সংযোজিত এবং বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের অন্তরীকরণ
barcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয়গুলি আলোচনা করব।
সংযোজিত ফাংশনের অন্তরীকরণ।
Differentiation of composite functions.
যখন, \(y=f(z)\) এবং \(z=g(x)\).
\((1)\) \(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}.\frac{dz}{dx}\)
\((2)\) \(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
যখন, \(y=f(z)\), \(z=g(t)\) এবং \(t=h(x)\).
\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}.\frac{dz}{dt}.\frac{dt}{dx}\)
যখন, \(y=f(z)\), \(z=g(t)\), \(t=h(u)\) এবং \(u=\psi(x)\).
\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}.\frac{dz}{dt}.\frac{dt}{du}.\frac{du}{dx}\)
বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের অন্তরীকরণঃ
The differentiation of inverse circular function:
\((1)\) \(\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)

\((2)\) \(\frac{d}{dx}(\cos^{-1} x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)

\((3)\) \(\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}\)

\((4)\) \(\frac{d}{dx}(cosec^{-1} \ x)=-\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\)

\((5)\) \(\frac{d}{dx}(\sec^{-1} x)=\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\)

\((6)\) \(\frac{d}{dx}(\cot^{-1} x)=-\frac{1}{1+x^2}\)

বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের প্রয়োজনীয় এবং স্মরণীয় সূত্রসমুহঃ
\((1)\) \(\sin(\sin^{-1} x)=x\)
\((2)\) \(\sin^{-1}(\sin x)=x\)
\((3)\) \(\cos(\cos^{-1} x)=x\)
\((4)\) \(\cos^{-1}(\cos x)=x\)
\((5)\) \(\tan(\tan^{-1} x)=x\)
\((6)\) \(\tan^{-1}(\tan x)=x\)
\((7)\) \(\sin^{-1} x+\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2}\)
\((8)\) \(\tan^{-1} x+\cot^{-1} x=\frac{\pi}{2}\)
\((9)\) \(\sec^{-1} x+ cosec^{-1} \ x=\frac{\pi}{2}\)
\((10)\) \(\tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)\)
\((11)\) \(\tan^{-1} x-\tan^{-1} y=\tan^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)\)
\((12)\) \(2\tan^{-1} x=\sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)\)
\((13)\) \(2\tan^{-1} x=\tan^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)\)
\((14)\) \(2\tan^{-1} x=\cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\)
সংযোজিত এবং বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের অন্তরজ নির্ণয়ের বিশেষ কৌশলঃ
\(f(x)\) বীজগানিতিক ফাংশনের অন্তরজ নির্ণয়ের ক্ষেত্রে, বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনে রূপান্তর করে সরল করণের পদ্ধতিঃ
\(f(x)\)-এর আকার প্রতিস্থাপন
\(\sqrt{a^2-x^2}\) \(x=a\sin \theta\) অথবা \(x=a\cos \theta\)
\(\sqrt{1-x^2}\) \(x=\sin \theta\) অথবা \(x=\cos \theta\)
\(\sqrt{a^2+x^2}\) \(x=a\tan \theta\) অথবা \(x=a\cot \theta\)
\(\sqrt{1+x^2}\) \(x=\tan \theta\) অথবা \(x=\cot \theta\)
\(\sqrt{x^2-a^2}\) \(x=a\sec \theta\) অথবা \(x=a \ cosec \ \theta\)
\(\sqrt{x^2-1}\) \(x=\sec \theta\) অথবা \(x= cosec \ \theta\)
\(\sqrt{a+x}\) অথবা \(\sqrt{a-x}\) \(x=a\cos 2\theta\)
\(\sqrt{a^2+x^2}\) এবং \(\sqrt{a^2-x^2}\) \(x^2=a^2\cos 2\theta\)
\(\frac{2x}{1-x^2}\) অথবা \(\frac{2x}{1+x^2}\) অথবা \(\frac{1-x^2}{1+x^2}\) \(x=\tan \theta\)
\(\frac{1+x}{1-x}\) অথবা \(\frac{1-x}{1+x}\) \(x=\tan \theta\)
\(\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\) অথবা \(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\) \(x=\cos \theta\)
কোণ পরিমাপের তিনটি পদ্ধতিঃ
\((i)\) ষাটমূলক পদ্ধতি \((ii)\) শতমূলক পদ্ধতি \((iii)\) বৃত্তীয় পদ্ধতি
এদের মধ্যে সম্পর্কঃ
\(180^{o}=200^{g}=\pi^{c}=2\) সমকোণ।
অনুশীলনী \(9.D\) উদাহরণ সমুহ
নিচের ফাংশনগুলির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর।
\((1)\) \(\sin x^3\)
উত্তরঃ \( 3x^2\cos x^3\)

