এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
- অধিবৃত্তের সংজ্ঞা
- মূলবিন্দু কেন্দ্রবিশিষ্ট অধিবৃত্তের প্রমিত সমীকরণ
- অধিবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ সনাক্তকরণ
- অধিবৃত্তের সমীকরণ সনাক্তকরণ
- \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \) অধিবৃত্তের বিভিন্ন অংশের বিবরণ
- \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \) অধিবৃত্তের বিভিন্ন অংশের বিবরণ
- \(\frac{(x-\alpha)^2}{a^2}-\frac{(y-\beta)^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের বিভিন্ন অংশের বিবরণ
- \(\frac{(y-\beta)^2}{b^2}-\frac{(x-\alpha)^2}{a^2}=1\) অধিবৃত্তের বিভিন্ন অংশের বিবরণ
- \(y=mx+c\) সরলরেখা \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের স্পর্শক হওয়ার শর্ত, স্পর্শকের সমীকরণ এবং স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক
- \(x\cos\alpha + y\sin\alpha=p\) সরলরেখা \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের স্পর্শক হওয়ার শর্ত এবং স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক
- \(lx+my+n=0\) সরলরেখা \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের স্পর্শক হওয়ার শর্ত এবং স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক
- অধিবৃত্ত সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর আপেক্ষিক অবস্থান
- \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের উপরিস্থিত \(P(x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ
- অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা
- অধিবৃত্তের আড় অক্ষ ও অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য
- অধিবৃত্তের সমীকরণ থেকে উৎকেন্দ্রতা
- অধিবৃত্তের সমীকরণ থেকে উৎকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক ও নিয়ামকের সমীকরণ
- উপকেন্দ্র ও নিয়ামকের সমীকরণ থেকে অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয়
- অধিবৃত্তের সমীকরণ থেকে উপকেন্দ্রিক লম্ব ও এর দৈর্ঘ্য
- \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1; (a>b)\) অধিবৃত্তের উপরিস্থিত কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুর পরামিতিক স্থানাঙ্ক
- অসীমতট
- \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের অসীমতট রেখার সমীকরণ
- \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\) অধিবৃত্তের অসীমতট রেখার সমীকরণ
- \(\frac{(y-k)^2}{b^2}-\frac{(x-h)^2}{a^2}=1\) অধিবৃত্তের অসীমতট রেখার সমীকরণ
- \(\frac{(y-k)^2}{b^2}-\frac{(x-h)^2}{a^2}=1\) অধিবৃত্তের অসীমতট রেখার সমীকরণ
- অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর লেখচিত্র
- সমাধানকৃত উদাহরণমালা
- অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন-উত্তর
- সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন-উত্তর
- বর্ণনামূলক প্রশ্ন-উত্তর
- সৃজনশীল প্রশ্ন এবং সমাধান
- ভর্তি পরীক্ষায় আসা প্রশ্ন এবং সমাধান
অধিবৃত্ত
Hyperbola
অধিবৃত্তঃ কোনো কার্তেসীয় সমতলে একটি বিন্দু যদি এমনভাবে চলে যে ঐ সমতলস্থিত একটি স্থির বিন্দু থেকে দূরত্ব এবং একটি নির্দিষ্ট রেখা থেকে লম্ব দূরত্বের অনুপাত একটি স্থির রাশি
এবং ঐ স্থির রাশিটির মান \(1\) অপেক্ষা বৃহত্তর, তবে ঐ বিন্দুর সঞ্চারপথকে অধিবৃত্ত বলা হয়। উক্ত স্থির রাশিকে উৎকেন্দ্রতা (Eccentricity) বলা হয়, এবং ইহাকে \(e\) দ্বারা সূচিত করা হয়,যেখানে \( e > 1\) হবে ।
উপকেন্দ্র দুইটির মধ্যদিয়ে অঙ্কিত অধিবৃত্তের সর্ববৃহত রেখাংশ \(A\acute A\) কে প্রধান বা আড় অক্ষ ( Transverse axis) বলা হয়। প্রধান অক্ষের লম্ব দ্বিখন্ডক রেখাংশ \(B\acute B\) কে অনুবন্ধী অক্ষ ( Conjugate axis) বলা হয়। অক্ষদ্বয়ের মিলিত বিন্দু \(C\) কে কেন্দ্র বলা হয়।
এবং ঐ স্থির রাশিটির মান \(1\) অপেক্ষা বৃহত্তর, তবে ঐ বিন্দুর সঞ্চারপথকে অধিবৃত্ত বলা হয়। উক্ত স্থির রাশিকে উৎকেন্দ্রতা (Eccentricity) বলা হয়, এবং ইহাকে \(e\) দ্বারা সূচিত করা হয়,যেখানে \( e > 1\) হবে ।
উপকেন্দ্র দুইটির মধ্যদিয়ে অঙ্কিত অধিবৃত্তের সর্ববৃহত রেখাংশ \(A\acute A\) কে প্রধান বা আড় অক্ষ ( Transverse axis) বলা হয়। প্রধান অক্ষের লম্ব দ্বিখন্ডক রেখাংশ \(B\acute B\) কে অনুবন্ধী অক্ষ ( Conjugate axis) বলা হয়। অক্ষদ্বয়ের মিলিত বিন্দু \(C\) কে কেন্দ্র বলা হয়। মূলবিন্দু কেন্দ্রবিশিষ্ট অধিবৃত্তের প্রমিত সমীকরণ।
Standard equation of Hyperbola.
ধরি,
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S\) নিয়ামকরেখা \(MZ\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e, (e > 1)\), নিয়ামকরেখার উপর \(SZ\) লম্ব আঁকি। \(SZ\) রেখাকে \(A\) ও \(\acute A\) বিন্দুদ্বয় \(e:1\) অনুপাতে যথাক্রমে অন্তর্বিভক্ত ও বহিঃর্বিভক্ত করে, যেন \(SA=e.AZ\) এবং \(S\acute A=e.\acute AZ\)।
তাহলে, \(A\) ও \(\acute A\) অধিবৃত্তের উপর দুইটি বিন্দু।
মনে করি \(A\acute A\)-এর মধ্যবিন্দু \(C\) এবং \(A\acute A=2a\)
তাহলে, \(CA=C\acute A=a\)
এখন,
\(SA=e.AZ\)
\(\therefore CS-a=e(a-CZ) .......(1)\) ➜ \(\because SA=CA-CS=CS-a; AZ=CZ-CA=a-CZ\)
এবং \(S\acute A=e.\acute AZ\)
\(\therefore CS+a=e(a+CZ) ........(2)\) ➜ \(\because S\acute A=C\acute A+CS=CS+a; \acute AZ=CZ+CA=a+CZ\)
\((1)\) ও \((2)\) যোগ করে,
\(CS-a+CS+a=e(a-CZ)+e(a+CZ)\)
\(\Rightarrow 2CS=e(a-CZ+a+CZ)\)
\(\Rightarrow 2CS=e.2a\)
\(\therefore CS=ae\)
\((2)\) - \((1)\)-এর সাহায্যে,
\(CS+a-CS+a=e(a+CZ)-e(a-CZ)\)
\(\Rightarrow 2a=e(a+CZ-a+CZ)\)
\(\Rightarrow 2a=e.2CZ\)
\(\Rightarrow a=eCZ\)
\(\Rightarrow eCZ=a\)
\(\therefore CZ=\frac{a}{e}\)
\(C\)-কে মূলবিন্দু , \(CX\) ও \(CY\)-কে যথাক্রমে \(x\)-অক্ষ ও \(y\)-অক্ষ বিবেচনা করি। অধিবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)। \(P\) বিন্দু হতে \(A\acute A\)-এর উপর \(PN\) ও নিয়ামকরেখার উপর \(PM\) লম্ব আঁকি।
সুতরাং অধিবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে, \(SP=e.PM\)
\(\Rightarrow SP=e.NZ\) ➜ \(\because PM=NZ\)
\(\Rightarrow SP^2=e^2.NZ^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow SN^2+PN^2=e^2(CN-CZ)^2\) ➜ \(\because SP^2=SN^2+PN^2; NZ=CN-CZ\)
\(\Rightarrow (x-ae)^2+y^2=e^2\left(x-\frac{a}{e}\right)^2\) ➜ \(\because SN=CS+CN=x-ae; NZ=x-\frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow (x-ae)^2+y^2=e^2\left(\frac{ex-a}{e}\right)^2\)
\(\Rightarrow (x-ae)^2+y^2=e^2.\frac{(ex-a)^2}{e^2}\)
\(\Rightarrow (x-ae)^2+y^2=(ex-a)^2\)
\(\Rightarrow x^2+a^2e^2-2aex+y^2=e^2x^2-2aex+a^2\)
\(\Rightarrow x^2-e^2x^2+y^2=2aex+a^2-a^2e^2-2aex\)
\(\Rightarrow -x^2(e^2-1)+y^2=a^2-a^2e^2\)
\(\Rightarrow -x^2(e^2-1)+y^2=-a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow x^2(e^2-1)-y^2=a^2(e^2-1)\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^2(e^2-1)}{a^2(e^2-1)}-\frac{y^2}{a^2(e^2-1)}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(a^2(e^2-1)\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2(e^2-1)}=1 .......(3)\)
যেহেতু \(e>1, a^2(e^2-1)\) ধনাত্মক।
অতএব, লিখা যায় \(b^2=a^2(e^2-1)\) ➜ \(b\) একটি ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা।
\(\therefore b^2=a^2(e^2-1) ........(4)\)
\((4)\)-এর সাহায্য নিয়ে \((3)\) হতে পাই,
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
ইহাই অধিবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ।
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S\) নিয়ামকরেখা \(MZ\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e, (e > 1)\), নিয়ামকরেখার উপর \(SZ\) লম্ব আঁকি। \(SZ\) রেখাকে \(A\) ও \(\acute A\) বিন্দুদ্বয় \(e:1\) অনুপাতে যথাক্রমে অন্তর্বিভক্ত ও বহিঃর্বিভক্ত করে, যেন \(SA=e.AZ\) এবং \(S\acute A=e.\acute AZ\)।
তাহলে, \(A\) ও \(\acute A\) অধিবৃত্তের উপর দুইটি বিন্দু।
মনে করি \(A\acute A\)-এর মধ্যবিন্দু \(C\) এবং \(A\acute A=2a\)
তাহলে, \(CA=C\acute A=a\)
এখন,
\(SA=e.AZ\)
\(\therefore CS-a=e(a-CZ) .......(1)\) ➜ \(\because SA=CA-CS=CS-a; AZ=CZ-CA=a-CZ\)
এবং \(S\acute A=e.\acute AZ\)
\(\therefore CS+a=e(a+CZ) ........(2)\) ➜ \(\because S\acute A=C\acute A+CS=CS+a; \acute AZ=CZ+CA=a+CZ\)
\((1)\) ও \((2)\) যোগ করে,
\(CS-a+CS+a=e(a-CZ)+e(a+CZ)\)
\(\Rightarrow 2CS=e(a-CZ+a+CZ)\)
\(\Rightarrow 2CS=e.2a\)
\(\therefore CS=ae\)
\((2)\) - \((1)\)-এর সাহায্যে,
\(CS+a-CS+a=e(a+CZ)-e(a-CZ)\)
\(\Rightarrow 2a=e(a+CZ-a+CZ)\)
\(\Rightarrow 2a=e.2CZ\)
\(\Rightarrow a=eCZ\)
\(\Rightarrow eCZ=a\)
\(\therefore CZ=\frac{a}{e}\)
\(C\)-কে মূলবিন্দু , \(CX\) ও \(CY\)-কে যথাক্রমে \(x\)-অক্ষ ও \(y\)-অক্ষ বিবেচনা করি। অধিবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)। \(P\) বিন্দু হতে \(A\acute A\)-এর উপর \(PN\) ও নিয়ামকরেখার উপর \(PM\) লম্ব আঁকি।
সুতরাং অধিবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে, \(SP=e.PM\)
\(\Rightarrow SP=e.NZ\) ➜ \(\because PM=NZ\)
\(\Rightarrow SP^2=e^2.NZ^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow SN^2+PN^2=e^2(CN-CZ)^2\) ➜ \(\because SP^2=SN^2+PN^2; NZ=CN-CZ\)
\(\Rightarrow (x-ae)^2+y^2=e^2\left(x-\frac{a}{e}\right)^2\) ➜ \(\because SN=CS+CN=x-ae; NZ=x-\frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow (x-ae)^2+y^2=e^2\left(\frac{ex-a}{e}\right)^2\)
\(\Rightarrow (x-ae)^2+y^2=e^2.\frac{(ex-a)^2}{e^2}\)
\(\Rightarrow (x-ae)^2+y^2=(ex-a)^2\)
\(\Rightarrow x^2+a^2e^2-2aex+y^2=e^2x^2-2aex+a^2\)
\(\Rightarrow x^2-e^2x^2+y^2=2aex+a^2-a^2e^2-2aex\)
\(\Rightarrow -x^2(e^2-1)+y^2=a^2-a^2e^2\)
\(\Rightarrow -x^2(e^2-1)+y^2=-a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow x^2(e^2-1)-y^2=a^2(e^2-1)\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^2(e^2-1)}{a^2(e^2-1)}-\frac{y^2}{a^2(e^2-1)}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(a^2(e^2-1)\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2(e^2-1)}=1 .......(3)\)
যেহেতু \(e>1, a^2(e^2-1)\) ধনাত্মক।
অতএব, লিখা যায় \(b^2=a^2(e^2-1)\) ➜ \(b\) একটি ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা।
\(\therefore b^2=a^2(e^2-1) ........(4)\)
\((4)\)-এর সাহায্য নিয়ে \((3)\) হতে পাই,
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
ইহাই অধিবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ।
অধিবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ সনাক্তকরণঃ
মূলবিন্দু কেন্দ্রবিশিষ্ট অধিবৃত্তের প্রমিত সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1; \frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এ \(x\) বা \(y\) যুক্ত পদ থাকবে না। শুধু \(x^2\) ও \(y^2\) যুক্ত পদ বিদ্যমান। \(x^2\)-এর সহগ \(\frac{1}{a^2}\) এবং \(y^2\)-এর সহগ \(-\frac{1}{b^2}\) অসমান ও ভিন্ন চিহ্নযুক্ত।
অধিবৃত্তের সমীকরণ সনাক্তকরণঃ
অধিবৃত্তের সমীকরণে \(x^2\) ও \(y^2\) যুক্ত পদ বিদ্যমান। \(x^2\)-এর সহগ এবং \(y^2\)-এর সহগ অসমান ও ভিন্ন চিহ্নযুক্ত। \(x\) ও \(y\) যুক্ত পদ থাকতেও পারে নাও থাকতে পারে।
প্রয়োজনীয় এবং স্মরণীয় সূত্রসমূহ।
অধিবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ ও বিভিন্ন অংশের বিবরণ।
\(1.\) অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)
- অধিবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(C(0, 0)\)
- উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
- আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2a|\)
- অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2b|\)
- আড় অক্ষের সমীকরণ \(y=0\)
- অনুবন্ধী অক্ষের সমীকরণ \(x=0\)
- উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\pm ae, 0)\)
- নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x=\pm \frac{a}{e}\)
- উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{2b^2}{a}|\)
- উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(x=\pm ae\)
- শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\pm a, 0)\)
- নিয়ামকরেখার পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\pm \frac{a}{e}, 0)\)
- উপকেন্দ্রের মধ্যকার দূরত্ব \(=|2ae|\)
- নিয়ামকদ্বয়ের মধ্যকার দূরত্ব \(=|\frac{2a}{e}|\)
- একই দিকের উপকেন্দ্র ও অনুরূপ নিয়ামকরেখার মধ্যকার দূরত্ব \(|\frac{a}{e}-ae|\)
- অসীমতটের সমীকরণ \( y=\pm \frac{b}{a}x\)
\(2.\) অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)
- অধিবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(C(0, 0)\)
- উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\)
- আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2b|\)
- অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2a|\)
- আড় অক্ষের সমীকরণ \(x=0\)
- অনুবন্ধী অক্ষের সমীকরণ \(y=0\)
- উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((0, \pm be)\)
- নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(y=\pm \frac{b}{e}\)
- উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{2a^2}{b}|\)
- উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(y=\pm be\)
- শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((0, \pm b)\)
- নিয়ামকরেখার পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((0, \pm \frac{b}{e})\)
- উপকেন্দ্রের মধ্যকার দূরত্ব \(=|2be|\)
- নিয়ামকদ্বয়ের মধ্যকার দূরত্ব \(=|\frac{2b}{e}|\)
- একই দিকের উপকেন্দ্র ও অনুরূপ নিয়ামকরেখার মধ্যকার দূরত্ব \(|\frac{b}{e}-be|\)
- অসীমতটের সমীকরণ \( y=\pm \frac{b}{a}x\)
\(3.\) অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{(x-\alpha)^2}{a^2}-\frac{(y-\beta)^2}{b^2}=1\)
- অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\pm a+\alpha, 0)\)
- অধিবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(C(\alpha, \beta)\)
- উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
- আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2a|\)
- অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2b|\)
- আড় অক্ষের সমীকরণ \(y-\beta=0\)
- অনুবন্ধী অক্ষের সমীকরণ \(x-\alpha=0\)
- উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\pm ae+\alpha, \beta)\)
- নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x-\alpha=\pm \frac{a}{e}\)
- উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{2b^2}{a}|\)
- উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(x-\alpha=\pm ae\)
- অসীমতটের সমীকরণ \( y-\beta=\pm \frac{b}{a}(x-\alpha)\)
\(4.\) অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{(y-\beta)^2}{b^2}-\frac{(x-\alpha)^2}{a^2}=1\)
- অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((0, \pm b+\beta)\)
- অধিবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(C(\alpha, \beta)\)
- উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\)
- আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2b|\)
- অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2a|\)
- আড় অক্ষের সমীকরণ \(x-\alpha=0\)
- অনুবন্ধী অক্ষের সমীকরণ \(y-\beta=0\)
- উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\alpha, \pm be+\beta)\)
- নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(y-\beta=\pm \frac{b}{e}\)
- উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{2a^2}{b}|\)
- উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(y-\beta=\pm be\)
- অসীমতটের সমীকরণ \( y-\beta=\pm \frac{b}{a}(x-\alpha)\)
\(5.\) \(y=mx+c\) সরলরেখা \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের স্পর্শক হওয়ার শর্ত, স্পর্শকের সমীকরণ এবং স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক ।
মনে করি,
সরলরেখা ও অধিবৃত্তটির সমীকরণ যথাক্রমে
\(y=mx+c .............(1) \)
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ........(2) \)
সরলরেখা ও অধিবৃত্তটির সমীকরণ যথাক্রমে
\(y=mx+c .............(1) \)
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ........(2) \)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং অধিবৃত্তকে স্পর্শ করার শর্তঃ \(c=\pm \sqrt{(a^2m^2-b^2)}\)
স্পর্শকের সমীকরণঃ \(y=mx\pm \sqrt{(a^2m^2-b^2)}\)
স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্কঃ \(\left(\frac{\pm a^2m}{\sqrt{(a^2m^2-b^2)}}, \frac{\pm b^2}{\sqrt{(a^2m^2-b^2)}}\right)\)
\(5.1\) \(x\cos\alpha + y\sin\alpha=p\) সরলরেখা \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের স্পর্শক হওয়ার শর্ত এবং স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক ।
মনে করি,
সরলরেখা ও অধিবৃত্তটির সমীকরণ যথাক্রমে
\(x\cos\alpha + y\sin\alpha=p.............(1) \)
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ........(2) \)
সরলরেখা ও অধিবৃত্তটির সমীকরণ যথাক্রমে
\(x\cos\alpha + y\sin\alpha=p.............(1) \)
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ........(2) \)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং অধিবৃত্তকে স্পর্শ করার শর্তঃ \(p^2=a^2\cos^2\alpha-b^2\sin^2\alpha\)
স্পর্শকের সমীকরণঃ \(x\cos\alpha + y\sin\alpha \pm \sqrt{(a^2\cos^2\alpha-b^2\sin^2\alpha)}=0\)
স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্কঃ \(\left(\frac{a^2\cos\alpha}{p}, \frac{b^2\sin\alpha}{p}\right)\)
\(5.2\) \(lx+my+n=0\) সরলরেখা \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের স্পর্শক হওয়ার শর্ত এবং স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক।
মনে করি,
সরলরেখা ও অধিবৃত্তটির সমীকরণ যথাক্রমে
\(lx+my+n=0.............(1) \)
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ........(2) \)
সরলরেখা ও অধিবৃত্তটির সমীকরণ যথাক্রমে
\(lx+my+n=0.............(1) \)
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ........(2) \)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং অধিবৃত্তকে স্পর্শ করার শর্তঃ \(a^2l^2-b^2m^2=n^2\)
স্পর্শকের সমীকরণঃ \(lx+my \pm \sqrt{(a^2l^2-b^2m^2)}=0\)
স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্কঃ \(\left(\frac{-a^2l}{n}, \frac{b^2m}{n}\right)\)
\(5.3\) অধিবৃত্ত সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর আপেক্ষিক অবস্থান।
মনে করি,
একটি নির্দিষ্ট বিন্দু এবং একটি অধিবৃত্ত যথাক্রমে \(P(x_1, y_1)\)
এবং \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1) \)
একটি নির্দিষ্ট বিন্দু এবং একটি অধিবৃত্ত যথাক্রমে \(P(x_1, y_1)\)
এবং \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1) \)
\(P(x_1, y_1)\) বিন্দুটি \((1)\) নং অধিবৃত্তের উপরে অবস্থান করার শর্তঃ \(\frac{x^2_1}{a^2}-\frac{y^2_1}{b^2}=0\)
\(P(x_1, y_1)\) বিন্দুটি \((1)\) নং অধিবৃত্তের ভিতরে অবস্থান করার শর্তঃ \(\frac{y^2_1}{b^2}>\frac{x^2_1}{a^2}\)
\(P(x_1, y_1)\) বিন্দুটি \((1)\) নং উপবৃত্তের বাহিরে অবস্থান করার শর্তঃ \(\frac{x^2_1}{a^2}>\frac{y^2_1}{b^2}\)
\(5.4\) \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের উপরিস্থিত \(P(x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ।
মনে করি,
একটি নির্দিষ্ট বিন্দু এবং একটি অধিবৃত্ত যথাক্রমে \(P(x_1, y_1)\)
এবং \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1) \)
একটি নির্দিষ্ট বিন্দু এবং একটি অধিবৃত্ত যথাক্রমে \(P(x_1, y_1)\)
এবং \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1) \)
\((1)\) নং উপবৃত্তের উপরিস্থিত \(P(x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণঃ \(\frac{xx_1}{a^2}-\frac{yy_1}{b^2}=1\)
\(6.\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা
Focus and directrix of Hyperbola
একটি অধিবৃত্তের দুইটি উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা আছে। যেহেতু, অধিবৃত্তটি \(y\) অক্ষ বরাবর প্রতিসম তাই তাকে \(B\acute B\) বরাবর ভাঁজ করা হলে অধিবৃত্তের ডান ও বাম পক্ষ দুইটি পরস্পরের সাথে সমাপতিত হয়। এখন \(x\) অক্ষের উপর \(\acute S\) ও \(\acute Z\) দুইটি বিন্দু এমনভাবে নেওয়া হয়, যেন \(C\acute S=CS=ae \) এবং \(C\acute Z=CZ=\frac{a}{e}\) হয়। \(Z\acute Z\)-এর উপর \(\acute M\acute Z\) লম্ব আঁকি। তাহলে প্রতিসাম্য অনুযায়ী, এটি স্পষ্ট যে, \(\acute S\)-কে উপকেন্দ্র এবং \(\acute M\acute Z\)-কে নিয়ামকরেখা ধরে আমরা একই অধিবৃত্ত পাই। অতএব, অধিবৃত্তের দুইটি উপকেন্দ্র এবং দুইটি নিয়ামকরেখা আছে।\(7.\) অধিবৃত্তের আড় অক্ষ ও অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য
Transverse and Conjugate axis of Hyperbola
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
\(C(0, 0)\) বিন্দু উপবৃত্তের কেন্দ্র।
\((1)\) নং সমীকরণে \(y=0\) বসিয়ে পাই \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}-\frac{0}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}-0=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}=1\)
\(\Rightarrow x^2=a^2\)
\(\therefore x=\pm a\)
সুতরাং অধিবৃত্ত \(X\)-অক্ষকে \(A(a, 0)\) এবং \(\acute A(-a, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(A\acute A\) আড় অক্ষ এবং এর দৈর্ঘ্য
\(A\acute A=AC+C\acute A=a+a=2a\)
\(\therefore \) আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2a|\)।
আবার,
\((1)\) নং সমীকরণে \(x=0\) বসিয়ে পাই \(\frac{0^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{0}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow 0-\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow -\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow y^2=-b^2\)
\(\Rightarrow y=\sqrt{-b^2}\)
\(\Rightarrow y=b\sqrt{-1}\)
\(\therefore y=\pm ib\) ➜ \(\because i=\sqrt{-1}\)
সুতরাং অধিবৃত্ত \(Y\)-অক্ষকে কাল্পনিকভাবে \(B(0, ib)\) এবং \(\acute B(0, -ib)\) ( কাল্পনিক ) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(B\acute B\) অনুবন্ধী অক্ষ এবং এর দৈর্ঘ্য \(B\acute B=BC+C\acute B=b+b=2b\)
\(\therefore \) অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2b|\)।
\(C(0, 0)\) বিন্দু উপবৃত্তের কেন্দ্র।
\((1)\) নং সমীকরণে \(y=0\) বসিয়ে পাই \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}-\frac{0}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}-0=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}=1\)
\(\Rightarrow x^2=a^2\)
\(\therefore x=\pm a\)
সুতরাং অধিবৃত্ত \(X\)-অক্ষকে \(A(a, 0)\) এবং \(\acute A(-a, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(A\acute A\) আড় অক্ষ এবং এর দৈর্ঘ্য
\(A\acute A=AC+C\acute A=a+a=2a\)
\(\therefore \) আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2a|\)।
আবার,
\((1)\) নং সমীকরণে \(x=0\) বসিয়ে পাই \(\frac{0^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{0}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow 0-\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow -\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow y^2=-b^2\)
\(\Rightarrow y=\sqrt{-b^2}\)
\(\Rightarrow y=b\sqrt{-1}\)
\(\therefore y=\pm ib\) ➜ \(\because i=\sqrt{-1}\)
সুতরাং অধিবৃত্ত \(Y\)-অক্ষকে কাল্পনিকভাবে \(B(0, ib)\) এবং \(\acute B(0, -ib)\) ( কাল্পনিক ) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(B\acute B\) অনুবন্ধী অক্ষ এবং এর দৈর্ঘ্য \(B\acute B=BC+C\acute B=b+b=2b\)
\(\therefore \) অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2b|\)।
\(8.\) অধিবৃত্তের সমীকরণ থেকে উৎকেন্দ্রতা ।
Eccentricity from the equation of Hyperbola
আমরা জানি,
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
এবং
\(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=e^2-1\)
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}+1=e^2\)
\(\Rightarrow e^2=1+\frac{b^2}{a^2}\)
\(\therefore e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
যেহেতু, অধিবৃত্তের \(e\)-এর মান \(e > 1\)
সুতরাং \(e\)-কে ধনাত্মক হিসাবে বিবেচনা করা হয়েছে।
অধিবৃত্তের আড় অক্ষ হতে \(a\)-এর মান এবং অনুবন্ধী অক্ষ হতে \(b\)-এর মান জানা থাকলে উৎকেন্দ্রতা \(e\)-এর মান নির্ণয় করা যায়।
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
এবং
\(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=e^2-1\)
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}+1=e^2\)
\(\Rightarrow e^2=1+\frac{b^2}{a^2}\)
\(\therefore e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
যেহেতু, অধিবৃত্তের \(e\)-এর মান \(e > 1\)
সুতরাং \(e\)-কে ধনাত্মক হিসাবে বিবেচনা করা হয়েছে।
অধিবৃত্তের আড় অক্ষ হতে \(a\)-এর মান এবং অনুবন্ধী অক্ষ হতে \(b\)-এর মান জানা থাকলে উৎকেন্দ্রতা \(e\)-এর মান নির্ণয় করা যায়।
\(9.\) অধিবৃত্তের সমীকরণ থেকে উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক ও নিয়ামকের সমীকরণ।
The co-ordinates of focus and the equation of directrix from the equation of Hyperbola
মনে করি,
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
এবং
\(b^2=a^2(e^2-1)\) ➜ এখানে \(e\) উৎকেন্দ্রিকতা।
আবার,
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S\) ও \(\acute S\) এবং নিয়ামক রেখা \(MZ\) ও \(\acute M\acute Z\)।
\(Z\acute Z\) রেখা \(S\) এবং \(\acute S\) বিন্দুগামী। \(Z\acute Z\) রেখা নিয়ামকদ্বয়ের উপর লম্ব।
\(SZ\)-এর উপর \(A\) এমন একটি বিন্দু নেওয়া হল যেন \(SA=eAZ ........(1)\)
আবার,
\(SZ\)-এর বর্দ্ধিতাংশের উপর \(\acute A\) এমন একটি বিন্দু নেওয়া হল যেন \(S\acute A=e\acute AZ\)
ধরি,
\(A\acute A=2a\) এবং \(C\) হল \(A\acute A\)-এর মধ্যবিন্দু। \(C\)-কে কেন্দ্র বিন্দু বলা হয় যার স্থানাঙ্ক \(C(0, 0)\)।
\((1)\) ও \((2)\) যোগ করে পাই
\(SA+S\acute A=eAZ+e\acute AZ\)
\(\Rightarrow A\acute A=e(AZ+\acute AZ)\)
\(\Rightarrow 2a=e(AZ+A\acute A+AZ)\) ➜ \(\because \acute AZ=A\acute A+AZ\)
\(\Rightarrow 2a=e(A\acute A+2AZ)\)
\(\Rightarrow 2a=e(2a+2AZ)\)
\(\Rightarrow 2a=2e(a+AZ)\)
\(\Rightarrow a=e(a+AZ)\)
\(\Rightarrow a=eCZ\) ➜ \(\because CZ=CA+AZ=a+AZ\)
\(\Rightarrow eCZ=a\)
\(\therefore CZ=\frac{a}{e} ......(3)\)
আবার,
\(CS=CA-AS\)
\(\Rightarrow CS=CA-eAZ\) ➜ \(\because AS=eAZ\)
\(\Rightarrow CS=CA-e(CZ-CA)\)
\(\Rightarrow CS=a-e\left(\frac{a}{e}-a\right)\)
\(\Rightarrow CS=a-a+ae\)
\(\therefore CS=ae .........(4)\)
\(C\) বিন্দুকে মূলবিন্দু ধরে \(CX\)-কে \(x\) অক্ষ এবং \(CY\)-কে \(y\) অক্ষ বিবেচনা করি। যেহেতু \(S\) বিন্দু \(x\) অক্ষের উপর অবস্থিত ।
অতএব, \(S\)-এর স্থানাঙ্ক \((ae, 0)\) এখানে \(S\)-কে উপকেন্দ্র বলে। যেহেতু উপকেন্দ্র \(S\) ও \(\acute S\) সুতরাং এদের স্থানাঙ্ক লেখা হয় \((\pm ae, 0)\)।
এবং নিয়ামক রেখা \(\acute M\acute Z\)-এর সমীকরণ \(x=CZ=\frac{a}{e}\)
\(\therefore x=\frac{a}{e}\)
অনুরূপভাবে, নিয়ামক রেখা \(MZ\)-এর সমীকরণ \(x=-\frac{a}{e}\)
সুতরাং উপবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x=\pm \frac{a}{e}\)
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
এবং
\(b^2=a^2(e^2-1)\) ➜ এখানে \(e\) উৎকেন্দ্রিকতা।
আবার,
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S\) ও \(\acute S\) এবং নিয়ামক রেখা \(MZ\) ও \(\acute M\acute Z\)।
\(Z\acute Z\) রেখা \(S\) এবং \(\acute S\) বিন্দুগামী। \(Z\acute Z\) রেখা নিয়ামকদ্বয়ের উপর লম্ব।
\(SZ\)-এর উপর \(A\) এমন একটি বিন্দু নেওয়া হল যেন \(SA=eAZ ........(1)\)
আবার,
\(SZ\)-এর বর্দ্ধিতাংশের উপর \(\acute A\) এমন একটি বিন্দু নেওয়া হল যেন \(S\acute A=e\acute AZ\)
ধরি,
\(A\acute A=2a\) এবং \(C\) হল \(A\acute A\)-এর মধ্যবিন্দু। \(C\)-কে কেন্দ্র বিন্দু বলা হয় যার স্থানাঙ্ক \(C(0, 0)\)।
\((1)\) ও \((2)\) যোগ করে পাই
\(SA+S\acute A=eAZ+e\acute AZ\)
\(\Rightarrow A\acute A=e(AZ+\acute AZ)\)
\(\Rightarrow 2a=e(AZ+A\acute A+AZ)\) ➜ \(\because \acute AZ=A\acute A+AZ\)
\(\Rightarrow 2a=e(A\acute A+2AZ)\)
\(\Rightarrow 2a=e(2a+2AZ)\)
\(\Rightarrow 2a=2e(a+AZ)\)
\(\Rightarrow a=e(a+AZ)\)
\(\Rightarrow a=eCZ\) ➜ \(\because CZ=CA+AZ=a+AZ\)
\(\Rightarrow eCZ=a\)
\(\therefore CZ=\frac{a}{e} ......(3)\)
আবার,
\(CS=CA-AS\)
\(\Rightarrow CS=CA-eAZ\) ➜ \(\because AS=eAZ\)
\(\Rightarrow CS=CA-e(CZ-CA)\)
\(\Rightarrow CS=a-e\left(\frac{a}{e}-a\right)\)
\(\Rightarrow CS=a-a+ae\)
\(\therefore CS=ae .........(4)\)
\(C\) বিন্দুকে মূলবিন্দু ধরে \(CX\)-কে \(x\) অক্ষ এবং \(CY\)-কে \(y\) অক্ষ বিবেচনা করি। যেহেতু \(S\) বিন্দু \(x\) অক্ষের উপর অবস্থিত ।
অতএব, \(S\)-এর স্থানাঙ্ক \((ae, 0)\) এখানে \(S\)-কে উপকেন্দ্র বলে। যেহেতু উপকেন্দ্র \(S\) ও \(\acute S\) সুতরাং এদের স্থানাঙ্ক লেখা হয় \((\pm ae, 0)\)।
এবং নিয়ামক রেখা \(\acute M\acute Z\)-এর সমীকরণ \(x=CZ=\frac{a}{e}\)
\(\therefore x=\frac{a}{e}\)
অনুরূপভাবে, নিয়ামক রেখা \(MZ\)-এর সমীকরণ \(x=-\frac{a}{e}\)
সুতরাং উপবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(10.\) উপকেন্দ্র ও নিয়ামকের সমীকরণ থেকে অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয়।
Determination of the equation of Hyperbola from focus and equation of directrix.
ধরি,
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(\alpha, \beta)\), নিয়ামকরেখার সমীকরণ, \(ax+by+c=0\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e; (e>1)\)।
অধিবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\) । \(P\) বিন্দু থেকে নিয়ামকরেখার উপর \(PM\) লম্ব আঁকি এবং \(S, p\) যোগ করি।
এখন,
\(P(x, y)\) ও \(S(\alpha, \beta)\) বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব \(PS=\sqrt{(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2}\)
এবং \(P(x, y)\) হতে নিয়ামকরেখার লম্ব দূরত্ব \(PM=\frac{ax+by+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
অধিবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে, \(PS=e.PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2}=e.\frac{ax+by+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow (x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=e^2.\frac{(ax+by+c)^2}{a^2+b^2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\therefore (a^2+b^2)\{(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2\}=e^2(ax+by+c)^2\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(\alpha, \beta)\), নিয়ামকরেখার সমীকরণ, \(ax+by+c=0\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e; (e>1)\)।
অধিবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\) । \(P\) বিন্দু থেকে নিয়ামকরেখার উপর \(PM\) লম্ব আঁকি এবং \(S, p\) যোগ করি।
এখন,
\(P(x, y)\) ও \(S(\alpha, \beta)\) বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব \(PS=\sqrt{(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2}\)
এবং \(P(x, y)\) হতে নিয়ামকরেখার লম্ব দূরত্ব \(PM=\frac{ax+by+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
অধিবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে, \(PS=e.PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2}=e.\frac{ax+by+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow (x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=e^2.\frac{(ax+by+c)^2}{a^2+b^2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\therefore (a^2+b^2)\{(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2\}=e^2(ax+by+c)^2\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\(11.\) অধিবৃত্তের সমীকরণ থেকে উপকেন্দ্রিক লম্ব ও এর দৈর্ঘ্য।
Latus rectum and it's length.
অধিবৃত্তের যে কোনো উপকেন্দ্রের মধ্য দিয়ে অঙ্কিত আড় অক্ষের উপর লম্ব রেখার অধিবৃত্তের অন্তর্গত অংশই উপকেন্দ্রিক লম্ব। যদি \(L\acute L\) উপকেন্দ্রিক লম্ব হয়, তবে \(SL=S\acute L\) এবং \(\acute L\)-এর স্থানাঙ্ক \((-ae, SL)\) ।
\(\acute L(-ae, SL)\) বিন্দুটি উপবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর উপর অবস্থিত।
\(\Rightarrow \frac{(-ae)^2}{a^2}-\frac{SL^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{a^2e^2}{a^2}-\frac{SL^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow e^2-\frac{SL^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow e^2-1=\frac{SL^2}{b^2} \)
\(\Rightarrow \frac{SL^2}{b^2}=e^2-1 \)
\(\Rightarrow SL^2=b^2(e^2-1) \)
\(\Rightarrow SL^2=b^2\times \frac{b^2}{a^2} \) ➜ \(\because e^2-1=\frac{b^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow SL^2=\frac{b^4}{a^2} \)
\(\therefore SL=\frac{b^2}{a} \)
\(\therefore L\acute L=2SL=\frac{2b^2}{a} \)
\(\acute L(-ae, SL)\) বিন্দুটি উপবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর উপর অবস্থিত।
\(\Rightarrow \frac{(-ae)^2}{a^2}-\frac{SL^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{a^2e^2}{a^2}-\frac{SL^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow e^2-\frac{SL^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow e^2-1=\frac{SL^2}{b^2} \)
\(\Rightarrow \frac{SL^2}{b^2}=e^2-1 \)
\(\Rightarrow SL^2=b^2(e^2-1) \)
\(\Rightarrow SL^2=b^2\times \frac{b^2}{a^2} \) ➜ \(\because e^2-1=\frac{b^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow SL^2=\frac{b^4}{a^2} \)
\(\therefore SL=\frac{b^2}{a} \)
\(\therefore L\acute L=2SL=\frac{2b^2}{a} \)
\(12.\) \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1; (a>b)\) অধিবৃত্তের উপরিস্থিত কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুর পরামিতিক স্থানাঙ্ক।
Parametric coordinates of Hyperbola at fixed point.
ধরি,
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1........(1)\)
এবং অধিবৃত্তের উপরিস্থিত একটি বিন্দু \(P(x, y)\)
অধিবৃত্তের আড় অক্ষকে ব্যাস ধরে সহায়ক বৃত্ত অঙ্কন করি, যার সমীকরণ \(x^2+y^2=a^2 .......(2)\)
\(P(x, y)\) বিন্দু থেকে আড় অক্ষের উপর \(PN\) লম্ব অঙ্কন করি। \(N\) থেকে সহায়ক বৃত্তে \(NQ\) স্পর্শক আঁকি এবং \(C\) ও \(Q\) যোগ করি।
মনে করি,
\(\angle QCN=\theta\), এখানে \(\theta\)-কে উপকেন্দ্র কোণ বলা হয়। \(C(0, 0)\) অধিবৃত্তের কেন্দ্র।
\(\therefore \angle QCN=90^{o}\)
\(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((x, y)\) হওয়ায়, \(CN=x\) এবং \(PN=y\)
এখন, \(CQN\) সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
\(\cos \theta=\frac{CQ}{CN}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\cos \theta}=\frac{CN}{CQ}\)
\(\Rightarrow \sec \theta=\frac{CN}{CQ}\)
\(\Rightarrow CN=CQ\sec \theta\)
\(\therefore x=a\sec\theta ........(3)\) ➜ \(\because CQ=a=\)বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
\(x=a\sec\theta\)-এর এই মান \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{(a\sec\theta)^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{a^2\sec^2\theta}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \sec^2\theta-\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \sec^2\theta-1=\frac{y^2}{b^2}\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{b^2}=1+\sec^2\theta\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{b^2}=\tan^2\theta\)
\(\Rightarrow y^2=b^2\tan^2\theta\)
\(\therefore y=b\tan\theta ......(4)\)
সুতরাং, \(P(a\sec\theta, b\tan\theta)\)
\(\theta\)-এর যে কোনো মানের জন্য \(P(a\sec\theta, b\tan\theta)\) বিন্দুটি অধিবৃত্তের উপর অবস্থিত, যাকে অধিবৃত্তের পরামিতিক স্থানাঙ্ক বলা হয় এবং \(\theta\)-কে পরামিতি (parameter) বলা হয়।
আবার,
\((4)\) হতে যথাক্রমে,
\(b\tan\theta=y\)
\(\Rightarrow \tan\theta=\frac{y}{b}\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)\)
\(\therefore \theta=\tan^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)\)
\(\theta \)-এর এই মাণ নির্ণয়ের সময় বিন্দুটি কোন চতুর্ভাগে অবস্থিত তা লক্ষনীয়।
\(x=a\sec\theta\) এবং \(y=b\tan\theta\)-কে একত্রে \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের পরামিতিক সমীকরণ বলে।
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \) অধিবৃত্তের উপর \(P(x, y)\) বিন্দুর পরামিতিক স্থানাংক \(P(a\sec\theta, b\tan\theta)\), যেখানে \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)\)।
\(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \) অধিবৃত্তের উপর \(P(x, y)\) বিন্দুর পরামিতিক স্থানাংক \(P(a\tan\theta, b\sec\theta)\), যেখানে \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)\)।
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1........(1)\)
এবং অধিবৃত্তের উপরিস্থিত একটি বিন্দু \(P(x, y)\)
অধিবৃত্তের আড় অক্ষকে ব্যাস ধরে সহায়ক বৃত্ত অঙ্কন করি, যার সমীকরণ \(x^2+y^2=a^2 .......(2)\)
\(P(x, y)\) বিন্দু থেকে আড় অক্ষের উপর \(PN\) লম্ব অঙ্কন করি। \(N\) থেকে সহায়ক বৃত্তে \(NQ\) স্পর্শক আঁকি এবং \(C\) ও \(Q\) যোগ করি।
মনে করি,
\(\angle QCN=\theta\), এখানে \(\theta\)-কে উপকেন্দ্র কোণ বলা হয়। \(C(0, 0)\) অধিবৃত্তের কেন্দ্র।
\(\therefore \angle QCN=90^{o}\)
\(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((x, y)\) হওয়ায়, \(CN=x\) এবং \(PN=y\)
এখন, \(CQN\) সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
\(\cos \theta=\frac{CQ}{CN}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\cos \theta}=\frac{CN}{CQ}\)
\(\Rightarrow \sec \theta=\frac{CN}{CQ}\)
\(\Rightarrow CN=CQ\sec \theta\)
\(\therefore x=a\sec\theta ........(3)\) ➜ \(\because CQ=a=\)বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
\(x=a\sec\theta\)-এর এই মান \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{(a\sec\theta)^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{a^2\sec^2\theta}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \sec^2\theta-\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \sec^2\theta-1=\frac{y^2}{b^2}\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{b^2}=1+\sec^2\theta\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{b^2}=\tan^2\theta\)
\(\Rightarrow y^2=b^2\tan^2\theta\)
\(\therefore y=b\tan\theta ......(4)\)
সুতরাং, \(P(a\sec\theta, b\tan\theta)\)
\(\theta\)-এর যে কোনো মানের জন্য \(P(a\sec\theta, b\tan\theta)\) বিন্দুটি অধিবৃত্তের উপর অবস্থিত, যাকে অধিবৃত্তের পরামিতিক স্থানাঙ্ক বলা হয় এবং \(\theta\)-কে পরামিতি (parameter) বলা হয়।
আবার,
\((4)\) হতে যথাক্রমে,
\(b\tan\theta=y\)
\(\Rightarrow \tan\theta=\frac{y}{b}\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)\)
\(\therefore \theta=\tan^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)\)
\(\theta \)-এর এই মাণ নির্ণয়ের সময় বিন্দুটি কোন চতুর্ভাগে অবস্থিত তা লক্ষনীয়।
\(x=a\sec\theta\) এবং \(y=b\tan\theta\)-কে একত্রে \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের পরামিতিক সমীকরণ বলে।
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \) অধিবৃত্তের উপর \(P(x, y)\) বিন্দুর পরামিতিক স্থানাংক \(P(a\sec\theta, b\tan\theta)\), যেখানে \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)\)।
\(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \) অধিবৃত্তের উপর \(P(x, y)\) বিন্দুর পরামিতিক স্থানাংক \(P(a\tan\theta, b\sec\theta)\), যেখানে \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)\)।
\(13.\) অধিবৃত্তের অসীমতটের অবস্থান নির্ণয়।
Determination of the position of asymptotes of Hyperbola.
অসীমতটঃ একটি সরলরেখা কোনো বক্ররেখার সহিত অসীম দূরে অবস্থিত দুইটি সমাপতিত বিন্দুতে ছেদ করলে, ঐ সরলরেখা নিজে সম্পুর্ণ অসীমে অবস্থিত নয়, তবে ঐ সরলরেখাকে বক্ররেখাটির অসীমতট বলে।
অধিবৃত্তের অসীমতটঃ কোনো রেখাকে বর্ধিত করলে যদি অধিবৃত্তকে অসীমে ছেদ করে কিন্তু রেখা নিজে অসীমে অবস্থিত নয় তবে ঐ রেখাকে অধিবৃত্তের অসীমতট বলা হয়। অধিবৃত্তের সমীকরণের ডান পক্ষে \(1\)-এর পরিবর্তে \(0\) প্রতিস্থাপন করলে এর দইটি অসীমতট পাওয়া যায়।
ধরি,
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1........(1)\)
এবং সরলরেখার সমীকরণ, \(y=mx+c ....(2)\)
\((2)\) হতে \(y\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{(mx+c)^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{b^2x^2-a^2(mx+c)^2}{a^2b^2}=1\)
\(\Rightarrow b^2x^2-a^2(mx+c)^2=a^2b^2\)
\(\Rightarrow b^2x^2-a^2(m^2x^2+2mcx+c^2)=a^2b^2\)
\(\Rightarrow b^2x^2-a^2m^2x^2-2a^2mcx-a^2c^2=a^2b^2\)
\(\Rightarrow x^2(b^2-a^2m^2)-2a^2mcx-a^2c^2-a^2b^2=0\)
\(\therefore x^2(b^2-a^2m^2)-2a^2mcx-a^2(c^2+b^2)=0 ....(3)\)
\((1)\) নং অধিবৃত্তকে \((2)\) নং সরলরেখা অসীমে ছেদ করলে সেক্ষেত্রে \((3)\) নং দ্বিঘাত সমীকরনের \(x^2\) ও \(x\)-এর সহগ শুন্য হবে। অর্থাৎ \((3)\) নং দ্বিঘাত সমীকরনের উভয় মূলই অসীম হবে।
\(\therefore b^2-a^2m^2=0; -2a^2mc=0\)
\(\Rightarrow -a^2m^2=-b^2; c=0; -2a^2m\ne 0\)
\(\Rightarrow m^2=\frac{b^2}{a^2}; c=0\)
\(\therefore m=\pm \frac{b}{a}; c=0\)
\(m\) ও \(c\)-এর মাণ \((2)\) -এ বসিয়ে,
\(y=\pm \frac{b}{a}x+0 \)
\(\therefore y=\pm \frac{b}{a}x \)
ইহাই নির্ণেয় অসীমতটের সমীকরণ।
ধরি,
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1........(1)\)
এবং সরলরেখার সমীকরণ, \(y=mx+c ....(2)\)
\((2)\) হতে \(y\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{(mx+c)^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{b^2x^2-a^2(mx+c)^2}{a^2b^2}=1\)
\(\Rightarrow b^2x^2-a^2(mx+c)^2=a^2b^2\)
\(\Rightarrow b^2x^2-a^2(m^2x^2+2mcx+c^2)=a^2b^2\)
\(\Rightarrow b^2x^2-a^2m^2x^2-2a^2mcx-a^2c^2=a^2b^2\)
\(\Rightarrow x^2(b^2-a^2m^2)-2a^2mcx-a^2c^2-a^2b^2=0\)
\(\therefore x^2(b^2-a^2m^2)-2a^2mcx-a^2(c^2+b^2)=0 ....(3)\)
\((1)\) নং অধিবৃত্তকে \((2)\) নং সরলরেখা অসীমে ছেদ করলে সেক্ষেত্রে \((3)\) নং দ্বিঘাত সমীকরনের \(x^2\) ও \(x\)-এর সহগ শুন্য হবে। অর্থাৎ \((3)\) নং দ্বিঘাত সমীকরনের উভয় মূলই অসীম হবে।
\(\therefore b^2-a^2m^2=0; -2a^2mc=0\)
\(\Rightarrow -a^2m^2=-b^2; c=0; -2a^2m\ne 0\)
\(\Rightarrow m^2=\frac{b^2}{a^2}; c=0\)
\(\therefore m=\pm \frac{b}{a}; c=0\)
\(m\) ও \(c\)-এর মাণ \((2)\) -এ বসিয়ে,
\(y=\pm \frac{b}{a}x+0 \)
\(\therefore y=\pm \frac{b}{a}x \)
ইহাই নির্ণেয় অসীমতটের সমীকরণ।
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের অসীমতট রেখার সমীকরণঃ \( y=\pm \frac{b}{a}x\)
\(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\) অধিবৃত্তের অসীমতট রেখার সমীকরণঃ \( y=\pm \frac{b}{a}x\)
\(\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের অসীমতট রেখার সমীকরণঃ \( y-k=\pm \frac{b}{a}(x-h)\)
\(\frac{(y-k)^2}{b^2}-\frac{(x-h)^2}{a^2}=1\) অধিবৃত্তের অসীমতট রেখার সমীকরণঃ \( y-k=\pm \frac{b}{a}(x-h)\)
\(14.\) অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর লেখচিত্র ।
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) থেকে দেখা যাচ্ছে যে, যখন \(y=0; x=\pm a\) অতএব অধিবৃত্ত \(X\) অক্ষকে \(A(a, 0)\) এবং \(\acute{A}(-a, 0)\) বিন্দু দইটিতে ছেদ করে। \(A\) ও \(\acute{A}\) বিন্দু দুইটি অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু এবং \(A\acute{A}\) অধিবৃত্তের আড় অক্ষ।
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এ যখন \(x=0; y^2=-b^2\) এ ক্ষেত্রে \(y\)-এর কোনো বাস্তব মাণ পাওয়া যায় না। \(Y\) অক্ষের উপর \(B(0, b)\) এবং \(\acute{B}(0, -b)\) বিন্দু দুইটি নেই। উল্লেখ্য যে, \(B\acute{B}\) অধিবৃত্তের অনুবন্ধী অক্ষ।
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)থেকে পাই, \(\frac{x^2}{a^2}=1+\frac{y^2}{b^2}\geq 1\)
অতএব, \(|x|\leq a\) অর্থাৎ \(x\leq +a\) এবং \(x\geq -a\) সুতরাং \(x=a\) এবং \(x=-a\) রেখা দুইটির মধ্যে লেখের কোনো বিন্দু নেই। প্রত্যেক অধিবৃত্তের তাই দুইটি শাখা রয়েছে। যদি \((x, y)\) লেখের উপর কোনো বিন্দু হয় তবে \((-x, y)\) বিন্দুটিও লেখের উপর অবস্থিত। অর্থাৎ, লেখটি \(Y\) অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসম। অনুরূপভাবে এটি দেখানো যায় যে, লেখটি \(X\) অক্ষের সাপেক্ষেও প্রতিসম। \(x\)-এর মাণ বৃদ্ধির সাথে সাথে \(y\)-এর মাণ অসীম পর্যন্ত বৃদ্ধি পায়। অতএব, অধিবৃত্ত দুইদিকে অসীমে বিস্তৃত হয়।
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \) নির্ণয়।
আমরা জানি,
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(ae, 0)\)
অধিবৃত্তের দিকাক্ষের সমীকরণ \(x-\frac{a}{e}=0\)
অধিবৃত্তের উপরিস্থিত যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e^2=1+\frac{b^2}{a^2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow e^2-1=\frac{b^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=e^2-1\)
\(\therefore b^2=a^2(e^2-1) ........(1)\)
সংজ্ঞানুসারে,
\(PS=e.PM\)
\(\Rightarrow PS^2=e^2.PM^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x-ae)^2+(y-0)^2=e^2.\left(\frac{|x-\frac{a}{e}|}{\sqrt{1^2+0^2}}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2-2aex+a^2e^2+y^2=e^2.\left(\frac{|x-\frac{a}{e}|}{\sqrt{1+0}}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2-2aex+a^2e^2+y^2=e^2.\left(\frac{|x-\frac{a}{e}|}{\sqrt{1}}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2-2aex+a^2e^2+y^2=e^2.\left(|x-\frac{a}{e}|\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2-2aex+a^2e^2+y^2=e^2.\left(x-\frac{a}{e}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2-2aex+a^2e^2+y^2=e^2.\left(\frac{ex-a}{e}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2-2aex+a^2e^2+y^2=e^2.\frac{(ex-a)^2}{e^2}\)
\(\Rightarrow x^2-2aex+a^2e^2+y^2=(ex-a)^2\)
\(\Rightarrow x^2-2aex+a^2e^2+y^2=e^2x^2-2aex+a^2\)
\(\Rightarrow x^2-e^2x^2+y^2=2aex-a^2e^2-2aex+a^2\)
\(\Rightarrow -x^2(e^2-1)+y^2=a^2-a^2e^2\)
\(\Rightarrow -x^2(e^2-1)+y^2=-a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow x^2(e^2-1)-y^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}.a^2(e^2-1)-y^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}.b^2-y^2=b^2\) ➜ \((1)\)-এর সাহায্যে \(\because b^2=a^2(1-e^2) \)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}.\frac{b^2}{b^2}-\frac{y^2}{b^2}=\frac{b^2}{b^2}\) ➜ উভয় পার্শে \(b^2\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(ae, 0)\)
অধিবৃত্তের দিকাক্ষের সমীকরণ \(x-\frac{a}{e}=0\)
অধিবৃত্তের উপরিস্থিত যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e^2=1+\frac{b^2}{a^2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow e^2-1=\frac{b^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=e^2-1\)
\(\therefore b^2=a^2(e^2-1) ........(1)\)
সংজ্ঞানুসারে,
\(PS=e.PM\)
\(\Rightarrow PS^2=e^2.PM^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x-ae)^2+(y-0)^2=e^2.\left(\frac{|x-\frac{a}{e}|}{\sqrt{1^2+0^2}}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2-2aex+a^2e^2+y^2=e^2.\left(\frac{|x-\frac{a}{e}|}{\sqrt{1+0}}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2-2aex+a^2e^2+y^2=e^2.\left(\frac{|x-\frac{a}{e}|}{\sqrt{1}}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2-2aex+a^2e^2+y^2=e^2.\left(|x-\frac{a}{e}|\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2-2aex+a^2e^2+y^2=e^2.\left(x-\frac{a}{e}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2-2aex+a^2e^2+y^2=e^2.\left(\frac{ex-a}{e}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2-2aex+a^2e^2+y^2=e^2.\frac{(ex-a)^2}{e^2}\)
\(\Rightarrow x^2-2aex+a^2e^2+y^2=(ex-a)^2\)
\(\Rightarrow x^2-2aex+a^2e^2+y^2=e^2x^2-2aex+a^2\)
\(\Rightarrow x^2-e^2x^2+y^2=2aex-a^2e^2-2aex+a^2\)
\(\Rightarrow -x^2(e^2-1)+y^2=a^2-a^2e^2\)
\(\Rightarrow -x^2(e^2-1)+y^2=-a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow x^2(e^2-1)-y^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}.a^2(e^2-1)-y^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}.b^2-y^2=b^2\) ➜ \((1)\)-এর সাহায্যে \(\because b^2=a^2(1-e^2) \)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}.\frac{b^2}{b^2}-\frac{y^2}{b^2}=\frac{b^2}{b^2}\) ➜ উভয় পার্শে \(b^2\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \) নির্ণয়।
আমরা জানি,
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(0, be)\)
অধিবৃত্তের দিকাক্ষের সমীকরণ \(y-\frac{b}{e}=0\)
অধিবৃত্তের উপরিস্থিত যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\)
\(\Rightarrow e^2=1+\frac{a^2}{b^2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow e^2-1=\frac{a^2}{b^2}\)
\(\Rightarrow \frac{a^2}{b^2}=e^2-1\)
\(\therefore a^2=b^2(e^2-1) ........(1)\)
সংজ্ঞানুসারে,
\(PS=e.PM\)
\(\Rightarrow PS^2=e^2.PM^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x-0)^2+(y-be)^2=e^2.\left(\frac{|y-\frac{b}{e}|}{\sqrt{0^2+1^2}}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2bey+b^2e^2=e^2.\left(\frac{|y-\frac{b}{e}|}{\sqrt{0+1}}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2bey+b^2e^2=e^2.\left(\frac{|y-\frac{b}{e}|}{\sqrt{1}}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2bey+b^2e^2=e^2.\left(|y-\frac{b}{e}|\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2bey+b^2e^2=e^2.\left(y-\frac{b}{e}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2bey+b^2e^2=e^2.\left(\frac{ey-b}{e}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2bey+b^2e^2=e^2.\frac{(ey-b)^2}{e^2}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2bey+b^2e^2=(ey-b)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2bey+b^2e^2=e^2y^2-2bey+b^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-e^2y^2=2bey-b^2e^2-2bey+b^2\)
\(\Rightarrow x^2-y^2(e^2-1)=b^2-b^2e^2\)
\(\Rightarrow x^2-\frac{y^2}{b^2}.b^2(e^2-1)=-b^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow x^2-\frac{y^2}{b^2}.a^2=-a^2\) ➜ \((1)\)-এর সাহায্যে \(\because a^2=b^2(e^2-1) \)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{-a^2}-\frac{y^2}{b^2}.\frac{a^2}{-a^2}=\frac{-a^2}{-a^2}\) ➜ উভয় পার্শে \(-a^2\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow -\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(0, be)\)
অধিবৃত্তের দিকাক্ষের সমীকরণ \(y-\frac{b}{e}=0\)
অধিবৃত্তের উপরিস্থিত যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\)
\(\Rightarrow e^2=1+\frac{a^2}{b^2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow e^2-1=\frac{a^2}{b^2}\)
\(\Rightarrow \frac{a^2}{b^2}=e^2-1\)
\(\therefore a^2=b^2(e^2-1) ........(1)\)
সংজ্ঞানুসারে,
\(PS=e.PM\)
\(\Rightarrow PS^2=e^2.PM^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x-0)^2+(y-be)^2=e^2.\left(\frac{|y-\frac{b}{e}|}{\sqrt{0^2+1^2}}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2bey+b^2e^2=e^2.\left(\frac{|y-\frac{b}{e}|}{\sqrt{0+1}}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2bey+b^2e^2=e^2.\left(\frac{|y-\frac{b}{e}|}{\sqrt{1}}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2bey+b^2e^2=e^2.\left(|y-\frac{b}{e}|\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2bey+b^2e^2=e^2.\left(y-\frac{b}{e}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2bey+b^2e^2=e^2.\left(\frac{ey-b}{e}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2bey+b^2e^2=e^2.\frac{(ey-b)^2}{e^2}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2bey+b^2e^2=(ey-b)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2bey+b^2e^2=e^2y^2-2bey+b^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-e^2y^2=2bey-b^2e^2-2bey+b^2\)
\(\Rightarrow x^2-y^2(e^2-1)=b^2-b^2e^2\)
\(\Rightarrow x^2-\frac{y^2}{b^2}.b^2(e^2-1)=-b^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow x^2-\frac{y^2}{b^2}.a^2=-a^2\) ➜ \((1)\)-এর সাহায্যে \(\because a^2=b^2(e^2-1) \)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{-a^2}-\frac{y^2}{b^2}.\frac{a^2}{-a^2}=\frac{-a^2}{-a^2}\) ➜ উভয় পার্শে \(-a^2\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow -\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{(x-\alpha)^2}{a^2}-\frac{(y-\beta)^2}{b^2}=1\) নির্ণয়।
ধরি,
উপবৃত্তের কেন্দ্র \(C(\alpha, \beta)\)
আড় অক্ষ \(A\acute A\), যা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(A\acute A=2a\)।
কনুবন্ধী অক্ষ \(B\acute B\), যা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(B\acute B=2b\)।
অধিবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\) । \(X\)-অক্ষের উপর \(PM\) লম্ব অঙ্কন করি যা বৃহদাক্ষকে \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(C\)-কে মূলবিন্দু ধরে \(C\)-এর প্রেক্ষিতে \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((X, Y)\)
যখন, \(X=CQ=EM=OM-OE=x-\alpha\)
এবং \(Y=PQ=PM-QM=PM-CE=y-\beta\)
\(P(X, Y)\) বিন্দুটি অধিবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর উপর অবস্থিত,
সুতরাং \(\frac{X^2}{a^2}-\frac{Y^2}{b^2}=1 .....(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণে \(X\) ও \(Y\)-এর মান বসিয়ে,
\(\frac{(x-\alpha)^2}{a^2}-\frac{(y-\beta)^2}{b^2}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের কেন্দ্র \(C(\alpha, \beta)\)
আড় অক্ষ \(A\acute A\), যা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(A\acute A=2a\)।
কনুবন্ধী অক্ষ \(B\acute B\), যা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(B\acute B=2b\)।
অধিবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\) । \(X\)-অক্ষের উপর \(PM\) লম্ব অঙ্কন করি যা বৃহদাক্ষকে \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(C\)-কে মূলবিন্দু ধরে \(C\)-এর প্রেক্ষিতে \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((X, Y)\)
যখন, \(X=CQ=EM=OM-OE=x-\alpha\)
এবং \(Y=PQ=PM-QM=PM-CE=y-\beta\)
\(P(X, Y)\) বিন্দুটি অধিবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর উপর অবস্থিত,
সুতরাং \(\frac{X^2}{a^2}-\frac{Y^2}{b^2}=1 .....(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণে \(X\) ও \(Y\)-এর মান বসিয়ে,
\(\frac{(x-\alpha)^2}{a^2}-\frac{(y-\beta)^2}{b^2}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{(y-\beta)^2}{b^2}-\frac{(x-\alpha)^2}{a^2}=1\) নির্ণয়।
ধরি,
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \(C(\alpha, \beta)\)
আড় অক্ষ \(B\acute B\), যা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(B\acute B=2b\)।
কনুবন্ধী অক্ষ \(A\acute A\), যা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(A\acute A=2a\)।
অধিবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\) । \(Y\)-অক্ষের উপর \(PM\) লম্ব অঙ্কন করি যা বৃহদাক্ষকে \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(C\)-কে মূলবিন্দু ধরে \(C\)-এর প্রেক্ষিতে \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((X, Y)\)
যখন, \(Y=CQ=EM=OM-OE=y-\beta\)
এবং \(X=PQ=PM-QM=PM-CE=x-\alpha\)
\(P(X, Y)\) বিন্দুটি অধিবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর উপর অবস্থিত,
সুতরাং \(\frac{Y^2}{b^2}-\frac{X^2}{a^2}=1 .....(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণে \(X\) ও \(Y\)-এর মান বসিয়ে,
\(\frac{(y-\beta)^2}{b^2}-\frac{(x-\alpha)^2}{a^2}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \(C(\alpha, \beta)\)
আড় অক্ষ \(B\acute B\), যা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(B\acute B=2b\)।
কনুবন্ধী অক্ষ \(A\acute A\), যা \(X\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(A\acute A=2a\)।
অধিবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\) । \(Y\)-অক্ষের উপর \(PM\) লম্ব অঙ্কন করি যা বৃহদাক্ষকে \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(C\)-কে মূলবিন্দু ধরে \(C\)-এর প্রেক্ষিতে \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((X, Y)\)
যখন, \(Y=CQ=EM=OM-OE=y-\beta\)
এবং \(X=PQ=PM-QM=PM-CE=x-\alpha\)
\(P(X, Y)\) বিন্দুটি অধিবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর উপর অবস্থিত,
সুতরাং \(\frac{Y^2}{b^2}-\frac{X^2}{a^2}=1 .....(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণে \(X\) ও \(Y\)-এর মান বসিয়ে,
\(\frac{(y-\beta)^2}{b^2}-\frac{(x-\alpha)^2}{a^2}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
কোনো সরলরেখা অধিবৃত্তের স্পর্শক হওয়ার শর্ত, স্পর্শকের সমীকরণ এবং স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয়।
মনে করি,
সরলরেখা ও অধিবৃত্তটির সমীকরণ যথাক্রমে
\(y=mx+c .........(1) \)
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 .....(2) \)
\((1) \) ও \((2) \) নং হতে,
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{(mx+c)^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}-\frac{m^2x^2+2mcx+c^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow b^2x^2-a^2(m^2x^2+2mcx+c^2)=a^2b^2\) ➜ উভয় পার্শে \(a^2b^2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow b^2x^2-a^2m^2x^2-2a^2mcx-a^2c^2-a^2b^2=0\)
\(\Rightarrow (b^2-a^2m^2)x^2-2a^2mcx-a^2(b^2+c^2)=0 ...(3)\)
\((3)\) নং \(x\)-এর একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সুতরাং এর মূল দুইটি বাস্তব ও অসমান, বাস্তব ও সমান, অথবা কাল্পনিক হতে পারে। মূলদ্বয় \(x_1\) ও \(x_2\) হলে, \((1)\) নং সমীকরণ হতে \(y_1\) ও \(y_2\) পাওয়া যাবে। \(x_1\) ও \(x_2\)-এর মানের উপর ভিত্তি করে তিনটি ঘটনা ঘটতে পারে,
যেমনঃ
\((i)\) \(x_1\) ও \(x_2\) বাস্তব ও অসমান হলে, \((1)\) নং রেখা উপবৃত্তটিকে দুইটি ভিন্ন বিন্দুতে ছেদ করবে।
\((ii)\) \(x_1\) ও \(x_2\) বাস্তব ও সমান হলে, \((1)\) নং রেখা উপবৃত্তটিকে স্পর্শ করবে।
\((iii)\) \(x_1\) ও \(x_2\) কাল্পনিক হলে, \((1)\) নং রেখা উপবৃত্তটিকে আদৌ স্পর্শ করবে না।
এখন,
\((ii)\) ঘটনা সত্য হলে, \((3)\) নং হতে \((-2a^2mc)^2=4.(b^2-a^2m^2)\times -a^2(b^2+c^2)\) ➜ \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমাণ হওয়ার শর্ত, \(b^2=4ac\)
\(\Rightarrow 4a^4m^2c^2=4(b^2-a^2m^2)\times -a^2(b^2+c^2)\)
\(\Rightarrow a^4m^2c^2=(b^2-a^2m^2)(-a^2b^2-a^2c^2)\)
\(\Rightarrow a^4m^2c^2=(-a^2b^2-a^2c^2)(b^2-a^2m^2)\)
\(\Rightarrow a^4m^2c^2=-a^2b^2(b^2-a^2m^2)-a^2c^2(b^2-a^2m^2)\)
\(\Rightarrow a^4m^2c^2=-a^2b^2(b^2-a^2m^2)-a^2c^2b^2+a^4c^2m^2\)
\(\Rightarrow a^4m^2c^2+a^2c^2b^2-a^4c^2m^2=-a^2b^2(b^2-a^2m^2)\)
\(\Rightarrow a^2c^2b^2=-a^2b^2(b^2-a^2m^2)\)
\(\Rightarrow c^2=-(b^2-a^2m^2)\) ➜ উভয় পার্শে \(a^2b^2\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow c^2=a^2m^2-b^2\)
\(\therefore c=\pm \sqrt{(a^2m^2-b^2)}\) ইহাই নির্ণেয় শর্ত।
আবার,
\(c=\pm \sqrt{(a^2m^2-b^2)}\), \((1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে
\(y=mx \pm \sqrt{(a^2m^2-b^2)}\) ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
আবার,
\((3)\) নং সমীকরণ হতে সমান মূলদ্বয়ের মান \(x=\frac{2a^2mc}{2(a^2m^2-b^2)}\) ➜ \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের সমাণ মূলদ্বয়ের মাণ \(\frac{-b}{2a}\)
\(\Rightarrow x=\frac{a^2mc}{a^2m^2-b^2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{a^2m\times \pm \sqrt{(a^2m^2-b^2)}}{a^2m^2-b^2}\) ➜ \(\because c=\pm \sqrt{(a^2m^2-b^2)}\)
\(\Rightarrow x=\frac{\pm a^2m\sqrt{(a^2m^2-b^2)}}{\sqrt{(a^2m^2-b^2)}\times \sqrt{(a^2m^2-b^2)}}\)
\(\therefore x=\frac{\pm a^2m}{\sqrt{(a^2m^2-b^2)}}\)
আবার,
\(x=\frac{a^2m}{\sqrt{(a^2m^2-b^2)}}\) এবং \(c=-\sqrt{(a^2m^2-b^2)}\), \((1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে
\(y=m\frac{a^2m}{\sqrt{(a^2m^2-b^2)}}-\sqrt{(a^2m^2-b^2)}\)
\(\Rightarrow y=\frac{a^2m^2}{\sqrt{(a^2m^2-b^2)}}-\sqrt{(a^2m^2-b^2)}\)
\(\Rightarrow y=\frac{a^2m^2-a^2m^2+b^2}{\sqrt{(a^2m^2-b^2)}}\)
\(\therefore y=\frac{b^2}{\sqrt{(a^2m^2-b^2)}}\)
আবার,
\(x=\frac{-a^2m}{\sqrt{(a^2m^2-b^2)}}\) এবং \(c=\sqrt{(a^2m^2-b^2)}\), \((1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে
\(y=m\frac{-a^2m}{\sqrt{(a^2m^2-b^2)}}+\sqrt{(a^2m^2-b^2)}\)
\(\Rightarrow y=\frac{-a^2m^2}{\sqrt{(a^2m^2-b^2)}}+\sqrt{(a^2m^2-b^2)}\)
\(\Rightarrow y=\frac{-a^2m^2+a^2m^2-b^2}{\sqrt{(a^2m^2-b^2)}}\)
\(\therefore y=\frac{-b^2}{\sqrt{(a^2m^2-b^2)}}\)
\(\therefore y\)-এর এই দুই মাণ সমন্বয় করে পাই,
\(y=\frac{\pm b^2}{\sqrt{(a^2m^2-b^2)}}\)
অতএব, স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{\pm a^2m}{\sqrt{(a^2m^2-b^2)}}, \frac{\pm b^2}{\sqrt{(a^2m^2-b^2)}}\right)\)
সরলরেখা ও অধিবৃত্তটির সমীকরণ যথাক্রমে
\(y=mx+c .........(1) \)
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 .....(2) \)
\((1) \) ও \((2) \) নং হতে,
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{(mx+c)^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}-\frac{m^2x^2+2mcx+c^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow b^2x^2-a^2(m^2x^2+2mcx+c^2)=a^2b^2\) ➜ উভয় পার্শে \(a^2b^2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow b^2x^2-a^2m^2x^2-2a^2mcx-a^2c^2-a^2b^2=0\)
\(\Rightarrow (b^2-a^2m^2)x^2-2a^2mcx-a^2(b^2+c^2)=0 ...(3)\)
\((3)\) নং \(x\)-এর একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সুতরাং এর মূল দুইটি বাস্তব ও অসমান, বাস্তব ও সমান, অথবা কাল্পনিক হতে পারে। মূলদ্বয় \(x_1\) ও \(x_2\) হলে, \((1)\) নং সমীকরণ হতে \(y_1\) ও \(y_2\) পাওয়া যাবে। \(x_1\) ও \(x_2\)-এর মানের উপর ভিত্তি করে তিনটি ঘটনা ঘটতে পারে,
যেমনঃ
\((i)\) \(x_1\) ও \(x_2\) বাস্তব ও অসমান হলে, \((1)\) নং রেখা উপবৃত্তটিকে দুইটি ভিন্ন বিন্দুতে ছেদ করবে।
\((ii)\) \(x_1\) ও \(x_2\) বাস্তব ও সমান হলে, \((1)\) নং রেখা উপবৃত্তটিকে স্পর্শ করবে।
\((iii)\) \(x_1\) ও \(x_2\) কাল্পনিক হলে, \((1)\) নং রেখা উপবৃত্তটিকে আদৌ স্পর্শ করবে না।
এখন,
\((ii)\) ঘটনা সত্য হলে, \((3)\) নং হতে \((-2a^2mc)^2=4.(b^2-a^2m^2)\times -a^2(b^2+c^2)\) ➜ \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমাণ হওয়ার শর্ত, \(b^2=4ac\)
\(\Rightarrow 4a^4m^2c^2=4(b^2-a^2m^2)\times -a^2(b^2+c^2)\)
\(\Rightarrow a^4m^2c^2=(b^2-a^2m^2)(-a^2b^2-a^2c^2)\)
\(\Rightarrow a^4m^2c^2=(-a^2b^2-a^2c^2)(b^2-a^2m^2)\)
\(\Rightarrow a^4m^2c^2=-a^2b^2(b^2-a^2m^2)-a^2c^2(b^2-a^2m^2)\)
\(\Rightarrow a^4m^2c^2=-a^2b^2(b^2-a^2m^2)-a^2c^2b^2+a^4c^2m^2\)
\(\Rightarrow a^4m^2c^2+a^2c^2b^2-a^4c^2m^2=-a^2b^2(b^2-a^2m^2)\)
\(\Rightarrow a^2c^2b^2=-a^2b^2(b^2-a^2m^2)\)
\(\Rightarrow c^2=-(b^2-a^2m^2)\) ➜ উভয় পার্শে \(a^2b^2\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow c^2=a^2m^2-b^2\)
\(\therefore c=\pm \sqrt{(a^2m^2-b^2)}\) ইহাই নির্ণেয় শর্ত।
আবার,
\(c=\pm \sqrt{(a^2m^2-b^2)}\), \((1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে
\(y=mx \pm \sqrt{(a^2m^2-b^2)}\) ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
আবার,
\((3)\) নং সমীকরণ হতে সমান মূলদ্বয়ের মান \(x=\frac{2a^2mc}{2(a^2m^2-b^2)}\) ➜ \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের সমাণ মূলদ্বয়ের মাণ \(\frac{-b}{2a}\)
\(\Rightarrow x=\frac{a^2mc}{a^2m^2-b^2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{a^2m\times \pm \sqrt{(a^2m^2-b^2)}}{a^2m^2-b^2}\) ➜ \(\because c=\pm \sqrt{(a^2m^2-b^2)}\)
\(\Rightarrow x=\frac{\pm a^2m\sqrt{(a^2m^2-b^2)}}{\sqrt{(a^2m^2-b^2)}\times \sqrt{(a^2m^2-b^2)}}\)
\(\therefore x=\frac{\pm a^2m}{\sqrt{(a^2m^2-b^2)}}\)
আবার,
\(x=\frac{a^2m}{\sqrt{(a^2m^2-b^2)}}\) এবং \(c=-\sqrt{(a^2m^2-b^2)}\), \((1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে
\(y=m\frac{a^2m}{\sqrt{(a^2m^2-b^2)}}-\sqrt{(a^2m^2-b^2)}\)
\(\Rightarrow y=\frac{a^2m^2}{\sqrt{(a^2m^2-b^2)}}-\sqrt{(a^2m^2-b^2)}\)
\(\Rightarrow y=\frac{a^2m^2-a^2m^2+b^2}{\sqrt{(a^2m^2-b^2)}}\)
\(\therefore y=\frac{b^2}{\sqrt{(a^2m^2-b^2)}}\)
আবার,
\(x=\frac{-a^2m}{\sqrt{(a^2m^2-b^2)}}\) এবং \(c=\sqrt{(a^2m^2-b^2)}\), \((1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে
\(y=m\frac{-a^2m}{\sqrt{(a^2m^2-b^2)}}+\sqrt{(a^2m^2-b^2)}\)
\(\Rightarrow y=\frac{-a^2m^2}{\sqrt{(a^2m^2-b^2)}}+\sqrt{(a^2m^2-b^2)}\)
\(\Rightarrow y=\frac{-a^2m^2+a^2m^2-b^2}{\sqrt{(a^2m^2-b^2)}}\)
\(\therefore y=\frac{-b^2}{\sqrt{(a^2m^2-b^2)}}\)
\(\therefore y\)-এর এই দুই মাণ সমন্বয় করে পাই,
\(y=\frac{\pm b^2}{\sqrt{(a^2m^2-b^2)}}\)
অতএব, স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{\pm a^2m}{\sqrt{(a^2m^2-b^2)}}, \frac{\pm b^2}{\sqrt{(a^2m^2-b^2)}}\right)\)
অনুশীলনী \(5.C\) উদাহরণ সমুহ
উদাহরণ \(1.\) \(x^2-3y^2-2x=8\) অধিবৃত্তের কেন্দ্র, শীর্ষ, উপকেন্দ্র, উৎকেন্দ্রতা, অক্ষদ্বয় ও নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য এবং নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় কর এবং লেখচিত্র অঙ্কন কর।
[ ঢাঃ২০০৫;রাঃ২০১৩; চঃ২০০৮;সিঃ২০১৩,২০১০;বঃ২০০৭,২০১২]
উদাহরণ \(2.\) উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাঙ্ক \((4, 2)\) ও \((8, 2)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(2\) হলে অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০১১, ২০০২]
উদাহরণ \(3.\) এমন একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((1, -8)\) উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{5}\) এবং নিয়ামকরেখা \(3x-4y=10\) ।
[ ঢাঃ ২০১৬,২০১০,২০০৬;চঃ ২০১৬, ২০০৯,২০০৬,২০০৪;যঃ ২০১৫,২০১৪,২০০৬; সিঃ ২০১৫,২০০৭,২০০৪; দিঃ ২০০১৫; বঃ ২০১০,২০০৫,২০০৩; রাঃ ২০১১,২০০৯,২০০৫;যঃ ২০১৫,২০১৪;কুঃ ২০০৬,২০০৩; মাঃ২০১৪।]
উদাহরণ \(4.\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাঙ্ক এবং নিয়ামকরেখা দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ২০১৫,২০১১,২০১০,২০০৭; চঃ ২০১৫,২০০৫রাঃ২০১২,২০০৬,২০০৩দিঃ ২০১২;সিঃ ২০০৯,২০০৮ ; যঃ ২০১০,২০০৫]
উদাহরণ \(5.\) \(y=ax^2+bx+c\) এবং \(\frac{x^2}{p^2}+\frac{y^2}{q^2}=1\) যেখানে,\(a, b, q\ne 0\).
\((a)\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) ১ম সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত কনিকের শীর্ষ \((-2, 3)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং এটি \((0, 5)\) বিন্দুগামী হলে \(a, b, c\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকের উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(8\) একক হলে \(p^2+q^2\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(6.\) \(4x^2-9y^2-16x+18y-29=0\) অধিবৃত্তটির অসীমতট রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(7.\) দেখাও যে, \(x^2-8y^2=2\) অধিবৃত্তটির নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(3x=\pm 4\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(\frac{1}{2\sqrt{2}}\)।
[ সিঃ২০১৬,২০১২; যঃ২০১৬,২০০৭; ঢাঃ ২০১৪;চঃ২০১২; বঃ২০০৮;কুঃ২০১০]
উদাহরণ \(8.\) দেখাও যে, \(7x^2-9y^2-14x-36y-92=0\) সমীকরণটি একটি অধিবৃত্ত নির্দেশ করে। এর কেন্দ্র, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ২০০৫;রাঃ২০১৩; চঃ২০০৮;সিঃ২০১৩,২০১০;বঃ২০০৭,২০১২]
উদাহরণ \(2.\) উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাঙ্ক \((4, 2)\) ও \((8, 2)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(2\) হলে অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০১১, ২০০২]
উদাহরণ \(3.\) এমন একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((1, -8)\) উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{5}\) এবং নিয়ামকরেখা \(3x-4y=10\) ।
[ ঢাঃ ২০১৬,২০১০,২০০৬;চঃ ২০১৬, ২০০৯,২০০৬,২০০৪;যঃ ২০১৫,২০১৪,২০০৬; সিঃ ২০১৫,২০০৭,২০০৪; দিঃ ২০০১৫; বঃ ২০১০,২০০৫,২০০৩; রাঃ ২০১১,২০০৯,২০০৫;যঃ ২০১৫,২০১৪;কুঃ ২০০৬,২০০৩; মাঃ২০১৪।]
উদাহরণ \(4.\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাঙ্ক এবং নিয়ামকরেখা দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ২০১৫,২০১১,২০১০,২০০৭; চঃ ২০১৫,২০০৫রাঃ২০১২,২০০৬,২০০৩দিঃ ২০১২;সিঃ ২০০৯,২০০৮ ; যঃ ২০১০,২০০৫]
উদাহরণ \(5.\) \(y=ax^2+bx+c\) এবং \(\frac{x^2}{p^2}+\frac{y^2}{q^2}=1\) যেখানে,\(a, b, q\ne 0\).
