পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণ
barcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয়গুলি আলোচনা করব।
পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণ।
Successive Differentiation.
\(x\) এর সাপেক্ষে \(y=f(x)\) এর প্রথম অন্তরজকে \(\frac{dy}{dx}, \ f^{\prime}(x), \ y_{1}\) বা \(y^{\prime}\) প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। যদি প্রথম অন্তরজও সাধারণত \(x\) এর একটি ফাংশন হয়। তবে \(x\) এর এই নতুন ফাংশনের \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরজকে \(f(x)\) এর দ্বিতীয় অন্তরজ বলা হয়। \(f(x)\) এর দ্বিতীয় অন্তরজকে \(\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\) বা সংক্ষেপে \(\frac{d^2y}{dx^2}, \ f^{\prime\prime}(x), \ y_{2}\) বা \(y^{\prime\prime}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। অনুরূপভাবে, \(x\) এর সাপেক্ষে \(\frac{d^2y}{dx^2}\) এর অন্তরজকে \(f(x)\) এর তৃতীয় অন্তরজ বলা হয় এবং একে \(\frac{d^3y}{dx^3}, \ f^{\prime\prime\prime}(x), \ y_{3}\) বা \(y^{\prime\prime\prime}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয় এবং এরূপভাবে \(f(x)\) এর \(n\) তম অন্তরজ \(\frac{d^ny}{dx^n}, \ f^{n}(x), \ y_{n}\) বা \(y^{n}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। এভাবে কোনো ফাংশনকে ধারাবাহিকভাবে অন্তরীকরণ করার প্রক্রিয়াকে পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণ বলা হয়।
অন্তরজের প্রতীক।
\(\frac{dy}{dx}=y_{1}, \ \frac{dy_{1}}{dx}=y_{2}, \ \frac{dy_{2}}{dx}=y_{3}, \ ...\frac{dy_{n-1}}{dx}=y_{n}\)
\(\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=y_{2}\)
\(\frac{d}{dx}\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)=y_{3}\)
\(\frac{d}{dx}\left(\frac{d^3y}{dx^3}\right)=y_{4}\)
\(............\)
\(\frac{d}{dx}\left(\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}\right)=y_{n}\)
কতকগুলি বিশেষ ফাংশনের \(n\) তম অন্তরজ। যেখানে \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা।
The \(n^{th}\) derivative of some of spesial function.Where n is positive integer.
\((1)\) \(y=x^n\) হলে,
\(y_{n}=n!\)

\((2)\) \(y=e^x\) হলে,
\(y_{n}=e^x\)

\((3)\) \(y=e^{ax}\) হলে,
\(y_{n}=a^ne^{ax}\)

\((4)\) \(y=a^{x}\) হলে,
\(y_{n}=(\ln{a})^na^x\)

\((5)\) \(y=\ln{x}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1){n-1}(n-1)!}{x^n}\)

\((6)\) \(y=\frac{1}{x}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1){n}(n)!}{x^{n+1}}\)

\((7)\) \(y=\ln{(x+a)}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1){n-1}(n-1)!}{(x+a)^{n}}\)

\((8)\) \(y=\frac{1}{x+a}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1)^{n}n!}{(x+a)^{n+1}}\)

\((9)\) \(y=\frac{1}{x-a}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1)^{n}n!}{(x-a)^{n+1}}\)

\((10)\) \(y=\ln{(ax)}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1){n-1}(n-1)!a^n}{(ax)^{n}}\)

\((11)\) \(y=\ln{(ax+b)}\) হলে,
\(y_{n}=\frac{(-1){n-1}(n-1)!a^n}{(ax+b)^{n}}\)

\((12)\) \(y=\sin{x}\) হলে,
\(y_{n}=\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+x\right)}\)

\((13)\) \(y=\sin{(ax)}\) হলে,
\(y_{n}=a^n\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+ax\right)}\)

