অন্তরজের জ্যামিতিক ব্যাখ্যা
barcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয়গুলি আলোচনা করব।
স্পর্শকঃ মনে করি কোনো বক্ররেখার উপর \(P\) একটি বিন্দু। \(P\) বিন্দু দিয়ে একটি সরলরেখা অঙ্কন করি যা ঐ বক্ররেখাকে \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে। সুতরাং আমরা বলতে পারি \(PQ\) একটি ছেদক। এখন \(P\) কে কেন্দ্র করে যদি ছেদক \(PQ\) কে এমনভাবে ঘুরানো হয় যেন \(Q\) বিন্দু বক্ররেখা বরাবর \(P\) এর সমীপবর্তী হয়ে \(P\) বিন্দুর সহিত সম্পুর্ণভাবে মিলে যায়। ছেদক \(PQ\) এর এই সীমায়িত অবস্থানে \(P\) বিন্দুতে ঐ বক্ররেখার উপর \(PQ\) এর এই অবস্থানকে স্পর্শক বলে।
অভিলম্বঃ কোনো বক্ররেখার স্পর্শকের স্পর্শবিন্দু দিয়ে অতিক্রান্ত এবং স্পর্শকের উপর অঙ্কিত লম্ব রেখাটিকে বক্ররেখাটির অভিলম্ব বলে।
অন্তরজের জ্যামিতিক ব্যাখ্যা।
Geometric Interpretation Of Derivative.
geo1 মনে করি, \(y=f(x)\) একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন এবং তার লেখচিত্র \(AB\) বক্ররেখা। \(P(x, y)\) ও \(Q(x+\delta{x}, y+\delta{y})\) এই বক্ররেখার উপর নিকটবর্তী দুইটি বিন্দু। \(PQ\) সরলরেখাকে বর্ধিত করলে তা \(X\) অক্ষের সাথে \(\psi\) কোণ উৎপন্ন করে। অর্থাৎ \(\angle{XRP}=\psi\) । এখন \(P\) ও \(Q\) বিন্দু হতে \(X\) অক্ষের উপর যথাক্রমে \(PL\) ও \(QM\) লম্ব আঁকি। আবার, \(P\) বিন্দু হতে \(QM\) এর উপর \(PN\) লম্ব আঁকি।
এখন,
\(PN=LM=OM-OL\)
\(=x+\delta{x}-x=\delta{x}\)
এবং
\(NQ=MQ-MN=MQ-LP\)
\(=y+\delta{y}-y=\delta{y}\).
\(\angle{NPQ}=\angle{XRP}=\psi\).
\(\therefore \tan{\psi}=\frac{NQ}{PN}=\frac{\delta{y}}{\delta{x}} .......(1)\).
এখন যদি \(AB\) বক্ররেখার উপর দিয়ে ক্রমশ \(Q\rightarrow{P}\) হয়, তবে \(PQ\) জ্যা \(PT\) স্পর্শক হবে। সেক্ষেত্রে \(\delta{x}\rightarrow{0}\) এবং \(\psi\rightarrow{\theta}\) হবে, যেখানে \(\theta=\angle{XPT}\).
এখন,
\[\lim_{\delta{x} \rightarrow{\theta}}\tan{\psi}=\lim_{\delta{x} \rightarrow{0}}\frac{\delta{y}}{\delta{x}}\] ➜ \((1)\)-এর সাহায্যে।
\[\therefore \tan{\theta}=\frac{dy}{dx}\] ➜ \[\because \lim_{\delta{x} \rightarrow{0}}\frac{\delta{y}}{\delta{x}}=\frac{dy}{dx}\]
সুতরাং \(\frac{dy}{dx}=\tan{\theta}=AB\) বক্ররেখার \(P(x, y)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল।
নির্দিষ্ট \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে \(y=f(x)\) বক্ররেখার স্পর্শকের ঢাল।
The slope of the tangent of the curve \(y=f(x)\) at the fixed point \((x_{1}, y_{1})\).
\(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(\theta\) কোণ উৎপন্ন করে এরূপ রেখার ঢাল \(m=\tan{\theta}\).
যে স্পর্শক \(y=f(x)\) বক্ররেখাকে \((x, y)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(\theta\) কোণ উৎপন্ন করে তার ঢাল,
\(m=\tan{\theta}=\frac{dy}{dx}=f^{\prime}(x)\).
যে স্পর্শক \(y=f(x)\) বক্ররেখাকে \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(\theta\) কোণ উৎপন্ন করে তার ঢাল,
