লগারিদমের সাহায্যে অন্তরীকরণ
Differentiation using logarithms
barcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয়গুলি আলোচনা করব।
স্বাধীন ও অধীন চলকের অন্তরীকরণ।
Differentiation of dependent and independent variable.
কোনো ফাংশনের পরিবর্তনের হার নির্ণয়ের পদ্ধতিই হলো ঐ ফাংশনের অন্তরীকরণ। \(f(x)\) ফাংশনের স্বাধীন চলক \(x\) এর অন্তরক হচ্ছে \(dx=x\) এর ক্ষুদ্র বৃদ্ধি (increment of x) \(\delta{x}\). অধীন চলক \(y\) এর অন্তরক হচ্ছে \(dy=f^{\prime}(x)dx\) অর্থাৎ অধীন চলকের অন্তরক = স্বাধীন চলক বিশিষ্ট ফাংশণের অন্তরজ \(\times\) স্বাধীন চলকের অন্তরক ।
লগারিদমের সাহায্যে অন্তরীকরণ।
Logarithmic differentiation.
কোনো ফাংশনের সূচক অন্য আরেকটি ফাংশন হলে অথবা কোনো ফাংশন কয়েকটি ফাংশনের গুনফল ও ভাগফল দ্বারা গঠিত হলে, প্রথমে ফাংশনটিতে \(\ln\) সংযোজন করে অন্তরজ নির্ণয় সহজতর হয়।
যখন, \(u, \ v\) ও \(w\) প্রত্যেকে \(x\) এর ফাংশন এবং \(y=\frac{uv}{w}\) এই ক্ষেত্রে।
\(\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(\frac{uv}{w}\right)=\frac{uv}{w}\left(\frac{1}{u}\frac{du}{dx}+\frac{1}{v}\frac{dv}{dx}-\frac{1}{w}\frac{dw}{dx}\right)\)
যখন, \(u\) ও \(v\) প্রত্যেকে \(x\) এর ফাংশন এবং \(y=u^{v}\) এই ক্ষেত্রে।
\(\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(u^{v}\right)=u^{v}\left(\frac{v}{u}\frac{du}{dx}+\ln{u}\frac{dv}{dx}\right)\)
স্থির রাশি \(c\) এবং ফাংশন \(f\) এই দুইটির মধ্যে সূচকের চারটি রূপ ।
ধ্রুবক বা স্থির রাশি \(c\) এবং ফাংশন \(f\) এই দুইটির মধ্যে সূচকের চারটি রূপ দেখা যায়। যেমনঃ
\((a)\) ফাংশনের সূচক ধ্রুবক \(f^{c}\)
\((b)\) ধ্রুবকের সূচক ফাংশন \(c^{f}\)
\((c)\) ধ্রুবকের সূচক ধ্রুবক \(c^{c}\)
\((d)\) ফাংশনের সূচক ফাংশন \(f^{f}\)
উদাহরণসহ ব্যাখ্যাঃ
\((a)\) ফাংশনের সূচক ধ্রুবক \(f^{c}\): এই ক্ষেত্রে \(\frac{d}{dx}x^{n}\) এর সূত্র ব্যবহার করা হয়।
যেমনঃ \(\frac{d}{dx}(\sin^{2}{x})\)
\(=2\sin{x}.\frac{d}{dx}\sin{x}\) ➜ প্রথমে \(\frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}\) সূত্র প্রয়োগ করা হয়েছে।
\(=2\sin{x}\cos{x}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}\sin{x}=\cos{x}\)
\(=\sin{2x}\) ➜ \(\because 2\sin{A}\cos{A}=\sin{2A}\)
\((b)\) ধ্রুবকের সূচক ফাংশন \(c^{f}\): এই ক্ষেত্রে \(\frac{d}{dx}a^{x}\) এর সূত্র ব্যবহার করা হয়।
যেমনঃ \(\frac{d}{dx}(5^{\sin{x}})\)
\(=5^{\sin{x}}\ln{5}.\frac{d}{dx}\sin{x}\) ➜ প্রথমে \(\frac{d}{dx}a^{x}=a^{x}\ln{a}\) সূত্র প্রয়োগ করা হয়েছে।