\((14)\) \(y=\sin{(ax+b)}\) হলে,
\(y_{n}=a^n\sin{\{\frac{n\pi}{2}+(ax+b)\}}\)

\((15)\) \(y=\cos{x}\) হলে,
\(y_{n}=\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+x\right)}\)

\((16)\) \(y=\cos{(ax)}\) হলে, \(y_{n}=a^n\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+ax\right)}\)

\((17)\) \(y=\cos{(ax+b)}\) হলে,
\(y_{n}=a^n\cos{\{\frac{n\pi}{2}+(ax+b)\}}\)

\((18)\) \(y=e^{ax}\sin{(bx)}\) হলে,
\(y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\sin{\{bx+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\)

\((19)\) \(y=e^{ax}\cos{(bx)}\) হলে,
\(y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\cos{\{bx+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\)

\((20)\) \(y=e^{ax}\sin{(bx+c)}\) হলে,
\(y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\sin{\{bx+c+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\)

\((21)\) \(y=e^{ax}\cos{(bx+c)}\) হলে,
\(y_{n}=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\cos{\{bx+c+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\}}\)

ম্যাকলরিনের উপপাদ্য।
Maclaurins theorem.
\(f(x)\) যদি \(x\) এর এমন একটি ফাংশন হয়, যাকে \(x\) এর ধনাত্মক পূর্ণ সাংখ্যিক, ক্রমবর্ধমান শক্তির একটি অসীম ধারায় বিস্তৃত করা যায় এবং ঐ বিস্তৃতির প্রতিটি পদ যে কোনো সংখ্যক বার অন্তরীকরণযোগ্য হয়, তাহলে,
\(f(x)=f(0)+\frac{x}{1!}f^{\prime}(0)+\frac{x^2}{2!}f^{\prime\prime}(0)+\frac{x^3}{3!}f^{\prime\prime\prime}(0)+ .......+\frac{x^n}{n!}f^{n}(0)+ ...\infty\)

অনুশীলনী \(9.G\) উদাহরণ সমুহ
\((1)\) যদি \(y=a\sin{x}+b\cos{x}\) হয় তবে দেখাও যে, \(\frac{d^2y}{dx^2}+y=0\)

\((2)\) \(y=\sqrt{(4+3\sin{x})}\) হলে, দেখাও যে, \(2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+y^2=4\)

\((3)\) \(y=(p+qx)e^{-2x}\) হলে, দেখাও যে, \(\frac{d^2y}{dx^2}+4\frac{dy}{dx}+4y=0\)

\((4)\) \(y=\sin{(\sin{x})}\) হলে, দেখাও যে, \(\frac{d^2y}{dx^2}+\frac{dy}{dx}\tan{x}+y\cos^2{x}=0\)
[ বঃ ২০১৪,২০০৯;ঢাঃ ২০১৪, ২০০১;কুঃ ২০১৩,২০০৭;সিঃ২০১১,২০০৬;যঃ২০০৫ ]

\((5)\) \(y=x^2+\frac{1}{x^2}\) হলে, দেখাও যে, \(x^2\frac{d^2y}{dx^2}+x\frac{dy}{dx}-4y=0\)

\((6)\) \(y=ax^2+\frac{b}{\sqrt{x}}\) হলে, দেখাও যে, \(2x^2y_{2}-xy_{1}-2y=0\)
[ ঢাঃ২০০৬;রাঃ২০১৩,২০০৬;কুঃ২০০৯,২০০৬;যঃ২০১৪,২০১২,২০০৫; দিঃ২০১৪,২০১১;চঃ২০১৩,২০১১;সিঃ২০১৩,২০১০;মাঃ২০১৩,২০০৯ ]

\((7)\) \(y=\sin{(2\cos^{-1}{x})}\) হলে, দেখাও যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}+4y=0\) অথবা, \((1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}+4y=0\)

\((8)\) \(y=\sin{(m\sin{x})}\) হলে, দেখাও যে, \(\frac{d^2y}{dx^2}+\frac{dy}{dx}\tan{x}+m^2y\cos^2{x}=0\)

