এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
- উপবৃত্তের সংজ্ঞা।
- উপবৃত্তের প্রমিত সমীকরণ।
- উপবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ সনাক্তকরণ
- উপবৃত্তের সমীকরণ সনাক্তকরণ
- উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল
- \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \ (a>b)\) উপবৃত্তের বিভিন্ন অংশের বিবরণ
- \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \ (b > a)\) উপবৃত্তের বিভিন্ন অংশের বিবরণ
- \(\frac{(x-\alpha)^2}{a^2}+\frac{(y-\beta)^2}{b^2}=1 \ (a>b)\) উপবৃত্তের বিভিন্ন অংশের বিবরণ
- \(\frac{(x-\alpha)^2}{a^2}+\frac{(y-\beta)^2}{b^2}=1 \ (b > a)\) উপবৃত্তের বিভিন্ন অংশের বিবরণ
- \(y=mx+c\) সরলরেখা \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তের স্পর্শক হওয়ার শর্ত, স্পর্শকের সমীকরণ এবং স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক
- \(x\cos\alpha + y\sin\alpha=p\) সরলরেখা \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তের স্পর্শক হওয়ার শর্ত এবং স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক
- \(lx+my+n=0\) সরলরেখা \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তের স্পর্শক হওয়ার শর্ত এবং স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক।
- উপবৃত্ত সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর আপেক্ষিক অবস্থান
- \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তের উপরিস্থিত \(P(x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ
- উপবৃত্তের উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা
- উপবৃত্তের বৃহদাক্ষ ও ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য
- উপবৃত্তের সমীকরণ থেকে উৎকেন্দ্রতা
- উপবৃত্তের সমীকরণ থেকে উৎকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক ও নিয়ামকের সমীকরণ
- উপবৃত্তের সমীকরণ থেকে উপকেন্দ্রিক লম্ব ও এর দৈর্ঘ্য
- উপবৃত্তের উপরিস্থিত কোনো বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব দুইটির সমষ্টি, বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্যের সমান
- \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1; (a>b)\) উপবৃত্তের উপরিস্থিত কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুর পরামিতিক স্থানাঙ্ক
- \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1; (b>a)\) উপবৃত্তের উপরিস্থিত কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুর পরামিতিক স্থানাঙ্ক
- উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর লেখচিত্র
- সমাধানকৃত উদাহরণমালা
- অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন-উত্তর
- সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন-উত্তর
- বর্ণনামূলক প্রশ্ন-উত্তর
- সৃজনশীল প্রশ্ন এবং সমাধান
উপবৃত্ত
Ellipse
উপবৃত্তঃ কোনো কার্তেসীয় সমতলে একটি বিন্দু যদি এমনভাবে চলে যে ঐ সমতলস্থিত একটি স্থির বিন্দু থেকে দূরত্ব এবং একটি নির্দিষ্ট রেখা থেকে লম্ব দূরত্বের অনুপাত একটি স্থির রাশি এবং ঐ স্থির রাশিটির মান \(1\) অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর, তবে ঐ বিন্দুর সঞ্চারপথকে উপবৃত্ত বলা হয়। উক্ত স্থির রাশিকে উৎকেন্দ্রতা (Eccentricity) বলা হয়, এবং ইহাকে \(e\) দ্বারা সূচিত করা হয়,যেখানে \(1 > e > 0\) হবে ।
উপকেন্দ্র দুইটির মধ্যদিয়ে অঙ্কিত উপবৃত্তের সর্ববৃহত রেখাংশ \(A\acute A\) কে বৃহৎ অক্ষ (Major axis) বলা হয়। বৃহদাক্ষের লম্ব দ্বিখন্ডক রেখাংশ \(B\acute B\) কে ক্ষুদ্র অক্ষ (Minor axis) বলা হয়। অক্ষদ্বয়ের মিলিত বিন্দু \(C\) কে কেন্দ্র এবং বৃহদাক্ষের প্রান্ত বিন্দু দুইটিকে শীর্ষবিন্দু বলা হয়। উপবৃত্তের প্রমিত সমীকরণ।
Standard equation of Ellipse.
ধরি,
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S\) নিয়ামকরেখা \(MZ\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(1 > e > 0,\) নিয়ামকরেখার উপর \(SZ\) লম্ব আঁকি। \(SZ\) রেখাকে \(A\) ও \(\acute A\) বিন্দুদ্বয় \(e:1\) অনুপাতে যথাক্রমে অন্তর্বিভক্ত ও বহিঃর্বিভক্ত করে, যেন \(SA=e.AZ\) এবং \(S\acute A=e.\acute AZ\)।
তাহলে, \(A\) ও \(\acute A\) উপবৃত্তের উপর দুইটি বিন্দু অর্থাৎ শীর্ষবিন্দু।
মনে করি \(A\acute A\)-এর মধ্যবিন্দু \(C\) এবং \(A\acute A=2a\)
তাহলে, \(CA=C\acute A=a\)
এখন,
\(SA=e.AZ\)
\(\therefore a-CS=e(CZ-a) .......(1)\) ➜ \(\because SA=CA-CS=a-CS; AZ=CZ-CA=CZ-a\)
এবং \(S\acute A=e.\acute AZ\)
\(\therefore a+CS=e(CZ+a) ........(2)\) ➜ \(\because S\acute A=C\acute A+CS=a+CS; \acute AZ=CZ+CA=CZ+a\)
\((1)\) ও \((2)\) যোগ করে,
\(a-CS+a+CS=e(CZ-a)+e(CZ+a)\)
\(\Rightarrow 2a=e(CZ-a+CZ+a)\)
\(\Rightarrow 2a=e.2CZ\)
\(\Rightarrow a=e.CZ\)
\(\Rightarrow e.CZ=a\)
\(\therefore CZ=\frac{a}{e}\)
\((2)\) - \((1)\)-এর সাহায্যে,
\(a+CS-a+CS=e(CZ+a)-e(CZ-a)\)
\(\Rightarrow 2CS=e(CZ+a-CZ+a)\)
\(\Rightarrow 2CS=e.2a\)
\(\Rightarrow CS=e.a\)
\(\therefore CS=ae\)
\(C\)-কে মূলবিন্দু , \(CX\) ও \(CY\)-কে যথাক্রমে \(x\)-অক্ষ ও \(y\)-অক্ষ বিবেচনা করি। উপবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)। \(P\) বিন্দু হতে \(A\acute A\)-এর উপর \(PN\) ও নিয়ামকরেখার উপর \(PM\) লম্ব আঁকি।
সুতরাং উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে, \(SP=e.PM\)
\(\Rightarrow SP=e.NZ\) ➜ \(\because PM=NZ\)
\(\Rightarrow SP^2=e^2.NZ^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow SN^2+PN^2=e^2(CN+CZ)^2\) ➜ \(\because SP^2=SN^2+PN^2; NZ=CN+CZ\)
\(\Rightarrow (ae+x)^2+y^2=e^2\left(x+\frac{a}{e}\right)^2\) ➜ \(\because SN=CS+CN=ae+x; NZ=x+\frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow (ae+x)^2+y^2=e^2\left(\frac{ex+a}{e}\right)^2\)
\(\Rightarrow (ae+x)^2+y^2=e^2.\frac{(ex+a)^2}{e^2}\)
\(\Rightarrow (ae+x)^2+y^2=(ex+a)^2\)
\(\Rightarrow a^2e^2+2aex+x^2+y^2=e^2x^2+2aex+a^2\)
\(\Rightarrow x^2-e^2x^2+y^2=2aex+a^2-a^2e^2-2aex\)
\(\Rightarrow x^2(1-e^2)+y^2=a^2-a^2e^2\)
\(\Rightarrow x^2(1-e^2)+y^2=a^2(1-e^2)\)
\(\Rightarrow \frac{x^2(1-e^2)}{a^2(1-e^2)}+\frac{y^2}{a^2(1-e^2)}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(a^2(1-e^2)\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2(1-e^2)}=1 .......(3)\)
\((3)\) নং সমীকরণে \(x=0\) বসিয়ে,
\(\frac{0^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2(1-e^2)}=1\)
\(\Rightarrow \frac{0}{a^2}+\frac{y^2}{a^2(1-e^2)}=1\)
\(\Rightarrow 0+\frac{y^2}{a^2(1-e^2)}=1\)
\(\Rightarrow y^2=a^2(1-e^2)\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{a^2(1-e^2)}\)
\(\therefore y=\pm a\sqrt{(1-e^2)}\); ইহা স্পষ্ট যে \(Y\)-অক্ষ উপবৃত্তকে দুইটি বাস্তব বিন্দুতে (যেহেতু \(1>e \)) ছেদ করে।
ধরি,
\(B\) ও \(\acute B\) বিন্দু দুইটি \(C\)-এর বিপরীত দিকে এমনভাবে অবস্থিত যে,
\(CB=C\acute B=a\sqrt{(1-e^2)}\)।
ধরি,
\(CB=C\acute B=b\)
তাহলে, \(b=a\sqrt{(1-e^2)}\)
\(\therefore b^2=a^2(1-e^2) ........(4)\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\((4)\)-এর সাহায্য নিয়ে \((3)\) হতে পাই,
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
ইহাই উপবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ।
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S\) নিয়ামকরেখা \(MZ\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(1 > e > 0,\) নিয়ামকরেখার উপর \(SZ\) লম্ব আঁকি। \(SZ\) রেখাকে \(A\) ও \(\acute A\) বিন্দুদ্বয় \(e:1\) অনুপাতে যথাক্রমে অন্তর্বিভক্ত ও বহিঃর্বিভক্ত করে, যেন \(SA=e.AZ\) এবং \(S\acute A=e.\acute AZ\)।
তাহলে, \(A\) ও \(\acute A\) উপবৃত্তের উপর দুইটি বিন্দু অর্থাৎ শীর্ষবিন্দু।
মনে করি \(A\acute A\)-এর মধ্যবিন্দু \(C\) এবং \(A\acute A=2a\)
তাহলে, \(CA=C\acute A=a\)
এখন,
\(SA=e.AZ\)
\(\therefore a-CS=e(CZ-a) .......(1)\) ➜ \(\because SA=CA-CS=a-CS; AZ=CZ-CA=CZ-a\)
এবং \(S\acute A=e.\acute AZ\)
\(\therefore a+CS=e(CZ+a) ........(2)\) ➜ \(\because S\acute A=C\acute A+CS=a+CS; \acute AZ=CZ+CA=CZ+a\)
\((1)\) ও \((2)\) যোগ করে,
\(a-CS+a+CS=e(CZ-a)+e(CZ+a)\)
\(\Rightarrow 2a=e(CZ-a+CZ+a)\)
\(\Rightarrow 2a=e.2CZ\)
\(\Rightarrow a=e.CZ\)
\(\Rightarrow e.CZ=a\)
\(\therefore CZ=\frac{a}{e}\)
\((2)\) - \((1)\)-এর সাহায্যে,
\(a+CS-a+CS=e(CZ+a)-e(CZ-a)\)
\(\Rightarrow 2CS=e(CZ+a-CZ+a)\)
\(\Rightarrow 2CS=e.2a\)
\(\Rightarrow CS=e.a\)
\(\therefore CS=ae\)
\(C\)-কে মূলবিন্দু , \(CX\) ও \(CY\)-কে যথাক্রমে \(x\)-অক্ষ ও \(y\)-অক্ষ বিবেচনা করি। উপবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)। \(P\) বিন্দু হতে \(A\acute A\)-এর উপর \(PN\) ও নিয়ামকরেখার উপর \(PM\) লম্ব আঁকি।
সুতরাং উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে, \(SP=e.PM\)
\(\Rightarrow SP=e.NZ\) ➜ \(\because PM=NZ\)
\(\Rightarrow SP^2=e^2.NZ^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow SN^2+PN^2=e^2(CN+CZ)^2\) ➜ \(\because SP^2=SN^2+PN^2; NZ=CN+CZ\)
\(\Rightarrow (ae+x)^2+y^2=e^2\left(x+\frac{a}{e}\right)^2\) ➜ \(\because SN=CS+CN=ae+x; NZ=x+\frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow (ae+x)^2+y^2=e^2\left(\frac{ex+a}{e}\right)^2\)
\(\Rightarrow (ae+x)^2+y^2=e^2.\frac{(ex+a)^2}{e^2}\)
\(\Rightarrow (ae+x)^2+y^2=(ex+a)^2\)
\(\Rightarrow a^2e^2+2aex+x^2+y^2=e^2x^2+2aex+a^2\)
\(\Rightarrow x^2-e^2x^2+y^2=2aex+a^2-a^2e^2-2aex\)
\(\Rightarrow x^2(1-e^2)+y^2=a^2-a^2e^2\)
\(\Rightarrow x^2(1-e^2)+y^2=a^2(1-e^2)\)
\(\Rightarrow \frac{x^2(1-e^2)}{a^2(1-e^2)}+\frac{y^2}{a^2(1-e^2)}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(a^2(1-e^2)\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2(1-e^2)}=1 .......(3)\)
\((3)\) নং সমীকরণে \(x=0\) বসিয়ে,
\(\frac{0^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2(1-e^2)}=1\)
\(\Rightarrow \frac{0}{a^2}+\frac{y^2}{a^2(1-e^2)}=1\)
\(\Rightarrow 0+\frac{y^2}{a^2(1-e^2)}=1\)
\(\Rightarrow y^2=a^2(1-e^2)\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{a^2(1-e^2)}\)
\(\therefore y=\pm a\sqrt{(1-e^2)}\); ইহা স্পষ্ট যে \(Y\)-অক্ষ উপবৃত্তকে দুইটি বাস্তব বিন্দুতে (যেহেতু \(1>e \)) ছেদ করে।
ধরি,
\(B\) ও \(\acute B\) বিন্দু দুইটি \(C\)-এর বিপরীত দিকে এমনভাবে অবস্থিত যে,
\(CB=C\acute B=a\sqrt{(1-e^2)}\)।
ধরি,
\(CB=C\acute B=b\)
তাহলে, \(b=a\sqrt{(1-e^2)}\)
\(\therefore b^2=a^2(1-e^2) ........(4)\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\((4)\)-এর সাহায্য নিয়ে \((3)\) হতে পাই,
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
ইহাই উপবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ।
উপবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ সনাক্তকরণঃ
মূলবিন্দু কেন্দ্রবিশিষ্ট উপবৃত্তের প্রমিত সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)-এ \(x\) বা \(y\) যুক্ত পদ থাকবে না। শুধু \(x^2\) ও \(y^2\) যুক্ত পদ বিদ্যমান। \(x^2\)-এর সহগ \(\frac{1}{a^2}\) এবং \(y^2\)-এর সহগ \(\frac{1}{b^2}\) অসমান ও অভিন্ন চিহ্নযুক্ত।
উপবৃত্তের সমীকরণ সনাক্তকরণঃ
উপবৃত্তের সমীকরণে \(x^2\) ও \(y^2\) যুক্ত পদ বিদ্যমান। \(x^2\)-এর সহগ এবং \(y^2\)-এর সহগ অসমান ও অভিন্ন চিহ্নযুক্ত। \(x\) ও \(y\) যুক্ত পদ থাকতেও পারে নাও থাকতে পারে।
উপবৃত্তের ক্ষেত্রফলঃ
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল \(=\pi ab\)
প্রয়োজনীয় এবং স্মরণীয় সূত্রসমূহ।
উপবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ ও বিভিন্ন অংশের বিবরণ।
\(1.\) উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \ (a>b)\)
- উপবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(C(0, 0)\)
- উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
- বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2a|\)
- ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2b|\)
- বৃহদাক্ষের সমীকরণ \(y=0\)
- ক্ষুদ্রাক্ষের সমীকরণ \(x=0\)
- উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\pm ae, 0)\)
- নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x=\pm \frac{a}{e}\)
- উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{2b^2}{a}|\)
- উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(x=\pm ae\)
- শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\pm a, 0)\)
- নিয়ামকরেখার পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\pm \frac{a}{e}, 0)\)
- উপকেন্দ্রের মধ্যকার দূরত্ব \(=|2ae|\)
- নিয়ামকদ্বয়ের মধ্যকার দূরত্ব \(=|\frac{2a}{e}|\)
- একই দিকের উপকেন্দ্র ও অনুরূপ নিয়ামকরেখার মধ্যকার দূরত্ব \(|\frac{a}{e}-ae|\)
\(2.\) উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \ (b > a)\)
- উপবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(C(0, 0)\)
- উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
- বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2b|\)
- ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2a|\)
- বৃহদাক্ষের সমীকরণ \(x=0\)
- ক্ষুদ্রাক্ষের সমীকরণ \(y=0\)
- উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((0, \pm be)\)
- নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(y=\pm \frac{b}{e}\)
- উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{2a^2}{b}|\)
- উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(y=\pm be\)
- শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((0, \pm b)\)
- নিয়ামকরেখার পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((0, \pm \frac{b}{e})\)
- উপকেন্দ্রের মধ্যকার দূরত্ব \(=|2be|\)
- নিয়ামকদ্বয়ের মধ্যকার দূরত্ব \(=|\frac{2b}{e}|\)
- একই দিকের উপকেন্দ্র ও অনুরূপ নিয়ামকরেখার মধ্যকার দূরত্ব \(=|\frac{b}{e}-be|\)
\(3.\) উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{(x-\alpha)^2}{a^2}+\frac{(y-\beta)^2}{b^2}=1 \ (a>b)\)
- শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\pm a+\alpha, 0)\)
- উপবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(C(\alpha, \beta)\)
- উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
- বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2a|\)
- ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2b|\)
- বৃহদাক্ষের সমীকরণ \(y-\beta=0\)
- ক্ষুদ্রাক্ষের সমীকরণ \(x-\alpha=0\)
- উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\pm ae+\alpha, \beta)\)
- নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x-\alpha=\pm \frac{a}{e}\)
- উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{2b^2}{a}|\)
- উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(x-\alpha=\pm ae\)
\(4.\) উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{(x-\alpha)^2}{a^2}+\frac{(y-\beta)^2}{b^2}=1 \ (b > a)\)
- শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\alpha, \pm b+\beta)\)
- উপবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(C(\alpha, \beta)\)
- উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
- বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2b|\)
- ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2a|\)
- বৃহদাক্ষের সমীকরণ \(x-\alpha=0\)
- ক্ষুদ্রাক্ষের সমীকরণ \(y-\beta=0\)
- উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\alpha, \pm be+\beta)\)
- নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(y-\beta=\pm \frac{b}{e}\)
- উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{2a^2}{b}|\)
- উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(y-\beta=\pm be\)
\(5.\) \(y=mx+c\) সরলরেখা \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তের স্পর্শক হওয়ার শর্ত, স্পর্শকের সমীকরণ এবং স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক।
মনে করি,
সরলরেখা ও উপবৃত্তটির সমীকরণ যথাক্রমে
\(y=mx+c .............(1) \)
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(2) \)
সরলরেখা ও উপবৃত্তটির সমীকরণ যথাক্রমে
\(y=mx+c .............(1) \)
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(2) \)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং উপবৃত্তকে স্পর্শ করার শর্তঃ \(c=\pm \sqrt{(a^2m^2+b^2)}\)
স্পর্শকের সমীকরণঃ \(y=mx\pm \sqrt{(a^2m^2+b^2)}\)
স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্কঃ \(\left(\frac{\pm a^2m}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}, \frac{\pm b^2}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}\right)\)
\(5.1\) \(x\cos\alpha + y\sin\alpha=p\) সরলরেখা \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তের স্পর্শক হওয়ার শর্ত এবং স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক।
মনে করি,
সরলরেখা ও উপবৃত্তটির সমীকরণ যথাক্রমে
\(x\cos\alpha + y\sin\alpha=p.............(1) \)
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(2) \)
সরলরেখা ও উপবৃত্তটির সমীকরণ যথাক্রমে
\(x\cos\alpha + y\sin\alpha=p.............(1) \)
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(2) \)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং উপবৃত্তকে স্পর্শ করার শর্তঃ \(p^2=a^2\cos^2\alpha+b^2\sin^2\alpha\)
স্পর্শকের সমীকরণঃ \(x\cos\alpha + y\sin\alpha \pm \sqrt{(a^2\cos^2\alpha+b^2\sin^2\alpha)}=0\)
স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্কঃ \(\left(\frac{a^2\cos\alpha}{p}, \frac{b^2\sin\alpha}{p}\right)\)
\(5.2\) \(lx+my+n=0\) সরলরেখা \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তের স্পর্শক হওয়ার শর্ত এবং স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক।
মনে করি,
সরলরেখা ও উপবৃত্তটির সমীকরণ যথাক্রমে
\(lx+my+n=0.............(1) \)
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(2) \)
সরলরেখা ও উপবৃত্তটির সমীকরণ যথাক্রমে
\(lx+my+n=0.............(1) \)
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(2) \)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং উপবৃত্তকে স্পর্শ করার শর্তঃ \(a^2l^2+b^2m^2=n^2\)
স্পর্শকের সমীকরণঃ \(lx+my \pm \sqrt{(a^2l^2+b^2m^2)}=0\)
স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্কঃ \(\left(\frac{-a^2l}{n}, \frac{-b^2m}{n}\right)\)
\(5.3\) উপবৃত্ত সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর আপেক্ষিক অবস্থান।
মনে করি,
একটি নির্দিষ্ট বিন্দু এবং একটি উপবৃত্ত যথাক্রমে \(P(x_1, y_1)\)
এবং \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1) \)
একটি নির্দিষ্ট বিন্দু এবং একটি উপবৃত্ত যথাক্রমে \(P(x_1, y_1)\)
এবং \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1) \)
\(P(x_1, y_1)\) বিন্দুটি \((1)\) নং উপবৃত্তের উপরে অবস্থান করার শর্তঃ \(\frac{x^2_1}{a^2}+\frac{y^2_1}{b^2}=0\)
\(P(x_1, y_1)\) বিন্দুটি \((1)\) নং উপবৃত্তের ভিতরে অবস্থান করার শর্তঃ \(0>\frac{x^2_1}{a^2}+\frac{y^2_1}{b^2}\)
\(P(x_1, y_1)\) বিন্দুটি \((1)\) নং উপবৃত্তের বাহিরে অবস্থান করার শর্তঃ\(\frac{x^2_1}{a^2}+\frac{y^2_1}{b^2} > 0\)
\(5.4\) \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তের উপরিস্থিত \(P(x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ।
মনে করি,
একটি নির্দিষ্ট বিন্দু এবং একটি উপবৃত্ত যথাক্রমে \(P(x_1, y_1)\)
এবং \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1) \)
একটি নির্দিষ্ট বিন্দু এবং একটি উপবৃত্ত যথাক্রমে \(P(x_1, y_1)\)
এবং \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1) \)
\((1)\) নং উপবৃত্তের উপরিস্থিত \(P(x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণঃ \(\frac{xx_1}{a^2}+\frac{yy_1}{b^2}=1\)
\(6.\) উপবৃত্তের উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা
Focus and directrix of Ellipse
একটি উপবৃত্তের দুইটি উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা আছে। যেহেতু, উপবৃত্তটি \(y\) অক্ষ বরাবর প্রতিসম তাই তাকে \(B\acute B\) বরাবর ভাঁজ করা হলে উপবৃত্তের ডান ও বাম পক্ষ দুইটি পরস্পরের সাথে সমাপতিত হয়। এখন \(x\) অক্ষের উপর \(\acute S\) ও \(\acute Z\) দুইটি বিন্দু এমনভাবে নেওয়া হয়, যেন \(C\acute S=CS=ae \) এবং \(C\acute Z=CZ=\frac{a}{e}\) হয়। \(Z\acute Z\)-এর উপর \(\acute M\acute Z\) লম্ব আঁকি। তাহলে প্রতিসাম্য অনুযায়ী, এটি স্পষ্ট যে, \(\acute S\)-কে উপকেন্দ্র এবং \(\acute M\acute Z\)-কে নিয়ামকরেখা ধরে আমরা একই উপবৃত্ত পাই। অতএব, উপবৃত্তের দুইটি উপকেন্দ্র এবং দুইটি নিয়ামকরেখা আছে।\(7.\) উপবৃত্তের বৃহদাক্ষ ও ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য
Major and Minor axis of Ellipse
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
\(a>b\) ধরে \(C(0, 0)\) বিন্দু উপবৃত্তের কেন্দ্র।
\((1)\) নং সমীকরণে \(y=0\) বসিয়ে পাই \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}+\frac{0}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}+0=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}=1\)
\(\Rightarrow x^2=a^2\)
\(\therefore x=\pm a\) সুতরাং উপবৃত্ত \(X\)-অক্ষকে \(A(a, 0)\) এবং \(\acute A(-a, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(A\acute A\) বৃহদাক্ষ এবং এর দৈর্ঘ্য
\(A\acute A=AC+C\acute A=a+a=2a\)
\(\therefore \) বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2a|\)।
আবার,
\((1)\) নং সমীকরণে \(x=0\) বসিয়ে পাই \(\frac{0^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{0}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow 0+\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow y^2=b^2\)
\(\therefore y=\pm b\)
সুতরাং উপবৃত্ত \(Y\)-অক্ষকে \(B(0, b)\) এবং \(\acute B(0, -b)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(B\acute B\) ক্ষুদ্রাক্ষ এবং এর দৈর্ঘ্য \(B\acute B=BC+C\acute B=b+b=2b\)
\(\therefore \) ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2b|\)।
\(a>b\) ধরে \(C(0, 0)\) বিন্দু উপবৃত্তের কেন্দ্র।
\((1)\) নং সমীকরণে \(y=0\) বসিয়ে পাই \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}+\frac{0}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}+0=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}=1\)
\(\Rightarrow x^2=a^2\)
\(\therefore x=\pm a\) সুতরাং উপবৃত্ত \(X\)-অক্ষকে \(A(a, 0)\) এবং \(\acute A(-a, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(A\acute A\) বৃহদাক্ষ এবং এর দৈর্ঘ্য
\(A\acute A=AC+C\acute A=a+a=2a\)
\(\therefore \) বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2a|\)।
আবার,
\((1)\) নং সমীকরণে \(x=0\) বসিয়ে পাই \(\frac{0^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{0}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow 0+\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow y^2=b^2\)
\(\therefore y=\pm b\)
সুতরাং উপবৃত্ত \(Y\)-অক্ষকে \(B(0, b)\) এবং \(\acute B(0, -b)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(B\acute B\) ক্ষুদ্রাক্ষ এবং এর দৈর্ঘ্য \(B\acute B=BC+C\acute B=b+b=2b\)
\(\therefore \) ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2b|\)।
\(8.\) উপবৃত্তের সমীকরণ থেকে উৎকেন্দ্রতা।
Eccentricity from the equation of ellipse
আমরা জানি,
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1; (a > b)\)
এবং
\(b^2=a^2(1-e^2)\)
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=1-e^2\)
\(\Rightarrow e^2=1-\frac{b^2}{a^2}\)
\(\therefore e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
যেহেতু, উপবৃত্তের \(e\)-এর মান \(1 > e > 0\)
সুতরাং \(e\)-কে ধনাত্মক হিসাবে বিবেচনা করা হয়েছে।
উপবৃত্তের বৃহদাক্ষ হতে \(a\)-এর মান এবং ক্ষুদ্রাক্ষ হতে \(b\)-এর মান জানা থাকলে উৎকেন্দ্রতা \(e\)-এর মান নির্ণয় করা যায়।
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1; (a > b)\)
এবং
\(b^2=a^2(1-e^2)\)
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=1-e^2\)
\(\Rightarrow e^2=1-\frac{b^2}{a^2}\)
\(\therefore e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
যেহেতু, উপবৃত্তের \(e\)-এর মান \(1 > e > 0\)
সুতরাং \(e\)-কে ধনাত্মক হিসাবে বিবেচনা করা হয়েছে।
উপবৃত্তের বৃহদাক্ষ হতে \(a\)-এর মান এবং ক্ষুদ্রাক্ষ হতে \(b\)-এর মান জানা থাকলে উৎকেন্দ্রতা \(e\)-এর মান নির্ণয় করা যায়।
\(9.\) উপবৃত্তের সমীকরণ থেকে উৎকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক ও নিয়ামকের সমীকরণ।
The co-ordinates of focus and the equation of directrix from the equation of ellipse
মনে করি,
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1; (a > b)\)
এবং
\(b^2=a^2(1-e^2)\) ➜ এখানে \(e\) উৎকেন্দ্রিকতা।
আবার,
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S\) ও \(\acute S\) এবং নিয়ামক রেখা \(MZ\) ও \(\acute M\acute Z\)।
\(Z\acute Z\) রেখা \(S\) এবং \(\acute S\) বিন্দুগামী। \(Z\acute Z\) রেখা নিয়ামকদ্বয়ের উপর লম্ব।
\(SZ\)-এর উপর \(A\) এমন একটি বিন্দু নেওয়া হল যেন \(SA=eAZ ........(1)\)
আবার,
\(SZ\)-এর বর্দ্ধিতাংশের উপর \(\acute A\) এমন একটি বিন্দু নেওয়া হল যেন \(S\acute A=e\acute AZ\)
ধরি,
\(A\acute A=2a\) এবং \(C\) হল \(A\acute A\)-এর মধ্যবিন্দু। \(C\)-কে কেন্দ্র বিন্দু বলা হয় যার স্থানাঙ্ক \(C(0, 0)\)।
\((1)\) ও \((2)\) যোগ করে পাই
\(SA+S\acute A=eAZ+e\acute AZ\)
\(\Rightarrow A\acute A=e(AZ+\acute AZ)\)
\(\Rightarrow 2a=e(AZ+A\acute A+AZ)\) ➜ \(\because \acute AZ=A\acute A+AZ\)
\(\Rightarrow 2a=e(A\acute A+2AZ)\)
\(\Rightarrow 2a=e(2a+2AZ)\)
\(\Rightarrow 2a=2e(a+AZ)\)
\(\Rightarrow a=e(a+AZ)\)
\(\Rightarrow a=eCZ\) ➜ \(\because CZ=CA+AZ=a+AZ\)
\(\Rightarrow eCZ=a\)
\(\therefore CZ=\frac{a}{e} ......(3)\)
আবার,
\(CS=CA-AS\)
\(\Rightarrow CS=CA-eAZ\) ➜ \(\because AS=eAZ\)
\(\Rightarrow CS=CA-e(CZ-CA)\)
\(\Rightarrow CS=a-e\left(\frac{a}{e}-a\right)\)
\(\Rightarrow CS=a-a+ae\)
\(\therefore CS=ae .........(4)\)
\(C\) বিন্দুকে মূলবিন্দু ধরে \(CX\)-কে \(x\)অক্ষ এবং \(CY\)-কে \(y\)অক্ষ বিবেচনা করি। যেহেতু \(S\) বিন্দু \(x\)অক্ষের উপর অবস্থিত ।
অতএব, \(S\)-এর স্থানাঙ্ক \((ae, 0)\) এখানে \(S\)-কে উপকেন্দ্র বলে। যেহেতু উপকেন্দ্র \(S\) ও \(\acute S\) সুতরাং এদের স্থানাঙ্ক লেখা হয় \((\pm ae, 0)\)।
এবং নিয়ামক রেখা \(\acute M\acute Z\)-এর সমীকরণ \(x=CZ=\frac{a}{e}\)
\(\therefore x=\frac{a}{e}\)
অনুরূপভাবে, নিয়ামক রেখা \(MZ\)-এর সমীকরণ \(x=-\frac{a}{e}\)
সুতরাং উপবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x=\pm \frac{a}{e}\)
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1; (a > b)\)
এবং
\(b^2=a^2(1-e^2)\) ➜ এখানে \(e\) উৎকেন্দ্রিকতা।
আবার,
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S\) ও \(\acute S\) এবং নিয়ামক রেখা \(MZ\) ও \(\acute M\acute Z\)।
\(Z\acute Z\) রেখা \(S\) এবং \(\acute S\) বিন্দুগামী। \(Z\acute Z\) রেখা নিয়ামকদ্বয়ের উপর লম্ব।
\(SZ\)-এর উপর \(A\) এমন একটি বিন্দু নেওয়া হল যেন \(SA=eAZ ........(1)\)
আবার,
\(SZ\)-এর বর্দ্ধিতাংশের উপর \(\acute A\) এমন একটি বিন্দু নেওয়া হল যেন \(S\acute A=e\acute AZ\)
ধরি,
\(A\acute A=2a\) এবং \(C\) হল \(A\acute A\)-এর মধ্যবিন্দু। \(C\)-কে কেন্দ্র বিন্দু বলা হয় যার স্থানাঙ্ক \(C(0, 0)\)।
\((1)\) ও \((2)\) যোগ করে পাই
\(SA+S\acute A=eAZ+e\acute AZ\)
\(\Rightarrow A\acute A=e(AZ+\acute AZ)\)
\(\Rightarrow 2a=e(AZ+A\acute A+AZ)\) ➜ \(\because \acute AZ=A\acute A+AZ\)
\(\Rightarrow 2a=e(A\acute A+2AZ)\)
\(\Rightarrow 2a=e(2a+2AZ)\)
\(\Rightarrow 2a=2e(a+AZ)\)
\(\Rightarrow a=e(a+AZ)\)
\(\Rightarrow a=eCZ\) ➜ \(\because CZ=CA+AZ=a+AZ\)
\(\Rightarrow eCZ=a\)
\(\therefore CZ=\frac{a}{e} ......(3)\)
আবার,
\(CS=CA-AS\)
\(\Rightarrow CS=CA-eAZ\) ➜ \(\because AS=eAZ\)
\(\Rightarrow CS=CA-e(CZ-CA)\)
\(\Rightarrow CS=a-e\left(\frac{a}{e}-a\right)\)
\(\Rightarrow CS=a-a+ae\)
\(\therefore CS=ae .........(4)\)
\(C\) বিন্দুকে মূলবিন্দু ধরে \(CX\)-কে \(x\)অক্ষ এবং \(CY\)-কে \(y\)অক্ষ বিবেচনা করি। যেহেতু \(S\) বিন্দু \(x\)অক্ষের উপর অবস্থিত ।
অতএব, \(S\)-এর স্থানাঙ্ক \((ae, 0)\) এখানে \(S\)-কে উপকেন্দ্র বলে। যেহেতু উপকেন্দ্র \(S\) ও \(\acute S\) সুতরাং এদের স্থানাঙ্ক লেখা হয় \((\pm ae, 0)\)।
এবং নিয়ামক রেখা \(\acute M\acute Z\)-এর সমীকরণ \(x=CZ=\frac{a}{e}\)
\(\therefore x=\frac{a}{e}\)
অনুরূপভাবে, নিয়ামক রেখা \(MZ\)-এর সমীকরণ \(x=-\frac{a}{e}\)
সুতরাং উপবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(10.\) উপবৃত্তের সমীকরণ থেকে উপকেন্দ্রিক লম্ব ও এর দৈর্ঘ্য।
Latus rectum and it's length.
উপবৃত্তের যে কোনো উপকেন্দ্রের মধ্য দিয়ে অঙ্কিত বৃহদাক্ষের উপর লম্ব রেখার উপবৃত্তের অন্তর্গত অংশই উপকেন্দ্রিক লম্ব। যদি \(L\acute L\) উপকেন্দ্রিক লম্ব হয়, তবে \(SL=S\acute L\) এবং \(\acute L\)-এর স্থানাঙ্ক \((-ae, SL)\) ।
\(\acute L(-ae, SL)\) বিন্দুটি উপবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1; (a > b)\)-এর উপর অবস্থিত।
\(\Rightarrow \frac{(-ae)^2}{a^2}+\frac{SL^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{a^2e^2}{a^2}+\frac{SL^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow e^2+\frac{SL^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{SL^2}{b^2}=1-e^2 \)
\(\Rightarrow SL^2=b^2(1-e^2) \)
\(\Rightarrow SL^2=b^2\times \frac{b^2}{a^2} \) ➜ \(\because 1-e^2=\frac{b^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow SL^2=\frac{b^4}{a^2} \)
\(\therefore SL=\frac{b^2}{a} \)
\(\therefore L\acute L=2SL=\frac{2b^2}{a} \)
\(\acute L(-ae, SL)\) বিন্দুটি উপবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1; (a > b)\)-এর উপর অবস্থিত।
\(\Rightarrow \frac{(-ae)^2}{a^2}+\frac{SL^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{a^2e^2}{a^2}+\frac{SL^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow e^2+\frac{SL^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{SL^2}{b^2}=1-e^2 \)
\(\Rightarrow SL^2=b^2(1-e^2) \)
\(\Rightarrow SL^2=b^2\times \frac{b^2}{a^2} \) ➜ \(\because 1-e^2=\frac{b^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow SL^2=\frac{b^4}{a^2} \)
\(\therefore SL=\frac{b^2}{a} \)
\(\therefore L\acute L=2SL=\frac{2b^2}{a} \)
\(11.\) উপবৃত্তের উপরিস্থিত কোনো বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব দুইটির সমষ্টি, বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্যের সমান।
ধরি,
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তের উপরিস্থিত কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)।
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটি \(S\) ও \(\acute S\) এবং নিয়ামক রেখা দুইটি যথাক্রমে \(MZ\) ও \(\acute M\acute Z\) ।
\(SP\) এবং \(\acute SP\) যোগ করি এবং নিয়ামক রেখা দইটির উপর \(MP\acute M\) লম্ব আঁকি।
এখন,
উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
\(SP=e.PM .......(1)\)
এবং \(\acute SP=e.P\acute M .......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) যোগ করে,
\(SP+\acute SP=e.PM+e.P\acute M\)
\(\Rightarrow SP+\acute SP=e(PM+P\acute M)\)
\(\Rightarrow SP+\acute SP=e\{(CZ+CN)+(C\acute Z-CN)\}\) ➜ \(\because PM=CZ+CN; P\acute M=C\acute Z-CN\)
\(\Rightarrow SP+\acute SP=e\{CZ+CN+C\acute Z-CN\}\)
\(\Rightarrow SP+\acute SP=e\{CZ+C\acute Z\}\)
\(\Rightarrow SP+\acute SP=e\{CZ+CZ\}\) ➜ \(\because CZ=C\acute Z\)
\(\Rightarrow SP+\acute SP=e.2CZ\)
\(\Rightarrow SP+\acute SP=2.e.CZ\)
\(\Rightarrow SP+\acute SP=2.CA\) ➜ \(\because e.CZ=CA\)
\(\Rightarrow SP+\acute SP=A\acute A\) ➜ \(\because 2.CA=A\acute A\)
\(\therefore SP+\acute SP=2a\) ➜ \(\because A\acute A=2a\)
\(\therefore \) উপবৃত্তের উপরিস্থিত \(P(x, y)\) বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব দুইটির সমষ্টি, বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্যের সমান। ইহা অতি গুরুত্বপূর্ণ।
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তের উপরিস্থিত কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)।
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটি \(S\) ও \(\acute S\) এবং নিয়ামক রেখা দুইটি যথাক্রমে \(MZ\) ও \(\acute M\acute Z\) ।
\(SP\) এবং \(\acute SP\) যোগ করি এবং নিয়ামক রেখা দইটির উপর \(MP\acute M\) লম্ব আঁকি।
এখন,
উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
\(SP=e.PM .......(1)\)
এবং \(\acute SP=e.P\acute M .......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) যোগ করে,
\(SP+\acute SP=e.PM+e.P\acute M\)
\(\Rightarrow SP+\acute SP=e(PM+P\acute M)\)
\(\Rightarrow SP+\acute SP=e\{(CZ+CN)+(C\acute Z-CN)\}\) ➜ \(\because PM=CZ+CN; P\acute M=C\acute Z-CN\)
\(\Rightarrow SP+\acute SP=e\{CZ+CN+C\acute Z-CN\}\)
\(\Rightarrow SP+\acute SP=e\{CZ+C\acute Z\}\)
\(\Rightarrow SP+\acute SP=e\{CZ+CZ\}\) ➜ \(\because CZ=C\acute Z\)
\(\Rightarrow SP+\acute SP=e.2CZ\)
\(\Rightarrow SP+\acute SP=2.e.CZ\)
\(\Rightarrow SP+\acute SP=2.CA\) ➜ \(\because e.CZ=CA\)
\(\Rightarrow SP+\acute SP=A\acute A\) ➜ \(\because 2.CA=A\acute A\)
\(\therefore SP+\acute SP=2a\) ➜ \(\because A\acute A=2a\)
\(\therefore \) উপবৃত্তের উপরিস্থিত \(P(x, y)\) বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব দুইটির সমষ্টি, বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্যের সমান। ইহা অতি গুরুত্বপূর্ণ।
কোনো সমতলে, কোনো সেটের বিন্দুসমুহ যদি এমনভাবে অবস্থিত হয় যে, ঐ সমতলে অবস্থিত দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু হতে এর দূরত্ব দুইটির সমষ্টি সর্বদা স্থীর হয় তাহলে উক্ত বিন্দু সেটের সঞ্চারপথ উপবৃত্ত হবে।
উপবৃত্তের বৃহৎ অক্ষ এর বৃহত্তম জ্যা।
\(12.\) \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1; (a>b)\) উপবৃত্তের উপরিস্থিত কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুর পরামিতিক স্থানাঙ্ক।
Parametric coordinates of Ellipse at fixed point.
ধরি,
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1; (a>b) ........(1)\)
এবং উপবৃত্তের উপরিস্থিত একটি বিন্দু \(P(x, y)\)
উপবৃত্তের বৃহদাক্ষকে ব্যাস ধরে সহায়ক বৃত্ত অঙ্কন করি, যার সমীকরণ \(x^2+y^2=a^2 .......(2)\)
\(P(x, y)\) বিন্দু থেকে বৃহদাক্ষের উপর একটি লম্ব অঙ্কন করে বর্ধিত করি যা বৃহদাক্ষকে \(N\) এবং বৃত্তকে \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(C\) ও \(Q\) যোগ করি।
মনে করি,
\(\angle QCN=\theta\), এখানে \(\theta\)-কে উপকেন্দ্র কোণ বলা হয়।
\(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((x, y)\) হওয়ায়, \(CN=x\) এবং \(PN=y\)
এখন, \(QCN\) সমকোণী ত্রিভুজে \(\cos\theta=\frac{CN}{CQ}\)
\(\Rightarrow CN=CQ\cos\theta\)
\(\therefore x=a\cos\theta ........(3)\) ➜ \(\because CQ=a=\)বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
\(x=a\cos\theta\)-এর এই মান \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{(a\cos\theta)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{a^2\cos^2\theta}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \cos^2\theta+\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{b^2}=1-\cos^2\theta\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{b^2}=\sin^2\theta\)
\(\Rightarrow y^2=b^2\sin^2\theta\)
\(\therefore y=b\sin\theta ......(4)\)
সুতরাং, \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\)
\(\theta\)-এর যে কোনো মানের জন্য \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\) বিন্দুটি উপবৃত্তের উপর অবস্থিত, যাকে উপবৃত্তের পরামিতিক স্থানাঙ্ক বলা হয় এবং \(\theta\)-কে পরামিতি (parameter) বলা হয়।
আবার,
\((3)\) ও \((4)\) হতে যথাক্রমে,
\(\cos\theta=\frac{x}{a} ........(5)\)
\(\sin\theta=\frac{y}{b} ........(6)\)
\(\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{\frac{y}{b}}{\frac{x}{a}}\) ➜ \((6)\)-কে \((5)\) দিয়ে ভাগ করে।
\(\Rightarrow \tan\theta=\frac{ay}{bx}\)
\(\therefore \theta=\tan^{-1}\left(\frac{ay}{bx}\right)\)
\(\theta \)-এর এই মাণ নির্ণয়ের সময় বিন্দুটি কোন চতুর্ভাগে অবস্থিত তা লক্ষনীয়।
\(x=a\cos\theta\) এবং \(y=b\sin\theta\)-কে একত্রে \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তের পরামিতিক সমীকরণ বলে।
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1; (a>b) \) উপবৃত্তের উপর \(P(x, y)\) বিন্দুর পরামিতিক স্থানাংক \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\), যেখানে \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{ay}{bx}\right)\)।
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1; (a>b) ........(1)\)
এবং উপবৃত্তের উপরিস্থিত একটি বিন্দু \(P(x, y)\)
উপবৃত্তের বৃহদাক্ষকে ব্যাস ধরে সহায়ক বৃত্ত অঙ্কন করি, যার সমীকরণ \(x^2+y^2=a^2 .......(2)\)
\(P(x, y)\) বিন্দু থেকে বৃহদাক্ষের উপর একটি লম্ব অঙ্কন করে বর্ধিত করি যা বৃহদাক্ষকে \(N\) এবং বৃত্তকে \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(C\) ও \(Q\) যোগ করি।
মনে করি,
\(\angle QCN=\theta\), এখানে \(\theta\)-কে উপকেন্দ্র কোণ বলা হয়।
\(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((x, y)\) হওয়ায়, \(CN=x\) এবং \(PN=y\)
এখন, \(QCN\) সমকোণী ত্রিভুজে \(\cos\theta=\frac{CN}{CQ}\)
\(\Rightarrow CN=CQ\cos\theta\)
\(\therefore x=a\cos\theta ........(3)\) ➜ \(\because CQ=a=\)বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
\(x=a\cos\theta\)-এর এই মান \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{(a\cos\theta)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{a^2\cos^2\theta}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \cos^2\theta+\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{b^2}=1-\cos^2\theta\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{b^2}=\sin^2\theta\)
\(\Rightarrow y^2=b^2\sin^2\theta\)
\(\therefore y=b\sin\theta ......(4)\)
সুতরাং, \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\)
\(\theta\)-এর যে কোনো মানের জন্য \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\) বিন্দুটি উপবৃত্তের উপর অবস্থিত, যাকে উপবৃত্তের পরামিতিক স্থানাঙ্ক বলা হয় এবং \(\theta\)-কে পরামিতি (parameter) বলা হয়।
আবার,
\((3)\) ও \((4)\) হতে যথাক্রমে,
\(\cos\theta=\frac{x}{a} ........(5)\)
\(\sin\theta=\frac{y}{b} ........(6)\)
\(\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{\frac{y}{b}}{\frac{x}{a}}\) ➜ \((6)\)-কে \((5)\) দিয়ে ভাগ করে।
\(\Rightarrow \tan\theta=\frac{ay}{bx}\)
\(\therefore \theta=\tan^{-1}\left(\frac{ay}{bx}\right)\)
\(\theta \)-এর এই মাণ নির্ণয়ের সময় বিন্দুটি কোন চতুর্ভাগে অবস্থিত তা লক্ষনীয়।
\(x=a\cos\theta\) এবং \(y=b\sin\theta\)-কে একত্রে \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তের পরামিতিক সমীকরণ বলে।
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1; (a>b) \) উপবৃত্তের উপর \(P(x, y)\) বিন্দুর পরামিতিক স্থানাংক \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\), যেখানে \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{ay}{bx}\right)\)।
\(13.\) \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1; (b>a)\) উপবৃত্তের উপরিস্থিত কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুর পরামিতিক স্থানাঙ্ক।
Parametric coordinates of Ellipse at fixed point.
ধরি,
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1; (b>a) ........(1)\)
এবং উপবৃত্তের উপরিস্থিত একটি বিন্দু \(P(x, y)\)
উপবৃত্তের বৃহদাক্ষকে ব্যাস ধরে সহায়ক বৃত্ত অঙ্কন করি, যার সমীকরণ \(x^2+y^2=b^2 .......(2)\)
\(P(x, y)\) বিন্দু থেকে বৃহদাক্ষের উপর একটি লম্ব অঙ্কন করে বর্ধিত করি যা বৃহদাক্ষকে \(N\) এবং বৃত্তকে \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(C\) ও \(Q\) যোগ করি।
মনে করি,
\(\angle QC\acute A=\theta\), এখানে \(\theta\)-কে উপকেন্দ্র কোণ বলা হয়।
\(\therefore \angle QCN=90^{o}-\theta\)
\(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((x, y)\) হওয়ায়, \(CN=y\) এবং \(PN=x\)
এখন, \(QCN\) সমকোণী ত্রিভুজে \(\cos(90^{o}-\theta)=\frac{CN}{CQ}\)
\(\Rightarrow CN=CQ\cos(90^{o}-\theta)\)
\(\therefore y=b\sin\theta ........(3)\) ➜ \(\because CQ=b=\)বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
\(y=b\sin\theta\)-এর এই মান \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{(b\sin\theta)^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}+\frac{b^2\sin^2\theta}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}+\sin^2\theta=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}=1-\sin^2\theta\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}=\cos^2\theta\)
\(\Rightarrow x^2=a^2\cos^2\theta\)
\(\therefore x=a\cos\theta ......(4)\)
সুতরাং, \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\)
\(\theta\)-এর যে কোনো মানের জন্য \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\) বিন্দুটি উপবৃত্তের উপর অবস্থিত, যাকে উপবৃত্তের পরামিতিক স্থানাঙ্ক বলা হয় এবং \(\theta\)-কে পরামিতি (parameter) বলা হয়।
আবার,
\((3)\) ও \((4)\) হতে যথাক্রমে,
\(\sin\theta=\frac{y}{b} ........(5)\)
\(\cos\theta=\frac{x}{a} ........(6)\)
\(\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{\frac{y}{b}}{\frac{x}{a}}\) ➜ \((5)\)-কে \((6)\) দিয়ে ভাগ করে।
\(\Rightarrow \tan\theta=\frac{ay}{bx}\)
\(\therefore \theta=\tan^{-1}\left(\frac{ay}{bx}\right)\)
\(\theta \)-এর এই মাণ নির্ণয়ের সময় বিন্দুটি কোন চতুর্ভাগে অবস্থিত তা লক্ষনীয়।
\(x=a\cos\theta\) এবং \(y=b\sin\theta\)-কে একত্রে \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তের পরামিতিক সমীকরণ বলে।
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1; (b>a) \) উপবৃত্তের উপর \(P(x, y)\) বিন্দুর পরামিতিক স্থানাংক \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\), যেখানে \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{ay}{bx}\right)\)।
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1; (b>a) ........(1)\)
এবং উপবৃত্তের উপরিস্থিত একটি বিন্দু \(P(x, y)\)
উপবৃত্তের বৃহদাক্ষকে ব্যাস ধরে সহায়ক বৃত্ত অঙ্কন করি, যার সমীকরণ \(x^2+y^2=b^2 .......(2)\)
\(P(x, y)\) বিন্দু থেকে বৃহদাক্ষের উপর একটি লম্ব অঙ্কন করে বর্ধিত করি যা বৃহদাক্ষকে \(N\) এবং বৃত্তকে \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(C\) ও \(Q\) যোগ করি।
মনে করি,
\(\angle QC\acute A=\theta\), এখানে \(\theta\)-কে উপকেন্দ্র কোণ বলা হয়।
\(\therefore \angle QCN=90^{o}-\theta\)
\(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((x, y)\) হওয়ায়, \(CN=y\) এবং \(PN=x\)
এখন, \(QCN\) সমকোণী ত্রিভুজে \(\cos(90^{o}-\theta)=\frac{CN}{CQ}\)
\(\Rightarrow CN=CQ\cos(90^{o}-\theta)\)
\(\therefore y=b\sin\theta ........(3)\) ➜ \(\because CQ=b=\)বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
\(y=b\sin\theta\)-এর এই মান \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{(b\sin\theta)^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}+\frac{b^2\sin^2\theta}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}+\sin^2\theta=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}=1-\sin^2\theta\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}=\cos^2\theta\)
\(\Rightarrow x^2=a^2\cos^2\theta\)
\(\therefore x=a\cos\theta ......(4)\)
সুতরাং, \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\)
\(\theta\)-এর যে কোনো মানের জন্য \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\) বিন্দুটি উপবৃত্তের উপর অবস্থিত, যাকে উপবৃত্তের পরামিতিক স্থানাঙ্ক বলা হয় এবং \(\theta\)-কে পরামিতি (parameter) বলা হয়।
আবার,
\((3)\) ও \((4)\) হতে যথাক্রমে,
\(\sin\theta=\frac{y}{b} ........(5)\)
\(\cos\theta=\frac{x}{a} ........(6)\)
\(\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{\frac{y}{b}}{\frac{x}{a}}\) ➜ \((5)\)-কে \((6)\) দিয়ে ভাগ করে।
\(\Rightarrow \tan\theta=\frac{ay}{bx}\)
\(\therefore \theta=\tan^{-1}\left(\frac{ay}{bx}\right)\)
\(\theta \)-এর এই মাণ নির্ণয়ের সময় বিন্দুটি কোন চতুর্ভাগে অবস্থিত তা লক্ষনীয়।
\(x=a\cos\theta\) এবং \(y=b\sin\theta\)-কে একত্রে \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তের পরামিতিক সমীকরণ বলে।
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1; (b>a) \) উপবৃত্তের উপর \(P(x, y)\) বিন্দুর পরামিতিক স্থানাংক \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\), যেখানে \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{ay}{bx}\right)\)।
বিঃ দ্রঃ ইহা স্পষ্ট যে উপবৃত্তের আকার যাই হউকনা কেন ইহার উপরোস্থ যে কোনো বিন্দুর পরামিতিক স্থানাঙ্ক হবে \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\), যেখানে \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{ay}{bx}\right)\). এবং উপবৃত্তের পরামিতিক সমীকরণ হবে
\(x=a\cos\theta\),\(y=b\sin\theta\).
\(x=a\cos\theta\),\(y=b\sin\theta\).