\(=5^{\sin{x}}\ln{5}\cos{x}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}\sin{x}=\cos{x}\)
\((c)\) ধ্রুবকের সূচক ধ্রুবক \(c^{c}\): এই ক্ষেত্রে \(\frac{d}{dx}(c)=0\), (c=ধ্রুবক) এর সূত্র ব্যবহার করা হয়।
যেমনঃ \(\frac{d}{dx}(a^{c})\)
\(=0\) ➜ \(\frac{d}{dx}(c)=0\) সূত্র প্রয়োগ করা হয়েছে।
\((d)\) ফাংশনের সূচক ফাংশন \(f^{f}\): এই ক্ষেত্রে ফাংশনের সূচক একটি ফাংশন তাই এটিকে সরাসরি অন্তরীকরণ করা কষ্টসাধ্য। প্রথমে ফাংশনটিতে \(\ln\) সংযোজন করে সূচক অপসারণ করা হয় অথবা \(z=e^{\ln{z}}\) সূত্র প্রয়োগ করা হয়, অতপর ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করা হয়।
যেমনঃ \(\frac{d}{dx}(x^{\sin{x}})\)
\(=\frac{d}{dx}(e^{\ln{x^{\sin{x}}}})\) ➜ \(z=e^{\ln{z}}\) সূত্র প্রয়োগ করা হয়েছে।
\(=\frac{d}{dx}(e^{\sin{x}\ln{x}})\) ➜ \(\because \ln{x^n}=n\ln{x}\)
\(=e^{\sin{x}\ln{x}}.\frac{d}{dx}(\sin{x}\ln{x})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(e^{x})=e^{x}\)
\(=e^{\ln{x^{\sin{x}}}}\{\sin{x}\frac{d}{dx}(\ln{x})+\ln{x}\frac{d}{dx}(\sin{x})\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=x^{\sin{x}}\left(\sin{x}\frac{1}{x}+\ln{x}\cos{x}\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}, \ \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\)
\(=x^{\sin{x}}\left(\frac{1}{x}\sin{x}+\ln{x}\cos{x}\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}, \ \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\)
\(x\) এর সাপেক্ষে \(log_{x^{a}}\) এর অন্তরীকরণ।
ধরি,
\(y=log_{x^{a}}\)
\(\Rightarrow y=\frac{\ln{a}}{\ln{x}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln{a}}{\ln{x}}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\ln{a}\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\ln{x}}\right)\)
\(=\ln{a}\left(-\frac{1}{(\ln{x})^2}\right)\frac{d}{dx}(\ln{x})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}\)
\(=-\frac{\ln{a}}{(\ln{x})^2}\times{\frac{1}{x}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}\)
\(=-\frac{\ln{a}}{x(\ln{x})^2}\)
বিঃদ্রঃ যদি লগারিদমের ভিত্তি \(x\) এর ফাংশণ বা \(x\) হয় তবে সেক্ষেত্রে নেপিয়ার লগারিদমে ( ভিত্তি \(e\) ) পরিণত করে অন্তরজ নির্ণয় করতে হয়।
অনুশীলনী \(9.E\) উদাহরণ সমুহ
নিচের ফাংশনগুলির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর।
\((1)\) \(y=(1-x)(1-2x)(1-3x)(1-4x)\)
উত্তরঃ \( -(1-x)(1-2x)(1-3x)(1-4x)\)\(\left(\frac{1}{1-x}+\frac{2}{1-2x}+\frac{3}{1-3x}+\frac{4}{1-4x}\right)\)