\((9)\) \(y=x^3+5x^2+10x+14\) হলে, \(\frac{dy}{dx}, \frac{d^2y}{dx^2}, \frac{d^3y}{dx^3}\) এবং \(\frac{d^4y}{dx^4}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x^2+10x+10, 6x+10, 6, 0\)

\((10)\) \(y=ax\sin{x}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(x^2y_{2}-2xy_{1}+(x^2+2)y=0\)

অনুশীলনী \(9.G / Q.1\)-এর অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমুহ
\(Q.1.(i)\) \(y=x(x^2-5)\) হলে, \(\frac{d^3y}{dx^3}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(6\)

\(Q.1.(ii)\) \(y=x^2-2+\frac{1}{x^2}\) হলে, \(\frac{d^2y}{dx^2}\) এবং \(\frac{d^3y}{dx^3}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2+\frac{6}{x^4}; -\frac{24}{x^5}\)

\(Q.1.(iii)\) \(y=x^2+\frac{1}{x^2}\) হলে, দেখাও যে, \(x^2\frac{d^2y}{dx^2}+x\frac{dy}{dx}-4y=0\)

\(Q.1.(iv)\) \(y=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\) হলে, দেখাও যে, \(2x\frac{dy}{dx}+y=2\sqrt{x}\)
[ কুঃ ২০০৮;ঢাঃ২০০৭,২০০৩;যঃ২০০৭;মাঃ২০০১ ]

\(Q.1.(v)\) \(y=ax^2+\frac{b}{\sqrt{x}}\) হলে, দেখাও যে, \(2x^2y_{2}-xy_{1}-2y=0\)
[ কুঃ ২০০৯;চঃ২০১২;ঢাঃ২০০৬ ]

\(Q.1.(vi)\) \(y=px^2+qx^{-\frac{1}{2}}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(2x^2\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}=2y\)
[ যঃ ২০১২,২০০৫;চঃ২০১১;দিঃ২০১১;সিঃ২০১০,২০০৮; কুঃ২০০৬,রাঃ২০০৬,২০০০;বঃ২০০৩;মাঃ২০০৯ ]

\(Q.1.(vii)\) \(x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}=0\) হলে, দেখাও যে, \(\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{(1+x)^2}\)
[বুয়েটঃ২০০৩-২০০৪ ]

\(Q.1.(viii)\) \(y=5x^4-3x^3+5x+2\) হলে, \(x=2\) বিন্দুতে \(y_{2}\) ও \(y_{3}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(204; 222 \)

\(Q.1.(ix)\) \(y=px+\frac{q}{x}\) হলে, দেখাও যে, \(x\frac{d^2y}{dx^2}+2\frac{dy}{dx}=2p\)
[ ঢাঃ২০০৯;যঃ২০০৯;চঃ২০০৫]

\(Q.1.(x)\) \(y=\sqrt{(1-x)(1+x)}\) হলে, দেখাও যে, \((1-x^2)\frac{dy}{dx}+xy=0\)
[ যঃ২০০৪ ]

\(Q.1.(xi)\) \(y=(x^2-1)^n\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \((x^2-1)y_{2}-2(n-1)xy_{1}-2ny=0\)

\(Q.1.(xii)\) \(y=\frac{x^2}{1-x}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \((1-x)y_{2}-2y_{1}=2\)

\(Q.1.(xiii)\) \(y=x^{\frac{2}{3}}+x^{-\frac{2}{3}}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(3x\frac{dy}{dx}+2y=4x^{\frac{2}{3}}\)

\(Q.1.(xiv)\) \(y=4x^{\frac{3}{2}}-3+2x^{\frac{1}{2}}\) হলে, \(y_{2}\) নির্ণয় কর এবং \(x=4\) হলে, \(y_{2}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x^{-\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}x^{\frac{-3}{2}}; \frac{23}{16}\)

