মনে করি,
\(y=f(x)\) বক্ররেখার উপর \(P(x_{1}, y_{1})\) একটি বিন্দু । \(P\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রান্ত সরলরেখটি উক্ত বক্ররেখাটিকে \(Q(x_{1}+\delta{x_{1}}, y_{1}+\delta{y_{1}})\) বিন্দুতে ছেদ করেছে। সুতরাং \(PQ\) জ্যা এর সমীকরণ হবে
\(\frac{x-x_{1}}{x_{1}-x_{1}-\delta{x_{1}}}=\frac{y-y_{1}}{y_{1}-y_{1}-\delta{y_{1}}}\) ➜Note যেহেতু দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \((x_{1}, y_{1})\) এবং \((x_{2}, y_{2})\) দিয়ে গমনকারী সরলরেখার সমীকরণ \(\frac{x-x_{1}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{y-y_{1}}{y_{1}-y_{2}}\)
এখানে, \((x, y)\) কে চলমান বিন্দু ধরা হয়েছে।
\(\Rightarrow \frac{x-x_{1}}{-\delta{x_{1}}}=\frac{y-y_{1}}{-\delta{y_{1}}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-x_{1}}{\delta{x_{1}}}=\frac{y-y_{1}}{\delta{y_{1}}}\)
\(\Rightarrow \frac{y-y_{1}}{\delta{y_{1}}}=\frac{x-x_{1}}{\delta{x_{1}}}\)
\(\Rightarrow y-y_{1}=\frac{\delta{y_{1}}}{\delta{x_{1}}}(x-x_{1}) ......(1)\)
যদি \(P\rightarrow{Q}\) হয়, তখন \(\delta{x_{1}}\rightarrow{0}, \delta{y_{1}}\rightarrow{0}\) হবে।
\((1)\) নং হতে \(P(x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ
\[y-y_{1}=\lim_{\delta{x_{1}} \rightarrow 0}\frac{\delta{y_{1}}}{\delta{x_{1}}}(x-x_{1})\] যদি সীমার অস্তিত্ব থাকে।
\(\Rightarrow y-y_{1}=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}(x-x_{1})\) ➜Note \[\because \lim_{\delta{x_{1}} \rightarrow 0}\frac{\delta{y_{1}}}{\delta{x_{1}}}=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}\]
অর্থাৎ \(y=f(x)\) বক্ররেখার \(P(x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ
\(y-y_{1}=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}(x-x_{1})\)
এখানে, \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}\)

কোনো বক্ররেখার স্পর্শকের স্পর্শবিন্দু দিয়ে অতিক্রান্ত এবং স্পর্শকের উপর অঙ্কিত লম্ব রেখাটিকে বক্ররেখাটির অভিলম্ব বলে।
আমরা জানি,
\(P(x_{1}, y_{1})\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রান্ত সরলরেখার সমীকরণ
\(y-y_{1}=m(x-x_{1}) ......(1)\) ➜Note যেহেতু একটি নির্দিষ্ট বিন্দু \((x_{1}, y_{1})\) দিয়ে গমনকারী এবং তার ঢাল \((m)\) দেওয়া থাকিলে সরলরেখার সমীকরণ \(y-y_{1}=m(x-x_{1})\)
\(\Rightarrow (y-y_{1})\frac{1}{m}=(x-x_{1})\)
\(\Rightarrow (y-y_{1})\frac{1}{m}-(x-x_{1})=0 ......(2)\)
\((1)\) নং সরলরেখা \(P(x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের উপর লম্ব হবে
যদি,
\(m\times{\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}}=-1\) হয়।
\(\Rightarrow \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}=-\frac{1}{m}\)
\(\therefore \frac{1}{m}=-\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}\)
\((2)\) নং সমীকরণ হতে,
\(\Rightarrow (y-y_{1})\times{-\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}}-(x-x_{1})=0\)
\(\Rightarrow -(y-y_{1})\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}-(x-x_{1})=0\)
\(\therefore (y-y_{1})\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}+(x-x_{1})=0\)
অর্থাৎ \(y=f(x)\) বক্ররেখার \(P(x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ
\((y-y_{1})\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}+(x-x_{1})=0\)

মনে করি,
\(f(x,y)=0\) বক্ররেখার উপর \(P(x_{1}, y_{1})\) একটি বিন্দু । \(P\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রান্ত সরলরেখটি উক্ত বক্ররেখাটিকে \(Q(x_{1}+\delta{x_{1}}, y_{1}+\delta{y_{1}})\) বিন্দুতে ছেদ করেছে। সুতরাং \(PQ\) জ্যা এর সমীকরণ হবে
\(\frac{x-x_{1}}{x_{1}-x_{1}-\delta{x_{1}}}=\frac{y-y_{1}}{y_{1}-y_{1}-\delta{y_{1}}}\) ➜Note যেহেতু দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \((x_{1}, y_{1})\) এবং \((x_{2}, y_{2})\) দিয়ে গমনকারী সরলরেখার সমীকরণ \(\frac{x-x_{1}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{y-y_{1}}{y_{1}-y_{2}}\)
এখানে, \((x, y)\) কে চলমান বিন্দু ধরা হয়েছে।
\(\Rightarrow \frac{x-x_{1}}{-\delta{x_{1}}}=\frac{y-y_{1}}{-\delta{y_{1}}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-x_{1}}{\delta{x_{1}}}=\frac{y-y_{1}}{\delta{y_{1}}}\)
\(\Rightarrow \frac{y-y_{1}}{\delta{y_{1}}}=\frac{x-x_{1}}{\delta{x_{1}}}\)
\(\Rightarrow y-y_{1}=\frac{\delta{y_{1}}}{\delta{x_{1}}}(x-x_{1}) ......(1)\)
যদি \(P\rightarrow{Q}\) হয়, তখন \(\delta{x_{1}}\rightarrow{0}, \delta{y_{1}}\rightarrow{0}\) হবে।
\((1)\) নং হতে \(P(x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ
\[y-y_{1}=\lim_{\delta{x_{1}} \rightarrow 0}\frac{\delta{y_{1}}}{\delta{x_{1}}}(x-x_{1})\] যদি সীমার অস্তিত্ব থাকে।
\(\Rightarrow y-y_{1}=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}(x-x_{1})\) ➜Note \[\because \lim_{\delta{x_{1}} \rightarrow 0}\frac{\delta{y_{1}}}{\delta{x_{1}}}=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}\]
অর্থাৎ \(f(x,y)=0\) বক্ররেখার \(P(x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ
\(y-y_{1}=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}(x-x_{1}) ......(2)\)
এখানে, \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}\)
এখন,
আংশিক অন্তরীকরণের পূর্ণ বৃদ্ধির হার নির্ণয়ের ক্ষেত্রে আমরা জানি,
\(\frac{dy}{dx}=-\frac{f_{x}}{f_{y}}\) যদি \(f_{y}\ne{0}\) হয়।
\((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল
\(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}=-\frac{f_{x_{1}}}{f_{y_{1}}} .....(3)\)
\((2)\) ও \((3)\) হতে পাই,
\(y-y_{1}=-\frac{f_{x_{1}}}{f_{y_{1}}}(x-x_{1})\)
\(\Rightarrow (y-y_{1})f_{y_{1}}=-f_{x_{1}}(x-x_{1})\)
\(\Rightarrow f_{x_{1}}(x-x_{1})+(y-y_{1})f_{y_{1}}=0\)
\(\therefore (x-x_{1})f_{x_{1}}+(y-y_{1})f_{y_{1}}=0\)
অর্থাৎ \(f(x,y)=0\) বক্ররেখার \(P(x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\((x-x_{1})f_{x_{1}}+(y-y_{1})f_{y_{1}}=0\)

দেওয়া আছে,
\(y=x^3-3x^2-9x+15 .....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3-3x^2-9x+15)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3)-3\frac{d}{dx}(x^2)-9\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(15)\) ➜Note\(\because \frac{d}{dx}(u-v-w+s)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)\(-\frac{d}{dx}(w)+\frac{d}{dx}(s)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=3x^2-3.2x-9.1+0\) ➜Note\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=3x^2-6x-9\)
যেহেতু, স্পর্শক \(x\) অক্ষের সমান্তরাল \(\therefore \frac{dy}{dx}=0\)
\(\therefore 3x^2-6x-9=0\)
\(\Rightarrow 3(x^2-2x-3)=0\)
\(\Rightarrow x^2-2x-3=0\) ➜Note উভয় পার্শে \(3\) ভাগ কর।
\(\Rightarrow x^2-3x+x-3=0\)
\(\Rightarrow x(x-3)+1(x-3)=0\)
\(\Rightarrow (x-3)(x+1)=0\)
\(\Rightarrow x-3=0, x+1=0\)
\(\Rightarrow x=3, x=-1\)
\(\therefore x=3,-1\)
যখন, \(x=3\),
\(\therefore y=3^3-3.3^2-9.3+15\) ➜Note \((1)\) এর সাহায্যে।
\(=27-3.9-27+15\)
\(=27-27-27+15\)
\(=-27+15\)
\(=-12\)
যখন, \(x=-1\),
\(\therefore y=(-1)^3-3.(-1)^2-9.(-1)+15\) ➜Note \((1)\) এর সাহায্যে।
\(=-1-3.1+9+15\)
\(=-1-3+24\)
\(=-4+24\)
\(=20\)
নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((3, -12)\) এবং \((-1, 20)\)

ধরি,
\(y^2=x^2(a-x) .....(1)\)
\(\Rightarrow y^2=ax^2-x^3\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y^2)=\frac{d}{dx}(ax^2-x^3)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}=a\frac{d}{dx}(x^2)-\frac{d}{dx}(x^3)\) ➜Note\(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}=a.2x-3x^2\) ➜Note\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}=2ax-3x^2\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{2ax-3x^2}{2y}\)
যেহেতু, স্পর্শক \(y\) অক্ষের সমান্তরাল \(\therefore \frac{dy}{dx}=\infty\)
\(\therefore \frac{2ax-3x^2}{2y}=\infty\)
\(\Rightarrow \frac{2ax-3x^2}{2y}=\frac{1}{0}\)
\(\Rightarrow 2y=0\) ➜Note আড় গুণ করে।
\(\therefore y=0\)
এখন, \(y=0 \ (1)\) সমীকরণে বসিয়ে,
\(0=x^2(a-x)\)
\(\Rightarrow x^2(a-x)=0\)
\(\Rightarrow x^2=0, a-x=0\)
\(\Rightarrow x=0, -x=-a\)
\(\Rightarrow x=0, x=a\)
\(\therefore x=0, a\)
নির্ণেয় স্পর্শ বিন্দু দুইটি \((0, 0)\) এবং \((a, 0)\)

দেওয়া আছে,
\(y=x^3-2x^2+4\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3-2x^2+4)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(x^3)-2\frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(4)\) ➜Note\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)\)\(-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=3x^2-2.2x+0\) ➜Note\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=3x^2-4x\)
\((2, 4)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(2, 4)}=3.2^2-4.2=3.4-8=12-8=4\)
\((2, 4)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \(y-4=4(x-2)\) ➜Note \(\because (x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \(y-y_{1}=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}(x-x_{1})\)
\(\Rightarrow y-4=4x-8\)
\(\Rightarrow 4x-8=y-4\)
\(\Rightarrow 4x-8-y+4=0\)
\(\therefore\) স্পর্শকের সমীকরণ \(4x-y-4=0\).
আবার,
\((2, 4)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ \((y-4)4+(x-2)=0\) ➜Note \(\because (x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ \((y-y_{1})\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}+(x-x_{1})=0\)
\(\Rightarrow 4y-16+x-2=0\)
\(\therefore \) অভিলম্বের সমীকরণ \(x+4y-18=0\)

দেওয়া আছে,
\(x^3+xy^2-3x^2+4x+5y+2=0\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^3+xy^2-3x^2+4x+5y+2)=\frac{d}{dx}(0)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^3)+\frac{d}{dx}(xy^2)-3\frac{d}{dx}(x^2)+4\frac{d}{dx}(x)+5\frac{d}{dx}(y)+\frac{d}{dx}(2)=0\) ➜Note\(\because \frac{d}{dx}(u+v-w+s+p+q)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)\)\(+\frac{d}{dx}(s)+\frac{d}{dx}(p)+\frac{d}{dx}(q)\)
\(\Rightarrow 3x^2+x\frac{d}{dx}(y^2)+y^2\frac{d}{dx}(x)-3.2x+4.1+5\frac{dy}{dx}+0=0\) ➜Note\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(c)=0\), \(\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow 3x^2+x.2y\frac{dy}{dx}+y^2.1-6x+4+5\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 3x^2+2xy\frac{dy}{dx}+y^2-6x+4+5\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(2xy+5)=6x-3x^2-y^2-4\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{6x-3x^2-y^2-4}{2xy+5}\)
\((1, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1, -1)}=\frac{6.1-3.1^2-(-1)^2-4}{2.1(-1)+5}\)
\(=\frac{6-3-1-4}{-2+5}\)
\(=\frac{6-8}{3}\)
\(=\frac{-2}{3}\)
\(=-\frac{2}{3}\)
\((1, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \(y-(-1)=-\frac{2}{3}(x-1)\) ➜Note \(\because (x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \(y-y_{1}=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}(x-x_{1})\)
\(\Rightarrow y+1=-\frac{2}{3}(x-1)\)
\(\Rightarrow 3(y+1)=-2(x-1)\)
\(\Rightarrow 3y+3=-2x+2\)
\(\Rightarrow 2x+3y+3-2=0\)
\(\Rightarrow 2x+3y+1=0\)
\(\therefore\) স্পর্শকের সমীকরণ \(2x+3y+1=0\).
আবার,
\((1, -1)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ \((y+1)\times{-\frac{2}{3}}+(x-1)=0\) ➜Note \(\because (x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ \((y-y_{1})\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}+(x-x_{1})=0\)
\(\Rightarrow -\frac{2(y+1)}{3}+(x-1)=0\)
\(\Rightarrow x-1=\frac{2(y+1)}{3}\)
\(\Rightarrow 3(x-1)=2(y+1)\)
\(\Rightarrow 3x-3=2y+2\)
\(\Rightarrow 3x-3-2y-2=0\)
\(\Rightarrow 3x-2y-5=0\)
\(\therefore \) অভিলম্বের সমীকরণ \(3x-2y-5=0\)

দেওয়া আছে,
\(s=at^2+bt+c\)
\(\Rightarrow s-c=at^2+bt ....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dt}(s-c)=\frac{d}{dt}(at^2+bt)\) ➜Note \(t\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{ds}{dt}-0=a\frac{d}{dt}(t^2)+b\frac{d}{dt}(t)\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)\(\frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow \frac{ds}{dt}=a.2t+b.1\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(\Rightarrow v=2at+b\) ➜Note \(\because \frac{ds}{dt}=v\)
\(\Rightarrow v^2=(2at+b)^2\) ➜Note উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow v^2=4a^2t^2+4abt+b^2\)
\(\Rightarrow v^2-b^2=4a(at^2+bt)\)
\(\Rightarrow v^2-b^2=4a(s-c)\) ➜Note \(\because s-c=at^2+bt\)
\(\therefore 4a(s-c)=v^2-b^2\)

ধরি,
\(t\) সময়ে বৃত্তের ক্ষেত্রফল \(A\) পরিসীমা \(P\) এবং ব্যাসার্ধ \(r\)
তবে, \(A=\pi r^2\) এবং \(P=2\pi r\)
\(\therefore p^2=4\pi^2r^2\)
\(\Rightarrow p^2=4A\pi\) ➜Note \(\because A=\pi r^2\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dt}(p^2)=4\pi\frac{d}{dt}(A)\) ➜Note \(t\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow 2p\frac{dp}{dt}=4\pi\frac{dA}{dt}\)
\(\Rightarrow \frac{dp}{dt}=\frac{4\pi}{2P}\frac{dA}{dt}\)
\(\Rightarrow \frac{dp}{dt}=\frac{2\pi}{P}\frac{dA}{dt}\)
\(\Rightarrow \frac{dp}{dt}=\frac{1}{r}\frac{dA}{dt}\) ➜Note \(\because P=2\pi r\Rightarrow \frac{2\pi}{P}=\frac{1}{r}\)
\(\Rightarrow \frac{dp}{dt}=\) ধ্রুবক \(\times{\frac{1}{r}}\) ➜Note \(\because \frac{dA}{dt}\) একটি ধ্রুবক; কারণ ক্ষেত্রফল সমহারে বাড়ে।
\(\therefore \frac{dp}{dt}\propto{\frac{1}{r}}\)
অর্থাৎ পরিসীমা ব্যাসার্ধের ব্যস্ত অনুপাতে বাড়ে।

ধরি,
থালাটির ব্যসার্ধ \(r\) এবং তল \(A\)
তবে, \(A=\pi r^2\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dt}(A)=\pi\frac{d}{dt}(r^2)\) ➜Note \(t\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dA}{dt}=\pi.2r\frac{dr}{dt}\)
\(\Rightarrow \frac{dA}{dt}=2\times{3.14}\times{7}\times{0.25}\) ➜Note \(\because \pi=3.14, r=7, \frac{dr}{dt}=0.25\)
\(\Rightarrow \frac{dA}{dt}=10.99\)
\(\therefore \frac{dA}{dt}=11\)
অর্থাৎ থালাটির তলের বৃদ্ধির হার প্রতি সেকেন্ডে \(11\) বর্গ সে.মি.

দেওয়া আছে,
\(y=ax(1+x)\)
\(\Rightarrow y=ax+ax^2\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(ax+ax^2)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=a\frac{d}{dx}(x)+a\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜Note\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=a.1+a.2x\) ➜Note\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=a+2ax\)
মূলবিন্দুতে \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0, 0)}=a+2a.0\)
\(=a+0\)
\(=a\)
যেহেতু, স্পর্শক \(x\) অক্ষের সাথে \(30^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। \(\therefore \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0, 0)}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\therefore a=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

দেওয়া আছে,
\(x^2y+xy^2-2x-3y-17=0\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^2y+xy^2-2x-3y-17)=\frac{d}{dx}(0)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^2y)+\frac{d}{dx}(xy^2)-2\frac{d}{dx}(x)-3\frac{d}{dx}(y)-\frac{d}{dx}(17)=0\) ➜Note\(\because \frac{d}{dx}(u+v-w-s-..)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)\)\(-\frac{d}{dx}(s)-...\)
\(\Rightarrow x^2\frac{d}{dx}(y)+y\frac{d}{dx}(x^2)+x\frac{d}{dx}(y^2)+y^2\frac{d}{dx}(x)-2.1-3\frac{dy}{dx}-0=0\) ➜Note\(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow x^2\frac{dy}{dx}+y.2x+x.2y\frac{dy}{dx}+y^2.1-2-3\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow x^2\frac{dy}{dx}+2xy+2xy\frac{dy}{dx}+y^2-2-3\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow x^2\frac{dy}{dx}+2xy\frac{dy}{dx}-3\frac{dy}{dx}=2-2xy-y^2\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(x^2+2xy-3)=2-2xy-y^2\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{2-2xy-y^2}{x^2+2xy-3}\)
\((2, 3)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(2, 3)}=\frac{2-2.2.3-3^2}{2^2+2.2.3-3}\)
\(=\frac{2-12-9}{4+12-3}\)
\(=\frac{2-21}{16-3}\)
\(=\frac{-19}{13}\)
\(=-\frac{19}{13}\)
\((2, 3)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \(y-3=-\frac{19}{13}(x-2)\) ➜Note \(\because (x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \(y-y_{1}=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}(x-x_{1})\)
\(\Rightarrow y-3=-\frac{19}{13}(x-2)\)
\(\Rightarrow 13(y-3)=-19(x-2)\)
\(\Rightarrow 13y-39=-19x+38\)
\(\Rightarrow 13y-39+19x-38=0\)
\(\Rightarrow 19x+13y-77=0\)
\(\therefore\) স্পর্শকের সমীকরণ \(19x+13y-77=0\).
আবার,
\((2, 3)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ \((y-3)\times{-\frac{19}{13}}+(x-2)=0\) ➜Note \(\because (x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ \((y-y_{1})\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}+(x-x_{1})=0\)
\(\Rightarrow -\frac{19(y-3)}{13}+(x-2)=0\)
\(\Rightarrow x-2=\frac{19(y-3)}{13}\)
\(\Rightarrow 13(x-2)=19(y-3)\)
\(\Rightarrow 13x-26=19y-57\)
\(\Rightarrow 13x-26-19y+57=0\)
\(\Rightarrow 13x-19y-31=0\)
\(\therefore \) অভিলম্বের সমীকরণ \(13x-19y-31=0\)

দেওয়া আছে,
\(y=4x^3+3x^2-6x+1 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(4x^3+3x^2-6x+1)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=4\frac{d}{dx}(x^3)+3\frac{d}{dx}(x^2)-6\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(1)\) ➜Note\(\because \frac{d}{dx}(u+v-w+s)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)\(-\frac{d}{dx}(w)+\frac{d}{dx}(s)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=4.3x^2+3.2x-6.1+0\) ➜Note\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=12x^2+6x-6\)
যেহেতু, স্পর্শক \(x\) অক্ষের সমান্তরাল \(\therefore \frac{dy}{dx}=0\)
\(\therefore 12x^2+6x-6=0\)
\(\Rightarrow 6(2x^2+x-1)=0\)
\(\Rightarrow 2x^2+x-1=0\) ➜Note উভয় পার্শে \(6\) ভাগ কর।
\(\Rightarrow 2x^2+2x-x-1=0\)
\(\Rightarrow 2x(x+1)-1(x+1)=0\)
\(\Rightarrow (x+1)(2x-1)=0\)
\(\Rightarrow x+1=0, 2x-1=0\)
\(\Rightarrow x=-1, 2x=1\)
\(\Rightarrow x=-1, x=\frac{1}{2}\)
\(\therefore x=-1, \frac{1}{2}\)
যখন, \(x=-1\),
\(\therefore y=4.(-1)^3+3.(-1)^2-6(-1)+1\) ➜Note \((1)\) এর সাহায্যে।
\(=-4+3+6+1\)
\(=-4+10\)
\(=6\)
যখন, \(x=\frac{1}{2}\),
\(\therefore y=4.\left(\frac{1}{2}\right)^3+3.\left(\frac{1}{2}\right)^2-6.\frac{1}{2}+1\) ➜Note \((1)\) এর সাহায্যে।
\(=4.\frac{1}{8}+3.\frac{1}{4}-3+1\)
\(=\frac{1}{2}+\frac{3}{4}-3+1\)
\(=\frac{1}{2}+\frac{3}{4}-2\)
\(=\frac{2+3-8}{4}\)
\(=\frac{-3}{4}\)
\(=-\frac{3}{4}\)
নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((-1, 6); \left(\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}\right)\)

দেওয়া আছে,
\(x^2+y^2-2x-3=0 .....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^2+y^2-2x-3)=\frac{d}{dx}(0)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(y^2)-2\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(3)=0\) ➜Note\(\because \frac{d}{dx}(u+v-w-s)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)\(-\frac{d}{dx}(w)-\frac{d}{dx}(s)\)
\(\Rightarrow 2x+2y\frac{dy}{dx}-2.1-0=0\) ➜Note\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow 2x+2y\frac{dy}{dx}-2=0\)
\(\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}=2-2x\)
\(\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}=2(1-x)\)
\(\Rightarrow y\frac{dy}{dx}=(1-x)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1-x}{y}\)
যেহেতু, স্পর্শক \(x\) অক্ষের সমান্তরাল \(\therefore \frac{dy}{dx}=0\)
\(\therefore \frac{1-x}{y}=0\)
\(\Rightarrow 1-x=0\)
\(\Rightarrow -x=-1\)
\(\therefore x=1\)
যখন, \(x=1\),
\(\therefore 1^2+y^2-2.1-3=0\) ➜Note \((1)\) এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow 1+y^2-2-3=0\)
\(\Rightarrow y^2-4=0\)
\(\Rightarrow y^2=4\)
\(\Rightarrow y=\pm{\sqrt{4}}\)
\(\therefore y=\pm{2}\)
নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((1, 2); (1, -2)\)

দেওয়া আছে,
\(y^3=x^2(2a-x)\)
\(\Rightarrow y^3=2ax^2-x^3 ....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(y^3)=\frac{d}{dx}(2ax^2-x^3)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow 3y^2\frac{dy}{dx}=2a\frac{d}{dx}(x^2)-\frac{d}{dx}(x^3)\) ➜Note\(\because \frac{dy}{dx}(y^3)=3y^2\frac{dy}{dx}\), \(\frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow 3y^2\frac{dy}{dx}=2a.2x-3x^2\) ➜Note\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(\Rightarrow 3y^2\frac{dy}{dx}=4ax-3x^2\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{4ax-3x^2}{3y^2}\)
যেহেতু, স্পর্শক \(x\) অক্ষের সমান্তরাল \(\therefore \frac{dy}{dx}=0\)
\(\therefore \frac{4ax-3x^2}{3y^2}=0\)
\(\Rightarrow 4ax-3x^2=0\)
\(\Rightarrow x(4a-3x)=0\)
\(\Rightarrow x=0, 4a-3x=0\)
\(\Rightarrow x=0, -3x=-4a\)
\(\Rightarrow x=0, x=\frac{-4a}{-3}\)
\(\Rightarrow x=0, x=\frac{4a}{3}\)
\(\therefore x=0, \frac{4}{3}a\)
\((1)\) হতে,
যখন, \(x=0\),
\(\Rightarrow y^3=2a.0^2-0^3\) ➜Note \((1)\) এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow y^3=0-0\)
\(\Rightarrow y^3=0\)
\(\therefore y=0\)
যখন, \(x=\frac{4}{3}a\),
\(\Rightarrow y^3=2a.\left(\frac{4}{3}a\right)^2-\left(\frac{4}{3}a\right)^3\) ➜Note \((1)\) এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow y^3=2a^3\frac{16}{9}-a^3\frac{64}{27}\)
\(\Rightarrow y^3=\frac{32a^3}{9}-a^3\frac{64}{27}\)
\(\Rightarrow y^3=\frac{96a^3-64a^3}{27}\)
\(\Rightarrow y^3=\frac{32a^3}{27}\)
\(\Rightarrow y=\sqrt[3]{\frac{32a^3}{27}}\)
\(\Rightarrow y=\frac{2\sqrt[3]{4}a}{3}\)
\(\therefore y=\frac{2\sqrt[3]{4}}{3}a\)
নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \(\left(\frac{4}{3}a, -\frac{2\sqrt[3]{4}}{3}a\right); (0, 0)\)

দেওয়া আছে,
\(y=(x-3)^2(x-2) ....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{(x-3)^2(x-2)\}\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=(x-3)^2\frac{d}{dx}(x-2)+(x-2)\frac{d}{dx}(x-3)^2\) ➜Note\(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=(x-3)^2(1-0)+(x-2).2(x-3)\frac{d}{dx}(x-3)\) ➜Note \(x-3\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\), \(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=(x-3)^2+2(x-2)(x-3)(1-0)\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=(x-3)^2+2(x-2)(x-3)\)
যেহেতু, স্পর্শক \(x\) অক্ষের সমান্তরাল \(\therefore \frac{dy}{dx}=0\)
\(\therefore (x-3)^2+2(x-2)(x-3)=0\)
\(\Rightarrow (x-3)(x-3+2x-4)=0\)
\(\Rightarrow (x-3)(3x-7)=0\)
\(\Rightarrow x-3=0, 3x-7=0\)
\(\Rightarrow x=3, 3x=7\)
\(\Rightarrow x=3, x=\frac{7}{3}\)
\(\therefore x=3, \frac{7}{3}\)
যখন, \(x=3\),
\(\Rightarrow y=(3-3)^2(3-2)\) ➜Note \((1)\) এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow y=0.1\)
\(\therefore y=0\)
যখন, \(x=\frac{7}{3}\),
\(\Rightarrow y=\left(\frac{7}{3}-3\right)^2.\left(\frac{7}{3}-2\right)\) ➜Note \((1)\) এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow y=\left(\frac{7-9}{3}\right)^2.\left(\frac{7-6}{3}\right)\)
\(\Rightarrow y=\left(\frac{-2}{3}\right)^2.\left(\frac{1}{3}\right)\)
\(\Rightarrow y=\frac{4}{9}.\frac{1}{3}\)
\(\therefore y=\frac{4}{27}\)
নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((3, 0); \left(\frac{7}{3}, \frac{4}{27}\right)\)

দেওয়া আছে,
\(x^2+4xy+16y^2=27\)
\(\Rightarrow x^2+4xy+16y^2=27 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^2+4xy+16y^2)=\frac{d}{dx}(27)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^2)+4\frac{d}{dx}(xy)+16\frac{d}{dx}(y^2)=0\) ➜Note\(\because \frac{d}{dx}(u+v+w)=\frac{d}{dx}(u)\)\(+\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(\Rightarrow 2x+4x\frac{d}{dx}(y)+4y\frac{d}{dx}(x)+16.2y\frac{dy}{dx}=0\) ➜Note\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(y^2)=2y\frac{dy}{dx}\), \(\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow 2x+4x\frac{dy}{dx}+4y.1+32y\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 2x+4x\frac{dy}{dx}+4y+32y\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 4x\frac{dy}{dx}+32y\frac{dy}{dx}=-2x-4y\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(4x+32y)=-2x-4y\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{-2x-4y}{4x+32y}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{-2(x+2y)}{4(x+8y)}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{-(x+2y)}{2(x+8y)}\)
যেহেতু, স্পর্শক \(x\) অক্ষের সমান্তরাল \(\therefore \frac{dy}{dx}=0\)
\(\therefore \frac{-(x+2y)}{2(x+8y)}=0\)
\(\Rightarrow -(x+2y)=0\)
\(\Rightarrow x+2y=0\)
\(\therefore x=-2y ......(2)\)
এখন,
\((1)\) ও \((2)\) এর সাহায্যে,
\(\Rightarrow (-2y)^2+4(-2y)y+16y^2=27\)
\(\Rightarrow 4y^2-8y^2+16y^2=27\)
\(\Rightarrow 20y^2-8y^2=27\)
\(\Rightarrow 12y^2=27\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{27}{12}\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow y=\pm{\sqrt{\frac{9}{4}}}\)
\(\Rightarrow y=\pm{\frac{3}{2}}\)
আবার,
\((2)\) হতে,
যখন, \(y=\frac{3}{2}\),
\(x=-2\times{\frac{3}{2}}\) ➜Note \((2)\) এর সাহায্যে।
\(\therefore x=-3\)
যখন, \(y=-\frac{3}{2}\),
\(x=-2\times{-\frac{3}{2}}\) ➜Note \((2)\) এর সাহায্যে।
\(\therefore x=3\)
আবার,
যেহেতু, স্পর্শক \(y\) অক্ষের সমান্তরাল \(\therefore \frac{dy}{dx}=\infty\)
\(\therefore \frac{-(x+2y)}{2(x+8y)}=\infty\)
\(\therefore \frac{-(x+2y)}{2(x+8y)}=\frac{1}{0}\)
\(\Rightarrow 2(x+8y)=0\)
\(\Rightarrow x+8y=0\)
\(\therefore x=-8y ......(3)\)
এখন,
\((1)\) ও \((3)\) এর সাহায্যে,
\(\Rightarrow (-8y)^2+4(-8y)y+16y^2=27\)
\(\Rightarrow 64y^2-32y^2+16y^2=27\)
\(\Rightarrow 80y^2-32y^2=27\)
\(\Rightarrow 48y^2=27\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{27}{48}\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{9}{16}\)
\(\Rightarrow y=\pm{\sqrt{\frac{9}{16}}}\)
\(\Rightarrow y=\pm{\frac{3}{4}}\)
আবার,
\((3)\) হতে,
যখন, \(y=\frac{3}{4}\),
\(x=-8\times{\frac{3}{4}}\) ➜Note \((3)\) এর সাহায্যে।
\(\therefore x=-6\)
যখন, \(y=-\frac{3}{4}\),
\(x=-8\times{-\frac{3}{2}}\) ➜Note \((3)\) এর সাহায্যে।
\(\therefore x=6\)
নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \(\left(3, -\frac{3}{2}\right); \left(-3, \frac{3}{2}\right)\), \(\left(6, -\frac{3}{4}\right); \left(-6, \frac{3}{4}\right)\)

দেওয়া আছে,
\(y=x^3-3x+2 .......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3-3x+2)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3)-3\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(2)\) ➜Note\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)\(-\frac{d}{dx}(w)+\frac{d}{dx}(s)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=3x^2-3.1+0\) ➜Note\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(x)=1\),\(\frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=3x^2-3\)
যেহেতু, স্পর্শক \(x\) অক্ষের সমান্তরাল \(\therefore \frac{dy}{dx}=0\)
\(\therefore 3x^2-3=0\)
\(\Rightarrow 3(x^2-1)=0\)
\(\Rightarrow x^2-1=0\) ➜Note উভয় পার্শে \(3\) ভাগ কর।
\(\Rightarrow x^2=1\)
\(\Rightarrow x=\pm{\sqrt{1}}\)
\(\therefore x=\pm{1}\)
যখন, \(x=1\),
\(\therefore y=(1)^3-3.(1)+2\) ➜Note \((1)\) এর সাহায্যে।
\(=1-3+2\) \(=3-3\) \(=0\) যখন, \(x=-1\), \(\therefore y=(-1)^3-3.(-1)+2\) ➜Note \((1)\) এর সাহায্যে।
\(=-1+3+2\)
\(=-1+5\)
\(=4\)
নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((1, 0); (-1, 4)\)

দেওয়া আছে,
\(x^2+2ax+y^2=0 \)
\(\Rightarrow x^2+2ax+y^2=0 ....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^2+2ax+y^2)=\frac{d}{dx}(0)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^2)+2a\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(y^2)=0\) ➜Note\(\because \frac{d}{dx}(u+v+w)=\frac{d}{dx}(u)\)\(+\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(\Rightarrow 2x+2a.1+2y\frac{dy}{dx}=0\) ➜Note\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(y^2)=2y\frac{dy}{dx}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\)
\(\Rightarrow 2x+2a+2y\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}=-2x-2a\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{-2x-2a}{2y}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{-2(x+a)}{2y}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{-(x+a)}{y}\)
যেহেতু, স্পর্শক \(x\) অক্ষের উপর লম্ব \(\therefore \frac{dy}{dx}=\infty\)
\(\therefore \frac{-(x+a)}{y}=\infty\)
\(\therefore \frac{-(x+a)}{y}=\frac{1}{0}\)
\(\Rightarrow y=0\)
\((1)\) হতে,
যখন, \(y=0\)
\(x^2+2ax+0^2=0\) ➜Note \((1)\) এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow x^2+2ax+0=0\)
\(\Rightarrow x^2+2ax=0\)
\(\Rightarrow x(x+2a)=0\)
\(\Rightarrow x=0, x+2a=0\)
\(\therefore x=0, x=-2a\)
নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((0, 0); (-2a, 0)\)

ধরি,
\(y=x^2+\sqrt{1-x^2} ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^2+\sqrt{1-x^2})\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(\sqrt{1-x^2})\) ➜Note\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2x+\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\frac{d}{dx}(1-x^2)\) ➜Note\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2x+\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}(0-2x)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2x-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{2x\sqrt{1-x^2}-x}{\sqrt{1-x^2}}\)
যেহেতু, স্পর্শক \(x\) অক্ষের উপর লম্ব \(\therefore \frac{dy}{dx}=\infty\)
\(\therefore \frac{2x\sqrt{1-x^2}-x}{\sqrt{1-x^2}}=\infty\)
\(\therefore \frac{2x\sqrt{1-x^2}-x}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{1}{0}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-x^2}=0\)
\(\Rightarrow 1-x^2=0\) ➜Note উভয় পার্শে বর্গ কর।
\(\Rightarrow -x^2=-1\) \(\Rightarrow x^2=1\) \(\Rightarrow x=\pm{\sqrt{1}}\) \(\therefore x=\pm{1}\) যখন, \(x=1\), \(\therefore y=(1)^2+\sqrt{1-1^2}\) ➜Note \((1)\) এর সাহায্যে।
\(=1+\sqrt{1-1}\)
\(=1+\sqrt{0}\)
\(=1+0\)
\(=1\)
যখন, \(x=-1\),
\(\therefore y=(-1)^2+\sqrt{1-(-1)^2}\) ➜Note \((1)\) এর সাহায্যে।
\(=1+\sqrt{1-1}\)
\(=1+\sqrt{0}\)
\(=1+0\)
\(=1\)
নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((1, 1); (-1, 1)\)

দেওয়া আছে,
\(x^2+4y^2=8\)
\(\Rightarrow x^2+4y^2=8 ....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^2+4y^2)=\frac{d}{dx}(8)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^2)+4\frac{d}{dx}(y^2)=0\) ➜Note\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow 2x+4.2y\frac{dy}{dx}=0\) ➜Note\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(y^2)=2y\frac{dy}{dx}\)
\(\Rightarrow 2x+8y\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 8y\frac{dy}{dx}=-2x\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{-2x}{8y}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{-x}{4y}\)
যেহেতু, স্পর্শক \(x\) অক্ষের উপর লম্ব \(\therefore \frac{dy}{dx}=\infty\)
\(\therefore \frac{-x}{4y}=\infty\)
\(\therefore \frac{-x}{4y}=\frac{1}{0}\)
\(\Rightarrow 4y=0\)
\(\therefore y=0\)
\((1)\) হতে,
যখন, \(y=0\)
\(x^2+4.0^2=8\) ➜Note \((1)\) এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow x^2+4.0=8\)
\(\Rightarrow x^2+0=8\)
\(\Rightarrow x^2=8\)
\(\Rightarrow x=\pm{\sqrt{8}}\)
\(\therefore x=\pm{2\sqrt{2}}\)
নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((2\sqrt{2}, 0); (-2\sqrt{2}, 0)\)

দেওয়া আছে,
\(y=\frac{1}{3}x^3+2 .....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(\frac{1}{3}x^3+2)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1}{3}\frac{d}{dx}(x^3)+\frac{d}{dx}(2)\) ➜Note\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1}{3}.3x^2+0\) ➜Note\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=x^2\)
যেহেতু, স্পর্শক \(x\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(\frac{\pi}{4}\) কোণ উৎপন্ন করে। \(\therefore \frac{dy}{dx}=1\)
\(\therefore x^2=1\)
\(\Rightarrow x=\pm{\sqrt{1}}\)
\(\therefore x=\pm{1}\)
যখন, \(x=1\),
\(\therefore y=\frac{1}{3}.1^3+2\) ➜Note \((1)\) এর সাহায্যে।
\(=\frac{1}{3}.1+2\)
\(=\frac{1}{3}+2\)
\(=\frac{1+6}{3}\)
\(=\frac{7}{3}\)
যখন, \(x=-1\),
\(\therefore y=\frac{1}{3}.(-1)^3+2\) ➜Note \((1)\) এর সাহায্যে।
\(=\frac{1}{3}.(-1)+2\)
\(=-\frac{1}{3}+2\)
\(=\frac{-1+6}{3}\)
\(=\frac{5}{3}\)
নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \(\left(1, \frac{7}{3}\right); \left(1, \frac{5}{3}\right)\)

দেওয়া আছে,
\(y=ax(1-x)\)
\(\Rightarrow y=ax-ax^2\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(ax-ax^2)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=a\frac{d}{dx}(x)-a\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜Note\(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=a.1-a.2x\) ➜Note\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=a-2ax\)
মূলবিন্দুতে \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0, 0)}=a-2a.0\)
\(=a-0\)
\(=a\)
যেহেতু, স্পর্শক \(x\) অক্ষের সাথে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। \(\therefore \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0, 0)}=\sqrt{3}\)
\(\therefore a=\sqrt{3}\)

দেওয়া আছে,
\(y=cx(1+x)\)
\(\Rightarrow y=cx+cx^2\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(cx+cx^2)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=c\frac{d}{dx}(x)+c\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜Note\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=c.1+c.2x\) ➜Note\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=c+2cx\)
মূলবিন্দুতে \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0, 0)}=c+2c.0\)
\(=c+0\)
\(=c\)
যেহেতু, স্পর্শক \(x\) অক্ষের সাথে \(30^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। \(\therefore \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0, 0)}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\therefore c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

দেওয়া আছে,
\(y=x^3-3x^2-2x+1\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^3-3x^2-2x+1)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3)-3\frac{d}{dx}(x^2)-2\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(1)\) ➜Note\(\because \frac{d}{dx}(u-v-w+s)=\frac{d}{dx}(u)\)\(-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)+\frac{d}{dx}(s)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=3x^2-3.2x-2.1+0\) ➜Note\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=3x^2-6x-2\)
যেহেতু, স্পর্শকগুলি অক্ষদুইটির সাথে সমান সমান কোণ উৎপন্ন করে। \(\therefore \frac{dy}{dx}=\pm{1}\)
\(\therefore 3x^2-6x-2=\pm{1}\)
ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 3x^2-6x-2=1\)
\(\Rightarrow 3x^2-6x-2-1=0\)
\(\Rightarrow 3x^2-6x-3=0\)
\(\Rightarrow 3(x^2-2x-1)=0\)
\(\Rightarrow x^2-2x-1=0\)
\(\Rightarrow x^2-2x=1\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1=1+1\)
\(\Rightarrow (x-1)^2=2\)
\(\Rightarrow x-1=\pm{\sqrt{2}}\)
\(\therefore x=1\pm{\sqrt{2}}\)
ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 3x^2-6x-2=-1\)
\(\Rightarrow 3x^2-6x-2+1=0\)
\(\Rightarrow 3x^2-6x-1=0\)
\(\Rightarrow 3x^2-6x=1\)
\(\Rightarrow 3x^2-6x+3=1+3\)
\(\Rightarrow 3(x^2-2x+1)=4\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1=\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2=\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow x-1=\pm{\sqrt{\frac{4}{3}}}\)
\(\therefore x=1\pm{\frac{2}{\sqrt{3}}}\)
\(\therefore \) ভুজদ্বয় \(1\pm \sqrt{2}; 1\pm \frac{2}{\sqrt{3}}\)

দেওয়া আছে,
\(y=x^3-x^2-7x+6 .....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^3-x^2-7x+6)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3)-\frac{d}{dx}(x^2)-7\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(6)\) ➜Note\(\because \frac{d}{dx}(u-v-w+s)=\frac{d}{dx}(u)\)\(-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)+\frac{d}{dx}(s)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=3x^2-2x-7.1+0\) ➜Note\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=3x^2-2x-7\)
যেহেতু, স্পর্শকের ঢাল \(1\) । \(\therefore \frac{dy}{dx}=1\)
\(\therefore 3x^2-2x-7=1\)
\(\Rightarrow 3x^2-2x-7-1=0\)
\(\Rightarrow 3x^2-2x-8=0\)
\(\Rightarrow 3x^2-6x+4x-8=0\)
\(\Rightarrow 3x(x-2)+4(x-2)=0\)
\(\Rightarrow (x-2)(3x+4)=0\)
\(\Rightarrow x-2=0, 3x+4=0\)
\(\Rightarrow x=2, 3x=-4\)
\(\Rightarrow x=2, x=-\frac{4}{3}\)
\(\therefore x=2, -\frac{4}{3}\)
যখন, \(x=2\)
\(y=2^3-2^2-7.2+6\) ➜Note \((1)\) এর সাহায্যে।
\(=8-4-14+6\)
\(=14-18\)
\(=-4\)
যখন, \(x=-\frac{4}{3}\)
\(y=\left(-\frac{4}{3}\right)^3-\left(-\frac{4}{3}\right)^2-7\left(-\frac{4}{3}\right)+6\) ➜Note \((1)\) এর সাহায্যে।
\(=-\frac{64}{27}-\frac{16}{9}+\frac{28}{3}+6\)
\(=\frac{-64-48+252+162}{27}\)
\(=\frac{-112+414}{27}\)
\(=\frac{302}{27}\)
\(\therefore \) বিন্দুগুলি \((2, -4); (-\frac{4}{3}, \frac{302}{27})\)

ধরি,
\(x^2+4x+y^2=0 .....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^2+4x+y^2)=\frac{d}{dx}(0)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^2)+4\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(y^2)=0\) ➜Note\(\because \frac{d}{dx}(u+v+w)=\frac{d}{dx}(u)\)\(+\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(\Rightarrow 2x+4.1+2y\frac{dy}{dx}=0\) ➜Note\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(y^2)=2y\frac{dy}{dx}\)
\(\Rightarrow 2x+4+2y\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}=-2x-4\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{-2(x+2)}{2y}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{-(x+2)}{y}\)
যেহেতু, স্পর্শকগুলি \(x\) অক্ষের উপর লম্ব বা, ( \(y\) অক্ষের সমান্তরাল )। \(\therefore \frac{dy}{dx}=\infty \)
\(\therefore \frac{-(x+2)}{y}=\infty\)
\(\Rightarrow \frac{-(x+2)}{y}=\frac{1}{0}\)
\(\therefore y=0\)
\((1)\) হতে,
\(x^2+4x+0^2=0\) ➜Note \((1)\) এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow x^2+4x=0\)
\(\Rightarrow x(x+4)=0\)
\(\Rightarrow x=0, x+4=0\)
\(\Rightarrow x=0, x=-4\)
\(\therefore x=0,-4\)
নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((-4, 0); (0, 0)\)

ধরি,
\(y=\sqrt{x} ...(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sqrt{x})\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\) ➜Note\(\because \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
যেহেতু, স্পর্শক \(x\) অক্ষের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। \(\therefore \frac{dy}{dx}=1 \)
\(\therefore \frac{1}{2\sqrt{x}}=1\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{x}=1\)
\(\Rightarrow \sqrt{x}=\frac{1}{2}\)
\(\therefore x=\frac{1}{4}\) ➜Note উভয় পার্শে বর্গ করে।
\((1)\) হতে,
\(y=\sqrt{\frac{1}{4}}\) ➜Note \((1)\) এর সাহায্যে।
\(\therefore y=\frac{1}{2}\)
নির্ণেয় বিন্দুটি \((\frac{1}{4}, \frac{1}{2})\)

দেওয়া আছে,
\(y^3=x^2(2a-x)\)
\(\Rightarrow y^3=2ax^2-x^3 ....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(y^3)=\frac{d}{dx}(2ax^2-x^3)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow 3y^2\frac{dy}{dx}=2a\frac{d}{dx}(x^2)-\frac{d}{dx}(x^3)\) ➜Note\(\because \frac{dy}{dx}(y^3)=3y^2\frac{dy}{dx}\), \(\frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow 3y^2\frac{dy}{dx}=2a.2x-3x^2\) ➜Note\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(\Rightarrow 3y^2\frac{dy}{dx}=4ax-3x^2\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{4ax-3x^2}{3y^2}\)
যেহেতু, স্পর্শক \(y\) অক্ষের সমান্তরাল বা, ( \(x\) অক্ষের উপর লম্ব ) \(\therefore \frac{dy}{dx}=\infty\)
\(\therefore \frac{4ax-3x^2}{3y^2}=\infty\)
\(\Rightarrow \frac{4ax-3x^2}{3y^2}=\frac{1}{0}\)
\(\Rightarrow 3y^2=0\)
\(\Rightarrow y^2=0\)
\(\therefore y=0\)
\((1)\) হতে,
যখন, \(y=0\),
\(\Rightarrow 0^3=2ax^2-x^3\) ➜Note \((1)\) এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow 0=2ax^2-x^3\)
\(\Rightarrow 2ax^2-x^3=0\)
\(\Rightarrow x^2(2a-x)=0\)
\(\Rightarrow x^2=0, 2a-x=0\)
\(\Rightarrow x=0, -x=-2a\)
\(\Rightarrow x=0, x=2a\)
নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((0, 0) ; (2a, 0)\)

দেওয়া আছে,
\(y^3=x^2(a-x)\)
\(\Rightarrow y^3=ax^2-x^3 ....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(y^3)=\frac{d}{dx}(ax^2-x^3)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow 3y^2\frac{dy}{dx}=a\frac{d}{dx}(x^2)-\frac{d}{dx}(x^3)\) ➜Note\(\because \frac{dy}{dx}(y^3)=3y^2\frac{dy}{dx}\), \(\frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow 3y^2\frac{dy}{dx}=a.2x-3x^2\) ➜Note\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(\Rightarrow 3y^2\frac{dy}{dx}=2ax-3x^2\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{2ax-3x^2}{3y^2}\)
যেহেতু, স্পর্শক \(y\) অক্ষের সমান্তরাল বা, ( \(x\) অক্ষের উপর লম্ব ) \(\therefore \frac{dy}{dx}=\infty\)
\(\therefore \frac{2ax-3x^2}{3y^2}=\infty\)
\(\Rightarrow \frac{2ax-3x^2}{3y^2}=\frac{1}{0}\)
\(\Rightarrow 3y^2=0\)
\(\Rightarrow y^2=0\)
\(\therefore y=0\)
\((1)\) হতে,
যখন, \(y=0\),
\(\Rightarrow 0^3=ax^2-x^3\) ➜Note \((1)\) এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow 0=ax^2-x^3\)
\(\Rightarrow ax^2-x^3=0\)
\(\Rightarrow x^2(a-x)=0\)
\(\Rightarrow x^2=0, a-x=0\)
\(\Rightarrow x=0, -x=-a\)
\(\Rightarrow x=0, x=a\)
নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((0, 0) ; (a, 0)\)

দেওয়া আছে,
\(x^3-3xy+y^3=3\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^3-3xy+y^3)=\frac{d}{dx}(3)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^3)-3\frac{d}{dx}(xy)+\frac{d}{dx}(y^3)=0\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\), \(\frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow 3x^2-3x\frac{d}{dx}(y)-3y\frac{d}{dx}(x)+3y^2\frac{dy}{dx}=0\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u), \frac{d}{dx}(y^3)=3y^2\frac{dy}{dx}\)
\(\Rightarrow 3x^2-3x\frac{dy}{dx}-3y.1+3y^2\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 3x^2-3x\frac{dy}{dx}-3y+3y^2\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(3y^2-3x)=3y-3x^2\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{3y-3x^2}{3y^2-3x}\)
\((2, 1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \( \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(2, 1)}=\frac{3.1-3.2^2}{3.1^2-3.2}\)
\(=\frac{3-3.4}{3-6}\)
\(=\frac{3-12}{-3}\)
\(=\frac{-9}{-3}\)
\(=3\)

ধরি,
\(y=f(x)=\frac{\ln{x}}{x^2+1} .....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln{x}}{x^2+1}\right)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{(x^2+1)\frac{d}{dx}(\ln{x})-\ln{x}\frac{d}{dx}(x^2+1)}{(x^2+1)^2}\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\), \(\frac{d}{dx}(y)=\frac{dy}{dx}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{(x^2+1)\frac{1}{x}-\ln{x}(2x+0)}{(x^2+1)^2}\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{x^2+1}{x}-2x\ln{x}}{(x^2+1)^2}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{x^2+1-2x^2\ln{x}}{x(x^2+1)^2}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{x^2-2x^2\ln{x}+1}{x(x^2+1)^2}\)
\(x=2\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=2}=\frac{2^2-2.2^2\ln{2}+1}{2(2^2+1)^2}\)
\(=\frac{4-2.4\ln{2}+1}{2.(4+1)^2}\)
\(=\frac{5-8\ln{2}}{2.(5)^2}\)
\(=\frac{5-8\ln{2}}{2.25}\)
\(=\frac{5-8\ln{2}}{50}\)
এখন,
\((1)\) হতে,
\(x=2\) হলে,
\(y=\frac{\ln{x}}{x^2+1}=\frac{\ln{2}}{2^2+1}\)
\(=\frac{\ln{2}}{4+1}\)
\(=\frac{\ln{2}}{5}\)
\(\therefore \left(2, \frac{\ln{2}}{5}\right)\) বা, \(x=2\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(y-\frac{\ln{2}}{5}=\frac{5-8\ln{2}}{50}(x-2)\) ➜Note \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণঃ \(y-y_{1}=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}(x-x_{1})\)
\(\Rightarrow 50y-10\ln{2}=(5-8\ln{2})(x-2)\) ➜Note উভয় পার্শে \(50\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 50y-10\ln{2}=(5-8\ln{2})x-10+16\ln{2}\)
\(\Rightarrow (5-8\ln{2})x-10+16\ln{2}=50y-10\ln{2}\)
\(\Rightarrow (5-8\ln{2})x-50y-10+16\ln{2}+10\ln{2}=0\)
\(\therefore\) স্পর্শকের সমীকরণ, \( (5-8\ln{2})x-50y-10+26\ln{2}=0\)

দেওয়া আছে,
\(y=(x-2)(x+1)\)
\(\Rightarrow y=x^2-2x+x-2\)
\(\Rightarrow y=x^2-x-2\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^2-x-2)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^2)-\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(2)\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(u-v-w)=\frac{d}{dx}(u)\)\(-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2x-1-0\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=2x-1\)
\(x=2\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=2}=2.2-1\)
\(=4-1\)
\(=3\)

দেওয়া আছে,
\(y^2=4ax\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y^2)=4a\frac{d}{dx}(x)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}=4a.1\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(y^2)=2y\frac{dy}{dx}, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}=4a\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{4a}{2y}\)
\((at^2, 2at)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(at^2, 2at)}=\frac{4a}{2.2at}\)
\(=\frac{4a}{4at}\)
\(=\frac{1}{t}\)

দেওয়া আছে,
\(y=3x^2+2x-1\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(3x^2+2x-1)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=3\frac{d}{dx}(x^2)+2\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(1)\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(u+v-w)=\frac{dy}{dx}(u)\)\(+\frac{dy}{dx}(v)-\frac{dy}{dx}(w)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=3.2x+2.1-0\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=6x+2\)
\((1, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1, 0)}=6.1+2\)
\(=6+2\)
\(=8\)

দেওয়া আছে,
\(y=x^3-2x^2+2\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^3-2x^2+2)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3)-2\frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(2)\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{dy}{dx}(u)\)\(-\frac{dy}{dx}(v)+\frac{dy}{dx}(w)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=3x^2-2.2x+0\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=3x^2-4x\)
\((2, 2)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(2, 2)}=3.2^2-4.2\)
\(=3.4-8\)
\(=12-8\)
\(=4\)
\(\therefore (2, 2)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(y-2=4(x-2)\) ➜Note \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণঃ \(y-y_{1}=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}(x-x_{1})\)
\(\Rightarrow y-2=4x-8\)
\(\Rightarrow 4x-8=y-2\)
\(\Rightarrow 4x-8-y+2=0\)
\(\therefore\) স্পর্শকের সমীকরণ, \( 4x-y-6=0\)
আবার,
\((2, 2)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ,
\((y-2)4+(x-2)=0\) ➜Note \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণঃ \((y-y_{1})\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}+(x-x_{1})=0\).
\(\Rightarrow 4y-8+x-2=0\)
\(\Rightarrow x+4y-10=0\)
\(\therefore\) অভিলম্বের সমীকরণ, \(x+4y-10=0\)

দেওয়া আছে,
\(y=x^3-3x+2\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^3-3x+2)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3)-3\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(2)\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{dy}{dx}(u)\)\(-\frac{dy}{dx}(v)+\frac{dy}{dx}(w)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=3x^2-3.1+0\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=3x^2-3\)
\((2, 4)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(2, 4)}=3.2^2-3\)
\(=3.4-3\)
\(=12-3\)
\(=9\)
\(\therefore (2, 4)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(y-4=9(x-2)\) ➜Note \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণঃ \(y-y_{1}=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}(x-x_{1})\)
\(\Rightarrow y-4=9x-18\)
\(\Rightarrow 9x-18=y-4\)
\(\Rightarrow 9x-18-y+4=0\)
\(\therefore\) স্পর্শকের সমীকরণ, \( 9x-y-14=0\)
আবার,
\((2, 4)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ,
\((y-4)9+(x-2)=0\) ➜Note \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণঃ \((y-y_{1})\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}+(x-x_{1})=0\).
\(\Rightarrow 9y-36+x-2=0\)
\(\Rightarrow x+9y-38=0\)
\(\therefore\) অভিলম্বের সমীকরণ, \(x+9y-38=0\)

দেওয়া আছে,
\(y=x^3-2x^2+4\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^3-2x^2+4)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3)-2\frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(4)\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{dy}{dx}(u)\)\(-\frac{dy}{dx}(v)+\frac{dy}{dx}(w)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=3x^2-2.2x+0\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=3x^2-4x\)
\((2, 4)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(2, 4)}=3.2^2-4.2\)
\(=3.4-8\)
\(=12-8\)
\(=4\)
\(\therefore (2, 4)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(y-4=4(x-2)\) ➜Note \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণঃ \(y-y_{1}=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}(x-x_{1})\)
\(\Rightarrow y-4=4x-8\)
\(\Rightarrow y=4x-8+4\)
\(\Rightarrow y=4x-4\)
\(\therefore\) স্পর্শকের সমীকরণ, \(y=4(x-1)\)
আবার,
\((2, 4)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ,
\((y-4)4+(x-2)=0\) ➜Note \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণঃ \((y-y_{1})\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}+(x-x_{1})=0\).
\(\Rightarrow 4y-16+x-2=0\)
\(\Rightarrow x+4y-18=0\)
\(\therefore\) অভিলম্বের সমীকরণ, \(x+4y-18=0\)

দেওয়া আছে,
\(y=4x^2\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(4x^2)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=4.2x\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=8x\)
\((-1, 4)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(-1, 4)}=8(-1)\)
\(=-8\)
\(\therefore (-1, 4)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(y-4=-8(x+1)\) ➜Note \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণঃ \(y-y_{1}=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}(x-x_{1})\).
\(\Rightarrow y-4=-8x-8\)
\(\Rightarrow y-4+8x+8=0\)
\(\Rightarrow y+8x+4=0\)
\(\therefore\) স্পর্শকের সমীকরণ, \(y+8x+4=0\)
আবার,
\((-1, 4)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ,
\((y-4)\times{-8}+(x+1)=0\) ➜Note \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণঃ \((y-y_{1})\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}+(x-x_{1})=0\).
\(\Rightarrow -8(y-4)+x+1=0\)
\(\Rightarrow -8y+32+x+1=0\)
\(\Rightarrow -8y+x+33=0\)
\(\Rightarrow 8y-x-33=0\)
\(\therefore\) অভিলম্বের সমীকরণ, \(8y-x-33=0\)

দেওয়া আছে,
\(x^2-y^2=7\)
\(\Rightarrow x^2-7=y^2\)
\(\Rightarrow y^2=x^2-7\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y^2)=\frac{d}{dx}(x^2-7)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}=2x-0\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}=2x\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}\)
\((4, -3)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(4, -3)}=\frac{4}{-3}\)
\(=-\frac{4}{3}\)
\(\therefore (4, -3)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(y+3=-\frac{4}{3}(x-4)\) ➜Note \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণঃ \(y-y_{1}=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}(x-x_{1})\).
\(\Rightarrow 3(y+3)=-4(x-4)\)
\(\Rightarrow 3y+9=-4x+16\)
\(\Rightarrow 3y+9+4x-16=0\)
\(\Rightarrow 4x+3y-7=0\)
\(\therefore\) স্পর্শকের সমীকরণ, \(4x+3y-7=0\)
আবার,
\((4, -3)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ,
\((y+3)\times{-\frac{4}{3}}+(x-4)=0\) ➜Note \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণঃ \((y-y_{1})\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}+(x-x_{1})=0\).
\(\Rightarrow -4(y+3)+3(x-4)=0\) ➜Note উভয় পার্শে \(3\) গুণ করে।
\(\Rightarrow -4y-12+3x-12=0\)
\(\Rightarrow 3x-4y-24=0\)
\(\therefore\) অভিলম্বের সমীকরণ, \(3x-4y=24\)

দেওয়া আছে,
\(y^2-4x-6y+20=0\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y^2-4x-6y+20)=\frac{d}{dx}(0)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y^2)-4\frac{d}{dx}(x)-6\frac{d}{dx}(y)+\frac{d}{dx}(20)=0\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(u-v-w+s)=\frac{d}{dx}(u)\)\(-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)+\frac{d}{dx}(s)\)
\(\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}-4.1-6\frac{dy}{dx}+0=0\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}-4-6\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(2y-6)=4\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{4}{2y-6}\)
\((3, 2)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(3, 2)}=\frac{4}{2.2-6}\)
\(=\frac{4}{4-6}\)
\(=\frac{4}{-2}\)
\(=-2\)
\(\therefore (3, 2)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(y-2=-2(x-3)\) ➜Note \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণঃ \(y-y_{1}=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}(x-x_{1})\).
\(\Rightarrow y-2=-2(x-3)\)
\(\Rightarrow y-2=-2x+6\)
\(\Rightarrow y-2+2x-6=0\)
\(\Rightarrow 2x+y-8=0\)
\(\therefore\) স্পর্শকের সমীকরণ, \(2x+y-8=0\)
আবার,
\((3, 2)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ,
\((y-2)\times{-2}+(x-3)=0\) ➜Note \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণঃ \((y-y_{1})\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}+(x-x_{1})=0\).
\(\Rightarrow -2(y-2)+(x-3)=0\)
\(\Rightarrow -2y+4+x-3=0\)
\(\Rightarrow x-2y+1=0\)
\(\therefore\) অভিলম্বের সমীকরণ, \(x-2y+1=0\)

ধরি,
\(y=(x+1)(x-1)(x-3) ....(1)\)
\((1)\) বক্ররেখা যখন \(x\) অক্ষকে ছেদ করে,
তখন \(y=0\)
\(\therefore 0=(x+1)(x-1)(x-3)\)
\(\Rightarrow (x+1)(x-1)(x-3)=0\)
\(\Rightarrow x+1=0, x-1=0, x-3=0\)
\(\Rightarrow x=-1, x=1, x=3\)
\(\Rightarrow x=-1, 1, 3\)
\(\therefore (1)\) বক্ররেখাটি \(x\) অক্ষকে \((-1, 0),(1, 0)\) এবং \((3, 0) \) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{(x+1)(x-1)(x-3)\}\) ➜Note\((1)\) এর উভয় পার্শে \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=(x+1)(x-1)\frac{d}{dx}(x-3)+(x+1)(x-3)\frac{d}{dx}(x-1)+(x-1)(x-3)\frac{d}{dx}(x+1)\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(uvw)=uv\frac{d}{dx}(w)\)\(+uw\frac{d}{dx}(v)+vw\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=(x+1)(x-1)(1-0)+(x+1)(x-3)(1-0)+(x-1)(x-3)(1+0)\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=(x+1)(x-1)+(x+1)(x-3)+(x-1)(x-3)\)
\((-1, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(-1, 0)}=(-1+1)(-1-1)+(-1+1)(-1-3)+(-1-1)(-1-3)\)
\(=0.(-2)+0.(-4)+(-2)(-4)\)
\(=0+0+8\)
\(=8\)
\((1, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1, 0)}=(1+1)(1-1)+(1+1)(1-3)+(1-1)(1-3)\)
\(=2.0+2.(-2)+0.(-2)\)
\(=0-4+0\)
\(=-4\)
আবার,
\((3, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(3, 0)}=(3+1)(3-1)+(3+1)(3-3)+(3-1)(3-3)\)
\(=4.2+4.0+2.0\)
\(=8+0+0\)
\(=8\)

ধরি,
\(y(x-2)(x-3)-x+7=0 ....(1)\)
\((1)\) বক্ররেখা যখন \(x\) অক্ষকে ছেদ করে,
তখন \(y=0\)
\(\therefore 0.(x-2)(x-3)-x+7=0\)
\(\therefore 0-x+7=0\)
\(\therefore -x=-7\)
\(\Rightarrow x=7\)
\(\therefore (1)\) বক্ররেখাটি \(x\) অক্ষকে \((7, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((1)\) হতে,
\(y(x-2)(x-3)=x-7\)
\(\Rightarrow y=\frac{x-7}{(x-2)(x-3)}\)
\(\Rightarrow y=\frac{x-7}{x^2-5x+6}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x-7}{x^2-5x+6}\right)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{(x^2-5x+6)\frac{d}{dx}(x-7)-(x-7)\frac{d}{dx}(x^2-5x+6)}{(x^2-5x+6)^2}\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{(x^2-5x+6)(1-0)-(x-7)(2x-5.1+0)}{(x^2-5x+6)^2}\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\), \(\frac{d}{dx}(x^2)=2x\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{(x^2-5x+6)-(x-7)(2x-5)}{(x^2-5x+6)^2}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{x^2-5x+6-2x^2+19x-35}{(x^2-5x+6)^2}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{-x^2+14x-29}{(x^2-5x+6)^2}\)
\((7, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(7, 0)}=\frac{-7^2+14.7-29}{(7^2-5.7+6)^2}\)
\(=\frac{-49+98-29}{(49-35+6)^2}\)
\(=\frac{98-78}{(55-35)^2}\)
\(=\frac{20}{(20)^2}\)
\(=\frac{1}{20}\)
\(\therefore (7, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(y-0=\frac{1}{20}(x-7)\) ➜Note \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণঃ \(y-y_{1}=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}(x-x_{1})\).
\(\Rightarrow 20y=x-7\)
\(\Rightarrow x-7=20y\)
\(\Rightarrow x-20y-7=0\)
\(\therefore\) স্পর্শকের সমীকরণ, \(x-20y-7=0\)
আবার,
\((7, 0)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ,
\((y-0)\times{\frac{1}{20}}+(x-7)=0\) ➜Note \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণঃ \((y-y_{1})\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}+(x-x_{1})=0\).
\(\Rightarrow y+20(x-7)=0\) ➜Note উভয় পার্শে \(20\) গুণ করে।
\(\Rightarrow y+20x-140=0\)
\(\Rightarrow 20x+y-140=0\)
\(\therefore\) অভিলম্বের সমীকরণ, \(20x+y-140=0\)

ধরি,
\(y(x+1)(x+2)-x+4=0 ....(1)\)
\((1)\) বক্ররেখা যখন \(x\) অক্ষকে ছেদ করে,
তখন \(y=0\)
\(\therefore 0.(x+1)(x+2)-x+4=0\)
\(\therefore 0-x+4=0\)
\(\therefore -x=-4\)
\(\Rightarrow x=4\)
\(\therefore (1)\) বক্ররেখাটি \(x\) অক্ষকে \((4, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((1)\) হতে,
\(y(x+1)(x+2)=x-4\)
\(\Rightarrow y=\frac{x-4}{(x+1)(x+2)}\)
\(\Rightarrow y=\frac{x-4}{x^2+3x+2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x-4}{x^2+3x+2}\right)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{(x^2+2x+2)\frac{d}{dx}(x-4)-(x-4)\frac{d}{dx}(x^2+3x+2)}{(x^2+3x+2)^2}\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{(x^2+3x+2)(1-0)-(x-4)(2x+3.1+0)}{(x^2+3x+2)^2}\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\), \(\frac{d}{dx}(x^2)=2x\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{(x^2+3x+2)-(x-4)(2x+3)}{(x^2+3x+2)^2}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{x^2+3x+2-2x^2+5x+12}{(x^2+3x+2)^2}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{-x^2+8x+14}{(x^2+3x+2)^2}\)
\((4, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(4, 0)}=\frac{-4^2+8.4+14}{(4^2+3.4+2)^2}\)
\(=\frac{-16+32+14}{(16+12+2)^2}\)
\(=\frac{-16+46}{(30)^2}\)
\(=\frac{30}{(30)^2}\)
\(=\frac{1}{30}\)
\(\therefore (4, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(y-0=\frac{1}{30}(x-4)\) ➜Note \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণঃ \(y-y_{1}=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}(x-x_{1})\).
\(\Rightarrow 30y=x-4\)
\(\Rightarrow x-4=30y\)
\(\Rightarrow x-30y-4=0\)
\(\therefore\) স্পর্শকের সমীকরণ, \(x-30y-4=0\)
আবার,
\((4, 0)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ,
\((y-0)\times{\frac{1}{30}}+(x-4)=0\) ➜Note \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণঃ \((y-y_{1})\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}+(x-x_{1})=0\).
\(\Rightarrow y+30(x-4)=0\) ➜Note উভয় পার্শে \(30\) গুণ করে।
\(\Rightarrow y+30x-120=0\)
\(\Rightarrow 30x+y-120=0\)
\(\therefore\) অভিলম্বের সমীকরণ, \(30x+y=120\)

দেওয়া আছে,
\(y=x^3-3x+2\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^3-3x+2)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3)-3\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(2)\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{dy}{dx}(u)\)\(-\frac{dy}{dx}(v)+\frac{dy}{dx}(w)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=3x^2-3.1+0\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=3x^2-3\)
\((2, -2)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(2, -2)}=3.2^2-3\)
\(=3.4-3\)
\(=12-3\)
\(=9\)
\(\therefore (2, -2)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(y+2=9(x-2)\) ➜Note \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণঃ \(y-y_{1}=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}(x-x_{1})\)
\(\Rightarrow y+2=9x-18\)
\(\Rightarrow 9x-18=y+2\)
\(\Rightarrow 9x-18-y-2=0\)
\(\therefore\) স্পর্শকের সমীকরণ, \( 9x-y-20=0\)
আবার,
\((2, -2)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ,
\((y+2)9+(x-2)=0\) ➜Note \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণঃ \((y-y_{1})\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}+(x-x_{1})=0\).
\(\Rightarrow 9y+18+x-2=0\)
\(\Rightarrow x+9y+16=0\)
\(\therefore\) অভিলম্বের সমীকরণ, \(x+9y+16=0\)

দেওয়া আছে,
\(x^2+y^2-6x-10y+21=0\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^2+y^2-6x-10y+21)=\frac{d}{dx}(0)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(y^2)-6\frac{d}{dx}(x)-10\frac{d}{dx}(y)+\frac{d}{dx}(21)=0\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(u+v-w-s+p)=\frac{dy}{dx}(u)+\frac{dy}{dx}(v)\)\(-\frac{dy}{dx}(w)-\frac{dy}{dx}(s)+\frac{dy}{dx}(p)\)
\(\Rightarrow 2x+2y\frac{dy}{dx}-6.1-10\frac{dy}{dx}+0=0\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow 2x+2y\frac{dy}{dx}-6-10\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(2y-10)=6-2x\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{6-2x}{2y-10}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{2(3-x)}{2(y-5)}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{3-x}{y-5}\)
\((1, 2)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1, 2)}=\frac{3-1}{2-5}\)
\(=\frac{2}{-3}\)
\(=-\frac{2}{3}\)
\(\therefore (1, 2)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(y-2=-\frac{2}{3}(x-1)\) ➜Note \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণঃ \(y-y_{1}=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}(x-x_{1})\)
\(\Rightarrow 3(y-2)=-2(x-1)\)
\(\Rightarrow 3y-6=-2x+2\)
\(\Rightarrow 2x-2+3y-6=0\)
\(\Rightarrow 2x+3y-8=0\)
\(\therefore\) স্পর্শকের সমীকরণ, \(2x+3y=8\)
আবার,
\((1, 2)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ,
\((y-2)\times{-\frac{2}{3}}+(x-1)=0\) ➜Note \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণঃ \((y-y_{1})\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}+(x-x_{1})=0\).
\(\Rightarrow (y-2)\times{-2}+3(x-1)=0\)| Note উভয় পার্শে \(3\) গুণ করে।
\(\Rightarrow -2(y-2)+3(x-1)=0\)
\(\Rightarrow -2y+4+3x-3=0\)
\(\Rightarrow 3x-2y+1=0\)
\(\therefore\) অভিলম্বের সমীকরণ, \(3x-2y+1=0\)

দেওয়া আছে,
\(x^2+y^2+6x-3y-5=0\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^2+y^2+6x-3y-5)=\frac{d}{dx}(0)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(y^2)+6\frac{d}{dx}(x)-3\frac{d}{dx}(y)-\frac{d}{dx}(5)=0\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(u+v+w-s-p)=\frac{dy}{dx}(u)+\frac{dy}{dx}(v)\)\(+\frac{dy}{dx}(w)-\frac{dy}{dx}(s)-\frac{dy}{dx}(p)\)
\(\Rightarrow 2x+2y\frac{dy}{dx}+6.1-3\frac{dy}{dx}+0=0\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow 2x+2y\frac{dy}{dx}+6-3\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(2y-3)=-6-2x\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{-6-2x}{2y-3}\)
\((1, 2)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1, 2)}=\frac{-6-2.1}{2.2-3}\)
\(=\frac{-6-2}{4-3}\)
\(=\frac{-8}{1}\)
\(=-8\)
\(\therefore (1, 2)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(y-2=-8(x-1)\) ➜Note \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণঃ \(y-y_{1}=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}(x-x_{1})\)
\(\Rightarrow y-2=-8x+8\)
\(\Rightarrow 8x-8+y-2=0\)
\(\Rightarrow 8x+y-10=0\)
\(\therefore\) স্পর্শকের সমীকরণ, \(8x+y-10=0\)
আবার,
\((1, 2)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ,
\((y-2)\times{-8}+(x-1)=0\) ➜Note \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণঃ \((y-y_{1})\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}+(x-x_{1})=0\).
\(\Rightarrow -8(y-2)+x-1=0\)
\(\Rightarrow -8y+16+x-1=0\)
\(\Rightarrow x-8y+15=0\)
\(\therefore\) অভিলম্বের সমীকরণ, \(x-8y+15=0\)

ধরি,
\(y(x-1)(x-2)-x+3=0 ....(1)\)
\((1)\) বক্ররেখা যখন \(x\) অক্ষকে ছেদ করে,
তখন \(y=0\)
\(\therefore 0.(x-1)(x-2)-x+3=0\)
\(\therefore 0-x+3=0\)
\(\therefore -x=-3\)
\(\Rightarrow x=3\)
\(\therefore (1)\) বক্ররেখাটি \(x\) অক্ষকে \((3, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((1)\) হতে,
\(y(x-1)(x-2)=x-3\)
\(\Rightarrow y=\frac{x-3}{(x-1)(x-2)}\)
\(\Rightarrow y=\frac{x-3}{x^2-3x+2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x-3}{x^2-3x+2}\right)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{(x^2-3x+2)\frac{d}{dx}(x-3)-(x-3)\frac{d}{dx}(x^2-3x+2)}{(x^2-3x+2)^2}\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{(x^2-3x+2)(1-0)-(x-3)(2x-3.1+0)}{(x^2-3x+2)^2}\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\), \(\frac{d}{dx}(x^2)=2x\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{(x^2-3x+2)-(x-3)(2x-3)}{(x^2-3x+2)^2}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{x^2-3x+2-2x^2+9x-9}{(x^2-3x+2)^2}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{-x^2+6x-7}{(x^2-3x+2)^2}\)
\((3, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(3, 0)}=\frac{-3^2+6.3-7}{(3^2-3.3+2)^2}\)
\(=\frac{-9+18-7}{(9-9+2)^2}\)
\(=\frac{18-16}{(2)^2}\)
\(=\frac{2}{(2)^2}\)
\(=\frac{1}{2}\)
\(\therefore (3, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(y-0=\frac{1}{2}(x-3)\) ➜Note \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণঃ \(y-y_{1}=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}(x-x_{1})\).
\(\Rightarrow 2y=x-3\)
\(\Rightarrow x-3=2y\)
\(\Rightarrow x-2y-3=0\)
\(\therefore\) স্পর্শকের সমীকরণ, \(x-2y-3=0\)
আবার,
\((3, 0)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ,
\((y-0)\times{\frac{1}{2}}+(x-3)=0\) ➜Note \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণঃ \((y-y_{1})\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}+(x-x_{1})=0\).
\(\Rightarrow y+2(x-3)=0\) ➜Note উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow y+2x-6=0\)
\(\Rightarrow 2x+y-6=0\)
\(\therefore\) অভিলম্বের সমীকরণ, \(2x+y-6=0\)

দেওয়া আছে,
\(x^2+xy+y^2=4\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^2+xy+y^2)=\frac{d}{dx}(4)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(xy)+\frac{d}{dx}(y^2)=0\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(u+v+w)=\frac{d}{dx}(u)\)\(+\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\), \(\frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow 2x+x\frac{d}{dx}(y)+y\frac{d}{dx}(x)+2y\frac{dy}{dx}=0\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow 2x+x\frac{dy}{dx}+y.1+2y\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 2x+x\frac{dy}{dx}+y+2y\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(2y+x)=-y-2x\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{-y-2x}{2y+x}\)
\((2, -2)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \( \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(2, -2)}=\frac{-(-2)-2.2}{2(-2)+2}\)
\(=\frac{2-4}{-4+2}\)
\(=\frac{-2}{-2}\)
\(=1\)

দেওয়া আছে,
\(y^2=4ax\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y^2)=4a\frac{d}{dx}(x)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}=4a.1\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(y^2)=2y\frac{dy}{dx}, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}=4a\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{4a}{2y}\)
\((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}=\frac{4a}{2.y_{1}}\)
\(=\frac{4a}{2y_{1}}\)
\(=\frac{2a}{y_{1}}\)
\(\therefore (x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(y-y_{1}=\frac{2a}{y_{1}}(x-x_{1})\) ➜Note \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণঃ \(y-y_{1}=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}(x-x_{1})\).
\(\Rightarrow y_{1}(y-y_{1})=2a(x-x_{1})\)
\(\Rightarrow yy_{1}-y^2_{1}=2ax-2ax_{1}\)
\(\Rightarrow yy_{1}=2ax+y^2_{1}-2ax_{1}\)
\(\Rightarrow yy_{1}=2ax+4ax_{1}-2ax_{1}\) ➜Note \(\because y^2=4ax\), \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে \(y^2_{1}=4ax_{1}\)
\(\Rightarrow yy_{1}=2ax+2ax_{1}\)
\(\Rightarrow yy_{1}=2a(x+x_{1})\)
\(\therefore\) স্পর্শকের সমীকরণ, \(yy_{1}=2a(x+x_{1})\)

দেওয়া আছে,
\(x^3-3axy+y^3=0\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^3-3axy+y^3)=\frac{d}{dx}(0)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^3)-3a\frac{d}{dx}(xy)+\frac{d}{dx}(y^3)=0\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)\)\(-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\), \(\frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow 3x^2-3ax\frac{d}{dx}(y)-3ay\frac{d}{dx}(x)+3y^2\frac{dy}{dx}=0\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\), \(\frac{d}{dx}(y^3)=3y^2\frac{dy}{dx}\)
\(\Rightarrow 3x^2-3ax\frac{dy}{dx}-3ay.1+3y^2\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 3x^2-3ax\frac{dy}{dx}-3ay+3y^2\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(3y^2-3ax)=3ay-3x^2\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{3ay-3x^2}{3y^2-3ax}\)
\((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}=\frac{3ay_{1}-3x^2_{1}}{3y^2_{1}-3ax_{1}}\)
\(=\frac{3(ay_{1}-x^2_{1})}{3(y^2_{1}-ax_{1})}\)
\(=\frac{ay_{1}-x^2_{1}}{y^2_{1}-ax_{1}}\)
\(\therefore (x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ,
\((y-y_{1})\frac{ay_{1}-x^2_{1}}{y^2_{1}-ax_{1}}+(x-x_{1})=0\) ➜Note \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণঃ \((y-y_{1})\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}+(x-x_{1})=0\).
\(\Rightarrow (y-y_{1})(ay_{1}-x^2_{1})+(x-x_{1})(y^2_{1}-ax_{1})=0\) ➜Note উভয় পার্শে \((y^2_{1}-ax_{1})\) গুণ করে।
\(\Rightarrow (y-y_{1})(ay_{1}-x^2_{1})=-(x-x_{1})(y^2_{1}-ax_{1})\)
\(\Rightarrow -(y-y_{1})(x^2_{1}-ay_{1})=-(x-x_{1})(y^2_{1}-ax_{1})\)
\(\Rightarrow (y-y_{1})(x^2_{1}-ay_{1})=(x-x_{1})(y^2_{1}-ax_{1})\)
\(\therefore\) অভিলম্বের সমীকরণ, \((y-y_{1})(x^2_{1}-ay_{1})=(x-x_{1})(y^2_{1}-ax_{1})\)

দেওয়া আছে,
\(x^3-3axy+y^3=0\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^3-3axy+y^3)=\frac{d}{dx}(0)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^3)-3a\frac{d}{dx}(xy)+\frac{d}{dx}(y^3)=0\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)\)\(-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\), \(\frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow 3x^2-3ax\frac{d}{dx}(y)-3ay\frac{d}{dx}(x)+3y^2\frac{dy}{dx}=0\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\), \(\frac{d}{dx}(y^3)=3y^2\frac{dy}{dx}\)
\(\Rightarrow 3x^2-3ax\frac{dy}{dx}-3ay.1+3y^2\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 3x^2-3ax\frac{dy}{dx}-3ay+3y^2\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(3y^2-3ax)=3ay-3x^2\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{3ay-3x^2}{3y^2-3ax}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{3(ay-x^2)}{3(y^2-ax)}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{ay-x^2}{y^2-ax}\)
\((1, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1, -1)}=\frac{a(-1)-1^2}{(-1)^2-a.1}\)
\(=\frac{-a-1}{1-a}\)
\(=\frac{-(a+1)}{-(a-1)}\)
\(=\frac{a+1}{a-1}\)
\(\therefore (1, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(y+1=\frac{a+1}{a-1}(x-1)\) ➜Note \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণঃ \(y-y_{1}=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}(x-x_{1})\).
\(\Rightarrow (a-1)(y+1)=(a+1)(x-1)\) ➜Note উভয় পার্শে \((a-1)\) গুণ করে।
\(\Rightarrow (a-1)(y+1)=(a+1)(x-1)\)
\(\Rightarrow (a+1)(x-1)=(a-1)(y+1)\)
\(\Rightarrow (a+1)x-a-1=(a-1)y+a-1\)
\(\Rightarrow (a+1)x-a-1-(a-1)y-a+1=0\)
\(\Rightarrow (a+1)x-(a-1)y-2a=0\)
\(\therefore\) স্পর্শকের সমীকরণ, \((a+1)x-(a-1)y-2a=0\)

দেওয়া আছে,
\(y^3+mx^2+2x-9=0\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y^3+mx^2+2x-9)=\frac{d}{dx}(0)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y^3)+m\frac{d}{dx}(x^2)+2\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(9)=0\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(u+v+w-s)=\frac{d}{dx}(u)\)\(+\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)-\frac{d}{dx}(s)\)
\(\Rightarrow 3y^2\frac{dy}{dx}+m.2x+2.1-0=0\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(y^3)=3y^2\frac{dy}{dx}\), \(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(\Rightarrow 3y^2\frac{dy}{dx}+2mx+2=0\)
\(\Rightarrow 3y^2\frac{dy}{dx}=-2mx-2\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{-2mx-2}{3y^2}\)
\((1, 2)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1, 2)}=\frac{-2m.1-2}{3.2^2}\)
\(=\frac{-2m-2}{3.4}\)
\(=\frac{-2(m+1)}{12}\)
\(=-\frac{m+1}{6}\)

দেওয়া আছে,
\(x^2=5y^2+\sin{y}\)
\(\Rightarrow 5y^2+\sin{y}=x^2\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(5y^2+\sin{y})=\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow 5\frac{d}{dx}(y^2)+\frac{d}{dx}(\sin{y})=2x\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v), \frac{d}{dx}(x^2)=2x\)
\(\Rightarrow 5.2y\frac{dy}{dx}+\cos{y}\frac{dy}{dx}=2x\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(y^2)=2y\frac{dy}{dx}\), \(\frac{d}{dx}(\sin{y})=\cos{y}\frac{dy}{dx}\)
\(\Rightarrow 10y\frac{dy}{dx}+\cos{y}\frac{dy}{dx}=2x\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(10y+\cos{y})=2x\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{2x}{10y+\cos{y}}\)
\((1, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1, 0)}=\frac{2.1}{10.0+\cos{0}}\)
\(=\frac{2.1}{0+1}\) ➜Note \(\because \cos{0}=1\)
\(=\frac{2}{1}\)
\(=2\)

দেওয়া আছে,
\(x^3-3axy+y^3=0\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^3-3axy+y^3)=\frac{d}{dx}(0)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^3)-3a\frac{d}{dx}(xy)+\frac{d}{dx}(y^3)=0\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)\)\(-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\), \(\frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow 3x^2-3ax\frac{d}{dx}(y)-3ay\frac{d}{dx}(x)+3y^2\frac{dy}{dx}=0\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\), \(\frac{d}{dx}(y^3)=3y^2\frac{dy}{dx}\)
\(\Rightarrow 3x^2-3ax\frac{dy}{dx}-3ay.1+3y^2\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 3x^2-3ax\frac{dy}{dx}-3ay+3y^2\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(3y^2-3ax)=3ay-3x^2\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{3ay-3x^2}{3y^2-3ax}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{3(ay-x^2)}{3(y^2-ax)}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{ay-x^2}{y^2-ax}\)
\((2, 1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(2, 1)}=\frac{a.1-2^2}{1^2-a.2}\)
\(=\frac{a.1-2^2}{1^2-a.2}\)
\(=\frac{a-4}{1-2a}\)

দেওয়া আছে,
\(xe^{xy}=y+\sin^2{x}\)
\(\Rightarrow y+\sin^2{x}=xe^{xy}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y+\sin^2{x})=\frac{d}{dx}(xe^{xy})\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)+\frac{d}{dx}(\sin^2{x})=x\frac{d}{dx}(e^{xy})+e^{xy}\frac{d}{dx}(x)\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\), \(\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}+2\sin{x}\frac{d}{dx}(\sin{x})=xe^{xy}\frac{d}{dx}(xy)+e^{xy}.1\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(e^x)=e^x, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}+2\sin{x}\cos{x}=xe^{xy}.x\frac{d}{dx}(y)+xe^{xy}.y\frac{d}{dx}(x)+e^{xy}\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\), \(\frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}+\sin{2x}=x^2e^{xy}\frac{dy}{dx}+xye^{xy}.1+e^{xy}\) ➜Note \(\because 2\sin{A}\cos{A}=\sin{2A}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}+\sin{2x}=x^2e^{xy}\frac{dy}{dx}+xye^{xy}+e^{xy}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}-x^2e^{xy}\frac{dy}{dx}=xye^{xy}+e^{xy}-\sin{2x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(1-x^2e^{xy})=xye^{xy}+e^{xy}-\sin{2x}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{xye^{xy}+e^{xy}-\sin{2x}}{1-x^2e^{xy}}\)
\((0, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0, 0)}=\frac{0.0.e^{0.0}+e^{0.0}-\sin{2.0}}{1-0^2e^{0.0}}\)
\(=\frac{0+e^{0}-\sin{0}}{1-0.e^{0}}\)
\(=\frac{1-0}{1-0.1}\) ➜Note \(\because e^{0}=1\)
\(=\frac{1}{1-0}\)
\(=\frac{1}{1}\)
\(=1\)

দেওয়া আছে,
\(x^3+3xy+y^3=3\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^3+3xy+y^3)=\frac{d}{dx}(3)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^3)+3\frac{d}{dx}(xy)+\frac{d}{dx}(y^3)=0\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(u+v+w)=\frac{d}{dx}(u)\)\(+\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\), \(\frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow 3x^2+3x\frac{d}{dx}(y)+3y\frac{d}{dx}(x)+3y^2\frac{dy}{dx}=0\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\), \(\frac{d}{dx}(y^3)=3y^2\frac{dy}{dx}\)
\(\Rightarrow 3x^2+3x\frac{dy}{dx}+3y.1+3y^2\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 3x^2+3x\frac{dy}{dx}+3y+3y^2\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(3y^2+3x)=-3y-3x^2\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{-3y-3x^2}{3y^2+3x}\)
\((1, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \( \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1, -1)}=\frac{-3.(-1)-3.1^2}{3.(-1)^2+3.1}\)
\(=\frac{3-3.1}{3.1+3}\)
\(=\frac{3-3}{3+3}\)
\(=\frac{0}{6}\)
\(=0\)
\(\therefore (1, -1)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ,
\((y+1).0+(x-1)=0\) ➜Note \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণঃ \((y-y_{1})\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}+(x-x_{1})=0\).
\(\Rightarrow 0+(x-1)=0\)
\(\Rightarrow x-1=0\)
\(\therefore\) অভিলম্বের সমীকরণ, \(x-1=0\)

দেওয়া আছে,
\(y^2-4x-6y+30=0\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y^2-4x-6y+30)=\frac{d}{dx}(0)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y^2)-4\frac{d}{dx}(x)-6\frac{d}{dx}(y)+\frac{d}{dx}(30)=0\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(u-v-w+s)=\frac{dy}{dx}(u)-\frac{dy}{dx}(v)\)\(-\frac{dy}{dx}(w)+\frac{dy}{dx}(s)\)
\(\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}-4.1-6\frac{dy}{dx}+0=0\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}-4-6\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}-6\frac{dy}{dx}=4\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(2y-6)=4\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{4}{2y-6}\)
\((3, 2)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(3, 2)}=\frac{4}{2.2-6}\)
\(=\frac{4}{4-6}\)
\(=\frac{4}{-2}\)
\(=-2\)
\(\therefore (3, 2)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(y-2=-2(x-3)\) ➜Note \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণঃ \(y-y_{1}=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}(x-x_{1})\)
\(\Rightarrow y-2=-2x+6\)
\(\Rightarrow y-2+2x-6=0\)
\(\Rightarrow 2x+y-8=0\)
\(\therefore\) স্পর্শকের সমীকরণ, \(2x+y-8=0\)
আবার,
\((3, 2)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ,
\((y-2)\times{-2}+(x-3)=0\) ➜Note \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণঃ \((y-y_{1})\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}+(x-x_{1})=0\).
\(\Rightarrow -2(y-2)+x-3=0\)
\(\Rightarrow -2y+4+x-3=0\)
\(\Rightarrow x-2y+1=0\)
\(\therefore\) অভিলম্বের সমীকরণ, \(x-2y+1=0\)

দেওয়া আছে,
\(x^2-5xy+y^2-5x+6y+9=0\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^2-5xy+y^2-5x+6y+9)=\frac{d}{dx}(0)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^2)-5\frac{d}{dx}(xy)+\frac{d}{dx}(y^2)-5\frac{d}{dx}(x)+6\frac{d}{dx}(y)+\frac{d}{dx}(9)=0\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(u-v+w-p..)=\frac{d}{dx}(u)\)\(+\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)-\frac{d}{dx}(p)+..\)
\(\Rightarrow 2x-5x\frac{d}{dx}(y)-5y\frac{d}{dx}(x)+2y\frac{dy}{dx}-5.1+6\frac{dy}{dx}+0=0\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(x^2)=2x\), \(\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow 2x-5x\frac{dy}{dx}-5y.1+2y\frac{dy}{dx}-5+6\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 2x-5x\frac{dy}{dx}-5y+2y\frac{dy}{dx}-5+6\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow -5x\frac{dy}{dx}+2y\frac{dy}{dx}+6\frac{dy}{dx}=5y-2x+5\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(-5x+2y+6)=5y-2x+5\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{5y-2x+5}{-5x+2y+6}\)
\((2, 1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \( \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(2, 1)}=\frac{5.1-2.2+5}{-5.2+2.1+6}\)
\(=\frac{5-4+5}{-10+2+6}\)
\(=\frac{10-4}{-10+8}\)
\(=\frac{6}{-2}\)
\(=-3\)
\(\therefore (2, 1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(y-1=-3(x-2)\) ➜Note \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণঃ \(y-y_{1}=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}(x-x_{1})\)
\(\Rightarrow y-1=-3x+6\)
\(\Rightarrow y-1+3x-6=0\)
\(\Rightarrow 3x+y-7=0\)
\(\therefore\) স্পর্শকের সমীকরণ, \(3x+y-7=0\)
আবার,
\(\therefore (2, 1)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ,
\((y-1)\times{-3}+(x-2)=0\) ➜Note \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণঃ \((y-y_{1})\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}+(x-x_{1})=0\).
\(\Rightarrow -3(y-1)+x-2=0\)
\(\Rightarrow -3y+3+x-2=0\)
\(\Rightarrow -3y+3+x-2=0\)
\(\Rightarrow x-3y+1=0\)
\(\therefore\) অভিলম্বের সমীকরণ, \(x-3y+1=0\)

দেওয়া আছে,
\(x^3+xy^2-3x^2+4x+5y=2\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^3+xy^2-3x^2+4x+5y)=\frac{d}{dx}(2)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^3)+\frac{d}{dx}(xy^2)-3\frac{d}{dx}(x^2)+4\frac{d}{dx}(x)+5\frac{d}{dx}(y)=0\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(u+v-w+p..)=\frac{d}{dx}(u)\)\(+\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)+\frac{d}{dx}(p)+..\)
\(\Rightarrow 3x^2+x\frac{d}{dx}(y^2)+y^2\frac{d}{dx}(x)-3.2x+4.1+5\frac{dy}{dx}=0\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(x^3)=3x^2\), \(\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\),\(\frac{d}{dx}(x^2)=2x, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(\Rightarrow 3x^2+x.2y\frac{dy}{dx}+y^2.1-6x+4+5\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 3x^2+2xy\frac{dy}{dx}+y^2-6x+4+5\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 2xy\frac{dy}{dx}+5\frac{dy}{dx}=6x-3x^2-y^2-4\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(2xy+5)=6x-3x^2-y^2-4\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{6x-3x^2-y^2-4}{2xy+5}\)
\((1, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \( \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1, -1)}=\frac{6.1-3.1^2-(-1)^2-4}{2.1.(-1)+5}\)
\(=\frac{6-3.1-1-4}{-2+5}\)
\(=\frac{6-3-1-4}{3}\)
\(=\frac{6-8}{3}\)
\(=\frac{-2}{3}\)
\(=-\frac{2}{3}\)
\(\therefore (1, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(y+1=-\frac{2}{3}(x-1)\) ➜Note \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণঃ \(y-y_{1}=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}(x-x_{1})\)
\(\Rightarrow 3(y+1)=-2(x-1)\) ➜Note উভয় পার্শে \(3\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 3y+3=-2x+2\)
\(\Rightarrow 3y+3+2x-2=0\)
\(\Rightarrow 2x+3y+1=0\)
\(\therefore\) স্পর্শকের সমীকরণ, \(2x+3y+1=0\)
আবার,
\(\therefore (1, -1)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ,
\((y+1)\times{-\frac{2}{3}}+(x-1)=0\) ➜Note \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণঃ \((y-y_{1})\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}+(x-x_{1})=0\).
\(\Rightarrow -2(y+1)+3(x-1)=0\) ➜Note উভয় পার্শে \(3\) গুণ করে।
\(\Rightarrow -2y-2+3x-3=0\)
\(\Rightarrow 3x-2y-5=0\)
\(\therefore\) অভিলম্বের সমীকরণ, \(3x-2y-5=0\)

দেওয়া আছে,
\(y=x^3-2x^2+5\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^3-2x^2+5)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3)-2\frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(5)\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{dy}{dx}(u)\)\(-\frac{dy}{dx}(v)+\frac{dy}{dx}(w)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=3x^2-2.2x+0\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=3x^2-4x\)
\((2, 5)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(2, 5)}=3.2^2-4.2\)
\(=3.4-8\)
\(=12-8\)
\(=4\)
\(\therefore (2, 5)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(y-5=4(x-2)\) ➜Note \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণঃ \(y-y_{1}=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}(x-x_{1})\)
\(\Rightarrow y-5=4x-8\)
\(\Rightarrow 4x-8=y-5\)
\(\Rightarrow 4x-8-y+5=0\)
\(\therefore\) স্পর্শকের সমীকরণ, \( 4x-y-3=0\)
আবার,
\((2, 5)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ,
\((y-5)4+(x-2)=0\) ➜Note \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণঃ \((y-y_{1})\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}+(x-x_{1})=0\).
\(\Rightarrow 4y-20+x-2=0\)
\(\Rightarrow x+4y-22=0\)
\(\therefore\) অভিলম্বের সমীকরণ, \(x+4y-22=0\)

দেওয়া আছে,
\(x^2+y^2+2x-4y-11=0\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^2+y^2+2x-4y-11)=\frac{d}{dx}(0)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(y^2)+2\frac{d}{dx}(x)-4\frac{d}{dx}(y)-\frac{d}{dx}(11)=0\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(u+v+w-s-p)=\frac{dy}{dx}(u)+\frac{dy}{dx}(v)\)\(+\frac{dy}{dx}(w)-\frac{dy}{dx}(s)-\frac{dy}{dx}(p)\)
\(\Rightarrow 2x+2y\frac{dy}{dx}+2.1-4\frac{dy}{dx}+0=0\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow 2x+2y\frac{dy}{dx}+2-4\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(2y-4)=-2-2x\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{-2-2x}{2y-4}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{-2(1+x)}{2(y-2)}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{-(1+x)}{y-2}\)
\((-1, -2)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(-1, -2)}=\frac{-(1-1)}{-2-2}\)
\(=\frac{-0}{-4}\)
\(=0\)
\(\therefore (-1, -2)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(y+2=0.(x+1)\) ➜Note \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণঃ \(y-y_{1}=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}(x-x_{1})\)
\(\Rightarrow y+2=0\)
\(\therefore\) স্পর্শকের সমীকরণ, \(y+2=0\)
আবার,
\((-1, -2)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ,
\((y+2)\times{0}+(x+1)=0\) ➜Note \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণঃ \((y-y_{1})\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}+(x-x_{1})=0\).
\(\Rightarrow 0+x+1=0\)
\(\Rightarrow x+1=0\)
\(\therefore\) অভিলম্বের সমীকরণ, \(x+1=0\)

দেওয়া আছে,
\(3x^2+5y^2+12x-30y+49=0\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(3x^2+5y^2+12x-30y+49)=\frac{d}{dx}(0)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow 3\frac{d}{dx}(x^2)+5\frac{d}{dx}(y^2)+12\frac{d}{dx}(x)-30\frac{d}{dx}(y)+\frac{d}{dx}(49)=0\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(u+v+w-s+p)=\frac{dy}{dx}(u)+\frac{dy}{dx}(v)\)\(+\frac{dy}{dx}(w)-\frac{dy}{dx}(s)+\frac{dy}{dx}(p)\)
\(\Rightarrow 3.2x+5.2y\frac{dy}{dx}+12.1-30\frac{dy}{dx}+0=0\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow 6x+10y\frac{dy}{dx}+12-30\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(10y-30)=-12-6x\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{-12-6x}{10y-30}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{-2(6+3x)}{2(5y-15)}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{-(6+3x)}{5y-15}\)
\((-1, 2)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(-1, 2)}=\frac{-\{6+3.(-1)\}}{5.2-15}\)
\(=\frac{-(6-3)}{10-15}\)
\(=\frac{-3}{-5}\)
\(=\frac{3}{5}\)
\(\therefore (-1, 2)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(y-2=\frac{3}{5}(x+1)\) ➜Note \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণঃ \(y-y_{1}=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}(x-x_{1})\)
\(\Rightarrow 5(y-2)=3(x+1)\)
\(\Rightarrow 3(x+1)=5(y-2)\)
\(\Rightarrow 3x+3=5y-10\)
\(\Rightarrow 3x+3-5y+10=0\)
\(\Rightarrow 3x-5y+13=0\)
\(\therefore\) স্পর্শকের সমীকরণ, \(3x-5y+13=0\)
আবার,
\((-1, 2)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ,
\((y-2)\times{\frac{3}{5}}+(x+1)=0\) ➜Note \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণঃ \((y-y_{1})\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}+(x-x_{1})=0\).
\(\Rightarrow \frac{3(y-2)}{5}+(x+1)=0\)
\(\Rightarrow x+1=-\frac{3(y-2)}{5}\)
\(\Rightarrow 5(x+1)=-3(y-2)\)
\(\Rightarrow 5(x+1)+3(y-2)=0\)
\(\Rightarrow 5x+5+3y-6=0\)
\(\Rightarrow 5x+3y-1=0\)
\(\therefore\) অভিলম্বের সমীকরণ, \(5x+3y-1=0\)

দেওয়া আছে,
\(x^3-6x^2y+5xy-2x+3y-17=0\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^3-6x^2y+5xy-2x+3y-17)=\frac{d}{dx}(0)\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^3)-6\frac{d}{dx}(x^2y)+5\frac{d}{dx}(xy)-2\frac{d}{dx}(x)+3\frac{d}{dx}(y)-\frac{d}{dx}(17)=0\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(u-v+w-p+..)=\frac{d}{dx}(u)\)\(-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)-\frac{d}{dx}(p)+..\)
\(\Rightarrow 3x^2-6x^2\frac{d}{dx}(y)-6y\frac{d}{dx}(x^2)+5x\frac{d}{dx}(y)+5y\frac{d}{dx}(x)-2.1+3\frac{dy}{dx}-0=0\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(x^3)=3x^2\), \(\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow 3x^2-6x^2\frac{dy}{dx}-6y.2x+5x\frac{dy}{dx}+5y.1-2+3\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 3x^2-6x^2\frac{dy}{dx}-12xy+5x\frac{dy}{dx}+5y-2+3\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow -6x^2\frac{dy}{dx}+5x\frac{dy}{dx}+3\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(-6x^2+5x+3)=2-3x^2+12xy-5y\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{2-3x^2+12xy-5y}{-6x^2+5x+3}\)
\((-1, -2)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \( \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(-1, -2)}=\frac{2-3(-1)^2+12(-1).(-2)-5(-2)}{-6(-1)^2+5(-1)+3}\)
\(=\frac{2-3+24+10}{-6-5+3}\)
\(=\frac{36-3}{-11+3}\)
\(=\frac{33}{-8}\)
\(=-\frac{33}{8}\)
\(\therefore (-1, -2)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(y+2=-\frac{33}{8}(x+1)\) ➜Note \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণঃ \(y-y_{1}=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}(x-x_{1})\)
\(\Rightarrow 8(y+2)=-33(x+1)\) ➜Note উভয় পার্শে \(3\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 8y+16=-33x-33\)
\(\Rightarrow 8y+16+33x+33=0\)
\(\Rightarrow 33x+8y+49=0\)
\(\therefore\) স্পর্শকের সমীকরণ, \(33x+8y+49=0\)
আবার,
\(\therefore (-1, -2)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ,
\((y+2)\times{-\frac{33}{8}}+(x+1)=0\) ➜Note \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণঃ \((y-y_{1})\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}+(x-x_{1})=0\).
\(\Rightarrow -\frac{33(y+2)}{8}+(x+1)=0\)
\(\Rightarrow (x+1)=\frac{33(y+2)}{8}\)
\(\Rightarrow 8(x+1)=33(y+2)\) ➜Note উভয় পার্শে \(8\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 8(x+1)-33(y+2)=0\)
\(\Rightarrow 8x+8-33y-66=0\)
\(\Rightarrow 8x-33y-58=0\)
\(\therefore\) অভিলম্বের সমীকরণ, \(8x-33y-58=0\)

ধরি,
\(x^2+y^2-2x-8y-9=0 ....(1)\)
\((1)\) নং বৃত্ত যখন \(Y\) অক্ষকে ছেদ করে
তখন, \(x=0\)
\((1)\) নং হতে,
\(0^2+y^2-2.0-8y-9=0\)
\(\Rightarrow y^2-8y-9=0\)
\(\Rightarrow y^2-9y+y-9=0\)
\(\Rightarrow y(y-9)+1(y-9)=0\)
\(\Rightarrow (y-9)(y+1)=0\)
\(\Rightarrow y-9=0, y+1=0\)
\(\Rightarrow y=9, y=-1\)
\(\therefore y=9, -1\)
\(\therefore (1)\) নং বৃত্ত \(Y\) অক্ষকে \((0, -1)\) ও \((0, 9)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
এখন,
\(\frac{d}{dx}(x^2+y^2-2x-8y-9)=\frac{d}{dx}(0)\) ➜Note\((1)\) এর উভয় পার্শে \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(y^2)-2\frac{d}{dx}(x)-8\frac{d}{dx}(y)-\frac{d}{dx}(9)=0\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(u+v-w-p-..)=\frac{d}{dx}(u)\)\(+\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)-\frac{d}{dx}(p)-..\)
\(\Rightarrow 2x+2y\frac{dy}{dx}-2.1-8\frac{dy}{dx}-0=0\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(x^2)=2x\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow 2x+2y\frac{dy}{dx}-2-8\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}-8\frac{dy}{dx}=2-2x\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(2y-8)=2-2x\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{2-2x}{2y-8}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{2(1-x)}{2(y-4)}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{1-x}{y-4}\)
\((0, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \( \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0, -1)}=\frac{1-0}{-1-4}\)
\(=\frac{1-0}{-1-4}\)
\(=\frac{1}{-5}\)
\(=-\frac{1}{5}\)
\(\therefore (0, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(y+1=-\frac{1}{5}(x-0)\) ➜Note \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণঃ \(y-y_{1}=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}(x-x_{1})\)
\(\Rightarrow 5(y+1)=-x\) ➜Note উভয় পার্শে \(5\) গুণ করে।
\(\Rightarrow x+5y+5=0\)
\(\therefore\) স্পর্শকের সমীকরণ, \(x+5y+5=0\)
আবার,
\(\therefore (0, -1)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ,
\((y+1)\times{-\frac{1}{5}}+(x-0)=0\) ➜Note \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণঃ \((y-y_{1})\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}+(x-x_{1})=0\).
\(\Rightarrow -\frac{y+1}{5}+x=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{y+1}{5}\)
\(\Rightarrow 5x=y+1\) ➜Note উভয় পার্শে \(5\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 5x-y-1=0\)
\(\therefore\) অভিলম্বের সমীকরণ, \(5x-y-1=0\)
আবার,
\((0, 9)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \( \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0, 9)}=\frac{1-0}{9-4}\)
\(=\frac{1}{5}\)
\(\therefore (0, 9)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(y-9=\frac{1}{5}(x-0)\) ➜Note \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণঃ \(y-y_{1}=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}(x-x_{1})\)
\(\Rightarrow 5(y+1)=x\) ➜Note উভয় পার্শে \(5\) গুণ করে।
\(\Rightarrow x=5(y-9)\)
\(\Rightarrow x=5y-45\)
\(\Rightarrow x-5y+45=0\)
\(\therefore\) স্পর্শকের সমীকরণ, \(x-5y+45=0\)
আবার,
\(\therefore (0, 9)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ,
\((y-9)\times{\frac{1}{5}}+(x-0)=0\) ➜Note \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণঃ \((y-y_{1})\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}+(x-x_{1})=0\).
\(\Rightarrow \frac{y-9}{5}+x=0\)
\(\Rightarrow \frac{y-9+5x}{5}=0\)
\(\Rightarrow y-9+5x=0\) ➜Note উভয় পার্শে \(5\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 5x+y-9=0\)
\(\therefore\) অভিলম্বের সমীকরণ, \(5x+y-9=0\)

দেওয়া আছে,
\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{a}=0\)
\(\Rightarrow f(x,y)=\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{a}\)
\(\Rightarrow \frac{\delta}{\delta{x}}(f)=\frac{\delta}{\delta{x}}(\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{a})\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে আংশিক অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f_{(x)}=\frac{1}{2\sqrt{x}}+0-0\)
\(\therefore f_{(x)}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে,
\(f_{(x_{1})}=\frac{1}{2\sqrt{x_{1}}} .......(1)\)
আবার,
\(\Rightarrow \frac{\delta}{\delta{y}}(f)=\frac{\delta}{\delta{y}}(\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{a})\) ➜Note \(y\)-এর সাপেক্ষে আংশিক অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f_{(y)}=0+\frac{1}{2\sqrt{y}}-0\)
\(\therefore f_{(y)}=\frac{1}{2\sqrt{y}}\)
\((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে,
\(f_{(y_{1})}=\frac{1}{2\sqrt{y_{1}}} .....(2)\)
এখন,
\((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\((x-x_{1})f_{(x_{1})}+(y-y_{1})f_{(y_{1})}=0\) ➜Note \(f(x,y)=0\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণঃ \((x-x_{1})f_{(x_{1})}+(y-y_{1})f_{(y_{1})}=0\).
\(\Rightarrow (x-x_{1})\frac{1}{2\sqrt{x_{1}}}+(y-y_{1})\frac{1}{2\sqrt{y_{1}}}=0\) ➜Note \((1)\) ও \((2)\) এর সাহায্যে
\(\Rightarrow (x-x_{1})\frac{1}{\sqrt{x_{1}}}+(y-y_{1})\frac{1}{\sqrt{y_{1}}}=0\) ➜Note উভয় পার্শে \((2)\) গুণ করে।
\(\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{x_{1}}}-\frac{x_{1}}{\sqrt{x_{1}}}+\frac{y}{\sqrt{y_{1}}}-\frac{y_{1}}{\sqrt{y_{1}}}=0\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{x_{1}}}-\frac{\sqrt{x_{1}}.\sqrt{x_{1}}}{\sqrt{x_{1}}}+\frac{y}{\sqrt{y_{1}}}-\frac{\sqrt{y_{1}}.\sqrt{y_{1}}}{\sqrt{y_{1}}}=0\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{x_{1}}}-\sqrt{x_{1}}+\frac{y}{\sqrt{y_{1}}}-\sqrt{y_{1}}=0\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{x_{1}}}+\frac{y}{\sqrt{y_{1}}}=\sqrt{x_{1}}+\sqrt{y_{1}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{x_{1}}}+\frac{y}{\sqrt{y_{1}}}=\sqrt{a}\) ➜Note \(\because \sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}\), \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে \(\sqrt{x_{1}}+\sqrt{y_{1}}=\sqrt{a}\)
\(\therefore \frac{x}{\sqrt{ax_{1}}}+\frac{y}{\sqrt{ay_{1}}}=1\) ➜Note উভয় পার্শে \((\sqrt{a})\) ভাগ করে।
\(X\) অক্ষের কর্তিত অংশ \(=\sqrt{ax_{1}}\)
এবং \(Y\) অক্ষের কর্তিত অংশ \(=\sqrt{ay_{1}}\)
এদের যোগফল \(=\sqrt{ax_{1}}+\sqrt{ay_{1}}\)
\(=\sqrt{a}(\sqrt{x_{1}}+\sqrt{y_{1}})\)
\(=\sqrt{a}.\sqrt{a}\) ➜Note \(\because \sqrt{x_{1}}+\sqrt{y_{1}}=\sqrt{a}\)
\(=a\) যা একটি ধ্রুবক ।
(Showed)

দেওয়া আছে,
\(x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}\)
\(\Rightarrow x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{2}{3}}=0\)
\(\Rightarrow f(x,y)=x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{2}{3}}\)
\(\Rightarrow \frac{\delta}{\delta{x}}(f)=\frac{\delta}{\delta{x}}(x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{2}{3}})\) ➜Note \(x\)-এর সাপেক্ষে আংশিক অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f_{(x)}=\frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1}+0-0\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(\Rightarrow f_{(x)}=\frac{2}{3}x^{\frac{2-3}{3}}\)
\(\therefore f_{(x)}=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}\)
\((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে,
\(f_{(x_{1})}=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}_{1}\)
\(\therefore f_{(x_{1})}=\frac{2}{3x^{\frac{1}{3}}_{1}} .......(1)\)
আবার,
\(\Rightarrow \frac{\delta}{\delta{y}}(f)=\frac{\delta}{\delta{y}}(x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{2}{3}})\) ➜Note \(y\)-এর সাপেক্ষে আংশিক অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f_{(y)}=\frac{2}{3}y^{\frac{2}{3}-1}+0-0\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(\Rightarrow f_{(y)}=\frac{2}{3}y^{\frac{2-3}{3}}\)
\(\therefore f_{(y)}=\frac{2}{3}y^{-\frac{1}{3}}\)
\((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে,
\(f_{(y_{1})}=\frac{2}{3}y^{-\frac{1}{3}}_{1}\)
\(\therefore f_{(y_{1})}=\frac{2}{3y^{\frac{1}{3}}_{1}} .......(2)\)
এখন,
\((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\((x-x_{1})f_{(x_{1})}+(y-y_{1})f_{(y_{1})}=0\) ➜Note \(f(x,y)=0\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণঃ \((x-x_{1})f_{(x_{1})}+(y-y_{1})f_{(y_{1})}=0\).
\(\Rightarrow (x-x_{1})\frac{2}{3x^{\frac{1}{3}}_{1}}+(y-y_{1})\frac{2}{3y^{\frac{1}{3}}_{1}}=0\) ➜Note \((1)\) ও \((2)\) এর সাহায্যে
\(\Rightarrow (x-x_{1})\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}_{1}}+(y-y_{1})\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}_{1}}=0\) ➜Note উভয় পার্শে \((\frac{3}{2})\) গুণ করে।
\(\Rightarrow \frac{x}{x^{\frac{1}{3}}_{1}}-\frac{x_{1}}{x^{\frac{1}{3}}_{1}}+\frac{y}{y^{\frac{1}{3}}_{1}}-\frac{y_{1}}{y^{\frac{1}{3}}_{1}}=0\)
\(\Rightarrow \frac{x}{x^{\frac{1}{3}}_{1}}-x^{1-\frac{1}{3}}_{1}+\frac{y}{y^{\frac{1}{3}}_{1}}-y^{1-\frac{1}{3}}_{1}=0\)
\(\Rightarrow \frac{x}{x^{\frac{1}{3}}_{1}}-x^{\frac{3-1}{3}}_{1}+\frac{y}{y^{\frac{1}{3}}_{1}}-y^{\frac{3-1}{3}}_{1}=0\)
\(\Rightarrow \frac{x}{x^{\frac{1}{3}}_{1}}+\frac{y}{y^{\frac{1}{3}}_{1}}=x^{\frac{2}{3}}_{1}+y^{\frac{2}{3}}_{1}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{x^{\frac{1}{3}}_{1}}+\frac{y}{y^{\frac{1}{3}}_{1}}=a^{\frac{2}{3}}\) ➜Note \(\because x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}\), \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে \(x^{\frac{2}{3}}_{1}+y^{\frac{2}{3}}_{1}=a^{\frac{2}{3}}\)
\(\therefore \frac{x}{a^{\frac{2}{3}}x^{\frac{1}{3}}_{1}}+\frac{y}{a^{\frac{2}{3}}y^{\frac{1}{3}}_{1}}=1\) ➜Note উভয় পার্শে \((a^{\frac{2}{3}})\) ভাগ করে।
\(X\) অক্ষের কর্তিত অংশ \(=a^{\frac{2}{3}}x^{\frac{1}{3}}_{1}\)
এবং \(Y\) অক্ষের কর্তিত অংশ \(=a^{\frac{2}{3}}y^{\frac{1}{3}}_{1}\)
এদের বর্গের যোগফল \(=\left(a^{\frac{2}{3}}x^{\frac{1}{3}}_{1}\right)^2+\left(a^{\frac{2}{3}}y^{\frac{1}{3}}_{1}\right)^2\)
\(=a^{\frac{4}{3}}x^{\frac{2}{3}}_{1}+a^{\frac{4}{3}}y^{\frac{2}{3}}_{1}\)
\(=a^{\frac{4}{3}}\left(x^{\frac{2}{3}}_{1}+y^{\frac{2}{3}}_{1}\right)\)
\(=a^{\frac{4}{3}}.a^{\frac{2}{3}}\) ➜Note \(\because x^{\frac{2}{3}}_{1}+y^{\frac{2}{3}}_{1}=a^{\frac{2}{3}}\)
\(=a^{\frac{4}{3}+\frac{2}{3}}\)
\(=a^{\frac{4+2}{3}}\)
\(=a^{\frac{6}{3}}\)
\(=a^{2}\) যা একটি ধ্রুবক ।
(Showed)

ধরি,
\(y=ax^2+bx+c ......(1)\)
\((1)\) নং বক্ররেখাটি মূলবিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore 0=a.0+b.0+c\)
\(\Rightarrow 0=0+0+c\)
\(\Rightarrow 0=c\)
\(\therefore c=0\)
আবার,
\((1)\) নং বক্ররেখাটি \((2, 2)\) দিয়ে যায়।
\(\therefore 2=a.2^2+b.2+c\)
\(\Rightarrow 2=4a+2b+0\) ➜Note \(\because c=0\)
\(\Rightarrow 4a+2b=2\)
\(\Rightarrow 2(2a+b)=2\)
\(\therefore 2a+b=1 ....(2)\)
আবার,
\(\frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(ax^2+bx+c)\) ➜Note \((1)\) নং কে \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=a\frac{d}{dx}(x^2)+b\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(c)\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(u+v+w)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=a.2x+b.1+0\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=2ax+b\)
মূলবিন্দুতে,
\(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0, 0)}=2a.0+b\)
\(=0+b\)
\(=b\)
শর্তমতে,
\(b=2\) ➜Note \(\because \) মূলবিন্দুতে বক্ররেখাটির ঢাল \(2\)
\((2)\) এর সাহায্যে,
\(2a+2=1\)
\(\Rightarrow 2a=1-2\)
\(\Rightarrow 2a=-1\)
\(\therefore a=-\frac{1}{2}\)
\(\therefore a=-\frac{1}{2}, b=2, c=0\)

দেওয়া আছে,
\(s=112t-16t^2\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dt}(s)=\frac{d}{dt}(112t-16t^2)\) ➜Note \(t\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{ds}{dt}=112\frac{d}{dt}(t)-16\frac{d}{dt}(t^2)\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow \frac{ds}{dt}=112.1-16.2t\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(\therefore \frac{ds}{dt}=112-32t\)
\((a)\) এর বেগ \(80\) ফুট/সেকেন্ড হয়,
অর্থাৎ \( \frac{ds}{dt}=112-32t=80\)
\(\Rightarrow 112-32t=80\)
\(\Rightarrow -32t=80-112\)
\(\Rightarrow -32t=-32\)
\(\therefore t=1\) সেকেন্ড ।
আবার,
\((b)\) যখন পাথরটি তার উচ্চতম বিন্দুতে পৌঁছে ।
তখন,
\(\frac{ds}{dt}=112-32t=0\)
\(\Rightarrow 112-32t=0\)
\(\Rightarrow -32t=-112\)
\(\Rightarrow t=\frac{-112}{-32}\)
\(\Rightarrow t=\frac{7}{2}\)
\(\therefore t=3\frac{1}{2}\) সেকেন্ড ।

দেওয়া আছে,
\(s=63t-6t^2-t^3\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dt}(s)=\frac{d}{dt}(63t-6t^2-t^3)\) ➜Note \(t\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{ds}{dt}=63\frac{d}{dt}(t)-6\frac{d}{dt}(t^2)-\frac{d}{dt}(t^3)\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(u-v-w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)\)
\(\Rightarrow \frac{ds}{dt}=63.1-6.2t-3t^2\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(\Rightarrow \frac{ds}{dt}=63-12t-3t^2\)
\(\therefore v=63-12t-3t^2\) ➜Note \(\because v=\frac{ds}{dt}\)
\(t=2\) সেকেন্ড শেষে তার বেগ,
\(v=63-12.2-3.2^2\)
\(=63-24-3.4\)

\(=63-24-12\)
\(=63-36\)
\(=27\) একক /সেকেন্ড
আবার,
কণাটি যখন থেমে যায়,
তখন, \(v=0\)
\(\Rightarrow 63-12t-3t^2=0\)
\(\Rightarrow t^2+4t-21=0\) ➜Note উভয় পার্শে \(3\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow t^2+7t-3t-21=0\)
\(\Rightarrow t(t+7)-3(t+7)=0\)
\(\Rightarrow (t+7)(t-3)=0\)
\(\Rightarrow t+7\ne{0}, t-3=0\)
\(\therefore t=3\) সেকেন্ড
অর্থাৎ কণাটি থেমে যাওয়ার পূর্বে \(3\) সেকেন্ড চলেছিল।
\(3\) সেকেন্ডে কণাটির অতিক্রান্ত দূরত্ব
\(s=63.3-6.3^2-3^3\) ➜Note \(\because s=63t-6t^2-t^3\)
\(=189-6.9-27\)
\(=189-54-27\)
\(=189-81\)
\(=108\) একক ।

ধরি,
বৃত্তটির ক্ষেত্রফল=\(A\)
ব্যসার্ধ = \(r\)
\(\therefore A=\pi r^2 ....(1)\)
দেওয়া আছে যে,
\(\frac{dr}{dt}=k .....(2)\) যেখানে \(k\) একটি ধ্রুবক। ➜Note বৃত্তের ব্যাসার্ধ সমহারে বৃদ্ধি পায়।
\((1)\) এর উভয় পার্শে \(t\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\frac{d}{dt}(A)=\pi \frac{d}{dt}(r^2)\)
\(\Rightarrow \frac{dA}{dt}=\pi .2r\frac{dr}{dt}\)
\(\Rightarrow \frac{dA}{dt}=2\pi rk\) ➜Note \((2)\) হতে , \(\frac{dr}{dt}=k\)
\(\Rightarrow \frac{dA}{dt}=2k\pi r\)
\(\therefore \frac{dA}{dt}\propto{r}\) ➜Note \(2k\pi\) ধ্রুবক।
সুতরাং, ক্ষেত্রফলের বৃদ্ধির হার তার ব্যসার্ধের সাথে সমানুপাতিক।
(Showed)

ধরি,
বুদবুদের ব্যসার্ধ \(=r\)
ব্যসার্ধ বৃদ্ধির হার \(=\frac{dr}{dt}\)
বুদবুদের আয়তন \(v=\frac{4}{3}\pi r^3\)
আয়তন বৃদ্ধির হার \(=\frac{dv}{dt}\)
\(=\frac{d}{dt}(v)\)
\(=\frac{d}{dt}\left(\frac{4}{3}\pi r^3\right)\)
\(=\frac{4}{3}\pi \frac{d}{dt}(r^3)\)
\(=\frac{4}{3}\pi .3r^2\frac{dr}{dt}\)
\(=4\pi r^2\times \) ব্যসার্ধ বৃদ্ধির হার। ➜Note \(\because \) ব্যসার্ধ বৃদ্ধির হার \(=\frac{dr}{dt}\)
(Showed)

ধরি,
সমবাহু ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য \(=x\)
এবং ক্ষেত্রফল \(A=\frac{1}{2}x^2\sin{60^{o}}\) ➜Note \(\because \triangle{ABC}=\frac{1}{2}ab\sin{C}\) এখানে, \(a=b=x, C=60^{o}\)
\(\Rightarrow A=\frac{1}{2}x^2\times{\frac{\sqrt{3}}{2}}\) ➜Note \(\because \sin{60^{o}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\therefore A=\frac{\sqrt{3}}{4}x^2 .......(1)\)
দেওয়া আছে,
বাহুর বৃদ্ধি \(\frac{dx}{dt}=\sqrt{3} .....(2)\)
এবং ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি \(\frac{dA}{dt}=12\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dt}(A)=12\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dt}\left(\frac{\sqrt{3}}{4}x^2\right)=12\) ➜Note \((1)\) হতে , \(A=\frac{\sqrt{3}}{4}x^2\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{4}\frac{d}{dt}(x^2)=12\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{4}.2x\frac{dx}{dt}=12\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}x.\sqrt{3}=12\) ➜Note \((2)\) হতে , \(\frac{dx}{dt}=\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \frac{3}{2}x=12\)
\(\Rightarrow x=12\times{\frac{2}{3}}\)
\(\Rightarrow x=4\times{2}\)
\(\therefore x=8\)
\(\therefore \) ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য \(8\) সে.মি.

ধরি,
ট্রেনটির \(t\) সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব \(=s\)
\(\therefore s=3t+\frac{1}{8}t^2\)
\(\Rightarrow \frac{ds}{dt}=\frac{d}{dt}\left(3t+\frac{1}{8}t^2\right)\) ➜Note \(t\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{ds}{dt}=3\frac{d}{dt}(t)+\frac{1}{8}\frac{d}{dt}(t^2)\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow \frac{ds}{dt}=3.1+\frac{1}{8}.2t\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(\therefore v=3+\frac{1}{4}t\) ➜Note বেগ \(v=\frac{ds}{dt}\)
দেওয়া আছে,
\(t=5\) মিনিট
\(\Rightarrow t=5\times{60}\) সেকেন্ড
\(\Rightarrow t=300\) সেকেন্ড
এখন,
\(v=3+\frac{1}{4}\times{300}\) ➜Note \(\because t=300\)
\(=3+75\)
\(=78\) মিটার /সেকেন্ড।

দেওয়া আছে,
\(s=t^3+\frac{1}{t^3}\)
\(\Rightarrow \frac{ds}{dt}=\frac{d}{dt}\left(t^3+\frac{1}{t^3}\right)\) ➜Note \(t\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{ds}{dt}=\frac{d}{dt}(t^3)+\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{t^3}\right)\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow \frac{ds}{dt}=\frac{d}{dt}(t^3)+\frac{d}{dt}(t^{-3})\)
\(\Rightarrow v=3t^2-3t^{-3-1}\) ➜Note \(\because v=\frac{ds}{dt}, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(\Rightarrow v=3t^2-3t^{-4}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dt}v=\frac{d}{dt}(3t^2-3t^{-4})\) ➜Note আবার, \(t\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dv}{dt}=3\frac{d}{dt}(t^2)-3\frac{d}{dt}(t^{-4})\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow \frac{dv}{dt}=3.2t-3\times{(-4)}t^{-4-1}\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(\Rightarrow f=6t+12t^{-5}\) ➜Note ত্বরণ \(f=\frac{dv}{dt}\)
\(\therefore f=6t+\frac{12}{t^{5}}\) যা সর্বদা ধনাত্মক। যেহেতু \(t\) ধনাত্মক।
\(\therefore \) ত্বরণ \(f\) সর্বদা ধনাত্মক।
এখন,
\(t=10\) হলে, এর গতিবেগ,
\(v=3t^2-3t^{-4}\)
\(=3.(10)^2-3.(10)^{-4}\)
\(=3.100-\frac{3}{(10)^{4}}\)
\(=300-\frac{3}{10000}\)
\(=300-0.0003\)
\(=299.9997\) একক /সেকেন্ড।

দেওয়া আছে,
\(s=\sqrt{(2t)}\)
\(\Rightarrow \frac{ds}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\sqrt{(2t)}\right)\) ➜Note \(t\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{ds}{dt}=\sqrt{2}\frac{d}{dt}(\sqrt{t})\) \(\Rightarrow v=\sqrt{2}\frac{1}{2\sqrt{t}}\) ➜Note \(\because v=\frac{ds}{dt}, \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(\Rightarrow v=\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{t}}\)
\(\therefore v=\frac{1}{\sqrt{2t}} ......(1)\)
আবার,
\(\Rightarrow \frac{d}{dt}(v)=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{\sqrt{2t}}\right)\) ➜Note আবার, \((1)\) এর উভয় পার্শে \(t\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dv}{dt}=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{\sqrt{t}}\right)\)
\(\Rightarrow f=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}\right)\) ➜Note ত্বরণ \(f=\frac{dv}{dt}\)
\(\Rightarrow f=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{d}{dt}(t^{-\frac{1}{2}})\)
\(\Rightarrow f=\frac{1}{\sqrt{2}}\times{-\frac{1}{2}}t^{-\frac{1}{2}-1}\)
\(\Rightarrow f=-\frac{1}{2\sqrt{2}}t^{\frac{-1-2}{2}}\)
\(\Rightarrow f=-\frac{1}{2\sqrt{2}}t^{\frac{-3}{2}}\)
\(\Rightarrow f=-\frac{1}{2\sqrt{2}t^{\frac{3}{2}}}\)
\(\Rightarrow f=-\frac{1}{2\sqrt{2}(\sqrt{t})^3}\)
\(\Rightarrow f=-\frac{1}{(\sqrt{2t})^3}\)
\(\Rightarrow f=-\left(\frac{1}{\sqrt{2t}}\right)^3\)
\(\Rightarrow f=-v^3\) ➜Note \((1)\) হতে , \( v=\frac{1}{\sqrt{2t}}\)
\(\Rightarrow f=-1\times{v^3}\)
\(\Rightarrow f=k\times{v^3}\) যেখানে \(k=-1\) ধ্রুবক।
\(\therefore f\propto{v^3}\)
\(\therefore\) কণাটির ত্বরণ বেগের ঘনফলের সাথে সমানুপাতিক।
(Showed)

দেওয়া আছে,
\(s=\sqrt{t}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dt}(s)=\frac{d}{dt}\left(\sqrt{t}\right)\) ➜Note \(t\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{ds}{dt}=\frac{d}{dt}(\sqrt{t})\)
\(\Rightarrow v=\frac{1}{2\sqrt{t}}\) ➜Note \(\because v=\frac{ds}{dt}, \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(\therefore v=\frac{1}{2\sqrt{t}} ......(1)\)
আবার,
\(\Rightarrow \frac{d}{dt}(v)=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2\sqrt{t}}\right)\) ➜Note আবার, \((1)\) এর উভয় পার্শে \(t\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dv}{dt}=\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{\sqrt{t}}\right)\)
\(\Rightarrow f=\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}\right)\) ➜Note ত্বরণ \(f=\frac{dv}{dt}\)
\(\Rightarrow f=\frac{1}{2}\frac{d}{dt}(t^{-\frac{1}{2}})\)
\(\Rightarrow f=\frac{1}{2}\times{-\frac{1}{2}}t^{-\frac{1}{2}-1}\)
\(\Rightarrow f=-\frac{1}{4}t^{\frac{-1-2}{2}}\)
\(\Rightarrow f=-\frac{1}{4}t^{\frac{-3}{2}}\)
\(\Rightarrow f=-\frac{1}{4t^{\frac{3}{2}}}\)
\(\Rightarrow f=-\frac{1}{4(\sqrt{t})^3}\)
\(\Rightarrow f=-\frac{2}{8(\sqrt{t})^3}\)
\(\Rightarrow f=-\frac{2}{(2\sqrt{t})^3}\)
\(\Rightarrow f=-2\left(\frac{1}{2\sqrt{t}}\right)^3\)
\(\Rightarrow f=-2v^3\) যা ঋনাত্মক। ➜Note \((1)\) হতে , \( v=\frac{1}{2\sqrt{t}}\)
\(\Rightarrow f=-2\times{v^3}\)
\(\Rightarrow f=k\times{v^3}\) যেখানে \(k=-2\) ধ্রুবক।
\(\therefore f\propto{v^3}\)
\(\therefore\) কণাটির ত্বরণ বেগের ঘনফলের সাথে সমানুপাতিক।
(Showed)

দেওয়া আছে,
\(s=3.8t+1.5t^2\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dt}(s)=\frac{d}{dt}(3.8t+1.5t^2)\) ➜Note \(t\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{ds}{dt}=3.8\frac{d}{dt}(t)+1.5\frac{d}{dt}(t^2)\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow v=3.8\times{1}+1.5\times{2t}\) ➜Note \(\because v=\frac{ds}{dt}, \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(x^2)=2x\)
\(\Rightarrow v=3.8+3t\)
আবার,
\(\frac{d}{dt}(v)=\frac{d}{dt}(3.8+3t)\) ➜Note আবার, \((1)\) এর উভয় পার্শে \(t\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}(3.8)+3\frac{d}{dt}(t)\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow f=0+3\times{1}\) ➜Note ত্বরণ \(f=\frac{dv}{dt}, \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(\therefore f=3\) যা ধ্রুবক।
কণাটির ত্বরণ \(3\) সে.মি./বর্গ সে.

দেওয়া আছে,
\(s=98t-4.9t^2\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dt}(s)=\frac{d}{dt}(98t-4.9t^2)\) ➜Note \(t\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{ds}{dt}=98\frac{d}{dt}(t)-4.9\frac{d}{dt}(t^2)\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow v=98\times{1}-4.9\times{2t}\) ➜Note \(\because v=\frac{ds}{dt}, \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(x^2)=2x\)
\(\Rightarrow v=98-9.8t ....(1)\)
\((a)\) এর বেগ \(49\) মি./সে. হয়,
অর্থাৎ, \(49=v\)
\(\Rightarrow 49=98-9.8t\)
\(\Rightarrow 9.8t=98-49\)
\(\Rightarrow 9.8t=49\)
\(\Rightarrow t=\frac{49}{9.8}\)
\(\therefore t=5\) সে.
আবার,
\((b)\) যখন পাথর খন্ডটি তার উচ্চতম বিন্দুতে পৌঁছে ,
তখন, \(v=0\)
\(\Rightarrow 98-9.8t=0\)
\(\Rightarrow -9.8t=-98\)
\(\Rightarrow t=\frac{-98}{-9.8}\)
\(\therefore t=10\) সে.

দেওয়া আছে,
\(s=\frac{1}{2}t^3+t^2+4t\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dt}(s)=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}t^3+t^2+4t\right)\) ➜Note \(t\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{ds}{dt}=\frac{1}{2}\frac{d}{dt}(t^3)+\frac{d}{dt}(t^2)+4\frac{d}{dt}(t)\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(u+v+w)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(\Rightarrow v=\frac{1}{2}.3t^2+2t+4.1\) ➜Note \(\because v=\frac{ds}{dt}, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(\Rightarrow v=\frac{3}{2}t^2+2t+4 ....(1)\)
গতি শুরু হওয়ার \(5\) সেকেন্ড পরে কণাটির বেগ
অর্থাৎ, \(t=5\) হলে, \((1)\) নং সমীকরণ হতে,
\(v=\frac{3}{2}.5^2+2.5+4\)
\(=\frac{3}{2}.25+10+4\)
\(=\frac{75}{2}+10+4\)
\(=\frac{75+20+8}{2}\)
\(=\frac{103}{2}\)
\(=51.5\) মি./ সে.
আবার,
\(\frac{d}{dt}(v)=\frac{d}{dt}\left(\frac{3}{2}t^2+2t+4\right)\) ➜Note আবার, \((1)\) এর উভয় পার্শে \(t\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dv}{dt}=\frac{3}{2}\frac{d}{dt}(t^2)+2\frac{d}{dt}(t)+\frac{d}{dt}(4)\) ➜Note \(\because \frac{d}{dx}(u+v+w)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(\Rightarrow f=\frac{3}{2}.2t+2.1+0\) ➜Note ত্বরণ \(f=\frac{dv}{dt}, \frac{d}{dx}(x^2)=2x, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(\therefore f=3t+2 .....(2)\)
গতি শুরু হওয়ার \(5\) সেকেন্ড পরে কণাটির ত্বরণ
অর্থাৎ, \(t=5\) হলে, \((2)\) নং সমীকরণ হতে,
\(f=3.5+2\)
\(=15+2\)
\(=17\) মি./বর্গ সে.