ফাংশনের গুনফল ও ভাগফলের অন্তরীকরণ
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এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
  • দুইটি ফাংশনের গুনফলের অন্তরীকরণ।
  • দুইটি ফাংশনের ভাগফলের অন্তরীকরণ।
  • ত্রিকোণমিতিক ফাংশন, সূচক ফাংশন ও লগারিদমিক ফাংশনের অন্তরীকরণ।
ফাংশনের গুণফল ও ভাগফলের অন্তরীকরণ।
Differentiation of multiplication and division of two functions.
যখন, \(u=u(x)\) এবং \(v=v(x)\) অর্থাৎ উভয়ে \(x\)-এর ফাংশন।
\((a)\) \(\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\((b)\) \(\frac{d}{dx}(\frac{u}{v})=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(\frac{d}{dx}(uvw)=vw\frac{d}{dx}(u)+uw\frac{d}{dx}(v)+uv\frac{d}{dx}(w)\)
অনুশীলনী \(9.C\) উদাহরণ সমুহ
নিচের ফাংশনগুলির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর।
\((1)\) \(x^3\sin x\)
উত্তরঃ \( x^2(x\cos x+3\sin x)\)

\((2)\) \((x^2+1)(\frac{1}{2}x+1)\)
উত্তরঃ \(\frac{3}{2}x^2+2x+\frac{1}{2}\)

\((3)\) \(5e^x\ln x\)
উত্তরঃ \( 5e^x(\frac{1}{x}+\ln x)\)

\((4)\) \(\frac{x^2}{x^2-4}\)
উত্তরঃ \(-\frac{8x}{(x^2-4)^2}\)

\((5)\) \(\frac{\cos x}{\ln x}\)
\(-\frac{x\sin x\ln x+\cos x}{x(\ln x)^2}\)

\((6)\) \(\log_ax\times \ln x\)
\(\frac{1}{x\ln a}(\log_ax\ln a+\ln x)\)

\((7)\) \(a^xx^a\)
উত্তরঃ \(a^xx^{a-1}(a+x\ln a)\)

\((8)\) \(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\)
উত্তরঃ \(\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2}\)

\((9)\) \(3\sqrt{x}\cos x-7\)
\(3\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}-\sqrt{x}\sin x\right)\)

\((10)\) \(\log_ax\ln x\log x\)
\(\frac{1}{x}\left(\frac{\ln x\log x}{\ln a}+\log_ax\log x+\frac{\log_ax\ln x}{\ln 10}\right)\)

\((11)\) \(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)
[ যঃ ২০১২; কুঃ ২০১২; রাঃ ২০০৮,২০১৪; চঃ ২০১৩; ঢাঃ ২০১৫ ]
উত্তরঃ \(-\frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)^2}\)

\((12)\) \(\frac{e^x+\ln x}{\log_ax}\)
[ দিঃ ২০১১]
\(\frac{\ln a\log_ax(xe^x+1)-(e^x+\ln x)}{x\ln a(\log_ax)^2}\)

\((13)\) \(\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1-\sqrt{x}\ln x}{x^{\frac{3}{2}}}\)

\((14)\) \(x^2\ln x-8e^x\cos x+7\)
\(x(1+2\ln x)+8e^x(\sin x-\cos x)\)

অনুশীলনী \(9.C / Q.1\)-এর প্রশ্নসমুহ
নিচের ফাংশনগুলির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর।
\(Q.1.(i)\) \((x^2+3)(2x^2-1)\)
উত্তরঃ \(8x^3+10x\)

\(Q.1.(ii)\)\((3x+4)(5x^2-1)\)
উত্তরঃ \(45x^2+40x-3\)

\(Q.1.(iii)\) \(x^2\ln x\)
উত্তরঃ \(x(1+\ln x^2)\)

\(Q.1.(iv)\)\(x^3e^x\)
উত্তরঃ \(x^2e^x(x+3)\)

\(Q.1.(v)\) \(5e^x\ln x\)
উত্তরঃ \(5e^x\left(\frac{1}{x}+\ln x\right)\)

\(Q.1.(vi)\)\(x^3\log_ax\)
উত্তরঃ \( x^2\left(\frac{1}{\ln a}+3\log_ax\right)\)