\((2)\) \(\sqrt[3]{5x^2-4}\)
উত্তরঃ \(\frac{10x}{3\sqrt[3]{(5x^2-4)^2}}\)

\((3)\) \(\sqrt{x^2+a^2}\)
উত্তরঃ \( \frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}\)

\((4)\) \((ax+b)^n\)
উত্তরঃ \(na(ax+b)^{n-1}\)

\((5)\) \(\sin^{-1} ax\)
উত্তরঃ \( \frac{a}{\sqrt{1-a^2x^2}}\)

\((6)\) \(\tan^{-1} \sqrt{x}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}\)

\((7)\) \(x\tan^{-1} x\)
উত্তরঃ \( \frac{x}{1+x^2}+\tan^{-1} x\)

\((8)\) \(\sin(\ln \tan x)\)
উত্তরঃ \(\cos(\ln \tan x)\sec^2 x\cot x\)

\((9)\) \(\log_x2x\)
উত্তরঃ \( -\frac{\ln 2}{x(\ln x)^2}\)

\((10)\) \((2-3x)^{-\frac{2}{5}}\)
উত্তরঃ \(\frac{6}{5}(2-3x)^{-\frac{7}{5}}\)

\((11)\) \(\ln (e^x+e^{-x})\)
[ কুঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \( \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\)

\((12)\) \(\sin \sqrt{x}\)
[ সিঃ ২০১২; কুঃ ২০১৪,২০১৩ ]
উত্তরঃ \(\frac{\cos \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\)

\((13)\) \(\sqrt{\sin x}\)
উত্তরঃ \( \frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}\)

\((14)\) \(\sqrt{\sin \sqrt{x}}\)
[ ঢাঃ ২০০৭, ২০০৫; চঃ ২০১৫; সিঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{\cos \sqrt{x}}{4\sqrt{x\sin \sqrt{x}}}\)

\((15)\) \(2x^{o}\cos 3x^{o}\)
[ রাঃ ২০১৪, ২০০৭; চঃ ২০০৩; কুঃ ২০১৩, ২০১০, ২০০৫; যঃ ২০০৫, ২০১২; সিঃ২০১১, ২০০৮, ২০০৬;দিঃ ২০১১, ২০০৯; বঃ ২০১৪, ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{90}\left(\cos \frac{\pi x}{60}+\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}\right)\)

\((16)\) \(\tan^{-1} (e^x)\)
[ ঢাঃ ২০০৮; যঃ ২০০৪; কুঃ ২০০৪; বঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{e^x}{1+e^{2x}}\)

\((17)\) \(\tan (\sin^{-1} x)\)
[ ঢাঃ ২০১০, ২০১২; সিঃ ২০১৩; যঃ ২০১০; রাঃ ২০০৮; কুঃ ২০১১, ২০০৮; চঃ ২০০৯; সিঃ ২০১০; বঃ ২০০৯, ২০১২; মাঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}}\)

\((18)\) \(x^2\sin^{-1} (1-x)\)
[ ঢাঃ ২০১৪; রাঃ ২০০৬; দিঃ ২০১২; বঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(2x\sin^{-1} (1-x)-\frac{x^2}{\sqrt{2x-x^2}}\)

\((19)\) \(\sqrt{\sin^{-1} x^5}\)
[ ঢাঃ ২০১৫; বঃ ২০০৬, ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(\frac{5x^4}{2\sqrt{\sin^{-1} x^5}\sqrt{1-x^{10}}}\)

\((20)\) \(\tan^{-1} \frac{4\sqrt{x}}{1-4x}\)
[ রাঃ ২০০৬, ২০০৪; চঃ ২০০৯; সিঃ ২০০৯; বঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(\frac{2}{\sqrt{x}(1+4x)}\)

\((21)\) \(\cos^{-1} (2x\sqrt{1-x^2})\)
[ ঢাঃ,কুঃ,যঃ ২০১০; বঃ ২০১৬ ]
উত্তরঃ \(-\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}\)