\((2)\) \(x^{\sin{x}}\)
উত্তরঃ \(x^{\sin{x}}\left(\frac{\sin{x}}{x}+\ln{x}\cos{x}\right)\)

\((3)\) \((\sin^{-1}{x})^{\ln{x}}\)
উত্তরঃ \( (\sin^{-1}{x})^{\ln{x}}\left(\frac{\ln{\sin^{-1}{x}}}{x}+\frac{\ln{x}}{\sqrt{1-x^2}\sin^{-1}{x}}\right)\)

\((4)\) \(x^{\ln{x}}\)
উত্তরঃ \(x^{\ln{x}}\frac{2\ln{x}}{x}\)

\((5)\) \(x^{\cos^{-1}{x}}\)
উত্তরঃ \(x^{\cos^{-1}{x}}\left(\frac{\cos^{-1}{x}}{x}-\frac{\ln{x}}{\sqrt{1-x^2}}\right)\)
[ ঢাঃ ২০১৩,২১০,২০০৫;রাঃ২০১৪,২০১০,২০০৭,২০০৫;কুঃ২০১৩,২০১০,২০০৭,২০০৩; যঃ২০১৪,২০১০,২০০৩;সিঃ ২০০৮,২০০৬;দিঃ ২০১৫,২০০৯;চঃ২০১৪; বঃ২০১০,২০০৬,২০০৩;মাঃ ২০১১ ]

\((6)\) \(x^{x^{x}}\)
উত্তরঃ \(x^{x^{x}}x^{x}\{\frac{1}{x}+\ln{x}(1+\ln{x})\}\)
[ বুয়েটঃ ০৮-০৯;বুটেক্সঃ০৫-০৬; কুঃ ২০০৫;যঃ২০১১,২০০৯;সিঃ২০১৬,২০০৪;রাঃ ২০১৬,২০০৮,২০০৬]

\((7)\) \(x^{x}\)
উত্তরঃ \(x^{x}(1+\ln{x})\)
[ ঢাঃ ২০০৯;রাঃ২০১৩;কুঃ২০১২;সিঃ ২০১২ ]

\((8)\) \((\sin{x})^{\cos{x}}+(\cos{x})^{\sin{x}}\)
উত্তরঃ \((\sin{x})^{\cos{x}}\{\cot{x}\cos{x}-\sin{x}\ln{\sin{x}}\}\)\(+(\cos{x})^{\sin{x}}\{-\sin{x}\tan{x}+\cos{x}\ln{(\cos{x})}\}\)
[ রাঃ ২০১১]

\((9)\) \(\frac{x\sin{x}}{1+\cos{x}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\sin{x}+x}{1+\cos{x}}\)
[ ঢাঃ ২০০৮;রাঃ২০১৩;চঃ২০১৪,২০১১;সিঃ ২০১৪,২০১০;বঃ২০০৮,২০১৪ দিঃ২০১৪;মাঃ২০১৪,২০১৫ ]

\((10)\) \((\cos{x})^{\tan{x}}\)
উত্তরঃ \((\cos{x})^{\tan{x}}(\ln{\cos{x}}\sec^2{x}-\tan^2{x})\)

\((11)\) \((\sin^{-1}{x})^{\ln{x}}\)
উত্তরঃ \((\sin^{-1}{x})^{\ln{x}}\left(\frac{1}{x}\ln{\sin^{-1}{x}}+\frac{\ln{x}}{\sqrt{1-x^2}\sin^{-1}{x}}\right)\)

\((12)\) \(x^{\cos^{-1}{x}}\)
উত্তরঃ \(x^{\cos^{-1}{x}}\left(\frac{\cos^{-1}{x}}{x}-\frac{\ln{x}}{\sqrt{1-x^2}}\right)\)
[ ঢাঃ২০১৩;রাঃ২১৪,২০১০;কুঃ২০১৩;চঃ২০১৪;যঃ২০১৪,২০১০;বঃ২০১০;সিঃ২০০৮;দিঃ২০১৫ ]

অনুশীলনী \(9.E / Q.1\)-এর অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমুহ
নিচের ফাংশনগুলির \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় কর।
\(Q.1.(i)\) \(\ln{[x-\sqrt{x^2-1}]}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\)
[ কুঃ২০১০,২০০৩;চঃ২০০৫;রাঃ২০০০;মাঃ২০০৬]