\(Q.1.(vii)\) \(5e^x\log_ax\)
উত্তরঃ \(5e^x\left(\frac{1}{x\ln a}+\log_ax\right)\)

\(Q.1.(viii)\)\(e^{x}\cos x\)
উত্তরঃ \( e^{x}(\cos x-\sin x)\)

\(Q.1.(ix)\) \(x^ne^x\)
উত্তরঃ \( e^xx^n(1+\frac{n}{x})\)

\(Q.1.(x)\)\(x^{10}10^{x}\)
উত্তরঃ \( x^{10}10^{x}\left(\ln 10+\frac{10}{x}\right)\)

\(Q.1.(xi)\) \(x^3\ln x\)
উত্তরঃ \(x^2(1+\ln x^3)\)

\(Q.1.(xii)\) \(2^{x}\sin x\)
উত্তরঃ \( 2^{x}(\cos x+\ln 2\sin x)\)

\(Q.1.(xiii)\) \(ax\ln x+be^x\sin x\)
\(a(1+\ln x)+be^x(\sin x+\cos x)\)

\(Q.1.(xiv)\) \(ax^m\ln x+bx\sin x\)
\(ax^{m-1}(1+\ln x^{m})+b(x\cos x+\sin x)\)

\(Q.1.(xv)\) \(x^3\log_ax-5e^x\cos x\)
\(x^2\left(\frac{1}{\ln a}+3\log_ax\right)+5e^x(\sin x-\cos x)\)

\(Q.1.(xvi)\) \(x^2\log_ax+7e^x\cos x\)
\(x(\frac{1}{\ln a}+2\log_ax)+7e^x(\cos x-\sin x)\)

\(Q.1.(xvii)\) \(\sqrt{x}\sin x-8\)
\(\sqrt{x}\cos x+\frac{\sin x}{2\sqrt{x}}\)

\(Q.1.(xviii)\) \(5\log_ax\ln x\)
\( \frac{5}{x\ln a}\{\ln a\log_ax+\ln x\}\)

\(Q.1.(xix)\) \(e^x\sin x\)
উত্তরঃ \(e^x(\sin x+\cos x)\)

\(Q.1.(xx)\) \(7\sqrt{x}\cos x+e^x\sin x\)
\( \frac{7\cos x}{2\sqrt{x}}-7\sqrt{x}\sin x+e^x(\sin x+\cos x)\)

\(Q.1.(xxi)\) \(x^3\log_ax+9e^x\cos x\)
\( 3x^2\log_ax+\frac{x^2}{\ln a}+9e^x(\cos x-\sin x)\)

\(Q.1.(xxii)\) \(7x^3\log_ax+8e^x\sec x\)
\( \frac{7x^2}{\ln a}+21x^2\log_ax+8e^x\sec x(\tan x+1)\)

অনুশীলনী \(9.C / Q.2\)-এর প্রশ্নসমুহ
\(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে নিচের ফাংশনগুলির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(i)\) \(\frac{x}{x^2+a^2}\)
উত্তরঃ \(\frac{a^2-x^2}{(x^2+a^2)^2}\)

\(Q.2.(ii)\) \(\frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}\)
[ রাঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{x}(1-\sqrt{x})^2}\)

\(Q.2.(iii)\) \(\frac{x^2}{x^2-4}\)
উত্তরঃ \(-\frac{8x}{(x^2-4)^2}\)

\(Q.2.(iv)\) \(\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}\)
উত্তরঃ \(\frac{2(1-x^2)}{(x^2-x+1)^2}\)

\(Q.2.(v)\) \(\frac{1+x+x^2}{x}\)
উত্তরঃ \(\frac{x^2-1}{x^2}\)

\(Q.2.(vi)\) \(\frac{x}{e^x}\)
উত্তরঃ \( \frac{1-x}{e^x}\)

\(Q.2.(vii)\) \(\frac{1-\tan x}{1+\tan x}\)
[ বঃ ২০১৩; দিঃ২০১০ ]
উত্তরঃ \(\frac{-2\sec^2 x}{(1+\tan x)^2}\)

\(Q.2.(viii)\) \(\frac{x^n+\tan x}{e^x-\cot x}\)
\( \frac{(e^x-\cot x)(nx^{n-1}+\sec^2 x)-(x^n+\tan x)(e^x+cosec^2 \ x)}{(e^x-\cot x)^2}\)

