এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয়গুলি আলোচনা করব।
- ঐতিহাসিক পটভূমি
- অন্বয় ( Relations )
- বিপরীত অন্বয় (Inverse Relations )
- অন্বয়ের ডোমেন এবং রেঞ্জ ( Domen and range of Relations )
- ফাংশন ( Functions )
- চিত্রের সাহায্যে ফাংশন ( Functions with the help of image )
- ফাংশনের ডোমেন ও কোডোমেন ( Domen and Co-Domen of Functions )
- লেখচিত্রের সাহায্যে ফাংশনের ধারণা ( Cocept of Functions from graph )
- ফাংশনের প্রকারভেদ ( Types of Functions )
- এক-এক ফাংশন (One One function)
- ভিতর ফাংশন (In-to function)
- সর্বগ্রাহী ফাংশন (Onto function)
- প্রতিসঙ্গ ফাংশন বা বাইজেকটিভ ফাংশন (Bijective function)
- ইনজেকটিভ ফাংশন (Ijective function)
- স্থির ফাংশন (Constant function)
- অভেদ ফাংশন ( Identity function )
- যুগ্ন ফাংশন (Even function)
- অযুগ্ন ফাংশন (Odd function)
- সংযোজিত ফাংশন (Composite function)
- বিপরীত ফাংশন (Inverse function)
- ব্যক্ত ফাংশন (Explicit function)
- \( f(x)=y=|x|\) ফাংশণের লেখচিত্র
- \( f(x)=y=e^{x}\) ফাংশণের লেখচিত্র
- \( f(x)=y=e^{-x}\) ফাংশণের লেখচিত্র
- \( f(x)=y=2^{x}\) ফাংশণের লেখচিত্র
- \( f(x)=y=2^{-x}\) ফাংশণের লেখচিত্র
- \( f(x)=y=\ln x\) ফাংশণের লেখচিত্র
- \( f(x)=y=\log x\) ফাংশণের লেখচিত্র
- \( f(x)=y=\sin x\) ফাংশণের লেখচিত্র
- \( f(x)=y=\cos x\) ফাংশণের লেখচিত্র
- \( f(x)=y=\tan x\) ফাংশণের লেখচিত্র
- \( f(x)=y= Cosec x\) ফাংশণের লেখচিত্র
- \( f(x)=y=\sec x\) ফাংশণের লেখচিত্র
- \( f(x)=y=\cot x\) ফাংশণের লেখচিত্র
- \( f(x)=y=\sin^{-1} x\) ফাংশণের লেখচিত্র
- \( f(x)=y=\cos^{-1} x\) ফাংশণের লেখচিত্র
- \( f(x)=y=\tan^{-1} x\) ফাংশণের লেখচিত্র
- \( f(x)=y= Cosec^{-1} x\) ফাংশণের লেখচিত্র
- \( f(x)=y=\sec^{-1} x\) ফাংশণের লেখচিত্র
- \( f(x)=y=\cot^{-1} x\) ফাংশণের লেখচিত্র
- সমাধানকৃত উদাহরণমালা
- অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন-উত্তর
- সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন-উত্তর
- বর্ণনামূলক প্রশ্ন-উত্তর
- সৃজনশীল প্রশ্ন এবং সমাধান
ঐতিহাসিক পটভূমি
ফাংশন
Function
Rene Descartes
(১৫৯৬-১৬৫০)
প্রখ্যাত ফরাসি দার্শনিক, গণিতবিদ রেনে দেকার্তে (Rene Descartes) আধুনিক ফাংশনের ধারণা দেন ।
প্রাত্যহিক জীবনের প্রায় সবক্ষেত্রেই আমরা ফাংশন ব্যাবহার করে থাকি। ছাইকেলে, মটর ছাইকেলে, বাসে ও ট্রেনে উঠে যাতায়াত করে থাকি, এই বিষয়গুলি ফাংশন। মোট কথা যান্তিক বিষয়গুলি এক একটি ফাংশন। ফাংশনের আবিধানিক অর্থ হলো অপেক্ষক। তাহলে এখানে অপেক্ষা করার বিষয় আছে। একজন অন্য এক বা একাধিক জনের অপেক্ষা করছে এটি ফাংশন। দুই বা ততধিক চলকের মধ্যে অধীন চলক যখন স্বাধীন চলকের উপর নির্ভরশীল হয় তখন এই প্রক্রিয়াকে ফাংশন বলে। আমরা জানি বায়বীয় পদার্থের উপর তাপ প্রয়োগ করলে এর আয়তন বেড়ে যায়, এখানে আয়তন তাপমাত্রার উপর নির্ভরশীল, ফলে এই আয়তন বেড়ে যাওয়ার বিষটি ফাংশন। আধুনিক যুগের আসীর্বাদ কম্পিটার ব্যবহারের ক্ষেত্রে যে এপ্লিকেশন সফটয়ারগুলি ব্যবহার হয় এগুলি অনেকগুলি ফাংশনের সমন্বয়ে তৈরী। এবার আসা যাক গণিত জগতে ফাংশনের আবির্ভাব ও অবদানের বিষয়টিতে। ফাংশন গণিত জগতে এক বিস্ময়কর আসীর্বাদ। ফাংশনকে গণিত জগতে এভাবে নিয়ে আসার পিছনে যাদের অক্লান্ত শ্রম ও নিরলস প্রচেষ্টা রয়েছে তাদের মধ্যে কয়েক জনের নাম না উল্লেখ করলে নয় যেমন: ওরাসম
ওরাসম (Nicole Oresme)(১৩২০-১৩৮২)(Nicole Oresme)(১৩২০-১৩৮২),পণটি
পণটি(Lorenzo da Ponte) (১৭৪৯-১৮৩৮)(Lorenzo da Ponte)(১৭৪৯-১৮৩৮),লিবনিজ
লিবনিজ(gottfried leibniz)(১৬৪৬-১৭১৬)(gottfried leibniz)(১৬৪৬-১৭১৬),জোহান বার্ণোলী
জোহান বার্ণোলী(johann bernoulli)(১৬৬৭-১৭৪৮)(johann bernoulli) (১৬৬৭-১৭৪৮),এলেক্সিস ক্লাইড ক্লাইরট
এলেক্সিস ক্লাইড ক্লাইরট(Alexis Claude Clairaut)(১৭১৩-১৭৬৫) (Alexis Claude Clairaut)(১৭১৩-১৭৬৫),ডিমরগান
ডিমরগান(Augustus De Morgan)(১৮০৬-১৮৭১)(Augustus De Morgan) (১৮০৬-১৮৭১), জর্জ ক্যান্টর
জর্জ ক্যান্টর(George Cantor) (১৮৪৫-১৯১৮) (George Cantor) (১৮৪৫-১৯১৮), ডিরিচলেট 
ডিরিচলেট (Peter Gustav Lejeune Dirichlet)(১৮০৫-১৮৫৯)(Peter Gustav Lejeune Dirichlet) (১৮০৫-১৮৫৯),লুবাচেভস্কি
লুবাচেভস্কি (Nikolai Lobachevsky)(১৭৯২-১৮৫৬)(Nikolai Lobachevsky)(১৭৯২-১৮৫৬)ও হার্ডি
হার্ডি(Thomas Hardy)(১৮৪০-১৯২৮) (Thomas Hardy)(১৮৪০-১৯২৮) অন্যতম। প্রখ্যাত ফরাসি দার্শনিক, গণিতবিদ রেনে দেকার্তে প্রখ্যাত ফরাসি দার্শনিক, গণিতবিদ রেনে দেকার্তে আধুনিক ফাংশনের ধারণা দেন । (Rene Descartes)(১৫৯৬-১৬৫০) আধুনিক ফাংশনের ধারণা দেন । গটফ্রেড লিবনীজ (gottfried leibniz) ১৬৭৩ খ্রিস্টাব্দে প্রথম "ফাংশন" সব্দটি ব্যবহার করেন এবং ১৬৯৩ খ্রিস্টাব্দে তিনিই ফাংশনের গ্রহণযোগ্য সংজ্ঞা দেন। পরবর্তীকালে ডিরিচলেট ১৮৩৭ খ্রিস্টাব্দে ফাংশনের একটি সংজ্ঞা লিখেন। এই সঙ্গাকে ফাংশনের আধুনিক সংজ্ঞা হিসাবে বিবেচনা করা হয়।
ওরাসম (Nicole Oresme)(১৩২০-১৩৮২)(Nicole Oresme)(১৩২০-১৩৮২),পণটিপণটি(Lorenzo da Ponte) (১৭৪৯-১৮৩৮)(Lorenzo da Ponte)(১৭৪৯-১৮৩৮),লিবনিজলিবনিজ(gottfried leibniz)(১৬৪৬-১৭১৬)(gottfried leibniz)(১৬৪৬-১৭১৬),জোহান বার্ণোলীজোহান বার্ণোলী(johann bernoulli)(১৬৬৭-১৭৪৮)(johann bernoulli) (১৬৬৭-১৭৪৮),এলেক্সিস ক্লাইড ক্লাইরটএলেক্সিস ক্লাইড ক্লাইরট(Alexis Claude Clairaut)(১৭১৩-১৭৬৫) (Alexis Claude Clairaut)(১৭১৩-১৭৬৫),ডিমরগানডিমরগান(Augustus De Morgan)(১৮০৬-১৮৭১)(Augustus De Morgan) (১৮০৬-১৮৭১), জর্জ ক্যান্টরজর্জ ক্যান্টর(George Cantor) (১৮৪৫-১৯১৮) (George Cantor) (১৮৪৫-১৯১৮), ডিরিচলেট ডিরিচলেট (Peter Gustav Lejeune Dirichlet)(১৮০৫-১৮৫৯)(Peter Gustav Lejeune Dirichlet) (১৮০৫-১৮৫৯),লুবাচেভস্কিলুবাচেভস্কি (Nikolai Lobachevsky)(১৭৯২-১৮৫৬)(Nikolai Lobachevsky)(১৭৯২-১৮৫৬)ও হার্ডিহার্ডি(Thomas Hardy)(১৮৪০-১৯২৮) (Thomas Hardy)(১৮৪০-১৯২৮) অন্যতম। প্রখ্যাত ফরাসি দার্শনিক, গণিতবিদ রেনে দেকার্তে প্রখ্যাত ফরাসি দার্শনিক, গণিতবিদ রেনে দেকার্তে আধুনিক ফাংশনের ধারণা দেন । (Rene Descartes)(১৫৯৬-১৬৫০) আধুনিক ফাংশনের ধারণা দেন । গটফ্রেড লিবনীজ (gottfried leibniz) ১৬৭৩ খ্রিস্টাব্দে প্রথম "ফাংশন" সব্দটি ব্যবহার করেন এবং ১৬৯৩ খ্রিস্টাব্দে তিনিই ফাংশনের গ্রহণযোগ্য সংজ্ঞা দেন। পরবর্তীকালে ডিরিচলেট ১৮৩৭ খ্রিস্টাব্দে ফাংশনের একটি সংজ্ঞা লিখেন। এই সঙ্গাকে ফাংশনের আধুনিক সংজ্ঞা হিসাবে বিবেচনা করা হয়। প্রয়োজনীয় এবং স্মরণীয় সংজ্ঞা ও ব্যাখ্যাসমূহ।
\(1.\) অন্বয় ( Relations )।
চলকঃ অজ্ঞ্যাত কোনো সংখ্যা বা বস্তুকে কোনো প্রতিকের মাধ্যমে প্রকাশ করা হলে ঐ প্রতিককে চলক ( Variable ) বলা হয়।
যেমনঃ
\(A=\{2,3,4,5\}\) সেটকে লেখা যায় \(A=\{x:x\in N,\ 2\leq x\leq 5\}\)।
এখানে,
\(x, A\) সেটের উপাদান \(\{2,3,4,5\}\) প্রত্যেককে সূচিত করে। তাই \(x\) একটি চলক।
অন্বয়ঃ যা দ্বারা দুই বা ততোধিক চলকের মধ্যে অথবা, দুইটি সেটের মধ্যে সম্পর্ক বুঝানো হয় তাকে অন্বয় বলে।
যেমনঃ
দুইটি অশূন্য সেট \(A\) ও \(B\) কার্তেসীয় গুণজ সেট \(A\times B\)-এর যে কোনো উপসেটকে \(A\) সেট হতে \(B\) সেটে একটি অন্বয় বা সম্পর্ক বলা হয়। এই অন্বয়কে \(R\) দ্বারা প্রকাশ করা হলে,
\(R\subseteq A\times B\).
যদি, \((a, b)\in R\) হয়, যেখানে, \(a\in A\) এবং \(b\in B\), তবে তাকে \(a R b\) দ্বারা প্রকাশ করা হয় এবং \('b'\) এর সাথে \('a'\) অন্বিত \('a'\) is related to \('b'\) পড়া হয়।
যেমনঃ
\(A=\{2,3,4,5\}\) সেটকে লেখা যায় \(A=\{x:x\in N,\ 2\leq x\leq 5\}\)।
এখানে,
\(x, A\) সেটের উপাদান \(\{2,3,4,5\}\) প্রত্যেককে সূচিত করে। তাই \(x\) একটি চলক।
অন্বয়ঃ যা দ্বারা দুই বা ততোধিক চলকের মধ্যে অথবা, দুইটি সেটের মধ্যে সম্পর্ক বুঝানো হয় তাকে অন্বয় বলে।
যেমনঃ
দুইটি অশূন্য সেট \(A\) ও \(B\) কার্তেসীয় গুণজ সেট \(A\times B\)-এর যে কোনো উপসেটকে \(A\) সেট হতে \(B\) সেটে একটি অন্বয় বা সম্পর্ক বলা হয়। এই অন্বয়কে \(R\) দ্বারা প্রকাশ করা হলে,
\(R\subseteq A\times B\).
যদি, \((a, b)\in R\) হয়, যেখানে, \(a\in A\) এবং \(b\in B\), তবে তাকে \(a R b\) দ্বারা প্রকাশ করা হয় এবং \('b'\) এর সাথে \('a'\) অন্বিত \('a'\) is related to \('b'\) পড়া হয়।
\(2.\) বিপরীত অন্বয় (Inverse Relations )।
বিপরীত অন্বয়ঃ \(A\)সেট হতে \(B\)সেটে \(R\)একটি অন্বয় হলে, \(R\)-এর বিপরীত অন্বয় হবে \(B\)সেট হতে \(A\)সেটে একটি অন্বয়, যাকে \(R^{-1}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
গাণিতিক ব্যাখ্যাঃ
\(R=\{(a, b):a\in A, b\in B\}\) একটি অন্বয় হলে, \(R^{-1}=\{(b, a):(a, b)\in R\}\)
যেমনঃ
\(A=\{a, b\}\), \(B=\{p, q, r\}\) হলে, \(A\times B=\{(a, p),(a, q),(a, r),(b, p),(b, q),(b, r)\}\)
ধরি,
\(R_1=\{(a, p)\}, R_2=\{(a, p),(b, q)\}, R_3=\{(a, p),(a, r),(b, p)\}\)
যেহেতু \(R_1\subset A\times B, R_2\subset A\times B\) এবং \(R_3\subset A\times B\)
সুতরাং \(R_1, R_2\)এবং \(R_3\)-এর প্রত্যেক সেটেই \(A\) থেকে \(B\) সেটের অন্বয়।
আবার,
\(R_1\)-এর বিপরীত অন্বয় \(R_1^{-1}=\{(p, a)\}\)
\(R_2\)-এর বিপরীত অন্বয় \(R_2^{-1}=\{(p, a),(q, b)\}\)
\(R_3\)-এর বিপরীত অন্বয় \(R_3^{-1}=\{(p, a),(r, a),(p, b)\}\)
গাণিতিক ব্যাখ্যাঃ
\(R=\{(a, b):a\in A, b\in B\}\) একটি অন্বয় হলে, \(R^{-1}=\{(b, a):(a, b)\in R\}\)
যেমনঃ
\(A=\{a, b\}\), \(B=\{p, q, r\}\) হলে, \(A\times B=\{(a, p),(a, q),(a, r),(b, p),(b, q),(b, r)\}\)
ধরি,
\(R_1=\{(a, p)\}, R_2=\{(a, p),(b, q)\}, R_3=\{(a, p),(a, r),(b, p)\}\)
যেহেতু \(R_1\subset A\times B, R_2\subset A\times B\) এবং \(R_3\subset A\times B\)
সুতরাং \(R_1, R_2\)এবং \(R_3\)-এর প্রত্যেক সেটেই \(A\) থেকে \(B\) সেটের অন্বয়।
আবার,
\(R_1\)-এর বিপরীত অন্বয় \(R_1^{-1}=\{(p, a)\}\)
\(R_2\)-এর বিপরীত অন্বয় \(R_2^{-1}=\{(p, a),(q, b)\}\)
\(R_3\)-এর বিপরীত অন্বয় \(R_3^{-1}=\{(p, a),(r, a),(p, b)\}\)
\(3.\) অন্বয়ের ডোমেন এবং রেঞ্জ ( Domen and range of Relations )।
অন্বয়ের ডোমেন এবং রেঞ্জঃ যদি \(A\)সেট হতে \(B\)সেটে \(R\)একটি অন্বয় হয়, তবে \(R\)-এর অন্তর্গত সকল ক্রমজোড়্গুলির প্রথম উপাদানসমুহের সেটকে \(R\)-এর ডোমেন বলা হয়, যা \(R_D\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। \(R\)-এর ডোমেন \(A\)-এর একটি উপসেট।
একইভাবে, ক্রমজোড়্গুলির দ্বিতীয় উপাদানসমূহের সেটকে \(R\)-এর রেঞ্জ বলা হয়, যা \(R_R\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। \(R\)-এর রেঞ্জ \(B\)-এর একটি উপসেট।
গাণিতিক ব্যাখ্যাঃ
\(R\)-এর ডোমেন \(=\{a: a\in A (a, b)\in R\}\)
\(R\)-এর রেঞ্জ \(=\{b: b\in B (a, b)\in R\}\)
যেমনঃ
\(A=\{a, b\}\), \(B=\{m, s, t\}\) হলে, \(A\times B=\{(a, m),(a, s),(a, t),(b, m),(b, s),(b, t)\}\)
ধরি,
\(R=\{(a, m),(a, s), (b, m),(b, s)\}\)
তাহলে,
\(R\)-এর ডোমেন \(=\{(a, b)\}\)
\(R\)-এর রেঞ্জ \(=\{(m, s)\}\)
আবার,
বিপরীত অন্বয়ের ক্ষেত্রে,
\(R^{-1}=\{(m, a),(s, a), (m, b),(s, b)\}\)
তাহলে,
\(R^{-1}\)-এর ডোমেন \(=\{(m, s)\}\)
\(R^{-1}\)-এর রেঞ্জ \(=\{(a, b)\}\)
একইভাবে, ক্রমজোড়্গুলির দ্বিতীয় উপাদানসমূহের সেটকে \(R\)-এর রেঞ্জ বলা হয়, যা \(R_R\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। \(R\)-এর রেঞ্জ \(B\)-এর একটি উপসেট।
গাণিতিক ব্যাখ্যাঃ
\(R\)-এর ডোমেন \(=\{a: a\in A (a, b)\in R\}\)
\(R\)-এর রেঞ্জ \(=\{b: b\in B (a, b)\in R\}\)
যেমনঃ
\(A=\{a, b\}\), \(B=\{m, s, t\}\) হলে, \(A\times B=\{(a, m),(a, s),(a, t),(b, m),(b, s),(b, t)\}\)
ধরি,
\(R=\{(a, m),(a, s), (b, m),(b, s)\}\)
তাহলে,
\(R\)-এর ডোমেন \(=\{(a, b)\}\)
\(R\)-এর রেঞ্জ \(=\{(m, s)\}\)
আবার,
বিপরীত অন্বয়ের ক্ষেত্রে,
\(R^{-1}=\{(m, a),(s, a), (m, b),(s, b)\}\)
তাহলে,
\(R^{-1}\)-এর ডোমেন \(=\{(m, s)\}\)
\(R^{-1}\)-এর রেঞ্জ \(=\{(a, b)\}\)
\(4.\) ফাংশন ( Functions )।
ফাংশনঃ একটি বিশেষ ধরনের অন্বয়কে ফাংশন বলে।
অন্বয়ের বা ক্রমজোড়ের সাহায্যে সংজ্ঞাঃ কোনো অন্বয়ে অবস্থিত ক্রমজোড়ের প্রথম উপাদানগুলি ভিন্ন ভিন্ন হলে ঐ অন্বয়কে ফাংশন বলে।
যেমনঃ
\(A=\{a, b\}\), \(B=\{p, q, r\}\) হলে, \(A\times B=\{(a, p),(a, q),(a, r),(b, p),(b, q),(b, r)\}\)
ধরি, \(R_1, R_2\) দুইটি অন্বয়।
\(R_1=\{(a, p),(b, q)\}, R_2=\{(a, p),(a, r),(b, p)\}\)
এখানে,
\(R_1\) একটি ফাংশন। কারণ, \(R_1\)-এর ক্রমজোড়ের প্রথম উপাদানগুলি ভিন্ন ভিন্ন \(a, b\) এবং উপাদানগুলি নিয়ে গঠিত সেট \(A\)-এর সমান।
\(R_2\) ফাংশন নয়। কারণ, \(R_2\)-এর দইটি ক্রমজোড়ের প্রথম উপাদানগুলি অভিন্ন \(a, a\)।
চলকের সাহায্যে সংজ্ঞাঃ যদি \(x\) একটি স্বাধীন চলক এবং \(y\) অধীন চলক হয় এবং স্বাধীন চলক \(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য অধীন চলক \(y\)-এর যদি এবং কেবল যদি একটি বাস্তব মাণ পাওয়া যায়, তবে স্বাধীন চলকবিশীষ্ট রাশিটিকে অধীন চলকের একটি ফাংশন বলে অর্থাৎ \(y\)-কে \(x\)-এর ফাংশন বলা হয়।
ফাংশনটিকে \(y=f(x)\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। এখানে \(x\)-এর মানের উপর \(y\) নির্ভরশীল।
যেমনঃ
\(f:R\rightarrow R\)-এর জন্য \(y=f(x)=5x+2, \ y=f(x)=\sqrt{2x^2+1}, \ y=f(x)=|2x-3|\) প্রভৃতি এক একটি ফাংশন।
কিন্তু
\(f:R\rightarrow R\)-এর জন্য \(y=f(x)=\pm \sqrt{2x^2+1}\) ফাংশন নয়। কারণ \(x\)-এর একটি মানের জন্য \(y\)-এর দুইটি মাণ পাওয়া যায়।
যেমনঃ
\(x=2\) হলে, \(y=f(x)=\pm \sqrt{2.2^2+1}=\pm \sqrt{2.4+1}=\pm \sqrt{8+1}=\pm \sqrt{9}=\pm 3\)
সেটের সাহায্যে সংজ্ঞাঃ মনে করি \(A\) ও \(B\) দুইটি সেট। যদি \(A\) সেট হতে \(B\) সেটে \(f\) একটি অন্বয় হয় এবং প্রত্যেক \(a\in A\)-এর জন্য একটি অনন্য উপাদান \(b\in B\) থাকে, যেখানে, \((a, b)\in f\), তবে \(f\) কে \(A\) সেট হতে \(B\) সেটে ফাংশন বলা হয়। যা \(f:A\rightarrow B\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অন্বয়ের বা ক্রমজোড়ের সাহায্যে সংজ্ঞাঃ কোনো অন্বয়ে অবস্থিত ক্রমজোড়ের প্রথম উপাদানগুলি ভিন্ন ভিন্ন হলে ঐ অন্বয়কে ফাংশন বলে।
যেমনঃ
\(A=\{a, b\}\), \(B=\{p, q, r\}\) হলে, \(A\times B=\{(a, p),(a, q),(a, r),(b, p),(b, q),(b, r)\}\)
ধরি, \(R_1, R_2\) দুইটি অন্বয়।
\(R_1=\{(a, p),(b, q)\}, R_2=\{(a, p),(a, r),(b, p)\}\)
এখানে,
\(R_1\) একটি ফাংশন। কারণ, \(R_1\)-এর ক্রমজোড়ের প্রথম উপাদানগুলি ভিন্ন ভিন্ন \(a, b\) এবং উপাদানগুলি নিয়ে গঠিত সেট \(A\)-এর সমান।
\(R_2\) ফাংশন নয়। কারণ, \(R_2\)-এর দইটি ক্রমজোড়ের প্রথম উপাদানগুলি অভিন্ন \(a, a\)।
চলকের সাহায্যে সংজ্ঞাঃ যদি \(x\) একটি স্বাধীন চলক এবং \(y\) অধীন চলক হয় এবং স্বাধীন চলক \(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য অধীন চলক \(y\)-এর যদি এবং কেবল যদি একটি বাস্তব মাণ পাওয়া যায়, তবে স্বাধীন চলকবিশীষ্ট রাশিটিকে অধীন চলকের একটি ফাংশন বলে অর্থাৎ \(y\)-কে \(x\)-এর ফাংশন বলা হয়।
ফাংশনটিকে \(y=f(x)\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। এখানে \(x\)-এর মানের উপর \(y\) নির্ভরশীল।
যেমনঃ
\(f:R\rightarrow R\)-এর জন্য \(y=f(x)=5x+2, \ y=f(x)=\sqrt{2x^2+1}, \ y=f(x)=|2x-3|\) প্রভৃতি এক একটি ফাংশন।
কিন্তু
\(f:R\rightarrow R\)-এর জন্য \(y=f(x)=\pm \sqrt{2x^2+1}\) ফাংশন নয়। কারণ \(x\)-এর একটি মানের জন্য \(y\)-এর দুইটি মাণ পাওয়া যায়।
যেমনঃ
\(x=2\) হলে, \(y=f(x)=\pm \sqrt{2.2^2+1}=\pm \sqrt{2.4+1}=\pm \sqrt{8+1}=\pm \sqrt{9}=\pm 3\)
সেটের সাহায্যে সংজ্ঞাঃ মনে করি \(A\) ও \(B\) দুইটি সেট। যদি \(A\) সেট হতে \(B\) সেটে \(f\) একটি অন্বয় হয় এবং প্রত্যেক \(a\in A\)-এর জন্য একটি অনন্য উপাদান \(b\in B\) থাকে, যেখানে, \((a, b)\in f\), তবে \(f\) কে \(A\) সেট হতে \(B\) সেটে ফাংশন বলা হয়। যা \(f:A\rightarrow B\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
\(5.\) চিত্রের সাহায্যে ফাংশন ( Functions with the help of image )।
এখানে,
\(f:A\rightarrow B\) একটি ফাংশন। কারণ, \(A\) সেটের প্রত্যেক উপাদানের প্রতিচ্ছবি আছে এবং একটি উপাদেনের একাধিক প্রতিচ্ছবি নেই।
\(f:C\rightarrow D\) ফাংশন নয়। কারণ, \(C\) সেটের একটি উপাদান \(x\)-এর দুইটি প্রতিচ্ছবি \(1, 2\) বিদ্যমান।
\(f:E\rightarrow F\) ফাংশন নয়। কারণ, \(E\) সেটের উপাদান \(s\)-এর কোনো প্রতিচ্ছবি নেই।
\(f:A\rightarrow B\) একটি ফাংশন। কারণ, \(A\) সেটের প্রত্যেক উপাদানের প্রতিচ্ছবি আছে এবং একটি উপাদেনের একাধিক প্রতিচ্ছবি নেই।
\(f:C\rightarrow D\) ফাংশন নয়। কারণ, \(C\) সেটের একটি উপাদান \(x\)-এর দুইটি প্রতিচ্ছবি \(1, 2\) বিদ্যমান।
\(f:E\rightarrow F\) ফাংশন নয়। কারণ, \(E\) সেটের উপাদান \(s\)-এর কোনো প্রতিচ্ছবি নেই।
\(6.\) ফাংশনের ডোমেন ও কোডোমেন ( Domen and Co-Domen of Functions )।
ফাংশনের ডোমেন ও কোডোমেনঃ মনে করি, \(f:A\rightarrow B\) একটি ফাংশন। তাহলে \(A\) কে \(f\) ফাংশনের ডোমেন এবং \(B\) কে কোডোমেন বলা হয়। \(f\)-এর ডোমেনকে সাধারণত \(D_f\) এবং কোডোমেনকে \(Cod_f\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
প্রতিচ্ছবিঃ যদি \(a\in A\)-এর জন্য \(b\in B\) হয় তবে \(b\) কে \(a\)-এর প্রতিচ্ছবি (Image) বলা হয়। যা \(f(a)\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। অর্থাৎ \(b=f(a)\)।
ফাংশনের রেঞ্জঃ মনে করি, \(f:A\rightarrow B\) একটি ফাংশন। কোডোমেন \(B\)-এর যে উপসেটটির সকল উপাদান ডোমেন \(A\)-এর উপাদানের সাথে সম্পর্কিত তাকে \(f\)-এর রেঞ্জ বলা হয়। সাধারণত \(f\)-এর রেঞ্জকে \(R_f\) বা \(f(A)\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(R_f\)
\(\Rightarrow f(A)\subseteq Cod_f\)
\(\Rightarrow R_f\subseteq B\)
যেমনঃ
\(A=\{a, b, c\}\), \(B=\{1, 2, 3\}\) হলে, \(A\times B=\{(a, 1),(a, 2),(a, 3),(b, 1),(b, 2),(b, 3),(c, 1),(c, 2),(c, 3)\}\)
ধরি, \(f\) একটি ফাংশন।
\(\therefore f=\{(a, 1),(b, 2),(c, 2)\}\)
তাহলে,
ডোমেন \(D_f=\{a, b, c\}=A\)
কোডোমেন \(Cod_f=\{1, 2, 3\}=B\)
রেঞ্জ \(R_f=\{1, 2\}\subset B\)
প্রতিচ্ছবিঃ যদি \(a\in A\)-এর জন্য \(b\in B\) হয় তবে \(b\) কে \(a\)-এর প্রতিচ্ছবি (Image) বলা হয়। যা \(f(a)\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। অর্থাৎ \(b=f(a)\)।
ফাংশনের রেঞ্জঃ মনে করি, \(f:A\rightarrow B\) একটি ফাংশন। কোডোমেন \(B\)-এর যে উপসেটটির সকল উপাদান ডোমেন \(A\)-এর উপাদানের সাথে সম্পর্কিত তাকে \(f\)-এর রেঞ্জ বলা হয়। সাধারণত \(f\)-এর রেঞ্জকে \(R_f\) বা \(f(A)\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(R_f\)
\(\Rightarrow f(A)\subseteq Cod_f\)
\(\Rightarrow R_f\subseteq B\)
যেমনঃ
\(A=\{a, b, c\}\), \(B=\{1, 2, 3\}\) হলে, \(A\times B=\{(a, 1),(a, 2),(a, 3),(b, 1),(b, 2),(b, 3),(c, 1),(c, 2),(c, 3)\}\)
ধরি, \(f\) একটি ফাংশন।
\(\therefore f=\{(a, 1),(b, 2),(c, 2)\}\)
তাহলে,
ডোমেন \(D_f=\{a, b, c\}=A\)
কোডোমেন \(Cod_f=\{1, 2, 3\}=B\)
রেঞ্জ \(R_f=\{1, 2\}\subset B\)
\(7.\) লেখচিত্রের সাহায্যে ফাংশনের ধারণা ( Cocept of Functions from graph )।
লেখচিত্রে ফাংশনঃ যদি কোনো অন্বয়ের লেখচিত্রকে \(y\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা একটি বিন্দুতে ছেদ করে তবে তাকে ফাংশন বলে। এই ক্ষেত্রে স্বাধীন চলক \(x\)-এর একটি বাস্তব মানের জন্য অধীন চলক \(y\) বা \(f(x)\)-এর একটি মাত্র বাস্তব মাণ পাওয়া যায়।
এখানে,
\((1)\),\((2)\) ও \((3)\) ফাংশনের লেখচিত্র।
কারণ, \(y\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা লেখচিত্রটিকে কেবল একটি মাত্র বিন্দুতে ছেদ করেছে।
\((1)\),\((2)\) ও \((3)\) ফাংশনের লেখচিত্র।
কারণ, \(y\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা লেখচিত্রটিকে কেবল একটি মাত্র বিন্দুতে ছেদ করেছে।
লেখচিত্রে ফাংশন নয়ঃ যদি কোনো অন্বয়ের লেখচিত্রকে \(y\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা একাধিক বিন্দুতে ছেদ করে তবে সেটি ফাংশন নয়। এই ক্ষেত্রে স্বাধীন চলক \(x\)-এর একটি বাস্তব মানের জন্য অধীন চলক \(y\) বা \(f(x)\)-এর একাধিক বাস্তব মাণ পাওয়া যায়।
এখানে,
\((4)\),\((5)\) ও \((6)\) ফাংশনের লেখচিত্র নয়।
কারণ, \(y\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা লেখচিত্রটিকে একাধিক বিন্দুতে ছেদ করেছে।
\((4)\),\((5)\) ও \((6)\) ফাংশনের লেখচিত্র নয়।
কারণ, \(y\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা লেখচিত্রটিকে একাধিক বিন্দুতে ছেদ করেছে।
\(8.\) ফাংশনের প্রকারভেদ ( Types of Functions )।
ফাংশন সাধারণত দশ প্রকার যেমনঃ
- এক-এক ফাংশন (One One function)
- ভিতর ফাংশন (In-to function)
- সার্বিক বা সর্বগ্রাহী ফাংশন (Onto function)
- প্রতিসঙ্গ ফাংশন বা বাইজেকটিভ ফাংশন (Bijective function)
- ইনজেকটিভ ফাংশন (Ijective function)
- স্থির ফাংশন (Constant function)
- অভেদ ফাংশন (Identity function)
- যুগ্ন ফাংশন (Even function)
- অযুগ্ন ফাংশন (Odd function)
- সংযোজিত ফাংশন (Composite function)
- বিপরীত ফাংশন (Inverse function)
\(9.\) এক-এক ফাংশনঃ যদি কোনো ফাংশনের ডোমেনের ভিন্ন ভিন্ন উপাদানের প্রতিচ্ছবি ভিন্ন ভিন্ন হয় তবে উক্ত ফাংশনকে এক-এক ফাংশন বলে।
গাণিতিক ব্যাখ্যাঃ
\((i)\) \(f(a_1)=f(a_2)\Rightarrow a_1=a_2\)
\((ii)\) \(a_1\ne a_2\Rightarrow f(a_1)\ne f(a_2)\)
যেমনঃ
ধরি, \(f:R\rightarrow R\) ফাংশনটি \(f(x)=3x-2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।
তাহলে,
\(f(a)=3a-2 .....(1)\)
\(f(b)=3b-2 .....(2)\)
এখন,
\(f(a)=f(b)\Rightarrow 3a-2=3b-2\Rightarrow 3a=3b\Rightarrow a=b\)
\(\therefore f\) একটি এক-এক ফাংশন।
আবার,
চিত্রে বর্ণিত ফাংশনটি এক-এক।
গাণিতিক ব্যাখ্যাঃ
\((i)\) \(f(a_1)=f(a_2)\Rightarrow a_1=a_2\)
\((ii)\) \(a_1\ne a_2\Rightarrow f(a_1)\ne f(a_2)\)
যেমনঃ
ধরি, \(f:R\rightarrow R\) ফাংশনটি \(f(x)=3x-2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।
তাহলে,
\(f(a)=3a-2 .....(1)\)
\(f(b)=3b-2 .....(2)\)
এখন,
\(f(a)=f(b)\Rightarrow 3a-2=3b-2\Rightarrow 3a=3b\Rightarrow a=b\)
\(\therefore f\) একটি এক-এক ফাংশন।
আবার,
চিত্রে বর্ণিত ফাংশনটি এক-এক।
\(10.\) ভিতর ফাংশনঃ যদি কোনো ফাংশনের রেঞ্জ, কোডোমেনের প্রকৃত উপসেট হয় তবে তাকে ভিতর ফাংশন (In-to function) বলে। অর্থাৎ ডোমেনের সকল উপাদানের প্রতিচ্ছবি নিয়ে গঠীত সেট কো-ডোমেনের সমান হবে না।
গাণিতিক ব্যাখ্যাঃ
\(R_f\subset Cod_f\)
আবার,
চিত্রে বর্ণিত ফাংশনটি ভিতর ফাংশন (In-to function)।
গাণিতিক ব্যাখ্যাঃ
\(R_f\subset Cod_f\)
আবার,
চিত্রে বর্ণিত ফাংশনটি ভিতর ফাংশন (In-to function)।
\(11.\) সার্বিক বা সর্বগ্রাহী ফাংশনঃ যদি কোনো ফাংশনের কোডোমেন ও রেঞ্জ সমান হয় তবে তাকে সার্বিক বা সর্বগ্রাহী ফাংশন (Onto function) বলে। অর্থাৎ কোডোমেনের সকল উপাদান প্রতিচ্ছবি হতে হবে।
গাণিতিক ব্যাখ্যাঃ
\(R_f=Cod_f\)
আবার,
চিত্রে বর্ণিত ফাংশনটি সার্বিক বা সর্বগ্রাহী ফাংশন (Onto function)।
গাণিতিক ব্যাখ্যাঃ
\(R_f=Cod_f\)
আবার,
চিত্রে বর্ণিত ফাংশনটি সার্বিক বা সর্বগ্রাহী ফাংশন (Onto function)।
\(12.\) প্রতিসঙ্গ ফাংশন বা বাইজেকটিভ ফাংশনঃ যদি কোনো ফাংশন একই সাথে এক-এক এবং সার্বিক ফাংশন হয় তবে তাকে প্রতিসঙ্গ ফাংশন বা বাইজেকটিভ ফাংশন (Bijective function) বলে।
চিত্রে বর্ণিত ফাংশনটি প্রতিসঙ্গ ফাংশন বা বাইজেকটিভ ফাংশন (Bijective function)।
চিত্রে বর্ণিত ফাংশনটি প্রতিসঙ্গ ফাংশন বা বাইজেকটিভ ফাংশন (Bijective function)।
\(13.\) ইনজেকটিভ ফাংশনঃ যদি কোনো ফাংশন একই সাথে এক-এক এবং ভিতর ফাংশন হয় তবে তাকে ইনজেকটিভ ফাংশন (Ijective function) বলে।
চিত্রে বর্ণিত ফাংশনটি ইনজেকটিভ ফাংশন (Ijective function)।
চিত্রে বর্ণিত ফাংশনটি ইনজেকটিভ ফাংশন (Ijective function)।
\(14.\) স্থির ফাংশনঃ যদি কোনো ফাংশনের ডোমেন সেটের প্রত্যেকটি উপাদানের প্রতিচ্ছবি কোডোমেন সেটের একটি মাত্র উপাদান হয় তবে তাকে স্থির ফাংশন (Constant function) বলে।
গাণিতিক ব্যাখ্যাঃ
\( f:R\rightarrow R, f(x)=6, f\) একটি স্থির ফাংশন (Constant function)।
আবার,
চিত্রে বর্ণিত ফাংশনটি স্থির ফাংশন (Constant function)।
গাণিতিক ব্যাখ্যাঃ
\( f:R\rightarrow R, f(x)=6, f\) একটি স্থির ফাংশন (Constant function)।
আবার,
চিত্রে বর্ণিত ফাংশনটি স্থির ফাংশন (Constant function)।
\(15.\) অভেদ ফাংশনঃ \(A\) একটি অশূন্য সেট, \(f:A\rightarrow A\) ফাংশনটিকে যদি সকল \(x\in A\)-এর জন্য \(f(x)=x\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় তবে তাকে অভেদ ফাংশন ( Identity function ) বলে।
গাণিতিক ব্যাখ্যাঃ
\( f:R\rightarrow R, f(x)=x, f \) একটি অভেদ ফাংশন ( Identity function )।
আবার,
চিত্রে বর্ণিত ফাংশনটি অভেদ ফাংশন ( Identity function )।
গাণিতিক ব্যাখ্যাঃ
\( f:R\rightarrow R, f(x)=x, f \) একটি অভেদ ফাংশন ( Identity function )।
আবার,
চিত্রে বর্ণিত ফাংশনটি অভেদ ফাংশন ( Identity function )।
\(16.\) যুগ্ন ফাংশনঃ একটি ফাংশন \(f(x)\)-এর ক্ষেত্রে যদি \(f(-x)=f(x)\) হয় তবে তাকে যুগ্ন ফাংশন (Even function) বলা হয়।
গাণিতিক ব্যাখ্যাঃ
\( f:R\rightarrow R, f(-x)=f(x), f \) একটি যুগ্ন ফাংশন (Even function)।
যেমনঃ
দেখাও যে,
\(f(x)=x^2+3 ...(1)\) একটি যুগ্ন ফাংশন।
\((1)\)-এ \(x\)-এর স্থানে \(-x\) বসিয়ে পাই।
\(f(-x)=(-x)^2+3\)
\(\therefore f(-x)=x^2+3 ......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে পাই।
\(f(-x)=f(x)\)
\(\therefore f\) একটি যুগ্ন ফাংশন।
গাণিতিক ব্যাখ্যাঃ
\( f:R\rightarrow R, f(-x)=f(x), f \) একটি যুগ্ন ফাংশন (Even function)।
যেমনঃ
দেখাও যে,
\(f(x)=x^2+3 ...(1)\) একটি যুগ্ন ফাংশন।
\((1)\)-এ \(x\)-এর স্থানে \(-x\) বসিয়ে পাই।
\(f(-x)=(-x)^2+3\)
\(\therefore f(-x)=x^2+3 ......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে পাই।
\(f(-x)=f(x)\)
\(\therefore f\) একটি যুগ্ন ফাংশন।
\(17.\) অযুগ্ন ফাংশনঃ একটি ফাংশন \(f(x)\)-এর ক্ষেত্রে যদি \(f(-x)=-f(x)\) হয় তবে তাকে অযুগ্ন ফাংশন (Odd function) বলা হয়।
গাণিতিক ব্যাখ্যাঃ
\( f:R\rightarrow R, f(-x)=-f(x), f \) একটি অযুগ্ন ফাংশন (Odd function)।
যেমনঃ
দেখাও যে,
\(f(x)=x^3+2x ...(1)\) একটি অযুগ্ন ফাংশন।
\((1)\)-এ \(x\)-এর স্থানে \(-x\) বসিয়ে পাই।
\(f(-x)=(-x)^3+2(-x)\)
\(\Rightarrow f(-x)=-x^3-2x\)
\(\Rightarrow f(-x)=-(x^3+2x)\)
\((1)\)-এর সাহায্যে।
\(f(-x)=-f(x)\)
\(\therefore f\) একটি অযুগ্ন ফাংশন।
গাণিতিক ব্যাখ্যাঃ
\( f:R\rightarrow R, f(-x)=-f(x), f \) একটি অযুগ্ন ফাংশন (Odd function)।
যেমনঃ
দেখাও যে,
\(f(x)=x^3+2x ...(1)\) একটি অযুগ্ন ফাংশন।
\((1)\)-এ \(x\)-এর স্থানে \(-x\) বসিয়ে পাই।
\(f(-x)=(-x)^3+2(-x)\)
\(\Rightarrow f(-x)=-x^3-2x\)
\(\Rightarrow f(-x)=-(x^3+2x)\)
\((1)\)-এর সাহায্যে।
\(f(-x)=-f(x)\)
\(\therefore f\) একটি অযুগ্ন ফাংশন।
\(18.\) সংযোজিত ফাংশনঃ একটি ফাংশনের রেঞ্জ অপর একটি ফাংশনের সাথে ডোমেন হিসাবে সংযোজিত হয়ে যে নুতন ফাংশনের সৃষ্টি হয় তাকে সংযোজিত ফাংশন (Composite function) বলা হয়।
গাণিতিক ব্যাখ্যাঃ
\( g:A\rightarrow B, f:B\rightarrow C, fog:A\rightarrow C, fog \) একটি সংযোজিত ফাংশন (Composite function)।
যেমনঃ
মনে করি, \(A, B\) এবং \(C\) তিনটি অশূন্য সেট। \(g(x)\) এবং \(f(x)\) যথাক্রমে \(A\) সেট থেকে \(B\) সেটে এবং \(B\) সেট থেকে \(C\) সেটে সৃষ্ট দুইটি ফাংশন।
অর্থাৎ \(g:A\rightarrow B\) এবং \(f:B\rightarrow C\)।
যদি \(a\in A\) হয়, তবে \(g(x)\) ফাংশনের অধীনে \(a\)-এর প্রতিচ্ছবি হবে \(g(a)\), যা \(B\) সেটের উপাদান।
আবার,
যেহেতু \(f(x)\) ফাংশনের ডোমেন \(B\), এবং \(B\) সেটের একটি উপাদান \(g(a)\)।
সুতরাং \(f(x)\) ফাংশনের অধীনে \(g(a)\)-এর প্রতিচ্ছবি হবে \(f(g(a))\), যা \(C\) সেটের একটি উপাদান।
এখন এই দুইটি ফাংশনের সংযোজনে একটি নুতন ফাংশন পাওয়া যাবে যা \(A\) সেট থেকে সরাসরি \(C\) সেটে সৃষ্ট।
এই নুতন ফাংশনকে বলা হয়, \(g(x)\)-এর সাথে \(f(x)\)-এর সংযোজিত ফাংশন। ইহাকে \(fog(x)\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(fog:A\rightarrow C\).
আবার,
চিত্রে সংযোজিত ফাংশন (Composite function)-এর বর্ণনা দেওয়া হলো।
গাণিতিক ব্যাখ্যাঃ
\( g:A\rightarrow B, f:B\rightarrow C, fog:A\rightarrow C, fog \) একটি সংযোজিত ফাংশন (Composite function)।
যেমনঃ
মনে করি, \(A, B\) এবং \(C\) তিনটি অশূন্য সেট। \(g(x)\) এবং \(f(x)\) যথাক্রমে \(A\) সেট থেকে \(B\) সেটে এবং \(B\) সেট থেকে \(C\) সেটে সৃষ্ট দুইটি ফাংশন।
অর্থাৎ \(g:A\rightarrow B\) এবং \(f:B\rightarrow C\)।
যদি \(a\in A\) হয়, তবে \(g(x)\) ফাংশনের অধীনে \(a\)-এর প্রতিচ্ছবি হবে \(g(a)\), যা \(B\) সেটের উপাদান।
আবার,
যেহেতু \(f(x)\) ফাংশনের ডোমেন \(B\), এবং \(B\) সেটের একটি উপাদান \(g(a)\)।
সুতরাং \(f(x)\) ফাংশনের অধীনে \(g(a)\)-এর প্রতিচ্ছবি হবে \(f(g(a))\), যা \(C\) সেটের একটি উপাদান।
এখন এই দুইটি ফাংশনের সংযোজনে একটি নুতন ফাংশন পাওয়া যাবে যা \(A\) সেট থেকে সরাসরি \(C\) সেটে সৃষ্ট।
এই নুতন ফাংশনকে বলা হয়, \(g(x)\)-এর সাথে \(f(x)\)-এর সংযোজিত ফাংশন। ইহাকে \(fog(x)\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(fog:A\rightarrow C\).
আবার,
চিত্রে সংযোজিত ফাংশন (Composite function)-এর বর্ণনা দেওয়া হলো।
গাণিতিক ব্যাখ্যাঃ
\( f:A\rightarrow B, g:B\rightarrow C, gof:A\rightarrow C, gof \) একটি সংযোজিত ফাংশন (Composite function)।
যেমনঃ
মনে করি, \(A, B\) এবং \(C\) তিনটি অশূন্য সেট। \(f(x)\) এবং \(g(x)\) যথাক্রমে \(A\) সেট থেকে \(B\) সেটে এবং \(B\) সেট থেকে \(C\) সেটে সৃষ্ট দুইটি ফাংশন।
অর্থাৎ \(f:A\rightarrow B\) এবং \(g:B\rightarrow C\)।
যদি \(a\in A\) হয়, তবে \(f(x)\) ফাংশনের অধীনে \(a\)-এর প্রতিচ্ছবি হবে \(f(a)\), যা \(B\) সেটের উপাদান।
আবার,
যেহেতু \(g(x)\) ফাংশনের ডোমেন \(B\), এবং \(B\) সেটের একটি উপাদান \(f(a)\)।
সুতরাং \(g(x)\) ফাংশনের অধীনে \(f(a)\)-এর প্রতিচ্ছবি হবে \(g(f(a))\), যা \(C\) সেটের একটি উপাদান।
এখন এই দুইটি ফাংশনের সংযোজনে একটি নুতন ফাংশন পাওয়া যাবে যা \(A\) সেট থেকে সরাসরি \(C\) সেটে সৃষ্ট।
এই নুতন ফাংশনকে বলা হয়, \(f(x)\)-এর সাথে \(g(x)\)-এর সংযোজিত ফাংশন। ইহাকে \(gof(x)\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(gof:A\rightarrow C\).
আবার,
চিত্রে সংযোজিত ফাংশন (Composite function)-এর বর্ণনা দেওয়া হলো।
\( f:A\rightarrow B, g:B\rightarrow C, gof:A\rightarrow C, gof \) একটি সংযোজিত ফাংশন (Composite function)।
যেমনঃ
মনে করি, \(A, B\) এবং \(C\) তিনটি অশূন্য সেট। \(f(x)\) এবং \(g(x)\) যথাক্রমে \(A\) সেট থেকে \(B\) সেটে এবং \(B\) সেট থেকে \(C\) সেটে সৃষ্ট দুইটি ফাংশন।
অর্থাৎ \(f:A\rightarrow B\) এবং \(g:B\rightarrow C\)।
যদি \(a\in A\) হয়, তবে \(f(x)\) ফাংশনের অধীনে \(a\)-এর প্রতিচ্ছবি হবে \(f(a)\), যা \(B\) সেটের উপাদান।
আবার,
যেহেতু \(g(x)\) ফাংশনের ডোমেন \(B\), এবং \(B\) সেটের একটি উপাদান \(f(a)\)।
সুতরাং \(g(x)\) ফাংশনের অধীনে \(f(a)\)-এর প্রতিচ্ছবি হবে \(g(f(a))\), যা \(C\) সেটের একটি উপাদান।
এখন এই দুইটি ফাংশনের সংযোজনে একটি নুতন ফাংশন পাওয়া যাবে যা \(A\) সেট থেকে সরাসরি \(C\) সেটে সৃষ্ট।
এই নুতন ফাংশনকে বলা হয়, \(f(x)\)-এর সাথে \(g(x)\)-এর সংযোজিত ফাংশন। ইহাকে \(gof(x)\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
অর্থাৎ \(gof:A\rightarrow C\).
আবার,
চিত্রে সংযোজিত ফাংশন (Composite function)-এর বর্ণনা দেওয়া হলো।
\(19.(i)\) বিঃদ্রঃ \(g(x)\) ফাংশনটি \(f(x)\)-এর সহিত সংযোজিত হয়ে \(fog(x)\) সংযোজিত ফাংশন সৃষ্টি করে।
যার
ডোমেন \(D_{fog}\subseteq D_g\)
রেঞ্জ \(R_{fog}\subseteq R_f\)
আবার,
গাণিতিক ব্যাখ্যাঃ
\( g:A\rightarrow B, f:B\rightarrow C, fog:A\rightarrow C, fog \) একটি সংযোজিত ফাংশন (Composite function)।
যেমনঃ
ধরি'
\(f(x)=x^2-1; g(x)=\sqrt{x}\)
এবং \(fog(x)=x-1\)
এখানে,
\(g(x)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_g=\{1, 2, 3, 4\}\)
\(f(x)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=\{0, 1, 2, 3\}\)
ফলে,
\(fog(x)\)-এর ডোমেন \(D_{fog}=\{1, 2, 3, 4\}=D_g\)
\(fog(x)\)-এর রেঞ্জ \(R_{fog}=\{0, 1, 2, 3\}=R_f\)
যার
ডোমেন \(D_{fog}\subseteq D_g\)
রেঞ্জ \(R_{fog}\subseteq R_f\)
আবার,
গাণিতিক ব্যাখ্যাঃ
\( g:A\rightarrow B, f:B\rightarrow C, fog:A\rightarrow C, fog \) একটি সংযোজিত ফাংশন (Composite function)।
যেমনঃ
ধরি'
\(f(x)=x^2-1; g(x)=\sqrt{x}\)
এবং \(fog(x)=x-1\)
এখানে,
\(g(x)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_g=\{1, 2, 3, 4\}\)
\(f(x)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=\{0, 1, 2, 3\}\)
ফলে,
\(fog(x)\)-এর ডোমেন \(D_{fog}=\{1, 2, 3, 4\}=D_g\)
\(fog(x)\)-এর রেঞ্জ \(R_{fog}=\{0, 1, 2, 3\}=R_f\)
\(19.(ii)\) বিঃদ্রঃ \(f(x)\) ফাংশনটি \(g(x)\)-এর সহিত সংযোজিত হয়ে \(gof(x)\) সংযোজিত ফাংশন সৃষ্টি করে।
যার
ডোমেন \(D_{gof}\subseteq D_f\)
রেঞ্জ \(R_{gof}\subseteq R_g\)
গাণিতিক ব্যাখ্যাঃ
\( f:A\rightarrow B, g:B\rightarrow C, gof:A\rightarrow C, gof \) একটি সংযোজিত ফাংশন (Composite function)।
যেমনঃ
ধরি'
\(f(x)=x^2-1; g(x)=\sqrt{x}\)
এবং \(gof(x)=\sqrt{x^2-1}\)
এখানে,
\(f(x)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\{1, 2, 3, 4\}\)
\(g(x)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_g=\{0, \sqrt{3}, \sqrt{8}, \sqrt{15}\}\)
ফলে,
\(gof(x)\)-এর ডোমেন \(D_{gof}=\{1, 2, 3, 4\}=D_f\)
\(gof(x)\)-এর রেঞ্জ \(R_{gof}=\{0, \sqrt{3}, \sqrt{8}, \sqrt{15}\}=R_g\)
যার
ডোমেন \(D_{gof}\subseteq D_f\)
রেঞ্জ \(R_{gof}\subseteq R_g\)
গাণিতিক ব্যাখ্যাঃ
\( f:A\rightarrow B, g:B\rightarrow C, gof:A\rightarrow C, gof \) একটি সংযোজিত ফাংশন (Composite function)।
যেমনঃ
ধরি'
\(f(x)=x^2-1; g(x)=\sqrt{x}\)
এবং \(gof(x)=\sqrt{x^2-1}\)
এখানে,
\(f(x)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\{1, 2, 3, 4\}\)
\(g(x)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_g=\{0, \sqrt{3}, \sqrt{8}, \sqrt{15}\}\)
ফলে,
\(gof(x)\)-এর ডোমেন \(D_{gof}=\{1, 2, 3, 4\}=D_f\)
\(gof(x)\)-এর রেঞ্জ \(R_{gof}=\{0, \sqrt{3}, \sqrt{8}, \sqrt{15}\}=R_g\)
\(20.\) বিপরীত ফাংশনঃ \(f:A\rightarrow B\) যদি এক-এক এবং সার্বিক ফাংশন হয় তবে প্রত্যেক \(b\in B\)-এর জন্য একটি অনন্য উপাদান \(a\in A\) আছে যেন \(f(a)=b\) হয়। তখন \(f^{-1}:B\rightarrow A\) ফাংশনটিকে \(f\) ফাংশনের বিপরীত ফাংশন (Inverse function) বলা হয়।
গাণিতিক ব্যাখ্যাঃ
\( f:A\rightarrow B, f^{-1}:B\rightarrow A, f^{-1} \) কে \(f\)-এর বিপরীত ফাংশন (Inverse function) বলা হয়।
বিপরীত ফাংশনের ক্ষেত্রে লক্ষনীয়ঃ
\((i)\) কোনো ফাংশনের বিপরীত ফাংশন নির্ণয় করা সম্ভব হবে যদি ফাংশনটি এক-এক ও সার্বিক হয়।
\((i)\) \(f\)-এর বিপরীত ফাংশনকে \(f^{-1}\) দ্বারা সূচিত করা হয়, যেখানে \(f(x)\ne \frac{1}{f(x)}\)।
\((i)\) \(f\)-এর ডোমেন \(=f^{-1}\)-এর রেঞ্জ এবং \(f\)-এর রেঞ্জ\(=f^{-1}\) -এর ডোমেন।
গাণিতিক ব্যাখ্যাঃ
\( f:A\rightarrow B, f^{-1}:B\rightarrow A, f^{-1} \) কে \(f\)-এর বিপরীত ফাংশন (Inverse function) বলা হয়।
বিপরীত ফাংশনের ক্ষেত্রে লক্ষনীয়ঃ
\((i)\) কোনো ফাংশনের বিপরীত ফাংশন নির্ণয় করা সম্ভব হবে যদি ফাংশনটি এক-এক ও সার্বিক হয়।
\((i)\) \(f\)-এর বিপরীত ফাংশনকে \(f^{-1}\) দ্বারা সূচিত করা হয়, যেখানে \(f(x)\ne \frac{1}{f(x)}\)।
\((i)\) \(f\)-এর ডোমেন \(=f^{-1}\)-এর রেঞ্জ এবং \(f\)-এর রেঞ্জ\(=f^{-1}\) -এর ডোমেন।
\(21.\) ব্যক্ত ফাংশনঃ (Explicit function) যে সমস্ত ফাংশনকে সরাসরি স্বাধীন চলকের সাহায্যে প্রকাশ করা যায় তাকে ব্যক্ত ফাংশন বলে। একে প্রকাশ্য ফাংশনও বলা হয়।
যেমনঃ \(y=\sin{x}, y=x^3+\log{x}, y=e^{ax}\cos{bx}, y=x^3+4x^2+3x+5\) ইত্যাদি সকলে ব্যক্ত ফাংশন।
যেমনঃ \(y=\sin{x}, y=x^3+\log{x}, y=e^{ax}\cos{bx}, y=x^3+4x^2+3x+5\) ইত্যাদি সকলে ব্যক্ত ফাংশন।
\(22.\) অব্যক্ত ফাংশনঃ (Implicit function) যে সমস্ত ফাংশনকে সরাসরি স্বাধীন চলকের সাহায্যে প্রকাশ করা যায় না, দুইটি চলকের মিশ্রণরূপে প্রকাশ করা হয় তাদের একটিকে অপরটির অব্যক্ত ফাংশন বলে। একে অপ্রকাশ্য ফাংশনও বলা হয়।
যেমনঃ \(x^2+y^2=a^2, 3x^2+2xy+y^2=a^2, x^3+y^3+3x^2y+3xy^2+c=0\) ইত্যাদি সকলে অব্যক্ত ফাংশন।
\(x\) ও \(y\) চলকদ্বয় একে অপরের অপ্রকাশ্য ফাংশন।
যেমনঃ \(x^2+y^2=a^2, 3x^2+2xy+y^2=a^2, x^3+y^3+3x^2y+3xy^2+c=0\) ইত্যাদি সকলে অব্যক্ত ফাংশন।
\(x\) ও \(y\) চলকদ্বয় একে অপরের অপ্রকাশ্য ফাংশন।
\(23.\) পরামিতিক ফাংশনঃ (Parametric function) অনেক সময় সুবিধার জন্য কোনো ফাংশনের \(x\) ও \(y\) চলককে তৃতীয় আর একটি চলকের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়। এই তৃতীয় চলরাশিকে পরামিতি, এবং ফাংশনটিকে পরামিতক ফাংশন বলা বলা হয়।
যেমনঃ \(x=g(t), y=f(t), x=e^{\phi(t)}, y=\sin{t}\) ইত্যাদি সকলে পরামিতিক ফাংশন।
যেমনঃ \(x=g(t), y=f(t), x=e^{\phi(t)}, y=\sin{t}\) ইত্যাদি সকলে পরামিতিক ফাংশন।
বিভিন্ন ফাংশনের লেখচিত্রঃ
\( f(x)=y=|x|\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন করা হলো।
\( f(x)=y=e^{x}\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন করা হলো।
\( f(x)=y=e^{-x}\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন করা হলো।
\( f(x)=y=2^{x}\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন করা হলো।
\( f(x)=y=2^{-x}\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন করা হলো।
\( f(x)=y=\ln x\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন করা হলো।
\( f(x)=y=\log x\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন করা হলো।
ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের লেখচিত্রঃ
\( f(x)=y=\sin x\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন করা হলো।
\( f(x)=y=\cos x\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন করা হলো।
\( f(x)=y=\tan x\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন করা হলো।
\( f(x)=y= Cosec x\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন করা হলো।
\( f(x)=y=\sec x\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন করা হলো।
\( f(x)=y=\cot x\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন করা হলো।
\( f(x)=y=\sin^{-1} x\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন করা হলো।
\( f(x)=y=\cos^{-1} x\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন করা হলো।
\( f(x)=y=\tan^{-1} x\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন করা হলো।
\( f(x)=y= Cosec^{-1} x\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন করা হলো।
\( f(x)=y=\sec^{-1} x\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন করা হলো।
\( f(x)=y=\cot^{-1} x\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন করা হলো।
অনুশীলনী \(8.\) উদাহরণ সমুহ
উদাহরণ \(1.\) সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেট \(\mathbb{N}\) এবং \(F=\{(x, y):x\in \mathbb{N}, y\in \mathbb{N}, x+3y=10\}\) হলে, অন্বয় \(F\) কে ক্রমজোড়ের সেটরূপে প্রকাশ কর। ডোমেন রেঞ্জ এবং \(F^{-1}\) নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(2.\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=\begin{cases}3x+1 \ যখন \ x > 3\\x^2-2 \ যখন \ -2 \leq x\leq 3\\2x+3 \ যখন \ -2>x \end{cases} \) দ্বারা সংজ্ঞায়িত।
\(f(2), f(4), f(-1), f(-3)\) এবং \(f(0)\) নির্ণয় কর।
[ রাঃ,চঃ ২০০৮;যঃ ২০০৭]
উদাহরণ \(3.\) \(f\)-এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর যখন
\((i)\) \(A=\{-1, 0, 2, 4\}\) এবং \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশন, \(f(x)=2x^2-3x+1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত।
\((ii)\) \(A=\{1, 3\}\) এবং \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশন, \(f(x)=2x+3\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত।
উদাহরণ \(4.\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^2+3x+1\) এবং \(g(x)=2x-3\) হলে, \(fog\), \(gof\), \(fof\), \(fog(2)\) এবং \(gof(2)\) নির্ণয় কর।
[ রুয়েট ২০১২-২০১৩, ২০০৮-২০০৯; বুটেক্স ২০০৯-২০১০; চুয়েট ২০১১-২০১২; রাঃ২০০৭; চঃ২০০৫; সিঃ২০১০,২০০৪; বঃ২০১২]
উদাহরণ \(5.\) \(f(x)=e^x+e^{-x}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(f(x+y)f(x-y)=f(2x)+f(2y)\)।
[ কুঃ২০১০,২০০৪;সিঃ ২০০৭,২০০৪; চঃ ২০১৩,২০০৯,২০০৬.২০০৩; রাঃ২০১৫,২০১৪,২০১০,২০০৫; বঃ ২০০৯,২০০৫;ঢাঃ ২০১২; যঃ ২০১২,২০০৮;মাঃ২০১২ ]
উদাহরণ \(6.\) \(f(x)=\cos(\ln x)\) \(f(x)f(y)-\frac{1}{2}\left[f(\frac{x}{y})+f(xy)\right]\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
[ চঃ২০০৭; কুঃ২০১৪,২০০৯; যঃ ২০০৫; দিঃ ২০১৬,২০১১; সিঃ ২০১৫,২০১৫,২০১১ ]
উদাহরণ \(7.\) \(f(x)=\frac{x-3}{2x+1}\) এবং \(g(x)=2x-3\) দুইটি ফাংশন।
\((i)\) \(h(x)=3x^2-12x+19\)-এর ক্ষুদ্রতম মাণ নির্ণয় কর।
\((ii)\) দেখাও যে, \(fog\ne gof\).
\((iii)\) \(f:A\rightarrow \mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}\) শর্ত সাপেক্ষে সম্ভব হলে \(f^{-1}\) নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(8.\) দেখাও যে, \(f(x)=x^3\) দ্বারা বর্ণিত \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি এক-এক।
উদাহরণ \(9.\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) কে \(f(x)=x^2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত। দেখাও যে, \(f(x)\) ফাংশনটি এক-এক নয়।
উদাহরণ \(10.\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) কে \(f(x)=x^2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত। দেখাও যে, \(f(x)\) ফাংশনটি সার্বিক নয়।
উদাহরণ \(11.\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) কে \(f(x)=x^3\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত। দেখাও যে, \(f(x)\) ফাংশনটি সার্বিক।
উদাহরণ \(12.\) নিচের চিত্রে \(f:A\rightarrow B\) এবং \(g:B\rightarrow C\) দেখানো হয়েছে।
\((i)\) সংজ্ঞায়িত ফাংশন \(fog:A\rightarrow C\) নির্ণয় কর।
\((ii)\) \(f, g\)এবং \(gof\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(2.\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=\begin{cases}3x+1 \ যখন \ x > 3\\x^2-2 \ যখন \ -2 \leq x\leq 3\\2x+3 \ যখন \ -2>x \end{cases} \) দ্বারা সংজ্ঞায়িত।
\(f(2), f(4), f(-1), f(-3)\) এবং \(f(0)\) নির্ণয় কর।
[ রাঃ,চঃ ২০০৮;যঃ ২০০৭]
উদাহরণ \(3.\) \(f\)-এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর যখন
\((i)\) \(A=\{-1, 0, 2, 4\}\) এবং \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশন, \(f(x)=2x^2-3x+1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত।
\((ii)\) \(A=\{1, 3\}\) এবং \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশন, \(f(x)=2x+3\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত।
উদাহরণ \(4.\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^2+3x+1\) এবং \(g(x)=2x-3\) হলে, \(fog\), \(gof\), \(fof\), \(fog(2)\) এবং \(gof(2)\) নির্ণয় কর।
[ রুয়েট ২০১২-২০১৩, ২০০৮-২০০৯; বুটেক্স ২০০৯-২০১০; চুয়েট ২০১১-২০১২; রাঃ২০০৭; চঃ২০০৫; সিঃ২০১০,২০০৪; বঃ২০১২]
উদাহরণ \(5.\) \(f(x)=e^x+e^{-x}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(f(x+y)f(x-y)=f(2x)+f(2y)\)।
[ কুঃ২০১০,২০০৪;সিঃ ২০০৭,২০০৪; চঃ ২০১৩,২০০৯,২০০৬.২০০৩; রাঃ২০১৫,২০১৪,২০১০,২০০৫; বঃ ২০০৯,২০০৫;ঢাঃ ২০১২; যঃ ২০১২,২০০৮;মাঃ২০১২ ]
উদাহরণ \(6.\) \(f(x)=\cos(\ln x)\) \(f(x)f(y)-\frac{1}{2}\left[f(\frac{x}{y})+f(xy)\right]\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
[ চঃ২০০৭; কুঃ২০১৪,২০০৯; যঃ ২০০৫; দিঃ ২০১৬,২০১১; সিঃ ২০১৫,২০১৫,২০১১ ]
উদাহরণ \(7.\) \(f(x)=\frac{x-3}{2x+1}\) এবং \(g(x)=2x-3\) দুইটি ফাংশন।
\((i)\) \(h(x)=3x^2-12x+19\)-এর ক্ষুদ্রতম মাণ নির্ণয় কর।
\((ii)\) দেখাও যে, \(fog\ne gof\).
\((iii)\) \(f:A\rightarrow \mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}\) শর্ত সাপেক্ষে সম্ভব হলে \(f^{-1}\) নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(8.\) দেখাও যে, \(f(x)=x^3\) দ্বারা বর্ণিত \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি এক-এক।
উদাহরণ \(9.\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) কে \(f(x)=x^2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত। দেখাও যে, \(f(x)\) ফাংশনটি এক-এক নয়।
উদাহরণ \(10.\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) কে \(f(x)=x^2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত। দেখাও যে, \(f(x)\) ফাংশনটি সার্বিক নয়।
উদাহরণ \(11.\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) কে \(f(x)=x^3\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত। দেখাও যে, \(f(x)\) ফাংশনটি সার্বিক।
উদাহরণ \(12.\) নিচের চিত্রে \(f:A\rightarrow B\) এবং \(g:B\rightarrow C\) দেখানো হয়েছে।
\((i)\) সংজ্ঞায়িত ফাংশন \(fog:A\rightarrow C\) নির্ণয় কর।
\((ii)\) \(f, g\)এবং \(gof\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(13.\) \(f:R\rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=2x+1\) এবং \(g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, \ g(x)=x^2-2\) দুইটি ফাংশন।
\((i)\) \(gof\) নির্ণয় কর।
\((ii)\) \(fog\) নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(14.\) বাস্তব সংখ্যার সেট \(R\)-এর উপর বর্ণিত \(f\) এবং \(g\) দুইটি ফাংশন যথাক্রমে \(f(x)=x^2+2x-3\) এবং \(g(x)=3x-4\) ।
\((i)\) \(gof\) এবং \(fog\) নির্ণয় কর।
\((ii)\) \(gof(2)\) এবং \(fog(2)\) নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(15.\) \(f(x)=\sqrt{x}\) এবং \(g(x)=x^2-1\) হলে \(gof(x)\) এবং \(fog(x)\) নির্ণয় কর এবং প্রত্যেক ক্ষেত্রে সংযোজিত ফাংশনের ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
[ চঃ২০০৯; সিঃ২০০৫]
উদাহরণ \(16.\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) কে \(f(x)=2x-3\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত। দেখাও যে, ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক। \(f^{-1}\) নির্ণয় কর।
[ কুয়েট ২০১৩-২০১৪; চঃ২০১৩,২০১০; রাঃ২০১১ ]
উদাহরণ \(17.\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) কে \(f(x)=x^3\) সূত্র দ্বারা সংজ্ঞায়িত। যদি ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক হয় তবে \(f(x)\)-এর বিপরীত ফাংশন নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(18.\) নিচের চিত্রে \(f:A\rightarrow B\) দেখানো হয়েছে। উহা হতে \(f^{-1}:B\rightarrow A\) নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(19.\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) কে \(f(x)=x^2+1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হলো। \(f^{-1}(5)\) কে সেট আকারে প্রকাশ কর।
[ চঃ২০০০]
উদাহরণ \(20.\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) কে \(f(x)=x^2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হলো। \(f^{-1}(36)\) \(f^{-1}(16)\) কে সেট আকারে প্রকাশ কর।
[ বঃ২০০৬; কুঃ২০০৫; ঢাঃ,চঃ,যঃ ২০০৪]
উদাহরণ \(21.\) \(\mathbb{R}\) বাস্তব সংখ্যার সেট এবং \(A=\{-3, -1, 0, 1, 3\}; \ f:A\rightarrow \mathbb{R} \) ফাংশনটি \(f(x)=x^2+x+1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত হলে \(f(x)\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০০]
উদাহরণ \(22.\) যদি \(A, B\subseteq \mathbb{R}; \ B=\mathbb{R}-\{1\}\) এবং \(f:A\rightarrow B\) কে \(f(x)=\frac{x-2}{x-3}\) সূত্র দ্বারা সংজ্ঞায়িত । ফাংশনটির ডোমেন এবং রেঞ্জ নির্ণয় কর। দেখাও যে, ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক। \(f^{-1}\) নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১৪; ঢাঃ ২০০৯; সিঃ ২০০৭]
\((i)\) \(gof\) নির্ণয় কর।
\((ii)\) \(fog\) নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(14.\) বাস্তব সংখ্যার সেট \(R\)-এর উপর বর্ণিত \(f\) এবং \(g\) দুইটি ফাংশন যথাক্রমে \(f(x)=x^2+2x-3\) এবং \(g(x)=3x-4\) ।
\((i)\) \(gof\) এবং \(fog\) নির্ণয় কর।
\((ii)\) \(gof(2)\) এবং \(fog(2)\) নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(15.\) \(f(x)=\sqrt{x}\) এবং \(g(x)=x^2-1\) হলে \(gof(x)\) এবং \(fog(x)\) নির্ণয় কর এবং প্রত্যেক ক্ষেত্রে সংযোজিত ফাংশনের ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
[ চঃ২০০৯; সিঃ২০০৫]
উদাহরণ \(16.\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) কে \(f(x)=2x-3\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত। দেখাও যে, ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক। \(f^{-1}\) নির্ণয় কর।
[ কুয়েট ২০১৩-২০১৪; চঃ২০১৩,২০১০; রাঃ২০১১ ]
উদাহরণ \(17.\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) কে \(f(x)=x^3\) সূত্র দ্বারা সংজ্ঞায়িত। যদি ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক হয় তবে \(f(x)\)-এর বিপরীত ফাংশন নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(18.\) নিচের চিত্রে \(f:A\rightarrow B\) দেখানো হয়েছে। উহা হতে \(f^{-1}:B\rightarrow A\) নির্ণয় কর।
উদাহরণ \(19.\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) কে \(f(x)=x^2+1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হলো। \(f^{-1}(5)\) কে সেট আকারে প্রকাশ কর।
[ চঃ২০০০]
উদাহরণ \(20.\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) কে \(f(x)=x^2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হলো। \(f^{-1}(36)\) \(f^{-1}(16)\) কে সেট আকারে প্রকাশ কর।
[ বঃ২০০৬; কুঃ২০০৫; ঢাঃ,চঃ,যঃ ২০০৪]
উদাহরণ \(21.\) \(\mathbb{R}\) বাস্তব সংখ্যার সেট এবং \(A=\{-3, -1, 0, 1, 3\}; \ f:A\rightarrow \mathbb{R} \) ফাংশনটি \(f(x)=x^2+x+1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত হলে \(f(x)\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
[ যঃ ২০০০]
উদাহরণ \(22.\) যদি \(A, B\subseteq \mathbb{R}; \ B=\mathbb{R}-\{1\}\) এবং \(f:A\rightarrow B\) কে \(f(x)=\frac{x-2}{x-3}\) সূত্র দ্বারা সংজ্ঞায়িত । ফাংশনটির ডোমেন এবং রেঞ্জ নির্ণয় কর। দেখাও যে, ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক। \(f^{-1}\) নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১৪; ঢাঃ ২০০৯; সিঃ ২০০৭]
উদাহরণ \(12.\) নিচের চিত্রে \(f:A\rightarrow B\) এবং \(g:B\rightarrow C\) দেখানো হয়েছে।
\((i)\) সংজ্ঞায়িত ফাংশন \(fog:A\rightarrow C\) নির্ণয় কর।
\((ii)\) \(f, g\)এবং \(gof\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((i)\) সংজ্ঞায়িত ফাংশন \(fog:A\rightarrow C\) নির্ণয় কর।
\((ii)\) \(f, g\)এবং \(gof\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
চিত্রে দেখানো হয়েছে,
\(f:A\rightarrow B\) এবং \(g:B\rightarrow C\)
উদাহরণ \(12. (i)\)
\(gof(u)=g(f(u))=g(y)=t\)
\(gof(v)=g(f(v))=g(x)=s\)
\(gof(w)=g(f(w))=g(y)=t\)
উদাহরণ \(12. (ii)\)
\(f\)-এর রেঞ্জ \(=\{x, y\}\)
\(g\)-এর রেঞ্জ \(=\{r, s, t\}\)
\(gof\)-এর রেঞ্জ \(=\{s, t\}\)
\(f:A\rightarrow B\) এবং \(g:B\rightarrow C\)
উদাহরণ \(12. (i)\)
\(gof(u)=g(f(u))=g(y)=t\)
\(gof(v)=g(f(v))=g(x)=s\)
\(gof(w)=g(f(w))=g(y)=t\)
উদাহরণ \(12. (ii)\)
\(f\)-এর রেঞ্জ \(=\{x, y\}\)
\(g\)-এর রেঞ্জ \(=\{r, s, t\}\)
\(gof\)-এর রেঞ্জ \(=\{s, t\}\)
উদাহরণ \(18.\) নিচের চিত্রে \(f:A\rightarrow B\) দেখানো হয়েছে। উহা হতে \(f^{-1}:B\rightarrow A\) নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
চিত্রে দেওয়া আছে,
\(f:A\rightarrow B\)
এখানে,
\(f(x)\) ফাংশন এক-এক এবং সার্বিক।
অতএব, \(f^{-1}\) বিদ্যমান।
পাশের চিত্রে \(f^{-1}\) দেখানো হলো।
\(f:A\rightarrow B\)
এখানে,
\(f(x)\) ফাংশন এক-এক এবং সার্বিক।
অতএব, \(f^{-1}\) বিদ্যমান।
পাশের চিত্রে \(f^{-1}\) দেখানো হলো।
অনুশীলনী \(8.\) / \(Q.1\)-এর অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
\(Q.1.(i)\) \(A=\{1, 2, 3, 4\}\) সেট থেকে \(B=\{1, 3, 5\}\) সেটে বর্ণিত একটি অন্বয় \(S\), যেখানে, \(S=\{(x, y):x\in A, y\in B\) এবং \(y>x\}\); \(S\) কে ক্রমজোড়ের সেটরূপে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(S=\{(1, 3),(1, 5),(2, 3),(2, 5),(3, 5),(4, 5)\}\)
\(Q.1.(ii)\) \(\mathbb{N}\) স্বাভাবিক সংখ্যার সেট এবং \(S=\{(x, y): x\in \mathbb{N}, y\in \mathbb{N}, 2x+y=10\}\) হলে, অন্বয় \(S\) কে ক্রমজোড়ের সেটরূপে প্রকাশ কর। \(S\)-এর ডোমেন এবং রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(S=\{(1, 8),(2, 6),(3, 4),(4, 2)\};\) \(D_s=\{1, 2, 3, 4\}; R_s=\{2, 4, 6, 8\}\)
\(Q.1.(iii)\) \(\mathbb{N}\) স্বাভাবিক সংখ্যার সেট এবং \(F=\{(x, y): x\in \mathbb{N}, y\in \mathbb{N}, x+3y=12\}\) হলে, অন্বয় \(F\) কে ক্রমজোড়ের সেটরূপে প্রকাশ কর। \(F\)-এর ডোমেন, রেঞ্জ এবং \(F^{-1}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(D_F=\{3, 6, 9\}; R_F=\{1, 2, 3\};\) \(F^{-1}=\{(1, 9),(2, 6),(3, 3)\}; \)
\(Q.1.(iv)\) \(A=[-4, 4], B=[0, 4], C=[-2, 0], D=[-4, 0]\) ব্যবধিসমূহে বর্ণিত নিচের অন্বয়গুলির কোনটি ফাংশন এবং কোনটি ফাংশন নয় কারণসহ উল্লেখ কর।
\(Q.1.(iv)(a)\) \(F_1=\{(x, y):x\in A, y\in B, x^2+y^2=16\}\)
\(Q.1.(iv)(b)\) \(F_2=\{(x, y):x\in B, y\in A, x^2+y^2=16\}\)
\(Q.1.(iv)(c)\) \(F_3=\{(x, y):x\in B, y\in B, x^2+y^2=16\}\)
\(Q.1.(iv)(d)\) \(F_4=\{(x, y):x\in A, y\in C, x^2+y^2=16\}\)
\(Q.1.(iv)(e)\) \(F_5=\{(x, y):x\in A, y\in D, x^2+y^2=16\}\)
উত্তরঃ \((a)\) ফাংশন; \((b)\) ফাংশন নয়; \((c)\) ফাংশন; \((d)\) ফাংশন নয়; \((e)\) ফাংশন;
\(Q.1.(v)\) \(A=[-4, 4], B=[0, 4], C=[-4, 0]\) ব্যবধিসমূহে বর্ণিত নিচের অন্বয়গুলি ফাংশন কিনা লেখচিত্র অঙ্কন করে নির্ণয় কর।
\(Q.1.(v)(a)\) \(F_1=\{(x, y):x\in A, y\in B, x^2+4y^2=16\}\)
\(Q.1.(v)(b)\) \(F_2=\{(x, y):x\in A, y\in C, x^2+4y^2=16\}\)
\(Q.1.(v)(c)\) \(F_3=\{(x, y):x\in B, y\in C, x^2+4y^2=16\}\)
\(Q.1.(v)(d)\) \(F_4=\{(x, y):x\in B, y\in C, x^2+4y^2=16\}\)
উত্তরঃ \((a)\) ফাংশন; \((b)\) ফাংশন ; \((c)\) ফাংশন নয়; \((d)\) ফাংশন নয়।
\(Q.1.(vi)\) \(F=\{(x, y): x\in \mathbb{R}, y\in \mathbb{R}, \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\}\) অন্বয়টির লেখচিত্র অঙ্কন কর। অন্বয়টির ডোমেন, রেঞ্জ এবং \(F^{-1}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(D_F=\{x: x\in \mathbb{R} -3\le x\le 3\};\) \(R_F=\{x: x\in \mathbb{R} -2\le x\le 2\}\)
\(Q.1.(vii)\) \(T=[-3, 5]\) এবং \(f:T\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=2x^2-7\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত। \(f(2), f(6)\) এবং \(f(t-2)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f(2)=1\); \(f(6)=\)সংজ্ঞায়িত নয় কারণ \(6\notin [-3, 5]\); \(f(t-2)=2t^2-8t+1, -1\le t \le 7\)
\(Q.1.(viii)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=\begin{cases}x^2-3x, & x \ge 2\\x+2, & 2 > x\end{cases}\) দ্বারা প্রকাশিত। \(f(5), f(0)\) এবং \(f(-2)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f(5)=10; f(0)=2; f(-2)=0\)
[ দিঃ২০১১; বঃ ২০১০, ২০০৪; কুঃ ২০০৮, ২০০৪; চঃ ২০০৬; ঢাঃ ২০০৩ ]
\(Q.1.(ix)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=\begin{cases}x^2+3x, & x \ge 2\\x+2, & 2 > x\end{cases}\) দ্বারা প্রকাশিত। \(f(7), f(0), f(5)\) এবং \(f(-2)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f(7)=70; f(0)=2; f(5)=40; f(-2)=0\)
[ রাঃ২০১২; সিঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ ডোমেন \(=\mathbb{R}\), রেঞ্জ \(=[1, \infty)\).
[ কুঃ ২০০৭ ]
\(Q.1.(x) (b)\) \(g(x)=\frac{1}{2x-3}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(=\mathbb{R}-\{\frac{3}{2}\}\), রেঞ্জ \(=\mathbb{R}-\{0\}\).
[ চঃ ২০১৭ ]
\(Q.1.(x) (c)\) \(f(x)=\frac{x-3}{3x+1}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{3}\}\), রেঞ্জ \(=\mathbb{R}-\{\frac{1}{3}\}\).
[ সিঃ ২০১১ ]
\(Q.1.(x) (d)\) \(f(x)=\frac{x}{x-1}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(=\mathbb{R}-\{1\}\), রেঞ্জ \(=\mathbb{R}-\{1\}\).
[ যঃ ২০১০ ]
\(Q.1.(x) (e)\) \(f(x)=x^3\)
উত্তরঃ ডোমেন \(=\mathbb{R}\), রেঞ্জ \(=\mathbb{R}\).
[ কুঃ ২০০৭ ]
\(Q.1.(x) (f)\) \(f(x)=\sqrt{x+4}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(=\{x: x\in \mathbb{R}, x\ge -4\}\), রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}\).
\(Q.1.(x) (g)\) \(f(x)=\sqrt{4-x^2}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(=[ -2, 2]\), রেঞ্জ \(=[ 0, 2]\).
[ চঃ ২০১১ ]
\(Q.1.(x) (h)\) \(f(x)=2\cos x\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\), রেঞ্জ \(R_f=\{x: x\in \mathbb{R}, -2\le x\le 2\}=[-2, 2]\).
\(Q.1.(x) (i)\) \(f(x)=x+3\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\), রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}\).
\(Q.1.(x) (j)\) \(f(x)=\frac{1}{x-5}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{5\}\), রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}-\{0\}\).
\(Q.1.(x) (k)\) \(f(x)=\frac{1}{x^2}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{0\}\), রেঞ্জ \(R_f=\{x: x\in \mathbb{R}, x>0\}=(0, \infty)\).
\(Q.1.(x) (l)\) \(f(x)=-x^2+1\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\), রেঞ্জ \(R_f=\{x: x\in \mathbb{R}, x\le 1\}=(-\infty, 1]\).
\(Q.1.(x) (m)\) \(f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{2\}\), রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}-\{4\}\).
\(Q.1.(x) (n)\) \(f(x)=\frac{x^2-2}{x-\sqrt{2}}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{\sqrt{2}\}\), রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}-\{2\sqrt{2}\}\).
\(Q.1.(x) (o)\) \(f(x)=\frac{x}{x-2}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{2\}\), রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}-\{1\}\).
\(Q.1.(x) (p)\) \(f(x)=\sqrt{x-1}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=[1, \infty)\), রেঞ্জ \(R_f=[0, \infty)\).
উত্তরঃ \(S=\{(1, 3),(1, 5),(2, 3),(2, 5),(3, 5),(4, 5)\}\)
\(Q.1.(ii)\) \(\mathbb{N}\) স্বাভাবিক সংখ্যার সেট এবং \(S=\{(x, y): x\in \mathbb{N}, y\in \mathbb{N}, 2x+y=10\}\) হলে, অন্বয় \(S\) কে ক্রমজোড়ের সেটরূপে প্রকাশ কর। \(S\)-এর ডোমেন এবং রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(S=\{(1, 8),(2, 6),(3, 4),(4, 2)\};\) \(D_s=\{1, 2, 3, 4\}; R_s=\{2, 4, 6, 8\}\)
\(Q.1.(iii)\) \(\mathbb{N}\) স্বাভাবিক সংখ্যার সেট এবং \(F=\{(x, y): x\in \mathbb{N}, y\in \mathbb{N}, x+3y=12\}\) হলে, অন্বয় \(F\) কে ক্রমজোড়ের সেটরূপে প্রকাশ কর। \(F\)-এর ডোমেন, রেঞ্জ এবং \(F^{-1}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(D_F=\{3, 6, 9\}; R_F=\{1, 2, 3\};\) \(F^{-1}=\{(1, 9),(2, 6),(3, 3)\}; \)
\(Q.1.(iv)\) \(A=[-4, 4], B=[0, 4], C=[-2, 0], D=[-4, 0]\) ব্যবধিসমূহে বর্ণিত নিচের অন্বয়গুলির কোনটি ফাংশন এবং কোনটি ফাংশন নয় কারণসহ উল্লেখ কর।
\(Q.1.(iv)(a)\) \(F_1=\{(x, y):x\in A, y\in B, x^2+y^2=16\}\)
\(Q.1.(iv)(b)\) \(F_2=\{(x, y):x\in B, y\in A, x^2+y^2=16\}\)
\(Q.1.(iv)(c)\) \(F_3=\{(x, y):x\in B, y\in B, x^2+y^2=16\}\)
\(Q.1.(iv)(d)\) \(F_4=\{(x, y):x\in A, y\in C, x^2+y^2=16\}\)
\(Q.1.(iv)(e)\) \(F_5=\{(x, y):x\in A, y\in D, x^2+y^2=16\}\)
উত্তরঃ \((a)\) ফাংশন; \((b)\) ফাংশন নয়; \((c)\) ফাংশন; \((d)\) ফাংশন নয়; \((e)\) ফাংশন;
\(Q.1.(v)\) \(A=[-4, 4], B=[0, 4], C=[-4, 0]\) ব্যবধিসমূহে বর্ণিত নিচের অন্বয়গুলি ফাংশন কিনা লেখচিত্র অঙ্কন করে নির্ণয় কর।
\(Q.1.(v)(a)\) \(F_1=\{(x, y):x\in A, y\in B, x^2+4y^2=16\}\)
\(Q.1.(v)(b)\) \(F_2=\{(x, y):x\in A, y\in C, x^2+4y^2=16\}\)
\(Q.1.(v)(c)\) \(F_3=\{(x, y):x\in B, y\in C, x^2+4y^2=16\}\)
\(Q.1.(v)(d)\) \(F_4=\{(x, y):x\in B, y\in C, x^2+4y^2=16\}\)
উত্তরঃ \((a)\) ফাংশন; \((b)\) ফাংশন ; \((c)\) ফাংশন নয়; \((d)\) ফাংশন নয়।
\(Q.1.(vi)\) \(F=\{(x, y): x\in \mathbb{R}, y\in \mathbb{R}, \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\}\) অন্বয়টির লেখচিত্র অঙ্কন কর। অন্বয়টির ডোমেন, রেঞ্জ এবং \(F^{-1}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(D_F=\{x: x\in \mathbb{R} -3\le x\le 3\};\) \(R_F=\{x: x\in \mathbb{R} -2\le x\le 2\}\)
\(Q.1.(vii)\) \(T=[-3, 5]\) এবং \(f:T\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=2x^2-7\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত। \(f(2), f(6)\) এবং \(f(t-2)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f(2)=1\); \(f(6)=\)সংজ্ঞায়িত নয় কারণ \(6\notin [-3, 5]\); \(f(t-2)=2t^2-8t+1, -1\le t \le 7\)
\(Q.1.(viii)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=\begin{cases}x^2-3x, & x \ge 2\\x+2, & 2 > x\end{cases}\) দ্বারা প্রকাশিত। \(f(5), f(0)\) এবং \(f(-2)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f(5)=10; f(0)=2; f(-2)=0\)
[ দিঃ২০১১; বঃ ২০১০, ২০০৪; কুঃ ২০০৮, ২০০৪; চঃ ২০০৬; ঢাঃ ২০০৩ ]
\(Q.1.(ix)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=\begin{cases}x^2+3x, & x \ge 2\\x+2, & 2 > x\end{cases}\) দ্বারা প্রকাশিত। \(f(7), f(0), f(5)\) এবং \(f(-2)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f(7)=70; f(0)=2; f(5)=40; f(-2)=0\)
[ রাঃ২০১২; সিঃ ২০১১ ]
\(Q.1.(x)(a) - Q.1.(x)(t)\) নিম্নলিখিত ফাংশনগুলির ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(x) (a)\) \(f(x)=x^2+1\)উত্তরঃ ডোমেন \(=\mathbb{R}\), রেঞ্জ \(=[1, \infty)\).
[ কুঃ ২০০৭ ]
\(Q.1.(x) (b)\) \(g(x)=\frac{1}{2x-3}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(=\mathbb{R}-\{\frac{3}{2}\}\), রেঞ্জ \(=\mathbb{R}-\{0\}\).
[ চঃ ২০১৭ ]
\(Q.1.(x) (c)\) \(f(x)=\frac{x-3}{3x+1}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{3}\}\), রেঞ্জ \(=\mathbb{R}-\{\frac{1}{3}\}\).
[ সিঃ ২০১১ ]
\(Q.1.(x) (d)\) \(f(x)=\frac{x}{x-1}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(=\mathbb{R}-\{1\}\), রেঞ্জ \(=\mathbb{R}-\{1\}\).
[ যঃ ২০১০ ]
\(Q.1.(x) (e)\) \(f(x)=x^3\)
উত্তরঃ ডোমেন \(=\mathbb{R}\), রেঞ্জ \(=\mathbb{R}\).
[ কুঃ ২০০৭ ]
\(Q.1.(x) (f)\) \(f(x)=\sqrt{x+4}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(=\{x: x\in \mathbb{R}, x\ge -4\}\), রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}\).
\(Q.1.(x) (g)\) \(f(x)=\sqrt{4-x^2}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(=[ -2, 2]\), রেঞ্জ \(=[ 0, 2]\).
[ চঃ ২০১১ ]
\(Q.1.(x) (h)\) \(f(x)=2\cos x\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\), রেঞ্জ \(R_f=\{x: x\in \mathbb{R}, -2\le x\le 2\}=[-2, 2]\).
\(Q.1.(x) (i)\) \(f(x)=x+3\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\), রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}\).
\(Q.1.(x) (j)\) \(f(x)=\frac{1}{x-5}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{5\}\), রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}-\{0\}\).
\(Q.1.(x) (k)\) \(f(x)=\frac{1}{x^2}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{0\}\), রেঞ্জ \(R_f=\{x: x\in \mathbb{R}, x>0\}=(0, \infty)\).
\(Q.1.(x) (l)\) \(f(x)=-x^2+1\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\), রেঞ্জ \(R_f=\{x: x\in \mathbb{R}, x\le 1\}=(-\infty, 1]\).
\(Q.1.(x) (m)\) \(f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{2\}\), রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}-\{4\}\).
\(Q.1.(x) (n)\) \(f(x)=\frac{x^2-2}{x-\sqrt{2}}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{\sqrt{2}\}\), রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}-\{2\sqrt{2}\}\).
\(Q.1.(x) (o)\) \(f(x)=\frac{x}{x-2}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{2\}\), রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}-\{1\}\).
\(Q.1.(x) (p)\) \(f(x)=\sqrt{x-1}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=[1, \infty)\), রেঞ্জ \(R_f=[0, \infty)\).
\(Q.1.(x) (q)\) \(f(x)=-\sqrt{x+3}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=[-3, \infty)\), রেঞ্জ \(R_f=(-\infty, 0]\).
\(Q.1.(x) (r)\) \(f(x)=\sqrt{x^2-3x+2}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=[2, \infty)\cup (-\infty, 1]\), রেঞ্জ \(R_f=[0, \infty)\).
\(Q.1.(x) (s)\) \(f(x)=\sin x\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\), রেঞ্জ \(R_f=[-1, 1]\).
\(Q.1.(x) (t)\) \(f(x)=\frac{x}{|x|}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{0\}\), রেঞ্জ \(R_f=\{-1, 1\}\).
\(Q.1.(xi)\) \(A=\{-2, -1, 0, 1, 2, 5\}\) এবং \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) কে \(f(x)=x^2+1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হলো। \(f\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\{1, 2, 5, 26\}\)
[ মাঃ ২০১১ ]
\(Q.1.(xii)\) \(A=\{-4, -2, 0, 2, 4\}\) এবং \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) কে \(f(x)=x^2+2x+3\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত । \(f\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\{3, 11, 27\}\)
\(Q.1.(xiii)\) \(W=\{-1, 0, 2, 5, 11\}\) এবং \(f:W\rightarrow \mathbb{R}\) কে \(f(x)=x^2-x-2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত । \(f\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(R_f=\{0, -2, 18, 108\}\)
\(Q.1.(xiv)\) \(A=\{a, b, c, d\}\) থেকে \(B=\{1, 2, 3\}\) সেটে বর্ণিত নিচের অন্বয়গুলির কোনটি ফাংশন এবং কোনটি ফাংশন নয় কারণসহ উল্লেখ কর।
\(F=\{(a, 1), (b, 2), (d, 3), (c, 1)\}\), \(G=\{(a, 1), (b, 3), (d, 2)\}\), \(H=\{(a, 1), (a, 3), (b, 2), (c, 3), (d, 2)\}\) \(K=\{(a, 1), (b, 1), (c, 1),(d, 1)\}\)
উত্তরঃ \( F\) একটি ফাংশন। \(G\) ফাংশন নয়। \(H\) ফাংশন নয়। \( K\) একটি ফাংশন।
\(Q.1.(xv)\) \(A=[-3, 3]\) এবং \(B=[0, 3]\) সেটদ্বয় দ্বারা বর্ণিত \(f_{1}\), \(f_{2}\) ও \(f_{3}\) তিনটি অন্বয় নিচে দেওয়া হলো। অন্বয় তিনটি ফাংশন কিনা তা যাচাই কর।
\(f_{1}=\{(x, y): x\in A, y\in B\) এবং \(x^2+y^2=9\}\), \(f_{2}=\{(x, y): x\in B, y\in A\) এবং \(x^2+y^2=9\}\) ও \(f_{3}=\{(x, y): x\in B, y\in B\) এবং \(x^2+y^2=9\}\)
উত্তরঃ \( f_{1}\) একটি ফাংশন । \( f_{2}\) ফাংশন নয়। \( f_{3}\) একটি ফাংশন ।
\(Q.1.(xvi)\) \(f(x)=2x^2-1, 4\ge x> 0\) এবং \(x\in \mathbb{N} \) (যেখানে \(\mathbb{N}\) সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেট ) হলে, \(x\)-এর সকল মানের জন্য \(f(x)\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( f(x)=1, 7, 17, 31\)
\(Q.1.(xvii)\) \(f(x)=3x+2, x\in \mathbb{R} \) ফাংশনের জন্য \(f(0), f(-1), f(2), f(x^2), f(2x)\) এবং \(f(x-1)\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f(0)=2, f(-1)=-1, f(2)=8\), \(f(x^2)=3x^2+2, f(2x)=6x+2, f(x-1)=3x-1 \)
\(Q.1.(xviii)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=\begin{cases}x^2-3x, & x \ge 2\\x+2, & 2 > x\end{cases}\) দ্বারা প্রকাশিত। \(f(0), f(-1), f(2), f(4), f(-4), f(5), f(-2), f(-3)\) এবং \(f(3)\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f(0)=2; f(-1)=1; f(2)=-2, f(4)=4, f(-4)=-2\), \(f(5)=10, f(-2)=0, f(-3)=-1, f(3)=0 \)
[ ঢাঃ ২০০৩; কুঃ ২০০৮,২০০৪;চঃ২০০৬; বঃ ২০০৮,২০০৪; রাঃ২০১২; দিঃ ২০১১ ]
\(Q.1.(xix)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=\begin{cases}-2x+1 \ যখন \ 0 > x\\1 \ যখন \ 1 > x\ge 0\\2x+1 \ যখন \ x\ge 1 \end{cases} \) দ্বারা সংজ্ঞায়িত।
\(f(0), f(1), f(-1), f(\frac{1}{2}), f(-2), f(-3), f(2)\) এবং \(f(3)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f(0)=1; f(-1)=3; f\left(\frac{1}{2}\right)=1\), \(f(-2)=5, f(-3)=7, f(2)=5, f(3)=7\)
\(Q.1.(xx)\) \(f:R\rightarrow R\) ফাংশনটি \(f(x)=\begin{cases}3x-1 \ ,\ x > 3\\x^2-2 \ ,\ 2 \leq x\leq 3\\2x+3 \ , \ -2>x \end{cases} \) দ্বারা সংজ্ঞায়িত। \(f(2), f(4), f(-1)\) এবং \(f(-3)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f(2)=2; f(4)=11; f(-1)=\) অসংজ্ঞায়িত , \( f(-3)=-3\)
[ রাঃ২০১৫,চঃ;ঢাঃ ২০১২;কুঃ ২০১৩]
\(Q.1.(xxi)\) \(A=\{2, 4, 6\}\) এবং \(f:A\rightarrow A\) ফাংশনটি \(f(x)=x\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত হলে, \(f(x)\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(R_{f}=\{2, 4, 6\}\)
\(Q.1.(xxii)\) \(A=\{x: x\in \mathbb{R}, 6\ge x > 1\) এবং \(x, 2\) দ্বারা বিভাজ্য \(\}\) এবং \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=4x^2-1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত হলে, \(f(x)\)-এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(D_{f}=\{2, 4, 6\}, R_{f}=\{15, 63, 143\}\)
\(Q.1.(xxiii)\) \(A=\{-1, 0, 1\}\), \(B=\{1, 2, 3, 4, 5\}\) এবং \(f:A\rightarrow B\) ফাংশনটি \(f(x)=x+2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত হলে, \(f(x)\)-এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(D_{f}=\{-1, 0, 1\}, R_{f}=\{1, 2, 3\}\)
\(Q.1.(xxiv)\) \(A=[0, 2]\) এবং \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=x+1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত। যেখানে, \(\mathbb{R}\) সকল বাস্তব সংখ্যর সেট। \(f(x)\)-এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(D_{f}=[0, 2], R_{f}=R_{f}=[1, 3]\)
\(Q.1.(xxv)\) দেখাও যে, নিম্নলিখিত প্রত্যেকটি ফাংশন এক-এক এবং সার্বিক।
\((a)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।
\((b)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=ax+b, a\ne 0\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।
\((c)\) \(f:[0, \infty)\rightarrow [1, \infty), f(x)=x^2+1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।
\((d)\) \(f:[0, 2]\rightarrow [0, 2], f(x)=\sqrt{4-x^2}\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।
\((e)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^3\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।
\(Q.1.(xxvi)\) দেখাও যে, \(f(x)=x^2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত \(f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}\) (\(\mathbb{N}\) সকল স্বাভাবিক সখ্যার সেট। ) ফাংশনটি এক-এক কিন্তু সার্বিক নয়।
\(Q.1.(xxvii)\) দেখাও যে, \(f(x)=|x|\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত \(f:\mathbb{R}\rightarrow [0, \infty)\) (\(\mathbb{R}\) সকল বাস্তব সখ্যার সেট। ) ফাংশনটি এক-এক নয় কিন্তু সার্বিক।
\(Q.1.(xxviii)\) \(f(x)=x-1\) দ্বারা বর্ণিত \(f:\{1, 2, 3, 4\}\rightarrow \{0, 1, 2, 3\}\) ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক কিনা যাচাই কর।
উত্তরঃ এক-এক এবং সার্বিক ফাংশন।
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=[-3, \infty)\), রেঞ্জ \(R_f=(-\infty, 0]\).
\(Q.1.(x) (r)\) \(f(x)=\sqrt{x^2-3x+2}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=[2, \infty)\cup (-\infty, 1]\), রেঞ্জ \(R_f=[0, \infty)\).
\(Q.1.(x) (s)\) \(f(x)=\sin x\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\), রেঞ্জ \(R_f=[-1, 1]\).
\(Q.1.(x) (t)\) \(f(x)=\frac{x}{|x|}\)
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{0\}\), রেঞ্জ \(R_f=\{-1, 1\}\).
\(Q.1.(xi)\) \(A=\{-2, -1, 0, 1, 2, 5\}\) এবং \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) কে \(f(x)=x^2+1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হলো। \(f\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\{1, 2, 5, 26\}\)
[ মাঃ ২০১১ ]
\(Q.1.(xii)\) \(A=\{-4, -2, 0, 2, 4\}\) এবং \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) কে \(f(x)=x^2+2x+3\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত । \(f\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\{3, 11, 27\}\)
\(Q.1.(xiii)\) \(W=\{-1, 0, 2, 5, 11\}\) এবং \(f:W\rightarrow \mathbb{R}\) কে \(f(x)=x^2-x-2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত । \(f\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(R_f=\{0, -2, 18, 108\}\)
\(Q.1.(xiv)\) \(A=\{a, b, c, d\}\) থেকে \(B=\{1, 2, 3\}\) সেটে বর্ণিত নিচের অন্বয়গুলির কোনটি ফাংশন এবং কোনটি ফাংশন নয় কারণসহ উল্লেখ কর।
\(F=\{(a, 1), (b, 2), (d, 3), (c, 1)\}\), \(G=\{(a, 1), (b, 3), (d, 2)\}\), \(H=\{(a, 1), (a, 3), (b, 2), (c, 3), (d, 2)\}\) \(K=\{(a, 1), (b, 1), (c, 1),(d, 1)\}\)
উত্তরঃ \( F\) একটি ফাংশন। \(G\) ফাংশন নয়। \(H\) ফাংশন নয়। \( K\) একটি ফাংশন।
\(Q.1.(xv)\) \(A=[-3, 3]\) এবং \(B=[0, 3]\) সেটদ্বয় দ্বারা বর্ণিত \(f_{1}\), \(f_{2}\) ও \(f_{3}\) তিনটি অন্বয় নিচে দেওয়া হলো। অন্বয় তিনটি ফাংশন কিনা তা যাচাই কর।
\(f_{1}=\{(x, y): x\in A, y\in B\) এবং \(x^2+y^2=9\}\), \(f_{2}=\{(x, y): x\in B, y\in A\) এবং \(x^2+y^2=9\}\) ও \(f_{3}=\{(x, y): x\in B, y\in B\) এবং \(x^2+y^2=9\}\)
উত্তরঃ \( f_{1}\) একটি ফাংশন । \( f_{2}\) ফাংশন নয়। \( f_{3}\) একটি ফাংশন ।
\(Q.1.(xvi)\) \(f(x)=2x^2-1, 4\ge x> 0\) এবং \(x\in \mathbb{N} \) (যেখানে \(\mathbb{N}\) সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেট ) হলে, \(x\)-এর সকল মানের জন্য \(f(x)\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( f(x)=1, 7, 17, 31\)
\(Q.1.(xvii)\) \(f(x)=3x+2, x\in \mathbb{R} \) ফাংশনের জন্য \(f(0), f(-1), f(2), f(x^2), f(2x)\) এবং \(f(x-1)\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f(0)=2, f(-1)=-1, f(2)=8\), \(f(x^2)=3x^2+2, f(2x)=6x+2, f(x-1)=3x-1 \)
\(Q.1.(xviii)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=\begin{cases}x^2-3x, & x \ge 2\\x+2, & 2 > x\end{cases}\) দ্বারা প্রকাশিত। \(f(0), f(-1), f(2), f(4), f(-4), f(5), f(-2), f(-3)\) এবং \(f(3)\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f(0)=2; f(-1)=1; f(2)=-2, f(4)=4, f(-4)=-2\), \(f(5)=10, f(-2)=0, f(-3)=-1, f(3)=0 \)
[ ঢাঃ ২০০৩; কুঃ ২০০৮,২০০৪;চঃ২০০৬; বঃ ২০০৮,২০০৪; রাঃ২০১২; দিঃ ২০১১ ]
\(Q.1.(xix)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=\begin{cases}-2x+1 \ যখন \ 0 > x\\1 \ যখন \ 1 > x\ge 0\\2x+1 \ যখন \ x\ge 1 \end{cases} \) দ্বারা সংজ্ঞায়িত।
\(f(0), f(1), f(-1), f(\frac{1}{2}), f(-2), f(-3), f(2)\) এবং \(f(3)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f(0)=1; f(-1)=3; f\left(\frac{1}{2}\right)=1\), \(f(-2)=5, f(-3)=7, f(2)=5, f(3)=7\)
\(Q.1.(xx)\) \(f:R\rightarrow R\) ফাংশনটি \(f(x)=\begin{cases}3x-1 \ ,\ x > 3\\x^2-2 \ ,\ 2 \leq x\leq 3\\2x+3 \ , \ -2>x \end{cases} \) দ্বারা সংজ্ঞায়িত। \(f(2), f(4), f(-1)\) এবং \(f(-3)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f(2)=2; f(4)=11; f(-1)=\) অসংজ্ঞায়িত , \( f(-3)=-3\)
[ রাঃ২০১৫,চঃ;ঢাঃ ২০১২;কুঃ ২০১৩]
\(Q.1.(xxi)\) \(A=\{2, 4, 6\}\) এবং \(f:A\rightarrow A\) ফাংশনটি \(f(x)=x\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত হলে, \(f(x)\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(R_{f}=\{2, 4, 6\}\)
\(Q.1.(xxii)\) \(A=\{x: x\in \mathbb{R}, 6\ge x > 1\) এবং \(x, 2\) দ্বারা বিভাজ্য \(\}\) এবং \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=4x^2-1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত হলে, \(f(x)\)-এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(D_{f}=\{2, 4, 6\}, R_{f}=\{15, 63, 143\}\)
\(Q.1.(xxiii)\) \(A=\{-1, 0, 1\}\), \(B=\{1, 2, 3, 4, 5\}\) এবং \(f:A\rightarrow B\) ফাংশনটি \(f(x)=x+2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত হলে, \(f(x)\)-এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(D_{f}=\{-1, 0, 1\}, R_{f}=\{1, 2, 3\}\)
\(Q.1.(xxiv)\) \(A=[0, 2]\) এবং \(f:A\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=x+1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত। যেখানে, \(\mathbb{R}\) সকল বাস্তব সংখ্যর সেট। \(f(x)\)-এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(D_{f}=[0, 2], R_{f}=R_{f}=[1, 3]\)
\(Q.1.(xxv)\) দেখাও যে, নিম্নলিখিত প্রত্যেকটি ফাংশন এক-এক এবং সার্বিক।
\((a)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।
\((b)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=ax+b, a\ne 0\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।
\((c)\) \(f:[0, \infty)\rightarrow [1, \infty), f(x)=x^2+1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।
\((d)\) \(f:[0, 2]\rightarrow [0, 2], f(x)=\sqrt{4-x^2}\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।
\((e)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^3\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত ।
\(Q.1.(xxvi)\) দেখাও যে, \(f(x)=x^2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত \(f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}\) (\(\mathbb{N}\) সকল স্বাভাবিক সখ্যার সেট। ) ফাংশনটি এক-এক কিন্তু সার্বিক নয়।
\(Q.1.(xxvii)\) দেখাও যে, \(f(x)=|x|\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত \(f:\mathbb{R}\rightarrow [0, \infty)\) (\(\mathbb{R}\) সকল বাস্তব সখ্যার সেট। ) ফাংশনটি এক-এক নয় কিন্তু সার্বিক।
\(Q.1.(xxviii)\) \(f(x)=x-1\) দ্বারা বর্ণিত \(f:\{1, 2, 3, 4\}\rightarrow \{0, 1, 2, 3\}\) ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক কিনা যাচাই কর।
উত্তরঃ এক-এক এবং সার্বিক ফাংশন।
\(Q.1.(v)\) \(A=[-4, 4], B=[0, 4], C=[-4, 0]\) ব্যবধিসমূহে বর্ণিত নিচের অন্বয়গুলি ফাংশন কিনা লেখচিত্র অঙ্কন করে নির্ণয় কর।
\(Q.1.(v)(a)\) \(F_1=\{(x, y):x\in A, y\in B, x^2+4y^2=16\}\)
\(Q.1.(v)(b)\) \(F_2=\{(x, y):x\in A, y\in C, x^2+4y^2=16\}\)
\(Q.1.(v)(c)\) \(F_3=\{(x, y):x\in B, y\in A, x^2+4y^2=16\}\)
\(Q.1.(v)(d)\) \(F_4=\{(x, y):x\in B, y\in C, x^2+4y^2=16\}\)
উত্তরঃ \((a)\) ফাংশন; \((b)\) ফাংশন ; \((c)\) ফাংশন নয়; \((d)\) ফাংশন নয়।
\(Q.1.(v)(a)\) \(F_1=\{(x, y):x\in A, y\in B, x^2+4y^2=16\}\)
\(Q.1.(v)(b)\) \(F_2=\{(x, y):x\in A, y\in C, x^2+4y^2=16\}\)
\(Q.1.(v)(c)\) \(F_3=\{(x, y):x\in B, y\in A, x^2+4y^2=16\}\)
\(Q.1.(v)(d)\) \(F_4=\{(x, y):x\in B, y\in C, x^2+4y^2=16\}\)
উত্তরঃ \((a)\) ফাংশন; \((b)\) ফাংশন ; \((c)\) ফাংশন নয়; \((d)\) ফাংশন নয়।
সমাধানঃ
\(Q.1.(v)(a)\)
দেওয়া আছে,
\(A=[-4, 4], B=[0, 4]\)
\(F_1=\{(x, y):x\in A, y\in B, x^2+4y^2=16\}\)
\(F_1\)-এর বর্ণনাকারী সমীকরণ,
\(x^2+4y^2=16\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}+\frac{4y^2}{16}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{2^2}=1\) যা একটি উপবৃত্ত।
প্রদত্ত শর্তে উপবৃত্তের লেখচিত্র অঙ্কন করি।
যেহেতু \(\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা লেখচিত্রকে সর্বদা একটি বিন্দুতে ছেদ করে।
\(\therefore\) প্রদত্ত \(F_1\) অন্বয়টি ফাংশন।
দেওয়া আছে,
\(A=[-4, 4], B=[0, 4]\)
\(F_1=\{(x, y):x\in A, y\in B, x^2+4y^2=16\}\)
\(F_1\)-এর বর্ণনাকারী সমীকরণ,
\(x^2+4y^2=16\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}+\frac{4y^2}{16}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{2^2}=1\) যা একটি উপবৃত্ত।
প্রদত্ত শর্তে উপবৃত্তের লেখচিত্র অঙ্কন করি।
যেহেতু \(\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা লেখচিত্রকে সর্বদা একটি বিন্দুতে ছেদ করে।
\(\therefore\) প্রদত্ত \(F_1\) অন্বয়টি ফাংশন।
\(Q.1.(v)(b)\)
দেওয়া আছে,
\(A=[-4, 4], C=[-4, 0]\)
\(F_2=\{(x, y):x\in A, y\in C, x^2+4y^2=16\}\)
\(F_2\)-এর বর্ণনাকারী সমীকরণ,
\(x^2+4y^2=16\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}+\frac{4y^2}{16}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{2^2}=1\) যা একটি উপবৃত্ত।
প্রদত্ত শর্তে উপবৃত্তের লেখচিত্র অঙ্কন করি।
যেহেতু \(\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা লেখচিত্রকে সর্বদা একটি বিন্দুতে ছেদ করে।
\(\therefore\) প্রদত্ত \(F_2\) অন্বয়টি ফাংশন।
দেওয়া আছে,
\(A=[-4, 4], C=[-4, 0]\)
\(F_2=\{(x, y):x\in A, y\in C, x^2+4y^2=16\}\)
\(F_2\)-এর বর্ণনাকারী সমীকরণ,
\(x^2+4y^2=16\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}+\frac{4y^2}{16}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{2^2}=1\) যা একটি উপবৃত্ত।
প্রদত্ত শর্তে উপবৃত্তের লেখচিত্র অঙ্কন করি।
যেহেতু \(\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা লেখচিত্রকে সর্বদা একটি বিন্দুতে ছেদ করে।
\(\therefore\) প্রদত্ত \(F_2\) অন্বয়টি ফাংশন।
\(Q.1.(v)(c)\)
দেওয়া আছে,
\(A=[-4, 4], B=[0, 4]\)
\(F_3=\{(x, y):x\in B, y\in A, x^2+4y^2=16\}\)
\(F_3\)-এর বর্ণনাকারী সমীকরণ,
\(x^2+4y^2=16\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}+\frac{4y^2}{16}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{2^2}=1\) যা একটি উপবৃত্ত।
প্রদত্ত শর্তে উপবৃত্তের লেখচিত্র অঙ্কন করি।
যেহেতু \(\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা লেখচিত্রকে সর্বদা দুইটি বিন্দুতে ছেদ করে।
\(\therefore\) প্রদত্ত \(F_3\) অন্বয়টি ফাংশন নয়।
দেওয়া আছে,
\(A=[-4, 4], B=[0, 4]\)
\(F_3=\{(x, y):x\in B, y\in A, x^2+4y^2=16\}\)
\(F_3\)-এর বর্ণনাকারী সমীকরণ,
\(x^2+4y^2=16\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}+\frac{4y^2}{16}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{2^2}=1\) যা একটি উপবৃত্ত।
প্রদত্ত শর্তে উপবৃত্তের লেখচিত্র অঙ্কন করি।
যেহেতু \(\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা লেখচিত্রকে সর্বদা দুইটি বিন্দুতে ছেদ করে।
\(\therefore\) প্রদত্ত \(F_3\) অন্বয়টি ফাংশন নয়।
\(Q.1.(v)(d)\)
দেওয়া আছে,
\(B=[0, 4], C=[-4, 0]\)
\(F_4=\{(x, y):x\in B, y\in C, x^2+4y^2=16\}\)
\(F_4\)-এর বর্ণনাকারী সমীকরণ,
\(x^2+4y^2=16\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}+\frac{4y^2}{16}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{2^2}=1\) যা একটি উপবৃত্ত।
প্রদত্ত শর্তে উপবৃত্তের লেখচিত্র অঙ্কন করি।
যেহেতু \(\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা লেখচিত্রকে সর্বদা দুইটি বিন্দুতে ছেদ করে।
\(\therefore\) প্রদত্ত \(F_4\) অন্বয়টি ফাংশন নয়।
দেওয়া আছে,
\(B=[0, 4], C=[-4, 0]\)
\(F_4=\{(x, y):x\in B, y\in C, x^2+4y^2=16\}\)
\(F_4\)-এর বর্ণনাকারী সমীকরণ,
\(x^2+4y^2=16\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}+\frac{4y^2}{16}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{2^2}=1\) যা একটি উপবৃত্ত।
প্রদত্ত শর্তে উপবৃত্তের লেখচিত্র অঙ্কন করি।
যেহেতু \(\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা লেখচিত্রকে সর্বদা দুইটি বিন্দুতে ছেদ করে।
\(\therefore\) প্রদত্ত \(F_4\) অন্বয়টি ফাংশন নয়।
\(Q.1.(vi)\) \(F=\{(x, y): x\in \mathbb{R}, y\in \mathbb{R}, \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\}\) অন্বয়টির লেখচিত্র অঙ্কন কর। অন্বয়টির ডোমেন, রেঞ্জ এবং \(F^{-1}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(D_F=\{x: x\in \mathbb{R} -3\le x\le 3\}; R_F=\{x: x\in \mathbb{R} -2\le x\le 2\}\);
\(F_{-1}=\{(y, x):x\in \mathbb{R}, y\in \mathbb{R}; \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\}\)
উত্তরঃ \(D_F=\{x: x\in \mathbb{R} -3\le x\le 3\}; R_F=\{x: x\in \mathbb{R} -2\le x\le 2\}\);
\(F_{-1}=\{(y, x):x\in \mathbb{R}, y\in \mathbb{R}; \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\}\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
\(F=\{(x, y): x\in \mathbb{R}, y\in \mathbb{R}, \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\}\)
\(F\)-এর বর্ণনাকারী সমীকরণ,
\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{2^2}=1\)
ইহা একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্দেশ করে যার কেন্দ্র \((0, 0)\) এবং ইহা \(X\) অক্ষকে \((\pm 3, 0)\) এবং \(Y\) অক্ষকে \((0, \pm 2)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
এখন,
\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{9}=1-\frac{y^2}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{9}=\frac{4-y^2}{4}\)
\(\Rightarrow x^2=\frac{9(4-y^2)}{4}\)
\(\Rightarrow x=\pm \sqrt{\frac{9(4-y^2)}{4}}\)
\(\therefore x=\pm \frac{3}{2}\sqrt{4-y^2} ......(1)\) যেখানে, \(-2\le y\le 2\).
আবার,
\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{4}=1-\frac{x^2}{9}\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{4}=\frac{9-x^2}{9}\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{4(9-x^2)}{9}\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{\frac{4(9-x^2)}{9}}\)
\(\therefore x=\pm \frac{2}{3}\sqrt{9-x^2} ......(2)\) যেখানে, \(-3\le x\le 3\).
\((1)\) ও \((2)\) নং সমীকরণের লেখ অঙ্কনের কয়েকটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি।
ছক কাগজে ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি এক বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে বিন্দুগুলি স্থাপন করি। অতপর মুক্ত হস্তে যোগ করলে একটি উপবৃত্ত পাওয়া যায়।
লেখ হতে পাই।
\(D_F=\{x: x\in \mathbb{R} -3\le x\le 3\}\)
\(R_F=\{x: x\in \mathbb{R} -2\le x\le 2\}\)
\(F_{-1}=\{(y, x):x\in \mathbb{R}, y\in \mathbb{R}; \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\}\)
\(F=\{(x, y): x\in \mathbb{R}, y\in \mathbb{R}, \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\}\)
\(F\)-এর বর্ণনাকারী সমীকরণ,
\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{2^2}=1\)
ইহা একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্দেশ করে যার কেন্দ্র \((0, 0)\) এবং ইহা \(X\) অক্ষকে \((\pm 3, 0)\) এবং \(Y\) অক্ষকে \((0, \pm 2)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
এখন,
\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{9}=1-\frac{y^2}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{9}=\frac{4-y^2}{4}\)
\(\Rightarrow x^2=\frac{9(4-y^2)}{4}\)
\(\Rightarrow x=\pm \sqrt{\frac{9(4-y^2)}{4}}\)
\(\therefore x=\pm \frac{3}{2}\sqrt{4-y^2} ......(1)\) যেখানে, \(-2\le y\le 2\).
আবার,
\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{4}=1-\frac{x^2}{9}\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{4}=\frac{9-x^2}{9}\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{4(9-x^2)}{9}\)
\(\Rightarrow y=\pm \sqrt{\frac{4(9-x^2)}{9}}\)
\(\therefore x=\pm \frac{2}{3}\sqrt{9-x^2} ......(2)\) যেখানে, \(-3\le x\le 3\).
\((1)\) ও \((2)\) নং সমীকরণের লেখ অঙ্কনের কয়েকটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি।
| \(x\) | \(-3\) | \(3\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(-1\) | \(-1\) | \(2\) | \(2\) | \(-2\) | \(-2\) |
| \(y\) | \(0\) | \(0\) | \(-2\) | \(-2\) | \(1.9\) | \(-1.9\) | \(1.9\) | \(-1.9\) | \(-1.5\) | \(1.5\) | \(1.5\) | \(-1.5\) |
লেখ হতে পাই।
\(D_F=\{x: x\in \mathbb{R} -3\le x\le 3\}\)
\(R_F=\{x: x\in \mathbb{R} -2\le x\le 2\}\)
\(F_{-1}=\{(y, x):x\in \mathbb{R}, y\in \mathbb{R}; \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\}\)
\(Q.1.(xv)\) \(A=[-3, 3]\) এবং \(B=[0, 3]\) সেটদ্বয় দ্বারা বর্ণিত \(f_{1}\), \(f_{2}\) ও \(f_{3}\) তিনটি অন্বয় নিচে দেওয়া হলো। অন্বয় তিনটি ফাংশন কিনা তা যাচাই কর।
\(f_{1}=\{(x, y): x\in A, y\in B\) এবং \(x^2+y^2=9\}\), \(f_{2}=\{(x, y): x\in B, y\in A\) এবং \(x^2+y^2=9\}\) ও \(f_{3}=\{(x, y): x\in B, y\in B\) এবং \(x^2+y^2=9\}\)
উত্তরঃ \( f_{1}\) একটি ফাংশন । \( f_{2}\) ফাংশন নয়। \( f_{3}\) একটি ফাংশন ।
\(f_{1}=\{(x, y): x\in A, y\in B\) এবং \(x^2+y^2=9\}\), \(f_{2}=\{(x, y): x\in B, y\in A\) এবং \(x^2+y^2=9\}\) ও \(f_{3}=\{(x, y): x\in B, y\in B\) এবং \(x^2+y^2=9\}\)
উত্তরঃ \( f_{1}\) একটি ফাংশন । \( f_{2}\) ফাংশন নয়। \( f_{3}\) একটি ফাংশন ।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 
\(A=[-3, 3]\) এবং \(B=[0, 3]\)
\(f_{1}=\{(x, y): x\in A, y\in B\) এবং \(x^2+y^2=9\}\)
এখানে,
\(f_{1}=\{(-3, 0), (3, 0), (0, 3)\}\)
\(\therefore f_{1}\) একটি ফাংশন কারণ \(A\)-এর প্রতিটি উপাদান \(B\)-এর শুধু একটি উপাদানের সাথে সম্পর্কিত।
পাশের চিত্রে ইহা স্পষ্ট যে, \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা প্রদত্ত অন্বয়ের লেখচিত্রকে একটি বিন্দুতে ছেদ করে। ফলে, \(f_{1}\) একটি ফাংশন।
\(A=[-3, 3]\) এবং \(B=[0, 3]\)
\(f_{1}=\{(x, y): x\in A, y\in B\) এবং \(x^2+y^2=9\}\)
এখানে,
\(f_{1}=\{(-3, 0), (3, 0), (0, 3)\}\)
\(\therefore f_{1}\) একটি ফাংশন কারণ \(A\)-এর প্রতিটি উপাদান \(B\)-এর শুধু একটি উপাদানের সাথে সম্পর্কিত।
পাশের চিত্রে ইহা স্পষ্ট যে, \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা প্রদত্ত অন্বয়ের লেখচিত্রকে একটি বিন্দুতে ছেদ করে। ফলে, \(f_{1}\) একটি ফাংশন।
আবার, 
\(A=[-3, 3]\) এবং \(B=[0, 3]\)
\(f_{2}=\{(x, y): x\in B, y\in A\) এবং \(x^2+y^2=9\}\)
এখানে,
\(f_{2}=\{(0, 3), (0, -3), (3, 0)\}\)
\(f_{2}\) ফাংশন নয়। কারণ, \(x\in [0, 3]\) এবং \(y\in [-3, 3]\)
অর্থাৎ \(B\)-এর একটি উপাদান \(A\)-এর দুইটি উপাদানের সাথে সম্পর্কযুক্ত। যা সংজ্ঞা পরিপন্থী।
পাশের চিত্রে ইহা স্পষ্ট যে, \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা প্রদত্ত অন্বয়ের লেখচিত্রকে দুইটি বিন্দুতে ছেদ করে। ফলে, \(f_{2}\) ফাংশন নয়।
\(A=[-3, 3]\) এবং \(B=[0, 3]\)
\(f_{2}=\{(x, y): x\in B, y\in A\) এবং \(x^2+y^2=9\}\)
এখানে,
\(f_{2}=\{(0, 3), (0, -3), (3, 0)\}\)
\(f_{2}\) ফাংশন নয়। কারণ, \(x\in [0, 3]\) এবং \(y\in [-3, 3]\)
অর্থাৎ \(B\)-এর একটি উপাদান \(A\)-এর দুইটি উপাদানের সাথে সম্পর্কযুক্ত। যা সংজ্ঞা পরিপন্থী।
পাশের চিত্রে ইহা স্পষ্ট যে, \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা প্রদত্ত অন্বয়ের লেখচিত্রকে দুইটি বিন্দুতে ছেদ করে। ফলে, \(f_{2}\) ফাংশন নয়।
আবার, 
\(A=[-3, 3]\) এবং \(B=[0, 3]\)
\(f_{3}=\{(x, y): x\in B, y\in B\) এবং \(x^2+y^2=9\}\)
এখানে,
\(f_{3}=\{(0, 3), (3, 0)\}\)
\(f_{3}\) একটি ফাংশন কারণ, \(x\in [0, 3]\) এবং \(y\in [0, 3]\)
অর্থাৎ \(B\)-এর একটি উপাদান \(B\)-এর শুধু একটি উপাদানের সাথে সম্পর্কিত।
পাশের চিত্রে ইহা স্পষ্ট যে, \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা প্রদত্ত অন্বয়ের লেখচিত্রকে একটি বিন্দুতে ছেদ করে। ফলে, \(f_{3}\) একটি ফাংশন।
\(A=[-3, 3]\) এবং \(B=[0, 3]\)
\(f_{3}=\{(x, y): x\in B, y\in B\) এবং \(x^2+y^2=9\}\)
এখানে,
\(f_{3}=\{(0, 3), (3, 0)\}\)
\(f_{3}\) একটি ফাংশন কারণ, \(x\in [0, 3]\) এবং \(y\in [0, 3]\)
অর্থাৎ \(B\)-এর একটি উপাদান \(B\)-এর শুধু একটি উপাদানের সাথে সম্পর্কিত।
পাশের চিত্রে ইহা স্পষ্ট যে, \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা প্রদত্ত অন্বয়ের লেখচিত্রকে একটি বিন্দুতে ছেদ করে। ফলে, \(f_{3}\) একটি ফাংশন।
অনুশীলনী \(8.\) / \(Q.2\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
\(Q.2.(i)\) \(A=\{1, 2, 3, 4\}\) এবং \(B=\{1, 2, 3, 4, 5\}; f(x)=x+1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত । \(f:A\rightarrow B\)-এর ডোমেন এবং রেঞ্জ নির্ণয় কর। ফাংশনটি কি সার্বিক?
উত্তরঃ ডোমেন \(=A\), রেঞ্জ \(=\{2, 3, 4, 5\}\)। এটি সার্বিক নয়।
[ কুঃ ২০১২]
\(Q.2.(ii)\) মনে করি, \(\mathbb{R}\) বাস্তব সংখ্যার সেট, \(A, B \subset \mathbb{R}, A=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{2}\}, B=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}, f:A\rightarrow B\) যেখানে, \(f(x)=\frac{x-3}{2x+1}\) ফাংশনটির ডোমেন এবং রেঞ্জ নির্ণয় কর। দেখাও যে, ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক।
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{2}\}\), রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}\)।
[ সিঃ ২০১৪,২০১১; কুঃ ২০১০; রাঃ ২০০৯; ঢাঃ ২০০৬; যঃ ২০০১]
\(Q.2.(iii)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=2x-3\) ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক কিনা কারণসহ উল্লেখ কর। \(f\) এক-এক এবং সার্বিক ফাংশন হলে এর বিপরীত ফাংশন নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f^{-1}(x)=\frac{x+3}{2}\)।
[ রাঃ ২০১১; চঃ ২০১৩, ২০১০]
\(Q.2.(iv)\) \(f(x)=\frac{2x+7}{3x-2}; x\in \mathbb{R}-\{\frac{2}{3}\}\). দেখাও যে, \(f^{-1}=f(x)\)।
[ বঃ ২০১৭]
\(Q.2.(v)\) \(A, B \subset \mathbb{R}, A=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{3}\},\) \(B=\mathbb{R}-\{\frac{1}{3}\}, g:A\rightarrow B, g(x)=\frac{x-5}{3x+1}\). এর অস্তিত্ব যাচাই পূর্বক \(g^{-1}\) নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \(g^{-1}(x)=\frac{x+5}{1-3x}\)।
[ দিঃ ২০১৭]
\(Q.2.(vi)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^3+5\).ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক কিনা কারণসহ উল্লেখ কর ।
[ ঢাঃ,সিঃ,বঃ ২০১৩]
\(Q.2.(vii)\) যদি, \(\mathbb{R}\) বাস্তব সংখ্যার সেট হয়, \(A, B \subset \mathbb{R}, A=B=\mathbb{R}-\{\frac{3}{7}\}\) এবং \(f:A\rightarrow B\) যেখানে, \(f(x)=\frac{3x+2}{7x-3}\) তাহলে, \(f\) ফাংশনটির ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক। \(f^{-1}\) ও নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{\frac{3}{7}\}\), রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}-\{\frac{3}{7}\}; f^{-1}(x)=\frac{3x+2}{7x-3}\)।
[ বুয়েট ২০১৪-২০১৫]
\(Q.2.(viii)\) \(A=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{2}\}, B=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}\) এবং \(f:A\rightarrow B, f(x)=\frac{x-3}{2x+1}\) হলে, \(f^{-1}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f^{-1}(x)=\frac{x+3}{1-2x}\)।
[ দিঃ ২০০৯; মাঃ২০১৩, ২০১০]
উত্তরঃ \(\{-3, 3\}\)।
[ বুটেক্স ২০০৯-২০১০; বঃ২০০৬]
\(Q.2.(ix)(b)\) \(f^{-1}([16, 36])\)
উত্তরঃ \( [4, 6]\cup [-6, -4]\).
\(Q.2.(ix)(c)\) \(f^{-1}(-16)\)
উত্তরঃ \(\emptyset \) ।
[ যঃ ২০১১ ]
\(Q.2.(ix)(d)\) \(f^{-1}(\{16, 25\})\)
উত্তরঃ \( [4, 5]\cup [-5, -4]\)
\(Q.2.(ix)(e)\) \(f^{-1}(25)\)
উত্তরঃ \(\{-5, 5\}\)।
[ বুটেক্স ২০০৯-২০১০]
\(Q.2.(ix)(f)\) \(f^{-1}([4, 25])\)
উত্তরঃ \( [2, 5]\cup [-5, -2]\)
[ বুটেক্স ২০০৯-২০১০]
\(Q.2.(ix)(g)\) \(f^{-1}(-4)\)
উত্তরঃ \(\emptyset \) ।
\(Q.2.(ix)(h)\) \(f^{-1}([-1, 1])\)
উত্তরঃ \([-1, 1] \).
\(Q.2.(ix)(i)\) \(f^{-1}(16)\)
উত্তরঃ \(\{-4, 4\}\)
\(Q.2.(ix)(j)\) \(f^{-1}(36)\)
উত্তরঃ \(\{-6, 6\}\)
উত্তরঃ \(\{-3, 3\}\)।
[ ঢাঃ, রাঃ,দিঃ ২০১৪; কুঃ ২০১১; যঃ ২০০৮]
\(Q.2.(x)(b)\) \(f^{-1}(0)\)
উত্তরঃ \(\emptyset \).
\(Q.2.(x)(c)\) \(f^{-1}([10, 26])\)
উত্তরঃ \([3, 5]\cup [-5, -3]\).
[ দিঃ২০০১৪; যঃ ২০০৮; কুঃ ২০০৩; বঃ২০১১ ]
\(Q.2.(x)(d)\) \(f^{-1}(5)\)
উত্তরঃ \(\{-2, 2\} \) ।
[ চঃ২০০০]
\(Q.2.(x)(e)\) \(f^{-1}([5, 37])\)
উত্তরঃ \([2, 6]\cup [-6, -2] \).
[ বঃ ২০১১]
\(Q.2.(x)(f)\) \(f^{-1}(-5)\)
উত্তরঃ \( \emptyset \) ।
[ যঃ২০০৮; কুঃ২০০৩]
\(Q.2.(x)(g)\) \(f^{-1}(2)\)
উত্তরঃ \(\{-1, 1\} \) ।
[ যঃ২০০৮; কুঃ২০০৩]
[ কুঃ ২০১২]
\(Q.2.(ii)\) মনে করি, \(\mathbb{R}\) বাস্তব সংখ্যার সেট, \(A, B \subset \mathbb{R}, A=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{2}\}, B=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}, f:A\rightarrow B\) যেখানে, \(f(x)=\frac{x-3}{2x+1}\) ফাংশনটির ডোমেন এবং রেঞ্জ নির্ণয় কর। দেখাও যে, ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক।
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{2}\}\), রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}\)।
[ সিঃ ২০১৪,২০১১; কুঃ ২০১০; রাঃ ২০০৯; ঢাঃ ২০০৬; যঃ ২০০১]
\(Q.2.(iii)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=2x-3\) ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক কিনা কারণসহ উল্লেখ কর। \(f\) এক-এক এবং সার্বিক ফাংশন হলে এর বিপরীত ফাংশন নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f^{-1}(x)=\frac{x+3}{2}\)।
[ রাঃ ২০১১; চঃ ২০১৩, ২০১০]
\(Q.2.(iv)\) \(f(x)=\frac{2x+7}{3x-2}; x\in \mathbb{R}-\{\frac{2}{3}\}\). দেখাও যে, \(f^{-1}=f(x)\)।
[ বঃ ২০১৭]
\(Q.2.(v)\) \(A, B \subset \mathbb{R}, A=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{3}\},\) \(B=\mathbb{R}-\{\frac{1}{3}\}, g:A\rightarrow B, g(x)=\frac{x-5}{3x+1}\). এর অস্তিত্ব যাচাই পূর্বক \(g^{-1}\) নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \(g^{-1}(x)=\frac{x+5}{1-3x}\)।
[ দিঃ ২০১৭]
\(Q.2.(vi)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^3+5\).ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক কিনা কারণসহ উল্লেখ কর ।
[ ঢাঃ,সিঃ,বঃ ২০১৩]
\(Q.2.(vii)\) যদি, \(\mathbb{R}\) বাস্তব সংখ্যার সেট হয়, \(A, B \subset \mathbb{R}, A=B=\mathbb{R}-\{\frac{3}{7}\}\) এবং \(f:A\rightarrow B\) যেখানে, \(f(x)=\frac{3x+2}{7x-3}\) তাহলে, \(f\) ফাংশনটির ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক। \(f^{-1}\) ও নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{\frac{3}{7}\}\), রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}-\{\frac{3}{7}\}; f^{-1}(x)=\frac{3x+2}{7x-3}\)।
[ বুয়েট ২০১৪-২০১৫]
\(Q.2.(viii)\) \(A=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{2}\}, B=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}\) এবং \(f:A\rightarrow B, f(x)=\frac{x-3}{2x+1}\) হলে, \(f^{-1}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f^{-1}(x)=\frac{x+3}{1-2x}\)।
[ দিঃ ২০০৯; মাঃ২০১৩, ২০১০]
\(Q.2.(ix)(a) - Q.2.(ix)(j)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=x^2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত । নিচের অন্বয়গুলি সেট আকারে প্রকাশ কর।
\(Q.2.(ix)(a)\) \(f^{-1}(9)\)উত্তরঃ \(\{-3, 3\}\)।
[ বুটেক্স ২০০৯-২০১০; বঃ২০০৬]
\(Q.2.(ix)(b)\) \(f^{-1}([16, 36])\)
উত্তরঃ \( [4, 6]\cup [-6, -4]\).
\(Q.2.(ix)(c)\) \(f^{-1}(-16)\)
উত্তরঃ \(\emptyset \) ।
[ যঃ ২০১১ ]
\(Q.2.(ix)(d)\) \(f^{-1}(\{16, 25\})\)
উত্তরঃ \( [4, 5]\cup [-5, -4]\)
\(Q.2.(ix)(e)\) \(f^{-1}(25)\)
উত্তরঃ \(\{-5, 5\}\)।
[ বুটেক্স ২০০৯-২০১০]
\(Q.2.(ix)(f)\) \(f^{-1}([4, 25])\)
উত্তরঃ \( [2, 5]\cup [-5, -2]\)
[ বুটেক্স ২০০৯-২০১০]
\(Q.2.(ix)(g)\) \(f^{-1}(-4)\)
উত্তরঃ \(\emptyset \) ।
\(Q.2.(ix)(h)\) \(f^{-1}([-1, 1])\)
উত্তরঃ \([-1, 1] \).
\(Q.2.(ix)(i)\) \(f^{-1}(16)\)
উত্তরঃ \(\{-4, 4\}\)
\(Q.2.(ix)(j)\) \(f^{-1}(36)\)
উত্তরঃ \(\{-6, 6\}\)
\(Q.2.(x)(a) - Q.2.(x)(g)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=x^2+1\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত । নিচের অন্বয়গুলি সেট আকারে প্রকাশ কর।
\(Q.2.(x)(a)\) \(f^{-1}(10)\)উত্তরঃ \(\{-3, 3\}\)।
[ ঢাঃ, রাঃ,দিঃ ২০১৪; কুঃ ২০১১; যঃ ২০০৮]
\(Q.2.(x)(b)\) \(f^{-1}(0)\)
উত্তরঃ \(\emptyset \).
\(Q.2.(x)(c)\) \(f^{-1}([10, 26])\)
উত্তরঃ \([3, 5]\cup [-5, -3]\).
[ দিঃ২০০১৪; যঃ ২০০৮; কুঃ ২০০৩; বঃ২০১১ ]
\(Q.2.(x)(d)\) \(f^{-1}(5)\)
উত্তরঃ \(\{-2, 2\} \) ।
[ চঃ২০০০]
\(Q.2.(x)(e)\) \(f^{-1}([5, 37])\)
উত্তরঃ \([2, 6]\cup [-6, -2] \).
[ বঃ ২০১১]
\(Q.2.(x)(f)\) \(f^{-1}(-5)\)
উত্তরঃ \( \emptyset \) ।
[ যঃ২০০৮; কুঃ২০০৩]
\(Q.2.(x)(g)\) \(f^{-1}(2)\)
উত্তরঃ \(\{-1, 1\} \) ।
[ যঃ২০০৮; কুঃ২০০৩]
\(Q.2.(xi)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) ফাংশনটি \(f(x)=x^2-7\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত হলে, \(f^{-1}(2)\)-এর মানকে সেটে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(f^{-1}(2)=\{-3, 3\} \) ।
[ রাঃ২০১০; চঃ২০০৩]
\(Q.2.(xii)\) \(f(x)=2x-5\) এবং \(g(x)=x^2+6\) হলে, \(gof(2)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(7 \)।
[যঃ২০১৭]
\(Q.2.(xiii)\) \(g(x)=\frac{x-5}{3x+1}\) এবং \(h(x)=x^2+1\) হলে, দেখাও যে, \(hog(1)-goh(2)=2\).
[ দিঃ২০১৭]
\(Q.2.(xiv)\) \(g(x)=(x+5)^n\) এবং \(f(x)=x^2-6, n=\frac{1}{2}\) হলে, \(gof\)-এর ডোমেন নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (-\infty, -1]\cup [1, \infty)\)।
[ সিঃ২০১৭]
উত্তরঃ \( 10 \)।
[ ঢাঃ ২০০৫; সিঃ২০০৮]
\(Q.2.(xv)(b)\) \(fog(-2)\)
উত্তরঃ \( 15\)।
[ বঃ ২০০৭; যঃ২০০৩]
\(Q.2.(xv)(c)\) \(gof(-4)\)
উত্তরঃ \( 65\)।
[ ঢাঃ ২০০৫; কুঃ২০০৯; যঃ২০০৩ ; সিঃ২০০৮]
\(Q.2.(xv)(d)\) \(fog(5)\)
উত্তরঃ \( 624\)।
\(Q.2.(xvi)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^2+2x-3\) এবং \(g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, g(x)=3x-4\) হলে, \(g(f(x)), f(g(x)), g(f(2)), f(g(2)),\) \(g(f(5)), f(g(5)), g(f(3))\) এবং \( f(g(3))\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( 3x^2+6x-13, 9x^2-18x+5, 11,\)\( 5, 140, 92, 32, 32 \)।
[ কুঃ ২০০৬; দিঃ২০১৩, ২০১০; সিঃ২০১২]
\(Q.2.(xvii)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^2, g(x)=x^3+1\) হলে, \(fog(4)\)নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, \(fog(-3)\ne gof(-3)\)
উত্তরঃ \(fog(4)=4225 \)।
[ঢাঃ ২০১১, ২০০৭; রাঃ২০০৩; বঃ২০০৯]
\(Q.2.(xviii)\) \(f(x)=x^2+3, g(x)=\sqrt{x}\) হলে, \(fog\) এবং \(gof\)নির্ণয় কর। অতঃপর প্রত্যেক ক্ষেত্রে সংযোজিত ফাংশনের ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(fog(x)=\sqrt{x^2+3}\), ডোমেন \(=[0, \infty )\) , রেঞ্জ \(=[3, \infty )\) এবং \(gof(x)=x+3\), ডোমেন \(=\mathbb{R}\) , রেঞ্জ \(=[\sqrt{3}, \infty )\)
[কুঃ২০১৬]
\(Q.2.(xix)\) \(A, B, C\) প্রত্যেকটি বাস্তব সংখ্যার সেট। \(f:A\rightarrow B\) এবং \(g:B\rightarrow C\) ফাংশনদ্বয়কে \(f(x)=x+1\) এবং \(g(x)=x^2+2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হলো। সংযোজিত ফাংশন \(gof\) এবং \(fog\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(gof(x)=x^2+2x+3 \), \(fog(x)=x^2+3\)
[ মাঃ২০১২]
\(Q.2.(xx)\) \(f(x)=x^2+3x+1\) এবং \(g(x)=2x-3\) হলে, \(gof(2), fog(2)\) এবং \(fog(x)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(gof(2)=19, fog(2)=5, fog(x)=4x^2-6x+1\)
\(Q.2.(xxi)\) \(f(x)=x^2+3x+1\) এবং \(g(x)=2x-3\) হলে, নিম্নলিখিত রাশিগুলির মাণ নির্ণয় কর।
\((a)\) \(gog\)
\((b)\) \(fof\)
\((c)\) \(gof\)
উত্তরঃ \(gog=4x-9, fof=x^4+6x^3+14x^2+15x+5\), \(gof=2x^2+6x-1\)
\(Q.2.(xxii)\) \(y=f(x)=\frac{4x-7}{2x-4}\) হলে, দেখাও যে, \(f(y)=x\) অথবা, \(f^{-1}(x)=f(x)\)
[ বুটেক্স ২০০৬-২০০৭; চঃ ২০১২,২০০৮,২০০৫; ঢাঃ ২০১৪,২০১৩,২০১১,২০০২; রাঃ ২০১৬,২০১২,২০০৪; কুঃ ২০১৩,২০০৬; সিঃ ২০১৩,২০০৯; বঃ২০১১,২০০৭,২০০৪; দিঃ ২০১৪,২০০৯; মাঃ ২০১৪,২০১১ ]
\(Q.2.(xxiii)\) \(f(x)=\ln \left(\frac{1-x}{1+x}\right)\) হলে, দেখাও যে, \(f^{-1}(x)=\frac{1-e^x}{1+e^x}\).
[ সিঃ ২০১6 ]
\(Q.2.(xxiv)\) \(y=f(x)=\frac{ax+b}{cx-a}\) হলে, দেখাও যে, \(f^{-1}(x)=f(x)\) অথবা, \(f(y)\)-এর মাণ \(x\)-এর মাধ্যমে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f(y)=x\)
[ ঢাঃ ২০১৬;যঃ২০১৪; কুঃ, সিঃ ২০০১ ]
\(Q.2.(xxv)\) যদি, \(y=f(x)=\frac{5x+3}{4x-5}\) হয় তবে দেখাও যে, \(f(y)=x\).
[ ঢাঃ ২০১১ সিঃ ২০১৩ ]
\(Q.2.(xxvi)\) যদি, \(y=f(x)=\frac{lx+m}{nx-l}\) হয় তবে দেখাও যে, \(f(y)=x\).
[ ঢাঃ ২০১১ সিঃ ২০১৩ ]
\(Q.2.(xxvii)\) \(f:\mathbb{R}-\{\frac{5}{4}\}\rightarrow \mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}\) ফাংশনটি \(f(x)=\frac{2x+3}{4x-5}\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয় তবে \(f^{-1}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f^{-1}(x)=\frac{5x+3}{4x-2}\)
[ ঢাঃ ২০১১ সিঃ ২০১৩ ]
\(Q.2.(xxviii)\) \(f\) ও \(g\) দ্বারা বাস্তব সংখ্যার ফাংশন সূচিত হলে, এবং \(f(x)=x+1, g(x)=x^2 \) হলে, \(f(g(x))\) এবং \(g(f(x))\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f(g(x))=x^2+1\); \(g(f(x))=x^2+2x+1\)
\(Q.2.(xxix)\) \(f(x)=2x^3+3\) এবং \(g(x)=\sqrt[3]{\frac{x-3}{2}}\) হলে, দেখাও যে, \(gof=fog\).
উত্তরঃ \(f^{-1}(2)=\{-3, 3\} \) ।
[ রাঃ২০১০; চঃ২০০৩]
\(Q.2.(xii)\) \(f(x)=2x-5\) এবং \(g(x)=x^2+6\) হলে, \(gof(2)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(7 \)।
[যঃ২০১৭]
\(Q.2.(xiii)\) \(g(x)=\frac{x-5}{3x+1}\) এবং \(h(x)=x^2+1\) হলে, দেখাও যে, \(hog(1)-goh(2)=2\).
[ দিঃ২০১৭]
\(Q.2.(xiv)\) \(g(x)=(x+5)^n\) এবং \(f(x)=x^2-6, n=\frac{1}{2}\) হলে, \(gof\)-এর ডোমেন নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( (-\infty, -1]\cup [1, \infty)\)।
[ সিঃ২০১৭]
\(Q.2.(xv)(a) - Q.2.(xv)(d)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) যেখানে, \(f(x)=x^2-2|x|\) এবং \(g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) যেখানে, \(g(x)=x^2+1\) নিম্নলিখিত রাশিগুলি মাণ নির্ণয় কর।
\(Q.2.(xv)(a)\) \(gof(3)\)উত্তরঃ \( 10 \)।
[ ঢাঃ ২০০৫; সিঃ২০০৮]
\(Q.2.(xv)(b)\) \(fog(-2)\)
উত্তরঃ \( 15\)।
[ বঃ ২০০৭; যঃ২০০৩]
\(Q.2.(xv)(c)\) \(gof(-4)\)
উত্তরঃ \( 65\)।
[ ঢাঃ ২০০৫; কুঃ২০০৯; যঃ২০০৩ ; সিঃ২০০৮]
\(Q.2.(xv)(d)\) \(fog(5)\)
উত্তরঃ \( 624\)।
\(Q.2.(xvi)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^2+2x-3\) এবং \(g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, g(x)=3x-4\) হলে, \(g(f(x)), f(g(x)), g(f(2)), f(g(2)),\) \(g(f(5)), f(g(5)), g(f(3))\) এবং \( f(g(3))\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( 3x^2+6x-13, 9x^2-18x+5, 11,\)\( 5, 140, 92, 32, 32 \)।
[ কুঃ ২০০৬; দিঃ২০১৩, ২০১০; সিঃ২০১২]
\(Q.2.(xvii)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^2, g(x)=x^3+1\) হলে, \(fog(4)\)নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, \(fog(-3)\ne gof(-3)\)
উত্তরঃ \(fog(4)=4225 \)।
[ঢাঃ ২০১১, ২০০৭; রাঃ২০০৩; বঃ২০০৯]
\(Q.2.(xviii)\) \(f(x)=x^2+3, g(x)=\sqrt{x}\) হলে, \(fog\) এবং \(gof\)নির্ণয় কর। অতঃপর প্রত্যেক ক্ষেত্রে সংযোজিত ফাংশনের ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(fog(x)=\sqrt{x^2+3}\), ডোমেন \(=[0, \infty )\) , রেঞ্জ \(=[3, \infty )\) এবং \(gof(x)=x+3\), ডোমেন \(=\mathbb{R}\) , রেঞ্জ \(=[\sqrt{3}, \infty )\)
[কুঃ২০১৬]
\(Q.2.(xix)\) \(A, B, C\) প্রত্যেকটি বাস্তব সংখ্যার সেট। \(f:A\rightarrow B\) এবং \(g:B\rightarrow C\) ফাংশনদ্বয়কে \(f(x)=x+1\) এবং \(g(x)=x^2+2\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হলো। সংযোজিত ফাংশন \(gof\) এবং \(fog\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(gof(x)=x^2+2x+3 \), \(fog(x)=x^2+3\)
[ মাঃ২০১২]
\(Q.2.(xx)\) \(f(x)=x^2+3x+1\) এবং \(g(x)=2x-3\) হলে, \(gof(2), fog(2)\) এবং \(fog(x)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(gof(2)=19, fog(2)=5, fog(x)=4x^2-6x+1\)
\(Q.2.(xxi)\) \(f(x)=x^2+3x+1\) এবং \(g(x)=2x-3\) হলে, নিম্নলিখিত রাশিগুলির মাণ নির্ণয় কর।
\((a)\) \(gog\)
\((b)\) \(fof\)
\((c)\) \(gof\)
উত্তরঃ \(gog=4x-9, fof=x^4+6x^3+14x^2+15x+5\), \(gof=2x^2+6x-1\)
\(Q.2.(xxii)\) \(y=f(x)=\frac{4x-7}{2x-4}\) হলে, দেখাও যে, \(f(y)=x\) অথবা, \(f^{-1}(x)=f(x)\)
[ বুটেক্স ২০০৬-২০০৭; চঃ ২০১২,২০০৮,২০০৫; ঢাঃ ২০১৪,২০১৩,২০১১,২০০২; রাঃ ২০১৬,২০১২,২০০৪; কুঃ ২০১৩,২০০৬; সিঃ ২০১৩,২০০৯; বঃ২০১১,২০০৭,২০০৪; দিঃ ২০১৪,২০০৯; মাঃ ২০১৪,২০১১ ]
\(Q.2.(xxiii)\) \(f(x)=\ln \left(\frac{1-x}{1+x}\right)\) হলে, দেখাও যে, \(f^{-1}(x)=\frac{1-e^x}{1+e^x}\).
[ সিঃ ২০১6 ]
\(Q.2.(xxiv)\) \(y=f(x)=\frac{ax+b}{cx-a}\) হলে, দেখাও যে, \(f^{-1}(x)=f(x)\) অথবা, \(f(y)\)-এর মাণ \(x\)-এর মাধ্যমে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f(y)=x\)
[ ঢাঃ ২০১৬;যঃ২০১৪; কুঃ, সিঃ ২০০১ ]
\(Q.2.(xxv)\) যদি, \(y=f(x)=\frac{5x+3}{4x-5}\) হয় তবে দেখাও যে, \(f(y)=x\).
[ ঢাঃ ২০১১ সিঃ ২০১৩ ]
\(Q.2.(xxvi)\) যদি, \(y=f(x)=\frac{lx+m}{nx-l}\) হয় তবে দেখাও যে, \(f(y)=x\).
[ ঢাঃ ২০১১ সিঃ ২০১৩ ]
\(Q.2.(xxvii)\) \(f:\mathbb{R}-\{\frac{5}{4}\}\rightarrow \mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}\) ফাংশনটি \(f(x)=\frac{2x+3}{4x-5}\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয় তবে \(f^{-1}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f^{-1}(x)=\frac{5x+3}{4x-2}\)
[ ঢাঃ ২০১১ সিঃ ২০১৩ ]
\(Q.2.(xxviii)\) \(f\) ও \(g\) দ্বারা বাস্তব সংখ্যার ফাংশন সূচিত হলে, এবং \(f(x)=x+1, g(x)=x^2 \) হলে, \(f(g(x))\) এবং \(g(f(x))\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(f(g(x))=x^2+1\); \(g(f(x))=x^2+2x+1\)
\(Q.2.(xxix)\) \(f(x)=2x^3+3\) এবং \(g(x)=\sqrt[3]{\frac{x-3}{2}}\) হলে, দেখাও যে, \(gof=fog\).
অনুশীলনী \(8.\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(Q.3.(i)\) যদি, \(f(x)=x^2+ax+b\) এবং \(f(1)=1, f(2)=2\) হয়, তাহলে \(f(3)\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(f(3)=5\)
\(Q.3.(ii)\) যদি, \(f(x)=\frac{2x+1}{2x-1}\) হয়, তাহলে প্রমাণ কর যে, \(\frac{f(x)+1}{f(x)-1}=2x\).
[ চঃ ২০১১; দিঃ ২০১০; বঃ ২০১৩ ]
\(Q.3.(iii)\) যদি, \(f(x)=\frac{3x+5}{3x-5}\) হয়, তাহলে প্রমাণ কর যে, \(\frac{f(x)+1}{f(x)-1}=\frac{3x}{5}\).
\(Q.3.(iv)\) \(f(t)=\frac{1}{t}\) হলে, দেখাও যে, \(f(y)-f(x)=f\left(\frac{xy}{x-y}\right)\).
\(Q.3.(v)\) \(f(x)=\frac{x-1}{x+1}\) হলে, দেখাও যে, \(\frac{f(x)-f(y)}{1+f(x)f(y)}=\frac{x-y}{1+xy}\).
[ যঃ ২০০২; সিঃ ২০০৫]
\(Q.3.(vi)\) \(f(x)=\frac{x^3-3x^2+1}{x(1-x)}\) হলে, দেখাও যে, \(f\left(\frac{1}{x}\right)=f(1-x)\).
\(Q.3.(vii)\) যদি, \(f(x)=a\left(\frac{x-b}{a-b}\right)+b\left(\frac{x-a}{b-a}\right)\) হয়, তবে দেখাও যে, \(f(a)+f(b)=f(a+b)\).
[ রুয়েট ২০০৪-২০০৫; রাঃ ২০১৩, ২০০৮; দিঃ ২০১২; কুঃ, বঃ ২০০৮; ঢাঃ, মাঃ ২০০৭; যঃ ২০০৪ ]
\(Q.3.(viii)\) যদি, \(f(x)=\frac{1}{2}(3^x+3^{-x}), g(x)=\frac{1}{2}(3^x-3^{-x})\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(f(x+y)=f(x)f(y)+g(x)g(y)\).
[ চঃ ২০১৬, ২০১৪ ]
\(Q.3.(ix)\) যদি, \(f(x)=\ln x\) এবং \(g(x)=x^n\) হয়, তবে দেখাও যে, \(f(g(x))=nf(x)\).
[ রাঃ ২০০৭, ২০০৩; সিঃ ২০০৬ ]
\(Q.3.(x)\) যদি, \(\phi(x)=\ln \left(\frac{1-x}{1+x}\right)\) হয়,তাহলে দেখাও যে, \(\phi(y)+\phi(z)=\phi \left(\frac{y+z}{1+yz}\right)\).
[বঃ ২০১২; কুঃ ২০১১, ২০০৩;চঃ ২০১০; যঃ ২০০৬; ঢাঃ ২০০৪ ]
\(Q.3.(xi)\) যদি, \(f(x)=\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)\) হয়,তাহলে দেখাও যে, \(f\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)=2f(x)\).
[ কুয়েট ২০০৪-২০০৫; কুঃ ২০১৬; যঃ ২০১১ ]
[ চঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(f(3)=5\)
\(Q.3.(ii)\) যদি, \(f(x)=\frac{2x+1}{2x-1}\) হয়, তাহলে প্রমাণ কর যে, \(\frac{f(x)+1}{f(x)-1}=2x\).
[ চঃ ২০১১; দিঃ ২০১০; বঃ ২০১৩ ]
\(Q.3.(iii)\) যদি, \(f(x)=\frac{3x+5}{3x-5}\) হয়, তাহলে প্রমাণ কর যে, \(\frac{f(x)+1}{f(x)-1}=\frac{3x}{5}\).
\(Q.3.(iv)\) \(f(t)=\frac{1}{t}\) হলে, দেখাও যে, \(f(y)-f(x)=f\left(\frac{xy}{x-y}\right)\).
\(Q.3.(v)\) \(f(x)=\frac{x-1}{x+1}\) হলে, দেখাও যে, \(\frac{f(x)-f(y)}{1+f(x)f(y)}=\frac{x-y}{1+xy}\).
[ যঃ ২০০২; সিঃ ২০০৫]
\(Q.3.(vi)\) \(f(x)=\frac{x^3-3x^2+1}{x(1-x)}\) হলে, দেখাও যে, \(f\left(\frac{1}{x}\right)=f(1-x)\).
\(Q.3.(vii)\) যদি, \(f(x)=a\left(\frac{x-b}{a-b}\right)+b\left(\frac{x-a}{b-a}\right)\) হয়, তবে দেখাও যে, \(f(a)+f(b)=f(a+b)\).
[ রুয়েট ২০০৪-২০০৫; রাঃ ২০১৩, ২০০৮; দিঃ ২০১২; কুঃ, বঃ ২০০৮; ঢাঃ, মাঃ ২০০৭; যঃ ২০০৪ ]
\(Q.3.(viii)\) যদি, \(f(x)=\frac{1}{2}(3^x+3^{-x}), g(x)=\frac{1}{2}(3^x-3^{-x})\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(f(x+y)=f(x)f(y)+g(x)g(y)\).
[ চঃ ২০১৬, ২০১৪ ]
\(Q.3.(ix)\) যদি, \(f(x)=\ln x\) এবং \(g(x)=x^n\) হয়, তবে দেখাও যে, \(f(g(x))=nf(x)\).
[ রাঃ ২০০৭, ২০০৩; সিঃ ২০০৬ ]
\(Q.3.(x)\) যদি, \(\phi(x)=\ln \left(\frac{1-x}{1+x}\right)\) হয়,তাহলে দেখাও যে, \(\phi(y)+\phi(z)=\phi \left(\frac{y+z}{1+yz}\right)\).
[বঃ ২০১২; কুঃ ২০১১, ২০০৩;চঃ ২০১০; যঃ ২০০৬; ঢাঃ ২০০৪ ]
\(Q.3.(xi)\) যদি, \(f(x)=\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)\) হয়,তাহলে দেখাও যে, \(f\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)=2f(x)\).
[ কুয়েট ২০০৪-২০০৫; কুঃ ২০১৬; যঃ ২০১১ ]
\(Q.3.(xii)\) যদি, \(f(x)=e^x+e^{-x}\) হয়,তাহলে দেখাও যে, \(f(x+y)f(x-y)=f(2x)+f(2y)\).
[ কুঃ২০১০,২০০৪;সিঃ ২০০৭,২০০৪; চঃ ২০১৩,২০০৯,২০০৬.২০০৩; রাঃ২০১৫,২০১৪,২০১০,২০০৫; বঃ ২০০৯,২০০৫;ঢাঃ ২০১২; যঃ ২০১২,২০০৮;মাঃ২০১২ ]
\(Q.3.(xiii)\) \(f(x)=\ln \sin x\), \(\phi(x)=\ln \cos x\) হয়, তাহলে দেখাও যে, \(e^{2\phi(a)}-e^{2f(a)}=e^{\phi(2a)}\).
[ কুঃ২০১২,২০০৫;সিঃ ২০১৪,২০১০,২০০৮; বঃ ২০১৬,২০১৪,২০১০, ২০০৬; রাঃ২০০৯; ঢাঃ ২০১০,২০০৬; যঃ ২০১৬,২০০১৫,২০১০,২০০৩ ]
\(Q.3.(xiv)\) \(f(x)=\ln \sin x\), \(\phi(x)=\ln \cos x\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে,
\(Q.3.(xiv)(a)\) \(e^{2\phi(x)}+e^{2f(x)}=1\).
[ কুঃ২০০২; বঃ ২০১০ ]
\(Q.3.(xiv)(b)\) \(e^{2f(x)}=\frac{1}{2}(1-\cos 2x)\).
[ যঃ ২০১৬ ]
\(Q.3.(xv)\) যদি, \(f(x)=\cos x\)হয়, তবে দেখাও যে,
\(Q.3.(xv)(a)\) \(f(2x)=2\{f(x)\}^2-1\)
[ ঢাঃ ২০০১; যঃ ২০১৩ ]
\(Q.3.(xv)(b)\) \(f(3x)=4\{f(x)\}^3-3f(x)\)
[ ঢাঃ ২০০১; যঃ ২০১৩ ]
\(Q.3.(xvi)\) যদি, \(f(x)=\frac{1-x}{1+x}\) হয়, তবে দেখাও যে, \(f(\cos\theta)=\tan^2\frac{\theta}{2}\).
[ কুঃ ২০০৭; বঃ ২০০৩; মাঃ ২০১৩,২০১০ ]
\(Q.3.(xvii)\) যদি, \(f(x)=\tan x\) হয়, তাহলে দেখাও যে, \(f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1-f(x)f(y)}\).
[ ঢাঃ ২০০৫ ]
\(Q.3.(xviii)\) \(f(x)=\tan^{-1}x\) হলে, দেখাও যে, \(f(a)+f(b)=f\left(\frac{a+b}{1-ab}\right)\).
\(Q.3.(xix)\) যদি, \(f(x)=\cos(\ln x)\) হয়, তবে \(f(x)f(y)-\frac{1}{2}\{f\left(\frac{x}{y}\right)+f(xy)\}\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(0\)
[ সিঃ ২০১৬,২০১৫,২০১১; দিঃ ২০১৬,২০১১; কুঃ ২০১৪ ]
\(Q.3.(xx)\) \(\phi(x)=\cot^{-1}(1+x+x^2)\) হলে, দেখাও যে, \(\phi(0)+2\phi(1)+\phi(2)=\frac{\pi}{2}\).
[ কুঃ ২০১৫; ঢাঃ ২০০৯ ]
[ কুঃ২০১০,২০০৪;সিঃ ২০০৭,২০০৪; চঃ ২০১৩,২০০৯,২০০৬.২০০৩; রাঃ২০১৫,২০১৪,২০১০,২০০৫; বঃ ২০০৯,২০০৫;ঢাঃ ২০১২; যঃ ২০১২,২০০৮;মাঃ২০১২ ]
\(Q.3.(xiii)\) \(f(x)=\ln \sin x\), \(\phi(x)=\ln \cos x\) হয়, তাহলে দেখাও যে, \(e^{2\phi(a)}-e^{2f(a)}=e^{\phi(2a)}\).
[ কুঃ২০১২,২০০৫;সিঃ ২০১৪,২০১০,২০০৮; বঃ ২০১৬,২০১৪,২০১০, ২০০৬; রাঃ২০০৯; ঢাঃ ২০১০,২০০৬; যঃ ২০১৬,২০০১৫,২০১০,২০০৩ ]
\(Q.3.(xiv)\) \(f(x)=\ln \sin x\), \(\phi(x)=\ln \cos x\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে,
\(Q.3.(xiv)(a)\) \(e^{2\phi(x)}+e^{2f(x)}=1\).
[ কুঃ২০০২; বঃ ২০১০ ]
\(Q.3.(xiv)(b)\) \(e^{2f(x)}=\frac{1}{2}(1-\cos 2x)\).
[ যঃ ২০১৬ ]
\(Q.3.(xv)\) যদি, \(f(x)=\cos x\)হয়, তবে দেখাও যে,
\(Q.3.(xv)(a)\) \(f(2x)=2\{f(x)\}^2-1\)
[ ঢাঃ ২০০১; যঃ ২০১৩ ]
\(Q.3.(xv)(b)\) \(f(3x)=4\{f(x)\}^3-3f(x)\)
[ ঢাঃ ২০০১; যঃ ২০১৩ ]
\(Q.3.(xvi)\) যদি, \(f(x)=\frac{1-x}{1+x}\) হয়, তবে দেখাও যে, \(f(\cos\theta)=\tan^2\frac{\theta}{2}\).
[ কুঃ ২০০৭; বঃ ২০০৩; মাঃ ২০১৩,২০১০ ]
\(Q.3.(xvii)\) যদি, \(f(x)=\tan x\) হয়, তাহলে দেখাও যে, \(f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1-f(x)f(y)}\).
[ ঢাঃ ২০০৫ ]
\(Q.3.(xviii)\) \(f(x)=\tan^{-1}x\) হলে, দেখাও যে, \(f(a)+f(b)=f\left(\frac{a+b}{1-ab}\right)\).
\(Q.3.(xix)\) যদি, \(f(x)=\cos(\ln x)\) হয়, তবে \(f(x)f(y)-\frac{1}{2}\{f\left(\frac{x}{y}\right)+f(xy)\}\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(0\)
[ সিঃ ২০১৬,২০১৫,২০১১; দিঃ ২০১৬,২০১১; কুঃ ২০১৪ ]
\(Q.3.(xx)\) \(\phi(x)=\cot^{-1}(1+x+x^2)\) হলে, দেখাও যে, \(\phi(0)+2\phi(1)+\phi(2)=\frac{\pi}{2}\).
[ কুঃ ২০১৫; ঢাঃ ২০০৯ ]
\(Q.3.(xxi)\) নিচের ফাংশনগুলির স্কেচ অঙ্কন কর এবং বৈশিষ্ট লিখঃ
\(Q.3.(xxi)(a)\) \(y=|x-3|\)
[ সিঃ ২০১৭ ]
\(Q.3.(xxi)(b)\) \(y=\frac{|x|}{x}\)
\(Q.3.(xxi)(c)\) \(y=-5^x\)
\(Q.3.(xxi)(d)\) \(y=\ln(2+x)\)
\(Q.3.(xxi)(e)\) \(y=\sin 3x, (0^{o}\le x\le 180^{o})\)
\(Q.3.(xxi)(f)\) \(y=8+4x+x^2\)
\(Q.3.(xxi)(g)\) \(y=4+3x-x^2\)
\(Q.3.(xxi)(h)\) \(y=x^2+3x-4\)
\(Q.3.(xxi)(i)\) \(y=8+2x-x^2\)
\(Q.3.(xxi)(j)\) \(y=-x^2+3x+2\)
\(Q.3.(xxi)(k)\) \(y=2^{x}\)
\(Q.3.(xxi)(l)\) \(y=-2^{x}\)
\(Q.3.(xxi)(m)\) \(y=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\)
[ সিঃ ২০১৭ ]
\(Q.3.(xxi)(b)\) \(y=\frac{|x|}{x}\)
\(Q.3.(xxi)(c)\) \(y=-5^x\)
\(Q.3.(xxi)(d)\) \(y=\ln(2+x)\)
\(Q.3.(xxi)(e)\) \(y=\sin 3x, (0^{o}\le x\le 180^{o})\)
\(Q.3.(xxi)(f)\) \(y=8+4x+x^2\)
\(Q.3.(xxi)(g)\) \(y=4+3x-x^2\)
\(Q.3.(xxi)(h)\) \(y=x^2+3x-4\)
\(Q.3.(xxi)(i)\) \(y=8+2x-x^2\)
\(Q.3.(xxi)(j)\) \(y=-x^2+3x+2\)
\(Q.3.(xxi)(k)\) \(y=2^{x}\)
\(Q.3.(xxi)(l)\) \(y=-2^{x}\)
\(Q.3.(xxi)(m)\) \(y=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\)
\(Q.3.(xxi)(n)\) \(y=2^{-x}\)
\(Q.3.(xxi)(o)\) \(y=4^{x}\)
\(Q.3.(xxi)(p)\) \(y=\left(\frac{2}{3}\right)^{x}\)
\(Q.3.(xxi)(q)\) \(y=\sin \frac{3}{2}x\)
\(Q.3.(xxi)(r)\) \(y=2\sin \frac{x}{3}\)
\(Q.3.(xxi)(s)\) \(y=\sec x\)
\(Q.3.(xxi)(t)\) \(y=\cos 3x\)
\(Q.3.(xxi)(u)\) \(y=\tan 2x\)
\(Q.3.(xxi)(v)\) \(y=\cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right)\)
\(Q.3.(xxi)(w)\) \(y=|x-2|\)
\(Q.3.(xxi)(x)\) \(y=(5-x)\)
\(Q.3.(xxi)(y)\) \(y=|3x-2|\)
\(Q.3.(xxi)(o)\) \(y=4^{x}\)
\(Q.3.(xxi)(p)\) \(y=\left(\frac{2}{3}\right)^{x}\)
\(Q.3.(xxi)(q)\) \(y=\sin \frac{3}{2}x\)
\(Q.3.(xxi)(r)\) \(y=2\sin \frac{x}{3}\)
\(Q.3.(xxi)(s)\) \(y=\sec x\)
\(Q.3.(xxi)(t)\) \(y=\cos 3x\)
\(Q.3.(xxi)(u)\) \(y=\tan 2x\)
\(Q.3.(xxi)(v)\) \(y=\cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right)\)
\(Q.3.(xxi)(w)\) \(y=|x-2|\)
\(Q.3.(xxi)(x)\) \(y=(5-x)\)
\(Q.3.(xxi)(y)\) \(y=|3x-2|\)
\(Q.3.(xxii)\) নিচের ফাংশনগুলির এবং তাদের বিপরীত ফাংশনের স্কেচ অঙ্কন করঃ
\(Q.3.(xxii)(a)\) \(y=5x+1\)
\(Q.3.(xxii)(b)\) \(y=e^x\)
\(Q.3.(xxii)(c)\) \(y=\sin x, (-90^{o}\le x\le 90^{o})\)
\(Q.3.(xxii)(d)\) \(y=\cos x, (0^{o}\le x\le 180^{o})\)
\(Q.3.(xxii)(e)\) \(y=\sin x, 0\le x\le 2\pi\)
\(Q.3.(xxii)(f)\) \(y=x^2, -3\le x\le 3\)
\(Q.3.(xxii)(g)\) \(y=|x|\)
\(Q.3.(xxii)(h)\) \(y=3, -3\le x\le 3\)
\(Q.3.(xxii)(b)\) \(y=e^x\)
\(Q.3.(xxii)(c)\) \(y=\sin x, (-90^{o}\le x\le 90^{o})\)
\(Q.3.(xxii)(d)\) \(y=\cos x, (0^{o}\le x\le 180^{o})\)
\(Q.3.(xxii)(e)\) \(y=\sin x, 0\le x\le 2\pi\)
\(Q.3.(xxii)(f)\) \(y=x^2, -3\le x\le 3\)
\(Q.3.(xxii)(g)\) \(y=|x|\)
\(Q.3.(xxii)(h)\) \(y=3, -3\le x\le 3\)
\(Q.3.(xxii)(i)\) \(y=log_{e}(1+x)\)
\(Q.3.(xxii)(j)\) \(y=log_{10}x\)
\(Q.3.(xxii)(k)\) \(y=log_{0.5}x\)
\(Q.3.(xxii)(l)\) \(y=0.2\ln (x-1)\)
\(Q.3.(xxii)(m)\) \(y=5^x\)
\(Q.3.(xxii)(n)\) \(y=\tan x, (0^{o}\le x\le \frac{\pi}{2})\)
\(Q.3.(xxii)(o)\) \(y=e^{-2x}\)
\(Q.3.(xxii)(p)\) \(y=\ln (x+2)\)
\(Q.3.(xxii)(j)\) \(y=log_{10}x\)
\(Q.3.(xxii)(k)\) \(y=log_{0.5}x\)
\(Q.3.(xxii)(l)\) \(y=0.2\ln (x-1)\)
\(Q.3.(xxii)(m)\) \(y=5^x\)
\(Q.3.(xxii)(n)\) \(y=\tan x, (0^{o}\le x\le \frac{\pi}{2})\)
\(Q.3.(xxii)(o)\) \(y=e^{-2x}\)
\(Q.3.(xxii)(p)\) \(y=\ln (x+2)\)
\(Q.3.(xxiii)\) নিম্নের ফাংশনের এবং এদের রূপান্তরির ফাংশনগুলির স্কেচ অঙ্কন কর।
\(Q.3.(xxiii) (a)\) \(f(x)=x^2+2\) হলে \(f(x), f(x\pm 1)\) এবং \(f(x)\pm 1\)
\(Q.3.(xxiii) (b)\) \(f(x)=e^{-x}\) হলে \(f(x), f(x\pm 2)\) এবং \(f(x)\pm 2\)
\(Q.3.(xxiii) (c)\) \(f(x)=x^2\) হলে \(f(x), f(x\pm 1), f(-x), -f(x)\) এবং \(f(x)\pm 2\)
\(Q.3.(xxiii) (b)\) \(f(x)=e^{-x}\) হলে \(f(x), f(x\pm 2)\) এবং \(f(x)\pm 2\)
\(Q.3.(xxiii) (c)\) \(f(x)=x^2\) হলে \(f(x), f(x\pm 1), f(-x), -f(x)\) এবং \(f(x)\pm 2\)
\(Q.3.(xxiii) (d)\) \(f(x)=\sin x\) হলে \(f(x), f(2x), f(x\pm 2), -f(x)\) এবং \(f(x)\pm 2\)
\(Q.3.(xxiii) (e)\) \(f(x)=\log_{10}x\) হলে \(f(x), f(x\pm 1), -f(x)\) এবং \(f(x)\pm 1\)
\(Q.3.(xxiii) (e)\) \(f(x)=\log_{10}x\) হলে \(f(x), f(x\pm 1), -f(x)\) এবং \(f(x)\pm 1\)
\(Q.3.(xxiv)\) নিচের ফাংশনগুলির লেখচিত্র অঙ্কন করঃ
\(Q.3.(xxv)\) \(f(x)=x^2+3x, g(x)=2x-3\) হলে, \(gof(x)\)-এর লেখচিত্র অঙ্কন কর। \(Q.3.(xxvi)\) নিম্নের ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির মৌলিক পর্যায় নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(xxvi) (a)\) \(\sec\frac{\theta}{4}\)
\(Q.3.(xxvi) (b)\) \(\cot\frac{3x}{4}\)
\(Q.3.(xxvi) (c)\) \(2\cos\frac{x}{4}\)
\(Q.3.(xxvi) (d)\) \(\frac{1}{2}\cot\frac{3x}{4}\)
\(Q.3.(xxvi) (e)\) \(2\sec\frac{\theta}{4}\)
\(Q.3.(xxvi) (f)\) \(\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\)
\(Q.3.(xxvi) (b)\) \(\cot\frac{3x}{4}\)
\(Q.3.(xxvi) (c)\) \(2\cos\frac{x}{4}\)
\(Q.3.(xxvi) (d)\) \(\frac{1}{2}\cot\frac{3x}{4}\)
\(Q.3.(xxvi) (e)\) \(2\sec\frac{\theta}{4}\)
\(Q.3.(xxvi) (f)\) \(\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\)
\(Q.3.(xxvi) (g)\) \(\sin\left(3\theta+\frac{\pi}{4}\right)\)
\(Q.3.(xxvi) (h)\) \(\frac{1}{3}\sin\left(\frac{x}{3}\right)\)
\(Q.3.(xxvi) (i)\) \(2\cos\left(\frac{x}{3}\right)\)
\(Q.3.(xxvi) (j)\) \(\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)\)
\(Q.3.(xxvi) (k)\) \(5\sec\frac{\theta}{8}\)
\(Q.3.(xxvi) (h)\) \(\frac{1}{3}\sin\left(\frac{x}{3}\right)\)
\(Q.3.(xxvi) (i)\) \(2\cos\left(\frac{x}{3}\right)\)
\(Q.3.(xxvi) (j)\) \(\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)\)
\(Q.3.(xxvi) (k)\) \(5\sec\frac{\theta}{8}\)
নিচের ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন কর এবং বৈশিষ্ট লিখঃ
\(Q.3.(xxi)(a)\) \(y=|x-3|\)
[ সিঃ ২০১৭ ]
\(Q.3.(xxi)(a)\) \(y=|x-3|\)
[ সিঃ ২০১৭ ]
সমাধানঃ
ধরি,
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=|x-3|\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) \(x\)-এর সকল বাস্তব মানের জন্য ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত। অতএব, ফাংশনের ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\), রেঞ্জ \(R_f=[0, \infty)\)
\((ii)\) লেখটি \(y\)অক্ষকে \((0, 3)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((iii)\) লেখটি \(x\)অক্ষকে \((3, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((iv)\) লেখটি প্রথম ও দ্বিতীয় চৌকোণে সীমাবদ্ধ।
\((v)\) লেখটি \(\) রেখার সাপেক্ষে প্রতিসম।
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=|x-3|\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) \(x\)-এর সকল বাস্তব মানের জন্য ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত। অতএব, ফাংশনের ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\), রেঞ্জ \(R_f=[0, \infty)\)
\((ii)\) লেখটি \(y\)অক্ষকে \((0, 3)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((iii)\) লেখটি \(x\)অক্ষকে \((3, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((iv)\) লেখটি প্রথম ও দ্বিতীয় চৌকোণে সীমাবদ্ধ।
\((v)\) লেখটি \(\) রেখার সাপেক্ষে প্রতিসম।
নিচের ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন কর এবং বৈশিষ্ট লিখঃ
\(Q.3.(xxi)(b)\) \(y=\frac{|x|}{x}\)
\(Q.3.(xxi)(b)\) \(y=\frac{|x|}{x}\)
সমাধানঃ
ধরি,
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=\frac{|x|}{x}\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) \(0\) ব্যাতীত \(x\)-এর সকল বাস্তব মানের জন্য ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত। অতএব, ফাংশনের ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{0\}\), রেঞ্জ \(R_f=\{1, -1\}\)
\((ii)\) লেখটি কোনো অক্ষকে স্পর্শ করে না।
\((iii)\) \(x\)-এর সকল ধনাত্মক মানের জন্য লেখটি \(x\) অক্ষের উপরে এবং \(y\) অক্ষের ডানে অবস্থান করে এবং \(x\) অক্ষের সমান্তরাল হয়।
\((iv)\) \(x\)-এর সকল ঋনাত্মক মানের জন্য লেখটি \(x\) অক্ষের নিচে এবং \(y\) অক্ষের বামে অবস্থান করে এবং \(x\) অক্ষের সমান্তরাল হয়।
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=\frac{|x|}{x}\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) \(0\) ব্যাতীত \(x\)-এর সকল বাস্তব মানের জন্য ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত। অতএব, ফাংশনের ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{0\}\), রেঞ্জ \(R_f=\{1, -1\}\)
\((ii)\) লেখটি কোনো অক্ষকে স্পর্শ করে না।
\((iii)\) \(x\)-এর সকল ধনাত্মক মানের জন্য লেখটি \(x\) অক্ষের উপরে এবং \(y\) অক্ষের ডানে অবস্থান করে এবং \(x\) অক্ষের সমান্তরাল হয়।
\((iv)\) \(x\)-এর সকল ঋনাত্মক মানের জন্য লেখটি \(x\) অক্ষের নিচে এবং \(y\) অক্ষের বামে অবস্থান করে এবং \(x\) অক্ষের সমান্তরাল হয়।
নিচের ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন কর এবং বৈশিষ্ট লিখঃ
\(Q.3.(xxi)(c)\) \(y=-5^x\)
\(Q.3.(xxi)(c)\) \(y=-5^x\)
সমাধানঃ
ধরি,
প্রদত্ত সূচক ফাংশন \(f(x)=y=-5^x\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
প্রদত্ত সূচক ফাংশন \(f(x)=y=-5^x\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
| \(x\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(\infty\) |
| \(y\) | \(-\frac{1}{5}\) | \(-1\) | \(-5\) | \(\infty\) |
গ্রাফ কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে \(1\) একক ধরে।
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) \(y\) অক্ষকে \((0, -1)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((ii)\) ঋনাত্মক \(\) অক্ষকে অসীমে স্পর্শ করে।
\((iii)\) \(x\)-এর ধনাত্মক মান বৃদ্ধির সাথে সাথে \(y\)-এর ঋনাত্মক মাণ দ্রুত বৃদ্ধি পায়।
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) \(y\) অক্ষকে \((0, -1)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((ii)\) ঋনাত্মক \(\) অক্ষকে অসীমে স্পর্শ করে।
\((iii)\) \(x\)-এর ধনাত্মক মান বৃদ্ধির সাথে সাথে \(y\)-এর ঋনাত্মক মাণ দ্রুত বৃদ্ধি পায়।
নিচের ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন কর এবং বৈশিষ্ট লিখঃ
\(Q.3.(xxi)(d)\) \(y=\ln(2+x)\)
\(Q.3.(xxi)(d)\) \(y=\ln(2+x)\)
সমাধানঃ
ধরি,
প্রদত্ত লগারিদমিক ফাংশন \(f(x)=y=\ln(2+x)\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
প্রদত্ত লগারিদমিক ফাংশন \(f(x)=y=\ln(2+x)\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(.....\) |
| \(y\) | \(-\infty\) | \(0\) | \(\ln 2\) | \(.....\) |
গ্রাফ কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে \(1\) একক ধরে।
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=(-2, \infty)\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=(-\infty, \infty)\)
\((iii)\) ফাংশনটি \(x+2=0\)রেখাকে কখনো ছেদ বা স্পর্শ করবে না।
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=(-2, \infty)\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=(-\infty, \infty)\)
\((iii)\) ফাংশনটি \(x+2=0\)রেখাকে কখনো ছেদ বা স্পর্শ করবে না।
নিচের ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন কর এবং বৈশিষ্ট লিখঃ
\(Q.3.(xxi)(e)\) \(y=\sin 3x, (0^{o}\le x\le 180^{o})\)
\(Q.3.(xxi)(e)\) \(y=\sin 3x, (0^{o}\le x\le 180^{o})\)
সমাধানঃ
ধরি,
প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন \(f(x)=y=\sin 3x\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন \(f(x)=y=\sin 3x\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
| \(x\) | \(0^{o}\) | \(12^{o}\) | \(24^{o}\) | \(36^{o}\) | \(48^{o}\) | \(60^{o}\) | \(72^{o}\) | \(84^{o}\) | \(90^{o}\) |
| \(y\) | \(0\) | \(0.59\) | \(0.95\) | \(0.95\) | \(0.59\) | \(0\) | \(-0.59\) | \(-0.95\) | \(-1\) |
\(x\) অক্ষ বরাবর গ্রাফ কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে \(12^{o}\) এবং \(y\) অক্ষ বরাবর প্রতি \(5\) বাহুর দৈর্ঘ্যকে \(1\) একক ধরে।
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=[0, 90^{o}]\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=[-1, 1]\)
\((iii)\) ফাংশনটির লেখচিত্র ঢেউ আকৃতির।
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=[0, 90^{o}]\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=[-1, 1]\)
\((iii)\) ফাংশনটির লেখচিত্র ঢেউ আকৃতির।
নিচের ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন কর এবং বৈশিষ্ট লিখঃ
\(Q.3.(xxi)(f)\) \(y=8+4x+x^2\)
\(Q.3.(xxi)(f)\) \(y=8+4x+x^2\)
সমাধানঃ
ধরি,
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=8+4x+x^2\)
\(\Rightarrow y=x^2+4x+8\)
\(\Rightarrow y=x^2+4x+4+4\)
\(\Rightarrow y=(x+2)^2+4\)
\(\Rightarrow y-4=(x+2)^2\)
\(\Rightarrow (x+2)^2=y-4\)
\(\Rightarrow x+2=\pm \sqrt{y-4}\)
\(\therefore x=-2\pm \sqrt{y-4}\)
\(x=-2\)হলে, \(y=4\) হয়।
\(x=\frac{3}{2}\)হলে, \(y=\frac{25}{4}\) হয়।
\(y=0\) হলে, \(8+4x+x^2=0\) হয়।
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4\times 1\times 8}}{2\times 1}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm \sqrt{16-32}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm \sqrt{-16}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm 4i}{2}\) যা কাল্পনিক।
\(\therefore \) ফাংশনটি \(X\) অক্ষকে ছেদ করে না।
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=[4, \infty)\)
\((iii)\) ফাংশনটির লেখচিত্র \(x+2=0\) সরলরেখার সাপেক্ষে প্রতিসম।
\((iii)\) ফাংশনটি \(X\) অক্ষকে ছেদ করে না।
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=8+4x+x^2\)
\(\Rightarrow y=x^2+4x+8\)
\(\Rightarrow y=x^2+4x+4+4\)
\(\Rightarrow y=(x+2)^2+4\)
\(\Rightarrow y-4=(x+2)^2\)
\(\Rightarrow (x+2)^2=y-4\)
\(\Rightarrow x+2=\pm \sqrt{y-4}\)
\(\therefore x=-2\pm \sqrt{y-4}\)
\(x=-2\)হলে, \(y=4\) হয়।
\(x=\frac{3}{2}\)হলে, \(y=\frac{25}{4}\) হয়।
\(y=0\) হলে, \(8+4x+x^2=0\) হয়।
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4\times 1\times 8}}{2\times 1}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm \sqrt{16-32}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm \sqrt{-16}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4\pm 4i}{2}\) যা কাল্পনিক।
\(\therefore \) ফাংশনটি \(X\) অক্ষকে ছেদ করে না।
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=[4, \infty)\)
\((iii)\) ফাংশনটির লেখচিত্র \(x+2=0\) সরলরেখার সাপেক্ষে প্রতিসম।
\((iii)\) ফাংশনটি \(X\) অক্ষকে ছেদ করে না।
নিচের ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন কর এবং বৈশিষ্ট লিখঃ
\(Q.3.(xxi)(g)\) \(y=4+3x-x^2\)
\(Q.3.(xxi)(g)\) \(y=4+3x-x^2\)
সমাধানঃ
ধরি,
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=4+3x-x^2\)
\(\Rightarrow y=4-x^2+3x\)
\(\Rightarrow y=4-x^2+3x-\frac{9}{4}+\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow y=4-(x^2-3x+\frac{9}{4})+\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow y=4-\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow y=4+\frac{9}{4}-\left(x-\frac{3}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow y=\frac{16+9}{4}-\left(x-\frac{3}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow y=\frac{25}{4}-\left(x-\frac{3}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow \left(x-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{25}{4}-y\)
\(\Rightarrow x-\frac{3}{2}=\pm \sqrt{\frac{25}{4}-y}\)
\(\Rightarrow x=\frac{3}{2}\pm \sqrt{\frac{25}{4}-y}\)
\(x=\frac{3}{2}\)হলে, \(y=\frac{25}{4}\) হয়।
\(y=0\) হলে, \(4+3x-x^2=0\) হয়।
\(\Rightarrow x=\frac{-3\pm \sqrt{3^2-4\times -1\times 4}}{2\times -1}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-3\pm \sqrt{9+16}}{-2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-3\pm \sqrt{25}}{-2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-3\pm 5}{-2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-3+5}{-2}, \frac{-3-5}{-2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{2}{-2}, \frac{-8}{-2}\)
\(\therefore x=-1, 4\)
\(\therefore \) ফাংশনটি \(X\) অক্ষকে \((4, 0)\) ও \((-1, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=(-\infty, \frac{25}{4}] \)
\((iii)\) ফাংশনটির লেখচিত্র \(2x-3=0\) সরলরেখার সাপেক্ষে প্রতিসম।
\((iv)\) ফাংশনটি \(X\) অক্ষকে \((4, 0)\) ও \((-1, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=4+3x-x^2\)
\(\Rightarrow y=4-x^2+3x\)
\(\Rightarrow y=4-x^2+3x-\frac{9}{4}+\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow y=4-(x^2-3x+\frac{9}{4})+\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow y=4-\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow y=4+\frac{9}{4}-\left(x-\frac{3}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow y=\frac{16+9}{4}-\left(x-\frac{3}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow y=\frac{25}{4}-\left(x-\frac{3}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow \left(x-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{25}{4}-y\)
\(\Rightarrow x-\frac{3}{2}=\pm \sqrt{\frac{25}{4}-y}\)
\(\Rightarrow x=\frac{3}{2}\pm \sqrt{\frac{25}{4}-y}\)
\(x=\frac{3}{2}\)হলে, \(y=\frac{25}{4}\) হয়।
\(y=0\) হলে, \(4+3x-x^2=0\) হয়।
\(\Rightarrow x=\frac{-3\pm \sqrt{3^2-4\times -1\times 4}}{2\times -1}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-3\pm \sqrt{9+16}}{-2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-3\pm \sqrt{25}}{-2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-3\pm 5}{-2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-3+5}{-2}, \frac{-3-5}{-2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{2}{-2}, \frac{-8}{-2}\)
\(\therefore x=-1, 4\)
\(\therefore \) ফাংশনটি \(X\) অক্ষকে \((4, 0)\) ও \((-1, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=(-\infty, \frac{25}{4}] \)
\((iii)\) ফাংশনটির লেখচিত্র \(2x-3=0\) সরলরেখার সাপেক্ষে প্রতিসম।
\((iv)\) ফাংশনটি \(X\) অক্ষকে \((4, 0)\) ও \((-1, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
নিচের ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন কর এবং বৈশিষ্ট লিখঃ
\(Q.3.(xxi)(h)\) \(y=x^2+3x-4\)
\(Q.3.(xxi)(h)\) \(y=x^2+3x-4\)
সমাধানঃ
ধরি,
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=x^2+3x-4\)
\(\Rightarrow y=x^2+3x-4\)
\(\Rightarrow y=x^2+3x+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}-4\)
\(\Rightarrow y=(x^2+3x+\frac{9}{4})-\frac{9}{4}-4\)
\(\Rightarrow y=\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-(\frac{9}{4}+4)\)
\(\Rightarrow y=\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9+14}{4}\)
\(\Rightarrow y=\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{25}{4}\)
\(\Rightarrow y+\frac{25}{4}=\left(x+\frac{3}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow \left(x+\frac{3}{2}\right)^2=y+\frac{25}{4}\)
\(\Rightarrow x+\frac{3}{2}=\pm \sqrt{y+\frac{25}{4}}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{3}{2}\pm \sqrt{y+\frac{25}{4}}\)
\(x=-\frac{3}{2}\)হলে, \(y=-\frac{25}{4}\) হয়।
\(y=0\) হলে, \(x=-\frac{3}{2}\pm \frac{5}{2}\) হয়।
\(\Rightarrow x=-\frac{3}{2}+\frac{5}{2},-\frac{3}{2}-\frac{5}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-3+5}{2},\frac{-3-5}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{2}{2},\frac{-8}{2}\)
\(\therefore x=1, -4\)
\(\therefore \) ফাংশনটি \(X\) অক্ষকে \((-4, 0)\) ও \((1, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=[-\frac{25}{4}, \infty)\)
\((iii)\) ফাংশনটির লেখচিত্র \(2x+3=0\) সরলরেখার সাপেক্ষে প্রতিসম।
\((iv)\) ফাংশনটি \(X\) অক্ষকে \((-4, 0)\) ও \((1, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=x^2+3x-4\)
\(\Rightarrow y=x^2+3x-4\)
\(\Rightarrow y=x^2+3x+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}-4\)
\(\Rightarrow y=(x^2+3x+\frac{9}{4})-\frac{9}{4}-4\)
\(\Rightarrow y=\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-(\frac{9}{4}+4)\)
\(\Rightarrow y=\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9+14}{4}\)
\(\Rightarrow y=\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{25}{4}\)
\(\Rightarrow y+\frac{25}{4}=\left(x+\frac{3}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow \left(x+\frac{3}{2}\right)^2=y+\frac{25}{4}\)
\(\Rightarrow x+\frac{3}{2}=\pm \sqrt{y+\frac{25}{4}}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{3}{2}\pm \sqrt{y+\frac{25}{4}}\)
\(x=-\frac{3}{2}\)হলে, \(y=-\frac{25}{4}\) হয়।
\(y=0\) হলে, \(x=-\frac{3}{2}\pm \frac{5}{2}\) হয়।
\(\Rightarrow x=-\frac{3}{2}+\frac{5}{2},-\frac{3}{2}-\frac{5}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-3+5}{2},\frac{-3-5}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{2}{2},\frac{-8}{2}\)
\(\therefore x=1, -4\)
\(\therefore \) ফাংশনটি \(X\) অক্ষকে \((-4, 0)\) ও \((1, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=[-\frac{25}{4}, \infty)\)
\((iii)\) ফাংশনটির লেখচিত্র \(2x+3=0\) সরলরেখার সাপেক্ষে প্রতিসম।
\((iv)\) ফাংশনটি \(X\) অক্ষকে \((-4, 0)\) ও \((1, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
নিচের ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন কর এবং বৈশিষ্ট লিখঃ
\(Q.3.(xxi)(i)\) \(y=8+2x-x^2\)
\(Q.3.(xxi)(i)\) \(y=8+2x-x^2\)
সমাধানঃ
ধরি,
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=8+2x-x^2\)
\(\Rightarrow y=8+2x-x^2\)
\(\Rightarrow y=8-x^2+2x-1+1\)
\(\Rightarrow y=8-(x^2-2x+1)+1\)
\(\Rightarrow y=9-(x-1)^2\)
\(\Rightarrow (x-1)^2=9-y\)
\(\Rightarrow x-1=\pm \sqrt{9-y}\)
\(\Rightarrow x=1\pm \sqrt{9-y}\)
\(x=1\)হলে, \(y=9\) হয়।
\(y=0\) হলে, \(x=1\pm 3\) হয়।
\(\Rightarrow x=1+3, 1-3\)
\(\therefore x=4, -2\)
\(\therefore \) ফাংশনটি \(X\) অক্ষকে \((4, 0)\) ও \((-2, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=(-\infty, 9]\)
\((iii)\) ফাংশনটির লেখচিত্র \(x-1=0\) সরলরেখার সাপেক্ষে প্রতিসম।
\((iv)\) ফাংশনটি \(X\) অক্ষকে \((4, 0)\) ও \((-2, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=8+2x-x^2\)
\(\Rightarrow y=8+2x-x^2\)
\(\Rightarrow y=8-x^2+2x-1+1\)
\(\Rightarrow y=8-(x^2-2x+1)+1\)
\(\Rightarrow y=9-(x-1)^2\)
\(\Rightarrow (x-1)^2=9-y\)
\(\Rightarrow x-1=\pm \sqrt{9-y}\)
\(\Rightarrow x=1\pm \sqrt{9-y}\)
\(x=1\)হলে, \(y=9\) হয়।
\(y=0\) হলে, \(x=1\pm 3\) হয়।
\(\Rightarrow x=1+3, 1-3\)
\(\therefore x=4, -2\)
\(\therefore \) ফাংশনটি \(X\) অক্ষকে \((4, 0)\) ও \((-2, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=(-\infty, 9]\)
\((iii)\) ফাংশনটির লেখচিত্র \(x-1=0\) সরলরেখার সাপেক্ষে প্রতিসম।
\((iv)\) ফাংশনটি \(X\) অক্ষকে \((4, 0)\) ও \((-2, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
নিচের ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন কর এবং বৈশিষ্ট লিখঃ
\(Q.3.(xxi)(j)\) \(y=-x^2+3x+2\)
\(Q.3.(xxi)(j)\) \(y=-x^2+3x+2\)
সমাধানঃ
ধরি,
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=-x^2+3x+2\)
\(\Rightarrow y=-x^2+3x+2\)
\(\Rightarrow y=-x^2+3x-\frac{9}{4}+\frac{9}{4}+2\)
\(\Rightarrow y=-\left(x^2-3x+\frac{9}{4}\right)+\frac{9+8}{4}\)
\(\Rightarrow y=-\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{17}{4}\)
\(\Rightarrow \left(x-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{17}{4}-y\)
\(\Rightarrow x=\frac{3}{2}\pm \sqrt{\frac{17}{4}-y}\)
\(x=\frac{3}{2}\)হলে, \(y=\frac{17}{4}\) হয়।
\(y=0\) হলে, \(x=\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{17}}{2}\) হয়।
\(\Rightarrow x=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{17}}{2},\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{17}}{2}\)
\(\therefore x=\frac{3+\sqrt{17}}{2},\frac{3-\sqrt{17}}{2}\)
\(\therefore \) ফাংশনটি \(X\) অক্ষকে \((\frac{3+\sqrt{17}}{2}, 0)\) ও \((\frac{3-\sqrt{17}}{2}, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=(-\infty, \frac{17}{4}]\)
\((iii)\) ফাংশনটির লেখচিত্র \(2x-3=0\) সরলরেখার সাপেক্ষে প্রতিসম।
\((iv)\) ফাংশনটি \(X\) অক্ষকে \((\frac{3+\sqrt{17}}{2}, 0)\) ও \((\frac{3-\sqrt{17}}{2}, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=-x^2+3x+2\)
\(\Rightarrow y=-x^2+3x+2\)
\(\Rightarrow y=-x^2+3x-\frac{9}{4}+\frac{9}{4}+2\)
\(\Rightarrow y=-\left(x^2-3x+\frac{9}{4}\right)+\frac{9+8}{4}\)
\(\Rightarrow y=-\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{17}{4}\)
\(\Rightarrow \left(x-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{17}{4}-y\)
\(\Rightarrow x=\frac{3}{2}\pm \sqrt{\frac{17}{4}-y}\)
\(x=\frac{3}{2}\)হলে, \(y=\frac{17}{4}\) হয়।
\(y=0\) হলে, \(x=\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{17}}{2}\) হয়।
\(\Rightarrow x=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{17}}{2},\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{17}}{2}\)
\(\therefore x=\frac{3+\sqrt{17}}{2},\frac{3-\sqrt{17}}{2}\)
\(\therefore \) ফাংশনটি \(X\) অক্ষকে \((\frac{3+\sqrt{17}}{2}, 0)\) ও \((\frac{3-\sqrt{17}}{2}, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=(-\infty, \frac{17}{4}]\)
\((iii)\) ফাংশনটির লেখচিত্র \(2x-3=0\) সরলরেখার সাপেক্ষে প্রতিসম।
\((iv)\) ফাংশনটি \(X\) অক্ষকে \((\frac{3+\sqrt{17}}{2}, 0)\) ও \((\frac{3-\sqrt{17}}{2}, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
নিচের ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন কর এবং বৈশিষ্ট লিখঃ
\(Q.3.(xxi)(k)\) \(y=2^{x}\)
\(Q.3.(xxi)(k)\) \(y=2^{x}\)
সমাধানঃ
ধরি,
প্রদত্ত সূচক ফাংশন \(f(x)=y=2^{x}\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=(0, \infty)\)
\((iii)\) ফাংশনটি \(Y\) অক্ষকে \((0, 1)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((iv)\) \(x\rightarrow \infty\) হলে, \(y\rightarrow \infty\) এবং \(x\rightarrow -\infty\) হলে, \(y\rightarrow 0\) হয়।
প্রদত্ত সূচক ফাংশন \(f(x)=y=2^{x}\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=(0, \infty)\)
\((iii)\) ফাংশনটি \(Y\) অক্ষকে \((0, 1)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((iv)\) \(x\rightarrow \infty\) হলে, \(y\rightarrow \infty\) এবং \(x\rightarrow -\infty\) হলে, \(y\rightarrow 0\) হয়।
নিচের ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন কর এবং বৈশিষ্ট লিখঃ
\(Q.3.(xxi)(l)\) \(y=-2^{x}\)
\(Q.3.(xxi)(l)\) \(y=-2^{x}\)
সমাধানঃ
ধরি,
প্রদত্ত সূচক ফাংশন \(f(x)=y=-2^{x}\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=(0, -\infty)\)
\((iii)\) ফাংশনটি \(Y\) অক্ষকে \((0, -1)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((iv)\) \(x\rightarrow \infty\) হলে, \(y\rightarrow -\infty\) এবং \(x\rightarrow -\infty\) হলে, \(y\rightarrow 0\) হয়।
প্রদত্ত সূচক ফাংশন \(f(x)=y=-2^{x}\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=(0, -\infty)\)
\((iii)\) ফাংশনটি \(Y\) অক্ষকে \((0, -1)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((iv)\) \(x\rightarrow \infty\) হলে, \(y\rightarrow -\infty\) এবং \(x\rightarrow -\infty\) হলে, \(y\rightarrow 0\) হয়।
নিচের ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন কর এবং বৈশিষ্ট লিখঃ
\(Q.3.(xxi)(m)\) \(y=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\)
\(Q.3.(xxi)(m)\) \(y=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\)
সমাধানঃ
ধরি,
প্রদত্ত সূচক ফাংশন \(f(x)=y=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=(0, \infty)\)
\((iii)\) ফাংশনটি \(Y\) অক্ষকে \((0, 1)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((iv)\) \(x\rightarrow \infty\) হলে, \(y\rightarrow \infty\) এবং \(x\rightarrow -\infty\) হলে, \(y\rightarrow 0\) হয়।
প্রদত্ত সূচক ফাংশন \(f(x)=y=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=(0, \infty)\)
\((iii)\) ফাংশনটি \(Y\) অক্ষকে \((0, 1)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((iv)\) \(x\rightarrow \infty\) হলে, \(y\rightarrow \infty\) এবং \(x\rightarrow -\infty\) হলে, \(y\rightarrow 0\) হয়।
নিচের ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন কর এবং বৈশিষ্ট লিখঃ
\(Q.3.(xxi)(n)\) \(y=2^{-x}\)
\(Q.3.(xxi)(n)\) \(y=2^{-x}\)
সমাধানঃ
ধরি,
প্রদত্ত সূচক ফাংশন \(f(x)=y=2^{-x}\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=(0, \infty)\)
\((iii)\) ফাংশনটি \(Y\) অক্ষকে \((0, 1)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((iv)\) \(x\rightarrow \infty\) হলে, \(y\rightarrow 0\) এবং \(x\rightarrow -\infty\) হলে, \(y\rightarrow \infty\) হয়।
প্রদত্ত সূচক ফাংশন \(f(x)=y=2^{-x}\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=(0, \infty)\)
\((iii)\) ফাংশনটি \(Y\) অক্ষকে \((0, 1)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((iv)\) \(x\rightarrow \infty\) হলে, \(y\rightarrow 0\) এবং \(x\rightarrow -\infty\) হলে, \(y\rightarrow \infty\) হয়।
নিচের ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন কর এবং বৈশিষ্ট লিখঃ
\(Q.3.(xxi)(o)\) \(y=4^{x}\)
\(Q.3.(xxi)(o)\) \(y=4^{x}\)
সমাধানঃ
ধরি,
প্রদত্ত সূচক ফাংশন \(f(x)=y=4^{x}\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=(0, \infty)\)
\((iii)\) ফাংশনটি \(Y\) অক্ষকে \((0, 1)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((iv)\) \(x\rightarrow \infty\) হলে, \(y\rightarrow \infty\) এবং \(x\rightarrow -\infty\) হলে, \(y\rightarrow 0\) হয়।
প্রদত্ত সূচক ফাংশন \(f(x)=y=4^{x}\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=(0, \infty)\)
\((iii)\) ফাংশনটি \(Y\) অক্ষকে \((0, 1)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((iv)\) \(x\rightarrow \infty\) হলে, \(y\rightarrow \infty\) এবং \(x\rightarrow -\infty\) হলে, \(y\rightarrow 0\) হয়।
নিচের ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন কর এবং বৈশিষ্ট লিখঃ
\(Q.3.(xxi)(p)\) \(y=\left(\frac{2}{3}\right)^{x}\)
\(Q.3.(xxi)(p)\) \(y=\left(\frac{2}{3}\right)^{x}\)
সমাধানঃ
ধরি,
প্রদত্ত সূচক ফাংশন \(f(x)=y=\left(\frac{2}{3}\right)^{x}\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=(0, \infty)\)
\((iii)\) ফাংশনটি \(Y\) অক্ষকে \((0, 1)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((iv)\) \(x\rightarrow \infty\) হলে, \(y\rightarrow 0\) এবং \(x\rightarrow -\infty\) হলে, \(y\rightarrow \infty\) হয়।
প্রদত্ত সূচক ফাংশন \(f(x)=y=\left(\frac{2}{3}\right)^{x}\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=(0, \infty)\)
\((iii)\) ফাংশনটি \(Y\) অক্ষকে \((0, 1)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((iv)\) \(x\rightarrow \infty\) হলে, \(y\rightarrow 0\) এবং \(x\rightarrow -\infty\) হলে, \(y\rightarrow \infty\) হয়।
নিচের ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন কর এবং বৈশিষ্ট লিখঃ
\(Q.3.(xxi)(q)\) \(y=\sin \frac{3}{2}x\)
\(Q.3.(xxi)(q)\) \(y=\sin \frac{3}{2}x\)
সমাধানঃ
ধরি,
প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন \(f(x)=y=\sin \frac{3}{2}x\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=[-180^{o}, 180^{o}]\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=[-1, 1]\)
\((iii)\) ফাংশনটির লেখচিত্র ঢেউ আকৃতির।
প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন \(f(x)=y=\sin \frac{3}{2}x\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=[-180^{o}, 180^{o}]\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=[-1, 1]\)
\((iii)\) ফাংশনটির লেখচিত্র ঢেউ আকৃতির।
নিচের ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন কর এবং বৈশিষ্ট লিখঃ
\(Q.3.(xxi)(r)\) \(y=2\sin \frac{x}{3}\)
\(Q.3.(xxi)(r)\) \(y=2\sin \frac{x}{3}\)
সমাধানঃ
ধরি,
প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন \(f(x)=y=2\sin \frac{x}{3}\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=[-270^{o}, 270^{o}]\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=[-2, 2]\)
\((iii)\) ফাংশনটির লেখচিত্র ঢেউ আকৃতির।
প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন \(f(x)=y=2\sin \frac{x}{3}\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=[-270^{o}, 270^{o}]\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=[-2, 2]\)
\((iii)\) ফাংশনটির লেখচিত্র ঢেউ আকৃতির।
নিচের ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন কর এবং বৈশিষ্ট লিখঃ
\(Q.3.(xxi)(s)\) \(y=\sec x\)
\(Q.3.(xxi)(s)\) \(y=\sec x\)
সমাধানঃ
ধরি,
প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন \(f(x)=y=\sec x\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{(2n+1)\frac{\pi}{4}, n\in \mathbb{Z}\}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=(-\infty , -1] U [1 , + \infty)\)
\((iii)\) \(\pm 1\)-এর মধ্যে ফাংশনটির কোনো মাণ পাওয়া যায় না।
প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন \(f(x)=y=\sec x\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}-\{(2n+1)\frac{\pi}{4}, n\in \mathbb{Z}\}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=(-\infty , -1] U [1 , + \infty)\)
\((iii)\) \(\pm 1\)-এর মধ্যে ফাংশনটির কোনো মাণ পাওয়া যায় না।
নিচের ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন কর এবং বৈশিষ্ট লিখঃ
\(Q.3.(xxi)(t)\) \(y=\cos 3x\)
\(Q.3.(xxi)(t)\) \(y=\cos 3x\)
সমাধানঃ
ধরি,
প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন \(f(x)=y=\cos 3x\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=[-1, 1]\)
\((iii)\) ফাংশনটির লেখচিত্র ঢেউ আকৃতির।
প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন \(f(x)=y=\cos 3x\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=[-1, 1]\)
\((iii)\) ফাংশনটির লেখচিত্র ঢেউ আকৃতির।
নিচের ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন কর এবং বৈশিষ্ট লিখঃ
\(Q.3.(xxi)(u)\) \(y=\tan 2x\)
\(Q.3.(xxi)(u)\) \(y=\tan 2x\)
সমাধানঃ
ধরি,
প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন \(f(x)=y=\tan 2x\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) লেখটি কয়েকটি বিচ্ছিন্ন শাখার সমষ্টি।
\((ii)\) \(x\)-এর মাণ যখন \(\frac{\pi}{4}\)-এর বিজোড় গুণিতক হয় তখন এটি বিচ্ছিন্ন হয়ে যায়।
\((iii)\) লেখটির প্রতিটি শাখা \(-\frac{\pi}{4}\) এবং \(\frac{\pi}{4}\) সীমার মধ্যে অঙ্কিত শাখাটির অনুরূপ।
প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন \(f(x)=y=\tan 2x\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) লেখটি কয়েকটি বিচ্ছিন্ন শাখার সমষ্টি।
\((ii)\) \(x\)-এর মাণ যখন \(\frac{\pi}{4}\)-এর বিজোড় গুণিতক হয় তখন এটি বিচ্ছিন্ন হয়ে যায়।
\((iii)\) লেখটির প্রতিটি শাখা \(-\frac{\pi}{4}\) এবং \(\frac{\pi}{4}\) সীমার মধ্যে অঙ্কিত শাখাটির অনুরূপ।
নিচের ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন কর এবং বৈশিষ্ট লিখঃ
\(Q.3.(xxi)(v)\) \(y=\cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right)\)
\(Q.3.(xxi)(v)\) \(y=\cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right)\)
সমাধানঃ
ধরি,
প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন \(f(x)=y=\cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right)\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=[-1, 1]\)
\((iii)\) ফাংশনটির লেখচিত্র ঢেউ আকৃতির।
\((iv)\) ফাংশনটি \(Y\) অক্ষকে \(\left(0, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন \(f(x)=y=\cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right)\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=[-1, 1]\)
\((iii)\) ফাংশনটির লেখচিত্র ঢেউ আকৃতির।
\((iv)\) ফাংশনটি \(Y\) অক্ষকে \(\left(0, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
নিচের ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন কর এবং বৈশিষ্ট লিখঃ
\(Q.3.(xxi)(w)\) \(y=|x-2|\)
\(Q.3.(xxi)(w)\) \(y=|x-2|\)
সমাধানঃ
ধরি,
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=|x-2|\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=[0, \infty)\)
\((iii)\) ফাংশনটি \(Y\) অক্ষকে \((0, 2)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((iv)\) ফাংশনটি \(X\) অক্ষকে \((2, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে।
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=|x-2|\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=[0, \infty)\)
\((iii)\) ফাংশনটি \(Y\) অক্ষকে \((0, 2)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((iv)\) ফাংশনটি \(X\) অক্ষকে \((2, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে।
নিচের ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন কর এবং বৈশিষ্ট লিখঃ
\(Q.3.(xxi)(x)\) \(y=(5-x)\)
\(Q.3.(xxi)(x)\) \(y=(5-x)\)
সমাধানঃ
ধরি,
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=(5-x)\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}\)
\((iii)\) ফাংশনটি \(Y\) অক্ষকে \((0, 5)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((iv)\) ফাংশনটি \(X\) অক্ষকে \((5, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে।
\((v)\) ফাংশনটির লেখচিত্র একটি সরলরেখা।
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=(5-x)\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}\)
\((iii)\) ফাংশনটি \(Y\) অক্ষকে \((0, 5)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((iv)\) ফাংশনটি \(X\) অক্ষকে \((5, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে।
\((v)\) ফাংশনটির লেখচিত্র একটি সরলরেখা।
নিচের ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন কর এবং বৈশিষ্ট লিখঃ
\(Q.3.(xxi)(y)\) \(y=|3x-2|\)
\(Q.3.(xxi)(y)\) \(y=|3x-2|\)
সমাধানঃ
ধরি,
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=|3x-2|\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=[0, \infty)\)
\((iii)\) ফাংশনটি \(Y\) অক্ষকে \((0, 2)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((iv)\) ফাংশনটি \(X\) অক্ষকে \(\left(\frac{2}{3}, 0\right)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে।
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=|3x-2|\)
পার্শে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((i)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_f=\mathbb{R}\)
\((ii)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=[0, \infty)\)
\((iii)\) ফাংশনটি \(Y\) অক্ষকে \((0, 2)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((iv)\) ফাংশনটি \(X\) অক্ষকে \(\left(\frac{2}{3}, 0\right)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে।
নিচের ফাংশনটির এবং তাদের বিপরীত ফাংশনের স্কেচ অঙ্কন করঃ
\(Q.3.(xxii)(a)\) \(y=5x+1\)
সমাধানঃ
ধরি,
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=5x+1\)
ধরি,
\(y=5x+1 ......(1)\)
\(f(x)=y......(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)......(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(y=5x+1\)
\(\Rightarrow 5x+1=y\)
\(\Rightarrow 5x=y-1\)
\(\Rightarrow x=\frac{y-1}{5}\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\frac{y-1}{5}\) ➜ \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=\frac{x-1}{5}\) ➜ \(y\) কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
পার্শে ফাংশনটির এবং এর বিপরীত ফাংশন \(y=\frac{x-1}{5}\)-এর স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=5x+1\)
ধরি,
\(y=5x+1 ......(1)\)
\(f(x)=y......(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)......(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(y=5x+1\)
\(\Rightarrow 5x+1=y\)
\(\Rightarrow 5x=y-1\)
\(\Rightarrow x=\frac{y-1}{5}\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\frac{y-1}{5}\) ➜ \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=\frac{x-1}{5}\) ➜ \(y\) কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
পার্শে ফাংশনটির এবং এর বিপরীত ফাংশন \(y=\frac{x-1}{5}\)-এর স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
নিচের ফাংশনটির এবং তাদের বিপরীত ফাংশনের স্কেচ অঙ্কন করঃ
\(Q.3.(xxii)(b)\) \(y=e^x\)
সমাধানঃ
ধরি,
প্রদত্ত সূচক ফাংশন \(f(x)=y=e^x\)
ধরি,
\(y=e^x ......(1)\)
\(f(x)=y......(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)......(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(y=e^x\)
\(\Rightarrow e^x=y\)
\(\Rightarrow x=\ln y\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\ln y\) ➜ \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=\ln x\) ➜ \(y\) কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
পার্শে ফাংশনটির এবং এর বিপরীত ফাংশন \(y=\ln x\)-এর স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
প্রদত্ত সূচক ফাংশন \(f(x)=y=e^x\)
ধরি,
\(y=e^x ......(1)\)
\(f(x)=y......(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)......(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(y=e^x\)
\(\Rightarrow e^x=y\)
\(\Rightarrow x=\ln y\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\ln y\) ➜ \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=\ln x\) ➜ \(y\) কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
পার্শে ফাংশনটির এবং এর বিপরীত ফাংশন \(y=\ln x\)-এর স্কেচ অঙ্কন করা হলো।
নিচের ফাংশনটির এবং তাদের বিপরীত ফাংশনের স্কেচ অঙ্কন করঃ
\(Q.3.(xxii)(c)\) \(y=\sin x, (-90^{o}\le x\le 90^{o})\)
সমাধানঃ
ধরি,
প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন \(f(x)=y=\sin x\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন \(f(x)=y=\sin x\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
| \(x\) | \(-90^{o}\) | \(-60^{o}\) | \(-30^{o}\) | \(0\) | \(30^{o}\) | \(60^{o}\) | \(90^{o}\) |
| \(y=\sin x\) | \(-1\) | \(-0.87\) | \(-0.5\) | \(0\) | \(0.5\) | \(0.87\) | \(1\) |
\(y=\sin x\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
ধরি,
\(y=\sin x ......(1)\)
\(f(x)=y......(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)......(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(y=\sin x\)
\(\Rightarrow \sin x=y\)
\(\Rightarrow x=\sin^{-1}y\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\sin^{-1}y\) ➜ \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=\sin^{-1}x\) ➜ \(y\) কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=y=\sin^{-1}x\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
ধরি,
\(y=\sin x ......(1)\)
\(f(x)=y......(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)......(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(y=\sin x\)
\(\Rightarrow \sin x=y\)
\(\Rightarrow x=\sin^{-1}y\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\sin^{-1}y\) ➜ \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=\sin^{-1}x\) ➜ \(y\) কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=y=\sin^{-1}x\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
| \(x\) | \(-1\) | \(-0.87\) | \(-0.5\) | \(0\) | \(0.5\) | \(0.87\) | \(1\) |
| \(y=\sin^{-1}x\) | \(-90^{o}\) | \(-60^{o}\) | \(-30^{o}\) | \(0\) | \(30^{o}\) | \(60^{o}\) | \(90^{o}\) |
\(y=\sin^{-1}x\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
নিচের ফাংশনটির এবং তাদের বিপরীত ফাংশনের স্কেচ অঙ্কন করঃ
\(Q.3.(xxii)(d)\) \(y=\cos x, (0^{o}\le x\le 180^{o})\)
সমাধানঃ
ধরি,
প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন \(f(x)=y=\cos x\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন \(f(x)=y=\cos x\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
| \(x\) | \(0^{o}\) | \(30^{o}\) | \(60^{o}\) | \(90^{o}\) | \(120^{o}\) | \(150^{o}\) | \(180^{o}\) |
| \(y=\cos x\) | \(1\) | \(0.87\) | \(0.5\) | \(0\) | \(-0.5\) | \(-0.87\) | \(-1\) |
\(y=\cos x\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
ধরি,
\(y=\cos x ......(1)\)
\(f(x)=y......(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)......(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(y=\cos x\)
\(\Rightarrow \cos x=y\)
\(\Rightarrow x=\cos^{-1}y\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\cos^{-1}y\) ➜ \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=\cos^{-1}x\) ➜ \(y\) কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=y=\cos^{-1}x\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
ধরি,
\(y=\cos x ......(1)\)
\(f(x)=y......(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)......(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(y=\cos x\)
\(\Rightarrow \cos x=y\)
\(\Rightarrow x=\cos^{-1}y\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\cos^{-1}y\) ➜ \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=\cos^{-1}x\) ➜ \(y\) কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=y=\cos^{-1}x\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
| \(x\) | \(1\) | \(0.87\) | \(0.5\) | \(0\) | \(-0.5\) | \(-0.87\) | \(-1\) |
| \(y=\cos^{-1}x\) | \(0^{o}\) | \(30^{o}\) | \(60^{o}\) | \(90^{o}\) | \(120^{o}\) | \(150^{o}\) | \(180^{o}\) |
\(y=\cos^{-1}x\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
নিচের ফাংশনটির এবং তাদের বিপরীত ফাংশনের স্কেচ অঙ্কন করঃ
\(Q.3.(xxii)(e)\) \(y=\sin x, 0\le x\le 2\pi\)
সমাধানঃ
ধরি,
প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন \(f(x)=y=\sin x, 0\le x\le 2\pi\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন \(f(x)=y=\sin x, 0\le x\le 2\pi\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
| \(x\) | \(0\) | \(30^{o}\) | \(60^{o}\) | \(90^{o}\) | \(120^{o}\) | \(150^{o}\) | \(180^{o}\) | \(210^{o}\) | \(240^{o}\) | \(270^{o}\) | \(300^{o}\) | \(330^{o}\) | \(360^{o}\) |
| \(y=\sin x\) | \(0\) | \(0.5\) | \(0.87\) | \(1\) | \(0.87\) | \(0.5\) | \(0\) | \(-0.5\) | \(-0.87\) | \(-1\) | \(-0.87\) | \(-0.5\) | \(0\) |
\(y=\sin x\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
ধরি,
\(y=\sin x ......(1)\)
\(f(x)=y......(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)......(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(y=\sin x\)
\(\Rightarrow \sin x=y\)
\(\Rightarrow x=\sin^{-1}y\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\sin^{-1}y\) ➜ \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=\sin^{-1}x\) ➜ \(y\)কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=y=\sin^{-1}x\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(f^{-1}(x)\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
ধরি,
\(y=\sin x ......(1)\)
\(f(x)=y......(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)......(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(y=\sin x\)
\(\Rightarrow \sin x=y\)
\(\Rightarrow x=\sin^{-1}y\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\sin^{-1}y\) ➜ \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=\sin^{-1}x\) ➜ \(y\)কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=y=\sin^{-1}x\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(f^{-1}(x)\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
| \(x\) | \(0\) | \(0.5\) | \(0.87\) | \(1\) | \(0.87\) | \(0.5\) | \(0\) | \(-0.5\) | \(-0.87\) | \(-1\) | \(-0.87\) | \(-0.5\) | \(0\) |
| \(y=\sin^{-1}x\) | \(0\) | \(30^{o}\) | \(60^{o}\) | \(90^{o}\) | \(120^{o}\) | \(150^{o}\) | \(180^{o}\) | \(210^{o}\) | \(240^{o}\) | \(270^{o}\) | \(300^{o}\) | \(330^{o}\) | \(360^{o}\) |
\(y=\sin^{-1}x\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
নিচের ফাংশনটির এবং তাদের বিপরীত ফাংশনের স্কেচ অঙ্কন করঃ
\(Q.3.(xxii)(f)\) \(y=x^2, -3\le x\le 3\)
সমাধানঃ
ধরি,
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=x^2, -3\le x\le 3\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=x^2, -3\le x\le 3\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
| \(y=x^2\) | \(9\) | \(4\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(4\) | \(9\) |
\(y=x^2\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
ধরি,
\(y=x^2, -3\le x\le 3 ......(1)\)
\(f(x)=y......(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)......(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(y=x^2\)
\(\Rightarrow x^2=y\)
\(\Rightarrow x=\pm \sqrt{y}\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\pm \sqrt{y}\) ➜ \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=\pm \sqrt{x}\) ➜ \(y\)কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=y=\pm \sqrt{x}\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(f^{-1}(x)\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
ধরি,
\(y=x^2, -3\le x\le 3 ......(1)\)
\(f(x)=y......(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)......(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(y=x^2\)
\(\Rightarrow x^2=y\)
\(\Rightarrow x=\pm \sqrt{y}\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\pm \sqrt{y}\) ➜ \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=\pm \sqrt{x}\) ➜ \(y\)কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=y=\pm \sqrt{x}\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(f^{-1}(x)\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
| \(x\) | \(9\) | \(4\) | \(1\) | \(0\) |
| \(y=\pm \sqrt{x}\) | \(\pm 3\) | \(\pm 2\) | \(\pm 1\) | \(0\) |
\(f^{-1}(x)=\pm \sqrt{x}\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
নিচের ফাংশনটির এবং তাদের বিপরীত ফাংশনের স্কেচ অঙ্কন করঃ
\(Q.3.(xxii)(g)\) \(y=|x|\)
সমাধানঃ
ধরি,
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=|x|\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=|x|\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
| \(3\) | \(2\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
\(y=|x|\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
ধরি,
\(y=|x| ......(1)\)
\(f(x)=y......(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)......(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(y=|x|\)
\(\Rightarrow |x|=y\)
\(\Rightarrow \pm x=y\)
\(\Rightarrow x=\pm y\)
\(\Rightarrow x=\pm y\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\pm y\) ➜ \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=\pm x\) ➜ \(y\)কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=y=\pm x\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(f^{-1}(x)\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
ধরি,
\(y=|x| ......(1)\)
\(f(x)=y......(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)......(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(y=|x|\)
\(\Rightarrow |x|=y\)
\(\Rightarrow \pm x=y\)
\(\Rightarrow x=\pm y\)
\(\Rightarrow x=\pm y\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\pm y\) ➜ \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=\pm x\) ➜ \(y\)কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=y=\pm x\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(f^{-1}(x)\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
| \(x\) | \(3\) | \(2\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
| \(f^{-1}(x)=y=\pm x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
\(f^{-1}(x)=y=\pm x\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
নিচের ফাংশনটির এবং তাদের বিপরীত ফাংশনের স্কেচ অঙ্কন করঃ
\(Q.3.(xxii)(h)\) \(y=3, -3\le x\le 3\)
সমাধানঃ
ধরি,
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=3, -3\le x\le 3\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=3, -3\le x\le 3\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
| \(y=3\) | \(3\) | \(3\) | \(3\) | \(3\) | \(3\) | \(3\) | \(3\) |
\(y=3\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
ধরি,
\(y=3 ......(1)\)
\(f(x)=y......(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)......(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(y=3\)
\(\Rightarrow x=3\) ➜ \(y=3\)-এর বিপরীত ফাংশন \(x=3\).
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=3\) ➜ \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=3\) ➜ \(y\)কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=3\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(f^{-1}(x)\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
ধরি,
\(y=3 ......(1)\)
\(f(x)=y......(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)......(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(y=3\)
\(\Rightarrow x=3\) ➜ \(y=3\)-এর বিপরীত ফাংশন \(x=3\).
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=3\) ➜ \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=3\) ➜ \(y\)কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=3\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(f^{-1}(x)\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
| \(x\) | \(3\) | \(3\) | \(3\) | \(3\) | \(3\) | \(3\) | \(3\) |
| \(f^{-1}(x)=3\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
\(f^{-1}(x)=3\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
নিচের ফাংশনটির এবং তাদের বিপরীত ফাংশনের স্কেচ অঙ্কন করঃ
\(Q.3.(xxii)(i)\) \(y=log_{e}(1+x)\)
সমাধানঃ
ধরি,
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=log_{e}(1+x)\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=log_{e}(1+x)\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
| \(x\) | \(-0.5\) | \(-0.33\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
| \(y=log_{e}(1+x)\) | \(-0.69\) | \(-0.41\) | \(0\) | \(0.69\) | \(1.099\) | \(1.39\) | \(1.61\) | \(1.79\) |
\(f(x)=y=log_{e}(1+x)\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
ধরি,
\(y=log_{e}(1+x) ......(1)\)
\(f(x)=y......(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)......(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(log_{e}(1+x)=y\)
\(\Rightarrow 1+x=e^y\)
\(\Rightarrow x=e^y-1\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=e^y-1\) ➜ \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=e^x-1\) ➜ \(y\)কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=e^x-1\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(f^{-1}(x)\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
ধরি,
\(y=log_{e}(1+x) ......(1)\)
\(f(x)=y......(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)......(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(log_{e}(1+x)=y\)
\(\Rightarrow 1+x=e^y\)
\(\Rightarrow x=e^y-1\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=e^y-1\) ➜ \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=e^x-1\) ➜ \(y\)কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=e^x-1\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(f^{-1}(x)\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
| \(x\) | \(-0.69\) | \(-0.41\) | \(0\) | \(0.69\) | \(1.099\) | \(1.39\) | \(1.61\) | \(1.79\) |
| \(f^{-1}(x)=e^x-1\) | \(-0.5\) | \(-0.33\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
\(f^{-1}(x)=e^x-1\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
নিচের ফাংশনটির এবং তাদের বিপরীত ফাংশনের স্কেচ অঙ্কন করঃ
\(Q.3.(xxii)(j)\) \(y=log_{10}x\)
সমাধানঃ
ধরি,
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=log_{10}x\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=log_{10}x\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
| \(x\) | \(0.5\) | \(0.33\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
| \(y=y=log_{10}x\) | \(-0.30\) | \(-0.48\) | \(0\) | \(0.30\) | \(0.48\) | \(0.60\) | \(0.70\) |
\(f(x)=y=log_{10}x\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
ধরি,
\(y=log_{10}x ......(1)\)
\(f(x)=y......(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)......(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(log_{10}x=y\)
\(\Rightarrow x=10^y\)
\(\Rightarrow x=10^y\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=10^y\) ➜ \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=10^x\) ➜ \(y\)কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=10^x\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(f^{-1}(x)\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
ধরি,
\(y=log_{10}x ......(1)\)
\(f(x)=y......(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)......(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(log_{10}x=y\)
\(\Rightarrow x=10^y\)
\(\Rightarrow x=10^y\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=10^y\) ➜ \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=10^x\) ➜ \(y\)কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=10^x\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(f^{-1}(x)\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
| \(x\) | \(-0.30\) | \(-0.48\) | \(0\) | \(0.30\) | \(0.48\) | \(0.60\) | \(0.70\) |
| \(f^{-1}(x)=10^x\) | \(0.5\) | \(0.33\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
\(f^{-1}(x)=10^x\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
নিচের ফাংশনটির এবং তাদের বিপরীত ফাংশনের স্কেচ অঙ্কন করঃ
\(Q.3.(xxii)(k)\) \(y=log_{0.5}x\)
সমাধানঃ
ধরি,
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=log_{0.5}x\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=log_{0.5}x\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
| \(x\) | \(0.5\) | \(0.33\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
| \(y=log_{0.5}x\) | \(1\) | \(1.60\) | \(0\) | \(-1\) | \(-1.58\) | \(-2\) | \(-2.32\) |
\(f(x)=y=log_{0.5}x\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
ধরি,
\(y=log_{0.5}x ......(1)\)
\(f(x)=y......(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)......(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(log_{0.5}x=y\)
\(\Rightarrow x=(0.5)^y\)
\(\Rightarrow x=(0.5)^y\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=(0.5)^y\) ➜ \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=(0.5)^x\) ➜ \(y\)কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=(0.5)^x\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(f^{-1}(x)\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
ধরি,
\(y=log_{0.5}x ......(1)\)
\(f(x)=y......(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)......(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(log_{0.5}x=y\)
\(\Rightarrow x=(0.5)^y\)
\(\Rightarrow x=(0.5)^y\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=(0.5)^y\) ➜ \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=(0.5)^x\) ➜ \(y\)কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=(0.5)^x\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(f^{-1}(x)\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
| \(x\) | \(1\) | \(1.60\) | \(0\) | \(-1\) | \(-1.58\) | \(-2\) | \(-2.32\) |
| \(f^{-1}(x)=(0.5)^x\) | \(0.5\) | \(0.33\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
\(f^{-1}(x)=(0.5)^x\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
নিচের ফাংশনটির এবং তাদের বিপরীত ফাংশনের স্কেচ অঙ্কন করঃ
\(Q.3.(xxii)(l)\) \(y=0.2\ln (x-1)\)
সমাধানঃ
ধরি,
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=0.2\ln(x-1)\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=0.2\ln(x-1)\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
| \(x\) | \(1.5\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(7\) |
| \(y=0.2\ln (x-1)\) | \(-0.14\) | \(0\) | \(0.14\) | \(0.22\) | \(0.28\) | \(0.36\) |
\(f(x)=y=0.2\ln (x-1)\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
ধরি,
\(y=0.2\ln (x-1) ......(1)\)
\(f(x)=y......(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)......(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(0.2\ln (x-1)=y\)
\(\Rightarrow \frac{2}{10}\ln (x-1)=y\)
\(\Rightarrow \frac{1}{5}\ln (x-1)=y\)
\(\Rightarrow \ln (x-1)=5y\)
\(\Rightarrow x-1=e^{5y}\)
\(\Rightarrow x=e^{5y}+1\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=e^{5y}+1\) ➜ \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=e^{5x}+1\) ➜ \(y\)কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=e^{5x}+1\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(f^{-1}(x)\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
ধরি,
\(y=0.2\ln (x-1) ......(1)\)
\(f(x)=y......(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)......(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(0.2\ln (x-1)=y\)
\(\Rightarrow \frac{2}{10}\ln (x-1)=y\)
\(\Rightarrow \frac{1}{5}\ln (x-1)=y\)
\(\Rightarrow \ln (x-1)=5y\)
\(\Rightarrow x-1=e^{5y}\)
\(\Rightarrow x=e^{5y}+1\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=e^{5y}+1\) ➜ \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=e^{5x}+1\) ➜ \(y\)কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=e^{5x}+1\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(f^{-1}(x)\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
| \(x\) | \(1\) | \(1.60\) | \(0\) | \(-1\) | \(-1.58\) | \(-2\) | \(-2.32\) |
| \(f^{-1}(x)=e^{5x}+1\) | \(0.5\) | \(0.33\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
\(f^{-1}(x)=e^{5x}+1\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
নিচের ফাংশনটির এবং তাদের বিপরীত ফাংশনের স্কেচ অঙ্কন করঃ
\(Q.3.(xxii)(m)\) \(y=5^x\)
সমাধানঃ
ধরি,
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=5^x\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=5^x\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) |
| \(y=5^x\) | \(0.008\) | \(0.04\) | \(0.2\) | \(1\) | \(5\) |
\(f(x)=y=5^x\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
ধরি,
\(y=5^x ......(1)\)
\(f(x)=y......(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)......(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(5^x=y\)
\(\Rightarrow x=log_{5}y\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=log_{5}y\) ➜ \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=log_{5}x\) ➜ \(y\)কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=log_{5}x\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(f^{-1}(x)\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
ধরি,
\(y=5^x ......(1)\)
\(f(x)=y......(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)......(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(5^x=y\)
\(\Rightarrow x=log_{5}y\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=log_{5}y\) ➜ \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=log_{5}x\) ➜ \(y\)কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=log_{5}x\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(f^{-1}(x)\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
| \(x\) | \(0.008\) | \(0.04\) | \(0.2\) | \(1\) | \(5\) |
| \(f^{-1}(x)=log_{5}x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) |
\(f^{-1}(x)=log_{5}x\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
নিচের ফাংশনটির এবং তাদের বিপরীত ফাংশনের স্কেচ অঙ্কন করঃ
\(Q.3.(xxii)(n)\) \(y=\tan x, (0^{o}\le x\le \frac{\pi}{2})\)
সমাধানঃ
ধরি,
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=\tan x, (0^{o}\le x\le \frac{\pi}{2})\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=\tan x, (0^{o}\le x\le \frac{\pi}{2})\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
| \(x\) | \(0^{o}\) | \(30^{o}\) | \(60^{o}\) | \(90^{o}\) |
| \(y=\tan x, (0^{o}\le x\le \frac{\pi}{2})\) | \(0\) | \(0.58\) | \(1.73\) | \(\infty\) |
\(f(x)=y=\tan x, (0^{o}\le x\le \frac{\pi}{2})\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
ধরি,
\(y=\tan x ......(1)\)
\(f(x)=y......(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)......(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(\tan x=y\)
\(\Rightarrow x=\tan^{-1}y\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\tan^{-1}y\) ➜ \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=\tan^{-1}x\) ➜ \(y\)কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=\tan^{-1}x\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(f^{-1}(x)\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
ধরি,
\(y=\tan x ......(1)\)
\(f(x)=y......(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)......(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(\tan x=y\)
\(\Rightarrow x=\tan^{-1}y\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\tan^{-1}y\) ➜ \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=\tan^{-1}x\) ➜ \(y\)কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=\tan^{-1}x\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(f^{-1}(x)\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
| \(x\) | \(0\) | \(0.58\) | \(1.73\) | \(\infty\) |
| \(f^{-1}(x)=\tan^{-1}x\) | \(0^{o}\) | \(30^{o}\) | \(60^{o}\) | \(90^{o}\) |
\(f^{-1}(x)=\tan^{-1}x\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
নিচের ফাংশনটির এবং তাদের বিপরীত ফাংশনের স্কেচ অঙ্কন করঃ
\(Q.3.(xxii)(o)\) \(y=e^{-2x}\)
সমাধানঃ
ধরি,
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=e^{-2x}\)
\(f(x)=y=e^{-2x}\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
ধরি,
\(y=e^{-2x}......(1)\)
\(f(x)=y......(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)......(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(e^{-2x}=y\)
\(\Rightarrow -2x=\ln y\)
\(\Rightarrow x=-\frac{1}{2}\ln y\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=-\frac{1}{2}\ln y\) ➜ \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=-\frac{1}{2}\ln x\) ➜ \(y\)কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=-\frac{1}{2}\ln x\)
\(f^{-1}(x)=-\frac{1}{2}\ln x\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=e^{-2x}\)
\(f(x)=y=e^{-2x}\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
ধরি,
\(y=e^{-2x}......(1)\)
\(f(x)=y......(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)......(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(e^{-2x}=y\)
\(\Rightarrow -2x=\ln y\)
\(\Rightarrow x=-\frac{1}{2}\ln y\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=-\frac{1}{2}\ln y\) ➜ \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=-\frac{1}{2}\ln x\) ➜ \(y\)কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=-\frac{1}{2}\ln x\)
\(f^{-1}(x)=-\frac{1}{2}\ln x\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
নিচের ফাংশনটির এবং তাদের বিপরীত ফাংশনের স্কেচ অঙ্কন করঃ
\(Q.3.(xxii)(p)\) \(y=\ln (x+2)\)
সমাধানঃ
ধরি,
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=\ln (x+2)\)
\(f(x)=y=\ln (x+2)\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
ধরি,
\(y=\ln (x+2)......(1)\)
\(f(x)=y......(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)......(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(\ln (x+2)=y\)
\(\Rightarrow x+2=e^y\)
\(\Rightarrow x=e^y-2\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=e^y-2\) ➜ \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=e^x-2\) ➜ \(y\)কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=e^x-2\)
\(f^{-1}(x)=e^x-2\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=\ln (x+2)\)
\(f(x)=y=\ln (x+2)\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
ধরি,
\(y=\ln (x+2)......(1)\)
\(f(x)=y......(2)\)
\((2)\) হতে,
\(x=f^{-1}(y)......(3)\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(\ln (x+2)=y\)
\(\Rightarrow x+2=e^y\)
\(\Rightarrow x=e^y-2\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=e^y-2\) ➜ \((3)\)-এর সাহায্যে।
\(\therefore f^{-1}(x)=e^x-2\) ➜ \(y\)কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=e^x-2\)
\(f^{-1}(x)=e^x-2\)-এর স্কেচ পার্শে দেওয়া হলো।
নিম্নের ফাংশটির এবং এর রূপান্তরির ফাংশনগুলির স্কেচ অঙ্কন করঃ
\(Q.3.(xxiii) (a)\) \(f(x)=x^2+2\) হলে \(f(x), f(x\pm 1)\) এবং \(f(x)\pm 1\)
সমাধানঃ
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=x^2+2\)
\(\therefore f(x+1)=(x+1)^2+2\)
\(=x^2+2x+1+2\)
\(=x^2+2x+3\)
আবার,
\(f(x-1)=(x-1)^2+2\)
\(=x^2-2x+1+2\)
\(=x^2-2x+3\)
আবার,
\(f(x)+1=x^2+2+1\)
\(=x^2+3\)
আবার,
\(f(x)-1=x^2+2-1\)
\(=x^2+1\)
রূপান্তরিত ফাংশনগুলি,
\(f(x+1)=x^2+2x+3, f(x-1)=x^2-2x+3; f(x)+1=x^2+3\) এবং \( f(x)-1=x^2+1\)
মূল ফাংশন এবং রূপান্তরিত ফাংশনগুলির স্কেচ পার্শে অঙ্কন করা হলো।
\(\therefore f(x+1)=(x+1)^2+2\)
\(=x^2+2x+1+2\)
\(=x^2+2x+3\)
আবার,
\(f(x-1)=(x-1)^2+2\)
\(=x^2-2x+1+2\)
\(=x^2-2x+3\)
আবার,
\(f(x)+1=x^2+2+1\)
\(=x^2+3\)
আবার,
\(f(x)-1=x^2+2-1\)
\(=x^2+1\)
রূপান্তরিত ফাংশনগুলি,
\(f(x+1)=x^2+2x+3, f(x-1)=x^2-2x+3; f(x)+1=x^2+3\) এবং \( f(x)-1=x^2+1\)
মূল ফাংশন এবং রূপান্তরিত ফাংশনগুলির স্কেচ পার্শে অঙ্কন করা হলো।
নিম্নের ফাংশটির এবং এর রূপান্তরির ফাংশনগুলির স্কেচ অঙ্কন করঃ
\(Q.3.(xxiii) (b)\) \(f(x)=e^{-x}\) হলে \(f(x), f(x\pm 2)\) এবং \(f(x)\pm 2\)
সমাধানঃ
প্রদত্ত সূচক ফাংশন \(f(x)=e^{-x}\)
\(\therefore f(x+2)=e^{-x-2}\)
আবার,
\(f(x-2)=e^{-x+2}\)
আবার,
\(f(x)+2=e^{-x}+2\)
আবার,
\(f(x)-2=e^{-x}-2\)
রূপান্তরিত ফাংশনগুলি,
\(f(x+2)=e^{-x-2},f(x-2)=e^{-x+2}\); \(f(x)+2=e^{-x}+2\) এবং \( f(x)-2=e^{-x}-2\)
মূল ফাংশন এবং রূপান্তরিত ফাংশনগুলির স্কেচ পার্শে অঙ্কন করা হলো।
\(\therefore f(x+2)=e^{-x-2}\)
আবার,
\(f(x-2)=e^{-x+2}\)
আবার,
\(f(x)+2=e^{-x}+2\)
আবার,
\(f(x)-2=e^{-x}-2\)
রূপান্তরিত ফাংশনগুলি,
\(f(x+2)=e^{-x-2},f(x-2)=e^{-x+2}\); \(f(x)+2=e^{-x}+2\) এবং \( f(x)-2=e^{-x}-2\)
মূল ফাংশন এবং রূপান্তরিত ফাংশনগুলির স্কেচ পার্শে অঙ্কন করা হলো।
নিম্নের ফাংশটির এবং এর রূপান্তরির ফাংশনগুলির স্কেচ অঙ্কন করঃ
\(Q.3.(xxiii) (c)\) \(f(x)=x^2\) হলে \(f(x), f(x\pm 1), f(-x), -f(x)\) এবং \(f(x)\pm 2\)
সমাধানঃ
প্রদত্ত সূচক ফাংশন \(f(x)=x^2\)
\(\therefore f(x+1)=(x+1)^2\)
\(=x^2+2x+1\)
আবার,
\(f(x-1)=(x-1)^2\)
\(=x^2-2x+1\)
আবার,
\(f(-x)=(-x)^2\)
\(=x^2\)
আবার,
\(-f(x)=-x^2\)
আবার,
\(f(x)+2=x^2+2\)
আবার,
\(f(x)-2=x^2-2\)
রূপান্তরিত ফাংশনগুলি,
\(f(x+1)=x^2+2x+1, f(x-1)=x^2-2x+1; f(-x)=x^2; -f(x)=-x^2; f(x)+2=x^2+2\) এবং \( f(x)-2=x^2-2\)
মূল ফাংশন এবং রূপান্তরিত ফাংশনগুলির স্কেচ পার্শে অঙ্কন করা হলো।
\(\therefore f(x+1)=(x+1)^2\)
\(=x^2+2x+1\)
আবার,
\(f(x-1)=(x-1)^2\)
\(=x^2-2x+1\)
আবার,
\(f(-x)=(-x)^2\)
\(=x^2\)
আবার,
\(-f(x)=-x^2\)
আবার,
\(f(x)+2=x^2+2\)
আবার,
\(f(x)-2=x^2-2\)
রূপান্তরিত ফাংশনগুলি,
\(f(x+1)=x^2+2x+1, f(x-1)=x^2-2x+1; f(-x)=x^2; -f(x)=-x^2; f(x)+2=x^2+2\) এবং \( f(x)-2=x^2-2\)
মূল ফাংশন এবং রূপান্তরিত ফাংশনগুলির স্কেচ পার্শে অঙ্কন করা হলো।
নিম্নের ফাংশটির এবং এর রূপান্তরির ফাংশনগুলির স্কেচ অঙ্কন করঃ
\(Q.3.(xxiii) (d)\) \(f(x)=\sin x\) হলে \(f(x), f(2x), f(x\pm 2), -f(x)\) এবং \(f(x)\pm 2\)
সমাধানঃ
প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন \(f(x)=\sin x\)
\(\therefore f(2x)=\sin (2x)\)
আবার,
\(f(x+2)=\sin (x+2)\)
আবার,
\(f(x-2)=\sin (x-2)\)
আবার,
\(-f(x)=-\sin x\)
আবার,
\(f(x)+2=\sin x+2\)
আবার,
\(f(x)-2=\sin x-2\)
রূপান্তরিত ফাংশনগুলি,
\(f(2x)=\sin (2x), f(x+2)=\sin (x+2); f(x-2)=\sin (x-2); -f(x)=-\sin x; f(x)+2=\sin x+2\) এবং \( f(x)-2=\sin x-2\)
মূল ফাংশন এবং রূপান্তরিত ফাংশন \(f(2x)=\sin (2x)\)-এর স্কেচ পার্শে অঙ্কন করা হলো।
\(\therefore f(2x)=\sin (2x)\)
আবার,
\(f(x+2)=\sin (x+2)\)
আবার,
\(f(x-2)=\sin (x-2)\)
আবার,
\(-f(x)=-\sin x\)
আবার,
\(f(x)+2=\sin x+2\)
আবার,
\(f(x)-2=\sin x-2\)
রূপান্তরিত ফাংশনগুলি,
\(f(2x)=\sin (2x), f(x+2)=\sin (x+2); f(x-2)=\sin (x-2); -f(x)=-\sin x; f(x)+2=\sin x+2\) এবং \( f(x)-2=\sin x-2\)
মূল ফাংশন এবং রূপান্তরিত ফাংশন \(f(2x)=\sin (2x)\)-এর স্কেচ পার্শে অঙ্কন করা হলো।
প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন \(f(x)=\sin x\)
মূল ফাংশন এবং রূপান্তরিত ফাংশন \( f(x+2)=\sin (x+2); f(x-2)=\sin (x-2)\)-এর স্কেচ পার্শে অঙ্কন করা হলো।
মূল ফাংশন এবং রূপান্তরিত ফাংশন \( f(x+2)=\sin (x+2); f(x-2)=\sin (x-2)\)-এর স্কেচ পার্শে অঙ্কন করা হলো।
প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন \(f(x)=\sin x\)
মূল ফাংশন এবং রূপান্তরিত ফাংশন \( -f(x)=-\sin x\)-এর স্কেচ পার্শে অঙ্কন করা হলো।
মূল ফাংশন এবং রূপান্তরিত ফাংশন \( -f(x)=-\sin x\)-এর স্কেচ পার্শে অঙ্কন করা হলো।
প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন \(f(x)=\sin x\)
মূল ফাংশন এবং রূপান্তরিত ফাংশন \( f(x)+2=\sin x+2; f(x)-2=\sin x-2\)-এর স্কেচ পার্শে অঙ্কন করা হলো।
মূল ফাংশন এবং রূপান্তরিত ফাংশন \( f(x)+2=\sin x+2; f(x)-2=\sin x-2\)-এর স্কেচ পার্শে অঙ্কন করা হলো।
নিম্নের ফাংশটির এবং এর রূপান্তরির ফাংশনগুলির স্কেচ অঙ্কন করঃ
\(Q.3.(xxiii) (e)\) \(f(x)=\log_{10}x\) হলে \(f(x), f(x\pm 1), -f(x)\) এবং \(f(x)\pm 1\)
সমাধানঃ
প্রদত্ত লগারিদমিক ফাংশন \(f(x)=\log_{10}x\)
\(\therefore f(x+1)=\log_{10}(x+1)\)
আবার,
\(f(x-1)=\log_{10}(x-1)\)
আবার,
\(-f(x)=-\log_{10}x\)
আবার,
\(f(x)+1=\log_{10}x+1\)
আবার,
\(f(x)-1=\log_{10}x-1\)
রূপান্তরিত ফাংশনগুলি,
\(f(x+1)=\log_{10}(x+1), f(x-1)=\log_{10}(x-1); -f(x)=-\log_{10}x; f(x)+1=\log_{10}x+1\) এবং \( f(x)-1=\log_{10}x-1\)
মূল ফাংশন এবং রূপান্তরিত ফাংশন \(f(x)+1=\log_{10}x+1; f(x)-1=\log_{10}x-1\)-এর স্কেচ পার্শে অঙ্কন করা হলো।
\(\therefore f(x+1)=\log_{10}(x+1)\)
আবার,
\(f(x-1)=\log_{10}(x-1)\)
আবার,
\(-f(x)=-\log_{10}x\)
আবার,
\(f(x)+1=\log_{10}x+1\)
আবার,
\(f(x)-1=\log_{10}x-1\)
রূপান্তরিত ফাংশনগুলি,
\(f(x+1)=\log_{10}(x+1), f(x-1)=\log_{10}(x-1); -f(x)=-\log_{10}x; f(x)+1=\log_{10}x+1\) এবং \( f(x)-1=\log_{10}x-1\)
মূল ফাংশন এবং রূপান্তরিত ফাংশন \(f(x)+1=\log_{10}x+1; f(x)-1=\log_{10}x-1\)-এর স্কেচ পার্শে অঙ্কন করা হলো।
প্রদত্ত লগারিদমিক ফাংশন \(f(x)=\log_{10}x\)
মূল ফাংশন এবং রূপান্তরিত ফাংশন \(-f(x)=-\log_{10}x\)-এর স্কেচ পার্শে অঙ্কন করা হলো।
মূল ফাংশন এবং রূপান্তরিত ফাংশন \(-f(x)=-\log_{10}x\)-এর স্কেচ পার্শে অঙ্কন করা হলো।
প্রদত্ত লগারিদমিক ফাংশন \(f(x)=\log_{10}x\)
মূল ফাংশন এবং রূপান্তরিত ফাংশন \(f(x+1)=\log_{10}(x+1), f(x-1)=\log_{10}(x-1)\)-এর স্কেচ পার্শে অঙ্কন করা হলো।
মূল ফাংশন এবং রূপান্তরিত ফাংশন \(f(x+1)=\log_{10}(x+1), f(x-1)=\log_{10}(x-1)\)-এর স্কেচ পার্শে অঙ্কন করা হলো।
নিচের ফাংশনটির লেখচিত্র অঙ্কন করঃ
\(Q.3.(xxiv)(a)\) \(y=f(x)=|x+2|\)
সমাধানঃ
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=|x+2|\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
| \(x\) | \(-5\) | \(-4\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
| \(y=|x+2|\) | \(3\) | \(2\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) |
গ্রাফ কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে \(1\) একক ধরে।
\(y=|x+2|\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন কর হলো।
নিচের ফাংশনটির লেখচিত্র অঙ্কন করঃ
\(Q.3.(xxiv)(b)\) \(y=f(x)=x^2\)
সমাধানঃ
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন \(f(x)=y=x^2\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
| \(x\) | \(-4\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
| \(y=x^2\) | \(16\) | \(9\) | \(4\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(4\) | \(9\) | \(16\) |
গ্রাফ কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে \(1\) একক ধরে।
\(\therefore y=x^2\)-এর স্কেচ পার্শে অঙ্কন কর হলো।
\(Q.3.(xxv)\) \(f(x)=x^2+3x, g(x)=2x-3\) হলে, \(gof(x)\)-এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।
[ রাঃ ২০১৭ ]
[ রাঃ ২০১৭ ]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন\(f(x)=x^2+3x, g(x)=2x-3\)
আমরা জানি,
\(gof(x)=g(f(x))\)
\(=2(f(x))-3\) ➜ \(\because g(x)=2x-3\)
\(=2(x^2+3x)-3\) ➜ \(\because f(x)=x^2+3x\)
\(\therefore gof(x)=2x^2+6x-3\)
\(\therefore y=gof(x)=2x^2+6x-3\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
প্রদত্ত বীজগাণিতিক ফাংশন\(f(x)=x^2+3x, g(x)=2x-3\)
আমরা জানি,
\(gof(x)=g(f(x))\)
\(=2(f(x))-3\) ➜ \(\because g(x)=2x-3\)
\(=2(x^2+3x)-3\) ➜ \(\because f(x)=x^2+3x\)
\(\therefore gof(x)=2x^2+6x-3\)
\(\therefore y=gof(x)=2x^2+6x-3\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
| \(x\) | \(-4\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) |
| \(y=2x^2+6x-3\) | \(5\) | \(-3\) | \(-7\) | \(-7\) | \(-3\) | \(5\) |
গ্রাফ কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে \(1\) একক ধরে।
\(\therefore y=2x^2+6x-3\)-এর স্কেচ পার্শে অঙ্কন কর হলো।
অনুশীলনী \(8.\) / \(Q.4\) সৃজনশীল প্রশ্নসমুহ
\(Q.4.(i)\) \(A=\mathbb{R}-\{\frac{2}{3}\}, f:A\rightarrow A\) এবং \(f(x)=\frac{2x+5}{3x-2}\)
\((a)\) \(f(x)\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(f(x)\)-এর বিপরীতকরণ যোগ্যতা যাচাই কর।
\((c)\) দেখাও যে, \(f^{-1}(x)=f(x)\).
উত্তরঃ \((a)\) \(f(x)\)-এর রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}-\{\frac{2}{3}\}\)
\(Q.4.(ii)\) \(f(x)=|x|\) এবং \(g(x)=e^x\)
\((a)\) \(g(\sqrt{x})\)-এর ডোমেন নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\phi(x)=g(2x)+g(-2x)\) হলে, দেখাও যে, \(\phi(x+y)\phi(x-y)=\phi(2x)+\phi(2y)\).
\((c)\) \(f(x)\) হতে এর রূপান্তরিত ফাংশন \(f(x+2)\)এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।
উত্তরঃ \((a)\) \(g(\sqrt{x})\)-এর ডোমেন \(=[0, \infty)\)
\(Q.4.(iii)\) \(f(x)=e^x\)
\((a)\) \(g(x)=\sqrt{x-3}\)-এর ডোমেন নির্ণয় কর।
\((b)\) \(h(x)=\cos(f^{-1}(x))\) হলে, দেখাও যে, \(h(x)h(y)-\frac{1}{2}\left[h(\frac{x}{y})+h(xy)\right]=0\).
\((c)\) \(f(x)\)-এর লেখচিত্র হতে \(f(-x)\)এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।
উত্তরঃ \((a)\) \(g(x)\)-এর ডোমেন \(=[3, \infty)\)
\(Q.4.(iv)\) \(f(x)=\sqrt{x}\) ও \(g(x)=x^2-1\)
\((a)\) \(gof(14)\) নির্ণয় কর।
\((b)\) \(fog(x)\)-এর \(fog:R\rightarrow R\)-এর জন্য \(1\le x\le 4\) ব্যবধিতে লেখচিত্র অঙ্কন করে ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(g(x)\)ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক কিনা যাচাই কর।
উত্তরঃ \((a)\) \(13; (b) D_{fog}=\{1, 2, 3, 4\}\);
\(R_{fog}=\{0, \sqrt{3}, 2\sqrt{2}, \sqrt{15}\}\) \((c)\) এক-এক নয়, সার্বিক নয়।
\(Q.4.(v)\)
দৃশ্যকল্প-১ \(f(x)=\frac{x+1}{x-1}\)
দৃশ্যকল্প-২ \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\sqrt{25-x^2}\)
\((a)\) দৃশ্যকল্প-১ হতে দেখাও যে, \(f(x)=f^{-1}(x)\).
\((b)\) দৃশ্যকল্প-২ হতে ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((c)\) দৃশ্যকল্প-১ থেকে \(\phi(x)=\frac{1}{f(x)}\)-এর জন্য \(\frac{\phi(x)-\phi(y)}{1+\phi(x)\phi(y)}\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) D_f=[-5, 5], R_f=[0, 5]\); \((c) \frac{x-y}{1+xy}\)
\(Q.4.(vi)\) \(g(x)=\begin{cases}3x-1, & x > 3\\f(x)-3, & -2\le x \le3\\2x+3, & -2>x \end{cases}\) এবং \(f(x)=x^2+1\)
\((a)\) দেখাও যে, \(f(x)\) ফাংশনটি এক-এক নয়।
\((b)\) \(g(2), g(4), g(-1), g(-3)\) নির্ণয় কর।
\((c)\) \(f^{-1}(10), f^{-1}(0), f^{-1}[10, 26]\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) g(2)=2, g(4)=11, g(-1)=-1, g(-3)=-3\);
\((c) f^{-1}(10)=\{-3, 3\}, f^{-1}(0)=\phi,\) \(f^{-1}[10, 26]=\{x: x\in \mathbb{R}, 3\le x\le 5\) অথবা, \(-5\le x\le -3\}\)
\(Q.4.(vii)\) \(f(x)=2x+1\) এবং \(fog(x)=x^2\)
\((a)\) \(g(x)\) নির্ণয় কর।
\((b)\) \(g(x)\) ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক কিনা যাচাই কর।
\((c)\) \(g(x)\) ফাংশনটির লেখচিত্র অঙ্কন কর।
উত্তরঃ \((a) g(x)=\frac{x^2-1}{2}\); \((b)\) এক-এক নয়, সার্বিক নয়।
\(Q.4.(viii)\) \(A=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{2}\}, B=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}\) এবং \(f:A\rightarrow B, f(x)=\frac{x-3}{2x+1}\)
\((a)\) \(f(0)\) নির্ণয় কর।
\((b)\) দেখাও যে, ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক।
\((c)\) \(f^{-1}(x)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) f(0)=-3\); \((c) f^{-1}(x)=\frac{x+3}{2x-1}\).
\(Q.4.(ix)\) \(f(x)=x^2-4x+3\) এবং \(g(x)=2x-3\)
\((a)\) দেখাও যে, \(g(x)\) একটি এক-এক ফাংশন।
\((b)\) \(h(x)=\sqrt{f(x)}\) ফাংশনটির ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(fog\) ও \(gof\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) D_h=(-\infty, 1]\cup [3, \infty), R_h=[0, \infty)\);
\((c) fog(x)=4x^2-20x+12, gof(x)=2x^2-8x+3\).
\(Q.4.(x)\) \(f(x)=-x^2+3x+2\) একটি দ্বিঘাত ফাংশন।
\((a)\) \(f(f(x))\) নির্ণয় কর।
\((b)\) ফাংশনটির ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(g(x)=x^2\)-এর স্কেচ থেকে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন কর।
উত্তরঃ \((a) f(f(x))=-x^4+6x^3-8x^2-3x+4\); \((b) D_f=\mathbb{R}, R_f=(-\infty, \frac{17}{4}]\).
\(Q.4.(xi)\) \(f(x)=4-x^2\) এবং \(g(x)=2|x|+3\) দ্বারা দুইটি ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা হলো।
\((a)\) \(g(x)\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(gof(x)\) ও \(fog(x)\) নির্ণয় কর এবং এর জন্য দেখাও যে, \(gof\ne fog\)
\((c)\) \(f(x)\)-এর স্কেচ অঙ্কন করে তা থেকে \(f(x+2)\)-এর স্কেচ দেখাও।
উত্তরঃ \((a) R_g=[0, \infty]\); \((b) gof(x)= 2|4-x^2|+3, fog(x)=-4x^2-12|x|-5\).
\(Q.4.(xii)\) \(f(x)=x^2+1\) একটি ফাংশন।
\((a)\) \(f(x)\) এক-এক ফাংশন কিনা ব্যাখ্যা কর।
\((b)\) \(f(x)\)-এর ডোমেনসহ রেঞ্জ নির্ণয় কর। ফাংশনটি সার্বিক কিনা যাচাই কর।
\((c)\) \(f(x)\)-এর লেখচিত্র অঙ্কন করে এর বৈশিষ্ট উল্লেখ কর।
উত্তরঃ \((a)\) এক-এক নয়; \((b) D_f=\mathbb{R}, R_f=[1, \infty)\) সার্বিক নয়।
\(Q.4.(xiii)\) \(f(x)=e^{\frac{x}{2}}, g(x)=\frac{3x+1}{2x-1}\).
\((a)\) \(\sin 6x\) পর্যায়বৃত্ত ফাংশন হলে, তার পর্যায় নির্ণয় কর।
\((b)\) \(g(x)\)-এর ডোমেন, রেঞ্জ নির্ণয় করে দেখাও যে, উহা এক-এক ফাংশন।
\((c)\) \(f(x)\)-এর লেখচিত্র অঙ্কন করে অক্ষের ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{\pi}{3}\); \((b) D_g=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}, R_g=\mathbb{R}-\{\frac{3}{2}\}\);
\((c) y\) অক্ষকে \((0, 1)\) বিন্দুতে এবং ঋনাত্মক \(x\) অক্ষকে অসীমে ছেদ করে।
\(Q.4.(xiv)\) \(f(x)=2x^2+1\) যেখানে, \(f:[0, 4]\rightarrow \mathbb{R}\) এবং \(\cot(g(x))=1+x+x^2\)
\((a)\) \(f(x)\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(f_{-1}[1, 3]\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) প্রমাণ কর যে, \(g(0)+2g(1)+g(2)=\frac{\pi}{2}\)
উত্তরঃ \((a) \ R_f=[1, 33]\); \((b) f^{-1}[1, 3]=[-1, 1]\).
\(Q.4.(xv)\) \(f(x)=\frac{x^4-49}{x^2+7}, g(x)=\sqrt{x+3}\) এবং \(p(x)=\sqrt{\frac{3x^2+2x+3}{1+x^2}}\) তিনটি ফাংশন।
\((a)\) \(r(x)=\begin{cases}\lambda x-6, & x \le 0\\\lambda x+6, & x>0 \end{cases}\) এবং \(r(2)=0\) হলে, \(\lambda\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(gof\)-এর ডোমেন নির্ণয় কর।
\((c)\) প্রমাণ কর যে, \(p(x)\) এক-এক ফাংশন নয়।
উত্তরঃ \((a) \ -3\); \((b) D_{gof}=[-3, \infty) \).
\(Q.4.(xvi)\) \(\mathbb{R}\) বাস্তব সংখ্যার সেট। \(A, B\subset \mathbb{R}, A=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{2}\}, B=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}\) এবং \(f:A\rightarrow B\), যেখানে, \(f(x)=\frac{x-3}{2x+1}\)
\((a)\) ফাংশনটির ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((b)\) দেখাও যে, ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক।
\((c)\) \(f(x)\)-এর বিপরীত ফাংশন আছে কিনা কারণসহ উল্লেখ কর। যদি থাকে তবে \(f_{-1}(x)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ D_{f}=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{2}\} , R_{f}=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\} \);
\((c) f^{-1}(x)=\frac{x+3}{1-2x} \).
\(Q.4.(xvii)\) \(f(x)=\frac{4x-7}{2x-4}, g(x)=a\left(\frac{x-b}{a-b}\right)+b\left(\frac{x-a}{b-a}\right)\) দুইটি ফাংশন।
\((a)\)\(f(x)\)-এর ডোমেন নির্ণয় কর।
\((b)\) \(f^{-1}(x)\) নির্ণয় কর।
\((c)\) প্রমাণ কর যে, \(g(a)+g(b)=g(a+b)\)
উত্তরঃ \((a) \ D_f=\mathbb{R}-\{2\}\); \((b) f^{-1}(x)=\frac{4x-7}{2x-4} \).
\(Q.4.(xviii)\) \(f(\theta)=2\theta+2, fog(\theta)=\theta^2\).
\((a)\)\(h(\theta)=\begin{cases}\theta^2-5\theta, & \theta \ge 2\\\theta+2, & 2>\theta \end{cases}\) হলে, \(h(-4)\) নির্ণয় কর।
\((b)\) \(f(\theta)\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(f(\theta)\) ফাংশনটি এক-এক কিনা ব্যাখ্যা কর।
উত্তরঃ \((a) \ f(-4)=-2\); \((b) R_f=\mathbb{R} \); \((c)\)ফাংশনটি এক-এক।
\(Q.4.(xix)\) \(A=\mathbb{R}-\{\frac{2}{3}\}, f:A\rightarrow A\) এবং \(f(x)=\frac{2x+5}{3x-2}\).
\((a)\) \(g(x)=x^2-4x+5\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(f(x)\)-এর বিপরীত যোগ্যতা যাচাই কর।
\((c)\) দেখাও যে, \(f^{-1}(x)=f(x)\).
উত্তরঃ \((a) \ R_g=[1, \infty)\)
\((a)\) \(f(x)\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(f(x)\)-এর বিপরীতকরণ যোগ্যতা যাচাই কর।
\((c)\) দেখাও যে, \(f^{-1}(x)=f(x)\).
উত্তরঃ \((a)\) \(f(x)\)-এর রেঞ্জ \(R_f=\mathbb{R}-\{\frac{2}{3}\}\)
\(Q.4.(ii)\) \(f(x)=|x|\) এবং \(g(x)=e^x\)
\((a)\) \(g(\sqrt{x})\)-এর ডোমেন নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\phi(x)=g(2x)+g(-2x)\) হলে, দেখাও যে, \(\phi(x+y)\phi(x-y)=\phi(2x)+\phi(2y)\).
\((c)\) \(f(x)\) হতে এর রূপান্তরিত ফাংশন \(f(x+2)\)এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।
উত্তরঃ \((a)\) \(g(\sqrt{x})\)-এর ডোমেন \(=[0, \infty)\)
\(Q.4.(iii)\) \(f(x)=e^x\)
\((a)\) \(g(x)=\sqrt{x-3}\)-এর ডোমেন নির্ণয় কর।
\((b)\) \(h(x)=\cos(f^{-1}(x))\) হলে, দেখাও যে, \(h(x)h(y)-\frac{1}{2}\left[h(\frac{x}{y})+h(xy)\right]=0\).
\((c)\) \(f(x)\)-এর লেখচিত্র হতে \(f(-x)\)এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।
উত্তরঃ \((a)\) \(g(x)\)-এর ডোমেন \(=[3, \infty)\)
\(Q.4.(iv)\) \(f(x)=\sqrt{x}\) ও \(g(x)=x^2-1\)
\((a)\) \(gof(14)\) নির্ণয় কর।
\((b)\) \(fog(x)\)-এর \(fog:R\rightarrow R\)-এর জন্য \(1\le x\le 4\) ব্যবধিতে লেখচিত্র অঙ্কন করে ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(g(x)\)ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক কিনা যাচাই কর।
উত্তরঃ \((a)\) \(13; (b) D_{fog}=\{1, 2, 3, 4\}\);
\(R_{fog}=\{0, \sqrt{3}, 2\sqrt{2}, \sqrt{15}\}\) \((c)\) এক-এক নয়, সার্বিক নয়।
\(Q.4.(v)\)
দৃশ্যকল্প-১ \(f(x)=\frac{x+1}{x-1}\)
দৃশ্যকল্প-২ \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\sqrt{25-x^2}\)
\((a)\) দৃশ্যকল্প-১ হতে দেখাও যে, \(f(x)=f^{-1}(x)\).
\((b)\) দৃশ্যকল্প-২ হতে ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((c)\) দৃশ্যকল্প-১ থেকে \(\phi(x)=\frac{1}{f(x)}\)-এর জন্য \(\frac{\phi(x)-\phi(y)}{1+\phi(x)\phi(y)}\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) D_f=[-5, 5], R_f=[0, 5]\); \((c) \frac{x-y}{1+xy}\)
\(Q.4.(vi)\) \(g(x)=\begin{cases}3x-1, & x > 3\\f(x)-3, & -2\le x \le3\\2x+3, & -2>x \end{cases}\) এবং \(f(x)=x^2+1\)
\((a)\) দেখাও যে, \(f(x)\) ফাংশনটি এক-এক নয়।
\((b)\) \(g(2), g(4), g(-1), g(-3)\) নির্ণয় কর।
\((c)\) \(f^{-1}(10), f^{-1}(0), f^{-1}[10, 26]\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) g(2)=2, g(4)=11, g(-1)=-1, g(-3)=-3\);
\((c) f^{-1}(10)=\{-3, 3\}, f^{-1}(0)=\phi,\) \(f^{-1}[10, 26]=\{x: x\in \mathbb{R}, 3\le x\le 5\) অথবা, \(-5\le x\le -3\}\)
\(Q.4.(vii)\) \(f(x)=2x+1\) এবং \(fog(x)=x^2\)
\((a)\) \(g(x)\) নির্ণয় কর।
\((b)\) \(g(x)\) ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক কিনা যাচাই কর।
\((c)\) \(g(x)\) ফাংশনটির লেখচিত্র অঙ্কন কর।
উত্তরঃ \((a) g(x)=\frac{x^2-1}{2}\); \((b)\) এক-এক নয়, সার্বিক নয়।
\(Q.4.(viii)\) \(A=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{2}\}, B=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}\) এবং \(f:A\rightarrow B, f(x)=\frac{x-3}{2x+1}\)
\((a)\) \(f(0)\) নির্ণয় কর।
\((b)\) দেখাও যে, ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক।
\((c)\) \(f^{-1}(x)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) f(0)=-3\); \((c) f^{-1}(x)=\frac{x+3}{2x-1}\).
\(Q.4.(ix)\) \(f(x)=x^2-4x+3\) এবং \(g(x)=2x-3\)
\((a)\) দেখাও যে, \(g(x)\) একটি এক-এক ফাংশন।
\((b)\) \(h(x)=\sqrt{f(x)}\) ফাংশনটির ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(fog\) ও \(gof\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) D_h=(-\infty, 1]\cup [3, \infty), R_h=[0, \infty)\);
\((c) fog(x)=4x^2-20x+12, gof(x)=2x^2-8x+3\).
\(Q.4.(x)\) \(f(x)=-x^2+3x+2\) একটি দ্বিঘাত ফাংশন।
\((a)\) \(f(f(x))\) নির্ণয় কর।
\((b)\) ফাংশনটির ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(g(x)=x^2\)-এর স্কেচ থেকে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন কর।
উত্তরঃ \((a) f(f(x))=-x^4+6x^3-8x^2-3x+4\); \((b) D_f=\mathbb{R}, R_f=(-\infty, \frac{17}{4}]\).
\(Q.4.(xi)\) \(f(x)=4-x^2\) এবং \(g(x)=2|x|+3\) দ্বারা দুইটি ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা হলো।
\((a)\) \(g(x)\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(gof(x)\) ও \(fog(x)\) নির্ণয় কর এবং এর জন্য দেখাও যে, \(gof\ne fog\)
\((c)\) \(f(x)\)-এর স্কেচ অঙ্কন করে তা থেকে \(f(x+2)\)-এর স্কেচ দেখাও।
উত্তরঃ \((a) R_g=[0, \infty]\); \((b) gof(x)= 2|4-x^2|+3, fog(x)=-4x^2-12|x|-5\).
\(Q.4.(xii)\) \(f(x)=x^2+1\) একটি ফাংশন।
\((a)\) \(f(x)\) এক-এক ফাংশন কিনা ব্যাখ্যা কর।
\((b)\) \(f(x)\)-এর ডোমেনসহ রেঞ্জ নির্ণয় কর। ফাংশনটি সার্বিক কিনা যাচাই কর।
\((c)\) \(f(x)\)-এর লেখচিত্র অঙ্কন করে এর বৈশিষ্ট উল্লেখ কর।
উত্তরঃ \((a)\) এক-এক নয়; \((b) D_f=\mathbb{R}, R_f=[1, \infty)\) সার্বিক নয়।
\(Q.4.(xiii)\) \(f(x)=e^{\frac{x}{2}}, g(x)=\frac{3x+1}{2x-1}\).
\((a)\) \(\sin 6x\) পর্যায়বৃত্ত ফাংশন হলে, তার পর্যায় নির্ণয় কর।
\((b)\) \(g(x)\)-এর ডোমেন, রেঞ্জ নির্ণয় করে দেখাও যে, উহা এক-এক ফাংশন।
\((c)\) \(f(x)\)-এর লেখচিত্র অঙ্কন করে অক্ষের ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{\pi}{3}\); \((b) D_g=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}, R_g=\mathbb{R}-\{\frac{3}{2}\}\);
\((c) y\) অক্ষকে \((0, 1)\) বিন্দুতে এবং ঋনাত্মক \(x\) অক্ষকে অসীমে ছেদ করে।
\(Q.4.(xiv)\) \(f(x)=2x^2+1\) যেখানে, \(f:[0, 4]\rightarrow \mathbb{R}\) এবং \(\cot(g(x))=1+x+x^2\)
\((a)\) \(f(x)\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(f_{-1}[1, 3]\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) প্রমাণ কর যে, \(g(0)+2g(1)+g(2)=\frac{\pi}{2}\)
উত্তরঃ \((a) \ R_f=[1, 33]\); \((b) f^{-1}[1, 3]=[-1, 1]\).
\(Q.4.(xv)\) \(f(x)=\frac{x^4-49}{x^2+7}, g(x)=\sqrt{x+3}\) এবং \(p(x)=\sqrt{\frac{3x^2+2x+3}{1+x^2}}\) তিনটি ফাংশন।
\((a)\) \(r(x)=\begin{cases}\lambda x-6, & x \le 0\\\lambda x+6, & x>0 \end{cases}\) এবং \(r(2)=0\) হলে, \(\lambda\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(gof\)-এর ডোমেন নির্ণয় কর।
\((c)\) প্রমাণ কর যে, \(p(x)\) এক-এক ফাংশন নয়।
উত্তরঃ \((a) \ -3\); \((b) D_{gof}=[-3, \infty) \).
\(Q.4.(xvi)\) \(\mathbb{R}\) বাস্তব সংখ্যার সেট। \(A, B\subset \mathbb{R}, A=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{2}\}, B=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}\) এবং \(f:A\rightarrow B\), যেখানে, \(f(x)=\frac{x-3}{2x+1}\)
\((a)\) ফাংশনটির ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((b)\) দেখাও যে, ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক।
\((c)\) \(f(x)\)-এর বিপরীত ফাংশন আছে কিনা কারণসহ উল্লেখ কর। যদি থাকে তবে \(f_{-1}(x)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ D_{f}=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{2}\} , R_{f}=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\} \);
\((c) f^{-1}(x)=\frac{x+3}{1-2x} \).
\(Q.4.(xvii)\) \(f(x)=\frac{4x-7}{2x-4}, g(x)=a\left(\frac{x-b}{a-b}\right)+b\left(\frac{x-a}{b-a}\right)\) দুইটি ফাংশন।
\((a)\)\(f(x)\)-এর ডোমেন নির্ণয় কর।
\((b)\) \(f^{-1}(x)\) নির্ণয় কর।
\((c)\) প্রমাণ কর যে, \(g(a)+g(b)=g(a+b)\)
উত্তরঃ \((a) \ D_f=\mathbb{R}-\{2\}\); \((b) f^{-1}(x)=\frac{4x-7}{2x-4} \).
\(Q.4.(xviii)\) \(f(\theta)=2\theta+2, fog(\theta)=\theta^2\).
\((a)\)\(h(\theta)=\begin{cases}\theta^2-5\theta, & \theta \ge 2\\\theta+2, & 2>\theta \end{cases}\) হলে, \(h(-4)\) নির্ণয় কর।
\((b)\) \(f(\theta)\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(f(\theta)\) ফাংশনটি এক-এক কিনা ব্যাখ্যা কর।
উত্তরঃ \((a) \ f(-4)=-2\); \((b) R_f=\mathbb{R} \); \((c)\)ফাংশনটি এক-এক।
\(Q.4.(xix)\) \(A=\mathbb{R}-\{\frac{2}{3}\}, f:A\rightarrow A\) এবং \(f(x)=\frac{2x+5}{3x-2}\).
\((a)\) \(g(x)=x^2-4x+5\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(f(x)\)-এর বিপরীত যোগ্যতা যাচাই কর।
\((c)\) দেখাও যে, \(f^{-1}(x)=f(x)\).
উত্তরঃ \((a) \ R_g=[1, \infty)\)
\(Q.4.(xx)\) \(f(x)=x^2-6, g(x)=x^2-2|x|\).
\((a)\) \(p(x)=\frac{1}{2x-1}\)-এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(fog(3)\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(f(x)\)-এর বিপরীত ফাংশন নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, প্রদত্ত ফাংশনটি এক-এক নয়।
উত্তরঃ \((a) \ D_p=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}, R_p=\mathbb{R}-\{0\}\);
\((b) \ fog(3)=3\); \((c) \ f^{-1}(x)=\) বিপরীত যোগ্য নয়।
\(Q.4.(xxi)\) \(f(x)=x^2-17, g(x)=\sqrt{x+8}, p(x)=\frac{f^{-1}(x)}{g(x)}\).
\((a)\) \(\sqrt{f(x)}\)-এর ডোমেন নির্ণয় কর।
\((b)\) \(x\)-এর কোন মানগুলির জন্য \(gof(x)=-fog(x)\) হবে।
\((c)\) \(p(x)\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ D_{f}=\{x: x\in \mathbb{R}, x\ge \sqrt{17}\) অথবা, \(x\le -\sqrt{17} \);
\((b) x=5\); \((c) R_{p}=\mathbb{R}-\{-1, 1\}\)
\(Q.4.(xxii)\) \(f(x)=\sqrt{x-16}, g(x)=x^2+7, fop(x)=\sqrt{\frac{61-31x}{2x-4}}\).
\((a)\) \(f(x)=\begin{cases}\lambda x+6, & x \le -2\\\lambda x-6, & x>2 \end{cases}\) এবং \(f(3)=0\) হলে, \(\lambda\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(fog(x)\)-এর ডোমেন ও \(gof(9)\) নির্ণয় কর।
\((c)\) দেখাও যে, \(p(x)\)একটি এক-এক ফাংশন।
উত্তরঃ \((a) \lambda=2 \); \((b) D_{fog}=\{x: x\in \mathbb{R}, x\ge 3\) অথবা, \(x\le -3\), \(gof(9)=0\)
\(Q.4.(xxiii)\) \(f:x\rightarrow 2x-3, g:x\rightarrow \frac{1}{x+5}, x\ne -5\).
\((a)\) \(g(g(x))\) নির্ণয় কর।
\((b)\) \(f(g(x))\)-এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(f^{-1}(x)=g^{-1}(2)\) হলে, \(x\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) gog(x)=\frac{x+5}{5x+26}\);
\((b) D_{f(g(x))}=\mathbb{R}-\{-5\}; R_{f(g(x))}=\mathbb{R}-\{-3\}\); \((c) x=-12\)
\(Q.4.(xxiv)\) \(g(x)=\frac{1+x}{1-x}, f(x)=\ln x\).
\((a)\) \(f(x)\)-এর ডোমেন নির্ণয় কর।
\((b)\) দেখাও যে, \(\frac{g(x)-g(y)}{1+g(x)g(y)}=\frac{x-y}{1+xy}\)
\((c)\) প্রমাণ কর যে, \(fog\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)=2fog(x)\)
উত্তরঃ \((a) D_{f}=(0, \infty)\)
\(Q.4.(xxv)\) ঝড়ে \(h\) উচ্চতায় একটি সুপারি গাছ শীর্ষ হতে \(10\) মিটার নিচে এমনভাবে ভাঙল যেন ভাঙ্গা অংশ দণ্ডায়মান অংশের সাথে \(\theta\) এবং ভূমির সাথে \(2\theta\) কোণ উৎপন্ন করল। উচ্চতা \(h\) কে \(\theta\)-এর ফাংশন রূপে প্রকাশ করলে \(h(\theta)\) হবে।
\((a)\) \(\theta=\frac{\pi}{3}\) হলে, \(h\) নির্ণয় কর।
\((b)\) ফাংশনটির ডোমেন ও রেঞ্জ বের কর।
\((c)\) ফাংশনটির লেখ এঁকে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনটির পর্যায় নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \); \((b) \ fog(3)=3\); \((c) \)
\(Q.4.(xxvi)\) \(f(x)=\frac{ax+b}{cx-d}\).
\((a)\) দেখাও যে, ফাংশনটি এক-এক ।
\((b)\) \(a=1, b=-3, c=3\) ও \(d=-1\) হলে, \(f(x)\)-এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(a=d\) হলে, দেখাও যে, \(f^{-1}(x)=f(x)\)
উত্তরঃ \((a) \ \); \((b) \ fog(3)=3\); \((c) \)
\((a)\) \(f(x)\)-এর ডোমেন নির্ণয় কর।
\((b)\) \([0, 5]\) ব্যবধির মধ্যে \(goh\)ফাংশনটি এক-এক ও সার্বিক কিনা যাচাই কর।
\((c)\) \(f(x)\) ও তার বিপরীত ফাংশনের স্কেচ অঙ্কন করে তাদের প্রকৃতি কেমন তা মন্তব্য কর।
উত্তরঃ \((a) \ \); \((b) \ fog(3)=3\); \((c) \)
\((a)\) ফাংশন ও অন্বয়ের পার্থক্য দেখাও।
\((b)\) দেখাও যে, \(f(x)\) ফাংশনটি এক-এক ও সার্বিক ।
\((c)\) \(g(x,y)=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক \(f(x)\) রেখার উপর লম্ব হলে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \); \((b) \ fog(3)=3\); \((c) \)
\((a)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{1}{\sqrt{7-x}}\)-এর ডোমেন নির্ণয় কর।
\((b)\) দৃশকল্প-২ হতে প্রমাণ কর যে, \(g(a)+g(b)=g(a+b)\).
\((c)\) \((2, -1)\) বিন্দু হতে দৃশ্যকল্প-১ -এ বর্ণিত রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \); \((b) \ fog(3)=3\); \((c) \)
\((a)\) \(f(x)\) ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(fop(x)=g(x)\) হলে, \(gop(4)\) নির্ণয় কর।
\((c)\) \(\vec{R}=g(4)\hat{i}-g(5)\hat{j}-g(3)\hat{k}\) ও \(\vec{M}=-g(10)\hat{i}+g(0)\hat{j}+g\left(\frac{1}{2}\right)\hat{k}\) ভেক্টর দ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \); \((b) \ \); \((c) \)
\((a)\) নির্নায়কের সাহায্যে সমাধান করঃ \(x+3y+2=0, 2x+y+3=0\)
\((b)\) \(f(A)+1\) নির্ণয় কর।
\((c)\) \(gof(x)\)-এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।
[ রাঃ ২০১৭ ]
উত্তরঃ \((a) \ \); \((b) \)
\((a)\) \(g(x)=\frac{1}{2x-3}\) ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(f(B)\) নির্ণয় কর।
\((c)\) \(B\)-এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১৭ ]
উত্তরঃ \((a) \ \); \((b) \),\((c) \)
দৃশ্যকল্প-২: রহিম স্যার ছাত্রছাত্রীদেরকে \("TESTICLE"\) শব্দটি নিয়ে আলোচনা করলেন।
\((a)\) \(y=|x-3|\)-এর স্কেচ অঙ্কন কর।
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১ অনুসসারে \(n=\frac{1}{2}\) হলে, \(gof\)-এর ডোমেন নির্ণয় কর।
\((c)\) দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত শব্দটিকে কত প্রকারে সাজানো যাবে যাতে প্রথমে ও শেষে \(E\) থাকবে না।
[ সিঃ ২০১৭ ]
উত্তরঃ \((a) \ \); \((b) \),\((c) \)
\((a)\) \(f(x)=2x-5\) এবং \(g(x)=x^2+6\) হলে, \(gof(2)\) নির্ণয় কর।
\((b)\) দেখাও যে, প্রথম স্থানটির বর্ণগুলির বিন্যাস সংখ্যা দ্বিতীয় স্থানটির বর্ণগুলির বিন্যাস সংখ্যার \(21\) গুণ।
\((c)\) দলটি কত প্রকারে ভ্রমণ করতে পারবে?
[ যঃ ২০১৭ ]
উত্তরঃ \((a) \ \); \((b) \),\((c) \)
দৃশ্যকল্প-২: \(f(x)=\frac{2x+7}{3x-2}; x\in \mathbb{R}-\{\frac{2}{3}\}\)
\((a)\) \(^nC_3=\frac{4}{5}\times ^nC_2\) হলে, \(n\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১ -এর আলোকে শব্দটিকে কতভাবে সাজানো যায় যাতে স্বরবর্ণগুলি একত্রে না থাকে।
\((c)\) দৃশ্যকল্প-২: হতে দেখাও যে, \(f^{-1}(x)=f(x)\)
[ বঃ ২০১৭ ]
উত্তরঃ \((a) \ \); \((b) \),\((c) \)
\((a)\) \(p(x)=\frac{1}{2x-1}\)-এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(fog(3)\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(f(x)\)-এর বিপরীত ফাংশন নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, প্রদত্ত ফাংশনটি এক-এক নয়।
উত্তরঃ \((a) \ D_p=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}, R_p=\mathbb{R}-\{0\}\);
\((b) \ fog(3)=3\); \((c) \ f^{-1}(x)=\) বিপরীত যোগ্য নয়।
\(Q.4.(xxi)\) \(f(x)=x^2-17, g(x)=\sqrt{x+8}, p(x)=\frac{f^{-1}(x)}{g(x)}\).
\((a)\) \(\sqrt{f(x)}\)-এর ডোমেন নির্ণয় কর।
\((b)\) \(x\)-এর কোন মানগুলির জন্য \(gof(x)=-fog(x)\) হবে।
\((c)\) \(p(x)\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ D_{f}=\{x: x\in \mathbb{R}, x\ge \sqrt{17}\) অথবা, \(x\le -\sqrt{17} \);
\((b) x=5\); \((c) R_{p}=\mathbb{R}-\{-1, 1\}\)
\(Q.4.(xxii)\) \(f(x)=\sqrt{x-16}, g(x)=x^2+7, fop(x)=\sqrt{\frac{61-31x}{2x-4}}\).
\((a)\) \(f(x)=\begin{cases}\lambda x+6, & x \le -2\\\lambda x-6, & x>2 \end{cases}\) এবং \(f(3)=0\) হলে, \(\lambda\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(fog(x)\)-এর ডোমেন ও \(gof(9)\) নির্ণয় কর।
\((c)\) দেখাও যে, \(p(x)\)একটি এক-এক ফাংশন।
উত্তরঃ \((a) \lambda=2 \); \((b) D_{fog}=\{x: x\in \mathbb{R}, x\ge 3\) অথবা, \(x\le -3\), \(gof(9)=0\)
\(Q.4.(xxiii)\) \(f:x\rightarrow 2x-3, g:x\rightarrow \frac{1}{x+5}, x\ne -5\).
\((a)\) \(g(g(x))\) নির্ণয় কর।
\((b)\) \(f(g(x))\)-এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(f^{-1}(x)=g^{-1}(2)\) হলে, \(x\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) gog(x)=\frac{x+5}{5x+26}\);
\((b) D_{f(g(x))}=\mathbb{R}-\{-5\}; R_{f(g(x))}=\mathbb{R}-\{-3\}\); \((c) x=-12\)
\(Q.4.(xxiv)\) \(g(x)=\frac{1+x}{1-x}, f(x)=\ln x\).
\((a)\) \(f(x)\)-এর ডোমেন নির্ণয় কর।
\((b)\) দেখাও যে, \(\frac{g(x)-g(y)}{1+g(x)g(y)}=\frac{x-y}{1+xy}\)
\((c)\) প্রমাণ কর যে, \(fog\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)=2fog(x)\)
উত্তরঃ \((a) D_{f}=(0, \infty)\)
\(Q.4.(xxv)\) ঝড়ে \(h\) উচ্চতায় একটি সুপারি গাছ শীর্ষ হতে \(10\) মিটার নিচে এমনভাবে ভাঙল যেন ভাঙ্গা অংশ দণ্ডায়মান অংশের সাথে \(\theta\) এবং ভূমির সাথে \(2\theta\) কোণ উৎপন্ন করল। উচ্চতা \(h\) কে \(\theta\)-এর ফাংশন রূপে প্রকাশ করলে \(h(\theta)\) হবে।
\((a)\) \(\theta=\frac{\pi}{3}\) হলে, \(h\) নির্ণয় কর।
\((b)\) ফাংশনটির ডোমেন ও রেঞ্জ বের কর।
\((c)\) ফাংশনটির লেখ এঁকে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনটির পর্যায় নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \); \((b) \ fog(3)=3\); \((c) \)
\(Q.4.(xxvi)\) \(f(x)=\frac{ax+b}{cx-d}\).
\((a)\) দেখাও যে, ফাংশনটি এক-এক ।
\((b)\) \(a=1, b=-3, c=3\) ও \(d=-1\) হলে, \(f(x)\)-এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(a=d\) হলে, দেখাও যে, \(f^{-1}(x)=f(x)\)
উত্তরঃ \((a) \ \); \((b) \ fog(3)=3\); \((c) \)
নিজে কর।
\(Q.4.(xxvii)\) \(f(x)=e^x, g(x)=\sqrt{x}\) ও \(h(x)=25-x^2\)তিনটি ফাংশন। \((a)\) \(f(x)\)-এর ডোমেন নির্ণয় কর।
\((b)\) \([0, 5]\) ব্যবধির মধ্যে \(goh\)ফাংশনটি এক-এক ও সার্বিক কিনা যাচাই কর।
\((c)\) \(f(x)\) ও তার বিপরীত ফাংশনের স্কেচ অঙ্কন করে তাদের প্রকৃতি কেমন তা মন্তব্য কর।
উত্তরঃ \((a) \ \); \((b) \ fog(3)=3\); \((c) \)
নিজে কর।
\(Q.4.(xxviii)\) \(g(x,y)=x^2+y^2-2x-4y-4\)এবং \(y=f(x)=\frac{3x+5}{4}\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত দুইটি ফাংশন। \((a)\) ফাংশন ও অন্বয়ের পার্থক্য দেখাও।
\((b)\) দেখাও যে, \(f(x)\) ফাংশনটি এক-এক ও সার্বিক ।
\((c)\) \(g(x,y)=0\) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক \(f(x)\) রেখার উপর লম্ব হলে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \); \((b) \ fog(3)=3\); \((c) \)
নিজে কর।
\(Q.4.(xxix)\) দৃশ্যকল্প-১: \(3x-4y+5=0\) দৃশকল্প-২ :\(g(x)=b\frac{x-a}{b-a}+a\frac{x-b}{a-b}\)\((a)\) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{1}{\sqrt{7-x}}\)-এর ডোমেন নির্ণয় কর।
\((b)\) দৃশকল্প-২ হতে প্রমাণ কর যে, \(g(a)+g(b)=g(a+b)\).
\((c)\) \((2, -1)\) বিন্দু হতে দৃশ্যকল্প-১ -এ বর্ণিত রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \); \((b) \ fog(3)=3\); \((c) \)
নিজে কর।
\(Q.4.(xxx)\) \(f(x)=\frac{3x-5}{4x+7}\) \(g(x)=2x-9\)\((a)\) \(f(x)\) ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(fop(x)=g(x)\) হলে, \(gop(4)\) নির্ণয় কর।
\((c)\) \(\vec{R}=g(4)\hat{i}-g(5)\hat{j}-g(3)\hat{k}\) ও \(\vec{M}=-g(10)\hat{i}+g(0)\hat{j}+g\left(\frac{1}{2}\right)\hat{k}\) ভেক্টর দ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \); \((b) \ \); \((c) \)
নিজে কর।
বিভিন্ন বোর্ড পরীক্ষায় আসা সৃজনশীল প্রশ্নসমুহ
\(Q.4.(xxxi)\) \(f(x)=x^2+3x, g(x)=2x-3\) এবং \(A=\begin{bmatrix}\ \ \ \ 3 \ \ \ \ 1 \ -1 \\ \ \ \ 2 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ \ 4\\-4 \ \ \ \ 5\ \ \ \ \ 6\end{bmatrix}\)\((a)\) নির্নায়কের সাহায্যে সমাধান করঃ \(x+3y+2=0, 2x+y+3=0\)
\((b)\) \(f(A)+1\) নির্ণয় কর।
\((c)\) \(gof(x)\)-এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।
[ রাঃ ২০১৭ ]
উত্তরঃ \((a) \ \); \((b) \)
নিজে কর।
\(Q.4.(xxxii)\) \(A=\begin{bmatrix}2 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ 1\\2 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ 4\\4 \ \ \ \ 5\ \ \ \ 6\end{bmatrix}, B=A^{t}, f(x)=x^2-4x\)\((a)\) \(g(x)=\frac{1}{2x-3}\) ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(f(B)\) নির্ণয় কর।
\((c)\) \(B\)-এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১৭ ]
উত্তরঃ \((a) \ \); \((b) \),\((c) \)
নিজে কর।
\(Q.4.(xxxiii)\) দৃশ্যকল্প-১: \(g(x)=(x+5)^n, f(x)=x^2-6\)দৃশ্যকল্প-২: রহিম স্যার ছাত্রছাত্রীদেরকে \("TESTICLE"\) শব্দটি নিয়ে আলোচনা করলেন।
\((a)\) \(y=|x-3|\)-এর স্কেচ অঙ্কন কর।
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১ অনুসসারে \(n=\frac{1}{2}\) হলে, \(gof\)-এর ডোমেন নির্ণয় কর।
\((c)\) দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত শব্দটিকে কত প্রকারে সাজানো যাবে যাতে প্রথমে ও শেষে \(E\) থাকবে না।
[ সিঃ ২০১৭ ]
উত্তরঃ \((a) \ \); \((b) \),\((c) \)
নিজে কর।
\(Q.4.(xxxiv)\) \(SYLHET\) থেকে \(BANDARBAN\)এ \(10\) জন শিক্ষার্থীর একটি দল শিক্ষাসফরে আসল। তাদেরকে দুইটি গাড়িতে ভ্রমণ করতে হবে, যার একটিতে \(7\) জনের বেশি ও অন্যটিতে \(4\) জনের বেশি শিক্ষার্থী ধরে না।\((a)\) \(f(x)=2x-5\) এবং \(g(x)=x^2+6\) হলে, \(gof(2)\) নির্ণয় কর।
\((b)\) দেখাও যে, প্রথম স্থানটির বর্ণগুলির বিন্যাস সংখ্যা দ্বিতীয় স্থানটির বর্ণগুলির বিন্যাস সংখ্যার \(21\) গুণ।
\((c)\) দলটি কত প্রকারে ভ্রমণ করতে পারবে?
[ যঃ ২০১৭ ]
উত্তরঃ \((a) \ \); \((b) \),\((c) \)
নিজে কর।
\(Q.4.(xxxv)\) দৃশ্যকল্প-১: \(MUJIBNAGAR\)দৃশ্যকল্প-২: \(f(x)=\frac{2x+7}{3x-2}; x\in \mathbb{R}-\{\frac{2}{3}\}\)
\((a)\) \(^nC_3=\frac{4}{5}\times ^nC_2\) হলে, \(n\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১ -এর আলোকে শব্দটিকে কতভাবে সাজানো যায় যাতে স্বরবর্ণগুলি একত্রে না থাকে।
\((c)\) দৃশ্যকল্প-২: হতে দেখাও যে, \(f^{-1}(x)=f(x)\)
[ বঃ ২০১৭ ]
উত্তরঃ \((a) \ \); \((b) \),\((c) \)
নিজে কর।
\(Q.4.(ii)\) \(f(x)=|x|\) এবং \(g(x)=e^x\)
\((a)\) \(g(\sqrt{x})\)-এর ডোমেন নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\phi(x)=g(2x)+g(-2x)\) হলে, দেখাও যে, \(\phi(x+y)\phi(x-y)=\phi(2x)+\phi(2y)\).
\((c)\) \(f(x)\) হতে এর রূপান্তরিত ফাংশন \(f(x+2)\)এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।
উত্তরঃ \((a)\) \(g(\sqrt{x})\)-এর ডোমেন \(=[0, \infty)\)
\((a)\) \(g(\sqrt{x})\)-এর ডোমেন নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\phi(x)=g(2x)+g(-2x)\) হলে, দেখাও যে, \(\phi(x+y)\phi(x-y)=\phi(2x)+\phi(2y)\).
\((c)\) \(f(x)\) হতে এর রূপান্তরিত ফাংশন \(f(x+2)\)এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।
উত্তরঃ \((a)\) \(g(\sqrt{x})\)-এর ডোমেন \(=[0, \infty)\)
সমাধানঃ
\(Q.4.(ii).(a)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=|x|\)
এবং \(g(x)=e^x\)
এখন,
\(g(\sqrt{x})=e^{\sqrt{x}}\) ➜ \(\because g(x)=e^x\)
\(g(\sqrt{x})\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(x\ge 0\) হয়।
অতএব, \(g(\sqrt{x})\)-এর ডোমেন \(=[0, \infty)\)
\(Q.4.(ii).(b)\)
দেওয়া আছে,
\(g(x)=e^x\)
এবং \(\phi(x)=g(2x)+g(-2x)\)
ধরি,
\(g(x)=e^x .........(1)\)
\(\phi(x)=g(2x)+g(-2x) .........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(\phi(x)=e^{2x}+e^{-2x} .........(3)\)
আবার,
\((3)\) হতে,
\(\phi(2x)=e^{4x}+e^{-4x} .........(4)\)
\(\phi(2y)=e^{4y}+e^{-4y} .........(5)\)
\(\phi(x+y)=e^{2x+2y}+e^{-2x-2y} .........(6)\)
\(\phi(x-y)=e^{2x-2y}+e^{-2x+2y} .........(7)\)
এখন,
\(L.S=\phi(x+y)\phi(x-y)\)
\(=(e^{2x+2y}+e^{-2x-2y})(e^{2x-2y}+e^{-2x+2y})\) ➜ \((6)\) ও \((7)\) -এর সাহায্যে।
\(=e^{2x+2y+2x-2y}+e^{2x+2y-2x+2y}+e^{-2x-2y+2x-2y}+e^{-2x-2y-2x+2y}\)
\(=e^{4x}+e^{4y}+e^{-4y}+e^{-4x}\)
\(=e^{4x}+e^{-4x}+e^{4y}+e^{-4y}\)
\(=\phi(2x)+\phi(2y)\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(proved)
\(Q.4.(ii).(c)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=|x|\)
\(\therefore f(x+2)=|x+2|\)
\(\therefore \) রূপান্তরিত ফাংশন,
\(f(x+2)=y=|x+2|\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
দেওয়া আছে,
\(f(x)=|x|\)
এবং \(g(x)=e^x\)
এখন,
\(g(\sqrt{x})=e^{\sqrt{x}}\) ➜ \(\because g(x)=e^x\)
\(g(\sqrt{x})\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(x\ge 0\) হয়।
অতএব, \(g(\sqrt{x})\)-এর ডোমেন \(=[0, \infty)\)
\(Q.4.(ii).(b)\)
দেওয়া আছে,
\(g(x)=e^x\)
এবং \(\phi(x)=g(2x)+g(-2x)\)
ধরি,
\(g(x)=e^x .........(1)\)
\(\phi(x)=g(2x)+g(-2x) .........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(\phi(x)=e^{2x}+e^{-2x} .........(3)\)
আবার,
\((3)\) হতে,
\(\phi(2x)=e^{4x}+e^{-4x} .........(4)\)
\(\phi(2y)=e^{4y}+e^{-4y} .........(5)\)
\(\phi(x+y)=e^{2x+2y}+e^{-2x-2y} .........(6)\)
\(\phi(x-y)=e^{2x-2y}+e^{-2x+2y} .........(7)\)
এখন,
\(L.S=\phi(x+y)\phi(x-y)\)
\(=(e^{2x+2y}+e^{-2x-2y})(e^{2x-2y}+e^{-2x+2y})\) ➜ \((6)\) ও \((7)\) -এর সাহায্যে।
\(=e^{2x+2y+2x-2y}+e^{2x+2y-2x+2y}+e^{-2x-2y+2x-2y}+e^{-2x-2y-2x+2y}\)
\(=e^{4x}+e^{4y}+e^{-4y}+e^{-4x}\)
\(=e^{4x}+e^{-4x}+e^{4y}+e^{-4y}\)
\(=\phi(2x)+\phi(2y)\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(proved)
\(Q.4.(ii).(c)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=|x|\)
\(\therefore f(x+2)=|x+2|\)
\(\therefore \) রূপান্তরিত ফাংশন,
\(f(x+2)=y=|x+2|\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
| \(x\) | \(-5\) | \(-4\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
| \(y=|x+2|\) | \(3\) | \(2\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) |
গ্রাফ কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে \(1\) একক ধরে।
\(y=|x+2|\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন কর হলো।
\(Q.4.(iii)\) \(f(x)=e^x\)
\((a)\) \(g(x)=\sqrt{x-3}\)-এর ডোমেন নির্ণয় কর।
\((b)\) \(h(x)=\cos(f^{-1}(x))\) হলে, দেখাও যে, \(h(x)h(y)-\frac{1}{2}\left[h(\frac{x}{y})+h(xy)\right]=0\).
\((c)\) \(f(x)\)-এর লেখচিত্র হতে \(f(-x)\)এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।
উত্তরঃ \((a)\) \(g(x)\)-এর ডোমেন \(=[3, \infty)\)
\((a)\) \(g(x)=\sqrt{x-3}\)-এর ডোমেন নির্ণয় কর।
\((b)\) \(h(x)=\cos(f^{-1}(x))\) হলে, দেখাও যে, \(h(x)h(y)-\frac{1}{2}\left[h(\frac{x}{y})+h(xy)\right]=0\).
\((c)\) \(f(x)\)-এর লেখচিত্র হতে \(f(-x)\)এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।
উত্তরঃ \((a)\) \(g(x)\)-এর ডোমেন \(=[3, \infty)\)
সমাধানঃ
\(Q.4.(iii).(a)\)
দেওয়া আছে,
\(g(x)=\sqrt{x-3}\)
এখন,
\(g(x)\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(x-3\ge 0\) হয়।
\(\therefore x\ge 3\)
অতএব, \(g(x)\)-এর ডোমেন \(=[3, \infty)\)
\(Q.4.(iii).(b)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=e^x\)
\(h(x)=\cos(f^{-1}(x))\)
ধরি,
\(y=f(x)=e^x\)
\(\Rightarrow y=e^x; f(x)=y\)
\(\Rightarrow e^x=y; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow x=\ln y; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\ln y\) ➜ \(\because x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow f^{-1}(x)=\ln x\) ➜ \(y\) কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=\ln x ....(1)\)
এবং
\(h(x)=\cos(f^{-1}(x)) .........(2)\)
\((1)\) ও \( (2)\) হতে,
\(h(x)=\cos(\ln x) .........(3)\)
আবার,
\((3)\) হতে,
\(h(y)=\cos(\ln y) .........(4)\)
\(h(xy)=\cos(\ln xy) .........(5)\)
\(h(\frac{x}{y})=\cos(\ln \frac{x}{y}) .........(6)\)
এখন,
\(L.S=h(x)h(y)-\frac{1}{2}\left[h(\frac{x}{y})+h(xy)\right]\)
\(=\cos(\ln x)\cos(\ln y)-\frac{1}{2}\left[\cos(\ln xy)+\cos(\ln \frac{x}{y})\right]\) ➜ \((3)\) ,\((4)\) ,\((5)\) ও \((6)\) -এর সাহায্যে।
\(=\cos(\ln x)\cos(\ln y)-\frac{1}{2}\left[\cos(\ln x+\ln y)+\cos(\ln x-\ln y)\right]\) ➜ \(\because \ln xy=\ln x+\ln y; \ln \frac{x}{y}=\ln x-\ln y\)
\(=\cos(\ln x)\cos(\ln y)-\frac{1}{2}[2\cos(\ln x)\cos(\ln y)]\) ➜ \(\because \cos(A+B)+\cos(A-B)=2\cos A\cos B\)
\(=\cos(\ln x)\cos(\ln y)-\cos(\ln x)\cos(\ln y)\)
\(=0\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(proved) \(Q.4.(iii).(c)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=e^x\)
\(\therefore f(-x)=e^{-x}\)
\(f(x)\) ও \(f(-x)\) উভয়েই \(y\) অক্ষকে \((0, 1)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(f(x)\) ও \(f(-x)\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
দেওয়া আছে,
\(g(x)=\sqrt{x-3}\)
এখন,
\(g(x)\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(x-3\ge 0\) হয়।
\(\therefore x\ge 3\)
অতএব, \(g(x)\)-এর ডোমেন \(=[3, \infty)\)
\(Q.4.(iii).(b)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=e^x\)
\(h(x)=\cos(f^{-1}(x))\)
ধরি,
\(y=f(x)=e^x\)
\(\Rightarrow y=e^x; f(x)=y\)
\(\Rightarrow e^x=y; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow x=\ln y; x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\ln y\) ➜ \(\because x=f^{-1}(y)\)
\(\Rightarrow f^{-1}(x)=\ln x\) ➜ \(y\) কে \(x\) দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে।
\(\therefore f^{-1}(x)=\ln x ....(1)\)
এবং
\(h(x)=\cos(f^{-1}(x)) .........(2)\)
\((1)\) ও \( (2)\) হতে,
\(h(x)=\cos(\ln x) .........(3)\)
আবার,
\((3)\) হতে,
\(h(y)=\cos(\ln y) .........(4)\)
\(h(xy)=\cos(\ln xy) .........(5)\)
\(h(\frac{x}{y})=\cos(\ln \frac{x}{y}) .........(6)\)
এখন,
\(L.S=h(x)h(y)-\frac{1}{2}\left[h(\frac{x}{y})+h(xy)\right]\)
\(=\cos(\ln x)\cos(\ln y)-\frac{1}{2}\left[\cos(\ln xy)+\cos(\ln \frac{x}{y})\right]\) ➜ \((3)\) ,\((4)\) ,\((5)\) ও \((6)\) -এর সাহায্যে।
\(=\cos(\ln x)\cos(\ln y)-\frac{1}{2}\left[\cos(\ln x+\ln y)+\cos(\ln x-\ln y)\right]\) ➜ \(\because \ln xy=\ln x+\ln y; \ln \frac{x}{y}=\ln x-\ln y\)
\(=\cos(\ln x)\cos(\ln y)-\frac{1}{2}[2\cos(\ln x)\cos(\ln y)]\) ➜ \(\because \cos(A+B)+\cos(A-B)=2\cos A\cos B\)
\(=\cos(\ln x)\cos(\ln y)-\cos(\ln x)\cos(\ln y)\)
\(=0\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(proved) \(Q.4.(iii).(c)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=e^x\)
\(\therefore f(-x)=e^{-x}\)
\(f(x)\) ও \(f(-x)\) উভয়েই \(y\) অক্ষকে \((0, 1)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(f(x)\) ও \(f(-x)\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
| \(x\) | \(-2\) | \(-1.5\) | \(-1\) | \(-0.5\) | \(0\) | \(0.5\) |
| \(y=e^{x}\) | \(0.14\) | \(0.22\) | \(0.37\) | \(0.6\) | \(1\) | \(1.65\) |
| \(y=e^{-x}\) | \(7.4\) | \(4.5\) | \(2.72\) | \(1.65\) | \(1\) | \(0.6\) |
গ্রাফ কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে \(1\) একক ধরে।
\(f(x)\) ও \(f(-x)\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন কর হলো।
\(Q.4.(iv)\) \(f(x)=\sqrt{x}\) ও \(g(x)=x^2-1\)
\((a)\) \(gof(14)\) নির্ণয় কর।
\((b)\) \(fog(x)\)-এর \(fog:R\rightarrow R\)-এর জন্য \(1\le x\le 4\) ব্যবধিতে লেখচিত্র অঙ্কন করে ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(g(x)\)ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক কিনা যাচাই কর।
উত্তরঃ \((a)\) \(13; (b) D_{fog}=\{1, 2, 3, 4\}\);
\(R_{fog}=\{0, \sqrt{3}, 2\sqrt{2}, \sqrt{15}\}\) \((c)\) এক-এক নয়, সার্বিক নয়।
\((a)\) \(gof(14)\) নির্ণয় কর।
\((b)\) \(fog(x)\)-এর \(fog:R\rightarrow R\)-এর জন্য \(1\le x\le 4\) ব্যবধিতে লেখচিত্র অঙ্কন করে ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(g(x)\)ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক কিনা যাচাই কর।
উত্তরঃ \((a)\) \(13; (b) D_{fog}=\{1, 2, 3, 4\}\);
\(R_{fog}=\{0, \sqrt{3}, 2\sqrt{2}, \sqrt{15}\}\) \((c)\) এক-এক নয়, সার্বিক নয়।
সমাধানঃ
\(Q.4.(iv).(a)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\sqrt{x}\) ও \(g(x)=x^2-1\)
আমরা জানি,
\(gof(x)=g(f(x))\)
\(=(f(x))^{2}-1\) ➜ \(\because g(x)=x^2-1\)
\(=(\sqrt{x})^{2}-1\) ➜ \(\because f(x)=\sqrt{x}\)
\(=x-1\)
\(\therefore gof(x)=x-1\)
\(\therefore gof(14)=14-1\)
\(=13\)
\(Q.4.(iv).(b)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\sqrt{x}\) ও \(g(x)=x^2-1\)
আমরা জানি,
\(fog(x)=f(g(x))\)
\(=\sqrt{(g(x))}\) ➜ \(\because f(x)=\sqrt{x}\)
\(=\sqrt{x^2-1}\) ➜ \(\because g(x)=x^2-1\)
\(\therefore fog(x)=\sqrt{x^2-1}\)
\(\therefore fog(x)=y=\sqrt{x^2-1}\)
\(1\le x\le 4\) ব্যবধিতে \(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\sqrt{x}\) ও \(g(x)=x^2-1\)
আমরা জানি,
\(gof(x)=g(f(x))\)
\(=(f(x))^{2}-1\) ➜ \(\because g(x)=x^2-1\)
\(=(\sqrt{x})^{2}-1\) ➜ \(\because f(x)=\sqrt{x}\)
\(=x-1\)
\(\therefore gof(x)=x-1\)
\(\therefore gof(14)=14-1\)
\(=13\)
\(Q.4.(iv).(b)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\sqrt{x}\) ও \(g(x)=x^2-1\)
আমরা জানি,
\(fog(x)=f(g(x))\)
\(=\sqrt{(g(x))}\) ➜ \(\because f(x)=\sqrt{x}\)
\(=\sqrt{x^2-1}\) ➜ \(\because g(x)=x^2-1\)
\(\therefore fog(x)=\sqrt{x^2-1}\)
\(\therefore fog(x)=y=\sqrt{x^2-1}\)
\(1\le x\le 4\) ব্যবধিতে \(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
| \(x\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
| \(y=\sqrt{x^2-1}\) | \(0\) | \(\sqrt{3}\) | \(2\sqrt{2}\) | \(\sqrt{15}\) |
গ্রাফ কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে \(1\) একক ধরে।
\(y=\sqrt{x^2-1}\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন কর হলো।
আবার,
\(fog(x)=y=\sqrt{x^2-1}\)
এখানে,
\(g(x)\) ফাংশনটি \(f(x)\)-এর সহিত সংযোজিত হয়ে \(fog(x)\) সংযোজিত ফাংশন সৃষ্টি করে।
\(g(x)\) ফাংশনটির ডোমেন \(D_g=\{1, 2, 3, 4\}\)
\(f(x)\) ফাংশনটির রেঞ্জ \(R_f=\{0, \sqrt{3}, 2\sqrt{2}, \sqrt{15}\}\)
ফলে,
\(fog(x)\)-এর ডোমেন \(D_{fog}=\{1, 2, 3, 4\} \subseteq D_g\)
\(fog(x)\)-এর রেঞ্জ \(R_{fog}=\{0, \sqrt{3}, 2\sqrt{2}, \sqrt{15}\} \subseteq R_f\)
\(Q.4.(iv).(c)\)
দেওয়া আছে,
\(g(x)=x^2-1\)
ধরি,
\((a, b)\in D_g\)
\(g(x)=x^2-1 .......(1)\)
\((1)\) হতে,
\(g(a)=a^2-1 ......(2)\)
\(g(b)=b^2-1 ......(3)\)
এক-এক ফাংশনের জন্য \(g(a)=g(b)\)
\(a^2-1=b^2-1\) ➜ \((2), (3)\)-এর সাহায্যে ।
\(\Rightarrow a^2=b^2\)
\(\therefore a=\pm b\)
\(\therefore g\) এক-এক ফাংশন নয়।
আবার,
ধরি,
\(y=g(x)=x^2-1\)
\(\Rightarrow x^2-1=y\)
\(\Rightarrow x^2=y+1\)
\(\therefore x=\pm \sqrt{y+1}\)
\(x\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(y+1\ge 0\) হয়।
\(\Rightarrow y\ge -1\)
\(g\)-এর রেঞ্জ \(R_g=[-1, \infty)\ne \) কো-ডোমেন \(\mathbb{R}\)
\(\therefore \) ফাংশনটি সার্বিক নয়।
\(Q.4.(vii)\) \(f(x)=2x+1\) এবং \(fog(x)=x^2\)
\((a)\) \(g(x)\) নির্ণয় কর।
\((b)\) \(g(x)\) ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক কিনা যাচাই কর।
\((c)\) \(g(x)\) ফাংশনটির লেখচিত্র অঙ্কন কর।
উত্তরঃ \((a) g(x)=\frac{x^2-1}{2}\); \((b)\) এক-এক নয়, সার্বিক নয়।
\((a)\) \(g(x)\) নির্ণয় কর।
\((b)\) \(g(x)\) ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক কিনা যাচাই কর।
\((c)\) \(g(x)\) ফাংশনটির লেখচিত্র অঙ্কন কর।
উত্তরঃ \((a) g(x)=\frac{x^2-1}{2}\); \((b)\) এক-এক নয়, সার্বিক নয়।
সমাধানঃ
\(Q.4.(vii).(a)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=2x+1\)
এবং \(fog(x)=x^2\)
আমরা জানি,
\(fog(x)=f(g(x))=x^2\)
\(\Rightarrow f(g(x))=x^2\)
\(\Rightarrow 2g(x)+1=x^2\) ➜ \(\because f(x)=2x+1\)
\(\Rightarrow 2g(x)=x^2-1\)
\(\therefore g(x)=\frac{x^2-1}{2}\)
\(Q.4.(vii).(b)\)
\((a)\) হতে প্রাপ্ত।
\(g(x)=\frac{x^2-1}{2}\)
ধরি,
\((a, b)\in D_g\)
\(g(x)=\frac{x^2-1}{2} .......(1)\)
\((1)\) হতে,
\(g(a)=\frac{a^2-1}{2} ......(2)\)
\(g(b)=\frac{b^2-1}{2} ......(3)\)
এক-এক ফাংশনের জন্য \(g(a)=g(b)\)
\(\frac{a^2-1}{2}=\frac{b^2-1}{2}\) ➜ \((2), (3)\)-এর সাহায্যে ।
\(\Rightarrow a^2-1=b^2-1\)
\(\Rightarrow a^2=b^2\)
\(\therefore a=\pm b\)
\(\therefore f\) এক-এক ফাংশন নয়।
আবার,
ধরি,
\(g(x)=y=\frac{x^2-1}{2}\)
\(\Rightarrow y=\frac{x^2-1}{2}\)
\(\Rightarrow 2y=x^2-1\)
\(\Rightarrow x^2-1=2y\)
\(\Rightarrow x^2=2y+1\)
\(\Rightarrow x=\pm \sqrt{2y+1}\)
\(x\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(2y+1\ge 0\) হয়।
\(\Rightarrow 2y\ge -1\)
\(\therefore y\ge -\frac{1}{2}\)
\(\therefore g\)-এর রেঞ্জ \(R_{g}=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{2}\}\ne\) কো-ডোমেন \(\mathbb{R}\)
\(\therefore g\) সার্বিক ফাংশন নয়।
\(Q.4.(vii).(c)\)
\((a)\) হতে প্রাপ্ত।
\(g(x)=\frac{x^2-1}{2}\)
ধরি,
\(y=\frac{x^2-1}{2} .......(1)\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
দেওয়া আছে,
\(f(x)=2x+1\)
এবং \(fog(x)=x^2\)
আমরা জানি,
\(fog(x)=f(g(x))=x^2\)
\(\Rightarrow f(g(x))=x^2\)
\(\Rightarrow 2g(x)+1=x^2\) ➜ \(\because f(x)=2x+1\)
\(\Rightarrow 2g(x)=x^2-1\)
\(\therefore g(x)=\frac{x^2-1}{2}\)
\(Q.4.(vii).(b)\)
\((a)\) হতে প্রাপ্ত।
\(g(x)=\frac{x^2-1}{2}\)
ধরি,
\((a, b)\in D_g\)
\(g(x)=\frac{x^2-1}{2} .......(1)\)
\((1)\) হতে,
\(g(a)=\frac{a^2-1}{2} ......(2)\)
\(g(b)=\frac{b^2-1}{2} ......(3)\)
এক-এক ফাংশনের জন্য \(g(a)=g(b)\)
\(\frac{a^2-1}{2}=\frac{b^2-1}{2}\) ➜ \((2), (3)\)-এর সাহায্যে ।
\(\Rightarrow a^2-1=b^2-1\)
\(\Rightarrow a^2=b^2\)
\(\therefore a=\pm b\)
\(\therefore f\) এক-এক ফাংশন নয়।
আবার,
ধরি,
\(g(x)=y=\frac{x^2-1}{2}\)
\(\Rightarrow y=\frac{x^2-1}{2}\)
\(\Rightarrow 2y=x^2-1\)
\(\Rightarrow x^2-1=2y\)
\(\Rightarrow x^2=2y+1\)
\(\Rightarrow x=\pm \sqrt{2y+1}\)
\(x\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(2y+1\ge 0\) হয়।
\(\Rightarrow 2y\ge -1\)
\(\therefore y\ge -\frac{1}{2}\)
\(\therefore g\)-এর রেঞ্জ \(R_{g}=\mathbb{R}-\{-\frac{1}{2}\}\ne\) কো-ডোমেন \(\mathbb{R}\)
\(\therefore g\) সার্বিক ফাংশন নয়।
\(Q.4.(vii).(c)\)
\((a)\) হতে প্রাপ্ত।
\(g(x)=\frac{x^2-1}{2}\)
ধরি,
\(y=\frac{x^2-1}{2} .......(1)\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
| \(x\) | \(-7\) | \(-5\) | \(-3\) | \(0\) | \(3\) | \(5\) |
| \(y=\frac{x^2-1}{2}\) | \(24\) | \(12\) | \(4\) | \(-\frac{1}{2}\) | \(4\) | \(12\) |
গ্রাফ কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে \(1\) একক ধরে।
\(y=\frac{x^2-1}{2}\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন কর হলো।
\(Q.4.(x)\) \(f(x)=e^x, g(x)=\sqrt{x}\) একটি দ্বিঘাত ফাংশন।
\((a)\) \(f(f(x))\) নির্ণয় কর।
\((b)\) ফাংশনটির ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(g(x)=x^2\)-এর স্কেচ থেকে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন কর।
উত্তরঃ \((a) f(f(x))=-x^4+6x^3-8x^2-3x+4\); \((b) D_f=\mathbb{R}, R_f=(-\infty, \frac{17}{4}]\).
\((a)\) \(f(f(x))\) নির্ণয় কর।
\((b)\) ফাংশনটির ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(g(x)=x^2\)-এর স্কেচ থেকে ফাংশনটির স্কেচ অঙ্কন কর।
উত্তরঃ \((a) f(f(x))=-x^4+6x^3-8x^2-3x+4\); \((b) D_f=\mathbb{R}, R_f=(-\infty, \frac{17}{4}]\).
সমাধানঃ
\(Q.4.(x).(a)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=-x^2+3x+2\)
প্রদত্ত রাশি \(=f(f(x))\)
\(=-(f(x))^2+3f(x)+2\) ➜ \(\because f(x)=-x^2+3x+2\)
\(=-(-x^2+3x+2)^2+3(-x^2+3x+2)+2\) ➜ \(\because f(x)=-x^2+3x+2\)
\(=-(x^4+9x^2+4-6x^3+12x-4x^2)-3x^2+9x+6+2\)
\(=-x^4-9x^2-4+6x^3-12x+4x^2-3x^2+9x+6+2\)
\(=-x^4+6x^3-8x^2-3x+4\)
\(Q.4.(x).(b)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=-x^2+3x+2\)
\(x\)-এর সকল বাস্তব মানের জন্য \(f(x)\) সংজ্ঞায়িত।
\(\therefore f\)-এর ডোমেন \(D_{f}=\mathbb{R}\)
আবার,
ধরি,
\(f(x)=y=-x^2+3x+2\)
\(\Rightarrow -y=x^2-3x-2\)
\(\Rightarrow x^2-3x-2=-y\)
\(\Rightarrow x^2-3x+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}-2=-y\)
\(\Rightarrow \left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}-2=-y\)
\(\Rightarrow \left(x-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}+2-y\)
\(\Rightarrow \left(x-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9+8-4y}{4}\)
\(\Rightarrow \left(x-\frac{3}{2}\right))^2=\frac{17-4y}{4}\)
\(\Rightarrow x-\frac{3}{2}=\pm \frac{1}{2}\sqrt{17-4y}\)
\(\therefore x=\frac{3}{2}\pm \frac{1}{2}\sqrt{17-4y}\)
\(x\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(17-4y\ge 0\) হয়।
\(\Rightarrow 17-4y\ge 0\)
\(\Rightarrow 4y-17\le 0\)
\(\Rightarrow 4y\le 17\)
\(\Rightarrow y\le \frac{17}{4}\)
\(\therefore f\)-এর রেঞ্জ \(R_{f}=(-\infty, \frac{17}{4}]\)
\(Q.4.(x).(c)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=-x^2+3x+2\)
এবং \(g(x)=x^2\)
ধরি,
\(f(x)=y=-x^2+3x+2\)
\(\Rightarrow y=-(x^2-3x)+2\)
\(\Rightarrow y=-\left(x^2-3x+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}\right)+2\)
\(\Rightarrow y=-\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{9}{4}+2\)
\(\Rightarrow y=-\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{9+8}{4}\)
\(\Rightarrow y=-\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{17}{4}\)
\(\therefore y-\frac{17}{4}=-\left(x-\frac{3}{2}\right)^2 .......(1)\)
আবার,
\(g(x)=y=x^2\)
\(\therefore y=x^2 .........(2)\)
\(\therefore y=x^2\) ফাংশনে \(x=0\) হলে, \(y=0\) হয়। অর্থাৎ ফাংশনটি \((0, 0)\) বিন্দুতে প্রতিসম।
\((1)\) ও \((2)\) তুলুনা করে পাই।
\(x=\frac{3}{2}\) \(y=\frac{17}{4}\)
অর্থাৎ \(f(x)\) ফাংশনটি \(\left(\frac{3}{2}, \frac{17}{4}\right)\) বিন্দুতে প্রতিসম।
পার্শে লেখচিত্র অঙ্গকন করা হলো।
দেওয়া আছে,
\(f(x)=-x^2+3x+2\)
প্রদত্ত রাশি \(=f(f(x))\)
\(=-(f(x))^2+3f(x)+2\) ➜ \(\because f(x)=-x^2+3x+2\)
\(=-(-x^2+3x+2)^2+3(-x^2+3x+2)+2\) ➜ \(\because f(x)=-x^2+3x+2\)
\(=-(x^4+9x^2+4-6x^3+12x-4x^2)-3x^2+9x+6+2\)
\(=-x^4-9x^2-4+6x^3-12x+4x^2-3x^2+9x+6+2\)
\(=-x^4+6x^3-8x^2-3x+4\)
\(Q.4.(x).(b)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=-x^2+3x+2\)
\(x\)-এর সকল বাস্তব মানের জন্য \(f(x)\) সংজ্ঞায়িত।
\(\therefore f\)-এর ডোমেন \(D_{f}=\mathbb{R}\)
আবার,
ধরি,
\(f(x)=y=-x^2+3x+2\)
\(\Rightarrow -y=x^2-3x-2\)
\(\Rightarrow x^2-3x-2=-y\)
\(\Rightarrow x^2-3x+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}-2=-y\)
\(\Rightarrow \left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}-2=-y\)
\(\Rightarrow \left(x-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}+2-y\)
\(\Rightarrow \left(x-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9+8-4y}{4}\)
\(\Rightarrow \left(x-\frac{3}{2}\right))^2=\frac{17-4y}{4}\)
\(\Rightarrow x-\frac{3}{2}=\pm \frac{1}{2}\sqrt{17-4y}\)
\(\therefore x=\frac{3}{2}\pm \frac{1}{2}\sqrt{17-4y}\)
\(x\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(17-4y\ge 0\) হয়।
\(\Rightarrow 17-4y\ge 0\)
\(\Rightarrow 4y-17\le 0\)
\(\Rightarrow 4y\le 17\)
\(\Rightarrow y\le \frac{17}{4}\)
\(\therefore f\)-এর রেঞ্জ \(R_{f}=(-\infty, \frac{17}{4}]\)
\(Q.4.(x).(c)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=-x^2+3x+2\)
এবং \(g(x)=x^2\)
ধরি,
\(f(x)=y=-x^2+3x+2\)
\(\Rightarrow y=-(x^2-3x)+2\)
\(\Rightarrow y=-\left(x^2-3x+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}\right)+2\)
\(\Rightarrow y=-\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{9}{4}+2\)
\(\Rightarrow y=-\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{9+8}{4}\)
\(\Rightarrow y=-\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{17}{4}\)
\(\therefore y-\frac{17}{4}=-\left(x-\frac{3}{2}\right)^2 .......(1)\)
আবার,
\(g(x)=y=x^2\)
\(\therefore y=x^2 .........(2)\)
\(\therefore y=x^2\) ফাংশনে \(x=0\) হলে, \(y=0\) হয়। অর্থাৎ ফাংশনটি \((0, 0)\) বিন্দুতে প্রতিসম।
\((1)\) ও \((2)\) তুলুনা করে পাই।
\(x=\frac{3}{2}\) \(y=\frac{17}{4}\)
অর্থাৎ \(f(x)\) ফাংশনটি \(\left(\frac{3}{2}, \frac{17}{4}\right)\) বিন্দুতে প্রতিসম।
পার্শে লেখচিত্র অঙ্গকন করা হলো।
\(Q.4.(xi)\) \(f(x)=4-x^2\) এবং \(g(x)=2|x|+3\) দ্বারা দুইটি ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা হলো।
\((a)\) \(g(x)\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(gof(x)\) ও \(fog(x)\) নির্ণয় কর এবং এর জন্য দেখাও যে, \(gof\ne fog\)
\((c)\) \(f(x)\)-এর স্কেচ অঙ্কন করে তা থেকে \(f(x+2)\)-এর স্কেচ দেখাও।
উত্তরঃ \((a) R_g=[0, \infty]\); \((b) gof(x)= 2|4-x^2|+3, fog(x)=-4x^2-12|x|-5\).
\((a)\) \(g(x)\)-এর রেঞ্জ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(gof(x)\) ও \(fog(x)\) নির্ণয় কর এবং এর জন্য দেখাও যে, \(gof\ne fog\)
\((c)\) \(f(x)\)-এর স্কেচ অঙ্কন করে তা থেকে \(f(x+2)\)-এর স্কেচ দেখাও।
উত্তরঃ \((a) R_g=[0, \infty]\); \((b) gof(x)= 2|4-x^2|+3, fog(x)=-4x^2-12|x|-5\).
সমাধানঃ
\(Q.4.(xi).(a)\)
দেওয়া আছে,
\(g(x)=2|x|+3\)
\(x\)-এর সকল বাস্তব মানের জন্য \(\) সংজ্ঞায়িত।
অর্থাৎ \(x\)-এর সকল বাস্তব মানের \(g(x)\ge 3\) হবে।
\(\therefore g\)-এর রেঞ্জ \(R_{g}=[3, \infty)\)
\(Q.4.(xi).(b)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=4-x^2\)
এবং \(g(x)=2|x|+3\)
আমরা জানি,
\(gof(x)=g(f(x))\)
\(=2|f(x)|+3\) ➜ \(\because g(x)=2|x|+3\)
\(=2|4-x^2|+3\) ➜ \(\because f(x)=4-x^2\)
\(\therefore gof(x)=2|4-x^2|+3 .....(1)\)
আবার,
\(fog(x)=f(g(x))\)
\(=4-(g(x))^2\) ➜ \(\because f(x)=4-x^2\)
\(=4-(2|x|+3)^2\) ➜ \(\because g(x)=2|x|+3\)
\(=4-4|x|^2-12|x|-9\)
\(\therefore fog(x)=-4x^2-12|x|-5 .......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(gof\ne fog\)
(showed)
\(Q.4.(xi).(c)\)
ধরি,
\(f(x)=y=4-x^2\)
\(\therefore y=4-x^2\)
\(x=0\) হলে, \(y=4\) হয়।
\(\therefore f(x)\) ফাংশনটি \((0, 4)\) বিন্দুতে প্রতিসম।
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
দেওয়া আছে,
\(g(x)=2|x|+3\)
\(x\)-এর সকল বাস্তব মানের জন্য \(\) সংজ্ঞায়িত।
অর্থাৎ \(x\)-এর সকল বাস্তব মানের \(g(x)\ge 3\) হবে।
\(\therefore g\)-এর রেঞ্জ \(R_{g}=[3, \infty)\)
\(Q.4.(xi).(b)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=4-x^2\)
এবং \(g(x)=2|x|+3\)
আমরা জানি,
\(gof(x)=g(f(x))\)
\(=2|f(x)|+3\) ➜ \(\because g(x)=2|x|+3\)
\(=2|4-x^2|+3\) ➜ \(\because f(x)=4-x^2\)
\(\therefore gof(x)=2|4-x^2|+3 .....(1)\)
আবার,
\(fog(x)=f(g(x))\)
\(=4-(g(x))^2\) ➜ \(\because f(x)=4-x^2\)
\(=4-(2|x|+3)^2\) ➜ \(\because g(x)=2|x|+3\)
\(=4-4|x|^2-12|x|-9\)
\(\therefore fog(x)=-4x^2-12|x|-5 .......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(gof\ne fog\)
(showed)
\(Q.4.(xi).(c)\)
ধরি,
\(f(x)=y=4-x^2\)
\(\therefore y=4-x^2\)
\(x=0\) হলে, \(y=4\) হয়।
\(\therefore f(x)\) ফাংশনটি \((0, 4)\) বিন্দুতে প্রতিসম।
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(-1\) | \(-2\) |
| \(y=4-x^2\) | \(4\) | \(3\) | \(0\) | \(3\) | \(0\) |
গ্রাফ কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে \(1\) একক ধরে।
\(y=4-x^2\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন কর হলো।
আবার,
\(f(x+2)=y=4-(x+2)^2\)
ধরি,
\(X=x+2\)
\(\therefore y=4-X^2 .........(1)\)
\(X=0\) হলে, \(y=4\) হয়।
\(\Rightarrow x+2=0\)
\(\therefore x=-2\)
\(\therefore f(x+2)\) ফাংশনটি \((-2, 4)\) বিন্দুতে প্রতিসম।
অর্থাৎ \(f(x)\)-এর লেখচিত্রের প্রতিসম বিন্দু \((0, 4)\) কে বামপাশে \(2\) একক সরালেই \((-2, 4)\) বিন্দুতে প্রতিসম \(f(x+2)\)-এর লেখচিত্র পাওয়া যায়।
\(Q.4.(xii)\) \(f(x)=x^2+1\) একটি ফাংশন।
\((a)\) \(f(x)\) এক-এক ফাংশন কিনা ব্যাখ্যা কর।
\((b)\) \(f(x)\)-এর ডোমেনসহ রেঞ্জ নির্ণয় কর। ফাংশনটি সার্বিক কিনা যাচাই কর।
\((c)\) \(f(x)\)-এর লেখচিত্র অঙ্কন করে এর বৈশিষ্ট উল্লেখ কর।
উত্তরঃ \((a)\) এক-এক নয়; \((b) D_f=\mathbb{R}, R_f=[1, \infty)\) সার্বিক নয়।
\((a)\) \(f(x)\) এক-এক ফাংশন কিনা ব্যাখ্যা কর।
\((b)\) \(f(x)\)-এর ডোমেনসহ রেঞ্জ নির্ণয় কর। ফাংশনটি সার্বিক কিনা যাচাই কর।
\((c)\) \(f(x)\)-এর লেখচিত্র অঙ্কন করে এর বৈশিষ্ট উল্লেখ কর।
উত্তরঃ \((a)\) এক-এক নয়; \((b) D_f=\mathbb{R}, R_f=[1, \infty)\) সার্বিক নয়।
সমাধানঃ
\(Q.4.(xii).(a)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=x^2+1\)
\(x\)-এর সকল বাস্তব মানের জন্য \(f(x)\)সংজ্ঞায়িত ।
\(\therefore f(x)\)-এর ডোমেন \(D_{f}=\mathbb{R}\)
আবার,
ধরি,
\((a, b)\in D_f\)
\(f(x)=x^2+1 .......(1)\)
\((1)\) হতে,
\(f(a)=a^2+1......(2)\)
\(f(b)=b^2+1 ......(3)\)
এক-এক ফাংশনের জন্য \(f(a)=f(b)\)
\(a^2+1=b^2+1\) ➜ \((2), (3)\)-এর সাহায্যে ।
\(\Rightarrow a^2=b^2 \)
\(\therefore a=\pm b\)
\(\therefore f\) এক-এক ফাংশন নয়।
\(Q.4.(xii).(b)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=x^2+1\)
ধরি,
\(f(x)=y=x^2+1\)
\(\Rightarrow y=x^2+1\)
\(\Rightarrow x^2+1=y\)
\(\Rightarrow x^2=y-1\)
\(\therefore x=\pm \sqrt{y-1}\)
এখন,
\(x\)সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(y-1\ge 0\) হয়।
\(\therefore y\ge 1\)
\(\therefore f(x)\)-এর রেঞ্জ \(R_{f}=[1, \infty)\)
আবার,
\(\because f(x)\)-এর রেঞ্জ \(R_{f}=[1, \infty)\ne \) কো-ডোমেন \(\mathbb{R}\)
\(\therefore f(x)\)সার্বিক ফাংশন নয়।
\(Q.4.(xii).(c)\)
ধরি,
\(f(x)=y=x^2+1\)
\(\therefore y=x^2+1\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
দেওয়া আছে,
\(f(x)=x^2+1\)
\(x\)-এর সকল বাস্তব মানের জন্য \(f(x)\)সংজ্ঞায়িত ।
\(\therefore f(x)\)-এর ডোমেন \(D_{f}=\mathbb{R}\)
আবার,
ধরি,
\((a, b)\in D_f\)
\(f(x)=x^2+1 .......(1)\)
\((1)\) হতে,
\(f(a)=a^2+1......(2)\)
\(f(b)=b^2+1 ......(3)\)
এক-এক ফাংশনের জন্য \(f(a)=f(b)\)
\(a^2+1=b^2+1\) ➜ \((2), (3)\)-এর সাহায্যে ।
\(\Rightarrow a^2=b^2 \)
\(\therefore a=\pm b\)
\(\therefore f\) এক-এক ফাংশন নয়।
\(Q.4.(xii).(b)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=x^2+1\)
ধরি,
\(f(x)=y=x^2+1\)
\(\Rightarrow y=x^2+1\)
\(\Rightarrow x^2+1=y\)
\(\Rightarrow x^2=y-1\)
\(\therefore x=\pm \sqrt{y-1}\)
এখন,
\(x\)সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(y-1\ge 0\) হয়।
\(\therefore y\ge 1\)
\(\therefore f(x)\)-এর রেঞ্জ \(R_{f}=[1, \infty)\)
আবার,
\(\because f(x)\)-এর রেঞ্জ \(R_{f}=[1, \infty)\ne \) কো-ডোমেন \(\mathbb{R}\)
\(\therefore f(x)\)সার্বিক ফাংশন নয়।
\(Q.4.(xii).(c)\)
ধরি,
\(f(x)=y=x^2+1\)
\(\therefore y=x^2+1\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
| \(y=x^2+1\) | \(5\) | \(2\) | \(1\) | \(2\) | \(5\) |
গ্রাফ কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে \(1\) একক ধরে।
\(y=x^2+1\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন কর হলো।
বৈশিষ্টঃ
\((1)\) \(y\) অক্ষকে \((0, 1)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((2)\) ফাংশনটি \((0, 1)\) বিন্দুতে প্রতিসম।
\((3)\) ফাংশনটি \(x\) অক্ষকে ছেদ করে না।
\(Q.4.(xiii)\) \(f(x)=e^{\frac{x}{2}}, g(x)=\frac{3x+1}{2x-1}\).
\((a)\) \(\sin 6x\) পর্যায়বৃত্ত ফাংশন হলে, তার পর্যায় নির্ণয় কর।
\((b)\) \(g(x)\)-এর ডোমেন, রেঞ্জ নির্ণয় করে দেখাও যে, উহা এক-এক ফাংশন।
\((c)\) \(f(x)\)-এর লেখচিত্র অঙ্কন করে অক্ষের ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{\pi}{3}\); \((b) D_g=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}, R_g=\mathbb{R}-\{\frac{3}{2}\}\);
\((c) y\) অক্ষকে \((0, 1)\) বিন্দুতে এবং ঋনাত্মক \(x\) অক্ষকে অসীমে ছেদ করে।
\((a)\) \(\sin 6x\) পর্যায়বৃত্ত ফাংশন হলে, তার পর্যায় নির্ণয় কর।
\((b)\) \(g(x)\)-এর ডোমেন, রেঞ্জ নির্ণয় করে দেখাও যে, উহা এক-এক ফাংশন।
\((c)\) \(f(x)\)-এর লেখচিত্র অঙ্কন করে অক্ষের ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{\pi}{3}\); \((b) D_g=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}, R_g=\mathbb{R}-\{\frac{3}{2}\}\);
\((c) y\) অক্ষকে \((0, 1)\) বিন্দুতে এবং ঋনাত্মক \(x\) অক্ষকে অসীমে ছেদ করে।
সমাধানঃ
\(Q.4.(xiii).(a)\)
দেওয়া আছে,
\(\sin 6x\)
ধরি,
\(f(x)=\sin 6x ........(1)\)
\((1)\) হতে,
\(f(x+\frac{\pi}{3})=\sin \{6\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\} \)
\(=\sin \{6x+2\pi\} \)
\(=\sin \{2\pi+6x\} \)
\(=\sin 6x \) ➜ যা প্রথম চৌকোণে অবস্থিত।
\(=f(x) \)
\(\therefore f(x)=f(x+\frac{\pi}{3})\)
\(\therefore f(x)\)-এর পর্যায় \(\frac{\pi}{3}\)
\(Q.4.(xiii).(b)\)
দেওয়া আছে,
\(g(x)=\frac{3x+1}{2x-1}\)
এখন,
\(g(x)\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(2x-1\ne 0\) হয়।
\(\Rightarrow 2x\ne 1\)
\(\therefore x\ne \frac{1}{2}\)
\(\therefore g(x)\)-এর ডোমেন \(D_{g}=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}\)
আবার,
ধরি,
\(y=\frac{3x+1}{2x-1}\)
\(\Rightarrow 2xy-y=3x+1\)
\(\Rightarrow 2xy-3x=y+1\)
\(\Rightarrow x(2y-3)=y+1\)
\(\therefore x=\frac{y+1}{2y-3}\)
এখন,
\(x\)সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(2y-3\ne 0\) হয়।
\(\therefore 2y\ne 3\)
\(\therefore y\ne \frac{3}{2}\)
\(\therefore g(x)\)-এর রেঞ্জ \(R_{g}=\mathbb{R}-\{\frac{3}{2}\}\)
আবার,
ধরি,
\((a, b)\in D_f\)
\(g(x)=\frac{3x+1}{2x-1}.......(1)\)
\((1)\) হতে,
\(g(a)=\frac{3a+1}{2a-1}......(2)\)
\(g(b)=\frac{3b+1}{2b-1} ......(3)\)
এক-এক ফাংশনের জন্য \(g(a)=g(b)\)
\(\frac{3a+1}{2a-1}=\frac{3b+1}{2b-1}\) ➜ \((2), (3)\)-এর সাহায্যে ।
\(\Rightarrow 6ab-3a+2b-1=6ab+2a-3b-1 \)
\(\Rightarrow -3a+2b=2a-3b\)
\(\Rightarrow -3a-2a=-2b-3b\)
\(\Rightarrow -5a=-5b\)
\(\therefore a=b\)
\(\therefore g\) একটি এক-এক ফাংশন।
\(Q.4.(xiii).(c)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=e^{\frac{x}{2}}\)
\(\therefore y=e^{\frac{x}{2}}\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
দেওয়া আছে,
\(\sin 6x\)
ধরি,
\(f(x)=\sin 6x ........(1)\)
\((1)\) হতে,
\(f(x+\frac{\pi}{3})=\sin \{6\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\} \)
\(=\sin \{6x+2\pi\} \)
\(=\sin \{2\pi+6x\} \)
\(=\sin 6x \) ➜ যা প্রথম চৌকোণে অবস্থিত।
\(=f(x) \)
\(\therefore f(x)=f(x+\frac{\pi}{3})\)
\(\therefore f(x)\)-এর পর্যায় \(\frac{\pi}{3}\)
\(Q.4.(xiii).(b)\)
দেওয়া আছে,
\(g(x)=\frac{3x+1}{2x-1}\)
এখন,
\(g(x)\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(2x-1\ne 0\) হয়।
\(\Rightarrow 2x\ne 1\)
\(\therefore x\ne \frac{1}{2}\)
\(\therefore g(x)\)-এর ডোমেন \(D_{g}=\mathbb{R}-\{\frac{1}{2}\}\)
আবার,
ধরি,
\(y=\frac{3x+1}{2x-1}\)
\(\Rightarrow 2xy-y=3x+1\)
\(\Rightarrow 2xy-3x=y+1\)
\(\Rightarrow x(2y-3)=y+1\)
\(\therefore x=\frac{y+1}{2y-3}\)
এখন,
\(x\)সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(2y-3\ne 0\) হয়।
\(\therefore 2y\ne 3\)
\(\therefore y\ne \frac{3}{2}\)
\(\therefore g(x)\)-এর রেঞ্জ \(R_{g}=\mathbb{R}-\{\frac{3}{2}\}\)
আবার,
ধরি,
\((a, b)\in D_f\)
\(g(x)=\frac{3x+1}{2x-1}.......(1)\)
\((1)\) হতে,
\(g(a)=\frac{3a+1}{2a-1}......(2)\)
\(g(b)=\frac{3b+1}{2b-1} ......(3)\)
এক-এক ফাংশনের জন্য \(g(a)=g(b)\)
\(\frac{3a+1}{2a-1}=\frac{3b+1}{2b-1}\) ➜ \((2), (3)\)-এর সাহায্যে ।
\(\Rightarrow 6ab-3a+2b-1=6ab+2a-3b-1 \)
\(\Rightarrow -3a+2b=2a-3b\)
\(\Rightarrow -3a-2a=-2b-3b\)
\(\Rightarrow -5a=-5b\)
\(\therefore a=b\)
\(\therefore g\) একটি এক-এক ফাংশন।
\(Q.4.(xiii).(c)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=e^{\frac{x}{2}}\)
\(\therefore y=e^{\frac{x}{2}}\)
\(x\)-এর ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব মানের জন্য \(y\)-এর প্রতিসঙ্গী মাণগুলি নির্ণয় করে নিচের ছকটি তৈরী করি।
| \(x\) | \(0\) | \(2\) | \(-2\) | \(1\) | \(-1\) |
| \(y=e^{\frac{x}{2}}\) | \(1\) | \(2.71\) | \(0.37\) | \(1.65\) | \(0.6\) |
গ্রাফ কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে \(1\) একক ধরে।
\(y=e^{\frac{x}{2}}\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন কর হলো।
অক্ষের ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয়ঃ
\(y\) অক্ষকে \((0, 1)\) বিন্দুতে এবং ঋনাত্মক \(x\) অক্ষকে অসীমে ছেদ করে।
\(Q.4.(xxv)\) ঝড়ে \(h\) উচ্চতায় একটি সুপারি গাছ শীর্ষ হতে \(10\) মিটার নিচে এমনভাবে ভাঙল যেন ভাঙ্গা অংশ দণ্ডায়মান অংশের সাথে \(\theta\) এবং ভূমির সাথে \(2\theta\) কোণ উৎপন্ন করল। উচ্চতা \(h\) কে \(\theta\)-এর ফাংশন রূপে প্রকাশ করলে \(h(\theta)=10+10\sin 2\theta\) হবে।
\((a)\) \(\theta=\frac{\pi}{6}\) হলে, \(h\) নির্ণয় কর।
\((b)\) ফাংশনটির ডোমেন ও রেঞ্জ বের কর।
\((c)\) ফাংশনটির লেখ এঁকে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনটির পর্যায় নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) 18.66\) মিটার। \((b)D_{h}=\mathbb{R}, R_{h}=[0, 20]\); \((c) \pi\)
\((a)\) \(\theta=\frac{\pi}{6}\) হলে, \(h\) নির্ণয় কর।
\((b)\) ফাংশনটির ডোমেন ও রেঞ্জ বের কর।
\((c)\) ফাংশনটির লেখ এঁকে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনটির পর্যায় নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) 18.66\) মিটার। \((b)D_{h}=\mathbb{R}, R_{h}=[0, 20]\); \((c) \pi\)
সমাধানঃ
\(Q.4.(xxv).(a)\)
দেওয়া আছে,
\(h(\theta)=10+10\sin 2\theta\)
এবং \(\theta=\frac{\pi}{6}\)
\(\therefore h(\frac{\pi}{6})=10+10\sin \left(2\times \frac{\pi}{6}\right)\)
\(=10+10\sin \frac{\pi}{3}\)
\(=10+10\times \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=10+5\sqrt{3}\)
\(=10+8.66\)
\(=18.66\) মিটার।
\(Q.4.(xxv).(b)\)
দেওয়া আছে,
\(h(\theta)=10+10\sin 2\theta\)
ধরি,
\(\theta\)-এর সকল বাস্তব মানের জন্য \(h(\theta)\) সংজ্ঞায়িত।
\(\therefore h(\theta)\)-এর ডোমেন \(D_{h}=\mathbb{R}\)
আবার,
আমরা জানি,
\(\sin \theta\)-এর সর্বোচ্চ ও সর্ব নিম্ন মাণ যথাক্রমে \(1\) ও \(-1\)
ফলে, \(h\)-এর সর্বোচ্চ ও সর্ব নিম্ন মাণ যথাক্রমে \(20\) ও \(0\) হবে।
\(\therefore h(\theta)\)-এর রেঞ্জ \(R_{h}=[0, 20]\)
\(Q.4.(xxv).(c)\)
দেওয়া আছে,
\(h(\theta)=10+10\sin 2\theta\)
ফাংশনটির লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন করা হলো।
আমরা জানি,
\(\sin x\)-এর মৌলিক পর্যায় \(2\pi\)
\(\therefore \) ত্রিকোণমিতিক ফাংশনটির \((\sin 2\theta)\) পর্যায় হবে \(=\frac{2\pi}{2}\)।
\(=\pi\)
দেওয়া আছে,
\(h(\theta)=10+10\sin 2\theta\)
এবং \(\theta=\frac{\pi}{6}\)
\(\therefore h(\frac{\pi}{6})=10+10\sin \left(2\times \frac{\pi}{6}\right)\)
\(=10+10\sin \frac{\pi}{3}\)
\(=10+10\times \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=10+5\sqrt{3}\)
\(=10+8.66\)
\(=18.66\) মিটার।
\(Q.4.(xxv).(b)\)
দেওয়া আছে,
\(h(\theta)=10+10\sin 2\theta\)
ধরি,
\(\theta\)-এর সকল বাস্তব মানের জন্য \(h(\theta)\) সংজ্ঞায়িত।
\(\therefore h(\theta)\)-এর ডোমেন \(D_{h}=\mathbb{R}\)
আবার,
আমরা জানি,
\(\sin \theta\)-এর সর্বোচ্চ ও সর্ব নিম্ন মাণ যথাক্রমে \(1\) ও \(-1\)
ফলে, \(h\)-এর সর্বোচ্চ ও সর্ব নিম্ন মাণ যথাক্রমে \(20\) ও \(0\) হবে।
\(\therefore h(\theta)\)-এর রেঞ্জ \(R_{h}=[0, 20]\)
\(Q.4.(xxv).(c)\)
দেওয়া আছে,
\(h(\theta)=10+10\sin 2\theta\)
ফাংশনটির লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন করা হলো।
আমরা জানি,
\(\sin x\)-এর মৌলিক পর্যায় \(2\pi\)
\(\therefore \) ত্রিকোণমিতিক ফাংশনটির \((\sin 2\theta)\) পর্যায় হবে \(=\frac{2\pi}{2}\)।
\(=\pi\)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000013