\((22)\) \(\cot^{-1} \left(\frac{1+x}{1-x}\right)\)
[ ঢাঃ২০০৬; রাঃ ২০১৪, ২০০৭; যঃ ২০০৭, ২০০৫; সিঃ ২০০৮, ২০০৪; কুঃ ২০০৩; মাঃ ২০১৪, ২০১১; বঃ ২০১৪ ]
উত্তরঃ \(-\frac{1}{1+x^2}\)

\((23)\) \(\cos \sqrt{x}\)
[ সিঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(-\frac{\sin \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\)

\((24)\) \(\sin^2 (\ln x)^2\)
[ যঃ,বঃ ২০০১ ]
উত্তরঃ \(\frac{2\ln x}{x}\sin 2(\ln x)^2\)

\((25)\) \((\sin x)^2\)
উত্তরঃ \(\sin 2x\)

\((26)\) \(\ln (\tan 5x)\)
উত্তরঃ \(\frac{5\sec^2 5x}{\tan 5x}\)

\((27)\) \(\sin (ax+b)\)
উত্তরঃ \(a\cos (ax+b)\)

\((28)\) \(\cos (ax+b)\)
উত্তরঃ \(-a\sin (ax+b)\)

\((29)\) \(\tan (ax+b)\)
উত্তরঃ \(a\sec^2 (ax+b)\)

\((30)\) \(e^{ax+b}\)
উত্তরঃ \(ae^{ax+b}\)

\((31)\) \(\ln (ax+b)\)
উত্তরঃ \(\frac{a}{ax+b}\)

অনুশীলনী \(9.D / Q.1\)-এর অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমুহ
নিচের ফাংশনগুলির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর।
\(Q.1.(i)\) \(2x^{o}\cos 3x^{o}\)
[ রাঃ ২০১৪; কুঃ ২০১৩,২০১০; যঃ ২০১২; বঃ২০১৪; সিঃ ২০১১; দিঃ ২০১১, ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{90}\left(\cos \frac{\pi x}{60}+\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}\right)\)

\(Q.1.(ii)\) \(e^{3x}\cos x^{o}\)
উত্তরঃ \(e^{3x}\left(3\cos \frac{\pi x}{180}-\frac{\pi}{180}\sin \frac{\pi x}{180}\right)\)

\(Q.1.(iii)\) \(4x^{o}\sin 2x^{o}\)
[ যঃ ২০১৫ ]
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{45}\left(\frac{pi}{90}\cos \frac{\pi x}{90}+\sin \frac{\pi x}{90}\right)\)

\(Q.1.(iv)\) \(e^{5x}\sin x^{o}\)
[ সিঃ ২০০২]
উত্তরঃ \(e^{5x}\left(\frac{\pi}{180}\cos \frac{\pi x}{180}+5\sin \frac{\pi x}{180}\right)\)

\(Q.1.(v)\) \(\frac{x\ln x}{\sqrt{1+x^2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1+x^2+\ln x}{(\sqrt{1+x^2})^3}\)

\(Q.1.(vi)\) \(\sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{1-\cos x}\)

\(Q.1.(vii)\) \(\frac{1}{1+\cos x}\)
উত্তরঃ \(\frac{\sin x}{(1+\cos x)^2}\)

\(Q.1.(viii)\) \(\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}\)
[ চঃ ২০০০]
উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}}{2\sqrt{(x+1)(x+2)}}\)

\(Q.1.(ix)\) \(\left(\frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}\right)^2\)
[ কুঃ ২০০৩]
উত্তরঃ \(2\tan x\sec^2 x\)

\(Q.1.(x)\) \(\sin x^{o}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{180}\cos \frac{\pi x}{180}\)

\(Q.1.(xi)\) \(\sin \left(3x-\frac{\pi}{3}\right)\)
উত্তরঃ \(3\cos \left(3x-\frac{\pi}{3}\right)\)

\(Q.1.(xii)\) \(\cos^3 x\)
উত্তরঃ \(-3\cos^2 x\sin x\)

\(Q.1.(xiii)\) \(\sin^2 x^2\)
উত্তরঃ \(2x\sin (2x^2)\)

\(Q.1.(xiv)\) \(\sin^2 \{\ln (\sec x)\}\)
[ ঢাঃ ২০১৬,২০১২,২০০১; সিঃ ২০১২,২০০৯; কুঃ ২০০৯; রাঃ ২০০৭; মাঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(\tan x\sin \{2\ln (\sec x)\}\)