\(Q.2.(ix)\) \(\frac{\tan x+\cot x}{3e^x}\)
\(\frac{(\tan x+\cot x)(\tan x-\cot x-1)}{3e^x}\)

\(Q.2.(x)\) \(\frac{\sin x}{x^2+\cos x}\)
\( \frac{1+x(x\cos x-2\sin x)}{(x^2+\cos x)^2}\)

\(Q.2.(xi)\) \(\frac{\log_ax}{x^2}\)
উত্তরঃ \(\frac{1-\ln x^2)}{x^3\ln a}\)

\(Q.2.(xii)\) \(\frac{x^{n}}{\log_ax}\)
উত্তরঃ \( \frac{x^{n-1}(n\ln x-1)}{\ln a(\log_ax)^2}\)

\(Q.2.(xiii)\) \(\frac{1-\ln x}{1+\ln x}\)
উত্তরঃ \(-\frac{2}{x(1+\ln x)^2}\)

\(Q.2.(xiv)\) \(\frac{\sec x}{1+\sec x}\)
উত্তরঃ \( \frac{\sin x}{(1+\cos x)^2}\)

\(Q.2.(xv)\) \(\frac{e^x-\tan x}{\ln x-\cot x}\)
\(\frac{(\ln x-\cot x)(e^x-\sec^2 x)-(e^x-\tan x)\left(\frac{1}{x}+cosec^2 \ x\right)}{(\ln x-\cot x)^2}\)

\(Q.2.(xvi)\) \(\frac{\ln x}{\cos x}\)
উত্তরঃ \( \frac{\cos x+x\ln x\sin x}{x\cos^2 x}\)

\(Q.2.(xvii)\) \(\frac{\sin x+\cos x}{\sin 2x}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}(\sec x\tan x-cosec \ x\cot x)\)

\(Q.2.(xviii)\) \(\frac{1+\sin x}{1+\cos x}\)
উত্তরঃ \( \frac{\cos x+\sin x+1}{(1+\cos x)^2}\)

\(Q.2.(xix)\) \(\frac{\sin x}{x}\)
উত্তরঃ \(\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}\)

\(Q.2.(xx)\) \(\frac{x^4}{\ln x}\)
উত্তরঃ \( \frac{x^3(\ln x^4-1)}{(\ln x)^2}\)

\(Q.2.(xxi)\) \(\frac{\tan x-\cot x}{\tan x+\cot x}\)
উত্তরঃ \(2\sin 2x\)

\(Q.2.(xxii)\) \(\frac{a\sin x+b\cos x}{a\cos x-b\sin x}\)
উত্তরঃ \( \frac{a^2+b^2}{(a\cos x-b\sin x)^2}\)

\(Q.2.(xxiii)\) \(\frac{cosec \ x+\cot x}{cosec \ x-\cot x}\)
উত্তরঃ \(-\frac{2\sin x}{(1-\cos x)^2}\)

\(Q.2.(xxiv)\) \(\frac{e^x}{\ln x}\)
উত্তরঃ \( \frac{e^x(x\ln x-1)}{x(\ln x)^2}\)

\(Q.2.(xxv)\) \(\frac{\ln x}{1+\cos x}\)
উত্তরঃ \(\frac{1+\cos x+x\ln x\sin x}{x(1+\cos x)^2}\)

\(Q.2.(xxvi)\) \(\frac{e^x}{\cos x}\)
উত্তরঃ \( \frac{e^x(\sin x+\cos x)}{\cos^2 x}\)

\(Q.2.(xxvii)\) \(\frac{1-\cot x}{1+\cot x}\)
উত্তরঃ \(\frac{2cosec^2 \ x}{(1+\cot x)^2}\)

\(Q.2.(xxviii)\) \(\frac{x^n+\cot x}{e^x-\tan x}\)
\( \frac{(e^x-\tan x)(nx^{n-1}-cosec^2 \ x)-(x^n+\cot x)(e^x-\sec^2 x)}{(e^x-\tan x)^2}\)

অনুশীলনী \(9.C / Q.3\)-এর প্রশ্নসমুহ
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনগুলির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(i)\) \(\frac{x\sin x}{1+\cos x}\)
উত্তরঃ \(\frac{x+\sin x}{1+\cos x}\)

\(Q.3.(ii)\) \(e^{x}\cos x\ln x\)
\(\frac{e^x}{x}(x\cos x\ln x-x\ln x\sin x+\cos x)\)

\(Q.3.(iii)\) \(\frac{e^x}{x^2\ln x}\) \(\frac{e^x(x\ln x-\ln x^2+1)}{x^3(\ln x)^2}\)

\(Q.3.(iv)\) \(\frac{e^{x}\ln x}{\cos x}\)
\(\frac{e^{x}\cos x+xe^{x}\ln x(\sin x+\cos x)}{x\cos^2 x}\)

\(Q.3.(v)\) \(x^2e^x\ln x\)
উত্তরঃ \(xe^x(\ln x^2+x\ln x+1)\)

\(Q.3.(vi)\) \(x^2\sin x\ln x\)
\( x\sin x+x\ln x(x\cos x+2\sin x)\)

\(Q.3.(vii)\) \(x\ln x\log_ax\)
উত্তরঃ \(\log_ax(\ln x+2)\)

\(Q.3.(viii)\) \(e^x\ln x(x^3+x^4)\)
\(e^x(x^2+x^3)+e^x\ln x(x^4+5x^3+3x^2)\)

\(Q.3.(ix)\) \(x^2\log_ax-x^3\ln a^x+6xe^x\ln x\)
\( x(\frac{1}{\ln a}+2\log_ax)-4x^3\ln a+6e^x(1+\ln x+x\ln x)\)

\(Q.3.(x)\) \(\frac{x\ln x}{1+\sin x}\)
উত্তরঃ \(\frac{(1+\sin x)(1+\ln x)-x\ln x\cos x}{(1+\sin x)^2}\)

\(Q.3.(xi)\) \(4e^t\sin t\)
উত্তরঃ \(4e^t(\sin t+\cos t)\)

\(Q.3.(xii)\) \(\frac{e^t+\ln t}{\sin t}\)
\(\frac{\sin t(te^t+1)-t\cos t(e^t+\ln t)}{t\sin^2 t}\)

\(Q.3.(xiii)\) \(\frac{x\cos x}{(x+1)\sin x}\)
উত্তরঃ \(\frac{\sin x\cos x-x(x+1)}{(x+1)^2\sin^2 x}\)

\(Q.3.(xiv)\) \(y=\frac{1-2x}{x^3+5}\) হলে, \(x=1\)-এর জন্য \(\frac{d}{dx}(y)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\frac{1}{4}\)

\(Q.3.(xv)\) \(u\)এবং \(f\) স্থির রাশি, \(s=ut+\frac{1}{2}ft^2\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(\frac{d}{dt}(s)=u+ft\)

\(Q.3.(xvi)\) \(f(x)=80x-16x^2\) হলে, \(\acute{f}(x)\)-এর মাণ নির্ণয় কর। \(\acute{f}(x)=16\) হলে, \(x\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(80-32x; 2\)

\(Q.3.(xvii)\) \(y=x(x^2-12)\) হলে, \(x\)-এর মাণ নির্ণয় কর যার জন্য \(\frac{d}{dx}(y)=0\)
উত্তরঃ \( x=2, -2\)

\(Q.3.(xviii)\) একটি বক্ররেখার সমীকরণ \(y=4x^2\) দেওয়া আছে। বক্ররেখাটির \(x=2\) বিন্দুতে \(\frac{d}{dx}(y)\)-এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( 16\)

\(Q.3.(xix)\) \(s=\sqrt{t}+7\) হলে \(\frac{d}{dt}(s)\)-এর মাণ নির্ণয় কর যখন, \(t=9\)
উত্তরঃ \( \frac{1}{6}\)

\(Q.3.(xx)\) \(y=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(2x\frac{dy}{dx}+y=2\sqrt{x}\)

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2 Question(s)
imonhaider
October 29, 2019, 12:15 am
\[\frac{d}{dx}(e^{x^2})=?\]
Reply
Tanmoy
October 28, 2019, 11:53 pm
\[\int{\frac{dx}{1+x^2}}=? \]
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