\(14.\) উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর লেখচিত্র ।
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{b^2}=1-\frac{x^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{b^2}=\frac{a^2-x^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{b^2(a^2-x^2)}{a^2}\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{\frac{b^2(a^2-x^2)}{a^2}}\)
\(\therefore y=\pm b\sqrt{\frac{(a^2-x^2)}{a^2}}\)
\(\therefore a>x\)-এর যে কোনো মানের জন্য \(y\)-এর দুইটি মান পাওয়া যায়। মান দুইটি সমান কিন্তু বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট। অতএব, ইহা স্পষ্ট যে,উপবৃত্তটি \(X\)-অক্ষ ( বৃহৎ অক্ষ ) বরাবর প্রতিসম।
আবার,
\(x\)-এর সর্বোচ্চ মান \(a\) এবং সর্বনিম্ন মান \(-a\) কারণ, যদি \(x > a\) বা \(-a>x\) হয়, তবে,
\(\frac{a^2-x^2}{a^2}\) ঋনাত্মক হয় এবং \(y\)-এর মান দুইটি অবাস্তব হয়।
অতএব, উপবৃত্তের কোনো অংশই \(x\)-অক্ষের উপর \(A\) ও \(\acute A\) বিন্দু দুইটির বাইরে অবস্থিত হবে না।
উপবৃত্তের সমীকরণটিকে নিম্নোক্তভাবেও লেখা যায়,\(\therefore x=\pm a\sqrt{\frac{(b^2-y^2)}{b^2}}\)
\(\therefore b > y\)-এর যে কোনো মানের জন্য \(x\)-এর দুইটি মান পাওয়া যায়। মান দুইটি সমান কিন্তু বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট। অতএব, ইহা স্পষ্ট যে,উপবৃত্তটি \(Y\)-অক্ষ (ক্ষুদ্র অক্ষ ) বরাবর প্রতিসম।
\(y\)-এর সর্বোচ্চ মান \(b\) এবং সর্বনিম্ন মান \(-b\) কারণ, যদি \(y > b\) বা \(-b > y\) হয়, তবে,
\(\frac{b^2-y^2}{b^2}\) ঋনাত্মক হয় এবং \(x\)-এর মান দুইটি অবাস্তব হয়।
অতএব, উপবৃত্তের কোনো অংশই \(y\)-অক্ষের উপর \(B\) ও \(\acute B\) বিন্দু দুইটির বাইরে অবস্থিত হবে না।
অতএব , উপবৃত্ত একটি সীমাবদ্ধ বক্ররেখা, যা, পুরাপুরি \(x=\pm a, y=\pm b\) সরলরেখা চতুষ্টয় দ্বারা সীমিত আয়তের মধ্যে অবস্থিত।
\(\Rightarrow \frac{y^2}{b^2}=1-\frac{x^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{b^2}=\frac{a^2-x^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{b^2(a^2-x^2)}{a^2}\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{\frac{b^2(a^2-x^2)}{a^2}}\)
\(\therefore y=\pm b\sqrt{\frac{(a^2-x^2)}{a^2}}\)
\(\therefore a>x\)-এর যে কোনো মানের জন্য \(y\)-এর দুইটি মান পাওয়া যায়। মান দুইটি সমান কিন্তু বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট। অতএব, ইহা স্পষ্ট যে,উপবৃত্তটি \(X\)-অক্ষ ( বৃহৎ অক্ষ ) বরাবর প্রতিসম।
আবার,
\(x\)-এর সর্বোচ্চ মান \(a\) এবং সর্বনিম্ন মান \(-a\) কারণ, যদি \(x > a\) বা \(-a>x\) হয়, তবে,
\(\frac{a^2-x^2}{a^2}\) ঋনাত্মক হয় এবং \(y\)-এর মান দুইটি অবাস্তব হয়।
অতএব, উপবৃত্তের কোনো অংশই \(x\)-অক্ষের উপর \(A\) ও \(\acute A\) বিন্দু দুইটির বাইরে অবস্থিত হবে না।
উপবৃত্তের সমীকরণটিকে নিম্নোক্তভাবেও লেখা যায়,\(\therefore x=\pm a\sqrt{\frac{(b^2-y^2)}{b^2}}\)
\(\therefore b > y\)-এর যে কোনো মানের জন্য \(x\)-এর দুইটি মান পাওয়া যায়। মান দুইটি সমান কিন্তু বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট। অতএব, ইহা স্পষ্ট যে,উপবৃত্তটি \(Y\)-অক্ষ (ক্ষুদ্র অক্ষ ) বরাবর প্রতিসম।
\(y\)-এর সর্বোচ্চ মান \(b\) এবং সর্বনিম্ন মান \(-b\) কারণ, যদি \(y > b\) বা \(-b > y\) হয়, তবে,
\(\frac{b^2-y^2}{b^2}\) ঋনাত্মক হয় এবং \(x\)-এর মান দুইটি অবাস্তব হয়।
অতএব, উপবৃত্তের কোনো অংশই \(y\)-অক্ষের উপর \(B\) ও \(\acute B\) বিন্দু দুইটির বাইরে অবস্থিত হবে না।
অতএব , উপবৃত্ত একটি সীমাবদ্ধ বক্ররেখা, যা, পুরাপুরি \(x=\pm a, y=\pm b\) সরলরেখা চতুষ্টয় দ্বারা সীমিত আয়তের মধ্যে অবস্থিত।
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \ (a>b)\) নির্ণয়।
আমরা জানি,
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(ae, 0)\)
উপবৃত্তের দিকাক্ষের সমীকরণ \(x-\frac{a}{e}=0\)
উপবৃত্তের উপরিস্থিত যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e^2=1-\frac{b^2}{a^2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=1-e^2\)
\(\therefore b^2=a^2(1-e^2) ........(1)\)
সংজ্ঞানুসারে,
\(PS=e.PM\)
\(\Rightarrow PS^2=e^2.PM^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x-ae)^2+(y-0)^2=e^2.\left(\frac{|x-\frac{a}{e}|}{\sqrt{1^2+0^2}}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2-2aex+a^2e^2+y^2=e^2.\left(\frac{|x-\frac{a}{e}|}{\sqrt{1+0}}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2-2aex+a^2e^2+y^2=e^2.\left(\frac{|x-\frac{a}{e}|}{\sqrt{1}}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2-2aex+a^2e^2+y^2=e^2.\left(|x-\frac{a}{e}|\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2-2aex+a^2e^2+y^2=e^2.\left(x-\frac{a}{e}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2-2aex+a^2e^2+y^2=e^2.\left(\frac{ex-a}{e}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2-2aex+a^2e^2+y^2=e^2.\frac{(ex-a)^2}{e^2}\)
\(\Rightarrow x^2-2aex+a^2e^2+y^2=(ex-a)^2\)
\(\Rightarrow x^2-2aex+a^2e^2+y^2=e^2x^2-2aex+a^2\)
\(\Rightarrow x^2-e^2x^2+y^2=2aex-a^2e^2-2aex+a^2\)
\(\Rightarrow x^2(1-e^2)+y^2=a^2-a^2e^2\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}.a^2(1-e^2)+y^2=a^2(1-e^2)\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}.b^2+y^2=b^2\) ➜ \((1)\)-এর সাহায্যে \(\because b^2=a^2(1-e^2) \)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}.\frac{b^2}{b^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{b^2}{b^2}\) ➜ উভয় পার্শে \(b^2\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(ae, 0)\)
উপবৃত্তের দিকাক্ষের সমীকরণ \(x-\frac{a}{e}=0\)
উপবৃত্তের উপরিস্থিত যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e^2=1-\frac{b^2}{a^2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=1-e^2\)
\(\therefore b^2=a^2(1-e^2) ........(1)\)
সংজ্ঞানুসারে,
\(PS=e.PM\)
\(\Rightarrow PS^2=e^2.PM^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x-ae)^2+(y-0)^2=e^2.\left(\frac{|x-\frac{a}{e}|}{\sqrt{1^2+0^2}}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2-2aex+a^2e^2+y^2=e^2.\left(\frac{|x-\frac{a}{e}|}{\sqrt{1+0}}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2-2aex+a^2e^2+y^2=e^2.\left(\frac{|x-\frac{a}{e}|}{\sqrt{1}}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2-2aex+a^2e^2+y^2=e^2.\left(|x-\frac{a}{e}|\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2-2aex+a^2e^2+y^2=e^2.\left(x-\frac{a}{e}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2-2aex+a^2e^2+y^2=e^2.\left(\frac{ex-a}{e}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2-2aex+a^2e^2+y^2=e^2.\frac{(ex-a)^2}{e^2}\)
\(\Rightarrow x^2-2aex+a^2e^2+y^2=(ex-a)^2\)
\(\Rightarrow x^2-2aex+a^2e^2+y^2=e^2x^2-2aex+a^2\)
\(\Rightarrow x^2-e^2x^2+y^2=2aex-a^2e^2-2aex+a^2\)
\(\Rightarrow x^2(1-e^2)+y^2=a^2-a^2e^2\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}.a^2(1-e^2)+y^2=a^2(1-e^2)\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}.b^2+y^2=b^2\) ➜ \((1)\)-এর সাহায্যে \(\because b^2=a^2(1-e^2) \)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}.\frac{b^2}{b^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{b^2}{b^2}\) ➜ উভয় পার্শে \(b^2\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \ (b > a)\) নির্ণয়।
আমরা জানি,
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(0, be)\)
উপবৃত্তের দিকাক্ষের সমীকরণ \(y-\frac{b}{e}=0\)
উপবৃত্তের উপরিস্থিত যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(\Rightarrow e^2=1-\frac{a^2}{b^2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{a^2}{b^2}=1-e^2\)
\(\therefore a^2=b^2(1-e^2) ........(1)\)
সংজ্ঞানুসারে,
\(PS=e.PM\)
\(\Rightarrow PS^2=e^2.PM^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x-0)^2+(y-be)^2=e^2.\left(\frac{|y-\frac{b}{e}|}{\sqrt{0^2+1^2}}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2bey+b^2e^2=e^2.\left(\frac{|y-\frac{b}{e}|}{\sqrt{0+1}}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2bey+b^2e^2=e^2.\left(\frac{|y-\frac{b}{e}|}{\sqrt{1}}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2bey+b^2e^2=e^2.\left(|y-\frac{b}{e}|\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2bey+b^2e^2=e^2.\left(y-\frac{b}{e}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2bey+b^2e^2=e^2.\left(\frac{ey-b}{e}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2bey+b^2e^2=e^2.\frac{(ey-b)^2}{e^2}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2bey+b^2e^2=(ey-b)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2bey+b^2e^2=e^2y^2-2bey+b^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-e^2y^2=2bey-b^2e^2-2bey+b^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2(1-e^2)=b^2-b^2e^2\)
\(\Rightarrow x^2+\frac{y^2}{b^2}.b^2(1-e^2)=b^2(1-e^2)\)
\(\Rightarrow x^2+\frac{y^2}{b^2}.a^2=a^2\) ➜ \((1)\)-এর সাহায্যে \(\because a^2=b^2(1-e^2) \)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}.\frac{a^2}{a^2}=\frac{a^2}{a^2}\) ➜ উভয় পার্শে \(a^2\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(0, be)\)
উপবৃত্তের দিকাক্ষের সমীকরণ \(y-\frac{b}{e}=0\)
উপবৃত্তের উপরিস্থিত যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(\Rightarrow e^2=1-\frac{a^2}{b^2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{a^2}{b^2}=1-e^2\)
\(\therefore a^2=b^2(1-e^2) ........(1)\)
সংজ্ঞানুসারে,
\(PS=e.PM\)
\(\Rightarrow PS^2=e^2.PM^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x-0)^2+(y-be)^2=e^2.\left(\frac{|y-\frac{b}{e}|}{\sqrt{0^2+1^2}}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2bey+b^2e^2=e^2.\left(\frac{|y-\frac{b}{e}|}{\sqrt{0+1}}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2bey+b^2e^2=e^2.\left(\frac{|y-\frac{b}{e}|}{\sqrt{1}}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2bey+b^2e^2=e^2.\left(|y-\frac{b}{e}|\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2bey+b^2e^2=e^2.\left(y-\frac{b}{e}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2bey+b^2e^2=e^2.\left(\frac{ey-b}{e}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2bey+b^2e^2=e^2.\frac{(ey-b)^2}{e^2}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2bey+b^2e^2=(ey-b)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2bey+b^2e^2=e^2y^2-2bey+b^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-e^2y^2=2bey-b^2e^2-2bey+b^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2(1-e^2)=b^2-b^2e^2\)
\(\Rightarrow x^2+\frac{y^2}{b^2}.b^2(1-e^2)=b^2(1-e^2)\)
\(\Rightarrow x^2+\frac{y^2}{b^2}.a^2=a^2\) ➜ \((1)\)-এর সাহায্যে \(\because a^2=b^2(1-e^2) \)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}.\frac{a^2}{a^2}=\frac{a^2}{a^2}\) ➜ উভয় পার্শে \(a^2\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{(x-\alpha)^2}{a^2}+\frac{(y-\beta)^2}{b^2}=1 \ (a > b)\) নির্ণয়।
ধরি,
উপবৃত্তের কেন্দ্র \(C(\alpha, \beta)\)
বৃহদাক্ষ \(A\acute A\), যা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(A\acute A=2a\)।
ক্ষুদ্রাক্ষ \(B\acute B\), যা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(B\acute B=2b\)।
উপবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\) । \(X\)-অক্ষের উপর \(PM\) লম্ব অঙ্কন করি যা বৃহদাক্ষকে \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(C\)-কে মূলবিন্দু ধরে \(C\)-এর প্রেক্ষিতে \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((X, Y)\)
যখন, \(X=CQ=EM=OM-OE=x-\alpha\)
এবং \(Y=PQ=PM-QM=PM-CE=y-\beta\)
\(P(X, Y)\) বিন্দুটি উপবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর উপর অবস্থিত,
সুতরাং \(\frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}=1 .....(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণে \(X\) ও \(Y\)-এর মান বসিয়ে,
\(\frac{(x-\alpha)^2}{a^2}+\frac{(y-\beta)^2}{b^2}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের কেন্দ্র \(C(\alpha, \beta)\)
বৃহদাক্ষ \(A\acute A\), যা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(A\acute A=2a\)।
ক্ষুদ্রাক্ষ \(B\acute B\), যা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(B\acute B=2b\)।
উপবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\) । \(X\)-অক্ষের উপর \(PM\) লম্ব অঙ্কন করি যা বৃহদাক্ষকে \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(C\)-কে মূলবিন্দু ধরে \(C\)-এর প্রেক্ষিতে \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((X, Y)\)
যখন, \(X=CQ=EM=OM-OE=x-\alpha\)
এবং \(Y=PQ=PM-QM=PM-CE=y-\beta\)
\(P(X, Y)\) বিন্দুটি উপবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর উপর অবস্থিত,
সুতরাং \(\frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}=1 .....(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণে \(X\) ও \(Y\)-এর মান বসিয়ে,
\(\frac{(x-\alpha)^2}{a^2}+\frac{(y-\beta)^2}{b^2}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{(x-\alpha)^2}{a^2}+\frac{(y-\beta)^2}{b^2}=1 \ (b>a)\) নির্ণয়।
ধরি,
উপবৃত্তের কেন্দ্র \(C(\alpha, \beta)\)
বৃহদাক্ষ \(B\acute B\), যা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(B\acute B=2b\)।
ক্ষুদ্রাক্ষ \(A\acute A\), যা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(A\acute A=2a\)।
উপবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\) । \(Y\)-অক্ষের উপর \(PM\) লম্ব অঙ্কন করি যা বৃহদাক্ষকে \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(C\)-কে মূলবিন্দু ধরে \(C\)-এর প্রেক্ষিতে \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((X, Y)\)
যখন, \(Y=CQ=EM=OM-OE=y-\beta\)
এবং \(X=PQ=PM-QM=PM-CE=x-\alpha\)
\(P(X, Y)\) বিন্দুটি উপবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর উপর অবস্থিত,
সুতরাং \(\frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}=1 .....(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণে \(X\) ও \(Y\)-এর মান বসিয়ে,
\(\frac{(x-\alpha)^2}{a^2}+\frac{(y-\beta)^2}{b^2}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের কেন্দ্র \(C(\alpha, \beta)\)
বৃহদাক্ষ \(B\acute B\), যা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(B\acute B=2b\)।
ক্ষুদ্রাক্ষ \(A\acute A\), যা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(A\acute A=2a\)।
উপবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\) । \(Y\)-অক্ষের উপর \(PM\) লম্ব অঙ্কন করি যা বৃহদাক্ষকে \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(C\)-কে মূলবিন্দু ধরে \(C\)-এর প্রেক্ষিতে \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((X, Y)\)
যখন, \(Y=CQ=EM=OM-OE=y-\beta\)
এবং \(X=PQ=PM-QM=PM-CE=x-\alpha\)
\(P(X, Y)\) বিন্দুটি উপবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর উপর অবস্থিত,
সুতরাং \(\frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}=1 .....(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণে \(X\) ও \(Y\)-এর মান বসিয়ে,
\(\frac{(x-\alpha)^2}{a^2}+\frac{(y-\beta)^2}{b^2}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
কোনো সরলরেখা উপবৃত্তের স্পর্শক হওয়ার শর্ত, স্পর্শকের সমীকরণ এবং স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয়।
মনে করি,
সরলরেখা ও উপবৃত্তটির সমীকরণ যথাক্রমে
\(y=mx+c .............(1) \)
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ...(2)\)
\((1) \) ও \((2) \) নং হতে,
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{(mx+c)^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}+\frac{m^2x^2+2mcx+c^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow b^2x^2+a^2(m^2x^2+2mcx+c^2)=a^2b^2\) ➜ উভয় পার্শে \(a^2b^2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow b^2x^2+a^2m^2x^2+2a^2mcx+a^2c^2-a^2b^2=0\)
\(\Rightarrow (a^2m^2+b^2)x^2+2a^2mcx+a^2(c^2-b^2)=0...(3)\)
\((3)\) নং \(x\)-এর একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সুতরাং এর মূল দুইটি বাস্তব ও অসমান, বাস্তব ও সমান, অথবা কাল্পনিক হতে পারে। মূলদ্বয় \(x_1\) ও \(x_2\) হলে, \((1)\) নং সমীকরণ হতে \(y_1\) ও \(y_2\) পাওয়া যাবে। \(x_1\) ও \(x_2\)-এর মানের উপর ভিত্তি করে তিনটি ঘটনা ঘটতে পারে,
যেমনঃ
\((i)\) \(x_1\) ও \(x_2\) বাস্তব ও অসমান হলে, \((1)\) নং রেখা উপবৃত্তটিকে দুইটি ভিন্ন বিন্দুতে ছেদ করবে।
\((ii)\) \(x_1\) ও \(x_2\) বাস্তব ও সমান হলে, \((1)\) নং রেখা উপবৃত্তটিকে স্পর্শ করবে।
\((iii)\) \(x_1\) ও \(x_2\) কাল্পনিক হলে, \((1)\) নং রেখা উপবৃত্তটিকে আদৌ স্পর্শ করবে না।
এখন,
\((ii)\) ঘটনা সত্য হলে, \((3)\) নং হতে \((2a^2mc)^2=4.(a^2m^2+b^2).a^2(c^2-b^2)\) ➜ \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমাণ হওয়ার শর্ত, \(b^2=4ac\)
\(\Rightarrow a^4m^2c^2=(a^2m^2+b^2).a^2(c^2-b^2)\)
\(\Rightarrow a^4m^2c^2=(a^2m^2+b^2)(a^2c^2-a^2b^2)\)
\(\Rightarrow a^4m^2c^2=(a^2c^2-a^2b^2)(a^2m^2+b^2)\)
\(\Rightarrow a^4m^2c^2=a^2c^2(a^2m^2+b^2)-a^2b^2(a^2m^2+b^2)\)
\(\Rightarrow a^4m^2c^2=a^4c^2m^2+a^2b^2c^2-a^2b^2(a^2m^2+b^2)\)
\(\Rightarrow a^4m^2c^2-a^4m^2c^2-a^2b^2c^2=-a^2b^2(a^2m^2+b^2)\)
\(\Rightarrow -a^2b^2c^2=-a^2b^2(a^2m^2+b^2)\)
\(\Rightarrow c^2=(a^2m^2+b^2)\) ➜ উভয় পার্শে \(-a^2b^2\) ভাগ করে।
\(\therefore c=\pm \sqrt{(a^2m^2+b^2)}\) ইহাই নির্ণেয় শর্ত।
আবার,
\(c=\pm \sqrt{(a^2m^2+b^2)}\), \((1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে
\(y=mx \pm \sqrt{(a^2m^2+b^2)}\) ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
আবার,
\((3)\) নং সমীকরণ হতে সমান মূলদ্বয়ের মান \(x=\frac{-2a^2mc}{2(a^2m^2+b^2)}\) ➜ \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের সমাণ মূলদ্বয়ের মাণ \(\frac{-b}{2a}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-a^2mc}{a^2m^2+b^2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-a^2m\times \pm \sqrt{(a^2m^2+b^2)}}{a^2m^2+b^2}\) ➜ \(\because c=\pm \sqrt{(a^2m^2+b^2)}\)
\(\Rightarrow x=\frac{\pm a^2m\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}\times \sqrt{(a^2m^2+b^2)}}\)
\(\therefore x=\frac{\pm a^2m}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}\)
আবার,
\(x=\frac{a^2m}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}\) এবং \(c=-\sqrt{(a^2m^2+b^2)}\), \((1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে
\(y=m\frac{a^2m}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}-\sqrt{(a^2m^2+b^2)}\)
\(\Rightarrow y=\frac{a^2m^2}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}-\sqrt{(a^2m^2+b^2)}\)
\(\Rightarrow y=\frac{a^2m^2-a^2m^2-b^2}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}\)
\(\therefore y=\frac{-b^2}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}\)
আবার,
\(x=\frac{-a^2m}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}\) এবং \(c=\sqrt{(a^2m^2+b^2)}\), \((1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে
\(y=m\frac{-a^2m}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}+\sqrt{(a^2m^2+b^2)}\)
\(\Rightarrow y=\frac{-a^2m^2}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}+\sqrt{(a^2m^2+b^2)}\)
\(\Rightarrow y=\frac{-a^2m^2+a^2m^2+b^2}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}\)
\(\therefore y=\frac{b^2}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}\)
\(\therefore y\)-এর এই দুই মাণ সমন্বয় করে পাই,
\(y=\frac{\pm b^2}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}\)
অতএব, স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{\pm a^2m}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}, \frac{\pm b^2}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}\right)\)
সরলরেখা ও উপবৃত্তটির সমীকরণ যথাক্রমে
\(y=mx+c .............(1) \)
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ...(2)\)
\((1) \) ও \((2) \) নং হতে,
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{(mx+c)^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}+\frac{m^2x^2+2mcx+c^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow b^2x^2+a^2(m^2x^2+2mcx+c^2)=a^2b^2\) ➜ উভয় পার্শে \(a^2b^2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow b^2x^2+a^2m^2x^2+2a^2mcx+a^2c^2-a^2b^2=0\)
\(\Rightarrow (a^2m^2+b^2)x^2+2a^2mcx+a^2(c^2-b^2)=0...(3)\)
\((3)\) নং \(x\)-এর একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সুতরাং এর মূল দুইটি বাস্তব ও অসমান, বাস্তব ও সমান, অথবা কাল্পনিক হতে পারে। মূলদ্বয় \(x_1\) ও \(x_2\) হলে, \((1)\) নং সমীকরণ হতে \(y_1\) ও \(y_2\) পাওয়া যাবে। \(x_1\) ও \(x_2\)-এর মানের উপর ভিত্তি করে তিনটি ঘটনা ঘটতে পারে,
যেমনঃ
\((i)\) \(x_1\) ও \(x_2\) বাস্তব ও অসমান হলে, \((1)\) নং রেখা উপবৃত্তটিকে দুইটি ভিন্ন বিন্দুতে ছেদ করবে।
\((ii)\) \(x_1\) ও \(x_2\) বাস্তব ও সমান হলে, \((1)\) নং রেখা উপবৃত্তটিকে স্পর্শ করবে।
\((iii)\) \(x_1\) ও \(x_2\) কাল্পনিক হলে, \((1)\) নং রেখা উপবৃত্তটিকে আদৌ স্পর্শ করবে না।
এখন,
\((ii)\) ঘটনা সত্য হলে, \((3)\) নং হতে \((2a^2mc)^2=4.(a^2m^2+b^2).a^2(c^2-b^2)\) ➜ \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমাণ হওয়ার শর্ত, \(b^2=4ac\)
\(\Rightarrow a^4m^2c^2=(a^2m^2+b^2).a^2(c^2-b^2)\)
\(\Rightarrow a^4m^2c^2=(a^2m^2+b^2)(a^2c^2-a^2b^2)\)
\(\Rightarrow a^4m^2c^2=(a^2c^2-a^2b^2)(a^2m^2+b^2)\)
\(\Rightarrow a^4m^2c^2=a^2c^2(a^2m^2+b^2)-a^2b^2(a^2m^2+b^2)\)
\(\Rightarrow a^4m^2c^2=a^4c^2m^2+a^2b^2c^2-a^2b^2(a^2m^2+b^2)\)
\(\Rightarrow a^4m^2c^2-a^4m^2c^2-a^2b^2c^2=-a^2b^2(a^2m^2+b^2)\)
\(\Rightarrow -a^2b^2c^2=-a^2b^2(a^2m^2+b^2)\)
\(\Rightarrow c^2=(a^2m^2+b^2)\) ➜ উভয় পার্শে \(-a^2b^2\) ভাগ করে।
\(\therefore c=\pm \sqrt{(a^2m^2+b^2)}\) ইহাই নির্ণেয় শর্ত।
আবার,
\(c=\pm \sqrt{(a^2m^2+b^2)}\), \((1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে
\(y=mx \pm \sqrt{(a^2m^2+b^2)}\) ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
আবার,
\((3)\) নং সমীকরণ হতে সমান মূলদ্বয়ের মান \(x=\frac{-2a^2mc}{2(a^2m^2+b^2)}\) ➜ \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের সমাণ মূলদ্বয়ের মাণ \(\frac{-b}{2a}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-a^2mc}{a^2m^2+b^2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-a^2m\times \pm \sqrt{(a^2m^2+b^2)}}{a^2m^2+b^2}\) ➜ \(\because c=\pm \sqrt{(a^2m^2+b^2)}\)
\(\Rightarrow x=\frac{\pm a^2m\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}\times \sqrt{(a^2m^2+b^2)}}\)
\(\therefore x=\frac{\pm a^2m}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}\)
আবার,
\(x=\frac{a^2m}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}\) এবং \(c=-\sqrt{(a^2m^2+b^2)}\), \((1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে
\(y=m\frac{a^2m}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}-\sqrt{(a^2m^2+b^2)}\)
\(\Rightarrow y=\frac{a^2m^2}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}-\sqrt{(a^2m^2+b^2)}\)
\(\Rightarrow y=\frac{a^2m^2-a^2m^2-b^2}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}\)
\(\therefore y=\frac{-b^2}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}\)
আবার,
\(x=\frac{-a^2m}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}\) এবং \(c=\sqrt{(a^2m^2+b^2)}\), \((1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে
\(y=m\frac{-a^2m}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}+\sqrt{(a^2m^2+b^2)}\)
\(\Rightarrow y=\frac{-a^2m^2}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}+\sqrt{(a^2m^2+b^2)}\)
\(\Rightarrow y=\frac{-a^2m^2+a^2m^2+b^2}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}\)
\(\therefore y=\frac{b^2}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}\)
\(\therefore y\)-এর এই দুই মাণ সমন্বয় করে পাই,
\(y=\frac{\pm b^2}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}\)
অতএব, স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{\pm a^2m}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}, \frac{\pm b^2}{\sqrt{(a^2m^2+b^2)}}\right)\)
অনুশীলনী \(5.B\) উদাহরণসমুহ
উদাহরণ \(1.\) \(25x^{2}+16y^2=400\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়ের সমীকরণ ও দৈর্ঘ্য, উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ এবং নিয়ামকরেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১৫, ২০০৯; যঃ ২০০১৪; কুঃ ২০০৯,২০০৭; দিঃ ২০১২; বঃ, রাঃ ২০০৮,২০০৬; বুয়েটেক্স ১২-১৩]
উদাহরণ \(2.\) \(p\)-এর মাণ কত হলে \(px^{2}+4y^2=1\) উপবৃত্তটি \((\pm 1, 0)\) বিন্দু দিয়ে যাবে? উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা ও অক্ষদুইটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৯, ২০০৫,২০১২; বঃ ২০০৯,২০০৫,২০১২; রাঃ ২০০৮;মাঃ ২০১৪,২০১১]
উদাহরণ \(3.\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার অক্ষদ্বয় স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয়ের উপর অবস্থিত এবং \((2, 2)\) ও \((3, 1 )\) বিন্দু দিয়ে যায়। এর উৎকেন্দ্রতাও নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৮, ২০০৬; বঃ ২০০৬; রাঃ ২০১৪;যঃ ২০১৫,২০০৬]
উদাহরণ \(4.\) উপবৃত্তের প্রধান অক্ষদুইটিকে \(x\) ও \(y\) অক্ষ বিবেচনা করে \((0, \pm 4)\) উপকেন্দ্র এবং \(\frac{4}{5}\) উৎকেন্দ্রতাবিশিষ্ট উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১০;সিঃ ২০১০,২০০৬ ; যঃ ২০১২]
উদাহরণ \(5.\) কোনো উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((-1, 1)\), উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{2}\) এবং নিয়ামকরেখা \(x-y+3=0\) হলে, উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৮,২০০৬;রাঃ ২০১৬; যঃ ২০১৩;কুঃ২০১৫;মাঃ২০১৩]
উদাহরণ \(6.\) কোনো উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((1, -1)\), উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) এবং নিয়ামকরেখা \(x-y+2=0\) হলে, উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(7.\) উপবৃত্তের প্রধান অক্ষদুইটিকে \(x\) ও \(y\) অক্ষ বিবেচনা করে উৎকেন্দ্রিকতা \(=\frac{1}{3}\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=8\) উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ২০১৫; দিঃ২০১৩,২০১০; যঃ২০১১,২০০৯; রাঃ ২০১১,২০০৬; ঢাঃ ২০১১, ২০০৫;চঃ২০০৫; বঃ২০০১]
উদাহরণ \(8.\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((3, 4)\), দিকাক্ষরেখা \(x+y-2=0\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\)।
[ কুঃ২০০২,২০১০; যঃ২০০১,২০০৭,২০১১; রাঃ ২০০৪,২০১৩; ঢাঃ ২০১০, ২০০৭; বঃ২০০১; মাঃ ২০০৭ ]
উদাহরণ \(9.\) উপবৃত্তের অক্ষদুইটিকে \(x\) ও \(y\) অক্ষ ধরে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((\pm 3, 0)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\); উপবৃত্তটির দিকাক্ষরেখার সমীকরণও নির্ণয় কর।
[ কুঃ২০০০; যঃ২০০৫,২০১২; ]
উদাহরণ \(10.\) \(9x^2+16y^2=144\) উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক এবং দিকাক্ষদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ২০০০; ]
উদাহরণ \(11.\) \(\frac{x^2}{p}+\frac{y^2}{5^2}=1\) উপবৃত্তটি \((6, 4)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ রাঃ২০০১; ঢাঃ ২০০১,২০০৪,২০০৯;চঃ ২০০৩;কুঃ২০০৬;সিঃ ২০০৮।]
উদাহরণ \(12.\) \(4x^2+5y^2-16x+10y+1=0\) সমীকরণটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে; এর উৎকেন্দ্রিকতা, কেন্দ্র, উপকেন্দ্র, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০০৩।]
উদাহরণ \(13.\) কোনো একটি উপবৃত্ত \(\frac{x}{7}+\frac{y}{2}=1\) রেখাকে \(X\) অক্ষের উপর এবং \(\frac{x}{3}+\frac{y}{5}=1\) রেখাকে \(Y\) অক্ষের উপর ছেদ করে। তার সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০১৫, ২০০৯; যঃ ২০০১৪; কুঃ ২০০৯,২০০৭; দিঃ ২০১২; বঃ, রাঃ ২০০৮,২০০৬; বুয়েটেক্স ১২-১৩]
উদাহরণ \(2.\) \(p\)-এর মাণ কত হলে \(px^{2}+4y^2=1\) উপবৃত্তটি \((\pm 1, 0)\) বিন্দু দিয়ে যাবে? উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা ও অক্ষদুইটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৯, ২০০৫,২০১২; বঃ ২০০৯,২০০৫,২০১২; রাঃ ২০০৮;মাঃ ২০১৪,২০১১]
উদাহরণ \(3.\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার অক্ষদ্বয় স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয়ের উপর অবস্থিত এবং \((2, 2)\) ও \((3, 1 )\) বিন্দু দিয়ে যায়। এর উৎকেন্দ্রতাও নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৮, ২০০৬; বঃ ২০০৬; রাঃ ২০১৪;যঃ ২০১৫,২০০৬]
উদাহরণ \(4.\) উপবৃত্তের প্রধান অক্ষদুইটিকে \(x\) ও \(y\) অক্ষ বিবেচনা করে \((0, \pm 4)\) উপকেন্দ্র এবং \(\frac{4}{5}\) উৎকেন্দ্রতাবিশিষ্ট উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১০;সিঃ ২০১০,২০০৬ ; যঃ ২০১২]
উদাহরণ \(5.\) কোনো উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((-1, 1)\), উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{2}\) এবং নিয়ামকরেখা \(x-y+3=0\) হলে, উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৮,২০০৬;রাঃ ২০১৬; যঃ ২০১৩;কুঃ২০১৫;মাঃ২০১৩]
উদাহরণ \(6.\) কোনো উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((1, -1)\), উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) এবং নিয়ামকরেখা \(x-y+2=0\) হলে, উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(7.\) উপবৃত্তের প্রধান অক্ষদুইটিকে \(x\) ও \(y\) অক্ষ বিবেচনা করে উৎকেন্দ্রিকতা \(=\frac{1}{3}\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=8\) উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ২০১৫; দিঃ২০১৩,২০১০; যঃ২০১১,২০০৯; রাঃ ২০১১,২০০৬; ঢাঃ ২০১১, ২০০৫;চঃ২০০৫; বঃ২০০১]
উদাহরণ \(8.\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((3, 4)\), দিকাক্ষরেখা \(x+y-2=0\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\)।
[ কুঃ২০০২,২০১০; যঃ২০০১,২০০৭,২০১১; রাঃ ২০০৪,২০১৩; ঢাঃ ২০১০, ২০০৭; বঃ২০০১; মাঃ ২০০৭ ]
উদাহরণ \(9.\) উপবৃত্তের অক্ষদুইটিকে \(x\) ও \(y\) অক্ষ ধরে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((\pm 3, 0)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\); উপবৃত্তটির দিকাক্ষরেখার সমীকরণও নির্ণয় কর।
[ কুঃ২০০০; যঃ২০০৫,২০১২; ]
উদাহরণ \(10.\) \(9x^2+16y^2=144\) উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক এবং দিকাক্ষদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ২০০০; ]
উদাহরণ \(11.\) \(\frac{x^2}{p}+\frac{y^2}{5^2}=1\) উপবৃত্তটি \((6, 4)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ রাঃ২০০১; ঢাঃ ২০০১,২০০৪,২০০৯;চঃ ২০০৩;কুঃ২০০৬;সিঃ ২০০৮।]
উদাহরণ \(12.\) \(4x^2+5y^2-16x+10y+1=0\) সমীকরণটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে; এর উৎকেন্দ্রিকতা, কেন্দ্র, উপকেন্দ্র, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০০৩।]
উদাহরণ \(13.\) কোনো একটি উপবৃত্ত \(\frac{x}{7}+\frac{y}{2}=1\) রেখাকে \(X\) অক্ষের উপর এবং \(\frac{x}{3}+\frac{y}{5}=1\) রেখাকে \(Y\) অক্ষের উপর ছেদ করে। তার সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(14.\) \(4x^2+25y^2=100\) উপবৃত্তের উপরস্থ \((5, 0)\) , \((0, 2)\) , \((3, 1.6)\) এবং \((-4, 1.2)\) বিন্দুগুলির পরামিতিক স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(15.\) \(16x^2+25y^2=400\) উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্র, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের ও নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০৫;কুঃ২০০৫;বঃ২০০২;মাঃ২০১০,২০০৮।]
উদাহরণ \(16.\) \(4x^2+py^2=80\) উপবৃত্তটি \((0, \pm 4)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। উপবৃত্তটির অক্ষ দুইটির দৈর্ঘ্য এবং উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০১০;যঃ২০০৮;চঃ২০০১।]
উদাহরণ \(17.\) উপকেন্দ্র \((1, 0)\) ও \((-1, 0)\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্ব \(3\) বিশিষ্ট উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১১।]
উদাহরণ \(18.\) উপবৃত্তের বৃহৎ অক্ষ ও ক্ষুদ্র অক্ষকে যথাক্রমে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ ধরে উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর, যার উপকেন্দ্র দুইটির মধ্যকার দূরত্ব \(8\) এবং নিয়ামকরেখা দুইটির লম্ব দূরত্ব \(18\) ।
[ রাঃ ২০১০, ২০০৩।]
উদাহরণ \(19.\) উপবৃত্তের বৃহৎ অক্ষ ও ক্ষুদ্র অক্ষকে যথাক্রমে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ ধরে উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর, যার উপকেন্দ্রদ্বয় \((\pm 2, 0)\) এবং বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=8\) ।
[ দিঃ ২০১১;চঃ ২০০৩।]
উদাহরণ \(20.\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((2, 1)\), উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) এবং দিকাক্ষরেখা \(2x+y=3\)।
[ ঢাঃ২০০১,২০০০; চঃ২০০১,২০০০ ]
উদাহরণ \(21.\) \(9x^2+25y^2=225\) উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক এবং দিকাক্ষদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(22.\) \(4x^2+9y^2=36\) উপবৃত্তের বৃহৎ অক্ষ ও ক্ষুদ্র অক্ষের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(23.\) \(5x^2+4y^2=1\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়ের সমীকরণ ও দৈর্ঘ্য, উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ এবং নিয়ামকরেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(24.\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র দুইটি \(S(2, 0)\) ও \(\acute S(-2, 0)\) এবং যা \(P\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{15}}{2}\right)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
উদাহরণ \(25.\) কোনো একটি উপবৃত্ত \(5x+9y=45\) রেখাকে \(X\) অক্ষের উপর এবং \(7x+5y=36\) রেখাকে \(Y\) অক্ষের উপর ছেদ করে। তার সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(26.\) মুখ্য অক্ষদ্বয়কে স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয় ধরে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার ক্ষুদ্র অক্ষ উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্বের সমান এবং যার উপকেন্দ্রিক লম্ব \(10\) একক।
উদাহরণ \(27.\) \(20x^2+36y^2+40x-108y-79=0\) সমীকরণটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে; এর বিভিন্ন উপাদান নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(15.\) \(16x^2+25y^2=400\) উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্র, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের ও নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০৫;কুঃ২০০৫;বঃ২০০২;মাঃ২০১০,২০০৮।]
উদাহরণ \(16.\) \(4x^2+py^2=80\) উপবৃত্তটি \((0, \pm 4)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। উপবৃত্তটির অক্ষ দুইটির দৈর্ঘ্য এবং উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০১০;যঃ২০০৮;চঃ২০০১।]
উদাহরণ \(17.\) উপকেন্দ্র \((1, 0)\) ও \((-1, 0)\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্ব \(3\) বিশিষ্ট উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১১।]
উদাহরণ \(18.\) উপবৃত্তের বৃহৎ অক্ষ ও ক্ষুদ্র অক্ষকে যথাক্রমে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ ধরে উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর, যার উপকেন্দ্র দুইটির মধ্যকার দূরত্ব \(8\) এবং নিয়ামকরেখা দুইটির লম্ব দূরত্ব \(18\) ।
[ রাঃ ২০১০, ২০০৩।]
উদাহরণ \(19.\) উপবৃত্তের বৃহৎ অক্ষ ও ক্ষুদ্র অক্ষকে যথাক্রমে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ ধরে উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর, যার উপকেন্দ্রদ্বয় \((\pm 2, 0)\) এবং বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=8\) ।
[ দিঃ ২০১১;চঃ ২০০৩।]
উদাহরণ \(20.\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((2, 1)\), উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) এবং দিকাক্ষরেখা \(2x+y=3\)।
[ ঢাঃ২০০১,২০০০; চঃ২০০১,২০০০ ]
উদাহরণ \(21.\) \(9x^2+25y^2=225\) উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক এবং দিকাক্ষদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(22.\) \(4x^2+9y^2=36\) উপবৃত্তের বৃহৎ অক্ষ ও ক্ষুদ্র অক্ষের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(23.\) \(5x^2+4y^2=1\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়ের সমীকরণ ও দৈর্ঘ্য, উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ এবং নিয়ামকরেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(24.\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র দুইটি \(S(2, 0)\) ও \(\acute S(-2, 0)\) এবং যা \(P\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{15}}{2}\right)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
উদাহরণ \(25.\) কোনো একটি উপবৃত্ত \(5x+9y=45\) রেখাকে \(X\) অক্ষের উপর এবং \(7x+5y=36\) রেখাকে \(Y\) অক্ষের উপর ছেদ করে। তার সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(26.\) মুখ্য অক্ষদ্বয়কে স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয় ধরে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার ক্ষুদ্র অক্ষ উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্বের সমান এবং যার উপকেন্দ্রিক লম্ব \(10\) একক।
উদাহরণ \(27.\) \(20x^2+36y^2+40x-108y-79=0\) সমীকরণটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে; এর বিভিন্ন উপাদান নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(1.\) \(25x^{2}+16y^2=400\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়ের সমীকরণ ও দৈর্ঘ্য, উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ এবং নিয়ামকরেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১০; যঃ ২০০১২; সিঃ ২০১০,২০০৬]
[ চঃ ২০১০; যঃ ২০০১২; সিঃ ২০১০,২০০৬]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(25x^{2}+16y^2=400\)
\(\Rightarrow \frac{25x^{2}}{400}+\frac{16y^2}{400}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(400\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^{2}}{16}+\frac{y^2}{25}=1\)
এখানে,
\(a^2=16, b^2=25\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=4, b=5\)
\(\therefore b>a\)
অক্ষদ্বয়ের সমীকরণ যথাক্রমে \(x=0\) এবং \(y=0\).
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2.5\)
\(=10\)
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2.4\)
\(=8\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{16}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{25-16}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{9}{25}}\)
\(=\frac{3}{5}\)
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((0, \pm be)\)
\(\Rightarrow (0, \pm 5\times \frac{3}{5})\)
\(\therefore (0, \pm 3)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2a^2}{b}\)
\(=\frac{2.16}{5}\)
\(=\frac{32}{5}\) একক।
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(y=\pm 3\)
নিয়ামকরেখাদ্বয়ের সমীকরণ \(y=\pm \frac{b}{e}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{5}{\frac{3}{5}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{25}{3}\)
\(\Rightarrow 3y=\pm 25\)
\(\therefore 3y\pm 25=0\)
\(25x^{2}+16y^2=400\)
\(\Rightarrow \frac{25x^{2}}{400}+\frac{16y^2}{400}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(400\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^{2}}{16}+\frac{y^2}{25}=1\)
এখানে,
\(a^2=16, b^2=25\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=4, b=5\)
\(\therefore b>a\)
অক্ষদ্বয়ের সমীকরণ যথাক্রমে \(x=0\) এবং \(y=0\).
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2.5\)
\(=10\)
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2.4\)
\(=8\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{16}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{25-16}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{9}{25}}\)
\(=\frac{3}{5}\)
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((0, \pm be)\)
\(\Rightarrow (0, \pm 5\times \frac{3}{5})\)
\(\therefore (0, \pm 3)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2a^2}{b}\)
\(=\frac{2.16}{5}\)
\(=\frac{32}{5}\) একক।
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(y=\pm 3\)
নিয়ামকরেখাদ্বয়ের সমীকরণ \(y=\pm \frac{b}{e}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{5}{\frac{3}{5}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{25}{3}\)
\(\Rightarrow 3y=\pm 25\)
\(\therefore 3y\pm 25=0\)
উদাহরণ \(2.\) \(p\)-এর মাণ কত হলে \(px^{2}+4y^2=1\) উপবৃত্তটি \((\pm 1, 0)\) বিন্দু দিয়ে যাবে? উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা ও অক্ষদুইটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৯, ২০০৫,২০১২; বঃ ২০০৯,২০০৫,২০১২; রাঃ ২০০৮;মাঃ ২০১৪,২০১১]
[ চঃ ২০০৯, ২০০৫,২০১২; বঃ ২০০৯,২০০৫,২০১২; রাঃ ২০০৮;মাঃ ২০১৪,২০১১]
সমাধানঃ
ধরি,
\(px^{2}+4y^2=1 .......(1)\)
\((1)\) নং উপবৃত্তটি \((\pm 1, 0)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore p(\pm 1)^{2}+4.0^2=1\)
\(\Rightarrow p.1+4.0=1\)
\(\Rightarrow p+0=1\)
\(\therefore p=1\)
\(p\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(1.x^{2}+4y^2=1\)
\(\Rightarrow x^{2}+4y^2=1\)
\(\therefore \frac{x^{2}}{1}+\frac{y^2}{\frac{1}{4}}=1\)
এখানে,
\(a^2=1, b^2=\frac{1}{4}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=1, b=\frac{1}{2}\)
\(\therefore a > b\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{\frac{1}{4}}{1}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{1}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{4-1}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{3}{4}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2.1\)
\(=2\) একক।
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2.\frac{1}{2}\)
\(=1\) একক।
\(px^{2}+4y^2=1 .......(1)\)
\((1)\) নং উপবৃত্তটি \((\pm 1, 0)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore p(\pm 1)^{2}+4.0^2=1\)
\(\Rightarrow p.1+4.0=1\)
\(\Rightarrow p+0=1\)
\(\therefore p=1\)
\(p\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(1.x^{2}+4y^2=1\)
\(\Rightarrow x^{2}+4y^2=1\)
\(\therefore \frac{x^{2}}{1}+\frac{y^2}{\frac{1}{4}}=1\)
এখানে,
\(a^2=1, b^2=\frac{1}{4}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=1, b=\frac{1}{2}\)
\(\therefore a > b\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{\frac{1}{4}}{1}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{1}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{4-1}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{3}{4}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2.1\)
\(=2\) একক।
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2.\frac{1}{2}\)
\(=1\) একক।
উদাহরণ \(3.\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার অক্ষদ্বয় স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয়ের উপর অবস্থিত এবং \((2, 2)\) ও \((3, 1 )\) বিন্দু দিয়ে যায়। এর উৎকেন্দ্রতাও নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৮, ২০০৬; বঃ ২০০৬; রাঃ ২০১৪;যঃ ২০১৫,২০০৬]
[ চঃ ২০০৮, ২০০৬; বঃ ২০০৬; রাঃ ২০১৪;যঃ ২০১৫,২০০৬]
সমাধানঃ
ধরি,
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^{2}}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 .......(1)\)
\((1)\) নং উপবৃত্তটি \((2, 2)\) ও \((3, 1 )\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\frac{2^{2}}{a^2}+\frac{2^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{4}{a^2}+\frac{4}{b^2}=1 .......(2)\)
আবার,
\(\frac{3^{2}}{a^2}+\frac{1^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1 .......(3)\)
\((3)\times 4-(2) \)-এর সাহায্যে
\(\frac{36}{a^2}+\frac{4}{b^2}-\frac{4}{a^2}-\frac{4}{b^2}=4-1\)
\(\Rightarrow \frac{36}{a^2}-\frac{4}{a^2}=3\)
\(\Rightarrow \frac{36-4}{a^2}=3\)
\(\Rightarrow \frac{32}{a^2}=3\)
\(\Rightarrow 3a^2=32\)
\(\therefore a^2=\frac{32}{3}\)
\(a^2\)-এর মাণ \((3)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{9}{\frac{32}{3}}+\frac{1}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{27}{32}+\frac{1}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{1}{b^2}=1-\frac{27}{32}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{b^2}=\frac{32-27}{32}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{b^2}=\frac{5}{32}\)
\(\Rightarrow 5b^2=32\)
\(\therefore b^2=\frac{32}{5}\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^{2}}{\frac{32}{3}}+\frac{y^2}{\frac{32}{5}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{3x^{2}}{32}+\frac{5y^2}{32}=1\)
\(\therefore 3x^{2}+5y^2=32\) ➜ উভয় পার্শে \(32\) গুণ করে।
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
আবার,
উৎকেন্দ্রতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{\frac{32}{5}}{\frac{32}{3}}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{32}{5}\times \frac{3}{32}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{3}{5}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{5-3}{5}}\)
\(\therefore e=\sqrt{\frac{2}{5}}\)
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^{2}}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 .......(1)\)
\((1)\) নং উপবৃত্তটি \((2, 2)\) ও \((3, 1 )\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\frac{2^{2}}{a^2}+\frac{2^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{4}{a^2}+\frac{4}{b^2}=1 .......(2)\)
আবার,
\(\frac{3^{2}}{a^2}+\frac{1^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1 .......(3)\)
\((3)\times 4-(2) \)-এর সাহায্যে
\(\frac{36}{a^2}+\frac{4}{b^2}-\frac{4}{a^2}-\frac{4}{b^2}=4-1\)
\(\Rightarrow \frac{36}{a^2}-\frac{4}{a^2}=3\)
\(\Rightarrow \frac{36-4}{a^2}=3\)
\(\Rightarrow \frac{32}{a^2}=3\)
\(\Rightarrow 3a^2=32\)
\(\therefore a^2=\frac{32}{3}\)
\(a^2\)-এর মাণ \((3)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{9}{\frac{32}{3}}+\frac{1}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{27}{32}+\frac{1}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{1}{b^2}=1-\frac{27}{32}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{b^2}=\frac{32-27}{32}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{b^2}=\frac{5}{32}\)
\(\Rightarrow 5b^2=32\)
\(\therefore b^2=\frac{32}{5}\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^{2}}{\frac{32}{3}}+\frac{y^2}{\frac{32}{5}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{3x^{2}}{32}+\frac{5y^2}{32}=1\)
\(\therefore 3x^{2}+5y^2=32\) ➜ উভয় পার্শে \(32\) গুণ করে।
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
আবার,
উৎকেন্দ্রতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{\frac{32}{5}}{\frac{32}{3}}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{32}{5}\times \frac{3}{32}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{3}{5}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{5-3}{5}}\)
\(\therefore e=\sqrt{\frac{2}{5}}\)
উদাহরণ \(4.\) উপবৃত্তের প্রধান অক্ষদুইটিকে \(x\) ও \(y\) অক্ষ বিবেচনা করে \((0, \pm 4)\) উপকেন্দ্র এবং \(\frac{4}{5}\) উৎকেন্দ্রতাবিশিষ্ট উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১০;সিঃ ২০১০,২০০৬; যঃ ২০১২]
[ চঃ ২০১০;সিঃ ২০১০,২০০৬; যঃ ২০১২]
সমাধানঃ
ধরি,
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^{2}}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 .......(1)\)
দেওয়া আছে,
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((0, \pm 4)\), অতএব \(Y\) অক্ষ হবে এর বৃহৎ অক্ষ।
উৎকেন্দ্রতা \(e=\frac{4}{5}\)
এখন,
\(be=4\) ➜ উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow b\times \frac{4}{5}=4\)
\(\Rightarrow b=4\times \frac{5}{4}\)
\(\therefore b=5\)
আবার,
\(a^2=b^2(1-e^2)\)
\(\Rightarrow a^2=5^2\{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2\}\)
\(\Rightarrow a^2=25\{1-\frac{16}{25}\}\)
\(\Rightarrow a^2=25\times \frac{25-16}{25}\)
\(\Rightarrow a^2=25\times \frac{9}{25}\)
\(\Rightarrow a^2=9\)
\(\therefore a=3\)
\(a\) ও \(b\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^{2}}{3^2}+\frac{y^2}{5^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^2}{25}=1\)
\(\therefore \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^2}{25}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^{2}}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 .......(1)\)
দেওয়া আছে,
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((0, \pm 4)\), অতএব \(Y\) অক্ষ হবে এর বৃহৎ অক্ষ।
উৎকেন্দ্রতা \(e=\frac{4}{5}\)
এখন,
\(be=4\) ➜ উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow b\times \frac{4}{5}=4\)
\(\Rightarrow b=4\times \frac{5}{4}\)
\(\therefore b=5\)
আবার,
\(a^2=b^2(1-e^2)\)
\(\Rightarrow a^2=5^2\{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2\}\)
\(\Rightarrow a^2=25\{1-\frac{16}{25}\}\)
\(\Rightarrow a^2=25\times \frac{25-16}{25}\)
\(\Rightarrow a^2=25\times \frac{9}{25}\)
\(\Rightarrow a^2=9\)
\(\therefore a=3\)
\(a\) ও \(b\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^{2}}{3^2}+\frac{y^2}{5^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^2}{25}=1\)
\(\therefore \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^2}{25}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উদাহরণ \(5.\) কোনো উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((-1, 1)\), উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{2}\) এবং নিয়ামকরেখা \(x-y+3=0\) হলে, উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৮,২০০৬;রাঃ ২০১৬; যঃ ২০১৩;কুঃ২০১৫;মাঃ২০১৩]
[ চঃ ২০০৮,২০০৬;রাঃ ২০১৬; যঃ ২০১৩;কুঃ২০১৫;মাঃ২০১৩]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(-1, 1)\),
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{1}{2}\)
এবং নিয়ামকরেখা \(x-y+3=0 ....(1)\)
ধরি,
উপবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
\(P(x, y)\) বিন্দু হতে নিয়ামকরেখার লম্ব দূরত্ব \(PM=\frac{|x-y+3|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x-y+3|}{\sqrt{1+1}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x-y+3|}{\sqrt{2}}\)
উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে \(PS=e.PM\)
\(\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}=\frac{1}{2}.\frac{|x-y+3|}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow (x+1)^2+(y-1)^2=\frac{1}{4}.\frac{(x-y+3)^2}{2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2+2x+1+y^2-2y+1=\frac{(x-y+3)^2}{8}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+2x-2y+2=\frac{(x-y+3)^2}{8}\)
\(\Rightarrow 8x^2+8y^2+16x-16y+16=(x-y+3)^2\)
\(\Rightarrow 8x^2+8y^2+16x-16y+16=x^2+y^2+9-2xy+6x-6y\)
\(\Rightarrow 8x^2+8y^2+16x-16y+16-x^2-y^2-9+2xy-6x+6y=0\)
\(\Rightarrow 7x^2+2xy+7y^2+10x-10y+7=0\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(-1, 1)\),
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{1}{2}\)
এবং নিয়ামকরেখা \(x-y+3=0 ....(1)\)
ধরি,
উপবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
\(P(x, y)\) বিন্দু হতে নিয়ামকরেখার লম্ব দূরত্ব \(PM=\frac{|x-y+3|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x-y+3|}{\sqrt{1+1}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x-y+3|}{\sqrt{2}}\)
উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে \(PS=e.PM\)
\(\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}=\frac{1}{2}.\frac{|x-y+3|}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow (x+1)^2+(y-1)^2=\frac{1}{4}.\frac{(x-y+3)^2}{2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2+2x+1+y^2-2y+1=\frac{(x-y+3)^2}{8}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+2x-2y+2=\frac{(x-y+3)^2}{8}\)
\(\Rightarrow 8x^2+8y^2+16x-16y+16=(x-y+3)^2\)
\(\Rightarrow 8x^2+8y^2+16x-16y+16=x^2+y^2+9-2xy+6x-6y\)
\(\Rightarrow 8x^2+8y^2+16x-16y+16-x^2-y^2-9+2xy-6x+6y=0\)
\(\Rightarrow 7x^2+2xy+7y^2+10x-10y+7=0\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উদাহরণ \(7.\) উপবৃত্তের প্রধান অক্ষদুইটিকে \(x\) ও \(y\) অক্ষ বিবেচনা করে উৎকেন্দ্রিকতা \(=\frac{1}{3}\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=8\) উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ২০১৫; দিঃ২০১৩,২০১০; যঃ২০১১,২০০৯; রাঃ ২০১১,২০০৬; ঢাঃ ২০১১, ২০০৫;চঃ২০০৫; বঃ২০০১]
[ সিঃ২০১৫; দিঃ২০১৩,২০১০; যঃ২০১১,২০০৯; রাঃ ২০১১,২০০৬; ঢাঃ ২০১১, ২০০৫;চঃ২০০৫; বঃ২০০১]
সমাধানঃ
ধরি,
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^{2}}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 .......(1)\)
দেওয়া আছে,
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow e^2=\frac{1}{9}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{9}=e^2\)
\(\Rightarrow \frac{1}{9}=1-\frac{b^2}{a^2}\) ➜ \(\because e^2=1-\frac{b^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=1-\frac{1}{9}\)
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=\frac{9-1}{9}\)
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=\frac{8}{9}\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{8a^2}{9} ......(2)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=8\)
\(\Rightarrow \frac{2b^2}{a}=8\)
\(\Rightarrow 2b^2=8a\)
\(\Rightarrow 2\times \frac{8a^2}{9}=8a\) ➜ \((2)\)-এর সাহায্যে
\(\Rightarrow 16a^2=72a\)
\(\Rightarrow 2a=9\) ➜ \(8a\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow a=\frac{9}{2}\)
\(\therefore a^2=\frac{81}{4}\)
\((2)\) হতে,
\(b^2=\frac{8a^2}{9}\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{8}{9}\times a^2\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{8}{9}\times \frac{81}{4}\)
\(\Rightarrow b^2=2\times 9\)
\(\therefore b^2=18\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(\frac{x^{2}}{\frac{81}{4}}+\frac{y^2}{18}=1\)
\(\therefore \frac{4x^{2}}{81}+\frac{y^2}{18}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^{2}}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 .......(1)\)
দেওয়া আছে,
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow e^2=\frac{1}{9}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{9}=e^2\)
\(\Rightarrow \frac{1}{9}=1-\frac{b^2}{a^2}\) ➜ \(\because e^2=1-\frac{b^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=1-\frac{1}{9}\)
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=\frac{9-1}{9}\)
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=\frac{8}{9}\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{8a^2}{9} ......(2)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=8\)
\(\Rightarrow \frac{2b^2}{a}=8\)
\(\Rightarrow 2b^2=8a\)
\(\Rightarrow 2\times \frac{8a^2}{9}=8a\) ➜ \((2)\)-এর সাহায্যে
\(\Rightarrow 16a^2=72a\)
\(\Rightarrow 2a=9\) ➜ \(8a\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow a=\frac{9}{2}\)
\(\therefore a^2=\frac{81}{4}\)
\((2)\) হতে,
\(b^2=\frac{8a^2}{9}\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{8}{9}\times a^2\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{8}{9}\times \frac{81}{4}\)
\(\Rightarrow b^2=2\times 9\)
\(\therefore b^2=18\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(\frac{x^{2}}{\frac{81}{4}}+\frac{y^2}{18}=1\)
\(\therefore \frac{4x^{2}}{81}+\frac{y^2}{18}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উদাহরণ \(12.\) \(4x^2+5y^2-16x+10y+1=0\) সমীকরণটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে; এর উৎকেন্দ্রিকতা, কেন্দ্র, উপকেন্দ্র, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০০৩।]
[ সিঃ ২০০৩।]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
উপবৃত্তের সমীকরণ \(4x^2+5y^2-16x+10y+1=0\)
\(\Rightarrow 4(x^2-4x)+5(y^2+2y)+1=0\)
\(\Rightarrow 4(x^2-4x+4-4)+5(y^2+2y+1-1)+1=0\)
\(\Rightarrow 4(x^2-4x+4)-16+5(y^2+2y+1)-5+1=0\)
\(\Rightarrow 4(x-2)^2+5(y+1)^2-20=0\)
\(\Rightarrow 4(x-2)^2+5(y+1)^2=20\)
\(\Rightarrow \frac{4(x-2)^2}{20}+\frac{5(y+1)^2}{20}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(20\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{(x-2)^2}{5}+\frac{(y+1)^2}{4}=1\)
\(X=x-2, Y=y+1\) হলে,
\(\Rightarrow \frac{X^2}{5}+\frac{Y^2}{4}=1 ...........(1)\)
এখানে,
\(a^2=5, b^2=4\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\sqrt{5}, b=2\)
\(\therefore a>b \)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{4}{5}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{5-4}{5}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{1}{5}}\)
\(\therefore e=\frac{1}{\sqrt{5}}\)
উপবৃত্তের কেন্দ্র \(C(0, 0)\)
অর্থাৎ \(X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x-2=0, y+1=0\)
\(\Rightarrow x=2, y=-1\)
\(\therefore C(2, -1)\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
অর্থাৎ \(X=\pm ae, Y=0\)
\(\Rightarrow x-2=\pm \sqrt{5}\times \frac{1}{\sqrt{5}}, y+1=0\)
\(\Rightarrow x-2=\pm 1, y=-1\)
\(\Rightarrow x=\pm 1+2, y=-1\)
\(\Rightarrow x=1+2, y=-1\) এবং \(x=-1+2, y=-1\)
\(\Rightarrow x=3, y=-1\) এবং \(x=1, y=-1\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্রদ্বয় \( (3, -1)\) এবং \((1, -1) \)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
\(=\frac{2.4}{\sqrt{5}}\)
\(=\frac{8}{\sqrt{5}}\) একক।
দিকাক্ষের সমীকরণ \(X=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x-2=\pm \frac{\sqrt{5}}{\frac{1}{\sqrt{5}}}\)
\(\Rightarrow x-2=\pm \frac{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}{1}\)
\(\Rightarrow x-2=\pm 5\)
\(\Rightarrow x=\pm 5+2\)
\(\Rightarrow x=5+2\) এবং \(x=-5+2\)
\(\Rightarrow x=7\) এবং \(x=-3\)
\(\therefore x-7=0\) এবং \(x+3=0\)
উপবৃত্তের সমীকরণ \(4x^2+5y^2-16x+10y+1=0\)
\(\Rightarrow 4(x^2-4x)+5(y^2+2y)+1=0\)
\(\Rightarrow 4(x^2-4x+4-4)+5(y^2+2y+1-1)+1=0\)
\(\Rightarrow 4(x^2-4x+4)-16+5(y^2+2y+1)-5+1=0\)
\(\Rightarrow 4(x-2)^2+5(y+1)^2-20=0\)
\(\Rightarrow 4(x-2)^2+5(y+1)^2=20\)
\(\Rightarrow \frac{4(x-2)^2}{20}+\frac{5(y+1)^2}{20}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(20\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{(x-2)^2}{5}+\frac{(y+1)^2}{4}=1\)
\(X=x-2, Y=y+1\) হলে,
\(\Rightarrow \frac{X^2}{5}+\frac{Y^2}{4}=1 ...........(1)\)
এখানে,
\(a^2=5, b^2=4\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\sqrt{5}, b=2\)
\(\therefore a>b \)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{4}{5}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{5-4}{5}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{1}{5}}\)
\(\therefore e=\frac{1}{\sqrt{5}}\)
উপবৃত্তের কেন্দ্র \(C(0, 0)\)
অর্থাৎ \(X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x-2=0, y+1=0\)
\(\Rightarrow x=2, y=-1\)
\(\therefore C(2, -1)\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
অর্থাৎ \(X=\pm ae, Y=0\)
\(\Rightarrow x-2=\pm \sqrt{5}\times \frac{1}{\sqrt{5}}, y+1=0\)
\(\Rightarrow x-2=\pm 1, y=-1\)
\(\Rightarrow x=\pm 1+2, y=-1\)
\(\Rightarrow x=1+2, y=-1\) এবং \(x=-1+2, y=-1\)
\(\Rightarrow x=3, y=-1\) এবং \(x=1, y=-1\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্রদ্বয় \( (3, -1)\) এবং \((1, -1) \)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
\(=\frac{2.4}{\sqrt{5}}\)
\(=\frac{8}{\sqrt{5}}\) একক।
দিকাক্ষের সমীকরণ \(X=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x-2=\pm \frac{\sqrt{5}}{\frac{1}{\sqrt{5}}}\)
\(\Rightarrow x-2=\pm \frac{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}{1}\)
\(\Rightarrow x-2=\pm 5\)
\(\Rightarrow x=\pm 5+2\)
\(\Rightarrow x=5+2\) এবং \(x=-5+2\)
\(\Rightarrow x=7\) এবং \(x=-3\)
\(\therefore x-7=0\) এবং \(x+3=0\)
উদাহরণ \(13.\) কোনো একটি উপবৃত্ত \(\frac{x}{7}+\frac{y}{2}=1\) রেখাকে \(X\) অক্ষের উপর এবং \(\frac{x}{3}+\frac{y}{5}=1\) রেখাকে \(Y\) অক্ষের উপর ছেদ করে। তার সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ধরি,
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
উপবৃত্তটি \(\frac{x}{7}+\frac{y}{2}=1\) রেখাকে \(X\) অক্ষের উপর ছেদ করে। সুতরাং ছেদবিন্দুর কটি \(y=0\)
\(\therefore \frac{x}{7}+\frac{0}{2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{7}+0=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{7}=1\)
\(\Rightarrow x=7\)
\(\therefore\) ছেদবিন্দু \( (7, 0)\)
উপবৃত্তটি \(\frac{x}{3}+\frac{y}{5}=1\) রেখাকে \(Y\) অক্ষের উপর ছেদ করে। সুতরাং ছেদবিন্দুর ভুজ \(x=0\)
\(\therefore \frac{0}{3}+\frac{y}{5}=1\)
\(\Rightarrow 0+\frac{y}{5}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y}{5}=1\)
\(\Rightarrow y=5\)
\(\therefore\) ছেদবিন্দু \( (0, 5)\)
শর্তমতে,
\((1)\) নং উপবৃত্ত \( (7, 0)\) এবং \( (0, 5)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore \frac{7^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1\)
\(\therefore \frac{49}{a^2}+\frac{0}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{49}{a^2}+0=1\)
\(\Rightarrow \frac{49}{a^2}=1\)
\(\Rightarrow a^2=49\)
\(\therefore a=7\)
আবার,
\(\frac{0^2}{a^2}+\frac{5^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{0}{a^2}+\frac{25}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow 0+\frac{25}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{25}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow b^2=25\)
\(\therefore b=5\)
\(\therefore a>b \)
এখন,
\(a^2=49, b^2=25\), \((1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{25}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{25}{49}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{49-25}{49}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{24}{49}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{4\times 6}{49}}\)
\(\Rightarrow e=\frac{2\sqrt{6}}{7}\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয় \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 7\times \frac{2\sqrt{6}}{7}, 0)\)
\(\therefore (\pm 2\sqrt{6}, 0)\)
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
উপবৃত্তটি \(\frac{x}{7}+\frac{y}{2}=1\) রেখাকে \(X\) অক্ষের উপর ছেদ করে। সুতরাং ছেদবিন্দুর কটি \(y=0\)
\(\therefore \frac{x}{7}+\frac{0}{2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{7}+0=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{7}=1\)
\(\Rightarrow x=7\)
\(\therefore\) ছেদবিন্দু \( (7, 0)\)
উপবৃত্তটি \(\frac{x}{3}+\frac{y}{5}=1\) রেখাকে \(Y\) অক্ষের উপর ছেদ করে। সুতরাং ছেদবিন্দুর ভুজ \(x=0\)
\(\therefore \frac{0}{3}+\frac{y}{5}=1\)
\(\Rightarrow 0+\frac{y}{5}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y}{5}=1\)
\(\Rightarrow y=5\)
\(\therefore\) ছেদবিন্দু \( (0, 5)\)
শর্তমতে,
\((1)\) নং উপবৃত্ত \( (7, 0)\) এবং \( (0, 5)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore \frac{7^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1\)
\(\therefore \frac{49}{a^2}+\frac{0}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{49}{a^2}+0=1\)
\(\Rightarrow \frac{49}{a^2}=1\)
\(\Rightarrow a^2=49\)
\(\therefore a=7\)
আবার,
\(\frac{0^2}{a^2}+\frac{5^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{0}{a^2}+\frac{25}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow 0+\frac{25}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{25}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow b^2=25\)
\(\therefore b=5\)
\(\therefore a>b \)
এখন,
\(a^2=49, b^2=25\), \((1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{25}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{25}{49}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{49-25}{49}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{24}{49}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{4\times 6}{49}}\)
\(\Rightarrow e=\frac{2\sqrt{6}}{7}\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয় \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 7\times \frac{2\sqrt{6}}{7}, 0)\)
\(\therefore (\pm 2\sqrt{6}, 0)\)
উদাহরণ \(14.\) \(4x^2+25y^2=100\) উপবৃত্তের উপরস্থ \((5, 0)\) , \((0, 2)\) , \((3, 1.6)\) এবং \((-4, 1.2)\) বিন্দুগুলির পরামিতিক স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
উপবৃত্তের সমীকরণ \(4x^2+25y^2=100\)
\(\Rightarrow \frac{4x^2}{100}+\frac{25y^2}{100}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(100\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{4}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{4}=1 ........(1)\)
এখানে,
\(a^2=25, b^2=4\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=5, b=2\)
\(\therefore a>b \)
আমরা জানি,
উপবৃত্তটির উপর \(P(x, y)\) যেকোনো বিন্দু \(P\)-এর উপকেন্দ্রিক কোণ \(\theta\) হলে, \(P\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\), যেখানে \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{ay}{bx}\right)\)
\((5, 0)\) বিন্দুটি \(X\)-অক্ষের ধনাত্মক দিকে অবস্থিত, সুতরাং
\(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{5.0}{2.5}\right)\)\(=\tan^{-1}\left(\frac{0}{10}\right)=\tan^{-1}0=0^{o}\)
\(\therefore (5, 0)\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((5\cos0^{o}, 2\sin0^{o})\)
\((0, 2)\) বিন্দুটি \(Y\)-অক্ষের ধনাত্মক দিকে অবস্থিত, সুতরাং
\(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{5.2}{2.0}\right)\)\(=\tan^{-1}\left(\frac{10}{0}\right)=\tan^{-1}\infty=90^{o}\)
\(\therefore (0, 2)\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((5\cos90^{o}, 2\sin90^{o})\)
\((3, 1.6)\) বিন্দুটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত, সুতরাং \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{5\times 1.6}{2\times 3}\right)\)
\(=\tan^{-1}\left(\frac{8}{6}\right)\)
\(=\tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)=53^{o}\acute 6\)
\(\therefore (3, 1.6)\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((5\cos53^{o}\acute 6, 2\sin53^{o}\acute 6)\)
\((-4, 1.2)\) বিন্দুটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত, সুতরাং \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{5\times 1.2}{2\times -4}\right)\)
\(=\tan^{-1}\left(\frac{6}{-8}\right)\)
\(=-\tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)\)
\(=180^{o}-\tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)\)
\(therefore \theta=143^{o}\acute{7}\)
\(\therefore (-4, 1.2)\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((5\cos\theta, 2\sin\theta)\) যেখানে, \(\theta=143^{o}\acute{7}\)
উপবৃত্তের সমীকরণ \(4x^2+25y^2=100\)
\(\Rightarrow \frac{4x^2}{100}+\frac{25y^2}{100}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(100\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{4}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{4}=1 ........(1)\)
এখানে,
\(a^2=25, b^2=4\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=5, b=2\)
\(\therefore a>b \)
আমরা জানি,
উপবৃত্তটির উপর \(P(x, y)\) যেকোনো বিন্দু \(P\)-এর উপকেন্দ্রিক কোণ \(\theta\) হলে, \(P\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\), যেখানে \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{ay}{bx}\right)\)
\((5, 0)\) বিন্দুটি \(X\)-অক্ষের ধনাত্মক দিকে অবস্থিত, সুতরাং
\(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{5.0}{2.5}\right)\)\(=\tan^{-1}\left(\frac{0}{10}\right)=\tan^{-1}0=0^{o}\)
\(\therefore (5, 0)\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((5\cos0^{o}, 2\sin0^{o})\)
\((0, 2)\) বিন্দুটি \(Y\)-অক্ষের ধনাত্মক দিকে অবস্থিত, সুতরাং
\(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{5.2}{2.0}\right)\)\(=\tan^{-1}\left(\frac{10}{0}\right)=\tan^{-1}\infty=90^{o}\)
\(\therefore (0, 2)\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((5\cos90^{o}, 2\sin90^{o})\)
\((3, 1.6)\) বিন্দুটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত, সুতরাং \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{5\times 1.6}{2\times 3}\right)\)
\(=\tan^{-1}\left(\frac{8}{6}\right)\)
\(=\tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)=53^{o}\acute 6\)
\(\therefore (3, 1.6)\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((5\cos53^{o}\acute 6, 2\sin53^{o}\acute 6)\)
\((-4, 1.2)\) বিন্দুটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত, সুতরাং \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{5\times 1.2}{2\times -4}\right)\)
\(=\tan^{-1}\left(\frac{6}{-8}\right)\)
\(=-\tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)\)
\(=180^{o}-\tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)\)
\(therefore \theta=143^{o}\acute{7}\)
\(\therefore (-4, 1.2)\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((5\cos\theta, 2\sin\theta)\) যেখানে, \(\theta=143^{o}\acute{7}\)
উদাহরণ \(17.\) উপকেন্দ্র \((1, 0)\) ও \((-1, 0)\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্ব \(3\) বিশিষ্ট উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১১।]
[ কুঃ ২০১১।]
সমাধানঃ
ধরি,
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b).....(1)\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e^2=1-\frac{b^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=1-e^2\)
\(\Rightarrow b^2=a^2(1-e^2) .........(2)\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র \((\pm 1, 0)\)
\(\therefore ae=1\)
\(\Rightarrow e=\frac{1}{a}\)
\(\therefore e^2=\frac{1}{a^2}\)
\(e^2\)-এর এই মাণ \(\)-এ বসিয়ে,
\(b^2=a^2\left(1-\frac{1}{a^2}\right)\)
\(\Rightarrow b^2=a^2\left(\frac{a^2-1}{a^2}\right)\)
\(\Rightarrow b^2=a^2-1 .......(3)\)
আবার,
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(3\)
\(\therefore \frac{2b^2}{a}=3\)
\(\Rightarrow 2b^2=3a\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{3a}{2}\)
\(\Rightarrow a^2-1=\frac{3a}{2}\) ➜ \((3)\) -এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow 2a^2-2=3a\)
\(\Rightarrow 2a^2-3a-2=0\)
\(\Rightarrow 2a^2-4a+a-2=0\)
\(\Rightarrow 2a(a-2)+1(a-2)=0\)
\(\Rightarrow (a-2)(2a+1)=0\)
\(\Rightarrow a-2=0, 2a+1\ne 0\)
\(\Rightarrow a=2\)
\(\therefore a^2=4\)
\((3)\) হতে \(b^2=4-1\)
\(\therefore b^2=3\)
\(a^2, b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1 \)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b).....(1)\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e^2=1-\frac{b^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=1-e^2\)
\(\Rightarrow b^2=a^2(1-e^2) .........(2)\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র \((\pm 1, 0)\)
\(\therefore ae=1\)
\(\Rightarrow e=\frac{1}{a}\)
\(\therefore e^2=\frac{1}{a^2}\)
\(e^2\)-এর এই মাণ \(\)-এ বসিয়ে,
\(b^2=a^2\left(1-\frac{1}{a^2}\right)\)
\(\Rightarrow b^2=a^2\left(\frac{a^2-1}{a^2}\right)\)
\(\Rightarrow b^2=a^2-1 .......(3)\)
আবার,
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(3\)
\(\therefore \frac{2b^2}{a}=3\)
\(\Rightarrow 2b^2=3a\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{3a}{2}\)
\(\Rightarrow a^2-1=\frac{3a}{2}\) ➜ \((3)\) -এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow 2a^2-2=3a\)
\(\Rightarrow 2a^2-3a-2=0\)
\(\Rightarrow 2a^2-4a+a-2=0\)
\(\Rightarrow 2a(a-2)+1(a-2)=0\)
\(\Rightarrow (a-2)(2a+1)=0\)
\(\Rightarrow a-2=0, 2a+1\ne 0\)
\(\Rightarrow a=2\)
\(\therefore a^2=4\)
\((3)\) হতে \(b^2=4-1\)
\(\therefore b^2=3\)
\(a^2, b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1 \)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উদাহরণ \(18.\) উপবৃত্তের বৃহৎ অক্ষ ও ক্ষুদ্র অক্ষকে যথাক্রমে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ ধরে উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর, যার উপকেন্দ্র দুইটির মধ্যকার দূরত্ব \(8\) এবং নিয়ামকরেখা দুইটির লম্ব দূরত্ব \(18\) ।
[ রাঃ ২০১০, ২০০৩।]
[ রাঃ ২০১০, ২০০৩।]
সমাধানঃ
ধরি,
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b).....(1)\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
উপকেন্দ্র দুইটির মধ্যকার দূরত্ব \(=2ae\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র দুইটির মধ্যকার দূরত্ব \(=8\)
\(\therefore 2ae=8\)
\(\Rightarrow e=\frac{8}{2a}\)
\(\Rightarrow e=\frac{4}{a}\)
\(\Rightarrow e^2=\frac{16}{a^2}.......(2)\)
আবার,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e^2=1-\frac{b^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=1-e^2\)
\(\Rightarrow b^2=a^2\left(1-\frac{16}{a^2}\right)\) ➜ \((2)\) -এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow b^2=a^2\left(\frac{a^2-16}{a^2}\right)\)
\(\Rightarrow b^2=a^2-16 ........(3)\)
আবার,
নিয়ামকরেখা দুইটির লম্ব দূরত্ব \(=\frac{2a}{e}\)
দেওয়া আছে,
নিয়ামকরেখা দুইটির লম্ব দূরত্ব \(=18\)
\(\therefore \frac{2a}{e}=18\)
\(\Rightarrow 2a=18e\)
\(\Rightarrow a=9e\)
\(\Rightarrow a^2=81e^2\)
\(\Rightarrow a^2=81\times \frac{16}{a^2}\) ➜ \((2)\) -এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow a^4=81\times 16\)
\(\Rightarrow a^2=\sqrt{81\times 16}\)
\(\Rightarrow a^2=9\times 4\)
\(\Rightarrow a^2=36\)
\((3)\) হতে \(b^2=36-16 \)
\(\therefore b^2=20 \)
\(a^2, b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1 \)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b).....(1)\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
উপকেন্দ্র দুইটির মধ্যকার দূরত্ব \(=2ae\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র দুইটির মধ্যকার দূরত্ব \(=8\)
\(\therefore 2ae=8\)
\(\Rightarrow e=\frac{8}{2a}\)
\(\Rightarrow e=\frac{4}{a}\)
\(\Rightarrow e^2=\frac{16}{a^2}.......(2)\)
আবার,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e^2=1-\frac{b^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=1-e^2\)
\(\Rightarrow b^2=a^2\left(1-\frac{16}{a^2}\right)\) ➜ \((2)\) -এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow b^2=a^2\left(\frac{a^2-16}{a^2}\right)\)
\(\Rightarrow b^2=a^2-16 ........(3)\)
আবার,
নিয়ামকরেখা দুইটির লম্ব দূরত্ব \(=\frac{2a}{e}\)
দেওয়া আছে,
নিয়ামকরেখা দুইটির লম্ব দূরত্ব \(=18\)
\(\therefore \frac{2a}{e}=18\)
\(\Rightarrow 2a=18e\)
\(\Rightarrow a=9e\)
\(\Rightarrow a^2=81e^2\)
\(\Rightarrow a^2=81\times \frac{16}{a^2}\) ➜ \((2)\) -এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow a^4=81\times 16\)
\(\Rightarrow a^2=\sqrt{81\times 16}\)
\(\Rightarrow a^2=9\times 4\)
\(\Rightarrow a^2=36\)
\((3)\) হতে \(b^2=36-16 \)
\(\therefore b^2=20 \)
\(a^2, b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1 \)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উদাহরণ \(19.\) উপবৃত্তের বৃহৎ অক্ষ ও ক্ষুদ্র অক্ষকে যথাক্রমে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ ধরে উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর, যার উপকেন্দ্রদ্বয় \((\pm 2, 0)\) এবং বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=8\) ।
[ দিঃ ২০১১;চঃ ২০০৩।]
[ দিঃ ২০১১;চঃ ২০০৩।]
সমাধানঃ
ধরি,
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b).....(1)\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র \((\pm 2, 0)\)
\(\therefore ae=2\)
\(\Rightarrow e=\frac{2}{a}\)
\(\therefore e^2=\frac{4}{a^2} .......(2)\)
আবার,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e^2=1-\frac{b^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=1-e^2\)
\(\Rightarrow b^2=a^2\left(1-\frac{4}{a^2}\right)\) ➜ \((2)\) -এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow b^2=a^2\left(\frac{a^2-4}{a^2}\right)\)
\(\Rightarrow b^2=a^2-4 ........(3)\)
বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র দুইটির মধ্যকার দূরত্ব \(=8\)
\(\therefore 2a=8\)
\(\Rightarrow a=4\)
\(\Rightarrow a^2=16\)
আবার,
\((3)\) হতে \(b^2=16-4 \)
\(\therefore b^2=12 \)
\(a^2, b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1 \)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b).....(1)\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র \((\pm 2, 0)\)
\(\therefore ae=2\)
\(\Rightarrow e=\frac{2}{a}\)
\(\therefore e^2=\frac{4}{a^2} .......(2)\)
আবার,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e^2=1-\frac{b^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=1-e^2\)
\(\Rightarrow b^2=a^2\left(1-\frac{4}{a^2}\right)\) ➜ \((2)\) -এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow b^2=a^2\left(\frac{a^2-4}{a^2}\right)\)
\(\Rightarrow b^2=a^2-4 ........(3)\)
বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র দুইটির মধ্যকার দূরত্ব \(=8\)
\(\therefore 2a=8\)
\(\Rightarrow a=4\)
\(\Rightarrow a^2=16\)
আবার,
\((3)\) হতে \(b^2=16-4 \)
\(\therefore b^2=12 \)
\(a^2, b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1 \)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উদাহরণ \(24.\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র দুইটি \(S(2, 0)\) ও \(\acute S(-2, 0)\) এবং যা \(P\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{15}}{2}\right)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
সমাধানঃ
ধরি,
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b).....(1)\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র \((\pm 2, 0)\)
\(\therefore ae=2\)
\(\Rightarrow e=\frac{2}{a}\)
\(\therefore e^2=\frac{4}{a^2} .......(2)\)
আবার,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e^2=1-\frac{b^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=1-e^2\)
\(\Rightarrow b^2=a^2\left(1-\frac{4}{a^2}\right)\) ➜ \((2)\) -এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow b^2=a^2\left(\frac{a^2-4}{a^2}\right)\)
\(\Rightarrow b^2=a^2-4 ........(3)\)
\((1)\) নং উপবৃত্ত \(P\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{15}}{2}\right)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore \frac{\left(\frac{3}{2}\right)^2}{a^2}+\frac{\left(\frac{\sqrt{15}}{2}\right)^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{\frac{9}{4}}{a^2}+\frac{\frac{15}{4}}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{9}{4a^2}+\frac{15}{4b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{9}{4a^2}+\frac{15}{4(a^2-4)}=1 \) ➜ \((3)\) -এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}+\frac{15}{(a^2-4)}=4 \) ➜ উভয় পার্শে \(4\) গুণ করে।
\(\Rightarrow \frac{9a^2-36+15a^2}{a^2(a^2-4)}=4 \)
\(\Rightarrow \frac{24a^2-36}{a^2(a^2-4)}=4 \)
\(\Rightarrow \frac{4(6a^2-9)}{a^2(a^2-4)}=4 \)
\(\Rightarrow \frac{6a^2-9}{a^2(a^2-4)}=1 \) ➜ উভয় পার্শে \(4\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow a^2(a^2-4)=6a^2-9 \)
\(\Rightarrow a^4-4a^2=6a^2-9 \)
\(\Rightarrow a^4-4a^2-6a^2+9=0 \)
\(\Rightarrow a^4-10a^2+9=0 \)
\(\Rightarrow a^4-9a^2-a^2+9=0 \)
\(\Rightarrow a^2(a^2-9)-1(a^2-9)=0 \)
\(\Rightarrow (a^2-9)(a^2-1)=0 \)
\(\Rightarrow a^2-9=0, a^2-1\ne 0 \)
\(\Rightarrow a^2=9\)
\((3)\) হতে \(b^2=9-4 \)
\(\Rightarrow b^2=5 \)
\(a^2, b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1 \)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b).....(1)\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র \((\pm 2, 0)\)
\(\therefore ae=2\)
\(\Rightarrow e=\frac{2}{a}\)
\(\therefore e^2=\frac{4}{a^2} .......(2)\)
আবার,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e^2=1-\frac{b^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=1-e^2\)
\(\Rightarrow b^2=a^2\left(1-\frac{4}{a^2}\right)\) ➜ \((2)\) -এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow b^2=a^2\left(\frac{a^2-4}{a^2}\right)\)
\(\Rightarrow b^2=a^2-4 ........(3)\)
\((1)\) নং উপবৃত্ত \(P\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{15}}{2}\right)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore \frac{\left(\frac{3}{2}\right)^2}{a^2}+\frac{\left(\frac{\sqrt{15}}{2}\right)^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{\frac{9}{4}}{a^2}+\frac{\frac{15}{4}}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{9}{4a^2}+\frac{15}{4b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{9}{4a^2}+\frac{15}{4(a^2-4)}=1 \) ➜ \((3)\) -এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}+\frac{15}{(a^2-4)}=4 \) ➜ উভয় পার্শে \(4\) গুণ করে।
\(\Rightarrow \frac{9a^2-36+15a^2}{a^2(a^2-4)}=4 \)
\(\Rightarrow \frac{24a^2-36}{a^2(a^2-4)}=4 \)
\(\Rightarrow \frac{4(6a^2-9)}{a^2(a^2-4)}=4 \)
\(\Rightarrow \frac{6a^2-9}{a^2(a^2-4)}=1 \) ➜ উভয় পার্শে \(4\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow a^2(a^2-4)=6a^2-9 \)
\(\Rightarrow a^4-4a^2=6a^2-9 \)
\(\Rightarrow a^4-4a^2-6a^2+9=0 \)
\(\Rightarrow a^4-10a^2+9=0 \)
\(\Rightarrow a^4-9a^2-a^2+9=0 \)
\(\Rightarrow a^2(a^2-9)-1(a^2-9)=0 \)
\(\Rightarrow (a^2-9)(a^2-1)=0 \)
\(\Rightarrow a^2-9=0, a^2-1\ne 0 \)
\(\Rightarrow a^2=9\)
\((3)\) হতে \(b^2=9-4 \)
\(\Rightarrow b^2=5 \)
\(a^2, b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1 \)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উদাহরণ \(26.\) মুখ্য অক্ষদ্বয়কে স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয় ধরে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার ক্ষুদ্র অক্ষ উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্বের সমান এবং যার উপকেন্দ্রিক লম্ব \(10\) একক।
সমাধানঃ
ধরি,
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b).....(1)\)
ক্ষুদ্র অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্বে \(=2ae\)
শর্তমতে,
\(2ae=2b\)
\(\Rightarrow ae=b\)
\(\Rightarrow e=\frac{b}{a}\)
\(\therefore e^2=\frac{b^2}{a^2} .......(2)\)
আবার,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=1-\frac{b^2}{a^2}\) ➜ \((2)\) -এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}+\frac{b^2}{a^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{2b^2}{a^2}=1\)
\(\therefore 2b^2=a^2 ........(3)\)
আবার,
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=10\)
\(\therefore \frac{2b^2}{a}=10\)
\(\Rightarrow 2b^2=10a\)
\(\Rightarrow a^2=10a\) ➜ \((3)\) -এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow a^2-10a=0\)
\(\Rightarrow a(a-10)=0\)
\(\Rightarrow a\ne 0, a-10=0\)
\(\Rightarrow a\ne 0, a=10\)
\(\Rightarrow a^2=100\)
\((3)\) হতে \(2b^2=100 \)
\(\Rightarrow b^2=50 \)
\(a^2, b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{50}=1 \)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b).....(1)\)
ক্ষুদ্র অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্বে \(=2ae\)
শর্তমতে,
\(2ae=2b\)
\(\Rightarrow ae=b\)
\(\Rightarrow e=\frac{b}{a}\)
\(\therefore e^2=\frac{b^2}{a^2} .......(2)\)
আবার,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=1-\frac{b^2}{a^2}\) ➜ \((2)\) -এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}+\frac{b^2}{a^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{2b^2}{a^2}=1\)
\(\therefore 2b^2=a^2 ........(3)\)
আবার,
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=10\)
\(\therefore \frac{2b^2}{a}=10\)
\(\Rightarrow 2b^2=10a\)
\(\Rightarrow a^2=10a\) ➜ \((3)\) -এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow a^2-10a=0\)
\(\Rightarrow a(a-10)=0\)
\(\Rightarrow a\ne 0, a-10=0\)
\(\Rightarrow a\ne 0, a=10\)
\(\Rightarrow a^2=100\)
\((3)\) হতে \(2b^2=100 \)
\(\Rightarrow b^2=50 \)
\(a^2, b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{50}=1 \)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
অনুশীলনী \(5.B\) / \(Q.1\)-এর অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
\(Q.1.(i)(a) - Q.1.(i)(z)\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ ধরে নিম্নের প্রদত্ত শর্তানুসারে উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\(Q.1.(i)(a)\) যার উপকেন্দ্র \((-3, 0)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\) ।উত্তরঃ \(8x^2+9y^2=648\)
\(Q.1.(i)(b)\) যার উপকেন্দ্র \((0, \pm 8)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{8}{9}\) ।
[ যঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{17}+\frac{y^2}{81}=1\)
\(Q.1.(i)(c)\) যার ফোকাস \((3, 0)\) দ্বিকাক্ষ \(x=5 \) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{2}\) ।
উত্তরঃ \(3x^2+4y^2-14x+11=0\)
\(Q.1.(i)(d)\) যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{2}{3}\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(5\) ।
[ চঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \(20x^2+36y^2=405\)
\(Q.1.(i)(e)\) যা \((0, 2\sqrt{2})\) এবং \((-3, 0)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
[ সিঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1\)
\(Q.1.(i)(f)\) যা \((1, \sqrt{6})\) এবং \((3, 0)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
[ সিঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \(3x^2+4y^2=27\)
\(Q.1.(i)(g)\) যা \((2, 4)\) এবং \((5, \sqrt{2})\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
[ সিঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \(3x^2+4y^2=27\)
\(Q.1.(i)(h)\) যা \((1, \sqrt{6})\) এবং \((3, 0)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
[ সিঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \(3x^2+4y^2=27\)
\(Q.1.(i)(i)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 4, 0)\) এবং শীর্ষ \((\pm 5, 0)\) ।
উত্তরঃ \(9x^2+25y^2=225\)
\(Q.1.(i)(j)\) যার শীর্ষ \((\pm 10, 0)\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=5\) ।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{10^2}+\frac{y^2}{5^2}=1\)
\(Q.1.(i)(k)\) যার উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(8\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)।
[ চঃ ২০০৫;ঢাঃ ২০১১,২০০৫;রাঃ২০১১,২০০৬;সিঃ২০১৫;যঃ২০১১;দিঃ২০১৩,২০১০ ]
উত্তরঃ \(x^2+2y^2=64\)
\(Q.1.(i)(l)\) যার উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(8\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\)।
[ চঃ ২০০৫;ঢাঃ ২০১১,২০০৫;রাঃ২০১১,২০০৬;সিঃ২০১৫;যঃ২০১১;দিঃ২০১৩,২০১০ ]
উত্তরঃ \(\frac{4x^2}{81}+\frac{y^2}{18}=1\)
\(Q.1.(i)(m)\) যার ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{5}}\)।
[কুঃ২০১৩;যঃ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(4x^2+5y^2=5\)
\(Q.1.(i)(n)\) যার বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(12\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\)।
[কুঃ২০১৩;যঃ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{32}=1\)
\(Q.1.(i)(o)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 1, 0)\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(3\) ।
[কুঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(3x^2+4y^2=12\)
\(Q.1.(i)(p)\) যার কেন্দ্র \((-1, -1)\) , শীর্ষ \((5, -1)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{2}{3}\)।
[কুঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(\frac{(x+1)^2}{36}+\frac{(y+1)^2}{20}=1\)
\(Q.1.(i)(q)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 3, 0)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\) ।
[ যঃ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{72}=1\)
\(Q.1.(i)(r)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 5, 0)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{5}{8}\) ।
[ যঃ২০০৫]
উত্তরঃ \(39x^2+64y^2=2496\)
\(Q.1.(i)(s)\) যা \((1, 4)\) এবং \((-6, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
[ সিঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \(3x^2+7y^2=115\)
\(Q.1.(i)(t)\) যা \((1, -2)\) এবং \((0, 3)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
[ সিঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \(5x^2+y^2=9\)
\(Q.1.(i)(u)\) যার বৃহদাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((\pm 3, 0)\) এবং ক্ষুদ্রাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((0, \pm 2)\) ।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)
\(Q.1.(i)(v)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 5, 0)\) এবং বৃহদাক্ষ \(16\) ।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{39}=1\)
\(Q.1.(i)(w)\) যার বৃহদাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((0, \pm \sqrt{5})\) এবং ক্ষুদ্রাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((\pm 1, 0)\) ।
উত্তরঃ \(x^2+\frac{y^2}{5}=1\)
\(Q.1.(i)(x)\) যার উপকেন্দ্র \((0, \pm 6)\) এবং ক্ষুদ্রাক্ষ \(16\) ।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{100}=1\)
\(Q.1.(i)(y)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 1, 0)\) এবং \(b=\sqrt{2}\) ।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1\)
\(Q.1.(i)(z)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 1, 0)\) এবং \(a=4\) ।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{15}=1\)
\(Q.1.(ii)(a) - Q.1.(ii)(k)\) নিম্নলিখিত উপবৃত্তগুলির উৎকেন্দ্রতা, ফোকাসের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ এবং দিকাক্ষের সমীকরণ, বৃহদাক্ষ ও ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\(Q.1.(ii)(a)\) \(3x^2+4y^2=12\)[ ঢাঃ,কুঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \( \frac{1}{2}; (\pm 1, 0); 3;\)\( x=\pm 1; x=\pm 4; 2\sqrt{3},4\)
\(Q.1.(ii)(b)\) \(9x^2+25y^2=225\)
[ সিঃ২০০৭; বঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \( \frac{4}{5}; (\pm 4, 0); \frac{18}{5};\)\( x=\pm 4; 4x=\pm 25; 6,10\)
\(Q.1.(ii)(c)\) \(2x^2+3y^2=1\)
[ ঢাঃ ২০০৬;যঃ২০০৪; সিঃ ২০১১;বঃ২০০৩ ]
উত্তরঃ \( \frac{1}{\sqrt{3}}; (\pm \frac{1}{\sqrt{6}}, 0); \frac{2\sqrt{2}}{3};\)
\( \sqrt{6}x=\pm 1; \sqrt{2}x=\pm \sqrt{3}; \sqrt{2}, \frac{2}{\sqrt{3}}\)
\(Q.1.(ii)(d)\) \(4x^2+5y^2=20\)
উত্তরঃ \( \frac{3}{5}; (\pm 3, 0); \frac{32}{5};\)\( x=\pm 3; 3x=\pm 25; 10,8\)
\(Q.1.(ii)(e)\) \(8x^2+9y^2=162\)
উত্তরঃ \( \frac{1}{3}; (\pm 1, 0); \frac{16}{3};\)\( x=\pm 1; x=\pm 9; 6,4\sqrt{2}\)
\(Q.1.(ii)(f)\) \(9x^2+16y^2=144\)
উত্তরঃ \( \frac{\sqrt{7}}{4}; (\pm \sqrt{7}, 0); \frac{9}{2};\)\( x=\pm \sqrt{7}; \sqrt{7}x=\pm 16; 8,6\)
\(Q.1.(ii)(g)\) \(5x^2+4y^2=1\)
উত্তরঃ \( \frac{1}{\sqrt{5}}; (0, \pm 1); \frac{4}{5};\)
\( y=\pm 1; 2y=\pm \sqrt{5}; \frac{2}{\sqrt{5}},1\)
\(Q.1.(ii)(h)\) \(25x^2+16y^2=400\)
[ঢাঃ ২০০৯,২০০২;কুঃ২০০৯; সিঃ ২০০৬,২০০৪;বঃ২০০৬,২০০৪;দিঃ২০১২ ]
উত্তরঃ \( \frac{3}{\sqrt{5}}; (0, \pm 3); \frac{32}{5};\)\( y=\pm 3; 3y=\pm 25; 10,8\)
\(Q.1.(ii)(i)\) \(16x^2+25y^2=400\)
[রাঃ ২০০৫;কুঃ২০০৫ ]
উত্তরঃ \( \frac{3}{\sqrt{5}}; (\pm 3, 0); \frac{32}{5};\)\( x=\pm 3; 3x=\pm 25; 10,8\)
\(Q.1.(ii)(j)\) \(4x^2+9y^2=36\)
উত্তরঃ \( \frac{\sqrt{5}}{3}; (\pm \sqrt{5}, 0); \frac{8}{3};\)\( x=\pm \sqrt{5}; \sqrt{5}x=\pm 9; 6,4\)
\(Q.1.(ii)(k)\) \(\frac{x^2}{\sqrt{2}}+\frac{y^2}{2}=2\)
উত্তরঃ \( \sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}; (0, \pm \sqrt{4-2\sqrt{2}}); 2\sqrt{2};\)
\( y=\pm \sqrt{4-2\sqrt{2}}; (2-\sqrt{2})x=\pm 2\sqrt{2}; 4,2\sqrt{2\sqrt{2}}\)
\(Q.1.(iii)(a) - Q.1.(iii)(g)\) \(\frac{x^2}{A}+\frac{y^2}{B}=1\) (যখন \(A, B>0 \)) আকারের উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার-
\(Q.1.(iii)(a)\) বৃহদাক্ষ \(=20\), ক্ষুদ্রাক্ষ \(=12\), বৃহদাক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর।উত্তরঃ \(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{100}=1\)
\(Q.1.(iii)(b)\) বৃহদাক্ষ \(=10\), কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=4\), বৃহদাক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1\)
\(Q.1.(iii)(c)\) বৃহদাক্ষ \(=8\), ক্ষুদ্রাক্ষ \(=6\), বৃহদাক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)
\(Q.1.(iii)(d)\) বৃহদাক্ষ \(=24\), কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=10\), বৃহদাক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{144}+\frac{y^2}{44}=1\)
\(Q.1.(iii)(e)\) বৃহদাক্ষ \(=24\), ক্ষুদ্রাক্ষ \(=18\), বৃহদাক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{144}=1\)
\(Q.1.(iii)(f)\) বৃহদাক্ষ \(=20\), কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=\sqrt{70}\), বৃহদাক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{30}+\frac{y^2}{100}=1\)
\(Q.1.(iii)(g)\) বৃহদাক্ষ \(=14\), কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=\sqrt{20}\), বৃহদাক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{29}=1\)
\(Q.1.(iv)\) \(p\)-এর মাণ কত হলে \(px^{2}+4y^2=1\) উপবৃত্তটি \((\pm 1, 0)\) বিন্দু দিয়ে যাবে? উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা ও অক্ষ দুইটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৯, ২০০৫,২০১২; বঃ ২০০৯,২০০৫,২০১২; রাঃ ২০০৮;মাঃ ২০১৪,২০১১]
উত্তরঃ \(p=1\); উৎকেন্দ্রিকতা \(=\frac{\sqrt{3}}{2}\); অক্ষ দুইটির দৈর্ঘ্য \(2, 1\)
\(Q.1.(v)\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে \((1, \sqrt{6})\) এবং \((3, 0)\) বিন্দুগামী উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০২, সিঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(3x^2+4y^2=27\)
\(Q.1.(vi)\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(8\)।
[ ঢাঃ, চঃ ২০০৫,রাঃ ২০০৬ ]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{18}=1\)
\(Q.1.(vii)\) একটি উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{4}{5}\) এবং তা \((\frac{10}{3}, \sqrt{5})\) বিন্দু দিয়ে গমন করে। উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৭,সিঃ ২০০১ ]
উত্তরঃ \(9x^2+25y^2=225\)
\(Q.1.(viii)\) দেখাও যে, \(20x^2+36y^2+40x-108y-79=0\) একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে।
\(Q.1.(ix)\) দেখাও যে, \(5x^2+9y^2-30x=0\) একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে। এর উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \((1, 0), (5, 0)\)
\(Q.1.(x)\) একটি উপবৃত্ত \(\frac{x}{9}+\frac{y}{4}=1\) রেখাকে \(X\) অক্ষের উপর এবং \(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1\) রেখাকে \(Y\) অক্ষের উপর ছেদ করে। তার সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{9}=1; (\pm 2\sqrt{19}, 0)\)
\(Q.1.(xi)\) প্রমাণ কর যে, \(y=x-5\) রেখাটি \(9x^2+16y^2=144\) উপবৃত্তকে স্পর্শ করে। স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ,চঃ ২০০৪]
উত্তরঃ \((\frac{16}{5}, -\frac{9}{5})\)
\(Q.1.(xii)\) কোনো উপবৃত্তের একটি ফকাস এবং এর অনুরূপ দিকাক্ষের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(16\) এবং এর উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{3}{5}\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়ের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(30, 24\)
\(Q.1.(xiii)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(8\) এবং দিকাক্ষ দুইটি \(18\) একক দূরত্বে অবস্থিত।
[ রাঃ ২০০২,২০০৩]
উত্তরঃ \(5x^2+9y^2=180 \)
\(Q.1.(xiv)\) কোনো উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্ব উপবৃত্তটির ক্ষুদ্র অক্ষের অর্ধেক । উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০০১১]
উত্তরঃ \(e=\frac{\sqrt{3}}{2} \)
\(Q.1.(xv)\) \(5x^2+9y^2-20x=25\) উপবৃত্তটির কেন্দ্র এবং উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০২;চঃ,সিঃ ২০০৮;বঃ২০০৬; কুঃ২০০৭ ]
উত্তরঃ \((2, 0); (0, 0), (4, 0)\)
\(Q.1.(xvi)\) \(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{p}=1\) উপবৃত্তটি \((4, 6)\) বিন্দু দিয়ে গমন করলে \(p\)-এর মাণ নির্ণয় কর। ইহার উৎকেন্দ্রিকতা ও উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০১৩,বঃ২০০৭ ।]
উত্তরঃ \(p=100; e=\frac{\sqrt{3}}{2}, (0, \pm 5\sqrt{3})\)
\(Q.1.(xvii)\) উপবৃত্তের অক্ষ দুইটিকে \(X\) ও \(Y\)-অক্ষ ধরে \((2, 4)\) ও \((5, \sqrt{2})\) বিন্দুগামী উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(2x^2+3y^2=56\)
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{5}=1\)
\(Q.1.(xviii)(b)\) \((4\cos\theta, 5\sin\theta)\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1\)
\(Q.1.(xviii)(c)\) \((\sqrt{2}\cos\theta, \sqrt{3}\sin\theta)\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}=1\)
\(Q.1.(xviii)(d)\) \((\cos\theta, 2\sin\theta)\)।
উত্তরঃ \(x^2+\frac{y^2}{4}=1\)
\(Q.1.(xix)\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে মূখ্য অক্ষ বিবেচনা করে উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\pm 2, 0)\) এবং বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(16\) ।
উত্তরঃ \(15x^2+16y^2=960\)
\(Q.1.(xx)\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে মূখ্য অক্ষ বিবেচনা করে উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((1, -1)\) ও \((-2, 2)\) এবং বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(8\) ।
উত্তরঃ \(55x^2+55y^2+18xy+46x-46y-713=0\)
\(Q.1.(xxi)\) কোনো উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্ব উপবৃত্তটির বৃহৎ অক্ষের অর্ধেক । উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০০১১]
উত্তরঃ \(e=\frac{1}{\sqrt{2}} \)
\(Q.1.(xxii)\) \(\frac{x^2}{p}+\frac{y^2}{25}=1\) উপবৃত্তটি \((6, 4)\) বিন্দু দিয়ে গমন করলে \(p\)-এর মাণ নির্ণয় কর। ইহার উৎকেন্দ্রিকতা ও উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ,রাঃ,সিঃ ২০১২,দিঃ২০১১,২০০৯ ।]
উত্তরঃ \(p=100; e=\frac{\sqrt{3}}{2}, (\pm 5\sqrt{3}, 0)\)
\(Q.1.(xxiii)\) \((-3, 0)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(8\) ও \(6\) এবং এর বৃহদাক্ষ \(x\) অক্ষের সমান্তরাল উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(9x^2+16y^2+54x-63=0\)
\(Q.1.(xxiv)\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\pm 2, 0)\) এবং বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(8\) ।
[ চঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1\)
\(Q.1.(xxv)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার ফোকাস \((-1, 1)\), উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{2}\) এবং দ্বিকাক্ষ \(x-y=0 \)।
[ চঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(7x^2+7y^2+2xy+16x-16y+16=0\)
\(Q.1.(xxvi)\) কোনো উপবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাংক \((-1, -1)\) ও \((1, 1)\) এবং তার বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2\sqrt{3}\) এর সমান; উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ২০০০-২০০১]
উত্তরঃ \(2x^2+2y^2-2xy-3=0\)
\(Q.1.(xxvii)\) একটি উপবৃত্তের অক্ষ দুইটি স্থানাঙ্কের অক্ষ দুইটির উপর অবস্থিত। উপবৃত্তটি \(5x+9y=45\) রেখাকে \(X\) অক্ষের উপর এবং \(7x+5y=36\) রেখাকে \(Y\) অক্ষের উপর ছেদ করে। তার উৎকেন্দ্রতা এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[বুয়েটঃ২০০৭-২০০৮]
উত্তরঃ \(\frac{3}{5}; (\pm \frac{27}{5}, 0)\)
\(Q.1.(xxviii)\) একটি উপবৃত্তের অক্ষ দুইটি স্থানাঙ্কের অক্ষ দুইটির উপর অবস্থিত। উপবৃত্তটি \(3x+2y-9=0\) সরলরেখাটি উপবৃত্তটিকে অক্ষদ্বয়ের উপর ছেদ করে। উপবৃত্তটির সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[টেক্সটাইলঃ২০০৪-২০০৫]
উত্তরঃ \( 9x^2+4y^2=81; (0, \pm \frac{\sqrt{45}}{2})\)
\(Q.1.(xxix)\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\) এবং বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(12\)।
[কুঃ ২০০১,যঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(8x^2+9y^2=288\)
\(Q.1.(xxx)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র দ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((3, -1)\) এবং \((1, -1)\) ও বৃহদাক্ষ \(=2\sqrt{5}\)।
উত্তরঃ \(4x^2+5y^2-16x+10y+1=0\)
\(Q.1.(xxxi)\) একটি উপবৃত্তের বৃহৎ ও ক্ষুদ্র অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ ধরে উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{\sqrt{2}}{5}\) এবং যা \((-3, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
উত্তরঃ \(3x^2+5y^2=32\)
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{30}+\frac{y^2}{100}=1\)
\(Q.1.(iii)(g)\) বৃহদাক্ষ \(=14\), কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=\sqrt{20}\), বৃহদাক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{29}=1\)
\(Q.1.(iv)\) \(p\)-এর মাণ কত হলে \(px^{2}+4y^2=1\) উপবৃত্তটি \((\pm 1, 0)\) বিন্দু দিয়ে যাবে? উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা ও অক্ষ দুইটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৯, ২০০৫,২০১২; বঃ ২০০৯,২০০৫,২০১২; রাঃ ২০০৮;মাঃ ২০১৪,২০১১]
উত্তরঃ \(p=1\); উৎকেন্দ্রিকতা \(=\frac{\sqrt{3}}{2}\); অক্ষ দুইটির দৈর্ঘ্য \(2, 1\)
\(Q.1.(v)\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে \((1, \sqrt{6})\) এবং \((3, 0)\) বিন্দুগামী উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০২, সিঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(3x^2+4y^2=27\)
\(Q.1.(vi)\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(8\)।
[ ঢাঃ, চঃ ২০০৫,রাঃ ২০০৬ ]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{18}=1\)
\(Q.1.(vii)\) একটি উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{4}{5}\) এবং তা \((\frac{10}{3}, \sqrt{5})\) বিন্দু দিয়ে গমন করে। উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৭,সিঃ ২০০১ ]
উত্তরঃ \(9x^2+25y^2=225\)
\(Q.1.(viii)\) দেখাও যে, \(20x^2+36y^2+40x-108y-79=0\) একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে।
\(Q.1.(ix)\) দেখাও যে, \(5x^2+9y^2-30x=0\) একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে। এর উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \((1, 0), (5, 0)\)
\(Q.1.(x)\) একটি উপবৃত্ত \(\frac{x}{9}+\frac{y}{4}=1\) রেখাকে \(X\) অক্ষের উপর এবং \(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1\) রেখাকে \(Y\) অক্ষের উপর ছেদ করে। তার সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{9}=1; (\pm 2\sqrt{19}, 0)\)
\(Q.1.(xi)\) প্রমাণ কর যে, \(y=x-5\) রেখাটি \(9x^2+16y^2=144\) উপবৃত্তকে স্পর্শ করে। স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ,চঃ ২০০৪]
উত্তরঃ \((\frac{16}{5}, -\frac{9}{5})\)
\(Q.1.(xii)\) কোনো উপবৃত্তের একটি ফকাস এবং এর অনুরূপ দিকাক্ষের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(16\) এবং এর উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{3}{5}\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়ের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(30, 24\)
\(Q.1.(xiii)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(8\) এবং দিকাক্ষ দুইটি \(18\) একক দূরত্বে অবস্থিত।
[ রাঃ ২০০২,২০০৩]
উত্তরঃ \(5x^2+9y^2=180 \)
\(Q.1.(xiv)\) কোনো উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্ব উপবৃত্তটির ক্ষুদ্র অক্ষের অর্ধেক । উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০০১১]
উত্তরঃ \(e=\frac{\sqrt{3}}{2} \)
\(Q.1.(xv)\) \(5x^2+9y^2-20x=25\) উপবৃত্তটির কেন্দ্র এবং উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০২;চঃ,সিঃ ২০০৮;বঃ২০০৬; কুঃ২০০৭ ]
উত্তরঃ \((2, 0); (0, 0), (4, 0)\)
\(Q.1.(xvi)\) \(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{p}=1\) উপবৃত্তটি \((4, 6)\) বিন্দু দিয়ে গমন করলে \(p\)-এর মাণ নির্ণয় কর। ইহার উৎকেন্দ্রিকতা ও উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০১৩,বঃ২০০৭ ।]
উত্তরঃ \(p=100; e=\frac{\sqrt{3}}{2}, (0, \pm 5\sqrt{3})\)
\(Q.1.(xvii)\) উপবৃত্তের অক্ষ দুইটিকে \(X\) ও \(Y\)-অক্ষ ধরে \((2, 4)\) ও \((5, \sqrt{2})\) বিন্দুগামী উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(2x^2+3y^2=56\)
\(Q.1.(xviii)(a) - Q.1.(xviii)(d)\) কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে উপবৃত্তের পরামিতিক স্থানাঙ্ক দেওয়া আছে, উপবৃত্তগুলির প্রমিত সমীকরণ নির্ণয় কর। যেখানে \(\theta\) হলো কোনো বিন্দুর উপকেন্দ্রিক কোণ।
\(Q.1.(xviii)(a)\) \((4\cos\theta, \sqrt{5}\sin\theta)\)।উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{5}=1\)
\(Q.1.(xviii)(b)\) \((4\cos\theta, 5\sin\theta)\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1\)
\(Q.1.(xviii)(c)\) \((\sqrt{2}\cos\theta, \sqrt{3}\sin\theta)\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}=1\)
\(Q.1.(xviii)(d)\) \((\cos\theta, 2\sin\theta)\)।
উত্তরঃ \(x^2+\frac{y^2}{4}=1\)
\(Q.1.(xix)\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে মূখ্য অক্ষ বিবেচনা করে উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\pm 2, 0)\) এবং বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(16\) ।
উত্তরঃ \(15x^2+16y^2=960\)
\(Q.1.(xx)\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে মূখ্য অক্ষ বিবেচনা করে উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((1, -1)\) ও \((-2, 2)\) এবং বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(8\) ।
উত্তরঃ \(55x^2+55y^2+18xy+46x-46y-713=0\)
\(Q.1.(xxi)\) কোনো উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্ব উপবৃত্তটির বৃহৎ অক্ষের অর্ধেক । উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০০১১]
উত্তরঃ \(e=\frac{1}{\sqrt{2}} \)
\(Q.1.(xxii)\) \(\frac{x^2}{p}+\frac{y^2}{25}=1\) উপবৃত্তটি \((6, 4)\) বিন্দু দিয়ে গমন করলে \(p\)-এর মাণ নির্ণয় কর। ইহার উৎকেন্দ্রিকতা ও উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ,রাঃ,সিঃ ২০১২,দিঃ২০১১,২০০৯ ।]
উত্তরঃ \(p=100; e=\frac{\sqrt{3}}{2}, (\pm 5\sqrt{3}, 0)\)
\(Q.1.(xxiii)\) \((-3, 0)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(8\) ও \(6\) এবং এর বৃহদাক্ষ \(x\) অক্ষের সমান্তরাল উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(9x^2+16y^2+54x-63=0\)
\(Q.1.(xxiv)\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\pm 2, 0)\) এবং বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(8\) ।
[ চঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1\)
\(Q.1.(xxv)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার ফোকাস \((-1, 1)\), উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{2}\) এবং দ্বিকাক্ষ \(x-y=0 \)।
[ চঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(7x^2+7y^2+2xy+16x-16y+16=0\)
\(Q.1.(xxvi)\) কোনো উপবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাংক \((-1, -1)\) ও \((1, 1)\) এবং তার বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2\sqrt{3}\) এর সমান; উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ২০০০-২০০১]
উত্তরঃ \(2x^2+2y^2-2xy-3=0\)
\(Q.1.(xxvii)\) একটি উপবৃত্তের অক্ষ দুইটি স্থানাঙ্কের অক্ষ দুইটির উপর অবস্থিত। উপবৃত্তটি \(5x+9y=45\) রেখাকে \(X\) অক্ষের উপর এবং \(7x+5y=36\) রেখাকে \(Y\) অক্ষের উপর ছেদ করে। তার উৎকেন্দ্রতা এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[বুয়েটঃ২০০৭-২০০৮]
উত্তরঃ \(\frac{3}{5}; (\pm \frac{27}{5}, 0)\)
\(Q.1.(xxviii)\) একটি উপবৃত্তের অক্ষ দুইটি স্থানাঙ্কের অক্ষ দুইটির উপর অবস্থিত। উপবৃত্তটি \(3x+2y-9=0\) সরলরেখাটি উপবৃত্তটিকে অক্ষদ্বয়ের উপর ছেদ করে। উপবৃত্তটির সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[টেক্সটাইলঃ২০০৪-২০০৫]
উত্তরঃ \( 9x^2+4y^2=81; (0, \pm \frac{\sqrt{45}}{2})\)
\(Q.1.(xxix)\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\) এবং বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(12\)।
[কুঃ ২০০১,যঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(8x^2+9y^2=288\)
\(Q.1.(xxx)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র দ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((3, -1)\) এবং \((1, -1)\) ও বৃহদাক্ষ \(=2\sqrt{5}\)।
উত্তরঃ \(4x^2+5y^2-16x+10y+1=0\)
\(Q.1.(xxxi)\) একটি উপবৃত্তের বৃহৎ ও ক্ষুদ্র অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ ধরে উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{\sqrt{2}}{5}\) এবং যা \((-3, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
উত্তরঃ \(3x^2+5y^2=32\)
\(Q.1.(i)(a) - Q.1.(i)(z)\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ ধরে নিম্নের প্রদত্ত শর্তানুসারে উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\(Q.1.(i)(a)\) যার উপকেন্দ্র \((-3, 0)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\) ।
উত্তরঃ \(8x^2+9y^2=648\)
উত্তরঃ \(8x^2+9y^2=648\)
সমাধানঃ
ধরি, 
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
যার উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} .........(2)\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র \((-3, 0)\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{1}{3}\)
\(\therefore (-ae, 0)\Rightarrow (-3, 0)\)
\(\Rightarrow -ae=-3\)
\(\Rightarrow ae=3\)
\(\Rightarrow a\times \frac{1}{3}=3\) ➜ \(\because e=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow a=9\)
\(\therefore a^2=81\)
আবার,
\((2)\) হতে,
\(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{3}=\sqrt{1-\frac{b^2}{81}}\) ➜ \(\because e=\frac{1}{3}, a^2=81\)
\(\Rightarrow \frac{1}{3}=\sqrt{\frac{81-b^2}{81}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{3}=\frac{\sqrt{81-b^2}}{9}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{3}\times 9=\sqrt{81-b^2}\)
\(\Rightarrow 3=\sqrt{81-b^2}\)
\(\Rightarrow 9=81-b^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow b^2=81-9\)
\(\therefore b^2=72\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{9^2}+\frac{y^2}{72}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{72}=1\)
\(\Rightarrow \frac{8x^2+9y^2}{648}=1\)
\(\therefore 8x^2+9y^2=648\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
যার উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} .........(2)\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র \((-3, 0)\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{1}{3}\)
\(\therefore (-ae, 0)\Rightarrow (-3, 0)\)
\(\Rightarrow -ae=-3\)
\(\Rightarrow ae=3\)
\(\Rightarrow a\times \frac{1}{3}=3\) ➜ \(\because e=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow a=9\)
\(\therefore a^2=81\)
আবার,
\((2)\) হতে,
\(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{3}=\sqrt{1-\frac{b^2}{81}}\) ➜ \(\because e=\frac{1}{3}, a^2=81\)
\(\Rightarrow \frac{1}{3}=\sqrt{\frac{81-b^2}{81}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{3}=\frac{\sqrt{81-b^2}}{9}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{3}\times 9=\sqrt{81-b^2}\)
\(\Rightarrow 3=\sqrt{81-b^2}\)
\(\Rightarrow 9=81-b^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow b^2=81-9\)
\(\therefore b^2=72\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{9^2}+\frac{y^2}{72}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{72}=1\)
\(\Rightarrow \frac{8x^2+9y^2}{648}=1\)
\(\therefore 8x^2+9y^2=648\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(i)(c)\) যার ফোকাস \((3, 0)\) দ্বিকাক্ষ \(x=5 \) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{2}\) ।
উত্তরঃ \(3x^2+4y^2-14x+11=0\)
উত্তরঃ \(3x^2+4y^2-14x+11=0\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
উপকেন্দ্র \(S(3, 0)\)
দ্বিকাক্ষ \(x=5 \)
\(\Rightarrow x-5=0 .....(1)\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{1}{2}\)
ধরি,
উপবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)।
উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
\(PS=ePM\)
\(\Rightarrow PS^2=e^2PM^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x-3)^2+(y-0)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{|x-5|}{\sqrt{1^2+0^2}}\right)^2\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow (x-3)^2+y^2=\frac{1}{4}\left(\frac{|x-5|}{\sqrt{1+0}}\right)^2\)
\(\Rightarrow 4(x-3)^2+4y^2=\frac{(x-5)^2}{1}\)
\(\Rightarrow 4(x-3)^2+4y^2=(x-5)^2\)
\(\Rightarrow 4(x-3)^2+4y^2-(x-5)^2=0\)
\(\Rightarrow 4(x^2-6x+9)+4y^2-(x^2-10x+25)=0\)
\(\Rightarrow 4x^2-24x+36+4y^2-x^2+10x-25=0\)
\(\therefore 3x^2+4y^2-14x+11=0\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপকেন্দ্র \(S(3, 0)\)
দ্বিকাক্ষ \(x=5 \)
\(\Rightarrow x-5=0 .....(1)\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{1}{2}\)
ধরি,
উপবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)।
উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
\(PS=ePM\)
\(\Rightarrow PS^2=e^2PM^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x-3)^2+(y-0)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{|x-5|}{\sqrt{1^2+0^2}}\right)^2\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow (x-3)^2+y^2=\frac{1}{4}\left(\frac{|x-5|}{\sqrt{1+0}}\right)^2\)
\(\Rightarrow 4(x-3)^2+4y^2=\frac{(x-5)^2}{1}\)
\(\Rightarrow 4(x-3)^2+4y^2=(x-5)^2\)
\(\Rightarrow 4(x-3)^2+4y^2-(x-5)^2=0\)
\(\Rightarrow 4(x^2-6x+9)+4y^2-(x^2-10x+25)=0\)
\(\Rightarrow 4x^2-24x+36+4y^2-x^2+10x-25=0\)
\(\therefore 3x^2+4y^2-14x+11=0\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(i)(d)\) যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{2}{3}\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(5\) ।
[ চঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \(20x^2+36y^2=405\)
[ চঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \(20x^2+36y^2=405\)
সমাধানঃ
ধরি, 
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
যার উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} .........(2)\)
এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
দেওয়া আছে,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{2}{3}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=5\)
\(\therefore \frac{2}{3}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{4}{9}=1-\frac{b^2}{a^2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{4}{9}=\frac{a^2-b^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow 9a^2-9b^2=4a^2\)
\(\Rightarrow 9a^2-4a^2=9b^2\)
\(\Rightarrow 5a^2=9b^2\)
\(\Rightarrow 9b^2=5a^2\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{5a^2}{9} .....(3)\)
আবার,
\(\frac{2b^2}{a}=5\)
\(\Rightarrow 2b^2=5a\)
\(\Rightarrow 2\times \frac{5a^2}{9}=5a\) ➜ \(\because b^2=\frac{5a^2}{9}\)
\(\Rightarrow 2\times \frac{a^2}{9}=a\)
\(\Rightarrow 2a^2=9a\)
\(\Rightarrow 2a^2-9a=0\)
\(\Rightarrow a(2a-9)=0\)
\(\Rightarrow 2a-9=0, a\ne 0\)
\(\Rightarrow 2a=9\)
\(\Rightarrow a=\frac{9}{2}\)
\(\therefore a^2=\frac{81}{4}\)
\((3)\) হতে,
\(b^2=\frac{5\times \frac{81}{4}}{9}\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{5\times 81}{9\times 4}\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{5\times 9}{4}\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{45}{4}\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{\frac{81}{4}}+\frac{y^2}{\frac{45}{4}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{4x^2}{81}+\frac{4y^2}{45}=1\)
\(\Rightarrow \frac{20x^2+36y^2}{405}=1\)
\(\therefore 20x^2+36y^2=405\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
যার উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} .........(2)\)
এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
দেওয়া আছে,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{2}{3}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=5\)
\(\therefore \frac{2}{3}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{4}{9}=1-\frac{b^2}{a^2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{4}{9}=\frac{a^2-b^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow 9a^2-9b^2=4a^2\)
\(\Rightarrow 9a^2-4a^2=9b^2\)
\(\Rightarrow 5a^2=9b^2\)
\(\Rightarrow 9b^2=5a^2\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{5a^2}{9} .....(3)\)
আবার,
\(\frac{2b^2}{a}=5\)
\(\Rightarrow 2b^2=5a\)
\(\Rightarrow 2\times \frac{5a^2}{9}=5a\) ➜ \(\because b^2=\frac{5a^2}{9}\)
\(\Rightarrow 2\times \frac{a^2}{9}=a\)
\(\Rightarrow 2a^2=9a\)
\(\Rightarrow 2a^2-9a=0\)
\(\Rightarrow a(2a-9)=0\)
\(\Rightarrow 2a-9=0, a\ne 0\)
\(\Rightarrow 2a=9\)
\(\Rightarrow a=\frac{9}{2}\)
\(\therefore a^2=\frac{81}{4}\)
\((3)\) হতে,
\(b^2=\frac{5\times \frac{81}{4}}{9}\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{5\times 81}{9\times 4}\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{5\times 9}{4}\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{45}{4}\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{\frac{81}{4}}+\frac{y^2}{\frac{45}{4}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{4x^2}{81}+\frac{4y^2}{45}=1\)
\(\Rightarrow \frac{20x^2+36y^2}{405}=1\)
\(\therefore 20x^2+36y^2=405\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(i)(e)\) যা \((0, 2\sqrt{2})\) এবং \((-3, 0)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
[ সিঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1\)
[ সিঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1\)
সমাধানঃ
ধরি, 
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
\((1)\) নং উপবৃত্ত \((0, 2\sqrt{2})\) এবং \((-3, 0)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore \frac{0^2}{a^2}+\frac{(2\sqrt{2})^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{0}{a^2}+\frac{8}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow 0+\frac{8}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{8}{b^2}=1\)
\(\therefore b^2=8\)
আবার,
\(\therefore \frac{(-3)^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}+\frac{0}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}+0=1\)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}=1\)
\(\therefore a^2=9\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
\((1)\) নং উপবৃত্ত \((0, 2\sqrt{2})\) এবং \((-3, 0)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore \frac{0^2}{a^2}+\frac{(2\sqrt{2})^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{0}{a^2}+\frac{8}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow 0+\frac{8}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{8}{b^2}=1\)
\(\therefore b^2=8\)
আবার,
\(\therefore \frac{(-3)^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}+\frac{0}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}+0=1\)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}=1\)
\(\therefore a^2=9\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(i)(i)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 4, 0)\) এবং শীর্ষ \((\pm 5, 0)\) ।
উত্তরঃ \(9x^2+25y^2=225\)
উত্তরঃ \(9x^2+25y^2=225\)
সমাধানঃ
ধরি, 
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
যার উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
শীর্ষ \((\pm a, 0)\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র \((\pm 4, 0)\)
এবং শীর্ষ \((\pm 5, 0)\)
\(\therefore (\pm a, 0)\Rightarrow (\pm 5, 0)\)
\(\Rightarrow a=5\)
\(\therefore a^2=25\)
আবার,
\(\therefore (\pm ae, 0)\Rightarrow (\pm 4, 0)\)
\(\Rightarrow ae=4\)
\(\Rightarrow 5e=4\) ➜ \(\because a=5\)
\(\therefore e=\frac{4}{5}\)
আবার,
\(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{4}{5}=\sqrt{1-\frac{b^2}{25}}\) ➜ \(\because a^2=25, e=\frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{4}{5}=\sqrt{\frac{25-b^2}{25}}\)
\(\Rightarrow \frac{4}{5}=\frac{\sqrt{25-b^2}}{5}\)
\(\Rightarrow 4=\sqrt{25-b^2}\)
\(\Rightarrow 16=25-b^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow b^2=25-16\)
\(\therefore b^2=9\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2+25y^2}{225}=1\)
\(\therefore 9x^2+25y^2=225\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
যার উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
শীর্ষ \((\pm a, 0)\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র \((\pm 4, 0)\)
এবং শীর্ষ \((\pm 5, 0)\)
\(\therefore (\pm a, 0)\Rightarrow (\pm 5, 0)\)
\(\Rightarrow a=5\)
\(\therefore a^2=25\)
আবার,
\(\therefore (\pm ae, 0)\Rightarrow (\pm 4, 0)\)
\(\Rightarrow ae=4\)
\(\Rightarrow 5e=4\) ➜ \(\because a=5\)
\(\therefore e=\frac{4}{5}\)
আবার,
\(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{4}{5}=\sqrt{1-\frac{b^2}{25}}\) ➜ \(\because a^2=25, e=\frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{4}{5}=\sqrt{\frac{25-b^2}{25}}\)
\(\Rightarrow \frac{4}{5}=\frac{\sqrt{25-b^2}}{5}\)
\(\Rightarrow 4=\sqrt{25-b^2}\)
\(\Rightarrow 16=25-b^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow b^2=25-16\)
\(\therefore b^2=9\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2+25y^2}{225}=1\)
\(\therefore 9x^2+25y^2=225\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(i)(j)\) যার শীর্ষ \((\pm 10, 0)\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=5\) ।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{10^2}+\frac{y^2}{5^2}=1\)
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{10^2}+\frac{y^2}{5^2}=1\)
সমাধানঃ
ধরি, 
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
যার শীর্ষ \((\pm a, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
শীর্ষ \((\pm 10, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=5\)
\(\therefore (\pm a, 0)\Rightarrow (\pm 10, 0)\)
\(\Rightarrow a=10\)
\(\therefore a^2=100\)
আবার,
\(\therefore \frac{2b^2}{a}=5\) ➜ \(\because\) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=5\)
\(\Rightarrow 2b^2=5a\)
\(\Rightarrow 2b^2=5\times 10\) ➜ \(\because a=10\)
\(\Rightarrow 2b^2=50\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{50}{2}\)
\(\Rightarrow b^2=25\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{25}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{10^2}+\frac{y^2}{5^2}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
যার শীর্ষ \((\pm a, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
শীর্ষ \((\pm 10, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=5\)
\(\therefore (\pm a, 0)\Rightarrow (\pm 10, 0)\)
\(\Rightarrow a=10\)
\(\therefore a^2=100\)
আবার,
\(\therefore \frac{2b^2}{a}=5\) ➜ \(\because\) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=5\)
\(\Rightarrow 2b^2=5a\)
\(\Rightarrow 2b^2=5\times 10\) ➜ \(\because a=10\)
\(\Rightarrow 2b^2=50\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{50}{2}\)
\(\Rightarrow b^2=25\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{25}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{10^2}+\frac{y^2}{5^2}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(i)(k)\) যার উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(8\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)।
[ চঃ ২০০৫;ঢাঃ ২০১১,২০০৫;রাঃ২০১১,২০০৬;সিঃ২০১৫;যঃ২০১১;দিঃ২০১৩,২০১০ ]
উত্তরঃ \(x^2+2y^2=64\)
[ চঃ ২০০৫;ঢাঃ ২০১১,২০০৫;রাঃ২০১১,২০০৬;সিঃ২০১৫;যঃ২০১১;দিঃ২০১৩,২০১০ ]
উত্তরঃ \(x^2+2y^2=64\)
সমাধানঃ
ধরি, 
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=8\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\therefore 8=\frac{2b^2}{a}\) ➜ \(\because\) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=8\)
\(\Rightarrow 2b^2=8a\)
\(\therefore b^2=\frac{8a}{2}\)
\(\therefore b^2=4a ......(2)\)
আবার,
\(\therefore \frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\because e=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{1-\frac{4a}{a^2}}\) ➜ \(\because b^2=4a \)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{1-\frac{4}{a}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}=1-\frac{4}{a}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{4}{a}=1-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{4}{a}=\frac{2-1}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{4}{a}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow a=8\)
\(\therefore a^2=64\)
\((2)\) নং হতে,
\(b^2=4\times 8\) ➜ \(\because a=8\)
\(\therefore b^2=32\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{32}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2+2y^2}{64}=1\)
\(\therefore x^2+2y^2=64\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=8\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\therefore 8=\frac{2b^2}{a}\) ➜ \(\because\) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=8\)
\(\Rightarrow 2b^2=8a\)
\(\therefore b^2=\frac{8a}{2}\)
\(\therefore b^2=4a ......(2)\)
আবার,
\(\therefore \frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\because e=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{1-\frac{4a}{a^2}}\) ➜ \(\because b^2=4a \)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{1-\frac{4}{a}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}=1-\frac{4}{a}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{4}{a}=1-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{4}{a}=\frac{2-1}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{4}{a}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow a=8\)
\(\therefore a^2=64\)
\((2)\) নং হতে,
\(b^2=4\times 8\) ➜ \(\because a=8\)
\(\therefore b^2=32\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{32}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2+2y^2}{64}=1\)
\(\therefore x^2+2y^2=64\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(i)(m)\) যার ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{5}}\)।
[কুঃ২০১৩;যঃ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(4x^2+5y^2=5\)
[কুঃ২০১৩;যঃ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(4x^2+5y^2=5\)
সমাধানঃ
ধরি, 
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
যার ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{1}{\sqrt{5}}\)
\(\therefore 2b=2\) ➜ \(\because\) ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2\)
\(\Rightarrow b=1\)
\(\therefore b^2=1\)
আবার,
\(\therefore \frac{1}{\sqrt{5}}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\because e=\frac{1}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{5}}=\sqrt{1-\frac{1}{a^2}}\) ➜ \(\because b^2=1\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{a^2-1}{a^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{5}=\frac{a^2-1}{a^2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 5a^2-5=a^2\)
\(\Rightarrow 5a^2-a^2=5\)
\(\Rightarrow 4a^2=5\)
\(\therefore a^2=\frac{5}{4}\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{\frac{5}{4}}+\frac{y^2}{1}=1\)
\(\Rightarrow \frac{4x^2}{5}+\frac{y^2}{1}=1\)
\(\Rightarrow \frac{4x^2+5y^2}{5}=1\)
\(\therefore 4x^2+5y^2=5\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
যার ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{1}{\sqrt{5}}\)
\(\therefore 2b=2\) ➜ \(\because\) ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2\)
\(\Rightarrow b=1\)
\(\therefore b^2=1\)
আবার,
\(\therefore \frac{1}{\sqrt{5}}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\because e=\frac{1}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{5}}=\sqrt{1-\frac{1}{a^2}}\) ➜ \(\because b^2=1\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{a^2-1}{a^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{5}=\frac{a^2-1}{a^2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 5a^2-5=a^2\)
\(\Rightarrow 5a^2-a^2=5\)
\(\Rightarrow 4a^2=5\)
\(\therefore a^2=\frac{5}{4}\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{\frac{5}{4}}+\frac{y^2}{1}=1\)
\(\Rightarrow \frac{4x^2}{5}+\frac{y^2}{1}=1\)
\(\Rightarrow \frac{4x^2+5y^2}{5}=1\)
\(\therefore 4x^2+5y^2=5\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(i)(n)\) যার বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(12\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\)।
[কুঃ২০১৩;যঃ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{32}=1\)
[কুঃ২০১৩;যঃ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{32}=1\)
সমাধানঃ
ধরি, 
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
যার বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(12\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{1}{3}\)
\(\therefore 2a=12\) ➜ \(\because\) বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=12\)
\(\Rightarrow a=6\)
\(\therefore a^2=36\)
আবার,
\(\therefore \frac{1}{3}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\because e=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{3}=\sqrt{1-\frac{b^2}{36}}\) ➜ \(\because a^2=36\)
\(\Rightarrow \frac{1}{3}=\sqrt{\frac{36-b^2}{36}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{9}=\frac{36-b^2}{36}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{1}{9}\times 36=36-b^2\)
\(\Rightarrow 4=36-b^2\)
\(\Rightarrow b^2=36-4\)
\(\therefore b^2=32\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{32}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
যার বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(12\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{1}{3}\)
\(\therefore 2a=12\) ➜ \(\because\) বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=12\)
\(\Rightarrow a=6\)
\(\therefore a^2=36\)
আবার,
\(\therefore \frac{1}{3}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\because e=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{3}=\sqrt{1-\frac{b^2}{36}}\) ➜ \(\because a^2=36\)
\(\Rightarrow \frac{1}{3}=\sqrt{\frac{36-b^2}{36}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{9}=\frac{36-b^2}{36}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{1}{9}\times 36=36-b^2\)
\(\Rightarrow 4=36-b^2\)
\(\Rightarrow b^2=36-4\)
\(\therefore b^2=32\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{32}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(i)(o)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 1, 0)\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(3\) ।
[কুঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(3x^2+4y^2=12\)
[কুঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(3x^2+4y^2=12\)
সমাধানঃ
ধরি, 
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
যার উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র \((\pm 1, 0)\)
এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=3\)
\(\therefore \frac{2b^2}{a}=3\) ➜ \(\because \) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
\(\Rightarrow 2b^2=3a\)
\(\therefore b^2=\frac{3a}{2} ......(2)\)
আবার,
\(\therefore (\pm ae, 0)\Rightarrow (\pm 1, 0)\)
\(\Rightarrow ae=1\)
\(\Rightarrow e=\frac{1}{a}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\because e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a}=\sqrt{1-\frac{\frac{3a}{2}}{a^2}}\) ➜ \(\because b^2=\frac{3a}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a}=\sqrt{1-\frac{3a}{2a^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a}=\sqrt{1-\frac{3}{2a}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a}=\sqrt{\frac{2a-3}{2a}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a^2}=\frac{2a-3}{2a}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{1}{a^2}=\frac{2a-3}{2a}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a^2}\times 2a=2a-3\)
\(\Rightarrow \frac{2}{a}=2a-3\)
\(\Rightarrow 2a^2-3a=2\)
\(\Rightarrow 2a^2-3a-2=0\)
\(\Rightarrow 2a^2-4a+a-2=0\)
\(\Rightarrow 2a(a-2)+1(a-2)=0\)
\(\Rightarrow (a-2)(2a+1)=0\)
\(\Rightarrow a-2=0, 2a+1\ne 0\)
\(\Rightarrow a=2\)
\(\therefore a^2=4\)
আবার,
\((2)\) হতে,
\(b^2=\frac{3\times 2}{2} \)
\(\therefore b^2=3 \)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)
\(\Rightarrow \frac{3x^2+4y^2}{12}=1\)
\(\therefore 3x^2+4y^2=12\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
যার উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র \((\pm 1, 0)\)
এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=3\)
\(\therefore \frac{2b^2}{a}=3\) ➜ \(\because \) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
\(\Rightarrow 2b^2=3a\)
\(\therefore b^2=\frac{3a}{2} ......(2)\)
আবার,
\(\therefore (\pm ae, 0)\Rightarrow (\pm 1, 0)\)
\(\Rightarrow ae=1\)
\(\Rightarrow e=\frac{1}{a}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\because e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a}=\sqrt{1-\frac{\frac{3a}{2}}{a^2}}\) ➜ \(\because b^2=\frac{3a}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a}=\sqrt{1-\frac{3a}{2a^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a}=\sqrt{1-\frac{3}{2a}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a}=\sqrt{\frac{2a-3}{2a}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a^2}=\frac{2a-3}{2a}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{1}{a^2}=\frac{2a-3}{2a}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a^2}\times 2a=2a-3\)
\(\Rightarrow \frac{2}{a}=2a-3\)
\(\Rightarrow 2a^2-3a=2\)
\(\Rightarrow 2a^2-3a-2=0\)
\(\Rightarrow 2a^2-4a+a-2=0\)
\(\Rightarrow 2a(a-2)+1(a-2)=0\)
\(\Rightarrow (a-2)(2a+1)=0\)
\(\Rightarrow a-2=0, 2a+1\ne 0\)
\(\Rightarrow a=2\)
\(\therefore a^2=4\)
আবার,
\((2)\) হতে,
\(b^2=\frac{3\times 2}{2} \)
\(\therefore b^2=3 \)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)
\(\Rightarrow \frac{3x^2+4y^2}{12}=1\)
\(\therefore 3x^2+4y^2=12\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(i)(p)\) যার কেন্দ্র \((-1, -1)\) , শীর্ষ \((5, -1)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{2}{3}\)।
[কুঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(\frac{(x+1)^2}{36}+\frac{(y+1)^2}{20}=1\)
[কুঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(\frac{(x+1)^2}{36}+\frac{(y+1)^2}{20}=1\)
সমাধানঃ
ধরি, 
\((-1, -1)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{(x+1)^2}{a^2}+\frac{(y+1)^2}{b^2}=1 ........(1)\)
যার উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
কেন্দ্র \(C(-1, -1)\)
শীর্ষ \(A(5, -1)\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{2}{3}\)
এখন,
\(a=AC\)
\(\Rightarrow a=\sqrt{(5+1)^2+(-1+1)^2}\)
\(\Rightarrow a=\sqrt{6^2+0^2}\)
\(\Rightarrow a=\sqrt{36}\)
\(\therefore a^2=36\)
আবার,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{2}{3}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\because \) উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{4}{9}=1-\frac{b^2}{a^2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{4}{9}=1-\frac{b^2}{36}\) ➜ \(\because a^2=36\)
\(\Rightarrow \frac{4}{9}=\frac{36-b^2}{36}\)
\(\Rightarrow \frac{4}{9}\times 36=36-b^2\)
\(\Rightarrow 4\times 4=36-b^2\)
\(\Rightarrow 16=36-b^2\)
\(\Rightarrow b^2=36-16\)
\(\therefore b^2=20\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{(x+1)^2}{36}+\frac{(y+1)^2}{20}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\((-1, -1)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{(x+1)^2}{a^2}+\frac{(y+1)^2}{b^2}=1 ........(1)\)
যার উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
কেন্দ্র \(C(-1, -1)\)
শীর্ষ \(A(5, -1)\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{2}{3}\)
এখন,
\(a=AC\)
\(\Rightarrow a=\sqrt{(5+1)^2+(-1+1)^2}\)
\(\Rightarrow a=\sqrt{6^2+0^2}\)
\(\Rightarrow a=\sqrt{36}\)
\(\therefore a^2=36\)
আবার,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{2}{3}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\because \) উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{4}{9}=1-\frac{b^2}{a^2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{4}{9}=1-\frac{b^2}{36}\) ➜ \(\because a^2=36\)
\(\Rightarrow \frac{4}{9}=\frac{36-b^2}{36}\)
\(\Rightarrow \frac{4}{9}\times 36=36-b^2\)
\(\Rightarrow 4\times 4=36-b^2\)
\(\Rightarrow 16=36-b^2\)
\(\Rightarrow b^2=36-16\)
\(\therefore b^2=20\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{(x+1)^2}{36}+\frac{(y+1)^2}{20}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(i)(q)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 3, 0)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\) ।
[ যঃ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{72}=1\)
[ যঃ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{72}=1\)
সমাধানঃ
ধরি, 
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
যার উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র \((\pm 3, 0)\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\)
\(\therefore (\pm ae, 0)\Rightarrow (\pm 3, 0)\)
\(\Rightarrow ae=3\)
\(\Rightarrow a\times \frac{1}{3}=3\)
\(\Rightarrow \frac{a}{3}=3\)
\(\Rightarrow a=9\)
\(\therefore a^2=81\)
আবার,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{3}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\because \) উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{9}=1-\frac{b^2}{a^2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{1}{9}=1-\frac{b^2}{81}\) ➜ \(\because a^2=81\)
\(\Rightarrow \frac{1}{9}=\frac{81-b^2}{81}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{9}\times 81=81-b^2\)
\(\Rightarrow 9=81-b^2\)
\(\Rightarrow b^2=81-9\)
\(\therefore b^2=72\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{72}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
যার উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র \((\pm 3, 0)\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\)
\(\therefore (\pm ae, 0)\Rightarrow (\pm 3, 0)\)
\(\Rightarrow ae=3\)
\(\Rightarrow a\times \frac{1}{3}=3\)
\(\Rightarrow \frac{a}{3}=3\)
\(\Rightarrow a=9\)
\(\therefore a^2=81\)
আবার,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{3}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\because \) উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{9}=1-\frac{b^2}{a^2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{1}{9}=1-\frac{b^2}{81}\) ➜ \(\because a^2=81\)
\(\Rightarrow \frac{1}{9}=\frac{81-b^2}{81}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{9}\times 81=81-b^2\)
\(\Rightarrow 9=81-b^2\)
\(\Rightarrow b^2=81-9\)
\(\therefore b^2=72\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{72}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(i)(u)\) যার বৃহদাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((\pm 3, 0)\) এবং ক্ষুদ্রাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((0, \pm 2)\) ।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)
সমাধানঃ
ধরি, 
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
যার বৃহদাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((\pm a, 0)\)
ক্ষুদ্রাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((0, \pm b)\)
দেওয়া আছে,
বৃহদাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((\pm 3, 0)\)
এবং ক্ষুদ্রাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((0, \pm 2)\)
\(\therefore (\pm a, 0)\Rightarrow (\pm 3, 0)\) ➜ \(\because \) বৃহদাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((\pm a, 0)\)
\(\Rightarrow a=3\)
\(\therefore a^2=9\)
আবার,
\(\therefore (0, \pm b)\Rightarrow (0, \pm 2)\) ➜ \(\because \) ক্ষুদ্রাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((0, \pm b)\)
\(\Rightarrow b=2\)
\(\therefore b^2=4\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
যার বৃহদাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((\pm a, 0)\)
ক্ষুদ্রাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((0, \pm b)\)
দেওয়া আছে,
বৃহদাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((\pm 3, 0)\)
এবং ক্ষুদ্রাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((0, \pm 2)\)
\(\therefore (\pm a, 0)\Rightarrow (\pm 3, 0)\) ➜ \(\because \) বৃহদাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((\pm a, 0)\)
\(\Rightarrow a=3\)
\(\therefore a^2=9\)
আবার,
\(\therefore (0, \pm b)\Rightarrow (0, \pm 2)\) ➜ \(\because \) ক্ষুদ্রাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((0, \pm b)\)
\(\Rightarrow b=2\)
\(\therefore b^2=4\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(i)(v)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 5, 0)\) এবং বৃহদাক্ষ \(16\) ।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{39}=1\)
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{39}=1\)
সমাধানঃ
ধরি, 
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
যার উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
বৃহদাক্ষ \(=2a\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র \((\pm 5, 0)\)
এবং বৃহদাক্ষ \(16\)
\(\therefore 2a=16\) ➜ \(\because \) বৃহদাক্ষ \(=2a\)
\(\Rightarrow a=8\)
\(\therefore a^2=64\)
আবার,
\(\therefore (\pm ae, 0)\Rightarrow (\pm 5, 0)\) ➜ \(\because \) উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow ae=5\)
\(\Rightarrow 8e=5\) ➜ \(\because a=8\)
\(\Rightarrow e=\frac{5}{8}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{5}{8}\) ➜ \(\because e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow 1-\frac{b^2}{a^2}=\frac{25}{64}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 1-\frac{b^2}{64}=\frac{25}{64}\) ➜ \(\because a^2=64\)
\(\Rightarrow \frac{64-b^2}{64}=\frac{25}{64}\)
\(\Rightarrow 64-b^2=25\)
\(\Rightarrow -b^2=25-64\)
\(\Rightarrow -b^2=-39\)
\(\therefore b^2=39\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{39}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
যার উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
বৃহদাক্ষ \(=2a\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র \((\pm 5, 0)\)
এবং বৃহদাক্ষ \(16\)
\(\therefore 2a=16\) ➜ \(\because \) বৃহদাক্ষ \(=2a\)
\(\Rightarrow a=8\)
\(\therefore a^2=64\)
আবার,
\(\therefore (\pm ae, 0)\Rightarrow (\pm 5, 0)\) ➜ \(\because \) উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow ae=5\)
\(\Rightarrow 8e=5\) ➜ \(\because a=8\)
\(\Rightarrow e=\frac{5}{8}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{5}{8}\) ➜ \(\because e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow 1-\frac{b^2}{a^2}=\frac{25}{64}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 1-\frac{b^2}{64}=\frac{25}{64}\) ➜ \(\because a^2=64\)
\(\Rightarrow \frac{64-b^2}{64}=\frac{25}{64}\)
\(\Rightarrow 64-b^2=25\)
\(\Rightarrow -b^2=25-64\)
\(\Rightarrow -b^2=-39\)
\(\therefore b^2=39\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{39}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(i)(w)\) যার বৃহদাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((0, \pm \sqrt{5})\) এবং ক্ষুদ্রাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((\pm 1, 0)\) ।
উত্তরঃ \(x^2+\frac{y^2}{5}=1\)
উত্তরঃ \(x^2+\frac{y^2}{5}=1\)
সমাধানঃ
ধরি, 
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
যার বৃহদাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((0, \pm b)\)
ক্ষুদ্রাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((\pm a, 0)\)
দেওয়া আছে,
বৃহদাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((0, \pm \sqrt{5})\)
এবং ক্ষুদ্রাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((\pm 1, 0)\)
\(\therefore (0, \pm b)\Rightarrow (0, \pm \sqrt{5})\) ➜ \(\because \) বৃহদাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((0, \pm b)\)
\(\Rightarrow b=\sqrt{5}\)
\(\therefore b^2=5\)
আবার,
\(\therefore (\pm a, 0)\Rightarrow (\pm 1, 0)\) ➜ \(\because \) ক্ষুদ্রাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((\pm a, 0)\)
\(\Rightarrow a=1\)
\(\therefore a^2=1\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{5}=1\)
\(\therefore x^2+\frac{y^2}{5}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
যার বৃহদাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((0, \pm b)\)
ক্ষুদ্রাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((\pm a, 0)\)
দেওয়া আছে,
বৃহদাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((0, \pm \sqrt{5})\)
এবং ক্ষুদ্রাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((\pm 1, 0)\)
\(\therefore (0, \pm b)\Rightarrow (0, \pm \sqrt{5})\) ➜ \(\because \) বৃহদাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((0, \pm b)\)
\(\Rightarrow b=\sqrt{5}\)
\(\therefore b^2=5\)
আবার,
\(\therefore (\pm a, 0)\Rightarrow (\pm 1, 0)\) ➜ \(\because \) ক্ষুদ্রাক্ষের প্রান্তবিন্দু \((\pm a, 0)\)
\(\Rightarrow a=1\)
\(\therefore a^2=1\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{5}=1\)
\(\therefore x^2+\frac{y^2}{5}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(i)(x)\) যার উপকেন্দ্র \((0, \pm 6)\) এবং ক্ষুদ্রাক্ষ \(16\) ।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{100}=1\)
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{100}=1\)
সমাধানঃ
ধরি, 
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
যার উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\)
এবং ক্ষুদ্রাক্ষ \(=2a\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র \((0, \pm 6)\)
এবং ক্ষুদ্রাক্ষ \(16\)
\(\therefore 2a=16\) ➜ \(\because \) ক্ষুদ্রাক্ষ \(=2a\)
\(\Rightarrow a=8\)
\(\therefore a^2=64\)
আবার,
\(\therefore (0, \pm be)\Rightarrow (0, \pm 6)\) ➜ \(\because \) উপকেন্দ্র \((0, \pm 6)\)
\(\Rightarrow be=6\)
\(\Rightarrow e=\frac{6}{b}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}=\frac{6}{b}\) ➜ \(\because e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(\Rightarrow 1-\frac{a^2}{b^2}=\frac{36}{b^2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 1-\frac{64}{b^2}=\frac{36}{b^2}\) ➜ \(\because a^2=64\)
\(\Rightarrow \frac{b^2-64}{b^2}=\frac{36}{b^2}\)
\(\Rightarrow b^2-64=36\)
\(\Rightarrow b^2=36+64\)
\(\therefore b^2=100\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{100}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
যার উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\)
এবং ক্ষুদ্রাক্ষ \(=2a\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র \((0, \pm 6)\)
এবং ক্ষুদ্রাক্ষ \(16\)
\(\therefore 2a=16\) ➜ \(\because \) ক্ষুদ্রাক্ষ \(=2a\)
\(\Rightarrow a=8\)
\(\therefore a^2=64\)
আবার,
\(\therefore (0, \pm be)\Rightarrow (0, \pm 6)\) ➜ \(\because \) উপকেন্দ্র \((0, \pm 6)\)
\(\Rightarrow be=6\)
\(\Rightarrow e=\frac{6}{b}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}=\frac{6}{b}\) ➜ \(\because e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(\Rightarrow 1-\frac{a^2}{b^2}=\frac{36}{b^2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 1-\frac{64}{b^2}=\frac{36}{b^2}\) ➜ \(\because a^2=64\)
\(\Rightarrow \frac{b^2-64}{b^2}=\frac{36}{b^2}\)
\(\Rightarrow b^2-64=36\)
\(\Rightarrow b^2=36+64\)
\(\therefore b^2=100\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{100}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(i)(y)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 1, 0)\) এবং \(b=\sqrt{2}\) ।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1\)
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1\)
সমাধানঃ
ধরি, 
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
যার উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র \((\pm 1, 0)\)
এবং \(b=\sqrt{2}\)
\(\therefore b^2=2\)
আবার,
\(\therefore (\pm ae, 0)\Rightarrow (\pm 1, 0)\) ➜ \(\because \) উপকেন্দ্র \((\pm 1, 0)\)
\(\Rightarrow ae=1\)
\(\Rightarrow e=\frac{1}{a}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{1}{a}\) ➜ \(\because e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow 1-\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{a^2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 1-\frac{2}{a^2}=\frac{1}{a^2}\)
\(\Rightarrow \frac{a^2-2}{a^2}=\frac{1}{a^2}\)
\(\Rightarrow a^2-2=1\)
\(\Rightarrow a^2=1+2\)
\(\therefore a^2=3\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
যার উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র \((\pm 1, 0)\)
এবং \(b=\sqrt{2}\)
\(\therefore b^2=2\)
আবার,
\(\therefore (\pm ae, 0)\Rightarrow (\pm 1, 0)\) ➜ \(\because \) উপকেন্দ্র \((\pm 1, 0)\)
\(\Rightarrow ae=1\)
\(\Rightarrow e=\frac{1}{a}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{1}{a}\) ➜ \(\because e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow 1-\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{a^2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 1-\frac{2}{a^2}=\frac{1}{a^2}\)
\(\Rightarrow \frac{a^2-2}{a^2}=\frac{1}{a^2}\)
\(\Rightarrow a^2-2=1\)
\(\Rightarrow a^2=1+2\)
\(\therefore a^2=3\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(i)(z)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 1, 0)\) এবং \(a=4\) ।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{15}=1\)
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{15}=1\)
সমাধানঃ
ধরি, 
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
যার উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র \((\pm 1, 0)\)
এবং \(a=4\)
\(\therefore a^2=16\)
আবার,
\(\therefore (\pm ae, 0)\Rightarrow (\pm 1, 0)\) ➜ \(\because \) উপকেন্দ্র \((\pm 1, 0)\)
\(\Rightarrow ae=1\)
\(\Rightarrow e=\frac{1}{a}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{1}{a}\) ➜ \(\because e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow 1-\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{a^2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 1-\frac{b^2}{16}=\frac{1}{16}\) ➜ \(\because a^2=16\)
\(\Rightarrow \frac{16-b^2}{16}=\frac{1}{16}\)
\(\Rightarrow 16-b^2=1\)
\(\Rightarrow -b^2=1-16\)
\(\Rightarrow -b^2=-15\)
\(\therefore b^2=15\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{15}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
যার উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র \((\pm 1, 0)\)
এবং \(a=4\)
\(\therefore a^2=16\)
আবার,
\(\therefore (\pm ae, 0)\Rightarrow (\pm 1, 0)\) ➜ \(\because \) উপকেন্দ্র \((\pm 1, 0)\)
\(\Rightarrow ae=1\)
\(\Rightarrow e=\frac{1}{a}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{1}{a}\) ➜ \(\because e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow 1-\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{a^2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 1-\frac{b^2}{16}=\frac{1}{16}\) ➜ \(\because a^2=16\)
\(\Rightarrow \frac{16-b^2}{16}=\frac{1}{16}\)
\(\Rightarrow 16-b^2=1\)
\(\Rightarrow -b^2=1-16\)
\(\Rightarrow -b^2=-15\)
\(\therefore b^2=15\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{15}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(ii)(a) - Q.1.(ii)(k)\) নিম্নলিখিত উপবৃত্তগুলির উৎকেন্দ্রতা, ফোকাসের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ এবং দিকাক্ষের সমীকরণ, বৃহদাক্ষ ও ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\(Q.1.(ii)(a)\) \(3x^2+4y^2=12\)
[ ঢাঃ,কুঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \( \frac{1}{2}; (\pm 1, 0); 3;\)\( x=\pm 1; x=\pm 4; 4, 2\sqrt{3}\)
[ ঢাঃ,কুঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \( \frac{1}{2}; (\pm 1, 0); 3;\)\( x=\pm 1; x=\pm 4; 4, 2\sqrt{3}\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে , 
উপবৃত্তের সমীকরণ \(3x^2+4y^2=12\)
\(\Rightarrow \frac{3x^2}{12}+\frac{4y^2}{12}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(12\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)
এখানে, \(a^2=4, b^2=3\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=2, b=\sqrt{3}\)
\(\therefore a>b\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{3}{4}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{4-3}{4}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{1}{4}}\)
\(\therefore e=\frac{1}{2}\)
এখন,
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm 2\times \frac{1}{2}, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 1, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(=\frac{2\times 3}{2}\)
\(=3\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(x=\pm ae\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow x=\pm 2\times \frac{1}{2}\)
\(\therefore x=\pm 1\)
দিকাক্ষের সমীকরণ, \(x=\pm \frac{a}{e}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow x=\pm \frac{2}{\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{4}{1}\)
\(\therefore x=\pm 4\)
বৃহদাক্ষ ও ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(2a, 2b\)
\(\Rightarrow 2\times 2, 2\times \sqrt{3}\)
\(\therefore 4, 2\sqrt{3}\)
উপবৃত্তের সমীকরণ \(3x^2+4y^2=12\)
\(\Rightarrow \frac{3x^2}{12}+\frac{4y^2}{12}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(12\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)
এখানে, \(a^2=4, b^2=3\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=2, b=\sqrt{3}\)
\(\therefore a>b\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{3}{4}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{4-3}{4}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{1}{4}}\)
\(\therefore e=\frac{1}{2}\)
এখন,
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm 2\times \frac{1}{2}, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 1, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(=\frac{2\times 3}{2}\)
\(=3\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(x=\pm ae\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow x=\pm 2\times \frac{1}{2}\)
\(\therefore x=\pm 1\)
দিকাক্ষের সমীকরণ, \(x=\pm \frac{a}{e}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow x=\pm \frac{2}{\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{4}{1}\)
\(\therefore x=\pm 4\)
বৃহদাক্ষ ও ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(2a, 2b\)
\(\Rightarrow 2\times 2, 2\times \sqrt{3}\)
\(\therefore 4, 2\sqrt{3}\)
\(Q.1.(ii)(c)\) \(2x^2+3y^2=1\)
[ঢাঃ ২০০৬;যঃ২০০৪; সিঃ ২০১১;বঃ২০০৩ ]
উত্তরঃ \( \frac{1}{\sqrt{3}}; (\pm \frac{1}{\sqrt{6}}, 0); \frac{2\sqrt{2}}{3};\)
\( \sqrt{6}x=\pm 1; \sqrt{2}x=\pm \sqrt{3}; \sqrt{2}, \frac{2}{\sqrt{3}}\)
[ঢাঃ ২০০৬;যঃ২০০৪; সিঃ ২০১১;বঃ২০০৩ ]
উত্তরঃ \( \frac{1}{\sqrt{3}}; (\pm \frac{1}{\sqrt{6}}, 0); \frac{2\sqrt{2}}{3};\)
\( \sqrt{6}x=\pm 1; \sqrt{2}x=\pm \sqrt{3}; \sqrt{2}, \frac{2}{\sqrt{3}}\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে , 
উপবৃত্তের সমীকরণ \(2x^2+3y^2=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{\frac{1}{2}}+\frac{y^2}{\frac{1}{3}}=1\)
এখানে, \(a^2=\frac{1}{2}, b^2=\frac{1}{3}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=\frac{1}{\sqrt{2}}, b=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\therefore a>b\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{1}{3}\times \frac{2}{1}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{2}{3}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{3-2}{3}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{1}{3}}\)
\(\therefore e=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
এখন,
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{1}{\sqrt{3}}, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm \frac{1}{\sqrt{6}}, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(=\frac{2\times \frac{1}{3}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\)
\(=\frac{2}{3}\times \frac{\sqrt{2}}{1}\)
\(=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(x=\pm ae\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt{6}}\)
\(\therefore \sqrt{6}x=\pm 1\)
দিকাক্ষের সমীকরণ, \(x=\pm \frac{a}{e}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow x=\pm \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{3}}{1}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)
\(\therefore \sqrt{2}x=\pm \sqrt{3}\)
বৃহদাক্ষ ও ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(2a, 2b\)
\(\Rightarrow 2\times \frac{1}{\sqrt{2}}, 2\times \frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \frac{2}{\sqrt{2}}, \frac{2}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{2}.\sqrt{2}}{\sqrt{2}}, \frac{2}{\sqrt{3}}\)
\(\therefore \sqrt{2}, \frac{2}{\sqrt{3}}\)
উপবৃত্তের সমীকরণ \(2x^2+3y^2=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{\frac{1}{2}}+\frac{y^2}{\frac{1}{3}}=1\)
এখানে, \(a^2=\frac{1}{2}, b^2=\frac{1}{3}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=\frac{1}{\sqrt{2}}, b=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\therefore a>b\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{1}{3}\times \frac{2}{1}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{2}{3}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{3-2}{3}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{1}{3}}\)
\(\therefore e=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
এখন,
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{1}{\sqrt{3}}, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm \frac{1}{\sqrt{6}}, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(=\frac{2\times \frac{1}{3}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\)
\(=\frac{2}{3}\times \frac{\sqrt{2}}{1}\)
\(=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(x=\pm ae\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt{6}}\)
\(\therefore \sqrt{6}x=\pm 1\)
দিকাক্ষের সমীকরণ, \(x=\pm \frac{a}{e}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow x=\pm \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{3}}{1}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)
\(\therefore \sqrt{2}x=\pm \sqrt{3}\)
বৃহদাক্ষ ও ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(2a, 2b\)
\(\Rightarrow 2\times \frac{1}{\sqrt{2}}, 2\times \frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \frac{2}{\sqrt{2}}, \frac{2}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{2}.\sqrt{2}}{\sqrt{2}}, \frac{2}{\sqrt{3}}\)
\(\therefore \sqrt{2}, \frac{2}{\sqrt{3}}\)
\(Q.1.(ii)(h)\) \(25x^2+16y^2=400\)
[ঢাঃ ২০০৯,২০০২;কুঃ২০০৯; সিঃ ২০০৬,২০০৪;বঃ২০০৬,২০০৪;দিঃ২০১২ ]
উত্তরঃ \( \frac{3}{5}; (0, \pm 3); \frac{32}{5};\)
\( y=\pm 3; 3y=\pm 25; 10,8\)
[ঢাঃ ২০০৯,২০০২;কুঃ২০০৯; সিঃ ২০০৬,২০০৪;বঃ২০০৬,২০০৪;দিঃ২০১২ ]
উত্তরঃ \( \frac{3}{5}; (0, \pm 3); \frac{32}{5};\)
\( y=\pm 3; 3y=\pm 25; 10,8\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে , 
উপবৃত্তের সমীকরণ \(25x^2+16y^2=400\)
\(\Rightarrow \frac{25x^2}{400}+\frac{16y^2}{400}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(400\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1\)
এখানে, \(a^2=16, b^2=25\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, b>a \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4, b=5\)
\(\therefore b>a\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, b>a \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{16}{25}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{25-16}{25}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{9}{25}}\)
\(\therefore e=\frac{3}{5}\)
এখন,
উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, b>a \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (0, \pm 5\times \frac{3}{5})\)
\(\Rightarrow (0, \pm 3)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2a^2}{b}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, b>a \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(=\frac{2\times 16}{5}\)
\(=\frac{32}{5}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(y=\pm be\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, b>a \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow y=\pm 5\times \frac{3}{5}\)
\(\therefore y=\pm 3\)
দিকাক্ষের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{e}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, b>a \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow y=\pm \frac{5}{\frac{3}{5}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{25}{3}\)
\(\therefore 3y=\pm 25\)
বৃহদাক্ষ ও ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(2b, 2a\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, b>a \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow 2\times 5, 2\times 4\)
\(\therefore 10, 8\)
উপবৃত্তের সমীকরণ \(25x^2+16y^2=400\)
\(\Rightarrow \frac{25x^2}{400}+\frac{16y^2}{400}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(400\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1\)
এখানে, \(a^2=16, b^2=25\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, b>a \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4, b=5\)
\(\therefore b>a\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, b>a \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{16}{25}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{25-16}{25}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{9}{25}}\)
\(\therefore e=\frac{3}{5}\)
এখন,
উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, b>a \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (0, \pm 5\times \frac{3}{5})\)
\(\Rightarrow (0, \pm 3)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2a^2}{b}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, b>a \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(=\frac{2\times 16}{5}\)
\(=\frac{32}{5}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(y=\pm be\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, b>a \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow y=\pm 5\times \frac{3}{5}\)
\(\therefore y=\pm 3\)
দিকাক্ষের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{e}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, b>a \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow y=\pm \frac{5}{\frac{3}{5}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{25}{3}\)
\(\therefore 3y=\pm 25\)
বৃহদাক্ষ ও ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(2b, 2a\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, b>a \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow 2\times 5, 2\times 4\)
\(\therefore 10, 8\)
\(Q.1.(ii)(k)\) \(\frac{x^2}{\sqrt{2}}+\frac{y^2}{2}=2\)
উত্তরঃ \( \sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}; (0, \pm \sqrt{4-2\sqrt{2}}); 2\sqrt{2};\)
\( y=\pm \sqrt{4-2\sqrt{2}}; (2-\sqrt{2})y=\pm 2\sqrt{2}; 4,2\sqrt{2\sqrt{2}}\)
উত্তরঃ \( \sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}; (0, \pm \sqrt{4-2\sqrt{2}}); 2\sqrt{2};\)
\( y=\pm \sqrt{4-2\sqrt{2}}; (2-\sqrt{2})y=\pm 2\sqrt{2}; 4,2\sqrt{2\sqrt{2}}\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে , 
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{\sqrt{2}}+\frac{y^2}{2}=2\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{2\sqrt{2}}+\frac{y^2}{2\times 2}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^2}{2\sqrt{2}}+\frac{y^2}{4}=1\)
এখানে, \(a^2=2\sqrt{2}, b^2=4\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, b>a \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=\sqrt{2\sqrt{2}}, b=2\)
\(\therefore b>a\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,b>a \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{2\sqrt{2}}{4}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
\(\therefore e=\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}\)
এখন,
উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, b>a \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (0, \pm 2\times \sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}})\)
\(\Rightarrow (0, \pm \sqrt{2}\times \sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2}})\)
\(\Rightarrow (0, \pm \sqrt{2}\times \sqrt{2-\sqrt{2}})\)
\(\therefore (0, \pm \sqrt{4-2\sqrt{2}})\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2a^2}{b}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, b>a \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(=\frac{2\times 2\sqrt{2}}{2}\)
\(=2\sqrt{2}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(y=\pm be\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, b>a \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow y=\pm 2\times \sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{2}\times \sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{2}\times \sqrt{2-\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{4-2\sqrt{2}}\)
দিকাক্ষের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{e}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, b>a \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow y=\pm \frac{2}{\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{2}{\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2-\sqrt{2}}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(2-\sqrt{2})}y=\pm 2\sqrt{2}\)
বৃহদাক্ষ ও ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(=2b, 2a\)
\(=2\times 2, 2\times \sqrt{2\sqrt{2}}\)
\(=4, 2\sqrt{2\sqrt{2}}\)
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{\sqrt{2}}+\frac{y^2}{2}=2\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{2\sqrt{2}}+\frac{y^2}{2\times 2}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^2}{2\sqrt{2}}+\frac{y^2}{4}=1\)
এখানে, \(a^2=2\sqrt{2}, b^2=4\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, b>a \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=\sqrt{2\sqrt{2}}, b=2\)
\(\therefore b>a\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,b>a \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{2\sqrt{2}}{4}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
\(\therefore e=\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}\)
এখন,
উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, b>a \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (0, \pm 2\times \sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}})\)
\(\Rightarrow (0, \pm \sqrt{2}\times \sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2}})\)
\(\Rightarrow (0, \pm \sqrt{2}\times \sqrt{2-\sqrt{2}})\)
\(\therefore (0, \pm \sqrt{4-2\sqrt{2}})\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2a^2}{b}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, b>a \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(=\frac{2\times 2\sqrt{2}}{2}\)
\(=2\sqrt{2}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(y=\pm be\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, b>a \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow y=\pm 2\times \sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{2}\times \sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{2}\times \sqrt{2-\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{4-2\sqrt{2}}\)
দিকাক্ষের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{e}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, b>a \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow y=\pm \frac{2}{\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{2}{\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2-\sqrt{2}}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(2-\sqrt{2})}y=\pm 2\sqrt{2}\)
বৃহদাক্ষ ও ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(=2b, 2a\)
\(=2\times 2, 2\times \sqrt{2\sqrt{2}}\)
\(=4, 2\sqrt{2\sqrt{2}}\)
\(Q.1.(iii)(a) - Q.1.(iii)(g)\) \(\frac{x^2}{A}+\frac{y^2}{B}=1\) (যখন \(A, B>0 \)) আকারের উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার-
\(Q.1.(iii).(a)\) বৃহদাক্ষ \(=20\), ক্ষুদ্রাক্ষ \(=12\), বৃহদাক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{100}=1\)
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{100}=1\)
সমাধানঃ
ধরি, 
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
যার বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\) ➜ \(\because\)বৃহদাক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর।
ক্ষুদ্রাক্ষ \(=2a\)
দেওয়া আছে,
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=20\)
ক্ষুদ্রাক্ষ \(=12\)
\(\therefore 2b=20\) ➜ \(\because\) বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=20\)
\(\Rightarrow b=10\)
\(\therefore b^2=100\)
আবার,
\(\therefore 2a=12\) ➜ \(\because\) ক্ষুদ্রাক্ষ \(=12\)
\(\Rightarrow a=6\)
\(\therefore a^2=36\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{100}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
যার বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\) ➜ \(\because\)বৃহদাক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর।
ক্ষুদ্রাক্ষ \(=2a\)
দেওয়া আছে,
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=20\)
ক্ষুদ্রাক্ষ \(=12\)
\(\therefore 2b=20\) ➜ \(\because\) বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=20\)
\(\Rightarrow b=10\)
\(\therefore b^2=100\)
আবার,
\(\therefore 2a=12\) ➜ \(\because\) ক্ষুদ্রাক্ষ \(=12\)
\(\Rightarrow a=6\)
\(\therefore a^2=36\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{100}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(iii).(b)\) বৃহদাক্ষ \(=10\), কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=4\), বৃহদাক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1\)
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1\)
সমাধানঃ
ধরি, 
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
যার বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\) ➜ \(\because\)বৃহদাক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর।
ক্ষুদ্রাক্ষ \(=2a\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
দেওয়া আছে,
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=10\)
কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=4\)
\(\therefore 2b=10\) ➜ \(\because\) বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=10\)
\(\Rightarrow b=5\)
\(\therefore b^2=25\)
আবার,
\(\therefore be=4\) ➜ \(\because\) কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=4\)
\(\Rightarrow 5e=4\)
\(\Rightarrow e=\frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}=\frac{4}{5}\) ➜ \(\because\) উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}=\frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow 1-\frac{a^2}{b^2}=\frac{16}{25}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 1-\frac{a^2}{25}=\frac{16}{25}\) ➜ \(\because b^2=25\)
\(\Rightarrow \frac{25-a^2}{25}=\frac{16}{25}\)
\(\Rightarrow 25-a^2=16\)
\(\Rightarrow -a^2=16-25\)
\(\Rightarrow -a^2=-9\)
\(\therefore a^2=9\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
যার বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\) ➜ \(\because\)বৃহদাক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর।
ক্ষুদ্রাক্ষ \(=2a\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
দেওয়া আছে,
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=10\)
কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=4\)
\(\therefore 2b=10\) ➜ \(\because\) বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=10\)
\(\Rightarrow b=5\)
\(\therefore b^2=25\)
আবার,
\(\therefore be=4\) ➜ \(\because\) কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=4\)
\(\Rightarrow 5e=4\)
\(\Rightarrow e=\frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}=\frac{4}{5}\) ➜ \(\because\) উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}=\frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow 1-\frac{a^2}{b^2}=\frac{16}{25}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 1-\frac{a^2}{25}=\frac{16}{25}\) ➜ \(\because b^2=25\)
\(\Rightarrow \frac{25-a^2}{25}=\frac{16}{25}\)
\(\Rightarrow 25-a^2=16\)
\(\Rightarrow -a^2=16-25\)
\(\Rightarrow -a^2=-9\)
\(\therefore a^2=9\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(iii).(c)\) বৃহদাক্ষ \(=8\), ক্ষুদ্রাক্ষ \(=6\), বৃহদাক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)
সমাধানঃ
ধরি, 
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
যার বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\) ➜ \(\because\)বৃহদাক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর।
ক্ষুদ্রাক্ষ \(=2b\)
দেওয়া আছে,
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=8\)
ক্ষুদ্রাক্ষ \(=6\)
\(\therefore 2a=8\) ➜ \(\because\) বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=8\)
\(\Rightarrow a=4\)
\(\therefore a^2=16\)
আবার,
\(\therefore 2b=6\) ➜ \(\because\) ক্ষুদ্রাক্ষ \(=6\) \(\Rightarrow b=3\)
\(\therefore b^2=9\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
যার বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\) ➜ \(\because\)বৃহদাক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর।
ক্ষুদ্রাক্ষ \(=2b\)
দেওয়া আছে,
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=8\)
ক্ষুদ্রাক্ষ \(=6\)
\(\therefore 2a=8\) ➜ \(\because\) বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=8\)
\(\Rightarrow a=4\)
\(\therefore a^2=16\)
আবার,
\(\therefore 2b=6\) ➜ \(\because\) ক্ষুদ্রাক্ষ \(=6\) \(\Rightarrow b=3\)
\(\therefore b^2=9\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(iii).(d)\) বৃহদাক্ষ \(=24\), কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=10\), বৃহদাক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{144}+\frac{y^2}{44}=1\)
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{144}+\frac{y^2}{44}=1\)
সমাধানঃ
ধরি, 
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
যার বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\) ➜ \(\because\)বৃহদাক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর।
ক্ষুদ্রাক্ষ \(=2b\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=24\)
কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=10\)
\(\therefore 2a=24\) ➜ \(\because\) বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=24\)
\(\Rightarrow a=12\)
\(\therefore a^2=144\)
আবার,
\(\therefore ae=10\) ➜ \(\because\) কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=10\)
\(\Rightarrow 12e=10\)
\(\Rightarrow e=\frac{10}{12}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}=\frac{10}{12}\) ➜ \(\because\) উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{10}{12}\)
\(\Rightarrow 1-\frac{b^2}{a^2}=\frac{100}{144}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 1-\frac{b^2}{144}=\frac{100}{144}\) ➜ \(\because a^2=144\)
\(\Rightarrow \frac{144-b^2}{144}=\frac{100}{144}\)
\(\Rightarrow 144-b^2=100\)
\(\Rightarrow -b^2=100-144\)
\(\Rightarrow -b^2=-44\)
\(\therefore b^2=44\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{144}+\frac{y^2}{44}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
যার বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\) ➜ \(\because\)বৃহদাক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর।
ক্ষুদ্রাক্ষ \(=2b\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=24\)
কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=10\)
\(\therefore 2a=24\) ➜ \(\because\) বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=24\)
\(\Rightarrow a=12\)
\(\therefore a^2=144\)
আবার,
\(\therefore ae=10\) ➜ \(\because\) কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=10\)
\(\Rightarrow 12e=10\)
\(\Rightarrow e=\frac{10}{12}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}=\frac{10}{12}\) ➜ \(\because\) উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{10}{12}\)
\(\Rightarrow 1-\frac{b^2}{a^2}=\frac{100}{144}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 1-\frac{b^2}{144}=\frac{100}{144}\) ➜ \(\because a^2=144\)
\(\Rightarrow \frac{144-b^2}{144}=\frac{100}{144}\)
\(\Rightarrow 144-b^2=100\)
\(\Rightarrow -b^2=100-144\)
\(\Rightarrow -b^2=-44\)
\(\therefore b^2=44\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{144}+\frac{y^2}{44}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(iv)\) \(p\)-এর মাণ কত হলে \(px^{2}+4y^2=1\) উপবৃত্তটি \((\pm 1, 0)\) বিন্দু দিয়ে যাবে? উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা ও অক্ষ দুইটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৯, ২০০৫,২০১২; বঃ ২০০৯,২০০৫,২০১২; রাঃ ২০০৮;মাঃ ২০১৪,২০১১]
উত্তরঃ \(p=1\); উৎকেন্দ্রিকতা \(=\frac{\sqrt{3}}{2}\); অক্ষ দুইটির দৈর্ঘ্য \(2, 1\)
[ চঃ ২০০৯, ২০০৫,২০১২; বঃ ২০০৯,২০০৫,২০১২; রাঃ ২০০৮;মাঃ ২০১৪,২০১১]
উত্তরঃ \(p=1\); উৎকেন্দ্রিকতা \(=\frac{\sqrt{3}}{2}\); অক্ষ দুইটির দৈর্ঘ্য \(2, 1\)
সমাধানঃ
ধরি,
\(px^{2}+4y^2=1 .......(1)\)
\((1)\) নং উপবৃত্তটি \((\pm 1, 0)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore p(\pm 1)^{2}+4.0^2=1\)
\(\Rightarrow p.1+4.0=1\)
\(\Rightarrow p+0=1\)
\(\therefore p=1\)
\(p\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(1.x^{2}+4y^2=1\)
\(\Rightarrow x^{2}+4y^2=1\)
\(\therefore \frac{x^{2}}{1}+\frac{y^2}{\frac{1}{4}}=1\)
এখানে,
\(a^2=1, b^2=\frac{1}{4}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=1, b=\frac{1}{2}\)
\(\therefore a > b\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{\frac{1}{4}}{1}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{1}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{4-1}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{3}{4}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2.1\)
\(=2\) একক।
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2.\frac{1}{2}\)
\(=1\) একক।
\(px^{2}+4y^2=1 .......(1)\)
\((1)\) নং উপবৃত্তটি \((\pm 1, 0)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore p(\pm 1)^{2}+4.0^2=1\)
\(\Rightarrow p.1+4.0=1\)
\(\Rightarrow p+0=1\)
\(\therefore p=1\)
\(p\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(1.x^{2}+4y^2=1\)
\(\Rightarrow x^{2}+4y^2=1\)
\(\therefore \frac{x^{2}}{1}+\frac{y^2}{\frac{1}{4}}=1\)
এখানে,
\(a^2=1, b^2=\frac{1}{4}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=1, b=\frac{1}{2}\)
\(\therefore a > b\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{\frac{1}{4}}{1}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{1}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{4-1}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{3}{4}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2.1\)
\(=2\) একক।
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2.\frac{1}{2}\)
\(=1\) একক।
\(Q.1.(vii)\) একটি উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{4}{5}\) এবং তা \((\frac{10}{3}, \sqrt{5})\) বিন্দু দিয়ে গমন করে। উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৭,সিঃ ২০০১ ]
উত্তরঃ \(9x^2+25y^2=225\)
[ চঃ ২০০৭,সিঃ ২০০১ ]
উত্তরঃ \(9x^2+25y^2=225\)
সমাধানঃ
ধরি, 
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{4}{5}\)
এবং তা \((\frac{10}{3}, \sqrt{5})\) বিন্দু দিয়ে গমন করে।
\(\therefore \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{4}{5}\) ➜ \(\because\) উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow 1-\frac{b^2}{a^2}=\frac{16}{25}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{a^2-b^2}{a^2}=\frac{16}{25}\)
\(\Rightarrow 25a^2-25b^2=16a^2\)
\(\Rightarrow 25a^2-16a^2=25b^2\)
\(\Rightarrow 9a^2=25b^2\)
\(\therefore a^2=\frac{25b^2}{9} .......(2)\)
আবার,
\(\frac{(\frac{10}{3})^2}{a^2}+\frac{(\sqrt{5})^2}{b^2}=1\) ➜ \(\because\) \((\frac{10}{3}, \sqrt{5})\) বিন্দু দিয়ে গমন করে।
\(\Rightarrow \frac{\frac{100}{9}}{a^2}+\frac{5}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{100}{9a^2}+\frac{5}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{100}{9\times \frac{25b^2}{9}}+\frac{5}{b^2}=1\) ➜ \(\because a^2=\frac{25b^2}{9}\)
\(\Rightarrow \frac{100}{25b^2}+\frac{5}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{100+125}{25b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{225}{25b^2}=1\)
\(\Rightarrow 25b^2=225\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{225}{25}\)
\(\therefore b^2=9\)
\((2)\) হতে,
\(a^2=\frac{25\times 9}{9}\)
\(\therefore a^2=25\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2+25y^2}{225}=1\)
\(\therefore 9x^2+25y^2=225\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{4}{5}\)
এবং তা \((\frac{10}{3}, \sqrt{5})\) বিন্দু দিয়ে গমন করে।
\(\therefore \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{4}{5}\) ➜ \(\because\) উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow 1-\frac{b^2}{a^2}=\frac{16}{25}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{a^2-b^2}{a^2}=\frac{16}{25}\)
\(\Rightarrow 25a^2-25b^2=16a^2\)
\(\Rightarrow 25a^2-16a^2=25b^2\)
\(\Rightarrow 9a^2=25b^2\)
\(\therefore a^2=\frac{25b^2}{9} .......(2)\)
আবার,
\(\frac{(\frac{10}{3})^2}{a^2}+\frac{(\sqrt{5})^2}{b^2}=1\) ➜ \(\because\) \((\frac{10}{3}, \sqrt{5})\) বিন্দু দিয়ে গমন করে।
\(\Rightarrow \frac{\frac{100}{9}}{a^2}+\frac{5}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{100}{9a^2}+\frac{5}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{100}{9\times \frac{25b^2}{9}}+\frac{5}{b^2}=1\) ➜ \(\because a^2=\frac{25b^2}{9}\)
\(\Rightarrow \frac{100}{25b^2}+\frac{5}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{100+125}{25b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{225}{25b^2}=1\)
\(\Rightarrow 25b^2=225\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{225}{25}\)
\(\therefore b^2=9\)
\((2)\) হতে,
\(a^2=\frac{25\times 9}{9}\)
\(\therefore a^2=25\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2+25y^2}{225}=1\)
\(\therefore 9x^2+25y^2=225\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(viii)\) দেখাও যে, \(20x^2+36y^2+40x-108y-79=0\) একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
\(20x^2+36y^2+40x-108y-79=0\)
\(\Rightarrow 20x^2+40x+36y^2-108y-79=0\)
\(\Rightarrow 20(x^2+2x)+36(y^2-3y)-79=0\)
\(\Rightarrow 20(x^2+2x+1-1)+36(y^2-3y+\frac{9}{4}-\frac{9}{4})-79=0\)
\(\Rightarrow 20(x^2+2x+1)-20+36(y^2-3y+\frac{9}{4})-81-79=0\)
\(\Rightarrow 20(x^2+2x+1)+36(y^2-3y+\frac{9}{4})-180=0\)
\(\Rightarrow 20(x+1)^2+36\left(y-\frac{3}{2}\right)^2=180\)
\(\Rightarrow \frac{20(x+1)^2}{180}+\frac{36\left(y-\frac{3}{2}\right)^2}{180}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(180\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{(x+1)^2}{9}+\frac{\left(y-\frac{3}{2}\right)^2}{5}=1\)
ধরি,
\(X=x+1, Y=y-\frac{3}{2}\)
\(\therefore \frac{X^2}{9}+\frac{Y^2}{5}=1\) ➜ যা \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর অনুরূপ ।
\(\therefore \) সমীকরণটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে।
এখানে,
\(a^2=9, b^2=5\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=\sqrt{5}\)
\(\therefore a>b \)
\(20x^2+36y^2+40x-108y-79=0\)
\(\Rightarrow 20x^2+40x+36y^2-108y-79=0\)
\(\Rightarrow 20(x^2+2x)+36(y^2-3y)-79=0\)
\(\Rightarrow 20(x^2+2x+1-1)+36(y^2-3y+\frac{9}{4}-\frac{9}{4})-79=0\)
\(\Rightarrow 20(x^2+2x+1)-20+36(y^2-3y+\frac{9}{4})-81-79=0\)
\(\Rightarrow 20(x^2+2x+1)+36(y^2-3y+\frac{9}{4})-180=0\)
\(\Rightarrow 20(x+1)^2+36\left(y-\frac{3}{2}\right)^2=180\)
\(\Rightarrow \frac{20(x+1)^2}{180}+\frac{36\left(y-\frac{3}{2}\right)^2}{180}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(180\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{(x+1)^2}{9}+\frac{\left(y-\frac{3}{2}\right)^2}{5}=1\)
ধরি,
\(X=x+1, Y=y-\frac{3}{2}\)
\(\therefore \frac{X^2}{9}+\frac{Y^2}{5}=1\) ➜ যা \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর অনুরূপ ।
\(\therefore \) সমীকরণটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে।
এখানে,
\(a^2=9, b^2=5\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=\sqrt{5}\)
\(\therefore a>b \)
\(Q.1.(ix)\) দেখাও যে, \(5x^2+9y^2-30x=0\) একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে। এর উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \((1, 0), (5, 0)\)
[ যঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \((1, 0), (5, 0)\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
\(5x^2+9y^2-30x=0\)
\(\Rightarrow 5x^2-30x+9y^2=0\)
\(\Rightarrow 5(x^2-6x)+9y^2=0\)
\(\Rightarrow 5(x^2-6x+9-9)+9y^2=0\)
\(\Rightarrow 5(x^2-6x+9)-45+9y^2=0\)
\(\Rightarrow 5(x-3)^2+9y^2=45\)
\(\Rightarrow \frac{5(x-3)^2}{45}+\frac{9y^2}{45}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(45\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{(x-3)^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1\) ➜ যা \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর অনুরূপ ।
\(\therefore \) সমীকরণটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে।
\(\therefore \frac{X^2}{9}+\frac{Y^2}{5}=1\) যেখানে, \(x-3=X, y=Y\)
এখানে,
\(a^2=9, b^2=5\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=\sqrt{5}\)
\(\therefore a>b \)
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{5}{9}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{9-5}{9}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{4}{9}}\)
\(\therefore e=\frac{2}{3}\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow X=\pm ae, Y=0\)
\(\Rightarrow x-3=\pm 3\times \frac{2}{3}, y=0\)
\(\Rightarrow x-3=\pm 2, y=0\)
\(\Rightarrow x=\pm 2+3, y=0\)
\(\Rightarrow x=2+3,-2+3; y=0\)
\(\Rightarrow x=5,1; y=0\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্র দ্বয় \( (5, 0), (1, 0)\)
\(5x^2+9y^2-30x=0\)
\(\Rightarrow 5x^2-30x+9y^2=0\)
\(\Rightarrow 5(x^2-6x)+9y^2=0\)
\(\Rightarrow 5(x^2-6x+9-9)+9y^2=0\)
\(\Rightarrow 5(x^2-6x+9)-45+9y^2=0\)
\(\Rightarrow 5(x-3)^2+9y^2=45\)
\(\Rightarrow \frac{5(x-3)^2}{45}+\frac{9y^2}{45}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(45\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{(x-3)^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1\) ➜ যা \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর অনুরূপ ।
\(\therefore \) সমীকরণটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে।
\(\therefore \frac{X^2}{9}+\frac{Y^2}{5}=1\) যেখানে, \(x-3=X, y=Y\)
এখানে,
\(a^2=9, b^2=5\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=\sqrt{5}\)
\(\therefore a>b \)
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{5}{9}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{9-5}{9}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{4}{9}}\)
\(\therefore e=\frac{2}{3}\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow X=\pm ae, Y=0\)
\(\Rightarrow x-3=\pm 3\times \frac{2}{3}, y=0\)
\(\Rightarrow x-3=\pm 2, y=0\)
\(\Rightarrow x=\pm 2+3, y=0\)
\(\Rightarrow x=2+3,-2+3; y=0\)
\(\Rightarrow x=5,1; y=0\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্র দ্বয় \( (5, 0), (1, 0)\)
\(Q.1.(x)\) একটি উপবৃত্ত \(\frac{x}{9}+\frac{y}{4}=1\) রেখাকে \(X\) অক্ষের উপর এবং \(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1\) রেখাকে \(Y\) অক্ষের উপর ছেদ করে। তার সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{9}=1; (\pm 2\sqrt{19}, 0)\)
[ যঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{9}=1; (\pm 2\sqrt{19}, 0)\)
সমাধানঃ
ধরি, 
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
\(\frac{x}{9}+\frac{y}{4}=1 ....(2)\)
\(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1 ....(3)\)
\((1)\) ও \((2)\)-এর ছেদবিন্দুতে \(y=0\) হবে, কেননা \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
\((2)\) হতে,
\(\frac{x}{9}+\frac{0}{4}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{9}+0=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{9}=1\)
\(\therefore x=9\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \((9, 0)\)
\((1)\) ও \((3)\)-এর ছেদবিন্দুতে \(x=0\) হবে, কেননা \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
\((3)\) হতে,
\(\frac{0}{2}+\frac{y}{3}=1\)
\(\Rightarrow 0+\frac{y}{3}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y}{3}=1\)
\(\therefore y=3\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \((0, 3)\)
শর্তমতে,
\((1)\) নং উপবৃত্ত \((9, 0) , (0, 3) \) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore \frac{9^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{81}{a^2}+\frac{0}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{81}{a^2}=1 \)
\(\therefore a^2=81\Rightarrow a=9 \)
আবার,
\(\therefore \frac{0^2}{a^2}+\frac{3^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{0}{a^2}+\frac{9}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{9}{b^2}=1 \)
\(\therefore b^2=9\Rightarrow b=3 \)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{9}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
ইহা স্পষ্ট যে, \(a>b\)
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{9}{81}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{81-5}{81}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{76}{81}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{4\times 19}{81}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{4\times 19}{81}}\)
\(\therefore e=\frac{2\sqrt{19}}{9}\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm 2\sqrt{19}, 0)\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্র দ্বয় \((\pm 2\sqrt{19}, 0)\)
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
\(\frac{x}{9}+\frac{y}{4}=1 ....(2)\)
\(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1 ....(3)\)
\((1)\) ও \((2)\)-এর ছেদবিন্দুতে \(y=0\) হবে, কেননা \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
\((2)\) হতে,
\(\frac{x}{9}+\frac{0}{4}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{9}+0=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{9}=1\)
\(\therefore x=9\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \((9, 0)\)
\((1)\) ও \((3)\)-এর ছেদবিন্দুতে \(x=0\) হবে, কেননা \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
\((3)\) হতে,
\(\frac{0}{2}+\frac{y}{3}=1\)
\(\Rightarrow 0+\frac{y}{3}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y}{3}=1\)
\(\therefore y=3\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \((0, 3)\)
শর্তমতে,
\((1)\) নং উপবৃত্ত \((9, 0) , (0, 3) \) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore \frac{9^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{81}{a^2}+\frac{0}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{81}{a^2}=1 \)
\(\therefore a^2=81\Rightarrow a=9 \)
আবার,
\(\therefore \frac{0^2}{a^2}+\frac{3^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{0}{a^2}+\frac{9}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{9}{b^2}=1 \)
\(\therefore b^2=9\Rightarrow b=3 \)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{9}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
ইহা স্পষ্ট যে, \(a>b\)
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{9}{81}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{81-5}{81}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{76}{81}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{4\times 19}{81}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{4\times 19}{81}}\)
\(\therefore e=\frac{2\sqrt{19}}{9}\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm 2\sqrt{19}, 0)\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্র দ্বয় \((\pm 2\sqrt{19}, 0)\)
\(Q.1.(xi)\) প্রমাণ কর যে, \(y=x-5\) রেখাটি \(9x^2+16y^2=144\) উপবৃত্তকে স্পর্শ করে। স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ,চঃ ২০০৪]
উত্তরঃ \((\frac{16}{5}, -\frac{9}{5})\)
[ ঢাঃ,চঃ ২০০৪]
উত্তরঃ \((\frac{16}{5}, -\frac{9}{5})\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(9x^2+16y^2=144\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2}{144}+\frac{16y^2}{144}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(144\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1 ......(1)\)
এখানে,
\(a^2=16, b^2=9\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4, b=3\)
\(\therefore a>b \)
আবার,
\(y=x-5 .......(2)\)
এখানে,
\(m=1, c=-5\) ➜ \(y=mx+c\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
এখন,
\(a^2m^2+b^2=4^2\times 1^2+3^2\)
\(=16\times 1+9\)
\(=16+9\)
\(=25\)
\(=(-5)^2\)
\(=c^2\) ➜ \(y=mx+c\) রেখা \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \) উপবৃত্তকে স্পর্শ করার শর্ত \(a^2m^2+b^2=c^2\) ।
অতএব, \((2)\) নং সরলরেখাটি \( (1)\) নং উপবৃত্তকে স্পর্শ করে।
\((2)\) হতে \(y\)-এর মাণ \( (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{16}+\frac{(x-5)^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}+\frac{x^2-10x+25}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2+16x^2-160x+400}{144}=1\)
\(\Rightarrow 25x^2-160x+400=144\)
\(\Rightarrow 25x^2-160x+400-144=0\)
\(\Rightarrow 25x^2-160x+256=0\)
\(\Rightarrow (5x-16)^2=0\)
\(\Rightarrow 5x-16=0\)
\(\Rightarrow 5x=16\)
\(\therefore x=\frac{16}{5}\)
আবার,
\((2)\) হতে,
\(y=\frac{16}{5}-5 \)
\(\Rightarrow y=\frac{16-25}{5}\)
\(\Rightarrow y=\frac{-9}{5}\)
\(\Rightarrow y=-\frac{9}{5}\)
স্পর্শবিন্দু \(\left(\frac{16}{5}, -\frac{9}{5}\right)\)
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(9x^2+16y^2=144\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2}{144}+\frac{16y^2}{144}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(144\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1 ......(1)\)
এখানে,
\(a^2=16, b^2=9\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4, b=3\)
\(\therefore a>b \)
আবার,
\(y=x-5 .......(2)\)
এখানে,
\(m=1, c=-5\) ➜ \(y=mx+c\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
এখন,
\(a^2m^2+b^2=4^2\times 1^2+3^2\)
\(=16\times 1+9\)
\(=16+9\)
\(=25\)
\(=(-5)^2\)
\(=c^2\) ➜ \(y=mx+c\) রেখা \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \) উপবৃত্তকে স্পর্শ করার শর্ত \(a^2m^2+b^2=c^2\) ।
অতএব, \((2)\) নং সরলরেখাটি \( (1)\) নং উপবৃত্তকে স্পর্শ করে।
\((2)\) হতে \(y\)-এর মাণ \( (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{16}+\frac{(x-5)^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}+\frac{x^2-10x+25}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2+16x^2-160x+400}{144}=1\)
\(\Rightarrow 25x^2-160x+400=144\)
\(\Rightarrow 25x^2-160x+400-144=0\)
\(\Rightarrow 25x^2-160x+256=0\)
\(\Rightarrow (5x-16)^2=0\)
\(\Rightarrow 5x-16=0\)
\(\Rightarrow 5x=16\)
\(\therefore x=\frac{16}{5}\)
আবার,
\((2)\) হতে,
\(y=\frac{16}{5}-5 \)
\(\Rightarrow y=\frac{16-25}{5}\)
\(\Rightarrow y=\frac{-9}{5}\)
\(\Rightarrow y=-\frac{9}{5}\)
স্পর্শবিন্দু \(\left(\frac{16}{5}, -\frac{9}{5}\right)\)
\(Q.1.(xii)\) কোনো উপবৃত্তের একটি ফোকাস এবং এর অনুরূপ দিকাক্ষের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(16\) এবং এর উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{3}{5}\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়ের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(30, 24\)
উত্তরঃ \(30, 24\)
সমাধানঃ
ধরি, 
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ......(1)\)
অক্ষদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(2a, 2b\)
ফোকাস \((ae, 0)\)
অনুরূপ দিকাক্ষের সমীকরণ \(x=\frac{a}{e}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{3}{5}\)
ফকাস এবং এর অনুরূপ দিকাক্ষের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(16\)
\(\therefore |ae-\frac{a}{e}|=16\)
\(\Rightarrow a|\frac{3}{5}-\frac{5}{3}|=16\)
\(\Rightarrow a|\frac{9-25}{15}|=16\)
\(\Rightarrow a|-\frac{16}{15}|=16\)
\(\Rightarrow a|\frac{16}{15}|=16\)
\(\Rightarrow a\times \frac{16}{15}=16\)
\(\Rightarrow a =16\times \frac{15}{16}\)
\(\Rightarrow a =15\)
আবার,
\(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{3}{5}=\sqrt{1-\frac{b^2}{15^2}}\) ➜ \(\because \) উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{3}{5}, a=15\)
\(\Rightarrow \frac{3}{5}=\sqrt{1-\frac{b^2}{225}}\)
\(\Rightarrow \frac{9}{25}=1-\frac{b^2}{225}\)
\(\Rightarrow \frac{9}{25}=\frac{225-b^2}{225}\)
\(\Rightarrow \frac{9}{25}\times 225=225-b^2\)
\(\Rightarrow 9\times 9=225-b^2\)
\(\Rightarrow 81=225-b^2\)
\(\Rightarrow b^2=225-81\)
\(\Rightarrow b^2=144\)
\(\Rightarrow b=12\)
এখন,
অক্ষদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(2\times 15, 2\times 12\)
\(\Rightarrow 30, 24\)
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ......(1)\)
অক্ষদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(2a, 2b\)
ফোকাস \((ae, 0)\)
অনুরূপ দিকাক্ষের সমীকরণ \(x=\frac{a}{e}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{3}{5}\)
ফকাস এবং এর অনুরূপ দিকাক্ষের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(16\)
\(\therefore |ae-\frac{a}{e}|=16\)
\(\Rightarrow a|\frac{3}{5}-\frac{5}{3}|=16\)
\(\Rightarrow a|\frac{9-25}{15}|=16\)
\(\Rightarrow a|-\frac{16}{15}|=16\)
\(\Rightarrow a|\frac{16}{15}|=16\)
\(\Rightarrow a\times \frac{16}{15}=16\)
\(\Rightarrow a =16\times \frac{15}{16}\)
\(\Rightarrow a =15\)
আবার,
\(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{3}{5}=\sqrt{1-\frac{b^2}{15^2}}\) ➜ \(\because \) উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{3}{5}, a=15\)
\(\Rightarrow \frac{3}{5}=\sqrt{1-\frac{b^2}{225}}\)
\(\Rightarrow \frac{9}{25}=1-\frac{b^2}{225}\)
\(\Rightarrow \frac{9}{25}=\frac{225-b^2}{225}\)
\(\Rightarrow \frac{9}{25}\times 225=225-b^2\)
\(\Rightarrow 9\times 9=225-b^2\)
\(\Rightarrow 81=225-b^2\)
\(\Rightarrow b^2=225-81\)
\(\Rightarrow b^2=144\)
\(\Rightarrow b=12\)
এখন,
অক্ষদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(2\times 15, 2\times 12\)
\(\Rightarrow 30, 24\)
\(Q.1.(xiii)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(8\) এবং দিকাক্ষ দুইটি \(18\) একক দূরত্বে অবস্থিত।
[ রাঃ ২০০২,২০০৩]
উত্তরঃ \(5x^2+9y^2=180 \)
[ রাঃ ২০০২,২০০৩]
উত্তরঃ \(5x^2+9y^2=180 \)
সমাধানঃ
ধরি, 
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 .......(1)\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
দিকাক্ষের সমীকরণ \(x=\pm \frac{a}{e}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(2ae=8\) ➜ \(\because\) উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(|2ae|\)
\(\Rightarrow ae=4 .....(2)\)
এবং দিকাক্ষ দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব \(\frac{2a}{e}=18\) ➜ \(\because\) দিকাক্ষ দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব \(|\frac{2a}{e}|\)
\(\Rightarrow \frac{a}{e}=9\)
\(\Rightarrow \frac{ae}{e^2}=9\)
\(\Rightarrow \frac{4}{e^2}=9\) ➜ \(\because ae=4\)
\(\Rightarrow 9e^2=4\)
\(\Rightarrow e^2=\frac{4}{9}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{4}{9}}\)
\(\therefore e=\frac{2}{3}\)
\((2)\) হতে,
\(a\times \frac{2}{3}=4\)
\(\Rightarrow a=4\times \frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow a=2\times 3\)
\(\Rightarrow a=6\)
\(\therefore a^2=36\)
আবার,
\(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{2}{3}=\sqrt{1-\frac{b^2}{6^2}}\) ➜ \(\because \) উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{2}{3}, a=6\)
\(\Rightarrow \frac{2}{3}=\sqrt{1-\frac{b^2}{36}}\)
\(\Rightarrow \frac{4}{9}=1-\frac{b^2}{36}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{4}{9}=\frac{36-b^2}{36}\)
\(\Rightarrow \frac{4}{9}\times 36=36-b^2\)
\(\Rightarrow 4\times 4=36-b^2\)
\(\Rightarrow 16=36-b^2\)
\(\Rightarrow b^2=36-16\)
\(\Rightarrow b^2=20\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1\)
\(\Rightarrow \frac{5x^2+9y^2}{180}=1\)
\(\therefore 5x^2+9y^2=180\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 .......(1)\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
দিকাক্ষের সমীকরণ \(x=\pm \frac{a}{e}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(2ae=8\) ➜ \(\because\) উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(|2ae|\)
\(\Rightarrow ae=4 .....(2)\)
এবং দিকাক্ষ দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব \(\frac{2a}{e}=18\) ➜ \(\because\) দিকাক্ষ দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব \(|\frac{2a}{e}|\)
\(\Rightarrow \frac{a}{e}=9\)
\(\Rightarrow \frac{ae}{e^2}=9\)
\(\Rightarrow \frac{4}{e^2}=9\) ➜ \(\because ae=4\)
\(\Rightarrow 9e^2=4\)
\(\Rightarrow e^2=\frac{4}{9}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{4}{9}}\)
\(\therefore e=\frac{2}{3}\)
\((2)\) হতে,
\(a\times \frac{2}{3}=4\)
\(\Rightarrow a=4\times \frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow a=2\times 3\)
\(\Rightarrow a=6\)
\(\therefore a^2=36\)
আবার,
\(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{2}{3}=\sqrt{1-\frac{b^2}{6^2}}\) ➜ \(\because \) উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{2}{3}, a=6\)
\(\Rightarrow \frac{2}{3}=\sqrt{1-\frac{b^2}{36}}\)
\(\Rightarrow \frac{4}{9}=1-\frac{b^2}{36}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{4}{9}=\frac{36-b^2}{36}\)
\(\Rightarrow \frac{4}{9}\times 36=36-b^2\)
\(\Rightarrow 4\times 4=36-b^2\)
\(\Rightarrow 16=36-b^2\)
\(\Rightarrow b^2=36-16\)
\(\Rightarrow b^2=20\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1\)
\(\Rightarrow \frac{5x^2+9y^2}{180}=1\)
\(\therefore 5x^2+9y^2=180\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(xiv)\) কোনো উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্ব উপবৃত্তটির ক্ষুদ্র অক্ষের অর্ধেক । উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০০১১]
উত্তরঃ \(e=\frac{\sqrt{3}}{2} \)
[ বঃ ২০০১১]
উত্তরঃ \(e=\frac{\sqrt{3}}{2} \)
সমাধানঃ
ধরি, 
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b).........(1)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
ক্ষুদ্র অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
শর্তমতে,
\(\frac{2b^2}{a}=\frac{2b}{2}\) ➜ দেওয়া আছে, উপকেন্দ্রিক লম্ব উপবৃত্তটির ক্ষুদ্র অক্ষের অর্ধেক ।
\(\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{1}{2}\)
\(\therefore a=2b .......(2)\)
আবার,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{b^2}{(2b)^2}}\) ➜ \(\because a=2b\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{b^2}{4b^2}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{1}{4}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{4-1}{4}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{3}{4}}\)
\(\therefore e=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b).........(1)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
ক্ষুদ্র অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
শর্তমতে,
\(\frac{2b^2}{a}=\frac{2b}{2}\) ➜ দেওয়া আছে, উপকেন্দ্রিক লম্ব উপবৃত্তটির ক্ষুদ্র অক্ষের অর্ধেক ।
\(\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{1}{2}\)
\(\therefore a=2b .......(2)\)
আবার,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{b^2}{(2b)^2}}\) ➜ \(\because a=2b\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{b^2}{4b^2}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{1}{4}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{4-1}{4}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{3}{4}}\)
\(\therefore e=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(Q.1.(xv)\) \(5x^2+9y^2-20x=25\) উপবৃত্তটির কেন্দ্র এবং উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০২;চঃ,সিঃ ২০০৮;বঃ২০০৬; কুঃ২০০৭ ]
উত্তরঃ \((2, 0); (0, 0), (4, 0)\)
[ঢাঃ ২০০২;চঃ,সিঃ ২০০৮;বঃ২০০৬; কুঃ২০০৭ ]
উত্তরঃ \((2, 0); (0, 0), (4, 0)\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(5x^2+9y^2-20x=25\)
\(\Rightarrow 5x^2-20x+9y^2=25\)
\(\Rightarrow 5(x^2-4x)+9y^2=25\)
\(\Rightarrow 5(x^2-4x+4-4)+9y^2=25\)
\(\Rightarrow 5(x^2-4x+4)-20+9y^2=25\)
\(\Rightarrow 5(x-2)^2+9y^2=25+20\)
\(\Rightarrow 5(x-2)^2+9y^2=45\)
\(\Rightarrow \frac{5(x-2)^2}{45}+\frac{9y^2}{45}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(45\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{(x-2)^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1\)
\(\Rightarrow \frac{X^2}{9}+\frac{Y^2}{5}=1 ......(1)\) যেখানে, \(x-2=X, y=Y\)
এখানে,
\(a^2=9, b^2=5\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=\sqrt{5}\)
\(\therefore a>b \)
উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{5}{9}}\) ➜ \(\because a^2=9, b^2=5\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{9-5}{9}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{4}{9}}\)
\(\therefore e=\frac{2}{3}\)
উপবৃত্তটির কেন্দ্র \((0, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x-2=0, y=0\)
\(\therefore x=2, y=0\)
\(\therefore \) উপবৃত্তটির কেন্দ্র \((2, 0)\)
উপবৃত্তটির উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow X=\pm ae, Y=0\)
\(\Rightarrow x-2=\pm 2, y=0\)
\(\Rightarrow x=\pm 2+2, y=0\)
\(\Rightarrow x=2+2,-2+2, y=0\)
\(\therefore x=4,0, y=0\)
\(\therefore \) উপবৃত্তটির উপকেন্দ্র \((4, 0), (0, 0)\)
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(5x^2+9y^2-20x=25\)
\(\Rightarrow 5x^2-20x+9y^2=25\)
\(\Rightarrow 5(x^2-4x)+9y^2=25\)
\(\Rightarrow 5(x^2-4x+4-4)+9y^2=25\)
\(\Rightarrow 5(x^2-4x+4)-20+9y^2=25\)
\(\Rightarrow 5(x-2)^2+9y^2=25+20\)
\(\Rightarrow 5(x-2)^2+9y^2=45\)
\(\Rightarrow \frac{5(x-2)^2}{45}+\frac{9y^2}{45}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(45\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{(x-2)^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1\)
\(\Rightarrow \frac{X^2}{9}+\frac{Y^2}{5}=1 ......(1)\) যেখানে, \(x-2=X, y=Y\)
এখানে,
\(a^2=9, b^2=5\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=\sqrt{5}\)
\(\therefore a>b \)
উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{5}{9}}\) ➜ \(\because a^2=9, b^2=5\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{9-5}{9}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{4}{9}}\)
\(\therefore e=\frac{2}{3}\)
উপবৃত্তটির কেন্দ্র \((0, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x-2=0, y=0\)
\(\therefore x=2, y=0\)
\(\therefore \) উপবৃত্তটির কেন্দ্র \((2, 0)\)
উপবৃত্তটির উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow X=\pm ae, Y=0\)
\(\Rightarrow x-2=\pm 2, y=0\)
\(\Rightarrow x=\pm 2+2, y=0\)
\(\Rightarrow x=2+2,-2+2, y=0\)
\(\therefore x=4,0, y=0\)
\(\therefore \) উপবৃত্তটির উপকেন্দ্র \((4, 0), (0, 0)\)
\(Q.1.(xvi)\) \(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{p}=1\) উপবৃত্তটি \((4, 6)\) বিন্দু দিয়ে গমন করলে \(p\)-এর মাণ নির্ণয় কর। ইহার উৎকেন্দ্রিকতা ও উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০১৩,বঃ২০০৭ ।]
উত্তরঃ \(p=100; e=\frac{\sqrt{3}}{2}, (0, \pm 5\sqrt{3})\)
[ যঃ ২০১৩,বঃ২০০৭ ।]
উত্তরঃ \(p=100; e=\frac{\sqrt{3}}{2}, (0, \pm 5\sqrt{3})\)
সমাধানঃ
ধরি, 
\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{p}=1 ........(1)\)
\((1)\) নং উপবৃত্তটি \((4, 6)\) বিন্দু দিয়ে গমন করে।
\(\therefore \frac{4^2}{25}+\frac{6^2}{p}=1\)
\(\Rightarrow \frac{16}{25}+\frac{36}{p}=1\)
\(\Rightarrow \frac{36}{p}=1-\frac{16}{25}\)
\(\Rightarrow \frac{36}{p}=\frac{25-16}{25}\)
\(\Rightarrow \frac{36}{p}=\frac{9}{25}\)
\(\Rightarrow 9p=25\times 36\)
\(\Rightarrow p=\frac{25\times 36}{9}\)
\(\Rightarrow p=25\times 4\)
\(\therefore p=100\)
\(p\)-এর এই মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{100}=1 ........(2)\)
এখানে,
\(a^2=25, b^2=100\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=5, b=10\)
\(\therefore a < b \)
উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{25}{100}}\) ➜ \(\because a^2=25, b^2=100\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{100-25}{100}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{75}{100}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{3}{4}}\)
\(\therefore e=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
উপবৃত্তটির উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (0, \pm 10\times \frac{\sqrt{3}}{2})\)
\(\Rightarrow (0, \pm 5\times \sqrt{3})\)
\(\therefore (0, \pm 5\sqrt{3})\)
\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{p}=1 ........(1)\)
\((1)\) নং উপবৃত্তটি \((4, 6)\) বিন্দু দিয়ে গমন করে।
\(\therefore \frac{4^2}{25}+\frac{6^2}{p}=1\)
\(\Rightarrow \frac{16}{25}+\frac{36}{p}=1\)
\(\Rightarrow \frac{36}{p}=1-\frac{16}{25}\)
\(\Rightarrow \frac{36}{p}=\frac{25-16}{25}\)
\(\Rightarrow \frac{36}{p}=\frac{9}{25}\)
\(\Rightarrow 9p=25\times 36\)
\(\Rightarrow p=\frac{25\times 36}{9}\)
\(\Rightarrow p=25\times 4\)
\(\therefore p=100\)
\(p\)-এর এই মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{100}=1 ........(2)\)
এখানে,
\(a^2=25, b^2=100\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=5, b=10\)
\(\therefore a < b \)
উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{25}{100}}\) ➜ \(\because a^2=25, b^2=100\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{100-25}{100}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{75}{100}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{3}{4}}\)
\(\therefore e=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
উপবৃত্তটির উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (0, \pm 10\times \frac{\sqrt{3}}{2})\)
\(\Rightarrow (0, \pm 5\times \sqrt{3})\)
\(\therefore (0, \pm 5\sqrt{3})\)
\(Q.1.(xvii)\) উপবৃত্তের অক্ষ দুইটিকে \(X\) ও \(Y\)-অক্ষ ধরে \((2, 4)\) ও \((5, \sqrt{2})\) বিন্দুগামী উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(2x^2+3y^2=56\)
[ রাঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(2x^2+3y^2=56\)
সমাধানঃ
ধরি, 
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 .........(1)\)
\((1)\) নং উপবৃত্তটি \((2, 4)\) ও \((5, \sqrt{2})\) বিন্দু দিয়ে গমন করে।
\(\therefore \frac{2^2}{a^2}+\frac{4^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{4}{a^2}+\frac{16}{b^2}=1 ..........(2)\)
আবার,
\(\frac{5^2}{a^2}+\frac{(\sqrt{2})^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{25}{a^2}+\frac{2}{b^2}=1 ..........(3)\)
\((3)\times 8-(2) \)-এর সাহায্যে,
\(\frac{200}{a^2}+\frac{16}{b^2}-\frac{4}{a^2}-\frac{16}{b^2}=8-1 \)
\(\Rightarrow \frac{200}{a^2}-\frac{4}{a^2}=7 \)
\(\Rightarrow \frac{200-4}{a^2}=7 \)
\(\Rightarrow \frac{196}{a^2}=7 \)
\(\Rightarrow 7a^2=196 \)
\(\Rightarrow a^2=\frac{196}{7} \)
\(\therefore a^2=28 \)
\(a^2\)-এর এই মাণ \((2)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{4}{28}+\frac{16}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{1}{7}+\frac{16}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{16}{b^2}=1-\frac{1}{7}\)
\(\Rightarrow \frac{16}{b^2}=\frac{7-1}{7}\)
\(\Rightarrow \frac{16}{b^2}=\frac{6}{7}\)
\(\Rightarrow 6b^2=7\times 16\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{7\times 16}{6}\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{7\times 8}{3}\)
\(\therefore b^2=\frac{56}{3}\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{28}+\frac{y^2}{\frac{56}{3}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{28}+\frac{3y^2}{56}=1\)
\(\Rightarrow \frac{2x^2+3y^2}{56}=1\)
\(\therefore 2x^2+3y^2=56\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 .........(1)\)
\((1)\) নং উপবৃত্তটি \((2, 4)\) ও \((5, \sqrt{2})\) বিন্দু দিয়ে গমন করে।
\(\therefore \frac{2^2}{a^2}+\frac{4^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{4}{a^2}+\frac{16}{b^2}=1 ..........(2)\)
আবার,
\(\frac{5^2}{a^2}+\frac{(\sqrt{2})^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{25}{a^2}+\frac{2}{b^2}=1 ..........(3)\)
\((3)\times 8-(2) \)-এর সাহায্যে,
\(\frac{200}{a^2}+\frac{16}{b^2}-\frac{4}{a^2}-\frac{16}{b^2}=8-1 \)
\(\Rightarrow \frac{200}{a^2}-\frac{4}{a^2}=7 \)
\(\Rightarrow \frac{200-4}{a^2}=7 \)
\(\Rightarrow \frac{196}{a^2}=7 \)
\(\Rightarrow 7a^2=196 \)
\(\Rightarrow a^2=\frac{196}{7} \)
\(\therefore a^2=28 \)
\(a^2\)-এর এই মাণ \((2)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{4}{28}+\frac{16}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{1}{7}+\frac{16}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{16}{b^2}=1-\frac{1}{7}\)
\(\Rightarrow \frac{16}{b^2}=\frac{7-1}{7}\)
\(\Rightarrow \frac{16}{b^2}=\frac{6}{7}\)
\(\Rightarrow 6b^2=7\times 16\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{7\times 16}{6}\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{7\times 8}{3}\)
\(\therefore b^2=\frac{56}{3}\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{28}+\frac{y^2}{\frac{56}{3}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{28}+\frac{3y^2}{56}=1\)
\(\Rightarrow \frac{2x^2+3y^2}{56}=1\)
\(\therefore 2x^2+3y^2=56\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(xviii)(a) - Q.1.(xviii)(d)\) কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে উপবৃত্তের পরামিতিক স্থানাঙ্ক দেওয়া আছে, উপবৃত্তগুলির প্রমিত সমীকরণ নির্ণয় কর। যেখানে \(\theta\) হলো কোনো বিন্দুর উপকেন্দ্রিক কোণ।
\(Q.1.(xviii).(a)\) \(4\cos\theta, \sqrt{5}\sin\theta\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{5}=1\)
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{5}=1\)
সমাধানঃ
ধরি, 
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 .........(1)\)
যার পরামিতিক স্থানাঙ্ক, \((a\cos\theta, b\sin\theta)\)
দেওয়া আছে,
উপবৃত্তের পরামিতিক স্থানাঙ্ক, \((4\cos\theta, \sqrt{5}\sin\theta)\)
\(\therefore (a\cos\theta, b\sin\theta)\Rightarrow (4\cos\theta, \sqrt{5}\sin\theta)\)
\(\Rightarrow a=4, b=\sqrt{5}\)
\(\therefore a^2=16, b^2=5\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{5}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 .........(1)\)
যার পরামিতিক স্থানাঙ্ক, \((a\cos\theta, b\sin\theta)\)
দেওয়া আছে,
উপবৃত্তের পরামিতিক স্থানাঙ্ক, \((4\cos\theta, \sqrt{5}\sin\theta)\)
\(\therefore (a\cos\theta, b\sin\theta)\Rightarrow (4\cos\theta, \sqrt{5}\sin\theta)\)
\(\Rightarrow a=4, b=\sqrt{5}\)
\(\therefore a^2=16, b^2=5\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{5}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(xix)\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে মূখ্য অক্ষ বিবেচনা করে উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\pm 2, 0)\) এবং বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(16\) ।
উত্তরঃ \(15x^2+16y^2=960\)
উত্তরঃ \(15x^2+16y^2=960\)
সমাধানঃ
ধরি, 
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b).........(1)\)
যার উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\pm ae, 0)\)
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
যার উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\pm 2, 0)\)
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=16\)
\(\therefore 2a=16\)
\(\Rightarrow a=8\)
\(\therefore a^2=64\)
আবার,
\((\pm ae, 0)\Rightarrow (\pm 2, 0)\) ➜ \(\because \) উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\pm 2, 0)\)
\(\Rightarrow ae=2\)
\(\Rightarrow 8e=2\)
\(\Rightarrow e=\frac{2}{8}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{1}{4}\) ➜ \(\because \) উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow 1-\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{16}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 1-\frac{b^2}{64}=\frac{1}{16}\) ➜ \(\because a^2=64\)
\(\Rightarrow \frac{64-b^2}{64}=\frac{1}{16}\)
\(\Rightarrow 64-b^2=\frac{1}{16}\times 64\)
\(\Rightarrow 64-b^2=4\)
\(\Rightarrow -b^2=4-64\)
\(\Rightarrow -b^2=-60\)
\(\Rightarrow b^2=60\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{60}=1\)
\(\Rightarrow \frac{15x^2+16y^2}{960}=1\)
\(\therefore 15x^2+16y^2=960\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b).........(1)\)
যার উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\pm ae, 0)\)
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
যার উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\pm 2, 0)\)
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=16\)
\(\therefore 2a=16\)
\(\Rightarrow a=8\)
\(\therefore a^2=64\)
আবার,
\((\pm ae, 0)\Rightarrow (\pm 2, 0)\) ➜ \(\because \) উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\pm 2, 0)\)
\(\Rightarrow ae=2\)
\(\Rightarrow 8e=2\)
\(\Rightarrow e=\frac{2}{8}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{1}{4}\) ➜ \(\because \) উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow 1-\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{16}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 1-\frac{b^2}{64}=\frac{1}{16}\) ➜ \(\because a^2=64\)
\(\Rightarrow \frac{64-b^2}{64}=\frac{1}{16}\)
\(\Rightarrow 64-b^2=\frac{1}{16}\times 64\)
\(\Rightarrow 64-b^2=4\)
\(\Rightarrow -b^2=4-64\)
\(\Rightarrow -b^2=-60\)
\(\Rightarrow b^2=60\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{60}=1\)
\(\Rightarrow \frac{15x^2+16y^2}{960}=1\)
\(\therefore 15x^2+16y^2=960\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(xx)\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে মূখ্য অক্ষ বিবেচনা করে উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((1, -1)\) ও \((-2, 2)\) এবং বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(8\) ।
উত্তরঃ \(55x^2+55y^2+18xy+46x-46y-713=0\)
উত্তরঃ \(55x^2+55y^2+18xy+46x-46y-713=0\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
উপকেন্দ্রেরদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \(S(1, -1)\) ও \(\acute{S}(-2, 2)\)
এবং বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2a=8\)
ধরি,
উপবৃত্তস্ত যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
আমরা জানি,
\(PS+P\acute{S}=2a\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}+\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2}=8\) ➜ \(\because 2a=8\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}=8-\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2+(y+1)^2=\{8-\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2}\}^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x-1)^2+(y+1)^2=64-16\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2}\)\(+(x+2)^2+(y-2)^2\)
\(\Rightarrow (x-1)^2+(y+1)^2-(x+2)^2-(y-2)^2\)\(=64-16\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2-(x+2)^2+(y+1)^2-(y-2)^2=\)\(64-16\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2}\)
\(\Rightarrow (x-1+x+2)(x-1-x-2)+(y+1+y-2)(y+1-y+2)\)\(=64-16\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2}\)
\(\Rightarrow (2x+1).(-3)+(2y-1).3=64-16\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2}\)
\(\Rightarrow -6x-3+6y-3=64-16\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2}\)
\(\Rightarrow -6x+6y-6=64-16\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2}\)
\(\Rightarrow 16\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2}=64+6x-6y+6\)
\(\Rightarrow 16\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2}=70+6x-6y\)
\(\Rightarrow 8\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2}=35+3x-3y\)
\(\Rightarrow 64\{(x+2)^2+(y-2)^2\}=(35+3x-3y)^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 64\{x^2+4x+4+y^2-4y+4\}\)\(=1225+9x^2+9y^2+210x-18xy-210y\)
\(\Rightarrow 64\{x^2+y^2+4x-4y+8\}\)\(=1225+9x^2+9y^2+210x-18xy-210y\)
\(\Rightarrow 64x^2+64y^2+256x-256y+512\)\(-1225-9x^2-9y^2-210x+18xy+210y=0\)
\(\therefore 55x^2+55y^2+18xy+46x-46y-713=0\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপকেন্দ্রেরদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \(S(1, -1)\) ও \(\acute{S}(-2, 2)\)
এবং বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2a=8\)
ধরি,
উপবৃত্তস্ত যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
আমরা জানি,
\(PS+P\acute{S}=2a\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}+\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2}=8\) ➜ \(\because 2a=8\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}=8-\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2+(y+1)^2=\{8-\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2}\}^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x-1)^2+(y+1)^2=64-16\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2}\)\(+(x+2)^2+(y-2)^2\)
\(\Rightarrow (x-1)^2+(y+1)^2-(x+2)^2-(y-2)^2\)\(=64-16\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2-(x+2)^2+(y+1)^2-(y-2)^2=\)\(64-16\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2}\)
\(\Rightarrow (x-1+x+2)(x-1-x-2)+(y+1+y-2)(y+1-y+2)\)\(=64-16\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2}\)
\(\Rightarrow (2x+1).(-3)+(2y-1).3=64-16\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2}\)
\(\Rightarrow -6x-3+6y-3=64-16\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2}\)
\(\Rightarrow -6x+6y-6=64-16\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2}\)
\(\Rightarrow 16\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2}=64+6x-6y+6\)
\(\Rightarrow 16\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2}=70+6x-6y\)
\(\Rightarrow 8\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2}=35+3x-3y\)
\(\Rightarrow 64\{(x+2)^2+(y-2)^2\}=(35+3x-3y)^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 64\{x^2+4x+4+y^2-4y+4\}\)\(=1225+9x^2+9y^2+210x-18xy-210y\)
\(\Rightarrow 64\{x^2+y^2+4x-4y+8\}\)\(=1225+9x^2+9y^2+210x-18xy-210y\)
\(\Rightarrow 64x^2+64y^2+256x-256y+512\)\(-1225-9x^2-9y^2-210x+18xy+210y=0\)
\(\therefore 55x^2+55y^2+18xy+46x-46y-713=0\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(xxi)\) কোনো উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্ব উপবৃত্তটির বৃহৎ অক্ষের অর্ধেক । উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।
[ বঃ ২০০১১]
উত্তরঃ \(e=\frac{1}{\sqrt{2}} \)
[ বঃ ২০০১১]
উত্তরঃ \(e=\frac{1}{\sqrt{2}} \)
সমাধানঃ
ধরি, 
উপবৃত্তটির উপকেন্দ্রিক লম্ব \(=\frac{2b^2}{a}\)
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2a\)
উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
শর্তমতে,
\(\frac{2b^2}{a}=\frac{1}{2}\times 2a\) ➜ \(\because \) উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্ব উপবৃত্তটির বৃহৎ অক্ষের অর্ধেক ।
\(\Rightarrow \frac{2b^2}{a}=a\)
\(\Rightarrow 2b^2=a^2\)
\(\therefore a^2=2b^2\)
আবার,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{b^2}{2b^2}}\) ➜ \(\because a^2=2b^2\)
\(=\sqrt{1-\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{2-1}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{2}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
ইহাই উপবৃত্তের নির্ণেয় উৎকেন্দ্রিকতা।
উপবৃত্তটির উপকেন্দ্রিক লম্ব \(=\frac{2b^2}{a}\)
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2a\)
উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
শর্তমতে,
\(\frac{2b^2}{a}=\frac{1}{2}\times 2a\) ➜ \(\because \) উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্ব উপবৃত্তটির বৃহৎ অক্ষের অর্ধেক ।
\(\Rightarrow \frac{2b^2}{a}=a\)
\(\Rightarrow 2b^2=a^2\)
\(\therefore a^2=2b^2\)
আবার,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{b^2}{2b^2}}\) ➜ \(\because a^2=2b^2\)
\(=\sqrt{1-\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{2-1}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{2}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
ইহাই উপবৃত্তের নির্ণেয় উৎকেন্দ্রিকতা।
\(Q.1.(xxiii)\) \((-3, 0)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(8\) ও \(6\) এবং এর বৃহদাক্ষ \(x\) অক্ষের সমান্তরাল উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(9x^2+16y^2+54x-63=0\)
উত্তরঃ \(9x^2+16y^2+54x-63=0\)
সমাধানঃ
ধরি, 
\((-3, 0)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{(x+3)^2}{a^2}+\frac{(y-0)^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{(x+3)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 .......(1)\)
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2a\)
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2b\)
দেওয়া আছে,
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=8\)
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=6\)
\(\therefore 2a=8\)
\(\Rightarrow a=4\)
\(\therefore a^2=16\)
আবার,
\(2b=6\)
\(\Rightarrow b=3\)
\(\therefore b^2=9\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{(x+3)^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2+6x+9}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2+54x+81+16y^2}{144}=1\)
\(\Rightarrow 9x^2+54x+81+16y^2=144\)
\(\Rightarrow 9x^2+54x+81+16y^2-144=0\)
\(\therefore 9x^2+16y^2+54x-63=0\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\((-3, 0)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{(x+3)^2}{a^2}+\frac{(y-0)^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{(x+3)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 .......(1)\)
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2a\)
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2b\)
দেওয়া আছে,
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=8\)
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=6\)
\(\therefore 2a=8\)
\(\Rightarrow a=4\)
\(\therefore a^2=16\)
আবার,
\(2b=6\)
\(\Rightarrow b=3\)
\(\therefore b^2=9\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{(x+3)^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2+6x+9}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2+54x+81+16y^2}{144}=1\)
\(\Rightarrow 9x^2+54x+81+16y^2=144\)
\(\Rightarrow 9x^2+54x+81+16y^2-144=0\)
\(\therefore 9x^2+16y^2+54x-63=0\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(xxv)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার ফোকাস \((-1, 1)\), উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{2}\) এবং দ্বিকাক্ষ \(x-y=0 \)।
[ চঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(7x^2+7y^2+2xy+16x-16y+16=0\)
[ চঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(7x^2+7y^2+2xy+16x-16y+16=0\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(-1, 1)\),
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{1}{2}\)
এবং নিয়ামকরেখা \(x-y=0 ....(1)\)
ধরি,
উপবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
\(P(x, y)\) বিন্দু হতে নিয়ামকরেখার লম্ব দূরত্ব \(PM=\frac{|x-y|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x-y|}{\sqrt{1+1}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x-y|}{\sqrt{2}}\)
উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে \(PS=e.PM\)
\(\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}=\frac{1}{2}.\frac{|x-y|}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow (x+1)^2+(y-1)^2=\frac{1}{4}.\frac{(x-y)^2}{2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2+2x+1+y^2-2y+1=\frac{(x-y)^2}{8}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+2x-2y+2=\frac{(x-y)^2}{8}\)
\(\Rightarrow 8x^2+8y^2+16x-16y+16=(x-y)^2\)
\(\Rightarrow 8x^2+8y^2+16x-16y+16=x^2+y^2-2xy\)
\(\Rightarrow 8x^2+8y^2+16x-16y+16-x^2-y^2+2xy=0\)
\(\Rightarrow 7x^2+2xy+7y^2+16x-16y+16=0\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(-1, 1)\),
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{1}{2}\)
এবং নিয়ামকরেখা \(x-y=0 ....(1)\)
ধরি,
উপবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
\(P(x, y)\) বিন্দু হতে নিয়ামকরেখার লম্ব দূরত্ব \(PM=\frac{|x-y|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x-y|}{\sqrt{1+1}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x-y|}{\sqrt{2}}\)
উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে \(PS=e.PM\)
\(\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}=\frac{1}{2}.\frac{|x-y|}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow (x+1)^2+(y-1)^2=\frac{1}{4}.\frac{(x-y)^2}{2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2+2x+1+y^2-2y+1=\frac{(x-y)^2}{8}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+2x-2y+2=\frac{(x-y)^2}{8}\)
\(\Rightarrow 8x^2+8y^2+16x-16y+16=(x-y)^2\)
\(\Rightarrow 8x^2+8y^2+16x-16y+16=x^2+y^2-2xy\)
\(\Rightarrow 8x^2+8y^2+16x-16y+16-x^2-y^2+2xy=0\)
\(\Rightarrow 7x^2+2xy+7y^2+16x-16y+16=0\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
অনুশীলনী \(5.B\) / \(Q.2\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
\(Q.2.(i)\) \(4x^2+5y^2-16x+10y+1=0\) উপবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটি, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উৎকেন্দ্রিকতা এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০০৩, রাঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \((3, -1), (1, -1), \frac{8}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}, x-7=0, x+3=0 \)
\(Q.2.(ii)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার একটি ফোকাস \((-2, 3)\) এবং দিকাক্ষের সমীকরণ \(x-y+7=0\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)। এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্যও নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০০৫]
উত্তরঃ \(5x^2+5y^2+2xy+10x-22y+29=0; 2\sqrt{\frac{2}{3}}\)
\(Q.2.(iii)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((2, 1)\) এবং দিকাক্ষের সমীকরণ \(2x+y=3\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)।
[ সিঃ ২০০৫]
উত্তরঃ \(11x^2+14y^2-4xy-48x-24y+66=0\)
\(Q.2.(iv)\) \((1, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার একটি উপকেন্দ্র \((1, -1)\) এবং অনুরূপ দিকাক্ষের সমীকরণ \(x-y-4=0\)।
[রাঃ ২০০২;ঢাঃ ২০০৩]
উত্তরঃ \(3(x^2+y^2)+2xy-8=0\)
\(Q.2.(v)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((-1, 1)\) এবং দিকাক্ষের সমীকরণ \(x-y+3=0\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{2}\)। এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্যও নির্ণয় কর।
[রাঃ ২০০২;ঢাঃ ২০০৩]
উত্তরঃ \(7(x^2+y^2)+2xy+10x-10y+7=0\)
\(Q.2.(vi)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার দিকাক্ষ \(Y\)-অক্ষ, ফোকাস \((c, 0)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e\)।
উত্তরঃ \((x-c)^2+y^2=e^2x^2\)
\(Q.2.(vii)\) \(25x^2+16y^2=400\) উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রতা, ফোকাসের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০২;চঃ,সিঃ ২০০৮;বঃ২০০৬; কুঃ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{3}{5}; (0, \pm 3); \frac{32}{5}; 3y=\pm 25\)
\(Q.2.(viii)\) \(16x^2+25y^2=400\) উপবৃত্তটির ফোকাসের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[কুঃ,রাঃ২০০৫ ]
উত্তরঃ \((\pm 3, 0); \frac{32}{5}; 3x=\pm 25\)
\(Q.2.(ix)\) \(9x^2+16y^2=144\) উপবৃত্তটির ফোকাসের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[কুঃ,রাঃ২০০৫ ]
উত্তরঃ \((\pm 7, 0); \frac{9}{2}; 9x=\pm 8\)
\(Q.2.(x)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((0, 2)\) , উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{2}\) এবং দিকাক্ষের সমীকরণ \(y+4=0\)। এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্যও নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০০৫]
উত্তরঃ \(4x^2+3y^2-24y=0; 6\)
\(Q.2.(xi)\) কোনো উপবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাংক \((0, 1)\) ও \((0, -1)\) এবং তার ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(1\) এর সমান; উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x^2+\frac{4y^2}{5}=1\)
\(Q.2.(xii)\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিক লম্ব তার ক্ষুদ্রাক্ষের অর্ধেক এবং যা \((0, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতাও নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^2+4y^2=4; e=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(Q.2.(xiii)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((-2, 3)\) এবং দিকাক্ষের সমীকরণ \(2x+y-3=0\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)।
[ সিঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(11x^2+14y^2-4xy+72x-84y+186=0\)
[ সিঃ ২০০৩, রাঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \((3, -1), (1, -1), \frac{8}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}, x-7=0, x+3=0 \)
\(Q.2.(ii)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার একটি ফোকাস \((-2, 3)\) এবং দিকাক্ষের সমীকরণ \(x-y+7=0\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)। এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্যও নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০০৫]
উত্তরঃ \(5x^2+5y^2+2xy+10x-22y+29=0; 2\sqrt{\frac{2}{3}}\)
\(Q.2.(iii)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((2, 1)\) এবং দিকাক্ষের সমীকরণ \(2x+y=3\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)।
[ সিঃ ২০০৫]
উত্তরঃ \(11x^2+14y^2-4xy-48x-24y+66=0\)
\(Q.2.(iv)\) \((1, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার একটি উপকেন্দ্র \((1, -1)\) এবং অনুরূপ দিকাক্ষের সমীকরণ \(x-y-4=0\)।
[রাঃ ২০০২;ঢাঃ ২০০৩]
উত্তরঃ \(3(x^2+y^2)+2xy-8=0\)
\(Q.2.(v)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((-1, 1)\) এবং দিকাক্ষের সমীকরণ \(x-y+3=0\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{2}\)। এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্যও নির্ণয় কর।
[রাঃ ২০০২;ঢাঃ ২০০৩]
উত্তরঃ \(7(x^2+y^2)+2xy+10x-10y+7=0\)
\(Q.2.(vi)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার দিকাক্ষ \(Y\)-অক্ষ, ফোকাস \((c, 0)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e\)।
উত্তরঃ \((x-c)^2+y^2=e^2x^2\)
\(Q.2.(vii)\) \(25x^2+16y^2=400\) উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রতা, ফোকাসের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০২;চঃ,সিঃ ২০০৮;বঃ২০০৬; কুঃ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{3}{5}; (0, \pm 3); \frac{32}{5}; 3y=\pm 25\)
\(Q.2.(viii)\) \(16x^2+25y^2=400\) উপবৃত্তটির ফোকাসের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[কুঃ,রাঃ২০০৫ ]
উত্তরঃ \((\pm 3, 0); \frac{32}{5}; 3x=\pm 25\)
\(Q.2.(ix)\) \(9x^2+16y^2=144\) উপবৃত্তটির ফোকাসের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[কুঃ,রাঃ২০০৫ ]
উত্তরঃ \((\pm 7, 0); \frac{9}{2}; 9x=\pm 8\)
\(Q.2.(x)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((0, 2)\) , উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{2}\) এবং দিকাক্ষের সমীকরণ \(y+4=0\)। এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্যও নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০০৫]
উত্তরঃ \(4x^2+3y^2-24y=0; 6\)
\(Q.2.(xi)\) কোনো উপবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাংক \((0, 1)\) ও \((0, -1)\) এবং তার ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(1\) এর সমান; উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x^2+\frac{4y^2}{5}=1\)
\(Q.2.(xii)\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিক লম্ব তার ক্ষুদ্রাক্ষের অর্ধেক এবং যা \((0, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতাও নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^2+4y^2=4; e=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(Q.2.(xiii)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((-2, 3)\) এবং দিকাক্ষের সমীকরণ \(2x+y-3=0\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)।
[ সিঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(11x^2+14y^2-4xy+72x-84y+186=0\)
\(Q.2.(xiv)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র মূলবিন্দু এবং দিকাক্ষের সমীকরণ \(x=2\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{4}{5}\)।
[ কুঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(9x^2+25y^2-64x-64=0\)
\(Q.2.(xv)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((-2, 1)\) এবং দিকাক্ষের সমীকরণ \(x+2y-3=0\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\)।
[ সিঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \( 44x^2+41y^2-4xy+186x-78y+216=0\)
\(Q.2.(xvi)\) অক্ষ দুইটিকে \(X\) ও \(Y\) ধরে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) এবং ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(4\) একক।
[ মাঃ২০০৪-২০০৬]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\)
\(Q.2.(xvii)\) কোনো উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা শুন্য হলে দেখাও যে, উপবৃত্তটি বৃত্তে পর্যবসিত হয়।
\(Q.2.(xviii)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার বৃহদাক্ষ \(X\) অক্ষের সমান্তরাল, একটি উপকেন্দ্র \((1, -1)\) এবং কেন্দ্র \((2, -1)\) হতে উপকেন্দ্রটির অনুরূপ দিকাক্ষের দূরত্ব \(5\) একক।
উত্তরঃ \( \frac{(x-2)^2}{5}+\frac{(y+1)^2}{4}=1\)
\(Q.2.(xix)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার বৃহদাক্ষ \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল, একটি উপকেন্দ্র \((2, 3)\) এবং কেন্দ্র \((2, 1)\) হতে উপকেন্দ্রটির অনুরূপ দিকাক্ষের দূরত্ব \(5\) একক।
উত্তরঃ \( \frac{(x-2)^2}{4}+\frac{(y-1)^2}{8}=1\)
\(Q.2.(xx)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র দুইটি \(S(1, 0)\) ও \(\acute S(-1, 0)\) এবং যা \(P\left(1, \frac{3}{2}\right)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
উত্তরঃ \( 3x^2+4y^2=12\)
\(Q.2.(xxi)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার নাভি দুইটি \(S(3, 1)\) ও \(\acute S(1, 3)\) এবং এর নিয়ামক রেখাদ্বয়ের মধ্যকার দূরত্ব \(12\sqrt{2}\)।
উত্তরঃ \(11x^2+11y^2+2xy-48x-48y-24=0\)
\(Q.2.(xxii)\) এমন বিন্দুগুলির সঞ্চার পথের সমীকরণ নির্ণয় কর। \((2, 0)\) বিন্দু হতে যার প্রতিটির দূরত্ব \(x=8\) রেখা হতে দূরত্বের অর্ধেক। সঞ্চার পথটি কি নির্দেশ করে?
