতল দ্বারা যদি সমবৃত্তীয় কোনোককে সম্পূর্ণরূপে ছেদ করা হয় তবে ছেদক রেখাটি একজোড়া সরলরেখা ( Pair of straight line) উৎপন্ন করে।
পরাবৃত্তের সমীকরণ সনাক্তকরণঃ
পরাবৃত্তের সমীকরণে \(x^2\) অথবা, \(y^2\) যুক্ত পদ বিদ্যমান। \(x\) ও \(y\) যুক্ত পদ থাকতেও পারে নাও থাকতে পারে।
প্রয়োজনীয় এবং স্মরণীয় সূত্রসমূহ।
মূলবিন্দুগামী পরাবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ ও বিভিন্ন অংশের বিবরণ।
\(1.\) পরাবৃত্তের সমীকরণ \(y^2=4ax \ (a>0)\)
- শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(0, 0)\)
- উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a, 0)\)
- নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x=-a\)
- অক্ষরেখার সমীকরণ \(y=0\)
- উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(x=a\)
- উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
- শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \(x=0\)
- নিয়ামকরেখার পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(Z(-a, 0)\)
- \(P(x, y)\) বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব \(=a+|x|\)
\(2.\) পরাবৃত্তের সমীকরণ \(x^2=4ay \ (a>0)\)
- শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(0, 0)\)
- উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(0, a)\)
- নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(y=-a\)
- অক্ষরেখার সমীকরণ \(x=0\)
- উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(y=a\)
- উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
- শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \(y=0\)
- নিয়ামকরেখার পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(Z(0, -a)\)
- \(P(x, y)\) বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব \(=a+|y|\)
\(3.\) পরাবৃত্তের সমীকরণ \(y^2=-4ax \ (a>0)\)
- শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(0, 0)\)
- উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(-a, 0)\)
- নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x=a\)
- অক্ষরেখার সমীকরণ \(y=0\)
- উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(x=-a\)
- উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
- শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \(x=0\)
- নিয়ামকরেখার পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(Z(a, 0)\)
- \(P(x, y)\) বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব \(=a+|x|\)
\(4.\) পরাবৃত্তের সমীকরণ \(x^2=-4ay \ (a>0)\)
- শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(0, 0)\)
- উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(0, -a)\)
- নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(y=a\)
- অক্ষরেখার সমীকরণ \(x=0\)
- উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(y=-a\)
- উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
- শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \(y=0\)
- নিয়ামকরেখার পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(Z(0, a)\)
- \(P(x, y)\) বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব \(=a+|y|\)
\(5.\) মূলবিন্দুকে উপকেন্দ্রক ধরে পরাবৃত্তের সমীকরণ \(y^2=4a(x+a) \ (a>0)\)
- শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(-a, 0)\)
- উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(0, 0)\)
- নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x+2a=0\)
- অক্ষরেখার সমীকরণ \(y=0\)
- উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(x=0\)
- উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
- শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \(x+a=0\)
- নিয়ামকরেখার পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(Z(-2a, 0)\)
\(6.\) \(Y\)-অক্ষকে নিয়ামকরেখা এবং \(X\)-অক্ষকে অক্ষরেখা ধরে পরাবৃত্তের সমীকরণ \(y^2=4a(x-a) \ (a>0)\)
- শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(a, 0)\)
- উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(2a, 0)\)
- নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x=0\)
- অক্ষরেখার সমীকরণ \(y=0\)
- উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(x-2a=0\)
- উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
- শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \(x-a=0\)
- নিয়ামকরেখার পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(Z(0, 0)\)
\(7.\) পরাবৃত্তের সমীকরণ \(x=ay^2+by+c\)
- অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল।
- শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A\left(-\frac{b^2-4ac}{4a}, -\frac{b}{2a}\right)\)
- উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{1}{a}|\)
উপরোক্ত পরাবৃত্তের সমীকরণের বিকল্পরূপ \((y-\beta)^2=4a(x-\alpha)\)
\(8.\) পরাবৃত্তের সমীকরণ \(y=ax^2+bx+c\)
- অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল।
- শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\)
- উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{1}{a}|\)
উপরোক্ত পরাবৃত্তের সমীকরণের বিকল্পরূপ \((x-\alpha)^2=4a(y-\beta)\)
অনুসিদ্ধান্ত
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য।
Letus rectum of parabola.
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র দিয়ে যার এবং এর অক্ষরেখার উপর লম্ব হয়, এরূপ জ্যাকে এর উপকেন্দ্রিক লম্ব (Letus rectum) বলা হয়। \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তের \(AS\) অক্ষরেখার উপর \(L\acute{L}\) লম্ব আঁকি। সুতরাং \(L\acute{L}\) পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্রিক লম্ব, এর উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a, 0)\) । \(L\acute{L}\) উপকেন্দ্রিক লম্বটি \(S\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয়। \(L\) বিন্দু থেকে \(MZ\acute{M}\)-এর উপর \(LM\) লম্ব আঁকি।পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
\(SL=ML\)
\(=ZS\)
\(=ZA+AS\)
\(=a+a\)
\(=2a\)
অনুরূপভাবে,
\(S\acute{L}=-2a\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য্
\(L\acute{L}=|2a-(-2a)|=|2a+2a|=|4a|\)
আবার,
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য,
\(L\acute{L}=SL+S\acute{L}\)
\(=SL+SL\)
\(=2SL\)
\(=2\times ML\)
\(=2\times SZ\)
\(=2\times \) উপকেন্দ্র হতে নিয়ামকরেখার লম্বদূরত্ব।
\(\therefore \) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=2\times \) উপকেন্দ্র হতে নিয়ামকরেখার লম্বদূরত্ব।
কনিকের সাধারণ সমীকরণ হতে বৃত্ত, পরাবৃত্ত, উপবৃত্ত, অধিবৃত্ত এবং যুগল সরলরেখা শনাক্তকরণ।
কনিকের সাধারণ সমীকরণ \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\)
এখানে, \(\Delta \equiv abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2\)
- \(\Delta\ne{0},\) \(a=b\) এবং \(h=0\) হলে, কনিকটি একটি বৃত্ত নির্দেশ করবে।
- \(\Delta\ne{0}, \ ab-h^2=0\) এবং \(a+b\ne{0}\) হলে, কনিকটি একটি পরাবৃত্ত নির্দেশ করবে।
- \(\Delta\ne{0}, \ ab-h^2>0\) এবং \(a+b\ne{0}\) হলে, কনিকটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করবে।
- \(\Delta\ne{0}, \ ab-h^2<0\) এবং \(a+b\ne{0}\) হলে, কনিকটি একটি অধিবৃত্ত নির্দেশ করবে।
- \(\Delta\ne{0}, \ ab-h^2<0 \) এবং \(a+b=0\) হলে, কনিকটি একটি আয়াতাকার অধিবৃত্ত নির্দেশ করবে।
- \(\Delta=0\) হলে, কনিকটি একজোড়া সরলরেখা নির্দেশ করবে।
\(9.\) কোনো সরলরেখা পরাবৃত্তের স্পর্শক হওয়ার শর্ত, স্পর্শকের সমীকরণ এবং স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক।
মনে করি,
সরলরেখা ও পরাবৃত্তটির সমীকরণ যথাক্রমে
\(y=mx+c .............(1) \)
\(y^2=4ax ........(2) \)
সরলরেখা ও পরাবৃত্তটির সমীকরণ যথাক্রমে
\(y=mx+c .............(1) \)
\(y^2=4ax ........(2) \)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং পরাবৃত্তকে স্পর্শ করার শর্তঃ \(c=\frac{a}{m}\)
স্পর্শকের সমীকরণঃ \(y=mx+\frac{a}{m}\)
স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্কঃ \(\left(\frac{a}{m^2}, \frac{2a}{m}\right)\)
পরাবৃত্তের উপরিস্থিত কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ।
মনে করি,
একটি নির্দিষ্ট বিন্দু এবং একটি পরাবৃত্ত যথাক্রমে \(P(x_1, y_1)\)
এবং \(y^2=4ax ........(1) \)
একটি নির্দিষ্ট বিন্দু এবং একটি পরাবৃত্ত যথাক্রমে \(P(x_1, y_1)\)
এবং \(y^2=4ax ........(1) \)
\((1)\) নং পরাবৃত্তের উপরিস্থিত \(P(x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \(yy_1=2a(x+x_1)\)
\(y^2=4ax\) পরাবৃত্তের উপরিস্থিত \(P(x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \(yy_1=2a(x+x_1)\)
\(x^2=4ay\) পরাবৃত্তের উপরিস্থিত \(P(x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \(xx_1=2a(y+y_1)\)
\(1.\) মূলবিন্দুগামী পরাবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ \(y^2=4ax \ (a>0)\) নির্ণয়ঃ
ধরি,
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S\) এবং নিয়ামকরেখা \(MZ\acute M\)। উপকেন্দ্র \(S\) হতে নিয়ামকরেখার উপর \(SZ\) লম্ব আঁকি এবং \(SZ\) রেখা \(A\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয়। তাহলে \(SA=AZ\); সংজ্ঞানুসারে \(A\) শীর্ষবিন্দু এবং \(ZX\) পরাবৃত্তের অক্ষ। \(A\) বিন্দুকে মূলবিন্দু এবং \(AX\) ও \(AY\) রেখাকে যথাক্রমে \(X\)-অক্ষ ও \(Y\)-অক্ষ বিবেচনা করি।
আবার, \(AS=a=ZA\) এবং পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)। \(S,P\) যোগ করি এবং \(P\) বিন্দু হতে নিয়ামক রেখার উপর \(PM\) ও \(AX\)-এর উপর \(PN\) লম্ব আঁকি।
পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
\(SP=PM\)
\(\Rightarrow SP=ZN\) ➜ \(PM=ZN\)
\(\Rightarrow SP=ZA+AN\)
\(\Rightarrow SP=a+x\) ➜ \(AN=x, ZA=a\)
\(\Rightarrow SP^2=(a+x)^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow SP^2=(a+x)^2\)
\(\Rightarrow SN^2+PN^2=(a+x)^2\) ➜ \(SPN\) সমকোণী ত্রিভুজে \(SP^2=SN^2+PN^2\)
\(\Rightarrow (x-a)^2+y^2=(a+x)^2\) ➜ \(\because SN=AN-AS=x-a\)
\(\Rightarrow y^2=(a+x)^2-(x-a)^2\)
\(\therefore y^2=4ax\) ➜ \(\because (a+b)^2-(a-b)^2=4ab\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
নিয়ামকের সমীকরণ \(x=-a \Rightarrow x+a=0 \)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=1\)
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে, \(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-a)^2+(y-0)^2}=\frac{|x+a|}{\sqrt{1^2+0^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-a)^2+y^2}=\frac{|x+a|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-a)^2+y^2}=\frac{|x+a|}{1}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-a)^2+y^2}=|x+a|\)
\(\Rightarrow (x-a)^2+y^2=(x+a)^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow y^2=(x+a)^2-(x-a)^2\)
\(\therefore y^2=4ax\) ➜ \(\because (a+b)^2-(a-b)^2=4ab\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S\) এবং নিয়ামকরেখা \(MZ\acute M\)। উপকেন্দ্র \(S\) হতে নিয়ামকরেখার উপর \(SZ\) লম্ব আঁকি এবং \(SZ\) রেখা \(A\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয়। তাহলে \(SA=AZ\); সংজ্ঞানুসারে \(A\) শীর্ষবিন্দু এবং \(ZX\) পরাবৃত্তের অক্ষ। \(A\) বিন্দুকে মূলবিন্দু এবং \(AX\) ও \(AY\) রেখাকে যথাক্রমে \(X\)-অক্ষ ও \(Y\)-অক্ষ বিবেচনা করি।
আবার, \(AS=a=ZA\) এবং পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)। \(S,P\) যোগ করি এবং \(P\) বিন্দু হতে নিয়ামক রেখার উপর \(PM\) ও \(AX\)-এর উপর \(PN\) লম্ব আঁকি।
পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
\(SP=PM\)
\(\Rightarrow SP=ZN\) ➜ \(PM=ZN\)
\(\Rightarrow SP=ZA+AN\)
\(\Rightarrow SP=a+x\) ➜ \(AN=x, ZA=a\)
\(\Rightarrow SP^2=(a+x)^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow SP^2=(a+x)^2\)
\(\Rightarrow SN^2+PN^2=(a+x)^2\) ➜ \(SPN\) সমকোণী ত্রিভুজে \(SP^2=SN^2+PN^2\)
\(\Rightarrow (x-a)^2+y^2=(a+x)^2\) ➜ \(\because SN=AN-AS=x-a\)
\(\Rightarrow y^2=(a+x)^2-(x-a)^2\)
\(\therefore y^2=4ax\) ➜ \(\because (a+b)^2-(a-b)^2=4ab\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
বিকল্প পদ্ধতিঃ
আমরা জানি,পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
নিয়ামকের সমীকরণ \(x=-a \Rightarrow x+a=0 \)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=1\)
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে, \(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-a)^2+(y-0)^2}=\frac{|x+a|}{\sqrt{1^2+0^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-a)^2+y^2}=\frac{|x+a|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-a)^2+y^2}=\frac{|x+a|}{1}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-a)^2+y^2}=|x+a|\)
\(\Rightarrow (x-a)^2+y^2=(x+a)^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow y^2=(x+a)^2-(x-a)^2\)
\(\therefore y^2=4ax\) ➜ \(\because (a+b)^2-(a-b)^2=4ab\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\(2.\) মূলবিন্দুগামী পরাবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ \(x^2=4ay \ (a>0)\) নির্ণয়ঃ
আমরা জানি,
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(0, a)\)
নিয়ামকের সমীকরণ \(y=-a \Rightarrow y+a=0 \)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=1\)
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে, \(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-0)^2+(y-a)^2}=\frac{|y+a|}{\sqrt{0^2+1^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-0)^2+(y-a)^2}=\frac{|y+a|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+(y-a)^2}=\frac{|y+a|}{1}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+(y-a)^2}=|y+a|\)
\(\Rightarrow x^2+(y-a)^2=(y+a)^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2=(y+a)^2-(y-a)^2\)
\(\therefore x^2=4ay\) ➜ \(\because (a+b)^2-(a-b)^2=4ab\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(0, a)\)
নিয়ামকের সমীকরণ \(y=-a \Rightarrow y+a=0 \)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=1\)
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে, \(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-0)^2+(y-a)^2}=\frac{|y+a|}{\sqrt{0^2+1^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-0)^2+(y-a)^2}=\frac{|y+a|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+(y-a)^2}=\frac{|y+a|}{1}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+(y-a)^2}=|y+a|\)
\(\Rightarrow x^2+(y-a)^2=(y+a)^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2=(y+a)^2-(y-a)^2\)
\(\therefore x^2=4ay\) ➜ \(\because (a+b)^2-(a-b)^2=4ab\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\(3.\) মূলবিন্দুগামী পরাবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ \(y^2=-4ax \ (a>0)\) নির্ণয়ঃ
আমরা জানি,
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(-a, 0)\)
নিয়ামকের সমীকরণ \(x=a \Rightarrow x-a=0 \)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=1\)
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে, \(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+a)^2+(y-0)^2}=\frac{|x-a|}{\sqrt{1^2+0^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+a)^2+y^2}=\frac{|x-a|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+a)^2+y^2}=\frac{|x-a|}{1}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+a)^2+y^2}=|x-a|\)
\(\Rightarrow (x+a)^2+y^2=(x-a)^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow y^2=(x-a)^2-(x+a)^2\)
\(\Rightarrow y^2=-\{(x+a)^2-(x-a)^2\}\)
\(\therefore y^2=-4ax\) ➜ \(\because (a+b)^2-(a-b)^2=4ab\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(-a, 0)\)
নিয়ামকের সমীকরণ \(x=a \Rightarrow x-a=0 \)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=1\)
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে, \(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+a)^2+(y-0)^2}=\frac{|x-a|}{\sqrt{1^2+0^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+a)^2+y^2}=\frac{|x-a|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+a)^2+y^2}=\frac{|x-a|}{1}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+a)^2+y^2}=|x-a|\)
\(\Rightarrow (x+a)^2+y^2=(x-a)^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow y^2=(x-a)^2-(x+a)^2\)
\(\Rightarrow y^2=-\{(x+a)^2-(x-a)^2\}\)
\(\therefore y^2=-4ax\) ➜ \(\because (a+b)^2-(a-b)^2=4ab\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\(4.\) মূলবিন্দুগামী পরাবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ \(x^2=-4ay \ (a>0)\) নির্ণয়ঃ
আমরা জানি,
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(0, -a)\)
নিয়ামকের সমীকরণ \(y=a \Rightarrow y-a=0 \)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=1\)
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে, \(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-0)^2+(y+a)^2}=\frac{|y-a|}{\sqrt{0^2+1^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-0)^2+(y+a)^2}=\frac{|y-a|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+(y+a)^2}=\frac{|y-a|}{1}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+(y+a)^2}=|y-a|\)
\(\Rightarrow x^2+(y+a)^2=(y-a)^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2=(y-a)^2-(y+a)^2\)
\(\Rightarrow x^2=-\{(y+a)^2-(y-a)^2\}\)
\(\therefore x^2=-4ay\) ➜ \(\because (a+b)^2-(a-b)^2=4ab\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(0, -a)\)
নিয়ামকের সমীকরণ \(y=a \Rightarrow y-a=0 \)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=1\)
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে, \(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-0)^2+(y+a)^2}=\frac{|y-a|}{\sqrt{0^2+1^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-0)^2+(y+a)^2}=\frac{|y-a|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+(y+a)^2}=\frac{|y-a|}{1}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+(y+a)^2}=|y-a|\)
\(\Rightarrow x^2+(y+a)^2=(y-a)^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2=(y-a)^2-(y+a)^2\)
\(\Rightarrow x^2=-\{(y+a)^2-(y-a)^2\}\)
\(\therefore x^2=-4ay\) ➜ \(\because (a+b)^2-(a-b)^2=4ab\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\(5.\) মূলবিন্দুকে উপকেন্দ্রক ধরে পরাবৃত্তের সমীকরণ \(y^2=4a(x+a) \ (a>0)\) নির্ণয়ঃ
আমরা জানি,
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(0, 0)\)
নিয়ামকের সমীকরণ \(x+2a=0 \)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=1\)
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে, \(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}=\frac{|x+2a|}{\sqrt{1^2+0^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+x^2}=\frac{|x+2a|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}=\frac{|x+2a|}{1}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}=|x+2a|\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=(x+2a)^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2+y^2=x^2+4ax+4a^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-x^2=4ax+4a^2\)
\(\Rightarrow y^2=4ax+4a^2\)
\(\therefore y^2=4a(x+a)\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(0, 0)\)
নিয়ামকের সমীকরণ \(x+2a=0 \)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=1\)
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে, \(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}=\frac{|x+2a|}{\sqrt{1^2+0^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+x^2}=\frac{|x+2a|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}=\frac{|x+2a|}{1}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}=|x+2a|\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=(x+2a)^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2+y^2=x^2+4ax+4a^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-x^2=4ax+4a^2\)
\(\Rightarrow y^2=4ax+4a^2\)
\(\therefore y^2=4a(x+a)\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\(6.\) \(Y\)-অক্ষকে নিয়ামকরেখা এবং \(X\)-অক্ষকে অক্ষরেখা ধরে পরাবৃত্তের সমীকরণ \(y^2=4a(x-a) \ (a>0)\) নির্ণয়ঃ
আমরা জানি,
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(2a, 0)\)
নিয়ামকের সমীকরণ \(x=0 \)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=1\)
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে, \(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2a)^2+(y-0)^2}=\frac{|x|}{\sqrt{1^2+0^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2a)^2+(y-0)^2}=\frac{|x|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2a)^2+y^2}=\frac{|x|}{1}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2-4ax+4a^2+y^2}=|x|\)
\(\Rightarrow x^2-4ax+4a^2+y^2=x^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2+y^2-x^2=4ax-4a^2\)
\(\therefore y^2=4a(x-a)\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(2a, 0)\)
নিয়ামকের সমীকরণ \(x=0 \)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=1\)
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে, \(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2a)^2+(y-0)^2}=\frac{|x|}{\sqrt{1^2+0^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2a)^2+(y-0)^2}=\frac{|x|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2a)^2+y^2}=\frac{|x|}{1}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2-4ax+4a^2+y^2}=|x|\)
\(\Rightarrow x^2-4ax+4a^2+y^2=x^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2+y^2-x^2=4ax-4a^2\)
\(\therefore y^2=4a(x-a)\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\(7.\) পরাবৃত্তের সমীকরণ \(x=ay^2+by+c\) নির্ণয়ঃ
ধরি,
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A(\alpha, \beta)\)
এবং \(AZ=AS=a\) পরাবৃত্তের অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল।
পরবৃত্তের ফোকাস \(S(\alpha +a, \beta)\)
এবং নিয়ামকরেখার পাদবিন্দু \(Z(\alpha -a, \beta)\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x=\alpha-a\)
\(\Rightarrow x-\alpha +a=0\)
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
পরাবৃত্তের সমীকরণ \(PS=PM\)
\(\Rightarrow PS=ZN\) ➜ \(\because PM=ZN\)
\(\Rightarrow PS^2=ZN^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \{x-(\alpha +a)\}^2+(y-\beta)^2=\{x-(\alpha -a)\}^2\) ➜ \(\because ZN=x-(\alpha -a)\)
\(\Rightarrow \{x-\alpha -a\}^2+(y-\beta)^2=\{x-\alpha +a\}^2\)
\(\Rightarrow \{(x-\alpha)-a\}^2+(y-\beta)^2=\{(x-\alpha)+a\}^2\)
\(\Rightarrow (y-\beta)^2=\{(x-\alpha)+a\}^2-\{(x-\alpha)-a\}^2\)
\(\Rightarrow (y-\beta)^2=4(x-\alpha)a\) ➜ \(\because (a+b)^2-(a-b)^2=4ab\)
\(\Rightarrow (y-\beta)^2=4a(x-\alpha)\)
এখন,
\(4a(x-\alpha)=(y-\beta)^2\)
\(\Rightarrow 4ax-4a\alpha=y^2-2y\beta+\beta^2\)
\(\Rightarrow 4ax=y^2-2y\beta+\beta^2+4a\alpha\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{4a}y^2-\frac{2y\beta}{4a}+\frac{\beta^2+4a\alpha}{4a}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{4a}y^2+\frac{-\beta}{2a}y+\frac{\beta^2+4a\alpha}{4a} ........(1)\)
ধরি,
\(\acute a=\frac{1}{4a}, b=\frac{-\beta}{2a}, c=\frac{\beta^2+4a\alpha}{4a}\)
তাহলে \((1)\) নং সমীকরণ দাঁড়ায়,
\(x=\acute ay^2+by+c \)
\(\therefore x=ay^2+by+c \) ➜ \(\acute a\) কে \(a\) দ্বারা প্রতিস্থাপন করে।
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
এখন,
\(x=ay^2+by+c \)
\(\Rightarrow ay^2+by+c=x \)
\(\Rightarrow ay^2+by=x-c \)
\(\Rightarrow y^2+\frac{by}{a}=\frac{x-c}{a} \)
\(\Rightarrow y^2+2\frac{b}{2a}y+(\frac{b}{2a})^2=\frac{x-c}{a}+(\frac{b}{2a})^2 \)
\(\Rightarrow (y+\frac{b}{2a})^2=\frac{x-c}{a}+\frac{b^2}{4a^2} \)
\(\Rightarrow (y+\frac{b}{2a})^2=\frac{4ax-4ac+b^2}{4a^2} \)
\(\Rightarrow (y+\frac{b}{2a})^2=\frac{4ax+b^2-4ac}{4a^2} \)
\(\Rightarrow (y+\frac{b}{2a})^2=\frac{4ax}{4a^2}+\frac{b^2-4ac}{4a^2} \)
\(\Rightarrow (y+\frac{b}{2a})^2=\frac{x}{a}+\frac{b^2-4ac}{4a^2} \)
\(\Rightarrow (y+\frac{b}{2a})^2=\frac{1}{a}\left(x+\frac{b^2-4ac}{4a} \right) \)
\(\Rightarrow Y^2=\frac{1}{a}X ........(2)\) ➜ ধরি, \(X=x+\frac{b^2-4ac}{4a}, Y=y+\frac{b}{2a}\)
\((2)\) নং পরাবৃত্তের ক্ষেত্রে,
শীর্ষ বিন্দু \(A(0, 0 )\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0 \)
\(\Rightarrow x+\frac{b^2-4ac}{4a}=0, y+\frac{b}{2a}=0 \) ➜ \(\because X=x+\frac{b^2-4ac}{4a}, Y=y+\frac{b}{2a}\)
\(\therefore x=-\frac{b^2-4ac}{4a}, y=-\frac{b}{2a} \)
\(\therefore \) শীর্ষ বিন্দু দাঁড়ায় \(A\left(-\frac{b^2-4ac}{4a}, -\frac{b}{2a} \right)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{1}{a}|\) ➜ \((2)\) নং পরাবৃত্তের ক্ষেত্রে, \(4a\Rightarrow \frac{1}{a}\)
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A(\alpha, \beta)\)
এবং \(AZ=AS=a\) পরাবৃত্তের অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল।
পরবৃত্তের ফোকাস \(S(\alpha +a, \beta)\)
এবং নিয়ামকরেখার পাদবিন্দু \(Z(\alpha -a, \beta)\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x=\alpha-a\)
\(\Rightarrow x-\alpha +a=0\)
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
পরাবৃত্তের সমীকরণ \(PS=PM\)
\(\Rightarrow PS=ZN\) ➜ \(\because PM=ZN\)
\(\Rightarrow PS^2=ZN^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \{x-(\alpha +a)\}^2+(y-\beta)^2=\{x-(\alpha -a)\}^2\) ➜ \(\because ZN=x-(\alpha -a)\)
\(\Rightarrow \{x-\alpha -a\}^2+(y-\beta)^2=\{x-\alpha +a\}^2\)
\(\Rightarrow \{(x-\alpha)-a\}^2+(y-\beta)^2=\{(x-\alpha)+a\}^2\)
\(\Rightarrow (y-\beta)^2=\{(x-\alpha)+a\}^2-\{(x-\alpha)-a\}^2\)
\(\Rightarrow (y-\beta)^2=4(x-\alpha)a\) ➜ \(\because (a+b)^2-(a-b)^2=4ab\)
\(\Rightarrow (y-\beta)^2=4a(x-\alpha)\)
এখন,
\(4a(x-\alpha)=(y-\beta)^2\)
\(\Rightarrow 4ax-4a\alpha=y^2-2y\beta+\beta^2\)
\(\Rightarrow 4ax=y^2-2y\beta+\beta^2+4a\alpha\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{4a}y^2-\frac{2y\beta}{4a}+\frac{\beta^2+4a\alpha}{4a}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{4a}y^2+\frac{-\beta}{2a}y+\frac{\beta^2+4a\alpha}{4a} ........(1)\)
ধরি,
\(\acute a=\frac{1}{4a}, b=\frac{-\beta}{2a}, c=\frac{\beta^2+4a\alpha}{4a}\)
তাহলে \((1)\) নং সমীকরণ দাঁড়ায়,
\(x=\acute ay^2+by+c \)
\(\therefore x=ay^2+by+c \) ➜ \(\acute a\) কে \(a\) দ্বারা প্রতিস্থাপন করে।
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
এখন,
\(x=ay^2+by+c \)
\(\Rightarrow ay^2+by+c=x \)
\(\Rightarrow ay^2+by=x-c \)
\(\Rightarrow y^2+\frac{by}{a}=\frac{x-c}{a} \)
\(\Rightarrow y^2+2\frac{b}{2a}y+(\frac{b}{2a})^2=\frac{x-c}{a}+(\frac{b}{2a})^2 \)
\(\Rightarrow (y+\frac{b}{2a})^2=\frac{x-c}{a}+\frac{b^2}{4a^2} \)
\(\Rightarrow (y+\frac{b}{2a})^2=\frac{4ax-4ac+b^2}{4a^2} \)
\(\Rightarrow (y+\frac{b}{2a})^2=\frac{4ax+b^2-4ac}{4a^2} \)
\(\Rightarrow (y+\frac{b}{2a})^2=\frac{4ax}{4a^2}+\frac{b^2-4ac}{4a^2} \)
\(\Rightarrow (y+\frac{b}{2a})^2=\frac{x}{a}+\frac{b^2-4ac}{4a^2} \)
\(\Rightarrow (y+\frac{b}{2a})^2=\frac{1}{a}\left(x+\frac{b^2-4ac}{4a} \right) \)
\(\Rightarrow Y^2=\frac{1}{a}X ........(2)\) ➜ ধরি, \(X=x+\frac{b^2-4ac}{4a}, Y=y+\frac{b}{2a}\)
\((2)\) নং পরাবৃত্তের ক্ষেত্রে,
শীর্ষ বিন্দু \(A(0, 0 )\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0 \)
\(\Rightarrow x+\frac{b^2-4ac}{4a}=0, y+\frac{b}{2a}=0 \) ➜ \(\because X=x+\frac{b^2-4ac}{4a}, Y=y+\frac{b}{2a}\)
\(\therefore x=-\frac{b^2-4ac}{4a}, y=-\frac{b}{2a} \)
\(\therefore \) শীর্ষ বিন্দু দাঁড়ায় \(A\left(-\frac{b^2-4ac}{4a}, -\frac{b}{2a} \right)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{1}{a}|\) ➜ \((2)\) নং পরাবৃত্তের ক্ষেত্রে, \(4a\Rightarrow \frac{1}{a}\)
\(8.\) পরাবৃত্তের সমীকরণ \(y=ax^2+bx+c\) নির্ণয়ঃ
ধরি,
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A(\alpha, \beta)\)
এবং \(AZ=AS=a\) পরাবৃত্তের অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল।
পরবৃত্তের ফোকাস \(S(\alpha, \beta +a)\)
এবং নিয়ামকরেখার পাদবিন্দু \(Z(\alpha, \beta -a)\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(y=\beta -a\)
\(\Rightarrow y-\beta +a=0\)
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
পরাবৃত্তের সমীকরণ \(PS=PM\)
\(\Rightarrow PS=ZN\) ➜ \(\because PM=ZN\)
\(\Rightarrow PS^2=ZN^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x-\alpha)^2+\{y-(\beta +a)\}^2=\{y-(\beta -a)\}^2\) ➜ \(\because ZN=y-(\beta -a)\)
\(\Rightarrow (x-\alpha)^2+\{y-\beta -a\}^2=\{y-\beta +a\}^2\)
\(\Rightarrow (x-\alpha)^2+\{(y-\beta) -a\}^2=\{(y-\beta)+a\}^2\)
\(\Rightarrow (x-\alpha)^2=\{(y-\beta)+a\}^2-\{(y-\beta)-a\}^2\)
\(\Rightarrow (x-\alpha)^2=4(y-\beta)a\) ➜ \(\because (a+b)^2-(a-b)^2=4ab\)
\(\Rightarrow (x-\alpha)^2=4a(y-\beta)\)
এখন,
\(4a(y-\beta)=(x-\alpha)^2\)
\(\Rightarrow 4ay-4a\beta=x^2-2x\alpha+\alpha^2\)
\(\Rightarrow 4ay=x^2-2x\alpha+\alpha^2+4a\beta\)
\(\Rightarrow y=\frac{1}{4a}x^2-\frac{2x\alpha}{4a}+\frac{\alpha^2+4a\beta}{4a}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{4a}x^2+\frac{-\alpha}{2a}x+\frac{\alpha^2+4a\beta}{4a} ........(1)\)
ধরি,
\(\acute a=\frac{1}{4a}, b=\frac{-\alpha}{2a}, c=\frac{\alpha^2+4a\beta}{4a}\)
তাহলে \((1)\) নং সমীকরণ দাঁড়ায়,
\(y=\acute ax^2+bx+c \)
\(\therefore y=ax^2+bx+c \) ➜ \(\acute a\) কে \(a\) দ্বারা প্রতিস্থাপন করে।
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
এখন,
\(y=ax^2+bx+c \)
\(\Rightarrow ax^2+bx+c=y \)
\(\Rightarrow ax^2+bx=y-c \)
\(\Rightarrow x^2+\frac{bx}{a}=\frac{y-c}{a} \)
\(\Rightarrow x^2+2\frac{b}{2a}x+(\frac{b}{2a})^2=\frac{y-c}{a}+(\frac{b}{2a})^2 \)
\(\Rightarrow (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{y-c}{a}+\frac{b^2}{4a^2} \)
\(\Rightarrow (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{4ay-4ac+b^2}{4a^2} \)
\(\Rightarrow (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{4ay+b^2-4ac}{4a^2} \)
\(\Rightarrow (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{4ay}{4a^2}+\frac{b^2-4ac}{4a^2} \)
\(\Rightarrow (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{y}{a}+\frac{b^2-4ac}{4a^2} \)
\(\Rightarrow (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{1}{a}\left(y+\frac{b^2-4ac}{4a} \right) \)
\(\Rightarrow X^2=\frac{1}{a}Y ........(2)\) ➜ ধরি, \(X=x+\frac{b}{2a}, Y=y+\frac{b^2-4ac}{4a}, \)
\((2)\) নং পরাবৃত্তের ক্ষেত্রে,
শীর্ষ বিন্দু \(A(0, 0 )\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0 \)
\(\Rightarrow x+\frac{b}{2a}=0, y+\frac{b^2-4ac}{4a}=0 \) ➜ \(\because X=x+\frac{b}{2a}, Y=y+\frac{b^2-4ac}{4a},\)
\(\therefore x=-\frac{b}{2a}, y=-\frac{b^2-4ac}{4a} \)
\(\therefore \) শীর্ষ বিন্দু দাঁড়ায় \(A\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4a} \right)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{1}{a}|\) ➜ \((2)\) নং পরাবৃত্তের ক্ষেত্রে, \(4a\Rightarrow \frac{1}{a}\)
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A(\alpha, \beta)\)
এবং \(AZ=AS=a\) পরাবৃত্তের অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল।
পরবৃত্তের ফোকাস \(S(\alpha, \beta +a)\)
এবং নিয়ামকরেখার পাদবিন্দু \(Z(\alpha, \beta -a)\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(y=\beta -a\)
\(\Rightarrow y-\beta +a=0\)
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
পরাবৃত্তের সমীকরণ \(PS=PM\)
\(\Rightarrow PS=ZN\) ➜ \(\because PM=ZN\)
\(\Rightarrow PS^2=ZN^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x-\alpha)^2+\{y-(\beta +a)\}^2=\{y-(\beta -a)\}^2\) ➜ \(\because ZN=y-(\beta -a)\)
\(\Rightarrow (x-\alpha)^2+\{y-\beta -a\}^2=\{y-\beta +a\}^2\)
\(\Rightarrow (x-\alpha)^2+\{(y-\beta) -a\}^2=\{(y-\beta)+a\}^2\)
\(\Rightarrow (x-\alpha)^2=\{(y-\beta)+a\}^2-\{(y-\beta)-a\}^2\)
\(\Rightarrow (x-\alpha)^2=4(y-\beta)a\) ➜ \(\because (a+b)^2-(a-b)^2=4ab\)
\(\Rightarrow (x-\alpha)^2=4a(y-\beta)\)
এখন,
\(4a(y-\beta)=(x-\alpha)^2\)
\(\Rightarrow 4ay-4a\beta=x^2-2x\alpha+\alpha^2\)
\(\Rightarrow 4ay=x^2-2x\alpha+\alpha^2+4a\beta\)
\(\Rightarrow y=\frac{1}{4a}x^2-\frac{2x\alpha}{4a}+\frac{\alpha^2+4a\beta}{4a}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{4a}x^2+\frac{-\alpha}{2a}x+\frac{\alpha^2+4a\beta}{4a} ........(1)\)
ধরি,
\(\acute a=\frac{1}{4a}, b=\frac{-\alpha}{2a}, c=\frac{\alpha^2+4a\beta}{4a}\)
তাহলে \((1)\) নং সমীকরণ দাঁড়ায়,
\(y=\acute ax^2+bx+c \)
\(\therefore y=ax^2+bx+c \) ➜ \(\acute a\) কে \(a\) দ্বারা প্রতিস্থাপন করে।
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
এখন,
\(y=ax^2+bx+c \)
\(\Rightarrow ax^2+bx+c=y \)
\(\Rightarrow ax^2+bx=y-c \)
\(\Rightarrow x^2+\frac{bx}{a}=\frac{y-c}{a} \)
\(\Rightarrow x^2+2\frac{b}{2a}x+(\frac{b}{2a})^2=\frac{y-c}{a}+(\frac{b}{2a})^2 \)
\(\Rightarrow (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{y-c}{a}+\frac{b^2}{4a^2} \)
\(\Rightarrow (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{4ay-4ac+b^2}{4a^2} \)
\(\Rightarrow (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{4ay+b^2-4ac}{4a^2} \)
\(\Rightarrow (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{4ay}{4a^2}+\frac{b^2-4ac}{4a^2} \)
\(\Rightarrow (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{y}{a}+\frac{b^2-4ac}{4a^2} \)
\(\Rightarrow (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{1}{a}\left(y+\frac{b^2-4ac}{4a} \right) \)
\(\Rightarrow X^2=\frac{1}{a}Y ........(2)\) ➜ ধরি, \(X=x+\frac{b}{2a}, Y=y+\frac{b^2-4ac}{4a}, \)
\((2)\) নং পরাবৃত্তের ক্ষেত্রে,
শীর্ষ বিন্দু \(A(0, 0 )\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0 \)
\(\Rightarrow x+\frac{b}{2a}=0, y+\frac{b^2-4ac}{4a}=0 \) ➜ \(\because X=x+\frac{b}{2a}, Y=y+\frac{b^2-4ac}{4a},\)
\(\therefore x=-\frac{b}{2a}, y=-\frac{b^2-4ac}{4a} \)
\(\therefore \) শীর্ষ বিন্দু দাঁড়ায় \(A\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4a} \right)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{1}{a}|\) ➜ \((2)\) নং পরাবৃত্তের ক্ষেত্রে, \(4a\Rightarrow \frac{1}{a}\)
\(9.\) কোনো সরলরেখা পরাবৃত্তের স্পর্শক হওয়ার শর্ত, স্পর্শকের সমীকরণ এবং স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয়ঃ
ধরি,
পরাবৃত্তের সমীকরণ \(y^2=4ax ....(1)\)
\(PQ\) সরলরেখার সমীকরণ \(y=mx+c ....(2)\)
পরাবৃত্তের উপর \(P\) একটি বিন্দু এবং \(PQ\) যে কোনো ছেদকরেখা। \(Q\) বিন্দু ক্রমশ \(P\) বিন্দুর দিকে অগ্রসর হয়ে \(P\) বিন্দুর উপর সমপতিত হলে ছেদকরেখাটি \(P\) বিন্দুতে উৎপন্ন পরাবৃত্তের একটি স্পর্শক হবে।
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\((mx+c)^2=4ax\)
\(\Rightarrow m^2x^2+2mcx+c^2=4ax\)
\(\Rightarrow m^2x^2+2mcx-4ax+c^2=0\)
\(\therefore m^2x^2+2(mc-2a)x+c^2=0 .......(3)\)
\(PQ\) সরলরেখাটি \((1)\) নং পরাবৃত্তের একটি স্পর্শক হবে যদি \((3)\) নং সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হয়।
\(\therefore \{2(mc-2a)\}^2=4m^2c^2\) ➜ \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমাণ হওয়ার শর্ত, \(b^2=4ac\)
\(\Rightarrow 4(mc-2a)^2=4m^2c^2\)
\(\Rightarrow (mc-2a)^2=m^2c^2\)
\(\Rightarrow m^2c^2-4amc+4a^2=m^2c^2\)
\(\Rightarrow -4amc+4a^2=m^2c^2-m^2c^2\)
\(\Rightarrow -4amc+4a^2=0\)
\(\Rightarrow -4amc=-4a^2\)
\(\Rightarrow amc=a^2\)
\(\Rightarrow c=\frac{a^2}{am}\)
\(\therefore c=\frac{a}{m}\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শক হওয়ার শর্ত।
আবার,
\((3)\) নং সমীকরণে \(c=\frac{a}{m}\) বসিয়ে,
\(m^2x^2+2\left(m\times \frac{a}{m}-2a\right)x+(\frac{a}{m})^2=0\)
\(\Rightarrow m^2x^2+2\left(a-2a\right)x+\frac{a^2}{m^2}=0\)
\(\Rightarrow m^2x^2-2ax+\frac{a^2}{m^2}=0\)
\(\Rightarrow \left(mx-\frac{a}{m}\right)^2=0\)
\(\Rightarrow mx-\frac{a}{m}=0\)
\(\Rightarrow mx=\frac{a}{m}\)
\(\therefore x=\frac{a}{m^2}\)
আবার,
\((3)\) নং সমীকরণ হতে,
\(y=m\times \frac{a}{m^2}+\frac{a}{m}\)
\(\Rightarrow y=\frac{a}{m}+\frac{a}{m}\)
\(\therefore y=\frac{2a}{m}\)
\(\therefore\) স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{a}{m^2},\frac{2a}{m}\right)\)
পরাবৃত্তের সমীকরণ \(y^2=4ax ....(1)\)
\(PQ\) সরলরেখার সমীকরণ \(y=mx+c ....(2)\)
পরাবৃত্তের উপর \(P\) একটি বিন্দু এবং \(PQ\) যে কোনো ছেদকরেখা। \(Q\) বিন্দু ক্রমশ \(P\) বিন্দুর দিকে অগ্রসর হয়ে \(P\) বিন্দুর উপর সমপতিত হলে ছেদকরেখাটি \(P\) বিন্দুতে উৎপন্ন পরাবৃত্তের একটি স্পর্শক হবে।
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\((mx+c)^2=4ax\)
\(\Rightarrow m^2x^2+2mcx+c^2=4ax\)
\(\Rightarrow m^2x^2+2mcx-4ax+c^2=0\)
\(\therefore m^2x^2+2(mc-2a)x+c^2=0 .......(3)\)
\(PQ\) সরলরেখাটি \((1)\) নং পরাবৃত্তের একটি স্পর্শক হবে যদি \((3)\) নং সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হয়।
\(\therefore \{2(mc-2a)\}^2=4m^2c^2\) ➜ \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমাণ হওয়ার শর্ত, \(b^2=4ac\)
\(\Rightarrow 4(mc-2a)^2=4m^2c^2\)
\(\Rightarrow (mc-2a)^2=m^2c^2\)
\(\Rightarrow m^2c^2-4amc+4a^2=m^2c^2\)
\(\Rightarrow -4amc+4a^2=m^2c^2-m^2c^2\)
\(\Rightarrow -4amc+4a^2=0\)
\(\Rightarrow -4amc=-4a^2\)
\(\Rightarrow amc=a^2\)
\(\Rightarrow c=\frac{a^2}{am}\)
\(\therefore c=\frac{a}{m}\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শক হওয়ার শর্ত।
আবার,
\((3)\) নং সমীকরণে \(c=\frac{a}{m}\) বসিয়ে,
\(m^2x^2+2\left(m\times \frac{a}{m}-2a\right)x+(\frac{a}{m})^2=0\)
\(\Rightarrow m^2x^2+2\left(a-2a\right)x+\frac{a^2}{m^2}=0\)
\(\Rightarrow m^2x^2-2ax+\frac{a^2}{m^2}=0\)
\(\Rightarrow \left(mx-\frac{a}{m}\right)^2=0\)
\(\Rightarrow mx-\frac{a}{m}=0\)
\(\Rightarrow mx=\frac{a}{m}\)
\(\therefore x=\frac{a}{m^2}\)
আবার,
\((3)\) নং সমীকরণ হতে,
\(y=m\times \frac{a}{m^2}+\frac{a}{m}\)
\(\Rightarrow y=\frac{a}{m}+\frac{a}{m}\)
\(\therefore y=\frac{2a}{m}\)
\(\therefore\) স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{a}{m^2},\frac{2a}{m}\right)\)
অনুশীলনী \(5.A\) উদাহরণসমুহ
উদাহরণ \(1.\) \(5x^{2}+30x+2y+59=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্র, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, অক্ষরেখা এবং দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০৬, ২০১০; সিঃ ২০০২, ২০১১; যঃ ২০০৩, ২০১১; চঃ ২০০৬; কুঃ ২০০৮,২০১২,২০১৪; দিঃ ২০১৩; বঃ, রাঃ ২০১৪।]
উদাহরণ \(2.\) \((1, 1)\) উপকেন্দ্র \(3x+4y=1\) দিকাক্ষ রেখা বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। তার অক্ষেরও সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০৭; সিঃ ২০০৮; যঃ ২০০২, ২০১০; চঃ ২০১২,২০১৪; কুঃ ২০০৫; দিঃ ২০১৪; বঃ২০০৫,২০১১; রাঃ ২০০৫।]
উদাহরণ \(3.\) দেখাও যে, \(lx+my+n=0\) সরলরেখাটি \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি \(ln=am^2\) হয়।
[ রাঃ, কুঃ ২০০৫]
উদাহরণ \(4.\) একটি পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(4x+3y-5=0\) এবং শীর্ষবিন্দু \((3, 1)\) হলে, পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০২; মাঃ ২০০৩]
উদাহরণ \(5.\) \(y=ax^2+bx+c\) পরাবৃত্তটির শীর্ষ \((-2, 3)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং তা \((0, 5)\) বিন্দুদিয়ে অতিক্রম করে। \(a,b,c\) এর মাণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০৫,২০১৪;বঃ ২০০২,২০১২;কুঃ ২০০১, ২০০৭,২০১৩; ঢাঃ ২০০৬,২০০৯,২০১৩দিঃ ২০০৯,২০১২;রাঃ ২০১১,২০১৪; চঃ ২০১২]
উদাহরণ \(6.\) \(3y^2=5x\) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(7.\) \(y^2=8px\) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর, যেখানে পরাবৃত্তটি \((4, -8)\) বিন্দুগামী।
উদাহরণ \(8.\) \(y^2=8x-8y\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং পরাবৃত্তের অক্ষ ও নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ দিঃ ২০১১; কুঃ ২০০০]
উদাহরণ \(9.\) \(3x^2-4y+6x-5=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং পরাবৃত্তের অক্ষ ও নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০১]
উদাহরণ \(10.\) \(x^2+4x+2y=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং পরাবৃত্তের অক্ষ ও নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০০৪]
উদাহরণ \(11.\) \((-1, 1)\) উপকেন্দ্র এবং \(x+y+1=0\) নিয়ামকরেখা বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। পরাবৃত্তের অক্ষের সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ দিঃ ২০১২,২০১০; সিঃ ২০১০; রাঃ ২০০৮; ঢাঃ ২০০৫; কুঃ ২০০৩ ]
উদাহরণ \(12.\) \(y^2=8x\) পরাবৃত্তের উপরিস্থিত যে বিন্দুর উপকেদ্রিক দূরত্ব \(8\) তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০৯, ২০১১; চঃ ২০১১,২০০৭; যঃ ২০১০;বঃ ২০১০,২০০৮; সিঃ ২০১০; ঢাঃ ২০০৭;কুঃ২০০৬ ]
উদাহরণ \(13.\) \((-1, 1)\) উপকেন্দ্র এবং \((2, -3)\) শীর্ষবিন্দু বিশিষ্ট পরাবৃত্তের অক্ষ ও নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০৩ ]
[ ঢাঃ ২০০৬, ২০১০; সিঃ ২০০২, ২০১১; যঃ ২০০৩, ২০১১; চঃ ২০০৬; কুঃ ২০০৮,২০১২,২০১৪; দিঃ ২০১৩; বঃ, রাঃ ২০১৪।]
উদাহরণ \(2.\) \((1, 1)\) উপকেন্দ্র \(3x+4y=1\) দিকাক্ষ রেখা বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। তার অক্ষেরও সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০৭; সিঃ ২০০৮; যঃ ২০০২, ২০১০; চঃ ২০১২,২০১৪; কুঃ ২০০৫; দিঃ ২০১৪; বঃ২০০৫,২০১১; রাঃ ২০০৫।]
উদাহরণ \(3.\) দেখাও যে, \(lx+my+n=0\) সরলরেখাটি \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি \(ln=am^2\) হয়।
[ রাঃ, কুঃ ২০০৫]
উদাহরণ \(4.\) একটি পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(4x+3y-5=0\) এবং শীর্ষবিন্দু \((3, 1)\) হলে, পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০২; মাঃ ২০০৩]
উদাহরণ \(5.\) \(y=ax^2+bx+c\) পরাবৃত্তটির শীর্ষ \((-2, 3)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং তা \((0, 5)\) বিন্দুদিয়ে অতিক্রম করে। \(a,b,c\) এর মাণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০৫,২০১৪;বঃ ২০০২,২০১২;কুঃ ২০০১, ২০০৭,২০১৩; ঢাঃ ২০০৬,২০০৯,২০১৩দিঃ ২০০৯,২০১২;রাঃ ২০১১,২০১৪; চঃ ২০১২]
উদাহরণ \(6.\) \(3y^2=5x\) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(7.\) \(y^2=8px\) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর, যেখানে পরাবৃত্তটি \((4, -8)\) বিন্দুগামী।
উদাহরণ \(8.\) \(y^2=8x-8y\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং পরাবৃত্তের অক্ষ ও নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ দিঃ ২০১১; কুঃ ২০০০]
উদাহরণ \(9.\) \(3x^2-4y+6x-5=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং পরাবৃত্তের অক্ষ ও নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০১]
উদাহরণ \(10.\) \(x^2+4x+2y=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং পরাবৃত্তের অক্ষ ও নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০০৪]
উদাহরণ \(11.\) \((-1, 1)\) উপকেন্দ্র এবং \(x+y+1=0\) নিয়ামকরেখা বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। পরাবৃত্তের অক্ষের সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ দিঃ ২০১২,২০১০; সিঃ ২০১০; রাঃ ২০০৮; ঢাঃ ২০০৫; কুঃ ২০০৩ ]
উদাহরণ \(12.\) \(y^2=8x\) পরাবৃত্তের উপরিস্থিত যে বিন্দুর উপকেদ্রিক দূরত্ব \(8\) তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০৯, ২০১১; চঃ ২০১১,২০০৭; যঃ ২০১০;বঃ ২০১০,২০০৮; সিঃ ২০১০; ঢাঃ ২০০৭;কুঃ২০০৬ ]
উদাহরণ \(13.\) \((-1, 1)\) উপকেন্দ্র এবং \((2, -3)\) শীর্ষবিন্দু বিশিষ্ট পরাবৃত্তের অক্ষ ও নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০৩ ]
উদাহরণ \(14.\) \(5y^2=12x\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং পরাবৃত্তের নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(15.\) \(7y^2=3px\) পরাবৃত্ত যদি \((2, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায় তাহলে উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(16.\) \(y^2=4y+4x-16\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং পরাবৃত্তের অক্ষ ও নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(17.\) \(5x^2+15x-10y-4=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং পরাবৃত্তের অক্ষ ও নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(18.\) \(y^2=4px\) পরাবৃত্ত যদি \((3, -2)\) বিন্দু দিয়ে যায় তাহলে উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(19.\) \((-8, -2)\) উপকেন্দ্র এবং \(2x-y-9=0\) নিয়ামকরেখা বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১৪,২০১২; বঃ ২০১৪; দিঃ ২০১২ ]
উদাহরণ \(20.\) একটি পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \((0, 0)\) এবং শীর্ষবিন্দু \((-2, -1)\) পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ এবং পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(21.\) \(y^2=16x\) পরাবৃত্তের উপরিস্থিত যে বিন্দুর উপকেদ্রিক দূরত্ব \(6\) তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০১৫;বঃ ২০১৩; সিঃ ২০১2; ঢাঃ ২০১২ ]
উদাহরণ \(22.\) \(y^2-6x+4y+11=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং পরাবৃত্তের অক্ষ ও নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(23.\) একটি পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \((-6, -3)\) এবং শীর্ষবিন্দু \((-2, 1)\) পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(24.\) একটি পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \((1, -3)\) এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(3x-2y+5=0\) ঐ পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(25.\) যে পরাবৃত্ত \(Y\) অক্ষ সাপেক্ষে প্রতিসম, শীর্ষবিন্দু মূলবিন্দুতে এবং \((5, 2)\) বিন্দুগামী তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(26.\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষ \((4, -3)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং দিকাক্ষ \(X\)-অক্ষের সমান্তরাল এবং যা \((-4, -7)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
[ চঃ ২০০২; সিঃ ২০০৫ ]
উদাহরণ \(27.\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((1, -1)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং \(x-y+2=0\) রেখাটি শীর্ষবিন্দুতে অক্ষের উপর লম্ব।
উদাহরণ \(28.\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((1, -1)\) বিন্দুতে এবং শীর্ষ \((-1, 3)\) বিন্দুতে অবস্থিত ।
উদাহরণ \(15.\) \(7y^2=3px\) পরাবৃত্ত যদি \((2, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায় তাহলে উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(16.\) \(y^2=4y+4x-16\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং পরাবৃত্তের অক্ষ ও নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(17.\) \(5x^2+15x-10y-4=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং পরাবৃত্তের অক্ষ ও নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(18.\) \(y^2=4px\) পরাবৃত্ত যদি \((3, -2)\) বিন্দু দিয়ে যায় তাহলে উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(19.\) \((-8, -2)\) উপকেন্দ্র এবং \(2x-y-9=0\) নিয়ামকরেখা বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১৪,২০১২; বঃ ২০১৪; দিঃ ২০১২ ]
উদাহরণ \(20.\) একটি পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \((0, 0)\) এবং শীর্ষবিন্দু \((-2, -1)\) পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ এবং পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(21.\) \(y^2=16x\) পরাবৃত্তের উপরিস্থিত যে বিন্দুর উপকেদ্রিক দূরত্ব \(6\) তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০১৫;বঃ ২০১৩; সিঃ ২০১2; ঢাঃ ২০১২ ]
উদাহরণ \(22.\) \(y^2-6x+4y+11=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং পরাবৃত্তের অক্ষ ও নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(23.\) একটি পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \((-6, -3)\) এবং শীর্ষবিন্দু \((-2, 1)\) পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(24.\) একটি পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \((1, -3)\) এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(3x-2y+5=0\) ঐ পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(25.\) যে পরাবৃত্ত \(Y\) অক্ষ সাপেক্ষে প্রতিসম, শীর্ষবিন্দু মূলবিন্দুতে এবং \((5, 2)\) বিন্দুগামী তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(26.\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষ \((4, -3)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং দিকাক্ষ \(X\)-অক্ষের সমান্তরাল এবং যা \((-4, -7)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
[ চঃ ২০০২; সিঃ ২০০৫ ]
উদাহরণ \(27.\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((1, -1)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং \(x-y+2=0\) রেখাটি শীর্ষবিন্দুতে অক্ষের উপর লম্ব।
উদাহরণ \(28.\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((1, -1)\) বিন্দুতে এবং শীর্ষ \((-1, 3)\) বিন্দুতে অবস্থিত ।
উদাহরণ \(1.\) \(5x^{2}+30x+2y+59=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্র, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, অক্ষরেখা এবং দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০৬, ২০১০; সিঃ ২০০২, ২০১১; যঃ ২০০৩, ২০১১; চঃ ২০০৬; কুঃ ২০০৮,২০১২,২০১৪; দিঃ ২০১৩; বঃ, রাঃ ২০১৪।]
[ ঢাঃ ২০০৬, ২০১০; সিঃ ২০০২, ২০১১; যঃ ২০০৩, ২০১১; চঃ ২০০৬; কুঃ ২০০৮,২০১২,২০১৪; দিঃ ২০১৩; বঃ, রাঃ ২০১৪।]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, পরাবৃত্তের সমীকরণ 
\(5x^{2}+30x+2y+59=0 \)
\(\Rightarrow 5(x^{2}+6x)=-2y-59 \)
\(\Rightarrow 5(x^{2}+6x+9-9)=-2y-59 \)
\(\Rightarrow 5(x^{2}+6x+9)-45=-2y-59 \)
\(\Rightarrow 5(x+3)^2=-2y-59+45 \)
\(\Rightarrow 5(x+3)^2=-2y-14 \)
\(\Rightarrow 5(x+3)^2=-2(y+7) \)
\(\Rightarrow (x+3)^2=-\frac{2}{5}(y+7) \)
\(\Rightarrow X^2=-\frac{2}{5}Y .......(1) \) যেখানে, \(X=x+3, Y=y+7\)
এখানে,
\(4a=-\frac{2}{5}\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=-\frac{2}{5\times 4}\)
\(\Rightarrow a=-\frac{1}{5\times 2}\)
\(\Rightarrow a=-\frac{1}{10}\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x+3=0, y+7=0\)
\(\Rightarrow x=-3, y=-7\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(-3, -7)\)
উপকেন্দ্র \(S(0, a)\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(0, a)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=a\)
\(\Rightarrow x+3=0, y+7=-\frac{1}{10}\)
\(\Rightarrow x=-3, y=-\frac{1}{10}-7\)
\(\Rightarrow x=-3, y=\frac{-1-70}{10}\)
\(\Rightarrow x=-3, y=\frac{-71}{10}\)
\(\Rightarrow x=-3, y=-\frac{71}{10}\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S(-3, -\frac{71}{10})\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times -\frac{1}{10}|\)
\(=|-\frac{2}{5}|\)
\(=\frac{2}{5}\) একক।
অক্ষের সমীকরণ, \(X=0\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। অক্ষের সমীকরণ, \(x=0\)
\(\Rightarrow x+3=0\)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ, \( x+3=0\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(Y=-a\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(y=-a\)
\(\Rightarrow y+7=\frac{1}{10}\)
\(\Rightarrow 10y+70=1\)
\(\Rightarrow 10y+70-1=0\)
\(\Rightarrow 10y+69=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \( 10y+69=0\)
\(5x^{2}+30x+2y+59=0 \)
\(\Rightarrow 5(x^{2}+6x)=-2y-59 \)
\(\Rightarrow 5(x^{2}+6x+9-9)=-2y-59 \)
\(\Rightarrow 5(x^{2}+6x+9)-45=-2y-59 \)
\(\Rightarrow 5(x+3)^2=-2y-59+45 \)
\(\Rightarrow 5(x+3)^2=-2y-14 \)
\(\Rightarrow 5(x+3)^2=-2(y+7) \)
\(\Rightarrow (x+3)^2=-\frac{2}{5}(y+7) \)
\(\Rightarrow X^2=-\frac{2}{5}Y .......(1) \) যেখানে, \(X=x+3, Y=y+7\)
এখানে,
\(4a=-\frac{2}{5}\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=-\frac{2}{5\times 4}\)
\(\Rightarrow a=-\frac{1}{5\times 2}\)
\(\Rightarrow a=-\frac{1}{10}\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x+3=0, y+7=0\)
\(\Rightarrow x=-3, y=-7\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(-3, -7)\)
উপকেন্দ্র \(S(0, a)\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(0, a)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=a\)
\(\Rightarrow x+3=0, y+7=-\frac{1}{10}\)
\(\Rightarrow x=-3, y=-\frac{1}{10}-7\)
\(\Rightarrow x=-3, y=\frac{-1-70}{10}\)
\(\Rightarrow x=-3, y=\frac{-71}{10}\)
\(\Rightarrow x=-3, y=-\frac{71}{10}\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S(-3, -\frac{71}{10})\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times -\frac{1}{10}|\)
\(=|-\frac{2}{5}|\)
\(=\frac{2}{5}\) একক।
অক্ষের সমীকরণ, \(X=0\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। অক্ষের সমীকরণ, \(x=0\)
\(\Rightarrow x+3=0\)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ, \( x+3=0\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(Y=-a\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(y=-a\)
\(\Rightarrow y+7=\frac{1}{10}\)
\(\Rightarrow 10y+70=1\)
\(\Rightarrow 10y+70-1=0\)
\(\Rightarrow 10y+69=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \( 10y+69=0\)
উদাহরণ \(2.\) \((1, 1)\) উপকেন্দ্র \(3x+4y=1\) দিকাক্ষ রেখা বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। তার অক্ষেরও সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০৭; সিঃ ২০০৮; যঃ ২০০২, ২০১০; চঃ ২০১২,২০১৪; কুঃ ২০০৫; দিঃ ২০১৪; বঃ২০০৫,২০১১; রাঃ ২০০৫।]
[ ঢাঃ ২০০৭; সিঃ ২০০৮; যঃ ২০০২, ২০১০; চঃ ২০১২,২০১৪; কুঃ ২০০৫; দিঃ ২০১৪; বঃ২০০৫,২০১১; রাঃ ২০০৫।]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(1, 1)\)
দিকাক্ষের সমীকরণ \(3x+4y-1=0 ........(1)\)
ধরি, পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে, পরাবৃত্তের সমীকরণ \(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}=\frac{|3x+4y-1|}{\sqrt{3^2+4^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2+(y-1)^2=\frac{(3x+4y-1)^2}{9+16}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2-2y+1=\frac{9x^2+16y^2+1+24xy-6x-8y}{25}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2x-2y+2=\frac{9x^2+16y^2+24xy-6x-8y+1}{25}\)
\(\Rightarrow 25x^2+25y^2-50x-50y+50\)\(=9x^2+16y^2+24xy-6x-8y+1\)
\(\Rightarrow 25x^2+25y^2-50x-50y+50\)\(-9x^2-16y^2-24xy+6x+8y-1=0\)
\(\therefore 16x^2-24xy+9y^2-44x-42y+49=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
আবার,
\((1)\) নং সরলরেখার উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ \(4x-3y+k=0 ........(2)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা উপকেন্দ্র \(S(1, 1)\) দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore 4.1-3.1+k=0\)
\(\Rightarrow 4-3+k=0\)
\(\Rightarrow 1+k=0\)
\(\therefore k=-1\)
\(k\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\(4x-3y-1=0 \)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ \(4x-3y-1=0 \).
