এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয়গুলি আলোচনা করব।
- সংযোজিত ফাংশনের অন্তরীকরণ
- অনুসিদ্ধান্ত
- বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের অন্তরীকরণ
- বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের প্রয়োজনীয় এবং স্মরণীয় সূত্রসমুহ
- সংযোজিত এবং বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের অন্তরজ নির্ণয়ের বিশেষ কৌশল।
- কোণ পরিমাপের তিনটি পদ্ধতি
- সমাধানকৃত উদাহরণমালা
- অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন-উত্তর
- সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন-উত্তর
- বর্ণনামূলক প্রশ্ন-উত্তর
সংযোজিত ফাংশনের অন্তরীকরণ।
Differentiation of composite functions.
যখন, \(y=f(z)\) এবং \(z=g(x)\).
অনুসিদ্ধান্তঃ
যখন, \(y=f(z)\), \(z=g(t)\) এবং \(t=h(x)\).
\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}.\frac{dz}{dt}.\frac{dt}{dx}\)
যখন, \(y=f(z)\), \(z=g(t)\), \(t=h(u)\) এবং \(u=\psi(x)\).
\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}.\frac{dz}{dt}.\frac{dt}{du}.\frac{du}{dx}\)
বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের অন্তরীকরণঃ
The differentiation of inverse circular function:
বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের প্রয়োজনীয় এবং স্মরণীয় সূত্রসমুহঃ
\((1)\) \(\sin(\sin^{-1} x)=x\)
\((2)\) \(\sin^{-1}(\sin x)=x\)
\((3)\) \(\cos(\cos^{-1} x)=x\)
\((4)\) \(\cos^{-1}(\cos x)=x\)
\((5)\) \(\tan(\tan^{-1} x)=x\)
\((6)\) \(\tan^{-1}(\tan x)=x\)
\((7)\) \(\sin^{-1} x+\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2}\)
\((8)\) \(\tan^{-1} x+\cot^{-1} x=\frac{\pi}{2}\)
\((2)\) \(\sin^{-1}(\sin x)=x\)
\((3)\) \(\cos(\cos^{-1} x)=x\)
\((4)\) \(\cos^{-1}(\cos x)=x\)
\((5)\) \(\tan(\tan^{-1} x)=x\)
\((6)\) \(\tan^{-1}(\tan x)=x\)
\((7)\) \(\sin^{-1} x+\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2}\)
\((8)\) \(\tan^{-1} x+\cot^{-1} x=\frac{\pi}{2}\)
\((9)\) \(\sec^{-1} x+ cosec^{-1} \ x=\frac{\pi}{2}\)
\((10)\) \(\tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)\)
\((11)\) \(\tan^{-1} x-\tan^{-1} y=\tan^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)\)
\((12)\) \(2\tan^{-1} x=\sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)\)
\((13)\) \(2\tan^{-1} x=\tan^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)\)
\((14)\) \(2\tan^{-1} x=\cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\)
\((10)\) \(\tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)\)
\((11)\) \(\tan^{-1} x-\tan^{-1} y=\tan^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)\)
\((12)\) \(2\tan^{-1} x=\sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)\)
\((13)\) \(2\tan^{-1} x=\tan^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)\)
\((14)\) \(2\tan^{-1} x=\cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\)
সংযোজিত এবং বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের অন্তরজ নির্ণয়ের বিশেষ কৌশলঃ
\(f(x)\) বীজগানিতিক ফাংশনের অন্তরজ নির্ণয়ের ক্ষেত্রে, বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনে রূপান্তর করে সরল করণের পদ্ধতিঃ
| \(f(x)\)-এর আকার | প্রতিস্থাপন |
|---|---|
| \(\sqrt{a^2-x^2}\) | \(x=a\sin \theta\) অথবা \(x=a\cos \theta\) |
| \(\sqrt{1-x^2}\) | \(x=\sin \theta\) অথবা \(x=\cos \theta\) |
| \(\sqrt{a^2+x^2}\) | \(x=a\tan \theta\) অথবা \(x=a\cot \theta\) |
| \(\sqrt{1+x^2}\) | \(x=\tan \theta\) অথবা \(x=\cot \theta\) |
| \(\sqrt{x^2-a^2}\) | \(x=a\sec \theta\) অথবা \(x=a \ cosec \ \theta\) |
| \(\sqrt{x^2-1}\) | \(x=\sec \theta\) অথবা \(x= cosec \ \theta\) |
| \(\sqrt{a+x}\) অথবা \(\sqrt{a-x}\) | \(x=a\cos 2\theta\) |
| \(\sqrt{a^2+x^2}\) এবং \(\sqrt{a^2-x^2}\) | \(x^2=a^2\cos 2\theta\) |
| \(\frac{2x}{1-x^2}\) অথবা \(\frac{2x}{1+x^2}\) অথবা \(\frac{1-x^2}{1+x^2}\) | \(x=\tan \theta\) |
| \(\frac{1+x}{1-x}\) অথবা \(\frac{1-x}{1+x}\) | \(x=\tan \theta\) |
| \(\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\) অথবা \(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\) | \(x=\cos \theta\) |
কোণ পরিমাপের তিনটি পদ্ধতিঃ
\((i)\) ষাটমূলক পদ্ধতি \((ii)\) শতমূলক পদ্ধতি \((iii)\) বৃত্তীয় পদ্ধতি
এদের মধ্যে সম্পর্কঃ
\(180^{o}=200^{g}=\pi^{c}=2\) সমকোণ।
যখন, \(y=f(z)\) এবং \(z=g(x)\).
\((1)\) \(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}.\frac{dz}{dx}\)
proof:
মনে করি,
\(x\)-এর অতিক্ষুদ্র বৃদ্ধি \(\delta x\)-এর জন্য, \(y\) ও \(z\) -এ বৃদ্ধি যথাক্রমে \(\delta y\) এবং \(\delta z\);
যেহেতু এই বৃদ্ধিগুলি সসীম,
অতএব,
\(\frac{\delta y}{\delta x}=\frac{\delta y}{\delta z}.\frac{\delta z}{\delta x}\)
\[\therefore \lim_{\delta x\rightarrow 0}\frac{\delta y}{\delta x}=\lim_{\delta x\rightarrow 0}\left(\frac{\delta y}{\delta z}.\frac{\delta z}{\delta x}\right)\]
\[=\lim_{\delta x\rightarrow 0}\frac{\delta y}{\delta z}.\lim_{\delta x\rightarrow 0}\frac{\delta z}{\delta x}\]
যেহেতু \(z, x\)-এর একটি ফাংশন,
অতএব,
\(\delta x\rightarrow 0\) হলে \(\delta z\rightarrow 0\) হবে।
\[\therefore \lim_{\delta x\rightarrow 0}\frac{\delta y}{\delta x}=\lim_{\delta x\rightarrow 0}\frac{\delta y}{\delta z}.\lim_{\delta x\rightarrow 0}\frac{\delta z}{\delta x}\]
\[\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}.\frac{dz}{dx}\] ➜ \[\because \lim_{\delta x\rightarrow 0}\frac{\delta y}{\delta x}=\frac{dy}{dx}\]
(proved)
\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}.\frac{dz}{dx}\)
\(x\)-এর অতিক্ষুদ্র বৃদ্ধি \(\delta x\)-এর জন্য, \(y\) ও \(z\) -এ বৃদ্ধি যথাক্রমে \(\delta y\) এবং \(\delta z\);
যেহেতু এই বৃদ্ধিগুলি সসীম,
অতএব,
\(\frac{\delta y}{\delta x}=\frac{\delta y}{\delta z}.\frac{\delta z}{\delta x}\)
\[\therefore \lim_{\delta x\rightarrow 0}\frac{\delta y}{\delta x}=\lim_{\delta x\rightarrow 0}\left(\frac{\delta y}{\delta z}.\frac{\delta z}{\delta x}\right)\]
\[=\lim_{\delta x\rightarrow 0}\frac{\delta y}{\delta z}.\lim_{\delta x\rightarrow 0}\frac{\delta z}{\delta x}\]
যেহেতু \(z, x\)-এর একটি ফাংশন,
অতএব,
\(\delta x\rightarrow 0\) হলে \(\delta z\rightarrow 0\) হবে।
\[\therefore \lim_{\delta x\rightarrow 0}\frac{\delta y}{\delta x}=\lim_{\delta x\rightarrow 0}\frac{\delta y}{\delta z}.\lim_{\delta x\rightarrow 0}\frac{\delta z}{\delta x}\]
\[\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}.\frac{dz}{dx}\] ➜ \[\because \lim_{\delta x\rightarrow 0}\frac{\delta y}{\delta x}=\frac{dy}{dx}\]
(proved)
যখন, \(y=f(z)\) এবং \(z=g(x)\).
\((2)\) \(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}\)
proof:
মনে করি,
\(x\)-এর অতিক্ষুদ্র বৃদ্ধি \(\delta x\)-এর জন্য, \(y\)-এর বৃদ্ধি \(\delta y\);
যেহেতু এই বৃদ্ধিগুলি সসীম,
অতএব,
\(\frac{\delta y}{\delta x}=\frac{1}{\frac{\delta x}{\delta y}}\)
\[\therefore \lim_{\delta x\rightarrow 0}\frac{\delta y}{\delta x}= \lim_{\delta x\rightarrow 0}\frac{1}{\frac{\delta x}{\delta y}}\]
\[\Rightarrow \lim_{\delta x\rightarrow 0}\frac{\delta y}{\delta x}= \frac{1}{\lim_{\delta x\rightarrow 0}\frac{\delta x}{\delta y}}\]
\[\Rightarrow \frac{dy}{dx}= \frac{1}{\frac{dx}{dy}}\] ➜ \[\because \lim_{\delta x\rightarrow 0}\frac{\delta y}{\delta x}=\frac{dy}{dx}\]
(proved)
\(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}\)
\(x\)-এর অতিক্ষুদ্র বৃদ্ধি \(\delta x\)-এর জন্য, \(y\)-এর বৃদ্ধি \(\delta y\);
যেহেতু এই বৃদ্ধিগুলি সসীম,
অতএব,
\(\frac{\delta y}{\delta x}=\frac{1}{\frac{\delta x}{\delta y}}\)
\[\therefore \lim_{\delta x\rightarrow 0}\frac{\delta y}{\delta x}= \lim_{\delta x\rightarrow 0}\frac{1}{\frac{\delta x}{\delta y}}\]
\[\Rightarrow \lim_{\delta x\rightarrow 0}\frac{\delta y}{\delta x}= \frac{1}{\lim_{\delta x\rightarrow 0}\frac{\delta x}{\delta y}}\]
\[\Rightarrow \frac{dy}{dx}= \frac{1}{\frac{dx}{dy}}\] ➜ \[\because \lim_{\delta x\rightarrow 0}\frac{\delta y}{\delta x}=\frac{dy}{dx}\]
(proved)
\((1)\) \(\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
proof:
মনে করি,
\(\sin^{-1} x=y\)
\(\Rightarrow x=\sin y\)
\(\therefore \frac{d}{dy}(x)=\frac{d}{dy}(\sin y)\) ➜ \(y\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\cos y\)
\(=\sqrt{1-\sin^2 y}\) ➜ \(\because \cos A=\sqrt{1-\sin^2 A}\)
\(=\sqrt{1-x^2}\) ➜ \(\because x=\sin y\)
\(\therefore \frac{dx}{dy}=\sqrt{1-x^2}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
(proved)
\(\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\sin^{-1} x=y\)
\(\Rightarrow x=\sin y\)
\(\therefore \frac{d}{dy}(x)=\frac{d}{dy}(\sin y)\) ➜ \(y\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\cos y\)
\(=\sqrt{1-\sin^2 y}\) ➜ \(\because \cos A=\sqrt{1-\sin^2 A}\)
\(=\sqrt{1-x^2}\) ➜ \(\because x=\sin y\)
\(\therefore \frac{dx}{dy}=\sqrt{1-x^2}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
(proved)
\((2)\) \(\frac{d}{dx}(\cos^{-1} x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
proof:
মনে করি,
\(\cos^{-1} x=y\)
\(\Rightarrow x=\cos y\)
\(\therefore \frac{d}{dy}(x)=\frac{d}{dy}(\cos y)\) ➜ \(y\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=-\sin y\)
\(=-\sqrt{1-\cos^2 y}\) ➜ \(\because \sin A=\sqrt{1-\cos^2 A}\)
\(=-\sqrt{1-x^2}\) ➜ \(\because x=\cos y\)
\(\therefore \frac{dx}{dy}=-\sqrt{1-x^2}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(\cos^{-1} x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
(proved)
\(\frac{d}{dx}(\cos^{-1} x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\cos^{-1} x=y\)
\(\Rightarrow x=\cos y\)
\(\therefore \frac{d}{dy}(x)=\frac{d}{dy}(\cos y)\) ➜ \(y\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=-\sin y\)
\(=-\sqrt{1-\cos^2 y}\) ➜ \(\because \sin A=\sqrt{1-\cos^2 A}\)
\(=-\sqrt{1-x^2}\) ➜ \(\because x=\cos y\)
\(\therefore \frac{dx}{dy}=-\sqrt{1-x^2}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(\cos^{-1} x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
(proved)
\((3)\) \(\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}\)
proof:
মনে করি,
\(\tan^{-1} x=y\)
\(\Rightarrow x=\tan y\)
\(\therefore \frac{d}{dy}(x)=\frac{d}{dy}(\tan y)\) ➜ \(y\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\sec^2 y\)
\(=1+\tan^2 y\) ➜ \(\because \sec^2 A=1+\tan^2 A\)
\(=1+x^2\) ➜ \(\because x=\tan y\)
\(\therefore \frac{dx}{dy}=1+x^2\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+x^2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{1}{1+x^2}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}\)
(proved)
\(\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}\)
\(\tan^{-1} x=y\)
\(\Rightarrow x=\tan y\)
\(\therefore \frac{d}{dy}(x)=\frac{d}{dy}(\tan y)\) ➜ \(y\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\sec^2 y\)
\(=1+\tan^2 y\) ➜ \(\because \sec^2 A=1+\tan^2 A\)
\(=1+x^2\) ➜ \(\because x=\tan y\)
\(\therefore \frac{dx}{dy}=1+x^2\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+x^2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{1}{1+x^2}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}\)
(proved)
\((4)\) \(\frac{d}{dx}(cosec^{-1} \ x)=-\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\)
proof:
মনে করি,
\(cosec^{-1} \ x=y\)
\(\Rightarrow x=cosec \ y\)
\(\therefore \frac{d}{dy}(x)=\frac{d}{dy}(cosec \ y)\) ➜ \(y\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=-cosec \ y\cot y\)
\(=-cosec \ y\sqrt{cosec^2 \ y-1}\) ➜ \(\because \cot A=\sqrt{cosec^2 \ A-1}\)
\(=-x\sqrt{x^2-1}\) ➜ \(\because x=cosec \ y\)
\(\therefore \frac{dx}{dy}=-x\sqrt{x^2-1}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=-\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(cosec^{-1} \ x)=-\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\)
(proved)
\(\frac{d}{dx}(cosec^{-1} \ x)=-\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\)
\(cosec^{-1} \ x=y\)
\(\Rightarrow x=cosec \ y\)
\(\therefore \frac{d}{dy}(x)=\frac{d}{dy}(cosec \ y)\) ➜ \(y\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=-cosec \ y\cot y\)
\(=-cosec \ y\sqrt{cosec^2 \ y-1}\) ➜ \(\because \cot A=\sqrt{cosec^2 \ A-1}\)
\(=-x\sqrt{x^2-1}\) ➜ \(\because x=cosec \ y\)
\(\therefore \frac{dx}{dy}=-x\sqrt{x^2-1}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=-\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(cosec^{-1} \ x)=-\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\)
(proved)
\((5)\) \(\frac{d}{dx}(\sec^{-1} x)=\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\)
proof:
মনে করি,
\(\sec^{-1} x=y\)
\(\Rightarrow x=\sec y\)
\(\therefore \frac{d}{dy}(x)=\frac{d}{dy}(\sec y)\) ➜ \(y\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\sec y\tan y\)
\(=\sec y\sqrt{\sec^2 y-1}\) ➜ \(\because \tan A=\sqrt{\sec^2 A-1}\)
\(=x\sqrt{x^2-1}\) ➜ \(\because x=\sec y\)
\(\therefore \frac{dx}{dy}=x\sqrt{x^2-1}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(\sec^{-1} x)=\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\)
(proved)
\(\frac{d}{dx}(\sec^{-1} x)=\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\)
\(\sec^{-1} x=y\)
\(\Rightarrow x=\sec y\)
\(\therefore \frac{d}{dy}(x)=\frac{d}{dy}(\sec y)\) ➜ \(y\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\sec y\tan y\)
\(=\sec y\sqrt{\sec^2 y-1}\) ➜ \(\because \tan A=\sqrt{\sec^2 A-1}\)
\(=x\sqrt{x^2-1}\) ➜ \(\because x=\sec y\)
\(\therefore \frac{dx}{dy}=x\sqrt{x^2-1}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(\sec^{-1} x)=\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\)
(proved)
\((6)\) \(\frac{d}{dx}(\cot^{-1} x)=-\frac{1}{1+x^2}\)
proof:
মনে করি,
\(\cot^{-1} x=y\)
\(\Rightarrow x=\cot y\)
\(\therefore \frac{d}{dy}(x)=\frac{d}{dy}(\cot y)\) ➜ \(y\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=-cosec^2 \ y\)
\(=-(1+\cot^2 y)\) ➜ \(\because cosec^2 \ A=1+\cot^2 A\)
\(=-(1+x^2)\) ➜ \(\because x=\cot y\)
\(\therefore \frac{dx}{dy}=-(1+x^2)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{1+x^2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=-\frac{1}{1+x^2}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(\cot^{-1} x)=-\frac{1}{1+x^2}\)
(proved)
\(\frac{d}{dx}(\cot^{-1} x)=-\frac{1}{1+x^2}\)
\(\cot^{-1} x=y\)
\(\Rightarrow x=\cot y\)
\(\therefore \frac{d}{dy}(x)=\frac{d}{dy}(\cot y)\) ➜ \(y\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=-cosec^2 \ y\)
\(=-(1+\cot^2 y)\) ➜ \(\because cosec^2 \ A=1+\cot^2 A\)
\(=-(1+x^2)\) ➜ \(\because x=\cot y\)
\(\therefore \frac{dx}{dy}=-(1+x^2)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{1+x^2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=-\frac{1}{1+x^2}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(\cot^{-1} x)=-\frac{1}{1+x^2}\)
(proved)
অনুশীলনী \(9.D\) উদাহরণ সমুহ
নিচের ফাংশনগুলির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর।
\((1)\) \(\sin x^3\)
উত্তরঃ \( 3x^2\cos x^3\)
\((2)\) \(\sqrt[3]{5x^2-4}\)
উত্তরঃ \(\frac{10x}{3\sqrt[3]{(5x^2-4)^2}}\)
\((3)\) \(\sqrt{x^2+a^2}\)
উত্তরঃ \( \frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}\)
\((4)\) \((ax+b)^n\)
উত্তরঃ \(na(ax+b)^{n-1}\)
\((5)\) \(\sin^{-1} ax\)
উত্তরঃ \( \frac{a}{\sqrt{1-a^2x^2}}\)
\((6)\) \(\tan^{-1} \sqrt{x}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}\)
\((7)\) \(x\tan^{-1} x\)
উত্তরঃ \( \frac{x}{1+x^2}+\tan^{-1} x\)
\((8)\) \(\sin(\ln \tan x)\)
উত্তরঃ \(\cos(\ln \tan x)\sec^2 x\cot x\)
\((9)\) \(\log_x2x\)
উত্তরঃ \( -\frac{\ln 2}{x(\ln x)^2}\)
\((10)\) \((2-3x)^{-\frac{2}{5}}\)
উত্তরঃ \(\frac{6}{5}(2-3x)^{-\frac{7}{5}}\)
\((11)\) \(\ln (e^x+e^{-x})\)
[ কুঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \( \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\)
\((12)\) \(\sin \sqrt{x}\)
[ সিঃ ২০১২; কুঃ ২০১৪,২০১৩ ]
উত্তরঃ \(\frac{\cos \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\)
\((13)\) \(\sqrt{\sin x}\)
উত্তরঃ \( \frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}\)
\((14)\) \(\sqrt{\sin \sqrt{x}}\)
[ ঢাঃ ২০০৭, ২০০৫; চঃ ২০১৫; সিঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{\cos \sqrt{x}}{4\sqrt{x\sin \sqrt{x}}}\)
\((15)\) \(2x^{o}\cos 3x^{o}\)
[ রাঃ ২০১৪, ২০০৭; চঃ ২০০৩; কুঃ ২০১৩, ২০১০, ২০০৫; যঃ ২০০৫, ২০১২; সিঃ২০১১, ২০০৮, ২০০৬;দিঃ ২০১১, ২০০৯; বঃ ২০১৪, ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{90}\left(\cos \frac{\pi x}{60}+\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}\right)\)
\((16)\) \(\tan^{-1} (e^x)\)
[ ঢাঃ ২০০৮; যঃ ২০০৪; কুঃ ২০০৪; বঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{e^x}{1+e^{2x}}\)
উত্তরঃ \( 3x^2\cos x^3\)
\((2)\) \(\sqrt[3]{5x^2-4}\)
উত্তরঃ \(\frac{10x}{3\sqrt[3]{(5x^2-4)^2}}\)
\((3)\) \(\sqrt{x^2+a^2}\)
উত্তরঃ \( \frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}\)
\((4)\) \((ax+b)^n\)
উত্তরঃ \(na(ax+b)^{n-1}\)
\((5)\) \(\sin^{-1} ax\)
উত্তরঃ \( \frac{a}{\sqrt{1-a^2x^2}}\)
\((6)\) \(\tan^{-1} \sqrt{x}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}\)
\((7)\) \(x\tan^{-1} x\)
উত্তরঃ \( \frac{x}{1+x^2}+\tan^{-1} x\)
\((8)\) \(\sin(\ln \tan x)\)
উত্তরঃ \(\cos(\ln \tan x)\sec^2 x\cot x\)
\((9)\) \(\log_x2x\)
উত্তরঃ \( -\frac{\ln 2}{x(\ln x)^2}\)
\((10)\) \((2-3x)^{-\frac{2}{5}}\)
উত্তরঃ \(\frac{6}{5}(2-3x)^{-\frac{7}{5}}\)
\((11)\) \(\ln (e^x+e^{-x})\)
[ কুঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \( \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\)
\((12)\) \(\sin \sqrt{x}\)
[ সিঃ ২০১২; কুঃ ২০১৪,২০১৩ ]
উত্তরঃ \(\frac{\cos \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\)
\((13)\) \(\sqrt{\sin x}\)
উত্তরঃ \( \frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}\)
\((14)\) \(\sqrt{\sin \sqrt{x}}\)
[ ঢাঃ ২০০৭, ২০০৫; চঃ ২০১৫; সিঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{\cos \sqrt{x}}{4\sqrt{x\sin \sqrt{x}}}\)
\((15)\) \(2x^{o}\cos 3x^{o}\)
[ রাঃ ২০১৪, ২০০৭; চঃ ২০০৩; কুঃ ২০১৩, ২০১০, ২০০৫; যঃ ২০০৫, ২০১২; সিঃ২০১১, ২০০৮, ২০০৬;দিঃ ২০১১, ২০০৯; বঃ ২০১৪, ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{90}\left(\cos \frac{\pi x}{60}+\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}\right)\)
\((16)\) \(\tan^{-1} (e^x)\)
[ ঢাঃ ২০০৮; যঃ ২০০৪; কুঃ ২০০৪; বঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{e^x}{1+e^{2x}}\)
\((17)\) \(\tan (\sin^{-1} x)\)
[ ঢাঃ ২০১০, ২০১২; সিঃ ২০১৩; যঃ ২০১০; রাঃ ২০০৮; কুঃ ২০১১, ২০০৮; চঃ ২০০৯; সিঃ ২০১০; বঃ ২০০৯, ২০১২; মাঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}}\)
\((18)\) \(x^2\sin^{-1} (1-x)\)
[ ঢাঃ ২০১৪; রাঃ ২০০৬; দিঃ ২০১২; বঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(2x\sin^{-1} (1-x)-\frac{x^2}{\sqrt{2x-x^2}}\)
\((19)\) \(\sqrt{\sin^{-1} x^5}\)
[ ঢাঃ ২০১৫; বঃ ২০০৬, ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(\frac{5x^4}{2\sqrt{\sin^{-1} x^5}\sqrt{1-x^{10}}}\)
\((20)\) \(\tan^{-1} \frac{4\sqrt{x}}{1-4x}\)
[ রাঃ ২০০৬, ২০০৪; চঃ ২০০৯; সিঃ ২০০৯; বঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(\frac{2}{\sqrt{x}(1+4x)}\)
\((21)\) \(\cos^{-1} (2x\sqrt{1-x^2})\)
[ ঢাঃ,কুঃ,যঃ ২০১০; বঃ ২০১৬ ]
উত্তরঃ \(-\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}\)
\((22)\) \(\cot^{-1} \left(\frac{1+x}{1-x}\right)\)
[ ঢাঃ২০০৬; রাঃ ২০১৪, ২০০৭; যঃ ২০০৭, ২০০৫; সিঃ ২০০৮, ২০০৪; কুঃ ২০০৩; মাঃ ২০১৪, ২০১১; বঃ ২০১৪ ]
উত্তরঃ \(-\frac{1}{1+x^2}\)
\((23)\) \(\cos \sqrt{x}\)
[ সিঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(-\frac{\sin \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\)
\((24)\) \(\sin^2 (\ln x)^2\)
[ যঃ,বঃ ২০০১ ]
উত্তরঃ \(\frac{2\ln x}{x}\sin 2(\ln x)^2\)
\((25)\) \((\sin x)^2\)
উত্তরঃ \(\sin 2x\)
\((26)\) \(\ln (\tan 5x)\)
উত্তরঃ \(\frac{5\sec^2 5x}{\tan 5x}\)
\((27)\) \(\sin (ax+b)\)
উত্তরঃ \(a\cos (ax+b)\)
\((28)\) \(\cos (ax+b)\)
উত্তরঃ \(-a\sin (ax+b)\)
\((29)\) \(\tan (ax+b)\)
উত্তরঃ \(a\sec^2 (ax+b)\)
\((30)\) \(e^{ax+b}\)
উত্তরঃ \(ae^{ax+b}\)
\((31)\) \(\ln (ax+b)\)
উত্তরঃ \(\frac{a}{ax+b}\)
[ ঢাঃ ২০১০, ২০১২; সিঃ ২০১৩; যঃ ২০১০; রাঃ ২০০৮; কুঃ ২০১১, ২০০৮; চঃ ২০০৯; সিঃ ২০১০; বঃ ২০০৯, ২০১২; মাঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}}\)
\((18)\) \(x^2\sin^{-1} (1-x)\)
[ ঢাঃ ২০১৪; রাঃ ২০০৬; দিঃ ২০১২; বঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(2x\sin^{-1} (1-x)-\frac{x^2}{\sqrt{2x-x^2}}\)
\((19)\) \(\sqrt{\sin^{-1} x^5}\)
[ ঢাঃ ২০১৫; বঃ ২০০৬, ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(\frac{5x^4}{2\sqrt{\sin^{-1} x^5}\sqrt{1-x^{10}}}\)
\((20)\) \(\tan^{-1} \frac{4\sqrt{x}}{1-4x}\)
[ রাঃ ২০০৬, ২০০৪; চঃ ২০০৯; সিঃ ২০০৯; বঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(\frac{2}{\sqrt{x}(1+4x)}\)
\((21)\) \(\cos^{-1} (2x\sqrt{1-x^2})\)
[ ঢাঃ,কুঃ,যঃ ২০১০; বঃ ২০১৬ ]
উত্তরঃ \(-\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}\)
\((22)\) \(\cot^{-1} \left(\frac{1+x}{1-x}\right)\)
[ ঢাঃ২০০৬; রাঃ ২০১৪, ২০০৭; যঃ ২০০৭, ২০০৫; সিঃ ২০০৮, ২০০৪; কুঃ ২০০৩; মাঃ ২০১৪, ২০১১; বঃ ২০১৪ ]
উত্তরঃ \(-\frac{1}{1+x^2}\)
\((23)\) \(\cos \sqrt{x}\)
[ সিঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(-\frac{\sin \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\)
\((24)\) \(\sin^2 (\ln x)^2\)
[ যঃ,বঃ ২০০১ ]
উত্তরঃ \(\frac{2\ln x}{x}\sin 2(\ln x)^2\)
\((25)\) \((\sin x)^2\)
উত্তরঃ \(\sin 2x\)
\((26)\) \(\ln (\tan 5x)\)
উত্তরঃ \(\frac{5\sec^2 5x}{\tan 5x}\)
\((27)\) \(\sin (ax+b)\)
উত্তরঃ \(a\cos (ax+b)\)
\((28)\) \(\cos (ax+b)\)
উত্তরঃ \(-a\sin (ax+b)\)
\((29)\) \(\tan (ax+b)\)
উত্তরঃ \(a\sec^2 (ax+b)\)
\((30)\) \(e^{ax+b}\)
উত্তরঃ \(ae^{ax+b}\)
\((31)\) \(\ln (ax+b)\)
উত্তরঃ \(\frac{a}{ax+b}\)
নিচের ফাংশনগুটির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর।
\((1)\) \(\sin x^3\)
উত্তরঃ \( 3x^2\cos x^3\)
উত্তরঃ \( 3x^2\cos x^3\)
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=\sin x^3\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sin x^3)\) | \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\sin x^3).\frac{d}{dx}(x^3)\) ➜ \(x^3\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\cos x^3.3x^2\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x, \frac{d}{dx}(x^{n})=nx^{n-1}\)
\(=3x^2\cos x^3\)
\(y=\sin x^3\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sin x^3)\) | \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\sin x^3).\frac{d}{dx}(x^3)\) ➜ \(x^3\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\cos x^3.3x^2\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x, \frac{d}{dx}(x^{n})=nx^{n-1}\)
\(=3x^2\cos x^3\)
নিচের ফাংশনগুটির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর।
\((2)\) \(\sqrt[3]{5x^2-4}\)
উত্তরঃ \(\frac{10x}{3\sqrt[3]{(5x^2-4)^2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{10x}{3\sqrt[3]{(5x^2-4)^2}}\)
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=\sqrt[3]{5x^2-4}\)
\(=(5x^2-4)^{\frac{1}{3}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{(5x^2-4)^{\frac{1}{3}}\}\) | \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(5x^2-4)^{\frac{1}{3}}.\frac{d}{dx}(5x^2-4)\) ➜ \((5x^2-4)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{3}(5x^2-4)^{\frac{1}{3}-1}.\{\frac{d}{dx}(5x^2)-\frac{d}{dx}(4)\}\)
\(=\frac{1}{3}(5x^2-4)^{\frac{1-3}{3}}\{5\frac{d}{dx}(x^2)-\frac{d}{dx}(4)\}\)
\(=\frac{1}{3}(5x^2-4)^{\frac{-2}{3}}\{5.2x-0\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x^{n})=nx^{n-1}\)
\(=\frac{1}{3}(5x^2-4)^{\frac{-2}{3}}.10x\)
\(=\frac{10x}{3(5x^2-4)^{\frac{2}{3}}}\)
\(=\frac{10x}{3\sqrt[3]{(5x^2-4)^2}}\)
\(y=\sqrt[3]{5x^2-4}\)
\(=(5x^2-4)^{\frac{1}{3}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{(5x^2-4)^{\frac{1}{3}}\}\) | \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(5x^2-4)^{\frac{1}{3}}.\frac{d}{dx}(5x^2-4)\) ➜ \((5x^2-4)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{3}(5x^2-4)^{\frac{1}{3}-1}.\{\frac{d}{dx}(5x^2)-\frac{d}{dx}(4)\}\)
\(=\frac{1}{3}(5x^2-4)^{\frac{1-3}{3}}\{5\frac{d}{dx}(x^2)-\frac{d}{dx}(4)\}\)
\(=\frac{1}{3}(5x^2-4)^{\frac{-2}{3}}\{5.2x-0\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x^{n})=nx^{n-1}\)
\(=\frac{1}{3}(5x^2-4)^{\frac{-2}{3}}.10x\)
\(=\frac{10x}{3(5x^2-4)^{\frac{2}{3}}}\)
\(=\frac{10x}{3\sqrt[3]{(5x^2-4)^2}}\)
নিচের ফাংশনগুটির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর।
\((3)\) \(\sqrt{x^2+a^2}\)
উত্তরঃ \( \frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}\)
উত্তরঃ \( \frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}\)
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=\sqrt{x^2+a^2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sqrt{x^2+a^2})\) | \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\sqrt{x^2+a^2}).\frac{d}{dx}(x^2+a^2)\) ➜ \((x^2+a^2)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{2\sqrt{x^2+a^2}}.\{\frac{d}{dx}(x^2)-\frac{d}{dx}(a^2)\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{x^2+a^2}}.\{2x-0\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x^{n})=nx^{n-1}\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{x^2+a^2}}.2x\)
\(=\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}\)
\(y=\sqrt{x^2+a^2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sqrt{x^2+a^2})\) | \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\sqrt{x^2+a^2}).\frac{d}{dx}(x^2+a^2)\) ➜ \((x^2+a^2)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{2\sqrt{x^2+a^2}}.\{\frac{d}{dx}(x^2)-\frac{d}{dx}(a^2)\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{x^2+a^2}}.\{2x-0\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x^{n})=nx^{n-1}\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{x^2+a^2}}.2x\)
\(=\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}\)
বিকল্প পদ্ধতিঃ
ধরি,
\(y=\sqrt{x^2+a^2}\)
\(=(x^2+a^2)^{\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{(x^2+a^2)^{\frac{1}{2}}\}\) | \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(x^2+a^2)^{\frac{1}{2}}.\frac{d}{dx}(x^2+a^2)\) ➜ \((x^2+a^2)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{2}(x^2+a^2)^{\frac{1}{2}-1}.\{\frac{d}{dx}(x^2)-\frac{d}{dx}(a^2)\}\)
\(=\frac{1}{2}(x^2+a^2)^{\frac{1-2}{2}}\{2x-0\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x^{n})=nx^{n-1}\)
\(=\frac{1}{2}(x^2+a^2)^{\frac{-1}{2}}.2x\)
\(=x(x^2+a^2)^{\frac{-1}{2}}\)
\(=\frac{x}{(x^2+a^2)^{\frac{1}{2}}}\)
\(=\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}\)
\(y=\sqrt{x^2+a^2}\)
\(=(x^2+a^2)^{\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{(x^2+a^2)^{\frac{1}{2}}\}\) | \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(x^2+a^2)^{\frac{1}{2}}.\frac{d}{dx}(x^2+a^2)\) ➜ \((x^2+a^2)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{2}(x^2+a^2)^{\frac{1}{2}-1}.\{\frac{d}{dx}(x^2)-\frac{d}{dx}(a^2)\}\)
\(=\frac{1}{2}(x^2+a^2)^{\frac{1-2}{2}}\{2x-0\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x^{n})=nx^{n-1}\)
\(=\frac{1}{2}(x^2+a^2)^{\frac{-1}{2}}.2x\)
\(=x(x^2+a^2)^{\frac{-1}{2}}\)
\(=\frac{x}{(x^2+a^2)^{\frac{1}{2}}}\)
\(=\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}\)
নিচের ফাংশনগুটির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর।
\((4)\) \((ax+b)^n\)
উত্তরঃ \(na(ax+b)^{n-1}\)
উত্তরঃ \(na(ax+b)^{n-1}\)
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=(ax+b)^n\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{(ax+b)^n\}\) | \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(ax+b)^n.\frac{d}{dx}(ax+b)\) ➜ \((ax+b)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=n(ax+b)^{n-1}\{\frac{d}{dx}(ax)+\frac{d}{dx}(b)\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^{n})=nx^{n-1}\)
\(=n(ax+b)^{n-1}\{a\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(b)\}\)
\(=n(ax+b)^{n-1}\{a.1+0\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=n(ax+b)^{n-1}.a\)
\(=na(ax+b)^{n-1}\)
\(y=(ax+b)^n\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{(ax+b)^n\}\) | \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(ax+b)^n.\frac{d}{dx}(ax+b)\) ➜ \((ax+b)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=n(ax+b)^{n-1}\{\frac{d}{dx}(ax)+\frac{d}{dx}(b)\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^{n})=nx^{n-1}\)
\(=n(ax+b)^{n-1}\{a\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(b)\}\)
\(=n(ax+b)^{n-1}\{a.1+0\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=n(ax+b)^{n-1}.a\)
\(=na(ax+b)^{n-1}\)
নিচের ফাংশনগুটির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর।
\((5)\) \(\sin^{-1} ax\)
উত্তরঃ \( \frac{a}{\sqrt{1-a^2x^2}}\)
উত্তরঃ \( \frac{a}{\sqrt{1-a^2x^2}}\)
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=\sin^{-1} ax\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sin^{-1} ax)\) | \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\sin^{-1} ax).\frac{d}{dx}(ax)\) ➜ \((ax)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{\sqrt{1-a^2x^2}}.a\frac{d}{dx}(x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{1-a^2x^2}}.a.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{a}{\sqrt{1-a^2x^2}}\)
\(y=\sin^{-1} ax\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sin^{-1} ax)\) | \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\sin^{-1} ax).\frac{d}{dx}(ax)\) ➜ \((ax)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{\sqrt{1-a^2x^2}}.a\frac{d}{dx}(x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{1-a^2x^2}}.a.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{a}{\sqrt{1-a^2x^2}}\)
নিচের ফাংশনগুটির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর।
\((6)\) \(\tan^{-1} \sqrt{x}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}\)
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=\tan^{-1} \sqrt{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\tan^{-1} \sqrt{x})\) | \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\tan^{-1} \sqrt{x}).\frac{d}{dx}(\sqrt{x})\) ➜ \((\sqrt{x})\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{1+(\sqrt{x})^2}.\frac{1}{2\sqrt{x}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}, \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=\frac{1}{1+x}.\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}\)
\(y=\tan^{-1} \sqrt{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\tan^{-1} \sqrt{x})\) | \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\tan^{-1} \sqrt{x}).\frac{d}{dx}(\sqrt{x})\) ➜ \((\sqrt{x})\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{1+(\sqrt{x})^2}.\frac{1}{2\sqrt{x}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}, \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=\frac{1}{1+x}.\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}\)
নিচের ফাংশনগুটির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর।
\((7)\) \(x\tan^{-1} x\)
উত্তরঃ \( \frac{x}{1+x^2}+\tan^{-1} x\)
উত্তরঃ \( \frac{x}{1+x^2}+\tan^{-1} x\)
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=x\tan^{-1} x\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x\tan^{-1} x)\) | \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=x\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)+\tan^{-1} x\frac{d}{dx}(x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=x.\frac{1}{1+x^2}+\tan^{-1} x.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{x}{1+x^2}+\tan^{-1} x\)
\(y=x\tan^{-1} x\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x\tan^{-1} x)\) | \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=x\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)+\tan^{-1} x\frac{d}{dx}(x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=x.\frac{1}{1+x^2}+\tan^{-1} x.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{x}{1+x^2}+\tan^{-1} x\)
নিচের ফাংশনগুটির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর।
\((8)\) \(\sin(\ln \tan x)\)
উত্তরঃ \(\cos(\ln \tan x)\sec^2 x\cot x\)
উত্তরঃ \(\cos(\ln \tan x)\sec^2 x\cot x\)
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=\sin(\ln \tan x)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\sin(\ln \tan x)\}\) | \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\sin(\ln \tan x)\}.\frac{d}{dx}(\ln \tan x).\frac{d}{dx}(\tan x)\) ➜ \((\ln \tan x)\) এবং \((\tan x)\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\{\cos(\ln \tan x)\}.\frac{1}{\tan x}.\sec^2 x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x, \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2 x\)
\(=\{\cos(\ln \tan x)\}.\cot x.\sec^2 x\)
\(=\{\cos(\ln \tan x)\}\sec^2 x\cot x\)
\(y=\sin(\ln \tan x)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\sin(\ln \tan x)\}\) | \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\sin(\ln \tan x)\}.\frac{d}{dx}(\ln \tan x).\frac{d}{dx}(\tan x)\) ➜ \((\ln \tan x)\) এবং \((\tan x)\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\{\cos(\ln \tan x)\}.\frac{1}{\tan x}.\sec^2 x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x, \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2 x\)
\(=\{\cos(\ln \tan x)\}.\cot x.\sec^2 x\)
\(=\{\cos(\ln \tan x)\}\sec^2 x\cot x\)
নিচের ফাংশনগুটির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর।
\((9)\) \(\log_x2x\)
উত্তরঃ \( -\frac{\ln 2}{x(\ln x)^2}\)
উত্তরঃ \( -\frac{\ln 2}{x(\ln x)^2}\)
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=\log_x2x\)
\(=\log_e2x.\log_xe\)
\(=\ln 2x.\frac{1}{\ln x}\)
\(=\frac{\ln 2x}{\ln x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln 2x}{\ln x}\right)\) | \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{\ln x\frac{d}{dx}(\ln 2x)-\ln 2x\frac{d}{dx}(\ln x)}{(\ln x)^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\frac{u}{v})=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{\ln x.\frac{1}{2x}.\frac{d}{dx}(2x)-\ln 2x.\frac{1}{x}}{(\ln x)^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}\)
\(=\frac{\frac{\ln x}{2x}.2\frac{d}{dx}(x)-\frac{\ln 2x}{x}}{(\ln x)^2}\)
\(=\frac{\frac{\ln x}{2x}.2.1-\frac{\ln 2x}{x}}{(\ln x)^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{\frac{\ln x}{x}-\frac{\ln 2x}{x}}{(\ln x)^2}\)
\(=\frac{\frac{\ln x-\ln 2x}{x}}{(\ln x)^2}\)
\(=\frac{\ln x-\ln 2x}{x(\ln x)^2}\)
\(=\frac{\ln (\frac{x}{2x})}{x(\ln x)^2}\) ➜ \(\because \ln M-\ln N=\ln (\frac{M}{N})\)
\(=\frac{\ln (\frac{1}{2})}{x(\ln x)^2}\)
\(=\frac{\ln 2^{-1}}{x(\ln x)^2}\)
\(=\frac{-\ln 2}{x(\ln x)^2}\)
\(=-\frac{\ln 2}{x(\ln x)^2}\)
\(y=\log_x2x\)
\(=\log_e2x.\log_xe\)
\(=\ln 2x.\frac{1}{\ln x}\)
\(=\frac{\ln 2x}{\ln x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln 2x}{\ln x}\right)\) | \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{\ln x\frac{d}{dx}(\ln 2x)-\ln 2x\frac{d}{dx}(\ln x)}{(\ln x)^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\frac{u}{v})=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{\ln x.\frac{1}{2x}.\frac{d}{dx}(2x)-\ln 2x.\frac{1}{x}}{(\ln x)^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}\)
\(=\frac{\frac{\ln x}{2x}.2\frac{d}{dx}(x)-\frac{\ln 2x}{x}}{(\ln x)^2}\)
\(=\frac{\frac{\ln x}{2x}.2.1-\frac{\ln 2x}{x}}{(\ln x)^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{\frac{\ln x}{x}-\frac{\ln 2x}{x}}{(\ln x)^2}\)
\(=\frac{\frac{\ln x-\ln 2x}{x}}{(\ln x)^2}\)
\(=\frac{\ln x-\ln 2x}{x(\ln x)^2}\)
\(=\frac{\ln (\frac{x}{2x})}{x(\ln x)^2}\) ➜ \(\because \ln M-\ln N=\ln (\frac{M}{N})\)
\(=\frac{\ln (\frac{1}{2})}{x(\ln x)^2}\)
\(=\frac{\ln 2^{-1}}{x(\ln x)^2}\)
\(=\frac{-\ln 2}{x(\ln x)^2}\)
\(=-\frac{\ln 2}{x(\ln x)^2}\)
নিচের ফাংশনগুটির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর।
\((10)\) \((2-3x)^{-\frac{2}{5}}\)
উত্তরঃ \(\frac{6}{5}(2-3x)^{-\frac{7}{5}}\)
উত্তরঃ \(\frac{6}{5}(2-3x)^{-\frac{7}{5}}\)
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=(2-3x)^{-\frac{2}{5}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{(2-3x)^{-\frac{2}{5}}\}\) | \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{(2-3x)^{-\frac{2}{5}}\}.\frac{d}{dx}(2-3x)\) ➜ \((2-3x)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=-\frac{2}{5}(2-3x)^{-\frac{2}{5}-1}.\{\frac{d}{dx}(2)-\frac{d}{dx}(3x)\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=-\frac{2}{5}(2-3x)^{\frac{-2-5}{5}}.\{\frac{d}{dx}(2)-3\frac{d}{dx}(x)\}\)
\(=-\frac{2}{5}(2-3x)^{\frac{-7}{5}}.\{0-3.1\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=-\frac{2}{5}(2-3x)^{\frac{-7}{5}}.(-3)\)
\(=\frac{6}{5}(2-3x)^{-\frac{7}{5}}\)
\(y=(2-3x)^{-\frac{2}{5}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{(2-3x)^{-\frac{2}{5}}\}\) | \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{(2-3x)^{-\frac{2}{5}}\}.\frac{d}{dx}(2-3x)\) ➜ \((2-3x)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=-\frac{2}{5}(2-3x)^{-\frac{2}{5}-1}.\{\frac{d}{dx}(2)-\frac{d}{dx}(3x)\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=-\frac{2}{5}(2-3x)^{\frac{-2-5}{5}}.\{\frac{d}{dx}(2)-3\frac{d}{dx}(x)\}\)
\(=-\frac{2}{5}(2-3x)^{\frac{-7}{5}}.\{0-3.1\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=-\frac{2}{5}(2-3x)^{\frac{-7}{5}}.(-3)\)
\(=\frac{6}{5}(2-3x)^{-\frac{7}{5}}\)
নিচের ফাংশনগুটির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর।
\((11)\) \(\ln (e^x+e^{-x})\)
[ কুঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \( \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\)
[ কুঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \( \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\)
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=\ln (e^x+e^{-x})\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\ln (e^x+e^{-x})\}\) | \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\ln (e^x+e^{-x})\}.\frac{d}{dx}(e^x+e^{-x})\) ➜ \((e^x+e^{-x})\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{e^x+e^{-x}}.\{\frac{d}{dx}(e^x)+\frac{d}{dx}(e^{-x})\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}\)
\(=\frac{1}{e^x+e^{-x}}.\{e^x+e^{-x}.\frac{d}{dx}(-x)\}\) ➜ \((-x)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{e^x+e^{-x}}.\{e^x+e^{-x}.(-1)\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{1}{e^x+e^{-x}}.(e^x-e^{-x})\)
\(=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\)
\(y=\ln (e^x+e^{-x})\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\ln (e^x+e^{-x})\}\) | \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\ln (e^x+e^{-x})\}.\frac{d}{dx}(e^x+e^{-x})\) ➜ \((e^x+e^{-x})\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{e^x+e^{-x}}.\{\frac{d}{dx}(e^x)+\frac{d}{dx}(e^{-x})\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}\)
\(=\frac{1}{e^x+e^{-x}}.\{e^x+e^{-x}.\frac{d}{dx}(-x)\}\) ➜ \((-x)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{e^x+e^{-x}}.\{e^x+e^{-x}.(-1)\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{1}{e^x+e^{-x}}.(e^x-e^{-x})\)
\(=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\)
নিচের ফাংশনগুটির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর।
\((12)\) \(\sin \sqrt{x}\)
[ সিঃ ২০১২; কুঃ ২০১৪,২০১৩ ]
উত্তরঃ \(\frac{\cos \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\)
[ সিঃ ২০১২; কুঃ ২০১৪,২০১৩ ]
উত্তরঃ \(\frac{\cos \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\)
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=\sin \sqrt{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sin \sqrt{x})\) | \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\sin \sqrt{x}).\frac{d}{dx}(\sqrt{x})\) ➜ \((\sqrt{x})\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\cos \sqrt{x}.\frac{1}{2\sqrt{x}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x, \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=\frac{\cos \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\)
\(y=\sin \sqrt{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sin \sqrt{x})\) | \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\sin \sqrt{x}).\frac{d}{dx}(\sqrt{x})\) ➜ \((\sqrt{x})\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\cos \sqrt{x}.\frac{1}{2\sqrt{x}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x, \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=\frac{\cos \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\)
নিচের ফাংশনগুটির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর।
\((13)\) \(\sqrt{\sin x}\)
উত্তরঃ \( \frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}\)
উত্তরঃ \( \frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}\)
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=\sqrt{\sin x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sqrt{\sin x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\sqrt{\sin x}).\frac{d}{dx}(\sin x)\) ➜ \((\sin x)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{2\sqrt{\sin x}}.\cos x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x\)
\(=\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}\)
\(y=\sqrt{\sin x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sqrt{\sin x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\sqrt{\sin x}).\frac{d}{dx}(\sin x)\) ➜ \((\sin x)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{2\sqrt{\sin x}}.\cos x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x\)
\(=\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}\)
নিচের ফাংশনগুটির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর।
\((14)\) \(\sqrt{\sin \sqrt{x}}\)
[ ঢাঃ ২০০৭, ২০০৫; চঃ ২০১৫; সিঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{\cos \sqrt{x}}{4\sqrt{x\sin \sqrt{x}}}\)
[ ঢাঃ ২০০৭, ২০০৫; চঃ ২০১৫; সিঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{\cos \sqrt{x}}{4\sqrt{x\sin \sqrt{x}}}\)
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=\sqrt{\sin \sqrt{x}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sqrt{\sin \sqrt{x}})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\sqrt{\sin \sqrt{x}}).\frac{d}{dx}(\sin \sqrt{x}).\frac{d}{dx}(\sqrt{x})\) ➜ \((\sin \sqrt{x})\) এবং \((\sqrt{x})\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{2\sqrt{\sin \sqrt{x}}}.\cos \sqrt{x}.\frac{1}{2\sqrt{x}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x\)
\(=\frac{\cos \sqrt{x}}{4\sqrt{x}\sqrt{\sin \sqrt{x}}}\)
\(=\frac{\cos \sqrt{x}}{4\sqrt{x\sin \sqrt{x}}}\)
\(y=\sqrt{\sin \sqrt{x}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sqrt{\sin \sqrt{x}})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\sqrt{\sin \sqrt{x}}).\frac{d}{dx}(\sin \sqrt{x}).\frac{d}{dx}(\sqrt{x})\) ➜ \((\sin \sqrt{x})\) এবং \((\sqrt{x})\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{2\sqrt{\sin \sqrt{x}}}.\cos \sqrt{x}.\frac{1}{2\sqrt{x}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x\)
\(=\frac{\cos \sqrt{x}}{4\sqrt{x}\sqrt{\sin \sqrt{x}}}\)
\(=\frac{\cos \sqrt{x}}{4\sqrt{x\sin \sqrt{x}}}\)
নিচের ফাংশনগুটির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর।
\((15)\) \(2x^{o}\cos 3x^{o}\)
[ রাঃ ২০১৪, ২০০৭; চঃ ২০০৩; কুঃ ২০১৩, ২০১০, ২০০৫; যঃ ২০০৫, ২০১২; সিঃ২০১১, ২০০৮, ২০০৬;দিঃ ২০১১, ২০০৯; বঃ ২০১৪, ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{90}\left(\cos \frac{\pi x}{60}+\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}\right)\)
[ রাঃ ২০১৪, ২০০৭; চঃ ২০০৩; কুঃ ২০১৩, ২০১০, ২০০৫; যঃ ২০০৫, ২০১২; সিঃ২০১১, ২০০৮, ২০০৬;দিঃ ২০১১, ২০০৯; বঃ ২০১৪, ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{90}\left(\cos \frac{\pi x}{60}+\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}\right)\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=2x^{o}\cos 3x^{o}\)
আমরা জানি,
\(180^{o}=\pi\)
\(\Rightarrow 1^{o}=\frac{\pi}{180}\)
\(\Rightarrow x^{o}=\frac{\pi x}{180}\)
\(\therefore y=2\frac{\pi x}{180}\cos 3\frac{\pi x}{180}\)
\(=\frac{\pi x}{90}\cos \frac{\pi x}{60}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi x}{90}\cos \frac{\pi x}{60}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{\pi x}{90}\frac{d}{dx}(\cos \frac{\pi x}{60})+\cos \frac{\pi x}{60}\frac{d}{dx}(\frac{\pi x}{90})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=\frac{\pi x}{90}(-\sin \frac{\pi x}{60})\frac{d}{dx}(\frac{\pi x}{60})+\cos \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi}{90}\frac{d}{dx}(x)\) ➜ \(\left(\frac{\pi x}{60}\right)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=-\frac{\pi x}{90}\sin \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi}{60}\frac{d}{dx}(x)+\cos \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi }{90}\frac{d}{dx}(x)\)
\(=-\frac{\pi x}{90}\sin \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi}{60}.1+\cos \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi }{90}.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=-\frac{\pi x}{90}.\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}+\frac{\pi }{90}\cos \frac{\pi x}{60}\)
\(=\frac{\pi}{90}\left(\cos \frac{\pi x}{60}-\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}\right)\)
\(y=2x^{o}\cos 3x^{o}\)
আমরা জানি,
\(180^{o}=\pi\)
\(\Rightarrow 1^{o}=\frac{\pi}{180}\)
\(\Rightarrow x^{o}=\frac{\pi x}{180}\)
\(\therefore y=2\frac{\pi x}{180}\cos 3\frac{\pi x}{180}\)
\(=\frac{\pi x}{90}\cos \frac{\pi x}{60}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi x}{90}\cos \frac{\pi x}{60}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{\pi x}{90}\frac{d}{dx}(\cos \frac{\pi x}{60})+\cos \frac{\pi x}{60}\frac{d}{dx}(\frac{\pi x}{90})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=\frac{\pi x}{90}(-\sin \frac{\pi x}{60})\frac{d}{dx}(\frac{\pi x}{60})+\cos \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi}{90}\frac{d}{dx}(x)\) ➜ \(\left(\frac{\pi x}{60}\right)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=-\frac{\pi x}{90}\sin \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi}{60}\frac{d}{dx}(x)+\cos \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi }{90}\frac{d}{dx}(x)\)
\(=-\frac{\pi x}{90}\sin \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi}{60}.1+\cos \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi }{90}.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=-\frac{\pi x}{90}.\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}+\frac{\pi }{90}\cos \frac{\pi x}{60}\)
\(=\frac{\pi}{90}\left(\cos \frac{\pi x}{60}-\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}\right)\)
নিচের ফাংশনগুটির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর।
\((16)\) \(\tan^{-1} (e^x)\)
[ ঢাঃ ২০০৮; যঃ ২০০৪; কুঃ ২০০৪; বঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{e^x}{1+e^{2x}}\)
[ ঢাঃ ২০০৮; যঃ ২০০৪; কুঃ ২০০৪; বঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{e^x}{1+e^{2x}}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\tan^{-1} (e^x)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\tan^{-1} (e^x)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\tan^{-1} (e^x)\}.\frac{d}{dx}(e^x)\) ➜ \((e^x)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{1+(e^x)^2}.e^x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(=\frac{e^x}{1+e^{2x}}\)
\(y=\tan^{-1} (e^x)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\tan^{-1} (e^x)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\tan^{-1} (e^x)\}.\frac{d}{dx}(e^x)\) ➜ \((e^x)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{1+(e^x)^2}.e^x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(=\frac{e^x}{1+e^{2x}}\)
নিচের ফাংশনগুটির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর।
\((17)\) \(\tan (\sin^{-1} x)\)
[ ঢাঃ ২০১০, ২০১২; সিঃ ২০১৩; যঃ ২০১০; রাঃ ২০০৮; কুঃ ২০১১, ২০০৮; চঃ ২০০৯; সিঃ ২০১০; বঃ ২০০৯, ২০১২; মাঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}}\)
[ ঢাঃ ২০১০, ২০১২; সিঃ ২০১৩; যঃ ২০১০; রাঃ ২০০৮; কুঃ ২০১১, ২০০৮; চঃ ২০০৯; সিঃ ২০১০; বঃ ২০০৯, ২০১২; মাঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\tan (\sin^{-1} x)\)
\(=\tan \left(\tan^{-1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)\) ➜ \(\because \sin^{-1} x=\tan^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)\)
\(=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\) \(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{\sqrt{1-x^2}\frac{d}{dx}(x)-x\frac{d}{dx}(\sqrt{1-x^2})}{(\sqrt{1-x^2})^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\frac{u}{v})=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{(\sqrt{1-x^2}).1-x\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}.\frac{d}{dx}(1-x^2)}{1-x^2}\) ➜ \((1-x^2)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{(\sqrt{1-x^2})-\frac{x}{2\sqrt{1-x^2}}\{\frac{d}{dx}(1)-\frac{d}{dx}(x^2)\}}{1-x^2}\)
\(=\frac{(\sqrt{1-x^2})-\frac{x}{2\sqrt{1-x^2}}\{0-2x\}}{1-x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=\frac{(\sqrt{1-x^2})-\frac{x}{2\sqrt{1-x^2}}.(-2x)}{1-x^2}\)
\(=\frac{(\sqrt{1-x^2})+\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}\)
\(=\frac{\frac{1-x^2+x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}\)
\(=\frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}(1-x^2)}\)
\(=\frac{1}{(1-x^2)^{\frac{1}{2}}(1-x^2)}\)
\(=\frac{1}{(1-x^2)^{\frac{1}{2}+1}}\)
\(=\frac{1}{(1-x^2)^{\frac{1+2}{2}}}\)
\(=\frac{1}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}}\)
\(y=\tan (\sin^{-1} x)\)
\(=\tan \left(\tan^{-1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)\) ➜ \(\because \sin^{-1} x=\tan^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)\)
\(=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\) \(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{\sqrt{1-x^2}\frac{d}{dx}(x)-x\frac{d}{dx}(\sqrt{1-x^2})}{(\sqrt{1-x^2})^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\frac{u}{v})=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{(\sqrt{1-x^2}).1-x\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}.\frac{d}{dx}(1-x^2)}{1-x^2}\) ➜ \((1-x^2)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{(\sqrt{1-x^2})-\frac{x}{2\sqrt{1-x^2}}\{\frac{d}{dx}(1)-\frac{d}{dx}(x^2)\}}{1-x^2}\)
\(=\frac{(\sqrt{1-x^2})-\frac{x}{2\sqrt{1-x^2}}\{0-2x\}}{1-x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=\frac{(\sqrt{1-x^2})-\frac{x}{2\sqrt{1-x^2}}.(-2x)}{1-x^2}\)
\(=\frac{(\sqrt{1-x^2})+\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}\)
\(=\frac{\frac{1-x^2+x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}\)
\(=\frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}(1-x^2)}\)
\(=\frac{1}{(1-x^2)^{\frac{1}{2}}(1-x^2)}\)
\(=\frac{1}{(1-x^2)^{\frac{1}{2}+1}}\)
\(=\frac{1}{(1-x^2)^{\frac{1+2}{2}}}\)
\(=\frac{1}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}}\)
নিচের ফাংশনগুটির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর।
\((18)\) \(x^2\sin^{-1} (1-x)\)
[ ঢাঃ ২০১৪; রাঃ ২০০৬; দিঃ ২০১২; বঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(2x\sin^{-1} (1-x)-\frac{x^2}{\sqrt{2x-x^2}}\)
[ ঢাঃ ২০১৪; রাঃ ২০০৬; দিঃ ২০১২; বঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(2x\sin^{-1} (1-x)-\frac{x^2}{\sqrt{2x-x^2}}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=x^2\sin^{-1} (1-x)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{x^2\sin^{-1} (1-x)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=x^2\frac{d}{dx}\{\sin^{-1} (1-x)\}+\sin^{-1} (1-x)\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=x^2.\frac{1}{\sqrt{1-(1-x)^2}}.\frac{d}{dx}(1-x)+\sin^{-1} (1-x).2x\) ➜ \((1-x)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=x^2.\frac{1}{\sqrt{1-(1-x)^2}}\{\frac{d}{dx}(1)-\frac{d}{dx}(x)\}+2x\sin^{-1} (1-x)\)
\(=x^2.\frac{1}{\sqrt{1-1+2x-x^2}}\{0-1\}+2x\sin^{-1} (1-x)\)
\(=-\frac{x^2}{\sqrt{2x-x^2}}+2x\sin^{-1} (1-x)\)
\(=2x\sin^{-1} (1-x)-\frac{x^2}{\sqrt{2x-x^2}}\)
\(y=x^2\sin^{-1} (1-x)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{x^2\sin^{-1} (1-x)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=x^2\frac{d}{dx}\{\sin^{-1} (1-x)\}+\sin^{-1} (1-x)\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=x^2.\frac{1}{\sqrt{1-(1-x)^2}}.\frac{d}{dx}(1-x)+\sin^{-1} (1-x).2x\) ➜ \((1-x)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=x^2.\frac{1}{\sqrt{1-(1-x)^2}}\{\frac{d}{dx}(1)-\frac{d}{dx}(x)\}+2x\sin^{-1} (1-x)\)
\(=x^2.\frac{1}{\sqrt{1-1+2x-x^2}}\{0-1\}+2x\sin^{-1} (1-x)\)
\(=-\frac{x^2}{\sqrt{2x-x^2}}+2x\sin^{-1} (1-x)\)
\(=2x\sin^{-1} (1-x)-\frac{x^2}{\sqrt{2x-x^2}}\)
নিচের ফাংশনগুটির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর।
\((19)\) \(\sqrt{\sin^{-1} x^5}\)
[ ঢাঃ ২০১৫; বঃ ২০০৬, ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(\frac{5x^4}{2\sqrt{\sin^{-1} x^5}\sqrt{1-x^{10}}}\)
[ ঢাঃ ২০১৫; বঃ ২০০৬, ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(\frac{5x^4}{2\sqrt{\sin^{-1} x^5}\sqrt{1-x^{10}}}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\sqrt{\sin^{-1} x^5}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sqrt{\sin^{-1} x^5})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\sqrt{\sin^{-1} x^5}).\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x^5).\frac{d}{dx}(x^5)\) ➜ \(\sin^{-1} x^5\) এবং \(x^5\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{2\sqrt{\sin^{-1} x^5}}.\frac{1}{\sqrt{1-(x^5)^2}}.5x^{5-1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{\sin^{-1} x^5}}.\frac{1}{\sqrt{1-x^{10}}}.5x^4\)
\(=\frac{5x^4}{2\sqrt{\sin^{-1} x^5}\sqrt{1-x^{10}}}\)
\(y=\sqrt{\sin^{-1} x^5}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sqrt{\sin^{-1} x^5})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\sqrt{\sin^{-1} x^5}).\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x^5).\frac{d}{dx}(x^5)\) ➜ \(\sin^{-1} x^5\) এবং \(x^5\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{2\sqrt{\sin^{-1} x^5}}.\frac{1}{\sqrt{1-(x^5)^2}}.5x^{5-1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{\sin^{-1} x^5}}.\frac{1}{\sqrt{1-x^{10}}}.5x^4\)
\(=\frac{5x^4}{2\sqrt{\sin^{-1} x^5}\sqrt{1-x^{10}}}\)
নিচের ফাংশনগুটির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর।
\((20)\) \(\tan^{-1} \frac{4\sqrt{x}}{1-4x}\)
[ রাঃ ২০০৬, ২০০৪; চঃ ২০০৯; সিঃ ২০০৯; বঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(\frac{2}{\sqrt{x}(1+4x)}\)
[ রাঃ ২০০৬, ২০০৪; চঃ ২০০৯; সিঃ ২০০৯; বঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(\frac{2}{\sqrt{x}(1+4x)}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\tan^{-1} \frac{4\sqrt{x}}{1-4x}\)
\(=\tan^{-1} \frac{2.2\sqrt{x}}{1-(2\sqrt{x})^2}\)
এবং
\(\tan \theta=2\sqrt{x}\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1} (2\sqrt{x})\)
\(\therefore y=\tan^{-1} \frac{2.\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}\)
\(=\tan^{-1} (\tan 2\theta)\) ➜ \(\because \frac{2.\tan A}{1-\tan^2 A}=\tan 2A\)
\(=2\theta\)
\(=2\tan^{-1} (2\sqrt{x})\) ➜ \(\because \theta=\tan^{-1} (2\sqrt{x})\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{2\tan^{-1} (2\sqrt{x})\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{2\tan^{-1} (2\sqrt{x})\}.\frac{d}{dx}(2\sqrt{x})\) ➜ \(2\sqrt{x}\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=2\frac{d}{dx}\{\tan^{-1} (2\sqrt{x})\}.2\frac{d}{dx}(\sqrt{x})\)
\(=2\frac{1}{1+(2\sqrt{x})^2}.2\frac{1}{2\sqrt{x}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}\)
\(=\frac{2}{1+4x}.\frac{1}{\sqrt{x}}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{x}(1+4x)}\)
\(y=\tan^{-1} \frac{4\sqrt{x}}{1-4x}\)
\(=\tan^{-1} \frac{2.2\sqrt{x}}{1-(2\sqrt{x})^2}\)
এবং
\(\tan \theta=2\sqrt{x}\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1} (2\sqrt{x})\)
\(\therefore y=\tan^{-1} \frac{2.\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}\)
\(=\tan^{-1} (\tan 2\theta)\) ➜ \(\because \frac{2.\tan A}{1-\tan^2 A}=\tan 2A\)
\(=2\theta\)
\(=2\tan^{-1} (2\sqrt{x})\) ➜ \(\because \theta=\tan^{-1} (2\sqrt{x})\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{2\tan^{-1} (2\sqrt{x})\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{2\tan^{-1} (2\sqrt{x})\}.\frac{d}{dx}(2\sqrt{x})\) ➜ \(2\sqrt{x}\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=2\frac{d}{dx}\{\tan^{-1} (2\sqrt{x})\}.2\frac{d}{dx}(\sqrt{x})\)
\(=2\frac{1}{1+(2\sqrt{x})^2}.2\frac{1}{2\sqrt{x}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}\)
\(=\frac{2}{1+4x}.\frac{1}{\sqrt{x}}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{x}(1+4x)}\)
নিচের ফাংশনগুটির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর।
\((21)\) \(\cos^{-1} (2x\sqrt{1-x^2})\)
[ ঢাঃ,কুঃ,যঃ ২০১০; বঃ ২০১৬ ]
উত্তরঃ \(-\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}\)
[ ঢাঃ,কুঃ,যঃ ২০১০; বঃ ২০১৬ ]
উত্তরঃ \(-\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\cos^{-1} (2x\sqrt{1-x^2})\)
এবং
\(\sin \theta=x\)
\(\Rightarrow \theta=\sin^{-1} x\)
\(\therefore y=\cos^{-1} (2\sin \theta\sqrt{1-\sin^2 \theta})\)
\(=\cos^{-1} (2\sin \theta\cos \theta)\) ➜ \(\because \sqrt{1-\sin^2 A}=\cos A\)
\(=\cos^{-1} (\sin 2\theta)\) ➜ \(\because 2\sin A\cos A=\sin 2A\)
\(=\cos^{-1} \{\cos \left(\frac{\pi}{2}-2\theta\right)\}\) ➜ \(\because \sin A=\cos \left(\frac{\pi}{2}-A\right)\)
\(=\frac{\pi}{2}-2\theta\)
\(=\frac{\pi}{2}-2\sin^{-1} x\) ➜ \(\because \theta=\sin^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}-2\sin^{-1} x\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}\right)-\frac{d}{dx}(2\sin^{-1} x)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}\right)-2\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)\)
\(=0-2\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=-\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(y=\cos^{-1} (2x\sqrt{1-x^2})\)
এবং
\(\sin \theta=x\)
\(\Rightarrow \theta=\sin^{-1} x\)
\(\therefore y=\cos^{-1} (2\sin \theta\sqrt{1-\sin^2 \theta})\)
\(=\cos^{-1} (2\sin \theta\cos \theta)\) ➜ \(\because \sqrt{1-\sin^2 A}=\cos A\)
\(=\cos^{-1} (\sin 2\theta)\) ➜ \(\because 2\sin A\cos A=\sin 2A\)
\(=\cos^{-1} \{\cos \left(\frac{\pi}{2}-2\theta\right)\}\) ➜ \(\because \sin A=\cos \left(\frac{\pi}{2}-A\right)\)
\(=\frac{\pi}{2}-2\theta\)
\(=\frac{\pi}{2}-2\sin^{-1} x\) ➜ \(\because \theta=\sin^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}-2\sin^{-1} x\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}\right)-\frac{d}{dx}(2\sin^{-1} x)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}\right)-2\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)\)
\(=0-2\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=-\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}\)
নিচের ফাংশনগুটির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর।
\((22)\) \(\cot^{-1} \left(\frac{1+x}{1-x}\right)\)
[ ঢাঃ২০০৬; রাঃ ২০১৪, ২০০৭; যঃ ২০০৭, ২০০৫; সিঃ ২০০৮, ২০০৪; কুঃ ২০০৩; মাঃ ২০১৪, ২০১১; বঃ ২০১৪ ]
উত্তরঃ \(-\frac{1}{1+x^2}\)
[ ঢাঃ২০০৬; রাঃ ২০১৪, ২০০৭; যঃ ২০০৭, ২০০৫; সিঃ ২০০৮, ২০০৪; কুঃ ২০০৩; মাঃ ২০১৪, ২০১১; বঃ ২০১৪ ]
উত্তরঃ \(-\frac{1}{1+x^2}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\cot^{-1} \left(\frac{1+x}{1-x}\right)\)
এবং
\(\cot \theta=x\)
\(\Rightarrow \theta=\cot^{-1} x\)
\(\therefore y=\cot^{-1} \left(\frac{1+\cot \theta}{1-\cot \theta}\right)\)
\(=\cot^{-1} \left(\frac{\cot \theta\cot \frac{\pi}{4}+1}{\cot \frac{\pi}{4}-\cot \theta}\right)\)
\(=\cot^{-1} \{\cot \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)\}\) ➜ \(\because \cot (A-B)=\left(\frac{\cot A\cot B+1}{\cot B-\cot A}\right)\)
\(=\theta-\frac{\pi}{4}\)
\(=\cot^{-1} x-\frac{\pi}{4}\) ➜ \(\because \theta=\cot^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\cot^{-1} x-\frac{\pi}{4}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\cot^{-1} x)-\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}\right)\)
\(=-\frac{1}{1+x^2}-0\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cot^{-1} x)=-\frac{1}{1+x^2}, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=-\frac{1}{1+x^2}\)
\(y=\cot^{-1} \left(\frac{1+x}{1-x}\right)\)
এবং
\(\cot \theta=x\)
\(\Rightarrow \theta=\cot^{-1} x\)
\(\therefore y=\cot^{-1} \left(\frac{1+\cot \theta}{1-\cot \theta}\right)\)
\(=\cot^{-1} \left(\frac{\cot \theta\cot \frac{\pi}{4}+1}{\cot \frac{\pi}{4}-\cot \theta}\right)\)
\(=\cot^{-1} \{\cot \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)\}\) ➜ \(\because \cot (A-B)=\left(\frac{\cot A\cot B+1}{\cot B-\cot A}\right)\)
\(=\theta-\frac{\pi}{4}\)
\(=\cot^{-1} x-\frac{\pi}{4}\) ➜ \(\because \theta=\cot^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\cot^{-1} x-\frac{\pi}{4}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\cot^{-1} x)-\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}\right)\)
\(=-\frac{1}{1+x^2}-0\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cot^{-1} x)=-\frac{1}{1+x^2}, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=-\frac{1}{1+x^2}\)
নিচের ফাংশনগুটির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর।
\((23)\) \(\cos \sqrt{x}\)
[ সিঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(-\frac{\sin \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\)
[ সিঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(-\frac{\sin \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\cos \sqrt{x}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\cos \sqrt{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\cos \sqrt{x}).\frac{d}{dx}(\sqrt{x})\) ➜ \(\sqrt{x}\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=-\sin \sqrt{x}.\frac{1}{2\sqrt{x}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x, \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=-\frac{\sin \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\)
\(y=\cos \sqrt{x}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\cos \sqrt{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\cos \sqrt{x}).\frac{d}{dx}(\sqrt{x})\) ➜ \(\sqrt{x}\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=-\sin \sqrt{x}.\frac{1}{2\sqrt{x}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x, \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=-\frac{\sin \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\)
নিচের ফাংশনগুটির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর।
\((24)\) \(\sin^2 (\ln x)^2\)
[ যঃ,বঃ ২০০১ ]
উত্তরঃ \(\frac{2\ln x}{x}\sin 2(\ln x)^2\)
[ যঃ,বঃ ২০০১ ]
উত্তরঃ \(\frac{2\ln x}{x}\sin 2(\ln x)^2\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\sin^2 (\ln x)^2\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\sin^2 (\ln x)^2\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\sin^2 (\ln x)^2\}.\frac{d}{dx}\{\sin (\ln x)^2\}.\frac{d}{dx}(\ln x)^2.\frac{d}{dx}(\ln x)\) ➜ \(\sin (\ln x)^2\), \((\ln x)^2\) এবং \(\ln x\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=2\sin (\ln x)^2.\cos (\ln x)^2.2\ln x.\frac{1}{x}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n )=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x\), \(\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}\)
\(=2\sin (\ln x)^2\cos (\ln x)^2.\frac{2\ln x}{x}\)
\(=\sin 2(\ln x)^2\frac{2\ln x}{x}\) ➜ \(\because 2\sin A\cos A=\sin 2A\)
\(=\frac{2\ln x}{x}\sin 2(\ln x)^2\)
\(y=\sin^2 (\ln x)^2\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\sin^2 (\ln x)^2\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\sin^2 (\ln x)^2\}.\frac{d}{dx}\{\sin (\ln x)^2\}.\frac{d}{dx}(\ln x)^2.\frac{d}{dx}(\ln x)\) ➜ \(\sin (\ln x)^2\), \((\ln x)^2\) এবং \(\ln x\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=2\sin (\ln x)^2.\cos (\ln x)^2.2\ln x.\frac{1}{x}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n )=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x\), \(\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}\)
\(=2\sin (\ln x)^2\cos (\ln x)^2.\frac{2\ln x}{x}\)
\(=\sin 2(\ln x)^2\frac{2\ln x}{x}\) ➜ \(\because 2\sin A\cos A=\sin 2A\)
\(=\frac{2\ln x}{x}\sin 2(\ln x)^2\)
নিচের ফাংশনগুটির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর।
\((25)\) \((\sin x)^2\)
উত্তরঃ \(\sin 2x\)
উত্তরঃ \(\sin 2x\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=(\sin x)^2\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{(\sin x)^2\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{(\sin x)^2\}.\frac{d}{dx}(\sin x)\) ➜ \(\sin x\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=2\sin x.\cos x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=\sin 2x\) ➜ \(\because 2\sin A\cos A=\sin 2A\)
\(y=(\sin x)^2\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{(\sin x)^2\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{(\sin x)^2\}.\frac{d}{dx}(\sin x)\) ➜ \(\sin x\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=2\sin x.\cos x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=\sin 2x\) ➜ \(\because 2\sin A\cos A=\sin 2A\)
নিচের ফাংশনগুটির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর।
\((26)\) \(\ln (\tan 5x)\)
উত্তরঃ \(\frac{5\sec^2 5x}{\tan 5x}\)
উত্তরঃ \(\frac{5\sec^2 5x}{\tan 5x}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\ln \tan 5x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\ln \tan 5x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\ln \tan 5x).\frac{d}{dx}(\tan 5x).\frac{d}{dx}(5x)\) ➜ \(\tan 5x\) এবং \(5x\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{\tan 5x}.\sec^2 5x.5.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2 x, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{1}{\tan 5x}.5\sec^2 5x\)
\(=\frac{5\sec^2 5x}{\tan 5x}\)
\(y=\ln \tan 5x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\ln \tan 5x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\ln \tan 5x).\frac{d}{dx}(\tan 5x).\frac{d}{dx}(5x)\) ➜ \(\tan 5x\) এবং \(5x\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{\tan 5x}.\sec^2 5x.5.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2 x, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{1}{\tan 5x}.5\sec^2 5x\)
\(=\frac{5\sec^2 5x}{\tan 5x}\)
নিচের ফাংশনগুটির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর।
\((27)\) \(\sin (ax+b)\)
উত্তরঃ \(a\cos (ax+b)\)
উত্তরঃ \(a\cos (ax+b)\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\sin (ax+b)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\sin (ax+b)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\sin (ax+b)\}.\frac{d}{dx}(ax+b)\) ➜ \((ax+b)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\sin (ax+b)\}.\{\frac{d}{dx}(ax)+\frac{d}{dx}(b)\}\)
\(=\frac{d}{dx}\{\sin (ax+b)\}.\{a\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(b)\}\)
\(=\cos (ax+b).\{a.1+0\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x, \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\cos (ax+b).\{a+0\}\)
\(=\cos (ax+b).a\)
\(=a\cos (ax+b)\)
\(y=\sin (ax+b)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\sin (ax+b)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\sin (ax+b)\}.\frac{d}{dx}(ax+b)\) ➜ \((ax+b)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\sin (ax+b)\}.\{\frac{d}{dx}(ax)+\frac{d}{dx}(b)\}\)
\(=\frac{d}{dx}\{\sin (ax+b)\}.\{a\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(b)\}\)
\(=\cos (ax+b).\{a.1+0\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x, \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\cos (ax+b).\{a+0\}\)
\(=\cos (ax+b).a\)
\(=a\cos (ax+b)\)
নিচের ফাংশনগুটির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর।
\((28)\) \(\cos (ax+b)\)
উত্তরঃ \(-a\sin (ax+b)\)
উত্তরঃ \(-a\sin (ax+b)\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\cos (ax+b)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\cos (ax+b)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\cos (ax+b)\}.\frac{d}{dx}(ax+b)\) ➜ \((ax+b)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\cos (ax+b)\}.\{\frac{d}{dx}(ax)+\frac{d}{dx}(b)\}\)
\(=\frac{d}{dx}\{\cos (ax+b)\}.\{a\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(b)\}\)
\(=-\sin (ax+b).\{a.1+0\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x, \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=-\sin (ax+b).\{a+0\}\)
\(=-\sin (ax+b).a\)
\(=-a\sin (ax+b)\)
\(y=\cos (ax+b)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\cos (ax+b)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\cos (ax+b)\}.\frac{d}{dx}(ax+b)\) ➜ \((ax+b)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\cos (ax+b)\}.\{\frac{d}{dx}(ax)+\frac{d}{dx}(b)\}\)
\(=\frac{d}{dx}\{\cos (ax+b)\}.\{a\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(b)\}\)
\(=-\sin (ax+b).\{a.1+0\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x, \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=-\sin (ax+b).\{a+0\}\)
\(=-\sin (ax+b).a\)
\(=-a\sin (ax+b)\)
নিচের ফাংশনগুটির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর।
\((29)\) \(\tan (ax+b)\)
উত্তরঃ \(a\sec^2 (ax+b)\)
উত্তরঃ \(a\sec^2 (ax+b)\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\tan (ax+b)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\tan (ax+b)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\tan (ax+b)\}.\frac{d}{dx}(ax+b)\) ➜ \((ax+b)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\tan (ax+b)\}.\{\frac{d}{dx}(ax)+\frac{d}{dx}(b)\}\)
\(=\frac{d}{dx}\{\tan (ax+b)\}.\{a\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(b)\}\)
\(=\sec^2 (ax+b).\{a.1+0\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x, \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\sec^2 (ax+b).\{a+0\}\)
\(=\sec^2 (ax+b).a\)
\(=a\sec^2 (ax+b)\)
\(y=\tan (ax+b)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\tan (ax+b)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\tan (ax+b)\}.\frac{d}{dx}(ax+b)\) ➜ \((ax+b)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\tan (ax+b)\}.\{\frac{d}{dx}(ax)+\frac{d}{dx}(b)\}\)
\(=\frac{d}{dx}\{\tan (ax+b)\}.\{a\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(b)\}\)
\(=\sec^2 (ax+b).\{a.1+0\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x, \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\sec^2 (ax+b).\{a+0\}\)
\(=\sec^2 (ax+b).a\)
\(=a\sec^2 (ax+b)\)
নিচের ফাংশনগুটির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর।
\((30)\) \(e^{ax+b}\)
উত্তরঃ \(ae^{ax+b}\)
উত্তরঃ \(ae^{ax+b}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=e^{ax+b}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(e^{ax+b})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(e^{ax+b}).\frac{d}{dx}(ax+b)\) ➜ \((ax+b)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(e^{ax+b}).\{\frac{d}{dx}(ax)+\frac{d}{dx}(b)\}\)
\(=\frac{d}{dx}(e^{ax+b}).\{a\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(b)\}\)
\(=e^{ax+b}.\{a.1+0\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(e^x)=e^x, \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=e^{ax+b}.\{a+0\}\)
\(=e^{ax+b}.a\)
\(=ae^{ax+b}\)
\(y=e^{ax+b}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(e^{ax+b})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(e^{ax+b}).\frac{d}{dx}(ax+b)\) ➜ \((ax+b)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(e^{ax+b}).\{\frac{d}{dx}(ax)+\frac{d}{dx}(b)\}\)
\(=\frac{d}{dx}(e^{ax+b}).\{a\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(b)\}\)
\(=e^{ax+b}.\{a.1+0\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(e^x)=e^x, \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=e^{ax+b}.\{a+0\}\)
\(=e^{ax+b}.a\)
\(=ae^{ax+b}\)
নিচের ফাংশনগুটির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর।
\((31)\) \(\ln (ax+b)\)
উত্তরঃ \(\frac{a}{ax+b}\)
উত্তরঃ \(\frac{a}{ax+b}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\ln (ax+b)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\ln (ax+b)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\ln (ax+b)\}.\frac{d}{dx}(ax+b)\) ➜ \((ax+b)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\ln (ax+b)\}.\{\frac{d}{dx}(ax)+\frac{d}{dx}(b)\}\)
\(=\frac{d}{dx}\{\ln (ax+b)\}.\{a\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(b)\}\)
\(=\frac{1}{ax+b}.\{a.1+0\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{ax+b}.\{a+0\}\)
\(=\frac{1}{ax+b}.a\)
\(=\frac{a}{ax+b}\)
\(y=\ln (ax+b)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\ln (ax+b)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\ln (ax+b)\}.\frac{d}{dx}(ax+b)\) ➜ \((ax+b)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\ln (ax+b)\}.\{\frac{d}{dx}(ax)+\frac{d}{dx}(b)\}\)
\(=\frac{d}{dx}\{\ln (ax+b)\}.\{a\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(b)\}\)
\(=\frac{1}{ax+b}.\{a.1+0\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{ax+b}.\{a+0\}\)
\(=\frac{1}{ax+b}.a\)
\(=\frac{a}{ax+b}\)
অনুশীলনী \(9.D / Q.1\)-এর অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমুহ
নিচের ফাংশনগুলির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর।
\(Q.1.(i)\) \(2x^{o}\cos 3x^{o}\)
[ রাঃ ২০১৪; কুঃ ২০১৩,২০১০; যঃ ২০১২; বঃ২০১৪; সিঃ ২০১১; দিঃ ২০১১, ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{90}\left(\cos \frac{\pi x}{60}+\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}\right)\)
\(Q.1.(ii)\) \(e^{3x}\cos x^{o}\)
উত্তরঃ \(e^{3x}\left(3\cos \frac{\pi x}{180}-\frac{\pi}{180}\sin \frac{\pi x}{180}\right)\)
\(Q.1.(iii)\) \(4x^{o}\sin 2x^{o}\)
[ যঃ ২০১৫ ]
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{45}\left(\frac{pi}{90}\cos \frac{\pi x}{90}+\sin \frac{\pi x}{90}\right)\)
\(Q.1.(iv)\) \(e^{5x}\sin x^{o}\)
[ সিঃ ২০০২]
উত্তরঃ \(e^{5x}\left(\frac{\pi}{180}\cos \frac{\pi x}{180}+5\sin \frac{\pi x}{180}\right)\)
\(Q.1.(v)\) \(\frac{x\ln x}{\sqrt{1+x^2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1+x^2+\ln x}{(\sqrt{1+x^2})^3}\)
\(Q.1.(vi)\) \(\sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{1-\cos x}\)
\(Q.1.(vii)\) \(\frac{1}{1+\cos x}\)
উত্তরঃ \(\frac{\sin x}{(1+\cos x)^2}\)
\(Q.1.(viii)\) \(\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}\)
[ চঃ ২০০০]
উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}}{2\sqrt{(x+1)(x+2)}}\)
\(Q.1.(ix)\) \(\left(\frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}\right)^2\)
[ কুঃ ২০০৩]
উত্তরঃ \(2\tan x\sec^2 x\)
\(Q.1.(x)\) \(\sin x^{o}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{180}\cos \frac{\pi x}{180}\)
\(Q.1.(xi)\) \(\sin \left(3x-\frac{\pi}{3}\right)\)
উত্তরঃ \(3\cos \left(3x-\frac{\pi}{3}\right)\)
\(Q.1.(xii)\) \(\cos^3 x\)
উত্তরঃ \(-3\cos^2 x\sin x\)
\(Q.1.(xiii)\) \(\sin^2 x^2\)
উত্তরঃ \(2x\sin (2x^2)\)
\(Q.1.(xiv)\) \(\sin^2 \{\ln (\sec x)\}\)
[ ঢাঃ ২০১৬,২০১২,২০০১; সিঃ ২০১২,২০০৯; কুঃ ২০০৯; রাঃ ২০০৭; মাঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(\tan x\sin \{2\ln (\sec x)\}\)
\(Q.1.(xv)\) \(\sin^2 \{\ln (x^2)\}\)
[ ঢাঃ,সিঃ ২০১৪; যঃ ২০০৮, ২০০৭, ২০০১; চঃ ২০০৬ ]
উত্তরঃ \(\frac{2}{x}\sin \{4\ln (x)\}\)
\(Q.1.(xvi)\) \(\sec \sqrt{x}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\sec \sqrt{x}\tan \sqrt{x}\)
\(Q.1.(xvii)\) \(\sqrt{\left(\frac{1}{e^x}\right)}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}}\)
\(Q.1.(xviii)\) \(e^{\sin x}\)
উত্তরঃ \(\cos x e^{\sin x}\)
\(Q.1.(xix)\) \(e^{x^2-5x+2}\)
উত্তরঃ \((2x-5)e^{x^2-5x+2}\)
\(Q.1.(xx)\) \(\sqrt{e^{\sqrt{x}}}\)
[ কুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭; যঃ ২০১৩; ষাঃ ২০০৯, ২০০৬কুঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{4\sqrt{x}}\sqrt{e^{\sqrt{x}}}\)
\(Q.1.(xxi)\) \(10^{\ln (\sin x)}\)
[ চঃ ২০০৭, সিঃ ২০০৫, ২০০২ ]
উত্তরঃ \(\cot x10^{\ln (\sin x)}\ln 10\)
\(Q.1.(xxii)\) \(\sqrt{\tan (e^{x^2})}\)
[ রাঃ ২০১৫; যঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(\frac{xe^{x^2}\sec^2 e^{x^2}}{\sqrt{\tan (e^{x^2})}}\)
\(Q.1.(xxiii)\) \(\sin \left(e^{\sqrt{1-x}}\right)\)
[ দিঃ ২০১৭ ]
উত্তরঃ \(-\frac{e^{\sqrt{1-x}}\cos \left(e^{\sqrt{1-x}}\right)}{2\sqrt{1-x}}\)
\(Q.1.(xxiv)\) \(\cot^{-1} (e^{x})\)
উত্তরঃ \(-\frac{e^{x}}{1+e^{2x}}\)
\(Q.1.(xxv)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{1}{x^2}\right)\)
উত্তরঃ \(-\frac{2x}{1+x^4}\)
\(Q.1.(xxvi)\) \(\tan^{-1} (e^{x})\)
উত্তরঃ \(\frac{e^{x}}{1+e^{2x}}\)
\(Q.1.(xxvii)\) \(\sin^{-1} (e^x)\)
উত্তরঃ \(\frac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}}\)
[ রাঃ ২০১৪; কুঃ ২০১৩,২০১০; যঃ ২০১২; বঃ২০১৪; সিঃ ২০১১; দিঃ ২০১১, ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{90}\left(\cos \frac{\pi x}{60}+\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}\right)\)
\(Q.1.(ii)\) \(e^{3x}\cos x^{o}\)
উত্তরঃ \(e^{3x}\left(3\cos \frac{\pi x}{180}-\frac{\pi}{180}\sin \frac{\pi x}{180}\right)\)
\(Q.1.(iii)\) \(4x^{o}\sin 2x^{o}\)
[ যঃ ২০১৫ ]
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{45}\left(\frac{pi}{90}\cos \frac{\pi x}{90}+\sin \frac{\pi x}{90}\right)\)
\(Q.1.(iv)\) \(e^{5x}\sin x^{o}\)
[ সিঃ ২০০২]
উত্তরঃ \(e^{5x}\left(\frac{\pi}{180}\cos \frac{\pi x}{180}+5\sin \frac{\pi x}{180}\right)\)
\(Q.1.(v)\) \(\frac{x\ln x}{\sqrt{1+x^2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1+x^2+\ln x}{(\sqrt{1+x^2})^3}\)
\(Q.1.(vi)\) \(\sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{1-\cos x}\)
\(Q.1.(vii)\) \(\frac{1}{1+\cos x}\)
উত্তরঃ \(\frac{\sin x}{(1+\cos x)^2}\)
\(Q.1.(viii)\) \(\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}\)
[ চঃ ২০০০]
উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}}{2\sqrt{(x+1)(x+2)}}\)
\(Q.1.(ix)\) \(\left(\frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}\right)^2\)
[ কুঃ ২০০৩]
উত্তরঃ \(2\tan x\sec^2 x\)
\(Q.1.(x)\) \(\sin x^{o}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{180}\cos \frac{\pi x}{180}\)
\(Q.1.(xi)\) \(\sin \left(3x-\frac{\pi}{3}\right)\)
উত্তরঃ \(3\cos \left(3x-\frac{\pi}{3}\right)\)
\(Q.1.(xii)\) \(\cos^3 x\)
উত্তরঃ \(-3\cos^2 x\sin x\)
\(Q.1.(xiii)\) \(\sin^2 x^2\)
উত্তরঃ \(2x\sin (2x^2)\)
\(Q.1.(xiv)\) \(\sin^2 \{\ln (\sec x)\}\)
[ ঢাঃ ২০১৬,২০১২,২০০১; সিঃ ২০১২,২০০৯; কুঃ ২০০৯; রাঃ ২০০৭; মাঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(\tan x\sin \{2\ln (\sec x)\}\)
\(Q.1.(xv)\) \(\sin^2 \{\ln (x^2)\}\)
[ ঢাঃ,সিঃ ২০১৪; যঃ ২০০৮, ২০০৭, ২০০১; চঃ ২০০৬ ]
উত্তরঃ \(\frac{2}{x}\sin \{4\ln (x)\}\)
\(Q.1.(xvi)\) \(\sec \sqrt{x}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\sec \sqrt{x}\tan \sqrt{x}\)
\(Q.1.(xvii)\) \(\sqrt{\left(\frac{1}{e^x}\right)}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}}\)
\(Q.1.(xviii)\) \(e^{\sin x}\)
উত্তরঃ \(\cos x e^{\sin x}\)
\(Q.1.(xix)\) \(e^{x^2-5x+2}\)
উত্তরঃ \((2x-5)e^{x^2-5x+2}\)
\(Q.1.(xx)\) \(\sqrt{e^{\sqrt{x}}}\)
[ কুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭; যঃ ২০১৩; ষাঃ ২০০৯, ২০০৬কুঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{4\sqrt{x}}\sqrt{e^{\sqrt{x}}}\)
\(Q.1.(xxi)\) \(10^{\ln (\sin x)}\)
[ চঃ ২০০৭, সিঃ ২০০৫, ২০০২ ]
উত্তরঃ \(\cot x10^{\ln (\sin x)}\ln 10\)
\(Q.1.(xxii)\) \(\sqrt{\tan (e^{x^2})}\)
[ রাঃ ২০১৫; যঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(\frac{xe^{x^2}\sec^2 e^{x^2}}{\sqrt{\tan (e^{x^2})}}\)
\(Q.1.(xxiii)\) \(\sin \left(e^{\sqrt{1-x}}\right)\)
[ দিঃ ২০১৭ ]
উত্তরঃ \(-\frac{e^{\sqrt{1-x}}\cos \left(e^{\sqrt{1-x}}\right)}{2\sqrt{1-x}}\)
\(Q.1.(xxiv)\) \(\cot^{-1} (e^{x})\)
উত্তরঃ \(-\frac{e^{x}}{1+e^{2x}}\)
\(Q.1.(xxv)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{1}{x^2}\right)\)
উত্তরঃ \(-\frac{2x}{1+x^4}\)
\(Q.1.(xxvi)\) \(\tan^{-1} (e^{x})\)
উত্তরঃ \(\frac{e^{x}}{1+e^{2x}}\)
\(Q.1.(xxvii)\) \(\sin^{-1} (e^x)\)
উত্তরঃ \(\frac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}}\)
\(Q.1.(xxviii)\) \(\sin^{-1} (\tan x)\)
[ সিঃ ২০০১ ]
উত্তরঃ \(\frac{\sec x}{\sqrt{\cos 2x}}\)
\(Q.1.(xxix)\) \(\sin (\tan^{-1} x)\)
উত্তরঃ \((1+x^2)^{-\frac{3}{2}}\)
\(Q.1.(xxx)\) \((\sin^{-1} x)^5\)
উত্তরঃ \(\frac{5(\sin^{-1} x)^4}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(Q.1.(xxxi)\) \(\sin^{-1} \left(\frac{4x}{1+4x^2}\right)\)
[ সিঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \(\frac{4}{1+4x^2}\)
\(Q.1.(xxxii)\) \(\sin^{-1} \left(\frac{6x}{1+9x^2}\right)\)
[ ঢাঃ ২০০১]
উত্তরঃ \(\frac{6}{1+9x^2}\)
\(Q.1.(xxxiii)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\right)\)
উত্তরঃ \(1\)
\(Q.1.(xxxiv)\) \(\cot^{-1} \left(\frac{1-x}{1+x}\right)\)
[ চঃ ২০১০; যঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{1+x^2}\)
\(Q.1.(xxxv)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{4x}{\sqrt{1-4x^2}}\right)\)
[ বঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(\frac{4}{(1+12x^2)\sqrt{1-4x^2}}\)
\(Q.1.(xxxvi)\) \(\sin^{-1} \left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{1+x^2}\)
\(Q.1.(xxxvii)\) \(\frac{1}{\sqrt[3]{4-3x}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{4-3x)^{\frac{4}{3}}}\)
\(Q.1.(xxxviii)\) \(\sqrt{ax^2+bx+c}\)
উত্তরঃ \(\frac{2ax+b}{2\sqrt{ax^2+bx+c}}\)
\(Q.1.(xxxix)\) \(\sin \frac{\theta}{2}+\cos 5\theta\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\cos \frac{\theta}{2}-5\sin 5\theta\)
\(Q.1.(xl)\) \(\cos^4 \theta\)
উত্তরঃ \(-4\cos^3 \theta\sin \theta\)
\(Q.1.(xli)\) \(\sqrt{\tan (e^{x^2})}\)
[ যঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(\frac{xe^{x^2}\sec^2 e^{x^2}}{\sqrt{\tan e^{x^2}}}\)
\(Q.1.(xlii)\) \(e^{\sin \sqrt{x}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\cos \sqrt{x}e^{\sin \sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\)
\(Q.1.(xliii)\) \(2 \ cosec \ 2x\cos \{\ln (\tan x)\}\)
[ রাঃ ২০০৬ ]
উত্তরঃ \(-2 \ cosec \ 2x\left[\frac{\sec^2 x\sin \{\ln (\tan x)\}}{\tan x}+2\cot 2x\cos \{\ln (\tan x)\} \right] \)
\(Q.1.(xliv)\) \(e^{5\ln (\tan 5x)}\)
[ চঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(25\sec^2 5x\tan^4 5x\)
\(Q.1.(xlv)\)\(e^{2\ln (\tan 5x)}\)
[ ঢাঃ ২০০৮; দিঃ ২০১৬; কুঃ ২০০৭; সিঃ ২০১৩, ২০১০; বঃ ২০১১,২০০৬ ]
উত্তরঃ \(10\sec^2 5x\tan 5x\)
\(Q.1.(xlvi)\) \(a^{px+q}\)
উত্তরঃ \(pa^{px+q}\ln a\)
\(Q.1.(xlvii)\)\(\cos \left(e^{\tan^2 2x}\right)\)
উত্তরঃ \(-4\sin \left(e^{\tan^2 2x}\right)e^{\tan^2 2x}\tan 2x\sec^2 2x\)
\(Q.1.(xlviii)\) \(\log_ax+\log_xa\)
উত্তরঃ \(\frac{x}{x\ln a}-\frac{\ln a}{x(\ln x)^2}\)
\(Q.1.(xlix)\) \(\log_x\tan x\)
উত্তরঃ \(\frac{2x\ln x \ cosec \ 2x-\ln \tan x}{x(\ln x)^2}\)
\(Q.1.(l)\) \(\ln (x-\sqrt{x^2-1})\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\)
\(Q.1.(li)\) \(\ln (x-\sqrt{x^2+1})\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\)
\(Q.1.(lii)\) \(\ln (\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b})\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2\sqrt{(x-a)(x-b)}}\)
\(Q.1.(liii)\) \(\sqrt{(x-3)(x-4)}\)
উত্তরঃ \(\frac{2x-7}{2\sqrt{(x-3)(x-4)}}\)
\(Q.1.(liv)\) \( cosec \ \sqrt{x}\)
উত্তরঃ \(-\frac{ cosec \ \sqrt{x}\cot \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\)
[ সিঃ ২০০১ ]
উত্তরঃ \(\frac{\sec x}{\sqrt{\cos 2x}}\)
\(Q.1.(xxix)\) \(\sin (\tan^{-1} x)\)
উত্তরঃ \((1+x^2)^{-\frac{3}{2}}\)
\(Q.1.(xxx)\) \((\sin^{-1} x)^5\)
উত্তরঃ \(\frac{5(\sin^{-1} x)^4}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(Q.1.(xxxi)\) \(\sin^{-1} \left(\frac{4x}{1+4x^2}\right)\)
[ সিঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \(\frac{4}{1+4x^2}\)
\(Q.1.(xxxii)\) \(\sin^{-1} \left(\frac{6x}{1+9x^2}\right)\)
[ ঢাঃ ২০০১]
উত্তরঃ \(\frac{6}{1+9x^2}\)
\(Q.1.(xxxiii)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\right)\)
উত্তরঃ \(1\)
\(Q.1.(xxxiv)\) \(\cot^{-1} \left(\frac{1-x}{1+x}\right)\)
[ চঃ ২০১০; যঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{1+x^2}\)
\(Q.1.(xxxv)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{4x}{\sqrt{1-4x^2}}\right)\)
[ বঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(\frac{4}{(1+12x^2)\sqrt{1-4x^2}}\)
\(Q.1.(xxxvi)\) \(\sin^{-1} \left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{1+x^2}\)
\(Q.1.(xxxvii)\) \(\frac{1}{\sqrt[3]{4-3x}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{4-3x)^{\frac{4}{3}}}\)
\(Q.1.(xxxviii)\) \(\sqrt{ax^2+bx+c}\)
উত্তরঃ \(\frac{2ax+b}{2\sqrt{ax^2+bx+c}}\)
\(Q.1.(xxxix)\) \(\sin \frac{\theta}{2}+\cos 5\theta\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\cos \frac{\theta}{2}-5\sin 5\theta\)
\(Q.1.(xl)\) \(\cos^4 \theta\)
উত্তরঃ \(-4\cos^3 \theta\sin \theta\)
\(Q.1.(xli)\) \(\sqrt{\tan (e^{x^2})}\)
[ যঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(\frac{xe^{x^2}\sec^2 e^{x^2}}{\sqrt{\tan e^{x^2}}}\)
\(Q.1.(xlii)\) \(e^{\sin \sqrt{x}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\cos \sqrt{x}e^{\sin \sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\)
\(Q.1.(xliii)\) \(2 \ cosec \ 2x\cos \{\ln (\tan x)\}\)
[ রাঃ ২০০৬ ]
উত্তরঃ \(-2 \ cosec \ 2x\left[\frac{\sec^2 x\sin \{\ln (\tan x)\}}{\tan x}+2\cot 2x\cos \{\ln (\tan x)\} \right] \)
\(Q.1.(xliv)\) \(e^{5\ln (\tan 5x)}\)
[ চঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(25\sec^2 5x\tan^4 5x\)
\(Q.1.(xlv)\)\(e^{2\ln (\tan 5x)}\)
[ ঢাঃ ২০০৮; দিঃ ২০১৬; কুঃ ২০০৭; সিঃ ২০১৩, ২০১০; বঃ ২০১১,২০০৬ ]
উত্তরঃ \(10\sec^2 5x\tan 5x\)
\(Q.1.(xlvi)\) \(a^{px+q}\)
উত্তরঃ \(pa^{px+q}\ln a\)
\(Q.1.(xlvii)\)\(\cos \left(e^{\tan^2 2x}\right)\)
উত্তরঃ \(-4\sin \left(e^{\tan^2 2x}\right)e^{\tan^2 2x}\tan 2x\sec^2 2x\)
\(Q.1.(xlviii)\) \(\log_ax+\log_xa\)
উত্তরঃ \(\frac{x}{x\ln a}-\frac{\ln a}{x(\ln x)^2}\)
\(Q.1.(xlix)\) \(\log_x\tan x\)
উত্তরঃ \(\frac{2x\ln x \ cosec \ 2x-\ln \tan x}{x(\ln x)^2}\)
\(Q.1.(l)\) \(\ln (x-\sqrt{x^2-1})\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\)
\(Q.1.(li)\) \(\ln (x-\sqrt{x^2+1})\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\)
\(Q.1.(lii)\) \(\ln (\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b})\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2\sqrt{(x-a)(x-b)}}\)
\(Q.1.(liii)\) \(\sqrt{(x-3)(x-4)}\)
উত্তরঃ \(\frac{2x-7}{2\sqrt{(x-3)(x-4)}}\)
\(Q.1.(liv)\) \( cosec \ \sqrt{x}\)
উত্তরঃ \(-\frac{ cosec \ \sqrt{x}\cot \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(i)\) \(2x^{o}\cos 3x^{o}\)
[ রাঃ ২০১৪; কুঃ ২০১৩,২০১০; যঃ ২০১২; বঃ২০১৪; সিঃ ২০১১; দিঃ ২০১১, ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{90}\left(\cos \frac{\pi x}{60}-\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}\right)\)
[ রাঃ ২০১৪; কুঃ ২০১৩,২০১০; যঃ ২০১২; বঃ২০১৪; সিঃ ২০১১; দিঃ ২০১১, ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{90}\left(\cos \frac{\pi x}{60}-\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}\right)\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=2x^{o}\cos 3x^{o}\)
আমরা জানি,
\(180^{o}=\pi\)
\(\Rightarrow 1^{o}=\frac{\pi}{180}\)
\(\Rightarrow x^{o}=\frac{\pi x}{180}\)
\(\therefore y=2\frac{\pi x}{180}\cos 3\frac{\pi x}{180}\)
\(=\frac{\pi x}{90}\cos \frac{\pi x}{60}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi x}{90}\cos \frac{\pi x}{60}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{\pi x}{90}\frac{d}{dx}(\cos \frac{\pi x}{60})+\cos \frac{\pi x}{60}\frac{d}{dx}(\frac{\pi x}{90})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=\frac{\pi x}{90}(-\sin \frac{\pi x}{60})\frac{d}{dx}(\frac{\pi x}{60})+\cos \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi}{90}\frac{d}{dx}(x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x\)
\(=-\frac{\pi x}{90}\sin \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi}{60}\frac{d}{dx}(x)+\cos \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi }{90}\frac{d}{dx}(x)\)
\(=-\frac{\pi x}{90}\sin \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi}{60}.1+\cos \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi }{90}.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=-\frac{\pi x}{90}.\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}+\frac{\pi }{90}\cos \frac{\pi x}{60}\)
\(=\frac{\pi}{90}\left(\cos \frac{\pi x}{60}-\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}\right)\)
\(y=2x^{o}\cos 3x^{o}\)
আমরা জানি,
\(180^{o}=\pi\)
\(\Rightarrow 1^{o}=\frac{\pi}{180}\)
\(\Rightarrow x^{o}=\frac{\pi x}{180}\)
\(\therefore y=2\frac{\pi x}{180}\cos 3\frac{\pi x}{180}\)
\(=\frac{\pi x}{90}\cos \frac{\pi x}{60}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi x}{90}\cos \frac{\pi x}{60}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{\pi x}{90}\frac{d}{dx}(\cos \frac{\pi x}{60})+\cos \frac{\pi x}{60}\frac{d}{dx}(\frac{\pi x}{90})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=\frac{\pi x}{90}(-\sin \frac{\pi x}{60})\frac{d}{dx}(\frac{\pi x}{60})+\cos \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi}{90}\frac{d}{dx}(x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x\)
\(=-\frac{\pi x}{90}\sin \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi}{60}\frac{d}{dx}(x)+\cos \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi }{90}\frac{d}{dx}(x)\)
\(=-\frac{\pi x}{90}\sin \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi}{60}.1+\cos \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi }{90}.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=-\frac{\pi x}{90}.\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}+\frac{\pi }{90}\cos \frac{\pi x}{60}\)
\(=\frac{\pi}{90}\left(\cos \frac{\pi x}{60}-\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}\right)\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(ii)\) \(e {3x}\cos x^{o}\)
উত্তরঃ \(e^{3x}\left(3\cos \frac{\pi x}{180}-\frac{\pi}{180}\sin \frac{\pi x}{180}\right)\)
উত্তরঃ \(e^{3x}\left(3\cos \frac{\pi x}{180}-\frac{\pi}{180}\sin \frac{\pi x}{180}\right)\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=e^{3x}\cos x^{o}\)
আমরা জানি,
\(180^{o}=\pi\)
\(\Rightarrow 1^{o}=\frac{\pi}{180}\)
\(\Rightarrow x^{o}=\frac{\pi x}{180}\)
\(\therefore y=e^{3x}\cos \frac{\pi x}{180}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(e^{3x}\cos \frac{\pi x}{180}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=e^{3x}\frac{d}{dx}(\cos \frac{\pi x}{180})+\cos \frac{\pi x}{180}\frac{d}{dx}(e^{3x})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=e^{3x}(-\sin \frac{\pi x}{180})\frac{d}{dx}(\frac{\pi x}{180})+\cos \frac{\pi x}{180}.e^{3x}\frac{d}{dx}(3x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x\)
\(=-e^{3x}\sin \frac{\pi x}{180}.\frac{\pi}{180}\frac{d}{dx}(x)+\cos \frac{\pi x}{180}.e^{3x}.3\frac{d}{dx}(x)\)
\(=-e^{3x}\sin \frac{\pi x}{180}.\frac{\pi}{180}.1+\cos \frac{\pi x}{180}.e^{3x}.3.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=-e^{3x}\frac{\pi}{180}\sin \frac{\pi x}{180}+3e^{3x}\cos \frac{\pi x}{180}\)
\(=e^{3x}\left(3\cos \frac{\pi x}{180}-\frac{\pi}{180}\sin \frac{\pi x}{180}\right)\)
\(y=e^{3x}\cos x^{o}\)
আমরা জানি,
\(180^{o}=\pi\)
\(\Rightarrow 1^{o}=\frac{\pi}{180}\)
\(\Rightarrow x^{o}=\frac{\pi x}{180}\)
\(\therefore y=e^{3x}\cos \frac{\pi x}{180}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(e^{3x}\cos \frac{\pi x}{180}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=e^{3x}\frac{d}{dx}(\cos \frac{\pi x}{180})+\cos \frac{\pi x}{180}\frac{d}{dx}(e^{3x})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=e^{3x}(-\sin \frac{\pi x}{180})\frac{d}{dx}(\frac{\pi x}{180})+\cos \frac{\pi x}{180}.e^{3x}\frac{d}{dx}(3x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x\)
\(=-e^{3x}\sin \frac{\pi x}{180}.\frac{\pi}{180}\frac{d}{dx}(x)+\cos \frac{\pi x}{180}.e^{3x}.3\frac{d}{dx}(x)\)
\(=-e^{3x}\sin \frac{\pi x}{180}.\frac{\pi}{180}.1+\cos \frac{\pi x}{180}.e^{3x}.3.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=-e^{3x}\frac{\pi}{180}\sin \frac{\pi x}{180}+3e^{3x}\cos \frac{\pi x}{180}\)
\(=e^{3x}\left(3\cos \frac{\pi x}{180}-\frac{\pi}{180}\sin \frac{\pi x}{180}\right)\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(iii)\) \(4x^{o}\sin 2x^{o}\)
[ যঃ ২০১৫ ]
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{45}\left(\frac{pi}{90}\cos \frac{\pi x}{90}+\sin \frac{\pi x}{90}\right)\)
[ যঃ ২০১৫ ]
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{45}\left(\frac{pi}{90}\cos \frac{\pi x}{90}+\sin \frac{\pi x}{90}\right)\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=4x^{o}\sin 2x^{o}\)
আমরা জানি,
\(180^{o}=\pi\)
\(\Rightarrow 1^{o}=\frac{\pi}{180}\)
\(\Rightarrow x^{o}=\frac{\pi x}{180}\)
\(\therefore y=4\frac{\pi x}{180}\sin 2\frac{\pi x}{180}\)
\(=\frac{\pi x}{45}\sin \frac{\pi x}{90}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi x}{45}\sin \frac{\pi x}{90}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{\pi x}{45}\frac{d}{dx}(\sin \frac{\pi x}{90})+\sin \frac{\pi x}{90}\frac{d}{dx}(\frac{\pi x}{45})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=\frac{\pi x}{45}\cos \frac{\pi x}{90}\frac{d}{dx}(\frac{\pi x}{90})+\sin \frac{\pi x}{90}.\frac{\pi}{45}\frac{d}{dx}(x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x\)
\(=\frac{\pi x}{45}\cos \frac{\pi x}{90}.\frac{\pi}{90}\frac{d}{dx}(x)+\sin \frac{\pi x}{90}.\frac{\pi}{45}\frac{d}{dx}(x)\)
\(=\frac{\pi x}{45}\cos \frac{\pi x}{90}.\frac{\pi}{90}.1+\sin \frac{\pi x}{90}.\frac{\pi}{45}.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{\pi x}{45}\frac{\pi}{90}\cos \frac{\pi x}{90}+\frac{\pi}{45}\sin \frac{\pi x}{90}\)
\(=\frac{\pi}{45}\left(\frac{pi}{90}\cos \frac{\pi x}{90}+\sin \frac{\pi x}{90}\right)\)
\(y=4x^{o}\sin 2x^{o}\)
আমরা জানি,
\(180^{o}=\pi\)
\(\Rightarrow 1^{o}=\frac{\pi}{180}\)
\(\Rightarrow x^{o}=\frac{\pi x}{180}\)
\(\therefore y=4\frac{\pi x}{180}\sin 2\frac{\pi x}{180}\)
\(=\frac{\pi x}{45}\sin \frac{\pi x}{90}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi x}{45}\sin \frac{\pi x}{90}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{\pi x}{45}\frac{d}{dx}(\sin \frac{\pi x}{90})+\sin \frac{\pi x}{90}\frac{d}{dx}(\frac{\pi x}{45})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=\frac{\pi x}{45}\cos \frac{\pi x}{90}\frac{d}{dx}(\frac{\pi x}{90})+\sin \frac{\pi x}{90}.\frac{\pi}{45}\frac{d}{dx}(x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x\)
\(=\frac{\pi x}{45}\cos \frac{\pi x}{90}.\frac{\pi}{90}\frac{d}{dx}(x)+\sin \frac{\pi x}{90}.\frac{\pi}{45}\frac{d}{dx}(x)\)
\(=\frac{\pi x}{45}\cos \frac{\pi x}{90}.\frac{\pi}{90}.1+\sin \frac{\pi x}{90}.\frac{\pi}{45}.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{\pi x}{45}\frac{\pi}{90}\cos \frac{\pi x}{90}+\frac{\pi}{45}\sin \frac{\pi x}{90}\)
\(=\frac{\pi}{45}\left(\frac{pi}{90}\cos \frac{\pi x}{90}+\sin \frac{\pi x}{90}\right)\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(iv)\) \(e^{5x}\sin x^{o}\)
[ সিঃ ২০০২]
উত্তরঃ \(e^{5x}\left(\frac{\pi}{180}\cos \frac{\pi x}{180}+5\sin \frac{\pi x}{180}\right)\)
[ সিঃ ২০০২]
উত্তরঃ \(e^{5x}\left(\frac{\pi}{180}\cos \frac{\pi x}{180}+5\sin \frac{\pi x}{180}\right)\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=e^{5x}\sin x^{o}\)
আমরা জানি,
\(180^{o}=\pi\)
\(\Rightarrow 1^{o}=\frac{\pi}{180}\)
\(\Rightarrow x^{o}=\frac{\pi x}{180}\)
\(\therefore y=e^{5x}\sin \frac{\pi x}{180}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(e^{5x}\sin \frac{\pi x}{180}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=e^{5x}\frac{d}{dx}(\sin \frac{\pi x}{180})+\sin \frac{\pi x}{180}\frac{d}{dx}(e^{5x})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=e^{5x}(\cos \frac{\pi x}{180})\frac{d}{dx}(\frac{\pi x}{180})+\sin \frac{\pi x}{180}.e^{5x}\frac{d}{dx}(5x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x\)
\(=e^{5x}\cos \frac{\pi x}{180}.\frac{\pi}{180}\frac{d}{dx}(x)+\sin \frac{\pi x}{180}.e^{5x}.5\frac{d}{dx}(x)\)
\(=e^{5x}\cos \frac{\pi x}{180}.\frac{\pi}{180}.1+\sin \frac{\pi x}{180}.e^{5x}.5.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=e^{5x}\frac{\pi}{180}\cos \frac{\pi x}{180}+5e^{5x}\sin \frac{\pi x}{180}\)
\(=e^{5x}\left(\frac{\pi}{180}\cos \frac{\pi x}{180}+5\sin \frac{\pi x}{180}\right)\)
\(y=e^{5x}\sin x^{o}\)
আমরা জানি,
\(180^{o}=\pi\)
\(\Rightarrow 1^{o}=\frac{\pi}{180}\)
\(\Rightarrow x^{o}=\frac{\pi x}{180}\)
\(\therefore y=e^{5x}\sin \frac{\pi x}{180}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(e^{5x}\sin \frac{\pi x}{180}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=e^{5x}\frac{d}{dx}(\sin \frac{\pi x}{180})+\sin \frac{\pi x}{180}\frac{d}{dx}(e^{5x})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=e^{5x}(\cos \frac{\pi x}{180})\frac{d}{dx}(\frac{\pi x}{180})+\sin \frac{\pi x}{180}.e^{5x}\frac{d}{dx}(5x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x\)
\(=e^{5x}\cos \frac{\pi x}{180}.\frac{\pi}{180}\frac{d}{dx}(x)+\sin \frac{\pi x}{180}.e^{5x}.5\frac{d}{dx}(x)\)
\(=e^{5x}\cos \frac{\pi x}{180}.\frac{\pi}{180}.1+\sin \frac{\pi x}{180}.e^{5x}.5.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=e^{5x}\frac{\pi}{180}\cos \frac{\pi x}{180}+5e^{5x}\sin \frac{\pi x}{180}\)
\(=e^{5x}\left(\frac{\pi}{180}\cos \frac{\pi x}{180}+5\sin \frac{\pi x}{180}\right)\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(v)\) \(\frac{x\ln x}{\sqrt{1+x^2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1+x^2+\ln x}{(\sqrt{1+x^2})^3}\)
উত্তরঃ \(\frac{1+x^2+\ln x}{(\sqrt{1+x^2})^3}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\frac{x\ln x}{\sqrt{1+x^2}}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x\ln x}{\sqrt{1+x^2}}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{\sqrt{1+x^2}\frac{d}{dx}(x\ln x)-x\ln x\frac{d}{dx}(\sqrt{1+x^2})}{(\sqrt{1+x^2})^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\frac{u}{v})=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{\sqrt{1+x^2}\{x\frac{d}{dx}(\ln x)+\ln x\frac{d}{dx}(x)\}-x\ln x.\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\frac{d}{dx}(1+x^2)}{1+x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=\frac{\sqrt{1+x^2}\{x.\frac{1}{x}+\ln x.1\}-x\ln x.\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\{\frac{d}{dx}(1)+\frac{d}{dx}(x^2)\}}{1+x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{\sqrt{1+x^2}(1+\ln x)-x\ln x.\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\{0+2x\}}{1+x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{\sqrt{1+x^2}(1+\ln x)-x\ln x.\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}.2x}{1+x^2}\)
\(=\frac{\sqrt{1+x^2}(1+\ln x)-x^2\ln x.\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}\)
\(=\frac{\frac{(1+x^2)(1+\ln x)-x^2\ln x}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}\)
\(=\frac{(1+x^2)(1+\ln x)-x^2\ln x}{\sqrt{1+x^2}(1+x^2)}\)
\(=\frac{1+x^2+\ln x+x^2\ln x-x^2\ln x}{\sqrt{1+x^2}(1+x^2)}\)
\(=\frac{1+x^2+\ln x}{(1+x^2)^{\frac{1}{2}}(1+x^2)}\)
\(=\frac{1+x^2+\ln x}{(1+x^2)^{\frac{1}{2}+1}}\)
\(=\frac{1+x^2+\ln x}{(1+x^2)^{\frac{1+2}{2}}}\)
\(=\frac{1+x^2+\ln x}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}\)
\(=\frac{1+x^2+\ln x}{(\sqrt{1+x^2})^3}\)
\(y=\frac{x\ln x}{\sqrt{1+x^2}}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x\ln x}{\sqrt{1+x^2}}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{\sqrt{1+x^2}\frac{d}{dx}(x\ln x)-x\ln x\frac{d}{dx}(\sqrt{1+x^2})}{(\sqrt{1+x^2})^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\frac{u}{v})=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{\sqrt{1+x^2}\{x\frac{d}{dx}(\ln x)+\ln x\frac{d}{dx}(x)\}-x\ln x.\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\frac{d}{dx}(1+x^2)}{1+x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=\frac{\sqrt{1+x^2}\{x.\frac{1}{x}+\ln x.1\}-x\ln x.\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\{\frac{d}{dx}(1)+\frac{d}{dx}(x^2)\}}{1+x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{\sqrt{1+x^2}(1+\ln x)-x\ln x.\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\{0+2x\}}{1+x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{\sqrt{1+x^2}(1+\ln x)-x\ln x.\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}.2x}{1+x^2}\)
\(=\frac{\sqrt{1+x^2}(1+\ln x)-x^2\ln x.\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}\)
\(=\frac{\frac{(1+x^2)(1+\ln x)-x^2\ln x}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}\)
\(=\frac{(1+x^2)(1+\ln x)-x^2\ln x}{\sqrt{1+x^2}(1+x^2)}\)
\(=\frac{1+x^2+\ln x+x^2\ln x-x^2\ln x}{\sqrt{1+x^2}(1+x^2)}\)
\(=\frac{1+x^2+\ln x}{(1+x^2)^{\frac{1}{2}}(1+x^2)}\)
\(=\frac{1+x^2+\ln x}{(1+x^2)^{\frac{1}{2}+1}}\)
\(=\frac{1+x^2+\ln x}{(1+x^2)^{\frac{1+2}{2}}}\)
\(=\frac{1+x^2+\ln x}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}\)
\(=\frac{1+x^2+\ln x}{(\sqrt{1+x^2})^3}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(vi)\) \(\sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{1-\cos x}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{1-\cos x}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}\)
\(=\sqrt{\frac{2\cos^2 \frac{x}{2}}{2\sin^2 \frac{x}{2}}}\) ➜ \(\because 1+\cos A=2\cos^2 \frac{A}{2}, 1-\cos A=2\sin^2 \frac{A}{2}\)
\(=\sqrt{\frac{\cos^2 \frac{x}{2}}{\sin^2 \frac{x}{2}}}\)
\(=\frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}\)
\(=\cot \frac{x}{2}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\cot \frac{x}{2}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left(\cot \frac{x}{2}\right).\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)\) ➜ \(\frac{x}{2}\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left(\cot \frac{x}{2}\right).\frac{1}{2}\frac{d}{dx}(x)\) \(=-cosec^2 \ \frac{x}{2}.\frac{1}{2}.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cot x)=-cosec^2 \ x, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=-\frac{1}{2}cosec^2 \ \frac{x}{2}\)
\(=-\frac{1}{2\sin^2 \ \frac{x}{2}}\) ➜ \(\because \frac{1}{cosec \ A}=\sin A\)
\(=-\frac{1}{1-\cos x}\) ➜ \(\because 2\sin^2 A=1-\cos 2A\)
\(y=\sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}\)
\(=\sqrt{\frac{2\cos^2 \frac{x}{2}}{2\sin^2 \frac{x}{2}}}\) ➜ \(\because 1+\cos A=2\cos^2 \frac{A}{2}, 1-\cos A=2\sin^2 \frac{A}{2}\)
\(=\sqrt{\frac{\cos^2 \frac{x}{2}}{\sin^2 \frac{x}{2}}}\)
\(=\frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}\)
\(=\cot \frac{x}{2}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\cot \frac{x}{2}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left(\cot \frac{x}{2}\right).\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)\) ➜ \(\frac{x}{2}\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left(\cot \frac{x}{2}\right).\frac{1}{2}\frac{d}{dx}(x)\) \(=-cosec^2 \ \frac{x}{2}.\frac{1}{2}.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cot x)=-cosec^2 \ x, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=-\frac{1}{2}cosec^2 \ \frac{x}{2}\)
\(=-\frac{1}{2\sin^2 \ \frac{x}{2}}\) ➜ \(\because \frac{1}{cosec \ A}=\sin A\)
\(=-\frac{1}{1-\cos x}\) ➜ \(\because 2\sin^2 A=1-\cos 2A\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(vii)\) \(\frac{1}{1+\cos x}\)
উত্তরঃ \(\frac{\sin x}{(1+\cos x)^2}\)
উত্তরঃ \(\frac{\sin x}{(1+\cos x)^2}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\frac{1}{1+\cos x}\)
\(=(1+\cos x)^{-1}\) ➜ \(\because \frac{1}{x}=x^{-1}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{(1+\cos x)^{-1}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{(1+\cos x)^{-1}\}. \frac{d}{dx}(1+\cos x)\) ➜ \(1+\cos x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=-1\{(1+\cos x)^{-1-1}\}.(0-\sin x)\) ➜ \(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=-\{(1+\cos x)^{-2}\}.(-\sin x)\)
\(=\sin x\{(1+\cos x)^{-2}\}\)
\(=\frac{\sin x}{(1+\cos x)^2}\)
\(y=\frac{1}{1+\cos x}\)
\(=(1+\cos x)^{-1}\) ➜ \(\because \frac{1}{x}=x^{-1}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{(1+\cos x)^{-1}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{(1+\cos x)^{-1}\}. \frac{d}{dx}(1+\cos x)\) ➜ \(1+\cos x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=-1\{(1+\cos x)^{-1-1}\}.(0-\sin x)\) ➜ \(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=-\{(1+\cos x)^{-2}\}.(-\sin x)\)
\(=\sin x\{(1+\cos x)^{-2}\}\)
\(=\frac{\sin x}{(1+\cos x)^2}\)
বিকল্প পদ্ধতিঃ
মনে করি,
\(y=\frac{1}{1+\cos x}\)
\(=\frac{1}{2\cos^2 \frac{x}{2}}\) ➜ \(\because 1+\cos A=2\cos^2 \frac{A}{2}\)
\(=\frac{1}{2}\sec^2 \frac{x}{2}\) ➜ \(\because \frac{1}{\cos A}=\sec A\)
\(=\frac{1}{2}(1+\tan^2 \frac{x}{2})\) ➜ \(\because \sec^2 A=1+\tan^2 A\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2}(1+\tan^2 \frac{x}{2})\right]\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{2}\frac{d}{dx}\left(1+\tan^2 \frac{x}{2}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left[\frac{d}{dx}(1)+\frac{d}{dx}\left(\tan^2 \frac{x}{2}\right)\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left[\frac{d}{dx}(1)+\frac{d}{dx}\left(\tan^2 \frac{x}{2}\right).\frac{d}{dx}\left(\tan \frac{x}{2}\right).\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)\right]\) ➜ \(\tan \frac{x}{2}\) এবং \(\frac{x}{2}\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{2}\left[0+2\tan \frac{x}{2}.\sec^2 \frac{x}{2}.\frac{1}{2}\right]\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(\tan A)=\sec^2 A\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{2}\left[\tan \frac{x}{2}.\sec^2 \frac{x}{2}\right]\)
\(=\frac{\tan \frac{x}{2}}{2\cos^2 \frac{x}{2}}\) ➜ \(\because \sec A=\frac{1}{\cos A}\)
\(=\frac{\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}}{1+\cos x}\) ➜ \(\because \tan A=\frac{\sin A}{\cos A}\)
\(=\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}(1+\cos x)}\)
\(=\frac{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{2\cos^2 \frac{x}{2}(1+\cos x)}\) ➜ লব ও হর কে \(2\cos^2 \frac{x}{2}\) দ্বারা গুণ করে।
\(=\frac{\sin x}{(1+\cos x)(1+\cos x)}\) ➜ \(\because 2\cos^2 A=1+\cos 2A, 2\sin A\cos A=\sin 2A\)
\(=\frac{\sin x}{(1+\cos x)^2}\)
\(y=\frac{1}{1+\cos x}\)
\(=\frac{1}{2\cos^2 \frac{x}{2}}\) ➜ \(\because 1+\cos A=2\cos^2 \frac{A}{2}\)
\(=\frac{1}{2}\sec^2 \frac{x}{2}\) ➜ \(\because \frac{1}{\cos A}=\sec A\)
\(=\frac{1}{2}(1+\tan^2 \frac{x}{2})\) ➜ \(\because \sec^2 A=1+\tan^2 A\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2}(1+\tan^2 \frac{x}{2})\right]\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{2}\frac{d}{dx}\left(1+\tan^2 \frac{x}{2}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left[\frac{d}{dx}(1)+\frac{d}{dx}\left(\tan^2 \frac{x}{2}\right)\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left[\frac{d}{dx}(1)+\frac{d}{dx}\left(\tan^2 \frac{x}{2}\right).\frac{d}{dx}\left(\tan \frac{x}{2}\right).\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)\right]\) ➜ \(\tan \frac{x}{2}\) এবং \(\frac{x}{2}\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{2}\left[0+2\tan \frac{x}{2}.\sec^2 \frac{x}{2}.\frac{1}{2}\right]\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(\tan A)=\sec^2 A\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{2}\left[\tan \frac{x}{2}.\sec^2 \frac{x}{2}\right]\)
\(=\frac{\tan \frac{x}{2}}{2\cos^2 \frac{x}{2}}\) ➜ \(\because \sec A=\frac{1}{\cos A}\)
\(=\frac{\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}}{1+\cos x}\) ➜ \(\because \tan A=\frac{\sin A}{\cos A}\)
\(=\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}(1+\cos x)}\)
\(=\frac{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{2\cos^2 \frac{x}{2}(1+\cos x)}\) ➜ লব ও হর কে \(2\cos^2 \frac{x}{2}\) দ্বারা গুণ করে।
\(=\frac{\sin x}{(1+\cos x)(1+\cos x)}\) ➜ \(\because 2\cos^2 A=1+\cos 2A, 2\sin A\cos A=\sin 2A\)
\(=\frac{\sin x}{(1+\cos x)^2}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(viii)\) \(\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}\)
[ চঃ ২০০০]
উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}}{2\sqrt{(x+1)(x+2)}}\)
[ চঃ ২০০০]
উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}}{2\sqrt{(x+1)(x+2)}}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}\)
\(=\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}}{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2})(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2})}\) ➜ লব ও হর কে \(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}\) দ্বারা গুণ করে।
\(=\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}}{(\sqrt{x+1})^2-(\sqrt{x+2})^2}\)
\(=\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}}{x+1-x-2}\)
\(=\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}}{-1}\)
\(=-(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2})\)
\(=\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}\)
\(=(x+2)^{\frac{1}{2}}-(x+1)^{\frac{1}{2}}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{(x+2)^{\frac{1}{2}}-(x+1)^{\frac{1}{2}}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\{\frac{d}{dx}(x+2)^{\frac{1}{2}}-\frac{d}{dx}(x+1)^{\frac{1}{2}}\}\)
\(=\{\frac{1}{2}(x+2)^{\frac{1}{2}-1}\frac{d}{dx}(x+2)-\frac{1}{2}(x+1)^{\frac{1}{2}-1}\frac{d}{dx}(x+1)\}\) ➜ \(x+1\), \(x+2\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\{\frac{1}{2}(x+2)^{\frac{1-2}{2}}(1+0)-\frac{1}{2}(x+1)^{\frac{1-2}{2}}(1+0)\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{2}\{(x+2)^{\frac{-1}{2}}-(x+1)^{\frac{-1}{2}}\}\)
\(=\frac{1}{2}\{\frac{1}{(x+2)^{\frac{1}{2}}}-\frac{1}{(x+1)^{\frac{1}{2}}}\}\)
\(=\frac{1}{2}\{\frac{1}{\sqrt{(x+2)}}-\frac{1}{\sqrt{(x+1)}}\}\)
\(=\frac{1}{2}\{\frac{\sqrt{(x+1)}-\sqrt{(x+2)}}{\sqrt{(x+1)}\sqrt{(x+2)}}\}\)
\(=\frac{\sqrt{(x+1)}-\sqrt{(x+2)}}{2\sqrt{(x+1)(x+2)}}\)
\(y=\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}\)
\(=\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}}{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2})(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2})}\) ➜ লব ও হর কে \(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}\) দ্বারা গুণ করে।
\(=\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}}{(\sqrt{x+1})^2-(\sqrt{x+2})^2}\)
\(=\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}}{x+1-x-2}\)
\(=\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}}{-1}\)
\(=-(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2})\)
\(=\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}\)
\(=(x+2)^{\frac{1}{2}}-(x+1)^{\frac{1}{2}}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{(x+2)^{\frac{1}{2}}-(x+1)^{\frac{1}{2}}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\{\frac{d}{dx}(x+2)^{\frac{1}{2}}-\frac{d}{dx}(x+1)^{\frac{1}{2}}\}\)
\(=\{\frac{1}{2}(x+2)^{\frac{1}{2}-1}\frac{d}{dx}(x+2)-\frac{1}{2}(x+1)^{\frac{1}{2}-1}\frac{d}{dx}(x+1)\}\) ➜ \(x+1\), \(x+2\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\{\frac{1}{2}(x+2)^{\frac{1-2}{2}}(1+0)-\frac{1}{2}(x+1)^{\frac{1-2}{2}}(1+0)\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{2}\{(x+2)^{\frac{-1}{2}}-(x+1)^{\frac{-1}{2}}\}\)
\(=\frac{1}{2}\{\frac{1}{(x+2)^{\frac{1}{2}}}-\frac{1}{(x+1)^{\frac{1}{2}}}\}\)
\(=\frac{1}{2}\{\frac{1}{\sqrt{(x+2)}}-\frac{1}{\sqrt{(x+1)}}\}\)
\(=\frac{1}{2}\{\frac{\sqrt{(x+1)}-\sqrt{(x+2)}}{\sqrt{(x+1)}\sqrt{(x+2)}}\}\)
\(=\frac{\sqrt{(x+1)}-\sqrt{(x+2)}}{2\sqrt{(x+1)(x+2)}}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(ix)\) \(\left(\frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}\right)^2\)
[ কুঃ ২০০৩]
উত্তরঃ \(2\tan x\sec^2 x\)
[ কুঃ ২০০৩]
উত্তরঃ \(2\tan x\sec^2 x\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\left(\frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}\right)^2\)
\(=\left(\frac{2\sin x\cos x}{2\cos^2 x}\right)^2\) ➜ \(\because \sin 2A=2\sin A\cos A, 1+\cos 2A=2\cos^2 A\)
\(=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^2\)
\(=(\tan x)^2\) ➜ \(\because \frac{\sin A}{\cos A}=\tan A\)
\(=\tan^2 x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\tan^2 x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\tan^2 x).\frac{d}{dx}(\tan x)\) ➜ \(\tan x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=2\tan x.\sec^2 x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2 x\)
\(=2\tan x\sec^2 x)\)
\(y=\left(\frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}\right)^2\)
\(=\left(\frac{2\sin x\cos x}{2\cos^2 x}\right)^2\) ➜ \(\because \sin 2A=2\sin A\cos A, 1+\cos 2A=2\cos^2 A\)
\(=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^2\)
\(=(\tan x)^2\) ➜ \(\because \frac{\sin A}{\cos A}=\tan A\)
\(=\tan^2 x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\tan^2 x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\tan^2 x).\frac{d}{dx}(\tan x)\) ➜ \(\tan x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=2\tan x.\sec^2 x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2 x\)
\(=2\tan x\sec^2 x)\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(x)\) \(\sin x^{o}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{180}\cos \frac{\pi x}{180}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{180}\cos \frac{\pi x}{180}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\sin x^{o}\)
আমরা জানি,
\(180^{o}=\pi\)
\(\Rightarrow 1^{o}=\frac{\pi}{180}\)
\(\Rightarrow x^{o}=\frac{\pi x}{180}\)
\(\therefore y=\sin \frac{\pi x}{180}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\sin \frac{\pi x}{180}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left(\sin \frac{\pi x}{180}\right).\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi x}{180}\right)\) ➜ \(\frac{\pi x}{180}\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left(\sin \frac{\pi x}{180}\right).\frac{\pi}{180}\frac{d}{dx}(x)\)
\(=\cos \frac{\pi x}{180}.\frac{\pi}{180}.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{\pi}{180}\cos \frac{\pi x}{180}\)
\(y=\sin x^{o}\)
আমরা জানি,
\(180^{o}=\pi\)
\(\Rightarrow 1^{o}=\frac{\pi}{180}\)
\(\Rightarrow x^{o}=\frac{\pi x}{180}\)
\(\therefore y=\sin \frac{\pi x}{180}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\sin \frac{\pi x}{180}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left(\sin \frac{\pi x}{180}\right).\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi x}{180}\right)\) ➜ \(\frac{\pi x}{180}\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left(\sin \frac{\pi x}{180}\right).\frac{\pi}{180}\frac{d}{dx}(x)\)
\(=\cos \frac{\pi x}{180}.\frac{\pi}{180}.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{\pi}{180}\cos \frac{\pi x}{180}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(xi)\) \(\sin \left(3x-\frac{\pi}{3}\right)\)
উত্তরঃ \(3\cos \left(3x-\frac{\pi}{3}\right)\)
উত্তরঃ \(3\cos \left(3x-\frac{\pi}{3}\right)\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\sin \left(3x-\frac{\pi}{3}\right)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left[\sin \left(3x-\frac{\pi}{3}\right)\right]\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left[\sin \left(3x-\frac{\pi}{3}\right)\right].\frac{d}{dx}\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)\) ➜ \(3x-\frac{\pi}{3}\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\cos \left(3x-\frac{\pi}{3}\right).\left[\frac{d}{dx}\left(3x)-\frac{d}{dx}(\frac{\pi}{3}\right)\right]\)
\(=\cos \left(3x-\frac{\pi}{3}\right).\left[3\frac{d}{dx}\left(x)-\frac{d}{dx}(\frac{\pi}{3}\right)\right]\)
\(=\cos \left(3x-\frac{\pi}{3}\right).(3.1-0)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x, \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\cos \left(3x-\frac{\pi}{3}\right).(3-0)\)
\(=\cos \left(3x-\frac{\pi}{3}\right).3\)
\(=3\cos \left(3x-\frac{\pi}{3}\right)\)
\(y=\sin \left(3x-\frac{\pi}{3}\right)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left[\sin \left(3x-\frac{\pi}{3}\right)\right]\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left[\sin \left(3x-\frac{\pi}{3}\right)\right].\frac{d}{dx}\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)\) ➜ \(3x-\frac{\pi}{3}\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\cos \left(3x-\frac{\pi}{3}\right).\left[\frac{d}{dx}\left(3x)-\frac{d}{dx}(\frac{\pi}{3}\right)\right]\)
\(=\cos \left(3x-\frac{\pi}{3}\right).\left[3\frac{d}{dx}\left(x)-\frac{d}{dx}(\frac{\pi}{3}\right)\right]\)
\(=\cos \left(3x-\frac{\pi}{3}\right).(3.1-0)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x, \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\cos \left(3x-\frac{\pi}{3}\right).(3-0)\)
\(=\cos \left(3x-\frac{\pi}{3}\right).3\)
\(=3\cos \left(3x-\frac{\pi}{3}\right)\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(xii)\) \(\cos^3 x\)
উত্তরঃ \(-3\cos^2 x\sin x\)
উত্তরঃ \(-3\cos^2 x\sin x\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\cos^3 x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\cos^3 x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\cos^3 x).\frac{d}{dx}(\cos x)\) ➜ \(\cos x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=3\cos^2 x.(-\sin x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x\)
\(=-3\cos^2 x\sin x\)
\(y=\cos^3 x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\cos^3 x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\cos^3 x).\frac{d}{dx}(\cos x)\) ➜ \(\cos x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=3\cos^2 x.(-\sin x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x\)
\(=-3\cos^2 x\sin x\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(xiii)\) \(\sin^2 x^2\)
উত্তরঃ \(2x\sin (2x^2)\)
উত্তরঃ \(2x\sin (2x^2)\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\sin^2 x^2\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sin^2 x^2)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\sin^2 x^2).\frac{d}{dx}(\sin x^2).\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜ \(\sin x\) এবং \(x^2\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=2\sin x^2.\cos x^2.2x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x\)
\(=4x\sin x^2\cos x^2\)
\(=2x.2\sin x^2\cos x^2\)
\(=2x\sin (2x^2)\) ➜ \(\because 2\sin A\cos A=\sin 2A\)
\(y=\sin^2 x^2\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sin^2 x^2)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\sin^2 x^2).\frac{d}{dx}(\sin x^2).\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜ \(\sin x\) এবং \(x^2\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=2\sin x^2.\cos x^2.2x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x\)
\(=4x\sin x^2\cos x^2\)
\(=2x.2\sin x^2\cos x^2\)
\(=2x\sin (2x^2)\) ➜ \(\because 2\sin A\cos A=\sin 2A\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(xiv)\) \(\sin^2 \{\ln (\sec x)\}\)
[ ঢাঃ ২০১৬,২০১২,২০০১; সিঃ ২০১২,২০০৯; কুঃ ২০০৯; রাঃ ২০০৭; মাঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(\tan x\sin \{2\ln (\sec x)\}\)
[ ঢাঃ ২০১৬,২০১২,২০০১; সিঃ ২০১২,২০০৯; কুঃ ২০০৯; রাঃ ২০০৭; মাঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(\tan x\sin \{2\ln (\sec x)\}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\sin^2 \{\ln (\sec x)\}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left[\sin^2 \{\ln (\sec x)\}\right]\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left[\sin^2 \{\ln (\sec x)\}\right].\frac{d}{dx}\left[\sin \{\ln (\sec x)\}\right].\frac{d}{dx}\{\ln (\sec x)\}.\frac{d}{dx}(\sec x)\) ➜ \(\sin \{\ln (\sec x)\}\), \(\ln (\sec x)\) এবং \(\sec x\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=2\sin \{\ln (\sec x)\}.\cos \{\ln (\sec x)\}.\frac{1}{\sec x}.\sec x\tan x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x\)\(\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(\sec x)=\sec x\tan x\)
\(=\sin 2\ln (\sec x)\tan x\)
\(=\tan x\sin 2\ln (\sec x)\)
\(y=\sin^2 \{\ln (\sec x)\}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left[\sin^2 \{\ln (\sec x)\}\right]\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left[\sin^2 \{\ln (\sec x)\}\right].\frac{d}{dx}\left[\sin \{\ln (\sec x)\}\right].\frac{d}{dx}\{\ln (\sec x)\}.\frac{d}{dx}(\sec x)\) ➜ \(\sin \{\ln (\sec x)\}\), \(\ln (\sec x)\) এবং \(\sec x\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=2\sin \{\ln (\sec x)\}.\cos \{\ln (\sec x)\}.\frac{1}{\sec x}.\sec x\tan x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x\)\(\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(\sec x)=\sec x\tan x\)
\(=\sin 2\ln (\sec x)\tan x\)
\(=\tan x\sin 2\ln (\sec x)\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(xv)\) \(\sin^2 \{\ln (x^2)\}\)
[ ঢাঃ,সিঃ ২০১৪; যঃ ২০০৮, ২০০৭, ২০০১; চঃ ২০০৬ ]
উত্তরঃ \(\frac{2}{x}\sin \{4\ln (x)\}\)
[ ঢাঃ,সিঃ ২০১৪; যঃ ২০০৮, ২০০৭, ২০০১; চঃ ২০০৬ ]
উত্তরঃ \(\frac{2}{x}\sin \{4\ln (x)\}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\sin^2 \{\ln (x^2)\}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left[\sin^2 \{\ln (x^2)\}\right]\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left[\sin^2 \{\ln (x^2)\}\right].\frac{d}{dx}\left[\sin \{\ln (x^2)\}\right].\frac{d}{dx}\{\ln (x^2)\}.\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜ \(\sin \{\ln (x^2)\}\), \(\ln (x^2)\) এবং \(x^2\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=2\sin \{\ln (x^2)\}.\cos \{\ln (x^2)\}.\frac{1}{x^2}.2x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x\)\(\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}\)
\(=\sin 2\{\ln (x^2)\}.\frac{2}{x}\)
\(=\frac{2}{x}\sin 2.2\ln (x)\)
\(=\frac{2}{x}\sin 4\ln (x)\)
\(y=\sin^2 \{\ln (x^2)\}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left[\sin^2 \{\ln (x^2)\}\right]\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left[\sin^2 \{\ln (x^2)\}\right].\frac{d}{dx}\left[\sin \{\ln (x^2)\}\right].\frac{d}{dx}\{\ln (x^2)\}.\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜ \(\sin \{\ln (x^2)\}\), \(\ln (x^2)\) এবং \(x^2\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=2\sin \{\ln (x^2)\}.\cos \{\ln (x^2)\}.\frac{1}{x^2}.2x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x\)\(\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}\)
\(=\sin 2\{\ln (x^2)\}.\frac{2}{x}\)
\(=\frac{2}{x}\sin 2.2\ln (x)\)
\(=\frac{2}{x}\sin 4\ln (x)\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(xvi)\) \(\sec \sqrt{x}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\sec \sqrt{x}\tan \sqrt{x}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\sec \sqrt{x}\tan \sqrt{x}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\sec \sqrt{x}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sec \sqrt{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\sec \sqrt{x}).\frac{d}{dx}(\sqrt{x})\) ➜ \(\sqrt{x}\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\sec \sqrt{x}\tan \sqrt{x}.\frac{1}{2\sqrt{x}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sec x)=\sec x\tan x, \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{x}}\sec \sqrt{x}\tan \sqrt{x}\)
\(y=\sec \sqrt{x}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sec \sqrt{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\sec \sqrt{x}).\frac{d}{dx}(\sqrt{x})\) ➜ \(\sqrt{x}\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\sec \sqrt{x}\tan \sqrt{x}.\frac{1}{2\sqrt{x}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sec x)=\sec x\tan x, \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{x}}\sec \sqrt{x}\tan \sqrt{x}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(xvii)\) \(\sqrt{\left(\frac{1}{e^x}\right)}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\sqrt{\left(\frac{1}{e^x}\right)}\)
\(=\sqrt{(e^{-x})}\)
\(=e^{-\frac{x}{2}}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(e^{-\frac{x}{2}})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(e^{-\frac{x}{2}}).\frac{d}{dx}(-\frac{x}{2})\) ➜ \(-\frac{x}{2}\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(e^{-\frac{x}{2}}).\left(-\frac{1}{2}\right)\frac{d}{dx}(x)\)
\(=e^{-\frac{x}{2}}.\left(-\frac{1}{2}\right).1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(e^x)=e^x, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=e^{-\frac{x}{2}}.\left(-\frac{1}{2}\right)\)
\(=-\frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}}\)
\(y=\sqrt{\left(\frac{1}{e^x}\right)}\)
\(=\sqrt{(e^{-x})}\)
\(=e^{-\frac{x}{2}}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(e^{-\frac{x}{2}})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(e^{-\frac{x}{2}}).\frac{d}{dx}(-\frac{x}{2})\) ➜ \(-\frac{x}{2}\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(e^{-\frac{x}{2}}).\left(-\frac{1}{2}\right)\frac{d}{dx}(x)\)
\(=e^{-\frac{x}{2}}.\left(-\frac{1}{2}\right).1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(e^x)=e^x, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=e^{-\frac{x}{2}}.\left(-\frac{1}{2}\right)\)
\(=-\frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(xviii)\) \(e^{\sin x}\)
উত্তরঃ \(\cos x e^{\sin x}\)
উত্তরঃ \(\cos x e^{\sin x}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=e^{\sin x}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(e^{\sin x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(e^{\sin x}).\frac{d}{dx}(\sin x)\) ➜ \(\sin x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=e^{\sin x}.\cos x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(e^x)=e^x, \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x\)
\(=e^{\sin x}\cos x\)
\(y=e^{\sin x}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(e^{\sin x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(e^{\sin x}).\frac{d}{dx}(\sin x)\) ➜ \(\sin x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=e^{\sin x}.\cos x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(e^x)=e^x, \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x\)
\(=e^{\sin x}\cos x\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(xix)\) \(e^{x^2-5x+2}\)
উত্তরঃ \((2x-5)e^{x^2-5x+2}\)
উত্তরঃ \((2x-5)e^{x^2-5x+2}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=e^{x^2-5x+2}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(e^{x^2-5x+2})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(e^{x^2-5x+2}).\frac{d}{dx}(x^2-5x+2)\) ➜ \(x^2-5x+2\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(e^{x^2-5x+2}).\{\frac{d}{dx}(x^2)-5\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(2)\}\)
\(=e^{x^2-5x+2}.\{2x-5.1+0\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(e^x)=e^x, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=e^{x^2-5x+2}(2x-5)\)
\(=(2x-5)e^{x^2-5x+2}\)
\(y=e^{x^2-5x+2}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(e^{x^2-5x+2})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(e^{x^2-5x+2}).\frac{d}{dx}(x^2-5x+2)\) ➜ \(x^2-5x+2\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(e^{x^2-5x+2}).\{\frac{d}{dx}(x^2)-5\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(2)\}\)
\(=e^{x^2-5x+2}.\{2x-5.1+0\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(e^x)=e^x, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=e^{x^2-5x+2}(2x-5)\)
\(=(2x-5)e^{x^2-5x+2}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(xx)\) \(\sqrt{e^{\sqrt{x}}}\)
[ কুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭; যঃ ২০১৩; ষাঃ ২০০৯, ২০০৬কুঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{4\sqrt{x}}\sqrt{e^{\sqrt{x}}}\)
[ কুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭; যঃ ২০১৩; ষাঃ ২০০৯, ২০০৬কুঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{4\sqrt{x}}\sqrt{e^{\sqrt{x}}}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\sqrt{e^{\sqrt{x}}}\)
\(=e^{\frac{\sqrt{x}}{2}}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(e^{\frac{\sqrt{x}}{2}}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left(e^{\frac{\sqrt{x}}{2}}\right).\frac{d}{dx}\left(\frac{\sqrt{x}}{2}\right)\) ➜ \(\frac{\sqrt{x}}{2}\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left(e^{\frac{\sqrt{x}}{2}}\right).\frac{1}{2}\frac{d}{dx}(\sqrt{x})\) \(=e^{\frac{\sqrt{x}}{2}}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2\sqrt{x}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(e^x)=e^x, \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=e^{\frac{\sqrt{x}}{2}}.\frac{1}{4\sqrt{x}}\)
\(=\frac{1}{4\sqrt{x}}e^{\frac{\sqrt{x}}{2}}\)
\(=\frac{1}{4\sqrt{x}}\sqrt{e^{\sqrt{x}}}\)
\(y=\sqrt{e^{\sqrt{x}}}\)
\(=e^{\frac{\sqrt{x}}{2}}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(e^{\frac{\sqrt{x}}{2}}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left(e^{\frac{\sqrt{x}}{2}}\right).\frac{d}{dx}\left(\frac{\sqrt{x}}{2}\right)\) ➜ \(\frac{\sqrt{x}}{2}\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left(e^{\frac{\sqrt{x}}{2}}\right).\frac{1}{2}\frac{d}{dx}(\sqrt{x})\) \(=e^{\frac{\sqrt{x}}{2}}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2\sqrt{x}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(e^x)=e^x, \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=e^{\frac{\sqrt{x}}{2}}.\frac{1}{4\sqrt{x}}\)
\(=\frac{1}{4\sqrt{x}}e^{\frac{\sqrt{x}}{2}}\)
\(=\frac{1}{4\sqrt{x}}\sqrt{e^{\sqrt{x}}}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(xxi)\) \(10^{\ln (\sin x)}\)
[ চঃ ২০০৭, সিঃ ২০০৫, ২০০২ ]
উত্তরঃ \(\cot x10^{\ln (\sin x)}\ln 10\)
[ চঃ ২০০৭, সিঃ ২০০৫, ২০০২ ]
উত্তরঃ \(\cot x10^{\ln (\sin x)}\ln 10\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=10^{\ln (\sin x)}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(10^{\ln (\sin x)}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left(10^{\ln (\sin x)}\right).\frac{d}{dx}\{\ln (\sin x)\}.\frac{d}{dx}(\sin x)\) ➜ \(\ln (\sin x)\) এবং \(\sin x\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=10^{\ln (\sin x)}\ln 10.\frac{1}{\sin x}.\cos x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(a^x)=a^x\ln a, \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x\)
\(=10^{\ln (\sin x)}\ln 10.\frac{\cos x}{\sin x}\)
\(=10^{\ln (\sin x)}\ln 10.\cot x\)
\(=\cot x10^{\ln (\sin x)}\ln 10\)
\(y=10^{\ln (\sin x)}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(10^{\ln (\sin x)}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left(10^{\ln (\sin x)}\right).\frac{d}{dx}\{\ln (\sin x)\}.\frac{d}{dx}(\sin x)\) ➜ \(\ln (\sin x)\) এবং \(\sin x\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=10^{\ln (\sin x)}\ln 10.\frac{1}{\sin x}.\cos x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(a^x)=a^x\ln a, \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x\)
\(=10^{\ln (\sin x)}\ln 10.\frac{\cos x}{\sin x}\)
\(=10^{\ln (\sin x)}\ln 10.\cot x\)
\(=\cot x10^{\ln (\sin x)}\ln 10\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(xxii)\) \(\sqrt{\tan (e^{x^2})}\)
[ রাঃ ২০১৫; যঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(\frac{xe^{x^2}\sec^2 e^{x^2}}{\sqrt{\tan (e^{x^2})}}\)
[ রাঃ ২০১৫; যঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(\frac{xe^{x^2}\sec^2 e^{x^2}}{\sqrt{\tan (e^{x^2})}}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\sqrt{\tan (e^{x^2})}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\tan (e^{x^2})}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\tan (e^{x^2})}\right).\frac{d}{dx}\{\tan (e^{x^2})\}.\frac{d}{dx}(e^{x^2}).\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜ \(\tan (e^{x^2})\), \(e^{x^2}\) এবং \(x^2\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{2\sqrt{\tan (e^{x^2})}}.\sec^2 (e^{x^2}).e^{x^2}.2x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2 x\), \(\frac{d}{dx}(e^x)=e^x, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1} \)
\(=\frac{1}{\sqrt{\tan (e^{x^2})}}.\sec^2 (e^{x^2}).e^{x^2}.x\)
\(=\frac{xe^{x^2}\sec^2 (e^{x^2})}{\sqrt{\tan (e^{x^2})}}\)
\(y=\sqrt{\tan (e^{x^2})}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\tan (e^{x^2})}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\tan (e^{x^2})}\right).\frac{d}{dx}\{\tan (e^{x^2})\}.\frac{d}{dx}(e^{x^2}).\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜ \(\tan (e^{x^2})\), \(e^{x^2}\) এবং \(x^2\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{2\sqrt{\tan (e^{x^2})}}.\sec^2 (e^{x^2}).e^{x^2}.2x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2 x\), \(\frac{d}{dx}(e^x)=e^x, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1} \)
\(=\frac{1}{\sqrt{\tan (e^{x^2})}}.\sec^2 (e^{x^2}).e^{x^2}.x\)
\(=\frac{xe^{x^2}\sec^2 (e^{x^2})}{\sqrt{\tan (e^{x^2})}}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(xxiii)\) \(\sin \left(e^{\sqrt{1-x}}\right)\)
[ দিঃ ২০১৭ ]
উত্তরঃ \(-\frac{e^{\sqrt{1-x}}\cos \left(e^{\sqrt{1-x}}\right)}{2\sqrt{1-x}}\)
[ দিঃ ২০১৭ ]
উত্তরঃ \(-\frac{e^{\sqrt{1-x}}\cos \left(e^{\sqrt{1-x}}\right)}{2\sqrt{1-x}}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\sin \left(e^{\sqrt{1-x}}\right)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left[\sin \left(e^{\sqrt{1-x}}\right)\right]\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left[\sin \left(e^{\sqrt{1-x}}\right)\right].\frac{d}{dx}(e^{\sqrt{1-x}}).\frac{d}{dx}(\sqrt{1-x}).\frac{d}{dx}(1-x)\) ➜ \(e^{\sqrt{1-x}}\), \(\sqrt{1-x}\) এবং \(1-x\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\cos \left(e^{\sqrt{1-x}}\right).e^{\sqrt{1-x}}.\frac{1}{2\sqrt{1-x}}.(0-1)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x\), \(\frac{d}{dx}(e^x)=e^x, \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=-\cos \left(e^{\sqrt{1-x}}\right).e^{\sqrt{1-x}}.\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\)
\(=-\frac{e^{\sqrt{1-x}}\cos \left(e^{\sqrt{1-x}}\right)}{2\sqrt{1-x}}\)
\(y=\sin \left(e^{\sqrt{1-x}}\right)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left[\sin \left(e^{\sqrt{1-x}}\right)\right]\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left[\sin \left(e^{\sqrt{1-x}}\right)\right].\frac{d}{dx}(e^{\sqrt{1-x}}).\frac{d}{dx}(\sqrt{1-x}).\frac{d}{dx}(1-x)\) ➜ \(e^{\sqrt{1-x}}\), \(\sqrt{1-x}\) এবং \(1-x\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\cos \left(e^{\sqrt{1-x}}\right).e^{\sqrt{1-x}}.\frac{1}{2\sqrt{1-x}}.(0-1)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x\), \(\frac{d}{dx}(e^x)=e^x, \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=-\cos \left(e^{\sqrt{1-x}}\right).e^{\sqrt{1-x}}.\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\)
\(=-\frac{e^{\sqrt{1-x}}\cos \left(e^{\sqrt{1-x}}\right)}{2\sqrt{1-x}}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(xxiv)\) \(\cot^{-1} (e^{x})\)
উত্তরঃ \(-\frac{e^{x}}{1+e^{2x}}\)
উত্তরঃ \(-\frac{e^{x}}{1+e^{2x}}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\cot^{-1} (e^{x})\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\cot^{-1} (e^{x})\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\cot^{-1} (e^{x})\}.\frac{d}{dx}(e^{x})\) ➜ \(e^{x}\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=-\frac{1}{1+(e^{x})^2}.e^{x}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cot^{-1} {x})=-\frac{1}{1+x^2}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(=-\frac{e^{x}}{1+e^{2x}}\)
\(y=\cot^{-1} (e^{x})\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\cot^{-1} (e^{x})\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\cot^{-1} (e^{x})\}.\frac{d}{dx}(e^{x})\) ➜ \(e^{x}\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=-\frac{1}{1+(e^{x})^2}.e^{x}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cot^{-1} {x})=-\frac{1}{1+x^2}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(=-\frac{e^{x}}{1+e^{2x}}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(xxv)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{1}{x^2}\right)\)
উত্তরঃ \(-\frac{2x}{1+x^4}\)
উত্তরঃ \(-\frac{2x}{1+x^4}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\tan^{-1} \left(\frac{1}{x^2}\right)\)
\(=\tan^{-1} (x^{-2})\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\tan^{-1} (x^{-2})\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\tan^{-1} (x^{-2})\}.\frac{d}{dx}(x^{-2})\) ➜ \(x^{-2}\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{1+(x^{-2})^2}.(-2)x^{-2-1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1} {x})=\frac{1}{1+x^2}, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=\frac{1}{1+x^{-4}}.(-2)x^{-2-1}\)
\(=-\frac{2x^{-3}}{1+x^{-4}}\)
\(=-\frac{2x^{-3}\times x^4}{x^4+x^{-4}\times x^4}\) ➜ লব ও হর কে \(x^4\) দ্বারা গুণ করে।
\(=-\frac{2x^{-3+4}}{x^4+x^{-4+4}}\)
\(=-\frac{2x^{1}}{x^4+x^{0}}\)
\(=-\frac{2x}{x^4+1}\)
\(=-\frac{2x}{1+x^4}\)
\(y=\tan^{-1} \left(\frac{1}{x^2}\right)\)
\(=\tan^{-1} (x^{-2})\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\tan^{-1} (x^{-2})\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\tan^{-1} (x^{-2})\}.\frac{d}{dx}(x^{-2})\) ➜ \(x^{-2}\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{1+(x^{-2})^2}.(-2)x^{-2-1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1} {x})=\frac{1}{1+x^2}, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=\frac{1}{1+x^{-4}}.(-2)x^{-2-1}\)
\(=-\frac{2x^{-3}}{1+x^{-4}}\)
\(=-\frac{2x^{-3}\times x^4}{x^4+x^{-4}\times x^4}\) ➜ লব ও হর কে \(x^4\) দ্বারা গুণ করে।
\(=-\frac{2x^{-3+4}}{x^4+x^{-4+4}}\)
\(=-\frac{2x^{1}}{x^4+x^{0}}\)
\(=-\frac{2x}{x^4+1}\)
\(=-\frac{2x}{1+x^4}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(xxvi)\) \(\tan^{-1} (e^{x})\)
উত্তরঃ \(\frac{e^{x}}{1+e^{2x}}\)
উত্তরঃ \(\frac{e^{x}}{1+e^{2x}}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\tan^{-1} (e^{x})\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\tan^{-1} (e^{x})\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\tan^{-1} (e^{x})\}.\frac{d}{dx}(e^{x})\) ➜ \(e^{x}\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{1+(e^{x})^2}.e^{x}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1} {x})=\frac{1}{1+x^2}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(=\frac{e^{x}}{1+e^{2x}}\)
\(y=\tan^{-1} (e^{x})\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\tan^{-1} (e^{x})\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\tan^{-1} (e^{x})\}.\frac{d}{dx}(e^{x})\) ➜ \(e^{x}\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{1+(e^{x})^2}.e^{x}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1} {x})=\frac{1}{1+x^2}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(=\frac{e^{x}}{1+e^{2x}}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(xxvii)\) \(\sin^{-1} (e^x)\)
উত্তরঃ \(\frac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\sin^{-1} (e^{x})\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\sin^{-1} (e^{x})\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\sin^{-1} (e^{x})\}.\frac{d}{dx}(e^{x})\) ➜ \(e^{x}\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{\sqrt{1-(e^{x})^2}}.e^{x}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin^{-1} {x})=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(=\frac{e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}}\)
\(y=\sin^{-1} (e^{x})\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\sin^{-1} (e^{x})\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\sin^{-1} (e^{x})\}.\frac{d}{dx}(e^{x})\) ➜ \(e^{x}\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{\sqrt{1-(e^{x})^2}}.e^{x}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin^{-1} {x})=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(=\frac{e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(xxviii)\) \(\sin^{-1} (\tan x)\)
[ সিঃ ২০০১ ]
উত্তরঃ \(\frac{\sec x}{\sqrt{\cos 2x}}\)
[ সিঃ ২০০১ ]
উত্তরঃ \(\frac{\sec x}{\sqrt{\cos 2x}}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\sin^{-1} (\tan x)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\sin^{-1} (\tan x)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\sin^{-1} (\tan x)\}.\frac{d}{dx}(\tan x)\) ➜ \(\tan x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{\sqrt{1-(\tan x)^2}}.\sec^2 x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin^{-1} {x})=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2 x\)
\(=\frac{\sec^2 x}{\sqrt{1-\tan^2 x}}\)
\(=\frac{\sec^2 x}{\sqrt{1-\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}}\) ➜ \(\because \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\)
\(=\frac{\sec^2 x}{\sqrt{\frac{\cos^2 x-\sin^2 x}{\cos^2 x}}}\)
\(=\frac{\sec^2 x}{\sqrt{\frac{\cos 2x}{\cos^2 x}}}\) ➜ \(\because \cos^2 A-\sin^2 A=\cos 2A\)
\(=\frac{\frac{1}{\cos^2 x}}{\frac{\sqrt{\cos 2x}}{\cos x}}\) ➜ \(\because \sec A=\frac{1}{\cos A}\)
\(=\frac{1}{\cos^2 x}\times \frac{\cos x}{\sqrt{\cos 2x}}\)
\(=\frac{1}{\cos x}\times \frac{1}{\sqrt{\cos 2x}}\)
\(=\sec x\times \frac{1}{\sqrt{\cos 2x}}\)
\(=\frac{\sec x}{\sqrt{\cos 2x}}\)
\(y=\sin^{-1} (\tan x)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\sin^{-1} (\tan x)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\sin^{-1} (\tan x)\}.\frac{d}{dx}(\tan x)\) ➜ \(\tan x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{\sqrt{1-(\tan x)^2}}.\sec^2 x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin^{-1} {x})=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2 x\)
\(=\frac{\sec^2 x}{\sqrt{1-\tan^2 x}}\)
\(=\frac{\sec^2 x}{\sqrt{1-\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}}\) ➜ \(\because \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\)
\(=\frac{\sec^2 x}{\sqrt{\frac{\cos^2 x-\sin^2 x}{\cos^2 x}}}\)
\(=\frac{\sec^2 x}{\sqrt{\frac{\cos 2x}{\cos^2 x}}}\) ➜ \(\because \cos^2 A-\sin^2 A=\cos 2A\)
\(=\frac{\frac{1}{\cos^2 x}}{\frac{\sqrt{\cos 2x}}{\cos x}}\) ➜ \(\because \sec A=\frac{1}{\cos A}\)
\(=\frac{1}{\cos^2 x}\times \frac{\cos x}{\sqrt{\cos 2x}}\)
\(=\frac{1}{\cos x}\times \frac{1}{\sqrt{\cos 2x}}\)
\(=\sec x\times \frac{1}{\sqrt{\cos 2x}}\)
\(=\frac{\sec x}{\sqrt{\cos 2x}}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(xxix)\) \(\sin (\tan^{-1} x)\)
উত্তরঃ \((1+x^2)^{-\frac{3}{2}}\)
উত্তরঃ \((1+x^2)^{-\frac{3}{2}}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\sin (\tan^{-1} x)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\sin (\tan^{-1} x)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\sin (\tan^{-1} x)\}.\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)\) ➜ \(\tan^{-1} x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\cos (\tan^{-1} x).\frac{1}{1+x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x, \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}\)
\(=\cos (\cos^{-1} \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}).\frac{1}{1+x^2}\) ➜ \(\because \tan^{-1} x=\cos^{-1} \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}(1+x^2)}\)
\(=\frac{1}{(1+x^2)^{\frac{1}{2}}(1+x^2)}\)
\(=\frac{1}{(1+x^2)^{\frac{1}{2}+1}}\)
\(=\frac{1}{(1+x^2)^{\frac{1+2}{2}}}\)
\(=\frac{1}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}\)
\(=(1+x^2)^{-\frac{3}{2}}\)
\(y=\sin (\tan^{-1} x)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\sin (\tan^{-1} x)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\sin (\tan^{-1} x)\}.\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)\) ➜ \(\tan^{-1} x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\cos (\tan^{-1} x).\frac{1}{1+x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x, \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}\)
\(=\cos (\cos^{-1} \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}).\frac{1}{1+x^2}\) ➜ \(\because \tan^{-1} x=\cos^{-1} \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}(1+x^2)}\)
\(=\frac{1}{(1+x^2)^{\frac{1}{2}}(1+x^2)}\)
\(=\frac{1}{(1+x^2)^{\frac{1}{2}+1}}\)
\(=\frac{1}{(1+x^2)^{\frac{1+2}{2}}}\)
\(=\frac{1}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}\)
\(=(1+x^2)^{-\frac{3}{2}}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(xxx)\) \((\sin^{-1} x)^5\)
উত্তরঃ \(\frac{5(\sin^{-1} x)^4}{\sqrt{1-x^2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{5(\sin^{-1} x)^4}{\sqrt{1-x^2}}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=(\sin^{-1} x)^5\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{(\sin^{-1} x)^5\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)^5.\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)\) ➜ \(\sin^{-1} x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=5(\sin^{-1} x)^{5-1}.\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(=5(\sin^{-1} x)^{4}.\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(=\frac{5(\sin^{-1} x)^{4}}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(y=(\sin^{-1} x)^5\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{(\sin^{-1} x)^5\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)^5.\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)\) ➜ \(\sin^{-1} x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=5(\sin^{-1} x)^{5-1}.\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(=5(\sin^{-1} x)^{4}.\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(=\frac{5(\sin^{-1} x)^{4}}{\sqrt{1-x^2}}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(xxxi)\) \(\sin^{-1} \left(\frac{4x}{1+4x^2}\right)\)
[ সিঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \(\frac{4}{1+4x^2}\)
[ সিঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \(\frac{4}{1+4x^2}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\sin^{-1} \left(\frac{4x}{1+4x^2}\right)\)
\(=\sin^{-1} \left(\frac{2.2x}{1+(2x)^2}\right)\)
\(=2\tan^{-1} (2x)\) ➜ \(\because \sin^{-1} \left(\frac{2x}{1+x^2}\right)=2\tan^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{2\tan^{-1} (2x)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=2\frac{d}{dx}\{\tan^{-1} (2x)\}\)
\(=2\frac{d}{dx}\{\tan^{-1} (2x)\}.\frac{d}{dx}(2x)\) ➜ \(2x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=2\frac{1}{1+(2x)^2}.2\)
\(=4\frac{1}{1+4x^2}\)
\(=\frac{4}{1+4x^2}\)
\(y=\sin^{-1} \left(\frac{4x}{1+4x^2}\right)\)
\(=\sin^{-1} \left(\frac{2.2x}{1+(2x)^2}\right)\)
\(=2\tan^{-1} (2x)\) ➜ \(\because \sin^{-1} \left(\frac{2x}{1+x^2}\right)=2\tan^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{2\tan^{-1} (2x)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=2\frac{d}{dx}\{\tan^{-1} (2x)\}\)
\(=2\frac{d}{dx}\{\tan^{-1} (2x)\}.\frac{d}{dx}(2x)\) ➜ \(2x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=2\frac{1}{1+(2x)^2}.2\)
\(=4\frac{1}{1+4x^2}\)
\(=\frac{4}{1+4x^2}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(xxxii)\) \(\sin^{-1} \left(\frac{6x}{1+9x^2}\right)\)
[ ঢাঃ ২০০১]
উত্তরঃ \(\frac{6}{1+9x^2}\)
[ ঢাঃ ২০০১]
উত্তরঃ \(\frac{6}{1+9x^2}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\sin^{-1} \left(\frac{6x}{1+9x^2}\right)\)
\(=\sin^{-1} \left(\frac{2.3x}{1+(3x)^2}\right)\)
\(=2\tan^{-1} (3x)\) ➜ \(\because \sin^{-1} \left(\frac{2x}{1+x^2}\right)=2\tan^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{2\tan^{-1} (3x)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=2\frac{d}{dx}\{\tan^{-1} (3x)\}\)
\(=2\frac{d}{dx}\{\tan^{-1} (3x)\}.\frac{d}{dx}(3x)\) ➜ \(3x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=2\frac{1}{1+(3x)^2}.3\)
\(=6\frac{1}{1+9x^2}\)
\(=\frac{6}{1+9x^2}\)
\(y=\sin^{-1} \left(\frac{6x}{1+9x^2}\right)\)
\(=\sin^{-1} \left(\frac{2.3x}{1+(3x)^2}\right)\)
\(=2\tan^{-1} (3x)\) ➜ \(\because \sin^{-1} \left(\frac{2x}{1+x^2}\right)=2\tan^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{2\tan^{-1} (3x)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=2\frac{d}{dx}\{\tan^{-1} (3x)\}\)
\(=2\frac{d}{dx}\{\tan^{-1} (3x)\}.\frac{d}{dx}(3x)\) ➜ \(3x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=2\frac{1}{1+(3x)^2}.3\)
\(=6\frac{1}{1+9x^2}\)
\(=\frac{6}{1+9x^2}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(xxxiii)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\right)\)
উত্তরঃ \(1\)
উত্তরঃ \(1\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\tan^{-1} \left(\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\tan \frac{\pi}{4}+\tan x}{1-\tan \frac{\pi}{4}\tan x}\right)\) ➜ \(\because \tan \frac{\pi}{4}=1\)
\(=\tan^{-1} \left[\tan (\frac{\pi}{4}+x)\right]\) ➜ \(\because \tan (A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}\)
\(=\frac{\pi}{4}+x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}+x\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}\right)+\frac{d}{dx}(x)\)
\(=0+1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(c)=0, \ \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=1\)
\(y=\tan^{-1} \left(\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\tan \frac{\pi}{4}+\tan x}{1-\tan \frac{\pi}{4}\tan x}\right)\) ➜ \(\because \tan \frac{\pi}{4}=1\)
\(=\tan^{-1} \left[\tan (\frac{\pi}{4}+x)\right]\) ➜ \(\because \tan (A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}\)
\(=\frac{\pi}{4}+x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}+x\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}\right)+\frac{d}{dx}(x)\)
\(=0+1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(c)=0, \ \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=1\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(xxxiv)\) \(\cot^{-1} \left(\frac{1-x}{1+x}\right)\)
[ চঃ ২০১০; যঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{1+x^2}\)
[ চঃ ২০১০; যঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{1+x^2}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\cot^{-1} \left(\frac{1-x}{1+x}\right)\)
এবং
\(\cot \theta=x\)
\(\Rightarrow \theta=\cot^{-1} x\)
\(\therefore y=\cot^{-1} \left(\frac{1-\cot \theta}{1+\cot \theta}\right)\)
\(=-\cot^{-1} \left(\frac{\cot \theta-1}{1+\cot \theta}\right)\)
\(=-\cot^{-1} \left(\frac{\cot \theta\cot \frac{\pi}{4}-1}{\cot \frac{\pi}{4}+\cot \theta}\right)\) ➜ \(\because \cot \frac{\pi}{4}=1\)
\(=-\cot^{-1} \{\cot \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)\}\) ➜ \(\because \cot (A+B)=\left(\frac{\cot A\cot B-1}{\cot B+\cot A}\right)\)
\(=-\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)\)
\(=-\left(\cot^{-1} x+\frac{\pi}{4}\right)\) ➜ \(\because \theta=\cot^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left[-\left(\cot^{-1} x+\frac{\pi}{4}\right)\right]\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=-\left[\frac{d}{dx}(\cot^{-1} x)+\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}\right)\right]\)
\(=-\left[-\frac{1}{1+x^2}+0\right]\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cot^{-1} x)=-\frac{1}{1+x^2}, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{1+x^2}\)
\(y=\cot^{-1} \left(\frac{1-x}{1+x}\right)\)
এবং
\(\cot \theta=x\)
\(\Rightarrow \theta=\cot^{-1} x\)
\(\therefore y=\cot^{-1} \left(\frac{1-\cot \theta}{1+\cot \theta}\right)\)
\(=-\cot^{-1} \left(\frac{\cot \theta-1}{1+\cot \theta}\right)\)
\(=-\cot^{-1} \left(\frac{\cot \theta\cot \frac{\pi}{4}-1}{\cot \frac{\pi}{4}+\cot \theta}\right)\) ➜ \(\because \cot \frac{\pi}{4}=1\)
\(=-\cot^{-1} \{\cot \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)\}\) ➜ \(\because \cot (A+B)=\left(\frac{\cot A\cot B-1}{\cot B+\cot A}\right)\)
\(=-\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)\)
\(=-\left(\cot^{-1} x+\frac{\pi}{4}\right)\) ➜ \(\because \theta=\cot^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left[-\left(\cot^{-1} x+\frac{\pi}{4}\right)\right]\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=-\left[\frac{d}{dx}(\cot^{-1} x)+\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}\right)\right]\)
\(=-\left[-\frac{1}{1+x^2}+0\right]\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cot^{-1} x)=-\frac{1}{1+x^2}, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{1+x^2}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(xxxv)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{4x}{\sqrt{1-4x^2}}\right)\)
[ বঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(\frac{4}{(1+12x^2)\sqrt{1-4x^2}}\)
[ বঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(\frac{4}{(1+12x^2)\sqrt{1-4x^2}}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\tan^{-1} \left(\frac{4x}{\sqrt{1-4x^2}}\right)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1} \left(\frac{4x}{\sqrt{1-4x^2}}\right)\right]\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1} \left(\frac{4x}{\sqrt{1-4x^2}}\right)\right].\frac{d}{dx}\left(\frac{4x}{\sqrt{1-4x^2}}\right)\) ➜ \(\frac{4x}{\sqrt{1-4x^2}}\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{1+\left(\frac{4x}{\sqrt{1-4x^2}}\right)^2}.4\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{\sqrt{1-4x^2}}\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}\)
\(=\frac{1}{1+\frac{16x^2}{1-4x^2}}.4\left[\frac{\sqrt{1-4x^2}\frac{d}{dx}(x)-x\frac{d}{dx}(\sqrt{1-4x^2})}{(\sqrt{1-4x^2})^2}\right]\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\frac{u}{ v})=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{4}{\frac{1-4x^2+16x^2}{1-4x^2}}.\left[\frac{\sqrt{1-4x^2}-x\frac{1}{2\sqrt{1-4x^2}}.\frac{d}{dx}(1-4x^2)}{1-4x^2}\right]\) ➜ \(1-4x^2\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{4(1-4x^2)}{1+12x^2}.\left[\frac{\sqrt{1-4x^2}-\frac{x}{2\sqrt{1-4x^2}}(0-8x)}{1-4x^2}\right]\)
\(=\frac{4(1-4x^2)}{1+12x^2}.\left[\frac{\sqrt{1-4x^2}+\frac{x}{\sqrt{1-4x^2}}.4x}{1-4x^2}\right]\)
\(=\frac{4(1-4x^2)}{1+12x^2}.\left[\frac{\sqrt{1-4x^2}+\frac{4x^2}{\sqrt{1-4x^2}}}{1-4x^2}\right]\)
\(=\frac{4(1-4x^2)}{1+12x^2}.\left[\frac{\frac{1-4x^2+4x^2}{\sqrt{1-4x^2}}}{1-4x^2}\right]\)
\(=\frac{4(1-4x^2)}{1+12x^2}.\left[\frac{\frac{1}{\sqrt{1-4x^2}}}{1-4x^2}\right]\)
\(=\frac{4(1-4x^2)}{1+12x^2}.\frac{1}{\sqrt{1-4x^2}(1-4x^2)}\)
\(=\frac{4}{1+12x^2}.\frac{1}{\sqrt{1-4x^2}}\)
\(=\frac{4}{(1+12x^2)\sqrt{1-4x^2}}\)
\(y=\tan^{-1} \left(\frac{4x}{\sqrt{1-4x^2}}\right)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1} \left(\frac{4x}{\sqrt{1-4x^2}}\right)\right]\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1} \left(\frac{4x}{\sqrt{1-4x^2}}\right)\right].\frac{d}{dx}\left(\frac{4x}{\sqrt{1-4x^2}}\right)\) ➜ \(\frac{4x}{\sqrt{1-4x^2}}\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{1+\left(\frac{4x}{\sqrt{1-4x^2}}\right)^2}.4\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{\sqrt{1-4x^2}}\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}\)
\(=\frac{1}{1+\frac{16x^2}{1-4x^2}}.4\left[\frac{\sqrt{1-4x^2}\frac{d}{dx}(x)-x\frac{d}{dx}(\sqrt{1-4x^2})}{(\sqrt{1-4x^2})^2}\right]\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\frac{u}{ v})=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{4}{\frac{1-4x^2+16x^2}{1-4x^2}}.\left[\frac{\sqrt{1-4x^2}-x\frac{1}{2\sqrt{1-4x^2}}.\frac{d}{dx}(1-4x^2)}{1-4x^2}\right]\) ➜ \(1-4x^2\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{4(1-4x^2)}{1+12x^2}.\left[\frac{\sqrt{1-4x^2}-\frac{x}{2\sqrt{1-4x^2}}(0-8x)}{1-4x^2}\right]\)
\(=\frac{4(1-4x^2)}{1+12x^2}.\left[\frac{\sqrt{1-4x^2}+\frac{x}{\sqrt{1-4x^2}}.4x}{1-4x^2}\right]\)
\(=\frac{4(1-4x^2)}{1+12x^2}.\left[\frac{\sqrt{1-4x^2}+\frac{4x^2}{\sqrt{1-4x^2}}}{1-4x^2}\right]\)
\(=\frac{4(1-4x^2)}{1+12x^2}.\left[\frac{\frac{1-4x^2+4x^2}{\sqrt{1-4x^2}}}{1-4x^2}\right]\)
\(=\frac{4(1-4x^2)}{1+12x^2}.\left[\frac{\frac{1}{\sqrt{1-4x^2}}}{1-4x^2}\right]\)
\(=\frac{4(1-4x^2)}{1+12x^2}.\frac{1}{\sqrt{1-4x^2}(1-4x^2)}\)
\(=\frac{4}{1+12x^2}.\frac{1}{\sqrt{1-4x^2}}\)
\(=\frac{4}{(1+12x^2)\sqrt{1-4x^2}}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(xxxvi)\) \(\sin^{-1} \left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{1+x^2}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{1+x^2}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\sin^{-1} \left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)\)
এবং
\(\tan \theta=x\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore y=\sin^{-1} \left(\frac{\tan \theta}{\sqrt{1+\tan^2 \theta}}\right)\)
\(=\sin^{-1} \left(\frac{\tan \theta}{\sec \theta}\right)\) ➜ \(\because \sqrt{1+\tan^2 A}=\sec A\)
\(=\sin^{-1} \left(\frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{\frac{1}{\cos \theta}}\right)\) ➜ \(\because \tan A=\frac{\sin A}{\cos A}, \sec A=\frac{1}{\cos A}\)
\(=\sin^{-1} \left(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\times \cos \theta\right)\)
\(=\sin^{-1} (\sin \theta)\)
\(=\theta\)
\(=\tan^{-1} x\) ➜ \(\because \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{1+x^2}\)
\(y=\sin^{-1} \left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)\)
এবং
\(\tan \theta=x\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore y=\sin^{-1} \left(\frac{\tan \theta}{\sqrt{1+\tan^2 \theta}}\right)\)
\(=\sin^{-1} \left(\frac{\tan \theta}{\sec \theta}\right)\) ➜ \(\because \sqrt{1+\tan^2 A}=\sec A\)
\(=\sin^{-1} \left(\frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{\frac{1}{\cos \theta}}\right)\) ➜ \(\because \tan A=\frac{\sin A}{\cos A}, \sec A=\frac{1}{\cos A}\)
\(=\sin^{-1} \left(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\times \cos \theta\right)\)
\(=\sin^{-1} (\sin \theta)\)
\(=\theta\)
\(=\tan^{-1} x\) ➜ \(\because \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{1+x^2}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(xxxvii)\) \(\frac{1}{\sqrt[3]{4-3x}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{4-3x)^{\frac{4}{3}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{4-3x)^{\frac{4}{3}}}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\frac{1}{\sqrt[3]{4-3x}}\)
\(=\frac{1}{(4-3x)^{\frac{1}{3}}}\)
\(=(4-3x)^{-\frac{1}{3}}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{(4-3x)^{-\frac{1}{3}}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{(4-3x)^{-\frac{1}{3}}\}.\frac{d}{dx}(4-3x)\) ➜ \(4-3x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=-\frac{1}{3}(4-3x)^{-\frac{1}{3}-1}.(0-3.1)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=-\frac{1}{3}(4-3x)^{\frac{-1-3}{3}}.(-3)\)
\(=(4-3x)^{\frac{-4}{3}}\)
\(=\frac{1}{(4-3x)^{\frac{4}{3}}}\)
\(y=\frac{1}{\sqrt[3]{4-3x}}\)
\(=\frac{1}{(4-3x)^{\frac{1}{3}}}\)
\(=(4-3x)^{-\frac{1}{3}}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{(4-3x)^{-\frac{1}{3}}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{(4-3x)^{-\frac{1}{3}}\}.\frac{d}{dx}(4-3x)\) ➜ \(4-3x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=-\frac{1}{3}(4-3x)^{-\frac{1}{3}-1}.(0-3.1)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=-\frac{1}{3}(4-3x)^{\frac{-1-3}{3}}.(-3)\)
\(=(4-3x)^{\frac{-4}{3}}\)
\(=\frac{1}{(4-3x)^{\frac{4}{3}}}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(xxxviii)\) \(\sqrt{ax^2+bx+c}\)
উত্তরঃ \(\frac{2ax+b}{2\sqrt{ax^2+bx+c}}\)
উত্তরঃ \(\frac{2ax+b}{2\sqrt{ax^2+bx+c}}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\sqrt{ax^2+bx+c}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sqrt{ax^2+bx+c})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\sqrt{ax^2+bx+c}.\frac{d}{dx}(ax^2+bx+c)\) ➜ \(ax^2+bx+c\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{2\sqrt{ax^2+bx+c}}.\{\frac{d}{dx}(ax^2)+\frac{d}{dx}(bx)+\frac{d}{dx}(c)\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{ax^2+bx+c}}.\{a\frac{d}{dx}(x^2)+b\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(c)\}\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{ax^2+bx+c}}.\{a.2x+b.1+0\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{ax^2+bx+c}}.(2ax+b)\)
\(=\frac{2ax+b}{2\sqrt{ax^2+bx+c}}\)
\(y=\sqrt{ax^2+bx+c}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sqrt{ax^2+bx+c})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\sqrt{ax^2+bx+c}.\frac{d}{dx}(ax^2+bx+c)\) ➜ \(ax^2+bx+c\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{2\sqrt{ax^2+bx+c}}.\{\frac{d}{dx}(ax^2)+\frac{d}{dx}(bx)+\frac{d}{dx}(c)\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{ax^2+bx+c}}.\{a\frac{d}{dx}(x^2)+b\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(c)\}\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{ax^2+bx+c}}.\{a.2x+b.1+0\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{ax^2+bx+c}}.(2ax+b)\)
\(=\frac{2ax+b}{2\sqrt{ax^2+bx+c}}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(xxxix)\) \(\sin \frac{\theta}{2}+\cos 5\theta\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\cos \frac{\theta}{2}-5\sin 5\theta\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\cos \frac{\theta}{2}-5\sin 5\theta\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\sin \frac{\theta}{2}+\cos 5\theta\)
\(\therefore \frac{d}{d\theta}(y)=\frac{d}{d\theta}\left(\sin \frac{\theta}{2}+\cos 5\theta\right)\) ➜ \(\theta\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{d\theta}\left(\sin \frac{\theta}{2}\right)+\frac{d}{d\theta}(\cos 5\theta)\)
\(=\frac{d}{d\theta}\left(\sin \frac{\theta}{2}\right).\frac{d}{d\theta}\left(\frac{\theta}{2}\right)+\frac{d}{d\theta}(\cos 5\theta).\frac{d}{d\theta}(5\theta)\) ➜ \(\frac{\theta}{2}\) এবং \(5\theta\) কে পর্যায়ক্রমে \(\theta\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\cos \frac{\theta}{2}.\frac{1}{2}-\sin 5\theta.5\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x, \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{1}{2}\cos \frac{\theta}{2}-5\sin 5\theta\)
\(y=\sin \frac{\theta}{2}+\cos 5\theta\)
\(\therefore \frac{d}{d\theta}(y)=\frac{d}{d\theta}\left(\sin \frac{\theta}{2}+\cos 5\theta\right)\) ➜ \(\theta\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{d\theta}\left(\sin \frac{\theta}{2}\right)+\frac{d}{d\theta}(\cos 5\theta)\)
\(=\frac{d}{d\theta}\left(\sin \frac{\theta}{2}\right).\frac{d}{d\theta}\left(\frac{\theta}{2}\right)+\frac{d}{d\theta}(\cos 5\theta).\frac{d}{d\theta}(5\theta)\) ➜ \(\frac{\theta}{2}\) এবং \(5\theta\) কে পর্যায়ক্রমে \(\theta\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\cos \frac{\theta}{2}.\frac{1}{2}-\sin 5\theta.5\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x, \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{1}{2}\cos \frac{\theta}{2}-5\sin 5\theta\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(xl)\) \(\cos^4 \theta\)
উত্তরঃ \(-4\cos^3 \theta\sin \theta\)
উত্তরঃ \(-4\cos^3 \theta\sin \theta\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\cos^4 \theta\)
\(\therefore \frac{d}{d\theta}(y)=\frac{d}{d\theta}(\cos^4 \theta)\) ➜ \(\theta\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{d\theta}(\cos^4 \theta).\frac{d}{d\theta}(\cos \theta)\) ➜ \(\cos \theta\) কে \(\theta\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=4\cos^{4-1} \theta.(-\sin \theta)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x\)
\(=-4\cos^{3} \theta\sin \theta\)
\(y=\cos^4 \theta\)
\(\therefore \frac{d}{d\theta}(y)=\frac{d}{d\theta}(\cos^4 \theta)\) ➜ \(\theta\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{d\theta}(\cos^4 \theta).\frac{d}{d\theta}(\cos \theta)\) ➜ \(\cos \theta\) কে \(\theta\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=4\cos^{4-1} \theta.(-\sin \theta)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x\)
\(=-4\cos^{3} \theta\sin \theta\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(xli)\) \(\sqrt{\tan (e^{x^2})}\)
[ যঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(\frac{xe^{x^2}\sec^2 e^{x^2}}{\sqrt{\tan e^{x^2}}}\)
[ যঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(\frac{xe^{x^2}\sec^2 e^{x^2}}{\sqrt{\tan e^{x^2}}}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\sqrt{\tan (e^{x^2})}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\sqrt{\tan (e^{x^2})}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\sqrt{\tan (e^{x^2})}\}.\frac{d}{dx}\{\tan (e^{x^2})\}.\frac{d}{dx}(e^{x^2}).\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜ \(\tan (e^{x^2})\), \(e^{x^2}\) এবং \(x^2\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{2\sqrt{\tan (e^{x^2})}}.\sec^2 (e^{x^2}).e^{x^2}.2x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2 x\), \(\frac{d}{dx}(e^x)=e^x, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{\tan (e^{x^2})}}.\sec^2 (e^{x^2}).e^{x^2}.x\)
\(=\frac{xe^{x^2}\sec^2 (e^{x^2})}{\sqrt{\tan (e^{x^2})}}\)
\(y=\sqrt{\tan (e^{x^2})}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\sqrt{\tan (e^{x^2})}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\sqrt{\tan (e^{x^2})}\}.\frac{d}{dx}\{\tan (e^{x^2})\}.\frac{d}{dx}(e^{x^2}).\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜ \(\tan (e^{x^2})\), \(e^{x^2}\) এবং \(x^2\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{2\sqrt{\tan (e^{x^2})}}.\sec^2 (e^{x^2}).e^{x^2}.2x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2 x\), \(\frac{d}{dx}(e^x)=e^x, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{\tan (e^{x^2})}}.\sec^2 (e^{x^2}).e^{x^2}.x\)
\(=\frac{xe^{x^2}\sec^2 (e^{x^2})}{\sqrt{\tan (e^{x^2})}}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(xlii)\) \(e^{\sin \sqrt{x}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\cos \sqrt{x}e^{\sin \sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\cos \sqrt{x}e^{\sin \sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=e^{\sin \sqrt{x}}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{e^{\sin \sqrt{x}}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{e^{\sin \sqrt{x}}\}.\frac{d}{dx}(\sin \sqrt{x}).\frac{d}{dx}(\sqrt{x})\) ➜ \(\sin \sqrt{x}\) এবং \(\sqrt{x}\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=e^{\sin \sqrt{x}}.\cos \sqrt{x}.\frac{1}{2\sqrt{x}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x\), \(\frac{d}{dx}(e^x)=e^x, \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=\frac{\cos \sqrt{x}e^{\sin \sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\)
\(y=e^{\sin \sqrt{x}}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{e^{\sin \sqrt{x}}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{e^{\sin \sqrt{x}}\}.\frac{d}{dx}(\sin \sqrt{x}).\frac{d}{dx}(\sqrt{x})\) ➜ \(\sin \sqrt{x}\) এবং \(\sqrt{x}\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=e^{\sin \sqrt{x}}.\cos \sqrt{x}.\frac{1}{2\sqrt{x}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x\), \(\frac{d}{dx}(e^x)=e^x, \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=\frac{\cos \sqrt{x}e^{\sin \sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(xliii)\) \(2 \ cosec \ 2x\cos \{\ln (\tan x)\}\)
[ রাঃ ২০০৬ ]
উত্তরঃ \(-2 \ cosec \ 2x\left[\frac{\sec^2 x\sin \{\ln (\tan x)\}}{\tan x}+2\cot 2x\cos \{\ln (\tan x)\} \right] \)
[ রাঃ ২০০৬ ]
উত্তরঃ \(-2 \ cosec \ 2x\left[\frac{\sec^2 x\sin \{\ln (\tan x)\}}{\tan x}+2\cot 2x\cos \{\ln (\tan x)\} \right] \)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=2 \ cosec \ 2x\cos \{\ln (\tan x)\}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}[2 \ cosec \ 2x\cos \{\ln (\tan x)\}]\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=2 \ cosec \ 2x\frac{d}{dx}[\cos \{\ln (\tan x)\}]+[\cos \{\ln (\tan x)\}]\frac{d}{dx}(2 \ cosec \ 2x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=2 \ cosec \ 2x.\frac{d}{dx}\cos \{\ln (\tan x)\}.\frac{d}{dx}\{\ln (\tan x)\}.\frac{d}{dx}(\tan x)+[\cos \{\ln (\tan x)\}].2\frac{d}{dx}(\ cosec \ 2x).\frac{d}{dx}(2x)\) ➜ \(\ln (\tan x)\), \(\tan x\) এবং \(2x\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=2 \ cosec \ 2x.[-\sin \{\ln (\tan x)\}].\frac{1}{\tan x}.\sec^2 x+\cos \{\ln (\tan x)\}.2(-\ cosec \ 2x\cot 2x).2\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x, \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}\), \(\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2 x, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=-2 \ cosec \ 2x\frac{\sec^2 x\sin \{\ln (\tan x)\}}{\tan x}-4\ cosec \ 2x\cos \{\ln (\tan x)\}\cot 2x\)
\(=-2 \ cosec \ 2x\left[\frac{\sec^2 x\sin \{\ln (\tan x)\}}{\tan x}+2\cot 2x\cos \{\ln (\tan x)\} \right]\)
\(y=2 \ cosec \ 2x\cos \{\ln (\tan x)\}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}[2 \ cosec \ 2x\cos \{\ln (\tan x)\}]\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=2 \ cosec \ 2x\frac{d}{dx}[\cos \{\ln (\tan x)\}]+[\cos \{\ln (\tan x)\}]\frac{d}{dx}(2 \ cosec \ 2x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=2 \ cosec \ 2x.\frac{d}{dx}\cos \{\ln (\tan x)\}.\frac{d}{dx}\{\ln (\tan x)\}.\frac{d}{dx}(\tan x)+[\cos \{\ln (\tan x)\}].2\frac{d}{dx}(\ cosec \ 2x).\frac{d}{dx}(2x)\) ➜ \(\ln (\tan x)\), \(\tan x\) এবং \(2x\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=2 \ cosec \ 2x.[-\sin \{\ln (\tan x)\}].\frac{1}{\tan x}.\sec^2 x+\cos \{\ln (\tan x)\}.2(-\ cosec \ 2x\cot 2x).2\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x, \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}\), \(\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2 x, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=-2 \ cosec \ 2x\frac{\sec^2 x\sin \{\ln (\tan x)\}}{\tan x}-4\ cosec \ 2x\cos \{\ln (\tan x)\}\cot 2x\)
\(=-2 \ cosec \ 2x\left[\frac{\sec^2 x\sin \{\ln (\tan x)\}}{\tan x}+2\cot 2x\cos \{\ln (\tan x)\} \right]\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(xliv)\) \(e^{5\ln (\tan 5x)}\)
[ চঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(25\sec^2 5x\tan^4 5x\)
[ চঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(25\sec^2 5x\tan^4 5x\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=e^{5\ln (\tan 5x)}\)
\(=e^{\ln (\tan 5x)^{5}}\)
\(=e^{\ln (\tan^5 5x)}\)
\(=\tan^5 5x\)| \(\because e^{\ln x}=x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\tan^5 5x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\tan^5 5x).\frac{d}{dx}(\tan 5x).\frac{d}{dx}(5x)\) ➜ \(\tan 5x\) এবং \(5x\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=5\tan^4 5x.\sec^2 5x.5.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2 x, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=25\sec^2 5x\tan^4 5x\)
\(y=e^{5\ln (\tan 5x)}\)
\(=e^{\ln (\tan 5x)^{5}}\)
\(=e^{\ln (\tan^5 5x)}\)
\(=\tan^5 5x\)| \(\because e^{\ln x}=x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\tan^5 5x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\tan^5 5x).\frac{d}{dx}(\tan 5x).\frac{d}{dx}(5x)\) ➜ \(\tan 5x\) এবং \(5x\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=5\tan^4 5x.\sec^2 5x.5.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2 x, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=25\sec^2 5x\tan^4 5x\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(xlv)\) \(e^{2\ln (\tan 5x)}\)
[ চঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(10\sec^2 5x\tan^4 5x\)
[ চঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(10\sec^2 5x\tan^4 5x\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=e^{2\ln (\tan 5x)}\)
\(=e^{\ln (\tan 5x)^{2}}\)
\(=e^{\ln (\tan^2 5x)}\)
\(=\tan^2 5x\)| \(\because e^{\ln x}=x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\tan^2 5x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\tan^2 5x).\frac{d}{dx}(\tan 5x).\frac{d}{dx}(5x)\) ➜ \(\tan 5x\) এবং \(5x\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=2\tan 5x.\sec^2 5x.5.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2 x, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=10\sec^2 5x\tan 5x\)
\(y=e^{2\ln (\tan 5x)}\)
\(=e^{\ln (\tan 5x)^{2}}\)
\(=e^{\ln (\tan^2 5x)}\)
\(=\tan^2 5x\)| \(\because e^{\ln x}=x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\tan^2 5x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\tan^2 5x).\frac{d}{dx}(\tan 5x).\frac{d}{dx}(5x)\) ➜ \(\tan 5x\) এবং \(5x\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=2\tan 5x.\sec^2 5x.5.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2 x, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=10\sec^2 5x\tan 5x\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(xlvi)\) \(a^{px+q}\)
উত্তরঃ \(pa^{px+q}\ln a\)
উত্তরঃ \(pa^{px+q}\ln a\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=a^{px+q}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(a^{px+q})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(a^{px+q}).\frac{d}{dx}(px+q)\) ➜ \(px+q\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(a^{px+q}).\{\frac{d}{dx}(px)+\frac{d}{dx}(q)\}\)
\(=\frac{d}{dx}(a^{px+q}).\{p\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(q)\}\)
\(=a^{px+q}\ln a.\{p.1+0\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(a^x)=a^x\ln a, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=a^{px+q}\ln a.p\)
\(=pa^{px+q}\ln a\)
\(y=a^{px+q}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(a^{px+q})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(a^{px+q}).\frac{d}{dx}(px+q)\) ➜ \(px+q\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(a^{px+q}).\{\frac{d}{dx}(px)+\frac{d}{dx}(q)\}\)
\(=\frac{d}{dx}(a^{px+q}).\{p\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(q)\}\)
\(=a^{px+q}\ln a.\{p.1+0\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(a^x)=a^x\ln a, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=a^{px+q}\ln a.p\)
\(=pa^{px+q}\ln a\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(xlvii)\)\(\cos \left(e^{\tan^2 2x}\right)\)
উত্তরঃ \(-4\sin \left(e^{\tan^2 2x}\right)e^{\tan^2 2x}\tan 2x\sec^2 2x\)
উত্তরঃ \(-4\sin \left(e^{\tan^2 2x}\right)e^{\tan^2 2x}\tan 2x\sec^2 2x\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\cos \left(e^{\tan^2 2x}\right)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\cos \left(e^{\tan^2 2x}\right)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\cos \left(e^{\tan^2 2x}\right)\}.\frac{d}{dx}(e^{\tan^2 2x}).\frac{d}{dx}(\tan^2 2x).\frac{d}{dx}(\tan 2x).\frac{d}{dx}(2x)\) ➜ \(e^{\tan^2 2x}\), \(\tan^2 2x\), \(\tan 2x\) এবং \(2x\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=-\sin \left(e^{\tan^2 2x}\right).e^{\tan^2 2x}.2\tan 2x.\sec^2 2x.2.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(e^x)=e^x, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\),\(\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2 x, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=-4\sin \left(e^{\tan^2 2x}\right)e^{\tan^2 2x}\tan 2x.\sec^2 2x\)
\(y=\cos \left(e^{\tan^2 2x}\right)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\cos \left(e^{\tan^2 2x}\right)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\cos \left(e^{\tan^2 2x}\right)\}.\frac{d}{dx}(e^{\tan^2 2x}).\frac{d}{dx}(\tan^2 2x).\frac{d}{dx}(\tan 2x).\frac{d}{dx}(2x)\) ➜ \(e^{\tan^2 2x}\), \(\tan^2 2x\), \(\tan 2x\) এবং \(2x\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=-\sin \left(e^{\tan^2 2x}\right).e^{\tan^2 2x}.2\tan 2x.\sec^2 2x.2.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(e^x)=e^x, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\),\(\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2 x, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=-4\sin \left(e^{\tan^2 2x}\right)e^{\tan^2 2x}\tan 2x.\sec^2 2x\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(xlviii)\) \(\log_ax+\log_xa\)
উত্তরঃ \(\frac{x}{x\ln a}-\frac{\ln a}{x(\ln x)^2}\)
উত্তরঃ \(\frac{x}{x\ln a}-\frac{\ln a}{x(\ln x)^2}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\log_ax+\log_xa\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\log_ax+\log_xa\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\log_ax)+\frac{d}{dx}(\log_xa)\) \(=\frac{d}{dx}(\log_ax)+\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln a}{\ln x}\right)\) ➜ \(\because \log_xa=\frac{\ln a}{\ln x}\)
\(=\frac{d}{dx}(\log_ax)+\frac{d}{dx}\{\ln a(\ln x)^{-1}\}\)
\(=\frac{d}{dx}(\log_ax)+\ln a\frac{d}{dx}(\ln x)^{-1}\)
\(=\frac{d}{dx}(\log_ax)+\ln a\frac{d}{dx}(\ln x)^{-1}.\frac{d}{dx}(\ln x)\) ➜ \(\ln x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{x\ln a}-1\ln a(\ln x)^{-1-1}.\frac{1}{x}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\log_ax)=\frac{1}{x\ln a}, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\),\(\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}\)
\(=\frac{1}{x\ln a}-\ln a(\ln x)^{-2}.\frac{1}{x}\)
\(=\frac{1}{x\ln a}-\frac{\ln a}{(\ln x)^{2}}.\frac{1}{x}\)
\(=\frac{1}{x\ln a}-\frac{\ln a}{x(\ln x)^{2}}\)
\(y=\log_ax+\log_xa\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\log_ax+\log_xa\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\log_ax)+\frac{d}{dx}(\log_xa)\) \(=\frac{d}{dx}(\log_ax)+\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln a}{\ln x}\right)\) ➜ \(\because \log_xa=\frac{\ln a}{\ln x}\)
\(=\frac{d}{dx}(\log_ax)+\frac{d}{dx}\{\ln a(\ln x)^{-1}\}\)
\(=\frac{d}{dx}(\log_ax)+\ln a\frac{d}{dx}(\ln x)^{-1}\)
\(=\frac{d}{dx}(\log_ax)+\ln a\frac{d}{dx}(\ln x)^{-1}.\frac{d}{dx}(\ln x)\) ➜ \(\ln x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{x\ln a}-1\ln a(\ln x)^{-1-1}.\frac{1}{x}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\log_ax)=\frac{1}{x\ln a}, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\),\(\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}\)
\(=\frac{1}{x\ln a}-\ln a(\ln x)^{-2}.\frac{1}{x}\)
\(=\frac{1}{x\ln a}-\frac{\ln a}{(\ln x)^{2}}.\frac{1}{x}\)
\(=\frac{1}{x\ln a}-\frac{\ln a}{x(\ln x)^{2}}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(xlix)\) \(\log_x\tan x\)
উত্তরঃ \(\frac{2x\ln x \ cosec \ 2x-\ln \tan x}{x(\ln x)^2}\)
উত্তরঃ \(\frac{2x\ln x \ cosec \ 2x-\ln \tan x}{x(\ln x)^2}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\log_x\tan x\)
\(=\frac{\ln \tan x}{\ln x}\) ➜ \(\because \log_xa=\frac{\ln a}{\ln x}\)
\(=\frac{\ln \tan x}{\ln x}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln \tan x}{\ln x}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{(\ln x)\frac{d}{dx}(\ln \tan x)-\ln \tan x\frac{d}{dx}(\ln x)}{(\ln x)^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{(\ln x)\frac{d}{dx}(\ln \tan x).\frac{d}{dx}(\tan x)-\ln \tan x\frac{d}{dx}(\ln x)}{(\ln x)^2}\) ➜ \(\tan x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{\ln x\frac{1}{\tan x}.\sec^2 x-\ln \tan x\frac{1}{x}}{(\ln x)^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2 x\)
\(=\frac{\ln x\cot x.\sec^2 x-\frac{\ln \tan x}{x}}{(\ln x)^2}\)
\(=\frac{\ln x\frac{\cos x}{\sin x}.\frac{1}{\cos^2 x}-\frac{\ln \tan x}{x}}{(\ln x)^2}\) ➜ \(\because \cot x=\frac{\cos x}{\sin x}, \sec^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}\)
\(=\frac{\ln x\frac{1}{\sin x\cos x}-\frac{\ln \tan x}{x}}{(\ln x)^2}\)
\(=\frac{\ln x\frac{2}{2\sin x\cos x}-\frac{\ln \tan x}{x}}{(\ln x)^2}\)
\(=\frac{\ln x\frac{2}{\sin 2x}-\frac{\ln \tan x}{x}}{(\ln x)^2}\)
\(=\frac{2\ln x \ cosec \ 2x-\frac{\ln \tan x}{x}}{(\ln x)^2}\)
\(=\frac{\frac{2x\ln x \ cosec \ 2x-\ln \tan x}{x}}{(\ln x)^2}\)
\(=\frac{2x\ln x \ cosec \ 2x-\ln \tan x}{x(\ln x)^2}\)
\(y=\log_x\tan x\)
\(=\frac{\ln \tan x}{\ln x}\) ➜ \(\because \log_xa=\frac{\ln a}{\ln x}\)
\(=\frac{\ln \tan x}{\ln x}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln \tan x}{\ln x}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{(\ln x)\frac{d}{dx}(\ln \tan x)-\ln \tan x\frac{d}{dx}(\ln x)}{(\ln x)^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{(\ln x)\frac{d}{dx}(\ln \tan x).\frac{d}{dx}(\tan x)-\ln \tan x\frac{d}{dx}(\ln x)}{(\ln x)^2}\) ➜ \(\tan x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{\ln x\frac{1}{\tan x}.\sec^2 x-\ln \tan x\frac{1}{x}}{(\ln x)^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2 x\)
\(=\frac{\ln x\cot x.\sec^2 x-\frac{\ln \tan x}{x}}{(\ln x)^2}\)
\(=\frac{\ln x\frac{\cos x}{\sin x}.\frac{1}{\cos^2 x}-\frac{\ln \tan x}{x}}{(\ln x)^2}\) ➜ \(\because \cot x=\frac{\cos x}{\sin x}, \sec^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}\)
\(=\frac{\ln x\frac{1}{\sin x\cos x}-\frac{\ln \tan x}{x}}{(\ln x)^2}\)
\(=\frac{\ln x\frac{2}{2\sin x\cos x}-\frac{\ln \tan x}{x}}{(\ln x)^2}\)
\(=\frac{\ln x\frac{2}{\sin 2x}-\frac{\ln \tan x}{x}}{(\ln x)^2}\)
\(=\frac{2\ln x \ cosec \ 2x-\frac{\ln \tan x}{x}}{(\ln x)^2}\)
\(=\frac{\frac{2x\ln x \ cosec \ 2x-\ln \tan x}{x}}{(\ln x)^2}\)
\(=\frac{2x\ln x \ cosec \ 2x-\ln \tan x}{x(\ln x)^2}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(l)\) \(\ln (x-\sqrt{x^2-1})\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\ln (x-\sqrt{x^2-1})\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\ln (x-\sqrt{x^2-1})\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\ln (x-\sqrt{x^2-1})\}\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x^2-1})\) ➜ \(x-\sqrt{x^2-1}\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\ln (x-\sqrt{x^2-1})\}\{\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(\sqrt{x^2-1})\}\)
\(=\frac{1}{x-\sqrt{x^2-1}}\{1-\frac{d}{dx}(\sqrt{x^2-1}).\frac{d}{dx}(x^2-1)\}\) ➜ \(x^2-1\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{x-\sqrt{x^2-1}}\{1-\frac{1}{2\sqrt{x^2-1}}.(2x-0)\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{x-\sqrt{x^2-1}}\{1-\frac{1}{2\sqrt{x^2-1}}.2x\}\)
\(=\frac{1}{x-\sqrt{x^2-1}}\{1-\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}.x\}\)
\(=\frac{1}{x-\sqrt{x^2-1}}\{1-\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\}\)
\(=\frac{1}{x-\sqrt{x^2-1}}\{\frac{\sqrt{x^2-1}-x}{\sqrt{x^2-1}}\}\)
\(=\frac{1}{x-\sqrt{x^2-1}}\times -\frac{x-\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2-1}}\)
\(=-\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\)
\(y=\ln (x-\sqrt{x^2-1})\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\ln (x-\sqrt{x^2-1})\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\ln (x-\sqrt{x^2-1})\}\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x^2-1})\) ➜ \(x-\sqrt{x^2-1}\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\ln (x-\sqrt{x^2-1})\}\{\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(\sqrt{x^2-1})\}\)
\(=\frac{1}{x-\sqrt{x^2-1}}\{1-\frac{d}{dx}(\sqrt{x^2-1}).\frac{d}{dx}(x^2-1)\}\) ➜ \(x^2-1\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{x-\sqrt{x^2-1}}\{1-\frac{1}{2\sqrt{x^2-1}}.(2x-0)\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{x-\sqrt{x^2-1}}\{1-\frac{1}{2\sqrt{x^2-1}}.2x\}\)
\(=\frac{1}{x-\sqrt{x^2-1}}\{1-\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}.x\}\)
\(=\frac{1}{x-\sqrt{x^2-1}}\{1-\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\}\)
\(=\frac{1}{x-\sqrt{x^2-1}}\{\frac{\sqrt{x^2-1}-x}{\sqrt{x^2-1}}\}\)
\(=\frac{1}{x-\sqrt{x^2-1}}\times -\frac{x-\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2-1}}\)
\(=-\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(lii)\) \(\ln (\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b})\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2\sqrt{(x-a)(x-b)}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2\sqrt{(x-a)(x-b)}}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\ln (\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b})\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\ln (\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b})\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\ln (\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b})\}\frac{d}{dx}(\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b})\) ➜ \(\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b}\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\ln (\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b})\}\{\frac{d}{dx}(\sqrt{x-a})+\frac{d}{dx}(\sqrt{x-b})\}\)
\(=\frac{d}{dx}\{\ln (\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b})\}\{\frac{1}{2\sqrt{x-a}}\frac{d}{dx}(x-a)+\frac{1}{2\sqrt{x-b}}\frac{d}{dx}(x-b)\}\) ➜ \(x-a\) এবং \(x-b\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b}}\{\frac{1}{2\sqrt{x-a}}.(1-0)+\frac{1}{2\sqrt{x-b}}.(1-0)\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b}}\{\frac{1}{2\sqrt{x-a}}+\frac{1}{2\sqrt{x-b}}\}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b}}\times \frac{\sqrt{x-b}+\sqrt{x-a}}{2\sqrt{x-a}\sqrt{x-b}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b}}\times \frac{\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b}}{2\sqrt{x-a}\sqrt{x-b}}\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{(x-a)(x-b)}}\)
\(y=\ln (\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b})\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\ln (\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b})\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\ln (\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b})\}\frac{d}{dx}(\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b})\) ➜ \(\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b}\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\ln (\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b})\}\{\frac{d}{dx}(\sqrt{x-a})+\frac{d}{dx}(\sqrt{x-b})\}\)
\(=\frac{d}{dx}\{\ln (\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b})\}\{\frac{1}{2\sqrt{x-a}}\frac{d}{dx}(x-a)+\frac{1}{2\sqrt{x-b}}\frac{d}{dx}(x-b)\}\) ➜ \(x-a\) এবং \(x-b\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b}}\{\frac{1}{2\sqrt{x-a}}.(1-0)+\frac{1}{2\sqrt{x-b}}.(1-0)\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b}}\{\frac{1}{2\sqrt{x-a}}+\frac{1}{2\sqrt{x-b}}\}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b}}\times \frac{\sqrt{x-b}+\sqrt{x-a}}{2\sqrt{x-a}\sqrt{x-b}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b}}\times \frac{\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b}}{2\sqrt{x-a}\sqrt{x-b}}\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{(x-a)(x-b)}}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(liii)\) \(\sqrt{(x-3)(x-4)}\)
উত্তরঃ \(\frac{2x-7}{2\sqrt{(x-3)(x-4)}}\)
উত্তরঃ \(\frac{2x-7}{2\sqrt{(x-3)(x-4)}}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\sqrt{(x-3)(x-4)}\)
\(=\sqrt{x^2-4x-3x+12}\)
\(=\sqrt{x^2-7x+12}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sqrt{x^2-7x+12})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\sqrt{x^2-7x+12}).\frac{d}{dx}(x^2-7x+12)\) ➜ \(x^2-7x+12\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{2\sqrt{x^2-7x+12}}\{\frac{d}{dx}(x^2)-\frac{d}{dx}(7x)+\frac{d}{dx}(12)\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{x^2-4x-3x+12}}\{\frac{d}{dx}(x^2)-7\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(12)\}\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{x(x-4)-3(x-4)}}\{2x-7.1+0\}\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{(x-3)(x-4)}}(2x-7)\)
\(=\frac{2x-7}{2\sqrt{(x-3)(x-4)}}\)
\(y=\sqrt{(x-3)(x-4)}\)
\(=\sqrt{x^2-4x-3x+12}\)
\(=\sqrt{x^2-7x+12}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sqrt{x^2-7x+12})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\sqrt{x^2-7x+12}).\frac{d}{dx}(x^2-7x+12)\) ➜ \(x^2-7x+12\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{2\sqrt{x^2-7x+12}}\{\frac{d}{dx}(x^2)-\frac{d}{dx}(7x)+\frac{d}{dx}(12)\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{x^2-4x-3x+12}}\{\frac{d}{dx}(x^2)-7\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(12)\}\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{x(x-4)-3(x-4)}}\{2x-7.1+0\}\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{(x-3)(x-4)}}(2x-7)\)
\(=\frac{2x-7}{2\sqrt{(x-3)(x-4)}}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(liv)\) \( cosec \ \sqrt{x}\)
উত্তরঃ \(-\frac{ cosec \ \sqrt{x}\cot \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\)
উত্তরঃ \(-\frac{ cosec \ \sqrt{x}\cot \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y= cosec \ \sqrt{x}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}( cosec \ \sqrt{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}( cosec \ \sqrt{x}).\frac{d}{dx}(\sqrt{x})\) ➜ \(\sqrt{x}\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=- \ cosec \ \sqrt{x}\cot \sqrt{x}.\frac{1}{2\sqrt{x}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}( cosec \ x)=- \ cosec \ x\cot x, \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=- \ cosec \ \sqrt{x}\cot \sqrt{x}.\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=-\frac{ cosec \ \sqrt{x}\cot \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\)
\(y= cosec \ \sqrt{x}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}( cosec \ \sqrt{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}( cosec \ \sqrt{x}).\frac{d}{dx}(\sqrt{x})\) ➜ \(\sqrt{x}\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=- \ cosec \ \sqrt{x}\cot \sqrt{x}.\frac{1}{2\sqrt{x}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}( cosec \ x)=- \ cosec \ x\cot x, \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=- \ cosec \ \sqrt{x}\cot \sqrt{x}.\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=-\frac{ cosec \ \sqrt{x}\cot \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\)
অনুশীলনী \(9.D / Q.2\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমুহ
\(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে নিচের ফাংশনগুলির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(i)\) \(\ln \left(\frac{e^x}{1+e^x}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{1+e^x}\)
\(Q.2.(ii)\) \(\ln (\sin 2x)\)
[ঢাঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(2\cot 2x\)
\(Q.2.(iii)\) \(\log_{10}x\)
[ ঢাঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{x\ln 10}\)
\(Q.2.(iv)\) \(\ln (\ln x)\)
[ মাঃ ২০১৫]
উত্তরঃ \(\frac{1}{x\ln x}\)
\(Q.2.(v)\) \([\ln (\sin x^2)]^n\)
[ যঃ ২০০৮, ২০০৭, ২০০১; চঃ,সিঃ ২০০৬; রাঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(2nx\cot x^2[\ln (\sin x^2)]^{n-1}\)
\(Q.2.(vi)\) \(\cos(\ln x)+\ln (\tan x)\)
[ সিঃ ২০০৬; বঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(2 cosec \ 2x-\frac{1}{x}\sin (\ln x)\)
\(Q.2.(vii)\) \(a^{\ln (\cos x)}\)
[ রাঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(-\ln a \ a^{\ln (\cos x)}\tan x\)
\(Q.2.(viii)\) \(x^2e^{4x}\)
[ যঃ ২০১৫; চঃ ২০০৭; সিঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(2xe^{4x}(1+2x)\)
\(Q.2.(ix)\) \(\sin x\ln (\sin x)\)
উত্তরঃ \(\cos x\{1+\ln (\sin x)\}\)
\(Q.2.(x)\) \(x\sqrt{\sin x}\)
[ ঢাঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(\sqrt{\sin x}+\frac{x\cos x}{2\sqrt{\sin x}}\)
\(Q.2.(xi)\) \(x^3\sin (\ln x)\)
[ রাঃ ২০১৭]
উত্তরঃ \(x^2\{\cos (\ln x)+3\sin (\ln x)\}\)
\(Q.2.(xii)\) \(2 \ cosec \ 2x\cos (\ln \tan x)\)
[ রাঃ ২০০৬ ]
উত্তরঃ \(-4 \ cosec \ 2x\{\ cosec \ 2x\sin (\ln \tan x)+\cot 2x\cos (\ln \tan x)\}\)
\(Q.2.(xiii)\) \(\frac{\ln (\cos x)}{x}\)
[ সিঃ ২০১১,২০০৯,২০০৭; ঢাঃ ২০০৬; রাঃ ২০০৩; মাঃ ২০০৫,২০০১ ]
উত্তরঃ \(-\frac{x\tan x+\ln (\cos x)}{x^2}\)
\(Q.2.(xiv)\) \(\sin^{-1} x^2\)
উত্তরঃ \(\frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}\)
\(Q.2.(xv)\) \((\sin^{-1} x)^2\)
উত্তরঃ \(\frac{2\sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(Q.2.(xvi)\) \(\sin^{-1} (\sin x)\)
[ রাঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(1\)
\(Q.2.(xvii)\) \(\tan x^2\sin^{-1} x\)
[ ঢাঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(\frac{\tan x^2}{\sqrt{1-x^2}}+2x\sin^{-1} x\sec^2 x^2\)
\(Q.2.(xviii)\) \(\ln (\cos^{-1} x)\)
[ রাঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(-\frac{1}{\cos^{-1} x\sqrt{1-x^2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{1+e^x}\)
\(Q.2.(ii)\) \(\ln (\sin 2x)\)
[ঢাঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(2\cot 2x\)
\(Q.2.(iii)\) \(\log_{10}x\)
[ ঢাঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{x\ln 10}\)
\(Q.2.(iv)\) \(\ln (\ln x)\)
[ মাঃ ২০১৫]
উত্তরঃ \(\frac{1}{x\ln x}\)
\(Q.2.(v)\) \([\ln (\sin x^2)]^n\)
[ যঃ ২০০৮, ২০০৭, ২০০১; চঃ,সিঃ ২০০৬; রাঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(2nx\cot x^2[\ln (\sin x^2)]^{n-1}\)
\(Q.2.(vi)\) \(\cos(\ln x)+\ln (\tan x)\)
[ সিঃ ২০০৬; বঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(2 cosec \ 2x-\frac{1}{x}\sin (\ln x)\)
\(Q.2.(vii)\) \(a^{\ln (\cos x)}\)
[ রাঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(-\ln a \ a^{\ln (\cos x)}\tan x\)
\(Q.2.(viii)\) \(x^2e^{4x}\)
[ যঃ ২০১৫; চঃ ২০০৭; সিঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(2xe^{4x}(1+2x)\)
\(Q.2.(ix)\) \(\sin x\ln (\sin x)\)
উত্তরঃ \(\cos x\{1+\ln (\sin x)\}\)
\(Q.2.(x)\) \(x\sqrt{\sin x}\)
[ ঢাঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(\sqrt{\sin x}+\frac{x\cos x}{2\sqrt{\sin x}}\)
\(Q.2.(xi)\) \(x^3\sin (\ln x)\)
[ রাঃ ২০১৭]
উত্তরঃ \(x^2\{\cos (\ln x)+3\sin (\ln x)\}\)
\(Q.2.(xii)\) \(2 \ cosec \ 2x\cos (\ln \tan x)\)
[ রাঃ ২০০৬ ]
উত্তরঃ \(-4 \ cosec \ 2x\{\ cosec \ 2x\sin (\ln \tan x)+\cot 2x\cos (\ln \tan x)\}\)
\(Q.2.(xiii)\) \(\frac{\ln (\cos x)}{x}\)
[ সিঃ ২০১১,২০০৯,২০০৭; ঢাঃ ২০০৬; রাঃ ২০০৩; মাঃ ২০০৫,২০০১ ]
উত্তরঃ \(-\frac{x\tan x+\ln (\cos x)}{x^2}\)
\(Q.2.(xiv)\) \(\sin^{-1} x^2\)
উত্তরঃ \(\frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}\)
\(Q.2.(xv)\) \((\sin^{-1} x)^2\)
উত্তরঃ \(\frac{2\sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(Q.2.(xvi)\) \(\sin^{-1} (\sin x)\)
[ রাঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(1\)
\(Q.2.(xvii)\) \(\tan x^2\sin^{-1} x\)
[ ঢাঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(\frac{\tan x^2}{\sqrt{1-x^2}}+2x\sin^{-1} x\sec^2 x^2\)
\(Q.2.(xviii)\) \(\ln (\cos^{-1} x)\)
[ রাঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(-\frac{1}{\cos^{-1} x\sqrt{1-x^2}}\)
\(Q.2.(xix)\) \((x^2+1)\tan^{-1} x-x\)
[ কুঃ ২০১২; যঃ ২০১১; দিঃ ২০১০; মাঃ ২০০৬ ]
উত্তরঃ \(2x\tan^{-1} x\)
\(Q.2.(xx)\) \(a^{\sin^{-1} x}\)
[ রাঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(\frac{a^{\sin^{-1} x}\ln a}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(Q.2.(xxi)\) \(\tan^{-1} (\sin e^x)\)
[ যঃ ২০০৯; চঃ ২০০৫,২০০৩; বঃ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(\frac{e^x\cos (e^x)}{1+\sin^2 (e^x)}\)
\(Q.2.(xxii)\) \(\sin^{-1} \sqrt{xe^x}\)
[ বঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \(\frac{e^x(1+x)}{2\sqrt{xe^x(1-xe^x)}}\)
\(Q.2.(xxiii)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{2x}{1-x^2}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{1+x^2}\)
\(Q.2.(xxiv)\) \(\sin^{-1} \left(\frac{2x}{1+x^2}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{1+x^2}\)
\(Q.2.(xxv)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{2\sqrt{x}}{1-x}\right)\)
[ কুঃ ২০১২; চঃ ২০১১, ২০০৬; সিঃ ২০১১; যঃ ২০০৮; ঢাঃ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}\)
\(Q.2.(xxvi)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{4\sqrt{x}}{1-4x}\right)\)
[ বঃ২০১১; চঃ ২০০৯, ২০০৫; সিঃ ২০০৯; রাঃ ২০০৬, ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(\frac{2}{\sqrt{x}(1+4x)}\)
\(Q.2.(xxvii)\) \(\cos^{-1} \left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\) অথবা, \(\sec^{-1} \left(\frac{1+x^2}{1-x^2}\right)\)
[ চঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{2}{1+x^2}\)
\(Q.2.(xxviii)\) \(\sec^{-1} \left(\frac{1+x^2}{1-x^2}\right)\)
[ সিঃ ২০১০; কুঃ ২০০৯; চঃ২০০৭; যঃ ২০০৬; বঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(\frac{2}{1+x^2}\)
\(Q.2.(xxix)\) \(\sin^{-1} \left(\frac{x+\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{2}}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(Q.2.(xxx)\) \(\sin^{-1} (\sin e^x)\)
[ চঃ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(e^x\)
\(Q.2.(xxxi)\) \(\sin^{-1} \left(\frac{a+b\cos x}{b+a\cos x}\right)\)
উত্তরঃ \(-\frac{\sqrt{b^2-a^2}}{b+a\cos x}\)
\(Q.2.(xxxii)\) \(\sqrt{x^2-a^2}+\sin^{-1} \left(\frac{a}{x}\right)\)
[ চঃ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(\frac{x^2-a}{x\sqrt{x^2-a^2}}\)
\(Q.2.(xxxiii)\) \(3^{\sin^{-1} x}\)
উত্তরঃ \(\frac{3^{\sin^{-1} x}\ln 3}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(Q.2.(xxxiv)\) \((\sec^{-1} x)^2\)
[ চঃ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(\frac{2\sec^{-1} x}{x\sqrt{x^2-1}}\)
\(Q.2.(xxxv)\) \(\ln \left(\frac{a+x}{a-x}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{2a}{a^2-x^2}\)
[ কুঃ ২০১২; যঃ ২০১১; দিঃ ২০১০; মাঃ ২০০৬ ]
উত্তরঃ \(2x\tan^{-1} x\)
\(Q.2.(xx)\) \(a^{\sin^{-1} x}\)
[ রাঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(\frac{a^{\sin^{-1} x}\ln a}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(Q.2.(xxi)\) \(\tan^{-1} (\sin e^x)\)
[ যঃ ২০০৯; চঃ ২০০৫,২০০৩; বঃ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(\frac{e^x\cos (e^x)}{1+\sin^2 (e^x)}\)
\(Q.2.(xxii)\) \(\sin^{-1} \sqrt{xe^x}\)
[ বঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \(\frac{e^x(1+x)}{2\sqrt{xe^x(1-xe^x)}}\)
\(Q.2.(xxiii)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{2x}{1-x^2}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{1+x^2}\)
\(Q.2.(xxiv)\) \(\sin^{-1} \left(\frac{2x}{1+x^2}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{1+x^2}\)
\(Q.2.(xxv)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{2\sqrt{x}}{1-x}\right)\)
[ কুঃ ২০১২; চঃ ২০১১, ২০০৬; সিঃ ২০১১; যঃ ২০০৮; ঢাঃ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}\)
\(Q.2.(xxvi)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{4\sqrt{x}}{1-4x}\right)\)
[ বঃ২০১১; চঃ ২০০৯, ২০০৫; সিঃ ২০০৯; রাঃ ২০০৬, ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(\frac{2}{\sqrt{x}(1+4x)}\)
\(Q.2.(xxvii)\) \(\cos^{-1} \left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\) অথবা, \(\sec^{-1} \left(\frac{1+x^2}{1-x^2}\right)\)
[ চঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{2}{1+x^2}\)
\(Q.2.(xxviii)\) \(\sec^{-1} \left(\frac{1+x^2}{1-x^2}\right)\)
[ সিঃ ২০১০; কুঃ ২০০৯; চঃ২০০৭; যঃ ২০০৬; বঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(\frac{2}{1+x^2}\)
\(Q.2.(xxix)\) \(\sin^{-1} \left(\frac{x+\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{2}}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(Q.2.(xxx)\) \(\sin^{-1} (\sin e^x)\)
[ চঃ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(e^x\)
\(Q.2.(xxxi)\) \(\sin^{-1} \left(\frac{a+b\cos x}{b+a\cos x}\right)\)
উত্তরঃ \(-\frac{\sqrt{b^2-a^2}}{b+a\cos x}\)
\(Q.2.(xxxii)\) \(\sqrt{x^2-a^2}+\sin^{-1} \left(\frac{a}{x}\right)\)
[ চঃ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(\frac{x^2-a}{x\sqrt{x^2-a^2}}\)
\(Q.2.(xxxiii)\) \(3^{\sin^{-1} x}\)
উত্তরঃ \(\frac{3^{\sin^{-1} x}\ln 3}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(Q.2.(xxxiv)\) \((\sec^{-1} x)^2\)
[ চঃ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(\frac{2\sec^{-1} x}{x\sqrt{x^2-1}}\)
\(Q.2.(xxxv)\) \(\ln \left(\frac{a+x}{a-x}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{2a}{a^2-x^2}\)
\(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(i)\) \(\ln \left(\frac{e^x}{1+e^x}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{1+e^x}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{1+e^x}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\ln \left(\frac{e^x}{1+e^x}\right)\)
\(=\ln (e^x)-\ln (1+e^x)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\ln (e^x)-\ln (1+e^x)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\ln (e^x)\}-\frac{d}{dx}\{\ln (1+e^x)\}\)
\(=\frac{d}{dx}\{\ln (e^x)\}.\frac{d}{dx}(e^x)-\frac{d}{dx}\{\ln (1+e^x)\}\frac{d}{dx}(1+e^x)\) ➜ \(1+e^x\) এবং \(e^x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{e^x}.e^x-\frac{1}{1+e^x}(0+e^x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=1-\frac{1}{1+e^x}e^x\)
\(=1-\frac{e^x}{1+e^x}\)
\(=\frac{1+e^x-e^x}{1+e^x}\)
\(=\frac{1}{1+e^x}\)
\(y=\ln \left(\frac{e^x}{1+e^x}\right)\)
\(=\ln (e^x)-\ln (1+e^x)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\ln (e^x)-\ln (1+e^x)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\ln (e^x)\}-\frac{d}{dx}\{\ln (1+e^x)\}\)
\(=\frac{d}{dx}\{\ln (e^x)\}.\frac{d}{dx}(e^x)-\frac{d}{dx}\{\ln (1+e^x)\}\frac{d}{dx}(1+e^x)\) ➜ \(1+e^x\) এবং \(e^x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{e^x}.e^x-\frac{1}{1+e^x}(0+e^x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=1-\frac{1}{1+e^x}e^x\)
\(=1-\frac{e^x}{1+e^x}\)
\(=\frac{1+e^x-e^x}{1+e^x}\)
\(=\frac{1}{1+e^x}\)
\(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(ii)\) \(\ln (\sin 2x)\)
[ঢাঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(2\cot 2x\)
[ঢাঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(2\cot 2x\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\ln (\sin 2x)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\ln (\sin 2x)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\ln (\sin 2x)\}.\frac{d}{dx}(\sin 2x).\frac{d}{dx}(2x)\) ➜ \(\sin 2x\) এবং \(2x\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{\sin 2x}.\cos 2x.2.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=2\frac{\cos 2x}{\sin 2x}\)
\(=2\cot 2x\)
\(y=\ln (\sin 2x)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\ln (\sin 2x)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\ln (\sin 2x)\}.\frac{d}{dx}(\sin 2x).\frac{d}{dx}(2x)\) ➜ \(\sin 2x\) এবং \(2x\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{\sin 2x}.\cos 2x.2.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=2\frac{\cos 2x}{\sin 2x}\)
\(=2\cot 2x\)
\(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(iii)\) \(\log_{10}x\)
[ ঢাঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{x\ln 10}\)
[ ঢাঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{x\ln 10}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\log_{10}x\)
\(=\frac{\ln x}{\ln 10}\) ➜ \(\because \log_ax=\frac{\ln x}{\ln a}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln x}{\ln 10}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{\ln 10}\frac{d}{dx}(\ln x)\)
\(=\frac{1}{\ln 10}.\frac{1}{x}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}\)
\(=\frac{1}{x\ln 10}\)
\(y=\log_{10}x\)
\(=\frac{\ln x}{\ln 10}\) ➜ \(\because \log_ax=\frac{\ln x}{\ln a}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln x}{\ln 10}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{\ln 10}\frac{d}{dx}(\ln x)\)
\(=\frac{1}{\ln 10}.\frac{1}{x}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}\)
\(=\frac{1}{x\ln 10}\)
\(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(iv)\) \(\ln (\ln x)\)
[ মাঃ ২০১৫]
উত্তরঃ \(\frac{1}{x\ln x}\)
[ মাঃ ২০১৫]
উত্তরঃ \(\frac{1}{x\ln x}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\ln (\ln x)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\ln (\ln x)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\ln (\ln x)\}.\frac{d}{dx}(\ln x)\) ➜ \(\ln x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{\ln x}.\frac{1}{x}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}\)
\(=\frac{1}{x\ln x}\)
\(y=\ln (\ln x)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\ln (\ln x)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\ln (\ln x)\}.\frac{d}{dx}(\ln x)\) ➜ \(\ln x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{\ln x}.\frac{1}{x}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}\)
\(=\frac{1}{x\ln x}\)
\(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(v)\) \([\ln (\sin x^2)]^n\)
[ যঃ ২০০৮, ২০০৭, ২০০১; চঃ,সিঃ ২০০৬; রাঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(2nx\cot x^2[\ln (\sin x^2)]^{n-1}\)
[ যঃ ২০০৮, ২০০৭, ২০০১; চঃ,সিঃ ২০০৬; রাঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(2nx\cot x^2[\ln (\sin x^2)]^{n-1}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=[\ln (\sin x^2)]^n\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}[\ln (\sin x^2)]^n\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}[\ln (\sin x^2)]^n.\frac{d}{dx}\{\ln (\sin x^2)\}.\frac{d}{dx}(\sin x^2).\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜ \(\ln (\sin x^2)\), \(\sin x^2\) এবং \(x^2\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=n[\ln (\sin x^2)]^{n-1}.\frac{1}{\sin x^2}.\cos x^2.2x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}\), \(\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x\)
\(=2nx[\ln (\sin x^2)]^{n-1}.\frac{\cos x^2}{\sin x^2}\)
\(=2nx[\ln (\sin x^2)]^{n-1}\cot x^2\)
\(=2nx\cot x^2[\ln (\sin x^2)]^{n-1}\)
\(y=[\ln (\sin x^2)]^n\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}[\ln (\sin x^2)]^n\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}[\ln (\sin x^2)]^n.\frac{d}{dx}\{\ln (\sin x^2)\}.\frac{d}{dx}(\sin x^2).\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜ \(\ln (\sin x^2)\), \(\sin x^2\) এবং \(x^2\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=n[\ln (\sin x^2)]^{n-1}.\frac{1}{\sin x^2}.\cos x^2.2x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}\), \(\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x\)
\(=2nx[\ln (\sin x^2)]^{n-1}.\frac{\cos x^2}{\sin x^2}\)
\(=2nx[\ln (\sin x^2)]^{n-1}\cot x^2\)
\(=2nx\cot x^2[\ln (\sin x^2)]^{n-1}\)
\(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(vi)\) \(\cos(\ln x)+\ln (\tan x)\)
[ সিঃ ২০০৬; বঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(2 cosec \ 2x-\frac{1}{x}\sin (\ln x)\)
[ সিঃ ২০০৬; বঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(2 cosec \ 2x-\frac{1}{x}\sin (\ln x)\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\cos(\ln x)+\ln (\tan x)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\cos(\ln x)+\ln (\tan x)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\cos(\ln x)\}+\frac{d}{dx}\{\ln (\tan x)\}\)
\(=\frac{d}{dx}\{\cos(\ln x)\}.\frac{d}{dx}(\ln x)+\frac{d}{dx}\{\ln (\tan x)\}.\frac{d}{dx}(\tan x)\) ➜ \(\ln x\) এবং \(\tan x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=-\sin(\ln x).\frac{1}{x}+\frac{1}{\tan x}.\sec^2 x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}\), \(\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2 x\)
\(=-\frac{1}{x}\sin(\ln x)+\cot x.\sec^2 x\) ➜ \(\because \frac{1}{\tan x}=\cot x\)
\(=-\frac{1}{x}\sin(\ln x)+\frac{\cos x}{\sin x}.\frac{1}{\cos^2 x}\) ➜ \(\because \cot x=\frac{\cos x}{\sin x}, \sec^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}\)
\(=-\frac{1}{x}\sin(\ln x)+\frac{1}{\sin x}.\frac{1}{\cos x}\)
\(=-\frac{1}{x}\sin(\ln x)+\frac{1}{\sin x\cos x}\)
\(=-\frac{1}{x}\sin(\ln x)+\frac{2}{2\sin x\cos x}\) ➜ লব ও হরের সহিত \(2\) গুণ করে।
\(=-\frac{1}{x}\sin(\ln x)+\frac{2}{\sin 2x}\) ➜ \(\because 2\sin x\cos x=\sin 2x\)
\(=-\frac{1}{x}\sin(\ln x)+2 \ cosec \ 2x\) ➜ \(\because \frac{1}{\sin x}= cosec \ x\)
\(=2 \ cosec \ 2x-\frac{1}{x}\sin(\ln x)\)
\(y=\cos(\ln x)+\ln (\tan x)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\cos(\ln x)+\ln (\tan x)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\cos(\ln x)\}+\frac{d}{dx}\{\ln (\tan x)\}\)
\(=\frac{d}{dx}\{\cos(\ln x)\}.\frac{d}{dx}(\ln x)+\frac{d}{dx}\{\ln (\tan x)\}.\frac{d}{dx}(\tan x)\) ➜ \(\ln x\) এবং \(\tan x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=-\sin(\ln x).\frac{1}{x}+\frac{1}{\tan x}.\sec^2 x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}\), \(\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2 x\)
\(=-\frac{1}{x}\sin(\ln x)+\cot x.\sec^2 x\) ➜ \(\because \frac{1}{\tan x}=\cot x\)
\(=-\frac{1}{x}\sin(\ln x)+\frac{\cos x}{\sin x}.\frac{1}{\cos^2 x}\) ➜ \(\because \cot x=\frac{\cos x}{\sin x}, \sec^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}\)
\(=-\frac{1}{x}\sin(\ln x)+\frac{1}{\sin x}.\frac{1}{\cos x}\)
\(=-\frac{1}{x}\sin(\ln x)+\frac{1}{\sin x\cos x}\)
\(=-\frac{1}{x}\sin(\ln x)+\frac{2}{2\sin x\cos x}\) ➜ লব ও হরের সহিত \(2\) গুণ করে।
\(=-\frac{1}{x}\sin(\ln x)+\frac{2}{\sin 2x}\) ➜ \(\because 2\sin x\cos x=\sin 2x\)
\(=-\frac{1}{x}\sin(\ln x)+2 \ cosec \ 2x\) ➜ \(\because \frac{1}{\sin x}= cosec \ x\)
\(=2 \ cosec \ 2x-\frac{1}{x}\sin(\ln x)\)
\(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(vii)\) \(a^{\ln (\cos x)}\)
[ রাঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(-\ln a \ a^{\ln (\cos x)}\tan x\)
[ রাঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(-\ln a \ a^{\ln (\cos x)}\tan x\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=a^{\ln (\cos x)}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{a^{\ln (\cos x)}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{a^{\ln (\cos x)}\}.\frac{d}{dx}\{\ln (\cos x)\}.\frac{d}{dx}(\cos x)\) ➜ \(\ln (\cos x)\) এবং \(\cos x\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=a^{\ln (\cos x)}\ln a.\frac{1}{\cos x}.(-\sin x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(a^x)=a^x\ln a, \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x\)
\(=-\ln a \ a^{\ln (\cos x)}.\frac{\sin x}{\cos x}\)
\(=-\ln a \ a^{\ln (\cos x)}\tan x\) ➜ \(\because \frac{\sin x}{\cos x}=\tan x\)
\(y=a^{\ln (\cos x)}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{a^{\ln (\cos x)}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{a^{\ln (\cos x)}\}.\frac{d}{dx}\{\ln (\cos x)\}.\frac{d}{dx}(\cos x)\) ➜ \(\ln (\cos x)\) এবং \(\cos x\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=a^{\ln (\cos x)}\ln a.\frac{1}{\cos x}.(-\sin x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(a^x)=a^x\ln a, \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x\)
\(=-\ln a \ a^{\ln (\cos x)}.\frac{\sin x}{\cos x}\)
\(=-\ln a \ a^{\ln (\cos x)}\tan x\) ➜ \(\because \frac{\sin x}{\cos x}=\tan x\)
\(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(viii)\) \(x^2e^{4x}\)
[ যঃ ২০১৫; চঃ ২০০৭; সিঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(2xe^{4x}(1+2x)\)
[ যঃ ২০১৫; চঃ ২০০৭; সিঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(2xe^{4x}(1+2x)\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=x^2e^{4x}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^2e^{4x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=x^2\frac{d}{dx}(e^{4x})+e^{4x}\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=x^2\frac{d}{dx}(e^{4x}).\frac{d}{dx}(4x)+e^{4x}\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜ \(4x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=x^2e^{4x}.4.1+e^{4x}.2x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=4x^2e^{4x}+2xe^{4x}\)
\(=2xe^{4x}+4x^2e^{4x}\)
\(=2xe^{4x}(1+2x)\)
\(y=x^2e^{4x}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^2e^{4x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=x^2\frac{d}{dx}(e^{4x})+e^{4x}\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=x^2\frac{d}{dx}(e^{4x}).\frac{d}{dx}(4x)+e^{4x}\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜ \(4x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=x^2e^{4x}.4.1+e^{4x}.2x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=4x^2e^{4x}+2xe^{4x}\)
\(=2xe^{4x}+4x^2e^{4x}\)
\(=2xe^{4x}(1+2x)\)
\(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(ix)\) \(\sin x\ln (\sin x)\)
উত্তরঃ \(\cos x\{1+\ln (\sin x)\}\)
উত্তরঃ \(\cos x\{1+\ln (\sin x)\}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\sin x\ln (\sin x)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\sin x\ln (\sin x)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\sin x\frac{d}{dx}\{\ln (\sin x)\}+\ln (\sin x)\frac{d}{dx}(\sin x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=\sin x\frac{d}{dx}\{\ln (\sin x)\}.\frac{d}{dx}(\sin x)+\ln (\sin x)\frac{d}{dx}(\sin x)\) ➜ \(\sin x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\sin x\frac{1}{\sin x}.\cos x+\ln (\sin x).\cos x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x\)
\(=\cos x+\cos x\ln (\sin x)\)
\(=\cos x\{1+\ln (\sin x)\}\)
\(y=\sin x\ln (\sin x)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\sin x\ln (\sin x)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\sin x\frac{d}{dx}\{\ln (\sin x)\}+\ln (\sin x)\frac{d}{dx}(\sin x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=\sin x\frac{d}{dx}\{\ln (\sin x)\}.\frac{d}{dx}(\sin x)+\ln (\sin x)\frac{d}{dx}(\sin x)\) ➜ \(\sin x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\sin x\frac{1}{\sin x}.\cos x+\ln (\sin x).\cos x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x\)
\(=\cos x+\cos x\ln (\sin x)\)
\(=\cos x\{1+\ln (\sin x)\}\)
\(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(x)\) \(x\sqrt{\sin x}\)
[ ঢাঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(\sqrt{\sin x}+\frac{x\cos x}{2\sqrt{\sin x}}\)
[ ঢাঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(\sqrt{\sin x}+\frac{x\cos x}{2\sqrt{\sin x}}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=x\sqrt{\sin x}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x\sqrt{\sin x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=x\frac{d}{dx}(\sqrt{\sin x})+\sqrt{\sin x}\frac{d}{dx}(x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=x\frac{d}{dx}(\sqrt{\sin x}).\frac{d}{dx}(\sin x)+\sqrt{\sin x}\frac{d}{dx}(x)\) ➜ \(\sin x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=x\frac{1}{2\sqrt{\sin x}}.\cos x+\sqrt{\sin x}.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=x\frac{1}{2\sqrt{\sin x}}\cos x+\sqrt{\sin x}\)
\(=\frac{x\cos x}{2\sqrt{\sin x}}+\sqrt{\sin x}\)
\(=\sqrt{\sin x}+\frac{x\cos x}{2\sqrt{\sin x}}\)
\(y=x\sqrt{\sin x}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x\sqrt{\sin x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=x\frac{d}{dx}(\sqrt{\sin x})+\sqrt{\sin x}\frac{d}{dx}(x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=x\frac{d}{dx}(\sqrt{\sin x}).\frac{d}{dx}(\sin x)+\sqrt{\sin x}\frac{d}{dx}(x)\) ➜ \(\sin x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=x\frac{1}{2\sqrt{\sin x}}.\cos x+\sqrt{\sin x}.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=x\frac{1}{2\sqrt{\sin x}}\cos x+\sqrt{\sin x}\)
\(=\frac{x\cos x}{2\sqrt{\sin x}}+\sqrt{\sin x}\)
\(=\sqrt{\sin x}+\frac{x\cos x}{2\sqrt{\sin x}}\)
\(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(xi)\) \(x^3\sin (\ln x)\)
[ রাঃ ২০১৭]
উত্তরঃ \(x^2\{\cos (\ln x)+3\sin (\ln x)\}\)
[ রাঃ ২০১৭]
উত্তরঃ \(x^2\{\cos (\ln x)+3\sin (\ln x)\}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=x^3\sin (\ln x)\) \(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{x^3\sin (\ln x)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=x^3\frac{d}{dx}\{\sin (\ln x)\}+\sin (\ln x)\frac{d}{dx}(x^3)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=x^3\frac{d}{dx}\{\sin (\ln x)\}.\frac{d}{dx}(\ln x)+\sin (\ln x)\frac{d}{dx}(x^3)\) ➜ \(\ln x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=x^3\cos (\ln x).\frac{1}{x}+\sin (\ln x).3x^2\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=x^2\cos (\ln x)+3x^2\sin (\ln x)\)
\(=x^2\{\cos (\ln x)+3\sin (\ln x)\}\)
\(y=x^3\sin (\ln x)\) \(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{x^3\sin (\ln x)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=x^3\frac{d}{dx}\{\sin (\ln x)\}+\sin (\ln x)\frac{d}{dx}(x^3)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=x^3\frac{d}{dx}\{\sin (\ln x)\}.\frac{d}{dx}(\ln x)+\sin (\ln x)\frac{d}{dx}(x^3)\) ➜ \(\ln x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=x^3\cos (\ln x).\frac{1}{x}+\sin (\ln x).3x^2\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=x^2\cos (\ln x)+3x^2\sin (\ln x)\)
\(=x^2\{\cos (\ln x)+3\sin (\ln x)\}\)
\(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(xii)\) \(2 \ cosec \ 2x\cos (\ln \tan x)\)
[ রাঃ ২০০৬ ]
উত্তরঃ \(-4 \ cosec \ 2x\{\ cosec \ 2x\sin (\ln \tan x)+\cot 2x\cos (\ln \tan x)\}\)
[ রাঃ ২০০৬ ]
উত্তরঃ \(-4 \ cosec \ 2x\{\ cosec \ 2x\sin (\ln \tan x)+\cot 2x\cos (\ln \tan x)\}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=2 \ cosec \ 2x\cos (\ln \tan x)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{2 \ cosec \ 2x\cos (\ln \tan x)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=2 \ cosec \ 2x\frac{d}{dx}\{\cos (\ln \tan x)\}+\cos (\ln \tan x)\frac{d}{dx}(2 \ cosec \ 2x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=2 \ cosec \ 2x\frac{d}{dx}\{\cos (\ln \tan x)\}.\frac{d}{dx}(\ln \tan x).\frac{d}{dx}(\tan x)+\cos (\ln \tan x).2\frac{d}{dx}( cosec \ 2x).\frac{d}{dx}(2x)\) ➜ \(\ln \tan x\), \(\tan x\) এবং \(2x\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=2 \ cosec \ 2x.\{-\sin (\ln \tan x)\}.\frac{1}{\tan x}.\sec^2 x+\cos (\ln \tan x).\{-2 \ cosec \ 2x\cot 2x\}.2.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x\), \(\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2 x, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=-2 \ cosec \ 2x\sin (\ln \tan x)\cot x.\sec^2-4\ cosec \ 2x\cot 2x\cos (\ln \tan x)\) ➜ \(\because \frac{1}{\tan x}=\cot x\)
\(=-2 \ cosec \ 2x\sin (\ln \tan x).\frac{\cos x}{\sin x}.\frac{1}{\cos^2 x}-4\ cosec \ 2x\cot 2x\cos (\ln \tan x)\) ➜ \(\because \cot x=\frac{\cos x}{\sin x}, \sec^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}\)
\(=-2 \ cosec \ 2x\sin (\ln \tan x).\frac{1}{\sin x\cos x}-4\ cosec \ 2x\cot 2x\cos (\ln \tan x)\)
\(=-2 \ cosec \ 2x\sin (\ln \tan x).\frac{2}{2\sin x\cos x}-4\ cosec \ 2x\cot 2x\cos (\ln \tan x)\) ➜ লব ও হরের সহিত \(2\) গুণ করে।
\(=-2 \ cosec \ 2x\sin (\ln \tan x).\frac{2}{\sin 2x}-4\ cosec \ 2x\cot 2x\cos (\ln \tan x)\) ➜ \(\because 2\sin x\cos x=\sin 2x\)
\(=-2 \ cosec \ 2x\sin (\ln \tan x).2 \ cosec \ 2x-4\ cosec \ 2x\cot 2x\cos (\ln \tan x)\) ➜ \(\because \frac{1}{\sin 2x}= cosec \ 2x\)
\(=-4 \ cosec^2 \ 2x\sin (\ln \tan x)-4\ cosec \ 2x\cot 2x\cos (\ln \tan x)\)
\(=-4 \ cosec \ 2x\{\ cosec \ 2x\sin (\ln \tan x)+\cot 2x\cos (\ln \tan x)\}\)
\(y=2 \ cosec \ 2x\cos (\ln \tan x)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{2 \ cosec \ 2x\cos (\ln \tan x)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=2 \ cosec \ 2x\frac{d}{dx}\{\cos (\ln \tan x)\}+\cos (\ln \tan x)\frac{d}{dx}(2 \ cosec \ 2x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=2 \ cosec \ 2x\frac{d}{dx}\{\cos (\ln \tan x)\}.\frac{d}{dx}(\ln \tan x).\frac{d}{dx}(\tan x)+\cos (\ln \tan x).2\frac{d}{dx}( cosec \ 2x).\frac{d}{dx}(2x)\) ➜ \(\ln \tan x\), \(\tan x\) এবং \(2x\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=2 \ cosec \ 2x.\{-\sin (\ln \tan x)\}.\frac{1}{\tan x}.\sec^2 x+\cos (\ln \tan x).\{-2 \ cosec \ 2x\cot 2x\}.2.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x\), \(\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2 x, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=-2 \ cosec \ 2x\sin (\ln \tan x)\cot x.\sec^2-4\ cosec \ 2x\cot 2x\cos (\ln \tan x)\) ➜ \(\because \frac{1}{\tan x}=\cot x\)
\(=-2 \ cosec \ 2x\sin (\ln \tan x).\frac{\cos x}{\sin x}.\frac{1}{\cos^2 x}-4\ cosec \ 2x\cot 2x\cos (\ln \tan x)\) ➜ \(\because \cot x=\frac{\cos x}{\sin x}, \sec^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}\)
\(=-2 \ cosec \ 2x\sin (\ln \tan x).\frac{1}{\sin x\cos x}-4\ cosec \ 2x\cot 2x\cos (\ln \tan x)\)
\(=-2 \ cosec \ 2x\sin (\ln \tan x).\frac{2}{2\sin x\cos x}-4\ cosec \ 2x\cot 2x\cos (\ln \tan x)\) ➜ লব ও হরের সহিত \(2\) গুণ করে।
\(=-2 \ cosec \ 2x\sin (\ln \tan x).\frac{2}{\sin 2x}-4\ cosec \ 2x\cot 2x\cos (\ln \tan x)\) ➜ \(\because 2\sin x\cos x=\sin 2x\)
\(=-2 \ cosec \ 2x\sin (\ln \tan x).2 \ cosec \ 2x-4\ cosec \ 2x\cot 2x\cos (\ln \tan x)\) ➜ \(\because \frac{1}{\sin 2x}= cosec \ 2x\)
\(=-4 \ cosec^2 \ 2x\sin (\ln \tan x)-4\ cosec \ 2x\cot 2x\cos (\ln \tan x)\)
\(=-4 \ cosec \ 2x\{\ cosec \ 2x\sin (\ln \tan x)+\cot 2x\cos (\ln \tan x)\}\)
\(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(xiii)\) \(\frac{\ln (\cos x)}{x}\)
[ সিঃ ২০১১,২০০৯,২০০৭; ঢাঃ ২০০৬; রাঃ ২০০৩; মাঃ ২০০৫,২০০১ ]
উত্তরঃ \(-\frac{x\tan x+\ln (\cos x)}{x^2}\)
[ সিঃ ২০১১,২০০৯,২০০৭; ঢাঃ ২০০৬; রাঃ ২০০৩; মাঃ ২০০৫,২০০১ ]
উত্তরঃ \(-\frac{x\tan x+\ln (\cos x)}{x^2}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\frac{\ln (\cos x)}{x}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\frac{\ln (\cos x)}{x}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{x\frac{d}{dx}\{\ln (\cos x)\}-\ln (\cos x)\frac{d}{dx}(x)}{x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\frac{u}{v})=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{x\frac{d}{dx}\{\ln (\cos x)\}.\frac{d}{dx}(\cos x)-\ln (\cos x)\frac{d}{dx}(x)}{x^2}\) ➜ \(\cos x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{x\frac{1}{\cos x}.(-\sin x)-\ln (\cos x).1}{x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{-x\frac{\sin x}{\cos x}-\ln (\cos x)}{x^2}\)
\(=-\frac{x\tan x+\ln (\cos x)}{x^2}\)
\(y=\frac{\ln (\cos x)}{x}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\frac{\ln (\cos x)}{x}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{x\frac{d}{dx}\{\ln (\cos x)\}-\ln (\cos x)\frac{d}{dx}(x)}{x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\frac{u}{v})=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{x\frac{d}{dx}\{\ln (\cos x)\}.\frac{d}{dx}(\cos x)-\ln (\cos x)\frac{d}{dx}(x)}{x^2}\) ➜ \(\cos x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{x\frac{1}{\cos x}.(-\sin x)-\ln (\cos x).1}{x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{-x\frac{\sin x}{\cos x}-\ln (\cos x)}{x^2}\)
\(=-\frac{x\tan x+\ln (\cos x)}{x^2}\)
\(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(xiv)\) \(\sin^{-1} x^2\)
উত্তরঃ \(\frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}\)
উত্তরঃ \(\frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\sin^{-1} x^2\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x^2)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x^2).\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜ \(x^2\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{\sqrt{1-(x^2)^2}}.2x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=\frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}\)
\(y=\sin^{-1} x^2\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x^2)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x^2).\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜ \(x^2\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{\sqrt{1-(x^2)^2}}.2x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=\frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}\)
\(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(xv)\) \((\sin^{-1} x)^2\)
উত্তরঃ \(\frac{2\sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{2\sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=(\sin^{-1} x)^2\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{(\sin^{-1} x)^2\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{(\sin^{-1} x)^2\}.\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)\) ➜ \(\sin^{-1} x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=2(\sin^{-1} x)^{2-1}.\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=2(\sin^{-1} x)^{1}.\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(=2\sin^{-1} x\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(=\frac{2\sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(y=(\sin^{-1} x)^2\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{(\sin^{-1} x)^2\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{(\sin^{-1} x)^2\}.\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)\) ➜ \(\sin^{-1} x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=2(\sin^{-1} x)^{2-1}.\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=2(\sin^{-1} x)^{1}.\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(=2\sin^{-1} x\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(=\frac{2\sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(xvi)\) \(\sin^{-1} (\sin x)\)
[ রাঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(1\)
[ রাঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(1\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\sin^{-1} (\sin x)\)
\(=x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(y=\sin^{-1} (\sin x)\)
\(=x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(xvii)\) \(\tan x^2\sin^{-1} x\)
[ ঢাঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(\frac{\tan x^2}{\sqrt{1-x^2}}+2x\sin^{-1} x\sec^2 x^2\)
[ ঢাঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(\frac{\tan x^2}{\sqrt{1-x^2}}+2x\sin^{-1} x\sec^2 x^2\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\tan x^2\sin^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\tan x^2\sin^{-1} x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\tan x^2\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)+\sin^{-1} x\frac{d}{dx}(\tan x^2)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=\tan x^2\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)+\sin^{-1} x\frac{d}{dx}(\tan x^2).\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜ \(x^2\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\tan x^2\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+\sin^{-1} x\sec^2 x^2.2x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2 x, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=\frac{\tan x^2}{\sqrt{1-x^2}}+2x\sin^{-1} x\sec^2 x^2\)
\(y=\tan x^2\sin^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\tan x^2\sin^{-1} x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\tan x^2\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)+\sin^{-1} x\frac{d}{dx}(\tan x^2)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=\tan x^2\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)+\sin^{-1} x\frac{d}{dx}(\tan x^2).\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜ \(x^2\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\tan x^2\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+\sin^{-1} x\sec^2 x^2.2x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2 x, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=\frac{\tan x^2}{\sqrt{1-x^2}}+2x\sin^{-1} x\sec^2 x^2\)
\(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(xviii)\) \(\ln (\cos^{-1} x)\)
[ রাঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(-\frac{1}{\cos^{-1} x\sqrt{1-x^2}}\)
[ রাঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(-\frac{1}{\cos^{-1} x\sqrt{1-x^2}}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\ln (\cos^{-1} x)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\ln (\cos^{-1} x)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\ln (\cos^{-1} x)\}.\frac{d}{dx}(\cos^{-1} x)\) ➜ \(\cos^{-1} x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{\cos^{-1} x}.(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cos^{-1} x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}\)
\(=-\frac{1}{\cos^{-1} x\sqrt{1-x^2}}\)
\(y=\ln (\cos^{-1} x)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\ln (\cos^{-1} x)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\ln (\cos^{-1} x)\}.\frac{d}{dx}(\cos^{-1} x)\) ➜ \(\cos^{-1} x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{\cos^{-1} x}.(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cos^{-1} x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}\)
\(=-\frac{1}{\cos^{-1} x\sqrt{1-x^2}}\)
\(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(xix)\) \((x^2+1)\tan^{-1} x-x\)
[ কুঃ ২০১২; যঃ ২০১১; দিঃ ২০১০; মাঃ ২০০৬ ]
উত্তরঃ \(2x\tan^{-1} x\)
[ কুঃ ২০১২; যঃ ২০১১; দিঃ ২০১০; মাঃ ২০০৬ ]
উত্তরঃ \(2x\tan^{-1} x\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=(x^2+1)\tan^{-1} x-x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{(x^2+1)\tan^{-1} x-x\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{(x^2+1)\tan^{-1} x\}-\frac{d}{dx}(x)\)
\(=(x^2+1)\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)+\tan^{-1} x\frac{d}{dx}(x^2+1)-\frac{d}{dx}(x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=(x^2+1)\frac{d}{1+x^2}+\tan^{-1} x(2x+0)-1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(c)=0, \ \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=1+\tan^{-1} x.2x-1\)
\(=2x\tan^{-1} x\)
\(y=(x^2+1)\tan^{-1} x-x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{(x^2+1)\tan^{-1} x-x\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{(x^2+1)\tan^{-1} x\}-\frac{d}{dx}(x)\)
\(=(x^2+1)\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)+\tan^{-1} x\frac{d}{dx}(x^2+1)-\frac{d}{dx}(x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=(x^2+1)\frac{d}{1+x^2}+\tan^{-1} x(2x+0)-1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(c)=0, \ \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=1+\tan^{-1} x.2x-1\)
\(=2x\tan^{-1} x\)
\(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(xx)\) \(a^{\sin^{-1} x}\)
[ রাঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(\frac{a^{\sin^{-1} x}\ln a}{\sqrt{1-x^2}}\)
[ রাঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(\frac{a^{\sin^{-1} x}\ln a}{\sqrt{1-x^2}}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=a^{\sin^{-1} x}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(a^{\sin^{-1} x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{a^{\sin^{-1} x}\}.\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)\) ➜ \(\sin^{-1} x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=a^{\sin^{-1} x}\ln a.\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \frac{d}{dx}(a^x)=a^x\ln a\)
\(=\frac{a^{\sin^{-1} x}\ln a}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(y=a^{\sin^{-1} x}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(a^{\sin^{-1} x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{a^{\sin^{-1} x}\}.\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)\) ➜ \(\sin^{-1} x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=a^{\sin^{-1} x}\ln a.\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \frac{d}{dx}(a^x)=a^x\ln a\)
\(=\frac{a^{\sin^{-1} x}\ln a}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(xxi)\) \(\tan^{-1} (\sin e^x)\)
[ যঃ ২০০৯; চঃ ২০০৫,২০০৩; বঃ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(\frac{e^x\cos (e^x)}{1+\sin^2 (e^x)}\)
[ যঃ ২০০৯; চঃ ২০০৫,২০০৩; বঃ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(\frac{e^x\cos (e^x)}{1+\sin^2 (e^x)}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\tan^{-1} (\sin e^x)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\tan^{-1} (\sin e^x)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\tan^{-1} (\sin e^x)\}.\frac{d}{dx}(\sin e^x).\frac{d}{dx}(e^x)\) ➜ \(\sin e^x\) এবং \(e^x\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{1+\sin^2 e^x}.\cos e^x.e^x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}, \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(=\frac{e^x\cos e^x}{1+\sin^2 e^x}\)
\(y=\tan^{-1} (\sin e^x)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\tan^{-1} (\sin e^x)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\tan^{-1} (\sin e^x)\}.\frac{d}{dx}(\sin e^x).\frac{d}{dx}(e^x)\) ➜ \(\sin e^x\) এবং \(e^x\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{1+\sin^2 e^x}.\cos e^x.e^x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}, \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(=\frac{e^x\cos e^x}{1+\sin^2 e^x}\)
\(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(xxii)\) \(\sin^{-1} \sqrt{xe^x}\)
[ বঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \(\frac{e^x(1+x)}{2\sqrt{xe^x(1-xe^x)}}\)
[ বঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \(\frac{e^x(1+x)}{2\sqrt{xe^x(1-xe^x)}}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\sin^{-1} \sqrt{xe^x}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\sin^{-1} \sqrt{xe^x}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\sin^{-1} \sqrt{xe^x}\}.\frac{d}{dx}( \sqrt{xe^x}).\frac{d}{dx}(xe^x)\) ➜ \(\sqrt{xe^x}\) এবং \(xe^x\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\sin^{-1} \sqrt{xe^x}\}.\frac{d}{dx}( \sqrt{xe^x}).\{x\frac{d}{dx}(e^x)+e^x\frac{d}{dx}(x)\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=\frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{xe^x})^2}}.\frac{1}{2\sqrt{xe^x}}.\{xe^x+e^x.1\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}\),\( \frac{d}{dx}(e^x)=e^x, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{1}{\sqrt{1-xe^x}}.\frac{1}{2\sqrt{xe^x}}.\{e^x(x+1)\}\)
\(=\frac{e^x(1+x)}{2\sqrt{xe^x}\sqrt{(1-xe^x)}}\)
\(y=\sin^{-1} \sqrt{xe^x}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\sin^{-1} \sqrt{xe^x}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\sin^{-1} \sqrt{xe^x}\}.\frac{d}{dx}( \sqrt{xe^x}).\frac{d}{dx}(xe^x)\) ➜ \(\sqrt{xe^x}\) এবং \(xe^x\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\sin^{-1} \sqrt{xe^x}\}.\frac{d}{dx}( \sqrt{xe^x}).\{x\frac{d}{dx}(e^x)+e^x\frac{d}{dx}(x)\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=\frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{xe^x})^2}}.\frac{1}{2\sqrt{xe^x}}.\{xe^x+e^x.1\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}\),\( \frac{d}{dx}(e^x)=e^x, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{1}{\sqrt{1-xe^x}}.\frac{1}{2\sqrt{xe^x}}.\{e^x(x+1)\}\)
\(=\frac{e^x(1+x)}{2\sqrt{xe^x}\sqrt{(1-xe^x)}}\)
\(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(xxiii)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{2x}{1-x^2}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{1+x^2}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{1+x^2}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\tan^{-1} \left(\frac{2x}{1-x^2}\right)\)
এবং
\(\tan \theta=x\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore y=\tan^{-1} \left(\frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}\right)\)
\(=\tan^{-1} (\tan 2\theta)\) ➜ \(\because \frac{2\tan A}{1-\tan^2 A}=\tan 2A\)
\(=2\theta\)
\(=2\tan^{-1} x\) ➜ \(\because \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(2\tan^{-1} x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=2\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)\)
\(=2\frac{1}{1+x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}\)
\(=\frac{2}{1+x^2}\)
\(y=\tan^{-1} \left(\frac{2x}{1-x^2}\right)\)
এবং
\(\tan \theta=x\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore y=\tan^{-1} \left(\frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}\right)\)
\(=\tan^{-1} (\tan 2\theta)\) ➜ \(\because \frac{2\tan A}{1-\tan^2 A}=\tan 2A\)
\(=2\theta\)
\(=2\tan^{-1} x\) ➜ \(\because \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(2\tan^{-1} x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=2\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)\)
\(=2\frac{1}{1+x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}\)
\(=\frac{2}{1+x^2}\)
\(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(xxiv)\) \(\sin^{-1} \left(\frac{2x}{1+x^2}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{1+x^2}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{1+x^2}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\sin^{-1} \left(\frac{2x}{1+x^2}\right)\)
এবং
\(\tan \theta=x\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore y=\sin^{-1} \left(\frac{2\tan \theta}{1+\tan^2 \theta}\right)\)
\(=\sin^{-1} (\sin 2\theta)\) ➜ \(\because \frac{2\tan A}{1+\tan^2 A}=\sin 2A\)
\(=2\theta\)
\(=2\tan^{-1} x\) ➜ \(\because \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(2\tan^{-1} x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=2\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)\)
\(=2\frac{1}{1+x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}\)
\(=\frac{2}{1+x^2}\)
\(y=\sin^{-1} \left(\frac{2x}{1+x^2}\right)\)
এবং
\(\tan \theta=x\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore y=\sin^{-1} \left(\frac{2\tan \theta}{1+\tan^2 \theta}\right)\)
\(=\sin^{-1} (\sin 2\theta)\) ➜ \(\because \frac{2\tan A}{1+\tan^2 A}=\sin 2A\)
\(=2\theta\)
\(=2\tan^{-1} x\) ➜ \(\because \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(2\tan^{-1} x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=2\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)\)
\(=2\frac{1}{1+x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}\)
\(=\frac{2}{1+x^2}\)
\(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(xxv)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{2\sqrt{x}}{1-x}\right)\)
[ কুঃ ২০১২; চঃ ২০১১, ২০০৬; সিঃ ২০১১; যঃ ২০০৮; ঢাঃ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}\)
[ কুঃ ২০১২; চঃ ২০১১, ২০০৬; সিঃ ২০১১; যঃ ২০০৮; ঢাঃ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\tan^{-1} \left(\frac{2\sqrt{x}}{1-x}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{2\sqrt{x}}{1-(\sqrt{x})^2}\right)\)
এবং
\(\tan \theta=\sqrt{x}\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1} \sqrt{x}\)
\(\therefore y=\tan^{-1} \left(\frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}\right)\)
\(=\tan^{-1} (\tan 2\theta)\) ➜ \(\because \frac{2\tan A}{1-\tan^2 A}=\tan 2A\)
\(=2\theta\)
\(=2\tan^{-1} \sqrt{x}\) ➜ \(\because \theta=\tan^{-1} \sqrt{x}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(2\tan^{-1} \sqrt{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=2\frac{d}{dx}(\tan^{-1} \sqrt{x})\)
\(=2\frac{d}{dx}(\tan^{-1} \sqrt{x}).\frac{d}{dx}(\sqrt{x})\) ➜ \(\sqrt{x}\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=2\frac{1}{1+(\sqrt{x})^2}.\frac{1}{2\sqrt{x}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}, \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=\frac{1}{1+x}.\frac{1}{\sqrt{x}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}\)
\(y=\tan^{-1} \left(\frac{2\sqrt{x}}{1-x}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{2\sqrt{x}}{1-(\sqrt{x})^2}\right)\)
এবং
\(\tan \theta=\sqrt{x}\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1} \sqrt{x}\)
\(\therefore y=\tan^{-1} \left(\frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}\right)\)
\(=\tan^{-1} (\tan 2\theta)\) ➜ \(\because \frac{2\tan A}{1-\tan^2 A}=\tan 2A\)
\(=2\theta\)
\(=2\tan^{-1} \sqrt{x}\) ➜ \(\because \theta=\tan^{-1} \sqrt{x}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(2\tan^{-1} \sqrt{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=2\frac{d}{dx}(\tan^{-1} \sqrt{x})\)
\(=2\frac{d}{dx}(\tan^{-1} \sqrt{x}).\frac{d}{dx}(\sqrt{x})\) ➜ \(\sqrt{x}\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=2\frac{1}{1+(\sqrt{x})^2}.\frac{1}{2\sqrt{x}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}, \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=\frac{1}{1+x}.\frac{1}{\sqrt{x}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}\)
\(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(xxvi)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{4\sqrt{x}}{1-4x}\right)\)
[ বঃ২০১১; চঃ ২০০৯, ২০০৫; সিঃ ২০০৯; রাঃ ২০০৬, ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(\frac{2}{\sqrt{x}(1+4x)}\)
[ বঃ২০১১; চঃ ২০০৯, ২০০৫; সিঃ ২০০৯; রাঃ ২০০৬, ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(\frac{2}{\sqrt{x}(1+4x)}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\tan^{-1} \left(\frac{4\sqrt{x}}{1-4x}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{2.2\sqrt{x}}{1-(2\sqrt{x})^2}\right)\)
এবং
\(\tan \theta=2\sqrt{x}\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1} 2\sqrt{x}\)
\(\therefore y=\tan^{-1} \left(\frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}\right)\)
\(=\tan^{-1} (\tan 2\theta)\) ➜ \(\because \frac{2\tan A}{1-\tan^2 A}=\tan 2A\)
\(=2\theta\)
\(=2\tan^{-1} 2\sqrt{x}\) ➜ \(\because \theta=\tan^{-1} 2\sqrt{x}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(2\tan^{-1} 2\sqrt{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=2\frac{d}{dx}(\tan^{-1} 2\sqrt{x})\)
\(=2\frac{d}{dx}(\tan^{-1} 2\sqrt{x}).\frac{d}{dx}(2\sqrt{x})\) ➜ \(2\sqrt{x}\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=4\frac{d}{dx}(\tan^{-1} 2\sqrt{x}).\frac{d}{dx}(\sqrt{x})\)
\(=4\frac{1}{1+(2\sqrt{x})^2}.\frac{1}{2\sqrt{x}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}, \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=2\frac{1}{1+4x}.\frac{1}{\sqrt{x}}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{x}(1+4x)}\)
\(y=\tan^{-1} \left(\frac{4\sqrt{x}}{1-4x}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{2.2\sqrt{x}}{1-(2\sqrt{x})^2}\right)\)
এবং
\(\tan \theta=2\sqrt{x}\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1} 2\sqrt{x}\)
\(\therefore y=\tan^{-1} \left(\frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}\right)\)
\(=\tan^{-1} (\tan 2\theta)\) ➜ \(\because \frac{2\tan A}{1-\tan^2 A}=\tan 2A\)
\(=2\theta\)
\(=2\tan^{-1} 2\sqrt{x}\) ➜ \(\because \theta=\tan^{-1} 2\sqrt{x}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(2\tan^{-1} 2\sqrt{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=2\frac{d}{dx}(\tan^{-1} 2\sqrt{x})\)
\(=2\frac{d}{dx}(\tan^{-1} 2\sqrt{x}).\frac{d}{dx}(2\sqrt{x})\) ➜ \(2\sqrt{x}\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=4\frac{d}{dx}(\tan^{-1} 2\sqrt{x}).\frac{d}{dx}(\sqrt{x})\)
\(=4\frac{1}{1+(2\sqrt{x})^2}.\frac{1}{2\sqrt{x}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}, \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=2\frac{1}{1+4x}.\frac{1}{\sqrt{x}}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{x}(1+4x)}\)
\(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(xxvii)\) \(\cos^{-1} \left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\) অথবা, \(\sec^{-1} \left(\frac{1+x^2}{1-x^2}\right)\)
[ চঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{2}{1+x^2}\)
[ চঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{2}{1+x^2}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\cos^{-1} \left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\)
এবং
\(\tan \theta=x\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore y=\cos^{-1} \left(\frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}\right)\)
\(=\cos^{-1} (\cos 2\theta)\) ➜ \(\because \frac{1-\tan^2 A}{1+\tan^2 A}=\cos 2A\)
\(=2\theta\)
\(=2\tan^{-1} x\) ➜ \(\because \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(2\tan^{-1} x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=2\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)\)
\(=2\frac{1}{1+x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}\)
\(=\frac{2}{1+x^2}\)
\(y=\cos^{-1} \left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\)
এবং
\(\tan \theta=x\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore y=\cos^{-1} \left(\frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}\right)\)
\(=\cos^{-1} (\cos 2\theta)\) ➜ \(\because \frac{1-\tan^2 A}{1+\tan^2 A}=\cos 2A\)
\(=2\theta\)
\(=2\tan^{-1} x\) ➜ \(\because \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(2\tan^{-1} x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=2\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)\)
\(=2\frac{1}{1+x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}\)
\(=\frac{2}{1+x^2}\)
\(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(xxviii)\) \(\sec^{-1} \left(\frac{1+x^2}{1-x^2}\right)\)
[ সিঃ ২০১০; কুঃ ২০০৯; চঃ২০০৭; যঃ ২০০৬; বঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(\frac{2}{1+x^2}\)
[ সিঃ ২০১০; কুঃ ২০০৯; চঃ২০০৭; যঃ ২০০৬; বঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(\frac{2}{1+x^2}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\sec^{-1} \left(\frac{1+x^2}{1-x^2}\right)\)
\(=\cos^{-1} \left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\)
এবং
\(\tan \theta=x\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore y=\cos^{-1} \left(\frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}\right)\)
\(=\cos^{-1} (\cos 2\theta)\) ➜ \(\because \frac{1-\tan^2 A}{1+\tan^2 A}=\cos 2A\)
\(=2\theta\)
\(=2\tan^{-1} x\) ➜ \(\because \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(2\tan^{-1} x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=2\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)\)
\(=2\frac{1}{1+x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}\)
\(=\frac{2}{1+x^2}\)
\(y=\sec^{-1} \left(\frac{1+x^2}{1-x^2}\right)\)
\(=\cos^{-1} \left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\)
এবং
\(\tan \theta=x\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore y=\cos^{-1} \left(\frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}\right)\)
\(=\cos^{-1} (\cos 2\theta)\) ➜ \(\because \frac{1-\tan^2 A}{1+\tan^2 A}=\cos 2A\)
\(=2\theta\)
\(=2\tan^{-1} x\) ➜ \(\because \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(2\tan^{-1} x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=2\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)\)
\(=2\frac{1}{1+x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}\)
\(=\frac{2}{1+x^2}\)
\(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(xxix)\) \(\sin^{-1} \left(\frac{x+\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{2}}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\sin^{-1} \left(\frac{x+\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{2}}\right)\)
এবং
\(\sin \theta=x\)
\(\Rightarrow \theta=\sin^{-1} x\)
\(\therefore y=\sin^{-1} \left(\frac{\sin \theta+\sqrt{1-sin^2 \theta}}{\sqrt{2}}\right)\)
\(=\sin^{-1} \left(\frac{\sin \theta+\cos \theta}{\sqrt{2}}\right)\) ➜ \(\because \sqrt{1-\sin^2 A}=\cos A\)
\(=\sin^{-1} \left(\sin \theta\frac{1}{\sqrt{2}}+\cos \theta\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)
\(=\sin^{-1} \left(\sin \theta\cos \frac{\pi}{4}+\cos \theta\sin \frac{\pi}{4}\right)\) ➜ \(\because \sin \frac{\pi}{4}=\cos \frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(=\sin^{-1} \sin (\theta+\frac{\pi}{4})\) ➜ \(\because \sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B\)
\(=\theta+\frac{\pi}{4}\)
\(=\sin^{-1} x+\frac{\pi}{4}\) ➜ \(\because \theta=\sin^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\sin^{-1} x+\frac{\pi}{4}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)+\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}\right)\)
\(=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+0\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(y=\sin^{-1} \left(\frac{x+\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{2}}\right)\)
এবং
\(\sin \theta=x\)
\(\Rightarrow \theta=\sin^{-1} x\)
\(\therefore y=\sin^{-1} \left(\frac{\sin \theta+\sqrt{1-sin^2 \theta}}{\sqrt{2}}\right)\)
\(=\sin^{-1} \left(\frac{\sin \theta+\cos \theta}{\sqrt{2}}\right)\) ➜ \(\because \sqrt{1-\sin^2 A}=\cos A\)
\(=\sin^{-1} \left(\sin \theta\frac{1}{\sqrt{2}}+\cos \theta\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)
\(=\sin^{-1} \left(\sin \theta\cos \frac{\pi}{4}+\cos \theta\sin \frac{\pi}{4}\right)\) ➜ \(\because \sin \frac{\pi}{4}=\cos \frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(=\sin^{-1} \sin (\theta+\frac{\pi}{4})\) ➜ \(\because \sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B\)
\(=\theta+\frac{\pi}{4}\)
\(=\sin^{-1} x+\frac{\pi}{4}\) ➜ \(\because \theta=\sin^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\sin^{-1} x+\frac{\pi}{4}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)+\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}\right)\)
\(=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+0\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(xxx)\) \(\sin^{-1} (\sin e^x)\)
[ চঃ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(e^x\)
[ চঃ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(e^x\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\sin^{-1} (\sin e^x)\)
\(=e^x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(e^x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=e^x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(y=\sin^{-1} (\sin e^x)\)
\(=e^x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(e^x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=e^x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(xxxi)\) \(\sin^{-1} \left(\frac{a+b\cos x}{b+a\cos x}\right)\)
উত্তরঃ \(-\frac{\sqrt{b^2-a^2}}{b+a\cos x}\)
উত্তরঃ \(-\frac{\sqrt{b^2-a^2}}{b+a\cos x}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\sin^{-1} \left(\frac{a+b\cos x}{b+a\cos x}\right)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left[\sin^{-1} \left(\frac{a+b\cos x}{b+a\cos x}\right)\right]\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left[\sin^{-1} \left(\frac{a+b\cos x}{b+a\cos x}\right)\right].\frac{d}{dx}\left(\frac{a+b\cos x}{b+a\cos x}\right)\) ➜ \(\frac{a+b\cos x}{b+a\cos x}\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{a+b\cos x}{b+a\cos x}\right)^2}}.\left[\frac{(b+a\cos x)\frac{d}{dx}(a+b\cos x)-(a+b\cos x)\frac{d}{dx}(b+a\cos x)}{(b+a\cos x)^2}\right]\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\frac{u}{v})=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}, \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{(a+b\cos x)^2}{(b+a\cos x)^2}}}.\frac{(b+a\cos x)(0-b\sin x)-(a+b\cos x)(0-a\sin x)}{(b+a\cos x)^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{\sqrt{\frac{(b+a\cos x)^2-(a+b\cos x)^2}{(b+a\cos x)^2}}}.\frac{-b\sin x(b+a\cos x)+a\sin x(a+b\cos x)}{(b+a\cos x)^2}\)
\(=\frac{1}{\frac{\sqrt{(b+a\cos x)^2-(a+b\cos x)^2}}{b+a\cos x}}.\frac{-b^2\sin x-ab\sin x\cos x+a^2\sin x+ab\sin x\cos x}{(b+a\cos x)^2}\)
\(=\frac{b+a\cos x}{\sqrt{b^2+ab\cos x+a^2\cos^2 x-a^2-ab\cos x-b^2\cos^2 x}}.\frac{-b^2\sin x+a^2\sin x}{(b+a\cos x)^2}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{\cos^2 x(a^2-b^2)-(a^2-b^2)}}.\frac{\sin x(a^2-b^2)}{b+a\cos x}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{-(a^2-b^2)(1-\cos^2 x)}}.\frac{\sin x(a^2-b^2)}{b+a\cos x}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{(b^2-a^2)\sin^2 x}}.\frac{-\sin x(b^2-a^2)}{b+a\cos x}\)
\(=\frac{1}{\sin x\sqrt{b^2-a^2}}.\frac{-\sin x\sqrt{b^2-a^2}.\sqrt{b^2-a^2}}{b+a\cos x}\)
\(=-\frac{\sqrt{b^2-a^2}}{b+a\cos x}\)
\(y=\sin^{-1} \left(\frac{a+b\cos x}{b+a\cos x}\right)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left[\sin^{-1} \left(\frac{a+b\cos x}{b+a\cos x}\right)\right]\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left[\sin^{-1} \left(\frac{a+b\cos x}{b+a\cos x}\right)\right].\frac{d}{dx}\left(\frac{a+b\cos x}{b+a\cos x}\right)\) ➜ \(\frac{a+b\cos x}{b+a\cos x}\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{a+b\cos x}{b+a\cos x}\right)^2}}.\left[\frac{(b+a\cos x)\frac{d}{dx}(a+b\cos x)-(a+b\cos x)\frac{d}{dx}(b+a\cos x)}{(b+a\cos x)^2}\right]\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\frac{u}{v})=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}, \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{(a+b\cos x)^2}{(b+a\cos x)^2}}}.\frac{(b+a\cos x)(0-b\sin x)-(a+b\cos x)(0-a\sin x)}{(b+a\cos x)^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{\sqrt{\frac{(b+a\cos x)^2-(a+b\cos x)^2}{(b+a\cos x)^2}}}.\frac{-b\sin x(b+a\cos x)+a\sin x(a+b\cos x)}{(b+a\cos x)^2}\)
\(=\frac{1}{\frac{\sqrt{(b+a\cos x)^2-(a+b\cos x)^2}}{b+a\cos x}}.\frac{-b^2\sin x-ab\sin x\cos x+a^2\sin x+ab\sin x\cos x}{(b+a\cos x)^2}\)
\(=\frac{b+a\cos x}{\sqrt{b^2+ab\cos x+a^2\cos^2 x-a^2-ab\cos x-b^2\cos^2 x}}.\frac{-b^2\sin x+a^2\sin x}{(b+a\cos x)^2}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{\cos^2 x(a^2-b^2)-(a^2-b^2)}}.\frac{\sin x(a^2-b^2)}{b+a\cos x}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{-(a^2-b^2)(1-\cos^2 x)}}.\frac{\sin x(a^2-b^2)}{b+a\cos x}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{(b^2-a^2)\sin^2 x}}.\frac{-\sin x(b^2-a^2)}{b+a\cos x}\)
\(=\frac{1}{\sin x\sqrt{b^2-a^2}}.\frac{-\sin x\sqrt{b^2-a^2}.\sqrt{b^2-a^2}}{b+a\cos x}\)
\(=-\frac{\sqrt{b^2-a^2}}{b+a\cos x}\)
\(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(xxxii)\) \(\sqrt{x^2-a^2}+\sin^{-1} \left(\frac{a}{x}\right)\)
[ চঃ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(\frac{x^2-a}{x\sqrt{x^2-a^2}}\)
[ চঃ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(\frac{x^2-a}{x\sqrt{x^2-a^2}}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\sqrt{x^2-a^2}+\sin^{-1} \left(\frac{a}{x}\right)\)
\(y=\sqrt{x^2-a^2}+\sin^{-1} (ax^{-1})\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\sqrt{x^2-a^2}+\sin^{-1} (ax^{-1})\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\sqrt{x^2-a^2})+\frac{d}{dx}\{\sin^{-1} (ax^{-1})\}\)
\(=\frac{d}{dx}(\sqrt{x^2-a^2}).\frac{d}{dx}(x^2-a^2)+\frac{d}{dx}\{\sin^{-1} (ax^{-1})\}.\frac{d}{dx}(ax^{-1})\) ➜ \(x^2-a^2\) এবং \(ax^{-1}\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{2\sqrt{x^2-a^2}}.(2x-0)+\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{a}{x}\right)^2}}.(-ax^{-1-1})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}.x+\frac{1}{\sqrt{1-\frac{a^2}{x^2}}}.(-ax^{-2})\)
\(=\frac{x}{\sqrt{x^2-a^2}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{x^2-a^2}{x^2}}}.(-\frac{a}{x^2})\)
\(=\frac{x}{\sqrt{x^2-a^2}}-\frac{1}{\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x}}.(\frac{a}{x^2})\)
\(=\frac{x}{\sqrt{x^2-a^2}}-\frac{x}{\sqrt{x^2-a^2}}.\frac{a}{x^2}\)
\(=\frac{x}{\sqrt{x^2-a^2}}-\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}.\frac{a}{x}\)
\(=\frac{x}{\sqrt{x^2-a^2}}-\frac{a}{x\sqrt{x^2-a^2}}\)
\(=\frac{x^2-a}{x\sqrt{x^2-a^2}}\)
\(y=\sqrt{x^2-a^2}+\sin^{-1} \left(\frac{a}{x}\right)\)
\(y=\sqrt{x^2-a^2}+\sin^{-1} (ax^{-1})\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\sqrt{x^2-a^2}+\sin^{-1} (ax^{-1})\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\sqrt{x^2-a^2})+\frac{d}{dx}\{\sin^{-1} (ax^{-1})\}\)
\(=\frac{d}{dx}(\sqrt{x^2-a^2}).\frac{d}{dx}(x^2-a^2)+\frac{d}{dx}\{\sin^{-1} (ax^{-1})\}.\frac{d}{dx}(ax^{-1})\) ➜ \(x^2-a^2\) এবং \(ax^{-1}\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{2\sqrt{x^2-a^2}}.(2x-0)+\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{a}{x}\right)^2}}.(-ax^{-1-1})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}.x+\frac{1}{\sqrt{1-\frac{a^2}{x^2}}}.(-ax^{-2})\)
\(=\frac{x}{\sqrt{x^2-a^2}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{x^2-a^2}{x^2}}}.(-\frac{a}{x^2})\)
\(=\frac{x}{\sqrt{x^2-a^2}}-\frac{1}{\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x}}.(\frac{a}{x^2})\)
\(=\frac{x}{\sqrt{x^2-a^2}}-\frac{x}{\sqrt{x^2-a^2}}.\frac{a}{x^2}\)
\(=\frac{x}{\sqrt{x^2-a^2}}-\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}.\frac{a}{x}\)
\(=\frac{x}{\sqrt{x^2-a^2}}-\frac{a}{x\sqrt{x^2-a^2}}\)
\(=\frac{x^2-a}{x\sqrt{x^2-a^2}}\)
\(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(xxxiii)\) \(3^{\sin^{-1} x}\)
উত্তরঃ \(\frac{3^{\sin^{-1} x}\ln 3}{\sqrt{1-x^2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{3^{\sin^{-1} x}\ln 3}{\sqrt{1-x^2}}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=3^{\sin^{-1} x}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(3^{\sin^{-1} x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(3^{\sin^{-1} x}).\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)\) ➜ \(\sin^{-1} x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=3^{\sin^{-1} x}\ln 3.\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(a^x)=a^x\ln a, \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(=\frac{3^{\sin^{-1} x}\ln 3}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(y=3^{\sin^{-1} x}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(3^{\sin^{-1} x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(3^{\sin^{-1} x}).\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)\) ➜ \(\sin^{-1} x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=3^{\sin^{-1} x}\ln 3.\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(a^x)=a^x\ln a, \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(=\frac{3^{\sin^{-1} x}\ln 3}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(xxxiv)\) \((\sec^{-1} x)^2\)
[ চঃ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(\frac{2\sec^{-1} x}{x\sqrt{x^2-1}}\)
[ চঃ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(\frac{2\sec^{-1} x}{x\sqrt{x^2-1}}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=(\sec^{-1} x)^2\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sec^{-1} x)^2\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\sec^{-1} x)^2.\frac{d}{dx}(\sec^{-1} x)\) ➜ \(\sec^{-1} x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=2(\sec^{-1} x)^{2-1}.\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(\sec^{-1} x)=\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\)
\(=2(\sec^{-1} x)^{1}.\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\)
\(=2\sec^{-1} x.\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\)
\(=\frac{2\sec^{-1} x}{x\sqrt{x^2-1}}\)
\(y=(\sec^{-1} x)^2\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sec^{-1} x)^2\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\sec^{-1} x)^2.\frac{d}{dx}(\sec^{-1} x)\) ➜ \(\sec^{-1} x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=2(\sec^{-1} x)^{2-1}.\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(\sec^{-1} x)=\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\)
\(=2(\sec^{-1} x)^{1}.\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\)
\(=2\sec^{-1} x.\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\)
\(=\frac{2\sec^{-1} x}{x\sqrt{x^2-1}}\)
\(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(xxxv)\) \(\ln \left(\frac{a+x}{a-x}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{2a}{a^2-x^2}\)
উত্তরঃ \(\frac{2a}{a^2-x^2}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\ln \left(\frac{a+x}{a-x}\right)\)
\(=\ln (a+x)-\ln (a-x)\) ➜ \(\because \ln \frac{M}{N}=\ln M-\ln N\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\ln (a+x)-\ln (a-x)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\ln (a+x)\}-\frac{d}{dx}\{\ln (a-x)\}\)
\(=\frac{d}{dx}\{\ln (a+x)\}.\frac{d}{dx}(a+x)-\frac{d}{dx}\{\ln (a-x)\}.\frac{d}{dx}(a-x)\) ➜ \(a+x\) এবং \(a-x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{a+x}.(0+1)-\frac{1}{a-x}.(0-1)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{a+x}+\frac{1}{a-x}\)
\(=\frac{a-x+a+x}{(a+x)(a-x)}\)
\(=\frac{2a}{a^2-x^2}\)
\(y=\ln \left(\frac{a+x}{a-x}\right)\)
\(=\ln (a+x)-\ln (a-x)\) ➜ \(\because \ln \frac{M}{N}=\ln M-\ln N\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\ln (a+x)-\ln (a-x)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{\ln (a+x)\}-\frac{d}{dx}\{\ln (a-x)\}\)
\(=\frac{d}{dx}\{\ln (a+x)\}.\frac{d}{dx}(a+x)-\frac{d}{dx}\{\ln (a-x)\}.\frac{d}{dx}(a-x)\) ➜ \(a+x\) এবং \(a-x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{a+x}.(0+1)-\frac{1}{a-x}.(0-1)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{a+x}+\frac{1}{a-x}\)
\(=\frac{a-x+a+x}{(a+x)(a-x)}\)
\(=\frac{2a}{a^2-x^2}\)
অনুশীলনী \(9.D / Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমুহ
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনগুলির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(i)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{1+x}{1-x}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{1+x^2}\)
\(Q.3.(ii)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\right)\)
[ কুঃ ২০০০ ]
উত্তরঃ \(-\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}\)
\(Q.3.(iii)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{a+bx}{a-bx}\right)\)
[ রাঃ,চঃ ২০১২; ঢাঃ ২০১১,২০০৯; যঃ ২০১১, ২০০২; বঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(\frac{ab}{a^2+b^2x^2}\)
\(Q.3.(iv)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{a+bx}{b-ax}\right)\)
[ যঃ ২০০১ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{1+x^2}\)
\(Q.3.(v)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{x^2}{e^x}\right)+\tan^{-1} \left(\frac{e^x}{x^2}\right)\)
[ বুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬]
উত্তরঃ \(0\)
\(Q.3.(vi)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{a\cos x-b\sin x}{b\cos x+a\sin x}\right)\)
উত্তরঃ \(-1\)
\(Q.3.(vii)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}\right)\)
[ বুয়েটঃ ২০১২-২০১৩ ]
উত্তরঃ \(-1\)
\(Q.3.(viii)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{\cos x}{1+\sin x}\right)\)
[ কুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮; বি আই টিঃ ১৯৯৮-১৯৯৯; ঢাঃ ২০১৩,২০০৫ ]
উত্তরঃ \(-\frac{1}{2}\)
\(Q.3.(ix)\) \(\cot^{-1} (cosec \ x+\cot x)\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
\(Q.3.(x)\) \(\tan^{-1} (\sec x+\tan x)\)
[ সিঃ ২০১৪, ২০০৩; চঃ ২০১৩; যঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
\(Q.3.(xi)\) \(\sin^{-1} (2x\sqrt{1-x^2})\)
[ কুঃ ২০০৬; ঢাঃ ২০০৪]
উত্তরঃ \(\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(Q.3.(xii)\) \(\sin^{-1} (2ax\sqrt{1-a^2x^2})\)
[ কুঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(\frac{2a}{\sqrt{1-a^2x^2}}\)
\(Q.3.(xiii)\) \(\sin^{-1} (3x-4x^3)\)
উত্তরঃ \(\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(Q.3.(xiv)\) \(\cos^{-1} (4x^3-3x)\)
উত্তরঃ \(-\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(Q.3.(xv)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{3x-x^3}{1-3x^2}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{3}{1+x^2}\)
\(Q.3.(xvi)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\right)\)
[ রাঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(-\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\)
\(Q.3.(xvii)\) \(\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)\)
[ বি আই টিঃ ১৯৯৯-২০০০; মাঃ ২০১২; সিঃ ২০০৭, ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(-\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\)
\(Q.3.(xviii)\) \(\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}}\right)\)
[ বঃ ২০১২; কুঃ ২০১১, ২০০৫; রাঃ ২০১০, ২০০৫; যঃ ২০০৩; মাঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
\(Q.3.(xix)\) \(\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}}\right)\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{2}\)
\(Q.3.(xx)\) \(\sin \left(2\tan^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)\)
[ রাঃ, দিঃ ২০১১,২০০৯; চঃ ২০০৮; বঃ ২০০২; যঃ ২০০০; মাঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{1+x^2}\)
\(Q.3.(ii)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\right)\)
[ কুঃ ২০০০ ]
উত্তরঃ \(-\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}\)
\(Q.3.(iii)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{a+bx}{a-bx}\right)\)
[ রাঃ,চঃ ২০১২; ঢাঃ ২০১১,২০০৯; যঃ ২০১১, ২০০২; বঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(\frac{ab}{a^2+b^2x^2}\)
\(Q.3.(iv)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{a+bx}{b-ax}\right)\)
[ যঃ ২০০১ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{1+x^2}\)
\(Q.3.(v)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{x^2}{e^x}\right)+\tan^{-1} \left(\frac{e^x}{x^2}\right)\)
[ বুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬]
উত্তরঃ \(0\)
\(Q.3.(vi)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{a\cos x-b\sin x}{b\cos x+a\sin x}\right)\)
উত্তরঃ \(-1\)
\(Q.3.(vii)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}\right)\)
[ বুয়েটঃ ২০১২-২০১৩ ]
উত্তরঃ \(-1\)
\(Q.3.(viii)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{\cos x}{1+\sin x}\right)\)
[ কুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮; বি আই টিঃ ১৯৯৮-১৯৯৯; ঢাঃ ২০১৩,২০০৫ ]
উত্তরঃ \(-\frac{1}{2}\)
\(Q.3.(ix)\) \(\cot^{-1} (cosec \ x+\cot x)\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
\(Q.3.(x)\) \(\tan^{-1} (\sec x+\tan x)\)
[ সিঃ ২০১৪, ২০০৩; চঃ ২০১৩; যঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
\(Q.3.(xi)\) \(\sin^{-1} (2x\sqrt{1-x^2})\)
[ কুঃ ২০০৬; ঢাঃ ২০০৪]
উত্তরঃ \(\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(Q.3.(xii)\) \(\sin^{-1} (2ax\sqrt{1-a^2x^2})\)
[ কুঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(\frac{2a}{\sqrt{1-a^2x^2}}\)
\(Q.3.(xiii)\) \(\sin^{-1} (3x-4x^3)\)
উত্তরঃ \(\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(Q.3.(xiv)\) \(\cos^{-1} (4x^3-3x)\)
উত্তরঃ \(-\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(Q.3.(xv)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{3x-x^3}{1-3x^2}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{3}{1+x^2}\)
\(Q.3.(xvi)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\right)\)
[ রাঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(-\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\)
\(Q.3.(xvii)\) \(\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)\)
[ বি আই টিঃ ১৯৯৯-২০০০; মাঃ ২০১২; সিঃ ২০০৭, ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(-\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\)
\(Q.3.(xviii)\) \(\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}}\right)\)
[ বঃ ২০১২; কুঃ ২০১১, ২০০৫; রাঃ ২০১০, ২০০৫; যঃ ২০০৩; মাঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
\(Q.3.(xix)\) \(\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}}\right)\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{2}\)
\(Q.3.(xx)\) \(\sin \left(2\tan^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)\)
[ রাঃ, দিঃ ২০১১,২০০৯; চঃ ২০০৮; বঃ ২০০২; যঃ ২০০০; মাঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(Q.3.(xxi)\) \(\sin^4 \left(2\cot^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right)\)
উত্তরঃ \(4x(x^2-1)\)
\(Q.3.(xxii)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2(1+x^2)}\)
\(Q.3.(xxiii)\) \(\cos^{-1} \left(\frac{1+x}{2}\right)^{\frac{1}{2}}\) অথবা, \(\cos^{-1} \sqrt{\left(\frac{1+x}{2}\right)}\)
[ চঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(-\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\)
\(Q.3.(xxiv)\) \(\sin^{-1} \left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\)
[ ঢাঃ,কুঃ ২০১০; যঃ ২০১০, ২০০১ ]
উত্তরঃ \(-\frac{2}{1+x^2}\)
\(Q.3.(xxv)\) \(\cot^{-1} \left(\frac{2x}{1-x^2}\right)\)
উত্তরঃ \(-\frac{2}{1+x^2}\)
\(Q.3.(xxvi)\) \(\sqrt[3]{\tan^{-1} (e^x)}\)
[ ঢাঃ,কুঃ ২০১০; যঃ ২০১০, ২০০১ ]
উত্তরঃ \(\frac{e^x(\tan^{-1} e^x)^{-\frac{2}{3}}}{3(1+e^{2x})}\)
\(Q.3.(xxvii)\) \(\cos (\sin^{-1} x)+\tan (\cot^{-1} x) \)
উত্তরঃ \(-\frac{x^3+\sqrt{1-x^2}}{x^2\sqrt{1-x^2}}\)
\(Q.3.(xxviii)\) \(\cot^{-1} \left(\frac{x^2}{e^x}\right)+\cot^{-1} \left(\frac{e^x}{x^2}\right)\)
উত্তরঃ \(0\)
\(Q.3.(xxix)\) \(2\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{x-a}{b-x}}\right) \)
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}\)
\(Q.3.(xxx)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{b}{a}\tan x\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{ab\sec^2 x}{a^2+b^2\tan^2 x}\)
\(Q.3.(xxxi)\) \(\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}\right) \)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
\(Q.3.(xxxii)\) \(\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\tan \frac{x}{2}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{2(a+b\cos x)}\)
\(Q.3.(xxxiii)\) \(\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}\tan^{-1} x\)
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{1-x^4}\)
\(Q.3.(xxxiv)\) \(e^{ax}\tan^2 x\)
উত্তরঃ \(e^{ax}\tan x(2\sec^2 x+a\tan x)\)
\(Q.3.(xxxv)\) \(\ln \left[e^x\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{\frac{3}{2}}\right]\)
উত্তরঃ \(\frac{x^2+2}{x^2-1}\)
\(Q.3.(xxxvi)\) \(\ln \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\)
উত্তরঃ \( cosec \ x\)
\(Q.3.(xxxvii)\) \(\ln \sqrt[3]{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{3} cosec \ x\)
\(Q.3.(xxxviii)\) \(\frac{(x+1)^2\sqrt{x-1}}{(x+4)^3e^x}\)
উত্তরঃ \(\frac{(x+1)^2\sqrt{x-1}}{(x+4)^3e^x}\left[\frac{2}{x+1}+\frac{1}{2(x-1)}-\frac{3}{x+4}-1\right]\)
\(Q.3.(xxxix)\) \(\frac{e^{-3x}(3x+5)}{7x-1}\)
উত্তরঃ \(-\frac{(63x^2+96x+23)e^{-3x}}{(7x-1)^2}\)
\(Q.3.(xl)\) \(\sin^4 \left(\cot^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right)\)
[ বুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ]
উত্তরঃ \(\frac{x-1}{2}\)
\(Q.3.(xli)\) \(\cos \left(2\tan^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)\)
উত্তরঃ \(1\)
উত্তরঃ \(4x(x^2-1)\)
\(Q.3.(xxii)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2(1+x^2)}\)
\(Q.3.(xxiii)\) \(\cos^{-1} \left(\frac{1+x}{2}\right)^{\frac{1}{2}}\) অথবা, \(\cos^{-1} \sqrt{\left(\frac{1+x}{2}\right)}\)
[ চঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(-\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\)
\(Q.3.(xxiv)\) \(\sin^{-1} \left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\)
[ ঢাঃ,কুঃ ২০১০; যঃ ২০১০, ২০০১ ]
উত্তরঃ \(-\frac{2}{1+x^2}\)
\(Q.3.(xxv)\) \(\cot^{-1} \left(\frac{2x}{1-x^2}\right)\)
উত্তরঃ \(-\frac{2}{1+x^2}\)
\(Q.3.(xxvi)\) \(\sqrt[3]{\tan^{-1} (e^x)}\)
[ ঢাঃ,কুঃ ২০১০; যঃ ২০১০, ২০০১ ]
উত্তরঃ \(\frac{e^x(\tan^{-1} e^x)^{-\frac{2}{3}}}{3(1+e^{2x})}\)
\(Q.3.(xxvii)\) \(\cos (\sin^{-1} x)+\tan (\cot^{-1} x) \)
উত্তরঃ \(-\frac{x^3+\sqrt{1-x^2}}{x^2\sqrt{1-x^2}}\)
\(Q.3.(xxviii)\) \(\cot^{-1} \left(\frac{x^2}{e^x}\right)+\cot^{-1} \left(\frac{e^x}{x^2}\right)\)
উত্তরঃ \(0\)
\(Q.3.(xxix)\) \(2\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{x-a}{b-x}}\right) \)
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}\)
\(Q.3.(xxx)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{b}{a}\tan x\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{ab\sec^2 x}{a^2+b^2\tan^2 x}\)
\(Q.3.(xxxi)\) \(\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}\right) \)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
\(Q.3.(xxxii)\) \(\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\tan \frac{x}{2}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{2(a+b\cos x)}\)
\(Q.3.(xxxiii)\) \(\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}\tan^{-1} x\)
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{1-x^4}\)
\(Q.3.(xxxiv)\) \(e^{ax}\tan^2 x\)
উত্তরঃ \(e^{ax}\tan x(2\sec^2 x+a\tan x)\)
\(Q.3.(xxxv)\) \(\ln \left[e^x\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{\frac{3}{2}}\right]\)
উত্তরঃ \(\frac{x^2+2}{x^2-1}\)
\(Q.3.(xxxvi)\) \(\ln \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\)
উত্তরঃ \( cosec \ x\)
\(Q.3.(xxxvii)\) \(\ln \sqrt[3]{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{3} cosec \ x\)
\(Q.3.(xxxviii)\) \(\frac{(x+1)^2\sqrt{x-1}}{(x+4)^3e^x}\)
উত্তরঃ \(\frac{(x+1)^2\sqrt{x-1}}{(x+4)^3e^x}\left[\frac{2}{x+1}+\frac{1}{2(x-1)}-\frac{3}{x+4}-1\right]\)
\(Q.3.(xxxix)\) \(\frac{e^{-3x}(3x+5)}{7x-1}\)
উত্তরঃ \(-\frac{(63x^2+96x+23)e^{-3x}}{(7x-1)^2}\)
\(Q.3.(xl)\) \(\sin^4 \left(\cot^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right)\)
[ বুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ]
উত্তরঃ \(\frac{x-1}{2}\)
\(Q.3.(xli)\) \(\cos \left(2\tan^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)\)
উত্তরঃ \(1\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(i)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{1+x}{1-x}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{1+x^2}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{1+x^2}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\tan^{-1} \left(\frac{1+x}{1-x}\right)\)
এবং
\(\tan \theta=x\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore y=\tan^{-1} \left(\frac{1+\tan \theta}{1-\tan \theta}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\tan \frac{\pi}{4}+\tan \theta}{1-\tan \frac{\pi}{4}\tan \theta}\right)\)
\(=\tan^{-1} \tan \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)\) ➜ \(\because \tan (A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}\)
\(=\frac{\pi}{4}+\theta\)
\(=\frac{\pi}{4}+\tan^{-1} x\) ➜ \(\because \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}+\tan^{-1} x\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}\right)+\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)\)
\(=0+\frac{1}{1+x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{1+x^2}\)
\(y=\tan^{-1} \left(\frac{1+x}{1-x}\right)\)
এবং
\(\tan \theta=x\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore y=\tan^{-1} \left(\frac{1+\tan \theta}{1-\tan \theta}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\tan \frac{\pi}{4}+\tan \theta}{1-\tan \frac{\pi}{4}\tan \theta}\right)\)
\(=\tan^{-1} \tan \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)\) ➜ \(\because \tan (A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}\)
\(=\frac{\pi}{4}+\theta\)
\(=\frac{\pi}{4}+\tan^{-1} x\) ➜ \(\because \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}+\tan^{-1} x\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}\right)+\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)\)
\(=0+\frac{1}{1+x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{1+x^2}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(ii)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\right)\)
[ কুঃ ২০০০ ]
উত্তরঃ \(-\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}\)
[ কুঃ ২০০০ ]
উত্তরঃ \(-\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\tan^{-1} \left(\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\right)\)
এবং
\(\tan \theta=\sqrt{x}\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1} \sqrt{x}\)
\(\therefore y=\tan^{-1} \left(\frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\tan \frac{\pi}{4}-\tan \theta}{1+\tan \frac{\pi}{4}\tan \theta}\right)\)
\(=\tan^{-1} \tan \left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)\) ➜ \(\because \tan (A-B)=\frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\tan B}\)
\(=\frac{\pi}{4}-\theta\)
\(=\frac{\pi}{4}-\tan^{-1} \sqrt{x}\) ➜ \(\because \theta=\tan^{-1} \sqrt{x}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}-\tan^{-1} \sqrt{x}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}\right)-\frac{d}{dx}(\tan^{-1} \sqrt{x})\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}\right)-\frac{d}{dx}(\tan^{-1} \sqrt{x}).\frac{d}{dx}(\sqrt{x})\) ➜ \(\sqrt{x}\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=0-\frac{1}{1+(\sqrt{x})^2}.\frac{1}{2\sqrt{x}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}, \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=-\frac{1}{1+x}.\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=-\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}\)
\(y=\tan^{-1} \left(\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\right)\)
এবং
\(\tan \theta=\sqrt{x}\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1} \sqrt{x}\)
\(\therefore y=\tan^{-1} \left(\frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\tan \frac{\pi}{4}-\tan \theta}{1+\tan \frac{\pi}{4}\tan \theta}\right)\)
\(=\tan^{-1} \tan \left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)\) ➜ \(\because \tan (A-B)=\frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\tan B}\)
\(=\frac{\pi}{4}-\theta\)
\(=\frac{\pi}{4}-\tan^{-1} \sqrt{x}\) ➜ \(\because \theta=\tan^{-1} \sqrt{x}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}-\tan^{-1} \sqrt{x}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}\right)-\frac{d}{dx}(\tan^{-1} \sqrt{x})\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}\right)-\frac{d}{dx}(\tan^{-1} \sqrt{x}).\frac{d}{dx}(\sqrt{x})\) ➜ \(\sqrt{x}\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=0-\frac{1}{1+(\sqrt{x})^2}.\frac{1}{2\sqrt{x}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}, \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=-\frac{1}{1+x}.\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=-\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(iii)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{a+bx}{a-bx}\right)\)
[ রাঃ,চঃ ২০১২; ঢাঃ ২০১১,২০০৯; যঃ ২০১১, ২০০২; বঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(\frac{ab}{a^2+b^2x^2}\)
[ রাঃ,চঃ ২০১২; ঢাঃ ২০১১,২০০৯; যঃ ২০১১, ২০০২; বঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(\frac{ab}{a^2+b^2x^2}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\tan^{-1} \left(\frac{a+bx}{a-bx}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{1+\frac{bx}{a}}{1-\frac{bx}{a}}\right)\) ➜ লব ও হরের সহিত \(a\) ভাগ করে।
এবং
\(\tan \theta=\frac{bx}{a}\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1} \frac{bx}{a}\)
\(\therefore y=\tan^{-1} \left(\frac{1+\tan \theta}{1-\tan \theta}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\tan \frac{\pi}{4}+\tan \theta}{1-\tan \frac{\pi}{4}\tan \theta}\right)\)
\(=\tan^{-1} \tan \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)\) ➜ \(\because \tan (A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}\)
\(=\frac{\pi}{4}+\theta\)
\(=\frac{\pi}{4}+\tan^{-1} \frac{bx}{a}\) ➜ \(\because \theta=\tan^{-1} \frac{bx}{a}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}-\tan^{-1} \frac{bx}{a}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}\right)+\frac{d}{dx}\left(\tan^{-1} \frac{bx}{a}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}\right)+\frac{d}{dx}(\tan^{-1} \frac{bx}{a}).\frac{d}{dx}(\frac{bx}{a})\) ➜ \(\frac{bx}{a}\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=0+\frac{1}{1+(\frac{bx}{a})^2}.\frac{b}{a}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}, \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{1+\frac{b^2x^2}{a^2}}.\frac{b}{a}\)
\(=\frac{1}{\frac{a^2+b^2x^2}{a^2}}.\frac{b}{a}\)
\(=\frac{a^2}{a^2+b^2x^2}.\frac{b}{a}\)
\(=\frac{a}{a^2+b^2x^2}.b\)
\(=\frac{ab}{a^2+b^2x^2}\)
\(y=\tan^{-1} \left(\frac{a+bx}{a-bx}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{1+\frac{bx}{a}}{1-\frac{bx}{a}}\right)\) ➜ লব ও হরের সহিত \(a\) ভাগ করে।
এবং
\(\tan \theta=\frac{bx}{a}\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1} \frac{bx}{a}\)
\(\therefore y=\tan^{-1} \left(\frac{1+\tan \theta}{1-\tan \theta}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\tan \frac{\pi}{4}+\tan \theta}{1-\tan \frac{\pi}{4}\tan \theta}\right)\)
\(=\tan^{-1} \tan \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)\) ➜ \(\because \tan (A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}\)
\(=\frac{\pi}{4}+\theta\)
\(=\frac{\pi}{4}+\tan^{-1} \frac{bx}{a}\) ➜ \(\because \theta=\tan^{-1} \frac{bx}{a}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}-\tan^{-1} \frac{bx}{a}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}\right)+\frac{d}{dx}\left(\tan^{-1} \frac{bx}{a}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}\right)+\frac{d}{dx}(\tan^{-1} \frac{bx}{a}).\frac{d}{dx}(\frac{bx}{a})\) ➜ \(\frac{bx}{a}\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=0+\frac{1}{1+(\frac{bx}{a})^2}.\frac{b}{a}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}, \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{1+\frac{b^2x^2}{a^2}}.\frac{b}{a}\)
\(=\frac{1}{\frac{a^2+b^2x^2}{a^2}}.\frac{b}{a}\)
\(=\frac{a^2}{a^2+b^2x^2}.\frac{b}{a}\)
\(=\frac{a}{a^2+b^2x^2}.b\)
\(=\frac{ab}{a^2+b^2x^2}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(iv)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{a+bx}{b-ax}\right)\)
[ যঃ ২০০১ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{1+x^2}\)
[ যঃ ২০০১ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{1+x^2}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\tan^{-1} \left(\frac{a+bx}{b-ax}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\frac{a}{b}+x}{1-\frac{a}{b}x}\right)\) ➜ লব ও হরের সহিত \(b\) ভাগ করে।
এবং
\(\tan \theta=x, \tan \alpha=\frac{a}{b}\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1} x, \alpha=\tan^{-1} \frac{a}{b}\)
\(\therefore y=\tan^{-1} \left(\frac{\tan \alpha+\tan \theta}{1-\tan \alpha\tan \theta}\right)\)
\(=\tan^{-1} \tan (\alpha+\theta)\) ➜ \(\because \tan (A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}\)
\(=\alpha+\theta\)
\(=\tan^{-1} \frac{a}{b}+\tan^{-1} x\) ➜ \(\because \theta=\tan^{-1} x, \alpha=\tan^{-1} \frac{a}{b}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\tan^{-1} \frac{a}{b}+\tan^{-1} x\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left(\tan^{-1} \frac{a}{b}\right)+\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)\)
\(=0+\frac{1}{1+x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{1+x^2}\)
\(y=\tan^{-1} \left(\frac{a+bx}{b-ax}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\frac{a}{b}+x}{1-\frac{a}{b}x}\right)\) ➜ লব ও হরের সহিত \(b\) ভাগ করে।
এবং
\(\tan \theta=x, \tan \alpha=\frac{a}{b}\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1} x, \alpha=\tan^{-1} \frac{a}{b}\)
\(\therefore y=\tan^{-1} \left(\frac{\tan \alpha+\tan \theta}{1-\tan \alpha\tan \theta}\right)\)
\(=\tan^{-1} \tan (\alpha+\theta)\) ➜ \(\because \tan (A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}\)
\(=\alpha+\theta\)
\(=\tan^{-1} \frac{a}{b}+\tan^{-1} x\) ➜ \(\because \theta=\tan^{-1} x, \alpha=\tan^{-1} \frac{a}{b}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\tan^{-1} \frac{a}{b}+\tan^{-1} x\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left(\tan^{-1} \frac{a}{b}\right)+\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)\)
\(=0+\frac{1}{1+x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{1+x^2}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(v)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{x^2}{e^x}\right)+\tan^{-1} \left(\frac{e^x}{x^2}\right)\)
[ বুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬]
উত্তরঃ \(0\)
[ বুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬]
উত্তরঃ \(0\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\tan^{-1} \left(\frac{x^2}{e^x}\right)+\tan^{-1} \left(\frac{e^x}{x^2}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\frac{x^2}{e^x}+\frac{e^x}{x^2}}{1-\frac{x^2}{e^x}.\frac{e^x}{x^2}}\right)\) ➜ \(\because \tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1} \frac{x+y}{1-xy}\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\frac{x^2}{e^x}+\frac{e^x}{x^2}}{1-1}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\frac{x^2}{e^x}+\frac{e^x}{x^2}}{0}\right)\)
\(=\tan^{-1} \infty\)
\(=\tan^{-1} \tan \frac{\pi}{2}\) ➜ \(\because \tan \frac{\pi}{2}=\infty\)
\(=\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=0\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(y=\tan^{-1} \left(\frac{x^2}{e^x}\right)+\tan^{-1} \left(\frac{e^x}{x^2}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\frac{x^2}{e^x}+\frac{e^x}{x^2}}{1-\frac{x^2}{e^x}.\frac{e^x}{x^2}}\right)\) ➜ \(\because \tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1} \frac{x+y}{1-xy}\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\frac{x^2}{e^x}+\frac{e^x}{x^2}}{1-1}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\frac{x^2}{e^x}+\frac{e^x}{x^2}}{0}\right)\)
\(=\tan^{-1} \infty\)
\(=\tan^{-1} \tan \frac{\pi}{2}\) ➜ \(\because \tan \frac{\pi}{2}=\infty\)
\(=\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=0\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(c)=0\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(vi)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{a\cos x-b\sin x}{b\cos x+a\sin x}\right)\)
উত্তরঃ \(-1\)
উত্তরঃ \(-1\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\tan^{-1} \left(\frac{a\cos x-b\sin x}{b\cos x+a\sin x}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\frac{a\cos x}{b\cos x}-\frac{b\sin x}{b\cos x}}{\frac{b\cos x}{b\cos x}+\frac{a\sin x}{b\cos x}}\right)\) ➜ লব ও হরের সহিত \(b\cos x\) ভাগ করে।
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\frac{a}{b}-\tan x}{1+\frac{a}{b}\tan x}\right)\)
এবং
\(\tan \alpha=\frac{a}{b}\)
\(\Rightarrow \alpha=\tan^{-1} \frac{a}{b}\)
\(\therefore y=\tan^{-1} \left(\frac{\tan \alpha-\tan x}{1+\tan \alpha\tan x}\right)\)
\(=\tan^{-1} \tan (\alpha-x)\) ➜ \(\because \tan (A-B)=\frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\tan B}\)
\(=\alpha-x\)
\(=\tan^{-1} \frac{a}{b}-x\) ➜ \(\because \alpha=\tan^{-1} \frac{a}{b}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\tan^{-1} \frac{a}{b}-x\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left(\tan^{-1} \frac{a}{b}\right)-\frac{d}{dx}(x)\)
\(=0-1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=-1\)
\(y=\tan^{-1} \left(\frac{a\cos x-b\sin x}{b\cos x+a\sin x}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\frac{a\cos x}{b\cos x}-\frac{b\sin x}{b\cos x}}{\frac{b\cos x}{b\cos x}+\frac{a\sin x}{b\cos x}}\right)\) ➜ লব ও হরের সহিত \(b\cos x\) ভাগ করে।
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\frac{a}{b}-\tan x}{1+\frac{a}{b}\tan x}\right)\)
এবং
\(\tan \alpha=\frac{a}{b}\)
\(\Rightarrow \alpha=\tan^{-1} \frac{a}{b}\)
\(\therefore y=\tan^{-1} \left(\frac{\tan \alpha-\tan x}{1+\tan \alpha\tan x}\right)\)
\(=\tan^{-1} \tan (\alpha-x)\) ➜ \(\because \tan (A-B)=\frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\tan B}\)
\(=\alpha-x\)
\(=\tan^{-1} \frac{a}{b}-x\) ➜ \(\because \alpha=\tan^{-1} \frac{a}{b}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\tan^{-1} \frac{a}{b}-x\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left(\tan^{-1} \frac{a}{b}\right)-\frac{d}{dx}(x)\)
\(=0-1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=-1\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(vii)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}\right)\)
[ বুয়েটঃ ২০১২-২০১৩ ]
উত্তরঃ \(-1\)
[ বুয়েটঃ ২০১২-২০১৩ ]
উত্তরঃ \(-1\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\tan^{-1} \left(\frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\frac{\cos x}{\cos x}-\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{\cos x}{\cos x}+\frac{\sin x}{\cos x}}\right)\) ➜ লব ও হরের সহিত \(\cos x\) ভাগ করে।
\(=\tan^{-1} \left(\frac{1-\tan x}{1+\tan x}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\tan \frac{\pi}{4}-\tan x}{1+\tan \frac{\pi}{4}\tan x}\right)\) ➜ \(\because \tan \frac{\pi}{4}=1\)
\(=\tan^{-1} \tan \left(\frac{\pi}{4}-x\right)\) ➜ \(\because \tan (A-B)=\frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\tan B}\)
\(=\frac{\pi}{4}-x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}\right)-\frac{d}{dx}(x)\)
\(=0-1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=-1\)
\(y=\tan^{-1} \left(\frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\frac{\cos x}{\cos x}-\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{\cos x}{\cos x}+\frac{\sin x}{\cos x}}\right)\) ➜ লব ও হরের সহিত \(\cos x\) ভাগ করে।
\(=\tan^{-1} \left(\frac{1-\tan x}{1+\tan x}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\tan \frac{\pi}{4}-\tan x}{1+\tan \frac{\pi}{4}\tan x}\right)\) ➜ \(\because \tan \frac{\pi}{4}=1\)
\(=\tan^{-1} \tan \left(\frac{\pi}{4}-x\right)\) ➜ \(\because \tan (A-B)=\frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\tan B}\)
\(=\frac{\pi}{4}-x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}\right)-\frac{d}{dx}(x)\)
\(=0-1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=-1\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(viii)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{\cos x}{1+\sin x}\right)\)
[ কুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮; বি আই টিঃ ১৯৯৮-১৯৯৯; ঢাঃ ২০১৩,২০০৫ ]
উত্তরঃ \(-\frac{1}{2}\)
[ কুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮; বি আই টিঃ ১৯৯৮-১৯৯৯; ঢাঃ ২০১৩,২০০৫ ]
উত্তরঃ \(-\frac{1}{2}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\tan^{-1} \left(\frac{\cos x}{1+\sin x}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2}}{\sin^2 \frac{x}{2}+\cos^2 \frac{x}{2}+2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}\right)\) ➜ \(\because \cos 2A=\cos^2 A-\sin^2 A, \ \sin^2 A+\cos^2 A=1\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{(\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2})(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2})}{(\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2})^2}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{1-\tan \frac{x}{2}}{\tan \frac{x}{2}+1}\right)\) ➜ লব ও হরের সহিত \(\cos \frac{x}{2}\) ভাগ করে।
\(=\tan^{-1} \left(\frac{1-\tan \frac{x}{2}}{1+\tan \frac{x}{2}}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\tan \frac{\pi}{4}-\tan \frac{x}{2}}{1+\tan \frac{\pi}{4}\tan \frac{x}{2}}\right)\) ➜ \(\because \tan \frac{\pi}{4}=1\)
\(=\tan^{-1} \tan \left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)\)
\(=\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}\right)-\frac{1}{2}\frac{d}{dx}(x)\)
\(=0-\frac{1}{2}.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=-\frac{1}{2}\)
\(y=\tan^{-1} \left(\frac{\cos x}{1+\sin x}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2}}{\sin^2 \frac{x}{2}+\cos^2 \frac{x}{2}+2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}\right)\) ➜ \(\because \cos 2A=\cos^2 A-\sin^2 A, \ \sin^2 A+\cos^2 A=1\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{(\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2})(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2})}{(\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2})^2}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{1-\tan \frac{x}{2}}{\tan \frac{x}{2}+1}\right)\) ➜ লব ও হরের সহিত \(\cos \frac{x}{2}\) ভাগ করে।
\(=\tan^{-1} \left(\frac{1-\tan \frac{x}{2}}{1+\tan \frac{x}{2}}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\tan \frac{\pi}{4}-\tan \frac{x}{2}}{1+\tan \frac{\pi}{4}\tan \frac{x}{2}}\right)\) ➜ \(\because \tan \frac{\pi}{4}=1\)
\(=\tan^{-1} \tan \left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)\)
\(=\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}\right)-\frac{1}{2}\frac{d}{dx}(x)\)
\(=0-\frac{1}{2}.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=-\frac{1}{2}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(ix)\) \(\cot^{-1} (cosec \ x+\cot x)\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\cot^{-1} (cosec \ x+\cot x)\)
\(=\cot^{-1} \left(\frac{1}{\sin x}+\frac{\cos x}{\sin x}\right)\) ➜ \(\because cosec \ A=\frac{1}{\sin A}, \ \cot A=\frac{\cos A}{\sin A}\)
\(=\cot^{-1} \left(\frac{1+\cos x}{\sin x}\right)\)
\(=\cot^{-1} \left(\frac{2\cos^2 \frac{x}{2}}{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}\right)\) ➜ \(\because 1+\cos A=2\cos^2 \frac{A}{2}, \ \sin A=2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}\)
\(=\cot^{-1} \left(\frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}\right)\)
\(=\cot^{-1} \left(\cot \frac{x}{2}\right)\) ➜ \(\because \cot A=\frac{\cos A}{\sin A}\)
\(=\frac{x}{2}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{2}\frac{d}{dx}(x)\)
\(=\frac{1}{2}.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{1}{2}\)
\(y=\cot^{-1} (cosec \ x+\cot x)\)
\(=\cot^{-1} \left(\frac{1}{\sin x}+\frac{\cos x}{\sin x}\right)\) ➜ \(\because cosec \ A=\frac{1}{\sin A}, \ \cot A=\frac{\cos A}{\sin A}\)
\(=\cot^{-1} \left(\frac{1+\cos x}{\sin x}\right)\)
\(=\cot^{-1} \left(\frac{2\cos^2 \frac{x}{2}}{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}\right)\) ➜ \(\because 1+\cos A=2\cos^2 \frac{A}{2}, \ \sin A=2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}\)
\(=\cot^{-1} \left(\frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}\right)\)
\(=\cot^{-1} \left(\cot \frac{x}{2}\right)\) ➜ \(\because \cot A=\frac{\cos A}{\sin A}\)
\(=\frac{x}{2}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{2}\frac{d}{dx}(x)\)
\(=\frac{1}{2}.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{1}{2}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(x)\) \(\tan^{-1} (\sec x+\tan x)\)
[ সিঃ ২০১৪, ২০০৩; চঃ ২০১৩; যঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
[ সিঃ ২০১৪, ২০০৩; চঃ ২০১৩; যঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\tan^{-1} (\sec x+\tan x)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{1}{\cos x}+\frac{\sin x}{\cos x}\right)\) ➜ \(\because \sec A=\frac{1}{\cos A}, \ \tan A=\frac{\sin A}{\cos A}\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{1+\sin x}{\cos x}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\sin^2 \frac{x}{2}+\cos^2 \frac{x}{2}+2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2}}\right)\) ➜ \(\because \cos A=\cos^2 \frac{A}{2}-\sin^2 \frac{A}{2}, \ \sin^2 \frac{A}{2}+\cos^2 \frac{A}{2}=1, \ \sin A=2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}\)
\(=\tan^{-1} \left[\frac{\left(\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right)^2}{\left(\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}\right)\left(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}\right)}\right]\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\tan \frac{x}{2}+1}{1-\tan \frac{x}{2}}\right)\) ➜ লব ও হরের সহিত \( \cos \frac{x}{2}\) ভাগ করে।
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\tan \frac{x}{2}+\tan \frac{\pi}{4}}{1-\tan \frac{x}{2}\tan \frac{\pi}{4}}\right)\) ➜ \(\because \tan \frac{\pi}{4}=1\)
\(=\tan^{-1} \tan \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\) ➜ \(\because \tan (A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}\)
\(=\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}\right)\)
\(=\frac{1}{2}.1+0\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \ \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{2}\)
\(y=\tan^{-1} (\sec x+\tan x)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{1}{\cos x}+\frac{\sin x}{\cos x}\right)\) ➜ \(\because \sec A=\frac{1}{\cos A}, \ \tan A=\frac{\sin A}{\cos A}\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{1+\sin x}{\cos x}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\sin^2 \frac{x}{2}+\cos^2 \frac{x}{2}+2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2}}\right)\) ➜ \(\because \cos A=\cos^2 \frac{A}{2}-\sin^2 \frac{A}{2}, \ \sin^2 \frac{A}{2}+\cos^2 \frac{A}{2}=1, \ \sin A=2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}\)
\(=\tan^{-1} \left[\frac{\left(\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right)^2}{\left(\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}\right)\left(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}\right)}\right]\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\tan \frac{x}{2}+1}{1-\tan \frac{x}{2}}\right)\) ➜ লব ও হরের সহিত \( \cos \frac{x}{2}\) ভাগ করে।
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\tan \frac{x}{2}+\tan \frac{\pi}{4}}{1-\tan \frac{x}{2}\tan \frac{\pi}{4}}\right)\) ➜ \(\because \tan \frac{\pi}{4}=1\)
\(=\tan^{-1} \tan \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\) ➜ \(\because \tan (A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}\)
\(=\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}\right)\)
\(=\frac{1}{2}.1+0\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \ \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{2}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(xi)\) \(\sin^{-1} (2x\sqrt{1-x^2})\)
[ কুঃ ২০০৬; ঢাঃ ২০০৪]
উত্তরঃ \(\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}\)
[ কুঃ ২০০৬; ঢাঃ ২০০৪]
উত্তরঃ \(\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\sin^{-1} (2x\sqrt{1-x^2})\)
এবং
\(\sin \theta=x\)
\(\Rightarrow \theta=\sin^{-1} x\)
\(\therefore y=\sin^{-1} (2\sin \theta\sqrt{1-\sin^2 \theta})\)
\(=\sin^{-1} (2\sin \theta\cos \theta)\) ➜ \(\because \sqrt{1-\sin^2 A}=\cos A\)
\(=\sin^{-1} (\sin 2\theta)\) ➜ \(\because \sin 2A=2\sin A\cos A\)
\(=2\theta\)
\(=2\sin^{-1} x\) ➜ \(\because \theta=\sin^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(2\sin^{-1} x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=2\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)\)
\(=2\left(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(y=\sin^{-1} (2x\sqrt{1-x^2})\)
এবং
\(\sin \theta=x\)
\(\Rightarrow \theta=\sin^{-1} x\)
\(\therefore y=\sin^{-1} (2\sin \theta\sqrt{1-\sin^2 \theta})\)
\(=\sin^{-1} (2\sin \theta\cos \theta)\) ➜ \(\because \sqrt{1-\sin^2 A}=\cos A\)
\(=\sin^{-1} (\sin 2\theta)\) ➜ \(\because \sin 2A=2\sin A\cos A\)
\(=2\theta\)
\(=2\sin^{-1} x\) ➜ \(\because \theta=\sin^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(2\sin^{-1} x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=2\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)\)
\(=2\left(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(xii)\) \(\sin^{-1} (2ax\sqrt{1-a^2x^2})\)
[ কুঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(\frac{2a}{\sqrt{1-a^2x^2}}\)
[ কুঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(\frac{2a}{\sqrt{1-a^2x^2}}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\sin^{-1} (2ax\sqrt{1-a^2x^2})\)
\(=\sin^{-1} (2ax\sqrt{1-(ax)^2})\)
এবং
\(\sin \theta=ax\)
\(\Rightarrow \theta=\sin^{-1} ax\)
\(\therefore y=\sin^{-1} (2\sin \theta\sqrt{1-\sin^2 \theta})\)
\(=\sin^{-1} (2\sin \theta\cos \theta)\) ➜ \(\because \sqrt{1-\sin^2 A}=\cos A\)
\(=\sin^{-1} (\sin 2\theta)\) ➜ \(\because \sin 2A=2\sin A\cos A\)
\(=2\theta\)
\(=2\sin^{-1} ax\) ➜ \(\because \theta=\sin^{-1} ax\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(2\sin^{-1} ax)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=2\frac{d}{dx}(\sin^{-1} ax)\)
\(=2\frac{d}{dx}(\sin^{-1} ax).\frac{d}{dx}(ax)\)
\(=2\frac{d}{dx}(\sin^{-1} ax).a\frac{d}{dx}(x)\)
\(=2\frac{1}{\sqrt{1-(ax)^2}}.a.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \ \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=2a\times \frac{1}{\sqrt{1-a^2x^2}}\)
\(=\frac{2a}{\sqrt{1-a^2x^2}}\)
\(y=\sin^{-1} (2ax\sqrt{1-a^2x^2})\)
\(=\sin^{-1} (2ax\sqrt{1-(ax)^2})\)
এবং
\(\sin \theta=ax\)
\(\Rightarrow \theta=\sin^{-1} ax\)
\(\therefore y=\sin^{-1} (2\sin \theta\sqrt{1-\sin^2 \theta})\)
\(=\sin^{-1} (2\sin \theta\cos \theta)\) ➜ \(\because \sqrt{1-\sin^2 A}=\cos A\)
\(=\sin^{-1} (\sin 2\theta)\) ➜ \(\because \sin 2A=2\sin A\cos A\)
\(=2\theta\)
\(=2\sin^{-1} ax\) ➜ \(\because \theta=\sin^{-1} ax\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(2\sin^{-1} ax)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=2\frac{d}{dx}(\sin^{-1} ax)\)
\(=2\frac{d}{dx}(\sin^{-1} ax).\frac{d}{dx}(ax)\)
\(=2\frac{d}{dx}(\sin^{-1} ax).a\frac{d}{dx}(x)\)
\(=2\frac{1}{\sqrt{1-(ax)^2}}.a.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \ \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=2a\times \frac{1}{\sqrt{1-a^2x^2}}\)
\(=\frac{2a}{\sqrt{1-a^2x^2}}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(xiii)\) \(\sin^{-1} (3x-4x^3)\)
উত্তরঃ \(\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\sin^{-1} (3x-4x^3)\)
এবং
\(\sin \theta=x\)
\(\Rightarrow \theta=\sin^{-1} x\)
\(\therefore y=\sin^{-1} (3\sin \theta-4\sin^3 \theta)\)
\(=\sin^{-1} (\sin 3\theta)\) ➜ \(\because \sin 3A=3\sin A-4\sin^3 A\)
\(=3\theta\)
\(=3\sin^{-1} x\) ➜ \(\because \theta=\sin^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(3\sin^{-1} x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=3\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)\)
\(=3\times \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(=\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(y=\sin^{-1} (3x-4x^3)\)
এবং
\(\sin \theta=x\)
\(\Rightarrow \theta=\sin^{-1} x\)
\(\therefore y=\sin^{-1} (3\sin \theta-4\sin^3 \theta)\)
\(=\sin^{-1} (\sin 3\theta)\) ➜ \(\because \sin 3A=3\sin A-4\sin^3 A\)
\(=3\theta\)
\(=3\sin^{-1} x\) ➜ \(\because \theta=\sin^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(3\sin^{-1} x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=3\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)\)
\(=3\times \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(=\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(xiv)\) \(\cos^{-1} (4x^3-3x)\)
উত্তরঃ \(-\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}\)
উত্তরঃ \(-\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\cos^{-1} (4x^3-3x)\)
এবং
\(\cos \theta=x\)
\(\Rightarrow \theta=\cos^{-1} x\)
\(\therefore y=\cos^{-1} (4\cos^3 \theta-3\cos \theta)\)
\(=\cos^{-1} (\cos 3\theta)\) ➜ \(\because \cos 3A=4\cos^3 A-3\cos A\)
\(=3\theta\)
\(=3\cos^{-1} x\) ➜ \(\because \theta=\cos^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(3\cos^{-1} x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=3\frac{d}{dx}(\cos^{-1} x)\)
\(=3\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cos^{-1} x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(=-\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(y=\cos^{-1} (4x^3-3x)\)
এবং
\(\cos \theta=x\)
\(\Rightarrow \theta=\cos^{-1} x\)
\(\therefore y=\cos^{-1} (4\cos^3 \theta-3\cos \theta)\)
\(=\cos^{-1} (\cos 3\theta)\) ➜ \(\because \cos 3A=4\cos^3 A-3\cos A\)
\(=3\theta\)
\(=3\cos^{-1} x\) ➜ \(\because \theta=\cos^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(3\cos^{-1} x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=3\frac{d}{dx}(\cos^{-1} x)\)
\(=3\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cos^{-1} x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(=-\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(xv)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{3x-x^3}{1-3x^2}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{3}{1+x^2}\)
উত্তরঃ \(\frac{3}{1+x^2}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\tan^{-1} \left(\frac{3x-x^3}{1-3x^2}\right)\)
এবং
\(\tan \theta=x\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore y=\tan^{-1} \left(\frac{3\tan \theta-\tan^3 \theta}{1-3\tan^2 \theta}\right)\)
\(=\tan^{-1} (\tan 3\theta)\) ➜ \(\because \tan 3A=\frac{3\tan A-\tan^3 A}{1-3\tan^2 A}\)
\(=3\theta\)
\(=3\tan^{-1} x\) ➜ \(\because \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(3\tan^{-1} x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=3\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)\)
\(=3\left(\frac{1}{1+x^2}\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}\)
\(=\frac{3}{1+x^2}\)
\(y=\tan^{-1} \left(\frac{3x-x^3}{1-3x^2}\right)\)
এবং
\(\tan \theta=x\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore y=\tan^{-1} \left(\frac{3\tan \theta-\tan^3 \theta}{1-3\tan^2 \theta}\right)\)
\(=\tan^{-1} (\tan 3\theta)\) ➜ \(\because \tan 3A=\frac{3\tan A-\tan^3 A}{1-3\tan^2 A}\)
\(=3\theta\)
\(=3\tan^{-1} x\) ➜ \(\because \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(3\tan^{-1} x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=3\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)\)
\(=3\left(\frac{1}{1+x^2}\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}\)
\(=\frac{3}{1+x^2}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(xvi)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\right)\)
[ রাঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(-\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\)
[ রাঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(-\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\tan^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\right)\)
এবং
\(cosec \ \theta=x\)
\(\Rightarrow \theta= cosec^{-1} \ x\)
\(\therefore y=\tan^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{cosec^2 \ \theta-1}}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{1}{\cot \theta}\right)\) ➜ \(\because \cot \theta=\sqrt{cosec^2 \ \theta-1}\)
\(=\tan^{-1} \tan \theta\) ➜ \(\because \frac{1}{\cot \theta}=\tan \theta\)
\(=\theta\)
\(= cosec^{-1} \ x\) ➜ \(\because \theta= cosec^{-1} \ x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}( cosec^{-1} \ x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=-\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}( cosec^{-1} \ x)=-\frac{1}{x\sqrt{x^-1}}\)
\(y=\tan^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\right)\)
এবং
\(cosec \ \theta=x\)
\(\Rightarrow \theta= cosec^{-1} \ x\)
\(\therefore y=\tan^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{cosec^2 \ \theta-1}}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{1}{\cot \theta}\right)\) ➜ \(\because \cot \theta=\sqrt{cosec^2 \ \theta-1}\)
\(=\tan^{-1} \tan \theta\) ➜ \(\because \frac{1}{\cot \theta}=\tan \theta\)
\(=\theta\)
\(= cosec^{-1} \ x\) ➜ \(\because \theta= cosec^{-1} \ x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}( cosec^{-1} \ x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=-\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}( cosec^{-1} \ x)=-\frac{1}{x\sqrt{x^-1}}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(xvii)\) \(\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)\)
[ বি আই টিঃ ১৯৯৯-২০০০; মাঃ ২০১২; সিঃ ২০০৭, ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(-\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\)
[ বি আই টিঃ ১৯৯৯-২০০০; মাঃ ২০১২; সিঃ ২০০৭, ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(-\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)\)
এবং
\(\cos 2\theta=x\)
\(\Rightarrow 2\theta= \cos^{-1} x\)
\(\Rightarrow \theta= \frac{1}{2}\cos^{-1} x\)
\(\therefore y=\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1-\cos 2\theta}{1+\cos 2\theta}}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{2\sin^2 \theta}{2\cos^2 \theta}}\right)\) ➜ \(\because 1-\cos 2A=2\sin^2 A, \ 1+\cos 2A=2\cos^2 A\)
\(=\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}}\right)\)
\(=\tan^{-1} \sqrt{\tan^2 \theta}\) ➜ \(\because \tan^2 A=\frac{\sin^2 A}{\cos^2 A}\)
\(=\tan^{-1} \tan \theta\)
\(=\theta\)
\(=\frac{1}{2}\cos^{-1} x\) ➜ \(\because \theta= \frac{1}{2}\cos^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\frac{1}{2}\cos^{-1} x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{2}\frac{d}{dx}(\cos^{-1} x)\)
\(=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cos^{-1} x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(=-\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\)
\(y=\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)\)
এবং
\(\cos 2\theta=x\)
\(\Rightarrow 2\theta= \cos^{-1} x\)
\(\Rightarrow \theta= \frac{1}{2}\cos^{-1} x\)
\(\therefore y=\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1-\cos 2\theta}{1+\cos 2\theta}}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{2\sin^2 \theta}{2\cos^2 \theta}}\right)\) ➜ \(\because 1-\cos 2A=2\sin^2 A, \ 1+\cos 2A=2\cos^2 A\)
\(=\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}}\right)\)
\(=\tan^{-1} \sqrt{\tan^2 \theta}\) ➜ \(\because \tan^2 A=\frac{\sin^2 A}{\cos^2 A}\)
\(=\tan^{-1} \tan \theta\)
\(=\theta\)
\(=\frac{1}{2}\cos^{-1} x\) ➜ \(\because \theta= \frac{1}{2}\cos^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\frac{1}{2}\cos^{-1} x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{2}\frac{d}{dx}(\cos^{-1} x)\)
\(=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cos^{-1} x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(=-\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(xviii)\) \(\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}}\right)\)
[ বঃ ২০১২; কুঃ ২০১১, ২০০৫; রাঃ ২০১০, ২০০৫; যঃ ২০০৩; মাঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
[ বঃ ২০১২; কুঃ ২০১১, ২০০৫; রাঃ ২০১০, ২০০৫; যঃ ২০০৩; মাঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{2\sin^2 \frac{\theta}{2}}{2\cos^2 \frac{\theta}{2}}}\right)\) ➜ \(\because 1-\cos A=2\sin^2 \frac{A}{2}, \ 1+\cos A=2\cos^2 \frac{A}{2}\)
\(=\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{\sin^2 \frac{\theta}{2}}{\cos^2 \frac{\theta}{2}}}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\sqrt{\tan^2 \frac{\theta}{2}}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\tan \frac{\theta}{2}\right)\)
\(=\frac{\theta}{2}\)
\(=\frac{1}{2}\theta\)
\(\therefore \frac{d}{d\theta}(y)=\frac{d}{d\theta}\left(\frac{1}{2}\theta\right)\) ➜ \(\theta\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{2}\frac{d}{d\theta}(\theta)\)
\(=\frac{1}{2}.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{1}{2}\)
\(y=\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{2\sin^2 \frac{\theta}{2}}{2\cos^2 \frac{\theta}{2}}}\right)\) ➜ \(\because 1-\cos A=2\sin^2 \frac{A}{2}, \ 1+\cos A=2\cos^2 \frac{A}{2}\)
\(=\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{\sin^2 \frac{\theta}{2}}{\cos^2 \frac{\theta}{2}}}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\sqrt{\tan^2 \frac{\theta}{2}}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\tan \frac{\theta}{2}\right)\)
\(=\frac{\theta}{2}\)
\(=\frac{1}{2}\theta\)
\(\therefore \frac{d}{d\theta}(y)=\frac{d}{d\theta}\left(\frac{1}{2}\theta\right)\) ➜ \(\theta\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{2}\frac{d}{d\theta}(\theta)\)
\(=\frac{1}{2}.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{1}{2}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(xx)\) \(\sin \left(2\tan^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)\)
[ রাঃ, দিঃ ২০১১,২০০৯; চঃ ২০০৮; বঃ ২০০২; যঃ ২০০০; মাঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
[ রাঃ, দিঃ ২০১১,২০০৯; চঃ ২০০৮; বঃ ২০০২; যঃ ২০০০; মাঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\sin \left(2\tan^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)\)
এবং
\(\cos \theta=x\)
\(\therefore y=\sin \left(2\tan^{-1} \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}}\right)\)
\(=\sin \left(2\tan^{-1} \sqrt{\frac{2\sin^2 \frac{\theta}{2}}{2\cos^2 \frac{\theta}{2}}}\right)\) ➜ \(\because 1-\cos A=2\sin^2 \frac{A}{2}, \ 1+\cos A=2\cos^2 \frac{A}{2}\)
\(=\sin \left(2\tan^{-1} \sqrt{\frac{\sin^2 \frac{\theta}{2}}{\cos^2 \frac{\theta}{2}}}\right)\)
\(=\sin \left(2\tan^{-1} \sqrt{\tan^2 \frac{\theta}{2}}\right)\)
\(=\sin \left(2\tan^{-1} \tan \frac{\theta}{2}\right)\)
\(=\sin \left(2\times \frac{\theta}{2}\right)\)
\(=\sin \theta\)
\(=\sqrt{\sin^2 \theta}\)
\(=\sqrt{1-\cos^2 \theta}\)
\(=\sqrt{1-x^2}\) ➜ \(\because \cos \theta=x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sqrt{1-x^2})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\sqrt{1-x^2}).\frac{d}{dx}(1-x^2)\) ➜ \(1-x^2\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}.(0-2x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \ \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \ \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}.(-2x)\)
\(=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.x\)
\(=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(y=\sin \left(2\tan^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)\)
এবং
\(\cos \theta=x\)
\(\therefore y=\sin \left(2\tan^{-1} \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}}\right)\)
\(=\sin \left(2\tan^{-1} \sqrt{\frac{2\sin^2 \frac{\theta}{2}}{2\cos^2 \frac{\theta}{2}}}\right)\) ➜ \(\because 1-\cos A=2\sin^2 \frac{A}{2}, \ 1+\cos A=2\cos^2 \frac{A}{2}\)
\(=\sin \left(2\tan^{-1} \sqrt{\frac{\sin^2 \frac{\theta}{2}}{\cos^2 \frac{\theta}{2}}}\right)\)
\(=\sin \left(2\tan^{-1} \sqrt{\tan^2 \frac{\theta}{2}}\right)\)
\(=\sin \left(2\tan^{-1} \tan \frac{\theta}{2}\right)\)
\(=\sin \left(2\times \frac{\theta}{2}\right)\)
\(=\sin \theta\)
\(=\sqrt{\sin^2 \theta}\)
\(=\sqrt{1-\cos^2 \theta}\)
\(=\sqrt{1-x^2}\) ➜ \(\because \cos \theta=x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sqrt{1-x^2})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\sqrt{1-x^2}).\frac{d}{dx}(1-x^2)\) ➜ \(1-x^2\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}.(0-2x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \ \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \ \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}.(-2x)\)
\(=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.x\)
\(=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(xxi)\) \(\sin^4 \left(2\cot^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right)\)
উত্তরঃ \(4x(x^2-1)\)
উত্তরঃ \(4x(x^2-1)\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\sin^4 \left(2\cot^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right)\)
এবং
\(\cos \theta=x\)
\(\therefore y=\sin^4 \left(2\cot^{-1} \sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}}\right)\)
\(=\sin^4 \left(2\cot^{-1} \sqrt{\frac{2\cos^2 \frac{\theta}{2}}{2\sin^2 \frac{\theta}{2}}}\right)\) ➜ \(\because 1-\cos A=2\sin^2 \frac{A}{2}, \ 1+\cos A=2\cos^2 \frac{A}{2}\)
\(=\sin^4 \left(2\cot^{-1} \sqrt{\frac{\cos^2 \frac{\theta}{2}}{\sin^2 \frac{\theta}{2}}}\right)\)
\(=\sin^4 \left(2\cot^{-1} \sqrt{\cot^2 \frac{\theta}{2}}\right)\)
\(=\sin^4 \left(2\cot^{-1} \cot \frac{\theta}{2}\right)\)
\(=\sin^4 \left(2\times \frac{\theta}{2}\right)\)
\(=\sin^4 \theta\)
\(=(\sin^2 \theta)^2\)
\(=(1-\cos^2 \theta)^2\)
\(=(1-x^2)^2\) ➜ \(\because \cos \theta=x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(1-x^2)^2\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{(1-x^2)^2\}.\frac{d}{dx}(1-x^2)\) ➜ \(1-x^2\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=2(1-x^2)^{2-1}.(0-2x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \ \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=2(1-x^2)^1.(-2x)\)
\(=-4x(1-x^2)\)
\(=4x(x^2-1)\)
\(y=\sin^4 \left(2\cot^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right)\)
এবং
\(\cos \theta=x\)
\(\therefore y=\sin^4 \left(2\cot^{-1} \sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}}\right)\)
\(=\sin^4 \left(2\cot^{-1} \sqrt{\frac{2\cos^2 \frac{\theta}{2}}{2\sin^2 \frac{\theta}{2}}}\right)\) ➜ \(\because 1-\cos A=2\sin^2 \frac{A}{2}, \ 1+\cos A=2\cos^2 \frac{A}{2}\)
\(=\sin^4 \left(2\cot^{-1} \sqrt{\frac{\cos^2 \frac{\theta}{2}}{\sin^2 \frac{\theta}{2}}}\right)\)
\(=\sin^4 \left(2\cot^{-1} \sqrt{\cot^2 \frac{\theta}{2}}\right)\)
\(=\sin^4 \left(2\cot^{-1} \cot \frac{\theta}{2}\right)\)
\(=\sin^4 \left(2\times \frac{\theta}{2}\right)\)
\(=\sin^4 \theta\)
\(=(\sin^2 \theta)^2\)
\(=(1-\cos^2 \theta)^2\)
\(=(1-x^2)^2\) ➜ \(\because \cos \theta=x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(1-x^2)^2\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\{(1-x^2)^2\}.\frac{d}{dx}(1-x^2)\) ➜ \(1-x^2\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=2(1-x^2)^{2-1}.(0-2x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \ \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=2(1-x^2)^1.(-2x)\)
\(=-4x(1-x^2)\)
\(=4x(x^2-1)\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(xxii)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2(1+x^2)}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2(1+x^2)}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\tan^{-1} \left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\right)\)
এবং
\(\tan \theta=x\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore y=\tan^{-1} \left(\frac{\sqrt{1+\tan^2 \theta}-1}{\tan \theta}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\sec \theta-1}{\tan \theta}\right)\) ➜ \(\because \sqrt{1+\tan^2 A}=\sec A\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\frac{1}{\cos \theta}-1}{\tan \theta}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\frac{1-\cos \theta}{\cos \theta}}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}\right)\) ➜ \(\because \tan A=\frac{\sin A}{\cos A}\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{1-\cos \theta}{\cos \theta}\times \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{2\sin^2 \frac{\theta}{2}}{2\sin \frac{\theta}{2}\cos \frac{\theta}{2}}\right)\) ➜ \(\because 1-\cos A=2\sin^2 \frac{A}{2}, \ \sin A=2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2}}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\tan \frac{\theta}{2}\right)\)
\(=\frac{\theta}{2}\)
\(=\frac{1}{2}\theta\)
\(=\frac{1}{2}\tan^{-1} x\) ➜ \(\because \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^{-1} x\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{2}\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)\)
\(=\frac{1}{2}\frac{1}{1+x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1})=\frac{1}{1+x^2}\)
\(=\frac{1}{2(1+x^2)}\)
\(y=\tan^{-1} \left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\right)\)
এবং
\(\tan \theta=x\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore y=\tan^{-1} \left(\frac{\sqrt{1+\tan^2 \theta}-1}{\tan \theta}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\sec \theta-1}{\tan \theta}\right)\) ➜ \(\because \sqrt{1+\tan^2 A}=\sec A\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\frac{1}{\cos \theta}-1}{\tan \theta}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\frac{1-\cos \theta}{\cos \theta}}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}\right)\) ➜ \(\because \tan A=\frac{\sin A}{\cos A}\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{1-\cos \theta}{\cos \theta}\times \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{2\sin^2 \frac{\theta}{2}}{2\sin \frac{\theta}{2}\cos \frac{\theta}{2}}\right)\) ➜ \(\because 1-\cos A=2\sin^2 \frac{A}{2}, \ \sin A=2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2}}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\tan \frac{\theta}{2}\right)\)
\(=\frac{\theta}{2}\)
\(=\frac{1}{2}\theta\)
\(=\frac{1}{2}\tan^{-1} x\) ➜ \(\because \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^{-1} x\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{2}\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)\)
\(=\frac{1}{2}\frac{1}{1+x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1})=\frac{1}{1+x^2}\)
\(=\frac{1}{2(1+x^2)}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(xxiii)\) \(\cos^{-1} \left(\frac{1+x}{2}\right)^{\frac{1}{2}}\) অথবা, \(\cos^{-1} \sqrt{\left(\frac{1+x}{2}\right)}\)
[ চঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(-\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\)
[ চঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(-\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\cos^{-1} \left(\frac{1+x}{2}\right)^{\frac{1}{2}}\)
\(=\cos^{-1} \sqrt{\left(\frac{1+x}{2}\right)}\)
এবং
\(\cos \theta=x\)
\(\Rightarrow \theta=\cos^{-1} x\)
\(\therefore y=\cos^{-1} \sqrt{\left(\frac{1+\cos \theta}{2}\right)}\)
\(=\cos^{-1} \sqrt{\left(\frac{2\cos^2 \frac{\theta}{2}}{2}\right)}\) ➜ \(\because 1+\cos A=2\cos^2 \frac{A}{2}\)
\(=\cos^{-1} \sqrt{\left(\cos^2 \frac{\theta}{2}\right)}\)
\(=\cos^{-1} \left(\cos \frac{\theta}{2}\right)\)
\(=\frac{\theta}{2}\)
\(=\frac{1}{2}\theta\)
\(=\frac{1}{2}\cos^{-1} x\) ➜ \(\because \theta=\cos^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\cos^{-1} x\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{2}\frac{d}{dx}(\cos^{-1} x)\)
\(=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cos^{-1})=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(=-\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\)
\(y=\cos^{-1} \left(\frac{1+x}{2}\right)^{\frac{1}{2}}\)
\(=\cos^{-1} \sqrt{\left(\frac{1+x}{2}\right)}\)
এবং
\(\cos \theta=x\)
\(\Rightarrow \theta=\cos^{-1} x\)
\(\therefore y=\cos^{-1} \sqrt{\left(\frac{1+\cos \theta}{2}\right)}\)
\(=\cos^{-1} \sqrt{\left(\frac{2\cos^2 \frac{\theta}{2}}{2}\right)}\) ➜ \(\because 1+\cos A=2\cos^2 \frac{A}{2}\)
\(=\cos^{-1} \sqrt{\left(\cos^2 \frac{\theta}{2}\right)}\)
\(=\cos^{-1} \left(\cos \frac{\theta}{2}\right)\)
\(=\frac{\theta}{2}\)
\(=\frac{1}{2}\theta\)
\(=\frac{1}{2}\cos^{-1} x\) ➜ \(\because \theta=\cos^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\cos^{-1} x\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{2}\frac{d}{dx}(\cos^{-1} x)\)
\(=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cos^{-1})=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(=-\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(xxiv)\) \(\sin^{-1} \left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\)
[ ঢাঃ,কুঃ ২০১০; যঃ ২০১০, ২০০১ ]
উত্তরঃ \(-\frac{2}{1+x^2}\)
[ ঢাঃ,কুঃ ২০১০; যঃ ২০১০, ২০০১ ]
উত্তরঃ \(-\frac{2}{1+x^2}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\sin^{-1} \left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\)
এবং
\(\tan \theta=x\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore y=\sin^{-1} \left(\frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}\right)\)
\(=\sin^{-1} (\cos 2\theta)\) ➜ \(\because \cos 2A=\frac{1-\tan^2 A}{1+\tan^2 A}\)
\(=\sin^{-1} \{\sin \left(\frac{\pi}{2}-2\theta\right)\}\) ➜ \(\because \sin \left(\frac{\pi}{2}-A\right)=\cos A\)
\(=\frac{\pi}{2}-2\theta\)
\(=\frac{\pi}{2}-2\tan^{-1} x\) ➜ \(\because \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}-2\tan^{-1} x\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}\right)-\frac{d}{dx}(2\tan^{-1} x)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}\right)-2\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)\)
\(=0-2\frac{1}{1+x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1})=\frac{1}{1+x^2}, \ \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=-\frac{2}{1+x^2}\)
\(y=\sin^{-1} \left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\)
এবং
\(\tan \theta=x\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore y=\sin^{-1} \left(\frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}\right)\)
\(=\sin^{-1} (\cos 2\theta)\) ➜ \(\because \cos 2A=\frac{1-\tan^2 A}{1+\tan^2 A}\)
\(=\sin^{-1} \{\sin \left(\frac{\pi}{2}-2\theta\right)\}\) ➜ \(\because \sin \left(\frac{\pi}{2}-A\right)=\cos A\)
\(=\frac{\pi}{2}-2\theta\)
\(=\frac{\pi}{2}-2\tan^{-1} x\) ➜ \(\because \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}-2\tan^{-1} x\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}\right)-\frac{d}{dx}(2\tan^{-1} x)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}\right)-2\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)\)
\(=0-2\frac{1}{1+x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1})=\frac{1}{1+x^2}, \ \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=-\frac{2}{1+x^2}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(xxv)\) \(\cot^{-1} \left(\frac{2x}{1-x^2}\right)\)
উত্তরঃ \(-\frac{2}{1+x^2}\)
উত্তরঃ \(-\frac{2}{1+x^2}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\cot^{-1} \left(\frac{2x}{1-x^2}\right)\)
এবং
\(\tan \theta=x\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore y=\cot^{-1} \left(\frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}\right)\)
\(=\cot^{-1} (\tan 2\theta)\)
\(=\cot^{-1} \{\cot \left(\frac{\pi}{2}-2\theta\right)\}\) ➜ \(\because \cot \left(\frac{\pi}{2}-A\right)=\tan A\)
\(=\frac{\pi}{2}-2\theta\)
\(=\frac{\pi}{2}-2\tan^{-1} x\) ➜ \(\because \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}-2\tan^{-1} x\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}\right)-\frac{d}{dx}(2\tan^{-1} x)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}\right)-2\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)\)
\(=0-2\frac{1}{1+x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1})=\frac{1}{1+x^2}, \ \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=-\frac{2}{1+x^2}\)
\(y=\cot^{-1} \left(\frac{2x}{1-x^2}\right)\)
এবং
\(\tan \theta=x\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore y=\cot^{-1} \left(\frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}\right)\)
\(=\cot^{-1} (\tan 2\theta)\)
\(=\cot^{-1} \{\cot \left(\frac{\pi}{2}-2\theta\right)\}\) ➜ \(\because \cot \left(\frac{\pi}{2}-A\right)=\tan A\)
\(=\frac{\pi}{2}-2\theta\)
\(=\frac{\pi}{2}-2\tan^{-1} x\) ➜ \(\because \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}-2\tan^{-1} x\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}\right)-\frac{d}{dx}(2\tan^{-1} x)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}\right)-2\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)\)
\(=0-2\frac{1}{1+x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1})=\frac{1}{1+x^2}, \ \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=-\frac{2}{1+x^2}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(xxvi)\) \(\sqrt[3]{\tan^{-1} e^x}\)
[ ঢাঃ,কুঃ ২০১০; যঃ ২০১০, ২০০১ ]
উত্তরঃ \(\frac{e^x(\tan^{-1} e^x)^{-\frac{2}{3}}}{3(1+e^{2x})}\)
[ ঢাঃ,কুঃ ২০১০; যঃ ২০১০, ২০০১ ]
উত্তরঃ \(\frac{e^x(\tan^{-1} e^x)^{-\frac{2}{3}}}{3(1+e^{2x})}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\sqrt[3]{\tan^{-1} (e^x)}\)
\(=(\tan^{-1} e^x)^{\frac{1}{3}}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\tan^{-1} e^x)^{\frac{1}{3}}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\tan^{-1} e^x)^{\frac{1}{3}}.\frac{d}{dx}(\tan^{-1} e^x).\frac{d}{dx}(e^x)\) ➜ \(\tan^{-1} e^x\) এবং \(e^x\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{3}(\tan^{-1} e^x)^{\frac{1}{3}-1}.\frac{1}{1+(e^x)^2}.e^x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \ \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2} , \ \frac{d}{dx}(e^x)=e^x \)
\(=\frac{1}{3}(\tan^{-1} e^x)^{\frac{1-3}{3}}.\frac{e^x}{1+e^{2x}}\)
\(=\frac{1}{3}(\tan^{-1} e^x)^{\frac{-2}{3}}.\frac{e^x}{1+e^{2x}}\)
\(=\frac{e^x(\tan^{-1} e^x)^{-\frac{2}{3}}}{3(1+e^{2x})}\)
\(y=\sqrt[3]{\tan^{-1} (e^x)}\)
\(=(\tan^{-1} e^x)^{\frac{1}{3}}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\tan^{-1} e^x)^{\frac{1}{3}}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\tan^{-1} e^x)^{\frac{1}{3}}.\frac{d}{dx}(\tan^{-1} e^x).\frac{d}{dx}(e^x)\) ➜ \(\tan^{-1} e^x\) এবং \(e^x\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{3}(\tan^{-1} e^x)^{\frac{1}{3}-1}.\frac{1}{1+(e^x)^2}.e^x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \ \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2} , \ \frac{d}{dx}(e^x)=e^x \)
\(=\frac{1}{3}(\tan^{-1} e^x)^{\frac{1-3}{3}}.\frac{e^x}{1+e^{2x}}\)
\(=\frac{1}{3}(\tan^{-1} e^x)^{\frac{-2}{3}}.\frac{e^x}{1+e^{2x}}\)
\(=\frac{e^x(\tan^{-1} e^x)^{-\frac{2}{3}}}{3(1+e^{2x})}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(xxvii)\) \(\cos (\sin^{-1} x)+\tan (\cot^{-1} x) \)
উত্তরঃ \(-\frac{x^3+\sqrt{1-x^2}}{x^2\sqrt{1-x^2}}\)
উত্তরঃ \(-\frac{x^3+\sqrt{1-x^2}}{x^2\sqrt{1-x^2}}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\cos (\sin^{-1} x)+\tan (\cot^{-1} x)\)
\(=\sqrt{1-\sin^2 (\sin^{-1} x)}+\frac{1}{\cot (\cot^{-1} x)}\) ➜ \(\because \cos A=\sqrt{1-\sin^2 A}, \ \tan A=\frac{1}{\cot A}\)
\(=\sqrt{1-\{\sin (\sin^{-1} x)\}^2}+\frac{1}{x}\)
\(=\sqrt{1-\{x\}^2}+\frac{1}{x}\)
\(=\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{x}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\sqrt{1-x^2})+\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(\sqrt{1-x^2}).\frac{d}{dx}(1-x^2)+\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)\) ➜ \(1-x^2\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}.(0-2x)+\left(-\frac{1}{x^2}\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \ \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\) , \(\frac{d}{dx}(c)=0, \ \frac{d}{dx}(\frac{1}{x})=-\frac{1}{x^2} \)
\(=\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}.(-2x)-\frac{1}{x^2}\)
\(=-\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{1}{x^2}\right)\)
\(=-\frac{x^3+\sqrt{1-x^2}}{x^2\sqrt{1-x^2}}\)
\(y=\cos (\sin^{-1} x)+\tan (\cot^{-1} x)\)
\(=\sqrt{1-\sin^2 (\sin^{-1} x)}+\frac{1}{\cot (\cot^{-1} x)}\) ➜ \(\because \cos A=\sqrt{1-\sin^2 A}, \ \tan A=\frac{1}{\cot A}\)
\(=\sqrt{1-\{\sin (\sin^{-1} x)\}^2}+\frac{1}{x}\)
\(=\sqrt{1-\{x\}^2}+\frac{1}{x}\)
\(=\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{x}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\sqrt{1-x^2})+\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(\sqrt{1-x^2}).\frac{d}{dx}(1-x^2)+\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)\) ➜ \(1-x^2\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}.(0-2x)+\left(-\frac{1}{x^2}\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \ \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\) , \(\frac{d}{dx}(c)=0, \ \frac{d}{dx}(\frac{1}{x})=-\frac{1}{x^2} \)
\(=\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}.(-2x)-\frac{1}{x^2}\)
\(=-\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{1}{x^2}\right)\)
\(=-\frac{x^3+\sqrt{1-x^2}}{x^2\sqrt{1-x^2}}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(xxviii)\) \(\cot^{-1} \left(\frac{x^2}{e^x}\right)+\cot^{-1} \left(\frac{e^x}{x^2}\right)\)
উত্তরঃ \(0\)
উত্তরঃ \(0\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\cot^{-1} \left(\frac{x^2}{e^x}\right)+\cot^{-1} \left(\frac{e^x}{x^2}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{e^x}{x^2}\right)+\tan^{-1} \left(\frac{x^2}{e^x}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\frac{e^x}{x^2}+\frac{x^2}{e^x}}{1-\frac{e^x}{x^2}.\frac{x^2}{e^x}}\right)\) ➜ \(\because \tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1} \frac{x+y}{1-xy}\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\frac{e^x}{x^2}+\frac{x^2}{e^x}}{1-1}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\frac{e^x}{x^2}+\frac{x^2}{e^x}}{0}\right)\)
\(=\tan^{-1} \infty\)
\(=\tan^{-1} \tan \frac{\pi}{2}\) ➜ \(\because \tan \frac{\pi}{2}=\infty\)
\(=\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=0\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(y=\cot^{-1} \left(\frac{x^2}{e^x}\right)+\cot^{-1} \left(\frac{e^x}{x^2}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{e^x}{x^2}\right)+\tan^{-1} \left(\frac{x^2}{e^x}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\frac{e^x}{x^2}+\frac{x^2}{e^x}}{1-\frac{e^x}{x^2}.\frac{x^2}{e^x}}\right)\) ➜ \(\because \tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1} \frac{x+y}{1-xy}\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\frac{e^x}{x^2}+\frac{x^2}{e^x}}{1-1}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\frac{e^x}{x^2}+\frac{x^2}{e^x}}{0}\right)\)
\(=\tan^{-1} \infty\)
\(=\tan^{-1} \tan \frac{\pi}{2}\) ➜ \(\because \tan \frac{\pi}{2}=\infty\)
\(=\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=0\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(c)=0\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(xxix)\) \(2\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{x-a}{b-x}}\right) \)
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=2\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{x-a}{b-x}}\right)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left[2\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{x-a}{b-x}}\right)\right]\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=2\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{x-a}{b-x}}\right)\right]\)
\(=2\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{x-a}{b-x}}\right)\right].\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-a}{b-x}}\right).\frac{d}{dx}\left(\frac{x-a}{b-x}\right)\) ➜ \(\sqrt{\frac{x-a}{b-x}}\) এবং \(\frac{x-a}{b-x}\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=2\frac{1}{1+\left(\sqrt{\frac{x-a}{b-x}}\right)^2}.\frac{1}{2\sqrt{\frac{x-a}{b-x}}}\{\frac{(b-x)\frac{d}{dx}(x-a)-(x-a)\frac{d}{dx}(b-x)}{(b-x)^2}\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}, \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}\), \(\frac{d}{dx}(\frac{u}{v})=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{1}{1+\frac{x-a}{b-x}}.\frac{1}{\frac{\sqrt{x-a}}{\sqrt{b-x}}}\{\frac{(b-x)(1-0)-(x-a)(0-1)}{(b-x)^2}\}\)
\(=\frac{1}{\frac{x-a+b-x}{b-x}}.\frac{\sqrt{b-x}}{\sqrt{x-a}}\{\frac{b-x+x-a}{(b-x)^2}\}\)
\(=\frac{b-x}{b-a}.\frac{\sqrt{b-x}}{\sqrt{x-a}}.\frac{b-a}{(b-x)^2}\)
\(=\frac{\sqrt{b-x}}{\sqrt{x-a}}.\frac{1}{b-x}\)
\(=\frac{\sqrt{b-x}}{\sqrt{x-a}}.\frac{1}{\sqrt{b-x}.\sqrt{b-x}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{x-a}}.\frac{1}{\sqrt{b-x}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}\)
\(y=2\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{x-a}{b-x}}\right)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left[2\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{x-a}{b-x}}\right)\right]\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=2\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{x-a}{b-x}}\right)\right]\)
\(=2\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{x-a}{b-x}}\right)\right].\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-a}{b-x}}\right).\frac{d}{dx}\left(\frac{x-a}{b-x}\right)\) ➜ \(\sqrt{\frac{x-a}{b-x}}\) এবং \(\frac{x-a}{b-x}\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=2\frac{1}{1+\left(\sqrt{\frac{x-a}{b-x}}\right)^2}.\frac{1}{2\sqrt{\frac{x-a}{b-x}}}\{\frac{(b-x)\frac{d}{dx}(x-a)-(x-a)\frac{d}{dx}(b-x)}{(b-x)^2}\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}, \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}\), \(\frac{d}{dx}(\frac{u}{v})=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{1}{1+\frac{x-a}{b-x}}.\frac{1}{\frac{\sqrt{x-a}}{\sqrt{b-x}}}\{\frac{(b-x)(1-0)-(x-a)(0-1)}{(b-x)^2}\}\)
\(=\frac{1}{\frac{x-a+b-x}{b-x}}.\frac{\sqrt{b-x}}{\sqrt{x-a}}\{\frac{b-x+x-a}{(b-x)^2}\}\)
\(=\frac{b-x}{b-a}.\frac{\sqrt{b-x}}{\sqrt{x-a}}.\frac{b-a}{(b-x)^2}\)
\(=\frac{\sqrt{b-x}}{\sqrt{x-a}}.\frac{1}{b-x}\)
\(=\frac{\sqrt{b-x}}{\sqrt{x-a}}.\frac{1}{\sqrt{b-x}.\sqrt{b-x}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{x-a}}.\frac{1}{\sqrt{b-x}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(xxx)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{b}{a}\tan x\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{ab\sec^2 x}{a^2+b^2\tan^2 x}\)
উত্তরঃ \(\frac{ab\sec^2 x}{a^2+b^2\tan^2 x}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\tan^{-1} \left(\frac{b}{a}\tan x\right)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1} \left(\frac{b}{a}\tan x\right)\right]\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1} \left(\frac{b}{a}\tan x\right)\right].\frac{d}{dx}\left(\frac{b}{a}\tan x\right)\) ➜ \(\frac{b}{a}\tan x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1} \left(\frac{b}{a}\tan x\right)\right].\frac{b}{a}\frac{d}{dx}\left(\tan x\right)\)
\(=\frac{1}{1+\left(\frac{b}{a}\tan x\right)^2}.\frac{b}{a}\sec^2 x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}, \frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2 x\)
\(=\frac{1}{1+\frac{b^2}{a^2}\tan^2 x}.\frac{b}{a}\sec^2 x\)
\(=\frac{1}{\frac{a^2+b^2\tan^2 x}{a^2}}.\frac{b}{a}\sec^2 x\)
\(=\frac{a^2}{a^2+b^2\tan^2 x}.\frac{b}{a}\sec^2 x\)
\(=\frac{a}{a^2+b^2\tan^2 x}.b\sec^2 x\)
\(=\frac{ab\sec^2 x}{a^2+b^2\tan^2 x}\)
\(y=\tan^{-1} \left(\frac{b}{a}\tan x\right)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1} \left(\frac{b}{a}\tan x\right)\right]\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1} \left(\frac{b}{a}\tan x\right)\right].\frac{d}{dx}\left(\frac{b}{a}\tan x\right)\) ➜ \(\frac{b}{a}\tan x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1} \left(\frac{b}{a}\tan x\right)\right].\frac{b}{a}\frac{d}{dx}\left(\tan x\right)\)
\(=\frac{1}{1+\left(\frac{b}{a}\tan x\right)^2}.\frac{b}{a}\sec^2 x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}, \frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2 x\)
\(=\frac{1}{1+\frac{b^2}{a^2}\tan^2 x}.\frac{b}{a}\sec^2 x\)
\(=\frac{1}{\frac{a^2+b^2\tan^2 x}{a^2}}.\frac{b}{a}\sec^2 x\)
\(=\frac{a^2}{a^2+b^2\tan^2 x}.\frac{b}{a}\sec^2 x\)
\(=\frac{a}{a^2+b^2\tan^2 x}.b\sec^2 x\)
\(=\frac{ab\sec^2 x}{a^2+b^2\tan^2 x}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(xxxi)\) \(\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}\right) \)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{\sin^2 \frac{x}{2}+\cos^2 \frac{x}{2}-2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{\sin^2 \frac{x}{2}+\cos^2 \frac{x}{2}+2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}}\right)\) ➜ \(\because \sin^2 \frac{x}{2}+\cos^2 \frac{x}{2}=1, 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=\sin x\)
\(=\tan^{-1} \left[\sqrt{\frac{\left(\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2}\right)^2}{\left(\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right)^2}}\right]\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}-\frac{\cos \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}}{\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}+\frac{\cos \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}}\right)\) ➜ লব ও হরের সহিত \(\cos \frac{x}{2}\) ভাগ করে।
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\tan \frac{x}{2}-1}{\tan \frac{x}{2}+1}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\tan \frac{x}{2}-1}{1+\tan \frac{x}{2}}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\tan \frac{x}{2}-\tan \frac{\pi}{4}}{1+\tan \frac{x}{2}\tan \frac{\pi}{4}}\right)\) ➜ \(\because \tan \frac{\pi}{4}=1\)
\(=\tan^{-1} \tan \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\) ➜ \(\because \tan (A-B)= \frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\tan B}\)
\(=\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}\right)\)
\(=\frac{1}{2}.1-0\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{2}\)
\(y=\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{\sin^2 \frac{x}{2}+\cos^2 \frac{x}{2}-2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{\sin^2 \frac{x}{2}+\cos^2 \frac{x}{2}+2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}}\right)\) ➜ \(\because \sin^2 \frac{x}{2}+\cos^2 \frac{x}{2}=1, 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=\sin x\)
\(=\tan^{-1} \left[\sqrt{\frac{\left(\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2}\right)^2}{\left(\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right)^2}}\right]\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}-\frac{\cos \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}}{\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}+\frac{\cos \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}}\right)\) ➜ লব ও হরের সহিত \(\cos \frac{x}{2}\) ভাগ করে।
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\tan \frac{x}{2}-1}{\tan \frac{x}{2}+1}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\tan \frac{x}{2}-1}{1+\tan \frac{x}{2}}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\tan \frac{x}{2}-\tan \frac{\pi}{4}}{1+\tan \frac{x}{2}\tan \frac{\pi}{4}}\right)\) ➜ \(\because \tan \frac{\pi}{4}=1\)
\(=\tan^{-1} \tan \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\) ➜ \(\because \tan (A-B)= \frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\tan B}\)
\(=\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}\right)\)
\(=\frac{1}{2}.1-0\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{2}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(xxxii)\) \(\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\tan \frac{x}{2}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{2(a+b\cos x)}\)
উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{2(a+b\cos x)}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\tan \frac{x}{2}\right)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\tan \frac{x}{2}\right)\right]\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\tan \frac{x}{2}\right)\right].\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\tan \frac{x}{2}\right).\frac{d}{dx}\left( \frac{x}{2}\right)\) ➜ \(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\tan \frac{x}{2}\) এবং \(\frac{x}{2}\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\tan \frac{x}{2}\right)\right].\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\frac{d}{dx}\left(\tan \frac{x}{2}\right).\frac{1}{2}\frac{d}{dx}(x)\)
\(=\frac{1}{1+\left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\tan \frac{x}{2}\right)^2}.\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\sec^2 \frac{x}{2}.\frac{1}{2}.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}, \ \frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2 x, \ \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{1}{1+\frac{a-b}{a+b}\tan^2 \frac{x}{2}}.\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\sec^2 \frac{x}{2}.\frac{1}{2}\)
\(=\frac{1}{\frac{(a+b)+(a-b)\tan^2 \frac{x}{2}}{a+b}}.\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\sec^2 \frac{x}{2}.\frac{1}{2}\)
\(=\frac{a+b}{(a+b)+(a-b)\tan^2 \frac{x}{2}}.\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\sec^2 \frac{x}{2}.\frac{1}{2}\)
\(=\frac{\sqrt{a+b}.\sqrt{a+b}}{(a+b)+(a-b)\tan^2 \frac{x}{2}}.\frac{\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}}\sec^2 \frac{x}{2}.\frac{1}{2}\)
\(=\frac{\sqrt{a+b}\sqrt{a-b}\sec^2 \frac{x}{2}}{2\{a+b+a\tan^2 \frac{x}{2}-b\tan^2 \frac{x}{2}\}}\)
\(=\frac{\sqrt{a^2-b^2}\sec^2 \frac{x}{2}}{2\left[a\left(1+\tan^2 \frac{x}{2}\right)+b\left(1-\tan^2 \frac{x}{2}\right)\right]}\)
\(=\frac{\sqrt{a^2-b^2}\left(1+\tan^2 \frac{x}{2}\right)}{2\left(1+\tan^2 \frac{x}{2}\right)\left[a+b\left(\frac{1-\tan^2 \frac{x}{2}}{1+\tan^2 \frac{x}{2}}\right)\right]}\)
\(=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{2(a+b\cos x)}\) ➜ \(\because \frac{1-\tan^2 \frac{x}{2}}{1+\tan^2 \frac{x}{2}}=\cos x\)
\(y=\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\tan \frac{x}{2}\right)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\tan \frac{x}{2}\right)\right]\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\tan \frac{x}{2}\right)\right].\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\tan \frac{x}{2}\right).\frac{d}{dx}\left( \frac{x}{2}\right)\) ➜ \(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\tan \frac{x}{2}\) এবং \(\frac{x}{2}\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\tan \frac{x}{2}\right)\right].\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\frac{d}{dx}\left(\tan \frac{x}{2}\right).\frac{1}{2}\frac{d}{dx}(x)\)
\(=\frac{1}{1+\left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\tan \frac{x}{2}\right)^2}.\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\sec^2 \frac{x}{2}.\frac{1}{2}.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}, \ \frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2 x, \ \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{1}{1+\frac{a-b}{a+b}\tan^2 \frac{x}{2}}.\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\sec^2 \frac{x}{2}.\frac{1}{2}\)
\(=\frac{1}{\frac{(a+b)+(a-b)\tan^2 \frac{x}{2}}{a+b}}.\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\sec^2 \frac{x}{2}.\frac{1}{2}\)
\(=\frac{a+b}{(a+b)+(a-b)\tan^2 \frac{x}{2}}.\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\sec^2 \frac{x}{2}.\frac{1}{2}\)
\(=\frac{\sqrt{a+b}.\sqrt{a+b}}{(a+b)+(a-b)\tan^2 \frac{x}{2}}.\frac{\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}}\sec^2 \frac{x}{2}.\frac{1}{2}\)
\(=\frac{\sqrt{a+b}\sqrt{a-b}\sec^2 \frac{x}{2}}{2\{a+b+a\tan^2 \frac{x}{2}-b\tan^2 \frac{x}{2}\}}\)
\(=\frac{\sqrt{a^2-b^2}\sec^2 \frac{x}{2}}{2\left[a\left(1+\tan^2 \frac{x}{2}\right)+b\left(1-\tan^2 \frac{x}{2}\right)\right]}\)
\(=\frac{\sqrt{a^2-b^2}\left(1+\tan^2 \frac{x}{2}\right)}{2\left(1+\tan^2 \frac{x}{2}\right)\left[a+b\left(\frac{1-\tan^2 \frac{x}{2}}{1+\tan^2 \frac{x}{2}}\right)\right]}\)
\(=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{2(a+b\cos x)}\) ➜ \(\because \frac{1-\tan^2 \frac{x}{2}}{1+\tan^2 \frac{x}{2}}=\cos x\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(xxxiii)\) \(\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}\tan^{-1} x\)
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{1-x^4}\)
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{1-x^4}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}\tan^{-1} x\)
\(=\frac{1}{4}\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)-\frac{1}{2}\tan^{-1} x\) ➜ \(\because \ln M^n=n\ln M\)
\(=\frac{1}{4}\{\ln (1+x)-\ln (1-x)\}-\frac{1}{2}\tan^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{4}\{\ln (1+x)-\ln (1-x)\}-\frac{1}{2}\tan^{-1} x\right]\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\{\ln (1+x)-\ln (1-x)\}-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^{-1} x\right)\)
\(=\frac{1}{4}\{\frac{d}{dx}\ln (1+x)-\frac{d}{dx}\ln (1-x)\}-\frac{1}{2}\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)\)
\(=\frac{1}{4}\{\frac{d}{dx}\ln (1+x).\frac{d}{dx}(1+x)-\frac{d}{dx}\ln (1-x).\frac{d}{dx}(1-x)\}-\frac{1}{2}\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)\) ➜ \(1+x\) এবং \(1-x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{4}\{\frac{1}{1+x}.(0+1)-\frac{1}{1-x}.(0-1)\}-\frac{1}{2}\frac{1}{1+x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \ \frac{d}{dx}(c)=0\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \ \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}\)
\(=\frac{1}{4}\{\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}\}-\frac{1}{2(1+x^2)}\)
\(=\frac{1}{4}\times \frac{1-x+1+x}{(1+x)(1-x)}-\frac{1}{2(1+x^2)}\)
\(=\frac{1}{4}\times \frac{2}{(1+x)(1-x)}-\frac{1}{2(1+x^2)}\)
\(=\frac{1}{2(1-x^2)}-\frac{1}{2(1+x^2)}\)
\(=\frac{2(1+x^2)-2(1-x^2)}{2(1-x^2)(1+x^2)}\)
\(=\frac{2+2x^2-2+2x^2}{2(1-x^2)(1+x^2)}\)
\(=\frac{4x^2}{2(1-x^2)(1+x^2)}\)
\(=\frac{2x^2}{1-x^4}\)
\(y=\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}\tan^{-1} x\)
\(=\frac{1}{4}\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)-\frac{1}{2}\tan^{-1} x\) ➜ \(\because \ln M^n=n\ln M\)
\(=\frac{1}{4}\{\ln (1+x)-\ln (1-x)\}-\frac{1}{2}\tan^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{4}\{\ln (1+x)-\ln (1-x)\}-\frac{1}{2}\tan^{-1} x\right]\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\{\ln (1+x)-\ln (1-x)\}-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^{-1} x\right)\)
\(=\frac{1}{4}\{\frac{d}{dx}\ln (1+x)-\frac{d}{dx}\ln (1-x)\}-\frac{1}{2}\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)\)
\(=\frac{1}{4}\{\frac{d}{dx}\ln (1+x).\frac{d}{dx}(1+x)-\frac{d}{dx}\ln (1-x).\frac{d}{dx}(1-x)\}-\frac{1}{2}\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)\) ➜ \(1+x\) এবং \(1-x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{4}\{\frac{1}{1+x}.(0+1)-\frac{1}{1-x}.(0-1)\}-\frac{1}{2}\frac{1}{1+x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \ \frac{d}{dx}(c)=0\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \ \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}\)
\(=\frac{1}{4}\{\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}\}-\frac{1}{2(1+x^2)}\)
\(=\frac{1}{4}\times \frac{1-x+1+x}{(1+x)(1-x)}-\frac{1}{2(1+x^2)}\)
\(=\frac{1}{4}\times \frac{2}{(1+x)(1-x)}-\frac{1}{2(1+x^2)}\)
\(=\frac{1}{2(1-x^2)}-\frac{1}{2(1+x^2)}\)
\(=\frac{2(1+x^2)-2(1-x^2)}{2(1-x^2)(1+x^2)}\)
\(=\frac{2+2x^2-2+2x^2}{2(1-x^2)(1+x^2)}\)
\(=\frac{4x^2}{2(1-x^2)(1+x^2)}\)
\(=\frac{2x^2}{1-x^4}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(xxxiv)\) \(e^{ax}\tan^2 x\)
উত্তরঃ \(e^{ax}\tan x(2\sec^2 x+a\tan x)\)
উত্তরঃ \(e^{ax}\tan x(2\sec^2 x+a\tan x)\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=e^{ax}\tan^2 x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(e^{ax}\tan^2 x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\tan^2 x\frac{d}{dx}(e^{ax})+e^{ax}\frac{d}{dx}(\tan^2 x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=\tan^2 x\frac{d}{dx}(e^{ax}).\frac{d}{dx}(ax)+e^{ax}\frac{d}{dx}(\tan^2 x).\frac{d}{dx}(\tan x)\) ➜ \(ax\) এবং \(\tan x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\tan^2 x.e^{ax}.a+e^{ax}.2\tan x.\sec^2 x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(e^x)=e^x, \ \frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \ \frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2 x\)
\(=ae^{ax}\tan^2 x+2e^{ax}\tan x\sec^2 x\)
\(=e^{ax}\tan x(a\tan x+2\sec^2 x)\)
\(=e^{ax}\tan x(2\sec^2 x+a\tan x)\)
\(y=e^{ax}\tan^2 x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(e^{ax}\tan^2 x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\tan^2 x\frac{d}{dx}(e^{ax})+e^{ax}\frac{d}{dx}(\tan^2 x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=\tan^2 x\frac{d}{dx}(e^{ax}).\frac{d}{dx}(ax)+e^{ax}\frac{d}{dx}(\tan^2 x).\frac{d}{dx}(\tan x)\) ➜ \(ax\) এবং \(\tan x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\tan^2 x.e^{ax}.a+e^{ax}.2\tan x.\sec^2 x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(e^x)=e^x, \ \frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \ \frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2 x\)
\(=ae^{ax}\tan^2 x+2e^{ax}\tan x\sec^2 x\)
\(=e^{ax}\tan x(a\tan x+2\sec^2 x)\)
\(=e^{ax}\tan x(2\sec^2 x+a\tan x)\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(xxxv)\) \(\ln \left[e^x\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{\frac{3}{2}}\right]\)
উত্তরঃ \(\frac{x^2+2}{x^2-1}\)
উত্তরঃ \(\frac{x^2+2}{x^2-1}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\ln \left[e^x\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{\frac{3}{2}}\right]\)
\(=\ln (e^x)+\ln \left[\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{\frac{3}{2}}\right]\)
\(=\ln (e^x)+\frac{3}{2}\ln \left(\frac{x-1}{x+1}\right)\) ➜ \(\because \ln M^n=n\ln M\)
\(=x+\frac{3}{2}\{\ln (x-1)-\ln (x+1)\}\) ➜ \(\because \ln e^x=x, \ \ln (\frac{M}{N})=\ln M-\ln N\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left[x+\frac{3}{2}\{\ln (x-1)-\ln (x+1)\}\right]\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(x)+\frac{3}{2}\frac{d}{dx}\{\ln (x-1)-\ln (x+1)\}\)
\(=\frac{d}{dx}(x)+\frac{3}{2}\{\frac{d}{dx}\ln (x-1)-\frac{d}{dx}\ln (x+1)\}\)
\(=\frac{d}{dx}(x)+\frac{3}{2}\{\frac{d}{dx}\ln (x-1).\frac{d}{dx}(x-1)-\frac{d}{dx}\ln (x+1).\frac{d}{dx}(x+1)\}\) ➜ \(x-1\) এবং \(x+1\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=1+\frac{3}{2}\{\frac{1}{x-1}.(1-0)-\frac{1}{x+1}.(1+0)\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \ \frac{d}{dx}(x)=1, \ \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=1+\frac{3}{2}\{\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\}\)
\(=1+\frac{3}{2}\times \frac{x+1-x+1}{(x-1)(x+1)}\)
\(=1+\frac{3}{2}\times \frac{2}{x^2-1}\)
\(=1+\frac{3}{x^2-1}\)
\(=\frac{x^2-1+3}{x^2-1}\)
\(=\frac{x^2+2}{x^2-1}\)
\(y=\ln \left[e^x\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{\frac{3}{2}}\right]\)
\(=\ln (e^x)+\ln \left[\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{\frac{3}{2}}\right]\)
\(=\ln (e^x)+\frac{3}{2}\ln \left(\frac{x-1}{x+1}\right)\) ➜ \(\because \ln M^n=n\ln M\)
\(=x+\frac{3}{2}\{\ln (x-1)-\ln (x+1)\}\) ➜ \(\because \ln e^x=x, \ \ln (\frac{M}{N})=\ln M-\ln N\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left[x+\frac{3}{2}\{\ln (x-1)-\ln (x+1)\}\right]\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(x)+\frac{3}{2}\frac{d}{dx}\{\ln (x-1)-\ln (x+1)\}\)
\(=\frac{d}{dx}(x)+\frac{3}{2}\{\frac{d}{dx}\ln (x-1)-\frac{d}{dx}\ln (x+1)\}\)
\(=\frac{d}{dx}(x)+\frac{3}{2}\{\frac{d}{dx}\ln (x-1).\frac{d}{dx}(x-1)-\frac{d}{dx}\ln (x+1).\frac{d}{dx}(x+1)\}\) ➜ \(x-1\) এবং \(x+1\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=1+\frac{3}{2}\{\frac{1}{x-1}.(1-0)-\frac{1}{x+1}.(1+0)\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \ \frac{d}{dx}(x)=1, \ \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=1+\frac{3}{2}\{\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\}\)
\(=1+\frac{3}{2}\times \frac{x+1-x+1}{(x-1)(x+1)}\)
\(=1+\frac{3}{2}\times \frac{2}{x^2-1}\)
\(=1+\frac{3}{x^2-1}\)
\(=\frac{x^2-1+3}{x^2-1}\)
\(=\frac{x^2+2}{x^2-1}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(xxxvi)\) \(\ln \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\)
উত্তরঃ \( cosec \ x\)
উত্তরঃ \( cosec \ x\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\ln \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\)
\(=\ln \left(\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\right)^{\frac{1}{2}}\)
\(=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\right)\) ➜ \(\because \ln M^n=n\ln M\)
\(=\frac{1}{2}\{\ln (1-\cos x)-\ln (1+\cos x)\}\) ➜ \(\because \ln (\frac{M}{N})=\ln M-\ln N\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2}\{\ln (1-\cos x)-\ln (1+\cos x)\}\right]\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{2}\frac{d}{dx}\{\ln (1-\cos x)-\ln (1+\cos x)\}\)
\(=\frac{1}{2}\{\frac{d}{dx}\ln (1-\cos x)-\frac{d}{dx}\ln (1+\cos x)\}\)
\(=\frac{1}{2}\{\frac{d}{dx}\ln (1-\cos x).\frac{d}{dx}(1-\cos x)-\frac{d}{dx}\ln (1+\cos x).\frac{d}{dx}(1+\cos x)\}\) ➜ \(1-\cos x\) এবং \(1+\cos x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{2}\{\frac{1}{1-\cos x}.(0+\sin x)-\frac{1}{1+\cos x}.(0-\sin x)\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \ \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x, \ \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{2}\{\frac{1}{1-\cos x}.\sin x+\frac{1}{1+\cos x}.\sin x\}\)
\(=\frac{1}{2}\sin x\{\frac{1}{1-\cos x}+\frac{1}{1+\cos x}\}\)
\(=\frac{1}{2}\sin x\times \frac{1+\cos x+1-\cos x}{(1-\cos x)(1+\cos x)}\)
\(=\frac{1}{2}\sin x\times \frac{2}{1-\cos^2 x}\)
\(=\frac{1}{2}\sin x\times \frac{2}{\sin^2 x}\) ➜ \(\because \sin^2 x=1-\cos ^2 x\)
\(=\frac{1}{\sin x}\)
\(= cosec \ x\)
\(y=\ln \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\)
\(=\ln \left(\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\right)^{\frac{1}{2}}\)
\(=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\right)\) ➜ \(\because \ln M^n=n\ln M\)
\(=\frac{1}{2}\{\ln (1-\cos x)-\ln (1+\cos x)\}\) ➜ \(\because \ln (\frac{M}{N})=\ln M-\ln N\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2}\{\ln (1-\cos x)-\ln (1+\cos x)\}\right]\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{2}\frac{d}{dx}\{\ln (1-\cos x)-\ln (1+\cos x)\}\)
\(=\frac{1}{2}\{\frac{d}{dx}\ln (1-\cos x)-\frac{d}{dx}\ln (1+\cos x)\}\)
\(=\frac{1}{2}\{\frac{d}{dx}\ln (1-\cos x).\frac{d}{dx}(1-\cos x)-\frac{d}{dx}\ln (1+\cos x).\frac{d}{dx}(1+\cos x)\}\) ➜ \(1-\cos x\) এবং \(1+\cos x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{2}\{\frac{1}{1-\cos x}.(0+\sin x)-\frac{1}{1+\cos x}.(0-\sin x)\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \ \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x, \ \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{2}\{\frac{1}{1-\cos x}.\sin x+\frac{1}{1+\cos x}.\sin x\}\)
\(=\frac{1}{2}\sin x\{\frac{1}{1-\cos x}+\frac{1}{1+\cos x}\}\)
\(=\frac{1}{2}\sin x\times \frac{1+\cos x+1-\cos x}{(1-\cos x)(1+\cos x)}\)
\(=\frac{1}{2}\sin x\times \frac{2}{1-\cos^2 x}\)
\(=\frac{1}{2}\sin x\times \frac{2}{\sin^2 x}\) ➜ \(\because \sin^2 x=1-\cos ^2 x\)
\(=\frac{1}{\sin x}\)
\(= cosec \ x\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(xxxvii)\) \(\ln \sqrt[3]{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{3} cosec \ x\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{3} cosec \ x\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\ln \sqrt[3]{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\)
\(=\ln \left(\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\right)^{\frac{1}{3}}\)
\(=\frac{1}{3}\ln \left(\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\right)\) ➜ \(\because \ln M^n=n\ln M\)
\(=\frac{1}{3}\{\ln (1-\cos x)-\ln (1+\cos x)\}\) ➜ \(\because \ln (\frac{M}{N})=\ln M-\ln N\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{3}\{\ln (1-\cos x)-\ln (1+\cos x)\}\right]\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{3}\frac{d}{dx}\{\ln (1-\cos x)-\ln (1+\cos x)\}\)
\(=\frac{1}{3}\{\frac{d}{dx}\ln (1-\cos x)-\frac{d}{dx}\ln (1+\cos x)\}\)
\(=\frac{1}{3}\{\frac{d}{dx}\ln (1-\cos x).\frac{d}{dx}(1-\cos x)-\frac{d}{dx}\ln (1+\cos x).\frac{d}{dx}(1+\cos x)\}\) ➜ \(1-\cos x\) এবং \(1+\cos x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{3}\{\frac{1}{1-\cos x}.(0+\sin x)-\frac{1}{1+\cos x}.(0-\sin x)\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \ \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x, \ \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{3}\{\frac{1}{1-\cos x}.\sin x+\frac{1}{1+\cos x}.\sin x\}\)
\(=\frac{1}{3}\sin x\{\frac{1}{1-\cos x}+\frac{1}{1+\cos x}\}\)
\(=\frac{1}{3}\sin x\times \frac{1+\cos x+1-\cos x}{(1-\cos x)(1+\cos x)}\)
\(=\frac{1}{3}\sin x\times \frac{2}{1-\cos^2 x}\)
\(=\frac{1}{3}\sin x\times \frac{2}{\sin^2 x}\) ➜ \(\because \sin^2 x=1-\cos ^2 x\)
\(=\frac{2}{3}\frac{1}{\sin x}\)
\(=\frac{2}{3} \ cosec \ x\)
\(y=\ln \sqrt[3]{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\)
\(=\ln \left(\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\right)^{\frac{1}{3}}\)
\(=\frac{1}{3}\ln \left(\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\right)\) ➜ \(\because \ln M^n=n\ln M\)
\(=\frac{1}{3}\{\ln (1-\cos x)-\ln (1+\cos x)\}\) ➜ \(\because \ln (\frac{M}{N})=\ln M-\ln N\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{3}\{\ln (1-\cos x)-\ln (1+\cos x)\}\right]\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{3}\frac{d}{dx}\{\ln (1-\cos x)-\ln (1+\cos x)\}\)
\(=\frac{1}{3}\{\frac{d}{dx}\ln (1-\cos x)-\frac{d}{dx}\ln (1+\cos x)\}\)
\(=\frac{1}{3}\{\frac{d}{dx}\ln (1-\cos x).\frac{d}{dx}(1-\cos x)-\frac{d}{dx}\ln (1+\cos x).\frac{d}{dx}(1+\cos x)\}\) ➜ \(1-\cos x\) এবং \(1+\cos x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{3}\{\frac{1}{1-\cos x}.(0+\sin x)-\frac{1}{1+\cos x}.(0-\sin x)\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \ \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x, \ \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{3}\{\frac{1}{1-\cos x}.\sin x+\frac{1}{1+\cos x}.\sin x\}\)
\(=\frac{1}{3}\sin x\{\frac{1}{1-\cos x}+\frac{1}{1+\cos x}\}\)
\(=\frac{1}{3}\sin x\times \frac{1+\cos x+1-\cos x}{(1-\cos x)(1+\cos x)}\)
\(=\frac{1}{3}\sin x\times \frac{2}{1-\cos^2 x}\)
\(=\frac{1}{3}\sin x\times \frac{2}{\sin^2 x}\) ➜ \(\because \sin^2 x=1-\cos ^2 x\)
\(=\frac{2}{3}\frac{1}{\sin x}\)
\(=\frac{2}{3} \ cosec \ x\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(xxxviii)\) \(\frac{(x+1)^2\sqrt{x-1}}{(x+4)^3e^x}\)
উত্তরঃ \(\frac{(x+1)^2\sqrt{x-1}}{(x+4)^3e^x}\left[\frac{2}{x+1}+\frac{1}{2(x-1)}-\frac{3}{x+4}-1\right]\)
উত্তরঃ \(\frac{(x+1)^2\sqrt{x-1}}{(x+4)^3e^x}\left[\frac{2}{x+1}+\frac{1}{2(x-1)}-\frac{3}{x+4}-1\right]\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\frac{(x+1)^2\sqrt{x-1}}{(x+4)^3e^x}\)
\(\ln y=\ln \left(\frac{(x+1)^2\sqrt{x-1}}{(x+4)^3e^x}\right)\) ➜ উভয় পার্শে \(\ln \) নিয়ে।
\(\Rightarrow \ln y=\ln \{(x+1)^2\sqrt{x-1}\}-\ln \{(x+4)^3e^x\}\) ➜ \(\because \ln (\frac{M}{N})=\ln M-\ln N\)
\(\Rightarrow \ln y=\ln (x+1)^2+\ln (\sqrt{x-1})-\{\ln (x+4)^3+\ln e^x\}\) ➜ \(\because \ln (MN)=\ln M+\ln N\)
\(\Rightarrow \ln y=\ln (x+1)^2+\ln (x-1)^{\frac{1}{2}}-\ln (x+4)^3-\ln e^x\)
\(\Rightarrow \ln y=2\ln (x+1)+\frac{1}{2}\ln (x-1)-3\ln (x+4)-x\) ➜ \(\because \ln M^n=n\ln M, \ \ln e^x=x\)
\(\Rightarrow \ln y=2\ln (x+1)+\frac{1}{2}\ln (x-1)-3\ln (x+4)-x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(\ln y)=\frac{d}{dx}\{2\ln (x+1)+\frac{1}{2}\ln (x-1)-3\ln (x+4)-x\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{d}{dx}(y)=2\frac{d}{dx}\ln (x+1)+\frac{1}{2}\frac{d}{dx}\ln (x-1)-3\frac{d}{dx}\ln (x+4)-\frac{d}{dx}(x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{d}{dx}(y)=2\frac{1}{x+1}\frac{d}{dx}(x+1)+\frac{1}{2}\frac{1}{x-1}\frac{d}{dx} (x-1)-3\frac{1}{x+4}\frac{d}{dx}(x+4)-1\) ➜ \(x+1\), \(x-1\) এবং \(x+4\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{d}{dx}(y)=\frac{2}{x+1}(1+0)+\frac{1}{2}\frac{1}{x-1} (1-0)-\frac{3}{x+4}(1+0)-1\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=y\left[\frac{2}{x+1}+\frac{1}{2(x-1)}-\frac{3}{x+4}-1\right]\)
\(=\frac{(x+1)^2\sqrt{x-1}}{(x+4)^3e^x}\left[\frac{2}{x+1}+\frac{1}{2(x-1)}-\frac{3}{x+4}-1\right]\) ➜ \(y\)-এর মাণ বসিয়ে।
\(y=\frac{(x+1)^2\sqrt{x-1}}{(x+4)^3e^x}\)
\(\ln y=\ln \left(\frac{(x+1)^2\sqrt{x-1}}{(x+4)^3e^x}\right)\) ➜ উভয় পার্শে \(\ln \) নিয়ে।
\(\Rightarrow \ln y=\ln \{(x+1)^2\sqrt{x-1}\}-\ln \{(x+4)^3e^x\}\) ➜ \(\because \ln (\frac{M}{N})=\ln M-\ln N\)
\(\Rightarrow \ln y=\ln (x+1)^2+\ln (\sqrt{x-1})-\{\ln (x+4)^3+\ln e^x\}\) ➜ \(\because \ln (MN)=\ln M+\ln N\)
\(\Rightarrow \ln y=\ln (x+1)^2+\ln (x-1)^{\frac{1}{2}}-\ln (x+4)^3-\ln e^x\)
\(\Rightarrow \ln y=2\ln (x+1)+\frac{1}{2}\ln (x-1)-3\ln (x+4)-x\) ➜ \(\because \ln M^n=n\ln M, \ \ln e^x=x\)
\(\Rightarrow \ln y=2\ln (x+1)+\frac{1}{2}\ln (x-1)-3\ln (x+4)-x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(\ln y)=\frac{d}{dx}\{2\ln (x+1)+\frac{1}{2}\ln (x-1)-3\ln (x+4)-x\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{d}{dx}(y)=2\frac{d}{dx}\ln (x+1)+\frac{1}{2}\frac{d}{dx}\ln (x-1)-3\frac{d}{dx}\ln (x+4)-\frac{d}{dx}(x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{d}{dx}(y)=2\frac{1}{x+1}\frac{d}{dx}(x+1)+\frac{1}{2}\frac{1}{x-1}\frac{d}{dx} (x-1)-3\frac{1}{x+4}\frac{d}{dx}(x+4)-1\) ➜ \(x+1\), \(x-1\) এবং \(x+4\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{d}{dx}(y)=\frac{2}{x+1}(1+0)+\frac{1}{2}\frac{1}{x-1} (1-0)-\frac{3}{x+4}(1+0)-1\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=y\left[\frac{2}{x+1}+\frac{1}{2(x-1)}-\frac{3}{x+4}-1\right]\)
\(=\frac{(x+1)^2\sqrt{x-1}}{(x+4)^3e^x}\left[\frac{2}{x+1}+\frac{1}{2(x-1)}-\frac{3}{x+4}-1\right]\) ➜ \(y\)-এর মাণ বসিয়ে।
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(xxxix)\) \(\frac{e^{-3x}(3x+5)}{7x-1}\)
উত্তরঃ \(-\frac{(63x^2+96x+23)e^{-3x}}{(7x-1)^2}\)
উত্তরঃ \(-\frac{(63x^2+96x+23)e^{-3x}}{(7x-1)^2}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\frac{e^{-3x}(3x+5)}{7x-1}\)
\(\ln y=\ln \left(\frac{e^{-3x}(3x+5)}{7x-1}\right)\) ➜ উভয় পার্শে \(\ln \) নিয়ে।
\(\Rightarrow \ln y=\ln \{e^{-3x}(3x+5)\}-\ln (7x-1)\) ➜ \(\because \ln (\frac{M}{N})=\ln M-\ln N\)
\(\Rightarrow \ln y=\ln e^{-3x}+\ln (3x+5)-\ln (7x-1)\) ➜ \(\because \ln (MN)=\ln M+\ln N\)
\(\Rightarrow \ln y=-3x+\ln (3x+5)-\ln (7x-1)\) ➜ \(\because\ln e^x=x\)
\(\Rightarrow \ln y=-3x+\ln (3x+5)-\ln (7x-1)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(\ln y)=\frac{d}{dx}\{-3x+\ln (3x+5)-\ln (7x-1)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{d}{dx}(y)=-3\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}\ln (3x+5)-\frac{d}{dx}\ln (7x-1)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{d}{dx}(y)=-3.1+\frac{1}{3x+5}\frac{d}{dx} (3x+5)-\frac{1}{7x-1}\frac{d}{dx}(7x-1)\) ➜ \(3x+5\) এবং \(7x-1\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{d}{dx}(y)=-3+\frac{1}{3x+5}.(3-0)-\frac{1}{7x-1}.(7+0)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=y\left[-3+\frac{3}{3x+5}-\frac{7}{7x-1}\right]\)
\(=\frac{e^{-3x}(3x+5)}{7x-1}\left[\frac{3}{3x+5}-\frac{7}{7x-1}-3\right]\) ➜ \(y\)-এর মাণ বসিয়ে।
\(=\frac{e^{-3x}(3x+5)}{7x-1}\times \frac{3(7x-1)-7(3x+5)-3(3x+5)(7x-1)}{(3x+5)(7x-1)}\)
\(=\frac{e^{-3x}(3x+5)}{7x-1}\times \frac{21x-3-21x-35-3(21x^2-3x+35x-5)}{(3x+5)(7x-1)}\)
\(=\frac{e^{-3x}(3x+5)}{7x-1}\times \frac{-38-3(21x^2+32x-5)}{(3x+5)(7x-1)}\)
\(=\frac{e^{-3x}(3x+5)}{7x-1}\times \frac{-38-63x^2-96x+15}{(3x+5)(7x-1)}\)
\(=\frac{e^{-3x}(3x+5)}{7x-1}\times \frac{-23-63x^2-96x}{(3x+5)(7x-1)}\)
\(=\frac{e^{-3x}(3x+5)}{7x-1}\times -\frac{63x^2+96x+23}{(3x+5)(7x-1)}\)
\(=-\frac{(63x^2+96x+23)e^{-3x}}{(7x-1)^2}\)
\(y=\frac{e^{-3x}(3x+5)}{7x-1}\)
\(\ln y=\ln \left(\frac{e^{-3x}(3x+5)}{7x-1}\right)\) ➜ উভয় পার্শে \(\ln \) নিয়ে।
\(\Rightarrow \ln y=\ln \{e^{-3x}(3x+5)\}-\ln (7x-1)\) ➜ \(\because \ln (\frac{M}{N})=\ln M-\ln N\)
\(\Rightarrow \ln y=\ln e^{-3x}+\ln (3x+5)-\ln (7x-1)\) ➜ \(\because \ln (MN)=\ln M+\ln N\)
\(\Rightarrow \ln y=-3x+\ln (3x+5)-\ln (7x-1)\) ➜ \(\because\ln e^x=x\)
\(\Rightarrow \ln y=-3x+\ln (3x+5)-\ln (7x-1)\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(\ln y)=\frac{d}{dx}\{-3x+\ln (3x+5)-\ln (7x-1)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{d}{dx}(y)=-3\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}\ln (3x+5)-\frac{d}{dx}\ln (7x-1)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{d}{dx}(y)=-3.1+\frac{1}{3x+5}\frac{d}{dx} (3x+5)-\frac{1}{7x-1}\frac{d}{dx}(7x-1)\) ➜ \(3x+5\) এবং \(7x-1\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{d}{dx}(y)=-3+\frac{1}{3x+5}.(3-0)-\frac{1}{7x-1}.(7+0)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=y\left[-3+\frac{3}{3x+5}-\frac{7}{7x-1}\right]\)
\(=\frac{e^{-3x}(3x+5)}{7x-1}\left[\frac{3}{3x+5}-\frac{7}{7x-1}-3\right]\) ➜ \(y\)-এর মাণ বসিয়ে।
\(=\frac{e^{-3x}(3x+5)}{7x-1}\times \frac{3(7x-1)-7(3x+5)-3(3x+5)(7x-1)}{(3x+5)(7x-1)}\)
\(=\frac{e^{-3x}(3x+5)}{7x-1}\times \frac{21x-3-21x-35-3(21x^2-3x+35x-5)}{(3x+5)(7x-1)}\)
\(=\frac{e^{-3x}(3x+5)}{7x-1}\times \frac{-38-3(21x^2+32x-5)}{(3x+5)(7x-1)}\)
\(=\frac{e^{-3x}(3x+5)}{7x-1}\times \frac{-38-63x^2-96x+15}{(3x+5)(7x-1)}\)
\(=\frac{e^{-3x}(3x+5)}{7x-1}\times \frac{-23-63x^2-96x}{(3x+5)(7x-1)}\)
\(=\frac{e^{-3x}(3x+5)}{7x-1}\times -\frac{63x^2+96x+23}{(3x+5)(7x-1)}\)
\(=-\frac{(63x^2+96x+23)e^{-3x}}{(7x-1)^2}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(xl)\) \(\sin^4 \left(\cot^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right)\)
[ বুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ]
উত্তরঃ \(\frac{x-1}{2}\)
[ বুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ]
উত্তরঃ \(\frac{x-1}{2}\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\sin^4 \left(\cot^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right)\)
এবং
\(\cos \theta=x\)
\(\therefore y=\sin^4 \left(\cot^{-1} \sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}}\right)\)
\(=\sin^4 \left(\cot^{-1} \sqrt{\frac{\cos^2 \frac{\theta}{2}}{2\sin^2 \frac{\theta}{2}}}\right)\) ➜ \(\because 1-\cos A=2\sin^2 \frac{A}{2}, \ 1+\cos A=2\cos^2 \frac{A}{2}\)
\(=\sin^4 \left(\cot^{-1} \sqrt{\frac{\cos^2 \frac{\theta}{2}}{\sin^2 \frac{\theta}{2}}}\right)\)
\(=\sin^4 \left(\cot^{-1} \sqrt{\cot^2 \frac{\theta}{2}}\right)\)
\(=\sin^4 \left(\cot^{-1} \cot \frac{\theta}{2}\right)\)
\(=\sin^4 \left(\frac{\theta}{2}\right)\)
\(=\frac{1}{4}(2\sin^2 \frac{\theta}{2})^2\)
\(=\frac{1}{4}(1-\cos \theta)^2\)
\(=\frac{1}{4}(1-x)^2\) ➜ \(\because \cos \theta=x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{4}(1-x)^2\right]\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{4}\frac{d}{dx}(1-x)^2.\frac{d}{dx}(1-x)\) ➜ \(1-x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{4}2(1-x)^{2-1}.(0-1)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \ \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{2}(1-x)^1.(-1)\)
\(=-\frac{1}{2}(1-x)\)
\(=\frac{1}{2}(x-1)\)
\(=\frac{x-1}{2}\)
\(y=\sin^4 \left(\cot^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right)\)
এবং
\(\cos \theta=x\)
\(\therefore y=\sin^4 \left(\cot^{-1} \sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}}\right)\)
\(=\sin^4 \left(\cot^{-1} \sqrt{\frac{\cos^2 \frac{\theta}{2}}{2\sin^2 \frac{\theta}{2}}}\right)\) ➜ \(\because 1-\cos A=2\sin^2 \frac{A}{2}, \ 1+\cos A=2\cos^2 \frac{A}{2}\)
\(=\sin^4 \left(\cot^{-1} \sqrt{\frac{\cos^2 \frac{\theta}{2}}{\sin^2 \frac{\theta}{2}}}\right)\)
\(=\sin^4 \left(\cot^{-1} \sqrt{\cot^2 \frac{\theta}{2}}\right)\)
\(=\sin^4 \left(\cot^{-1} \cot \frac{\theta}{2}\right)\)
\(=\sin^4 \left(\frac{\theta}{2}\right)\)
\(=\frac{1}{4}(2\sin^2 \frac{\theta}{2})^2\)
\(=\frac{1}{4}(1-\cos \theta)^2\)
\(=\frac{1}{4}(1-x)^2\) ➜ \(\because \cos \theta=x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{4}(1-x)^2\right]\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{4}\frac{d}{dx}(1-x)^2.\frac{d}{dx}(1-x)\) ➜ \(1-x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{4}2(1-x)^{2-1}.(0-1)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \ \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{2}(1-x)^1.(-1)\)
\(=-\frac{1}{2}(1-x)\)
\(=\frac{1}{2}(x-1)\)
\(=\frac{x-1}{2}\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(xli)\) \(\cos \left(2\tan^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)\)
উত্তরঃ \(1\)
উত্তরঃ \(1\)
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\cos \left(2\tan^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)\)
এবং
\(\cos \theta=x\)
\(\therefore y=\cos \left(2\tan^{-1} \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}}\right)\)
\(=\cos \left(2\tan^{-1} \sqrt{\frac{2\sin^2 \frac{\theta}{2}}{2\cos^2 \frac{\theta}{2}}}\right)\) ➜ \(\because 1-\cos A=2\sin^2 \frac{A}{2}, \ 1+\cos A=2\cos^2 \frac{A}{2}\)
\(=\cos \left(2\tan^{-1} \sqrt{\frac{\sin^2 \frac{\theta}{2}}{\cos^2 \frac{\theta}{2}}}\right)\)
\(=\cos \left(2\tan^{-1} \sqrt{\tan^2 \frac{\theta}{2}}\right)\)
\(=\cos \left(2\tan^{-1} \tan \frac{\theta}{2}\right)\)
\(=\cos \left(2\times \frac{\theta}{2}\right)\)
\(=\cos \theta\)
\(=x\) ➜ \(\because \cos \theta=x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=1\)
\(y=\cos \left(2\tan^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)\)
এবং
\(\cos \theta=x\)
\(\therefore y=\cos \left(2\tan^{-1} \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}}\right)\)
\(=\cos \left(2\tan^{-1} \sqrt{\frac{2\sin^2 \frac{\theta}{2}}{2\cos^2 \frac{\theta}{2}}}\right)\) ➜ \(\because 1-\cos A=2\sin^2 \frac{A}{2}, \ 1+\cos A=2\cos^2 \frac{A}{2}\)
\(=\cos \left(2\tan^{-1} \sqrt{\frac{\sin^2 \frac{\theta}{2}}{\cos^2 \frac{\theta}{2}}}\right)\)
\(=\cos \left(2\tan^{-1} \sqrt{\tan^2 \frac{\theta}{2}}\right)\)
\(=\cos \left(2\tan^{-1} \tan \frac{\theta}{2}\right)\)
\(=\cos \left(2\times \frac{\theta}{2}\right)\)
\(=\cos \theta\)
\(=x\) ➜ \(\because \cos \theta=x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=1\)
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(xlii)\) \(y=\sqrt{1-x^2}\sin^{-1} x\) হলে, দেখাও যে, \((1-x^2)\frac{d}{dx}(y)=1-xy-x^2\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(y=\sqrt{1-x^2}\sin^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sqrt{1-x^2}\sin^{-1} x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\sqrt{1-x^2}\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)+\sin^{-1} x\frac{d}{dx}(\sqrt{1-x^2})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\sqrt{1-x^2}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+\sin^{-1} x\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}.\frac{d}{dx}(1-x^2)\) ➜ \((1-x^2)\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\sqrt{1-x^2}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{\sin^{-1} x}{2\sqrt{1-x^2}}.(0-2x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \ \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}\), \(\frac{d}{dx}(c)=0, \ \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=1+\frac{\sin^{-1} x}{2\sqrt{1-x^2}}.(-2x)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=1-\frac{x\sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\Rightarrow (1-x^2)\frac{d}{dx}(y)=1-x^2-\frac{x(1-x^2)\sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}\) ➜ উভয় পার্শে \((1-x^2)\) গুণ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)\frac{d}{dx}(y)=1-x^2-\frac{x\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-x^2}\sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\Rightarrow (1-x^2)\frac{d}{dx}(y)=1-x^2-x\sqrt{1-x^2}\sin^{-1} x\)
\(\Rightarrow (1-x^2)\frac{d}{dx}(y)=1-x^2-xy\) ➜ \(\because y=\sqrt{1-x^2}\sin^{-1} x\)
\(\therefore (1-x^2)\frac{d}{dx}(y)=1-xy-x^2\)
(showed)
\(y=\sqrt{1-x^2}\sin^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sqrt{1-x^2}\sin^{-1} x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\sqrt{1-x^2}\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)+\sin^{-1} x\frac{d}{dx}(\sqrt{1-x^2})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\sqrt{1-x^2}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+\sin^{-1} x\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}.\frac{d}{dx}(1-x^2)\) ➜ \((1-x^2)\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\sqrt{1-x^2}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{\sin^{-1} x}{2\sqrt{1-x^2}}.(0-2x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \ \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}\), \(\frac{d}{dx}(c)=0, \ \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=1+\frac{\sin^{-1} x}{2\sqrt{1-x^2}}.(-2x)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=1-\frac{x\sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\Rightarrow (1-x^2)\frac{d}{dx}(y)=1-x^2-\frac{x(1-x^2)\sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}\) ➜ উভয় পার্শে \((1-x^2)\) গুণ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)\frac{d}{dx}(y)=1-x^2-\frac{x\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-x^2}\sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\Rightarrow (1-x^2)\frac{d}{dx}(y)=1-x^2-x\sqrt{1-x^2}\sin^{-1} x\)
\(\Rightarrow (1-x^2)\frac{d}{dx}(y)=1-x^2-xy\) ➜ \(\because y=\sqrt{1-x^2}\sin^{-1} x\)
\(\therefore (1-x^2)\frac{d}{dx}(y)=1-xy-x^2\)
(showed)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000004