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1\), উপবৃত্ত।
\(Q.2.(xxiii)\) এমন বিন্দুগুলির সঞ্চার পথের সমীকরণ নির্ণয় কর। \((0, 9)\) বিন্দু হতে যার প্রতিটির দূরত্ব \(y=16\) রেখা হতে দূরত্বের \(\frac{3}{4}\) গুণ। সঞ্চার পথটি কি নির্দেশ করে?
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{63}+\frac{y^2}{144}=1\), উপবৃত্ত।
\(Q.2.(xxiv)\) কোনো উপবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির দূরত্ব এর ক্ষুদ্রাক্ষের সমান এবং বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(1\) হলে, উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x^2+8y^2=1\)।
\(Q.2.(xxv)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((3, 4)\) , দিকাক্ষের সমীকরণ \(x+y-2=0\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\)।
[ কুঃ ২০০২, যঃ ২০০১,২০০৭;রাঃ২০০৪; ঢাঃ২০০৭, ২০১০ ]
উত্তরঃ \(17(x^2+y^2)-2xy-104x-140y+446=0\)
\(Q.2.(xxvi)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((1, -1)\) , দিকাক্ষের সমীকরণ \(x-y+3=0\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{2}\)।
[ রাঃ২০০২; ]
উত্তরঃ \(7(x^2+y^2)+2xy-22x+22y+7=0\)
[ কুঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(9x^2+25y^2-64x-64=0\)
\(Q.2.(xv)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((-2, 1)\) এবং দিকাক্ষের সমীকরণ \(x+2y-3=0\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\)।
[ সিঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \( 44x^2+41y^2-4xy+186x-78y+216=0\)
\(Q.2.(xvi)\) অক্ষ দুইটিকে \(X\) ও \(Y\) ধরে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) এবং ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(4\) একক।
[ মাঃ২০০৪-২০০৬]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\)
\(Q.2.(xvii)\) কোনো উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা শুন্য হলে দেখাও যে, উপবৃত্তটি বৃত্তে পর্যবসিত হয়।
\(Q.2.(xviii)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার বৃহদাক্ষ \(X\) অক্ষের সমান্তরাল, একটি উপকেন্দ্র \((1, -1)\) এবং কেন্দ্র \((2, -1)\) হতে উপকেন্দ্রটির অনুরূপ দিকাক্ষের দূরত্ব \(5\) একক।
উত্তরঃ \( \frac{(x-2)^2}{5}+\frac{(y+1)^2}{4}=1\)
\(Q.2.(xix)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার বৃহদাক্ষ \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল, একটি উপকেন্দ্র \((2, 3)\) এবং কেন্দ্র \((2, 1)\) হতে উপকেন্দ্রটির অনুরূপ দিকাক্ষের দূরত্ব \(5\) একক।
উত্তরঃ \( \frac{(x-2)^2}{4}+\frac{(y-1)^2}{8}=1\)
\(Q.2.(xx)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র দুইটি \(S(1, 0)\) ও \(\acute S(-1, 0)\) এবং যা \(P\left(1, \frac{3}{2}\right)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
উত্তরঃ \( 3x^2+4y^2=12\)
\(Q.2.(xxi)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার নাভি দুইটি \(S(3, 1)\) ও \(\acute S(1, 3)\) এবং এর নিয়ামক রেখাদ্বয়ের মধ্যকার দূরত্ব \(12\sqrt{2}\)।
উত্তরঃ \(11x^2+11y^2+2xy-48x-48y-24=0\)
\(Q.2.(xxii)\) এমন বিন্দুগুলির সঞ্চার পথের সমীকরণ নির্ণয় কর। \((2, 0)\) বিন্দু হতে যার প্রতিটির দূরত্ব \(x=8\) রেখা হতে দূরত্বের অর্ধেক। সঞ্চার পথটি কি নির্দেশ করে?
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1\), উপবৃত্ত।
\(Q.2.(xxiii)\) এমন বিন্দুগুলির সঞ্চার পথের সমীকরণ নির্ণয় কর। \((0, 9)\) বিন্দু হতে যার প্রতিটির দূরত্ব \(y=16\) রেখা হতে দূরত্বের \(\frac{3}{4}\) গুণ। সঞ্চার পথটি কি নির্দেশ করে?
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{63}+\frac{y^2}{144}=1\), উপবৃত্ত।
\(Q.2.(xxiv)\) কোনো উপবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির দূরত্ব এর ক্ষুদ্রাক্ষের সমান এবং বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(1\) হলে, উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x^2+8y^2=1\)।
\(Q.2.(xxv)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((3, 4)\) , দিকাক্ষের সমীকরণ \(x+y-2=0\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\)।
[ কুঃ ২০০২, যঃ ২০০১,২০০৭;রাঃ২০০৪; ঢাঃ২০০৭, ২০১০ ]
উত্তরঃ \(17(x^2+y^2)-2xy-104x-140y+446=0\)
\(Q.2.(xxvi)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((1, -1)\) , দিকাক্ষের সমীকরণ \(x-y+3=0\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{2}\)।
[ রাঃ২০০২; ]
উত্তরঃ \(7(x^2+y^2)+2xy-22x+22y+7=0\)
\(Q.2.(i)\) \(4x^2+5y^2-16x+10y+1=0\) উপবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটি, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উৎকেন্দ্রিকতা এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০০৩, রাঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \((3, -1), (1, -1), \frac{8}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}, x-7=0, x+3=0 \)
[ সিঃ ২০০৩, রাঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \((3, -1), (1, -1), \frac{8}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}, x-7=0, x+3=0 \)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে , 
উপবৃত্তের সমীকরণ \(4x^2+5y^2-16x+10y+1=0\)
\(\Rightarrow 4x^2-16x+5y^2+10y+1=0\)
\(\Rightarrow 4(x^2-4x)+5(y^2+2y)+1=0\)
\(\Rightarrow 4(x^2-4x+4-4)+5(y^2+2y+1-1)+1=0\)
\(\Rightarrow 4(x^2-4x+4)-16+5(y^2+2y+1)-5+1=0\)
\(\Rightarrow 4(x-2)^2+5(y+1)^2-20=0\)
\(\Rightarrow 4(x-2)^2+5(y+1)^2=20\)
\(\Rightarrow \frac{4(x-2)^2}{20}+\frac{5(y+1)^2}{20}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(20\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{(x-2)^2}{5}+\frac{(y+1)^2}{4}=1\)
\(\Rightarrow \frac{X^2}{5}+\frac{Y^2}{4}=1 .....(1)\) যেখানে \(x-2=X, y+1=Y\)
এখানে, \(a^2=5, b^2=4\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=\sqrt{5}, b=2\)
\(\therefore a>b\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{4}{5}}\) ➜ \(\because a^2=5, b^2=4\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{5-4}{5}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{1}{5}}\)
\(\therefore e=\frac{1}{\sqrt{5}}\)
এখন,
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore X=\pm ae, Y=0 \)
\(\Rightarrow x-2=\pm \sqrt{5}\times \frac{1}{\sqrt{5}}, y+1=0 \)
\(\Rightarrow x-2=\pm 1, y=-1 \)
\(\Rightarrow x=\pm 1+2, y=-1 \)
\(\Rightarrow x=1+2,-1+2, y=-1 \)
\(\Rightarrow x=3,1, y=-1 \)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র দ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((3, -1), (1, -1)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(=\frac{2\times 4}{\sqrt{5}}\)
\(=\frac{8}{\sqrt{5}}\)
দিকাক্ষের সমীকরণ, \(X=\pm \frac{a}{e}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow x-2=\pm \frac{\sqrt{5}}{\frac{1}{\sqrt{5}}}\)
\(\Rightarrow x-2=\pm 5\)
\(\Rightarrow x=\pm 5+2\)
\(\Rightarrow x=5+2, x=-5+2\)
\(\Rightarrow x=7, x=-3\)
\(\therefore \) দিকাক্ষ দ্বয়ের সমীকরণ \(x-7=0, x+3=0\).
উপবৃত্তের সমীকরণ \(4x^2+5y^2-16x+10y+1=0\)
\(\Rightarrow 4x^2-16x+5y^2+10y+1=0\)
\(\Rightarrow 4(x^2-4x)+5(y^2+2y)+1=0\)
\(\Rightarrow 4(x^2-4x+4-4)+5(y^2+2y+1-1)+1=0\)
\(\Rightarrow 4(x^2-4x+4)-16+5(y^2+2y+1)-5+1=0\)
\(\Rightarrow 4(x-2)^2+5(y+1)^2-20=0\)
\(\Rightarrow 4(x-2)^2+5(y+1)^2=20\)
\(\Rightarrow \frac{4(x-2)^2}{20}+\frac{5(y+1)^2}{20}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(20\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{(x-2)^2}{5}+\frac{(y+1)^2}{4}=1\)
\(\Rightarrow \frac{X^2}{5}+\frac{Y^2}{4}=1 .....(1)\) যেখানে \(x-2=X, y+1=Y\)
এখানে, \(a^2=5, b^2=4\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=\sqrt{5}, b=2\)
\(\therefore a>b\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{4}{5}}\) ➜ \(\because a^2=5, b^2=4\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{5-4}{5}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{1}{5}}\)
\(\therefore e=\frac{1}{\sqrt{5}}\)
এখন,
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore X=\pm ae, Y=0 \)
\(\Rightarrow x-2=\pm \sqrt{5}\times \frac{1}{\sqrt{5}}, y+1=0 \)
\(\Rightarrow x-2=\pm 1, y=-1 \)
\(\Rightarrow x=\pm 1+2, y=-1 \)
\(\Rightarrow x=1+2,-1+2, y=-1 \)
\(\Rightarrow x=3,1, y=-1 \)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র দ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((3, -1), (1, -1)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(=\frac{2\times 4}{\sqrt{5}}\)
\(=\frac{8}{\sqrt{5}}\)
দিকাক্ষের সমীকরণ, \(X=\pm \frac{a}{e}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow x-2=\pm \frac{\sqrt{5}}{\frac{1}{\sqrt{5}}}\)
\(\Rightarrow x-2=\pm 5\)
\(\Rightarrow x=\pm 5+2\)
\(\Rightarrow x=5+2, x=-5+2\)
\(\Rightarrow x=7, x=-3\)
\(\therefore \) দিকাক্ষ দ্বয়ের সমীকরণ \(x-7=0, x+3=0\).
\(Q.2.(ii)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার একটি ফোকাস \((-2, 3)\) এবং দিকাক্ষের সমীকরণ \(x-y+7=0\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)। এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্যও নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০০৫]
উত্তরঃ \(5x^2+5y^2+2xy+10x-22y+29=0; 2\sqrt{\frac{2}{3}}\)
[ সিঃ ২০০৫]
উত্তরঃ \(5x^2+5y^2+2xy+10x-22y+29=0; 2\sqrt{\frac{2}{3}}\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(-2, 3)\),
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
এবং নিয়ামকরেখা \(x-y+7=0 ....(1)\)
ধরি,
উপবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
\(P(x, y)\) বিন্দু হতে নিয়ামকরেখার লম্ব দূরত্ব \(PM=\frac{|x-y+7|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x-y+7|}{\sqrt{1+1}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x-y+7|}{\sqrt{2}}\)
উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে \(PS=e.PM\)
\(\sqrt{(x+2)^2+(y-3)^2}=\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{|x-y+7|}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow (x+2)^2+(y-3)^2=\frac{1}{3}.\frac{(x-y+7)^2}{2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2+4x+4+y^2-6y+9=\frac{(x-y+7)^2}{6}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+4x-6y+13=\frac{(x-y+7)^2}{6}\)
\(\Rightarrow 6x^2+6y^2+24x-36y+78=x^2+y^2+49-2xy+14x-14y\)
\(\Rightarrow 6x^2+6y^2+24x-36y+78-x^2-y^2-49+2xy-14x+14y=0\)
\(\therefore 5x^2+5y^2+2xy+10x-22y+29=0\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(L\acute{L}=2eSZ\)
\(=2\times \frac{1}{\sqrt{3}}\times \frac{|-2-3+7|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\) ➜ \(SZ=S(-2, 3)\) হতে \(x-y+7=0\) রেখার লম্ব দূরত্ব।
\(=\frac{2}{\sqrt{3}}\times \frac{|2|}{\sqrt{1+1}}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{3}}\times \frac{2}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{2}.\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{3}}\times \sqrt{2}\)
\(=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)
\(=2\sqrt{\frac{2}{3}}\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(-2, 3)\),
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
এবং নিয়ামকরেখা \(x-y+7=0 ....(1)\)
ধরি,
উপবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
\(P(x, y)\) বিন্দু হতে নিয়ামকরেখার লম্ব দূরত্ব \(PM=\frac{|x-y+7|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x-y+7|}{\sqrt{1+1}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x-y+7|}{\sqrt{2}}\)
উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে \(PS=e.PM\)
\(\sqrt{(x+2)^2+(y-3)^2}=\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{|x-y+7|}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow (x+2)^2+(y-3)^2=\frac{1}{3}.\frac{(x-y+7)^2}{2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2+4x+4+y^2-6y+9=\frac{(x-y+7)^2}{6}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+4x-6y+13=\frac{(x-y+7)^2}{6}\)
\(\Rightarrow 6x^2+6y^2+24x-36y+78=x^2+y^2+49-2xy+14x-14y\)
\(\Rightarrow 6x^2+6y^2+24x-36y+78-x^2-y^2-49+2xy-14x+14y=0\)
\(\therefore 5x^2+5y^2+2xy+10x-22y+29=0\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(L\acute{L}=2eSZ\)
\(=2\times \frac{1}{\sqrt{3}}\times \frac{|-2-3+7|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\) ➜ \(SZ=S(-2, 3)\) হতে \(x-y+7=0\) রেখার লম্ব দূরত্ব।
\(=\frac{2}{\sqrt{3}}\times \frac{|2|}{\sqrt{1+1}}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{3}}\times \frac{2}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{2}.\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{3}}\times \sqrt{2}\)
\(=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)
\(=2\sqrt{\frac{2}{3}}\)
\(Q.2.(iv)\) \((1, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার একটি উপকেন্দ্র \((1, -1)\) এবং অনুরূপ দিকাক্ষের সমীকরণ \(x-y-4=0\)।
[রাঃ ২০০২;ঢাঃ ২০০৩]
উত্তরঃ \(3(x^2+y^2)+2xy-8=0\)
[রাঃ ২০০২;ঢাঃ ২০০৩]
উত্তরঃ \(3(x^2+y^2)+2xy-8=0\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(1, -1)\),
এবং নিয়ামকরেখা \(x-y-4=0 ....(1)\)
ধরি,
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e\)
উপবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
\(P(x, y)\) বিন্দু হতে নিয়ামকরেখার লম্ব দূরত্ব \(PM=\frac{|x-y-4|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x-y-4|}{\sqrt{1+1}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x-y-4|}{\sqrt{2}}\)
উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে \(PS=e.PM\)
\(\sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}=e\frac{|x-y-4|}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2+(y+1)^2=e^2\frac{(x-y-4)^2}{2} .....(2)\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
শর্তমতে,
\((2)\) নং উপবৃত্ত \((1, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore (1-1)^2+(1+1)^2=e^2\frac{(1-1-4)^2}{2}\)
\(\Rightarrow 0^2+2^2=e^2\frac{(-4)^2}{2}\)
\(\Rightarrow 0+4=e^2\frac{16}{2}\)
\(\Rightarrow 4=e^2.8\)
\(\Rightarrow 8e^2=4\)
\(\Rightarrow e^2=\frac{4}{8}\)
\(\therefore e^2=\frac{1}{2}\)
\(e^2 \)-এর মাণ \((2)\)-এ বসিয়ে,
\((x-1)^2+(y+1)^2=\frac{1}{2}\times \frac{(x-y-4)^2}{2}\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2+2y+1=\frac{x^2+y^2+16-2xy-8x+8y}{4}\)
\(\Rightarrow 4(x^2-2x+y^2+2y+2)=x^2+y^2+16-2xy-8x+8y\)
\(\Rightarrow 4x^2-8x+4y^2+8y+8-x^2-y^2-16+2xy+8x-8y=0\)
\(\Rightarrow 3x^2+3y^2+2xy-8=0\)
\(\therefore 3(x^2+y^2)+2xy-8=0\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(1, -1)\),
এবং নিয়ামকরেখা \(x-y-4=0 ....(1)\)
ধরি,
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e\)
উপবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
\(P(x, y)\) বিন্দু হতে নিয়ামকরেখার লম্ব দূরত্ব \(PM=\frac{|x-y-4|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x-y-4|}{\sqrt{1+1}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x-y-4|}{\sqrt{2}}\)
উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে \(PS=e.PM\)
\(\sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}=e\frac{|x-y-4|}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2+(y+1)^2=e^2\frac{(x-y-4)^2}{2} .....(2)\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
শর্তমতে,
\((2)\) নং উপবৃত্ত \((1, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore (1-1)^2+(1+1)^2=e^2\frac{(1-1-4)^2}{2}\)
\(\Rightarrow 0^2+2^2=e^2\frac{(-4)^2}{2}\)
\(\Rightarrow 0+4=e^2\frac{16}{2}\)
\(\Rightarrow 4=e^2.8\)
\(\Rightarrow 8e^2=4\)
\(\Rightarrow e^2=\frac{4}{8}\)
\(\therefore e^2=\frac{1}{2}\)
\(e^2 \)-এর মাণ \((2)\)-এ বসিয়ে,
\((x-1)^2+(y+1)^2=\frac{1}{2}\times \frac{(x-y-4)^2}{2}\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2+2y+1=\frac{x^2+y^2+16-2xy-8x+8y}{4}\)
\(\Rightarrow 4(x^2-2x+y^2+2y+2)=x^2+y^2+16-2xy-8x+8y\)
\(\Rightarrow 4x^2-8x+4y^2+8y+8-x^2-y^2-16+2xy+8x-8y=0\)
\(\Rightarrow 3x^2+3y^2+2xy-8=0\)
\(\therefore 3(x^2+y^2)+2xy-8=0\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.2.(vi)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার দিকাক্ষ \(Y\)-অক্ষ, ফোকাস \((c, 0)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e\)।
উত্তরঃ \((x-c)^2+y^2=e^2x^2\)
উত্তরঃ \((x-c)^2+y^2=e^2x^2\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
উপবৃত্তের ফোকাস \(S(c, 0)\),
দিকাক্ষ \(Y\) অক্ষ বা \(x=0 .....(1)\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e\)
ধরি,
উপবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
\(P(x, y)\) বিন্দু হতে দিকাক্ষরেখার লম্ব দূরত্ব \(PM=\frac{|x|}{\sqrt{1^2+0^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x|}{\sqrt{1+0}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow PM=|x|\)
উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে \(PS=e.PM\)
\(\sqrt{(x-c)^2+(y-0)^2}=e|x|\)
\(\Rightarrow (x-c)^2+y^2=e^2x^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\therefore (x-c)^2+y^2=e^2x^2\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের ফোকাস \(S(c, 0)\),
দিকাক্ষ \(Y\) অক্ষ বা \(x=0 .....(1)\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e\)
ধরি,
উপবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
\(P(x, y)\) বিন্দু হতে দিকাক্ষরেখার লম্ব দূরত্ব \(PM=\frac{|x|}{\sqrt{1^2+0^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x|}{\sqrt{1+0}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow PM=|x|\)
উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে \(PS=e.PM\)
\(\sqrt{(x-c)^2+(y-0)^2}=e|x|\)
\(\Rightarrow (x-c)^2+y^2=e^2x^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\therefore (x-c)^2+y^2=e^2x^2\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.2.(xi)\) কোনো উপবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাংক \((0, 1)\) ও \((0, -1)\) এবং তার ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(1\) এর সমান; উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x^2+\frac{4y^2}{5}=1\)
উত্তরঃ \(4x^2+\frac{4y^2}{5}=1\)
সমাধানঃ
ধরি, 
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (b>a).........(1)\)
যার উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((0, \pm be)\)
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((0, \pm 1)\)
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(1\)
\(\therefore 2a=1\)
\(\Rightarrow a=\frac{1}{2}\)
\(\therefore a^2=\frac{1}{4}\)
আবার,
\((0, \pm be)\Rightarrow (0, \pm 1)\) ➜ \(\because \) উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((0, \pm 1)\)
\(\Rightarrow be=1\)
\(\Rightarrow e=\frac{1}{b}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}=\frac{1}{b}\) ➜ \(\because \) উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(\Rightarrow 1-\frac{a^2}{b^2}=\frac{1}{b^2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{b^2-a^2}{b^2}=\frac{1}{b^2}\)
\(\Rightarrow b^2-a^2=1\)
\(\Rightarrow b^2=1+a^2\)
\(\Rightarrow b^2=1+\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{4+1}{4}\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{5}{4}\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{\frac{1}{4}}+\frac{y^2}{\frac{5}{4}}=1\)
\(\therefore 4x^2+\frac{4y^2}{5}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (b>a).........(1)\)
যার উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((0, \pm be)\)
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((0, \pm 1)\)
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(1\)
\(\therefore 2a=1\)
\(\Rightarrow a=\frac{1}{2}\)
\(\therefore a^2=\frac{1}{4}\)
আবার,
\((0, \pm be)\Rightarrow (0, \pm 1)\) ➜ \(\because \) উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((0, \pm 1)\)
\(\Rightarrow be=1\)
\(\Rightarrow e=\frac{1}{b}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}=\frac{1}{b}\) ➜ \(\because \) উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(\Rightarrow 1-\frac{a^2}{b^2}=\frac{1}{b^2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{b^2-a^2}{b^2}=\frac{1}{b^2}\)
\(\Rightarrow b^2-a^2=1\)
\(\Rightarrow b^2=1+a^2\)
\(\Rightarrow b^2=1+\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{4+1}{4}\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{5}{4}\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{\frac{1}{4}}+\frac{y^2}{\frac{5}{4}}=1\)
\(\therefore 4x^2+\frac{4y^2}{5}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.2.(xii)\) উপবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিক লম্ব তার ক্ষুদ্রাক্ষের অর্ধেক এবং যা \((0, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতাও নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^2+4y^2=4; e=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
উত্তরঃ \(x^2+4y^2=4; e=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
সমাধানঃ
ধরি, 
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b).........(1)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
ক্ষুদ্র অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
শর্তমতে,
\(\frac{2b^2}{a}=\frac{2b}{2}\) ➜ দেওয়া আছে, উপকেন্দ্রিক লম্ব উপবৃত্তটির ক্ষুদ্র অক্ষের অর্ধেক ।
\(\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{1}{2}\)
\(\therefore a=2b .......(2)\)
আবার,
\(a=2b, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{(2b)^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{4b^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 .....(3)\)
\((3)\) নং উপবৃত্ত \((0, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore \frac{0^2}{4b^2}+\frac{1^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow 0+\frac{1}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{1}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow b^2=1\)
\((2)\) হতে
\(a=2.1\)
\(\Rightarrow a=2\)
\(\therefore a^2=4\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2+4y^2}{4}=1\)
\(\therefore x^2+4y^2=4\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
আবার,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{b^2}{(2b)^2}}\) ➜ \(\because a=2b\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{b^2}{4b^2}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{1}{4}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{4-1}{4}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{3}{4}}\)
\(\therefore e=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b).........(1)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
ক্ষুদ্র অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
শর্তমতে,
\(\frac{2b^2}{a}=\frac{2b}{2}\) ➜ দেওয়া আছে, উপকেন্দ্রিক লম্ব উপবৃত্তটির ক্ষুদ্র অক্ষের অর্ধেক ।
\(\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{1}{2}\)
\(\therefore a=2b .......(2)\)
আবার,
\(a=2b, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{(2b)^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{4b^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 .....(3)\)
\((3)\) নং উপবৃত্ত \((0, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore \frac{0^2}{4b^2}+\frac{1^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow 0+\frac{1}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{1}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow b^2=1\)
\((2)\) হতে
\(a=2.1\)
\(\Rightarrow a=2\)
\(\therefore a^2=4\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2+4y^2}{4}=1\)
\(\therefore x^2+4y^2=4\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
আবার,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{b^2}{(2b)^2}}\) ➜ \(\because a=2b\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{b^2}{4b^2}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{1}{4}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{4-1}{4}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{3}{4}}\)
\(\therefore e=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(Q.2.(xvi)\) অক্ষ দুইটিকে \(X\) ও \(Y\) ধরে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) এবং ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(4\) একক।
[ মাঃ২০০৪-২০০৬]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\)
[ মাঃ২০০৪-২০০৬]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\)
সমাধানঃ
ধরি, 
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
যার ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(4\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\therefore 2b=4\) ➜ \(\because\) ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=4\)
\(\Rightarrow b=2\)
\(\therefore b^2=4\)
আবার,
\(\therefore \frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\because e=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{1-\frac{4}{a^2}}\) ➜ \(\because b^2=4\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{a^2-4}{a^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{a^2-4}{a^2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 2a^2-8=a^2\)
\(\Rightarrow 2a^2-a^2=8\)
\(\therefore a^2=8\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
যার ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(4\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\therefore 2b=4\) ➜ \(\because\) ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=4\)
\(\Rightarrow b=2\)
\(\therefore b^2=4\)
আবার,
\(\therefore \frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\because e=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{1-\frac{4}{a^2}}\) ➜ \(\because b^2=4\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{a^2-4}{a^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{a^2-4}{a^2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 2a^2-8=a^2\)
\(\Rightarrow 2a^2-a^2=8\)
\(\therefore a^2=8\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.2.(xvii)\) কোনো উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা শুন্য হলে দেখাও যে, উপবৃত্তটি বৃত্তে পর্যবসিত হয়।
সমাধানঃ
ধরি, 
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
শর্তমতে,
\(\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}=0\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{a^2-b^2}=0\)
\(\Rightarrow a^2-b^2=0\)
\(\therefore a^2=b^2\)
এখন,
\((1)\) নং হতে,
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\) ➜ \(\because a^2=b^2\)
\(\Rightarrow \frac{x^2+y^2}{a^2}=1\)
\(\therefore x^2+y^2=a^2\)
যা একটি বৃত্তের সমীকরণ,
কেন্দ্র \((0, 0)\)
ব্যাসার্ধ্য \(a\)।
\(\therefore \) কোনো উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা শুন্য হলে, উপবৃত্তটি বৃত্তে পর্যবসিত হয়।
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
শর্তমতে,
\(\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}=0\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{a^2-b^2}=0\)
\(\Rightarrow a^2-b^2=0\)
\(\therefore a^2=b^2\)
এখন,
\((1)\) নং হতে,
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\) ➜ \(\because a^2=b^2\)
\(\Rightarrow \frac{x^2+y^2}{a^2}=1\)
\(\therefore x^2+y^2=a^2\)
যা একটি বৃত্তের সমীকরণ,
কেন্দ্র \((0, 0)\)
ব্যাসার্ধ্য \(a\)।
\(\therefore \) কোনো উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা শুন্য হলে, উপবৃত্তটি বৃত্তে পর্যবসিত হয়।
\(Q.2.(xviii)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার বৃহদাক্ষ \(X\) অক্ষের সমান্তরাল, একটি উপকেন্দ্র \((1, -1)\) এবং কেন্দ্র \((2, -1)\) হতে উপকেন্দ্রটির অনুরূপ দিকাক্ষের দূরত্ব \(5\) একক।
উত্তরঃ \( \frac{(x-2)^2}{5}+\frac{(y+1)^2}{4}=1\)
উত্তরঃ \( \frac{(x-2)^2}{5}+\frac{(y+1)^2}{4}=1\)
সমাধানঃ
ধরি, 
\(C(2, -1)\) কেন্দ্রবিশীষ্ট উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{(x-2)^2}{a^2}+\frac{(y+1)^2}{b^2}=1 (a>b)........(1)\)
দেওয়া আছে,
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(1, -1)\)
উপবৃত্তের কেন্দ্র \(C(2, -1)\)
এখানে,
\(CS=ae=\sqrt{(2-1)^2+(-1+1)^2}\)
\(\Rightarrow ae=\sqrt{1^2+0^2}\)
\(\Rightarrow ae=1 ....(2)\)
আবার,
অক্ষরেখা এবং দিকাক্ষের ছেদবিন্দু \(Z\) হলে,
\(CZ=\frac{a}{e}=5\) ➜ \(\because \) কেন্দ্র \(C(2, -1)\) হতে উপকেন্দ্রটির অনুরূপ দিকাক্ষের দূরত্ব \(5\) একক।
\(\therefore \frac{a}{e}=5 .....(3)\)
\((2)\) ও \((3)\) গুণ করে।
\(\Rightarrow ae\times \frac{a}{e}=1\times 5 \)
\(\therefore a^2=5 \)
আবার,
\(b^2=a^2-a^2e^2\) ➜ \(\because e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\Rightarrow b^2=a^2-a^2e^2\)
\(=a^2-(ae)^2\)
\(=5-(1)^2\)
\(=5-1\)
\(=4\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{(x-2)^2}{5}+\frac{(y+1)^2}{4}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(C(2, -1)\) কেন্দ্রবিশীষ্ট উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{(x-2)^2}{a^2}+\frac{(y+1)^2}{b^2}=1 (a>b)........(1)\)
দেওয়া আছে,
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(1, -1)\)
উপবৃত্তের কেন্দ্র \(C(2, -1)\)
এখানে,
\(CS=ae=\sqrt{(2-1)^2+(-1+1)^2}\)
\(\Rightarrow ae=\sqrt{1^2+0^2}\)
\(\Rightarrow ae=1 ....(2)\)
আবার,
অক্ষরেখা এবং দিকাক্ষের ছেদবিন্দু \(Z\) হলে,
\(CZ=\frac{a}{e}=5\) ➜ \(\because \) কেন্দ্র \(C(2, -1)\) হতে উপকেন্দ্রটির অনুরূপ দিকাক্ষের দূরত্ব \(5\) একক।
\(\therefore \frac{a}{e}=5 .....(3)\)
\((2)\) ও \((3)\) গুণ করে।
\(\Rightarrow ae\times \frac{a}{e}=1\times 5 \)
\(\therefore a^2=5 \)
আবার,
\(b^2=a^2-a^2e^2\) ➜ \(\because e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\Rightarrow b^2=a^2-a^2e^2\)
\(=a^2-(ae)^2\)
\(=5-(1)^2\)
\(=5-1\)
\(=4\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{(x-2)^2}{5}+\frac{(y+1)^2}{4}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.2.(xx)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র দুইটি \(S(1, 0)\) ও \(\acute S(-1, 0)\) এবং যা \(P\left(1, \frac{3}{2}\right)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
উত্তরঃ \( 3x^2+4y^2=12\)
উত্তরঃ \( 3x^2+4y^2=12\)
সমাধানঃ
ধরি, 
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b)........(1)\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm 1, 0)\)
\(\therefore (\pm ae, 0)\Rightarrow (\pm 1, 0)\)
\(\Rightarrow ae=1\)
\(\Rightarrow a\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=1\) ➜ \(\because e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow a^2\left(1-\frac{b^2}{a^2}\right)=1\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow a^2-b^2=1\)
\(\Rightarrow a^2=1+b^2 ......(2)\)
আবার,
\((1)\) নং উপবৃত্তটি \(P\left(1, \frac{3}{2}\right)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore \frac{1^2}{a^2}+\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^2}{b^2}=1\)
\(\therefore \frac{1}{a^2}+\frac{\left(\frac{9}{4}\right)}{b^2}=1\)
\(\therefore \frac{1}{a^2}+\frac{9}{4b^2}=1\)
\(\therefore \frac{1}{1+b^2}+\frac{9}{4b^2}=1\) ➜ \(\because a^2=1+b^2
\(\therefore \frac{4b^2+9+9b^2}{4b^2(1+b^2)}=1\)
\(\therefore \frac{13b^2+9}{4b^2+4b^4}=1\)
\(\Rightarrow 4b^2+4b^4=13b^2+9\)
\(\Rightarrow 4b^2+4b^4-13b^2-9=0\)
\(\Rightarrow 4b^4-9b^2-9=0\)
\(\Rightarrow 4b^4-12b^2+3b^2-9=0\)
\(\Rightarrow 4b^2(b^2-3)+3(b^2-3)=0\)
\(\Rightarrow (b^2-3)(4b^2+3)=0\)
\(\Rightarrow b^2-3=0, 4b^2+3\ne 0\)
\(\therefore b^2=3\)
\((2)\) হতে,
\(a^2=1+3\)
\(\therefore a^2=4\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)
\(\Rightarrow \frac{3x^2+4y^2}{12}=1\)
\(\therefore 3x^2+4y^2=12\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b)........(1)\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm 1, 0)\)
\(\therefore (\pm ae, 0)\Rightarrow (\pm 1, 0)\)
\(\Rightarrow ae=1\)
\(\Rightarrow a\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=1\) ➜ \(\because e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow a^2\left(1-\frac{b^2}{a^2}\right)=1\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow a^2-b^2=1\)
\(\Rightarrow a^2=1+b^2 ......(2)\)
আবার,
\((1)\) নং উপবৃত্তটি \(P\left(1, \frac{3}{2}\right)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore \frac{1^2}{a^2}+\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^2}{b^2}=1\)
\(\therefore \frac{1}{a^2}+\frac{\left(\frac{9}{4}\right)}{b^2}=1\)
\(\therefore \frac{1}{a^2}+\frac{9}{4b^2}=1\)
\(\therefore \frac{1}{1+b^2}+\frac{9}{4b^2}=1\) ➜ \(\because a^2=1+b^2
\(\therefore \frac{4b^2+9+9b^2}{4b^2(1+b^2)}=1\)
\(\therefore \frac{13b^2+9}{4b^2+4b^4}=1\)
\(\Rightarrow 4b^2+4b^4=13b^2+9\)
\(\Rightarrow 4b^2+4b^4-13b^2-9=0\)
\(\Rightarrow 4b^4-9b^2-9=0\)
\(\Rightarrow 4b^4-12b^2+3b^2-9=0\)
\(\Rightarrow 4b^2(b^2-3)+3(b^2-3)=0\)
\(\Rightarrow (b^2-3)(4b^2+3)=0\)
\(\Rightarrow b^2-3=0, 4b^2+3\ne 0\)
\(\therefore b^2=3\)
\((2)\) হতে,
\(a^2=1+3\)
\(\therefore a^2=4\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)
\(\Rightarrow \frac{3x^2+4y^2}{12}=1\)
\(\therefore 3x^2+4y^2=12\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.2.(xxi)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার নাভি দুইটি \(S(3, 1)\) ও \(\acute S(1, 3)\) এবং এর নিয়ামক রেখাদ্বয়ের মধ্যকার দূরত্ব \(12\sqrt{2}\)।
উত্তরঃ \(11x^2+11y^2+2xy-48x-48y-24=0\)
উত্তরঃ \(11x^2+11y^2+2xy-48x-48y-24=0\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
উপবৃত্তের নাভি দুইটি \(S(3, 1)\) ও \(\acute S(1, 3)\)
\(S\acute{S}=\sqrt{(3-1)^2+(1-3)^2}\)
\(\Rightarrow SC+C\acute{S}=\sqrt{2^2+(-2)^2}\) ➜ \(\because C\) উপবৃত্তের কেন্দ্র
\(\Rightarrow 2SC=\sqrt{8}\) ➜ \(\because SC=C\acute{S}\)
\(\Rightarrow 2SC=2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow SC=\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow ae=\sqrt{2} ...(1)\) ➜ \(\because SC=ae\)
আবার,
\(Z\acute{Z}=12\sqrt{2}\) ➜ \(\because\) নিয়ামক রেখাদ্বয়ের মধ্যকার দূরত্ব \(12\sqrt{2}\). \(\Rightarrow ZC+C\acute{Z}=12\sqrt{2}\) ➜ \(\because C\) উপবৃত্তের কেন্দ্র ।
\(\Rightarrow 2ZC=12\sqrt{2}\) ➜ \(\because ZC=C\acute{Z}\)
\(\Rightarrow ZC=6\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{e}=6\sqrt{2} .....(2)\) ➜ \(\because ZC=\frac{a}{e}\)
\((1)\) ও \((2)\) গুণ করে,
\(ae\times \frac{a}{e}=\sqrt{2}\times 6\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow a^2=6\times 2\)
\(\Rightarrow a^2=12\)
\(\Rightarrow a=\sqrt{12}\)
\(\therefore a=2\sqrt{3}\)
আবার,
উপবৃত্তের বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2a=4\sqrt{3}\)
উপবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\).
আমরা জানি,
\(PS+P\acute{S}=2a\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-3)^2+(y-1)^2}+\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}=4\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-3)^2+(y-1)^2}\)\(=4\sqrt{3}-\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}\)
\(\Rightarrow (x-3)^2+(y-1)^2\)\(=\{4\sqrt{3}-\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}\}^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-6x+9+y^2-2y+1\)\(=48+(x-1)^2+(y-3)^2-8\sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}\)
\(\Rightarrow x^2-6x+y^2-2y+10\)\(=48+x^2-2x+1+y^2-6y+9-8\sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}\)
\(\Rightarrow x^2-6x+y^2-2y+10\)\(=48+x^2-2x+y^2-6y+10-8\sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}\)
\(\Rightarrow -6x-2y=48-2x-6y-8\sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}\)
\(\Rightarrow 8\sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}\)\(=48-2x-6y+6x+2y\)
\(\Rightarrow 8\sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}\)\(=48+4x-4y\)
\(\Rightarrow 8\sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}\)\(=4(12+x-y)\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}\)\(=12+x-y\) ➜ উভয় পার্শে \(4\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow 12\{(x-1)^2+(y-3)^2\}\)\(=(12+x-y)^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 12(x^2-2x+1+y^2-6y+9)\)\(=144+x^2+y^2+24x-24y-2xy\)
\(\Rightarrow 12(x^2-2x+y^2-6y+10)\)\(=144+x^2+y^2+24x-24y-2xy\)
\(\Rightarrow 12x^2-24x+12y^2-72y+120\)\(-144-x^2-y^2-24x+24y+2xy=0\)
\(\therefore 11x^2+11y^2+2xy-48x-48y-24=0\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের নাভি দুইটি \(S(3, 1)\) ও \(\acute S(1, 3)\)
\(S\acute{S}=\sqrt{(3-1)^2+(1-3)^2}\)
\(\Rightarrow SC+C\acute{S}=\sqrt{2^2+(-2)^2}\) ➜ \(\because C\) উপবৃত্তের কেন্দ্র
\(\Rightarrow 2SC=\sqrt{8}\) ➜ \(\because SC=C\acute{S}\)
\(\Rightarrow 2SC=2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow SC=\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow ae=\sqrt{2} ...(1)\) ➜ \(\because SC=ae\)
আবার,
\(Z\acute{Z}=12\sqrt{2}\) ➜ \(\because\) নিয়ামক রেখাদ্বয়ের মধ্যকার দূরত্ব \(12\sqrt{2}\). \(\Rightarrow ZC+C\acute{Z}=12\sqrt{2}\) ➜ \(\because C\) উপবৃত্তের কেন্দ্র ।
\(\Rightarrow 2ZC=12\sqrt{2}\) ➜ \(\because ZC=C\acute{Z}\)
\(\Rightarrow ZC=6\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{e}=6\sqrt{2} .....(2)\) ➜ \(\because ZC=\frac{a}{e}\)
\((1)\) ও \((2)\) গুণ করে,
\(ae\times \frac{a}{e}=\sqrt{2}\times 6\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow a^2=6\times 2\)
\(\Rightarrow a^2=12\)
\(\Rightarrow a=\sqrt{12}\)
\(\therefore a=2\sqrt{3}\)
আবার,
উপবৃত্তের বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2a=4\sqrt{3}\)
উপবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\).
আমরা জানি,
\(PS+P\acute{S}=2a\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-3)^2+(y-1)^2}+\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}=4\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-3)^2+(y-1)^2}\)\(=4\sqrt{3}-\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}\)
\(\Rightarrow (x-3)^2+(y-1)^2\)\(=\{4\sqrt{3}-\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}\}^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-6x+9+y^2-2y+1\)\(=48+(x-1)^2+(y-3)^2-8\sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}\)
\(\Rightarrow x^2-6x+y^2-2y+10\)\(=48+x^2-2x+1+y^2-6y+9-8\sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}\)
\(\Rightarrow x^2-6x+y^2-2y+10\)\(=48+x^2-2x+y^2-6y+10-8\sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}\)
\(\Rightarrow -6x-2y=48-2x-6y-8\sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}\)
\(\Rightarrow 8\sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}\)\(=48-2x-6y+6x+2y\)
\(\Rightarrow 8\sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}\)\(=48+4x-4y\)
\(\Rightarrow 8\sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}\)\(=4(12+x-y)\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2}\)\(=12+x-y\) ➜ উভয় পার্শে \(4\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow 12\{(x-1)^2+(y-3)^2\}\)\(=(12+x-y)^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 12(x^2-2x+1+y^2-6y+9)\)\(=144+x^2+y^2+24x-24y-2xy\)
\(\Rightarrow 12(x^2-2x+y^2-6y+10)\)\(=144+x^2+y^2+24x-24y-2xy\)
\(\Rightarrow 12x^2-24x+12y^2-72y+120\)\(-144-x^2-y^2-24x+24y+2xy=0\)
\(\therefore 11x^2+11y^2+2xy-48x-48y-24=0\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.2.(xxii)\) এমন বিন্দুগুলির সঞ্চার পথের সমীকরণ নির্ণয় কর। \((2, 0)\) বিন্দু হতে যার প্রতিটির দূরত্ব \(x=8\) রেখা হতে দূরত্বের অর্ধেক। সঞ্চার পথটি কি নির্দেশ করে?
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1\), উপবৃত্ত।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1\), উপবৃত্ত।
সমাধানঃ
ধরি, 
\(S(2, 0)\)
\(x-8=0 ......(1)\)
বিন্দু সেটটি \(P(x, y)\)
\(P(x, y)\) বিন্দু হতে \((1)\)-এর লম্ব দূরত্ব \(PM=\frac{|x-8|}{\sqrt{1^2+0^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x-8|}{\sqrt{1+0}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x-8|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow PM=|x-8|\)
শর্তমতে, \(PS=\frac{1}{2}.PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-0)^2}=\frac{1}{2}|x-8|\)
\(\Rightarrow (x-2)^2+y^2=\frac{1}{4}(x-8)^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-4x+4+y^2=\frac{x^2-16x+64}{4}\)
\(\Rightarrow 4x^2-16x+16+4y^2=x^2-16x+64\)
\(\Rightarrow 4x^2-16x+16+4y^2-x^2+16x-64=0\)
\(\Rightarrow 3x^2+4y^2-48=0\)
\(\Rightarrow 3x^2+4y^2=48\)
\(\Rightarrow \frac{3x^2}{48}+\frac{4y^2}{48}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(48\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1\)
ইহাই নির্ণেয় সঞ্চার পথের সমীকরণ।
যা একটি উপবৃত্ত প্রকাশ করে।
\(S(2, 0)\)
\(x-8=0 ......(1)\)
বিন্দু সেটটি \(P(x, y)\)
\(P(x, y)\) বিন্দু হতে \((1)\)-এর লম্ব দূরত্ব \(PM=\frac{|x-8|}{\sqrt{1^2+0^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x-8|}{\sqrt{1+0}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x-8|}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow PM=|x-8|\)
শর্তমতে, \(PS=\frac{1}{2}.PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-0)^2}=\frac{1}{2}|x-8|\)
\(\Rightarrow (x-2)^2+y^2=\frac{1}{4}(x-8)^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-4x+4+y^2=\frac{x^2-16x+64}{4}\)
\(\Rightarrow 4x^2-16x+16+4y^2=x^2-16x+64\)
\(\Rightarrow 4x^2-16x+16+4y^2-x^2+16x-64=0\)
\(\Rightarrow 3x^2+4y^2-48=0\)
\(\Rightarrow 3x^2+4y^2=48\)
\(\Rightarrow \frac{3x^2}{48}+\frac{4y^2}{48}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(48\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1\)
ইহাই নির্ণেয় সঞ্চার পথের সমীকরণ।
যা একটি উপবৃত্ত প্রকাশ করে।
\(Q.2.(xxiv)\) কোনো উপবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির দূরত্ব এর ক্ষুদ্রাক্ষের সমান এবং বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(1\) হলে, উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x^2+8y^2=1\)।
উত্তরঃ \(4x^2+8y^2=1\)।
সমাধানঃ
ধরি, 
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b)........(1)\)
উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \(=2ae\)
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র দুইটির দূরত্ব এর ক্ষুদ্রাক্ষের সমান
এবং বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(1\)
\(\therefore 2ae=2b\)
\(\Rightarrow ae=b\)
\(\Rightarrow b=ae .....(2)\)
আবার,
\(2a=1\) ➜\(\because \) বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(1\) \(\Rightarrow a=\frac{1}{2}\)
\(\therefore a^2=\frac{1}{4}\)
আবার,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e^2=1-\frac{b^2}{a^2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow e^2=\frac{a^2-b^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow a^2e^2=a^2-b^2\)
\(\Rightarrow b^2=a^2-a^2e^2\)
\(\Rightarrow b^2=a^2-(ae)^2\)
\(\Rightarrow b^2=a^2-b^2\) ➜\(\because b=ae\)
\(\Rightarrow b^2+b^2=a^2\)
\(\Rightarrow 2b^2=\frac{1}{4}\) ➜\(\because a^2=\frac{1}{4}\)
\(\therefore b^2=\frac{1}{8}\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{\frac{1}{4}}+\frac{y^2}{\frac{1}{8}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{4x^2}{1}+\frac{8y^2}{1}=1\)
\(\therefore 4x^2+8y^2=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b)........(1)\)
উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \(=2ae\)
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র দুইটির দূরত্ব এর ক্ষুদ্রাক্ষের সমান
এবং বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(1\)
\(\therefore 2ae=2b\)
\(\Rightarrow ae=b\)
\(\Rightarrow b=ae .....(2)\)
আবার,
\(2a=1\) ➜\(\because \) বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(1\) \(\Rightarrow a=\frac{1}{2}\)
\(\therefore a^2=\frac{1}{4}\)
আবার,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e^2=1-\frac{b^2}{a^2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow e^2=\frac{a^2-b^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow a^2e^2=a^2-b^2\)
\(\Rightarrow b^2=a^2-a^2e^2\)
\(\Rightarrow b^2=a^2-(ae)^2\)
\(\Rightarrow b^2=a^2-b^2\) ➜\(\because b=ae\)
\(\Rightarrow b^2+b^2=a^2\)
\(\Rightarrow 2b^2=\frac{1}{4}\) ➜\(\because a^2=\frac{1}{4}\)
\(\therefore b^2=\frac{1}{8}\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{\frac{1}{4}}+\frac{y^2}{\frac{1}{8}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{4x^2}{1}+\frac{8y^2}{1}=1\)
\(\therefore 4x^2+8y^2=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
অনুশীলনী \(5.B\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(Q.3.(i)\) \(5x^2=1-4y^2\) উপবৃত্তটির দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[যঃ,সিঃ ২০০২; ]
উত্তরঃ \(2y=\pm \sqrt{5}\)
\(Q.3.(ii)\) মূলবিন্দুকে কেন্দ্র এবং স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয়কে মূখ্য অক্ষ ধরে এরূপ উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দু \((\pm 10, 0)\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(5\)।
উত্তরঃ \(x^2+4y^2=100\)
\(Q.3.(iii)\) \(3x^2+4y^2=12\) উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রতা, ফোকাসের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০৩;বঃ২০০১;কুঃ২০০২; ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}; (\pm 1, 0); 3; x=\pm 4\)
\(Q.3.(iv)\) \(\frac{(x-5)^2}{25}+\frac{(y-4)^2}{16}=1\) উপবৃত্তের কেন্দ্র, ফোকাসদ্বয় এবং ক্ষুদ্রাক্ষের প্রান্তদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((5, 4), (8, 4), (2, 4),(5,8),(5, 0)\)
\(Q.3.(v)\) \(9x^2+25y^2=225\) উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রতা, ফোকাসের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বঃ২০০২;সিঃ ২০০৭; ]
উত্তরঃ \(\frac{4}{5}; (\pm 4, 0); \frac{18}{5}; x=\pm 4; 4x=\pm25\)
\(Q.3.(vi)\) \(2x^2+3y^2=1\) উপবৃত্তটির উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং ফোকাসের স্থানাঙ্ক, নির্ণয় কর।
[ বঃ২০০৩;যঃ ২০০৪; ঢাঃ ২০০৬]
উত্তরঃ \(\frac{2\sqrt{2}}{3}; (\pm \frac{1}{\sqrt{6}}, 0)\)
\(Q.3.(vii)\) যদি \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গের বাহুগুলি অক্ষদ্বয়ের সমান্তরাল হয়, তবে প্রমাণ কর যে, ঐ বর্গের ক্ষেত্রফল \(=\frac{4ab^2}{\sqrt{a^2e^4+4b^2}}\) ( \(e\) উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা )।
\(Q.3.(viii)\) \(y=2x+c\) সরলরেখাটি \(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\) উপবৃত্তের স্পর্শ্ক হলে \(c\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(c=\pm \sqrt{19}\)
[ রাঃ ২০১৪ ]
উত্তরঃ \( (4\cos\theta, 3\sin\theta)\)
\((b)\) \(16x^2+25y^2=400\)
[ রাঃ, কুঃ২০০৫; মাঃ ২০১৪,২০১০ ]
উত্তরঃ \( (5\cos\theta, 4\sin\theta)\)
\((c)\) \(9x^2+25y^2=225\)
[ সিঃ ২০০৭;মাঃ২০১২ ]
উত্তরঃ \( (5\cos\theta, 3\sin\theta)\)
\((d)\) \(3x^2+4y^2=12\)
[ চঃ ২০১৬ ]
উত্তরঃ \( (2\cos\theta, \sqrt{3}\sin\theta)\)
[যঃ,সিঃ ২০০২; ]
উত্তরঃ \(2y=\pm \sqrt{5}\)
\(Q.3.(ii)\) মূলবিন্দুকে কেন্দ্র এবং স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয়কে মূখ্য অক্ষ ধরে এরূপ উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দু \((\pm 10, 0)\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(5\)।
উত্তরঃ \(x^2+4y^2=100\)
\(Q.3.(iii)\) \(3x^2+4y^2=12\) উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রতা, ফোকাসের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০৩;বঃ২০০১;কুঃ২০০২; ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}; (\pm 1, 0); 3; x=\pm 4\)
\(Q.3.(iv)\) \(\frac{(x-5)^2}{25}+\frac{(y-4)^2}{16}=1\) উপবৃত্তের কেন্দ্র, ফোকাসদ্বয় এবং ক্ষুদ্রাক্ষের প্রান্তদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((5, 4), (8, 4), (2, 4),(5,8),(5, 0)\)
\(Q.3.(v)\) \(9x^2+25y^2=225\) উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রতা, ফোকাসের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বঃ২০০২;সিঃ ২০০৭; ]
উত্তরঃ \(\frac{4}{5}; (\pm 4, 0); \frac{18}{5}; x=\pm 4; 4x=\pm25\)
\(Q.3.(vi)\) \(2x^2+3y^2=1\) উপবৃত্তটির উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং ফোকাসের স্থানাঙ্ক, নির্ণয় কর।
[ বঃ২০০৩;যঃ ২০০৪; ঢাঃ ২০০৬]
উত্তরঃ \(\frac{2\sqrt{2}}{3}; (\pm \frac{1}{\sqrt{6}}, 0)\)
\(Q.3.(vii)\) যদি \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গের বাহুগুলি অক্ষদ্বয়ের সমান্তরাল হয়, তবে প্রমাণ কর যে, ঐ বর্গের ক্ষেত্রফল \(=\frac{4ab^2}{\sqrt{a^2e^4+4b^2}}\) ( \(e\) উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা )।
\(Q.3.(viii)\) \(y=2x+c\) সরলরেখাটি \(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\) উপবৃত্তের স্পর্শ্ক হলে \(c\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(c=\pm \sqrt{19}\)
\(Q.3.(ix)\) যে কোনো বিন্দুতে উপবৃত্তগুলির পরামিতিক স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((a)\) \(9x^2+16y^2=144\)[ রাঃ ২০১৪ ]
উত্তরঃ \( (4\cos\theta, 3\sin\theta)\)
\((b)\) \(16x^2+25y^2=400\)
[ রাঃ, কুঃ২০০৫; মাঃ ২০১৪,২০১০ ]
উত্তরঃ \( (5\cos\theta, 4\sin\theta)\)
\((c)\) \(9x^2+25y^2=225\)
[ সিঃ ২০০৭;মাঃ২০১২ ]
উত্তরঃ \( (5\cos\theta, 3\sin\theta)\)
\((d)\) \(3x^2+4y^2=12\)
[ চঃ ২০১৬ ]
উত্তরঃ \( (2\cos\theta, \sqrt{3}\sin\theta)\)
\(Q.3.(x)\) দেখাও যে, \(2x^2+y^2-8x-2y+1=0\) সমীকরণটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে; এর উৎকেন্দ্রিকতা, কেন্দ্র ও উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ কুঃ২০১২; ]
উত্তরঃ \(e=\frac{1}{\sqrt{2}}; (2, 1); (2, 3); (2, -1)\)
\(Q.3.(xi)\) \(16x^2+9y^2=144\) উপবৃত্তের উপরস্থ \((-3, 0)\), \((1, 3.77)\), \((-1, -3.77)\) বিন্দুগুলির পরামিতিক স্থানাঙ্ক , উপকেন্দ্রিক কোণ উল্লেখপূর্বক বের কর।
উত্তরঃ \((3\sin\theta, 4\cos\theta)\); যেখানে, \(\theta=180^{o},11^{o}1\acute{5},191^{o}1\acute{5}\)
\(Q.3.(xii)\) \(9x^2+25y^2=225\) উপবৃত্তের \((-5, 0)\), \((0, 3)\) , \((3, \frac{12}{5})\), \((-3, \frac{12}{5})\), \((-4, -\frac{9}{5})\), \((4, -\frac{9}{5})\), উপকেন্দ্রিক কোণ উল্লেখপূর্বক বিন্দুগুলির পরামিতিক স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \((5\cos\theta, 3\sin\theta)\) যেখানে, \(\theta=180^{o}, 90^{o}, 53.13^{o}, 126.87^{o}, 216.87^{o}, 323.13^{o}\)
\(Q.3.(xiii)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((3, -1)\) এবং \((1, -1)\) এবং যে কোনো উপকেন্দ্র হতে শীর্ষদ্বয়ের দূরত্বের গুণফল \(4\) একক।
উত্তরঃ \( \frac{(x-2)^2}{5}+\frac{(y+1)^2}{4}=1\)
\(Q.3.(xiv)\) দুইটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার বৃহদাক্ষ \(X\) অক্ষের সমান্তরাল, ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(6\) একক এবং উপকেন্দ্র \((-2, 3)\) ও এর অনুরূপ শীর্ষের মধ্যকার দূরত্ব \(1\) একক।
উত্তরঃ \( \frac{(x-2)^2}{25}+\frac{(y-3)^2}{9}=1;\)\( \frac{(x+6)^2}{25}+\frac{(y-3)^2}{9}=1\)
\(Q.3.(xv)\) দেখাও যে, \(x-y=5\) সরলরেখা \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\) উপবৃত্তকে স্পর্শ করে।
[ঢাঃ ২০০৩,২০০৪;চঃ ২০০৪ ]
\(Q.3.(xvi)\) \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\) উপবৃত্তের একটি জ্যা \((1, -2)\) বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত হয়; জ্যাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( 9x-32y-73=0 \)
\(Q.3.(xvii)\) একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দু তিনটি মূলবিন্দু এবং \(9(x-2)^2+25(y-3)^2=225\) উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়।
উত্তরঃ \(12 \) বর্গ একক।
\(Q.3.(xviii)\) \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তে \(y=mx+c\) রেখাটি স্পর্শক হলে, প্রমাণ কর যে, \(c^2=a^2m^2+b^2\)।
\(Q.3.(xix)\) যেসব বিন্দু থেকে \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক দুইটি পরস্পর লম্ব হয় তাদের সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( x^2+y^2=a^2+b^2\)
\(Q.3.(xx)\) পৃথিবীর কক্ষপথ উপবৃত্তাকার। এর একটি উপকেন্দ্রে সূর্য অবস্থিত। উপবৃত্তের অর্ধ-বৃহদাক্ষ \(9.3\times 10^{7}\) মাইল এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{62}\) ( প্রায় ) হলে সূর্য ও পৃথিবীর বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক্ষুদ্রতম দূরত্ব \(9.15\times 10^{7} \) মাইল। বৃহত্তম দূরত্ব \(9.45\times 10^{7} \) মাইল।
[ কুঃ২০১২; ]
উত্তরঃ \(e=\frac{1}{\sqrt{2}}; (2, 1); (2, 3); (2, -1)\)
\(Q.3.(xi)\) \(16x^2+9y^2=144\) উপবৃত্তের উপরস্থ \((-3, 0)\), \((1, 3.77)\), \((-1, -3.77)\) বিন্দুগুলির পরামিতিক স্থানাঙ্ক , উপকেন্দ্রিক কোণ উল্লেখপূর্বক বের কর।
উত্তরঃ \((3\sin\theta, 4\cos\theta)\); যেখানে, \(\theta=180^{o},11^{o}1\acute{5},191^{o}1\acute{5}\)
\(Q.3.(xii)\) \(9x^2+25y^2=225\) উপবৃত্তের \((-5, 0)\), \((0, 3)\) , \((3, \frac{12}{5})\), \((-3, \frac{12}{5})\), \((-4, -\frac{9}{5})\), \((4, -\frac{9}{5})\), উপকেন্দ্রিক কোণ উল্লেখপূর্বক বিন্দুগুলির পরামিতিক স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \((5\cos\theta, 3\sin\theta)\) যেখানে, \(\theta=180^{o}, 90^{o}, 53.13^{o}, 126.87^{o}, 216.87^{o}, 323.13^{o}\)
\(Q.3.(xiii)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((3, -1)\) এবং \((1, -1)\) এবং যে কোনো উপকেন্দ্র হতে শীর্ষদ্বয়ের দূরত্বের গুণফল \(4\) একক।
উত্তরঃ \( \frac{(x-2)^2}{5}+\frac{(y+1)^2}{4}=1\)
\(Q.3.(xiv)\) দুইটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার বৃহদাক্ষ \(X\) অক্ষের সমান্তরাল, ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(6\) একক এবং উপকেন্দ্র \((-2, 3)\) ও এর অনুরূপ শীর্ষের মধ্যকার দূরত্ব \(1\) একক।
উত্তরঃ \( \frac{(x-2)^2}{25}+\frac{(y-3)^2}{9}=1;\)\( \frac{(x+6)^2}{25}+\frac{(y-3)^2}{9}=1\)
\(Q.3.(xv)\) দেখাও যে, \(x-y=5\) সরলরেখা \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\) উপবৃত্তকে স্পর্শ করে।
[ঢাঃ ২০০৩,২০০৪;চঃ ২০০৪ ]
\(Q.3.(xvi)\) \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\) উপবৃত্তের একটি জ্যা \((1, -2)\) বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত হয়; জ্যাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( 9x-32y-73=0 \)
\(Q.3.(xvii)\) একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দু তিনটি মূলবিন্দু এবং \(9(x-2)^2+25(y-3)^2=225\) উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়।
উত্তরঃ \(12 \) বর্গ একক।
\(Q.3.(xviii)\) \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তে \(y=mx+c\) রেখাটি স্পর্শক হলে, প্রমাণ কর যে, \(c^2=a^2m^2+b^2\)।
\(Q.3.(xix)\) যেসব বিন্দু থেকে \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক দুইটি পরস্পর লম্ব হয় তাদের সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( x^2+y^2=a^2+b^2\)
\(Q.3.(xx)\) পৃথিবীর কক্ষপথ উপবৃত্তাকার। এর একটি উপকেন্দ্রে সূর্য অবস্থিত। উপবৃত্তের অর্ধ-বৃহদাক্ষ \(9.3\times 10^{7}\) মাইল এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{62}\) ( প্রায় ) হলে সূর্য ও পৃথিবীর বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক্ষুদ্রতম দূরত্ব \(9.15\times 10^{7} \) মাইল। বৃহত্তম দূরত্ব \(9.45\times 10^{7} \) মাইল।
\(Q.3.(i)\) \(5x^2=1-4y^2\) উপবৃত্তটির দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[যঃ,সিঃ ২০০২; ]
উত্তরঃ \(2y=\pm \sqrt{5}\)
[যঃ,সিঃ ২০০২; ]
উত্তরঃ \(2y=\pm \sqrt{5}\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
উপবৃত্তের সমীকরণ \(5x^2=1-4y^2\)
\(\Rightarrow 5x^2+4y^2=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{\frac{1}{5}}+\frac{y^2}{\frac{1}{4}}=1 .......(1)\)
এখানে,
\(a^2=\frac{1}{5}, b^2=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow a=\frac{1}{\sqrt{5}}, b=\frac{1}{\sqrt{4}}\)
\(\Rightarrow a=\frac{1}{\sqrt{5}}, b=\frac{1}{2}\)
\(\therefore b>a\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{4}}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{1}{5}\times \frac{4}{1}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{4}{5}}\)
\(=\sqrt{\frac{5-4}{5}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{5}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{5}}\)
উপবৃত্তটির দিকাক্ষের সমীকরণ \(y=\pm \frac{b}{e}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{5}}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{5}}{1}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{5}}{2}\)
\(\Rightarrow 2y=\pm \sqrt{5}\)
ইহাই নির্ণেয় দিকাক্ষের সমীকরণ।
উপবৃত্তের সমীকরণ \(5x^2=1-4y^2\)
\(\Rightarrow 5x^2+4y^2=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{\frac{1}{5}}+\frac{y^2}{\frac{1}{4}}=1 .......(1)\)
এখানে,
\(a^2=\frac{1}{5}, b^2=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow a=\frac{1}{\sqrt{5}}, b=\frac{1}{\sqrt{4}}\)
\(\Rightarrow a=\frac{1}{\sqrt{5}}, b=\frac{1}{2}\)
\(\therefore b>a\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{4}}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{1}{5}\times \frac{4}{1}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{4}{5}}\)
\(=\sqrt{\frac{5-4}{5}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{5}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{5}}\)
উপবৃত্তটির দিকাক্ষের সমীকরণ \(y=\pm \frac{b}{e}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{5}}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{5}}{1}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{5}}{2}\)
\(\Rightarrow 2y=\pm \sqrt{5}\)
ইহাই নির্ণেয় দিকাক্ষের সমীকরণ।
\(Q.3.(ii)\) মূলবিন্দুকে কেন্দ্র এবং স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয়কে মূখ্য অক্ষ ধরে এরূপ উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দু \((\pm 10, 0)\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(5\)।
উত্তরঃ \(x^2+4y^2=100\)
উত্তরঃ \(x^2+4y^2=100\)
সমাধানঃ
ধরি, 
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b).......(1)\)
যার শীর্ষবিন্দু \((\pm a, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(\frac{2b^2}{a}\)
দেওয়া আছে,
শীর্ষবিন্দু \((\pm 10, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(5\)
\((\pm a, 0)\Rightarrow (\pm 10, 0)\)
\(\Rightarrow a=10\)
\(\therefore a^2=100\)
আবার,
\(\frac{2b^2}{a}=5\) ➜\(\because\) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(5\)
\(\Rightarrow 2b^2=5\times 10\) ➜\(\because a=10\)
\(\Rightarrow 2b^2=50\)
\(\therefore b^2=25\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{25}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{x^2+4y^2}{100}=1 \)
\(\therefore x^2+4y^2=100 \)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b).......(1)\)
যার শীর্ষবিন্দু \((\pm a, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(\frac{2b^2}{a}\)
দেওয়া আছে,
শীর্ষবিন্দু \((\pm 10, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(5\)
\((\pm a, 0)\Rightarrow (\pm 10, 0)\)
\(\Rightarrow a=10\)
\(\therefore a^2=100\)
আবার,
\(\frac{2b^2}{a}=5\) ➜\(\because\) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(5\)
\(\Rightarrow 2b^2=5\times 10\) ➜\(\because a=10\)
\(\Rightarrow 2b^2=50\)
\(\therefore b^2=25\)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{25}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{x^2+4y^2}{100}=1 \)
\(\therefore x^2+4y^2=100 \)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.3.(iii)\) \(3x^2+4y^2=12\) উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রতা, ফোকাসের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০০৩;বঃ২০০১;কুঃ২০০২; ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}; (\pm 1, 0); 3; x=\pm 4\)
[ঢাঃ ২০০৩;বঃ২০০১;কুঃ২০০২; ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}; (\pm 1, 0); 3; x=\pm 4\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে , 
উপবৃত্তের সমীকরণ \(3x^2+4y^2=12\)
\(\Rightarrow \frac{3x^2}{12}+\frac{4y^2}{12}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(12\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)
এখানে, \(a^2=4, b^2=3\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=2, b=\sqrt{3}\)
\(\therefore a>b\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{3}{4}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{4-3}{4}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{1}{4}}\)
\(\therefore e=\frac{1}{2}\)
এখন,
ফোকাস \((\pm ae, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm 2\times \frac{1}{2}, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 1, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(=\frac{2\times 3}{2}\)
\(=3\)
দিকাক্ষের সমীকরণ, \(x=\pm \frac{a}{e}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow x=\pm \frac{2}{\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{4}{1}\)
\(\therefore x=\pm 4\)
উপবৃত্তের সমীকরণ \(3x^2+4y^2=12\)
\(\Rightarrow \frac{3x^2}{12}+\frac{4y^2}{12}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(12\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)
এখানে, \(a^2=4, b^2=3\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=2, b=\sqrt{3}\)
\(\therefore a>b\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{3}{4}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{4-3}{4}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{1}{4}}\)
\(\therefore e=\frac{1}{2}\)
এখন,
ফোকাস \((\pm ae, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm 2\times \frac{1}{2}, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 1, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(=\frac{2\times 3}{2}\)
\(=3\)
দিকাক্ষের সমীকরণ, \(x=\pm \frac{a}{e}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow x=\pm \frac{2}{\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{4}{1}\)
\(\therefore x=\pm 4\)
\(Q.3.(iv)\) \(\frac{(x-5)^2}{25}+\frac{(y-4)^2}{16}=1\) উপবৃত্তের কেন্দ্র, ফোকাসদ্বয় এবং ক্ষুদ্রাক্ষের প্রান্তদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((5, 4), (8, 4), (2, 4),(5,8),(5, 0)\)
উত্তরঃ \((5, 4), (8, 4), (2, 4),(5,8),(5, 0)\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে , 
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{(x-5)^2}{25}+\frac{(y-4)^2}{16}=1\)
\(\Rightarrow \frac{X^2}{25}+\frac{Y^2}{16}=1 ......(1)\) যেখানে, \(x-5=X, y-4=Y\)
এখানে, \(a^2=25, b^2=16\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=5, b=4\)
\(\therefore a>b\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{16}{25}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{25-16}{25}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{9}{25}}\)
\(\therefore e=\frac{3}{5}\)
এখন,
উপবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x-5=0, y-4=0\) ➜ \(\because x-5=X, y-4=Y\)
\(\Rightarrow x=5, y=4\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \((5, 4)\)
ফোকাস \((\pm ae, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow X=\pm ae, Y=0\)
\(\Rightarrow x-5=\pm 5\times \frac{3}{5}, y-4=0\)
\(\Rightarrow x-5=\pm 3, y=4\)
\(\Rightarrow x=\pm 3+5, y=4\)
\(\Rightarrow x=3+5,-3+5, y=4\)
\(\therefore x=8,2, y=4\)
\(\therefore \) ফোকাসদ্বয় \((8, 4), (2, 4)\)
ক্ষুদ্রাক্ষের প্রান্তদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((0, \pm b)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=\pm b\)
\(\Rightarrow x-5=0, y-4=\pm 4\)
\(\Rightarrow x=5, y=\pm 4+4\)
\(\Rightarrow x=5, y=-4+4,4+4\)
\(\therefore x=5, y=0,8\)
\(\therefore\) ক্ষুদ্রাক্ষের প্রান্তদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((5, 0), (5, 8)\)
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{(x-5)^2}{25}+\frac{(y-4)^2}{16}=1\)
\(\Rightarrow \frac{X^2}{25}+\frac{Y^2}{16}=1 ......(1)\) যেখানে, \(x-5=X, y-4=Y\)
এখানে, \(a^2=25, b^2=16\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=5, b=4\)
\(\therefore a>b\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{16}{25}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{25-16}{25}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{9}{25}}\)
\(\therefore e=\frac{3}{5}\)
এখন,
উপবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x-5=0, y-4=0\) ➜ \(\because x-5=X, y-4=Y\)
\(\Rightarrow x=5, y=4\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \((5, 4)\)
ফোকাস \((\pm ae, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow X=\pm ae, Y=0\)
\(\Rightarrow x-5=\pm 5\times \frac{3}{5}, y-4=0\)
\(\Rightarrow x-5=\pm 3, y=4\)
\(\Rightarrow x=\pm 3+5, y=4\)
\(\Rightarrow x=3+5,-3+5, y=4\)
\(\therefore x=8,2, y=4\)
\(\therefore \) ফোকাসদ্বয় \((8, 4), (2, 4)\)
ক্ষুদ্রাক্ষের প্রান্তদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((0, \pm b)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=\pm b\)
\(\Rightarrow x-5=0, y-4=\pm 4\)
\(\Rightarrow x=5, y=\pm 4+4\)
\(\Rightarrow x=5, y=-4+4,4+4\)
\(\therefore x=5, y=0,8\)
\(\therefore\) ক্ষুদ্রাক্ষের প্রান্তদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((5, 0), (5, 8)\)
\(Q.3.(v)\) \(9x^2+25y^2=225\) উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রতা, ফোকাসের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বঃ২০০২;সিঃ ২০০৭; ]
উত্তরঃ \(\frac{4}{5}; (\pm 4, 0); \frac{18}{5}; x=\pm 4; 4x=\pm25\)
[ বঃ২০০২;সিঃ ২০০৭; ]
উত্তরঃ \(\frac{4}{5}; (\pm 4, 0); \frac{18}{5}; x=\pm 4; 4x=\pm25\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে , 
উপবৃত্তের সমীকরণ \(9x^2+25y^2=225\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2}{225}+\frac{25y^2}{225}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(225\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1 ......(1)\)
এখানে, \(a^2=25, b^2=9\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=5, b=3\)
\(\therefore a>b\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{9}{25}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{25-9}{25}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{16}{25}}\)
\(\therefore e=\frac{4}{5}\)
এখন,
ফোকাস \((\pm ae, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 5\times \frac{3}{5}, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 3, 0)\)
\(\therefore \) ফোকাসদ্বয় \((\pm 3, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(\frac{2b^2}{a}\)
\(\Rightarrow \frac{2\times 9}{5}\)
\(\therefore \frac{18}{5}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(x=\pm ae\)
\(\Rightarrow x=\pm 5\times \frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow x=\pm 4\)
দিকাক্ষের সমীকরণ \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{5}{\frac{4}{5}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{5}{\frac{4}{5}}\)
\(\Rightarrow 4x=\pm 25\)
উপবৃত্তের সমীকরণ \(9x^2+25y^2=225\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2}{225}+\frac{25y^2}{225}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(225\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1 ......(1)\)
এখানে, \(a^2=25, b^2=9\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=5, b=3\)
\(\therefore a>b\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{9}{25}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{25-9}{25}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{16}{25}}\)
\(\therefore e=\frac{4}{5}\)
এখন,
ফোকাস \((\pm ae, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 5\times \frac{3}{5}, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 3, 0)\)
\(\therefore \) ফোকাসদ্বয় \((\pm 3, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(\frac{2b^2}{a}\)
\(\Rightarrow \frac{2\times 9}{5}\)
\(\therefore \frac{18}{5}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(x=\pm ae\)
\(\Rightarrow x=\pm 5\times \frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow x=\pm 4\)
দিকাক্ষের সমীকরণ \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{5}{\frac{4}{5}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{5}{\frac{4}{5}}\)
\(\Rightarrow 4x=\pm 25\)
\(Q.3.(vi)\) \(2x^2+3y^2=1\) উপবৃত্তটির উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং ফোকাসের স্থানাঙ্ক, নির্ণয় কর।
[ বঃ২০০৩;যঃ ২০০৪; ঢাঃ ২০০৬]
উত্তরঃ \(\frac{2\sqrt{2}}{3}; (\pm \frac{1}{\sqrt{6}}, 0)\)
[ বঃ২০০৩;যঃ ২০০৪; ঢাঃ ২০০৬]
উত্তরঃ \(\frac{2\sqrt{2}}{3}; (\pm \frac{1}{\sqrt{6}}, 0)\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
উপবৃত্তের সমীকরণ \(2x^2+3y^2=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{\frac{1}{2}}+\frac{y^2}{\frac{1}{3}}=1 .......(1)\)
এখানে,
\(a^2=\frac{1}{2}, b^2=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow a=\frac{1}{\sqrt{2}}, b=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\therefore a>b\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{1}{3}\times \frac{2}{1}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{2}{3}}\)
\(=\sqrt{\frac{3-2}{3}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{3}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(\frac{2b^2}{a}\)
\(\Rightarrow \frac{2\times \frac{1}{3}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\)
\(\Rightarrow 2\times \frac{1}{3}\times \frac{\sqrt{2}}{1}\)
\(\therefore \frac{2\sqrt{2}}{3}\)
ফোকাসের স্থানাঙ্ক \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{1}{\sqrt{3}}, 0)\)
\(\therefore (\pm \frac{1}{\sqrt{6}}, 0)\)
উপবৃত্তের সমীকরণ \(2x^2+3y^2=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{\frac{1}{2}}+\frac{y^2}{\frac{1}{3}}=1 .......(1)\)
এখানে,
\(a^2=\frac{1}{2}, b^2=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow a=\frac{1}{\sqrt{2}}, b=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\therefore a>b\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{1}{3}\times \frac{2}{1}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{2}{3}}\)
\(=\sqrt{\frac{3-2}{3}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{3}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(\frac{2b^2}{a}\)
\(\Rightarrow \frac{2\times \frac{1}{3}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\)
\(\Rightarrow 2\times \frac{1}{3}\times \frac{\sqrt{2}}{1}\)
\(\therefore \frac{2\sqrt{2}}{3}\)
ফোকাসের স্থানাঙ্ক \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{1}{\sqrt{3}}, 0)\)
\(\therefore (\pm \frac{1}{\sqrt{6}}, 0)\)
\(Q.3.(vii)\) যদি \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গের বাহুগুলি অক্ষদ্বয়ের সমান্তরাল হয়, তবে প্রমাণ কর যে, ঐ বর্গের ক্ষেত্রফল \(=\frac{4ab^2}{\sqrt{a^2e^4+4b^2}}\) ( \(e\) উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা )।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ......(1)\)
\((1)\) নং উপবৃত্তের অক্ষদ্বয় স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয় বরাবর অবস্থিত এবং উপবৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গের বাহুগুলি অক্ষদ্বয়ের সমান্তরাল।
উপবৃত্তের কেন্দ্র হতে বর্গের বাহুগুলির দূরত্ব অবশ্যই সমান হবে। ধরি এই দূরত্ব \(=k\)
তাহলে বর্গক্ষেত্রের বাহুগুলির সমীকরণ হবে,
\(x=\pm k .....(2)\)
\(y=\pm k .....(3)\)
এক্ষেত্রে বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য \(=k+k=2k\)
\(\therefore \) বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=(2k)^2=4k^2\)
আবার,
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e^2=1-\frac{b^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow e^2=\frac{a^2-b^2}{a^2}\)
\(\therefore a^2e^2=a^2-b^2 \)
এখন,
\((2)\) ও \((3)\) সমীকরণ \((1)\) নং উপবৃত্তকে সিদ্ধ করে।
\(\therefore \frac{(\pm k)^2}{a^2}+\frac{(\pm k)^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{k^2}{a^2}+\frac{k^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow k^2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)=1\)
\(\Rightarrow k^2\left(\frac{b^2+a^2}{a^2b^2}\right)=1\)
\(\therefore k^2=\left(\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}\right)\)
কিন্তু বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=4k^2\)
\(=4\left(\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}\right)\)
\(=\frac{4a^2b^2}{a^2+b^2}\)
\(=\frac{4a^2b^2}{\sqrt{(a^2+b^2)^2}}\)
\(=\frac{4a^2b^2}{\sqrt{(a^2-b^2)^2+4a^2b^2}}\)
\(=\frac{4a^2b^2}{\sqrt{(a^2e^2)^2+4a^2b^2}}\) ➜ \(\because a^2e^2=a^2-b^2\)
\(=\frac{4a^2b^2}{\sqrt{a^4e^4+4a^2b^2}}\)
\(=\frac{4a^2b^2}{a\sqrt{a^2e^4+4b^2}}\)
\(=\frac{4ab^2}{\sqrt{a^2e^4+4b^2}}\)
( প্রমাণিত )
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ......(1)\)
\((1)\) নং উপবৃত্তের অক্ষদ্বয় স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয় বরাবর অবস্থিত এবং উপবৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গের বাহুগুলি অক্ষদ্বয়ের সমান্তরাল।
উপবৃত্তের কেন্দ্র হতে বর্গের বাহুগুলির দূরত্ব অবশ্যই সমান হবে। ধরি এই দূরত্ব \(=k\)
তাহলে বর্গক্ষেত্রের বাহুগুলির সমীকরণ হবে,
\(x=\pm k .....(2)\)
\(y=\pm k .....(3)\)
এক্ষেত্রে বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য \(=k+k=2k\)
\(\therefore \) বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=(2k)^2=4k^2\)
আবার,
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e^2=1-\frac{b^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow e^2=\frac{a^2-b^2}{a^2}\)
\(\therefore a^2e^2=a^2-b^2 \)
এখন,
\((2)\) ও \((3)\) সমীকরণ \((1)\) নং উপবৃত্তকে সিদ্ধ করে।
\(\therefore \frac{(\pm k)^2}{a^2}+\frac{(\pm k)^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{k^2}{a^2}+\frac{k^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow k^2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)=1\)
\(\Rightarrow k^2\left(\frac{b^2+a^2}{a^2b^2}\right)=1\)
\(\therefore k^2=\left(\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}\right)\)
কিন্তু বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=4k^2\)
\(=4\left(\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}\right)\)
\(=\frac{4a^2b^2}{a^2+b^2}\)
\(=\frac{4a^2b^2}{\sqrt{(a^2+b^2)^2}}\)
\(=\frac{4a^2b^2}{\sqrt{(a^2-b^2)^2+4a^2b^2}}\)
\(=\frac{4a^2b^2}{\sqrt{(a^2e^2)^2+4a^2b^2}}\) ➜ \(\because a^2e^2=a^2-b^2\)
\(=\frac{4a^2b^2}{\sqrt{a^4e^4+4a^2b^2}}\)
\(=\frac{4a^2b^2}{a\sqrt{a^2e^4+4b^2}}\)
\(=\frac{4ab^2}{\sqrt{a^2e^4+4b^2}}\)
( প্রমাণিত )
\(Q.3.(viii)\) \(y=2x+c\) সরলরেখাটি \(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\) উপবৃত্তের স্পর্শ্ক হলে \(c\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(c=\pm \sqrt{19}\)
উত্তরঃ \(c=\pm \sqrt{19}\)
সমাধানঃ
ধরি, 
\(y=2x+c .....(1)\)
\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1 .....(2)\)
\((1)\) হতে \(\)-এর মাণ \(\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{4}+\frac{(2x+c)^2}{3}=1\)
\(\Rightarrow \frac{3x^2+4(2x+c)^2}{12}=1\)
\(\Rightarrow 3x^2+4(4x^2+4cx+c^2)=12\)
\(\Rightarrow 3x^2+16x^2+16cx+4c^2=12\)
\(\Rightarrow 19x^2+16cx+4c^2-12=0 \) যা \(x\)-এর দ্বিঘাত সমীকরণ, এখানে \(x\)-এর দুইটি মাণ পাওয়া যাবে।
সে ক্ষেত্রে \((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং উপবৃত্তকে দুইটি বিন্দুতে ছেদ করে। যা শর্তবিরোধী।
শর্তমতে উক্ত সমীকরণে \(x\)-এর মাণদ্বয় সমান হবে।
\(\therefore (16c)^2=4.19(4c^2-12)\) ➜ \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমাণ হওয়ার শর্ত, \(b^2=4ac\)
\(\Rightarrow 256c^2=16.19(c^2-3)\)
\(\Rightarrow 16c^2=19(c^2-3)\)
\(\Rightarrow 16c^2=19c^2-57\)
\(\Rightarrow 16c^2-19c^2=-57\)
\(\Rightarrow -3c^2=-57\)
\(\Rightarrow c^2=19\)
\(\therefore c=\pm \sqrt{19}\)
\(y=2x+c .....(1)\)
\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1 .....(2)\)
\((1)\) হতে \(\)-এর মাণ \(\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{4}+\frac{(2x+c)^2}{3}=1\)
\(\Rightarrow \frac{3x^2+4(2x+c)^2}{12}=1\)
\(\Rightarrow 3x^2+4(4x^2+4cx+c^2)=12\)
\(\Rightarrow 3x^2+16x^2+16cx+4c^2=12\)
\(\Rightarrow 19x^2+16cx+4c^2-12=0 \) যা \(x\)-এর দ্বিঘাত সমীকরণ, এখানে \(x\)-এর দুইটি মাণ পাওয়া যাবে।
সে ক্ষেত্রে \((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং উপবৃত্তকে দুইটি বিন্দুতে ছেদ করে। যা শর্তবিরোধী।
শর্তমতে উক্ত সমীকরণে \(x\)-এর মাণদ্বয় সমান হবে।
\(\therefore (16c)^2=4.19(4c^2-12)\) ➜ \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমাণ হওয়ার শর্ত, \(b^2=4ac\)
\(\Rightarrow 256c^2=16.19(c^2-3)\)
\(\Rightarrow 16c^2=19(c^2-3)\)
\(\Rightarrow 16c^2=19c^2-57\)
\(\Rightarrow 16c^2-19c^2=-57\)
\(\Rightarrow -3c^2=-57\)
\(\Rightarrow c^2=19\)
\(\therefore c=\pm \sqrt{19}\)
\(Q.3.(ix)\) যে কোনো বিন্দুতে উপবৃত্তগুলির পরামিতিক স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\(Q.3.(ix)(a)\) \(9x^2+16y^2=144\)
[ রাঃ ২০১৪ ]
উত্তরঃ \( (4\cos\theta, 3\sin\theta)\)
[ রাঃ ২০১৪ ]
উত্তরঃ \( (4\cos\theta, 3\sin\theta)\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে ,
\(9x^2+16y^2=144\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2}{144}+\frac{16y^2}{144}=1\)| উভয় পার্শে \(144\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1 .......(1)\)
এখানে,
\(a^2=16, b^2=9\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4, b=3\)
\((1)\) নং উপবৃত্তের উপরস্থ যে কোনো বিন্দুর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((4\cos\theta, 3\sin\theta)\) ➜ \(\because \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \) উপবৃত্তের উপরস্থ যে কোনো বিন্দুর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((a\cos\theta, b\sin\theta)\)
\(9x^2+16y^2=144\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2}{144}+\frac{16y^2}{144}=1\)| উভয় পার্শে \(144\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1 .......(1)\)
এখানে,
\(a^2=16, b^2=9\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4, b=3\)
\((1)\) নং উপবৃত্তের উপরস্থ যে কোনো বিন্দুর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((4\cos\theta, 3\sin\theta)\) ➜ \(\because \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b \) উপবৃত্তের উপরস্থ যে কোনো বিন্দুর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((a\cos\theta, b\sin\theta)\)
\(Q.3.(x)\) দেখাও যে, \(2x^2+y^2-8x-2y+1=0\) সমীকরণটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে; এর উৎকেন্দ্রিকতা, কেন্দ্র ও উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ কুঃ২০১২; ]
উত্তরঃ \(e=\frac{1}{\sqrt{2}}; (2, 1); (2, 3); (2, -1)\)
[ কুঃ২০১২; ]
উত্তরঃ \(e=\frac{1}{\sqrt{2}}; (2, 1); (2, 3); (2, -1)\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
উপবৃত্তের সমীকরণ \(2x^2+y^2-8x-2y+1=0\)
\(\Rightarrow 2x^2-8x+y^2-2y+1=0\)
\(\Rightarrow 2(x^2-4x)+(y-1)^2=0\)
\(\Rightarrow 2(x^2-4x+4-4)+(y-1)^2=0\)
\(\Rightarrow 2(x^2-4x+4)-8+(y-1)^2=0\)
\(\Rightarrow 2(x-2)^2+(y-1)^2=8\)
\(\Rightarrow \frac{2(x-2)^2}{8}+\frac{(y-1)^2}{8}=1\)
\(\Rightarrow \frac{(x-2)^2}{4}+\frac{(y-1)^2}{8}=1 .......(1)\)
এখানে,
কেন্দ্র \(C(\alpha, \beta)\Rightarrow C(2, 1)\) ➜ \(\frac{(x-\alpha)^2}{a^2}+\frac{(y-\beta)^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow \alpha=2, \beta=1\)
আবার,
\(a^2=4, b^2=8\) ➜ \(\frac{(x-\alpha)^2}{a^2}+\frac{(y-\beta)^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=2, b=2\sqrt{2}\)
\(\therefore b>a\)
উৎকেন্দ্রিকতা,
\(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{4}{8}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{2-1}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{2}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
উপকেন্দ্র,
\((\alpha, \pm be+\beta)\) ➜ \(\frac{(x-\alpha)^2}{a^2}+\frac{(y-\beta)^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (2, \pm 2\sqrt{2}\times \frac{1}{\sqrt{2}}+1)\)
\(\Rightarrow (2, \pm 2+1)\)
\(\Rightarrow (2, 2+1), (2, -2+1)\)
\(\therefore (2, 3), (2, -1)\)
উপবৃত্তের সমীকরণ \(2x^2+y^2-8x-2y+1=0\)
\(\Rightarrow 2x^2-8x+y^2-2y+1=0\)
\(\Rightarrow 2(x^2-4x)+(y-1)^2=0\)
\(\Rightarrow 2(x^2-4x+4-4)+(y-1)^2=0\)
\(\Rightarrow 2(x^2-4x+4)-8+(y-1)^2=0\)
\(\Rightarrow 2(x-2)^2+(y-1)^2=8\)
\(\Rightarrow \frac{2(x-2)^2}{8}+\frac{(y-1)^2}{8}=1\)
\(\Rightarrow \frac{(x-2)^2}{4}+\frac{(y-1)^2}{8}=1 .......(1)\)
এখানে,
কেন্দ্র \(C(\alpha, \beta)\Rightarrow C(2, 1)\) ➜ \(\frac{(x-\alpha)^2}{a^2}+\frac{(y-\beta)^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow \alpha=2, \beta=1\)
আবার,
\(a^2=4, b^2=8\) ➜ \(\frac{(x-\alpha)^2}{a^2}+\frac{(y-\beta)^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=2, b=2\sqrt{2}\)
\(\therefore b>a\)
উৎকেন্দ্রিকতা,
\(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{4}{8}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{2-1}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{2}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
উপকেন্দ্র,
\((\alpha, \pm be+\beta)\) ➜ \(\frac{(x-\alpha)^2}{a^2}+\frac{(y-\beta)^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (2, \pm 2\sqrt{2}\times \frac{1}{\sqrt{2}}+1)\)
\(\Rightarrow (2, \pm 2+1)\)
\(\Rightarrow (2, 2+1), (2, -2+1)\)
\(\therefore (2, 3), (2, -1)\)
\(Q.3.(xi)\) \(16x^2+9y^2=144\) উপবৃত্তের উপরস্থ \((-3, 0)\), \((1, 3.77)\), \((-1, -3.77)\) বিন্দুগুলির পরামিতিক স্থানাঙ্ক , উপকেন্দ্রিক কোণ উল্লেখপূর্বক বের কর।
উত্তরঃ \((3\sin\theta, 4\cos\theta)\); যেখানে, \(\theta=180^{o},11^{o}1\acute{5},191^{o}1\acute{5}\)
উত্তরঃ \((3\sin\theta, 4\cos\theta)\); যেখানে, \(\theta=180^{o},11^{o}1\acute{5},191^{o}1\acute{5}\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
উপবৃত্তের সমীকরণ \(16x^2+9y^2=144\)
\(\Rightarrow \frac{16x^2}{144}+\frac{9y^2}{144}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1 .......(1)\)
এখানে,
\(a^2=9, b^2=16\)
\(\Rightarrow a=3, b=4\)
\(\therefore b>a\)
যে কোনো বিন্দুর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\) যেখানে পরামিতি \(=\theta\)
এবং \(\theta=\tan_{-1}\left(\frac{ay}{bx}\right)\)
\((-3, 0)\) বিন্দুর ক্ষেত্রে \(x=-3, y=0\)
\(\therefore \theta=\tan_{-1}\left(\frac{ay}{bx}\right)\)
\(\Rightarrow \theta=\tan_{-1}\left(\frac{3\times 0}{4\times -3}\right)\)
\(\Rightarrow \theta=\tan_{-1}\left(\frac{0}{-12}\right)\)
\(\Rightarrow \theta=-\tan_{-1}0\)
\(\Rightarrow \theta=180_{o}-\tan_{-1}0\)
\(\Rightarrow \theta=180_{o}-0\)
\(\therefore \theta=180_{o}\)
\(\therefore (-3, 0)\) বিন্দুর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((a\cos\theta, b\sin\theta)\) যেখানে, \(\theta=\theta=180_{o}\).
\((1, 3.77)\) বিন্দুর ক্ষেত্রে \(x=1, y=3.77\)
\(\therefore \theta=\tan_{-1}\left(\frac{ay}{bx}\right)\)
\(\Rightarrow \theta=\tan_{-1}\left(\frac{3\times 1}{4\times 3.77}\right)\)
\(\Rightarrow \theta=\tan_{-1}\left(\frac{3}{15.08}\right)\)
\(\therefore \theta=11_{o}1\acute{5}\)
\(\therefore (1, 3.77)\) বিন্দুর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((a\cos\theta, b\sin\theta)\) যেখানে, \(\theta=\theta=11_{o}1\acute{5}\).
\((-1, -3.77)\) বিন্দুর ক্ষেত্রে \(x=-1, y=-3.77\)
\(\therefore \theta=\tan_{-1}\left(\frac{ay}{bx}\right)\)
\(\Rightarrow \theta=\tan_{-1}\left(\frac{3\times -1}{4\times -3.77}\right)\)
\(\Rightarrow \theta=\tan_{-1}\left(\frac{-3}{-15.08}\right)\)
\(\Rightarrow \theta=\tan_{-1}\left(\frac{3}{15.08}\right)\)
\(\Rightarrow \theta=180_{o}+11_{o}1\acute{5}\)
\(\therefore \theta=191_{o}1\acute{5}\)
\(\therefore (1, 3.77)\) বিন্দুর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((a\cos\theta, b\sin\theta)\) যেখানে, \(\theta=\theta=191_{o}1\acute{5}\).
উপবৃত্তের সমীকরণ \(16x^2+9y^2=144\)
\(\Rightarrow \frac{16x^2}{144}+\frac{9y^2}{144}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1 .......(1)\)
এখানে,
\(a^2=9, b^2=16\)
\(\Rightarrow a=3, b=4\)
\(\therefore b>a\)
যে কোনো বিন্দুর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\) যেখানে পরামিতি \(=\theta\)
এবং \(\theta=\tan_{-1}\left(\frac{ay}{bx}\right)\)
\((-3, 0)\) বিন্দুর ক্ষেত্রে \(x=-3, y=0\)
\(\therefore \theta=\tan_{-1}\left(\frac{ay}{bx}\right)\)
\(\Rightarrow \theta=\tan_{-1}\left(\frac{3\times 0}{4\times -3}\right)\)
\(\Rightarrow \theta=\tan_{-1}\left(\frac{0}{-12}\right)\)
\(\Rightarrow \theta=-\tan_{-1}0\)
\(\Rightarrow \theta=180_{o}-\tan_{-1}0\)
\(\Rightarrow \theta=180_{o}-0\)
\(\therefore \theta=180_{o}\)
\(\therefore (-3, 0)\) বিন্দুর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((a\cos\theta, b\sin\theta)\) যেখানে, \(\theta=\theta=180_{o}\).
\((1, 3.77)\) বিন্দুর ক্ষেত্রে \(x=1, y=3.77\)
\(\therefore \theta=\tan_{-1}\left(\frac{ay}{bx}\right)\)
\(\Rightarrow \theta=\tan_{-1}\left(\frac{3\times 1}{4\times 3.77}\right)\)
\(\Rightarrow \theta=\tan_{-1}\left(\frac{3}{15.08}\right)\)
\(\therefore \theta=11_{o}1\acute{5}\)
\(\therefore (1, 3.77)\) বিন্দুর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((a\cos\theta, b\sin\theta)\) যেখানে, \(\theta=\theta=11_{o}1\acute{5}\).
\((-1, -3.77)\) বিন্দুর ক্ষেত্রে \(x=-1, y=-3.77\)
\(\therefore \theta=\tan_{-1}\left(\frac{ay}{bx}\right)\)
\(\Rightarrow \theta=\tan_{-1}\left(\frac{3\times -1}{4\times -3.77}\right)\)
\(\Rightarrow \theta=\tan_{-1}\left(\frac{-3}{-15.08}\right)\)
\(\Rightarrow \theta=\tan_{-1}\left(\frac{3}{15.08}\right)\)
\(\Rightarrow \theta=180_{o}+11_{o}1\acute{5}\)
\(\therefore \theta=191_{o}1\acute{5}\)
\(\therefore (1, 3.77)\) বিন্দুর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((a\cos\theta, b\sin\theta)\) যেখানে, \(\theta=\theta=191_{o}1\acute{5}\).
\(Q.3.(xiii)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((3, -1)\) এবং \((1, -1)\) এবং যে কোনো উপকেন্দ্র হতে শীর্ষদ্বয়ের দূরত্বের গুণফল \(4\) একক।
উত্তরঃ \( \frac{(x-2)^2}{5}+\frac{(y+1)^2}{4}=1\)
উত্তরঃ \( \frac{(x-2)^2}{5}+\frac{(y+1)^2}{4}=1\)
সমাধানঃ
ধরি, 
উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয় \(S(3, -1), \acute{S}(1, -1)\)
\(\therefore S\acute{s}\)-এর মধ্যবিন্দু হবে উপবৃত্তের কেন্দ্র \(C\left(\frac{3+1}{2}, \frac{-1-1}{2}\right)\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow C\left(\frac{4}{2}, \frac{-2}{2}\right)\)
\(\therefore C(2, -1)\)
\(\therefore C(2, -1)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট উপবৃত্তের সমীকরণ,
\( \frac{(x-2)^2}{a^2}+\frac{(y+1)^2}{b^2}=1 ......(1)\)
উপবৃত্তের শীর্ষদ্বয় \(A\) ও \(\acute{A}\).
যেহেতু উপকেন্দ্রের কটি অভিন্ন, সুতরাং উপবৃত্তের বৃহদাক্ষ \(X\) অক্ষের সমান্তরাল। \(a, b\) এবং \(e\) যথাক্রমে উপবৃত্তের অর্ধ-বৃহদাক্ষ, অর্ধ-ক্ষুদ্রাক্ষ এবং উৎকেন্দ্রিকতা হলে,
\(CA=C\acute{A}=a, CS=ae\)
আবার,
\(SA=CA-CS=a-ae\)
এবং
\(S\acute{A}=C\acute{A}+CS=a+ae\)
শর্তমতে,
\(SA\times S\acute{A}=4\)
\(\Rightarrow (a-ae)(a+ae)=4\)
\(\Rightarrow a^2-a^2e^2=4\)
\(\Rightarrow b^2=4\) ➜ \(\because b^2=a^2-a^2e^2\)
আবার,
\(b^2=a^2-a^2e^2\)
\(\Rightarrow b^2=a^2-(ae)^2\)
\(\Rightarrow b^2=a^2-(CS)^2\)
\(\Rightarrow b^2=a^2-\{(2-3)^2+(-1+1)^2\}\) ➜ \(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2\)
\(\Rightarrow b^2=a^2-\{(-1)^2+(0)^2\}\)
\(\Rightarrow b^2=a^2-\{1+0\}\)
\(\Rightarrow b^2=a^2-1\)
\(\Rightarrow a^2-1=b^2\)
\(\Rightarrow a^2=b^2+1\)
\(\Rightarrow a^2=4+1\)
\(\therefore a^2=5\)
এখন,
\(a^2=5, b^2=4, (1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{(x-2)^2}{5}+\frac{(y+1)^2}{4}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয় \(S(3, -1), \acute{S}(1, -1)\)
\(\therefore S\acute{s}\)-এর মধ্যবিন্দু হবে উপবৃত্তের কেন্দ্র \(C\left(\frac{3+1}{2}, \frac{-1-1}{2}\right)\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow C\left(\frac{4}{2}, \frac{-2}{2}\right)\)
\(\therefore C(2, -1)\)
\(\therefore C(2, -1)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট উপবৃত্তের সমীকরণ,
\( \frac{(x-2)^2}{a^2}+\frac{(y+1)^2}{b^2}=1 ......(1)\)
উপবৃত্তের শীর্ষদ্বয় \(A\) ও \(\acute{A}\).
যেহেতু উপকেন্দ্রের কটি অভিন্ন, সুতরাং উপবৃত্তের বৃহদাক্ষ \(X\) অক্ষের সমান্তরাল। \(a, b\) এবং \(e\) যথাক্রমে উপবৃত্তের অর্ধ-বৃহদাক্ষ, অর্ধ-ক্ষুদ্রাক্ষ এবং উৎকেন্দ্রিকতা হলে,
\(CA=C\acute{A}=a, CS=ae\)
আবার,
\(SA=CA-CS=a-ae\)
এবং
\(S\acute{A}=C\acute{A}+CS=a+ae\)
শর্তমতে,
\(SA\times S\acute{A}=4\)
\(\Rightarrow (a-ae)(a+ae)=4\)
\(\Rightarrow a^2-a^2e^2=4\)
\(\Rightarrow b^2=4\) ➜ \(\because b^2=a^2-a^2e^2\)
আবার,
\(b^2=a^2-a^2e^2\)
\(\Rightarrow b^2=a^2-(ae)^2\)
\(\Rightarrow b^2=a^2-(CS)^2\)
\(\Rightarrow b^2=a^2-\{(2-3)^2+(-1+1)^2\}\) ➜ \(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2\)
\(\Rightarrow b^2=a^2-\{(-1)^2+(0)^2\}\)
\(\Rightarrow b^2=a^2-\{1+0\}\)
\(\Rightarrow b^2=a^2-1\)
\(\Rightarrow a^2-1=b^2\)
\(\Rightarrow a^2=b^2+1\)
\(\Rightarrow a^2=4+1\)
\(\therefore a^2=5\)
এখন,
\(a^2=5, b^2=4, (1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{(x-2)^2}{5}+\frac{(y+1)^2}{4}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.3.(xiv)\) দুইটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার বৃহদাক্ষ \(X\) অক্ষের সমান্তরাল, ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(6\) একক এবং উপকেন্দ্র \((-2, 3)\) ও এর অনুরূপ শীর্ষের মধ্যকার দূরত্ব \(1\) একক।
উত্তরঃ \( \frac{(x-2)^2}{25}+\frac{(y-3)^2}{9}=1;\)
\( \frac{(x+6)^2}{25}+\frac{(y-3)^2}{9}=1\)
উত্তরঃ \( \frac{(x-2)^2}{25}+\frac{(y-3)^2}{9}=1;\)
\( \frac{(x+6)^2}{25}+\frac{(y-3)^2}{9}=1\)
সমাধানঃ
ধরি, 
উপবৃত্তের সমীকরণ, \( \frac{(x-\alpha)^2}{a^2}+\frac{(y-\beta)^2}{b^2}=1 ......(1)\)
উপবৃত্তের কেন্দ্র \(C(\alpha, \beta)\).
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm ae+\alpha, \beta)\).
উপবৃত্তের ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2b\).
শর্তমতে,
\(2b=6\)
\(\therefore b=3\)
উপকেন্দ্র ও এর অনুরূপ শীর্ষের মধ্যকার দূরত্ব \(a-ae=1\)
\(\Rightarrow a-1=ae\)
\(\Rightarrow \frac{a-1}{a}=e ....(2)\)
\(\Rightarrow \frac{(a-1)^2}{a^2}=e^2\)
\(\Rightarrow \frac{(a-1)^2}{a^2}=1-\frac{b^2}{a^2}\) ➜ \(\because e^2=1-\frac{b^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow \frac{(a-1)^2}{a^2}=1-\frac{3^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow \frac{(a-1)^2}{a^2}=1-\frac{9}{a^2}\)
\(\Rightarrow \frac{(a-1)^2}{a^2}+\frac{9}{a^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{(a-1)^2+9}{a^2}=1\)
\(\Rightarrow (a-1)^2+9=a^2\)
\(\Rightarrow (a-1)^2-a^2+9=0\)
\(\Rightarrow (a-1+a)(a-1-a)+9=0\)
\(\Rightarrow (2a-1)(-1)+9=0\)
\(\Rightarrow -2a+1+9=0\)
\(\Rightarrow -2a+10=0\)
\(\Rightarrow -2a=-10\)
\(\therefore a=5\)
\(a=5, b=3, (1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{(x-\alpha)^2}{25}+\frac{(y-\beta)^2}{9}=1 ......(3)\)
আবার,
\((2)\) হতে,
\(e=\frac{a-1}{a}\)
\(=\frac{5-1}{5}\)
\(=\frac{4}{5}\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm ae+\alpha, \beta)\).
\(\Rightarrow (\pm 5\times \frac{4}{5}+\alpha, \beta)\).
\(\therefore (\pm 4+\alpha, \beta)\).
দেওয়া আছে,
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((-2, 3)\).
\(\therefore (\pm 4+\alpha, \beta)\Rightarrow (-2, 3)\).
\(\Rightarrow \pm 4+\alpha=-2; \beta=3\).
\(\Rightarrow \alpha=-2\pm 4; \beta=3\).
\(\Rightarrow \alpha=-2+4,-2-4; \beta=3\).
\(\therefore \alpha=2,-6; \beta=3\).
\(\alpha=2,-6; \beta=3, (3)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{(x-2)^2}{25}+\frac{(y-3)^2}{9}=1\) এবং \(\frac{(x+6)^2}{25}+\frac{(y-3)^2}{9}=1\)
নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের সমীকরণ, \( \frac{(x-\alpha)^2}{a^2}+\frac{(y-\beta)^2}{b^2}=1 ......(1)\)
উপবৃত্তের কেন্দ্র \(C(\alpha, \beta)\).
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm ae+\alpha, \beta)\).
উপবৃত্তের ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2b\).
শর্তমতে,
\(2b=6\)
\(\therefore b=3\)
উপকেন্দ্র ও এর অনুরূপ শীর্ষের মধ্যকার দূরত্ব \(a-ae=1\)
\(\Rightarrow a-1=ae\)
\(\Rightarrow \frac{a-1}{a}=e ....(2)\)
\(\Rightarrow \frac{(a-1)^2}{a^2}=e^2\)
\(\Rightarrow \frac{(a-1)^2}{a^2}=1-\frac{b^2}{a^2}\) ➜ \(\because e^2=1-\frac{b^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow \frac{(a-1)^2}{a^2}=1-\frac{3^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow \frac{(a-1)^2}{a^2}=1-\frac{9}{a^2}\)
\(\Rightarrow \frac{(a-1)^2}{a^2}+\frac{9}{a^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{(a-1)^2+9}{a^2}=1\)
\(\Rightarrow (a-1)^2+9=a^2\)
\(\Rightarrow (a-1)^2-a^2+9=0\)
\(\Rightarrow (a-1+a)(a-1-a)+9=0\)
\(\Rightarrow (2a-1)(-1)+9=0\)
\(\Rightarrow -2a+1+9=0\)
\(\Rightarrow -2a+10=0\)
\(\Rightarrow -2a=-10\)
\(\therefore a=5\)
\(a=5, b=3, (1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{(x-\alpha)^2}{25}+\frac{(y-\beta)^2}{9}=1 ......(3)\)
আবার,
\((2)\) হতে,
\(e=\frac{a-1}{a}\)
\(=\frac{5-1}{5}\)
\(=\frac{4}{5}\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm ae+\alpha, \beta)\).
\(\Rightarrow (\pm 5\times \frac{4}{5}+\alpha, \beta)\).
\(\therefore (\pm 4+\alpha, \beta)\).
দেওয়া আছে,
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((-2, 3)\).
\(\therefore (\pm 4+\alpha, \beta)\Rightarrow (-2, 3)\).
\(\Rightarrow \pm 4+\alpha=-2; \beta=3\).
\(\Rightarrow \alpha=-2\pm 4; \beta=3\).
\(\Rightarrow \alpha=-2+4,-2-4; \beta=3\).
\(\therefore \alpha=2,-6; \beta=3\).
\(\alpha=2,-6; \beta=3, (3)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{(x-2)^2}{25}+\frac{(y-3)^2}{9}=1\) এবং \(\frac{(x+6)^2}{25}+\frac{(y-3)^2}{9}=1\)
নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.3.(xv)\) দেখাও যে, \(x-y=5\) সরলরেখা \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\) উপবৃত্তকে স্পর্শ করে ।
[ঢাঃ ২০০৩,২০০৪;চঃ ২০০৪ ]
[ঢাঃ ২০০৩,২০০৪;চঃ ২০০৪ ]
সমাধানঃ
ধরি, 
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1 ......(1)\)
প্রদত্ত সরলরেখা \(x-y=5\)
\(\Rightarrow x=5+y .....(2)\)
\((2)\) হতে \(x\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{(5+y)^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9(5+y)^2+16y^2}{144}=1\)
\(\Rightarrow 9(25+10y+y^2)+16y^2=144\)
\(\Rightarrow 225+90y+9y^2+16y^2-144=0\)
\(\Rightarrow 25y^2+90y+81=0\)
\(\Rightarrow (5y+9)^2=0\)
\(\Rightarrow (5y+9)(5y+9)=0\)
\(\Rightarrow 5y+9=0, 5y+9=0\)
\(\Rightarrow 5y=-9, 5y=-9)=0\)
\(\therefore y=-\frac{9}{5}, y=-\frac{9}{5})\)
যেহেতু \(y\)-এর মাণ দূইটি সমান, সুতরাং প্রদত্ত সরলরেখাটি উপবৃত্তকে স্পর্শ করে।
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1 ......(1)\)
প্রদত্ত সরলরেখা \(x-y=5\)
\(\Rightarrow x=5+y .....(2)\)
\((2)\) হতে \(x\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{(5+y)^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9(5+y)^2+16y^2}{144}=1\)
\(\Rightarrow 9(25+10y+y^2)+16y^2=144\)
\(\Rightarrow 225+90y+9y^2+16y^2-144=0\)
\(\Rightarrow 25y^2+90y+81=0\)
\(\Rightarrow (5y+9)^2=0\)
\(\Rightarrow (5y+9)(5y+9)=0\)
\(\Rightarrow 5y+9=0, 5y+9=0\)
\(\Rightarrow 5y=-9, 5y=-9)=0\)
\(\therefore y=-\frac{9}{5}, y=-\frac{9}{5})\)
যেহেতু \(y\)-এর মাণ দূইটি সমান, সুতরাং প্রদত্ত সরলরেখাটি উপবৃত্তকে স্পর্শ করে।
\(Q.3.(xvi)\) \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\) উপবৃত্তের একটি জ্যা \((1, -2)\) বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত হয়; জ্যাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( 9x-32y-73=0 \)
উত্তরঃ \( 9x-32y-73=0 \)
সমাধানঃ
ধরি, 
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2+16y^2}{144}=1\)
\(\therefore 9x^2+16y^2=144 ......(1)\)
\((1)\) নং উপবৃত্তে অঙ্কিত জ্যা-এর মধ্যবিন্দু \((1, -2)\)
জ্যা-এর সমীকরণ,
\(9x.1+16y.(-2)=9.1^2+16.(-2)^2\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তে অঙ্কিত জ্যা-এর মধ্যবিন্দু \(C(x_1, y_1)\) হলে, জ্যা-এর সমীকরণ, \(b^2x.x_{1}+a^2y.y_{1}=b^2x_{1}+a^2y_{1}\)
\(\Rightarrow 9x-32y=9.1+16.4\)
\(\Rightarrow 9x-32y=9+64\)
\(\Rightarrow 9x-32y=73\)
\(\therefore 9x-32y-73=0\)
ইহাই নির্ণেয় জ্যা-এর সমীকরণ।
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2+16y^2}{144}=1\)
\(\therefore 9x^2+16y^2=144 ......(1)\)
\((1)\) নং উপবৃত্তে অঙ্কিত জ্যা-এর মধ্যবিন্দু \((1, -2)\)
জ্যা-এর সমীকরণ,
\(9x.1+16y.(-2)=9.1^2+16.(-2)^2\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তে অঙ্কিত জ্যা-এর মধ্যবিন্দু \(C(x_1, y_1)\) হলে, জ্যা-এর সমীকরণ, \(b^2x.x_{1}+a^2y.y_{1}=b^2x_{1}+a^2y_{1}\)
\(\Rightarrow 9x-32y=9.1+16.4\)
\(\Rightarrow 9x-32y=9+64\)
\(\Rightarrow 9x-32y=73\)
\(\therefore 9x-32y-73=0\)
ইহাই নির্ণেয় জ্যা-এর সমীকরণ।
\(Q.3.(xvii)\) একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দু তিনটি মূলবিন্দু এবং \(9(x-2)^2+25(y-3)^2=225\) উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়।
উত্তরঃ \(12 \) বর্গ একক।
উত্তরঃ \(12 \) বর্গ একক।
সমাধানঃ
ধরি, 
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(9(x-2)^2+25(y-3)^2=225\)
\(\Rightarrow \frac{9(x-2)^2}{225}+\frac{25(y-3)^2}{225}=1\)
\(\therefore \frac{(x-2)^2}{25}+\frac{(y-3)^2}{9}=1......(1)\)
এখানে,
\(a^2=25, b^2=9\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=5, b=3\)
\(\therefore a>b\)
আমরা জানি,
\(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{9}{25}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{25-9}{25}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{16}{25}}\)
\(\therefore e=\frac{4}{5}\)
উপবৃত্তের কেন্দ্র, \((2, 3)\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র, \((\pm ae+2, 3)\)
\(\Rightarrow (\pm 5\times \frac{4}{5}+2, 3)\)
\(\Rightarrow (\pm 4+2, 3)\)
\(\Rightarrow (4+2, 3), (-4+2, 3)\)
\(\therefore (6, 3), (-2, 3)\)
শর্তমতে,
নির্ণেয় ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি হবে, \(O(0, 0), S(6, 3)\) এবং \(\acute{S}(-2, 3)\)
\(\therefore \triangle OS\acute{S}=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}0 \ \ 6 \ \ -2\ \ 0\\0 \ \ 3 \ \ 3 \ \ 0\end{array}\right|\) ➜ কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, \(\triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ x_{2} \ \ x_{3}\ \ x_{1}\\y_{1} \ \ y_{2} \ \ y_{3} \ \ y_{1}\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{0.3-0.6+6.3-(-2).3+(-2).0-0.3 \}\)
\(=\frac{1}{2}\{0-0+18+6+0-0 \}\)
\(=\frac{1}{2}\{0+24+0 \}\)
\(=\frac{1}{2}\{24 \}\)
\(=12\) বর্গ একক।
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(9(x-2)^2+25(y-3)^2=225\)
\(\Rightarrow \frac{9(x-2)^2}{225}+\frac{25(y-3)^2}{225}=1\)
\(\therefore \frac{(x-2)^2}{25}+\frac{(y-3)^2}{9}=1......(1)\)
এখানে,
\(a^2=25, b^2=9\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=5, b=3\)
\(\therefore a>b\)
আমরা জানি,
\(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{9}{25}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{25-9}{25}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{16}{25}}\)
\(\therefore e=\frac{4}{5}\)
উপবৃত্তের কেন্দ্র, \((2, 3)\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র, \((\pm ae+2, 3)\)
\(\Rightarrow (\pm 5\times \frac{4}{5}+2, 3)\)
\(\Rightarrow (\pm 4+2, 3)\)
\(\Rightarrow (4+2, 3), (-4+2, 3)\)
\(\therefore (6, 3), (-2, 3)\)
শর্তমতে,
নির্ণেয় ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি হবে, \(O(0, 0), S(6, 3)\) এবং \(\acute{S}(-2, 3)\)
\(\therefore \triangle OS\acute{S}=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}0 \ \ 6 \ \ -2\ \ 0\\0 \ \ 3 \ \ 3 \ \ 0\end{array}\right|\) ➜ কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, \(\triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ x_{2} \ \ x_{3}\ \ x_{1}\\y_{1} \ \ y_{2} \ \ y_{3} \ \ y_{1}\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{0.3-0.6+6.3-(-2).3+(-2).0-0.3 \}\)
\(=\frac{1}{2}\{0-0+18+6+0-0 \}\)
\(=\frac{1}{2}\{0+24+0 \}\)
\(=\frac{1}{2}\{24 \}\)
\(=12\) বর্গ একক।
\(Q.3.(xviii)\) \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তে \(y=mx+c\) রেখাটি স্পর্শক হলে, প্রমাণ কর যে, \(c^2=a^2m^2+b^2\)।
সমাধানঃ
ধরি, 
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1......(1)\)
প্রদত্ত সরলরেখা \(y=mx+c ........(2)\)
\((2)\) হতে \(y\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{(mx+c)^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{b^2x^2+a^2(mx+c)^2}{a^2b^2}=1\)
\(\Rightarrow b^2x^2+a^2(mx+c)^2=a^2b^2\)
\(\Rightarrow b^2x^2+a^2(m^2x^2+2mcx+c^2)-a^2b^2=0\)
\(\Rightarrow b^2x^2+a^2m^2x^2+2a^2mcx+a^2c^2-a^2b^2=0\)
\(\therefore (a^2m^2+b^2)x^2+2a^2mcx+(a^2c^2-a^2b^2)=0 ...(3)\)
যা \(x\)-এর দ্বিঘাত সমীকরণ, এ সমীকরণ থেকে \(x\)-এর দুইটি মাণ পাওয়া যাবে।
প্রদত্ত সরলরেখাটি উপবৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি \(x\)-এর মাণ দুইটি সমান হয়।
\(\therefore (2a^2mc)^2=4(a^2m^2+b^2)(a^2c^2-a^2b^2)\) ➜ \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমাণ হওয়ার শর্ত, \(b^2=4ac\)
\(\Rightarrow 4a^4m^2c^2=4a^2(a^2m^2+b^2)(c^2-b^2)\)
\(\Rightarrow a^2m^2c^2=(a^2m^2+b^2)(c^2-b^2)\)
\(\Rightarrow a^2m^2c^2=a^2m^2c^2+b^2c^2-a^2b^2m^2-b^4\)
\(\Rightarrow a^2b^2m^2-b^2c^2+b^4=a^2m^2c^2-a^2m^2c^2\)
\(\Rightarrow b^2(a^2m^2-c^2+b^2)=0\)
\(\Rightarrow a^2m^2-c^2+b^2=0, b^2\ne 0\)
\(\Rightarrow a^2m^2+b^2=c^2\)
\(\therefore c^2=a^2m^2+b^2\)
( দেখানো হলো )
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1......(1)\)
প্রদত্ত সরলরেখা \(y=mx+c ........(2)\)
\((2)\) হতে \(y\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{(mx+c)^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{b^2x^2+a^2(mx+c)^2}{a^2b^2}=1\)
\(\Rightarrow b^2x^2+a^2(mx+c)^2=a^2b^2\)
\(\Rightarrow b^2x^2+a^2(m^2x^2+2mcx+c^2)-a^2b^2=0\)
\(\Rightarrow b^2x^2+a^2m^2x^2+2a^2mcx+a^2c^2-a^2b^2=0\)
\(\therefore (a^2m^2+b^2)x^2+2a^2mcx+(a^2c^2-a^2b^2)=0 ...(3)\)
যা \(x\)-এর দ্বিঘাত সমীকরণ, এ সমীকরণ থেকে \(x\)-এর দুইটি মাণ পাওয়া যাবে।
প্রদত্ত সরলরেখাটি উপবৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি \(x\)-এর মাণ দুইটি সমান হয়।
\(\therefore (2a^2mc)^2=4(a^2m^2+b^2)(a^2c^2-a^2b^2)\) ➜ \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমাণ হওয়ার শর্ত, \(b^2=4ac\)
\(\Rightarrow 4a^4m^2c^2=4a^2(a^2m^2+b^2)(c^2-b^2)\)
\(\Rightarrow a^2m^2c^2=(a^2m^2+b^2)(c^2-b^2)\)
\(\Rightarrow a^2m^2c^2=a^2m^2c^2+b^2c^2-a^2b^2m^2-b^4\)
\(\Rightarrow a^2b^2m^2-b^2c^2+b^4=a^2m^2c^2-a^2m^2c^2\)
\(\Rightarrow b^2(a^2m^2-c^2+b^2)=0\)
\(\Rightarrow a^2m^2-c^2+b^2=0, b^2\ne 0\)
\(\Rightarrow a^2m^2+b^2=c^2\)
\(\therefore c^2=a^2m^2+b^2\)
( দেখানো হলো )
\(Q.3.(xix)\) যেসব বিন্দু থেকে \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক দুইটি পরস্পর লম্ব হয় তাদের সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( x^2+y^2=a^2+b^2\)
উত্তরঃ \( x^2+y^2=a^2+b^2\)
সমাধানঃ
ধরি, 
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1......(1)\)
স্পর্শকের ঢাল \(m\) হলে,
\((1)\) নং উপবৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ হবে,
\(y-mx=\pm \sqrt{a^2m^2+b^2}\)
\(\Rightarrow (y-mx)^2=a^2m^2+b^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow y^2-2mxy+m^2x^2-a^2m^2-b^2=0\)
\(\Rightarrow (x^2-a^2)m^2-2mxy+y^2-b^2=0\)
যা \(m\)-এর দ্বিঘাত সমীকরণ। অতএব, এ সমীকরণ থেকে \(m\)-এর দুইটি মাণ পাওয়া যাবে। \(m\)-এর দুইটি মাণ \(m_{1}\) ও \(m_{2}\) -এর জন্য, প্রাপ্ত স্পর্শকদ্বয় পরস্পর লম্ব হলে,
\(m_{1}\times m_{2}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2-b^2}{x^2-a^2}=-1\) ➜ \(\because ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয়ের গুনফল \(=\frac{c}{a}\)
\(\Rightarrow y^2-b^2=-x^2+a^2\)
\(\therefore x^2+y^2=a^2+b^2\)
ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1......(1)\)
স্পর্শকের ঢাল \(m\) হলে,
\((1)\) নং উপবৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ হবে,
\(y-mx=\pm \sqrt{a^2m^2+b^2}\)
\(\Rightarrow (y-mx)^2=a^2m^2+b^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow y^2-2mxy+m^2x^2-a^2m^2-b^2=0\)
\(\Rightarrow (x^2-a^2)m^2-2mxy+y^2-b^2=0\)
যা \(m\)-এর দ্বিঘাত সমীকরণ। অতএব, এ সমীকরণ থেকে \(m\)-এর দুইটি মাণ পাওয়া যাবে। \(m\)-এর দুইটি মাণ \(m_{1}\) ও \(m_{2}\) -এর জন্য, প্রাপ্ত স্পর্শকদ্বয় পরস্পর লম্ব হলে,
\(m_{1}\times m_{2}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2-b^2}{x^2-a^2}=-1\) ➜ \(\because ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয়ের গুনফল \(=\frac{c}{a}\)
\(\Rightarrow y^2-b^2=-x^2+a^2\)
\(\therefore x^2+y^2=a^2+b^2\)
ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
\(Q.3.(xx)\) পৃথিবীর কক্ষপথ উপবৃত্তাকার। এর একটি উপকেন্দ্রে সূর্য অবস্থিত। উপবৃত্তের অর্ধ-বৃহদাক্ষ \(9.3\times 10^{7}\) মাইল এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{62}\) ( প্রায় ) হলে সূর্য ও পৃথিবীর বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক্ষুদ্রতম দূরত্ব \(9.15\times 10^{7} \) মাইল। বৃহত্তম দূরত্ব \(9.45\times 10^{7} \) মাইল।
উত্তরঃ ক্ষুদ্রতম দূরত্ব \(9.15\times 10^{7} \) মাইল। বৃহত্তম দূরত্ব \(9.45\times 10^{7} \) মাইল।
সমাধানঃ
ধরি, 
\(a, b\) এবং \(e\) যথাক্রমে উপবৃত্তাকার পৃথিবীর কক্ষপথের অর্ধ-বৃহদাক্ষ, অর্ধ-ক্ষুদ্রাক্ষ এবং উৎকেন্দ্রিকতা। \(C\) কক্ষপথের কেন্দ্র, শীর্ষদ্বয় \(A, \acute{A}\) এবং \(S\) উপকেন্দ্রে সূর্য অবস্থিত।
\(\therefore CA=C\acute{A}=a, CS=ae\)
শর্তমতে,
\(a=9.3\times 10^{7}\) মাইল এবং \(e=\frac{1}{62}\)
সূর্য ও পৃথিবীর ক্ষুদ্রতম দূরত্ব \(SA=CA-CS\)
\(=a-ae\)
\(=a(1-e)\)
\(=9.3\times 10^{7}\left(1-\frac{1}{62}\right)\)
\(=9.3\times 10^{7}\left(\frac{62-1}{62}\right)\)
\(=9.3\times 10^{7}\left(\frac{61}{62}\right)\)
\(=9.15\times 10^{7}\) মাইল।
সূর্য ও পৃথিবীর বৃহত্তম দূরত্ব \(S\acute{A}=C\acute{A}+CS\)
\(=a+ae\)
\(=a(1+e)\)
\(=9.3\times 10^{7}\left(1+\frac{1}{62}\right)\)
\(=9.3\times 10^{7}\left(\frac{62+1}{62}\right)\)
\(=9.3\times 10^{7}\left(\frac{63}{62}\right)\)
\(=9.45\times 10^{7}\) মাইল।
\(a, b\) এবং \(e\) যথাক্রমে উপবৃত্তাকার পৃথিবীর কক্ষপথের অর্ধ-বৃহদাক্ষ, অর্ধ-ক্ষুদ্রাক্ষ এবং উৎকেন্দ্রিকতা। \(C\) কক্ষপথের কেন্দ্র, শীর্ষদ্বয় \(A, \acute{A}\) এবং \(S\) উপকেন্দ্রে সূর্য অবস্থিত।
\(\therefore CA=C\acute{A}=a, CS=ae\)
শর্তমতে,
\(a=9.3\times 10^{7}\) মাইল এবং \(e=\frac{1}{62}\)
সূর্য ও পৃথিবীর ক্ষুদ্রতম দূরত্ব \(SA=CA-CS\)
\(=a-ae\)
\(=a(1-e)\)
\(=9.3\times 10^{7}\left(1-\frac{1}{62}\right)\)
\(=9.3\times 10^{7}\left(\frac{62-1}{62}\right)\)
\(=9.3\times 10^{7}\left(\frac{61}{62}\right)\)
\(=9.15\times 10^{7}\) মাইল।
সূর্য ও পৃথিবীর বৃহত্তম দূরত্ব \(S\acute{A}=C\acute{A}+CS\)
\(=a+ae\)
\(=a(1+e)\)
\(=9.3\times 10^{7}\left(1+\frac{1}{62}\right)\)
\(=9.3\times 10^{7}\left(\frac{62+1}{62}\right)\)
\(=9.3\times 10^{7}\left(\frac{63}{62}\right)\)
\(=9.45\times 10^{7}\) মাইল।
অনুশীলনী \(5.B\) / \(Q.4\) সৃজনশীল প্রশ্নসমুহ
\(Q.4.(i)\) \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তের সমীকরণে \(a\) ও \(b\) ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা এবং \(a>b\) ।
\((a)\) \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) অভিলম্বটি \(X\) অক্ষের \(Q\) বিন্দুতে মিলিত হলে এবং স্পর্শকটি \(Y\) অক্ষের \(R\) বিন্দুতে মিলিত হলে \(QR\)-এর মধ্যবিন্দু \(M\)-এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর যা \(a, b, t\) সংবলিত।
উত্তরঃ \((a) \ bx\cos\theta+ay\sin\theta=ab\)
\((b) \ ax\sin\theta-by\cos\theta-(a^2-b^2)\sin\theta \cos\theta=0 \)
\((c) \ M\left(\frac{(a^2-b^2)}{2a}\sin t \cos t, \frac{b}{2\sin t} \right)\).
\(Q.4.(ii)\) \(9x^2+25y^2=225\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ ।
\((a)\) উপবৃত্তের সংজ্ঞা লিখ। কোনো উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা বলতে কি বুঝ?
\((b)\) একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দু তিনটি \((3, -2)\) এবং উল্লেখিত উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়।
\((c)\) উল্লেখিত উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা, ফোকাসের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) 8;\) বর্গ একক। \((c) \ \frac{4}{5}; (\pm 4, 0); \frac{18}{5}.\) ।
\((a)\) \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) অভিলম্বটি \(X\) অক্ষের \(Q\) বিন্দুতে মিলিত হলে এবং স্পর্শকটি \(Y\) অক্ষের \(R\) বিন্দুতে মিলিত হলে \(QR\)-এর মধ্যবিন্দু \(M\)-এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর যা \(a, b, t\) সংবলিত।
উত্তরঃ \((a) \ bx\cos\theta+ay\sin\theta=ab\)
\((b) \ ax\sin\theta-by\cos\theta-(a^2-b^2)\sin\theta \cos\theta=0 \)
\((c) \ M\left(\frac{(a^2-b^2)}{2a}\sin t \cos t, \frac{b}{2\sin t} \right)\).
\(Q.4.(ii)\) \(9x^2+25y^2=225\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ ।
\((a)\) উপবৃত্তের সংজ্ঞা লিখ। কোনো উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা বলতে কি বুঝ?
\((b)\) একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দু তিনটি \((3, -2)\) এবং উল্লেখিত উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়।
\((c)\) উল্লেখিত উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা, ফোকাসের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) 8;\) বর্গ একক। \((c) \ \frac{4}{5}; (\pm 4, 0); \frac{18}{5}.\) ।
\(Q.4.(iii)\) \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তের সমীকরণে \(a\) ও \(b\) ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা এবং \(a>b\) ।
\((a)\) উপবৃত্তের অক্ষ রেখা ও নিয়ামকরেখার সংজ্ঞা লিখ।
\((b)\) উল্লেখিত উপবৃত্তের উপরস্থ যে কোনো বিন্দুর পরামিতিক স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার ফোকাস \((-1, 1)\), উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{2}\) এবং দ্বিকাক্ষ \(x-y=0 \)।
[ চঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \((b) \ P(a\cos\theta, b\sin\theta)\) \((c) \ 7x^2+2xy+7y^2+16x-16y+16=0\) ।
\(Q.4.(iv)\) একটি উপবৃত্ত \(\left(\frac{10}{3}, \sqrt{5}\right)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\((a)\) একটি উপবৃত্তের বৃহৎ অক্ষ \(a\), ক্ষুদ্র অক্ষ \(b\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e\) এর মধ্যে সম্পর্ক উল্লেখ কর এবং এর প্রমিত আকারের সমীকরণের সূত্র লিখ।
\((b)\) বৃহৎ অক্ষ ও ক্ষুদ্র অক্ষকে যথাক্রমে \(X\)-অক্ষ ও \(Y\)-অক্ষ ধরে উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{4}{5}\) এবং যা প্রদত্ত বিন্দুগামী ।
\((c)\) \(\left(\frac{10}{3}, \sqrt{5}\right)\) বিন্দুর উৎকেন্দ্রিক কোণ উল্লেখপূর্বক পরামিতিক স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। উপবৃত্তটির শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা চিহ্নিত করে এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।
\((a)\) উপবৃত্তের অক্ষ রেখা ও নিয়ামকরেখার সংজ্ঞা লিখ।
\((b)\) উল্লেখিত উপবৃত্তের উপরস্থ যে কোনো বিন্দুর পরামিতিক স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার ফোকাস \((-1, 1)\), উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{2}\) এবং দ্বিকাক্ষ \(x-y=0 \)।
[ চঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \((b) \ P(a\cos\theta, b\sin\theta)\) \((c) \ 7x^2+2xy+7y^2+16x-16y+16=0\) ।
\(Q.4.(iv)\) একটি উপবৃত্ত \(\left(\frac{10}{3}, \sqrt{5}\right)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\((a)\) একটি উপবৃত্তের বৃহৎ অক্ষ \(a\), ক্ষুদ্র অক্ষ \(b\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e\) এর মধ্যে সম্পর্ক উল্লেখ কর এবং এর প্রমিত আকারের সমীকরণের সূত্র লিখ।
\((b)\) বৃহৎ অক্ষ ও ক্ষুদ্র অক্ষকে যথাক্রমে \(X\)-অক্ষ ও \(Y\)-অক্ষ ধরে উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{4}{5}\) এবং যা প্রদত্ত বিন্দুগামী ।
\((c)\) \(\left(\frac{10}{3}, \sqrt{5}\right)\) বিন্দুর উৎকেন্দ্রিক কোণ উল্লেখপূর্বক পরামিতিক স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। উপবৃত্তটির শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা চিহ্নিত করে এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।
\(Q.4.(i)\) \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তের সমীকরণে \(a\) ও \(b\) ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা এবং \(a>b\) ।
\((a)\) \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) অভিলম্বটি \(X\) অক্ষের \(Q\) বিন্দুতে মিলিত হলে এবং স্পর্শকটি \(Y\) অক্ষের \(R\) বিন্দুতে মিলিত হলে \(QR\)-এর মধ্যবিন্দু \(M\)-এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর যা \(a, b, t\) সংবলিত।
উত্তরঃ \((a) \ bx\cos\theta+ay\sin\theta=ab\)
\((b) \ ax\sin\theta-by\cos\theta-(a^2-b^2)\sin\theta \cos\theta=0 \)
\((c) \ M\left(\frac{(a^2-b^2)}{2a}\sin t \cos t, \frac{b}{2\sin t} \right)\).
\((a)\) \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) অভিলম্বটি \(X\) অক্ষের \(Q\) বিন্দুতে মিলিত হলে এবং স্পর্শকটি \(Y\) অক্ষের \(R\) বিন্দুতে মিলিত হলে \(QR\)-এর মধ্যবিন্দু \(M\)-এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর যা \(a, b, t\) সংবলিত।
উত্তরঃ \((a) \ bx\cos\theta+ay\sin\theta=ab\)
\((b) \ ax\sin\theta-by\cos\theta-(a^2-b^2)\sin\theta \cos\theta=0 \)
\((c) \ M\left(\frac{(a^2-b^2)}{2a}\sin t \cos t, \frac{b}{2\sin t} \right)\).
সমাধানঃ
\(Q.4.(i).(a)\)
ধরি,
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1; a>b ......(1)\)
\((1)\) নং উপবৃত্তের উপরস্থ \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ।
\(\frac{x.a\cos\theta}{a^2}+\frac{y.b\sin\theta}{b^2}=1\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তের উপরস্থ \(C(x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, \(\frac{x.x_{1}}{a^2}+\frac{y.y_{1}}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x\cos\theta}{a}+\frac{y\sin\theta}{b}=1\)
\(\Rightarrow \frac{bx\cos\theta+ay\sin\theta}{ab}=1\)
\(\therefore bx\cos\theta+ay\sin\theta=ab\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
\(Q.4.(i).(b)\)
\((a)\) হতে প্রাপ্ত স্পর্শকের সমীকরণ,
\(\therefore bx\cos\theta+ay\sin\theta=ab .......(2)\)
\((2)\)-এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(\therefore ax\sin\theta-by\cos\theta+k=0 .......(3)\) ➜ \(ax+by+c=0\) সরলরেখার উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ \(bx-ay+k=0; k,\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখা \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore a.a\cos\theta.\sin\theta-b.b\sin\theta.\cos\theta+k=0\)
\(\Rightarrow a^2\sin\theta \cos\theta-b^2\sin\theta \cos\theta+k=0\)
\(\Rightarrow \sin\theta \cos\theta(a^2-b^2)+k=0\)
\(\therefore k=-(a^2-b^2)\sin\theta \cos\theta\)
\(\therefore k\)-এর মাণ \((3)\)-এ বসিয়ে,
\(\therefore ax\sin\theta-by\cos\theta-(a^2-b^2)\sin\theta \cos\theta=0\)
ইহাই নির্ণেয় অভিলম্বের সমীকরণ।
\(Q.4.(i).(c)\)
\((a)\) ও \((b)\) হতে প্রাপ্ত স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ যথাক্রমে,
\(bx\cos\theta+ay\sin\theta=ab .......(4)\)
\(ax\sin\theta-by\cos\theta-(a^2-b^2)\sin\theta \cos\theta=0 ....(5)\)
\((5)\) নং সরলরেখা \(X\)-অক্ষকে \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(\therefore y=0\)
\(\Rightarrow ax\sin\theta-b.0.\cos\theta-(a^2-b^2)\sin\theta \cos\theta=0 \)
\(\Rightarrow ax\sin\theta-0-(a^2-b^2)\sin\theta \cos\theta=0 \)
\(\Rightarrow ax\sin\theta-(a^2-b^2)\sin\theta \cos\theta=0 \)
\(\Rightarrow ax\sin\theta=(a^2-b^2)\sin\theta \cos\theta \)
\(\therefore x=\frac{(a^2-b^2)}{a}\sin\theta \cos\theta \)
\(\therefore Q\left(\frac{(a^2-b^2)}{a}\sin\theta \cos\theta, 0\right) \)
আবার,
\((4)\) নং সরলরেখা \(Y\)-অক্ষকে \(R\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(\therefore x=0\)
\(\Rightarrow b.0.\cos\theta+ay\sin\theta=ab\)
\(\Rightarrow 0+ay\sin\theta=ab\)
\(\Rightarrow ay\sin\theta=ab\)
\(\therefore y=\frac{b}{\sin\theta}\)
\(\therefore R\left(0, \frac{b}{\sin\theta}\right)\)
\(QR\)-এর মধ্যবিন্দু \(M\left(\frac{\frac{(a^2-b^2)}{a}\sin\theta \cos\theta+0}{2}, \frac{0+\frac{b}{\sin\theta}}{2} \right)\)
\(\Rightarrow M\left(\frac{(a^2-b^2)}{2a}\sin\theta \cos\theta, \frac{b}{2\sin\theta} \right)\)
এখন,
পরামিতি \(\theta\)-এর স্থানে \(t\) বসিয়ে পাই,
\(M\left(\frac{(a^2-b^2)}{2a}\sin t \cos t, \frac{b}{2\sin t} \right)\)
ইহাই নির্ণেয় স্থানাঙ্ক।
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1; a>b ......(1)\)
\((1)\) নং উপবৃত্তের উপরস্থ \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ।
\(\frac{x.a\cos\theta}{a^2}+\frac{y.b\sin\theta}{b^2}=1\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তের উপরস্থ \(C(x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, \(\frac{x.x_{1}}{a^2}+\frac{y.y_{1}}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x\cos\theta}{a}+\frac{y\sin\theta}{b}=1\)
\(\Rightarrow \frac{bx\cos\theta+ay\sin\theta}{ab}=1\)
\(\therefore bx\cos\theta+ay\sin\theta=ab\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
\(Q.4.(i).(b)\)
\((a)\) হতে প্রাপ্ত স্পর্শকের সমীকরণ,
\(\therefore bx\cos\theta+ay\sin\theta=ab .......(2)\)
\((2)\)-এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(\therefore ax\sin\theta-by\cos\theta+k=0 .......(3)\) ➜ \(ax+by+c=0\) সরলরেখার উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ \(bx-ay+k=0; k,\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) নং সরলরেখা \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore a.a\cos\theta.\sin\theta-b.b\sin\theta.\cos\theta+k=0\)
\(\Rightarrow a^2\sin\theta \cos\theta-b^2\sin\theta \cos\theta+k=0\)
\(\Rightarrow \sin\theta \cos\theta(a^2-b^2)+k=0\)
\(\therefore k=-(a^2-b^2)\sin\theta \cos\theta\)
\(\therefore k\)-এর মাণ \((3)\)-এ বসিয়ে,
\(\therefore ax\sin\theta-by\cos\theta-(a^2-b^2)\sin\theta \cos\theta=0\)
ইহাই নির্ণেয় অভিলম্বের সমীকরণ।
\(Q.4.(i).(c)\)
\((a)\) ও \((b)\) হতে প্রাপ্ত স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ যথাক্রমে,
\(bx\cos\theta+ay\sin\theta=ab .......(4)\)
\(ax\sin\theta-by\cos\theta-(a^2-b^2)\sin\theta \cos\theta=0 ....(5)\)
\((5)\) নং সরলরেখা \(X\)-অক্ষকে \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(\therefore y=0\)
\(\Rightarrow ax\sin\theta-b.0.\cos\theta-(a^2-b^2)\sin\theta \cos\theta=0 \)
\(\Rightarrow ax\sin\theta-0-(a^2-b^2)\sin\theta \cos\theta=0 \)
\(\Rightarrow ax\sin\theta-(a^2-b^2)\sin\theta \cos\theta=0 \)
\(\Rightarrow ax\sin\theta=(a^2-b^2)\sin\theta \cos\theta \)
\(\therefore x=\frac{(a^2-b^2)}{a}\sin\theta \cos\theta \)
\(\therefore Q\left(\frac{(a^2-b^2)}{a}\sin\theta \cos\theta, 0\right) \)
আবার,
\((4)\) নং সরলরেখা \(Y\)-অক্ষকে \(R\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(\therefore x=0\)
\(\Rightarrow b.0.\cos\theta+ay\sin\theta=ab\)
\(\Rightarrow 0+ay\sin\theta=ab\)
\(\Rightarrow ay\sin\theta=ab\)
\(\therefore y=\frac{b}{\sin\theta}\)
\(\therefore R\left(0, \frac{b}{\sin\theta}\right)\)
\(QR\)-এর মধ্যবিন্দু \(M\left(\frac{\frac{(a^2-b^2)}{a}\sin\theta \cos\theta+0}{2}, \frac{0+\frac{b}{\sin\theta}}{2} \right)\)
\(\Rightarrow M\left(\frac{(a^2-b^2)}{2a}\sin\theta \cos\theta, \frac{b}{2\sin\theta} \right)\)
এখন,
পরামিতি \(\theta\)-এর স্থানে \(t\) বসিয়ে পাই,
\(M\left(\frac{(a^2-b^2)}{2a}\sin t \cos t, \frac{b}{2\sin t} \right)\)
ইহাই নির্ণেয় স্থানাঙ্ক।
\(Q.4.(ii)\) \(9x^2+25y^2=225\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ ।
\((a)\) উপবৃত্তের সংজ্ঞা লিখ। কোনো উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা বলতে কি বুঝ?
\((b)\) একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দু তিনটি \((3, -2)\) এবং উল্লেখিত উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়।
\((c)\) উল্লেখিত উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা, ফোকাসের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) 8;\) বর্গ একক। \((c) \ \frac{4}{5}; (\pm 4, 0); \frac{18}{5}.\) ।
\((a)\) উপবৃত্তের সংজ্ঞা লিখ। কোনো উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা বলতে কি বুঝ?
\((b)\) একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দু তিনটি \((3, -2)\) এবং উল্লেখিত উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়।
\((c)\) উল্লেখিত উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা, ফোকাসের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) 8;\) বর্গ একক। \((c) \ \frac{4}{5}; (\pm 4, 0); \frac{18}{5}.\) ।
সমাধানঃ
\(Q.4.(ii).(a)\)
উপবৃত্তঃ কোনো কার্তেসীয় সমতলে একটি বিন্দু যদি এমনভাবে চলে যে ঐ সমতলস্থিত একটি স্থির বিন্দু থেকে দূরত্ব এবং একটি নির্দিষ্ট রেখা থেকে লম্ব দূরত্বের অনুপাত একটি স্থির রাশি এবং ঐ স্থির রাশিটির মান \(1\) অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর, তবে ঐ বিন্দুর সঞ্চারপথকে উপবৃত্ত বলা হয়। উক্ত স্থির রাশিকে উৎকেন্দ্রতা (Eccentricity) বলা হয়, এবং ইহাকে \(e\) দ্বারা সূচিত করা হয়,যেখানে \(1 > e > 0\) হবে ।
\(Q.4.(ii).(b)\)
দেওয়া আছে,
উপবৃত্তের সমীকরণ,
\(9x^2+25y^2=225\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2}{225}+\frac{25y^2}{225}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1 ........(1)\)
এখানে,
\(a^2=25, b^2=9\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=5, b=3\)
\(\therefore a>b\)
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{9}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{25-9}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{16}{25}}\)
\(=\frac{4}{5}\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 5\times \frac{4}{5}, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 4, 0)\)
\(\therefore S(4, 0), \acute{S}(-4, 0)\)
শর্তমতে,
ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি, \(P(3, -2), S(4, 0 )\) এবং \(\acute{S}(-4, 0)\)
\(\therefore \triangle AS\acute{S}=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}\ \ 3 \ \ \ \ 4 \ -4\ \ \ \ \ 3\\-2 \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ 0 \ -2\end{array}\right|\) ➜ কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, \(\triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ x_{2} \ \ x_{3}\ \ x_{1}\\y_{1} \ \ y_{2} \ \ y_{3} \ \ y_{1}\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{3.0-4.(-2)+4.0-0.(-4)+(-4)(-2)-3.0\}\)
\(=\frac{1}{2}\{0+8+0+0+8-0\}\)
\(=\frac{1}{2}\{16\}\)
\(=8\) বর্গ একক। \(Q.4.(ii).(c)\)
\((b)\) হতে প্রাপ্ত
\(a=5, b=3\)
\(\therefore a>b\)
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{9}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{25-9}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{16}{25}}\)
\(=\frac{4}{5}\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 5\times \frac{4}{5}, 0)\)
\(\therefore (\pm 4, 0)\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2.9}{5}\)
\(=\frac{18}{5}\)একক।
উপবৃত্তঃ কোনো কার্তেসীয় সমতলে একটি বিন্দু যদি এমনভাবে চলে যে ঐ সমতলস্থিত একটি স্থির বিন্দু থেকে দূরত্ব এবং একটি নির্দিষ্ট রেখা থেকে লম্ব দূরত্বের অনুপাত একটি স্থির রাশি এবং ঐ স্থির রাশিটির মান \(1\) অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর, তবে ঐ বিন্দুর সঞ্চারপথকে উপবৃত্ত বলা হয়। উক্ত স্থির রাশিকে উৎকেন্দ্রতা (Eccentricity) বলা হয়, এবং ইহাকে \(e\) দ্বারা সূচিত করা হয়,যেখানে \(1 > e > 0\) হবে ।
\(Q.4.(ii).(b)\)
দেওয়া আছে,
উপবৃত্তের সমীকরণ,
\(9x^2+25y^2=225\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2}{225}+\frac{25y^2}{225}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1 ........(1)\)
এখানে,
\(a^2=25, b^2=9\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=5, b=3\)
\(\therefore a>b\)
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{9}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{25-9}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{16}{25}}\)
\(=\frac{4}{5}\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 5\times \frac{4}{5}, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 4, 0)\)
\(\therefore S(4, 0), \acute{S}(-4, 0)\)
শর্তমতে,
ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি, \(P(3, -2), S(4, 0 )\) এবং \(\acute{S}(-4, 0)\)
\(\therefore \triangle AS\acute{S}=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}\ \ 3 \ \ \ \ 4 \ -4\ \ \ \ \ 3\\-2 \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ 0 \ -2\end{array}\right|\) ➜ কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, \(\triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ x_{2} \ \ x_{3}\ \ x_{1}\\y_{1} \ \ y_{2} \ \ y_{3} \ \ y_{1}\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{3.0-4.(-2)+4.0-0.(-4)+(-4)(-2)-3.0\}\)
\(=\frac{1}{2}\{0+8+0+0+8-0\}\)
\(=\frac{1}{2}\{16\}\)
\(=8\) বর্গ একক। \(Q.4.(ii).(c)\)
\((b)\) হতে প্রাপ্ত
\(a=5, b=3\)
\(\therefore a>b\)
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{9}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{25-9}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{16}{25}}\)
\(=\frac{4}{5}\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 5\times \frac{4}{5}, 0)\)
\(\therefore (\pm 4, 0)\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2.9}{5}\)
\(=\frac{18}{5}\)একক।
\(Q.4.(iii)\) \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তের সমীকরণে \(a\) ও \(b\) ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা এবং \(a>b\) ।
\((a)\) উপবৃত্তের অক্ষ রেখা ও নিয়ামকরেখার সংজ্ঞা লিখ।
\((b)\) উল্লেখিত উপবৃত্তের উপরস্থ যে কোনো বিন্দুর পরামিতিক স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার ফোকাস \((-1, 1)\), উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{2}\) এবং দ্বিকাক্ষ \(x-y=0 \)।
[ চঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \((b) \ P(a\cos\theta, b\sin\theta)\) \((c) \ 7x^2+2xy+7y^2+16x-16y+16=0\) ।
\((a)\) উপবৃত্তের অক্ষ রেখা ও নিয়ামকরেখার সংজ্ঞা লিখ।
\((b)\) উল্লেখিত উপবৃত্তের উপরস্থ যে কোনো বিন্দুর পরামিতিক স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার ফোকাস \((-1, 1)\), উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{2}\) এবং দ্বিকাক্ষ \(x-y=0 \)।
[ চঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \((b) \ P(a\cos\theta, b\sin\theta)\) \((c) \ 7x^2+2xy+7y^2+16x-16y+16=0\) ।
সমাধানঃ
\(Q.4.(iii).(a)\)
অক্ষঃ উপকেন্দ্র দুইটির মধ্যদিয়ে অঙ্কিত উপবৃত্তের সর্ববৃহত রেখাংশ \(A\acute{A}\) কে বৃহৎ অক্ষ (Major axis) বলা হয়। বৃহদাক্ষের লম্ব দ্বিখন্ডক রেখাংশ \(B\acute {B}\) কে ক্ষুদ্র অক্ষ (Minor axis) বলা হয়।
দিকাক্ষ বা নিয়ামকরেখাঃ বৃহৎ অক্ষের উপর লম্ব এবং উভয় শীর্ষ হতে সমান দূরত্বে উপবৃত্তের বিপরীত পার্শে অবস্থিত \(MZ\) ও \(\acute{M}\acute{Z}\) সরলরেখাদ্বয়কে দিকাক্ষ বা নিয়ামকরেখা বলে।
\(Q.4.(iii).(b)\)
ধরি,
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1; (b>a) ........(1)\)
এবং উপবৃত্তের উপরিস্থিত একটি বিন্দু \(P(x, y)\)
উপবৃত্তের বৃহদাক্ষকে ব্যাস ধরে সহায়ক বৃত্ত অঙ্কন করি, যার সমীকরণ \(x^2+y^2=b^2 .......(2)\)
\(P(x, y)\) বিন্দু থেকে বৃহদাক্ষের উপর একটি লম্ব অঙ্কন করে বর্ধিত করি যা বৃহদাক্ষকে \(N\) এবং বৃত্তকে \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(C\) ও \(Q\) যোগ করি।
মনে করি,
\(\angle QC\acute A=\theta\), এখানে \(\theta\)-কে উপকেন্দ্র কোণ বলা হয়।
\(\therefore \angle QCN=90^{o}-\theta\)
\(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((x, y)\) হওয়ায়, \(CN=y\) এবং \(PN=x\)
এখন, \(QCN\) সমকোণী ত্রিভুজে \(\cos(90^{o}-\theta)=\frac{CN}{CQ}\)
\(\Rightarrow CN=CQ\cos(90^{o}-\theta)\)
\(\therefore y=b\sin\theta ........(3)\) ➜ \(\because CQ=b=\)বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
\(y=b\sin\theta\)-এর এই মান \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{(b\sin\theta)^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}+\frac{b^2\sin^2\theta}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}+\sin^2\theta=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}=1-\sin^2\theta\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}=\cos^2\theta\)
\(\Rightarrow x^2=a^2\cos^2\theta\)
\(\therefore x=a\cos\theta ......(4)\)
সুতরাং, \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\)
\(\theta\)-এর যে কোনো মানের জন্য \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\) বিন্দুটি উপবৃত্তের উপর অবস্থিত, যাকে উপবৃত্তের পরামিতিক স্থানাঙ্ক বলা হয় এবং \(\theta\)-কে পরামিতি (parameter) বলা হয়।
\(Q.4.(iii).(c)\)
দেওয়া আছে,
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(-1, 1)\),
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{1}{2}\)
এবং নিয়ামকরেখা \(x-y=0 ....(1)\)
ধরি,
উপবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
\(P(x, y)\) বিন্দু হতে নিয়ামকরেখার লম্ব দূরত্ব \(PM=\frac{|x-y|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x-y|}{\sqrt{1+1}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x-y|}{\sqrt{2}}\)
উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে \(PS=e.PM\)
\(\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}=\frac{1}{2}.\frac{|x-y|}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow (x+1)^2+(y-1)^2=\frac{1}{4}.\frac{(x-y)^2}{2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2+2x+1+y^2-2y+1=\frac{(x-y)^2}{8}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+2x-2y+2=\frac{(x-y)^2}{8}\)
\(\Rightarrow 8x^2+8y^2+16x-16y+16=(x-y)^2\)
\(\Rightarrow 8x^2+8y^2+16x-16y+16=x^2+y^2-2xy\)
\(\Rightarrow 8x^2+8y^2+16x-16y+16-x^2-y^2+2xy=0\)
\(\Rightarrow 7x^2+2xy+7y^2+16x-16y+16=0\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
অক্ষঃ উপকেন্দ্র দুইটির মধ্যদিয়ে অঙ্কিত উপবৃত্তের সর্ববৃহত রেখাংশ \(A\acute{A}\) কে বৃহৎ অক্ষ (Major axis) বলা হয়। বৃহদাক্ষের লম্ব দ্বিখন্ডক রেখাংশ \(B\acute {B}\) কে ক্ষুদ্র অক্ষ (Minor axis) বলা হয়।
দিকাক্ষ বা নিয়ামকরেখাঃ বৃহৎ অক্ষের উপর লম্ব এবং উভয় শীর্ষ হতে সমান দূরত্বে উপবৃত্তের বিপরীত পার্শে অবস্থিত \(MZ\) ও \(\acute{M}\acute{Z}\) সরলরেখাদ্বয়কে দিকাক্ষ বা নিয়ামকরেখা বলে।
\(Q.4.(iii).(b)\)
ধরি,
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1; (b>a) ........(1)\)
এবং উপবৃত্তের উপরিস্থিত একটি বিন্দু \(P(x, y)\)
উপবৃত্তের বৃহদাক্ষকে ব্যাস ধরে সহায়ক বৃত্ত অঙ্কন করি, যার সমীকরণ \(x^2+y^2=b^2 .......(2)\)
\(P(x, y)\) বিন্দু থেকে বৃহদাক্ষের উপর একটি লম্ব অঙ্কন করে বর্ধিত করি যা বৃহদাক্ষকে \(N\) এবং বৃত্তকে \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(C\) ও \(Q\) যোগ করি।
মনে করি,
\(\angle QC\acute A=\theta\), এখানে \(\theta\)-কে উপকেন্দ্র কোণ বলা হয়।
\(\therefore \angle QCN=90^{o}-\theta\)
\(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((x, y)\) হওয়ায়, \(CN=y\) এবং \(PN=x\)
এখন, \(QCN\) সমকোণী ত্রিভুজে \(\cos(90^{o}-\theta)=\frac{CN}{CQ}\)
\(\Rightarrow CN=CQ\cos(90^{o}-\theta)\)
\(\therefore y=b\sin\theta ........(3)\) ➜ \(\because CQ=b=\)বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
\(y=b\sin\theta\)-এর এই মান \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{(b\sin\theta)^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}+\frac{b^2\sin^2\theta}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}+\sin^2\theta=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}=1-\sin^2\theta\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}=\cos^2\theta\)
\(\Rightarrow x^2=a^2\cos^2\theta\)
\(\therefore x=a\cos\theta ......(4)\)
সুতরাং, \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\)
\(\theta\)-এর যে কোনো মানের জন্য \(P(a\cos\theta, b\sin\theta)\) বিন্দুটি উপবৃত্তের উপর অবস্থিত, যাকে উপবৃত্তের পরামিতিক স্থানাঙ্ক বলা হয় এবং \(\theta\)-কে পরামিতি (parameter) বলা হয়।
\(Q.4.(iii).(c)\)
দেওয়া আছে,
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(-1, 1)\),
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{1}{2}\)
এবং নিয়ামকরেখা \(x-y=0 ....(1)\)
ধরি,
উপবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
\(P(x, y)\) বিন্দু হতে নিয়ামকরেখার লম্ব দূরত্ব \(PM=\frac{|x-y|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x-y|}{\sqrt{1+1}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x-y|}{\sqrt{2}}\)
উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে \(PS=e.PM\)
\(\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}=\frac{1}{2}.\frac{|x-y|}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow (x+1)^2+(y-1)^2=\frac{1}{4}.\frac{(x-y)^2}{2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2+2x+1+y^2-2y+1=\frac{(x-y)^2}{8}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+2x-2y+2=\frac{(x-y)^2}{8}\)
\(\Rightarrow 8x^2+8y^2+16x-16y+16=(x-y)^2\)
\(\Rightarrow 8x^2+8y^2+16x-16y+16=x^2+y^2-2xy\)
\(\Rightarrow 8x^2+8y^2+16x-16y+16-x^2-y^2+2xy=0\)
\(\Rightarrow 7x^2+2xy+7y^2+16x-16y+16=0\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.4.(iv)\) একটি উপবৃত্ত \(\left(\frac{10}{3}, \sqrt{5}\right)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\((a)\) একটি উপবৃত্তের বৃহৎ অক্ষ \(a\), ক্ষুদ্র অক্ষ \(b\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e\) এর মধ্যে সম্পর্ক উল্লেখ কর এবং এর প্রমিত আকারের সমীকরণের সূত্র লিখ।
\((b)\) বৃহৎ অক্ষ ও ক্ষুদ্র অক্ষকে যথাক্রমে \(X\)-অক্ষ ও \(Y\)-অক্ষ ধরে উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{4}{5}\) এবং যা প্রদত্ত বিন্দুগামী ।
\((c)\) \(\left(\frac{10}{3}, \sqrt{5}\right)\) বিন্দুর উৎকেন্দ্রিক কোণ উল্লেখপূর্বক পরামিতিক স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। উপবৃত্তটির শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা চিহ্নিত করে এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।
\((a)\) একটি উপবৃত্তের বৃহৎ অক্ষ \(a\), ক্ষুদ্র অক্ষ \(b\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e\) এর মধ্যে সম্পর্ক উল্লেখ কর এবং এর প্রমিত আকারের সমীকরণের সূত্র লিখ।
\((b)\) বৃহৎ অক্ষ ও ক্ষুদ্র অক্ষকে যথাক্রমে \(X\)-অক্ষ ও \(Y\)-অক্ষ ধরে উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{4}{5}\) এবং যা প্রদত্ত বিন্দুগামী ।
\((c)\) \(\left(\frac{10}{3}, \sqrt{5}\right)\) বিন্দুর উৎকেন্দ্রিক কোণ উল্লেখপূর্বক পরামিতিক স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। উপবৃত্তটির শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা চিহ্নিত করে এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।
সমাধানঃ
\(Q.4.(iv).(a)\) 
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{4x^2}{a^2}+\frac{4y^2}{b^2}=1\)
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(Q.4.(iv).(b)\)
ধরি,
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1; (a>b) ........(1)\)
শর্তমতে,
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow 1-\frac{b^2}{a^2}=\frac{16}{25}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{a^2-b^2}{a^2}=\frac{16}{25}\)
\(\Rightarrow 16a^2=25a^2-25b^2\)
\(\Rightarrow 25b^2=25a^2-16a^2\)
\(\Rightarrow 25b^2=9a^2\)
\(\therefore b^2=\frac{9a^2}{25} ......(2)\)
আবার,
\((1)\) নং উপবৃত্ত \(\left(\frac{10}{3}, \sqrt{5}\right)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore \frac{\left(\frac{10}{3}\right)^2}{a^2}+\frac{(\sqrt{5})^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{\left(\frac{100}{9}\right)}{a^2}+\frac{5}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{100}{9a^2}+\frac{5}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{100}{9a^2}+\frac{5}{\frac{9a^2}{25}}=1\) ➜ \(\because b^2=\frac{9a^2}{25}\)
\(\Rightarrow \frac{100}{9a^2}+\frac{125}{9a^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{100+125}{9a^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{225}{9a^2}=1\)
\(\Rightarrow 9a^2=225\)
\(\Rightarrow a^2=\frac{225}{9}\)
\(\therefore a^2=25\)
\((2)\) হতে \(b^2=\frac{9.25}{25}\)
\(\therefore b^2=9\)
\(\therefore a^2, b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.4.(iv).(c)\)
\((b)\) হতে প্রাপ্ত
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1 ........(1)\)
\(a^2=25, b^2=9, e=\frac{4}{5}\)
\(\therefore a=5, b=3\)
\(\therefore \) প্রদত্ত উপবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দুর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((5\cos\theta, 3\sin\theta)\)
\(\left(\frac{10}{3}, \sqrt{5}\right)\) বিন্দুর ক্ষেত্রে \(x=\frac{10}{3}, y=\sqrt{5}\)
\(\therefore \theta=\tan^{-1}\left(\frac{ay}{bx}\right)\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}\left(\frac{5\times \sqrt{5}}{3\times \frac{10}{3}}\right)\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}\left(\frac{5\sqrt{5}}{10}\right)\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)\)
\(\therefore \theta=48^{o}1\acute{1}\)
\(\therefore \left(\frac{10}{3}, \sqrt{5}\right)\) বিন্দুর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((5\cos\theta, 3\sin\theta)\) যেখানে \( \theta=48^{o}1\acute{1}\).
\((1)\) নং উপবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((\pm a, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 5, 0)\)
\(\therefore (\pm 5, 0)\)
\((1)\) নং উপবৃত্তের উপকেন্দ্র, \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 5\times \frac{4}{5}, 0)\)
\(\therefore (\pm 4, 0)\)
\((1)\) নং উপবৃত্তের নিয়ামকরেখার সমীকরণ, \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{5}{\frac{4}{5}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{25}{4}\)
\(\Rightarrow 4x=\pm 25\)
\(\therefore 4x\pm 25=0\)
আবার,
\((1)\Rightarrow \frac{y^2}{9}=1-\frac{x^2}{25}\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{9}=\frac{25-x^2}{25}\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{9}{25}(25-x^2)\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{3}{5}\sqrt{(5^2-x^2)}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{3}{5}\sqrt{(5-x)(5+x)}\)
এখন, \((5-x)(5+x)\geq 0\) হবে।
\(\Rightarrow 5-x\geq 0,5+x\geq 0\) বা, \(5-x\leq 0,5+x\leq 0\)
\(\Rightarrow x-5\leq 0,5+x\geq 0\) বা, \(x-5\geq 0,5+x\leq 0\)
\(\Rightarrow x\leq 5,x\geq -5\) বা, \(x\geq 5,x\leq -5\)
\(\Rightarrow x\leq 5,x\geq -5 \)
\(\therefore 5\geq x\geq -5 \)
এই সীমার মধ্যে \(x\)-এর কতিপয় মাণ নিয়ে প্রাপ্ত \(y\)-এর মাণ নির্ণয় করে একটি তালিকা তৈরী করি।
উপরের টেবিল হতে প্রাপ্ত \((5, 0), (3, 2.4), (3, -2.4),(0, 3), (0, -3), (-3, 2.4), (-3, -2.4) , (-5, 0)\) বিন্দুগুলি উপবৃত্তের উপর অবস্থিত।
এখন, \(XO\acute{X}\) কে \(X\) অক্ষ এবং \(YO\acute{Y}\) কে \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে \(xy\) তলে উপরোক্ত বিন্দুসমুহ বসিয়ে সংযোগ করে পাশের লেখচিত্রটি পাই। অতপর উপবৃত্তের উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা চিহ্নিত করা হলো।
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{4x^2}{a^2}+\frac{4y^2}{b^2}=1\)
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(Q.4.(iv).(b)\)
ধরি,
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1; (a>b) ........(1)\)
শর্তমতে,
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow 1-\frac{b^2}{a^2}=\frac{16}{25}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{a^2-b^2}{a^2}=\frac{16}{25}\)
\(\Rightarrow 16a^2=25a^2-25b^2\)
\(\Rightarrow 25b^2=25a^2-16a^2\)
\(\Rightarrow 25b^2=9a^2\)
\(\therefore b^2=\frac{9a^2}{25} ......(2)\)
আবার,
\((1)\) নং উপবৃত্ত \(\left(\frac{10}{3}, \sqrt{5}\right)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore \frac{\left(\frac{10}{3}\right)^2}{a^2}+\frac{(\sqrt{5})^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{\left(\frac{100}{9}\right)}{a^2}+\frac{5}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{100}{9a^2}+\frac{5}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{100}{9a^2}+\frac{5}{\frac{9a^2}{25}}=1\) ➜ \(\because b^2=\frac{9a^2}{25}\)
\(\Rightarrow \frac{100}{9a^2}+\frac{125}{9a^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{100+125}{9a^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{225}{9a^2}=1\)
\(\Rightarrow 9a^2=225\)
\(\Rightarrow a^2=\frac{225}{9}\)
\(\therefore a^2=25\)
\((2)\) হতে \(b^2=\frac{9.25}{25}\)
\(\therefore b^2=9\)
\(\therefore a^2, b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.4.(iv).(c)\)
\((b)\) হতে প্রাপ্ত
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1 ........(1)\)
\(a^2=25, b^2=9, e=\frac{4}{5}\)
\(\therefore a=5, b=3\)
\(\therefore \) প্রদত্ত উপবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দুর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((5\cos\theta, 3\sin\theta)\)
\(\left(\frac{10}{3}, \sqrt{5}\right)\) বিন্দুর ক্ষেত্রে \(x=\frac{10}{3}, y=\sqrt{5}\)
\(\therefore \theta=\tan^{-1}\left(\frac{ay}{bx}\right)\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}\left(\frac{5\times \sqrt{5}}{3\times \frac{10}{3}}\right)\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}\left(\frac{5\sqrt{5}}{10}\right)\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)\)
\(\therefore \theta=48^{o}1\acute{1}\)
\(\therefore \left(\frac{10}{3}, \sqrt{5}\right)\) বিন্দুর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((5\cos\theta, 3\sin\theta)\) যেখানে \( \theta=48^{o}1\acute{1}\).
\((1)\) নং উপবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((\pm a, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 5, 0)\)
\(\therefore (\pm 5, 0)\)
\((1)\) নং উপবৃত্তের উপকেন্দ্র, \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 5\times \frac{4}{5}, 0)\)
\(\therefore (\pm 4, 0)\)
\((1)\) নং উপবৃত্তের নিয়ামকরেখার সমীকরণ, \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{5}{\frac{4}{5}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{25}{4}\)
\(\Rightarrow 4x=\pm 25\)
\(\therefore 4x\pm 25=0\)
আবার,
\((1)\Rightarrow \frac{y^2}{9}=1-\frac{x^2}{25}\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{9}=\frac{25-x^2}{25}\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{9}{25}(25-x^2)\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{3}{5}\sqrt{(5^2-x^2)}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{3}{5}\sqrt{(5-x)(5+x)}\)
এখন, \((5-x)(5+x)\geq 0\) হবে।
\(\Rightarrow 5-x\geq 0,5+x\geq 0\) বা, \(5-x\leq 0,5+x\leq 0\)
\(\Rightarrow x-5\leq 0,5+x\geq 0\) বা, \(x-5\geq 0,5+x\leq 0\)
\(\Rightarrow x\leq 5,x\geq -5\) বা, \(x\geq 5,x\leq -5\)
\(\Rightarrow x\leq 5,x\geq -5 \)
\(\therefore 5\geq x\geq -5 \)
এই সীমার মধ্যে \(x\)-এর কতিপয় মাণ নিয়ে প্রাপ্ত \(y\)-এর মাণ নির্ণয় করে একটি তালিকা তৈরী করি।
| \(x\) | \(5\) | \(3\) | \(0\) | \(-3\) | \(-5\) |
| \(y\) | \(0\) | \(\pm 3.2\) | \(\pm 4\) | \(\pm 3.2\) | \(0\) |
এখন, \(XO\acute{X}\) কে \(X\) অক্ষ এবং \(YO\acute{Y}\) কে \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে \(xy\) তলে উপরোক্ত বিন্দুসমুহ বসিয়ে সংযোগ করে পাশের লেখচিত্রটি পাই। অতপর উপবৃত্তের উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা চিহ্নিত করা হলো।
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000013