\((a)\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) ১ম সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত কনিকের শীর্ষ \((-2, 3)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং এটি \((0, 5)\) বিন্দুগামী হলে \(a, b, c\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকের উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(8\) একক হলে \(p^2+q^2\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(6.\) \(4x^2-9y^2-16x+18y-29=0\) অধিবৃত্তটির অসীমতট রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(7.\) দেখাও যে, \(x^2-8y^2=2\) অধিবৃত্তটির নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(3x=\pm 4\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(\frac{1}{2\sqrt{2}}\)।
[ সিঃ২০১৬,২০১২; যঃ২০১৬,২০০৭; ঢাঃ ২০১৪;চঃ২০১২; বঃ২০০৮;কুঃ২০১০]
উদাহরণ \(8.\) দেখাও যে, \(7x^2-9y^2-14x-36y-92=0\) সমীকরণটি একটি অধিবৃত্ত নির্দেশ করে। এর কেন্দ্র, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(9.\) একটি অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির দূরত্ব \(16\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\) অধিবৃত্তের অক্ষদ্বয় স্থানাঙ্কের অক্ষ বরাবর হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।
[কুঃ২০১৫,২০১২;রাঃ২০১৬,২০০৭;দিঃ২০১৩;বঃ২০১৬,২০১৫,২০১৩;চঃ২০১৩,২০১০ ]
উদাহরণ \(10.\) এরূপ অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((1, 1)\), উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{3}\) এবং নিয়ামকের সমীকরণ \(2x+y=1\) ।
[ঢাঃ২০০৮,২০০৪;যঃ২০০৮,২০০৩;কূঃ২০০৯,২০০৮,২০০৪;দিঃ২০১১,২০০৯;রাঃ২০১৫;চঃ২০১৪,২০১১বঃ২০১৪,২০০৮;মাঃ২০১১,২০০৯ ]
উত্তরঃ \(7x^2-2y^2+12xy-2x+4y-7=0\)
উদাহরণ \(11.\) \(C(3, 2)\) বিন্দুটি উপবৃত্তের উপর অবস্থিত।
\((a)\) \(x^2=4y\) পরাবৃত্তের \((2, 1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(A\acute{A}=8\) হলে উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) অধিবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(12.\) একটি অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু দুইটির স্থাঙ্গাক \((0, \pm 3)\) এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm x\) হলে, অধিবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(13.\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1\) অধিবৃত্তের উপরস্থ \((3, 0), (5, \frac{8}{3}), (-5, \frac{8}{3}),(5, -\frac{8}{3}),(-5, -\frac{8}{3})\) বিন্দুগুলির পরামিতিক স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(14.\) অধিবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে \(X\) অক্ষ ও \(Y\) অক্ষ ধরে এর সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{3}{2}\) এবং দিকাক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(\frac{8}{3}\) ।
[কুঃ২০১৫,২০১২;রাঃ২০১৬,২০০৭;দিঃ২০১৩;বঃ২০১৬,২০১৫,২০১৩;চঃ২০১৩,২০১০ ]
উদাহরণ \(10.\) এরূপ অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((1, 1)\), উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{3}\) এবং নিয়ামকের সমীকরণ \(2x+y=1\) ।
[ঢাঃ২০০৮,২০০৪;যঃ২০০৮,২০০৩;কূঃ২০০৯,২০০৮,২০০৪;দিঃ২০১১,২০০৯;রাঃ২০১৫;চঃ২০১৪,২০১১বঃ২০১৪,২০০৮;মাঃ২০১১,২০০৯ ]
উত্তরঃ \(7x^2-2y^2+12xy-2x+4y-7=0\)
উদাহরণ \(11.\) \(C(3, 2)\) বিন্দুটি উপবৃত্তের উপর অবস্থিত।
\((a)\) \(x^2=4y\) পরাবৃত্তের \((2, 1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(A\acute{A}=8\) হলে উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) অধিবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(12.\) একটি অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু দুইটির স্থাঙ্গাক \((0, \pm 3)\) এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm x\) হলে, অধিবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(13.\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1\) অধিবৃত্তের উপরস্থ \((3, 0), (5, \frac{8}{3}), (-5, \frac{8}{3}),(5, -\frac{8}{3}),(-5, -\frac{8}{3})\) বিন্দুগুলির পরামিতিক স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(14.\) অধিবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে \(X\) অক্ষ ও \(Y\) অক্ষ ধরে এর সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{3}{2}\) এবং দিকাক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(\frac{8}{3}\) ।
উদাহরণ \(1.\) \(x^2-3y^2-2x=8\) অধিবৃত্তের কেন্দ্র, শীর্ষ, উপকেন্দ্র, উৎকেন্দ্রতা, অক্ষদ্বয় ও নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য এবং নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় কর এবং লেখচিত্র অঙ্কন কর।
[ ঢাঃ২০০৫;রাঃ২০১৩; চঃ২০০৮;সিঃ২০১৩,২০১০;বঃ২০০৭,২০১২]
[ ঢাঃ২০০৫;রাঃ২০১৩; চঃ২০০৮;সিঃ২০১৩,২০১০;বঃ২০০৭,২০১২]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(x^2-3y^2-2x=8\)
\(\Rightarrow x^2-2x-3y^2=8\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1-1-3y^2=8\)
\(\Rightarrow (x-1)^2-1-3y^2=8\)
\(\Rightarrow (x-1)^2-3y^2=8+1\)
\(\Rightarrow (x-1)^2-3y^2=9\)
\(\Rightarrow \frac{(x-1)^2}{9}-\frac{3y^2}{9}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(9\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{(x-1)^2}{9}-\frac{y^2}{3}=1\)
ধরি,
\(x-1=X, y=Y\)
\(\Rightarrow \frac{X^2}{9}-\frac{Y^2}{3}=1 .....(1)\)
এখানে,
\(a^2=9, b^2=3\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=\sqrt{3}\)
উৎকেন্দ্রিকতা,
\(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{3}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{9+3}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{12}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{4}{3}}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{3}}\)
কেন্দ্রের স্থানাঙ্কের ক্ষেত্রে,
\(X=0,Y=0\)
\(\Rightarrow x-1=0,y=0\) ➜ \(\because X=x-1, Y=y\)
\(\Rightarrow x=1,y=0\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \(C(1, 0)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষ, \((\pm a, 0)\)
\(\therefore X=\pm a, Y=0\)
\(\Rightarrow x-1=\pm 3, y=0\)
\(\Rightarrow x=1\pm 3, y=0\)
\(\Rightarrow x=1+3,1-3, y=0\)
\(\therefore x=4,-2, y=0\)
\(\therefore \) শীর্ষ, \((4, 0), (-2, 0)\)
উপকেন্দ্র, \((\pm ae, 0)\)
\(\therefore X=\pm ae, Y=0\)
\(\Rightarrow x-1=\pm 3\times \frac{2}{\sqrt{3}}, y=0\)
\(\Rightarrow x-1=\pm \sqrt{3}\times \sqrt{3}\times \frac{2}{\sqrt{3}}, y=0\)
\(\Rightarrow x-1=\pm \sqrt{3}\times 2, y=0\)
\(\therefore x=1\pm 2\sqrt{3}, y=0\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র, \((1+2\sqrt{3}, 0), (1-2\sqrt{3}, 0)\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a=2.3=6\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(2b=2\sqrt{3}\)
নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
\(=\frac{2.3}{3}\)
\(=2\)
নিয়ামকের সমীকরণ ,\(X=\pm ae\)
\(\Rightarrow x-1=\pm \frac{3}{\frac{2}{\sqrt{3}}}\)
\(\Rightarrow x-1=\pm \frac{3\sqrt{3}}{2}\)
\(\therefore 2(x-1)=\pm 3\sqrt{3}\)
লেখচিত্র অংকনঃ প্রদত্ত সমীকরণ, \(x^2-3y^2-2x=8\)
\(\Rightarrow x^2-2x-8=3y^2\)
\(\Rightarrow 3y^2=x^2-2x-8\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{1}{3}(x^2-2x-8)\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{(x^2-2x-8)}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{(x^2-4x+2x-8)}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{\{x(x-4)+2(x-4)\}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{(x-4)(x+2)}\)
এখন, \((x-4)(x+2)\geq 0\) হবে।
\(\Rightarrow x-4\geq 0, x+2\geq 0\) বা, \(x-4\leq 0, x+2\leq 0\)
\(\Rightarrow x\geq 4, x\geq -2\) বা, \(x\leq 4, x\leq -2\)
\(\therefore x\geq 4\) বা, \(x\leq -2\)
এই সীমার মধ্যে \(x\)-এর কতিপয় মাণ নিয়ে প্রাপ্ত \(y\)-এর মাণ নির্ণয় করে একটি তালিকা তৈরী করি।
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(x^2-3y^2-2x=8\)
\(\Rightarrow x^2-2x-3y^2=8\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1-1-3y^2=8\)
\(\Rightarrow (x-1)^2-1-3y^2=8\)
\(\Rightarrow (x-1)^2-3y^2=8+1\)
\(\Rightarrow (x-1)^2-3y^2=9\)
\(\Rightarrow \frac{(x-1)^2}{9}-\frac{3y^2}{9}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(9\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{(x-1)^2}{9}-\frac{y^2}{3}=1\)
ধরি,
\(x-1=X, y=Y\)
\(\Rightarrow \frac{X^2}{9}-\frac{Y^2}{3}=1 .....(1)\)
এখানে,
\(a^2=9, b^2=3\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=\sqrt{3}\)
উৎকেন্দ্রিকতা,
\(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{3}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{9+3}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{12}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{4}{3}}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{3}}\)
কেন্দ্রের স্থানাঙ্কের ক্ষেত্রে,
\(X=0,Y=0\)
\(\Rightarrow x-1=0,y=0\) ➜ \(\because X=x-1, Y=y\)
\(\Rightarrow x=1,y=0\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \(C(1, 0)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষ, \((\pm a, 0)\)
\(\therefore X=\pm a, Y=0\)
\(\Rightarrow x-1=\pm 3, y=0\)
\(\Rightarrow x=1\pm 3, y=0\)
\(\Rightarrow x=1+3,1-3, y=0\)
\(\therefore x=4,-2, y=0\)
\(\therefore \) শীর্ষ, \((4, 0), (-2, 0)\)
উপকেন্দ্র, \((\pm ae, 0)\)
\(\therefore X=\pm ae, Y=0\)
\(\Rightarrow x-1=\pm 3\times \frac{2}{\sqrt{3}}, y=0\)
\(\Rightarrow x-1=\pm \sqrt{3}\times \sqrt{3}\times \frac{2}{\sqrt{3}}, y=0\)
\(\Rightarrow x-1=\pm \sqrt{3}\times 2, y=0\)
\(\therefore x=1\pm 2\sqrt{3}, y=0\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র, \((1+2\sqrt{3}, 0), (1-2\sqrt{3}, 0)\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a=2.3=6\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(2b=2\sqrt{3}\)
নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
\(=\frac{2.3}{3}\)
\(=2\)
নিয়ামকের সমীকরণ ,\(X=\pm ae\)
\(\Rightarrow x-1=\pm \frac{3}{\frac{2}{\sqrt{3}}}\)
\(\Rightarrow x-1=\pm \frac{3\sqrt{3}}{2}\)
\(\therefore 2(x-1)=\pm 3\sqrt{3}\)
লেখচিত্র অংকনঃ প্রদত্ত সমীকরণ, \(x^2-3y^2-2x=8\)
\(\Rightarrow x^2-2x-8=3y^2\)
\(\Rightarrow 3y^2=x^2-2x-8\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{1}{3}(x^2-2x-8)\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{(x^2-2x-8)}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{(x^2-4x+2x-8)}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{\{x(x-4)+2(x-4)\}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{(x-4)(x+2)}\)
এখন, \((x-4)(x+2)\geq 0\) হবে।
\(\Rightarrow x-4\geq 0, x+2\geq 0\) বা, \(x-4\leq 0, x+2\leq 0\)
\(\Rightarrow x\geq 4, x\geq -2\) বা, \(x\leq 4, x\leq -2\)
\(\therefore x\geq 4\) বা, \(x\leq -2\)
এই সীমার মধ্যে \(x\)-এর কতিপয় মাণ নিয়ে প্রাপ্ত \(y\)-এর মাণ নির্ণয় করে একটি তালিকা তৈরী করি।
| \(x\) | \(-5\) | \(-4\) | \(-3\) | \(-2\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) |
| \(y\) | \(\pm 3\) | \(\pm 2.3\) | \(\pm 1.5\) | \(0\) | \(0\) | \(\pm 1.5\) | \(\pm 2.3\) | \(\pm 3\) |
উপরের টেবিল হতে প্রাপ্ত \((-5, \pm 3),(-4, \pm 2.3),(-3, \pm 1.5),(-2, 0),(4, 0),(5, \pm 1.5),(6, \pm 2.3),(7, \pm 3)\) বিন্দুগুলি অধিবৃত্তের উপর অবস্থিত।
এখন, \(XO\acute{X}\) কে \(X\) অক্ষ এবং \(YO\acute{Y}\) কে \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে \(xy\) তলে উপরোক্ত বিন্দুসমুহ বসিয়ে সংযোগ করে পাশের লেখচিত্রটি পাই।
এখন, \(XO\acute{X}\) কে \(X\) অক্ষ এবং \(YO\acute{Y}\) কে \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে \(xy\) তলে উপরোক্ত বিন্দুসমুহ বসিয়ে সংযোগ করে পাশের লেখচিত্রটি পাই।
উদাহরণ \(2.\) উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাঙ্ক \((4, 2)\) ও \((8, 2)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(2\) হলে অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ ২০১১, ২০০২]
[ সিঃ ২০১১, ২০০২]
সমাধানঃ
ধরি,
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটি \(S(4, 2)\) ও \(\acute{S}(8, 2)\)
\(\therefore S\acute{S}=\sqrt{(4-8)^2+(2-2)^2}\)
\(=\sqrt{(-4)^2+(0)^2}\)
\(=\sqrt{16+0}\)
\(=\sqrt{16}\)
\(=4\)
উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যকার দূরত্ব, \(S\acute{S}=2ae\)
\(\Rightarrow 4=2ae\)
\(\Rightarrow 2ae=4\)
\(\Rightarrow a.2=2\) ➜ \(\because e=2\)
\(\Rightarrow a=1\)
\(\therefore a^2=1\)
আবার,
\(b^2=a^2(e^2-1)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow b^2=1.(2^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=(4-1)\)
\(\Rightarrow b^2=3\)
উপকেন্দ্রদ্বয়ের সংযোগ সরলরেখার মধ্যবিন্দু অধিবৃত্তের কেন্দ্র,
\(C(\frac{4+8}{2}, \frac{2+2}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow C(\frac{12}{2}, \frac{4}{2})\)
\(\Rightarrow C(6, 2)\)
\(\therefore C(\alpha, \beta)\Rightarrow C(6, 2)\)
\(\Rightarrow \alpha=6, \beta=2\)
\(\therefore \) অধিবৃত্তের সমীকরণ,
\(\frac{(x-6)^2}{1}-\frac{(y-2)^2}{3}=1\)
\(\therefore (x-6)^2-\frac{(y-2)^2}{3}=1\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটি \(S(4, 2)\) ও \(\acute{S}(8, 2)\)
\(\therefore S\acute{S}=\sqrt{(4-8)^2+(2-2)^2}\)
\(=\sqrt{(-4)^2+(0)^2}\)
\(=\sqrt{16+0}\)
\(=\sqrt{16}\)
\(=4\)
উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যকার দূরত্ব, \(S\acute{S}=2ae\)
\(\Rightarrow 4=2ae\)
\(\Rightarrow 2ae=4\)
\(\Rightarrow a.2=2\) ➜ \(\because e=2\)
\(\Rightarrow a=1\)
\(\therefore a^2=1\)
আবার,
\(b^2=a^2(e^2-1)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow b^2=1.(2^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=(4-1)\)
\(\Rightarrow b^2=3\)
উপকেন্দ্রদ্বয়ের সংযোগ সরলরেখার মধ্যবিন্দু অধিবৃত্তের কেন্দ্র,
\(C(\frac{4+8}{2}, \frac{2+2}{2})\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow C(\frac{12}{2}, \frac{4}{2})\)
\(\Rightarrow C(6, 2)\)
\(\therefore C(\alpha, \beta)\Rightarrow C(6, 2)\)
\(\Rightarrow \alpha=6, \beta=2\)
\(\therefore \) অধিবৃত্তের সমীকরণ,
\(\frac{(x-6)^2}{1}-\frac{(y-2)^2}{3}=1\)
\(\therefore (x-6)^2-\frac{(y-2)^2}{3}=1\)
উদাহরণ \(3.\) এমন একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((1, -8)\) উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{5}\) এবং নিয়ামকরেখা \(3x-4y=10) ।
[ ঢাঃ ২০১৬,২০১০,২০০৬;চঃ ২০১৬, ২০০৯,২০০৬,২০০৪;যঃ ২০১৫,২০১৪,২০০৬; সিঃ ২০১৫,২০০৭,২০০৪; দিঃ ২০০১৫; বঃ ২০১০,২০০৫,২০০৩; রাঃ ২০১১,২০০৯,২০০৫;যঃ ২০১৫,২০১৪;কুঃ ২০০৬,২০০৩; মাঃ২০১৪।]
[ ঢাঃ ২০১৬,২০১০,২০০৬;চঃ ২০১৬, ২০০৯,২০০৬,২০০৪;যঃ ২০১৫,২০১৪,২০০৬; সিঃ ২০১৫,২০০৭,২০০৪; দিঃ ২০০১৫; বঃ ২০১০,২০০৫,২০০৩; রাঃ ২০১১,২০০৯,২০০৫;যঃ ২০১৫,২০১৪;কুঃ ২০০৬,২০০৩; মাঃ২০১৪।]
সমাধানঃ
ধরি,
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র, \(S(1, -8)\)
উৎকেন্দ্রিকতা্ \(e=\sqrt{5}\)
নিয়ামকরেখা, \(3x-4y=10\)
\(\therefore 3x-4y-10=0 ......(1)\)
অধিবৃত্তের উপর যেকোনো বিন্দু , \(P(x, y)\)
এখন,
\(PS=\sqrt{(x-1)^2+(y+8)^2}\) ➜ \(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)
\(P\) হতে \((1)\)-এর লম্ব দূরত্ব \(PM=\frac{3x-4y-10}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{3x-4y-10}{\sqrt{9+16}}\)
\(=\frac{3x-4y-10}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{3x-4y-10}{5}\)
অধিবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
\(PS=e.PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y+8)^2}=\sqrt{5}.\frac{3x-4y-10}{5}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2+(y+8)^2=5.\frac{(3x-4y-10)^2}{25}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2+16y+64=\frac{(3x-4y-10)^2}{5}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2x+16y+65=\frac{(3x-4y-10)^2}{5}\)
\(\Rightarrow (3x-4y-10)^2=5x^2+5y^2-10x+80y+325\)
\(\Rightarrow 9x^2+16y^2+100-24xy-60x+80y=5x^2+5y^2-10x+80y+325\)
\(\Rightarrow 9x^2+16y^2+100-24xy-60x+80y-5x^2-5y^2+10x-80y-325\)
\(\Rightarrow 4x^2+11y^2-24xy-50x-225=0\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র, \(S(1, -8)\)
উৎকেন্দ্রিকতা্ \(e=\sqrt{5}\)
নিয়ামকরেখা, \(3x-4y=10\)
\(\therefore 3x-4y-10=0 ......(1)\)
অধিবৃত্তের উপর যেকোনো বিন্দু , \(P(x, y)\)
এখন,
\(PS=\sqrt{(x-1)^2+(y+8)^2}\) ➜ \(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)
\(P\) হতে \((1)\)-এর লম্ব দূরত্ব \(PM=\frac{3x-4y-10}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{3x-4y-10}{\sqrt{9+16}}\)
\(=\frac{3x-4y-10}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{3x-4y-10}{5}\)
অধিবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
\(PS=e.PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y+8)^2}=\sqrt{5}.\frac{3x-4y-10}{5}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2+(y+8)^2=5.\frac{(3x-4y-10)^2}{25}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2+16y+64=\frac{(3x-4y-10)^2}{5}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2x+16y+65=\frac{(3x-4y-10)^2}{5}\)
\(\Rightarrow (3x-4y-10)^2=5x^2+5y^2-10x+80y+325\)
\(\Rightarrow 9x^2+16y^2+100-24xy-60x+80y=5x^2+5y^2-10x+80y+325\)
\(\Rightarrow 9x^2+16y^2+100-24xy-60x+80y-5x^2-5y^2+10x-80y-325\)
\(\Rightarrow 4x^2+11y^2-24xy-50x-225=0\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
উদাহরণ \(4.\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাঙ্ক এবং নিয়ামকরেখা দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ২০১৫,২০১১,২০১০,২০০৭; চঃ ২০১৫,২০০৫রাঃ২০১২,২০০৬,২০০৩দিঃ ২০১২;সিঃ ২০০৯,২০০৮ ; যঃ ২০১০,২০০৫]
[ ঢাঃ২০১৫,২০১১,২০১০,২০০৭; চঃ ২০১৫,২০০৫রাঃ২০১২,২০০৬,২০০৩দিঃ ২০১২;সিঃ ২০০৯,২০০৮ ; যঃ ২০১০,২০০৫]
সমাধানঃ
ধরি,
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1 .......(1)\)
এখানে,
\(a^2=9, b^2=16\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=4\)
উৎকেন্দ্রিকতা,
\(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{16}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{9+16}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{25}{9}}\)
\(=\frac{5}{3}\)
উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাঙ্ক, \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 3\times \frac{5}{3}, 0)\)
\(\therefore ((\pm 5, 0)\)
নিয়ামকরেখা দুইটির সমীকরণ, \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{3}{\frac{5}{3}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{9}{5}\)
\(\Rightarrow 5x=\pm 9\)
\(\therefore 5x\pm 9=0\)
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1 .......(1)\)
এখানে,
\(a^2=9, b^2=16\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=4\)
উৎকেন্দ্রিকতা,
\(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{16}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{9+16}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{25}{9}}\)
\(=\frac{5}{3}\)
উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাঙ্ক, \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 3\times \frac{5}{3}, 0)\)
\(\therefore ((\pm 5, 0)\)
নিয়ামকরেখা দুইটির সমীকরণ, \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{3}{\frac{5}{3}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{9}{5}\)
\(\Rightarrow 5x=\pm 9\)
\(\therefore 5x\pm 9=0\)
উদাহরণ \(5.\) \(y=ax^2+bx+c\) এবং \(\frac{x^2}{p^2}+\frac{y^2}{q^2}=1\) যেখানে,\(a, p, q\ne 0\).
\((a)\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) ১ম সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত কনিকের শীর্ষ \((-2, 3)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং এটি \((0, 5)\) বিন্দুগামী হলে \(a, b, c\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকের উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(8\) একক হলে \(p^2+q^2\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((a)\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) ১ম সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত কনিকের শীর্ষ \((-2, 3)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং এটি \((0, 5)\) বিন্দুগামী হলে \(a, b, c\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকের উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(8\) একক হলে \(p^2+q^2\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
\((a)\) দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)
এখানে,
\(a^2=9, b^2=16\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=4\)
উৎকেন্দ্রিকতা,
\(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{16}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{9+16}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{25}{9}}\)
\(=\frac{5}{3}\)
উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাঙ্ক, \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 3\times \frac{5}{3}, 0)\)
\(\therefore (\pm 5, 0)\)
\((b)\) \(y=ax^2+bx+c\) পরাবৃত্তটির অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং এর শীর্ষবিন্দু \((-2, 3)\)।
অর্থাৎ \((\alpha, \beta)\Rightarrow (-2, 3)\)
\(\Rightarrow \alpha=-2, \beta=3\)
এখন,
\((\alpha, \beta)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট এবং অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\((x-\alpha)^2=4a(y-\beta)\)
\(\therefore(x+2)^2=4a(y-3) ......(1)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্ত \((0, 5)\) বিন্দুগামী,
\((0+2)^2=4a(5-3)\)
\(\Rightarrow 4=4a.2\)
\(\Rightarrow 4=8a\)
\(\Rightarrow 8a=4\)
\(\Rightarrow a=\frac{4}{8}\)
\(\therefore a=\frac{1}{2}\)
\(a=\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\((x+2)^2=4.\frac{1}{2}.(y-3)\)
\(\Rightarrow x^2+4x+4=2(y-3)\)
\(\Rightarrow x^2+4x+4=2y-6\)
\(\Rightarrow 2y-6=x^2+4x+4\)
\(\Rightarrow 2y=x^2+4x+4+6\)
\(\Rightarrow 2y=x^2+4x+10\)
\(\therefore y=\frac{1}{2}x^2+2x+5\)
এখানে,
\(a=\frac{1}{2}, b=2, c=5\) ➜ \(y=ax^2+bx+c\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\((c)\) \(\frac{x^2}{p^2}+\frac{y^2}{q^2}=1 ....(1)\) যেখানে,\( p, q\ne 0\).
উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\)
এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(8\) একক
এখানে,
\(a^2=p^2, b^2=q^2\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=p, b=q\)
উৎকেন্দ্রিকতা,
\(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\therefore e=\sqrt{1-\frac{q^2}{p^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{3}=\sqrt{1-\frac{q^2}{p^2}}\) ➜ \(\because e=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{9}=1-\frac{q^2}{p^2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{q^2}{p^2}=1-\frac{1}{9}\)
\(\Rightarrow \frac{q^2}{p^2}=\frac{9-1}{9}\)
\(\therefore q^2=\frac{8p^2}{9} .....(2)\)
আবার,
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(\frac{2b^2}{a}=8\)
\(\Rightarrow \frac{2q^2}{p}=8\)
\(\Rightarrow \frac{2q^2}{8}=p\)
\(\Rightarrow p=\frac{q^2}{4}\)
\(\Rightarrow p=\frac{\frac{8p^2}{9}}{4}\)
\(\Rightarrow p=\frac{8p^2}{9}\times \frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow p=\frac{2p^2}{9}\)
\(\Rightarrow 9p=2p^2\)
\(\Rightarrow 2p^2=9p\)
\(\Rightarrow 2p=9, \because p\ne 0\)
\(\Rightarrow p=\frac{9}{2}\)
\(\therefore p^2=\frac{81}{4}\)
\((2)\) হতে,
\(q^2=\frac{8\times \frac{81}{4}}{9}\)
\(\Rightarrow q^2=\frac{2\times 81}{9}\)
\(\Rightarrow q^2=2\times 9\)
\(\therefore q^2=18\)
\(\therefore p^2+q^2=\frac{81}{4}+18\)
\(=\frac{81+72}{4}\)
\(=\frac{153}{4}\)
অধিবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)
এখানে,
\(a^2=9, b^2=16\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=4\)
উৎকেন্দ্রিকতা,
\(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{16}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{9+16}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{25}{9}}\)
\(=\frac{5}{3}\)
উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাঙ্ক, \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 3\times \frac{5}{3}, 0)\)
\(\therefore (\pm 5, 0)\)
\((b)\) \(y=ax^2+bx+c\) পরাবৃত্তটির অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং এর শীর্ষবিন্দু \((-2, 3)\)।
অর্থাৎ \((\alpha, \beta)\Rightarrow (-2, 3)\)
\(\Rightarrow \alpha=-2, \beta=3\)
এখন,
\((\alpha, \beta)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট এবং অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\((x-\alpha)^2=4a(y-\beta)\)
\(\therefore(x+2)^2=4a(y-3) ......(1)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্ত \((0, 5)\) বিন্দুগামী,
\((0+2)^2=4a(5-3)\)
\(\Rightarrow 4=4a.2\)
\(\Rightarrow 4=8a\)
\(\Rightarrow 8a=4\)
\(\Rightarrow a=\frac{4}{8}\)
\(\therefore a=\frac{1}{2}\)
\(a=\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\((x+2)^2=4.\frac{1}{2}.(y-3)\)
\(\Rightarrow x^2+4x+4=2(y-3)\)
\(\Rightarrow x^2+4x+4=2y-6\)
\(\Rightarrow 2y-6=x^2+4x+4\)
\(\Rightarrow 2y=x^2+4x+4+6\)
\(\Rightarrow 2y=x^2+4x+10\)
\(\therefore y=\frac{1}{2}x^2+2x+5\)
এখানে,
\(a=\frac{1}{2}, b=2, c=5\) ➜ \(y=ax^2+bx+c\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\((c)\) \(\frac{x^2}{p^2}+\frac{y^2}{q^2}=1 ....(1)\) যেখানে,\( p, q\ne 0\).
উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\)
এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(8\) একক
এখানে,
\(a^2=p^2, b^2=q^2\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=p, b=q\)
উৎকেন্দ্রিকতা,
\(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\therefore e=\sqrt{1-\frac{q^2}{p^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{3}=\sqrt{1-\frac{q^2}{p^2}}\) ➜ \(\because e=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{9}=1-\frac{q^2}{p^2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{q^2}{p^2}=1-\frac{1}{9}\)
\(\Rightarrow \frac{q^2}{p^2}=\frac{9-1}{9}\)
\(\therefore q^2=\frac{8p^2}{9} .....(2)\)
আবার,
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(\frac{2b^2}{a}=8\)
\(\Rightarrow \frac{2q^2}{p}=8\)
\(\Rightarrow \frac{2q^2}{8}=p\)
\(\Rightarrow p=\frac{q^2}{4}\)
\(\Rightarrow p=\frac{\frac{8p^2}{9}}{4}\)
\(\Rightarrow p=\frac{8p^2}{9}\times \frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow p=\frac{2p^2}{9}\)
\(\Rightarrow 9p=2p^2\)
\(\Rightarrow 2p^2=9p\)
\(\Rightarrow 2p=9, \because p\ne 0\)
\(\Rightarrow p=\frac{9}{2}\)
\(\therefore p^2=\frac{81}{4}\)
\((2)\) হতে,
\(q^2=\frac{8\times \frac{81}{4}}{9}\)
\(\Rightarrow q^2=\frac{2\times 81}{9}\)
\(\Rightarrow q^2=2\times 9\)
\(\therefore q^2=18\)
\(\therefore p^2+q^2=\frac{81}{4}+18\)
\(=\frac{81+72}{4}\)
\(=\frac{153}{4}\)
উদাহরণ \(6.\) \(4x^2-9y^2-16x+18y-29=0\) অধিবৃত্তটির অসীমতট রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(4x^2-9y^2-16x+18y-29=0\)
\(\Rightarrow 4x^2-16x-9y^2+18y-29=0\)
\(\Rightarrow 4(x^2-4x)-9(y^2-2y)-29=0\)
\(\Rightarrow 4(x^2-4x+4-4)-9(y^2-2y+1-1)-29=0\)
\(\Rightarrow 4(x^2-4x+4)-16-9(y^2-2y+1)+9-29=0\)
\(\Rightarrow 4(x-2)^2-9(y-1)^2-36=0\)
\(\Rightarrow 4(x-2)^2-9(y-1)^2=36\)
\(\Rightarrow \frac{4(x-2)^2}{36}-\frac{9(y-1)^2}{36}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(36\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{(x-2)^2}{9}-\frac{(y-1)^2}{4}=1\)
ধরি,
\(X=x-2, Y=y-1\)
\(\therefore \frac{X^2}{9}-\frac{Y^2}{4}=1 ......(1)\)
এখানে,
\(a^2=9, b^2=4\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=2\)
অধিবৃত্তের অসীমতট রেখার সমীকরণ,
\(y-1=\pm \frac{2}{3}(x-2)\) ➜
\(\frac{(x-\alpha)^2}{a^2}-\frac{(y-\beta)^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের অসীমতট রেখার সমীকরণ, \(y-\beta=\pm \frac{b}{a}(x-\alpha)\)
\(\Rightarrow 3(y-1)=\pm 2(x-2)\)
\(\Rightarrow 3(y-1)=2(x-2); 3(y-1)=-2(x-2) \)
\(\Rightarrow 3y-3=2x-4; 3y-3=-2x+4 \)
\(\Rightarrow 2x-4=3y-3; 2x-4+3y-3=0 \)
\(\Rightarrow 2x-4-3y+3=0; 2x+3y-7=0 \)
\(\therefore 2x-3y-1=0; 2x+3y-7=0 \)
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(4x^2-9y^2-16x+18y-29=0\)
\(\Rightarrow 4x^2-16x-9y^2+18y-29=0\)
\(\Rightarrow 4(x^2-4x)-9(y^2-2y)-29=0\)
\(\Rightarrow 4(x^2-4x+4-4)-9(y^2-2y+1-1)-29=0\)
\(\Rightarrow 4(x^2-4x+4)-16-9(y^2-2y+1)+9-29=0\)
\(\Rightarrow 4(x-2)^2-9(y-1)^2-36=0\)
\(\Rightarrow 4(x-2)^2-9(y-1)^2=36\)
\(\Rightarrow \frac{4(x-2)^2}{36}-\frac{9(y-1)^2}{36}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(36\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{(x-2)^2}{9}-\frac{(y-1)^2}{4}=1\)
ধরি,
\(X=x-2, Y=y-1\)
\(\therefore \frac{X^2}{9}-\frac{Y^2}{4}=1 ......(1)\)
এখানে,
\(a^2=9, b^2=4\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=2\)
অধিবৃত্তের অসীমতট রেখার সমীকরণ,
\(y-1=\pm \frac{2}{3}(x-2)\) ➜
\(\frac{(x-\alpha)^2}{a^2}-\frac{(y-\beta)^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের অসীমতট রেখার সমীকরণ, \(y-\beta=\pm \frac{b}{a}(x-\alpha)\)
\(\Rightarrow 3(y-1)=\pm 2(x-2)\)
\(\Rightarrow 3(y-1)=2(x-2); 3(y-1)=-2(x-2) \)
\(\Rightarrow 3y-3=2x-4; 3y-3=-2x+4 \)
\(\Rightarrow 2x-4=3y-3; 2x-4+3y-3=0 \)
\(\Rightarrow 2x-4-3y+3=0; 2x+3y-7=0 \)
\(\therefore 2x-3y-1=0; 2x+3y-7=0 \)
উদাহরণ \(7.\) দেখাও যে, \(x^2-8y^2=2\) অধিবৃত্তটির নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(3x=\pm 4\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(\frac{1}{2\sqrt{2}}\)।
[ সিঃ২০১৬,২০১২; যঃ২০১৬,২০০৭; ঢাঃ ২০১৪;চঃ২০১২; বঃ২০০৮;কুঃ২০১০]
[ সিঃ২০১৬,২০১২; যঃ২০১৬,২০০৭; ঢাঃ ২০১৪;চঃ২০১২; বঃ২০০৮;কুঃ২০১০]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(x^2-8y^2=2\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{2}-\frac{8y^2}{2}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^2}{2}-\frac{4y^2}{1}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{\frac{1}{4}}=1 .......(1)\)
এখানে,
\(a^2=2, b^2=\frac{1}{4}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=\sqrt{2}, b=\frac{1}{2}\)
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{\frac{1}{4}}{2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{1}{8}}\)
\(=\sqrt{\frac{8+1}{8}}\)
\(=\sqrt{\frac{9}{8}}\)
\(=\frac{3}{2\sqrt{2}}\)
অধিবৃত্তটির নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{\sqrt{2}}{\frac{3}{2\sqrt{2}}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{\sqrt{2}\times 2\sqrt{2}}{3}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{2\times 2}{3}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{4}{3}\)
\(\therefore 3x=\pm 4\)
(Showed)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
\(=\frac{2\times \frac{1}{4}}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}\)
(Showed)
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(x^2-8y^2=2\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{2}-\frac{8y^2}{2}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^2}{2}-\frac{4y^2}{1}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{\frac{1}{4}}=1 .......(1)\)
এখানে,
\(a^2=2, b^2=\frac{1}{4}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=\sqrt{2}, b=\frac{1}{2}\)
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{\frac{1}{4}}{2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{1}{8}}\)
\(=\sqrt{\frac{8+1}{8}}\)
\(=\sqrt{\frac{9}{8}}\)
\(=\frac{3}{2\sqrt{2}}\)
অধিবৃত্তটির নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{\sqrt{2}}{\frac{3}{2\sqrt{2}}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{\sqrt{2}\times 2\sqrt{2}}{3}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{2\times 2}{3}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{4}{3}\)
\(\therefore 3x=\pm 4\)
(Showed)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
\(=\frac{2\times \frac{1}{4}}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}\)
(Showed)
উদাহরণ \(8.\) দেখাও যে, \(7x^2-9y^2-14x-36y-92=0\) সমীকরণটি একটি অধিবৃত্ত নির্দেশ করে। এর কেন্দ্র, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের সমীকরণ, \(7x^2-9y^2-14x-36y-92=0\)
\(\Rightarrow 7x^2-14x-9y^2-36y-92=0\)
\(\Rightarrow 7(x^2-2x)-9(y^2+4y)-92=0\)
\(\Rightarrow 7(x^2-2x+1-1)-9(y^2+4y+4-4)-92=0\)
\(\Rightarrow 7(x^2-2x+1)-7-9(y^2+4y+4)+36-92=0\)
\(\Rightarrow 7(x-1)^2-9(y+2)^2-63=0\)
\(\Rightarrow 7(x-1)^2-9(y+2)^2=63\)
\(\Rightarrow \frac{7(x-1)^2}{63}-\frac{9(y+2)^2}{63}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(63\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{(x-1)^2}{9}-\frac{(y+2)^2}{7}=1\)
\(\therefore \frac{X^2}{9}-\frac{Y^2}{7}=1 .......(1)\) যেখানে, \(X=x-1,Y=y+2\)
এখানে,
\(a^2=9, b^2=7\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=\sqrt{7}\)
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{7}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{9+7}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{16}{9}}\)
\(=\frac{4}{3}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র, \((0, 0)\)
\(\therefore X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x-1=0, y+2=0\)
\(\Rightarrow x=1, y=-2\)
\(\therefore\) কেন্দ্র, \( (1, -2)\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক , \((\pm ae, 0)\)
\(\therefore X=\pm ae, Y=0\)
\(\Rightarrow x-1=\pm 3\times \frac{4}{3}, y+2=0\)
\(\Rightarrow x=1\pm 4, y=-2\)
\(\Rightarrow x=1+4,1-4, y=-2\)
\(\Rightarrow x=5,-3, y=-2\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক , \( (5, -2), (-3, -2)\)
অধিবৃত্তের দিকাক্ষের সমীকরণ, \(X=\pm \frac{a}{e}\)
\(\therefore X=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x-1=\pm \frac{3}{\frac{4}{3}} \)
\(\Rightarrow x=1\pm \frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow x=\frac{4\pm 9}{4}\)
\(\Rightarrow x=\frac{4+9}{4}, x=\frac{4-9}{4}\)
\(\Rightarrow x=\frac{13}{4}, x=\frac{-5}{4}\)
\(\Rightarrow 4x=13, 4x=-5\)
\(\therefore\) দিকাক্ষের সমীকরণ, \(4x-13=0, 4x+5=0\)
অধিবৃত্তের সমীকরণ, \(7x^2-9y^2-14x-36y-92=0\)
\(\Rightarrow 7x^2-14x-9y^2-36y-92=0\)
\(\Rightarrow 7(x^2-2x)-9(y^2+4y)-92=0\)
\(\Rightarrow 7(x^2-2x+1-1)-9(y^2+4y+4-4)-92=0\)
\(\Rightarrow 7(x^2-2x+1)-7-9(y^2+4y+4)+36-92=0\)
\(\Rightarrow 7(x-1)^2-9(y+2)^2-63=0\)
\(\Rightarrow 7(x-1)^2-9(y+2)^2=63\)
\(\Rightarrow \frac{7(x-1)^2}{63}-\frac{9(y+2)^2}{63}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(63\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{(x-1)^2}{9}-\frac{(y+2)^2}{7}=1\)
\(\therefore \frac{X^2}{9}-\frac{Y^2}{7}=1 .......(1)\) যেখানে, \(X=x-1,Y=y+2\)
এখানে,
\(a^2=9, b^2=7\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=\sqrt{7}\)
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{7}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{9+7}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{16}{9}}\)
\(=\frac{4}{3}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র, \((0, 0)\)
\(\therefore X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x-1=0, y+2=0\)
\(\Rightarrow x=1, y=-2\)
\(\therefore\) কেন্দ্র, \( (1, -2)\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক , \((\pm ae, 0)\)
\(\therefore X=\pm ae, Y=0\)
\(\Rightarrow x-1=\pm 3\times \frac{4}{3}, y+2=0\)
\(\Rightarrow x=1\pm 4, y=-2\)
\(\Rightarrow x=1+4,1-4, y=-2\)
\(\Rightarrow x=5,-3, y=-2\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক , \( (5, -2), (-3, -2)\)
অধিবৃত্তের দিকাক্ষের সমীকরণ, \(X=\pm \frac{a}{e}\)
\(\therefore X=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x-1=\pm \frac{3}{\frac{4}{3}} \)
\(\Rightarrow x=1\pm \frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow x=\frac{4\pm 9}{4}\)
\(\Rightarrow x=\frac{4+9}{4}, x=\frac{4-9}{4}\)
\(\Rightarrow x=\frac{13}{4}, x=\frac{-5}{4}\)
\(\Rightarrow 4x=13, 4x=-5\)
\(\therefore\) দিকাক্ষের সমীকরণ, \(4x-13=0, 4x+5=0\)
উদাহরণ \(9.\) একটি অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির দূরত্ব \(16\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\) অধিবৃত্তের অক্ষদ্বয় স্থানাঙ্কের অক্ষ বরাবর হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।
[ কুঃ২০১৫,২০১২;রাঃ২০১৬,২০০৭;দিঃ২০১৩;বঃ২০১৬,২০১৫,২০১৩;চঃ২০১৩,২০১০ ]
[ কুঃ২০১৫,২০১২;রাঃ২০১৬,২০০৭;দিঃ২০১৩;বঃ২০১৬,২০১৫,২০১৩;চঃ২০১৩,২০১০ ]
সমাধানঃ
মনে করি,
অধিবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ......(1)\)
এখানে,
অধিবৃত্তের আড় অক্ষ \(2a\)
উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{2}\)
উপকেন্দ্র, \((\pm ae, 0)\)
উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(2ae=16\)
\(\Rightarrow 2a\times \sqrt{2}=16\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{2}a=16\)
\(\Rightarrow a=\frac{16}{2\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow a=\frac{4\times 2\times \sqrt{2}\times \sqrt{2}}{2\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow a=4\sqrt{2}\)
\(\therefore a^2=32\)
আবার,
আমরা জানি,
\(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=(4\sqrt{2})^2\{(\sqrt{2})^2-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=32\{2-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=32\{1\}\)
\(\therefore b^2=32\)
\(\therefore a^2=b^2=32, (1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{32}-\frac{y^2}{32}=1\)
\(\therefore x^2-y^2=32\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ......(1)\)
এখানে,
অধিবৃত্তের আড় অক্ষ \(2a\)
উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{2}\)
উপকেন্দ্র, \((\pm ae, 0)\)
উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(2ae=16\)
\(\Rightarrow 2a\times \sqrt{2}=16\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{2}a=16\)
\(\Rightarrow a=\frac{16}{2\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow a=\frac{4\times 2\times \sqrt{2}\times \sqrt{2}}{2\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow a=4\sqrt{2}\)
\(\therefore a^2=32\)
আবার,
আমরা জানি,
\(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=(4\sqrt{2})^2\{(\sqrt{2})^2-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=32\{2-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=32\{1\}\)
\(\therefore b^2=32\)
\(\therefore a^2=b^2=32, (1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{32}-\frac{y^2}{32}=1\)
\(\therefore x^2-y^2=32\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
উদাহরণ \(11.\) \(C(3, 2)\) বিন্দুটি উপবৃত্তের উপর অবস্থিত।
\((a)\) \(x^2=4y\) পরাবৃত্তের \((2, 1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(A\acute{A}=8\) হলে উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) অধিবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((a)\) \(x^2=4y\) পরাবৃত্তের \((2, 1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(A\acute{A}=8\) হলে উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) অধিবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
\((a)\) দেওয়া আছে,
পরাবৃত্তের সমীকরণ, \(x^2=4y .....(1)\)
এখানে,
\(4a=4\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=1\)
\((1)\)-এর \((2, 1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.2=2a(y+1)\) ➜ \(x^2=4ay\) পরাবৃত্তের উপরোস্থ \((x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \(xx_1=2a(y+y_1)\)
\(\Rightarrow 2x=2.1.(y+1)\)
\(\Rightarrow 2x=2(y+1)\)
\(\Rightarrow x=y+1\)
\(\therefore x-y-1=0\)
\((b)\)
ধরি,
উপবৃত্তটির সমীকরণ,
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 .......(2)\)
উদ্দীপকের চিত্র থেকে,
\(A\acute{A}=8\)
\(\Rightarrow 2b=8\)
\(\Rightarrow b=4\)
\(\Rightarrow b^2=16\)
আবার,
\((2)\) নং সমীকরণ \(C(3, 2)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\frac{3^2}{a^2}+\frac{2^2}{16}=1\) ➜ \(\because b^2=16\)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}+\frac{4}{16}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}=1-\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}=\frac{4-1}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}=\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow 3a^2=36\)
\(\therefore a^2=12\)
\(\therefore a^2=12, b^2=16, (2)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{16}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\((c)\) চিত্রমতে অধিবৃত্তটির সমীকরণ,
\(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 .......(3)\)
চিত্রে অসীমতটরেখা মূলবিন্দু এবং \(C(3, 2)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore \) অসীমতটরেখার সমীকরণ,
\(\frac{x-0}{0-3}=\frac{y-0}{0-2}\) ➜ \(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-3}=\frac{y}{-2}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{3}=\frac{y}{2}\)
\(\Rightarrow 3y=2x\)
\(\therefore y=\frac{2}{3}x\)
\(\therefore\) অসীমতটরেখার সমীকরণ, \( y=\pm \frac{2}{3}x ....(4)\)
আবার,
আমরা জানি,
অসীমতটরেখার সমীকরণ,
\(\therefore y=\pm \frac{b}{a}x ........(5)\)
\((4)\) ও \((5)\) তুলুনা করে,
\(a=3, b=2\)
কিন্তু \((b)\) হতে প্রাপ্ত \(b=4\)
সে ক্ষেত্রে \((4)\) নং সমীকরণটি দাঁড়ায়,
\( y=\pm \frac{4}{6}x \)
\(\therefore a=6, b=4\)
\(\therefore a^2=36, b^2=16\)
\((3)\) হতে,
\(\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{36}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
পরাবৃত্তের সমীকরণ, \(x^2=4y .....(1)\)
এখানে,
\(4a=4\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=1\)
\((1)\)-এর \((2, 1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(x.2=2a(y+1)\) ➜ \(x^2=4ay\) পরাবৃত্তের উপরোস্থ \((x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \(xx_1=2a(y+y_1)\)
\(\Rightarrow 2x=2.1.(y+1)\)
\(\Rightarrow 2x=2(y+1)\)
\(\Rightarrow x=y+1\)
\(\therefore x-y-1=0\)
\((b)\)
ধরি,
উপবৃত্তটির সমীকরণ,
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 .......(2)\)
উদ্দীপকের চিত্র থেকে,
\(A\acute{A}=8\)
\(\Rightarrow 2b=8\)
\(\Rightarrow b=4\)
\(\Rightarrow b^2=16\)
আবার,
\((2)\) নং সমীকরণ \(C(3, 2)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\frac{3^2}{a^2}+\frac{2^2}{16}=1\) ➜ \(\because b^2=16\)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}+\frac{4}{16}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}=1-\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}=\frac{4-1}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}=\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow 3a^2=36\)
\(\therefore a^2=12\)
\(\therefore a^2=12, b^2=16, (2)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{16}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\((c)\) চিত্রমতে অধিবৃত্তটির সমীকরণ,
\(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 .......(3)\)
চিত্রে অসীমতটরেখা মূলবিন্দু এবং \(C(3, 2)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore \) অসীমতটরেখার সমীকরণ,
\(\frac{x-0}{0-3}=\frac{y-0}{0-2}\) ➜ \(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-3}=\frac{y}{-2}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{3}=\frac{y}{2}\)
\(\Rightarrow 3y=2x\)
\(\therefore y=\frac{2}{3}x\)
\(\therefore\) অসীমতটরেখার সমীকরণ, \( y=\pm \frac{2}{3}x ....(4)\)
আবার,
আমরা জানি,
অসীমতটরেখার সমীকরণ,
\(\therefore y=\pm \frac{b}{a}x ........(5)\)
\((4)\) ও \((5)\) তুলুনা করে,
\(a=3, b=2\)
কিন্তু \((b)\) হতে প্রাপ্ত \(b=4\)
সে ক্ষেত্রে \((4)\) নং সমীকরণটি দাঁড়ায়,
\( y=\pm \frac{4}{6}x \)
\(\therefore a=6, b=4\)
\(\therefore a^2=36, b^2=16\)
\((3)\) হতে,
\(\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{36}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
উদাহরণ \(12.\) একটি অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((0, \pm 3)\) এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm x\) হলে, অধিবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((0, \pm 3)\)
এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm x ......(1)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু দুইটি \(y\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
অধিবৃত্তের সমীকরণ,\(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 ......(2)\)
অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{b}{a}x ......(3)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু দুইটির স্থাঙ্গাক \((0, \pm b)\)
\(\therefore (0, \pm b)\Rightarrow (0, \pm 3)\)
\(\Rightarrow b=3\)
\(\therefore b^2=9\)
আবার,
\((1)\) ও \((3)\) তুলুনা করে পাই
\(\frac{b}{a}=1\)
\(\Rightarrow \frac{3}{a}=1\)
\(\Rightarrow a=3\)
\(\therefore a^2=9\)
\(\therefore a^2=b^2=9 (2)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{9}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((0, \pm 3)\)
এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm x ......(1)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু দুইটি \(y\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
অধিবৃত্তের সমীকরণ,\(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 ......(2)\)
অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{b}{a}x ......(3)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু দুইটির স্থাঙ্গাক \((0, \pm b)\)
\(\therefore (0, \pm b)\Rightarrow (0, \pm 3)\)
\(\Rightarrow b=3\)
\(\therefore b^2=9\)
আবার,
\((1)\) ও \((3)\) তুলুনা করে পাই
\(\frac{b}{a}=1\)
\(\Rightarrow \frac{3}{a}=1\)
\(\Rightarrow a=3\)
\(\therefore a^2=9\)
\(\therefore a^2=b^2=9 (2)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{9}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
উদাহরণ \(13.\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1\) অধিবৃত্তের উপরস্থ \((3, 0), (5, \frac{8}{3}), (-5, \frac{8}{3}),(5, -\frac{8}{3}),(-5, -\frac{8}{3})\) বিন্দুগুলির পরামিতিক স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1 .......(1)\)
এখানে,
\(a^2=9, b^2=4\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=2\)
আমরা জানি,
অধিবৃত্তটির উপর \(P(x, y)\) যে কোনো বিন্দু \(P\)-এর উপকেন্দ্রিক কোণ \(\theta\) হলে, \(P\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \(P(a\sec\theta, b\tan\theta)\),
যেখানে \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)\)
\((3, 0)\) বিন্দুটি \(X\)-অক্ষের ধনাত্মক দিকে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{0}{2}\right)\)\(=\tan^{-1}0=0^{o}\)
\(\therefore (3, 0)\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((3\sec0^{o}, 2\tan0^{o})\)
\( (5, \frac{8}{3})\)বিন্দুটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{\frac{8}{3}}{2}\right)\)\(=\tan^{-1}\frac{4}{3}=53.13^{o}\)
\(\therefore (5, \frac{8}{3})\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((3\sec53.13^{o}, 2\tan53.13^{o})\)
\( (-5, \frac{8}{3})\)বিন্দুটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=180^{o}-\tan^{-1}\left(\frac{\frac{8}{3}}{2}\right)\)\(=180^{o}-\tan^{-1}\frac{4}{3}=180^{o}-53.13^{o}=126.87^{o}\)
\(\therefore (-5, \frac{8}{3})\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((3\sec126.87^{o}, 2\tan126.87^{o})\)
\( (-5, -\frac{8}{3})\)বিন্দুটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=180^{o}+\tan^{-1}\left(\frac{\frac{8}{3}}{2}\right)\)\(=180^{o}+\tan^{-1}\frac{4}{3}=180^{o}+53.13^{o}=233.13^{o}\)
\(\therefore (-5, -\frac{8}{3})\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((3\sec233.13^{o}, 2\tan233.13^{o})\)
\( (5, -\frac{8}{3})\)বিন্দুটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=360^{o}-\tan^{-1}\left(\frac{\frac{8}{3}}{2}\right)\)\(=360^{o}-\tan^{-1}\frac{4}{3}=360^{o}-53.13^{o}=306.87^{o}\)
\(\therefore (5, -\frac{8}{3})\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((3\sec306.87^{o}, 2\tan306.87^{o})\)
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1 .......(1)\)
এখানে,
\(a^2=9, b^2=4\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=2\)
আমরা জানি,
অধিবৃত্তটির উপর \(P(x, y)\) যে কোনো বিন্দু \(P\)-এর উপকেন্দ্রিক কোণ \(\theta\) হলে, \(P\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \(P(a\sec\theta, b\tan\theta)\),
যেখানে \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)\)
\((3, 0)\) বিন্দুটি \(X\)-অক্ষের ধনাত্মক দিকে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{0}{2}\right)\)\(=\tan^{-1}0=0^{o}\)
\(\therefore (3, 0)\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((3\sec0^{o}, 2\tan0^{o})\)
\( (5, \frac{8}{3})\)বিন্দুটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{\frac{8}{3}}{2}\right)\)\(=\tan^{-1}\frac{4}{3}=53.13^{o}\)
\(\therefore (5, \frac{8}{3})\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((3\sec53.13^{o}, 2\tan53.13^{o})\)
\( (-5, \frac{8}{3})\)বিন্দুটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=180^{o}-\tan^{-1}\left(\frac{\frac{8}{3}}{2}\right)\)\(=180^{o}-\tan^{-1}\frac{4}{3}=180^{o}-53.13^{o}=126.87^{o}\)
\(\therefore (-5, \frac{8}{3})\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((3\sec126.87^{o}, 2\tan126.87^{o})\)
\( (-5, -\frac{8}{3})\)বিন্দুটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=180^{o}+\tan^{-1}\left(\frac{\frac{8}{3}}{2}\right)\)\(=180^{o}+\tan^{-1}\frac{4}{3}=180^{o}+53.13^{o}=233.13^{o}\)
\(\therefore (-5, -\frac{8}{3})\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((3\sec233.13^{o}, 2\tan233.13^{o})\)
\( (5, -\frac{8}{3})\)বিন্দুটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=360^{o}-\tan^{-1}\left(\frac{\frac{8}{3}}{2}\right)\)\(=360^{o}-\tan^{-1}\frac{4}{3}=360^{o}-53.13^{o}=306.87^{o}\)
\(\therefore (5, -\frac{8}{3})\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((3\sec306.87^{o}, 2\tan306.87^{o})\)
উদাহরণ \(14.\) অধিবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে \(X\) অক্ষ ও \(Y\) অক্ষ ধরে এর সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{3}{2}\) এবং দিকাক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(\frac{8}{3}\) ।
সমাধানঃ
ধরি,
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 .......(1)\)
দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{3}{2}\)
অধিবৃত্তের দিকাক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(\frac{2a}{e}=\frac{8}{3}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের দিকাক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(=\frac{2a}{e}\)
\(\therefore \frac{2a}{\frac{3}{2}}=\frac{8}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{4a}{3}=\frac{8}{3}\)
\(\Rightarrow a=\frac{8\times 3}{3\times 4}\)
\(\Rightarrow a=2\)
\(\therefore a^2=4\)
আবার,
\(b^2=a^2(e^2-1)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের ক্ষেত্রে, \(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(b^2=4\{\left(\frac{3}{2}\right)^2-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=4\{\frac{9}{4}-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=4\{\frac{9-4}{4}\}\)
\(\Rightarrow b^2=4\{\frac{5}{4}\}\)
\(\therefore b^2=5\)
\(a^2=4, b^2=5 (1)\) সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 .......(1)\)
দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{3}{2}\)
অধিবৃত্তের দিকাক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(\frac{2a}{e}=\frac{8}{3}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের দিকাক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(=\frac{2a}{e}\)
\(\therefore \frac{2a}{\frac{3}{2}}=\frac{8}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{4a}{3}=\frac{8}{3}\)
\(\Rightarrow a=\frac{8\times 3}{3\times 4}\)
\(\Rightarrow a=2\)
\(\therefore a^2=4\)
আবার,
\(b^2=a^2(e^2-1)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের ক্ষেত্রে, \(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(b^2=4\{\left(\frac{3}{2}\right)^2-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=4\{\frac{9}{4}-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=4\{\frac{9-4}{4}\}\)
\(\Rightarrow b^2=4\{\frac{5}{4}\}\)
\(\therefore b^2=5\)
\(a^2=4, b^2=5 (1)\) সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অনুশীলনী \(5.C\) / \(Q.1\)-এর অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
\(Q.1.(i)(a)- Q.1.(i)(z.3)\) অধিবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ এবং কেন্দ্র মূলবিন্দু ধরে নিম্নের প্রদত্ত শর্তানুসারে অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\(Q.1.(i)(a)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 5, 0)\) এবং আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 8\) ।উত্তরঃ \(9x^2-16y^2=144\)
\(Q.1.(i)(b)\) যার উপকেন্দ্র \((0, \pm 13)\) এবং অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 24\) ।
[ যঃ ২০০৯;কুঃ২০১৪,২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{144}=1\)
\(Q.1.(i)(c)\) যার অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 3\) এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \( 11\) ।
উত্তরঃ \(9x^2-112y^2=252\)
\(Q.1.(i)(d)\)যার অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 6\) এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \(10\) ।
উত্তরঃ \(9x^2-16y^2=144\)
\(Q.1.(i)(e)\) যার নিয়ামকদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \( 4\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\)।
উত্তরঃ \(x^2-y^2=8\)
\(Q.1.(i)(f)\) যার উপকেন্দ্রদ্বয় \((4, 2)\) এবং \((8, 2)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(2\)।
[ সিঃ ২০১১]
উত্তরঃ \(3(x-6)^2-(y-2)^2=3\)
\(Q.1.(i)(g)\) যা \((2, 1)\) এবং \((3, -2)\) বিন্দুগামী।
[ কুঃ২০১৬;বঃ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(3x^2-5y^2=7\)
\(Q.1.(i)(h)\) যা \((4, 6)\) এবং \((-1, -3)\) বিন্দুগামী।
উত্তরঃ \(5y^2-9x^2=36\)
\(Q.1.(i)(i)\) যার শীর্ষ \((0, \pm 8)\) এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{4}{3}x\)
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{64}-\frac{x^2}{36}=1\)
\(Q.1.(i)(j)\) যার শীর্ষ \((\pm 1, 0)\) এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm 2x\)
উত্তরঃ \(x^2-\frac{y^2}{4}=1\)
\(Q.1.(i)(k)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 3, 0)\) এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm 2x\)
উত্তরঃ \(\frac{5x^2}{9}-\frac{5y^2}{36}=1\)
\(Q.1.(i)(l)\) যা \((5, 9)\) বিন্দুগামী এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm x\)
উত্তরঃ \(y^2-x^2=56\)
\(Q.1.(i)(m)\) যার অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 8\) এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{3}{2}x\)
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{36}-\frac{x^2}{16}=1\)
\(Q.1.(i)(n)\)যার অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 8\) এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \(12\) ।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{16}=1\)
\(Q.1.(i)(o)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 2, 0)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা, \(2\) ।
উত্তরঃ \(x^2-\frac{y^2}{3}=1\)
\(Q.1.(i)(p)\) যার শীর্ষ \((\pm 2, 0)\) এবং উপকেন্দ্র \((\pm 3, 0)\) ।
উত্তরঃ \(5x^2-4y^2=20\)
\(Q.1.(i)(q)\) যার শীর্ষ \((0, \pm 3)\) এবং উপকেন্দ্র \((0, \pm 5)\) ।
উত্তরঃ \(16y^2-9x^2=144\)
\(Q.1.(i)(r)\) যার অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{3}{4}x\) এবং আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=8\) ।
উত্তরঃ \(9x^2-16y^2=144\)
\(Q.1.(i)(s)\) যার শীর্ষ \((\pm 2, 0)\) এবং \((4, 2)\) বিন্দুগামী ।
উত্তরঃ \(x^2-3y^2=4\)
\(Q.1.(i)(t)\) যার আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর, আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=14\), অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=10\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{49}-\frac{y^2}{25}=1\)
\(Q.1.(i)(u)\) যার আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর, আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=8\), অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=6\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)
\(Q.1.(i)(v)\) যার আড় অক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর, আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=24\), অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=18\)।
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{144}-\frac{x^2}{81}=1\)
\(Q.1.(i)(w)\) যার আড় অক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর, আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=16\), অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=22\)।
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{64}-\frac{x^2}{121}=1\)
\(Q.1.(i)(x)\) যার আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর, আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=18\), কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=11\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{81}-\frac{y^2}{40}=1\)
\(Q.1.(i)(y)\) যার আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর, আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=18\), কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=10\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{81}-\frac{y^2}{19}=1\)
\(Q.1.(i)(z)\) যার অনুবন্ধী অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর, অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=10\), কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=\sqrt{70}\)।
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{45}-\frac{x^2}{25}=1\)
\(Q.1.(i)(z.1)\) যার অনুবন্ধী অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর, অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=14\), কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=\sqrt{200}\)।
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{151}-\frac{x^2}{49}=1\)
\(Q.1.(i)(z.2)\) যার অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=7\) এবং \((3, -2)\) বিন্দুগামী।
উত্তরঃ \(65x^2-36y^2=441\)
\(Q.1.(i)(z.3)\) স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয়কে অক্ষ ধরে একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার ফোকাসদ্বয় \((\pm 4, 2)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(2\)।
উত্তরঃ \( \frac{x^2}{4}-\frac{(y-2)^2}{12}=1\)
\(Q.1.(ii)(a)- Q.1.(ii)(z.6)\) নিম্নলিখিত অধিবৃত্তগুলির কেন্দ্র , শীর্ষবিন্দু , উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্র , অক্ষ দুইটির দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। প্রতি ক্ষেত্রে অসীমতটের সমীকরণও নির্ণয় কর।
\(Q.1.(ii)(a)\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1\)উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 3, 0);\)\( e=\frac{\sqrt{13}}{3}\);
\((\pm \sqrt{13}, 0); 6,4;\frac{8}{3};\sqrt{13}x\pm 9=0 \);
অসীমতট, \(y=\pm \frac{2}{3}xm x\)
\(Q.1.(ii)(b)\) \(\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=1\)
[ সিঃ২০১৪; রাঃ ২০০৮,২০০৪;কুঃ ২০০৫;মাঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 5, 0);\)\( e=\frac{\sqrt{41}}{5};
(\pm \sqrt{41}, 0); 10,8;\frac{32}{5};\sqrt{41}x\pm 25\);
অসীমতট, \(y=\pm \frac{4}{5}x\)
\(Q.1.(ii)(c)\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 3, 0);\)\( e=\frac{4}{3}; (0, \pm 4); 6,2\sqrt{7};\frac{14}{3};4x\pm 9=0\);
অসীমতট, \(y=\pm \frac{\sqrt{7}}{3}x\)
\(Q.1.(ii)(d)\) \(25x^2-16y^2=400\)
[ দিঃ ২০১২; সিঃ২০০১ ]
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 4, 0);\)\( e=\frac{\sqrt{41}}{4}; (\pm \sqrt{41}, 0)\);
\(8,10;\frac{25}{2};\sqrt{41}x\pm 16=0\);
অসীমতট, \( y=\pm \frac{5}{4}x x\)
\(Q.1.(ii)(e)\) \(9x^2-16y^2-18x-64y-199=0\)
[ চুয়েটঃ ২০১০-২০১১;কুঃ ২০১৩,২০১১,২০০৩,২০০১;সিঃ ২০০৮,২০০৬;মাঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \( (1, -2); (5, -2), (-3, -2);\)\( e=\frac{5}{4}; (6, -2),(-4,-2); 8,6;\frac{9}{2};5(x-1)\pm 16=0\) ;
অসীমতট, \(y+2=\pm \frac{3}{4}(x-1)\)
\(Q.1.(ii)(f)\) \(16x^2-25y^2=400\)
[রাঃ ২০০৮,২০০৪;কুঃ ২০০৫]
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 5, 0);\)\( e=\frac{\sqrt{41}}{5}; (\pm \sqrt{41}, 0);10;8;\frac{32}{5};\sqrt{41}x\pm 25=0\);
অসীমতট \(y=\pm \frac{4}{5}x\)
\(Q.1.(ii)(g)\) \(9x^2-16y^2=144\)
[সিঃ ২০০৫;মাঃ ২০১৩,২০০৫]
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 4, 0);\)\( e=\frac{5}{4}; (\pm 5, 0);8;6;\frac{16}{5};\)
\(5x\pm 16=0\); অসীমতট \(y=\pm \frac{3}{4}x\)
\(Q.1.(ii)(h)\) \(\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1\)
[ যঃ ২০১২;সিঃ২০০৮; চঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 12);\)\( e=\frac{13}{12}; (\pm 13, 0);24;10;\frac{25}{6};13x\pm 144=0 \) ;
অসীমতট, \(y=\pm frac{5}{12}x\)
\(Q.1.(ii)(i)\) \(9x^2-16y^2+72x-32y-16=0\)
[ বুয়েটঃ২০১০-২০১১ ]
উত্তরঃ \( (-4, -1); (0, -1), (-8, -1);\)\(\frac{5}{4};(1, -1), (-9, -1); 8;6; \frac{9}{2};5(x+4)\pm 16=0\);
অসীমতট, \(y+1=\pm \frac{3}{4}(x+4)\)
\(Q.1.(ii)(j)\) \(4y^2-5x^2=20\)
[ চঃ২০০৭ ]
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 5); e=\frac{3}{\sqrt{5}};\)\((0, \pm 3); 2\sqrt{5},4;\frac{8}{\sqrt{5}};3y\pm 5=0\) ;
অসীমতট, \(y=\pm \frac{\sqrt{5}}{2}x\)
\(Q.1.(ii)(k)\) \(9x^2-4y^2+36=0\)
[ যঃ২০০১ ]
উত্তরঃ \((0, 0) ; (0, \pm 3); \frac{\sqrt{13}}{3};(0, \pm \sqrt{13});\) \(6;4;\frac{8}{3};\sqrt{13}y\pm 9=0\);
অসীমতট \(y=\pm \frac{3}{2}x\)
\(Q.1.(ii)(l)\) \(\frac{y^2}{2}-x^2=1\)
[ রুয়েটঃ২০১২-২০১৩ ]
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm \sqrt{2});\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}};(0, \pm \sqrt{3});2\sqrt{2};2;\sqrt{2};\)
\(\sqrt{3}y\pm 2=0;\) অসীমতট, \(y=\pm \sqrt{2}x\)
\(Q.1.(ii)(m)\) \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 4, 0);\sqrt{5};(\pm 4\sqrt{5}, 0)\);
\(8;4;2;\sqrt{5}x\pm 4=0\); অসীমতট \(2y\pm x=0\)
\(Q.1.(ii)(n)\) \(y^2-x^2=4\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 2);\sqrt{2};(0, \pm 2\sqrt{2});4;4;4;y\pm \sqrt{2}\);
অসীমতট \(y=\pm x\)
\(Q.1.(ii)(o)\) \(3x^2-y^2-12x+9=0\)
উত্তরঃ \( (2, 0); (3, 0), (1, 0); 2 ;(4, 0),(0, 0);2;2\sqrt{3};\)
\(6;2(x-2)\pm 1=0\); অসীমতট \(y=\pm \sqrt{3}(x-2)\)
\(Q.1.(ii)(p)\) \(2x^2-y^2=4\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm \sqrt{2}, 0);\sqrt{3};(\pm \sqrt{6}, 0)\);\(2\sqrt{2};4;4\sqrt{2};\sqrt{3}x\pm \sqrt{2}=0\);
অসীমতট \(y=\pm \sqrt{2}x\)
\(Q.1.(ii)(q)\) \(y^2-x^2=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 1);\sqrt{2};(0, \pm 2)\);\(2;2;2;\sqrt{2}y\pm 1=0\);
অসীমতট \(y=\pm x\)
\(Q.1.(ii)(r)\) \(3y^2-x^2=9\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm \sqrt{3});2;(0, \pm 2\sqrt{3})\);\(2\sqrt{3};6;6\sqrt{3};2y\pm \sqrt{3}=0\);
অসীমতট \(3y\pm \sqrt{3}x=0\)
\(Q.1.(ii)(s)\) \(x^2-y^2=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 1, 0);\sqrt{2};(\pm \sqrt{2}, 0)\);\(2;2;2;\sqrt{2}x\pm 1=0\);
অসীমতট \(y=\pm x\)
\(Q.1.(ii)(t)\) \(3x^2-y^2=-9\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 3);\frac{2}{\sqrt{3}};(0, \pm 2\sqrt{3})\);\(6;2\sqrt{3};2;2y\pm 3\sqrt{3}=0\);
অসীমতট \(\sqrt{3}y\pm 3x=0\)
\(Q.1.(ii)(u)\) \(4y^2-4x^2=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm \frac{1}{2});\sqrt{2};(0, \pm \frac{\sqrt{2}}{2})\);
\(1;1;1;2\sqrt{2}y\pm 1=0\); অসীমতট \(y=\pm x\)
\(Q.1.(ii)(v)\) \(4x^2-y^2=16\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 2, 0);\sqrt{5};(\pm 2\sqrt{5}, 0)\);\(4;8;16;\sqrt{5}x\pm 2=0\);
অসীমতট \(y=\pm 2x\)
\(Q.1.(ii)(w)\) \(9y^2-16x^2=144\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 4);\frac{5}{4};(0, \pm 5)\);\(8;6;\frac{9}{2};5y\pm 16=0\);
অসীমতট \(3y\pm 4x=0\)
\(Q.1.(ii)(x)\) \(8x^2-y^2=8\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 1, 0);3;(\pm 3, 0)\);\(2;4\sqrt{2};16;3x\pm 1=0\);
অসীমতট \(y\pm 2\sqrt{2}x=0\)
\(Q.1.(ii)(y)\) \(3y^2-2x^2=24\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 2\sqrt{2});\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}};(0, \pm 2\sqrt{5})\);
\(4\sqrt{2};4\sqrt{3};6\sqrt{2};\sqrt{5}y\pm 4=0\); অসীমতট \(\sqrt{3}y\pm \sqrt{2}x=0\)
\(Q.1.(ii)(z.1)\) \(3x^2-4y^2=12\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 2, 0);\frac{\sqrt{7}}{2};(\pm \sqrt{7}, 0)\);
\(4;2\sqrt{3};3;\sqrt{7}x\pm 4=0\); অসীমতট \(2y\pm \sqrt{3}x=0\)
\(Q.1.(ii)(z.2)\) \(9y^2-4x^2=36\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 2);\frac{\sqrt{13}}{2};(0, \pm \sqrt{13})\);
\(4;6;9;\sqrt{13}y\pm 4=0\); অসীমতট \(3y\pm 2x=0\)
\(Q.1.(ii)(z.3)\) \(4y^2-25x^2=100\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 5);\frac{\sqrt{29}}{5};(0, \pm \sqrt{29})\);
\(10;4;\frac{8}{5};\sqrt{29}y\pm 25=0\); অসীমতট \(2y\pm 5x=0\)
\(Q.1.(ii)(z.4)\) \(\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{25}=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 3);\frac{\sqrt{34}}{3};(0, \pm \sqrt{34})\);
\(6;10;\frac{50}{3};\sqrt{34}y\pm 9=0\); অসীমতট \(5y\pm 3x=0\)
\(Q.1.(ii)(z.5)\) \(\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{9}=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 5);\frac{\sqrt{34}}{5};(0, \pm \sqrt{34})\);\(10;6;\frac{18}{5};\sqrt{34}y\pm 25=0\);
অসীমতট \(3y\pm 5x=0\)
\(Q.1.(ii)(z.6)\) \(\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{9}=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 2);\frac{\sqrt{13}}{2};(0, \pm \sqrt{13})\);\(4;6;9;\sqrt{13}y\pm 4=0\);
অসীমতট \(3y\pm 2x=0\)
উত্তরঃ পরাবৃত্ত।
\((b)\) \(y^2=4y+4x-16\)
উত্তরঃ পরাবৃত্ত।
\((c)\) \(16x^2+25y^2=400\)
উত্তরঃ উপবৃত্ত।
\((d)\) \(9x^2+108x+25y^2-150y+324=0\)
উত্তরঃ উপবৃত্ত।
\((e)\) \(25x^2-16y^2=400\)
উত্তরঃ অধিবৃত্ত।
\((f)\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1\)
উত্তরঃ অধিবৃত্ত।
\((g)\) \(\frac{5x^2}{36}-\frac{y^2}{4}=1\)
উত্তরঃ অধিবৃত্ত।
\((h)\) \(8x^2-3y^2=48\)
উত্তরঃ অধিবৃত্ত।
\((i)\) \(25y^2-9x^2= 225\)
উত্তরঃ অধিবৃত্ত।
\((j)\) \(16x^2-9y^2=576\)
উত্তরঃ অধিবৃত্ত।
\(Q.1.(iv)\) \(x^2-2y^2-2x+8y-13=0\) সমীকরণদ্বারা সূচিত কনিকের প্রকৃতি নির্ণয় কর এবং কেন্দ্র, অক্ষদ্বয়ের সমীকরণ ও দৈর্ঘ্য এবং উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ অধিবৃত্ত ; \((1, 2), 2\sqrt{6},2\sqrt{3}, y-2=0, x-1=0\)
\(Q.1.(v)\) \(9x^2-16y^2-18x-64y-199=0\) সমীকরণদ্বারা সূচিত কনিকের প্রকৃতি নির্ণয় কর এবং কেন্দ্র, শীর্ষ ও উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
[ চুয়েতঃ২০১০-২০১১;কুঃ ২০১১,২০১৩;সিঃ২০০৬;মাঃ২০০৯ ]
উত্তরঃ অধিবৃত্ত ; \( (1, -2), (5, -2), (-3, -2), (6, -2), (-4, -2) \)
\(Q.1.(vi)\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক, নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ঢাঃ২০১৫,২০১১,২০০৭;রাঃ২০০৬,২০১২;দিঃ২০০৬;চঃ২০১৫;যঃ২০১০,২০০৫;মাঃ২০১০ ]
উত্তরঃ \( (\pm 5, 0); 5x\pm 9=0 \)
\(Q.1.(vii)\) \(\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1\) অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ চঃ২০০৫;যঃ২০১২;সিঃ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(\frac{13}{12}; (\pm 13, 0)\)
\(Q.1.(viii)\) \(16x^2-25y^2=400\) অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ কুঃ২০০৫;রাঃ২০০৮;সিঃ২০১৪;মাঃ২০১৫ ]
উত্তরঃ উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{41}}{5}; (\pm \sqrt{41}, 0) \)
\(Q.1.(ix)\) \(25x^2-16y^2=400\) অধিবৃত্তের কেন্দ্র, উৎকেন্দ্রিকতা এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((0, 0); \frac{\sqrt{41}}{4}; (\pm \sqrt{41}, 0)\)
\(Q.1.(x)\) \(16x^2-9y^2=144\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র , উৎকেন্দ্রিকতা এবং নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ২০০৯ ]
উত্তরঃ \((\pm 5, 0); \frac{5}{3}; 5x\pm 9=0\)
\(Q.1.(xi)\) \(4y^2-5x^2=20\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র , উৎকেন্দ্রিকতা এবং নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[চঃ২০০৭ ]
উত্তরঃ \( (0, \pm 3); \frac{3}{\sqrt{5}}; 3y\pm 5=0\)
\(Q.1.(xii)\) \(x^2-8y^2=2\) অধিবৃত্তের কেন্দ্র, শীর্ষ , উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((0, 0) ; (\pm \sqrt{2}, 0); (\pm \frac{3}{2}, 0) ;3x\pm 4=0\)
\(Q.1.(xiii)\) \(9x^2-7y^2+63=0\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (0, \pm 4); 4y\pm 9=0\)
\(Q.1.(xiv)\) \(16y^2-25x^2=400\) অধিবৃত্তের শীর্ষ এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (0, \pm 5);(0, \pm \sqrt{14})\)
\(Q.1.(xv)\) \(9x^2-16y^2=144\) অধিবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক এবং উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (\pm 4, 0);(\pm 5, 0) \frac{5}{4}\)
\(Q.1.(xvi)\) \(16x^2-9y^2=576\) অধিবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক এবং উৎকেন্দ্রিকতা, অক্ষ দ্বয় ও নভিলম্বের দৈর্ঘ্য এবং নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (\pm 6, 0);(\pm 10, 0); \frac{5}{3}; 12; 16; \frac{64}{3}; 5x\pm 18=0\)
\(Q.1.(xvii)\) \(9x^2-16y^2-36x-32y-124=0\) অধিবৃত্তের প্রকৃতি নির্ণয় কর এবং কেন্দ্র, শীর্ষ, উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক, উৎকেন্দ্রিকতা, অক্ষ দ্বয়ের সমীকরণ এবং নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (2, -1), (6, -1), (-2, -1), (7, -1), (-3, -1), \frac{5}{4};\)
\(y+1=0, x-2=0, 5x-26=0, 5x+6=0\)
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{36}=1\)
\(Q.1.(xviii)(b)\) \((\sqrt{3}\sec\theta, 2\tan\theta)\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{4}=1\)
\(Q.1.(xviii)(c)\) \((8\sec\theta, 6\tan\theta)\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 2);\sqrt{2};(0, \pm 2\sqrt{2});4;4;4;y\pm \sqrt{2}\);
অসীমতট \(y=\pm x\)
\(Q.1.(ii)(o)\) \(3x^2-y^2-12x+9=0\)
উত্তরঃ \( (2, 0); (3, 0), (1, 0); 2 ;(4, 0),(0, 0);2;2\sqrt{3};\)
\(6;2(x-2)\pm 1=0\); অসীমতট \(y=\pm \sqrt{3}(x-2)\)
\(Q.1.(ii)(p)\) \(2x^2-y^2=4\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm \sqrt{2}, 0);\sqrt{3};(\pm \sqrt{6}, 0)\);\(2\sqrt{2};4;4\sqrt{2};\sqrt{3}x\pm \sqrt{2}=0\);
অসীমতট \(y=\pm \sqrt{2}x\)
\(Q.1.(ii)(q)\) \(y^2-x^2=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 1);\sqrt{2};(0, \pm 2)\);\(2;2;2;\sqrt{2}y\pm 1=0\);
অসীমতট \(y=\pm x\)
\(Q.1.(ii)(r)\) \(3y^2-x^2=9\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm \sqrt{3});2;(0, \pm 2\sqrt{3})\);\(2\sqrt{3};6;6\sqrt{3};2y\pm \sqrt{3}=0\);
অসীমতট \(3y\pm \sqrt{3}x=0\)
\(Q.1.(ii)(s)\) \(x^2-y^2=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 1, 0);\sqrt{2};(\pm \sqrt{2}, 0)\);\(2;2;2;\sqrt{2}x\pm 1=0\);
অসীমতট \(y=\pm x\)
\(Q.1.(ii)(t)\) \(3x^2-y^2=-9\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 3);\frac{2}{\sqrt{3}};(0, \pm 2\sqrt{3})\);\(6;2\sqrt{3};2;2y\pm 3\sqrt{3}=0\);
অসীমতট \(\sqrt{3}y\pm 3x=0\)
\(Q.1.(ii)(u)\) \(4y^2-4x^2=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm \frac{1}{2});\sqrt{2};(0, \pm \frac{\sqrt{2}}{2})\);
\(1;1;1;2\sqrt{2}y\pm 1=0\); অসীমতট \(y=\pm x\)
\(Q.1.(ii)(v)\) \(4x^2-y^2=16\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 2, 0);\sqrt{5};(\pm 2\sqrt{5}, 0)\);\(4;8;16;\sqrt{5}x\pm 2=0\);
অসীমতট \(y=\pm 2x\)
\(Q.1.(ii)(w)\) \(9y^2-16x^2=144\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 4);\frac{5}{4};(0, \pm 5)\);\(8;6;\frac{9}{2};5y\pm 16=0\);
অসীমতট \(3y\pm 4x=0\)
\(Q.1.(ii)(x)\) \(8x^2-y^2=8\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 1, 0);3;(\pm 3, 0)\);\(2;4\sqrt{2};16;3x\pm 1=0\);
অসীমতট \(y\pm 2\sqrt{2}x=0\)
\(Q.1.(ii)(y)\) \(3y^2-2x^2=24\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 2\sqrt{2});\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}};(0, \pm 2\sqrt{5})\);
\(4\sqrt{2};4\sqrt{3};6\sqrt{2};\sqrt{5}y\pm 4=0\); অসীমতট \(\sqrt{3}y\pm \sqrt{2}x=0\)
\(Q.1.(ii)(z.1)\) \(3x^2-4y^2=12\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 2, 0);\frac{\sqrt{7}}{2};(\pm \sqrt{7}, 0)\);
\(4;2\sqrt{3};3;\sqrt{7}x\pm 4=0\); অসীমতট \(2y\pm \sqrt{3}x=0\)
\(Q.1.(ii)(z.2)\) \(9y^2-4x^2=36\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 2);\frac{\sqrt{13}}{2};(0, \pm \sqrt{13})\);
\(4;6;9;\sqrt{13}y\pm 4=0\); অসীমতট \(3y\pm 2x=0\)
\(Q.1.(ii)(z.3)\) \(4y^2-25x^2=100\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 5);\frac{\sqrt{29}}{5};(0, \pm \sqrt{29})\);
\(10;4;\frac{8}{5};\sqrt{29}y\pm 25=0\); অসীমতট \(2y\pm 5x=0\)
\(Q.1.(ii)(z.4)\) \(\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{25}=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 3);\frac{\sqrt{34}}{3};(0, \pm \sqrt{34})\);
\(6;10;\frac{50}{3};\sqrt{34}y\pm 9=0\); অসীমতট \(5y\pm 3x=0\)
\(Q.1.(ii)(z.5)\) \(\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{9}=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 5);\frac{\sqrt{34}}{5};(0, \pm \sqrt{34})\);\(10;6;\frac{18}{5};\sqrt{34}y\pm 25=0\);
অসীমতট \(3y\pm 5x=0\)
\(Q.1.(ii)(z.6)\) \(\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{9}=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 2);\frac{\sqrt{13}}{2};(0, \pm \sqrt{13})\);\(4;6;9;\sqrt{13}y\pm 4=0\);
অসীমতট \(3y\pm 2x=0\)
\(Q.1.(iii)(a)- Q.1.(iii)(j)\) নিম্নলিখিত কনিকগুলির আকার কি হবে তা কারণসহ উল্লেখ কর। এদের স্কেচ অঙ্কন করে উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকরেখা চিহ্নিত কর।
\((a)\) \(x^2=16y\)উত্তরঃ পরাবৃত্ত।
\((b)\) \(y^2=4y+4x-16\)
উত্তরঃ পরাবৃত্ত।
\((c)\) \(16x^2+25y^2=400\)
উত্তরঃ উপবৃত্ত।
\((d)\) \(9x^2+108x+25y^2-150y+324=0\)
উত্তরঃ উপবৃত্ত।
\((e)\) \(25x^2-16y^2=400\)
উত্তরঃ অধিবৃত্ত।
\((f)\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1\)
উত্তরঃ অধিবৃত্ত।
\((g)\) \(\frac{5x^2}{36}-\frac{y^2}{4}=1\)
উত্তরঃ অধিবৃত্ত।
\((h)\) \(8x^2-3y^2=48\)
উত্তরঃ অধিবৃত্ত।
\((i)\) \(25y^2-9x^2= 225\)
উত্তরঃ অধিবৃত্ত।
\((j)\) \(16x^2-9y^2=576\)
উত্তরঃ অধিবৃত্ত।
\(Q.1.(iv)\) \(x^2-2y^2-2x+8y-13=0\) সমীকরণদ্বারা সূচিত কনিকের প্রকৃতি নির্ণয় কর এবং কেন্দ্র, অক্ষদ্বয়ের সমীকরণ ও দৈর্ঘ্য এবং উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ অধিবৃত্ত ; \((1, 2), 2\sqrt{6},2\sqrt{3}, y-2=0, x-1=0\)
\(Q.1.(v)\) \(9x^2-16y^2-18x-64y-199=0\) সমীকরণদ্বারা সূচিত কনিকের প্রকৃতি নির্ণয় কর এবং কেন্দ্র, শীর্ষ ও উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
[ চুয়েতঃ২০১০-২০১১;কুঃ ২০১১,২০১৩;সিঃ২০০৬;মাঃ২০০৯ ]
উত্তরঃ অধিবৃত্ত ; \( (1, -2), (5, -2), (-3, -2), (6, -2), (-4, -2) \)
\(Q.1.(vi)\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক, নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ঢাঃ২০১৫,২০১১,২০০৭;রাঃ২০০৬,২০১২;দিঃ২০০৬;চঃ২০১৫;যঃ২০১০,২০০৫;মাঃ২০১০ ]
উত্তরঃ \( (\pm 5, 0); 5x\pm 9=0 \)
\(Q.1.(vii)\) \(\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1\) অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ চঃ২০০৫;যঃ২০১২;সিঃ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(\frac{13}{12}; (\pm 13, 0)\)
\(Q.1.(viii)\) \(16x^2-25y^2=400\) অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ কুঃ২০০৫;রাঃ২০০৮;সিঃ২০১৪;মাঃ২০১৫ ]
উত্তরঃ উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{41}}{5}; (\pm \sqrt{41}, 0) \)
\(Q.1.(ix)\) \(25x^2-16y^2=400\) অধিবৃত্তের কেন্দ্র, উৎকেন্দ্রিকতা এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((0, 0); \frac{\sqrt{41}}{4}; (\pm \sqrt{41}, 0)\)
\(Q.1.(x)\) \(16x^2-9y^2=144\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র , উৎকেন্দ্রিকতা এবং নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ২০০৯ ]
উত্তরঃ \((\pm 5, 0); \frac{5}{3}; 5x\pm 9=0\)
\(Q.1.(xi)\) \(4y^2-5x^2=20\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র , উৎকেন্দ্রিকতা এবং নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[চঃ২০০৭ ]
উত্তরঃ \( (0, \pm 3); \frac{3}{\sqrt{5}}; 3y\pm 5=0\)
\(Q.1.(xii)\) \(x^2-8y^2=2\) অধিবৃত্তের কেন্দ্র, শীর্ষ , উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((0, 0) ; (\pm \sqrt{2}, 0); (\pm \frac{3}{2}, 0) ;3x\pm 4=0\)
\(Q.1.(xiii)\) \(9x^2-7y^2+63=0\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (0, \pm 4); 4y\pm 9=0\)
\(Q.1.(xiv)\) \(16y^2-25x^2=400\) অধিবৃত্তের শীর্ষ এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (0, \pm 5);(0, \pm \sqrt{14})\)
\(Q.1.(xv)\) \(9x^2-16y^2=144\) অধিবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক এবং উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (\pm 4, 0);(\pm 5, 0) \frac{5}{4}\)
\(Q.1.(xvi)\) \(16x^2-9y^2=576\) অধিবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক এবং উৎকেন্দ্রিকতা, অক্ষ দ্বয় ও নভিলম্বের দৈর্ঘ্য এবং নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (\pm 6, 0);(\pm 10, 0); \frac{5}{3}; 12; 16; \frac{64}{3}; 5x\pm 18=0\)
\(Q.1.(xvii)\) \(9x^2-16y^2-36x-32y-124=0\) অধিবৃত্তের প্রকৃতি নির্ণয় কর এবং কেন্দ্র, শীর্ষ, উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক, উৎকেন্দ্রিকতা, অক্ষ দ্বয়ের সমীকরণ এবং নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (2, -1), (6, -1), (-2, -1), (7, -1), (-3, -1), \frac{5}{4};\)
\(y+1=0, x-2=0, 5x-26=0, 5x+6=0\)
\(Q.1.(xviii)(a)- Q.1.(xviii)(c)\) কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে অধিবৃত্তের পরামিতিক স্থানাঙ্ক দেওয়া আছে, অধিবৃত্তগুলির প্রমিত সমীকরণ, কেন্দ্র , শীর্ষবিন্দু , উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্র এবং অক্ষ দুইটির দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ এবং নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় কর। যেখানে \(\theta\) হলো কোনো বিন্দুর উপকেন্দ্রিক কোণ।