\(m=\tan{\theta}=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}=f^{\prime}(x_{1})\).
\(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণঃ \(y-y_{1}=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}(x-x_{1})\).
\(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণঃ \((y-y_{1})\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}+(x-x_{1})=0\).
\(f(x,y)=0\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণঃ \((x-x_{1})f_{(x_{1})}+(y-y_{1})f_{(y_{1})}=0\).
পরিবর্তনের হার হিসাবে অন্তরজ।
The Derivative as a rate of change.
অন্তরীকরণের আর একটি উল্লেখযোগ্য দিক হচ্ছে, অন্তরীকরণকে পরিবর্তনের হার পরিমাপক হিসাবেও ব্যবহার করা যায়। উদাহরণস্বরূপ বলা যায়, যদি \(t\) সময়ে কোনো চলমান বিন্দুর অতিক্রান্ত দূরত্ব \(s\) হয় তবে \(s, t\) এর একটি ফাংশন অর্থাৎ, \(s=f(t)\) যদি \(t+\delta{t}\) সময়ে \(s\) এর মাণ \(s+\delta{s}\) হয়, তবে \(\delta{t}\) সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব হয় \(\delta{s}\).
অতএব, \[\lim_{\delta{t} \rightarrow 0}\frac{\delta{s}}{\delta{t}}\] চলমান বিন্দু কতৃক সেই মুহূর্তে একক সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্বকে বোঝায়। কিন্তু সংজ্ঞানুসারে \[\lim_{\delta{t} \rightarrow 0}\frac{\delta{s}}{\delta{t}}=\frac{ds}{dt}\].
সুতরাং, \(\frac{ds}{dt}\) প্রকৃতপক্ষে সময়ের সাপেক্ষে দূরত্বের পরিবর্তনের হার অর্থাৎ চলমান বিন্দুটির গতিবেগ। অর্থাৎ বেগ, \(v=\frac{ds}{dt}\) অনুরূপভাবে, \(\frac{dv}{dt}\) সময়ের সাপেক্ষে গতিবেগ পরিবর্তনের হার অর্থাৎ ত্বরণ। আবার, ত্বরণ \(=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2s}{dt^2}\).
সাধারণভাবে, যদি \(y, x\) এর ফাংশন হয় অর্থাৎ \(y=f(x)\) হয় তবে \(\frac{dy}{dx}, x\) এর সাপাক্ষে \(y\) এর পরিবর্তনের হার।
স্পর্শকের ভিন্ন ভিন্ন অবস্থান সাপেক্ষে এর ঢাল নির্ণয়।
Determine its slope with different positions of tangents.
\(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x, y)\) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক \((a)\) \(X\) অক্ষের সাথে সমান্তরাল বা \(Y\) অক্ষের উপর লম্ব হওয়ার শর্তঃ \(\frac{dy}{dx}=0\)
\((b)\) \(X\) অক্ষের উপর লম্ব বা \(Y\) অক্ষের সাথে সমান্তরাল হওয়ার শর্তঃ \(\frac{dy}{dx}=\infty\)
\((c)\) \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করার শর্তঃ \(\frac{dy}{dx}=1\)
\((d)\) অক্ষদ্বয়ের সাথে সমান সমান কোণ উৎপন্ন করার শর্তঃ \(\frac{dy}{dx}=\pm{1}\)
\((e)\) \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে স্থুলকোণ উৎপন্ন করার শর্তঃ \(\frac{dy}{dx}<0\)
\((f)\) \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে সূক্ষ্ণকোণ উৎপন্ন করার শর্তঃ \(\frac{dy}{dx}>0\)
অনুশীলনী \(9.H\) উদাহরণ সমুহ
\((1.)\) \(y=x^3-3x^2-9x+15\) বক্ররেখার যে সমস্ত বিন্দুতে স্পর্শক \(x\) অক্ষের সমান্তরাল তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((3, -12); (-1, 20)\)

\((2.)\) \(y^2=x^2(a-x)\) বক্ররেখার যে সমস্ত বিন্দুতে স্পর্শক \(y\) অক্ষের সমান্তরাল তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((0, 0); (a, 0)\)

\((3.)\) \(y=x^3-2x^2+4\) বক্ররেখার \((2, 4)\) বিন্দুতে স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x-y-4=0; x+4y-18=0\)
[ সিঃ২০১১; চঃ২০০৮; বঃ২০০৩ ]

\((4.)\) \(x^3+xy^2-3x^2+4x+5y+2=0\) বক্ররেখার \((1, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শক এবং অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x+3y+1=0; 3x-2y-5=0\)
[ বঃ ২০১১; কুঃ২০০৮; সিঃ২০০৭; যঃ২০০২; ঢাঃ ২০০০; মাঃ ২০১০, ২০০৫ ]

\( (5.) \) কোনো গতিশীল কণার \(t\) সময়ে একটি সরলরেখার উপর দূরত্ব \(s\) কে \(s=at^2+bt+c\) সমীকরণ দ্বারা প্রকাশ করা হয়, যেখানে \(a, b, c\) ধ্রুবক । যদি \(t\) সময় পরে কণাটির বেগ \(v\) হয়, তবে দেখাও যে, \(4a(s-c)=v^2-b^2\).
[ দিঃ ২০০৯; যঃ২০০৫; চঃ২০০৫,২০০০ ]

\((6.)\) যদি একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল সমহারে বাড়ে, তবে দেখাও যে, তার পরিসীমা ব্যাসার্ধের ব্যস্ত অনুপাতে বাড়ে।

\((7.)\) ধাতুরর তৈরী একটি বৃত্তাকৃতি থালার ব্যাসার্ধ তাপ প্রয়োগের ফলে প্রতি সেকেন্ডে \(0.25\) সে.মি. বাড়ে। যখন থালাটির ব্যাসার্ধ \(7\) সে.মি. তখন তার তলের বৃদ্ধির হার নির্ণয় কর।
উত্তরঃ প্রতি সেকেন্ডে \(11\) বর্গ সে.মি. (প্রায় )

\((8.)\) \(a\) এর মান কত হলে, \(y=ax(1+x)\) বক্ররেখার মূলবিন্দুতে তার স্পর্শক \(x\) অক্ষের সাথে \(30^{o}\) কোণ উৎপন্ন করবে।
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
[ বুয়েটঃ২০১১-২০১২; চুয়েটঃ ২০১৩-২০১৪; ঢাঃ২০০৪; দিঃ২০১৬; যঃ২০০৭; কুঃ২০০৬; চঃ২০১২; বঃ২০০৬,২০০৮ ]

\((9.)\) \(x^2y+xy^2-2x-3y-17=0\) বক্ররেখার \((2, 3)\) বিন্দুতে স্পর্শক এবং অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(19x+13y-77=0; 13x-19y-31=0\)

অনুশীলনী \(9.H / Q.1\)-এর অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমুহ
\(Q.1.(i)\) \(y=4x^3+3x^2-6x+1\) বক্ররেখার যে সমস্ত বিন্দুতে স্পর্শকগুলি \(x\) অক্ষের সমান্তরাল তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-1, 6); \left(\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}\right)\)
[ ঢঃ২০০০; মাঃ২০০০]

\(Q.1.(ii)\) \(x^2+y^2-2x-3=0\) বক্ররেখার যে সমস্ত বিন্দুতে স্পর্শকগুলি \(x\) অক্ষের সমান্তরাল তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((1, 2); (1, -2)\)
[ রাঃ২০০০; মাঃ২০০৯; বঃ২০১৩]

\(Q.1.(iii)\) \(y^3=x^2(2a-x)\) বক্ররেখার যে সমস্ত বিন্দুতে স্পর্শক \(x\) অক্ষের সমান্তরাল সে সমস্ত বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\left(\frac{4}{3}a, -\frac{2\sqrt[3]{4}}{3}a\right); (0, 0)\)
[ বুয়েটঃ২০০৭-২০০৮; চঃ২০০৯ ]

\(Q.1.(iv)\) \(y=(x-3)^2(x-2)\) বক্ররেখার যে সমস্ত বিন্দুতে স্পর্শক \(x\) অক্ষের সমান্তরাল তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((3, 0); \left(\frac{7}{3}, \frac{4}{27}\right)\)
[ ঢাঃ২০০৫ ]

\(Q.1.(v)\) \(x^2+4xy+16y^2=27 \) বক্ররেখার যে সমস্ত বিন্দুতে স্পর্শক স্থানাঙ্কের অক্ষদুইটির সমান্তরাল তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\left(3, -\frac{3}{2}\right); \left(-3, \frac{3}{2}\right)\), \(\left(6, -\frac{3}{4}\right); \left(-6, \frac{3}{4}\right)\)

\(Q.1.(vi)\) \(y=x^3-3x+2 \) বক্ররেখার যে সমস্ত বিন্দুতে স্পর্শকগুলি \(x\) অক্ষের সমান্তরাল তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((1, 0); (-1, 4)\)
[ দিঃ২০১২; রাঃ২০১০,২০০৫; যঃ২০০৯; ঢাঃ২০০২ ]

\(Q.1.(vii)\) \(x^2+2ax+y^2=0 \) বক্ররেখাটির উপর এমন বিন্দুগুলি নির্ণয় কর যেখানে স্পর্শকসমূহ \(x\) অক্ষের উপর লম্ব।
উত্তরঃ \((0, 0); (-2a, 0)\)
[ বঃ২০১০,২০০৭,২০০৪,২০০২; যঃ২০০৮,২০০৩; চঃ,কুঃ২০০৬; সিঃ২০০২; মাঃ২০১১,২০০৭ ]

\(Q.1.(viii)\) \(y=x^2+\sqrt{1-x^2}\) বক্ররেখাটির উপর যেসব বিন্দুতে স্পর্শক \(x\) অক্ষের উপর লম্ব, তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((1, 1); (-1, 1)\)
[ সিঃ২০১২; চঃ২০১১, ২০০৭; ঢাঃ২০১০,২০০৬,২০০৩; বঃ২০০৯; মাঃ২০০১ ]

\(Q.1.(ix)\) \(x^2+4y=8\) উপবৃত্তের যে সমস্ত বিন্দুতে স্পর্শক \(x\) অক্ষের উপর লম্ব, তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((2\sqrt{2}, 0); (-2\sqrt{2}, 0)\)

\(Q.1.(x)\) \(y=\frac{1}{3}x^3+2\) বক্ররেখাটির উপর এমন সকল বিন্দু নির্ণয় কর যেখানে স্পর্শকগুলি \(x\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(\frac{\pi}{4}\) কোণ উৎপন্ন করে।
উত্তরঃ \(\left(1, \frac{7}{3}\right); \left(1, \frac{5}{3}\right)\)

\(Q.1.(xi)\) \(a\) এর মান কত হলে, \(y=ax(1-x)\) বক্ররেখার মূলবিন্দুতে স্পর্শকটি \(x\) অক্ষের সাথে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে।
উত্তরঃ \(\sqrt{3}\)
[ কুঃ২০১২,২০০১; বঃ২০১২,২০০৪; যঃ২০১১,২০০৮,২০০৪; সিঃ২০১০,২০০৬,২০০১; রাঃ২০০৯,২০০৭; ঢাঃ২০০৮; চঃ২০০৬,২০০৪; মাঃ ২০১২,২০১০,২০০৮,২০০০ ]

\(Q.1.(xii)\) \(c\) এর মান কত হলে, \(y=cx(1+x)\) বক্ররেখার মূলবিন্দুতে তার স্পর্শক \(x\) অক্ষের সাথে \(30^{o}\) কোণ উৎপন্ন করবে।
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
[ চঃ২০১২; বঃ ২০০৮,২০০৬; যঃ২০০৭; কুঃ২০০৬,২০০২]

\(Q.1.(xiii)\) \(y=x^3-3x^2-2x+1\) বক্ররেখার যে সমস্ত বিন্দুতে স্পর্শকগুলি অক্ষদুইটির সাথে সমান সমান কোণ উৎপন্ন করে তাদের ভুজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1\pm \sqrt{2}; 1\pm \frac{2}{\sqrt{3}}\)
[ রাঃ২০১২,২০০৮; যঃ ২০১২,২০০৩,২০০১; ঢাঃ২০১১; দিঃ২০০১০; সিঃ২০০৮,২০০৪; কুঃ২০০৭; চঃ২০০২; মাঃ২০০৫]

\(Q.1.(xiv)\) \(y=x^3-x^2-7x+6\) বক্ররেখার যে সমস্ত বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(1\) তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((2, -4); (-\frac{4}{3}, \frac{302}{27})\)
[ রাঃ২০১২,২০০৮; যঃ ২০১২,২০০৩,২০০১; ঢাঃ২০১১; দিঃ২০০১০; সিঃ২০০৮,২০০৪; কুঃ২০০৭; চঃ২০০২; মাঃ২০০৫]

\(Q.1.(xv)\) \(x^2+4x+y^2=0\) বক্ররেখার যে সমস্ত বিন্দুতে স্পর্শক \(x\) অক্ষের উপর লম্ব বা, ( \(y\) অক্ষের সমান্তরাল ), তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-4, 0); (0, 0)\)
[ কুঃ২০০৩ ]

\(Q.1.(xvi)\) \(y=\sqrt{x}\) বক্ররেখার উপর কোন বিন্দুতে স্পর্শক \(x\) অক্ষের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে।
উত্তরঃ \((\frac{1}{4}, \frac{1}{2})\)

\(Q.1.(xvii)\) \(y^3=x^2(2a-x)\) বক্ররেখার যে সমস্ত বিন্দুতে স্পর্শক \(y\) অক্ষের সমান্তরাল বা, ( \(x\) অক্ষের উপর লম্ব ) সে সমস্ত বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((0, 0) ; (2a, 0)\)
[ চঃ২০০৫ ]

\(Q.1.(xviii)\) \(y^3=x^2(a-x)\) বক্ররেখার যে সমস্ত বিন্দুতে স্পর্শক \(y\) অক্ষের সমান্তরাল বা, ( \(x\) অক্ষের উপর লম্ব ) সে সমস্ত বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((0, 0); (a, 0)\)
[ যঃ২০১৪ ]

অনুশীলনী \(9.H / Q.2\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমুহ
\(Q.2.(i)\) \(x^3-3xy+y^3=3\) বক্ররেখাটি \((2, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। উক্ত বিন্দুতে তার স্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3\)
[ চঃ২০০৩ ]

\(Q.2.(ii)\) \(f(x)=\frac{\ln{x}}{x^2+1}\) বক্ররেখার \(x=2\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((5-8\ln{2})x-50y-10+26\ln{2}=0\)
[ রাঃ২০১৭ ]

\(Q.2.(iii)\) \(y=(x-2)(x+1)\) বক্ররেখার \(x=2\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3\)
[ যঃ২০১৭ ]

\(Q.2.(iv)\) \(y^2=4ax\) বক্ররেখার \((at^2, 2at)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{t}\)
[ যঃ,সিঃ২০০৮ ]

\(Q.2.(v)\) \(y=3x^2+2x-1\) বক্ররেখার \((1, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(8\)
[ রাঃ২০০১ ]

\(Q.2.(vi)\) \(y=x^3-2x^2+2\) বক্ররেখার \((2, 2)\) বিন্দুতে স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x-y-6=0; x+4y-10=0\)
[ চঃ২০০১ ]

\(Q.2.(vii)\) \(y=x^3-3x+2\) বক্ররেখার \((2, 4)\) বিন্দুতে স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(9x-y-14=0; x+9y-38=0\)
[ কুঃ২০০২ ]

\(Q.2.(viii)\) \(y=x^3-2x^2+4\) বক্ররেখার \((2, 4)\) বিন্দুতে স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y=4(x-1); x+4y-18=0\)
[ বঃ২০০৩ ]

\(Q.2.(ix)\) \(y=4x^2\) বক্ররেখার \((-1, 4)\) বিন্দুতে স্পর্শক এবং অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y+8x+4=0; 8y-x-33=0\)

\(Q.2.(x)\) \(x^2-y^2=7\) বক্ররেখার \((4, -3)\) বিন্দুতে স্পর্শক এবং অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4x+3y-7=0; 3x-4y-24=0\)
[ ঢাঃ২০১১; রাঃ২০০৬; মাঃ২০০১ ]

\(Q.2.(xi)\) \(y^2-4x-6y+20=0\) বক্ররেখার \((3, 2)\) বিন্দুতে স্পর্শক এবং অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x+y-8=0; x-2y+1=0\)
[ চঃ২০০২ ]

\(Q.2.(xii)\) \(y=(x+1)(x-1)(x-3)\) বক্ররেখাটি যে সমস্ত বিন্দুতে \(x\) অক্ষকে ছেদ করে, ঐ বিন্দুগুলিতে তার স্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(8; -4; 8\)
[ সিঃ২০১১; ঢাঃ২০১০; কুঃ২০১০,২০০৫ ]

\(Q.2.(xiii)\) \(y(x-2)(x-3)-x+7=0\) বক্ররেখা যে বিন্দুতে \(x\) অক্ষকে ছেদ করে, ঐ বিন্দুতে বক্ররেখাটির স্পর্শক এবং অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-20y-7=0; 20x+y-140=0\)
[ দিঃ২০১১; যঃ২০১০,২০০০; চঃ২০১০; ঢাঃ২০০৯ ]

\(Q.2.(xiv)\) \(y(x+1)(x+2)-x+4=0\) বক্ররেখাটি যে বিন্দুতে \(x\) অক্ষকে ছেদ করে, ঐ বিন্দুতে বক্ররেখাটির স্পর্শক এবং অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-30y-4=0; 30x+y=120\)
[ ঢাঃ২০১৭ ]

\(Q.2.(xv)\) \(y=x^3-3x+2\) বক্ররেখার \((2, -2)\) বিন্দুতে স্পর্শক এবং অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(9x-y-20=0; x+9y+16=0\)
[ঢাঃ২০০৭ ]

\(Q.2.(xvi)\) \(x^2+y^2-6x-10y+21=0\) বক্ররেখার \((1, 2)\) বিন্দুতে স্পর্শক এবং অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x+3y=8; 3x-2y+1=0\)
[ সিঃ২০০৫ ]

\(Q.2.(xvii)\) \(x^2+y^2+6x-3y-5=0\) বক্ররেখার \((1, 2)\) বিন্দুতে স্পর্শক এবং অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(8x+y-10=0; x-8y+15=0\)
[ রাঃ২০১১ ]

\(Q.2.(xviii)\) \(y(x-1)(x-2)-x+3=0\) বক্ররেখাটি যে বিন্দুতে \(x\) অক্ষকে ছেদ করে, ঐ বিন্দুতে বক্ররেখাটির স্পর্শক এবং অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-2y-3=0; 2x+y-6=0\)
[ ঢাঃ২০০৯; কুঃ২০১৪; যঃ২০১০ ]

\(Q.2.(xix)\) \(x^2+xy+y^2=4\) বক্ররেখার \((2, -2)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1\)
[ সিঃ২০০৩; চঃ২০০৩ ]

\(Q.2.(xx)\)\(y^2=4ax\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(yy_{1}=2a(x+x_{1})\)

\(Q.2.(xxi)\)\(x^3-3axy+y^3=0\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((y-y_{1})(x^2_{1}-ay_{1})=(x-x_{1})(y^2_{1}-ax_{1})\)

\(Q.2.(xxii)\)\(x^3-3axy+y^3=3\) বক্ররেখার \(1, -1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a+1)x-(a-1)y-2a=0\)
[ রাঃ২০০৩ ]

\(Q.2.(xxiii)\) \(y^3+mx^2+2x-9=0\) বক্ররেখাটি \((1, 2)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। উক্ত বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল কত?
উত্তরঃ \(-\frac{m+1}{6}\)
[ সাস্টঃ২০৭-২০০৮ ]

\(Q.2.(xxiv)\) \(x^2=5y^2+\sin{y}\) বক্ররেখার \((1, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2\)

\(Q.2.(xxv)\) \(x^3-3axy+y^3=0\) বক্ররেখার \((2, 1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{a-4}{1-2a}\)

\(Q.2.(xxvi)\) \(xe^{xy}=y+\sin^2{x}\) বক্ররেখার \((0, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1\)

\(Q.2.(xxvii)\) \(x^3+3xy+y^3=3\) বক্ররেখার \(1, -1)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-1=0\)

\(Q.2.(xxviii)\) \(y^2-4x-6y+30=0\) বক্ররেখার \((3, 2)\) বিন্দুতে স্পর্শক এবং অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x+y-8=0; x-2y+1=0\)

\(Q.2.(xxix)\) \(x^2-5xy+y^2-5x+6y+9=0\) বক্ররেখার \((2, 1)\) বিন্দুতে স্পর্শক এবং অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(3x+y-7=0; x-3y+1=0\)
\(Q.2.(xxx)\) \(x^3+xy^2-3x^2+4x+5y=2\) বক্ররেখার \((-1, 1)\) বিন্দুতে স্পর্শক এবং অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x+3y+1=0; 3x-2y-5=0\)

\(Q.2.(xxxi)\) \(y=x^3-2x^2+5\) বক্ররেখার \((2, 5)\) বিন্দুতে স্পর্শক এবং অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( 4x-y-3=0\; x+4y-22=0\)

\(Q.2.(xxxii)\) \(x^2+y^2+2x-4y-11=0\) বক্ররেখার \((-1, -2)\) বিন্দুতে স্পর্শক এবং অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y+2=0; x+1=0\)

\(Q.2.(xxxiii)\) \(3x^2+5y^2+12x-30y+49=0\) বক্ররেখার \((-1, 2)\) বিন্দুতে স্পর্শক এবং অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x-5y+13=0; 5x+3y-1=0\)

\(Q.2.(xxxiv)\) \(x^3-6x^2y+5xy-2x+3y-17=0\) বক্ররেখার \((-1, -2)\) বিন্দুতে স্পর্শক এবং অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3x-5y+13=0; 5x+3y-1=0\)

\(Q.2.(xxxv)\) \(x^2+y^2-2x-8y-9=0\) বৃত্তটি যে বিন্দুতে \(Y\) অক্ষকে ছেদ করে ঐ বিন্দুতে স্পর্শক এবং অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((0, -1)\) বিন্দুতে \(x+5y+5=0; 5x-y-1=0\); \((0, 9)\) বিন্দুতে \(x-5y+45=0, 5x+y-9=0\)

অনুশীলনী \(9.H / Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমুহ
\(Q.3.(i)\) দেখাও যে, \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}\) বক্ররেখার যে কোনো স্পর্শক কতৃক অক্ষ দুইটি থেকে কর্তিত অংশের যোগফল একটি ধ্রুবক।
[ কুঃ২০০৯; বঃ২০০২]

\(Q.3.(ii)\) দেখাও যে, \(x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}\) বক্ররেখার যে কোনো স্পর্শক কতৃক অক্ষ দুইটি থেকে কর্তিত অংশের বর্গের যোগফল একটি ধ্রুবক।

\(Q.3.(iii)\) \(y=ax^2+bx+c\) বক্ররেখাটি মূলবিন্দু এবং \((2, 2)\) বিন্দু দিয়ে যায়। যদি মূলবিন্দুতে বক্ররেখাটির ঢাল \(2\) হয় তবে \(a, b, c\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a=-\frac{1}{2}, b=2, c=0\)
[ ঢাঃ ২০০১ ]

\(Q.3.(iv)\) একটি পাথরের টুকরা \(112\) ফুট/সেকেন্ড বেগে খাড়া উপরের দিকে নিক্ষেপ করা হলো। \(t\) সময়ে এর গতি সমীকরণ \(s=112t-16t^2\) রূপে প্রকাশিত হলে, যে সময়ে
\((a)\) এর বেগ \(80\) ফুট/সেকেন্ড হয়,
\((b)\) পাথরটি তার উচ্চতম বিন্দুতে পৌঁছে তা নির্ণয় কর। উত্তরঃ \((a) \ 1\) সেকেন্ড। \((b) \ 3\frac{1}{2}\) সেকেন্ড।

\(Q.3.(v)\) একটি গতিশীল কণার কোনো সরলরেখায় \(t\) সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব \(s=63t-6t^2-t^3\) দ্বারা প্রকাশিত হয়। \(2\) সেকেন্ড শেষে তার বেগ এবং কণাটি থামার পূর্বে অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(27\) একক /সেকেন্ড; \(108\) একক।
[ সিঃ২০০৪; ঢাঃ২০০২ ]

\(Q.3.(vi)\) যদি কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধ সমহারে বৃদ্ধি পায়, তবে দেখাও যে তার ক্ষেত্রফলের বৃদ্ধির হার তার ব্যসার্ধের সাথে সমানুপাতিক হবে।
[ চঃ২০১২, ২০০৮; দিঃ২০১১; বঃ২০০৬; কুঃ২০০৪; যঃ২০০২ ]

\(Q.3.(vii)\) দেখাও যে একটি গোলাকার সাবানের বুদবুদের আয়তনের বৃদ্ধির হার তার ব্যাসার্ধের বৃদ্ধির হারের \(4\pi r^2\) গুণ।

\(Q.3.(viii)\) যদি কোনো সমবাহু ত্রিভুজের বাহু প্রতি সেকেন্ডে \(\sqrt{3}\) সে.মি. এবং ক্ষেত্রফল প্রতি সেকেন্ডে \(12\) বর্গ সে.মি. বৃদ্ধি পায় তবে সমবাহু ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(8\) সে.মি.
[ বুয়েটঃ ২০১১-২০১২ ]

\(Q.3.(ix)\) একটি ট্রেন \(t\) সেকেন্ডে \(3t+\frac{1}{8}t^2\) মিটার অতিক্রম করে। \(5\) মিনিট পর তার বেগ কত হবে?
উত্তরঃ \(78\) মিটার /সেকেন্ড।
[ কুঃ ২০১১,২০৫; রাঃ২০০৯; বঃ,চঃ২০০৭; ঢাঃ২০০৬ ]

\(Q.3.(x)\) একটি বস্তুর গতির সমীকরণ \(s=t^3+\frac{1}{t^3}\) হলে দেখাও যে, এর ত্বরণ সর্বদাই ধনাত্মক এবং \(t=10\) হলে, এর গতিবেগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(299.9997\) একক /সেকেন্ড।
[ চঃ২০০১ ]

\(Q.3.(xi)\) একটি কণা সরল পথে এমনভাবে চলে যেন \(t\) সময়ে তার অতিক্রান্ত দূরত্ব \(s=\sqrt{(2t)}\) হয়। দেখাও যে, কণাটির ত্বরণ বেগের ঘনফলের সাথে সমানুপাতিক।
[ ঢাঃ২০০১ ]

\(Q.3.(xii)\) একটি বিন্দু সরলরেখায় এমনভাবে চলে যেন \(s=\sqrt{t}\) হয়। দেখাও যে বিন্দুটির ত্বরণ ঋণাত্মক এবং বেগের ঘনফলের সাথে সমানুপাতিক।
[ সিঃ২০০২]

\(Q.3.(xiii)\) কোন সরলরেখায় একটি কণা এমনভাবে চলে যেন তা \(s=3.8t+1.5t^2\) শর্তানুসারে \(t\) সেকেন্ডে \(s\) সে.মি. অতিক্রম করে। প্রমাণ কর যে, এর ত্বরণ ধ্রুবক রাশি। ত্বরণের মাণও বাহির কর।
উত্তরঃ \(3\) সে.মি./বর্গ সে.

\(Q.3.(xiv)\) একটি পাথর খন্ড \(98\) মি./সে. বেগে খাড়া উপরের দিকে নিক্ষেপ করা হল। \(t\) সময়ে এর গতি সমীকরণ \(s=98t-4.9t^2\) রূপে প্রকাশিত হলে, যে সময়ে
\((a)\) এর বেগ \(49\) মি./সে. হয়,
\((b)\) পাথর খন্ডটি তার উচ্চতম বিন্দুতে পৌঁছে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 5\) সে. \((b) \ 10\) সে.

\(Q.3.(xv)\) সরলরেখায় চলন্ত কোনো কণা \(t\) সময়ে \(s\) মি. দূরত্ব অতিক্রম করে। \(s=\frac{1}{2}t^3+t^2+4t\) হলে, গতি শুরু হওয়ার \(5\) সেকেন্ড পরে কণাটির বেগ ও ত্বরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( 51.5\) মি./ সে., \(17 \) মি./বর্গ সে.

Please leave your question below

2 Question(s)
imonhaider
October 29, 2019, 12:15 am
\[\frac{d}{dx}(e^{x^2})=?\]
Reply
Tanmoy
October 28, 2019, 11:53 pm
\[\int{\frac{dx}{1+x^2}}=? \]
Reply

Post List

MATH. LIST
Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Trigonometry 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Statistics 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard
Vector 11 and 12 standard
Vector Honours course standard