\(Q.1.(xv)\) \(y=\frac{x}{x+2}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(xy_{1}=y(1-y)\)

\(Q.1.(xvi)\) \(y=ax^{n+1}+bx^{-n}\) হলে, দেখাও যে, \(x^2y_{2}=n(n+1)y\)

\(Q.1.(xvii)\) \(y=\sqrt{ax^2+bx+c}\) হলে, দেখাও যে, \(4y^3y_{2}=4ac-b^2\)

অনুশীলনী \(9.G / Q.2\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমুহ
\(Q.2.(i)\) \(y=\tan{x}\) হলে, দেখাও যে, \(\frac{d^2y}{dx^2}=2y(1+y^2)\)
[ মাঃ২০০২ ]

\(Q.2.(ii)\) \(y=\sin{x}\) হলে, দেখাও যে, \(y_{4}-y=0\)
[ রাঃ২০০৪;বঃ২০০৪ ]

\(Q.2.(iii)\) \(y=x^3\ln{x}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(y_{4}=\frac{6}{x}\)

\(Q.2.(iv)\) \(y=\frac{\ln{x}}{x}\) হলে, দেখাও যে, \(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2\ln{x}-3}{x^3}\)
[ দিঃ২০০৯;বঃ২০০৭;ঢাঃ২০০৬;চঃ২০০৪,২০০১]

\(Q.2.(v)\) \(y=\tan{x}+\sec{x}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\cos{x}}{(1-\sin{x})^2}\)
[ রাঃ২০১০,২০০৫,২০০১]

\(Q.2.(vi)\) \(y=\sec{x}\) হলে, দেখাও যে, \(y_{2}=y(2y^2-1)\)
[ যঃ২০১১,২০০৮;কুঃ২০১০,২০০২,২০০০;চঃ২০০৮,২০০৬,২০০৪;রাঃ২০০৭,২০০২; সিঃ২০০৭;বঃ২০০৬;ঢাঃ২০১৭,২০০০;মাঃ২০১২,২০০৫,২০০১ ]

\(Q.2.(vii)\) \(y=a\cos{(\ln{x})}+b\sin{(\ln{x})}\) হলে, দেখাও যে, \(x^2y_{2}+xy_{1}+y=0\)
[ ঢাঃ২০০৯ ]

\(Q.2.(viii)\) \(y=x^m\ln{x}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(xy_{1}=my+x^m\)

\(Q.2.(ix)\) \(y=x^{n-1}\ln{x}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(x^2y_{2}+(3-2n)xy_{1}+(n-1)^2y=0\)
[ বুয়েটঃ২০০৯-২০১০]

\(Q.2.(x)\) \(y=\sin^{-1}{x}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}=0\)

\(Q.2.(xi)\) \(y=(\sin^{-1}{x})^2\) হলে, প্রমাণ কর যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}-2=0\)
[ রাঃ২০১১,২০০১;বঃ২০০৮;কুঃ২০০০;মাঃ২০১০,২০০৩]

\(Q.2.(xii)\) \(f(u)=\sin^{-1}{u}, y=\{f(2x)\}^2\) হলে, দেখাও যে, \((1-4x^2)y_{2}-4xy_{1}-8=0\)
[ সিঃ২০১৭ ]

\(Q.2.(xiii)\) \(x=\sin{\sqrt{y}}\) হলে, দেখাও যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}-2=0\)
[ বঃ২০১২,২০০৫,২০০৩;চঃ২০১১;ঢাঃ২০০৮;কুঃ২০০৮,২০০৩ ]

\(Q.2.(xiv)\) \(y=\frac{1}{2}(\sin^{-1}{x})^2\) হলে, প্রমাণ কর যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}-1=0\)
[ বুয়েটঃ২০০৫-২০০৬]

\(Q.2.(xv)\) \(y=\cos^{-1}{x}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}=0\)