\(Q.1.(xviii)(a)\) \((4\sec\theta, 6\tan\theta)\)।উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{36}=1\)
\(Q.1.(xviii)(b)\) \((\sqrt{3}\sec\theta, 2\tan\theta)\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{4}=1\)
\(Q.1.(xviii)(c)\) \((8\sec\theta, 6\tan\theta)\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1\)
\(Q.1.(i)(a)- Q.1.(i)(z.3)\) অধিবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ এবং কেন্দ্র মূলবিন্দু ধরে নিম্নের প্রদত্ত শর্তানুসারে অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\(Q.1.(i)(a)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 5, 0)\) এবং আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 8\) ।
উত্তরঃ \(9x^2-16y^2=144\)
উত্তরঃ \(9x^2-16y^2=144\)
সমাধানঃ
ধরি, 
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র \((\pm 5, 0)\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 8\)
\(\therefore 2a=8\)
\(\Rightarrow a=4\)
\(\therefore a^2=16\)
আবার,
\((\pm ae, 0)\Rightarrow (\pm 5, 0)\)
\(\Rightarrow ae=5\)
\(\Rightarrow 4.e=5\)
\(\therefore e=\frac{5}{4}\)
আমরা জানি,
\(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=16.\{\left(\frac{5}{4}\right)^2-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=16.\{\frac{25}{16}-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=16.\{\frac{25-16}{16}\}\)
\(\Rightarrow b^2=16.\{\frac{25-16}{16}\}\)
\(\Rightarrow b^2=16.\{\frac{9}{16}\}\)
\(\therefore b^2=9\)
\(\therefore a^2=16, b^2=9, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2-16y^2}{144}=1\)
\(\therefore 9x^2-16y^2=144\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র \((\pm 5, 0)\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 8\)
\(\therefore 2a=8\)
\(\Rightarrow a=4\)
\(\therefore a^2=16\)
আবার,
\((\pm ae, 0)\Rightarrow (\pm 5, 0)\)
\(\Rightarrow ae=5\)
\(\Rightarrow 4.e=5\)
\(\therefore e=\frac{5}{4}\)
আমরা জানি,
\(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=16.\{\left(\frac{5}{4}\right)^2-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=16.\{\frac{25}{16}-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=16.\{\frac{25-16}{16}\}\)
\(\Rightarrow b^2=16.\{\frac{25-16}{16}\}\)
\(\Rightarrow b^2=16.\{\frac{9}{16}\}\)
\(\therefore b^2=9\)
\(\therefore a^2=16, b^2=9, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2-16y^2}{144}=1\)
\(\therefore 9x^2-16y^2=144\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(i)(b)\) যার উপকেন্দ্র \((0, \pm 13)\) এবং অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 24\) ।
[ যঃ ২০০৯;কুঃ২০১৪,২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{144}=1\)
[ যঃ ২০০৯;কুঃ২০১৪,২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{144}=1\)
সমাধানঃ
ধরি, 
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 ........(1)\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র \((0, \pm 13)\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 24\) ।
\(\therefore 2a=24\)
\(\Rightarrow a=12\)
\(\therefore a^2=144\)
আবার,
\((0, \pm be)\Rightarrow (0, \pm 13)\)
\(\Rightarrow be=13\)
\(\therefore e=\frac{13}{b}\)
আমরা জানি,
\(a^2=b^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow 144=b^2\{\left(\frac{13}{b}\right)^2-1\}\)
\(\Rightarrow 144=b^2\{\frac{169}{b^2}-1\}\)
\(\Rightarrow 144=b^2\{\frac{169-b^2}{b^2}\}\)
\(\Rightarrow 144=169-b^2\)
\(\Rightarrow b^2=169-144\)
\(\therefore b^2=25\)
\(\therefore a^2=144, b^2=25, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{144}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 ........(1)\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র \((0, \pm 13)\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 24\) ।
\(\therefore 2a=24\)
\(\Rightarrow a=12\)
\(\therefore a^2=144\)
আবার,
\((0, \pm be)\Rightarrow (0, \pm 13)\)
\(\Rightarrow be=13\)
\(\therefore e=\frac{13}{b}\)
আমরা জানি,
\(a^2=b^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow 144=b^2\{\left(\frac{13}{b}\right)^2-1\}\)
\(\Rightarrow 144=b^2\{\frac{169}{b^2}-1\}\)
\(\Rightarrow 144=b^2\{\frac{169-b^2}{b^2}\}\)
\(\Rightarrow 144=169-b^2\)
\(\Rightarrow b^2=169-144\)
\(\therefore b^2=25\)
\(\therefore a^2=144, b^2=25, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{144}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(i)(c)\) যার অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 3\) এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \( 11\) ।
উত্তরঃ \(9x^2-112y^2=252\)
উত্তরঃ \(9x^2-112y^2=252\)
সমাধানঃ
ধরি, 
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \( 11\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 3\)
\(\therefore 2b=3\)
\(\Rightarrow b=\frac{3}{2}\)
\(\therefore b^2=\frac{9}{4}\)
আবার,
উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \( 2ae=11\)
\(\therefore e=\frac{11}{2a}\)
আমরা জানি,
\(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow \frac{9}{4}=a^2\{\left(\frac{11}{2a}\right)^2-1\}\)
\(\Rightarrow \frac{9}{4}=a^2\{\frac{121}{4a^2}-1\}\)
\(\Rightarrow \frac{9}{4}=a^2\{\frac{121-4a^2}{4a^2}\}\)
\(\Rightarrow \frac{9}{4}=\frac{121-4a^2}{4}\)
\(\Rightarrow 9=121-4a^2\)
\(\Rightarrow 4a^2=121-9\)
\(\Rightarrow 4a^2=112\)
\(\therefore a^2=28\)
\(\therefore a^2=28, b^2=\frac{9}{4}, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{28}-\frac{y^2}{\frac{9}{4}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{28}-\frac{4y^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2-112y^2}{252}=1\)
\(\therefore 9x^2-112y^2=252\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \( 11\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 3\)
\(\therefore 2b=3\)
\(\Rightarrow b=\frac{3}{2}\)
\(\therefore b^2=\frac{9}{4}\)
আবার,
উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \( 2ae=11\)
\(\therefore e=\frac{11}{2a}\)
আমরা জানি,
\(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow \frac{9}{4}=a^2\{\left(\frac{11}{2a}\right)^2-1\}\)
\(\Rightarrow \frac{9}{4}=a^2\{\frac{121}{4a^2}-1\}\)
\(\Rightarrow \frac{9}{4}=a^2\{\frac{121-4a^2}{4a^2}\}\)
\(\Rightarrow \frac{9}{4}=\frac{121-4a^2}{4}\)
\(\Rightarrow 9=121-4a^2\)
\(\Rightarrow 4a^2=121-9\)
\(\Rightarrow 4a^2=112\)
\(\therefore a^2=28\)
\(\therefore a^2=28, b^2=\frac{9}{4}, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{28}-\frac{y^2}{\frac{9}{4}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{28}-\frac{4y^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2-112y^2}{252}=1\)
\(\therefore 9x^2-112y^2=252\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(i)(e)\) যার নিয়ামকদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \( 4\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\)।
উত্তরঃ \(x^2-y^2=8\)
উত্তরঃ \(x^2-y^2=8\)
সমাধানঃ
ধরি, 
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
দেওয়া আছে,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{2}\)
নিয়ামকদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \( 4\)
\(\therefore 2\frac{a}{e}=4\)
\(\Rightarrow \frac{a}{e}=2\)
\(\Rightarrow a=2e\)
\(\Rightarrow a=2\sqrt{2}\)
\(\therefore a^2=8\)
আমরা জানি,
\(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=8\{(\sqrt{2})^2-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=8\{2-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=8\{1\}\)
\(\therefore b^2=8\)
\(\therefore a^2=b^2=8, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{8}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2-y^2}{8}=1\)
\(\therefore x^2-y^2=8\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
দেওয়া আছে,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{2}\)
নিয়ামকদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \( 4\)
\(\therefore 2\frac{a}{e}=4\)
\(\Rightarrow \frac{a}{e}=2\)
\(\Rightarrow a=2e\)
\(\Rightarrow a=2\sqrt{2}\)
\(\therefore a^2=8\)
আমরা জানি,
\(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=8\{(\sqrt{2})^2-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=8\{2-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=8\{1\}\)
\(\therefore b^2=8\)
\(\therefore a^2=b^2=8, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{8}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2-y^2}{8}=1\)
\(\therefore x^2-y^2=8\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(i)(f)\) যার উপকেন্দ্রদ্বয় \((4, 2)\) এবং \((8, 2)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(2\)।
[ সিঃ ২০১১]
উত্তরঃ \(3(x-6)^2-(y-2)^2=3\)
[ সিঃ ২০১১]
উত্তরঃ \(3(x-6)^2-(y-2)^2=3\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
অধিবৃত্তের,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=2\)
উপকেন্দ্রদ্বয় \(S(4, 2)\) এবং \(\acute{S}(8, 2)\)
অতএব, কেন্দ্র \(S\acute{S}\)-এর মধ্যবিন্দু \(C\left(\frac{4+8}{2}, \frac{2+2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow C\left(\frac{12}{2}, \frac{4}{2}\right)\)
\(\therefore C(6, 2)\)
অতএব, অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{(x-6)^2}{a^2}-\frac{(y-2)^2}{b^2}=1 ........(1)\)
উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \( 2ae=S\acute{S}\)
\(\Rightarrow 2ae=\sqrt{(4-8)^2+(2-2)^2}\)
\(\Rightarrow 2a.2=\sqrt{(-4)^2+0^2}\)
\(\Rightarrow 4a=\sqrt{16}\)
\(\Rightarrow 4a=4\)
\(\Rightarrow a=1\)
\(\therefore a^2=1\)
আমরা জানি,
\(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=1\{(2)^2-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=1\{4-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=1\{3\}\)
\(\therefore b^2=3\)
\(\therefore a^2=1, b^2=3, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{(x-6)^2}{1}-\frac{(y-2)^2}{3}=1\)
\(\Rightarrow \frac{3(x-6)^2-(y-2)^2}{3}=1\)
\(\therefore 3(x-6)^2-(y-2)^2=3\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=2\)
উপকেন্দ্রদ্বয় \(S(4, 2)\) এবং \(\acute{S}(8, 2)\)
অতএব, কেন্দ্র \(S\acute{S}\)-এর মধ্যবিন্দু \(C\left(\frac{4+8}{2}, \frac{2+2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow C\left(\frac{12}{2}, \frac{4}{2}\right)\)
\(\therefore C(6, 2)\)
অতএব, অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{(x-6)^2}{a^2}-\frac{(y-2)^2}{b^2}=1 ........(1)\)
উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \( 2ae=S\acute{S}\)
\(\Rightarrow 2ae=\sqrt{(4-8)^2+(2-2)^2}\)
\(\Rightarrow 2a.2=\sqrt{(-4)^2+0^2}\)
\(\Rightarrow 4a=\sqrt{16}\)
\(\Rightarrow 4a=4\)
\(\Rightarrow a=1\)
\(\therefore a^2=1\)
আমরা জানি,
\(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=1\{(2)^2-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=1\{4-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=1\{3\}\)
\(\therefore b^2=3\)
\(\therefore a^2=1, b^2=3, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{(x-6)^2}{1}-\frac{(y-2)^2}{3}=1\)
\(\Rightarrow \frac{3(x-6)^2-(y-2)^2}{3}=1\)
\(\therefore 3(x-6)^2-(y-2)^2=3\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(i)(g)\) যা \((2, 1)\) এবং \((3, -2)\) বিন্দুগামী।
[ কুঃ২০১৬;বঃ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(3x^2-5y^2=7\)
[ কুঃ২০১৬;বঃ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(3x^2-5y^2=7\)
সমাধানঃ
ধরি, 
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
\((1)\) নং অধিবৃত্ত \((2, 1)\) এবং \((3, -2)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore \frac{2^2}{a^2}-\frac{1^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{4}{a^2}-\frac{1}{b^2}=1 .......(2)\)
আবার,
\(\therefore \frac{3^2}{a^2}-\frac{(-2)^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}-\frac{4}{b^2}=1 .......(3)\)
\((2)\times 4-(3)\)-এর সাহায্যে,
\(\frac{16}{a^2}-\frac{4}{b^2}-\frac{9}{a^2}+\frac{4}{b^2}=4-1\)
\(\Rightarrow \frac{16-9}{a^2}=3\)
\(\Rightarrow \frac{7}{a^2}=3\)
\(\Rightarrow 3a^2=7\)
\(\therefore a^2=\frac{7}{3}\)
আবার,
\(a^2=\frac{7}{3}, (2)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{4}{\frac{7}{3}}-\frac{1}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{12}{7}-\frac{1}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{12}{7}-1=\frac{1}{b^2}\)
\(\Rightarrow \frac{12-7}{7}=\frac{1}{b^2}\)
\(\Rightarrow \frac{5}{7}=\frac{1}{b^2}\)
\(\Rightarrow 5b^2=7\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{7}{5}\)
\(\therefore a^2=\frac{7}{3}, b^2=\frac{7}{5}, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{\frac{7}{3}}-\frac{y^2}{\frac{7}{5}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{3x^2}{7}-\frac{5y^2}{7}=1\)
\(\Rightarrow \frac{3x^2-5y^2}{7}=1\)
\(\therefore 3x^2-5y^2=7\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
\((1)\) নং অধিবৃত্ত \((2, 1)\) এবং \((3, -2)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore \frac{2^2}{a^2}-\frac{1^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{4}{a^2}-\frac{1}{b^2}=1 .......(2)\)
আবার,
\(\therefore \frac{3^2}{a^2}-\frac{(-2)^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}-\frac{4}{b^2}=1 .......(3)\)
\((2)\times 4-(3)\)-এর সাহায্যে,
\(\frac{16}{a^2}-\frac{4}{b^2}-\frac{9}{a^2}+\frac{4}{b^2}=4-1\)
\(\Rightarrow \frac{16-9}{a^2}=3\)
\(\Rightarrow \frac{7}{a^2}=3\)
\(\Rightarrow 3a^2=7\)
\(\therefore a^2=\frac{7}{3}\)
আবার,
\(a^2=\frac{7}{3}, (2)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{4}{\frac{7}{3}}-\frac{1}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{12}{7}-\frac{1}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{12}{7}-1=\frac{1}{b^2}\)
\(\Rightarrow \frac{12-7}{7}=\frac{1}{b^2}\)
\(\Rightarrow \frac{5}{7}=\frac{1}{b^2}\)
\(\Rightarrow 5b^2=7\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{7}{5}\)
\(\therefore a^2=\frac{7}{3}, b^2=\frac{7}{5}, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{\frac{7}{3}}-\frac{y^2}{\frac{7}{5}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{3x^2}{7}-\frac{5y^2}{7}=1\)
\(\Rightarrow \frac{3x^2-5y^2}{7}=1\)
\(\therefore 3x^2-5y^2=7\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(i)(i)\) যার শীর্ষ \((0, \pm 8)\) এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{4}{3}x\)
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{64}-\frac{x^2}{36}=1\)
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{64}-\frac{x^2}{36}=1\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((0, \pm 8)\)
এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{4}{3}x ......(1)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু দুইটি \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
অধিবৃত্তের সমীকরণ,\(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 ......(2)\)
অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{b}{a}x ......(3)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু দুইটির স্থাঙ্গাক \((0, \pm b)\)
\(\therefore (0, \pm b)\Rightarrow (0, \pm 8)\)
\(\Rightarrow b=8\)
\(\therefore b^2=64\)
আবার,
\((1)\) ও \((3)\) তুলুনা করে পাই
\(\frac{b}{a}=\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{8}{a}=\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow 4a=24\)
\(\Rightarrow a=6\)
\(\therefore a^2=36\)
\(\therefore a^2=36, b^2=64 (2)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{y^2}{64}-\frac{x^2}{36}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((0, \pm 8)\)
এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{4}{3}x ......(1)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু দুইটি \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
অধিবৃত্তের সমীকরণ,\(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 ......(2)\)
অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{b}{a}x ......(3)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু দুইটির স্থাঙ্গাক \((0, \pm b)\)
\(\therefore (0, \pm b)\Rightarrow (0, \pm 8)\)
\(\Rightarrow b=8\)
\(\therefore b^2=64\)
আবার,
\((1)\) ও \((3)\) তুলুনা করে পাই
\(\frac{b}{a}=\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{8}{a}=\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow 4a=24\)
\(\Rightarrow a=6\)
\(\therefore a^2=36\)
\(\therefore a^2=36, b^2=64 (2)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{y^2}{64}-\frac{x^2}{36}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(i)(j)\) যার শীর্ষ \((\pm 1, 0)\) এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm 2x\)
উত্তরঃ \(x^2-\frac{y^2}{4}=1\)
উত্তরঃ \(x^2-\frac{y^2}{4}=1\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((\pm 1, 0)\)
এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm 2x ......(1)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু দুইটি \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
অধিবৃত্তের সমীকরণ,\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ......(2)\)
অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{b}{a}x ......(3)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু দুইটির স্থাঙ্গাক \((\pm a, 0)\)
\(\therefore (\pm a, 0)\Rightarrow (\pm 1, 0)\)
\(\Rightarrow a=1\)
\(\therefore a^2=1\)
আবার,
\((1)\) ও \((3)\) তুলুনা করে পাই
\(\frac{b}{a}=2\)
\(\Rightarrow \frac{b}{1}=2\)
\(\Rightarrow b=2\)
\(\therefore b^2=4\)
\(\therefore a^2=1, b^2=4 (2)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{4}=1\)
\(\therefore x^2-\frac{y^2}{4}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((\pm 1, 0)\)
এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm 2x ......(1)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু দুইটি \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
অধিবৃত্তের সমীকরণ,\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ......(2)\)
অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{b}{a}x ......(3)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু দুইটির স্থাঙ্গাক \((\pm a, 0)\)
\(\therefore (\pm a, 0)\Rightarrow (\pm 1, 0)\)
\(\Rightarrow a=1\)
\(\therefore a^2=1\)
আবার,
\((1)\) ও \((3)\) তুলুনা করে পাই
\(\frac{b}{a}=2\)
\(\Rightarrow \frac{b}{1}=2\)
\(\Rightarrow b=2\)
\(\therefore b^2=4\)
\(\therefore a^2=1, b^2=4 (2)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{4}=1\)
\(\therefore x^2-\frac{y^2}{4}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(i)(k)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 3, 0)\) এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm 2x\)
উত্তরঃ \(\frac{5x^2}{9}-\frac{5y^2}{36}=1\)
উত্তরঃ \(\frac{5x^2}{9}-\frac{5y^2}{36}=1\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাঙ্ক \((\pm 3, 0)\)
এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm 2x ......(1)\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটি \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
অধিবৃত্তের সমীকরণ,\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ......(2)\)
অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{b}{a}x ......(3)\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থাঙ্গাক \((\pm ae, 0)\)
\(\therefore (\pm ae, 0)\Rightarrow (\pm 3, 0)\)
\(\Rightarrow ae=3\)
\(\therefore e=\frac{3}{a} .......(4)\)
আবার,
\((1)\) ও \((3)\) তুলুনা করে পাই
\(\frac{b}{a}=2\)
\(\therefore b=2a .....(5)\)
আমরা জানি,
\(b^2=a^2(e^2-1)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে \(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow (2a)^2=a^2\{\left(\frac{3}{a}\right)^2-1\}\)
\(\Rightarrow 4a^2=a^2\{\frac{9}{a^2}-1\}\)
\(\Rightarrow 4a^2=a^2\{\frac{9-a^2}{a^2}\}\)
\(\Rightarrow 4a^2=9-a^2\)
\(\Rightarrow 4a^2+a^2=9\)
\(\Rightarrow 5a^2=9\)
\(\Rightarrow a^2=\frac{9}{5}\)
\(\therefore a=\frac{3}{\sqrt{5}}\)
\((5)\) হতে,
\(b=2\times \frac{3}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow b=\frac{6}{\sqrt{5}}\)
\(\therefore b^2=\frac{36}{5}\)
\(\therefore a^2=\frac{9}{5}, b^2=\frac{36}{5} (2)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{\frac{9}{5}}-\frac{y^2}{\frac{36}{5}}=1\)
\(\therefore \frac{5x^2}{9}-\frac{5y^2}{36}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাঙ্ক \((\pm 3, 0)\)
এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm 2x ......(1)\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটি \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
অধিবৃত্তের সমীকরণ,\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ......(2)\)
অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{b}{a}x ......(3)\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থাঙ্গাক \((\pm ae, 0)\)
\(\therefore (\pm ae, 0)\Rightarrow (\pm 3, 0)\)
\(\Rightarrow ae=3\)
\(\therefore e=\frac{3}{a} .......(4)\)
আবার,
\((1)\) ও \((3)\) তুলুনা করে পাই
\(\frac{b}{a}=2\)
\(\therefore b=2a .....(5)\)
আমরা জানি,
\(b^2=a^2(e^2-1)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে \(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow (2a)^2=a^2\{\left(\frac{3}{a}\right)^2-1\}\)
\(\Rightarrow 4a^2=a^2\{\frac{9}{a^2}-1\}\)
\(\Rightarrow 4a^2=a^2\{\frac{9-a^2}{a^2}\}\)
\(\Rightarrow 4a^2=9-a^2\)
\(\Rightarrow 4a^2+a^2=9\)
\(\Rightarrow 5a^2=9\)
\(\Rightarrow a^2=\frac{9}{5}\)
\(\therefore a=\frac{3}{\sqrt{5}}\)
\((5)\) হতে,
\(b=2\times \frac{3}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow b=\frac{6}{\sqrt{5}}\)
\(\therefore b^2=\frac{36}{5}\)
\(\therefore a^2=\frac{9}{5}, b^2=\frac{36}{5} (2)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{\frac{9}{5}}-\frac{y^2}{\frac{36}{5}}=1\)
\(\therefore \frac{5x^2}{9}-\frac{5y^2}{36}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(i)(l)\) যা \((5, 9)\) বিন্দুগামী এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm x\)
উত্তরঃ \(y^2-x^2=56\)
উত্তরঃ \(y^2-x^2=56\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm x ......(1)\)
অধিবৃত্তটি \((5, 9)\) বিন্দুগামী যার \(x\) স্থানাঙ্ক \(y\) স্থানাঙ্ক অপেক্ষা ছোট।
অতএব, অধিবৃত্তের সমীকরণ,\(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 ......(2)\)
অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{b}{a}x ......(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) তুলুনা করে পাই
\(\frac{b}{a}=1\)
\(\therefore a=b .....(4)\)
আবার,
অধিবৃত্তটি \((5, 9)\) বিন্দুগামী
\(\frac{9^2}{b^2}-\frac{5^2}{a^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{81}{a^2}-\frac{25}{a^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{81-25}{a^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{56}{a^2}=1\)
\(\therefore a^2=56\)
\((4)\) হতে,
\(b^2=56\)
\(\therefore a^2=b^2=56 (2)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{y^2}{56}-\frac{x^2}{56}=1\)
\(\therefore y^2-x^2=56\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm x ......(1)\)
অধিবৃত্তটি \((5, 9)\) বিন্দুগামী যার \(x\) স্থানাঙ্ক \(y\) স্থানাঙ্ক অপেক্ষা ছোট।
অতএব, অধিবৃত্তের সমীকরণ,\(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 ......(2)\)
অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{b}{a}x ......(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) তুলুনা করে পাই
\(\frac{b}{a}=1\)
\(\therefore a=b .....(4)\)
আবার,
অধিবৃত্তটি \((5, 9)\) বিন্দুগামী
\(\frac{9^2}{b^2}-\frac{5^2}{a^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{81}{a^2}-\frac{25}{a^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{81-25}{a^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{56}{a^2}=1\)
\(\therefore a^2=56\)
\((4)\) হতে,
\(b^2=56\)
\(\therefore a^2=b^2=56 (2)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{y^2}{56}-\frac{x^2}{56}=1\)
\(\therefore y^2-x^2=56\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(i)(m)\) যার অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 8\) এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{3}{2}x\)
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{36}-\frac{x^2}{16}=1\)
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{36}-\frac{x^2}{16}=1\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{3}{2}x ......(1)\)
অধিবৃত্তের অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 8\)
অধিবৃত্তের সমীকরণ,\(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 ......(2)\)
অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{b}{a}x ......(3)\)
অধিবৃত্তের অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 2a=8\)
\(\Rightarrow a=4\)
\(\therefore a^2=16\)
আবার,
\((1)\) ও \((3)\) তুলুনা করে পাই
\(\frac{b}{a}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow b=\frac{3a}{2}\)
\(\Rightarrow b=\frac{3.4}{2}\)
\(\Rightarrow b=3.2\)
\(\Rightarrow b=6\)
\(\Rightarrow b^2=36\)
\(\therefore a^2=16, b^2=36 (2)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{y^2}{36}-\frac{x^2}{16}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{3}{2}x ......(1)\)
অধিবৃত্তের অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 8\)
অধিবৃত্তের সমীকরণ,\(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 ......(2)\)
অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{b}{a}x ......(3)\)
অধিবৃত্তের অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \( 2a=8\)
\(\Rightarrow a=4\)
\(\therefore a^2=16\)
আবার,
\((1)\) ও \((3)\) তুলুনা করে পাই
\(\frac{b}{a}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow b=\frac{3a}{2}\)
\(\Rightarrow b=\frac{3.4}{2}\)
\(\Rightarrow b=3.2\)
\(\Rightarrow b=6\)
\(\Rightarrow b^2=36\)
\(\therefore a^2=16, b^2=36 (2)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{y^2}{36}-\frac{x^2}{16}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(i)(o)\) যার উপকেন্দ্র \((\pm 2, 0)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা, \(2\) ।
উত্তরঃ \(x^2-\frac{y^2}{3}=1\)
উত্তরঃ \(x^2-\frac{y^2}{3}=1\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাঙ্ক \((\pm 2, 0)\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=2\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটি \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
অতএব, অধিবৃত্তের সমীকরণ,\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ......(1)\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থাঙ্গাক \((\pm ae, 0)\)
\(\therefore (\pm ae, 0)\Rightarrow (\pm 2, 0)\)
\(\Rightarrow ae=2\)
\(\Rightarrow a.2=2\)
\(\Rightarrow a=1\)
\(\therefore a^2=1\)
আমরা জানি,
\(b^2=a^2(e^2-1)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে \(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=1(2^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=(4-1)\)
\(\therefore b^2=3\)
\(\therefore a^2=1, b^2=3 (1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{3}=1\)
\(\therefore x^2-\frac{y^2}{3}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাঙ্ক \((\pm 2, 0)\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=2\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটি \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
অতএব, অধিবৃত্তের সমীকরণ,\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ......(1)\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থাঙ্গাক \((\pm ae, 0)\)
\(\therefore (\pm ae, 0)\Rightarrow (\pm 2, 0)\)
\(\Rightarrow ae=2\)
\(\Rightarrow a.2=2\)
\(\Rightarrow a=1\)
\(\therefore a^2=1\)
আমরা জানি,
\(b^2=a^2(e^2-1)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে \(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=1(2^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=(4-1)\)
\(\therefore b^2=3\)
\(\therefore a^2=1, b^2=3 (1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{3}=1\)
\(\therefore x^2-\frac{y^2}{3}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(i)(p)\) যার শীর্ষ \((\pm 2, 0)\) এবং উপকেন্দ্র \((\pm 3, 0)\) ।
উত্তরঃ \(5x^2-4y^2=20\)
উত্তরঃ \(5x^2-4y^2=20\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের শীর্ষ \((\pm 2, 0)\)
এবং উপকেন্দ্র \((\pm 3, 0)\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র এবং শীর্ষ উভয়ই \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
অতএব,অধিবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ......(1)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষ দুইটির স্থাঙ্গাক \((\pm a, 0)\)
\(\therefore (\pm a, 0)\Rightarrow (\pm 2, 0)\)
\(\Rightarrow a=2\)
\(\therefore a^2=4\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থাঙ্গাক \((\pm ae, 0)\)
\(\therefore (\pm ae, 0)\Rightarrow (\pm 3, 0)\)
\(\Rightarrow ae=3\)
\(\Rightarrow 2.e=3\)
\(\Rightarrow e=\frac{3}{2}\)
\(\therefore e^2=\frac{9}{4}\)
আমরা জানি,
\(b^2=a^2(e^2-1)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে \(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=4\left(\frac{9}{4}-1\right)\)
\(\Rightarrow b^2=4\left(\frac{9-4}{4}\right)\)
\(\therefore b^2=5\)
\(\therefore a^2=4, b^2=5, (1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1\)
\(\Rightarrow \frac{5x^2-4y^2}{20}=1\)
\(\therefore 5x^2-4y^2=20\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের শীর্ষ \((\pm 2, 0)\)
এবং উপকেন্দ্র \((\pm 3, 0)\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র এবং শীর্ষ উভয়ই \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
অতএব,অধিবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ......(1)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষ দুইটির স্থাঙ্গাক \((\pm a, 0)\)
\(\therefore (\pm a, 0)\Rightarrow (\pm 2, 0)\)
\(\Rightarrow a=2\)
\(\therefore a^2=4\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থাঙ্গাক \((\pm ae, 0)\)
\(\therefore (\pm ae, 0)\Rightarrow (\pm 3, 0)\)
\(\Rightarrow ae=3\)
\(\Rightarrow 2.e=3\)
\(\Rightarrow e=\frac{3}{2}\)
\(\therefore e^2=\frac{9}{4}\)
আমরা জানি,
\(b^2=a^2(e^2-1)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে \(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=4\left(\frac{9}{4}-1\right)\)
\(\Rightarrow b^2=4\left(\frac{9-4}{4}\right)\)
\(\therefore b^2=5\)
\(\therefore a^2=4, b^2=5, (1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1\)
\(\Rightarrow \frac{5x^2-4y^2}{20}=1\)
\(\therefore 5x^2-4y^2=20\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(i)(q)\) যার শীর্ষ \((0, \pm 3)\) এবং উপকেন্দ্র \((0, \pm 5)\) ।
উত্তরঃ \(16y^2-9x^2=144\)
উত্তরঃ \(16y^2-9x^2=144\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের শীর্ষ \((0, \pm 3)\)
এবং উপকেন্দ্র \((0, \pm 5)\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র এবং শীর্ষ উভয়ই \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
অতএব,অধিবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 ......(1)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষ দুইটির স্থাঙ্গাক \((0, \pm b)\)
\(\therefore (0, \pm b)\Rightarrow (0, \pm 3)\)
\(\Rightarrow b=3\)
\(\therefore b^2=9\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থাঙ্গাক \((0, \pm be)\)
\(\therefore (0, \pm be)\Rightarrow (0, \pm 5)\)
\(\Rightarrow be=5\)
\(\Rightarrow 3.e=5\)
\(\Rightarrow e=\frac{5}{3}\)
\(\therefore e^2=\frac{25}{9}\)
আমরা জানি,
\(a^2=b^2(e^2-1)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে \(a^2=b^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow a^2=9\left(\frac{25}{9}-1\right)\)
\(\Rightarrow a^2=9\left(\frac{25-9}{9}\right)\)
\(\therefore a^2=16\)
\(\therefore a^2=16, b^2=9, (1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}=1\)
\(\Rightarrow \frac{16y^2-9x^2}{144}=1\)
\(\therefore 16y^2-9x^2=144\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের শীর্ষ \((0, \pm 3)\)
এবং উপকেন্দ্র \((0, \pm 5)\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র এবং শীর্ষ উভয়ই \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
অতএব,অধিবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 ......(1)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষ দুইটির স্থাঙ্গাক \((0, \pm b)\)
\(\therefore (0, \pm b)\Rightarrow (0, \pm 3)\)
\(\Rightarrow b=3\)
\(\therefore b^2=9\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থাঙ্গাক \((0, \pm be)\)
\(\therefore (0, \pm be)\Rightarrow (0, \pm 5)\)
\(\Rightarrow be=5\)
\(\Rightarrow 3.e=5\)
\(\Rightarrow e=\frac{5}{3}\)
\(\therefore e^2=\frac{25}{9}\)
আমরা জানি,
\(a^2=b^2(e^2-1)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে \(a^2=b^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow a^2=9\left(\frac{25}{9}-1\right)\)
\(\Rightarrow a^2=9\left(\frac{25-9}{9}\right)\)
\(\therefore a^2=16\)
\(\therefore a^2=16, b^2=9, (1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}=1\)
\(\Rightarrow \frac{16y^2-9x^2}{144}=1\)
\(\therefore 16y^2-9x^2=144\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(i)(r)\) যার অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{3}{4}x\) এবং আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=8\) ।
উত্তরঃ \(9x^2-16y^2=144\)
উত্তরঃ \(9x^2-16y^2=144\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=8\)
এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{3}{4}x ......(1)\)
অধিবৃত্তের সমীকরণ,\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ......(2)\)
অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{b}{a}x ......(3)\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(\Rightarrow 2a=8\)
\(\Rightarrow a=4\)
\(\therefore a^2=16\)
\((1)\) ও \((3)\) তুলুনা করে পাই
\(\frac{b}{a}=\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow b=\frac{3a}{4}\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{9a^2}{16}\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{9\times 16}{16}\)
\(\therefore b^2=9\)
\(\therefore a^2=16, b^2=9 (2)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)
\(\therefore \frac{9x^2-16y^2}{144}=1\)
\(\therefore 9x^2-16y^2=144\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=8\)
এবং অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{3}{4}x ......(1)\)
অধিবৃত্তের সমীকরণ,\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ......(2)\)
অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm \frac{b}{a}x ......(3)\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(\Rightarrow 2a=8\)
\(\Rightarrow a=4\)
\(\therefore a^2=16\)
\((1)\) ও \((3)\) তুলুনা করে পাই
\(\frac{b}{a}=\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow b=\frac{3a}{4}\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{9a^2}{16}\)
\(\Rightarrow b^2=\frac{9\times 16}{16}\)
\(\therefore b^2=9\)
\(\therefore a^2=16, b^2=9 (2)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)
\(\therefore \frac{9x^2-16y^2}{144}=1\)
\(\therefore 9x^2-16y^2=144\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(i)(s)\) যার শীর্ষ \((\pm 2, 0)\) এবং \((4, 2)\) বিন্দুগামী ।
উত্তরঃ \(x^2-3y^2=4\)
উত্তরঃ \(x^2-3y^2=4\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের শীর্ষ \((\pm 2, 0)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষ দুইটি \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
অতএব, অধিবৃত্তের সমীকরণ,\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ......(1)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষ \((\pm a, 0)\)
\(\therefore (\pm a, 0)\Rightarrow (\pm 2, 0)\)
\(\Rightarrow a=2\)
\(\therefore a^2=4\)
আবার,
\((1)\) নং অধিবৃত্ত \((4, 2)\) বিন্দুগামী
\(\therefore \frac{4^2}{a^2}-\frac{2^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{16}{4}-\frac{4}{b^2}=1\) ➜ \(\because a^2=4\)
\(\Rightarrow 4-\frac{4}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow 4-1=\frac{4}{b^2}\)
\(\Rightarrow 3=\frac{4}{b^2}\)
\(\therefore b^2=\frac{4}{3}\)
\(\therefore a^2=4, b^2=\frac{4}{3} (1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{\frac{4}{3}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{4}-\frac{3y^2}{4}=1\)
\(\therefore \frac{x^2-3y^2}{4}=1\)
\(\therefore x^2-3y^2=4\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের শীর্ষ \((\pm 2, 0)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষ দুইটি \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
অতএব, অধিবৃত্তের সমীকরণ,\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ......(1)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষ \((\pm a, 0)\)
\(\therefore (\pm a, 0)\Rightarrow (\pm 2, 0)\)
\(\Rightarrow a=2\)
\(\therefore a^2=4\)
আবার,
\((1)\) নং অধিবৃত্ত \((4, 2)\) বিন্দুগামী
\(\therefore \frac{4^2}{a^2}-\frac{2^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{16}{4}-\frac{4}{b^2}=1\) ➜ \(\because a^2=4\)
\(\Rightarrow 4-\frac{4}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow 4-1=\frac{4}{b^2}\)
\(\Rightarrow 3=\frac{4}{b^2}\)
\(\therefore b^2=\frac{4}{3}\)
\(\therefore a^2=4, b^2=\frac{4}{3} (1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{\frac{4}{3}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{4}-\frac{3y^2}{4}=1\)
\(\therefore \frac{x^2-3y^2}{4}=1\)
\(\therefore x^2-3y^2=4\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(i)(t)\) যার আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর, আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=14\), অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=10\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{49}-\frac{y^2}{25}=1\)
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{49}-\frac{y^2}{25}=1\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=14\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=10\)
অতএব, অধিবৃত্তের সমীকরণ,\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ......(1)\)
অধিবৃত্তের আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(\therefore 2a=14\)
\(\Rightarrow a=7\)
\(\therefore a^2=49\)
অধিবৃত্তের অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(\therefore 2b=10\)
\(\Rightarrow b=5\)
\(\therefore b^2=25\)
\(\therefore a^2=49, b^2=25 (1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{49}-\frac{y^2}{25}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=14\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=10\)
অতএব, অধিবৃত্তের সমীকরণ,\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ......(1)\)
অধিবৃত্তের আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(\therefore 2a=14\)
\(\Rightarrow a=7\)
\(\therefore a^2=49\)
অধিবৃত্তের অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(\therefore 2b=10\)
\(\Rightarrow b=5\)
\(\therefore b^2=25\)
\(\therefore a^2=49, b^2=25 (1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{49}-\frac{y^2}{25}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(i)(v)\) যার আড় অক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর, আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=24\), অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=18\)।
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{144}-\frac{x^2}{81}=1\)
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{144}-\frac{x^2}{81}=1\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের আড় অক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=24\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=18\)
অতএব, অধিবৃত্তের সমীকরণ,\(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 ......(1)\)
অধিবৃত্তের আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(\therefore 2b=24\)
\(\Rightarrow b=12\)
\(\therefore b^2=144\)
অধিবৃত্তের অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(\therefore 2a=18\)
\(\Rightarrow a=9\)
\(\therefore a^2=81\)
\(\therefore a^2=81, b^2=144 (1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{y^2}{144}-\frac{x^2}{81}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের আড় অক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=24\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=18\)
অতএব, অধিবৃত্তের সমীকরণ,\(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 ......(1)\)
অধিবৃত্তের আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(\therefore 2b=24\)
\(\Rightarrow b=12\)
\(\therefore b^2=144\)
অধিবৃত্তের অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(\therefore 2a=18\)
\(\Rightarrow a=9\)
\(\therefore a^2=81\)
\(\therefore a^2=81, b^2=144 (1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{y^2}{144}-\frac{x^2}{81}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(i)(x)\) যার আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর, আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=18\), কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=11\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{81}-\frac{y^2}{40}=1\)
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{81}-\frac{y^2}{40}=1\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=18\)
কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=11\)
অতএব, অধিবৃত্তের সমীকরণ,\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ......(1)\)
অধিবৃত্তের আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(\therefore 2a=18\)
\(\Rightarrow a=9\)
\(\therefore a^2=81\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=ae\)
\(\therefore ae=11\)
\(\Rightarrow 9.e=11\)
\(\Rightarrow e=\frac{11}{9}\)
\(\therefore e^2=\frac{121}{81}\)
আমরা জানি,
\(b^2=a^2(e^2-1)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে \(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=81\left(\frac{121}{81}-1\right)\)
\(\Rightarrow b^2=81\left(\frac{121-81}{81}\right)\)
\(\Rightarrow b^2=81\left(\frac{40}{81}\right)\)
\(\therefore b^2=40\)
\(\therefore a^2=81, b^2=40 (1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{81}-\frac{y^2}{40}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=18\)
কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=11\)
অতএব, অধিবৃত্তের সমীকরণ,\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ......(1)\)
অধিবৃত্তের আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(\therefore 2a=18\)
\(\Rightarrow a=9\)
\(\therefore a^2=81\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=ae\)
\(\therefore ae=11\)
\(\Rightarrow 9.e=11\)
\(\Rightarrow e=\frac{11}{9}\)
\(\therefore e^2=\frac{121}{81}\)
আমরা জানি,
\(b^2=a^2(e^2-1)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে \(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=81\left(\frac{121}{81}-1\right)\)
\(\Rightarrow b^2=81\left(\frac{121-81}{81}\right)\)
\(\Rightarrow b^2=81\left(\frac{40}{81}\right)\)
\(\therefore b^2=40\)
\(\therefore a^2=81, b^2=40 (1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{81}-\frac{y^2}{40}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(i)(z)\) যার অনুবন্ধী অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর, অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=10\), কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=\sqrt{70}\)।
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{45}-\frac{x^2}{25}=1\)
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{45}-\frac{x^2}{25}=1\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের অনুবন্ধী অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর
অতএব, আড় অক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=10\)
কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=\sqrt{70}\)
অতএব, অধিবৃত্তের সমীকরণ,\(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 ......(1)\)
অধিবৃত্তের অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(\therefore 2a=10\)
\(\Rightarrow a=5\)
\(\therefore a^2=25\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=be\)
\(\therefore be=\sqrt{70}\)
\(\Rightarrow e=\frac{\sqrt{70}}{b}\)
\(\therefore e^2=\frac{70}{b^2}\)
আমরা জানি,
\(a^2=b^2(e^2-1)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে \(a^2=b^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow 25=b^2\left(\frac{70}{b^2}-1\right)\)
\(\Rightarrow 25=b^2\left(\frac{70-b^2}{b^2}\right)\)
\(\Rightarrow 25=70-b^2\)
\(\Rightarrow b^2=70-25\)
\(\therefore b^2=45\)
\(\therefore a^2=25, b^2=45 (1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{y^2}{45}-\frac{x^2}{25}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের অনুবন্ধী অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর
অতএব, আড় অক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=10\)
কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=\sqrt{70}\)
অতএব, অধিবৃত্তের সমীকরণ,\(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 ......(1)\)
অধিবৃত্তের অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(\therefore 2a=10\)
\(\Rightarrow a=5\)
\(\therefore a^2=25\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব \(=be\)
\(\therefore be=\sqrt{70}\)
\(\Rightarrow e=\frac{\sqrt{70}}{b}\)
\(\therefore e^2=\frac{70}{b^2}\)
আমরা জানি,
\(a^2=b^2(e^2-1)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে \(a^2=b^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow 25=b^2\left(\frac{70}{b^2}-1\right)\)
\(\Rightarrow 25=b^2\left(\frac{70-b^2}{b^2}\right)\)
\(\Rightarrow 25=70-b^2\)
\(\Rightarrow b^2=70-25\)
\(\therefore b^2=45\)
\(\therefore a^2=25, b^2=45 (1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{y^2}{45}-\frac{x^2}{25}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(i)(z.2)\) যার অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=7\) এবং \((3, -2)\) বিন্দুগামী।
উত্তরঃ \(65x^2-36y^2=441\)
উত্তরঃ \(65x^2-36y^2=441\)
সমাধানঃ
ধরি,
অধিবৃত্তের সমীকরণ,\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ......(1)\)
অধিবৃত্তের অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(\therefore 2b=7\)
\(\Rightarrow b=\frac{7}{2}\)
\(\therefore b^2=\frac{49}{4}\)
\((1)\) নং অধিবৃত্ত \((3, -2)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore \frac{3^2}{a^2}-\frac{(-2)^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}-\frac{4}{\frac{49}{4}}=1\) ➜ \(\because b^2=\frac{49}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}-\frac{16}{49}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}=1+\frac{16}{49}\)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}=\frac{49+16}{49}\)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}=\frac{65}{49}\)
\(\Rightarrow 65a^2=441\)
\(\therefore a^2=\frac{441}{65}\)
\(\therefore a^2=\frac{441}{65}, b^2=\frac{49}{4}, (1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{\frac{441}{65}}-\frac{y^2}{\frac{49}{4}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{65x^2}{441}-\frac{4y^2}{49}=1\)
\(\Rightarrow \frac{65x^2-36y^2}{441}=1\)
\(\therefore 65x^2-36y^2=441\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের সমীকরণ,\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ......(1)\)
অধিবৃত্তের অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(\therefore 2b=7\)
\(\Rightarrow b=\frac{7}{2}\)
\(\therefore b^2=\frac{49}{4}\)
\((1)\) নং অধিবৃত্ত \((3, -2)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore \frac{3^2}{a^2}-\frac{(-2)^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}-\frac{4}{\frac{49}{4}}=1\) ➜ \(\because b^2=\frac{49}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}-\frac{16}{49}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}=1+\frac{16}{49}\)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}=\frac{49+16}{49}\)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}=\frac{65}{49}\)
\(\Rightarrow 65a^2=441\)
\(\therefore a^2=\frac{441}{65}\)
\(\therefore a^2=\frac{441}{65}, b^2=\frac{49}{4}, (1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{\frac{441}{65}}-\frac{y^2}{\frac{49}{4}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{65x^2}{441}-\frac{4y^2}{49}=1\)
\(\Rightarrow \frac{65x^2-36y^2}{441}=1\)
\(\therefore 65x^2-36y^2=441\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.1.(ii)(a)- Q.1.(ii)(z.6)\) নিম্নলিখিত অধিবৃত্তগুলির কেন্দ্র , শীর্ষবিন্দু , উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্র , অক্ষ দুইটির দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। প্রতি ক্ষেত্রে অসীমতটের সমীকরণও নির্ণয় কর।
\(Q.1.(ii)(a)\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 3, 0);\)\( e=\frac{\sqrt{13}}{3}\);
\((\pm \sqrt{13}, 0); 6,4;\frac{8}{3};\sqrt{13}x\pm 9=0 \);
অসীমতট, \(y=\pm \frac{2}{3} x\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 3, 0);\)\( e=\frac{\sqrt{13}}{3}\);
\((\pm \sqrt{13}, 0); 6,4;\frac{8}{3};\sqrt{13}x\pm 9=0 \);
অসীমতট, \(y=\pm \frac{2}{3} x\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে , 
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1\)
এখানে, \(a^2=9, b^2=4\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=2\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{4}{9}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{9+4}{9}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{13}{9}}\)
\(\therefore e=\frac{\sqrt{13}}{3}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((\pm a, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore (\pm 3, 0)\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm 3\times \frac{\sqrt{13}}{3}, 0)\)
\(\therefore (\pm \sqrt{13}, 0)\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2.3\)
\(=6\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2.2\)
\(=4\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
\(=\frac{2.4}{3}\)
\(=\frac{8}{3}\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{3}{\frac{\sqrt{13}}{3}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{9}{\sqrt{13}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{13}x=\pm 9\)
\(\therefore \sqrt{13}x\pm 9=0\)
অসীমতটের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{a}x\)
\(\therefore y=\pm \frac{2}{3}x\)
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1\)
এখানে, \(a^2=9, b^2=4\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=2\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{4}{9}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{9+4}{9}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{13}{9}}\)
\(\therefore e=\frac{\sqrt{13}}{3}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((\pm a, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore (\pm 3, 0)\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm 3\times \frac{\sqrt{13}}{3}, 0)\)
\(\therefore (\pm \sqrt{13}, 0)\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2.3\)
\(=6\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2.2\)
\(=4\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
\(=\frac{2.4}{3}\)
\(=\frac{8}{3}\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{3}{\frac{\sqrt{13}}{3}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{9}{\sqrt{13}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{13}x=\pm 9\)
\(\therefore \sqrt{13}x\pm 9=0\)
অসীমতটের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{a}x\)
\(\therefore y=\pm \frac{2}{3}x\)
\(Q.1.(ii)(d)\) \(25x^2-16y^2=400\)
[ দিঃ ২০১২; সিঃ২০০১ ]
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 4, 0);\)\( e=\frac{\sqrt{41}}{4}; (\pm \sqrt{41}, 0)\);
\(8,10;\frac{25}{2};\sqrt{41}x\pm 16=0\);
অসীমতট, \( y=\pm \frac{5}{4}x\)
[ দিঃ ২০১২; সিঃ২০০১ ]
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 4, 0);\)\( e=\frac{\sqrt{41}}{4}; (\pm \sqrt{41}, 0)\);
\(8,10;\frac{25}{2};\sqrt{41}x\pm 16=0\);
অসীমতট, \( y=\pm \frac{5}{4}x\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে , 
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(25x^2-16y^2=400\)
\(\Rightarrow \frac{25x^2}{400}-\frac{16y^2}{400}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(400\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{25}=1\)
এখানে, \(a^2=16, b^2=25\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4, b=5\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{25}{16}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{16+25}{16}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{41}{16}}\)
\(\therefore e=\frac{\sqrt{41}}{4}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((\pm a, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore (\pm 4, 0)\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm 4\times \frac{\sqrt{41}}{4}, 0)\)
\(\therefore (\pm \sqrt{41}, 0)\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2.4\)
\(=8\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2.5\)
\(=10\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
\(=\frac{2.25}{4}\)
\(=\frac{25}{2}\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{4}{\frac{\sqrt{41}}{4}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{16}{\sqrt{41}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{41}x=\pm 16\)
\(\therefore \sqrt{41}x\pm 16=0\)
অসীমতটের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{a}x\)
\(\therefore y=\pm \frac{5}{4}x\)
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(25x^2-16y^2=400\)
\(\Rightarrow \frac{25x^2}{400}-\frac{16y^2}{400}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(400\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{25}=1\)
এখানে, \(a^2=16, b^2=25\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4, b=5\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{25}{16}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{16+25}{16}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{41}{16}}\)
\(\therefore e=\frac{\sqrt{41}}{4}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((\pm a, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore (\pm 4, 0)\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm 4\times \frac{\sqrt{41}}{4}, 0)\)
\(\therefore (\pm \sqrt{41}, 0)\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2.4\)
\(=8\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2.5\)
\(=10\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
\(=\frac{2.25}{4}\)
\(=\frac{25}{2}\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{4}{\frac{\sqrt{41}}{4}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{16}{\sqrt{41}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{41}x=\pm 16\)
\(\therefore \sqrt{41}x\pm 16=0\)
অসীমতটের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{a}x\)
\(\therefore y=\pm \frac{5}{4}x\)
\(Q.1.(ii)(e)\) \(9x^2-16y^2-18x-64y-199=0\)
[ চুয়েটঃ ২০১০-২০১১;কুঃ ২০১৩,২০১১,২০০৩,২০০১;সিঃ ২০০৮,২০০৬;মাঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \( (1, -2); (5, -2), (-3, -2);\)
\( e=\frac{5}{4}; (6, -2),(-4,-2); 8,6;\frac{9}{2};5(x-1)\pm 16=0\) ;
অসীমতট, \(y+2=\pm \frac{3}{4}(x-1)\)
[ চুয়েটঃ ২০১০-২০১১;কুঃ ২০১৩,২০১১,২০০৩,২০০১;সিঃ ২০০৮,২০০৬;মাঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \( (1, -2); (5, -2), (-3, -2);\)
\( e=\frac{5}{4}; (6, -2),(-4,-2); 8,6;\frac{9}{2};5(x-1)\pm 16=0\) ;
অসীমতট, \(y+2=\pm \frac{3}{4}(x-1)\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে , 
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(9x^2-16y^2-18x-64y-199=0\)
\(\Rightarrow 9x^2-18x-16y^2-64y-199=0\)
\(\Rightarrow 9(x^2-2x)-16(y^2+4y)-199=0\)
\(\Rightarrow 9(x^2-2x+1-1)-16(y^2+4y+4-4)-199=0\)
\(\Rightarrow 9(x^2-2x+1)-9-16(y^2+4y+4)+64-199=0\)
\(\Rightarrow 9(x-1)^2-16(y+2)^2-144=0\)
\(\Rightarrow 9(x-1)^2-16(y+2)^2=144\)
\(\Rightarrow \frac{9(x-1)^2}{144}-\frac{16(y+2)^2}{144}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(144\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{(x-1)^2}{16}-\frac{(y+2)^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{X^2}{16}-\frac{Y^2}{9}=1\) যেখানে, \(X=x-1, Y=y+2\)
এখানে, \(a^2=16, b^2=9\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4, b=3\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{9}{16}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{16+9}{16}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{25}{16}}\)
\(\therefore e=\frac{5}{4}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
অর্থাৎ \(X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x-1=0, y+2=0\) ➜ \(\because X=x-1, Y=y+2\)
\(\Rightarrow x=1, y=-2\)
\(\therefore \) অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((1, -2)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((\pm a, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
অর্থাৎ \(X=\pm a, Y=0\)
\(\Rightarrow x-1=\pm 4, y+2=0\)
\(\Rightarrow x=1\pm 4, y=-2\)
\(\Rightarrow x=1+4,1-4, y=-2\)
\(\therefore x=5,-3, y=-2\)
\(\therefore \) অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((5, -2), (-3, -2)\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
অর্থাৎ \(X=\pm ae, Y=0\)
\(\Rightarrow x-1=\pm 4\times \frac{\sqrt{5}}{4}, y+2=0\)
\(\Rightarrow x=1\pm 4\times \frac{\sqrt{5}}{4}, y=-2\)
\(\Rightarrow x=1\pm 5, y=-2\)
\(\Rightarrow x=1+5,1-5, y=-2\)
\(\Rightarrow x=6,-4, y=-2\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \((6, -2), (-4, -2)\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2.4\)
\(=8\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2.3\)
\(=6\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
\(=\frac{2.9}{4}\)
\(=\frac{9}{2}\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(X=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x-1=\pm \frac{4}{\frac{5}{4}}\)
\(\Rightarrow x-1=\pm \frac{16}{5}\)
\(\Rightarrow 5(x-1)=\pm 16\)
\(\therefore 5(x-1)\pm 16=0\)
অসীমতটের সমীকরণ, \(y+2=\pm \frac{b}{a}(x-1)\)
\(\therefore y+2=\pm \frac{3}{4}(x-1)\)
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(9x^2-16y^2-18x-64y-199=0\)
\(\Rightarrow 9x^2-18x-16y^2-64y-199=0\)
\(\Rightarrow 9(x^2-2x)-16(y^2+4y)-199=0\)
\(\Rightarrow 9(x^2-2x+1-1)-16(y^2+4y+4-4)-199=0\)
\(\Rightarrow 9(x^2-2x+1)-9-16(y^2+4y+4)+64-199=0\)
\(\Rightarrow 9(x-1)^2-16(y+2)^2-144=0\)
\(\Rightarrow 9(x-1)^2-16(y+2)^2=144\)
\(\Rightarrow \frac{9(x-1)^2}{144}-\frac{16(y+2)^2}{144}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(144\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{(x-1)^2}{16}-\frac{(y+2)^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{X^2}{16}-\frac{Y^2}{9}=1\) যেখানে, \(X=x-1, Y=y+2\)
এখানে, \(a^2=16, b^2=9\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4, b=3\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{9}{16}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{16+9}{16}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{25}{16}}\)
\(\therefore e=\frac{5}{4}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
অর্থাৎ \(X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x-1=0, y+2=0\) ➜ \(\because X=x-1, Y=y+2\)
\(\Rightarrow x=1, y=-2\)
\(\therefore \) অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((1, -2)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((\pm a, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
অর্থাৎ \(X=\pm a, Y=0\)
\(\Rightarrow x-1=\pm 4, y+2=0\)
\(\Rightarrow x=1\pm 4, y=-2\)
\(\Rightarrow x=1+4,1-4, y=-2\)
\(\therefore x=5,-3, y=-2\)
\(\therefore \) অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((5, -2), (-3, -2)\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
অর্থাৎ \(X=\pm ae, Y=0\)
\(\Rightarrow x-1=\pm 4\times \frac{\sqrt{5}}{4}, y+2=0\)
\(\Rightarrow x=1\pm 4\times \frac{\sqrt{5}}{4}, y=-2\)
\(\Rightarrow x=1\pm 5, y=-2\)
\(\Rightarrow x=1+5,1-5, y=-2\)
\(\Rightarrow x=6,-4, y=-2\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \((6, -2), (-4, -2)\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2.4\)
\(=8\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2.3\)
\(=6\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
\(=\frac{2.9}{4}\)
\(=\frac{9}{2}\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(X=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x-1=\pm \frac{4}{\frac{5}{4}}\)
\(\Rightarrow x-1=\pm \frac{16}{5}\)
\(\Rightarrow 5(x-1)=\pm 16\)
\(\therefore 5(x-1)\pm 16=0\)
অসীমতটের সমীকরণ, \(y+2=\pm \frac{b}{a}(x-1)\)
\(\therefore y+2=\pm \frac{3}{4}(x-1)\)
\(Q.1.(ii)(j)\) \(4y^2-5x^2=20\)
[ চঃ২০০৭ ]
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm \sqrt{5}); e=\frac{3}{\sqrt{5}};\)
\((0, \pm 3); 2\sqrt{5},4;\frac{8}{\sqrt{5}};3y\pm 5=0\) ;
অসীমতট, \(y=\pm \frac{\sqrt{5}}{2}x\)
[ চঃ২০০৭ ]
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm \sqrt{5}); e=\frac{3}{\sqrt{5}};\)
\((0, \pm 3); 2\sqrt{5},4;\frac{8}{\sqrt{5}};3y\pm 5=0\) ;
অসীমতট, \(y=\pm \frac{\sqrt{5}}{2}x\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে , 
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(4y^2-5x^2=20\)
\(\Rightarrow \frac{4y^2}{20}-\frac{5x^2}{20}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(20\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{y^2}{5}-\frac{x^2}{4}=1\)
এখানে, \(b^2=5, a^2=4\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore b=\sqrt{5}, a=2\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{4}{5}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{5+4}{5}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{9}{5}}\)
\(\therefore e=\frac{3}{\sqrt{5}}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((0, \pm b)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore (0, \pm \sqrt{5})\)
উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (0, \pm \sqrt{5}\times \frac{3}{\sqrt{5}})\)
\(\therefore (0, \pm 3)\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2.\sqrt{5}\)
\(=2\sqrt{5}\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2.2\)
\(=4\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2a^2}{b}\)
\(=\frac{2.4}{\sqrt{5}}\)
\(=\frac{8}{\sqrt{5}}\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(y=\pm \frac{b}{e}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{5}}{\frac{3}{\sqrt{5}}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{5}{3}\)
\(\Rightarrow 3y=\pm 5\)
\(\therefore 3y\pm 5=0\)
অসীমতটের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{a}x\)
\(\therefore y=\pm \frac{\sqrt{5}}{2}x\)
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(4y^2-5x^2=20\)
\(\Rightarrow \frac{4y^2}{20}-\frac{5x^2}{20}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(20\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{y^2}{5}-\frac{x^2}{4}=1\)
এখানে, \(b^2=5, a^2=4\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore b=\sqrt{5}, a=2\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{4}{5}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{5+4}{5}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{9}{5}}\)
\(\therefore e=\frac{3}{\sqrt{5}}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((0, \pm b)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore (0, \pm \sqrt{5})\)
উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (0, \pm \sqrt{5}\times \frac{3}{\sqrt{5}})\)
\(\therefore (0, \pm 3)\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2.\sqrt{5}\)
\(=2\sqrt{5}\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2.2\)
\(=4\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2a^2}{b}\)
\(=\frac{2.4}{\sqrt{5}}\)
\(=\frac{8}{\sqrt{5}}\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(y=\pm \frac{b}{e}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{5}}{\frac{3}{\sqrt{5}}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{5}{3}\)
\(\Rightarrow 3y=\pm 5\)
\(\therefore 3y\pm 5=0\)
অসীমতটের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{a}x\)
\(\therefore y=\pm \frac{\sqrt{5}}{2}x\)
\(Q.1.(ii)(n)\) \(y^2-x^2=4\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 2);\sqrt{2};(0, \pm 2\sqrt{2});4;4;4;y\pm \sqrt{2}=0\);
অসীমতট \(y=\pm x\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 2);\sqrt{2};(0, \pm 2\sqrt{2});4;4;4;y\pm \sqrt{2}=0\);
অসীমতট \(y=\pm x\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে , 
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(y^2-x^2=4\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{4}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(4\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{4}=1\)
এখানে, \(a^2=4, b^2=4\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=b=2\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{4}{4}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+1}\)
\(\therefore e=\sqrt{2}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((0, \pm b)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore (0, \pm 2)\)
উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore (0, \pm 2\sqrt{2})\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2.2\)
\(=4\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2.2\)
\(=4\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2a^2}{b}\)
\(=\frac{2.4}{2}\)
\(=4\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(y=\pm \frac{b}{e}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{2}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{2}.\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{2}\)
\(\therefore y\pm \sqrt{2}=0\)
অসীমতটের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{a}x\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}x\)
\(\therefore y=\pm x\)
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(y^2-x^2=4\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{4}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(4\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{4}=1\)
এখানে, \(a^2=4, b^2=4\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=b=2\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{4}{4}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+1}\)
\(\therefore e=\sqrt{2}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((0, \pm b)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore (0, \pm 2)\)
উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore (0, \pm 2\sqrt{2})\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2.2\)
\(=4\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2.2\)
\(=4\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2a^2}{b}\)
\(=\frac{2.4}{2}\)
\(=4\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(y=\pm \frac{b}{e}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{2}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{2}.\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{2}\)
\(\therefore y\pm \sqrt{2}=0\)
অসীমতটের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{a}x\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}x\)
\(\therefore y=\pm x\)
\(Q.1.(ii)(o)\) \(3x^2-y^2-12x+9=0\)
উত্তরঃ \( (2, 0); (3, 0), (1, 0); 2 ;(4, 0),(0, 0);2;2\sqrt{3};6;2(x-2)\pm 1=0\);
অসীমতট \(y=\pm \sqrt{3}(x-2)\)
উত্তরঃ \( (2, 0); (3, 0), (1, 0); 2 ;(4, 0),(0, 0);2;2\sqrt{3};6;2(x-2)\pm 1=0\);
অসীমতট \(y=\pm \sqrt{3}(x-2)\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে , 
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(3x^2-y^2-12x+9=0\)
\(\Rightarrow 3x^2-12x-y^2+9=0\)
\(\Rightarrow 3(x^2-4x)-y^2+9=0\)
\(\Rightarrow 3(x^2-4x+4-4)-y^2+9=0\)
\(\Rightarrow 3(x^2-4x+4)-12-y^2+9=0\)
\(\Rightarrow 3(x-2)^2-y^2-3=0\)
\(\Rightarrow 3(x-2)^2-y^2=3\)
\(\Rightarrow \frac{3(x-2)^2}{3}-\frac{y^2}{3}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(3\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{(x-2)^2}{1}-\frac{y^2}{3}=1\)
\(\Rightarrow \frac{X^2}{1}-\frac{Y^2}{3}=1\) যেখানে, \(X=x-2, Y=y\)
এখানে, \(a^2=1, b^2=3\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=1, b=\sqrt{3}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{3}{1}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+3}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{4}\)
\(\therefore e=2\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x-2=0, y=0\)
\(\Rightarrow x=2, y=0\)
\(\therefore\) অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((2, 0)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((\pm a, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore X=\pm a, Y=0\)
\(\Rightarrow x-2=\pm 1, y=0\)
\(\Rightarrow x=2\pm 1, y=0\)
\(\Rightarrow x=2+1,2-1, y=0\)
\(\Rightarrow x=3,1, y=0\)
\(\therefore\) শীর্ষবিন্দু \((3, 0), (1, 0) \)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore X=\pm ae, Y=0\)
\(\Rightarrow x-2=\pm 1\times 2, y=0\)
\(\Rightarrow x=2\pm 2, y=0\)
\(\Rightarrow x=2+2,2-2, y=0\)
\(\Rightarrow x=4,0, y=0\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্র, \( (4,0),(0, 0)\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2.1\)
\(=2\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2\sqrt{3}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
\(=\frac{2.3}{1}\)
\(=\frac{6}{2}\)
\(=6\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(X=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x-2=\pm \frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow 2(x-2)=\pm 1\)
\(\therefore 2(x-2)\pm 1=0\)
অসীমতটের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{a}(x-2)\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{3}}{1}(x-2)\)
\(\therefore y=\pm \sqrt{3}(x-2)\)
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(3x^2-y^2-12x+9=0\)
\(\Rightarrow 3x^2-12x-y^2+9=0\)
\(\Rightarrow 3(x^2-4x)-y^2+9=0\)
\(\Rightarrow 3(x^2-4x+4-4)-y^2+9=0\)
\(\Rightarrow 3(x^2-4x+4)-12-y^2+9=0\)
\(\Rightarrow 3(x-2)^2-y^2-3=0\)
\(\Rightarrow 3(x-2)^2-y^2=3\)
\(\Rightarrow \frac{3(x-2)^2}{3}-\frac{y^2}{3}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(3\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{(x-2)^2}{1}-\frac{y^2}{3}=1\)
\(\Rightarrow \frac{X^2}{1}-\frac{Y^2}{3}=1\) যেখানে, \(X=x-2, Y=y\)
এখানে, \(a^2=1, b^2=3\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=1, b=\sqrt{3}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{3}{1}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+3}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{4}\)
\(\therefore e=2\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x-2=0, y=0\)
\(\Rightarrow x=2, y=0\)
\(\therefore\) অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((2, 0)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((\pm a, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore X=\pm a, Y=0\)
\(\Rightarrow x-2=\pm 1, y=0\)
\(\Rightarrow x=2\pm 1, y=0\)
\(\Rightarrow x=2+1,2-1, y=0\)
\(\Rightarrow x=3,1, y=0\)
\(\therefore\) শীর্ষবিন্দু \((3, 0), (1, 0) \)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore X=\pm ae, Y=0\)
\(\Rightarrow x-2=\pm 1\times 2, y=0\)
\(\Rightarrow x=2\pm 2, y=0\)
\(\Rightarrow x=2+2,2-2, y=0\)
\(\Rightarrow x=4,0, y=0\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্র, \( (4,0),(0, 0)\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2.1\)
\(=2\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2\sqrt{3}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
\(=\frac{2.3}{1}\)
\(=\frac{6}{2}\)
\(=6\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(X=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x-2=\pm \frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow 2(x-2)=\pm 1\)
\(\therefore 2(x-2)\pm 1=0\)
অসীমতটের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{a}(x-2)\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{3}}{1}(x-2)\)
\(\therefore y=\pm \sqrt{3}(x-2)\)
\(Q.1.(ii)(p)\) \(2x^2-y^2=4\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm \sqrt{2}, 0);\sqrt{3};(\pm \sqrt{6}, 0)\);
\(2\sqrt{2};4;4\sqrt{2};\sqrt{3}x\pm \sqrt{2}=0\);
অসীমতট \(y=\pm \sqrt{2}x\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm \sqrt{2}, 0);\sqrt{3};(\pm \sqrt{6}, 0)\);
\(2\sqrt{2};4;4\sqrt{2};\sqrt{3}x\pm \sqrt{2}=0\);
অসীমতট \(y=\pm \sqrt{2}x\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে , 
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(2x^2-y^2=4\)
\(\Rightarrow \frac{2x^2}{4}-\frac{y^2}{4}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(4\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=1\)
এখানে, \(a^2=2, b^2=4\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=\sqrt{2}, b=2\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{4}{2}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+2}\)
\(\therefore e=\sqrt{3}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((\pm a, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore (\pm \sqrt{2}, 0)\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm sqrt{2}\times \sqrt{3}, 0)\)
\(\therefore (\pm sqrt{6}, 0)\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2\sqrt{2}\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2.2\)
\(=4\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, \(\frac{2b^2}{a}\)
\(\Rightarrow \frac{2.4}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{4\times \sqrt{2}\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)
\(\therefore 4\sqrt{2}\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ, \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}x=\pm \sqrt{2}\)
\(\therefore \sqrt{3}x\pm \sqrt{2}=0\)
অসীমতটের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{a}x\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{2}{\sqrt{2}}x\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}}x\)
\(\therefore y=\pm \sqrt{2}x\)
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(2x^2-y^2=4\)
\(\Rightarrow \frac{2x^2}{4}-\frac{y^2}{4}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(4\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=1\)
এখানে, \(a^2=2, b^2=4\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=\sqrt{2}, b=2\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{4}{2}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+2}\)
\(\therefore e=\sqrt{3}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((\pm a, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore (\pm \sqrt{2}, 0)\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm sqrt{2}\times \sqrt{3}, 0)\)
\(\therefore (\pm sqrt{6}, 0)\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2\sqrt{2}\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2.2\)
\(=4\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, \(\frac{2b^2}{a}\)
\(\Rightarrow \frac{2.4}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{4\times \sqrt{2}\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)
\(\therefore 4\sqrt{2}\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ, \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}x=\pm \sqrt{2}\)
\(\therefore \sqrt{3}x\pm \sqrt{2}=0\)
অসীমতটের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{a}x\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{2}{\sqrt{2}}x\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}}x\)
\(\therefore y=\pm \sqrt{2}x\)
\(Q.1.(ii)(q)\) \(y^2-x^2=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 1);\sqrt{2};(0, \pm 2)\);
\(2;2;2;\sqrt{2}y\pm 1=0\);
অসীমতট \(y=\pm x\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 1);\sqrt{2};(0, \pm 2)\);
\(2;2;2;\sqrt{2}y\pm 1=0\);
অসীমতট \(y=\pm x\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে , 
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(y^2-x^2=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{1}-\frac{x^2}{1}=1\)
এখানে, \(a^2=1, b^2=1\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=b=1\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{1}{1}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+1}\)
\(\therefore e=\sqrt{2}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((0, \pm b)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore (0, \pm 1)\)
উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (0, \pm 1.\sqrt{2})\)
\(\therefore (0, \pm \sqrt{2})\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2.1\)
\(=2\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2.1\)
\(=2\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, \(\frac{2a^2}{b}\)
\(\Rightarrow \frac{2.1}{1}\)
\(\Rightarrow \frac{2}{1}\)
\(\therefore 2\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{e}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{2}y=\pm 1\)
\(\therefore \sqrt{2}y\pm 1=0\)
অসীমতটের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{a}x\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{1}{1}x\)
\(\therefore y=\pm x\)
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(y^2-x^2=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{1}-\frac{x^2}{1}=1\)
এখানে, \(a^2=1, b^2=1\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=b=1\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{1}{1}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+1}\)
\(\therefore e=\sqrt{2}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((0, \pm b)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore (0, \pm 1)\)
উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (0, \pm 1.\sqrt{2})\)
\(\therefore (0, \pm \sqrt{2})\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2.1\)
\(=2\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2.1\)
\(=2\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, \(\frac{2a^2}{b}\)
\(\Rightarrow \frac{2.1}{1}\)
\(\Rightarrow \frac{2}{1}\)
\(\therefore 2\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{e}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{2}y=\pm 1\)
\(\therefore \sqrt{2}y\pm 1=0\)
অসীমতটের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{a}x\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{1}{1}x\)
\(\therefore y=\pm x\)
\(Q.1.(ii)(r)\) \(3y^2-x^2=9\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm \sqrt{3});2;(0, \pm 2\sqrt{3})\);
\(2\sqrt{3};6;6\sqrt{3};2y\pm \sqrt{3}=0\);
অসীমতট \(3y\pm \sqrt{3}x=0\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm \sqrt{3});2;(0, \pm 2\sqrt{3})\);
\(2\sqrt{3};6;6\sqrt{3};2y\pm \sqrt{3}=0\);
অসীমতট \(3y\pm \sqrt{3}x=0\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে , 
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(3y^2-x^2=9\)
\(\Rightarrow \frac{3y^2}{9}-\frac{x^2}{9}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(9\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{y^2}{3}-\frac{x^2}{9}=1\)
এখানে, \(a^2=9, b^2=3\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=\sqrt{3}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{9}{3}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+3}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{4}\)
\(\therefore e=2\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((0, \pm b)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore (0, \pm \sqrt{3})\)
উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (0, \pm \sqrt{3}.2)\)
\(\therefore (0, \pm 2\sqrt{3})\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2\sqrt{3}\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2.3\)
\(=6\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, \(\frac{2a^2}{b}\)
\(\Rightarrow \frac{2.9}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \frac{2.3\times \sqrt{3}\times \sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
\(\therefore 6\sqrt{3}\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{e}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow 2y=\pm \sqrt{3}\)
\(\therefore 2y\pm \sqrt{3}=0\)
অসীমতটের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{a}x\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}x\)
\(\Rightarrow 3y=\pm \sqrt{3}x\)
\(\therefore 3y\pm \sqrt{3}x=0\)
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(3y^2-x^2=9\)
\(\Rightarrow \frac{3y^2}{9}-\frac{x^2}{9}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(9\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{y^2}{3}-\frac{x^2}{9}=1\)
এখানে, \(a^2=9, b^2=3\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=\sqrt{3}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{9}{3}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+3}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{4}\)
\(\therefore e=2\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((0, \pm b)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore (0, \pm \sqrt{3})\)
উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (0, \pm \sqrt{3}.2)\)
\(\therefore (0, \pm 2\sqrt{3})\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2\sqrt{3}\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2.3\)
\(=6\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, \(\frac{2a^2}{b}\)
\(\Rightarrow \frac{2.9}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \frac{2.3\times \sqrt{3}\times \sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
\(\therefore 6\sqrt{3}\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{e}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow 2y=\pm \sqrt{3}\)
\(\therefore 2y\pm \sqrt{3}=0\)
অসীমতটের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{a}x\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}x\)
\(\Rightarrow 3y=\pm \sqrt{3}x\)
\(\therefore 3y\pm \sqrt{3}x=0\)
\(Q.1.(ii)(s)\) \(x^2-y^2=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 1, 0);\sqrt{2};(\pm \sqrt{2}, 0)\);
\(2;2;2;\sqrt{2}x\pm 1=0\);
অসীমতট \(y=\pm x\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (\pm 1, 0);\sqrt{2};(\pm \sqrt{2}, 0)\);
\(2;2;2;\sqrt{2}x\pm 1=0\);
অসীমতট \(y=\pm x\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে , 
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(x^2-y^2=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{1}-\frac{x^2}{1}=1\)
এখানে, \(a^2=1, b^2=1\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=b=1\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{1}{1}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+1}\)
\(\therefore e=\sqrt{2}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((\pm a, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore (\pm 1, 0)\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm 1.\sqrt{2}, 0)\)
\(\therefore (\pm \sqrt{2}, 0)\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2.1\)
\(=2\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2.1\)
\(=2\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, \(\frac{2b^2}{a}\)
\(\Rightarrow \frac{2.1}{1}\)
\(\Rightarrow \frac{2}{1}\)
\(\therefore 2\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ, \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{2}x=\pm 1\)
\(\therefore \sqrt{2}x\pm 1=0\)
অসীমতটের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{a}x\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{1}{1}x\)
\(\therefore y=\pm x\)
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(x^2-y^2=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{1}-\frac{x^2}{1}=1\)
এখানে, \(a^2=1, b^2=1\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=b=1\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{1}{1}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+1}\)
\(\therefore e=\sqrt{2}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((\pm a, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore (\pm 1, 0)\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm 1.\sqrt{2}, 0)\)
\(\therefore (\pm \sqrt{2}, 0)\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2.1\)
\(=2\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2.1\)
\(=2\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, \(\frac{2b^2}{a}\)
\(\Rightarrow \frac{2.1}{1}\)
\(\Rightarrow \frac{2}{1}\)
\(\therefore 2\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ, \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{2}x=\pm 1\)
\(\therefore \sqrt{2}x\pm 1=0\)
অসীমতটের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{a}x\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{1}{1}x\)
\(\therefore y=\pm x\)
\(Q.1.(ii)(t)\) \(3x^2-y^2=-9\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 3);\frac{2}{\sqrt{3}};(0, \pm 2\sqrt{3})\);
\(6;2\sqrt{3};2;2y\pm 3\sqrt{3}=0\);
অসীমতট \(\sqrt{3}y\pm 3x=0\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm 3);\frac{2}{\sqrt{3}};(0, \pm 2\sqrt{3})\);
\(6;2\sqrt{3};2;2y\pm 3\sqrt{3}=0\);
অসীমতট \(\sqrt{3}y\pm 3x=0\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে ,
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(3x^2-y^2=-9\)
\(\Rightarrow y^2-3x^2=9\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{9}-\frac{3x^2}{9}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(9\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{3}=1\)
এখানে, \(a^2=3, b^2=9\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=\sqrt{3}, b=3\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{3}{9}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{1}{3}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{3+1}{3}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{4}{3}}\)
\(\therefore e=\frac{2}{\sqrt{3}}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((0, \pm b)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore (0, \pm 3)\)
উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (0, \pm 3\times \frac{2}{\sqrt{3}})\)
\(\Rightarrow (0, \pm \sqrt{3}\times \sqrt{3}\times \frac{2}{\sqrt{3}})\)
\(\therefore (0, \pm 2\sqrt{3})\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2.3\)
\(=6\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2\sqrt{3}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, \(\frac{2a^2}{b}\)
\(\Rightarrow \frac{2.3}{3}\)
\(\therefore 2\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{e}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{3}{\frac{2}{\sqrt{3}}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{3\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow 2y=\pm 3\sqrt{3}\)
\(\therefore 2y\pm 3\sqrt{3}=0\)
অসীমতটের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{a}x\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{3}{\sqrt{3}}x\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}y=\pm 3x\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}y\pm 3x=0\)
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(3x^2-y^2=-9\)
\(\Rightarrow y^2-3x^2=9\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{9}-\frac{3x^2}{9}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(9\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{3}=1\)
এখানে, \(a^2=3, b^2=9\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=\sqrt{3}, b=3\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{3}{9}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{1}{3}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{3+1}{3}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{4}{3}}\)
\(\therefore e=\frac{2}{\sqrt{3}}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((0, \pm b)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore (0, \pm 3)\)
উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (0, \pm 3\times \frac{2}{\sqrt{3}})\)
\(\Rightarrow (0, \pm \sqrt{3}\times \sqrt{3}\times \frac{2}{\sqrt{3}})\)
\(\therefore (0, \pm 2\sqrt{3})\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2.3\)
\(=6\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2\sqrt{3}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, \(\frac{2a^2}{b}\)
\(\Rightarrow \frac{2.3}{3}\)
\(\therefore 2\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{e}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{3}{\frac{2}{\sqrt{3}}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{3\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow 2y=\pm 3\sqrt{3}\)
\(\therefore 2y\pm 3\sqrt{3}=0\)
অসীমতটের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{a}x\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{3}{\sqrt{3}}x\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}y=\pm 3x\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}y\pm 3x=0\)
\(Q.1.(ii)(u)\) \(4y^2-4x^2=1\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm \frac{1}{2});\sqrt{2};(0, \pm \frac{\sqrt{2}}{2})\);
\(1;1;1;2\sqrt{2}y\pm 1=0\);
অসীমতট \(y=\pm x\)
উত্তরঃ \( (0, 0); (0, \pm \frac{1}{2});\sqrt{2};(0, \pm \frac{\sqrt{2}}{2})\);
\(1;1;1;2\sqrt{2}y\pm 1=0\);
অসীমতট \(y=\pm x\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে , 
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(4y^2-4x^2=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{\frac{1}{4}}-\frac{x^2}{\frac{1}{4}}=1\)
এখানে, \(a^2=\frac{1}{4}, b^2=\frac{1}{4}\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=b=\frac{1}{2}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+1}\)
\(\therefore e=\sqrt{2}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((0, \pm b)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore (0, \pm \frac{1}{2})\)
উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (0, \pm \frac{1}{2}\times \sqrt{2})\)
\(\therefore (0, \pm \frac{\sqrt{2}}{2})\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2\times \frac{1}{2}\)
\(=1\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2\times \frac{1}{2}\)
\(=1\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, \(\frac{2a^2}{b}\)
\(\Rightarrow \frac{2\times \frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}\)
\(\therefore 1\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{e}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{1}{2\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{2}y=\pm 1\)
\(\therefore 2\sqrt{2}y\pm 1=0\)
অসীমতটের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{a}x\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}x\)
\(\therefore y=\pm x\)
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(4y^2-4x^2=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{\frac{1}{4}}-\frac{x^2}{\frac{1}{4}}=1\)
এখানে, \(a^2=\frac{1}{4}, b^2=\frac{1}{4}\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=b=\frac{1}{2}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+1}\)
\(\therefore e=\sqrt{2}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((0, \pm b)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore (0, \pm \frac{1}{2})\)
উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (0, \pm \frac{1}{2}\times \sqrt{2})\)
\(\therefore (0, \pm \frac{\sqrt{2}}{2})\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2\times \frac{1}{2}\)
\(=1\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2\times \frac{1}{2}\)
\(=1\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, \(\frac{2a^2}{b}\)
\(\Rightarrow \frac{2\times \frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}\)
\(\therefore 1\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{e}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{1}{2\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{2}y=\pm 1\)
\(\therefore 2\sqrt{2}y\pm 1=0\)
অসীমতটের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{a}x\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}x\)
\(\therefore y=\pm x\)
\(Q.1.(iii)\) নিম্নলিখিত কনিকগুলির আকার কি হবে তা কারণসহ উল্লেখ কর। এদের স্কেচ অঙ্কন করে উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকরেখা চিহ্নিত কর।
\((a)\) \(x^2=16y\)
উত্তরঃ পরাবৃত্ত।
\((a)\) \(x^2=16y\)
উত্তরঃ পরাবৃত্ত।
সমাধানঃ
ধরি,
\(x^2=16y .......(1)\)
এখানে,
\(4a=16\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4\)
আবার,
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \((0, 4)\)
নিয়ামকের সমীকরণ, \(y=-a\)
\(\Rightarrow y=-4\)
\(\therefore y+4=0\)
\((1)\) নং সমীকরণে, \(x^2\) সম্বলিত পদ বিদ্যমান কিন্তু \(y^2\) সম্বলিত পদ অনুপস্থিত। সুতরাং, ইহা একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\(\Rightarrow 16y=x^2\)
\(\Rightarrow y=\frac{x^2}{16}\)
এই সীমার মধ্যে \(x\)-এর কতিপয় মাণ নিয়ে প্রাপ্ত \(y\)-এর মাণ নির্ণয় করে একটি তালিকা তৈরী করি।
\(x^2=16y .......(1)\)
এখানে,
\(4a=16\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4\)
আবার,
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \((0, 4)\)
নিয়ামকের সমীকরণ, \(y=-a\)
\(\Rightarrow y=-4\)
\(\therefore y+4=0\)
\((1)\) নং সমীকরণে, \(x^2\) সম্বলিত পদ বিদ্যমান কিন্তু \(y^2\) সম্বলিত পদ অনুপস্থিত। সুতরাং, ইহা একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\(\Rightarrow 16y=x^2\)
\(\Rightarrow y=\frac{x^2}{16}\)
এই সীমার মধ্যে \(x\)-এর কতিপয় মাণ নিয়ে প্রাপ্ত \(y\)-এর মাণ নির্ণয় করে একটি তালিকা তৈরী করি।
| \(x\) | \(8\) | \(4\) | \(2\) | \(0\) | \(-2\) | \(-4\) | \(-8\) |
| \(y\) | \(4\) | \(1\) | \(.25\) | \(0\) | \(1\) | \(.25\) | \(4\) |
উপরের টেবিল হতে প্রাপ্ত \((8, 4), (4, 1), (2, .25),(0, 0), (-2, .25), (-4, 1), (-8, 4) \) বিন্দুগুলি পরাবৃত্তের উপর অবস্থিত।
এখন, \(XO\acute{X}\) কে \(X\) অক্ষ এবং \(YO\acute{Y}\) কে \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে \(xy\) তলে উপরোক্ত বিন্দুসমুহ বসিয়ে সংযোগ করে পাশের লেখচিত্রটি পাই। অতপর পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা চিহ্নিত করা হলো।
এখন, \(XO\acute{X}\) কে \(X\) অক্ষ এবং \(YO\acute{Y}\) কে \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে \(xy\) তলে উপরোক্ত বিন্দুসমুহ বসিয়ে সংযোগ করে পাশের লেখচিত্রটি পাই। অতপর পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা চিহ্নিত করা হলো।
\(Q.1.(iii)\) নিম্নলিখিত কনিকগুলির আকার কি হবে তা কারণসহ উল্লেখ কর। এদের স্কেচ অঙ্কন করে উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকরেখা চিহ্নিত কর।
\((b)\) \(y^2=4y+4x-16\)
উত্তরঃ পরাবৃত্ত।
\((b)\) \(y^2=4y+4x-16\)
উত্তরঃ পরাবৃত্ত।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
\(y^2=4y+4x-16\)
\(\Rightarrow y^2-4y=4x-16\)
\(\Rightarrow y^2-4y+4-4=4x-16\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=4x-16+4\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=4x-12\)
\(\therefore (y-2)^2=4(x-3).......(1)\)
\(\therefore Y^2=4X\) যেখানে, \(X=x-3, Y=y-2\)
এখানে,
\(4a=4\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=1\)
আবার,
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \((a, 0)\)
\(\therefore X=a, Y=0\)
\(\Rightarrow x-3=1, y-2=0\)
\(\Rightarrow x=3+1, y=2\)
\(\Rightarrow x=4, y=2\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্র \((4, 2)\)
নিয়ামকের সমীকরণ, \(X=-a\)
\(\Rightarrow x-3=-1\)
\(\Rightarrow x-3+1=0\)
\(\therefore x-2=0\)
\((1)\) নং সমীকরণে, \(y^2\) সম্বলিত পদ বিদ্যমান কিন্তু \(x^2\) সম্বলিত পদ অনুপস্থিত। সুতরাং, ইহা একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\((1)\Rightarrow y-2=\pm 2\sqrt{(x-3)}\)
\(\therefore y=2\pm 2\sqrt{(x-3)}\)
এখন, \(x-3\geq 0\) হবে।
\(\therefore x\geq 3\)
এই সীমার মধ্যে \(x\)-এর কতিপয় মাণ নিয়ে প্রাপ্ত \(y\)-এর মাণ নির্ণয় করে একটি তালিকা তৈরী করি।
\(y^2=4y+4x-16\)
\(\Rightarrow y^2-4y=4x-16\)
\(\Rightarrow y^2-4y+4-4=4x-16\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=4x-16+4\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=4x-12\)
\(\therefore (y-2)^2=4(x-3).......(1)\)
\(\therefore Y^2=4X\) যেখানে, \(X=x-3, Y=y-2\)
এখানে,
\(4a=4\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=1\)
আবার,
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \((a, 0)\)
\(\therefore X=a, Y=0\)
\(\Rightarrow x-3=1, y-2=0\)
\(\Rightarrow x=3+1, y=2\)
\(\Rightarrow x=4, y=2\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্র \((4, 2)\)
নিয়ামকের সমীকরণ, \(X=-a\)
\(\Rightarrow x-3=-1\)
\(\Rightarrow x-3+1=0\)
\(\therefore x-2=0\)
\((1)\) নং সমীকরণে, \(y^2\) সম্বলিত পদ বিদ্যমান কিন্তু \(x^2\) সম্বলিত পদ অনুপস্থিত। সুতরাং, ইহা একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\((1)\Rightarrow y-2=\pm 2\sqrt{(x-3)}\)
\(\therefore y=2\pm 2\sqrt{(x-3)}\)
এখন, \(x-3\geq 0\) হবে।
\(\therefore x\geq 3\)
এই সীমার মধ্যে \(x\)-এর কতিপয় মাণ নিয়ে প্রাপ্ত \(y\)-এর মাণ নির্ণয় করে একটি তালিকা তৈরী করি।
| \(x\) | \(19\) | \(12\) | \(7\) | \(3\) |
| \(y\) | \(10,-6\) | \(8,-4\) | \(6,-2\) | \(2\) |
উপরের টেবিল হতে প্রাপ্ত \((19, 10), (19, -6), (12, 8),(12, -4), (7, 6), (7, -2), (3, 2) \) বিন্দুগুলি পরাবৃত্তের উপর অবস্থিত।
এখন, \(XO\acute{X}\) কে \(X\) অক্ষ এবং \(YO\acute{Y}\) কে \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে \(xy\) তলে উপরোক্ত বিন্দুসমুহ বসিয়ে সংযোগ করে পাশের লেখচিত্রটি পাই। অতপর পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা চিহ্নিত করা হলো।
এখন, \(XO\acute{X}\) কে \(X\) অক্ষ এবং \(YO\acute{Y}\) কে \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে \(xy\) তলে উপরোক্ত বিন্দুসমুহ বসিয়ে সংযোগ করে পাশের লেখচিত্রটি পাই। অতপর পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা চিহ্নিত করা হলো।
\(Q.1.(iii)\) নিম্নলিখিত কনিকগুলির আকার কি হবে তা কারণসহ উল্লেখ কর। এদের স্কেচ অঙ্কন করে উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকরেখা চিহ্নিত কর।
\((c)\) \(16x^2+25y^2=400\)
উত্তরঃ উপবৃত্ত।
\((c)\) \(16x^2+25y^2=400\)
উত্তরঃ উপবৃত্ত।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
\(16x^2+25y^2=400\)
\(\Rightarrow \frac{16x^2}{400}+\frac{25y^2}{400}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(400\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1.......(1)\)
এখানে,
\(a^2=25,b^2=16\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=5,b=4\)
\(\therefore a>b\)
আবার,
\(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{16}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{25-16}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{9}{25}}\)
\(=\frac{3}{5}\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 5\times \frac{3}{5}, 0)\)
\(\therefore (\pm 3, 0)\)
নিয়ামকের সমীকরণ, \(x=\pm \frac{5}{\frac{3}{5}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{25}{3}\)
\(\therefore 3x=\pm 25\)
\((1)\) নং সমীকরণে, \(x^2\) ও \(y^2\) যুক্ত পদ বিদ্যমান। \(x^2\) ও \(y^2\) যুক্ত পদের সহগ অসমান ও অভিন্ন চিহ্নযুক্ত। সুতরাং, ইহা একটি উপবৃত্তের সমীকরণ।
\((1)\Rightarrow \frac{y^2}{16}=1-\frac{x^2}{25}\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{16}=\frac{25-x^2}{25}\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{16}{25}(25-x^2)\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{4}{5}\sqrt{(25-x^2)}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{4}{5}\sqrt{(5^2-x^2)}\)
\(\therefore y=\pm \frac{4}{5}\sqrt{(5-x)(5+x)}\)
এখন, \((5-x)(5+x)\geq 0\) হবে।
\(\Rightarrow 5-x\geq 0,5+x\geq 0\) বা, \(5-x\leq 0,5+x\leq 0\)
\(\Rightarrow x-5\leq 0,5+x\geq 0\) বা, \(x-5\geq 0,5+x\leq 0\)
\(\Rightarrow x\leq 5,x\geq -5\) বা, \(x\geq 5,x\leq -5\)
\(\Rightarrow x\leq 5,x\geq -5 \)
\(\therefore 5\geq x\geq -5 \)
এই সীমার মধ্যে \(x\)-এর কতিপয় মাণ নিয়ে প্রাপ্ত \(y\)-এর মাণ নির্ণয় করে একটি তালিকা তৈরী করি।
\(16x^2+25y^2=400\)
\(\Rightarrow \frac{16x^2}{400}+\frac{25y^2}{400}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(400\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1.......(1)\)
এখানে,
\(a^2=25,b^2=16\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=5,b=4\)
\(\therefore a>b\)
আবার,
\(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{16}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{25-16}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{9}{25}}\)
\(=\frac{3}{5}\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 5\times \frac{3}{5}, 0)\)
\(\therefore (\pm 3, 0)\)
নিয়ামকের সমীকরণ, \(x=\pm \frac{5}{\frac{3}{5}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{25}{3}\)
\(\therefore 3x=\pm 25\)
\((1)\) নং সমীকরণে, \(x^2\) ও \(y^2\) যুক্ত পদ বিদ্যমান। \(x^2\) ও \(y^2\) যুক্ত পদের সহগ অসমান ও অভিন্ন চিহ্নযুক্ত। সুতরাং, ইহা একটি উপবৃত্তের সমীকরণ।
\((1)\Rightarrow \frac{y^2}{16}=1-\frac{x^2}{25}\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{16}=\frac{25-x^2}{25}\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{16}{25}(25-x^2)\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{4}{5}\sqrt{(25-x^2)}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{4}{5}\sqrt{(5^2-x^2)}\)
\(\therefore y=\pm \frac{4}{5}\sqrt{(5-x)(5+x)}\)
এখন, \((5-x)(5+x)\geq 0\) হবে।
\(\Rightarrow 5-x\geq 0,5+x\geq 0\) বা, \(5-x\leq 0,5+x\leq 0\)
\(\Rightarrow x-5\leq 0,5+x\geq 0\) বা, \(x-5\geq 0,5+x\leq 0\)
\(\Rightarrow x\leq 5,x\geq -5\) বা, \(x\geq 5,x\leq -5\)
\(\Rightarrow x\leq 5,x\geq -5 \)
\(\therefore 5\geq x\geq -5 \)
এই সীমার মধ্যে \(x\)-এর কতিপয় মাণ নিয়ে প্রাপ্ত \(y\)-এর মাণ নির্ণয় করে একটি তালিকা তৈরী করি।
| \(x\) | \(5\) | \(3\) | \(0\) | \(-3\) | \(-5\) |
| \(y\) | \(0\) | \(\pm 3.2\) | \(\pm 4\) | \(\pm 3.2\) | \(0\) |
উপরের টেবিল হতে প্রাপ্ত \((5, 0), (3, 3.2), (3, -3.2),(0, 4), (0, -4), (-3, 3.2), (-3, -3.2) , (-5, 0)\) বিন্দুগুলি উপবৃত্তের উপর অবস্থিত।
এখন, \(XO\acute{X}\) কে \(X\) অক্ষ এবং \(YO\acute{Y}\) কে \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে \(xy\) তলে উপরোক্ত বিন্দুসমুহ বসিয়ে সংযোগ করে পাশের লেখচিত্রটি পাই। অতপর উপবৃত্তের উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা চিহ্নিত করা হলো।
এখন, \(XO\acute{X}\) কে \(X\) অক্ষ এবং \(YO\acute{Y}\) কে \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে \(xy\) তলে উপরোক্ত বিন্দুসমুহ বসিয়ে সংযোগ করে পাশের লেখচিত্রটি পাই। অতপর উপবৃত্তের উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা চিহ্নিত করা হলো।
\(Q.1.(iii)\) নিম্নলিখিত কনিকগুলির আকার কি হবে তা কারণসহ উল্লেখ কর। এদের স্কেচ অঙ্কন করে উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকরেখা চিহ্নিত কর।
\((d)\) \(9x^2+108x+25y^2-150y+324=0\)
উত্তরঃ উপবৃত্ত।
\((d)\) \(9x^2+108x+25y^2-150y+324=0\)
উত্তরঃ উপবৃত্ত।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
\(9x^2+108x+25y^2-150y+324=0\)
\(\Rightarrow 9(x^2+12x)+25(y^2-6y)+324=0\)
\(\Rightarrow 9(x^2+12x+36-36)+25(y^2-6y+9-9)+324=0\)
\(\Rightarrow 9(x^2+12x+36)-234+25(y^2-6y+9)\)\(-225+324=0\)
\(\Rightarrow 9(x+6)^2+25(y-3)^2-225=0\)
\(\Rightarrow 9(x+6)^2+25(y-3)^2=225\)
\(\Rightarrow \frac{9(x+6)^2}{225}+\frac{25(y-3)^2}{225}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(225\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{(x+6)^2}{25}+\frac{(y-3)^2}{9}=1.......(1)\)
\(\therefore \frac{X^2}{25}+\frac{Y^2}{9}=1\) যেখানে, \(X=x+6, Y=y-3\)
এখানে,
\(a^2=25,b^2=9\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=5,b=3\)
\(\therefore a>b\)
আবার,
\(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{9}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{25-9}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{16}{25}}\)
\(=\frac{4}{5}\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
\(\therefore X=\pm ae, Y=0\)
\(\Rightarrow x+6=\pm 5\times \frac{4}{5}, y-3=0\)
\(\Rightarrow x+6=\pm 4, y=3\)
\(\Rightarrow x=-6\pm 4, y=3\)
\(\Rightarrow x=-6+4,-6-4, y=3\)
\(\Rightarrow x=-2,-10, y=3\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্র \((-2, 3), (-10, 3)\)
নিয়ামকের সমীকরণ, \(X=\pm \frac{5}{\frac{4}{5}}\)
\(\Rightarrow x+6=\pm \frac{25}{4}\)
\(\Rightarrow 4x+24=\pm 25\)
\(\Rightarrow 4x=-24\pm 25\)
\(\Rightarrow 4x=-24+25, 4x=-24-25\)
\(\Rightarrow 4x=1, 4x=-49\)
\(\therefore 4x-1=0, 4x+49=0\)
\((1)\) নং সমীকরণে, \(x^2\) ও \(y^2\) যুক্ত পদ বিদ্যমান। \(x^2\) ও \(y^2\) যুক্ত পদের সহগ অসমান ও অভিন্ন চিহ্নযুক্ত। সুতরাং, ইহা একটি উপবৃত্তের সমীকরণ।
\((1)\Rightarrow \frac{(y-3)^2}{9}=1-\frac{(x+6)^2}{25}\)
\(\Rightarrow \frac{(y-3)^2}{9}=\frac{25-(x+6)^2}{25}\)
\(\Rightarrow (y-3)^2=\frac{9}{25}\{25-(x+6)^2\}\)
\(\Rightarrow y-3=\pm \frac{3}{5}\sqrt{\{25-(x+6)^2\}}\)
\(\Rightarrow y=3\pm \frac{3}{5}\sqrt{\{5^2-(x+6)^2\}}\)
\(\Rightarrow y=3\pm \frac{3}{5}\sqrt{(5-x-6)(5+x+6)}\)
\(\therefore y=3\pm \frac{3}{5}\sqrt{(-1-x)(x+11)}\)
এখন, \((-1-x)(x+11)\geq 0\) হবে।
\(\Rightarrow -1-x\geq 0,x+11\geq 0\) বা, \(-1-x\leq 0,x+11\leq 0\)
\(\Rightarrow x+1\leq 0,x+11\geq 0\) বা, \(x+1\geq 0,x+11\leq 0\)
\(\Rightarrow x\leq -1,x\geq -11\) বা, \(x\geq -1,x\leq -11\)
\(\Rightarrow x\leq -1,x\geq -11\)
\(\therefore -1\geq x\geq -11 \)
এই সীমার মধ্যে \(x\)-এর কতিপয় মাণ নিয়ে প্রাপ্ত \(y\)-এর মাণ নির্ণয় করে একটি তালিকা তৈরী করি।
\(9x^2+108x+25y^2-150y+324=0\)
\(\Rightarrow 9(x^2+12x)+25(y^2-6y)+324=0\)
\(\Rightarrow 9(x^2+12x+36-36)+25(y^2-6y+9-9)+324=0\)
\(\Rightarrow 9(x^2+12x+36)-234+25(y^2-6y+9)\)\(-225+324=0\)
\(\Rightarrow 9(x+6)^2+25(y-3)^2-225=0\)
\(\Rightarrow 9(x+6)^2+25(y-3)^2=225\)
\(\Rightarrow \frac{9(x+6)^2}{225}+\frac{25(y-3)^2}{225}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(225\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{(x+6)^2}{25}+\frac{(y-3)^2}{9}=1.......(1)\)
\(\therefore \frac{X^2}{25}+\frac{Y^2}{9}=1\) যেখানে, \(X=x+6, Y=y-3\)
এখানে,
\(a^2=25,b^2=9\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=5,b=3\)
\(\therefore a>b\)
আবার,
\(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{9}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{25-9}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{16}{25}}\)
\(=\frac{4}{5}\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
\(\therefore X=\pm ae, Y=0\)
\(\Rightarrow x+6=\pm 5\times \frac{4}{5}, y-3=0\)
\(\Rightarrow x+6=\pm 4, y=3\)
\(\Rightarrow x=-6\pm 4, y=3\)
\(\Rightarrow x=-6+4,-6-4, y=3\)
\(\Rightarrow x=-2,-10, y=3\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্র \((-2, 3), (-10, 3)\)
নিয়ামকের সমীকরণ, \(X=\pm \frac{5}{\frac{4}{5}}\)
\(\Rightarrow x+6=\pm \frac{25}{4}\)
\(\Rightarrow 4x+24=\pm 25\)
\(\Rightarrow 4x=-24\pm 25\)
\(\Rightarrow 4x=-24+25, 4x=-24-25\)
\(\Rightarrow 4x=1, 4x=-49\)
\(\therefore 4x-1=0, 4x+49=0\)
\((1)\) নং সমীকরণে, \(x^2\) ও \(y^2\) যুক্ত পদ বিদ্যমান। \(x^2\) ও \(y^2\) যুক্ত পদের সহগ অসমান ও অভিন্ন চিহ্নযুক্ত। সুতরাং, ইহা একটি উপবৃত্তের সমীকরণ।
\((1)\Rightarrow \frac{(y-3)^2}{9}=1-\frac{(x+6)^2}{25}\)
\(\Rightarrow \frac{(y-3)^2}{9}=\frac{25-(x+6)^2}{25}\)
\(\Rightarrow (y-3)^2=\frac{9}{25}\{25-(x+6)^2\}\)
\(\Rightarrow y-3=\pm \frac{3}{5}\sqrt{\{25-(x+6)^2\}}\)
\(\Rightarrow y=3\pm \frac{3}{5}\sqrt{\{5^2-(x+6)^2\}}\)
\(\Rightarrow y=3\pm \frac{3}{5}\sqrt{(5-x-6)(5+x+6)}\)
\(\therefore y=3\pm \frac{3}{5}\sqrt{(-1-x)(x+11)}\)
এখন, \((-1-x)(x+11)\geq 0\) হবে।
\(\Rightarrow -1-x\geq 0,x+11\geq 0\) বা, \(-1-x\leq 0,x+11\leq 0\)
\(\Rightarrow x+1\leq 0,x+11\geq 0\) বা, \(x+1\geq 0,x+11\leq 0\)
\(\Rightarrow x\leq -1,x\geq -11\) বা, \(x\geq -1,x\leq -11\)
\(\Rightarrow x\leq -1,x\geq -11\)
\(\therefore -1\geq x\geq -11 \)
এই সীমার মধ্যে \(x\)-এর কতিপয় মাণ নিয়ে প্রাপ্ত \(y\)-এর মাণ নির্ণয় করে একটি তালিকা তৈরী করি।
| \(x\) | \(-11\) | \(-9\) | \(-5\) | \(-3\) | \(-1\) |
| \(y\) | \(3\) | \(5.4,0.6\) | \(5.9,0.06\) | \(5.4,0.6\) | \(3\) |
উপরের টেবিল হতে প্রাপ্ত \((-11, 3), (-9, 5.4), (-9, 0.6), (-5, 5.9), (-5, 0.06), (-3, 5.4), (-3, 0.6) , (-1, 3)\) বিন্দুগুলি উপবৃত্তের উপর অবস্থিত।
এখন, \(XO\acute{X}\) কে \(X\) অক্ষ এবং \(YO\acute{Y}\) কে \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে \(xy\) তলে উপরোক্ত বিন্দুসমুহ বসিয়ে সংযোগ করে পাশের লেখচিত্রটি পাই। অতপর উপবৃত্তের উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা চিহ্নিত করা হলো।
এখন, \(XO\acute{X}\) কে \(X\) অক্ষ এবং \(YO\acute{Y}\) কে \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে \(xy\) তলে উপরোক্ত বিন্দুসমুহ বসিয়ে সংযোগ করে পাশের লেখচিত্রটি পাই। অতপর উপবৃত্তের উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা চিহ্নিত করা হলো।
\(Q.1.(iii)\) নিম্নলিখিত কনিকগুলির আকার কি হবে তা কারণসহ উল্লেখ কর। এদের স্কেচ অঙ্কন করে উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকরেখা চিহ্নিত কর।
\((e)\) \(25x^2-16y^2=400\)
উত্তরঃ অধিবৃত্ত।
\((e)\) \(25x^2-16y^2=400\)
উত্তরঃ অধিবৃত্ত।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
\(25x^2-16y^2=400\)
\(\Rightarrow \frac{25x^2}{400}-\frac{16y^2}{400}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(400\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{25}=1.......(1)\)
এখানে,
\(a^2=16,b^2=25\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=4,b=5\)
আবার,
\(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{25}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{16+25}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{41}{16}}\)
\(=\frac{\sqrt{41}}{4}\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 4\times \frac{\sqrt{41}}{4}, 0)\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্র \((\pm \sqrt{41}, 0))\)
নিয়ামকের সমীকরণ, \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{4}{\frac{\sqrt{41}}{4}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{16}{\sqrt{41}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{41}x=\pm 16\)
\(\therefore \sqrt{41}x\pm 16=0\)
\((1)\) নং সমীকরণে, \(x^2\) ও \(y^2\) যুক্ত পদ বিদ্যমান। \(x^2\) ও \(y^2\) যুক্ত পদের সহগ অসমান ও ভিন্ন চিহ্নযুক্ত। সুতরাং, ইহা একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\((1)\Rightarrow \frac{x^2}{16}-1=\frac{y^2}{25}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2-16}{16}=\frac{y^2}{25}\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{25}=\frac{x^2-16}{16}\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{25}{16}(x^2-16)\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{5}{4}\sqrt{(x^2-4^2)}\)
\(\therefore y=\pm \frac{5}{4}\sqrt{(x-4)(x+4)}\)
এখন, \((x-4)(x+4)\geq 0\) হবে।
\(\Rightarrow x-4\geq 0,x+4\geq 0\) বা, \(x-4\leq 0,x+4\leq 0\)
\(\Rightarrow x\geq 4,x\geq -4\) বা, \(x\leq 4,x\leq -4\)
\(\therefore x\geq 4\) বা, \(x\leq -4\)
এই সীমার মধ্যে \(x\)-এর কতিপয় মাণ নিয়ে প্রাপ্ত \(y\)-এর মাণ নির্ণয় করে একটি তালিকা তৈরী করি।
\(25x^2-16y^2=400\)
\(\Rightarrow \frac{25x^2}{400}-\frac{16y^2}{400}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(400\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{25}=1.......(1)\)
এখানে,
\(a^2=16,b^2=25\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=4,b=5\)
আবার,
\(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{25}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{16+25}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{41}{16}}\)
\(=\frac{\sqrt{41}}{4}\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 4\times \frac{\sqrt{41}}{4}, 0)\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্র \((\pm \sqrt{41}, 0))\)
নিয়ামকের সমীকরণ, \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{4}{\frac{\sqrt{41}}{4}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{16}{\sqrt{41}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{41}x=\pm 16\)
\(\therefore \sqrt{41}x\pm 16=0\)
\((1)\) নং সমীকরণে, \(x^2\) ও \(y^2\) যুক্ত পদ বিদ্যমান। \(x^2\) ও \(y^2\) যুক্ত পদের সহগ অসমান ও ভিন্ন চিহ্নযুক্ত। সুতরাং, ইহা একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\((1)\Rightarrow \frac{x^2}{16}-1=\frac{y^2}{25}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2-16}{16}=\frac{y^2}{25}\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{25}=\frac{x^2-16}{16}\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{25}{16}(x^2-16)\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{5}{4}\sqrt{(x^2-4^2)}\)
\(\therefore y=\pm \frac{5}{4}\sqrt{(x-4)(x+4)}\)
এখন, \((x-4)(x+4)\geq 0\) হবে।
\(\Rightarrow x-4\geq 0,x+4\geq 0\) বা, \(x-4\leq 0,x+4\leq 0\)
\(\Rightarrow x\geq 4,x\geq -4\) বা, \(x\leq 4,x\leq -4\)
\(\therefore x\geq 4\) বা, \(x\leq -4\)
এই সীমার মধ্যে \(x\)-এর কতিপয় মাণ নিয়ে প্রাপ্ত \(y\)-এর মাণ নির্ণয় করে একটি তালিকা তৈরী করি।
| \(x\) | \(4\) | \(6\) | \(8\) | \(-4\) | \(-6\) | \(-8\) |
| \(y\) | \(0\) | \(\pm 5.59\) | \(\pm 8.66\) | \(0\) | \(\pm 5.59\) | \(\pm 8.66\) |
উপরের টেবিল হতে প্রাপ্ত \((4, 0),(6, 5.59) , (6, -5.59), (8, 8.66), (8, -8.66), (-4, 0),(-6, 5.59) , (-6, -5.59), (-8, 8.66), (-8, -8.66) \) বিন্দুগুলি অধিবৃত্তের উপর অবস্থিত।
এখন, \(XO\acute{X}\) কে \(X\) অক্ষ এবং \(YO\acute{Y}\) কে \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে \(xy\) তলে উপরোক্ত বিন্দুসমুহ বসিয়ে সংযোগ করে পাশের লেখচিত্রটি পাই। অতপর অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা চিহ্নিত করা হলো।
এখন, \(XO\acute{X}\) কে \(X\) অক্ষ এবং \(YO\acute{Y}\) কে \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে \(xy\) তলে উপরোক্ত বিন্দুসমুহ বসিয়ে সংযোগ করে পাশের লেখচিত্রটি পাই। অতপর অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা চিহ্নিত করা হলো।
\(Q.1.(iii)\) নিম্নলিখিত কনিকগুলির আকার কি হবে তা কারণসহ উল্লেখ কর। এদের স্কেচ অঙ্কন করে উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকরেখা চিহ্নিত কর।
\((f)\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1\)
উত্তরঃ অধিবৃত্ত।
\((f)\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1\)
উত্তরঃ অধিবৃত্ত।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1.......(1)\)
এখানে,
\(a^2=9,b^2=7\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=3,b=\sqrt{7}\)
আবার,
\(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{7}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{9+7}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{16}{9}}\)
\(=\frac{4}{3}\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 3\times \frac{4}{3}, 0)\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্র \((\pm 4, 0))\)
নিয়ামকের সমীকরণ, \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{3}{\frac{4}{3}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow 4x=\pm 9\)
\(\therefore 4x\pm 9=0\)
\((1)\) নং সমীকরণে, \(x^2\) ও \(y^2\) যুক্ত পদ বিদ্যমান। \(x^2\) ও \(y^2\) যুক্ত পদের সহগ অসমান ও ভিন্ন চিহ্নযুক্ত। সুতরাং, ইহা একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\((1)\Rightarrow \frac{x^2}{9}-1=\frac{y^2}{7}\)
\((1)\Rightarrow \frac{x^2-9}{9}=\frac{y^2}{7}\)
\((1)\Rightarrow \frac{y^2}{7}=\frac{x^2-9}{9}\)
\((1)\Rightarrow y^2=\frac{7}{9}(x^2-9)\)
\((1)\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{7}}{3}(x^2-3^2)\)
\(\therefore y=\pm \frac{\sqrt{7}}{3}\sqrt{(x-3)(x+3)}\)
এখন, \((x-3)(x+3)\geq 0\) হবে।
\(\Rightarrow x-3\geq 0,x+3\geq 0\) বা, \(x-3\leq 0,x+3\leq 0\)
\(\Rightarrow x\geq 3,x\geq -3\) বা, \(x\leq 3,x\leq -3\)
\(\therefore x\geq 3\) বা, \(x\leq -3\)
এই সীমার মধ্যে \(x\)-এর কতিপয় মাণ নিয়ে প্রাপ্ত \(y\)-এর মাণ নির্ণয় করে একটি তালিকা তৈরী করি।
\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1.......(1)\)
এখানে,
\(a^2=9,b^2=7\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=3,b=\sqrt{7}\)
আবার,
\(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{7}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{9+7}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{16}{9}}\)
\(=\frac{4}{3}\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 3\times \frac{4}{3}, 0)\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্র \((\pm 4, 0))\)
নিয়ামকের সমীকরণ, \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{3}{\frac{4}{3}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow 4x=\pm 9\)
\(\therefore 4x\pm 9=0\)
\((1)\) নং সমীকরণে, \(x^2\) ও \(y^2\) যুক্ত পদ বিদ্যমান। \(x^2\) ও \(y^2\) যুক্ত পদের সহগ অসমান ও ভিন্ন চিহ্নযুক্ত। সুতরাং, ইহা একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\((1)\Rightarrow \frac{x^2}{9}-1=\frac{y^2}{7}\)
\((1)\Rightarrow \frac{x^2-9}{9}=\frac{y^2}{7}\)
\((1)\Rightarrow \frac{y^2}{7}=\frac{x^2-9}{9}\)
\((1)\Rightarrow y^2=\frac{7}{9}(x^2-9)\)
\((1)\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{7}}{3}(x^2-3^2)\)
\(\therefore y=\pm \frac{\sqrt{7}}{3}\sqrt{(x-3)(x+3)}\)
এখন, \((x-3)(x+3)\geq 0\) হবে।
\(\Rightarrow x-3\geq 0,x+3\geq 0\) বা, \(x-3\leq 0,x+3\leq 0\)
\(\Rightarrow x\geq 3,x\geq -3\) বা, \(x\leq 3,x\leq -3\)
\(\therefore x\geq 3\) বা, \(x\leq -3\)
এই সীমার মধ্যে \(x\)-এর কতিপয় মাণ নিয়ে প্রাপ্ত \(y\)-এর মাণ নির্ণয় করে একটি তালিকা তৈরী করি।
| \(x\) | \(3\) | \(6\) | \(9\) | \(-3\) | \(-6\) | \(-9\) |
| \(y\) | \(0\) | \(\pm 4.58\) | \(\pm 7.48\) | \(0\) | \(\pm 4.58\) | \(\pm 7.48\) |
উপরের টেবিল হতে প্রাপ্ত \((3, 0),(6, 4.58) , (6, -4.58), (9, 7.48), (9, -7.48), (-3, 0),(-6, 4.58) , (-6, -4.58), (-9, 7.48), (-9, -7.48) \) বিন্দুগুলি অধিবৃত্তের উপর অবস্থিত।
এখন, \(XO\acute{X}\) কে \(X\) অক্ষ এবং \(YO\acute{Y}\) কে \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে \(xy\) তলে উপরোক্ত বিন্দুসমুহ বসিয়ে সংযোগ করে পাশের লেখচিত্রটি পাই। অতপর অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা চিহ্নিত করা হলো।
এখন, \(XO\acute{X}\) কে \(X\) অক্ষ এবং \(YO\acute{Y}\) কে \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে \(xy\) তলে উপরোক্ত বিন্দুসমুহ বসিয়ে সংযোগ করে পাশের লেখচিত্রটি পাই। অতপর অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা চিহ্নিত করা হলো।
\(Q.1.(iii)\) নিম্নলিখিত কনিকগুলির আকার কি হবে তা কারণসহ উল্লেখ কর। এদের স্কেচ অঙ্কন করে উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকরেখা চিহ্নিত কর।
\((g)\) \(\frac{5x^2}{36}-\frac{y^2}{4}=1\)
উত্তরঃ অধিবৃত্ত।
\((g)\) \(\frac{5x^2}{36}-\frac{y^2}{4}=1\)
উত্তরঃ অধিবৃত্ত।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
\(\frac{5x^2}{36}-\frac{y^2}{4}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{\frac{36}{5}}-\frac{y^2}{4}=1.......(1)\)
এখানে,
\(a^2=\frac{36}{5},b^2=4\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{6}{\sqrt{5}},b=2\)
আবার,
\(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{4}{\frac{36}{5}}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{20}{36}}\)
\(=\sqrt{\frac{20+36}{36}}\)
\(=\sqrt{\frac{56}{36}}\)
\(=\sqrt{\frac{14}{9}}\)
\(=\frac{\sqrt{14}}{3}\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm \frac{6}{\sqrt{5}}\times \frac{\sqrt{14}}{3}, 0)\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্র \((\pm \frac{2\sqrt{14}}{\sqrt{5}}, 0))\)
নিয়ামকের সমীকরণ, \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{\frac{6}{\sqrt{5}}}{\frac{\sqrt{14}}{3}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{18}{\sqrt{70}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{70}x=\pm 18\)
\(\therefore \sqrt{70}x\pm 18=0\)
\((1)\) নং সমীকরণে, \(x^2\) ও \(y^2\) যুক্ত পদ বিদ্যমান। \(x^2\) ও \(y^2\) যুক্ত পদের সহগ অসমান ও ভিন্ন চিহ্নযুক্ত। সুতরাং, ইহা একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\((1)\Rightarrow \frac{5x^2}{36}-\frac{y^2}{4}=1\)
\(\Rightarrow \frac{5x^2}{36}-1=\frac{y^2}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{5x^2-36}{36}=\frac{y^2}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{4}=\frac{5x^2-36}{36}\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{4}{36}(5x^2-36)\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{1}{9}(5x^2-36)\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{1}{3}\sqrt{\{(\sqrt{5}x)^2-6^2\}}\)
\(\therefore y=\pm \frac{1}{3}\sqrt{(\sqrt{5}x-6)(\sqrt{5}x+6)}\)
এখন, \((\sqrt{5}x-6)(\sqrt{5}x+6)\geq 0\) হবে।
\(\Rightarrow \sqrt{5}x-6\geq 0,\sqrt{5}x+6\geq 0\) বা, \(\sqrt{5}x-6\leq 0,\sqrt{5}x+6\leq 0\)
\(\Rightarrow \sqrt{5}x\geq 6,\sqrt{5}x\geq -6\) বা, \(\sqrt{5}x\leq 6,\sqrt{5}x\leq -6\)
\(\Rightarrow x\geq \frac{6}{\sqrt{5}},x\geq -\frac{6}{\sqrt{5}}\) বা, \(x\leq \frac{6}{\sqrt{5}},x\leq -\frac{6}{\sqrt{5}}\)
\(\therefore x\geq \frac{6}{\sqrt{5}}\) বা, \(x\leq -\frac{6}{\sqrt{5}}\)
এই সীমার মধ্যে \(x\)-এর কতিপয় মাণ নিয়ে প্রাপ্ত \(y\)-এর মাণ নির্ণয় করে একটি তালিকা তৈরী করি।
\(\frac{5x^2}{36}-\frac{y^2}{4}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{\frac{36}{5}}-\frac{y^2}{4}=1.......(1)\)
এখানে,
\(a^2=\frac{36}{5},b^2=4\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{6}{\sqrt{5}},b=2\)
আবার,
\(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{4}{\frac{36}{5}}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{20}{36}}\)
\(=\sqrt{\frac{20+36}{36}}\)
\(=\sqrt{\frac{56}{36}}\)
\(=\sqrt{\frac{14}{9}}\)
\(=\frac{\sqrt{14}}{3}\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm \frac{6}{\sqrt{5}}\times \frac{\sqrt{14}}{3}, 0)\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্র \((\pm \frac{2\sqrt{14}}{\sqrt{5}}, 0))\)
নিয়ামকের সমীকরণ, \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{\frac{6}{\sqrt{5}}}{\frac{\sqrt{14}}{3}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{18}{\sqrt{70}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{70}x=\pm 18\)
\(\therefore \sqrt{70}x\pm 18=0\)
\((1)\) নং সমীকরণে, \(x^2\) ও \(y^2\) যুক্ত পদ বিদ্যমান। \(x^2\) ও \(y^2\) যুক্ত পদের সহগ অসমান ও ভিন্ন চিহ্নযুক্ত। সুতরাং, ইহা একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\((1)\Rightarrow \frac{5x^2}{36}-\frac{y^2}{4}=1\)
\(\Rightarrow \frac{5x^2}{36}-1=\frac{y^2}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{5x^2-36}{36}=\frac{y^2}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{4}=\frac{5x^2-36}{36}\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{4}{36}(5x^2-36)\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{1}{9}(5x^2-36)\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{1}{3}\sqrt{\{(\sqrt{5}x)^2-6^2\}}\)
\(\therefore y=\pm \frac{1}{3}\sqrt{(\sqrt{5}x-6)(\sqrt{5}x+6)}\)
এখন, \((\sqrt{5}x-6)(\sqrt{5}x+6)\geq 0\) হবে।
\(\Rightarrow \sqrt{5}x-6\geq 0,\sqrt{5}x+6\geq 0\) বা, \(\sqrt{5}x-6\leq 0,\sqrt{5}x+6\leq 0\)
\(\Rightarrow \sqrt{5}x\geq 6,\sqrt{5}x\geq -6\) বা, \(\sqrt{5}x\leq 6,\sqrt{5}x\leq -6\)
\(\Rightarrow x\geq \frac{6}{\sqrt{5}},x\geq -\frac{6}{\sqrt{5}}\) বা, \(x\leq \frac{6}{\sqrt{5}},x\leq -\frac{6}{\sqrt{5}}\)
\(\therefore x\geq \frac{6}{\sqrt{5}}\) বা, \(x\leq -\frac{6}{\sqrt{5}}\)
এই সীমার মধ্যে \(x\)-এর কতিপয় মাণ নিয়ে প্রাপ্ত \(y\)-এর মাণ নির্ণয় করে একটি তালিকা তৈরী করি।
| \(x\) | \(2.68\) | \(5\) | \(8\) | \(-2.68\) | \(-5\) | \(-8\) |
| \(y\) | \(0\) | \(\pm 3.14\) | \(\pm 5.62\) | \(0\) | \(\pm 3.14\) | \(\pm 5.62\) |
উপরের টেবিল হতে প্রাপ্ত \((2.68, 0),(5, 3.14) , (5, -3.14), (8, 5.62), (8, -5.62), (-2.68, 0),(-5, 3.14) , (-5, -3.14), (-8, 5.62), (-8, -5.62) \) বিন্দুগুলি অধিবৃত্তের উপর অবস্থিত।
এখন, \(XO\acute{X}\) কে \(X\) অক্ষ এবং \(YO\acute{Y}\) কে \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে \(xy\) তলে উপরোক্ত বিন্দুসমুহ বসিয়ে সংযোগ করে পাশের লেখচিত্রটি পাই। অতপর অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা চিহ্নিত করা হলো।
এখন, \(XO\acute{X}\) কে \(X\) অক্ষ এবং \(YO\acute{Y}\) কে \(Y\) অক্ষ বিবেচনা করে \(xy\) তলে উপরোক্ত বিন্দুসমুহ বসিয়ে সংযোগ করে পাশের লেখচিত্রটি পাই। অতপর অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র ও নিয়ামকরেখা চিহ্নিত করা হলো।
\(Q.1.(iv)\) \(x^2-2y^2-2x+8y-13=0\) সমীকরণদ্বারা সূচিত কনিকের প্রকৃতি নির্ণয় কর এবং কেন্দ্র, অক্ষদ্বয়ের সমীকরণ ও দৈর্ঘ্য এবং উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ অধিবৃত্ত ; \((1, 2), 2\sqrt{6},2\sqrt{3}, y-2=0, x-1=0\)
উত্তরঃ অধিবৃত্ত ; \((1, 2), 2\sqrt{6},2\sqrt{3}, y-2=0, x-1=0\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
কনিকের সমীকরণ, \(x^2-2y^2-2x+8y-13=0\)
\(\Rightarrow x^2-2x-2y^2+8y-13=0\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1-1-2(y^2-4y)-13=0\)
\(\Rightarrow (x-1)^2-1-2(y^2-4y+4-4)-13=0\)
\(\Rightarrow (x-1)^2-2(y^2-4y+4)+8-14=0\)
\(\Rightarrow (x-1)^2-2(y-2)^2-6=0\)
\(\Rightarrow (x-1)^2-2(y-2)^2=6\)
\(\Rightarrow \frac{(x-1)^2}{6}-\frac{2(y-2)^2}{6}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(6\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{(x-1)^2}{6}-\frac{(y-2)^2}{3}=1\)
ধরি,
\(X=x-1, Y=y-2\)
\(\therefore \frac{X^2}{6}-\frac{Y^2}{3}=1 ....(1)\) ➜ যা \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর অনুরূপ ।
\(\therefore \) সমীকরণটি একটি অধিবৃত্ত নির্দেশ করে।
এখানে,
\(a^2=6, b^2=3\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=\sqrt{6}, b=\sqrt{3}\)
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{3}{6}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{2+1}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{3}{2}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\)
\(\therefore X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x-1=0, y-2=0\)
\(\therefore x=1, y=2\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \((1, 2)\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a=2\sqrt{6}\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2\sqrt{3}\)
আড় অক্ষের সমীকরণ, \(Y=0\)
\(\therefore y-2=0\)
অনুবন্ধী অক্ষের সমীকরণ, \(X=0\)
\(\therefore x-1=0\)
কনিকের সমীকরণ, \(x^2-2y^2-2x+8y-13=0\)
\(\Rightarrow x^2-2x-2y^2+8y-13=0\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1-1-2(y^2-4y)-13=0\)
\(\Rightarrow (x-1)^2-1-2(y^2-4y+4-4)-13=0\)
\(\Rightarrow (x-1)^2-2(y^2-4y+4)+8-14=0\)
\(\Rightarrow (x-1)^2-2(y-2)^2-6=0\)
\(\Rightarrow (x-1)^2-2(y-2)^2=6\)
\(\Rightarrow \frac{(x-1)^2}{6}-\frac{2(y-2)^2}{6}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(6\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{(x-1)^2}{6}-\frac{(y-2)^2}{3}=1\)
ধরি,
\(X=x-1, Y=y-2\)
\(\therefore \frac{X^2}{6}-\frac{Y^2}{3}=1 ....(1)\) ➜ যা \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর অনুরূপ ।
\(\therefore \) সমীকরণটি একটি অধিবৃত্ত নির্দেশ করে।
এখানে,
\(a^2=6, b^2=3\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=\sqrt{6}, b=\sqrt{3}\)
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{3}{6}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{2+1}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{3}{2}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\)
\(\therefore X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x-1=0, y-2=0\)
\(\therefore x=1, y=2\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \((1, 2)\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a=2\sqrt{6}\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2\sqrt{3}\)
আড় অক্ষের সমীকরণ, \(Y=0\)
\(\therefore y-2=0\)
অনুবন্ধী অক্ষের সমীকরণ, \(X=0\)
\(\therefore x-1=0\)
\(Q.1.(vi)\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক, নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ২০১৫,২০১১,২০০৭;রাঃ২০০৬,২০১২;দিঃ২০০৬;চঃ২০১৫;যঃ২০১০,২০০৫;মাঃ২০১০ ]
উত্তরঃ \( (\pm 5, 0); 5x\pm 9=0\)
[ ঢাঃ২০১৫,২০১১,২০০৭;রাঃ২০০৬,২০১২;দিঃ২০০৬;চঃ২০১৫;যঃ২০১০,২০০৫;মাঃ২০১০ ]
উত্তরঃ \( (\pm 5, 0); 5x\pm 9=0\)
সমাধানঃ
ধরি, 
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1 ........(1)\)
এখানে,
\(a^2=9, b^2=16\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=4\)
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{16}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{9+16}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{25}{9}}\)
\(=\frac{5}{3}\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 3\times \frac{5}{3}, 0)\)
\(\therefore (\pm 5, 0)\)
অধিবৃত্তের নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ, \( x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{3}{\frac{5}{3}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{9}{5}\)
\(\Rightarrow 5x=\pm 9\)
\(\therefore 5x\pm 9=0\)
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1 ........(1)\)
এখানে,
\(a^2=9, b^2=16\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=4\)
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{16}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{9+16}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{25}{9}}\)
\(=\frac{5}{3}\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 3\times \frac{5}{3}, 0)\)
\(\therefore (\pm 5, 0)\)
অধিবৃত্তের নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ, \( x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{3}{\frac{5}{3}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{9}{5}\)
\(\Rightarrow 5x=\pm 9\)
\(\therefore 5x\pm 9=0\)
\(Q.1.(vii)\) \(\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1\) অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ চঃ২০০৫;যঃ২০১২;সিঃ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(\frac{13}{12}; (\pm 13, 0)\)
[ চঃ২০০৫;যঃ২০১২;সিঃ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(\frac{13}{12}; (\pm 13, 0)\)
সমাধানঃ
ধরি, 
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1 ........(1)\)
এখানে,
\(a^2=144, b^2=25\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=12, b=5\)
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{25}{144}}\)
\(=\sqrt{\frac{144+25}{144}}\)
\(=\sqrt{\frac{169}{144}}\)
\(=\frac{13}{12}\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 12\times \frac{13}{12}, 0)\)
\(\therefore (\pm 13, 0)\)
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1 ........(1)\)
এখানে,
\(a^2=144, b^2=25\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=12, b=5\)
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{25}{144}}\)
\(=\sqrt{\frac{144+25}{144}}\)
\(=\sqrt{\frac{169}{144}}\)
\(=\frac{13}{12}\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 12\times \frac{13}{12}, 0)\)
\(\therefore (\pm 13, 0)\)
\(Q.1.(ix)\) \(25x^2-16y^2=400\) অধিবৃত্তের কেন্দ্র, উৎকেন্দ্রিকতা এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((0, 0); \frac{\sqrt{41}}{4}; (\pm \sqrt{41}, 0)\)
উত্তরঃ \((0, 0); \frac{\sqrt{41}}{4}; (\pm \sqrt{41}, 0)\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে , 
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(25x^2-16y^2=400\)
\(\Rightarrow \frac{25x^2}{400}-\frac{16y^2}{400}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(400\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{25}=1\)
এখানে, \(a^2=16, b^2=25\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4, b=5\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{25}{16}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{25+16}{16}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{41}{16}}\)
\(\therefore e=\frac{\sqrt{41}}{4}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm 4\times \frac{\sqrt{41}}{4})\)
\(\therefore (\pm \sqrt{41}, 0)\)
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(25x^2-16y^2=400\)
\(\Rightarrow \frac{25x^2}{400}-\frac{16y^2}{400}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(400\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{25}=1\)
এখানে, \(a^2=16, b^2=25\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4, b=5\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{25}{16}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{25+16}{16}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{41}{16}}\)
\(\therefore e=\frac{\sqrt{41}}{4}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm 4\times \frac{\sqrt{41}}{4})\)
\(\therefore (\pm \sqrt{41}, 0)\)
\(Q.1.(x)\) \(16x^2-9y^2=144\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র , উৎকেন্দ্রিকতা এবং নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ সিঃ২০০৯ ]
উত্তরঃ \((\pm 5, 0); \frac{5}{3}; 5x\pm 9=0\)
[ সিঃ২০০৯ ]
উত্তরঃ \((\pm 5, 0); \frac{5}{3}; 5x\pm 9=0\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে , 
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(16x^2-9y^2=144\)
\(\Rightarrow \frac{16x^2}{144}-\frac{9y^2}{144}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(144\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)
এখানে, \(a^2=9, b^2=16\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=4\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{16}{9}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{9+16}{9}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{25}{9}}\)
\(\therefore e=\frac{5}{3}\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm 3\times \frac{5}{3})\)
\(\therefore (\pm 5, 0)\)
নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{3}{\frac{5}{3}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{9}{5}\)
\(\Rightarrow 5x=\pm 9\)
\(\therefore 5x\pm 9=0\)
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(16x^2-9y^2=144\)
\(\Rightarrow \frac{16x^2}{144}-\frac{9y^2}{144}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(144\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)
এখানে, \(a^2=9, b^2=16\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=4\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{16}{9}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{9+16}{9}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{25}{9}}\)
\(\therefore e=\frac{5}{3}\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm 3\times \frac{5}{3})\)
\(\therefore (\pm 5, 0)\)
নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{3}{\frac{5}{3}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{9}{5}\)
\(\Rightarrow 5x=\pm 9\)
\(\therefore 5x\pm 9=0\)
\(Q.1.(xi)\) \(4y^2-5x^2=20\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র , উৎকেন্দ্রিকতা এবং নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[চঃ২০০৭ ]
উত্তরঃ \( (0, \pm 3); \frac{3}{\sqrt{5}}; 3y\pm 5=0\)
[চঃ২০০৭ ]
উত্তরঃ \( (0, \pm 3); \frac{3}{\sqrt{5}}; 3y\pm 5=0\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে , 
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(4y^2-5x^2=20\)
\(\Rightarrow \frac{4y^2}{20}-\frac{5x^2}{20}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(20\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{y^2}{5}-\frac{x^2}{4}=1\)
এখানে, \(a^2=4, b^2=5\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=2, b=\sqrt{5}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{4}{5}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{5+4}{5}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{9}{5}}\)
\(\therefore e=\frac{3}{\sqrt{5}}\)
উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (0, \pm \sqrt{5}\times \frac{3}{\sqrt{5}})\)
\(\therefore (0, \pm 3)\)
নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ \(y=\pm \frac{b}{e}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{5}}{\frac{3}{\sqrt{5}}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{5}{3}\)
\(\Rightarrow 3y=\pm 5\)
\(\therefore 3y\pm 5=0\)
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(4y^2-5x^2=20\)
\(\Rightarrow \frac{4y^2}{20}-\frac{5x^2}{20}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(20\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{y^2}{5}-\frac{x^2}{4}=1\)
এখানে, \(a^2=4, b^2=5\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=2, b=\sqrt{5}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{4}{5}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{5+4}{5}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{9}{5}}\)
\(\therefore e=\frac{3}{\sqrt{5}}\)
উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (0, \pm \sqrt{5}\times \frac{3}{\sqrt{5}})\)
\(\therefore (0, \pm 3)\)
নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ \(y=\pm \frac{b}{e}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{5}}{\frac{3}{\sqrt{5}}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{5}{3}\)
\(\Rightarrow 3y=\pm 5\)
\(\therefore 3y\pm 5=0\)
\(Q.1.(xii)\) \(x^2-8y^2=2\) অধিবৃত্তের কেন্দ্র, শীর্ষ , উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((0, 0) ; (\pm \sqrt{2}, 0); (\pm \frac{3}{2}, 0) ;3x\pm 4=0\)
উত্তরঃ \((0, 0) ; (\pm \sqrt{2}, 0); (\pm \frac{3}{2}, 0) ;3x\pm 4=0\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে , 
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(x^2-8y^2=2\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{2}-\frac{8y^2}{2}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^2}{2}-\frac{4y^2}{1}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{\frac{1}{4}}=1\)
এখানে, \(a^2=2, b^2=\frac{1}{4}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=\sqrt{2}, b=\frac{1}{2}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{\frac{1}{4}}{2}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{1}{8}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{8+1}{8}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{9}{8}}\)
\(\therefore e=\frac{3}{2\sqrt{2}}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র, \((0, 0)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষ , \((\pm a, 0)\)
\(\therefore (\pm \sqrt{2}, 0)\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm \sqrt{2}\times \frac{3}{2\sqrt{2}}, 0)\)
\(\therefore (\pm \frac{3}{2}, 0)\)
নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{\sqrt{2}}{\frac{3}{2\sqrt{2}}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow 3x=\pm 4\)
\(\therefore 3x\pm 4=0\)
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(x^2-8y^2=2\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{2}-\frac{8y^2}{2}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^2}{2}-\frac{4y^2}{1}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{\frac{1}{4}}=1\)
এখানে, \(a^2=2, b^2=\frac{1}{4}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=\sqrt{2}, b=\frac{1}{2}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{\frac{1}{4}}{2}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{1}{8}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{8+1}{8}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{9}{8}}\)
\(\therefore e=\frac{3}{2\sqrt{2}}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র, \((0, 0)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষ , \((\pm a, 0)\)
\(\therefore (\pm \sqrt{2}, 0)\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm \sqrt{2}\times \frac{3}{2\sqrt{2}}, 0)\)
\(\therefore (\pm \frac{3}{2}, 0)\)
নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{\sqrt{2}}{\frac{3}{2\sqrt{2}}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow 3x=\pm 4\)
\(\therefore 3x\pm 4=0\)
\(Q.1.(xiii)\) \(9x^2-7y^2+63=0\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (0, \pm 4); 4y\pm 9=0\)
উত্তরঃ \( (0, \pm 4); 4y\pm 9=0\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে , 
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(9x^2-7y^2+63=0\)
\(\Rightarrow 7y^2-9x^2-63=0\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 7y^2-9x^2=63\)
\(\Rightarrow \frac{7y^2}{63}-\frac{9x^2}{63}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(63\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{7}=1\)
এখানে, \(a^2=7, b^2=9\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=\sqrt{7}, b=3\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{7}{9}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{9+7}{9}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{16}{9}}\)
\(\therefore e=\frac{4}{3}\)
উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (0, \pm 3\times \frac{4}{3})\)
\(\therefore (0, \pm 4)\)
নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ \(y=\pm \frac{b}{e}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{3}{\frac{4}{3}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow 4y=\pm 9\)
\(\therefore 4y\pm 9=0\)
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(9x^2-7y^2+63=0\)
\(\Rightarrow 7y^2-9x^2-63=0\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 7y^2-9x^2=63\)
\(\Rightarrow \frac{7y^2}{63}-\frac{9x^2}{63}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(63\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{7}=1\)
এখানে, \(a^2=7, b^2=9\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=\sqrt{7}, b=3\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{7}{9}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{9+7}{9}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{16}{9}}\)
\(\therefore e=\frac{4}{3}\)
উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (0, \pm 3\times \frac{4}{3})\)
\(\therefore (0, \pm 4)\)
নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ \(y=\pm \frac{b}{e}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{3}{\frac{4}{3}}\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow 4y=\pm 9\)
\(\therefore 4y\pm 9=0\)
\(Q.1.(xiv)\) \(16y^2-25x^2=400\) অধিবৃত্তের শীর্ষ এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (0, \pm 5);(0, \pm \sqrt{41})\)
উত্তরঃ \( (0, \pm 5);(0, \pm \sqrt{41})\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে , 
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(16y^2-25x^2=400\)
\(\Rightarrow \frac{16y^2}{400}-\frac{25x^2}{400}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(400\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{16}=1\)
এখানে, \(a^2=16, b^2=25\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4, b=5\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{16}{25}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{25+16}{25}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{41}{25}}\)
\(\therefore e=\frac{\sqrt{41}}{5}\)
শীর্ষবিন্দু, \((0, \pm b)\)
\(\therefore (0, \pm 5)\)
উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (0, \pm 5\times \frac{\sqrt{41}}{5})\)
\(\therefore (0, \pm \sqrt{41})\)
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(16y^2-25x^2=400\)
\(\Rightarrow \frac{16y^2}{400}-\frac{25x^2}{400}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(400\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{16}=1\)
এখানে, \(a^2=16, b^2=25\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4, b=5\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{16}{25}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{25+16}{25}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{41}{25}}\)
\(\therefore e=\frac{\sqrt{41}}{5}\)
শীর্ষবিন্দু, \((0, \pm b)\)
\(\therefore (0, \pm 5)\)
উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (0, \pm 5\times \frac{\sqrt{41}}{5})\)
\(\therefore (0, \pm \sqrt{41})\)
\(Q.1.(xv)\) \(9x^2-16y^2=144\) অধিবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক এবং উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (\pm 4, 0);(\pm 5, 0) \frac{5}{4}\)
উত্তরঃ \( (\pm 4, 0);(\pm 5, 0) \frac{5}{4}\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে , 
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(9x^2-16y^2=144\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2}{144}-\frac{16y^2}{144}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(144\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)
এখানে, \(a^2=16, b^2=9\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4, b=3\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{9}{16}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{16+9}{16}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{25}{16}}\)
\(\therefore e=\frac{5}{4}\)
অধিবৃত্তের শীর্ষ , \((\pm a, 0)\)
\(\therefore (\pm 4, 0)\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm 4\times \frac{5}{4}, 0)\)
\(\therefore (\pm 5, 0)\)
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(9x^2-16y^2=144\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2}{144}-\frac{16y^2}{144}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(144\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)
এখানে, \(a^2=16, b^2=9\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4, b=3\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{9}{16}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{16+9}{16}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{25}{16}}\)
\(\therefore e=\frac{5}{4}\)
অধিবৃত্তের শীর্ষ , \((\pm a, 0)\)
\(\therefore (\pm 4, 0)\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm 4\times \frac{5}{4}, 0)\)
\(\therefore (\pm 5, 0)\)
\(Q.1.(xviii)\) কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে অধিবৃত্তের পরামিতিক স্থানাঙ্ক দেওয়া আছে, অধিবৃত্তগুলির প্রমিত সমীকরণ, কেন্দ্র , শীর্ষবিন্দু , উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্র এবং অক্ষ দুইটির দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ এবং নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় কর। যেখানে \(\theta\) হলো কোনো বিন্দুর উপকেন্দ্রিক কোণ।
\(Q.1.(xviii)(a)\) \((4\sec\theta, 6\tan\theta)\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{36}=1\);\((0, 0);
(\pm 4, 0); \frac{\sqrt{13}}{2}; (\pm 2\sqrt{13}, 0)\);
\(8, 12, x=0, y=0; \sqrt{13}x\pm 8=0\)
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{36}=1\);\((0, 0);
(\pm 4, 0); \frac{\sqrt{13}}{2}; (\pm 2\sqrt{13}, 0)\);
\(8, 12, x=0, y=0; \sqrt{13}x\pm 8=0\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে , 
কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে অধিবৃত্তের পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((4\sec\theta, 6\tan\theta)\)।
অতএব, অধিবৃত্তের পরামিতিক সমীকরণ, \(x=4\sec\theta, y=6\tan\theta\)
\(\Rightarrow \frac{x}{4}=\sec\theta, \frac{y}{6}=\tan\theta\)
\(\therefore \frac{x}{4}=\sec\theta......(1)\), \(\frac{y}{6}=\tan\theta ......(2)\)
\((1)^2-(2)^2\)-এর সাহায্যে,
\(\left(\frac{x}{4}\right)^2-\left(\frac{y}{6}\right)^2=\sec^2\theta-\tan^2\theta\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{36}=1\) ➜ \(\because \sec^2\theta-\tan^2\theta=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{36}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
এখানে, \(a^2=16, b^2=36\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4, b=6\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{36}{16}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{9}{4}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{4+9}{4}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{13}{4}}\)
\(\therefore e=\frac{\sqrt{13}}{2}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র, \((0, 0)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষ, \((\pm a, 0)\
\(\therefore (\pm 4, 0)\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র, \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 4\times \frac{\sqrt{13}}{2}, 0)\)
\(\therefore (\pm 2\sqrt{13}, 0)\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য, \(=2a=2.4=8\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য, \(=2b=2.6=12\)
আড় অক্ষের সমীকরণ, \(x=0\)
অনুবন্ধী অক্ষের সমীকরণ, \(y=0\)
নিয়ামকের সমীকরণ, \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{4}{\frac{\sqrt{13}}{2}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{8}{\sqrt{13}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{13}x=\pm 8\)
\(\therefore \sqrt{13}x\pm 8=0\)
কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে অধিবৃত্তের পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((4\sec\theta, 6\tan\theta)\)।
অতএব, অধিবৃত্তের পরামিতিক সমীকরণ, \(x=4\sec\theta, y=6\tan\theta\)
\(\Rightarrow \frac{x}{4}=\sec\theta, \frac{y}{6}=\tan\theta\)
\(\therefore \frac{x}{4}=\sec\theta......(1)\), \(\frac{y}{6}=\tan\theta ......(2)\)
\((1)^2-(2)^2\)-এর সাহায্যে,
\(\left(\frac{x}{4}\right)^2-\left(\frac{y}{6}\right)^2=\sec^2\theta-\tan^2\theta\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{36}=1\) ➜ \(\because \sec^2\theta-\tan^2\theta=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{36}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
এখানে, \(a^2=16, b^2=36\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4, b=6\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{36}{16}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{9}{4}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{4+9}{4}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{13}{4}}\)
\(\therefore e=\frac{\sqrt{13}}{2}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র, \((0, 0)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষ, \((\pm a, 0)\
\(\therefore (\pm 4, 0)\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র, \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 4\times \frac{\sqrt{13}}{2}, 0)\)
\(\therefore (\pm 2\sqrt{13}, 0)\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য, \(=2a=2.4=8\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য, \(=2b=2.6=12\)
আড় অক্ষের সমীকরণ, \(x=0\)
অনুবন্ধী অক্ষের সমীকরণ, \(y=0\)
নিয়ামকের সমীকরণ, \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{4}{\frac{\sqrt{13}}{2}}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{8}{\sqrt{13}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{13}x=\pm 8\)
\(\therefore \sqrt{13}x\pm 8=0\)
অনুশীলনী \(5.C\) / \(Q.2\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
\(Q.2.(i)\) যে কনিকের আড় অক্ষ \(x-2y+1=0\) উপকেন্দ্র \((1, 1)\) উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\) এবং নিয়ামকের উপর একটি বিন্দু \((2, 1)\) তার সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫ ]
উত্তরঃ \(3x^2+8xy-3y^2-30x-10y+40=0;\) \(2x+y-3=0 \)
\(Q.2.(ii)\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{3}\) উপকেন্দ্র \((1, 1)\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(2x+y=1\)।
[ সিঃ ২০০৭;যঃ২০১৪;ঢাঃ,কুঃ ২০১০;কুঃ,যঃ,চঃ ২০০৬]
উত্তরঃ \(7x^2-2y^2+12xy-2x+4y-7=0\)
\(Q.2.(iii)\) উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((2, 2)\) উৎকেন্দ্রতা \(2\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x+y=9\) হলে, অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০১৪]
উত্তরঃ \(x^2+y^2+4xy-32x-32y+154=0\)
\(Q.2.(iv)\) মূলবিন্দুতে কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি অধিবৃত্ত \((4, 0)\) এবং \((5, 2.25)\) বিন্দু দিয়ে যায়; অধিবৃত্তটির আড় অক্ষ, স্থানাঙ্কের \(X\) অক্ষ বরাবর অবস্থিত হলে এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
[চঃ ২০০৩]
উত্তরঃ \(9x^2-16y^2=144\)
\(Q.2.(v)\) একটি অধিবৃত্ত \((6, 4)\) ও \((-3, 1)\) বিন্দুগামী । এর কেন্দ্র মূলবিন্দুতে এবং আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর হলে, অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[যঃ ২০১১,২০০৪;চঃ ২০০৯; বঃ ২০০৬ ]
উত্তরঃ \(\frac{5x^2}{36}-\frac{y^2}{4}=1\)
\(Q.2.(vi)\) একটি অধিবৃত্ত \((2, 1)\) ও \((3, -2)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। এর কেন্দ্র মূলবিন্দুতে এবং আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর হলে, অধিবৃত্তটির সমিকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১৬;বঃ২০০৯]
উত্তরঃ \(3x^2-5y^2=7\)
\(Q.2.(vii)\) কেন্দ্র মূলবিন্দুতে এবং \(Y\) অক্ষ বরাবর আড় অক্ষবিশিষ্ট যে অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(36\) এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \(24\) তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3y^2-x^2=108\)
\(Q.2.(viii)\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((0, 0)\) আড় অক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর,উৎকেন্দ্রিকতা \(2\sqrt{3}\) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(18\) একক।
উত্তরঃ \(121y^2-11x^2=81\)
\(Q.2.(ix)\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((1, -8)\) , উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{5}\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(3x-4y=10\) ।
[ঢাঃ২০১৬,২০১০,২০০৬;চঃ২০১৬,২০০৬;রাঃ২০১১,২০০৯,২০০৫;যঃ২০১৫,২০১৪,২০০৬;কুঃ২০০৬; সিঃ ২০১৫,২০০৭;বঃ২০১০,২০০৫দিঃ২০১৫;মাঃ২০১৪]
উত্তরঃ \(4x^2+11y^2-24xy-50x-225=0\)
[ বুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫ ]
উত্তরঃ \(3x^2+8xy-3y^2-30x-10y+40=0;\) \(2x+y-3=0 \)
\(Q.2.(ii)\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{3}\) উপকেন্দ্র \((1, 1)\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(2x+y=1\)।
[ সিঃ ২০০৭;যঃ২০১৪;ঢাঃ,কুঃ ২০১০;কুঃ,যঃ,চঃ ২০০৬]
উত্তরঃ \(7x^2-2y^2+12xy-2x+4y-7=0\)
\(Q.2.(iii)\) উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((2, 2)\) উৎকেন্দ্রতা \(2\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x+y=9\) হলে, অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০১৪]
উত্তরঃ \(x^2+y^2+4xy-32x-32y+154=0\)
\(Q.2.(iv)\) মূলবিন্দুতে কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি অধিবৃত্ত \((4, 0)\) এবং \((5, 2.25)\) বিন্দু দিয়ে যায়; অধিবৃত্তটির আড় অক্ষ, স্থানাঙ্কের \(X\) অক্ষ বরাবর অবস্থিত হলে এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
[চঃ ২০০৩]
উত্তরঃ \(9x^2-16y^2=144\)
\(Q.2.(v)\) একটি অধিবৃত্ত \((6, 4)\) ও \((-3, 1)\) বিন্দুগামী । এর কেন্দ্র মূলবিন্দুতে এবং আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর হলে, অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[যঃ ২০১১,২০০৪;চঃ ২০০৯; বঃ ২০০৬ ]
উত্তরঃ \(\frac{5x^2}{36}-\frac{y^2}{4}=1\)
\(Q.2.(vi)\) একটি অধিবৃত্ত \((2, 1)\) ও \((3, -2)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। এর কেন্দ্র মূলবিন্দুতে এবং আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর হলে, অধিবৃত্তটির সমিকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১৬;বঃ২০০৯]
উত্তরঃ \(3x^2-5y^2=7\)
\(Q.2.(vii)\) কেন্দ্র মূলবিন্দুতে এবং \(Y\) অক্ষ বরাবর আড় অক্ষবিশিষ্ট যে অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(36\) এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \(24\) তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3y^2-x^2=108\)
\(Q.2.(viii)\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((0, 0)\) আড় অক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর,উৎকেন্দ্রিকতা \(2\sqrt{3}\) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(18\) একক।
উত্তরঃ \(121y^2-11x^2=81\)
\(Q.2.(ix)\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((1, -8)\) , উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{5}\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(3x-4y=10\) ।
[ঢাঃ২০১৬,২০১০,২০০৬;চঃ২০১৬,২০০৬;রাঃ২০১১,২০০৯,২০০৫;যঃ২০১৫,২০১৪,২০০৬;কুঃ২০০৬; সিঃ ২০১৫,২০০৭;বঃ২০১০,২০০৫দিঃ২০১৫;মাঃ২০১৪]
উত্তরঃ \(4x^2+11y^2-24xy-50x-225=0\)
\(Q.2.(x)\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((2, 3)\) , উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{3}\) এবং অনুরূপ নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x+2y=1\)।
উত্তরঃ \(2x^2-7y^2-12xy-14x-18y+62=0\)
\(Q.2.(xi)\) একটি অধিবৃত্ত \((-2, 1)\) ও \((-3, -2)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। এর কেন্দ্র মূলবিন্দুতে এবং আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর হলে, অধিবৃত্তটির সমিকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x^2-5y^2=7\)
\(Q.2.(xii)\) অক্ষ দুইটিকে স্থানাঙ্কের অক্ষ ধরে একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার আড় অক্ষ এবং অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(6\) এবং \(8\) একক।
উত্তরঃ \(16x^2-9y^2=144\)
\(Q.2.(xiii)\) অক্ষ দুইটিকে স্থানাঙ্কের অক্ষ ধরে একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র মূলবিন্দু, একটি উপকেন্দ্র \((4, 0)\) এবং একটি শীর্ষ \((3, 0)\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1\)
\(Q.2.(xiv)\) উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((1, 8), (1, -12)\) এবং শীর্ষ দ্বয়ের দূরত্ব \(4\) অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(24(y+2)^2-(x-1)^2=96\)
\(Q.2.(xv)\) উৎকেন্দ্রতা \(e=3\) উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((0, 0)\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x=1\)। অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(8x^2-y^2-18x+9=0 \)
\(Q.2.(xvi)\) উৎকেন্দ্রতা \(e=4\) উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((0, 0)\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(y=2\)। অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( x^2-15y^2+64y-64=0\)
\(Q.2.(xvii)\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((2, 0)\) , উৎকেন্দ্রিকতা \(2\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x-y=0\) ।
উত্তরঃ \(x^2+y^2-4xy+4x-4=0\)
\(Q.2.(xviii)\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((0, 0)\) , একটি উপকেন্দ্র \((10, 0)\) এবং অনুরূপ শীর্ষ \((8, 0)\) ।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1\)
\(Q.2.(xix)\) স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয়কে অক্ষ ধরে একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার ফোকাসদ্বয় \((\pm 4, 2)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(2\)।
উত্তরঃ \( \frac{x^2}{4}-\frac{(y-2)^2}{12}=1\)
উত্তরঃ \(2x^2-7y^2-12xy-14x-18y+62=0\)
\(Q.2.(xi)\) একটি অধিবৃত্ত \((-2, 1)\) ও \((-3, -2)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। এর কেন্দ্র মূলবিন্দুতে এবং আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর হলে, অধিবৃত্তটির সমিকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x^2-5y^2=7\)
\(Q.2.(xii)\) অক্ষ দুইটিকে স্থানাঙ্কের অক্ষ ধরে একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার আড় অক্ষ এবং অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(6\) এবং \(8\) একক।
উত্তরঃ \(16x^2-9y^2=144\)
\(Q.2.(xiii)\) অক্ষ দুইটিকে স্থানাঙ্কের অক্ষ ধরে একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র মূলবিন্দু, একটি উপকেন্দ্র \((4, 0)\) এবং একটি শীর্ষ \((3, 0)\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1\)
\(Q.2.(xiv)\) উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((1, 8), (1, -12)\) এবং শীর্ষ দ্বয়ের দূরত্ব \(4\) অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(24(y+2)^2-(x-1)^2=96\)
\(Q.2.(xv)\) উৎকেন্দ্রতা \(e=3\) উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((0, 0)\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x=1\)। অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(8x^2-y^2-18x+9=0 \)
\(Q.2.(xvi)\) উৎকেন্দ্রতা \(e=4\) উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((0, 0)\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(y=2\)। অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( x^2-15y^2+64y-64=0\)
\(Q.2.(xvii)\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((2, 0)\) , উৎকেন্দ্রিকতা \(2\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x-y=0\) ।
উত্তরঃ \(x^2+y^2-4xy+4x-4=0\)
\(Q.2.(xviii)\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((0, 0)\) , একটি উপকেন্দ্র \((10, 0)\) এবং অনুরূপ শীর্ষ \((8, 0)\) ।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1\)
\(Q.2.(xix)\) স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয়কে অক্ষ ধরে একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার ফোকাসদ্বয় \((\pm 4, 2)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(2\)।
উত্তরঃ \( \frac{x^2}{4}-\frac{(y-2)^2}{12}=1\)
\(Q.2.(i)\) যে কনিকের আড় অক্ষ \(x-2y+1=0\) উপকেন্দ্র \((1, 1)\) উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\) এবং নিয়ামকের উপর একটি বিন্দু \((2, 1)\) তার সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫ ]
উত্তরঃ \(3x^2+8xy-3y^2-30x-10y+40=0;\)
\(2x+y-3=0 \)
[ বুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫ ]
উত্তরঃ \(3x^2+8xy-3y^2-30x-10y+40=0;\)
\(2x+y-3=0 \)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে , 
আড় অক্ষের সমীকরণ, \(x-2y+1=0 ......(1)\)
\((1)\)-এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x+y+k=0 ......(2)\) ➜ নিয়ামকরেখা আড় অক্ষের উপর লম্ব।
\((2)\) নং সরলরেখা \((2, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore 2.2+1+k=0\)
\(\Rightarrow 4+1+k=0\)
\(\Rightarrow 5+k=0\)
\(\therefore k=-5\)
\(k\)-এর মাণ \(\)-এ বসিয়ে,
\(2x+y-5=0 ......(3)\) যা নিয়ামকরেখার সমীকরণ।
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(1, 1)\) এবং উৎকেন্দ্রতা \(\sqrt{2}\)
ধরি,
অধিবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
এখন,
\(PS=\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}\)
\(P\) হতে \((3)\)-এর লম্ব দূরত্ব,
\(PM=\frac{2x+y-5}{\sqrt{2^2+1^2}}\)| \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{2x+y-5}{\sqrt{4+1}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{2x+y-5}{\sqrt{5}}\)
অধিবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
\(PS=e.PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}=\sqrt{2}.\frac{2x+y-5}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2+(y-1)^2=\frac{2(2x+y-5)^2}{5}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2-2y+1=\frac{2(4x^2+y^2+25+4xy-20x-10y)}{5}\)
\(\Rightarrow 5(x^2-2x+y^2-2y+2)=2(4x^2+y^2+25+4xy-20x-10y)\)
\(\Rightarrow 5x^2-10x+5y^2-10y+10=8x^2+2y^2+50+8xy-40x-20y\)
\(\Rightarrow 5x^2-10x+5y^2-10y+10-8x^2-2y^2-50-8xy+40x+20y=0\)
\(\Rightarrow -3x^2+3y^2-8xy+30x+10y-40=0\)
\(\therefore 3x^2+8xy-3y^2-30x-10y+40=0\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ,
\(2x+y+k=0 ......(4)\) ➜ উপকেন্দ্রিক লম্ব আড় অক্ষের উপর লম্ব।
\((4)\) নং সরলরেখা উপকেন্দ্র \(S(1, 1)\) দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore 2.1+1+k=0\)
\(\Rightarrow 2+1+k=0\)
\(\Rightarrow 3+k=0\)
\(\therefore k=-3\)
\(k\)-এর মাণ \((4)\)-এ বসিয়ে,
\(2x+y-3=0 \)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(2x+y-3=0 \)
আড় অক্ষের সমীকরণ, \(x-2y+1=0 ......(1)\)
\((1)\)-এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x+y+k=0 ......(2)\) ➜ নিয়ামকরেখা আড় অক্ষের উপর লম্ব।
\((2)\) নং সরলরেখা \((2, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore 2.2+1+k=0\)
\(\Rightarrow 4+1+k=0\)
\(\Rightarrow 5+k=0\)
\(\therefore k=-5\)
\(k\)-এর মাণ \(\)-এ বসিয়ে,
\(2x+y-5=0 ......(3)\) যা নিয়ামকরেখার সমীকরণ।
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(1, 1)\) এবং উৎকেন্দ্রতা \(\sqrt{2}\)
ধরি,
অধিবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
এখন,
\(PS=\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}\)
\(P\) হতে \((3)\)-এর লম্ব দূরত্ব,
\(PM=\frac{2x+y-5}{\sqrt{2^2+1^2}}\)| \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{2x+y-5}{\sqrt{4+1}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{2x+y-5}{\sqrt{5}}\)
অধিবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
\(PS=e.PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}=\sqrt{2}.\frac{2x+y-5}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2+(y-1)^2=\frac{2(2x+y-5)^2}{5}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2-2y+1=\frac{2(4x^2+y^2+25+4xy-20x-10y)}{5}\)
\(\Rightarrow 5(x^2-2x+y^2-2y+2)=2(4x^2+y^2+25+4xy-20x-10y)\)
\(\Rightarrow 5x^2-10x+5y^2-10y+10=8x^2+2y^2+50+8xy-40x-20y\)
\(\Rightarrow 5x^2-10x+5y^2-10y+10-8x^2-2y^2-50-8xy+40x+20y=0\)
\(\Rightarrow -3x^2+3y^2-8xy+30x+10y-40=0\)
\(\therefore 3x^2+8xy-3y^2-30x-10y+40=0\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ,
\(2x+y+k=0 ......(4)\) ➜ উপকেন্দ্রিক লম্ব আড় অক্ষের উপর লম্ব।
\((4)\) নং সরলরেখা উপকেন্দ্র \(S(1, 1)\) দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore 2.1+1+k=0\)
\(\Rightarrow 2+1+k=0\)
\(\Rightarrow 3+k=0\)
\(\therefore k=-3\)
\(k\)-এর মাণ \((4)\)-এ বসিয়ে,
\(2x+y-3=0 \)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(2x+y-3=0 \)
\(Q.2.(ii)\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{3}\) উপকেন্দ্র \((1, 1)\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(2x+y=1\)।
[ সিঃ ২০০৭;যঃ২০১৪;ঢাঃ,কুঃ ২০১০;কুঃ,যঃ,চঃ ২০০৬]
উত্তরঃ \(7x^2-2y^2+12xy-2x+4y-7=0\)
[ সিঃ ২০০৭;যঃ২০১৪;ঢাঃ,কুঃ ২০১০;কুঃ,যঃ,চঃ ২০০৬]
উত্তরঃ \(7x^2-2y^2+12xy-2x+4y-7=0\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে , 
অধিবৃত্তের
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{3}\)
উপকেন্দ্র \(S(1, 1)\)
এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(2x+y-1=0 ......(1)\)
ধরি,
অধিবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
এখন,
\(PS=\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}\)
\(P\) হতে \((1)\)-এর লম্ব দূরত্ব,
\(PM=\frac{2x+y-1}{\sqrt{2^2+1^2}}\)| \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{2x+y-1}{\sqrt{4+1}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{2x+y-1}{\sqrt{5}}\)
অধিবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
\(PS=e.PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}=\sqrt{3}.\frac{2x+y-1}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2+(y-1)^2=\frac{3(2x+y-1)^2}{5}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2-2y+1=\frac{3(4x^2+y^2+1+4xy-4x-2y)}{5}\)
\(\Rightarrow 5(x^2-2x+y^2-2y+2)=3(4x^2+y^2+1+4xy-4x-2y)\)
\(\Rightarrow 5x^2-10x+5y^2-10y+10=12x^2+3y^2+3+12xy-12x-6y\)
\(\Rightarrow 5x^2-10x+5y^2-10y+10-12x^2-3y^2-3-12xy+12x+6y=0\)
\(\Rightarrow -7x^2+2y^2-12xy+2x-4y+7=0\)
\(\Rightarrow 7x^2-2y^2+12xy-2x+4y-7=0\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{3}\)
উপকেন্দ্র \(S(1, 1)\)
এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(2x+y-1=0 ......(1)\)
ধরি,
অধিবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
এখন,
\(PS=\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}\)
\(P\) হতে \((1)\)-এর লম্ব দূরত্ব,
\(PM=\frac{2x+y-1}{\sqrt{2^2+1^2}}\)| \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{2x+y-1}{\sqrt{4+1}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{2x+y-1}{\sqrt{5}}\)
অধিবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
\(PS=e.PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}=\sqrt{3}.\frac{2x+y-1}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2+(y-1)^2=\frac{3(2x+y-1)^2}{5}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2-2y+1=\frac{3(4x^2+y^2+1+4xy-4x-2y)}{5}\)
\(\Rightarrow 5(x^2-2x+y^2-2y+2)=3(4x^2+y^2+1+4xy-4x-2y)\)
\(\Rightarrow 5x^2-10x+5y^2-10y+10=12x^2+3y^2+3+12xy-12x-6y\)
\(\Rightarrow 5x^2-10x+5y^2-10y+10-12x^2-3y^2-3-12xy+12x+6y=0\)
\(\Rightarrow -7x^2+2y^2-12xy+2x-4y+7=0\)
\(\Rightarrow 7x^2-2y^2+12xy-2x+4y-7=0\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.2.(iv)\) মূলবিন্দুতে কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি অধিবৃত্ত \((4, 0)\) এবং \((5, 2.25)\) বিন্দু দিয়ে যায়; অধিবৃত্তটির আড় অক্ষ, স্থানাঙ্কের \(X\) অক্ষ বরাবর অবস্থিত হলে এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
[চঃ ২০০৩]
উত্তরঃ \(9x^2-16y^2=144\)
[চঃ ২০০৩]
উত্তরঃ \(9x^2-16y^2=144\)
সমাধানঃ
শর্তমতে, 
অধিবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ......(1)\)
\((1)\) নং অধিবৃত্ত \((4, 0)\) এবং \((5, 2.25)\) বিন্দু দিয়ে যায়,
\(\frac{4^2}{a^2}-\frac{0^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{16}{a^2}-\frac{0}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{16}{a^2}-0=1\)
\(\Rightarrow \frac{16}{a^2}=1\)
\(\therefore a^2=16\)
আবার,
\(\frac{5^2}{a^2}-\frac{(2.25)^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{25}{16}-1=\frac{5.0625}{b^2}\)
\(\Rightarrow \frac{25-16}{16}=\frac{5.0625}{b^2}\)
\(\Rightarrow 9b^2=81\)
\(\therefore b^2=9\)
\(a^2=16, b^2=9 (1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2-16y^2}{144}=1\)
\(\therefore 9x^2-16y^2=144\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ......(1)\)
\((1)\) নং অধিবৃত্ত \((4, 0)\) এবং \((5, 2.25)\) বিন্দু দিয়ে যায়,
\(\frac{4^2}{a^2}-\frac{0^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{16}{a^2}-\frac{0}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{16}{a^2}-0=1\)
\(\Rightarrow \frac{16}{a^2}=1\)
\(\therefore a^2=16\)
আবার,
\(\frac{5^2}{a^2}-\frac{(2.25)^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{25}{16}-1=\frac{5.0625}{b^2}\)
\(\Rightarrow \frac{25-16}{16}=\frac{5.0625}{b^2}\)
\(\Rightarrow 9b^2=81\)
\(\therefore b^2=9\)
\(a^2=16, b^2=9 (1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2-16y^2}{144}=1\)
\(\therefore 9x^2-16y^2=144\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.2.(vii)\) কেন্দ্র মূলবিন্দুতে এবং \(Y\) অক্ষ বরাবর আড় অক্ষবিশিষ্ট যে অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(36\) এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \(24\) তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3y^2-x^2=108\)
উত্তরঃ \(3y^2-x^2=108\)
সমাধানঃ
শর্তমতে, 
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 ........(1)\)
দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(\frac{2a^2}{b}=36\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2a^2}{b}\)
\(\Rightarrow 2a^2=36b\)
\(\therefore a^2=18b .....(2)\)
উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \( 2be=24\)
\(\Rightarrow e=\frac{24}{2b}\)
\(\therefore e=\frac{12}{b} .....(3)\)
আমরা জানি,
\(a^2=b^2(e^2-1)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে \(a^2=b^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow 18b=b^2\{\left(\frac{12}{b}\right)^2-1\}\) ➜ \((2)\) ও \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow 18=b\{\left(\frac{144}{b^2}\right)-1\}\)
\(\Rightarrow 18=b\{\frac{144-a^2}{b^2}\}\)
\(\Rightarrow 18=\frac{144-b^2}{b}\)
\(\Rightarrow 18b=144-b^2\)
\(\Rightarrow b^2+18b-144=0\)
\(\Rightarrow b^2+24b-6b-144=0\)
\(\Rightarrow b(b+24)-6(b+24)=0\)
\(\Rightarrow (b+24)(b-6)=0\)
\(\Rightarrow b+24\ne 0, b-6=0\)
\(\Rightarrow b=6\)
\(\therefore b^2=36\)
\((2)\) হতে,
\(a^2=18.6\)
\(\therefore a^2=108\)
\(a^2=108, b^2=36, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\Rightarrow \frac{y^2}{36}-\frac{x^2}{108}=1\)
\(\Rightarrow \frac{3y^2-x^2}{108}=1\)
\(\therefore 3y^2-x^2=108\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 ........(1)\)
দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(\frac{2a^2}{b}=36\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2a^2}{b}\)
\(\Rightarrow 2a^2=36b\)
\(\therefore a^2=18b .....(2)\)
উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \( 2be=24\)
\(\Rightarrow e=\frac{24}{2b}\)
\(\therefore e=\frac{12}{b} .....(3)\)
আমরা জানি,
\(a^2=b^2(e^2-1)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে \(a^2=b^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow 18b=b^2\{\left(\frac{12}{b}\right)^2-1\}\) ➜ \((2)\) ও \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow 18=b\{\left(\frac{144}{b^2}\right)-1\}\)
\(\Rightarrow 18=b\{\frac{144-a^2}{b^2}\}\)
\(\Rightarrow 18=\frac{144-b^2}{b}\)
\(\Rightarrow 18b=144-b^2\)
\(\Rightarrow b^2+18b-144=0\)
\(\Rightarrow b^2+24b-6b-144=0\)
\(\Rightarrow b(b+24)-6(b+24)=0\)
\(\Rightarrow (b+24)(b-6)=0\)
\(\Rightarrow b+24\ne 0, b-6=0\)
\(\Rightarrow b=6\)
\(\therefore b^2=36\)
\((2)\) হতে,
\(a^2=18.6\)
\(\therefore a^2=108\)
\(a^2=108, b^2=36, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\Rightarrow \frac{y^2}{36}-\frac{x^2}{108}=1\)
\(\Rightarrow \frac{3y^2-x^2}{108}=1\)
\(\therefore 3y^2-x^2=108\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.2.(viii)\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((0, 0)\) আড় অক্ষ \(Y\) অক্ষ বরাবর,উৎকেন্দ্রিকতা \(2\sqrt{3}\) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(18\) একক।
উত্তরঃ \(121y^2-11x^2=81\)
উত্তরঃ \(121y^2-11x^2=81\)
সমাধানঃ
শর্তমতে, 
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 ........(1)\)
দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(\frac{2a^2}{b}=18\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2a^2}{b}\)
\(\Rightarrow 2a^2=18b\)
\(\therefore a^2=9b .....(2)\)
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=2\sqrt{3} ....(3)\)
আমরা জানি,
\(a^2=b^2(e^2-1)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে \(a^2=b^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow 9b=b^2\{(2\sqrt{3})^2-1\}\) ➜ \((2)\) ও \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow 9=b\{12-1\}\)
\(\Rightarrow 9=b\{11\}\)
\(\Rightarrow 9=11b\)
\(\Rightarrow 11b=9\)
\(\Rightarrow b=\frac{9}{11}\)
\(\therefore b^2=\frac{81}{121}\)
\((2)\) হতে,
\(a^2=9\times \frac{9}{11}\)
\(\therefore a^2=\frac{81}{11}\)
\(a^2=\frac{81}{11}, b^2=\frac{81}{121}, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\Rightarrow \frac{y^2}{\frac{81}{121}}-\frac{x^2}{\frac{81}{11}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{121y^2}{81}-\frac{11x^2}{81}=1\)
\(\Rightarrow \frac{121y^2-11x^2}{81}=1\)
\(\therefore 121y^2-11x^2=81\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 ........(1)\)
দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(\frac{2a^2}{b}=18\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2a^2}{b}\)
\(\Rightarrow 2a^2=18b\)
\(\therefore a^2=9b .....(2)\)
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=2\sqrt{3} ....(3)\)
আমরা জানি,
\(a^2=b^2(e^2-1)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে \(a^2=b^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow 9b=b^2\{(2\sqrt{3})^2-1\}\) ➜ \((2)\) ও \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow 9=b\{12-1\}\)
\(\Rightarrow 9=b\{11\}\)
\(\Rightarrow 9=11b\)
\(\Rightarrow 11b=9\)
\(\Rightarrow b=\frac{9}{11}\)
\(\therefore b^2=\frac{81}{121}\)
\((2)\) হতে,
\(a^2=9\times \frac{9}{11}\)
\(\therefore a^2=\frac{81}{11}\)
\(a^2=\frac{81}{11}, b^2=\frac{81}{121}, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\Rightarrow \frac{y^2}{\frac{81}{121}}-\frac{x^2}{\frac{81}{11}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{121y^2}{81}-\frac{11x^2}{81}=1\)
\(\Rightarrow \frac{121y^2-11x^2}{81}=1\)
\(\therefore 121y^2-11x^2=81\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.2.(ix)\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র \((1, -8)\) , উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{5}\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(3x-4y=10\) ।
[ ঢাঃ২০১৬,২০১০,২০০৬;চঃ২০১৬,২০০৬;রাঃ২০১১,২০০৯,২০০৫;যঃ২০১৫,২০১৪,২০০৬;কুঃ২০০৬; সিঃ ২০১৫,২০০৭;বঃ২০১০,২০০৫দিঃ২০১৫;মাঃ২০১৪]
উত্তরঃ \(4x^2+11y^2-24xy-50x-225=0\)
[ ঢাঃ২০১৬,২০১০,২০০৬;চঃ২০১৬,২০০৬;রাঃ২০১১,২০০৯,২০০৫;যঃ২০১৫,২০১৪,২০০৬;কুঃ২০০৬; সিঃ ২০১৫,২০০৭;বঃ২০১০,২০০৫দিঃ২০১৫;মাঃ২০১৪]
উত্তরঃ \(4x^2+11y^2-24xy-50x-225=0\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র, \(S(1, -8)\)
উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{5}\)
এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(3x-4y=10\)
\(\therefore 3x-4y-10=0 ....(1)\)
ধরি,
অধিবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
\(PS=\sqrt{(x-1)^2+(y+8)^2}\) ➜ \(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)
উপকেন্দ্র \(S\) হতে নিয়ামকরেখা \((1)\)-এর লম্বদূরত্ব,
\(PM=\frac{|3x-4y-10|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|3x-4y-10|}{\sqrt{9+16}}\)
\(=\frac{|3x-4y-10|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{|3x-4y-10|}{5}\)
অধিবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
\(PS=e.PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y+8)^2}=\sqrt{5}.\frac{|3x-4y-10|}{5}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2+(y+8)^2=5.\frac{(3x-4y-10)^2}{25}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2+16y+64=\frac{9x^2+16y^2+100-24xy-60x+80y}{5}\)
\(\Rightarrow 5(x^2-2x+y^2+16y+65)=9x^2+16y^2+100-24xy-60x+80y\)
\(\Rightarrow 5x^2-10x+5y^2+80y+325-9x^2-16y^2-100+24xy+60x-80y=0\)
\(\Rightarrow -4x^2-11y^2+24xy+50x+225=0\)
\(\therefore 4x^2+11y^2-24xy-50x-225=0\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র, \(S(1, -8)\)
উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{5}\)
এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(3x-4y=10\)
\(\therefore 3x-4y-10=0 ....(1)\)
ধরি,
অধিবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
\(PS=\sqrt{(x-1)^2+(y+8)^2}\) ➜ \(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)
উপকেন্দ্র \(S\) হতে নিয়ামকরেখা \((1)\)-এর লম্বদূরত্ব,
\(PM=\frac{|3x-4y-10|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|3x-4y-10|}{\sqrt{9+16}}\)
\(=\frac{|3x-4y-10|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{|3x-4y-10|}{5}\)
অধিবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
\(PS=e.PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y+8)^2}=\sqrt{5}.\frac{|3x-4y-10|}{5}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2+(y+8)^2=5.\frac{(3x-4y-10)^2}{25}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2+16y+64=\frac{9x^2+16y^2+100-24xy-60x+80y}{5}\)
\(\Rightarrow 5(x^2-2x+y^2+16y+65)=9x^2+16y^2+100-24xy-60x+80y\)
\(\Rightarrow 5x^2-10x+5y^2+80y+325-9x^2-16y^2-100+24xy+60x-80y=0\)
\(\Rightarrow -4x^2-11y^2+24xy+50x+225=0\)
\(\therefore 4x^2+11y^2-24xy-50x-225=0\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.2.(xii)\) অক্ষ দুইটিকে স্থানাঙ্কের অক্ষ ধরে একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার আড় অক্ষ এবং অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(6\) এবং \(8\) একক।
উত্তরঃ \(16x^2-9y^2=144\)
উত্তরঃ \(16x^2-9y^2=144\)
সমাধানঃ
ধরি, 
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
অধিবৃত্তের আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য, \(2a\) একক।
অধিবৃত্তের অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য, \(2b\) একক।
দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য, \(6\) একক।
অধিবৃত্তের অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য, \(8\) একক।
\(\therefore 2a=6\)
\(\Rightarrow a=3\)
\(\therefore a^2=9\)
আবার,
\(\therefore 2b=8\)
\(\Rightarrow b=4\)
\(\therefore b^2=16\)
\(a^2=9, b^2=16, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\Rightarrow \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)
\(\Rightarrow \frac{16x^2-9y^2}{144}=1\)
\(\therefore 16x^2-9y^2=144\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
অধিবৃত্তের আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য, \(2a\) একক।
অধিবৃত্তের অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য, \(2b\) একক।
দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য, \(6\) একক।
অধিবৃত্তের অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য, \(8\) একক।
\(\therefore 2a=6\)
\(\Rightarrow a=3\)
\(\therefore a^2=9\)
আবার,
\(\therefore 2b=8\)
\(\Rightarrow b=4\)
\(\therefore b^2=16\)
\(a^2=9, b^2=16, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\Rightarrow \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)
\(\Rightarrow \frac{16x^2-9y^2}{144}=1\)
\(\therefore 16x^2-9y^2=144\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.2.(xiii)\) অক্ষ দুইটিকে স্থানাঙ্কের অক্ষ ধরে একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র মূলবিন্দু, একটি উপকেন্দ্র \((4, 0)\) এবং একটি শীর্ষ \((3, 0)\)।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1\)
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \((4, 0)\)
এবং শীর্ষ \((3, 0)\)। যারা প্রত্যেকেই \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
তাহলে,
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষ \((a, 0)\Rightarrow (3, 0)\)
\(\Rightarrow a=3\)
\(\therefore a^2=9\)
আবার,
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \((ae, 0)\Rightarrow (4, 0)\)
\(\Rightarrow ae=4\)
\(\Rightarrow 3e=4\)
\(\therefore e=\frac{4}{3}\)
আমরা জানি,
\(b^2=a^2(e^2-1)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের ক্ষেত্রে \(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=9\{\left(\frac{4}{3}\right)^2-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=9\{\frac{16}{9}-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=9\{\frac{16-9}{9}\}\)
\(\Rightarrow b^2=9\{\frac{7}{9}\}\)
\(\therefore b^2=7\)
\(a^2=9, b^2=7, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \((4, 0)\)
এবং শীর্ষ \((3, 0)\)। যারা প্রত্যেকেই \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
তাহলে,
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষ \((a, 0)\Rightarrow (3, 0)\)
\(\Rightarrow a=3\)
\(\therefore a^2=9\)
আবার,
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \((ae, 0)\Rightarrow (4, 0)\)
\(\Rightarrow ae=4\)
\(\Rightarrow 3e=4\)
\(\therefore e=\frac{4}{3}\)
আমরা জানি,
\(b^2=a^2(e^2-1)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের ক্ষেত্রে \(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=9\{\left(\frac{4}{3}\right)^2-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=9\{\frac{16}{9}-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=9\{\frac{16-9}{9}\}\)
\(\Rightarrow b^2=9\{\frac{7}{9}\}\)
\(\therefore b^2=7\)
\(a^2=9, b^2=7, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.2.(xiv)\) উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((1, 8), (1, -12)\) এবং শীর্ষ দ্বয়ের দূরত্ব \(4\) অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( 24(y+2)^2-(x-1)^2=96\)
উত্তরঃ \( 24(y+2)^2-(x-1)^2=96\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \(S(1, 8), \acute{S}(1, -12)\) যাদের \(x\) স্থানাঙ্ক সমান।
অতএব, অধিবৃত্তের আড় অক্ষ \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল হবে।
\(S\acute{S}\)-এর মধ্যবিন্দু \(C\left(\frac{1+1}{2}, \frac{8-12}{2}\right)\)
\(\Rightarrow C\left(\frac{2}{2}, \frac{-4}{2}\right)\)
\(\Rightarrow C(1, -2)\) যা অধিবৃত্তের কেন্দ্র।
অধিবৃত্তের সমীমকরণ, \(\frac{(y+2)^2}{b^2}-\frac{(x-1)^2}{a^2}=1 ........(1)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষ দ্বয়ের দূরত্ব \(2b=4\)
\(\Rightarrow b=2\)
\(\therefore b^2=4\)
আবার,
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়ের \(2be=S\acute{S}\)
\(\Rightarrow 2be=\sqrt{(1-1)^2+(8+12)^2}\)
\(\Rightarrow 2be=\sqrt{0^2+20^2}\)
\(\Rightarrow 2be=\sqrt{400}\)
\(\Rightarrow 2be=20\)
\(\Rightarrow be=10\)
\(\Rightarrow 2.e=10\) ➜ \(\because a=2\)
\(\therefore e=5\)
আমরা জানি,
\(a^2=b^2(e^2-1)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\) অধিবৃত্তের ক্ষেত্রে \(a^2=b^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow 4=b^2(5^2-1)\) ➜ \(\because a=2, e=5\)
\(\Rightarrow a^2=b^2(25-1)\)
\(\Rightarrow a^2=24b^2\)
\(\Rightarrow a^2=24.4\)
\(\Rightarrow a^2=96\)
\(a^2=96, b^2=4, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{(y+2)^2}{4}-\frac{(x-1)^2}{96}=1\)
\(\Rightarrow \frac{24(y+2)^2-(x-1)^2}{96}=1\)
\(\therefore 24(y+2)^2-(x-1)^2=96\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \(S(1, 8), \acute{S}(1, -12)\) যাদের \(x\) স্থানাঙ্ক সমান।
অতএব, অধিবৃত্তের আড় অক্ষ \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল হবে।
\(S\acute{S}\)-এর মধ্যবিন্দু \(C\left(\frac{1+1}{2}, \frac{8-12}{2}\right)\)
\(\Rightarrow C\left(\frac{2}{2}, \frac{-4}{2}\right)\)
\(\Rightarrow C(1, -2)\) যা অধিবৃত্তের কেন্দ্র।
অধিবৃত্তের সমীমকরণ, \(\frac{(y+2)^2}{b^2}-\frac{(x-1)^2}{a^2}=1 ........(1)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষ দ্বয়ের দূরত্ব \(2b=4\)
\(\Rightarrow b=2\)
\(\therefore b^2=4\)
আবার,
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়ের \(2be=S\acute{S}\)
\(\Rightarrow 2be=\sqrt{(1-1)^2+(8+12)^2}\)
\(\Rightarrow 2be=\sqrt{0^2+20^2}\)
\(\Rightarrow 2be=\sqrt{400}\)
\(\Rightarrow 2be=20\)
\(\Rightarrow be=10\)
\(\Rightarrow 2.e=10\) ➜ \(\because a=2\)
\(\therefore e=5\)
আমরা জানি,
\(a^2=b^2(e^2-1)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\) অধিবৃত্তের ক্ষেত্রে \(a^2=b^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow 4=b^2(5^2-1)\) ➜ \(\because a=2, e=5\)
\(\Rightarrow a^2=b^2(25-1)\)
\(\Rightarrow a^2=24b^2\)
\(\Rightarrow a^2=24.4\)
\(\Rightarrow a^2=96\)
\(a^2=96, b^2=4, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{(y+2)^2}{4}-\frac{(x-1)^2}{96}=1\)
\(\Rightarrow \frac{24(y+2)^2-(x-1)^2}{96}=1\)
\(\therefore 24(y+2)^2-(x-1)^2=96\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.2.(xv)\) উৎকেন্দ্রতা \(e=3\) উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((0, 0)\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x=1\)। অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(8x^2-y^2-18x+9=0 \)
উত্তরঃ \(8x^2-y^2-18x+9=0 \)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা \(e=3\)
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(0, 0)\)
এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x=1\)
\(\therefore x-1=0 .......(1)\)
ধরি, অধিবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
\(\therefore PS=\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}\)
\(=\sqrt{x^2+y^2}\)
আবার, \(P\) হতে \((1)\)-এর উপর লম্ব দূরত্ব,
\(PM=\frac{|x-1|}{\sqrt{1^2+0^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|x-1|}{\sqrt{1+0}}\)
\(=\frac{|x-1|}{\sqrt{1}}\)
\(=\frac{|x-1|}{1}\)
\(=|x-1|\)
অধিবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
\(\sqrt{x^2+y^2}=3|x-1|\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=9(x-1)^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2+y^2=9(x^2-2x+1)\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=9x^2-18x+9\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-9x^2+18x-9=0\)
\(\Rightarrow -8x^2+y^2+18x-9=0\)
\(\Rightarrow 8x^2-y^2-18x+9=0\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা \(e=3\)
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(0, 0)\)
এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x=1\)
\(\therefore x-1=0 .......(1)\)
ধরি, অধিবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
\(\therefore PS=\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}\)
\(=\sqrt{x^2+y^2}\)
আবার, \(P\) হতে \((1)\)-এর উপর লম্ব দূরত্ব,
\(PM=\frac{|x-1|}{\sqrt{1^2+0^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|x-1|}{\sqrt{1+0}}\)
\(=\frac{|x-1|}{\sqrt{1}}\)
\(=\frac{|x-1|}{1}\)
\(=|x-1|\)
অধিবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
\(\sqrt{x^2+y^2}=3|x-1|\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=9(x-1)^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2+y^2=9(x^2-2x+1)\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=9x^2-18x+9\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-9x^2+18x-9=0\)
\(\Rightarrow -8x^2+y^2+18x-9=0\)
\(\Rightarrow 8x^2-y^2-18x+9=0\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.2.(xviii)\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((0, 0)\) , একটি উপকেন্দ্র \((10, 0)\) এবং অনুরূপ শীর্ষ \((8, 0)\) ।
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1\)
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\)
অধিবৃত্তের একটি উপকেন্দ্র \((10, 0)\)
এবং অনুরূপ শীর্ষ \((8, 0)\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র, উপকেন্দ্র এবং শীর্ষ \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
অতএব, অধিবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 .......(1)\)
এখানে,
শীর্ষ \((a, 0)\)
\(\therefore (a, 0)\Rightarrow (8, 0)\)
\(\Rightarrow a=8\)
\(\therefore a^2=64\)
আবার,
উপকেন্দ্র \((10, 0)\)
\(\therefore (ae, 0)\Rightarrow (10, 0)\)
\(\Rightarrow ae=10\)
\(\Rightarrow 8e=10\)
\(\Rightarrow e=\frac{10}{8}\)
\(\Rightarrow e=\frac{5}{4}\)
\(\therefore e^2=\frac{25}{16}\)
আমরা জানি,
\(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=64\left(\frac{25}{16}-1\right)\)
\(\Rightarrow b^2=64\left(\frac{25-16}{16}\right)\)
\(\Rightarrow b^2=64\left(\frac{9}{16}\right)\)
\(\Rightarrow b^2=4\times 9\)
\(\therefore b^2=36\)
\(a^2=64, b^2=36, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\)
অধিবৃত্তের একটি উপকেন্দ্র \((10, 0)\)
এবং অনুরূপ শীর্ষ \((8, 0)\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র, উপকেন্দ্র এবং শীর্ষ \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
অতএব, অধিবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 .......(1)\)
এখানে,
শীর্ষ \((a, 0)\)
\(\therefore (a, 0)\Rightarrow (8, 0)\)
\(\Rightarrow a=8\)
\(\therefore a^2=64\)
আবার,
উপকেন্দ্র \((10, 0)\)
\(\therefore (ae, 0)\Rightarrow (10, 0)\)
\(\Rightarrow ae=10\)
\(\Rightarrow 8e=10\)
\(\Rightarrow e=\frac{10}{8}\)
\(\Rightarrow e=\frac{5}{4}\)
\(\therefore e^2=\frac{25}{16}\)
আমরা জানি,
\(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=64\left(\frac{25}{16}-1\right)\)
\(\Rightarrow b^2=64\left(\frac{25-16}{16}\right)\)
\(\Rightarrow b^2=64\left(\frac{9}{16}\right)\)
\(\Rightarrow b^2=4\times 9\)
\(\therefore b^2=36\)
\(a^2=64, b^2=36, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.2.(xix)\) স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয়কে অক্ষ ধরে একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার ফোকাসদ্বয় \((\pm 4, 2)\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(2\)।
উত্তরঃ \( \frac{x^2}{4}-\frac{(y-2)^2}{12}=1\)
উত্তরঃ \( \frac{x^2}{4}-\frac{(y-2)^2}{12}=1\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
অধিবৃত্তের একটি উপকেন্দ্র \(S(4, 2), \acute{S}(-4, 2)\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e=2\)
\(S\acute{S}\) এর মধ্যবিন্দু হবে অধিবৃত্তের কেন্দ্র ।
\(\therefore \) অধিবৃত্তের কেন্দ্র \(C\left(\frac{4-4}{2}, \frac{2+2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow C\left(\frac{0}{2}, \frac{4}{2}\right)\)
\(\therefore C(0, 2)\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রের \(Y\)স্থানাঙ্ক অনুরূপ তাই এর আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর হবে।
অতএব, অধিবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 .......(1)\)
এখান,
উপকেন্দ্র দ্বয়ের দূরত্ব \(2ae=S\acute{S}\)
\(\Rightarrow 2ae=\sqrt{(4+4)^2+(2-2)^2}\)
\(\Rightarrow 2ae=\sqrt{8^2+0^2}\)
\(\Rightarrow 2ae=\sqrt{8^2}\)
\(\Rightarrow 2ae=8\)
\(\Rightarrow ae=4\)
\(\Rightarrow a.2=4\)
\(\Rightarrow a=2\)
\(\therefore a^2=4\)
আবার,
\(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=4(2^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=4(4-1)\)
\(\Rightarrow b^2=4.3\)
\(\therefore b^2=12\)
\(a^2=4, b^2=12, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের একটি উপকেন্দ্র \(S(4, 2), \acute{S}(-4, 2)\)
এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(e=2\)
\(S\acute{S}\) এর মধ্যবিন্দু হবে অধিবৃত্তের কেন্দ্র ।
\(\therefore \) অধিবৃত্তের কেন্দ্র \(C\left(\frac{4-4}{2}, \frac{2+2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow C\left(\frac{0}{2}, \frac{4}{2}\right)\)
\(\therefore C(0, 2)\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রের \(Y\)স্থানাঙ্ক অনুরূপ তাই এর আড় অক্ষ \(X\) অক্ষ বরাবর হবে।
অতএব, অধিবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 .......(1)\)
এখান,
উপকেন্দ্র দ্বয়ের দূরত্ব \(2ae=S\acute{S}\)
\(\Rightarrow 2ae=\sqrt{(4+4)^2+(2-2)^2}\)
\(\Rightarrow 2ae=\sqrt{8^2+0^2}\)
\(\Rightarrow 2ae=\sqrt{8^2}\)
\(\Rightarrow 2ae=8\)
\(\Rightarrow ae=4\)
\(\Rightarrow a.2=4\)
\(\Rightarrow a=2\)
\(\therefore a^2=4\)
আবার,
\(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=4(2^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=4(4-1)\)
\(\Rightarrow b^2=4.3\)
\(\therefore b^2=12\)
\(a^2=4, b^2=12, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অনুশীলনী \(5.C\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(Q.3.(i)\) স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয়কে অক্ষ ধরে অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব \(16\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\)।
[বুয়েটঃ ২০১২-২০১৩;বঃ২০১৫,২০১৩;কুঃ২০১৫,২০১২;দিঃ ২০১৩; রাঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(x^2-y^2=32\)
\(Q.3.(ii)\) আড় অক্ষকে \(Y\) এবং অনুবন্ধী অক্ষকে \(X\) ধরে একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দু দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব \(2\) একক এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\)।
[ বঃ, দিঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(y^2-x^2=1\)
\(Q.3.(iii)\) অধিবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে স্থানাঙ্কের অক্ষ ধরে এর সমীকরণ নির্ণয় কর যার অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(24\) একক এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((0, \pm 13)\) ।
[ কুঃ২০১৪,২০০৭;যঃ ২০০৯; ]
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{144}=1\)
\(Q.3.(iv)\) স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয়কে অধিবৃত্তের অক্ষ বিবেচনা করে শীর্ষবিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব \(2\) একক এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\) বিশিষ্ট অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১০]
উত্তরঃ \(x^2-y^2=1\)
উত্তরঃ \( 2y\pm \sqrt{23}x=0\).
\((b)\) উপকেন্দ্র \((0, \pm 4)\) ও উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{4}{3}\)
উত্তরঃ \( \sqrt{7}y\pm 3x=0\).
\((c)\) উপকেন্দ্র \((\pm 4, 2)\) ও উৎকেন্দ্রিকতা \(2\)
উত্তরঃ \( y-2\pm \sqrt{3}x=0\).
\((d)\) উপকেন্দ্র দ্বয় \((4, 2), (8, 2)\) ও উৎকেন্দ্রিকতা \(2\)
উত্তরঃ \( y-2\pm \sqrt{3}(x-6)=0\).
\((e)\) সমীকরণ \( 25y^2-9x^2+200y+36x-140=0\)
উত্তরঃ \( 5(y+4)\pm 3(x-2)=0\).
\((f)\) সমীকরণ \( 4x^2-5y^2+40x-30y-45=0\)
উত্তরঃ \( 5(y+3)\pm 2\sqrt{5}(x+5)=0\).
\((g)\) সমীকরণ \(9x^2-16y^2=144\)
উত্তরঃ \( 4y\pm 3x=0\).
\(Q.3.(vi)\) \(\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{169}=1\) অধিবৃত্তের উপরস্থ \((12, 0), (13, \frac{65}{12}),(-12, 0),(-13, \frac{65}{12}),(-13, -\frac{65}{12}),(13, -\frac{65}{12})\) বিন্দুগুলির পরামিতিক স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (12\sec\theta, 13\tan\theta)\).
যেখানে, \(\theta\)-এর মাণ যথাক্রমে, \(0^{o}, 22.62^{o}, 180^{o},\)
\(157.38^{o}, 202.62^{o}, 337.38^{o}\)
[বুয়েটঃ ২০১২-২০১৩;বঃ২০১৫,২০১৩;কুঃ২০১৫,২০১২;দিঃ ২০১৩; রাঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(x^2-y^2=32\)
\(Q.3.(ii)\) আড় অক্ষকে \(Y\) এবং অনুবন্ধী অক্ষকে \(X\) ধরে একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দু দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব \(2\) একক এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\)।
[ বঃ, দিঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(y^2-x^2=1\)
\(Q.3.(iii)\) অধিবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে স্থানাঙ্কের অক্ষ ধরে এর সমীকরণ নির্ণয় কর যার অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(24\) একক এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((0, \pm 13)\) ।
[ কুঃ২০১৪,২০০৭;যঃ ২০০৯; ]
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{144}=1\)
\(Q.3.(iv)\) স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয়কে অধিবৃত্তের অক্ষ বিবেচনা করে শীর্ষবিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব \(2\) একক এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\) বিশিষ্ট অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১০]
উত্তরঃ \(x^2-y^2=1\)
\(Q.3.(v)\) অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ নির্ণয় কর যারঃ
\((a)\) উপকেন্দ্র \((\pm 3\sqrt{3}, 0)\) ও উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\)উত্তরঃ \( 2y\pm \sqrt{23}x=0\).
\((b)\) উপকেন্দ্র \((0, \pm 4)\) ও উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{4}{3}\)
উত্তরঃ \( \sqrt{7}y\pm 3x=0\).
\((c)\) উপকেন্দ্র \((\pm 4, 2)\) ও উৎকেন্দ্রিকতা \(2\)
উত্তরঃ \( y-2\pm \sqrt{3}x=0\).
\((d)\) উপকেন্দ্র দ্বয় \((4, 2), (8, 2)\) ও উৎকেন্দ্রিকতা \(2\)
উত্তরঃ \( y-2\pm \sqrt{3}(x-6)=0\).
\((e)\) সমীকরণ \( 25y^2-9x^2+200y+36x-140=0\)
উত্তরঃ \( 5(y+4)\pm 3(x-2)=0\).
\((f)\) সমীকরণ \( 4x^2-5y^2+40x-30y-45=0\)
উত্তরঃ \( 5(y+3)\pm 2\sqrt{5}(x+5)=0\).
\((g)\) সমীকরণ \(9x^2-16y^2=144\)
উত্তরঃ \( 4y\pm 3x=0\).
\(Q.3.(vi)\) \(\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{169}=1\) অধিবৃত্তের উপরস্থ \((12, 0), (13, \frac{65}{12}),(-12, 0),(-13, \frac{65}{12}),(-13, -\frac{65}{12}),(13, -\frac{65}{12})\) বিন্দুগুলির পরামিতিক স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (12\sec\theta, 13\tan\theta)\).
যেখানে, \(\theta\)-এর মাণ যথাক্রমে, \(0^{o}, 22.62^{o}, 180^{o},\)
\(157.38^{o}, 202.62^{o}, 337.38^{o}\)
\(Q.3.(vii)\) \(\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{9}=1\) অধিবৃত্তের উপরস্থ \((0, 2), (4, \frac{10}{3}),(-4, \frac{10}{3}),(-4, -\frac{10}{3}))\) বিন্দুগুলির পরামিতিক স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (3\tan\theta, 2\sec\theta)\).
যেখানে, \(\theta\)-এর মাণ যথাক্রমে, \(0^{o}, 53.13^{o}, 126.87^{o}, 233.13^{o}, 306.87^{o}\)
\(Q.3.(viii)\) \(25x^2-16y^2=400\) অধিবৃত্তের একটি জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর যার মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((5, 3)\) ।
উত্তরঃ \( 125x-48y=481\)
\(Q.3.(ix)\) \(3x^2-2y^2=-6\) অধিবৃত্তের \((2, 3)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( y-x=1\)
\(Q.3.(x)\) \(y=k-2x\) সরলরেখাটি \(xy=1\) বক্ররেখাকে স্পর্শ করলে \(k\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( k=\pm 2\sqrt{2}\)
\(Q.3.(xi)\) \(25x^2-16y^2=400\) অধিবৃত্তের অসীমতটদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্ণকোণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( \tan^{-1}\frac{40}{9}\)
\(Q.3.(xii)\) একটি অধিবৃত্তের ফোকাস \((1, -1)\) এবং অনুরূপ দিকাক্ষের সমীকরণ \(2x+y+1=0\) ; অধিবৃত্তটি \((0, 1)\) বিন্দুগামী হলে এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( 16x^2+y^2+20xy+28x+2y-3=0\)
\(Q.3.(xiii)\) দেখাও যে, \(t\)-এর সকল মানের জন্য \(\left(a\frac{1+t^2}{1-t^2}, \frac{2at}{1-t^2}\right)\) বিন্দুটি একটি নির্দিষ্ট অধিবৃত্তের উপর অবস্থিত। অধিবৃত্তটির উৎকেন্দ্রতা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\sqrt{2}\)
\(Q.3.(xiv)\) \(t\)একটি পরিবর্তনশীল পরামিতি হলে, দেখাও যে, \(x=\frac{1}{2}a\left(t+\frac{1}{t}\right), y=\frac{1}{2}b\left(t+\frac{1}{t}\right)\) সমীকরণদ্বয় একটি অধিবৃত্ত নির্দেশ করে।
\(Q.3.(xv)\) \(x^2-y^2=a^2\) অধিবৃত্তের উপর অবস্থিত একটি চলমান বিন্দু \(P(a\sec\theta, a\tan\theta)\) এবং \(A(2a, 0)\) একটি স্থির বিন্দু । \(AP\)-এর মধ্যবিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4(x-a)^2-4y^2=a^2\)
\(Q.3.(xvi)\) দেখাও যে, \(\frac{x}{5}-\frac{y}{4}=7\) এবং \(\frac{x}{5}+\frac{y}{4}=\frac{1}{7}\)রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুটি একটি অধিবৃত্তের উপর অবস্থান করে। ঐ অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(16x^2-25y^2=400\)
উত্তরঃ \( (3\tan\theta, 2\sec\theta)\).
যেখানে, \(\theta\)-এর মাণ যথাক্রমে, \(0^{o}, 53.13^{o}, 126.87^{o}, 233.13^{o}, 306.87^{o}\)
\(Q.3.(viii)\) \(25x^2-16y^2=400\) অধিবৃত্তের একটি জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর যার মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((5, 3)\) ।
উত্তরঃ \( 125x-48y=481\)
\(Q.3.(ix)\) \(3x^2-2y^2=-6\) অধিবৃত্তের \((2, 3)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( y-x=1\)
\(Q.3.(x)\) \(y=k-2x\) সরলরেখাটি \(xy=1\) বক্ররেখাকে স্পর্শ করলে \(k\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( k=\pm 2\sqrt{2}\)
\(Q.3.(xi)\) \(25x^2-16y^2=400\) অধিবৃত্তের অসীমতটদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্ণকোণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( \tan^{-1}\frac{40}{9}\)
\(Q.3.(xii)\) একটি অধিবৃত্তের ফোকাস \((1, -1)\) এবং অনুরূপ দিকাক্ষের সমীকরণ \(2x+y+1=0\) ; অধিবৃত্তটি \((0, 1)\) বিন্দুগামী হলে এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( 16x^2+y^2+20xy+28x+2y-3=0\)
\(Q.3.(xiii)\) দেখাও যে, \(t\)-এর সকল মানের জন্য \(\left(a\frac{1+t^2}{1-t^2}, \frac{2at}{1-t^2}\right)\) বিন্দুটি একটি নির্দিষ্ট অধিবৃত্তের উপর অবস্থিত। অধিবৃত্তটির উৎকেন্দ্রতা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\sqrt{2}\)
\(Q.3.(xiv)\) \(t\)একটি পরিবর্তনশীল পরামিতি হলে, দেখাও যে, \(x=\frac{1}{2}a\left(t+\frac{1}{t}\right), y=\frac{1}{2}b\left(t+\frac{1}{t}\right)\) সমীকরণদ্বয় একটি অধিবৃত্ত নির্দেশ করে।
\(Q.3.(xv)\) \(x^2-y^2=a^2\) অধিবৃত্তের উপর অবস্থিত একটি চলমান বিন্দু \(P(a\sec\theta, a\tan\theta)\) এবং \(A(2a, 0)\) একটি স্থির বিন্দু । \(AP\)-এর মধ্যবিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4(x-a)^2-4y^2=a^2\)
\(Q.3.(xvi)\) দেখাও যে, \(\frac{x}{5}-\frac{y}{4}=7\) এবং \(\frac{x}{5}+\frac{y}{4}=\frac{1}{7}\)রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুটি একটি অধিবৃত্তের উপর অবস্থান করে। ঐ অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(16x^2-25y^2=400\)
\(Q.3.(i)\) স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয়কে অক্ষ ধরে অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব \(16\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\)।
[ বুয়েটঃ ২০১২-২০১৩;বঃ২০১৫,২০১৩;কুঃ২০১৫,২০১২;দিঃ ২০১৩; রাঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(x^2-y^2=32\)
[ বুয়েটঃ ২০১২-২০১৩;বঃ২০১৫,২০১৩;কুঃ২০১৫,২০১২;দিঃ ২০১৩; রাঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(x^2-y^2=32\)
সমাধানঃ
শর্তমতে, 
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা \(e=\sqrt{2}\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয় \((ae, 0),(-ae, 0)\)
উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব \(=ae-(-ae)=ae+ae=2ae\)
\(\therefore 2ae=16\)
\(\Rightarrow 2a\times \sqrt{2}=16\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{2}a=16\)
\(\Rightarrow a=\frac{16}{2\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow a=\frac{4\times 2\times 2}{2\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow a=\frac{4\times 2\times \sqrt{2} \times \sqrt{2}}{2\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow a=4\times \sqrt{2}\)
\(\Rightarrow a^2=16\times 2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\therefore a^2=32\)
আবার,
\(b^2=a^2(e^2-1)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে \(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=32\{(\sqrt{2})^2-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=32\{2-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=32\{1\}\)
\(\therefore b^2=32\)
\(a^2=b^2=32\) এই মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{32}-\frac{y^2}{32}=1\)
\(\therefore x^2-y^2=32\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা \(e=\sqrt{2}\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয় \((ae, 0),(-ae, 0)\)
উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব \(=ae-(-ae)=ae+ae=2ae\)
\(\therefore 2ae=16\)
\(\Rightarrow 2a\times \sqrt{2}=16\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{2}a=16\)
\(\Rightarrow a=\frac{16}{2\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow a=\frac{4\times 2\times 2}{2\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow a=\frac{4\times 2\times \sqrt{2} \times \sqrt{2}}{2\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow a=4\times \sqrt{2}\)
\(\Rightarrow a^2=16\times 2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\therefore a^2=32\)
আবার,
\(b^2=a^2(e^2-1)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে \(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=32\{(\sqrt{2})^2-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=32\{2-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=32\{1\}\)
\(\therefore b^2=32\)
\(a^2=b^2=32\) এই মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{32}-\frac{y^2}{32}=1\)
\(\therefore x^2-y^2=32\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.3.(ii)\) আড় অক্ষকে \(Y\) এবং অনুবন্ধী অক্ষকে \(X\) ধরে একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দু দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব \(2\) একক এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\)।
[ বঃ, দিঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(y^2-x^2=1\)
[ বঃ, দিঃ ২০১৩]
উত্তরঃ \(y^2-x^2=1\)
সমাধানঃ
শর্তমতে, 
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 ........(1)\)
দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা \(e=\sqrt{2}\)
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু দুইটি \((0, b),(0, -b)\)
শীর্ষবিন্দু দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব \(=b-(-b)=b+b=2b\)
\(\therefore 2b=2\)
\(\Rightarrow b=1\)
\(\therefore b^2=1\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
আবার,
\(a^2=b^2(e^2-1)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে \(a^2=b^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow a^2=1\{(\sqrt{2})^2-1\}\)
\(\Rightarrow a^2=\{2-1\}\)
\(\Rightarrow a^2=\{1\}\)
\(\therefore a^2=1\)
\(a^2=b^2=1\) এই মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{y^2}{1}-\frac{x^2}{1}=1\)
\(\therefore y^2-x^2=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 ........(1)\)
দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা \(e=\sqrt{2}\)
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু দুইটি \((0, b),(0, -b)\)
শীর্ষবিন্দু দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব \(=b-(-b)=b+b=2b\)
\(\therefore 2b=2\)
\(\Rightarrow b=1\)
\(\therefore b^2=1\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
আবার,
\(a^2=b^2(e^2-1)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে \(a^2=b^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow a^2=1\{(\sqrt{2})^2-1\}\)
\(\Rightarrow a^2=\{2-1\}\)
\(\Rightarrow a^2=\{1\}\)
\(\therefore a^2=1\)
\(a^2=b^2=1\) এই মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{y^2}{1}-\frac{x^2}{1}=1\)
\(\therefore y^2-x^2=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.3.(iii)\) অধিবৃত্তের অক্ষদ্বয়কে স্থানাঙ্কের অক্ষ ধরে এর সমীকরণ নির্ণয় কর যার অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(24\) একক এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((0, \pm 13)\) ।
[ কুঃ২০১৪,২০০৭;যঃ ২০০৯; ]
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{144}=1\)
[ কুঃ২০১৪,২০০৭;যঃ ২০০৯; ]
উত্তরঃ \(\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{144}=1\)
সমাধানঃ
শর্তমতে, 
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 ........(1)\)
দেওয়া আছে,
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(24\)
\(\therefore 2a=24\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \) অধিবৃত্তের অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(2a\)
\(\Rightarrow a=12\)
\(\therefore a^2=144\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((0, \pm 13)\)
\(\therefore (0, \pm be)\Rightarrow (0, \pm 13)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\)
\(\Rightarrow \pm be=\pm 13\)
\(\Rightarrow be=13\)
\(\therefore b^2e^2=169\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
আবার,
\(a^2=b^2(e^2-1)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে \(a^2=b^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow a^2=b^2e^2-b^2\)
\(\Rightarrow b^2=b^2e^2-a^2\)
\(\Rightarrow b^2=169-144\)
\(\therefore b^2=25\)
\(a^2=144, b^2=25\) এই মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{144}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 ........(1)\)
দেওয়া আছে,
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(24\)
\(\therefore 2a=24\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \) অধিবৃত্তের অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(2a\)
\(\Rightarrow a=12\)
\(\therefore a^2=144\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((0, \pm 13)\)
\(\therefore (0, \pm be)\Rightarrow (0, \pm 13)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\)
\(\Rightarrow \pm be=\pm 13\)
\(\Rightarrow be=13\)
\(\therefore b^2e^2=169\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
আবার,
\(a^2=b^2(e^2-1)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে \(a^2=b^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow a^2=b^2e^2-b^2\)
\(\Rightarrow b^2=b^2e^2-a^2\)
\(\Rightarrow b^2=169-144\)
\(\therefore b^2=25\)
\(a^2=144, b^2=25\) এই মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{144}=1\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.3.(v)\) অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ নির্ণয় কর যারঃ
\((a)\) উপকেন্দ্র \((\pm 3\sqrt{3}, 0)\) ও উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
উত্তরঃ \( 2y\pm \sqrt{23}x=0\).
\((a)\) উপকেন্দ্র \((\pm 3\sqrt{3}, 0)\) ও উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
উত্তরঃ \( 2y\pm \sqrt{23}x=0\).
সমাধানঃ
শর্তমতে, 
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm 3\sqrt{3}, 0)\)
\(\therefore (\pm ae, 0)\Rightarrow (\pm 3\sqrt{3}, 0)\) ➜\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow ae=3\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow a\times \frac{3\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow a=3\sqrt{3}\times \frac{2}{3\sqrt{3}}\)
\(\therefore a=2\)
আবার,
\(b^2=a^2(e^2-1)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে \(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=2^2\{\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=4\{\frac{27}{4}-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=4\{\frac{27-4}{4}\}\)
\(\Rightarrow b^2=4\{\frac{23}{4}\}\)
\(\Rightarrow b^2=23\)
\(\Rightarrow b=\sqrt{23}\)
অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ,
\(y=\pm \frac{b}{a}x\) ➜\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \) অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{a}x \)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{23}}{2}x\)
\(\Rightarrow 2y=\pm \sqrt{23}x\)
\(\therefore 2y\pm \sqrt{23}x=0\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm 3\sqrt{3}, 0)\)
\(\therefore (\pm ae, 0)\Rightarrow (\pm 3\sqrt{3}, 0)\) ➜\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow ae=3\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow a\times \frac{3\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow a=3\sqrt{3}\times \frac{2}{3\sqrt{3}}\)
\(\therefore a=2\)
আবার,
\(b^2=a^2(e^2-1)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে \(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=2^2\{\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=4\{\frac{27}{4}-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=4\{\frac{27-4}{4}\}\)
\(\Rightarrow b^2=4\{\frac{23}{4}\}\)
\(\Rightarrow b^2=23\)
\(\Rightarrow b=\sqrt{23}\)
অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ,
\(y=\pm \frac{b}{a}x\) ➜\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \) অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{a}x \)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{23}}{2}x\)
\(\Rightarrow 2y=\pm \sqrt{23}x\)
\(\therefore 2y\pm \sqrt{23}x=0\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.3.(v)\) অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ নির্ণয় কর যারঃ
\((b)\) উপকেন্দ্র \((0, \pm 4)\) ও উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{4}{3}\)
উত্তরঃ \( \sqrt{7}y\pm 3x=0\).
\((b)\) উপকেন্দ্র \((0, \pm 4)\) ও উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{4}{3}\)
উত্তরঃ \( \sqrt{7}y\pm 3x=0\).
সমাধানঃ
শর্তমতে, 
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 ........(1)\)
দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{4}{3}\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \((0, \pm 4)\)
\(\therefore (0, \pm be)\Rightarrow (0, \pm 4)\) ➜\(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\)
\(\Rightarrow be=4\)
\(\Rightarrow b\times \frac{4}{3}=4\)
\(\Rightarrow b=4\times \frac{3}{4}\)
\(\therefore b=3\)
আবার,
\(a^2=b^2(e^2-1)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে \(a^2=b^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow a^2=3^2\{\left(\frac{4}{3}\right)^2-1\}\)
\(\Rightarrow a^2=9\{\frac{16}{9}-1\}\)
\(\Rightarrow a^2=9\{\frac{16-9}{9}\}\)
\(\Rightarrow a^2=9\{\frac{7}{9}\}\)
\(\Rightarrow a^2=7\)
\(\Rightarrow a=\sqrt{7}\)
অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ,
\(y=\pm \frac{b}{a}x\) ➜\(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \) অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{a}x \)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{3}{\sqrt{7}}x\)
\(\Rightarrow \sqrt{7}y=\pm 3x\)
\(\therefore \sqrt{7}y\pm 3x=0\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 ........(1)\)
দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{4}{3}\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \((0, \pm 4)\)
\(\therefore (0, \pm be)\Rightarrow (0, \pm 4)\) ➜\(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\)
\(\Rightarrow be=4\)
\(\Rightarrow b\times \frac{4}{3}=4\)
\(\Rightarrow b=4\times \frac{3}{4}\)
\(\therefore b=3\)
আবার,
\(a^2=b^2(e^2-1)\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে \(a^2=b^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow a^2=3^2\{\left(\frac{4}{3}\right)^2-1\}\)
\(\Rightarrow a^2=9\{\frac{16}{9}-1\}\)
\(\Rightarrow a^2=9\{\frac{16-9}{9}\}\)
\(\Rightarrow a^2=9\{\frac{7}{9}\}\)
\(\Rightarrow a^2=7\)
\(\Rightarrow a=\sqrt{7}\)
অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ,
\(y=\pm \frac{b}{a}x\) ➜\(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \) অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{a}x \)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{3}{\sqrt{7}}x\)
\(\Rightarrow \sqrt{7}y=\pm 3x\)
\(\therefore \sqrt{7}y\pm 3x=0\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.3.(v)\) অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ নির্ণয় কর যারঃ
\((c)\) উপকেন্দ্র \((\pm 4, 2)\) ও উৎকেন্দ্রিকতা \(2\)
উত্তরঃ \( y-2\pm \sqrt{3}x=0\).
\((c)\) উপকেন্দ্র \((\pm 4, 2)\) ও উৎকেন্দ্রিকতা \(2\)
উত্তরঃ \( y-2\pm \sqrt{3}x=0\).
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=2\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm 4, 2)\)
অর্থাৎ উপকেন্দ্রদ্বয় \(S(4, 2)\), \(\acute{S}((-4, 2))\)
\(S\acute{S}\)-এর মুধ্যবিন্দু হবে অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \(C\left(\frac{4-4}{2}, \frac{2+2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow C\left(\frac{0}{2}, \frac{4}{2}\right)\)
\(\therefore C(0, 2)\)
উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \(S\acute{S}=\sqrt{()^2+()^2}\)
\(\Rightarrow 2ae=\sqrt{(4+4)^2+(2-2)^2}\) ➜ \(\because S\acute{S}=2ae\)
\(\Rightarrow 2ae=\sqrt{(8)^2+(0)^2}\)
\(\Rightarrow 2ae=\sqrt{64+0}\)
\(\Rightarrow 2ae=\sqrt{64}\)
\(\Rightarrow 2ae=8\)
\(\Rightarrow ae=4\)
\(\Rightarrow a.2=4\)
\(\Rightarrow a=2\)
আবার,
\(b^2=a^2(e^2-1)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে \(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=2^2(2^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=4(4-1)\)
\(\Rightarrow b^2=4(3)\)
\(\Rightarrow b^2=12\)
\(\Rightarrow b=2\sqrt{3}\)
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{(x-0)^2}{a^2}-\frac{(y-2)^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{2^2}-\frac{(y-2)^2}{(2\sqrt{3})^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{4}-\frac{(y-2)^2}{12}=1 ........(1)\)
অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ,
\(y-2=\pm \frac{b}{a}x\) ➜\(\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1 \) অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ, \(y-k=\pm \frac{b}{a}(x-h) \)
\(\Rightarrow y-2=\pm \frac{2\sqrt{3}}{2}x\)
\(\Rightarrow (y-2)=\pm \sqrt{3}x\)
\(\therefore (y-2)\pm \sqrt{3}x=0\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=2\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm 4, 2)\)
অর্থাৎ উপকেন্দ্রদ্বয় \(S(4, 2)\), \(\acute{S}((-4, 2))\)
\(S\acute{S}\)-এর মুধ্যবিন্দু হবে অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \(C\left(\frac{4-4}{2}, \frac{2+2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow C\left(\frac{0}{2}, \frac{4}{2}\right)\)
\(\therefore C(0, 2)\)
উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \(S\acute{S}=\sqrt{()^2+()^2}\)
\(\Rightarrow 2ae=\sqrt{(4+4)^2+(2-2)^2}\) ➜ \(\because S\acute{S}=2ae\)
\(\Rightarrow 2ae=\sqrt{(8)^2+(0)^2}\)
\(\Rightarrow 2ae=\sqrt{64+0}\)
\(\Rightarrow 2ae=\sqrt{64}\)
\(\Rightarrow 2ae=8\)
\(\Rightarrow ae=4\)
\(\Rightarrow a.2=4\)
\(\Rightarrow a=2\)
আবার,
\(b^2=a^2(e^2-1)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর ক্ষেত্রে \(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=2^2(2^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=4(4-1)\)
\(\Rightarrow b^2=4(3)\)
\(\Rightarrow b^2=12\)
\(\Rightarrow b=2\sqrt{3}\)
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{(x-0)^2}{a^2}-\frac{(y-2)^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{2^2}-\frac{(y-2)^2}{(2\sqrt{3})^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{4}-\frac{(y-2)^2}{12}=1 ........(1)\)
অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ,
\(y-2=\pm \frac{b}{a}x\) ➜\(\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1 \) অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ, \(y-k=\pm \frac{b}{a}(x-h) \)
\(\Rightarrow y-2=\pm \frac{2\sqrt{3}}{2}x\)
\(\Rightarrow (y-2)=\pm \sqrt{3}x\)
\(\therefore (y-2)\pm \sqrt{3}x=0\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.3.(v)\) অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ নির্ণয় কর যারঃ
\((e)\) সমীকরণ \( 25y^2-9x^2+200y+36x-140=0\)
উত্তরঃ \( 5(y+4)\pm 3(x-2)=0\).
\((e)\) সমীকরণ \( 25y^2-9x^2+200y+36x-140=0\)
উত্তরঃ \( 5(y+4)\pm 3(x-2)=0\).
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
অধিবৃত্তের সমীকরণ, \( 25y^2-9x^2+200y+36x-140=0\)
\(\Rightarrow 25(y^2+8y)-9(x^2-4x)-140=0\)
\(\Rightarrow 25(y^2+8y+16-16)-9(x^2-4x+4-4)-140=0\)
\(\Rightarrow 25(y^2+8y+16)-400-9(x^2-4x+4)+36-140=0\)
\(\Rightarrow 25(y+4)^2-9(x-2)^2-504=0\)
\(\Rightarrow 25(y+4)^2-9(x-2)^2=504\)
\(\Rightarrow \frac{25(y+4)^2}{504}-\frac{9(x-2)^2}{504}=1\)
\(\therefore \frac{(y+4)^2}{\frac{504}{25}}-\frac{(x-2)^2}{56}=1 ....(1)\)
এখানে,
\(a^2=56, b^2=\frac{504}{25}\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\sqrt{56}, b=\frac{\sqrt{504}}{5}\)
\(\therefore a=2\sqrt{14}, b=\frac{6\sqrt{14}}{5}\)
অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ,
\(y+4=\pm \frac{b}{a}(x-2)\) ➜\(\frac{(y-k)^2}{b^2}-\frac{(x-h)^2}{a^2}=1 \) অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ, \(y-k=\pm \frac{b}{a}(x-h) \)
\(\Rightarrow y+4=\pm \frac{\frac{6\sqrt{14}}{5}}{2\sqrt{14}}(x-2)\)
\(\Rightarrow y+4=\pm \frac{6\sqrt{14}}{10\sqrt{14}}(x-2)\)
\(\Rightarrow y+4=\pm \frac{3}{5}(x-2)\)
\(\Rightarrow 5(y+4)=\pm 3(x-2)\)
\(\Rightarrow 5(y+4)\pm 3(x-2)=0\)
অধিবৃত্তের সমীকরণ, \( 25y^2-9x^2+200y+36x-140=0\)
\(\Rightarrow 25(y^2+8y)-9(x^2-4x)-140=0\)
\(\Rightarrow 25(y^2+8y+16-16)-9(x^2-4x+4-4)-140=0\)
\(\Rightarrow 25(y^2+8y+16)-400-9(x^2-4x+4)+36-140=0\)
\(\Rightarrow 25(y+4)^2-9(x-2)^2-504=0\)
\(\Rightarrow 25(y+4)^2-9(x-2)^2=504\)
\(\Rightarrow \frac{25(y+4)^2}{504}-\frac{9(x-2)^2}{504}=1\)
\(\therefore \frac{(y+4)^2}{\frac{504}{25}}-\frac{(x-2)^2}{56}=1 ....(1)\)
এখানে,
\(a^2=56, b^2=\frac{504}{25}\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\sqrt{56}, b=\frac{\sqrt{504}}{5}\)
\(\therefore a=2\sqrt{14}, b=\frac{6\sqrt{14}}{5}\)
অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ,
\(y+4=\pm \frac{b}{a}(x-2)\) ➜\(\frac{(y-k)^2}{b^2}-\frac{(x-h)^2}{a^2}=1 \) অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ, \(y-k=\pm \frac{b}{a}(x-h) \)
\(\Rightarrow y+4=\pm \frac{\frac{6\sqrt{14}}{5}}{2\sqrt{14}}(x-2)\)
\(\Rightarrow y+4=\pm \frac{6\sqrt{14}}{10\sqrt{14}}(x-2)\)
\(\Rightarrow y+4=\pm \frac{3}{5}(x-2)\)
\(\Rightarrow 5(y+4)=\pm 3(x-2)\)
\(\Rightarrow 5(y+4)\pm 3(x-2)=0\)
\(Q.3.(v)\) অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ নির্ণয় কর যারঃ
\((g)\) সমীকরণ \(9x^2-16y^2=144\)
উত্তরঃ \( 4y\pm 3x=0\).
\((g)\) সমীকরণ \(9x^2-16y^2=144\)
উত্তরঃ \( 4y\pm 3x=0\).
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
অধিবৃত্তের সমীকরণ, \(9x^2-16y^2=144\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2}{144}-\frac{16y^2}{144}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(144\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1 ....(1)\)
এখানে,
\(a^2=16, b^2=9\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4, b=3\)
অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ,
\(y=\pm \frac{b}{a}x\) ➜\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \) অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{a}x \)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{3}{4}x\)
\(\therefore 4y\pm 3x=0\)
অধিবৃত্তের সমীকরণ, \(9x^2-16y^2=144\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2}{144}-\frac{16y^2}{144}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(144\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1 ....(1)\)
এখানে,
\(a^2=16, b^2=9\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4, b=3\)
অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ,
\(y=\pm \frac{b}{a}x\) ➜\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \) অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{a}x \)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{3}{4}x\)
\(\therefore 4y\pm 3x=0\)
\(Q.3.(vi)\) \(\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{169}=1\) অধিবৃত্তের উপরস্থ \((12, 0), (13, \frac{65}{12}),(-12, 0),(-13, \frac{65}{12}),(-13, -\frac{65}{12}),(13, -\frac{65}{12})\) বিন্দুগুলির পরামিতিক স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (12\sec\theta, 13\tan\theta)\).
যেখানে, \(\theta\)-এর মাণ যথাক্রমে, \(0^{o}, 22.62^{o}, 180^{o}, 157.38^{o}, 202.62^{o}, 337.38^{o}\)
উত্তরঃ \( (12\sec\theta, 13\tan\theta)\).
যেখানে, \(\theta\)-এর মাণ যথাক্রমে, \(0^{o}, 22.62^{o}, 180^{o}, 157.38^{o}, 202.62^{o}, 337.38^{o}\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{169}=1 .......(1)\)
এখানে,
\(a^2=144, b^2=169\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=12, b=13\)
আমরা জানি,
অধিবৃত্তটির উপর \(P(x, y)\) যে কোনো বিন্দু \(P\)-এর উপকেন্দ্রিক কোণ \(\theta\) হলে, \(P\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \(P(a\sec\theta, b\tan\theta)\), যেখানে \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)\)
\((12, 0)\) বিন্দুটি \(X\)-অক্ষের ধনাত্মক দিকে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{0}{13}\right)\)\(=\tan^{-1}0=0^{o}\)
\(\therefore (12, 0)\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((12\sec0^{o}, 13\tan0^{o})\)
\( (13, \frac{65}{12})\)বিন্দুটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{\frac{65}{12}}{13}\right)\)\(=\tan^{-1}\frac{5}{12}=22.62^{o}\)
\(\therefore (13, \frac{65}{12})\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((12\sec22.62^{o}, 13\tan22.62^{o})\)
\((-12, 0)\) বিন্দুটি \(X\)-অক্ষের ঋনাত্মক দিকে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=180^{o}+\tan^{-1}\left(\frac{0}{13}\right)\)\(=180^{o}+\tan^{-1}0=180^{o}+0^{o}=180^{o}\)
\(\therefore (-12, 0)\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((12\sec180^{o}, 13\tan180^{o})\)
\( (-13, \frac{65}{12})\)বিন্দুটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=180^{o}-\tan^{-1}\left(\frac{\frac{65}{12}}{13}\right)\)\(=180^{o}-\tan^{-1}\frac{5}{12}=180^{o}-22.62^{o}=157.38^{o}\)
\(\therefore (-13, \frac{65}{12})\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((12\sec157.38^{o}, 13\tan157.38^{o})\)
\( (-13, -\frac{65}{12})\)বিন্দুটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=180^{o}+\tan^{-1}\left(\frac{\frac{65}{12}}{13}\right)\)\(=180^{o}+\tan^{-1}\frac{5}{12}=180^{o}+22.62^{o}=202.62^{o}\)
\(\therefore (-13, -\frac{65}{12})\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((12\sec202.62^{o}, 13\tan202.62^{o})\)
\( (13, -\frac{65}{12})\)বিন্দুটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=360^{o}-\tan^{-1}\left(\frac{\frac{65}{12}}{13}\right)\)\(=360^{o}-\tan^{-1}\frac{5}{12}=360^{o}-22.62^{o}=337.38^{o}\)
\(\therefore (13, -\frac{65}{12})\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((12\sec337.38^{o}, 13\tan337.38^{o})\)
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{169}=1 .......(1)\)
এখানে,
\(a^2=144, b^2=169\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=12, b=13\)
আমরা জানি,
অধিবৃত্তটির উপর \(P(x, y)\) যে কোনো বিন্দু \(P\)-এর উপকেন্দ্রিক কোণ \(\theta\) হলে, \(P\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \(P(a\sec\theta, b\tan\theta)\), যেখানে \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)\)
\((12, 0)\) বিন্দুটি \(X\)-অক্ষের ধনাত্মক দিকে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{0}{13}\right)\)\(=\tan^{-1}0=0^{o}\)
\(\therefore (12, 0)\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((12\sec0^{o}, 13\tan0^{o})\)
\( (13, \frac{65}{12})\)বিন্দুটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{\frac{65}{12}}{13}\right)\)\(=\tan^{-1}\frac{5}{12}=22.62^{o}\)
\(\therefore (13, \frac{65}{12})\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((12\sec22.62^{o}, 13\tan22.62^{o})\)
\((-12, 0)\) বিন্দুটি \(X\)-অক্ষের ঋনাত্মক দিকে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=180^{o}+\tan^{-1}\left(\frac{0}{13}\right)\)\(=180^{o}+\tan^{-1}0=180^{o}+0^{o}=180^{o}\)
\(\therefore (-12, 0)\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((12\sec180^{o}, 13\tan180^{o})\)
\( (-13, \frac{65}{12})\)বিন্দুটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=180^{o}-\tan^{-1}\left(\frac{\frac{65}{12}}{13}\right)\)\(=180^{o}-\tan^{-1}\frac{5}{12}=180^{o}-22.62^{o}=157.38^{o}\)
\(\therefore (-13, \frac{65}{12})\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((12\sec157.38^{o}, 13\tan157.38^{o})\)
\( (-13, -\frac{65}{12})\)বিন্দুটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=180^{o}+\tan^{-1}\left(\frac{\frac{65}{12}}{13}\right)\)\(=180^{o}+\tan^{-1}\frac{5}{12}=180^{o}+22.62^{o}=202.62^{o}\)
\(\therefore (-13, -\frac{65}{12})\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((12\sec202.62^{o}, 13\tan202.62^{o})\)
\( (13, -\frac{65}{12})\)বিন্দুটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=360^{o}-\tan^{-1}\left(\frac{\frac{65}{12}}{13}\right)\)\(=360^{o}-\tan^{-1}\frac{5}{12}=360^{o}-22.62^{o}=337.38^{o}\)
\(\therefore (13, -\frac{65}{12})\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((12\sec337.38^{o}, 13\tan337.38^{o})\)
\(Q.3.(vii)\) \(\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{9}=1\) অধিবৃত্তের উপরস্থ \((0, 2), (4, \frac{10}{3}),(-4, \frac{10}{3}),(-4, -\frac{10}{3}))\) বিন্দুগুলির পরামিতিক স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (3\tan\theta, 2\sec\theta)\).
যেখানে, \(\theta\)-এর মাণ যথাক্রমে, \(0^{o}, 53.13^{o}, 126.87^{o}, 233.13^{o}, 306.87^{o}\)
উত্তরঃ \( (3\tan\theta, 2\sec\theta)\).
যেখানে, \(\theta\)-এর মাণ যথাক্রমে, \(0^{o}, 53.13^{o}, 126.87^{o}, 233.13^{o}, 306.87^{o}\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{9}=1 .......(1)\)
এখানে,
\(a^2=9, b^2=4\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=2\)
আমরা জানি,
অধিবৃত্তটির উপর \(P(x, y)\) যে কোনো বিন্দু \(P\)-এর উপকেন্দ্রিক কোণ \(\theta\) হলে, \(P\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \(P(a\tan\theta, b\sec\theta)\), যেখানে \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)\)
\((0, 2)\) বিন্দুটি \(Y\)-অক্ষের ধনাত্মক দিকে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=90^{o}+\tan^{-1}\left(\frac{0}{3}\right)\)\(=90^{o}+\tan^{-1}0=90^{o}\)
\(\therefore (0, 2)\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((3\tan90^{o}, 2\sec90^{o})\)
\( (4, \frac{10}{3})\)বিন্দুটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)\)\(=53.13^{o}\)
\(\therefore (4, \frac{10}{3})\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((3\tan53.13^{o}, 2\sec53.13^{o})\)
\( (-4, \frac{10}{3})\)বিন্দুটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=180^{o}-\tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)\)\(=180^{o}-53.13^{o}=126.87^{o}\)
\(\therefore (-4, \frac{10}{3})\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((3\tan126.87^{o}, 2\sec126.87^{o})\)
\( (-4, -\frac{10}{3})\)বিন্দুটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=180^{o}+\tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)\)\(=180^{o}+53.13^{o}=233.13^{o}\)
\(\therefore (-4, -\frac{10}{3})\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((3\tan233.13^{o}, 2\sec233.13^{o})\)
\( (4, -\frac{10}{3})\)বিন্দুটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=360^{o}-\tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)\)\(=360^{o}-53.13=306.87^{o}\)
\(\therefore (4, -\frac{10}{3})\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((3\tan306.87^{o}, 2\sec306.87^{o})\)
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{9}=1 .......(1)\)
এখানে,
\(a^2=9, b^2=4\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=2\)
আমরা জানি,
অধিবৃত্তটির উপর \(P(x, y)\) যে কোনো বিন্দু \(P\)-এর উপকেন্দ্রিক কোণ \(\theta\) হলে, \(P\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \(P(a\tan\theta, b\sec\theta)\), যেখানে \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)\)
\((0, 2)\) বিন্দুটি \(Y\)-অক্ষের ধনাত্মক দিকে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=90^{o}+\tan^{-1}\left(\frac{0}{3}\right)\)\(=90^{o}+\tan^{-1}0=90^{o}\)
\(\therefore (0, 2)\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((3\tan90^{o}, 2\sec90^{o})\)
\( (4, \frac{10}{3})\)বিন্দুটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)\)\(=53.13^{o}\)
\(\therefore (4, \frac{10}{3})\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((3\tan53.13^{o}, 2\sec53.13^{o})\)
\( (-4, \frac{10}{3})\)বিন্দুটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=180^{o}-\tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)\)\(=180^{o}-53.13^{o}=126.87^{o}\)
\(\therefore (-4, \frac{10}{3})\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((3\tan126.87^{o}, 2\sec126.87^{o})\)
\( (-4, -\frac{10}{3})\)বিন্দুটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=180^{o}+\tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)\)\(=180^{o}+53.13^{o}=233.13^{o}\)
\(\therefore (-4, -\frac{10}{3})\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((3\tan233.13^{o}, 2\sec233.13^{o})\)
\( (4, -\frac{10}{3})\)বিন্দুটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত,
সুতরাং \(\theta=360^{o}-\tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)\)\(=360^{o}-53.13=306.87^{o}\)
\(\therefore (4, -\frac{10}{3})\)-এর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \((3\tan306.87^{o}, 2\sec306.87^{o})\)
\(Q.3.(viii)\) \(25x^2-16y^2=400\) অধিবৃত্তের একটি জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর যার মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((5, 3)\) ।
উত্তরঃ \( 125x-48y=481\)
উত্তরঃ \( 125x-48y=481\)
সমাধানঃ
ধরি, 
অধিবৃত্তের সমীকরণ,
\(25x^2-16y^2=400 ......(1)\)
\((1)\) নং অধিবৃত্তে অঙ্কিত জ্যা-এর মধ্যবিন্দু \((5, 3)\)
জ্যা-এর সমীকরণ,
\(25x.5-16y.3=25.5^2-16.3^2\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের অঙ্কিত জ্যা-এর মধ্যবিন্দু \(C(x_1, y_1)\) হলে, জ্যা-এর সমীকরণ, \(b^2x.x_{1}-a^2y.y_{1}=b^2x_{1}-a^2y_{1}\)
\(\Rightarrow 125x-48y=25.25-16.9\)
\(\Rightarrow 125x-48y=625-144\)
\(\therefore 125x-48y=481\)
ইহাই নির্ণেয় জ্যা-এর সমীকরণ।
অধিবৃত্তের সমীকরণ,
\(25x^2-16y^2=400 ......(1)\)
\((1)\) নং অধিবৃত্তে অঙ্কিত জ্যা-এর মধ্যবিন্দু \((5, 3)\)
জ্যা-এর সমীকরণ,
\(25x.5-16y.3=25.5^2-16.3^2\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের অঙ্কিত জ্যা-এর মধ্যবিন্দু \(C(x_1, y_1)\) হলে, জ্যা-এর সমীকরণ, \(b^2x.x_{1}-a^2y.y_{1}=b^2x_{1}-a^2y_{1}\)
\(\Rightarrow 125x-48y=25.25-16.9\)
\(\Rightarrow 125x-48y=625-144\)
\(\therefore 125x-48y=481\)
ইহাই নির্ণেয় জ্যা-এর সমীকরণ।
\(Q.3.(ix)\) \(3x^2-2y^2=-6\) অধিবৃত্তের \((2, 3)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( y-x=1\)
উত্তরঃ \( y-x=1\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
অধিবৃত্তের সমীকরণ,
\(3x^2-2y^2=-6 ......(1)\)
\((1)\) নং অধিবৃত্তের উপরস্থ \((2, 3)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(3x.2-2y.3=-6\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের \(C(x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, \(\frac{x.x_{1}}{a^2}-\frac{y.y_{1}}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow 6x-6y=-6\)
\(\Rightarrow 6(x-y)=-6\)
\(\Rightarrow x-y=-1\)
\(\therefore y-x=1\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের সমীকরণ,
\(3x^2-2y^2=-6 ......(1)\)
\((1)\) নং অধিবৃত্তের উপরস্থ \((2, 3)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(3x.2-2y.3=-6\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের \(C(x_1, y_1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, \(\frac{x.x_{1}}{a^2}-\frac{y.y_{1}}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow 6x-6y=-6\)
\(\Rightarrow 6(x-y)=-6\)
\(\Rightarrow x-y=-1\)
\(\therefore y-x=1\)
ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
\(Q.3.(x)\) \(y=k-2x\) সরলরেখাটি \(xy=1\) বক্ররেখাকে স্পর্শ করলে \(k\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( k=\pm 2\sqrt{2}\)
উত্তরঃ \( k=\pm 2\sqrt{2}\)
সমাধানঃ
ধরি, 
সরলরেখার সমীকরণ,
\(y=k-2x ......(1)\)
বক্ররেখার সমীকরণ,
\(xy=1......(2)\)
\((1)\) হতে \(y\)-এর মাণ \((2)\)-এ বসিয়ে,
\(x(k-2x)=1\)
\(\Rightarrow kx-2x^2=1\)
\(\Rightarrow kx-2x^2-1=0\)
\(\Rightarrow 2x^2-kx+1=0\) ➜ \(-1\) গুণ করে।
\(\therefore 2x^2-kx+1=0 \) যা \(x\)-এর দ্বিঘাত সমীকরণ, এখানে \(x\)-এর দুইটি মাণ আছে।
যেহেতু, \((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বক্ররেখাকে স্পর্শ করে। তাই \(x\)-এর মাণদ্বয় সমান হবে।
\((-k)^2=4.2.1\) ➜ \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমাণ হওয়ার শর্ত, \(b^2=4ac\)
\(\Rightarrow k^2=8\)
\(\therefore k=\pm 2\sqrt{2}\)
সরলরেখার সমীকরণ,
\(y=k-2x ......(1)\)
বক্ররেখার সমীকরণ,
\(xy=1......(2)\)
\((1)\) হতে \(y\)-এর মাণ \((2)\)-এ বসিয়ে,
\(x(k-2x)=1\)
\(\Rightarrow kx-2x^2=1\)
\(\Rightarrow kx-2x^2-1=0\)
\(\Rightarrow 2x^2-kx+1=0\) ➜ \(-1\) গুণ করে।
\(\therefore 2x^2-kx+1=0 \) যা \(x\)-এর দ্বিঘাত সমীকরণ, এখানে \(x\)-এর দুইটি মাণ আছে।
যেহেতু, \((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং বক্ররেখাকে স্পর্শ করে। তাই \(x\)-এর মাণদ্বয় সমান হবে।
\((-k)^2=4.2.1\) ➜ \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমাণ হওয়ার শর্ত, \(b^2=4ac\)
\(\Rightarrow k^2=8\)
\(\therefore k=\pm 2\sqrt{2}\)
\(Q.3.(xi)\) \(25x^2-16y^2=400\) অধিবৃত্তের অসীমতটদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্ণকোণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( \tan^{-1}\frac{40}{9}\)
উত্তরঃ \( \tan^{-1}\frac{40}{9}\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
অধিবৃত্তের সমীকরণ,
\(25x^2-16y^2=400\)
\(\Rightarrow \frac{25x^2}{400}-\frac{16y^2}{400}=1\) ➜ \(400\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{25}=1 .....(1)\)
এখানে,
\(a^2=16, b^2=25\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4, b=5\)
অধিবৃত্তের অসীমতটদ্বয়ের সমীকরণ,
\(y=\pm \frac{b}{a}x\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের অসীমতটদ্বয়ের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{a}x\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{5}{4}x\)
\(\therefore y=\frac{5}{4}x .....(2)\)
এবং
\(y=-\frac{5}{4}x .....(3)\)
\((2)\) নং অসীমতটের ঢাল \(m_{1}=\frac{5}{4}\)
\((3)\) নং অসীমতটের ঢাল \(m_{2}=-\frac{5}{4}\)
অসীমতটদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ,
\(\theta=\tan^{-1}\{\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}\}\)
\(=\tan^{-1}\{\pm \frac{\frac{5}{4}+\frac{5}{4}}{1+\frac{5}{4}\times -\frac{5}{4}}\}\)
\(=\tan^{-1}\{\pm \frac{\frac{5+5}{4}}{1-\frac{25}{16}}\}\)
\(=\tan^{-1}\{\pm \frac{\frac{10}{4}}{\frac{16-25}{16}}\}\)
\(=\tan^{-1}\{\pm \frac{\frac{5}{2}}{\frac{-9}{16}}\}\)
\(=\tan^{-1}\{\pm \frac{5}{2}\times \frac{16}{9}\}\)
\(=\tan^{-1}\{\pm \frac{40}{9}\}\)
যেহেতু \(\theta\) সূক্ষ্ণকোণ,
\(\therefore +ve\) চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(=\tan^{-1}\frac{40}{9}\)
ইহাই নির্ণেয় সূক্ষ্ণকোণ।
অধিবৃত্তের সমীকরণ,
\(25x^2-16y^2=400\)
\(\Rightarrow \frac{25x^2}{400}-\frac{16y^2}{400}=1\) ➜ \(400\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{25}=1 .....(1)\)
এখানে,
\(a^2=16, b^2=25\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4, b=5\)
অধিবৃত্তের অসীমতটদ্বয়ের সমীকরণ,
\(y=\pm \frac{b}{a}x\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) অধিবৃত্তের অসীমতটদ্বয়ের সমীকরণ, \(y=\pm \frac{b}{a}x\)
\(\Rightarrow y=\pm \frac{5}{4}x\)
\(\therefore y=\frac{5}{4}x .....(2)\)
এবং
\(y=-\frac{5}{4}x .....(3)\)
\((2)\) নং অসীমতটের ঢাল \(m_{1}=\frac{5}{4}\)
\((3)\) নং অসীমতটের ঢাল \(m_{2}=-\frac{5}{4}\)
অসীমতটদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ,
\(\theta=\tan^{-1}\{\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}\}\)
\(=\tan^{-1}\{\pm \frac{\frac{5}{4}+\frac{5}{4}}{1+\frac{5}{4}\times -\frac{5}{4}}\}\)
\(=\tan^{-1}\{\pm \frac{\frac{5+5}{4}}{1-\frac{25}{16}}\}\)
\(=\tan^{-1}\{\pm \frac{\frac{10}{4}}{\frac{16-25}{16}}\}\)
\(=\tan^{-1}\{\pm \frac{\frac{5}{2}}{\frac{-9}{16}}\}\)
\(=\tan^{-1}\{\pm \frac{5}{2}\times \frac{16}{9}\}\)
\(=\tan^{-1}\{\pm \frac{40}{9}\}\)
যেহেতু \(\theta\) সূক্ষ্ণকোণ,
\(\therefore +ve\) চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(=\tan^{-1}\frac{40}{9}\)
ইহাই নির্ণেয় সূক্ষ্ণকোণ।
\(Q.3.(xii)\) একটি অধিবৃত্তের ফোকাস \((1, -1)\) এবং অনুরূপ দিকাক্ষের সমীকরণ \(2x+y+1=0\) ; অধিবৃত্তটি \((0, 1)\) বিন্দুগামী হলে এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( 16x^2+y^2+20xy+28x+2y-3=0\)
উত্তরঃ \( 16x^2+y^2+20xy+28x+2y-3=0\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
অধিবৃত্তের ফোকাস \(S(1, -1)\)
অধিবৃত্তের অনুরূপ দিকাক্ষের সমীকরণ \(2x+y+1=0 .....(1)\)
ধরি,
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e\)
এবং অধিবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
\(\therefore PS=\sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}\) ➜ \(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)
\(P(x, y)\) বিন্দু হতে \((1)\)-এর লম্ব দূরত্ব,
\(PM=\frac{|2x+y+1|}{\sqrt{2^2+1^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|2x+y+1|}{\sqrt{4+1}}\)
\(=\frac{|2x+y+1|}{\sqrt{5}}\)
অধিবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
\(PS=e.PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}=e.\frac{|2x+y+1|}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2+(y+1)^2=e^2.\frac{(2x+y+1)^2}{5} .....(2)\)
\((2)\) নং অধিবৃত্তটি \((0, 1)\) বিন্দুগামী,
\(\therefore (0-1)^2+(1+1)^2=e^2.\frac{(2.0+1+1)^2}{5}\)
\(\Rightarrow (-1)^2+(2)^2=e^2.\frac{(0+2)^2}{5}\)
\(\Rightarrow 1+4=e^2.\frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow 5=e^2.\frac{4}{5}\)
\(\therefore e^2=\frac{25}{4}\)
\((2)\) হতে,
\((x-1)^2+(y+1)^2=\frac{25}{4}\times \frac{(2x+y+1)^2}{5}\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2+2y+1=\frac{5}{4}\times (2x+y+1)^2\)
\(\Rightarrow x^2-2x+y^2+2y+2=\frac{5}{4}\times (4x^2+y^2+1+4xy+4x+2y)\)
\(\Rightarrow 4(x^2-2x+y^2+2y+2)=5(4x^2+y^2+1+4xy+4x+2y)\)
\(\Rightarrow 4x^2-8x+4y^2+8y+8=20x^2+5y^2+5+20xy+20x+10y\)
\(\Rightarrow 20x^2+5y^2+5+20xy+20x+10y=4x^2-8x+4y^2+8y+8\)
\(\Rightarrow 20x^2+5y^2+5+20xy+20x+10y-4x^2+8x-4y^2-8y-8=0\)
\(\therefore 16x^2+y^2+20xy+28x+2y-3=0\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ ।
অধিবৃত্তের ফোকাস \(S(1, -1)\)
অধিবৃত্তের অনুরূপ দিকাক্ষের সমীকরণ \(2x+y+1=0 .....(1)\)
ধরি,
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e\)
এবং অধিবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
\(\therefore PS=\sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}\) ➜ \(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)
\(P(x, y)\) বিন্দু হতে \((1)\)-এর লম্ব দূরত্ব,
\(PM=\frac{|2x+y+1|}{\sqrt{2^2+1^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|2x+y+1|}{\sqrt{4+1}}\)
\(=\frac{|2x+y+1|}{\sqrt{5}}\)
অধিবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
\(PS=e.PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}=e.\frac{|2x+y+1|}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2+(y+1)^2=e^2.\frac{(2x+y+1)^2}{5} .....(2)\)
\((2)\) নং অধিবৃত্তটি \((0, 1)\) বিন্দুগামী,
\(\therefore (0-1)^2+(1+1)^2=e^2.\frac{(2.0+1+1)^2}{5}\)
\(\Rightarrow (-1)^2+(2)^2=e^2.\frac{(0+2)^2}{5}\)
\(\Rightarrow 1+4=e^2.\frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow 5=e^2.\frac{4}{5}\)
\(\therefore e^2=\frac{25}{4}\)
\((2)\) হতে,
\((x-1)^2+(y+1)^2=\frac{25}{4}\times \frac{(2x+y+1)^2}{5}\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2+2y+1=\frac{5}{4}\times (2x+y+1)^2\)
\(\Rightarrow x^2-2x+y^2+2y+2=\frac{5}{4}\times (4x^2+y^2+1+4xy+4x+2y)\)
\(\Rightarrow 4(x^2-2x+y^2+2y+2)=5(4x^2+y^2+1+4xy+4x+2y)\)
\(\Rightarrow 4x^2-8x+4y^2+8y+8=20x^2+5y^2+5+20xy+20x+10y\)
\(\Rightarrow 20x^2+5y^2+5+20xy+20x+10y=4x^2-8x+4y^2+8y+8\)
\(\Rightarrow 20x^2+5y^2+5+20xy+20x+10y-4x^2+8x-4y^2-8y-8=0\)
\(\therefore 16x^2+y^2+20xy+28x+2y-3=0\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ ।
\(Q.3.(xiii)\) দেখাও যে, \(t\)-এর সকল মানের জন্য \(\left(a\frac{1+t^2}{1-t^2}, \frac{2at}{1-t^2}\right)\) বিন্দুটি একটি নির্দিষ্ট অধিবৃত্তের উপর অবস্থিত। অধিবৃত্তটির উৎকেন্দ্রতা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\sqrt{2}\)
উত্তরঃ \(\sqrt{2}\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
কোনো বিন্দুর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \(\left(a\frac{1+t^2}{1-t^2}, \frac{2at}{1-t^2}\right)\)
\(\therefore x=a\frac{1+t^2}{1-t^2} .....(1)\)
এবং \( y=\frac{2at}{1-t^2} .......(2)\)
\((1)\Rightarrow \frac{x}{a}=\frac{1+t^2}{1-t^2}\)
\(\Rightarrow \frac{x+a}{x-a}=\frac{1+t^2+1-t^2}{1+t^2-1+t^2}\) ➜ যোজন ও বিয়োজন করে।
\(\Rightarrow \frac{x+a}{x-a}=\frac{2}{2t^2}\)
\(\Rightarrow \frac{x+a}{x-a}=\frac{1}{t^2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-a}{x+a}=t^2\)
\(\Rightarrow t^2=\frac{x-a}{x+a}\)
\(\therefore t=\sqrt{\frac{x-a}{x+a}}\)
\(\therefore t\)-এর মাণ \(\)-এ বসিয়ে,
\(y=\frac{2a\times \sqrt{\frac{x-a}{x+a}}}{1-\frac{x-a}{x+a}}\)
\(\Rightarrow y=\frac{2a\sqrt{\frac{x-a}{x+a}}}{\frac{x+a-x+a}{x+a}}\)
\(\Rightarrow y=\frac{2a\sqrt{\frac{x-a}{x+a}}}{\frac{2a}{x+a}}\)
\(\Rightarrow y=2a\frac{\sqrt{x-a}}{\sqrt{x+a}}\times \frac{x+a}{2a}\)
\(\Rightarrow y=\frac{\sqrt{x-a}}{\sqrt{x+a}}\times \sqrt{x+a}\times \sqrt{x+a}\)
\(\Rightarrow y=\sqrt{x^2-a^2}\)
\(\Rightarrow y^2=x^2-a^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow y^2-x^2=-a^2\)
\(\therefore x^2-y^2=a^2 ....(3)\) যা একটি অধিবৃত্ত প্রকাশ করে।
অতএব, বিন্দুটি একটি নির্দিষ্ট অধিবৃত্তের উপর অবস্থিত।
\((3)\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2}=1\)
এখানে,
\(a^2=b^2\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore \) অধিবৃত্তটির উৎকেন্দ্রতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{a^2}{a^2}}\) ➜ \(\because a^2=b^2\)
\(=\sqrt{1+1}\)
\(=\sqrt{2}\)
কোনো বিন্দুর পরামিতিক স্থানাঙ্ক \(\left(a\frac{1+t^2}{1-t^2}, \frac{2at}{1-t^2}\right)\)
\(\therefore x=a\frac{1+t^2}{1-t^2} .....(1)\)
এবং \( y=\frac{2at}{1-t^2} .......(2)\)
\((1)\Rightarrow \frac{x}{a}=\frac{1+t^2}{1-t^2}\)
\(\Rightarrow \frac{x+a}{x-a}=\frac{1+t^2+1-t^2}{1+t^2-1+t^2}\) ➜ যোজন ও বিয়োজন করে।
\(\Rightarrow \frac{x+a}{x-a}=\frac{2}{2t^2}\)
\(\Rightarrow \frac{x+a}{x-a}=\frac{1}{t^2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-a}{x+a}=t^2\)
\(\Rightarrow t^2=\frac{x-a}{x+a}\)
\(\therefore t=\sqrt{\frac{x-a}{x+a}}\)
\(\therefore t\)-এর মাণ \(\)-এ বসিয়ে,
\(y=\frac{2a\times \sqrt{\frac{x-a}{x+a}}}{1-\frac{x-a}{x+a}}\)
\(\Rightarrow y=\frac{2a\sqrt{\frac{x-a}{x+a}}}{\frac{x+a-x+a}{x+a}}\)
\(\Rightarrow y=\frac{2a\sqrt{\frac{x-a}{x+a}}}{\frac{2a}{x+a}}\)
\(\Rightarrow y=2a\frac{\sqrt{x-a}}{\sqrt{x+a}}\times \frac{x+a}{2a}\)
\(\Rightarrow y=\frac{\sqrt{x-a}}{\sqrt{x+a}}\times \sqrt{x+a}\times \sqrt{x+a}\)
\(\Rightarrow y=\sqrt{x^2-a^2}\)
\(\Rightarrow y^2=x^2-a^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow y^2-x^2=-a^2\)
\(\therefore x^2-y^2=a^2 ....(3)\) যা একটি অধিবৃত্ত প্রকাশ করে।
অতএব, বিন্দুটি একটি নির্দিষ্ট অধিবৃত্তের উপর অবস্থিত।
\((3)\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2}=1\)
এখানে,
\(a^2=b^2\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore \) অধিবৃত্তটির উৎকেন্দ্রতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{a^2}{a^2}}\) ➜ \(\because a^2=b^2\)
\(=\sqrt{1+1}\)
\(=\sqrt{2}\)
\(Q.3.(xiv)\) \(t\)একটি পরিবর্তনশীল পরামিতি হলে, দেখাও যে, \(x=\frac{1}{2}a\left(t+\frac{1}{t}\right), y=\frac{1}{2}b\left(t-\frac{1}{t}\right)\) সমীকরণদ্বয় একটি অধিবৃত্ত নির্দেশ করে।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
\(x=\frac{1}{2}a\left(t+\frac{1}{t}\right), y=\frac{1}{2}b\left(t-\frac{1}{t}\right)\)
ধরি,
\(x=\frac{1}{2}a\left(t+\frac{1}{t}\right) .....(1)\)
এবং \(y=\frac{1}{2}b\left(t-\frac{1}{t}\right) .......(2)\)
\((1)\Rightarrow \frac{2x}{a}=t+\frac{1}{t}\)
\(\therefore t+\frac{1}{t}=\frac{2x}{a}\)
আবার,
\((2)\Rightarrow y^2=\frac{1}{4}b^2\left(t-\frac{1}{t}\right)^2\)
\(\Rightarrow \frac{4y^2}{b^2}=\left(t+\frac{1}{t}\right)^2-4t\times \frac{1}{t}\)
\(\Rightarrow \frac{4y^2}{b^2}=\left(\frac{2x}{a}\right)^2-4\) ➜ \(\because t+\frac{1}{t}=\frac{2x}{a}\)
\(\Rightarrow \frac{4y^2}{b^2}=\frac{4x^2}{a^2}-4\)
\(\Rightarrow \frac{4y^2}{b^2}-\frac{4x^2}{a^2}=-4\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(-4\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
যা একটি অধিবৃত্ত নির্দেশ করে।
\((showed)\)
\(x=\frac{1}{2}a\left(t+\frac{1}{t}\right), y=\frac{1}{2}b\left(t-\frac{1}{t}\right)\)
ধরি,
\(x=\frac{1}{2}a\left(t+\frac{1}{t}\right) .....(1)\)
এবং \(y=\frac{1}{2}b\left(t-\frac{1}{t}\right) .......(2)\)
\((1)\Rightarrow \frac{2x}{a}=t+\frac{1}{t}\)
\(\therefore t+\frac{1}{t}=\frac{2x}{a}\)
আবার,
\((2)\Rightarrow y^2=\frac{1}{4}b^2\left(t-\frac{1}{t}\right)^2\)
\(\Rightarrow \frac{4y^2}{b^2}=\left(t+\frac{1}{t}\right)^2-4t\times \frac{1}{t}\)
\(\Rightarrow \frac{4y^2}{b^2}=\left(\frac{2x}{a}\right)^2-4\) ➜ \(\because t+\frac{1}{t}=\frac{2x}{a}\)
\(\Rightarrow \frac{4y^2}{b^2}=\frac{4x^2}{a^2}-4\)
\(\Rightarrow \frac{4y^2}{b^2}-\frac{4x^2}{a^2}=-4\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(-4\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
যা একটি অধিবৃত্ত নির্দেশ করে।
\((showed)\)
\(Q.3.(xv)\) \(x^2-y^2=a^2\) অধিবৃত্তের উপর অবস্থিত একটি চলমান বিন্দু \(P(a\sec\theta, a\tan\theta)\) এবং \(A(2a, 0)\) একটি স্থির বিন্দু । \(AP\)-এর মধ্যবিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4(x-a)^2-4y^2=a^2\)
উত্তরঃ \(4(x-a)^2-4y^2=a^2\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
অধিবৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2-y^2=a^2 .....(1)\)
\((1)\)-এর উপর একটি চলমান বিন্দু \(P(a\sec\theta, a\tan\theta)\)
এবং একটি স্থির বিন্দু \(A(2a, 0)\)
\(AP\)-এর মধ্যবিন্দু \(\left(\frac{2a+a\sec\theta}{2}, \frac{0+a\tan\theta}{2}\right)\)
\(\therefore \left(\frac{2a+a\sec\theta}{2}, \frac{a\tan\theta}{2}\right)\)
\(\therefore x=\frac{2a+a\sec\theta}{2}, y=\frac{a\tan\theta}{2}\)
\(\Rightarrow 2x=2a+a\sec\theta, 2y=a\tan\theta\)
\(\Rightarrow 2a+a\sec\theta=2x, a\tan\theta=2y\)
\(\Rightarrow a\sec\theta=2x-2a, a\tan\theta=2y\)
\(\Rightarrow \sec\theta=\frac{2x-2a}{a}, \tan\theta=\frac{2y}{a}\)
\(\therefore \sec\theta=\frac{2x-2a}{a} ......(2)\)
এবং
\(\tan\theta=\frac{2y}{a} ......(3)\)
\((2)\) ও \((3)\) বর্গ করে বিয়োগ করি।
\(\sec^2\theta-\tan^2\theta=\frac{(2x-2a)^2}{a^2}-\frac{(2y)^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{4(x-a)^2}{a^2}-\frac{4y^2}{a^2}\) ➜ \(\because \sec^2\theta-\tan^2\theta=1\)
\(\Rightarrow \frac{4(x-a)^2}{a^2}-\frac{4y^2}{a^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{4(x-a)^2-4y^2}{a^2}=1 \)
\(\therefore 4(x-a)^2-4y^2=a^2\)
ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2-y^2=a^2 .....(1)\)
\((1)\)-এর উপর একটি চলমান বিন্দু \(P(a\sec\theta, a\tan\theta)\)
এবং একটি স্থির বিন্দু \(A(2a, 0)\)
\(AP\)-এর মধ্যবিন্দু \(\left(\frac{2a+a\sec\theta}{2}, \frac{0+a\tan\theta}{2}\right)\)
\(\therefore \left(\frac{2a+a\sec\theta}{2}, \frac{a\tan\theta}{2}\right)\)
\(\therefore x=\frac{2a+a\sec\theta}{2}, y=\frac{a\tan\theta}{2}\)
\(\Rightarrow 2x=2a+a\sec\theta, 2y=a\tan\theta\)
\(\Rightarrow 2a+a\sec\theta=2x, a\tan\theta=2y\)
\(\Rightarrow a\sec\theta=2x-2a, a\tan\theta=2y\)
\(\Rightarrow \sec\theta=\frac{2x-2a}{a}, \tan\theta=\frac{2y}{a}\)
\(\therefore \sec\theta=\frac{2x-2a}{a} ......(2)\)
এবং
\(\tan\theta=\frac{2y}{a} ......(3)\)
\((2)\) ও \((3)\) বর্গ করে বিয়োগ করি।
\(\sec^2\theta-\tan^2\theta=\frac{(2x-2a)^2}{a^2}-\frac{(2y)^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{4(x-a)^2}{a^2}-\frac{4y^2}{a^2}\) ➜ \(\because \sec^2\theta-\tan^2\theta=1\)
\(\Rightarrow \frac{4(x-a)^2}{a^2}-\frac{4y^2}{a^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{4(x-a)^2-4y^2}{a^2}=1 \)
\(\therefore 4(x-a)^2-4y^2=a^2\)
ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
\(Q.3.(xvi)\) দেখাও যে, \(\frac{x}{5}-\frac{y}{4}=7\) এবং \(\frac{x}{5}+\frac{y}{4}=\frac{1}{7}\)রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুটি একটি অধিবৃত্তের উপর অবস্থান করে। ঐ অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(16x^2-25y^2=400\)
উত্তরঃ \(16x^2-25y^2=400\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
সরলরেখার সমীকরণ,
\(\frac{x}{5}-\frac{y}{4}=7 .....(1)\)
এবং \(\frac{x}{5}+\frac{y}{4}=\frac{1}{7} ......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) যোগ করে।
\(\frac{x}{5}-\frac{y}{4}+\frac{x}{5}+\frac{y}{4}=7+\frac{1}{7} \)
\(\Rightarrow \frac{2x}{5}=\frac{49+1}{7} \)
\(\Rightarrow \frac{2x}{5}=\frac{50}{7}\)
\(\therefore \frac{x}{5}=\frac{25}{7} .....(3)\)
আবার,
\((1)\) ও \((2)\) বিয়োগ করে।
\(\frac{x}{5}-\frac{y}{4}-\frac{x}{5}-\frac{y}{4}=7-\frac{1}{7} \)
\(\Rightarrow -\frac{2y}{4}=\frac{49-1}{7} \)
\(\Rightarrow \frac{2y}{4}=-\frac{48}{7} .....(4)\)
\(\therefore \frac{y}{4}=-\frac{24}{7} .....(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) বর্গ করে বিয়োগ করে।
\(\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=\frac{625}{49}-\frac{576}{49}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=\frac{625-576}{49}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=\frac{49}{49}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=1\)
\(\Rightarrow \frac{16x^2-25y^2}{400}=1\)
\(\therefore 16x^2-25y^2=400\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
সরলরেখার সমীকরণ,
\(\frac{x}{5}-\frac{y}{4}=7 .....(1)\)
এবং \(\frac{x}{5}+\frac{y}{4}=\frac{1}{7} ......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) যোগ করে।
\(\frac{x}{5}-\frac{y}{4}+\frac{x}{5}+\frac{y}{4}=7+\frac{1}{7} \)
\(\Rightarrow \frac{2x}{5}=\frac{49+1}{7} \)
\(\Rightarrow \frac{2x}{5}=\frac{50}{7}\)
\(\therefore \frac{x}{5}=\frac{25}{7} .....(3)\)
আবার,
\((1)\) ও \((2)\) বিয়োগ করে।
\(\frac{x}{5}-\frac{y}{4}-\frac{x}{5}-\frac{y}{4}=7-\frac{1}{7} \)
\(\Rightarrow -\frac{2y}{4}=\frac{49-1}{7} \)
\(\Rightarrow \frac{2y}{4}=-\frac{48}{7} .....(4)\)
\(\therefore \frac{y}{4}=-\frac{24}{7} .....(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) বর্গ করে বিয়োগ করে।
\(\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=\frac{625}{49}-\frac{576}{49}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=\frac{625-576}{49}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=\frac{49}{49}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=1\)
\(\Rightarrow \frac{16x^2-25y^2}{400}=1\)
\(\therefore 16x^2-25y^2=400\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অনুশীলনী \(5.C\) / \(Q.4\) সৃজনশীল প্রশ্নসমুহ
\(Q.4.(i)\) \((m) 3y^2-10x-12y-18=0\)
\((n)\) উপকেন্দ্র \((-1, 1)\), নিয়ামকরেখা \(x+y+1=0\) ।
\((a)\) \(y^2=12px \) পরাবৃত্তটি \((2, -1)\) বিন্দুগামী হলে, এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য বের কর।
\((b)\) \((m)\) নং পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র, অক্ষরেখা এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \((n)\) নং এর আলোকে পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। উক্ত পরাবৃত্তের অক্ষের সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য বের কর।
উত্তরঃ \((a) \frac{1}{2}\)
\((b) (-3, 2); \left(-\frac{13}{6}, 2\right); y-2=0; 6x+23=0\)
\((c) (x-y)^2+2x-6y+3=0; x-y+2=0; \sqrt{2} \)
\(Q.4.(ii)\) \(y^2=4ax\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ ।
\((a)\) \(y^2-4y-4x+16=0\) পরাবৃত্তকে আদর্শ আকারে প্রকাশ কর।
\((b)\) উৎসে উল্লেখিত পরাবৃত্তটি \((3, -2)\) বিন্দুগামী হলে, এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) দেখাও যে, \(lx+my+n=0\) সরলরেখাটি পরাবৃত্তের স্পর্শক হবে যদি \(ln=am^2\) হয়।
উত্তরঃ \((a) (y-2)^2=4(x-);\) \((b) \frac{4}{3}; (\frac{1}{3}, 0) \) ।
\(Q.4.(iii)\) \(y=ax^2+bx+c\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ এবং \(\frac{x^2}{l^2}+\frac{y^2}{m^2}=1\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ; যেখানে, \(a, l, m\ne 0\)।
\((a)\) \(16y^2-25x^2=400\) কনিকের অক্ষ দুইটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\((b)\) উল্লেখিত পরাবৃত্তের সমীকরণটির শীর্ষবিন্দু \((-2, 3)\) এবং যদি উহা \((0, 5)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে তবে \(a, b, c\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(8\) হয়, তবে \(l^2+m^2\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \((a) 10; 8\) \((b) a=\frac{1}{2}, b=2, c=5\) \((c) \frac{153}{4}\)।
\(Q.4.(iv)\) চিত্রে \(S\) উপকেন্দ্র, \(MZ\) নিয়ামকরেখা , \(P(x, y)\) যে কোনো বিন্দু এবং \(\frac{SP}{PM}=e\)।
\((a)\) \(3x^2+4y^2=12\) উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(e=1\) এবং কনিকের শীর্ষবিন্দু \((0, 0)\) হলে, কনিকটির নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(SP=3, PM=\sqrt{3}\) এবং \(MZ\)-এর সমীকরণ \(2x-y=1\) হলে, কনিকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \frac{1}{2}; x=\pm 4\) \((b) x+2y+10=0\) \((c) 7x^2-12xy-2y^2+8x+46y-97=0\)।
\(Q.4.(v)\) \(ax^2+by^2-16x+cy+d=0\) একটি কনিকের সমিকরণ নির্দেশ করে।
\((a)\) \(\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক ও উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।
\((b)\) \(a=0, b=1, c=0, d=0\); কনিকটির উপরস্থ কোনো বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব \(6\) হলে; ঐ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \(a=4, b=5, c=10\) এবং \(d=1\) হলে, কনিকটি একটি উপবৃত্ত হয় । উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্রদ্বয়, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) (\pm 13,0); \frac{13}{12}\)
\((b) (2, \pm 4\sqrt{2})\)
\((c) e=\frac{1}{\sqrt{5}}; (3, -1), (1, -1); \frac{8}{\sqrt{5}};2\sqrt{5}; x=7, x=-3 \)।
\(Q.4.(vi)\) \(P=x, Q=y, a=2, b=3\).
\((a)\) \(y^2=4mx\) পরাবৃত্তটি \((5, -2)\) বিন্দুগামী হলে, এর নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\frac{P^2}{a^2}+\frac{Q^2}{b^2}=b-a\) উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) উপকেন্দ্র \((-a, b) \) , উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{a}\) এবং \(Pa-Qb=ab\) নিয়ামকরেখাবিশিষ্ট অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) 5x+1=0\) \((b) \frac{8}{3}, y=\pm \sqrt{5}\) \((c) 5x^2-5y^2+24xy+100x-150y+97=0\)।
\((n)\) উপকেন্দ্র \((-1, 1)\), নিয়ামকরেখা \(x+y+1=0\) ।
\((a)\) \(y^2=12px \) পরাবৃত্তটি \((2, -1)\) বিন্দুগামী হলে, এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য বের কর।
\((b)\) \((m)\) নং পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র, অক্ষরেখা এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \((n)\) নং এর আলোকে পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। উক্ত পরাবৃত্তের অক্ষের সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য বের কর।
উত্তরঃ \((a) \frac{1}{2}\)
\((b) (-3, 2); \left(-\frac{13}{6}, 2\right); y-2=0; 6x+23=0\)
\((c) (x-y)^2+2x-6y+3=0; x-y+2=0; \sqrt{2} \)
\(Q.4.(ii)\) \(y^2=4ax\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ ।
\((a)\) \(y^2-4y-4x+16=0\) পরাবৃত্তকে আদর্শ আকারে প্রকাশ কর।
\((b)\) উৎসে উল্লেখিত পরাবৃত্তটি \((3, -2)\) বিন্দুগামী হলে, এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) দেখাও যে, \(lx+my+n=0\) সরলরেখাটি পরাবৃত্তের স্পর্শক হবে যদি \(ln=am^2\) হয়।
উত্তরঃ \((a) (y-2)^2=4(x-);\) \((b) \frac{4}{3}; (\frac{1}{3}, 0) \) ।
\(Q.4.(iii)\) \(y=ax^2+bx+c\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ এবং \(\frac{x^2}{l^2}+\frac{y^2}{m^2}=1\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ; যেখানে, \(a, l, m\ne 0\)।
\((a)\) \(16y^2-25x^2=400\) কনিকের অক্ষ দুইটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\((b)\) উল্লেখিত পরাবৃত্তের সমীকরণটির শীর্ষবিন্দু \((-2, 3)\) এবং যদি উহা \((0, 5)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে তবে \(a, b, c\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(8\) হয়, তবে \(l^2+m^2\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \((a) 10; 8\) \((b) a=\frac{1}{2}, b=2, c=5\) \((c) \frac{153}{4}\)।
\(Q.4.(iv)\) চিত্রে \(S\) উপকেন্দ্র, \(MZ\) নিয়ামকরেখা , \(P(x, y)\) যে কোনো বিন্দু এবং \(\frac{SP}{PM}=e\)।
\((a)\) \(3x^2+4y^2=12\) উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(e=1\) এবং কনিকের শীর্ষবিন্দু \((0, 0)\) হলে, কনিকটির নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(SP=3, PM=\sqrt{3}\) এবং \(MZ\)-এর সমীকরণ \(2x-y=1\) হলে, কনিকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \frac{1}{2}; x=\pm 4\) \((b) x+2y+10=0\) \((c) 7x^2-12xy-2y^2+8x+46y-97=0\)।
\(Q.4.(v)\) \(ax^2+by^2-16x+cy+d=0\) একটি কনিকের সমিকরণ নির্দেশ করে।
\((a)\) \(\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক ও উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।
\((b)\) \(a=0, b=1, c=0, d=0\); কনিকটির উপরস্থ কোনো বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব \(6\) হলে; ঐ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \(a=4, b=5, c=10\) এবং \(d=1\) হলে, কনিকটি একটি উপবৃত্ত হয় । উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্রদ্বয়, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) (\pm 13,0); \frac{13}{12}\)
\((b) (2, \pm 4\sqrt{2})\)
\((c) e=\frac{1}{\sqrt{5}}; (3, -1), (1, -1); \frac{8}{\sqrt{5}};2\sqrt{5}; x=7, x=-3 \)।
\(Q.4.(vi)\) \(P=x, Q=y, a=2, b=3\).
\((a)\) \(y^2=4mx\) পরাবৃত্তটি \((5, -2)\) বিন্দুগামী হলে, এর নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\frac{P^2}{a^2}+\frac{Q^2}{b^2}=b-a\) উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) উপকেন্দ্র \((-a, b) \) , উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{a}\) এবং \(Pa-Qb=ab\) নিয়ামকরেখাবিশিষ্ট অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) 5x+1=0\) \((b) \frac{8}{3}, y=\pm \sqrt{5}\) \((c) 5x^2-5y^2+24xy+100x-150y+97=0\)।
\(Q.4.(vii)\) চিত্রটি একটি কনিক নির্দেশ করে।
\((a)\) \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{5}=1\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
\((b)\) \(MZ\acute{M}\) নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যেখানে \(A\)-এর স্থানাঙ্ক \((2, -3)\).
\((c)\) \(PS:PM=2:3\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(3x-4y-1=0\) হলে কনিকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) (\pm \sqrt{21}, 0)\) \((b) 3x-4y-43=0\) \((c) 189x^2+161y^2+96xy+474x-482y+446=0\)।
\(Q.4.(viii)\) \((m) y=ax^2+bx+c\)
\((n) 20x^2+36y^2+40x-108y-79=0\)
\((a)\) \(lx+my+n=0\) সরলরেখা \(y=4ax\) পরাবৃত্তের স্পর্শক হলে দেখাও যে, \(ln=am^2\)
\((b)\) \((m)\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((-2, 3)\) এবং পরাবৃত্তটি \((0, 5)\) বিন্দুগামী হলে, \(a, b, c\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \((n)\) কনিকটিকে আদর্শ আকারে প্রকাশ কর, সমীকরণটির প্রকৃতি লিখ এবং উৎকেন্দ্রিকতা ও ফোকাস নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) a=\frac{1}{2}, b=2, c=5\)
\((c)\) উপবৃত্ত; \( e=\frac{2}{3}; (1, \frac{3}{2}),(-3, \frac{3}{2})\)।
\(Q.4.(ix)\) \(y^2-6y-4x+5=0\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\((a)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের কোন বিন্দুতে কটি ভুজের দ্বিগুণ?
\((b)\) উৎসে উল্লেখিত সমীকরণটি প্রমিত আকারে প্রকাশ কর এবং উপকেন্দ্রসহ উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\((c)\) পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ নির্ণয় করে লেখ চিত্রে নিয়ামকরেখাটি চিহ্নিত কর।
উত্তরঃ \((a) (3, 6)\) \((b) (0, 3); 4\)
\(Q.4.(x)\) একটি কনিকের সমীকরণ \(2x^2+5y^2-8x+10y+3=0\).
\((a)\) সমীকরণটির প্রকৃতি নির্ণয় কর।
\((b)\) উৎকেন্দ্রিকতাসহ কণিকটির উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
\((c)\) লেখচিত্রের সাহায্যে নিয়ামকরেখা চিহ্নিত করে উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a)\) উপবৃত্ত; \((b) e=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}; (2\pm \sqrt{3}, -1)\)
\(Q.4.(xi)\) \((0, 2)\) বিন্দুটি \(y=5x^2+3x+c\) বক্ররেখার উপর অবস্থিত। ঐ বিন্দুতে বক্ররেখার উপর অঙ্কিত স্পর্শক \(ax+cy+1=0\) রেখার সমান্তরাল।
\((a)\) বক্ররেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(a\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) বক্ররেখাটি কি আকারের কনিক কারণসহ উল্লেখ করে এর শীর্ষবিন্দু ও উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) y=5x^2+3x+2\); \((b) -6\);
\((c)\) পরাবৃত্ত, \(\left(-\frac{3}{10}, \frac{31}{20}\right)\); \(\left(\frac{3}{10}, \frac{8}{5}\right)\)
\((a)\) কনিকের সংজ্ঞা দাও। ইহা কি আকারের কনিক কারণসহ উল্লেখ কর।
\((b)\) প্রদত্ত কনিকের উপরিস্থিত কোনো বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব \(8\); ঐ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) অক্ষ দুইটিকে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ ধরে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য প্রদত্ত কনিকের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্যের সমান।
উত্তরঃ \((a)\) পরাবৃত্ত; \((b) (2, \pm 4\sqrt{2})\);
\((c) \frac{4x^2}{81}+\frac{y^2}{18}=1\)
\((a)\) \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{5}=1\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
\((b)\) \(MZ\acute{M}\) নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যেখানে \(A\)-এর স্থানাঙ্ক \((2, -3)\).
\((c)\) \(PS:PM=2:3\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(3x-4y-1=0\) হলে কনিকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) (\pm \sqrt{21}, 0)\) \((b) 3x-4y-43=0\) \((c) 189x^2+161y^2+96xy+474x-482y+446=0\)।
\(Q.4.(viii)\) \((m) y=ax^2+bx+c\)
\((n) 20x^2+36y^2+40x-108y-79=0\)
\((a)\) \(lx+my+n=0\) সরলরেখা \(y=4ax\) পরাবৃত্তের স্পর্শক হলে দেখাও যে, \(ln=am^2\)
\((b)\) \((m)\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((-2, 3)\) এবং পরাবৃত্তটি \((0, 5)\) বিন্দুগামী হলে, \(a, b, c\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \((n)\) কনিকটিকে আদর্শ আকারে প্রকাশ কর, সমীকরণটির প্রকৃতি লিখ এবং উৎকেন্দ্রিকতা ও ফোকাস নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) a=\frac{1}{2}, b=2, c=5\)
\((c)\) উপবৃত্ত; \( e=\frac{2}{3}; (1, \frac{3}{2}),(-3, \frac{3}{2})\)।
\(Q.4.(ix)\) \(y^2-6y-4x+5=0\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\((a)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের কোন বিন্দুতে কটি ভুজের দ্বিগুণ?
\((b)\) উৎসে উল্লেখিত সমীকরণটি প্রমিত আকারে প্রকাশ কর এবং উপকেন্দ্রসহ উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\((c)\) পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ নির্ণয় করে লেখ চিত্রে নিয়ামকরেখাটি চিহ্নিত কর।
উত্তরঃ \((a) (3, 6)\) \((b) (0, 3); 4\)
\(Q.4.(x)\) একটি কনিকের সমীকরণ \(2x^2+5y^2-8x+10y+3=0\).
\((a)\) সমীকরণটির প্রকৃতি নির্ণয় কর।
\((b)\) উৎকেন্দ্রিকতাসহ কণিকটির উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
\((c)\) লেখচিত্রের সাহায্যে নিয়ামকরেখা চিহ্নিত করে উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a)\) উপবৃত্ত; \((b) e=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}; (2\pm \sqrt{3}, -1)\)
\(Q.4.(xi)\) \((0, 2)\) বিন্দুটি \(y=5x^2+3x+c\) বক্ররেখার উপর অবস্থিত। ঐ বিন্দুতে বক্ররেখার উপর অঙ্কিত স্পর্শক \(ax+cy+1=0\) রেখার সমান্তরাল।
\((a)\) বক্ররেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(a\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) বক্ররেখাটি কি আকারের কনিক কারণসহ উল্লেখ করে এর শীর্ষবিন্দু ও উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) y=5x^2+3x+2\); \((b) -6\);
\((c)\) পরাবৃত্ত, \(\left(-\frac{3}{10}, \frac{31}{20}\right)\); \(\left(\frac{3}{10}, \frac{8}{5}\right)\)
নিজে কর।
\(Q.4.(xii)\) \(y^2=8x\) একটি কনিকের সমীকরণ।\((a)\) কনিকের সংজ্ঞা দাও। ইহা কি আকারের কনিক কারণসহ উল্লেখ কর।
\((b)\) প্রদত্ত কনিকের উপরিস্থিত কোনো বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব \(8\); ঐ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) অক্ষ দুইটিকে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ ধরে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য প্রদত্ত কনিকের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্যের সমান।
উত্তরঃ \((a)\) পরাবৃত্ত; \((b) (2, \pm 4\sqrt{2})\);
\((c) \frac{4x^2}{81}+\frac{y^2}{18}=1\)
নিজে কর।
\(Q.4.(i)\) \((m) 3y^2-10x-12y-18=0\)
\((n)\) উপকেন্দ্র \((-1, 1)\), নিয়ামকরেখা \(x+y+1=0\) ।
\((a)\) \(y^2=12px \) পরাবৃত্তটি \((2, -1)\) বিন্দুগামী হলে, এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য বের কর।
\((b)\) \((m)\) নং পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র, অক্ষরেখা এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \((n)\) নং এর আলোকে পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। উক্ত পরাবৃত্তের অক্ষের সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য বের কর।
উত্তরঃ \((a) \frac{1}{2}\) \((b) (-3, 2); \left(-\frac{13}{6}, 2\right); y-2=0; 6x+23=0\)
\((c) (x-y)^2+2x-6y+3=0; x-y+2=0; \sqrt{2} \).
\((n)\) উপকেন্দ্র \((-1, 1)\), নিয়ামকরেখা \(x+y+1=0\) ।
\((a)\) \(y^2=12px \) পরাবৃত্তটি \((2, -1)\) বিন্দুগামী হলে, এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য বের কর।
\((b)\) \((m)\) নং পরাবৃত্তের শীর্ষ, উপকেন্দ্র, অক্ষরেখা এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \((n)\) নং এর আলোকে পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। উক্ত পরাবৃত্তের অক্ষের সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য বের কর।
উত্তরঃ \((a) \frac{1}{2}\) \((b) (-3, 2); \left(-\frac{13}{6}, 2\right); y-2=0; 6x+23=0\)
\((c) (x-y)^2+2x-6y+3=0; x-y+2=0; \sqrt{2} \).
সমাধানঃ
\(Q.4.(i).(a)\)
দেওয়া আছে,
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(y^2=12px ..........(1)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্ত \((2, -1)\) বিন্দুগামী,
\(\therefore (-1)^2=12p.2 \)
\(\Rightarrow 1=24p \)
\(\Rightarrow 24p=1 \)
\(\therefore p=\frac{1}{24} \)
\((1)\) নং সমীকরণ দাঁড়ায়,
\(y^2=12\times \frac{1}{24}\times x \)
\(y^2=\frac{1}{2}x .....(2)\)
এখানে,
\(4a=\frac{1}{2}\) ➜ \(y^2=4ax \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=\frac{1}{8}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times \frac{1}{8}|\)
\(=|\frac{1}{2}|\)
\(=\frac{1}{2}\) একক।
\(Q.4.(i).(b)\)দেওয়া আছে,
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(y^2=12px ..........(1)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্ত \((2, -1)\) বিন্দুগামী,
\(\therefore (-1)^2=12p.2 \)
\(\Rightarrow 1=24p \)
\(\Rightarrow 24p=1 \)
\(\therefore p=\frac{1}{24} \)
\((1)\) নং সমীকরণ দাঁড়ায়,
\(y^2=12\times \frac{1}{24}\times x \)
\(y^2=\frac{1}{2}x .....(2)\)
এখানে,
\(4a=\frac{1}{2}\) ➜ \(y^2=4ax \)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=\frac{1}{8}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times \frac{1}{8}|\)
\(=|\frac{1}{2}|\)
\(=\frac{1}{2}\) একক।
দেওয়া আছে,
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(3y^2-10x-12y-18=0\)
\(\Rightarrow 3(y^2-4y)-10x-18=0\)
\(\Rightarrow 3(y^2-4y+4-4)-10x-18=0\)
\(\Rightarrow 3(y^2-4y+4)-12-10x-18=0\)
\(\Rightarrow 3(y-2)^2-10x-30=0\)
\(\Rightarrow 3(y-2)^2=10x+30\)
\(\Rightarrow 3(y-2)^2=10(x+3)\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=\frac{10}{3}(x+3)\)
ধরি,
\(X=x+3, Y=y-2\)
\(\Rightarrow Y^2=\frac{10}{3}X ......(1)\)
এখানে,
\(4a=\frac{10}{3}\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{10}{12}\)
\(\therefore a=\frac{5}{6}\)
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু,
\((0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x+3=0, y-2=0\)
\(\therefore x=-3, y=2\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু, \((-3, 2)\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র,
\((a, 0)\)
\(\Rightarrow X=a, Y=0\)
\(\Rightarrow x+3=\frac{5}{6}, y-2=0\)
\(\Rightarrow x=-3+\frac{5}{6}, y=2\)
\(\Rightarrow x=\frac{-18+5}{6}, y=2\)
\(\Rightarrow x=\frac{-13}{6}, y=2\)
\(\therefore x=-\frac{13}{6}, y=2\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র, \(\left(-\frac{13}{6}, 2\right)\)
পরাবৃত্তের অক্ষের সমীকরণ,
\(Y=0\)
\(\therefore y-2=0\)
পরাবৃত্তের নিয়ামকরেখার সমীকরণ,
\(X=-a\)
\(\Rightarrow x+3=-\frac{5}{6}\)
\(\Rightarrow x+3+\frac{5}{6}=0\)
\(\Rightarrow \frac{6x+18+5}{6}=0\)
\(\Rightarrow \frac{6x+23}{6}=0\)
\(\therefore 6x+23=0\)
\(Q.4.(i).(c)\)পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(3y^2-10x-12y-18=0\)
\(\Rightarrow 3(y^2-4y)-10x-18=0\)
\(\Rightarrow 3(y^2-4y+4-4)-10x-18=0\)
\(\Rightarrow 3(y^2-4y+4)-12-10x-18=0\)
\(\Rightarrow 3(y-2)^2-10x-30=0\)
\(\Rightarrow 3(y-2)^2=10x+30\)
\(\Rightarrow 3(y-2)^2=10(x+3)\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=\frac{10}{3}(x+3)\)
ধরি,
\(X=x+3, Y=y-2\)
\(\Rightarrow Y^2=\frac{10}{3}X ......(1)\)
এখানে,
\(4a=\frac{10}{3}\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{10}{12}\)
\(\therefore a=\frac{5}{6}\)
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু,
\((0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x+3=0, y-2=0\)
\(\therefore x=-3, y=2\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু, \((-3, 2)\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র,
\((a, 0)\)
\(\Rightarrow X=a, Y=0\)
\(\Rightarrow x+3=\frac{5}{6}, y-2=0\)
\(\Rightarrow x=-3+\frac{5}{6}, y=2\)
\(\Rightarrow x=\frac{-18+5}{6}, y=2\)
\(\Rightarrow x=\frac{-13}{6}, y=2\)
\(\therefore x=-\frac{13}{6}, y=2\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র, \(\left(-\frac{13}{6}, 2\right)\)
পরাবৃত্তের অক্ষের সমীকরণ,
\(Y=0\)
\(\therefore y-2=0\)
পরাবৃত্তের নিয়ামকরেখার সমীকরণ,
\(X=-a\)
\(\Rightarrow x+3=-\frac{5}{6}\)
\(\Rightarrow x+3+\frac{5}{6}=0\)
\(\Rightarrow \frac{6x+18+5}{6}=0\)
\(\Rightarrow \frac{6x+23}{6}=0\)
\(\therefore 6x+23=0\)
দেওয়া আছে,
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(-1, 1)\),
নিয়ামকরেখা \(x+y+1=0 ....(1)\)
ধরি,
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু , \(P(x, y)\)
\(\therefore PS=\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}\) ➜ \(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)
\(P\) হতে \((1)\) -এর উপর লম্ব দূরত্ব,
\(PM=\frac{|x+y+1|}{\sqrt{1^2+1^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|x+y+1|}{\sqrt{1+1}}\)
\(=\frac{|x+y+1|}{\sqrt{2}}\)
পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
\(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}=\frac{|x+y+1|}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow (x+1)^2+(y-1)^2=\frac{(x+y+1)^2}{2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2+2x+1+y^2-2y+1=\frac{x^2+y^2+1^2+2xy+2x+2y}{2}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+2x-2y+2=\frac{x^2+y^2+1+2xy+2x+2y}{2}\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2+4x-4y+4=x^2+y^2+1+2xy+2x+2y\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2+4x-4y+4-x^2-y^2-1-2xy-2x-2y=0\)
\(\Rightarrow x^2-2xy+y^2+2x-6y+3=0\)
\(\therefore (x-y)^2+2x-6y+3=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
পরাবৃত্তের অক্ষরেখা নিয়ামকরেখার উপর লম্ব,
অক্ষের সমীকরণ,
\(x-y+k=0 ....(2)\) ➜ \(ax+by+c=0\) সরলরেখার উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ \(bx-ay+k=0; k,\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা \(S(-1, 1)\) বিন্দুগামী,
\(\therefore -1-1+k=0\)
\(\Rightarrow -2+k=0\)
\(\therefore k=2\)
\(k=2, (2)\)-এ বসিয়ে,
\(x-y+2=0\)
ইহাই পরাবৃত্তের অক্ষের সমীকরণ।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, \(=2\times SZ\)
\(=2\times \frac{|-1+1+1|}{\sqrt{1^2+1^2}}\) ➜ \(SZ=\) উপকেন্দ্র \(S\) হতে নিয়ামকরেখার লম্ব দূরত্ব।
\(=2\times \frac{|1|}{\sqrt{1+1}}\)
\(=\sqrt{2}\times \sqrt{2}\times \frac{|1|}{\sqrt{2}}\)
\(=\sqrt{2}\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(-1, 1)\),
নিয়ামকরেখা \(x+y+1=0 ....(1)\)
ধরি,
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু , \(P(x, y)\)
\(\therefore PS=\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}\) ➜ \(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)
\(P\) হতে \((1)\) -এর উপর লম্ব দূরত্ব,
\(PM=\frac{|x+y+1|}{\sqrt{1^2+1^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|x+y+1|}{\sqrt{1+1}}\)
\(=\frac{|x+y+1|}{\sqrt{2}}\)
পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
\(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}=\frac{|x+y+1|}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow (x+1)^2+(y-1)^2=\frac{(x+y+1)^2}{2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2+2x+1+y^2-2y+1=\frac{x^2+y^2+1^2+2xy+2x+2y}{2}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+2x-2y+2=\frac{x^2+y^2+1+2xy+2x+2y}{2}\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2+4x-4y+4=x^2+y^2+1+2xy+2x+2y\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2+4x-4y+4-x^2-y^2-1-2xy-2x-2y=0\)
\(\Rightarrow x^2-2xy+y^2+2x-6y+3=0\)
\(\therefore (x-y)^2+2x-6y+3=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
পরাবৃত্তের অক্ষরেখা নিয়ামকরেখার উপর লম্ব,
অক্ষের সমীকরণ,
\(x-y+k=0 ....(2)\) ➜ \(ax+by+c=0\) সরলরেখার উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ \(bx-ay+k=0; k,\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা \(S(-1, 1)\) বিন্দুগামী,
\(\therefore -1-1+k=0\)
\(\Rightarrow -2+k=0\)
\(\therefore k=2\)
\(k=2, (2)\)-এ বসিয়ে,
\(x-y+2=0\)
ইহাই পরাবৃত্তের অক্ষের সমীকরণ।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, \(=2\times SZ\)
\(=2\times \frac{|-1+1+1|}{\sqrt{1^2+1^2}}\) ➜ \(SZ=\) উপকেন্দ্র \(S\) হতে নিয়ামকরেখার লম্ব দূরত্ব।
\(=2\times \frac{|1|}{\sqrt{1+1}}\)
\(=\sqrt{2}\times \sqrt{2}\times \frac{|1|}{\sqrt{2}}\)
\(=\sqrt{2}\)
\(Q.4.(ii)\) \(y^2=4ax\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ ।
\((a)\) \(y^2-4y-4x+16=0\) পরাবৃত্তকে আদর্শ আকারে প্রকাশ কর।
\((b)\) উৎসে উল্লেখিত পরাবৃত্তটি \((3, -2)\) বিন্দুগামী হলে, এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) দেখাও যে, \(lx+my+n=0\) সরলরেখাটি পরাবৃত্তের স্পর্শক হবে যদি \(ln=am^2\) হয়।
উত্তরঃ \((a) (y-2)^2=4(x-3);\) \((b) \frac{4}{3}; (\frac{1}{3}, 0) \) ।
\((a)\) \(y^2-4y-4x+16=0\) পরাবৃত্তকে আদর্শ আকারে প্রকাশ কর।
\((b)\) উৎসে উল্লেখিত পরাবৃত্তটি \((3, -2)\) বিন্দুগামী হলে, এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) দেখাও যে, \(lx+my+n=0\) সরলরেখাটি পরাবৃত্তের স্পর্শক হবে যদি \(ln=am^2\) হয়।
উত্তরঃ \((a) (y-2)^2=4(x-3);\) \((b) \frac{4}{3}; (\frac{1}{3}, 0) \) ।
সমাধানঃ
\(Q.4.(ii).(a)\)
দেওয়া আছে,
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(y^2-4y-4x+16=0\)
\(\Rightarrow y^2-4y+4-4-4x+16=0\)
\(\Rightarrow (y-2)^2-4-4x+16=0\)
\(\Rightarrow (y-2)^2-4x+12=0\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=4x-12\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=4(x-3)\)
ধরি,
\(X=x-3, Y=y-2\)
\(\Rightarrow Y^2=4X ....(1)\)
ইহাই পরাবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ।
যখন, \( X=x-3, Y=y-2\)
\(Q.4.(ii).(b)\)পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(y^2-4y-4x+16=0\)
\(\Rightarrow y^2-4y+4-4-4x+16=0\)
\(\Rightarrow (y-2)^2-4-4x+16=0\)
\(\Rightarrow (y-2)^2-4x+12=0\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=4x-12\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=4(x-3)\)
ধরি,
\(X=x-3, Y=y-2\)
\(\Rightarrow Y^2=4X ....(1)\)
ইহাই পরাবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ।
যখন, \( X=x-3, Y=y-2\)
দেওয়া আছে,
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(y^2=4ax .......(1)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্তটি \((3, -2)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore (-2)^2=4a.3 \)
\(\Rightarrow 4=12a \)
\(\Rightarrow 12a=4 \)
\(\Rightarrow a=\frac{4}{12} \)
\(\therefore a=\frac{1}{3} \)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times \frac{1}{3}|\)
\(=|\frac{4}{3}|\)
\(=\frac{4}{3}\) একক।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((a, 0)\)
\(\therefore (\frac{1}{3}, 0)\)
\(Q.4.(ii).(c)\)পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(y^2=4ax .......(1)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্তটি \((3, -2)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore (-2)^2=4a.3 \)
\(\Rightarrow 4=12a \)
\(\Rightarrow 12a=4 \)
\(\Rightarrow a=\frac{4}{12} \)
\(\therefore a=\frac{1}{3} \)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times \frac{1}{3}|\)
\(=|\frac{4}{3}|\)
\(=\frac{4}{3}\) একক।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((a, 0)\)
\(\therefore (\frac{1}{3}, 0)\)
দেওয়া আছে,
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(y^2=4ax .......(1)\)
এবং সরলরেখার সমীকরণ,
\(lx+my+n=0\)
\(\Rightarrow my=-(lx+n)\)
\(\therefore y=-\frac{lx+n}{m} ....(2)\)
\((2)\) নং হতে \(y\)-এর মাণ \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(\left(-\frac{lx+n}{m}\right)^2=4ax\)
\(\Rightarrow \frac{(lx+n)^2}{m^2}=4ax\)
\(\Rightarrow (lx+n)^2=4am^2x\)
\(\Rightarrow l^2x^2+2lnx+n^2=4am^2x\)
\(\Rightarrow l^2x^2+2lnx-4am^2x+n^2=0\)
\(\therefore l^2x^2+2(ln-2am^2)x+n^2=0\)
যা \(x\)-এর দ্বিঘাত সমীকরণ। এখানে \(x\)-এর দুইটি মাণ আছে, \(x\)-এর এই মাণ দুইটির জন্য \((2)\) নং সরলরেখা \((1)\) নং পরাবৃত্তকে দুইটি বিন্দুতে ছেদ করবে।
যেহেতু \((2)\) নং সরলরেখা \((1)\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করে ফলে, \(x\)-এর এই মাণ দুইটি সমান হবে।
\(\therefore \{2(ln-2am^2)\}^2=4l^2n^2\) ➜ \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমাণ হওয়ার শর্ত, \(b^2=4ac\)
\(\Rightarrow 4(ln-2am^2)^2=4l^2n^2\)
\(\Rightarrow (ln-2am^2)^2=l^2n^2\)
\(\Rightarrow (ln-2am^2)^2-l^2n^2=0\)
\(\Rightarrow (ln-2am^2)^2-(ln)^2=0\)
\(\Rightarrow (ln-2am^2-ln)(ln-2am^2+ln)=0\)
\(\Rightarrow -2am^2(2ln-2am^2)=0\)
\(\Rightarrow -2am^2.2(ln-am^2)=0\)
\(\Rightarrow -4am^2(ln-am^2)=0\)
\(\Rightarrow ln-am^2=0, \because -4am^2\ne 0\)
\(\therefore ln=am^2\)
(Showed)
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(y^2=4ax .......(1)\)
এবং সরলরেখার সমীকরণ,
\(lx+my+n=0\)
\(\Rightarrow my=-(lx+n)\)
\(\therefore y=-\frac{lx+n}{m} ....(2)\)
\((2)\) নং হতে \(y\)-এর মাণ \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(\left(-\frac{lx+n}{m}\right)^2=4ax\)
\(\Rightarrow \frac{(lx+n)^2}{m^2}=4ax\)
\(\Rightarrow (lx+n)^2=4am^2x\)
\(\Rightarrow l^2x^2+2lnx+n^2=4am^2x\)
\(\Rightarrow l^2x^2+2lnx-4am^2x+n^2=0\)
\(\therefore l^2x^2+2(ln-2am^2)x+n^2=0\)
যা \(x\)-এর দ্বিঘাত সমীকরণ। এখানে \(x\)-এর দুইটি মাণ আছে, \(x\)-এর এই মাণ দুইটির জন্য \((2)\) নং সরলরেখা \((1)\) নং পরাবৃত্তকে দুইটি বিন্দুতে ছেদ করবে।
যেহেতু \((2)\) নং সরলরেখা \((1)\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করে ফলে, \(x\)-এর এই মাণ দুইটি সমান হবে।
\(\therefore \{2(ln-2am^2)\}^2=4l^2n^2\) ➜ \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমাণ হওয়ার শর্ত, \(b^2=4ac\)
\(\Rightarrow 4(ln-2am^2)^2=4l^2n^2\)
\(\Rightarrow (ln-2am^2)^2=l^2n^2\)
\(\Rightarrow (ln-2am^2)^2-l^2n^2=0\)
\(\Rightarrow (ln-2am^2)^2-(ln)^2=0\)
\(\Rightarrow (ln-2am^2-ln)(ln-2am^2+ln)=0\)
\(\Rightarrow -2am^2(2ln-2am^2)=0\)
\(\Rightarrow -2am^2.2(ln-am^2)=0\)
\(\Rightarrow -4am^2(ln-am^2)=0\)
\(\Rightarrow ln-am^2=0, \because -4am^2\ne 0\)
\(\therefore ln=am^2\)
(Showed)
\(Q.4.(iii)\) \(y=ax^2+bx+c\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ এবং \(\frac{x^2}{l^2}+\frac{y^2}{m^2}=1\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ; যেখানে, \(a, l, m\ne 0\)।
\((a)\) \(16y^2-25x^2=400\) কনিকের অক্ষ দুইটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\((b)\) উল্লেখিত পরাবৃত্তের সমীকরণটির শীর্ষবিন্দু \((-2, 3)\) এবং যদি উহা \((0, 5)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে তবে \(a, b, c\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(8\) হয়, তবে \(l^2+m^2\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \((a) 10; 8\) \((b) a=\frac{1}{2}, b=2, c=5\) \((c) \frac{153}{4}\)।
\((a)\) \(16y^2-25x^2=400\) কনিকের অক্ষ দুইটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\((b)\) উল্লেখিত পরাবৃত্তের সমীকরণটির শীর্ষবিন্দু \((-2, 3)\) এবং যদি উহা \((0, 5)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে তবে \(a, b, c\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(8\) হয়, তবে \(l^2+m^2\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \((a) 10; 8\) \((b) a=\frac{1}{2}, b=2, c=5\) \((c) \frac{153}{4}\)।
সমাধানঃ
\(Q.4.(iii).(a)\)
দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের সমীকরণ,
\(16y^2-25x^2=400\)
\(\Rightarrow \frac{16y^2}{400}-\frac{25x^2}{400}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(400\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{16}=1 .....(1)\)
এখানে,
\(a^2=16, b^2=25\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4, b=5\)
অধিবৃত্তের আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য, \(=2b=2\times 5=10\) একক।
অধিবৃত্তের অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য, \(=2a=2\times 4=8\) একক।
\(Q.4.(iii).(b)\) অধিবৃত্তের সমীকরণ,
\(16y^2-25x^2=400\)
\(\Rightarrow \frac{16y^2}{400}-\frac{25x^2}{400}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(400\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{16}=1 .....(1)\)
এখানে,
\(a^2=16, b^2=25\) ➜ \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4, b=5\)
অধিবৃত্তের আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য, \(=2b=2\times 5=10\) একক।
অধিবৃত্তের অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য, \(=2a=2\times 4=8\) একক।
দেওয়া আছে,
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(y=ax^2+bx+c ......(1)\)
পরাবৃত্তটির অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং এর শীর্ষবিন্দু \((-2, 3)\)।
অর্থাৎ \((\alpha, \beta)\Rightarrow (-2, 3)\)
\(\Rightarrow \alpha=-2, \beta=3\)
এখন,
\((\alpha, \beta)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট এবং অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\((x-\alpha)^2=4a(y-\beta)\)
\(\therefore(x+2)^2=4a(y-3) ......(1)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্ত \((0, 5)\) বিন্দুগামী,
\((0+2)^2=4a(5-3)\)
\(\Rightarrow 4=4a.2\)
\(\Rightarrow 4=8a\)
\(\Rightarrow 8a=4\)
\(\Rightarrow a=\frac{4}{8}\)
\(\therefore a=\frac{1}{2}\)
\(a=\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\((x+2)^2=4.\frac{1}{2}.(y-3)\)
\(\Rightarrow x^2+4x+4=2(y-3)\)
\(\Rightarrow x^2+4x+4=2y-6\)
\(\Rightarrow 2y-6=x^2+4x+4\)
\(\Rightarrow 2y=x^2+4x+4+6\)
\(\Rightarrow 2y=x^2+4x+10\)
\(\therefore y=\frac{1}{2}x^2+2x+5\)
এখানে,
\(a=\frac{1}{2}, b=2, c=5\) ➜ \(y=ax^2+bx+c\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(Q.4.(iii).(c)\) পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(y=ax^2+bx+c ......(1)\)
পরাবৃত্তটির অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং এর শীর্ষবিন্দু \((-2, 3)\)।
অর্থাৎ \((\alpha, \beta)\Rightarrow (-2, 3)\)
\(\Rightarrow \alpha=-2, \beta=3\)
এখন,
\((\alpha, \beta)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট এবং অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\((x-\alpha)^2=4a(y-\beta)\)
\(\therefore(x+2)^2=4a(y-3) ......(1)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্ত \((0, 5)\) বিন্দুগামী,
\((0+2)^2=4a(5-3)\)
\(\Rightarrow 4=4a.2\)
\(\Rightarrow 4=8a\)
\(\Rightarrow 8a=4\)
\(\Rightarrow a=\frac{4}{8}\)
\(\therefore a=\frac{1}{2}\)
\(a=\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\((x+2)^2=4.\frac{1}{2}.(y-3)\)
\(\Rightarrow x^2+4x+4=2(y-3)\)
\(\Rightarrow x^2+4x+4=2y-6\)
\(\Rightarrow 2y-6=x^2+4x+4\)
\(\Rightarrow 2y=x^2+4x+4+6\)
\(\Rightarrow 2y=x^2+4x+10\)
\(\therefore y=\frac{1}{2}x^2+2x+5\)
এখানে,
\(a=\frac{1}{2}, b=2, c=5\) ➜ \(y=ax^2+bx+c\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
দেওয়া আছে,
উপবৃত্তের সমীকরণ,
\(\frac{x^2}{l^2}+\frac{y^2}{m^2}=1\)
উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\)
এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(8\) একক
এখানে,
\(a^2=l^2, b^2=m^2\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=l, b=m\)
উৎকেন্দ্রিকতা,
\(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\therefore e=\sqrt{1-\frac{m^2}{l^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{3}=\sqrt{1-\frac{m^2}{l^2}}\) ➜ \(\because e=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{9}=1-\frac{m^2}{l^2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{m^2}{l^2}=1-\frac{1}{9}\)
\(\Rightarrow \frac{m^2}{l^2}=\frac{9-1}{9}\)
\(\therefore m^2=\frac{8l^2}{9} .....(2)\)
আবার,
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(\frac{2b^2}{a}=8\)
\(\Rightarrow \frac{2m^2}{l}=8\)
\(\Rightarrow \frac{2m^2}{8}=l\)
\(\Rightarrow l=\frac{m^2}{4}\)
\(\Rightarrow l=\frac{\frac{8l^2}{9}}{4}\)
\(\Rightarrow l=\frac{8l^2}{9}\times \frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow l=\frac{2l^2}{9}\)
\(\Rightarrow 9l=2l^2\)
\(\Rightarrow 2l^2=9l\)
\(\Rightarrow 2l=9, \because l\ne 0\)
\(\Rightarrow l=\frac{9}{2}\)
\(\therefore l^2=\frac{81}{4}\)
\((2)\) হতে,
\(m^2=\frac{8\times \frac{81}{4}}{9}\)
\(\Rightarrow m^2=\frac{2\times 81}{9}\)
\(\Rightarrow m^2=2\times 9\)
\(\therefore m^2=18\)
\(\therefore l^2+m^2=\frac{81}{4}+18\)
\(=\frac{81+72}{4}\)
\(=\frac{153}{4}\)
উপবৃত্তের সমীকরণ,
\(\frac{x^2}{l^2}+\frac{y^2}{m^2}=1\)
উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{3}\)
এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(8\) একক
এখানে,
\(a^2=l^2, b^2=m^2\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=l, b=m\)
উৎকেন্দ্রিকতা,
\(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\therefore e=\sqrt{1-\frac{m^2}{l^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{3}=\sqrt{1-\frac{m^2}{l^2}}\) ➜ \(\because e=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{9}=1-\frac{m^2}{l^2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{m^2}{l^2}=1-\frac{1}{9}\)
\(\Rightarrow \frac{m^2}{l^2}=\frac{9-1}{9}\)
\(\therefore m^2=\frac{8l^2}{9} .....(2)\)
আবার,
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(\frac{2b^2}{a}=8\)
\(\Rightarrow \frac{2m^2}{l}=8\)
\(\Rightarrow \frac{2m^2}{8}=l\)
\(\Rightarrow l=\frac{m^2}{4}\)
\(\Rightarrow l=\frac{\frac{8l^2}{9}}{4}\)
\(\Rightarrow l=\frac{8l^2}{9}\times \frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow l=\frac{2l^2}{9}\)
\(\Rightarrow 9l=2l^2\)
\(\Rightarrow 2l^2=9l\)
\(\Rightarrow 2l=9, \because l\ne 0\)
\(\Rightarrow l=\frac{9}{2}\)
\(\therefore l^2=\frac{81}{4}\)
\((2)\) হতে,
\(m^2=\frac{8\times \frac{81}{4}}{9}\)
\(\Rightarrow m^2=\frac{2\times 81}{9}\)
\(\Rightarrow m^2=2\times 9\)
\(\therefore m^2=18\)
\(\therefore l^2+m^2=\frac{81}{4}+18\)
\(=\frac{81+72}{4}\)
\(=\frac{153}{4}\)
\(Q.4.(iv)\) চিত্রে \(S\) উপকেন্দ্র, \(MZ\) নিয়ামকরেখা , \(P(x, y)\) যে কোনো বিন্দু এবং \(\frac{SP}{PM}=e\) ।
\((a)\) \(3x^2+4y^2=12\) উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(e=1\) এবং কনিকের শীর্ষবিন্দু \((0, 0)\) হলে, কনিকটির নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(SP=3, PM=\sqrt{3}\) এবং \(MZ\)-এর সমীকরণ \(2x-y=1\) হলে, কনিকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \frac{1}{2}; x=\pm 4\) \((b) x+2y+10=0\)
\((c) 7x^2-12xy-2y^2+8x+46y-97=0\)।
\((a)\) \(3x^2+4y^2=12\) উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(e=1\) এবং কনিকের শীর্ষবিন্দু \((0, 0)\) হলে, কনিকটির নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(SP=3, PM=\sqrt{3}\) এবং \(MZ\)-এর সমীকরণ \(2x-y=1\) হলে, কনিকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \frac{1}{2}; x=\pm 4\) \((b) x+2y+10=0\)
\((c) 7x^2-12xy-2y^2+8x+46y-97=0\)।
সমাধানঃ
\(Q.4.(iv).(a)\)
দেওয়া আছে,
উপবৃত্তের সমীকরণ,
\(3x^2+4y^2=12\)
\(\Rightarrow \frac{3x^2}{12}+\frac{4y^2}{12}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(12\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1 .....(1)\)
এখানে,
\(a^2=4, b^2=3\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=2, b=\sqrt{3}\)
\(\therefore a>b\)
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা , \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{3}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{4-3}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{4}}\)
\(=\frac{1}{2}\)
উপবৃত্তের নিয়ামকরেখার সমীকরণ, \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{2}{\frac{1}{2}}\)
\(\therefore x=\pm 4\)
\(Q.4.(iv).(b)\) উপবৃত্তের সমীকরণ,
\(3x^2+4y^2=12\)
\(\Rightarrow \frac{3x^2}{12}+\frac{4y^2}{12}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(12\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1 .....(1)\)
এখানে,
\(a^2=4, b^2=3\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=2, b=\sqrt{3}\)
\(\therefore a>b\)
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা , \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{3}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{4-3}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{4}}\)
\(=\frac{1}{2}\)
উপবৃত্তের নিয়ামকরেখার সমীকরণ, \(x=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm \frac{2}{\frac{1}{2}}\)
\(\therefore x=\pm 4\)
ধরি,
\(Z(\alpha, \beta), MZ\) নিয়ামকরেখার পাদবিন্দু।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(2, 4)\)
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(ZS\)-এর মধ্যবিন্দু \(A\left(\frac{\alpha+2}{2}, \frac{\beta+4}{2}\right)\)
\(\therefore \left(\frac{\alpha+2}{2}, \frac{\beta+4}{2}\right)\Rightarrow (0, 0)\)
\(\Rightarrow \frac{\alpha+2}{2}=0, \frac{\beta+4}{2}=0\)
\(\Rightarrow \alpha+2=0, \beta+4=0\)
\(\Rightarrow \alpha=-2, \beta=-4\)
\(\therefore Z(-2, -4)\)
\(SZ\) অক্ষরেখার ঢাল \(m=\frac{4+4}{2+2}\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\);\(PQ\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)
\(=\frac{8}{4}\)
\(=2\)
\(\therefore \) নিয়ামকরেখার ঢাল \(m_1=-\frac{1}{2}\) ➜ \(\because \) নিয়ামকরেখা, অক্ষরেখার উপর লম্ব।
\(\therefore \) নিয়ামকরেখার সমীকরণ, \(y+4=m_1(x+2)\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দুগামী এবং \(m\) ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ, \(y-y_1=m(x-x_1)\)
\(\Rightarrow y+4=-\frac{1}{2}(x+2)\)
\(\Rightarrow 2y+8=-(x+2)\)
\(\Rightarrow 2y+8=-x-2\)
\(\Rightarrow x+2y+8+2=0\)
\(\therefore x+2y+10=0\)
\(Q.4.(iv).(c)\) \(Z(\alpha, \beta), MZ\) নিয়ামকরেখার পাদবিন্দু।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(2, 4)\)
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(ZS\)-এর মধ্যবিন্দু \(A\left(\frac{\alpha+2}{2}, \frac{\beta+4}{2}\right)\)
\(\therefore \left(\frac{\alpha+2}{2}, \frac{\beta+4}{2}\right)\Rightarrow (0, 0)\)
\(\Rightarrow \frac{\alpha+2}{2}=0, \frac{\beta+4}{2}=0\)
\(\Rightarrow \alpha+2=0, \beta+4=0\)
\(\Rightarrow \alpha=-2, \beta=-4\)
\(\therefore Z(-2, -4)\)
\(SZ\) অক্ষরেখার ঢাল \(m=\frac{4+4}{2+2}\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\);\(PQ\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)
\(=\frac{8}{4}\)
\(=2\)
\(\therefore \) নিয়ামকরেখার ঢাল \(m_1=-\frac{1}{2}\) ➜ \(\because \) নিয়ামকরেখা, অক্ষরেখার উপর লম্ব।
\(\therefore \) নিয়ামকরেখার সমীকরণ, \(y+4=m_1(x+2)\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দুগামী এবং \(m\) ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ, \(y-y_1=m(x-x_1)\)
\(\Rightarrow y+4=-\frac{1}{2}(x+2)\)
\(\Rightarrow 2y+8=-(x+2)\)
\(\Rightarrow 2y+8=-x-2\)
\(\Rightarrow x+2y+8+2=0\)
\(\therefore x+2y+10=0\)
দেওয়া আছে,
\(S(2, 4), P(x, y)\)
\(SP=3, PM=\sqrt{3}\) এবং \(MZ\)-এর সমীকরণ \(2x-y=1 \Rightarrow 2x-y-1=0\)
\(\therefore e=\frac{SP}{PM}\)
\(=\frac{3}{\sqrt{3}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
\(=\sqrt{3}>1\)
\(\therefore e>1\)
\(\therefore \) কণিকটি একটি অধিবৃত্ত।
অধিবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
\(PS=ePM \)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-4)^2}=\sqrt{3}\frac{|2x-y-1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} \)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2-4x+4+y^2-8y+16}=\sqrt{3}\frac{|2x-y-1|}{\sqrt{4+1}} \)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2-4x-8y+20}=\sqrt{3}\frac{|2x-y-1|}{\sqrt{5}} \)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x-8y+20=3\frac{(2x-y-1)^2}{5}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2-20x-40y+100=3(2x-y-1)^2\)
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2-20x-40y+100=3(4x^2+y^2+1-4xy-4x+2y)\)
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2-20x-40y+100=12x^2+3y^2+3-12xy-12x+6y\)
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2-20x-40y+100-12x^2-3y^2-3+12xy+12x-6y=0\)
\(\Rightarrow -7x^2+12xy+2y^2-8x-46y+97=0\)
\(\therefore 7x^2-12xy-2y^2+8x+46y-97=0\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
ইহাই নির্ণেয় কনিকের সমীকরণ।
\(S(2, 4), P(x, y)\)
\(SP=3, PM=\sqrt{3}\) এবং \(MZ\)-এর সমীকরণ \(2x-y=1 \Rightarrow 2x-y-1=0\)
\(\therefore e=\frac{SP}{PM}\)
\(=\frac{3}{\sqrt{3}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
\(=\sqrt{3}>1\)
\(\therefore e>1\)
\(\therefore \) কণিকটি একটি অধিবৃত্ত।
অধিবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
\(PS=ePM \)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y-4)^2}=\sqrt{3}\frac{|2x-y-1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} \)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2-4x+4+y^2-8y+16}=\sqrt{3}\frac{|2x-y-1|}{\sqrt{4+1}} \)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2-4x-8y+20}=\sqrt{3}\frac{|2x-y-1|}{\sqrt{5}} \)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x-8y+20=3\frac{(2x-y-1)^2}{5}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2-20x-40y+100=3(2x-y-1)^2\)
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2-20x-40y+100=3(4x^2+y^2+1-4xy-4x+2y)\)
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2-20x-40y+100=12x^2+3y^2+3-12xy-12x+6y\)
\(\Rightarrow 5x^2+5y^2-20x-40y+100-12x^2-3y^2-3+12xy+12x-6y=0\)
\(\Rightarrow -7x^2+12xy+2y^2-8x-46y+97=0\)
\(\therefore 7x^2-12xy-2y^2+8x+46y-97=0\) ➜ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
ইহাই নির্ণেয় কনিকের সমীকরণ।
\(Q.4.(v)\) \(ax^2+by^2-16x+cy+d=0\) একটি কনিকের সমিকরণ নির্দেশ করে।
\((a)\) \(\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক ও উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।
\((b)\) \(a=0, b=1, c=0, d=0\); কনিকটির উপরস্থ কোনো বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব \(6\) হলে; ঐ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \(a=4, b=5, c=10\) এবং \(d=1\) হলে, কনিকটি একটি উপবৃত্ত হয় । উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্রদ্বয়, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) (\pm 13,0); \frac{13}{12}\) \((b) (2, \pm 4\sqrt{2})\)
\((c) e=\frac{1}{\sqrt{5}}; (3, -1), (1, -1); \frac{8}{\sqrt{5}};2\sqrt{5}; x=7, x=-3 \)।
\((a)\) \(\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক ও উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।
\((b)\) \(a=0, b=1, c=0, d=0\); কনিকটির উপরস্থ কোনো বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব \(6\) হলে; ঐ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \(a=4, b=5, c=10\) এবং \(d=1\) হলে, কনিকটি একটি উপবৃত্ত হয় । উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্রদ্বয়, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) (\pm 13,0); \frac{13}{12}\) \((b) (2, \pm 4\sqrt{2})\)
\((c) e=\frac{1}{\sqrt{5}}; (3, -1), (1, -1); \frac{8}{\sqrt{5}};2\sqrt{5}; x=7, x=-3 \)।
সমাধানঃ
\(Q.4.(v).(a)\)
দেওয়া আছে, 
অধিবৃত্তের সমীকরণ,
\(\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1 ......(1)\)
এখানে,
\(a^2=144, b^2=25\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=12, b=5\)
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা , \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{25}{144}}\)
\(=\sqrt{\frac{144+25}{144}}\)
\(=\sqrt{\frac{169}{144}}\)
\(=\frac{13}{12}\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক , \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 12\times \frac{13}{12}, 0)\)
\(\therefore (\pm 13, 0)\)
\(Q.4.(v).(b)\) অধিবৃত্তের সমীকরণ,
\(\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1 ......(1)\)
এখানে,
\(a^2=144, b^2=25\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=12, b=5\)
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা , \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{25}{144}}\)
\(=\sqrt{\frac{144+25}{144}}\)
\(=\sqrt{\frac{169}{144}}\)
\(=\frac{13}{12}\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক , \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 12\times \frac{13}{12}, 0)\)
\(\therefore (\pm 13, 0)\)
দেওয়া আছে,
কনিকের সমীকরণ,
\(ax^2+by^2-16x+cy+d=0\)
এবং \(a=0, b=1, c=0, d=0\);
\(\therefore \) কনিকের সমীকরণ দাঁড়ায়,
\(0.x^2+1.y^2-16x+0.y+0=0\)
\(\Rightarrow y^2-16x=0\)
\(\therefore y^2=16x .....(1)\)
এখানে,
\(4a=16\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4\)
ধরি,
কনিকের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\) যার উপকেন্দ্রিক দূরত্ব \(SP=6\)
তাহলে,
\(SP=PM\)
\(=ZN\)
\(=ZA+AN\)
\(=AS+AN\)
\(=a+x\)
\(\therefore 6=a+x\)
\(\Rightarrow a+x=6\)
\(\Rightarrow x=6-a\)
\(\Rightarrow x=6-4\)
\(\therefore x=2\)
\((1)\) হতে,
\(y^2=16.2\)
\(\Rightarrow y^2=32\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{32}\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{16\times 2}\)
\(\therefore y=4\pm \sqrt{2}\)
\(\therefore \) বিন্দুটির স্থানাঙ্ক \((2, \pm 4\sqrt{2})\)
\(Q.4.(v).(c)\) কনিকের সমীকরণ,
\(ax^2+by^2-16x+cy+d=0\)
এবং \(a=0, b=1, c=0, d=0\);
\(\therefore \) কনিকের সমীকরণ দাঁড়ায়,
\(0.x^2+1.y^2-16x+0.y+0=0\)
\(\Rightarrow y^2-16x=0\)
\(\therefore y^2=16x .....(1)\)
এখানে,
\(4a=16\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4\)
ধরি,
কনিকের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\) যার উপকেন্দ্রিক দূরত্ব \(SP=6\)
তাহলে,
\(SP=PM\)
\(=ZN\)
\(=ZA+AN\)
\(=AS+AN\)
\(=a+x\)
\(\therefore 6=a+x\)
\(\Rightarrow a+x=6\)
\(\Rightarrow x=6-a\)
\(\Rightarrow x=6-4\)
\(\therefore x=2\)
\((1)\) হতে,
\(y^2=16.2\)
\(\Rightarrow y^2=32\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{32}\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{16\times 2}\)
\(\therefore y=4\pm \sqrt{2}\)
\(\therefore \) বিন্দুটির স্থানাঙ্ক \((2, \pm 4\sqrt{2})\)
\(a=4, b=5, c=10\) এবং \(d=1\) হলে, কনিকটির সমীকরণ দাঁড়ায়,
\(4x^2+5y^2-16x+10y+1=0\)
\(\Rightarrow 4x^2-16x+5y^2+10y+1=0\)
\(\Rightarrow 4(x^2-4x)+5(y^2+2y)+1=0\)
\(\Rightarrow 4(x^2-4x+4-4)+5(y^2+2y+1-1)+1=0\)
\(\Rightarrow 4(x^2-4x+4)-16+5(y^2+2y+1)-5+1=0\)
\(\Rightarrow 4(x-2)^2+5(y+1)^2-20=0\)
\(\Rightarrow 4(x-2)^2+5(y+1)^2=20\)
\(\Rightarrow \frac{4(x-2)^2}{20}+\frac{5(y+1)^2}{20}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(20\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{(x-2)^2}{5}+\frac{(y+1)^2}{4}=1\)
ধরি,
\(X=x-2, Y=y+1\)
\(\therefore \frac{X^2}{5}+\frac{Y^2}{4}=1 ....(1)\)
এখানে,
\(a^2=5, b^2=4\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\sqrt{5}, b=2\)
\(\therefore a>b\)
\(\therefore \) উপবৃত্তের বৃহদাক্ষ \(\) অক্ষের উপর এবং ক্ষুদ্রাক্ষ \(\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
\(\therefore\) উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{4}{5}}\)
\(=\sqrt{\frac{5-4}{5}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{5}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{5}}\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়, \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm \sqrt{5}\times \frac{1}{\sqrt{5}}, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 1, 0)\)
\(\Rightarrow X=\pm 1, Y=0\)
\(\Rightarrow x-2=\pm 1, y+1=0\)
\(\Rightarrow x=2\pm 1, y=-1\)
\(\Rightarrow x=2+1,2-1, y=-1\)
\(\Rightarrow x=3,1, y=1\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্রদ্বয়, \((3, -1), (1, -1)\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
\(=\frac{2.4}{\sqrt{5}}\)
\(=\frac{8}{\sqrt{5}}\)
উপবৃত্তের বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2\sqrt{5}\)
উপবৃত্তের নিয়ামকরেখার সমীকরণ,
\(X=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x-2=\pm \frac{\sqrt{5}}{\frac{1}{\sqrt{5}}}\)
\(\Rightarrow x=2\pm 5\)
\(\Rightarrow x=2+5, x=2-5\)
\(\Rightarrow x=7, x=-3\)
ইহাই নির্ণেয় নিয়ামকরেখার সমীকরণ।
\(4x^2+5y^2-16x+10y+1=0\)
\(\Rightarrow 4x^2-16x+5y^2+10y+1=0\)
\(\Rightarrow 4(x^2-4x)+5(y^2+2y)+1=0\)
\(\Rightarrow 4(x^2-4x+4-4)+5(y^2+2y+1-1)+1=0\)
\(\Rightarrow 4(x^2-4x+4)-16+5(y^2+2y+1)-5+1=0\)
\(\Rightarrow 4(x-2)^2+5(y+1)^2-20=0\)
\(\Rightarrow 4(x-2)^2+5(y+1)^2=20\)
\(\Rightarrow \frac{4(x-2)^2}{20}+\frac{5(y+1)^2}{20}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(20\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{(x-2)^2}{5}+\frac{(y+1)^2}{4}=1\)
ধরি,
\(X=x-2, Y=y+1\)
\(\therefore \frac{X^2}{5}+\frac{Y^2}{4}=1 ....(1)\)
এখানে,
\(a^2=5, b^2=4\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\sqrt{5}, b=2\)
\(\therefore a>b\)
\(\therefore \) উপবৃত্তের বৃহদাক্ষ \(\) অক্ষের উপর এবং ক্ষুদ্রাক্ষ \(\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
\(\therefore\) উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{4}{5}}\)
\(=\sqrt{\frac{5-4}{5}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{5}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{5}}\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়, \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm \sqrt{5}\times \frac{1}{\sqrt{5}}, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 1, 0)\)
\(\Rightarrow X=\pm 1, Y=0\)
\(\Rightarrow x-2=\pm 1, y+1=0\)
\(\Rightarrow x=2\pm 1, y=-1\)
\(\Rightarrow x=2+1,2-1, y=-1\)
\(\Rightarrow x=3,1, y=1\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্রদ্বয়, \((3, -1), (1, -1)\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
\(=\frac{2.4}{\sqrt{5}}\)
\(=\frac{8}{\sqrt{5}}\)
উপবৃত্তের বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2\sqrt{5}\)
উপবৃত্তের নিয়ামকরেখার সমীকরণ,
\(X=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x-2=\pm \frac{\sqrt{5}}{\frac{1}{\sqrt{5}}}\)
\(\Rightarrow x=2\pm 5\)
\(\Rightarrow x=2+5, x=2-5\)
\(\Rightarrow x=7, x=-3\)
ইহাই নির্ণেয় নিয়ামকরেখার সমীকরণ।
\(Q.4.(vi)\) \(P=x, Q=y, a=2, b=3\).
\((a)\) \(y^2=4mx\) পরাবৃত্তটি \((5, -2)\) বিন্দুগামী হলে, এর নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\frac{P^2}{a^2}+\frac{Q^2}{b^2}=b-a\) উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) উপকেন্দ্র \((-a, b) \) , উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{a}\) এবং \(Pa-Qb=ab\) নিয়ামকরেখাবিশিষ্ট অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) 5x+1=0\) \((b) \frac{8}{3}, y=\pm \sqrt{5}\)
\((c) 5x^2-5y^2+24xy+100x-150y+97=0\)।
\((a)\) \(y^2=4mx\) পরাবৃত্তটি \((5, -2)\) বিন্দুগামী হলে, এর নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\frac{P^2}{a^2}+\frac{Q^2}{b^2}=b-a\) উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) উপকেন্দ্র \((-a, b) \) , উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{a}\) এবং \(Pa-Qb=ab\) নিয়ামকরেখাবিশিষ্ট অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) 5x+1=0\) \((b) \frac{8}{3}, y=\pm \sqrt{5}\)
\((c) 5x^2-5y^2+24xy+100x-150y+97=0\)।
সমাধানঃ
\(Q.4.(vi).(a)\)
দেওয়া আছে,
\(y^2=4mx .......(1)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্তটি \((5, -2)\) বিন্দুগামী,
\(\therefore (-2)^2=4m.5 \)
\(\Rightarrow 4=4m.5 \)
\(\Rightarrow 4=20m \)
\(\Rightarrow 20m=4 \)
\(\Rightarrow m=\frac{4}{20} \)
\(\therefore m=\frac{1}{5} \)
\(m=\frac{1}{5}, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(y^2=4\times \frac{1}{5}\times x\)
\(y^2=\frac{4}{5}x ........(2)\)
এখানে,
\(4a=\frac{4}{5}\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{4}{5\times 4}\)
\(\therefore a=\frac{1}{5}\)
পরাবৃত্তের নিয়ামকরেখার সমীকরণ, \(x=-a\)
\(\Rightarrow x=-\frac{1}{5}\)
\(\Rightarrow 5x=-1\)
\(\therefore 5x+1=0\)
\(Q.4.(vi).(b)\) \(y^2=4mx .......(1)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্তটি \((5, -2)\) বিন্দুগামী,
\(\therefore (-2)^2=4m.5 \)
\(\Rightarrow 4=4m.5 \)
\(\Rightarrow 4=20m \)
\(\Rightarrow 20m=4 \)
\(\Rightarrow m=\frac{4}{20} \)
\(\therefore m=\frac{1}{5} \)
\(m=\frac{1}{5}, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(y^2=4\times \frac{1}{5}\times x\)
\(y^2=\frac{4}{5}x ........(2)\)
এখানে,
\(4a=\frac{4}{5}\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{4}{5\times 4}\)
\(\therefore a=\frac{1}{5}\)
পরাবৃত্তের নিয়ামকরেখার সমীকরণ, \(x=-a\)
\(\Rightarrow x=-\frac{1}{5}\)
\(\Rightarrow 5x=-1\)
\(\therefore 5x+1=0\)
দেওয়া আছে,
উপবৃত্তের সমীকরণ,
\(\frac{P^2}{a^2}+\frac{Q^2}{b^2}=b-a\)
এবং \(P=x, Q=y, a=2, b=3\).
\(\therefore \) কনিকের সমীকরণ দাঁড়ায়,
\(\frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{3^2}=3-2\)
\(\therefore \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1 .......(1)\)
এখানে,
\(a^2=4, b^2=9\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=2, b=3\)
\(\therefore b>a\)
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{4}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{9-4}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{5}{9}}\)
\(=\frac{\sqrt{5}}{3}\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য , \(=\frac{2a^2}{b}\)
\(=\frac{2.4}{3}\)
\(=\frac{8}{3}\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ , \(y=\pm be\)
\(\Rightarrow y=\pm 3\times \frac{\sqrt{5}}{3}\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{5}\)
\(\therefore y=\pm \sqrt{5}\)
\(Q.4.(vi).(c)\) উপবৃত্তের সমীকরণ,
\(\frac{P^2}{a^2}+\frac{Q^2}{b^2}=b-a\)
এবং \(P=x, Q=y, a=2, b=3\).
\(\therefore \) কনিকের সমীকরণ দাঁড়ায়,
\(\frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{3^2}=3-2\)
\(\therefore \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1 .......(1)\)
এখানে,
\(a^2=4, b^2=9\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=2, b=3\)
\(\therefore b>a\)
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{4}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{9-4}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{5}{9}}\)
\(=\frac{\sqrt{5}}{3}\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য , \(=\frac{2a^2}{b}\)
\(=\frac{2.4}{3}\)
\(=\frac{8}{3}\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ , \(y=\pm be\)
\(\Rightarrow y=\pm 3\times \frac{\sqrt{5}}{3}\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{5}\)
\(\therefore y=\pm \sqrt{5}\)
দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র, \(S(-a, b) \) ,
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, \(\sqrt{a}\)
এবং নিয়ামকরেখ্ \(Pa-Qb=ab\)
যেখানে,
\(P=x, Q=y, a=2, b=3\).
তাহলে,
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র, \(S(-2, 3) \) ,
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{2}\)
এবং নিয়ামকরেখা, \(x.2-y.3=2.3\)
\(\Rightarrow 2x-3y=6\)
\(\therefore 2x-3y-6=0 ....(1)\)
ধরি,
অধিবৃত্তের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\)
\(PS=\sqrt{(x+2)^2+(y-3)^2}\)
\(P\) হতে নিয়ামকরেখার উপর অঙ্কিত লম্ব দূরত্ব,
\(PM=\frac{|2x-3y-6|}{\sqrt{2^2+(-3)^2}}\)
\(=\frac{|2x-3y-6|}{\sqrt{4+9}}\)
\(=\frac{|2x-3y-6|}{\sqrt{13}}\)
অধিবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
\(PS=e.PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+2)^2+(y-3)^2}=\sqrt{2}.\frac{|2x-3y-6|}{\sqrt{13}}\)
\(\Rightarrow (x+2)^2+(y-3)^2=2.\frac{(2x-3y-6)^2}{13}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2+4x+4+y^2-6y+9=\frac{2(4x^2+9y^2+36-12xy-24x+36y)}{13}\)
\(\Rightarrow 13(x^2+4x+y^2-6y+13)=8x^2+18y^2+72-24xy-48x+72y\)
\(\Rightarrow 13x^2+52x+13y^2-78y+169-8x^2-18y^2-72+24xy+48x-72y=0\)
\(\therefore 5x^2-5y^2+24xy+100x-150y+97=0\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র, \(S(-a, b) \) ,
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, \(\sqrt{a}\)
এবং নিয়ামকরেখ্ \(Pa-Qb=ab\)
যেখানে,
\(P=x, Q=y, a=2, b=3\).
তাহলে,
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র, \(S(-2, 3) \) ,
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{2}\)
এবং নিয়ামকরেখা, \(x.2-y.3=2.3\)
\(\Rightarrow 2x-3y=6\)
\(\therefore 2x-3y-6=0 ....(1)\)
ধরি,
অধিবৃত্তের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\)
\(PS=\sqrt{(x+2)^2+(y-3)^2}\)
\(P\) হতে নিয়ামকরেখার উপর অঙ্কিত লম্ব দূরত্ব,
\(PM=\frac{|2x-3y-6|}{\sqrt{2^2+(-3)^2}}\)
\(=\frac{|2x-3y-6|}{\sqrt{4+9}}\)
\(=\frac{|2x-3y-6|}{\sqrt{13}}\)
অধিবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
\(PS=e.PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+2)^2+(y-3)^2}=\sqrt{2}.\frac{|2x-3y-6|}{\sqrt{13}}\)
\(\Rightarrow (x+2)^2+(y-3)^2=2.\frac{(2x-3y-6)^2}{13}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2+4x+4+y^2-6y+9=\frac{2(4x^2+9y^2+36-12xy-24x+36y)}{13}\)
\(\Rightarrow 13(x^2+4x+y^2-6y+13)=8x^2+18y^2+72-24xy-48x+72y\)
\(\Rightarrow 13x^2+52x+13y^2-78y+169-8x^2-18y^2-72+24xy+48x-72y=0\)
\(\therefore 5x^2-5y^2+24xy+100x-150y+97=0\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.4.(vii)\) চিত্রটি একটি কনিক নির্দেশ করে।
\((a)\) \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{5}=1\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
\((b)\) \(MZ\acute{M}\) নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যেখানে \(A\)-এর স্থানাঙ্ক \((2, -3)\).
\((c)\) \(PS:PM=2:3\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(3x-4y-1=0\) হলে কনিকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) (\pm \sqrt{21}, 0)\) \((b) 3x-4y-43=0\)
\((c) 189x^2+161y^2+96xy+474x-482y+446=0\)।
\((a)\) \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{5}=1\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
\((b)\) \(MZ\acute{M}\) নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যেখানে \(A\)-এর স্থানাঙ্ক \((2, -3)\).
\((c)\) \(PS:PM=2:3\) এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(3x-4y-1=0\) হলে কনিকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) (\pm \sqrt{21}, 0)\) \((b) 3x-4y-43=0\)
\((c) 189x^2+161y^2+96xy+474x-482y+446=0\)।
সমাধানঃ
\(Q.4.(vii).(a)\)
দেওয়া আছে,
অধিবৃত্তের সমীকরণ,
\(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{5}=1 .......(1)\)
এখানে,
\(a^2=16, b^2=5\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4, b=\sqrt{5}\)
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{5}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{16+5}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{21}{16}}\)
\(=\frac{\sqrt{21}}{4}\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র, \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow(\pm 4\times \frac{\sqrt{21}}{4}, 0)\)
\(\therefore (\pm \sqrt{21}, 0)\)
\(Q.4.(vii).(b)\) অধিবৃত্তের সমীকরণ,
\(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{5}=1 .......(1)\)
এখানে,
\(a^2=16, b^2=5\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4, b=\sqrt{5}\)
অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{5}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{16+5}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{21}{16}}\)
\(=\frac{\sqrt{21}}{4}\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র, \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow(\pm 4\times \frac{\sqrt{21}}{4}, 0)\)
\(\therefore (\pm \sqrt{21}, 0)\)
দেওয়া আছে,
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু এবং উপকেন্দ্র যথাক্রমে \(A(2, -3)\) ও \(S(-1, 1)\)
ধরি,
অক্ষরেখা ও নিয়ামকরেখার ছেদবিন্দু \(Z(\alpha, \beta)\)
\(ZS\)-এর মধ্যবিন্দু \(A\left(\frac{\alpha-1}{2}, \frac{\beta+1}{2}\right)\)
\(\therefore A\left(\frac{\alpha-1}{2}, \frac{\beta+1}{2}\right)\Rightarrow A(2, -3)\)
\(\Rightarrow \frac{\alpha-1}{2}=2, \frac{\beta+1}{2}=-3\)
\(\Rightarrow \alpha-1=4, \beta+1=-6\)
\(\Rightarrow \alpha=4+1, \beta=-6-1\)
\(\Rightarrow \alpha=5, \beta=-7\)
\(\therefore Z(5, -7)\)
\(ZS\)অক্ষরেখার ঢাল \(m=\frac{-7-1}{5+1}\)
\(=\frac{-8}{6}\)
\(=-\frac{4}{3}\)
নিয়ামকরেখা অক্ষরেখার উপর লম্ব,
\(\therefore \) নিয়ামকরেখার ঢাল \(m_1=\frac{3}{4}\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ,
\(y+7=m_1(x-5)\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দুগামী এবং \(m\) ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ, \(y-y_1=m(x-x_1)\)
\(\Rightarrow y+7=\frac{3}{4}(x-5)\)
\(\Rightarrow 4(y+7)=3(x-5)\)
\(\Rightarrow 4y+28=3x-15\)
\(\Rightarrow 3x-15=4y+28\)
\(\Rightarrow 3x-15-4y-28=0\)
\(\therefore 3x-4y-43=0\)
\(Q.4.(vii).(c)\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু এবং উপকেন্দ্র যথাক্রমে \(A(2, -3)\) ও \(S(-1, 1)\)
ধরি,
অক্ষরেখা ও নিয়ামকরেখার ছেদবিন্দু \(Z(\alpha, \beta)\)
\(ZS\)-এর মধ্যবিন্দু \(A\left(\frac{\alpha-1}{2}, \frac{\beta+1}{2}\right)\)
\(\therefore A\left(\frac{\alpha-1}{2}, \frac{\beta+1}{2}\right)\Rightarrow A(2, -3)\)
\(\Rightarrow \frac{\alpha-1}{2}=2, \frac{\beta+1}{2}=-3\)
\(\Rightarrow \alpha-1=4, \beta+1=-6\)
\(\Rightarrow \alpha=4+1, \beta=-6-1\)
\(\Rightarrow \alpha=5, \beta=-7\)
\(\therefore Z(5, -7)\)
\(ZS\)অক্ষরেখার ঢাল \(m=\frac{-7-1}{5+1}\)
\(=\frac{-8}{6}\)
\(=-\frac{4}{3}\)
নিয়ামকরেখা অক্ষরেখার উপর লম্ব,
\(\therefore \) নিয়ামকরেখার ঢাল \(m_1=\frac{3}{4}\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ,
\(y+7=m_1(x-5)\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দুগামী এবং \(m\) ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ, \(y-y_1=m(x-x_1)\)
\(\Rightarrow y+7=\frac{3}{4}(x-5)\)
\(\Rightarrow 4(y+7)=3(x-5)\)
\(\Rightarrow 4y+28=3x-15\)
\(\Rightarrow 3x-15=4y+28\)
\(\Rightarrow 3x-15-4y-28=0\)
\(\therefore 3x-4y-43=0\)
দেওয়া আছে,
\(PS:PM=2:3\)
\(\therefore \frac{PS}{PM}=\frac{2}{3}\)
আমরা জানি,
কনিকের উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\frac{PS}{PM}\)
\(\therefore e=\frac{2}{3}\)
\(\therefore 1>e\)
\(\therefore \) কণিকটি একটি উপবৃত্ত।
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র, \(S(-1, 1) \)
এবং উপবৃত্তের নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(3x-4y-1=0\)
ধরি,
উপবৃত্তের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\)
\(PS=\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}\)
\(P\) হতে নিয়ামকরেখার উপর অঙ্কিত লম্ব দূরত্ব,
\(PM=\frac{|3x-4y-1|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}\)
\(=\frac{|3x-4y-1|}{\sqrt{9+16}}\)
\(=\frac{|3x-4y-1|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{|3x-4y-1|}{5}\)
উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
\(PS=e.PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}=\frac{2}{3}.\frac{|3x-4y-1|}{5}\)
\(\Rightarrow (x+1)^2+(y-1)^2=\frac{4}{9}.\frac{(3x-4y-1)^2}{25}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2+2x+1+y^2-2y+1=\frac{4(9x^2+16y^2+1-24xy-6x+8y)}{225}\)
\(\Rightarrow 225(x^2+2x+y^2-2y+2)=36x^2+64y^2+4-96xy-24x+32y\)
\(\Rightarrow 225x^2+450x+225y^2-450y+450-36x^2-64y^2-4+96xy+24x-32y=0\)
\(\therefore 189x^2+161y^2+96xy+474x-482y+446=0\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(PS:PM=2:3\)
\(\therefore \frac{PS}{PM}=\frac{2}{3}\)
আমরা জানি,
কনিকের উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\frac{PS}{PM}\)
\(\therefore e=\frac{2}{3}\)
\(\therefore 1>e\)
\(\therefore \) কণিকটি একটি উপবৃত্ত।
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র, \(S(-1, 1) \)
এবং উপবৃত্তের নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(3x-4y-1=0\)
ধরি,
উপবৃত্তের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\)
\(PS=\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}\)
\(P\) হতে নিয়ামকরেখার উপর অঙ্কিত লম্ব দূরত্ব,
\(PM=\frac{|3x-4y-1|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}\)
\(=\frac{|3x-4y-1|}{\sqrt{9+16}}\)
\(=\frac{|3x-4y-1|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{|3x-4y-1|}{5}\)
উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
\(PS=e.PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}=\frac{2}{3}.\frac{|3x-4y-1|}{5}\)
\(\Rightarrow (x+1)^2+(y-1)^2=\frac{4}{9}.\frac{(3x-4y-1)^2}{25}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2+2x+1+y^2-2y+1=\frac{4(9x^2+16y^2+1-24xy-6x+8y)}{225}\)
\(\Rightarrow 225(x^2+2x+y^2-2y+2)=36x^2+64y^2+4-96xy-24x+32y\)
\(\Rightarrow 225x^2+450x+225y^2-450y+450-36x^2-64y^2-4+96xy+24x-32y=0\)
\(\therefore 189x^2+161y^2+96xy+474x-482y+446=0\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.4.(viii)\) \((m) y=ax^2+bx+c\) \((n) 20x^2+36y^2+40x-108y-79=0\)
\((a)\) \(lx+my+n=0\) সরলরেখা \(y=4ax\) পরাবৃত্তের স্পর্শক হলে দেখাও যে, \(ln=am^2\)
\((b)\) \((m)\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((-2, 3)\) এবং পরাবৃত্তটি \((0, 5)\) বিন্দুগামী হলে, \(a, b, c\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \((n)\) কনিকটিকে আদর্শ আকারে প্রকাশ কর, সমীকরণটির প্রকৃতি লিখ এবং উৎকেন্দ্রিকতা ও ফোকাস নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) a=\frac{1}{2}, b=2, c=5\)
\((c)\) উপবৃত্ত; \( e=\frac{2}{3}; (1, \frac{3}{2}),(-3, \frac{3}{2})\)।
\((a)\) \(lx+my+n=0\) সরলরেখা \(y=4ax\) পরাবৃত্তের স্পর্শক হলে দেখাও যে, \(ln=am^2\)
\((b)\) \((m)\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((-2, 3)\) এবং পরাবৃত্তটি \((0, 5)\) বিন্দুগামী হলে, \(a, b, c\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \((n)\) কনিকটিকে আদর্শ আকারে প্রকাশ কর, সমীকরণটির প্রকৃতি লিখ এবং উৎকেন্দ্রিকতা ও ফোকাস নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) a=\frac{1}{2}, b=2, c=5\)
\((c)\) উপবৃত্ত; \( e=\frac{2}{3}; (1, \frac{3}{2}),(-3, \frac{3}{2})\)।
সমাধানঃ
\(Q.4.(viii).(a)\)
দেওয়া আছে,
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(y^2=4ax .......(1)\)
এবং সরলরেখার সমীকরণ,
\(lx+my+n=0\)
\(\Rightarrow my=-(lx+n)\)
\(\therefore y=-\frac{lx+n}{m} ....(2)\)
\((2)\) নং হতে \(y\)-এর মাণ \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(\left(-\frac{lx+n}{m}\right)^2=4ax\)
\(\Rightarrow \frac{(lx+n)^2}{m^2}=4ax\)
\(\Rightarrow (lx+n)^2=4am^2x\)
\(\Rightarrow l^2x^2+2lnx+n^2=4am^2x\)
\(\Rightarrow l^2x^2+2lnx-4am^2x+n^2=0\)
\(\therefore l^2x^2+2(ln-2am^2)x+n^2=0\)
যা \(x\)-এর দ্বিঘাত সমীকরণ। এখানে \(x\)-এর দুইটি মাণ আছে, \(x\)-এর এই মাণ দুইটির জন্য \((2)\) নং সরলরেখা \((1)\) নং পরাবৃত্তকে দুইটি বিন্দুতে ছেদ করবে।
যেহেতু \((2)\) নং সরলরেখা \((1)\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করে ফলে, \(x\)-এর এই মাণ দুইটি সমান হবে।
\(\therefore \{2(ln-2am^2)\}^2=4l^2n^2\)| \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমাণ হওয়ার শর্ত, \(b^2=4ac\)
\(\Rightarrow 4(ln-2am^2)^2=4l^2n^2\)
\(\Rightarrow (ln-2am^2)^2=l^2n^2\)
\(\Rightarrow (ln-2am^2)^2-l^2n^2=0\)
\(\Rightarrow (ln-2am^2)^2-(ln)^2=0\)
\(\Rightarrow (ln-2am^2-ln)(ln-2am^2+ln)=0\)
\(\Rightarrow -2am^2(2ln-2am^2)=0\)
\(\Rightarrow -2am^2.2(ln-am^2)=0\)
\(\Rightarrow -4am^2(ln-am^2)=0\)
\(\Rightarrow ln-am^2=0, \because -4am^2\ne 0\)
\(\therefore ln=am^2\)
(Showed)
\(Q.4.(viii).(b)\) পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(y^2=4ax .......(1)\)
এবং সরলরেখার সমীকরণ,
\(lx+my+n=0\)
\(\Rightarrow my=-(lx+n)\)
\(\therefore y=-\frac{lx+n}{m} ....(2)\)
\((2)\) নং হতে \(y\)-এর মাণ \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(\left(-\frac{lx+n}{m}\right)^2=4ax\)
\(\Rightarrow \frac{(lx+n)^2}{m^2}=4ax\)
\(\Rightarrow (lx+n)^2=4am^2x\)
\(\Rightarrow l^2x^2+2lnx+n^2=4am^2x\)
\(\Rightarrow l^2x^2+2lnx-4am^2x+n^2=0\)
\(\therefore l^2x^2+2(ln-2am^2)x+n^2=0\)
যা \(x\)-এর দ্বিঘাত সমীকরণ। এখানে \(x\)-এর দুইটি মাণ আছে, \(x\)-এর এই মাণ দুইটির জন্য \((2)\) নং সরলরেখা \((1)\) নং পরাবৃত্তকে দুইটি বিন্দুতে ছেদ করবে।
যেহেতু \((2)\) নং সরলরেখা \((1)\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করে ফলে, \(x\)-এর এই মাণ দুইটি সমান হবে।
\(\therefore \{2(ln-2am^2)\}^2=4l^2n^2\)| \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমাণ হওয়ার শর্ত, \(b^2=4ac\)
\(\Rightarrow 4(ln-2am^2)^2=4l^2n^2\)
\(\Rightarrow (ln-2am^2)^2=l^2n^2\)
\(\Rightarrow (ln-2am^2)^2-l^2n^2=0\)
\(\Rightarrow (ln-2am^2)^2-(ln)^2=0\)
\(\Rightarrow (ln-2am^2-ln)(ln-2am^2+ln)=0\)
\(\Rightarrow -2am^2(2ln-2am^2)=0\)
\(\Rightarrow -2am^2.2(ln-am^2)=0\)
\(\Rightarrow -4am^2(ln-am^2)=0\)
\(\Rightarrow ln-am^2=0, \because -4am^2\ne 0\)
\(\therefore ln=am^2\)
(Showed)
দেওয়া আছে,
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(y=ax^2+bx+c ......(1)\)
পরাবৃত্তটির অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং এর শীর্ষবিন্দু \((-2, 3)\)।
অর্থাৎ \((\alpha, \beta)\Rightarrow (-2, 3)\)
\(\Rightarrow \alpha=-2, \beta=3\)
এখন,
\((\alpha, \beta)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট এবং অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\((x-\alpha)^2=4a(y-\beta)\)
\(\therefore(x+2)^2=4a(y-3) ......(1)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্ত \((0, 5)\) বিন্দুগামী,
\((0+2)^2=4a(5-3)\)
\(\Rightarrow 4=4a.2\)
\(\Rightarrow 4=8a\)
\(\Rightarrow 8a=4\)
\(\Rightarrow a=\frac{4}{8}\)
\(\therefore a=\frac{1}{2}\)
\(a=\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\((x+2)^2=4.\frac{1}{2}.(y-3)\)
\(\Rightarrow x^2+4x+4=2(y-3)\)
\(\Rightarrow x^2+4x+4=2y-6\)
\(\Rightarrow 2y-6=x^2+4x+4\)
\(\Rightarrow 2y=x^2+4x+4+6\)
\(\Rightarrow 2y=x^2+4x+10\)
\(\therefore y=\frac{1}{2}x^2+2x+5\)
এখানে,
\(a=\frac{1}{2}, b=2, c=5\) ➜ \(y=ax^2+bx+c\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(Q.4.(viii).(c)\) পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(y=ax^2+bx+c ......(1)\)
পরাবৃত্তটির অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং এর শীর্ষবিন্দু \((-2, 3)\)।
অর্থাৎ \((\alpha, \beta)\Rightarrow (-2, 3)\)
\(\Rightarrow \alpha=-2, \beta=3\)
এখন,
\((\alpha, \beta)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট এবং অক্ষরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\((x-\alpha)^2=4a(y-\beta)\)
\(\therefore(x+2)^2=4a(y-3) ......(1)\)
\((1)\) নং পরাবৃত্ত \((0, 5)\) বিন্দুগামী,
\((0+2)^2=4a(5-3)\)
\(\Rightarrow 4=4a.2\)
\(\Rightarrow 4=8a\)
\(\Rightarrow 8a=4\)
\(\Rightarrow a=\frac{4}{8}\)
\(\therefore a=\frac{1}{2}\)
\(a=\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\((x+2)^2=4.\frac{1}{2}.(y-3)\)
\(\Rightarrow x^2+4x+4=2(y-3)\)
\(\Rightarrow x^2+4x+4=2y-6\)
\(\Rightarrow 2y-6=x^2+4x+4\)
\(\Rightarrow 2y=x^2+4x+4+6\)
\(\Rightarrow 2y=x^2+4x+10\)
\(\therefore y=\frac{1}{2}x^2+2x+5\)
এখানে,
\(a=\frac{1}{2}, b=2, c=5\) ➜ \(y=ax^2+bx+c\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
দেওয়া আছে,
\(20x^2+36y^2+40x-108y-79=0\)
\(\Rightarrow 20x^2+40x+36y^2-108y-79=0\)
\(\Rightarrow 20(x^2+2x)+36(y^2-3y)-79=0\)
\(\Rightarrow 20(x^2+2x+1-1)+36(y^2-3y+\frac{9}{4}-\frac{9}{4})-79=0\)
\(\Rightarrow 20(x^2+2x+1)-20+36(y^2-3y+\frac{9}{4})-81-79=0\)
\(\Rightarrow 20(x^2+2x+1)+36(y^2-3y+\frac{9}{4})-180=0\)
\(\Rightarrow 20(x+1)^2+36\left(y-\frac{3}{2}\right)^2=180\)
\(\Rightarrow \frac{20(x+1)^2}{180}+\frac{36\left(y-\frac{3}{2}\right)^2}{180}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(180\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{(x+1)^2}{9}+\frac{\left(y-\frac{3}{2}\right)^2}{5}=1\)
ধরি,
\(X=x+1, Y=y-\frac{3}{2}\)
\(\therefore \frac{X^2}{9}+\frac{Y^2}{5}=1\) ➜ যা \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর অনুরূপ ।
\(\therefore \) সমীকরণটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে।
এখানে,
\(a^2=9, b^2=5\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=\sqrt{5}\)
\(\therefore a>b \)
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{5}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{9-5}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{4}{9}}\)
\(=\frac{2}{3}\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র, \((\pm ae, 0)\)
\(\therefore X=\pm ae, Y=0\)
\(\Rightarrow x+1=\pm 3\times \frac{2}{3}, y-\frac{3}{2}=0\)
\(\Rightarrow x=-1\pm 2, y=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow x=-1+2,-1-2, y=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow x=1,-3, y=\frac{3}{2}\)
\(\therefore \) উপবৃত্তের উপকেন্দ্র, \( (1, \frac{3}{2}), (-3, \frac{3}{2})\)
\(20x^2+36y^2+40x-108y-79=0\)
\(\Rightarrow 20x^2+40x+36y^2-108y-79=0\)
\(\Rightarrow 20(x^2+2x)+36(y^2-3y)-79=0\)
\(\Rightarrow 20(x^2+2x+1-1)+36(y^2-3y+\frac{9}{4}-\frac{9}{4})-79=0\)
\(\Rightarrow 20(x^2+2x+1)-20+36(y^2-3y+\frac{9}{4})-81-79=0\)
\(\Rightarrow 20(x^2+2x+1)+36(y^2-3y+\frac{9}{4})-180=0\)
\(\Rightarrow 20(x+1)^2+36\left(y-\frac{3}{2}\right)^2=180\)
\(\Rightarrow \frac{20(x+1)^2}{180}+\frac{36\left(y-\frac{3}{2}\right)^2}{180}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(180\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{(x+1)^2}{9}+\frac{\left(y-\frac{3}{2}\right)^2}{5}=1\)
ধরি,
\(X=x+1, Y=y-\frac{3}{2}\)
\(\therefore \frac{X^2}{9}+\frac{Y^2}{5}=1\) ➜ যা \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর অনুরূপ ।
\(\therefore \) সমীকরণটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে।
এখানে,
\(a^2=9, b^2=5\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=\sqrt{5}\)
\(\therefore a>b \)
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{5}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{9-5}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{4}{9}}\)
\(=\frac{2}{3}\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র, \((\pm ae, 0)\)
\(\therefore X=\pm ae, Y=0\)
\(\Rightarrow x+1=\pm 3\times \frac{2}{3}, y-\frac{3}{2}=0\)
\(\Rightarrow x=-1\pm 2, y=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow x=-1+2,-1-2, y=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow x=1,-3, y=\frac{3}{2}\)
\(\therefore \) উপবৃত্তের উপকেন্দ্র, \( (1, \frac{3}{2}), (-3, \frac{3}{2})\)
\(Q.4.(ix)\) \(y^2-6y-4x+5=0\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\((a)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের কোন বিন্দুতে কটি ভুজের দ্বিগুণ?
\((b)\) উৎসে উল্লেখিত সমীকরণটি প্রমিত আকারে প্রকাশ কর এবং উপকেন্দ্রসহ উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\((c)\) পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ নির্ণয় করে লেখ চিত্রে নিয়ামকরেখাটি চিহ্নিত কর।
উত্তরঃ \((a) (3, 6)\) \((b) (0, 3); 4\)
\((a)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের কোন বিন্দুতে কটি ভুজের দ্বিগুণ?
\((b)\) উৎসে উল্লেখিত সমীকরণটি প্রমিত আকারে প্রকাশ কর এবং উপকেন্দ্রসহ উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\((c)\) পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ নির্ণয় করে লেখ চিত্রে নিয়ামকরেখাটি চিহ্নিত কর।
উত্তরঃ \((a) (3, 6)\) \((b) (0, 3); 4\)
সমাধানঃ
\(Q.4.(ix).(a)\)
ধরি,
\(y^2=12x .......(1)\)
শর্তমতে,
বিন্দুটির স্থানাঙ্ক \(P(a, 2a)\)।
\(P(a, 2a)\) বিন্দুটি \((1)\) নং পরাবৃত্তের উপর অবস্থিত।
\(\therefore (2a)^2=12a \)
\(\Rightarrow 4a^2=12a \)
\(\Rightarrow a=\frac{12a}{4a}\) ➜ উভয় পার্শে \(4a\) ভাগ করে।
\(\therefore a=3\)
\(a\)-এর মান বসিয়ে পাই।
বিন্দুটির স্থানাঙ্ক \(P(3, 2.3)\)
\(\Rightarrow P(3, 6)\)
ইহাই নির্ণেয় বিন্দুর স্থানাঙ্ক।
\(Q.4.(ix).(b)\) \(y^2=12x .......(1)\)
শর্তমতে,
বিন্দুটির স্থানাঙ্ক \(P(a, 2a)\)।
\(P(a, 2a)\) বিন্দুটি \((1)\) নং পরাবৃত্তের উপর অবস্থিত।
\(\therefore (2a)^2=12a \)
\(\Rightarrow 4a^2=12a \)
\(\Rightarrow a=\frac{12a}{4a}\) ➜ উভয় পার্শে \(4a\) ভাগ করে।
\(\therefore a=3\)
\(a\)-এর মান বসিয়ে পাই।
বিন্দুটির স্থানাঙ্ক \(P(3, 2.3)\)
\(\Rightarrow P(3, 6)\)
ইহাই নির্ণেয় বিন্দুর স্থানাঙ্ক।
দেওয়া আছে,
পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(y^2-6y-4x+5=0\)
\(\Rightarrow y^2-6y+9-9-4x+5=0\)
\(\Rightarrow (y-3)^2-4x-4=0\)
\(\Rightarrow (y-3)^2=4x+4\)
\(\Rightarrow (y-3)^2=4(x+1)\)
ধরি,
\(X=x+1, Y=y-3\)
\(\therefore Y^2=4X ....(1)\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের প্রমিত আকার।
এখানে,
\(4a=4\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=1\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র, \((a, 0)\)
\(\therefore X=a, Y=0\)
\(\Rightarrow x+1=1, y-3=0\)
\(\Rightarrow x=-1+1, y=3\)
\(\therefore x=0, y=3\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র, \((0, 3)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4.1|\)
\(=|4|\)
\(=4\)
\(Q.4.(ix).(c)\)পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(y^2-6y-4x+5=0\)
\(\Rightarrow y^2-6y+9-9-4x+5=0\)
\(\Rightarrow (y-3)^2-4x-4=0\)
\(\Rightarrow (y-3)^2=4x+4\)
\(\Rightarrow (y-3)^2=4(x+1)\)
ধরি,
\(X=x+1, Y=y-3\)
\(\therefore Y^2=4X ....(1)\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের প্রমিত আকার।
এখানে,
\(4a=4\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=1\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র, \((a, 0)\)
\(\therefore X=a, Y=0\)
\(\Rightarrow x+1=1, y-3=0\)
\(\Rightarrow x=-1+1, y=3\)
\(\therefore x=0, y=3\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র, \((0, 3)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4.1|\)
\(=|4|\)
\(=4\)
\((b)\) হতে প্রাপ্ত, 
পরাবৃত্তের প্রমিত আকার।
\(Y^2=4X ....(1)\)
যেখানে,
\(X=x+1, Y=y-3\)
এবং \(a=1\)
পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ ,
\(X=a\)
\(\Rightarrow x+1=1\)
\(\Rightarrow x=1-1\)
\(\therefore x=0\)
পরাবৃত্তটির নিয়ামকরেখার সমীকরণ ,
\(X=-a\)
\(\Rightarrow x+1=-1\)
\(\Rightarrow x+1+1=0\)
\(\therefore x+2=0\)
পরাবৃত্তের প্রমিত আকার।
\(Y^2=4X ....(1)\)
যেখানে,
\(X=x+1, Y=y-3\)
এবং \(a=1\)
পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ ,
\(X=a\)
\(\Rightarrow x+1=1\)
\(\Rightarrow x=1-1\)
\(\therefore x=0\)
পরাবৃত্তটির নিয়ামকরেখার সমীকরণ ,
\(X=-a\)
\(\Rightarrow x+1=-1\)
\(\Rightarrow x+1+1=0\)
\(\therefore x+2=0\)
\(Q.4.(x)\) একটি কনিকের সমীকরণ \(2x^2+5y^2-8x+10y+3=0\).
\((a)\) সমীকরণটির প্রকৃতি নির্ণয় কর।
\((b)\) উৎকেন্দ্রিকতাসহ কণিকটির উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
\((c)\) লেখচিত্রের সাহায্যে নিয়ামকরেখা চিহ্নিত করে উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a)\) উপবৃত্ত; \((b) e=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}; (2\pm \sqrt{3}, -1)\)
\((a)\) সমীকরণটির প্রকৃতি নির্ণয় কর।
\((b)\) উৎকেন্দ্রিকতাসহ কণিকটির উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
\((c)\) লেখচিত্রের সাহায্যে নিয়ামকরেখা চিহ্নিত করে উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a)\) উপবৃত্ত; \((b) e=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}; (2\pm \sqrt{3}, -1)\)
সমাধানঃ
\(Q.4.(x).(a)\)
দেওয়া আছে,
কনিকের সমীকরণ, \(2x^2+5y^2-8x+10y+3=0\)
\(\Rightarrow 2x^2-8x+5y^2+10y+3=0\)
\(\Rightarrow 2(x^2-4x)+5(y^2+2y)+3=0\)
\(\Rightarrow 2(x^2-4x+4-4)+5(y^2+2y+1-1)+3=0\)
\(\Rightarrow 2(x^2-4x+4)-8+5(y^2+2y+1)-5+3=0\)
\(\Rightarrow 2(x-2)^2+5(y+1)^2-10=0\)
\(\Rightarrow 2(x-2)^2+5(y+1)^2=10\)
\(\Rightarrow \frac{2(x-2)^2}{10}+\frac{5(y+1)^2}{10}=1\)
\(\Rightarrow \frac{(x-2)^2}{5}+\frac{(y+1)^2}{2}=1\)
ধরি,
\(X=x-2, Y=y+1\)
\(\therefore \frac{X^2}{5}+\frac{Y^2}{2}=1 ....(1)\) ➜ যা \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর অনুরূপ ।
\(\therefore \) সমীকরণটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে।
এখানে,
\(a^2=5, b^2=2\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=\sqrt{5}, b=\sqrt{2}\)
\(\therefore a>b \)
\(Q.4.(x).(b)\) কনিকের সমীকরণ, \(2x^2+5y^2-8x+10y+3=0\)
\(\Rightarrow 2x^2-8x+5y^2+10y+3=0\)
\(\Rightarrow 2(x^2-4x)+5(y^2+2y)+3=0\)
\(\Rightarrow 2(x^2-4x+4-4)+5(y^2+2y+1-1)+3=0\)
\(\Rightarrow 2(x^2-4x+4)-8+5(y^2+2y+1)-5+3=0\)
\(\Rightarrow 2(x-2)^2+5(y+1)^2-10=0\)
\(\Rightarrow 2(x-2)^2+5(y+1)^2=10\)
\(\Rightarrow \frac{2(x-2)^2}{10}+\frac{5(y+1)^2}{10}=1\)
\(\Rightarrow \frac{(x-2)^2}{5}+\frac{(y+1)^2}{2}=1\)
ধরি,
\(X=x-2, Y=y+1\)
\(\therefore \frac{X^2}{5}+\frac{Y^2}{2}=1 ....(1)\) ➜ যা \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর অনুরূপ ।
\(\therefore \) সমীকরণটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে।
এখানে,
\(a^2=5, b^2=2\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=\sqrt{5}, b=\sqrt{2}\)
\(\therefore a>b \)
\((a)\) হতে প্রাপ্ত,
উপবৃত্তের প্রমিত আকার।
\(\therefore \frac{X^2}{5}+\frac{Y^2}{2}=1 ....(1)\)
যেখানে,
\(X=x-2, Y=y+1\)
এবং
\(a=\sqrt{5}, b=\sqrt{2}\)
\(\therefore a>b \)
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{2}{5}}\)
\(=\sqrt{\frac{5-2}{5}}\)
\(=\sqrt{\frac{3}{5}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র, \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow X=\pm ae, Y=0\)
\(\Rightarrow x-2=\pm \sqrt{5}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}, y+1=0\)
\(\Rightarrow x-2=\pm \sqrt{3}, y=-1\)
\(\Rightarrow x=2\pm \sqrt{3}, y=-1\)
\(\therefore\) উপবৃত্তের উপকেন্দ্র, \( (2\pm \sqrt{3},-1)\)
\(Q.4.(x).(c)\)উপবৃত্তের প্রমিত আকার।
\(\therefore \frac{X^2}{5}+\frac{Y^2}{2}=1 ....(1)\)
যেখানে,
\(X=x-2, Y=y+1\)
এবং
\(a=\sqrt{5}, b=\sqrt{2}\)
\(\therefore a>b \)
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{2}{5}}\)
\(=\sqrt{\frac{5-2}{5}}\)
\(=\sqrt{\frac{3}{5}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র, \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow X=\pm ae, Y=0\)
\(\Rightarrow x-2=\pm \sqrt{5}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}, y+1=0\)
\(\Rightarrow x-2=\pm \sqrt{3}, y=-1\)
\(\Rightarrow x=2\pm \sqrt{3}, y=-1\)
\(\therefore\) উপবৃত্তের উপকেন্দ্র, \( (2\pm \sqrt{3},-1)\)
\((a)\) ও \((b)\) হতে প্রাপ্ত, 
উপবৃত্তের প্রমিত আকার।
\(\therefore \frac{X^2}{5}+\frac{Y^2}{2}=1 ....(1)\)
যেখানে,
\(X=x-2, Y=y+1\)
এবং
\(a=\sqrt{5}, b=\sqrt{2}\)
\(\therefore a>b \)
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র, \( (2\pm \sqrt{3},-1)\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(x=2\pm \sqrt{3}\)
উপবৃত্তটির নিয়ামকরেখার সমীকরণ, \(x-2=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=2\pm \frac{\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}}\)
\(\Rightarrow x=2\pm \frac{5}{\sqrt{3}}\)
\(\therefore \sqrt{3}x=2\sqrt{3}\pm 5\)
উপবৃত্তের প্রমিত আকার।
\(\therefore \frac{X^2}{5}+\frac{Y^2}{2}=1 ....(1)\)
যেখানে,
\(X=x-2, Y=y+1\)
এবং
\(a=\sqrt{5}, b=\sqrt{2}\)
\(\therefore a>b \)
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র, \( (2\pm \sqrt{3},-1)\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(x=2\pm \sqrt{3}\)
উপবৃত্তটির নিয়ামকরেখার সমীকরণ, \(x-2=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=2\pm \frac{\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}}\)
\(\Rightarrow x=2\pm \frac{5}{\sqrt{3}}\)
\(\therefore \sqrt{3}x=2\sqrt{3}\pm 5\)
ভর্তি পরীক্ষায় আসা প্রশ্নসমুহ
\(Q.5.(i)\) যে কনিকের আড় অক্ষ \(x-2y+1=0\) উপকেন্দ্র \((1, 1)\) উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\) এবং নিয়ামকের উপর একটি বিন্দু \((2, -3)\) তার সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫ ]
উত্তরঃ \(3x^2+8xy-3y^2+2x+6y-8=0;\) \(2x+y-3=0 \)
\(Q.5.(ii)\) \(16x^2+9y^2-32x-128=0\) উপবৃত্তটির অক্ষদ্বয়ের দৈর্ঘ্য এবং এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০১৩-২০১৪ ]
উত্তরঃ \(8, 6; 12\pi\)
\(Q.5.(iii)\) একটি অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির দূরত্ব \(16\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\) অধিবৃত্তের অক্ষদ্বয় স্থানাঙ্কের অক্ষ বরাবর হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০১২-২০১৩ ]
উত্তরঃ \(x^2-y^2=32\)
\(Q.5.(iv)\) একটি উপবৃত্ত \(\frac{x}{9}+\frac{y}{4}=1\) রেখাকে \(X\) অক্ষের উপর এবং \(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1\) রেখাকে \(Y\) অক্ষের উপর ছেদ করে। তার সমীকরণ, উৎকেন্দ্রিকতা এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০১১-২০১২ ]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{9}=1; e=\frac{2\sqrt{19}}{9}; (\pm 2\sqrt{19}, 0)\)
\(Q.5.(v)\) \(9x^2-16y^2+72x-32y-16=0\) বক্ররেখাটির প্রকৃতি, তার কেন্দ্র , শীর্ষবিন্দু , উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্র , অক্ষ দুইটির দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০১০-২০১১ ]
উত্তরঃ \( (-4, -1); (0, -1), (-8, -1);\)\(\frac{5}{4};(1, -1), (-9, -1); 8;6; \frac{9}{2};5(x+4)\pm 16=0\)
\(Q.5.(vi)\) মুখ্য অক্ষদ্বয়কে স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয় ধরে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার ক্ষুদ্র অক্ষ উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্বের সমান এবং যার উপকেন্দ্রিক লম্ব \(10\) একক।
[ বুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{50}=1\)
\(Q.5.(vii)\) \(x-y+2=0\) রেখাটি কোনো পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দুতে তার অক্ষের উপর লম্ব। পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \((1, -1)\) বিন্দুতে অবস্থিত হলে, তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯ ]
উত্তরঃ \((x+y)^2-16x+16y-32=0\)
\(Q.5.(viii)\) একটি উপবৃত্তের অক্ষ দুইটি স্থানাঙ্কের অক্ষ দুইটির উপর অবস্থিত। উপবৃত্তটি \(5x+9y=45\) রেখাকে \(X\) অক্ষের উপর এবং \(7x+5y=36\) রেখাকে \(Y\) অক্ষের উপর ছেদ করে। তার উৎকেন্দ্রতা এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[বুয়েটঃ২০০৭-২০০৮]
উত্তরঃ \(\frac{3}{5}; (\pm \frac{27}{5}, 0)\)
\(Q.5.(ix)\) \((3, 4)\) উপকেন্দ্র এবং \((0, 0)\) শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ট পরাবৃত্তের দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[বুয়েটঃ২০০৬-২০০৭]
উত্তরঃ \(3x+4y+25=0\)।
\(Q.5.(x)\) \(5x^2+9y^2-20x=25\) উপবৃত্তটির কেন্দ্র এবং উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
[বুয়েটঃ২০০২-২০০৩]
উত্তরঃ \((2, 0); (0, 0), (4, 0)\)
\(Q.5.(xi)\) \((1, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার একটি উপকেন্দ্র \((1, -1)\) এবং অনুরূপ দিকাক্ষের সমীকরণ \(x-y-4=0\)।
[বুয়েটঃ২০০৩-২০০৪]
উত্তরঃ \(3(x^2+y^2)+2xy-8=0\)
\(Q.5.(xii)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র মূলবিন্দুতে অবস্থিত এবং \(x-y+1=0\) রেখাটি পরাবৃত্তকে এর শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শ করে।
[বুয়েটঃ২০০৫-২০০৬]
উত্তরঃ \((x+y)^2-4x+4y-4=0\)।
\(Q.5.(xiii)\) \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}\) কে দুইবার বর্গ করে কণিকটি সনাক্ত কর। অক্ষের সমীকরণ, শীর্ষবিন্দু এবং স্থানাঙ্ক অক্ষদ্বয়ের স্পর্শবিন্দু দেখিয়ে ছবি আঁক।
[বুয়েটঃ২০০২-২০০৩]
উত্তরঃ পরাবৃত্ত; \(x-y=0; (\frac{a}{4}, \frac{a}{4}) (a, 0), (0, a)\)।
[ বুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫ ]
উত্তরঃ \(3x^2+8xy-3y^2+2x+6y-8=0;\) \(2x+y-3=0 \)
\(Q.5.(ii)\) \(16x^2+9y^2-32x-128=0\) উপবৃত্তটির অক্ষদ্বয়ের দৈর্ঘ্য এবং এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০১৩-২০১৪ ]
উত্তরঃ \(8, 6; 12\pi\)
\(Q.5.(iii)\) একটি অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির দূরত্ব \(16\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\) অধিবৃত্তের অক্ষদ্বয় স্থানাঙ্কের অক্ষ বরাবর হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০১২-২০১৩ ]
উত্তরঃ \(x^2-y^2=32\)
\(Q.5.(iv)\) একটি উপবৃত্ত \(\frac{x}{9}+\frac{y}{4}=1\) রেখাকে \(X\) অক্ষের উপর এবং \(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1\) রেখাকে \(Y\) অক্ষের উপর ছেদ করে। তার সমীকরণ, উৎকেন্দ্রিকতা এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০১১-২০১২ ]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{9}=1; e=\frac{2\sqrt{19}}{9}; (\pm 2\sqrt{19}, 0)\)
\(Q.5.(v)\) \(9x^2-16y^2+72x-32y-16=0\) বক্ররেখাটির প্রকৃতি, তার কেন্দ্র , শীর্ষবিন্দু , উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্র , অক্ষ দুইটির দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০১০-২০১১ ]
উত্তরঃ \( (-4, -1); (0, -1), (-8, -1);\)\(\frac{5}{4};(1, -1), (-9, -1); 8;6; \frac{9}{2};5(x+4)\pm 16=0\)
\(Q.5.(vi)\) মুখ্য অক্ষদ্বয়কে স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয় ধরে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার ক্ষুদ্র অক্ষ উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্বের সমান এবং যার উপকেন্দ্রিক লম্ব \(10\) একক।
[ বুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{50}=1\)
\(Q.5.(vii)\) \(x-y+2=0\) রেখাটি কোনো পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দুতে তার অক্ষের উপর লম্ব। পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \((1, -1)\) বিন্দুতে অবস্থিত হলে, তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯ ]
উত্তরঃ \((x+y)^2-16x+16y-32=0\)
\(Q.5.(viii)\) একটি উপবৃত্তের অক্ষ দুইটি স্থানাঙ্কের অক্ষ দুইটির উপর অবস্থিত। উপবৃত্তটি \(5x+9y=45\) রেখাকে \(X\) অক্ষের উপর এবং \(7x+5y=36\) রেখাকে \(Y\) অক্ষের উপর ছেদ করে। তার উৎকেন্দ্রতা এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[বুয়েটঃ২০০৭-২০০৮]
উত্তরঃ \(\frac{3}{5}; (\pm \frac{27}{5}, 0)\)
\(Q.5.(ix)\) \((3, 4)\) উপকেন্দ্র এবং \((0, 0)\) শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ট পরাবৃত্তের দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[বুয়েটঃ২০০৬-২০০৭]
উত্তরঃ \(3x+4y+25=0\)।
\(Q.5.(x)\) \(5x^2+9y^2-20x=25\) উপবৃত্তটির কেন্দ্র এবং উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
[বুয়েটঃ২০০২-২০০৩]
উত্তরঃ \((2, 0); (0, 0), (4, 0)\)
\(Q.5.(xi)\) \((1, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার একটি উপকেন্দ্র \((1, -1)\) এবং অনুরূপ দিকাক্ষের সমীকরণ \(x-y-4=0\)।
[বুয়েটঃ২০০৩-২০০৪]
উত্তরঃ \(3(x^2+y^2)+2xy-8=0\)
\(Q.5.(xii)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র মূলবিন্দুতে অবস্থিত এবং \(x-y+1=0\) রেখাটি পরাবৃত্তকে এর শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শ করে।
[বুয়েটঃ২০০৫-২০০৬]
উত্তরঃ \((x+y)^2-4x+4y-4=0\)।
\(Q.5.(xiii)\) \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}\) কে দুইবার বর্গ করে কণিকটি সনাক্ত কর। অক্ষের সমীকরণ, শীর্ষবিন্দু এবং স্থানাঙ্ক অক্ষদ্বয়ের স্পর্শবিন্দু দেখিয়ে ছবি আঁক।
[বুয়েটঃ২০০২-২০০৩]
উত্তরঃ পরাবৃত্ত; \(x-y=0; (\frac{a}{4}, \frac{a}{4}) (a, 0), (0, a)\)।
\(Q.5.(xiv)\) \(x^2+4x+2y=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং পরাবৃত্তের অক্ষ ও নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[বুয়েটঃ ২০০২-২০০৩; ২০০৪-২০০৫]
উত্তরঃ \((-2, 2), 2y-5=0\)।
\(Q.5.(xv)\) কোনো উপবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাংক \((-1, -1)\) ও \((1, 1)\) এবং তার বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2\sqrt{3}\) এর সমান; উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ২০০০-২০০১ ]
উত্তরঃ \(2x^2+2y^2-2xy-3=0\)
\(Q.5.(xvi)\) একটি উপবৃত্তের অক্ষ দুইটি স্থানাঙ্কের অক্ষ দুইটির উপর অবস্থিত। উপবৃত্তটি \(3x+2y-9=0\) সরলরেখাটি উপবৃত্তটিকে অক্ষদ্বয়ের উপর ছেদ করে। উপবৃত্তটির সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[বুটেক্সঃ২০০৪-২০০৫]
উত্তরঃ \( 9x^2+4y^2=81; (0, \pm \frac{\sqrt{45}}{2})\)
\(Q.5.(xvii)\) \((-8, -2)\) উপকেন্দ্র এবং \(2x-y-9=0\) নিয়ামক রেখা বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রুয়েটঃ২০০৮-২০০৯]
উত্তরঃ \( x^2+4xy+4y^2+116x+2y+259=0\)
\(Q.5.(xviii)\) \(\frac{x^2}{p}+\frac{y^2}{5^2}=1\) উপবৃত্তটি \((6, 4)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[রুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯; ২০০৮-২০০৯]
উত্তরঃ \(e=\frac{\sqrt{3}}{2}; (\pm 5\sqrt{3}, 0)\)
\(Q.5.(xix)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার শীর্ষ \((4, -3)\) বিন্দুতে অবস্থিত, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(4\) এবং অক্ষটি \(x\)-অক্ষের সমান্তরাল।
[ রুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫; ২০০৫-২০০৬; ২০১০-২০১১]
উত্তরঃ \( (y+3)^2=4(x-4)\)।
\(Q.5.(xx)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র দুইটি \(S(2, 0)\) ও \(\acute S(-2, 0)\) এবং যা \(P\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{15}}{2}\right)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
[ রুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬]
উত্তরঃ \( \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1\)।
\(Q.5.(xxi)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র দুইটি \((0, 4)\) ও \((0, -4)\) এবং যা \((3, 0)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
[ রুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪]
উত্তরঃ \( \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1\)।
\(Q.5.(xxii)\) একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দু তিনটি মূলবিন্দু এবং \(9(x-2)^2+25(y-3)^2=225\) উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়।
[ কুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫]
উত্তরঃ \(12 \) বর্গ একক।
\(Q.5.(xxiii)\) \(y^2=16x\) পরাবৃত্তের উপরিস্থিত যে বিন্দুর উপকেদ্রিক দূরত্ব \(6\) তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ চুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬]
উত্তরঃ \((2, \pm 4\sqrt{2})\)।
\(Q.5.(xxiv)\) \(y=3x+1\) সরলরেখা \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করলে \(a\)-এর মাণ, স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫]
উত্তরঃ \(3;(\frac{1}{3}, 2); (3, 0); 12; x+3=0\)।
\(Q.5.(xxv)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু ও উপকেন্দ্রিক লম্বের ধনাত্মক দিকের প্রান্তবিন্দুর সংযোজক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪]
উত্তরঃ \( y=2x \)।
\(Q.5.(xxvi)\) দেখাও যে, \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}\) পরাবৃত্ত এবং স্থানাঙ্কের অক্ষ দুইটির অন্তর্গত ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(\frac{1}{6}a^2\)।
[ বুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯]
[বুয়েটঃ ২০০২-২০০৩; ২০০৪-২০০৫]
উত্তরঃ \((-2, 2), 2y-5=0\)।
\(Q.5.(xv)\) কোনো উপবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাংক \((-1, -1)\) ও \((1, 1)\) এবং তার বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2\sqrt{3}\) এর সমান; উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ২০০০-২০০১ ]
উত্তরঃ \(2x^2+2y^2-2xy-3=0\)
\(Q.5.(xvi)\) একটি উপবৃত্তের অক্ষ দুইটি স্থানাঙ্কের অক্ষ দুইটির উপর অবস্থিত। উপবৃত্তটি \(3x+2y-9=0\) সরলরেখাটি উপবৃত্তটিকে অক্ষদ্বয়ের উপর ছেদ করে। উপবৃত্তটির সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[বুটেক্সঃ২০০৪-২০০৫]
উত্তরঃ \( 9x^2+4y^2=81; (0, \pm \frac{\sqrt{45}}{2})\)
\(Q.5.(xvii)\) \((-8, -2)\) উপকেন্দ্র এবং \(2x-y-9=0\) নিয়ামক রেখা বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রুয়েটঃ২০০৮-২০০৯]
উত্তরঃ \( x^2+4xy+4y^2+116x+2y+259=0\)
\(Q.5.(xviii)\) \(\frac{x^2}{p}+\frac{y^2}{5^2}=1\) উপবৃত্তটি \((6, 4)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[রুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯; ২০০৮-২০০৯]
উত্তরঃ \(e=\frac{\sqrt{3}}{2}; (\pm 5\sqrt{3}, 0)\)
\(Q.5.(xix)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার শীর্ষ \((4, -3)\) বিন্দুতে অবস্থিত, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(4\) এবং অক্ষটি \(x\)-অক্ষের সমান্তরাল।
[ রুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫; ২০০৫-২০০৬; ২০১০-২০১১]
উত্তরঃ \( (y+3)^2=4(x-4)\)।
\(Q.5.(xx)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র দুইটি \(S(2, 0)\) ও \(\acute S(-2, 0)\) এবং যা \(P\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{15}}{2}\right)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
[ রুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬]
উত্তরঃ \( \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1\)।
\(Q.5.(xxi)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র দুইটি \((0, 4)\) ও \((0, -4)\) এবং যা \((3, 0)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
[ রুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪]
উত্তরঃ \( \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1\)।
\(Q.5.(xxii)\) একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দু তিনটি মূলবিন্দু এবং \(9(x-2)^2+25(y-3)^2=225\) উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়।
[ কুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫]
উত্তরঃ \(12 \) বর্গ একক।
\(Q.5.(xxiii)\) \(y^2=16x\) পরাবৃত্তের উপরিস্থিত যে বিন্দুর উপকেদ্রিক দূরত্ব \(6\) তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ চুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬]
উত্তরঃ \((2, \pm 4\sqrt{2})\)।
\(Q.5.(xxiv)\) \(y=3x+1\) সরলরেখা \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করলে \(a\)-এর মাণ, স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫]
উত্তরঃ \(3;(\frac{1}{3}, 2); (3, 0); 12; x+3=0\)।
\(Q.5.(xxv)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু ও উপকেন্দ্রিক লম্বের ধনাত্মক দিকের প্রান্তবিন্দুর সংযোজক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪]
উত্তরঃ \( y=2x \)।
\(Q.5.(xxvi)\) দেখাও যে, \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}\) পরাবৃত্ত এবং স্থানাঙ্কের অক্ষ দুইটির অন্তর্গত ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(\frac{1}{6}a^2\)।
[ বুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯]
\(Q.5.(i)\) যে কনিকের আড় অক্ষ \(x-2y+1=0\) উপকেন্দ্র \((1, 1)\) উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\) এবং নিয়ামকের উপর একটি বিন্দু \((2, -3)\) তার সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫ ]
উত্তরঃ \(3x^2+8xy-3y^2+2x+6y-8=0; 2x+y-3=0 \)
[ বুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫ ]
উত্তরঃ \(3x^2+8xy-3y^2+2x+6y-8=0; 2x+y-3=0 \)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে , 
আড় অক্ষের সমীকরণ, \(x-2y+1=0 ......(1)\)
\((1)\)-এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x+y+k=0 ......(2)\) ➜ নিয়ামকরেখা আড় অক্ষের উপর লম্ব।
\((2)\) নং সরলরেখা \((2, -3)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore 2.2-3+k=0\)
\(\Rightarrow 4-3+k=0\)
\(\Rightarrow 1+k=0\)
\(\therefore k=-1\)
\(k\)-এর মাণ \(\)-এ বসিয়ে,
\(2x+y-1=0 ......(3)\) যা নিয়ামকরেখার সমীকরণ।
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(1, 1)\) এবং উৎকেন্দ্রতা \(\sqrt{2}\)
ধরি,
অধিবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
এখন,
\(PS=\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}\)
\(P\) হতে \((3)\)-এর লম্ব দূরত্ব,
\(PM=\frac{2x+y-1}{\sqrt{2^2+1^2}}\)| \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{2x+y-1}{\sqrt{4+1}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{2x+y-1}{\sqrt{5}}\)
অধিবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
\(PS=e.PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}=\sqrt{2}.\frac{2x+y-5}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2+(y-1)^2=\frac{2(2x+y-1)^2}{5}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2-2y+1=\frac{2(4x^2+y^2+1+4xy-4x-2y)}{5}\)
\(\Rightarrow 5(x^2-2x+y^2-2y+2)=2(4x^2+y^2+1+4xy-4x-2y)\)
\(\Rightarrow 5x^2-10x+5y^2-10y+10=8x^2+2y^2+2+8xy-8x-4y\)
\(\Rightarrow 5x^2-10x+5y^2-10y+10-8x^2-2y^2-2-8xy+8x+4y=0\)
\(\Rightarrow -3x^2+3y^2-8xy-2x-6y+8=0\)
\(\therefore 3x^2+8xy-3y^2+2x+6y-8=0\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ,
\(2x+y+k=0 ......(4)\) ➜ উপকেন্দ্রিক লম্ব আড় অক্ষের উপর লম্ব।
\((4)\) নং সরলরেখা উপকেন্দ্র \(S(1, 1)\) দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore 2.1+1+k=0\)
\(\Rightarrow 2+1+k=0\)
\(\Rightarrow 3+k=0\)
\(\therefore k=-3\)
\(k\)-এর মাণ \((4)\)-এ বসিয়ে,
\(2x+y-3=0 \)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(2x+y-3=0 \)
আড় অক্ষের সমীকরণ, \(x-2y+1=0 ......(1)\)
\((1)\)-এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x+y+k=0 ......(2)\) ➜ নিয়ামকরেখা আড় অক্ষের উপর লম্ব।
\((2)\) নং সরলরেখা \((2, -3)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore 2.2-3+k=0\)
\(\Rightarrow 4-3+k=0\)
\(\Rightarrow 1+k=0\)
\(\therefore k=-1\)
\(k\)-এর মাণ \(\)-এ বসিয়ে,
\(2x+y-1=0 ......(3)\) যা নিয়ামকরেখার সমীকরণ।
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(1, 1)\) এবং উৎকেন্দ্রতা \(\sqrt{2}\)
ধরি,
অধিবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
এখন,
\(PS=\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}\)
\(P\) হতে \((3)\)-এর লম্ব দূরত্ব,
\(PM=\frac{2x+y-1}{\sqrt{2^2+1^2}}\)| \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{2x+y-1}{\sqrt{4+1}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{2x+y-1}{\sqrt{5}}\)
অধিবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
\(PS=e.PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}=\sqrt{2}.\frac{2x+y-5}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2+(y-1)^2=\frac{2(2x+y-1)^2}{5}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2-2y+1=\frac{2(4x^2+y^2+1+4xy-4x-2y)}{5}\)
\(\Rightarrow 5(x^2-2x+y^2-2y+2)=2(4x^2+y^2+1+4xy-4x-2y)\)
\(\Rightarrow 5x^2-10x+5y^2-10y+10=8x^2+2y^2+2+8xy-8x-4y\)
\(\Rightarrow 5x^2-10x+5y^2-10y+10-8x^2-2y^2-2-8xy+8x+4y=0\)
\(\Rightarrow -3x^2+3y^2-8xy-2x-6y+8=0\)
\(\therefore 3x^2+8xy-3y^2+2x+6y-8=0\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ,
\(2x+y+k=0 ......(4)\) ➜ উপকেন্দ্রিক লম্ব আড় অক্ষের উপর লম্ব।
\((4)\) নং সরলরেখা উপকেন্দ্র \(S(1, 1)\) দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore 2.1+1+k=0\)
\(\Rightarrow 2+1+k=0\)
\(\Rightarrow 3+k=0\)
\(\therefore k=-3\)
\(k\)-এর মাণ \((4)\)-এ বসিয়ে,
\(2x+y-3=0 \)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(2x+y-3=0 \)
\(Q.5.(ii)\) \(16x^2+9y^2-32x-128=0\) উপবৃত্তটির অক্ষদ্বয়ের দৈর্ঘ্য এবং এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫ ]
উত্তরঃ \(8, 6; 12\pi\)
[ বুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫ ]
উত্তরঃ \(8, 6; 12\pi\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে , 
উপবৃত্তটির সমীকরণ, \(16x^2+9y^2-32x-128=0\)
\(\Rightarrow 16x^2-32x+9y^2-128=0\)
\(\Rightarrow 16(x^2-2x)+9y^2-128=0\)
\(\Rightarrow 16(x^2-2x+1-1)+9y^2-128=0\)
\(\Rightarrow 16(x^2-2x+1)-16+9y^2-128=0\)
\(\Rightarrow 16(x-1)^2+9y^2-144=0\)
\(\Rightarrow 16(x-1)^2+9y^2=144\)
\(\Rightarrow \frac{16(x-1)^2}{144}+\frac{9y^2}{144}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(144\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{(x-1)^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1 .....(1)\)
এখানে,
\(a^2=9, b^2=16\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=3, b=4\)
\(\therefore b>a\)
উপবৃত্তের বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2.4\)
\(=8\)
উপবৃত্তের ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2.3\)
\(=6\)
উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল \(=\pi ab\)
\(=\pi 3.4\)
\(=12\pi \)
উপবৃত্তটির সমীকরণ, \(16x^2+9y^2-32x-128=0\)
\(\Rightarrow 16x^2-32x+9y^2-128=0\)
\(\Rightarrow 16(x^2-2x)+9y^2-128=0\)
\(\Rightarrow 16(x^2-2x+1-1)+9y^2-128=0\)
\(\Rightarrow 16(x^2-2x+1)-16+9y^2-128=0\)
\(\Rightarrow 16(x-1)^2+9y^2-144=0\)
\(\Rightarrow 16(x-1)^2+9y^2=144\)
\(\Rightarrow \frac{16(x-1)^2}{144}+\frac{9y^2}{144}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(144\) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{(x-1)^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1 .....(1)\)
এখানে,
\(a^2=9, b^2=16\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=3, b=4\)
\(\therefore b>a\)
উপবৃত্তের বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2.4\)
\(=8\)
উপবৃত্তের ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2.3\)
\(=6\)
উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল \(=\pi ab\)
\(=\pi 3.4\)
\(=12\pi \)
\(Q.5.(iii)\) একটি অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির দূরত্ব \(16\) এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\sqrt{2}\) অধিবৃত্তের অক্ষদ্বয় স্থানাঙ্কের অক্ষ বরাবর হলে সমীকরণটি নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০১২-২০১৩ ]
উত্তরঃ \(x^2-y^2=32\)
[ বুয়েটঃ ২০১২-২০১৩ ]
উত্তরঃ \(x^2-y^2=32\)
সমাধানঃ
মনে করি,
অধিবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ......(1)\)
এখানে,
অধিবৃত্তের আড় অক্ষ \(2a\)
উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{2}\)
উপকেন্দ্র, \((\pm ae, 0)\)
উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(2ae=16\)
\(\Rightarrow 2a\times \sqrt{2}=16\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{2}a=16\)
\(\Rightarrow a=\frac{16}{2\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow a=\frac{4\times 2\times \sqrt{2}\times \sqrt{2}}{2\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow a=4\sqrt{2}\)
\(\therefore a^2=32\)
আবার,
আমরা জানি,
\(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=(4\sqrt{2})^2\{(\sqrt{2})^2-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=32\{2-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=32\{1\}\)
\(\therefore b^2=32\)
\(\therefore a^2=b^2=32, (1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{32}-\frac{y^2}{32}=1\)
\(\therefore x^2-y^2=32\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
অধিবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 ......(1)\)
এখানে,
অধিবৃত্তের আড় অক্ষ \(2a\)
উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{2}\)
উপকেন্দ্র, \((\pm ae, 0)\)
উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(2ae=16\)
\(\Rightarrow 2a\times \sqrt{2}=16\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{2}a=16\)
\(\Rightarrow a=\frac{16}{2\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow a=\frac{4\times 2\times \sqrt{2}\times \sqrt{2}}{2\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow a=4\sqrt{2}\)
\(\therefore a^2=32\)
আবার,
আমরা জানি,
\(b^2=a^2(e^2-1)\)
\(\Rightarrow b^2=(4\sqrt{2})^2\{(\sqrt{2})^2-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=32\{2-1\}\)
\(\Rightarrow b^2=32\{1\}\)
\(\therefore b^2=32\)
\(\therefore a^2=b^2=32, (1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{32}-\frac{y^2}{32}=1\)
\(\therefore x^2-y^2=32\)
ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.5.(iv)\) একটি উপবৃত্ত \(\frac{x}{9}+\frac{y}{4}=1\) রেখাকে \(X\) অক্ষের উপর এবং \(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1\) রেখাকে \(Y\) অক্ষের উপর ছেদ করে। তার সমীকরণ, উৎকেন্দ্রিকতা এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০১১-২০১২ ]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{9}=1; e=\frac{2\sqrt{19}}{9}; (\pm 2\sqrt{19}, 0)\)
[ বুয়েটঃ ২০১১-২০১২ ]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{9}=1; e=\frac{2\sqrt{19}}{9}; (\pm 2\sqrt{19}, 0)\)
সমাধানঃ
ধরি,
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
\(\frac{x}{9}+\frac{y}{4}=1 ....(2)\)
\(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1 ....(3)\)
\((1)\) ও \((2)\)-এর ছেদবিন্দুতে \(y=0\) হবে, কেননা \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
\((2)\) হতে,
\(\frac{x}{9}+\frac{0}{4}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{9}+0=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{9}=1\)
\(\therefore x=9\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \((9, 0)\)
\((1)\) ও \((3)\)-এর ছেদবিন্দুতে \(x=0\) হবে, কেননা \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
\((3)\) হতে,
\(\frac{0}{2}+\frac{y}{3}=1\)
\(\Rightarrow 0+\frac{y}{3}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y}{3}=1\)
\(\therefore y=3\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \((0, 3)\)
শর্তমতে,
\((1)\) নং উপবৃত্ত \((9, 0) , (0, 3) \) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore \frac{9^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{81}{a^2}+\frac{0}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{81}{a^2}=1 \)
\(\therefore a^2=81\Rightarrow a=9 \)
আবার,
\(\therefore \frac{0^2}{a^2}+\frac{3^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{0}{a^2}+\frac{9}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{9}{b^2}=1 \)
\(\therefore b^2=9\Rightarrow b=3 \)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{9}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
ইহা স্পষ্ট যে, \(a>b\)
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{9}{81}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{81-5}{81}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{76}{81}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{4\times 19}{81}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{4\times 19}{81}}\)
\(\therefore e=\frac{2\sqrt{19}}{9}\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm 2\sqrt{19}, 0)\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্র দ্বয় \((\pm 2\sqrt{19}, 0)\)
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
\(\frac{x}{9}+\frac{y}{4}=1 ....(2)\)
\(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1 ....(3)\)
\((1)\) ও \((2)\)-এর ছেদবিন্দুতে \(y=0\) হবে, কেননা \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
\((2)\) হতে,
\(\frac{x}{9}+\frac{0}{4}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{9}+0=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{9}=1\)
\(\therefore x=9\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \((9, 0)\)
\((1)\) ও \((3)\)-এর ছেদবিন্দুতে \(x=0\) হবে, কেননা \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
\((3)\) হতে,
\(\frac{0}{2}+\frac{y}{3}=1\)
\(\Rightarrow 0+\frac{y}{3}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y}{3}=1\)
\(\therefore y=3\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \((0, 3)\)
শর্তমতে,
\((1)\) নং উপবৃত্ত \((9, 0) , (0, 3) \) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore \frac{9^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{81}{a^2}+\frac{0}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{81}{a^2}=1 \)
\(\therefore a^2=81\Rightarrow a=9 \)
আবার,
\(\therefore \frac{0^2}{a^2}+\frac{3^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{0}{a^2}+\frac{9}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{9}{b^2}=1 \)
\(\therefore b^2=9\Rightarrow b=3 \)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{9}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
ইহা স্পষ্ট যে, \(a>b\)
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{9}{81}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{81-5}{81}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{76}{81}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{4\times 19}{81}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{4\times 19}{81}}\)
\(\therefore e=\frac{2\sqrt{19}}{9}\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm 2\sqrt{19}, 0)\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্র দ্বয় \((\pm 2\sqrt{19}, 0)\)
\(Q.5.(v)\) \(9x^2-16y^2+72x-32y-16=0\) বক্ররেখাটির প্রকৃতি, তার কেন্দ্র , শীর্ষবিন্দু , উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্র , অক্ষ দুইটির দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০১০-২০১১ ]
উত্তরঃ \( (-4, -1); (0, -1), (-8, -1);\)\(\frac{5}{4};(1, -1), (-9, -1); 8;6; \frac{9}{2};5(x+4)\pm 16=0\)\)
[ বুয়েটঃ ২০১০-২০১১ ]
উত্তরঃ \( (-4, -1); (0, -1), (-8, -1);\)\(\frac{5}{4};(1, -1), (-9, -1); 8;6; \frac{9}{2};5(x+4)\pm 16=0\)\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে , 
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(9x^2-16y^2+72x-32y-16=0\)
\(\Rightarrow 9x^2+72x-16y^2-32y-16=0\)
\(\Rightarrow 9(x^2+8x)-16(y^2+2y)-16=0\)
\(\Rightarrow 9(x^2+8x+16-16)-\)\(16(y^2+2y+1-1)-16=0\)
\(\Rightarrow 9(x^2+8x+16)-144-\)\(16(y^2+2y+1)+16-16=0\)
\(\Rightarrow 9(x+4)^2-16(y+1)^2-144=0\)
\(\Rightarrow 9(x+4)^2-16(y+1)^2=144\)
\(\Rightarrow \frac{9(x+4)^2}{144}-\frac{16(y+1)^2}{144}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(144\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{(x+4)^2}{16}-\frac{(y+1)^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{X^2}{16}-\frac{Y^2}{9}=1\) যেখানে, \(X=x+4, Y=y+1\)
এখানে, \(a^2=16, b^2=9\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4, b=3\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{9}{16}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{16+9}{16}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{25}{16}}\)
\(\therefore e=\frac{5}{4}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
অর্থাৎ \(X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x+4=0, y+1=0\) ➜ \(\because X=x+4, Y=y+1\)
\(\Rightarrow x=-4, y=-1\)
\(\therefore \) অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((-4, -1)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((\pm a, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
অর্থাৎ \(X=\pm a, Y=0\)
\(\Rightarrow x+4=\pm 4, y+1=0\)
\(\Rightarrow x=-4\pm 4, y=-1\)
\(\Rightarrow x=-4+4,-4-4, y=-1\)
\(\therefore x=0,-8, y=-1\)
\(\therefore \) অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((0, -1), (-8, -1)\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
অর্থাৎ \(X=\pm ae, Y=0\)
\(\Rightarrow x+4=\pm 4\times \frac{\sqrt{5}}{4}, y+1=0\)
\(\Rightarrow x=-4\pm 4\times \frac{\sqrt{5}}{4}, y=-1\)
\(\Rightarrow x=-4\pm 5, y=-1\)
\(\Rightarrow x=-4+5,-4-5, y=-1\)
\(\Rightarrow x=1,-9, y=-1\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \((1, -1), (-9, -1)\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2.4\)
\(=8\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2.3\)
\(=6\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
\(=\frac{2.9}{4}\)
\(=\frac{9}{2}\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(X=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x+4=\pm \frac{4}{\frac{5}{4}}\)
\(\Rightarrow x+4=\pm \frac{16}{5}\)
\(\Rightarrow 5(x+4)=\pm 16\)
\(\therefore 5(x+4)\pm 16=0\)
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(9x^2-16y^2+72x-32y-16=0\)
\(\Rightarrow 9x^2+72x-16y^2-32y-16=0\)
\(\Rightarrow 9(x^2+8x)-16(y^2+2y)-16=0\)
\(\Rightarrow 9(x^2+8x+16-16)-\)\(16(y^2+2y+1-1)-16=0\)
\(\Rightarrow 9(x^2+8x+16)-144-\)\(16(y^2+2y+1)+16-16=0\)
\(\Rightarrow 9(x+4)^2-16(y+1)^2-144=0\)
\(\Rightarrow 9(x+4)^2-16(y+1)^2=144\)
\(\Rightarrow \frac{9(x+4)^2}{144}-\frac{16(y+1)^2}{144}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(144\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{(x+4)^2}{16}-\frac{(y+1)^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{X^2}{16}-\frac{Y^2}{9}=1\) যেখানে, \(X=x+4, Y=y+1\)
এখানে, \(a^2=16, b^2=9\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=4, b=3\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1+\frac{9}{16}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{16+9}{16}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{25}{16}}\)
\(\therefore e=\frac{5}{4}\)
অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
অর্থাৎ \(X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x+4=0, y+1=0\) ➜ \(\because X=x+4, Y=y+1\)
\(\Rightarrow x=-4, y=-1\)
\(\therefore \) অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((-4, -1)\)
অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((\pm a, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)-এর সহিত তুলুনা করে।
অর্থাৎ \(X=\pm a, Y=0\)
\(\Rightarrow x+4=\pm 4, y+1=0\)
\(\Rightarrow x=-4\pm 4, y=-1\)
\(\Rightarrow x=-4+4,-4-4, y=-1\)
\(\therefore x=0,-8, y=-1\)
\(\therefore \) অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \((0, -1), (-8, -1)\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \)-এর সহিত তুলুনা করে।
অর্থাৎ \(X=\pm ae, Y=0\)
\(\Rightarrow x+4=\pm 4\times \frac{\sqrt{5}}{4}, y+1=0\)
\(\Rightarrow x=-4\pm 4\times \frac{\sqrt{5}}{4}, y=-1\)
\(\Rightarrow x=-4\pm 5, y=-1\)
\(\Rightarrow x=-4+5,-4-5, y=-1\)
\(\Rightarrow x=1,-9, y=-1\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্র \((1, -1), (-9, -1)\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2.4\)
\(=8\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2.3\)
\(=6\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
\(=\frac{2.9}{4}\)
\(=\frac{9}{2}\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(X=\pm \frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x+4=\pm \frac{4}{\frac{5}{4}}\)
\(\Rightarrow x+4=\pm \frac{16}{5}\)
\(\Rightarrow 5(x+4)=\pm 16\)
\(\therefore 5(x+4)\pm 16=0\)
\(Q.5.(vi)\) মুখ্য অক্ষদ্বয়কে স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয় ধরে একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার ক্ষুদ্র অক্ষ উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্বের সমান এবং যার উপকেন্দ্রিক লম্ব \(10\) একক।
[ বুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{50}=1\)
[ বুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ]
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{50}=1\)
সমাধানঃ
ধরি,
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b).....(1)\)
ক্ষুদ্র অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্বে \(=2ae\)
শর্তমতে,
\(2ae=2b\)
\(\Rightarrow ae=b\)
\(\Rightarrow e=\frac{b}{a}\)
\(\therefore e^2=\frac{b^2}{a^2} .......(2)\)
আবার,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=1-\frac{b^2}{a^2}\) ➜ \((2)\) -এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}+\frac{b^2}{a^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{2b^2}{a^2}=1\)
\(\therefore 2b^2=a^2 ........(3)\)
আবার,
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=10\)
\(\therefore \frac{2b^2}{a}=10\)
\(\Rightarrow 2b^2=10a\)
\(\Rightarrow a^2=10a\) ➜ \((3)\) -এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow a^2-10a=0\)
\(\Rightarrow a(a-10)=0\)
\(\Rightarrow a\ne 0, a-10=0\)
\(\Rightarrow a\ne 0, a=10\)
\(\Rightarrow a^2=100\)
\((3)\) হতে \(2b^2=100 \)
\(\Rightarrow b^2=50 \)
\(a^2, b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{50}=1 \)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b).....(1)\)
ক্ষুদ্র অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্বে \(=2ae\)
শর্তমতে,
\(2ae=2b\)
\(\Rightarrow ae=b\)
\(\Rightarrow e=\frac{b}{a}\)
\(\therefore e^2=\frac{b^2}{a^2} .......(2)\)
আবার,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=1-\frac{b^2}{a^2}\) ➜ \((2)\) -এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}+\frac{b^2}{a^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{2b^2}{a^2}=1\)
\(\therefore 2b^2=a^2 ........(3)\)
আবার,
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2b^2}{a}\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=10\)
\(\therefore \frac{2b^2}{a}=10\)
\(\Rightarrow 2b^2=10a\)
\(\Rightarrow a^2=10a\) ➜ \((3)\) -এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow a^2-10a=0\)
\(\Rightarrow a(a-10)=0\)
\(\Rightarrow a\ne 0, a-10=0\)
\(\Rightarrow a\ne 0, a=10\)
\(\Rightarrow a^2=100\)
\((3)\) হতে \(2b^2=100 \)
\(\Rightarrow b^2=50 \)
\(a^2, b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{50}=1 \)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.5.(vii)\) \(x-y+2=0\) রেখাটি কোনো পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দুতে তার অক্ষের উপর লম্ব। পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \((1, -1)\) বিন্দুতে অবস্থিত হলে, তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯ ]
উত্তরঃ \((x+y)^2-16x+16y-32=0\)
[ বুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯ ]
উত্তরঃ \((x+y)^2-16x+16y-32=0\)
সমাধানঃ
ধরি,
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A\), উপকেন্দ্র \(S(1, -1)\), দিকাক্ষ \(MZ\) এবং অক্ষরেখা \(AS\)।
\(x-y+2=0 ........(1)\) রেখাটি শীর্ষবিন্দুতে অক্ষের উপর লম্ব। অতএব, দিকাক্ষের সমীকরণ হবে \((1)\) -এর উপর লম্ব।
\(x-y+k=0 ........(2)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
দ্বিকাক্ষ এবং অক্ষের ছেদবিন্দু \(Z\)। আবার, \(Z\) ও \(S\)-এর মধ্যবিন্দু \(A\)।
অতএব, \(ZS=2AS\)
\(\Rightarrow \frac{|1+1+k|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=2\frac{|1+1+2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|2+k|}{\sqrt{1+1}}=2\frac{|4|}{\sqrt{1+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{|2+k|}{\sqrt{2}}=2\frac{|4|}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow |2+k|=2.4\)
\(\Rightarrow |2+k|=8\)
\(\Rightarrow 2+k=8\)
\(\Rightarrow k=8-2\)
\(\therefore k=6\)
\(\therefore \) দিকাক্ষের সমীকরণ,
\(x-y+6=0 ........(3)\)
এখন,
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
উপকেন্দ্র \(S(1, -1)\)
দিকাক্ষের সমীকরণ, \(x-y+6=0\)
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}=\frac{|x-y+6|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}=\frac{|x-y+6|}{\sqrt{1+1}}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2+(y+1)^2=\frac{(x-y+6)^2}{2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2+2y+1=\frac{(x-y+6)^2}{2}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2x+2y+2=\frac{(x-y+6)^2}{2}\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2-4x+4y+4=(x-y+6)^2\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2-4x+4y+4=x^2+y^2+36-2xy-12y+12x\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2-4x+4y+4-x^2-y^2-36+2xy+12y-12x=0\)
\(\Rightarrow x^2+2xy+y^2-16x+16y-32=0\)
\(\therefore (x+y)^2-16x+16y-32=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A\), উপকেন্দ্র \(S(1, -1)\), দিকাক্ষ \(MZ\) এবং অক্ষরেখা \(AS\)।
\(x-y+2=0 ........(1)\) রেখাটি শীর্ষবিন্দুতে অক্ষের উপর লম্ব। অতএব, দিকাক্ষের সমীকরণ হবে \((1)\) -এর উপর লম্ব।
\(x-y+k=0 ........(2)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
দ্বিকাক্ষ এবং অক্ষের ছেদবিন্দু \(Z\)। আবার, \(Z\) ও \(S\)-এর মধ্যবিন্দু \(A\)।
অতএব, \(ZS=2AS\)
\(\Rightarrow \frac{|1+1+k|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=2\frac{|1+1+2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|2+k|}{\sqrt{1+1}}=2\frac{|4|}{\sqrt{1+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{|2+k|}{\sqrt{2}}=2\frac{|4|}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow |2+k|=2.4\)
\(\Rightarrow |2+k|=8\)
\(\Rightarrow 2+k=8\)
\(\Rightarrow k=8-2\)
\(\therefore k=6\)
\(\therefore \) দিকাক্ষের সমীকরণ,
\(x-y+6=0 ........(3)\)
এখন,
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
উপকেন্দ্র \(S(1, -1)\)
দিকাক্ষের সমীকরণ, \(x-y+6=0\)
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}=\frac{|x-y+6|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}=\frac{|x-y+6|}{\sqrt{1+1}}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2+(y+1)^2=\frac{(x-y+6)^2}{2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2+2y+1=\frac{(x-y+6)^2}{2}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2x+2y+2=\frac{(x-y+6)^2}{2}\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2-4x+4y+4=(x-y+6)^2\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2-4x+4y+4=x^2+y^2+36-2xy-12y+12x\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2-4x+4y+4-x^2-y^2-36+2xy+12y-12x=0\)
\(\Rightarrow x^2+2xy+y^2-16x+16y-32=0\)
\(\therefore (x+y)^2-16x+16y-32=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.5.(viii)\) একটি উপবৃত্তের অক্ষ দুইটি স্থানাঙ্কের অক্ষ দুইটির উপর অবস্থিত। উপবৃত্তটি \(5x+9y=45\) রেখাকে \(X\) অক্ষের উপর এবং \(7x+5y=36\) রেখাকে \(Y\) অক্ষের উপর ছেদ করে। তার উৎকেন্দ্রতা এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[বুয়েটঃ২০০৭-২০০৮]
উত্তরঃ \(\frac{3}{5}; (\pm \frac{27}{5}, 0)\)
[বুয়েটঃ২০০৭-২০০৮]
উত্তরঃ \(\frac{3}{5}; (\pm \frac{27}{5}, 0)\)
সমাধানঃ
ধরি, 
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
\(5x+9y=45 ....(2)\)
\(7x+5y=36 ....(3)\)
\((1)\) ও \((2)\)-এর ছেদবিন্দুতে \(y=0\) হবে, কেননা \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
\((2)\) হতে,
\(5x+9.0=45\)
\(\Rightarrow 5x+0=45\)
\(\Rightarrow 5x=45\)
\(\therefore x=9\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \((9, 0)\)
\((1)\) ও \((3)\)-এর ছেদবিন্দুতে \(x=0\) হবে, কেননা \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
\((3)\) হতে,
\(7.0+5y=36\)
\(\Rightarrow 0+5y=36\)
\(\Rightarrow 5y=36\)
\(\therefore y=\frac{36}{5}\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \(\left(0, \frac{36}{5}\right)\)
শর্তমতে,
\((1)\) নং উপবৃত্ত \((9, 0) ,\left(0, \frac{36}{5}\right)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore \frac{9^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{81}{a^2}+\frac{0}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{81}{a^2}=1 \)
\(\therefore a^2=81\Rightarrow a=9 \)
আবার,
\(\therefore \frac{0^2}{a^2}+\frac{\left(\frac{36}{5}\right)^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{0}{a^2}+\frac{\frac{1296}{25}}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{1296}{25b^2}=1 \)
\(\therefore 25b^2=1296\)
\(\therefore b^2=\frac{1296}{25}\Rightarrow b=\frac{36}{5} \)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{\frac{1296}{25}}=1\)
\(\frac{x^2}{81}+\frac{25y^2}{1296}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
ইহা স্পষ্ট যে, \(a>b\)
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{\frac{1296}{25}}{81}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{1296}{81\times 25}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{16}{25}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{25-16}{25}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{9}{25}}\)
\(\therefore e=\frac{3}{5}\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm 9.\frac{3}{5}, 0)\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্র দ্বয় \((\pm \frac{27}{5}, 0)\)
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
\(5x+9y=45 ....(2)\)
\(7x+5y=36 ....(3)\)
\((1)\) ও \((2)\)-এর ছেদবিন্দুতে \(y=0\) হবে, কেননা \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
\((2)\) হতে,
\(5x+9.0=45\)
\(\Rightarrow 5x+0=45\)
\(\Rightarrow 5x=45\)
\(\therefore x=9\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \((9, 0)\)
\((1)\) ও \((3)\)-এর ছেদবিন্দুতে \(x=0\) হবে, কেননা \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
\((3)\) হতে,
\(7.0+5y=36\)
\(\Rightarrow 0+5y=36\)
\(\Rightarrow 5y=36\)
\(\therefore y=\frac{36}{5}\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \(\left(0, \frac{36}{5}\right)\)
শর্তমতে,
\((1)\) নং উপবৃত্ত \((9, 0) ,\left(0, \frac{36}{5}\right)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore \frac{9^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{81}{a^2}+\frac{0}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{81}{a^2}=1 \)
\(\therefore a^2=81\Rightarrow a=9 \)
আবার,
\(\therefore \frac{0^2}{a^2}+\frac{\left(\frac{36}{5}\right)^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{0}{a^2}+\frac{\frac{1296}{25}}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{1296}{25b^2}=1 \)
\(\therefore 25b^2=1296\)
\(\therefore b^2=\frac{1296}{25}\Rightarrow b=\frac{36}{5} \)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{\frac{1296}{25}}=1\)
\(\frac{x^2}{81}+\frac{25y^2}{1296}=1\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
ইহা স্পষ্ট যে, \(a>b\)
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{\frac{1296}{25}}{81}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{1296}{81\times 25}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{16}{25}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{25-16}{25}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{9}{25}}\)
\(\therefore e=\frac{3}{5}\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm 9.\frac{3}{5}, 0)\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্র দ্বয় \((\pm \frac{27}{5}, 0)\)
\(Q.5.(ix)\) \((3, 4)\) উপকেন্দ্র এবং \((0, 0)\) শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ট পরাবৃত্তের দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[বুয়েটঃ২০০৬-২০০৭]
উত্তরঃ \(3x+4y+25=0\)।
[বুয়েটঃ২০০৬-২০০৭]
উত্তরঃ \(3x+4y+25=0\)।
সমাধানঃ
ধরি, 
উপকেন্দ্র \(S(3, 4)\)
এবং শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
পরাবৃত্তের অক্ষ \(S(3, 4)\) এবং \(A(0, 0)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
অতএব, অক্ষের সমীকরণ, \(\frac{x-3}{3-0}=\frac{y-4}{4-0}\) ➜\(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{3}=\frac{y-4}{4}\)
\(\Rightarrow 4x-12=3y-12\)
\(\Rightarrow 4x-3y-12+12=0\)
\(\Rightarrow 4x-3y=0\)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ, \( 4x-3y=0\)।
আবার,
দিকাক্ষ এবং অক্ষের ছেদবিন্দু \(Z(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে \(ZS\)-এর মধ্যবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\therefore ZS\)-এর মধ্যবিন্দু \(A\left(\frac{x+3}{2}, \frac{y+4}{2}\right)\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\therefore \frac{x+3}{2}=0, \frac{y+4}{2}=0\)
\(\Rightarrow x+3=0, y+4=0 \)
\(\Rightarrow x=-3, y=-4 \)
\(\therefore Z(-3, -4) \)
দিকাক্ষ রেখা অক্ষের উপর লম্ব।
অতএব দিকাক্ষ রেখার সমীকরণ, \(3x+4y+k=0 .......(1)\)
\((1)\) নং রেখা \(Z(-3, -4)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 3.(-3)+4.(-4)+k=0 \)
\(\Rightarrow -9-16+k=0 \)
\(\Rightarrow -25+k=0 \)
\(\therefore k=25 \)
\(k\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(3x+4y+25=0 \)
ইহাই নির্ণেয় দিকাক্ষের সমীকরণ।
উপকেন্দ্র \(S(3, 4)\)
এবং শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
পরাবৃত্তের অক্ষ \(S(3, 4)\) এবং \(A(0, 0)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
অতএব, অক্ষের সমীকরণ, \(\frac{x-3}{3-0}=\frac{y-4}{4-0}\) ➜\(P(x_1, y_1)\) এবং \(Q(x_2, y_2)\), \(PQ\)-এর সমীকরণ, \(\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{3}=\frac{y-4}{4}\)
\(\Rightarrow 4x-12=3y-12\)
\(\Rightarrow 4x-3y-12+12=0\)
\(\Rightarrow 4x-3y=0\)
\(\therefore \) অক্ষের সমীকরণ, \( 4x-3y=0\)।
আবার,
দিকাক্ষ এবং অক্ষের ছেদবিন্দু \(Z(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে \(ZS\)-এর মধ্যবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\therefore ZS\)-এর মধ্যবিন্দু \(A\left(\frac{x+3}{2}, \frac{y+4}{2}\right)\) ➜ \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\therefore \frac{x+3}{2}=0, \frac{y+4}{2}=0\)
\(\Rightarrow x+3=0, y+4=0 \)
\(\Rightarrow x=-3, y=-4 \)
\(\therefore Z(-3, -4) \)
দিকাক্ষ রেখা অক্ষের উপর লম্ব।
অতএব দিকাক্ষ রেখার সমীকরণ, \(3x+4y+k=0 .......(1)\)
\((1)\) নং রেখা \(Z(-3, -4)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 3.(-3)+4.(-4)+k=0 \)
\(\Rightarrow -9-16+k=0 \)
\(\Rightarrow -25+k=0 \)
\(\therefore k=25 \)
\(k\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(3x+4y+25=0 \)
ইহাই নির্ণেয় দিকাক্ষের সমীকরণ।
\(Q.5.(x)\) \(5x^2+9y^2-20x=25\) উপবৃত্তটির কেন্দ্র এবং উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
[বুয়েটঃ২০০২-২০০৩]
উত্তরঃ \((2, 0); (0, 0), (4, 0)\)
[বুয়েটঃ২০০২-২০০৩]
উত্তরঃ \((2, 0); (0, 0), (4, 0)\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(5x^2+9y^2-20x=25\)
\(\Rightarrow 5x^2-20x+9y^2=25\)
\(\Rightarrow 5(x^2-4x)+9y^2=25\)
\(\Rightarrow 5(x^2-4x+4-4)+9y^2=25\)
\(\Rightarrow 5(x^2-4x+4)-20+9y^2=25\)
\(\Rightarrow 5(x-2)^2+9y^2=25+20\)
\(\Rightarrow 5(x-2)^2+9y^2=45\)
\(\Rightarrow \frac{5(x-2)^2}{45}+\frac{9y^2}{45}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(45\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{(x-2)^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1\)
\(\Rightarrow \frac{X^2}{9}+\frac{Y^2}{5}=1 ......(1)\) যেখানে, \(x-2=X, y=Y\)
এখানে,
\(a^2=9, b^2=5\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=\sqrt{5}\)
\(\therefore a>b \)
উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{5}{9}}\) ➜ \(\because a^2=9, b^2=5\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{9-5}{9}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{4}{9}}\)
\(\therefore e=\frac{2}{3}\)
উপবৃত্তটির কেন্দ্র \((0, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x-2=0, y=0\)
\(\therefore x=2, y=0\)
\(\therefore \) উপবৃত্তটির কেন্দ্র \((2, 0)\)
উপবৃত্তটির উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow X=\pm ae, Y=0\)
\(\Rightarrow x-2=\pm 2, y=0\)
\(\Rightarrow x=\pm 2+2, y=0\)
\(\Rightarrow x=2+2,-2+2, y=0\)
\(\therefore x=4,0, y=0\)
\(\therefore \) উপবৃত্তটির উপকেন্দ্র \((4, 0), (0, 0)\)
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(5x^2+9y^2-20x=25\)
\(\Rightarrow 5x^2-20x+9y^2=25\)
\(\Rightarrow 5(x^2-4x)+9y^2=25\)
\(\Rightarrow 5(x^2-4x+4-4)+9y^2=25\)
\(\Rightarrow 5(x^2-4x+4)-20+9y^2=25\)
\(\Rightarrow 5(x-2)^2+9y^2=25+20\)
\(\Rightarrow 5(x-2)^2+9y^2=45\)
\(\Rightarrow \frac{5(x-2)^2}{45}+\frac{9y^2}{45}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(45\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{(x-2)^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1\)
\(\Rightarrow \frac{X^2}{9}+\frac{Y^2}{5}=1 ......(1)\) যেখানে, \(x-2=X, y=Y\)
এখানে,
\(a^2=9, b^2=5\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=3, b=\sqrt{5}\)
\(\therefore a>b \)
উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{5}{9}}\) ➜ \(\because a^2=9, b^2=5\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{9-5}{9}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{4}{9}}\)
\(\therefore e=\frac{2}{3}\)
উপবৃত্তটির কেন্দ্র \((0, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x-2=0, y=0\)
\(\therefore x=2, y=0\)
\(\therefore \) উপবৃত্তটির কেন্দ্র \((2, 0)\)
উপবৃত্তটির উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow X=\pm ae, Y=0\)
\(\Rightarrow x-2=\pm 2, y=0\)
\(\Rightarrow x=\pm 2+2, y=0\)
\(\Rightarrow x=2+2,-2+2, y=0\)
\(\therefore x=4,0, y=0\)
\(\therefore \) উপবৃত্তটির উপকেন্দ্র \((4, 0), (0, 0)\)
\(Q.5.(xi)\) \((1, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার একটি উপকেন্দ্র \((1, -1)\) এবং অনুরূপ দিকাক্ষের সমীকরণ \(x-y-4=0\)।
[বুয়েটঃ২০০৩-২০০৪]
উত্তরঃ \(3(x^2+y^2)+2xy-8=0\)
[বুয়েটঃ২০০৩-২০০৪]
উত্তরঃ \(3(x^2+y^2)+2xy-8=0\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(1, -1)\),
এবং নিয়ামকরেখা \(x-y-4=0 ....(1)\)
ধরি,
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e\)
উপবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
\(P(x, y)\) বিন্দু হতে নিয়ামকরেখার লম্ব দূরত্ব \(PM=\frac{|x-y-4|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x-y-4|}{\sqrt{1+1}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x-y-4|}{\sqrt{2}}\)
উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে \(PS=e.PM\)
\(\sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}=e\frac{|x-y-4|}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2+(y+1)^2=e^2\frac{(x-y-4)^2}{2} .....(2)\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
শর্তমতে,
\((2)\) নং উপবৃত্ত \((1, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore (1-1)^2+(1+1)^2=e^2\frac{(1-1-4)^2}{2}\)
\(\Rightarrow 0^2+2^2=e^2\frac{(-4)^2}{2}\)
\(\Rightarrow 0+4=e^2\frac{16}{2}\)
\(\Rightarrow 4=e^2.8\)
\(\Rightarrow 8e^2=4\)
\(\Rightarrow e^2=\frac{4}{8}\)
\(\therefore e^2=\frac{1}{2}\)
\(e^2 \)-এর মাণ \((2)\)-এ বসিয়ে,
\((x-1)^2+(y+1)^2=\frac{1}{2}\times \frac{(x-y-4)^2}{2}\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2+2y+1=\frac{x^2+y^2+16-2xy-8x+8y}{4}\)
\(\Rightarrow 4(x^2-2x+y^2+2y+2)=x^2+y^2+16-2xy-8x+8y\)
\(\Rightarrow 4x^2-8x+4y^2+8y+8-x^2-y^2-16+2xy+8x-8y=0\)
\(\Rightarrow 3x^2+3y^2+2xy-8=0\)
\(\therefore 3(x^2+y^2)+2xy-8=0\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(1, -1)\),
এবং নিয়ামকরেখা \(x-y-4=0 ....(1)\)
ধরি,
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e\)
উপবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
\(P(x, y)\) বিন্দু হতে নিয়ামকরেখার লম্ব দূরত্ব \(PM=\frac{|x-y-4|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x-y-4|}{\sqrt{1+1}}\)
\(\Rightarrow PM=\frac{|x-y-4|}{\sqrt{2}}\)
উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে \(PS=e.PM\)
\(\sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}=e\frac{|x-y-4|}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2+(y+1)^2=e^2\frac{(x-y-4)^2}{2} .....(2)\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
শর্তমতে,
\((2)\) নং উপবৃত্ত \((1, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore (1-1)^2+(1+1)^2=e^2\frac{(1-1-4)^2}{2}\)
\(\Rightarrow 0^2+2^2=e^2\frac{(-4)^2}{2}\)
\(\Rightarrow 0+4=e^2\frac{16}{2}\)
\(\Rightarrow 4=e^2.8\)
\(\Rightarrow 8e^2=4\)
\(\Rightarrow e^2=\frac{4}{8}\)
\(\therefore e^2=\frac{1}{2}\)
\(e^2 \)-এর মাণ \((2)\)-এ বসিয়ে,
\((x-1)^2+(y+1)^2=\frac{1}{2}\times \frac{(x-y-4)^2}{2}\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2+2y+1=\frac{x^2+y^2+16-2xy-8x+8y}{4}\)
\(\Rightarrow 4(x^2-2x+y^2+2y+2)=x^2+y^2+16-2xy-8x+8y\)
\(\Rightarrow 4x^2-8x+4y^2+8y+8-x^2-y^2-16+2xy+8x-8y=0\)
\(\Rightarrow 3x^2+3y^2+2xy-8=0\)
\(\therefore 3(x^2+y^2)+2xy-8=0\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.5.(xii)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র মূলবিন্দুতে অবস্থিত এবং \(x-y+1=0\) রেখাটি পরাবৃত্তকে এর শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শ করে।
[বুয়েটঃ২০০৫-২০০৬]
উত্তরঃ \((x+y)^2-4x+4y-4=0\)।
[বুয়েটঃ২০০৫-২০০৬]
উত্তরঃ \((x+y)^2-4x+4y-4=0\)।
সমাধানঃ
ধরি, 
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(0, 0)\)
শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শক \(x-y+1=0 ........(1)\)
পরাবৃত্তের দিকাক্ষরেখা \((1)\) নং রেখার সমান্তরাল হবে।
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ, \(x-y+k=0 ........(2)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
শর্তমতে,
\((1)\) ও \((2)\) -এর লম্ব দূরত্ব, উপকেন্দ্র হতে \((1)\) -এর লম্ব দূরত্বের সমান।
\(\frac{|k-1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{|0+0+1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|k-1|}{\sqrt{1+1}}=\frac{|1|}{\sqrt{1+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{|k-1|}{\sqrt{2}}=\frac{|1|}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow |k-1|=|1|\)
\(\Rightarrow k-1=\pm 1\)
\(\Rightarrow k=\pm 1+1\)
\(\Rightarrow k=1+1, k=-1+1\)
\(\Rightarrow k=2, k=0\)
\(k=2, (2)\) -এ বসিয়ে,
\(x-y+2=0 ........(3)\) যা দিকাক্ষের সমীকরণ,
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\) হলে,
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}=\frac{|x-y+2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}=\frac{|x-y+2|}{\sqrt{1+1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}=\frac{|x-y+2|}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=\frac{(x-y+2)^2}{2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2=(x-y+2)^2\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2=x^2+y^2+2^2\)\(-2xy-4y+4x\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2=x^2+y^2+4\)\(-2xy-4y+4x\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2-x^2-y^2-4+2xy\)\(+4y-4x=0\)
\(\Rightarrow x^2+2xy+y^2-4x+4y-4=0\)
\(\therefore (x+y)^2-4x+4y-4=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(0, 0)\)
শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শক \(x-y+1=0 ........(1)\)
পরাবৃত্তের দিকাক্ষরেখা \((1)\) নং রেখার সমান্তরাল হবে।
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ, \(x-y+k=0 ........(2)\) ➜ \(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
শর্তমতে,
\((1)\) ও \((2)\) -এর লম্ব দূরত্ব, উপকেন্দ্র হতে \((1)\) -এর লম্ব দূরত্বের সমান।
\(\frac{|k-1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{|0+0+1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{|k-1|}{\sqrt{1+1}}=\frac{|1|}{\sqrt{1+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{|k-1|}{\sqrt{2}}=\frac{|1|}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow |k-1|=|1|\)
\(\Rightarrow k-1=\pm 1\)
\(\Rightarrow k=\pm 1+1\)
\(\Rightarrow k=1+1, k=-1+1\)
\(\Rightarrow k=2, k=0\)
\(k=2, (2)\) -এ বসিয়ে,
\(x-y+2=0 ........(3)\) যা দিকাক্ষের সমীকরণ,
পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\) হলে,
সংজ্ঞানুসারে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}=\frac{|x-y+2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}=\frac{|x-y+2|}{\sqrt{1+1}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}=\frac{|x-y+2|}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=\frac{(x-y+2)^2}{2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2=(x-y+2)^2\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2=x^2+y^2+2^2\)\(-2xy-4y+4x\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2=x^2+y^2+4\)\(-2xy-4y+4x\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2-x^2-y^2-4+2xy\)\(+4y-4x=0\)
\(\Rightarrow x^2+2xy+y^2-4x+4y-4=0\)
\(\therefore (x+y)^2-4x+4y-4=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.5.(xiii)\) \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}\) কে দুইবার বর্গ করে কণিকটি সনাক্ত কর। অক্ষের সমীকরণ, শীর্ষবিন্দু এবং স্থানাঙ্ক অক্ষদ্বয়ের স্পর্শবিন্দু দেখিয়ে ছবি আঁক।
[বুয়েটঃ২০০২-২০০৩]
উত্তরঃ অধিবৃত্ত; \(x-y=0; (\frac{a}{4}, \frac{a}{4}) (a, 0), (0, a)\)।
[বুয়েটঃ২০০২-২০০৩]
উত্তরঃ অধিবৃত্ত; \(x-y=0; (\frac{a}{4}, \frac{a}{4}) (a, 0), (0, a)\)।
সমাধানঃ
ধরি, 
\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a} ......(1)\)
\(\Rightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2=a\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x+y+2\sqrt{xy}=a\)
\(\Rightarrow x+y-a=-2\sqrt{xy}\)
\(\Rightarrow (x+y-a)^2=4xy\) ➜ পুনরায় উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2+y^2+a^2+2xy-2ax-2ay=4xy\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+a^2+2xy-2ax-2ay-4xy=0\)
\(\Rightarrow x^2-2xy+y^2+a^2-2ax-2ay=0\)
\(\Rightarrow (x-y)^2=2ax+2ay-a^2\)
\(\therefore (x-y)^2=a(2x+2y-a) ......(2)\)
কণিকটি একটি অধিবৃত্ত।
অধিবৃত্তের অক্ষের সমীকরণ, \(x-y=0......(3)\)
\((1)\) ও \((3) \) -এর ছেদবিন্দু হবে অধিবৃত্তের শীর্ষ।
\((3)\) হতে \(x=y, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\sqrt{y}+\sqrt{y}=\sqrt{a}\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{y}=\sqrt{a}\)
\(\Rightarrow 4y=a\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\therefore y=\frac{a}{4}\)
আবার,
\((3)\) হতে \(x=y\)
\(\therefore x=\frac{a}{4}\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \((\frac{a}{4}, \frac{a}{4})\)
\((2)\) নং অধিবৃত্ত যখন \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে, তখন \(y=0\)
\(\therefore (x-0)^2=a(2x+2.0-a)\)
\(\Rightarrow x^2=a(2x-a)\)
\(\Rightarrow x^2=2ax-a^2\)
\(\Rightarrow x^2-2ax+a^2=0\)
\(\Rightarrow (x-a)^2=0\)
\(\Rightarrow x-a=0\)
\(\therefore x=a\)
\(\therefore \) স্পর্শবিন্দু \((a, 0)\)
আবার,
\((2)\) নং অধিবৃত্ত যখন \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করে, তখন \(x=0\)
অনুরূপভাবে পাই,
\(y=a\)
\(\therefore \) স্পর্শবিন্দু \((0, a)\)
\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a} ......(1)\)
\(\Rightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2=a\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x+y+2\sqrt{xy}=a\)
\(\Rightarrow x+y-a=-2\sqrt{xy}\)
\(\Rightarrow (x+y-a)^2=4xy\) ➜ পুনরায় উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2+y^2+a^2+2xy-2ax-2ay=4xy\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+a^2+2xy-2ax-2ay-4xy=0\)
\(\Rightarrow x^2-2xy+y^2+a^2-2ax-2ay=0\)
\(\Rightarrow (x-y)^2=2ax+2ay-a^2\)
\(\therefore (x-y)^2=a(2x+2y-a) ......(2)\)
কণিকটি একটি অধিবৃত্ত।
অধিবৃত্তের অক্ষের সমীকরণ, \(x-y=0......(3)\)
\((1)\) ও \((3) \) -এর ছেদবিন্দু হবে অধিবৃত্তের শীর্ষ।
\((3)\) হতে \(x=y, (1)\)-এ বসিয়ে,
\(\sqrt{y}+\sqrt{y}=\sqrt{a}\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{y}=\sqrt{a}\)
\(\Rightarrow 4y=a\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\therefore y=\frac{a}{4}\)
আবার,
\((3)\) হতে \(x=y\)
\(\therefore x=\frac{a}{4}\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \((\frac{a}{4}, \frac{a}{4})\)
\((2)\) নং অধিবৃত্ত যখন \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে, তখন \(y=0\)
\(\therefore (x-0)^2=a(2x+2.0-a)\)
\(\Rightarrow x^2=a(2x-a)\)
\(\Rightarrow x^2=2ax-a^2\)
\(\Rightarrow x^2-2ax+a^2=0\)
\(\Rightarrow (x-a)^2=0\)
\(\Rightarrow x-a=0\)
\(\therefore x=a\)
\(\therefore \) স্পর্শবিন্দু \((a, 0)\)
আবার,
\((2)\) নং অধিবৃত্ত যখন \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করে, তখন \(x=0\)
অনুরূপভাবে পাই,
\(y=a\)
\(\therefore \) স্পর্শবিন্দু \((0, a)\)
\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}\) বক্ররেখার প্রকৃতিঃ
\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}\) বক্ররেখাটি একটি পরাবৃত্ত প্রকাশ করে।
এখানে,
\(a>0\).
এখানে,
\(a>0\).
\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}\) সমীকরণটি দুইবার বর্গ করার পর এর প্রকৃতিঃ
\((x-y)^2=a(2x+2y-a)\) বক্ররেখাটি একটি অধিবৃত্ত প্রকাশ করে।
এখানে,
\(a>0\) এবং \(0>a\).
এখানে,
\(a>0\) এবং \(0>a\).
\(Q.5.(xiv)\) \(x^2+4x+2y=0\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[বুয়েটঃ ২০০২-২০০৩; ২০০৪-২০০৫]
উত্তরঃ \((-2, 2), 2y-5=0\)।
[বুয়েটঃ ২০০২-২০০৩; ২০০৪-২০০৫]
উত্তরঃ \((-2, 2), 2y-5=0\)।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, পরাবৃত্তের সমীকরণ
\(x^2+4x+2y=0 \)
\(\Rightarrow x^2+4x+4-4+2y=0 \)
\(\Rightarrow (x+2)^2-4+2y=0 \)
\(\Rightarrow (x+2)^2=4-2y \)
\(\Rightarrow (x+2)^2=-2(y-2) \)
\(\Rightarrow X^2=-2Y .......(1) \) যেখানে, \(X=x+2, Y=y-2\)
এখানে,
\(4a=-2\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=-\frac{1}{2}\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x+2=0, y-2=0\)
\(\Rightarrow x=-2, y=2\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(-2, 2)\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(Y=-a\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(y=-a\)
\(\Rightarrow y-2=-\times -\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow y-2=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow 2y-4=1\)
\(\Rightarrow 2y-4-1=0\)
\(\Rightarrow 2y-5=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \( 2y-5=0\)
\(x^2+4x+2y=0 \)
\(\Rightarrow x^2+4x+4-4+2y=0 \)
\(\Rightarrow (x+2)^2-4+2y=0 \)
\(\Rightarrow (x+2)^2=4-2y \)
\(\Rightarrow (x+2)^2=-2(y-2) \)
\(\Rightarrow X^2=-2Y .......(1) \) যেখানে, \(X=x+2, Y=y-2\)
এখানে,
\(4a=-2\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=-\frac{1}{2}\)
শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
\(\Rightarrow X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x+2=0, y-2=0\)
\(\Rightarrow x=-2, y=2\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দু \(A(-2, 2)\)
দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(Y=-a\) ➜ \(x^2=4ay\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \(y=-a\)
\(\Rightarrow y-2=-\times -\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow y-2=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow 2y-4=1\)
\(\Rightarrow 2y-4-1=0\)
\(\Rightarrow 2y-5=0\)
\(\therefore \) দ্বিকাক্ষ রেখার সমীকরণ , \( 2y-5=0\)
\(Q.5.(xv)\) কোনো উপবৃত্তের উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাংক \((-1, -1)\) ও \((1, 1)\) এবং তার বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2\sqrt{3}\) এর সমান; উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ বুয়েটঃ২০০০-২০০১ ]
উত্তরঃ \(2x^2+2y^2-2xy-3=0\)
[ বুয়েটঃ২০০০-২০০১ ]
উত্তরঃ \(2x^2+2y^2-2xy-3=0\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
উপকেন্দ্রেরদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \(S(-1, -1)\) ও \(\acute{S}(1, 1)\)
এবং বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2a=2\sqrt{3}\)
ধরি,
উপবৃত্তস্ত যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
আমরা জানি,
\(PS+P\acute{S}=2a\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+1)^2+(y+1)^2}+\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}=2\sqrt{3}\) ➜ \(\because 2a=2\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+1)^2+(y+1)^2}=2\sqrt{3}-\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}\)
\(\Rightarrow (x+1)^2+(y+1)^2=\{2\sqrt{3}-\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}\}^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x+1)^2+(y+1)^2=12-4\sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}\)\(+(x-1)^2+(y-1)^2\)
\(\Rightarrow (x+1)^2+(y+1)^2-(x-1)^2-(y-1)^2\)\(=12-4\sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}\)
\(\Rightarrow (x+1)^2-(x-1)^2+(y+1)^2-(y-1)^2\)\(=12-4\sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}\)
\(\Rightarrow 4.x.1+4.y.1\)\(=12-4\sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}\)
\(\Rightarrow 4x+4y\)\(=12-4\sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}\)
\(\Rightarrow 4(x+y)=4(3-\sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2})\)
\(\Rightarrow x+y=3-\sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}=3-x-y\)
\(\Rightarrow 3\{(x-1)^2+(y-1)^2\}=(3-x-y)^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 3\{x^2-2x+1+y^2-2y+1\}=9+x^2+y^2-6x-6y+2xy\)
\(\Rightarrow 3x^2-6x+3+3y^2-6y+3=9+x^2+y^2-6x-6y+2xy\)
\(\Rightarrow 3x^2-6x+3y^2-6y+6-9-x^2-y^2+6x+6y-2xy=0\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2-2xy-3=0\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপকেন্দ্রেরদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \(S(-1, -1)\) ও \(\acute{S}(1, 1)\)
এবং বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2a=2\sqrt{3}\)
ধরি,
উপবৃত্তস্ত যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
আমরা জানি,
\(PS+P\acute{S}=2a\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+1)^2+(y+1)^2}+\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}=2\sqrt{3}\) ➜ \(\because 2a=2\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+1)^2+(y+1)^2}=2\sqrt{3}-\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}\)
\(\Rightarrow (x+1)^2+(y+1)^2=\{2\sqrt{3}-\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}\}^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x+1)^2+(y+1)^2=12-4\sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}\)\(+(x-1)^2+(y-1)^2\)
\(\Rightarrow (x+1)^2+(y+1)^2-(x-1)^2-(y-1)^2\)\(=12-4\sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}\)
\(\Rightarrow (x+1)^2-(x-1)^2+(y+1)^2-(y-1)^2\)\(=12-4\sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}\)
\(\Rightarrow 4.x.1+4.y.1\)\(=12-4\sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}\)
\(\Rightarrow 4x+4y\)\(=12-4\sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}\)
\(\Rightarrow 4(x+y)=4(3-\sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2})\)
\(\Rightarrow x+y=3-\sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}=3-x-y\)
\(\Rightarrow 3\{(x-1)^2+(y-1)^2\}=(3-x-y)^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 3\{x^2-2x+1+y^2-2y+1\}=9+x^2+y^2-6x-6y+2xy\)
\(\Rightarrow 3x^2-6x+3+3y^2-6y+3=9+x^2+y^2-6x-6y+2xy\)
\(\Rightarrow 3x^2-6x+3y^2-6y+6-9-x^2-y^2+6x+6y-2xy=0\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2-2xy-3=0\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.5.(xvi)\) একটি উপবৃত্তের অক্ষ দুইটি স্থানাঙ্কের অক্ষ দুইটির উপর অবস্থিত। উপবৃত্তটি \(3x+2y-9=0\) সরলরেখাটি উপবৃত্তটিকে অক্ষদ্বয়ের উপর ছেদ করে। উপবৃত্তটির সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[বুটেক্সঃ২০০৪-২০০৫]
উত্তরঃ \( 9x^2+4y^2=81; e=\frac{\sqrt{5}}{3}, (0, \pm \frac{3\sqrt{5}}{2})\)
[বুটেক্সঃ২০০৪-২০০৫]
উত্তরঃ \( 9x^2+4y^2=81; e=\frac{\sqrt{5}}{3}, (0, \pm \frac{3\sqrt{5}}{2})\)
সমাধানঃ
ধরি, 
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
\(3x+2y-9=0 ....(2)\)
\((1)\) ও \((2)\)-এর ছেদবিন্দুতে \(y=0\) হবে, কেননা \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
\((2)\) হতে,
\(3x+2.0-9=0\)
\(\Rightarrow 3x-9=0\)
\(\Rightarrow 3x=9\)
\(\therefore x=3\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \((3, 0)\)
\((1)\) ও \((2)\)-এর ছেদবিন্দুতে \(x=0\) হবে, কেননা \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
\((2)\) হতে,
\(3.0+2y-9=0\)
\(\Rightarrow 2y-9=0\)
\(\Rightarrow 2y=9\)
\(\therefore y=\frac{9}{2}\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \((0, \frac{9}{2})\)
শর্তমতে,
\((1)\) নং উপবৃত্ত \((3, 0) , (0, \frac{9}{2}) \) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore \frac{3^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}+\frac{0}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}=1 \)
\(\therefore a^2=9\Rightarrow a=3 \)
আবার,
\(\frac{0^2}{a^2}+\frac{\left(\frac{9}{2}\right)^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{0}{a^2}+\frac{\frac{81}{4}}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{81}{4b^2}=1 \)
\(\therefore 4b^2=81\Rightarrow b=3 \)
\(\therefore b^2=\frac{81}{4}\Rightarrow b=\frac{9}{2} \)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{\frac{81}{4}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{9}+\frac{4y^2}{81}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2+4y^2}{81}=1\)
\(\therefore 9x^2+4y^2=81\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
ইহা স্পষ্ট যে, \(b>a\)
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{9}{\frac{81}{4}}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{36}{81}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{4}{9}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{9-4}{9}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{5}{9}}\)
\(\therefore e=\frac{\sqrt{5}}{3}\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm be, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm \frac{9}{2}\times \frac{\sqrt{5}}{3}, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm \frac{3\sqrt{5}}{2}, 0)\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্র দ্বয় \((\pm \frac{3\sqrt{5}}{2}, 0)\)
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 ........(1)\)
\(3x+2y-9=0 ....(2)\)
\((1)\) ও \((2)\)-এর ছেদবিন্দুতে \(y=0\) হবে, কেননা \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
\((2)\) হতে,
\(3x+2.0-9=0\)
\(\Rightarrow 3x-9=0\)
\(\Rightarrow 3x=9\)
\(\therefore x=3\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \((3, 0)\)
\((1)\) ও \((2)\)-এর ছেদবিন্দুতে \(x=0\) হবে, কেননা \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
\((2)\) হতে,
\(3.0+2y-9=0\)
\(\Rightarrow 2y-9=0\)
\(\Rightarrow 2y=9\)
\(\therefore y=\frac{9}{2}\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \((0, \frac{9}{2})\)
শর্তমতে,
\((1)\) নং উপবৃত্ত \((3, 0) , (0, \frac{9}{2}) \) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore \frac{3^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}+\frac{0}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}=1 \)
\(\therefore a^2=9\Rightarrow a=3 \)
আবার,
\(\frac{0^2}{a^2}+\frac{\left(\frac{9}{2}\right)^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{0}{a^2}+\frac{\frac{81}{4}}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{81}{4b^2}=1 \)
\(\therefore 4b^2=81\Rightarrow b=3 \)
\(\therefore b^2=\frac{81}{4}\Rightarrow b=\frac{9}{2} \)
\(a^2\) ও \(b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{\frac{81}{4}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{9}+\frac{4y^2}{81}=1\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2+4y^2}{81}=1\)
\(\therefore 9x^2+4y^2=81\)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
ইহা স্পষ্ট যে, \(b>a\)
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{9}{\frac{81}{4}}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{36}{81}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{4}{9}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{9-4}{9}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{5}{9}}\)
\(\therefore e=\frac{\sqrt{5}}{3}\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র \((\pm be, 0)\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow (\pm \frac{9}{2}\times \frac{\sqrt{5}}{3}, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm \frac{3\sqrt{5}}{2}, 0)\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্র দ্বয় \((\pm \frac{3\sqrt{5}}{2}, 0)\)
\(Q.5.(xvii)\) \((-8, -2)\) উপকেন্দ্র এবং \(2x-y-9=0\) নিয়ামক রেখা বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ রুয়েটঃ২০০৮-২০০৯]
উত্তরঃ \( x^2+4xy+4y^2+116x+2y+259=0\)
[ রুয়েটঃ২০০৮-২০০৯]
উত্তরঃ \( x^2+4xy+4y^2+116x+2y+259=0\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(-8, -2)\)
দিকাক্ষের সমীকরণ \(2x-y-9=0........(1)\)
ধরি, পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে, পরাবৃত্তের সমীকরণ \(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+8)^2+(y+2)^2}=\frac{|2x-y-9|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow (x+8)^2+(y+2)^2=\frac{(2x-y-9)^2}{4+1}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2+16x+64+y^2+4y+4=\frac{4x^2+y^2+81-4xy-36x+18y}{5}\)
\(\Rightarrow x^2+16x+y^2+4y+68=\frac{4x^2+y^2+81-4xy-36x+18y}{5}\)
\(\Rightarrow 5x^2+80x+5y^2+20y+340=\)\(4x^2+y^2+81-4xy-36x+18y\)
\(\Rightarrow 5x^2+80x+5y^2+20y+340-\)\(4x^2-y^2-81+4xy+36x-18y=0\)
\(\Rightarrow x^2+4xy+4y^2+116x+2y+259=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \(S(-8, -2)\)
দিকাক্ষের সমীকরণ \(2x-y-9=0........(1)\)
ধরি, পরাবৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
সংজ্ঞানুসারে, পরাবৃত্তের সমীকরণ \(PS=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x+8)^2+(y+2)^2}=\frac{|2x-y-9|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}\) ➜ \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow (x+8)^2+(y+2)^2=\frac{(2x-y-9)^2}{4+1}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2+16x+64+y^2+4y+4=\frac{4x^2+y^2+81-4xy-36x+18y}{5}\)
\(\Rightarrow x^2+16x+y^2+4y+68=\frac{4x^2+y^2+81-4xy-36x+18y}{5}\)
\(\Rightarrow 5x^2+80x+5y^2+20y+340=\)\(4x^2+y^2+81-4xy-36x+18y\)
\(\Rightarrow 5x^2+80x+5y^2+20y+340-\)\(4x^2-y^2-81+4xy+36x-18y=0\)
\(\Rightarrow x^2+4xy+4y^2+116x+2y+259=0\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.5.(xviii)\) \(\frac{x^2}{p}+\frac{y^2}{5^2}=1\) উপবৃত্তটি \((6, 4)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা এবং উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[রুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯; ২০০৮-২০০৯]
উত্তরঃ \(e=\frac{\sqrt{3}}{2}; (\pm 5\sqrt{3}, 0)\)
[রুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯; ২০০৮-২০০৯]
উত্তরঃ \(e=\frac{\sqrt{3}}{2}; (\pm 5\sqrt{3}, 0)\)
সমাধানঃ
ধরি,
\(\frac{x^2}{p}+\frac{y^2}{5^2}=1 .......(1)\)
\((1)\) নং উপবৃত্তটি \((6, 4)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore \frac{6^2}{p}+\frac{4^2}{5^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{36}{p}+\frac{16}{25}=1\)
\(\Rightarrow \frac{36}{p}=1-\frac{16}{25}\)
\(\Rightarrow \frac{36}{p}=\frac{25-16}{25}\)
\(\Rightarrow \frac{36}{p}=\frac{9}{25}\)
\(\Rightarrow \frac{4}{p}=\frac{1}{25}\)
\(\therefore p=100\)
\(p\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{5^2}=1\)
এখানে,
\(a^2=100, b^2=5^2\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=10, b=5\)
\(\therefore a > b\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{\frac{1}{5^2}}{100}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{25}{100}}\)
\(=\sqrt{\frac{100-25}{100}}\)
\(=\sqrt{\frac{75}{100}}\)
\(=\sqrt{\frac{3}{4}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 10\times \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)\)
\(\therefore (\pm 5\sqrt{3}, 0)\)
\(\frac{x^2}{p}+\frac{y^2}{5^2}=1 .......(1)\)
\((1)\) নং উপবৃত্তটি \((6, 4)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore \frac{6^2}{p}+\frac{4^2}{5^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{36}{p}+\frac{16}{25}=1\)
\(\Rightarrow \frac{36}{p}=1-\frac{16}{25}\)
\(\Rightarrow \frac{36}{p}=\frac{25-16}{25}\)
\(\Rightarrow \frac{36}{p}=\frac{9}{25}\)
\(\Rightarrow \frac{4}{p}=\frac{1}{25}\)
\(\therefore p=100\)
\(p\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{5^2}=1\)
এখানে,
\(a^2=100, b^2=5^2\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=10, b=5\)
\(\therefore a > b\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{\frac{1}{5^2}}{100}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{25}{100}}\)
\(=\sqrt{\frac{100-25}{100}}\)
\(=\sqrt{\frac{75}{100}}\)
\(=\sqrt{\frac{3}{4}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((\pm ae, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm 10\times \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)\)
\(\therefore (\pm 5\sqrt{3}, 0)\)
\(Q.5.(xix)\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার শীর্ষ \((4, -3)\) বিন্দুতে অবস্থিত, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(4\) এবং অক্ষটি \(x\)-অক্ষের সমান্তরাল।
[ রুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫; ২০০৫-২০০৬; ২০১০-২০১১]
উত্তরঃ \( (y+3)^2=4(x-4)\)।
[ রুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫; ২০০৫-২০০৬; ২০১০-২০১১]
উত্তরঃ \( (y+3)^2=4(x-4)\)।
সমাধানঃ
অক্ষটি \(X\)-অক্ষের সমান্তরাল এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ,
\(x=ay^2+by+c ......(1)\)
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A\left(-\frac{b^2-4ac}{4a}, -\frac{b}{2a}\right)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{1}{a}|\)
দেওয়া আছে, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(4\)
\(\therefore \frac{1}{a}=4\)
\(\Rightarrow 4a=1\)
\(\therefore a=\frac{1}{4}\)
আবার,
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(4, -3)\)
\(\therefore A\left(-\frac{b^2-4ac}{4a}, -\frac{b}{2a}\right)\Rightarrow A(4, -3)\)
\(\Rightarrow -\frac{b^2-4ac}{4a}=4, -\frac{b}{2a}=-3\)
\(\Rightarrow b^2-4ac=-16a .....(2)\)
\(b=6a .....(3)\)
\((3)\) নং সমীকরণে \(a\)-এর মান বসিয়ে,
\(b=6\times \frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow b=3\times \frac{1}{2}\)
\(\therefore b=\frac{3}{2}\)
\(a\) এবং \(b\)-এর মান \((2)\) -এ বসিয়ে,
\(\Rightarrow \left(\frac{3}{2}\right)^2-4.\frac{1}{4}.c=-16.\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{9}{4}-c=-4\)
\(\Rightarrow \frac{9}{4}+4=c\)
\(\Rightarrow c=\frac{9}{4}+4\)
\(\Rightarrow c=\frac{9+16}{4}\)
\(\therefore c=\frac{25}{4}\)
এখন, \(a, b, c\) -এর মান \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(x=\frac{1}{4}y^2+\frac{3}{2}y+\frac{25}{4}\)
\(\Rightarrow 4x=y^2+6y+25\) ➜ উভয় পার্শে \(4\) গুন করে।
\(\Rightarrow y^2+6y+25=4x\)
\(\Rightarrow y^2+6y=4x-25\)
\(\Rightarrow y^2+6y+9=4x-25+9\)
\(\Rightarrow (y+3)^2=4x-16\)
\(\therefore (y+3)^2=4(x-4)\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\(x=ay^2+by+c ......(1)\)
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A\left(-\frac{b^2-4ac}{4a}, -\frac{b}{2a}\right)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{1}{a}|\)
দেওয়া আছে, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(4\)
\(\therefore \frac{1}{a}=4\)
\(\Rightarrow 4a=1\)
\(\therefore a=\frac{1}{4}\)
আবার,
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(4, -3)\)
\(\therefore A\left(-\frac{b^2-4ac}{4a}, -\frac{b}{2a}\right)\Rightarrow A(4, -3)\)
\(\Rightarrow -\frac{b^2-4ac}{4a}=4, -\frac{b}{2a}=-3\)
\(\Rightarrow b^2-4ac=-16a .....(2)\)
\(b=6a .....(3)\)
\((3)\) নং সমীকরণে \(a\)-এর মান বসিয়ে,
\(b=6\times \frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow b=3\times \frac{1}{2}\)
\(\therefore b=\frac{3}{2}\)
\(a\) এবং \(b\)-এর মান \((2)\) -এ বসিয়ে,
\(\Rightarrow \left(\frac{3}{2}\right)^2-4.\frac{1}{4}.c=-16.\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{9}{4}-c=-4\)
\(\Rightarrow \frac{9}{4}+4=c\)
\(\Rightarrow c=\frac{9}{4}+4\)
\(\Rightarrow c=\frac{9+16}{4}\)
\(\therefore c=\frac{25}{4}\)
এখন, \(a, b, c\) -এর মান \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(x=\frac{1}{4}y^2+\frac{3}{2}y+\frac{25}{4}\)
\(\Rightarrow 4x=y^2+6y+25\) ➜ উভয় পার্শে \(4\) গুন করে।
\(\Rightarrow y^2+6y+25=4x\)
\(\Rightarrow y^2+6y=4x-25\)
\(\Rightarrow y^2+6y+9=4x-25+9\)
\(\Rightarrow (y+3)^2=4x-16\)
\(\therefore (y+3)^2=4(x-4)\)
ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.5.(xx)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র দুইটি \(S(2, 0)\) ও \(\acute S(-2, 0)\) এবং যা \(P\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{15}}{2}\right)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
[ রুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬]
উত্তরঃ \( \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1\)।
[ রুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬]
উত্তরঃ \( \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1\)।
সমাধানঃ
ধরি,
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b).....(1)\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র \((\pm 2, 0)\)
\(\therefore ae=2\)
\(\Rightarrow e=\frac{2}{a}\)
\(\therefore e^2=\frac{4}{a^2} .......(2)\)
আবার,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e^2=1-\frac{b^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=1-e^2\)
\(\Rightarrow b^2=a^2\left(1-\frac{4}{a^2}\right)\) ➜ \((2)\) -এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow b^2=a^2\left(\frac{a^2-4}{a^2}\right)\)
\(\Rightarrow b^2=a^2-4 ........(3)\)
\((1)\) নং উপবৃত্ত \(P\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{15}}{2}\right)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore \frac{\left(\frac{3}{2}\right)^2}{a^2}+\frac{\left(\frac{\sqrt{15}}{2}\right)^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{\frac{9}{4}}{a^2}+\frac{\frac{15}{4}}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{9}{4a^2}+\frac{15}{4b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{9}{4a^2}+\frac{15}{4(a^2-4)}=1 \) ➜ \((3)\) -এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}+\frac{15}{(a^2-4)}=4 \) ➜ উভয় পার্শে \(4\) গুণ করে।
\(\Rightarrow \frac{9a^2-36+15a^2}{a^2(a^2-4)}=4 \)
\(\Rightarrow \frac{24a^2-36}{a^2(a^2-4)}=4 \)
\(\Rightarrow \frac{4(6a^2-9)}{a^2(a^2-4)}=4 \)
\(\Rightarrow \frac{6a^2-9}{a^2(a^2-4)}=1 \) ➜ উভয় পার্শে \(4\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow a^2(a^2-4)=6a^2-9 \)
\(\Rightarrow a^4-4a^2=6a^2-9 \)
\(\Rightarrow a^4-4a^2-6a^2+9=0 \)
\(\Rightarrow a^4-10a^2+9=0 \)
\(\Rightarrow a^4-9a^2-a^2+9=0 \)
\(\Rightarrow a^2(a^2-9)-1(a^2-9)=0 \)
\(\Rightarrow (a^2-9)(a^2-1)=0 \)
\(\Rightarrow a^2-9=0, a^2-1\ne 0 \)
\(\Rightarrow a^2=9\)
\((3)\) হতে \(b^2=9-4 \)
\(\Rightarrow b^2=5 \)
\(a^2, b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1 \)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b).....(1)\)
উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র \((\pm 2, 0)\)
\(\therefore ae=2\)
\(\Rightarrow e=\frac{2}{a}\)
\(\therefore e^2=\frac{4}{a^2} .......(2)\)
আবার,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e^2=1-\frac{b^2}{a^2}\)
\(\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=1-e^2\)
\(\Rightarrow b^2=a^2\left(1-\frac{4}{a^2}\right)\) ➜ \((2)\) -এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow b^2=a^2\left(\frac{a^2-4}{a^2}\right)\)
\(\Rightarrow b^2=a^2-4 ........(3)\)
\((1)\) নং উপবৃত্ত \(P\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{15}}{2}\right)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore \frac{\left(\frac{3}{2}\right)^2}{a^2}+\frac{\left(\frac{\sqrt{15}}{2}\right)^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{\frac{9}{4}}{a^2}+\frac{\frac{15}{4}}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{9}{4a^2}+\frac{15}{4b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{9}{4a^2}+\frac{15}{4(a^2-4)}=1 \) ➜ \((3)\) -এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}+\frac{15}{(a^2-4)}=4 \) ➜ উভয় পার্শে \(4\) গুণ করে।
\(\Rightarrow \frac{9a^2-36+15a^2}{a^2(a^2-4)}=4 \)
\(\Rightarrow \frac{24a^2-36}{a^2(a^2-4)}=4 \)
\(\Rightarrow \frac{4(6a^2-9)}{a^2(a^2-4)}=4 \)
\(\Rightarrow \frac{6a^2-9}{a^2(a^2-4)}=1 \) ➜ উভয় পার্শে \(4\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow a^2(a^2-4)=6a^2-9 \)
\(\Rightarrow a^4-4a^2=6a^2-9 \)
\(\Rightarrow a^4-4a^2-6a^2+9=0 \)
\(\Rightarrow a^4-10a^2+9=0 \)
\(\Rightarrow a^4-9a^2-a^2+9=0 \)
\(\Rightarrow a^2(a^2-9)-1(a^2-9)=0 \)
\(\Rightarrow (a^2-9)(a^2-1)=0 \)
\(\Rightarrow a^2-9=0, a^2-1\ne 0 \)
\(\Rightarrow a^2=9\)
\((3)\) হতে \(b^2=9-4 \)
\(\Rightarrow b^2=5 \)
\(a^2, b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1 \)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.5.(xxi)\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র দুইটি \((0, 4)\) ও \((0, -4)\) এবং যা \((3, 0)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
[ রুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪]
উত্তরঃ \( \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1\)।
[ রুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪]
উত্তরঃ \( \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1\)।
সমাধানঃ
ধরি,
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b).....(1)\)
উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র \((0, \pm 4)\)
\(\therefore be=4\)
\(\Rightarrow e=\frac{4}{b}\)
\(\therefore e^2=\frac{16}{b^2} .......(2)\)
আবার,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(\Rightarrow e^2=1-\frac{a^2}{b^2}\)
\(\Rightarrow \frac{a^2}{b^2}=1-e^2\)
\(\Rightarrow a^2=b^2\left(1-\frac{16}{b^2}\right)\) ➜ \((2)\) -এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow a^2=b^2\left(\frac{b^2-16}{b^2}\right)\)
\(\Rightarrow a^2=b^2-16 ........(3)\)
\((1)\) নং উপবৃত্ত \((3, 0)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore \frac{3^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}+\frac{0}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}=1 \)
\(\therefore a^2=9 \)
আবার,
\((3)\) হতে,
\(9=b^2-16\)
\(\Rightarrow b^2-16=9\)
\(\Rightarrow b^2=9+16\)
\(\therefore b^2=25\)
\(a^2, b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1 \)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b).....(1)\)
উপকেন্দ্র \((0, \pm be)\)
দেওয়া আছে,
উপকেন্দ্র \((0, \pm 4)\)
\(\therefore be=4\)
\(\Rightarrow e=\frac{4}{b}\)
\(\therefore e^2=\frac{16}{b^2} .......(2)\)
আবার,
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(\Rightarrow e^2=1-\frac{a^2}{b^2}\)
\(\Rightarrow \frac{a^2}{b^2}=1-e^2\)
\(\Rightarrow a^2=b^2\left(1-\frac{16}{b^2}\right)\) ➜ \((2)\) -এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow a^2=b^2\left(\frac{b^2-16}{b^2}\right)\)
\(\Rightarrow a^2=b^2-16 ........(3)\)
\((1)\) নং উপবৃত্ত \((3, 0)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore \frac{3^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}+\frac{0}{b^2}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{9}{a^2}=1 \)
\(\therefore a^2=9 \)
আবার,
\((3)\) হতে,
\(9=b^2-16\)
\(\Rightarrow b^2-16=9\)
\(\Rightarrow b^2=9+16\)
\(\therefore b^2=25\)
\(a^2, b^2\)-এর মাণ \((1)\)-এ বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1 \)
ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.5.(xxii)\) একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দু তিনটি মূলবিন্দু এবং \(9(x-2)^2+25(y-3)^2=225\) উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়।
[ কুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫]
উত্তরঃ \(12 \) বর্গ একক।
[ কুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫]
উত্তরঃ \(12 \) বর্গ একক।
সমাধানঃ
ধরি, 
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(9(x-2)^2+25(y-3)^2=225\)
\(\Rightarrow \frac{9(x-2)^2}{225}+\frac{25(y-3)^2}{225}=1\)
\(\therefore \frac{(x-2)^2}{25}+\frac{(y-3)^2}{9}=1......(1)\)
এখানে,
\(a^2=25, b^2=9\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=5, b=3\)
\(\therefore a>b\)
আমরা জানি,
\(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{9}{25}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{25-9}{25}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{16}{25}}\)
\(\therefore e=\frac{4}{5}\)
উপবৃত্তের কেন্দ্র, \((2, 3)\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র, \((\pm ae+2, 3)\)
\(\Rightarrow (\pm 5\times \frac{4}{5}+2, 3)\)
\(\Rightarrow (\pm 4+2, 3)\)
\(\Rightarrow (4+2, 3), (-4+2, 3)\)
\(\therefore (6, 3), (-2, 3)\)
শর্তমতে,
নির্ণেয় ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি হবে, \(O(0, 0), S(6, 3)\) এবং \(\acute{S}(-2, 3)\)
\(\therefore \triangle OS\acute{S}=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}0 \ \ 6 \ \ -2\ \ 0\\0 \ \ 3 \ \ \ \ \ \ 3 \ \ 0\end{array}\right|\) ➜ কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, \(\triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ x_{2} \ \ x_{3}\ \ x_{1}\\y_{1} \ \ y_{2} \ \ y_{3} \ \ y_{1}\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{0.3-0.6+6.3-(-2).3+(-2).0-0.3 \}\)
\(=\frac{1}{2}\{0-0+18+6+0-0 \}\)
\(=\frac{1}{2}\{0+24+0 \}\)
\(=\frac{1}{2}\{24 \}\)
\(=12\) বর্গ একক।
উপবৃত্তের সমীকরণ, \(9(x-2)^2+25(y-3)^2=225\)
\(\Rightarrow \frac{9(x-2)^2}{225}+\frac{25(y-3)^2}{225}=1\)
\(\therefore \frac{(x-2)^2}{25}+\frac{(y-3)^2}{9}=1......(1)\)
এখানে,
\(a^2=25, b^2=9\) ➜ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=5, b=3\)
\(\therefore a>b\)
আমরা জানি,
\(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{9}{25}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{25-9}{25}}\)
\(\Rightarrow e=\sqrt{\frac{16}{25}}\)
\(\therefore e=\frac{4}{5}\)
উপবৃত্তের কেন্দ্র, \((2, 3)\)
উপবৃত্তের উপকেন্দ্র, \((\pm ae+2, 3)\)
\(\Rightarrow (\pm 5\times \frac{4}{5}+2, 3)\)
\(\Rightarrow (\pm 4+2, 3)\)
\(\Rightarrow (4+2, 3), (-4+2, 3)\)
\(\therefore (6, 3), (-2, 3)\)
শর্তমতে,
নির্ণেয় ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি হবে, \(O(0, 0), S(6, 3)\) এবং \(\acute{S}(-2, 3)\)
\(\therefore \triangle OS\acute{S}=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}0 \ \ 6 \ \ -2\ \ 0\\0 \ \ 3 \ \ \ \ \ \ 3 \ \ 0\end{array}\right|\) ➜ কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, \(\triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ x_{2} \ \ x_{3}\ \ x_{1}\\y_{1} \ \ y_{2} \ \ y_{3} \ \ y_{1}\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{0.3-0.6+6.3-(-2).3+(-2).0-0.3 \}\)
\(=\frac{1}{2}\{0-0+18+6+0-0 \}\)
\(=\frac{1}{2}\{0+24+0 \}\)
\(=\frac{1}{2}\{24 \}\)
\(=12\) বর্গ একক।
\(Q.5.(xxiii)\) \(y^2=16x\) পরাবৃত্তের উপরিস্থিত যে বিন্দুর উপকেদ্রিক দূরত্ব \(6\) তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ চুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬]
উত্তরঃ \((2, \pm 4\sqrt{2})\)।
[ চুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬]
উত্তরঃ \((2, \pm 4\sqrt{2})\)।
সমাধানঃ
ধরি,
\(y^2=16x ........(1)\)
এখানে,
\(4a=16\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{16}{4}\)
\(\Rightarrow a=4\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\therefore S(4, 0)\)
মনে করি, নির্ণেয় বিন্দুটি \(P(x, y)\)
শর্তমতে,
\(PS=8\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-4)^2+(y-0)^2}=6\)
\(\Rightarrow (x-4)^2+(y-0)^2=6^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-8x+16+y^2=36\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-8x+16-36=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-8x-20=0\)
\(\Rightarrow x^2+16x-8x-20=0\) ➜ \((1)\) -এর সাহায্যে ।
\(\Rightarrow x^2+8x-20=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{-8\pm \sqrt{8^2-4.1.(-20)}}{2.1}\) ➜ \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের সমাধান,\(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-8\pm \sqrt{64+80}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-8\pm \sqrt{144}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-8\pm 12}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-8+12}{2}, \frac{-8-12}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{4}{2}, \frac{-20}{2}\)
\(\Rightarrow x=2, -10\)
\(\therefore x=2, x\ne -10\)
\(x=2\) এই মান \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(y^2=16.2\)
\(\Rightarrow y^2=32\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{32}\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{16\times 2}\)
\(\therefore y=\pm 4\sqrt{2}\)
\(\therefore \) নির্ণেয় বিন্দু \((2, \pm 4\sqrt{2})\)
\(y^2=16x ........(1)\)
এখানে,
\(4a=16\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{16}{4}\)
\(\Rightarrow a=4\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\therefore S(4, 0)\)
মনে করি, নির্ণেয় বিন্দুটি \(P(x, y)\)
শর্তমতে,
\(PS=8\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-4)^2+(y-0)^2}=6\)
\(\Rightarrow (x-4)^2+(y-0)^2=6^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2-8x+16+y^2=36\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-8x+16-36=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-8x-20=0\)
\(\Rightarrow x^2+16x-8x-20=0\) ➜ \((1)\) -এর সাহায্যে ।
\(\Rightarrow x^2+8x-20=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{-8\pm \sqrt{8^2-4.1.(-20)}}{2.1}\) ➜ \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের সমাধান,\(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-8\pm \sqrt{64+80}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-8\pm \sqrt{144}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-8\pm 12}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-8+12}{2}, \frac{-8-12}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{4}{2}, \frac{-20}{2}\)
\(\Rightarrow x=2, -10\)
\(\therefore x=2, x\ne -10\)
\(x=2\) এই মান \((1)\) -এ বসিয়ে,
\(y^2=16.2\)
\(\Rightarrow y^2=32\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{32}\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{16\times 2}\)
\(\therefore y=\pm 4\sqrt{2}\)
\(\therefore \) নির্ণেয় বিন্দু \((2, \pm 4\sqrt{2})\)
\(Q.5.(xxiv)\) \(y=3x+1\) সরলরেখা \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করলে \(a\)-এর মাণ, স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫]
উত্তরঃ \(3; \left(\frac{1}{3}, 2\right); (3, 0); 12; x+3=0\)।
[ চুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫]
উত্তরঃ \(3; \left(\frac{1}{3}, 2\right); (3, 0); 12; x+3=0\)।
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=3x+1 ........(1)\)
এখানে,
\(m=3, c=1\)
\(y^2=4ax ........(2)\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং পরাবৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি,
\(c=\frac{a}{m}\) হয়। ➜ \(y=mx+c \) সরলরেখার \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করার শর্ত \(c=\frac{a}{m}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{a}{3}\)
\(\therefore a=3\)
স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{a}{m^2}, \frac{2a}{m}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{3}{3^2}, \frac{2.3}{3}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{3}{9}, 2\right)\)
\(\therefore \left(\frac{1}{3}, 2\right)\)
\(\therefore a\)-এর মাণ \((2)\)-এ বসিয়ে,
\(y^2=4.3.x\)
\(\therefore y^2=12x ......(3)\)
এখানে,
\(4a=12\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{12}{4}\)
\(\Rightarrow a=3\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\therefore S(3, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=4a\)
\(=4.3\)
\(=12\)
নিয়ামকের সমীকরণ \(x+a=0\)
\(\therefore x+3=0\)
\(y=3x+1 ........(1)\)
এখানে,
\(m=3, c=1\)
\(y^2=4ax ........(2)\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2)\) নং পরাবৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি,
\(c=\frac{a}{m}\) হয়। ➜ \(y=mx+c \) সরলরেখার \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করার শর্ত \(c=\frac{a}{m}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{a}{3}\)
\(\therefore a=3\)
স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{a}{m^2}, \frac{2a}{m}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{3}{3^2}, \frac{2.3}{3}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{3}{9}, 2\right)\)
\(\therefore \left(\frac{1}{3}, 2\right)\)
\(\therefore a\)-এর মাণ \((2)\)-এ বসিয়ে,
\(y^2=4.3.x\)
\(\therefore y^2=12x ......(3)\)
এখানে,
\(4a=12\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{12}{4}\)
\(\Rightarrow a=3\)
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(a, 0)\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। উপকেন্দ্র \(S(a, 0)\)
\(\therefore S(3, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=4a\)
\(=4.3\)
\(=12\)
নিয়ামকের সমীকরণ \(x+a=0\)
\(\therefore x+3=0\)
\(Q.5.(xxv)\) \(y^2=12x\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু ও উপকেন্দ্রিক লম্বের ধনাত্মক দিকের প্রান্তবিন্দুর সংযোজক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ চুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪]
উত্তরঃ \( y=2x \)।
[ চুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪]
উত্তরঃ \( y=2x \)।
সমাধানঃ
ধরি,
\(y^2=12x ......(1)\)
এখানে,
\(4a=12\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=\frac{12}{4}\)
\(\Rightarrow a=3\)
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের ধনাত্মক দিকের প্রান্তবিন্দু \(L(a, 2a)\)
\(\Rightarrow L(3, 2.3)\) ➜ \(\because a=3\)
\(\therefore L(3, 6)\)
এখন,
\(LA\)-এর সমীকরণ,
\(\frac{x-3}{3-0}=\frac{y-6}{6-0}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{3}=\frac{y-6}{6}\)
\(\Rightarrow 6x-18=3y-18\)
\(\Rightarrow 6x=3y-18+18\)
\(\Rightarrow 6x=3y\)
\(\Rightarrow 3y=6x\)
\(\Rightarrow y=\frac{6x}{3}\)
\(\therefore y=2x\)
ইহাই নির্ণেয় রেখার সমীকরণ।
\(y^2=12x ......(1)\)
এখানে,
\(4a=12\) ➜ \(y^2=4ax\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে। \(\Rightarrow a=\frac{12}{4}\)
\(\Rightarrow a=3\)
পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু \(A(0, 0)\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের ধনাত্মক দিকের প্রান্তবিন্দু \(L(a, 2a)\)
\(\Rightarrow L(3, 2.3)\) ➜ \(\because a=3\)
\(\therefore L(3, 6)\)
এখন,
\(LA\)-এর সমীকরণ,
\(\frac{x-3}{3-0}=\frac{y-6}{6-0}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{3}=\frac{y-6}{6}\)
\(\Rightarrow 6x-18=3y-18\)
\(\Rightarrow 6x=3y-18+18\)
\(\Rightarrow 6x=3y\)
\(\Rightarrow 3y=6x\)
\(\Rightarrow y=\frac{6x}{3}\)
\(\therefore y=2x\)
ইহাই নির্ণেয় রেখার সমীকরণ।
\(Q.5.(xxvi)\) দেখাও যে, \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}\) পরাবৃত্ত এবং স্থানাঙ্কের অক্ষ দুইটির অন্তর্গত ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(\frac{1}{6}a^2\).
[ বুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯]
[ বুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}\)
\(\Rightarrow \sqrt{y}=\sqrt{a}-\sqrt{x}\)
\(\Rightarrow y=(\sqrt{a}-\sqrt{x})^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow y=a+x-2\sqrt{ax}\)
ক্ষেত্রফল \(=\int_{0}^{a}ydx\)
\(=\int_{0}^{a}(a+x-2\sqrt{ax})dx\)
\(=\int_{0}^{a}(a+x-2\sqrt{a}\sqrt{x})dx\)
\(=\left[ax+\frac{x^2}{2}-2\sqrt{a}\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]_0^a\)
\(=\left[ax+\frac{x^2}{2}-\frac{4}{3}\sqrt{a}x^{\frac{3}{2}}\right]_0^a\)
\(=a.a+\frac{a^2}{2}-\frac{4}{3}\sqrt{a}.a^{\frac{3}{2}}\)
\(=a^2+\frac{a^2}{2}-\frac{4}{3}\sqrt{a}.a.\sqrt{a}\)
\(=\frac{2a^2+a^2}{2}-\frac{4}{3}a.a.\)
\(=\frac{3a^2}{2}-\frac{4a^2}{3}\)
\(=\frac{9a^2-8a^2}{6}\)
\(=\frac{a^2}{6}\)
\(=\frac{1}{6}a^2\).
\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}\)
\(\Rightarrow \sqrt{y}=\sqrt{a}-\sqrt{x}\)
\(\Rightarrow y=(\sqrt{a}-\sqrt{x})^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow y=a+x-2\sqrt{ax}\)
ক্ষেত্রফল \(=\int_{0}^{a}ydx\)
\(=\int_{0}^{a}(a+x-2\sqrt{ax})dx\)
\(=\int_{0}^{a}(a+x-2\sqrt{a}\sqrt{x})dx\)
\(=\left[ax+\frac{x^2}{2}-2\sqrt{a}\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]_0^a\)
\(=\left[ax+\frac{x^2}{2}-\frac{4}{3}\sqrt{a}x^{\frac{3}{2}}\right]_0^a\)
\(=a.a+\frac{a^2}{2}-\frac{4}{3}\sqrt{a}.a^{\frac{3}{2}}\)
\(=a^2+\frac{a^2}{2}-\frac{4}{3}\sqrt{a}.a.\sqrt{a}\)
\(=\frac{2a^2+a^2}{2}-\frac{4}{3}a.a.\)
\(=\frac{3a^2}{2}-\frac{4a^2}{3}\)
\(=\frac{9a^2-8a^2}{6}\)
\(=\frac{a^2}{6}\)
\(=\frac{1}{6}a^2\).
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000002