\(Q.1.(xv)\) \(\sin^2 \{\ln (x^2)\}\)
[ ঢাঃ,সিঃ ২০১৪; যঃ ২০০৮, ২০০৭, ২০০১; চঃ ২০০৬ ]
উত্তরঃ \(\frac{2}{x}\sin \{4\ln (x)\}\)

\(Q.1.(xvi)\) \(\sec \sqrt{x}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\sec \sqrt{x}\tan \sqrt{x}\)

\(Q.1.(xvii)\) \(\sqrt{\left(\frac{1}{e^x}\right)}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}}\)

\(Q.1.(xviii)\) \(e^{\sin x}\)
উত্তরঃ \(\cos x e^{\sin x}\)

\(Q.1.(xix)\) \(e^{x^2-5x+2}\)
উত্তরঃ \((2x-5)e^{x^2-5x+2}\)

\(Q.1.(xx)\) \(\sqrt{e^{\sqrt{x}}}\)
[ কুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭; যঃ ২০১৩; ষাঃ ২০০৯, ২০০৬কুঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{4\sqrt{x}}\sqrt{e^{\sqrt{x}}}\)

\(Q.1.(xxi)\) \(10^{\ln (\sin x)}\)
[ চঃ ২০০৭, সিঃ ২০০৫, ২০০২ ]
উত্তরঃ \(\cot x10^{\ln (\sin x)}\ln 10\)

\(Q.1.(xxii)\) \(\sqrt{\tan (e^{x^2})}\)
[ রাঃ ২০১৫; যঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(\frac{xe^{x^2}\sec^2 e^{x^2}}{\sqrt{\tan (e^{x^2})}}\)

\(Q.1.(xxiii)\) \(\sin \left(e^{\sqrt{1-x}}\right)\)
[ দিঃ ২০১৭ ]
উত্তরঃ \(-\frac{e^{\sqrt{1-x}}\cos \left(e^{\sqrt{1-x}}\right)}{2\sqrt{1-x}}\)

\(Q.1.(xxiv)\) \(\cot^{-1} (e^{x})\)
উত্তরঃ \(-\frac{e^{x}}{1+e^{2x}}\)

\(Q.1.(xxv)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{1}{x^2}\right)\)
উত্তরঃ \(-\frac{2x}{1+x^4}\)

\(Q.1.(xxvi)\) \(\tan^{-1} (e^{x})\)
উত্তরঃ \(\frac{e^{x}}{1+e^{2x}}\)

\(Q.1.(xxvii)\) \(\sin^{-1} (e^x)\)
উত্তরঃ \(\frac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}}\)

\(Q.1.(xxviii)\) \(\sin^{-1} (\tan x)\)
[ সিঃ ২০০১ ]
উত্তরঃ \(\frac{\sec x}{\sqrt{\cos 2x}}\)

\(Q.1.(xxix)\) \(\sin (\tan^{-1} x)\)
উত্তরঃ \((1+x^2)^{-\frac{3}{2}}\)

\(Q.1.(xxx)\) \((\sin^{-1} x)^5\)
উত্তরঃ \(\frac{5(\sin^{-1} x)^4}{\sqrt{1-x^2}}\)

\(Q.1.(xxxi)\) \(\sin^{-1} \left(\frac{4x}{1+4x^2}\right)\)
[ সিঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \(\frac{4}{1+4x^2}\)

\(Q.1.(xxxii)\) \(\sin^{-1} \left(\frac{6x}{1+9x^2}\right)\)
[ ঢাঃ ২০০১]
উত্তরঃ \(\frac{6}{1+9x^2}\)

\(Q.1.(xxxiii)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\right)\)
উত্তরঃ \(1\)

\(Q.1.(xxxiv)\) \(\cot^{-1} \left(\frac{1-x}{1+x}\right)\)
[ চঃ ২০১০; যঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{1+x^2}\)

\(Q.1.(xxxv)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{4x}{\sqrt{1-4x^2}}\right)\)
[ বঃ ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(\frac{4}{(1+12x^2)\sqrt{1-4x^2}}\)

\(Q.1.(xxxvi)\) \(\sin^{-1} \left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{1+x^2}\)

\(Q.1.(xxxvii)\) \(\frac{1}{\sqrt[3]{4-3x}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{4-3x)^{\frac{4}{3}}}\)

\(Q.1.(xxxviii)\) \(\sqrt{ax^2+bx+c}\)
উত্তরঃ \(\frac{2ax+b}{2\sqrt{ax^2+bx+c}}\)

\(Q.1.(xxxix)\) \(\sin \frac{\theta}{2}+\cos 5\theta\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\cos \frac{\theta}{2}-5\sin 5\theta\)