\(Q.2.(xvi)\) \(\ln{y}=bz\) এবং \(\cos{z}=x\) হলে, প্রমাণ কর যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}=b^2y\)
[ বঃ২০১৭]

\(Q.2.(xvii)\) \(y=(\cos^{-1}{x})^2\) হলে, দেখাও যে, \((1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}=2\)
[ ঢাঃ২০১২,২০০৪;দিঃ২০১২;সিঃ২০০৮;বঃ২০০৬;চঃ২০০৩;যঃ২০০৩; কুঃ২০০১;রাঃ২০০৪;মাঃ২০০৮ ]

\(Q.2.(xviii)\) যদি \(\cos{\sqrt{y}}=x\) হয়, তবে দেখাও যে, \((1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}-2=0\)
[ যঃ২০১২,২০০৪,২০০৬;ঢাঃ২০১১,২০০১;সিঃ২০০১০,২০০৪; রাঃ২০০৯,২০০৭;চঃ২০০৬ ]

\(Q.2.(xix)\) \(y=\tan^{-1}{x}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \((1+x^2)y_{2}+2xy_{1}=0\)
[ মাঃ২০০৭,২০০৫;ঢাঃ,কুঃ২০০৫]

\(Q.2.(xx)\) \(y=(\tan^{-1}{x})^2\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \((1+x^2)^2y_{2}+2(1+x^2)xy_{1}=2\)

\(Q.2.(xxi)\) \(y=\sqrt{a+b\cos{x}}\) হলে, দেখাও যে, \(2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+y^2=a\)
[ যঃ২০১৭]

\(Q.2.(xxii)\) \(y=\ln{(x+\sqrt{a^2+x^2})}\) হলে, দেখাও যে, \((a^2+x^2)y_{2}+xy_{1}=0\)
[ চঃ,মাঃ২০১০;যঃ২০০৩,২০০১]

\(Q.2.(xxiii)\) \(y=(x+\sqrt{1+x^2})^m\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \((1+x^2)y_{2}+xy_{1}-m^2y=0\)
[সিঃ২০১১;যঃ,বঃ২০০১০;চঃ২০০৯]


\(Q.2.(xxiv)\) \(y=e^{a\sin^{-1}{x}}\) হলে, দেখাও যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}=a^2y\)
[কুঃ২০১২,২০০১;ঢাঃ২০১১,২০০৩;বঃ২০১১;যঃ২০০৯,২০০২ সিঃ২০০৯,২০০৭,২০০৪;চঃ২০০৫;রাঃ২০০০;মাঃ২০১২,২০০৯,২০০৬]

\(Q.2.(xxv)\) \(\ln{y}=a\sin^{-1}{x}\) হলে, দেখাও যে, \((1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}-a^2y=0\)
[ ঢাঃ২০০৭ ]

\(Q.2.(xxvi)\) যদি \(y=e^{\tan^{-1}{x}}\) অথবা \(\ln{y}=\tan^{-1}{x}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \((1+x^2)y_{2}+(2x-1)y_{1}=0\)
[ ঢাঃ,বঃ২০১২;কুঃ২০১৭,২০১১;রাঃ২০১০,২০০৮,২০০৫,২০০২;যঃ২০১০ ]

\(Q.2.(xxvii)\) \(y=e^{4\sin^{-1}{x}}\) হলে, দেখাও যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}=16y\)
[ চঃ২০০২ ]

\(Q.2.(xxviii)\) \(y=\sin{(m\sin^{-1}{x})}\) হলে, দেখাও যে, \((1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}+m^2y=0\)
[ বঃ২০১১,২০০৩,২০০১;ঢাঃ২০১০,২০০৫;রাঃ২০০৯; চঃ২০০৮;সিঃ২০০৩;মাঃ২০০৪ ]

\(Q.2.(xxix)\) \(y=\cos{(m\sin^{-1}{p})}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \((1-p^2)y_{2}-py_{1}+m^2y=0\)
[ চঃ২০১৭ ]