\(Q.1.(ii)\) \(\ln{[\sqrt{x-a}+\sqrt{x-b}]}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2\sqrt{(x-a)(x-b)}}\)
[ চঃ২০০১]

\(Q.1.(iii)\) \(\ln{(x+\sqrt{x^2+a^2})}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\)
[ চঃ২০১৭]

\(Q.1.(iv)\) \(\ln{(ax^2+bx+c)}\)
উত্তরঃ \(\frac{2ax+b}{ax^2+bx+c}\)

\(Q.1.(v)\) \(\ln{\left(\frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}\right)}\) উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{x}(1-x)}\)
\(Q.1.(vi)\) \(\ln{\left(\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}\right)}\)
উত্তরঃ \(\frac{2(1-x^2)}{1+x^2+x^4}\)

\(Q.1.(vii)\) \(\ln{\left(\sqrt{\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}}\right)}\)
উত্তরঃ \( cosec{x}\)
[ ঢাঃ২০১২,২০০৭;রাঃ২০১১]

\(Q.1.(viii)\) \(\ln{\{e^x\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{\frac{3}{2}}\}}\)
উত্তরঃ \(\frac{x^2+2}{x^2-1}\)
[ সিঃ২০০৩]

\(Q.1.(ix)\) \(\ln{\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{\frac{1}{4}}}-\frac{1}{2}\tan^{-1}{x}\)
উত্তরঃ \(\frac{x^2}{1-x^4}\)
[ দিঃ২০১০]

\(Q.1.(x)\) \(\log_{x}a\)
উত্তরঃ \(-\frac{\ln{a}}{x(\ln{x})^2}\)
[ যঃ২০১৭,২০০৮;চঃ২০০৬;রাঃ২০০১]

\(Q.1.(xi)\) \(\log_{x}2x\)
উত্তরঃ \(-\frac{\ln{2}}{x(\ln{x})^2}\)

\(Q.1.(xii)\) \(\log_{\cos{x}}\tan{x}\)
উত্তরঃ \(\frac{cosec{x}\sec{x}\ln{(\cos{x})}+\tan{x}\ln{\tan{x}}}{(\ln{\cos{x}})^2}\)

\(Q.1.(xiii)\) \(\log_{a}x+\log_{x}a\)
উত্তরঃ \(\frac{(\ln{x})^2-(\ln{a})^2}{x(\ln{x})^2\ln{a}}\)

\(Q.1.(xiv)\) \(\frac{e^{-x}(3x+5)}{7x-1}\)
উত্তরঃ \(-e^{-x}\left(\frac{21x^2+32x+33}{(7x-1)^2}\right)\)
[ যঃ২০০৫]

\(Q.1.(xv)\) \(\frac{(x+1)^2\sqrt{x-1}}{(x+4)^3e^x}\)
উত্তরঃ \(\frac{(x+1)^2\sqrt{x-1}}{(x+4)^3e^x}\left(\frac{2}{x+1}+\frac{1}{2(x-1)}+\frac{3}{x+4}-1\right)\)
[ কুঃ২০০৯]

\(Q.1.(xvi)\) \(x^3\sqrt{\frac{x^2+4}{x^2+3}}\)
উত্তরঃ \(x^3\sqrt{\frac{x^2+4}{x^2+3}}\left(\frac{3}{x}+\frac{x}{x^2+4}-\frac{x}{x^2+3}\right)\)

\(Q.1.(xvii)\) \(\frac{x\cos^{-1}{x}}{\sqrt{1-x^2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{x\cos^{-1}{x}}{\sqrt{1-x^2}}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}\cos^{-1}{x}}+\frac{x}{1-x^2}\right)\)

\(Q.1.(xviii)\) \(\frac{e^{x^2}\tan^{-1}{x}}{\sqrt{1+x^2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{e^{x^2}\tan^{-1}{x}}{\sqrt{1+x^2}}\left(2x+\frac{1}{(1+x^2)\tan^{-1}{x}}-\frac{x}{1+x^2}\right)\)

\(Q.1.(xix)\) \(\frac{(x^2+1)^2}{\sqrt[3]{x^2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{3}\left(5x^{\frac{7}{3}}+4x^{\frac{1}{3}}-x^{-\frac{5}{3}}\right)\)

\(Q.1.(xx)\) \(\left(\frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}\right)^{n}\)
উত্তরঃ \(\frac{n}{x\sqrt{1-x^2}}\left(\frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}\right)^{n}\)

\(Q.1.(xxi)\) \(\frac{x\log{x}}{\sqrt{1+x^2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{x\log{x}}{\sqrt{1+x^2}}\left(\frac{1}{x}+\frac{\log_{10}e}{x\log{x}}-\frac{x}{1+x^2}\right)\)
[ কুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬]

অনুশীলনী \(9.E / Q.2\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমুহ
\(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে নিচের ফাংশনগুলির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(i)\) \((\sin{x})^{\tan{x}}\)
উত্তরঃ \((\sin{x})^{\tan{x}}(1+\sec^2{x}\ln{\sin{x}})\)

\(Q.2.(ii)\) \((\sin^{-1}{x})^x\)
উত্তরঃ \((\sin^{-1}{x})^x\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}\sin^{-1}{x}}+\ln{\sin^{-1}{x}}\right)\)

\(Q.2.(iii)\) \((\sin{x})^{\cos{x}}\)
উত্তরঃ \((\sin{x})^{\cos{x}}(\cos^2{x} \ cosec{x}-\sin{x}\ln{\sin{x}})\)

\(Q.2.(iv)\) \((\cos^{-1}{x})^x\)
উত্তরঃ \((\cos^{-1}{x})^x\left(\ln{\cos^{-1}{x}}-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}\cos^{-1}{x}}\right)\)

\(Q.2.(v)\) \((\ln{x})^{ln{x}}\)
উত্তরঃ \((\ln{x})^{ln{x}}\frac{1}{x}\{1+\ln{(\ln{x})}\}\)

\(Q.2.(vi)\) \((\sin{x})^{ln{x}}\)
উত্তরঃ \((\sin{x})^{ln{x}}\{\cot{x}\ln{x}+\frac{1}{x}\ln{(\sin{x})}\}\)

\(Q.2.(vii)\) \((\cot{x})^{tan{x}}\)
উত্তরঃ \((\cot{x})^{tan{x}}\sec^2{x}\{\ln{(\cot{x})}-1\}\)
[ যঃ২০১২;বঃ২০০৯;দিঃ২০০৯]

\(Q.2.(viii)\) \(x^{\ln{x}}\)
উত্তরঃ \(x^{\ln{x}}\frac{2\ln{x}}{x}\)
[ কুঃ২০০৮;সিঃ২০১১]

\(Q.2.(ix)\) \((\ln{x})^{x}\)
উত্তরঃ \((\ln{x})^{x}\left(\frac{1}{\ln{x}}+\ln{(\ln{x})}\right)\)
[ কুঃ২০০৮;সিঃ২০১১]

\(Q.2.(x)\) \((\tan{x})^{\ln{x}}\)
উত্তরঃ \((\tan{x})^{\ln{x}}\left(2\ln{x} \ cosec{2x}+\frac{1}{{x}}\ln{(\tan{x})}\right)\)
[ কুঃ২০০৮;সিঃ২০১১]

\(Q.2.(xi)\) \((\cos{x})^{\tan{x}}\)
উত্তরঃ \((\cos{x})^{\tan{x}}\{\sec^2{x}\ln{(\cos{x})}-\tan^2{x}\}\)
[ কুঃ২০০৮;সিঃ২০১১]

\(Q.2.(xii)\) \((\sin^{-1}{x})^{\ln{x}}\)
উত্তরঃ \((\sin^{-1}{x})^{\ln{x}}\left(\frac{\ln{x}}{\sqrt{1-x^2}\sin^{-1}{x}}+\frac{\ln{(\sin^{-1}{x})}}{x}\right)\)
[ কুঃ২০০৮;সিঃ২০১১]

\(Q.2.(xiii)\) \(x^{x}\)
উত্তরঃ \(x^{x}(1+\ln{x})\)
[ ঢাঃ ২০০৯;রাঃ২০১৩;কুঃ২০১২;সিঃ ২০১২ ]

\(Q.2.(xiv)\) \(e^{2\ln{(\tan{5x})}}\)
উত্তরঃ \(10\tan{5x}\sec^2{5x}\)
[ ঢাঃ ২০০৪;চঃ২০১২,২০০২;কুঃ২০০৭;দিঃ ২০১৬;সিঃ২০১০বঃ২০১১,২০০৬ ]

\(Q.2.(xv)\) \((\sec{x})^{x^{x}}\)
উত্তরঃ \((\sec{x})^{x^{x}}x^{x}\{\tan{x}+(1+\ln{x})\ln{(\sec{x})}\}\)

অনুশীলনী \(9.E / Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমুহ
অন্তর্ভুক্ত চলকের সাপেক্ষে নিচের ফাংশনগুলির অন্তরজ নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(i)\) \(x^{x}\ln{x}\)
উত্তরঃ \(x^{x-1}\{1+x\ln{x}(1+\ln{x})\}\)
[ চঃ২০১২;বঃ২০১২;দিঃ২০১০]

\(Q.3.(ii)\) \(e^{x^2}+x^{x^2}\)
উত্তরঃ \(2xe^{x^2}+e^{x^2-1}(1+\ln{x^2})\)
[ঢাঃ ২০১২,২০০৬;সিঃ২০১৪ ]

\(Q.3.(iii)\) \(x^{x^{x}}\)
উত্তরঃ \(x^{x^{x}}x^{x}\left(\ln{x}(1+\ln{x})+\frac{1}{x}\right)\)
[ বুয়েটঃ ০৮-০৯;বুটেক্সঃ০৫-০৬; কুঃ ২০০৫;যঃ২০১১,২০০৯;সিঃ২০১৬,২০০৪;রাঃ ২০১৬,২০০৮,২০০৬]

\(Q.3.(iv)\) \(e^{x^{x}}\)
উত্তরঃ \(e^{x^{x}}x^{x}(1+\ln{x})\)

\(Q.3.(v)\) \(x^{e^{x}}\)
উত্তরঃ \(x^{e^{x}}e^{x}\left(\frac{1}{x}+\ln{x}\right)\)

\(Q.3.(vi)\) \(e^{e^{x}}\)
উত্তরঃ \(e^{e^{x}}e^{x}\)

\(Q.3.(vii)\) \(a^{a^{x}}\)
উত্তরঃ \(a^{a^{x}}a^{x}(\ln{a})^2\)
[ দিঃ২০১২ ]

\(Q.3.(viii)\) \(x^{\frac{1}{x}}\)
উত্তরঃ \(x^{\frac{1}{x}-2}(1-\ln{x})\)
[ চঃ২০১৩;সিঃ২০০৯]

\(Q.3.(ix)\) \((\sqrt{x})^{\sqrt{x}}\)
উত্তরঃ \((\sqrt{x})^{\sqrt{x}}\frac{1}{2\sqrt{x}}(1+\ln{\sqrt{x}})\)
[ কুঃ২০১১;বঃ২০১২]

\(Q.3.(x)\) \(a^{x^{x}}\)
উত্তরঃ \(a^{x^{x}}x^{x}\ln{a}(1+\ln{x})\)
[ দিঃ২০১২ ]

\(Q.3.(xi)\) \((x^{x})^{x}\)
উত্তরঃ \((x^{x})^{x}\{x(1+\ln{x^2})\}\)
[ ঢাঃ২০১১;রাঃ২০১২;কুঃ২০১৪;যঃ২০১১;বঃ২০১৪;দিঃ২০১১ ]

\(Q.3.(xii)\) \((ax)^{bx}\)
উত্তরঃ \((ax)^{bx}\{b(1+\ln{ax})\}\)

\(Q.3.(xiii)\) \(x^{x}+x^{\frac{1}{x}}\)
উত্তরঃ \(x^{x}(1+\ln{x})+x^{\frac{1}{x}-2}(1-\ln{x})\)

\(Q.3.(xiv)\) \((\tan{x})^{x}+x^{\tan{x}}\)
উত্তরঃ \((\tan{x})^{x}(x\cot{x}\sec^2{x}+\ln{\tan{x}})\)\(+x^{\tan{x}}\left(\frac{\tan{x}}{x}+\sec^2{x}\ln{x}\right)\)

\(Q.3.(xv)\) \(a^{x}+b^{x^2}\)
উত্তরঃ \(a^{x}\ln{a}+2xb^{x^2}\ln{b}\)

\(Q.3.(xvi)\) \((\ln{x})^{x}+x^{\sin{x}}\)
উত্তরঃ \((\ln{x})^{x}\left(\frac{1}{\ln{x}}+\ln{\ln{x}}\right)\)\(+x^{\sin{x}}\left(\frac{\sin{x}}{x}+\cos{x}\ln{x}\right)\)

\(Q.3.(xvii)\) \(x^{\cos^{-1}{x}}+(\sin^{-1}{x})^{x}\)
উত্তরঃ \(x^{\cos^{-1}x}\left(\frac{\cos^{-1}{x}}{x}-\frac{\ln{x}}{\sqrt{1-x^2}}\right)\)\(+(\sin^{-1}{x})^{x}\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}\sin^{-1}{x}}+\ln{(\sin^{-1}{x})}\right)\)

\(Q.3.(xviii)\) \((\sin{x})^{\cos{x}}+(\cos{x})^{\sin{x}}\)
উত্তরঃ \((\sin{x})^{\cos{x}}\{\cot{x}\cos{x}-\sin{x}\ln{(\sin{x})}\}\)\(+(\cos{x})^{\sin{x}}\{\cos{x}\ln{(\cos{x})}-\tan{x}\sin{x}\}\)

\(Q.3.(xix)\) \((1+x^2)^{x^2}\)
উত্তরঃ \(2x(1+x^2)^{x^2}\left(\frac{x^2}{1+x^2}+\ln{(1+x^2)}\right)\)

\(Q.3.(xx)\) \((1+x^2)^{2x}\)
উত্তরঃ \((1+x^2)^{2x}\left(\frac{4x}{1+x^2}+2\ln{(1+x^2)}\right)\)
[ যঃ২০০৬]

\(Q.3.(xxi)\) \((\sin{x})^{x}\)
উত্তরঃ \((\sin{x})^{x}\{x\cot{x}+\ln{(\sin{x})}\}\)
[ যঃ২০০৬]

\(Q.3.(xxii)\) \((1+x)^{x}\)
উত্তরঃ \((1+x)^{x}\left(\frac{x}{1+x}+\ln{(1+x)}\right)\)
[ বঃ২০১৩]

\(Q.3.(xxiii)\) \(y=\sqrt{\sin{x}+\sqrt{\sin{x}+\sqrt{\sin{x}+.......\infty}}}\) হলে দেখাও যে, \(\frac{dy}{dx}=\frac{\cos{x}}{2y-1}\)

\(Q.3.(xxiv)\) \(y=\sqrt{\cos{x}\sqrt{\cos{x}\sqrt{\cos{x}.......\infty}}}\) হলে দেখাও যে, \(\frac{dy}{dx}=\frac{y\sin{x}}{\cos{x}-2y}\)

\(Q.3.(xxv)\) \(y=\sqrt{1-x^2}\sin^{-1}{x}\) হলে, দেখাও যে, \((1-x^2)\frac{dy}{dx}=1-xy-x^2\)

Post List

Multiple Choise

MATH. LIST
Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
Trigonometry 11 and 12 standard
Statistics 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard
Vector 11 and 12 standard
Vector Honours course standard
Physical chemistry 11 and 12 standard