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(1, 1)\)
দিকাক্ষের সমীকরণ \(3x+4y-1=0 ........(1)\)
ধরি, পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে, পরাবৃত্তের সমীকরণ \(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}=\frac{|3x+4y-1|}{\sqrt{3^2+4^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2+(y-1)^2=\frac{(3x+4y-1)^2}{9+16}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2-2y+1=\frac{9x^2+16y^2+1+24xy-6x-8y}{25}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2x-2y+2=\frac{9x^2+16y^2+24xy-6x-8y+1}{25}\)
\(\Rightarrow 25x^2+25y^2-50x-50y+50\)\(=9x^2+16y^2+24xy-6x-8y+1\)
\(\Rightarrow 25x^2+25y^2-50x-50y+50\)\(-9x^2-16y^2-24xy+6x+8y-1=0\)
\(\therefore 16x^2-24xy+9y^2-44x-42y+49=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
আবার,
\((1)\) নং সরলরেখার উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ \(4x-3y+k=0 ........(2)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা উপকেন্দ্র \(S(1, 1)\) দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore 4.1-3.1+k=0\)
\(\Rightarrow 4-3+k=0\)
\(\Rightarrow 1+k=0\)
\(\therefore k=-1\)
\(k\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\(4x-3y-1=0 \)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ \(4x-3y-1=0 \).
উদাহরণ \(3.\) দেখাও যে, \(lx+my+n=0\) সরলরেখাটি \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি \(ln=am^2\) হয়।
[ রাঃ, কুঃ ২০০৫]
[ রাঃ, কুঃ ২০০৫]
সমাধানঃ
ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,
\(lx+my+n=0 .........(1)\)
\(y^2=4ax ......(2)\)
\((2)\) হতে \(4ax=y^2\)
\(\Rightarrow x=\frac{y^2}{4a} ......(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) হতে,
\(\frac{ly^2}{4a}+my+n=0\)
\(\Rightarrow \frac{ly^2}{4a}+my+n=0\)
\(\Rightarrow ly^2+4amy+4an=0\) ➜ উভয় পার্শে \(4a\) গুণ করে।
যা \(y\) এর দ্বিঘাত সমীকরণ, এখানে \(y\) এর দুইটি মাণ আছে।
\(y\) এর এই দুইটি মাণ সমান হবে, কেননা \((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং পরাবৃত্তকে স্পর্শ করে।
\(\therefore (4am)^2-4.l.4an=0\) ➜ \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমাণ হওয়ার শর্ত, \(b^2-4ac=0\)
\(\Rightarrow 16a^2m^2-16lan=0\)
\(\Rightarrow 16a(am^2-ln)=0\)
\(\Rightarrow (am^2-ln)=0, 16a\ne 0\)
\(\Rightarrow am^2=ln\)
\(\therefore ln=am^2\)
[Showed]
বৃত্তের সমীকরণ,
\(lx+my+n=0 .........(1)\)
\(y^2=4ax ......(2)\)
\((2)\) হতে \(4ax=y^2\)
\(\Rightarrow x=\frac{y^2}{4a} ......(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) হতে,
\(\frac{ly^2}{4a}+my+n=0\)
\(\Rightarrow \frac{ly^2}{4a}+my+n=0\)
\(\Rightarrow ly^2+4amy+4an=0\) ➜ উভয় পার্শে \(4a\) গুণ করে।
যা \(y\) এর দ্বিঘাত সমীকরণ, এখানে \(y\) এর দুইটি মাণ আছে।
\(y\) এর এই দুইটি মাণ সমান হবে, কেননা \((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং পরাবৃত্তকে স্পর্শ করে।
\(\therefore (4am)^2-4.l.4an=0\) ➜ \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমাণ হওয়ার শর্ত, \(b^2-4ac=0\)
\(\Rightarrow 16a^2m^2-16lan=0\)
\(\Rightarrow 16a(am^2-ln)=0\)
\(\Rightarrow (am^2-ln)=0, 16a\ne 0\)
\(\Rightarrow am^2=ln\)
\(\therefore ln=am^2\)
[Showed]
উদাহরণ \(4.\) একটি পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(4x+3y-5=0\) এবং শীর্ষবিন্দু \((3, 1)\) হলে, পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০২; মাঃ ২০০৩]
[ রাঃ ২০০২; মাঃ ২০০৩]
সমাধানঃ
ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,
\(4x+3y-5=0 .......(1)\)
শীর্ষবিন্দু \(A(3, 1)\)
পরাবৃত্তের অক্ষরেখা \((1)\) এর উপর লম্ব হবে,
\(\therefore (1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x-4y+k=0 .......(2)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা \(A(3, 1)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 3.3-4.1+k=0\)
\(\Rightarrow 9-4+k=0\)
\(\Rightarrow 5+k=0\)
\(\therefore k=-5\)
\(k\)-এর মাণ \((2)\) -এ বসিয়ে,
\(3x-4y-5=0 ........(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) -এর ছেদবিন্দু \(Z\) নির্ণয় করি।
\(\therefore \frac{x}{3.(-5)-(-5).(-4)}=\frac{y}{(-5).3-4.(-5)}=\frac{1}{4.(-4)-3.3}\) ➜ \((1)\) ও \((3)\) বজ্র গুণ করে।
\(\Rightarrow \frac{x}{-15-20}=\frac{y}{-15+20}=\frac{1}{-16-9}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-35}=\frac{y}{5}=\frac{1}{-25}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-35}=\frac{1}{-25}, \frac{y}{5}=\frac{1}{-25}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-35}{-25}, y=\frac{5}{-25}\)
\(\Rightarrow x=\frac{7}{5}, y=-\frac{1}{5}\)
\(\therefore Z\left(\frac{7}{5},-\frac{1}{5}\right)\)
ধরি, পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(\alpha, \beta)\)
এখন,
\(SZ\)-এর মধ্যবিন্দু \(A\left(\frac{\alpha+\frac{7}{5}}{2}, \frac{\beta-\frac{1}{5}}{2}\right)\)
\(\Rightarrow A\left(\frac{\frac{5\alpha+7}{5}}{2}, \frac{\frac{5\beta-1}{5}}{2}\right)\)
\(\therefore A\left(\frac{5\alpha+7}{10}, \frac{5\beta-1}{10}\right)\)
কিন্তু দেওয়া আছে, \(A(3, 1)\)
\(\therefore A\left(\frac{5\alpha+7}{10}, \frac{5\beta-1}{10}\right)\Rightarrow A(3, 1)\)
\(\Rightarrow \frac{5\alpha+7}{10}=3, \frac{5\beta-1}{10}=1\)
\(\Rightarrow 5\alpha+7=30, 5\beta-1=10\)
\(\Rightarrow 5\alpha=30-7, 5\beta=10+1\)
\(\Rightarrow 5\alpha=23, 5\beta=11\)
\(\Rightarrow \alpha=\frac{23}{5}, \beta=\frac{11}{5}\)
\(\therefore S\left(\frac{23}{5}, \frac{11}{5}\right)\)
এখন,
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S\left(\frac{23}{5}, \frac{11}{5}\right)\)
পরাবৃত্তের নিয়ামকরেখা \(4x+3y-5=0\)
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(PS=PM\)
\(\sqrt{\left(x-\frac{23}{5}\right)^2+\left(y-\frac{11}{5}\right)^2}=\frac{|4x+3y-5|}{\sqrt{4^2+3^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{\left(\frac{5x-23}{5}\right)^2+\left(\frac{5y-11}{5}\right)^2}=\frac{|4x+3y-5|}{\sqrt{16+9}}\)
\(\Rightarrow \left(\frac{5x-23}{5}\right)^2+\left(\frac{5y-11}{5}\right)^2=\frac{(4x+3y-5)^2}{25}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{(5x-23)^2}{25}+\frac{(5y-11)^2}{25}=\frac{(4x+3y-5)^2}{25}\)
\(\Rightarrow (5x-23)^2+(5y-11)^2=(4x+3y-5)^2\) ➜ উভয় পার্শে \(25\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 25x^2-230x+529+25y^2-110y+121=16x^2+9y^2+25+24xy-30y-40x\)
\(\Rightarrow 25x^2-230x+529+25y^2-110y+121-16x^2-9y^2-25-24xy+30y+40x=0\)
\(\therefore 9x^2-24xy+16y^2-190x-80y+625=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
বৃত্তের সমীকরণ,
\(4x+3y-5=0 .......(1)\)
শীর্ষবিন্দু \(A(3, 1)\)
পরাবৃত্তের অক্ষরেখা \((1)\) এর উপর লম্ব হবে,
\(\therefore (1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x-4y+k=0 .......(2)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা \(A(3, 1)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 3.3-4.1+k=0\)
\(\Rightarrow 9-4+k=0\)
\(\Rightarrow 5+k=0\)
\(\therefore k=-5\)
\(k\)-এর মাণ \((2)\) -এ বসিয়ে,
\(3x-4y-5=0 ........(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) -এর ছেদবিন্দু \(Z\) নির্ণয় করি।
\(\therefore \frac{x}{3.(-5)-(-5).(-4)}=\frac{y}{(-5).3-4.(-5)}=\frac{1}{4.(-4)-3.3}\) ➜ \((1)\) ও \((3)\) বজ্র গুণ করে।
\(\Rightarrow \frac{x}{-15-20}=\frac{y}{-15+20}=\frac{1}{-16-9}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-35}=\frac{y}{5}=\frac{1}{-25}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-35}=\frac{1}{-25}, \frac{y}{5}=\frac{1}{-25}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-35}{-25}, y=\frac{5}{-25}\)
\(\Rightarrow x=\frac{7}{5}, y=-\frac{1}{5}\)
\(\therefore Z\left(\frac{7}{5},-\frac{1}{5}\right)\)
ধরি, পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(\alpha, \beta)\)
এখন,
\(SZ\)-এর মধ্যবিন্দু \(A\left(\frac{\alpha+\frac{7}{5}}{2}, \frac{\beta-\frac{1}{5}}{2}\right)\)
\(\Rightarrow A\left(\frac{\frac{5\alpha+7}{5}}{2}, \frac{\frac{5\beta-1}{5}}{2}\right)\)
\(\therefore A\left(\frac{5\alpha+7}{10}, \frac{5\beta-1}{10}\right)\)
কিন্তু দেওয়া আছে, \(A(3, 1)\)
\(\therefore A\left(\frac{5\alpha+7}{10}, \frac{5\beta-1}{10}\right)\Rightarrow A(3, 1)\)
\(\Rightarrow \frac{5\alpha+7}{10}=3, \frac{5\beta-1}{10}=1\)
\(\Rightarrow 5\alpha+7=30, 5\beta-1=10\)
\(\Rightarrow 5\alpha=30-7, 5\beta=10+1\)
\(\Rightarrow 5\alpha=23, 5\beta=11\)
\(\Rightarrow \alpha=\frac{23}{5}, \beta=\frac{11}{5}\)
\(\therefore S\left(\frac{23}{5}, \frac{11}{5}\right)\)
এখন,
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S\left(\frac{23}{5}, \frac{11}{5}\right)\)
পরাবৃত্তের নিয়ামকরেখা \(4x+3y-5=0\)
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(PS=PM\)
\(\sqrt{\left(x-\frac{23}{5}\right)^2+\left(y-\frac{11}{5}\right)^2}=\frac{|4x+3y-5|}{\sqrt{4^2+3^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{\left(\frac{5x-23}{5}\right)^2+\left(\frac{5y-11}{5}\right)^2}=\frac{|4x+3y-5|}{\sqrt{16+9}}\)
\(\Rightarrow \left(\frac{5x-23}{5}\right)^2+\left(\frac{5y-11}{5}\right)^2=\frac{(4x+3y-5)^2}{25}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{(5x-23)^2}{25}+\frac{(5y-11)^2}{25}=\frac{(4x+3y-5)^2}{25}\)
\(\Rightarrow (5x-23)^2+(5y-11)^2=(4x+3y-5)^2\) ➜ উভয় পার্শে \(25\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 25x^2-230x+529+25y^2-110y+121=16x^2+9y^2+25+24xy-30y-40x\)
\(\Rightarrow 25x^2-230x+529+25y^2-110y+121-16x^2-9y^2-25-24xy+30y+40x=0\)
\(\therefore 9x^2-24xy+16y^2-190x-80y+625=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
উদাহরণ \(5.\) \(y=ax^2+bx+c\) পরাবৃত্তটির শীর্ষ \((-2, 3)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং তা \((0, 5)\) বিন্দুদিয়ে অতিক্রম করে। \(a,b,c\) এর মাণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০৫,২০১৪;বঃ ২০০২,২০১২;কুঃ ২০০১, ২০০৭,২০১৩; ঢাঃ ২০০৬,২০০৯,২০১৩দিঃ ২০০৯,২০১২;রাঃ ২০১১,২০১৪; চঃ ২০১২]
[ যঃ ২০০৫,২০১৪;বঃ ২০০২,২০১২;কুঃ ২০০১, ২০০৭,২০১৩; ঢাঃ ২০০৬,২০০৯,২০১৩দিঃ ২০০৯,২০১২;রাঃ ২০১১,২০১৪; চঃ ২০১২]
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=ax^2+bx+c ........(1)\)
আমরা জানি,
\((1)\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\) ➜ পরাবৃত্তের সমীকরণ \(y=ax^2+bx+c\); শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\)
কিন্তু দেওয়া আছে, শীর্ষবিন্দু \(A(-2, 3)\)
\(\therefore A\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\Rightarrow A(-2, 3)\)
\(\Rightarrow -\frac{b}{2a}=-2, -\frac{b^2-4ac}{4a}=3\)
\(\Rightarrow b=4a, b^2-4ac=-12a \)
\(\therefore b=4a .......(2)\)
\(b^2-4ac=-12a ......(3)\)
আবার,
\((1)\) নং পরাবৃত্ত \((0, 5)\) বিন্দুদিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore 5=a.0^2+b.0+c\)
\(\Rightarrow 5=0+0+c\)
\(\Rightarrow 5=c\)
\(\therefore c=5\)
\(c\)-এর মাণ \( (3)\) -এ বসিয়ে,
\(b^2-4a.5=-12 \)
\(\therefore b^2-20a=-12a .......(4)\)
\((2)\) ও \((4)\) হতে,
\((4a)^2-20a=-12a\)
\(\Rightarrow 16a^2=20a-12a\)
\(\Rightarrow 16a^2=8a\)
\(\Rightarrow a=\frac{8a}{16a}\)
\(\therefore a=\frac{1}{2}\)
\(a\)-এর মাণ \( (2)\) -এ বসিয়ে,
\(b=4\times \frac{1}{2}\)
\(\therefore b=2\)
\(\therefore a=\frac{1}{2}, b=2, c=5\).
\(y=ax^2+bx+c ........(1)\)
আমরা জানি,
\((1)\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\) ➜ পরাবৃত্তের সমীকরণ \(y=ax^2+bx+c\); শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\)
কিন্তু দেওয়া আছে, শীর্ষবিন্দু \(A(-2, 3)\)
\(\therefore A\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\Rightarrow A(-2, 3)\)
\(\Rightarrow -\frac{b}{2a}=-2, -\frac{b^2-4ac}{4a}=3\)
\(\Rightarrow b=4a, b^2-4ac=-12a \)
\(\therefore b=4a .......(2)\)
\(b^2-4ac=-12a ......(3)\)
আবার,
\((1)\) নং পরাবৃত্ত \((0, 5)\) বিন্দুদিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore 5=a.0^2+b.0+c\)
\(\Rightarrow 5=0+0+c\)
\(\Rightarrow 5=c\)
\(\therefore c=5\)
\(c\)-এর মাণ \( (3)\) -এ বসিয়ে,
\(b^2-4a.5=-12 \)
\(\therefore b^2-20a=-12a .......(4)\)
\((2)\) ও \((4)\) হতে,
\((4a)^2-20a=-12a\)
\(\Rightarrow 16a^2=20a-12a\)
\(\Rightarrow 16a^2=8a\)
\(\Rightarrow a=\frac{8a}{16a}\)
\(\therefore a=\frac{1}{2}\)
\(a\)-এর মাণ \( (2)\) -এ বসিয়ে,
\(b=4\times \frac{1}{2}\)
\(\therefore b=2\)
\(\therefore a=\frac{1}{2}, b=2, c=5\).
উদাহরণ \(6.\) \(3y^2=5x\) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ধরি,
\(3y^2=5x .......(1)\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{5}{3}x\)
এখানে,
\(4a=\frac{5}{3}\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{5}{12}\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|\frac{5}{3}|\)
\(=\frac{5}{3}\) একক।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a, 0)\)
\(\therefore S\left(\frac{5}{12}, 0\right)\)
\(3y^2=5x .......(1)\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{5}{3}x\)
এখানে,
\(4a=\frac{5}{3}\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{5}{12}\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|\frac{5}{3}|\)
\(=\frac{5}{3}\) একক।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a, 0)\)
\(\therefore S\left(\frac{5}{12}, 0\right)\)
উদাহরণ \(7.\) \(y^2=8px\) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর, যেখানে পরাবৃত্তটি \((4, -8)\) বিন্দুগামী।
সমাধানঃ
ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,
\(y^2=8px ........(1)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্তটি \((4, -8)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore (-8)^2=8p.4\)
\(\Rightarrow 64=32p\)
\(\Rightarrow 32p=64\)
\(\Rightarrow p=\frac{64}{32}\)
\(\therefore p=2\)
\(p\)-এর মাণ \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(y^2=8.2.x\)
\(y^2=16x ........(2)\)
এখানে,
\(4a=16\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{16}{4}\)
\(\Rightarrow a=4\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|16|\)
\(=16\) একক।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a, 0)\)
\(\therefore S(4, 0)\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\(y^2=8px ........(1)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্তটি \((4, -8)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore (-8)^2=8p.4\)
\(\Rightarrow 64=32p\)
\(\Rightarrow 32p=64\)
\(\Rightarrow p=\frac{64}{32}\)
\(\therefore p=2\)
\(p\)-এর মাণ \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(y^2=8.2.x\)
\(y^2=16x ........(2)\)
এখানে,
\(4a=16\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{16}{4}\)
\(\Rightarrow a=4\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|16|\)
\(=16\) একক।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a, 0)\)
\(\therefore S(4, 0)\)
উদাহরণ \(8.\) \(y^2=8x-8y\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং পরাবৃত্তের অক্ষ ও নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ দিঃ ২০১১; কুঃ ২০০০]
[ দিঃ ২০১১; কুঃ ২০০০]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, পরাবৃত্তের সমীকরণ 
\(y^2=8x-8y \)
\(\Rightarrow y^2+8y=8x \)
\(\Rightarrow y^2+8y+16-16=8x \)
\(\Rightarrow (y+4)^2-16=8x \)
\(\Rightarrow (y+4)^2=8x+16 \)
\(\Rightarrow (y+4)^2=8(x+2) \)
\(\Rightarrow Y^2=8X .......(1) \) যেখানে, \(X=x+2, Y=y+4\)
এখানে,
\(4a=8\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=2\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x+2=0, y+4=0\)
\(\Rightarrow x=-2, y=-4\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(-2, -4)\)
উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\Rightarrow X=a, Y=0\)
\(\Rightarrow x+2=2, y+4=0\)
\(\Rightarrow x=2-2, y=-4\)
\(\Rightarrow x=0, y=-4\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S(0, -4)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|8|\)
\(=8 \) একক।
অক্ষের সমীকরণ, \(Y=0\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। অক্ষের সমীকরণ, \(y=0\)
\(\Rightarrow y+4=0\)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ, \( y+4=0\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(X=-a\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(x=-a\)
\(\Rightarrow x+2=-2\)
\(\Rightarrow x+2+2=0\)
\(\Rightarrow x+4=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \( x+4=0\)
\(y^2=8x-8y \)
\(\Rightarrow y^2+8y=8x \)
\(\Rightarrow y^2+8y+16-16=8x \)
\(\Rightarrow (y+4)^2-16=8x \)
\(\Rightarrow (y+4)^2=8x+16 \)
\(\Rightarrow (y+4)^2=8(x+2) \)
\(\Rightarrow Y^2=8X .......(1) \) যেখানে, \(X=x+2, Y=y+4\)
এখানে,
\(4a=8\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=2\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x+2=0, y+4=0\)
\(\Rightarrow x=-2, y=-4\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(-2, -4)\)
উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\Rightarrow X=a, Y=0\)
\(\Rightarrow x+2=2, y+4=0\)
\(\Rightarrow x=2-2, y=-4\)
\(\Rightarrow x=0, y=-4\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S(0, -4)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|8|\)
\(=8 \) একক।
অক্ষের সমীকরণ, \(Y=0\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। অক্ষের সমীকরণ, \(y=0\)
\(\Rightarrow y+4=0\)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ, \( y+4=0\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(X=-a\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(x=-a\)
\(\Rightarrow x+2=-2\)
\(\Rightarrow x+2+2=0\)
\(\Rightarrow x+4=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \( x+4=0\)
উদাহরণ \(12.\) \(y^2=8x\) পরাবৃত্তের উপরিস্থিত যে বিন্দুর উপকেদ্রিক দূরত্ব \(8\) তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০৯, ২০১১; চঃ ২০১১,২০০৭; যঃ ২০১০;বঃ ২০১০,২০০৮; সিঃ ২০১০; ঢাঃ ২০০৭;কুঃ২০০৬ ]
[ রাঃ ২০০৯, ২০১১; চঃ ২০১১,২০০৭; যঃ ২০১০;বঃ ২০১০,২০০৮; সিঃ ২০১০; ঢাঃ ২০০৭;কুঃ২০০৬ ]
সমাধানঃ
ধরি,
\(y^2=8x ........(1)\)
এখানে,
\(4a=8\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{8}{4}\)
\(\Rightarrow a=2\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\therefore S(2, 0)\)
মনে করি, নির্ণেয় বিন্দুটি \(P(x, y)\)
শর্তমতে,
\(PS=8\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-0)^2}=8\)
\(\Rightarrow (x-2)^2+(y-0)^2=8^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-4x+4+y^2=64\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x+4-64=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x-60=0\)
\(\Rightarrow x^2+8x-4x-60=0\) ➜ \((1)\) -এর সাহায্যে ।
\(\Rightarrow x^2+4x-60=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4.1.(-60)}}{2.1}\) ➜ \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের সমাধান,\(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm \sqrt{16+240}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm \sqrt{256}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm 16}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4+16}{2}, \frac{-4-16}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{12}{2}, \frac{-20}{2}\)
\(\Rightarrow x=6, -10\)
\(\therefore x=6, x\ne -10\)
\(x=6\) এই মান \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(y^2=8.6\)
\(\Rightarrow y^2=48\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{48}\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{3\times 16}\)
\(\therefore y=\pm 4\sqrt{3}\)
\(\therefore \) নির্ণেয় বিন্দু \((6, 4\sqrt{3})\) এবং \((6, -4\sqrt{3})\) ।
\(y^2=8x ........(1)\)
এখানে,
\(4a=8\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{8}{4}\)
\(\Rightarrow a=2\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\therefore S(2, 0)\)
মনে করি, নির্ণেয় বিন্দুটি \(P(x, y)\)
শর্তমতে,
\(PS=8\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-0)^2}=8\)
\(\Rightarrow (x-2)^2+(y-0)^2=8^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-4x+4+y^2=64\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x+4-64=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x-60=0\)
\(\Rightarrow x^2+8x-4x-60=0\) ➜ \((1)\) -এর সাহায্যে ।
\(\Rightarrow x^2+4x-60=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4.1.(-60)}}{2.1}\) ➜ \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের সমাধান,\(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm \sqrt{16+240}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm \sqrt{256}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm 16}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4+16}{2}, \frac{-4-16}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{12}{2}, \frac{-20}{2}\)
\(\Rightarrow x=6, -10\)
\(\therefore x=6, x\ne -10\)
\(x=6\) এই মান \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(y^2=8.6\)
\(\Rightarrow y^2=48\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{48}\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{3\times 16}\)
\(\therefore y=\pm 4\sqrt{3}\)
\(\therefore \) নির্ণেয় বিন্দু \((6, 4\sqrt{3})\) এবং \((6, -4\sqrt{3})\) ।
উদাহরণ \(13.\) \((-1, 1)\) উপকেন্দ্র এবং \((2, -3)\) শীর্ষবিন্দু বিশিষ্ট পরাবৃত্তের অক্ষ ও নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০৩ ]
[ রাঃ ২০০৩ ]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(-1, 1)\)
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A(2, -3)\)
পরাবৃত্তের অক্ষরেখা উপকেন্দ্র এবং শীর্ষবিন্দু দিয়ে যায়।
অক্ষরেখার সমীকরণ, \(\frac{x+1}{-1-2}=\frac{y-1}{1+3}\) ➜\(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x+1}{-3}=\frac{y-1}{4}\)
\(\Rightarrow 4x+4=-3y+3\)
\(\Rightarrow 4x+4+3y-3=0\)
\(\therefore 4x+3y+1=0 ......(1)\)
ইহাই অক্ষের সমীকরণ।
আবার,
ধরি, অক্ষরেখা এবং নিয়ামক রেখার ছেদবিন্দু \(Z(x, y)\).
এখন,
\(ZS\)-এর মধ্যবিন্দু \(A\left(\frac{x-1}{2}, \frac{y+1}{2}\right)\)
কিন্তু দেওয়া আছে, \(A(2, -3)\)
\(\therefore A\left(\frac{x-1}{2}, \frac{y+1}{2}\right)\Rightarrow A(2, -3)\)
\(\Rightarrow \frac{x-1}{2}=2, \frac{y+1}{2}=-3 \)
\(\Rightarrow x-1=4, y+1=-6 \)
\(\Rightarrow x=4+1, y=-6-1 \)
\(\therefore x=5, y=-7 \)
\(\therefore Z(5, -7)\)
নিয়ামক রেখার অক্ষরেখার উপর লম্ব।
\(\therefore (1)\) -এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x-4y+k=0 ......(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \(Z(5, -7)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 3.5-4.(-7)+k=0\)
\(\Rightarrow 15+28+k=0\)
\(\Rightarrow 43+k=0\)
\(\therefore k=-43\)
\(k=-43\)-এর এই মাণ \( (2)\) -এ বসিয়ে,
\(3x-4y-43=0\)
ইহাই নির্ণেয় নিয়ামক রেখার সমীকরণ।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(-1, 1)\)
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A(2, -3)\)
পরাবৃত্তের অক্ষরেখা উপকেন্দ্র এবং শীর্ষবিন্দু দিয়ে যায়।
অক্ষরেখার সমীকরণ, \(\frac{x+1}{-1-2}=\frac{y-1}{1+3}\) ➜\(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x+1}{-3}=\frac{y-1}{4}\)
\(\Rightarrow 4x+4=-3y+3\)
\(\Rightarrow 4x+4+3y-3=0\)
\(\therefore 4x+3y+1=0 ......(1)\)
ইহাই অক্ষের সমীকরণ।
আবার,
ধরি, অক্ষরেখা এবং নিয়ামক রেখার ছেদবিন্দু \(Z(x, y)\).
এখন,
\(ZS\)-এর মধ্যবিন্দু \(A\left(\frac{x-1}{2}, \frac{y+1}{2}\right)\)
কিন্তু দেওয়া আছে, \(A(2, -3)\)
\(\therefore A\left(\frac{x-1}{2}, \frac{y+1}{2}\right)\Rightarrow A(2, -3)\)
\(\Rightarrow \frac{x-1}{2}=2, \frac{y+1}{2}=-3 \)
\(\Rightarrow x-1=4, y+1=-6 \)
\(\Rightarrow x=4+1, y=-6-1 \)
\(\therefore x=5, y=-7 \)
\(\therefore Z(5, -7)\)
নিয়ামক রেখার অক্ষরেখার উপর লম্ব।
\(\therefore (1)\) -এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x-4y+k=0 ......(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \(Z(5, -7)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 3.5-4.(-7)+k=0\)
\(\Rightarrow 15+28+k=0\)
\(\Rightarrow 43+k=0\)
\(\therefore k=-43\)
\(k=-43\)-এর এই মাণ \( (2)\) -এ বসিয়ে,
\(3x-4y-43=0\)
ইহাই নির্ণেয় নিয়ামক রেখার সমীকরণ।
উদাহরণ \(14.\) \(5y^2=12x\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ধরি,
\(5y^2=12x .....(1)\)
\(y^2=\frac{12}{5}x\)
এখানে,
\(4a=\frac{12}{5}\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{12}{5\times 4}\)
\(\Rightarrow a=\frac{3}{5}\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S\left(\frac{3}{5}, 0\right)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|\frac{12}{5}|\)
\(=\frac{12}{5} \) একক।
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(x=a\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(x=a\)
\(\Rightarrow x=\frac{3}{5}\)
\(\Rightarrow 5x=3\)
\(\Rightarrow 5x-3=0\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \( 5x-3=0\)
নিয়ামক রেখার সমীকরণ , \(x=-a\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। নিয়ামক রেখার সমীকরণ , \(x=-a\)
\(\Rightarrow x=-\frac{3}{5}\)
\(\Rightarrow 5x=-3\)
\(\Rightarrow 5x+3=0\)
\(\therefore \) নিয়ামক রেখার সমীকরণ, \( 5x+3=0\)
\(5y^2=12x .....(1)\)
\(y^2=\frac{12}{5}x\)
এখানে,
\(4a=\frac{12}{5}\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{12}{5\times 4}\)
\(\Rightarrow a=\frac{3}{5}\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S\left(\frac{3}{5}, 0\right)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|\frac{12}{5}|\)
\(=\frac{12}{5} \) একক।
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(x=a\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(x=a\)
\(\Rightarrow x=\frac{3}{5}\)
\(\Rightarrow 5x=3\)
\(\Rightarrow 5x-3=0\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \( 5x-3=0\)
নিয়ামক রেখার সমীকরণ , \(x=-a\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। নিয়ামক রেখার সমীকরণ , \(x=-a\)
\(\Rightarrow x=-\frac{3}{5}\)
\(\Rightarrow 5x=-3\)
\(\Rightarrow 5x+3=0\)
\(\therefore \) নিয়ামক রেখার সমীকরণ, \( 5x+3=0\)
উদাহরণ \(25.\) যে পরাবৃত্ত \(Y\) অক্ষ সাপেক্ষে প্রতিসম, শীর্ষবিন্দু মূলবিন্দুতে এবং \((5, 2)\) বিন্দুগামী তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ধরি,
যে পরাবৃত্ত \(Y\) অক্ষ সাপেক্ষে প্রতিসম এবং শীর্ষবিন্দু মূলবিন্দুতে তার সমীকরণ,
\(x^2=4ay ........(1)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্ত \((5, 2)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 5^2=4a.2\)
\(\Rightarrow 25=8a\)
\(\Rightarrow 8a=25\)
\(\therefore a=\frac{25}{8}\)
\(a=\frac{25}{8}\)-এর এই মাণ \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(\therefore x^2=4\times \frac{25}{8}\times y \)
\(\Rightarrow x^2=\frac{25}{2}\times y \)
\(\Rightarrow x^2=\frac{25y}{2}\)
\(\therefore 2x^2=25y\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
যে পরাবৃত্ত \(Y\) অক্ষ সাপেক্ষে প্রতিসম এবং শীর্ষবিন্দু মূলবিন্দুতে তার সমীকরণ,
\(x^2=4ay ........(1)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্ত \((5, 2)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 5^2=4a.2\)
\(\Rightarrow 25=8a\)
\(\Rightarrow 8a=25\)
\(\therefore a=\frac{25}{8}\)
\(a=\frac{25}{8}\)-এর এই মাণ \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(\therefore x^2=4\times \frac{25}{8}\times y \)
\(\Rightarrow x^2=\frac{25}{2}\times y \)
\(\Rightarrow x^2=\frac{25y}{2}\)
\(\therefore 2x^2=25y\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
উদাহরণ \(26.\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষ \((4, -3)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং দিকাক্ষ \(X\)-অক্ষের সমান্তরাল এবং যা \((-4, -7)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
[ চঃ ২০০২; সিঃ ২০০৫ ]
[ চঃ ২০০২; সিঃ ২০০৫ ]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((4, -3)\)
\(\Rightarrow x=4, y=-3)\)
\(\Rightarrow x-4=0, y+3=0)\)
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) হলে,
\(\Rightarrow X=x-4=0, Y=y+3=0)\)
পরাবৃত্তের দিকাক্ষ \(X\)-অক্ষের সমান্তরাল
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(X^2=4aY\)
\(\Rightarrow (x-4)^2=4a(y+3) .......(1)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্ত \((-4, -7)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore (-4-4)^2=4a(-7+3)\)
\(\Rightarrow (-8)^2=4a(-4)\)
\(\Rightarrow 64=-16a\)
\(\Rightarrow 16a=-64\)
\(\Rightarrow a=-\frac{64}{16}\)
\(\therefore a=-4\)
\(a=-4\)-এর এই মাণ \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(\Rightarrow (x-4)^2=4.(-4).(y+3)\)
\(\Rightarrow (x-4)^2=-16(y+3)\)
\(\Rightarrow x^2-8x+16=-16y-48\)
\(\Rightarrow x^2-8x+16+16y+48=0\)
\(\therefore x^2-8x+16y+64=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((4, -3)\)
\(\Rightarrow x=4, y=-3)\)
\(\Rightarrow x-4=0, y+3=0)\)
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) হলে,
\(\Rightarrow X=x-4=0, Y=y+3=0)\)
পরাবৃত্তের দিকাক্ষ \(X\)-অক্ষের সমান্তরাল
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(X^2=4aY\)
\(\Rightarrow (x-4)^2=4a(y+3) .......(1)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্ত \((-4, -7)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore (-4-4)^2=4a(-7+3)\)
\(\Rightarrow (-8)^2=4a(-4)\)
\(\Rightarrow 64=-16a\)
\(\Rightarrow 16a=-64\)
\(\Rightarrow a=-\frac{64}{16}\)
\(\therefore a=-4\)
\(a=-4\)-এর এই মাণ \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(\Rightarrow (x-4)^2=4.(-4).(y+3)\)
\(\Rightarrow (x-4)^2=-16(y+3)\)
\(\Rightarrow x^2-8x+16=-16y-48\)
\(\Rightarrow x^2-8x+16+16y+48=0\)
\(\therefore x^2-8x+16y+64=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
উদাহরণ \(27.\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((1, -1)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং \(x-y+2=0\) রেখাটি শীর্ষবিন্দুতে অক্ষের উপর লম্ব।
সমাধানঃ
ধরি,
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A\), উপকেন্দ্র \(S(1, -1)\), দিকাক্ষ \(MZ\) এবং অক্ষরেখা \(AS\)।
\(x-y+2=0 ........(1)\) রেখাটি শীর্ষবিন্দুতে অক্ষের উপর লম্ব। অতএব, দিকাক্ষের সমীকরণ হবে \((1)\) -এর উপর লম্ব।
\(x-y+k=0 ........(2)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
দ্বিকাক্ষ এবং অক্ষের ছেদবিন্দু \(Z\)। আবার, \(Z\) ও \(S\)-এর মধ্যবিন্দু \(A\)।
অতএব, \(ZS=2AS\)
\(\Rightarrow \frac{|1+1+k|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=2\frac{|1+1+2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|2+k|}{\sqrt{1+1}}=2\frac{|4|}{\sqrt{1+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{|2+k|}{\sqrt{2}}=2\frac{|4|}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow |2+k|=2.4\)
\(\Rightarrow |2+k|=8\)
\(\Rightarrow 2+k=8\)
\(\Rightarrow k=8-2\)
\(\therefore k=6\)
\(\therefore \) দিকাক্ষের সমীকরণ,
\(x-y+6=0 ........(3)\)
এখন,
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
উপকেন্দ্র \(S(1, -1)\)
দিকাক্ষের সমীকরণ, \(x-y+6=0\)
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}=\frac{|x-y+6|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}=\frac{|x-y+6|}{\sqrt{1+1}}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2+(y+1)^2=\frac{(x-y+6)^2}{2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2+2y+1=\frac{(x-y+6)^2}{2}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2x+2y+2=\frac{(x-y+6)^2}{2}\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2-4x+4y+4=(x-y+6)^2\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2-4x+4y+4=x^2+y^2+36-2xy-12y+12x\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2-4x+4y+4-x^2-y^2-36+2xy+12y-12x=0\)
\(\Rightarrow x^2+2xy+y^2-16x+16y-32=0\)
\(\therefore (x+y)^2-16x+16y-32=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A\), উপকেন্দ্র \(S(1, -1)\), দিকাক্ষ \(MZ\) এবং অক্ষরেখা \(AS\)।
\(x-y+2=0 ........(1)\) রেখাটি শীর্ষবিন্দুতে অক্ষের উপর লম্ব। অতএব, দিকাক্ষের সমীকরণ হবে \((1)\) -এর উপর লম্ব।
\(x-y+k=0 ........(2)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
দ্বিকাক্ষ এবং অক্ষের ছেদবিন্দু \(Z\)। আবার, \(Z\) ও \(S\)-এর মধ্যবিন্দু \(A\)।
অতএব, \(ZS=2AS\)
\(\Rightarrow \frac{|1+1+k|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=2\frac{|1+1+2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|2+k|}{\sqrt{1+1}}=2\frac{|4|}{\sqrt{1+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{|2+k|}{\sqrt{2}}=2\frac{|4|}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow |2+k|=2.4\)
\(\Rightarrow |2+k|=8\)
\(\Rightarrow 2+k=8\)
\(\Rightarrow k=8-2\)
\(\therefore k=6\)
\(\therefore \) দিকাক্ষের সমীকরণ,
\(x-y+6=0 ........(3)\)
এখন,
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
উপকেন্দ্র \(S(1, -1)\)
দিকাক্ষের সমীকরণ, \(x-y+6=0\)
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}=\frac{|x-y+6|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}=\frac{|x-y+6|}{\sqrt{1+1}}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2+(y+1)^2=\frac{(x-y+6)^2}{2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2+2y+1=\frac{(x-y+6)^2}{2}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2x+2y+2=\frac{(x-y+6)^2}{2}\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2-4x+4y+4=(x-y+6)^2\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2-4x+4y+4=x^2+y^2+36-2xy-12y+12x\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2-4x+4y+4-x^2-y^2-36+2xy+12y-12x=0\)
\(\Rightarrow x^2+2xy+y^2-16x+16y-32=0\)
\(\therefore (x+y)^2-16x+16y-32=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
অনুশীলনী \(5.A\) / \(Q.1\)-এর অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
নিচের পরাবৃত্তগুলির শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, অক্ষের সমীকরণ এবং নিয়ামক রেখা বা দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\(Q.1.(i).(a)\) \(y^2=9x\)উত্তরঃ \((0, 0) , \left(\frac{9}{4}, 0\right)\), \(9, 4x-9=0, y=0, 4x+9=0\)
\(Q.1.(i).(b)\) \(x^2=-12y\)
উত্তরঃ \((0, 0) , (0, -3)\), \( 12, y+3=0, x=0, y-3=0\)
\(Q.1.(i).(c)\) \(x^2+4x+2y=0\)
[ বঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \((-2, 2) , \left(-2, \frac{3}{2}\right)\), \(2, 2y-3=0, x+2=0, 2y-5=0\)
\(Q.1.(i).(d)\) \(y^2+8x-2y-23=0\)
[ ঢাঃ ২০০০; কুঃ ২০০৬ ]
উত্তরঃ \((3, 1); (1, 1)\); \(8; x-1=0; y-1=0; x-5=0 \)
\(Q.1.(i).(e)\) \( y^2=8x-8y\)
[ কুঃ ২০০০ ]
উত্তরঃ \((-2, -4); (0, -4)\); \(8; x=0; y+4=0; x+4=0 \)
\(Q.1.(i).(f)\) \((y-1)^2=4(x-2)\)
[ ঢাঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \((2, 1) , (3, 1)\), \(4, x-3=0; y-1=0; x-1=0\)
\(Q.1.(i).(g)\) \(y^2=4y+4x-8\)
[ কুঃ ২০০১; যঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \((1, 2) ; (2, 2)\); \( 4; x-2=0; y-2=0; x=0 \)
\(Q.1.(i).(h)\) \(x^2+4y-4=0\)
[ রাঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \((0, 1); (0, 0)\); \(4; y=0; x=0; y-2=0\)
\(Q.1.(i).(i)\) \(y^2=4y+4x-16\)
[ যঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \((3, 2) ; (4, 2)\); \( 4; x-4=0; y-2=0; x-2=0\)
\(Q.1.(i).(j)\) \(x^2+2y-8x+7=0\)
উত্তরঃ \(\left(4, \frac{9}{2}\right); (4, 4)\); \(2; y-4=0; x-4=0; y-5=0 \)
\(Q.1.(i).(k)\) \(y^2=6x\)।
উত্তরঃ \((0, 0); \left(\frac{3}{2}, 0\right)\); \(6; 2x-3=0; y=0; 2x+3=0\)
\(Q.1.(i).(l)\) \(x^2=-6y\)।
উত্তরঃ \((0, 0); \left(0, -\frac{3}{2}\right)\); \(6; 2y+3=0; x=0; 2y-3=0\)
\(Q.1.(i).(m)\) \(y^2=-8x\)।
উত্তরঃ \((0, 0); (-2, 0); 8\); \( x+2=0; y=0; x-2=0\)
\(Q.1.(i).(n)\) \(x^2=-8y\)।
উত্তরঃ \((0, 0); (0, -2)\); \(8; y+2=0; x=0; y-2=0\)
\(Q.1.(i).(o)\) \((y-2)^2=8(x-4)\)
[ ঢাঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \((4, 2) ; (6, 2)\); \(8; x-6=0; y-2=0, x-2=0 \)
\(Q.1.(i).(p)\) \(3y^2-10x-12y-18=0\)
[ ঢাঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \((-3, 2) ; \left(-\frac{13}{6}; 2\right); \frac{10}{3}\); \(6x+13=0; y-2=0, 6x+23=0 \)
\(Q.1.(i).(q)\) \(5x^2+15x-10y-4=0\)
[ কুঃ ২০১১,২০০৪;সিঃ২০০৯,২০০৫;ঢাঃ ২০০৮;রাঃ ২০০৭;মাঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \(A(-\frac{3}{2}, -\frac{13}{8}); \left(-\frac{3}{2}, -\frac{9}{8}\right)\); \( 2; 8y+9=0; 2x+3=0, 8y+17=0 \)
\(Q.1.(i).(r)\) \((x-4)^2=-4(y-5)\)
উত্তরঃ \((4, 5) ; (4, 4); 4\); \( y-4=0; x-4=0; y-6=0 \)
\(Q.1.(ii)\) \((-1, 1)\) উপকেন্দ্র এবং \((2, -3)\) শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ট পরাবৃত্তের অক্ষ ও দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[রাঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(4x+3y+1=0, 3x-4y-43=0\)
\(Q.1.(iii)\) এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার উপকেন্দ্র \((-8, -2)\) এবং দিকাক্ষের সমীকরণ \(2x-y=9\) ।
[ ঢাঃ ২০০০, ২০১০; কুঃ ২০০০,২০০৭; রাঃ ২০০১,২০০৪,২০০৬; সিঃ২০০১,২০০৪যঃ২০০৬।]
উত্তরঃ \( (x+2y)^2+116x+2y+259=0\)।
\(Q.1.(iv)\) \((1, 1)\) উপকেন্দ্র এবং \(3x+4y=1\) দিকাক্ষ বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। এর অক্ষেরও সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০০,২০০৫; বঃ,চঃ,কুঃ ২০০৫; ঢাঃ,বঃ ২০০১,২০০৪;রাঃ,সিঃ২০০২;ঢাঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \((4x-3y)^2-44x-42y+49=0, 4x-3y-1=0\)।
\(Q.1.(v)\) \((-1, 1)\) উপকেন্দ্র এবং \(x+y+1=0\) দিকাক্ষ বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। উক্ত পরাবৃত্তের অক্ষের সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[কুঃ,ঢাঃ ২০০৩; ঢাঃ ২০০৫]
উত্তরঃ \((x-y)^2+2x-6y+3=0, x-y+2=0, \sqrt{2}\)।
\(Q.1.(vi)\) \(5x^2+30x+2y+59=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং পরাবৃত্তের অক্ষ ও নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০১,২০০৬,২০১০;সিঃ২০০২;চঃ ২০০৬,২০০৯ ]
উত্তরঃ \( (-3, -7), \left(-3, \frac{71}{10}\right) ,\frac{2}{5}, x+3=0, 10y+69=0\) ।
\(Q.1.(vii)\) \((3, 4)\) উপকেন্দ্র এবং \((0, 0)\) শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ট পরাবৃত্তের দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০০৭;চঃ২০০২;সিঃ২০০৯;যঃ২০০৪]
উত্তরঃ \(3x+4y+25=0\)।
\(Q.1.(viii)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র মূলবিন্দুতে অবস্থিত এবং \(x-y+1=0\) রেখাটি পরাবৃত্তকে এর শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শ করে।
উত্তরঃ \((x+y)^2-4x+4y-4=0\)।
\(Q.1.(ix)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((2, 5)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং \(x=4\) রেখাটি পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দুতে অক্ষের উপর লম্ব।
উত্তরঃ \(y^2-10y+8x-7=0\)।
\(Q.1.(x)\) \(y^2=8x\) পরাবৃত্তের উপরস্থ কোনো বিন্দুর ফোকাস দূরত্ব \(6\) ঐ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০০; ঢাঃ ২০০৫]
উত্তরঃ \((4, \pm 4\sqrt{2})\)।
\(Q.1.(xi)\) \(y^2=4px\) পরাবৃত্তটি \((3, -2)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করলে তার উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয়।
[ রাঃ ২০০৬; বঃ ২০০৫; সিঃ ২০০১,২০০৭;যঃ২০০২;কুঃ২০০৩;দিঃ২০০৯।]
উত্তরঃ \(\frac{4}{3}, \left(\frac{1}{3}, 0\right), 3x+1=0\)।
\(Q.1.(xii)\) \(y=2x+2\) রেখাটি \(y^{2}=4ax\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করে, তবে উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(16\)।
\(Q.1.(xiii)\) এমন একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার শীর্ষবিন্দু \((2, 3)\) এবং দিকাক্ষ \(y=6\)। এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(x^2-4x+12y-32=0, 12 \)।
\(Q.1.(xiv)\) একটি পরাবৃত্তের দিকাক্ষ \(2x+y=0\) এবং শীর্ষবিন্দু \((3, -1)\) পরাবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^2+4y^2-4xy-50x+125=0\)।
\(Q.1.(xv)\) একটি পরাবৃত্তের দিকাক্ষের সমীকরণ \(x-c=0\) এবং উপকেন্দ্র \((a, 0)\) বিন্দুতে অবস্থিত । পরাবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০৬ ]
উত্তরঃ \( y^2=(a-c)(2x-a-c)\)।
\(Q.1.(xvi)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((-6, -3)\) এবং শীর্ষবিন্দু \((-2, 1)\) ।
[ চঃ ২০০০ ]
উত্তরঃ \( (x-y)^2+38x+26y+41=0\)।
\(Q.1.(xvii)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার শীর্ষ \((4, -3)\) বিন্দুতে অবস্থিত, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(4\) এবং অক্ষটি \(x\)-অক্ষের সমান্তরাল।
[ সিঃ২০৩; ২০০৪ ]
উত্তরঃ \( (y+3)^2=4(x-4)\)।
\(Q.1.(xviii)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার শীর্ষবিন্দু \((0, 2)\) অক্ষরেখা \(Y\)-অক্ষের সমান্তরাল এবং যা \((2, 5)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
উত্তরঃ \(3x^2=4(y-2) \)।
\(Q.1.(xix)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের একটি স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় যা \(x+2y-1=0\) রেখার উপর লম্ব।
উত্তরঃ \(4x-2y+3=0\)।
\(Q.1.(xx)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু ও উপকেন্দ্রিক লম্বের ধনাত্মক দিকের প্রান্তবিন্দুর সংযোজক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \( y=2x \)।
\(Q.1.(xxi)\) \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় ও শীর্ষবিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y\pm 2x=0\)
\(Q.1.(xxii)\) \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তটির শীর্ষ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(\left(-\frac{5}{8}, 0\right); 8\)
\(Q.1.(xxiii)\) \(x^2=4(1-y)\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু , উপকেন্দ্র এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[সিঃ, চঃ ২০০১১;বঃ ২০০৯;রাঃ ২০০৮,২০০৪ ]
উত্তরঃ \((0, 1); (0, 0) y-2=0\)
\(Q.1.(xxiv)\) \(y^{2}=8x+5\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু ও উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৪]
উত্তরঃ \(\left(-\frac{5}{8}, 0\right); 8\)
\(Q.1.(xxv)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের যে বিন্দুতে কটি ভুজের দ্বিগুণ তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((3, 6)\)।
\(Q.1.(xxvi)\) একটি পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র মূলবিন্দু এবং \(2x+y-1=0\) রেখাকে নিয়ামক রেখা ধরে পরাবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। পরাবৃত্তের অক্ষের সমীকরণও নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((x-2y)^2+4x+2y-1=0, x-2y=0\)
\(Q.1.(xxvii)\) \((2, 0)\) উপকেন্দ্র এবং \(x+2=0\) দিকাক্ষ বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ২০০৮ ;মাঃ ২০০৫]
উত্তরঃ \(y^2=8x\)।
\(Q.1.(xxviii)\) \((0, -4)\) উপকেন্দ্র এবং \(y-4=0\) দিকাক্ষ বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ২০০৮ ;মাঃ ২০০৫]
উত্তরঃ \(x^2=-16y\)।
\(Q.1.(xxix)\) \((3, 4)\) উপকেন্দ্র এবং \((0, 0)\) শীর্ষবিন্দু বিশিষ্ট পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর ।
[ ঢাঃ ২০১১,২০০৮;দিঃ ২০১১;রাঃ,সিঃ ২০০৯কুঃ,চঃ ২০০৮;বঃ২০০৭,২০০৪ ]
উত্তরঃ \( 3x+4y+25=0\)।
উত্তরঃ \((x+y)^2-4x+4y-4=0\)।
\(Q.1.(ix)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((2, 5)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং \(x=4\) রেখাটি পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দুতে অক্ষের উপর লম্ব।
উত্তরঃ \(y^2-10y+8x-7=0\)।
\(Q.1.(x)\) \(y^2=8x\) পরাবৃত্তের উপরস্থ কোনো বিন্দুর ফোকাস দূরত্ব \(6\) ঐ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০০; ঢাঃ ২০০৫]
উত্তরঃ \((4, \pm 4\sqrt{2})\)।
\(Q.1.(xi)\) \(y^2=4px\) পরাবৃত্তটি \((3, -2)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করলে তার উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয়।
[ রাঃ ২০০৬; বঃ ২০০৫; সিঃ ২০০১,২০০৭;যঃ২০০২;কুঃ২০০৩;দিঃ২০০৯।]
উত্তরঃ \(\frac{4}{3}, \left(\frac{1}{3}, 0\right), 3x+1=0\)।
\(Q.1.(xii)\) \(y=2x+2\) রেখাটি \(y^{2}=4ax\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করে, তবে উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(16\)।
\(Q.1.(xiii)\) এমন একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার শীর্ষবিন্দু \((2, 3)\) এবং দিকাক্ষ \(y=6\)। এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(x^2-4x+12y-32=0, 12 \)।
\(Q.1.(xiv)\) একটি পরাবৃত্তের দিকাক্ষ \(2x+y=0\) এবং শীর্ষবিন্দু \((3, -1)\) পরাবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^2+4y^2-4xy-50x+125=0\)।
\(Q.1.(xv)\) একটি পরাবৃত্তের দিকাক্ষের সমীকরণ \(x-c=0\) এবং উপকেন্দ্র \((a, 0)\) বিন্দুতে অবস্থিত । পরাবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০৬ ]
উত্তরঃ \( y^2=(a-c)(2x-a-c)\)।
\(Q.1.(xvi)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((-6, -3)\) এবং শীর্ষবিন্দু \((-2, 1)\) ।
[ চঃ ২০০০ ]
উত্তরঃ \( (x-y)^2+38x+26y+41=0\)।
\(Q.1.(xvii)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার শীর্ষ \((4, -3)\) বিন্দুতে অবস্থিত, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(4\) এবং অক্ষটি \(x\)-অক্ষের সমান্তরাল।
[ সিঃ২০৩; ২০০৪ ]
উত্তরঃ \( (y+3)^2=4(x-4)\)।
\(Q.1.(xviii)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার শীর্ষবিন্দু \((0, 2)\) অক্ষরেখা \(Y\)-অক্ষের সমান্তরাল এবং যা \((2, 5)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
উত্তরঃ \(3x^2=4(y-2) \)।
\(Q.1.(xix)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের একটি স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় যা \(x+2y-1=0\) রেখার উপর লম্ব।
উত্তরঃ \(4x-2y+3=0\)।
\(Q.1.(xx)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু ও উপকেন্দ্রিক লম্বের ধনাত্মক দিকের প্রান্তবিন্দুর সংযোজক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \( y=2x \)।
\(Q.1.(xxi)\) \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় ও শীর্ষবিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y\pm 2x=0\)
\(Q.1.(xxii)\) \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তটির শীর্ষ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(\left(-\frac{5}{8}, 0\right); 8\)
\(Q.1.(xxiii)\) \(x^2=4(1-y)\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু , উপকেন্দ্র এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[সিঃ, চঃ ২০০১১;বঃ ২০০৯;রাঃ ২০০৮,২০০৪ ]
উত্তরঃ \((0, 1); (0, 0) y-2=0\)
\(Q.1.(xxiv)\) \(y^{2}=8x+5\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু ও উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৪]
উত্তরঃ \(\left(-\frac{5}{8}, 0\right); 8\)
\(Q.1.(xxv)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের যে বিন্দুতে কটি ভুজের দ্বিগুণ তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((3, 6)\)।
\(Q.1.(xxvi)\) একটি পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র মূলবিন্দু এবং \(2x+y-1=0\) রেখাকে নিয়ামক রেখা ধরে পরাবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। পরাবৃত্তের অক্ষের সমীকরণও নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((x-2y)^2+4x+2y-1=0, x-2y=0\)
\(Q.1.(xxvii)\) \((2, 0)\) উপকেন্দ্র এবং \(x+2=0\) দিকাক্ষ বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ২০০৮ ;মাঃ ২০০৫]
উত্তরঃ \(y^2=8x\)।
\(Q.1.(xxviii)\) \((0, -4)\) উপকেন্দ্র এবং \(y-4=0\) দিকাক্ষ বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ২০০৮ ;মাঃ ২০০৫]
উত্তরঃ \(x^2=-16y\)।
\(Q.1.(xxix)\) \((3, 4)\) উপকেন্দ্র এবং \((0, 0)\) শীর্ষবিন্দু বিশিষ্ট পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর ।
[ ঢাঃ ২০১১,২০০৮;দিঃ ২০১১;রাঃ,সিঃ ২০০৯কুঃ,চঃ ২০০৮;বঃ২০০৭,২০০৪ ]
উত্তরঃ \( 3x+4y+25=0\)।
\(Q.1.(i).(a)\) \( y^2=9x\)
উত্তরঃ \((0, 0) , \left(\frac{9}{4}, 0\right), 9, 4x-9=0, y=0, 4x+9=0\)
উত্তরঃ \((0, 0) , \left(\frac{9}{4}, 0\right), 9, 4x-9=0, y=0, 4x+9=0\)
সমাধানঃ
ধরি, 
\( y^2=9x ........(1)\)
এখানে,
\(4a=9\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{9}{4}\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\Rightarrow x=a, y=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{9}{4}, y=0\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S(\frac{9}{4}, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times \frac{9}{4}|\)
\(=|9|\)
\(=9\) একক।
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(x=a\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(x=a\)
\(\Rightarrow x=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow 4x=9\)
\(\Rightarrow 4x-9=0\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ , \( 4x-9=0\)
অক্ষের সমীকরণ, \(y=0\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। অক্ষের সমীকরণ, \(y=0\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(x=-a\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(x=-a\)
\(\Rightarrow x=-\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow 4x=-9\)
\(\Rightarrow 4x+9=0\)
\(\Rightarrow 4x+9=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \( 4x+9=0\)
\( y^2=9x ........(1)\)
এখানে,
\(4a=9\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{9}{4}\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\Rightarrow x=a, y=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{9}{4}, y=0\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S(\frac{9}{4}, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times \frac{9}{4}|\)
\(=|9|\)
\(=9\) একক।
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(x=a\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(x=a\)
\(\Rightarrow x=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow 4x=9\)
\(\Rightarrow 4x-9=0\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ , \( 4x-9=0\)
অক্ষের সমীকরণ, \(y=0\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। অক্ষের সমীকরণ, \(y=0\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(x=-a\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(x=-a\)
\(\Rightarrow x=-\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow 4x=-9\)
\(\Rightarrow 4x+9=0\)
\(\Rightarrow 4x+9=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \( 4x+9=0\)
\(Q.1.(i).(b)\) \( x^2=-12y\)
উত্তরঃ \((0, 0) , (0, -3), 12, y+3=0, x=0, y-3=0\)
উত্তরঃ \((0, 0) , (0, -3), 12, y+3=0, x=0, y-3=0\)
সমাধানঃ
ধরি, 
\( x^2=-12y ........(1)\)
এখানে,
\(4a=-12\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=-\frac{12}{4}\)
\(\therefore a=-3\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
উপকেন্দ্র \(S(0, a)\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(0, a)\)
\(\Rightarrow x=0, y=-3\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S(0, -3)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times -3|\)
\(=|-12|\)
\(=12\) একক।
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(y=a\) ➜ \(x^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(y=a\)
\(\Rightarrow y=-3\)
\(\Rightarrow y+3=0\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ , \( y+3=0\)
অক্ষের সমীকরণ, \(x=0\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। অক্ষের সমীকরণ, \(x=0\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(y=-a\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(y=-a\)
\(\Rightarrow y=-(-3)\)
\(\Rightarrow y=3\)
\(\Rightarrow y-3=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \( y-3=0\)
\( x^2=-12y ........(1)\)
এখানে,
\(4a=-12\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=-\frac{12}{4}\)
\(\therefore a=-3\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
উপকেন্দ্র \(S(0, a)\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(0, a)\)
\(\Rightarrow x=0, y=-3\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S(0, -3)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times -3|\)
\(=|-12|\)
\(=12\) একক।
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(y=a\) ➜ \(x^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(y=a\)
\(\Rightarrow y=-3\)
\(\Rightarrow y+3=0\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ , \( y+3=0\)
অক্ষের সমীকরণ, \(x=0\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। অক্ষের সমীকরণ, \(x=0\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(y=-a\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(y=-a\)
\(\Rightarrow y=-(-3)\)
\(\Rightarrow y=3\)
\(\Rightarrow y-3=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \( y-3=0\)
\(Q.1.(i).(c)\) \( x^2+4x+2y=0\)
[ বঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \((-2, 2) , \left(-2, \frac{3}{2}\right), 2, 2y-3=0, x+2=0, 2y-5=0\)
[ বঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \((-2, 2) , \left(-2, \frac{3}{2}\right), 2, 2y-3=0, x+2=0, 2y-5=0\)
সমাধানঃ
ধরি, 
\(x^2+4x+4-4+2y=0\)
\(\Rightarrow x^2+4x+4=4-2y\)
\(\Rightarrow (x+2)^2=-2(y-2)\)
\(\therefore X^2=-2Y ........(1)\) যেখানে, \(X=x+2, Y=y-2\)
এখানে,
\(4a=-2\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=-\frac{2}{4}\)
\(\therefore a=-\frac{1}{2}\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x+2=0, y-2=0\)
\(\Rightarrow x=-2, y=2\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(-2, 2)\)
উপকেন্দ্র \(S(0, a)\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(0, a)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=a\)
\(\Rightarrow x+2=0, y-2=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow x=-2, y=2-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow x=-2, y=\frac{4-1}{2}\)
\(\Rightarrow x=-2, y=\frac{3}{2}\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S\left(-2, \frac{3}{2}\right)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times -\frac{1}{2}|\)
\(=|-2|\)
\(=2\) একক।
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(Y=a\) ➜ \(x^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(y=a\)
\(\Rightarrow y-2=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow y=2-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow y=\frac{4-1}{2}\)
\(\Rightarrow y=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow 2y=3\)
\(\Rightarrow 2y-3=0\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ , \( 2y-3=0\)
অক্ষের সমীকরণ, \(X=0\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। অক্ষের সমীকরণ, \(x=0\)
\(\Rightarrow x+2=0\)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ , \( x+2=0\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(Y=-a\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(y=-a\)
\(\Rightarrow y-2=-\left(-\frac{1}{2}\right)\)
\(\Rightarrow y-2=\left(\frac{1}{2}\right)\)
\(\Rightarrow y=2+\left(\frac{1}{2}\right)\)
\(\Rightarrow y=\left(\frac{4+1}{2}\right)\)
\(\Rightarrow y=\left(\frac{5}{2}\right)\)
\(\Rightarrow 2y=5\)
\(\Rightarrow 2y-5=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \( 2y-5=0\)
\(x^2+4x+4-4+2y=0\)
\(\Rightarrow x^2+4x+4=4-2y\)
\(\Rightarrow (x+2)^2=-2(y-2)\)
\(\therefore X^2=-2Y ........(1)\) যেখানে, \(X=x+2, Y=y-2\)
এখানে,
\(4a=-2\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=-\frac{2}{4}\)
\(\therefore a=-\frac{1}{2}\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x+2=0, y-2=0\)
\(\Rightarrow x=-2, y=2\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(-2, 2)\)
উপকেন্দ্র \(S(0, a)\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(0, a)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=a\)
\(\Rightarrow x+2=0, y-2=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow x=-2, y=2-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow x=-2, y=\frac{4-1}{2}\)
\(\Rightarrow x=-2, y=\frac{3}{2}\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S\left(-2, \frac{3}{2}\right)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times -\frac{1}{2}|\)
\(=|-2|\)
\(=2\) একক।
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(Y=a\) ➜ \(x^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(y=a\)
\(\Rightarrow y-2=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow y=2-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow y=\frac{4-1}{2}\)
\(\Rightarrow y=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow 2y=3\)
\(\Rightarrow 2y-3=0\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ , \( 2y-3=0\)
অক্ষের সমীকরণ, \(X=0\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। অক্ষের সমীকরণ, \(x=0\)
\(\Rightarrow x+2=0\)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ , \( x+2=0\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(Y=-a\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(y=-a\)
\(\Rightarrow y-2=-\left(-\frac{1}{2}\right)\)
\(\Rightarrow y-2=\left(\frac{1}{2}\right)\)
\(\Rightarrow y=2+\left(\frac{1}{2}\right)\)
\(\Rightarrow y=\left(\frac{4+1}{2}\right)\)
\(\Rightarrow y=\left(\frac{5}{2}\right)\)
\(\Rightarrow 2y=5\)
\(\Rightarrow 2y-5=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \( 2y-5=0\)
\(Q.1.(i).(d)\) \( y^2+8x-2y-23=0\)
[ ঢাঃ ২০০০; কুঃ ২০০৬ ]
উত্তরঃ \((3, 1); (1, 1); 8; x-1=0; y-1=0; x-5=0 \)
[ ঢাঃ ২০০০; কুঃ ২০০৬ ]
উত্তরঃ \((3, 1); (1, 1); 8; x-1=0; y-1=0; x-5=0 \)
সমাধানঃ
ধরি, 
\(y^2+8x-2y-23=0\)
\(\Rightarrow y^2-2y=23-8x\)
\(\Rightarrow y^2-2y+1=23-8x+1\) ➜ উভয় পার্শে \(1\) যোগ করে।
\(\Rightarrow (y-1)^2=24-8x\)
\(\Rightarrow (y-1)^2=-8(x-3)\)
\(\Rightarrow Y^2=-8X ........(1)\) যেখানে, \(X=x-3, Y=y-1\)
এখানে,
\(4a=-8\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=-2\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x-3=0, y-1=0\)
\(\Rightarrow x=3, y=1\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(3, 1)\)
উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\Rightarrow X=a, Y=0\)
\(\Rightarrow x-3=-2, y-1=0\)
\(\Rightarrow x=3-2, y=1\)
\(\Rightarrow x=1, y=1\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S(1, 1)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times -2|\)
\(=|-8|\)
\(=8 \) একক।
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(X=a\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(x=a\)
\(\Rightarrow x-3=-2\)
\(\Rightarrow x-3+2=0\)
\(\Rightarrow x-1=0\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \( x-1=0\)
অক্ষের সমীকরণ, \(Y=0\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। অক্ষের সমীকরণ, \(y=0\)
\(\Rightarrow y-1=0\)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ, \( y-1=0\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(X=-a\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(x=-a\)
\(\Rightarrow x-3=-(-2)\)
\(\Rightarrow x-3=2\)
\(\Rightarrow x-3-2=0\)
\(\Rightarrow x-5=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \( x-5=0\)
\(y^2+8x-2y-23=0\)
\(\Rightarrow y^2-2y=23-8x\)
\(\Rightarrow y^2-2y+1=23-8x+1\) ➜ উভয় পার্শে \(1\) যোগ করে।
\(\Rightarrow (y-1)^2=24-8x\)
\(\Rightarrow (y-1)^2=-8(x-3)\)
\(\Rightarrow Y^2=-8X ........(1)\) যেখানে, \(X=x-3, Y=y-1\)
এখানে,
\(4a=-8\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=-2\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x-3=0, y-1=0\)
\(\Rightarrow x=3, y=1\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(3, 1)\)
উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\Rightarrow X=a, Y=0\)
\(\Rightarrow x-3=-2, y-1=0\)
\(\Rightarrow x=3-2, y=1\)
\(\Rightarrow x=1, y=1\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S(1, 1)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times -2|\)
\(=|-8|\)
\(=8 \) একক।
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(X=a\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(x=a\)
\(\Rightarrow x-3=-2\)
\(\Rightarrow x-3+2=0\)
\(\Rightarrow x-1=0\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \( x-1=0\)
অক্ষের সমীকরণ, \(Y=0\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। অক্ষের সমীকরণ, \(y=0\)
\(\Rightarrow y-1=0\)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ, \( y-1=0\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(X=-a\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(x=-a\)
\(\Rightarrow x-3=-(-2)\)
\(\Rightarrow x-3=2\)
\(\Rightarrow x-3-2=0\)
\(\Rightarrow x-5=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \( x-5=0\)
\(Q.1.(i).(h)\) \(x^2+4y-4=0\)
[ রাঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \((0, 1); (0, 0); 4; y=0; x=0; y-2=0\)
[ রাঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \((0, 1); (0, 0); 4; y=0; x=0; y-2=0\)
সমাধানঃ
ধরি, 
\(x^2+4y-4=0\)
\(\Rightarrow x^2=-4y+4\)
\(\Rightarrow x^2=-4(y-1)\)
\(\therefore X^2=-4Y ........(1)\) যেখানে, \(X=x, Y=y-1\)
এখানে,
\(4a=-4\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=-\frac{4}{4}\)
\(\therefore a=-1\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x=0, y-1=0\)
\(\Rightarrow x=0, y=1\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(0, 1)\)
উপকেন্দ্র \(S(0, a)\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(0, a)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=a\)
\(\Rightarrow x=0, y-1=-1\)
\(\Rightarrow x=0, y=1-1\)
\(\Rightarrow x=0, y=0\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S(0, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times -1|\)
\(=|4|\)
\(=4\) একক।
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(Y=a\) ➜ \(x^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(y=a\)
\(\Rightarrow y-1=-1\)
\(\Rightarrow y=1-1\)
\(\Rightarrow y=0\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ , \( y=0\)
অক্ষের সমীকরণ, \(X=0\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। অক্ষের সমীকরণ, \(x=0\)
\(\Rightarrow x=0\)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ , \( x=0\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(Y=-a\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(y=-a\)
\(\Rightarrow y-1=-(-1)\)
\(\Rightarrow y-1=1\)
\(\Rightarrow y-1-1=0\)
\(\Rightarrow y-2=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(y-2=0\)
\(x^2+4y-4=0\)
\(\Rightarrow x^2=-4y+4\)
\(\Rightarrow x^2=-4(y-1)\)
\(\therefore X^2=-4Y ........(1)\) যেখানে, \(X=x, Y=y-1\)
এখানে,
\(4a=-4\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=-\frac{4}{4}\)
\(\therefore a=-1\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x=0, y-1=0\)
\(\Rightarrow x=0, y=1\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(0, 1)\)
উপকেন্দ্র \(S(0, a)\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(0, a)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=a\)
\(\Rightarrow x=0, y-1=-1\)
\(\Rightarrow x=0, y=1-1\)
\(\Rightarrow x=0, y=0\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S(0, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times -1|\)
\(=|4|\)
\(=4\) একক।
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(Y=a\) ➜ \(x^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(y=a\)
\(\Rightarrow y-1=-1\)
\(\Rightarrow y=1-1\)
\(\Rightarrow y=0\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ , \( y=0\)
অক্ষের সমীকরণ, \(X=0\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। অক্ষের সমীকরণ, \(x=0\)
\(\Rightarrow x=0\)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ , \( x=0\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(Y=-a\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(y=-a\)
\(\Rightarrow y-1=-(-1)\)
\(\Rightarrow y-1=1\)
\(\Rightarrow y-1-1=0\)
\(\Rightarrow y-2=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(y-2=0\)
\(Q.1.(i).(p)\) \(3y^2-10x-12y-18=0\)
[ ঢাঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \((-3, 2) ; \left(-\frac{13}{6}; 2\right); \frac{10}{3}; 6x+13=0; y-2=0, 6x+23=0 \)
[ ঢাঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \((-3, 2) ; \left(-\frac{13}{6}; 2\right); \frac{10}{3}; 6x+13=0; y-2=0, 6x+23=0 \)
সমাধানঃ
ধরি, 
\(3y^2-10x-12y-18=0\)
\(\Rightarrow y^2-\frac{10}{3}x-4y-6=0\) ➜ উভয় পার্শে \(3\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow y^2-4y+4-4-\frac{10}{3}x-6=0\)
\(\Rightarrow y^2-4y+4-\frac{10}{3}x-10=0\)
\(\Rightarrow y^2-4y+4-\frac{10}{3}x-10=0\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=\frac{10}{3}x+10\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=\frac{10}{3}(x+3)\)
\(\Rightarrow Y^2=\frac{10}{3}X ........(1)\) যেখানে, \(X=x+3, Y=y-2\)
এখানে,
\(4a=\frac{10}{3}\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{10}{3\times 4}\)
\(\Rightarrow a=\frac{5}{3\times 2}\)
\(\therefore a=\frac{5}{6}\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x+3=0, y-2=0\)
\(\Rightarrow x=-3, y=2\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(-3, 2)\)
উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\Rightarrow X=a, Y=0\)
\(\Rightarrow x+3=\frac{5}{6}, y-2=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{5}{6}-3, y=2\)
\(\Rightarrow x=\frac{5-18}{6}, y=2\)
\(\Rightarrow x=\frac{-13}{6}, y=2\)
\(\Rightarrow x=-\frac{13}{6}, y=2\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S\left(-\frac{13}{6}, 2\right)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times \frac{5}{6}|\)
\(=|2\times \frac{5}{3}|\)
\(=|\frac{10}{3}|\)
\(=\frac{10}{3} \) একক।
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(X=a\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(x=a\)
\(\Rightarrow x+3=\frac{5}{6}\)
\(\Rightarrow x=\frac{5}{6}-3\)
\(\Rightarrow x=\frac{5-18}{6}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-13}{6}\)
\(\Rightarrow 6x=-13\)
\(\Rightarrow 6x+13=0\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \( 6x+13=0\)
অক্ষের সমীকরণ, \(Y=0\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। অক্ষের সমীকরণ, \(y=0\)
\(\Rightarrow y-2=0\)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ, \( y-2=0\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(X=-a\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(x=-a\)
\(\Rightarrow x+3=-\frac{5}{6}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{5}{6}-3\)
\(\Rightarrow x=\frac{-5-18}{6}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-23}{6}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{23}{6}\)
\(\Rightarrow 6x=-23\)
\(\Rightarrow 6x+23=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(6x+23=0\)
\(3y^2-10x-12y-18=0\)
\(\Rightarrow y^2-\frac{10}{3}x-4y-6=0\) ➜ উভয় পার্শে \(3\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow y^2-4y+4-4-\frac{10}{3}x-6=0\)
\(\Rightarrow y^2-4y+4-\frac{10}{3}x-10=0\)
\(\Rightarrow y^2-4y+4-\frac{10}{3}x-10=0\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=\frac{10}{3}x+10\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=\frac{10}{3}(x+3)\)
\(\Rightarrow Y^2=\frac{10}{3}X ........(1)\) যেখানে, \(X=x+3, Y=y-2\)
এখানে,
\(4a=\frac{10}{3}\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{10}{3\times 4}\)
\(\Rightarrow a=\frac{5}{3\times 2}\)
\(\therefore a=\frac{5}{6}\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x+3=0, y-2=0\)
\(\Rightarrow x=-3, y=2\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(-3, 2)\)
উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\Rightarrow X=a, Y=0\)
\(\Rightarrow x+3=\frac{5}{6}, y-2=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{5}{6}-3, y=2\)
\(\Rightarrow x=\frac{5-18}{6}, y=2\)
\(\Rightarrow x=\frac{-13}{6}, y=2\)
\(\Rightarrow x=-\frac{13}{6}, y=2\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S\left(-\frac{13}{6}, 2\right)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times \frac{5}{6}|\)
\(=|2\times \frac{5}{3}|\)
\(=|\frac{10}{3}|\)
\(=\frac{10}{3} \) একক।
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(X=a\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(x=a\)
\(\Rightarrow x+3=\frac{5}{6}\)
\(\Rightarrow x=\frac{5}{6}-3\)
\(\Rightarrow x=\frac{5-18}{6}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-13}{6}\)
\(\Rightarrow 6x=-13\)
\(\Rightarrow 6x+13=0\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \( 6x+13=0\)
অক্ষের সমীকরণ, \(Y=0\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। অক্ষের সমীকরণ, \(y=0\)
\(\Rightarrow y-2=0\)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ, \( y-2=0\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(X=-a\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(x=-a\)
\(\Rightarrow x+3=-\frac{5}{6}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{5}{6}-3\)
\(\Rightarrow x=\frac{-5-18}{6}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-23}{6}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{23}{6}\)
\(\Rightarrow 6x=-23\)
\(\Rightarrow 6x+23=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(6x+23=0\)
\(Q.1.(i).(q)\) \( 5x^2+15x-10y-4=0\)
[ কুঃ ২০১১,২০০৪;সিঃ২০০৯,২০০৫;ঢাঃ ২০০৮;রাঃ ২০০৭;মাঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \(A(-\frac{3}{2}, -\frac{13}{8}); \left(-\frac{3}{2}, -\frac{9}{8}\right); 2; 8y+9=0; 2x+3=0, 8y+17=0 \)
[ কুঃ ২০১১,২০০৪;সিঃ২০০৯,২০০৫;ঢাঃ ২০০৮;রাঃ ২০০৭;মাঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \(A(-\frac{3}{2}, -\frac{13}{8}); \left(-\frac{3}{2}, -\frac{9}{8}\right); 2; 8y+9=0; 2x+3=0, 8y+17=0 \)
সমাধানঃ
ধরি, 
\(5x^2+15x-10y-4=0\)
\(\Rightarrow x^2+3x-2y-\frac{4}{5}=0\) ➜ উভয় পার্শে \(5\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow x^2+2.x.\frac{3}{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2-2y-\frac{4}{5}=0\)
\(\Rightarrow \left(x+\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}+2y+\frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow \left(x+\frac{3}{2}\right)^2=2y+\frac{9}{4}+\frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow \left(x+\frac{3}{2}\right)^2=2y+\frac{45+20}{20}\)
\(\Rightarrow \left(x+\frac{3}{2}\right)^2=2y+\frac{65}{20}\)
\(\Rightarrow \left(x+\frac{3}{2}\right)^2=2y+\frac{13}{4}\)
\(\Rightarrow \left(x+\frac{3}{2}\right)^2=2\left(y+\frac{13}{8}\right)\)
\(\therefore X^2=2Y ........(1)\) যেখানে, \(X=x+\frac{3}{2}, Y=y+\frac{13}{8}\)
এখানে,
\(4a=2\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{2}{4}\)
\(\therefore a=\frac{1}{2}\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x+\frac{3}{2}=0, y+\frac{13}{8}=0\)
\(\Rightarrow x=-\frac{3}{2}, y=-\frac{13}{8}\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(-\frac{3}{2}, -\frac{13}{8})\)
উপকেন্দ্র \(S(0, a)\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(0, a)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=a\)
\(\Rightarrow x+\frac{3}{2}=0, y+\frac{13}{8}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{3}{2}, y=-\frac{13}{8}+\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{3}{2}, y=\frac{-13+4}{8}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{3}{2}, y=\frac{-9}{8}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{3}{2}, y=-\frac{9}{8}\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S\left(-\frac{3}{2}, -\frac{9}{8}\right)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times \frac{1}{2}|\)
\(=|2|\)
\(=2\) একক।
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(Y=a\) ➜ \(x^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(y=a\)
\(\Rightarrow y+\frac{13}{8}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow y=\frac{1}{2}-\frac{13}{8}\)
\(\Rightarrow y=\frac{4-13}{8}\)
\(\Rightarrow y=\frac{-9}{8}\)
\(\Rightarrow y=-\frac{9}{8}\)
\(\Rightarrow 8y=-9\)
\(\Rightarrow 8y+9=0\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ , \( 8y+9=0\)
অক্ষের সমীকরণ, \(X=0\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। অক্ষের সমীকরণ, \(x=0\)
\(\Rightarrow x+\frac{3}{2}=0\)
\(\Rightarrow x=-\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow 2x=-3\)
\(\Rightarrow 2x+3=0\)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ , \( 2x+3=0\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(Y=-a\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(y=-a\)
\(\Rightarrow y+\frac{13}{8}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow y=-\frac{13}{8}-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow y=\frac{-13-4}{8}\)
\(\Rightarrow y=\frac{-17}{8}\)
\(\Rightarrow 8y=-17\)
\(\Rightarrow 8y+17=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \( 8y+17=0\)
\(5x^2+15x-10y-4=0\)
\(\Rightarrow x^2+3x-2y-\frac{4}{5}=0\) ➜ উভয় পার্শে \(5\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow x^2+2.x.\frac{3}{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2-2y-\frac{4}{5}=0\)
\(\Rightarrow \left(x+\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}+2y+\frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow \left(x+\frac{3}{2}\right)^2=2y+\frac{9}{4}+\frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow \left(x+\frac{3}{2}\right)^2=2y+\frac{45+20}{20}\)
\(\Rightarrow \left(x+\frac{3}{2}\right)^2=2y+\frac{65}{20}\)
\(\Rightarrow \left(x+\frac{3}{2}\right)^2=2y+\frac{13}{4}\)
\(\Rightarrow \left(x+\frac{3}{2}\right)^2=2\left(y+\frac{13}{8}\right)\)
\(\therefore X^2=2Y ........(1)\) যেখানে, \(X=x+\frac{3}{2}, Y=y+\frac{13}{8}\)
এখানে,
\(4a=2\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{2}{4}\)
\(\therefore a=\frac{1}{2}\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x+\frac{3}{2}=0, y+\frac{13}{8}=0\)
\(\Rightarrow x=-\frac{3}{2}, y=-\frac{13}{8}\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(-\frac{3}{2}, -\frac{13}{8})\)
উপকেন্দ্র \(S(0, a)\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(0, a)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=a\)
\(\Rightarrow x+\frac{3}{2}=0, y+\frac{13}{8}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{3}{2}, y=-\frac{13}{8}+\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{3}{2}, y=\frac{-13+4}{8}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{3}{2}, y=\frac{-9}{8}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{3}{2}, y=-\frac{9}{8}\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S\left(-\frac{3}{2}, -\frac{9}{8}\right)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times \frac{1}{2}|\)
\(=|2|\)
\(=2\) একক।
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(Y=a\) ➜ \(x^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(y=a\)
\(\Rightarrow y+\frac{13}{8}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow y=\frac{1}{2}-\frac{13}{8}\)
\(\Rightarrow y=\frac{4-13}{8}\)
\(\Rightarrow y=\frac{-9}{8}\)
\(\Rightarrow y=-\frac{9}{8}\)
\(\Rightarrow 8y=-9\)
\(\Rightarrow 8y+9=0\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ , \( 8y+9=0\)
অক্ষের সমীকরণ, \(X=0\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। অক্ষের সমীকরণ, \(x=0\)
\(\Rightarrow x+\frac{3}{2}=0\)
\(\Rightarrow x=-\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow 2x=-3\)
\(\Rightarrow 2x+3=0\)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ , \( 2x+3=0\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(Y=-a\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(y=-a\)
\(\Rightarrow y+\frac{13}{8}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow y=-\frac{13}{8}-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow y=\frac{-13-4}{8}\)
\(\Rightarrow y=\frac{-17}{8}\)
\(\Rightarrow 8y=-17\)
\(\Rightarrow 8y+17=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \( 8y+17=0\)
\(Q.1.(ii)\) \((-1, 1)\) উপকেন্দ্র এবং \((2, -3)\) শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ট পরাবৃত্তের অক্ষ ও দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(4x+3y+1=0, 3x-4y-43=0\)
[ রাঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(4x+3y+1=0, 3x-4y-43=0\)
সমাধানঃ
ধরি,
উপকেন্দ্র \(S(-1, 1)\)
এবং শীর্ষবিন্দু \(A(2, -3)\)
পরাবৃত্তের অক্ষ \(S(-1, 1)\) এবং \(A(2, -3)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
অতএব, অক্ষের সমীকরণ, \(\frac{x+1}{-1-2}=\frac{y-1}{1+3}\) ➜\(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x+1}{-3}=\frac{y-1}{4}\)
\(\Rightarrow 4x+4=-3y+3\)
\(\Rightarrow 4x+3y+4-3=0\)
\(\Rightarrow 4x+3y+1=0\)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ, \( 4x+3y+1=0\)।
আবার,
দিকাক্ষ এবং অক্ষের ছেদবিন্দু \(Z(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে \(ZS\)-এর মধ্যবিন্দু \(A(2, -3)\)
\(\therefore ZS\)-এর মধ্যবিন্দু \(A\left(\frac{x-1}{2}, \frac{y+1}{2}\right)\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\therefore \frac{x-1}{2}=2, \frac{y+1}{2}=-3\)
\(\Rightarrow x-1=4, y+1=-6 \)
\(\Rightarrow x=4+1, y=-6-1 \)
\(\therefore x=5, y=-7 \)
\(\therefore Z(5, -7) \)
দিকাক্ষ রেখা অক্ষের উপর লম্ব।
অতএব দিকাক্ষ রেখার সমীকরণ, \(3x-4y+k=0 .......(1)\)
\((1)\) নং রেখা \(Z(5, -7)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 3.5-4.(-7)+k=0 \)
\(\Rightarrow 15+28+k=0 \)
\(\Rightarrow 43+k=0 \)
\(\therefore k=-43 \)
\(k\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(3x-4y-43=0 \)
ইহাই নির্ণেয় দিকাক্ষের সমীকরণ।
উপকেন্দ্র \(S(-1, 1)\)
এবং শীর্ষবিন্দু \(A(2, -3)\)
পরাবৃত্তের অক্ষ \(S(-1, 1)\) এবং \(A(2, -3)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
অতএব, অক্ষের সমীকরণ, \(\frac{x+1}{-1-2}=\frac{y-1}{1+3}\) ➜\(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x+1}{-3}=\frac{y-1}{4}\)
\(\Rightarrow 4x+4=-3y+3\)
\(\Rightarrow 4x+3y+4-3=0\)
\(\Rightarrow 4x+3y+1=0\)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ, \( 4x+3y+1=0\)।
আবার,
দিকাক্ষ এবং অক্ষের ছেদবিন্দু \(Z(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে \(ZS\)-এর মধ্যবিন্দু \(A(2, -3)\)
\(\therefore ZS\)-এর মধ্যবিন্দু \(A\left(\frac{x-1}{2}, \frac{y+1}{2}\right)\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\therefore \frac{x-1}{2}=2, \frac{y+1}{2}=-3\)
\(\Rightarrow x-1=4, y+1=-6 \)
\(\Rightarrow x=4+1, y=-6-1 \)
\(\therefore x=5, y=-7 \)
\(\therefore Z(5, -7) \)
দিকাক্ষ রেখা অক্ষের উপর লম্ব।
অতএব দিকাক্ষ রেখার সমীকরণ, \(3x-4y+k=0 .......(1)\)
\((1)\) নং রেখা \(Z(5, -7)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 3.5-4.(-7)+k=0 \)
\(\Rightarrow 15+28+k=0 \)
\(\Rightarrow 43+k=0 \)
\(\therefore k=-43 \)
\(k\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(3x-4y-43=0 \)
ইহাই নির্ণেয় দিকাক্ষের সমীকরণ।
\(Q.1.(iii)\) এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার উপকেন্দ্র \((-8, -2)\) এবং দিকাক্ষের সমীকরণ \(2x-y=9\) ।
[ ঢাঃ ২০০০, ২০১০; কুঃ ২০০০,২০০৭; রাঃ ২০০১,২০০৪,২০০৬; সিঃ২০০১,২০০৪যঃ২০০৬।]
উত্তরঃ \( (x+2y)^2+116x+2y+259=0\)।
[ ঢাঃ ২০০০, ২০১০; কুঃ ২০০০,২০০৭; রাঃ ২০০১,২০০৪,২০০৬; সিঃ২০০১,২০০৪যঃ২০০৬।]
উত্তরঃ \( (x+2y)^2+116x+2y+259=0\)।
সমাধানঃ
ধরি, 
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(-8, -2)\)
দিকাক্ষের সমীকরণ \(2x-y-9=0 ........(1)\)
ধরি, পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে, পরাবৃত্তের সমীকরণ \(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+8)^2+(y+2)^2}=\frac{|2x-y-9|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow (x+8)^2+(y+2)^2=\frac{(2x-y-9)^2}{4+1}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2+2.x.8+64+y^2+2.y.2+4=\frac{4x^2+y^2+81-4xy-36x+18y}{5}\)
\(\Rightarrow x^2+16x+64+y^2+4y+4=\frac{4x^2+y^2-4xy-36x+18y+81}{5}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+16x+4y+68=\frac{4x^2+y^2-4xy-36x+18y+81}{5}\)
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2+80x+20y+340\)\(=4x^2+y^2-4xy-36x+18y+81\)
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2+80x+20y+340-4x^2\)\(-y^2+4xy+36x-18y-81=0\)
\(\Rightarrow x^2+4xy+4y^2+116x+2y+259=0\)
\(\Rightarrow (x+2y)^2+116x+2y+259=0\)
\(\therefore (x+2y)^2+116x+2y+259=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(-8, -2)\)
দিকাক্ষের সমীকরণ \(2x-y-9=0 ........(1)\)
ধরি, পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে, পরাবৃত্তের সমীকরণ \(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+8)^2+(y+2)^2}=\frac{|2x-y-9|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow (x+8)^2+(y+2)^2=\frac{(2x-y-9)^2}{4+1}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2+2.x.8+64+y^2+2.y.2+4=\frac{4x^2+y^2+81-4xy-36x+18y}{5}\)
\(\Rightarrow x^2+16x+64+y^2+4y+4=\frac{4x^2+y^2-4xy-36x+18y+81}{5}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+16x+4y+68=\frac{4x^2+y^2-4xy-36x+18y+81}{5}\)
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2+80x+20y+340\)\(=4x^2+y^2-4xy-36x+18y+81\)
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2+80x+20y+340-4x^2\)\(-y^2+4xy+36x-18y-81=0\)
\(\Rightarrow x^2+4xy+4y^2+116x+2y+259=0\)
\(\Rightarrow (x+2y)^2+116x+2y+259=0\)
\(\therefore (x+2y)^2+116x+2y+259=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(iv)\) \((1, 1)\) উপকেন্দ্র এবং \(3x+4y=1\) দিকাক্ষ বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। এর অক্ষেরও সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০০,২০০৫; বঃ,চঃ,কুঃ ২০০৫; ঢাঃ,বঃ ২০০১,২০০৪;রাঃ,সিঃ২০০২;ঢাঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \((4x-3y)^2-44x-42y+49=0, 4x-3y-1=0\)।
[ রাঃ ২০০০,২০০৫; বঃ,চঃ,কুঃ ২০০৫; ঢাঃ,বঃ ২০০১,২০০৪;রাঃ,সিঃ২০০২;ঢাঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \((4x-3y)^2-44x-42y+49=0, 4x-3y-1=0\)।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(1, 1)\)
দিকাক্ষের সমীকরণ \(3x+4y-1=0 ........(1)\)
ধরি, পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে, পরাবৃত্তের সমীকরণ \(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}=\frac{|3x+4y-1|}{\sqrt{3^2+4^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2+(y-1)^2=\frac{(3x+4y-1)^2}{9+16}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2-2y+1=\frac{9x^2+16y^2+1+24xy-6x-8y}{25}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2x-2y+2=\frac{9x^2+16y^2+24xy-6x-8y+1}{25}\)
\(\Rightarrow 25x^2+25y^2-50x-50y+50\)\(=9x^2+16y^2+24xy-6x-8y+1\)
\(\Rightarrow 25x^2+25y^2-50x-50y+50\)\(-9x^2-16y^2-24xy+6x+8y-1=0\)
\(\therefore 16x^2-24xy+9y^2-44x-42y+49=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
আবার,
\((1)\) নং সরলরেখার উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ \(4x-3y+k=0 ........(2)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা উপকেন্দ্র \(S(1, 1)\) দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore 4.1-3.1+k=0\)
\(\Rightarrow 4-3+k=0\)
\(\Rightarrow 1+k=0\)
\(\therefore k=-1\)
\(k\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\(4x-3y-1=0 \)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ \(4x-3y-1=0 \).
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(1, 1)\)
দিকাক্ষের সমীকরণ \(3x+4y-1=0 ........(1)\)
ধরি, পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে, পরাবৃত্তের সমীকরণ \(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}=\frac{|3x+4y-1|}{\sqrt{3^2+4^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2+(y-1)^2=\frac{(3x+4y-1)^2}{9+16}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2-2y+1=\frac{9x^2+16y^2+1+24xy-6x-8y}{25}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2x-2y+2=\frac{9x^2+16y^2+24xy-6x-8y+1}{25}\)
\(\Rightarrow 25x^2+25y^2-50x-50y+50\)\(=9x^2+16y^2+24xy-6x-8y+1\)
\(\Rightarrow 25x^2+25y^2-50x-50y+50\)\(-9x^2-16y^2-24xy+6x+8y-1=0\)
\(\therefore 16x^2-24xy+9y^2-44x-42y+49=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
আবার,
\((1)\) নং সরলরেখার উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ \(4x-3y+k=0 ........(2)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা উপকেন্দ্র \(S(1, 1)\) দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore 4.1-3.1+k=0\)
\(\Rightarrow 4-3+k=0\)
\(\Rightarrow 1+k=0\)
\(\therefore k=-1\)
\(k\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\(4x-3y-1=0 \)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ \(4x-3y-1=0 \).
\(Q.1.(viii)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র মূলবিন্দুতে অবস্থিত এবং \(x-y+1=0\) রেখাটি পরাবৃত্তকে এর শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শ করে।
উত্তরঃ \((x+y)^2-4x+4y-4=0\)।
উত্তরঃ \((x+y)^2-4x+4y-4=0\)।
সমাধানঃ
ধরি, 
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(0, 0)\)
শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শক \(x-y+1=0 ........(1)\)
পরাবৃত্তের দিকাক্ষরেখা \((1)\) নং রেখার সমান্তরাল হবে।
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ, \(x-y+k=0 ........(2)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
শর্তমতে,
\((1)\) ও \((2)\) -এর লম্ব দূরত্ব, উপকেন্দ্র হতে \((1)\) -এর লম্ব দূরত্বের সমান।
\(\frac{|k-1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{|0+0+1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|k-1|}{\sqrt{1+1}}=\frac{|1|}{\sqrt{1+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{|k-1|}{\sqrt{2}}=\frac{|1|}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow |k-1|=|1|\)
\(\Rightarrow k-1=\pm 1\)
\(\Rightarrow k=\pm 1+1\)
\(\Rightarrow k=1+1, k=-1+1\)
\(\Rightarrow k=2, k=0\)
\(k=2, (2)\) -এ বসিয়ে,
\(x-y+2=0 ........(3)\) যা দিকাক্ষের সমীকরণ,
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\) হলে,
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}=\frac{|x-y+2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}=\frac{|x-y+2|}{\sqrt{1+1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}=\frac{|x-y+2|}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=\frac{(x-y+2)^2}{2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2=(x-y+2)^2\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2=x^2+y^2+2^2\)\(-2xy-4y+4x\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2=x^2+y^2+4\)\(-2xy-4y+4x\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2-x^2-y^2-4+2xy\)\(+4y-4x=0\)
\(\Rightarrow x^2+2xy+y^2-4x+4y-4=0\)
\(\therefore (x+y)^2-4x+4y-4=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(0, 0)\)
শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শক \(x-y+1=0 ........(1)\)
পরাবৃত্তের দিকাক্ষরেখা \((1)\) নং রেখার সমান্তরাল হবে।
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ, \(x-y+k=0 ........(2)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
শর্তমতে,
\((1)\) ও \((2)\) -এর লম্ব দূরত্ব, উপকেন্দ্র হতে \((1)\) -এর লম্ব দূরত্বের সমান।
\(\frac{|k-1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{|0+0+1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|k-1|}{\sqrt{1+1}}=\frac{|1|}{\sqrt{1+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{|k-1|}{\sqrt{2}}=\frac{|1|}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow |k-1|=|1|\)
\(\Rightarrow k-1=\pm 1\)
\(\Rightarrow k=\pm 1+1\)
\(\Rightarrow k=1+1, k=-1+1\)
\(\Rightarrow k=2, k=0\)
\(k=2, (2)\) -এ বসিয়ে,
\(x-y+2=0 ........(3)\) যা দিকাক্ষের সমীকরণ,
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\) হলে,
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}=\frac{|x-y+2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}=\frac{|x-y+2|}{\sqrt{1+1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}=\frac{|x-y+2|}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=\frac{(x-y+2)^2}{2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2=(x-y+2)^2\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2=x^2+y^2+2^2\)\(-2xy-4y+4x\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2=x^2+y^2+4\)\(-2xy-4y+4x\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2-x^2-y^2-4+2xy\)\(+4y-4x=0\)
\(\Rightarrow x^2+2xy+y^2-4x+4y-4=0\)
\(\therefore (x+y)^2-4x+4y-4=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(x)\) \(y^2=8x\) পরাবৃত্তের উপরস্থ কোনো বিন্দুর ফোকাস দূরত্ব \(6\) ঐ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০০; ঢাঃ ২০০৫]
উত্তরঃ \((4, \pm 4\sqrt{2})\)।
[ যঃ ২০০০; ঢাঃ ২০০৫]
উত্তরঃ \((4, \pm 4\sqrt{2})\)।
সমাধানঃ
ধরি,
\(y^2=8x ........(1)\)
এখানে,
\(4a=8\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{8}{4}\)
\(\Rightarrow a=2\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\therefore S(2, 0)\)
মনে করি, নির্ণেয় বিন্দুটি \(P(x, y)\)
শর্তমতে,
\(PS=6\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-0)^2}=6\)
\(\Rightarrow (x-2)^2+(y-0)^2=6^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-4x+4+y^2=36\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x+4-36=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x-32=0\)
\(\Rightarrow x^2+8x-4x-32=0\) ➜ \((1)\) -এর সাহায্যে ।
\(\Rightarrow x^2+4x-32=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4.1.(-32)}}{2.1}\) ➜ \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের সমাধান, \(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm \sqrt{16+128}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm \sqrt{144}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm 12}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4+12}{2}, \frac{-4-12}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{8}{2}, \frac{-16}{2}\)
\(\Rightarrow x=4, -8\)
\(\therefore x=4, x\ne -8\)
\(x=4\) এই মান \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(y^2=8.4\)
\(\Rightarrow y^2=32\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{32}\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{2\times 16}\)
\(\therefore y=\pm 4\sqrt{2}\)
\(\therefore \) নির্ণেয় বিন্দু \((4, \pm 4\sqrt{2})\) ।
\(y^2=8x ........(1)\)
এখানে,
\(4a=8\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{8}{4}\)
\(\Rightarrow a=2\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\therefore S(2, 0)\)
মনে করি, নির্ণেয় বিন্দুটি \(P(x, y)\)
শর্তমতে,
\(PS=6\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-0)^2}=6\)
\(\Rightarrow (x-2)^2+(y-0)^2=6^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-4x+4+y^2=36\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x+4-36=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x-32=0\)
\(\Rightarrow x^2+8x-4x-32=0\) ➜ \((1)\) -এর সাহায্যে ।
\(\Rightarrow x^2+4x-32=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4.1.(-32)}}{2.1}\) ➜ \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের সমাধান, \(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm \sqrt{16+128}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm \sqrt{144}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm 12}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4+12}{2}, \frac{-4-12}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{8}{2}, \frac{-16}{2}\)
\(\Rightarrow x=4, -8\)
\(\therefore x=4, x\ne -8\)
\(x=4\) এই মান \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(y^2=8.4\)
\(\Rightarrow y^2=32\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{32}\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{2\times 16}\)
\(\therefore y=\pm 4\sqrt{2}\)
\(\therefore \) নির্ণেয় বিন্দু \((4, \pm 4\sqrt{2})\) ।
\(Q.1.(xi)\) \(y^2=4px\) পরাবৃত্তটি \((3, -2)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করলে তার উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয়।
[ রাঃ ২০০৬; বঃ ২০০৫; সিঃ ২০০১,২০০৭;যঃ২০০২;কুঃ২০০৩;দিঃ২০০৯।]
উত্তরঃ \(\frac{4}{3}, \left(\frac{1}{3}, 0\right), 3x+1=0\)।
[ রাঃ ২০০৬; বঃ ২০০৫; সিঃ ২০০১,২০০৭;যঃ২০০২;কুঃ২০০৩;দিঃ২০০৯।]
উত্তরঃ \(\frac{4}{3}, \left(\frac{1}{3}, 0\right), 3x+1=0\)।
সমাধানঃ
ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,
\(y^2=4px ........(1)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্তটি \((3, -2)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore (-2)^2=4p.3\)
\(\Rightarrow 4=12p\)
\(\Rightarrow 12p=4\)
\(\Rightarrow p=\frac{4}{12}\)
\(\therefore p=\frac{1}{3}\)
\(p\)-এর মাণ \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(y^2=4.\frac{1}{3}.x\)
\(y^2=\frac{4}{3}.x\)
\(y^2=\frac{4}{3}x ........(2)\)
এখানে,
\(4a=\frac{4}{3}\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{4}{3\times 4}\)
\(\Rightarrow a=\frac{1}{3}\)
\(\therefore a=\frac{1}{3}\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4.\times \frac{1}{3}|\)
\(=|\times \frac{4}{3}|\)
\(=\frac{4}{3}\) একক।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a, 0)\)
\(\therefore S\left(\frac{1}{3}, 0\right)\)
পরাবৃত্তের দিকাক্ষের সমীকরণ, \(x=-a\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow x=-\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow 3x=-1\)
\(\therefore 3x+1=0\) ইহাই দিকাক্ষের সমীকরণ।
বৃত্তের সমীকরণ,
\(y^2=4px ........(1)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্তটি \((3, -2)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore (-2)^2=4p.3\)
\(\Rightarrow 4=12p\)
\(\Rightarrow 12p=4\)
\(\Rightarrow p=\frac{4}{12}\)
\(\therefore p=\frac{1}{3}\)
\(p\)-এর মাণ \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(y^2=4.\frac{1}{3}.x\)
\(y^2=\frac{4}{3}.x\)
\(y^2=\frac{4}{3}x ........(2)\)
এখানে,
\(4a=\frac{4}{3}\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{4}{3\times 4}\)
\(\Rightarrow a=\frac{1}{3}\)
\(\therefore a=\frac{1}{3}\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4.\times \frac{1}{3}|\)
\(=|\times \frac{4}{3}|\)
\(=\frac{4}{3}\) একক।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a, 0)\)
\(\therefore S\left(\frac{1}{3}, 0\right)\)
পরাবৃত্তের দিকাক্ষের সমীকরণ, \(x=-a\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow x=-\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow 3x=-1\)
\(\therefore 3x+1=0\) ইহাই দিকাক্ষের সমীকরণ।
\(Q.1.(xii)\) \(y=2x+2\) রেখাটি \(y^{2}=4ax\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করে, তবে উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(16\)।
উত্তরঃ \(16\)।
সমাধানঃ
ধরি, 
\(y=2x+2 .......(1)\)
\(y^{2}=4ax ......(2)\)
\((1)\) হতে \(\) -এর মান \((2)\) -এ বসিয়ে,
\((2x+2)^{2}=4ax\)
\(\Rightarrow 4x^{2}+8x+4=4ax\)
\(\Rightarrow 4x^{2}+8x+4-4ax=0\)
\(\Rightarrow 4x^{2}+4(2-a)x+4=0\)
\(\Rightarrow 4x^{2}+4(2-a)x+4=0\) যা \(x\)-এর দ্বিঘাত সমীকরণ। এখানে \(x\)-এর দুইটি মান আছে।
শর্তমতে \(x\)-এর এই মানদ্বয় সমান হবে।
\(\therefore \{4(2-a)\}^2=4.4.4\) ➜ \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমাণ হওয়ার শর্ত, \(b^2-4ac=0\)
\(\Rightarrow 16(2-a)^2=64\)
\(\Rightarrow (2-a)^2=\frac{64}{16}\)
\(\Rightarrow (2-a)^2=4\)
\(\Rightarrow 2-a=\pm \sqrt{4}\)
\(\Rightarrow 2-a=\pm 2\)
\(\Rightarrow 2\pm 2=a\)
\(\Rightarrow a=2\pm 2\)
\(\Rightarrow a=2+2, a=2-2\)
\(\therefore a=4, a\ne 0\)
\((2)\) নং পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4.4|\)
\(=|16|\)
\(=16\) একক।
\(y=2x+2 .......(1)\)
\(y^{2}=4ax ......(2)\)
\((1)\) হতে \(\) -এর মান \((2)\) -এ বসিয়ে,
\((2x+2)^{2}=4ax\)
\(\Rightarrow 4x^{2}+8x+4=4ax\)
\(\Rightarrow 4x^{2}+8x+4-4ax=0\)
\(\Rightarrow 4x^{2}+4(2-a)x+4=0\)
\(\Rightarrow 4x^{2}+4(2-a)x+4=0\) যা \(x\)-এর দ্বিঘাত সমীকরণ। এখানে \(x\)-এর দুইটি মান আছে।
শর্তমতে \(x\)-এর এই মানদ্বয় সমান হবে।
\(\therefore \{4(2-a)\}^2=4.4.4\) ➜ \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমাণ হওয়ার শর্ত, \(b^2-4ac=0\)
\(\Rightarrow 16(2-a)^2=64\)
\(\Rightarrow (2-a)^2=\frac{64}{16}\)
\(\Rightarrow (2-a)^2=4\)
\(\Rightarrow 2-a=\pm \sqrt{4}\)
\(\Rightarrow 2-a=\pm 2\)
\(\Rightarrow 2\pm 2=a\)
\(\Rightarrow a=2\pm 2\)
\(\Rightarrow a=2+2, a=2-2\)
\(\therefore a=4, a\ne 0\)
\((2)\) নং পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4.4|\)
\(=|16|\)
\(=16\) একক।
\(Q.1.(xiii)\) এমন একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার শীর্ষবিন্দু \((2, 3)\) এবং দিকাক্ষ \(y=6\)। এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(x^2-4x+12y-32=0, 12 \)।
[ বঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(x^2-4x+12y-32=0, 12 \)।
সমাধানঃ
ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,
\(y-6=0 .......(1)\)
শীর্ষবিন্দু \(A(2, 3)\)
পরাবৃত্তের অক্ষরেখা \((1)\) এর উপর লম্ব হবে,
\(\therefore (1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x+k=0 .......(2)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা \(A(2, 3)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 2+k=0\)
\(\Rightarrow k=-2\)
\(k\)-এর মাণ \((2)\) -এ বসিয়ে,
\(x-2=0 ........(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) -এর ছেদবিন্দু \(Z\) নির্ণয় করি।
\(\therefore Z(2, 6)\)
ধরি, পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(\alpha, \beta)\)
এখন,
\(SZ\)-এর মধ্যবিন্দু \(A\left(\frac{\alpha+2}{2}, \frac{\beta+6}{2}\right)\)
কিন্তু দেওয়া আছে, \(A(2, 3)\)
\(\therefore A\left(\frac{\alpha+2}{2}, \frac{\beta+6}{2}\right)\Rightarrow A(2, 3)\)
\(\Rightarrow \frac{\alpha+2}{2}=2, \frac{\beta+6}{2}=3\)
\(\Rightarrow \alpha+2=4, \beta+6=6\)
\(\Rightarrow \alpha=4-2, \beta=6-6\)
\(\Rightarrow \alpha=2, \beta=0\)
\(\therefore S(2, 0)\)
এখন,
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(2, 0)\)
পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখা \(y-6=0\)
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-0)^2}=\frac{|y-6|}{\sqrt{0^2+1^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+y^2}=\frac{|y-6|}{\sqrt{0+1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+y^2}=\frac{|y-6|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+y^2}=\frac{|y-6|}{1}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+y^2}=|y-6|\)
\(\Rightarrow (x-2)^2+y^2=(y-6)^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-4x+4+y^2=y^2-12y+36\)
\(\Rightarrow x^2-4x+4+y^2-y^2+12y-36=0\)
\(\therefore x^2-4x+12y-32=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
আবার,
\(\Rightarrow x^2-4x=-12y+32\)
\(\Rightarrow x^2-4x+4=-12y+32+4\) ➜ উভয় পার্শে \(4\) যোগ করে।
\(\Rightarrow (x-2)^2=-12y+36\)
\(\Rightarrow (x-2)^2=-12(y-3)\)
\(\Rightarrow X^2=-12Y\) যেখানে, \(X=x-2, Y=y-3\)
\(\therefore 4a=-12\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|-12|\)
\(=12\) একক।
বৃত্তের সমীকরণ,
\(y-6=0 .......(1)\)
শীর্ষবিন্দু \(A(2, 3)\)
পরাবৃত্তের অক্ষরেখা \((1)\) এর উপর লম্ব হবে,
\(\therefore (1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x+k=0 .......(2)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা \(A(2, 3)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 2+k=0\)
\(\Rightarrow k=-2\)
\(k\)-এর মাণ \((2)\) -এ বসিয়ে,
\(x-2=0 ........(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) -এর ছেদবিন্দু \(Z\) নির্ণয় করি।
\(\therefore Z(2, 6)\)
ধরি, পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(\alpha, \beta)\)
এখন,
\(SZ\)-এর মধ্যবিন্দু \(A\left(\frac{\alpha+2}{2}, \frac{\beta+6}{2}\right)\)
কিন্তু দেওয়া আছে, \(A(2, 3)\)
\(\therefore A\left(\frac{\alpha+2}{2}, \frac{\beta+6}{2}\right)\Rightarrow A(2, 3)\)
\(\Rightarrow \frac{\alpha+2}{2}=2, \frac{\beta+6}{2}=3\)
\(\Rightarrow \alpha+2=4, \beta+6=6\)
\(\Rightarrow \alpha=4-2, \beta=6-6\)
\(\Rightarrow \alpha=2, \beta=0\)
\(\therefore S(2, 0)\)
এখন,
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(2, 0)\)
পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখা \(y-6=0\)
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-0)^2}=\frac{|y-6|}{\sqrt{0^2+1^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+y^2}=\frac{|y-6|}{\sqrt{0+1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+y^2}=\frac{|y-6|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+y^2}=\frac{|y-6|}{1}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+y^2}=|y-6|\)
\(\Rightarrow (x-2)^2+y^2=(y-6)^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-4x+4+y^2=y^2-12y+36\)
\(\Rightarrow x^2-4x+4+y^2-y^2+12y-36=0\)
\(\therefore x^2-4x+12y-32=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
আবার,
\(\Rightarrow x^2-4x=-12y+32\)
\(\Rightarrow x^2-4x+4=-12y+32+4\) ➜ উভয় পার্শে \(4\) যোগ করে।
\(\Rightarrow (x-2)^2=-12y+36\)
\(\Rightarrow (x-2)^2=-12(y-3)\)
\(\Rightarrow X^2=-12Y\) যেখানে, \(X=x-2, Y=y-3\)
\(\therefore 4a=-12\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|-12|\)
\(=12\) একক।
\(Q.1.(xvii)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার শীর্ষ \((4, -3)\) বিন্দুতে অবস্থিত, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(4\) এবং অক্ষটি \(x\)-অক্ষের সমান্তরাল।
[ সিঃ২০৩; ২০০৪ ]
উত্তরঃ \( (y+3)^2=4(x-4)\)।
[ সিঃ২০৩; ২০০৪ ]
উত্তরঃ \( (y+3)^2=4(x-4)\)।
সমাধানঃ
অক্ষটি \(X\)-অক্ষের সমান্তরাল এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(x=ay^2+by+c ......(1)\)
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A\left(-\frac{b^2-4ac}{4a}, -\frac{b}{2a}\right)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{1}{a}|\)
দেওয়া আছে, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(4\)
\(\therefore \frac{1}{a}=4\)
\(\Rightarrow 4a=1\)
\(\therefore a=\frac{1}{4}\)
আবার,
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(4, -3)\)
\(\therefore A\left(-\frac{b^2-4ac}{4a}, -\frac{b}{2a}\right)\Rightarrow A(4, -3)\)
\(\Rightarrow -\frac{b^2-4ac}{4a}=4, -\frac{b}{2a}=-3\)
\(\Rightarrow b^2-4ac=-16a .....(2)\)
\(b=6a .....(3)\)
\((3)\) নং সমীকরণে \(a\)-এর মান বসিয়ে,
\(b=6\times \frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow b=3\times \frac{1}{2}\)
\(\therefore b=\frac{3}{2}\)
\(a\) এবং \(b\)-এর মান \((2)\) -এ বসিয়ে,
\(\Rightarrow \left(\frac{3}{2}\right)^2-4.\frac{1}{4}.c=-16.\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{9}{4}-c=-4\)
\(\Rightarrow \frac{9}{4}+4=c\)
\(\Rightarrow c=\frac{9}{4}+4\)
\(\Rightarrow c=\frac{9+16}{4}\)
\(\therefore c=\frac{25}{4}\)
এখন, \(a, b, c\) -এর মান \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(x=\frac{1}{4}y^2+\frac{3}{2}y+\frac{25}{4}\)
\(\Rightarrow 4x=y^2+6y+25\) ➜ উভয় পার্শে \(4\) গুন করে।
\(\Rightarrow y^2+6y+25=4x\)
\(\Rightarrow y^2+6y=4x-25\)
\(\Rightarrow y^2+6y+9=4x-25+9\)
\(\Rightarrow (y+3)^2=4x-16\)
\(\therefore (y+3)^2=4(x-4)\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\(x=ay^2+by+c ......(1)\)
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A\left(-\frac{b^2-4ac}{4a}, -\frac{b}{2a}\right)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{1}{a}|\)
দেওয়া আছে, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(4\)
\(\therefore \frac{1}{a}=4\)
\(\Rightarrow 4a=1\)
\(\therefore a=\frac{1}{4}\)
আবার,
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(4, -3)\)
\(\therefore A\left(-\frac{b^2-4ac}{4a}, -\frac{b}{2a}\right)\Rightarrow A(4, -3)\)
\(\Rightarrow -\frac{b^2-4ac}{4a}=4, -\frac{b}{2a}=-3\)
\(\Rightarrow b^2-4ac=-16a .....(2)\)
\(b=6a .....(3)\)
\((3)\) নং সমীকরণে \(a\)-এর মান বসিয়ে,
\(b=6\times \frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow b=3\times \frac{1}{2}\)
\(\therefore b=\frac{3}{2}\)
\(a\) এবং \(b\)-এর মান \((2)\) -এ বসিয়ে,
\(\Rightarrow \left(\frac{3}{2}\right)^2-4.\frac{1}{4}.c=-16.\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{9}{4}-c=-4\)
\(\Rightarrow \frac{9}{4}+4=c\)
\(\Rightarrow c=\frac{9}{4}+4\)
\(\Rightarrow c=\frac{9+16}{4}\)
\(\therefore c=\frac{25}{4}\)
এখন, \(a, b, c\) -এর মান \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(x=\frac{1}{4}y^2+\frac{3}{2}y+\frac{25}{4}\)
\(\Rightarrow 4x=y^2+6y+25\) ➜ উভয় পার্শে \(4\) গুন করে।
\(\Rightarrow y^2+6y+25=4x\)
\(\Rightarrow y^2+6y=4x-25\)
\(\Rightarrow y^2+6y+9=4x-25+9\)
\(\Rightarrow (y+3)^2=4x-16\)
\(\therefore (y+3)^2=4(x-4)\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(xviii)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার শীর্ষবিন্দু \((0, 2)\) অক্ষরেখা \(Y\)-অক্ষের সমান্তরাল এবং যা \((2, 5)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
উত্তরঃ \(3x^2=4(y-2) \)।
উত্তরঃ \(3x^2=4(y-2) \)।
সমাধানঃ
অক্ষটি \(Y\)-অক্ষের সমান্তরাল এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(y=ax^2+bx+c ......(1)\)
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A\left(-\frac{b}{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\)
দেওয়া আছে, পরাবৃত্তটি \((2, 5)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore 5=a.2^2+b.2+c\)
\(\Rightarrow 5=a.4+2b+c\)
\(\Rightarrow 4a+2b+c=5 .......(2)\)
আবার,
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(0, 2)\)
\(\therefore A\left(-\frac{b}{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\Rightarrow A(0, 2)\)
\(\Rightarrow -\frac{b}{2a}=0, -\frac{b^2-4ac}{4a}=2\)
\(\Rightarrow b=0, b^2-4ac=-8a\)
\(\Rightarrow 0^2-4ac=-8a\) ➜ \(\because b=0\)
\(\Rightarrow 0-4ac=-8a\)
\(\Rightarrow -4ac=-8a\)
\(\Rightarrow c=2\) ➜ উভয় পার্শে \(-4a\) ভাগ করে।
\((2)\) নং সমীকরণে \(b, c\)-এর মান বসিয়ে,
\(\Rightarrow 4a+2.0+2=5\)
\(\Rightarrow 4a+0=5-2\)
\(\Rightarrow 4a=3\)
\(\Rightarrow a=\frac{3}{4}\)
এখন, \(a, b, c\) -এর মান \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(y=\frac{3}{4}x^2+0.x+2\)
\(\Rightarrow 4y=3x^2+8\) ➜ উভয় পার্শে \(4\) গুন করে।
\(\Rightarrow 3x^2+8=4y\)
\(\Rightarrow 3x^2=4y-8\)
\(\therefore 3x^2=4(y-2)\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\(y=ax^2+bx+c ......(1)\)
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A\left(-\frac{b}{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\)
দেওয়া আছে, পরাবৃত্তটি \((2, 5)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore 5=a.2^2+b.2+c\)
\(\Rightarrow 5=a.4+2b+c\)
\(\Rightarrow 4a+2b+c=5 .......(2)\)
আবার,
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(0, 2)\)
\(\therefore A\left(-\frac{b}{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\Rightarrow A(0, 2)\)
\(\Rightarrow -\frac{b}{2a}=0, -\frac{b^2-4ac}{4a}=2\)
\(\Rightarrow b=0, b^2-4ac=-8a\)
\(\Rightarrow 0^2-4ac=-8a\) ➜ \(\because b=0\)
\(\Rightarrow 0-4ac=-8a\)
\(\Rightarrow -4ac=-8a\)
\(\Rightarrow c=2\) ➜ উভয় পার্শে \(-4a\) ভাগ করে।
\((2)\) নং সমীকরণে \(b, c\)-এর মান বসিয়ে,
\(\Rightarrow 4a+2.0+2=5\)
\(\Rightarrow 4a+0=5-2\)
\(\Rightarrow 4a=3\)
\(\Rightarrow a=\frac{3}{4}\)
এখন, \(a, b, c\) -এর মান \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(y=\frac{3}{4}x^2+0.x+2\)
\(\Rightarrow 4y=3x^2+8\) ➜ উভয় পার্শে \(4\) গুন করে।
\(\Rightarrow 3x^2+8=4y\)
\(\Rightarrow 3x^2=4y-8\)
\(\therefore 3x^2=4(y-2)\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(xix)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের একটি স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(x+2y-1=0\) রেখার উপর লম্ব।
উত্তরঃ \(4x-2y+3=0\)।
উত্তরঃ \(4x-2y+3=0\)।
সমাধানঃ
ধরি, 
\(y^2=12x ......(1)\)
\(x+2y-1=0 ......(2)\)
\((2)\) রেখার উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x-y+k=0 ......(3)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\(\Rightarrow 2x+k=y\)
\(\therefore y=2x+k\)
\((3)\) হতে প্রাপ্ত \(y=2x+k\), \((1)\)-এ বসিয়ে,
\((2x+k)^2=12x\)
\(\Rightarrow 4x^2+4kx+k^2=12x\)
\(\Rightarrow 4x^2+4kx+k^2-12x=0\)
\(\Rightarrow 4x^2+4(k-3)x+k^2=0\) যা \(x\)-এর দ্বিঘাত সমীকরণ। এখানে \(x\)-এর দুইটি মান আছে।
শর্তমতে, \(x\)-এর এই মানদ্বয় সমান হবে। যেহেতু \((3)\) নং সরলরেখা \((1)\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করে।
\(\therefore \{4(k-3)\}^2=4.4k^2\) ➜ \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমাণ হওয়ার শর্ত, \(b^2-4ac=0\)
\(\therefore 16(k-3)^2=16k^2\)
\(\Rightarrow (k-3)^2=k^2\) ➜ উভয় পার্শে \(16\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow k^2-6k+9=k^2\)
\(\Rightarrow k^2-6k+9-k^2=0\)
\(\Rightarrow -6k+9=0\)
\(\Rightarrow -6k=-9\)
\(\Rightarrow k=\frac{-9}{-6}\)
\(\therefore k=\frac{3}{2}\)
\(k=\frac{3}{2}\) এই মান \((3)\) -এ বসিয়ে,
\(2x-y+\frac{3}{2}=0\)
\(\therefore 4x-2y+3=0\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
\(y^2=12x ......(1)\)
\(x+2y-1=0 ......(2)\)
\((2)\) রেখার উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x-y+k=0 ......(3)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\(\Rightarrow 2x+k=y\)
\(\therefore y=2x+k\)
\((3)\) হতে প্রাপ্ত \(y=2x+k\), \((1)\)-এ বসিয়ে,
\((2x+k)^2=12x\)
\(\Rightarrow 4x^2+4kx+k^2=12x\)
\(\Rightarrow 4x^2+4kx+k^2-12x=0\)
\(\Rightarrow 4x^2+4(k-3)x+k^2=0\) যা \(x\)-এর দ্বিঘাত সমীকরণ। এখানে \(x\)-এর দুইটি মান আছে।
শর্তমতে, \(x\)-এর এই মানদ্বয় সমান হবে। যেহেতু \((3)\) নং সরলরেখা \((1)\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করে।
\(\therefore \{4(k-3)\}^2=4.4k^2\) ➜ \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমাণ হওয়ার শর্ত, \(b^2-4ac=0\)
\(\therefore 16(k-3)^2=16k^2\)
\(\Rightarrow (k-3)^2=k^2\) ➜ উভয় পার্শে \(16\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow k^2-6k+9=k^2\)
\(\Rightarrow k^2-6k+9-k^2=0\)
\(\Rightarrow -6k+9=0\)
\(\Rightarrow -6k=-9\)
\(\Rightarrow k=\frac{-9}{-6}\)
\(\therefore k=\frac{3}{2}\)
\(k=\frac{3}{2}\) এই মান \((3)\) -এ বসিয়ে,
\(2x-y+\frac{3}{2}=0\)
\(\therefore 4x-2y+3=0\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
\(Q.1.(xx)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু ও উপকেন্দ্রিক লম্বের ধনাত্মক দিকের প্রান্তবিন্দুর সংযোজক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \( y=2x \)।
[ ঢাঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \( y=2x \)।
সমাধানঃ
ধরি,
\(y^2=12x ......(1)\)
এখানে,
\(4a=12\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{12}{4}\)
\(\Rightarrow a=3\)
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের ধনাত্মক দিকের প্রান্তবিন্দু \(L(a, 2a)\)
\(\Rightarrow L(3, 2.3)\) ➜ \(\because a=3\) \(\therefore L(3, 6)\)
এখন,
\(LA\)-এর সমীকরণ,
\(\frac{x-3}{3-0}=\frac{y-6}{6-0}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{3}=\frac{y-6}{6}\)
\(\Rightarrow 6x-18=3y-18\)
\(\Rightarrow 6x=3y-18+18\)
\(\Rightarrow 6x=3y\)
\(\Rightarrow 3y=6x\)
\(\Rightarrow y=\frac{6x}{3}\)
\(\therefore y=2x\)
ইহাই নির্ণেয় রেখার সমীকরণ।
\(y^2=12x ......(1)\)
এখানে,
\(4a=12\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{12}{4}\)
\(\Rightarrow a=3\)
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের ধনাত্মক দিকের প্রান্তবিন্দু \(L(a, 2a)\)
\(\Rightarrow L(3, 2.3)\) ➜ \(\because a=3\) \(\therefore L(3, 6)\)
এখন,
\(LA\)-এর সমীকরণ,
\(\frac{x-3}{3-0}=\frac{y-6}{6-0}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{3}=\frac{y-6}{6}\)
\(\Rightarrow 6x-18=3y-18\)
\(\Rightarrow 6x=3y-18+18\)
\(\Rightarrow 6x=3y\)
\(\Rightarrow 3y=6x\)
\(\Rightarrow y=\frac{6x}{3}\)
\(\therefore y=2x\)
ইহাই নির্ণেয় রেখার সমীকরণ।
\(Q.1.(xxi)\) \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় ও শীর্ষবিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y\pm 2x=0\)
উত্তরঃ \(y\pm 2x=0\)
সমাধানঃ
ধরি, 
\(y^2=4ax ......(1)\)
\((1)\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় \(L(a, 2a), \acute L(a, -2a)\)
এখন,
\(LA\)-এর সমীকরণ,
\(\frac{x-a}{a-0}=\frac{y-2a}{2a-0}\) ➜\(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-a}{a}=\frac{y-2a}{2a}\)
\(\Rightarrow x-a=\frac{y-2a}{2}\)
\(\Rightarrow 2x-2a=y-2a\)
\(\Rightarrow 2x=y-2a+2a\)
\(\Rightarrow 2x=y\)
\(\therefore y=2x\)
আবার,
\(\acute LA\)-এর সমীকরণ,
\(\frac{x-a}{a-0}=\frac{y+2a}{-2a-0}\) ➜\(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-a}{a}=\frac{y+2a}{-2a}\)
\(\Rightarrow x-a=\frac{y+2a}{-2}\)
\(\Rightarrow -2x+2a=y+2a\)
\(\Rightarrow -2x=y+2a-2a\)
\(\Rightarrow -2x=y\)
\(\therefore y=-2x\)
\(\therefore \) নির্ণেয় রেখার সমীকরণ , \(\therefore y=\pm 2x\)
\(y^2=4ax ......(1)\)
\((1)\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় \(L(a, 2a), \acute L(a, -2a)\)
এখন,
\(LA\)-এর সমীকরণ,
\(\frac{x-a}{a-0}=\frac{y-2a}{2a-0}\) ➜\(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-a}{a}=\frac{y-2a}{2a}\)
\(\Rightarrow x-a=\frac{y-2a}{2}\)
\(\Rightarrow 2x-2a=y-2a\)
\(\Rightarrow 2x=y-2a+2a\)
\(\Rightarrow 2x=y\)
\(\therefore y=2x\)
আবার,
\(\acute LA\)-এর সমীকরণ,
\(\frac{x-a}{a-0}=\frac{y+2a}{-2a-0}\) ➜\(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-a}{a}=\frac{y+2a}{-2a}\)
\(\Rightarrow x-a=\frac{y+2a}{-2}\)
\(\Rightarrow -2x+2a=y+2a\)
\(\Rightarrow -2x=y+2a-2a\)
\(\Rightarrow -2x=y\)
\(\therefore y=-2x\)
\(\therefore \) নির্ণেয় রেখার সমীকরণ , \(\therefore y=\pm 2x\)
\(Q.1.(xxii)\) \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তটির শীর্ষ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \((0, 0); 4a\)
[ চঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \((0, 0); 4a\)
সমাধানঃ
\(y^2=4ax ......(1)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্তের
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(0, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)।
\((1)\) নং পরাবৃত্তের
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(0, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)।
\(Q.1.(xxiv)\) \(y^{2}=8x+5\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু ও উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৪]
উত্তরঃ \(\left(-\frac{5}{8}, 0\right); 8\)
[ চঃ ২০০৪]
উত্তরঃ \(\left(-\frac{5}{8}, 0\right); 8\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(y^{2}=8x+5\)
\(\Rightarrow y^{2}=8\left(x+\frac{5}{8}\right)\)
\(\Rightarrow Y^{2}=8X ........(1)\) যেখানে, \(X=x+\frac{5}{8}, Y=y\)
এখানে,
\(4a=8\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{8}{4}\)
\(\therefore a=2\)
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x+\frac{5}{8}=0, y=0\)
\(\Rightarrow x=-\frac{5}{8}, y=0\)
\(\therefore \) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A\left(-\frac{5}{8}, 0\right)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times 2|\)
\(=|8|\)
\(=8\) একক।
\(y^{2}=8x+5\)
\(\Rightarrow y^{2}=8\left(x+\frac{5}{8}\right)\)
\(\Rightarrow Y^{2}=8X ........(1)\) যেখানে, \(X=x+\frac{5}{8}, Y=y\)
এখানে,
\(4a=8\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{8}{4}\)
\(\therefore a=2\)
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x+\frac{5}{8}=0, y=0\)
\(\Rightarrow x=-\frac{5}{8}, y=0\)
\(\therefore \) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A\left(-\frac{5}{8}, 0\right)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times 2|\)
\(=|8|\)
\(=8\) একক।
\(Q.1.(xxv)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের যে বিন্দুতে কটি ভুজের দ্বিগুণ তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((3, 6)\)।
উত্তরঃ \((3, 6)\)।
সমাধানঃ
ধরি,
\(y^2=12x .......(1)\)
শর্তমতে,
বিন্দুটির স্থানাঙ্ক \(P(a, 2a)\)।
\(P(a, 2a)\) বিন্দুটি \((1)\) নং পরাবৃত্তের উপর অবস্থিত।
\(\therefore (2a)^2=12a \)
\(\Rightarrow 4a^2=12a \)
\(\Rightarrow a=\frac{12a}{4a}\) ➜ উভয় পার্শে \(4a\) ভাগ করে।
\(\therefore a=3\)
\(a\)-এর মান বসিয়ে পাই।
বিন্দুটির স্থানাঙ্ক \(P(3, 2.3)\)
\(\Rightarrow P(3, 6)\)
ইহাই নির্ণেয় বিন্দুর স্থানাঙ্ক।
\(y^2=12x .......(1)\)
শর্তমতে,
বিন্দুটির স্থানাঙ্ক \(P(a, 2a)\)।
\(P(a, 2a)\) বিন্দুটি \((1)\) নং পরাবৃত্তের উপর অবস্থিত।
\(\therefore (2a)^2=12a \)
\(\Rightarrow 4a^2=12a \)
\(\Rightarrow a=\frac{12a}{4a}\) ➜ উভয় পার্শে \(4a\) ভাগ করে।
\(\therefore a=3\)
\(a\)-এর মান বসিয়ে পাই।
বিন্দুটির স্থানাঙ্ক \(P(3, 2.3)\)
\(\Rightarrow P(3, 6)\)
ইহাই নির্ণেয় বিন্দুর স্থানাঙ্ক।
অনুশীলনী \(5.A\) / \(Q.2\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
\(Q.2.(i)\) \(y^2=2(x+3)\) পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \((-3, 0), \left(-\frac{5}{2}, 0\right), 2x+7=0 \)।
\(Q.2.(ii)\) \(x^2=2(1-y)\) পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০০৯;রাঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \((0, 1), (0, 0), y=2 \)।
\(Q.2.(iii)\) \(x^2-2y-8x+6=0 \) পরাবৃত্তের শীর্ষ, ফোকাস এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((4, -5), \left(4, -\frac{9}{2}\right), 2 \)।
\(Q.2.(iv)\) \(3x^2-4y+6x-5=0 \) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র অক্ষ এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০১;সিঃ২০০৬ ]
উত্তরঃ \( \left(-1, -\frac{5}{3}\right), x+1=0, 3y+7=0 \)।
\(Q.2.(v)\) পরাবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \( y^2=4ax\)।
\(Q.2.(vi)\) \(x^{2}-8x+2y+7=0\) পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্র ও শীর্ষবিন্দু নির্ণয় কর।
[বঃ ২০০১,২০০৬;ঢাঃ ২০০৩]
উত্তরঃ \((4, 4), \left(4, \frac{9}{2}\right)\)।
\(Q.2.(vii)\) \((y-1)^2=4(x-2) \) পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০২]
উত্তরঃ \((2, 1), (3, 1), 4 \)।
\(Q.2.(viii)\) একটি পরাবৃত্তের নিয়ামকের সমীকরণ \(4x+3y-5=0\) এবং শীর্ষবিন্দু \((3, 1)\) হলে, পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[রাঃ ২০০২]
উত্তরঃ \( (3x-4y)^2-190x-80y+625=0 \)।
\(Q.2.(ix)\) \(5x^2+15x-10y-4=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষ, অক্ষরেখা ও দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[কুঃ ২০০২,২০০৪,২০০৮;সিঃ ২০০৫,২০০৯ ; রাঃ ২০০৭;ঢাঃ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(\left(\frac{3}{2}, -\frac{61}{40}\right); 2x+3=0; 40y+81=0\)।
\(Q.2.(x)\) এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((0, a)\) এবং নিয়ামক রেখা \(y+2=0\) ।
[বঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(x^2=4ay \)।
[ বঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \((-3, 0), \left(-\frac{5}{2}, 0\right), 2x+7=0 \)।
\(Q.2.(ii)\) \(x^2=2(1-y)\) পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০০৯;রাঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \((0, 1), (0, 0), y=2 \)।
\(Q.2.(iii)\) \(x^2-2y-8x+6=0 \) পরাবৃত্তের শীর্ষ, ফোকাস এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((4, -5), \left(4, -\frac{9}{2}\right), 2 \)।
\(Q.2.(iv)\) \(3x^2-4y+6x-5=0 \) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র অক্ষ এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০১;সিঃ২০০৬ ]
উত্তরঃ \( \left(-1, -\frac{5}{3}\right), x+1=0, 3y+7=0 \)।
\(Q.2.(v)\) পরাবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \( y^2=4ax\)।
\(Q.2.(vi)\) \(x^{2}-8x+2y+7=0\) পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্র ও শীর্ষবিন্দু নির্ণয় কর।
[বঃ ২০০১,২০০৬;ঢাঃ ২০০৩]
উত্তরঃ \((4, 4), \left(4, \frac{9}{2}\right)\)।
\(Q.2.(vii)\) \((y-1)^2=4(x-2) \) পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০২]
উত্তরঃ \((2, 1), (3, 1), 4 \)।
\(Q.2.(viii)\) একটি পরাবৃত্তের নিয়ামকের সমীকরণ \(4x+3y-5=0\) এবং শীর্ষবিন্দু \((3, 1)\) হলে, পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[রাঃ ২০০২]
উত্তরঃ \( (3x-4y)^2-190x-80y+625=0 \)।
\(Q.2.(ix)\) \(5x^2+15x-10y-4=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষ, অক্ষরেখা ও দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[কুঃ ২০০২,২০০৪,২০০৮;সিঃ ২০০৫,২০০৯ ; রাঃ ২০০৭;ঢাঃ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(\left(\frac{3}{2}, -\frac{61}{40}\right); 2x+3=0; 40y+81=0\)।
\(Q.2.(x)\) এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((0, a)\) এবং নিয়ামক রেখা \(y+2=0\) ।
[বঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(x^2=4ay \)।
\(Q.2.(xi)\) এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দু \((2, 3)\) এবং নিয়ামক রেখা \(y=6\)। এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[যঃ ২০১২;রাঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(x^2-4x+12y-32=0, 12 \)।
\(Q.2.(xii)\) এরুপ একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((2, 5)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং \(x=4\) রেখাটি এর শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শ করে।
[ কুঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \( y^2-10y+8x-7=0\)।
\(Q.2.(xiii)\) একটি পরাবৃত্তের নিয়ামকের সমীকরণ \(x-c=0\) এবং তার শীর্ষ \((\acute c, 0)\) বিন্দুতে অবস্থিত। দেখাও যে পরাবৃত্তের সমীকরণ \(y^2=4(\acute c-c)(x-\acute c)\)।
\(Q.2.(xiv)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার অক্ষরেখা \(x\) অক্ষের সমান্তরাল এবং শীর্ষবিন্দু \(y\) অক্ষের উপর অবস্থিত এবং যা \((0, 2)\), \(\left(\frac{1}{2}, 0\right)\) বিন্দু দুইটি দিয়ে অতিক্রম করে।
উত্তরঃ \(y^2-8x-4y+4=0 \)।
\(Q.2.(xv)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দু \((0, 2)\) অক্ষরেখা \(y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং যা \((2, 5)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
উত্তরঃ \(3x^2=4(y-2) \)।
\(Q.2.(xvi)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষ \((4, -3)\) বিন্দুতে অবস্থিত উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(4\) এবং অক্ষটি \(x\) অক্ষের সমান্তরাল।
উত্তরঃ \((y+3)^2=4(x-4)\)।
\(Q.2.(xvii)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((-1, 3)\) এবং শীর্ষ \((4, 3)\) বিন্দুতে অবস্থিত।
[ কুঃ ২০১১;সিঃ২০০৬;মাঃ২০০৮। ]
উত্তরঃ \((y-3)^2=-20(x-4)\)।
\(Q.2.(xviii)\) \(y^2=8x+5\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(\left(-\frac{5}{8}, 0\right), 8 \)।
\(Q.2.(xix)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের উপর \(P\) একটি বিন্দু । \(X\) অক্ষ হতে \(P\) বিন্দুর দূরত্ব \(Y\) অক্ষ হতে তার দূরত্বের দ্বিগুণ হলে \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((3, 6)\) বা \( (3, -6)\)।
\(Q.2.(xx)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল, শীর্ষবিন্দু \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত এবং যা \((0, 2)\), \((1, 0)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
উত্তরঃ \((y-2)^2=4x\)
[যঃ ২০১২;রাঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(x^2-4x+12y-32=0, 12 \)।
\(Q.2.(xii)\) এরুপ একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((2, 5)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং \(x=4\) রেখাটি এর শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শ করে।
[ কুঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \( y^2-10y+8x-7=0\)।
\(Q.2.(xiii)\) একটি পরাবৃত্তের নিয়ামকের সমীকরণ \(x-c=0\) এবং তার শীর্ষ \((\acute c, 0)\) বিন্দুতে অবস্থিত। দেখাও যে পরাবৃত্তের সমীকরণ \(y^2=4(\acute c-c)(x-\acute c)\)।
\(Q.2.(xiv)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার অক্ষরেখা \(x\) অক্ষের সমান্তরাল এবং শীর্ষবিন্দু \(y\) অক্ষের উপর অবস্থিত এবং যা \((0, 2)\), \(\left(\frac{1}{2}, 0\right)\) বিন্দু দুইটি দিয়ে অতিক্রম করে।
উত্তরঃ \(y^2-8x-4y+4=0 \)।
\(Q.2.(xv)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দু \((0, 2)\) অক্ষরেখা \(y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং যা \((2, 5)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
উত্তরঃ \(3x^2=4(y-2) \)।
\(Q.2.(xvi)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষ \((4, -3)\) বিন্দুতে অবস্থিত উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(4\) এবং অক্ষটি \(x\) অক্ষের সমান্তরাল।
উত্তরঃ \((y+3)^2=4(x-4)\)।
\(Q.2.(xvii)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((-1, 3)\) এবং শীর্ষ \((4, 3)\) বিন্দুতে অবস্থিত।
[ কুঃ ২০১১;সিঃ২০০৬;মাঃ২০০৮। ]
উত্তরঃ \((y-3)^2=-20(x-4)\)।
\(Q.2.(xviii)\) \(y^2=8x+5\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(\left(-\frac{5}{8}, 0\right), 8 \)।
\(Q.2.(xix)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের উপর \(P\) একটি বিন্দু । \(X\) অক্ষ হতে \(P\) বিন্দুর দূরত্ব \(Y\) অক্ষ হতে তার দূরত্বের দ্বিগুণ হলে \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((3, 6)\) বা \( (3, -6)\)।
\(Q.2.(xx)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল, শীর্ষবিন্দু \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত এবং যা \((0, 2)\), \((1, 0)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
উত্তরঃ \((y-2)^2=4x\)
\(Q.2.(i)\) \(y^2=2(x+3)\) পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \((-3, 0), \left(-\frac{5}{2}, 0\right), 2x+7=0 \)।
[ বঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \((-3, 0), \left(-\frac{5}{2}, 0\right), 2x+7=0 \)।
সমাধানঃ
ধরি, 
\(y^2=2(x+3) .......(1)\)
\(\Rightarrow Y^2=2X ........(1)\) যেখানে, \(X=x+3, Y=y\)
এখানে,
\(4a=2\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=\frac{1}{2}\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x+3=0, y=0\)
\(\Rightarrow x=-3, y=0\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(-3, 0)\)
উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\Rightarrow X=a, Y=0\)
\(\Rightarrow x+3=\frac{1}{2}, y=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{2}-3, y=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{1-6}{2}, y=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{-5}{2}, y=0\)
\(\Rightarrow x=-\frac{5}{2}, y=0\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S\left(-\frac{5}{2}, 0\right)\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(X=-a\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(x=-a\)
\(\Rightarrow x+3=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-1-6}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-7}{2}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{7}{2}\)
\(\Rightarrow 2x=-7\)
\(\Rightarrow 2x+7=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(2x+7=0\)
\(y^2=2(x+3) .......(1)\)
\(\Rightarrow Y^2=2X ........(1)\) যেখানে, \(X=x+3, Y=y\)
এখানে,
\(4a=2\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=\frac{1}{2}\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x+3=0, y=0\)
\(\Rightarrow x=-3, y=0\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(-3, 0)\)
উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\Rightarrow X=a, Y=0\)
\(\Rightarrow x+3=\frac{1}{2}, y=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{2}-3, y=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{1-6}{2}, y=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{-5}{2}, y=0\)
\(\Rightarrow x=-\frac{5}{2}, y=0\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S\left(-\frac{5}{2}, 0\right)\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(X=-a\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(x=-a\)
\(\Rightarrow x+3=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-1-6}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-7}{2}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{7}{2}\)
\(\Rightarrow 2x=-7\)
\(\Rightarrow 2x+7=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(2x+7=0\)
\(Q.2.(ii)\) \(x^2=2(1-y)\) পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০০৯;রাঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \((0, 1), (0, 0), y=2 \)।
[ বঃ ২০০৯;রাঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \((0, 1), (0, 0), y=2 \)।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
\(x^2=2(1-y)\)
\(x^2=-2(y-1)\)
\(\therefore X^2=-2Y ........(1)\) যেখানে, \(X=x, Y=y-1\)
এখানে,
\(4a=-2\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=-\frac{2}{4}\)
\(\therefore a=-\frac{1}{2}\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x=0, y-1=0\)
\(\Rightarrow x=0, y=1\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(0, 1)\)
উপকেন্দ্র \(S(0, a)\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(0, a)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=a\)
\(\Rightarrow x=0, y-1=-1\)
\(\Rightarrow x=0, y=1-1\)
\(\Rightarrow x=0, y=0\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S(0, 0)\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(Y=-a\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(y=-a\)
\(\Rightarrow y-1=-(-1)\)
\(\Rightarrow y-1=1\)
\(\Rightarrow y-1-1=0\)
\(\Rightarrow y-2=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(y-2=0\)
\(x^2=2(1-y)\)
\(x^2=-2(y-1)\)
\(\therefore X^2=-2Y ........(1)\) যেখানে, \(X=x, Y=y-1\)
এখানে,
\(4a=-2\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=-\frac{2}{4}\)
\(\therefore a=-\frac{1}{2}\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x=0, y-1=0\)
\(\Rightarrow x=0, y=1\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(0, 1)\)
উপকেন্দ্র \(S(0, a)\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(0, a)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=a\)
\(\Rightarrow x=0, y-1=-1\)
\(\Rightarrow x=0, y=1-1\)
\(\Rightarrow x=0, y=0\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S(0, 0)\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(Y=-a\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(y=-a\)
\(\Rightarrow y-1=-(-1)\)
\(\Rightarrow y-1=1\)
\(\Rightarrow y-1-1=0\)
\(\Rightarrow y-2=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(y-2=0\)
\(Q.2.(iii)\) \(x^2-2y-8x+6=0 \) পরাবৃত্তের শীর্ষ, ফোকাস এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((4, -5), \left(4, -\frac{9}{2}\right), 2 \)।
উত্তরঃ \((4, -5), \left(4, -\frac{9}{2}\right), 2 \)।
সমাধানঃ
ধরি, 
\(x^2-2y-8x+6=0\)
\(\Rightarrow x^2-8x=2y-6\)
\(\Rightarrow x^2-8x+16=2y-6+16\)
\(\Rightarrow (x-4)^2=2y+10\)
\(\Rightarrow (x-4)^2=2(y+5)\)
\(\therefore X^2=2Y ........(1)\) যেখানে, \(X=x-4, Y=y+5\)
এখানে,
\(4a=2\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{2}{4}\)
\(\therefore a=\frac{1}{2}\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x-4=0, y+5=0\)
\(\Rightarrow x=4, y=-5\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(4, -5)\)
উপকেন্দ্র \(S(0, a)\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(0, a)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=a\)
\(\Rightarrow x-4=0, y+5=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow x=4, y=-5+\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow x=4, y=\frac{-10+1}{2}\)
\(\Rightarrow x=4, y=\frac{-9}{2}\)
\(\Rightarrow x=4, y=-\frac{9}{2}\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S\left(4, -\frac{9}{2}\right)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times \frac{1}{2}|\)
\(=|2|\)
\(=2\) একক।
\(x^2-2y-8x+6=0\)
\(\Rightarrow x^2-8x=2y-6\)
\(\Rightarrow x^2-8x+16=2y-6+16\)
\(\Rightarrow (x-4)^2=2y+10\)
\(\Rightarrow (x-4)^2=2(y+5)\)
\(\therefore X^2=2Y ........(1)\) যেখানে, \(X=x-4, Y=y+5\)
এখানে,
\(4a=2\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{2}{4}\)
\(\therefore a=\frac{1}{2}\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x-4=0, y+5=0\)
\(\Rightarrow x=4, y=-5\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(4, -5)\)
উপকেন্দ্র \(S(0, a)\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(0, a)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=a\)
\(\Rightarrow x-4=0, y+5=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow x=4, y=-5+\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow x=4, y=\frac{-10+1}{2}\)
\(\Rightarrow x=4, y=\frac{-9}{2}\)
\(\Rightarrow x=4, y=-\frac{9}{2}\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S\left(4, -\frac{9}{2}\right)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times \frac{1}{2}|\)
\(=|2|\)
\(=2\) একক।
\(Q.2.(iv)\) \(3x^2-4y+6x-5=0 \) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র অক্ষ এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০১;সিঃ২০০৬ ]
উত্তরঃ \( \left(-1, -\frac{5}{3}\right), x+1=0, 3y+7=0 \)।
[ যঃ ২০০১;সিঃ২০০৬ ]
উত্তরঃ \( \left(-1, -\frac{5}{3}\right), x+1=0, 3y+7=0 \)।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, পরাবৃত্তের সমীকরণ 
\(3x^2-4y+6x-5=0 \)
\(\Rightarrow x^2-\frac{4}{3}y+2x-\frac{5}{3}=0 \) ➜ উভয় পার্শে \(3\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow x^2+2x=\frac{4}{3}y+\frac{5}{3} \)
\(\Rightarrow x^2+2x+1=\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}+1 \)
\(\Rightarrow (x+1)^2=\frac{4}{3}y+\frac{5+3}{3} \)
\(\Rightarrow (x+1)^2=\frac{4}{3}y+\frac{8}{3} \)
\(\Rightarrow (x+1)^2=\frac{4}{3}(y+2) \)
\(\Rightarrow X^2=\frac{4}{3}Y .......(1) \) যেখানে, \(X=x+1, Y=y+2\)
এখানে,
\(4a=\frac{4}{3}\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{4}{3\times 4}\)
\(\therefore a=\frac{1}{3}\)
উপকেন্দ্র \(S(0, a)\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(0, a)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=a\)
\(\Rightarrow x+1=0, y+2=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow x=-1, y=\frac{1}{3}-2\)
\(\Rightarrow x=-1, y=\frac{1-6}{3}\)
\(\Rightarrow x=-1, y=\frac{-5}{3}\)
\(\Rightarrow x=-1, y=-\frac{5}{3}\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S\left(-1, -\frac{5}{3}\right)\)
অক্ষের সমীকরণ, \(X=0\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। অক্ষের সমীকরণ, \(x=0\)
\(\Rightarrow x+1=0\)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ, \( x+1=0\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(Y=-a\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(y=-a\)
\(\Rightarrow y+2=-\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow 3y+6=-1\)
\(\Rightarrow 3y+6+1=0\)
\(\Rightarrow 3y+7=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \( 3y+7=0\)
\(3x^2-4y+6x-5=0 \)
\(\Rightarrow x^2-\frac{4}{3}y+2x-\frac{5}{3}=0 \) ➜ উভয় পার্শে \(3\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow x^2+2x=\frac{4}{3}y+\frac{5}{3} \)
\(\Rightarrow x^2+2x+1=\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}+1 \)
\(\Rightarrow (x+1)^2=\frac{4}{3}y+\frac{5+3}{3} \)
\(\Rightarrow (x+1)^2=\frac{4}{3}y+\frac{8}{3} \)
\(\Rightarrow (x+1)^2=\frac{4}{3}(y+2) \)
\(\Rightarrow X^2=\frac{4}{3}Y .......(1) \) যেখানে, \(X=x+1, Y=y+2\)
এখানে,
\(4a=\frac{4}{3}\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{4}{3\times 4}\)
\(\therefore a=\frac{1}{3}\)
উপকেন্দ্র \(S(0, a)\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(0, a)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=a\)
\(\Rightarrow x+1=0, y+2=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow x=-1, y=\frac{1}{3}-2\)
\(\Rightarrow x=-1, y=\frac{1-6}{3}\)
\(\Rightarrow x=-1, y=\frac{-5}{3}\)
\(\Rightarrow x=-1, y=-\frac{5}{3}\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S\left(-1, -\frac{5}{3}\right)\)
অক্ষের সমীকরণ, \(X=0\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। অক্ষের সমীকরণ, \(x=0\)
\(\Rightarrow x+1=0\)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ, \( x+1=0\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(Y=-a\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(y=-a\)
\(\Rightarrow y+2=-\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow 3y+6=-1\)
\(\Rightarrow 3y+6+1=0\)
\(\Rightarrow 3y+7=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \( 3y+7=0\)
\(Q.2.(v)\) পরাবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \( y^2=4ax\)।
[ সিঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \( y^2=4ax\)।
সমাধানঃ
আমরা জানি,
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(0, a)\)
নিয়ামকের সমীকরণ \(y=-a \Rightarrow y+a=0 \)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=1\)
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে, \(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-0)^2+(y-a)^2}=\frac{|y+a|}{\sqrt{0^2+1^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-0)^2+(y-a)^2}=\frac{|y+a|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+(y-a)^2}=\frac{|y+a|}{1}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+(y-a)^2}=|y+a|\)
\(\Rightarrow x^2+(y-a)^2=(y+a)^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2=(y+a)^2-(y-a)^2\)
\(\therefore x^2=4ay\) ➜ \(\because (a+b)^2-(a-b)^2=4ab\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(0, a)\)
নিয়ামকের সমীকরণ \(y=-a \Rightarrow y+a=0 \)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=1\)
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে, \(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-0)^2+(y-a)^2}=\frac{|y+a|}{\sqrt{0^2+1^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-0)^2+(y-a)^2}=\frac{|y+a|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+(y-a)^2}=\frac{|y+a|}{1}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+(y-a)^2}=|y+a|\)
\(\Rightarrow x^2+(y-a)^2=(y+a)^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2=(y+a)^2-(y-a)^2\)
\(\therefore x^2=4ay\) ➜ \(\because (a+b)^2-(a-b)^2=4ab\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.2.(vii)\) \((y-1)^2=4(x-2) \) পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০২]
উত্তরঃ \((2, 1), (3, 1), 4 \)।
[ঢাঃ ২০০২]
উত্তরঃ \((2, 1), (3, 1), 4 \)।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
\(\Rightarrow (y-1)^2=4(x-2)\)
\(\Rightarrow Y^2=4X ........(1)\) যেখানে, \(X=x-2, Y=y-1\)
এখানে,
\(4a=4\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=1\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x-2=0, y-1=0\)
\(\Rightarrow x=2, y=1\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(2, 1)\)
উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\Rightarrow X=a, Y=0\)
\(\Rightarrow x-2=1, y-1=0\)
\(\Rightarrow x=2+1, y=1\)
\(\Rightarrow x=3, y=1\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S(3, 1)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times 1|\)
\(=|4|\)
\(=4 \) একক।
\(\Rightarrow (y-1)^2=4(x-2)\)
\(\Rightarrow Y^2=4X ........(1)\) যেখানে, \(X=x-2, Y=y-1\)
এখানে,
\(4a=4\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=1\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x-2=0, y-1=0\)
\(\Rightarrow x=2, y=1\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(2, 1)\)
উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\Rightarrow X=a, Y=0\)
\(\Rightarrow x-2=1, y-1=0\)
\(\Rightarrow x=2+1, y=1\)
\(\Rightarrow x=3, y=1\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S(3, 1)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times 1|\)
\(=|4|\)
\(=4 \) একক।
\(Q.2.(viii)\) একটি পরাবৃত্তের নিয়ামকের সমীকরণ \(4x+3y-5=0\) এবং শীর্ষবিন্দু \((3, 1)\) হলে, পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[রাঃ ২০০২]
উত্তরঃ \( (3x-4y)^2-190x-80y+625=0 \)।
[রাঃ ২০০২]
উত্তরঃ \( (3x-4y)^2-190x-80y+625=0 \)।
সমাধানঃ
ধরি,
\(4x+3y-5=0 .......(1)\)
শীর্ষবিন্দু \(A(3, 1)\)
পরাবৃত্তের অক্ষরেখা \((1)\) এর উপর লম্ব হবে,
\(\therefore (1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x-4y+k=0 .......(2)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা \(A(3, 1)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 3.3-4.1+k=0\)
\(\Rightarrow 9-4+k=0\)
\(\Rightarrow 5+k=0\)
\(\therefore k=-5\)
\(k\)-এর মাণ \((2)\) -এ বসিয়ে,
\(3x-4y-5=0 ........(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) -এর ছেদবিন্দু \(Z\) নির্ণয় করি।
\(\therefore \frac{x}{3.(-5)-(-5).(-4)}=\frac{y}{(-5).3-4.(-5)}=\frac{1}{4.(-4)-3.3}\) ➜ \((1)\) ও \((3)\) বজ্র গুণ করে।
\(\Rightarrow \frac{x}{-15-20}=\frac{y}{-15+20}=\frac{1}{-16-9}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-35}=\frac{y}{5}=\frac{1}{-25}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-35}=\frac{1}{-25}, \frac{y}{5}=\frac{1}{-25}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-35}{-25}, y=\frac{5}{-25}\)
\(\Rightarrow x=\frac{7}{5}, y=-\frac{1}{5}\)
\(\therefore Z\left(\frac{7}{5},-\frac{1}{5}\right)\)
ধরি, পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(\alpha, \beta)\)
এখন,
\(SZ\)-এর মধ্যবিন্দু \(A\left(\frac{\alpha+\frac{7}{5}}{2}, \frac{\beta-\frac{1}{5}}{2}\right)\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow A\left(\frac{\frac{5\alpha+7}{5}}{2}, \frac{\frac{5\beta-1}{5}}{2}\right)\)
\(\therefore A\left(\frac{5\alpha+7}{10}, \frac{5\beta-1}{10}\right)\)
কিন্তু দেওয়া আছে, \(A(3, 1)\)
\(\therefore A\left(\frac{5\alpha+7}{10}, \frac{5\beta-1}{10}\right)\Rightarrow A(3, 1)\)
\(\Rightarrow \frac{5\alpha+7}{10}=3, \frac{5\beta-1}{10}=1\)
\(\Rightarrow 5\alpha+7=30, 5\beta-1=10\)
\(\Rightarrow 5\alpha=30-7, 5\beta=10+1\)
\(\Rightarrow 5\alpha=23, 5\beta=11\)
\(\Rightarrow \alpha=\frac{23}{5}, \beta=\frac{11}{5}\)
\(\therefore S\left(\frac{23}{5}, \frac{11}{5}\right)\)
এখন,
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S\left(\frac{23}{5}, \frac{11}{5}\right)\)
পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখা \(4x+3y-5=0\)
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(PS=PM\)
\(\sqrt{\left(x-\frac{23}{5}\right)^2+\left(y-\frac{11}{5}\right)^2}=\frac{|4x+3y-5|}{\sqrt{4^2+3^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{\left(\frac{5x-23}{5}\right)^2+\left(\frac{5y-11}{5}\right)^2}=\frac{|4x+3y-5|}{\sqrt{16+9}}\)
\(\Rightarrow \left(\frac{5x-23}{5}\right)^2+\left(\frac{5y-11}{5}\right)^2=\frac{(4x+3y-5)^2}{25}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{(5x-23)^2}{25}+\frac{(5y-11)^2}{25}=\frac{(4x+3y-5)^2}{25}\)
\(\Rightarrow (5x-23)^2+(5y-11)^2=(4x+3y-5)^2\) ➜ উভয় পার্শে \(25\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 25x^2-230x+529+25y^2-110y+121\)\(=16x^2+9y^2+25+24xy-30y-40x\)
\(\Rightarrow 25x^2-230x+529+25y^2-110y+121\)\(-16x^2-9y^2-25-24xy+30y+40x=0\)
\(\therefore 9x^2-24xy+16y^2-190x-80y+625=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\(4x+3y-5=0 .......(1)\)
শীর্ষবিন্দু \(A(3, 1)\)
পরাবৃত্তের অক্ষরেখা \((1)\) এর উপর লম্ব হবে,
\(\therefore (1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x-4y+k=0 .......(2)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা \(A(3, 1)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 3.3-4.1+k=0\)
\(\Rightarrow 9-4+k=0\)
\(\Rightarrow 5+k=0\)
\(\therefore k=-5\)
\(k\)-এর মাণ \((2)\) -এ বসিয়ে,
\(3x-4y-5=0 ........(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) -এর ছেদবিন্দু \(Z\) নির্ণয় করি।
\(\therefore \frac{x}{3.(-5)-(-5).(-4)}=\frac{y}{(-5).3-4.(-5)}=\frac{1}{4.(-4)-3.3}\) ➜ \((1)\) ও \((3)\) বজ্র গুণ করে।
\(\Rightarrow \frac{x}{-15-20}=\frac{y}{-15+20}=\frac{1}{-16-9}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-35}=\frac{y}{5}=\frac{1}{-25}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-35}=\frac{1}{-25}, \frac{y}{5}=\frac{1}{-25}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-35}{-25}, y=\frac{5}{-25}\)
\(\Rightarrow x=\frac{7}{5}, y=-\frac{1}{5}\)
\(\therefore Z\left(\frac{7}{5},-\frac{1}{5}\right)\)
ধরি, পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(\alpha, \beta)\)
এখন,
\(SZ\)-এর মধ্যবিন্দু \(A\left(\frac{\alpha+\frac{7}{5}}{2}, \frac{\beta-\frac{1}{5}}{2}\right)\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow A\left(\frac{\frac{5\alpha+7}{5}}{2}, \frac{\frac{5\beta-1}{5}}{2}\right)\)
\(\therefore A\left(\frac{5\alpha+7}{10}, \frac{5\beta-1}{10}\right)\)
কিন্তু দেওয়া আছে, \(A(3, 1)\)
\(\therefore A\left(\frac{5\alpha+7}{10}, \frac{5\beta-1}{10}\right)\Rightarrow A(3, 1)\)
\(\Rightarrow \frac{5\alpha+7}{10}=3, \frac{5\beta-1}{10}=1\)
\(\Rightarrow 5\alpha+7=30, 5\beta-1=10\)
\(\Rightarrow 5\alpha=30-7, 5\beta=10+1\)
\(\Rightarrow 5\alpha=23, 5\beta=11\)
\(\Rightarrow \alpha=\frac{23}{5}, \beta=\frac{11}{5}\)
\(\therefore S\left(\frac{23}{5}, \frac{11}{5}\right)\)
এখন,
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S\left(\frac{23}{5}, \frac{11}{5}\right)\)
পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখা \(4x+3y-5=0\)
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(PS=PM\)
\(\sqrt{\left(x-\frac{23}{5}\right)^2+\left(y-\frac{11}{5}\right)^2}=\frac{|4x+3y-5|}{\sqrt{4^2+3^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{\left(\frac{5x-23}{5}\right)^2+\left(\frac{5y-11}{5}\right)^2}=\frac{|4x+3y-5|}{\sqrt{16+9}}\)
\(\Rightarrow \left(\frac{5x-23}{5}\right)^2+\left(\frac{5y-11}{5}\right)^2=\frac{(4x+3y-5)^2}{25}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{(5x-23)^2}{25}+\frac{(5y-11)^2}{25}=\frac{(4x+3y-5)^2}{25}\)
\(\Rightarrow (5x-23)^2+(5y-11)^2=(4x+3y-5)^2\) ➜ উভয় পার্শে \(25\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 25x^2-230x+529+25y^2-110y+121\)\(=16x^2+9y^2+25+24xy-30y-40x\)
\(\Rightarrow 25x^2-230x+529+25y^2-110y+121\)\(-16x^2-9y^2-25-24xy+30y+40x=0\)
\(\therefore 9x^2-24xy+16y^2-190x-80y+625=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.2.(ix)\) \(5x^2+15x-10y-4=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষ, অক্ষরেখা ও দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[কুঃ ২০০২,২০০৪,২০০৮;সিঃ ২০০৫,২০০৯ ; রাঃ ২০০৭;ঢাঃ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(\left(-\frac{3}{2}, -\frac{13}{8}\right) 2x+3=0, 8y+17=0\)।
[কুঃ ২০০২,২০০৪,২০০৮;সিঃ ২০০৫,২০০৯ ; রাঃ ২০০৭;ঢাঃ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(\left(-\frac{3}{2}, -\frac{13}{8}\right) 2x+3=0, 8y+17=0\)।
সমাধানঃ
ধরি,
\(5x^2+15x-10y-4=0\)
\(\Rightarrow x^2+3x-2y-\frac{4}{5}=0\) ➜ উভয় পার্শে \(5\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow x^2+2.x.\frac{3}{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2-2y-\frac{4}{5}=0\)
\(\Rightarrow \left(x+\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}+2y+\frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow \left(x+\frac{3}{2}\right)^2=2y+\frac{9}{4}+\frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow \left(x+\frac{3}{2}\right)^2=2y+\frac{45+20}{20}\)
\(\Rightarrow \left(x+\frac{3}{2}\right)^2=2y+\frac{65}{20}\)
\(\Rightarrow \left(x+\frac{3}{2}\right)^2=2y+\frac{13}{4}\)
\(\Rightarrow \left(x+\frac{3}{2}\right)^2=2\left(y+\frac{13}{8}\right)\)
\(\therefore X^2=2Y ........(1)\) যেখানে, \(X=x+\frac{3}{2}, Y=y+\frac{13}{8}\)
এখানে,
\(4a=2\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{2}{4}\)
\(\therefore a=\frac{1}{2}\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x+\frac{3}{2}=0, y+\frac{13}{8}=0\)
\(\Rightarrow x=-\frac{3}{2}, y=-\frac{13}{8}\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(-\frac{3}{2}, -\frac{13}{8})\)
অক্ষের সমীকরণ, \(X=0\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। অক্ষের সমীকরণ, \(x=0\)
\(\Rightarrow x+\frac{3}{2}=0\)
\(\Rightarrow x=-\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow 2x=-3\)
\(\Rightarrow 2x+3=0\)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ , \( 2x+3=0\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(Y=-a\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(y=-a\)
\(\Rightarrow y+\frac{13}{8}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow y=-\frac{13}{8}-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow y=\frac{-13-4}{8}\)
\(\Rightarrow y=\frac{-17}{8}\)
\(\Rightarrow 8y=-17\)
\(\Rightarrow 8y+17=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \( 8y+17=0\)
\(5x^2+15x-10y-4=0\)
\(\Rightarrow x^2+3x-2y-\frac{4}{5}=0\) ➜ উভয় পার্শে \(5\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow x^2+2.x.\frac{3}{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2-2y-\frac{4}{5}=0\)
\(\Rightarrow \left(x+\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}+2y+\frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow \left(x+\frac{3}{2}\right)^2=2y+\frac{9}{4}+\frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow \left(x+\frac{3}{2}\right)^2=2y+\frac{45+20}{20}\)
\(\Rightarrow \left(x+\frac{3}{2}\right)^2=2y+\frac{65}{20}\)
\(\Rightarrow \left(x+\frac{3}{2}\right)^2=2y+\frac{13}{4}\)
\(\Rightarrow \left(x+\frac{3}{2}\right)^2=2\left(y+\frac{13}{8}\right)\)
\(\therefore X^2=2Y ........(1)\) যেখানে, \(X=x+\frac{3}{2}, Y=y+\frac{13}{8}\)
এখানে,
\(4a=2\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{2}{4}\)
\(\therefore a=\frac{1}{2}\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x+\frac{3}{2}=0, y+\frac{13}{8}=0\)
\(\Rightarrow x=-\frac{3}{2}, y=-\frac{13}{8}\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(-\frac{3}{2}, -\frac{13}{8})\)
অক্ষের সমীকরণ, \(X=0\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। অক্ষের সমীকরণ, \(x=0\)
\(\Rightarrow x+\frac{3}{2}=0\)
\(\Rightarrow x=-\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow 2x=-3\)
\(\Rightarrow 2x+3=0\)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ , \( 2x+3=0\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(Y=-a\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(y=-a\)
\(\Rightarrow y+\frac{13}{8}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow y=-\frac{13}{8}-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow y=\frac{-13-4}{8}\)
\(\Rightarrow y=\frac{-17}{8}\)
\(\Rightarrow 8y=-17\)
\(\Rightarrow 8y+17=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \( 8y+17=0\)
\(Q.2.(x)\) এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((0, a)\) এবং নিয়ামক রেখা \(y+2=0\) ।
[বঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(x^2=4ay \)।
[বঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(x^2=4ay \)।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(0, a)\)
দিকাক্ষের সমীকরণ \(y+2=0 ........(1)\)
ধরি, পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে, পরাবৃত্তের সমীকরণ \(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-0)^2+(y-a)^2}=\frac{|y+2|}{\sqrt{0^2+1^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow (x-0)^2+(y-a)^2=\frac{|y+2|}{\sqrt{0^2+1^2}}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+(y-a)^2}=\frac{|y+2|}{\sqrt{0+1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+(y-a)^2}=\frac{|y+2|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+(y-a)^2}=\frac{|y+2|}{1}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+(y-a)^2}=|y+2|\)
\(\Rightarrow x^2+(y-a)^2=(y+2)^2\)
\(\Rightarrow x^2=(y+a)^2-(y-2)^2\)
\(\Rightarrow x^2=4ay\) ➜ \(\because (a+b)^2-(a-b)^2=4ab\)
\(\therefore x^2=4ay\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(0, a)\)
দিকাক্ষের সমীকরণ \(y+2=0 ........(1)\)
ধরি, পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে, পরাবৃত্তের সমীকরণ \(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-0)^2+(y-a)^2}=\frac{|y+2|}{\sqrt{0^2+1^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow (x-0)^2+(y-a)^2=\frac{|y+2|}{\sqrt{0^2+1^2}}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+(y-a)^2}=\frac{|y+2|}{\sqrt{0+1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+(y-a)^2}=\frac{|y+2|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+(y-a)^2}=\frac{|y+2|}{1}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+(y-a)^2}=|y+2|\)
\(\Rightarrow x^2+(y-a)^2=(y+2)^2\)
\(\Rightarrow x^2=(y+a)^2-(y-2)^2\)
\(\Rightarrow x^2=4ay\) ➜ \(\because (a+b)^2-(a-b)^2=4ab\)
\(\therefore x^2=4ay\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.2.(xi)\) এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দু \((2, 3)\) এবং নিয়ামক রেখা \(y=6\)। এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্যও নির্ণয় কর।
[যঃ ২০১২;রাঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(x^2-4x+12y-32=0, 12 \)।
[যঃ ২০১২;রাঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(x^2-4x+12y-32=0, 12 \)।
সমাধানঃ
ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,
\(y-6=0 .......(1)\)
শীর্ষবিন্দু \(A(2, 3)\)
পরাবৃত্তের অক্ষরেখা \((1)\) এর উপর লম্ব হবে,
\(\therefore (1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x+k=0 .......(2)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা \(A(2, 3)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 2+k=0\)
\(\Rightarrow k=-2\)
\(k\)-এর মাণ \((2)\) -এ বসিয়ে,
\(x-2=0 ........(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) -এর ছেদবিন্দু \(Z\) নির্ণয় করি।
\(\therefore Z(2, 6)\)
ধরি, পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(\alpha, \beta)\)
এখন,
\(SZ\)-এর মধ্যবিন্দু \(A\left(\frac{\alpha+2}{2}, \frac{\beta+6}{2}\right)\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
কিন্তু দেওয়া আছে, \(A(2, 3)\)
\(\therefore A\left(\frac{\alpha+2}{2}, \frac{\beta+6}{2}\right)\Rightarrow A(2, 3)\)
\(\Rightarrow \frac{\alpha+2}{2}=2, \frac{\beta+6}{2}=3\)
\(\Rightarrow \alpha+2=4, \beta+6=6\)
\(\Rightarrow \alpha=4-2, \beta=6-6\)
\(\Rightarrow \alpha=2, \beta=0\)
\(\therefore S(2, 0)\)
এখন,
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(2, 0)\)
পরাবৃত্তের নিয়ামকরেখা \(y-6=0\)
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-0)^2}=\frac{|y-6|}{\sqrt{0^2+1^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+y^2}=\frac{|y-6|}{\sqrt{0+1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+y^2}=\frac{|y-6|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+y^2}=\frac{|y-6|}{1}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+y^2}=|y-6|\)
\(\Rightarrow (x-2)^2+y^2=(y-6)^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-4x+4+y^2=y^2-12y+36\)
\(\Rightarrow x^2-4x+4+y^2-y^2+12y-36=0\)
\(\therefore x^2-4x+12y-32=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
আবার,
\(\Rightarrow x^2-4x=-12y+32\)
\(\Rightarrow x^2-4x+4=-12y+32+4\) ➜ উভয় পার্শে \(4\) যোগ করে।
\(\Rightarrow (x-2)^2=-12y+36\)
\(\Rightarrow (x-2)^2=-12(y-3)\)
\(\Rightarrow X^2=-12Y\) যেখানে, \(X=x-2, Y=y-3\)
\(\therefore 4a=-12\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|-12|\)
\(=12\) একক।
বৃত্তের সমীকরণ,
\(y-6=0 .......(1)\)
শীর্ষবিন্দু \(A(2, 3)\)
পরাবৃত্তের অক্ষরেখা \((1)\) এর উপর লম্ব হবে,
\(\therefore (1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x+k=0 .......(2)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা \(A(2, 3)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 2+k=0\)
\(\Rightarrow k=-2\)
\(k\)-এর মাণ \((2)\) -এ বসিয়ে,
\(x-2=0 ........(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) -এর ছেদবিন্দু \(Z\) নির্ণয় করি।
\(\therefore Z(2, 6)\)
ধরি, পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(\alpha, \beta)\)
এখন,
\(SZ\)-এর মধ্যবিন্দু \(A\left(\frac{\alpha+2}{2}, \frac{\beta+6}{2}\right)\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
কিন্তু দেওয়া আছে, \(A(2, 3)\)
\(\therefore A\left(\frac{\alpha+2}{2}, \frac{\beta+6}{2}\right)\Rightarrow A(2, 3)\)
\(\Rightarrow \frac{\alpha+2}{2}=2, \frac{\beta+6}{2}=3\)
\(\Rightarrow \alpha+2=4, \beta+6=6\)
\(\Rightarrow \alpha=4-2, \beta=6-6\)
\(\Rightarrow \alpha=2, \beta=0\)
\(\therefore S(2, 0)\)
এখন,
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(2, 0)\)
পরাবৃত্তের নিয়ামকরেখা \(y-6=0\)
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-0)^2}=\frac{|y-6|}{\sqrt{0^2+1^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+y^2}=\frac{|y-6|}{\sqrt{0+1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+y^2}=\frac{|y-6|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+y^2}=\frac{|y-6|}{1}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+y^2}=|y-6|\)
\(\Rightarrow (x-2)^2+y^2=(y-6)^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-4x+4+y^2=y^2-12y+36\)
\(\Rightarrow x^2-4x+4+y^2-y^2+12y-36=0\)
\(\therefore x^2-4x+12y-32=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
আবার,
\(\Rightarrow x^2-4x=-12y+32\)
\(\Rightarrow x^2-4x+4=-12y+32+4\) ➜ উভয় পার্শে \(4\) যোগ করে।
\(\Rightarrow (x-2)^2=-12y+36\)
\(\Rightarrow (x-2)^2=-12(y-3)\)
\(\Rightarrow X^2=-12Y\) যেখানে, \(X=x-2, Y=y-3\)
\(\therefore 4a=-12\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|-12|\)
\(=12\) একক।
\(Q.2.(xii)\) এরুপ একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((2, 5)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং \(x=4\) রেখাটি এর শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শ করে।
[ কুঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \( y^2-10y+8x-7=0\)।
[ কুঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \( y^2-10y+8x-7=0\)।
সমাধানঃ
ধরি, 
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(2, 5)\)
শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শক \(x-4=0 ........(1)\)
পরাবৃত্তের অক্ষরেখা \((1)\) নং রেখার উপর লম্ব হবে।
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(y+k=0 ....(2)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা। শর্তমতে,
\((2)\) নং সরলরেখা \(S(2, 5)\) বিন্দুগামী,
\(\therefore 5+k=0\)
\(\Rightarrow k=-5\)
\(k=-5, (2)\) -এ বসিয়ে,
\(y-5=0 ........(3)\) যা অক্ষরেখার সমীকরণ,
\((1)\) ও \((3)\)-এর ছেদবিন্দু হবে পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A(4, 5)\)
অক্ষরেখা এবং নিয়ামক রেখার ছেদবিন্দু \(Z(x, y)\)
\(ZS\)-এর মধ্যবিন্দু হবে \(A(4, 5)\)
\(\therefore \left(\frac{x+2}{2}, \frac{y+5}{2}\right)\Rightarrow A(4, 5)\)
\(\Rightarrow \frac{x+2}{2}=4, \frac{y+5}{2}=5\)
\(\Rightarrow x+2=8, y+5=10\)
\(\Rightarrow x=8-2, y=10-5\)
\(\Rightarrow x=6, y=5\)
\(\therefore Z(6, 5)\)
\((1)\) এর সমান্তরাল রেখা হবে পরাবৃত্তের দিকাক্ষ।
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ, \(x+k=0 ........(4)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((4)\) নং সরলরেখা \(Z(6, 5)\) বিন্দুগামী,
\(\therefore 6+k=0 \)
\(\Rightarrow k=-6 \)
\(k=-6, (4)\) -এ বসিয়ে,
\(x-6=0 ........(5)\) যা পরাবৃত্তের দিকাক্ষ।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(2, 5)\)
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\) হলে,
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-5)^2}=\frac{|x-6|}{\sqrt{1^2+0^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-5)^2}=\frac{|x-6|}{\sqrt{1^2+0^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-5)^2}=\frac{|x-6|}{\sqrt{1+0}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-5)^2}=\frac{|x-6|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-5)^2}=|x-6|\)
\(\Rightarrow (x-2)^2+(y-5)^2=(x-6)^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow y^2-10y+25=(x-6)^2-(x-2)^2\)
\(\Rightarrow y^2-10y+25=(x-6-x+2)(x-6+x-2)\)
\(\Rightarrow y^2-10y+25=-4(2x-8)\)
\(\Rightarrow y^2-10y+25=-8x+32)\)
\(\Rightarrow y^2-10y+25+8x-32=0)\)
\(\Rightarrow y^2-10y+8x-7=0\)
\(\therefore y^2-10y+8x-7=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(2, 5)\)
শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শক \(x-4=0 ........(1)\)
পরাবৃত্তের অক্ষরেখা \((1)\) নং রেখার উপর লম্ব হবে।
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(y+k=0 ....(2)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা। শর্তমতে,
\((2)\) নং সরলরেখা \(S(2, 5)\) বিন্দুগামী,
\(\therefore 5+k=0\)
\(\Rightarrow k=-5\)
\(k=-5, (2)\) -এ বসিয়ে,
\(y-5=0 ........(3)\) যা অক্ষরেখার সমীকরণ,
\((1)\) ও \((3)\)-এর ছেদবিন্দু হবে পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A(4, 5)\)
অক্ষরেখা এবং নিয়ামক রেখার ছেদবিন্দু \(Z(x, y)\)
\(ZS\)-এর মধ্যবিন্দু হবে \(A(4, 5)\)
\(\therefore \left(\frac{x+2}{2}, \frac{y+5}{2}\right)\Rightarrow A(4, 5)\)
\(\Rightarrow \frac{x+2}{2}=4, \frac{y+5}{2}=5\)
\(\Rightarrow x+2=8, y+5=10\)
\(\Rightarrow x=8-2, y=10-5\)
\(\Rightarrow x=6, y=5\)
\(\therefore Z(6, 5)\)
\((1)\) এর সমান্তরাল রেখা হবে পরাবৃত্তের দিকাক্ষ।
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ, \(x+k=0 ........(4)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((4)\) নং সরলরেখা \(Z(6, 5)\) বিন্দুগামী,
\(\therefore 6+k=0 \)
\(\Rightarrow k=-6 \)
\(k=-6, (4)\) -এ বসিয়ে,
\(x-6=0 ........(5)\) যা পরাবৃত্তের দিকাক্ষ।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(2, 5)\)
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\) হলে,
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-5)^2}=\frac{|x-6|}{\sqrt{1^2+0^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-5)^2}=\frac{|x-6|}{\sqrt{1^2+0^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-5)^2}=\frac{|x-6|}{\sqrt{1+0}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-5)^2}=\frac{|x-6|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-5)^2}=|x-6|\)
\(\Rightarrow (x-2)^2+(y-5)^2=(x-6)^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow y^2-10y+25=(x-6)^2-(x-2)^2\)
\(\Rightarrow y^2-10y+25=(x-6-x+2)(x-6+x-2)\)
\(\Rightarrow y^2-10y+25=-4(2x-8)\)
\(\Rightarrow y^2-10y+25=-8x+32)\)
\(\Rightarrow y^2-10y+25+8x-32=0)\)
\(\Rightarrow y^2-10y+8x-7=0\)
\(\therefore y^2-10y+8x-7=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
বিকল্প পদ্ধতিঃ
ধরি,
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(2, 5)\)
শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শক \(x-4=0 ........(1)\)
পরাবৃত্তের দিকাক্ষরেখা \((1)\) নং রেখার সমান্তরাল হবে।
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ, \(x+k=0 ........(2)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
শর্তমতে,
\((1)\) ও \((2)\) -এর লম্ব দূরত্ব, উপকেন্দ্র হতে \((1)\) -এর লম্ব দূরত্বের সমান।
\(\frac{|k+4|}{\sqrt{1^2+0^2}}=\frac{|2-4|}{\sqrt{1^2+0^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|k+4|}{\sqrt{1+0}}=\frac{|-2|}{\sqrt{1+0}}\)
\(\Rightarrow \frac{|k+4|}{\sqrt{1}}=\frac{|-2|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow |k+4|=2\)
\(\Rightarrow k+4=\pm 2\)
\(\Rightarrow k=\pm 2-4\)
\(\Rightarrow k=2-4, k=-2-4\)
\(\Rightarrow k\ne-2, k=-6\)
\(k=-6, (2)\) -এ বসিয়ে,
\(x-6=0 ........(3)\) যা দিকাক্ষের সমীকরণ,
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\) হলে,
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-5)^2}=\frac{|x-6|}{\sqrt{1^2+0^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-5)^2}=\frac{|x-6|}{\sqrt{1^2+0^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-5)^2}=\frac{|x-6|}{\sqrt{1+0}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-5)^2}=\frac{|x-6|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-5)^2}=|x-6|\)
\(\Rightarrow (x-2)^2+(y-5)^2=(x-6)^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow y^2-10y+25=(x-6)^2-(x-2)^2\)
\(\Rightarrow y^2-10y+25=(x-6-x+2)(x-6+x-2)\)
\(\Rightarrow y^2-10y+25=-4(2x-8)\)
\(\Rightarrow y^2-10y+25=-8x+32)\)
\(\Rightarrow y^2-10y+25+8x-32=0)\)
\(\Rightarrow y^2-10y+8x-7=0\)
\(\therefore y^2-10y+8x-7=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(2, 5)\)
শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শক \(x-4=0 ........(1)\)
পরাবৃত্তের দিকাক্ষরেখা \((1)\) নং রেখার সমান্তরাল হবে।
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ, \(x+k=0 ........(2)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
শর্তমতে,
\((1)\) ও \((2)\) -এর লম্ব দূরত্ব, উপকেন্দ্র হতে \((1)\) -এর লম্ব দূরত্বের সমান।
\(\frac{|k+4|}{\sqrt{1^2+0^2}}=\frac{|2-4|}{\sqrt{1^2+0^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|k+4|}{\sqrt{1+0}}=\frac{|-2|}{\sqrt{1+0}}\)
\(\Rightarrow \frac{|k+4|}{\sqrt{1}}=\frac{|-2|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow |k+4|=2\)
\(\Rightarrow k+4=\pm 2\)
\(\Rightarrow k=\pm 2-4\)
\(\Rightarrow k=2-4, k=-2-4\)
\(\Rightarrow k\ne-2, k=-6\)
\(k=-6, (2)\) -এ বসিয়ে,
\(x-6=0 ........(3)\) যা দিকাক্ষের সমীকরণ,
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\) হলে,
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-5)^2}=\frac{|x-6|}{\sqrt{1^2+0^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-5)^2}=\frac{|x-6|}{\sqrt{1^2+0^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-5)^2}=\frac{|x-6|}{\sqrt{1+0}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-5)^2}=\frac{|x-6|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-5)^2}=|x-6|\)
\(\Rightarrow (x-2)^2+(y-5)^2=(x-6)^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow y^2-10y+25=(x-6)^2-(x-2)^2\)
\(\Rightarrow y^2-10y+25=(x-6-x+2)(x-6+x-2)\)
\(\Rightarrow y^2-10y+25=-4(2x-8)\)
\(\Rightarrow y^2-10y+25=-8x+32)\)
\(\Rightarrow y^2-10y+25+8x-32=0)\)
\(\Rightarrow y^2-10y+8x-7=0\)
\(\therefore y^2-10y+8x-7=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.2.(xiv)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার অক্ষরেখা \(x\) অক্ষের সমান্তরাল এবং শীর্ষবিন্দু \(y\) অক্ষের উপর অবস্থিত এবং যা \((0, 2)\), \(\left(\frac{1}{2}, 0\right)\) বিন্দু দুইটি দিয়ে অতিক্রম করে।
উত্তরঃ \(y^2-8x-4y+4=0 \)।
উত্তরঃ \(y^2-8x-4y+4=0 \)।
সমাধানঃ
শর্তমতে, 
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(x=ay^2+by+c ......(1)\) ➜ অক্ষরেখা \(x\) অক্ষের সমান্তরাল ।
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A\left(-\frac{b^2-4ac}{4a}, -\frac{b}{2a}\right)\) যা \(y\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
\(\therefore -\frac{b^2-4ac}{4a}=0\) ➜ \(y\) অক্ষের উপর অবস্থিত কোনো বিন্দুর \(x\) স্থানাঙ্ক \(0\)।
\(\Rightarrow b^2-4ac=0\)
\(\Rightarrow b^2=4ac .......(2)\)
আবার,
\((1)\) নং পরাবৃত্তটি \((0, 2)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore 0=a.2^2+b.2+c\)
\(\Rightarrow 0=a.4+2b+c\)
\(\Rightarrow 4a+2b+c=0 ...(3)\)
আবার,
\((1)\) নং পরাবৃত্তটি \(\left(\frac{1}{2}, 0\right)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore \frac{1}{2}=a.0^2+b.0+c\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}=0+0+c\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}=c\)
\(\therefore c=\frac{1}{2}\)
\(c\)-এর মান \((2)\) -এ বসিয়ে,
\(\therefore b^2=4a\times \frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow b^2=2a\)
\(\Rightarrow 2a=b^2\)
\(\therefore a=\frac{b^2}{2}\)
\(a\) ও \(c\)-এর মান \((3)\) -এ বসিয়ে,
\(\therefore 4.\frac{b^2}{2}+2b+\frac{1}{2}=0 \)
\(\Rightarrow 2b^2+2b+\frac{1}{2}=0 \)
\(\Rightarrow 4b^2+4b+1=0 \) ➜ \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow (2b+1)^2=0 \)
\(\Rightarrow 2b+1=0 \)
\(\Rightarrow 2b=-1 \)
\(\Rightarrow b=-\frac{1}{2} \)
\(\therefore a=\frac{(-\frac{1}{2})^2}{2} \)
\(\therefore a=\frac{\frac{1}{4}}{2} \)
\(\therefore a=\frac{1}{8} \)
\(a, b\) ও \(c\)-এর মান \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(x=\frac{1}{8}.y^2+(-\frac{1}{2}).y+\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{8}.y^2-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow 8x=y^2-4y+4\)
\(\Rightarrow y^2-4y+4=8x\)
\(\therefore y^2-8x-4y+4=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(x=ay^2+by+c ......(1)\) ➜ অক্ষরেখা \(x\) অক্ষের সমান্তরাল ।
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A\left(-\frac{b^2-4ac}{4a}, -\frac{b}{2a}\right)\) যা \(y\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
\(\therefore -\frac{b^2-4ac}{4a}=0\) ➜ \(y\) অক্ষের উপর অবস্থিত কোনো বিন্দুর \(x\) স্থানাঙ্ক \(0\)।
\(\Rightarrow b^2-4ac=0\)
\(\Rightarrow b^2=4ac .......(2)\)
আবার,
\((1)\) নং পরাবৃত্তটি \((0, 2)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore 0=a.2^2+b.2+c\)
\(\Rightarrow 0=a.4+2b+c\)
\(\Rightarrow 4a+2b+c=0 ...(3)\)
আবার,
\((1)\) নং পরাবৃত্তটি \(\left(\frac{1}{2}, 0\right)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore \frac{1}{2}=a.0^2+b.0+c\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}=0+0+c\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}=c\)
\(\therefore c=\frac{1}{2}\)
\(c\)-এর মান \((2)\) -এ বসিয়ে,
\(\therefore b^2=4a\times \frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow b^2=2a\)
\(\Rightarrow 2a=b^2\)
\(\therefore a=\frac{b^2}{2}\)
\(a\) ও \(c\)-এর মান \((3)\) -এ বসিয়ে,
\(\therefore 4.\frac{b^2}{2}+2b+\frac{1}{2}=0 \)
\(\Rightarrow 2b^2+2b+\frac{1}{2}=0 \)
\(\Rightarrow 4b^2+4b+1=0 \) ➜ \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow (2b+1)^2=0 \)
\(\Rightarrow 2b+1=0 \)
\(\Rightarrow 2b=-1 \)
\(\Rightarrow b=-\frac{1}{2} \)
\(\therefore a=\frac{(-\frac{1}{2})^2}{2} \)
\(\therefore a=\frac{\frac{1}{4}}{2} \)
\(\therefore a=\frac{1}{8} \)
\(a, b\) ও \(c\)-এর মান \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(x=\frac{1}{8}.y^2+(-\frac{1}{2}).y+\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{8}.y^2-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow 8x=y^2-4y+4\)
\(\Rightarrow y^2-4y+4=8x\)
\(\therefore y^2-8x-4y+4=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.2.(xv)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দু \((0, 2)\) অক্ষরেখা \(y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং যা \((2, 5)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
উত্তরঃ \(3x^2=4(y-2) \)।
উত্তরঃ \(3x^2=4(y-2) \)।
সমাধানঃ
শর্তমতে,
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(y=ax^2+bx+c ......(1)\) ➜ অক্ষরেখা \(y\) অক্ষের সমান্তরাল ।
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\)
\(\therefore -\frac{b}{2a}=0, -\frac{b^2-4ac}{4a}=2\) ➜দেওয়া আছে, শীর্ষবিন্দু \((0, 2)\) ।
\(\Rightarrow b=0, b^2-4ac=-8a\)
\(\Rightarrow 0^2-4ac=-8a\) ➜\(\because b=0\) । \(\Rightarrow -4ac=-8a \)
\(\Rightarrow c=\frac{-8a}{-4a} \)
\(\therefore c=2\)
আবার,
\((1)\) নং পরাবৃত্তটি \((2, 5)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore 5=a.2^2+b.2+c\)
\(\Rightarrow 5=4a+2.0+2\) \(\because b=0, c=2\) ।
\(\Rightarrow 4a+2=5\)
\(\Rightarrow 4a=5-2\)
\(\Rightarrow 4a=3\)
\(\therefore a=\frac{3}{4}\)
\(a, b\) ও \(c\)-এর মান \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(y=\frac{3}{4}.x^2+0.x+2\)
\(\Rightarrow y=\frac{3}{4}.x^2+0+2\)
\(\Rightarrow 4y=3x^2+8\)
\(\Rightarrow 3x^2+8=4y\)
\(\Rightarrow 3x^2=4y-8\)
\(\therefore 3x^2=4(y-2)\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(y=ax^2+bx+c ......(1)\) ➜ অক্ষরেখা \(y\) অক্ষের সমান্তরাল ।
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\)
\(\therefore -\frac{b}{2a}=0, -\frac{b^2-4ac}{4a}=2\) ➜দেওয়া আছে, শীর্ষবিন্দু \((0, 2)\) ।
\(\Rightarrow b=0, b^2-4ac=-8a\)
\(\Rightarrow 0^2-4ac=-8a\) ➜\(\because b=0\) । \(\Rightarrow -4ac=-8a \)
\(\Rightarrow c=\frac{-8a}{-4a} \)
\(\therefore c=2\)
আবার,
\((1)\) নং পরাবৃত্তটি \((2, 5)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore 5=a.2^2+b.2+c\)
\(\Rightarrow 5=4a+2.0+2\) \(\because b=0, c=2\) ।
\(\Rightarrow 4a+2=5\)
\(\Rightarrow 4a=5-2\)
\(\Rightarrow 4a=3\)
\(\therefore a=\frac{3}{4}\)
\(a, b\) ও \(c\)-এর মান \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(y=\frac{3}{4}.x^2+0.x+2\)
\(\Rightarrow y=\frac{3}{4}.x^2+0+2\)
\(\Rightarrow 4y=3x^2+8\)
\(\Rightarrow 3x^2+8=4y\)
\(\Rightarrow 3x^2=4y-8\)
\(\therefore 3x^2=4(y-2)\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.2.(xvii)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((-1, 3)\) এবং শীর্ষ \((4, 3)\) বিন্দুতে অবস্থিত।
[ কুঃ ২০১১;সিঃ২০০৬;মাঃ২০০৮। ]
উত্তরঃ \((y-3)^2=-20(x-4)\)।
[ কুঃ ২০১১;সিঃ২০০৬;মাঃ২০০৮। ]
উত্তরঃ \((y-3)^2=-20(x-4)\)।
সমাধানঃ
ধরি,
উপকেন্দ্র \(S(-1, 3)\)
এবং শীর্ষবিন্দু \(A(4, 3)\)
পরাবৃত্তের অক্ষ \(S(-1, 3)\) এবং \(A(4, 3)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
অতএব, অক্ষের সমীকরণ, \(\frac{x+1}{-1-4}=\frac{y-3}{3-3}\) ➜\(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x+1}{-5}=\frac{y-3}{0}\)
\(\Rightarrow -5(y-3)=0\)
\(\Rightarrow y-3=\frac{0}{-5}\)
\(\Rightarrow y-3=0\)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ, \( y-3=0\)।
আবার,
দিকাক্ষ এবং অক্ষের ছেদবিন্দু \(Z(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে \(ZS\)-এর মধ্যবিন্দু \(A(4, 3)\)
\(\therefore ZS\)-এর মধ্যবিন্দু \(A\left(\frac{x-1}{2}, \frac{y-3}{2}\right)\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\therefore \frac{x-1}{2}=4, \frac{y-3}{2}=3\)
\(\Rightarrow x-1=8, y-3=6 \)
\(\Rightarrow x=8+1, y=6+3 \)
\(\therefore x=9, y=9 \)
\(\therefore Z(9, 9) \)
দিকাক্ষ রেখা অক্ষের উপর লম্ব।
অতএব দিকাক্ষ রেখার সমীকরণ, \(x+k=0 .......(1)\)
\((1)\) নং রেখা \(Z(9, 9)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 9+k=0 \)
\(\therefore k=-9 \)
\(k\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(x-9=0 .......(2)\) দিকাক্ষের সমীকরণ।
এখন,
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(-1, 3)\)
পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখা \(x-9=0\)
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+1)^2+(y-3)^2}=\frac{|x-9|}{\sqrt{1^2+0^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+1)^2+(y-3)^2}=\frac{|x-9|}{\sqrt{1+0}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+1)^2+(y-3)^2}=\frac{|x-9|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+1)^2+(y-3)^2}=\frac{|x-9|}{1}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+1)^2+(y-3)^2}=|x-9|\)
\(\Rightarrow (x+1)^2+(y-3)^2=(x-9)^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (y-3)^2=(x-9)^2-(x+1)^2\)
\(\Rightarrow (y-3)^2=(x-9-x-1)(x-9+x+1)\)
\(\Rightarrow (y-3)^2=-10(2x-8)\)
\(\Rightarrow (y-3)^2=-20(x-4)\)
উপকেন্দ্র \(S(-1, 3)\)
এবং শীর্ষবিন্দু \(A(4, 3)\)
পরাবৃত্তের অক্ষ \(S(-1, 3)\) এবং \(A(4, 3)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
অতএব, অক্ষের সমীকরণ, \(\frac{x+1}{-1-4}=\frac{y-3}{3-3}\) ➜\(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x+1}{-5}=\frac{y-3}{0}\)
\(\Rightarrow -5(y-3)=0\)
\(\Rightarrow y-3=\frac{0}{-5}\)
\(\Rightarrow y-3=0\)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ, \( y-3=0\)।
আবার,
দিকাক্ষ এবং অক্ষের ছেদবিন্দু \(Z(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে \(ZS\)-এর মধ্যবিন্দু \(A(4, 3)\)
\(\therefore ZS\)-এর মধ্যবিন্দু \(A\left(\frac{x-1}{2}, \frac{y-3}{2}\right)\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\therefore \frac{x-1}{2}=4, \frac{y-3}{2}=3\)
\(\Rightarrow x-1=8, y-3=6 \)
\(\Rightarrow x=8+1, y=6+3 \)
\(\therefore x=9, y=9 \)
\(\therefore Z(9, 9) \)
দিকাক্ষ রেখা অক্ষের উপর লম্ব।
অতএব দিকাক্ষ রেখার সমীকরণ, \(x+k=0 .......(1)\)
\((1)\) নং রেখা \(Z(9, 9)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 9+k=0 \)
\(\therefore k=-9 \)
\(k\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(x-9=0 .......(2)\) দিকাক্ষের সমীকরণ।
এখন,
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(-1, 3)\)
পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখা \(x-9=0\)
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+1)^2+(y-3)^2}=\frac{|x-9|}{\sqrt{1^2+0^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+1)^2+(y-3)^2}=\frac{|x-9|}{\sqrt{1+0}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+1)^2+(y-3)^2}=\frac{|x-9|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+1)^2+(y-3)^2}=\frac{|x-9|}{1}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+1)^2+(y-3)^2}=|x-9|\)
\(\Rightarrow (x+1)^2+(y-3)^2=(x-9)^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (y-3)^2=(x-9)^2-(x+1)^2\)
\(\Rightarrow (y-3)^2=(x-9-x-1)(x-9+x+1)\)
\(\Rightarrow (y-3)^2=-10(2x-8)\)
\(\Rightarrow (y-3)^2=-20(x-4)\)
\(Q.2.(xviii)\) \(y^2=8x+5\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(\left(-\frac{5}{8}, 0\right), 8 \)।
[ কুঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(\left(-\frac{5}{8}, 0\right), 8 \)।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(y^2=8x+5\)
\(\Rightarrow y^2=8\left(x+\frac{5}{8}\right)\)
\(\Rightarrow Y^2=8X ......(1)\) যেখানে, \(X=x+\frac{5}{8}, Y=y\)
এখানে,
\(4a=8\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=2\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x+\frac{5}{8}=0, y=0\)
\(\Rightarrow x=-\frac{5}{8}, y=0\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A\left(-\frac{5}{8}, 0\right)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(=|4\times 2|\)
\(=|8|\)
\(=8\) একক।
\(y^2=8x+5\)
\(\Rightarrow y^2=8\left(x+\frac{5}{8}\right)\)
\(\Rightarrow Y^2=8X ......(1)\) যেখানে, \(X=x+\frac{5}{8}, Y=y\)
এখানে,
\(4a=8\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=2\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x+\frac{5}{8}=0, y=0\)
\(\Rightarrow x=-\frac{5}{8}, y=0\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A\left(-\frac{5}{8}, 0\right)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(=|4\times 2|\)
\(=|8|\)
\(=8\) একক।
\(Q.2.(xix)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের উপর \(P\) একটি বিন্দু । \(X\) অক্ষ হতে \(P\) বিন্দুর দূরত্ব \(Y\) অক্ষ হতে তার দূরত্বের দ্বিগুণ হলে \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((3, 6)\) বা \( (3, -6)\)।
উত্তরঃ \((3, 6)\) বা \( (3, -6)\)।
সমাধানঃ
ধরি, 
\(y^2=12x .......(1)\)
শর্তমতে,
বিন্দুটির স্থানাঙ্ক \(P(a, 2a)\)।
\(P(a, 2a)\) বিন্দুটি \((1)\) নং পরাবৃত্তের উপর অবস্থিত।
\(\therefore (2a)^2=12a \)
\(\Rightarrow 4a^2=12a \)
\(\Rightarrow a=\frac{12a}{4a}\) ➜ উভয় পার্শে \(4a\) ভাগ করে।
\(\therefore a=3\)
\(a\)-এর মান বসিয়ে পাই।
বিন্দুটির স্থানাঙ্ক \(P(3, 2.3)\)
\(\Rightarrow P(3, 6)\)
ইহাই নির্ণেয় বিন্দুর স্থানাঙ্ক।
\(y^2=12x .......(1)\)
শর্তমতে,
বিন্দুটির স্থানাঙ্ক \(P(a, 2a)\)।
\(P(a, 2a)\) বিন্দুটি \((1)\) নং পরাবৃত্তের উপর অবস্থিত।
\(\therefore (2a)^2=12a \)
\(\Rightarrow 4a^2=12a \)
\(\Rightarrow a=\frac{12a}{4a}\) ➜ উভয় পার্শে \(4a\) ভাগ করে।
\(\therefore a=3\)
\(a\)-এর মান বসিয়ে পাই।
বিন্দুটির স্থানাঙ্ক \(P(3, 2.3)\)
\(\Rightarrow P(3, 6)\)
ইহাই নির্ণেয় বিন্দুর স্থানাঙ্ক।
অনুশীলনী \(5.A\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(Q.3.(i)\) \(y^2=9x\) পরাবৃত্তের উপরিস্থিত \(P\) বিন্দুর কটি \(12\) হলে, ঐ বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব নির্ণয় কর।
[ সিঃ,বঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \(18\frac{1}{2}\)একক।
\(Q.3.(ii)\) \(y^2=4(x-2)\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু এবং উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
[রাঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \((2, 0) , (3, 0)\)।
\((iii)\) \(3y^2-10x-12y-18=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র, অক্ষরেখা ও দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চঃ২০০৩ ]
উত্তরঃ \((-3, 2), \left(-\frac{13}{6}, 2\right), y-2=0, 6x+23=0\)
\(Q.3.(iv)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত এবং যা \((3, 2)\) ও \((-2, -1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
উত্তরঃ \(5y^2=3x+11\)।
\(Q.3.(v)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত এবং যা \((-2, 1)\) , \((1, 2)\) এবং \((-1, 3)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
উত্তরঃ \(5y^2-21y+2x+20=0\)।
\(Q.3.(vi)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত এবং যা \((4, 5)\) , \((-2, 11)\) এবং \((-4, 21)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
উত্তরঃ \(x^2-2y-4x+10=0\)।
\(Q.3.(vii)\) এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((3, 5)\) ও \((3, -3)\) ।
উত্তরঃ \(y^2-2y-8x+9=0, y^2-2y+8x-39=0\)।
\(Q.3.(viii)\) এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((-2, 2)\) ও \((-2, -4)\) ।
উত্তরঃ \(y^2+2y+6x+4=0, y^2+2y-6x-20=0\)।
\(Q.3.(ix)\) এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষ \((4, 3)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(y=7\), এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০০৯,২০০৫,২০০৩]
উত্তরঃ \((x-4)^2=-16(y-3), 16\)।
\(Q.3.(x)\) একটি পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র এবং শীর্ষবিন্দু যথাক্রমে \((0, 0)\) ও \((-2, -1)\) বিন্দুতে অবস্থান করে। পরাবৃত্তটির সমীকরণও নির্ণয় কর।
[সিঃ ২০১১,চঃ ২০১০;যঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(2x+y+10=0, (x-2y)^2-40x-20y-100=0 \)।
\(Q.3.(xi)\) যে, পরাবৃত্তের শীর্ষ \((2, 3)\) বিন্দুতে এবং নাভিলম্বের সমীকরণ \(x=4\) তার সমীকরণ নির্ণয় কর। নাভিলম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \((y-3)^2=8(x-2), (4, 7), (4, -1)\)
\(Q.3.(xii)\) \((2, 5)\) বিন্দুগামী পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষ \((0, 2)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল।
[সিঃ ২০১২,২০০৫; চঃ ২০০২]
উত্তরঃ \(3x^2=4(y-2)\)।
[ সিঃ,বঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \(18\frac{1}{2}\)একক।
\(Q.3.(ii)\) \(y^2=4(x-2)\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু এবং উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
[রাঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \((2, 0) , (3, 0)\)।
\((iii)\) \(3y^2-10x-12y-18=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র, অক্ষরেখা ও দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চঃ২০০৩ ]
উত্তরঃ \((-3, 2), \left(-\frac{13}{6}, 2\right), y-2=0, 6x+23=0\)
\(Q.3.(iv)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত এবং যা \((3, 2)\) ও \((-2, -1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
উত্তরঃ \(5y^2=3x+11\)।
\(Q.3.(v)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত এবং যা \((-2, 1)\) , \((1, 2)\) এবং \((-1, 3)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
উত্তরঃ \(5y^2-21y+2x+20=0\)।
\(Q.3.(vi)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত এবং যা \((4, 5)\) , \((-2, 11)\) এবং \((-4, 21)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
উত্তরঃ \(x^2-2y-4x+10=0\)।
\(Q.3.(vii)\) এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((3, 5)\) ও \((3, -3)\) ।
উত্তরঃ \(y^2-2y-8x+9=0, y^2-2y+8x-39=0\)।
\(Q.3.(viii)\) এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((-2, 2)\) ও \((-2, -4)\) ।
উত্তরঃ \(y^2+2y+6x+4=0, y^2+2y-6x-20=0\)।
\(Q.3.(ix)\) এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষ \((4, 3)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(y=7\), এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০০৯,২০০৫,২০০৩]
উত্তরঃ \((x-4)^2=-16(y-3), 16\)।
\(Q.3.(x)\) একটি পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র এবং শীর্ষবিন্দু যথাক্রমে \((0, 0)\) ও \((-2, -1)\) বিন্দুতে অবস্থান করে। পরাবৃত্তটির সমীকরণও নির্ণয় কর।
[সিঃ ২০১১,চঃ ২০১০;যঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(2x+y+10=0, (x-2y)^2-40x-20y-100=0 \)।
\(Q.3.(xi)\) যে, পরাবৃত্তের শীর্ষ \((2, 3)\) বিন্দুতে এবং নাভিলম্বের সমীকরণ \(x=4\) তার সমীকরণ নির্ণয় কর। নাভিলম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \((y-3)^2=8(x-2), (4, 7), (4, -1)\)
\(Q.3.(xii)\) \((2, 5)\) বিন্দুগামী পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষ \((0, 2)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল।
[সিঃ ২০১২,২০০৫; চঃ ২০০২]
উত্তরঃ \(3x^2=4(y-2)\)।
\(Q.3.(xiii)\) \((y-2)^2=5(x-1)\) পরাবৃত্তের উপরিস্থিত কোনো বিন্দুর ফোকাস দূরত্ব \(\frac{25}{4} \) উক্ত বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১৪ ]
উত্তরঃ \((6, 7), (6, -3)\)।
\(Q.3.(xiv)\) \(y^2=16x\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(32 \) বর্গ একক।
\(Q.3.(xv)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের ঋনাত্মক প্রান্তবিন্দু এবং নিয়ামক ও অক্ষের ছেদবিন্দুর সংযোজক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+y+3=0 \)।
\(Q.3.(xvi)\) যে পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় \((-2, 2)\) ও \((-2, -4)\) তার সমীকরণ নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \(y^2+2y+6x+4=0, y^2+2y-6x-20=0 \)।
\(Q.3.(xvii)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং শীর্ষবিন্দু \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত এবং যা \((4, 0)\) ও \(\left(0, \frac{1}{2}\right)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
উত্তরঃ \(x^2-8x-32y+16=0\)।
\(Q.3.(xviii)\) \(x^2=-6ay\) পরাবৃত্তটি \((9, 4)\) বিন্দুগামী হলে, এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{81}{4}, \left(0, \frac{81}{16}\right)\)।
\(Q.3.(xix)\) \(x+2y-2=0\) সরলরেখাটি যে পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দুতে তার অক্ষের উপর লম্ব এবং যার উপকেন্দ্র \((-6, -6)\) তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((2x-y)^2+104x+148y-124=0\)।
\(Q.3.(xx)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষ \((2, -3)\) অক্ষরেখা \((a) \ X\) অক্ষের সমান্তরাল \((b) \ Y\) অক্ষের সমান্তরাল।
উত্তরঃ \((a) (y+3)^2=12(x-2); (b) (x-2)^2=12(y+3)\)।
\(Q.3.(xxi)\)একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষ \((4, -3)\) অক্ষরেখা \((a) \ X\) অক্ষের সমান্তরাল \((b) \ Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(4\) একক।
উত্তরঃ \((a) (y+3)^2=4(x-4); (b) (x-4)^2=4(y+3)\)।
\(Q.3.(xxii)\) \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তটি \(2x^2+2y^2-4x+12y-1=0\) বৃত্তের কেন্দ্রগামী হলে, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\left(\frac{9}{4}, 0\right); 9\)।
\(Q.3.(xxiii)\) দেখাও যে, \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তস্থ \((x_1, y_1)\) এবং \((x_2, y_2)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক জ্যা-এর সমীকরণ \((y-y_1)(y-y_2)=y^2-4ax \)।
[ কুঃ ২০১৪ ]
উত্তরঃ \((6, 7), (6, -3)\)।
\(Q.3.(xiv)\) \(y^2=16x\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(32 \) বর্গ একক।
\(Q.3.(xv)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের ঋনাত্মক প্রান্তবিন্দু এবং নিয়ামক ও অক্ষের ছেদবিন্দুর সংযোজক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+y+3=0 \)।
\(Q.3.(xvi)\) যে পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় \((-2, 2)\) ও \((-2, -4)\) তার সমীকরণ নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \(y^2+2y+6x+4=0, y^2+2y-6x-20=0 \)।
\(Q.3.(xvii)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং শীর্ষবিন্দু \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত এবং যা \((4, 0)\) ও \(\left(0, \frac{1}{2}\right)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
উত্তরঃ \(x^2-8x-32y+16=0\)।
\(Q.3.(xviii)\) \(x^2=-6ay\) পরাবৃত্তটি \((9, 4)\) বিন্দুগামী হলে, এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{81}{4}, \left(0, \frac{81}{16}\right)\)।
\(Q.3.(xix)\) \(x+2y-2=0\) সরলরেখাটি যে পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দুতে তার অক্ষের উপর লম্ব এবং যার উপকেন্দ্র \((-6, -6)\) তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((2x-y)^2+104x+148y-124=0\)।
\(Q.3.(xx)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষ \((2, -3)\) অক্ষরেখা \((a) \ X\) অক্ষের সমান্তরাল \((b) \ Y\) অক্ষের সমান্তরাল।
উত্তরঃ \((a) (y+3)^2=12(x-2); (b) (x-2)^2=12(y+3)\)।
\(Q.3.(xxi)\)একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষ \((4, -3)\) অক্ষরেখা \((a) \ X\) অক্ষের সমান্তরাল \((b) \ Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(4\) একক।
উত্তরঃ \((a) (y+3)^2=4(x-4); (b) (x-4)^2=4(y+3)\)।
\(Q.3.(xxii)\) \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তটি \(2x^2+2y^2-4x+12y-1=0\) বৃত্তের কেন্দ্রগামী হলে, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\left(\frac{9}{4}, 0\right); 9\)।
\(Q.3.(xxiii)\) দেখাও যে, \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তস্থ \((x_1, y_1)\) এবং \((x_2, y_2)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক জ্যা-এর সমীকরণ \((y-y_1)(y-y_2)=y^2-4ax \)।
\(Q.3.(i)\) \(y^2=9x\) পরাবৃত্তের উপরিস্থিত \(P\) বিন্দুর কটি \(12\) হলে, ঐ বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব নির্ণয় কর।
[ সিঃ,বঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \(18\frac{1}{2}\)একক।
[ সিঃ,বঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \(18\frac{1}{2}\)একক।
সমাধানঃ
ধরি, 
\(y^2=9x .........(1)\)
দেওয়া আছে, \(P\) বিন্দুর কটি \(12\)
বিন্দুটির ভুজ \(x\) হলে, বিন্দুটি \(P(x, 12)\)
\(P\) বিন্দুটি \((1)\) নং পরাবৃত্তের উপর অবস্থিত।
\(\therefore 12^2=9x\)
\(\Rightarrow 144=9x\)
\(\Rightarrow 9x=144\)
\(\Rightarrow x=\frac{144}{9}\)
\(\therefore x=16\)
\(\therefore P(16, 12)\)
এখানে,
\((1)\)-এর ক্ষেত্রে,
\(4a=9\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{9}{4}\)
\(\therefore (1)\) নং পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\Rightarrow S\left(\frac{9}{4}, 0\right)\)
এখন,
\(PS=\sqrt{(16-\frac{9}{4})^2+(12-0)^2}\)
\(=\sqrt{(\frac{64-9}{4})^2+(12)^2}\)
\(=\sqrt{\frac{3025}{16}+144}\)
\(=\sqrt{\frac{3025+2304}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{5329}{16}}\)
\(=\frac{73}{4}\)
\(=18\frac{1}{4}\) একক।
\(y^2=9x .........(1)\)
দেওয়া আছে, \(P\) বিন্দুর কটি \(12\)
বিন্দুটির ভুজ \(x\) হলে, বিন্দুটি \(P(x, 12)\)
\(P\) বিন্দুটি \((1)\) নং পরাবৃত্তের উপর অবস্থিত।
\(\therefore 12^2=9x\)
\(\Rightarrow 144=9x\)
\(\Rightarrow 9x=144\)
\(\Rightarrow x=\frac{144}{9}\)
\(\therefore x=16\)
\(\therefore P(16, 12)\)
এখানে,
\((1)\)-এর ক্ষেত্রে,
\(4a=9\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{9}{4}\)
\(\therefore (1)\) নং পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\Rightarrow S\left(\frac{9}{4}, 0\right)\)
এখন,
\(PS=\sqrt{(16-\frac{9}{4})^2+(12-0)^2}\)
\(=\sqrt{(\frac{64-9}{4})^2+(12)^2}\)
\(=\sqrt{\frac{3025}{16}+144}\)
\(=\sqrt{\frac{3025+2304}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{5329}{16}}\)
\(=\frac{73}{4}\)
\(=18\frac{1}{4}\) একক।
\(Q.3.(ii)\) \(y^2=4(x-2)\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু এবং উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
[রাঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \((2, 0) , (3, 0)\)।
[রাঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \((2, 0) , (3, 0)\)।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
\(y^2=4(x-2)\)
\(\Rightarrow Y^2=4X ......(1)\) যেখানে, \(X=x-2, Y=y\)
এখানে,
\(4a=4\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=1\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x-2=0, y=0\)
\(\Rightarrow x=2, y=0\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(2, 0)\)
উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow X=a, Y=0\)
\(\Rightarrow x-2=1, y=0\)
\(\Rightarrow x=1+2, y=0\)
\(\therefore x=3, y=0\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S(3, 0)\)
\(y^2=4(x-2)\)
\(\Rightarrow Y^2=4X ......(1)\) যেখানে, \(X=x-2, Y=y\)
এখানে,
\(4a=4\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=1\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x-2=0, y=0\)
\(\Rightarrow x=2, y=0\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(2, 0)\)
উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow X=a, Y=0\)
\(\Rightarrow x-2=1, y=0\)
\(\Rightarrow x=1+2, y=0\)
\(\therefore x=3, y=0\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S(3, 0)\)
\(Q.3.(iii)\) \(3y^2-10x-12y-18=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র, অক্ষরেখা ও দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চঃ২০০৩ ]
উত্তরঃ \((-3, 2), \left(-\frac{13}{6}, 2\right), y-2=0, 6x+23=0\)
[ চঃ২০০৩ ]
উত্তরঃ \((-3, 2), \left(-\frac{13}{6}, 2\right), y-2=0, 6x+23=0\)
সমাধানঃ
ধরি, 
\(3y^2-10x-12y-18=0\)
\(\Rightarrow y^2-\frac{10}{3}x-4y-6=0\) ➜ উভয় পার্শে \(3\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow y^2-4y+4-4-\frac{10}{3}x-6=0\)
\(\Rightarrow y^2-4y+4-\frac{10}{3}x-10=0\)
\(\Rightarrow y^2-4y+4-\frac{10}{3}x-10=0\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=\frac{10}{3}x+10\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=\frac{10}{3}(x+3)\)
\(\Rightarrow Y^2=\frac{10}{3}X ........(1)\) যেখানে, \(X=x+3, Y=y-2\)
এখানে,
\(4a=\frac{10}{3}\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{10}{3\times 4}\)
\(\Rightarrow a=\frac{5}{3\times 2}\)
\(\therefore a=\frac{5}{6}\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x+3=0, y-2=0\)
\(\Rightarrow x=-3, y=2\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(-3, 2)\)
উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\Rightarrow X=a, Y=0\)
\(\Rightarrow x+3=\frac{5}{6}, y-2=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{5}{6}-3, y=2\)
\(\Rightarrow x=\frac{5-18}{6}, y=2\)
\(\Rightarrow x=\frac{-13}{6}, y=2\)
\(\Rightarrow x=-\frac{13}{6}, y=2\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S\left(-\frac{13}{6}, 2\right)\)
অক্ষের সমীকরণ, \(Y=0\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। অক্ষের সমীকরণ, \(y=0\)
\(\Rightarrow y-2=0\)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ, \( y-2=0\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(X=-a\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(x=-a\)
\(\Rightarrow x+3=-\frac{5}{6}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{5}{6}-3\)
\(\Rightarrow x=\frac{-5-18}{6}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-23}{6}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{23}{6}\)
\(\Rightarrow 6x=-23\)
\(\Rightarrow 6x+23=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(6x+23=0\)
\(3y^2-10x-12y-18=0\)
\(\Rightarrow y^2-\frac{10}{3}x-4y-6=0\) ➜ উভয় পার্শে \(3\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow y^2-4y+4-4-\frac{10}{3}x-6=0\)
\(\Rightarrow y^2-4y+4-\frac{10}{3}x-10=0\)
\(\Rightarrow y^2-4y+4-\frac{10}{3}x-10=0\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=\frac{10}{3}x+10\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=\frac{10}{3}(x+3)\)
\(\Rightarrow Y^2=\frac{10}{3}X ........(1)\) যেখানে, \(X=x+3, Y=y-2\)
এখানে,
\(4a=\frac{10}{3}\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{10}{3\times 4}\)
\(\Rightarrow a=\frac{5}{3\times 2}\)
\(\therefore a=\frac{5}{6}\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x+3=0, y-2=0\)
\(\Rightarrow x=-3, y=2\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(-3, 2)\)
উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\Rightarrow X=a, Y=0\)
\(\Rightarrow x+3=\frac{5}{6}, y-2=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{5}{6}-3, y=2\)
\(\Rightarrow x=\frac{5-18}{6}, y=2\)
\(\Rightarrow x=\frac{-13}{6}, y=2\)
\(\Rightarrow x=-\frac{13}{6}, y=2\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S\left(-\frac{13}{6}, 2\right)\)
অক্ষের সমীকরণ, \(Y=0\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। অক্ষের সমীকরণ, \(y=0\)
\(\Rightarrow y-2=0\)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ, \( y-2=0\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(X=-a\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(x=-a\)
\(\Rightarrow x+3=-\frac{5}{6}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{5}{6}-3\)
\(\Rightarrow x=\frac{-5-18}{6}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-23}{6}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{23}{6}\)
\(\Rightarrow 6x=-23\)
\(\Rightarrow 6x+23=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(6x+23=0\)
\(Q.3.(iv)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত এবং যা \((3, 2)\) ও \((-2, -1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
উত্তরঃ \(5y^2=3x+11\)।
উত্তরঃ \(5y^2=3x+11\)।
সমাধানঃ
শর্তমতে,
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(x=ay^2+by+c ........(1)\) ➜ অক্ষরেখা \(x\) অক্ষের সমান্তরাল হলে, পরাবৃত্তের সমীকরণ \(x=ay^2+by+c\)
\((1)\) নং পরাবৃত্তের অক্ষরেখা \(x\) অক্ষের উপর অবস্থিত। ফলে এর শীর্ষবিন্দু হবে \(A(\alpha, \ 0)\)
কিন্তু \((1)\) নং পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A\left(-\frac{b^2-4ac}{4a}, \ -\frac{b}{2a}\right)\)
তাহলে, \(-\frac{b}{2a}=0\)
\(\Rightarrow -b=0\)
\(\therefore b=0\)
আবার, \((1)\) নং পরাবৃত্ত \((3, 2)\) ও \((-2, -1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore 3=a.2^2+b.2+c\)
\(\Rightarrow 3=4a+2.0+c\)
\(\Rightarrow 3=4a+c\)
\(\therefore 4a+c=3 .....(2)\)
আবার,
\(\therefore -2=a.(-1)^2+b.(-1)+c\)
\(\Rightarrow -2=a+0.(-1)+c\)
\(\Rightarrow -2=a+c\)
\(\therefore a+c=-2 .....(3)\)
\((2)\)-\((3)\)-এর সাহায্যে
\(4a+c-a-c=3+2\)
\(\Rightarrow 3a=5\)
\(\therefore a=\frac{5}{3}\)
\((3)\)-এর সাহায্যে
\(\frac{5}{3}+c=-2\)
\(\Rightarrow c=-2-\frac{5}{3}\)
\(\Rightarrow c=\frac{-6-5}{3}\)
\(\therefore c=-\frac{11}{3}\)
\(a, b, c\)-এর মান \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(\therefore x=\frac{5}{3}.y^2+0.y-\frac{11}{3}\)
\(\Rightarrow x=\frac{5}{3}.y^2-\frac{11}{3}\)
\(\Rightarrow 3x=5y^2-11\) ➜ উভয় পার্শে \(3\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 5y^2-11=3x\)
\(\therefore 5y^2=3x+11\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(x=ay^2+by+c ........(1)\) ➜ অক্ষরেখা \(x\) অক্ষের সমান্তরাল হলে, পরাবৃত্তের সমীকরণ \(x=ay^2+by+c\)
\((1)\) নং পরাবৃত্তের অক্ষরেখা \(x\) অক্ষের উপর অবস্থিত। ফলে এর শীর্ষবিন্দু হবে \(A(\alpha, \ 0)\)
কিন্তু \((1)\) নং পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A\left(-\frac{b^2-4ac}{4a}, \ -\frac{b}{2a}\right)\)
তাহলে, \(-\frac{b}{2a}=0\)
\(\Rightarrow -b=0\)
\(\therefore b=0\)
আবার, \((1)\) নং পরাবৃত্ত \((3, 2)\) ও \((-2, -1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore 3=a.2^2+b.2+c\)
\(\Rightarrow 3=4a+2.0+c\)
\(\Rightarrow 3=4a+c\)
\(\therefore 4a+c=3 .....(2)\)
আবার,
\(\therefore -2=a.(-1)^2+b.(-1)+c\)
\(\Rightarrow -2=a+0.(-1)+c\)
\(\Rightarrow -2=a+c\)
\(\therefore a+c=-2 .....(3)\)
\((2)\)-\((3)\)-এর সাহায্যে
\(4a+c-a-c=3+2\)
\(\Rightarrow 3a=5\)
\(\therefore a=\frac{5}{3}\)
\((3)\)-এর সাহায্যে
\(\frac{5}{3}+c=-2\)
\(\Rightarrow c=-2-\frac{5}{3}\)
\(\Rightarrow c=\frac{-6-5}{3}\)
\(\therefore c=-\frac{11}{3}\)
\(a, b, c\)-এর মান \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(\therefore x=\frac{5}{3}.y^2+0.y-\frac{11}{3}\)
\(\Rightarrow x=\frac{5}{3}.y^2-\frac{11}{3}\)
\(\Rightarrow 3x=5y^2-11\) ➜ উভয় পার্শে \(3\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 5y^2-11=3x\)
\(\therefore 5y^2=3x+11\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.3.(v)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত এবং যা \((-2, 1)\) , \((1, 2)\) এবং \((-1, 3)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
উত্তরঃ \(5y^2-21y+2x+20=0\)।
উত্তরঃ \(5y^2-21y+2x+20=0\)।
সমাধানঃ
শর্তমতে,
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(x=ay^2+by+c ........(1)\) ➜ অক্ষরেখা \(x\) অক্ষের সমান্তরাল হলে, পরাবৃত্তের সমীকরণ \(x=ay^2+by+c\)
\((1)\) নং পরাবৃত্ত \((-2, 1)\) , \((1, 2)\) এবং \((-1, 3)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore -2=a.1^2+b.1+c\)
\(\Rightarrow -2=a.1+b+c\)
\(\Rightarrow a+b+c=-2 .....(2)\)
আবার,
\(\therefore 1=a.2^2+b.2+c\)
\(\therefore 1=a.4+2b+c\)
\(\therefore 4a+2b+c=1 .....(3)\)
আবার,
\(\therefore -1=a.3^2+b.3+c\)
\(\therefore -1=a.9+3b+c\)
\(\therefore 9a+3b+c=-1 .....(4)\)
\((3)\)-\((2)\)-এর সাহায্যে
\(4a+2b+c-a-b-c=1+2\)
\(3a+b=3 .......(5)\)
\((4)\)-\((3)\)-এর সাহায্যে
\(9a+3b+c-4a-2b-c=-1-1\)
\(5a+b=-2 .......(6)\)
আবার,
\((6)\)-\((5)\)-এর সাহায্যে
\(\Rightarrow 5a+b-3a-b=-2-3\)
\(\Rightarrow 2a=-5\)
\(\therefore a=-\frac{5}{2}\)
\((6)\)-এর সাহায্যে
\(5a+b=-2 \)
\(\Rightarrow b=-2-5a \)
\(\Rightarrow b=-2-5\times -\frac{5}{2}\)
\(\Rightarrow b=-2+\frac{25}{2}\)
\(\Rightarrow b=\frac{-4+25}{2}\)
\(\therefore b=\frac{21}{2}\)
\((2)\)-এর সাহায্যে
\(a+b+c=-2\)
\(\Rightarrow c=-2-a-b\)
\(\Rightarrow c=-2+\frac{5}{2}-\frac{21}{2}\)
\(\Rightarrow c=\frac{-4+5-21}{2}\)
\(\Rightarrow c=\frac{-20}{2}\)
\(\Rightarrow c=-10\)
\(a, b, c\)-এর মান \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(\therefore x=-\frac{5}{2}.y^2+\frac{21}{2}.y-10\)
\(\Rightarrow 2x=-5y^2+21y-20\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 2x+5y^2-21y+20=0\)
\(\therefore 5y^2-21y+2x+20=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(x=ay^2+by+c ........(1)\) ➜ অক্ষরেখা \(x\) অক্ষের সমান্তরাল হলে, পরাবৃত্তের সমীকরণ \(x=ay^2+by+c\)
\((1)\) নং পরাবৃত্ত \((-2, 1)\) , \((1, 2)\) এবং \((-1, 3)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore -2=a.1^2+b.1+c\)
\(\Rightarrow -2=a.1+b+c\)
\(\Rightarrow a+b+c=-2 .....(2)\)
আবার,
\(\therefore 1=a.2^2+b.2+c\)
\(\therefore 1=a.4+2b+c\)
\(\therefore 4a+2b+c=1 .....(3)\)
আবার,
\(\therefore -1=a.3^2+b.3+c\)
\(\therefore -1=a.9+3b+c\)
\(\therefore 9a+3b+c=-1 .....(4)\)
\((3)\)-\((2)\)-এর সাহায্যে
\(4a+2b+c-a-b-c=1+2\)
\(3a+b=3 .......(5)\)
\((4)\)-\((3)\)-এর সাহায্যে
\(9a+3b+c-4a-2b-c=-1-1\)
\(5a+b=-2 .......(6)\)
আবার,
\((6)\)-\((5)\)-এর সাহায্যে
\(\Rightarrow 5a+b-3a-b=-2-3\)
\(\Rightarrow 2a=-5\)
\(\therefore a=-\frac{5}{2}\)
\((6)\)-এর সাহায্যে
\(5a+b=-2 \)
\(\Rightarrow b=-2-5a \)
\(\Rightarrow b=-2-5\times -\frac{5}{2}\)
\(\Rightarrow b=-2+\frac{25}{2}\)
\(\Rightarrow b=\frac{-4+25}{2}\)
\(\therefore b=\frac{21}{2}\)
\((2)\)-এর সাহায্যে
\(a+b+c=-2\)
\(\Rightarrow c=-2-a-b\)
\(\Rightarrow c=-2+\frac{5}{2}-\frac{21}{2}\)
\(\Rightarrow c=\frac{-4+5-21}{2}\)
\(\Rightarrow c=\frac{-20}{2}\)
\(\Rightarrow c=-10\)
\(a, b, c\)-এর মান \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(\therefore x=-\frac{5}{2}.y^2+\frac{21}{2}.y-10\)
\(\Rightarrow 2x=-5y^2+21y-20\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 2x+5y^2-21y+20=0\)
\(\therefore 5y^2-21y+2x+20=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.3.(vi)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত এবং যা \((4, 5)\) , \((-2, 11)\) এবং \((-4, 21)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
উত্তরঃ \(x^2-2y-4x+10=0\)।
উত্তরঃ \(x^2-2y-4x+10=0\)।
সমাধানঃ
শর্তমতে,
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(y=ax^2+bx+c ........(1)\) ➜ অক্ষরেখা \(y\) অক্ষের সমান্তরাল হলে, পরাবৃত্তের সমীকরণ \(y=ax^2+bx+c\)
\((1)\) নং পরাবৃত্ত \((4, 5)\) , \((-2, 11)\) এবং \((-4, 21)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore 5=a.4^2+b.4+c\)
\(\Rightarrow 5=a.16+4b+c\)
\(\Rightarrow 16a+4b+c=5 .....(2)\)
আবার,
\(\therefore 11=a.(-2)^2+b.(-2)+c\)
\(\therefore 11=a.4-2b+c\)
\(\therefore 4a-2b+c=11 .....(3)\)
আবার,
\(\therefore 21=a.(-4)^2+b.(-4)+c\)
\(\therefore 21=a.16-4b+c\)
\(\therefore 16a-4b+c=21 .....(4)\)
\((2)\)-\((3)\)-এর সাহায্যে
\(16a+4b+c-4a+2b-c=5-11\)
\(12a+6b=-6\)
\(2a+b=-1 .......(5)\) ➜ উভয় পার্শে \(6\) ভাগ করে।
\((4)\)-\((3)\)-এর সাহায্যে
\(16a-4b+c-4a+2b-c=21-11\)
\(12a-2b=10\)
\(6a-b=5 .......(6)\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
আবার,
\((6)\)+\((5)\)-এর সাহায্যে
\(\Rightarrow 6a-b+2a+b=5-1\)
\(\Rightarrow 8a=4\)
\(\Rightarrow a=\frac{4}{8}\)
\(\Rightarrow a=\frac{1}{2}\)
\((6)\)-এর সাহায্যে
\(6a-b=5 \)
\(\Rightarrow 6a-5=b \)
\(\Rightarrow b=6a-5 \)
\(\Rightarrow b=6.\frac{1}{2}-5 \)
\(\Rightarrow b=3-5 \)
\(\Rightarrow b=-2 \)
\((2)\)-এর সাহায্যে
\(16a+4b+c=5\)
\(\Rightarrow c=5-16a-4b\)
\(\Rightarrow c=5-16\times \frac{1}{2}-4\times -2\)
\(\Rightarrow c=5-8+8\)
\(\Rightarrow c=5\)
\(a, b, c\)-এর মান \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(\therefore y=\frac{1}{2}.x^2+(-2).x+5\)
\(\Rightarrow y=\frac{1}{2}.x^2-2x+5\)
\(\Rightarrow 2y=x^2-4x+10\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow x^2-4x+10=2y\)
\(\therefore x^2-2y-4x+10=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(y=ax^2+bx+c ........(1)\) ➜ অক্ষরেখা \(y\) অক্ষের সমান্তরাল হলে, পরাবৃত্তের সমীকরণ \(y=ax^2+bx+c\)
\((1)\) নং পরাবৃত্ত \((4, 5)\) , \((-2, 11)\) এবং \((-4, 21)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore 5=a.4^2+b.4+c\)
\(\Rightarrow 5=a.16+4b+c\)
\(\Rightarrow 16a+4b+c=5 .....(2)\)
আবার,
\(\therefore 11=a.(-2)^2+b.(-2)+c\)
\(\therefore 11=a.4-2b+c\)
\(\therefore 4a-2b+c=11 .....(3)\)
আবার,
\(\therefore 21=a.(-4)^2+b.(-4)+c\)
\(\therefore 21=a.16-4b+c\)
\(\therefore 16a-4b+c=21 .....(4)\)
\((2)\)-\((3)\)-এর সাহায্যে
\(16a+4b+c-4a+2b-c=5-11\)
\(12a+6b=-6\)
\(2a+b=-1 .......(5)\) ➜ উভয় পার্শে \(6\) ভাগ করে।
\((4)\)-\((3)\)-এর সাহায্যে
\(16a-4b+c-4a+2b-c=21-11\)
\(12a-2b=10\)
\(6a-b=5 .......(6)\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
আবার,
\((6)\)+\((5)\)-এর সাহায্যে
\(\Rightarrow 6a-b+2a+b=5-1\)
\(\Rightarrow 8a=4\)
\(\Rightarrow a=\frac{4}{8}\)
\(\Rightarrow a=\frac{1}{2}\)
\((6)\)-এর সাহায্যে
\(6a-b=5 \)
\(\Rightarrow 6a-5=b \)
\(\Rightarrow b=6a-5 \)
\(\Rightarrow b=6.\frac{1}{2}-5 \)
\(\Rightarrow b=3-5 \)
\(\Rightarrow b=-2 \)
\((2)\)-এর সাহায্যে
\(16a+4b+c=5\)
\(\Rightarrow c=5-16a-4b\)
\(\Rightarrow c=5-16\times \frac{1}{2}-4\times -2\)
\(\Rightarrow c=5-8+8\)
\(\Rightarrow c=5\)
\(a, b, c\)-এর মান \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(\therefore y=\frac{1}{2}.x^2+(-2).x+5\)
\(\Rightarrow y=\frac{1}{2}.x^2-2x+5\)
\(\Rightarrow 2y=x^2-4x+10\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow x^2-4x+10=2y\)
\(\therefore x^2-2y-4x+10=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.3.(vii)\) এরুপ পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((3, 5)\) ও \((3, -3)\) ।
উত্তরঃ \(y^2-2y-8x+9=0, y^2-2y+8x-39=0\)।
উত্তরঃ \(y^2-2y-8x+9=0, y^2-2y+8x-39=0\)।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \(L(3, 5)\) ও \(\acute L(3, -3)\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S, L\acute L\)-এর মধ্যবিন্দু।
\(S\left(\frac{3+3}{2}, \frac{5-3}{2}\right)\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow S\left(\frac{6}{2}, \frac{2}{2}\right)\)
\(\therefore S(3, 1)\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের তথা \(L\acute L\)-এর সমীকরণ,
\(\frac{x-3}{3-3}=\frac{y-5}{5+3}\) ➜\(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow 8(x-3)=0\)
\(\Rightarrow x-3=0\) যা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল।
অর্থাৎ উপকেন্দ্রিক লম্ব \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল। তাহলে পরাবৃত্তের অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল হবে।
ধরি,
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A(\alpha, \beta)\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(a+\alpha, \beta)\)
অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল।
পরাবৃত্তের সমীকরণ, \((y-\beta)^2=4a(x-\alpha) ........(1)\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(|4a|=L\acute L=|5+3|\)
\(\Rightarrow |4a|=|8|\)
\(\Rightarrow |4a|=8\)
\(\Rightarrow 4a=\pm 8\)
\(\Rightarrow a=\pm \frac{8}{4}\)
\(\therefore a=\pm 2\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(3, 1)\)
\(\therefore a+\alpha=3, \beta=1\)
\(\Rightarrow \alpha=3-a, \beta=1\)
\(\Rightarrow \alpha=3-2, \beta=1\) ➜ যখন, \(a=2\)
\(\Rightarrow \alpha=1, \beta=1\)
\(\therefore A(1, 1)\)
আবার,
\(\Rightarrow \alpha=3+2, \beta=1\) ➜ যখন, \(a=-2\)
\(\Rightarrow \alpha=5, \beta=1\)
\(\therefore A(5, 1)\)
এখন,
\(\alpha, \beta\)-এর মান \(\)-এ বসিয়ে,
\(\therefore (y-1)^2=4.2.(x-1)\) ➜ যখন, \(a=2, \alpha=1, \beta=1\)
\(\Rightarrow (y-1)^2=8(x-1)\)
\(\Rightarrow y^2-2y+1=8x-8\)
\(\Rightarrow y^2-2y+1-8x+8=0\)
\(\Rightarrow y^2-2y-8x+9=0\)
আবার,
\(\therefore (y-1)^2=4.(-2).(x-5)\) ➜ যখন, \(a=-2, \alpha=5, \beta=1\)
\(\Rightarrow (y-1)^2=-8(x-5)\)
\(\Rightarrow y^2-2y+1=-8x+40\)
\(\Rightarrow y^2-2y+1+8x-40=0\)
\(\therefore y^2-2y+8x-39=0\)
নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ, \(y^2-2y-8x+9=0, y^2-2y+8x-39=0\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \(L(3, 5)\) ও \(\acute L(3, -3)\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S, L\acute L\)-এর মধ্যবিন্দু।
\(S\left(\frac{3+3}{2}, \frac{5-3}{2}\right)\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow S\left(\frac{6}{2}, \frac{2}{2}\right)\)
\(\therefore S(3, 1)\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের তথা \(L\acute L\)-এর সমীকরণ,
\(\frac{x-3}{3-3}=\frac{y-5}{5+3}\) ➜\(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow 8(x-3)=0\)
\(\Rightarrow x-3=0\) যা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল।
অর্থাৎ উপকেন্দ্রিক লম্ব \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল। তাহলে পরাবৃত্তের অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল হবে।
ধরি,
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A(\alpha, \beta)\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(a+\alpha, \beta)\)
অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল।
পরাবৃত্তের সমীকরণ, \((y-\beta)^2=4a(x-\alpha) ........(1)\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(|4a|=L\acute L=|5+3|\)
\(\Rightarrow |4a|=|8|\)
\(\Rightarrow |4a|=8\)
\(\Rightarrow 4a=\pm 8\)
\(\Rightarrow a=\pm \frac{8}{4}\)
\(\therefore a=\pm 2\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(3, 1)\)
\(\therefore a+\alpha=3, \beta=1\)
\(\Rightarrow \alpha=3-a, \beta=1\)
\(\Rightarrow \alpha=3-2, \beta=1\) ➜ যখন, \(a=2\)
\(\Rightarrow \alpha=1, \beta=1\)
\(\therefore A(1, 1)\)
আবার,
\(\Rightarrow \alpha=3+2, \beta=1\) ➜ যখন, \(a=-2\)
\(\Rightarrow \alpha=5, \beta=1\)
\(\therefore A(5, 1)\)
এখন,
\(\alpha, \beta\)-এর মান \(\)-এ বসিয়ে,
\(\therefore (y-1)^2=4.2.(x-1)\) ➜ যখন, \(a=2, \alpha=1, \beta=1\)
\(\Rightarrow (y-1)^2=8(x-1)\)
\(\Rightarrow y^2-2y+1=8x-8\)
\(\Rightarrow y^2-2y+1-8x+8=0\)
\(\Rightarrow y^2-2y-8x+9=0\)
আবার,
\(\therefore (y-1)^2=4.(-2).(x-5)\) ➜ যখন, \(a=-2, \alpha=5, \beta=1\)
\(\Rightarrow (y-1)^2=-8(x-5)\)
\(\Rightarrow y^2-2y+1=-8x+40\)
\(\Rightarrow y^2-2y+1+8x-40=0\)
\(\therefore y^2-2y+8x-39=0\)
নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ, \(y^2-2y-8x+9=0, y^2-2y+8x-39=0\)
\(Q.3.(ix)\) এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষ \((4, 3)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(y=7\), এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০০৯,২০০৫,২০০৩]
উত্তরঃ \((x-4)^2=-16(y-3), 16\)।
[ কুঃ ২০০৯,২০০৫,২০০৩]
উত্তরঃ \((x-4)^2=-16(y-3), 16\)।
সমাধানঃ
ধরি,
\(y-7=0 .......(1)\)
শীর্ষবিন্দু \(A(4, 3)\)
পরাবৃত্তের অক্ষরেখা \((1)\) এর উপর লম্ব হবে,
\(\therefore (1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x+k=0 .......(2)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা \(A(4, 3)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 4+k=0\)
\(\Rightarrow k=-4\)
\(k\)-এর মাণ \((2)\) -এ বসিয়ে,
\(x-4=0 ........(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) -এর ছেদবিন্দু \(Z\) নির্ণয় করি।
\(\therefore Z(4, 7)\)
ধরি, পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(\alpha, \beta)\)
এখন,
\(SZ\)-এর মধ্যবিন্দু \(A\left(\frac{\alpha+4}{2}, \frac{\beta+7}{2}\right)\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
কিন্তু দেওয়া আছে, \(A(4, 3)\)
\(\therefore A\left(\frac{\alpha+4}{2}, \frac{\beta+7}{2}\right)\Rightarrow A(4, 3)\)
\(\Rightarrow \frac{\alpha+4}{2}=4, \frac{\beta+7}{2}=3\)
\(\Rightarrow \alpha+4=8, \beta+7=6\)
\(\Rightarrow \alpha=8-4, \beta=6-7\)
\(\Rightarrow \alpha=4, \beta=-1\)
\(\therefore S(4, -1)\)
এখন,
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(4, -1)\)
পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখা \(y-7=0\)
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-4)^2+(y+1)^2}=\frac{|y-7|}{\sqrt{0^2+1^2}}\) ➜\((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-4)^2+(y+1)^2}=\frac{|y-7|}{\sqrt{0+1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-4)^2+(y+1)^2}=\frac{|y-7|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-4)^2+(y+1)^2}=\frac{|y-7|}{1}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-4)^2+(y+1)^2}=|y-7|\)
\(\Rightarrow (x-4)^2+(y+1)^2=(y-7)^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x-4)^2=(y-7)^2-(y+1)^2\)
\(\Rightarrow (x-4)^2=(y-7-y-1)(y-7+y+1)\)
\(\Rightarrow (x-4)^2=-8(2y-6)\)
\(\Rightarrow (x-4)^2=-8.2(y-3)\)
\(\therefore (x-4)^2=-16(y-3)\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
আবার,
\(4a=-16\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|-16|\)
\(=16\) একক।
\(y-7=0 .......(1)\)
শীর্ষবিন্দু \(A(4, 3)\)
পরাবৃত্তের অক্ষরেখা \((1)\) এর উপর লম্ব হবে,
\(\therefore (1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x+k=0 .......(2)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা \(A(4, 3)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 4+k=0\)
\(\Rightarrow k=-4\)
\(k\)-এর মাণ \((2)\) -এ বসিয়ে,
\(x-4=0 ........(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) -এর ছেদবিন্দু \(Z\) নির্ণয় করি।
\(\therefore Z(4, 7)\)
ধরি, পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(\alpha, \beta)\)
এখন,
\(SZ\)-এর মধ্যবিন্দু \(A\left(\frac{\alpha+4}{2}, \frac{\beta+7}{2}\right)\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
কিন্তু দেওয়া আছে, \(A(4, 3)\)
\(\therefore A\left(\frac{\alpha+4}{2}, \frac{\beta+7}{2}\right)\Rightarrow A(4, 3)\)
\(\Rightarrow \frac{\alpha+4}{2}=4, \frac{\beta+7}{2}=3\)
\(\Rightarrow \alpha+4=8, \beta+7=6\)
\(\Rightarrow \alpha=8-4, \beta=6-7\)
\(\Rightarrow \alpha=4, \beta=-1\)
\(\therefore S(4, -1)\)
এখন,
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(4, -1)\)
পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখা \(y-7=0\)
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-4)^2+(y+1)^2}=\frac{|y-7|}{\sqrt{0^2+1^2}}\) ➜\((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-4)^2+(y+1)^2}=\frac{|y-7|}{\sqrt{0+1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-4)^2+(y+1)^2}=\frac{|y-7|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-4)^2+(y+1)^2}=\frac{|y-7|}{1}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-4)^2+(y+1)^2}=|y-7|\)
\(\Rightarrow (x-4)^2+(y+1)^2=(y-7)^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x-4)^2=(y-7)^2-(y+1)^2\)
\(\Rightarrow (x-4)^2=(y-7-y-1)(y-7+y+1)\)
\(\Rightarrow (x-4)^2=-8(2y-6)\)
\(\Rightarrow (x-4)^2=-8.2(y-3)\)
\(\therefore (x-4)^2=-16(y-3)\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
আবার,
\(4a=-16\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|-16|\)
\(=16\) একক।
\(Q.3.(x)\) একটি পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র এবং শীর্ষবিন্দু যথাক্রমে \((0, 0)\) ও \((-2, -1)\) বিন্দুতে অবস্থান করে। পরাবৃত্তটির সমীকরণও নির্ণয় কর।
[সিঃ ২০১১,চঃ ২০১০;যঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(2x+y+10=0, (x-2y)^2-40x-20y-100=0 \)।
[সিঃ ২০১১,চঃ ২০১০;যঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(2x+y+10=0, (x-2y)^2-40x-20y-100=0 \)।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(0, 0)\)
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A(-2, -1)\)
পরাবৃত্তের অক্ষরেখা উপকেন্দ্র এবং শীর্ষবিন্দু দিয়ে যায়।
অক্ষরেখার সমীকরণ, \(\frac{x-0}{0+2}=\frac{y-0}{0+1}\) ➜\(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{y}{1}\)
\(\Rightarrow x=2y\)
\(\Rightarrow x-2y=0\)
\(\therefore x-2y=0 ......(1)\)
ইহাই অক্ষের সমীকরণ।
আবার,
ধরি, অক্ষরেখা এবং নিয়ামক রেখার ছেদবিন্দু \(Z(x, y)\).
এখন,
\(ZS\)-এর মধ্যবিন্দু \(A\left(\frac{x+0}{2}, \frac{y+0}{2}\right)\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow A\left(\frac{x}{2}, \frac{y}{2}\right)\)
কিন্তু দেওয়া আছে, \(A(-2, -1)\)
\(\therefore A\left(\frac{x}{2}, \frac{y}{2}\right)\Rightarrow A(-2, -1)\)
\(\Rightarrow \frac{x}{2}=-2, \frac{y}{2}=-1 \)
\(\Rightarrow x=-4, y=-2 \)
\(\therefore Z(-4, -2)\)
নিয়ামক রেখার অক্ষরেখার উপর লম্ব।
\(\therefore (1)\) -এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x+y+k=0 ......(2)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা \(Z(-4, -2)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 2.(-4)+(-2)+k=0\)
\(\Rightarrow -8-2+k=0\)
\(\Rightarrow -10+k=0\)
\(\therefore k=10\)
\(k=10\)-এর এই মাণ \( (2)\) -এ বসিয়ে,
\(2x+y+10=0\)
ইহাই নির্ণেয় নিয়ামক রেখার সমীকরণ।
এখন,
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(0, 0)\)
পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখা \(2x+y+10=0\)
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}=\frac{|2x+y+10|}{\sqrt{2^2+1^2}}\) ➜\((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}=\frac{|2x+y+10|}{\sqrt{4+1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}=\frac{|2x+y+10|}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=\frac{(2x+y+10)^2}{5}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2=(2x+y+10)^2\)
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2=4x^2+y^2+100+4xy+20y+40x\)
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2-4x^2-y^2-100-4xy-20y-40x=0\)
\(\Rightarrow x^2-4xy+4y^2-40x-20y-100=0\)
\(\therefore (x-2y)^2-40x-20y-100=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(0, 0)\)
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A(-2, -1)\)
পরাবৃত্তের অক্ষরেখা উপকেন্দ্র এবং শীর্ষবিন্দু দিয়ে যায়।
অক্ষরেখার সমীকরণ, \(\frac{x-0}{0+2}=\frac{y-0}{0+1}\) ➜\(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{y}{1}\)
\(\Rightarrow x=2y\)
\(\Rightarrow x-2y=0\)
\(\therefore x-2y=0 ......(1)\)
ইহাই অক্ষের সমীকরণ।
আবার,
ধরি, অক্ষরেখা এবং নিয়ামক রেখার ছেদবিন্দু \(Z(x, y)\).
এখন,
\(ZS\)-এর মধ্যবিন্দু \(A\left(\frac{x+0}{2}, \frac{y+0}{2}\right)\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow A\left(\frac{x}{2}, \frac{y}{2}\right)\)
কিন্তু দেওয়া আছে, \(A(-2, -1)\)
\(\therefore A\left(\frac{x}{2}, \frac{y}{2}\right)\Rightarrow A(-2, -1)\)
\(\Rightarrow \frac{x}{2}=-2, \frac{y}{2}=-1 \)
\(\Rightarrow x=-4, y=-2 \)
\(\therefore Z(-4, -2)\)
নিয়ামক রেখার অক্ষরেখার উপর লম্ব।
\(\therefore (1)\) -এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x+y+k=0 ......(2)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা \(Z(-4, -2)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 2.(-4)+(-2)+k=0\)
\(\Rightarrow -8-2+k=0\)
\(\Rightarrow -10+k=0\)
\(\therefore k=10\)
\(k=10\)-এর এই মাণ \( (2)\) -এ বসিয়ে,
\(2x+y+10=0\)
ইহাই নির্ণেয় নিয়ামক রেখার সমীকরণ।
এখন,
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(0, 0)\)
পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখা \(2x+y+10=0\)
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}=\frac{|2x+y+10|}{\sqrt{2^2+1^2}}\) ➜\((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}=\frac{|2x+y+10|}{\sqrt{4+1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}=\frac{|2x+y+10|}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=\frac{(2x+y+10)^2}{5}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2=(2x+y+10)^2\)
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2=4x^2+y^2+100+4xy+20y+40x\)
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2-4x^2-y^2-100-4xy-20y-40x=0\)
\(\Rightarrow x^2-4xy+4y^2-40x-20y-100=0\)
\(\therefore (x-2y)^2-40x-20y-100=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.3.(xi)\) যে, পরাবৃত্তের শীর্ষ \((2, 3)\) বিন্দুতে এবং নাভিলম্বের সমীকরণ \(x=4\) তার সমীকরণ নির্ণয় কর। নাভিলম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \((y-3)^2=8(x-2), (4, 7), (4, -1)\)
[ বঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \((y-3)^2=8(x-2), (4, 7), (4, -1)\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
পরাবৃত্তের শীর্ষ \((2, 3)\)
নাভিলম্বের সমীকরণ \(x-4=0 ....(1)\) যা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল।
অক্ষরেখা নাভিলম্বের উপর লম্ব, ফলে অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল।
পরাবৃত্তের সমীকরণ, \((y-3)^2=4a(x-2) ......(2)\) ➜ অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল। শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(\alpha, \beta)\) উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a+\alpha, \beta)\) পরাবৃত্তের সমীকরণ, \((y-\beta)^2=4a(x-\alpha)\)
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু হতে নাভিলম্বের লম্ব দূরত্ব \(=a\)
\(\therefore a=\frac{|2-4|}{\sqrt{1^2+0^2}}\) ➜\((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow a=\frac{|-2|}{\sqrt{1+0}}\)
\(\Rightarrow a=\frac{2}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow a=\frac{2}{1}\)
\(\therefore a=2\)
\(a=2\)-এর এই মান \((2)\) -এ বসিয়ে,
\((y-3)^2=4.2.(x-2)\)
\(\therefore (y-3)^2=8(x-2) ....(3)\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমিকরণ,
আবার,
\((1)\) হতে \(x=4, (3)\)-এ বসিয়ে,
\((y-3)^2=8(4-2)\)
\(\Rightarrow (y-3)^2=8.2\)
\(\Rightarrow (y-3)^2=16\)
\(\Rightarrow y-3=\pm \sqrt{16}\)
\(\Rightarrow y=3\pm 4\)
\(\Rightarrow y=3+4, 3-4\)
\(\Rightarrow y=7, -1\)
\(\therefore\) নাভিলম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \( (4, 7), (4, -1)\)
পরাবৃত্তের শীর্ষ \((2, 3)\)
নাভিলম্বের সমীকরণ \(x-4=0 ....(1)\) যা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল।
অক্ষরেখা নাভিলম্বের উপর লম্ব, ফলে অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল।
পরাবৃত্তের সমীকরণ, \((y-3)^2=4a(x-2) ......(2)\) ➜ অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল। শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(\alpha, \beta)\) উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a+\alpha, \beta)\) পরাবৃত্তের সমীকরণ, \((y-\beta)^2=4a(x-\alpha)\)
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু হতে নাভিলম্বের লম্ব দূরত্ব \(=a\)
\(\therefore a=\frac{|2-4|}{\sqrt{1^2+0^2}}\) ➜\((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow a=\frac{|-2|}{\sqrt{1+0}}\)
\(\Rightarrow a=\frac{2}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow a=\frac{2}{1}\)
\(\therefore a=2\)
\(a=2\)-এর এই মান \((2)\) -এ বসিয়ে,
\((y-3)^2=4.2.(x-2)\)
\(\therefore (y-3)^2=8(x-2) ....(3)\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমিকরণ,
আবার,
\((1)\) হতে \(x=4, (3)\)-এ বসিয়ে,
\((y-3)^2=8(4-2)\)
\(\Rightarrow (y-3)^2=8.2\)
\(\Rightarrow (y-3)^2=16\)
\(\Rightarrow y-3=\pm \sqrt{16}\)
\(\Rightarrow y=3\pm 4\)
\(\Rightarrow y=3+4, 3-4\)
\(\Rightarrow y=7, -1\)
\(\therefore\) নাভিলম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \( (4, 7), (4, -1)\)
\(Q.3.(xii)\) \((2, 5)\) বিন্দুগামী পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষ \((0, 2)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল।
[সিঃ ২০১২,২০০৫; চঃ ২০০২]
উত্তরঃ \(3x^2=4(y-2)\)।
[সিঃ ২০১২,২০০৫; চঃ ২০০২]
উত্তরঃ \(3x^2=4(y-2)\)।
সমাধানঃ
শর্তমতে,
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(y=ax^2+bx+c ......(1)\) ➜ অক্ষরেখা \(y\) অক্ষের সমান্তরাল ।
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\)
\(\therefore -\frac{b}{2a}=0, -\frac{b^2-4ac}{4a}=2\) ➜দেওয়া আছে, শীর্ষবিন্দু \((0, 2)\) ।
\(\Rightarrow b=0, b^2-4ac=-8a\)
\(\Rightarrow 0^2-4ac=-8a\) ➜\(\because b=0\) ।
\(\Rightarrow -4ac=-8a \)
\(\Rightarrow c=\frac{-8a}{-4a} \)
\(\therefore c=2\)
আবার,
\((1)\) নং পরাবৃত্তটি \((2, 5)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore 5=a.2^2+b.2+c\)
\(\Rightarrow 5=4a+2.0+2\) \(\because b=0, c=2\) ।
\(\Rightarrow 4a+2=5\)
\(\Rightarrow 4a=5-2\)
\(\Rightarrow 4a=3\)
\(\therefore a=\frac{3}{4}\)
\(a, b\) ও \(c\)-এর মান \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(y=\frac{3}{4}.x^2+0.x+2\)
\(\Rightarrow y=\frac{3}{4}.x^2+0+2\)
\(\Rightarrow 4y=3x^2+8\)
\(\Rightarrow 3x^2+8=4y\)
\(\Rightarrow 3x^2=4y-8\)
\(\therefore 3x^2=4(y-2)\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(y=ax^2+bx+c ......(1)\) ➜ অক্ষরেখা \(y\) অক্ষের সমান্তরাল ।
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\)
\(\therefore -\frac{b}{2a}=0, -\frac{b^2-4ac}{4a}=2\) ➜দেওয়া আছে, শীর্ষবিন্দু \((0, 2)\) ।
\(\Rightarrow b=0, b^2-4ac=-8a\)
\(\Rightarrow 0^2-4ac=-8a\) ➜\(\because b=0\) ।
\(\Rightarrow -4ac=-8a \)
\(\Rightarrow c=\frac{-8a}{-4a} \)
\(\therefore c=2\)
আবার,
\((1)\) নং পরাবৃত্তটি \((2, 5)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore 5=a.2^2+b.2+c\)
\(\Rightarrow 5=4a+2.0+2\) \(\because b=0, c=2\) ।
\(\Rightarrow 4a+2=5\)
\(\Rightarrow 4a=5-2\)
\(\Rightarrow 4a=3\)
\(\therefore a=\frac{3}{4}\)
\(a, b\) ও \(c\)-এর মান \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(y=\frac{3}{4}.x^2+0.x+2\)
\(\Rightarrow y=\frac{3}{4}.x^2+0+2\)
\(\Rightarrow 4y=3x^2+8\)
\(\Rightarrow 3x^2+8=4y\)
\(\Rightarrow 3x^2=4y-8\)
\(\therefore 3x^2=4(y-2)\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.3.(xiii)\) \((y-2)^2=5(x-1)\) পরাবৃত্তের উপরিস্থিত কোনো বিন্দুর ফোকাস দূরত্ব \(\frac{25}{4} \) উক্ত বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১৪ ]
উত্তরঃ \((6, 7), (6, -3)\)।
[ কুঃ ২০১৪ ]
উত্তরঃ \((6, 7), (6, -3)\)।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\((y-2)^2=5(x-1)........(1)\)
\(Y^2=5X ........(2)\) যেখানে, \(X=x-1, Y=y-2\)
এখানে,
\(4a=5\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{5}{4}\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\therefore X=a, Y=0\)
\(\Rightarrow x-1=\frac{5}{4}, y-2=0\)
\(\Rightarrow x=1+\frac{5}{4}, y=2\)
\(\Rightarrow x=\frac{4+5}{4}, y=2\)
\(\Rightarrow x=\frac{9}{4}, y=2\)
\(\therefore S\left(\frac{9}{4}, 2\right)\)
মনে করি, নির্ণেয় বিন্দুটি \(P(x, y)\)
শর্তমতে,
\(PS=\frac{25}{4}\)
\(\Rightarrow \sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^2+(y-2)^2}=\frac{25}{4}\)
\(\Rightarrow \left(x-\frac{9}{4}\right)^2+(y-2)^2=\left(\frac{25}{4}\right)^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}+(y-2)^2=\frac{625}{16}\)
\(\Rightarrow 16x^2-72x+81+16(y-2)^2=625\)
\(\Rightarrow 16x^2+16(y-2)^2-72x+81-625=0\)
\(\Rightarrow 16x^2+16(y-2)^2-72x-544=0\)
\(\Rightarrow 16x^2+16\times 5(x-1)-72x-544=0\) ➜ \((1)\)-এর সাহায্যে
\(\Rightarrow 16x^2+80(x-1)-72x-544=0\)
\(\Rightarrow 16x^2+80x-80-72x-544=0\)
\(\Rightarrow 16x^2+8x-624=0\)
\(\Rightarrow 2x^2+x-78=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4.2.(-78)}}{2.2}\) ➜ \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের সমাধান, \(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-1\pm \sqrt{1+624}}{4}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-1\pm \sqrt{625}}{4}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-1\pm 25}{4}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-1+25}{4}, \frac{-1-25}{4}\)
\(\Rightarrow x=\frac{24}{4}, \frac{-26}{4}\)
\(\therefore x=6, x\ne \frac{-26}{4}\)
\(x=6\) এই মান \((1)\) -এ বসিয়ে,
\((y-2)^2=5.5\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=25\)
\(\Rightarrow y-2=\pm \sqrt{25}\)
\(\Rightarrow y=2\pm 5\)
\(\Rightarrow y=2+5, 2-5\)
\(\therefore y=7, -3\)
\(\therefore \) নির্ণেয় বিন্দু \((6, 7), (6, -3) \) ।
\((y-2)^2=5(x-1)........(1)\)
\(Y^2=5X ........(2)\) যেখানে, \(X=x-1, Y=y-2\)
এখানে,
\(4a=5\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{5}{4}\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\therefore X=a, Y=0\)
\(\Rightarrow x-1=\frac{5}{4}, y-2=0\)
\(\Rightarrow x=1+\frac{5}{4}, y=2\)
\(\Rightarrow x=\frac{4+5}{4}, y=2\)
\(\Rightarrow x=\frac{9}{4}, y=2\)
\(\therefore S\left(\frac{9}{4}, 2\right)\)
মনে করি, নির্ণেয় বিন্দুটি \(P(x, y)\)
শর্তমতে,
\(PS=\frac{25}{4}\)
\(\Rightarrow \sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^2+(y-2)^2}=\frac{25}{4}\)
\(\Rightarrow \left(x-\frac{9}{4}\right)^2+(y-2)^2=\left(\frac{25}{4}\right)^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}+(y-2)^2=\frac{625}{16}\)
\(\Rightarrow 16x^2-72x+81+16(y-2)^2=625\)
\(\Rightarrow 16x^2+16(y-2)^2-72x+81-625=0\)
\(\Rightarrow 16x^2+16(y-2)^2-72x-544=0\)
\(\Rightarrow 16x^2+16\times 5(x-1)-72x-544=0\) ➜ \((1)\)-এর সাহায্যে
\(\Rightarrow 16x^2+80(x-1)-72x-544=0\)
\(\Rightarrow 16x^2+80x-80-72x-544=0\)
\(\Rightarrow 16x^2+8x-624=0\)
\(\Rightarrow 2x^2+x-78=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4.2.(-78)}}{2.2}\) ➜ \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের সমাধান, \(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-1\pm \sqrt{1+624}}{4}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-1\pm \sqrt{625}}{4}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-1\pm 25}{4}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-1+25}{4}, \frac{-1-25}{4}\)
\(\Rightarrow x=\frac{24}{4}, \frac{-26}{4}\)
\(\therefore x=6, x\ne \frac{-26}{4}\)
\(x=6\) এই মান \((1)\) -এ বসিয়ে,
\((y-2)^2=5.5\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=25\)
\(\Rightarrow y-2=\pm \sqrt{25}\)
\(\Rightarrow y=2\pm 5\)
\(\Rightarrow y=2+5, 2-5\)
\(\therefore y=7, -3\)
\(\therefore \) নির্ণেয় বিন্দু \((6, 7), (6, -3) \) ।
\(Q.3.(xiv)\) \(y^2=16x\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(32 \) বর্গ একক।
উত্তরঃ \(32 \) বর্গ একক।
সমাধানঃ
ধরি,
\(y^2=16x ......(1)\)
\((1)\)-এর শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
এখানে,
\(4a=16\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{16}{4}\)
\(\therefore a=4\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(x=a\)
\(\Rightarrow x=4 .....(2)\)
\((2)\) হতে \(x\)-এর মান \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(y^2=16.4\)
\(\Rightarrow y^2=64\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{64}\)
\(\therefore y=\pm 8\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় \(L(4, 8), \acute L(4, -8)\)
\(\therefore \triangle AL\acute L=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}0 \ \ 4 \ \ \ \ \ \ 4 \ \ \ 0\\ 0 \ \ \ 8 \ -8 \ \ 0\end{array}\right|\) ➜ কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, \(\triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ x_{2} \ \ x_{3} \ \ x_{1}\\ y_{1} \ \ y_{2} \ \ y_{3} \ \ y_{1}\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{(0-0)+(-32-32)+(0-0)\}\)
\(=\frac{1}{2}\{0-64+0\}\)
\(=\frac{1}{2}\times -64\)
\(=-32\)
\(=32\) বর্গ একক। ➜ \(\because \triangle \ne -ve\)
\(y^2=16x ......(1)\)
\((1)\)-এর শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
এখানে,
\(4a=16\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{16}{4}\)
\(\therefore a=4\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(x=a\)
\(\Rightarrow x=4 .....(2)\)
\((2)\) হতে \(x\)-এর মান \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(y^2=16.4\)
\(\Rightarrow y^2=64\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{64}\)
\(\therefore y=\pm 8\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় \(L(4, 8), \acute L(4, -8)\)
\(\therefore \triangle AL\acute L=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}0 \ \ 4 \ \ \ \ \ \ 4 \ \ \ 0\\ 0 \ \ \ 8 \ -8 \ \ 0\end{array}\right|\) ➜ কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, \(\triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ x_{2} \ \ x_{3} \ \ x_{1}\\ y_{1} \ \ y_{2} \ \ y_{3} \ \ y_{1}\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{(0-0)+(-32-32)+(0-0)\}\)
\(=\frac{1}{2}\{0-64+0\}\)
\(=\frac{1}{2}\times -64\)
\(=-32\)
\(=32\) বর্গ একক। ➜ \(\because \triangle \ne -ve\)
\(Q.3.(xv)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের ঋনাত্মক প্রান্তবিন্দু এবং নিয়ামক ও অক্ষের ছেদবিন্দুর সংযোজক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+y+3=0 \)।
উত্তরঃ \(x+y+3=0 \)।
সমাধানঃ
ধরি,
\(y^2=12x ......(1)\)
এখানে,
\(4a=12\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{12}{4}\)
\(\therefore a=3\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(x=a\)
\(\Rightarrow x=3 .....(2)\)
\((2)\) হতে \(x\)-এর মান \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(y^2=12.3\)
\(\Rightarrow y^2=36\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{36}\)
\(\therefore y=\pm 6\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্রিক লম্বের ঋনাত্মক প্রান্তবিন্দুদ্বয় \(\acute L(3, -6)\)
নিয়ামক ও অক্ষের ছেদবিন্দু \(Z(-a, 0)\)
\(\Rightarrow Z(-3, 0)\)
\(\therefore Z\acute L\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x+3}{-3-3}=\frac{y-0}{0+6}\) ➜\(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x+3}{-6}=\frac{y}{6}\)
\(\Rightarrow \frac{x+3}{-1}=y\)
\(\Rightarrow x+3=-y\)
\(\therefore x+y+3=0\)
ইহাই নির্ণেয় রেখার সমীকরণ ।
\(y^2=12x ......(1)\)
এখানে,
\(4a=12\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{12}{4}\)
\(\therefore a=3\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(x=a\)
\(\Rightarrow x=3 .....(2)\)
\((2)\) হতে \(x\)-এর মান \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(y^2=12.3\)
\(\Rightarrow y^2=36\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{36}\)
\(\therefore y=\pm 6\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্রিক লম্বের ঋনাত্মক প্রান্তবিন্দুদ্বয় \(\acute L(3, -6)\)
নিয়ামক ও অক্ষের ছেদবিন্দু \(Z(-a, 0)\)
\(\Rightarrow Z(-3, 0)\)
\(\therefore Z\acute L\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x+3}{-3-3}=\frac{y-0}{0+6}\) ➜\(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x+3}{-6}=\frac{y}{6}\)
\(\Rightarrow \frac{x+3}{-1}=y\)
\(\Rightarrow x+3=-y\)
\(\therefore x+y+3=0\)
ইহাই নির্ণেয় রেখার সমীকরণ ।
\(Q.3.(xvi)\) যে পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় \((-2, 2)\) ও \((-2, -4)\) তার সমীকরণ নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \(y^2+2y+6x+4=0, y^2+2y-6x-20=0 \)।
উত্তরঃ \(y^2+2y+6x+4=0, y^2+2y-6x-20=0 \)।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় \(L(-2, 2)\) ও \(\acute L(-2, -4)\)
\(L\acute L\)-এর মধ্যবিন্দু হবে পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S\left(\frac{-2-2}{2}, \frac{2-4}{2}\right)\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow S\left(\frac{-4}{2}, \frac{-2}{2}\right)\)
\(\therefore S(-2, -1)\)
\(\because L(-2, 2)\) ও \(\acute L(-2, -4)\)-এর ভুজ অভিন্ন তাই \(L\acute L\) তথা উপকেন্দ্রিক লম্ব \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল।
ফলে পরাবৃত্তের অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল।
ধরি, পরাবৃত্তের শীর্ষ \(A(\alpha, \beta)\)
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a+\alpha, \beta)\)
পরাবৃত্তের সমীকরণ, \((y-\beta)^2=4a(x-\alpha) ......(1)\) ➜ অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল। শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(\alpha, \beta)\) উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a+\alpha, \beta)\) পরাবৃত্তের সমীকরণ, \((y-\beta)^2=4a(x-\alpha)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(|4a|=|2+4|=6\) ➜ উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় \(L(-2, 2)\) ও \(\acute L(-2, -4)\)-এর কটি দ্বয়ের অন্তর।
\(\Rightarrow |4a|=6\)
\(\Rightarrow 4a=\pm 6\)
\(\Rightarrow a=\pm \frac{6}{4}\)
\(\therefore a=\pm \frac{3}{2}\)
এখন,
\(S(a+\alpha, \beta)\Rightarrow S(-2, -1)\)
\(\Rightarrow a+\alpha=-2, \beta=-1\)
\(\Rightarrow \alpha=-2-a, \beta=-1\)
\(\Rightarrow \alpha=-2-\frac{3}{2}, \beta=-1\) ➜ যখন, \(a=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow \alpha=\frac{-4-3}{2}, \beta=-1\)
\(\Rightarrow \alpha=\frac{-7}{2}, \beta=-1\)
\(\therefore \alpha=-\frac{7}{2}, \beta=-1\)
আবার,
\(\Rightarrow \alpha=-2+\frac{3}{2}, \beta=-1\) ➜ যখন, \(a=-\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow \alpha=\frac{-4+3}{2}, \beta=-1\)
\(\Rightarrow \alpha=\frac{-1}{2}, \beta=-1\)
\(\therefore \alpha=-\frac{1}{2}, \beta=-1\)
\(a, \alpha, \beta\)-এর মান \((1)\)-এ বসিয়ে,
\((y+1)^2=4\times \frac{3}{2}\times \left(x+\frac{7}{2}\right)\)| যখন, \(a=\frac{3}{2},\alpha=-\frac{7}{2}, \beta=-1\)
\(\Rightarrow (y+1)^2=6\left(\frac{2x+7}{2}\right)\)
\(\Rightarrow (y+1)^2=3(2x+7)\)
\(\Rightarrow y^2+2y+1=6x+21\)
\(\Rightarrow y^2+2y+1-6x-21=0\)
\(\therefore y^2+2y-6x-20=0\)
আবার,
\((y+1)^2=4\times -\frac{3}{2}\times \left(x+\frac{1}{2}\right)\)| যখন, \(a=-\frac{3}{2},\alpha=-\frac{1}{2}, \beta=-1\)
\(\Rightarrow (y+1)^2=-6\left(\frac{2x+1}{2}\right)\)
\(\Rightarrow (y+1)^2=-3(2x+1)\)
\(\Rightarrow y^2+2y+1=-6x-3\)
\(\Rightarrow y^2+2y+1+6x+3=0\)
\(\therefore y^2+2y+6x+4=0\)
\(\therefore\) পরাবৃত্তের সমীকরণ, \( y^2+2y+6x+4=0, y^2+2y-6x-20=0\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় \(L(-2, 2)\) ও \(\acute L(-2, -4)\)
\(L\acute L\)-এর মধ্যবিন্দু হবে পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S\left(\frac{-2-2}{2}, \frac{2-4}{2}\right)\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow S\left(\frac{-4}{2}, \frac{-2}{2}\right)\)
\(\therefore S(-2, -1)\)
\(\because L(-2, 2)\) ও \(\acute L(-2, -4)\)-এর ভুজ অভিন্ন তাই \(L\acute L\) তথা উপকেন্দ্রিক লম্ব \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল।
ফলে পরাবৃত্তের অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল।
ধরি, পরাবৃত্তের শীর্ষ \(A(\alpha, \beta)\)
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a+\alpha, \beta)\)
পরাবৃত্তের সমীকরণ, \((y-\beta)^2=4a(x-\alpha) ......(1)\) ➜ অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল। শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(\alpha, \beta)\) উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a+\alpha, \beta)\) পরাবৃত্তের সমীকরণ, \((y-\beta)^2=4a(x-\alpha)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(|4a|=|2+4|=6\) ➜ উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় \(L(-2, 2)\) ও \(\acute L(-2, -4)\)-এর কটি দ্বয়ের অন্তর।
\(\Rightarrow |4a|=6\)
\(\Rightarrow 4a=\pm 6\)
\(\Rightarrow a=\pm \frac{6}{4}\)
\(\therefore a=\pm \frac{3}{2}\)
এখন,
\(S(a+\alpha, \beta)\Rightarrow S(-2, -1)\)
\(\Rightarrow a+\alpha=-2, \beta=-1\)
\(\Rightarrow \alpha=-2-a, \beta=-1\)
\(\Rightarrow \alpha=-2-\frac{3}{2}, \beta=-1\) ➜ যখন, \(a=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow \alpha=\frac{-4-3}{2}, \beta=-1\)
\(\Rightarrow \alpha=\frac{-7}{2}, \beta=-1\)
\(\therefore \alpha=-\frac{7}{2}, \beta=-1\)
আবার,
\(\Rightarrow \alpha=-2+\frac{3}{2}, \beta=-1\) ➜ যখন, \(a=-\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow \alpha=\frac{-4+3}{2}, \beta=-1\)
\(\Rightarrow \alpha=\frac{-1}{2}, \beta=-1\)
\(\therefore \alpha=-\frac{1}{2}, \beta=-1\)
\(a, \alpha, \beta\)-এর মান \((1)\)-এ বসিয়ে,
\((y+1)^2=4\times \frac{3}{2}\times \left(x+\frac{7}{2}\right)\)| যখন, \(a=\frac{3}{2},\alpha=-\frac{7}{2}, \beta=-1\)
\(\Rightarrow (y+1)^2=6\left(\frac{2x+7}{2}\right)\)
\(\Rightarrow (y+1)^2=3(2x+7)\)
\(\Rightarrow y^2+2y+1=6x+21\)
\(\Rightarrow y^2+2y+1-6x-21=0\)
\(\therefore y^2+2y-6x-20=0\)
আবার,
\((y+1)^2=4\times -\frac{3}{2}\times \left(x+\frac{1}{2}\right)\)| যখন, \(a=-\frac{3}{2},\alpha=-\frac{1}{2}, \beta=-1\)
\(\Rightarrow (y+1)^2=-6\left(\frac{2x+1}{2}\right)\)
\(\Rightarrow (y+1)^2=-3(2x+1)\)
\(\Rightarrow y^2+2y+1=-6x-3\)
\(\Rightarrow y^2+2y+1+6x+3=0\)
\(\therefore y^2+2y+6x+4=0\)
\(\therefore\) পরাবৃত্তের সমীকরণ, \( y^2+2y+6x+4=0, y^2+2y-6x-20=0\)
\(Q.3.(xvii)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং শীর্ষবিন্দু \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত এবং যা \((4, 0)\) ও \(\left(0, \frac{1}{2}\right)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
উত্তরঃ \(x^2-8x-32y+16=0\)।
উত্তরঃ \(x^2-8x-32y+16=0\)।
সমাধানঃ
শর্তমতে, 
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(y=ax^2+bx+c ......(1)\) ➜ অক্ষরেখা \(y\) অক্ষের সমান্তরাল ।
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\)
\(\therefore -\frac{b}{2a}=x, -\frac{b^2-4ac}{4a}=0\) ➜দেওয়া আছে, শীর্ষবিন্দু \((x, 0)\) যা \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
\(\Rightarrow b^2-4ac=0\)
\(\Rightarrow b^2=4ac .....(2)\) ➜\(\because b=0\) ।
আবার,
\((1)\) নং পরাবৃত্তটি \((4, 0)\) ও \(\left(0, \frac{1}{2}\right)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore 0=a.4^2+b.4+c\)
\(\Rightarrow 0=a.16+4b+c\)
\(\therefore 16a+4b+c=0 ......(3)\)
আবার,
\(\therefore \frac{1}{2}=a.0^2+b.0+c\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}=a.0+0+c\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}=0+c\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}=c\)
\(\therefore c=\frac{1}{2}\)
\(c\)-এর এই মান \((3)\)-এ বসিয়ে,
\(16a+4b+\frac{1}{2}=0 \)
\(\Rightarrow 32a+8b+1=0 \) ➜ উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 32a=-8b-1 \)
\(\Rightarrow a=-\frac{8b+1}{32} .......(4)\)
\((2)\) নং সমীকরণে \(a, c\)-এর মান বসিয়ে,
\(b^2=4\times -\frac{8b+1}{32}\times \frac{1}{2}\) ➜ \(\because a=-\frac{8b+1}{32}, c=\frac{1}{2}\).
\(\Rightarrow b^2=-\frac{8b+1}{8}\times \frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow b^2=-\frac{8b+1}{16}\)
\(\Rightarrow 16b^2=-(8b+1)\)
\(\Rightarrow 16b^2=-8b-1\)
\(\Rightarrow 16b^2+8b+1=0\)
\(\Rightarrow (4b+1)^2=0\)
\(\Rightarrow 4b+1=0\)
\(\Rightarrow 4b=-1\)
\(\therefore b=-\frac{1}{4}\)
\((4)\)-এর সাহায্যে,
\(a=-\frac{8\times -\frac{1}{4}+1}{32}\) ➜ \(\because b=-\frac{1}{4}\).
\(\Rightarrow a=-\frac{-2+1}{32}\)
\(\Rightarrow a=-\frac{-1}{32}\)
\(\therefore a=\frac{1}{32}\)
\(a, b, c\)-এর মান \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(y=\frac{1}{32}.x^2-\frac{1}{4}.x+\frac{1}{2}\) ➜ \(\because a=\frac{1}{32}, b=-\frac{1}{4}, c=\frac{1}{2}\).
\(\Rightarrow 32y=x^2-8x+16\) ➜ উভয় পার্শে \(32\) গুণ করে।
\(\Rightarrow x^2-8x+16=32y\)
\(\Rightarrow x^2-8x+16-32y=0\)
\(\Rightarrow x^2-8x-32y+16=0\)
\(\therefore x^2-8x-32y+16=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(y=ax^2+bx+c ......(1)\) ➜ অক্ষরেখা \(y\) অক্ষের সমান্তরাল ।
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\)
\(\therefore -\frac{b}{2a}=x, -\frac{b^2-4ac}{4a}=0\) ➜দেওয়া আছে, শীর্ষবিন্দু \((x, 0)\) যা \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
\(\Rightarrow b^2-4ac=0\)
\(\Rightarrow b^2=4ac .....(2)\) ➜\(\because b=0\) ।
আবার,
\((1)\) নং পরাবৃত্তটি \((4, 0)\) ও \(\left(0, \frac{1}{2}\right)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore 0=a.4^2+b.4+c\)
\(\Rightarrow 0=a.16+4b+c\)
\(\therefore 16a+4b+c=0 ......(3)\)
আবার,
\(\therefore \frac{1}{2}=a.0^2+b.0+c\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}=a.0+0+c\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}=0+c\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}=c\)
\(\therefore c=\frac{1}{2}\)
\(c\)-এর এই মান \((3)\)-এ বসিয়ে,
\(16a+4b+\frac{1}{2}=0 \)
\(\Rightarrow 32a+8b+1=0 \) ➜ উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 32a=-8b-1 \)
\(\Rightarrow a=-\frac{8b+1}{32} .......(4)\)
\((2)\) নং সমীকরণে \(a, c\)-এর মান বসিয়ে,
\(b^2=4\times -\frac{8b+1}{32}\times \frac{1}{2}\) ➜ \(\because a=-\frac{8b+1}{32}, c=\frac{1}{2}\).
\(\Rightarrow b^2=-\frac{8b+1}{8}\times \frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow b^2=-\frac{8b+1}{16}\)
\(\Rightarrow 16b^2=-(8b+1)\)
\(\Rightarrow 16b^2=-8b-1\)
\(\Rightarrow 16b^2+8b+1=0\)
\(\Rightarrow (4b+1)^2=0\)
\(\Rightarrow 4b+1=0\)
\(\Rightarrow 4b=-1\)
\(\therefore b=-\frac{1}{4}\)
\((4)\)-এর সাহায্যে,
\(a=-\frac{8\times -\frac{1}{4}+1}{32}\) ➜ \(\because b=-\frac{1}{4}\).
\(\Rightarrow a=-\frac{-2+1}{32}\)
\(\Rightarrow a=-\frac{-1}{32}\)
\(\therefore a=\frac{1}{32}\)
\(a, b, c\)-এর মান \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(y=\frac{1}{32}.x^2-\frac{1}{4}.x+\frac{1}{2}\) ➜ \(\because a=\frac{1}{32}, b=-\frac{1}{4}, c=\frac{1}{2}\).
\(\Rightarrow 32y=x^2-8x+16\) ➜ উভয় পার্শে \(32\) গুণ করে।
\(\Rightarrow x^2-8x+16=32y\)
\(\Rightarrow x^2-8x+16-32y=0\)
\(\Rightarrow x^2-8x-32y+16=0\)
\(\therefore x^2-8x-32y+16=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.3.(xviii)\) \(x^2=-6ay\) পরাবৃত্তটি \((9, 4)\) বিন্দুগামী হলে, এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{81}{4}, \left(0, \frac{81}{16}\right)\)।
উত্তরঃ \(\frac{81}{4}, \left(0, \frac{81}{16}\right)\)।
সমাধানঃ
ধরি
\(x^2=-6ay......(1)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্ত \((9, 4)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 9^2=-6a.4\)
\(\Rightarrow 81=-24a\)
\(\Rightarrow 24a=-81\)
\(\therefore a=-\frac{81}{24}\)
\(a\)-এর মান \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(x^2=-6\left(-\frac{81}{24}\right)y\)
\(\therefore x^2=\frac{81}{4}y ......(2)\)
এখানে,
\(4a=\frac{81}{4}\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=\frac{81}{16}\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times \frac{81}{16}|\)
\(=|\frac{81}{4}|\)
\(=\frac{81}{4}\) একক।
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(0, a)\)
\(\therefore S(0, \frac{81}{16})\)
\(x^2=-6ay......(1)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্ত \((9, 4)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 9^2=-6a.4\)
\(\Rightarrow 81=-24a\)
\(\Rightarrow 24a=-81\)
\(\therefore a=-\frac{81}{24}\)
\(a\)-এর মান \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(x^2=-6\left(-\frac{81}{24}\right)y\)
\(\therefore x^2=\frac{81}{4}y ......(2)\)
এখানে,
\(4a=\frac{81}{4}\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=\frac{81}{16}\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times \frac{81}{16}|\)
\(=|\frac{81}{4}|\)
\(=\frac{81}{4}\) একক।
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(0, a)\)
\(\therefore S(0, \frac{81}{16})\)
\(Q.3.(xix)\) \(x+2y-2=0\) সরলরেখাটি যে পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দুতে তার অক্ষের উপর লম্ব এবং যার উপকেন্দ্র \((-6, -6)\) তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (2x-y)^2+104x+148y-124=0\)।
উত্তরঃ \( (2x-y)^2+104x+148y-124=0\)।
সমাধানঃ
ধরি,
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(-6, -6)\)
শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শক \(x+2y-2=0 ........(1)\)
পরাবৃত্তের অক্ষরেখা \((1)\) নং রেখার উপর লম্ব হবে।
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ, \(2x-y+k=0 ........(2)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
শর্তমতে,
\((2)\) নং সরলরেখা \(S(-6, -6)\) বিন্দুগামী,
\(\therefore -12+6+k=0\)
\(\therefore -6+k=0\)
\(\Rightarrow k=6\)
\(k=6, (2)\) -এ বসিয়ে,
\(2x-y+6=0 ........(3)\) যা অক্ষরেখার সমীকরণ,
\((1)\) ও \((3)\)-এর ছেদবিন্দু হবে পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A\)
\((1)+(3)\times 2\)-এর সাহায্যে,
\(\therefore x+2y-2+4x-2y+12=0 \)
\(\Rightarrow 5x+10=0 \)
\(\Rightarrow 5x=-10 \)
\(\therefore x=-2 \)
\((3)\) হতে,
\(2x+6=y\)
\(\Rightarrow y=2x+6\)
\(\Rightarrow y=2.(-2)+6\)
\(\Rightarrow y=-4+6\)
\(\Rightarrow y=2\)
\(\therefore A(-2, 2)\)
অক্ষরেখা এবং নিয়ামক রেখার ছেদবিন্দু \(Z(x, y)\)
\(ZS\)-এর মধ্যবিন্দু হবে \(A(-2, 2)\)
\(\therefore \left(\frac{x-6}{2}, \frac{y-6}{2}\right)\Rightarrow A(-2, 2)\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{x-6}{2}=-2, \frac{y-6}{2}=2\)
\(\Rightarrow x-6=-4, y-6=4\)
\(\Rightarrow x=-4+6, y=4+6\)
\(\Rightarrow x=2, y=10\)
\(\therefore Z(2, 10)\)
\((1)\) এর সমান্তরাল রেখা হবে পরাবৃত্তের দিকাক্ষ।
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ, \(x+2y+k=0 ........(4)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((4)\) নং সরলরেখা \(Z(2, 10)\) বিন্দুগামী,
\(\therefore 2+2.10+k=0 \)
\(\Rightarrow 2+20+k=0 \)
\(\Rightarrow 22+k=0 \)
\(\Rightarrow k=-22 \)
\(k=-22, (4)\) -এ বসিয়ে,
\(x+2y-22=0 ........(5)\) যা পরাবৃত্তের দিকাক্ষ।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(-6, -6)\)
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\) হলে,
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+6)^2+(y+6)^2}=\frac{|x+2y-22|}{\sqrt{1^2+2^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+6)^2+(y+6)^2}=\frac{|x+2y-22|}{\sqrt{1^2+2^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+6)^2+(y+6)^2}=\frac{|x+2y-22|}{\sqrt{1+4}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+6)^2+(y+6)^2}=\frac{|x+2y-22|}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow (x+6)^2+(y+6)^2=\frac{(x+2y-22)^2}{5}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 5\{(x+6)^2+(y+6)^2\}\)\(=(x+2y-22)^2\)
\(\Rightarrow 5(x^2+12x+36+y^2+12y+36)\)\(=x^2+4y^2+484+4xy-88y-44x\)
\(\Rightarrow 5(x^2+y^2+12x+12y+72)\)\(=x^2+4y^2+484+4xy-88y-44x\)
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2+60x+60y+360-x^2-\)\(4y^2-484-4xy+88y+44x=0\)
\(\Rightarrow 4x^2-4xy+y^2+104x+148y-124=0\)
\(\Rightarrow (2x-y)^2+104x+148y-124=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(-6, -6)\)
শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শক \(x+2y-2=0 ........(1)\)
পরাবৃত্তের অক্ষরেখা \((1)\) নং রেখার উপর লম্ব হবে।
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ, \(2x-y+k=0 ........(2)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
শর্তমতে,
\((2)\) নং সরলরেখা \(S(-6, -6)\) বিন্দুগামী,
\(\therefore -12+6+k=0\)
\(\therefore -6+k=0\)
\(\Rightarrow k=6\)
\(k=6, (2)\) -এ বসিয়ে,
\(2x-y+6=0 ........(3)\) যা অক্ষরেখার সমীকরণ,
\((1)\) ও \((3)\)-এর ছেদবিন্দু হবে পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A\)
\((1)+(3)\times 2\)-এর সাহায্যে,
\(\therefore x+2y-2+4x-2y+12=0 \)
\(\Rightarrow 5x+10=0 \)
\(\Rightarrow 5x=-10 \)
\(\therefore x=-2 \)
\((3)\) হতে,
\(2x+6=y\)
\(\Rightarrow y=2x+6\)
\(\Rightarrow y=2.(-2)+6\)
\(\Rightarrow y=-4+6\)
\(\Rightarrow y=2\)
\(\therefore A(-2, 2)\)
অক্ষরেখা এবং নিয়ামক রেখার ছেদবিন্দু \(Z(x, y)\)
\(ZS\)-এর মধ্যবিন্দু হবে \(A(-2, 2)\)
\(\therefore \left(\frac{x-6}{2}, \frac{y-6}{2}\right)\Rightarrow A(-2, 2)\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{x-6}{2}=-2, \frac{y-6}{2}=2\)
\(\Rightarrow x-6=-4, y-6=4\)
\(\Rightarrow x=-4+6, y=4+6\)
\(\Rightarrow x=2, y=10\)
\(\therefore Z(2, 10)\)
\((1)\) এর সমান্তরাল রেখা হবে পরাবৃত্তের দিকাক্ষ।
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ, \(x+2y+k=0 ........(4)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((4)\) নং সরলরেখা \(Z(2, 10)\) বিন্দুগামী,
\(\therefore 2+2.10+k=0 \)
\(\Rightarrow 2+20+k=0 \)
\(\Rightarrow 22+k=0 \)
\(\Rightarrow k=-22 \)
\(k=-22, (4)\) -এ বসিয়ে,
\(x+2y-22=0 ........(5)\) যা পরাবৃত্তের দিকাক্ষ।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(-6, -6)\)
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\) হলে,
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+6)^2+(y+6)^2}=\frac{|x+2y-22|}{\sqrt{1^2+2^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+6)^2+(y+6)^2}=\frac{|x+2y-22|}{\sqrt{1^2+2^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+6)^2+(y+6)^2}=\frac{|x+2y-22|}{\sqrt{1+4}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+6)^2+(y+6)^2}=\frac{|x+2y-22|}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow (x+6)^2+(y+6)^2=\frac{(x+2y-22)^2}{5}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 5\{(x+6)^2+(y+6)^2\}\)\(=(x+2y-22)^2\)
\(\Rightarrow 5(x^2+12x+36+y^2+12y+36)\)\(=x^2+4y^2+484+4xy-88y-44x\)
\(\Rightarrow 5(x^2+y^2+12x+12y+72)\)\(=x^2+4y^2+484+4xy-88y-44x\)
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2+60x+60y+360-x^2-\)\(4y^2-484-4xy+88y+44x=0\)
\(\Rightarrow 4x^2-4xy+y^2+104x+148y-124=0\)
\(\Rightarrow (2x-y)^2+104x+148y-124=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
বিকল্প পদ্ধতিঃ
ধরি,
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(-6, -6)\)
শীর্ষবিন্দুতে অক্ষের উপর লম্ব রেখা \(x+2y-2=0 ........(1)\)
পরাবৃত্তের দিকাক্ষরেখা \((1)\) নং রেখার সমান্তরাল হবে।
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ, \(x+2y+k=0 ........(2)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
শর্তমতে,
\((1)\) ও \((2)\) -এর লম্ব দূরত্ব, উপকেন্দ্র হতে \((1)\) -এর লম্ব দূরত্বের সমান।
\(\frac{|k+2|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{|-6-12-2|}{\sqrt{1^2+2^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|k+2|}{\sqrt{1+4}}=\frac{|-20|}{\sqrt{1+4}}\)
\(\Rightarrow \frac{|k+2|}{\sqrt{5}}=\frac{20}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow |k+2|=20\)
\(\Rightarrow k+2=\pm 20\)
\(\Rightarrow k=\pm 20-2\)
\(\Rightarrow k=20-2, k=-20-2\)
\(\Rightarrow k\ne 18, k=-22\)
\(k=-22, (2)\) -এ বসিয়ে,
\(x+2y-22=0 ........(3)\) যা দিকাক্ষের সমীকরণ,
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(-6, -6)\)
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\) হলে,
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+6)^2+(y+6)^2}=\frac{|x+2y-22|}{\sqrt{1^2+2^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+6)^2+(y+6)^2}=\frac{|x+2y-22|}{\sqrt{1^2+2^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+6)^2+(y+6)^2}=\frac{|x+2y-22|}{\sqrt{1+4}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+6)^2+(y+6)^2}=\frac{|x+2y-22|}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow (x+6)^2+(y+6)^2=\frac{(x+2y-22)^2}{5}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 5\{(x+6)^2+(y+6)^2\}\)\(=(x+2y-22)^2\)
\(\Rightarrow 5(x^2+12x+36+y^2+12y+36)\)\(=x^2+4y^2+484+4xy-88y-44x\)
\(\Rightarrow 5(x^2+y^2+12x+12y+72)\)\(=x^2+4y^2+484+4xy-88y-44x\)
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2+60x+60y+360-x^2\)\(-4y^2-484-4xy+88y+44x=0\)
\(\Rightarrow 4x^2-4xy+y^2+104x+148y-124=0\)
\(\Rightarrow (2x-y)^2+104x+148y-124=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(-6, -6)\)
শীর্ষবিন্দুতে অক্ষের উপর লম্ব রেখা \(x+2y-2=0 ........(1)\)
পরাবৃত্তের দিকাক্ষরেখা \((1)\) নং রেখার সমান্তরাল হবে।
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ, \(x+2y+k=0 ........(2)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
শর্তমতে,
\((1)\) ও \((2)\) -এর লম্ব দূরত্ব, উপকেন্দ্র হতে \((1)\) -এর লম্ব দূরত্বের সমান।
\(\frac{|k+2|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{|-6-12-2|}{\sqrt{1^2+2^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|k+2|}{\sqrt{1+4}}=\frac{|-20|}{\sqrt{1+4}}\)
\(\Rightarrow \frac{|k+2|}{\sqrt{5}}=\frac{20}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow |k+2|=20\)
\(\Rightarrow k+2=\pm 20\)
\(\Rightarrow k=\pm 20-2\)
\(\Rightarrow k=20-2, k=-20-2\)
\(\Rightarrow k\ne 18, k=-22\)
\(k=-22, (2)\) -এ বসিয়ে,
\(x+2y-22=0 ........(3)\) যা দিকাক্ষের সমীকরণ,
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(-6, -6)\)
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\) হলে,
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+6)^2+(y+6)^2}=\frac{|x+2y-22|}{\sqrt{1^2+2^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+6)^2+(y+6)^2}=\frac{|x+2y-22|}{\sqrt{1^2+2^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+6)^2+(y+6)^2}=\frac{|x+2y-22|}{\sqrt{1+4}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+6)^2+(y+6)^2}=\frac{|x+2y-22|}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow (x+6)^2+(y+6)^2=\frac{(x+2y-22)^2}{5}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 5\{(x+6)^2+(y+6)^2\}\)\(=(x+2y-22)^2\)
\(\Rightarrow 5(x^2+12x+36+y^2+12y+36)\)\(=x^2+4y^2+484+4xy-88y-44x\)
\(\Rightarrow 5(x^2+y^2+12x+12y+72)\)\(=x^2+4y^2+484+4xy-88y-44x\)
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2+60x+60y+360-x^2\)\(-4y^2-484-4xy+88y+44x=0\)
\(\Rightarrow 4x^2-4xy+y^2+104x+148y-124=0\)
\(\Rightarrow (2x-y)^2+104x+148y-124=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.3.(xx)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষ \((2, -3)\) অক্ষরেখা \((a) \ X\) অক্ষের সমান্তরাল \((b) \ Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(12\) একক।
উত্তরঃ \((a) (y+3)^2=12(x-2); (b) (x-2)^2=12(y+3)\)।
উত্তরঃ \((a) (y+3)^2=12(x-2); (b) (x-2)^2=12(y+3)\)।
সমাধানঃ
\(Q.3.(xx).(a)\)
শর্তমতে, 
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(x=ay^2+by+c ......(1)\) ➜ অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল।
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A\left(-\frac{b^2-4ac}{4a}, -\frac{b}{2a}\right)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(\frac{1}{a}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(\frac{1}{a}=12\)
\(\Rightarrow 12a=1\)
\(\therefore a=\frac{1}{12}\)
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A\left(-\frac{b^2-4ac}{4a}, -\frac{b}{2a}\right)\)
\(\therefore -\frac{b^2-4ac}{4a}=2, -\frac{b}{2a}=-3, \) ➜দেওয়া আছে, শীর্ষবিন্দু \((2, -3)\) ।
\(\Rightarrow b^2-4ac=-8a, b=6a\)
\(\Rightarrow b^2-4ac=-8a, b=6\times \frac{1}{12}\)
\(\Rightarrow b^2-4ac=-8a, b=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow (\frac{1}{2})^2-4\times \frac{1}{12}\times c=-8\times \frac{1}{12}\) ➜\(\because a=\frac{1}{12}, b=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{4}-\frac{1}{3}c=-\frac{2}{3} \)
\(\Rightarrow \frac{1}{4}+\frac{2}{3}=\frac{1}{3}c \)
\(\Rightarrow \frac{3+8}{12}=\frac{1}{3}c \)
\(\Rightarrow \frac{11}{12}=\frac{1}{3}c \)
\(\Rightarrow \frac{11}{12}\times 3=c \)
\(\Rightarrow c=\frac{11}{4}\)
\(a, b\) ও \(c\)-এর মান \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(x=\frac{1}{12}.y^2+\frac{1}{2}.y+\frac{11}{4}\)
\(\Rightarrow 12x=y^2+6y+33\)
\(\Rightarrow 12x=y^2+6y+9+24\)
\(\Rightarrow 12(x-2)=(y+3)^2\)
\(\therefore (y+3)^2=12(x-2)\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.3.(xx).(b)\)
শর্তমতে,
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(y=ax^2+bx+c ......(1)\) ➜ অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল।
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(\frac{1}{a}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(\frac{1}{a}=12\)
\(\Rightarrow 12a=1\)
\(\therefore a=\frac{1}{12}\)
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\)
\(\therefore -\frac{b}{2a}=2, -\frac{b^2-4ac}{4a}=-3, \) ➜দেওয়া আছে, শীর্ষবিন্দু \((2, -3)\) ।
\(\Rightarrow b=-4a, b^2-4ac=12a\)
\(\Rightarrow b=-4\times \frac{1}{12}, b^2-4ac=12a\)
\(\Rightarrow b=-\frac{1}{3}, b^2-4ac=12a\)
\(\Rightarrow (-\frac{1}{3})^2-4\times \frac{1}{12}\times c=12\times \frac{1}{12}\) ➜\(\because a=\frac{1}{12}, b=-\frac{1}{3}\) ।
\(\Rightarrow \frac{1}{9}-\frac{1}{3}c=1\)
\(\Rightarrow \frac{1}{9}-1=\frac{1}{3}c \)
\(\Rightarrow \frac{1-9}{9}=\frac{1}{3}c \)
\(\Rightarrow -\frac{8}{9}=\frac{1}{3}c \)
\(\Rightarrow -\frac{8}{9}\times 3=c \)
\(\Rightarrow c=-\frac{8}{3}\)
\(a, b\) ও \(c\)-এর মান \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(y=\frac{1}{12}.x^2-\frac{1}{3}.x-\frac{8}{3}\)
\(\Rightarrow 12y=x^2-4x-32\)
\(\Rightarrow 12y=x^2-4x+4-36\)
\(\Rightarrow 12y+36=x^2-4x+4\)
\(\Rightarrow 12(y+3)=(x-2)^2\)
\(\therefore (x-2)^2=12(y+3)\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(x=ay^2+by+c ......(1)\) ➜ অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল।
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A\left(-\frac{b^2-4ac}{4a}, -\frac{b}{2a}\right)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(\frac{1}{a}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(\frac{1}{a}=12\)
\(\Rightarrow 12a=1\)
\(\therefore a=\frac{1}{12}\)
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A\left(-\frac{b^2-4ac}{4a}, -\frac{b}{2a}\right)\)
\(\therefore -\frac{b^2-4ac}{4a}=2, -\frac{b}{2a}=-3, \) ➜দেওয়া আছে, শীর্ষবিন্দু \((2, -3)\) ।
\(\Rightarrow b^2-4ac=-8a, b=6a\)
\(\Rightarrow b^2-4ac=-8a, b=6\times \frac{1}{12}\)
\(\Rightarrow b^2-4ac=-8a, b=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow (\frac{1}{2})^2-4\times \frac{1}{12}\times c=-8\times \frac{1}{12}\) ➜\(\because a=\frac{1}{12}, b=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{4}-\frac{1}{3}c=-\frac{2}{3} \)
\(\Rightarrow \frac{1}{4}+\frac{2}{3}=\frac{1}{3}c \)
\(\Rightarrow \frac{3+8}{12}=\frac{1}{3}c \)
\(\Rightarrow \frac{11}{12}=\frac{1}{3}c \)
\(\Rightarrow \frac{11}{12}\times 3=c \)
\(\Rightarrow c=\frac{11}{4}\)
\(a, b\) ও \(c\)-এর মান \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(x=\frac{1}{12}.y^2+\frac{1}{2}.y+\frac{11}{4}\)
\(\Rightarrow 12x=y^2+6y+33\)
\(\Rightarrow 12x=y^2+6y+9+24\)
\(\Rightarrow 12(x-2)=(y+3)^2\)
\(\therefore (y+3)^2=12(x-2)\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.3.(xx).(b)\)
শর্তমতে,
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(y=ax^2+bx+c ......(1)\) ➜ অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল।
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(\frac{1}{a}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(\frac{1}{a}=12\)
\(\Rightarrow 12a=1\)
\(\therefore a=\frac{1}{12}\)
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\)
\(\therefore -\frac{b}{2a}=2, -\frac{b^2-4ac}{4a}=-3, \) ➜দেওয়া আছে, শীর্ষবিন্দু \((2, -3)\) ।
\(\Rightarrow b=-4a, b^2-4ac=12a\)
\(\Rightarrow b=-4\times \frac{1}{12}, b^2-4ac=12a\)
\(\Rightarrow b=-\frac{1}{3}, b^2-4ac=12a\)
\(\Rightarrow (-\frac{1}{3})^2-4\times \frac{1}{12}\times c=12\times \frac{1}{12}\) ➜\(\because a=\frac{1}{12}, b=-\frac{1}{3}\) ।
\(\Rightarrow \frac{1}{9}-\frac{1}{3}c=1\)
\(\Rightarrow \frac{1}{9}-1=\frac{1}{3}c \)
\(\Rightarrow \frac{1-9}{9}=\frac{1}{3}c \)
\(\Rightarrow -\frac{8}{9}=\frac{1}{3}c \)
\(\Rightarrow -\frac{8}{9}\times 3=c \)
\(\Rightarrow c=-\frac{8}{3}\)
\(a, b\) ও \(c\)-এর মান \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(y=\frac{1}{12}.x^2-\frac{1}{3}.x-\frac{8}{3}\)
\(\Rightarrow 12y=x^2-4x-32\)
\(\Rightarrow 12y=x^2-4x+4-36\)
\(\Rightarrow 12y+36=x^2-4x+4\)
\(\Rightarrow 12(y+3)=(x-2)^2\)
\(\therefore (x-2)^2=12(y+3)\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.3.(xxii)\) \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তটি \(2x^2+2y^2-4x+12y-1=0\) বৃত্তের কেন্দ্রগামী হলে, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\left(\frac{9}{4}, 0\right); 9\)।
উত্তরঃ \(\left(\frac{9}{4}, 0\right); 9\)।
সমাধানঃ
ধরি,
\(y^2=4ax ......(1)\)
\(2x^2+2y^2-4x+12y-1=0\)
\(x^2+y^2-2x+6y-\frac{1}{2}=0 ......(2)\)
এখানে,
\(2g=-2, 2f=6, c=-\frac{1}{2}\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-1, f=3, c=-\frac{1}{2}\)
\((2)\) নং বৃত্তের কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\Rightarrow (1, -3)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্ত \((1, -3)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore (-3)^2=4a.1\)
\(\Rightarrow 9=4a\)
\(\Rightarrow 4a=9\)
\(\Rightarrow a=\frac{9}{4}\)
\((1)\) নং পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a, 0)\)
\(\Rightarrow S\left(\frac{9}{4}, 0\right)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times \frac{9}{4}|\)
\(=|9|\)
\(=9\) একক।
\(y^2=4ax ......(1)\)
\(2x^2+2y^2-4x+12y-1=0\)
\(x^2+y^2-2x+6y-\frac{1}{2}=0 ......(2)\)
এখানে,
\(2g=-2, 2f=6, c=-\frac{1}{2}\) ➜ \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-1, f=3, c=-\frac{1}{2}\)
\((2)\) নং বৃত্তের কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\Rightarrow (1, -3)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্ত \((1, -3)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore (-3)^2=4a.1\)
\(\Rightarrow 9=4a\)
\(\Rightarrow 4a=9\)
\(\Rightarrow a=\frac{9}{4}\)
\((1)\) নং পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a, 0)\)
\(\Rightarrow S\left(\frac{9}{4}, 0\right)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times \frac{9}{4}|\)
\(=|9|\)
\(=9\) একক।
\(Q.3.(xxiii)\) দেখাও যে, \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তস্থ \((x_1, y_1)\) এবং \((x_2, y_2)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক জ্যা-এর সমীকরণ \((y-y_1)(y-y_2)=y^2-4ax \)।
সমাধানঃ
ধরি, 
\(y^2=4ax .........(1)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্ত \((x_1, y_1)\) এবং \((x_2, y_2)\) বিন্দুগামী।
\(y^2_1=4ax_1 .........(2)\)
\(y^2_2=4ax_2 .........(3)\)
\((2)\)-\((3)\)-এর সাহায্যে,
\(y^2_1-y^2_2=4a(x_1-x_2)\)
\(\Rightarrow (y_1-y_2)(y_1+y_2)=4a(x_1-x_2)\)
\(\Rightarrow \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{4a}{y_1+y_2} ........(4)\)
এখন,
\((x_1, y_1)\) এবং \((x_2, y_2)\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,
\(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\) ➜\(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{x-x_1} .........(5)\)
\((4)\) ও \((5)\) হতে,
\(\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{4a}{y_1+y_2}\)
\(\Rightarrow (y-y_1)(y_1+y_2)=4a(x-x_1)\)
\(\Rightarrow yy_1+yy_2-y^2_1-y_1y_2=4ax-4ax_1\)
\(\Rightarrow yy_1+yy_2-y^2_1-y_1y_2=4ax-y^2_1\) ➜ \(\because y^2_1=4ax_1\)
\(\Rightarrow yy_1+yy_2-y_1y_2=4ax\)
\(\Rightarrow -yy_1-yy_2+y_1y_2=-4ax\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\(\Rightarrow y^2-yy_1-yy_2+y_1y_2=y^2-4ax\) ➜ উভয় পার্শে \(y^2\) যোগ করে।
\(\Rightarrow y(y-y_1)-y_2(y-y_1)=y^2-4ax\)
\(\therefore (y-y_1)(y-y_2)=y^2-4ax\)
(Showed)
\(y^2=4ax .........(1)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্ত \((x_1, y_1)\) এবং \((x_2, y_2)\) বিন্দুগামী।
\(y^2_1=4ax_1 .........(2)\)
\(y^2_2=4ax_2 .........(3)\)
\((2)\)-\((3)\)-এর সাহায্যে,
\(y^2_1-y^2_2=4a(x_1-x_2)\)
\(\Rightarrow (y_1-y_2)(y_1+y_2)=4a(x_1-x_2)\)
\(\Rightarrow \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{4a}{y_1+y_2} ........(4)\)
এখন,
\((x_1, y_1)\) এবং \((x_2, y_2)\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,
\(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\) ➜\(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{x-x_1} .........(5)\)
\((4)\) ও \((5)\) হতে,
\(\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{4a}{y_1+y_2}\)
\(\Rightarrow (y-y_1)(y_1+y_2)=4a(x-x_1)\)
\(\Rightarrow yy_1+yy_2-y^2_1-y_1y_2=4ax-4ax_1\)
\(\Rightarrow yy_1+yy_2-y^2_1-y_1y_2=4ax-y^2_1\) ➜ \(\because y^2_1=4ax_1\)
\(\Rightarrow yy_1+yy_2-y_1y_2=4ax\)
\(\Rightarrow -yy_1-yy_2+y_1y_2=-4ax\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\(\Rightarrow y^2-yy_1-yy_2+y_1y_2=y^2-4ax\) ➜ উভয় পার্শে \(y^2\) যোগ করে।
\(\Rightarrow y(y-y_1)-y_2(y-y_1)=y^2-4ax\)
\(\therefore (y-y_1)(y-y_2)=y^2-4ax\)
(Showed)
অনুশীলনী \(5.A\) / \(Q.4\) সৃজনশীল প্রশ্নসমুহ
\(Q.4.(i)\) \(y^2=4x\) পরাবৃত্তের উপর \((1, 2)\) একটি বিন্দু।
\((a)\) \((1, 2)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) প্রদত্ত পরাবৃত্তের উপর এমন একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর যার ভুজ কটির দ্বিগুণ।
\((c)\) \(x^2=8y\) পরাবৃত্তের স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(x+y+1=0\) সরলরেখার উপর লম্ব।
উত্তরঃ \((a) x-y+1=0\); \((b) P(16, 8)\); \((c) x-y+2=0\) ।
\(Q.4.(ii)\) \(y=2x+1\) রেখাটি \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করে।
\((a)\) \(a\) এর মাণ ও স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(3y^2-10x-12y-18=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র, অক্ষরেখা ও দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চঃ২০০৩ ]
উত্তরঃ \((a) a=2, \left(\frac{1}{2}, 2\right)\)।
উত্তরঃ \((b) (2, 0), 8, x+2=0\)।
উত্তরঃ \((c) (-3, 2), \left(-\frac{13}{6}, 2\right), y-2=0, 6x+23=0\)।
\(Q.4.(iii)\) \((1)\) \(x^2+4y-4=0\)।
\((2)\) উপকেন্দ্র \((-1, 1)\) এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x+y+1=0\) ।
\((a)\) \(y^2=12px\) পরাবৃত্তটি \((2, -1)\) বিন্দুগামী হলে, তার উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য বের কর ।
\((b) \ (1)\) নং পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র, অক্ষরেখা ও দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c) \ (2)\) নং এর আলোকে পরাবৃত্তের সমীকরণ বের কর। উক্ত পরাবৃত্তের অক্ষের সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \frac{1}{2}\) একক।
\((b) A(0, 1), S(0, 0), x=0, y-2=0 \) ।
\((c) (x-y)^2+2x-6y+3=0, x-y+2=0, \sqrt{2}\)
\((a)\) \((1, 2)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) প্রদত্ত পরাবৃত্তের উপর এমন একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর যার ভুজ কটির দ্বিগুণ।
\((c)\) \(x^2=8y\) পরাবৃত্তের স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(x+y+1=0\) সরলরেখার উপর লম্ব।
উত্তরঃ \((a) x-y+1=0\); \((b) P(16, 8)\); \((c) x-y+2=0\) ।
\(Q.4.(ii)\) \(y=2x+1\) রেখাটি \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করে।
\((a)\) \(a\) এর মাণ ও স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(3y^2-10x-12y-18=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র, অক্ষরেখা ও দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চঃ২০০৩ ]
উত্তরঃ \((a) a=2, \left(\frac{1}{2}, 2\right)\)।
উত্তরঃ \((b) (2, 0), 8, x+2=0\)।
উত্তরঃ \((c) (-3, 2), \left(-\frac{13}{6}, 2\right), y-2=0, 6x+23=0\)।
\(Q.4.(iii)\) \((1)\) \(x^2+4y-4=0\)।
\((2)\) উপকেন্দ্র \((-1, 1)\) এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x+y+1=0\) ।
\((a)\) \(y^2=12px\) পরাবৃত্তটি \((2, -1)\) বিন্দুগামী হলে, তার উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য বের কর ।
\((b) \ (1)\) নং পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র, অক্ষরেখা ও দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c) \ (2)\) নং এর আলোকে পরাবৃত্তের সমীকরণ বের কর। উক্ত পরাবৃত্তের অক্ষের সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \frac{1}{2}\) একক।
\((b) A(0, 1), S(0, 0), x=0, y-2=0 \) ।
\((c) (x-y)^2+2x-6y+3=0, x-y+2=0, \sqrt{2}\)
\(Q.4.(iv)\) \(y^2=4ax\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\((a)\) \(y^2-4y-4x+16=0\) পরাবৃত্তকে আদর্শ আকারে প্রকাশ কর।
\((b)\) পরাবৃত্তটি \((3, -2)\) বিন্দুগামী হলে, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) দেখাও যে, \(lx+my+n=0\) রেখাটি পরাবৃত্তের স্পর্শক হবে যদি \(ln=am^2\) হয় ।
উত্তরঃ \((a) Y^2=4X\) যেখানে, \(X=x-3, Y=y-2\);
\((b) \frac{4}{3}, S\left(\frac{1}{3}, 0\right)\)।
\(Q.4.(v)\) \(y^2=8x\) একটি কনিকের সমীকরণ।
\((a)\) কনিকের সংজ্ঞা দাও। ইহা কি আকারের কনিক কারণসহ ব্যাখ্যা দাও।
\((b)\) প্রদত্ত কনিকের উপরোস্থিত কোনো বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব \(8\) ; ঐ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) যে পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় \((-2, 2)\) ও \((-2, -4)\) তার সমীকরণ নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \((b) (6, 4\sqrt{3})\) এবং \((6, -4\sqrt{3})\) ।
\((c) y^2+2y+6x+4=0, y^2+2y-6x-20=0\)।
\((a)\) \(y^2-4y-4x+16=0\) পরাবৃত্তকে আদর্শ আকারে প্রকাশ কর।
\((b)\) পরাবৃত্তটি \((3, -2)\) বিন্দুগামী হলে, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) দেখাও যে, \(lx+my+n=0\) রেখাটি পরাবৃত্তের স্পর্শক হবে যদি \(ln=am^2\) হয় ।
উত্তরঃ \((a) Y^2=4X\) যেখানে, \(X=x-3, Y=y-2\);
\((b) \frac{4}{3}, S\left(\frac{1}{3}, 0\right)\)।
\(Q.4.(v)\) \(y^2=8x\) একটি কনিকের সমীকরণ।
\((a)\) কনিকের সংজ্ঞা দাও। ইহা কি আকারের কনিক কারণসহ ব্যাখ্যা দাও।
\((b)\) প্রদত্ত কনিকের উপরোস্থিত কোনো বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব \(8\) ; ঐ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) যে পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় \((-2, 2)\) ও \((-2, -4)\) তার সমীকরণ নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \((b) (6, 4\sqrt{3})\) এবং \((6, -4\sqrt{3})\) ।
\((c) y^2+2y+6x+4=0, y^2+2y-6x-20=0\)।
\(Q.4.(i)\) \(y^2=4x\) পরাবৃত্তের উপর \((1, 2)\) একটি বিন্দু।
\((a)\) \((1, 2)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) প্রদত্ত পরাবৃত্তের উপর এমন একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর ভুজ কটির দ্বিগুণ।
\((c)\) \(x^2=8y\) পরাবৃত্তের স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(x+y+1=0\) সরলরেখার উপর লম্ব।
উত্তরঃ \((a) x-y+1=0\); \((b) P(16, 8)\);
\((c) x-y+2=0\) ।
\((a)\) \((1, 2)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) প্রদত্ত পরাবৃত্তের উপর এমন একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর ভুজ কটির দ্বিগুণ।
\((c)\) \(x^2=8y\) পরাবৃত্তের স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(x+y+1=0\) সরলরেখার উপর লম্ব।
উত্তরঃ \((a) x-y+1=0\); \((b) P(16, 8)\);
\((c) x-y+2=0\) ।
সমাধানঃ
\(Q.4.(i).(a)\)
ধরি,
\(y^2=4x .....(1)\)
\((1, 2)\) বিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-2=m(x-1).......(2)\) ➜\(P(x_1, y_1)\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ \(y-y_1=m(x-x_1)\)
\(\Rightarrow m(x-1)=y-2\)
\(\Rightarrow x-1=\frac{y-2}{m}\)
\(\Rightarrow x=\frac{y-2}{m}+1 ......(3)\)
\((3)\) হতে \(\)-এর মান \( (1)\)-এ বসিয়ে,
\(y^2=4\left(\frac{y-2}{m}+1\right)\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{4y-8}{m}+4\)
\(\Rightarrow my^2=4y-8+4m\)
\(\Rightarrow my^2-4y+8-4m=0\) যা \(y\)-এর দ্বিঘাত সমীকরণ, এখানে \(y\)-এর দুইটি মান আছে, শর্তমতে এই মানদ্বয় সমান হবে।
\(\therefore (-4)^2=4.m(8-4m)\) ➜ \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমাণ হওয়ার শর্ত, \(b^2=4ac\)
\(\Rightarrow 16=4.m.4(2-m)\)
\(\Rightarrow 16=16m(2-m)\)
\(\Rightarrow 1=m(2-m)\) ➜ উভয় পার্শে \(16\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow 1=2m-m^2\)
\(\Rightarrow m^2-2m+1=0\)
\(\Rightarrow (m-1)^2=0\)
\(\Rightarrow m-1=0\)
\(\therefore m=1\)
\(m=1, (2)\)-এ বসিয়ে,
\(y-2=1(x-1)\)
\(\Rightarrow x-1=y-2\)
\(\Rightarrow x-1-y+2=0\)
\(\therefore x-y+1=0\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
\(Q.4.(i).(b)\)
শর্তমতে,
বিন্দুটি \(P(2\alpha, \alpha)\)
এই বিন্দুটি \((1)\) নং পরেবৃত্তের উপর অবস্থিত।
\(\therefore \alpha^2=4.2\alpha\)
\(\Rightarrow \alpha^2=8\alpha\)
\(\therefore \alpha=8\) ➜ উভয় পার্শে \(\alpha\) ভাগ করে।
\(\therefore \) বিন্দুটি \(P(2.8, 8)\)
\(\Rightarrow P(16, 8)\)
\(Q.4.(i).(c)\)
ধরি,
\(y^2=8x ......(1)\)
\(x+y+1=0 ......(2)\)
\((2)\) নং রেখার উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x-y+k=0 ......(3)\)| \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\(\Rightarrow x+k=y\)
\(\therefore y=x+k\)
\((3)\) হতে প্রাপ্ত \(y=x+k\), \((1)\)-এ বসিয়ে,
\((x+k)^2=8x\)
\(\Rightarrow x^2+2kx+k^2=8x\)
\(\Rightarrow x^2+2kx+k^2-8x=0\)
\(\Rightarrow x^2+2(k-4)x+k^2=0\) যা \(x\)-এর দ্বিঘাত সমীকরণ। এখানে \(x\)-এর দুইটি মান আছে।
শর্তমতে, \(x\)-এর এই মানদ্বয় সমান হবে। যেহেতু \((3)\) নং সরলরেখা \((1)\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করে।
\(\therefore \{2(k-4)\}^2=4.1.k^2\)| \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমাণ হওয়ার শর্ত, \(b^2-4ac=0\)
\(\therefore 4(k-4)^2=4k^2\)
\(\Rightarrow (k-4)^2=k^2\) ➜ উভয় পার্শে \(4\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow k^2-8k+16=k^2\)
\(\Rightarrow k^2-8k+16-k^2=0\)
\(\Rightarrow -8k+16=0\)
\(\Rightarrow -8k=-16\)
\(\Rightarrow k=\frac{-16}{-8}\)
\(\therefore k=2\)
\(k=2\) এই মান \((3)\) -এ বসিয়ে,
\(x-y+2=0\)
\(\therefore x-y+2=0\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
ধরি,
\(y^2=4x .....(1)\)
\((1, 2)\) বিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-2=m(x-1).......(2)\) ➜\(P(x_1, y_1)\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ \(y-y_1=m(x-x_1)\)
\(\Rightarrow m(x-1)=y-2\)
\(\Rightarrow x-1=\frac{y-2}{m}\)
\(\Rightarrow x=\frac{y-2}{m}+1 ......(3)\)
\((3)\) হতে \(\)-এর মান \( (1)\)-এ বসিয়ে,
\(y^2=4\left(\frac{y-2}{m}+1\right)\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{4y-8}{m}+4\)
\(\Rightarrow my^2=4y-8+4m\)
\(\Rightarrow my^2-4y+8-4m=0\) যা \(y\)-এর দ্বিঘাত সমীকরণ, এখানে \(y\)-এর দুইটি মান আছে, শর্তমতে এই মানদ্বয় সমান হবে।
\(\therefore (-4)^2=4.m(8-4m)\) ➜ \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমাণ হওয়ার শর্ত, \(b^2=4ac\)
\(\Rightarrow 16=4.m.4(2-m)\)
\(\Rightarrow 16=16m(2-m)\)
\(\Rightarrow 1=m(2-m)\) ➜ উভয় পার্শে \(16\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow 1=2m-m^2\)
\(\Rightarrow m^2-2m+1=0\)
\(\Rightarrow (m-1)^2=0\)
\(\Rightarrow m-1=0\)
\(\therefore m=1\)
\(m=1, (2)\)-এ বসিয়ে,
\(y-2=1(x-1)\)
\(\Rightarrow x-1=y-2\)
\(\Rightarrow x-1-y+2=0\)
\(\therefore x-y+1=0\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
\(Q.4.(i).(b)\)
শর্তমতে,
বিন্দুটি \(P(2\alpha, \alpha)\)
এই বিন্দুটি \((1)\) নং পরেবৃত্তের উপর অবস্থিত।
\(\therefore \alpha^2=4.2\alpha\)
\(\Rightarrow \alpha^2=8\alpha\)
\(\therefore \alpha=8\) ➜ উভয় পার্শে \(\alpha\) ভাগ করে।
\(\therefore \) বিন্দুটি \(P(2.8, 8)\)
\(\Rightarrow P(16, 8)\)
\(Q.4.(i).(c)\)
ধরি,
\(y^2=8x ......(1)\)
\(x+y+1=0 ......(2)\)
\((2)\) নং রেখার উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x-y+k=0 ......(3)\)| \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\(\Rightarrow x+k=y\)
\(\therefore y=x+k\)
\((3)\) হতে প্রাপ্ত \(y=x+k\), \((1)\)-এ বসিয়ে,
\((x+k)^2=8x\)
\(\Rightarrow x^2+2kx+k^2=8x\)
\(\Rightarrow x^2+2kx+k^2-8x=0\)
\(\Rightarrow x^2+2(k-4)x+k^2=0\) যা \(x\)-এর দ্বিঘাত সমীকরণ। এখানে \(x\)-এর দুইটি মান আছে।
শর্তমতে, \(x\)-এর এই মানদ্বয় সমান হবে। যেহেতু \((3)\) নং সরলরেখা \((1)\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করে।
\(\therefore \{2(k-4)\}^2=4.1.k^2\)| \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমাণ হওয়ার শর্ত, \(b^2-4ac=0\)
\(\therefore 4(k-4)^2=4k^2\)
\(\Rightarrow (k-4)^2=k^2\) ➜ উভয় পার্শে \(4\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow k^2-8k+16=k^2\)
\(\Rightarrow k^2-8k+16-k^2=0\)
\(\Rightarrow -8k+16=0\)
\(\Rightarrow -8k=-16\)
\(\Rightarrow k=\frac{-16}{-8}\)
\(\therefore k=2\)
\(k=2\) এই মান \((3)\) -এ বসিয়ে,
\(x-y+2=0\)
\(\therefore x-y+2=0\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
\(Q.4.(ii)\) \(y=2x+1\) রেখাটি \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করে।
\((a)\) \(a\) এর মাণ ও স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(3y^2-10x-12y-18=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র, অক্ষরেখা ও দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চঃ২০০৩ ]
উত্তরঃ \((a) a=2, \left(\frac{1}{2}, 2\right)\)।
উত্তরঃ \((b) (2, 0), 8, x+2=0\)।
উত্তরঃ \((c) (-3, 2), \left(-\frac{13}{6}, 2\right), y-2=0, 6x+23=0\)।
\((a)\) \(a\) এর মাণ ও স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(3y^2-10x-12y-18=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র, অক্ষরেখা ও দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চঃ২০০৩ ]
উত্তরঃ \((a) a=2, \left(\frac{1}{2}, 2\right)\)।
উত্তরঃ \((b) (2, 0), 8, x+2=0\)।
উত্তরঃ \((c) (-3, 2), \left(-\frac{13}{6}, 2\right), y-2=0, 6x+23=0\)।
সমাধানঃ
\(Q.4.(ii).(a)\)
ধরি,
\(y=2x+1 ........(1)\)
\(y^2=4ax ........(2)\)
\((1)\) হতে \(y\)-এর মান \((2)\)-এ বসিয়ে,
\((2x+1)^2=4ax\)
\(\Rightarrow 4x^2+4x+1-4ax=0\)
\(\Rightarrow 4x^2-4(a-1)x+1=0 ......(3)\)
যা \(x\)-এর দ্বিঘাত সমীকরণ। এখানে \(x\)-এর দুইটি মান আছে।
শর্তমতে, \(x\)-এর এই মানদ্বয় সমান হবে। যেহেতু \((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করে।
\(\therefore \{-4(a-1)\}^2=4.4.1\)| \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমাণ হওয়ার শর্ত, \(b^2=4ac\)
\(\Rightarrow 16(a-1)=16\)
\(\Rightarrow a-1=1\) ➜ উভয় পার্শে \(16\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow a=1+1\)
\(\therefore a=2\)
\(a=2, (3)\)-এ বসিয়ে,
\(4x^2-4(2-1)x+1=0\)
\(\Rightarrow 4x^2-4.1.x+1=0\)
\(\Rightarrow 4x^2-4x+1=0\)
\(\Rightarrow (2x-1)^2=0\)
\(\Rightarrow 2x-1=0\)
\(\Rightarrow 2x=1\)
\(\therefore x=\frac{1}{2}\)
\((1)\) হতে,
\(y=2\times \frac{1}{2}+1\)
\(\Rightarrow y=1+1\)
\(\therefore y=2\)
\(\therefore\) স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{1}{2}, 2\right)\)
\(Q.4.(ii).(b)\)
\((a)\) হতে প্রাপ্ত, \(a=2\)
পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a, 0)\)
\(\Rightarrow S(2, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4.2|\)
\(=|8|\)
\(=8\) একক।
নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x+a=0\)
\(\Rightarrow x+2=0\)
\(Q.4.(ii).(c)\)
ধরি,
\(3y^2-10x-12y-18=0\)
\(\Rightarrow y^2-\frac{10}{3}x-4y-6=0\) ➜ উভয় পার্শে \(3\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow y^2-4y+4-4-\frac{10}{3}x-6=0\)
\(\Rightarrow y^2-4y+4-\frac{10}{3}x-10=0\)
\(\Rightarrow y^2-4y+4-\frac{10}{3}x-10=0\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=\frac{10}{3}x+10\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=\frac{10}{3}(x+3)\)
\(\Rightarrow Y^2=\frac{10}{3}X ........(1)\) যেখানে, \(X=x+3, Y=y-2\)
এখানে,
\(4a=\frac{10}{3}\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{10}{3\times 4}\)
\(\Rightarrow a=\frac{5}{3\times 2}\)
\(\therefore a=\frac{5}{6}\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x+3=0, y-2=0\)
\(\Rightarrow x=-3, y=2\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(-3, 2)\)
উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\Rightarrow X=a, Y=0\)
\(\Rightarrow x+3=\frac{5}{6}, y-2=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{5}{6}-3, y=2\)
\(\Rightarrow x=\frac{5-18}{6}, y=2\)
\(\Rightarrow x=\frac{-13}{6}, y=2\)
\(\Rightarrow x=-\frac{13}{6}, y=2\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S\left(-\frac{13}{6}, 2\right)\)
অক্ষের সমীকরণ, \(Y=0\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। অক্ষের সমীকরণ, \(y=0\)
\(\Rightarrow y-2=0\)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ, \( y-2=0\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(X=-a\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(x=-a\)
\(\Rightarrow x+3=-\frac{5}{6}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{5}{6}-3\)
\(\Rightarrow x=\frac{-5-18}{6}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-23}{6}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{23}{6}\)
\(\Rightarrow 6x=-23\)
\(\Rightarrow 6x+23=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(6x+23=0\)
ধরি,
\(y=2x+1 ........(1)\)
\(y^2=4ax ........(2)\)
\((1)\) হতে \(y\)-এর মান \((2)\)-এ বসিয়ে,
\((2x+1)^2=4ax\)
\(\Rightarrow 4x^2+4x+1-4ax=0\)
\(\Rightarrow 4x^2-4(a-1)x+1=0 ......(3)\)
যা \(x\)-এর দ্বিঘাত সমীকরণ। এখানে \(x\)-এর দুইটি মান আছে।
শর্তমতে, \(x\)-এর এই মানদ্বয় সমান হবে। যেহেতু \((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করে।
\(\therefore \{-4(a-1)\}^2=4.4.1\)| \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমাণ হওয়ার শর্ত, \(b^2=4ac\)
\(\Rightarrow 16(a-1)=16\)
\(\Rightarrow a-1=1\) ➜ উভয় পার্শে \(16\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow a=1+1\)
\(\therefore a=2\)
\(a=2, (3)\)-এ বসিয়ে,
\(4x^2-4(2-1)x+1=0\)
\(\Rightarrow 4x^2-4.1.x+1=0\)
\(\Rightarrow 4x^2-4x+1=0\)
\(\Rightarrow (2x-1)^2=0\)
\(\Rightarrow 2x-1=0\)
\(\Rightarrow 2x=1\)
\(\therefore x=\frac{1}{2}\)
\((1)\) হতে,
\(y=2\times \frac{1}{2}+1\)
\(\Rightarrow y=1+1\)
\(\therefore y=2\)
\(\therefore\) স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{1}{2}, 2\right)\)
\(Q.4.(ii).(b)\)
\((a)\) হতে প্রাপ্ত, \(a=2\)
পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a, 0)\)
\(\Rightarrow S(2, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4.2|\)
\(=|8|\)
\(=8\) একক।
নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x+a=0\)
\(\Rightarrow x+2=0\)
\(Q.4.(ii).(c)\)
ধরি,
\(3y^2-10x-12y-18=0\)
\(\Rightarrow y^2-\frac{10}{3}x-4y-6=0\) ➜ উভয় পার্শে \(3\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow y^2-4y+4-4-\frac{10}{3}x-6=0\)
\(\Rightarrow y^2-4y+4-\frac{10}{3}x-10=0\)
\(\Rightarrow y^2-4y+4-\frac{10}{3}x-10=0\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=\frac{10}{3}x+10\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=\frac{10}{3}(x+3)\)
\(\Rightarrow Y^2=\frac{10}{3}X ........(1)\) যেখানে, \(X=x+3, Y=y-2\)
এখানে,
\(4a=\frac{10}{3}\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{10}{3\times 4}\)
\(\Rightarrow a=\frac{5}{3\times 2}\)
\(\therefore a=\frac{5}{6}\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x+3=0, y-2=0\)
\(\Rightarrow x=-3, y=2\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(-3, 2)\)
উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\Rightarrow X=a, Y=0\)
\(\Rightarrow x+3=\frac{5}{6}, y-2=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{5}{6}-3, y=2\)
\(\Rightarrow x=\frac{5-18}{6}, y=2\)
\(\Rightarrow x=\frac{-13}{6}, y=2\)
\(\Rightarrow x=-\frac{13}{6}, y=2\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S\left(-\frac{13}{6}, 2\right)\)
অক্ষের সমীকরণ, \(Y=0\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। অক্ষের সমীকরণ, \(y=0\)
\(\Rightarrow y-2=0\)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ, \( y-2=0\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(X=-a\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(x=-a\)
\(\Rightarrow x+3=-\frac{5}{6}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{5}{6}-3\)
\(\Rightarrow x=\frac{-5-18}{6}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-23}{6}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{23}{6}\)
\(\Rightarrow 6x=-23\)
\(\Rightarrow 6x+23=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(6x+23=0\)
\(Q.4.(iii)\) \((1)\) \(x^2+4y-4=0\)।
\((2)\) উপকেন্দ্র \((-1, 1)\) এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x+y+1=0\) ।
\((a)\) \(y^2=12px\) পরাবৃত্তটি \((2, -1)\) বিন্দুগামী হলে, তার উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য বের কর ।
\((b) \ (1)\) নং পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র, অক্ষরেখা ও দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c) \ (2)\) নং এর আলোকে পরাবৃত্তের সমীকরণ বের কর। উক্ত পরাবৃত্তের অক্ষের সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \frac{1}{2}\) একক।
\((b) A(0, 1), S(0, 0), x=0, y-2=0 \) ।
\((c) (x-y)^2+2x-6y+3=0, x-y+2=0, \sqrt{2}\)
\((2)\) উপকেন্দ্র \((-1, 1)\) এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x+y+1=0\) ।
\((a)\) \(y^2=12px\) পরাবৃত্তটি \((2, -1)\) বিন্দুগামী হলে, তার উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য বের কর ।
\((b) \ (1)\) নং পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র, অক্ষরেখা ও দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c) \ (2)\) নং এর আলোকে পরাবৃত্তের সমীকরণ বের কর। উক্ত পরাবৃত্তের অক্ষের সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \frac{1}{2}\) একক।
\((b) A(0, 1), S(0, 0), x=0, y-2=0 \) ।
\((c) (x-y)^2+2x-6y+3=0, x-y+2=0, \sqrt{2}\)
সমাধানঃ
\(Q.4.(iii).(a)\)
ধরি,
\(y^2=12px ..........(1)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্ত \((2, -1)\) বিন্দুগামী ।
\(\therefore (-1)^2=12p.2\)
\(\Rightarrow 1=24p\)
\(\Rightarrow 24p=1\)
\(\therefore p=\frac{1}{24}\)
\(p\)-এর মান \( (1)\)-এ বসিয়ে,
\(y^2=12\times \frac{1}{24}\times x\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{1}{2}x .....(2)\)
এখানে,
\(4a=\frac{1}{2}\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=\frac{1}{8}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য , \(=|4a|\)
\(=|4\times \frac{1}{8}|\)
\(=|\frac{1}{2}|\)
\(=\frac{1}{2}\) একক।
\(Q.4.(iii).(b)\)
ধরি,
\(x^2+4y-4=0\)
\(\Rightarrow x^2=-4y+4\)
\(\Rightarrow x^2=-4(y-1)\)
\(\therefore X^2=-4Y ........(1)\) যেখানে, \(X=x, Y=y-1\)
এখানে,
\(4a=-4\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=-\frac{4}{4}\)
\(\therefore a=-1\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x=0, y-1=0\)
\(\Rightarrow x=0, y=1\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(0, 1)\)
উপকেন্দ্র \(S(0, a)\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(0, a)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=a\)
\(\Rightarrow x=0, y-1=-1\)
\(\Rightarrow x=0, y=1-1\)
\(\Rightarrow x=0, y=0\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S(0, 0)\)
অক্ষের সমীকরণ, \(X=0\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। অক্ষের সমীকরণ, \(x=0\)
\(\Rightarrow x=0\)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ , \( x=0\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(Y=-a\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(y=-a\)
\(\Rightarrow y-1=-(-1)\)
\(\Rightarrow y-1=1\)
\(\Rightarrow y-1-1=0\)
\(\Rightarrow y-2=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(y-2=0\)
\(Q.4.(iii).(c)\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র \(S(-1, 1)\)
এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x+y+1=0 ....(1)\)
ধরি, পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}=\frac{|x+y+1|}{\sqrt{1^2+1^2}}\) ➜ \(P\) হতে নিয়ামকের লম্ব দূরত্ব \(PM=\frac{|x+y+1|}{\sqrt{1^2+1^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}=\frac{|x+y+1|}{\sqrt{1+1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}=\frac{|x+y+1|}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow (x+1)^2+(y-1)^2=\frac{(x+y+1)^2}{2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 2(x+1)^2+2(y-1)^2=(x+y+1)^2\)
\(\Rightarrow 2x^2+4x+2+2y^2-4y+2=x^+y^2+1+2xy+2x+2y\)
\(\Rightarrow 2x^2+4x+2+2y^2-4y+2-x^-y^2-1-2xy-2x-2y=0\)
\(\Rightarrow x^2-2xy+y^2+2x-6y+3=0\)
\(\therefore (x-y)^2+2x-6y+3=0\)
অক্ষরেখা নিয়ামক রেখার উপর লম্ব, তাই \((1)\)-এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x-y+k=0 .......(2)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা \(S(-1, 1)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore -1-1+k=0\)
\(\Rightarrow -2+k=0\)
\(\therefore k=2\)
\(k\)-এর মান \(\)-এ বসিয়ে,
\(x-y+2=0 \) যা অক্ষের সমীকরণ ।
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য=উপকেন্দ্র হতে নিয়ামক রেখার লম্ব দূরত্বের দ্বিগুণ।
\(\therefore \) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=2\frac{|-1+1+1|}{\sqrt{1^2+1^2}}\)
\(=2\frac{|1|}{\sqrt{1+1}}\)
\(=2\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(=\sqrt{2}.\sqrt{2}.\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(=\sqrt{2}\)
ধরি,
\(y^2=12px ..........(1)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্ত \((2, -1)\) বিন্দুগামী ।
\(\therefore (-1)^2=12p.2\)
\(\Rightarrow 1=24p\)
\(\Rightarrow 24p=1\)
\(\therefore p=\frac{1}{24}\)
\(p\)-এর মান \( (1)\)-এ বসিয়ে,
\(y^2=12\times \frac{1}{24}\times x\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{1}{2}x .....(2)\)
এখানে,
\(4a=\frac{1}{2}\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=\frac{1}{8}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য , \(=|4a|\)
\(=|4\times \frac{1}{8}|\)
\(=|\frac{1}{2}|\)
\(=\frac{1}{2}\) একক।
\(Q.4.(iii).(b)\)
ধরি,
\(x^2+4y-4=0\)
\(\Rightarrow x^2=-4y+4\)
\(\Rightarrow x^2=-4(y-1)\)
\(\therefore X^2=-4Y ........(1)\) যেখানে, \(X=x, Y=y-1\)
এখানে,
\(4a=-4\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=-\frac{4}{4}\)
\(\therefore a=-1\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x=0, y-1=0\)
\(\Rightarrow x=0, y=1\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(0, 1)\)
উপকেন্দ্র \(S(0, a)\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(0, a)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=a\)
\(\Rightarrow x=0, y-1=-1\)
\(\Rightarrow x=0, y=1-1\)
\(\Rightarrow x=0, y=0\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \(S(0, 0)\)
অক্ষের সমীকরণ, \(X=0\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। অক্ষের সমীকরণ, \(x=0\)
\(\Rightarrow x=0\)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ , \( x=0\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(Y=-a\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(y=-a\)
\(\Rightarrow y-1=-(-1)\)
\(\Rightarrow y-1=1\)
\(\Rightarrow y-1-1=0\)
\(\Rightarrow y-2=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(y-2=0\)
\(Q.4.(iii).(c)\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র \(S(-1, 1)\)
এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x+y+1=0 ....(1)\)
ধরি, পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}=\frac{|x+y+1|}{\sqrt{1^2+1^2}}\) ➜ \(P\) হতে নিয়ামকের লম্ব দূরত্ব \(PM=\frac{|x+y+1|}{\sqrt{1^2+1^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}=\frac{|x+y+1|}{\sqrt{1+1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}=\frac{|x+y+1|}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow (x+1)^2+(y-1)^2=\frac{(x+y+1)^2}{2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 2(x+1)^2+2(y-1)^2=(x+y+1)^2\)
\(\Rightarrow 2x^2+4x+2+2y^2-4y+2=x^+y^2+1+2xy+2x+2y\)
\(\Rightarrow 2x^2+4x+2+2y^2-4y+2-x^-y^2-1-2xy-2x-2y=0\)
\(\Rightarrow x^2-2xy+y^2+2x-6y+3=0\)
\(\therefore (x-y)^2+2x-6y+3=0\)
অক্ষরেখা নিয়ামক রেখার উপর লম্ব, তাই \((1)\)-এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x-y+k=0 .......(2)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা \(S(-1, 1)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore -1-1+k=0\)
\(\Rightarrow -2+k=0\)
\(\therefore k=2\)
\(k\)-এর মান \(\)-এ বসিয়ে,
\(x-y+2=0 \) যা অক্ষের সমীকরণ ।
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য=উপকেন্দ্র হতে নিয়ামক রেখার লম্ব দূরত্বের দ্বিগুণ।
\(\therefore \) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=2\frac{|-1+1+1|}{\sqrt{1^2+1^2}}\)
\(=2\frac{|1|}{\sqrt{1+1}}\)
\(=2\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(=\sqrt{2}.\sqrt{2}.\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(=\sqrt{2}\)
\(Q.4.(iv)\) \(y^2=4ax\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\((a)\) \(y^2-4y-4x+16=0\) পরাবৃত্তকে আদর্শ আকারে প্রকাশ কর।
\((b)\) পরাবৃত্তটি \((3, -2)\) বিন্দুগামী হলে, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) দেখাও যে, \(lx+my+n=0\) রেখাটি পরাবৃত্তের স্পর্শক হবে যদি \(ln=am^2\) হয় ।
উত্তরঃ \((a) Y^2=4X\) যেখানে, \(X=x-3, Y=y-2\);
\((b) \frac{4}{3}, S\left(\frac{1}{3}, 0\right)\)।
\((a)\) \(y^2-4y-4x+16=0\) পরাবৃত্তকে আদর্শ আকারে প্রকাশ কর।
\((b)\) পরাবৃত্তটি \((3, -2)\) বিন্দুগামী হলে, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) দেখাও যে, \(lx+my+n=0\) রেখাটি পরাবৃত্তের স্পর্শক হবে যদি \(ln=am^2\) হয় ।
উত্তরঃ \((a) Y^2=4X\) যেখানে, \(X=x-3, Y=y-2\);
\((b) \frac{4}{3}, S\left(\frac{1}{3}, 0\right)\)।
সমাধানঃ
\(Q.4.(iv).(a)\)
দেওয়া আছে,
\(y^2-4y-4x+16=0\)
\(\Rightarrow y^2-4y+4-4x+12=0\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=4x-12\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=4(x-3)\)
\(\therefore Y^2=4X\) যেখানে, \(X=x-3, Y=y-2\)
ইহাই পরাবৃত্তের নির্ণেয় আদর্শ আকার।
\(Q.4.(iv).(b)\)
ধরি,
\(y^2=4ax .......(1)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্ত \((3, -2)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore (-2)^2=4a.3\)
\(\Rightarrow 4=12a\)
\(\Rightarrow 12a=4\)
\(\Rightarrow a=\frac{4}{12}\)
\(\therefore a=\frac{1}{3}\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(= |4a|\)
\(=|4\times \frac{1}{3}|\)
\(=|\frac{4}{3}|\)
\(=\frac{4}{3}\) একক।
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a, 0)\)
\(\Rightarrow S\left(\frac{1}{3}, 0\right)\)
\(Q.4.(iv).(c)\) দেওয়া আছে,
\(lx+my+n=0\)
\(\Rightarrow my=-lx-n\)
\(\therefore y=-\frac{lx+n}{m}\)
\(y\)-এর এই মান \((b)\) হতে প্রাপ্ত \((1)\) নং পরাবৃত্তে বসিয়ে,
\(\left(-\frac{lx+n}{m}\right)^2=4ax\)
\(\Rightarrow \frac{(lx+n)^2}{m^2}=4ax \)
\(\Rightarrow (lx+n)^2=4am^2x \)
\(\Rightarrow l^2x^2+2lnx+n^2=4am^2x \)
\(\Rightarrow l^2x^2-4am^2x+2lnx+n^2=0 \)
\(\therefore l^2x^2-2(2am^2-ln)x+n^2=0 \) যা \(x\)-এর দ্বিঘাত সমীকরণ এখানে \(x\)-এর দুইটি মান আছে। শর্তমতে এই মানদ্বয় সমান হবে।
\(\therefore \{-2(2am^2-ln)\}^2=4.l^2.n^2 \) ➜ \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমাণ হওয়ার শর্ত, \(b^2=4ac\)
\(\Rightarrow 4(2am^2-ln)^2=4l^2n^2 \)
\(\Rightarrow (2am^2-ln)^2=l^2n^2 \) ➜ উভয় পার্শে \(4\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow (2am^2-ln)^2=(ln)^2 \)
\(\Rightarrow 2am^2-ln=\pm ln \)
\(\Rightarrow 2am^2-ln=ln \) ➜ ধনাত্মক মান ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 2am^2=ln+ln \)
\(\Rightarrow 2am^2=2ln \)
\(\Rightarrow am^2=ln \) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\therefore ln=am^2 \)
\((Showed)\)
দেওয়া আছে,
\(y^2-4y-4x+16=0\)
\(\Rightarrow y^2-4y+4-4x+12=0\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=4x-12\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=4(x-3)\)
\(\therefore Y^2=4X\) যেখানে, \(X=x-3, Y=y-2\)
ইহাই পরাবৃত্তের নির্ণেয় আদর্শ আকার।
\(Q.4.(iv).(b)\)
ধরি,
\(y^2=4ax .......(1)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্ত \((3, -2)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore (-2)^2=4a.3\)
\(\Rightarrow 4=12a\)
\(\Rightarrow 12a=4\)
\(\Rightarrow a=\frac{4}{12}\)
\(\therefore a=\frac{1}{3}\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(= |4a|\)
\(=|4\times \frac{1}{3}|\)
\(=|\frac{4}{3}|\)
\(=\frac{4}{3}\) একক।
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a, 0)\)
\(\Rightarrow S\left(\frac{1}{3}, 0\right)\)
\(Q.4.(iv).(c)\) দেওয়া আছে,
\(lx+my+n=0\)
\(\Rightarrow my=-lx-n\)
\(\therefore y=-\frac{lx+n}{m}\)
\(y\)-এর এই মান \((b)\) হতে প্রাপ্ত \((1)\) নং পরাবৃত্তে বসিয়ে,
\(\left(-\frac{lx+n}{m}\right)^2=4ax\)
\(\Rightarrow \frac{(lx+n)^2}{m^2}=4ax \)
\(\Rightarrow (lx+n)^2=4am^2x \)
\(\Rightarrow l^2x^2+2lnx+n^2=4am^2x \)
\(\Rightarrow l^2x^2-4am^2x+2lnx+n^2=0 \)
\(\therefore l^2x^2-2(2am^2-ln)x+n^2=0 \) যা \(x\)-এর দ্বিঘাত সমীকরণ এখানে \(x\)-এর দুইটি মান আছে। শর্তমতে এই মানদ্বয় সমান হবে।
\(\therefore \{-2(2am^2-ln)\}^2=4.l^2.n^2 \) ➜ \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমাণ হওয়ার শর্ত, \(b^2=4ac\)
\(\Rightarrow 4(2am^2-ln)^2=4l^2n^2 \)
\(\Rightarrow (2am^2-ln)^2=l^2n^2 \) ➜ উভয় পার্শে \(4\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow (2am^2-ln)^2=(ln)^2 \)
\(\Rightarrow 2am^2-ln=\pm ln \)
\(\Rightarrow 2am^2-ln=ln \) ➜ ধনাত্মক মান ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 2am^2=ln+ln \)
\(\Rightarrow 2am^2=2ln \)
\(\Rightarrow am^2=ln \) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\therefore ln=am^2 \)
\((Showed)\)
\(Q.4.(v)\) \(y^2=8x\) একটি কনিকের সমীকরণ।
\((a)\) কনিকের সংজ্ঞা দাও। ইহা কি আকারের কনিক কারণসহ ব্যাখ্যা দাও।
\((b)\) প্রদত্ত কনিকের উপরোস্থিত কোনো বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব \(8\) ; ঐ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) যে পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় \((-2, 2)\) ও \((-2, -4)\) তার সমীকরণ নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \((b) (6, 4\sqrt{3})\) এবং \((6, -4\sqrt{3})\) ।
\((c) y^2+2y+6x+4=0, y^2+2y-6x-20=0\)।
\((a)\) কনিকের সংজ্ঞা দাও। ইহা কি আকারের কনিক কারণসহ ব্যাখ্যা দাও।
\((b)\) প্রদত্ত কনিকের উপরোস্থিত কোনো বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব \(8\) ; ঐ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) যে পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় \((-2, 2)\) ও \((-2, -4)\) তার সমীকরণ নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \((b) (6, 4\sqrt{3})\) এবং \((6, -4\sqrt{3})\) ।
\((c) y^2+2y+6x+4=0, y^2+2y-6x-20=0\)।
সমাধানঃ
\(Q.4.(v).(a)\)
কনিকঃ কোন কার্তেসীয় সমতলে একটি বিন্দু যদি এমনভাবে চলে যে ঐ সমতলস্থিত একটি স্থির বিন্দু থেকে দূরত্ব এবং একটি নির্দিষ্ট রেখা থেকে লম্বদূরত্বের অনুপাত একটি ধ্রুবক , তবে ঐ বিন্দুর সঞ্চারপথকে কনিক বলা হয়।
প্রদত্ত কনিকটি একটি পরাবৃত্ত। কারণ ইহা পরাবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ \(y^2=4ax\) এর অনুরূপ।
যার ,
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(0, 0)\)
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a, 0)\)
নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x=-a\)
অক্ষরেখার সমীকরণ \(y=0\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(x=a\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(Q.4.(v).(b)\)
ধরি,
\(y^2=8x ........(1)\)
এখানে,
\(4a=8\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{8}{4}\)
\(\Rightarrow a=2\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\therefore S(2, 0)\)
মনে করি, নির্ণেয় বিন্দুটি \(P(x, y)\)
শর্তমতে,
\(PS=8\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-0)^2}=8\)
\(\Rightarrow (x-2)^2+(y-0)^2=8^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-4x+4+y^2=64\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x+4-64=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x-60=0\)
\(\Rightarrow x^2+8x-4x-60=0\) ➜ \((1)\) -এর সাহায্যে ।
\(\Rightarrow x^2+4x-60=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4.1.(-60)}}{2.1}\) ➜ \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের সমাধান, \(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm \sqrt{16+240}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm \sqrt{256}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm 16}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4+16}{2}, \frac{-4-16}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{12}{2}, \frac{-20}{2}\)
\(\Rightarrow x=6, -10\)
\(\therefore x=6, x\ne -10\)
\(x=6\) এই মান \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(y^2=8.6\)
\(\Rightarrow y^2=48\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{48}\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{3\times 16}\)
\(\therefore y=\pm 4\sqrt{3}\)
\(\therefore \) নির্ণেয় বিন্দু \((6, 4\sqrt{3})\) এবং \((6, -4\sqrt{3})\) ।
\(Q.4.(v).(c)\)
দেওয়া আছে,
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় \(L(-2, 2)\) ও \(\acute L(-2, -4)\)
\(L\acute L\)-এর মধ্যবিন্দু হবে পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S\left(\frac{-2-2}{2}, \frac{2-4}{2}\right)\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow S\left(\frac{-4}{2}, \frac{-2}{2}\right)\)
\(\therefore S(-2, -1)\)
\(\because L(-2, 2)\) ও \(\acute L(-2, -4)\)-এর ভুজ অভিন্ন তাই \(L\acute L\) তথা উপকেন্দ্রিক লম্ব \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল।
ফলে পরাবৃত্তের অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল।
ধরি, পরাবৃত্তের শীর্ষ \(A(\alpha, \beta)\)
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a+\alpha, \beta)\)
পরাবৃত্তের সমীকরণ, \((y-\beta)^2=4a(x-\alpha) ......(1)\) ➜ অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল।
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(\alpha, \beta)\)
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a+\alpha, \beta)\)
পরাবৃত্তের সমীকরণ, \((y-\beta)^2=4a(x-\alpha)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(|4a|=|2+4|=6\) ➜ উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় \(L(-2, 2)\) ও \(\acute L(-2, -4)\)-এর কটি দ্বয়ের অন্তর।
\(\Rightarrow |4a|=6\)
\(\Rightarrow 4a=\pm 6\)
\(\Rightarrow a=\pm \frac{6}{4}\)
\(\therefore a=\pm \frac{3}{2}\)
এখন,
\(S(a+\alpha, \beta)\Rightarrow S(-2, -1)\)
\(\Rightarrow a+\alpha=-2, \beta=-1\)
\(\Rightarrow \alpha=-2-a, \beta=-1\)
\(\Rightarrow \alpha=-2-\frac{3}{2}, \beta=-1\) ➜ যখন, \(a=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow \alpha=\frac{-4-3}{2}, \beta=-1\)
\(\Rightarrow \alpha=\frac{-7}{2}, \beta=-1\)
\(\therefore \alpha=-\frac{7}{2}, \beta=-1\)
আবার,
\(\Rightarrow \alpha=-2+\frac{3}{2}, \beta=-1\) ➜ যখন, \(a=-\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow \alpha=\frac{-4+3}{2}, \beta=-1\)
\(\Rightarrow \alpha=\frac{-1}{2}, \beta=-1\)
\(\therefore \alpha=-\frac{1}{2}, \beta=-1\)
\(a, \alpha, \beta\)-এর মান \((1)\)-এ বসিয়ে,
\((y+1)^2=4\times \frac{3}{2}\times \left(x+\frac{7}{2}\right)\) ➜ যখন, \(a=\frac{3}{2},\alpha=-\frac{7}{2}, \beta=-1\)
\(\Rightarrow (y+1)^2=6\left(\frac{2x+7}{2}\right)\)
\(\Rightarrow (y+1)^2=3(2x+7)\)
\(\Rightarrow y^2+2y+1=6x+21\)
\(\Rightarrow y^2+2y+1-6x-21=0\)
\(\therefore y^2+2y-6x-20=0\)
আবার,
\((y+1)^2=4\times -\frac{3}{2}\times \left(x+\frac{1}{2}\right)\) ➜ যখন, \(a=-\frac{3}{2},\alpha=-\frac{1}{2}, \beta=-1\)
\(\Rightarrow (y+1)^2=-6\left(\frac{2x+1}{2}\right)\)
\(\Rightarrow (y+1)^2=-3(2x+1)\)
\(\Rightarrow y^2+2y+1=-6x-3\)
\(\Rightarrow y^2+2y+1+6x+3=0\)
\(\therefore y^2+2y+6x+4=0\)
\(\therefore\) পরাবৃত্তের সমীকরণ, \( y^2+2y+6x+4=0, y^2+2y-6x-20=0\)
কনিকঃ কোন কার্তেসীয় সমতলে একটি বিন্দু যদি এমনভাবে চলে যে ঐ সমতলস্থিত একটি স্থির বিন্দু থেকে দূরত্ব এবং একটি নির্দিষ্ট রেখা থেকে লম্বদূরত্বের অনুপাত একটি ধ্রুবক , তবে ঐ বিন্দুর সঞ্চারপথকে কনিক বলা হয়।
প্রদত্ত কনিকটি একটি পরাবৃত্ত। কারণ ইহা পরাবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ \(y^2=4ax\) এর অনুরূপ।
যার ,
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(0, 0)\)
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a, 0)\)
নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x=-a\)
অক্ষরেখার সমীকরণ \(y=0\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(x=a\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(Q.4.(v).(b)\)
ধরি,
\(y^2=8x ........(1)\)
এখানে,
\(4a=8\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{8}{4}\)
\(\Rightarrow a=2\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\therefore S(2, 0)\)
মনে করি, নির্ণেয় বিন্দুটি \(P(x, y)\)
শর্তমতে,
\(PS=8\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-0)^2}=8\)
\(\Rightarrow (x-2)^2+(y-0)^2=8^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-4x+4+y^2=64\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x+4-64=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x-60=0\)
\(\Rightarrow x^2+8x-4x-60=0\) ➜ \((1)\) -এর সাহায্যে ।
\(\Rightarrow x^2+4x-60=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4.1.(-60)}}{2.1}\) ➜ \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের সমাধান, \(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm \sqrt{16+240}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm \sqrt{256}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm 16}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4+16}{2}, \frac{-4-16}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{12}{2}, \frac{-20}{2}\)
\(\Rightarrow x=6, -10\)
\(\therefore x=6, x\ne -10\)
\(x=6\) এই মান \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(y^2=8.6\)
\(\Rightarrow y^2=48\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{48}\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{3\times 16}\)
\(\therefore y=\pm 4\sqrt{3}\)
\(\therefore \) নির্ণেয় বিন্দু \((6, 4\sqrt{3})\) এবং \((6, -4\sqrt{3})\) ।
\(Q.4.(v).(c)\)
দেওয়া আছে,
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় \(L(-2, 2)\) ও \(\acute L(-2, -4)\)
\(L\acute L\)-এর মধ্যবিন্দু হবে পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S\left(\frac{-2-2}{2}, \frac{2-4}{2}\right)\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow S\left(\frac{-4}{2}, \frac{-2}{2}\right)\)
\(\therefore S(-2, -1)\)
\(\because L(-2, 2)\) ও \(\acute L(-2, -4)\)-এর ভুজ অভিন্ন তাই \(L\acute L\) তথা উপকেন্দ্রিক লম্ব \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল।
ফলে পরাবৃত্তের অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল।
ধরি, পরাবৃত্তের শীর্ষ \(A(\alpha, \beta)\)
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a+\alpha, \beta)\)
পরাবৃত্তের সমীকরণ, \((y-\beta)^2=4a(x-\alpha) ......(1)\) ➜ অক্ষরেখা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল।
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(\alpha, \beta)\)
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a+\alpha, \beta)\)
পরাবৃত্তের সমীকরণ, \((y-\beta)^2=4a(x-\alpha)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(|4a|=|2+4|=6\) ➜ উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় \(L(-2, 2)\) ও \(\acute L(-2, -4)\)-এর কটি দ্বয়ের অন্তর।
\(\Rightarrow |4a|=6\)
\(\Rightarrow 4a=\pm 6\)
\(\Rightarrow a=\pm \frac{6}{4}\)
\(\therefore a=\pm \frac{3}{2}\)
এখন,
\(S(a+\alpha, \beta)\Rightarrow S(-2, -1)\)
\(\Rightarrow a+\alpha=-2, \beta=-1\)
\(\Rightarrow \alpha=-2-a, \beta=-1\)
\(\Rightarrow \alpha=-2-\frac{3}{2}, \beta=-1\) ➜ যখন, \(a=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow \alpha=\frac{-4-3}{2}, \beta=-1\)
\(\Rightarrow \alpha=\frac{-7}{2}, \beta=-1\)
\(\therefore \alpha=-\frac{7}{2}, \beta=-1\)
আবার,
\(\Rightarrow \alpha=-2+\frac{3}{2}, \beta=-1\) ➜ যখন, \(a=-\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow \alpha=\frac{-4+3}{2}, \beta=-1\)
\(\Rightarrow \alpha=\frac{-1}{2}, \beta=-1\)
\(\therefore \alpha=-\frac{1}{2}, \beta=-1\)
\(a, \alpha, \beta\)-এর মান \((1)\)-এ বসিয়ে,
\((y+1)^2=4\times \frac{3}{2}\times \left(x+\frac{7}{2}\right)\) ➜ যখন, \(a=\frac{3}{2},\alpha=-\frac{7}{2}, \beta=-1\)
\(\Rightarrow (y+1)^2=6\left(\frac{2x+7}{2}\right)\)
\(\Rightarrow (y+1)^2=3(2x+7)\)
\(\Rightarrow y^2+2y+1=6x+21\)
\(\Rightarrow y^2+2y+1-6x-21=0\)
\(\therefore y^2+2y-6x-20=0\)
আবার,
\((y+1)^2=4\times -\frac{3}{2}\times \left(x+\frac{1}{2}\right)\) ➜ যখন, \(a=-\frac{3}{2},\alpha=-\frac{1}{2}, \beta=-1\)
\(\Rightarrow (y+1)^2=-6\left(\frac{2x+1}{2}\right)\)
\(\Rightarrow (y+1)^2=-3(2x+1)\)
\(\Rightarrow y^2+2y+1=-6x-3\)
\(\Rightarrow y^2+2y+1+6x+3=0\)
\(\therefore y^2+2y+6x+4=0\)
\(\therefore\) পরাবৃত্তের সমীকরণ, \( y^2+2y+6x+4=0, y^2+2y-6x-20=0\)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000004