\(Q.1.(xl)\) \(\cos^4 \theta\)
উত্তরঃ \(-4\cos^3 \theta\sin \theta\)

\(Q.1.(xli)\) \(\sqrt{\tan (e^{x^2})}\)
[ যঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(\frac{xe^{x^2}\sec^2 e^{x^2}}{\sqrt{\tan e^{x^2}}}\)

\(Q.1.(xlii)\) \(e^{\sin \sqrt{x}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\cos \sqrt{x}e^{\sin \sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\)

\(Q.1.(xliii)\) \(2 \ cosec \ 2x\cos \{\ln (\tan x)\}\)
[ রাঃ ২০০৬ ]
উত্তরঃ \(-2 \ cosec \ 2x\left[\frac{\sec^2 x\sin \{\ln (\tan x)\}}{\tan x}+2\cot 2x\cos \{\ln (\tan x)\} \right] \)

\(Q.1.(xliv)\) \(e^{5\ln (\tan 5x)}\)
[ চঃ ২০১২ ]
উত্তরঃ \(25\sec^2 5x\tan^4 5x\)

\(Q.1.(xlv)\)\(e^{2\ln (\tan 5x)}\)
[ ঢাঃ ২০০৮; দিঃ ২০১৬; কুঃ ২০০৭; সিঃ ২০১৩, ২০১০; বঃ ২০১১,২০০৬ ]
উত্তরঃ \(10\sec^2 5x\tan 5x\)

\(Q.1.(xlvi)\) \(a^{px+q}\)
উত্তরঃ \(pa^{px+q}\ln a\)

\(Q.1.(xlvii)\)\(\cos \left(e^{\tan^2 2x}\right)\)
উত্তরঃ \(-4\sin \left(e^{\tan^2 2x}\right)e^{\tan^2 2x}\tan 2x\sec^2 2x\)

\(Q.1.(xlviii)\) \(\log_ax+\log_xa\)
উত্তরঃ \(\frac{x}{x\ln a}-\frac{\ln a}{x(\ln x)^2}\)

\(Q.1.(xlix)\) \(\log_x\tan x\)
উত্তরঃ \(\frac{2x\ln x \ cosec \ 2x-\ln \tan x}{x(\ln x)^2}\)

\(Q.1.(l)\) \(\ln (x-\sqrt{x^2-1})\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\)

\(Q.1.(li)\) \(\ln (x-\sqrt{x^2+1})\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\)

\(Q.1.(lii)\) \(\ln (\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b})\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2\sqrt{(x-a)(x-b)}}\)

\(Q.1.(liii)\) \(\sqrt{(x-3)(x-4)}\)
উত্তরঃ \(\frac{2x-7}{2\sqrt{(x-3)(x-4)}}\)

\(Q.1.(liv)\) \( cosec \ \sqrt{x}\)
উত্তরঃ \(-\frac{ cosec \ \sqrt{x}\cot \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\)

অনুশীলনী \(9.D / Q.2\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমুহ
\(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে নিচের ফাংশনগুলির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(i)\) \(\ln \left(\frac{e^x}{1+e^x}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{1+e^x}\)

\(Q.2.(ii)\) \(\ln (\sin 2x)\)
[ঢাঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(2\cot 2x\)

\(Q.2.(iii)\) \(\log_{10}x\)
[ ঢাঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{x\ln 10}\)

\(Q.2.(iv)\) \(\ln (\ln x)\)
[ মাঃ ২০১৫]
উত্তরঃ \(\frac{1}{x\ln x}\)

\(Q.2.(v)\) \([\ln (\sin x^2)]^n\)
[ যঃ ২০০৮, ২০০৭, ২০০১; চঃ,সিঃ ২০০৬; রাঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(2nx\cot x^2[\ln (\sin x^2)]^{n-1}\)

\(Q.2.(vi)\) \(\cos(\ln x)+\ln (\tan x)\)
[ সিঃ ২০০৬; বঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(2 cosec \ 2x-\frac{1}{x}\sin (\ln x)\)

\(Q.2.(vii)\) \(a^{\ln (\cos x)}\)
[ রাঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(-\ln a \ a^{\ln (\cos x)}\tan x\)

\(Q.2.(viii)\) \(x^2e^{4x}\)
[ যঃ ২০১৫; চঃ ২০০৭; সিঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(2xe^{4x}(1+2x)\)