\(Q.2.(xxx)\) \(y=\cos{(2\sin^{-1}{x})}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \((1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}+4y=0\)
[ বুয়েটঃ২০০৬-২০০৭ ]

\(Q.2.(xxxi)\) \(y=\tan{(m\tan^{-1}{x})}\) হলে, দেখাও যে, \((1+x^2)y_{1}=m(1+y^2)\)
[ চঃ২০১২;কুঃ২০০৭,২০০৪]

\(Q.2.(xxxii)\) \(y=\tan{(m\tan^{-1}{x})}\) হলে, দেখাও যে, \((1+x^2)y_{2}-2(my-x)y_{1}=0\)
[ ঢাঃ২০১৩,২০০০;কুঃ২০১২;যঃ২০১১;সিঃ২০০৬;মাঃ২০০৬,২০০৪]

\(Q.2.(xxxiii)\) \(y=x^2\ln{x}\) হলে, \(y_{3}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{2}{x}\)

\(Q.2.(xxxiv)\) \(y=\ln{(\sin{x})}\) হলে, দেখাও যে, \(\frac{d^3y}{dx^3}=\frac{2\cos{x}}{\sin^3{x}}\)
\(Q.2.(xxxv)\) \(y=a\cos{\{\ln{(1+x)}\}}\) হলে, দেখাও যে, \((1+x)^2y_{2}+(1+x)y_{1}+y=0\)

\(Q.2.(xxxvi)\) \(y=Ae^{mx}+Be^{-mx}\) হলে, দেখাও যে, \(y_{2}-m^2y=0\)
[ যঃ২০০৭;দিঃ২০১০;বঃ২০১৩,২০০৮;সিঃ২০১১ ]

\(Q.2.(xxxvii)\) \(y=\frac{1}{2}(e^{x}+e^{-x})\) হলে, দেখাও যে, \(\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=y^2-1\)
[ চঃ২০০৩ ]

\(Q.2.(xxxviii)\) \(y=a\sin^{-1}{x}+b\cos^{-1}{x}\) হলে, দেখাও যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}=0\)
[ ঢাঃ২০০৮;রাঃ২০১১,২০০৩;কুঃ২০১৩,২০০৮,২০০৩; বঃ২০১২,২০০৮,২০০৫;চঃ২০১১;মাঃ২০১০ ]

\(Q.2.(xxxix)\) \(x=\cos{\sqrt{y}} \) অথবা, \(y=(\cos^{-1}{x})^2 \) হলে, দেখাও যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}-2=0\)
[ বুয়েটঃ২০০৮-২০০৯; কুয়েটঃ২০১৩-২০১৪;ঢাঃ২০১২,২০১১,২০০৪; রাঃ২০০৯,২০০৭,২০০৪;কুঃ২০১০; দিঃ২০১২,২০১৩;যঃ২০১২,২০০৮,২০০৬,২০০; চঃ২০১৩,২০০৬,২০০৩; সিঃ২০১৪,২০১০,২০০৮,২০০৪; বঃ২০১০,২০০৬]

\(Q.2.(xL)\) \(2y=(\tan^{-1}{x})^2\) হলে, দেখাও যে, \((1+x^2)^2y_{2}+2(1+x^2)xy_{1}=1\)

\(Q.2.(xLi)\) \(y=e^{m\cos^{-1}{x}}\) অথবা, \(\ln{y}=m\cos^{-1}{x}\) অথবা, \(x=\cos\left(\frac{1}{m}\ln{y}\right)\)হলে,
প্রমাণ কর যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}=m^2y\)

\(Q.2.(xLii)\) \(y=\cos{(m\sin^{-1}{x})}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}+m^2y=0\)

\(Q.2.(xLiii)\) \(y=a\sin{(\ln{x})}+b\cos{(\ln{x})}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(x^2y_{2}+xy_{1}+y=0\)

\(Q.2.(xLiv)\) \(y=\sec{2x}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(y_{2}+y=3y^5\)

\(Q.2.(xLv)\) \(y=\cot{x}+cosec{x}\) হলে, দেখাও যে, \(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\sin{x}}{(1-\cos{x})^2}\)

অনুশীলনী \(9.G / Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমুহ
\(Q.3.(i)\) \(y=e^x\cos{x}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(y_{2}-2y_{1}+2y=0\)
[ যঃ২০১৩;দিঃ২০১০;মাঃ২০০৮;সিঃ২০০৫,২০০৩;রাঃ২০০৩;ঢাঃ২০০২]

\(Q.3.(ii)\) \(y=e^{x}\cos{x}\) হলে, দেখাও যে, \(y_{4}+4y=0\)

\(Q.3.(iii)\) \(y=e^{ax}\sin{bx}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(y_{2}-2ay_{1}+(a^2+b^2)y=0\)
[ কুয়েটঃ২০০৩-২০০৪]

\(Q.3.(iv)\) \(y=(e^{x}+e^{-x})\sin{x}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(\frac{d^4y}{dx^4}+4y=0\)
[ দিঃ২০১২;ঢাঃ২০১০,২০০৪;রাঃ২০০৬]

\(Q.3.(v)\) \(\cos^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)=\ln{\left(\frac{x}{n}\right)^n}\) হলে,
প্রমাণ কর যে, \(x^2\frac{d^2y}{dx^2}+x\frac{dy}{dx}+n^2y=0\)
[ বুয়েটঃ২০১০-২০১১]

\(Q.3.(vi)\) \(y=\frac{\sin{x}}{\sqrt{x}}\) হলে,
প্রমাণ কর যে, \(x^2\frac{d^2y}{dx^2}+x\frac{dy}{dx}+\left(x^2-\frac{1}{4}\right)y=0\)
[ বুয়েটঃ২০০৪-২০০৫]

\(Q.3.(vii)\) \(y=A\sin{mx}+B\cos{mx}\) হলে,
প্রমাণ কর যে, \(y_{2}+m^2y=0\) এবং \(y_{4}-m^4y=0\)
[ বুয়েটঃ২০০৪-২০০৫]

\(Q.3.(viii)\) \(y=x^m\log_{e}x\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(xy_{1}=my+x^m\)
[ বুয়েটঃ২০০৪-২০০৫]

\(Q.3.(ix)\) \(y=(a+bx)e^{2x}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(y_{2}-2y_{1}-2be^{2x}=0\)

\(Q.3.(x)\) \(y=(a+bx)e^{-2x}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(\frac{d^2y}{dx^2}+4\frac{dy}{dx}+4y=0\)

\(Q.3.(xi)\) \(y=(p+qx)e^{-2x}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(y_{2}+4y_{1}+4y=0\)

\(Q.3.(xii)\) \(y=e^{a\sin{t}}\) হলে, দেখাও যে, \((1-t^2)y_{2}-ty_{1}=a^2y\)
[ ঢাঃ ২০১১ ]

\(Q.3.(xiii)\) \(x=a(\theta+\sin{\theta})\) ও \(y=a(1-\cos{\theta})\) হলে,
\(\frac{\theta}{2}\) এর মাধ্যমে \(\frac{dy}{dx}\) ও \(\frac{d^2y}{dx^2}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\tan{\frac{\theta}{2}}; \frac{1}{4a}\sec^4{\frac{\theta}{2}}\)

\(Q.3.(xiv)\) \(2x=t+t^{-1}\) এবং \(2y=t-t^{-1} \) হলে,
দেখাও যে, \(\frac{dy}{dx}=\frac{t^2+1}{t^2-1}\)এবং \(\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{8t^3}{(t^2-1)^3}\)

\(Q.3.(xv)\) \(y=\sqrt{\cos{2x}}\) হলে, দেখাও যে, \((yy_{1})^2=1-y^4\)

\(Q.3.(xvi)\) \(y=\tan{\sqrt{1-x}}\) হলে, দেখাও যে, \(2y_{1}\sqrt{1-x}+(1+y^2)=0\)

\(Q.3.(xvii)\) \(y=\frac{4}{\sqrt{\sec{x}}}\) হলে, দেখাও যে, \(2\cot{x}\frac{dy}{dx}+y=0\)

নিচের ফাংশনগুলির \(n\)তম অন্তরজ \(y_{n}\) নির্ণয় কর।
\(Q.3.(xviii)\) \(\frac{1}{a-x}\)
উত্তরঃ \(\frac{n!}{(a-x)^{n+1}}\)

\(Q.3.(xix)\) \(y=\ln{\left(\frac{a-x}{a+x}\right)}\)
উত্তরঃ \((n-1)!\left[\frac{(-1)^n}{(a+x)^{n}}-\frac{1}{(a-x)^{n}}\right]\)

\(Q.3.(xx)\) \(y=\ln{(ax+x^2)}\)
উত্তরঃ \((-1)^{n-1}(n-1)!\left[\frac{1}{(x)^{n}}+\frac{1}{(a+x)^{n}}\right]\)

\(Q.3.(xxi)\) \(y=\cos{2x}\cos{x}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\left[3^n\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+3x\right)}+\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+x\right)}\right]\)

\(Q.3.(xxii)\) \(y=\cos^3{x}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{4}\left[3\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+x\right)}+3^n\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+3x\right)}\right]\)

\(Q.3.(xxiii)\) \(y=\sin{x}\sin{3x}\)
উত্তরঃ \(2^{n-1}\cos{\left(2x+\frac{n\pi}{2}\right)}-2^{2n-1}\cos{\left(4x+\frac{n\pi}{2}\right)}\)

\(Q.3.(xxiv)\) \(y=\ln{x}\)
উত্তরঃ \(\frac{(-1){n-1}(n-1)!}{x^n}\)

\(Q.3.(xxv)\) \(y=\frac{1}{x}\)
উত্তরঃ \(\frac{(-1){n}(n)!}{x^{n+1}}\)

\(Q.3.(xxvi)\) \(y=\frac{x^2+1}{(x-1)(x-2)(x-3)}\)
উত্তরঃ \((-1)^nn!\left[\frac{1}{(x-1)^{n+1}}-\frac{5}{(x-2)^{n+1}}+\frac{5}{(x-3)^{n+1}}\right]\)

\(Q.3.(xxvii)\) \(y=\cos{(ax)}\)
উত্তরঃ \(a^n\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+ax\right)}\)

\(Q.3.(xxviii)\) \(y=2\sin{3x}\cos{2x}\)
উত্তরঃ \(5^n\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+5x\right)}+\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+x\right)}\)

\(Q.3.(xxix)\) \(y=4\sin^3{x}\)
উত্তরঃ \(3\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+x\right)}-3^n\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+3x\right)}\)

\(Q.3.(xxx)\) \(y=(ax+b)^{-m}\)
উত্তরঃ \(\frac{(-1)^n(m+n-1)!a^n}{(m-1)!(ax+b)^{m+n}}\)

\(Q.3.(xxxi)\) \(y=e^{3x}\sin^2{x}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}e^{3x}\left[3^{n}-(\sqrt{13})^n\cos{(2x+n\tan^{-1}{\frac{2}{3}})}\right]\)

\(Q.3.(xxxii)\) \(y=\cos{x}\) হলে, \(y_{n}\) নির্ণয় কর এবং \((y_{n})_{0}\) এর মাণ নির্ণয় কর।

Please leave your question below

2 Question(s)
imonhaider
October 29, 2019, 12:15 am
\[\frac{d}{dx}(e^{x^2})=?\]
Reply
Tanmoy
October 28, 2019, 11:53 pm
\[\int{\frac{dx}{1+x^2}}=? \]
Reply

Post List

MATH. LIST
Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Trigonometry 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Statistics 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard