সীমা বা লিমিট
barcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয়গুলি আলোচনা করব।
  • সীমা বা লিমিটের ধারণা।
  • সীমা বা লিমিটের সংজ্ঞা।
  • লিমিটের সাহায্যে ঢালের ধারণা।
  • লেখ চিত্রের সাহায্যে ফাংশনের সীমা।
  • একদিকবর্তী লিমিটের ধারণা।
  • কতিপয় বিশেষ সীমার বর্ণনা।
  • অসীম লিমিটের ধারণা।
  • সীমার ধর্মাবলী ও ব্যখ্যা।
  • সীমার সাহায্যে ফাংশনের বিচ্ছিন্নতা ও অবিচ্ছিন্নতা আলোচনা।
সীমা
Limmit
আমরা প্রায়শই বলে থাকি সীমা (limit) ফাংশনের লিমিটঃ চলমান রাশি \(x\)-এর মান উভয় দিক হতে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা \(a\)-এর দিকে অগ্রসর হয়ে \(a\)-এর সন্নিকটবর্তী হওয়ায় যদি ফাংশন \(f(x)\), একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা \(l\)-এর যথেচ্ছ সন্নিকটবর্তী হয়, তাহলে \(l\) কে \(f(x)\) ফাংশনের সীমাস্থ মাণ বা সীমা বলা হয়। একে \[\lim_{x \rightarrow a}f(x)=l\] দ্বারা প্রকাশ করা হয়। অতিক্রম কর না, ফাজলামোর একটা সীমা (limit) আছে। এখানে ফাংশনের সীমা (limit) ফাংশনের লিমিটঃ চলমান রাশি \(x\)-এর মান উভয় দিক হতে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা \(a\)-এর দিকে অগ্রসর হয়ে \(a\)-এর সন্নিকটবর্তী হওয়ায় যদি ফাংশন \(f(x)\), একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা \(l\)-এর যথেচ্ছ সন্নিকটবর্তী হয়, তাহলে \(l\) কে \(f(x)\) ফাংশনের সীমাস্থ মাণ বা সীমা বলা হয়। একে \[\lim_{x \rightarrow a}f(x)=l\] দ্বারা প্রকাশ করা হয়। সম্পর্কে বলা হচ্ছে অর্থাৎ ফাংশনেরও সীমা (limit) ফাংশনের লিমিটঃ চলমান রাশি \(x\)-এর মান উভয় দিক হতে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা \(a\)-এর দিকে অগ্রসর হয়ে \(a\)-এর সন্নিকটবর্তী হওয়ায় যদি ফাংশন \(f(x)\), একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা \(l\)-এর যথেচ্ছ সন্নিকটবর্তী হয়, তাহলে \(l\) কে \(f(x)\) ফাংশনের সীমাস্থ মাণ বা সীমা বলা হয়। একে \[\lim_{x \rightarrow a}f(x)=l\] দ্বারা প্রকাশ করা হয়। আছে। একটি ফাংশনে দুই বা ততোধীক চলক ব্যবহৃত হয়। উচ্চমাধ্যমিক গণিতে দুই চলক বিশিষ্ট ফাংশন আলোচনা করা হয়েছে। এই দুইটি চলকের একটি স্বাধীন চলক এবং অপরটি অধীন। \(y=f(x)\) ফাংশনে \(x\) স্বাধীন চলক এবং \(y\) অধীন। চলকেরও সীমা (limit) চলকের লিমিটঃ যদি \(x\) চলকের মাণ একটি ধ্রূবক \(a\) অপেক্ষা উভয় দিক হতে অর্থাৎ ছোট অথবা বড় হয়ে ক্রমশ \(a\)-এর দিকে অগ্রসর হয়ে এত নিকটবর্তী হয় যে, \(x\) ও \(a\)-এর পার্থক্য অর্থাৎ \(|x-a|\) যে কোনো ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা \(\delta\) হতে ক্ষুদ্রতর অর্থাৎ \(\delta>|x-a|\) হয়, তবে \(a\) কে \(x\)-এর লিমিট বা সীমা বলা হয় এবং \(x\)-এর মাণ কে \(x\rightarrow a\) প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। আছে। স্বাধীন চলক \(x\)-এর সীমা (limit) চলকের লিমিটঃ যদি \(x\) চলকের মাণ একটি ধ্রূবক \(a\) অপেক্ষা উভয় দিক হতে অর্থাৎ ছোট অথবা বড় হয়ে ক্রমশ \(a\)-এর দিকে অগ্রসর হয়ে এত নিকটবর্তী হয় যে, \(x\) ও \(a\)-এর পার্থক্য অর্থাৎ \(|x-a|\) যে কোনো ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা \(\delta\) হতে ক্ষুদ্রতর অর্থাৎ \(\delta>|x-a|\) হয়, তবে \(a\) কে \(x\)-এর লিমিট বা সীমা বলা হয় এবং \(x\)-এর মাণ কে \(x\rightarrow a\) প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। \(x\rightarrow a\) এবং অধীন চলক \(y\)-এর সীমা (limit) \(y\rightarrow b\)। তেমনিভাবে স্বাধীন চলকের সীমার (limit) সাপেক্ষে \(f(x)\)-এর সীমা (limit) ফাংশনের লিমিটঃ চলমান রাশি \(x\)-এর মান উভয় দিক হতে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা \(a\)-এর দিকে অগ্রসর হয়ে \(a\)-এর সন্নিকটবর্তী হওয়ায় যদি ফাংশন \(f(x)\), একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা \(l\)-এর যথেচ্ছ সন্নিকটবর্তী হয়, তাহলে \(l\) কে \(f(x)\) ফাংশনের সীমাস্থ মাণ বা সীমা বলা হয়। একে \[\lim_{x \rightarrow a}f(x)=l\] দ্বারা প্রকাশ করা হয়। \[\lim_{x \rightarrow a}f(x)=l\] দ্বারা প্রকাশ করা হয়। কোনো ফাংশনের মূল নিয়মে অন্তরজ নির্ণয় করতে সীমার (limit) ভুমিকা অপরিহার্য। একটি ফাংশনের বিচ্ছিন্নতা ও অবিচ্ছিন্নতা দেখাতে সীমা (limit) ফাংশনের লিমিটঃ চলমান রাশি \(x\)-এর মান উভয় দিক হতে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা \(a\)-এর দিকে অগ্রসর হয়ে \(a\)-এর সন্নিকটবর্তী হওয়ায় যদি ফাংশন \(f(x)\), একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা \(l\)-এর যথেচ্ছ সন্নিকটবর্তী হয়, তাহলে \(l\) কে \(f(x)\) ফাংশনের সীমাস্থ মাণ বা সীমা বলা হয়। একে \[\lim_{x \rightarrow a}f(x)=l\] দ্বারা প্রকাশ করা হয়। ব্যবহার করা হয়। গণিত বিশ্লেষণে লিমিট বা সীমা (limit) ফাংশনের লিমিটঃ চলমান রাশি \(x\)-এর মান উভয় দিক হতে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা \(a\)-এর দিকে অগ্রসর হয়ে \(a\)-এর সন্নিকটবর্তী হওয়ায় যদি ফাংশন \(f(x)\), একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা \(l\)-এর যথেচ্ছ সন্নিকটবর্তী হয়, তাহলে \(l\) কে \(f(x)\) ফাংশনের সীমাস্থ মাণ বা সীমা বলা হয়। একে \[\lim_{x \rightarrow a}f(x)=l\] দ্বারা প্রকাশ করা হয়। একটি মৌলিক ধারণা। বিশেষ করে কোনো ফাংশনের অন্তরকলন বিদ্যার ভিত্তি হচ্ছে লিমিট বা সীমা (limit) ফাংশনের লিমিটঃ চলমান রাশি \(x\)-এর মান উভয় দিক হতে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা \(a\)-এর দিকে অগ্রসর হয়ে \(a\)-এর সন্নিকটবর্তী হওয়ায় যদি ফাংশন \(f(x)\), একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা \(l\)-এর যথেচ্ছ সন্নিকটবর্তী হয়, তাহলে \(l\) কে \(f(x)\) ফাংশনের সীমাস্থ মাণ বা সীমা বলা হয়। একে \[\lim_{x \rightarrow a}f(x)=l\] দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
প্রয়োজনীয় এবং স্মরণীয় সংজ্ঞা ও ব্যাখ্যাসমূহ।
\(1.\) চলক (Variable )।
চলকঃ অজ্ঞ্যাত কোনো সংখ্যা বা বস্তুকে কোনো প্রতীকের মাধ্যমে প্রকাশ করা হলে ঐ প্রতীককে চলক ( Variable ) বলা হয়।
যেমনঃ \(x, y, z, u, v, w\}\) ইত্যাদি অক্ষরগুলিকে চলকের প্রতীক হিসাবে ব্যবহার করা হয়।
\(2.\) ধ্রূবক (Constant )।
ধ্রূবকঃ যে প্রতীক কোনো গাণিতিক প্রক্রিয়ায় একই মানে অবস্থান করে অর্থাৎ এর মানে কোনো পরিবর্তন হয় না তাকে ধ্রূবক (Constant) বলে।
যেমনঃ \(1, 2, 3, 4, \pi\}\) ইত্যাদি অক্ষরগুলিকে ধ্রূবক হিসাবে ব্যবহার করা হয়। \(a, b, c, d ..... \alpha, \beta, \gamma\) ইত্যাদি প্রতীকসমূহ দ্বারা সাধারণত ইচ্ছামূলক ধ্রূবক প্রকাশ করা হয়।
\(3.\) চলকের লিমিট (Limit of Variable )।
চলকের লিমিটঃ যদি \(x\) চলকের মাণ একটি ধ্রূবক \(a\) অপেক্ষা উভয় দিক হতে অর্থাৎ ছোট অথবা বড় হয়ে ক্রমশ \(a\)-এর দিকে অগ্রসর হয়ে এত নিকটবর্তী হয় যে, \(x\) ও \(a\)-এর পার্থক্য অর্থাৎ \(|x-a|\) যে কোনো ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা \(\delta\) হতে ক্ষুদ্রতর অর্থাৎ \(\delta>|x-a|\) হয়, তবে \(a\) কে \(x\)-এর লিমিট বা সীমা বলা হয় এবং \(x\)-এর মাণ কে \(x\rightarrow a\) প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
\(4.\) বাম লিমিট (Left hand Limit )।
চলকের বাম লিমিটঃ যদি \(x\) চলকের মাণ একটি ধ্রূবক \(a\) অপেক্ষা ছোট হয়ে বামদিক হতে ক্রমশ \(a\)-এর দিকে অগ্রসর হয়ে এত নিকটবর্তী হয় যে, \(x\) ও \(a\)-এর পার্থক্য অর্থাৎ \(|x-a|\) যে কোনো ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা \(\delta\) হতে ক্ষুদ্রতর অর্থাৎ \(\delta>|x-a|\) হয়, তবে \(a\) কে \(x\)-এর বামদিকবর্তী লিমিট বা সীমা বলা হয় এবং \(x\)-এর মাণ কে \(x\rightarrow a^{-}\) প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
যেমনঃ মনে করি চলমান রাশি \(x\)-এর মাণগুলি ক্রমান্বয়ে \(2.9, 2.99, 2.999, 2.9999 ...... \) এ ক্ষেত্রে \(3\) অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর থেকে বা বামদিকবর্তী থেকে \(x\)-এর মাণ \(3\)-এর নিকটবর্তী হয়। এটি প্রকাশ করা হয় \(x\rightarrow 3^{-}\) সঙ্কেত দ্বারা।
\(5.\) ডান লিমিট (Right hand Limit )।
চলকের ডান লিমিটঃ যদি \(x\) চলকের মাণ একটি ধ্রূবক \(a\) অপেক্ষা বড় হয়ে ডানদিক হতে ক্রমশ \(a\)-এর দিকে অগ্রসর হয়ে এত নিকটবর্তী হয় যে, \(x\) ও \(a\)-এর পার্থক্য অর্থাৎ \(|x-a|\) যে কোনো ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা \(\delta\) হতে ক্ষুদ্রতর অর্থাৎ \(\delta>|x-a|\) হয়, তবে \(a\) কে \(x\)-এর ডানদিকবর্তী লিমিট বা সীমা বলা হয় এবং \(x\)-এর মাণ কে \(x\rightarrow a^{+}\) প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
যেমনঃ মনে করি চলমান রাশি \(x\)-এর মাণগুলি ক্রমান্বয়ে \(3.1, 3.01, 3.001,3.0001 ...... \) এ ক্ষেত্রে \(3\) অপেক্ষা বৃহত্তর থেকে বা ডানদিকবর্তী থেকে \(x\)-এর মাণ \(3\)-এর নিকটবর্তী হয়। এটি প্রকাশ করা হয় \(x\rightarrow 3^{+}\) সঙ্কেত দ্বারা।
\(6.\) ফাংশনের লিমিট (Limit of Functions)।
ফাংশনের লিমিটঃ চলমান রাশি \(x\)-এর মান উভয় দিক হতে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা \(a\)-এর দিকে অগ্রসর হয়ে \(a\)-এর সন্নিকটবর্তী হওয়ায় যদি ফাংশন \(f(x)\), একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা \(l\)-এর যথেচ্ছ সন্নিকটবর্তী হয়, তাহলে \(l\) কে \(f(x)\) ফাংশনের সীমাস্থ মাণ বা সীমা বলা হয়। একে \[\lim_{x \rightarrow a}f(x)=l\] দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
\(7.\) একদিকবর্তী লিমিট (One sided Limit )।
একদিকবর্তী লিমিটঃ কখনও কখনও \(f(x)\) কে একাধিক সূত্র দ্বারা সূচিত করাহয়। ঐ সব ক্ষেত্রে ফাংশনের বামদিকের এবং ডানদিকের লিমিট সম্পর্কিত ধারণা থাকা অবশ্যক। ফাংশনের এই বামদিকের লিমিট এবং ডানদিকের লিমিটকে পৃথকভাবে একদিকবর্তী লিমিট বলা হয়।
\(8.\) বাম লিমিট (Left hand Limit )।
ফাংশনের বাম লিমিটঃ \(x\) চলক \(a\) অপেক্ষা ক্ষুদ্র মাণগুলি গ্রহণ করে বামদিক হতে ক্রমশ \(a\)-এর খুব নিকটবর্তী হওয়ায় যদি \(f(x)\) ফাংশনের মাণ একটি স্থির রাশি \(l_{1}\)-এর নিকটবর্তী হয়, তবে \(l_{1}\) কে \(f(x)\) ফাংশনের বামদিকবর্তী লিমিট বলা হয় এবং তা \[\lim_{x \rightarrow a^{-}}f(x)=l_{1}\] বা, \[\lim_{h \rightarrow 0}f(a-h)=l_{1}, h>0\] দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
\(9.\) ডান লিমিট (Right hand Limit )।
ফাংশনের ডান লিমিটঃ \(x\) চলক \(a\) অপেক্ষা বৃহত্তর মাণগুলি গ্রহণ করে ডানদিক হতে ক্রমশ \(a\)-এর খুব নিকটবর্তী হওয়ায় যদি \(f(x)\) ফাংশনের মাণ একটি স্থির রাশি \(l_{2}\)-এর নিকটবর্তী হয়, তবে \(l_{2}\) কে \(f(x)\) ফাংশনের ডানদিকবর্তী লিমিট বলা হয় এবং তা \[\lim_{x \rightarrow a^{+}}f(x)=l_{2}\] বা, \[\lim_{h \rightarrow 0}f(a+h)=l_{2}, h>0\] দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
\(10.\) চলকের অসীম লিমিট (Infinite Limit of Variables)।
চলকের অসীম লিমিটঃ \(x\) চলক \(0\) অপেক্ষা বৃহত্তর মাণগুলি গ্রহণ করে ডানদিকে ক্রমশ \(\infty\) অথবা, \(0\) অপেক্ষা ক্ষুদ্রত্তর মাণগুলি গ্রহণ করে বামদিকে ক্রমশ \(-\infty\) পর্যন্ত বিস্তার লাভ করলে, \(x\) চলকের অসীম লিমিট হয়। যা \[x \rightarrow \infty\] এবং \[x \rightarrow -\infty\] দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
\(11.\) ফাংশনের অসীম লিমিট (Infinite Limit of Functions)।
ফাংশনের অসীম লিমিটঃ চলরাশি \(x\) নির্দিষ্ট সংখ্যা \(a\) অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর বা বৃহত্তর মাণ গ্রহণপূর্বক \(a\)-এর দিকে অগ্রসর হয়ে \(a\)-এর সন্নিকটবর্তী হলেঃ
\((1)\) \(f(x)\)-এর মাণ সীমাহীনভাবে বৃদ্ধি পেলে একে \[\lim_{x \rightarrow a}f(x)=\infty\] দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
\((2)\) \(f(x)\)-এর মাণ সীমাহীনভাবে হ্রাস পেলে একে \[\lim_{x \rightarrow a}f(x)=-\infty\] দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
উদাহরণঃ
\((1)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}7x=\infty\]
\((2)\) \[\lim_{x \rightarrow -\infty}2x^2=\infty\]
\((3)\) \[\lim_{x \rightarrow 0^{+}}\frac{5}{x}=\infty\]
\((4)\) \[\lim_{x \rightarrow 0^{-}}\frac{7}{x}=-\infty\]
\((5)\) \[\lim_{x \rightarrow 2^{+}}\frac{6}{x-2}=\infty\]
\((6)\) \[\lim_{x \rightarrow 2^{-}}\frac{6}{x-2}=-\infty\]
\((7)\) \[\lim_{x \rightarrow 5^{+}}\frac{6x}{x-5}=\infty\]
\((8)\) \[\lim_{x \rightarrow 7^{-}}\frac{2x^2}{x-7}=-\infty\]
বিশেষভাবে লক্ষনীয়ঃ \[\lim_{x \rightarrow a}f(x)=\infty\] বা, \[\lim_{x \rightarrow a}f(x)=-\infty\] হলে, \(x=a\) বিন্দুতে লিমিট বিদ্যমান হবে না। কারণ, \(\infty\) ও \(-\infty\) কোনো সংখ্যা নয় শুধু প্রতীক মাত্র।
\(12.\) লিমিটের মৌলিক ধর্ম ( Fundamental properties of limit )
যদি \[\lim_{x \rightarrow a}f(x)=l\] এবং \[\lim_{x \rightarrow a}g(x)=m\] হয় তবে
\((1)\) \[\lim_{x \rightarrow a}\{f(x)\pm g(x)\}=\lim_{x \rightarrow a}f(x)\pm \lim_{x \rightarrow a}g(x)=l\pm m\]
\((2)\) \[\lim_{x \rightarrow a}\{f(x)\times g(x)\}=\lim_{x \rightarrow a}f(x)\times \lim_{x \rightarrow a}g(x)=l\times m=lm\]
\((3)\) \[\lim_{x \rightarrow a}\{\frac{f(x)}{g(x)}\}=\frac{\lim_{x \rightarrow a}f(x)}{\lim_{x \rightarrow a}g(x)}=\frac{l}{m}\] যখন \(m\ne 0\)
\(13.\) বিচ্ছিন্ন ফাংশন ( Discontinuous Function )
বিচ্ছিন্ন ফাংশনঃ কোনো নির্দিষ্ট ব্যাবধিতে যদি কোনো ফাংশন একাধিক অংশে বিভক্ত হয়ে বিচ্ছিন্নভাবে চলে তবে উক্ত ব্যবধিতে ফাংশনটিকে বিচ্ছিন্ন ফাংশন বলা হয়। নিম্নে বিচ্ছিন্ন ফাংশনের চিত্র দেওয়া হলো।
hyperbola
hyperbola
hyperbola
\(14.\) অবিচ্ছিন্ন ফাংশন ( Continuous Function )
অবিচ্ছিন্ন ফাংশনঃ কোনো নির্দিষ্ট ব্যাবধিতে যদি কোনো ফাংশন একাধিক অংশে বিভক্ত না হয়ে নিরবিচ্ছিন্নভাবে চলে তবে উক্ত ব্যবধিতে ফাংশনটিকে অবিচ্ছিন্ন ফাংশন বলা হয়।
\(f(x)\) ফাংশনটি যদি একটি ব্যবধির মধ্যে সংজ্ঞায়িত হয় এবং \(x=a\) যদি ঐ ব্যবধির মধ্যে থাকে, তবে, \(x=a\) বিন্দুতে ফাংশনটি অবিচ্ছিন্ন হবে
যদি, \[\lim_{x \rightarrow a^{+}}f(x)=\lim_{x \rightarrow a^{-}}f(x)=f(a)\] হয়।
নিম্নে অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের চিত্র দেওয়া হলো।
hyperbola
hyperbola
hyperbola
বিশেষভাবে লক্ষনীয়ঃ \((1)\) যদি, \[\lim_{x \rightarrow a^{+}}f(x)=\lim_{x \rightarrow a^{-}}f(x)\ne f(a)\] হয় তবে ফাংশনটি \(x=a\) বিন্দুতে বিচ্ছিন্ন কিন্তু সীমা বিদ্যমান।
\((2)\) যদি, \[\lim_{x \rightarrow a^{+}}f(x)\ne \lim_{x \rightarrow a^{-}}f(x)\ne f(a)\] হয় তবে ফাংশনটি \(x=a\) বিন্দুতে বিচ্ছিন্ন এবং সীমা বিদ্যমান নেই।
\((3)\) যদি, \[\lim_{x \rightarrow a^{+}}f(x)\ne \lim_{x \rightarrow a^{-}}f(x)= f(a)\] হয় তবে ফাংশনটি \(x=a\) বিন্দুতে বিচ্ছিন্ন এবং সীমা বিদ্যমান নেই।
\(15.\) স্যান্ডউইচ উপপাদ্য ( The Sandwich theorem )
স্যান্ডউইচ উপপাদ্যঃ যদি \(\delta >|x-a|> 0\) ব্যবধির অন্তর্গত \(x\)-এর সকল মানের জন্য \(f(x)\leq g(x)\leq h(x)\) এবং \[\lim_{x \rightarrow a}f(x)=l=\lim_{x \rightarrow a}h(x)\] হয় তবে, \[\lim_{x \rightarrow a}g(x)=l\] স্যান্ডউইচ এর উপপাদ্য বা স্কুইজিং ( Squeezing ) বা পিনচিং ( Pinching ) উপপাদ্য নামেও পরিচিত।
উদাহরণঃ \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{\sin x}{x}=0\] প্রমান কর।
সমাধানঃ
আমরা জানি,
\[-1\leq \sin x\leq 1\]
\[\Rightarrow \frac{-1}{x}\leq \frac{\sin x}{x}\leq \frac{1}{x}\] ➜ প্রতিটি পদে \(x\) ভাগ করে।
\[\Rightarrow \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{-1}{x}\leq \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{\sin x}{x}\leq \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{1}{x}\] ➜ লিমিট ব্যবহার করে।
\[\Rightarrow 0\leq \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{\sin x}{x}\leq 0\]
\[\therefore \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{\sin x}{x}=0\]
\(16.\) ল্যাগ্রাঞ্জের গড় মধ্যমান উপপাদ্য ( Lagrange's Mean Value Theorem )
ল্যাগ্রাঞ্জের গড় মধ্যমান উপপাদ্যঃ
যদি \(f(x)\) ফাংশন
\((1)\) \[b\ge x\ge a\] বদ্ধ ব্যবধিতে অবিচ্ছিন্ন এবং
\((2)\) \[b > x > a\] খোলা ব্যবধিতে \[\acute{f}(x)\] বিদ্যমান অর্থাৎ অন্তরীকরণযোগ্য হয় তবে \[a\] এবং \[b\]-এর মধ্যে অন্ততপক্ষে \[x\]-এর এমন একটি মাণ \[c\] পাওয়া যাবে যেখানে, \[f(b)-f(a)=(b-a)\acute{f}(c)\] হয়।
\(17.\) ল্যাগ্রাঞ্জের গড় মধ্যমান উপপাদ্যের জ্যামিতিক ব্যাখ্যা ( Geometrical interpretation of Lagrange's Mean Value Theorem )
ল্যাগ্রাঞ্জের গড় মধ্যমান উপপাদ্যের জ্যামিতিক ব্যাখ্যাঃ
মনে করি, \(y=f(x)\) বক্ররেখার উপর \[P, Q, R\] তিনটি বিন্দু hyperbola
এখন \[P, Q, R\] হতে \[X\] অক্ষের উপর যথাক্রমে \[PL, QM, RN\] লম্ব অঙ্কন করি।
ধরি,
\[OL=a, OM=b\] এবং \[ON=c\]
তাহলে,
\[PL=f(a), QM=f(b)\] এবং \[RN=f(c)\]
\[\therefore P\] ও \[Q\] বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \[P(a, f(a))\] এবং \[Q(b, f(b))\]
\[\therefore PQ\] সরলরেখার ঢাল \[=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} ........(1)\]
\[R\] বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \[=\acute{f}(c) .....(2)\]
যেহেতু \[f(x)\] ফাংশন \[b\ge x\ge a\] বদ্ধ ব্যবধিতে অবিচ্ছিন্ন এবং \[b > x > a\] খোলা ব্যবধিতে অন্তরীকরণযোগ্য, কাজেই \[PQ\]-এর মধ্যবর্তী অংশে এমন একটি বিন্দু \[R\] পাওয়া যাবে যার ভুজ হবে \[c\] এবং \[R\] বিন্দুতে স্পর্শক \[PQ\] ছেদকের সমান্তরাল হবে।
\[R\] বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \[PQ\]-এর ঢাল
\[\acute{f}(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \] ➜ \((1)\) ও \((2)\)-এর সাহায্যে।
\[\therefore f(b)-f(a)=(b-a)\acute{f}(c)\]
সমস্যা সমাধানের ক্ষেত্রে প্রয়োজনীয় এবং স্মরণীয় সূত্রসমূহ ( Necessary and memorable formulas for solving problems ) .
\((1)\) \[e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+ .......... \infty\]
\((2)\) \[e^{x}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ .......... \infty\]
\((3)\) \[e^{-x}=1-\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+ .......... \infty\]
\((4)\) \[e^{x}+e^{-x}=2\left(1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+ .......... \infty \right)\]
\((5)\) \[e^{x}-e^{-x}=2\left(\frac{x}{1!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+ .......... \infty \right)\]
\((6)\) \[a^{x}=1+\frac{x}{1!}\ln a+\frac{x^2}{2!}(\ln a)^2+\frac{x^3}{3!}(\ln a)^3+ .......... \infty \]
\((7)\) \[a^{-x}=1-\frac{x}{1!}\ln a+\frac{x^2}{2!}(\ln a)^2-\frac{x^3}{3!}(\ln a)^3+ .......... \infty \]
\((8)\) \[\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5}+ .......... \infty \]
\((9)\) \[\ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5}- .......... \infty \]
\((10)\) \[\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}- .......... \infty \]
\((11)\) \[\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}- .......... \infty \]
\((12)\) \[\tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\frac{17x^7}{315}+ .......... \infty \]
প্রয়োজনীয় এবং স্মরণীয় কতিপয় বিশেষ লিমিট ( Necessary and memorable Some special limit ) .
\(1.\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\]

\(2.\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x}{\sin x}=1\]

\(3.\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan x}{x}=1\]

\(4.\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x}{\tan x}=1\]

\(5.\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^x-1}{x}=1\]

\(6.\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1\]

\(7.\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{(1+x)^n-1}{x}=n\]

\(8.\) \[\lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e\]

\(9.\) \[\lim_{n \rightarrow 0}(1+n)^{\frac{1}{n}}=e\]

\(10.\) \[\lim_{x \rightarrow a}\frac{x^n-a^n}{x-a}=n.a^{n-1}\]

অনুশীলনী \(9.A\) উদাহরণ সমুহ
মাণ নির্ণয় করঃ
উদাহরণ \(1.(a)\) \[\lim_{x \rightarrow 3}\frac{x^3-27}{x^2-9}\]
উত্তরঃ \[\frac{9}{2}\]

উদাহরণ \(1.(b)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{3x-7}{9x+7}\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{3}\]

উদাহরণ \(1.(c)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{a^x-a^{-x}}{a^x+a^{-x}}\]
উত্তরঃ \[1\]

উদাহরণ \(1.(d)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{x}(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})\]
উত্তরঃ \[1\]

উদাহরণ \(1.(e)\) \[\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{1-\sin x}{\cos x}\]
[ বুয়েট ১১-১২; রাঃ ২০১৪; ঢাঃ ২০১৩; বঃ ২০০৫;যঃ২০০৪]
উত্তরঃ \[0\]

উদাহরণ \(1.(f)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x(\cos x+\cos 2x)}{\sin x}\]
[ রুয়েট ১৩-১৪; কুয়েট ০৩-০৪; চঃ২০১৩; রাঃ ২০১১; যঃ ২০০৯]
উত্তরঃ \[2\]

উদাহরণ \(1.(g)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}\]
[ ঢাঃ ২০১৬,২০১৫,২০১১,২০০৪; চঃ২০১৪, ২০১১; বঃ ২০১৪,২০১১,২০০৭,২০০৪; মাঃ ২০১৩,২০০৭; সিঃ ২০১১, ২০০৯, ২০০৭; রাঃ ২০০৯, ২০০২ ; যঃ ২০১১, ২০০২ কুঃ ২০১০, ২০০৬; বিয়াইটি ৯৬-৯৭ ]
উত্তরঃ \[\frac{1}{2}\]

উদাহরণ \(1.(h)\) \[\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{1-\sin x}{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)^2}\]
[ যঃ ২০১0, ২০০6; কুঃ ২০০৮; রুয়েট ১২-১৩ ]
উত্তরঃ \[\frac{1}{2}\]

উদাহরণ \(1.(i)\) \[\lim_{x \rightarrow 1}\frac{x^3-3x+2}{(x-1)^2}\]
উত্তরঃ \[3\]

উদাহরণ \(1.(j)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2+3x+2}{3x^2+8x+4}\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{3}\]

উদাহরণ \(1.(k)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1-x}-1}{x}\]
[ ঢঃ ২০০৮; চঃ ২০০৪; কুঃ ২০১৩; সিঃ ২০০৬; বঃ২০০৩ ]
উত্তরঃ \[-\frac{1}{2}\]

উদাহরণ \(1.(l)\) \[\lim_{x \rightarrow a}\frac{x^{\frac{5}{2}}-a^{\frac{5}{2}}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}\]
[ ঢঃ ২০০৮; চঃ ২০০৪; কুঃ ২০১৩; সিঃ ২০০৬; বঃ২০০৩ ]
উত্তরঃ \[5a^2\]

উদাহরণ \(1.(m)\) \[\lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{\sin^{-1}\theta}{\theta}\]
উত্তরঃ \[1\]

উদাহরণ \(1.(n)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{\tan x}\right)\]
উত্তরঃ \[0\]

উদাহরণ \(1.(O)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{x}+1\right)\left(\frac{5x^2-1}{x^2}\right)\]
উত্তরঃ \[5\]

উদাহরণ \(1.(p)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\tan x-\sin x}{\sin^3 x}\right)\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{2}\]

উদাহরণ \(1.(q)\) \[\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{\sec^3 \theta-\tan^3 \theta}{\tan \theta}\right)\]
উত্তরঃ \[\frac{3}{2}\]

উদাহরণ \(1.(r)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}(1+5x)^{\frac{3x+2}{x}}\]
উত্তরঃ \[e^{10}\]

উদাহরণ \(1.(s)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^{x}+e^{-x}-2}{x^2}\]
উত্তরঃ \[1\]

উদাহরণ \(1.(t)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^{2}(\sin x+\cos^3 x)}{(x^2+1)(x-3)}\]
উত্তরঃ \[0\]

উদাহরণ \(1.(u)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\cos 2x-\cos 3x}{x^2}\]
উত্তরঃ \[\frac{5}{2}\]

উদাহরণ \(1.(v)\) \[\lim_{h \rightarrow 0}\frac{(x+h)^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{1}{2}}}{h}\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{2\sqrt{x}}\]

উদাহরণ \(1.(w)\) \[\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\tan x\]
উত্তরঃ \[1\]

উদাহরণ \(1.(x)\) \[\lim_{y \rightarrow 0}\left(\frac{1-e^{-2y}}{ln(1+y)}\right)\] যখন, \[1>y>0\]
উত্তরঃ \[2\]

উদাহরণ \(1.(y)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\cos 7x-\cos 9x}{\cos 3x-\cos 5x}\right)\] যখন, \[1>y>0\]
উত্তরঃ \[2\]

উদাহরণ \(2.\) \[x=0\] এবং \[x=1\] মানের জন্য \[f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\] ফাংশনটির অবিচ্ছিন্নতা আলোচনা কর; যেখানে \[f(x)=\begin{cases}x^2+1 & যখন \ \ 0>x\\x & যখন\ \ 0\leq x\leq 1\\\frac{1}{x} & যখন\ \ x>0\end{cases}\]

উদাহরণ \(3.\) \[x^5-2x^3-2=0\]-এর একটি সমাধান কি \(x=0\) ও \(x=2\)-এর মধ্যে অবস্থিত?

উদাহরণ \(4.\) নিম্নলিখিত ফাংশনটির অবিচ্ছিন্নতা আলোচনা কর; যেখানে
\[f(x)=\begin{cases}\frac{x^2-25}{x-5} & যখন \ \ x\ne 5\\10 & যখন\ \ x=5\end{cases}\]

উদাহরণ \(5.\) স্যান্ডউইচ উপপাদ্য অনুযায়ী প্রমাণ কর যে,
\[\lim_{x \rightarrow 0}x\cos \left(\frac{1}{x}\right)=0\]

উদাহরণ \(6.\) \[f(x)=\begin{cases}1+2x & যখন \ \ 0>x\ge -\frac{1}{2}\\1-2x & যখন\ \ 0\leq x\leq \frac{1}{2}\\-1+2x & যখন\ \ x>\frac{1}{2}\end{cases}\] হলে, \[\lim_{x \rightarrow 0}f(x)\] এবং \[\lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}}f(x)\]-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \[1; 0\]

উদাহরণ \(7.\) দেখাও যে, \[x=0\] বিন্দুতে \[f(x)=\begin{cases}3+2x & যখন \ \ 0\ge x > -\frac{3}{2}\\3-2x & যখন \ \ \frac{3}{2}> x > 0 \end{cases}\] ফাংশনটি অবিচ্ছিন্ন।

উদাহরণ \(8.\) \[f(x)=x(x-2)\] ফাংশনের জন্য \[1\le x\le 2\] ব্যবধিতে একটি বিন্দু \[x=c\] হলে, \[c\]-এর মাণ নির্ণয় কর।

অনুশীলনী \(9.A\) / \[Q.1\]-এর প্রশ্নসমুহ
মাণ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(i)\) \[\lim_{x \rightarrow 3}\frac{x^2-9}{x-3}\]
উত্তরঃ \[6\]

\(Q.1.(ii)\) \[\lim_{x \rightarrow 4}\frac{x-4}{x^2-x-12}\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{7}\]

\(Q.1.(iii)\) \[\lim_{x \rightarrow 2}\frac{x^2-4}{x^2-5x+6}\]
উত্তরঃ \[-4\]

\(Q.1.(iv)\) \[\lim_{x \rightarrow 1}\frac{1}{x-1}\left(\frac{1}{x+3}-\frac{2}{3x+5}\right)\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{32}\]

\(Q.1.(v)\) \[\lim_{x \rightarrow 2}\frac{x^2+2x-8}{x-2}\]
উত্তরঃ \[6\]

\(Q.1.(vi)\) \[\lim_{x \rightarrow -2}\frac{x^3+8}{x+2}\]
উত্তরঃ \[12\]

\(Q.1.(vii)\) \[\lim_{x \rightarrow 1}\frac{2x^2+x-3}{3x^2-4x+1}\]
উত্তরঃ \[\frac{5}{2}\]

\(Q.1.(viii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{(x+4)^3-(x-8)^2}{x(x-3)}\]
উত্তরঃ \[-21\frac{1}{3}\]

\(Q.1.(ix)\) \[\lim_{x \rightarrow 2}\frac{4-x^2}{3-\sqrt{x^2+5}}\]
উত্তরঃ \[6\]
[ রাঃ ২০১৭]

\(Q.1.(x)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt{4+x}-2}{x}\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{4}\]

\(Q.1.(xi)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1-x}-1}{x}\]
উত্তরঃ \[-\frac{1}{2}\]
[ কুঃ ২০১৩; ঢাঃ ২০০৮; সিঃ ২০০৬; চঃ ২০০৪; রাঃ ২০০৩ ]

\(Q.1.(xii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}\]
উত্তরঃ \[1\]
[ বঃ ২০১৩ ]

\(Q.1.(xiii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+3x}-\sqrt{1-4x}}{x}\]
উত্তরঃ \[\frac{7}{2}\]
[ সিঃ ২০০৩ ]

\(Q.1.(xiv)\) \[\lim_{x \rightarrow 1}\frac{x-1}{\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x-1}}\]
উত্তরঃ \[0\]
[ দিঃ ২০১০ ]

\(Q.1.(xv)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{a-\sqrt{a^2-x^2}}{x^2}\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{2a}\]
[ রুয়েটঃ ২০১২-২০১৩ ]

\(Q.1.(xvi)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+2x}-\sqrt{1-3x}}{x}\]
উত্তরঃ \[\frac{5}{2}\]
[ বঃ ২০০৯; রাঃ, সিঃ ২০০৩ ]

\(Q.1.(xvii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x}{\sqrt{1+x}-1}\]
উত্তরঃ \[2\]

\(Q.1.(xviii)\) \[\lim_{x \rightarrow a}\frac{x^{\frac{5}{2}}-a^{\frac{5}{2}}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}\]
উত্তরঃ \[5a^2\]
[ ঢাঃ ২০০৯; কুঃ ২০০২; চঃ ২০০৭; যঃ ২০০০ ]

\(Q.1.(xix)\) \[\lim_{x \rightarrow a}\frac{x^{\frac{7}{2}}-a^{\frac{7}{2}}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}\]
উত্তরঃ \[7a^3\]
[ ঢাঃ ২০০৩ ]

\(Q.1.(xx)\) \[\lim_{x \rightarrow a}\frac{x^{\frac{5}{2}}-a^{\frac{5}{2}}}{x^{\frac{3}{5}}-a^{\frac{3}{5}}}\]
উত্তরঃ \[\frac{25}{6}a^{\frac{19}{10}}\]

\(Q.1.(xxi)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{2x}{x+1}\]
উত্তরঃ \[2\]

\(Q.1.(xxii)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2+3x}{2x^2-5}\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{2}\]

\(Q.1.(xxiii)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x+3}{x^2+5x+6}\]
উত্তরঃ \[0\]

\(Q.1.(xxiv)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{2x^4-3x^2+1}{6x^4+x^3-3x}\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{3}\]

\(Q.1.(xxv)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^4+3x^2-1}{3x^4+x^3-2x}\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{3}\]
[ কুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯]

\(Q.1.(xxvi)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{2x^2+1}{6+x-3x^2}\]
উত্তরঃ \[-\frac{2}{3}\]

\(Q.1.(xxvii)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{3^x-3^{-x}}{3^x+3^{-x}}\]
উত্তরঃ \[1\]
[ চঃ ২০০০ ]

\(Q.1.(xxviii)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{x}+1\right)\left(\frac{5x^2-1}{x^2}\right)\]
উত্তরঃ \[5\]

\(Q.1.(xxix)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}2^x\sin \left(\frac{b}{2^x}\right)\]
উত্তরঃ \[b\]
[ বুয়েটঃ ২০০৯-২০১০; সিঃ ২০০৫ ]

\(Q.1.(xxx)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}\{\ln(2x-1)-\ln(x+5)\}\]
উত্তরঃ \[\ln2\]
[ কুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫ ]

\(Q.1.(xxxi)\) \[\lim_{x \rightarrow 3}\frac{3-x}{\sqrt{1+x}-\sqrt{7-x}}\]
উত্তরঃ \[-2 \]

\(Q.1.(xxxii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x^3}-\sqrt{1+x}}\]
উত্তরঃ \[1\]

\(Q.1.(xxxiii)\) \[\lim_{x \rightarrow 3}\frac{x^3+2x^2-12x-9}{x^2-x-6}\]
উত্তরঃ \[\frac{27}{5} \]

\(Q.1.(xxxiv)\) \[\lim_{b \rightarrow 0}\frac{1}{b}\left[\frac{1}{\sqrt{x+b}}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right]\]
উত্তরঃ \[-\frac{1}{2}x^{\frac{-3}{2}}\]

\(Q.1.(xxxv)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{b}{x}\right)^{\frac{x}{a}}\] যখন \[a>0\] এবং \[b>0\]
উত্তরঃ \[e^{\frac{b}{a}} \]

\(Q.1.(xxxvi)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\log\left(1-\frac{x}{4}\right)-(1-x)^{\frac{1}{4}}+1}{x^2}\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{16}\]

\(Q.1.(xxxvii)\) \[\lim_{k \rightarrow 0}\frac{f(x+k)-f(x)}{k}\] যখন \[f(x)=\frac{1+x}{1-x}\]
উত্তরঃ \[\frac{2}{(1-x)^2} \]

অনুশীলনী \(9.A\) / \[Q.2\]-এর প্রশ্নসমুহ
মাণ নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(i)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1+\sin x}{\cos x}\]
উত্তরঃ \[1\]
[ রাঃ ২০০৮ ]

\(Q.2.(ii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin 5x}{\sin 3x}\]
উত্তরঃ \[\frac{5}{3}\]

\(Q.2.(iii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan ax}{\sin bx}\]
উত্তরঃ \[\frac{a}{b}\]
[ ঢাঃ ২০০৬]

\(Q.2.(iv)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\cos 7x-\cos 9x}{\cos 3x-\cos 5x}\]
উত্তরঃ \[2\]
[ রুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮; সিঃ ২০১০; কুঃ ২০০৭; ঢাঃ ২০০৫; যঃ ২০০৩ ]

\(Q.2.(v)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin 7x-\sin x}{\sin 6x}\]
উত্তরঃ \[1\]
[ ঢাবিঃ ২০১৫-২০১৬; দিঃ ২০১২; চঃ ২০০৩; মাঃ ২০১১ ]

\(Q.2.(vi)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos ax}{1-\cos bx}\]
উত্তরঃ \[\frac{a^2}{b^2}\]
[ চঃ ২০০১ ]

\(Q.2.(vii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x^2}\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{2}\]
[মাঃ ২০১২, ২০০০ ]

\(Q.2.(viii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos 7x}{3x^2}\]
উত্তরঃ \[\frac{49}{6}\]
[যঃ , সিঃ ২০১২, ২০০৮; কুঃ ২০১১, ২০০৪; দিঃ ২০১১; রাঃ ২০১০,২০০৭,২০০৫; ঢাঃ ২০১০; চঃ ২০০৬; বঃ ২০০৮ ]

\(Q.2.(ix)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x}\]
উত্তরঃ \[0\]
[ বুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮;মাঃ ২০১২, ২০০০ ]

\(Q.2.(x)\) \[\lim_{y \rightarrow 0}\frac{1-\cos y}{y}\]
উত্তরঃ \[0\]
[ যঃ ২০১৭ ]

\(Q.2.(xi)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos 2x}{x}\]
উত্তরঃ \[0\]
[ কুঃ ২০১৭ ]

\(Q.2.(xii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\cos 2x-\cos 3x}{x^2}\]
উত্তরঃ \[\frac{5}{2}\]
[ সিঃ ২০০৪ কুঃ ২০০৩; মাঃ ২০০৫; বঃ ২০০১ ]

\(Q.2.(xiii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\cos 2x-\cos 4x}{x^2}\]
উত্তরঃ \[6\]
[ কুঃ ২০০৩ ]

\(Q.2.(xiv)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\cos ax-\cos bx}{x^2}\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{2}(b^2-a^2)\]
[ যঃ ২০১৩; বঃ২০১২ ]

\(Q.2.(xv)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-2\cos x+\cos 2x}{x^2}\]
উত্তরঃ \[-1\]
[ যঃ ২০০৫; কুঃ২০১৪ ]

\(Q.2.(xvi)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin 2x}{2x^2+x}\]
উত্তরঃ \[2\]
[ চঃ২০০২ ]

\(Q.2.(xvii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{\tan x}\right)\]
উত্তরঃ \[0\]
[ রুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫; বঃ ২০১০; চঃ২০০৯ ]

\(Q.2.(xviii)\) \[\lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{1}{\theta}\left(\frac{1}{\sin \theta}-\frac{1}{\tan \theta}\right)\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{2}\]
[ সিঃ ২০১৪; রাঃ ২০১৩;ঢাঃ ২০০১]

\(Q.2.(xix)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}(\csc x-\cot x)\]
উত্তরঃ \[0\]
[ বঃ ২০১৭]

\(Q.2.(xx)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\csc x-\cot x}{x}\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{2}\]
[ ঢাঃ ২০০৯]

\(Q.2.(xxi)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{\sin^2 2x}\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{8}\]

\(Q.2.(xxii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan x-\sin x}{\sin^3 x}\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{2}\]
[ ঢাঃ২০১২, ২০১১, ২০০৪; রাঃ ২০০৯, ২০০৬; কুঃ২০১০, ২০০৬; চঃ ২০১৪,২০১১,২০০৮; বঃ ২০১৪, ২০১১, ২০০৭, ২০০৪; দিঃ ২০১৪; যঃ২০১১; মাঃ২০১৩ ]

\(Q.2.(xxiii)\) \[\lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{\cot \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\theta^2}\]
উত্তরঃ \[0\]
[ সিঃ২০১৭ ]

\(Q.2.(xxiv)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan 2x-\sin 2x}{x^3}\]
উত্তরঃ \[4\]
[ বিআইটিঃ২০৯৮-২০৯৯ ]

\(Q.2.(xxv)\) \[\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{\sec^3 \theta-\tan^3 \theta}{\tan \theta}\]
উত্তরঃ \[\frac{3}{2}\]
[দিঃ২০১৩,২০০৯; কুঃ, চঃ ২০১৬, ২০১২; যঃ ২০০৭; বঃ ২০১৬, ২০০৫; মাঃ২০১৪ ]

\(Q.2.(xxvi)\) \[\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\{\sec x(\sec x-\tan x)\}\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{2}\]
[ ঢাঃ ২০০৭; মাঃ২০০৬]

\(Q.2.(xxvii)\) \[\lim_{x \rightarrow y}\frac{\sin x-\sin y}{x-y}\]
উত্তরঃ \[\cos y\]
[ কুঃ২০০৫]

\(Q.2.(xxviii)\) \[\lim_{x \rightarrow y}\frac{\tan x-\tan y}{x-y}\]
উত্তরঃ \[\sec^2 y\]

\(Q.2.(xxix)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}(1+3x)^{\frac{5}{x}}\]
উত্তরঃ \[e^{15}\]
[ চঃ ২০১৭]

\(Q.2.(xxx)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^{2x}-1}{ax}\]
উত্তরঃ \[\frac{2}{a}\]
[ দিঃ ২০১৭]

\(Q.2.(xxxi)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin^{-1}x}{x}\]
উত্তরঃ \[1\]
[ মাঃ ২০০১ ]

\(Q.2.(xxxii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan^{-1}x}{x}\]
উত্তরঃ \[1\]
[ রুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ]

\(Q.2.(xxxiii)\) \[\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\tan x\]
উত্তরঃ \[1\]
[ বুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯; চঃ ২০১০ ]

\(Q.2.(xxxiv)\) \[\lim_{x \rightarrow \pi}\frac{\sin x}{\pi-x}\]
উত্তরঃ \[1\]

\(Q.2.(xxxv)\) \[\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{\sec x-\tan x}{\frac{\pi}{2}-x}\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{2}\]
[ যঃ ২০০২; রাঃ ২০০০ ]

\(Q.2.(xxxvi)\) \[\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{1-\sin x}{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)^2}\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{2}\]
[ রুয়েটঃ ২০১২-২০১৩, ২০০৫-২০০৬; চুয়েটঃ ২০১৩-২০১৪ ]

\(Q.2.(xxxvii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x^{o}}{x}\]
উত্তরঃ \[\frac{\pi}{180}\]

\(Q.2.(xxxviii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos 3x}{3x^2}\]
উত্তরঃ \[\frac{3}{2}\]

\(Q.2.(xxxix)\) \[\lim_{x \rightarrow \alpha}\frac{\tan x-tan \alpha}{x-\alpha}\]
উত্তরঃ \[\sec^2 \alpha\]

\(Q.2.(xL)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin^{-1} 3x}{4x}\]
উত্তরঃ \[\frac{3}{4}\]

\(Q.2.(xLi)\) \[\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1^2+2^2+3^2+......+n^2}{n^3}\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{3}\]

\(Q.2.(xLii)\) \[\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n^4}\sum_{r=1}^nr^3\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{4}\]

\(Q.2.(xLiii)\) \[\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1.3+2.4+......+n(n+2)}{n^3}\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{6}\]

\(Q.2.(xLiv)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x^2}{x}\]
উত্তরঃ \[0\]

অনুশীলনী \(9.A\) / \[Q.3\]-এর প্রশ্নসমুহ
মাণ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(i)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+3}\]
উত্তরঃ \[e\]
[ রুয়েটঃ ২০১০-২০১১; বিআইটিঃ২০০০-২০০১ ]

\(Q.3.(ii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^{x}+e^{-x}-2}{x^2}\]
উত্তরঃ \[1\]
[ বুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬; চুয়েটঃ ২০১১-২০১২; বিআইটিঃ২০০২-২০০৩ ]

\(Q.3.(iii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^{x}-e^{-x}}{2x}\]
উত্তরঃ \[1\]
[ বিআইটিঃ২০০১-২০০২ ]

\(Q.3.(iv)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{a^{x}-a^{-x}}{x}\] উত্তরঃ \[2\ln a\] [ রুয়েটঃ২০০৬-২০০৭ ]
\(Q.3.(v)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{(1+x)^{n}-1}{x}\]
উত্তরঃ \[n\]
[ চুয়েটঃ২০০৪-২০০৫ ]

\(Q.3.(vi)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\log(1+x^3)}{\sin^3 x}\]
উত্তরঃ \[1\]
[ চুয়েটঃ২০০৩-২০০৪ ]

\(Q.3.(vii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x-\ln(1+x)}{1+x-e^x}\]
উত্তরঃ \[-1\]
[ রুয়েটঃ২০১০-২০১১ ]

\(Q.3.(viii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-e^{2x}}{\ln(1-x)}\]
উত্তরঃ \[2\]
[ বুয়েটঃ২০১৪-২০১৫ ]

\(Q.3.(ix)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}(1+5x)^{\frac{3x+2}{x}}\]
উত্তরঃ \[e^{10}\]
[ বুয়েটঃ২০৮৯-২০৯০ ]

\(Q.3.(x)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^{\sin x}-1}{\sin x}\]
উত্তরঃ \[1\]
[ রাঃ২০১২; কুঃ ২০০১; মাঃ ২০০৯ ]

\(Q.3.(xi)\) প্রমাণ কর যে, \[x=2\] বিন্দুতে \[f(x)=x^2+1\] ফাংশন অবিচ্ছিন্ন।

\(Q.3.(xii)\) দেখাও যে, \[f(x)=|x|\] ফাংশনটি \[x=0\] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন।

\(Q.3.(xiii)\) যদি, \[f(x)=\begin{cases}\frac{\sin^2 ax}{x^2} & যখন \ \ x\ne 0\\1 & যখন\ \ x=0\end{cases}\] হয় তবে প্রমাণ কর যে, \[a=1\] হলে \[x=0\] মানের জন্য \[f(x)\] ফাংশন অবিচ্ছিন্ন হবে।

\(Q.3.(xiv)\) শুন্য ব্যতিত \[k\]-এর এমন একটি মাণ নির্ণয় কর যা নিচের ফাংশনকে \[x=0\] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন করবে।
\[f(x)=\begin{cases}\frac{\tan kx}{x} & যখন \ \ 0>x \\3x+2k^2 & যখন\ \ x\ge 0\end{cases}\]
উত্তরঃ \[\frac{1}{2}\]
[ বুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫]

\(Q.3.(xv)\) যদি, \[f(x)=\begin{cases}x^2 & যখন \ \ x\ne 1 \\2 & যখন\ \ x=1 \end{cases}\] হয় তবে দেখাও যে, \[x=1\] বিন্দুতে \[f(x)\] অবিচ্ছিন্ন নয়।

\(Q.3.(xvi)\) যদি, \[f(x)=\begin{cases}\frac{|x|}{x} & যখন \ \ x\ne 0 \\2 & যখন\ \ x=0\end{cases}\] হয় তবে দেখাও যে, \[x=0\] বিন্দুতে \[f(x)\] অবিচ্ছিন্ন নয়।

\(Q.3.(xvii)\) যদি, \[f(x)=\begin{cases}-x & যখন \ \ x\le 0 \\x & যখন\ \ 1 > x > 0 \\1-x & যখন\ \ x\ge 1\end{cases}\] হয় তবে দেখাও যে, \[x=0\] বিন্দুতে \[f(x)\] অবিচ্ছিন্ন এবং \[x=1\] বিন্দুতে বিচ্ছিন্ন।

\(Q.3.(xviii)\) \[f\] ফাংশনটি \[f(x)=\begin{cases}\frac{x^2-4}{x-2} & যখন \ \ x\ne 2 \\3 & যখন\ \ x=2\end{cases}\] দ্বারা সংজ্ঞায়িত হলে দেখাও যে, তা \[x=2\] বিন্দুতে বিচ্ছিন্ন। \[f\] ফাংশনটিকে এরূপ সংজ্ঞায়িত কর যেন তা \[x=2\] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হয়।

\(Q.3.(xix)\) যদি \[f(x)=\sin x\] হয় তবে \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(x+nh)-f(x)}{h}\] এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \[ n\cos x\]
[ বুয়েটঃ ২০০০-২০০১ ]

\(Q.3.(xx)\) যদি \[f(x)=\begin{cases}3x-2 & যখন \ \ 1 > x \\4x^3-3x & যখন\ \ x > 1\end{cases}\] হয় তবে, \[\lim_{x \rightarrow 1}f(x)\]-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \[ 1\]

\(Q.3.(xxi)\) যদি \[f(x)=\begin{cases}\frac{x-|x|}{x} & যখন \ \ x\ne 0 \\1 & যখন\ \ x = 0\end{cases}\] হয় তবে, \[x=0\] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন কী না পরীক্ষা কর।

\(Q.3.(xxii)\) যদি \[f(x)=\begin{cases}1+\sin x & যখন \ \ \frac{\pi}{2}> x \ge 0 \\2+\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2 & যখন\ \ x\ge \frac{\pi}{2}\end{cases}\] হয় তবে, \[x=\frac{\pi}{2}\] বিন্দুতে ফাংশনটির অবিচ্ছিন্নতা পরীক্ষা কর।

\(Q.3.(xxiii)-(xxx)\) স্যান্ডউইচ উপপাদ্য ব্যবহার করে প্রমাণ করঃ
\(Q.3.(xxiii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}x\cos \left(\frac{1}{x}\right)=0\]

\(Q.3.(xxiv)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}x^2\cos \left(\frac{1}{x^2}\right)=0\]

\(Q.3.(xxv)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2(\cos x+\sin^3 x)}{(x^2+1)(x-5)}=0\]

\(Q.3.(xxvi)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{3x^2-\sin 2x}{x^2+5}=3\]

\(Q.3.(xxvii)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{\cos^2 2x}{3-2x}=0\]

\(Q.3.(xxviii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}x^2\sin \left(\frac{1}{x}\right)=0\]

\(Q.3.(xxix)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}x\sin \left(\frac{1}{x}\right)=0\]

\(Q.3.(xxx)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{5x^2-\sin 3x}{x^2+10}=5\]

\(Q.3.(xxxi)\) প্রমাণ কর যে, \[\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{x}}=1\]

\(Q.3.(xxxii)\) প্রমাণ কর যে, \[\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}}=e^{-\frac{1}{6}}\]

\(Q.3.(xxxiii)\) প্রমাণ কর যে, \[\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{x^3}}=0\]

\(Q.3.(xxxiv)\) প্রমাণ কর যে, \[\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\tan x}{x}\right)^{\frac{1}{x}}=1\]

\(Q.3.(xxxv)\) প্রমাণ কর যে, \[\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\tan x}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}}=e^{\frac{1}{3}}\]

\(Q.3.(xxxvi)\) স্যান্ডউইচ উপপাদ্য ব্যবহার করে মান নির্ণয় করঃ
\[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2(2+\sin^2{x})}{x+100}\]

Please leave your question below

2 Question(s)
imonhaider
October 29, 2019, 12:15 am
\[\frac{d}{dx}(e^{x^2})=?\]
Reply
Tanmoy
October 28, 2019, 11:53 pm
\[\int{\frac{dx}{1+x^2}}=? \]
Reply

Post List

MATH. LIST
Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Trigonometry 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Statistics 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Calculus 11 and 12 standard