\(Q.2.(ix)\) \(\sin x\ln (\sin x)\)
উত্তরঃ \(\cos x\{1+\ln (\sin x)\}\)

\(Q.2.(x)\) \(x\sqrt{\sin x}\)
[ ঢাঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(\sqrt{\sin x}+\frac{x\cos x}{2\sqrt{\sin x}}\)

\(Q.2.(xi)\) \(x^3\sin (\ln x)\)
[ রাঃ ২০১৭]
উত্তরঃ \(x^2\{\cos (\ln x)+3\sin (\ln x)\}\)

\(Q.2.(xii)\) \(2 \ cosec \ 2x\cos (\ln \tan x)\)
[ রাঃ ২০০৬ ]
উত্তরঃ \(-4 \ cosec \ 2x\{\ cosec \ 2x\sin (\ln \tan x)+\cot 2x\cos (\ln \tan x)\}\)

\(Q.2.(xiii)\) \(\frac{\ln (\cos x)}{x}\)
[ সিঃ ২০১১,২০০৯,২০০৭; ঢাঃ ২০০৬; রাঃ ২০০৩; মাঃ ২০০৫,২০০১ ]
উত্তরঃ \(-\frac{x\tan x+\ln (\cos x)}{x^2}\)

\(Q.2.(xiv)\) \(\sin^{-1} x^2\)
উত্তরঃ \(\frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}\)

\(Q.2.(xv)\) \((\sin^{-1} x)^2\)
উত্তরঃ \(\frac{2\sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}\)

\(Q.2.(xvi)\) \(\sin^{-1} (\sin x)\)
[ রাঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(1\)

\(Q.2.(xvii)\) \(\tan x^2\sin^{-1} x\)
[ ঢাঃ ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(\frac{\tan x^2}{\sqrt{1-x^2}}+2x\sin^{-1} x\sec^2 x^2\)

\(Q.2.(xviii)\) \(\ln (\cos^{-1} x)\)
[ রাঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(-\frac{1}{\cos^{-1} x\sqrt{1-x^2}}\)

\(Q.2.(xix)\) \((x^2+1)\tan^{-1} x-x\)
[ কুঃ ২০১২; যঃ ২০১১; দিঃ ২০১০; মাঃ ২০০৬ ]
উত্তরঃ \(2x\tan^{-1} x\)

\(Q.2.(xx)\) \(a^{\sin^{-1} x}\)
[ রাঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(\frac{a^{\sin^{-1} x}\ln a}{\sqrt{1-x^2}}\)

\(Q.2.(xxi)\) \(\tan^{-1} (\sin e^x)\)
[ যঃ ২০০৯; চঃ ২০০৫,২০০৩; বঃ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(\frac{e^x\cos (e^x)}{1+\sin^2 (e^x)}\)

\(Q.2.(xxii)\) \(\sin^{-1} \sqrt{xe^x}\)
[ বঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \(\frac{e^x(1+x)}{2\sqrt{xe^x(1-xe^x)}}\)

\(Q.2.(xxiii)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{2x}{1-x^2}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{1+x^2}\)

\(Q.2.(xxiv)\) \(\sin^{-1} \left(\frac{2x}{1+x^2}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{1+x^2}\)

\(Q.2.(xxv)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{2\sqrt{x}}{1-x}\right)\)
[ কুঃ ২০১২; চঃ ২০১১, ২০০৬; সিঃ ২০১১; যঃ ২০০৮; ঢাঃ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}\)

\(Q.2.(xxvi)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{4\sqrt{x}}{1-4x}\right)\)
[ বঃ২০১১; চঃ ২০০৯, ২০০৫; সিঃ ২০০৯; রাঃ ২০০৬, ২০০৪ ]
উত্তরঃ \(\frac{2}{\sqrt{x}(1+4x)}\)

\(Q.2.(xxvii)\) \(\cos^{-1} \left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\) অথবা, \(\sec^{-1} \left(\frac{1+x^2}{1-x^2}\right)\)
[ চঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{2}{1+x^2}\)

\(Q.2.(xxviii)\) \(\sec^{-1} \left(\frac{1+x^2}{1-x^2}\right)\)
[ সিঃ ২০১০; কুঃ ২০০৯; চঃ২০০৭; যঃ ২০০৬; বঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(\frac{2}{1+x^2}\)

\(Q.2.(xxix)\) \(\sin^{-1} \left(\frac{x+\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{2}}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)

\(Q.2.(xxx)\) \(\sin^{-1} (\sin e^x)\)
[ চঃ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(e^x\)

\(Q.2.(xxxi)\) \(\sin^{-1} \left(\frac{a+b\cos x}{b+a\cos x}\right)\)
উত্তরঃ \(-\frac{\sqrt{b^2-a^2}}{b+a\cos x}\)

\(Q.2.(xxxii)\) \(\sqrt{x^2-a^2}+\sin^{-1} \left(\frac{a}{x}\right)\)
[ চঃ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(\frac{x^2-a}{x\sqrt{x^2-a^2}}\)

\(Q.2.(xxxiii)\) \(3^{\sin^{-1} x}\)
উত্তরঃ \(\frac{3^{\sin^{-1} x}\ln 3}{\sqrt{1-x^2}}\)

\(Q.2.(xxxiv)\) \((\sec^{-1} x)^2\)
[ চঃ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(\frac{2\sec^{-1} x}{x\sqrt{x^2-1}}\)

\(Q.2.(xxxv)\) \(\ln \left(\frac{a+x}{a-x}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{2a}{a^2-x^2}\)

অনুশীলনী \(9.D / Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমুহ
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনগুলির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(i)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{1+x}{1-x}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{1+x^2}\)

\(Q.3.(ii)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\right)\)
[ কুঃ ২০০০ ]
উত্তরঃ \(-\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}\)

\(Q.3.(iii)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{a+bx}{a-bx}\right)\)
[ রাঃ,চঃ ২০১২; ঢাঃ ২০১১,২০০৯; যঃ ২০১১, ২০০২; বঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(\frac{ab}{a^2+b^2x^2}\)

\(Q.3.(iv)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{a+bx}{b-ax}\right)\)
[ যঃ ২০০১ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{1+x^2}\)

\(Q.3.(v)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{x^2}{e^x}\right)+\tan^{-1} \left(\frac{e^x}{x^2}\right)\)
[ বুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬]
উত্তরঃ \(0\)

\(Q.3.(vi)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{a\cos x-b\sin x}{b\cos x+a\sin x}\right)\)
উত্তরঃ \(-1\)

\(Q.3.(vii)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}\right)\)
[ বুয়েটঃ ২০১২-২০১৩ ]
উত্তরঃ \(-1\)

\(Q.3.(viii)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{\cos x}{1+\sin x}\right)\)
[ কুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮; বি আই টিঃ ১৯৯৮-১৯৯৯; ঢাঃ ২০১৩,২০০৫ ]
উত্তরঃ \(-\frac{1}{2}\)

\(Q.3.(ix)\) \(\cot^{-1} (cosec \ x+\cot x)\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)

\(Q.3.(x)\) \(\tan^{-1} (\sec x+\tan x)\)
[ সিঃ ২০১৪, ২০০৩; চঃ ২০১৩; যঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)

\(Q.3.(xi)\) \(\sin^{-1} (2x\sqrt{1-x^2})\)
[ কুঃ ২০০৬; ঢাঃ ২০০৪]
উত্তরঃ \(\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}\)

\(Q.3.(xii)\) \(\sin^{-1} (2ax\sqrt{1-a^2x^2})\)
[ কুঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(\frac{2a}{\sqrt{1-a^2x^2}}\)

\(Q.3.(xiii)\) \(\sin^{-1} (3x-4x^3)\)
উত্তরঃ \(\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}\)

\(Q.3.(xiv)\) \(\cos^{-1} (4x^3-3x)\)
উত্তরঃ \(-\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}\)

\(Q.3.(xv)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{3x-x^3}{1-3x^2}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{3}{1+x^2}\)

\(Q.3.(xvi)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\right)\)
[ রাঃ ২০০৩ ]
উত্তরঃ \(-\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\)

\(Q.3.(xvii)\) \(\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)\)
[ বি আই টিঃ ১৯৯৯-২০০০; মাঃ ২০১২; সিঃ ২০০৭, ২০০৫ ]
উত্তরঃ \(-\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\)

\(Q.3.(xviii)\) \(\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}}\right)\)
[ বঃ ২০১২; কুঃ ২০১১, ২০০৫; রাঃ ২০১০, ২০০৫; যঃ ২০০৩; মাঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)

\(Q.3.(xix)\) \(\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}}\right)\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{2}\)

\(Q.3.(xx)\) \(\sin \left(2\tan^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)\)
[ রাঃ, দিঃ ২০১১,২০০৯; চঃ ২০০৮; বঃ ২০০২; যঃ ২০০০; মাঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)

\(Q.3.(xxi)\) \(\sin^4 \left(2\cot^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right)\)
উত্তরঃ \(4x(x^2-1)\)

\(Q.3.(xxii)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2(1+x^2)}\)

\(Q.3.(xxiii)\) \(\cos^{-1} \left(\frac{1+x}{2}\right)^{\frac{1}{2}}\) অথবা, \(\cos^{-1} \sqrt{\left(\frac{1+x}{2}\right)}\)
[ চঃ ২০০৯ ]
উত্তরঃ \(-\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\)

\(Q.3.(xxiv)\) \(\sin^{-1} \left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\)
[ ঢাঃ,কুঃ ২০১০; যঃ ২০১০, ২০০১ ]
উত্তরঃ \(-\frac{2}{1+x^2}\)

\(Q.3.(xxv)\) \(\cot^{-1} \left(\frac{2x}{1-x^2}\right)\)
উত্তরঃ \(-\frac{2}{1+x^2}\)

\(Q.3.(xxvi)\) \(\sqrt[3]{\tan^{-1} (e^x)}\)
[ ঢাঃ,কুঃ ২০১০; যঃ ২০১০, ২০০১ ]
উত্তরঃ \(\frac{e^x(\tan^{-1} e^x)^{-\frac{2}{3}}}{3(1+e^{2x})}\)

\(Q.3.(xxvii)\) \(\cos (\sin^{-1} x)+\tan (\cot^{-1} x) \)
উত্তরঃ \(-\frac{x^3+\sqrt{1-x^2}}{x^2\sqrt{1-x^2}}\)

\(Q.3.(xxviii)\) \(\cot^{-1} \left(\frac{x^2}{e^x}\right)+\cot^{-1} \left(\frac{e^x}{x^2}\right)\)
উত্তরঃ \(0\)

\(Q.3.(xxix)\) \(2\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{x-a}{b-x}}\right) \)
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}\)

\(Q.3.(xxx)\) \(\tan^{-1} \left(\frac{b}{a}\tan x\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{ab\sec^2 x}{a^2+b^2\tan^2 x}\)

\(Q.3.(xxxi)\) \(\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}\right) \)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)

\(Q.3.(xxxii)\) \(\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\tan \frac{x}{2}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{2(a+b\cos x)}\)

\(Q.3.(xxxiii)\) \(\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}\tan^{-1} x\)
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{1-x^4}\)

\(Q.3.(xxxiv)\) \(e^{ax}\tan^2 x\)
উত্তরঃ \(e^{ax}\tan x(2\sec^2 x+a\tan x)\)

\(Q.3.(xxxv)\) \(\ln \left[e^x\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{\frac{3}{2}}\right]\)
উত্তরঃ \(\frac{x^2+2}{x^2-1}\)

\(Q.3.(xxxvi)\) \(\ln \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\)
উত্তরঃ \( cosec \ x\)

\(Q.3.(xxxvii)\) \(\ln \sqrt[3]{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{3} cosec \ x\)

\(Q.3.(xxxviii)\) \(\frac{(x+1)^2\sqrt{x-1}}{(x+4)^3e^x}\)
উত্তরঃ \(\frac{(x+1)^2\sqrt{x-1}}{(x+4)^3e^x}\left[\frac{2}{x+1}+\frac{1}{2(x-1)}-\frac{3}{x+4}-1\right]\)

\(Q.3.(xxxix)\) \(\frac{e^{-3x}(3x+5)}{7x-1}\)
উত্তরঃ \(-\frac{(63x^2+96x+23)e^{-3x}}{(7x-1)^2}\)

\(Q.3.(xl)\) \(\sin^4 \left(\cot^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right)\)
[ বুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ]
উত্তরঃ \(\frac{x-1}{2}\)

\(Q.3.(xli)\) \(\cos \left(2\tan^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)\)
উত্তরঃ \(1\)

\(Q.3.(xlii)\) \(y=\sqrt{1-x^2}\sin^{-1} x\) হলে, দেখাও যে, \((1-x^2)\frac{d}{dx}(y)=1-xy-x^2\)

Please leave your question below

2 Question(s)
imonhaider
October 29, 2019, 12:15 am
\[\frac{d}{dx}(e^{x^2})=?\]
Reply
Tanmoy
October 28, 2019, 11:53 pm
\[\int{\frac{dx}{1+x^2}}=? \]
Reply

Post List

MATH. LIST
Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Trigonometry 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Statistics 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard