এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয়গুলি আলোচনা করব।
- ফাংশনের অন্তরীকরণ যোগ্যতা
- বিশেষ স্বরনীয় বিষয়
- রোলের উপপাদ্য
- টেলরের ধারা
- গড়মান উপপাদ্য ( Mean value theorem, Lagrange's form )
- মধ্যবর্তী মাণ উপপাদ্য
- ক্রমবর্ধমান ও ক্রমহ্রাসমান ফাংশন ( Increasing and Decreasing function )
- ফাংশনের চরম মাণ ( Extreme values of function )
- ফাংশনের গরিষ্ঠমান ( Maximum Values of a function )
- ফাংশনের লঘিষ্ঠমান ( Minimum Values of a function )
- ফাংশনের গরিষ্ঠমান ও লঘিষ্ঠমান বিদ্যমান থাকার প্রয়োজনীয় শর্ত
- গরিষ্ঠমান ও লঘিষ্ঠমান নির্ণয়
- গরিষ্ঠমান ও লঘিষ্ঠমান নির্ণয়ের পদ্ধতি
- খোলা ও বদ্ধ ব্যবধি ( Open and Close Interval )
- সমাধানকৃত উদাহরণমালা
- অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন-উত্তর
- সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন-উত্তর
- বর্ণনামূলক প্রশ্ন-উত্তর
- সৃজনশীল প্রশ্ন এবং সমাধান
- ভর্তি পরীক্ষায় আসা প্রশ্ন এবং সমাধান
ফাংশনের অন্তরীকরণ যোগ্যতাঃ
ধরি, \(f(x)\) ফাংশন \([a, b]\) ব্যবধিতে সংজ্ঞায়িত \(a>c>b\) হলে ফাংশনটি \(x=c\) বিন্দুতে অন্তরীকরণযোগ্য বলা হয় যদি
\[f^{\prime}(c)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\] বিদ্যমান থাকে এবং \[\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\] ও \[\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\] এর মাণ সসীম ও পরস্পর সমান হয়।
\[f^{\prime}(c)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\] বিদ্যমান থাকে এবং \[\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\] ও \[\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\] এর মাণ সসীম ও পরস্পর সমান হয়।
বিশেষ স্বরনীয় বিষয়ঃ
\(x=c\) বিন্দুতে অন্তরীকরণযোগ্য ফাংশন \(x=c\) বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হয়।
\(x=c\) বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন ফাংশন \(x=c\)বিন্দুতে অন্তরীকরণযোগ্য নাও হতে পারে।
ফাংশন \(f(x)\)-কে \((a, b)\) খোলা ব্যবধিতে অন্তরীকরণযোগ্য বলা হবে যদি সকল \(x\in(a, b)\) বিন্দুতে \(f(x)\) অন্তরীকরণযোগ্য হয়।
\(x=c\) বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন ফাংশন \(x=c\)বিন্দুতে অন্তরীকরণযোগ্য নাও হতে পারে।
ফাংশন \(f(x)\)-কে \((a, b)\) খোলা ব্যবধিতে অন্তরীকরণযোগ্য বলা হবে যদি সকল \(x\in(a, b)\) বিন্দুতে \(f(x)\) অন্তরীকরণযোগ্য হয়।
রোলের উপপাদ্যঃ
যদি \(f(x)\) ফাংশন
\([a, b]\) বদ্ধ ব্যবধিতে অবিচ্ছিন্ন হয়।
\((a, b)\) খোলা ব্যবধিতে অন্তরীকরণযোগ্য এবং
\(f(a)=f(b)\) হয়, তবে \(a\) ও \( b\) এর মধ্যে অন্ততঃপক্ষে \(x\)এর এমন একটি মান \(c\) পাওয়া যাবে যেখানে \(f^{\prime}(c)=0\) হবে।
অর্থাৎ \(a>c>b\) খোলা ব্যবধিতে \(f^{\prime}(c)=0\) হবে।
\([a, b]\) বদ্ধ ব্যবধিতে অবিচ্ছিন্ন হয়।
\((a, b)\) খোলা ব্যবধিতে অন্তরীকরণযোগ্য এবং
\(f(a)=f(b)\) হয়, তবে \(a\) ও \( b\) এর মধ্যে অন্ততঃপক্ষে \(x\)এর এমন একটি মান \(c\) পাওয়া যাবে যেখানে \(f^{\prime}(c)=0\) হবে।
অর্থাৎ \(a>c>b\) খোলা ব্যবধিতে \(f^{\prime}(c)=0\) হবে।
টেলরের ধারাঃ
যদি \(f(x)\) ফাংশন এবং \(f^{\prime}(x), f^{\prime\prime}(x), f^{\prime\prime\prime}(x), .......f^{n-1}(x)\) ফাংশনগুলি \([a, a+h]\) বদ্ধ ব্যবধিতে অবিচ্ছিন্ন হয় এবং \(f^{n}(x)\) ফাংশনটি \((a, a+h)\) খোলা ব্যবধিতে বিদ্যমান থাকে, তবে,
\(f(a+h)=f(a)+hf^{\prime}(a)+\frac{h^2}{l^2}f^{\prime\prime}(a)+\frac{h^3}{l^3}f^{\prime\prime\prime}(a)+ ........\)
যদি \(f(x)\) ফাংশন এবং \(f^{\prime}(x), f^{\prime\prime}(x), f^{\prime\prime\prime}(x), .......f^{n-1}(x)\) ফাংশনগুলি \([a, a+h]\) বদ্ধ ব্যবধিতে অবিচ্ছিন্ন হয় এবং \(f^{n}(x)\) ফাংশনটি \((a, a+h)\) খোলা ব্যবধিতে বিদ্যমান থাকে, তবে,
\(f(a+h)=f(a)+hf^{\prime}(a)+\frac{h^2}{l^2}f^{\prime\prime}(a)+\frac{h^3}{l^3}f^{\prime\prime\prime}(a)+ ........\)
গড়মান উপপাদ্য ( Mean value theorem, Lagrange's form )
যদি \(f(x)\) ফাংশন \([a, b]\) ব্যবধিতে অবিচ্ছিন্ন এবং \((a, b)\) ব্যবধিতে অন্তরীকরণযোগ্য হয় তবে \(a\) ও \( b\) এর মধ্যে অন্ততঃপক্ষে \(x\)এর এমন একটি মান \(c\) পাওয়া যাবে যাতে \(f(b)-f(a)=(b-a)f^{\prime}(c)\) হয়।
উদাহরণঃ
\((1, 3)\) ব্যবধিতে \(f(x)=x^2-2x+3\) ফাংশনের জন্য গড়মান উপপাদ্যটির সত্যতা নিরূপণ কর।
উদাহরণঃ
\((1, 3)\) ব্যবধিতে \(f(x)=x^2-2x+3\) ফাংশনের জন্য গড়মান উপপাদ্যটির সত্যতা নিরূপণ কর।
মধ্যবর্তী মান উপপাদ্যঃযদি \([a, b]\) বদ্ধ ব্যবধিতে \(f(x)\) অবিচ্ছিন্ন ফাংশন হয় এবং \(k\) যে কোনো একটি সংখ্যা \(f(a)\) ও \(f(b)\) এর মধ্যে অবস্থিত হয় তাহলে \([a, b]\) ব্যবধির মধ্যে কমপক্ষে একটি সংখ্যা থাকবে যেখানে \(f(x)=l\).
প্রতিজ্ঞাঃযদি কোনো ফাংশন \(f(x), [a, b]\) বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হয় এবং \(f(a)\) ও \(f(b)\) শূন্য না হয় এবং বিপরীত চিহ্ন বিশিষ্ট হয় তবে \(f(x)=0\) সমীকরণের \((a, b)\) ব্যবধিতে কমপক্ষে একটি সমাধান বিদ্যমান।
ক্রমবর্ধমান ও ক্রমহ্রাসমান ফাংশন ( Increasing and Decreasing function )
ক্রমবর্ধমান ফাংশনঃযদি \(x\) এর মাণ বৃদ্ধির জন্য কোনো ফাংশন \(y=f(x)\) এর মাণ বৃদ্ধি পায় অর্থাৎ \(y=f(x)\) ফাংশনের উপরস্থ যে কোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের ঢাল ধনাত্মক হয়, তবে \(y=f(x)\) কে ক্রমবর্ধমান ফাংশন বলা হয়। ক্রমবর্ধমান ফাংশনের ক্ষেত্রে স্পর্শকের ঢাল ধনাত্মক।
অর্থাৎ, \(\frac{dy}{dx}>0\) এখানে \(\frac{dy}{dx}=\tan{\theta}\) এবং \(90^{o}>\theta\).
ক্রমহ্রাসমান ফাংশনঃযদি \(x\) এর মাণ বৃদ্ধির জন্য কোনো ফাংশন \(y=f(x)\) এর মাণ হ্রাস পায় অর্থাৎ \(y=f(x)\) ফাংশনের উপরস্থ যে কোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের ঢাল ঋনাত্মক হয়, তবে \(y=f(x)\) কে ক্রমহ্রাসমান ফাংশন বলা হয়। ক্রমহ্রাসমান ফাংশনের ক্ষেত্রে স্পর্শকের ঢাল ঋনাত্মক।
অর্থাৎ, \(\frac{dy}{dx}<0\) এখানে \(\frac{dy}{dx}=\tan{\theta}\) এবং \(\theta>90^{o}\).
মন্তব্যঃ
\(b>x>a\) এর সকল \(x\) এর জন্য \(f^{\prime}(x)>0\) হয়, তবে \(y=f(x)\) ফাংশন \((a, b)\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান হবে।
\(b>x>a\) এর সকল \(x\) এর জন্য \(f^{\prime}(x)<0\) হয়, তবে \(y=f(x)\) ফাংশন \((a, b)\) ব্যবধিতে ক্রমহ্রাসমান হবে।
\(b>x>a\) এর সকল \(x\) এর জন্য \(f^{\prime}(x)>0\) হয়, তবে \(y=f(x)\) ফাংশন \((a, b)\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান হবে।
\(b>x>a\) এর সকল \(x\) এর জন্য \(f^{\prime}(x)<0\) হয়, তবে \(y=f(x)\) ফাংশন \((a, b)\) ব্যবধিতে ক্রমহ্রাসমান হবে।
ফাংশনের চরম মাণ ( Extreme values of function )
ফাংশনের চরম মাণঃ\(y=f(x)\) অবিচ্ছিন্ন ফাংশনটির লেখচিত্র থেকে আমরা দেখতে পাই যে, \(P_{1}\) বিন্দুর ডান ও বাম দিকে একটি ক্ষুদ্র ব্যবধি \(L_{1}L_{2}\) এর অন্তর্গত \(x\) এর সকল মানের মধ্যে \(x=OC_{1}=c\) এর জন্য \(f(x)=f(c)\) এর মাণ বৃহত্তম।
অনুরূপভাবে, \(P_{2}, P_{3}, P_{4}\) বিন্দুগুলিতেও বিন্দুগুলির উভয় দিকে \(x\) এর মাণসমূহের একটি ক্ষুদ্র ব্যবধির মধ্যে \(x\) এর একটি নির্দিষ্ট মানের জন্য \(f(x)\) এর মাণ বৃহত্তম।
অতএব, কোনো বিন্দুতে \(f(x)\) এর মাণ বৃহত্তমের অর্থ এই নয় যে, ফাংশনটির মাণ সে বিন্দুতে চুড়ান্তভাবে বৃহত্তম। ফাংশনটির ক্ষুদ্রতম মানও একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। কোনো বিন্দুতে একটি ফাংশনের মাণ ক্ষুদ্রতম-এর অর্থ এই নয় যে, বিন্দুটিতে ফাংশনটির মাণ চুড়ান্তভাবে ক্ষুদ্রতম। লক্ষ করলে আরও দেখা যায় যে, কোনো বিন্দুতে ফাংশনটির ক্ষুদ্রতম মাণ আর একটি বিন্দুতে ফাংশনটির বৃহত্তম মানের চেয়ে বৃহত্তম। সুতরাং একটি ফাংশনের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মানগুলি প্রকৃতপক্ষে আপেক্ষিকভাবে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মাণ। ফাংশনের আপেক্ষিক বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মানগুলিকে ফাংশনের গুরুমান ও লঘুমান এবং এদের একত্রে ফাংশনের চরম মাণ বলা হয়। অর্থাৎ আপেক্ষিক বৃহত্তম মাণ ও আপেক্ষিক ক্ষুদ্রতম মাণ বুঝাতে আমরা 'গুরুমান' ও 'লঘুমান' ব্যবহার করব।
মন্তব্যঃ
একটি ফাংশনের একাধিক গুরুমান ও লঘুমাণ থাকতে পারে।
কোনো বিন্দুতে ফাংশনের লঘুমান অন্য একটি বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমানের চেয়ে বড় হতে পারে।
একটি ফাংশনের একাধিক গুরুমান ও লঘুমাণ থাকতে পারে।
কোনো বিন্দুতে ফাংশনের লঘুমান অন্য একটি বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমানের চেয়ে বড় হতে পারে।
ফাংশনের গরিষ্ঠমান ও লঘিষ্ঠমান ( Maximum and Minimum Values of a function )
ফাংশনের গরিষ্ঠমানঃ
\(f(c)\) কে \(f(x)\) ফাংশনের গরিষ্ঠমান বলা হবে যদি অতি ক্ষুদ্র \(h>0\) এর জন্য \((c-h, c+h)\) ব্যবধিতে \(x\)এর সকল মানের জন্য \(f(c)\) সর্বদাই \(f(x)\) এর অন্যান্য মাণ অপেক্ষা বৃহৎ থাকে।অর্থাৎ \(f(c)>f(x)\) যেখানে \(x\in{(c-h, c+h)}\) কিন্তু \(x\ne{c}\)
তাহলে, \(f(c+h)-f(c)<0\)
অন্যভাবে, যদি \(x=c\) বিন্দুর নিকট প্রতিবেশীতে \(f(c)\) এর মাণ সর্দাই \(f(x)\) এর অন্যান্য মাণ অপেক্ষা বৃহৎ থাকে তবে, \(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) এর গরিষ্ঠমান আছে এবং উহা \(f(c)\)
ফাংশনের লঘিষ্ঠমানঃ
\(f(d)\) কে \(f(x)\) ফাংশনের লঘিষ্ঠমান বলা হবে যদি অতি ক্ষুদ্র \(h>0\) এর জন্য \((d-h, d+h)\) ব্যবধিতে \(x\)এর সকল মানের জন্য \(f(d)\) সর্বদাই \(f(x)\) এর অন্যান্য মাণ অপেক্ষা ক্ষুদ্র থাকে।
অর্থাৎ \(f(d)>f(x)\) যেখানে \(x\in{(d-h, d+h)}\) কিন্তু \(x\ne{d}\)
তাহলে, \(f(d+h)-f(d)>0\)
অন্যভাবে, যদি \(x=d\) বিন্দুর নিকট প্রতিবেশীতে \(f(d)\) এর মাণ সর্দাই \(f(x)\) এর অন্যান্য মাণ অপেক্ষা ক্ষুদ্র থাকে তবে, \(x=d\) বিন্দুতে \(f(x)\) এর লঘিষ্ঠমান আছে এবং উহা \(f(d)\)
\(f(d)\) কে \(f(x)\) ফাংশনের লঘিষ্ঠমান বলা হবে যদি অতি ক্ষুদ্র \(h>0\) এর জন্য \((d-h, d+h)\) ব্যবধিতে \(x\)এর সকল মানের জন্য \(f(d)\) সর্বদাই \(f(x)\) এর অন্যান্য মাণ অপেক্ষা ক্ষুদ্র থাকে।অর্থাৎ \(f(d)>f(x)\) যেখানে \(x\in{(d-h, d+h)}\) কিন্তু \(x\ne{d}\)
তাহলে, \(f(d+h)-f(d)>0\)
অন্যভাবে, যদি \(x=d\) বিন্দুর নিকট প্রতিবেশীতে \(f(d)\) এর মাণ সর্দাই \(f(x)\) এর অন্যান্য মাণ অপেক্ষা ক্ষুদ্র থাকে তবে, \(x=d\) বিন্দুতে \(f(x)\) এর লঘিষ্ঠমান আছে এবং উহা \(f(d)\)
ফাংশনের গরিষ্ঠমান ও লঘিষ্ঠমান বিদ্যমান থাকার প্রয়োজনীয় শর্তঃ
যদি \(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) ফাংশনের গরিষ্ঠমান ও লঘিষ্ঠমান থাকে এবং \(f^{\prime}(c)\) এর মাণ বিদ্যমান থাকে তবে \(f^{\prime}(c)=0\) হবে।
ফাংশনের গরিষ্ঠমান ও লঘিষ্ঠমান নির্ণয়ঃ
\(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) ফাংশন অবিচ্ছিন্ন এবং \(f^{\prime}(c)=0\) ও \(f^{\prime\prime}(c)\ne{0}\) হলে,
\(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) এর গরিষ্ঠমাণ থাকবে যদি \(f^{\prime\prime}(c)<0\) হয়।
\(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) এর লঘিষ্ঠমান থাকবে যদি \(f^{\prime\prime}(c)>0\) হয়।
\(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) এর গরিষ্ঠমাণ থাকবে যদি \(f^{\prime\prime}(c)<0\) হয়।
\(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) এর লঘিষ্ঠমান থাকবে যদি \(f^{\prime\prime}(c)>0\) হয়।
ফাংশনের গরিষ্ঠমান ও লঘিষ্ঠমান নির্ণয়ের পদ্ধতিঃ
প্রদত্ত ফাংশনটিকে \(f(x)\) ধরতে হবে।
\(f^{\prime}(x)\) নির্ণয় করতে হবে।
ফাংশনটির গরিষ্ঠমাণ ও লঘিষ্ঠমানের জন্য \(f^{\prime}(x)=0\) ধরে \(x\) এর মান নির্ণয় করতে হবে।
ধরি, \(x=a, b, c\)
\(f^{\prime\prime}(x)\) নির্ণয় করতে হবে।
\((1) \ x=a\) মানের জন্য \(f^{\prime\prime}(x)>0\) হলে, বুঝতে হবে \(x=a\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান আছে এবং ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান \(=f(a)\)
\((2) \ x=b\) মানের জন্য \(f^{\prime\prime}(x)<0\) হলে, বুঝতে হবে \(x=b\) বিন্দুতে ফাংশনটির গরিষ্ঠমাণ আছে এবং ফাংশনটির গরিষ্ঠমাণ \(=f(b)\)
\((3) \ x=c\) মানের জন্য \(f^{\prime\prime}(x)=0\) হলে, বুঝতে হবে \(x=c\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান ও গরিষ্ঠমাণ থাকতেও পারে আবার নাও থাকতে পারে। যা উচ্চতর পর্যায়ে শেখানো হবে।
\(f^{\prime}(x)\) নির্ণয় করতে হবে।
ফাংশনটির গরিষ্ঠমাণ ও লঘিষ্ঠমানের জন্য \(f^{\prime}(x)=0\) ধরে \(x\) এর মান নির্ণয় করতে হবে।
ধরি, \(x=a, b, c\)
\(f^{\prime\prime}(x)\) নির্ণয় করতে হবে।
\((1) \ x=a\) মানের জন্য \(f^{\prime\prime}(x)>0\) হলে, বুঝতে হবে \(x=a\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান আছে এবং ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান \(=f(a)\)
\((2) \ x=b\) মানের জন্য \(f^{\prime\prime}(x)<0\) হলে, বুঝতে হবে \(x=b\) বিন্দুতে ফাংশনটির গরিষ্ঠমাণ আছে এবং ফাংশনটির গরিষ্ঠমাণ \(=f(b)\)
\((3) \ x=c\) মানের জন্য \(f^{\prime\prime}(x)=0\) হলে, বুঝতে হবে \(x=c\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান ও গরিষ্ঠমাণ থাকতেও পারে আবার নাও থাকতে পারে। যা উচ্চতর পর্যায়ে শেখানো হবে।
খোলা ও বদ্ধ ব্যবধি ( Open and Close Interval )
খোলা ব্যবধি \((a, b)\Rightarrow ]a, b[ \Rightarrow \{x\in{\mathbb{R}}: b>x>a\}\)
বদ্ধ খোলা ব্যবধি \([a, b)\Rightarrow [a, b[ \Rightarrow \{x\in{\mathbb{R}}: b\ge{x}>a\}\)
খোলা বদ্ধ ব্যবধি \((a, b]\Rightarrow ]a, b] \Rightarrow \{x\in{\mathbb{R}}: b>x\ge{a}\}\)
বদ্ধ ব্যবধি \([a, b]\Rightarrow [a, b] \Rightarrow \{x\in{\mathbb{R}}: b\ge{x}\ge{a}\}\)
বদ্ধ খোলা ব্যবধি \([a, b)\Rightarrow [a, b[ \Rightarrow \{x\in{\mathbb{R}}: b\ge{x}>a\}\)
খোলা বদ্ধ ব্যবধি \((a, b]\Rightarrow ]a, b] \Rightarrow \{x\in{\mathbb{R}}: b>x\ge{a}\}\)
বদ্ধ ব্যবধি \([a, b]\Rightarrow [a, b] \Rightarrow \{x\in{\mathbb{R}}: b\ge{x}\ge{a}\}\)
গড়মান উপপাদ্যঃ
যদি \(f(x)\) ফাংশন \([a, b]\) ব্যবধিতে অবিচ্ছিন্ন এবং \((a, b)\) ব্যবধিতে অন্তরীকরণযোগ্য হয় তবে \(a\) ও \( b\) এর মধ্যে অন্ততঃপক্ষে \(x\)এর এমন একটি মান \(c\) পাওয়া যাবে যাতে \(f(b)-f(a)=(b-a)f^{\prime}(c)\) হয়।Proof:
মনে করি,\(y=f(x)\) বক্ররেখার উপর \(P, Q, R\) তিনটি বিন্দু । এখন \(P, Q, R\) হতে \(X\) অক্ষের উপর \(PL, QM\) এবং \(RN\) লম্ব অঙ্কন করি।
ধরি, \(OL=a, OM=b\) এবং \(ON=c\)
তাহলে, \(PL=f(a), QM=f(b)\) এবং \(RN=f(c)\)
\(\therefore P\) ও \(Q\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(P(a, f(a))\) এবং \(Q(b, f(b))\)
\(\therefore PQ\) ছেদকের ঢাল \(=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} .....(1)\)
\(R\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(=f^{\prime}(c) .....(2)\)
যেহেতু \(f(x)\) ফাংশন \([a, b]\) বদ্ধ ব্যবধিতে অবিচ্ছিন্ন এবং \((a, b)\) খোলা ব্যবধিতে অন্তরীকরণযোগ্য, কাজেই \(c\) ভূজবিশিষ্ট \(P\) এবং \(Q\) এর মধ্যবর্তী রেখার অংশে এমন একটি বিন্দু \(R\) পাওয়া যাবে যেখানে \(R\) বিন্দুর স্পর্শক, \(PQ\) ছেদকের সমান্তরাল হবে।
\(\therefore R\) বিন্দুর স্পর্শকের ঢাল \(=PQ\) ছেদকের ঢাল
\(\Rightarrow f^{\prime}(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) এর সাহায্যে।
\(\therefore f(b)-f(a)=(b-a)f^{\prime}(c)\); ইহাই গড়মান উপপাদ্য।
উদাহরণঃ \((1, 3)\) ব্যবধিতে \(f(x)=x^2-2x+3\) ফাংশনের জন্য গড়মান উপপাদ্যটির সত্যতা নিরূপণ কর।
সমাধানঃ
আমরা জানি,
গড়মান উপপাদ্য \(f(b)-f(a)=(b-a)f^{\prime}(c)\)
এখানে,
\(f(x)=x^2-2x+3\) একটি বহুপদী ফাংশন।
কাজেই \(x\) এর সকল মানের জন্য ফাংশনটি অবিচ্ছিন্ন এবং অন্তরীকরণযোগ্য।
যেখানে, \(b>c>a\)
\(f(x)=x^2-2x+3\)
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=2x-2.1+0\) ➜ \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=2x-2\)
\(\therefore f^{\prime}(c)=2c-2 .....(1)\)
এখানে,
\(a=1, b=3, 3>c>1\)
\(f(1)=1^2-2.1+3\)
\(=1-2+3\)
\(=4-2\)
\(=2\)
এবং \(f(3)=3^2-2.3+3\)
\(=9-6+3\)
\(=12-6\)
\(=6\)
এখন, গড়মান উপপাদ্য \(f(b)-f(a)=(b-a)f^{\prime}(c)\)
\(\Rightarrow (b-a)f^{\prime}(c)=f(b)-f(a)\)
\(\Rightarrow (3-1)f^{\prime}(c)=6-2\)
\(\Rightarrow 2f^{\prime}(c)=4\)
\(\Rightarrow f^{\prime}(c)=\frac{4}{2}\)
\(\Rightarrow f^{\prime}(c)=2\)
\(\Rightarrow 2c-2=2\) ➜ \((1)\) হতে, \(\because f^{\prime}(c)=2c-2\)
\(\Rightarrow 2c=2+2\)
\(\Rightarrow 2c=4\)
\(\Rightarrow c=\frac{4}{2}\)
\(\therefore c=2\)
\(\therefore 3>2>1\)
\(\Rightarrow 3>c>1\)
অর্থাৎ \((1, 3)\) ব্যবধির মধ্যে অবস্থিত।
গড়মান উপপাদ্যটির সত্যতা প্রমাণিত হলো।
আমরা জানি,
গড়মান উপপাদ্য \(f(b)-f(a)=(b-a)f^{\prime}(c)\)
এখানে,
\(f(x)=x^2-2x+3\) একটি বহুপদী ফাংশন।
কাজেই \(x\) এর সকল মানের জন্য ফাংশনটি অবিচ্ছিন্ন এবং অন্তরীকরণযোগ্য।
যেখানে, \(b>c>a\)
\(f(x)=x^2-2x+3\)
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=2x-2.1+0\) ➜ \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=2x-2\)
\(\therefore f^{\prime}(c)=2c-2 .....(1)\)
এখানে,
\(a=1, b=3, 3>c>1\)
\(f(1)=1^2-2.1+3\)
\(=1-2+3\)
\(=4-2\)
\(=2\)
এবং \(f(3)=3^2-2.3+3\)
\(=9-6+3\)
\(=12-6\)
\(=6\)
এখন, গড়মান উপপাদ্য \(f(b)-f(a)=(b-a)f^{\prime}(c)\)
\(\Rightarrow (b-a)f^{\prime}(c)=f(b)-f(a)\)
\(\Rightarrow (3-1)f^{\prime}(c)=6-2\)
\(\Rightarrow 2f^{\prime}(c)=4\)
\(\Rightarrow f^{\prime}(c)=\frac{4}{2}\)
\(\Rightarrow f^{\prime}(c)=2\)
\(\Rightarrow 2c-2=2\) ➜ \((1)\) হতে, \(\because f^{\prime}(c)=2c-2\)
\(\Rightarrow 2c=2+2\)
\(\Rightarrow 2c=4\)
\(\Rightarrow c=\frac{4}{2}\)
\(\therefore c=2\)
\(\therefore 3>2>1\)
\(\Rightarrow 3>c>1\)
অর্থাৎ \((1, 3)\) ব্যবধির মধ্যে অবস্থিত।
গড়মান উপপাদ্যটির সত্যতা প্রমাণিত হলো।
উদাহরণঃ মধ্যমান উপপাদ্য ব্যবহার করে দেখাও যে, \([-1, 0]\) ব্যবধিতে \(f(x)=x^3+x+1\) সমীকরণের সমাধান আছে।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(f(x)=x^3+x+1\) একটি বহুপদী ফাংশন।
কাজেই \(x\) এর সকল মানের জন্য ফাংশনটি অবিচ্ছিন্ন ।
এখন,
\(f(-1)=(-1)^3+(-1)+1\)
\(=-1-1+1\)
\(=-2+1\)
\(=-1\)
\(\therefore f(-1)<0\)
আবার,
\(f(0)=(0)^3+0+1\)
\(=0+0+1\)
\(=1\)
\(\therefore f(0)>0\)
\(f(-1)\) এবং \(f(0)\) এর মাণ বিপরীত চিহ্ন বিশিষ্ট।
অতএব, \(f(x)\) এর সমাধান \([-1, 0]\) ব্যবধির অন্তর্ভুক্ত।
দেওয়া আছে,
\(f(x)=x^3+x+1\) একটি বহুপদী ফাংশন।
কাজেই \(x\) এর সকল মানের জন্য ফাংশনটি অবিচ্ছিন্ন ।
এখন,
\(f(-1)=(-1)^3+(-1)+1\)
\(=-1-1+1\)
\(=-2+1\)
\(=-1\)
\(\therefore f(-1)<0\)
আবার,
\(f(0)=(0)^3+0+1\)
\(=0+0+1\)
\(=1\)
\(\therefore f(0)>0\)
\(f(-1)\) এবং \(f(0)\) এর মাণ বিপরীত চিহ্ন বিশিষ্ট।
অতএব, \(f(x)\) এর সমাধান \([-1, 0]\) ব্যবধির অন্তর্ভুক্ত।
ফাংশনের লঘিষ্ঠমান ও গরিষ্ঠমান বিদ্যমান থাকার প্রয়োজনীয় শর্তঃ
যদি \(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) ফাংশনের গরিষ্ঠমান ও লঘিষ্ঠমান থাকে এবং \(f^{\prime}(c)\) এর মাণ বিদ্যমান থাকে তবে \(f^{\prime}(c)=0\) হবে।
যদি \(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) ফাংশনের গরিষ্ঠমান ও লঘিষ্ঠমান থাকে এবং \(f^{\prime}(c)\) এর মাণ বিদ্যমান থাকে তবে \(f^{\prime}(c)=0\) হবে।
proof:
\(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) এর মাণ \(f(c)\) যদি \(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) গরিষ্ঠমান হয়, তবে
\(f(c+h)-f(c)<0\) যদি \(h>0\) অথবা \(h<0\)
\(\frac{f(c+h)-f(c)}{h}<0\) যদি \(h>0\) এবং \(\frac{f(c+h)-f(c)}{h}>0\) যদি \(h<0\)
যেহেতু \(f^{\prime}(c)\) বিদ্যমান, কাজেই উভয় পক্ষে \[\lim_{h \rightarrow 0}\] সংযোগ করে পাই,
\[\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le{0}\] এবং \[\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge{0}\]
\(\Rightarrow Rf^{\prime}(c)\le{0} ......(1)\) এবং \(Lf^{\prime}(c)\ge{0} ......(2)\)
যদি \(f^{\prime}(c)\) বিদ্যমান থাকে তবে \((1)\) নং ও \((2)\) নং হতে পাই,
\(Rf^{\prime}(c)=Lf^{\prime}(c)\) যেহেতু উভয় সীমার সাধারণ মাণ \(0\) সুতরাং \(f^{\prime}(c)=0\).
আবার যদি \(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) ফাংশন লঘিষ্ঠ হয়,
তবে \(f(c+h)-f(c)>0\) যখন \(h>0\) অথবা \(h<0\) হয়।
\(\frac{f(c+h)-f(c)}{h}>0\) যদি \(h>0\) এবং \(\frac{f(c+h)-f(c)}{h}<0\) যদি \(h<0\)
যেহেতু \(f^{\prime}(c)\) বিদ্যমান, কাজেই উভয় পক্ষে \[\lim_{h \rightarrow 0}\] সংযোগ করে পাই,
\[\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge{0}\] এবং \[\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le{0}\]
\(\Rightarrow Rf^{\prime}(c)\ge{0} ......(3)\) এবং \(Lf^{\prime}(c)\le{0} ......(4)\)
যদি \(f^{\prime}(c)\) বিদ্যমান থাকে তবে \((3)\) নং ও \((4)\) নং হতে পাই,
\(Rf^{\prime}(c)=Lf^{\prime}(c)\) যেহেতু উভয় সীমার সাধারণ মাণ \(0\) সুতরাং \(f^{\prime}(c)=0\)
সুতরাং \(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) ফাংশনের গরিষ্ঠমান ও লঘিষ্ঠমান হওয়ার শর্ত \(f^{\prime}(c)=0\).
\(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) এর মাণ \(f(c)\) যদি \(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) গরিষ্ঠমান হয়, তবে
\(f(c+h)-f(c)<0\) যদি \(h>0\) অথবা \(h<0\)
\(\frac{f(c+h)-f(c)}{h}<0\) যদি \(h>0\) এবং \(\frac{f(c+h)-f(c)}{h}>0\) যদি \(h<0\)
যেহেতু \(f^{\prime}(c)\) বিদ্যমান, কাজেই উভয় পক্ষে \[\lim_{h \rightarrow 0}\] সংযোগ করে পাই,
\[\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le{0}\] এবং \[\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge{0}\]
\(\Rightarrow Rf^{\prime}(c)\le{0} ......(1)\) এবং \(Lf^{\prime}(c)\ge{0} ......(2)\)
যদি \(f^{\prime}(c)\) বিদ্যমান থাকে তবে \((1)\) নং ও \((2)\) নং হতে পাই,
\(Rf^{\prime}(c)=Lf^{\prime}(c)\) যেহেতু উভয় সীমার সাধারণ মাণ \(0\) সুতরাং \(f^{\prime}(c)=0\).
আবার যদি \(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) ফাংশন লঘিষ্ঠ হয়,
তবে \(f(c+h)-f(c)>0\) যখন \(h>0\) অথবা \(h<0\) হয়।
\(\frac{f(c+h)-f(c)}{h}>0\) যদি \(h>0\) এবং \(\frac{f(c+h)-f(c)}{h}<0\) যদি \(h<0\)
যেহেতু \(f^{\prime}(c)\) বিদ্যমান, কাজেই উভয় পক্ষে \[\lim_{h \rightarrow 0}\] সংযোগ করে পাই,
\[\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge{0}\] এবং \[\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le{0}\]
\(\Rightarrow Rf^{\prime}(c)\ge{0} ......(3)\) এবং \(Lf^{\prime}(c)\le{0} ......(4)\)
যদি \(f^{\prime}(c)\) বিদ্যমান থাকে তবে \((3)\) নং ও \((4)\) নং হতে পাই,
\(Rf^{\prime}(c)=Lf^{\prime}(c)\) যেহেতু উভয় সীমার সাধারণ মাণ \(0\) সুতরাং \(f^{\prime}(c)=0\)
সুতরাং \(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) ফাংশনের গরিষ্ঠমান ও লঘিষ্ঠমান হওয়ার শর্ত \(f^{\prime}(c)=0\).
ফাংশনের গরিষ্ঠমান ও লঘিষ্ঠমান নির্ণয়ঃ
\(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) ফাংশন অবিচ্ছিন্ন এবং \(f^{\prime}(c)=0\) ও \(f^{\prime\prime}(c)\ne{0}\) হলে,
\(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) এর গরিষ্ঠমাণ থাকবে যদি \(f^{\prime\prime}(c)<0\) হয়।
\(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) এর লঘিষ্ঠমান থাকবে যদি \(f^{\prime\prime}(c)>0\) হয়।
\(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) ফাংশন অবিচ্ছিন্ন এবং \(f^{\prime}(c)=0\) ও \(f^{\prime\prime}(c)\ne{0}\) হলে,
\(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) এর গরিষ্ঠমাণ থাকবে যদি \(f^{\prime\prime}(c)<0\) হয়।
\(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) এর লঘিষ্ঠমান থাকবে যদি \(f^{\prime\prime}(c)>0\) হয়।
proof:
\(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) এর মাণ \(f(c)\).
যদি \(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) এর গরিষ্ঠমান থাকে , তবে অতিক্ষুদ্র \(h\) এর জন্য
\(f(c+h)-f(c)<0\) যখন \(h>0\) অথবা \(h<0\)
এখন টেলর উপপাদ্যের সাহায্যে \(f(c+h)\) কে বিস্তার করে পাই,
\(f(c+h)=f(c)+hf^{\prime}(c)+\frac{h^2}{2!}f^{\prime\prime}(c)\)\(+\frac{h^3}{3!}f^{\prime\prime\prime}(c)+ ........\)
\(\Rightarrow f(c+h)-f(c)=hf^{\prime}(c)+\frac{h^2}{2!}f^{\prime\prime}(c)\)\(+\frac{h^3}{3!}f^{\prime\prime\prime}(c)+ ........\)
\(\Rightarrow f(c+h)-f(c)=\frac{h^2}{2!}f^{\prime\prime}(c)\)\(+\frac{h^3}{3!}f^{\prime\prime\prime}(c)+ ...\) ➜ \(\because f^{\prime}(c)=0\)
যেহেতু \(h\) অতিক্ষুদ্র, কাজেই \(h\) এর \(2\) মাত্রার উচ্চতর পদগুলিকে বাদ দিয়ে পাই,
\(f(c+h)-f(c)=\frac{h^2}{2!}f^{\prime\prime}(c)\)
যেহেতু \(h^2\) সর্বদা ধনাত্মক অর্থাৎ \(h^2>0\) , কাজেই \(f(c+h)-f(c)\) এর চিহ্ন, \(f^{\prime\prime}(c)\) এর চিহ্নের উপর নির্ভরশীল।
সুতরাং \(f(c+h)-f(c)\)এবং \(f^{\prime\prime}(c)\) এর চিহ্ন এক রকম হবে।
\(f^{\prime\prime}(c)<0\) হলে, \(h\) এর সকল মানের জন্য \(f(c+h)-f(c)<0\).
সুতরাং \(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) গরিষ্ঠ হবে যদি \(f^{\prime}(c)=0\) এবং \(f^{\prime\prime}(c)<0\) হয়।
আবার,
\(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) এর মাণ \(f(c)\).
যদি \(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) এর লঘিষ্ঠমান থাকে , তবে অতিক্ষুদ্র \(h\) এর জন্য
\(f(c+h)-f(c)>0\) যখন \(h>0\) অথবা \(h<0\)
এখন টেলর উপপাদ্যের সাহায্যে \(f(c+h)\) কে বিস্তার করে পাই,
\(f(c+h)=f(c)+hf^{\prime}(c)+\frac{h^2}{2!}f^{\prime\prime}(c)\)\(+\frac{h^3}{3!}f^{\prime\prime\prime}(c)+ ........\)
\(\Rightarrow f(c+h)-f(c)=hf^{\prime}(c)+\frac{h^2}{2!}f^{\prime\prime}(c)\)\(+\frac{h^3}{3!}f^{\prime\prime\prime}(c)+ ........\)
\(\Rightarrow f(c+h)-f(c)=\frac{h^2}{2!}f^{\prime\prime}(c)\)\(+\frac{h^3}{3!}f^{\prime\prime\prime}(c)+ ...\) ➜ \(\because f^{\prime}(c)=0\)
যেহেতু \(h\) অতিক্ষুদ্র, কাজেই \(h\) এর \(2\) মাত্রার উচ্চতর পদগুলিকে বাদ দিয়ে পাই,
\(f(c+h)-f(c)=\frac{h^2}{2!}f^{\prime\prime}(c)\)
যেহেতু \(h^2\) সর্বদা ধনাত্মক অর্থাৎ \(h^2>0\) , কাজেই \(f(c+h)-f(c)\) এর চিহ্ন, \(f^{\prime\prime}(c)\) এর চিহ্নের উপর নির্ভরশীল।
সুতরাং \(f(c+h)-f(c)\)এবং \(f^{\prime\prime}(c)\) এর চিহ্ন এক রকম হবে।
\(f^{\prime\prime}(c)>0\) হলে, \(h\) এর সকল মানের জন্য \(f(c+h)-f(c)>0\).
সুতরাং \(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) লঘিষ্ঠ হবে যদি \(f^{\prime}(c)=0\) এবং \(f^{\prime\prime}(c)>0\) হয়।
\(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) এর মাণ \(f(c)\).
যদি \(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) এর গরিষ্ঠমান থাকে , তবে অতিক্ষুদ্র \(h\) এর জন্য
\(f(c+h)-f(c)<0\) যখন \(h>0\) অথবা \(h<0\)
এখন টেলর উপপাদ্যের সাহায্যে \(f(c+h)\) কে বিস্তার করে পাই,
\(f(c+h)=f(c)+hf^{\prime}(c)+\frac{h^2}{2!}f^{\prime\prime}(c)\)\(+\frac{h^3}{3!}f^{\prime\prime\prime}(c)+ ........\)
\(\Rightarrow f(c+h)-f(c)=hf^{\prime}(c)+\frac{h^2}{2!}f^{\prime\prime}(c)\)\(+\frac{h^3}{3!}f^{\prime\prime\prime}(c)+ ........\)
\(\Rightarrow f(c+h)-f(c)=\frac{h^2}{2!}f^{\prime\prime}(c)\)\(+\frac{h^3}{3!}f^{\prime\prime\prime}(c)+ ...\) ➜ \(\because f^{\prime}(c)=0\)
যেহেতু \(h\) অতিক্ষুদ্র, কাজেই \(h\) এর \(2\) মাত্রার উচ্চতর পদগুলিকে বাদ দিয়ে পাই,
\(f(c+h)-f(c)=\frac{h^2}{2!}f^{\prime\prime}(c)\)
যেহেতু \(h^2\) সর্বদা ধনাত্মক অর্থাৎ \(h^2>0\) , কাজেই \(f(c+h)-f(c)\) এর চিহ্ন, \(f^{\prime\prime}(c)\) এর চিহ্নের উপর নির্ভরশীল।
সুতরাং \(f(c+h)-f(c)\)এবং \(f^{\prime\prime}(c)\) এর চিহ্ন এক রকম হবে।
\(f^{\prime\prime}(c)<0\) হলে, \(h\) এর সকল মানের জন্য \(f(c+h)-f(c)<0\).
সুতরাং \(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) গরিষ্ঠ হবে যদি \(f^{\prime}(c)=0\) এবং \(f^{\prime\prime}(c)<0\) হয়।
আবার,
\(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) এর মাণ \(f(c)\).
যদি \(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) এর লঘিষ্ঠমান থাকে , তবে অতিক্ষুদ্র \(h\) এর জন্য
\(f(c+h)-f(c)>0\) যখন \(h>0\) অথবা \(h<0\)
এখন টেলর উপপাদ্যের সাহায্যে \(f(c+h)\) কে বিস্তার করে পাই,
\(f(c+h)=f(c)+hf^{\prime}(c)+\frac{h^2}{2!}f^{\prime\prime}(c)\)\(+\frac{h^3}{3!}f^{\prime\prime\prime}(c)+ ........\)
\(\Rightarrow f(c+h)-f(c)=hf^{\prime}(c)+\frac{h^2}{2!}f^{\prime\prime}(c)\)\(+\frac{h^3}{3!}f^{\prime\prime\prime}(c)+ ........\)
\(\Rightarrow f(c+h)-f(c)=\frac{h^2}{2!}f^{\prime\prime}(c)\)\(+\frac{h^3}{3!}f^{\prime\prime\prime}(c)+ ...\) ➜ \(\because f^{\prime}(c)=0\)
যেহেতু \(h\) অতিক্ষুদ্র, কাজেই \(h\) এর \(2\) মাত্রার উচ্চতর পদগুলিকে বাদ দিয়ে পাই,
\(f(c+h)-f(c)=\frac{h^2}{2!}f^{\prime\prime}(c)\)
যেহেতু \(h^2\) সর্বদা ধনাত্মক অর্থাৎ \(h^2>0\) , কাজেই \(f(c+h)-f(c)\) এর চিহ্ন, \(f^{\prime\prime}(c)\) এর চিহ্নের উপর নির্ভরশীল।
সুতরাং \(f(c+h)-f(c)\)এবং \(f^{\prime\prime}(c)\) এর চিহ্ন এক রকম হবে।
\(f^{\prime\prime}(c)>0\) হলে, \(h\) এর সকল মানের জন্য \(f(c+h)-f(c)>0\).
সুতরাং \(x=c\) বিন্দুতে \(f(x)\) লঘিষ্ঠ হবে যদি \(f^{\prime}(c)=0\) এবং \(f^{\prime\prime}(c)>0\) হয়।
অনুশীলনী \(9.I\) উদাহরণ সমুহ
\((1.)\) \([2, 5]\) ব্যবধিতে \(f(x)=2x^2-7x+10\) ফাংশনের ল্যাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্যের বৈধতা যাচাই কর।
\((2.)\) দেখাও যে, \(f(x)=x^3-3x^2+18x+15\) একটি ক্রমবর্ধমান ফাংশন।
\((3.)\) দেখাও যে, \(f(x)=1-13x+6x^2-x^3\) একটি ক্রমহ্রাসমান ফাংশন।
[ যঃ২০০৯; ঢাঃ২০১২,২০০৯,২০০৪; সিঃ২০০৬; রাঃ২০০৭; কুঃ২০০৭; বঃ২০১২; দিঃ২০১২ ]
\((4.)\) \(x\)এর মাণ কত হলে \(y=x(12-2x)^2\) ফাংশনের গুরুমান অথবা লঘুমান হবে?
উত্তরঃ \(\)
[ রুয়েটঃ ২০১২-২০১৩; যঃ২০০৫ ]
\((5.)\) দেখাও যে, \(f(x)=x^3-6x^2+24x+4\) এর কোনো গুরুমান অথবা লঘুমান নেই।
[ যঃ২০১১; বঃ২০০১ ]
\((6.)\) গুরুমান ও লঘুমানগুলি নির্ণয় করঃ \(1+2\sin{x}+3\cos^2{x}, \left(0\le{x}\le{\frac{\pi}{2}}\right)\)
উত্তরঃ গুরুমান \(=4\frac{1}{3}\); লঘুমান \(=3\);
[ ঢাঃ ২০০৮; বঃ২০০১]
\((7.)\) \(y=4x(6-x)^2\) \(f(x)=e^{\tan^{-1}{x}}\)
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{2x}}{x}\] এর মাণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(y\) এর গরিষ্ঠমাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) প্রমাণ কর যে, \((1+x^2)f^{\prime\prime}(x)+(2x-1)f^{\prime}(x)=0\)
[ কুঃ২০১৭]
\((8.)\) দেখাও যে, \(x=2\) বিন্দুতে \(f(x)=x^3-3x^2+3x\)ফাংশনটি বৃদ্ধি পায়।
\((9.)\) \(f(x)=17-15x+9x^2-x^3\) একটি ফাংশন।
\((a)\) ইহার চরমবিন্দু নির্ণয় কর।
\((b)\) ইহা কোন ব্যবধিতে হ্রাস পায় এবং কোন ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় নির্ণয় কর।
\((c)\) ইহার সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
\((d)\) ইহার লেখচিত্র অঙ্কন কর।
\((10.)\) \(f(x)=2x^3-21x^2+36x-20\) এর সর্বোচ্চ মান ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বোচ্চ মান \(=-3\) ; সর্বনিম্ন মান \(=-128\)
[ বঃ, দিঃ, ঢাঃ২০১২; কুঃ,রাঃ ২০১৩; যঃ২০০৯, মাঃ২০১৪,২০১৫ ]
\((2.)\) দেখাও যে, \(f(x)=x^3-3x^2+18x+15\) একটি ক্রমবর্ধমান ফাংশন।
\((3.)\) দেখাও যে, \(f(x)=1-13x+6x^2-x^3\) একটি ক্রমহ্রাসমান ফাংশন।
[ যঃ২০০৯; ঢাঃ২০১২,২০০৯,২০০৪; সিঃ২০০৬; রাঃ২০০৭; কুঃ২০০৭; বঃ২০১২; দিঃ২০১২ ]
\((4.)\) \(x\)এর মাণ কত হলে \(y=x(12-2x)^2\) ফাংশনের গুরুমান অথবা লঘুমান হবে?
উত্তরঃ \(\)
[ রুয়েটঃ ২০১২-২০১৩; যঃ২০০৫ ]
\((5.)\) দেখাও যে, \(f(x)=x^3-6x^2+24x+4\) এর কোনো গুরুমান অথবা লঘুমান নেই।
[ যঃ২০১১; বঃ২০০১ ]
\((6.)\) গুরুমান ও লঘুমানগুলি নির্ণয় করঃ \(1+2\sin{x}+3\cos^2{x}, \left(0\le{x}\le{\frac{\pi}{2}}\right)\)
উত্তরঃ গুরুমান \(=4\frac{1}{3}\); লঘুমান \(=3\);
[ ঢাঃ ২০০৮; বঃ২০০১]
\((7.)\) \(y=4x(6-x)^2\) \(f(x)=e^{\tan^{-1}{x}}\)
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{2x}}{x}\] এর মাণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(y\) এর গরিষ্ঠমাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) প্রমাণ কর যে, \((1+x^2)f^{\prime\prime}(x)+(2x-1)f^{\prime}(x)=0\)
[ কুঃ২০১৭]
\((8.)\) দেখাও যে, \(x=2\) বিন্দুতে \(f(x)=x^3-3x^2+3x\)ফাংশনটি বৃদ্ধি পায়।
\((9.)\) \(f(x)=17-15x+9x^2-x^3\) একটি ফাংশন।
\((a)\) ইহার চরমবিন্দু নির্ণয় কর।
\((b)\) ইহা কোন ব্যবধিতে হ্রাস পায় এবং কোন ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় নির্ণয় কর।
\((c)\) ইহার সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
\((d)\) ইহার লেখচিত্র অঙ্কন কর।
\((10.)\) \(f(x)=2x^3-21x^2+36x-20\) এর সর্বোচ্চ মান ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বোচ্চ মান \(=-3\) ; সর্বনিম্ন মান \(=-128\)
[ বঃ, দিঃ, ঢাঃ২০১২; কুঃ,রাঃ ২০১৩; যঃ২০০৯, মাঃ২০১৪,২০১৫ ]
\((11.)\) দেখাও যে, \(f(x)=x^3-3x^2+6x+3\) এর কোনো সর্বোচ্চ মান অথবা সর্বনিম্ন মান নেই।
[ সিঃ২০০৯; বঃ২০১১,২০১৪; কুঃ২০১৩, মাঃ২০১৫ ]
\((12.)\) \(f(x)=3\sin^2{x}+4\cos^2{x}, 0\le{x}\le{\frac{\pi}{2}}\) ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান ও সর্বোচ্চ মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বোচ্চ মান \(=4\) ; সর্বনিম্ন মান \(=3\)
\((13.)\) \((0, 9)\) ব্যবধিতে \(f(x)=x^3-18x^2+96x\) ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান ও সর্বোচ্চ মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বোচ্চ মান \(=160\) ; সর্বনিম্ন মান \(=128\)
\((14.)\) \(f(x)=3x^2-2x-4\) একটি ফাংশন।
\((a)\) \(x\) এর সাপেক্ষে \(f(x)=x^{\sin^{-1}{x}}\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{\sin^{-1}{x}}\left(\frac{\sin^{-1}{x}}{x}+\frac{\ln{x}}{\sqrt{1-x^2}}\right)\)
\((b)\) উদ্দীপকের বক্ররেখার বৃদ্ধিপ্রাপ্ত ও হ্রাসপ্রাপ্ত অঞ্চল নির্ণয় পূর্বক চরম মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}>x\) ব্যবধিতে ফাংশনটি হ্রাস পায়, \(x>\frac{1}{3}\) ব্যবধিতে ফাংশনটি বৃদ্ধি পায়। লঘুমান \(=-\frac{13}{3}\)
\((c)\) বক্ররেখার স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(x+10y-7=0\) রেখার উপর লম্ব।
উত্তরঃ স্পর্শকের সমীকরণ \(10x-y-16=0\)
\((15.)\) দৃশ্যকল্প-১: \(\tan{\theta}=\frac{a+bx}{a-bx}\)এবং দৃশ্যকল্প-২: \(f(x)=\cos{x}\)
\((a)\) দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে \[\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{1-f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)^2}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১ হতে \(\frac{d\theta}{dx}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{ab}{a^2+b^2x^2}\)
\((c)\) \(y=f(2\sin^{-1}{x})\) হলে, দৃশ্যকল্প-২ হতে দেখাও যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}+4y=0\)
\((16.)\) \(f(x)=x^4-4x^3+4x^2+5\) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘিষ্ঠমাণ \( =5\) ; গরিষ্ঠমাণ \( =6\)
\((17.)\) দেখাও যে, \(x^3+\frac{1}{x^3}\) এর বৃহত্তম মান ক্ষুদ্রতম মান অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।
[ সিঃ২০০৯; বঃ২০১১,২০১৪; কুঃ২০১৩, মাঃ২০১৫ ]
\((12.)\) \(f(x)=3\sin^2{x}+4\cos^2{x}, 0\le{x}\le{\frac{\pi}{2}}\) ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান ও সর্বোচ্চ মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বোচ্চ মান \(=4\) ; সর্বনিম্ন মান \(=3\)
\((13.)\) \((0, 9)\) ব্যবধিতে \(f(x)=x^3-18x^2+96x\) ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান ও সর্বোচ্চ মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বোচ্চ মান \(=160\) ; সর্বনিম্ন মান \(=128\)
\((14.)\) \(f(x)=3x^2-2x-4\) একটি ফাংশন।
\((a)\) \(x\) এর সাপেক্ষে \(f(x)=x^{\sin^{-1}{x}}\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{\sin^{-1}{x}}\left(\frac{\sin^{-1}{x}}{x}+\frac{\ln{x}}{\sqrt{1-x^2}}\right)\)
\((b)\) উদ্দীপকের বক্ররেখার বৃদ্ধিপ্রাপ্ত ও হ্রাসপ্রাপ্ত অঞ্চল নির্ণয় পূর্বক চরম মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}>x\) ব্যবধিতে ফাংশনটি হ্রাস পায়, \(x>\frac{1}{3}\) ব্যবধিতে ফাংশনটি বৃদ্ধি পায়। লঘুমান \(=-\frac{13}{3}\)
\((c)\) বক্ররেখার স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(x+10y-7=0\) রেখার উপর লম্ব।
উত্তরঃ স্পর্শকের সমীকরণ \(10x-y-16=0\)
\((15.)\) দৃশ্যকল্প-১: \(\tan{\theta}=\frac{a+bx}{a-bx}\)এবং দৃশ্যকল্প-২: \(f(x)=\cos{x}\)
\((a)\) দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে \[\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{1-f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)^2}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১ হতে \(\frac{d\theta}{dx}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{ab}{a^2+b^2x^2}\)
\((c)\) \(y=f(2\sin^{-1}{x})\) হলে, দৃশ্যকল্প-২ হতে দেখাও যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}+4y=0\)
\((16.)\) \(f(x)=x^4-4x^3+4x^2+5\) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘিষ্ঠমাণ \( =5\) ; গরিষ্ঠমাণ \( =6\)
\((17.)\) দেখাও যে, \(x^3+\frac{1}{x^3}\) এর বৃহত্তম মান ক্ষুদ্রতম মান অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।
\((1.)\) \([2, 5]\) ব্যবধিতে \(f(x)=2x^2-7x+10\) ফাংশনের ল্যাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্যের বৈধতা যাচাই কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(f(x)=2x^2-7x+10\)
\[\therefore Rf^{\prime}(x)=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{2(x+h)^2-7(x+h)+10-2x^2+7x-10}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{2x^2+4hx+2h^2-7x-7h-2x^2+7x}{h}\] ➜ \(\because f(x)=2x^2-7x+10\) \(\Rightarrow f(x+h)=2(x+h)^2-7(x+h)+10\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{4hx+2h^2-7h}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{h(4x+2h-7)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}(4x+2h-7)\]
\[=4x-7\]
আবার,
\[Lf^{\prime}(x)=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{2(x+h)^2-7(x+h)+10-2x^2+7x-10}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{2x^2+4hx+2h^2-7x-7h-2x^2+7x}{h}\] ➜ \(\because f(x)=2x^2-7x+10\) \(\Rightarrow f(x+h)=2(x+h)^2-7(x+h)+10\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{4hx+2h^2-7h}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{h(4x+2h-7)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}(4x+2h-7)\]
\[=4x-7\]
যেহেতু \(Rf^{\prime}(x)=Lf^{\prime}(x)\) অতএব, \(x\) এর সকল মানের জন্য \(f(x)\) ফাংশনটি \([2, 5]\) বদ্ধ ব্যবধিতে অবিচ্ছিন্ন এবং \(]2, 5[\) খোলা ব্যবধিতে অন্তরীকরণযোগ্য ।
\(\therefore f(x)\) ফাংশন ল্যাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্যের সকল শর্ত সিদ্ধ করে।
এখন,
\(f(x)=2x^2-7x+10 ......(1)\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=4x-7\)
তাহলে,
\(f^{\prime}(c)=4c-7\)
আবার,
\((1)\) এর সাহায্যে
\(f(2)=2.2^2-7.2+10\)
\(=2.4-14+10\)
\(=8-4\)
\(=4\)
এবং
\(f(5)=2.5^2-7.5+10\)
\(=2.25-35+10\)
\(=50-25\)
\(=25\)
ল্যাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্য থেকে আমরা জানি,
\(f(5)-f(2)=(5-2)f^{\prime}(c)\)
\(\Rightarrow 25-4=3(4c-7)\) ➜\(\because f(5)=25, f(2)=4, f^{\prime}(c)=4c-7\)
\(\Rightarrow 21=12c-21\)
\(\Rightarrow 12c-21=21\)
\(\Rightarrow 12c=21+21\)
\(\Rightarrow 12c=42\)
\(\Rightarrow c=\frac{42}{12}\)
\(\Rightarrow c=\frac{7}{2}\)
\(\because 2\le{\frac{7}{2}}\le{5}\)
\(\therefore 2\le{c}\le{5}\)
যা \([2, 5]\) ব্যবধিতে বিদ্যমান।
সুতরাং প্রদত্ত ফাংশনে ল্যাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্য বৈধ।
\(f(x)=2x^2-7x+10\)
\[\therefore Rf^{\prime}(x)=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{2(x+h)^2-7(x+h)+10-2x^2+7x-10}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{2x^2+4hx+2h^2-7x-7h-2x^2+7x}{h}\] ➜ \(\because f(x)=2x^2-7x+10\) \(\Rightarrow f(x+h)=2(x+h)^2-7(x+h)+10\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{4hx+2h^2-7h}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{h(4x+2h-7)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}(4x+2h-7)\]
\[=4x-7\]
আবার,
\[Lf^{\prime}(x)=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{2(x+h)^2-7(x+h)+10-2x^2+7x-10}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{2x^2+4hx+2h^2-7x-7h-2x^2+7x}{h}\] ➜ \(\because f(x)=2x^2-7x+10\) \(\Rightarrow f(x+h)=2(x+h)^2-7(x+h)+10\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{4hx+2h^2-7h}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{h(4x+2h-7)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}(4x+2h-7)\]
\[=4x-7\]
যেহেতু \(Rf^{\prime}(x)=Lf^{\prime}(x)\) অতএব, \(x\) এর সকল মানের জন্য \(f(x)\) ফাংশনটি \([2, 5]\) বদ্ধ ব্যবধিতে অবিচ্ছিন্ন এবং \(]2, 5[\) খোলা ব্যবধিতে অন্তরীকরণযোগ্য ।
\(\therefore f(x)\) ফাংশন ল্যাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্যের সকল শর্ত সিদ্ধ করে।
এখন,
\(f(x)=2x^2-7x+10 ......(1)\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=4x-7\)
তাহলে,
\(f^{\prime}(c)=4c-7\)
আবার,
\((1)\) এর সাহায্যে
\(f(2)=2.2^2-7.2+10\)
\(=2.4-14+10\)
\(=8-4\)
\(=4\)
এবং
\(f(5)=2.5^2-7.5+10\)
\(=2.25-35+10\)
\(=50-25\)
\(=25\)
ল্যাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্য থেকে আমরা জানি,
\(f(5)-f(2)=(5-2)f^{\prime}(c)\)
\(\Rightarrow 25-4=3(4c-7)\) ➜\(\because f(5)=25, f(2)=4, f^{\prime}(c)=4c-7\)
\(\Rightarrow 21=12c-21\)
\(\Rightarrow 12c-21=21\)
\(\Rightarrow 12c=21+21\)
\(\Rightarrow 12c=42\)
\(\Rightarrow c=\frac{42}{12}\)
\(\Rightarrow c=\frac{7}{2}\)
\(\because 2\le{\frac{7}{2}}\le{5}\)
\(\therefore 2\le{c}\le{5}\)
যা \([2, 5]\) ব্যবধিতে বিদ্যমান।
সুতরাং প্রদত্ত ফাংশনে ল্যাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্য বৈধ।
\((2.)\) দেখাও যে, \(f(x)=x^3-3x^2+18x+15\) একটি ক্রমবর্ধমান ফাংশন।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(f(x)=x^3-3x^2+18x+15\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(x^3-3x^2+18x+15)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(x^3)-3\frac{d}{dx}(x^2)+18\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(15)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\)\(\frac{d}{dx}(u-v+w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=3x^2-3.2x+18.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=3(x^2-2x)+18\)
\(=3(x^2-2x+1-1)+18\)
\(=3(x^2-2x+1)-3+18\)
\(=3(x-1)^2+15\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=3(x-1)^2+15\)
এখানে, \(x\) এর সকল বাস্তব মানের জন্য \(f^{\prime}(x)>0\)
\(\therefore \) প্রদত্ত ফাংশনটি ক্রমবর্ধমান।
\(f(x)=x^3-3x^2+18x+15\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(x^3-3x^2+18x+15)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(x^3)-3\frac{d}{dx}(x^2)+18\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(15)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\)\(\frac{d}{dx}(u-v+w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=3x^2-3.2x+18.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=3(x^2-2x)+18\)
\(=3(x^2-2x+1-1)+18\)
\(=3(x^2-2x+1)-3+18\)
\(=3(x-1)^2+15\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=3(x-1)^2+15\)
এখানে, \(x\) এর সকল বাস্তব মানের জন্য \(f^{\prime}(x)>0\)
\(\therefore \) প্রদত্ত ফাংশনটি ক্রমবর্ধমান।
\((3.)\) দেখাও যে, \(f(x)=1-13x+6x^2-x^3\) একটি ক্রমহ্রাসমান ফাংশন।
[ যঃ২০০৯; ঢাঃ২০১২,২০০৯,২০০৪; সিঃ২০০৬; রাঃ২০০৭; কুঃ২০০৭; বঃ২০১২; দিঃ২০১২ ]
[ যঃ২০০৯; ঢাঃ২০১২,২০০৯,২০০৪; সিঃ২০০৬; রাঃ২০০৭; কুঃ২০০৭; বঃ২০১২; দিঃ২০১২ ]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(f(x)=1-13x+6x^2-x^3\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(1-13x+6x^2-x^3)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(1)-13\frac{d}{dx}(x)+6\frac{d}{dx}(x^2)-\frac{d}{dx}(x^3)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\)\(\frac{d}{dx}(u-v+w-..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)-..\)
\(=0-13.1+6.2x-3x^2\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=-13+12x-3x^2\)
\(=-3x^2+12x-13\)
\(=-(3x^2-12x+13)\)
\(=-\{3(x^2-4x)+13\}\)
\(=-\{3(x^2-4x+4-4)+13\}\)
\(=-\{3(x^2-4x+4)-12+13\}\)
\(=-\{3(x-2)^2+1\}\)
\(=-3(x-2)^2-1\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=-3(x-2)^2-1\)
এখানে,
\(x\) এর সকল বাস্তব মানের জন্য \(f^{\prime}(x)<0\)
\(\therefore \) প্রদত্ত ফাংশনটি ক্রমহ্রাসমান।
\(f(x)=1-13x+6x^2-x^3\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(1-13x+6x^2-x^3)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(1)-13\frac{d}{dx}(x)+6\frac{d}{dx}(x^2)-\frac{d}{dx}(x^3)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\)\(\frac{d}{dx}(u-v+w-..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)-..\)
\(=0-13.1+6.2x-3x^2\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=-13+12x-3x^2\)
\(=-3x^2+12x-13\)
\(=-(3x^2-12x+13)\)
\(=-\{3(x^2-4x)+13\}\)
\(=-\{3(x^2-4x+4-4)+13\}\)
\(=-\{3(x^2-4x+4)-12+13\}\)
\(=-\{3(x-2)^2+1\}\)
\(=-3(x-2)^2-1\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=-3(x-2)^2-1\)
এখানে,
\(x\) এর সকল বাস্তব মানের জন্য \(f^{\prime}(x)<0\)
\(\therefore \) প্রদত্ত ফাংশনটি ক্রমহ্রাসমান।
\((4.)\) \(x\)এর মাণ কত হলে \(y=x(12-2x)^2\) ফাংশনের গুরুমান অথবা লঘুমান হবে?
[ রুয়েটঃ ২০১২-২০১৩; যঃ২০০৫ ]
[ রুয়েটঃ ২০১২-২০১৩; যঃ২০০৫ ]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(y=x(12-2x)^2\)
\(\Rightarrow y=x\{(12)^2-2.12.2x+(2x)^2\}\)
\(\Rightarrow y=x\{144-48x+4x^2\}\)
\(\Rightarrow y=144x-48x^2+4x^3\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(144x-48x^2+4x^3)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=144\frac{d}{dx}(x)-48\frac{d}{dx}(x^2)+3\frac{d}{dx}(x^3)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=144.1-48.2x+4.3x^2\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=144-96x+12x^2\)
\(=12x^2-96x+144\)
\(=12(x^2-8x+12)\)
\(=12(x^2-6x-2x+12)\)
\(=12\{x(x-6)-2(x-6)\}\)
\(=12(x-6)(x-2)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=12(x-6)(x-2)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 12(x-6)(x-2)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=12(x-6)(x-2)\)
\(\Rightarrow (x-6)(x-2)=0\)
\(\Rightarrow x-6=0, x-2=0\)
\(\Rightarrow x=6, x=2\)
\(\therefore x=6, 2\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(144-96x+12x^2)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=12(x-6)(x-2)=144-96x+12x^2\)
\(=\frac{d}{dx}(144)-96\frac{d}{dx}(x)+12\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=0-96.1+12.2x\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(c)=0,\frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=-96+24x\)
\(=24x-96\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=24(x-4)\)
এখন, \(x=2\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=24(2-4)\)
\(=24.(-2)\)
\(=-48\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=2\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান হবে।
আবার, \(x=6\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=24(6-4)\)
\(=24.2\)
\(=48\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=6\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান হবে।
\(y=x(12-2x)^2\)
\(\Rightarrow y=x\{(12)^2-2.12.2x+(2x)^2\}\)
\(\Rightarrow y=x\{144-48x+4x^2\}\)
\(\Rightarrow y=144x-48x^2+4x^3\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(144x-48x^2+4x^3)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=144\frac{d}{dx}(x)-48\frac{d}{dx}(x^2)+3\frac{d}{dx}(x^3)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=144.1-48.2x+4.3x^2\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=144-96x+12x^2\)
\(=12x^2-96x+144\)
\(=12(x^2-8x+12)\)
\(=12(x^2-6x-2x+12)\)
\(=12\{x(x-6)-2(x-6)\}\)
\(=12(x-6)(x-2)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=12(x-6)(x-2)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 12(x-6)(x-2)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=12(x-6)(x-2)\)
\(\Rightarrow (x-6)(x-2)=0\)
\(\Rightarrow x-6=0, x-2=0\)
\(\Rightarrow x=6, x=2\)
\(\therefore x=6, 2\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(144-96x+12x^2)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=12(x-6)(x-2)=144-96x+12x^2\)
\(=\frac{d}{dx}(144)-96\frac{d}{dx}(x)+12\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=0-96.1+12.2x\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(c)=0,\frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=-96+24x\)
\(=24x-96\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=24(x-4)\)
এখন, \(x=2\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=24(2-4)\)
\(=24.(-2)\)
\(=-48\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=2\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান হবে।
আবার, \(x=6\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=24(6-4)\)
\(=24.2\)
\(=48\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=6\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান হবে।
\((5.)\) দেখাও যে, \(f(x)=x^3-6x^2+24x+4\) এর কোনো গুরুমান অথবা লঘুমান নেই।
[ যঃ২০১১; বঃ২০০১ ]
[ যঃ২০১১; বঃ২০০১ ]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(f(x)=x^3-6x^2+24x+4\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(x^3-6x^2+24x+4)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(x^3)-6\frac{d}{dx}(x^2)+24\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(4)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\)\(\frac{d}{dx}(u-v+w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=3x^2-6.2x+24.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=3x^2-12x+24\)
\(=3(x^2-4x+8)\)
\(=3(x^2-4x+4+4)\)
\(=3\{(x-2)^2+4\}\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=3\{(x-2)^2+2^2\}\) ➜ একাধিক রাশির বর্গের যোগফল ঋনাত্মক হতে পারে না।
যা, সর্বদাই ধনাত্মক।
\(\therefore x\) এর কোনো বাস্তব মানের জন্য \(f^{\prime}(x)\) কখনো শূন্য হতে পারে না।
\(\therefore \) প্রদত্ত ফাংশনটির কোনো গুরুমান অথবা লঘুমান নেই।
\(f(x)=x^3-6x^2+24x+4\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(x^3-6x^2+24x+4)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(x^3)-6\frac{d}{dx}(x^2)+24\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(4)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\)\(\frac{d}{dx}(u-v+w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=3x^2-6.2x+24.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=3x^2-12x+24\)
\(=3(x^2-4x+8)\)
\(=3(x^2-4x+4+4)\)
\(=3\{(x-2)^2+4\}\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=3\{(x-2)^2+2^2\}\) ➜ একাধিক রাশির বর্গের যোগফল ঋনাত্মক হতে পারে না।
যা, সর্বদাই ধনাত্মক।
\(\therefore x\) এর কোনো বাস্তব মানের জন্য \(f^{\prime}(x)\) কখনো শূন্য হতে পারে না।
\(\therefore \) প্রদত্ত ফাংশনটির কোনো গুরুমান অথবা লঘুমান নেই।
\((6.)\) গুরুমান ও লঘুমানগুলি নির্ণয় করঃ \(1+2\sin{x}+3\cos^2{x}, \left(0\le{x}\le{\frac{\pi}{2}}\right)\)
উত্তরঃ গুরুমান \(=4\frac{1}{3}\); লঘুমান \(=3\);
[ ঢাঃ ২০০৮; বঃ২০০১]
উত্তরঃ গুরুমান \(=4\frac{1}{3}\); লঘুমান \(=3\);
[ ঢাঃ ২০০৮; বঃ২০০১]
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=1+2\sin{x}+3\cos^2{x} ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(1+2\sin{x}+3\cos^2{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(1)+2\frac{d}{dx}(\sin{x})+3\frac{d}{dx}(\cos^2{x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v+w)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=0+2\cos{x}+3.2\cos{x}(-\sin{x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\),\(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=2\cos{x}-6\sin{x}\cos{x}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 2\cos{x}-6\sin{x}\cos{x}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=2\cos{x}-6\sin{x}\cos{x}\)
\(\Rightarrow 2\cos{x}(1-3\sin{x})=0\)
\(\Rightarrow \cos{x}=0, 1-3\sin{x}=0\)
\(\Rightarrow \cos{x}=0, -3\sin{x}=-1\)
\(\Rightarrow \cos{x}=0, \sin{x}=\frac{-1}{-3}\)
\(\Rightarrow \cos{x}=0, \sin{x}=\frac{1}{3}\)
\(\therefore x=\frac{\pi}{2}, \sin{x}=\frac{1}{3}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(2\cos{x}-3\sin{2x})\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=2\cos{x}-6\sin{x}\cos{x}=2\cos{x}-3\sin{2x}\)
\(=2\frac{d}{dx}(\cos{x})-3\frac{d}{dx}(\sin{2x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(=-2\sin{x}-3\cos{2x}.2\)
\(=-2\sin{x}-6\cos{2x}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=-2\sin{x}-6\cos{2x}\)
এখন, \(x=\frac{\pi}{2}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=-2\sin{x}-6\cos{2x}\)
\(=-2\sin{\frac{\pi}{2}}-6\cos{2.\frac{\pi}{2}}\)
\(=-2.1-6\cos{\pi}\)
\(=-2.1-6.(-1)\)
\(=-2+6\)
\(=4\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=\frac{\pi}{2}\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান আছে।
ফাংশনটির লঘুমান \(=1+2\sin{\frac{\pi}{2}}+3\cos^2{\frac{\pi}{2}}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=1+2\sin{x}+3\cos^2{x}\)
ফাংশনটির লঘুমান \(=1+2.1+3.0\)
\(=1+2+0\)
\(=3\)
আবার, \(\sin{x}=\frac{1}{3}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=-2\sin{x}-6\cos{2x}\)
\(=-2.\frac{1}{3}-6\{1-2.\left(\frac{1}{3}\right)^2\}\)
\(=-\frac{2}{3}-6\{1-2\frac{1}{9}\}\)
\(=-\frac{2}{3}-6\{1-\frac{2}{9}\}\)
\(=-\frac{2}{3}-6.\frac{9-2}{9}.\)
\(=-\frac{2}{3}-2.\frac{7}{3}\)
\(=-\frac{2}{3}-\frac{14}{3}\)
\(=\frac{-2-14}{3}\)
\(=\frac{-16}{3}\)
\(=-\frac{16}{3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore \sin{x}=\frac{1}{3}\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান আছে।
ফাংশনটির গুরুমান \(=1+2\sin{x}+3\cos^2{x}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=1+2\sin{x}+3\cos^2{x}\)
\(=1+2\sin{x}+3(1-\sin^2{x})\)
\(=1+2.\frac{1}{3}+3\{1-\left(\frac{1}{3}\right)^2\}\)
\(=1+\frac{2}{3}+3\{1-\frac{1}{9}\}\)
\(=1+\frac{2}{3}+3.\frac{9-1}{9}\)
\(=1+\frac{2}{3}+3.\frac{8}{9}\)
\(=1+\frac{2}{3}+\frac{24}{9}\)
\(=\frac{39}{9}\)
\(=\frac{13}{3}\)
\(=4\frac{1}{3}\)
\(y=1+2\sin{x}+3\cos^2{x} ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(1+2\sin{x}+3\cos^2{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(1)+2\frac{d}{dx}(\sin{x})+3\frac{d}{dx}(\cos^2{x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v+w)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=0+2\cos{x}+3.2\cos{x}(-\sin{x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\),\(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=2\cos{x}-6\sin{x}\cos{x}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 2\cos{x}-6\sin{x}\cos{x}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=2\cos{x}-6\sin{x}\cos{x}\)
\(\Rightarrow 2\cos{x}(1-3\sin{x})=0\)
\(\Rightarrow \cos{x}=0, 1-3\sin{x}=0\)
\(\Rightarrow \cos{x}=0, -3\sin{x}=-1\)
\(\Rightarrow \cos{x}=0, \sin{x}=\frac{-1}{-3}\)
\(\Rightarrow \cos{x}=0, \sin{x}=\frac{1}{3}\)
\(\therefore x=\frac{\pi}{2}, \sin{x}=\frac{1}{3}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(2\cos{x}-3\sin{2x})\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=2\cos{x}-6\sin{x}\cos{x}=2\cos{x}-3\sin{2x}\)
\(=2\frac{d}{dx}(\cos{x})-3\frac{d}{dx}(\sin{2x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(=-2\sin{x}-3\cos{2x}.2\)
\(=-2\sin{x}-6\cos{2x}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=-2\sin{x}-6\cos{2x}\)
এখন, \(x=\frac{\pi}{2}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=-2\sin{x}-6\cos{2x}\)
\(=-2\sin{\frac{\pi}{2}}-6\cos{2.\frac{\pi}{2}}\)
\(=-2.1-6\cos{\pi}\)
\(=-2.1-6.(-1)\)
\(=-2+6\)
\(=4\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=\frac{\pi}{2}\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান আছে।
ফাংশনটির লঘুমান \(=1+2\sin{\frac{\pi}{2}}+3\cos^2{\frac{\pi}{2}}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=1+2\sin{x}+3\cos^2{x}\)
ফাংশনটির লঘুমান \(=1+2.1+3.0\)
\(=1+2+0\)
\(=3\)
আবার, \(\sin{x}=\frac{1}{3}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=-2\sin{x}-6\cos{2x}\)
\(=-2.\frac{1}{3}-6\{1-2.\left(\frac{1}{3}\right)^2\}\)
\(=-\frac{2}{3}-6\{1-2\frac{1}{9}\}\)
\(=-\frac{2}{3}-6\{1-\frac{2}{9}\}\)
\(=-\frac{2}{3}-6.\frac{9-2}{9}.\)
\(=-\frac{2}{3}-2.\frac{7}{3}\)
\(=-\frac{2}{3}-\frac{14}{3}\)
\(=\frac{-2-14}{3}\)
\(=\frac{-16}{3}\)
\(=-\frac{16}{3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore \sin{x}=\frac{1}{3}\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান আছে।
ফাংশনটির গুরুমান \(=1+2\sin{x}+3\cos^2{x}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=1+2\sin{x}+3\cos^2{x}\)
\(=1+2\sin{x}+3(1-\sin^2{x})\)
\(=1+2.\frac{1}{3}+3\{1-\left(\frac{1}{3}\right)^2\}\)
\(=1+\frac{2}{3}+3\{1-\frac{1}{9}\}\)
\(=1+\frac{2}{3}+3.\frac{9-1}{9}\)
\(=1+\frac{2}{3}+3.\frac{8}{9}\)
\(=1+\frac{2}{3}+\frac{24}{9}\)
\(=\frac{39}{9}\)
\(=\frac{13}{3}\)
\(=4\frac{1}{3}\)
\((7.)\) \(y=4x(6-x)^2\) \(f(x)=e^{\tan^{-1}{x}}\)
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{2x}}{x}\] এর মাণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(y\) এর গরিষ্ঠমাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) প্রমাণ কর যে, \((1+x^2)f^{\prime\prime}(x)+(2x-1)f^{\prime}(x)=0\)
উত্তরঃ \((a)\) \(=0\);
\((b)\) গরিষ্ঠমাণ \(=128\)
[ কুঃ২০১৭]
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{2x}}{x}\] এর মাণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(y\) এর গরিষ্ঠমাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) প্রমাণ কর যে, \((1+x^2)f^{\prime\prime}(x)+(2x-1)f^{\prime}(x)=0\)
উত্তরঃ \((a)\) \(=0\);
\((b)\) গরিষ্ঠমাণ \(=128\)
[ কুঃ২০১৭]
সমাধানঃ
\((a)\)
প্রদত্ত সীমা,
\[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{2x}}{x}\]
\[\Rightarrow \lim_{x \rightarrow 0}\frac{2\sin^2{x}}{x}\] ➜\(\because 1-\cos{2A}=2\sin^2{A}\)
\[= 2\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin^2{x}}{x}\]
\[= 2\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin^2{x}}{x^2}\times{x}\]
\[= 2\left(\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{x}}{x}\right)^2\times{\lim_{x \rightarrow 0}x}\]
\[= 2(1)^2\times{0}\] ➜\[\because \lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{\sin{\theta}}{\theta}=1\]
\[= 2\times{1}\times{0}\]
\[=0\]
\((b)\)
ধরি,
\(y=4x(6-x)^2 .......(1)\)
\(\Rightarrow y=4x(6^2-2.6.x+x^2)\)
\(\Rightarrow y=4x(36-12x+x^2)\)
\(\Rightarrow y=144x-48x^2+4x^3\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(144x-48x^2+4x^3)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=144\frac{d}{dx}(x)-48\frac{d}{dx}(x^2)+3\frac{d}{dx}(x^3)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=144.1-48.2x+4.3x^2\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=144-96x+12x^2\)
\(=12x^2-96x+144\)
\(=12(x^2-8x+12)\)
\(=12(x^2-6x-2x+12)\)
\(=12\{x(x-6)-2(x-6)\}\)
\(=12(x-6)(x-2)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=12(x-6)(x-2)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 12(x-6)(x-2)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=12(x-6)(x-2)\)
\(\Rightarrow (x-6)(x-2)=0\)
\(\Rightarrow x=6, x=2\)
\(\therefore x=6, 2\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(144-96x+12x^2)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=12(x-6)(x-2)=144-96x+12x^2\)
\(=\frac{d}{dx}(144)-96\frac{d}{dx}(x)+12\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=0-96.1+12.2x\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(c)=0,\frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=-96+24x\)
\(=24x-96\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=24(x-4)\)
এখন,
\(x=6\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=24(6-4)\)
\(=24.2\)
\(=48\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=6\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান আছে।
আবার,
\(x=2\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=24(2-4)\)
\(=24.(-2)\)
\(=-48\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=2\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান আছে।
ফাংশনটির গুরুমান \( =4.2(6-2)^2\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=4x(6-x)^2\)
\(=8.4^2\)
\(=8.16\)
\(=128\)
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=e^{\tan^{-1}{x}} .....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(e^{\tan^{-1}{x}})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=e^{\tan^{-1}{x}}\frac{d}{dx}(\tan^{-1}{x})\) ➜ \(\tan^{-1}{x}\) কে \(x\) মনে করে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=f(x)\frac{1}{1+x^2}\) ➜\(\because f(x)=e^{\tan^{-1}{x}}, \frac{d}{dx}(\tan^{-1}{x})=\frac{1}{1+x^2}\)
\(\Rightarrow (1+x^2)f^{\prime}(x)=f(x)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{(1+x^2)f^{\prime}(x)\}=\frac{d}{dx}\{f(x)\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow (1+x^2)\frac{d}{dx}\{f^{\prime}(x)\}+f^{\prime}(x)\frac{d}{dx}(1+x^2)=f^{\prime}(x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow (1+x^2)f^{\prime\prime}(x)+f^{\prime}(x)(0+2x)=f^{\prime}(x)\)
\(\Rightarrow (1+x^2)f^{\prime\prime}(x)+2xf^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)\)
\(\Rightarrow (1+x^2)f^{\prime\prime}(x)+2xf^{\prime}(x)-f^{\prime}(x)=0\)
\(\therefore (1+x^2)f^{\prime\prime}(x)+(2x-1)f^{\prime}(x)=0\)
(Proved)
প্রদত্ত সীমা,
\[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{2x}}{x}\]
\[\Rightarrow \lim_{x \rightarrow 0}\frac{2\sin^2{x}}{x}\] ➜\(\because 1-\cos{2A}=2\sin^2{A}\)
\[= 2\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin^2{x}}{x}\]
\[= 2\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin^2{x}}{x^2}\times{x}\]
\[= 2\left(\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{x}}{x}\right)^2\times{\lim_{x \rightarrow 0}x}\]
\[= 2(1)^2\times{0}\] ➜\[\because \lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{\sin{\theta}}{\theta}=1\]
\[= 2\times{1}\times{0}\]
\[=0\]
\((b)\)
ধরি,
\(y=4x(6-x)^2 .......(1)\)
\(\Rightarrow y=4x(6^2-2.6.x+x^2)\)
\(\Rightarrow y=4x(36-12x+x^2)\)
\(\Rightarrow y=144x-48x^2+4x^3\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(144x-48x^2+4x^3)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=144\frac{d}{dx}(x)-48\frac{d}{dx}(x^2)+3\frac{d}{dx}(x^3)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=144.1-48.2x+4.3x^2\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=144-96x+12x^2\)
\(=12x^2-96x+144\)
\(=12(x^2-8x+12)\)
\(=12(x^2-6x-2x+12)\)
\(=12\{x(x-6)-2(x-6)\}\)
\(=12(x-6)(x-2)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=12(x-6)(x-2)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 12(x-6)(x-2)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=12(x-6)(x-2)\)
\(\Rightarrow (x-6)(x-2)=0\)
\(\Rightarrow x=6, x=2\)
\(\therefore x=6, 2\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(144-96x+12x^2)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=12(x-6)(x-2)=144-96x+12x^2\)
\(=\frac{d}{dx}(144)-96\frac{d}{dx}(x)+12\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=0-96.1+12.2x\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(c)=0,\frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=-96+24x\)
\(=24x-96\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=24(x-4)\)
এখন,
\(x=6\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=24(6-4)\)
\(=24.2\)
\(=48\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=6\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান আছে।
আবার,
\(x=2\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=24(2-4)\)
\(=24.(-2)\)
\(=-48\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=2\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান আছে।
ফাংশনটির গুরুমান \( =4.2(6-2)^2\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=4x(6-x)^2\)
\(=8.4^2\)
\(=8.16\)
\(=128\)
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=e^{\tan^{-1}{x}} .....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(e^{\tan^{-1}{x}})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=e^{\tan^{-1}{x}}\frac{d}{dx}(\tan^{-1}{x})\) ➜ \(\tan^{-1}{x}\) কে \(x\) মনে করে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=f(x)\frac{1}{1+x^2}\) ➜\(\because f(x)=e^{\tan^{-1}{x}}, \frac{d}{dx}(\tan^{-1}{x})=\frac{1}{1+x^2}\)
\(\Rightarrow (1+x^2)f^{\prime}(x)=f(x)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{(1+x^2)f^{\prime}(x)\}=\frac{d}{dx}\{f(x)\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow (1+x^2)\frac{d}{dx}\{f^{\prime}(x)\}+f^{\prime}(x)\frac{d}{dx}(1+x^2)=f^{\prime}(x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow (1+x^2)f^{\prime\prime}(x)+f^{\prime}(x)(0+2x)=f^{\prime}(x)\)
\(\Rightarrow (1+x^2)f^{\prime\prime}(x)+2xf^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)\)
\(\Rightarrow (1+x^2)f^{\prime\prime}(x)+2xf^{\prime}(x)-f^{\prime}(x)=0\)
\(\therefore (1+x^2)f^{\prime\prime}(x)+(2x-1)f^{\prime}(x)=0\)
(Proved)
\((8.)\) দেখাও যে, \(x=2\) বিন্দুতে \(f(x)=x^3-3x^2+3x\) ফাংশনটি বৃদ্ধি পায়।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(f(x)=x^3-3x^2+3x\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(x^3-3x^2+3x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(x^3)-3\frac{d}{dx}(x^2)+3\frac{d}{dx}(x)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\)\(\frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=3x^2-3.2x+3.1\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=3x^2-6x+3\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=3x^2-6x+3\)
এখান,
\(x=2\)হলে,
\(f^{\prime}(2)=3.2^2-6.2+3\)
\(=3.4-12+3\)
\(=12-12+3\)
\(=3>0\)
\(\therefore f^{\prime}(2)>0\)
\(\therefore \) প্রদত্ত ফাংশনটি \(x=2\) বিন্দুতে বৃদ্ধি পায়।
\(f(x)=x^3-3x^2+3x\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(x^3-3x^2+3x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(x^3)-3\frac{d}{dx}(x^2)+3\frac{d}{dx}(x)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\)\(\frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=3x^2-3.2x+3.1\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=3x^2-6x+3\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=3x^2-6x+3\)
এখান,
\(x=2\)হলে,
\(f^{\prime}(2)=3.2^2-6.2+3\)
\(=3.4-12+3\)
\(=12-12+3\)
\(=3>0\)
\(\therefore f^{\prime}(2)>0\)
\(\therefore \) প্রদত্ত ফাংশনটি \(x=2\) বিন্দুতে বৃদ্ধি পায়।
\((9.)\) \(f(x)=17-15x+9x^2-x^3\) একটি ফাংশন।
\((a)\) ইহার চরমবিন্দু নির্ণয় কর।
\((b)\) ইহা কোন ব্যবধিতে হ্রাস পায় এবং কোন ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় নির্ণয় কর।
\((c)\) ইহার সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
\((d)\) ইহার লেখচিত্র অঙ্কন কর।
উত্তরঃ \((a)\) চরমবিন্দু \((1, 10); (5, 42)\)
\((a)\) ইহার চরমবিন্দু নির্ণয় কর।
\((b)\) ইহা কোন ব্যবধিতে হ্রাস পায় এবং কোন ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় নির্ণয় কর।
\((c)\) ইহার সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
\((d)\) ইহার লেখচিত্র অঙ্কন কর।
উত্তরঃ \((a)\) চরমবিন্দু \((1, 10); (5, 42)\)
সমাধানঃ
\((a)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=17-15x+9x^2-x^3 .....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(17-15x+9x^2-x^3)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(17)-15\frac{d}{dx}(x)+9\frac{d}{dx}(x^2)-\frac{d}{dx}(x^3)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\)\(\frac{d}{dx}(u-v+w-..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)-..\)
\(=0-15.1+9.2x-3x^2\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(c)=0\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=-15+18x-3x^2\)
\(=-3(x^2-6x+5)\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=-3(x^2-6x+5)\)
চরমবিদুর জন্য \(f^{\prime}(x)=0\)
\(\therefore -3(x^2-6x+5)=0\) ➜\(\because f^{\prime}(x)=-3(x^2-6x+5)\)
\(\Rightarrow x^2-6x+5=0\)
\(\Rightarrow x^2-5x-x+5=0\)
\(\Rightarrow x(x-5)-1(x-5)=0\)
\(\Rightarrow (x-5)(x-1)=0\)
\(\Rightarrow x-5=0, x-1=0\)
\(\Rightarrow x=5, x=1\)
\(\therefore x=5, 1\)
\((1)\) হতে,
যখন, \(x=5\)
\(\therefore f(5)=17-15.5+9.5^2-5^3\)
\(=17-75+9.25-125\)
\(=17-75+225-125\)
\(=242-200\)
\(=42\)
আবার,
যখন, \(x=1\)
\(\therefore f(1)=17-15.1+9.1^2-1^3\)
\(=17-15+9.1-1\)
\(=17-15+9-1\)
\(=26-16\)
\(=10\)
\(\therefore \) প্রদত্ত ফাংশনের চরমবিন্দু \((1, 10); (5, 42)\)
\((b)\)
\((a)\) হতে প্রাপ্ত
\( x=5, 1\) মানদ্বয় সকল বাস্তব সংখ্যাকে \(x>5, 5>x>1\) এবং \(1>x\) ব্যবধিতে বিভক্ত করে।
এখন,
\(1>x\) এর জন্য \((x-1)<0\) ও \((x-5)<0\), কাজেই \(0>f^{\prime}(x)\)
\(\therefore 1>x>-\infty\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন হ্রাস পায়।
আবার,
\(5>x>1\) এর জন্য \((x-1)>0\) ও \((x-5)<0\), কাজেই \(f^{\prime}(x)>0\)
\(\therefore 5>x>1\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন বৃদ্ধি পায়।
অপরপক্ষে \(x>5\) এর জন্য \((x-1)>0\) ও \((x-5)>0\), কাজেই \(f^{\prime}(x)>0\)
\(x>5\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন হ্রাস পায়।
\((c)\)
\((a)\) হতে প্রাপ্ত
\(f^{\prime}(x)=-3(x^2-6x+5)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{f^{\prime}(x)\}=-3\frac{d}{dx}(x^2-6x+5)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime\prime}(x)=-3\frac{d}{dx}(x^2)+18\frac{d}{dx}(x)-3\frac{d}{dx}(5)\)
\(=-3.2x+18.1-3.0\)
\(\therefore f^{\prime\prime}(x)=-6x+18\)
\(\Rightarrow f^{\prime\prime}(1)=-6.1+18\)
\(=-6+18\)
\(=12>0\)
\(\therefore f^{\prime\prime}(x)>0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে \(f(x)\) এর সর্বনিম্ন মান আছে।
\(\therefore f(x)\) এর সর্বনিম্ন মান \(f(1)=17-15.1+9.1^2-1^3\) ➜ \((1)\) হতে, \(\because f(x)=17-15x+9x^2-x^3\)
\(=17-15+9-1\)
\(=26-16\)
\(=10\)
আবার,
\(\Rightarrow f^{\prime\prime}(5)=-6.5+18\)
\(=-30+18\)
\(=-12\lt{0}\)
\(\therefore f^{\prime\prime}(x)\lt{0}\)
\(\therefore x=5\) বিন্দুতে \(f(x)\) এর সর্বোচ্চ মান আছে।
\(\therefore f(x)\) এর সর্বোচ্চ মান \(f(5)=17-15.5+9.5^2-5^3\) ➜ \((1)\) হতে, \(\because f(x)=17-15x+9x^2-x^3\)
\(=17-75+9.25-125\)
\(=17-75+225-125\)
\(=242-200\)
\(=42\)
\((d)\)
ফাংশনটির লেখচিত্র।
দেওয়া আছে,
\(f(x)=17-15x+9x^2-x^3 .....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(17-15x+9x^2-x^3)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(17)-15\frac{d}{dx}(x)+9\frac{d}{dx}(x^2)-\frac{d}{dx}(x^3)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\)\(\frac{d}{dx}(u-v+w-..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)-..\)
\(=0-15.1+9.2x-3x^2\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(c)=0\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=-15+18x-3x^2\)
\(=-3(x^2-6x+5)\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=-3(x^2-6x+5)\)
চরমবিদুর জন্য \(f^{\prime}(x)=0\)
\(\therefore -3(x^2-6x+5)=0\) ➜\(\because f^{\prime}(x)=-3(x^2-6x+5)\)
\(\Rightarrow x^2-6x+5=0\)
\(\Rightarrow x^2-5x-x+5=0\)
\(\Rightarrow x(x-5)-1(x-5)=0\)
\(\Rightarrow (x-5)(x-1)=0\)
\(\Rightarrow x-5=0, x-1=0\)
\(\Rightarrow x=5, x=1\)
\(\therefore x=5, 1\)
\((1)\) হতে,
যখন, \(x=5\)
\(\therefore f(5)=17-15.5+9.5^2-5^3\)
\(=17-75+9.25-125\)
\(=17-75+225-125\)
\(=242-200\)
\(=42\)
আবার,
যখন, \(x=1\)
\(\therefore f(1)=17-15.1+9.1^2-1^3\)
\(=17-15+9.1-1\)
\(=17-15+9-1\)
\(=26-16\)
\(=10\)
\(\therefore \) প্রদত্ত ফাংশনের চরমবিন্দু \((1, 10); (5, 42)\)
\((b)\)
\((a)\) হতে প্রাপ্ত
\( x=5, 1\) মানদ্বয় সকল বাস্তব সংখ্যাকে \(x>5, 5>x>1\) এবং \(1>x\) ব্যবধিতে বিভক্ত করে।
এখন,
\(1>x\) এর জন্য \((x-1)<0\) ও \((x-5)<0\), কাজেই \(0>f^{\prime}(x)\)
\(\therefore 1>x>-\infty\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন হ্রাস পায়।
আবার,
\(5>x>1\) এর জন্য \((x-1)>0\) ও \((x-5)<0\), কাজেই \(f^{\prime}(x)>0\)
\(\therefore 5>x>1\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন বৃদ্ধি পায়।
অপরপক্ষে \(x>5\) এর জন্য \((x-1)>0\) ও \((x-5)>0\), কাজেই \(f^{\prime}(x)>0\)
\(x>5\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন হ্রাস পায়।
\((c)\)
\((a)\) হতে প্রাপ্ত
\(f^{\prime}(x)=-3(x^2-6x+5)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{f^{\prime}(x)\}=-3\frac{d}{dx}(x^2-6x+5)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime\prime}(x)=-3\frac{d}{dx}(x^2)+18\frac{d}{dx}(x)-3\frac{d}{dx}(5)\)
\(=-3.2x+18.1-3.0\)
\(\therefore f^{\prime\prime}(x)=-6x+18\)
\(\Rightarrow f^{\prime\prime}(1)=-6.1+18\)
\(=-6+18\)
\(=12>0\)
\(\therefore f^{\prime\prime}(x)>0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে \(f(x)\) এর সর্বনিম্ন মান আছে।
\(\therefore f(x)\) এর সর্বনিম্ন মান \(f(1)=17-15.1+9.1^2-1^3\) ➜ \((1)\) হতে, \(\because f(x)=17-15x+9x^2-x^3\)
\(=17-15+9-1\)
\(=26-16\)
\(=10\)
আবার,
\(\Rightarrow f^{\prime\prime}(5)=-6.5+18\)
\(=-30+18\)
\(=-12\lt{0}\)
\(\therefore f^{\prime\prime}(x)\lt{0}\)
\(\therefore x=5\) বিন্দুতে \(f(x)\) এর সর্বোচ্চ মান আছে।
\(\therefore f(x)\) এর সর্বোচ্চ মান \(f(5)=17-15.5+9.5^2-5^3\) ➜ \((1)\) হতে, \(\because f(x)=17-15x+9x^2-x^3\)
\(=17-75+9.25-125\)
\(=17-75+225-125\)
\(=242-200\)
\(=42\)
\((d)\)
ফাংশনটির লেখচিত্র।
\((10.)\) \(f(x)=2x^3-21x^2+36x-20\) এর সর্বোচ্চ মান ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বোচ্চ মান \(=-3\) ; সর্বনিম্ন মান \(=-128\)
[ বঃ, দিঃ, ঢাঃ২০১২; কুঃ,রাঃ ২০১৩; যঃ২০০৯, মাঃ২০১৪,২০১৫ ]
উত্তরঃ সর্বোচ্চ মান \(=-3\) ; সর্বনিম্ন মান \(=-128\)
[ বঃ, দিঃ, ঢাঃ২০১২; কুঃ,রাঃ ২০১৩; যঃ২০০৯, মাঃ২০১৪,২০১৫ ]
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=f(x)=2x^3-21x^2+36x-20 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(2x^3-21x^2+36x-20)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2\frac{d}{dx}(x^3)-21\frac{d}{dx}(x^2)+36\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(20)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w-..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)-..\)
\(=2.3x^2-21.2x+36.1-0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=6x^2-42x+36\)
\(=6(x^2-7x+6)\)
\(=6(x^2-6x-x+6)\)
\(=6\{x(x-6)-1(x-6)\}\)
\(=6(x-6)(x-1)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=6(x-6)(x-1)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 6(x-6)(x-1)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=6(x-6)(x-1)\)
\(\Rightarrow (x-6)(x-1)=0\)
\(\Rightarrow x-6=0, x-1=0\)
\(\Rightarrow x=6, x=1\)
\(\therefore x=6, 1\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(6x^2-42x+36)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=6(x-6)(x-1)=6x^2-42x+36\)
\(=6\frac{d}{dx}(x^2)-42\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(36)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=6.2x-42.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\) \(\frac{d}{dx}(x)=1,\frac{d}{dx}(c)=0\),
\(=12x-42\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=12x-42\)
এখন, \(x=1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.1-42\)
\(=12-42\)
\(=-30\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে ফাংশনটির গরিষ্ঠমান আছে।
ফাংশনটির গরিষ্ঠমান \(=2.1^3-21.1^2+36.1-20 \) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=2x^3-21x^2+36x-20\)
\(=2-21+36-20\)
\(=38-41\)
\(=-3\)
আবার, \(x=6\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.6-42\)
\(=72-42\)
\(=3-\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=6\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান আছে।
ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান \(=2.6^3-21.6^2+36.6-20\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=2x^3-21x^2+36x-20\)
\(=432-756+216-20\)
\(=648-776\)
\(=-128\)
\(y=f(x)=2x^3-21x^2+36x-20 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(2x^3-21x^2+36x-20)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2\frac{d}{dx}(x^3)-21\frac{d}{dx}(x^2)+36\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(20)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w-..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)-..\)
\(=2.3x^2-21.2x+36.1-0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=6x^2-42x+36\)
\(=6(x^2-7x+6)\)
\(=6(x^2-6x-x+6)\)
\(=6\{x(x-6)-1(x-6)\}\)
\(=6(x-6)(x-1)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=6(x-6)(x-1)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 6(x-6)(x-1)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=6(x-6)(x-1)\)
\(\Rightarrow (x-6)(x-1)=0\)
\(\Rightarrow x-6=0, x-1=0\)
\(\Rightarrow x=6, x=1\)
\(\therefore x=6, 1\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(6x^2-42x+36)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=6(x-6)(x-1)=6x^2-42x+36\)
\(=6\frac{d}{dx}(x^2)-42\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(36)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=6.2x-42.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\) \(\frac{d}{dx}(x)=1,\frac{d}{dx}(c)=0\),
\(=12x-42\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=12x-42\)
এখন, \(x=1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.1-42\)
\(=12-42\)
\(=-30\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে ফাংশনটির গরিষ্ঠমান আছে।
ফাংশনটির গরিষ্ঠমান \(=2.1^3-21.1^2+36.1-20 \) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=2x^3-21x^2+36x-20\)
\(=2-21+36-20\)
\(=38-41\)
\(=-3\)
আবার, \(x=6\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.6-42\)
\(=72-42\)
\(=3-\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=6\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান আছে।
ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান \(=2.6^3-21.6^2+36.6-20\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=2x^3-21x^2+36x-20\)
\(=432-756+216-20\)
\(=648-776\)
\(=-128\)
\((11.)\) দেখাও যে, \(f(x)=x^3-3x^2+6x+3\) এর কোনো সর্বোচ্চ মান অথবা সর্বনিম্ন মান নেই।
[ সিঃ২০০৯; বঃ২০১১,২০১৪; কুঃ২০১৩, মাঃ২০১৫ ]
[ সিঃ২০০৯; বঃ২০১১,২০১৪; কুঃ২০১৩, মাঃ২০১৫ ]
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=f(x)=x^3-3x^2+6x+3 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^3-3x^2+6x+3)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3)-3\frac{d}{dx}(x^2)+6\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(3)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=3x^2-3.2x+6.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=3x^2-6x+6\)
\(=3(x^2-2x)+6\)
\(=3(x^2-2x+1-1)+6\)
\(=3(x^2-2x+1)-3+6\)
\(=3(x-1)^2+3\)
\(=3\{(x-1)^2+1\}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=3\{(x-1)^2+1^2\}\) ➜ একাধিক রাশির বর্গের যোগফল ঋনাত্মক হতে পারে না।
যা, সর্বদাই ধনাত্মক।
\(\therefore x\) এর কোনো বাস্তব মানের জন্য \(\frac{dy}{dx}\) কখনো শূন্য হতে পারে না।
\(\therefore \) প্রদত্ত ফাংশনটির কোনো সর্বোচ্চ মান অথবা সর্বনিম্ন মান নেই।
\(y=f(x)=x^3-3x^2+6x+3 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^3-3x^2+6x+3)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3)-3\frac{d}{dx}(x^2)+6\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(3)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=3x^2-3.2x+6.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=3x^2-6x+6\)
\(=3(x^2-2x)+6\)
\(=3(x^2-2x+1-1)+6\)
\(=3(x^2-2x+1)-3+6\)
\(=3(x-1)^2+3\)
\(=3\{(x-1)^2+1\}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=3\{(x-1)^2+1^2\}\) ➜ একাধিক রাশির বর্গের যোগফল ঋনাত্মক হতে পারে না।
যা, সর্বদাই ধনাত্মক।
\(\therefore x\) এর কোনো বাস্তব মানের জন্য \(\frac{dy}{dx}\) কখনো শূন্য হতে পারে না।
\(\therefore \) প্রদত্ত ফাংশনটির কোনো সর্বোচ্চ মান অথবা সর্বনিম্ন মান নেই।
\((12.)\) \(f(x)=3\sin^2{x}+4\cos^2{x}, 0\le{x}\le{\frac{\pi}{2}}\) ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান ও সর্বোচ্চ মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বোচ্চ মান \(=4\) ; সর্বনিম্ন মান \(=3\)
উত্তরঃ সর্বোচ্চ মান \(=4\) ; সর্বনিম্ন মান \(=3\)
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=3\sin^2{x}+4\cos^2{x} ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(3\sin^2{x}+4\cos^2{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=3\frac{d}{dx}(\sin^2{x})+4\frac{d}{dx}(\cos^2{x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(=3.2\sin{x}\cos{x}+4.2\cos{x}(-\sin{x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\),\(\frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\), \(\frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}\)
\(=3.2\sin{x}\cos{x}-4.2\sin{x}\cos{x}\)
\(=3\sin{2x}-4\sin{2x}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=-\sin{2x}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow -\sin{2x}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=-\sin{2x}\)
\(\Rightarrow \sin{2x}=0\)
\(\Rightarrow 2x=0, \frac{\pi}{2}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(-\sin{2x})\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=-\sin{2x}\)
\(=-\cos{2x}.2\)
\(=-2\cos{2x}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=-2\cos{2x}\)
এখন, \(x=0\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=-2\cos{2.0}\)
\(=-2\cos{0}\)
\(=-2.1\)
\(=-2\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=\frac{\pi}{2}\) বিন্দুতে ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান আছে।
ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান \(=3\sin^2{0}+4\cos^2{0}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=3\sin^2{x}+4\cos^2{x}\)
ফাংশনটির লঘুমান \(=3.0+4.1\)
\(=0+4\)
\(=4\)
আবার, \(x=\frac{\pi}{2}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=-2\cos{2.\frac{\pi}{2}}\)
\(=-2\cos{\pi}\)
\(=-2\times{-1}\)
\(=2\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore \sin{x}=\frac{1}{3}\) বিন্দুতে ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান আছে।
ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান \(=3\sin^2{\frac{\pi}{2}}+4\cos^2{\frac{\pi}{2}}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=3\sin^2{x}+4\cos^2{x}\)
ফাংশনটির লঘুমান \(=3.1^2+4.0^2\)
\(=3.1+4.0\)
\(=3+0\)
\(=3\)
\(y=3\sin^2{x}+4\cos^2{x} ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(3\sin^2{x}+4\cos^2{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=3\frac{d}{dx}(\sin^2{x})+4\frac{d}{dx}(\cos^2{x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(=3.2\sin{x}\cos{x}+4.2\cos{x}(-\sin{x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\),\(\frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\), \(\frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}\)
\(=3.2\sin{x}\cos{x}-4.2\sin{x}\cos{x}\)
\(=3\sin{2x}-4\sin{2x}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=-\sin{2x}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow -\sin{2x}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=-\sin{2x}\)
\(\Rightarrow \sin{2x}=0\)
\(\Rightarrow 2x=0, \frac{\pi}{2}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(-\sin{2x})\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=-\sin{2x}\)
\(=-\cos{2x}.2\)
\(=-2\cos{2x}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=-2\cos{2x}\)
এখন, \(x=0\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=-2\cos{2.0}\)
\(=-2\cos{0}\)
\(=-2.1\)
\(=-2\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=\frac{\pi}{2}\) বিন্দুতে ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান আছে।
ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান \(=3\sin^2{0}+4\cos^2{0}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=3\sin^2{x}+4\cos^2{x}\)
ফাংশনটির লঘুমান \(=3.0+4.1\)
\(=0+4\)
\(=4\)
আবার, \(x=\frac{\pi}{2}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=-2\cos{2.\frac{\pi}{2}}\)
\(=-2\cos{\pi}\)
\(=-2\times{-1}\)
\(=2\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore \sin{x}=\frac{1}{3}\) বিন্দুতে ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান আছে।
ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান \(=3\sin^2{\frac{\pi}{2}}+4\cos^2{\frac{\pi}{2}}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=3\sin^2{x}+4\cos^2{x}\)
ফাংশনটির লঘুমান \(=3.1^2+4.0^2\)
\(=3.1+4.0\)
\(=3+0\)
\(=3\)
\((13.)\) \((0, 9)\) ব্যবধিতে \(f(x)=x^3-18x^2+96x\) ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান ও সর্বোচ্চ মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বোচ্চ মান \(=160\) ; সর্বনিম্ন মান \(=128\)
উত্তরঃ সর্বোচ্চ মান \(=160\) ; সর্বনিম্ন মান \(=128\)
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=f(x)=x^3-18x^2+96x ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^3-18x^2+96x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3)-18\frac{d}{dx}(x^2)+96\frac{d}{dx}(x)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=3x^2-18.2x+96.1\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=3x^2-36x+96\)
\(=3(x^2-12x+32)\)
\(=3\{x^2-8x-4x+32\}\)
\(=3\{x(x-8)-4(x-8)\}\)
\(=3(x-8)(x-4)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=3(x-8)(x-4)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 3(x-8)(x-4)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=3(x-8)(x-4)\)
\(\Rightarrow 3(x-8)(x-4)=0\)
\(\Rightarrow (x-8)(x-4)=0\)
\(\Rightarrow x-8=0, x-4=0\)
\(\Rightarrow x=8, x=4\)
\(\therefore x=8, 4\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(3x^2-36x+96)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=3(x-8)(x-4)=3x^2-36x+96\)
\(=3\frac{d}{dx}(x^2)-36\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(96)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=3.2x-36.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\) \(\frac{d}{dx}(x)=1,\frac{d}{dx}(c)=0\),
\(=6x-36\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=6x-36\)
এখন, \(x=4\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=6.4-36\)
\(=24-36\)
\(=-12\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=4\) বিন্দুতে ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান আছে।
ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান \(=4^3-18.4^2+96.4 \) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^3-18x^2+96x\)
\(=64-288+384\)
\(=448-288\)
\(=160\)
আবার, \(x=8\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=6.8-36\)
\(=48-36\)
\(=12\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=8\) বিন্দুতে ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান আছে।
ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান \(=8^3-18.8^2+96.8 \) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^3-18x^2+96x\)
\(=512-1152+768\)
\(=1280-1152\)
\(=128\)
\(y=f(x)=x^3-18x^2+96x ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^3-18x^2+96x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3)-18\frac{d}{dx}(x^2)+96\frac{d}{dx}(x)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=3x^2-18.2x+96.1\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=3x^2-36x+96\)
\(=3(x^2-12x+32)\)
\(=3\{x^2-8x-4x+32\}\)
\(=3\{x(x-8)-4(x-8)\}\)
\(=3(x-8)(x-4)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=3(x-8)(x-4)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 3(x-8)(x-4)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=3(x-8)(x-4)\)
\(\Rightarrow 3(x-8)(x-4)=0\)
\(\Rightarrow (x-8)(x-4)=0\)
\(\Rightarrow x-8=0, x-4=0\)
\(\Rightarrow x=8, x=4\)
\(\therefore x=8, 4\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(3x^2-36x+96)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=3(x-8)(x-4)=3x^2-36x+96\)
\(=3\frac{d}{dx}(x^2)-36\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(96)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=3.2x-36.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\) \(\frac{d}{dx}(x)=1,\frac{d}{dx}(c)=0\),
\(=6x-36\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=6x-36\)
এখন, \(x=4\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=6.4-36\)
\(=24-36\)
\(=-12\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=4\) বিন্দুতে ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান আছে।
ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান \(=4^3-18.4^2+96.4 \) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^3-18x^2+96x\)
\(=64-288+384\)
\(=448-288\)
\(=160\)
আবার, \(x=8\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=6.8-36\)
\(=48-36\)
\(=12\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=8\) বিন্দুতে ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান আছে।
ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান \(=8^3-18.8^2+96.8 \) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^3-18x^2+96x\)
\(=512-1152+768\)
\(=1280-1152\)
\(=128\)
\((14.)\) \(f(x)=3x^2-2x-4\) একটি ফাংশন।
\((a)\) \(x\) এর সাপেক্ষে \(f(x)=x^{\sin^{-1}{x}}\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{\sin^{-1}{x}}\left(\frac{\sin^{-1}{x}}{x}+\frac{\ln{x}}{\sqrt{1-x^2}}\right)\)
\((b)\) উদ্দীপকের বক্ররেখার বৃদ্ধিপ্রাপ্ত ও হ্রাসপ্রাপ্ত অঞ্চল নির্ণয় পূর্বক চরম মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}>x\) ব্যবধিতে ফাংশনটি হ্রাস পায়, \(x>\frac{1}{3}\) ব্যবধিতে ফাংশনটি বৃদ্ধি পায়। লঘুমান \(=-\frac{13}{3}\)
\((c)\) বক্ররেখার স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(x+10y-7=0\) রেখার উপর লম্ব।
উত্তরঃ স্পর্শকের সমীকরণ \(10x-y-16=0\)
\((a)\) \(x\) এর সাপেক্ষে \(f(x)=x^{\sin^{-1}{x}}\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{\sin^{-1}{x}}\left(\frac{\sin^{-1}{x}}{x}+\frac{\ln{x}}{\sqrt{1-x^2}}\right)\)
\((b)\) উদ্দীপকের বক্ররেখার বৃদ্ধিপ্রাপ্ত ও হ্রাসপ্রাপ্ত অঞ্চল নির্ণয় পূর্বক চরম মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}>x\) ব্যবধিতে ফাংশনটি হ্রাস পায়, \(x>\frac{1}{3}\) ব্যবধিতে ফাংশনটি বৃদ্ধি পায়। লঘুমান \(=-\frac{13}{3}\)
\((c)\) বক্ররেখার স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(x+10y-7=0\) রেখার উপর লম্ব।
উত্তরঃ স্পর্শকের সমীকরণ \(10x-y-16=0\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(f(x)=3x^2-2x-4\) একটি ফাংশন।
\((a)\)
ধরি,
\(y=f(x)=x^{\sin^{-1}{x}}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^{\sin^{-1}{x}})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=x^{\sin^{-1}{x}}\left(\frac{\sin^{-1}{x}}{x}\frac{d}{dx}(x)+\ln{x}\frac{d}{dx}(\sin^{-1}{x})\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u^v)=u^v\left(\frac{v}{u}\frac{d}{dx}(u)+\ln{u}\frac{d}{dx}(v)\right)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=x^{\sin^{-1}{x}}\left(\frac{\sin^{-1}{x}}{x}.1+\ln{x}\times{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(\sin^{-1}{x})=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=x^{\sin^{-1}{x}}\left(\frac{\sin^{-1}{x}}{x}+\frac{\ln{x}}{\sqrt{1-x^2}}\right)\) \((b)\)
ধরি,
\(y=f(x)=3x^2-2x-4 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(3x^2-2x-4)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=3\frac{d}{dx}(x^2)-2\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(4)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v-w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)\)
\(=3.2x-2.1-0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=6x-2\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=6x-2\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 6x-2=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=6x-2\)
\(\Rightarrow 6x-2=0\)
\(\Rightarrow 6x=2\)
\(\Rightarrow x=\frac{2}{6}\)
\(\therefore x=\frac{1}{3}\)
\(x=\frac{1}{3}\) বিন্দুটি সকল বাস্তব সংখ্যাকে \(\frac{1}{3}>x\) ও \(x>\frac{1}{3}\) ব্যবধিতে বিভক্ত করে।
\(\frac{1}{3}>x\) ব্যবধিতে \(\frac{dy}{dx}<0\)
\(\therefore \frac{1}{3}>x\) ব্যবধিতে ফাংশনটি হ্রাস পায়।
আবার,
\(x>\frac{1}{3}\) ব্যবধিতে \(\frac{dy}{dx}>0\)
\(\therefore x>\frac{1}{3}\) ব্যবধিতে ফাংশনটি বৃদ্ধি পায়।
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(6x-2)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=6x-2\)
\(=6.1-0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=6\)
এখন, \(x=\frac{1}{3}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=6\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=\frac{1}{3}\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান আছে।
ফাংশনটির লঘুমান \(=3\left(\frac{1}{3}\right)^2-2\left(\frac{1}{3}\right)-4\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=3x^2-2x-4\)
\(=3\left(\frac{1}{9}\right)-\frac{2}{3}-4\)
\(=\frac{1-2-12}{3}\)
\(=\frac{1-14}{3}\)
\(=\frac{-13}{3}\)
\(=-\frac{13}{3}\)
\((c)\)
ধরি,
\(y=f(x)=3x^2-2x-4 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(3x^2-2x-4)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=3\frac{d}{dx}(x^2)-2\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(4)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v-w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)\)
\(=3.2x-2.1-0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=6x-2\)
\(\therefore\) স্পর্শকের ঢাল \(=6x-2\)
আবার,
\(x+10y-7=0\) রেখার ঢাল \(=-\frac{1}{10}\) ➜\(\because ax+by+c=0\) রেখার ঢাল \(=-\frac{a}{b}\)
শর্তমতে,
\((6x-2)\times{-\frac{1}{10}}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{6x-2}{10}=1\)
\(\Rightarrow 6x-2=10\)
\(\Rightarrow 6x=10+2\)
\(\Rightarrow 6x=12\)
\(\therefore x=2\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(y=3.2^2-2.2-4\)
\(=3.4-4-4\)
\(=12-8\)
\(=4\)
\(\therefore (2, 4)\) বিন্দুতে স্পর্শক \(x+10y-7=0\) রেখার উপর লম্ব হবে।
\((2, 4)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(=6.2-2\) ➜ স্পর্শকের ঢাল \(\because \frac{dy}{dx}=6x-2\)
\(=12-2\)
\(=10\)
\(\therefore (2, 4)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \(y-4=10(x-2)\) ➜ \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুগামী এবং \(m\) ঢালবিশিষ্ঠ সরলরেখার সমীকরণ \(\because y-y_{1}=m(x-x_{1})\)
\(\Rightarrow y-4=10x-20\)
\(\Rightarrow 10x-20=y-4\)
\(\Rightarrow 10x-20-y+4=0\)
\(\Rightarrow 10x-y-16=0\)
\(f(x)=3x^2-2x-4\) একটি ফাংশন।
\((a)\)
ধরি,
\(y=f(x)=x^{\sin^{-1}{x}}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^{\sin^{-1}{x}})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=x^{\sin^{-1}{x}}\left(\frac{\sin^{-1}{x}}{x}\frac{d}{dx}(x)+\ln{x}\frac{d}{dx}(\sin^{-1}{x})\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u^v)=u^v\left(\frac{v}{u}\frac{d}{dx}(u)+\ln{u}\frac{d}{dx}(v)\right)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=x^{\sin^{-1}{x}}\left(\frac{\sin^{-1}{x}}{x}.1+\ln{x}\times{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(\sin^{-1}{x})=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=x^{\sin^{-1}{x}}\left(\frac{\sin^{-1}{x}}{x}+\frac{\ln{x}}{\sqrt{1-x^2}}\right)\) \((b)\)
ধরি,
\(y=f(x)=3x^2-2x-4 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(3x^2-2x-4)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=3\frac{d}{dx}(x^2)-2\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(4)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v-w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)\)
\(=3.2x-2.1-0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=6x-2\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=6x-2\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 6x-2=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=6x-2\)
\(\Rightarrow 6x-2=0\)
\(\Rightarrow 6x=2\)
\(\Rightarrow x=\frac{2}{6}\)
\(\therefore x=\frac{1}{3}\)
\(x=\frac{1}{3}\) বিন্দুটি সকল বাস্তব সংখ্যাকে \(\frac{1}{3}>x\) ও \(x>\frac{1}{3}\) ব্যবধিতে বিভক্ত করে।
\(\frac{1}{3}>x\) ব্যবধিতে \(\frac{dy}{dx}<0\)
\(\therefore \frac{1}{3}>x\) ব্যবধিতে ফাংশনটি হ্রাস পায়।
আবার,
\(x>\frac{1}{3}\) ব্যবধিতে \(\frac{dy}{dx}>0\)
\(\therefore x>\frac{1}{3}\) ব্যবধিতে ফাংশনটি বৃদ্ধি পায়।
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(6x-2)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=6x-2\)
\(=6.1-0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=6\)
এখন, \(x=\frac{1}{3}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=6\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=\frac{1}{3}\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান আছে।
ফাংশনটির লঘুমান \(=3\left(\frac{1}{3}\right)^2-2\left(\frac{1}{3}\right)-4\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=3x^2-2x-4\)
\(=3\left(\frac{1}{9}\right)-\frac{2}{3}-4\)
\(=\frac{1-2-12}{3}\)
\(=\frac{1-14}{3}\)
\(=\frac{-13}{3}\)
\(=-\frac{13}{3}\)
\((c)\)
ধরি,
\(y=f(x)=3x^2-2x-4 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(3x^2-2x-4)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=3\frac{d}{dx}(x^2)-2\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(4)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v-w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)\)
\(=3.2x-2.1-0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=6x-2\)
\(\therefore\) স্পর্শকের ঢাল \(=6x-2\)
আবার,
\(x+10y-7=0\) রেখার ঢাল \(=-\frac{1}{10}\) ➜\(\because ax+by+c=0\) রেখার ঢাল \(=-\frac{a}{b}\)
শর্তমতে,
\((6x-2)\times{-\frac{1}{10}}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{6x-2}{10}=1\)
\(\Rightarrow 6x-2=10\)
\(\Rightarrow 6x=10+2\)
\(\Rightarrow 6x=12\)
\(\therefore x=2\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(y=3.2^2-2.2-4\)
\(=3.4-4-4\)
\(=12-8\)
\(=4\)
\(\therefore (2, 4)\) বিন্দুতে স্পর্শক \(x+10y-7=0\) রেখার উপর লম্ব হবে।
\((2, 4)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(=6.2-2\) ➜ স্পর্শকের ঢাল \(\because \frac{dy}{dx}=6x-2\)
\(=12-2\)
\(=10\)
\(\therefore (2, 4)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \(y-4=10(x-2)\) ➜ \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুগামী এবং \(m\) ঢালবিশিষ্ঠ সরলরেখার সমীকরণ \(\because y-y_{1}=m(x-x_{1})\)
\(\Rightarrow y-4=10x-20\)
\(\Rightarrow 10x-20=y-4\)
\(\Rightarrow 10x-20-y+4=0\)
\(\Rightarrow 10x-y-16=0\)
\((15.)\) দৃশ্যকল্প-১: \(\tan{\theta}=\frac{a+bx}{a-bx}\)এবং দৃশ্যকল্প-২: \(f(x)=\cos{x}\)
\((a)\) দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে \[\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{1-f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)^2}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১ হতে \(\frac{d\theta}{dx}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{ab}{a^2+b^2x^2}\)
\((c)\) \(y=f(2\sin^{-1}{x})\) হলে, দৃশ্যকল্প-২ হতে দেখাও যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}+4y=0\)
\((a)\) দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে \[\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{1-f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)^2}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১ হতে \(\frac{d\theta}{dx}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{ab}{a^2+b^2x^2}\)
\((c)\) \(y=f(2\sin^{-1}{x})\) হলে, দৃশ্যকল্প-২ হতে দেখাও যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}+4y=0\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
দৃশ্যকল্প-১: \(\tan{\theta}=\frac{a+bx}{a-bx}\)এবং দৃশ্যকল্প-২: \(f(x)=\cos{x}\)
\((a)\)
দৃশ্যকল্প-২: \(f(x)=\cos{x}\)
ধরি,
\(f(x)=\cos{x} .....(1)\)
\((1)\) হতে,
\(f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}\)
\(=\sin{x}\) ➜ \(\because \) প্রথম চৌকোণে অবস্থিত।
এখন,
\[\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{1-f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)^2}\]
\[=\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{1-\sin{x}}{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)^2}\] ➜ \(\because f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin{x}\)
আবার,
ধরি,
\(x=\frac{\pi}{x}+h\)
যখন, \(x\rightarrow \frac{\pi}{x}\)
তখন, \(h\rightarrow 0\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1-\sin{\left(\frac{\pi}{x}+h\right)}}{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{x}-h\right)^2}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1-\cos{h}}{(-h)^2}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2\sin^2{\frac{h}{2}}}{h^2}\] ➜ \(\because 1-\cos{A}=2\sin^2{\frac{A}{2}}\)
\[=2\left(\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin{\frac{h}{2}}}{\frac{h}{2}}\right)^2\times{\frac{1}{4}}\]
\[=2.1^2\times{\frac{1}{4}}\] ➜ \[\because \lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{\sin{\theta}}{\theta}=1\]
\[=2\times{\frac{1}{4}}\] ➜ \(\because \lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{\sin{\theta}}{\theta}=1\)
\[=\frac{1}{2}\]
\((b)\)
দৃশ্যকল্প-১ হতে,
দেওয়া আছে,
\(\tan{\theta}=\frac{a+bx}{a-bx}\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{a+bx}{a-bx}\right)}\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{1+\frac{bx}{a}}{1-\frac{bx}{a}}\right)}\) ➜ লব ও হরের সহিত \(a\) ভাগ করে।
ধরি,
\(\tan{\alpha}=\frac{bx}{a}\Rightarrow \alpha=\tan^{-1}\left(\frac{bx}{a}\right)\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{1+\tan{\alpha}}{1-\tan{\alpha}}\right)}\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{\tan{\frac{\pi}{4}}+\tan{\alpha}}{1-\tan{\frac{\pi}{4}}\tan{\alpha}}\right)}\) ➜ \(\because \tan{\frac{\pi}{4}}=1\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}{\tan{\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)}}\) ➜ \(\because \tan{(A+B)}=\frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{\pi}{4}+\alpha\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{\pi}{4}+\tan^{-1}\left(\frac{bx}{a}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{d\theta}{dx}=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}\right)+\frac{d}{dx}\{\tan^{-1}\left(\frac{bx}{a}\right)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=0+\frac{1}{1+\left(\frac{bx}{a}\right)^2}\frac{d}{dx}\left(\frac{bx}{a}\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(\tan^{-1}x)=\frac{1}{1+x^2}\)
\(=\frac{1}{1+\frac{b^2x^2}{a^2}}.\frac{b}{a}\)
\(=\frac{1}{\frac{a^2+b^2x^2}{a^2}}.\frac{b}{a}\)
\(=\frac{a^2}{a^2+b^2x^2}.\frac{b}{a}\)
\(=\frac{ab}{a^2+b^2x^2}\)
\((c)\)
ধরি,
\(y=f(2\sin^{-1}{x}) ....(1)\)
দৃশ্যকল্প-২ হতে,
\(f(x)=\cos{x}\)
\(\Rightarrow f(2\sin^{-1}{x})=\cos{(2\sin^{-1}{x})}\)
\(\therefore y=\cos{(2\sin^{-1}{x})}\) ➜ \((1)\) হতে, \(\because y=f(2\sin^{-1}{x})\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\cos{(2\sin^{-1}{x})}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=-\sin{(2\sin^{-1}{x})}\frac{d}{dx}(2\sin^{-1}{x})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}\)
\(\Rightarrow y_{1}=-\sin{(2\sin^{-1}{x})}.2\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin^{-1}{x})=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\Rightarrow y_{1}\sqrt{1-x^2}=-2\sin{(2\sin^{-1}{x})}\)
\(\Rightarrow y^2_{1}(1-x^2)=4\sin^2{(2\sin^{-1}{x})}\)| উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow y^2_{1}(1-x^2)=4\{1-\cos^2{(2\sin^{-1}{x})}\}\)| \(\because \sin^2{A}=1-\cos^2{A}\)
\(\Rightarrow y^2_{1}(1-x^2)=4(1-y^2)\)| \(\because y=\cos{(2\sin^{-1}{x})}\)
\(\Rightarrow y^2_{1}(1-x^2)=4-4y^2\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{y^2_{1}(1-x^2)\}=\frac{d}{dx}(4)-4\frac{d}{dx}(y^2)\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y^2_{1}\frac{d}{dx}(1-x^2)+(1-x^2)\frac{d}{dx}(y^2_{1})=0-4.2yy_{1}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\), \(\frac{d}{dx}(y^2)=2yy_{1}\)
\(\Rightarrow y^2_{1}(-2x)+(1-x^2)2y_{1}y_{2}=-8yy_{1}\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\{(1-x^2)y_{2}-xy_{1}\}=-8yy_{1}\)
\(\Rightarrow (1-x^2)y_{2}-xy_{1}=-\frac{8yy_{1}}{2y_{1}}\)
\(\Rightarrow (1-x^2)y_{2}-xy_{1}=-4y\)
\(\therefore (1-x^2)y_{2}-xy_{1}+4y=0\)
(Showed)
দৃশ্যকল্প-১: \(\tan{\theta}=\frac{a+bx}{a-bx}\)এবং দৃশ্যকল্প-২: \(f(x)=\cos{x}\)
\((a)\)
দৃশ্যকল্প-২: \(f(x)=\cos{x}\)
ধরি,
\(f(x)=\cos{x} .....(1)\)
\((1)\) হতে,
\(f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}\)
\(=\sin{x}\) ➜ \(\because \) প্রথম চৌকোণে অবস্থিত।
এখন,
\[\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{1-f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)^2}\]
\[=\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{1-\sin{x}}{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)^2}\] ➜ \(\because f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin{x}\)
আবার,
ধরি,
\(x=\frac{\pi}{x}+h\)
যখন, \(x\rightarrow \frac{\pi}{x}\)
তখন, \(h\rightarrow 0\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1-\sin{\left(\frac{\pi}{x}+h\right)}}{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{x}-h\right)^2}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1-\cos{h}}{(-h)^2}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2\sin^2{\frac{h}{2}}}{h^2}\] ➜ \(\because 1-\cos{A}=2\sin^2{\frac{A}{2}}\)
\[=2\left(\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin{\frac{h}{2}}}{\frac{h}{2}}\right)^2\times{\frac{1}{4}}\]
\[=2.1^2\times{\frac{1}{4}}\] ➜ \[\because \lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{\sin{\theta}}{\theta}=1\]
\[=2\times{\frac{1}{4}}\] ➜ \(\because \lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{\sin{\theta}}{\theta}=1\)
\[=\frac{1}{2}\]
\((b)\)
দৃশ্যকল্প-১ হতে,
দেওয়া আছে,
\(\tan{\theta}=\frac{a+bx}{a-bx}\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{a+bx}{a-bx}\right)}\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{1+\frac{bx}{a}}{1-\frac{bx}{a}}\right)}\) ➜ লব ও হরের সহিত \(a\) ভাগ করে।
ধরি,
\(\tan{\alpha}=\frac{bx}{a}\Rightarrow \alpha=\tan^{-1}\left(\frac{bx}{a}\right)\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{1+\tan{\alpha}}{1-\tan{\alpha}}\right)}\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{\tan{\frac{\pi}{4}}+\tan{\alpha}}{1-\tan{\frac{\pi}{4}}\tan{\alpha}}\right)}\) ➜ \(\because \tan{\frac{\pi}{4}}=1\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}{\tan{\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)}}\) ➜ \(\because \tan{(A+B)}=\frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{\pi}{4}+\alpha\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{\pi}{4}+\tan^{-1}\left(\frac{bx}{a}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{d\theta}{dx}=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}\right)+\frac{d}{dx}\{\tan^{-1}\left(\frac{bx}{a}\right)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=0+\frac{1}{1+\left(\frac{bx}{a}\right)^2}\frac{d}{dx}\left(\frac{bx}{a}\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(\tan^{-1}x)=\frac{1}{1+x^2}\)
\(=\frac{1}{1+\frac{b^2x^2}{a^2}}.\frac{b}{a}\)
\(=\frac{1}{\frac{a^2+b^2x^2}{a^2}}.\frac{b}{a}\)
\(=\frac{a^2}{a^2+b^2x^2}.\frac{b}{a}\)
\(=\frac{ab}{a^2+b^2x^2}\)
\((c)\)
ধরি,
\(y=f(2\sin^{-1}{x}) ....(1)\)
দৃশ্যকল্প-২ হতে,
\(f(x)=\cos{x}\)
\(\Rightarrow f(2\sin^{-1}{x})=\cos{(2\sin^{-1}{x})}\)
\(\therefore y=\cos{(2\sin^{-1}{x})}\) ➜ \((1)\) হতে, \(\because y=f(2\sin^{-1}{x})\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\cos{(2\sin^{-1}{x})}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=-\sin{(2\sin^{-1}{x})}\frac{d}{dx}(2\sin^{-1}{x})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}\)
\(\Rightarrow y_{1}=-\sin{(2\sin^{-1}{x})}.2\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin^{-1}{x})=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\Rightarrow y_{1}\sqrt{1-x^2}=-2\sin{(2\sin^{-1}{x})}\)
\(\Rightarrow y^2_{1}(1-x^2)=4\sin^2{(2\sin^{-1}{x})}\)| উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow y^2_{1}(1-x^2)=4\{1-\cos^2{(2\sin^{-1}{x})}\}\)| \(\because \sin^2{A}=1-\cos^2{A}\)
\(\Rightarrow y^2_{1}(1-x^2)=4(1-y^2)\)| \(\because y=\cos{(2\sin^{-1}{x})}\)
\(\Rightarrow y^2_{1}(1-x^2)=4-4y^2\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{y^2_{1}(1-x^2)\}=\frac{d}{dx}(4)-4\frac{d}{dx}(y^2)\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y^2_{1}\frac{d}{dx}(1-x^2)+(1-x^2)\frac{d}{dx}(y^2_{1})=0-4.2yy_{1}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\), \(\frac{d}{dx}(y^2)=2yy_{1}\)
\(\Rightarrow y^2_{1}(-2x)+(1-x^2)2y_{1}y_{2}=-8yy_{1}\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\{(1-x^2)y_{2}-xy_{1}\}=-8yy_{1}\)
\(\Rightarrow (1-x^2)y_{2}-xy_{1}=-\frac{8yy_{1}}{2y_{1}}\)
\(\Rightarrow (1-x^2)y_{2}-xy_{1}=-4y\)
\(\therefore (1-x^2)y_{2}-xy_{1}+4y=0\)
(Showed)
\((16.)\) \(f(x)=x^4-4x^3+4x^2+5\) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘিষ্ঠমাণ \( =5\) ; গরিষ্ঠমাণ \( =6\)
উত্তরঃ লঘিষ্ঠমাণ \( =5\) ; গরিষ্ঠমাণ \( =6\)
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=f(x)=x^4-4x^3+4x^2+5 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^4-4x^3+4x^2+5)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^4)-4\frac{d}{dx}(x^3)+4\frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(5)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=4x^3-4.3x^2+4.2x+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=4x^3-12x^2+8x\)
\(=4x(x^2-3x+2)\)
\(=4x\{x^2-2x-x+2\}\)
\(=4x\{x(x-2)-1(x-2)\}\)
\(=4x(x-2)(x-1)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=4x(x-2)(x-1)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 4x(x-2)(x-1)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=4x(x-2)(x-1)\)
\(\Rightarrow x(x-2)(x-1)=0\)
\(\Rightarrow x=0, x-2=0, x-1=0\)
\(\Rightarrow x=0, x=2, x=1\)
\(\therefore x=0, 2, 1\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(4x^3-12x^2+8x)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=4x(x-2)(x-1)=4x^3-12x^2+8x\)
\(=4\frac{d}{dx}(x^3)-12\frac{d}{dx}(x^2)+8\frac{d}{dx}(x)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=4.3x^2-12.2x+8.1\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=12x^2-24x+8\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=12x^2-24x+8\)
এখন, \(x=0\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.0^2-24.0+8\)
\(=12.0-24.0+8\)
\(=0-0+8\)
\(=8\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=0\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান আছে।
ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান \(=0^4-4.0^3+4.0^2+5\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^4-4x^3+4x^2+5\)
\(=0-4.0+4.0+5\)
\(=0-0+0+5\)
\(=5\)
আবার, \(x=2\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.2^2-24.2+8\)
\(=12.4-48+8\)
\(=48-48+8\)
\(=8\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=2\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান আছে।
ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান \(=2^4-4.2^3+4.2^2+5\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^4-4x^3+4x^2+5\)
\(=16-4.8+4.4+5\)
\(=16-32+16+5\)
\(=32-32+5\)
\(=5\)
আবার, \(x=1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.1^2-24.1+8\)
\(=12.1-24+8\)
\(=12-24+8\)
\(=20-24\)
\(=-4\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে ফাংশনটির গরিষ্ঠ মান আছে।
ফাংশনটির গরিষ্ঠ মান \(=1^4-4.1^3+4.1^2+5\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^4-4x^3+4x^2+5\)
\(=1-4.1+4.1+5\)
\(=1-4+4+5\)
\(=6\)
\(y=f(x)=x^4-4x^3+4x^2+5 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^4-4x^3+4x^2+5)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^4)-4\frac{d}{dx}(x^3)+4\frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(5)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=4x^3-4.3x^2+4.2x+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=4x^3-12x^2+8x\)
\(=4x(x^2-3x+2)\)
\(=4x\{x^2-2x-x+2\}\)
\(=4x\{x(x-2)-1(x-2)\}\)
\(=4x(x-2)(x-1)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=4x(x-2)(x-1)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 4x(x-2)(x-1)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=4x(x-2)(x-1)\)
\(\Rightarrow x(x-2)(x-1)=0\)
\(\Rightarrow x=0, x-2=0, x-1=0\)
\(\Rightarrow x=0, x=2, x=1\)
\(\therefore x=0, 2, 1\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(4x^3-12x^2+8x)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=4x(x-2)(x-1)=4x^3-12x^2+8x\)
\(=4\frac{d}{dx}(x^3)-12\frac{d}{dx}(x^2)+8\frac{d}{dx}(x)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=4.3x^2-12.2x+8.1\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=12x^2-24x+8\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=12x^2-24x+8\)
এখন, \(x=0\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.0^2-24.0+8\)
\(=12.0-24.0+8\)
\(=0-0+8\)
\(=8\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=0\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান আছে।
ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান \(=0^4-4.0^3+4.0^2+5\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^4-4x^3+4x^2+5\)
\(=0-4.0+4.0+5\)
\(=0-0+0+5\)
\(=5\)
আবার, \(x=2\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.2^2-24.2+8\)
\(=12.4-48+8\)
\(=48-48+8\)
\(=8\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=2\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান আছে।
ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান \(=2^4-4.2^3+4.2^2+5\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^4-4x^3+4x^2+5\)
\(=16-4.8+4.4+5\)
\(=16-32+16+5\)
\(=32-32+5\)
\(=5\)
আবার, \(x=1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.1^2-24.1+8\)
\(=12.1-24+8\)
\(=12-24+8\)
\(=20-24\)
\(=-4\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে ফাংশনটির গরিষ্ঠ মান আছে।
ফাংশনটির গরিষ্ঠ মান \(=1^4-4.1^3+4.1^2+5\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^4-4x^3+4x^2+5\)
\(=1-4.1+4.1+5\)
\(=1-4+4+5\)
\(=6\)
\((17.)\) দেখাও যে, \(x^3+\frac{1}{x^3}\) এর বৃহত্তম মান ক্ষুদ্রতম মান অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=x^3+\frac{1}{x^3} ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3)+\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^3}\right)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3)+\frac{d}{dx}(x^{-3})\)
\(=3x^2-3x^{-3-1}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=3x^2-3x^{-4}\)
\(=3(x^2-x^{-4})\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=3(x^2-x^{-4})\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 3(x^2-x^{-4})=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=3(x^2-x^{-4})\)
\(\Rightarrow x^2-x^{-4}=0\)
\(\Rightarrow x^2-\frac{1}{x^4}=0\)
\(\Rightarrow \frac{x^6-1}{x^4}=0\)
\(\Rightarrow x^6-1=0\)
\(\Rightarrow (x^3-1)(x^3+1)=0\)
\(\Rightarrow (x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)=0\)
\(\Rightarrow x-1=0, x+1=0\) ➜\(x\) এর বাস্তব মানের জন্য
\(\Rightarrow x=1, x=-1\)
\(\therefore x=1, -1\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(x^2-x^{-4})\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=x^2-x^{-4}\)
\(=\frac{d}{dx}(x^2)-\frac{d}{dx}(x^{-4})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(=2x+4x^{-4-1}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=2x+4x^{-5}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=2x+4x^{-5}\)
এখন, \(x=1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=2.1+4.1^{-5}\)
\(=2+4.1\)
\(=2+4\)
\(=6\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে ফাংশনটির ক্ষুদ্রতম মান আছে। ফাংশনটির ক্ষুদ্রতম মান \(=1^3+\frac{1}{1^3}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^3+\frac{1}{x^3}\)
\(=1+\frac{1}{1}\)
\(=1+1\)
\(=2\)
আবার, \(x=-1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=2.(-1)+4.(-1)^{-5}\)
\(=-2+4.(-1)\)
\(=-2-4\)
\(=-6\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=-1\) বিন্দুতে ফাংশনটির বৃহত্তম মান আছে।
ফাংশনটির বৃহত্তম মান \(=(-1)^3+\frac{1}{(-1)^3}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^3+\frac{1}{x^3}\)
\(=-1+\frac{1}{-1}\)
\(=-1-1\)
\(=-2\)
\(\therefore \) ফাংশনটির বৃহত্তম মান ক্ষুদ্রতম মান অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।
(Showed)
\(y=x^3+\frac{1}{x^3} ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3)+\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^3}\right)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3)+\frac{d}{dx}(x^{-3})\)
\(=3x^2-3x^{-3-1}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=3x^2-3x^{-4}\)
\(=3(x^2-x^{-4})\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=3(x^2-x^{-4})\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 3(x^2-x^{-4})=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=3(x^2-x^{-4})\)
\(\Rightarrow x^2-x^{-4}=0\)
\(\Rightarrow x^2-\frac{1}{x^4}=0\)
\(\Rightarrow \frac{x^6-1}{x^4}=0\)
\(\Rightarrow x^6-1=0\)
\(\Rightarrow (x^3-1)(x^3+1)=0\)
\(\Rightarrow (x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)=0\)
\(\Rightarrow x-1=0, x+1=0\) ➜\(x\) এর বাস্তব মানের জন্য
\(\Rightarrow x=1, x=-1\)
\(\therefore x=1, -1\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(x^2-x^{-4})\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=x^2-x^{-4}\)
\(=\frac{d}{dx}(x^2)-\frac{d}{dx}(x^{-4})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(=2x+4x^{-4-1}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=2x+4x^{-5}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=2x+4x^{-5}\)
এখন, \(x=1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=2.1+4.1^{-5}\)
\(=2+4.1\)
\(=2+4\)
\(=6\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে ফাংশনটির ক্ষুদ্রতম মান আছে। ফাংশনটির ক্ষুদ্রতম মান \(=1^3+\frac{1}{1^3}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^3+\frac{1}{x^3}\)
\(=1+\frac{1}{1}\)
\(=1+1\)
\(=2\)
আবার, \(x=-1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=2.(-1)+4.(-1)^{-5}\)
\(=-2+4.(-1)\)
\(=-2-4\)
\(=-6\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=-1\) বিন্দুতে ফাংশনটির বৃহত্তম মান আছে।
ফাংশনটির বৃহত্তম মান \(=(-1)^3+\frac{1}{(-1)^3}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^3+\frac{1}{x^3}\)
\(=-1+\frac{1}{-1}\)
\(=-1-1\)
\(=-2\)
\(\therefore \) ফাংশনটির বৃহত্তম মান ক্ষুদ্রতম মান অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।
(Showed)
অনুশীলনী \(9.I / Q.1\)-এর অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমুহ
\(Q.1.(i)\) \(x\) এর কোন মানের জন্য নিচের ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমান পাওয়া যায়।
\((a)\) \(4x^3-15x^2+12x-2\)
উত্তরঃ \(x=2\) লঘুমানের জন্য; \(x=\frac{1}{2}\) গুরুমানের জন্য।
\((b)\) \(\frac{x^2-7x+6}{x-10}\)
উত্তরঃ \(x=4 \) গুরুমানের জন্য ; \( x=16\) লঘুমানের জন্য।
[ যঃ২০০৭ ]
\((c)\) \(x^4-8x^3+22x^2-24x+5\)
উত্তরঃ \(x=1\) লঘুমানের জন্য; \(x=2\) গুরুমানের জন্য; \(x=3\) লঘুমানের জন্য।
[ কুঃ২০০৮ ]
\(Q.1.(ii)\) \(f(x)=x^3-9x^2+24x-12\) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘিষ্ঠমাণ \( =4\) ; গরিষ্ঠমাণ \( =8\)
[ বঃ২০১৭ ]
\(Q.1.(iii)\) \(h(x)=2x^3-3x^2-12x+1\) ফাংশনের চরমমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘিষ্ঠমাণ \( =-19\) ; গরিষ্ঠমাণ \( =8\)
[ ঢঃ২০১৭]
\(Q.1.(iv)\) \(\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2-6x+8\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ গুরুমান \( =\frac{43}{2}\) ; লঘুমান \( =\frac{2}{3}\)
[ বঃ২০০৩]
\(Q.1.(v)\) \(x^4+2x^3-3x^2-4x+4\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ গুরুমান \( =\frac{81}{16}\) ; লঘুমান \( =0\)
[ দিঃ২০১০]
\(Q.1.(vi)\) \(x^3-6x^2+9x-8\) এর বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ বৃহত্তমমান \( =-4\) ; ক্ষুদ্রতমমান \( =-8\)
\(Q.1.(vii)\) \(f(x)=2x^3-21x^2+36x-20\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ গুরুমান \( =-3\) ; লঘুমান \( =-128\)
[ ঢাঃ২০১২, ২০০৯,২০০৮; বঃ২০১২; দিঃ২০১২; যঃ২০০৯,২০০০; রাঃ২০০৭; কুঃ২০০৭ ]
\(Q.1.(viii)\) \(f(x)=x^3-3x^2-45x+13\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \( =-162\); গুরুমান \( =94\) .
[ ঢাঃ২০০৩; বঃ২০০৮; রাঃ২০১০,২০০৫; কুঃ২০১২; চঃ২০১১,২০০৯; সিঃ২০০৮; মাঃ২০১১,২০০৮ ]
\(Q.1.(ix)\) দেখাও যে, \(F(x)=\frac{x^2+x+1}{x}\) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।
[ যঃ২০১৭ ]
\(Q.1.(x)\) দেখাও যে, \(x+\frac{1}{x}\) এর গুরুমান, লঘুমান অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।
[ যঃ২০১২,২০১০; ঢঃ২০১১,২০০৫; চঃ২০১০; সিঃ ২০১০; বঃ২০০৯; কুঃ২০০৮,২০০৩; রাঃ২০০৬,২০০২ ]
\(Q.1.(xi)\) \(h(x)=x\) হলে, দেখাও যে, \(h(x)+\frac{1}{h(x)}\) এর গুরুমান, তার লঘুমান অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।
[ রাঃ২০১৭ ]
\(Q.1.(xii)\) দেখাও যে, \(x^3-3x^2+6x+2\) এর বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মাণ নেই।
[ বঃ২০১৪,২০১১; যঃ২০১৪,২০০৬; কুঃ২০১৩; সিঃ২০০৯,২০০৩ ]
\(Q.1.(xiii)\) দেখাও যে, \(x=1\) বিন্দুতে \(f(x)=x^3-3x^2+x\) ফাংশনটি হ্রাস পায়।
[ বঃ২০১৪,২০১১; যঃ২০১৪,২০০৬; কুঃ২০১৩; সিঃ২০০৯,২০০৩ ]
\(Q.1.(xiv)\) নিম্নের ফাংশনগুলি কোন ব্যবধিতে হ্রাস পায় এবং কোন ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় নির্ণয় কর।
\((a)\) \(f(x)=3x^2-6x+4, -1\le{x}\le{2}\)
উত্তরঃ \(1>x\ge{-1}\)ব্যবধিতে হ্রাস পায় এবং \(2\ge{x}>1\) ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায়।
\((b)\) \(f(x)=(x-2)^3(x+1)^2, -1\le{x}\le{3}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{5}>x\ge{-1}\)ব্যবধিতে হ্রাস পায়। \(2>x>\frac{1}{5}\) এবং \(2>x>\frac{1}{5}\) ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায়।
\(Q.1.(xv)\) \(f(x)=x-x^2-x^3\) এর সন্ধিবিন্দু নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-1, -1); (\frac{1}{3}, \frac{5}{27})\)
\(Q.1.(xvi)\) \(f(x)=2x^3-9x^2+12x+5\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \( =9\); গুরুমান \( =10\) .
[ চঃ২০০৪; রাঃ২০১১ ]
\(Q.1.(xvii)\) \(f(x)=x(12-2x)^2\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \( =0\); গুরুমান \( =128\) .
[ যঃ২০০৫ ]
\(Q.1.(xviii)\) \(u=\frac{4}{x}+\frac{36}{y}\), যখন \(x+y=2\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \( =32\); গুরুমান \( =5\) .
[ যঃ২০০৫ ]
\(Q.1.(xix)\) \(f(x)=x^3-6x^2+9x+5\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \( =5\); গুরুমান \( =9\) .
[ চঃ২০০৪; সিঃ২০১৩ ]
\(Q.1.(xx)\) \(f(x)=x^3-5x^2+3x+2\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \( =-7\); গুরুমান \( =\frac{67}{27}\) .
[ মাঃ২০১২ ]
\((a)\) \(4x^3-15x^2+12x-2\)
উত্তরঃ \(x=2\) লঘুমানের জন্য; \(x=\frac{1}{2}\) গুরুমানের জন্য।
\((b)\) \(\frac{x^2-7x+6}{x-10}\)
উত্তরঃ \(x=4 \) গুরুমানের জন্য ; \( x=16\) লঘুমানের জন্য।
[ যঃ২০০৭ ]
\((c)\) \(x^4-8x^3+22x^2-24x+5\)
উত্তরঃ \(x=1\) লঘুমানের জন্য; \(x=2\) গুরুমানের জন্য; \(x=3\) লঘুমানের জন্য।
[ কুঃ২০০৮ ]
\(Q.1.(ii)\) \(f(x)=x^3-9x^2+24x-12\) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘিষ্ঠমাণ \( =4\) ; গরিষ্ঠমাণ \( =8\)
[ বঃ২০১৭ ]
\(Q.1.(iii)\) \(h(x)=2x^3-3x^2-12x+1\) ফাংশনের চরমমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘিষ্ঠমাণ \( =-19\) ; গরিষ্ঠমাণ \( =8\)
[ ঢঃ২০১৭]
\(Q.1.(iv)\) \(\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2-6x+8\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ গুরুমান \( =\frac{43}{2}\) ; লঘুমান \( =\frac{2}{3}\)
[ বঃ২০০৩]
\(Q.1.(v)\) \(x^4+2x^3-3x^2-4x+4\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ গুরুমান \( =\frac{81}{16}\) ; লঘুমান \( =0\)
[ দিঃ২০১০]
\(Q.1.(vi)\) \(x^3-6x^2+9x-8\) এর বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ বৃহত্তমমান \( =-4\) ; ক্ষুদ্রতমমান \( =-8\)
\(Q.1.(vii)\) \(f(x)=2x^3-21x^2+36x-20\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ গুরুমান \( =-3\) ; লঘুমান \( =-128\)
[ ঢাঃ২০১২, ২০০৯,২০০৮; বঃ২০১২; দিঃ২০১২; যঃ২০০৯,২০০০; রাঃ২০০৭; কুঃ২০০৭ ]
\(Q.1.(viii)\) \(f(x)=x^3-3x^2-45x+13\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \( =-162\); গুরুমান \( =94\) .
[ ঢাঃ২০০৩; বঃ২০০৮; রাঃ২০১০,২০০৫; কুঃ২০১২; চঃ২০১১,২০০৯; সিঃ২০০৮; মাঃ২০১১,২০০৮ ]
\(Q.1.(ix)\) দেখাও যে, \(F(x)=\frac{x^2+x+1}{x}\) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।
[ যঃ২০১৭ ]
\(Q.1.(x)\) দেখাও যে, \(x+\frac{1}{x}\) এর গুরুমান, লঘুমান অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।
[ যঃ২০১২,২০১০; ঢঃ২০১১,২০০৫; চঃ২০১০; সিঃ ২০১০; বঃ২০০৯; কুঃ২০০৮,২০০৩; রাঃ২০০৬,২০০২ ]
\(Q.1.(xi)\) \(h(x)=x\) হলে, দেখাও যে, \(h(x)+\frac{1}{h(x)}\) এর গুরুমান, তার লঘুমান অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।
[ রাঃ২০১৭ ]
\(Q.1.(xii)\) দেখাও যে, \(x^3-3x^2+6x+2\) এর বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মাণ নেই।
[ বঃ২০১৪,২০১১; যঃ২০১৪,২০০৬; কুঃ২০১৩; সিঃ২০০৯,২০০৩ ]
\(Q.1.(xiii)\) দেখাও যে, \(x=1\) বিন্দুতে \(f(x)=x^3-3x^2+x\) ফাংশনটি হ্রাস পায়।
[ বঃ২০১৪,২০১১; যঃ২০১৪,২০০৬; কুঃ২০১৩; সিঃ২০০৯,২০০৩ ]
\(Q.1.(xiv)\) নিম্নের ফাংশনগুলি কোন ব্যবধিতে হ্রাস পায় এবং কোন ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় নির্ণয় কর।
\((a)\) \(f(x)=3x^2-6x+4, -1\le{x}\le{2}\)
উত্তরঃ \(1>x\ge{-1}\)ব্যবধিতে হ্রাস পায় এবং \(2\ge{x}>1\) ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায়।
\((b)\) \(f(x)=(x-2)^3(x+1)^2, -1\le{x}\le{3}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{5}>x\ge{-1}\)ব্যবধিতে হ্রাস পায়। \(2>x>\frac{1}{5}\) এবং \(2>x>\frac{1}{5}\) ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায়।
\(Q.1.(xv)\) \(f(x)=x-x^2-x^3\) এর সন্ধিবিন্দু নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-1, -1); (\frac{1}{3}, \frac{5}{27})\)
\(Q.1.(xvi)\) \(f(x)=2x^3-9x^2+12x+5\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \( =9\); গুরুমান \( =10\) .
[ চঃ২০০৪; রাঃ২০১১ ]
\(Q.1.(xvii)\) \(f(x)=x(12-2x)^2\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \( =0\); গুরুমান \( =128\) .
[ যঃ২০০৫ ]
\(Q.1.(xviii)\) \(u=\frac{4}{x}+\frac{36}{y}\), যখন \(x+y=2\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \( =32\); গুরুমান \( =5\) .
[ যঃ২০০৫ ]
\(Q.1.(xix)\) \(f(x)=x^3-6x^2+9x+5\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \( =5\); গুরুমান \( =9\) .
[ চঃ২০০৪; সিঃ২০১৩ ]
\(Q.1.(xx)\) \(f(x)=x^3-5x^2+3x+2\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \( =-7\); গুরুমান \( =\frac{67}{27}\) .
[ মাঃ২০১২ ]
\(Q.1.(xxi)\) \((0, 2)\) ব্যবধিতে \(f(x)=3x^4-2x^3-6x^2+6x+1\) ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বনিম্ন মান \( =2\); সর্বোচ্চ মান \( =\frac{39}{16}\) .
[ দিঃ২০১০ ]
\(Q.1.(xxii)\) \((0, 3)\) ব্যবধিতে \(x^4-\frac{2}{3}x^3-2x^2+2x\) ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বনিম্ন মান \( =\frac{1}{3}\); সর্বোচ্চ মান \( =\frac{23}{48}\) .
[ দিঃ২০১০ ]
\(Q.1.(xxiii)\) দেখাও যে, \(f(x)=1-x-x^3\) একটি \(x\) এর ক্রমহ্রাসমান ফাংশন।
\(Q.1.(xxiv)\) যে সকল ব্যবধিতে \(f(x)=x^3-3x+5\) ফাংশনটি বৃদ্ধি বা হ্রাস পায়, সেই সকল ব্যবধি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-1>x\) ও \(x>1\) ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় এবং \(1>x>-1\) ব্যবধিতে হ্রাস পায়।
\(Q.1.(xxv)\) \(f(x)=2x^3-3x^2-12x+30\) ফাংশনটি কোন ব্যবধিতে হ্রাস পায় এবং কোন ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-1>x\) ও \(x>2\) ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় এবং \(2>x>-1\) ব্যবধিতে হ্রাস পায়।
\(Q.1.(xxvi)\) \(f(x)=3x^2-2x+4, -1\le{x}\le{2}\) ফাংশনটি কোন ব্যবধিতে হ্রাস পায় এবং কোন ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}>x\ge{-1}\) ব্যবধিতে হ্রাস পায় এবং \(2\ge{x}>\frac{1}{3}\) ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায়।
\(Q.1.(xxvii)\) \(f(x)=x^4-8x^3+22x^2-24x+5\) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘিষ্ঠমাণ \( =-4\) ; গরিষ্ঠমাণ \( =-3\)
\(Q.1.(xxviii)\) \(x^5-5x^4+5x^3-1\) ফাংশনটির লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘিষ্ঠমাণ \( =-28\) ; গরিষ্ঠমাণ \( =0\)
\(Q.1.(xxix)\) প্রমাণ কর যে, \(f(x)=x^3-6x^2+27x+5\) এর কোনো চরমমান থাকবে না।
\(Q.1.(xxx)\) মুনাফা ফাংশন \(P=300+1200x-x^2\) কি পরিমাণ উৎপাদন করা হলে, মুনাফা সর্বাধিক হবে? \(x=\)উৎপাদিত দ্রব্য।
উত্তরঃ \(600\) একক।
\(Q.1.(xxxi)\) একটি খামারের মোট ব্যয় ফাংশন \(C=\frac{x^3}{3}-3x^2+12x\), যখন \(x\)উৎপাদিত এককের সংখ্যা নির্দেশ করে। আয় ফাংশন \(R=12x-x^2\) হলে সর্বাধিক মুনাফার জন্য উৎপাদন নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x=4\).
\(Q.1.(xxxii)\) \(5-8x-2x^2\), ইহা কোন ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান এবং কোন ব্যবধিতে হ্রাসমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-2>x\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান এবং \(x>-2\) ব্যবধিতে ক্রমহ্রাসমান।
\(Q.1.(xxxiii)\) \(2x^3-15x^2+36x\), ইহা কোন ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান এবং কোন ব্যবধিতে হ্রাসমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x>3\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান, \(3>x>2\) ব্যবধিতে ক্রমহ্রাসমান এবং \(2>x\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান।
\(Q.1.(xxxiv)\) \(x^3-3x^2+3x+3\), ইহা কোন ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান এবং কোন ব্যবধিতে হ্রাসমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x>1\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান, \(1>x\) ব্যবধিতে ক্রমহ্রাসমান।
\(Q.1.(xxxv)\) \(2x^3-3x^2-12x\), ইহা কোন ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান এবং কোন ব্যবধিতে হ্রাসমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-1>x\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান, \(2>x>-1\) ব্যবধিতে ক্রমহ্রাসমান এবং \(x>2\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান।
\(Q.1.(xxxvi)\) দেখাও যে, \(f(x)=x^3-3x^2+4x\) ফাংশনটি \(x\) এর একটি ক্রমবর্ধমান ফাংশন।
\(Q.1.(xxxvii)\) দেখাও যে, \(x=1\) বিন্দুতে \(f(x)=3x^2-2x+4\) ফাংশনটি বৃদ্ধি পায়।
\(Q.1.(xxxviii)\) দেখাও যে, \(x=1\) বিন্দুতে \(f(x)=x^3-x^2-2x\) ফাংশনটি হ্রাস পায়।
\(Q.1.(xxxix)\) দেখাও যে, \(x=1\) বিন্দুতে \(f(x)=x^3-3x^2-9x+27\) ফাংশনটি হ্রাস পায়।
\(Q.1.(xL)\) \(f(x)=x^3-3x^2-9x+27\) ফাংশনটির সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বোচ্চ মান \(=32\), সর্বনিম্ন মান \(=0\)
\(Q.1.(xLi)\) \(f(x)=x^3-3x^2-9x\) ফাংশনটির সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বোচ্চ মান \(=5\), সর্বনিম্ন মান \(=-27\)
\(Q.1.(xLii)\) \(f(x)=2x^3-9x^2+12x-3\) ফাংশনটির সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বোচ্চ মান \(=2\), সর্বনিম্ন মান \(=1\)
\(Q.1.(xLiii)\) দেখাও যে, \(f(x)=x^3-3x^2+6x+5\) ফাংশনটির সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নেই।
\(Q.1.(xLiv)\) দেখাও যে, \(f(x)=x^3-6x^2+12x-3\) ফাংশনটির সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নেই।
উত্তরঃ সর্বনিম্ন মান \( =2\); সর্বোচ্চ মান \( =\frac{39}{16}\) .
[ দিঃ২০১০ ]
\(Q.1.(xxii)\) \((0, 3)\) ব্যবধিতে \(x^4-\frac{2}{3}x^3-2x^2+2x\) ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বনিম্ন মান \( =\frac{1}{3}\); সর্বোচ্চ মান \( =\frac{23}{48}\) .
[ দিঃ২০১০ ]
\(Q.1.(xxiii)\) দেখাও যে, \(f(x)=1-x-x^3\) একটি \(x\) এর ক্রমহ্রাসমান ফাংশন।
\(Q.1.(xxiv)\) যে সকল ব্যবধিতে \(f(x)=x^3-3x+5\) ফাংশনটি বৃদ্ধি বা হ্রাস পায়, সেই সকল ব্যবধি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-1>x\) ও \(x>1\) ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় এবং \(1>x>-1\) ব্যবধিতে হ্রাস পায়।
\(Q.1.(xxv)\) \(f(x)=2x^3-3x^2-12x+30\) ফাংশনটি কোন ব্যবধিতে হ্রাস পায় এবং কোন ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-1>x\) ও \(x>2\) ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় এবং \(2>x>-1\) ব্যবধিতে হ্রাস পায়।
\(Q.1.(xxvi)\) \(f(x)=3x^2-2x+4, -1\le{x}\le{2}\) ফাংশনটি কোন ব্যবধিতে হ্রাস পায় এবং কোন ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}>x\ge{-1}\) ব্যবধিতে হ্রাস পায় এবং \(2\ge{x}>\frac{1}{3}\) ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায়।
\(Q.1.(xxvii)\) \(f(x)=x^4-8x^3+22x^2-24x+5\) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘিষ্ঠমাণ \( =-4\) ; গরিষ্ঠমাণ \( =-3\)
\(Q.1.(xxviii)\) \(x^5-5x^4+5x^3-1\) ফাংশনটির লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘিষ্ঠমাণ \( =-28\) ; গরিষ্ঠমাণ \( =0\)
\(Q.1.(xxix)\) প্রমাণ কর যে, \(f(x)=x^3-6x^2+27x+5\) এর কোনো চরমমান থাকবে না।
\(Q.1.(xxx)\) মুনাফা ফাংশন \(P=300+1200x-x^2\) কি পরিমাণ উৎপাদন করা হলে, মুনাফা সর্বাধিক হবে? \(x=\)উৎপাদিত দ্রব্য।
উত্তরঃ \(600\) একক।
\(Q.1.(xxxi)\) একটি খামারের মোট ব্যয় ফাংশন \(C=\frac{x^3}{3}-3x^2+12x\), যখন \(x\)উৎপাদিত এককের সংখ্যা নির্দেশ করে। আয় ফাংশন \(R=12x-x^2\) হলে সর্বাধিক মুনাফার জন্য উৎপাদন নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x=4\).
\(Q.1.(xxxii)\) \(5-8x-2x^2\), ইহা কোন ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান এবং কোন ব্যবধিতে হ্রাসমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-2>x\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান এবং \(x>-2\) ব্যবধিতে ক্রমহ্রাসমান।
\(Q.1.(xxxiii)\) \(2x^3-15x^2+36x\), ইহা কোন ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান এবং কোন ব্যবধিতে হ্রাসমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x>3\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান, \(3>x>2\) ব্যবধিতে ক্রমহ্রাসমান এবং \(2>x\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান।
\(Q.1.(xxxiv)\) \(x^3-3x^2+3x+3\), ইহা কোন ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান এবং কোন ব্যবধিতে হ্রাসমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x>1\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান, \(1>x\) ব্যবধিতে ক্রমহ্রাসমান।
\(Q.1.(xxxv)\) \(2x^3-3x^2-12x\), ইহা কোন ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান এবং কোন ব্যবধিতে হ্রাসমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-1>x\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান, \(2>x>-1\) ব্যবধিতে ক্রমহ্রাসমান এবং \(x>2\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান।
\(Q.1.(xxxvi)\) দেখাও যে, \(f(x)=x^3-3x^2+4x\) ফাংশনটি \(x\) এর একটি ক্রমবর্ধমান ফাংশন।
\(Q.1.(xxxvii)\) দেখাও যে, \(x=1\) বিন্দুতে \(f(x)=3x^2-2x+4\) ফাংশনটি বৃদ্ধি পায়।
\(Q.1.(xxxviii)\) দেখাও যে, \(x=1\) বিন্দুতে \(f(x)=x^3-x^2-2x\) ফাংশনটি হ্রাস পায়।
\(Q.1.(xxxix)\) দেখাও যে, \(x=1\) বিন্দুতে \(f(x)=x^3-3x^2-9x+27\) ফাংশনটি হ্রাস পায়।
\(Q.1.(xL)\) \(f(x)=x^3-3x^2-9x+27\) ফাংশনটির সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বোচ্চ মান \(=32\), সর্বনিম্ন মান \(=0\)
\(Q.1.(xLi)\) \(f(x)=x^3-3x^2-9x\) ফাংশনটির সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বোচ্চ মান \(=5\), সর্বনিম্ন মান \(=-27\)
\(Q.1.(xLii)\) \(f(x)=2x^3-9x^2+12x-3\) ফাংশনটির সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বোচ্চ মান \(=2\), সর্বনিম্ন মান \(=1\)
\(Q.1.(xLiii)\) দেখাও যে, \(f(x)=x^3-3x^2+6x+5\) ফাংশনটির সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নেই।
\(Q.1.(xLiv)\) দেখাও যে, \(f(x)=x^3-6x^2+12x-3\) ফাংশনটির সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নেই।
\(Q.1.(i)\) \(x\) এর কোন মানের জন্য নিচের ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমান পাওয়া যায়।
\((a)\) \(4x^3-15x^2+12x-2\)
উত্তরঃ \(x=2\) লঘুমানের জন্য; \(x=\frac{1}{2}\) গুরুমানের জন্য।
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=4x^3-15x^2+12x-2\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(4x^3-15x^2+12x-2)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=4\frac{d}{dx}(x^3)-15\frac{d}{dx}(x^2)+12\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(2)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w-..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)-..\)
\(=4.3x^2-15.2x+12.1-0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=12x^2-30x+12\)
\(=6(2x^2-5x+2)\)
\(=6(2x^2-4x-x+2)\)
\(=6\{2x(x-2)-1(x-2)\}\)
\(=6(x-2)(2x-1)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=6(x-2)(2x-1)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 6(x-2)(2x-1)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=6(x-2)(2x-1)\)
\(\Rightarrow (x-2)(2x-1)=0\)
\(\Rightarrow x-2=0, 2x-1=0\)
\(\Rightarrow x=2, 2x=1\)
\(\Rightarrow x=2, x=\frac{1}{2}\)
\(\therefore x=2, \frac{1}{2}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(12x^2-30x+12)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=6(x-2)(2x-1)=12x^2-30x+12\)
\(=12\frac{d}{dx}(x^2)-30\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(12)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=12.2x-30.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\) \(\frac{d}{dx}(x)=1,\frac{d}{dx}(c)=0\),
\(=24x-30\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=6(4x-5)\)
এখন, \(x=2\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=6(4.2-5)\)
\(=6.(8-5)\)
\(=6.3\)
\(=18\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=2\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান হবে।
আবার, \(x=\frac{1}{2}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=6(4.\frac{1}{2}-5)\)
\(=6(2-5)\)
\(=6(-3)\)
\(=-18\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=\frac{1}{2}\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান হবে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=4\frac{d}{dx}(x^3)-15\frac{d}{dx}(x^2)+12\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(2)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w-..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)-..\)
\(=4.3x^2-15.2x+12.1-0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=12x^2-30x+12\)
\(=6(2x^2-5x+2)\)
\(=6(2x^2-4x-x+2)\)
\(=6\{2x(x-2)-1(x-2)\}\)
\(=6(x-2)(2x-1)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=6(x-2)(2x-1)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 6(x-2)(2x-1)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=6(x-2)(2x-1)\)
\(\Rightarrow (x-2)(2x-1)=0\)
\(\Rightarrow x-2=0, 2x-1=0\)
\(\Rightarrow x=2, 2x=1\)
\(\Rightarrow x=2, x=\frac{1}{2}\)
\(\therefore x=2, \frac{1}{2}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(12x^2-30x+12)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=6(x-2)(2x-1)=12x^2-30x+12\)
\(=12\frac{d}{dx}(x^2)-30\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(12)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=12.2x-30.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\) \(\frac{d}{dx}(x)=1,\frac{d}{dx}(c)=0\),
\(=24x-30\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=6(4x-5)\)
এখন, \(x=2\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=6(4.2-5)\)
\(=6.(8-5)\)
\(=6.3\)
\(=18\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=2\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান হবে।
আবার, \(x=\frac{1}{2}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=6(4.\frac{1}{2}-5)\)
\(=6(2-5)\)
\(=6(-3)\)
\(=-18\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=\frac{1}{2}\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান হবে।
\((b)\) \(\frac{x^2-7x+6}{x-10}\)
উত্তরঃ \(x=4 \) গুরুমানের জন্য ; \( x=16\) লঘুমানের জন্য।
[ যঃ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(x=4 \) গুরুমানের জন্য ; \( x=16\) লঘুমানের জন্য।
[ যঃ২০০৭ ]
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=\frac{x^2-7x+6}{x-10}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2-7x+6}{x-10}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{(x-10)\frac{d}{dx}(x^2-7x+6)-(x^2-7x+6)\frac{d}{dx}(x-10)}{(x-10)^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{(x-10)(2x-7.1+0)-(x^2-7x+6)(1-0)}{(x-10)^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{(x-10)(2x-7)-(x^2-7x+6)}{(x-10)^2}\)
\(=\frac{2x^2-20x-7x+70-x^2+7x-6}{(x-10)^2}\)
\(=\frac{x^2-20x+64}{(x-10)^2}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{x^2-20x+64}{(x-10)^2}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{x^2-20x+64}{(x-10)^2}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{x^2-20x+64}{(x-10)^2}\)
\(\Rightarrow x^2-20x+64=0\)
\(\Rightarrow x^2-16x-4x+64=0\)
\(\Rightarrow x(x-16)-4(x-16)=0\)
\(\Rightarrow (x-16)(x-4)=0\)
\(\Rightarrow x-16=0, x-4=0\)
\(\Rightarrow x=16, x=4\)
\(\therefore x=16, 4\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2-20x+64}{(x-10)^2}\right)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{x^2-20x+64}{(x-10)^2}\)
\(=\frac{(x-10)^2\frac{d}{dx}(x^2-20x+64)-(x^2-20x+64)\frac{d}{dx}(x-10)^2}{(x-10)^4}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{(x-10)^2(2x-20.1+0)-(x^2-20x+64)2(x-10)(1-0)}{(x-10)^4}\)
\(=\frac{(x-10)^2(2x-20)-2(x^2-20x+64)(x-10)}{(x-10)^4}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{(x-10)^2(2x-20)-2(x^2-20x+64)(x-10)}{(x-10)^4}\)
এখন, \(x=4\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{(4-10)^2(2.4-20)-2(4^2-20.4+64)(4-10)}{(4-10)^4}\)
\(=\frac{(4-10)^2(2.4-20)-2(4^2-20.4+64)(4-10)}{(4-10)^4}\)
\(=\frac{(-6)^2(8-20)-2(16-80+64)(-6)}{(-6)^4}\)
\(=\frac{36(-12)-2(80-80)(-6)}{1296}\)
\(=\frac{-432-2.0.(-6)}{1296}\)
\(=\frac{-432}{1296}\)
\(=-\frac{1}{3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=4\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান হবে।
আবার, \(x=16\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{(16-10)^2(2.16-20)-2(16^2-20.16+64)(16-10)}{(16-10)^4}\)
\(=\frac{(6)^2(32-20)-2(256-320+64)(6)}{(6)^4}\)
\(=\frac{36(12)-2.0.(6)}{1296}\)
\(=\frac{432}{1296}\)
\(=\frac{1}{3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=16\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান হবে।
\(y=\frac{x^2-7x+6}{x-10}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2-7x+6}{x-10}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{(x-10)\frac{d}{dx}(x^2-7x+6)-(x^2-7x+6)\frac{d}{dx}(x-10)}{(x-10)^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{(x-10)(2x-7.1+0)-(x^2-7x+6)(1-0)}{(x-10)^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{(x-10)(2x-7)-(x^2-7x+6)}{(x-10)^2}\)
\(=\frac{2x^2-20x-7x+70-x^2+7x-6}{(x-10)^2}\)
\(=\frac{x^2-20x+64}{(x-10)^2}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{x^2-20x+64}{(x-10)^2}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{x^2-20x+64}{(x-10)^2}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{x^2-20x+64}{(x-10)^2}\)
\(\Rightarrow x^2-20x+64=0\)
\(\Rightarrow x^2-16x-4x+64=0\)
\(\Rightarrow x(x-16)-4(x-16)=0\)
\(\Rightarrow (x-16)(x-4)=0\)
\(\Rightarrow x-16=0, x-4=0\)
\(\Rightarrow x=16, x=4\)
\(\therefore x=16, 4\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2-20x+64}{(x-10)^2}\right)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{x^2-20x+64}{(x-10)^2}\)
\(=\frac{(x-10)^2\frac{d}{dx}(x^2-20x+64)-(x^2-20x+64)\frac{d}{dx}(x-10)^2}{(x-10)^4}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{(x-10)^2(2x-20.1+0)-(x^2-20x+64)2(x-10)(1-0)}{(x-10)^4}\)
\(=\frac{(x-10)^2(2x-20)-2(x^2-20x+64)(x-10)}{(x-10)^4}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{(x-10)^2(2x-20)-2(x^2-20x+64)(x-10)}{(x-10)^4}\)
এখন, \(x=4\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{(4-10)^2(2.4-20)-2(4^2-20.4+64)(4-10)}{(4-10)^4}\)
\(=\frac{(4-10)^2(2.4-20)-2(4^2-20.4+64)(4-10)}{(4-10)^4}\)
\(=\frac{(-6)^2(8-20)-2(16-80+64)(-6)}{(-6)^4}\)
\(=\frac{36(-12)-2(80-80)(-6)}{1296}\)
\(=\frac{-432-2.0.(-6)}{1296}\)
\(=\frac{-432}{1296}\)
\(=-\frac{1}{3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=4\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান হবে।
আবার, \(x=16\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{(16-10)^2(2.16-20)-2(16^2-20.16+64)(16-10)}{(16-10)^4}\)
\(=\frac{(6)^2(32-20)-2(256-320+64)(6)}{(6)^4}\)
\(=\frac{36(12)-2.0.(6)}{1296}\)
\(=\frac{432}{1296}\)
\(=\frac{1}{3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=16\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান হবে।
\((c)\) \(x^4-8x^3+22x^2-24x+5\)
উত্তরঃ \(x=1\) লঘুমানের জন্য; \(x=2\) গুরুমানের জন্য; \(x=3\) লঘুমানের জন্য।
[ কুঃ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(x=1\) লঘুমানের জন্য; \(x=2\) গুরুমানের জন্য; \(x=3\) লঘুমানের জন্য।
[ কুঃ২০০৮ ]
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=x^4-8x^3+22x^2-24x+5\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^4-8x^3+22x^2-24x+5)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^4)-8\frac{d}{dx}(x^3)+22\frac{d}{dx}(x^2)-24\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(5)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w-..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)-..\)
\(=4x^3-8.3x^2+22.2x-24.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=4x^3-24x^2+44x-24\)
\(=4(x^3-6x^2+11x-6)\)
\(=4\{x^3-x^2-5x^2+5x+6x-6\}\)
\(=4\{x^2(x-1)-5x(x-1)+6(x-1)\}\)
\(=4(x-1)\{x^2-5x+6\}\)
\(=4(x-1)\{x^2-3x-2x+6\}\)
\(=4(x-1)\{x(x-3)-2(x-3)\}\)
\(=4(x-1)(x-2)(x-3)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=4(x-1)(x-2)(x-3)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 4(x-1)(x-2)(x-3)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=4(x-1)(x-2)(x-3)\)
\(\Rightarrow (x-1)(x-2)(x-3)=0\)
\(\Rightarrow x-1=0, x-2=0, x-3=0\)
\(\Rightarrow x=1, x=2, x=3\)
\(\therefore x=1, 2, 3\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(4x^3-24x^2+44x-24)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=4(x-1)(x-2)(x-3)=4x^3-24x^2+44x-24\)
\(=4\frac{d}{dx}(x^3)-24\frac{d}{dx}(x^2)+44\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(24)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w-..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)-..\)
\(=4.3x^2-24.2x+44.1-0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\) \(\frac{d}{dx}(x)=1,\frac{d}{dx}(c)=0\),
\(=12x^2-48x+44\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=12x^2-48x+44\)
এখন, \(x=1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.1^2-48.1+44\)
\(=12-48+44\)
\(=56-48\)
\(=8\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান হবে।
আবার, \(x=2\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.2^2-48.2+44\)
\(=12.4-96+44\)
\(=48-96+44\)
\(=92-96\)
\(=-4\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=2\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান হবে।
আবার, \(x=3\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.3^2-48.3+44\)
\(=12.9-144+44\)
\(=108-144+44\)
\(=152-96\)
\(=56\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=3\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান হবে।
\(y=x^4-8x^3+22x^2-24x+5\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^4-8x^3+22x^2-24x+5)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^4)-8\frac{d}{dx}(x^3)+22\frac{d}{dx}(x^2)-24\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(5)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w-..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)-..\)
\(=4x^3-8.3x^2+22.2x-24.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=4x^3-24x^2+44x-24\)
\(=4(x^3-6x^2+11x-6)\)
\(=4\{x^3-x^2-5x^2+5x+6x-6\}\)
\(=4\{x^2(x-1)-5x(x-1)+6(x-1)\}\)
\(=4(x-1)\{x^2-5x+6\}\)
\(=4(x-1)\{x^2-3x-2x+6\}\)
\(=4(x-1)\{x(x-3)-2(x-3)\}\)
\(=4(x-1)(x-2)(x-3)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=4(x-1)(x-2)(x-3)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 4(x-1)(x-2)(x-3)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=4(x-1)(x-2)(x-3)\)
\(\Rightarrow (x-1)(x-2)(x-3)=0\)
\(\Rightarrow x-1=0, x-2=0, x-3=0\)
\(\Rightarrow x=1, x=2, x=3\)
\(\therefore x=1, 2, 3\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(4x^3-24x^2+44x-24)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=4(x-1)(x-2)(x-3)=4x^3-24x^2+44x-24\)
\(=4\frac{d}{dx}(x^3)-24\frac{d}{dx}(x^2)+44\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(24)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w-..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)-..\)
\(=4.3x^2-24.2x+44.1-0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\) \(\frac{d}{dx}(x)=1,\frac{d}{dx}(c)=0\),
\(=12x^2-48x+44\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=12x^2-48x+44\)
এখন, \(x=1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.1^2-48.1+44\)
\(=12-48+44\)
\(=56-48\)
\(=8\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান হবে।
আবার, \(x=2\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.2^2-48.2+44\)
\(=12.4-96+44\)
\(=48-96+44\)
\(=92-96\)
\(=-4\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=2\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান হবে।
আবার, \(x=3\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.3^2-48.3+44\)
\(=12.9-144+44\)
\(=108-144+44\)
\(=152-96\)
\(=56\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=3\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান হবে।
\(Q.1.(ii)\) \(f(x)=x^3-9x^2+24x-12\) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘিষ্ঠমাণ \( =4\) ; গরিষ্ঠমাণ \( =8\)
[ বঃ২০১৭ ]
উত্তরঃ লঘিষ্ঠমাণ \( =4\) ; গরিষ্ঠমাণ \( =8\)
[ বঃ২০১৭ ]
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=f(x)=x^3-9x^2+24x-12 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^3-9x^2+24x-12)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3)-9\frac{d}{dx}(x^2)+24\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(12)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w-..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)-..\)
\(=3x^2-9.2x+24.1-0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=3x^2-18x+24\)
\(=3(x^2-6x+8)\)
\(=3\{x^2-4x-2x+8\}\)
\(=3\{x(x-4)-2(x-4)\}\)
\(=3(x-4)(x-2)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=3(x-4)(x-2)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 3(x-4)(x-2)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=3(x-4)(x-2)\)
\(\Rightarrow (x-4)(x-2)=0\)
\(\Rightarrow x-4=0, x-2=0\)
\(\Rightarrow x=4, x=2\)
\(\therefore x=4, 2\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(3x^2-18x+24)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=3(x-4)(x-2)=3x^2-18x+24\)
\(=3\frac{d}{dx}(x^2)-18\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(24)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=3.2x-18.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\) \(\frac{d}{dx}(x)=1,\frac{d}{dx}(c)=0\),
\(=6x-18\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=6x-18\)
এখন, \(x=2\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=6.2-18\)
\(=12-18\)
\(=-6\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=2\) বিন্দুতে ফাংশনটির গরিষ্ঠমান আছে।
ফাংশনটির গরিষ্ঠমান \(=2^3-9.2^2+24.2-12\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^3-9x^2+24x-12\)
\(=8-9.4+48-12\)
\(=8-36+48-12\)
\(=56-48\)
\(=8\)
আবার, \(x=4\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=6.4-18\)
\(=24-18\)
\(=6\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=4\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান আছে।
ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান \(=4^3-9.4^2+24.4-12\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^3-9x^2+24x-12\)
\(=64-9.16+96-12\)
\(=64-144+96-12\)
\(=160-156\)
\(=4\)
\(y=f(x)=x^3-9x^2+24x-12 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^3-9x^2+24x-12)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3)-9\frac{d}{dx}(x^2)+24\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(12)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w-..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)-..\)
\(=3x^2-9.2x+24.1-0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=3x^2-18x+24\)
\(=3(x^2-6x+8)\)
\(=3\{x^2-4x-2x+8\}\)
\(=3\{x(x-4)-2(x-4)\}\)
\(=3(x-4)(x-2)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=3(x-4)(x-2)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 3(x-4)(x-2)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=3(x-4)(x-2)\)
\(\Rightarrow (x-4)(x-2)=0\)
\(\Rightarrow x-4=0, x-2=0\)
\(\Rightarrow x=4, x=2\)
\(\therefore x=4, 2\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(3x^2-18x+24)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=3(x-4)(x-2)=3x^2-18x+24\)
\(=3\frac{d}{dx}(x^2)-18\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(24)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=3.2x-18.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\) \(\frac{d}{dx}(x)=1,\frac{d}{dx}(c)=0\),
\(=6x-18\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=6x-18\)
এখন, \(x=2\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=6.2-18\)
\(=12-18\)
\(=-6\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=2\) বিন্দুতে ফাংশনটির গরিষ্ঠমান আছে।
ফাংশনটির গরিষ্ঠমান \(=2^3-9.2^2+24.2-12\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^3-9x^2+24x-12\)
\(=8-9.4+48-12\)
\(=8-36+48-12\)
\(=56-48\)
\(=8\)
আবার, \(x=4\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=6.4-18\)
\(=24-18\)
\(=6\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=4\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান আছে।
ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান \(=4^3-9.4^2+24.4-12\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^3-9x^2+24x-12\)
\(=64-9.16+96-12\)
\(=64-144+96-12\)
\(=160-156\)
\(=4\)
\(Q.1.(iii)\) \(h(x)=2x^3-3x^2-12x+1\) ফাংশনের চরমমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘিষ্ঠমাণ \( =-19\) ; গরিষ্ঠমাণ \( =8\)
[ ঢঃ২০১৭]
উত্তরঃ লঘিষ্ঠমাণ \( =-19\) ; গরিষ্ঠমাণ \( =8\)
[ ঢঃ২০১৭]
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=h(x)=2x^3-3x^2-12x+1 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(2x^3-3x^2-12x+1)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2\frac{d}{dx}(x^3)-3\frac{d}{dx}(x^2)-12\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(1)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v-w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=2.3x^2-3.2x-12.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=6x^2-6x-12\)
\(=6(x^2-x-2)\)
\(=6\{x^2-2x+x-2\}\)
\(=6\{x(x-2)+1(x-2)\}\)
\(=6(x-2)(x+1)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=6(x-2)(x+1)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 6(x-2)(x+1)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=6(x-2)(x+1)\)
\(\Rightarrow (x-2)(x+1)=0\)
\(\Rightarrow x-2=0, x+1=0\)
\(\Rightarrow x=2, x=-1\)
\(\therefore x=2, -1\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(6x^2-6x-12)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=6(x-2)(x+1)=6x^2-6x-12\)
\(=6\frac{d}{dx}(x^2)-6\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(12)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v-w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)\)
\(=6.2x-6.1-0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\) \(\frac{d}{dx}(x)=1,\frac{d}{dx}(c)=0\),
\(=12x-6\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=12x-6\)
এখন, \(x=2\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.2-6\)
\(=24-6\)
\(=18\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=2\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান আছে।
ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান \(=2.2^3-3.2^2-12.2+1\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=2x^3-3x^2-12x+1\)
\(=2.8-3.4-24+1\)
\(=16-12-23\)
\(=16-35\)
\(=-19\)
আবার, \(x=-1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12(-1)-6\)
\(=-12-6\)
\(=-18\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=-1\) বিন্দুতে ফাংশনটির গরিষ্ঠমাণ আছে।
ফাংশনটির গরিষ্ঠমাণ \(=2(-1)^3-3(-1)^2-12(-1)+1\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=2x^3-3x^2-12x+1\)
\(=-2-3+12+1\)
\(=-5+13\)
\(=8\)
\(y=h(x)=2x^3-3x^2-12x+1 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(2x^3-3x^2-12x+1)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2\frac{d}{dx}(x^3)-3\frac{d}{dx}(x^2)-12\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(1)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v-w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=2.3x^2-3.2x-12.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=6x^2-6x-12\)
\(=6(x^2-x-2)\)
\(=6\{x^2-2x+x-2\}\)
\(=6\{x(x-2)+1(x-2)\}\)
\(=6(x-2)(x+1)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=6(x-2)(x+1)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 6(x-2)(x+1)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=6(x-2)(x+1)\)
\(\Rightarrow (x-2)(x+1)=0\)
\(\Rightarrow x-2=0, x+1=0\)
\(\Rightarrow x=2, x=-1\)
\(\therefore x=2, -1\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(6x^2-6x-12)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=6(x-2)(x+1)=6x^2-6x-12\)
\(=6\frac{d}{dx}(x^2)-6\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(12)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v-w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)\)
\(=6.2x-6.1-0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\) \(\frac{d}{dx}(x)=1,\frac{d}{dx}(c)=0\),
\(=12x-6\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=12x-6\)
এখন, \(x=2\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.2-6\)
\(=24-6\)
\(=18\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=2\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান আছে।
ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান \(=2.2^3-3.2^2-12.2+1\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=2x^3-3x^2-12x+1\)
\(=2.8-3.4-24+1\)
\(=16-12-23\)
\(=16-35\)
\(=-19\)
আবার, \(x=-1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12(-1)-6\)
\(=-12-6\)
\(=-18\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=-1\) বিন্দুতে ফাংশনটির গরিষ্ঠমাণ আছে।
ফাংশনটির গরিষ্ঠমাণ \(=2(-1)^3-3(-1)^2-12(-1)+1\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=2x^3-3x^2-12x+1\)
\(=-2-3+12+1\)
\(=-5+13\)
\(=8\)
\(Q.1.(iv)\) \(\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2-6x+8\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ গুরুমান \( =\frac{43}{2}\) ; লঘুমান \( =\frac{2}{3}\)
[ বঃ২০০৩]
উত্তরঃ গুরুমান \( =\frac{43}{2}\) ; লঘুমান \( =\frac{2}{3}\)
[ বঃ২০০৩]
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2-6x+8 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2-6x+8\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1}{3}\frac{d}{dx}(x^3)+\frac{1}{2}\frac{d}{dx}(x^2)-6\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(8)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v-w+..)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=\frac{1}{3}.3x^2+\frac{1}{2}.2x-6.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=x^2+x-6\)
\(=x^2+3x-2x-6\)
\(=x(x+3)-2(x+3)\)
\(=(x+3)(x-2)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=(x+3)(x-2)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow (x+3)(x-2)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=(x+3)(x-2)\)
\(\Rightarrow x+3=0, x-2=0\)
\(\Rightarrow x=-3, x=2\)
\(\therefore x=2, -3\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(x^2+x-6)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=(x+3)(x-2)=x^2+x-6\)
\(=\frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(6)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v-w)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)\)
\(=2x+1-0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\) \(\frac{d}{dx}(x)=1,\frac{d}{dx}(c)=0\),
\(=2x+1\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=2x+1\)
এখন, \(x=2\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=2.2+1\)
\(=4+1\)
\(=5\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=2\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান আছে।
ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান \(=\frac{1}{3}.2^3+\frac{1}{2}.2^2-6.2+8\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2-6x+8\)
\(=\frac{1}{3}.8+\frac{1}{2}.4-12+8\)
\(=\frac{8}{3}+2-4\)
\(=\frac{8}{3}-2\)
\(=\frac{8-6}{3}\)
\(=\frac{2}{3}\)
আবার, \(x=-3\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=2(-3)+1\)
\(=-6+1\)
\(=-5\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=-3\) বিন্দুতে ফাংশনটির গরিষ্ঠমাণ আছে।
ফাংশনটির গরিষ্ঠমাণ \(=\frac{1}{3}(-3)^3+\frac{1}{2}(-3)^2-6(-3)+8\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2-6x+8\)
\(=\frac{1}{3}\times{-27}+\frac{1}{2}.9+18+8\)
\(=-9+\frac{9}{2}+26\)
\(=\frac{-18+9+52}{2}\)
\(=\frac{-18+61}{2}\)
\(=\frac{43}{2}\)
\(y=\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2-6x+8 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2-6x+8\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1}{3}\frac{d}{dx}(x^3)+\frac{1}{2}\frac{d}{dx}(x^2)-6\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(8)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v-w+..)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=\frac{1}{3}.3x^2+\frac{1}{2}.2x-6.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=x^2+x-6\)
\(=x^2+3x-2x-6\)
\(=x(x+3)-2(x+3)\)
\(=(x+3)(x-2)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=(x+3)(x-2)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow (x+3)(x-2)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=(x+3)(x-2)\)
\(\Rightarrow x+3=0, x-2=0\)
\(\Rightarrow x=-3, x=2\)
\(\therefore x=2, -3\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(x^2+x-6)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=(x+3)(x-2)=x^2+x-6\)
\(=\frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(6)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v-w)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)\)
\(=2x+1-0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\) \(\frac{d}{dx}(x)=1,\frac{d}{dx}(c)=0\),
\(=2x+1\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=2x+1\)
এখন, \(x=2\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=2.2+1\)
\(=4+1\)
\(=5\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=2\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান আছে।
ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান \(=\frac{1}{3}.2^3+\frac{1}{2}.2^2-6.2+8\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2-6x+8\)
\(=\frac{1}{3}.8+\frac{1}{2}.4-12+8\)
\(=\frac{8}{3}+2-4\)
\(=\frac{8}{3}-2\)
\(=\frac{8-6}{3}\)
\(=\frac{2}{3}\)
আবার, \(x=-3\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=2(-3)+1\)
\(=-6+1\)
\(=-5\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=-3\) বিন্দুতে ফাংশনটির গরিষ্ঠমাণ আছে।
ফাংশনটির গরিষ্ঠমাণ \(=\frac{1}{3}(-3)^3+\frac{1}{2}(-3)^2-6(-3)+8\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2-6x+8\)
\(=\frac{1}{3}\times{-27}+\frac{1}{2}.9+18+8\)
\(=-9+\frac{9}{2}+26\)
\(=\frac{-18+9+52}{2}\)
\(=\frac{-18+61}{2}\)
\(=\frac{43}{2}\)
\(Q.1.(v)\) \(x^4+2x^3-3x^2-4x+4\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \( =0\); গুরুমান \( =\frac{81}{16}\).
[ দিঃ২০১০]
উত্তরঃ লঘুমান \( =0\); গুরুমান \( =\frac{81}{16}\).
[ দিঃ২০১০]
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=x^4+2x^3-3x^2-4x+4 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^4+2x^3-3x^2-4x+4)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^4)+2\frac{d}{dx}(x^3)-3\frac{d}{dx}(x^2)-4\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(4)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v-w-..)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)-..\)
\(=4x^3+2.3x^2-3.2x-4.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=4x^3+6x^2-6x-4\)
\(=2(2x^3+3x^2-3x-2)\)
\(=2\{2x^3-2x^2+5x^2-5x+2x-2\}\)
\(=2\{2x^2(x-1)+5x(x-1)+2(x-1)\}\)
\(=2(x-1)\{2x^2+5x+2\}\)
\(=2(x-1)\{2x^2+4x+x+2\}\)
\(=2(x-1)\{2x(x+2)+1(x+2)\}\)
\(=2(x-1)(x+2)(2x+1)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=2(x-1)(x+2)(2x+1)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 2(x-1)(x+2)(2x+1)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=2(x-1)(x+2)(2x+1)\)
\(\Rightarrow (x-1)(x+2)(2x+1)=0\)
\(\Rightarrow x-1=0, x+2=0, 2x+1=0\)
\(\Rightarrow x=1, x=-2, 2x=-1\)
\(\Rightarrow x=1, x=-2, x=-\frac{1}{2}\)
\(\therefore x=1, -2, -\frac{1}{2}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(4x^3+6x^2-6x-4)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=2(x-1)(x+2)(2x+1)=4x^3+6x^2-6x-4\)
\(=4\frac{d}{dx}(x^3)+5\frac{d}{dx}(x^2)-6\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(4)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v-w-..)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)-..\)
\(=4.3x^2+5.2x-6.1-0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\) \(\frac{d}{dx}(x)=1,\frac{d}{dx}(c)=0\),
\(=12x^2+10x-6\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=12x^2+10x-6\)
এখন, \(x=1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.1^2+10.1-6\)
\(=12+10-6\)
\(=22-6\)
\(=16\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান আছে।
ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান \(=1^4+2.1^3-3.1^2-4.1+4\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^4+2x^3-3x^2-4x+4\)
\(=1+2-3-4+4\)
\(=7-7\)
\(=0\)
আবার, \(x=-2\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.(-2)^2+10(-2)-6\)
\(=12.4-20-6\)
\(=48-26\)
\(=22\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=-2\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান আছে।
ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান \(=(-2)^4+2(-2)^3-3(-2)^2-4(-2)+4\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^4+2x^3-3x^2-4x+4\)
\(=16-16-12+8+4\)
\(=-12+12\)
\(=0\)
আবার, \(x=-\frac{1}{2}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.\left(-\frac{1}{2}\right)^2+10\left(-\frac{1}{2}\right)-6\)
\(=12.\frac{1}{4}-5-6\)
\(=3-5-6\)
\(=3-11\)
\(=-8\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=-2\) বিন্দুতে ফাংশনটির গরিষ্ঠমান আছে।
ফাংশনটির গরিষ্ঠমান \(=\left(-\frac{1}{2}\right)^4+2\left(-\frac{1}{2}\right)^3-3\left(-\frac{1}{2}\right)^2-4\left(-\frac{1}{2}\right)+4\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^4+2x^3-3x^2-4x+4\)
\(=\frac{1}{16}-\frac{1}{4}-\frac{3}{4}+2+4\)
\(=\frac{1}{16}-\frac{1}{4}-\frac{3}{4}+6\)
\(=\frac{1-4-12+96}{16}\)
\(=\frac{97-16}{16}\)
\(=\frac{81}{16}\)
\(y=x^4+2x^3-3x^2-4x+4 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^4+2x^3-3x^2-4x+4)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^4)+2\frac{d}{dx}(x^3)-3\frac{d}{dx}(x^2)-4\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(4)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v-w-..)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)-..\)
\(=4x^3+2.3x^2-3.2x-4.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=4x^3+6x^2-6x-4\)
\(=2(2x^3+3x^2-3x-2)\)
\(=2\{2x^3-2x^2+5x^2-5x+2x-2\}\)
\(=2\{2x^2(x-1)+5x(x-1)+2(x-1)\}\)
\(=2(x-1)\{2x^2+5x+2\}\)
\(=2(x-1)\{2x^2+4x+x+2\}\)
\(=2(x-1)\{2x(x+2)+1(x+2)\}\)
\(=2(x-1)(x+2)(2x+1)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=2(x-1)(x+2)(2x+1)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 2(x-1)(x+2)(2x+1)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=2(x-1)(x+2)(2x+1)\)
\(\Rightarrow (x-1)(x+2)(2x+1)=0\)
\(\Rightarrow x-1=0, x+2=0, 2x+1=0\)
\(\Rightarrow x=1, x=-2, 2x=-1\)
\(\Rightarrow x=1, x=-2, x=-\frac{1}{2}\)
\(\therefore x=1, -2, -\frac{1}{2}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(4x^3+6x^2-6x-4)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=2(x-1)(x+2)(2x+1)=4x^3+6x^2-6x-4\)
\(=4\frac{d}{dx}(x^3)+5\frac{d}{dx}(x^2)-6\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(4)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v-w-..)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)-..\)
\(=4.3x^2+5.2x-6.1-0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\) \(\frac{d}{dx}(x)=1,\frac{d}{dx}(c)=0\),
\(=12x^2+10x-6\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=12x^2+10x-6\)
এখন, \(x=1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.1^2+10.1-6\)
\(=12+10-6\)
\(=22-6\)
\(=16\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান আছে।
ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান \(=1^4+2.1^3-3.1^2-4.1+4\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^4+2x^3-3x^2-4x+4\)
\(=1+2-3-4+4\)
\(=7-7\)
\(=0\)
আবার, \(x=-2\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.(-2)^2+10(-2)-6\)
\(=12.4-20-6\)
\(=48-26\)
\(=22\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=-2\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান আছে।
ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান \(=(-2)^4+2(-2)^3-3(-2)^2-4(-2)+4\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^4+2x^3-3x^2-4x+4\)
\(=16-16-12+8+4\)
\(=-12+12\)
\(=0\)
আবার, \(x=-\frac{1}{2}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.\left(-\frac{1}{2}\right)^2+10\left(-\frac{1}{2}\right)-6\)
\(=12.\frac{1}{4}-5-6\)
\(=3-5-6\)
\(=3-11\)
\(=-8\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=-2\) বিন্দুতে ফাংশনটির গরিষ্ঠমান আছে।
ফাংশনটির গরিষ্ঠমান \(=\left(-\frac{1}{2}\right)^4+2\left(-\frac{1}{2}\right)^3-3\left(-\frac{1}{2}\right)^2-4\left(-\frac{1}{2}\right)+4\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^4+2x^3-3x^2-4x+4\)
\(=\frac{1}{16}-\frac{1}{4}-\frac{3}{4}+2+4\)
\(=\frac{1}{16}-\frac{1}{4}-\frac{3}{4}+6\)
\(=\frac{1-4-12+96}{16}\)
\(=\frac{97-16}{16}\)
\(=\frac{81}{16}\)
\(Q.1.(vi)\) \(x^3-6x^2+9x-8\) এর বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ বৃহত্তমমান \( =-4\) ; ক্ষুদ্রতমমান \( =-8\)
উত্তরঃ বৃহত্তমমান \( =-4\) ; ক্ষুদ্রতমমান \( =-8\)
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=x^3-6x^2+9x-8 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^3-6x^2+9x-8)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3)-6\frac{d}{dx}(x^2)+9\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(8)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w-..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)-..\)
\(=3x^2-6.2x+9.1-0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=3x^2-12x+9\)
\(=3(x^2-4x+3)\)
\(=3\{x^2-3x-x+3\}\)
\(=3\{x(x-3)-1(x-3)\}\)
\(=3(x-3)(x-1)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=3(x-3)(x-1)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 3(x-3)(x-1)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=3(x-3)(x-1)\)
\(\Rightarrow (x-3)(x-1)=0\)
\(\Rightarrow x-3=0, x-1=0\)
\(\Rightarrow x=3, x=1\)
\(\therefore x=3, 1\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(3x^2-12x+9)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=3(x-3)(x-1)=3x^2-12x+9\)
\(=3\frac{d}{dx}(x^2)-12\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(9)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=3.2x-12.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\) \(\frac{d}{dx}(x)=1,\frac{d}{dx}(c)=0\),
\(=6x-12\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=6x-12\)
এখন, \(x=1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=6.1-12\)
\(=6-12\)
\(=-6\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে ফাংশনটির বৃহত্তমমান আছে।
ফাংশনটির বৃহত্তমমান \(=1^3-6.1^2+9.1-8\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^3-6x^2+9x-8\)
\(=1-6+9-8\)
\(=10-14\)
\(=-4\)
আবার, \(x=3\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=6.3-12\)
\(=18-12\)
\(=6\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=3\) বিন্দুতে ফাংশনটির ক্ষুদ্রতমমান আছে।
ফাংশনটির ক্ষুদ্রতমমান \(=3^3-6.3^2+9.3-8 \) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^3-6x^2+9x-8\)
\(=27-6.9+27-8\)
\(=54-54-8\)
\(=-8\)
\(y=x^3-6x^2+9x-8 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^3-6x^2+9x-8)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3)-6\frac{d}{dx}(x^2)+9\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(8)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w-..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)-..\)
\(=3x^2-6.2x+9.1-0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=3x^2-12x+9\)
\(=3(x^2-4x+3)\)
\(=3\{x^2-3x-x+3\}\)
\(=3\{x(x-3)-1(x-3)\}\)
\(=3(x-3)(x-1)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=3(x-3)(x-1)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 3(x-3)(x-1)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=3(x-3)(x-1)\)
\(\Rightarrow (x-3)(x-1)=0\)
\(\Rightarrow x-3=0, x-1=0\)
\(\Rightarrow x=3, x=1\)
\(\therefore x=3, 1\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(3x^2-12x+9)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=3(x-3)(x-1)=3x^2-12x+9\)
\(=3\frac{d}{dx}(x^2)-12\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(9)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=3.2x-12.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\) \(\frac{d}{dx}(x)=1,\frac{d}{dx}(c)=0\),
\(=6x-12\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=6x-12\)
এখন, \(x=1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=6.1-12\)
\(=6-12\)
\(=-6\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে ফাংশনটির বৃহত্তমমান আছে।
ফাংশনটির বৃহত্তমমান \(=1^3-6.1^2+9.1-8\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^3-6x^2+9x-8\)
\(=1-6+9-8\)
\(=10-14\)
\(=-4\)
আবার, \(x=3\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=6.3-12\)
\(=18-12\)
\(=6\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=3\) বিন্দুতে ফাংশনটির ক্ষুদ্রতমমান আছে।
ফাংশনটির ক্ষুদ্রতমমান \(=3^3-6.3^2+9.3-8 \) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^3-6x^2+9x-8\)
\(=27-6.9+27-8\)
\(=54-54-8\)
\(=-8\)
\(Q.1.(vii)\) \(f(x)=2x^3-21x^2+36x-20\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ গুরুমান \( =-3\) ; লঘুমান \( =-128\)
[ ঢাঃ২০১২, ২০০৯,২০০৮; বঃ২০১২; দিঃ২০১২; যঃ২০০৯,২০০০; রাঃ২০০৭; কুঃ২০০৭ ]
উত্তরঃ গুরুমান \( =-3\) ; লঘুমান \( =-128\)
[ ঢাঃ২০১২, ২০০৯,২০০৮; বঃ২০১২; দিঃ২০১২; যঃ২০০৯,২০০০; রাঃ২০০৭; কুঃ২০০৭ ]
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=f(x)=2x^3-21x^2+36x-20 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(2x^3-21x^2+36x-20)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2\frac{d}{dx}(x^3)-21\frac{d}{dx}(x^2)+36\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(20)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w-..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)-..\)
\(=2.3x^2-21.2x+36.1-0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=6x^2-42x+36\)
\(=6(x^2-7x+6)\)
\(=6(x^2-6x-x+6)\)
\(=6\{x(x-6)-1(x-6)\}\)
\(=6(x-6)(x-1)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=6(x-6)(x-1)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 6(x-6)(x-1)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=6(x-6)(x-1)\)
\(\Rightarrow (x-6)(x-1)=0\)
\(\Rightarrow x-6=0, x-1=0\)
\(\Rightarrow x=6, x=1\)
\(\therefore x=6, 1\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(6x^2-42x+36)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=6(x-6)(x-1)=6x^2-42x+36\)
\(=6\frac{d}{dx}(x^2)-42\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(36)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=6.2x-42.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\) \(\frac{d}{dx}(x)=1,\frac{d}{dx}(c)=0\),
\(=12x-42\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=12x-42\)
এখন, \(x=1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.1-42\)
\(=12-42\)
\(=-30\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান আছে।
ফাংশনটির গুরুমান \(=2.1^3-21.1^2+36.1-20\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=2x^3-21x^2+36x-20\)
\(=2-21+36-20\)
\(=38-41\)
\(=-3\)
আবার, \(x=6\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.6-42\)
\(=72-42\)
\(=30\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=6\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান আছে।
ফাংশনটির লঘুমান \(=2.6^3-21.6^2+36.6-20 \) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=2x^3-21x^2+36x-20\)
\(=2.216-21.36+216-20\)
\(=432-756+216-20\)
\(=648-776\)
\(=-128\)
\(y=f(x)=2x^3-21x^2+36x-20 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(2x^3-21x^2+36x-20)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2\frac{d}{dx}(x^3)-21\frac{d}{dx}(x^2)+36\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(20)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w-..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)-..\)
\(=2.3x^2-21.2x+36.1-0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=6x^2-42x+36\)
\(=6(x^2-7x+6)\)
\(=6(x^2-6x-x+6)\)
\(=6\{x(x-6)-1(x-6)\}\)
\(=6(x-6)(x-1)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=6(x-6)(x-1)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 6(x-6)(x-1)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=6(x-6)(x-1)\)
\(\Rightarrow (x-6)(x-1)=0\)
\(\Rightarrow x-6=0, x-1=0\)
\(\Rightarrow x=6, x=1\)
\(\therefore x=6, 1\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(6x^2-42x+36)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=6(x-6)(x-1)=6x^2-42x+36\)
\(=6\frac{d}{dx}(x^2)-42\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(36)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=6.2x-42.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\) \(\frac{d}{dx}(x)=1,\frac{d}{dx}(c)=0\),
\(=12x-42\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=12x-42\)
এখন, \(x=1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.1-42\)
\(=12-42\)
\(=-30\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান আছে।
ফাংশনটির গুরুমান \(=2.1^3-21.1^2+36.1-20\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=2x^3-21x^2+36x-20\)
\(=2-21+36-20\)
\(=38-41\)
\(=-3\)
আবার, \(x=6\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.6-42\)
\(=72-42\)
\(=30\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=6\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান আছে।
ফাংশনটির লঘুমান \(=2.6^3-21.6^2+36.6-20 \) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=2x^3-21x^2+36x-20\)
\(=2.216-21.36+216-20\)
\(=432-756+216-20\)
\(=648-776\)
\(=-128\)
\(Q.1.(viii)\) \(f(x)=x^3-3x^2-45x+13\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \( =-162\); গুরুমান \( =94\) .
[ ঢাঃ২০০৩; বঃ২০০৮; রাঃ২০১০,২০০৫; কুঃ২০১২; চঃ২০১১,২০০৯; সিঃ২০০৮; মাঃ২০১১,২০০৮ ]
উত্তরঃ লঘুমান \( =-162\); গুরুমান \( =94\) .
[ ঢাঃ২০০৩; বঃ২০০৮; রাঃ২০১০,২০০৫; কুঃ২০১২; চঃ২০১১,২০০৯; সিঃ২০০৮; মাঃ২০১১,২০০৮ ]
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=f(x)=x^3-3x^2-45x+13 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^3-3x^2-45x+13)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3)-3\frac{d}{dx}(x^2)-45\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(13)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v-w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=3x^2-3.2x-45.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=3x^2-6x-45\)
\(=3(x^2-2x-15)\)
\(=3(x^2-5x+3x-15)\)
\(=3\{x(x-5)+3(x-5)\}\)
\(=3(x-5)(x+3)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=3(x-5)(x+3)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 3(x-5)(x+3)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=3(x-5)(x+3)\)
\(\Rightarrow (x-5)(x+3)=0\)
\(\Rightarrow x-5=0, x+3=0\)
\(\Rightarrow x=5, x=-3\)
\(\therefore x=5, -3\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(3x^2-6x-45)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=3(x-5)(x+3)=3x^2-6x-45\)
\(=3\frac{d}{dx}(x^2)-6\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(45)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v-w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)\)
\(=3.2x-6.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\) \(\frac{d}{dx}(x)=1,\frac{d}{dx}(c)=0\),
\(=6x-6\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=6x-6\)
এখন, \(x=5\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=6.5-6\)
\(=30-6\)
\(=24\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=5\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান আছে।
ফাংশনটির লঘুমান \(=5^3-3.5^2-45.5+13\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^3-3x^2-45x+13\)
\(=125-75-225+13\)
\(=138-300\)
\(=-162\)
আবার, \(x=-3\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=6(-3)-6\)
\(=-18-6\)
\(=-24\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=6\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান আছে।
ফাংশনটির গুরুমান \(=(-3)^3-3(-3)^2-45(-3)+13 \) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^3-3x^2-45x+13\)
\(=-27-27+135+13\)
\(=148-54\)
\(=94\)
\(y=f(x)=x^3-3x^2-45x+13 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^3-3x^2-45x+13)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3)-3\frac{d}{dx}(x^2)-45\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(13)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v-w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=3x^2-3.2x-45.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=3x^2-6x-45\)
\(=3(x^2-2x-15)\)
\(=3(x^2-5x+3x-15)\)
\(=3\{x(x-5)+3(x-5)\}\)
\(=3(x-5)(x+3)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=3(x-5)(x+3)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 3(x-5)(x+3)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=3(x-5)(x+3)\)
\(\Rightarrow (x-5)(x+3)=0\)
\(\Rightarrow x-5=0, x+3=0\)
\(\Rightarrow x=5, x=-3\)
\(\therefore x=5, -3\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(3x^2-6x-45)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=3(x-5)(x+3)=3x^2-6x-45\)
\(=3\frac{d}{dx}(x^2)-6\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(45)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v-w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)\)
\(=3.2x-6.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\) \(\frac{d}{dx}(x)=1,\frac{d}{dx}(c)=0\),
\(=6x-6\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=6x-6\)
এখন, \(x=5\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=6.5-6\)
\(=30-6\)
\(=24\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=5\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান আছে।
ফাংশনটির লঘুমান \(=5^3-3.5^2-45.5+13\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^3-3x^2-45x+13\)
\(=125-75-225+13\)
\(=138-300\)
\(=-162\)
আবার, \(x=-3\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=6(-3)-6\)
\(=-18-6\)
\(=-24\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=6\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান আছে।
ফাংশনটির গুরুমান \(=(-3)^3-3(-3)^2-45(-3)+13 \) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^3-3x^2-45x+13\)
\(=-27-27+135+13\)
\(=148-54\)
\(=94\)
\(Q.1.(ix)\) দেখাও যে, \(F(x)=\frac{x^2+x+1}{x}\) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।
[ যঃ২০১৭ ]
[ যঃ২০১৭ ]
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=F(x)=\frac{x^2+x+1}{x} .......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2+x+1}{x}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{x\frac{d}{dx}(x^2+x+1)-(x^2+x+1)\frac{d}{dx}(x)}{x^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{x(2x+1+0)-(x^2+x+1).1}{x^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{x(2x+1)-(x^2+x+1)}{x^2}\)
\(=\frac{2x^2+x-x^2-x-1}{x^2}\)
\(=\frac{x^2-1}{x^2}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{x^2-1}{x^2}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{x^2-1}{x^2}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{x^2-1}{x^2}\)
\(\Rightarrow x^2-1=0\)
\(\Rightarrow x^2=1\)
\(\Rightarrow x=\pm{1}\)
\(\therefore x=-1, 1\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2-1}{x^2}\right)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{x^2-1}{x^2}\)
\(=\frac{x^2\frac{d}{dx}(x^2-1)-(x^2-1)\frac{d}{dx}(x^2)}{x^4}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{x^2(2x-0)-(x^2-1)2x}{x^4}\)
\(=\frac{2x^3-2x^3+2x}{x^4}\)
\(=\frac{2x}{x^4}\)
\(=\frac{2}{x^3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2}{x^3}\)
এখন, \(x=1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2}{1^3}\)
\(=\frac{2}{1}\)
\(=2\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান আছে।
ফাংশনটির লঘুমান \(=\frac{1^2+1+1}{1}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=\frac{x^2+x+1}{x}\)
\(=\frac{1+1+1}{1}\)
\(=\frac{3}{1}\)
\(=3\)
আবার, \(x=-1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2}{(-1)^3}\)
\(=\frac{2}{-1}\)
\(=-2\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=-1\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান আছে।
ফাংশনটির গুরুমান \(=\frac{(-1)^2+(-1)+1}{-1}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=\frac{x^2+x+1}{x}\)
\(=\frac{1-1+1}{-1}\)
\(=\frac{1}{-1}\)
\(=-1\)
\(\therefore\) ফাংশনটির লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।
(Showed)
\(y=F(x)=\frac{x^2+x+1}{x} .......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2+x+1}{x}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{x\frac{d}{dx}(x^2+x+1)-(x^2+x+1)\frac{d}{dx}(x)}{x^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{x(2x+1+0)-(x^2+x+1).1}{x^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{x(2x+1)-(x^2+x+1)}{x^2}\)
\(=\frac{2x^2+x-x^2-x-1}{x^2}\)
\(=\frac{x^2-1}{x^2}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{x^2-1}{x^2}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{x^2-1}{x^2}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{x^2-1}{x^2}\)
\(\Rightarrow x^2-1=0\)
\(\Rightarrow x^2=1\)
\(\Rightarrow x=\pm{1}\)
\(\therefore x=-1, 1\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2-1}{x^2}\right)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{x^2-1}{x^2}\)
\(=\frac{x^2\frac{d}{dx}(x^2-1)-(x^2-1)\frac{d}{dx}(x^2)}{x^4}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{x^2(2x-0)-(x^2-1)2x}{x^4}\)
\(=\frac{2x^3-2x^3+2x}{x^4}\)
\(=\frac{2x}{x^4}\)
\(=\frac{2}{x^3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2}{x^3}\)
এখন, \(x=1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2}{1^3}\)
\(=\frac{2}{1}\)
\(=2\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান আছে।
ফাংশনটির লঘুমান \(=\frac{1^2+1+1}{1}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=\frac{x^2+x+1}{x}\)
\(=\frac{1+1+1}{1}\)
\(=\frac{3}{1}\)
\(=3\)
আবার, \(x=-1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2}{(-1)^3}\)
\(=\frac{2}{-1}\)
\(=-2\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=-1\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান আছে।
ফাংশনটির গুরুমান \(=\frac{(-1)^2+(-1)+1}{-1}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=\frac{x^2+x+1}{x}\)
\(=\frac{1-1+1}{-1}\)
\(=\frac{1}{-1}\)
\(=-1\)
\(\therefore\) ফাংশনটির লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।
(Showed)
\(Q.1.(x)\) দেখাও যে, \(x+\frac{1}{x}\) এর গুরুমান, লঘুমান অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।
[ যঃ২০১২,২০১০; ঢঃ২০১১,২০০৫; চঃ২০১০; সিঃ ২০১০; বঃ২০০৯; কুঃ২০০৮,২০০৩; রাঃ২০০৬,২০০২ ]
[ যঃ২০১২,২০১০; ঢঃ২০১১,২০০৫; চঃ২০১০; সিঃ ২০১০; বঃ২০০৯; কুঃ২০০৮,২০০৩; রাঃ২০০৬,২০০২ ]
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=x+\frac{1}{x} ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(x+\frac{1}{x}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(=1-\frac{1}{x^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}\)
\(=\frac{x^2-1}{x^2}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{x^2-1}{x^2}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{x^2-1}{x^2}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{x^2-1}{x^2}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2-1}{x^2}=0\)
\(\Rightarrow x^2-1=0\)
\(\Rightarrow x^2=1\)
\(\Rightarrow x=\pm{1}\)
\(\therefore x=1, -1\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2-1}{x^2}\right)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{x^2-1}{x^2}\)
\(=\frac{x^2\frac{d}{dx}(x^2-1)-(x^2-1)\frac{d}{dx}(x^2)}{x^4}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{x^2(2x-0)-(x^2-1)2x}{x^4}\)
\(=\frac{2x^3-2x^3+2x}{x^4}\)
\(=\frac{2x}{x^4}\)
\(=\frac{2}{x^3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2}{x^3}\)
এখন, \(x=1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2}{1^3}\)
\(=\frac{2}{1}\)
\(=2\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান আছে।
ফাংশনটির লঘুমান \(=1+\frac{1}{1}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x+\frac{1}{x}\)
\(=1+1\)
\(=2\)
আবার, \(x=-1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2}{(-1)^3}\)
\(=\frac{2}{-1}\)
\(=-2\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=-1\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান আছে।
ফাংশনটির গুরুমান \(=1+\frac{1}{-1}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x+\frac{1}{x}\)
\(=1-1\)
\(=0\)
\(\therefore \) ফাংশনটির গুরুমান, লঘুমান অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।
(Showed)
\(y=x+\frac{1}{x} ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(x+\frac{1}{x}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(=1-\frac{1}{x^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}\)
\(=\frac{x^2-1}{x^2}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{x^2-1}{x^2}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{x^2-1}{x^2}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{x^2-1}{x^2}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2-1}{x^2}=0\)
\(\Rightarrow x^2-1=0\)
\(\Rightarrow x^2=1\)
\(\Rightarrow x=\pm{1}\)
\(\therefore x=1, -1\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2-1}{x^2}\right)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{x^2-1}{x^2}\)
\(=\frac{x^2\frac{d}{dx}(x^2-1)-(x^2-1)\frac{d}{dx}(x^2)}{x^4}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{x^2(2x-0)-(x^2-1)2x}{x^4}\)
\(=\frac{2x^3-2x^3+2x}{x^4}\)
\(=\frac{2x}{x^4}\)
\(=\frac{2}{x^3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2}{x^3}\)
এখন, \(x=1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2}{1^3}\)
\(=\frac{2}{1}\)
\(=2\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান আছে।
ফাংশনটির লঘুমান \(=1+\frac{1}{1}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x+\frac{1}{x}\)
\(=1+1\)
\(=2\)
আবার, \(x=-1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2}{(-1)^3}\)
\(=\frac{2}{-1}\)
\(=-2\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=-1\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান আছে।
ফাংশনটির গুরুমান \(=1+\frac{1}{-1}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x+\frac{1}{x}\)
\(=1-1\)
\(=0\)
\(\therefore \) ফাংশনটির গুরুমান, লঘুমান অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।
(Showed)
\(Q.1.(xi)\) \(h(x)=x\) হলে, দেখাও যে, \(h(x)+\frac{1}{h(x)}\) এর গুরুমান, তার লঘুমান অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।
[ রাঃ২০১৭ ]
[ রাঃ২০১৭ ]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(h(x)=x\)
\(\therefore \) প্রদত্ত রাশি \(= h(x)+\frac{1}{h(x)}\)
\(=x+\frac{1}{x}\) ➜ \(\because h(x)=x\)
ধরি,
\(y=x+\frac{1}{x} ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(x+\frac{1}{x}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(=1-\frac{1}{x^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}\)
\(=\frac{x^2-1}{x^2}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{x^2-1}{x^2}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{x^2-1}{x^2}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{x^2-1}{x^2}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2-1}{x^2}=0\)
\(\Rightarrow x^2-1=0\)
\(\Rightarrow x^2=1\)
\(\Rightarrow x=\pm{1}\)
\(\therefore x=1, -1\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2-1}{x^2}\right)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{x^2-1}{x^2}\)
\(=\frac{x^2\frac{d}{dx}(x^2-1)-(x^2-1)\frac{d}{dx}(x^2)}{x^4}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{x^2(2x-0)-(x^2-1)2x}{x^4}\)
\(=\frac{2x^3-2x^3+2x}{x^4}\)
\(=\frac{2x}{x^4}\)
\(=\frac{2}{x^3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2}{x^3}\)
এখন, \(x=1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2}{1^3}\)
\(=\frac{2}{1}\)
\(=2\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান আছে।
ফাংশনটির লঘুমান \(=1+\frac{1}{1}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x+\frac{1}{x}\)
\(=1+1\)
\(=2\)
আবার, \(x=-1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2}{(-1)^3}\)
\(=\frac{2}{-1}\)
\(=-2\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=-1\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান আছে।
ফাংশনটির গুরুমান \(=1+\frac{1}{-1}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x+\frac{1}{x}\)
\(=1-1\)
\(=0\)
\(\therefore h(x)+\frac{1}{h(x)}\) এর গুরুমান, তার লঘুমান অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।
(Showed)
\(h(x)=x\)
\(\therefore \) প্রদত্ত রাশি \(= h(x)+\frac{1}{h(x)}\)
\(=x+\frac{1}{x}\) ➜ \(\because h(x)=x\)
ধরি,
\(y=x+\frac{1}{x} ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(x+\frac{1}{x}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(=1-\frac{1}{x^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}\)
\(=\frac{x^2-1}{x^2}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{x^2-1}{x^2}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{x^2-1}{x^2}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{x^2-1}{x^2}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2-1}{x^2}=0\)
\(\Rightarrow x^2-1=0\)
\(\Rightarrow x^2=1\)
\(\Rightarrow x=\pm{1}\)
\(\therefore x=1, -1\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2-1}{x^2}\right)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{x^2-1}{x^2}\)
\(=\frac{x^2\frac{d}{dx}(x^2-1)-(x^2-1)\frac{d}{dx}(x^2)}{x^4}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{x^2(2x-0)-(x^2-1)2x}{x^4}\)
\(=\frac{2x^3-2x^3+2x}{x^4}\)
\(=\frac{2x}{x^4}\)
\(=\frac{2}{x^3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2}{x^3}\)
এখন, \(x=1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2}{1^3}\)
\(=\frac{2}{1}\)
\(=2\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান আছে।
ফাংশনটির লঘুমান \(=1+\frac{1}{1}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x+\frac{1}{x}\)
\(=1+1\)
\(=2\)
আবার, \(x=-1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2}{(-1)^3}\)
\(=\frac{2}{-1}\)
\(=-2\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=-1\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান আছে।
ফাংশনটির গুরুমান \(=1+\frac{1}{-1}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x+\frac{1}{x}\)
\(=1-1\)
\(=0\)
\(\therefore h(x)+\frac{1}{h(x)}\) এর গুরুমান, তার লঘুমান অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।
(Showed)
\(Q.1.(xii)\) দেখাও যে, \(x^3-3x^2+6x+2\) এর বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মাণ নেই।
[ বঃ২০১৪,২০১১; যঃ২০১৪,২০০৬; কুঃ২০১৩; সিঃ২০০৯,২০০৩ ]
[ বঃ২০১৪,২০১১; যঃ২০১৪,২০০৬; কুঃ২০১৩; সিঃ২০০৯,২০০৩ ]
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=x^3-3x^2+6x+2 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^3-3x^2+6x+2)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3)-3\frac{d}{dx}(x^2)+6\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(2)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=3x^2-3.2x+6.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=3x^2-6x+6\)
\(=3(x^2-2x+2)\)
\(=3(x^2-2x+1+1)\)
\(=3\{(x-1)^2+1\}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=3\{(x-1)^2+1^2\}\) ➜ একাধিক রাশির বর্গের যোগফল ঋনাত্মক হতে পারে না।
যা, সর্বদাই ধনাত্মক।
\(\therefore x\) এর কোনো বাস্তব মানের জন্য \(\frac{dy}{dx}\) কখনো শূন্য হতে পারে না।
\(\therefore \) প্রদত্ত ফাংশনটির কোনো বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মাণ নেই।
\(y=x^3-3x^2+6x+2 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^3-3x^2+6x+2)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3)-3\frac{d}{dx}(x^2)+6\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(2)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=3x^2-3.2x+6.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=3x^2-6x+6\)
\(=3(x^2-2x+2)\)
\(=3(x^2-2x+1+1)\)
\(=3\{(x-1)^2+1\}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=3\{(x-1)^2+1^2\}\) ➜ একাধিক রাশির বর্গের যোগফল ঋনাত্মক হতে পারে না।
যা, সর্বদাই ধনাত্মক।
\(\therefore x\) এর কোনো বাস্তব মানের জন্য \(\frac{dy}{dx}\) কখনো শূন্য হতে পারে না।
\(\therefore \) প্রদত্ত ফাংশনটির কোনো বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মাণ নেই।
\(Q.1.(xiii)\) দেখাও যে, \(x=1\) বিন্দুতে \(f(x)=x^3-3x^2+x\) ফাংশনটি হ্রাস পায়।
[ বঃ২০১৪,২০১১; যঃ২০১৪,২০০৬; কুঃ২০১৩; সিঃ২০০৯,২০০৩ ]
[ বঃ২০১৪,২০১১; যঃ২০১৪,২০০৬; কুঃ২০১৩; সিঃ২০০৯,২০০৩ ]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(f(x)=x^3-3x^2+x\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(x^3-3x^2+x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(x^3)-3\frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(x)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\)\(\frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=3x^2-3.2x+1\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=3x^2-6x+1\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=3x^2-6x+1\)
এখান,
\(x=1\)হলে,
\(f^{\prime}(1)=3.1^2-6.1+1\)
\(=3-6+1\)
\(=4-6\)
\(=-2\)
\(\therefore f^{\prime}(2)<0\)
\(\therefore \) প্রদত্ত ফাংশনটি \(x=1\) বিন্দুতে হ্রাস পায়।
\(f(x)=x^3-3x^2+x\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(x^3-3x^2+x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(x^3)-3\frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(x)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\)\(\frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=3x^2-3.2x+1\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=3x^2-6x+1\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=3x^2-6x+1\)
এখান,
\(x=1\)হলে,
\(f^{\prime}(1)=3.1^2-6.1+1\)
\(=3-6+1\)
\(=4-6\)
\(=-2\)
\(\therefore f^{\prime}(2)<0\)
\(\therefore \) প্রদত্ত ফাংশনটি \(x=1\) বিন্দুতে হ্রাস পায়।
\(Q.1.(xiv)\) নিম্নের ফাংশনটি কোন ব্যবধিতে হ্রাস পায় এবং কোন ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় নির্ণয় কর।
\((a)\) \(f(x)=3x^2-6x+4, -1\le{x}\le{2}\)
উত্তরঃ \(1>x\ge{-1}\)ব্যবধিতে হ্রাস পায় এবং \(2\ge{x}>1\) ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায়।
\((a)\) \(f(x)=3x^2-6x+4, -1\le{x}\le{2}\)
উত্তরঃ \(1>x\ge{-1}\)ব্যবধিতে হ্রাস পায় এবং \(2\ge{x}>1\) ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায়।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(f(x)=3x^2-6x+4, -1\le{x}\le{2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(3x^2-6x+4)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=3\frac{d}{dx}(x^2)-6\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(4)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\)\(\frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=3.2x-6.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=6x-6\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=6x-6\)
\(f^{\prime}(x)=0\) হলে,
\(6x-6=0\) হয়।
\(\Rightarrow 6(x-1)=0\)
\(\Rightarrow x-1=0\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=0\Rightarrow x=1\)
এখানে,
\(x=1\) বিন্দুতে \(f^{\prime}(x)=0\) এবং বিন্দুটি \(-1\le{x}\le{2}\) ব্যবধিকে \(1>x\ge{-1}\) এবং \(2\ge{x}>1\) ব্যবধিতে বিভক্ত করে।
এখন,
\(1>x\ge{-1}\) এর জন্য \((x-1)<0\).
কাজেই \(f^{\prime}(x)<0\)
\(\therefore 1>x\ge{-1}\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন হ্রাস পায়।
আবার,
\(2\ge{x}>1\) এর জন্য \(6(x-1)>0\).
কাজেই \(f^{\prime}(x)>0\)
\(\therefore 2\ge{x}>1\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন বৃদ্ধি পায়।
\(f(x)=3x^2-6x+4, -1\le{x}\le{2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(3x^2-6x+4)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=3\frac{d}{dx}(x^2)-6\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(4)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\)\(\frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=3.2x-6.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=6x-6\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=6x-6\)
\(f^{\prime}(x)=0\) হলে,
\(6x-6=0\) হয়।
\(\Rightarrow 6(x-1)=0\)
\(\Rightarrow x-1=0\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=0\Rightarrow x=1\)
এখানে,
\(x=1\) বিন্দুতে \(f^{\prime}(x)=0\) এবং বিন্দুটি \(-1\le{x}\le{2}\) ব্যবধিকে \(1>x\ge{-1}\) এবং \(2\ge{x}>1\) ব্যবধিতে বিভক্ত করে।
এখন,
\(1>x\ge{-1}\) এর জন্য \((x-1)<0\).
কাজেই \(f^{\prime}(x)<0\)
\(\therefore 1>x\ge{-1}\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন হ্রাস পায়।
আবার,
\(2\ge{x}>1\) এর জন্য \(6(x-1)>0\).
কাজেই \(f^{\prime}(x)>0\)
\(\therefore 2\ge{x}>1\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন বৃদ্ধি পায়।
\(Q.1.(xiv)\) নিম্নের ফাংশনটি কোন ব্যবধিতে হ্রাস পায় এবং কোন ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় নির্ণয় কর।
\((b)\) \(f(x)=(x-2)^3(x+1)^2, -1\le{x}\le{3}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{5}>x\ge{-1}\)ব্যবধিতে হ্রাস পায়। \(2>x>\frac{1}{5}\) এবং \(2>x>\frac{1}{5}\) ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায়।
\((b)\) \(f(x)=(x-2)^3(x+1)^2, -1\le{x}\le{3}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{5}>x\ge{-1}\)ব্যবধিতে হ্রাস পায়। \(2>x>\frac{1}{5}\) এবং \(2>x>\frac{1}{5}\) ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায়।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(f(x)=(x-2)^3(x+1)^2, -1\le{x}\le{3}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}\{(x-2)^3(x+1)^2\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=(x-2)^3\frac{d}{dx}(x+1)^2+(x+1)^2\frac{d}{dx}(x-2)^3\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\)\(\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=(x-2)^3.2(x+1).1+(x+1)^2.3(x-2)^2.1\) ➜সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=2(x-2)^3(x+1)+3(x+1)^2(x-2)^2\)
\(=(x-2)^2(x+1)\{2(x-2)+3(x+1)\}\)
\(=(x-2)^2(x+1)\{2x-4+3x+3\}\)
\(=(x-2)^2(x+1)(5x-1)\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=(x-2)^2(x+1)(5x-1)\)
\(f^{\prime}(x)=0\) হলে,
\((x-2)^2(x+1)(5x-1)=0\) হয়।
\(\Rightarrow (x-2)^2=0, x+1=0, 5x-1=0\)
\(\Rightarrow x-2=0, x=-1, 5x=1\)
\(\Rightarrow x=2, x=-1, x=\frac{1}{5}\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=0\Rightarrow x=-1, \frac{1}{5}, 2\)
এখানে,
\(x=-1, \frac{1}{5}, 2 \) বিন্দুগুলি \(-1\le{x}\le{3}\) ব্যবধিকে \(\frac{1}{5}>x\ge{-1}\), \(2>x>\frac{1}{5}\) এবং \(3\ge{x}>2\) ব্যবধিতে বিভক্ত করে।
এখন,
\(\frac{1}{5}>x\ge{-1}\) এর জন্য \((x-2)^2(x+1)(5x-1)<0\).
কাজেই \(f^{\prime}(x)<0\)
\(\therefore \frac{1}{5}>x\ge{-1}\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন হ্রাস পায়।
আবার,
\(2>x>\frac{1}{5}\) এর জন্য \((x-2)^2(x+1)(5x-1)>0\).
কাজেই \(f^{\prime}(x)>0\)
\(\therefore 2>x>\frac{1}{5}\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন বৃদ্ধি পায়।
আবার,
\(3\ge{x}>2\) এর জন্য \((x-2)^2(x+1)(5x-1)>0\).
কাজেই \(f^{\prime}(x)>0\)
\(\therefore 3\ge{x}>2\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন বৃদ্ধি পায়।
\(f(x)=(x-2)^3(x+1)^2, -1\le{x}\le{3}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}\{(x-2)^3(x+1)^2\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=(x-2)^3\frac{d}{dx}(x+1)^2+(x+1)^2\frac{d}{dx}(x-2)^3\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\)\(\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=(x-2)^3.2(x+1).1+(x+1)^2.3(x-2)^2.1\) ➜সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=2(x-2)^3(x+1)+3(x+1)^2(x-2)^2\)
\(=(x-2)^2(x+1)\{2(x-2)+3(x+1)\}\)
\(=(x-2)^2(x+1)\{2x-4+3x+3\}\)
\(=(x-2)^2(x+1)(5x-1)\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=(x-2)^2(x+1)(5x-1)\)
\(f^{\prime}(x)=0\) হলে,
\((x-2)^2(x+1)(5x-1)=0\) হয়।
\(\Rightarrow (x-2)^2=0, x+1=0, 5x-1=0\)
\(\Rightarrow x-2=0, x=-1, 5x=1\)
\(\Rightarrow x=2, x=-1, x=\frac{1}{5}\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=0\Rightarrow x=-1, \frac{1}{5}, 2\)
এখানে,
\(x=-1, \frac{1}{5}, 2 \) বিন্দুগুলি \(-1\le{x}\le{3}\) ব্যবধিকে \(\frac{1}{5}>x\ge{-1}\), \(2>x>\frac{1}{5}\) এবং \(3\ge{x}>2\) ব্যবধিতে বিভক্ত করে।
এখন,
\(\frac{1}{5}>x\ge{-1}\) এর জন্য \((x-2)^2(x+1)(5x-1)<0\).
কাজেই \(f^{\prime}(x)<0\)
\(\therefore \frac{1}{5}>x\ge{-1}\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন হ্রাস পায়।
আবার,
\(2>x>\frac{1}{5}\) এর জন্য \((x-2)^2(x+1)(5x-1)>0\).
কাজেই \(f^{\prime}(x)>0\)
\(\therefore 2>x>\frac{1}{5}\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন বৃদ্ধি পায়।
আবার,
\(3\ge{x}>2\) এর জন্য \((x-2)^2(x+1)(5x-1)>0\).
কাজেই \(f^{\prime}(x)>0\)
\(\therefore 3\ge{x}>2\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন বৃদ্ধি পায়।
\(Q.1.(xv)\) \(f(x)=x-x^2-x^3\) এর সন্ধিবিন্দু নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((-1, -1); (\frac{1}{3}, \frac{5}{27})\)
উত্তরঃ \((-1, -1); (\frac{1}{3}, \frac{5}{27})\)
সমাধানঃ
ধরি,
\(f(x)=x-x^2-x^3 .......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(x-x^2-x^3)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(x^2)-\frac{d}{dx}(x^3)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\)\(\frac{d}{dx}(u-v-w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)\)
\(=1-2x-3x^2\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=1-2x-3x^2\)
সন্ধিবিন্দুতে \(f^{\prime}(x)=0\)
\(\therefore 1-2x-3x^2=0\)
\(\Rightarrow 3x^2+2x-1=0\)
\(\Rightarrow 3x^2+3x-x-1=0\)
\(\Rightarrow 3x(x+1)-1(x+1)=0\)
\(\Rightarrow (x+1)(3x-1)=0\)
\(\Rightarrow x+1=0, 3x-1=0\)
\(\Rightarrow x=-1, 3x=1\)
\(\Rightarrow x=-1, x=\frac{1}{3}\)
\(\therefore x=-1, \frac{1}{3}\)
\((1)\) হতে,
যখন, \(x=-1\)
তখন, \(f(x)=-1-(-1)^2-(-1)^3\)
\(=-1-1+1\)
\(=-1\)
যখন, \(x=\frac{1}{3}\)
তখন, \(f(x)=\frac{1}{3}-\left(\frac{1}{3}\right)^2-\left(\frac{1}{3}\right)^3\)
\(=\frac{1}{3}-\frac{1}{9}-\frac{1}{27}\)
\(=\frac{9-3-1}{27}\)
\(=\frac{9-4}{27}\)
\(=\frac{5}{27}\)
\(\therefore \) সন্ধিবিন্দুগুলি \((-1, -1); (\frac{1}{3}, \frac{5}{27})\).
\(f(x)=x-x^2-x^3 .......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(x-x^2-x^3)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(x^2)-\frac{d}{dx}(x^3)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\)\(\frac{d}{dx}(u-v-w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)\)
\(=1-2x-3x^2\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=1-2x-3x^2\)
সন্ধিবিন্দুতে \(f^{\prime}(x)=0\)
\(\therefore 1-2x-3x^2=0\)
\(\Rightarrow 3x^2+2x-1=0\)
\(\Rightarrow 3x^2+3x-x-1=0\)
\(\Rightarrow 3x(x+1)-1(x+1)=0\)
\(\Rightarrow (x+1)(3x-1)=0\)
\(\Rightarrow x+1=0, 3x-1=0\)
\(\Rightarrow x=-1, 3x=1\)
\(\Rightarrow x=-1, x=\frac{1}{3}\)
\(\therefore x=-1, \frac{1}{3}\)
\((1)\) হতে,
যখন, \(x=-1\)
তখন, \(f(x)=-1-(-1)^2-(-1)^3\)
\(=-1-1+1\)
\(=-1\)
যখন, \(x=\frac{1}{3}\)
তখন, \(f(x)=\frac{1}{3}-\left(\frac{1}{3}\right)^2-\left(\frac{1}{3}\right)^3\)
\(=\frac{1}{3}-\frac{1}{9}-\frac{1}{27}\)
\(=\frac{9-3-1}{27}\)
\(=\frac{9-4}{27}\)
\(=\frac{5}{27}\)
\(\therefore \) সন্ধিবিন্দুগুলি \((-1, -1); (\frac{1}{3}, \frac{5}{27})\).
\(Q.1.(xvi)\) \(f(x)=2x^3-9x^2+12x+5\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \( =9\); গুরুমান \( =10\) .
[ চঃ২০০৪; রাঃ২০১১ ]
উত্তরঃ লঘুমান \( =9\); গুরুমান \( =10\) .
[ চঃ২০০৪; রাঃ২০১১ ]
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=f(x)=2x^3-9x^2+12x+5 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(2x^3-9x^2+12x+5)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2\frac{d}{dx}(x^3)-9\frac{d}{dx}(x^2)+12\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(5)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=2.3x^2-9.2x+12.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=6x^2-18x+12\)
\(=6(x^2-3x+2)\)
\(=6(x^2-2x-x+2)\)
\(=6\{x(x-2)-1(x-2)\}\)
\(=6(x-2)(x-1)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=6(x-2)(x-1)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 6(x-2)(x-1)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=6(x-2)(x-1)\)
\(\Rightarrow (x-2)(x-1)=0\)
\(\Rightarrow x-2=0, x-1=0\)
\(\Rightarrow x=2, x=1\)
\(\therefore x=2, 1\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(6x^2-18x+12)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=6(x-2)(x-1)=6x^2-18x+12\)
\(=6\frac{d}{dx}(x^2)-18\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(12)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=6.2x-18.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\) \(\frac{d}{dx}(x)=1,\frac{d}{dx}(c)=0\),
\(=12x-18\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=12x-18\)
এখন, \(x=1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.1-18\)
\(=12-18\)
\(=-6\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান আছে।
ফাংশনটির গুরুমান \(=2.1^3-9.1^2+12.1+5\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=2x^3-9x^2+12x+5\)
\(=2-9+12+5\)
\(=19-9\)
\(=10\)
আবার, \(x=2\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.2-18\)
\(=24-18\)
\(=6\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=2\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান আছে।
ফাংশনটির লঘুমান \(=2.2^3-9.2^2+12.2+5\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=2x^3-9x^2+12x+5\)
\(=2.8-9.4+24+5\)
\(=16-36+29\)
\(=45-36\)
\(=9\)
\(y=f(x)=2x^3-9x^2+12x+5 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(2x^3-9x^2+12x+5)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2\frac{d}{dx}(x^3)-9\frac{d}{dx}(x^2)+12\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(5)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=2.3x^2-9.2x+12.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=6x^2-18x+12\)
\(=6(x^2-3x+2)\)
\(=6(x^2-2x-x+2)\)
\(=6\{x(x-2)-1(x-2)\}\)
\(=6(x-2)(x-1)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=6(x-2)(x-1)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 6(x-2)(x-1)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=6(x-2)(x-1)\)
\(\Rightarrow (x-2)(x-1)=0\)
\(\Rightarrow x-2=0, x-1=0\)
\(\Rightarrow x=2, x=1\)
\(\therefore x=2, 1\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(6x^2-18x+12)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=6(x-2)(x-1)=6x^2-18x+12\)
\(=6\frac{d}{dx}(x^2)-18\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(12)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=6.2x-18.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\) \(\frac{d}{dx}(x)=1,\frac{d}{dx}(c)=0\),
\(=12x-18\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=12x-18\)
এখন, \(x=1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.1-18\)
\(=12-18\)
\(=-6\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান আছে।
ফাংশনটির গুরুমান \(=2.1^3-9.1^2+12.1+5\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=2x^3-9x^2+12x+5\)
\(=2-9+12+5\)
\(=19-9\)
\(=10\)
আবার, \(x=2\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.2-18\)
\(=24-18\)
\(=6\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=2\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান আছে।
ফাংশনটির লঘুমান \(=2.2^3-9.2^2+12.2+5\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=2x^3-9x^2+12x+5\)
\(=2.8-9.4+24+5\)
\(=16-36+29\)
\(=45-36\)
\(=9\)
\(Q.1.(xvii)\) \(f(x)=x(12-2x)^2\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \( =0\); গুরুমান \( =128\) .
[ যঃ২০০৫ ]
উত্তরঃ লঘুমান \( =0\); গুরুমান \( =128\) .
[ যঃ২০০৫ ]
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=f(x)=x(12-2x)^2 ......(1)\)
\(\Rightarrow y=x\{(12)^2-2.12.2x+(2x)^2\}\)
\(\Rightarrow y=x\{144-48x+4x^2\}\)
\(\Rightarrow y=144x-48x^2+4x^3\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(144x-48x^2+4x^3)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=144\frac{d}{dx}(x)-48\frac{d}{dx}(x^2)+3\frac{d}{dx}(x^3)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=144.1-48.2x+4.3x^2\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=144-96x+12x^2\)
\(=12x^2-96x+144\)
\(=12(x^2-8x+12)\)
\(=12(x^2-6x-2x+12)\)
\(=12\{x(x-6)-2(x-6)\}\)
\(=12(x-6)(x-2)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=12(x-6)(x-2)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 12(x-6)(x-2)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=12(x-6)(x-2)\)
\(\Rightarrow (x-6)(x-2)=0\)
\(\Rightarrow x-6=0, x-2=0\)
\(\Rightarrow x=6, x=2\)
\(\therefore x=6, 2\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(144-96x+12x^2)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=12(x-6)(x-2)=144-96x+12x^2\)
\(=\frac{d}{dx}(144)-96\frac{d}{dx}(x)+12\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=0-96.1+12.2x\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(c)=0,\frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=-96+24x\)
\(=24x-96\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=24(x-4)\)
এখন, \(x=2\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=24(2-4)\)
\(=24.(-2)\)
\(=-48\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=2\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান আছে।
ফাংশনটির গুরুমান \(=2(12-2.2)^2\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x(12-2x)^2\)
\(=2(12-4)^2\)
\(=2(8)^2\)
\(=2.64\)
\(=128\)
আবার, \(x=6\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=24(6-4)\)
\(=24.2\)
\(=48\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=6\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান হবে।
ফাংশনটির লঘুমান \(=2(12-2.6)^2\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x(12-2x)^2\)
\(=2(12-12)^2\)
\(=2(0)^2\)
\(=2.0\)
\(=0\)
\(y=f(x)=x(12-2x)^2 ......(1)\)
\(\Rightarrow y=x\{(12)^2-2.12.2x+(2x)^2\}\)
\(\Rightarrow y=x\{144-48x+4x^2\}\)
\(\Rightarrow y=144x-48x^2+4x^3\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(144x-48x^2+4x^3)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=144\frac{d}{dx}(x)-48\frac{d}{dx}(x^2)+3\frac{d}{dx}(x^3)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=144.1-48.2x+4.3x^2\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=144-96x+12x^2\)
\(=12x^2-96x+144\)
\(=12(x^2-8x+12)\)
\(=12(x^2-6x-2x+12)\)
\(=12\{x(x-6)-2(x-6)\}\)
\(=12(x-6)(x-2)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=12(x-6)(x-2)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 12(x-6)(x-2)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=12(x-6)(x-2)\)
\(\Rightarrow (x-6)(x-2)=0\)
\(\Rightarrow x-6=0, x-2=0\)
\(\Rightarrow x=6, x=2\)
\(\therefore x=6, 2\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(144-96x+12x^2)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=12(x-6)(x-2)=144-96x+12x^2\)
\(=\frac{d}{dx}(144)-96\frac{d}{dx}(x)+12\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=0-96.1+12.2x\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(c)=0,\frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=-96+24x\)
\(=24x-96\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=24(x-4)\)
এখন, \(x=2\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=24(2-4)\)
\(=24.(-2)\)
\(=-48\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=2\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান আছে।
ফাংশনটির গুরুমান \(=2(12-2.2)^2\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x(12-2x)^2\)
\(=2(12-4)^2\)
\(=2(8)^2\)
\(=2.64\)
\(=128\)
আবার, \(x=6\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=24(6-4)\)
\(=24.2\)
\(=48\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=6\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান হবে।
ফাংশনটির লঘুমান \(=2(12-2.6)^2\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x(12-2x)^2\)
\(=2(12-12)^2\)
\(=2(0)^2\)
\(=2.0\)
\(=0\)
\(Q.1.(xviii)\) \(u=\frac{4}{x}+\frac{36}{y}\), যখন \(x+y=2\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \( =32\); গুরুমান \( =5\) .
[ যঃ২০০৫ ]
উত্তরঃ লঘুমান \( =32\); গুরুমান \( =5\) .
[ যঃ২০০৫ ]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(u=\frac{4}{x}+\frac{36}{y}\), যখন \(x+y=2\)
\(\Rightarrow u=\frac{4}{x}+\frac{36}{2-x}\), যখন \(y=2-x\)
\(\therefore u=\frac{4}{x}+\frac{36}{2-x} ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(u)=\frac{d}{dx}\left(\frac{4}{x}+\frac{36}{2-x}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=4\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)+36\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2-x}\right)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=-4\frac{1}{x^2}-36\frac{1}{(2-x)^2}.(-1)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}\)
\(=-4\frac{1}{x^2}+36\frac{1}{(2-x)^2}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=-4\frac{1}{x^2}+36\frac{1}{(2-x)^2}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow -4\frac{1}{x^2}+36\frac{1}{(2-x)^2}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=-4\frac{1}{x^2}+36\frac{1}{(2-x)^2}\)
\(\Rightarrow 36\frac{1}{(2-x)^2}=4\frac{1}{x^2}\)
\(\Rightarrow \frac{9}{(2-x)^2}=\frac{1}{x^2}\)
\(\Rightarrow 9x^2=(2-x)^2\)
\(\Rightarrow 9x^2=4-4x+x^2\)
\(\Rightarrow 9x^2-4+4x-x^2=0\)
\(\Rightarrow 8x^2+4x-4=0\)
\(\Rightarrow 4(2x^2+x-1)=0\)
\(\Rightarrow 2x^2+x-1=0\)
\(\Rightarrow 2x^2+2x-x-1=0\)
\(\Rightarrow 2x(x+1)-1(x+1)=0\)
\(\Rightarrow (x+1)(2x-1)=0\)
\(\Rightarrow x+1=0, 2x-1=0\)
\(\Rightarrow x=-1, 2x=1\)
\(\Rightarrow x=-1, x=\frac{1}{2}\)
\(\therefore x=-1, \frac{1}{2}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(-4\frac{1}{x^2}+36\frac{1}{(2-x)^2}\right)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=-4\frac{1}{x^2}+36\frac{1}{(2-x)^2}\)
\(=-4\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^2}\right)+36\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{(2-x)^2}\right)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(=-4\frac{d}{dx}(x^{-2})+36\frac{d}{dx}\{(2-x)^{-2}\}\)
\(=-4\times{-2}x^{-3}+36\times{-2}(2-x)^{-3}(-1)\)
\(=8x^{-3}+72(2-x)^{-3}\)
\(=\frac{8}{x^{3}}+\frac{72}{(2-x)^{3}}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{8}{x^{3}}+\frac{72}{(2-x)^{3}}\)
এখন, \(x=-1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{8}{(-1)^{3}}+\frac{72}{(2+1)^{3}}\)
\(=\frac{8}{-1}+\frac{72}{(3)^{3}}\)
\(=-8+\frac{72}{27}\)
\(=-8+\frac{8}{3}\)
\(=\frac{-24+8}{3}\)
\(=\frac{-16}{3}\)
\(=-\frac{16}{3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=-1\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান আছে।
ফাংশনটির গুরুমান \(=\frac{4}{x}+\frac{36}{2-x}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=\frac{4}{x}+\frac{36}{2-x}\)
\(=\frac{4}{-1}+\frac{36}{2+1}\)
\(=-4+\frac{36}{4}\)
\(=-4+9\)
\(=5\)
আবার, \(x=\frac{1}{2}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{8}{\left(\frac{1}{2}\right)^{3}}+\frac{72}{\left(2-\frac{1}{2}\right)^{3}}\)
\(=\frac{8}{\frac{1}{8}}+\frac{72}{\left(\frac{4-1}{2}\right)^{3}}\)
\(=\frac{64}{1}+\frac{72}{\left(\frac{3}{2}\right)^{3}}\)
\(=64+\frac{72}{\frac{27}{4}}\)
\(=64+\frac{72\times{4}}{27}\)
\(=64+\frac{8\times{4}}{3}\)
\(=64+\frac{32}{3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=\frac{1}{2}\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান হবে।
ফাংশনটির লঘুমান \(=\frac{4}{\frac{1}{2}}+\frac{36}{2-\frac{1}{2}}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=\frac{4}{x}+\frac{36}{2-x}\)
\(=\frac{8}{1}+\frac{36}{\frac{4-1}{2}}\)
\(=8+\frac{36}{\frac{3}{2}}\)
\(=8+\frac{72}{3}\)
\(=8+24\)
\(=32\)
\(u=\frac{4}{x}+\frac{36}{y}\), যখন \(x+y=2\)
\(\Rightarrow u=\frac{4}{x}+\frac{36}{2-x}\), যখন \(y=2-x\)
\(\therefore u=\frac{4}{x}+\frac{36}{2-x} ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(u)=\frac{d}{dx}\left(\frac{4}{x}+\frac{36}{2-x}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=4\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)+36\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2-x}\right)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=-4\frac{1}{x^2}-36\frac{1}{(2-x)^2}.(-1)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}\)
\(=-4\frac{1}{x^2}+36\frac{1}{(2-x)^2}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=-4\frac{1}{x^2}+36\frac{1}{(2-x)^2}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow -4\frac{1}{x^2}+36\frac{1}{(2-x)^2}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=-4\frac{1}{x^2}+36\frac{1}{(2-x)^2}\)
\(\Rightarrow 36\frac{1}{(2-x)^2}=4\frac{1}{x^2}\)
\(\Rightarrow \frac{9}{(2-x)^2}=\frac{1}{x^2}\)
\(\Rightarrow 9x^2=(2-x)^2\)
\(\Rightarrow 9x^2=4-4x+x^2\)
\(\Rightarrow 9x^2-4+4x-x^2=0\)
\(\Rightarrow 8x^2+4x-4=0\)
\(\Rightarrow 4(2x^2+x-1)=0\)
\(\Rightarrow 2x^2+x-1=0\)
\(\Rightarrow 2x^2+2x-x-1=0\)
\(\Rightarrow 2x(x+1)-1(x+1)=0\)
\(\Rightarrow (x+1)(2x-1)=0\)
\(\Rightarrow x+1=0, 2x-1=0\)
\(\Rightarrow x=-1, 2x=1\)
\(\Rightarrow x=-1, x=\frac{1}{2}\)
\(\therefore x=-1, \frac{1}{2}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(-4\frac{1}{x^2}+36\frac{1}{(2-x)^2}\right)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=-4\frac{1}{x^2}+36\frac{1}{(2-x)^2}\)
\(=-4\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^2}\right)+36\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{(2-x)^2}\right)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(=-4\frac{d}{dx}(x^{-2})+36\frac{d}{dx}\{(2-x)^{-2}\}\)
\(=-4\times{-2}x^{-3}+36\times{-2}(2-x)^{-3}(-1)\)
\(=8x^{-3}+72(2-x)^{-3}\)
\(=\frac{8}{x^{3}}+\frac{72}{(2-x)^{3}}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{8}{x^{3}}+\frac{72}{(2-x)^{3}}\)
এখন, \(x=-1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{8}{(-1)^{3}}+\frac{72}{(2+1)^{3}}\)
\(=\frac{8}{-1}+\frac{72}{(3)^{3}}\)
\(=-8+\frac{72}{27}\)
\(=-8+\frac{8}{3}\)
\(=\frac{-24+8}{3}\)
\(=\frac{-16}{3}\)
\(=-\frac{16}{3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=-1\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান আছে।
ফাংশনটির গুরুমান \(=\frac{4}{x}+\frac{36}{2-x}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=\frac{4}{x}+\frac{36}{2-x}\)
\(=\frac{4}{-1}+\frac{36}{2+1}\)
\(=-4+\frac{36}{4}\)
\(=-4+9\)
\(=5\)
আবার, \(x=\frac{1}{2}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{8}{\left(\frac{1}{2}\right)^{3}}+\frac{72}{\left(2-\frac{1}{2}\right)^{3}}\)
\(=\frac{8}{\frac{1}{8}}+\frac{72}{\left(\frac{4-1}{2}\right)^{3}}\)
\(=\frac{64}{1}+\frac{72}{\left(\frac{3}{2}\right)^{3}}\)
\(=64+\frac{72}{\frac{27}{4}}\)
\(=64+\frac{72\times{4}}{27}\)
\(=64+\frac{8\times{4}}{3}\)
\(=64+\frac{32}{3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=\frac{1}{2}\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান হবে।
ফাংশনটির লঘুমান \(=\frac{4}{\frac{1}{2}}+\frac{36}{2-\frac{1}{2}}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=\frac{4}{x}+\frac{36}{2-x}\)
\(=\frac{8}{1}+\frac{36}{\frac{4-1}{2}}\)
\(=8+\frac{36}{\frac{3}{2}}\)
\(=8+\frac{72}{3}\)
\(=8+24\)
\(=32\)
\(Q.1.(xix)\) \(f(x)=x^3-6x^2+9x+5\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \( =5\); গুরুমান \( =9\) .
[ চঃ২০০৪; সিঃ২০১৩ ]
উত্তরঃ লঘুমান \( =5\); গুরুমান \( =9\) .
[ চঃ২০০৪; সিঃ২০১৩ ]
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=f(x)=x^3-6x^2+9x+5 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^3-6x^2+9x+5)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3)-6\frac{d}{dx}(x^2)+9\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(5)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=3x^2-6.2x+9.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=3x^2-12x+9\)
\(=3(x^2-4x+3)\)
\(=3(x^2-3x-x+3)\)
\(=3\{x(x-3)-1(x-3)\}\)
\(=3(x-3)(x-1)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=3(x-3)(x-1)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 3(x-3)(x-1)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=3(x-3)(x-1)\)
\(\Rightarrow (x-3)(x-1)=0\)
\(\Rightarrow x-3=0, x-1=0\)
\(\Rightarrow x=3, x=1\)
\(\therefore x=3, 1\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(3x^2-12x+9)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=3(x-3)(x-1)=3x^2-12x+9\)
\(=3\frac{d}{dx}(x^2)-12\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(9)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=3.2x-12.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\) \(\frac{d}{dx}(x)=1,\frac{d}{dx}(c)=0\),
\(=6x-12\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=6x-12\)
এখন, \(x=1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=6.1-12\)
\(=6-12\)
\(=-6\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান আছে।
ফাংশনটির গুরুমান \(=1^3-6.1^2+9.1+5\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^3-6x^2+9x+5\)
\(=1-6+9+5\)
\(=15-6\)
\(=9\)
আবার, \(x=3\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=6.3-12\)
\(=18-12\)
\(=6\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=3\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান আছে।
ফাংশনটির লঘুমান \(=3^3-6.3^2+9.3+5\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^3-6x^2+9x+5\)
\(=27-6.9+27+5\)
\(=59-54\)
\(=5\)
\(y=f(x)=x^3-6x^2+9x+5 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^3-6x^2+9x+5)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3)-6\frac{d}{dx}(x^2)+9\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(5)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=3x^2-6.2x+9.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=3x^2-12x+9\)
\(=3(x^2-4x+3)\)
\(=3(x^2-3x-x+3)\)
\(=3\{x(x-3)-1(x-3)\}\)
\(=3(x-3)(x-1)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=3(x-3)(x-1)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 3(x-3)(x-1)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=3(x-3)(x-1)\)
\(\Rightarrow (x-3)(x-1)=0\)
\(\Rightarrow x-3=0, x-1=0\)
\(\Rightarrow x=3, x=1\)
\(\therefore x=3, 1\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(3x^2-12x+9)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=3(x-3)(x-1)=3x^2-12x+9\)
\(=3\frac{d}{dx}(x^2)-12\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(9)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=3.2x-12.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\) \(\frac{d}{dx}(x)=1,\frac{d}{dx}(c)=0\),
\(=6x-12\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=6x-12\)
এখন, \(x=1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=6.1-12\)
\(=6-12\)
\(=-6\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান আছে।
ফাংশনটির গুরুমান \(=1^3-6.1^2+9.1+5\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^3-6x^2+9x+5\)
\(=1-6+9+5\)
\(=15-6\)
\(=9\)
আবার, \(x=3\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=6.3-12\)
\(=18-12\)
\(=6\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=3\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান আছে।
ফাংশনটির লঘুমান \(=3^3-6.3^2+9.3+5\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^3-6x^2+9x+5\)
\(=27-6.9+27+5\)
\(=59-54\)
\(=5\)
\(Q.1.(xx)\) \(f(x)=x^3-5x^2+3x+2\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \( =-7\); গুরুমান \( =\frac{67}{27}\).
[ মাঃ২০১২ ]
উত্তরঃ লঘুমান \( =-7\); গুরুমান \( =\frac{67}{27}\).
[ মাঃ২০১২ ]
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=f(x)=x^3-5x^2+3x+2 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^3-5x^2+3x+2)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3)-5\frac{d}{dx}(x^2)+3\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(2)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=3x^2-5.2x+3.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=3x^2-10x+3\)
\(=3x^2-9x-x+3\)
\(=3x(x-3)-1(x-3)\)
\(=(x-3)(3x-1)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=(x-3)(3x-1)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow (x-3)(3x-1)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=(x-3)(3x-1)\)
\(\Rightarrow x-3=0, 3x-1=0\)
\(\Rightarrow x=3, 3x=1\)
\(\Rightarrow x=3, x=\frac{1}{3}\)
\(\therefore x=3, \frac{1}{3}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(3x^2-10x+3)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=(x-3)(3x-1)=3x^2-10x+3\)
\(=3\frac{d}{dx}(x^2)-10\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(3)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=3.2x-10.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\) \(\frac{d}{dx}(x)=1,\frac{d}{dx}(c)=0\),
\(=6x-10\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=6x-10\)
এখন, \(x=3\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=6.3-10\)
\(=18-10\)
\(=8\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=3\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান আছে।
ফাংশনটির লঘুমান \(=3^3-5.3^2+3.3+2\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^3-5x^2+3x+2\)
\(=27-5.9+9+2\)
\(=38-45\)
\(=-7\)
আবার, \(x=\frac{1}{3}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=6.\frac{1}{3}-10\)
\(=2-10\)
\(=-8\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=\frac{1}{3}\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান আছে।
ফাংশনটির গুরুমান \(=\left(\frac{1}{3}\right)^3-5.\left(\frac{1}{3}\right)^2+3.\frac{1}{3}+2\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^3-5x^2+3x+2\)
\(=\frac{1}{27}-5.\frac{1}{9}+1+2\)
\(=\frac{1}{27}-\frac{5}{9}+3\)
\(=\frac{1-15+81}{27}\)
\(=\frac{82-15}{27}\)
\(=\frac{67}{27}\)
\(y=f(x)=x^3-5x^2+3x+2 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^3-5x^2+3x+2)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3)-5\frac{d}{dx}(x^2)+3\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(2)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=3x^2-5.2x+3.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=3x^2-10x+3\)
\(=3x^2-9x-x+3\)
\(=3x(x-3)-1(x-3)\)
\(=(x-3)(3x-1)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=(x-3)(3x-1)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow (x-3)(3x-1)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=(x-3)(3x-1)\)
\(\Rightarrow x-3=0, 3x-1=0\)
\(\Rightarrow x=3, 3x=1\)
\(\Rightarrow x=3, x=\frac{1}{3}\)
\(\therefore x=3, \frac{1}{3}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(3x^2-10x+3)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=(x-3)(3x-1)=3x^2-10x+3\)
\(=3\frac{d}{dx}(x^2)-10\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(3)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=3.2x-10.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\) \(\frac{d}{dx}(x)=1,\frac{d}{dx}(c)=0\),
\(=6x-10\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=6x-10\)
এখন, \(x=3\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=6.3-10\)
\(=18-10\)
\(=8\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=3\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান আছে।
ফাংশনটির লঘুমান \(=3^3-5.3^2+3.3+2\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^3-5x^2+3x+2\)
\(=27-5.9+9+2\)
\(=38-45\)
\(=-7\)
আবার, \(x=\frac{1}{3}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=6.\frac{1}{3}-10\)
\(=2-10\)
\(=-8\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=\frac{1}{3}\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান আছে।
ফাংশনটির গুরুমান \(=\left(\frac{1}{3}\right)^3-5.\left(\frac{1}{3}\right)^2+3.\frac{1}{3}+2\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^3-5x^2+3x+2\)
\(=\frac{1}{27}-5.\frac{1}{9}+1+2\)
\(=\frac{1}{27}-\frac{5}{9}+3\)
\(=\frac{1-15+81}{27}\)
\(=\frac{82-15}{27}\)
\(=\frac{67}{27}\)
\(Q.1.(xxi)\) \((0, 2)\) ব্যবধিতে \(f(x)=3x^4-2x^3-6x^2+6x+1\) ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বনিম্ন মান \( =2\); সর্বোচ্চ মান \( =\frac{39}{16}\).
[ দিঃ২০১০ ]
উত্তরঃ সর্বনিম্ন মান \( =2\); সর্বোচ্চ মান \( =\frac{39}{16}\).
[ দিঃ২০১০ ]
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=f(x)=3x^4-2x^3-6x^2+6x+1 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(3x^4-2x^3-6x^2+6x+1)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=3\frac{d}{dx}(x^4)-2\frac{d}{dx}(x^3)-6\frac{d}{dx}(x^2)+6\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(1)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v-w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=3.4x^3-2.3x^2-6.2x+6.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=12x^3-6x^2-12x+6\)
\(=6x^2(2x-1)-6(2x-1)\)
\(=(2x-1)(6x^2-6)\)
\(=6(2x-1)(x^2-1)\)
\(=6(2x-1)(x+1)(x-1)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=6(2x-1)(x+1)(x-1)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 6(2x-1)(x+1)(x-1)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=6(2x-1)(x+1)(x-1)\)
\(\Rightarrow (2x-1)(x+1)(x-1)=0\)
\(\Rightarrow 2x-1=0, x+1=0, x-1=0\)
\(\Rightarrow 2x=1, x=-1, x=1\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{2}, x=-1, x=1\)
\(\therefore x=-1, 1, \frac{1}{2}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(12x^3-6x^2-12x+6)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=6(2x-1)(x+1)(x-1)\)\(=12x^3-6x^2-12x+6\)
\(=12\frac{d}{dx}(x^3)-6\frac{d}{dx}(x^2)-12\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(6)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v-w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=12.3x^2-6.2x-12.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\) \(\frac{d}{dx}(x)=1,\frac{d}{dx}(c)=0\),
\(=36x^2-12x-12\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=36x^2-12x-12\)
এখন, \(x=1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=36.(1)^2-12(1)-12\)
\(=36.1-12-12\)
\(=36-24\)
\(=12\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান আছে।
ফাংশনটির লঘুমান \(=3.(1)^4-2.(1)^3-6.(1)^2+6.(1)+1\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=3x^4-2x^3-6x^2+6x+1\)
\(=3-2-6+6+1\)
\(=4-2\)
\(=2\)
আবার, \(x=\frac{1}{2}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=36.\left(\frac{1}{2}\right)^2-12.\frac{1}{2}-12\)
\(=36.\frac{1}{4}-6-12\)
\(=9-18\)
\(=-9\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=\frac{1}{2}\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান আছে।
ফাংশনটির গুরুমান \(=3.\left(\frac{1}{2}\right)^4-2.\left(\frac{1}{2}\right)^3-6.\left(\frac{1}{2}\right)^2+6.\frac{1}{2}+1\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=3x^4-2x^3-6x^2+6x+1\)
\(=3.\frac{1}{16}-2.\frac{1}{8}-6.\frac{1}{4}+3+1\)
\(=\frac{3}{16}-\frac{1}{4}-\frac{3}{2}+4\)
\(=\frac{3-4-24+64}{16}\)
\(=\frac{67-28}{16}\)
\(=\frac{39}{16}\)
\(x=-1, (0, 2)\) ব্যবধির বাহিরে অবস্থিত বলে, ইহা আলোচনা করা হয়নি।
\(y=f(x)=3x^4-2x^3-6x^2+6x+1 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(3x^4-2x^3-6x^2+6x+1)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=3\frac{d}{dx}(x^4)-2\frac{d}{dx}(x^3)-6\frac{d}{dx}(x^2)+6\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(1)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v-w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=3.4x^3-2.3x^2-6.2x+6.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=12x^3-6x^2-12x+6\)
\(=6x^2(2x-1)-6(2x-1)\)
\(=(2x-1)(6x^2-6)\)
\(=6(2x-1)(x^2-1)\)
\(=6(2x-1)(x+1)(x-1)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=6(2x-1)(x+1)(x-1)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 6(2x-1)(x+1)(x-1)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=6(2x-1)(x+1)(x-1)\)
\(\Rightarrow (2x-1)(x+1)(x-1)=0\)
\(\Rightarrow 2x-1=0, x+1=0, x-1=0\)
\(\Rightarrow 2x=1, x=-1, x=1\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{2}, x=-1, x=1\)
\(\therefore x=-1, 1, \frac{1}{2}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(12x^3-6x^2-12x+6)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=6(2x-1)(x+1)(x-1)\)\(=12x^3-6x^2-12x+6\)
\(=12\frac{d}{dx}(x^3)-6\frac{d}{dx}(x^2)-12\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(6)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v-w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=12.3x^2-6.2x-12.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\) \(\frac{d}{dx}(x)=1,\frac{d}{dx}(c)=0\),
\(=36x^2-12x-12\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=36x^2-12x-12\)
এখন, \(x=1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=36.(1)^2-12(1)-12\)
\(=36.1-12-12\)
\(=36-24\)
\(=12\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান আছে।
ফাংশনটির লঘুমান \(=3.(1)^4-2.(1)^3-6.(1)^2+6.(1)+1\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=3x^4-2x^3-6x^2+6x+1\)
\(=3-2-6+6+1\)
\(=4-2\)
\(=2\)
আবার, \(x=\frac{1}{2}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=36.\left(\frac{1}{2}\right)^2-12.\frac{1}{2}-12\)
\(=36.\frac{1}{4}-6-12\)
\(=9-18\)
\(=-9\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=\frac{1}{2}\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান আছে।
ফাংশনটির গুরুমান \(=3.\left(\frac{1}{2}\right)^4-2.\left(\frac{1}{2}\right)^3-6.\left(\frac{1}{2}\right)^2+6.\frac{1}{2}+1\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=3x^4-2x^3-6x^2+6x+1\)
\(=3.\frac{1}{16}-2.\frac{1}{8}-6.\frac{1}{4}+3+1\)
\(=\frac{3}{16}-\frac{1}{4}-\frac{3}{2}+4\)
\(=\frac{3-4-24+64}{16}\)
\(=\frac{67-28}{16}\)
\(=\frac{39}{16}\)
\(x=-1, (0, 2)\) ব্যবধির বাহিরে অবস্থিত বলে, ইহা আলোচনা করা হয়নি।
\(Q.1.(xxii)\) \((0, 3)\) ব্যবধিতে \(x^4-\frac{2}{3}x^3-2x^2+2x\) ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বনিম্ন মান \( =\frac{1}{3}\); সর্বোচ্চ মান \( =\frac{23}{48}\) .
[ দিঃ২০১০ ]
উত্তরঃ সর্বনিম্ন মান \( =\frac{1}{3}\); সর্বোচ্চ মান \( =\frac{23}{48}\) .
[ দিঃ২০১০ ]
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=x^4-\frac{2}{3}x^3-2x^2+2x ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^4-\frac{2}{3}x^3-2x^2+2x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^4)-\frac{2}{3}\frac{d}{dx}(x^3)-2\frac{d}{dx}(x^2)+2\frac{d}{dx}(x)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v-w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=4x^3-\frac{2}{3}.3x^2-2.2x+2.1\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=4x^3-2x^2-4x+2\)
\(=2x^2(2x-1)-2(2x-1)\)
\(=(2x-1)(2x^2-2)\)
\(=2(2x-1)(x^2-1)\)
\(=2(2x-1)(x+1)(x-1)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=2(2x-1)(x+1)(x-1)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 2(2x-1)(x+1)(x-1)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=2(2x-1)(x+1)(x-1)\)
\(\Rightarrow (2x-1)(x+1)(x-1)=0\)
\(\Rightarrow 2x-1=0, x+1=0, x-1=0\)
\(\Rightarrow 2x=1, x=-1, x=1\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{2}, x=-1, x=1\)
\(\therefore x=-1, 1, \frac{1}{2}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(4x^3-2x^2-4x+2)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=2(2x-1)(x+1)(x-1)\)\(=4x^3-2x^2-4x+2\)
\(=4\frac{d}{dx}(x^3)-2\frac{d}{dx}(x^2)-4\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(2)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v-w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=4.3x^2-2.2x-4.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\) \(\frac{d}{dx}(x)=1,\frac{d}{dx}(c)=0\),
\(=12x^2-4x-4\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=12x^2-4x-4\)
এখন, \(x=1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.(1)^2-4(1)-4\)
\(=12.1-4-4\)
\(=12-8\)
\(=4\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান আছে।
ফাংশনটির লঘুমান \(=1^4-\frac{2}{3}.1^3-2.1^2+2.1\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^4-\frac{2}{3}x^3-2x^2+2x\)
\(=1-\frac{2}{3}-2+2\)
\(=1-\frac{2}{3}\)
\(=\frac{3-2}{3}\)
\(=\frac{1}{3}\)
আবার, \(x=\frac{1}{2}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.\left(\frac{1}{2}\right)^2-4.\frac{1}{2}-4\)
\(=12.\frac{1}{4}-2-4\)
\(=3-6\)
\(=-3\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=\frac{1}{2}\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান আছে।
ফাংশনটির গুরুমান \(=\left(\frac{1}{2}\right)^4-\frac{2}{3}.\left(\frac{1}{2}\right)^3-2.\left(\frac{1}{2}\right)^2+2.(\frac{1}{2})\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^4-\frac{2}{3}x^3-2x^2+2x\)
\(=\frac{1}{16}-\frac{2}{3}.\frac{1}{8}-2.\frac{1}{4}+1\)
\(=\frac{1}{16}-\frac{1}{3}.\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+1\)
\(=\frac{1}{16}-\frac{1}{12}-\frac{1}{2}+1\)
\(=\frac{3-4-24+48}{48}\)
\(=\frac{51-28}{48}\)
\(=\frac{23}{48}\)
\(x=-1, (0, 3)\) ব্যবধির বাহিরে অবস্থিত বলে, ইহা আলোচনা করা হয়নি।
\(y=x^4-\frac{2}{3}x^3-2x^2+2x ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^4-\frac{2}{3}x^3-2x^2+2x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^4)-\frac{2}{3}\frac{d}{dx}(x^3)-2\frac{d}{dx}(x^2)+2\frac{d}{dx}(x)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v-w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=4x^3-\frac{2}{3}.3x^2-2.2x+2.1\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=4x^3-2x^2-4x+2\)
\(=2x^2(2x-1)-2(2x-1)\)
\(=(2x-1)(2x^2-2)\)
\(=2(2x-1)(x^2-1)\)
\(=2(2x-1)(x+1)(x-1)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=2(2x-1)(x+1)(x-1)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 2(2x-1)(x+1)(x-1)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=2(2x-1)(x+1)(x-1)\)
\(\Rightarrow (2x-1)(x+1)(x-1)=0\)
\(\Rightarrow 2x-1=0, x+1=0, x-1=0\)
\(\Rightarrow 2x=1, x=-1, x=1\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{2}, x=-1, x=1\)
\(\therefore x=-1, 1, \frac{1}{2}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(4x^3-2x^2-4x+2)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=2(2x-1)(x+1)(x-1)\)\(=4x^3-2x^2-4x+2\)
\(=4\frac{d}{dx}(x^3)-2\frac{d}{dx}(x^2)-4\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(2)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v-w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=4.3x^2-2.2x-4.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\) \(\frac{d}{dx}(x)=1,\frac{d}{dx}(c)=0\),
\(=12x^2-4x-4\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=12x^2-4x-4\)
এখন, \(x=1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.(1)^2-4(1)-4\)
\(=12.1-4-4\)
\(=12-8\)
\(=4\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান আছে।
ফাংশনটির লঘুমান \(=1^4-\frac{2}{3}.1^3-2.1^2+2.1\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^4-\frac{2}{3}x^3-2x^2+2x\)
\(=1-\frac{2}{3}-2+2\)
\(=1-\frac{2}{3}\)
\(=\frac{3-2}{3}\)
\(=\frac{1}{3}\)
আবার, \(x=\frac{1}{2}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.\left(\frac{1}{2}\right)^2-4.\frac{1}{2}-4\)
\(=12.\frac{1}{4}-2-4\)
\(=3-6\)
\(=-3\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=\frac{1}{2}\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান আছে।
ফাংশনটির গুরুমান \(=\left(\frac{1}{2}\right)^4-\frac{2}{3}.\left(\frac{1}{2}\right)^3-2.\left(\frac{1}{2}\right)^2+2.(\frac{1}{2})\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^4-\frac{2}{3}x^3-2x^2+2x\)
\(=\frac{1}{16}-\frac{2}{3}.\frac{1}{8}-2.\frac{1}{4}+1\)
\(=\frac{1}{16}-\frac{1}{3}.\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+1\)
\(=\frac{1}{16}-\frac{1}{12}-\frac{1}{2}+1\)
\(=\frac{3-4-24+48}{48}\)
\(=\frac{51-28}{48}\)
\(=\frac{23}{48}\)
\(x=-1, (0, 3)\) ব্যবধির বাহিরে অবস্থিত বলে, ইহা আলোচনা করা হয়নি।
\(Q.1.(xxiii)\) দেখাও যে, \(f(x)=1-x-x^3\) একটি \(x\) এর ক্রমহ্রাসমান ফাংশন।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(f(x)=1-x-x^3\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(1-x-x^3)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(1)-\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(x^3)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\)\(\frac{d}{dx}(u-v-w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)\)
\(=0-1-3x^2\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=-1-3x^2\)
\(=-3x^2-1\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=-3x^2-1\)
এখানে,
\(x\) এর সকল বাস্তব মানের জন্য \(f^{\prime}(x)<0\)
\(\therefore \) প্রদত্ত ফাংশনটি ক্রমহ্রাসমান।
\(f(x)=1-x-x^3\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(1-x-x^3)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(1)-\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(x^3)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\)\(\frac{d}{dx}(u-v-w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)\)
\(=0-1-3x^2\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=-1-3x^2\)
\(=-3x^2-1\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=-3x^2-1\)
এখানে,
\(x\) এর সকল বাস্তব মানের জন্য \(f^{\prime}(x)<0\)
\(\therefore \) প্রদত্ত ফাংশনটি ক্রমহ্রাসমান।
\(Q.1.(xxiv)\) যে সকল ব্যবধিতে \(f(x)=x^3-3x+5\) ফাংশনটি বৃদ্ধি বা হ্রাস পায়, সেই সকল ব্যবধি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-1>x\) ও \(x>1\) ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় এবং \(1>x>-1\) ব্যবধিতে হ্রাস পায়।
উত্তরঃ \(-1>x\) ও \(x>1\) ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় এবং \(1>x>-1\) ব্যবধিতে হ্রাস পায়।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(f(x)=x^3-3x+5 .....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(x^3-3x+5)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(x^3)-3\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(5)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\)\(\frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=3x^2-3.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(c)=0\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=3x^2-3\)
\(=3(x^2-1)\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=3(x^2-1)\)
চরমবিদুর জন্য \(f^{\prime}(x)=0\)
\(\therefore 3(x^2-1)=0\) ➜\(\because f^{\prime}(x)=3(x^2-1)\)
\(\Rightarrow 3(x^2-1)=0\)
\(\Rightarrow x^2-1=0\)
\(\Rightarrow (x+1)(x-1)=0\)
\(\Rightarrow x+1=0, x-1=0\)
\(\Rightarrow x=-1, x=1\)
\(\therefore x=-1, 1\)
\( x=-1, 1\) মানদ্বয় সকল বাস্তব সংখ্যাকে \(x>1, 1>x>-1\) এবং \(-1>x\) ব্যবধিতে বিভক্ত করে।
এখন,
\(-1>x\) এর জন্য \((x-1)<0\) ও \((x+1)<0\), কাজেই \(f^{\prime}(x)>0\)
\(\therefore -1>x\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন বৃদ্ধি পায়।
আবার,
\(1>x>-1\) এর জন্য \((x+1)>0\) ও \((x-1)<0\), কাজেই \(f^{\prime}(x)<0\)
\(\therefore 1>x>-1\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন হ্রাস পায়।
অপরপক্ষে \(x>1\) এর জন্য \((x-1)>0\) ও \((x+1)>0\), কাজেই \(f^{\prime}(x)>0\)
\(x>1\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন বৃদ্ধি পায়।
সুতরাং, প্রদত্ত ফাংশনটি \(-1>x\) ও \(x>1\) ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় এবং \(1>x>-1\) ব্যবধিতে হ্রাস পায়।
\(f(x)=x^3-3x+5 .....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(x^3-3x+5)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(x^3)-3\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(5)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\)\(\frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=3x^2-3.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(c)=0\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=3x^2-3\)
\(=3(x^2-1)\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=3(x^2-1)\)
চরমবিদুর জন্য \(f^{\prime}(x)=0\)
\(\therefore 3(x^2-1)=0\) ➜\(\because f^{\prime}(x)=3(x^2-1)\)
\(\Rightarrow 3(x^2-1)=0\)
\(\Rightarrow x^2-1=0\)
\(\Rightarrow (x+1)(x-1)=0\)
\(\Rightarrow x+1=0, x-1=0\)
\(\Rightarrow x=-1, x=1\)
\(\therefore x=-1, 1\)
\( x=-1, 1\) মানদ্বয় সকল বাস্তব সংখ্যাকে \(x>1, 1>x>-1\) এবং \(-1>x\) ব্যবধিতে বিভক্ত করে।
এখন,
\(-1>x\) এর জন্য \((x-1)<0\) ও \((x+1)<0\), কাজেই \(f^{\prime}(x)>0\)
\(\therefore -1>x\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন বৃদ্ধি পায়।
আবার,
\(1>x>-1\) এর জন্য \((x+1)>0\) ও \((x-1)<0\), কাজেই \(f^{\prime}(x)<0\)
\(\therefore 1>x>-1\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন হ্রাস পায়।
অপরপক্ষে \(x>1\) এর জন্য \((x-1)>0\) ও \((x+1)>0\), কাজেই \(f^{\prime}(x)>0\)
\(x>1\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন বৃদ্ধি পায়।
সুতরাং, প্রদত্ত ফাংশনটি \(-1>x\) ও \(x>1\) ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় এবং \(1>x>-1\) ব্যবধিতে হ্রাস পায়।
\(Q.1.(xxv)\) \(f(x)=2x^3-3x^2-12x+30\) ফাংশনটি কোন ব্যবধিতে হ্রাস পায় এবং কোন ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-1>x\) ও \(x>2\) ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় এবং \(2>x>-1\) ব্যবধিতে হ্রাস পায়।
উত্তরঃ \(-1>x\) ও \(x>2\) ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় এবং \(2>x>-1\) ব্যবধিতে হ্রাস পায়।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(f(x)=2x^3-3x^2-12x+30 .....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(2x^3-3x^2-12x+30)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=2\frac{d}{dx}(x^3)-3\frac{d}{dx}(x^2)-12\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(30)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\)\(\frac{d}{dx}(u-v-w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=2.3x^2-3.2x-12.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(c)=0\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=6x^2-6x-12\)
\(=6(x^2-x-2)\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=6(x^2-x-2)\)
চরমবিদুর জন্য \(f^{\prime}(x)=0\)
\(\therefore 6(x^2-x-2)=0\) ➜\(\because f^{\prime}(x)=3(x^2-1)\)
\(\Rightarrow x^2-x-2=0\)
\(\Rightarrow x^2-2x+x-2=0\)
\(\Rightarrow x(x-2)+1(x-2)=0\)
\(\Rightarrow (x-2)(x+1)=0\)
\(\Rightarrow x-2=0, x+1=0\)
\(\Rightarrow x=2, x=-1\)
\(\therefore x=-1, 2\)
\( x=-1, 2\) মানদ্বয় সকল বাস্তব সংখ্যাকে \(x>2, 2>x>-1\) এবং \(-1>x\) ব্যবধিতে বিভক্ত করে।
এখন,
\(-1>x\) এর জন্য \((x+1)<0\) ও \((x-2)<0\), কাজেই \(f^{\prime}(x)>0\)
\(\therefore -1>x\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন বৃদ্ধি পায়।
আবার,
\(2>x>-1\) এর জন্য \((x+1)>0\) ও \((x-2)<0\), কাজেই \(f^{\prime}(x)<0\)
\(\therefore 2>x>-1\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন হ্রাস পায়।
অপরপক্ষে \(x>2\) এর জন্য \((x-2)>0\) ও \((x+1)>0\), কাজেই \(f^{\prime}(x)>0\)
\(x>2\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন বৃদ্ধি পায়।
সুতরাং, প্রদত্ত ফাংশনটি \(-1>x\) ও \(x>2\) ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় এবং \(2>x>-1\) ব্যবধিতে হ্রাস পায়।
\(f(x)=2x^3-3x^2-12x+30 .....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(2x^3-3x^2-12x+30)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=2\frac{d}{dx}(x^3)-3\frac{d}{dx}(x^2)-12\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(30)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\)\(\frac{d}{dx}(u-v-w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=2.3x^2-3.2x-12.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(c)=0\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=6x^2-6x-12\)
\(=6(x^2-x-2)\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=6(x^2-x-2)\)
চরমবিদুর জন্য \(f^{\prime}(x)=0\)
\(\therefore 6(x^2-x-2)=0\) ➜\(\because f^{\prime}(x)=3(x^2-1)\)
\(\Rightarrow x^2-x-2=0\)
\(\Rightarrow x^2-2x+x-2=0\)
\(\Rightarrow x(x-2)+1(x-2)=0\)
\(\Rightarrow (x-2)(x+1)=0\)
\(\Rightarrow x-2=0, x+1=0\)
\(\Rightarrow x=2, x=-1\)
\(\therefore x=-1, 2\)
\( x=-1, 2\) মানদ্বয় সকল বাস্তব সংখ্যাকে \(x>2, 2>x>-1\) এবং \(-1>x\) ব্যবধিতে বিভক্ত করে।
এখন,
\(-1>x\) এর জন্য \((x+1)<0\) ও \((x-2)<0\), কাজেই \(f^{\prime}(x)>0\)
\(\therefore -1>x\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন বৃদ্ধি পায়।
আবার,
\(2>x>-1\) এর জন্য \((x+1)>0\) ও \((x-2)<0\), কাজেই \(f^{\prime}(x)<0\)
\(\therefore 2>x>-1\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন হ্রাস পায়।
অপরপক্ষে \(x>2\) এর জন্য \((x-2)>0\) ও \((x+1)>0\), কাজেই \(f^{\prime}(x)>0\)
\(x>2\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন বৃদ্ধি পায়।
সুতরাং, প্রদত্ত ফাংশনটি \(-1>x\) ও \(x>2\) ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় এবং \(2>x>-1\) ব্যবধিতে হ্রাস পায়।
\(Q.1.(xxvi)\) \(f(x)=3x^2-2x+4, -1\le{x}\le{2}\) ফাংশনটি কোন ব্যবধিতে হ্রাস পায় এবং কোন ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}>x\ge{-1}\) ব্যবধিতে হ্রাস পায় এবং \(2\ge{x}>\frac{1}{3}\) ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায়।
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}>x\ge{-1}\) ব্যবধিতে হ্রাস পায় এবং \(2\ge{x}>\frac{1}{3}\) ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায়।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(f(x)=3x^2-2x+4 .....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(3x^2-2x+4)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=3\frac{d}{dx}(x^2)-2\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(4)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\)\(\frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=3.2x-2.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(c)=0\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=6x-2\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=6x-2\)
চরমবিদুর জন্য \(f^{\prime}(x)=0\)
\(\therefore 6x-2=0\) ➜\(\because f^{\prime}(x)=3(x^2-1)\)
\(\Rightarrow 6x=2\)
\(\Rightarrow x=\frac{2}{6}\)
\(\therefore x=\frac{1}{3}\)
\( x=\frac{1}{3}\) এই মান \(-1\le{x}\le{2}\) ব্যবধিকে \(\frac{1}{3}>x\ge{-1}\) এবং \(2\ge{x}>\frac{1}{3}\) ব্যবধিতে বিভক্ত করে।
এখন,
\(\frac{1}{3}>x\ge{-1}\) এর জন্য \(6x-2<0\), কাজেই \(f^{\prime}(x)<0\)
\(\therefore \frac{1}{3}>x\ge{-1}\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন হ্রাস পায়।
আবার,
\(2\ge{x}>\frac{1}{3}\) এর জন্য \(6x-2>0\), কাজেই \(f^{\prime}(x)>0\)
\(\therefore 2\ge{x}>\frac{1}{3}\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন বৃদ্ধি পায়।
সুতরাং, প্রদত্ত ফাংশনটি \(2\ge{x}>\frac{1}{3}\) ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় এবং \(\frac{1}{3}>x\ge{-1}\) ব্যবধিতে হ্রাস পায়।
\(f(x)=3x^2-2x+4 .....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(3x^2-2x+4)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=3\frac{d}{dx}(x^2)-2\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(4)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\)\(\frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=3.2x-2.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(c)=0\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=6x-2\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=6x-2\)
চরমবিদুর জন্য \(f^{\prime}(x)=0\)
\(\therefore 6x-2=0\) ➜\(\because f^{\prime}(x)=3(x^2-1)\)
\(\Rightarrow 6x=2\)
\(\Rightarrow x=\frac{2}{6}\)
\(\therefore x=\frac{1}{3}\)
\( x=\frac{1}{3}\) এই মান \(-1\le{x}\le{2}\) ব্যবধিকে \(\frac{1}{3}>x\ge{-1}\) এবং \(2\ge{x}>\frac{1}{3}\) ব্যবধিতে বিভক্ত করে।
এখন,
\(\frac{1}{3}>x\ge{-1}\) এর জন্য \(6x-2<0\), কাজেই \(f^{\prime}(x)<0\)
\(\therefore \frac{1}{3}>x\ge{-1}\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন হ্রাস পায়।
আবার,
\(2\ge{x}>\frac{1}{3}\) এর জন্য \(6x-2>0\), কাজেই \(f^{\prime}(x)>0\)
\(\therefore 2\ge{x}>\frac{1}{3}\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন বৃদ্ধি পায়।
সুতরাং, প্রদত্ত ফাংশনটি \(2\ge{x}>\frac{1}{3}\) ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় এবং \(\frac{1}{3}>x\ge{-1}\) ব্যবধিতে হ্রাস পায়।
\(Q.1.(xxvii)\) \(f(x)=x^4-8x^3+22x^2-24x+5\) এর লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘিষ্ঠমাণ \( =-4\) ; গরিষ্ঠমাণ \( =-3\)
উত্তরঃ লঘিষ্ঠমাণ \( =-4\) ; গরিষ্ঠমাণ \( =-3\)
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=x^4-8x^3+22x^2-24x+5 .....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^4-8x^3+22x^2-24x+5)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^4)-8\frac{d}{dx}(x^3)+22\frac{d}{dx}(x^2)-24\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(5)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w-..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)-..\)
\(=4x^3-8.3x^2+22.2x-24.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=4x^3-24x^2+44x-24\)
\(=4(x^3-6x^2+11x-6)\)
\(=4\{x^3-x^2-5x^2+5x+6x-6\}\)
\(=4\{x^2(x-1)-5x(x-1)+6(x-1)\}\)
\(=4(x-1)\{x^2-5x+6\}\)
\(=4(x-1)\{x^2-3x-2x+6\}\)
\(=4(x-1)\{x(x-3)-2(x-3)\}\)
\(=4(x-1)(x-2)(x-3)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=4(x-1)(x-2)(x-3)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 4(x-1)(x-2)(x-3)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=4(x-1)(x-2)(x-3)\)
\(\Rightarrow (x-1)(x-2)(x-3)=0\)
\(\Rightarrow x-1=0, x-2=0, x-3=0\)
\(\Rightarrow x=1, x=2, x=3\)
\(\therefore x=1, 2, 3\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(4x^3-24x^2+44x-24)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=4(x-1)(x-2)(x-3)=4x^3-24x^2+44x-24\)
\(=4\frac{d}{dx}(x^3)-24\frac{d}{dx}(x^2)+44\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(24)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w-..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)-..\)
\(=4.3x^2-24.2x+44.1-0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\) \(\frac{d}{dx}(x)=1,\frac{d}{dx}(c)=0\),
\(=12x^2-48x+44\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=12x^2-48x+44\)
এখন, \(x=1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.1^2-48.1+44\)
\(=12-48+44\)
\(=56-48\)
\(=8\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান আছে।
ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান \(=1^4-8.1^3+22.1^2-24.1+5\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^4-8x^3+22x^2-24x+5\)
\(=1-8.1+22.1-24+5\)
\(=1-8+22-24+5\)
\(=28-32\)
\(=-4\)
আবার, \(x=2\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.2^2-48.2+44\)
\(=12.4-96+44\)
\(=48-96+44\)
\(=92-96\)
\(=-4\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=2\) বিন্দুতে ফাংশনটির গরিষ্ঠমান আছে।
ফাংশনটির গরিষ্ঠমান \(=2^4-8.2^3+22.2^2-24.2+5\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^4-8x^3+22x^2-24x+5\)
\(=16-8.8+22.4-48+5\)
\(=16-64+88-48+5\)
\(=109-112\)
\(=-3\)
আবার, \(x=3\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.3^2-48.3+44\)
\(=12.9-144+44\)
\(=108-144+44\)
\(=152-96\)
\(=56\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=3\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান আছে।
ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান \(=3^4-8.3^3+22.3^2-24.3+5\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^4-8x^3+22x^2-24x+5\)
\(=81-8.27+22.9-72+5\)
\(=81-216+198-72+5\)
\(=284-288\)
\(=-4\)
\(y=x^4-8x^3+22x^2-24x+5 .....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^4-8x^3+22x^2-24x+5)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^4)-8\frac{d}{dx}(x^3)+22\frac{d}{dx}(x^2)-24\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(5)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w-..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)-..\)
\(=4x^3-8.3x^2+22.2x-24.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=4x^3-24x^2+44x-24\)
\(=4(x^3-6x^2+11x-6)\)
\(=4\{x^3-x^2-5x^2+5x+6x-6\}\)
\(=4\{x^2(x-1)-5x(x-1)+6(x-1)\}\)
\(=4(x-1)\{x^2-5x+6\}\)
\(=4(x-1)\{x^2-3x-2x+6\}\)
\(=4(x-1)\{x(x-3)-2(x-3)\}\)
\(=4(x-1)(x-2)(x-3)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=4(x-1)(x-2)(x-3)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 4(x-1)(x-2)(x-3)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=4(x-1)(x-2)(x-3)\)
\(\Rightarrow (x-1)(x-2)(x-3)=0\)
\(\Rightarrow x-1=0, x-2=0, x-3=0\)
\(\Rightarrow x=1, x=2, x=3\)
\(\therefore x=1, 2, 3\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(4x^3-24x^2+44x-24)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=4(x-1)(x-2)(x-3)=4x^3-24x^2+44x-24\)
\(=4\frac{d}{dx}(x^3)-24\frac{d}{dx}(x^2)+44\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(24)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w-..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)-..\)
\(=4.3x^2-24.2x+44.1-0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\) \(\frac{d}{dx}(x)=1,\frac{d}{dx}(c)=0\),
\(=12x^2-48x+44\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=12x^2-48x+44\)
এখন, \(x=1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.1^2-48.1+44\)
\(=12-48+44\)
\(=56-48\)
\(=8\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান আছে।
ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান \(=1^4-8.1^3+22.1^2-24.1+5\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^4-8x^3+22x^2-24x+5\)
\(=1-8.1+22.1-24+5\)
\(=1-8+22-24+5\)
\(=28-32\)
\(=-4\)
আবার, \(x=2\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.2^2-48.2+44\)
\(=12.4-96+44\)
\(=48-96+44\)
\(=92-96\)
\(=-4\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=2\) বিন্দুতে ফাংশনটির গরিষ্ঠমান আছে।
ফাংশনটির গরিষ্ঠমান \(=2^4-8.2^3+22.2^2-24.2+5\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^4-8x^3+22x^2-24x+5\)
\(=16-8.8+22.4-48+5\)
\(=16-64+88-48+5\)
\(=109-112\)
\(=-3\)
আবার, \(x=3\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.3^2-48.3+44\)
\(=12.9-144+44\)
\(=108-144+44\)
\(=152-96\)
\(=56\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=3\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান আছে।
ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান \(=3^4-8.3^3+22.3^2-24.3+5\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^4-8x^3+22x^2-24x+5\)
\(=81-8.27+22.9-72+5\)
\(=81-216+198-72+5\)
\(=284-288\)
\(=-4\)
\(Q.1.(xxviii)\) \(x^5-5x^4+5x^3-1\) ফাংশনটির লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠ মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘিষ্ঠমাণ \( =-28\) ; গরিষ্ঠমাণ \( =0\)
উত্তরঃ লঘিষ্ঠমাণ \( =-28\) ; গরিষ্ঠমাণ \( =0\)
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=x^5-5x^4+5x^3-1 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^4-8x^3+22x^2-24x+5)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^5)-5\frac{d}{dx}(x^4)+5\frac{d}{dx}(x^3)-\frac{d}{dx}(1)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w-..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)-..\)
\(=5x^4-5.4x^3+5.3x^2-0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=5x^4-20x^3+15x^2\)
\(=5x^2(x^2-4x+3)\)
\(=5x^2\{x^2-3x-x+3\}\)
\(=5x^2\{x(x-3)-1(x-3)\}\)
\(=5x^2(x-3)(x-1)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=5x^2(x-3)(x-1)\)
ফাংশনটির লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 5x^2(x-3)(x-1)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=5x^2(x-3)(x-1)\)
\(\Rightarrow x^2(x-3)(x-1)=0\)
\(\Rightarrow x^2=0, x-3=0, x-1=0\)
\(\Rightarrow x=0, x=3, x=1\)
\(\therefore x=0, 1, 3\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(5x^4-20x^3+15x^2)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=5x^2(x-3)(x-1)=5x^4-20x^3+15x^2\)
\(=5\frac{d}{dx}(x^4)-20\frac{d}{dx}(x^3)+15\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=5.4x^3-20.3x^2+15.2x\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=20x^3-60x^2+30x\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=20x^3-60x^2+30x\)
এখন, \(x=1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=20.1^3-60.1^2+30.1\)
\(=20.1-60.1+30\)
\(=20-60+30\)
\(=50-60\)
\(=-10\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে ফাংশনটির গরিষ্ঠমান আছে।
ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান \(=1^5-5.1^4+5.1^3-1\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^5-5x^4+5x^3-1\)
\(=1-5.1+5.1-1\)
\(=1-5+5-1\)
\(=6-6\)
\(=0\)
আবার, \(x=3\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=20.3^3-60.3^2+30.3\)
\(=20.27-60.9+90\)
\(=540-540+90\)
\(=90\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=3\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘিষ্ঠমাণ আছে।
ফাংশনটির গরিষ্ঠমান \(=3^5-5.3^4+5.3^3-1\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^5-5x^4+5x^3-1\)
\(=243-5.81+5.27-1\)
\(=243-405+135-1\)
\(=378-406\)
\(=-28\)
আবার, \(x=0\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=20.0^3-60.0^2+30.0\)
\(=0-0+0\)
\(=0\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=0\) এই ক্ষেত্রটি উচ্চতর শ্রেণীতে আলোচনা করা হবে, এখানে প্রযোজ্য নয়।
\(y=x^5-5x^4+5x^3-1 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^4-8x^3+22x^2-24x+5)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^5)-5\frac{d}{dx}(x^4)+5\frac{d}{dx}(x^3)-\frac{d}{dx}(1)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w-..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)-..\)
\(=5x^4-5.4x^3+5.3x^2-0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=5x^4-20x^3+15x^2\)
\(=5x^2(x^2-4x+3)\)
\(=5x^2\{x^2-3x-x+3\}\)
\(=5x^2\{x(x-3)-1(x-3)\}\)
\(=5x^2(x-3)(x-1)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=5x^2(x-3)(x-1)\)
ফাংশনটির লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 5x^2(x-3)(x-1)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=5x^2(x-3)(x-1)\)
\(\Rightarrow x^2(x-3)(x-1)=0\)
\(\Rightarrow x^2=0, x-3=0, x-1=0\)
\(\Rightarrow x=0, x=3, x=1\)
\(\therefore x=0, 1, 3\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(5x^4-20x^3+15x^2)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=5x^2(x-3)(x-1)=5x^4-20x^3+15x^2\)
\(=5\frac{d}{dx}(x^4)-20\frac{d}{dx}(x^3)+15\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=5.4x^3-20.3x^2+15.2x\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=20x^3-60x^2+30x\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=20x^3-60x^2+30x\)
এখন, \(x=1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=20.1^3-60.1^2+30.1\)
\(=20.1-60.1+30\)
\(=20-60+30\)
\(=50-60\)
\(=-10\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে ফাংশনটির গরিষ্ঠমান আছে।
ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান \(=1^5-5.1^4+5.1^3-1\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^5-5x^4+5x^3-1\)
\(=1-5.1+5.1-1\)
\(=1-5+5-1\)
\(=6-6\)
\(=0\)
আবার, \(x=3\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=20.3^3-60.3^2+30.3\)
\(=20.27-60.9+90\)
\(=540-540+90\)
\(=90\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=3\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘিষ্ঠমাণ আছে।
ফাংশনটির গরিষ্ঠমান \(=3^5-5.3^4+5.3^3-1\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^5-5x^4+5x^3-1\)
\(=243-5.81+5.27-1\)
\(=243-405+135-1\)
\(=378-406\)
\(=-28\)
আবার, \(x=0\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=20.0^3-60.0^2+30.0\)
\(=0-0+0\)
\(=0\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=0\) এই ক্ষেত্রটি উচ্চতর শ্রেণীতে আলোচনা করা হবে, এখানে প্রযোজ্য নয়।
\(Q.1.(xxix)\) প্রমাণ কর যে, \(f(x)=x^3-6x^2+27x+5\) এর কোনো চরমমান থাকবে না।
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=f(x)=x^3-6x^2+27x+5 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^3-6x^2+27x+5)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3)-6\frac{d}{dx}(x^2)+27\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(5)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=3x^3-6.2x+27.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=3x^2-12x^3+27\)
\(=3\{x^2-4x^3+9\}\)
\(=3\{x^2-4x^3+4+5\}\)
\(=3\{(x-2)^2+5\}\)
\(=3(x-2)^2+15\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=3(x-2)^2+15\)
\(\because x\) এর কোনো বাস্তব মানের জন্য \(\frac{dy}{dx}\) কখনো শূন্য হতে পারে না।
\(\therefore \) প্রদত্ত ফাংশনটির কোনো চরমমান থাকবে না।
(Showed)
\(y=f(x)=x^3-6x^2+27x+5 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^3-6x^2+27x+5)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3)-6\frac{d}{dx}(x^2)+27\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(5)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=3x^3-6.2x+27.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=3x^2-12x^3+27\)
\(=3\{x^2-4x^3+9\}\)
\(=3\{x^2-4x^3+4+5\}\)
\(=3\{(x-2)^2+5\}\)
\(=3(x-2)^2+15\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=3(x-2)^2+15\)
\(\because x\) এর কোনো বাস্তব মানের জন্য \(\frac{dy}{dx}\) কখনো শূন্য হতে পারে না।
\(\therefore \) প্রদত্ত ফাংশনটির কোনো চরমমান থাকবে না।
(Showed)
\(Q.1.(xxx)\) মুনাফা ফাংশন \(P=300+1200x-x^2\) কি পরিমাণ উৎপাদন করা হলে, মুনাফা সর্বাধিক হবে? \(x=\)উৎপাদিত দ্রব্য।
উত্তরঃ \(600\) একক।
উত্তরঃ \(600\) একক।
সমাধানঃ
ধরি,
\(P=300+1200x-x^2 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(P)=\frac{d}{dx}(300+1200x-x^2)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dP}{dx}=\frac{d}{dx}(300)+1200\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v-w)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)\)
\(=0+1200.1-2x\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(c)=0\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=1200-2x\)
\(\therefore \frac{dP}{dx}=1200-2x\)
ফাংশনটির লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠমানের জন্য \(\frac{dP}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 1200-2x=0\) ➜\(\because \frac{dP}{dx}=1200-2x\)
\(\Rightarrow -2x=-1200\)
\(\Rightarrow x=\frac{-1200}{-2}\)
\(\therefore x=600\)
আবার,
\(\frac{d^2P}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dP}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(1200-2x)\) ➜\(\because \frac{dP}{dx}=1200-2x\)
\(=\frac{d}{dx}(1200)-2\frac{d}{dx}(x)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(=0-2.1\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=-2\)
\(\therefore \frac{d^2P}{dx^2}=-2\)
এখন, \(x=600\) হলে,
\(\frac{d^2P}{dx^2}=-2\)
\(\therefore \frac{d^2P}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=600\) হলে, মুনাফা সর্বাধিক হবে।
\(P=300+1200x-x^2 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(P)=\frac{d}{dx}(300+1200x-x^2)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dP}{dx}=\frac{d}{dx}(300)+1200\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v-w)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)\)
\(=0+1200.1-2x\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(c)=0\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=1200-2x\)
\(\therefore \frac{dP}{dx}=1200-2x\)
ফাংশনটির লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠমানের জন্য \(\frac{dP}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 1200-2x=0\) ➜\(\because \frac{dP}{dx}=1200-2x\)
\(\Rightarrow -2x=-1200\)
\(\Rightarrow x=\frac{-1200}{-2}\)
\(\therefore x=600\)
আবার,
\(\frac{d^2P}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dP}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(1200-2x)\) ➜\(\because \frac{dP}{dx}=1200-2x\)
\(=\frac{d}{dx}(1200)-2\frac{d}{dx}(x)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(=0-2.1\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=-2\)
\(\therefore \frac{d^2P}{dx^2}=-2\)
এখন, \(x=600\) হলে,
\(\frac{d^2P}{dx^2}=-2\)
\(\therefore \frac{d^2P}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=600\) হলে, মুনাফা সর্বাধিক হবে।
\(Q.1.(xxxi)\) একটি খামারের মোট ব্যয় ফাংশন \(C=\frac{x^3}{3}-3x^2+12x\), যখন \(x\)উৎপাদিত এককের সংখ্যা নির্দেশ করে। আয় ফাংশন \(R=12x-x^2\) হলে সর্বাধিক মুনাফার জন্য উৎপাদন নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x=4\).
উত্তরঃ \(x=4\).
সমাধানঃ
ধরি,
\(C=\frac{x^3}{3}-3x^2+12x ......(1)\)
\(R=12x-x^2 ......(2)\) এবং
মুনাফা ফাংশন \(p=R-C\)
\(\Rightarrow p=12x-x^2-\frac{x^3}{3}+3x^2-12x\)
\(\Rightarrow p=2x^2-\frac{x^3}{3}\)
\(\therefore p=2x^2-\frac{1}{3}x^3\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(p)=\frac{d}{dx}\left(2x^2-\frac{1}{3}x^3\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dp}{dx}=2\frac{d}{dx}(x^2)-\frac{1}{3}\frac{d}{dx}(x^3)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(=2.2x-\frac{1}{3}.3x^2\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=4x-x^2\)
\(\therefore \frac{dp}{dx}=4x-x^2\)
ফাংশনটির লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠমানের জন্য \(\frac{dP}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 4x-x^2=0\) ➜\(\because \frac{dC}{dx}=4x-x^2\)
\(\Rightarrow x(4-x)=0\)
\(\Rightarrow x\ne{0}, 4-x=0\)
\(\Rightarrow -x=-4\)
\(\therefore x=4\)
আবার,
\(\frac{d^2p}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dp}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(4x-x^2)\) ➜\(\because \frac{dp}{dx}=4x-x^2\)
\(=4\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(=4.1-2x\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=4-2x\)
\(\therefore \frac{d^2p}{dx^2}=4-2x\)
এখন, \(x=4\) হলে,
\(\frac{d^2p}{dx^2}=4-2.4\)
\(=4-8\)
\(=-4\)
\(\therefore \frac{d^2p}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=4\) হলে, মুনাফা সর্বাধিক হবে।
\(C=\frac{x^3}{3}-3x^2+12x ......(1)\)
\(R=12x-x^2 ......(2)\) এবং
মুনাফা ফাংশন \(p=R-C\)
\(\Rightarrow p=12x-x^2-\frac{x^3}{3}+3x^2-12x\)
\(\Rightarrow p=2x^2-\frac{x^3}{3}\)
\(\therefore p=2x^2-\frac{1}{3}x^3\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(p)=\frac{d}{dx}\left(2x^2-\frac{1}{3}x^3\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dp}{dx}=2\frac{d}{dx}(x^2)-\frac{1}{3}\frac{d}{dx}(x^3)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(=2.2x-\frac{1}{3}.3x^2\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=4x-x^2\)
\(\therefore \frac{dp}{dx}=4x-x^2\)
ফাংশনটির লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠমানের জন্য \(\frac{dP}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 4x-x^2=0\) ➜\(\because \frac{dC}{dx}=4x-x^2\)
\(\Rightarrow x(4-x)=0\)
\(\Rightarrow x\ne{0}, 4-x=0\)
\(\Rightarrow -x=-4\)
\(\therefore x=4\)
আবার,
\(\frac{d^2p}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dp}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(4x-x^2)\) ➜\(\because \frac{dp}{dx}=4x-x^2\)
\(=4\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(=4.1-2x\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=4-2x\)
\(\therefore \frac{d^2p}{dx^2}=4-2x\)
এখন, \(x=4\) হলে,
\(\frac{d^2p}{dx^2}=4-2.4\)
\(=4-8\)
\(=-4\)
\(\therefore \frac{d^2p}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=4\) হলে, মুনাফা সর্বাধিক হবে।
\(Q.1.(xxxii)\) \(5-8x-2x^2\), ইহা কোন ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান এবং কোন ব্যবধিতে হ্রাসমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-2>x\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান এবং \(x>-2\) ব্যবধিতে ক্রমহ্রাসমান।
উত্তরঃ \(-2>x\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান এবং \(x>-2\) ব্যবধিতে ক্রমহ্রাসমান।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(f(x)=5-8x-2x^2 .....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(5-8x-2x^2)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(5)-8\frac{d}{dx}(x)-2\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\)\(\frac{d}{dx}(u-v-w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)\)
\(=0-8.1-2.2x\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(c)=0\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=-8-4x\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=-8-4x\)
চরমবিদুর জন্য \(f^{\prime}(x)=0\)
\(\therefore -8-4x=0\) ➜\(\because f^{\prime}(x)=-8-4x\)
\(\Rightarrow -4x=8\)
\(\Rightarrow x=\frac{8}{-4}\)
\(\therefore x=-2\)
\( x=-2\) সকল বাস্তব সংখ্যাকে \(x>-2\) এবং \(-2>x\) ব্যবধিতে বিভক্ত করে।
এখন,
\(x>-2\) এর জন্য \(-8-4x<0\) , কাজেই \(f^{\prime}(x)<0\)
\(\therefore x>-2\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন ক্রমহ্রাসমান।
আবার,
\(-2>x\) এর জন্য \(-8-4x>0\), কাজেই \(f^{\prime}(x)>0\)
\(\therefore -2>x\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন ক্রমবর্ধমান।
\(\therefore \) ফাংশনটি \(-2>x\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান এবং \(x>-2\) ব্যবধিতে ক্রমহ্রাসমান।
\(f(x)=5-8x-2x^2 .....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(5-8x-2x^2)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(5)-8\frac{d}{dx}(x)-2\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\)\(\frac{d}{dx}(u-v-w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)\)
\(=0-8.1-2.2x\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(c)=0\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=-8-4x\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=-8-4x\)
চরমবিদুর জন্য \(f^{\prime}(x)=0\)
\(\therefore -8-4x=0\) ➜\(\because f^{\prime}(x)=-8-4x\)
\(\Rightarrow -4x=8\)
\(\Rightarrow x=\frac{8}{-4}\)
\(\therefore x=-2\)
\( x=-2\) সকল বাস্তব সংখ্যাকে \(x>-2\) এবং \(-2>x\) ব্যবধিতে বিভক্ত করে।
এখন,
\(x>-2\) এর জন্য \(-8-4x<0\) , কাজেই \(f^{\prime}(x)<0\)
\(\therefore x>-2\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন ক্রমহ্রাসমান।
আবার,
\(-2>x\) এর জন্য \(-8-4x>0\), কাজেই \(f^{\prime}(x)>0\)
\(\therefore -2>x\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন ক্রমবর্ধমান।
\(\therefore \) ফাংশনটি \(-2>x\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান এবং \(x>-2\) ব্যবধিতে ক্রমহ্রাসমান।
\(Q.1.(xxxiii)\) \(2x^3-15x^2+36x\), ইহা কোন ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান এবং কোন ব্যবধিতে ক্রমহ্রাসমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x>3\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান, \(3>x>2\) ব্যবধিতে ক্রমহ্রাসমান এবং \(2>x\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান।
উত্তরঃ \(x>3\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান, \(3>x>2\) ব্যবধিতে ক্রমহ্রাসমান এবং \(2>x\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(f(x)=2x^3-15x^2+36x .....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(2x^3-15x^2+36x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=2\frac{d}{dx}(x^3)-15\frac{d}{dx}(x^2)+36\frac{d}{dx}(x)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\)\(\frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=2.3x^2-15.2x+36.1\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=6x^2-30x+36\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=6x^2-30x+36\)
চরমবিদুর জন্য \(f^{\prime}(x)=0\)
\(\therefore 6x^2-30x+36=0\) ➜\(\because f^{\prime}(x)=6x^2-30x+36\)
\(\Rightarrow 6(x^2-5x+6)=0\)
\(\Rightarrow x^2-5x+6=0\)
\(\Rightarrow x^2-3x-2x+6=0\)
\(\Rightarrow x(x-3)-2(x-3)=0\)
\(\Rightarrow (x-3)(x-2)=0\)
\(\Rightarrow x-3=0, x-2=0\)
\(\Rightarrow x=3, x=2\)
\(\therefore x=2, 3\)
\( x=2, 3\) মানদ্বয় সকল বাস্তব সংখ্যাকে \(x>3, 3>x>2\) এবং \(2>x\) ব্যবধিতে বিভক্ত করে।
এখন,
\(x>3\) এর জন্য \((x-3)(x-2)>0\) , কাজেই \(f^{\prime}(x)>0\)
\(\therefore x>3\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন ক্রমবর্ধমান।
আবার,
\(3>x>2\) এর জন্য \((x-3)(x-2)<0\), কাজেই \(f^{\prime}(x)<0\)
\(\therefore 3>x>2\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন ক্রমহ্রাসমান।
আবার,
\(2>x\) এর জন্য \((x-3)(x-2)>0\), কাজেই \(f^{\prime}(x)>0\)
\(\therefore 2>x\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন ক্রমবর্ধমান।
\(\therefore \) ফাংশনটি \(x>3\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান, \(3>x>2\) ব্যবধিতে ক্রমহ্রাসমান এবং \(2>x\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান।
\(f(x)=2x^3-15x^2+36x .....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(2x^3-15x^2+36x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=2\frac{d}{dx}(x^3)-15\frac{d}{dx}(x^2)+36\frac{d}{dx}(x)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\)\(\frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=2.3x^2-15.2x+36.1\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=6x^2-30x+36\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=6x^2-30x+36\)
চরমবিদুর জন্য \(f^{\prime}(x)=0\)
\(\therefore 6x^2-30x+36=0\) ➜\(\because f^{\prime}(x)=6x^2-30x+36\)
\(\Rightarrow 6(x^2-5x+6)=0\)
\(\Rightarrow x^2-5x+6=0\)
\(\Rightarrow x^2-3x-2x+6=0\)
\(\Rightarrow x(x-3)-2(x-3)=0\)
\(\Rightarrow (x-3)(x-2)=0\)
\(\Rightarrow x-3=0, x-2=0\)
\(\Rightarrow x=3, x=2\)
\(\therefore x=2, 3\)
\( x=2, 3\) মানদ্বয় সকল বাস্তব সংখ্যাকে \(x>3, 3>x>2\) এবং \(2>x\) ব্যবধিতে বিভক্ত করে।
এখন,
\(x>3\) এর জন্য \((x-3)(x-2)>0\) , কাজেই \(f^{\prime}(x)>0\)
\(\therefore x>3\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন ক্রমবর্ধমান।
আবার,
\(3>x>2\) এর জন্য \((x-3)(x-2)<0\), কাজেই \(f^{\prime}(x)<0\)
\(\therefore 3>x>2\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন ক্রমহ্রাসমান।
আবার,
\(2>x\) এর জন্য \((x-3)(x-2)>0\), কাজেই \(f^{\prime}(x)>0\)
\(\therefore 2>x\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন ক্রমবর্ধমান।
\(\therefore \) ফাংশনটি \(x>3\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান, \(3>x>2\) ব্যবধিতে ক্রমহ্রাসমান এবং \(2>x\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান।
\(Q.1.(xxxiv)\) \(x^3-3x^2+3x+3\), ইহা কোন ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান এবং কোন ব্যবধিতে হ্রাসমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x>1\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান, \(1>x\) ব্যবধিতে ক্রমহ্রাসমান।
উত্তরঃ \(x>1\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান, \(1>x\) ব্যবধিতে ক্রমহ্রাসমান।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(f(x)=x^3-3x^2+3x+3 .....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(x^3-3x^2+3x+3)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(x^3)-3\frac{d}{dx}(x^2)+3\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(3)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\)\(\frac{d}{dx}(u-v+w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=3x^2-3.2x+3.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=3x^2-6x+3\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=3x^2-6x+3\)
চরমবিদুর জন্য \(f^{\prime}(x)=0\)
\(\therefore 3x^2-6x+3=0\) ➜\(\because f^{\prime}(x)=3x^2-6x+3\)
\(\Rightarrow 3(x^2-2x+1)=0\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1=0\)
\(\Rightarrow (x-1)^2=0\)
\(\Rightarrow x-1=0\)
\(\therefore x=1\)
\( x=1\) সকল বাস্তব সংখ্যাকে \(x>1\) এবং \(1>x\) ব্যবধিতে বিভক্ত করে।
এখন,
\(x>1\) এর জন্য \(x-1>0\) , কাজেই \(f^{\prime}(x)>0\)
\(\therefore x>1\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন ক্রমবর্ধমান।
আবার,
\(1>x\) এর জন্য \(x-1<0\), কাজেই \(f^{\prime}(x)<0\)
\(\therefore 1>x\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন ক্রমহ্রাসমান।
\(\therefore \) ফাংশনটি \(x>1\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান, \(1>x\) ব্যবধিতে ক্রমহ্রাসমান।
\(f(x)=x^3-3x^2+3x+3 .....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(x^3-3x^2+3x+3)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(x^3)-3\frac{d}{dx}(x^2)+3\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(3)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\)\(\frac{d}{dx}(u-v+w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=3x^2-3.2x+3.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=3x^2-6x+3\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=3x^2-6x+3\)
চরমবিদুর জন্য \(f^{\prime}(x)=0\)
\(\therefore 3x^2-6x+3=0\) ➜\(\because f^{\prime}(x)=3x^2-6x+3\)
\(\Rightarrow 3(x^2-2x+1)=0\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1=0\)
\(\Rightarrow (x-1)^2=0\)
\(\Rightarrow x-1=0\)
\(\therefore x=1\)
\( x=1\) সকল বাস্তব সংখ্যাকে \(x>1\) এবং \(1>x\) ব্যবধিতে বিভক্ত করে।
এখন,
\(x>1\) এর জন্য \(x-1>0\) , কাজেই \(f^{\prime}(x)>0\)
\(\therefore x>1\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন ক্রমবর্ধমান।
আবার,
\(1>x\) এর জন্য \(x-1<0\), কাজেই \(f^{\prime}(x)<0\)
\(\therefore 1>x\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন ক্রমহ্রাসমান।
\(\therefore \) ফাংশনটি \(x>1\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান, \(1>x\) ব্যবধিতে ক্রমহ্রাসমান।
\(Q.1.(xxxv)\) \(2x^3-3x^2-12x\), ইহা কোন ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান এবং কোন ব্যবধিতে হ্রাসমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-1>x\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান, \(2>x>-1\) ব্যবধিতে ক্রমহ্রাসমান এবং \(x>2\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান।
উত্তরঃ \(-1>x\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান, \(2>x>-1\) ব্যবধিতে ক্রমহ্রাসমান এবং \(x>2\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(f(x)=2x^3-3x^2-12x .....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(2x^3-3x^2-12x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=2\frac{d}{dx}(x^3)-3\frac{d}{dx}(x^2)-12\frac{d}{dx}(x)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\)\(\frac{d}{dx}(u-v-w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)\)
\(=2.3x^2-3.2x-12.1\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=6x^2-6x-12\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=6x^2-6x-12\)
চরমবিদুর জন্য \(f^{\prime}(x)=0\)
\(\therefore 6x^2-6x-12=0\) ➜\(\because f^{\prime}(x)=6x^2-6x-12\)
\(\Rightarrow 6(x^2-x-2)=0\)
\(\Rightarrow x^2-x-2=0\)
\(\Rightarrow x^2-2x+x-2=0\)
\(\Rightarrow x(x-2)+1(x-2)=0\)
\(\Rightarrow (x-2)(x+1)=0\)
\(\Rightarrow x-2=0, x+1=0\)
\(\Rightarrow x=2, x=-1\)
\(\therefore x=-1, 2\)
\( x=-1, 2\) মানদ্বয় সকল বাস্তব সংখ্যাকে \(-1>x, 2>x>-1\) এবং \(x>2\) ব্যবধিতে বিভক্ত করে।
এখন,
\(-1>x\) এর জন্য \((x-2)(x+1)>0\) , কাজেই \(f^{\prime}(x)>0\)
\(\therefore -1>x\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন ক্রমবর্ধমান।
আবার,
\(2>x>-1\) এর জন্য \((x-2)(x+1)<0\), কাজেই \(f^{\prime}(x)<0\)
\(\therefore 1>x\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন ক্রমহ্রাসমান।
আবার,
\(x>2\) এর জন্য \((x-2)(x+1)>0\), কাজেই \(f^{\prime}(x)>0\)
\(\therefore x>2\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন ক্রমবর্ধমান।
\(\therefore \) ফাংশনটি \(-1>x\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান, \(2>x>-1\) ব্যবধিতে ক্রমহ্রাসমান এবং \(x>2\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান।
\(f(x)=2x^3-3x^2-12x .....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(2x^3-3x^2-12x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=2\frac{d}{dx}(x^3)-3\frac{d}{dx}(x^2)-12\frac{d}{dx}(x)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\)\(\frac{d}{dx}(u-v-w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)\)
\(=2.3x^2-3.2x-12.1\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=6x^2-6x-12\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=6x^2-6x-12\)
চরমবিদুর জন্য \(f^{\prime}(x)=0\)
\(\therefore 6x^2-6x-12=0\) ➜\(\because f^{\prime}(x)=6x^2-6x-12\)
\(\Rightarrow 6(x^2-x-2)=0\)
\(\Rightarrow x^2-x-2=0\)
\(\Rightarrow x^2-2x+x-2=0\)
\(\Rightarrow x(x-2)+1(x-2)=0\)
\(\Rightarrow (x-2)(x+1)=0\)
\(\Rightarrow x-2=0, x+1=0\)
\(\Rightarrow x=2, x=-1\)
\(\therefore x=-1, 2\)
\( x=-1, 2\) মানদ্বয় সকল বাস্তব সংখ্যাকে \(-1>x, 2>x>-1\) এবং \(x>2\) ব্যবধিতে বিভক্ত করে।
এখন,
\(-1>x\) এর জন্য \((x-2)(x+1)>0\) , কাজেই \(f^{\prime}(x)>0\)
\(\therefore -1>x\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন ক্রমবর্ধমান।
আবার,
\(2>x>-1\) এর জন্য \((x-2)(x+1)<0\), কাজেই \(f^{\prime}(x)<0\)
\(\therefore 1>x\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন ক্রমহ্রাসমান।
আবার,
\(x>2\) এর জন্য \((x-2)(x+1)>0\), কাজেই \(f^{\prime}(x)>0\)
\(\therefore x>2\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন ক্রমবর্ধমান।
\(\therefore \) ফাংশনটি \(-1>x\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান, \(2>x>-1\) ব্যবধিতে ক্রমহ্রাসমান এবং \(x>2\) ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান।
\(Q.1.(xxxvi)\) দেখাও যে, \(f(x)=x^3-3x^2+4x\) ফাংশনটি \(x\) এর একটি ক্রমবর্ধমান ফাংশন।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(f(x)=x^3-3x^2+4x\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(x^3-3x^2+4x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(x^3)-3\frac{d}{dx}(x^2)+4\frac{d}{dx}(x)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\)\(\frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=3x^2-3.2x+4.1\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=3x^2-6x+4\)
\(=3(x^2-2x)+4\)
\(=3(x^2-2x+1-1)+4\)
\(=3(x^2-2x+1)-3+4\)
\(=3(x-1)^2+1\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=3(x-1)^2+1\)
এখানে,
\(x\) এর সকল বাস্তব মানের জন্য \(f^{\prime}(x)>0\)
\(\therefore \) প্রদত্ত ফাংশনটি ক্রমবর্ধমান।
\(f(x)=x^3-3x^2+4x\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(x^3-3x^2+4x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(x^3)-3\frac{d}{dx}(x^2)+4\frac{d}{dx}(x)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\)\(\frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=3x^2-3.2x+4.1\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=3x^2-6x+4\)
\(=3(x^2-2x)+4\)
\(=3(x^2-2x+1-1)+4\)
\(=3(x^2-2x+1)-3+4\)
\(=3(x-1)^2+1\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=3(x-1)^2+1\)
এখানে,
\(x\) এর সকল বাস্তব মানের জন্য \(f^{\prime}(x)>0\)
\(\therefore \) প্রদত্ত ফাংশনটি ক্রমবর্ধমান।
\(Q.1.(xxxvii)\) দেখাও যে, \(x=1\) বিন্দুতে \(f(x)=3x^2-2x+4\) ফাংশনটি বৃদ্ধি পায়।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(f(x)=3x^2-2x+4\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(3x^2-2x+4)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=3\frac{d}{dx}(x^2)-2\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(4)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\)\(\frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=3.2x-2.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=6x-2\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=6x-2\)
এখন,
\(x=1\) বিন্দুতে \(f^{\prime}(x)=6.1-2\)
\(=6-2\)
\(=4\)
\(\therefore f^{\prime}(x)>0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে প্রদত্ত ফাংশনটি বৃদ্ধি পায়।
\(f(x)=3x^2-2x+4\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(3x^2-2x+4)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=3\frac{d}{dx}(x^2)-2\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(4)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\)\(\frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=3.2x-2.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=6x-2\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=6x-2\)
এখন,
\(x=1\) বিন্দুতে \(f^{\prime}(x)=6.1-2\)
\(=6-2\)
\(=4\)
\(\therefore f^{\prime}(x)>0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে প্রদত্ত ফাংশনটি বৃদ্ধি পায়।
\(Q.1.(xxxviii)\) দেখাও যে, \(x=1\) বিন্দুতে \(f(x)=x^3-x^2-2x\) ফাংশনটি হ্রাস পায়।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(f(x)=x^3-x^2-2x\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(x^3-x^2-2x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(x^3)-\frac{d}{dx}(x^2)-2\frac{d}{dx}(x)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\)\(\frac{d}{dx}(u-v-w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)\)
\(=3x^2-2x-2.1\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=3x^2-2x-2\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=3x^2-2x-2\)
এখন,
\(x=1\) বিন্দুতে \(f^{\prime}(x)=3.1^2-2.1-2\)
\(=3.1-2-2\)
\(=3-4\)
\(=-1\)
\(\therefore f^{\prime}(x)<0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে প্রদত্ত ফাংশনটি হ্রাস পায়।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(x^3-x^2-2x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(x^3)-\frac{d}{dx}(x^2)-2\frac{d}{dx}(x)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\)\(\frac{d}{dx}(u-v-w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)\)
\(=3x^2-2x-2.1\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=3x^2-2x-2\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=3x^2-2x-2\)
এখন,
\(x=1\) বিন্দুতে \(f^{\prime}(x)=3.1^2-2.1-2\)
\(=3.1-2-2\)
\(=3-4\)
\(=-1\)
\(\therefore f^{\prime}(x)<0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে প্রদত্ত ফাংশনটি হ্রাস পায়।
\(Q.1.(xxxix)\) দেখাও যে, \(x=1\) বিন্দুতে \(f(x)=x^3-3x^2-9x+27\) ফাংশনটি হ্রাস পায়।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(f(x)=x^3-3x^2-9x+27\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(x^3-3x^2-9x+27)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(x^3)-3\frac{d}{dx}(x^2)-9\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(27)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\)\(\frac{d}{dx}(u-v-w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=3x^2-3.2x-9.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=3x^2-6x-9\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=3x^2-6x-9\)
এখন,
\(x=1\) বিন্দুতে \(f^{\prime}(x)=3.1^2-6.1-9\)
\(=3.1-6-9\)
\(=3-15\)
\(=-12\)
\(\therefore f^{\prime}(x)<0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে প্রদত্ত ফাংশনটি হ্রাস পায়।
\(f(x)=x^3-3x^2-9x+27\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(x^3-3x^2-9x+27)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(x^3)-3\frac{d}{dx}(x^2)-9\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(27)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\)\(\frac{d}{dx}(u-v-w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=3x^2-3.2x-9.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=3x^2-6x-9\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=3x^2-6x-9\)
এখন,
\(x=1\) বিন্দুতে \(f^{\prime}(x)=3.1^2-6.1-9\)
\(=3.1-6-9\)
\(=3-15\)
\(=-12\)
\(\therefore f^{\prime}(x)<0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে প্রদত্ত ফাংশনটি হ্রাস পায়।
\(Q.1.(xL)\) \(f(x)=x^3-3x^2-9x+27\) ফাংশনটির সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বোচ্চ মান \(=32\), সর্বনিম্ন মান \(=0\)
উত্তরঃ সর্বোচ্চ মান \(=32\), সর্বনিম্ন মান \(=0\)
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=f(x)=x^3-3x^2-9x+27 .....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(x^3-3x^2-9x+27)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3)-3\frac{d}{dx}(x^2)-9\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(27)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v-w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=3x^2-3.2x-9.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=3x^2-6x-9\)
\(=3\{x^2-2x-3\}\)
\(=3\{x^2-3x+x-3\}\)
\(=3\{x(x-3)+1(x-3)\}\)
\(=3(x-3)(x+1)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=3(x-3)(x+1)\)
ফাংশনটির লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 3(x-3)(x+1)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=3(x-3)(x+1)\)
\(\Rightarrow (x-3)(x+1)=0\)
\(\Rightarrow x-3=0, x+1=0\)
\(\Rightarrow x=3, x=-1\)
\(\therefore x=-1, 3\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(3x^2-6x-9)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=3(x-3)(x+1)=3x^2-6x-9\)
\(=3\frac{d}{dx}(x^2)-6\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(9)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v-w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)\)
\(=3.2x-6.1-0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=6x-6\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=6x-6\)
এখন, \(x=-1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=6.(-1)-6\)
\(=-6-6\)
\(=-12\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=-1\) বিন্দুতে ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান আছে।
ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান \(=(-1)^3-3.(-1)^2-9.(-1)+27\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^3-3x^2-9x+27\)
\(=-1-3.1+9+27\)
\(=-1-3+36\)
\(=-4+36\)
\(=32\)
আবার, \(x=3\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=6.(3)-6\)
\(=27-6\)
\(=21\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=3\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘিষ্ঠমাণ আছে।
ফাংশনটির গরিষ্ঠমান \(=(3)^3-3.(3)^2-9.(3)+27\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^3-3x^2-9x+27\)
\(=27-3.9-27+27\)
\(=27-27\)
\(=0\)
\(y=f(x)=x^3-3x^2-9x+27 .....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(x^3-3x^2-9x+27)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3)-3\frac{d}{dx}(x^2)-9\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(27)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v-w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=3x^2-3.2x-9.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=3x^2-6x-9\)
\(=3\{x^2-2x-3\}\)
\(=3\{x^2-3x+x-3\}\)
\(=3\{x(x-3)+1(x-3)\}\)
\(=3(x-3)(x+1)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=3(x-3)(x+1)\)
ফাংশনটির লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 3(x-3)(x+1)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=3(x-3)(x+1)\)
\(\Rightarrow (x-3)(x+1)=0\)
\(\Rightarrow x-3=0, x+1=0\)
\(\Rightarrow x=3, x=-1\)
\(\therefore x=-1, 3\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(3x^2-6x-9)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=3(x-3)(x+1)=3x^2-6x-9\)
\(=3\frac{d}{dx}(x^2)-6\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(9)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v-w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)\)
\(=3.2x-6.1-0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=6x-6\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=6x-6\)
এখন, \(x=-1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=6.(-1)-6\)
\(=-6-6\)
\(=-12\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=-1\) বিন্দুতে ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান আছে।
ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান \(=(-1)^3-3.(-1)^2-9.(-1)+27\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^3-3x^2-9x+27\)
\(=-1-3.1+9+27\)
\(=-1-3+36\)
\(=-4+36\)
\(=32\)
আবার, \(x=3\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=6.(3)-6\)
\(=27-6\)
\(=21\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=3\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘিষ্ঠমাণ আছে।
ফাংশনটির গরিষ্ঠমান \(=(3)^3-3.(3)^2-9.(3)+27\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^3-3x^2-9x+27\)
\(=27-3.9-27+27\)
\(=27-27\)
\(=0\)
\(Q.1.(xLi)\) \(f(x)=x^3-3x^2-9x\) ফাংশনটির সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বোচ্চ মান \(=5\), সর্বনিম্ন মান \(=-27\)
উত্তরঃ সর্বোচ্চ মান \(=5\), সর্বনিম্ন মান \(=-27\)
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=f(x)=x^3-3x^2-9x .....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^3-3x^2-9x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3)-3\frac{d}{dx}(x^2)-9\frac{d}{dx}(x)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v-w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)\)
\(=3x^2-3.2x-9.1\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=3x^2-6x-9\)
\(=3\{x^2-2x-3\}\)
\(=3\{x^2-3x+x-3\}\)
\(=3\{x(x-3)+1(x-3)\}\)
\(=3(x-3)(x+1)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=3(x-3)(x+1)\)
ফাংশনটির লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 3(x-3)(x+1)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=3(x-3)(x+1)\)
\(\Rightarrow (x-3)(x+1)=0\)
\(\Rightarrow x-3=0, x+1=0\)
\(\Rightarrow x=3, x=-1\)
\(\therefore x=-1, 3\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(3x^2-6x-9)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=3(x-3)(x+1)=3x^2-6x-9\)
\(=3\frac{d}{dx}(x^2)-6\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(9)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v-w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)\)
\(=3.2x-6.1-0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=6x-6\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=6x-6\)
এখন, \(x=-1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=6.(-1)-6\)
\(=-6-6\)
\(=-12\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=-1\) বিন্দুতে ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান আছে।
ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান \(=(-1)^3-3.(-1)^2-9.(-1)\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^3-3x^2-9x\)
\(=-1-3.1+9\)
\(=-1-3+9\)
\(=-4+9\)
\(=5\)
আবার, \(x=3\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=6.(3)-6\)
\(=27-6\)
\(=21\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=3\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘিষ্ঠমাণ আছে।
ফাংশনটির গরিষ্ঠমান \(=(3)^3-3.(3)^2-9.(3)\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^3-3x^2-9x\)
\(=27-3.9-27\)
\(=27-27-27\)
\(=-27\)
\(y=f(x)=x^3-3x^2-9x .....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^3-3x^2-9x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3)-3\frac{d}{dx}(x^2)-9\frac{d}{dx}(x)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v-w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)\)
\(=3x^2-3.2x-9.1\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=3x^2-6x-9\)
\(=3\{x^2-2x-3\}\)
\(=3\{x^2-3x+x-3\}\)
\(=3\{x(x-3)+1(x-3)\}\)
\(=3(x-3)(x+1)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=3(x-3)(x+1)\)
ফাংশনটির লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 3(x-3)(x+1)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=3(x-3)(x+1)\)
\(\Rightarrow (x-3)(x+1)=0\)
\(\Rightarrow x-3=0, x+1=0\)
\(\Rightarrow x=3, x=-1\)
\(\therefore x=-1, 3\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(3x^2-6x-9)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=3(x-3)(x+1)=3x^2-6x-9\)
\(=3\frac{d}{dx}(x^2)-6\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(9)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v-w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)\)
\(=3.2x-6.1-0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=6x-6\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=6x-6\)
এখন, \(x=-1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=6.(-1)-6\)
\(=-6-6\)
\(=-12\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=-1\) বিন্দুতে ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান আছে।
ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান \(=(-1)^3-3.(-1)^2-9.(-1)\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^3-3x^2-9x\)
\(=-1-3.1+9\)
\(=-1-3+9\)
\(=-4+9\)
\(=5\)
আবার, \(x=3\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=6.(3)-6\)
\(=27-6\)
\(=21\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=3\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘিষ্ঠমাণ আছে।
ফাংশনটির গরিষ্ঠমান \(=(3)^3-3.(3)^2-9.(3)\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^3-3x^2-9x\)
\(=27-3.9-27\)
\(=27-27-27\)
\(=-27\)
\(Q.1.(xLii)\) \(f(x)=2x^3-9x^2+12x-3\) ফাংশনটির সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বোচ্চ মান \(=2\), সর্বনিম্ন মান \(=1\)
উত্তরঃ সর্বোচ্চ মান \(=2\), সর্বনিম্ন মান \(=1\)
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=f(x)=2x^3-9x^2+12x-3 .....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(2x^3-9x^2+12x-3)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2\frac{d}{dx}(x^3)-9\frac{d}{dx}(x^2)+12\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(3)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w-..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)-..\)
\(=2.3x^2-9.2x+12.1-0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=6x^2-18x+12\)
\(=6\{x^2-3x+2\}\)
\(=6\{x^2-2x-x+2\}\)
\(=6\{(x-2)-1(x-2)\}\)
\(=6(x-2)(x-1)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=6(x-2)(x-1)\)
ফাংশনটির লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 6(x-2)(x-1)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=6(x-2)(x-1)\)
\(\Rightarrow (x-2)(x-1)=0\)
\(\Rightarrow x-2=0, x-1=0\)
\(\Rightarrow x=2, x=1\)
\(\therefore x=1, 2\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(6x^2-18x+12)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=6(x-2)(x-1)=6x^2-18x+12\)
\(=6\frac{d}{dx}(x^2)-18\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(12)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=6.2x-18.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=12x-18\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=12x-18\)
এখন, \(x=1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.1-18\)
\(=12-18\)
\(=-6\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান আছে।
ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান \(=2.1^3-9.1^2+12.1-3 \) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=2x^3-9x^2+12x-3\)
\(=2.1-9.1+12-3\)
\(=2-9+9\)
\(=2\)
আবার, \(x=2\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.2-18\)
\(=24-18\)
\(=6\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=2\) বিন্দুতে ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান আছে।
ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান \(=2.2^3-9.2^2+12.2-3 \) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=2x^3-9x^2+12x-3\)
\(=2.8-9.4+24-3\)
\(=16-36+21\)
\(=37-36\)
\(=1\)
\(y=f(x)=2x^3-9x^2+12x-3 .....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(2x^3-9x^2+12x-3)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2\frac{d}{dx}(x^3)-9\frac{d}{dx}(x^2)+12\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(3)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w-..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)-..\)
\(=2.3x^2-9.2x+12.1-0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=6x^2-18x+12\)
\(=6\{x^2-3x+2\}\)
\(=6\{x^2-2x-x+2\}\)
\(=6\{(x-2)-1(x-2)\}\)
\(=6(x-2)(x-1)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=6(x-2)(x-1)\)
ফাংশনটির লঘিষ্ঠ ও গরিষ্ঠমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 6(x-2)(x-1)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=6(x-2)(x-1)\)
\(\Rightarrow (x-2)(x-1)=0\)
\(\Rightarrow x-2=0, x-1=0\)
\(\Rightarrow x=2, x=1\)
\(\therefore x=1, 2\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(6x^2-18x+12)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=6(x-2)(x-1)=6x^2-18x+12\)
\(=6\frac{d}{dx}(x^2)-18\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(12)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=6.2x-18.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=12x-18\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=12x-18\)
এখন, \(x=1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.1-18\)
\(=12-18\)
\(=-6\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান আছে।
ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান \(=2.1^3-9.1^2+12.1-3 \) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=2x^3-9x^2+12x-3\)
\(=2.1-9.1+12-3\)
\(=2-9+9\)
\(=2\)
আবার, \(x=2\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.2-18\)
\(=24-18\)
\(=6\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=2\) বিন্দুতে ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান আছে।
ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান \(=2.2^3-9.2^2+12.2-3 \) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=2x^3-9x^2+12x-3\)
\(=2.8-9.4+24-3\)
\(=16-36+21\)
\(=37-36\)
\(=1\)
\(Q.1.(xLiii)\) দেখাও যে, \(f(x)=x^3-3x^2+6x+5\) ফাংশনটির সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নেই।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(f(x)=x^3-3x^2+6x+5\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^3-3x^2+6x+5)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(x^3)-3\frac{d}{dx}(x^2)+6\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(5)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\), \(\frac{d}{dx}(u-v+w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=3x^2-3.2x+6.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=3x^2-6x+6\)
\(=3(x^2-2x)+6\)
\(=3(x^2-2x+1-1)+6\)
\(=3(x^2-2x+1)-3+6\)
\(=3(x-1)^2+3\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=3(x-1)^2+3\)
\(x\) এর কোনো বাস্তব মানের জন্য \(f^{\prime}(x)\) কখনো শূন্য হতে পারে না।
\(\therefore \) প্রদত্ত ফাংশনটির কোনো সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নেই।
\(f(x)=x^3-3x^2+6x+5\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^3-3x^2+6x+5)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(x^3)-3\frac{d}{dx}(x^2)+6\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(5)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\), \(\frac{d}{dx}(u-v+w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=3x^2-3.2x+6.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=3x^2-6x+6\)
\(=3(x^2-2x)+6\)
\(=3(x^2-2x+1-1)+6\)
\(=3(x^2-2x+1)-3+6\)
\(=3(x-1)^2+3\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=3(x-1)^2+3\)
\(x\) এর কোনো বাস্তব মানের জন্য \(f^{\prime}(x)\) কখনো শূন্য হতে পারে না।
\(\therefore \) প্রদত্ত ফাংশনটির কোনো সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নেই।
\(Q.1.(xLiv)\) দেখাও যে, \(f(x)=x^3-6x^2+12x-3\) ফাংশনটির সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নেই।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(f(x)=x^3-6x^2+12x-3\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^3-6x^2+12x-3)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(x^3)-6\frac{d}{dx}(x^2)+12\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(3)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\), \(\frac{d}{dx}(u-v+w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=3x^2-6.2x+12.1-0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=3x^2-6x+12\)
\(=3(x^2-2x)+12\)
\(=3(x^2-2x+1-1)+12\)
\(=3(x^2-2x+1)-3+12\)
\(=3(x-1)^2+9\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=3(x-1)^2+9\)
\(x\) এর কোনো বাস্তব মানের জন্য \(f^{\prime}(x)\) কখনো শূন্য হতে পারে না।
\(\therefore \) প্রদত্ত ফাংশনটির কোনো সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নেই।
\(f(x)=x^3-6x^2+12x-3\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^3-6x^2+12x-3)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(x^3)-6\frac{d}{dx}(x^2)+12\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(3)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\), \(\frac{d}{dx}(u-v+w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=3x^2-6.2x+12.1-0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=3x^2-6x+12\)
\(=3(x^2-2x)+12\)
\(=3(x^2-2x+1-1)+12\)
\(=3(x^2-2x+1)-3+12\)
\(=3(x-1)^2+9\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=3(x-1)^2+9\)
\(x\) এর কোনো বাস্তব মানের জন্য \(f^{\prime}(x)\) কখনো শূন্য হতে পারে না।
\(\therefore \) প্রদত্ত ফাংশনটির কোনো সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নেই।
অনুশীলনী \(9.I / Q.2\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমুহ
\(Q.2.(i)\) দেখাও যে, \(\frac{x}{\ln{x}}\) এর ক্ষুদ্রতম মান \(e\).
[ কুঃ২০০৯; ঢাঃ২০০৭ ]
\(Q.2.(ii)\) \(f(x)=\ln{x}\) হলে, \(\frac{f(2x)}{x}\) এর গুরুমান এবং লঘুমান বিদ্যমান থাকলে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ গুরুমান \(=\frac{2}{e}\)
[ দিঃ২০১৭ ]
\(Q.2.(iii)\) \(g(u)=\ln{u}\) হলে, দেখাও যে, \(\frac{g(2x)}{x}\) ফাংশনের সর্বোচ্চ মান \(\frac{2}{e}\).
[ সিঃ২০১৭ ]
\(Q.2.(iv)\) দেখাও যে, \(4e^{x}+9e^{-x}\) এর ক্ষুদ্রতম মান \(12\).
[ রাঃ২০১২,২০০৮,২০০৩; সিঃ২০১২; কুঃ২০১০; বঃ ২০১০,২০০৫ ]
\(Q.2.(v)\) \(f(p)=e^{-2p}\) হলে, \(4f(p)+\frac{9}{f(p)}\) এর চরমমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \(=12\)
[ চঃ২০১৭ ]
\(Q.2.(vi)\) দেখাও যে, \(\sqrt{3}\sin{x}+3\cos{x}\) বৃহত্তম হবে, যদি \(x=\frac{\pi}{6}\) হয়।
\(Q.2.(vii)\) দেখাও যে, \(x\sin{x}+4\cos{x}\) বৃহত্তম হবে, যদি \(x=0\) হয়।
\(Q.2.(viii)\) দেখাও যে, \(\sin{x}(1+\cos{x})\) বৃহত্তম হবে, যদি \(x=\frac{\pi}{3}\) হয়।
\(Q.2.(ix)\) দেখাও যে, \(\frac{\ln{x}}{x}\) এর গুরুমান \(\frac{1}{e}\).
\(Q.2.(x)\) দেখাও যে, \(x^{\frac{1}{x}}\) এর গুরুমান \(e^{\frac{1}{e}}\).
[ কুঃ২০০৯; ঢাঃ২০০৭ ]
\(Q.2.(ii)\) \(f(x)=\ln{x}\) হলে, \(\frac{f(2x)}{x}\) এর গুরুমান এবং লঘুমান বিদ্যমান থাকলে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ গুরুমান \(=\frac{2}{e}\)
[ দিঃ২০১৭ ]
\(Q.2.(iii)\) \(g(u)=\ln{u}\) হলে, দেখাও যে, \(\frac{g(2x)}{x}\) ফাংশনের সর্বোচ্চ মান \(\frac{2}{e}\).
[ সিঃ২০১৭ ]
\(Q.2.(iv)\) দেখাও যে, \(4e^{x}+9e^{-x}\) এর ক্ষুদ্রতম মান \(12\).
[ রাঃ২০১২,২০০৮,২০০৩; সিঃ২০১২; কুঃ২০১০; বঃ ২০১০,২০০৫ ]
\(Q.2.(v)\) \(f(p)=e^{-2p}\) হলে, \(4f(p)+\frac{9}{f(p)}\) এর চরমমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \(=12\)
[ চঃ২০১৭ ]
\(Q.2.(vi)\) দেখাও যে, \(\sqrt{3}\sin{x}+3\cos{x}\) বৃহত্তম হবে, যদি \(x=\frac{\pi}{6}\) হয়।
\(Q.2.(vii)\) দেখাও যে, \(x\sin{x}+4\cos{x}\) বৃহত্তম হবে, যদি \(x=0\) হয়।
\(Q.2.(viii)\) দেখাও যে, \(\sin{x}(1+\cos{x})\) বৃহত্তম হবে, যদি \(x=\frac{\pi}{3}\) হয়।
\(Q.2.(ix)\) দেখাও যে, \(\frac{\ln{x}}{x}\) এর গুরুমান \(\frac{1}{e}\).
\(Q.2.(x)\) দেখাও যে, \(x^{\frac{1}{x}}\) এর গুরুমান \(e^{\frac{1}{e}}\).
\(Q.2.(xi)\) \(1+2\sin{x}+3\cos^2{x}, \left(0\le{x}\le{\frac{\pi}{2}}\right)\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \( =3\); গুরুমান \( =4\frac{1}{3}\) .
[ যঃ২০০৫ ]
\(Q.2.(xii)\) দেখাও যে, \(f(x)=\frac{\sin{(x+a)}}{\sin{(x+b)}}\) এর কোনো গুরুমান অথবা লঘুমান নেই।
\(Q.2.(xiii)\) \((0, \pi)\) ব্যবধিতে \(f(x)=\sin{x}+\cos{2x}\) ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বনিম্ন মান \( =0\); সর্বোচ্চ মান \( =\frac{9}{8}\) .
[ দিঃ২০১০ ]
\(Q.2.(xiv)\) \(f(\theta)=\sin{2\theta}-\cos{2\theta}\) ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান কত?
উত্তরঃ সর্বচ্চমান বিদ্যমান।
\(Q.2.(xv)\) \(x^{x}\) ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বনিম্ন মান \( =\left(\frac{1}{e}\right)^{\frac{1}{e}}\) .
\(Q.2.(xvi)\) \(100\) কে এমন দুইভাগে ভাগ কর যেন তাদের গুনফল সর্বোচ্চ হয়।
উত্তরঃ \( 50, 50\) .
\(Q.2.(xvii)\) একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা \(200\) সে.মি. । এর ক্ষেত্রফলের মান সর্বোচ্চ হলে বাহুগুলির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। উত্তরঃ \( 50\) সে.মি. , \(50\) সে.মি.
\(Q.2.(xviii)\) দেখাও যে, \(\left(\frac{1}{x}\right)^{x}\) এর সর্বোচ্চ মান \(e^{\frac{1}{e}}\).
উত্তরঃ লঘুমান \( =3\); গুরুমান \( =4\frac{1}{3}\) .
[ যঃ২০০৫ ]
\(Q.2.(xii)\) দেখাও যে, \(f(x)=\frac{\sin{(x+a)}}{\sin{(x+b)}}\) এর কোনো গুরুমান অথবা লঘুমান নেই।
\(Q.2.(xiii)\) \((0, \pi)\) ব্যবধিতে \(f(x)=\sin{x}+\cos{2x}\) ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বনিম্ন মান \( =0\); সর্বোচ্চ মান \( =\frac{9}{8}\) .
[ দিঃ২০১০ ]
\(Q.2.(xiv)\) \(f(\theta)=\sin{2\theta}-\cos{2\theta}\) ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান কত?
উত্তরঃ সর্বচ্চমান বিদ্যমান।
\(Q.2.(xv)\) \(x^{x}\) ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বনিম্ন মান \( =\left(\frac{1}{e}\right)^{\frac{1}{e}}\) .
\(Q.2.(xvi)\) \(100\) কে এমন দুইভাগে ভাগ কর যেন তাদের গুনফল সর্বোচ্চ হয়।
উত্তরঃ \( 50, 50\) .
\(Q.2.(xvii)\) একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা \(200\) সে.মি. । এর ক্ষেত্রফলের মান সর্বোচ্চ হলে বাহুগুলির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। উত্তরঃ \( 50\) সে.মি. , \(50\) সে.মি.
\(Q.2.(xviii)\) দেখাও যে, \(\left(\frac{1}{x}\right)^{x}\) এর সর্বোচ্চ মান \(e^{\frac{1}{e}}\).
\(Q.2.(i)\) দেখাও যে, \(\frac{x}{\ln{x}}\) এর ক্ষুদ্রতম মান \(e\).
[ কুঃ২০০৯; ঢাঃ২০০৭ ]
[ কুঃ২০০৯; ঢাঃ২০০৭ ]
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=\frac{x}{\ln{x}} .......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{\ln{x}}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{\ln{x}\frac{d}{dx}(x)-x\frac{d}{dx}(\ln{x})}{(\ln{x})^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{\ln{x}.1-x\frac{1}{x}}{(\ln{x})^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{\ln{x}-1}{(\ln{x})^2}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{\ln{x}-1}{(\ln{x})^2}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{\ln{x}-1}{(\ln{x})^2}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{\ln{x}-1}{(\ln{x})^2}\)
\(\Rightarrow \ln{x}-1=0\)
\(\Rightarrow \ln{x}=1\)
\(\Rightarrow x=e^1\) ➜\(\because \ln{x}=y \Rightarrow x=e^y\)
\(\therefore x=e\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln{x}-1}{(\ln{x})^2}\right)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{\ln{x}-1}{(\ln{x})^2}\)
\(=\frac{(\ln{x})^2\frac{d}{dx}(\ln{x}-1)-(\ln{x}-1)\frac{d}{dx}\{(\ln{x})^2\}}{(\ln{x})^4}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{(\ln{x})^2\frac{1}{x}-(\ln{x}-1).2\ln{x}.\frac{1}{x}}{(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{\frac{(\ln{x})^2}{x}-\frac{2\ln{x}(\ln{x}-1)}{x}}{(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{\frac{(\ln{x})^2-2\ln{x}(\ln{x}-1)}{x}}{(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{(\ln{x})^2-2\ln{x}(\ln{x}-1)}{x(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{(\ln{x})^2-2(\ln{x})^2+2\ln{x}}{x(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{2\ln{x}-(\ln{x})^2}{x(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{\ln{x}(2-\ln{x})}{x(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{2-\ln{x}}{x(\ln{x})^3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2-\ln{x}}{x(\ln{x})^3}\)
এখন, \(x=e\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2-\ln{e}}{e(\ln{e})^3}\)
\(=\frac{2-1}{e(1)^3}\) ➜ \(\because \ln{e}=1\)
\(=\frac{1}{e}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=e\) বিন্দুতে ফাংশনটির ক্ষুদ্রতমমান আছে।
ফাংশনটির ক্ষুদ্রতমমান \(=\frac{e}{\ln{e}}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=\frac{x}{\ln{x}}\)
\(=\frac{e}{1}\) ➜ \(\because \ln{e}=1\)
\(=e\)
(Showed)
\(y=\frac{x}{\ln{x}} .......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{\ln{x}}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{\ln{x}\frac{d}{dx}(x)-x\frac{d}{dx}(\ln{x})}{(\ln{x})^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{\ln{x}.1-x\frac{1}{x}}{(\ln{x})^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{\ln{x}-1}{(\ln{x})^2}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{\ln{x}-1}{(\ln{x})^2}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{\ln{x}-1}{(\ln{x})^2}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{\ln{x}-1}{(\ln{x})^2}\)
\(\Rightarrow \ln{x}-1=0\)
\(\Rightarrow \ln{x}=1\)
\(\Rightarrow x=e^1\) ➜\(\because \ln{x}=y \Rightarrow x=e^y\)
\(\therefore x=e\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln{x}-1}{(\ln{x})^2}\right)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{\ln{x}-1}{(\ln{x})^2}\)
\(=\frac{(\ln{x})^2\frac{d}{dx}(\ln{x}-1)-(\ln{x}-1)\frac{d}{dx}\{(\ln{x})^2\}}{(\ln{x})^4}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{(\ln{x})^2\frac{1}{x}-(\ln{x}-1).2\ln{x}.\frac{1}{x}}{(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{\frac{(\ln{x})^2}{x}-\frac{2\ln{x}(\ln{x}-1)}{x}}{(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{\frac{(\ln{x})^2-2\ln{x}(\ln{x}-1)}{x}}{(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{(\ln{x})^2-2\ln{x}(\ln{x}-1)}{x(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{(\ln{x})^2-2(\ln{x})^2+2\ln{x}}{x(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{2\ln{x}-(\ln{x})^2}{x(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{\ln{x}(2-\ln{x})}{x(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{2-\ln{x}}{x(\ln{x})^3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2-\ln{x}}{x(\ln{x})^3}\)
এখন, \(x=e\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2-\ln{e}}{e(\ln{e})^3}\)
\(=\frac{2-1}{e(1)^3}\) ➜ \(\because \ln{e}=1\)
\(=\frac{1}{e}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=e\) বিন্দুতে ফাংশনটির ক্ষুদ্রতমমান আছে।
ফাংশনটির ক্ষুদ্রতমমান \(=\frac{e}{\ln{e}}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=\frac{x}{\ln{x}}\)
\(=\frac{e}{1}\) ➜ \(\because \ln{e}=1\)
\(=e\)
(Showed)
\(Q.2.(ii)\) \(f(x)=\ln{x}\) হলে, \(\frac{f(2x)}{x}\) এর গুরুমান এবং লঘুমান বিদ্যমান থাকলে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ গুরুমান \(=\frac{2}{e}\)
[ দিঃ২০১৭ ]
উত্তরঃ গুরুমান \(=\frac{2}{e}\)
[ দিঃ২০১৭ ]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\ln{x}\Rightarrow f(2x)=\ln{2x}\)
প্রদত্ত রাশি \(=\frac{f(2x)}{x}\)
\(=\frac{\ln{2x}}{x}\) ➜\(\because f(2x)=\ln{2x}\)
ধরি,
\(y=\frac{\ln{2x}}{x} .......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln{2x}}{x}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{x\frac{d}{dx}(\ln{2x})-\ln{2x}\frac{d}{dx}(x)}{x^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{x\frac{1}{2x}.2-\ln{2x}.1}{x^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{1-\ln{2x}}{x^2}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{1-\ln{2x}}{x^2}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{1-\ln{2x}}{x^2}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{1-\ln{2x}}{x^2}\)
\(\Rightarrow \frac{1-\ln{2x}}{x^2}=0\)
\(\Rightarrow 1-\ln{2x}=0\)
\(\Rightarrow -\ln{2x}=-1\)
\(\Rightarrow \ln{2x}=1\)
\(\Rightarrow 2x=e^1\) ➜\(\because \ln{x}=y \Rightarrow x=e^y\)
\(\Rightarrow 2x=e\)
\(\therefore x=\frac{e}{2}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{1-\ln{2x}}{x^2}\right)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{1-\ln{2x}}{x^2}\)
\(=\frac{x^2\frac{d}{dx}(1-\ln{2x})-(1-\ln{2x})\frac{d}{dx}(x^2)}{x^4}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{x^2(0-\frac{1}{2x}.2)-(1-\ln{2x})2x}{x^4}\)
\(=\frac{-x-2x+2x\ln{2x}}{x^4}\)
\(=\frac{2x\ln{2x}-3x}{x^4}\)
\(=\frac{x(2\ln{2x}-3)}{x^4}\)
\(=\frac{2\ln{2x}-3}{x^3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2\ln{2x}-3}{x^3}\)
এখন, \(x=\frac{e}{2}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2\ln{2.\frac{e}{2}}-3}{\left(\frac{e}{2}\right)^3}\)
\(=\frac{2\ln{e}-3}{\frac{e^3}{8}}\)
\(=\frac{2.1-3}{\frac{e^3}{8}}\) ➜ \(\because \ln{e}=1\)
\(=\frac{2-3}{\frac{e^3}{8}}\)
\(=\frac{-1}{\frac{e^3}{8}}\)
\(=-\frac{8}{e^3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=\frac{e}{2}\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান আছে।
ফাংশনটির গুরুমান \(=\frac{\ln{2.\frac{e}{2}}}{\frac{e}{2}}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=\frac{\ln{2x}}{x}\)
\(=\frac{\ln{e}}{\frac{e}{2}}\)
\(=\frac{1}{\frac{e}{2}}\) ➜ \(\because \ln{e}=1\)
\(=\frac{2}{e}\)
\(f(x)=\ln{x}\Rightarrow f(2x)=\ln{2x}\)
প্রদত্ত রাশি \(=\frac{f(2x)}{x}\)
\(=\frac{\ln{2x}}{x}\) ➜\(\because f(2x)=\ln{2x}\)
ধরি,
\(y=\frac{\ln{2x}}{x} .......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln{2x}}{x}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{x\frac{d}{dx}(\ln{2x})-\ln{2x}\frac{d}{dx}(x)}{x^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{x\frac{1}{2x}.2-\ln{2x}.1}{x^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{1-\ln{2x}}{x^2}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{1-\ln{2x}}{x^2}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{1-\ln{2x}}{x^2}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{1-\ln{2x}}{x^2}\)
\(\Rightarrow \frac{1-\ln{2x}}{x^2}=0\)
\(\Rightarrow 1-\ln{2x}=0\)
\(\Rightarrow -\ln{2x}=-1\)
\(\Rightarrow \ln{2x}=1\)
\(\Rightarrow 2x=e^1\) ➜\(\because \ln{x}=y \Rightarrow x=e^y\)
\(\Rightarrow 2x=e\)
\(\therefore x=\frac{e}{2}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{1-\ln{2x}}{x^2}\right)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{1-\ln{2x}}{x^2}\)
\(=\frac{x^2\frac{d}{dx}(1-\ln{2x})-(1-\ln{2x})\frac{d}{dx}(x^2)}{x^4}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{x^2(0-\frac{1}{2x}.2)-(1-\ln{2x})2x}{x^4}\)
\(=\frac{-x-2x+2x\ln{2x}}{x^4}\)
\(=\frac{2x\ln{2x}-3x}{x^4}\)
\(=\frac{x(2\ln{2x}-3)}{x^4}\)
\(=\frac{2\ln{2x}-3}{x^3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2\ln{2x}-3}{x^3}\)
এখন, \(x=\frac{e}{2}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2\ln{2.\frac{e}{2}}-3}{\left(\frac{e}{2}\right)^3}\)
\(=\frac{2\ln{e}-3}{\frac{e^3}{8}}\)
\(=\frac{2.1-3}{\frac{e^3}{8}}\) ➜ \(\because \ln{e}=1\)
\(=\frac{2-3}{\frac{e^3}{8}}\)
\(=\frac{-1}{\frac{e^3}{8}}\)
\(=-\frac{8}{e^3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=\frac{e}{2}\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান আছে।
ফাংশনটির গুরুমান \(=\frac{\ln{2.\frac{e}{2}}}{\frac{e}{2}}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=\frac{\ln{2x}}{x}\)
\(=\frac{\ln{e}}{\frac{e}{2}}\)
\(=\frac{1}{\frac{e}{2}}\) ➜ \(\because \ln{e}=1\)
\(=\frac{2}{e}\)
\(Q.2.(iii)\) \(g(u)=\ln{u}\) হলে, দেখাও যে, \(\frac{g(2x)}{x}\) ফাংশনের সর্বোচ্চ মান \(\frac{2}{e}\).
[ সিঃ২০১৭ ]
[ সিঃ২০১৭ ]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(g(u)=\ln{u}\Rightarrow g(2x)=\ln{2x}\)
প্রদত্ত রাশি \(=\frac{g(2x)}{x}\)
\(=\frac{\ln{2x}}{x}\) ➜\(\because g(2x)=\ln{2x}\)
ধরি,
\(y=\frac{\ln{2x}}{x} .......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln{2x}}{x}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{x\frac{d}{dx}(\ln{2x})-\ln{2x}\frac{d}{dx}(x)}{x^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{x\frac{1}{2x}.2-\ln{2x}.1}{x^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{1-\ln{2x}}{x^2}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{1-\ln{2x}}{x^2}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{1-\ln{2x}}{x^2}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{1-\ln{2x}}{x^2}\)
\(\Rightarrow \frac{1-\ln{2x}}{x^2}=0\)
\(\Rightarrow 1-\ln{2x}=0\)
\(\Rightarrow -\ln{2x}=-1\)
\(\Rightarrow \ln{2x}=1\)
\(\Rightarrow 2x=e^1\) ➜\(\because \ln{x}=y \Rightarrow x=e^y\)
\(\Rightarrow 2x=e\)
\(\therefore x=\frac{e}{2}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{1-\ln{2x}}{x^2}\right)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{1-\ln{2x}}{x^2}\)
\(=\frac{x^2\frac{d}{dx}(1-\ln{2x})-(1-\ln{2x})\frac{d}{dx}(x^2)}{x^4}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{x^2(0-\frac{1}{2x}.2)-(1-\ln{2x})2x}{x^4}\)
\(=\frac{-x-2x+2x\ln{2x}}{x^4}\)
\(=\frac{2x\ln{2x}-3x}{x^4}\)
\(=\frac{x(2\ln{2x}-3)}{x^4}\)
\(=\frac{2\ln{2x}-3}{x^3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2\ln{2x}-3}{x^3}\)
এখন, \(x=\frac{e}{2}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2\ln{2.\frac{e}{2}}-3}{\left(\frac{e}{2}\right)^3}\)
\(=\frac{2\ln{e}-3}{\frac{e^3}{8}}\)
\(=\frac{2.1-3}{\frac{e^3}{8}}\) ➜ \(\because \ln{e}=1\)
\(=\frac{2-3}{\frac{e^3}{8}}\)
\(=\frac{-1}{\frac{e^3}{8}}\)
\(=-\frac{8}{e^3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=\frac{e}{2}\) বিন্দুতে ফাংশনটির সর্বোচ্চমান আছে।
ফাংশনটির সর্বোচ্চমান \(=\frac{\ln{2.\frac{e}{2}}}{\frac{e}{2}}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=\frac{\ln{2x}}{x}\)
\(=\frac{\ln{e}}{\frac{e}{2}}\)
\(=\frac{1}{\frac{e}{2}}\) ➜ \(\because \ln{e}=1\)
\(=\frac{2}{e}\)
(Showed)
\(g(u)=\ln{u}\Rightarrow g(2x)=\ln{2x}\)
প্রদত্ত রাশি \(=\frac{g(2x)}{x}\)
\(=\frac{\ln{2x}}{x}\) ➜\(\because g(2x)=\ln{2x}\)
ধরি,
\(y=\frac{\ln{2x}}{x} .......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln{2x}}{x}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{x\frac{d}{dx}(\ln{2x})-\ln{2x}\frac{d}{dx}(x)}{x^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{x\frac{1}{2x}.2-\ln{2x}.1}{x^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{1-\ln{2x}}{x^2}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{1-\ln{2x}}{x^2}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{1-\ln{2x}}{x^2}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{1-\ln{2x}}{x^2}\)
\(\Rightarrow \frac{1-\ln{2x}}{x^2}=0\)
\(\Rightarrow 1-\ln{2x}=0\)
\(\Rightarrow -\ln{2x}=-1\)
\(\Rightarrow \ln{2x}=1\)
\(\Rightarrow 2x=e^1\) ➜\(\because \ln{x}=y \Rightarrow x=e^y\)
\(\Rightarrow 2x=e\)
\(\therefore x=\frac{e}{2}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{1-\ln{2x}}{x^2}\right)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{1-\ln{2x}}{x^2}\)
\(=\frac{x^2\frac{d}{dx}(1-\ln{2x})-(1-\ln{2x})\frac{d}{dx}(x^2)}{x^4}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{x^2(0-\frac{1}{2x}.2)-(1-\ln{2x})2x}{x^4}\)
\(=\frac{-x-2x+2x\ln{2x}}{x^4}\)
\(=\frac{2x\ln{2x}-3x}{x^4}\)
\(=\frac{x(2\ln{2x}-3)}{x^4}\)
\(=\frac{2\ln{2x}-3}{x^3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2\ln{2x}-3}{x^3}\)
এখন, \(x=\frac{e}{2}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2\ln{2.\frac{e}{2}}-3}{\left(\frac{e}{2}\right)^3}\)
\(=\frac{2\ln{e}-3}{\frac{e^3}{8}}\)
\(=\frac{2.1-3}{\frac{e^3}{8}}\) ➜ \(\because \ln{e}=1\)
\(=\frac{2-3}{\frac{e^3}{8}}\)
\(=\frac{-1}{\frac{e^3}{8}}\)
\(=-\frac{8}{e^3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=\frac{e}{2}\) বিন্দুতে ফাংশনটির সর্বোচ্চমান আছে।
ফাংশনটির সর্বোচ্চমান \(=\frac{\ln{2.\frac{e}{2}}}{\frac{e}{2}}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=\frac{\ln{2x}}{x}\)
\(=\frac{\ln{e}}{\frac{e}{2}}\)
\(=\frac{1}{\frac{e}{2}}\) ➜ \(\because \ln{e}=1\)
\(=\frac{2}{e}\)
(Showed)
\(Q.2.(iv)\) দেখাও যে, \(4e^{x}+9e^{-x}\) এর ক্ষুদ্রতম মান \(12\).
[ রাঃ২০১২,২০০৮,২০০৩; সিঃ২০১২; কুঃ২০১০; বঃ ২০১০,২০০৫ ]
[ রাঃ২০১২,২০০৮,২০০৩; সিঃ২০১২; কুঃ২০১০; বঃ ২০১০,২০০৫ ]
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=4e^{x}+9e^{-x} ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(4e^{x}+9e^{-x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=4\frac{d}{dx}(e^{x})+9\frac{d}{dx}(e^{-x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(=4e^{x}+9e^{-x}(-1)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(e^{x})=e^{x}\), \(\frac{d}{dx}(e^{-x})=e^{-x}(-1)\)
\(=4e^{x}-9e^{-x}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=4e^{x}-9e^{-x}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 4e^{x}-9e^{-x}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=4e^{x}-9e^{-x}\)
\(\Rightarrow 4e^{x}=9e^{-x}\)
\(\Rightarrow \frac{e^{x}}{e^{-x}}=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow e^{x}.e^{x}=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow (e^{x})^2=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow e^{x}=\sqrt{\frac{9}{4}}\)
\(\Rightarrow e^{x}=\frac{3}{2} \ \because e^{x}\ne{-ve}\)
\(\therefore e^{x}=\frac{3}{2}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(4e^{x}-9e^{-x})\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=4e^{x}-9e^{-x}\)
\(=4\frac{d}{dx}(e^{x})-9\frac{d}{dx}(e^{-x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(=4e^{x}-9e^{-x}(-1)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(e^{x})=e^{x}\), \(\frac{d}{dx}(e^{-x})=e^{-x}(-1)\)
\(=4e^{x}+9e^{-x}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=4e^{x}+9e^{-x}\)
এখন, \(e^{x}=\frac{3}{2}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=4e^{x}+9e^{-x}\)
\(=4e^{x}+\frac{9}{e^{x}}\)
\(=4.\frac{3}{2}+\frac{9}{\frac{3}{2}}\)
\(=2.3+\frac{9.2}{3}\)
\(=2.3+3.2\)
\(=6+6\)
\(=12\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore e^{x}=\frac{3}{2}\) বিন্দুতে ফাংশনটির ক্ষুদ্রতমমান আছে।
ফাংশনটির ক্ষুদ্রতমমান \(=4e^{x}+9e^{-x}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=4e^{x}+9e^{-x}\)
\(=4e^{x}+9e^{-x}\)
\(=4e^{x}+\frac{9}{e^{x}}\)
\(=4.\frac{3}{2}+\frac{9}{\frac{3}{2}}\) ➜ \(\because e^{x}=\frac{3}{2}\)
\(=2.3+\frac{9.2}{3}\)
\(=2.3+3.2\)
\(=6+6\)
\(=12\)
(Showed)
\(y=4e^{x}+9e^{-x} ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(4e^{x}+9e^{-x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=4\frac{d}{dx}(e^{x})+9\frac{d}{dx}(e^{-x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(=4e^{x}+9e^{-x}(-1)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(e^{x})=e^{x}\), \(\frac{d}{dx}(e^{-x})=e^{-x}(-1)\)
\(=4e^{x}-9e^{-x}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=4e^{x}-9e^{-x}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 4e^{x}-9e^{-x}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=4e^{x}-9e^{-x}\)
\(\Rightarrow 4e^{x}=9e^{-x}\)
\(\Rightarrow \frac{e^{x}}{e^{-x}}=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow e^{x}.e^{x}=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow (e^{x})^2=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow e^{x}=\sqrt{\frac{9}{4}}\)
\(\Rightarrow e^{x}=\frac{3}{2} \ \because e^{x}\ne{-ve}\)
\(\therefore e^{x}=\frac{3}{2}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(4e^{x}-9e^{-x})\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=4e^{x}-9e^{-x}\)
\(=4\frac{d}{dx}(e^{x})-9\frac{d}{dx}(e^{-x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(=4e^{x}-9e^{-x}(-1)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(e^{x})=e^{x}\), \(\frac{d}{dx}(e^{-x})=e^{-x}(-1)\)
\(=4e^{x}+9e^{-x}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=4e^{x}+9e^{-x}\)
এখন, \(e^{x}=\frac{3}{2}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=4e^{x}+9e^{-x}\)
\(=4e^{x}+\frac{9}{e^{x}}\)
\(=4.\frac{3}{2}+\frac{9}{\frac{3}{2}}\)
\(=2.3+\frac{9.2}{3}\)
\(=2.3+3.2\)
\(=6+6\)
\(=12\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore e^{x}=\frac{3}{2}\) বিন্দুতে ফাংশনটির ক্ষুদ্রতমমান আছে।
ফাংশনটির ক্ষুদ্রতমমান \(=4e^{x}+9e^{-x}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=4e^{x}+9e^{-x}\)
\(=4e^{x}+9e^{-x}\)
\(=4e^{x}+\frac{9}{e^{x}}\)
\(=4.\frac{3}{2}+\frac{9}{\frac{3}{2}}\) ➜ \(\because e^{x}=\frac{3}{2}\)
\(=2.3+\frac{9.2}{3}\)
\(=2.3+3.2\)
\(=6+6\)
\(=12\)
(Showed)
\(Q.2.(v)\) \(f(p)=e^{-2p}\) হলে, \(4f(p)+\frac{9}{f(p)}\) এর চরমমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \(=12\)
উত্তরঃ লঘুমান \(=12\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(f(p)=e^{-2p}\)
প্রদত্ত রাশি \(=4f(p)+\frac{9}{f(p)}\)
\(=4e^{-2p}+\frac{9}{e^{-2p}}\) ➜\(\because f(p)=e^{-2p}\)
\(=4e^{-2p}+9e^{2p}\)
\(=9e^{2p}+4e^{-2p}\)
ধরি,
\(y=9e^{2p}+4e^{-2p} ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dp}(y)=\frac{d}{dp}(9e^{2p}+4e^{-2p})\) ➜ \(p\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dp}=9\frac{d}{dp}(e^{2p})+4\frac{d}{dp}(e^{-2p})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(=9e^{2p}.2+4e^{-2p}(-2)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(e^{x})=e^{x}\), \(\frac{d}{dx}(e^{-x})=e^{-x}(-1)\)
\(=18e^{2p}-8e^{-2p}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=18e^{2p}-8e^{-2p}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dp}=0\)
\(\Rightarrow 18e^{2p}-8e^{-2p}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=18e^{2p}-8e^{-2p}\)
\(\Rightarrow 18e^{2p}=8e^{-2p}\)
\(\Rightarrow \frac{e^{2p}}{e^{-2p}}=\frac{8}{18}\)
\(\Rightarrow e^{2p}.e^{2p}=\frac{4}{9}\)
\(\Rightarrow (e^{2p})^2=\frac{4}{9}\)
\(\Rightarrow e^{2p}=\sqrt{\frac{4}{9}}\)
\(\Rightarrow e^{2p}=\frac{2}{3} \ \because e^{2p}\ne{-ve}\)
\(\therefore e^{2p}=\frac{2}{3}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(18e^{2p}-8e^{-2p})\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=18e^{2p}-8e^{-2p}\)
\(=18\frac{d}{dx}(e^{2p})-8\frac{d}{dx}(e^{-2p})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(=18e^{2p}.2-8e^{-2p}(-2)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(e^{x})=e^{x}\), \(\frac{d}{dx}(e^{-x})=e^{-x}(-1)\)
\(=36e^{2p}+16e^{-2p}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=36e^{2p}+16e^{-2p}\)
এখন, \(e^{2p}=\frac{2}{3}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=36e^{2p}+16e^{-2p}\)
\(=36e^{2p}+\frac{16}{e^{2p}}\)
\(=36.\frac{2}{3}+\frac{16}{\frac{2}{3}}\)
\(=12.2+\frac{16.3}{2}\)
\(=24+8.3\)
\(=24+24\)
\(=48\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore e^{2p}=\frac{2}{3}\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান আছে।
ফাংশনটির লঘুমান \(=9e^{2p}+4e^{-2p}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=9e^{2p}+4e^{-2p}\)
\(=9e^{2p}+4e^{-2p}\)
\(=9e^{2p}+\frac{4}{e^{2p}}\)
\(=9.\frac{2}{3}+\frac{4}{\frac{2}{3}}\) ➜ \(\because e^{2p}=\frac{2}{3}\)
\(=3.2+\frac{4.3}{2}\)
\(=6+2.3\)
\(=6+6\)
\(=12\)
(Showed)
\(f(p)=e^{-2p}\)
প্রদত্ত রাশি \(=4f(p)+\frac{9}{f(p)}\)
\(=4e^{-2p}+\frac{9}{e^{-2p}}\) ➜\(\because f(p)=e^{-2p}\)
\(=4e^{-2p}+9e^{2p}\)
\(=9e^{2p}+4e^{-2p}\)
ধরি,
\(y=9e^{2p}+4e^{-2p} ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dp}(y)=\frac{d}{dp}(9e^{2p}+4e^{-2p})\) ➜ \(p\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dp}=9\frac{d}{dp}(e^{2p})+4\frac{d}{dp}(e^{-2p})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(=9e^{2p}.2+4e^{-2p}(-2)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(e^{x})=e^{x}\), \(\frac{d}{dx}(e^{-x})=e^{-x}(-1)\)
\(=18e^{2p}-8e^{-2p}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=18e^{2p}-8e^{-2p}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dp}=0\)
\(\Rightarrow 18e^{2p}-8e^{-2p}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=18e^{2p}-8e^{-2p}\)
\(\Rightarrow 18e^{2p}=8e^{-2p}\)
\(\Rightarrow \frac{e^{2p}}{e^{-2p}}=\frac{8}{18}\)
\(\Rightarrow e^{2p}.e^{2p}=\frac{4}{9}\)
\(\Rightarrow (e^{2p})^2=\frac{4}{9}\)
\(\Rightarrow e^{2p}=\sqrt{\frac{4}{9}}\)
\(\Rightarrow e^{2p}=\frac{2}{3} \ \because e^{2p}\ne{-ve}\)
\(\therefore e^{2p}=\frac{2}{3}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(18e^{2p}-8e^{-2p})\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=18e^{2p}-8e^{-2p}\)
\(=18\frac{d}{dx}(e^{2p})-8\frac{d}{dx}(e^{-2p})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(=18e^{2p}.2-8e^{-2p}(-2)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(e^{x})=e^{x}\), \(\frac{d}{dx}(e^{-x})=e^{-x}(-1)\)
\(=36e^{2p}+16e^{-2p}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=36e^{2p}+16e^{-2p}\)
এখন, \(e^{2p}=\frac{2}{3}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=36e^{2p}+16e^{-2p}\)
\(=36e^{2p}+\frac{16}{e^{2p}}\)
\(=36.\frac{2}{3}+\frac{16}{\frac{2}{3}}\)
\(=12.2+\frac{16.3}{2}\)
\(=24+8.3\)
\(=24+24\)
\(=48\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore e^{2p}=\frac{2}{3}\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান আছে।
ফাংশনটির লঘুমান \(=9e^{2p}+4e^{-2p}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=9e^{2p}+4e^{-2p}\)
\(=9e^{2p}+4e^{-2p}\)
\(=9e^{2p}+\frac{4}{e^{2p}}\)
\(=9.\frac{2}{3}+\frac{4}{\frac{2}{3}}\) ➜ \(\because e^{2p}=\frac{2}{3}\)
\(=3.2+\frac{4.3}{2}\)
\(=6+2.3\)
\(=6+6\)
\(=12\)
(Showed)
\(Q.2.(vi)\) দেখাও যে, \(\sqrt{3}\sin{x}+3\cos{x}\) বৃহত্তম হবে, যদি \(x=\frac{\pi}{6}\) হয়।
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=\sqrt{3}\sin{x}+3\cos{x} ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sqrt{3}\sin{x}+3\cos{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\sqrt{3}\frac{d}{dx}(\sin{x})+3\frac{d}{dx}(\cos{x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(=\sqrt{3}\cos{x}-3\sin{x}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\), \(\frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\sqrt{3}\cos{x}-3\sin{x}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}\cos{x}-3\sin{x}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\sqrt{3}\cos{x}-3\sin{x}\)
\(\Rightarrow -3\sin{x}=-\sqrt{3}\cos{x}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{x}}{\cos{x}}=\frac{-\sqrt{3}}{-3}\)
\(\Rightarrow \tan{x}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}.\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \tan{x}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \tan{x}=\tan{\frac{\pi}{6}}\)
\(\therefore x=\frac{\pi}{6}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(\sqrt{3}\cos{x}-3\sin{x})\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\sqrt{3}\cos{x}-3\sin{x}\)
\(=\sqrt{3}\frac{d}{dx}(\cos{x})-3\frac{d}{dx}(\sin{x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(=-\sqrt{3}\sin{x}-3\cos{x}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=-\sqrt{3}\sin{x}-3\cos{x}\)
এখন, \(x=\frac{\pi}{6}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=-\sqrt{3}\sin{\frac{\pi}{6}}-3\cos{\frac{\pi}{6}}\)
\(=-\sqrt{3}.\frac{1}{2}-3\frac{\sqrt{3}}{2}\) ➜\(\because \sin{\frac{\pi}{6}}=\frac{1}{2}, \cos{\frac{\pi}{6}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=-\frac{\sqrt{3}}{2}-3\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=-4\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=\frac{\pi}{6}\) হলে, ফাংশনটি বৃহত্তম হবে।
(Showed)
\(y=\sqrt{3}\sin{x}+3\cos{x} ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sqrt{3}\sin{x}+3\cos{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\sqrt{3}\frac{d}{dx}(\sin{x})+3\frac{d}{dx}(\cos{x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(=\sqrt{3}\cos{x}-3\sin{x}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\), \(\frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\sqrt{3}\cos{x}-3\sin{x}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}\cos{x}-3\sin{x}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\sqrt{3}\cos{x}-3\sin{x}\)
\(\Rightarrow -3\sin{x}=-\sqrt{3}\cos{x}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{x}}{\cos{x}}=\frac{-\sqrt{3}}{-3}\)
\(\Rightarrow \tan{x}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}.\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \tan{x}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \tan{x}=\tan{\frac{\pi}{6}}\)
\(\therefore x=\frac{\pi}{6}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(\sqrt{3}\cos{x}-3\sin{x})\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\sqrt{3}\cos{x}-3\sin{x}\)
\(=\sqrt{3}\frac{d}{dx}(\cos{x})-3\frac{d}{dx}(\sin{x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(=-\sqrt{3}\sin{x}-3\cos{x}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=-\sqrt{3}\sin{x}-3\cos{x}\)
এখন, \(x=\frac{\pi}{6}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=-\sqrt{3}\sin{\frac{\pi}{6}}-3\cos{\frac{\pi}{6}}\)
\(=-\sqrt{3}.\frac{1}{2}-3\frac{\sqrt{3}}{2}\) ➜\(\because \sin{\frac{\pi}{6}}=\frac{1}{2}, \cos{\frac{\pi}{6}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=-\frac{\sqrt{3}}{2}-3\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=-4\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=\frac{\pi}{6}\) হলে, ফাংশনটি বৃহত্তম হবে।
(Showed)
\(Q.2.(vii)\) দেখাও যে, \(x\sin{x}+4\cos{x}\) বৃহত্তম হবে, যদি \(x=0\) হয়।
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=x\sin{x}+4\cos{x} ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x\sin{x}+4\cos{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x\sin{x})+4\frac{d}{dx}(\cos{x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(=x\frac{d}{dx}(\sin{x})+\sin{x}\frac{d}{dx}(x)-4\sin{x}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\), \(\frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}\)
\(=x\cos{x}+\sin{x}.1-4\sin{x}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=x\cos{x}+\sin{x}-4\sin{x}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=x\cos{x}-3\sin{x}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow x\cos{x}-3\sin{x}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=x\cos{x}-2\sin{x}\)
\(\Rightarrow -3\sin{x}=-x\cos{x}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{x}}{\cos{x}}=\frac{-x}{-3}\)
\(\Rightarrow \tan{x}=\frac{x}{3}\)
\(\therefore x=0\) ➜ কেবলমাত্র \(x=0\) এর জন্য সমীকরণটি সিদ্ধ হয়।
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(x\cos{x}-3\sin{x})\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=x\cos{x}-3\sin{x}\)
\(=\frac{d}{dx}(x\cos{x})-3\frac{d}{dx}(\sin{x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(=x\frac{d}{dx}(\cos{x})+\cos{x}\frac{d}{dx}(x)-3\cos{x}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\), \(\frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\)
\(=-x\sin{x}+\cos{x}.1-3\cos{x}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=-x\sin{x}+\cos{x}-3\cos{x}\)
\(=-x\sin{x}-2\cos{x}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=-x\sin{x}-2\cos{x}\)
এখন, \(x=0\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=-0.\sin{0}-2\cos{0}\)
\(=-0-2.1\) ➜\(\because \sin{0}=0, \cos{0}=1\)
\(=-2\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=0\) হলে, ফাংশনটি বৃহত্তম হবে।
(Showed)
\(y=x\sin{x}+4\cos{x} ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x\sin{x}+4\cos{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x\sin{x})+4\frac{d}{dx}(\cos{x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(=x\frac{d}{dx}(\sin{x})+\sin{x}\frac{d}{dx}(x)-4\sin{x}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\), \(\frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}\)
\(=x\cos{x}+\sin{x}.1-4\sin{x}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=x\cos{x}+\sin{x}-4\sin{x}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=x\cos{x}-3\sin{x}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow x\cos{x}-3\sin{x}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=x\cos{x}-2\sin{x}\)
\(\Rightarrow -3\sin{x}=-x\cos{x}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{x}}{\cos{x}}=\frac{-x}{-3}\)
\(\Rightarrow \tan{x}=\frac{x}{3}\)
\(\therefore x=0\) ➜ কেবলমাত্র \(x=0\) এর জন্য সমীকরণটি সিদ্ধ হয়।
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(x\cos{x}-3\sin{x})\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=x\cos{x}-3\sin{x}\)
\(=\frac{d}{dx}(x\cos{x})-3\frac{d}{dx}(\sin{x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(=x\frac{d}{dx}(\cos{x})+\cos{x}\frac{d}{dx}(x)-3\cos{x}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\), \(\frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\)
\(=-x\sin{x}+\cos{x}.1-3\cos{x}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=-x\sin{x}+\cos{x}-3\cos{x}\)
\(=-x\sin{x}-2\cos{x}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=-x\sin{x}-2\cos{x}\)
এখন, \(x=0\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=-0.\sin{0}-2\cos{0}\)
\(=-0-2.1\) ➜\(\because \sin{0}=0, \cos{0}=1\)
\(=-2\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=0\) হলে, ফাংশনটি বৃহত্তম হবে।
(Showed)
\(Q.2.(viii)\) দেখাও যে, \(\sin{x}(1+\cos{x})\) বৃহত্তম হবে, যদি \(x=\frac{\pi}{3}\) হয়।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(y=\sin{x}(1+\cos{x})\)
\(\Rightarrow y=\sin{x}+\sin{x}\cos{x}\)
\(\Rightarrow y=\sin{x}\cos{x}+\sin{x} ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sin{x}\cos{x}+\sin{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(\sin{x}\cos{x})+\frac{d}{dx}(\sin{x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(=\sin{x}\frac{d}{dx}(\cos{x})+\cos{x}\frac{d}{dx}(\sin{x})+\cos{x}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\), \(\frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\)
\(=-\sin{x}\sin{x}+\cos{x}.\cos{x}+\cos{x}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=-\sin^2{x}+\cos^2{x}+\cos{x}\)
\(=\cos^2{x}-\sin^2{x}+\cos{x}\)
\(=\cos{2x}+\cos{x}\) ➜\(\because \cos^2{A}-\sin^{A}=\cos{2A}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\cos{2x}+\cos{x}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \cos{2x}+\cos{x}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\cos{2x}+\cos{x}\)
\(\Rightarrow 2\cos^2{x}-1+\cos{x}=0\) ➜\(\because \cos{2A}=2\cos^2{x}-1\)
\(\Rightarrow 2\cos^2{x}+\cos{x}-1=0\)
\(\Rightarrow 2\cos^2{x}+2\cos{x}-\cos{x}-1=0\)
\(\Rightarrow 2\cos{x}(\cos{x}+1)-1(\cos{x}+1)=0\)
\(\Rightarrow (\cos{x}+1)(2\cos{x}-1)=0\)
\(\Rightarrow \cos{x}+1=0, 2\cos{x}-1=0\)
\(\Rightarrow 2\cos{x}=1\)
\(\Rightarrow \cos{x}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{x}=\cos{\frac{\pi}{3}}\)
\(\therefore x=\frac{\pi}{3}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(\cos{2x}+\cos{x})\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\cos{2x}+\cos{x}\)
\(=\frac{d}{dx}(\cos{2x})+\frac{d}{dx}(\cos{x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(=-\sin{2x}.2-\sin{x}\)
\(=-2\sin{2x}-\sin{x}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=-2\sin{2x}-\sin{x}\)
এখন, \(x=\frac{\pi}{3}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=-2\sin{2.\frac{\pi}{3}}-\sin{\frac{\pi}{3}}\)
\(=-2\sin{\frac{2\pi}{3}}-\sin{\frac{\pi}{3}}\)
\(=-2.\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\) ➜\(\because \sin{\frac{2\pi}{3}}=\frac{1}{2}, \sin{\frac{\pi}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=-1-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=\frac{\pi}{3}\) হলে, ফাংশনটি বৃহত্তম হবে।
(Showed)
\(y=\sin{x}(1+\cos{x})\)
\(\Rightarrow y=\sin{x}+\sin{x}\cos{x}\)
\(\Rightarrow y=\sin{x}\cos{x}+\sin{x} ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sin{x}\cos{x}+\sin{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(\sin{x}\cos{x})+\frac{d}{dx}(\sin{x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(=\sin{x}\frac{d}{dx}(\cos{x})+\cos{x}\frac{d}{dx}(\sin{x})+\cos{x}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\), \(\frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\)
\(=-\sin{x}\sin{x}+\cos{x}.\cos{x}+\cos{x}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=-\sin^2{x}+\cos^2{x}+\cos{x}\)
\(=\cos^2{x}-\sin^2{x}+\cos{x}\)
\(=\cos{2x}+\cos{x}\) ➜\(\because \cos^2{A}-\sin^{A}=\cos{2A}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\cos{2x}+\cos{x}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \cos{2x}+\cos{x}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\cos{2x}+\cos{x}\)
\(\Rightarrow 2\cos^2{x}-1+\cos{x}=0\) ➜\(\because \cos{2A}=2\cos^2{x}-1\)
\(\Rightarrow 2\cos^2{x}+\cos{x}-1=0\)
\(\Rightarrow 2\cos^2{x}+2\cos{x}-\cos{x}-1=0\)
\(\Rightarrow 2\cos{x}(\cos{x}+1)-1(\cos{x}+1)=0\)
\(\Rightarrow (\cos{x}+1)(2\cos{x}-1)=0\)
\(\Rightarrow \cos{x}+1=0, 2\cos{x}-1=0\)
\(\Rightarrow 2\cos{x}=1\)
\(\Rightarrow \cos{x}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{x}=\cos{\frac{\pi}{3}}\)
\(\therefore x=\frac{\pi}{3}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(\cos{2x}+\cos{x})\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\cos{2x}+\cos{x}\)
\(=\frac{d}{dx}(\cos{2x})+\frac{d}{dx}(\cos{x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(=-\sin{2x}.2-\sin{x}\)
\(=-2\sin{2x}-\sin{x}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=-2\sin{2x}-\sin{x}\)
এখন, \(x=\frac{\pi}{3}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=-2\sin{2.\frac{\pi}{3}}-\sin{\frac{\pi}{3}}\)
\(=-2\sin{\frac{2\pi}{3}}-\sin{\frac{\pi}{3}}\)
\(=-2.\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\) ➜\(\because \sin{\frac{2\pi}{3}}=\frac{1}{2}, \sin{\frac{\pi}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=-1-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=\frac{\pi}{3}\) হলে, ফাংশনটি বৃহত্তম হবে।
(Showed)
\(Q.2.(ix)\) দেখাও যে, \(\frac{\ln{x}}{x}\) এর গুরুমান \(\frac{1}{e}\).
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=\frac{\ln{x}}{x}.......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln{x}}{x}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{x\frac{d}{dx}(\ln{x})-\ln{x}\frac{d}{dx}(x)}{x^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{x.\frac{1}{x}-\ln{x}.1}{x^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{1-\ln{x}}{x^2}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{1-\ln{x}}{x^2}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{1-\ln{x}}{x^2}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{1-\ln{x}}{x^2}\)
\(\Rightarrow 1-\ln{x}=0\)
\(\Rightarrow -\ln{x}=-1\)
\(\Rightarrow \ln{x}=1\)
\(\Rightarrow x=e^1\) ➜\(\because \ln{x}=y \Rightarrow x=e^y\)
\(\therefore x=e\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{1-\ln{x}}{x^2}\right)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{1-\ln{x}}{x^2}\)
\(=\frac{x^2\frac{d}{dx}(1-\ln{x})-(1-\ln{x})\frac{d}{dx}(x^2)}{x^4}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{x^2\times{-\frac{1}{x}}-(1-\ln{x}).2x}{x^4}\)
\(=\frac{-x-2x+2x\ln{x}}{x^4}\)
\(=\frac{-3x+2x\ln{x}}{x^4}\)
\(=\frac{x(2\ln{x}-3)}{x^4}\)
\(=\frac{2\ln{x}-3}{x^3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2\ln{x}-3}{x^3}\)
এখন, \(x=e\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2\ln{e}-3}{e^3}\)
\(=\frac{2.1-3}{e^3}\) ➜ \(\because \ln{e}=1\)
\(=\frac{2-3}{e^3}\)
\(=-\frac{1}{e^3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=e\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান আছে।
ফাংশনটির গুরুমান \(=\frac{\ln{e}}{e}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=\frac{\ln{x}}{x}\)
\(=\frac{1}{e}\) ➜ \(\because \ln{e}=1\)
(Showed)
\(y=\frac{\ln{x}}{x}.......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln{x}}{x}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{x\frac{d}{dx}(\ln{x})-\ln{x}\frac{d}{dx}(x)}{x^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{x.\frac{1}{x}-\ln{x}.1}{x^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{1-\ln{x}}{x^2}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{1-\ln{x}}{x^2}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{1-\ln{x}}{x^2}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{1-\ln{x}}{x^2}\)
\(\Rightarrow 1-\ln{x}=0\)
\(\Rightarrow -\ln{x}=-1\)
\(\Rightarrow \ln{x}=1\)
\(\Rightarrow x=e^1\) ➜\(\because \ln{x}=y \Rightarrow x=e^y\)
\(\therefore x=e\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{1-\ln{x}}{x^2}\right)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{1-\ln{x}}{x^2}\)
\(=\frac{x^2\frac{d}{dx}(1-\ln{x})-(1-\ln{x})\frac{d}{dx}(x^2)}{x^4}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{x^2\times{-\frac{1}{x}}-(1-\ln{x}).2x}{x^4}\)
\(=\frac{-x-2x+2x\ln{x}}{x^4}\)
\(=\frac{-3x+2x\ln{x}}{x^4}\)
\(=\frac{x(2\ln{x}-3)}{x^4}\)
\(=\frac{2\ln{x}-3}{x^3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2\ln{x}-3}{x^3}\)
এখন, \(x=e\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2\ln{e}-3}{e^3}\)
\(=\frac{2.1-3}{e^3}\) ➜ \(\because \ln{e}=1\)
\(=\frac{2-3}{e^3}\)
\(=-\frac{1}{e^3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=e\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান আছে।
ফাংশনটির গুরুমান \(=\frac{\ln{e}}{e}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=\frac{\ln{x}}{x}\)
\(=\frac{1}{e}\) ➜ \(\because \ln{e}=1\)
(Showed)
\(Q.2.(x)\) দেখাও যে, \(x^{\frac{1}{x}}\) এর গুরুমান \(e^{\frac{1}{e}}\).
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=x^{\frac{1}{x}} .......(1)\)
\(\Rightarrow \ln{y}=\ln{x^{\frac{1}{x}}}\) ➜ উভয় পার্শে \(\ln\) সংযোজন করে।
\(\Rightarrow \ln{y}=\frac{1}{x}\ln{x}\) ➜ \(\because \ln{M^{n}}=n\ln{(M)}\)
\(\Rightarrow \ln{y}=\frac{\ln{x}}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(\ln{y})=\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln{x}}{x}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(\ln{y})=\frac{x\frac{d}{dx}(\ln{x})-\ln{x}\frac{d}{dx}(x)}{x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{x\frac{1}{x}-\ln{x}.1}{x^2}\) |\(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{1-\ln{x}}{x^2}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=y\left(\frac{1-\ln{x}}{x^2}\right)\)
\(=x^{\frac{1}{x}}x^{-2}(1-\ln{x})\)
\(=x^{\frac{1}{x}-2}(1-\ln{x})\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=x^{\frac{1}{x}-2}(1-\ln{x})\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow x^{\frac{1}{x}-2}(1-\ln{x})=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=x^{\frac{1}{x}-2}(1-\ln{x})\)
\(\Rightarrow x^{\frac{1}{x}-2}\ne{0}, 1-\ln{x}=0\)
\(\Rightarrow -\ln{x}=-1\)
\(\Rightarrow \ln{x}=1\)
\(\Rightarrow x=e^1\) ➜\(\because \ln{x}=y \Rightarrow x=e^y\)
\(\therefore x=e\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(x^{\frac{1}{x}-2}(1-\ln{x})\right)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=x^{\frac{1}{x}-2}(1-\ln{x})\)
\(=x^{\frac{1}{x}-2}\frac{d}{dx}(1-\ln{x})+(1-\ln{x})\frac{d}{dx}\left(x^{\frac{1}{x}-2}\right)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=x^{\frac{1}{x}-2}\times{-\frac{1}{x}}+(1-\ln{x})x^{\frac{1}{x}-2}\left(\frac{\frac{1}{x}-2}{x}.1+\ln{x}\times{-\frac{1}{x^2}}\right)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u^{v})=u^{v}\left(\frac{v}{u}\frac{du}{dx}+\ln{u}\frac{dv}{dx}\right)\)
\(=-x^{\frac{1}{x}-3}+(1-\ln{x})x^{\frac{1}{x}-2}\left(\frac{\frac{1}{x}-2}{x}-\frac{\ln{x}}{x^2}\right)\)
\(=-x^{\frac{1}{x}-3}+(1-\ln{x})x^{\frac{1}{x}-2}\left(\frac{1-2x}{x^2}-\frac{\ln{x}}{x^2}\right)\)
\(=-x^{\frac{1}{x}-3}+(1-\ln{x})x^{\frac{1}{x}-2}\frac{1-2x-\ln{x}}{x^2}\)
\(=-x^{\frac{1}{x}-3}+(1-\ln{x})(1-2x-\ln{x})x^{\frac{1}{x}-4}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=-x^{\frac{1}{x}-3}+(1-\ln{x})(1-2x-\ln{x})x^{\frac{1}{x}-4}\)
এখন, \(x=e\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=-e^{\frac{1}{e}-3}+(1-\ln{e})(1-2e-\ln{e})e^{\frac{1}{e}-4}\)
\(=-e^{\frac{1}{e}-3}+(1-1)(1-2e-1)e^{\frac{1}{e}-4}\) ➜ \(\because \ln{e}=1\)
\(=-e^{\frac{1}{e}-3}+0.(1-2e-1)e^{\frac{1}{e}-4}\)
\(=-e^{\frac{1}{e}-3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=e\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান আছে।
ফাংশনটির গুরুমান \(=e^{\frac{1}{e}}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^{\frac{1}{x}}\)
(Showed)
\(y=x^{\frac{1}{x}} .......(1)\)
\(\Rightarrow \ln{y}=\ln{x^{\frac{1}{x}}}\) ➜ উভয় পার্শে \(\ln\) সংযোজন করে।
\(\Rightarrow \ln{y}=\frac{1}{x}\ln{x}\) ➜ \(\because \ln{M^{n}}=n\ln{(M)}\)
\(\Rightarrow \ln{y}=\frac{\ln{x}}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(\ln{y})=\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln{x}}{x}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(\ln{y})=\frac{x\frac{d}{dx}(\ln{x})-\ln{x}\frac{d}{dx}(x)}{x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{x\frac{1}{x}-\ln{x}.1}{x^2}\) |\(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{1-\ln{x}}{x^2}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=y\left(\frac{1-\ln{x}}{x^2}\right)\)
\(=x^{\frac{1}{x}}x^{-2}(1-\ln{x})\)
\(=x^{\frac{1}{x}-2}(1-\ln{x})\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=x^{\frac{1}{x}-2}(1-\ln{x})\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow x^{\frac{1}{x}-2}(1-\ln{x})=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=x^{\frac{1}{x}-2}(1-\ln{x})\)
\(\Rightarrow x^{\frac{1}{x}-2}\ne{0}, 1-\ln{x}=0\)
\(\Rightarrow -\ln{x}=-1\)
\(\Rightarrow \ln{x}=1\)
\(\Rightarrow x=e^1\) ➜\(\because \ln{x}=y \Rightarrow x=e^y\)
\(\therefore x=e\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(x^{\frac{1}{x}-2}(1-\ln{x})\right)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=x^{\frac{1}{x}-2}(1-\ln{x})\)
\(=x^{\frac{1}{x}-2}\frac{d}{dx}(1-\ln{x})+(1-\ln{x})\frac{d}{dx}\left(x^{\frac{1}{x}-2}\right)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=x^{\frac{1}{x}-2}\times{-\frac{1}{x}}+(1-\ln{x})x^{\frac{1}{x}-2}\left(\frac{\frac{1}{x}-2}{x}.1+\ln{x}\times{-\frac{1}{x^2}}\right)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u^{v})=u^{v}\left(\frac{v}{u}\frac{du}{dx}+\ln{u}\frac{dv}{dx}\right)\)
\(=-x^{\frac{1}{x}-3}+(1-\ln{x})x^{\frac{1}{x}-2}\left(\frac{\frac{1}{x}-2}{x}-\frac{\ln{x}}{x^2}\right)\)
\(=-x^{\frac{1}{x}-3}+(1-\ln{x})x^{\frac{1}{x}-2}\left(\frac{1-2x}{x^2}-\frac{\ln{x}}{x^2}\right)\)
\(=-x^{\frac{1}{x}-3}+(1-\ln{x})x^{\frac{1}{x}-2}\frac{1-2x-\ln{x}}{x^2}\)
\(=-x^{\frac{1}{x}-3}+(1-\ln{x})(1-2x-\ln{x})x^{\frac{1}{x}-4}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=-x^{\frac{1}{x}-3}+(1-\ln{x})(1-2x-\ln{x})x^{\frac{1}{x}-4}\)
এখন, \(x=e\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=-e^{\frac{1}{e}-3}+(1-\ln{e})(1-2e-\ln{e})e^{\frac{1}{e}-4}\)
\(=-e^{\frac{1}{e}-3}+(1-1)(1-2e-1)e^{\frac{1}{e}-4}\) ➜ \(\because \ln{e}=1\)
\(=-e^{\frac{1}{e}-3}+0.(1-2e-1)e^{\frac{1}{e}-4}\)
\(=-e^{\frac{1}{e}-3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=e\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান আছে।
ফাংশনটির গুরুমান \(=e^{\frac{1}{e}}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^{\frac{1}{x}}\)
(Showed)
\(Q.2.(xi)\) \(1+2\sin{x}+3\cos^2{x}, \left(0\le{x}\le{\frac{\pi}{2}}\right)\) এর গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \( =3\); গুরুমান \( =4\frac{1}{3}\) .
[ যঃ২০০৫ ]
উত্তরঃ লঘুমান \( =3\); গুরুমান \( =4\frac{1}{3}\) .
[ যঃ২০০৫ ]
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=1+2\sin{x}+3\cos^2{x} ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(1+2\sin{x}+3\cos^2{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(1)+2\frac{d}{dx}(\sin{x})+3\frac{d}{dx}(\cos^2{x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v+w)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=0+2\cos{x}+3.2\cos{x}\times{-\sin{x}}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\), \(\frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=2\cos{x}-6\cos{x}\sin{x}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 2\cos{x}-6\cos{x}\sin{x}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=2\cos{x}-6\cos{x}\sin{x}\)
\(\Rightarrow 2\cos{x}(1-3\sin{x})=0\)
\(\Rightarrow 2\cos{x}=0, 1-3\sin{x}=0\)
\(\Rightarrow \cos{x}=0, -3\sin{x}=-1\)
\(\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}, \sin{x}=\frac{1}{3}\)
\(\therefore x=\frac{\pi}{2}, \sin{x}=\frac{1}{3}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(2\cos{x}-6\cos{x}\sin{x})\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=2\cos{x}-6\cos{x}\sin{x}\)
\(=2\frac{d}{dx}(\cos{x})-6\frac{d}{dx}(\cos{x}\sin{x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(=-2\sin{x}-6\cos{x}\frac{d}{dx}(\sin{x})-6\sin{x}\frac{d}{dx}(\cos{x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=-2\sin{x}-6\cos{x}\cos{x}+6\sin{x}\sin{x}\)
\(=-2\sin{x}-6\cos^{x}+6\sin^2{x}\)
\(=-2\sin{x}-6(1-\sin^{x})+6\sin^2{x}\)
\(=-2\sin{x}-6+6\sin^{x}+6\sin^2{x}\)
\(=-2\sin{x}+12\sin^{x}-6\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=-2\sin{x}+12\sin^2{x}-6\)
এখন, \(x=\frac{\pi}{2}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=-2\sin{\frac{\pi}{2}}+12\sin^2{\frac{\pi}{2}}-6\)
\(=-2.1+12.1^2-6\) ➜\(\because \sin{\frac{\pi}{2}}=1\)
\(=-2+12-6\)
\(=12-8\)
\(=4\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=\frac{\pi}{2}\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান আছে।
ফাংশনটির লঘুমান \(=1+2\sin{\frac{\pi}{2}}+3\cos^2{\frac{\pi}{2}}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=1+2\sin{x}+3\cos^2{x}\)
\(=1+2.1+3.0\) ➜\(\because \sin{\frac{\pi}{2}}=1, \cos{\frac{\pi}{2}}=0\)
\(=1+2+0\)
\(=3\)
আবার,
\(\sin{x}=\frac{1}{3}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=-2\times{\frac{1}{3}}+12\times{\left(\frac{1}{3}\right)^2}-6\)
\(=-\frac{2}{3}+12\times{\frac{1}{9}}-6\)
\(=-\frac{2}{3}+4\times{\frac{1}{3}}-6\)
\(=-\frac{2}{3}+\frac{4}{3}-6\)
\(=\frac{-2+4-18}{3}\)
\(=\frac{4-20}{3}\)
\(=\frac{-16}{3}\)
\(=-\frac{16}{3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore \sin{x}=\frac{1}{3}\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান আছে।
ফাংশনটির গুরুমান \(=1+2\sin{x}+3(1-\sin^2{x})\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=1+2\sin{x}+3\cos^2{x}\)\(=1+2\sin{x}+3(1-\sin^2{x})\)
\(=1+\frac{2}{3}+3\{1-\frac{1}{9}\}\)
\(=1+\frac{2}{3}+3-\frac{1}{3}\)
\(=4+\frac{2-1}{3}\)
\(=4+\frac{1}{3}\)
\(=\frac{12+1}{3}\)
\(=\frac{13}{3}\)
\(=4\frac{1}{3}\)
\(y=1+2\sin{x}+3\cos^2{x} ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(1+2\sin{x}+3\cos^2{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(1)+2\frac{d}{dx}(\sin{x})+3\frac{d}{dx}(\cos^2{x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v+w)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=0+2\cos{x}+3.2\cos{x}\times{-\sin{x}}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\), \(\frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=2\cos{x}-6\cos{x}\sin{x}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 2\cos{x}-6\cos{x}\sin{x}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=2\cos{x}-6\cos{x}\sin{x}\)
\(\Rightarrow 2\cos{x}(1-3\sin{x})=0\)
\(\Rightarrow 2\cos{x}=0, 1-3\sin{x}=0\)
\(\Rightarrow \cos{x}=0, -3\sin{x}=-1\)
\(\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}, \sin{x}=\frac{1}{3}\)
\(\therefore x=\frac{\pi}{2}, \sin{x}=\frac{1}{3}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(2\cos{x}-6\cos{x}\sin{x})\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=2\cos{x}-6\cos{x}\sin{x}\)
\(=2\frac{d}{dx}(\cos{x})-6\frac{d}{dx}(\cos{x}\sin{x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(=-2\sin{x}-6\cos{x}\frac{d}{dx}(\sin{x})-6\sin{x}\frac{d}{dx}(\cos{x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=-2\sin{x}-6\cos{x}\cos{x}+6\sin{x}\sin{x}\)
\(=-2\sin{x}-6\cos^{x}+6\sin^2{x}\)
\(=-2\sin{x}-6(1-\sin^{x})+6\sin^2{x}\)
\(=-2\sin{x}-6+6\sin^{x}+6\sin^2{x}\)
\(=-2\sin{x}+12\sin^{x}-6\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=-2\sin{x}+12\sin^2{x}-6\)
এখন, \(x=\frac{\pi}{2}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=-2\sin{\frac{\pi}{2}}+12\sin^2{\frac{\pi}{2}}-6\)
\(=-2.1+12.1^2-6\) ➜\(\because \sin{\frac{\pi}{2}}=1\)
\(=-2+12-6\)
\(=12-8\)
\(=4\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=\frac{\pi}{2}\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান আছে।
ফাংশনটির লঘুমান \(=1+2\sin{\frac{\pi}{2}}+3\cos^2{\frac{\pi}{2}}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=1+2\sin{x}+3\cos^2{x}\)
\(=1+2.1+3.0\) ➜\(\because \sin{\frac{\pi}{2}}=1, \cos{\frac{\pi}{2}}=0\)
\(=1+2+0\)
\(=3\)
আবার,
\(\sin{x}=\frac{1}{3}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=-2\times{\frac{1}{3}}+12\times{\left(\frac{1}{3}\right)^2}-6\)
\(=-\frac{2}{3}+12\times{\frac{1}{9}}-6\)
\(=-\frac{2}{3}+4\times{\frac{1}{3}}-6\)
\(=-\frac{2}{3}+\frac{4}{3}-6\)
\(=\frac{-2+4-18}{3}\)
\(=\frac{4-20}{3}\)
\(=\frac{-16}{3}\)
\(=-\frac{16}{3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore \sin{x}=\frac{1}{3}\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান আছে।
ফাংশনটির গুরুমান \(=1+2\sin{x}+3(1-\sin^2{x})\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=1+2\sin{x}+3\cos^2{x}\)\(=1+2\sin{x}+3(1-\sin^2{x})\)
\(=1+\frac{2}{3}+3\{1-\frac{1}{9}\}\)
\(=1+\frac{2}{3}+3-\frac{1}{3}\)
\(=4+\frac{2-1}{3}\)
\(=4+\frac{1}{3}\)
\(=\frac{12+1}{3}\)
\(=\frac{13}{3}\)
\(=4\frac{1}{3}\)
\(Q.2.(xii)\) দেখাও যে, \(f(x)=\frac{\sin{(x+a)}}{\sin{(x+b)}}\) এর কোনো গুরুমান অথবা লঘুমান নেই।
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=f(x)=\frac{\sin{(x+a)}}{\sin{(x+b)}} ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin{(x+a)}}{\sin{(x+b)}}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{\sin{(x+b)}\frac{d}{dx}\{\sin{(x+a)}\}-\sin{(x+a)}\frac{d}{dx}\{\sin{(x+b)}\}}{\sin^2{(x+b)}}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{\sin{(x+b)}\cos{(x+a)}.1-\sin{(x+a)}\cos{(x+b)}.1}{\sin^2{(x+b)}}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\), \(\frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}\)
\(=\frac{\sin{(x+b)}\cos{(x+a)}-\cos{(x+b)}\sin{(x+a)}}{\sin^2{(x+b)}}\)
\(=\frac{\sin{(x+b-x-a)}}{\sin^2{(x+b)}}\) ➜\(\because \sin{(A-B)}=\sin{A}\cos{B}-\cos{A}\sin{B}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{\sin{(b-a)}}{\sin^2{(x+b)}}\)
যা \(x\) কোনো বাস্তব মানের জন্য শুন্য হতে পারে না।
অতএব ফাংশনটির কোনো গুরুমান অথবা লঘুমান নেই।
\(y=f(x)=\frac{\sin{(x+a)}}{\sin{(x+b)}} ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin{(x+a)}}{\sin{(x+b)}}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{\sin{(x+b)}\frac{d}{dx}\{\sin{(x+a)}\}-\sin{(x+a)}\frac{d}{dx}\{\sin{(x+b)}\}}{\sin^2{(x+b)}}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{\sin{(x+b)}\cos{(x+a)}.1-\sin{(x+a)}\cos{(x+b)}.1}{\sin^2{(x+b)}}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\), \(\frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}\)
\(=\frac{\sin{(x+b)}\cos{(x+a)}-\cos{(x+b)}\sin{(x+a)}}{\sin^2{(x+b)}}\)
\(=\frac{\sin{(x+b-x-a)}}{\sin^2{(x+b)}}\) ➜\(\because \sin{(A-B)}=\sin{A}\cos{B}-\cos{A}\sin{B}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{\sin{(b-a)}}{\sin^2{(x+b)}}\)
যা \(x\) কোনো বাস্তব মানের জন্য শুন্য হতে পারে না।
অতএব ফাংশনটির কোনো গুরুমান অথবা লঘুমান নেই।
\(Q.2.(xiii)\) \((0, \pi)\) ব্যবধিতে \(f(x)=\sin{x}+\cos{2x}\) ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বনিম্ন মান \( =0\); সর্বোচ্চ মান \( =\frac{9}{8}\) .
[ দিঃ২০১০ ]
উত্তরঃ সর্বনিম্ন মান \( =0\); সর্বোচ্চ মান \( =\frac{9}{8}\) .
[ দিঃ২০১০ ]
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=f(x)=\sin{x}+\cos{2x} ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sin{x}+\cos{2x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(\sin{x})+\frac{d}{dx}(\cos{2x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(=\cos{x}-\sin{2x}\times{2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\), \(\frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}\)
\(=\cos{x}-2\sin{2x}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\cos{x}-2\sin{2x}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \cos{x}-2\sin{2x}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\cos{x}-2\sin{2x}\)
\(\Rightarrow \cos{x}-2.2\sin{x}\cos{x}=0\)
\(\Rightarrow \cos{x}(1-4\sin{x})=0\)
\(\Rightarrow \cos{x}=0, 1-4\sin{x}=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}, -4\sin{x}=-1\)
\(\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}, \sin{x}=\frac{-1}{-4}\)
\(\therefore x=\frac{\pi}{2}, \sin{x}=\frac{1}{4}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(\cos{x}-2\sin{2x})\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\cos{x}-2\sin{2x}\)
\(=\frac{d}{dx}(\cos{x})-2\frac{d}{dx}(\sin{2x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(=-\sin{x}-2\cos{2x}.2\)
\(=-\sin{x}-4\cos{2x}\)
\(=-\sin{x}-4(1-2\sin^2{x})\) ➜\(\because \cos{2A}=1-2\sin^2{A}\)
\(=-\sin{x}-4+8\sin^2{x}\)
\(=8\sin^2{x}-\sin{x}-4\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=8\sin^2{x}-\sin{x}-4\)
এখন, \(x=\frac{\pi}{2}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=8\sin^2{\frac{\pi}{2}}-\sin{\frac{\pi}{2}}-4\)
\(=8.1^2-1-4\) ➜\(\because \sin{\frac{\pi}{2}}=1\)
\(=8-5\)
\(=3\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=\frac{\pi}{2}\) বিন্দুতে ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান আছে।
ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান \(=\sin{\frac{\pi}{2}}+\cos{2.\frac{\pi}{2}}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=\sin{x}+\cos{2x}\)
\(=1+\cos{\pi}\) ➜\(\because \sin{\frac{\pi}{2}}=1\)
\(=1-1\) ➜\(\because \cos{\pi}=-1\)
\(=0\)
আবার,
\(\sin{x}=\frac{1}{4}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=8.\left(\frac{1}{4}\right)^2-\frac{1}{4}-4\)
\(=8.\frac{1}{16}-\frac{1}{4}-4\)
\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-4\)
\(=\frac{2-1-16}{4}\)
\(=\frac{2-17}{4}\)
\(=\frac{-15}{4}\)
\(=-\frac{15}{4}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore \sin{x}=\frac{1}{4}\) বিন্দুতে ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান আছে।
ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান \(=\sin{x}+1-2\sin^2{x}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=\sin{x}+\cos{2x}\)\(=\sin{x}+1-2\sin^2{x}\)
\(=\frac{1}{4}+1-2.\left(\frac{1}{4}\right)^2\)
\(=\frac{1}{4}+1-2.\frac{1}{16}\)
\(=\frac{1}{4}+1-\frac{1}{8}\)
\(=\frac{2+8-1}{8}\)
\(=\frac{10-1}{8}\)
\(=\frac{9}{8}\)
\(y=f(x)=\sin{x}+\cos{2x} ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sin{x}+\cos{2x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(\sin{x})+\frac{d}{dx}(\cos{2x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(=\cos{x}-\sin{2x}\times{2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\), \(\frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}\)
\(=\cos{x}-2\sin{2x}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\cos{x}-2\sin{2x}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \cos{x}-2\sin{2x}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\cos{x}-2\sin{2x}\)
\(\Rightarrow \cos{x}-2.2\sin{x}\cos{x}=0\)
\(\Rightarrow \cos{x}(1-4\sin{x})=0\)
\(\Rightarrow \cos{x}=0, 1-4\sin{x}=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}, -4\sin{x}=-1\)
\(\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}, \sin{x}=\frac{-1}{-4}\)
\(\therefore x=\frac{\pi}{2}, \sin{x}=\frac{1}{4}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(\cos{x}-2\sin{2x})\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\cos{x}-2\sin{2x}\)
\(=\frac{d}{dx}(\cos{x})-2\frac{d}{dx}(\sin{2x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(=-\sin{x}-2\cos{2x}.2\)
\(=-\sin{x}-4\cos{2x}\)
\(=-\sin{x}-4(1-2\sin^2{x})\) ➜\(\because \cos{2A}=1-2\sin^2{A}\)
\(=-\sin{x}-4+8\sin^2{x}\)
\(=8\sin^2{x}-\sin{x}-4\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=8\sin^2{x}-\sin{x}-4\)
এখন, \(x=\frac{\pi}{2}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=8\sin^2{\frac{\pi}{2}}-\sin{\frac{\pi}{2}}-4\)
\(=8.1^2-1-4\) ➜\(\because \sin{\frac{\pi}{2}}=1\)
\(=8-5\)
\(=3\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=\frac{\pi}{2}\) বিন্দুতে ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান আছে।
ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান \(=\sin{\frac{\pi}{2}}+\cos{2.\frac{\pi}{2}}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=\sin{x}+\cos{2x}\)
\(=1+\cos{\pi}\) ➜\(\because \sin{\frac{\pi}{2}}=1\)
\(=1-1\) ➜\(\because \cos{\pi}=-1\)
\(=0\)
আবার,
\(\sin{x}=\frac{1}{4}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=8.\left(\frac{1}{4}\right)^2-\frac{1}{4}-4\)
\(=8.\frac{1}{16}-\frac{1}{4}-4\)
\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-4\)
\(=\frac{2-1-16}{4}\)
\(=\frac{2-17}{4}\)
\(=\frac{-15}{4}\)
\(=-\frac{15}{4}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore \sin{x}=\frac{1}{4}\) বিন্দুতে ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান আছে।
ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান \(=\sin{x}+1-2\sin^2{x}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=\sin{x}+\cos{2x}\)\(=\sin{x}+1-2\sin^2{x}\)
\(=\frac{1}{4}+1-2.\left(\frac{1}{4}\right)^2\)
\(=\frac{1}{4}+1-2.\frac{1}{16}\)
\(=\frac{1}{4}+1-\frac{1}{8}\)
\(=\frac{2+8-1}{8}\)
\(=\frac{10-1}{8}\)
\(=\frac{9}{8}\)
\(Q.2.(xiv)\) \(f(\theta)=\sin{2\theta}-\cos{2\theta}\) ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান কত?
উত্তরঃ সর্বচ্চমান বিদ্যমান।
উত্তরঃ সর্বচ্চমান বিদ্যমান।
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=f(\theta)=\sin{2\theta}-\cos{2\theta} ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{d\theta}(y)=\frac{d}{d\theta}(\sin{2\theta}-\cos{2\theta})\) ➜ \(\theta\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{d\theta}=\frac{d}{d\theta}(\sin{2\theta})-\frac{d}{d\theta}(\cos{2\theta})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(=\cos{2\theta}.2+\sin{2\theta}.2\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\), \(\frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}\)
\(=2\cos{2\theta}+2\sin{2\theta}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=2\cos{2\theta}+2\sin{2\theta}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{d\theta}=0\)
\(\Rightarrow 2\cos{2\theta}+2\sin{2\theta}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{d\theta}=2\cos{2\theta}+2\sin{2\theta}\)
\(\Rightarrow 2\cos{2\theta}=-2\sin{2\theta}\)
\(\Rightarrow \cos{2\theta}=-\sin{2\theta}\)
\(\Rightarrow \sin{2\theta}=-\cos{2\theta}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{2\theta}}{\cos{2\theta}}=-1\)
\(\Rightarrow \tan{2\theta}=-1\)
\(\Rightarrow \tan{2\theta}=-\tan{\frac{\pi}{4}}\)
\(\Rightarrow \tan{2\theta}=\tan{\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)}\)
\(\Rightarrow \tan{2\theta}=\tan{\frac{4\pi-\pi}{4}}\)
\(\Rightarrow \tan{2\theta}=\tan{\frac{3\pi}{4}}\)
\(\Rightarrow 2\theta=\frac{3\pi}{4}\)
\(\therefore \theta=\frac{3\pi}{8}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{d\theta^2}=\frac{d}{d\theta}\left(\frac{dy}{d\theta}\right)\)
\(=\frac{d}{d\theta}(2\cos{2\theta}+2\sin{2\theta})\) ➜\(\because \frac{dy}{d\theta}=2\cos{2\theta}+2\sin{2\theta}\)
\(=2\frac{d}{d\theta}(\cos{2\theta})+2\frac{d}{d\theta}(\sin{2\theta})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(=-2\sin{2\theta}.2+2\cos{2\theta}.2\)
\(=-4\sin{2\theta}+4\cos{2\theta}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{d\theta^2}=-4\sin{2\theta}+4\cos{2\theta}\)
এখন, \(\theta=\frac{3\pi}{8}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{d\theta^2}=-4\sin{\left(2.\frac{3\pi}{8}\right)}+4\cos{\left(2.\frac{3\pi}{8}\right)}\)
\(=-4\sin{\left(\frac{3\pi}{4}\right)}+4\cos{\left(\frac{3\pi}{4}\right)}\)
\(=-4\sin{\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)}+4\cos{\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)}\)
\(=-4\sin{\left(\frac{\pi}{4}\right)}-4\cos{\left(\frac{\pi}{4}\right)}\)
\(=-4.\frac{1}{\sqrt{2}}-4.\frac{1}{\sqrt{2}}\) ➜\(\because \sin{\frac{\pi}{4}}=\cos{\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(=-\frac{4}{\sqrt{2}}-\frac{4}{\sqrt{2}}\)
\(=-\frac{8}{\sqrt{2}}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore f(\theta)\) এর সর্বচ্চমান বিদ্যমান।
\(y=f(\theta)=\sin{2\theta}-\cos{2\theta} ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{d\theta}(y)=\frac{d}{d\theta}(\sin{2\theta}-\cos{2\theta})\) ➜ \(\theta\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{d\theta}=\frac{d}{d\theta}(\sin{2\theta})-\frac{d}{d\theta}(\cos{2\theta})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(=\cos{2\theta}.2+\sin{2\theta}.2\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\), \(\frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}\)
\(=2\cos{2\theta}+2\sin{2\theta}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=2\cos{2\theta}+2\sin{2\theta}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{d\theta}=0\)
\(\Rightarrow 2\cos{2\theta}+2\sin{2\theta}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{d\theta}=2\cos{2\theta}+2\sin{2\theta}\)
\(\Rightarrow 2\cos{2\theta}=-2\sin{2\theta}\)
\(\Rightarrow \cos{2\theta}=-\sin{2\theta}\)
\(\Rightarrow \sin{2\theta}=-\cos{2\theta}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{2\theta}}{\cos{2\theta}}=-1\)
\(\Rightarrow \tan{2\theta}=-1\)
\(\Rightarrow \tan{2\theta}=-\tan{\frac{\pi}{4}}\)
\(\Rightarrow \tan{2\theta}=\tan{\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)}\)
\(\Rightarrow \tan{2\theta}=\tan{\frac{4\pi-\pi}{4}}\)
\(\Rightarrow \tan{2\theta}=\tan{\frac{3\pi}{4}}\)
\(\Rightarrow 2\theta=\frac{3\pi}{4}\)
\(\therefore \theta=\frac{3\pi}{8}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{d\theta^2}=\frac{d}{d\theta}\left(\frac{dy}{d\theta}\right)\)
\(=\frac{d}{d\theta}(2\cos{2\theta}+2\sin{2\theta})\) ➜\(\because \frac{dy}{d\theta}=2\cos{2\theta}+2\sin{2\theta}\)
\(=2\frac{d}{d\theta}(\cos{2\theta})+2\frac{d}{d\theta}(\sin{2\theta})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(=-2\sin{2\theta}.2+2\cos{2\theta}.2\)
\(=-4\sin{2\theta}+4\cos{2\theta}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{d\theta^2}=-4\sin{2\theta}+4\cos{2\theta}\)
এখন, \(\theta=\frac{3\pi}{8}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{d\theta^2}=-4\sin{\left(2.\frac{3\pi}{8}\right)}+4\cos{\left(2.\frac{3\pi}{8}\right)}\)
\(=-4\sin{\left(\frac{3\pi}{4}\right)}+4\cos{\left(\frac{3\pi}{4}\right)}\)
\(=-4\sin{\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)}+4\cos{\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)}\)
\(=-4\sin{\left(\frac{\pi}{4}\right)}-4\cos{\left(\frac{\pi}{4}\right)}\)
\(=-4.\frac{1}{\sqrt{2}}-4.\frac{1}{\sqrt{2}}\) ➜\(\because \sin{\frac{\pi}{4}}=\cos{\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(=-\frac{4}{\sqrt{2}}-\frac{4}{\sqrt{2}}\)
\(=-\frac{8}{\sqrt{2}}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore f(\theta)\) এর সর্বচ্চমান বিদ্যমান।
\(Q.2.(xv)\) \(x^{x}\) ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বনিম্ন মান \( =\left(\frac{1}{e}\right)^{\frac{1}{e}}\) .
উত্তরঃ সর্বনিম্ন মান \( =\left(\frac{1}{e}\right)^{\frac{1}{e}}\) .
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=x^{x} .......(1)\)
\(\Rightarrow \ln{y}=\ln{x^{x}}\) ➜ উভয় পার্শে \(\ln\) সংযোজন করে।
\(\Rightarrow \ln{y}=x\ln{x}\) ➜ \(\because \ln{M^{n}}=n\ln{(M)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(\ln{y})=\frac{d}{dx}(x\ln{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=x\frac{d}{dx}(\ln{x})+\ln{x}\frac{d}{dx}(x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=x\frac{1}{x}+\ln{x}.1\) |\(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=1+\ln{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=y(1+\ln{x})\)
\(=x^{x}(1+\ln{x})\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=x^{x}(1+\ln{x})\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow x^{x}(1+\ln{x})=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=x^{x}(1+\ln{x})\)
\(\Rightarrow x^{x}\ne{0}, 1+\ln{x}=0\)
\(\Rightarrow \ln{x}=-1\)
\(\Rightarrow x=e^{-1}\) ➜\(\because \ln{x}=y \Rightarrow x=e^y\)
\(\therefore x=\frac{1}{e}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(x^{x}(1+\ln{x})\right)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=x^{x}(1+\ln{x})\)
\(=x^{x}\frac{d}{dx}(1+\ln{x})+(1+\ln{x})\frac{d}{dx}\left(x^{x}\right)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=x^{x}\times{\frac{1}{x}}+(1+\ln{x})x^{x}\left(\frac{x}{x}\times{1}+\ln{x}\times{1}\right)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u^{v})=u^{v}\left(\frac{v}{u}\frac{du}{dx}+\ln{u}\frac{dv}{dx}\right)\)
\(=x^{x-1}+(1+\ln{x})x^{x}(1+\ln{x})\)
\(=x^{x-1}+x^{x}(1+\ln{x})^2\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=x^{x-1}+x^{x}(1+\ln{x})^2\)
এখন, \(x=\frac{1}{e}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\left(\frac{1}{e}\right)^{\frac{1}{e}-1}+\left(\frac{1}{e}\right)^{\frac{1}{e}}(1+\ln{\frac{1}{e}})^2\)
\(=\left(\frac{1}{e}\right)^{\frac{1}{e}}\left(\frac{1}{e}\right)^{-1}+\left(\frac{1}{e}\right)^{\frac{1}{e}}(1-1)^2\) ➜ \(\because \ln{\frac{1}{e}}=-1\)
\(=\left(\frac{1}{e}\right)^{\frac{1}{e}}.e+\left(\frac{1}{e}\right)^{\frac{1}{e}}.0\)
\(=\left(\frac{1}{e}\right)^{\frac{1}{e}}e+0\)
\(=\left(\frac{1}{e}\right)^{\frac{1}{e}}e\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=\frac{1}{e}\) বিন্দুতে ফাংশনটির সর্বনিম্নমান আছে।
ফাংশনটির সর্বনিম্নমান \(=\left(\frac{1}{e}\right)^{\frac{1}{e}}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^{x}\)
(Showed)
\(y=x^{x} .......(1)\)
\(\Rightarrow \ln{y}=\ln{x^{x}}\) ➜ উভয় পার্শে \(\ln\) সংযোজন করে।
\(\Rightarrow \ln{y}=x\ln{x}\) ➜ \(\because \ln{M^{n}}=n\ln{(M)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(\ln{y})=\frac{d}{dx}(x\ln{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=x\frac{d}{dx}(\ln{x})+\ln{x}\frac{d}{dx}(x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=x\frac{1}{x}+\ln{x}.1\) |\(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=1+\ln{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=y(1+\ln{x})\)
\(=x^{x}(1+\ln{x})\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=x^{x}(1+\ln{x})\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow x^{x}(1+\ln{x})=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=x^{x}(1+\ln{x})\)
\(\Rightarrow x^{x}\ne{0}, 1+\ln{x}=0\)
\(\Rightarrow \ln{x}=-1\)
\(\Rightarrow x=e^{-1}\) ➜\(\because \ln{x}=y \Rightarrow x=e^y\)
\(\therefore x=\frac{1}{e}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(x^{x}(1+\ln{x})\right)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=x^{x}(1+\ln{x})\)
\(=x^{x}\frac{d}{dx}(1+\ln{x})+(1+\ln{x})\frac{d}{dx}\left(x^{x}\right)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=x^{x}\times{\frac{1}{x}}+(1+\ln{x})x^{x}\left(\frac{x}{x}\times{1}+\ln{x}\times{1}\right)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u^{v})=u^{v}\left(\frac{v}{u}\frac{du}{dx}+\ln{u}\frac{dv}{dx}\right)\)
\(=x^{x-1}+(1+\ln{x})x^{x}(1+\ln{x})\)
\(=x^{x-1}+x^{x}(1+\ln{x})^2\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=x^{x-1}+x^{x}(1+\ln{x})^2\)
এখন, \(x=\frac{1}{e}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\left(\frac{1}{e}\right)^{\frac{1}{e}-1}+\left(\frac{1}{e}\right)^{\frac{1}{e}}(1+\ln{\frac{1}{e}})^2\)
\(=\left(\frac{1}{e}\right)^{\frac{1}{e}}\left(\frac{1}{e}\right)^{-1}+\left(\frac{1}{e}\right)^{\frac{1}{e}}(1-1)^2\) ➜ \(\because \ln{\frac{1}{e}}=-1\)
\(=\left(\frac{1}{e}\right)^{\frac{1}{e}}.e+\left(\frac{1}{e}\right)^{\frac{1}{e}}.0\)
\(=\left(\frac{1}{e}\right)^{\frac{1}{e}}e+0\)
\(=\left(\frac{1}{e}\right)^{\frac{1}{e}}e\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=\frac{1}{e}\) বিন্দুতে ফাংশনটির সর্বনিম্নমান আছে।
ফাংশনটির সর্বনিম্নমান \(=\left(\frac{1}{e}\right)^{\frac{1}{e}}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^{x}\)
(Showed)
\(Q.2.(xvi)\) \(100\) কে এমন দুইভাগে ভাগ কর যেন তাদের গুনফল সর্বোচ্চ হয়।
উত্তরঃ \( 50, 50\) .
উত্তরঃ \( 50, 50\) .
সমাধানঃ
ধরি,
একটি অংশ \(x\)
\(\therefore\) অপর অংশ \(100-x\)
তাদের গুনফল \(y=x(100-x)\)
\(y=100x-x^2 .......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(100x-x^2)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=100\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(=100.1-2x\) |\(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(x^2)=2x\)
\(=100-2x\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=100-2x\)
ফাংশনটির সর্বোচ্চ ও সর্বোনিম্নমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 100-2x=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=100-2x\)
\(\Rightarrow -2x=-100\)
\(\Rightarrow x=\frac{-100}{-2}\)
\(\therefore x=50\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(100-2x)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=100-2x\)
\(=\frac{d}{dx}(100)-2\frac{d}{dx}(x)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(=0-2.1\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=-2\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=-2\)
এখন, \(x=50\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=-2\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=50\) হলে, ফাংশনটির সর্বোচ্চ হয়।
\(\therefore \) একটি অংশ \(50\)
অপর অংশ \(100-x=100-50\)
\(=50\)
একটি অংশ \(x\)
\(\therefore\) অপর অংশ \(100-x\)
তাদের গুনফল \(y=x(100-x)\)
\(y=100x-x^2 .......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(100x-x^2)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=100\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(=100.1-2x\) |\(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(x^2)=2x\)
\(=100-2x\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=100-2x\)
ফাংশনটির সর্বোচ্চ ও সর্বোনিম্নমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 100-2x=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=100-2x\)
\(\Rightarrow -2x=-100\)
\(\Rightarrow x=\frac{-100}{-2}\)
\(\therefore x=50\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(100-2x)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=100-2x\)
\(=\frac{d}{dx}(100)-2\frac{d}{dx}(x)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(=0-2.1\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=-2\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=-2\)
এখন, \(x=50\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=-2\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=50\) হলে, ফাংশনটির সর্বোচ্চ হয়।
\(\therefore \) একটি অংশ \(50\)
অপর অংশ \(100-x=100-50\)
\(=50\)
\(Q.2.(xvii)\) একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা \(200\) সে.মি. । এর ক্ষেত্রফলের মান সর্বোচ্চ হলে বাহুগুলির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( 50\) সে.মি. , \(50\) সে.মি.
উত্তরঃ \( 50\) সে.মি. , \(50\) সে.মি.
সমাধানঃ
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য \(x\)
এবং প্রস্ত \(y\)
\(\therefore\) পরিসীমা \( 2x+2y=200\) ➜ \(\because \) আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা \(200\) সে.মি.
\(\Rightarrow 2(x+y)=200\)
\(\Rightarrow x+y=\frac{200}{2}\)
\(\Rightarrow x+y=100\)
\(\therefore y=100-x\)
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(A=xy\)
\(\Rightarrow A=x(100-x)\)
\(\therefore A=100x-x^2 .......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(A)=\frac{d}{dx}(100x-x^2)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dA}{dx}=100\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(=100.1-2x\) |\(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(x^2)=2x\)
\(=100-2x\)
\(\therefore \frac{dA}{dx}=100-2x\)
ক্ষেত্রফল সর্বোচ্চ ও সর্বোনিম্নমানের জন্য \(\frac{dA}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 100-2x=0\) ➜\(\because \frac{dA}{dx}=100-2x\)
\(\Rightarrow -2x=-100\)
\(\Rightarrow x=\frac{-100}{-2}\)
\(\therefore x=50\)
আবার,
\(\frac{d^2A}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dA}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(100-2x)\) ➜\(\because \frac{dA}{dx}=100-2x\)
\(=\frac{d}{dx}(100)-2\frac{d}{dx}(x)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(=0-2.1\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=-2\)
\(\therefore \frac{d^2A}{dx^2}=-2\)
এখন, \(x=50\) হলে,
\(\frac{d^2A}{dx^2}=-2\)
\(\therefore \frac{d^2A}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=50\) হলে, ক্ষেত্রফল সর্বোচ্চ হয়।
\(\therefore \) আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য \(50\) সে.মি.
প্রস্ত \(y=100-x=100-50\)
\(=50\) সে.মি.
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য \(x\)
এবং প্রস্ত \(y\)
\(\therefore\) পরিসীমা \( 2x+2y=200\) ➜ \(\because \) আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা \(200\) সে.মি.
\(\Rightarrow 2(x+y)=200\)
\(\Rightarrow x+y=\frac{200}{2}\)
\(\Rightarrow x+y=100\)
\(\therefore y=100-x\)
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(A=xy\)
\(\Rightarrow A=x(100-x)\)
\(\therefore A=100x-x^2 .......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(A)=\frac{d}{dx}(100x-x^2)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dA}{dx}=100\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(=100.1-2x\) |\(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(x^2)=2x\)
\(=100-2x\)
\(\therefore \frac{dA}{dx}=100-2x\)
ক্ষেত্রফল সর্বোচ্চ ও সর্বোনিম্নমানের জন্য \(\frac{dA}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 100-2x=0\) ➜\(\because \frac{dA}{dx}=100-2x\)
\(\Rightarrow -2x=-100\)
\(\Rightarrow x=\frac{-100}{-2}\)
\(\therefore x=50\)
আবার,
\(\frac{d^2A}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dA}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(100-2x)\) ➜\(\because \frac{dA}{dx}=100-2x\)
\(=\frac{d}{dx}(100)-2\frac{d}{dx}(x)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(=0-2.1\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=-2\)
\(\therefore \frac{d^2A}{dx^2}=-2\)
এখন, \(x=50\) হলে,
\(\frac{d^2A}{dx^2}=-2\)
\(\therefore \frac{d^2A}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=50\) হলে, ক্ষেত্রফল সর্বোচ্চ হয়।
\(\therefore \) আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য \(50\) সে.মি.
প্রস্ত \(y=100-x=100-50\)
\(=50\) সে.মি.
\(Q.2.(xviii)\) দেখাও যে, \(\left(\frac{1}{x}\right)^{x}\) এর সর্বোচ্চ মান \(e^{\frac{1}{e}}\).
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=\left(\frac{1}{x}\right)^{x} .......(1)\)
\(\Rightarrow \ln{y}=\ln{\left(\frac{1}{x}\right)^{x}}\) ➜ উভয় পার্শে \(\ln\) সংযোজন করে।
\(\Rightarrow \ln{y}=x\ln{\frac{1}{x}}\) ➜ \(\because \ln{M^{n}}=n\ln{(M)}\)
\(\Rightarrow \ln{y}=-x\ln{x}\) ➜ \(\because \ln{\frac{1}{x}}=\ln{x^{-1}}=-\ln{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(\ln{y})=\frac{d}{dx}(-x\ln{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=-x\frac{d}{dx}(\ln{x})-\ln{x}\frac{d}{dx}(x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=-x\frac{1}{x}-\ln{x}.1\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=-1-\ln{x}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=-(1+\ln{x})\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-y(1+\ln{x})\)
\(=-\left(\frac{1}{x}\right)^{x}(1+\ln{x})\) ➜ \(\because y=\left(\frac{1}{x}\right)^{x}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=-\left(\frac{1}{x}\right)^{x}(1+\ln{x})\)
ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান ও সর্বনিম্ন মানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow -\left(\frac{1}{x}\right)^{x}(1+\ln{x})=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=-\left(\frac{1}{x}\right)^{x}(1+\ln{x})\)
\(\Rightarrow \left(\frac{1}{x}\right)^{x}(1+\ln{x})=0\)
\(\Rightarrow \left(\frac{1}{x}\right)^{x}\ne{0}, 1+\ln{x}=0\)
\(\Rightarrow \ln{x}=-1\)
\(\Rightarrow x=e^{-1}\) ➜\(\because \ln{x}=y \Rightarrow x=e^y\)
\(\therefore x=\frac{1}{e}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\{-\left(\frac{1}{x}\right)^{x}(1+\ln{x})\}\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=-\left(\frac{1}{x}\right)^{x}(1+\ln{x})\)
\(=-\left(\frac{1}{x}\right)^{x}\frac{d}{dx}(1+\ln{x})-(1+\ln{x})\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)^{x}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=-\left(\frac{1}{x}\right)^{x}\times{\frac{1}{x}}-(1+\ln{x})\left(\frac{1}{x}\right)^{x}\left(\frac{x}{\frac{1}{x}}\times{-\frac{1}{x^2}}+\ln{\frac{1}{x}}\times{1}\right)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u^{v})=u^{v}\left(\frac{v}{u}\frac{du}{dx}+\ln{u}\frac{dv}{dx}\right)\)
\(=-\frac{1}{x}\left(\frac{1}{x}\right)^{x}-(1+\ln{x})\left(\frac{1}{x}\right)^{x}\left(x^2\times{-\frac{1}{x^2}}-\ln{x}\right)\) ➜ \(\because \ln{\frac{1}{x}}=\ln{x^{-1}}=-\ln{x}\)
\(=-\frac{1}{x}\left(\frac{1}{x}\right)^{x}-(1+\ln{x})\left(\frac{1}{x}\right)^{x}(-1-\ln{x})\)
\(=-\frac{1}{x}\left(\frac{1}{x}\right)^{x}+(1+\ln{x})(1+\ln{x})\left(\frac{1}{x}\right)^{x}\)
\(=-\frac{1}{x}\left(\frac{1}{x}\right)^{x}+(1+\ln{x})^2\left(\frac{1}{x}\right)^{x}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{1}{x}\left(\frac{1}{x}\right)^{x}+(1+\ln{x})^2\left(\frac{1}{x}\right)^{x}\)
এখন, \(x=\frac{1}{e}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{1}{\frac{1}{e}}\left(\frac{1}{\frac{1}{e}}\right)^{\frac{1}{e}}+(1+\ln{\frac{1}{e}})^2\left(\frac{1}{\frac{1}{e}}\right)^{\frac{1}{e}}\) \(=-e(e)^{\frac{1}{e}}+(1-1)^2(e)^{\frac{1}{e}}\) ➜ \(\because \ln{\frac{1}{e}}=-1\)
\(=-e(e)^{\frac{1}{e}}+0.(e)^{\frac{1}{e}}\)
\(=-e(e)^{\frac{1}{e}}+0\)
\(=-e(e)^{\frac{1}{e}}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=\frac{1}{e}\) বিন্দুতে ফাংশনটির সর্বোচ্চমান আছে।
ফাংশনটির সর্বোচ্চমান \(=\left(\frac{1}{\frac{1}{e}}\right)^{\frac{1}{e}}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=\left(\frac{1}{x}\right)^{x}\)
\(=(e)^{\frac{1}{e}}\)
(Showed)
\(y=\left(\frac{1}{x}\right)^{x} .......(1)\)
\(\Rightarrow \ln{y}=\ln{\left(\frac{1}{x}\right)^{x}}\) ➜ উভয় পার্শে \(\ln\) সংযোজন করে।
\(\Rightarrow \ln{y}=x\ln{\frac{1}{x}}\) ➜ \(\because \ln{M^{n}}=n\ln{(M)}\)
\(\Rightarrow \ln{y}=-x\ln{x}\) ➜ \(\because \ln{\frac{1}{x}}=\ln{x^{-1}}=-\ln{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(\ln{y})=\frac{d}{dx}(-x\ln{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=-x\frac{d}{dx}(\ln{x})-\ln{x}\frac{d}{dx}(x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=-x\frac{1}{x}-\ln{x}.1\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=-1-\ln{x}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=-(1+\ln{x})\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-y(1+\ln{x})\)
\(=-\left(\frac{1}{x}\right)^{x}(1+\ln{x})\) ➜ \(\because y=\left(\frac{1}{x}\right)^{x}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=-\left(\frac{1}{x}\right)^{x}(1+\ln{x})\)
ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান ও সর্বনিম্ন মানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow -\left(\frac{1}{x}\right)^{x}(1+\ln{x})=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=-\left(\frac{1}{x}\right)^{x}(1+\ln{x})\)
\(\Rightarrow \left(\frac{1}{x}\right)^{x}(1+\ln{x})=0\)
\(\Rightarrow \left(\frac{1}{x}\right)^{x}\ne{0}, 1+\ln{x}=0\)
\(\Rightarrow \ln{x}=-1\)
\(\Rightarrow x=e^{-1}\) ➜\(\because \ln{x}=y \Rightarrow x=e^y\)
\(\therefore x=\frac{1}{e}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\{-\left(\frac{1}{x}\right)^{x}(1+\ln{x})\}\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=-\left(\frac{1}{x}\right)^{x}(1+\ln{x})\)
\(=-\left(\frac{1}{x}\right)^{x}\frac{d}{dx}(1+\ln{x})-(1+\ln{x})\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)^{x}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=-\left(\frac{1}{x}\right)^{x}\times{\frac{1}{x}}-(1+\ln{x})\left(\frac{1}{x}\right)^{x}\left(\frac{x}{\frac{1}{x}}\times{-\frac{1}{x^2}}+\ln{\frac{1}{x}}\times{1}\right)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u^{v})=u^{v}\left(\frac{v}{u}\frac{du}{dx}+\ln{u}\frac{dv}{dx}\right)\)
\(=-\frac{1}{x}\left(\frac{1}{x}\right)^{x}-(1+\ln{x})\left(\frac{1}{x}\right)^{x}\left(x^2\times{-\frac{1}{x^2}}-\ln{x}\right)\) ➜ \(\because \ln{\frac{1}{x}}=\ln{x^{-1}}=-\ln{x}\)
\(=-\frac{1}{x}\left(\frac{1}{x}\right)^{x}-(1+\ln{x})\left(\frac{1}{x}\right)^{x}(-1-\ln{x})\)
\(=-\frac{1}{x}\left(\frac{1}{x}\right)^{x}+(1+\ln{x})(1+\ln{x})\left(\frac{1}{x}\right)^{x}\)
\(=-\frac{1}{x}\left(\frac{1}{x}\right)^{x}+(1+\ln{x})^2\left(\frac{1}{x}\right)^{x}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{1}{x}\left(\frac{1}{x}\right)^{x}+(1+\ln{x})^2\left(\frac{1}{x}\right)^{x}\)
এখন, \(x=\frac{1}{e}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{1}{\frac{1}{e}}\left(\frac{1}{\frac{1}{e}}\right)^{\frac{1}{e}}+(1+\ln{\frac{1}{e}})^2\left(\frac{1}{\frac{1}{e}}\right)^{\frac{1}{e}}\) \(=-e(e)^{\frac{1}{e}}+(1-1)^2(e)^{\frac{1}{e}}\) ➜ \(\because \ln{\frac{1}{e}}=-1\)
\(=-e(e)^{\frac{1}{e}}+0.(e)^{\frac{1}{e}}\)
\(=-e(e)^{\frac{1}{e}}+0\)
\(=-e(e)^{\frac{1}{e}}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=\frac{1}{e}\) বিন্দুতে ফাংশনটির সর্বোচ্চমান আছে।
ফাংশনটির সর্বোচ্চমান \(=\left(\frac{1}{\frac{1}{e}}\right)^{\frac{1}{e}}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=\left(\frac{1}{x}\right)^{x}\)
\(=(e)^{\frac{1}{e}}\)
(Showed)
অনুশীলনী \(9.I / Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমুহ
\(Q.3.(i)\) \(]0, 1[\) ব্যবধিতে \(f(x)=x^2+2x+3\) ফাংশনের জন্য লাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্যের সত্যতা যাচাই কর।
\(Q.3.(ii)\) \(]0, 4[\) ব্যবধিতে \(f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)\) ফাংশনের জন্য লাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্যের সত্যতা যাচাই কর।
\(Q.3.(iii)\) \(]-1, 1[\) ব্যবধিতে \(f(x)=\frac{1}{x}\) ফাংশনের জন্য লাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্যেটি প্রযোজ্য কিনা যাচাই কর।
\(Q.3.(iv)\) \([-1, 1]\) ব্যবধিতে \(f(x)=\begin{cases}-x \ , & যখন \ \ -1\le{x} \lt{0} \\ \ \ \ x \ , & যখন \ \ \ \ \ \ 0\le{x}\le{1}\end{cases}\) ফাংশনের জন্য লাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্যেটি প্রযোজ্য কিনা যাচাই কর।
\(Q.3.(v)\) \(]0, 1[\) ব্যবধিতে \(f(x)=3+2x-x^2\) ফাংশনের জন্য গড়মান উপপাদ্যেটির সত্যতা যাচাই কর।
\(Q.3.(vi)\) \([2, 4]\) ব্যবধিতে \(f(x)=\sqrt{x^2-4}\) ফাংশনের জন্য গড়মান উপপাদ্যেটির সত্যতা যাচাই কর।
\(Q.3.(vii)\) \(]0, 1[\) ব্যবধিতে \(f(x)=2x-x^2\) ফাংশনের জন্য গড়মান উপপাদ্যেটির সত্যতা যাচাই কর।
\(Q.3.(viii)\) মধ্যমান উপপাদ্য ব্যবহার করে দেখাও যে, \([1, 2]\) ব্যবধিতে \(x^3-x-1=0\) সমীকরণের সমাধান আছে।
\(Q.3.(ii)\) \(]0, 4[\) ব্যবধিতে \(f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)\) ফাংশনের জন্য লাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্যের সত্যতা যাচাই কর।
\(Q.3.(iii)\) \(]-1, 1[\) ব্যবধিতে \(f(x)=\frac{1}{x}\) ফাংশনের জন্য লাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্যেটি প্রযোজ্য কিনা যাচাই কর।
\(Q.3.(iv)\) \([-1, 1]\) ব্যবধিতে \(f(x)=\begin{cases}-x \ , & যখন \ \ -1\le{x} \lt{0} \\ \ \ \ x \ , & যখন \ \ \ \ \ \ 0\le{x}\le{1}\end{cases}\) ফাংশনের জন্য লাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্যেটি প্রযোজ্য কিনা যাচাই কর।
\(Q.3.(v)\) \(]0, 1[\) ব্যবধিতে \(f(x)=3+2x-x^2\) ফাংশনের জন্য গড়মান উপপাদ্যেটির সত্যতা যাচাই কর।
\(Q.3.(vi)\) \([2, 4]\) ব্যবধিতে \(f(x)=\sqrt{x^2-4}\) ফাংশনের জন্য গড়মান উপপাদ্যেটির সত্যতা যাচাই কর।
\(Q.3.(vii)\) \(]0, 1[\) ব্যবধিতে \(f(x)=2x-x^2\) ফাংশনের জন্য গড়মান উপপাদ্যেটির সত্যতা যাচাই কর।
\(Q.3.(viii)\) মধ্যমান উপপাদ্য ব্যবহার করে দেখাও যে, \([1, 2]\) ব্যবধিতে \(x^3-x-1=0\) সমীকরণের সমাধান আছে।
\(Q.3.(ix)\) মধ্যমান উপপাদ্য ব্যবহার করে দেখাও যে, \([0, 2]\) ব্যবধিতে \(x^3-3x-1=0\) সমীকরণের সমাধান আছে।
\(Q.3.(x)\) মধ্যমান উপপাদ্য ব্যবহার করে দেখাও যে, \([1, 2]\) ব্যবধিতে \(x^3-4x+1=0\) সমীকরণের সমাধান আছে।
\(Q.3.(xi)\) মধ্যমান উপপাদ্য ব্যবহার করে দেখাও যে, \([-1, 1]\) ব্যবধিতে \(x^3+x^2-2x-1=0\) সমীকরণের সমাধান আছে।
\(Q.3.(xii)\) \(f(x)=x^2\) এর লেখচিত্র অঙ্কন করে \((2.1)^2\) এর আসন্নমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4.4\)
\(Q.3.(xiii)\) \(x=0\) বিন্দুর সন্নিকটে \(f(x)=\sqrt{1+x}\) ফাংশনের লেখকে আসন্নভাবে ঐ বিন্দুতে স্পর্শকের লেখ দ্বারা স্থানীয়ভাবে প্রতিস্থাপন করে \(\sqrt{0.9}\) এবং \(\sqrt{1.1}\) এর আসন্নমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(0.95\) এবং \(1.05\)
\(Q.3.(xiv)\) \(f(x)=x^2\) এর স্কেচ অঙ্কন কর এবং তাতে \(\delta{y}\) ও \(dy\) চিহ্নিত কর। \(x=2\) ও \(\delta{x}=dy=1\) হলে, \(\delta{y}\) ও \(dy\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4, 5\)
\(Q.3.(xv)\) \(f(x)=\frac{1}{2}x^2\) এর স্কেচ অঙ্কন কর এবং তাতে \(\delta{y}\) ও \(dy\) চিহ্নিত কর। \(x=3\) ও \(\delta{x}=dy=3\) হলে, \(\delta{y}\) ও \(dy\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4, 5\)
\(Q.3.(x)\) মধ্যমান উপপাদ্য ব্যবহার করে দেখাও যে, \([1, 2]\) ব্যবধিতে \(x^3-4x+1=0\) সমীকরণের সমাধান আছে।
\(Q.3.(xi)\) মধ্যমান উপপাদ্য ব্যবহার করে দেখাও যে, \([-1, 1]\) ব্যবধিতে \(x^3+x^2-2x-1=0\) সমীকরণের সমাধান আছে।
\(Q.3.(xii)\) \(f(x)=x^2\) এর লেখচিত্র অঙ্কন করে \((2.1)^2\) এর আসন্নমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4.4\)
\(Q.3.(xiii)\) \(x=0\) বিন্দুর সন্নিকটে \(f(x)=\sqrt{1+x}\) ফাংশনের লেখকে আসন্নভাবে ঐ বিন্দুতে স্পর্শকের লেখ দ্বারা স্থানীয়ভাবে প্রতিস্থাপন করে \(\sqrt{0.9}\) এবং \(\sqrt{1.1}\) এর আসন্নমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(0.95\) এবং \(1.05\)
\(Q.3.(xiv)\) \(f(x)=x^2\) এর স্কেচ অঙ্কন কর এবং তাতে \(\delta{y}\) ও \(dy\) চিহ্নিত কর। \(x=2\) ও \(\delta{x}=dy=1\) হলে, \(\delta{y}\) ও \(dy\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4, 5\)
\(Q.3.(xv)\) \(f(x)=\frac{1}{2}x^2\) এর স্কেচ অঙ্কন কর এবং তাতে \(\delta{y}\) ও \(dy\) চিহ্নিত কর। \(x=3\) ও \(\delta{x}=dy=3\) হলে, \(\delta{y}\) ও \(dy\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4, 5\)
\(Q.3.(i)\) \(]0, 1[\) ব্যবধিতে \(f(x)=x^2+2x+3\) ফাংশনের জন্য লাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্যের সত্যতা যাচাই কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(f(x)=x^2+2x+3\)
\[\therefore Rf^{\prime}(x)=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{(x+h)^2+2(x+h)+3-x^2-2x-3}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{x^2+2hx+h^2+2x+2h-x^2-2x}{h}\] ➜ \(\because f(x)=x^2+2x+3\)\(\Rightarrow f(x+h)=(x+h)^2+2(x+h)+3\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{2hx+h^2+2h}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{h(2x+h+2)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}(2x+h+2)\]
\[=2x+2\]
আবার,
\[Lf^{\prime}(x)=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{(x+h)^2+2(x+h)+3-x^2-2x-3}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{x^2+2hx+h^2+2x+2h-x^2-2x}{h}\] ➜ \(\because f(x)=x^2+2x+3\) \(\Rightarrow f(x+h)=(x+h)^2+2(x+h)+3\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{2hx+h^2+2h}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{h(2x+h+2)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}(2x+h+2)\]
\[=2x+2\] যেহেতু \(Rf^{\prime}(x)=Lf^{\prime}(x)\) অতএব, \(x\) এর সকল মানের জন্য \(f(x)\) ফাংশনটি \([0, 1]\) বদ্ধ ব্যবধিতে অবিচ্ছিন্ন এবং \(]0, 1[\) খোলা ব্যবধিতে অন্তরীকরণযোগ্য ।
\(\therefore f(x)\) ফাংশন ল্যাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্যের সকল শর্ত সিদ্ধ করে।
এখন,
\(f(x)=x^2+2x+3 ......(1)\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=2x+2\)
তাহলে,
\(f^{\prime}(c)=2c+2\)
আবার,
\((1)\) এর সাহায্যে
\(f(0)=0^2+2.0+3\)
\(=0+0+3\)
\(=3\)
এবং
\(f(1)=1^2+2.1+3\)
\(=1+2+3\)
\(=6\)
ল্যাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্য থেকে আমরা জানি,
\(f(1)-f(0)=(1-0)f^{\prime}(c)\)
\(\Rightarrow 6-3=1.(2c+2)\) ➜\(\because f(1)=6, f(0)=3, f^{\prime}(c)=2c+2\)
\(\Rightarrow 3=2c+2\)
\(\Rightarrow 2c+2=3\)
\(\Rightarrow 2c=3-2\)
\(\Rightarrow 2c=1\)
\(\Rightarrow 2c=1\)
\(\Rightarrow c=\frac{1}{2}\)
\(\because 1>\frac{1}{2}>0\)
\(\therefore 1>c>0\)
যা \(]0, 1[\) ব্যবধিতে বিদ্যমান।
সুতরাং প্রদত্ত ফাংশনে ল্যাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্য সত্য।
\(f(x)=x^2+2x+3\)
\[\therefore Rf^{\prime}(x)=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{(x+h)^2+2(x+h)+3-x^2-2x-3}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{x^2+2hx+h^2+2x+2h-x^2-2x}{h}\] ➜ \(\because f(x)=x^2+2x+3\)\(\Rightarrow f(x+h)=(x+h)^2+2(x+h)+3\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{2hx+h^2+2h}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{h(2x+h+2)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}(2x+h+2)\]
\[=2x+2\]
আবার,
\[Lf^{\prime}(x)=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{(x+h)^2+2(x+h)+3-x^2-2x-3}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{x^2+2hx+h^2+2x+2h-x^2-2x}{h}\] ➜ \(\because f(x)=x^2+2x+3\) \(\Rightarrow f(x+h)=(x+h)^2+2(x+h)+3\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{2hx+h^2+2h}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{h(2x+h+2)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}(2x+h+2)\]
\[=2x+2\] যেহেতু \(Rf^{\prime}(x)=Lf^{\prime}(x)\) অতএব, \(x\) এর সকল মানের জন্য \(f(x)\) ফাংশনটি \([0, 1]\) বদ্ধ ব্যবধিতে অবিচ্ছিন্ন এবং \(]0, 1[\) খোলা ব্যবধিতে অন্তরীকরণযোগ্য ।
\(\therefore f(x)\) ফাংশন ল্যাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্যের সকল শর্ত সিদ্ধ করে।
এখন,
\(f(x)=x^2+2x+3 ......(1)\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=2x+2\)
তাহলে,
\(f^{\prime}(c)=2c+2\)
আবার,
\((1)\) এর সাহায্যে
\(f(0)=0^2+2.0+3\)
\(=0+0+3\)
\(=3\)
এবং
\(f(1)=1^2+2.1+3\)
\(=1+2+3\)
\(=6\)
ল্যাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্য থেকে আমরা জানি,
\(f(1)-f(0)=(1-0)f^{\prime}(c)\)
\(\Rightarrow 6-3=1.(2c+2)\) ➜\(\because f(1)=6, f(0)=3, f^{\prime}(c)=2c+2\)
\(\Rightarrow 3=2c+2\)
\(\Rightarrow 2c+2=3\)
\(\Rightarrow 2c=3-2\)
\(\Rightarrow 2c=1\)
\(\Rightarrow 2c=1\)
\(\Rightarrow c=\frac{1}{2}\)
\(\because 1>\frac{1}{2}>0\)
\(\therefore 1>c>0\)
যা \(]0, 1[\) ব্যবধিতে বিদ্যমান।
সুতরাং প্রদত্ত ফাংশনে ল্যাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্য সত্য।
\(Q.3.(ii)\) \(]0, 4[\) ব্যবধিতে \(f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)\) ফাংশনের জন্য লাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্যের সত্যতা যাচাই কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)\)
\(\Rightarrow f(x)=(x-1)(x^2-5x+6)\)
\(\Rightarrow f(x)=x^3-5x^2+6x-x^2+5x-6\)
\(\Rightarrow f(x)=x^3-6x^2+11x-6\)
\[\therefore Rf^{\prime}(x)=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{(x+h)^3-6(x+h)^2+11(x+h)-6-x^3+6x^2-11x+6}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-6x^2-12hx-6h^2+11x+11h-x^3+6x^2-11x}{h}\] ➜ \(\because f(x)=x^3-6x^2+11x-6\) \(\Rightarrow f(x+h)=(x+h)^3-6(x+h)^2+11(x+h)-6\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{3x^2h+3xh^2+h^3-12hx-6h^2+11h}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{h(3x^2+3hx+h^2-12x-6h+11)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}(3x^2+3hx+h^2-12x-6h+11)\]
\[=3x^2-12x+11\]
আবার,
\[Lf^{\prime}(x)=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{(x+h)^3-6(x+h)^2+11(x+h)-6-x^3+6x^2-11x+6}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-6x^2-12hx-6h^2+11x+11h-x^3+6x^2-11x}{h}\] ➜ \(\because f(x)=x^3-6x^2+11x-6\) \(\Rightarrow f(x+h)=(x+h)^3-6(x+h)^2+11(x+h)-6\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{3x^2h+3xh^2+h^3-12hx-6h^2+11h}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{h(3x^2+3hx+h^2-12x-6h+11)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}(3x^2+3hx+h^2-12x-6h+11)\]
\[=3x^2-12x+11\]
যেহেতু \(Rf^{\prime}(x)=Lf^{\prime}(x)\) অতএব, \(x\) এর সকল মানের জন্য \(f(x)\) ফাংশনটি \([0, 4]\) বদ্ধ ব্যবধিতে অবিচ্ছিন্ন এবং \(]0, 4[\) খোলা ব্যবধিতে অন্তরীকরণযোগ্য ।
\(\therefore f(x)\) ফাংশন ল্যাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্যের সকল শর্ত সিদ্ধ করে।
এখন,
\(f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)......(1)\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=3x^2-12x+11\)
তাহলে,
\(f^{\prime}(c)=3c^2-12c+11\)
আবার,
\((1)\) এর সাহায্যে
\(f(0)=(0-1)(0-2)(0-3)\)
\(=(-1)(-2)(-3)\)
\(=-6\)
এবং
\(f(4)=(4-1)(4-2)(4-3)\)
\(=3.2.1\)
\(=6\)
ল্যাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্য থেকে আমরা জানি,
\(f(4)-f(0)=(4-0)f^{\prime}(c)\)
\(\Rightarrow 6-(-6)=4(3c^2-12c+11)\) ➜\(\because f(4)=6, f(0)=-6, f^{\prime}(c)=3c^2-12c+11\)
\(\Rightarrow 6+6=12c^2-48c+44\)
\(\Rightarrow 12=12c^2-48c+44\)
\(\Rightarrow 12c^2-48c+44=12\)
\(\Rightarrow 12c^2-48c+44-12=0\)
\(\Rightarrow 12c^2-48c+32=0\)
\(\Rightarrow 4(3c^2-12c+8)=0\)
\(\Rightarrow 3c^2-12c+8=0\)
\(\Rightarrow c=\frac{12\pm{\sqrt{(-12)^2-4.3.8}}}{2.3}\) ➜\(\because ax^2+bx+c=0\)\(\Rightarrow x=\frac{-b\pm{\sqrt{b^2-4ac}}}{2a}\)
\(\Rightarrow c=\frac{12\pm{\sqrt{144-96}}}{6}\)
\(\Rightarrow c=\frac{12\pm{\sqrt{48}}}{6}\)
\(\Rightarrow c=\frac{12\pm{\sqrt{16\times{3}}}}{6}\)
\(\Rightarrow c=\frac{12\pm{4\sqrt{3}}}{6}\)
\(\Rightarrow c=\frac{2(6\pm{2\sqrt{3}})}{6}\)
\(\Rightarrow c=\frac{6\pm{2\sqrt{3}}}{3}\)
\(\Rightarrow c=\frac{6}{3}\pm{\frac{2\sqrt{3}}{3}}\)
\(\Rightarrow c=2\pm{\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}.\sqrt{3}}}\)
\(\Rightarrow c=2\pm{\frac{2}{\sqrt{3}}}\)
\(\Rightarrow c=2\pm{\frac{2}{\sqrt{3}}}\)
\(\because 1>2\pm{\frac{2}{\sqrt{3}}}>0\)
\(\therefore 1>c>0\)
যা \(]0, 4[\) ব্যবধিতে বিদ্যমান।
সুতরাং প্রদত্ত ফাংশনে ল্যাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্য সত্য।
\(f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)\)
\(\Rightarrow f(x)=(x-1)(x^2-5x+6)\)
\(\Rightarrow f(x)=x^3-5x^2+6x-x^2+5x-6\)
\(\Rightarrow f(x)=x^3-6x^2+11x-6\)
\[\therefore Rf^{\prime}(x)=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{(x+h)^3-6(x+h)^2+11(x+h)-6-x^3+6x^2-11x+6}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-6x^2-12hx-6h^2+11x+11h-x^3+6x^2-11x}{h}\] ➜ \(\because f(x)=x^3-6x^2+11x-6\) \(\Rightarrow f(x+h)=(x+h)^3-6(x+h)^2+11(x+h)-6\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{3x^2h+3xh^2+h^3-12hx-6h^2+11h}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{h(3x^2+3hx+h^2-12x-6h+11)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}(3x^2+3hx+h^2-12x-6h+11)\]
\[=3x^2-12x+11\]
আবার,
\[Lf^{\prime}(x)=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{(x+h)^3-6(x+h)^2+11(x+h)-6-x^3+6x^2-11x+6}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-6x^2-12hx-6h^2+11x+11h-x^3+6x^2-11x}{h}\] ➜ \(\because f(x)=x^3-6x^2+11x-6\) \(\Rightarrow f(x+h)=(x+h)^3-6(x+h)^2+11(x+h)-6\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{3x^2h+3xh^2+h^3-12hx-6h^2+11h}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{h(3x^2+3hx+h^2-12x-6h+11)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}(3x^2+3hx+h^2-12x-6h+11)\]
\[=3x^2-12x+11\]
যেহেতু \(Rf^{\prime}(x)=Lf^{\prime}(x)\) অতএব, \(x\) এর সকল মানের জন্য \(f(x)\) ফাংশনটি \([0, 4]\) বদ্ধ ব্যবধিতে অবিচ্ছিন্ন এবং \(]0, 4[\) খোলা ব্যবধিতে অন্তরীকরণযোগ্য ।
\(\therefore f(x)\) ফাংশন ল্যাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্যের সকল শর্ত সিদ্ধ করে।
এখন,
\(f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)......(1)\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=3x^2-12x+11\)
তাহলে,
\(f^{\prime}(c)=3c^2-12c+11\)
আবার,
\((1)\) এর সাহায্যে
\(f(0)=(0-1)(0-2)(0-3)\)
\(=(-1)(-2)(-3)\)
\(=-6\)
এবং
\(f(4)=(4-1)(4-2)(4-3)\)
\(=3.2.1\)
\(=6\)
ল্যাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্য থেকে আমরা জানি,
\(f(4)-f(0)=(4-0)f^{\prime}(c)\)
\(\Rightarrow 6-(-6)=4(3c^2-12c+11)\) ➜\(\because f(4)=6, f(0)=-6, f^{\prime}(c)=3c^2-12c+11\)
\(\Rightarrow 6+6=12c^2-48c+44\)
\(\Rightarrow 12=12c^2-48c+44\)
\(\Rightarrow 12c^2-48c+44=12\)
\(\Rightarrow 12c^2-48c+44-12=0\)
\(\Rightarrow 12c^2-48c+32=0\)
\(\Rightarrow 4(3c^2-12c+8)=0\)
\(\Rightarrow 3c^2-12c+8=0\)
\(\Rightarrow c=\frac{12\pm{\sqrt{(-12)^2-4.3.8}}}{2.3}\) ➜\(\because ax^2+bx+c=0\)\(\Rightarrow x=\frac{-b\pm{\sqrt{b^2-4ac}}}{2a}\)
\(\Rightarrow c=\frac{12\pm{\sqrt{144-96}}}{6}\)
\(\Rightarrow c=\frac{12\pm{\sqrt{48}}}{6}\)
\(\Rightarrow c=\frac{12\pm{\sqrt{16\times{3}}}}{6}\)
\(\Rightarrow c=\frac{12\pm{4\sqrt{3}}}{6}\)
\(\Rightarrow c=\frac{2(6\pm{2\sqrt{3}})}{6}\)
\(\Rightarrow c=\frac{6\pm{2\sqrt{3}}}{3}\)
\(\Rightarrow c=\frac{6}{3}\pm{\frac{2\sqrt{3}}{3}}\)
\(\Rightarrow c=2\pm{\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}.\sqrt{3}}}\)
\(\Rightarrow c=2\pm{\frac{2}{\sqrt{3}}}\)
\(\Rightarrow c=2\pm{\frac{2}{\sqrt{3}}}\)
\(\because 1>2\pm{\frac{2}{\sqrt{3}}}>0\)
\(\therefore 1>c>0\)
যা \(]0, 4[\) ব্যবধিতে বিদ্যমান।
সুতরাং প্রদত্ত ফাংশনে ল্যাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্য সত্য।
\(Q.3.(iii)\) \(]-1, 1[\) ব্যবধিতে \(f(x)=\frac{1}{x}\) ফাংশনের জন্য লাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্যেটি প্রযোজ্য কিনা যাচাই কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\frac{1}{x}......(1)\)
\(\therefore f(0)=\frac{1}{0}\) বিদ্যমান নয়।
অর্থাৎ \(x=0\) বিন্দুতে প্রদত্ত ফাংশনটি বিচ্ছিন্ন।
\(\therefore ]-1, 1[ \) ব্যবধিতে ফাংশনটি অবিচ্ছিন্ন নয়।
সুতরাং প্রদত্ত ব্যবধিতে ফাংশনটির জন্য ল্যাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্য প্রযোজ্য নয়।
\(f(x)=\frac{1}{x}......(1)\)
\(\therefore f(0)=\frac{1}{0}\) বিদ্যমান নয়।
অর্থাৎ \(x=0\) বিন্দুতে প্রদত্ত ফাংশনটি বিচ্ছিন্ন।
\(\therefore ]-1, 1[ \) ব্যবধিতে ফাংশনটি অবিচ্ছিন্ন নয়।
সুতরাং প্রদত্ত ব্যবধিতে ফাংশনটির জন্য ল্যাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্য প্রযোজ্য নয়।
\(Q.3.(iv)\) \([-1, 1]\) ব্যবধিতে \(f(x)=\begin{cases}-x \ , & যখন \ \ \ \ \ 0>x\ge{-1} \\ \ \ \ x \ , & যখন \ \ \ \ \ \ 0\le{x}\le{1}\end{cases}\) ফাংশনের জন্য লাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্যটি প্রযোজ্য কিনা যাচাই কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\begin{cases}-x \ , & যখন \ \ \ \ \ 0>x\ge{-1} \\ \ \ \ x \ , & যখন \ \ \ \ \ \ 0\le{x}\le{1}\end{cases}\)
\[\therefore Rf^{\prime}(0)=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{f(h)-f(0)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{h-0}{h}\] ➜\(0\le{x}\le{1}\) ব্যবধিতে \(f(x)=x \Rightarrow f(h)=h, f(0)=0\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{h}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}(1)\]
\[=1\]
আবার,
\[\therefore Lf^{\prime}(0)=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{f(h)-f(0)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{-h-0}{h}\] ➜\(0>x\ge{-1}\) ব্যবধিতে \(f(x)=-x \Rightarrow f(h)=-h, f(0)=0\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{-h}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}(-1)\]
\[=-1\]
যেহেতু \(Rf^{\prime}(0)\ne{Lf^{\prime}(0)}\) অতএব, \(x=0\) বিন্দুতে ফাংশনটি অন্তরীকরণযোগ্য নয়।
সুতরাং প্রদত্ত \([-1, 1]\) ব্যবধিতে ফাংশনটির জন্য ল্যাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্য প্রযোজ্য নয়।
\(f(x)=\begin{cases}-x \ , & যখন \ \ \ \ \ 0>x\ge{-1} \\ \ \ \ x \ , & যখন \ \ \ \ \ \ 0\le{x}\le{1}\end{cases}\)
\[\therefore Rf^{\prime}(0)=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{f(h)-f(0)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{h-0}{h}\] ➜\(0\le{x}\le{1}\) ব্যবধিতে \(f(x)=x \Rightarrow f(h)=h, f(0)=0\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{h}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}(1)\]
\[=1\]
আবার,
\[\therefore Lf^{\prime}(0)=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{f(h)-f(0)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{-h-0}{h}\] ➜\(0>x\ge{-1}\) ব্যবধিতে \(f(x)=-x \Rightarrow f(h)=-h, f(0)=0\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{-h}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}(-1)\]
\[=-1\]
যেহেতু \(Rf^{\prime}(0)\ne{Lf^{\prime}(0)}\) অতএব, \(x=0\) বিন্দুতে ফাংশনটি অন্তরীকরণযোগ্য নয়।
সুতরাং প্রদত্ত \([-1, 1]\) ব্যবধিতে ফাংশনটির জন্য ল্যাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্য প্রযোজ্য নয়।
\(Q.3.(v)\) \(]0, 1[\) ব্যবধিতে \(f(x)=3+2x-x^2\) ফাংশনের জন্য গড়মান উপপাদ্যেটির সত্যতা যাচাই কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(f(x)=3+2x-x^2\)
\[\therefore Rf^{\prime}(x)=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{3+2(x+h)-(x+h)^2-3-2x+x^2}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{2x+2h-x^2-2hx-h^2-2x+x^2}{h}\] ➜ \(\because f(x)=3+2x-x^2\) \(\Rightarrow f(x+h)=3+2(x+h)-(x+h)^2\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{2h-2hx-h^2}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{h(2-2x-h)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}(2-2x-h)\]
\[=2-2x\]
আবার,
\[Lf^{\prime}(x)=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{3+2(x+h)-(x+h)^2-3-2x+x^2}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{2x+2h-x^2-2hx-h^2-2x+x^2}{h}\] ➜ \(\because f(x)=3+2x-x^2\) \(\Rightarrow f(x+h)=3+2(x+h)-(x+h)^2\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{2h-2hx-h^2}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{h(2-2x-h)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}(2-2x-h)\]
\[=2-2x\]
যেহেতু \(Rf^{\prime}(x)=Lf^{\prime}(x)\) অতএব, \(x\) এর সকল মানের জন্য \(f(x)\) ফাংশনটি \([0, 1]\) বদ্ধ ব্যবধিতে অবিচ্ছিন্ন এবং \(]0, 1[\) খোলা ব্যবধিতে অন্তরীকরণযোগ্য ।
\(\therefore f(x)\) ফাংশন ল্যাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্যের সকল শর্ত সিদ্ধ করে।
এখন,
\(f(x)=3+2x-x^2 ......(1)\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=2-2x\)
তাহলে,
\(f^{\prime}(c)=2-2c\)
আবার,
\((1)\) এর সাহায্যে
\(f(0)=3+2.0-0^2\)
\(=3+0-0\)
\(=3\)
এবং
\(f(1)=3+2.1-1^2\)
\(=3+2-1\)
\(=4\)
ল্যাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্য থেকে আমরা জানি,
\(f(1)-f(0)=(1-0)f^{\prime}(c)\)
\(\Rightarrow 4-3=1.(2-2c)\) ➜\(\because f(1)=4, f(0)=3, f^{\prime}(c)=2-2c\)
\(\Rightarrow 1=2-2c\)
\(\Rightarrow 2c=2-1\)
\(\Rightarrow 2c=1\)
\(\Rightarrow c=\frac{1}{2}\)
\(\because 1>\frac{1}{2}>0\)
\(\therefore 1>c>0\)
যা \(]0, 1[\) ব্যবধিতে বিদ্যমান।
সুতরাং প্রদত্ত ফাংশনে ল্যাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্য সত্য।
\(f(x)=3+2x-x^2\)
\[\therefore Rf^{\prime}(x)=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{3+2(x+h)-(x+h)^2-3-2x+x^2}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{2x+2h-x^2-2hx-h^2-2x+x^2}{h}\] ➜ \(\because f(x)=3+2x-x^2\) \(\Rightarrow f(x+h)=3+2(x+h)-(x+h)^2\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{2h-2hx-h^2}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{h(2-2x-h)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}(2-2x-h)\]
\[=2-2x\]
আবার,
\[Lf^{\prime}(x)=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{3+2(x+h)-(x+h)^2-3-2x+x^2}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{2x+2h-x^2-2hx-h^2-2x+x^2}{h}\] ➜ \(\because f(x)=3+2x-x^2\) \(\Rightarrow f(x+h)=3+2(x+h)-(x+h)^2\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{2h-2hx-h^2}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{h(2-2x-h)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}(2-2x-h)\]
\[=2-2x\]
যেহেতু \(Rf^{\prime}(x)=Lf^{\prime}(x)\) অতএব, \(x\) এর সকল মানের জন্য \(f(x)\) ফাংশনটি \([0, 1]\) বদ্ধ ব্যবধিতে অবিচ্ছিন্ন এবং \(]0, 1[\) খোলা ব্যবধিতে অন্তরীকরণযোগ্য ।
\(\therefore f(x)\) ফাংশন ল্যাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্যের সকল শর্ত সিদ্ধ করে।
এখন,
\(f(x)=3+2x-x^2 ......(1)\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=2-2x\)
তাহলে,
\(f^{\prime}(c)=2-2c\)
আবার,
\((1)\) এর সাহায্যে
\(f(0)=3+2.0-0^2\)
\(=3+0-0\)
\(=3\)
এবং
\(f(1)=3+2.1-1^2\)
\(=3+2-1\)
\(=4\)
ল্যাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্য থেকে আমরা জানি,
\(f(1)-f(0)=(1-0)f^{\prime}(c)\)
\(\Rightarrow 4-3=1.(2-2c)\) ➜\(\because f(1)=4, f(0)=3, f^{\prime}(c)=2-2c\)
\(\Rightarrow 1=2-2c\)
\(\Rightarrow 2c=2-1\)
\(\Rightarrow 2c=1\)
\(\Rightarrow c=\frac{1}{2}\)
\(\because 1>\frac{1}{2}>0\)
\(\therefore 1>c>0\)
যা \(]0, 1[\) ব্যবধিতে বিদ্যমান।
সুতরাং প্রদত্ত ফাংশনে ল্যাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্য সত্য।
\(Q.3.(vi)\) \([2, 4]\) ব্যবধিতে \(f(x)=\sqrt{x^2-4}\) ফাংশনের জন্য গড়মান উপপাদ্যেটির সত্যতা যাচাই কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\sqrt{x^2-4}\)
\[\therefore Rf^{\prime}(x)=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{\sqrt{(x+h)^2-4}-\sqrt{x^2-4}}{h}\] ➜ \(\because f(x)=\sqrt{x^2-4}\) \(\Rightarrow f(x+h)=\sqrt{(x+h)^2-4}\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{(\sqrt{(x+h)^2-4}-\sqrt{x^2-4})(\sqrt{(x+h)^2-4}+\sqrt{x^2-4})}{h(\sqrt{(x+h)^2-4}+\sqrt{x^2-4})}\] ➜ লব ও হরের সহিত \((\sqrt{(x+h)^2-4}+\sqrt{x^2-4})\) গুণ করে।
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{(\sqrt{(x+h)^2-4})^2-(\sqrt{x^2-4})^2}{h(\sqrt{(x+h)^2-4}+\sqrt{x^2-4})}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{(x+h)^2-4-x^2+4}{h(\sqrt{(x+h)^2-4}+\sqrt{x^2-4})}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{x^2+2hx+h^2-4-x^2+4}{h(\sqrt{(x+h)^2-4}+\sqrt{x^2-4})}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{2hx+h^2}{h(\sqrt{(x+h)^2-4}+\sqrt{x^2-4})}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{h(2x+h)}{h(\sqrt{(x+h)^2-4}+\sqrt{x^2-4})}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{2x+h}{\sqrt{(x+h)^2-4}+\sqrt{x^2-4}}\]
\[=\frac{2x}{\sqrt{x^2-4}+\sqrt{x^2-4}}\]
\[=\frac{2x}{2\sqrt{x^2-4}}\]
\[=\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}\]
আবার,
\[\therefore Rf^{\prime}(x)=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{\sqrt{(x+h)^2-4}-\sqrt{x^2-4}}{h}\] ➜ \(\because f(x)=\sqrt{x^2-4}\) \(\Rightarrow f(x+h)=\sqrt{(x+h)^2-4}\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{(\sqrt{(x+h)^2-4}-\sqrt{x^2-4})(\sqrt{(x+h)^2-4}+\sqrt{x^2-4})}{h(\sqrt{(x+h)^2-4}+\sqrt{x^2-4})}\] ➜ লব ও হরের সহিত \((\sqrt{(x+h)^2-4}+\sqrt{x^2-4})\) গুণ করে।
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{(\sqrt{(x+h)^2-4})^2-(\sqrt{x^2-4})^2}{h(\sqrt{(x+h)^2-4}+\sqrt{x^2-4})}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{(x+h)^2-4-x^2+4}{h(\sqrt{(x+h)^2-4}+\sqrt{x^2-4})}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{x^2+2hx+h^2-4-x^2+4}{h(\sqrt{(x+h)^2-4}+\sqrt{x^2-4})}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{2hx+h^2}{h(\sqrt{(x+h)^2-4}+\sqrt{x^2-4})}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{h(2x+h)}{h(\sqrt{(x+h)^2-4}+\sqrt{x^2-4})}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{2x+h}{\sqrt{(x+h)^2-4}+\sqrt{x^2-4}}\]
\[=\frac{2x}{\sqrt{x^2-4}+\sqrt{x^2-4}}\]
\[=\frac{2x}{2\sqrt{x^2-4}}\]
\[=\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}\]
যেহেতু \(Rf^{\prime}(x)=Lf^{\prime}(x)\) অতএব, \(x\) এর সকল মানের জন্য \(f(x)\) ফাংশনটি \([2, 4]\) বদ্ধ ব্যবধিতে অবিচ্ছিন্ন এবং \(]2, 4[\) খোলা ব্যবধিতে অন্তরীকরণযোগ্য ।
\(\therefore f(x)\) ফাংশন ল্যাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্যের সকল শর্ত সিদ্ধ করে।
এখন,
\(f(x)=\sqrt{x^2-4} ......(1)\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}\)
তাহলে,
\(f^{\prime}(c)=\frac{c}{\sqrt{c^2-4}}\)
আবার,
\((1)\) এর সাহায্যে
\(f(2)=\sqrt{2^2-4}\)
\(=\sqrt{4-4}\)
\(=\sqrt{0}\)
\(=0\)
এবং
\(f(4)=\sqrt{4^2-4}\)
\(=\sqrt{16-4}\)
\(=\sqrt{12}\)
\(=\sqrt{4\times{3}}\)
\(=2\sqrt{3}\)
ল্যাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্য থেকে আমরা জানি,
\(f(4)-f(2)=(4-2)f^{\prime}(c)\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{3}-0=2.\frac{c}{\sqrt{c^2-4}}\) ➜\(\because f(4)=2\sqrt{3}, f(2)=0\), \(f^{\prime}(c)=\frac{c}{\sqrt{c^2-4}}\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{3}=2.\frac{c}{\sqrt{c^2-4}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}=\frac{c}{\sqrt{c^2-4}}\)
\(\Rightarrow 3=\frac{c^2}{c^2-4}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 3(c^2-4)=c^2\)
\(\Rightarrow 3c^2-12=c^2\)
\(\Rightarrow 3c^2-c^2=12\)
\(\Rightarrow 2c^2=12\)
\(\Rightarrow c^2=6\)
\(\Rightarrow c=\sqrt{6}\)
\(\because 2>\sqrt{6}>4\)
\(\therefore 2>c>4\)
যা \(]2, 4[\) ব্যবধিতে বিদ্যমান।
সুতরাং প্রদত্ত ফাংশনে ল্যাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্য সত্য।
\(f(x)=\sqrt{x^2-4}\)
\[\therefore Rf^{\prime}(x)=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{\sqrt{(x+h)^2-4}-\sqrt{x^2-4}}{h}\] ➜ \(\because f(x)=\sqrt{x^2-4}\) \(\Rightarrow f(x+h)=\sqrt{(x+h)^2-4}\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{(\sqrt{(x+h)^2-4}-\sqrt{x^2-4})(\sqrt{(x+h)^2-4}+\sqrt{x^2-4})}{h(\sqrt{(x+h)^2-4}+\sqrt{x^2-4})}\] ➜ লব ও হরের সহিত \((\sqrt{(x+h)^2-4}+\sqrt{x^2-4})\) গুণ করে।
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{(\sqrt{(x+h)^2-4})^2-(\sqrt{x^2-4})^2}{h(\sqrt{(x+h)^2-4}+\sqrt{x^2-4})}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{(x+h)^2-4-x^2+4}{h(\sqrt{(x+h)^2-4}+\sqrt{x^2-4})}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{x^2+2hx+h^2-4-x^2+4}{h(\sqrt{(x+h)^2-4}+\sqrt{x^2-4})}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{2hx+h^2}{h(\sqrt{(x+h)^2-4}+\sqrt{x^2-4})}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{h(2x+h)}{h(\sqrt{(x+h)^2-4}+\sqrt{x^2-4})}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{2x+h}{\sqrt{(x+h)^2-4}+\sqrt{x^2-4}}\]
\[=\frac{2x}{\sqrt{x^2-4}+\sqrt{x^2-4}}\]
\[=\frac{2x}{2\sqrt{x^2-4}}\]
\[=\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}\]
আবার,
\[\therefore Rf^{\prime}(x)=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{\sqrt{(x+h)^2-4}-\sqrt{x^2-4}}{h}\] ➜ \(\because f(x)=\sqrt{x^2-4}\) \(\Rightarrow f(x+h)=\sqrt{(x+h)^2-4}\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{(\sqrt{(x+h)^2-4}-\sqrt{x^2-4})(\sqrt{(x+h)^2-4}+\sqrt{x^2-4})}{h(\sqrt{(x+h)^2-4}+\sqrt{x^2-4})}\] ➜ লব ও হরের সহিত \((\sqrt{(x+h)^2-4}+\sqrt{x^2-4})\) গুণ করে।
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{(\sqrt{(x+h)^2-4})^2-(\sqrt{x^2-4})^2}{h(\sqrt{(x+h)^2-4}+\sqrt{x^2-4})}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{(x+h)^2-4-x^2+4}{h(\sqrt{(x+h)^2-4}+\sqrt{x^2-4})}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{x^2+2hx+h^2-4-x^2+4}{h(\sqrt{(x+h)^2-4}+\sqrt{x^2-4})}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{2hx+h^2}{h(\sqrt{(x+h)^2-4}+\sqrt{x^2-4})}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{h(2x+h)}{h(\sqrt{(x+h)^2-4}+\sqrt{x^2-4})}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{2x+h}{\sqrt{(x+h)^2-4}+\sqrt{x^2-4}}\]
\[=\frac{2x}{\sqrt{x^2-4}+\sqrt{x^2-4}}\]
\[=\frac{2x}{2\sqrt{x^2-4}}\]
\[=\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}\]
যেহেতু \(Rf^{\prime}(x)=Lf^{\prime}(x)\) অতএব, \(x\) এর সকল মানের জন্য \(f(x)\) ফাংশনটি \([2, 4]\) বদ্ধ ব্যবধিতে অবিচ্ছিন্ন এবং \(]2, 4[\) খোলা ব্যবধিতে অন্তরীকরণযোগ্য ।
\(\therefore f(x)\) ফাংশন ল্যাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্যের সকল শর্ত সিদ্ধ করে।
এখন,
\(f(x)=\sqrt{x^2-4} ......(1)\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}\)
তাহলে,
\(f^{\prime}(c)=\frac{c}{\sqrt{c^2-4}}\)
আবার,
\((1)\) এর সাহায্যে
\(f(2)=\sqrt{2^2-4}\)
\(=\sqrt{4-4}\)
\(=\sqrt{0}\)
\(=0\)
এবং
\(f(4)=\sqrt{4^2-4}\)
\(=\sqrt{16-4}\)
\(=\sqrt{12}\)
\(=\sqrt{4\times{3}}\)
\(=2\sqrt{3}\)
ল্যাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্য থেকে আমরা জানি,
\(f(4)-f(2)=(4-2)f^{\prime}(c)\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{3}-0=2.\frac{c}{\sqrt{c^2-4}}\) ➜\(\because f(4)=2\sqrt{3}, f(2)=0\), \(f^{\prime}(c)=\frac{c}{\sqrt{c^2-4}}\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{3}=2.\frac{c}{\sqrt{c^2-4}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}=\frac{c}{\sqrt{c^2-4}}\)
\(\Rightarrow 3=\frac{c^2}{c^2-4}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 3(c^2-4)=c^2\)
\(\Rightarrow 3c^2-12=c^2\)
\(\Rightarrow 3c^2-c^2=12\)
\(\Rightarrow 2c^2=12\)
\(\Rightarrow c^2=6\)
\(\Rightarrow c=\sqrt{6}\)
\(\because 2>\sqrt{6}>4\)
\(\therefore 2>c>4\)
যা \(]2, 4[\) ব্যবধিতে বিদ্যমান।
সুতরাং প্রদত্ত ফাংশনে ল্যাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্য সত্য।
\(Q.3.(vii)\) \(]0, 1[\) ব্যবধিতে \(f(x)=2x-x^2\) ফাংশনের জন্য গড়মান উপপাদ্যেটির সত্যতা যাচাই কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(f(x)=2x-x^2\)
\[\therefore Rf^{\prime}(x)=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{2(x+h)-(x+h)^2-2x+x^2}{h}\] ➜ \(\because f(x)=2x-x^2\) \(\Rightarrow f(x+h)=2(x+h)-(x+h)^2\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{2x+2h-x^2-2hx-h^2-2x+x^2}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{2h-2hx-h^2}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{h(2-2x-h)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}(2-2x-h)\]
\[=2-2x\]
আবার,
\[Lf^{\prime}(x)=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{2(x+h)-(x+h)^2-2x+x^2}{h}\] ➜ \(\because f(x)=2x-x^2\) \(\Rightarrow f(x+h)=2(x+h)-(x+h)^2\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{2x+2h-x^2-2hx-h^2-2x+x^2}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{2h-2hx-h^2}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{h(2-2x-h)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}(2-2x-h)\]
\[=2-2x\]
যেহেতু \(Rf^{\prime}(x)=Lf^{\prime}(x)\) অতএব, \(x\) এর সকল মানের জন্য \(f(x)\) ফাংশনটি \([0, 1]\) বদ্ধ ব্যবধিতে অবিচ্ছিন্ন এবং \(]0, 1[\) খোলা ব্যবধিতে অন্তরীকরণযোগ্য ।
\(\therefore f(x)\) ফাংশন ল্যাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্যের সকল শর্ত সিদ্ধ করে।
এখন,
\(f(x)=2x-x^2 ......(1)\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=2-2x\)
তাহলে,
\(f^{\prime}(c)=2-2c\)
আবার,
\((1)\) এর সাহায্যে
\(f(1)=2.1-1^2\)
\(=2-1\)
\(=1\)
এবং
\(f(0)=2.0-0^2\)
\(=0-0\)
\(=0\)
ল্যাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্য থেকে আমরা জানি,
\(f(1)-f(0)=(1-0)f^{\prime}(c)\)
\(\Rightarrow 1-0=1.(2-2c)\) ➜\(\because f(1)=1, f(0)=0, f^{\prime}(c)=2-2c\)
\(\Rightarrow 1-0=1.(2-2c)\)
\(\Rightarrow 1=2-2c\)
\(\Rightarrow 2c=2-1\)
\(\Rightarrow 2c=1\)
\(\Rightarrow c=\frac{1}{2}\)
\(\because 1>\frac{1}{2}>0\)
\(\therefore 1>c>0\)
যা \(]0, 1[\) ব্যবধিতে বিদ্যমান।
সুতরাং প্রদত্ত ফাংশনে ল্যাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্য সত্য।
\(f(x)=2x-x^2\)
\[\therefore Rf^{\prime}(x)=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{2(x+h)-(x+h)^2-2x+x^2}{h}\] ➜ \(\because f(x)=2x-x^2\) \(\Rightarrow f(x+h)=2(x+h)-(x+h)^2\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{2x+2h-x^2-2hx-h^2-2x+x^2}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{2h-2hx-h^2}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}\frac{h(2-2x-h)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0+}(2-2x-h)\]
\[=2-2x\]
আবার,
\[Lf^{\prime}(x)=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{2(x+h)-(x+h)^2-2x+x^2}{h}\] ➜ \(\because f(x)=2x-x^2\) \(\Rightarrow f(x+h)=2(x+h)-(x+h)^2\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{2x+2h-x^2-2hx-h^2-2x+x^2}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{2h-2hx-h^2}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}\frac{h(2-2x-h)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0-}(2-2x-h)\]
\[=2-2x\]
যেহেতু \(Rf^{\prime}(x)=Lf^{\prime}(x)\) অতএব, \(x\) এর সকল মানের জন্য \(f(x)\) ফাংশনটি \([0, 1]\) বদ্ধ ব্যবধিতে অবিচ্ছিন্ন এবং \(]0, 1[\) খোলা ব্যবধিতে অন্তরীকরণযোগ্য ।
\(\therefore f(x)\) ফাংশন ল্যাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্যের সকল শর্ত সিদ্ধ করে।
এখন,
\(f(x)=2x-x^2 ......(1)\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=2-2x\)
তাহলে,
\(f^{\prime}(c)=2-2c\)
আবার,
\((1)\) এর সাহায্যে
\(f(1)=2.1-1^2\)
\(=2-1\)
\(=1\)
এবং
\(f(0)=2.0-0^2\)
\(=0-0\)
\(=0\)
ল্যাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্য থেকে আমরা জানি,
\(f(1)-f(0)=(1-0)f^{\prime}(c)\)
\(\Rightarrow 1-0=1.(2-2c)\) ➜\(\because f(1)=1, f(0)=0, f^{\prime}(c)=2-2c\)
\(\Rightarrow 1-0=1.(2-2c)\)
\(\Rightarrow 1=2-2c\)
\(\Rightarrow 2c=2-1\)
\(\Rightarrow 2c=1\)
\(\Rightarrow c=\frac{1}{2}\)
\(\because 1>\frac{1}{2}>0\)
\(\therefore 1>c>0\)
যা \(]0, 1[\) ব্যবধিতে বিদ্যমান।
সুতরাং প্রদত্ত ফাংশনে ল্যাগ্রাঞ্জের গড়মান উপপাদ্য সত্য।
\(Q.3.(viii)\) মধ্যমান উপপাদ্য ব্যবহার করে দেখাও যে, \([1, 2]\) ব্যবধিতে \(x^3-x-1=0\) সমীকরণের সমাধান আছে।
সমাধানঃ
ধরি,
\(f(x)=x^3-x-1\)
\(\because f(x)\) একটি ত্রিঘাত বিশিষ্ট বহুপদী
\(\therefore f(x)\) একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন।
এখন,
\(f(1)=1^3-1-1\)
\(=1-1-1\)
\(=-1\)
\(\therefore f(1)<0\)
আবার,
\(f(2)=2^3-2-1\)
\(=4-2-1\)
\(=4-3\)
\(=1\)
\(\therefore f(2)>0\)
যেহেতু, \(f(1)\) এবং \(f(2)\) বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট।
অতএব, \(f(x)\) এর সমাধান \([1, 2]\) ব্যবধির অন্তর্ভুক্ত।
\(f(x)=x^3-x-1\)
\(\because f(x)\) একটি ত্রিঘাত বিশিষ্ট বহুপদী
\(\therefore f(x)\) একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন।
এখন,
\(f(1)=1^3-1-1\)
\(=1-1-1\)
\(=-1\)
\(\therefore f(1)<0\)
আবার,
\(f(2)=2^3-2-1\)
\(=4-2-1\)
\(=4-3\)
\(=1\)
\(\therefore f(2)>0\)
যেহেতু, \(f(1)\) এবং \(f(2)\) বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট।
অতএব, \(f(x)\) এর সমাধান \([1, 2]\) ব্যবধির অন্তর্ভুক্ত।
\(Q.3.(ix)\) মধ্যমান উপপাদ্য ব্যবহার করে দেখাও যে, \([0, 2]\) ব্যবধিতে \(x^3-3x-1=0\) সমীকরণের সমাধান আছে।
সমাধানঃ
ধরি,
\(f(x)=x^3-3x-1\)
\(\because f(x)\) একটি ত্রিঘাত বিশিষ্ট বহুপদী
\(\therefore f(x)\) একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন।
এখন,
\(f(0)=0^3-3.0-1\)
\(=0-0-1\)
\(=-1\)
\(\therefore f(0)<0\)
আবার,
\(f(2)=2^3-3.2-1\)
\(=8-6-1\)
\(=8-7\)
\(=1\)
\(\therefore f(2)>0\)
যেহেতু, \(f(0)\) এবং \(f(2)\) বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট।
অতএব, \(f(x)\) এর সমাধান \([0, 2]\) ব্যবধির অন্তর্ভুক্ত।
\(f(x)=x^3-3x-1\)
\(\because f(x)\) একটি ত্রিঘাত বিশিষ্ট বহুপদী
\(\therefore f(x)\) একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন।
এখন,
\(f(0)=0^3-3.0-1\)
\(=0-0-1\)
\(=-1\)
\(\therefore f(0)<0\)
আবার,
\(f(2)=2^3-3.2-1\)
\(=8-6-1\)
\(=8-7\)
\(=1\)
\(\therefore f(2)>0\)
যেহেতু, \(f(0)\) এবং \(f(2)\) বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট।
অতএব, \(f(x)\) এর সমাধান \([0, 2]\) ব্যবধির অন্তর্ভুক্ত।
\(Q.3.(x)\) মধ্যমান উপপাদ্য ব্যবহার করে দেখাও যে, \([1, 2]\) ব্যবধিতে \(x^3-4x+1=0\) সমীকরণের সমাধান আছে।
সমাধানঃ
ধরি,
\(f(x)=x^3-4x+1\)
\(\because f(x)\) একটি ত্রিঘাত বিশিষ্ট বহুপদী
\(\therefore f(x)\) একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন।
এখন,
\(f(1)=1^3-4.1+1\)
\(=1-4+1\)
\(=2-4\)
\(=-2\)
\(\therefore f(1)<0\)
আবার,
\(f(2)=2^3-4.2+1\)
\(=8-8+1\)
\(=9-8\)
\(=1\)
\(\therefore f(2)>0\)
যেহেতু, \(f(1)\) এবং \(f(2)\) বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট।
অতএব, \(f(x)\) এর সমাধান \([0, 2]\) ব্যবধির অন্তর্ভুক্ত।
\(f(x)=x^3-4x+1\)
\(\because f(x)\) একটি ত্রিঘাত বিশিষ্ট বহুপদী
\(\therefore f(x)\) একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন।
এখন,
\(f(1)=1^3-4.1+1\)
\(=1-4+1\)
\(=2-4\)
\(=-2\)
\(\therefore f(1)<0\)
আবার,
\(f(2)=2^3-4.2+1\)
\(=8-8+1\)
\(=9-8\)
\(=1\)
\(\therefore f(2)>0\)
যেহেতু, \(f(1)\) এবং \(f(2)\) বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট।
অতএব, \(f(x)\) এর সমাধান \([0, 2]\) ব্যবধির অন্তর্ভুক্ত।
\(Q.3.(xi)\) মধ্যমান উপপাদ্য ব্যবহার করে দেখাও যে, \([-1, 1]\) ব্যবধিতে \(x^3+x^2-2x-1=0\) সমীকরণের সমাধান আছে।
সমাধানঃ
ধরি,
\(f(x)=x^3+x^2-2x-1\)
\(\because f(x)\) একটি ত্রিঘাত বিশিষ্ট বহুপদী
\(\therefore f(x)\) একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন।
এখন,
\(f(-1)=(-1)^3+(-1)^2-2(-1)-1\)
\(=-1+1+2-1\)
\(=3-2\)
\(=1\)
\(\therefore f(-1)>0\)
আবার,
\(f(1)=1^3+1^2-2.1-1\)
\(=1+1-2-1\)
\(=2-3\)
\(=-1\)
\(\therefore f(1)<0\)
যেহেতু, \(f(-1)\) এবং \(f(1)\) বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট।
অতএব, \(f(x)\) এর সমাধান \([-1, 1]\) ব্যবধির অন্তর্ভুক্ত।
\(f(x)=x^3+x^2-2x-1\)
\(\because f(x)\) একটি ত্রিঘাত বিশিষ্ট বহুপদী
\(\therefore f(x)\) একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন।
এখন,
\(f(-1)=(-1)^3+(-1)^2-2(-1)-1\)
\(=-1+1+2-1\)
\(=3-2\)
\(=1\)
\(\therefore f(-1)>0\)
আবার,
\(f(1)=1^3+1^2-2.1-1\)
\(=1+1-2-1\)
\(=2-3\)
\(=-1\)
\(\therefore f(1)<0\)
যেহেতু, \(f(-1)\) এবং \(f(1)\) বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট।
অতএব, \(f(x)\) এর সমাধান \([-1, 1]\) ব্যবধির অন্তর্ভুক্ত।
\(Q.3.(xii)\) \(f(x)=x^2\) এর লেখচিত্র অঙ্কন করে \((2.1)^2\) এর আসন্নমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4.4\)
উত্তরঃ \(4.4\)
সমাধানঃ
ধরি,\(f(x)=x^2 .....(1)\)
এবং \(x_{0}=2\), \(x_{0}+\delta{x}=2.1\)
\(\therefore \delta{x}=x_{0}+\delta{x}-x_{0}\)
\(=2.1-2\)
\(=0.1\)
\((1)\) নং সমীকরণকে \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(f^{\prime}(x)=2x\)
\(\Rightarrow f^{\prime}(x_{0})=f^{\prime}(2)=2\times{2}=4\)
\(\therefore f^{\prime}(x_{0})=4 ....(2)\)
\((1)\) নং সমীকরণ হতে,
\(f(x_{0})=x^2_{0}=2^2=4\)
\(\therefore f(x_{0})=4 ......(3)\)
আবার,
\((1)\) নং সমীকরণ হতে,
\(f(x_{0}+\delta{x})=(x_{0}+\delta{x})^2=(2.1)^2\)
\(\therefore f(x_{0}+\delta{x})=(2.1)^2 ....(4)\)
অন্তরীকরণের মূলনিয়ম হতে আমরা জানি,
\(f^{\prime}(x_{0})=\frac{f(x_{0}+\delta{x})-f(x_{0})}{\delta{x}}\)
\(\Rightarrow f(x_{0}+\delta{x})-f(x_{0})=f^{\prime}(x_{0})\delta{x}\) ➜ আড় গুণ করে।
\(\Rightarrow f(x_{0}+\delta{x})=f(x_{0})+f^{\prime}(x_{0})\delta{x}\)
\(\Rightarrow (2.1)^2=4+4\times{0.1}\) ➜\((2)\), \((3)\) এবং \((4)\) হতে, \(\because f(x_{0}+\delta{x})=(2.1)^2, f(x_{0})=4\), \(f^{\prime}(x_{0})=4, \delta{x}=0.1\)
\(=4+0.4\)
\(=4.4\)
\(Q.3.(xiii)\) \(x=0\) বিন্দুর সন্নিকটে \(f(x)=\sqrt{1+x}\) ফাংশনের লেখকে আসন্নভাবে ঐ বিন্দুতে স্পর্শকের লেখ দ্বারা স্থানীয়ভাবে প্রতিস্থাপন করে \(\sqrt{0.9}\) এবং \(\sqrt{1.1}\) এর আসন্নমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(0.95\) এবং \(1.05\)
উত্তরঃ \(0.95\) এবং \(1.05\)
সমাধানঃ
ধরি,
\(f(x)=\sqrt{1+x} .....(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণকে \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(f^{\prime}(x)=\frac{1}{2\sqrt{1+x}} ....(2)\)
\((1)\) নং সমীকরণ হতে,
\(f(0)=\sqrt{1+x}=\sqrt{1+0}=\sqrt{1}\)
\(\therefore f(0)=1 ......(3)\)
আবার,
\((2)\) নং সমীকরণ হতে,
\(f^{\prime}(0)=\frac{1}{2\sqrt{1+0}}\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{1}}\)
\(=\frac{1}{2} ....(4)\)
\(x=0\) বিন্দুর সন্নিকটে \(f(x)=\sqrt{1+x}\) ফাংশনের লেখকে আসন্নভাবে ঐ বিন্দুতে স্পর্শকের লেখ দ্বারা স্থানীয়ভাবে প্রতিস্থাপন করে পাই,
\(f(x)=f(0)+f^{\prime}(0)(x-0)\) ➜ \(\because f(x)=f(x_{0})+f^{\prime}(x_{0}(x-x_{0})\)
\(\therefore \sqrt{1+x}=f(0)+f^{\prime}(0)(x-0) ....(5)\) ➜ \(\because f(x)=\sqrt{1+x}\)
\((5)\) নং সমীকরণে \(x=-0.1\) বসিয়ে,
\(\sqrt{1-0.1}=1+\frac{1}{2}(-0.1-0)\) ➜ \((3)\) ও \((4)\) হতে, \(\because f(0)=1, f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{0.9}=1+0.5\times{-0.1}\)
\(=1-0.05\)
\(=0.95\)
আবার,
\((5)\) নং সমীকরণে \(x=0.1\) বসিয়ে,
\(\sqrt{1+0.1}=1+\frac{1}{2}(0.1-0)\) ➜ \((3)\) ও \((4)\) হতে, \(\because f(0)=1, f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1.1}=1+0.5\times{0.1}\)
\(=1+0.05\)
\(=1.05\)
\(\sqrt{0.9}\) এবং \(\sqrt{1.1}\) এর আসন্নমান যথাক্রমে \(0.95\) এবং \(1.05\).
\(f(x)=\sqrt{1+x} .....(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণকে \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(f^{\prime}(x)=\frac{1}{2\sqrt{1+x}} ....(2)\)
\((1)\) নং সমীকরণ হতে,
\(f(0)=\sqrt{1+x}=\sqrt{1+0}=\sqrt{1}\)
\(\therefore f(0)=1 ......(3)\)
আবার,
\((2)\) নং সমীকরণ হতে,
\(f^{\prime}(0)=\frac{1}{2\sqrt{1+0}}\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{1}}\)
\(=\frac{1}{2} ....(4)\)
\(x=0\) বিন্দুর সন্নিকটে \(f(x)=\sqrt{1+x}\) ফাংশনের লেখকে আসন্নভাবে ঐ বিন্দুতে স্পর্শকের লেখ দ্বারা স্থানীয়ভাবে প্রতিস্থাপন করে পাই,
\(f(x)=f(0)+f^{\prime}(0)(x-0)\) ➜ \(\because f(x)=f(x_{0})+f^{\prime}(x_{0}(x-x_{0})\)
\(\therefore \sqrt{1+x}=f(0)+f^{\prime}(0)(x-0) ....(5)\) ➜ \(\because f(x)=\sqrt{1+x}\)
\((5)\) নং সমীকরণে \(x=-0.1\) বসিয়ে,
\(\sqrt{1-0.1}=1+\frac{1}{2}(-0.1-0)\) ➜ \((3)\) ও \((4)\) হতে, \(\because f(0)=1, f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{0.9}=1+0.5\times{-0.1}\)
\(=1-0.05\)
\(=0.95\)
আবার,
\((5)\) নং সমীকরণে \(x=0.1\) বসিয়ে,
\(\sqrt{1+0.1}=1+\frac{1}{2}(0.1-0)\) ➜ \((3)\) ও \((4)\) হতে, \(\because f(0)=1, f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1.1}=1+0.5\times{0.1}\)
\(=1+0.05\)
\(=1.05\)
\(\sqrt{0.9}\) এবং \(\sqrt{1.1}\) এর আসন্নমান যথাক্রমে \(0.95\) এবং \(1.05\).
\(Q.3.(xiv)\) \(f(x)=x^2\) এর স্কেচ অঙ্কন কর এবং তাতে \(\delta{y}\) ও \(dy\) চিহ্নিত কর। \(x=2\) ও \(\delta{x}=dy=1\) হলে, \(\delta{y}\) ও \(dy\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4, 5\)
উত্তরঃ \(4, 5\)
সমাধানঃ
ধরি,\(y=f(x)=x^2 .....(1)\)
পার্শে \(y=f(x)=x^2\) এর স্কেচ অঙ্কন করে তাতে \(\delta{y}\) ও \(dy\) চিহ্নিত করা হলো।
দেওয়া আছে,
\(x=2\) ও \(\delta{x}=dy=1\)
\((1)\) এর সাহায্যে
\(f(x+\delta{x})=f(2+1)=f(3) \)
\(=(3)^2 \)
\(=9 \)
\(\therefore f(3)=9 ....(2)\)
আবার,
\((1)\) এর সাহায্যে
\(f(2)=2^2 \)
\(=(2)^2 \)
\(\therefore f(2)=4 ....(3)\)
\((1)\) নং সমীকরণকে \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(f^{\prime}(x)=2x .....(4)\)
\((4)\) এর সাহায্যে
\(f^{\prime}(2)=2\times{2}=4\)
\(\therefore f^{\prime}(2)=4 ....(5)\)
আমরা জানি,
\(\delta{y}=f(x+\delta{x})-f(x)\)
\(x=2, \delta{x}=1\) হলে,
\(=f(2+1)-f(2)\)
\(=f(3)-f(2)\)
\(=9-4\) ➜ \((2)\) ও \((3)\) হতে, \(\because f(3)=9, f(2)=4\)
\(=5\)
আবার,
আমরা জানি,
\(f^{\prime}(x)=\frac{dy}{dx}\)
\(\Rightarrow dy=f^{\prime}(x)dx\)
\(x=2, dx=1\) হলে,
\(\Rightarrow =f^{\prime}(2)\times{1}\)
\(\Rightarrow =4\times{1}\) ➜ \((5)\) হতে, \(\because f^{\prime}(2)=4\) এবং \(dx=1\)
\(=4\)
\(Q.3.(xv)\) \(f(x)=\frac{1}{2}x^2\) এর স্কেচ অঙ্কন কর এবং তাতে \(\delta{y}\) ও \(dy\) চিহ্নিত কর। \(x=3\) ও \(\delta{x}=dy=3\) হলে, \(\delta{y}\) ও \(dy\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(13.5, 9\)
উত্তরঃ \(13.5, 9\)
সমাধানঃ
ধরি,\(y=f(x)=\frac{1}{2}x^2 .....(1)\)
পার্শে \(y=f(x)=\frac{1}{2}x^2\) এর স্কেচ অঙ্কন করে তাতে \(\delta{y}\) ও \(dy\) চিহ্নিত করা হলো।
দেওয়া আছে,
\(x=3\) ও \(\delta{x}=dy=3\)
\((1)\) এর সাহায্যে
\(f(x+\delta{x})=f(3+3)=f(6) \)
\(=\frac{1}{2}(6)^2 \)
\(=\frac{1}{2}\times{36} \)
\(=18 \)
\(\therefore f(6)=18 ....(2)\)
আবার,
\((1)\) এর সাহায্যে
\(f(3)=\frac{1}{2}3^2 \)
\(=\frac{1}{2}\times{9} \)
\(=4.5 \)
\(\therefore f(3)=4.5 ....(3)\)
\((1)\) নং সমীকরণকে \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(f^{\prime}(x)=\frac{1}{2}.2x\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=x .....(4)\)
\((4)\) এর সাহায্যে
\(f^{\prime}(3)=3 ....(5)\)
আমরা জানি,
\(\delta{y}=f(x+\delta{x})-f(x)\)
\(x=3, \delta{x}=3\) হলে,
\(=f(3+3)-f(3)\)
\(=f(6)-f(3)\)
\(=18-4.5\) ➜ \((2)\) ও \((3)\) হতে, \(\because f(6)=18, f(3)=4.5\)
\(=13.5\)
আবার,
আমরা জানি,
\(f^{\prime}(x)=\frac{dy}{dx}\)
\(\Rightarrow dy=f^{\prime}(x)dx\)
\(x=3, dx=3\) হলে,
\(=f^{\prime}(3)\times{3}\)
\(=3\times{3}\) ➜ \((5)\) হতে, \(\because f^{\prime}(3)=3\) এবং \(dx=3\)
\(=9\)
অনুশীলনী \(9.I / Q.4\)-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমুহ
\(Q.4.(i)\) \(f(x)=x+\frac{1}{x}\) এবং \(g(x)=x^2\)
\((a)\) \(f(x)=x^{\cos^{-1}{x}}\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{\cos^{-1}{x}}\left(\frac{\cos^{-1}{x}}{x}-\frac{\ln{x}}{\sqrt{1-x^2}}\right)\)
[ কুঃ২০১৩; যঃ২০১০,২০১৪; সিঃ২০০৮; ঢাঃ২০১৩; রাঃ২০১০,২০১৪; বঃ২০১০; চঃ২০১৪ ]
\((b)\) দেখাও যে, \(f(x)\) এর গুরুমান তার লঘুমান অপেক্ষা ক্ষুদ্রুতর।
[ কুঃ২০০৮; বঃ২০০৯; যঃ২০১০,২০১২; সিঃ ২০১০,২০১৪ ]
\((c)\) \(g(x)\) এর স্কেচ অঙ্কন কর এবং তাতে \(\delta{y}\) ও \(dy\) চিহ্নিত কর।
\(Q.4.(ii)\) \(y(x-2)(x-3)-x+7=0 .....(1)\) এবং \(y=\sqrt{(4+3\sin{x})} ....(2)\)
\((a)\) \(x=1\) ও \(\delta{x}=dy=1\) হলে, \(f(x)=x+\frac{1}{x}\)এর জন্য \(\delta{y}\) ও \(dy\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\delta{y}=\frac{1}{2}, dy=0\)
\((b)\) \((2)\) এর সাহায্যে দেখাও যে, \(2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+y^2=4\)
[ যঃ২০১৩; কুঃ২০১১,২০১৪; চঃ২০১০; ঢাঃ২০০৮; রাঃ,সিঃ২০১২; দিঃ২০১১ ]
\((c)\) \((1)\) যে সমস্ত বিন্দুতে \(x\) অক্ষকে ছেদ করে, ঐ বিন্দুগুলোতে স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-20y-7=0, 20x+y-140=0\)
[ ঢাঃ ২০০৯; যঃ,চঃ২০১০; দিঃ২০১১; কুঃ২০১৪ ]
\(Q.4.(iii)\) \[L_{1}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan{x}-\sin{x}}{x^3}, \ L_{2}=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2(2+\sin^2{x})}{x+100}\]
\((a)\) \(x^{2}\sin^{-1}{(1-x)}\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x\sin^{-1} (1-x)-\frac{x^2}{\sqrt{2x-x^2}}\)
[ বঃ২০০৮; ঢাঃ২০১৪; দিঃ২০১২ ]
\((b)\) \(L_{1}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
[ রাঃ২০০৯; বঃ২০১১,২০১৪; কুঃ২০১০; সিঃ২০০৯; মাঃ ২০১৩ ]
\((c)\) স্যান্ডউইস উপপাদ্যের সাহায্যে \(L_{2}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ বিদ্যমান নেই।
\(Q.4.(iv)\) \(f(x)=17-15x+9x^2-x^3\) একটি ফাংশন।
\((a)\) \(x=1\) বিন্দুর সন্নিকটে \(g(x)=x+\frac{1}{x}\) এর যোগাশ্রয়ী আসন্নমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2\)
\((b)\) \(f(x)\) কোন ব্যবধিতে হ্রাস পায় এবং কোন ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1>x>-\infty\) ব্যবধিতে হ্রাস পায় , \(5>x>1\) ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায়।
\((c)\) \(f(x)\) এর সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বোচ্চ মান \(=42\), সর্বনিম্ন মান \(=10\),
\(Q.4.(v)\) নিচের রাশি দুইটি লক্ষ কর।
\((1)\) \(y=(\cos^{-1}{x})^2\), \((2)\) \(\frac{x}{\ln{x}}\)
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{7x}}{2x^2}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{49}{4}\)
\((b)\) \((1)\) এর ক্ষেত্রে দেখাও যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}=2\).
\((c)\) দেখাও যে, \((2)\) রাশির সর্বনিম্ন মান \(e\).
\(Q.4.(vi)\) নিচের ফাংশন দুইটি লক্ষ কর।
\[f(x)=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\cos{2x}-\cos{3x}}{x^2}\]
\[g(x)=\lim_{x \rightarrow a}\frac{x^{\frac{5}{2}}-a^{\frac{5}{2}}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}\]
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\ln{(1+x)}}{x}\] এর মান কত?
উত্তরঃ \(1\)
\((b)\) \(f(x)\) এর সীমা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{5}{2}\)
\((c)\) দেখাও যে, \(g(x)=5a^2\)
\(Q.4.(vii)\) নিচের উদ্দীপকটি লক্ষ কর এবং প্রশ্নগুলির উত্তর দাও।
\((1)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{7x}}{3x^2}\]
\((2)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan{x}-\sin{x}}{x^3}\]
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^{x}-e^{-x}}{x}=\] কত?
উত্তরঃ \(2\)
\((b)\) \((1)\) এর সীমা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{49}{6}\)
\((c)\) দেখাও যে, \((2)\) এর মান \(\frac{1}{2}\).
\(Q.4.(viii)\) নিচের ফাংশন দুইটি লক্ষ করঃ
\(f(x)=\frac{\tan{x}-\sin{x}}{\sin^3{x}}\)
\(g(\theta)=\frac{\sec^3{\theta}-\tan^3{\theta}}{\tan{\theta}}\)
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{(2x)^2}}{x}\] সমান কত?
উত্তরঃ \(0\)
\((b)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}f(x)\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
\((c)\) দেখাও যে, \[\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}g(\theta)=\frac{3}{2}\].
\(Q.4.(ix)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}x^2\cos{\left(\frac{1}{x}\right)}=0\]
\((a)\) স্যান্ডউইচ উপপাদ্যটি লিখ।
\((b)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}2^{x}\sin{\left(\frac{b}{2^{x}}\right)}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(b\)
\((c)\) স্যান্ডউইচ উপপাদ্য অনুসারে
দেখাও যে, \[\lim_{x \rightarrow 0}x^2\cos{\left(\frac{1}{x}\right)}=0\].
\(Q.4.(x)\) \(f(x)=\cos{2x}\), \(g(x)=\frac{\cos{x}-\cos{2x}}{1-\cos{x}}\) এবং \(y=(\cos^{-1}{x})^2\)
\((a)\) মূলনিয়মের সাহায্যে দেখাও যে, \(f^{\prime}(x)=-2\sin{2x}\).
\((b)\) \(g^{\prime}(x)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-2\sin x\)
\((c)\) দেখাও যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}=2\)
\(Q.4.(xi)\) নিচের ফাংশনগুলি লক্ষ করঃ
\((1) \ y=\log_a{x}\)
\((2) \ f(x)=2x^{o}\cos{3x^{o}}\)
\((3) \ g(x)=\tan^{-1}{\sqrt{\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}}}\)
\((4) \ y=ax^2+bx^{-\frac{1}{2}}\)
\((a)\) মূলনিয়মের সাহায্যে দেখাও যে, \(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}\log_{a}e\).
\((b)\) \(f^{\prime}(x)\) ও \(g^{\prime}(x)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{90}\left(\cos \frac{\pi x}{60}-\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}\right)\); \(\frac{1}{2}\)
\((c)\) দেখাও যে, \(2x^2y_{2}-xy_{1}-2y=0\)
\(Q.4.(xii)\) নিচের ফাংশনগুলি লক্ষ করঃ
\((1) \ f(x)=x\cos^{-1}{x}\)
\((2) \ x^y=y^x\)
\((3) \ y=x^2+\sqrt{1-x^2}\)
\((a)\) \(y=3x^2+2x-1\) বক্ররেখার \((-1, 0)\) বিন্দুতে ঢাল কত?
উত্তরঃ \(8\)
\((b)\) \(f^{\prime}(x)\) নির্ণয় কর এবং \((2) \) ব্যবহার করে দেখাও যে, \(\frac{dy}{dx}=\frac{y(x\ln{y}-y)}{x(y\ln{x}-x)}\).
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{x}-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
\((c)\) \((3)\) নং এ উল্লেখিত বক্ররেখার যে সমস্ত বিন্দুতে স্পর্শক \(x\) অক্ষের উপর লম্ব তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((1, 1); (-1, 1)\)
\(Q.4.(xiii)\) নিচের ফাংশন তিনটি লক্ষ করঃ
\((1) \ f(x)=4e^x+9e^{-x}\)
\((2) \ y=\sqrt{4+3\sin{x}}\)
\((3) \ g(x)=\sin^2{(\ln{x^2})}\)
\((a)\) \(g^{\prime}(x)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{2}{x}\sin 4\ln (x)\)
\((b)\) দেখাও যে, \(2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+y^2=4 \).
\((c)\) \(f(x)\) এর লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(12\)
\(Q.4.(xiv)\) \(f(x)=e^x\) এবং \(g(x)=\cos{x}\)
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin{x}}-\frac{1}{\tan{x}}\right)\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(0\)
\((b)\) \(y=\{f(x)+f(-x)\}g\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(y_{4}+4y=0\).
\((c)\) দেখাও যে, \(4f(x)+9f(-x)\) এর ক্ষুদ্রতম মান \(12\).
\(Q.4.(xv)\) \(\phi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) এবং \(\psi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) ফাংশন দুইটি \(\phi(x)=\sin{x}\) এবং \(\psi(x)=\cos{x}\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত।
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\psi(x)}{x}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(0\)
\((b)\) মূল নিয়মে \(\psi(2x)\) এর অন্তরীকরণ কর।
উত্তরঃ \(-2\sin 2x\)
\((c)\) \(y=1+2\phi(x)+3\{\psi(x)\}^2, \ \left(0\le{x}\le{\frac{\pi}{2}}\right)\) ফাংশনটির বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক্ষুদ্রতম মান \(=0\), বৃহত্তমমান \(=4\frac{1}{3}\).
\((a)\) \(f(x)=x^{\cos^{-1}{x}}\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{\cos^{-1}{x}}\left(\frac{\cos^{-1}{x}}{x}-\frac{\ln{x}}{\sqrt{1-x^2}}\right)\)
[ কুঃ২০১৩; যঃ২০১০,২০১৪; সিঃ২০০৮; ঢাঃ২০১৩; রাঃ২০১০,২০১৪; বঃ২০১০; চঃ২০১৪ ]
\((b)\) দেখাও যে, \(f(x)\) এর গুরুমান তার লঘুমান অপেক্ষা ক্ষুদ্রুতর।
[ কুঃ২০০৮; বঃ২০০৯; যঃ২০১০,২০১২; সিঃ ২০১০,২০১৪ ]
\((c)\) \(g(x)\) এর স্কেচ অঙ্কন কর এবং তাতে \(\delta{y}\) ও \(dy\) চিহ্নিত কর।
\(Q.4.(ii)\) \(y(x-2)(x-3)-x+7=0 .....(1)\) এবং \(y=\sqrt{(4+3\sin{x})} ....(2)\)
\((a)\) \(x=1\) ও \(\delta{x}=dy=1\) হলে, \(f(x)=x+\frac{1}{x}\)এর জন্য \(\delta{y}\) ও \(dy\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\delta{y}=\frac{1}{2}, dy=0\)
\((b)\) \((2)\) এর সাহায্যে দেখাও যে, \(2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+y^2=4\)
[ যঃ২০১৩; কুঃ২০১১,২০১৪; চঃ২০১০; ঢাঃ২০০৮; রাঃ,সিঃ২০১২; দিঃ২০১১ ]
\((c)\) \((1)\) যে সমস্ত বিন্দুতে \(x\) অক্ষকে ছেদ করে, ঐ বিন্দুগুলোতে স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-20y-7=0, 20x+y-140=0\)
[ ঢাঃ ২০০৯; যঃ,চঃ২০১০; দিঃ২০১১; কুঃ২০১৪ ]
\(Q.4.(iii)\) \[L_{1}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan{x}-\sin{x}}{x^3}, \ L_{2}=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2(2+\sin^2{x})}{x+100}\]
\((a)\) \(x^{2}\sin^{-1}{(1-x)}\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x\sin^{-1} (1-x)-\frac{x^2}{\sqrt{2x-x^2}}\)
[ বঃ২০০৮; ঢাঃ২০১৪; দিঃ২০১২ ]
\((b)\) \(L_{1}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
[ রাঃ২০০৯; বঃ২০১১,২০১৪; কুঃ২০১০; সিঃ২০০৯; মাঃ ২০১৩ ]
\((c)\) স্যান্ডউইস উপপাদ্যের সাহায্যে \(L_{2}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ বিদ্যমান নেই।
\(Q.4.(iv)\) \(f(x)=17-15x+9x^2-x^3\) একটি ফাংশন।
\((a)\) \(x=1\) বিন্দুর সন্নিকটে \(g(x)=x+\frac{1}{x}\) এর যোগাশ্রয়ী আসন্নমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2\)
\((b)\) \(f(x)\) কোন ব্যবধিতে হ্রাস পায় এবং কোন ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1>x>-\infty\) ব্যবধিতে হ্রাস পায় , \(5>x>1\) ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায়।
\((c)\) \(f(x)\) এর সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বোচ্চ মান \(=42\), সর্বনিম্ন মান \(=10\),
\(Q.4.(v)\) নিচের রাশি দুইটি লক্ষ কর।
\((1)\) \(y=(\cos^{-1}{x})^2\), \((2)\) \(\frac{x}{\ln{x}}\)
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{7x}}{2x^2}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{49}{4}\)
\((b)\) \((1)\) এর ক্ষেত্রে দেখাও যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}=2\).
\((c)\) দেখাও যে, \((2)\) রাশির সর্বনিম্ন মান \(e\).
\(Q.4.(vi)\) নিচের ফাংশন দুইটি লক্ষ কর।
\[f(x)=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\cos{2x}-\cos{3x}}{x^2}\]
\[g(x)=\lim_{x \rightarrow a}\frac{x^{\frac{5}{2}}-a^{\frac{5}{2}}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}\]
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\ln{(1+x)}}{x}\] এর মান কত?
উত্তরঃ \(1\)
\((b)\) \(f(x)\) এর সীমা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{5}{2}\)
\((c)\) দেখাও যে, \(g(x)=5a^2\)
\(Q.4.(vii)\) নিচের উদ্দীপকটি লক্ষ কর এবং প্রশ্নগুলির উত্তর দাও।
\((1)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{7x}}{3x^2}\]
\((2)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan{x}-\sin{x}}{x^3}\]
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^{x}-e^{-x}}{x}=\] কত?
উত্তরঃ \(2\)
\((b)\) \((1)\) এর সীমা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{49}{6}\)
\((c)\) দেখাও যে, \((2)\) এর মান \(\frac{1}{2}\).
\(Q.4.(viii)\) নিচের ফাংশন দুইটি লক্ষ করঃ
\(f(x)=\frac{\tan{x}-\sin{x}}{\sin^3{x}}\)
\(g(\theta)=\frac{\sec^3{\theta}-\tan^3{\theta}}{\tan{\theta}}\)
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{(2x)^2}}{x}\] সমান কত?
উত্তরঃ \(0\)
\((b)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}f(x)\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
\((c)\) দেখাও যে, \[\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}g(\theta)=\frac{3}{2}\].
\(Q.4.(ix)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}x^2\cos{\left(\frac{1}{x}\right)}=0\]
\((a)\) স্যান্ডউইচ উপপাদ্যটি লিখ।
\((b)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}2^{x}\sin{\left(\frac{b}{2^{x}}\right)}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(b\)
\((c)\) স্যান্ডউইচ উপপাদ্য অনুসারে
দেখাও যে, \[\lim_{x \rightarrow 0}x^2\cos{\left(\frac{1}{x}\right)}=0\].
\(Q.4.(x)\) \(f(x)=\cos{2x}\), \(g(x)=\frac{\cos{x}-\cos{2x}}{1-\cos{x}}\) এবং \(y=(\cos^{-1}{x})^2\)
\((a)\) মূলনিয়মের সাহায্যে দেখাও যে, \(f^{\prime}(x)=-2\sin{2x}\).
\((b)\) \(g^{\prime}(x)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-2\sin x\)
\((c)\) দেখাও যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}=2\)
\(Q.4.(xi)\) নিচের ফাংশনগুলি লক্ষ করঃ
\((1) \ y=\log_a{x}\)
\((2) \ f(x)=2x^{o}\cos{3x^{o}}\)
\((3) \ g(x)=\tan^{-1}{\sqrt{\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}}}\)
\((4) \ y=ax^2+bx^{-\frac{1}{2}}\)
\((a)\) মূলনিয়মের সাহায্যে দেখাও যে, \(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}\log_{a}e\).
\((b)\) \(f^{\prime}(x)\) ও \(g^{\prime}(x)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{90}\left(\cos \frac{\pi x}{60}-\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}\right)\); \(\frac{1}{2}\)
\((c)\) দেখাও যে, \(2x^2y_{2}-xy_{1}-2y=0\)
\(Q.4.(xii)\) নিচের ফাংশনগুলি লক্ষ করঃ
\((1) \ f(x)=x\cos^{-1}{x}\)
\((2) \ x^y=y^x\)
\((3) \ y=x^2+\sqrt{1-x^2}\)
\((a)\) \(y=3x^2+2x-1\) বক্ররেখার \((-1, 0)\) বিন্দুতে ঢাল কত?
উত্তরঃ \(8\)
\((b)\) \(f^{\prime}(x)\) নির্ণয় কর এবং \((2) \) ব্যবহার করে দেখাও যে, \(\frac{dy}{dx}=\frac{y(x\ln{y}-y)}{x(y\ln{x}-x)}\).
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{x}-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
\((c)\) \((3)\) নং এ উল্লেখিত বক্ররেখার যে সমস্ত বিন্দুতে স্পর্শক \(x\) অক্ষের উপর লম্ব তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((1, 1); (-1, 1)\)
\(Q.4.(xiii)\) নিচের ফাংশন তিনটি লক্ষ করঃ
\((1) \ f(x)=4e^x+9e^{-x}\)
\((2) \ y=\sqrt{4+3\sin{x}}\)
\((3) \ g(x)=\sin^2{(\ln{x^2})}\)
\((a)\) \(g^{\prime}(x)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{2}{x}\sin 4\ln (x)\)
\((b)\) দেখাও যে, \(2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+y^2=4 \).
\((c)\) \(f(x)\) এর লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(12\)
\(Q.4.(xiv)\) \(f(x)=e^x\) এবং \(g(x)=\cos{x}\)
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin{x}}-\frac{1}{\tan{x}}\right)\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(0\)
\((b)\) \(y=\{f(x)+f(-x)\}g\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(y_{4}+4y=0\).
\((c)\) দেখাও যে, \(4f(x)+9f(-x)\) এর ক্ষুদ্রতম মান \(12\).
\(Q.4.(xv)\) \(\phi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) এবং \(\psi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) ফাংশন দুইটি \(\phi(x)=\sin{x}\) এবং \(\psi(x)=\cos{x}\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত।
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\psi(x)}{x}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(0\)
\((b)\) মূল নিয়মে \(\psi(2x)\) এর অন্তরীকরণ কর।
উত্তরঃ \(-2\sin 2x\)
\((c)\) \(y=1+2\phi(x)+3\{\psi(x)\}^2, \ \left(0\le{x}\le{\frac{\pi}{2}}\right)\) ফাংশনটির বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক্ষুদ্রতম মান \(=0\), বৃহত্তমমান \(=4\frac{1}{3}\).
\(Q.4.(xvi)\) \(f(x)=3x^3-6x^2+3x+1\) এবং \(g(x)=b\cos{\ln{x}}+d\sin{\ln{x}}\).
\((a)\) \(y=x^2+\sqrt{1-x^2}\) বক্ররেখাটির উপর যে সকল বিন্দুতে স্পর্শক \(x\)অক্ষের উপর লম্ব, তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((1, 1); (-1, 1)\)
\((b)\) প্রমাণ কর যে, \(x^2g_{2}(x)+xg_{1}(x)+g(x)=0\).
\((c)\) \(f(x)\) এর চরম মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক্ষুদ্রতম মান \(=1\), বৃহত্তমমান \(=\frac{13}{9}\).
\(Q.4.(xvii)\) \(f(x)=\cos{x}\) এবং \(g(x)=\sin{x}\).
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow y}\frac{g(x)-g(y)}{x-y}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\cos y\)
\((b)\) মূল নিয়মে \(f(x)\) এর অন্তরক সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\sin x\)
\((c)\) \(x\) এর সাপেক্ষে \(\{f(x)\}^{g(x)}\) এর অন্তরক সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((\cos{x})^{\sin{x}}\left(\cos{x}\ln{\cos{x}}-\sin^2{x} \sec{x}\right)\)
\(Q.4.(xviii)\) \(g(x)=9e^{x}+16e^{-x}\) এবং \(y=\sqrt{2+5\sin{x}}\).
\((a)\) \(x\) এর সাপেক্ষে \((1+x)^x\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((1+x)^{x}\left(\frac{x}{1+x}+\ln{(1+x)}\right)\).
\((b)\) প্রমান কর যে, \(2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+y^2=2 \).
\((c)\) প্রমান কর যে, \(g(x)\) এর ক্ষুদ্রতম মান \(24\).
\(Q.4.(xix)\) \(f(x)=\ln{x}\)
\((a)\) \(2x^{o}\cos{3x^{o}}\) কে \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{90}\left(\cos \frac{\pi x}{60}-\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}\right)\)
\((b)\) মূল নিয়মে দেখাও যে, \(\frac{d}{dx}\{f(x)\}=\frac{1}{x}\).
\((c)\) \(y=a\cos{\{f(x)\}}+b\sin{\{f(x)\}}\) হলে, দেখাও যে, \(x^2y_{2}+xy_{1}+y=0\).
\(Q.4.(xx)\) বক্ররেখা - \(x^3+xy^2-3x^2+4x+5y+2=0 ....(1)\) এবং \(g(x)=\ln{(2x)}\).
\((a)\) \(\ln{(xy)}=x+y \) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{y(x-1)}{x(1-y)}\)
\((b)\) মূল নিয়মে \(x\) এর সাপেক্ষে \(g(x)\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{x}\)
\((c)\) \((1)\) নং বক্ররেখার \((1, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ স্পর্শকের সমীকরণ \(2x+3y+1=0\), অভিলম্বের সমীকরণ \(3x-2y-5=0\)
\(Q.4.(xxi)\) \(A=2x^{o}\cos{3x^{o}}, y=ax^2+\frac{b}{\sqrt{x}}\) এবং \(f(x)=\ln{x}\).
\((a)\) \(\frac{d}{dx}A\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{90}\left(\cos \frac{\pi x}{60}-\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}\right)\)
\((b)\) প্রমান কর যে, \(2x^2y_{2}-xy_{1}-2y=0 \).
\((c)\) দেখাও যে, \(\frac{f(2x)}{x}\) এর বৃহত্তম মান \(\frac{2}{e}\).
\(Q.4.(xxii)\) \(f(u)=\ln{u}\) একটি লগারিদমিক ফাংশন এবং \(g(v)=p\sin^{-1}{v}\) একটি বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশন।
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow a}\frac{x^{\frac{5}{2}}-a^{\frac{5}{2}}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5a^2\)
\((b)\) মূল নিয়মে \(x\) এর সাপেক্ষে \(f(x)\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{x}\)
\((c)\) \(f(y)=g(x)\) হলে, দেখাও যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}-p^2y=0\).
\(Q.4.(xxiii)\) \(f(x)=x+\sqrt{a^2+x^2}\), \(\phi(x)=\ln{x}\) দুইটি ফাংশন।
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow a}\frac{1-\cos{(a+b)x}}{mx^2}=\] কত?
উত্তরঃ \(\frac{(a+b)^2}{2m}\)
\((b)\) \(y=\ln{\{f(x)\}}\) হলে, প্রমাণ যে, \((a^2+x^2)y_{2}+xy_{1}=0\).
\((c)\) দেখাও যে, \(\frac{\phi(x)}{x}\) এর সর্বোচ্চ মান \(\frac{1}{e}\).
\(Q.4.(xxiv)\) \(f(x)=\ln{x}\) এবং \(g(x)=\cos^{-1}{\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)}\).
\((a)\) \(x^2-2xy+y^2=5\) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1\)
\((b)\) \(y=e^{g(x)}\) হলে, প্রমাণ যে, \((1+x^2)y_{2}+2(x-1)y_{1}=0\).
\((c)\) \(\frac{f(x)}{x}\) এর বৃহত্তম মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{e}\)
\(Q.4.(xxv)\) \(f(x)=x^3-5x^2+3x+2\) একটি বক্ররেখা।
\((a)\) \(y=x^{x}\) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{x}(1+\ln{x})\)
\((b)\) প্রদত্ত বক্ররেখার \((4, 3)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y=11x-41\)
\((c)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত ফাংশনের গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \(=-7\) ; গুরুমান \(\frac{67}{27}\)
\(Q.4.(xxvi)\) \(f(x)=3x^3-6x^2-5x+2\) এবং \(g(x, y)=x^2+y^2-4x-6y+11\)
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{x}}{2x^2}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{4}\)
\((b)\) \(x\) এর কোন মানের জন্য \(f(x)\) ফাংশনটির মান সর্বোচ্চ?
উত্তরঃ \(x=-\frac{1}{3}\)
\((c)\) \((1, 2)\) বিন্দুতে \(g(x, y)\) এর স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+y-3=0\)
\(Q.4.(xxvii)\)
\((1) \ f(x)=\cot{x}\)
\((2) \ y=px^2+qx^{-\frac{1}{2}}\) এবং
\((3) \ g(x)=x^3-3x^2+6x+3\)
\((a)\) মূল নিয়মে \(f(x)\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-cosec^2{x}\)
\((b)\) দেখাও যে, \(x^2y_{2}-xy_{1}-2y=0\).
\((c)\) দেখাও যে, \(g(x)\) এর সর্বোচ্চ অথবা সর্বনিম্ন মান নেই।
\(Q.4.(xxviii)\) \(y=\sqrt{4+3\sin{x}}\) একটি ফাংশন এবং \(y=x^3-3x^2-2x+1\) একটি বক্ররেখার সমীকরণ।
\((a)\) \(x\) এর সাপেক্ষে \(2x^{o}\cos^3{x^{o}}\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{360}\left(3\cos{\frac{\pi x}{180}}+\cos{\frac{\pi x}{60}}-\frac{\pi}{60}x\sin{\frac{\pi x}{180}}-\frac{\pi}{60}x\sin{\frac{\pi x}{60}}\right)\)
\((b)\) প্রথম ফাংশন থেকে প্রমাণ কর যে, \(2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+y^2=4\).
\((c)\) বক্ররেখার যে সকল বিন্দুতে স্পর্শকগুলি অক্ষদ্বয়ের সাথে সমান সমান কোণ উৎপন্ন করে, তাদের ভুজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ভুজদ্বয় \(1\pm \sqrt{2}; 1\pm \frac{2}{\sqrt{3}}\)
\(Q.4.(xxix)\) \(x^3+xy^2-3x^2+4x+5y+2=0\) একটি বক্ররেখার সমীকরণ।
\((a)\) \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{6x-3x^2-y^2-4}{2xy+5}\)
\((b)\) \((1, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x+3y+1=0\)
\((c)\) \((0, -1)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-y-1=0\)
\(Q.4.(xxx)\) \(x=\cos{\sqrt{y}}\) এবং \(x^2+2ax+y^2=0\)
\((a)\) \[\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{\sec^3{\theta}-\tan^3{\theta}}{\tan{\theta}}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{3}{2}\)
\((b)\) ১ম উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, \((1-x^x)y_{2}-xy_{1}-2=0\).
\((c)\) দ্বিতীয় উদ্দীপকের যে সকল বিন্দুতে স্পর্শকগুলো \(x\) অক্ষের উপর লম্ব তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((0, 0); (-2a, 0)\)
\(Q.4.(xxxi)\) \(f(x)=\sin{x}\)
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{7x}}{3x^2}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{49}{6}\)
\((b)\) মূল নিয়মে \(f(2x)\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2\cos 2x\)
\((c)\) \(y=f(m\sin^{-1}{x})\) হলে, দেখাও যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}+m^2y=0\).
\((a)\) \(y=x^2+\sqrt{1-x^2}\) বক্ররেখাটির উপর যে সকল বিন্দুতে স্পর্শক \(x\)অক্ষের উপর লম্ব, তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((1, 1); (-1, 1)\)
\((b)\) প্রমাণ কর যে, \(x^2g_{2}(x)+xg_{1}(x)+g(x)=0\).
\((c)\) \(f(x)\) এর চরম মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক্ষুদ্রতম মান \(=1\), বৃহত্তমমান \(=\frac{13}{9}\).
\(Q.4.(xvii)\) \(f(x)=\cos{x}\) এবং \(g(x)=\sin{x}\).
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow y}\frac{g(x)-g(y)}{x-y}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\cos y\)
\((b)\) মূল নিয়মে \(f(x)\) এর অন্তরক সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\sin x\)
\((c)\) \(x\) এর সাপেক্ষে \(\{f(x)\}^{g(x)}\) এর অন্তরক সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((\cos{x})^{\sin{x}}\left(\cos{x}\ln{\cos{x}}-\sin^2{x} \sec{x}\right)\)
\(Q.4.(xviii)\) \(g(x)=9e^{x}+16e^{-x}\) এবং \(y=\sqrt{2+5\sin{x}}\).
\((a)\) \(x\) এর সাপেক্ষে \((1+x)^x\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((1+x)^{x}\left(\frac{x}{1+x}+\ln{(1+x)}\right)\).
\((b)\) প্রমান কর যে, \(2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+y^2=2 \).
\((c)\) প্রমান কর যে, \(g(x)\) এর ক্ষুদ্রতম মান \(24\).
\(Q.4.(xix)\) \(f(x)=\ln{x}\)
\((a)\) \(2x^{o}\cos{3x^{o}}\) কে \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{90}\left(\cos \frac{\pi x}{60}-\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}\right)\)
\((b)\) মূল নিয়মে দেখাও যে, \(\frac{d}{dx}\{f(x)\}=\frac{1}{x}\).
\((c)\) \(y=a\cos{\{f(x)\}}+b\sin{\{f(x)\}}\) হলে, দেখাও যে, \(x^2y_{2}+xy_{1}+y=0\).
\(Q.4.(xx)\) বক্ররেখা - \(x^3+xy^2-3x^2+4x+5y+2=0 ....(1)\) এবং \(g(x)=\ln{(2x)}\).
\((a)\) \(\ln{(xy)}=x+y \) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{y(x-1)}{x(1-y)}\)
\((b)\) মূল নিয়মে \(x\) এর সাপেক্ষে \(g(x)\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{x}\)
\((c)\) \((1)\) নং বক্ররেখার \((1, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ স্পর্শকের সমীকরণ \(2x+3y+1=0\), অভিলম্বের সমীকরণ \(3x-2y-5=0\)
\(Q.4.(xxi)\) \(A=2x^{o}\cos{3x^{o}}, y=ax^2+\frac{b}{\sqrt{x}}\) এবং \(f(x)=\ln{x}\).
\((a)\) \(\frac{d}{dx}A\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{90}\left(\cos \frac{\pi x}{60}-\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}\right)\)
\((b)\) প্রমান কর যে, \(2x^2y_{2}-xy_{1}-2y=0 \).
\((c)\) দেখাও যে, \(\frac{f(2x)}{x}\) এর বৃহত্তম মান \(\frac{2}{e}\).
\(Q.4.(xxii)\) \(f(u)=\ln{u}\) একটি লগারিদমিক ফাংশন এবং \(g(v)=p\sin^{-1}{v}\) একটি বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশন।
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow a}\frac{x^{\frac{5}{2}}-a^{\frac{5}{2}}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5a^2\)
\((b)\) মূল নিয়মে \(x\) এর সাপেক্ষে \(f(x)\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{x}\)
\((c)\) \(f(y)=g(x)\) হলে, দেখাও যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}-p^2y=0\).
\(Q.4.(xxiii)\) \(f(x)=x+\sqrt{a^2+x^2}\), \(\phi(x)=\ln{x}\) দুইটি ফাংশন।
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow a}\frac{1-\cos{(a+b)x}}{mx^2}=\] কত?
উত্তরঃ \(\frac{(a+b)^2}{2m}\)
\((b)\) \(y=\ln{\{f(x)\}}\) হলে, প্রমাণ যে, \((a^2+x^2)y_{2}+xy_{1}=0\).
\((c)\) দেখাও যে, \(\frac{\phi(x)}{x}\) এর সর্বোচ্চ মান \(\frac{1}{e}\).
\(Q.4.(xxiv)\) \(f(x)=\ln{x}\) এবং \(g(x)=\cos^{-1}{\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)}\).
\((a)\) \(x^2-2xy+y^2=5\) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1\)
\((b)\) \(y=e^{g(x)}\) হলে, প্রমাণ যে, \((1+x^2)y_{2}+2(x-1)y_{1}=0\).
\((c)\) \(\frac{f(x)}{x}\) এর বৃহত্তম মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{e}\)
\(Q.4.(xxv)\) \(f(x)=x^3-5x^2+3x+2\) একটি বক্ররেখা।
\((a)\) \(y=x^{x}\) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{x}(1+\ln{x})\)
\((b)\) প্রদত্ত বক্ররেখার \((4, 3)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y=11x-41\)
\((c)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত ফাংশনের গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \(=-7\) ; গুরুমান \(\frac{67}{27}\)
\(Q.4.(xxvi)\) \(f(x)=3x^3-6x^2-5x+2\) এবং \(g(x, y)=x^2+y^2-4x-6y+11\)
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{x}}{2x^2}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{4}\)
\((b)\) \(x\) এর কোন মানের জন্য \(f(x)\) ফাংশনটির মান সর্বোচ্চ?
উত্তরঃ \(x=-\frac{1}{3}\)
\((c)\) \((1, 2)\) বিন্দুতে \(g(x, y)\) এর স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+y-3=0\)
\(Q.4.(xxvii)\)
\((1) \ f(x)=\cot{x}\)
\((2) \ y=px^2+qx^{-\frac{1}{2}}\) এবং
\((3) \ g(x)=x^3-3x^2+6x+3\)
\((a)\) মূল নিয়মে \(f(x)\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-cosec^2{x}\)
\((b)\) দেখাও যে, \(x^2y_{2}-xy_{1}-2y=0\).
\((c)\) দেখাও যে, \(g(x)\) এর সর্বোচ্চ অথবা সর্বনিম্ন মান নেই।
\(Q.4.(xxviii)\) \(y=\sqrt{4+3\sin{x}}\) একটি ফাংশন এবং \(y=x^3-3x^2-2x+1\) একটি বক্ররেখার সমীকরণ।
\((a)\) \(x\) এর সাপেক্ষে \(2x^{o}\cos^3{x^{o}}\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{360}\left(3\cos{\frac{\pi x}{180}}+\cos{\frac{\pi x}{60}}-\frac{\pi}{60}x\sin{\frac{\pi x}{180}}-\frac{\pi}{60}x\sin{\frac{\pi x}{60}}\right)\)
\((b)\) প্রথম ফাংশন থেকে প্রমাণ কর যে, \(2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+y^2=4\).
\((c)\) বক্ররেখার যে সকল বিন্দুতে স্পর্শকগুলি অক্ষদ্বয়ের সাথে সমান সমান কোণ উৎপন্ন করে, তাদের ভুজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ভুজদ্বয় \(1\pm \sqrt{2}; 1\pm \frac{2}{\sqrt{3}}\)
\(Q.4.(xxix)\) \(x^3+xy^2-3x^2+4x+5y+2=0\) একটি বক্ররেখার সমীকরণ।
\((a)\) \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{6x-3x^2-y^2-4}{2xy+5}\)
\((b)\) \((1, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x+3y+1=0\)
\((c)\) \((0, -1)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-y-1=0\)
\(Q.4.(xxx)\) \(x=\cos{\sqrt{y}}\) এবং \(x^2+2ax+y^2=0\)
\((a)\) \[\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{\sec^3{\theta}-\tan^3{\theta}}{\tan{\theta}}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{3}{2}\)
\((b)\) ১ম উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, \((1-x^x)y_{2}-xy_{1}-2=0\).
\((c)\) দ্বিতীয় উদ্দীপকের যে সকল বিন্দুতে স্পর্শকগুলো \(x\) অক্ষের উপর লম্ব তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((0, 0); (-2a, 0)\)
\(Q.4.(xxxi)\) \(f(x)=\sin{x}\)
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{7x}}{3x^2}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{49}{6}\)
\((b)\) মূল নিয়মে \(f(2x)\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2\cos 2x\)
\((c)\) \(y=f(m\sin^{-1}{x})\) হলে, দেখাও যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}+m^2y=0\).
\(Q.4.(i)\) \(f(x)=x+\frac{1}{x}\) এবং \(g(x)=x^2\)
\((a)\) \(f(x)=x^{\cos^{-1}{x}}\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{\cos^{-1}{x}}\left(\frac{\cos^{-1}{x}}{x}-\frac{\ln{x}}{\sqrt{1-x^2}}\right)\)
[ কুঃ২০১৩; যঃ২০১০,২০১৪; সিঃ২০০৮; ঢাঃ২০১৩; রাঃ২০১০,২০১৪; বঃ২০১০; চঃ২০১৪ ]
\((b)\) দেখাও যে, \(f(x)\) এর গুরুমান তার লঘুমান অপেক্ষা ক্ষুদ্রুতর।
[ কুঃ২০০৮; বঃ২০০৯; যঃ২০১০,২০১২; সিঃ ২০১০,২০১৪ ]
\((c)\) \(g(x)\) এর স্কেচ অঙ্কন কর এবং তাতে \(\delta{y}\) ও \(dy\) চিহ্নিত কর।
\((a)\) \(f(x)=x^{\cos^{-1}{x}}\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{\cos^{-1}{x}}\left(\frac{\cos^{-1}{x}}{x}-\frac{\ln{x}}{\sqrt{1-x^2}}\right)\)
[ কুঃ২০১৩; যঃ২০১০,২০১৪; সিঃ২০০৮; ঢাঃ২০১৩; রাঃ২০১০,২০১৪; বঃ২০১০; চঃ২০১৪ ]
\((b)\) দেখাও যে, \(f(x)\) এর গুরুমান তার লঘুমান অপেক্ষা ক্ষুদ্রুতর।
[ কুঃ২০০৮; বঃ২০০৯; যঃ২০১০,২০১২; সিঃ ২০১০,২০১৪ ]
\((c)\) \(g(x)\) এর স্কেচ অঙ্কন কর এবং তাতে \(\delta{y}\) ও \(dy\) চিহ্নিত কর।
সমাধানঃ
উদ্দীপক,
\(f(x)=x+\frac{1}{x}\) এবং \(g(x)=x^2\)
\((a)\)
ধরি,
\(y=f(x)=x^{\cos^{-1}{x}}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^{\cos^{-1}{x}})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=x^{\cos^{-1}{x}}\left(\frac{\cos^{-1}{x}}{x}\frac{d}{dx}(x)+\ln{x}\frac{d}{dx}(\cos^{-1}{x})\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u^v)=u^v\left(\frac{v}{u}\frac{d}{dx}(u)+\ln{u}\frac{d}{dx}(v)\right)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=x^{\cos^{-1}{x}}\left(\frac{\cos^{-1}{x}}{x}.1+\ln{x}\times{-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(\cos^{-1}{x})=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=x^{\cos^{-1}{x}}\left(\frac{\cos^{-1}{x}}{x}-\frac{\ln{x}}{\sqrt{1-x^2}}\right)\)
\((b)\)
ধরি,
\(y=x+\frac{1}{x} ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(x+\frac{1}{x}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(=1-\frac{1}{x^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}\)
\(=\frac{x^2-1}{x^2}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{x^2-1}{x^2}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{x^2-1}{x^2}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{x^2-1}{x^2}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2-1}{x^2}=0\)
\(\Rightarrow x^2-1=0\)
\(\Rightarrow x^2=1\)
\(\Rightarrow x=\pm{1}\)
\(\therefore x=1, -1\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2-1}{x^2}\right)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{x^2-1}{x^2}\)
\(=\frac{x^2\frac{d}{dx}(x^2-1)-(x^2-1)\frac{d}{dx}(x^2)}{x^4}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{x^2(2x-0)-(x^2-1)2x}{x^4}\)
\(=\frac{2x^3-2x^3+2x}{x^4}\)
\(=\frac{2x}{x^4}\)
\(=\frac{2}{x^3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2}{x^3}\)
এখন, \(x=1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2}{1^3}\)
\(=\frac{2}{1}\)
\(=2\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান আছে।
ফাংশনটির লঘুমান \(=1+\frac{1}{1}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x+\frac{1}{x}\)
\(=1+1\)
\(=2\)
আবার, \(x=-1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2}{(-1)^3}\)
\(=\frac{2}{-1}\)
\(=-2\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=-1\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান আছে।
ফাংশনটির গুরুমান \(=1+\frac{1}{-1}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x+\frac{1}{x}\)
\(=1-1\)
\(=0\)
\(\therefore \) ফাংশনটির গুরুমান, লঘুমান অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।
(Showed) \((c)\)
দেওয়া আছে,
\(g(x)=x^2\)
পার্শে \(g(x)=x^2\) এর স্কেচ অঙ্কন করে তাতে \(\delta{y}\) ও \(dy\) চিহ্নিত করা হলো।
\(f(x)=x+\frac{1}{x}\) এবং \(g(x)=x^2\)
\((a)\)
ধরি,
\(y=f(x)=x^{\cos^{-1}{x}}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^{\cos^{-1}{x}})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=x^{\cos^{-1}{x}}\left(\frac{\cos^{-1}{x}}{x}\frac{d}{dx}(x)+\ln{x}\frac{d}{dx}(\cos^{-1}{x})\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u^v)=u^v\left(\frac{v}{u}\frac{d}{dx}(u)+\ln{u}\frac{d}{dx}(v)\right)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=x^{\cos^{-1}{x}}\left(\frac{\cos^{-1}{x}}{x}.1+\ln{x}\times{-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(\cos^{-1}{x})=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=x^{\cos^{-1}{x}}\left(\frac{\cos^{-1}{x}}{x}-\frac{\ln{x}}{\sqrt{1-x^2}}\right)\)
\((b)\)
ধরি,
\(y=x+\frac{1}{x} ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(x+\frac{1}{x}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(=1-\frac{1}{x^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}\)
\(=\frac{x^2-1}{x^2}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{x^2-1}{x^2}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{x^2-1}{x^2}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{x^2-1}{x^2}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2-1}{x^2}=0\)
\(\Rightarrow x^2-1=0\)
\(\Rightarrow x^2=1\)
\(\Rightarrow x=\pm{1}\)
\(\therefore x=1, -1\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2-1}{x^2}\right)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{x^2-1}{x^2}\)
\(=\frac{x^2\frac{d}{dx}(x^2-1)-(x^2-1)\frac{d}{dx}(x^2)}{x^4}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{x^2(2x-0)-(x^2-1)2x}{x^4}\)
\(=\frac{2x^3-2x^3+2x}{x^4}\)
\(=\frac{2x}{x^4}\)
\(=\frac{2}{x^3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2}{x^3}\)
এখন, \(x=1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2}{1^3}\)
\(=\frac{2}{1}\)
\(=2\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান আছে।
ফাংশনটির লঘুমান \(=1+\frac{1}{1}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x+\frac{1}{x}\)
\(=1+1\)
\(=2\)
আবার, \(x=-1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2}{(-1)^3}\)
\(=\frac{2}{-1}\)
\(=-2\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=-1\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান আছে।
ফাংশনটির গুরুমান \(=1+\frac{1}{-1}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x+\frac{1}{x}\)
\(=1-1\)
\(=0\)
\(\therefore \) ফাংশনটির গুরুমান, লঘুমান অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।
(Showed) \((c)\)
দেওয়া আছে,
\(g(x)=x^2\)
পার্শে \(g(x)=x^2\) এর স্কেচ অঙ্কন করে তাতে \(\delta{y}\) ও \(dy\) চিহ্নিত করা হলো।
\(Q.4.(ii)\) \(y(x-2)(x-3)-x+7=0 .....(1)\) এবং \(y=\sqrt{(4+3\sin{x})} ....(2)\)
\((a)\) \(x=1\) ও \(\delta{x}=dy=1\) হলে, \(f(x)=x+\frac{1}{x}\)এর জন্য \(\delta{y}\) ও \(dy\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\delta{y}=\frac{1}{2}, dy=0\)
\((b)\) \((2)\) এর সাহায্যে দেখাও যে, \(2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+y^2=4\)
[ যঃ২০১৩; কুঃ২০১১,২০১৪; চঃ২০১০; ঢাঃ২০০৮; রাঃ,সিঃ২০১২; দিঃ২০১১ ]
\((c)\) \((1)\) যে সমস্ত বিন্দুতে \(x\) অক্ষকে ছেদ করে, ঐ বিন্দুগুলোতে স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-20y-7=0, 20x+y-140=0\)
[ ঢাঃ ২০০৯; যঃ,চঃ২০১০; দিঃ২০১১; কুঃ২০১৪ ]
\((a)\) \(x=1\) ও \(\delta{x}=dy=1\) হলে, \(f(x)=x+\frac{1}{x}\)এর জন্য \(\delta{y}\) ও \(dy\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\delta{y}=\frac{1}{2}, dy=0\)
\((b)\) \((2)\) এর সাহায্যে দেখাও যে, \(2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+y^2=4\)
[ যঃ২০১৩; কুঃ২০১১,২০১৪; চঃ২০১০; ঢাঃ২০০৮; রাঃ,সিঃ২০১২; দিঃ২০১১ ]
\((c)\) \((1)\) যে সমস্ত বিন্দুতে \(x\) অক্ষকে ছেদ করে, ঐ বিন্দুগুলোতে স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-20y-7=0, 20x+y-140=0\)
[ ঢাঃ ২০০৯; যঃ,চঃ২০১০; দিঃ২০১১; কুঃ২০১৪ ]
সমাধানঃ
উদ্দীপক,
\(y(x-2)(x-3)-x+7=0 .....(1)\) এবং \(y=\sqrt{(4+3\sin{x})} ....(2)\)
\((a)\)
আবার,
দেওয়া আছে,
\(x=1\) ও \(\delta{x}=dy=1\)
ধরি,
\(f(x)=x+\frac{1}{x} .....(1)\)
\((1)\) হতে,
\(f(2)=2+\frac{1}{2}\)
\(=\frac{4+1}{2}\)
\(=\frac{5}{2}\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(f(1)=1+\frac{1}{1}\)
\(=1+1\)
\(=2\)
আমরা জানি,
\(\delta{y}=f(x+\delta{x})-f(x)\)
\(=f(1+1)-f(1)\) ➜ \(\because x=1\)ও \(\delta{x}=dy=1\)
\(=f(2)-f(1)\)
\(=\frac{5}{2}-2\) ➜ \(\because f(2)=\frac{5}{2}, f(1)=2\)
\(=\frac{5-4}{2}\)
\(=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{f(x)\}=\frac{d}{dx}(x+\frac{1}{x})\) ➜\((1)\) এর উভয় পার্শে \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=1-\frac{1}{x^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\{f(x)\}=f^{\prime}(x)\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(\frac{1}{x})=-\frac{1}{x^2}\)
\(\Rightarrow f^{\prime}(1)=1-\frac{1}{1^2}\)
\(=1-\frac{1}{1}\)
\(=1-1\)
\(=0\)
আমরা জানি,
\(dy=f^{\prime}(x)dx\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=f^{\prime}(x)\Rightarrow dy=f^{\prime}(x)dx\)
\(x=1\) ও \(\delta{x}=dy=1\) হলে,
\(dy=f^{\prime}(1)\times{1}\)
\(=0\times{1}\) ➜\(\because f^{\prime}(1)=0\)
\(=0\)
\((b)\)
\((2)\) হতে,
\(y=\sqrt{(4+3\sin{x})}\)
\(\Rightarrow y^2=4+3\sin{x}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y^2)=\frac{d}{dx}(4+3\sin{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(4)+3\frac{d}{dx}(\sin{x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}=0+3\cos{x}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\)
\(\Rightarrow 2\frac{d}{dx}\left(y\frac{dy}{dx}\right)=3\frac{d}{dx}(\cos{x})\) ➜আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow 2y\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)+2\frac{dy}{dx}.\frac{dy}{dx}=-3\sin{x}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u), \frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}\)
\(\Rightarrow 2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=-4-3\sin{x}+4\)
\(\Rightarrow 2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=-(4+3\sin{x})+4\)
\(\Rightarrow 2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=-y^2+4\) ➜\(\because 4+3\sin{x}=y^2\)
\(\therefore 2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+y^2=4\)
(Showed)
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(y(x-2)(x-3)-x+7=0 .....(1)\)
\((1)\) বক্ররেখা যখন \(x\) অক্ষকে ছেদ করে,
তখন \(y=0\)
\(\therefore 0.(x-2)(x-3)-x+7=0\)
\(\therefore 0-x+7=0\)
\(\therefore -x=-7\)
\(\Rightarrow x=7\)
\(\therefore (1)\) বক্ররেখাটি \(x\) অক্ষকে \((7, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((1)\) হতে,
\(y(x-2)(x-3)=x-7\)
\(\Rightarrow y=\frac{x-7}{(x-2)(x-3)}\)
\(\Rightarrow y=\frac{x-7}{x^2-5x+6}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x-7}{x^2-5x+6}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{(x^2-5x+6)\frac{d}{dx}(x-7)-(x-7)\frac{d}{dx}(x^2-5x+6)}{(x^2-5x+6)^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{(x^2-5x+6)(1-0)-(x-7)(2x-5.1+0)}{(x^2-5x+6)^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\), \(\frac{d}{dx}(x^2)=2x\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{(x^2-5x+6)-(x-7)(2x-5)}{(x^2-5x+6)^2}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{x^2-5x+6-2x^2+19x-35}{(x^2-5x+6)^2}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{-x^2+14x-29}{(x^2-5x+6)^2}\)
\((7, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(7, 0)}=\frac{-7^2+14.7-29}{(7^2-5.7+6)^2}\)
\(=\frac{-49+98-29}{(49-35+6)^2}\)
\(=\frac{98-78}{(55-35)^2}\)
\(=\frac{20}{(20)^2}\)
\(=\frac{1}{20}\)
\(\therefore (7, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(y-0=\frac{1}{20}(x-7)\) ➜ \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণঃ \(y-y_{1}=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}(x-x_{1})\).
\(\Rightarrow 20y=x-7\)
\(\Rightarrow x-7=20y\)
\(\Rightarrow x-20y-7=0\)
\(\therefore\) স্পর্শকের সমীকরণ, \(x-20y-7=0\)
আবার,
\((7, 0)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ,
\((y-0)\times{\frac{1}{20}}+(x-7)=0\) ➜ \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণঃ \((y-y_{1})\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}+(x-x_{1})=0\).
\(\Rightarrow y+20(x-7)=0\) ➜ উভয় পার্শে \(20\) গুণ করে।
\(\Rightarrow y+20x-140=0\)
\(\Rightarrow 20x+y-140=0\)
\(\therefore\) অভিলম্বের সমীকরণ, \(20x+y-140=0\)
\(y(x-2)(x-3)-x+7=0 .....(1)\) এবং \(y=\sqrt{(4+3\sin{x})} ....(2)\)
\((a)\)
আবার,
দেওয়া আছে,
\(x=1\) ও \(\delta{x}=dy=1\)
ধরি,
\(f(x)=x+\frac{1}{x} .....(1)\)
\((1)\) হতে,
\(f(2)=2+\frac{1}{2}\)
\(=\frac{4+1}{2}\)
\(=\frac{5}{2}\)
আবার,
\((1)\) হতে,
\(f(1)=1+\frac{1}{1}\)
\(=1+1\)
\(=2\)
আমরা জানি,
\(\delta{y}=f(x+\delta{x})-f(x)\)
\(=f(1+1)-f(1)\) ➜ \(\because x=1\)ও \(\delta{x}=dy=1\)
\(=f(2)-f(1)\)
\(=\frac{5}{2}-2\) ➜ \(\because f(2)=\frac{5}{2}, f(1)=2\)
\(=\frac{5-4}{2}\)
\(=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{f(x)\}=\frac{d}{dx}(x+\frac{1}{x})\) ➜\((1)\) এর উভয় পার্শে \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=1-\frac{1}{x^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\{f(x)\}=f^{\prime}(x)\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(\frac{1}{x})=-\frac{1}{x^2}\)
\(\Rightarrow f^{\prime}(1)=1-\frac{1}{1^2}\)
\(=1-\frac{1}{1}\)
\(=1-1\)
\(=0\)
আমরা জানি,
\(dy=f^{\prime}(x)dx\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=f^{\prime}(x)\Rightarrow dy=f^{\prime}(x)dx\)
\(x=1\) ও \(\delta{x}=dy=1\) হলে,
\(dy=f^{\prime}(1)\times{1}\)
\(=0\times{1}\) ➜\(\because f^{\prime}(1)=0\)
\(=0\)
\((b)\)
\((2)\) হতে,
\(y=\sqrt{(4+3\sin{x})}\)
\(\Rightarrow y^2=4+3\sin{x}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y^2)=\frac{d}{dx}(4+3\sin{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(4)+3\frac{d}{dx}(\sin{x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}=0+3\cos{x}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\)
\(\Rightarrow 2\frac{d}{dx}\left(y\frac{dy}{dx}\right)=3\frac{d}{dx}(\cos{x})\) ➜আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow 2y\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)+2\frac{dy}{dx}.\frac{dy}{dx}=-3\sin{x}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u), \frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}\)
\(\Rightarrow 2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=-4-3\sin{x}+4\)
\(\Rightarrow 2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=-(4+3\sin{x})+4\)
\(\Rightarrow 2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=-y^2+4\) ➜\(\because 4+3\sin{x}=y^2\)
\(\therefore 2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+y^2=4\)
(Showed)
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(y(x-2)(x-3)-x+7=0 .....(1)\)
\((1)\) বক্ররেখা যখন \(x\) অক্ষকে ছেদ করে,
তখন \(y=0\)
\(\therefore 0.(x-2)(x-3)-x+7=0\)
\(\therefore 0-x+7=0\)
\(\therefore -x=-7\)
\(\Rightarrow x=7\)
\(\therefore (1)\) বক্ররেখাটি \(x\) অক্ষকে \((7, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((1)\) হতে,
\(y(x-2)(x-3)=x-7\)
\(\Rightarrow y=\frac{x-7}{(x-2)(x-3)}\)
\(\Rightarrow y=\frac{x-7}{x^2-5x+6}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x-7}{x^2-5x+6}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{(x^2-5x+6)\frac{d}{dx}(x-7)-(x-7)\frac{d}{dx}(x^2-5x+6)}{(x^2-5x+6)^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{(x^2-5x+6)(1-0)-(x-7)(2x-5.1+0)}{(x^2-5x+6)^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\), \(\frac{d}{dx}(x^2)=2x\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{(x^2-5x+6)-(x-7)(2x-5)}{(x^2-5x+6)^2}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{x^2-5x+6-2x^2+19x-35}{(x^2-5x+6)^2}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{-x^2+14x-29}{(x^2-5x+6)^2}\)
\((7, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(7, 0)}=\frac{-7^2+14.7-29}{(7^2-5.7+6)^2}\)
\(=\frac{-49+98-29}{(49-35+6)^2}\)
\(=\frac{98-78}{(55-35)^2}\)
\(=\frac{20}{(20)^2}\)
\(=\frac{1}{20}\)
\(\therefore (7, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(y-0=\frac{1}{20}(x-7)\) ➜ \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণঃ \(y-y_{1}=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}(x-x_{1})\).
\(\Rightarrow 20y=x-7\)
\(\Rightarrow x-7=20y\)
\(\Rightarrow x-20y-7=0\)
\(\therefore\) স্পর্শকের সমীকরণ, \(x-20y-7=0\)
আবার,
\((7, 0)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ,
\((y-0)\times{\frac{1}{20}}+(x-7)=0\) ➜ \(y=f(x)\) বক্ররেখার \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণঃ \((y-y_{1})\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}+(x-x_{1})=0\).
\(\Rightarrow y+20(x-7)=0\) ➜ উভয় পার্শে \(20\) গুণ করে।
\(\Rightarrow y+20x-140=0\)
\(\Rightarrow 20x+y-140=0\)
\(\therefore\) অভিলম্বের সমীকরণ, \(20x+y-140=0\)
\(Q.4.(iii)\) \[L_{1}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan{x}-\sin{x}}{x^3}, \ L_{2}=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2(2+\sin^2{x})}{x+100}\]
\((a)\) \(x^{2}\sin^{-1}{(1-x)}\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x\sin^{-1} (1-x)-\frac{x^2}{\sqrt{2x-x^2}}\)
[ বঃ২০০৮; ঢাঃ২০১৪; দিঃ২০১২ ]
\((b)\) \(L_{1}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
[ রাঃ২০০৯; বঃ২০১১,২০১৪; কুঃ২০১০; সিঃ২০০৯; মাঃ ২০১৩ ]
\((c)\) স্যান্ডউইস উপপাদ্যের সাহায্যে \(L_{2}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ বিদ্যমান নেই।
\((a)\) \(x^{2}\sin^{-1}{(1-x)}\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x\sin^{-1} (1-x)-\frac{x^2}{\sqrt{2x-x^2}}\)
[ বঃ২০০৮; ঢাঃ২০১৪; দিঃ২০১২ ]
\((b)\) \(L_{1}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
[ রাঃ২০০৯; বঃ২০১১,২০১৪; কুঃ২০১০; সিঃ২০০৯; মাঃ ২০১৩ ]
\((c)\) স্যান্ডউইস উপপাদ্যের সাহায্যে \(L_{2}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ বিদ্যমান নেই।
সমাধানঃ
উদ্দীপক,
\[L_{1}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan{x}-\sin{x}}{x^3}, \ L_{2}=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2(2+\sin^2{x})}{x+100}\]
\((a)\)
ধরি,
\(y=x^2\sin^{-1} {(1-x)}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{x^2\sin^{-1} (1-x)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=x^2\frac{d}{dx}\{\sin^{-1} (1-x)\}+\sin^{-1} (1-x)\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=x^2.\frac{1}{\sqrt{1-(1-x)^2}}.\frac{d}{dx}(1-x)+\sin^{-1} (1-x).2x\) ➜ \((1-x)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=x^2.\frac{1}{\sqrt{1-(1-x)^2}}\{\frac{d}{dx}(1)-\frac{d}{dx}(x)\}+2x\sin^{-1} (1-x)\)
\(=x^2.\frac{1}{\sqrt{1-1+2x-x^2}}\{0-1\}+2x\sin^{-1} (1-x)\)
\(=-\frac{x^2}{\sqrt{2x-x^2}}+2x\sin^{-1} (1-x)\)
\(=2x\sin^{-1} (1-x)-\frac{x^2}{\sqrt{2x-x^2}}\)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\[L_{1}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan{x}-\sin{x}}{x^3}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x}{x^3}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x\left(\frac{1}{\cos x}-1\right)}{x^3}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}\times \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\frac{1}{\cos x}-1}{x^2}\]
\[=1\times \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\frac{1-\cos x}{\cos x}}{x^2}\] ➜ \[\because \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x^2\cos x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{x^2\cos x}\] ➜ \[\because 1-\cos x=2\sin^2 \frac{x}{2}\]
\[=2\times \frac{1}{4}\times \left(\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2\times \lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{\cos x}\]
\[=\frac{1}{2}\times 1^2\times \frac{1}{1}\] ➜ \[\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}=1, \lim_{x \rightarrow 0}\cos x=1\]
\[=\frac{1}{2}\times 1\times 1\]
\[=\frac{1}{2}\]
\((c)\)
আমরা জানি,
\[-1\le \sin x\le 1 \]
\[\Rightarrow 0\le \sin^2 x\le 1 \] ➜ বর্গ করে।
\[\Rightarrow 0+2\le 2+\sin^2 x\le 1+2 \] ➜ \[2\] যোগ করে।
\[\Rightarrow 2\le 2+\sin^2 x\le 3 \]
\[\Rightarrow 2x^2\le x^2(2+\sin^2 x)\le 3x^2 \] ➜ \[x^2\] গুণ করে।
\[\Rightarrow \frac{2x^2}{x+100}\le \frac{x^2(2+\sin^2 x)}{x+100}\le \frac{3x^2}{x+100} \] ➜ \[x+100\] ভাগ করে।
\[\Rightarrow \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{2x^2}{x+100}\ge \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2(2+\sin^2 x)}{x+100}\ge \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{3x^2}{x+100} \] ➜ প্রতিটি পদে লিমিট সংযোগ করে।
\[\Rightarrow \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{100}{x^2}}\ge \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2(2+\sin^2 x)}{x+100}\ge \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{3}{\frac{1}{x}+\frac{100}{x^2}}\] ➜ প্রথম এবং শেষ পদে লব ও হরের সহিত \(x^2\) ভাগ করে।
\[\Rightarrow \frac{2}{0+0}\ge \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2(2+\sin^2 x)}{x+100}\ge \frac{3}{0+0}\] ➜ সীমা ব্যবহার করে।
\[\Rightarrow \frac{2}{0}\ge \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2(2+\sin^2 x)}{x+100}\ge \frac{3}{0}\]
\[\Rightarrow \infty \ge \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2(2+\sin^2 x)}{x+100}\ge \infty \]
স্যান্ডউইসের উপপাদ্য অনুসারে
\[\Rightarrow \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2(2+\sin^2 x)}{x+100}=\infty \]
যা বিদ্যমান নেই।
\[L_{1}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan{x}-\sin{x}}{x^3}, \ L_{2}=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2(2+\sin^2{x})}{x+100}\]
\((a)\)
ধরি,
\(y=x^2\sin^{-1} {(1-x)}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{x^2\sin^{-1} (1-x)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=x^2\frac{d}{dx}\{\sin^{-1} (1-x)\}+\sin^{-1} (1-x)\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=x^2.\frac{1}{\sqrt{1-(1-x)^2}}.\frac{d}{dx}(1-x)+\sin^{-1} (1-x).2x\) ➜ \((1-x)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=x^2.\frac{1}{\sqrt{1-(1-x)^2}}\{\frac{d}{dx}(1)-\frac{d}{dx}(x)\}+2x\sin^{-1} (1-x)\)
\(=x^2.\frac{1}{\sqrt{1-1+2x-x^2}}\{0-1\}+2x\sin^{-1} (1-x)\)
\(=-\frac{x^2}{\sqrt{2x-x^2}}+2x\sin^{-1} (1-x)\)
\(=2x\sin^{-1} (1-x)-\frac{x^2}{\sqrt{2x-x^2}}\)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\[L_{1}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan{x}-\sin{x}}{x^3}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x}{x^3}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x\left(\frac{1}{\cos x}-1\right)}{x^3}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}\times \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\frac{1}{\cos x}-1}{x^2}\]
\[=1\times \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\frac{1-\cos x}{\cos x}}{x^2}\] ➜ \[\because \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x^2\cos x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{x^2\cos x}\] ➜ \[\because 1-\cos x=2\sin^2 \frac{x}{2}\]
\[=2\times \frac{1}{4}\times \left(\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2\times \lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{\cos x}\]
\[=\frac{1}{2}\times 1^2\times \frac{1}{1}\] ➜ \[\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}=1, \lim_{x \rightarrow 0}\cos x=1\]
\[=\frac{1}{2}\times 1\times 1\]
\[=\frac{1}{2}\]
\((c)\)
আমরা জানি,
\[-1\le \sin x\le 1 \]
\[\Rightarrow 0\le \sin^2 x\le 1 \] ➜ বর্গ করে।
\[\Rightarrow 0+2\le 2+\sin^2 x\le 1+2 \] ➜ \[2\] যোগ করে।
\[\Rightarrow 2\le 2+\sin^2 x\le 3 \]
\[\Rightarrow 2x^2\le x^2(2+\sin^2 x)\le 3x^2 \] ➜ \[x^2\] গুণ করে।
\[\Rightarrow \frac{2x^2}{x+100}\le \frac{x^2(2+\sin^2 x)}{x+100}\le \frac{3x^2}{x+100} \] ➜ \[x+100\] ভাগ করে।
\[\Rightarrow \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{2x^2}{x+100}\ge \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2(2+\sin^2 x)}{x+100}\ge \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{3x^2}{x+100} \] ➜ প্রতিটি পদে লিমিট সংযোগ করে।
\[\Rightarrow \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{100}{x^2}}\ge \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2(2+\sin^2 x)}{x+100}\ge \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{3}{\frac{1}{x}+\frac{100}{x^2}}\] ➜ প্রথম এবং শেষ পদে লব ও হরের সহিত \(x^2\) ভাগ করে।
\[\Rightarrow \frac{2}{0+0}\ge \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2(2+\sin^2 x)}{x+100}\ge \frac{3}{0+0}\] ➜ সীমা ব্যবহার করে।
\[\Rightarrow \frac{2}{0}\ge \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2(2+\sin^2 x)}{x+100}\ge \frac{3}{0}\]
\[\Rightarrow \infty \ge \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2(2+\sin^2 x)}{x+100}\ge \infty \]
স্যান্ডউইসের উপপাদ্য অনুসারে
\[\Rightarrow \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2(2+\sin^2 x)}{x+100}=\infty \]
যা বিদ্যমান নেই।
\(Q.4.(iv)\) \(f(x)=17-15x+9x^2-x^3\) একটি ফাংশন।
\((a)\) \(x=1\) বিন্দুর সন্নিকটে \(g(x)=x+\frac{1}{x}\) এর যোগাশ্রয়ী আসন্নমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2\)
\((b)\) \(f(x)\) কোন ব্যবধিতে হ্রাস পায় এবং কোন ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1>x>-\infty\) ব্যবধিতে হ্রাস পায় , \(5>x>1\) ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায়।
\((c)\) \(f(x)\) এর সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বোচ্চ মান \(=42\), সর্বনিম্ন মান \(=10\),
\((a)\) \(x=1\) বিন্দুর সন্নিকটে \(g(x)=x+\frac{1}{x}\) এর যোগাশ্রয়ী আসন্নমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2\)
\((b)\) \(f(x)\) কোন ব্যবধিতে হ্রাস পায় এবং কোন ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1>x>-\infty\) ব্যবধিতে হ্রাস পায় , \(5>x>1\) ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায়।
\((c)\) \(f(x)\) এর সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বোচ্চ মান \(=42\), সর্বনিম্ন মান \(=10\),
সমাধানঃ
উদ্দীপক,
\(f(x)=17-15x+9x^2-x^3\) একটি ফাংশন।
\((a)\)
ধরি,
\(g(x)=x+\frac{1}{x} ......(1)\)
\((1)\) হতে,
\(g(1)=1+\frac{1}{1}\)
\(=1+1\)
\(=2\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{g(x)\}=\frac{d}{dx}(x+\frac{1}{x})\) ➜\((1)\) এর উভয় পার্শে \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow g^{\prime}(x)=1-\frac{1}{x^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\{f(x)\}=f^{\prime}(x)\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(\frac{1}{x})=-\frac{1}{x^2}\)
\(\Rightarrow g^{\prime}(1)=1-\frac{1}{1^2}\)
\(=1-\frac{1}{1}\)
\(=1-1\)
\(=0\)
\(x=1\) বিন্দুর সন্নিকটে \(g(x)=x+\frac{1}{x}\) এর যোগাশ্রয়ী আসন্নমান
\(g(x)=g(1)+g^{\prime}(1)(x-1)\) ➜ \(\because f(x)=f(x_{0})+f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0})\)
\(=2+0.(x-1)\) ➜ \(\because f(1)=2, g^{\prime}(1)=0\)
\(=2+0\)
\(=2\)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=17-15x+9x^2-x^3 .....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(17-15x+9x^2-x^3)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(17)-15\frac{d}{dx}(x)+9\frac{d}{dx}(x^2)-\frac{d}{dx}(x^3)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\)\(\frac{d}{dx}(u-v+w-..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)-..\)
\(=0-15.1+9.2x-3x^2\) ➜\(\because \(\frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=-15+18x-3x^2\)
\(=-3(x^2-6x+5)\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=-3(x^2-6x+5)\)
চরমবিদুর জন্য \(f^{\prime}(x)=0\)
\(\therefore -3(x^2-6x+5)=0\) ➜\(\because f^{\prime}(x)=-3(x^2-6x+5)\)
\(\Rightarrow x^2-6x+5=0\)
\(\Rightarrow x^2-5x-x+5=0\)
\(\Rightarrow x(x-5)-1(x-5)=0\)
\(\Rightarrow (x-5)(x-1)=0\)
\(\Rightarrow x-5=0, x-1=0\)
\(\Rightarrow x=5, x=1\)
\(\therefore x=5, 1\)
\( x=5, 1\) মানদ্বয় সকল বাস্তব সংখ্যাকে \(x>5, 5>x>1\) এবং \(1>x\) ব্যবধিতে বিভক্ত করে।
এখন,
\(1>x\) এর জন্য \((x-1)<0\) ও \((x-5)<0\), কাজেই \(f^{\prime}(x)<0\)
\(\therefore 1>x>-\infty\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন হ্রাস পায়।
আবার,
\(5>x>1\) এর জন্য \((x-1)>0\) ও \((x-5)<0\), কাজেই \(f^{\prime}(x)>0\)
\(\therefore 5>x>1\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন বৃদ্ধি পায়।
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=17-15x+9x^2-x^3 .....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(17-15x+9x^2-x^3)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(17)-15\frac{d}{dx}(x)+9\frac{d}{dx}(x^2)-\frac{d}{dx}(x^3)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\)\(\frac{d}{dx}(u-v+w-..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)-..\)
\(=0-15.1+9.2x-3x^2\) ➜\(\because \(\frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=-15+18x-3x^2\)
\(=-3(x^2-6x+5)\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=-3(x^2-6x+5)\)
চরমবিদুর জন্য \(f^{\prime}(x)=0\)
\(\therefore -3(x^2-6x+5)=0\) ➜\(\because f^{\prime}(x)=-3(x^2-6x+5)\)
\(\Rightarrow x^2-6x+5=0\)
\(\Rightarrow x^2-5x-x+5=0\)
\(\Rightarrow x(x-5)-1(x-5)=0\)
\(\Rightarrow (x-5)(x-1)=0\)
\(\Rightarrow x-5=0, x-1=0\)
\(\Rightarrow x=5, x=1\)
\(\therefore x=5, 1\)
\(f^{\prime}(x)=-3(x^2-6x+5)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{f^{\prime}(x)\}=-3\frac{d}{dx}(x^2-6x+5)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime\prime}(x)=-3\frac{d}{dx}(x^2)+18\frac{d}{dx}(x)-3\frac{d}{dx}(5)\)
\(=-3.2x+18.1-3.0\)
\(\therefore f^{\prime\prime}(x)=-6x+18\)
\(\Rightarrow f^{\prime\prime}(1)=-6.1+18\)
\(=-6+18\)
\(=12>0\)
\(\therefore f^{\prime\prime}(x)>0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে \(f(x)\) এর সর্বনিম্ন মান আছে।
\(\therefore f(x)\) এর সর্বনিম্ন মান \(f(1)=17-15.1+9.1^2-1^3\) ➜ \((1)\) হতে, \(\because f(x)=17-15x+9x^2-x^3\)
\(=17-15+9-1\)
\(=26-16\)
\(=10\)
আবার,
\(\Rightarrow f^{\prime\prime}(5)=-6.5+18\)
\(=-30+18\)
\(=-12\)
\(\therefore f^{\prime\prime}(x)<0\)
\(\therefore x=5\) বিন্দুতে \(f(x)\) এর সর্বোচ্চ মান আছে।
\(\therefore f(x)\) এর সর্বোচ্চ মান \(f(5)=17-15.5+9.5^2-5^3\) ➜ \((1)\) হতে, \(\because f(x)=17-15x+9x^2-x^3\)
\(=17-75+9.25-125\)
\(=17-75+225-125\)
\(=242-200\)
\(=42\)
\(f(x)=17-15x+9x^2-x^3\) একটি ফাংশন।
\((a)\)
ধরি,
\(g(x)=x+\frac{1}{x} ......(1)\)
\((1)\) হতে,
\(g(1)=1+\frac{1}{1}\)
\(=1+1\)
\(=2\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{g(x)\}=\frac{d}{dx}(x+\frac{1}{x})\) ➜\((1)\) এর উভয় পার্শে \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow g^{\prime}(x)=1-\frac{1}{x^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\{f(x)\}=f^{\prime}(x)\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(\frac{1}{x})=-\frac{1}{x^2}\)
\(\Rightarrow g^{\prime}(1)=1-\frac{1}{1^2}\)
\(=1-\frac{1}{1}\)
\(=1-1\)
\(=0\)
\(x=1\) বিন্দুর সন্নিকটে \(g(x)=x+\frac{1}{x}\) এর যোগাশ্রয়ী আসন্নমান
\(g(x)=g(1)+g^{\prime}(1)(x-1)\) ➜ \(\because f(x)=f(x_{0})+f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0})\)
\(=2+0.(x-1)\) ➜ \(\because f(1)=2, g^{\prime}(1)=0\)
\(=2+0\)
\(=2\)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=17-15x+9x^2-x^3 .....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(17-15x+9x^2-x^3)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(17)-15\frac{d}{dx}(x)+9\frac{d}{dx}(x^2)-\frac{d}{dx}(x^3)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\)\(\frac{d}{dx}(u-v+w-..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)-..\)
\(=0-15.1+9.2x-3x^2\) ➜\(\because \(\frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=-15+18x-3x^2\)
\(=-3(x^2-6x+5)\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=-3(x^2-6x+5)\)
চরমবিদুর জন্য \(f^{\prime}(x)=0\)
\(\therefore -3(x^2-6x+5)=0\) ➜\(\because f^{\prime}(x)=-3(x^2-6x+5)\)
\(\Rightarrow x^2-6x+5=0\)
\(\Rightarrow x^2-5x-x+5=0\)
\(\Rightarrow x(x-5)-1(x-5)=0\)
\(\Rightarrow (x-5)(x-1)=0\)
\(\Rightarrow x-5=0, x-1=0\)
\(\Rightarrow x=5, x=1\)
\(\therefore x=5, 1\)
\( x=5, 1\) মানদ্বয় সকল বাস্তব সংখ্যাকে \(x>5, 5>x>1\) এবং \(1>x\) ব্যবধিতে বিভক্ত করে।
এখন,
\(1>x\) এর জন্য \((x-1)<0\) ও \((x-5)<0\), কাজেই \(f^{\prime}(x)<0\)
\(\therefore 1>x>-\infty\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন হ্রাস পায়।
আবার,
\(5>x>1\) এর জন্য \((x-1)>0\) ও \((x-5)<0\), কাজেই \(f^{\prime}(x)>0\)
\(\therefore 5>x>1\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশন বৃদ্ধি পায়।
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=17-15x+9x^2-x^3 .....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(f(x))=\frac{d}{dx}(17-15x+9x^2-x^3)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(17)-15\frac{d}{dx}(x)+9\frac{d}{dx}(x^2)-\frac{d}{dx}(x^3)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(f(x))=f^{\prime}(x)\)\(\frac{d}{dx}(u-v+w-..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)-..\)
\(=0-15.1+9.2x-3x^2\) ➜\(\because \(\frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=-15+18x-3x^2\)
\(=-3(x^2-6x+5)\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=-3(x^2-6x+5)\)
চরমবিদুর জন্য \(f^{\prime}(x)=0\)
\(\therefore -3(x^2-6x+5)=0\) ➜\(\because f^{\prime}(x)=-3(x^2-6x+5)\)
\(\Rightarrow x^2-6x+5=0\)
\(\Rightarrow x^2-5x-x+5=0\)
\(\Rightarrow x(x-5)-1(x-5)=0\)
\(\Rightarrow (x-5)(x-1)=0\)
\(\Rightarrow x-5=0, x-1=0\)
\(\Rightarrow x=5, x=1\)
\(\therefore x=5, 1\)
\(f^{\prime}(x)=-3(x^2-6x+5)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{f^{\prime}(x)\}=-3\frac{d}{dx}(x^2-6x+5)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime\prime}(x)=-3\frac{d}{dx}(x^2)+18\frac{d}{dx}(x)-3\frac{d}{dx}(5)\)
\(=-3.2x+18.1-3.0\)
\(\therefore f^{\prime\prime}(x)=-6x+18\)
\(\Rightarrow f^{\prime\prime}(1)=-6.1+18\)
\(=-6+18\)
\(=12>0\)
\(\therefore f^{\prime\prime}(x)>0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে \(f(x)\) এর সর্বনিম্ন মান আছে।
\(\therefore f(x)\) এর সর্বনিম্ন মান \(f(1)=17-15.1+9.1^2-1^3\) ➜ \((1)\) হতে, \(\because f(x)=17-15x+9x^2-x^3\)
\(=17-15+9-1\)
\(=26-16\)
\(=10\)
আবার,
\(\Rightarrow f^{\prime\prime}(5)=-6.5+18\)
\(=-30+18\)
\(=-12\)
\(\therefore f^{\prime\prime}(x)<0\)
\(\therefore x=5\) বিন্দুতে \(f(x)\) এর সর্বোচ্চ মান আছে।
\(\therefore f(x)\) এর সর্বোচ্চ মান \(f(5)=17-15.5+9.5^2-5^3\) ➜ \((1)\) হতে, \(\because f(x)=17-15x+9x^2-x^3\)
\(=17-75+9.25-125\)
\(=17-75+225-125\)
\(=242-200\)
\(=42\)
\(Q.4.(v)\) নিচের রাশি দুইটি লক্ষ কর।
\((1)\) \(y=(\cos^{-1}{x})^2\), \((2)\) \(\frac{x}{\ln{x}}\)
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{7x}}{2x^2}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{49}{4}\)
\((b)\) \((1)\) এর ক্ষেত্রে দেখাও যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}=2\).
\((c)\) দেখাও যে, \((2)\) রাশির সর্বনিম্ন মান \(e\).
\((1)\) \(y=(\cos^{-1}{x})^2\), \((2)\) \(\frac{x}{\ln{x}}\)
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{7x}}{2x^2}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{49}{4}\)
\((b)\) \((1)\) এর ক্ষেত্রে দেখাও যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}=2\).
\((c)\) দেখাও যে, \((2)\) রাশির সর্বনিম্ন মান \(e\).
সমাধানঃ
উদ্দীপক,
\((1)\) \(y=(\cos^{-1}{x})^2\), \((2)\) \(\frac{x}{\ln{x}}\)
\((a)\)
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos 7x}{2x^2}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2\sin^2 \frac{7x}{2}}{2x^2}\] ➜\[\because 1- \cos A=2\sin^2 \frac{A}{2}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin^2 \frac{7x}{2}}{x^2}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin \frac{7x}{2}}{\frac{7x}{2}}\right)^2\times \frac{49}{4}\]
\[=\frac{49}{4}\left(\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin \frac{7x}{2}}{\frac{7x}{2}}\right)^2\]
\[=\frac{49}{4}\times (1)^2\] ➜\[\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\]
\[=\frac{49}{4}\times 1\]
\[=\frac{49}{4}\]
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(y=(\cos^{-1}{x})^2\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\cos^{-1}{x})^2\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=2\cos^{-1}{x}\frac{d}{dx}(\cos^{-1}{x})\) ➜ \(\sin^{-1}{x}\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=-2\cos^{-1}{x}.\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cos^{-1}{x})=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-x^2}y_{1}=-2\cos^{-1}{x}\) ➜ উভয় পার্শে \(\sqrt{1-x^2}\) গুণ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)y^2_{1}=4(\cos^{-1}{x})^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)y^2_{1}=4y\) ➜ \(\because y=(\cos^{-1}{x})^2\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{(1-x^2)y^2_{1}\}=4\frac{d}{dx}(y)\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)\frac{d}{dx}(y^2_{1})+y^2_{1}\frac{d}{dx}(1-x^2)=4y_{1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow (1-x^2).2y_{1}\frac{d}{dx}(y_{1})+y^2_{1}(0-2x)=4y_{1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(y^2_{1})=2y_{1}\frac{d}{dx}(y_{1})\), \(\frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x^2)=2x\)
\(\Rightarrow 2(1-x^2)y_{1}y_{2}-2xy^2_{1}=4y_{1}\)
\(\Rightarrow 2(1-x^2)y_{1}y_{2}-2xy^2_{1}-4y_{1}=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\{(1-x^2)y_{2}-xy_{1}-2\}=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\ne{0}, (1-x^2)y_{2}-xy_{1}-2=0\)
\(\Rightarrow (1-x^2)y_{2}-xy_{1}-2=0\)
\(\therefore (1-x^2)y_{2}-xy_{1}=2\)
(Showed)
\((c)\)
ধরি,
\(y=\frac{x}{\ln{x}} .......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{\ln{x}}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{\ln{x}\frac{d}{dx}(x)-x\frac{d}{dx}(\ln{x})}{(\ln{x})^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{\ln{x}.1-x\frac{1}{x}}{(\ln{x})^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{\ln{x}-1}{(\ln{x})^2}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{\ln{x}-1}{(\ln{x})^2}\)
ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান ও সর্বনিম্ন মানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{\ln{x}-1}{(\ln{x})^2}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{\ln{x}-1}{(\ln{x})^2}\)
\(\Rightarrow \ln{x}-1=0\)
\(\Rightarrow \ln{x}=1\)
\(\Rightarrow x=e^1\) ➜\(\because \ln{x}=y \Rightarrow x=e^y\)
\(\therefore x=e\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln{x}-1}{(\ln{x})^2}\right)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{\ln{x}-1}{(\ln{x})^2}\)
\(=\frac{(\ln{x})^2\frac{d}{dx}(\ln{x}-1)-(\ln{x}-1)\frac{d}{dx}\{(\ln{x})^2\}}{(\ln{x})^4}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{(\ln{x})^2\frac{1}{x}-(\ln{x}-1).2\ln{x}.\frac{1}{x}}{(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{\frac{(\ln{x})^2}{x}-\frac{2\ln{x}(\ln{x}-1)}{x}}{(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{\frac{(\ln{x})^2-2\ln{x}(\ln{x}-1)}{x}}{(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{(\ln{x})^2-2\ln{x}(\ln{x}-1)}{x(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{(\ln{x})^2-2(\ln{x})^2+2\ln{x}}{x(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{2\ln{x}-(\ln{x})^2}{x(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{\ln{x}(2-\ln{x})}{x(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{2-\ln{x}}{x(\ln{x})^3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2-\ln{x}}{x(\ln{x})^3}\)
এখন, \(x=e\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2-\ln{e}}{e(\ln{e})^3}\)
\(=\frac{2-1}{e(1)^3}\) ➜ \(\because \ln{e}=1\)
\(=\frac{1}{e}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=e\) বিন্দুতে ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান আছে।
ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান \(=\frac{e}{\ln{e}}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=\frac{x}{\ln{x}}\)
\(=\frac{e}{1}\) ➜ \(\because \ln{e}=1\)
\(=e\)
(Showed)
\((1)\) \(y=(\cos^{-1}{x})^2\), \((2)\) \(\frac{x}{\ln{x}}\)
\((a)\)
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos 7x}{2x^2}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2\sin^2 \frac{7x}{2}}{2x^2}\] ➜\[\because 1- \cos A=2\sin^2 \frac{A}{2}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin^2 \frac{7x}{2}}{x^2}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin \frac{7x}{2}}{\frac{7x}{2}}\right)^2\times \frac{49}{4}\]
\[=\frac{49}{4}\left(\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin \frac{7x}{2}}{\frac{7x}{2}}\right)^2\]
\[=\frac{49}{4}\times (1)^2\] ➜\[\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\]
\[=\frac{49}{4}\times 1\]
\[=\frac{49}{4}\]
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(y=(\cos^{-1}{x})^2\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\cos^{-1}{x})^2\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=2\cos^{-1}{x}\frac{d}{dx}(\cos^{-1}{x})\) ➜ \(\sin^{-1}{x}\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=-2\cos^{-1}{x}.\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cos^{-1}{x})=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-x^2}y_{1}=-2\cos^{-1}{x}\) ➜ উভয় পার্শে \(\sqrt{1-x^2}\) গুণ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)y^2_{1}=4(\cos^{-1}{x})^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)y^2_{1}=4y\) ➜ \(\because y=(\cos^{-1}{x})^2\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{(1-x^2)y^2_{1}\}=4\frac{d}{dx}(y)\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)\frac{d}{dx}(y^2_{1})+y^2_{1}\frac{d}{dx}(1-x^2)=4y_{1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow (1-x^2).2y_{1}\frac{d}{dx}(y_{1})+y^2_{1}(0-2x)=4y_{1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(y^2_{1})=2y_{1}\frac{d}{dx}(y_{1})\), \(\frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x^2)=2x\)
\(\Rightarrow 2(1-x^2)y_{1}y_{2}-2xy^2_{1}=4y_{1}\)
\(\Rightarrow 2(1-x^2)y_{1}y_{2}-2xy^2_{1}-4y_{1}=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\{(1-x^2)y_{2}-xy_{1}-2\}=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\ne{0}, (1-x^2)y_{2}-xy_{1}-2=0\)
\(\Rightarrow (1-x^2)y_{2}-xy_{1}-2=0\)
\(\therefore (1-x^2)y_{2}-xy_{1}=2\)
(Showed)
\((c)\)
ধরি,
\(y=\frac{x}{\ln{x}} .......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{\ln{x}}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{\ln{x}\frac{d}{dx}(x)-x\frac{d}{dx}(\ln{x})}{(\ln{x})^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{\ln{x}.1-x\frac{1}{x}}{(\ln{x})^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{\ln{x}-1}{(\ln{x})^2}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{\ln{x}-1}{(\ln{x})^2}\)
ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান ও সর্বনিম্ন মানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{\ln{x}-1}{(\ln{x})^2}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{\ln{x}-1}{(\ln{x})^2}\)
\(\Rightarrow \ln{x}-1=0\)
\(\Rightarrow \ln{x}=1\)
\(\Rightarrow x=e^1\) ➜\(\because \ln{x}=y \Rightarrow x=e^y\)
\(\therefore x=e\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln{x}-1}{(\ln{x})^2}\right)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{\ln{x}-1}{(\ln{x})^2}\)
\(=\frac{(\ln{x})^2\frac{d}{dx}(\ln{x}-1)-(\ln{x}-1)\frac{d}{dx}\{(\ln{x})^2\}}{(\ln{x})^4}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{(\ln{x})^2\frac{1}{x}-(\ln{x}-1).2\ln{x}.\frac{1}{x}}{(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{\frac{(\ln{x})^2}{x}-\frac{2\ln{x}(\ln{x}-1)}{x}}{(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{\frac{(\ln{x})^2-2\ln{x}(\ln{x}-1)}{x}}{(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{(\ln{x})^2-2\ln{x}(\ln{x}-1)}{x(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{(\ln{x})^2-2(\ln{x})^2+2\ln{x}}{x(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{2\ln{x}-(\ln{x})^2}{x(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{\ln{x}(2-\ln{x})}{x(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{2-\ln{x}}{x(\ln{x})^3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2-\ln{x}}{x(\ln{x})^3}\)
এখন, \(x=e\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2-\ln{e}}{e(\ln{e})^3}\)
\(=\frac{2-1}{e(1)^3}\) ➜ \(\because \ln{e}=1\)
\(=\frac{1}{e}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=e\) বিন্দুতে ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান আছে।
ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান \(=\frac{e}{\ln{e}}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=\frac{x}{\ln{x}}\)
\(=\frac{e}{1}\) ➜ \(\because \ln{e}=1\)
\(=e\)
(Showed)
\(Q.4.(vi)\) নিচের ফাংশন দুইটি লক্ষ কর।
\[f(x)=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\cos{2x}-\cos{3x}}{x^2}\]
\[g(x)=\lim_{x \rightarrow a}\frac{x^{\frac{5}{2}}-a^{\frac{5}{2}}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}\]
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\ln{(1+x)}}{x}\] এর মান কত?
উত্তরঃ \(1\)
\((b)\) \(f(x)\) এর সীমা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{5}{2}\)
\((c)\) দেখাও যে, \(g(x)=5a^2\)
\[f(x)=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\cos{2x}-\cos{3x}}{x^2}\]
\[g(x)=\lim_{x \rightarrow a}\frac{x^{\frac{5}{2}}-a^{\frac{5}{2}}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}\]
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\ln{(1+x)}}{x}\] এর মান কত?
উত্তরঃ \(1\)
\((b)\) \(f(x)\) এর সীমা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{5}{2}\)
\((c)\) দেখাও যে, \(g(x)=5a^2\)
সমাধানঃ
উদ্দীপক,
\[f(x)=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\cos{2x}-\cos{3x}}{x^2}\]
\[g(x)=\lim_{x \rightarrow a}\frac{x^{\frac{5}{2}}-a^{\frac{5}{2}}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}\]
\((a)\)
প্রদত্ত রাশি,
\[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\ln{(1+x)}}{x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-...}{x}\] ➜\[\because \ln{(1+x)}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-...\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x\left(1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}-...\right)}{x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\left(1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}-...\right)\]
\[=1-0+0-...\]
\[=1\]
\((b)\)
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\cos 2x-\cos 3x}{x^2}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2\sin \frac{2x+3x}{2}\sin \frac{3x-2x}{2}}{x^2}\] ➜\[\because \cos C- \cos D=2\sin \frac{C+D}{2}\sin \frac{D-C}{2}\]
\[=2\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin \frac{5x}{2}\sin \frac{x}{2}}{x^2}\]
\[=2\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin \frac{5x}{2}}{\frac{5x}{2}}\times \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\times \frac{5}{2}\times \frac{1}{2}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin \frac{5x}{2}}{\frac{5x}{2}}\times \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\times \frac{5}{2}\]
\[=1\times 1\times \frac{5}{2}\] ➜\[\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\]
\[=\frac{5}{2}\]
\((c)\)
প্রদত্ত রাশি,
\[g(x)=\lim_{x \rightarrow a}\frac{x^{\frac{5}{2}}-a^{\frac{5}{2}}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}\]
\[=\lim_{x \rightarrow a}\frac{(\sqrt{x})^{5}-(\sqrt{a})^{5}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}\]
\[=\lim_{x \rightarrow a}\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{a})\{(\sqrt{x})^{4}+(\sqrt{x})^{3}\sqrt{a}+(\sqrt{x})^{2}(\sqrt{a})^2+\sqrt{x}(\sqrt{a})^3+(\sqrt{a})^4\}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}\]
\[=\lim_{x \rightarrow a}\{(\sqrt{x})^{4}+(\sqrt{x})^{3}\sqrt{a}+(\sqrt{x})^{2}(\sqrt{a})^2+\sqrt{x}(\sqrt{a})^3+(\sqrt{a})^4\}\]
\[=(\sqrt{a})^{4}+(\sqrt{a})^{3}\sqrt{a}+(\sqrt{a})^{2}(\sqrt{a})^2+\sqrt{a}(\sqrt{a})^3+(\sqrt{a})^4\] ➜ লিমিট ব্যবহার করে।
\[=a^2+a\sqrt{a}\times \sqrt{a}+a.a+\sqrt{a}\times a\sqrt{a}+a^2\]
\[=a^2+a.a+a.a+a.a+a^2\]
\[=a^2+a^2+a^2+a^2+a^2\]
\[\therefore g(x)=5a^2\]
(Showed)
\[f(x)=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\cos{2x}-\cos{3x}}{x^2}\]
\[g(x)=\lim_{x \rightarrow a}\frac{x^{\frac{5}{2}}-a^{\frac{5}{2}}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}\]
\((a)\)
প্রদত্ত রাশি,
\[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\ln{(1+x)}}{x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-...}{x}\] ➜\[\because \ln{(1+x)}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-...\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x\left(1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}-...\right)}{x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\left(1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}-...\right)\]
\[=1-0+0-...\]
\[=1\]
\((b)\)
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\cos 2x-\cos 3x}{x^2}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2\sin \frac{2x+3x}{2}\sin \frac{3x-2x}{2}}{x^2}\] ➜\[\because \cos C- \cos D=2\sin \frac{C+D}{2}\sin \frac{D-C}{2}\]
\[=2\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin \frac{5x}{2}\sin \frac{x}{2}}{x^2}\]
\[=2\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin \frac{5x}{2}}{\frac{5x}{2}}\times \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\times \frac{5}{2}\times \frac{1}{2}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin \frac{5x}{2}}{\frac{5x}{2}}\times \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\times \frac{5}{2}\]
\[=1\times 1\times \frac{5}{2}\] ➜\[\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\]
\[=\frac{5}{2}\]
\((c)\)
প্রদত্ত রাশি,
\[g(x)=\lim_{x \rightarrow a}\frac{x^{\frac{5}{2}}-a^{\frac{5}{2}}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}\]
\[=\lim_{x \rightarrow a}\frac{(\sqrt{x})^{5}-(\sqrt{a})^{5}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}\]
\[=\lim_{x \rightarrow a}\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{a})\{(\sqrt{x})^{4}+(\sqrt{x})^{3}\sqrt{a}+(\sqrt{x})^{2}(\sqrt{a})^2+\sqrt{x}(\sqrt{a})^3+(\sqrt{a})^4\}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}\]
\[=\lim_{x \rightarrow a}\{(\sqrt{x})^{4}+(\sqrt{x})^{3}\sqrt{a}+(\sqrt{x})^{2}(\sqrt{a})^2+\sqrt{x}(\sqrt{a})^3+(\sqrt{a})^4\}\]
\[=(\sqrt{a})^{4}+(\sqrt{a})^{3}\sqrt{a}+(\sqrt{a})^{2}(\sqrt{a})^2+\sqrt{a}(\sqrt{a})^3+(\sqrt{a})^4\] ➜ লিমিট ব্যবহার করে।
\[=a^2+a\sqrt{a}\times \sqrt{a}+a.a+\sqrt{a}\times a\sqrt{a}+a^2\]
\[=a^2+a.a+a.a+a.a+a^2\]
\[=a^2+a^2+a^2+a^2+a^2\]
\[\therefore g(x)=5a^2\]
(Showed)
\(Q.4.(vii)\) নিচের উদ্দীপকটি লক্ষ কর এবং প্রশ্নগুলির উত্তর দাও।
\((1)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{7x}}{3x^2}\]
\((2)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan{x}-\sin{x}}{x^3}\]
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^{x}-e^{-x}}{x}=\] কত?
উত্তরঃ \(2\)
\((b)\) \((1)\) এর সীমা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{49}{6}\)
\((c)\) দেখাও যে, \((2)\) এর মান \(\frac{1}{2}\).
\((1)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{7x}}{3x^2}\]
\((2)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan{x}-\sin{x}}{x^3}\]
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^{x}-e^{-x}}{x}=\] কত?
উত্তরঃ \(2\)
\((b)\) \((1)\) এর সীমা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{49}{6}\)
\((c)\) দেখাও যে, \((2)\) এর মান \(\frac{1}{2}\).
সমাধানঃ
উদ্দীপক,
\((1)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{7x}}{3x^2}\]
\((2)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan{x}-\sin{x}}{x^3}\]
\((a)\)
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^{x}-e^{-x}}{x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2\left(\frac{x}{1!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+ ......... \right)}{x}\] ➜\[\because e^{x}-e^{-x}=2\left(\frac{x}{1!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+ .........\right)\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2x\left(\frac{1}{1!}+\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}+ ......... \right)}{x}\]
\[=2\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{1!}+\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}+ ......... \right)\]
\[=2\frac{1}{1!}+0+0+0 ......... \] ➜ লিমিট ব্যবহার করে।
\[=2\frac{1}{1}\]
\[=2\]
\((b)\)
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos 7x}{3x^2}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2\sin^2 \frac{7x}{2}}{3x^2}\] ➜\[\because 1- \cos A=2\sin^2 \frac{A}{2}\]
\[=\frac{2}{3}\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin^2 \frac{7x}{2}}{x^2}\]
\[=\frac{2}{3}\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin \frac{7x}{2}}{\frac{7x}{2}}\right)^2\times \frac{49}{4}\]
\[=\frac{49}{6}\left(\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin \frac{7x}{2}}{\frac{7x}{2}}\right)^2\]
\[=\frac{49}{6}\times (1)^2\] ➜\[\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\]
\[=\frac{49}{6}\times 1\]
\[=\frac{49}{6}\]
\((c)\)
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x}{x^3}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x\left(\frac{1}{\cos x}-1\right)}{x^3}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}\times \frac{\left(\frac{1-\cos x}{\cos x}\right)}{x^2}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}\times \lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x^2\cos x}\]
\[=\times 1\times \lim_{x \rightarrow 0}\frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{x^2\cos x}\] ➜\[\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1, 1-\cos A=2\sin^2 \frac{A}{2}\]
\[=2\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{x^2\cos x}\]
\[=2\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{x^2}\times \frac{1}{\cos x}\]
\[=2\left(\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2\times \lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{\cos x}\times{\frac{1}{4}}\]
\[=2\times (1)^2\times 1\times{\frac{1}{4}}\] ➜\[\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1, \lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{\cos x}=1,\]
\[=2\times 1\times 1\times{\frac{1}{4}}\]
\[=\frac{1}{2}\]
(Showed)
\((1)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{7x}}{3x^2}\]
\((2)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan{x}-\sin{x}}{x^3}\]
\((a)\)
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^{x}-e^{-x}}{x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2\left(\frac{x}{1!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+ ......... \right)}{x}\] ➜\[\because e^{x}-e^{-x}=2\left(\frac{x}{1!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+ .........\right)\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2x\left(\frac{1}{1!}+\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}+ ......... \right)}{x}\]
\[=2\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{1!}+\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}+ ......... \right)\]
\[=2\frac{1}{1!}+0+0+0 ......... \] ➜ লিমিট ব্যবহার করে।
\[=2\frac{1}{1}\]
\[=2\]
\((b)\)
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos 7x}{3x^2}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2\sin^2 \frac{7x}{2}}{3x^2}\] ➜\[\because 1- \cos A=2\sin^2 \frac{A}{2}\]
\[=\frac{2}{3}\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin^2 \frac{7x}{2}}{x^2}\]
\[=\frac{2}{3}\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin \frac{7x}{2}}{\frac{7x}{2}}\right)^2\times \frac{49}{4}\]
\[=\frac{49}{6}\left(\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin \frac{7x}{2}}{\frac{7x}{2}}\right)^2\]
\[=\frac{49}{6}\times (1)^2\] ➜\[\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\]
\[=\frac{49}{6}\times 1\]
\[=\frac{49}{6}\]
\((c)\)
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x}{x^3}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x\left(\frac{1}{\cos x}-1\right)}{x^3}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}\times \frac{\left(\frac{1-\cos x}{\cos x}\right)}{x^2}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}\times \lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x^2\cos x}\]
\[=\times 1\times \lim_{x \rightarrow 0}\frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{x^2\cos x}\] ➜\[\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1, 1-\cos A=2\sin^2 \frac{A}{2}\]
\[=2\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{x^2\cos x}\]
\[=2\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{x^2}\times \frac{1}{\cos x}\]
\[=2\left(\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2\times \lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{\cos x}\times{\frac{1}{4}}\]
\[=2\times (1)^2\times 1\times{\frac{1}{4}}\] ➜\[\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1, \lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{\cos x}=1,\]
\[=2\times 1\times 1\times{\frac{1}{4}}\]
\[=\frac{1}{2}\]
(Showed)
\(Q.4.(viii)\) নিচের ফাংশন দুইটি লক্ষ করঃ
\(f(x)=\frac{\tan{x}-\sin{x}}{\sin^3{x}}\)
\(g(\theta)=\frac{\sec^3{\theta}-\tan^3{\theta}}{\tan{\theta}}\)
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{(2x)^2}}{x}\] সমান কত?
উত্তরঃ \(0\)
\((b)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}f(x)\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
\((c)\) দেখাও যে, \[\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}g(\theta)=\frac{3}{2}\].
\(f(x)=\frac{\tan{x}-\sin{x}}{\sin^3{x}}\)
\(g(\theta)=\frac{\sec^3{\theta}-\tan^3{\theta}}{\tan{\theta}}\)
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{(2x)^2}}{x}\] সমান কত?
উত্তরঃ \(0\)
\((b)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}f(x)\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
\((c)\) দেখাও যে, \[\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}g(\theta)=\frac{3}{2}\].
সমাধানঃ
উদ্দীপক,
\(f(x)=\frac{\tan{x}-\sin{x}}{\sin^3{x}}\)
\(g(\theta)=\frac{\sec^3{\theta}-\tan^3{\theta}}{\tan{\theta}}\)
\((a)\)
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{(2x)^2}}{x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin (2x)^2}{(2x)^2}\times 4x\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin (2x)^2}{(2x)^2}\times \lim_{x \rightarrow 0}42x\]
\[=1\times 0\] ➜ \[\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1, \lim_{x \rightarrow 0}4x=0\]
\[=0\]
\((b)\)
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan x-\sin x}{\sin^3 x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x}{\sin^3 x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x\left(\frac{1}{\cos x}-1\right)}{\sin^3 x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\left(\frac{1-\cos x}{\cos x}\right)}{\sin^2 x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{\sin^2 x\cos x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{4\sin^2 \frac{x}{2}\cos^2 \frac{x}{2}\cos x}\] ➜\[\because 1-\cos A=2\sin^2 \frac{A}{2}, \sin A=2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{2\cos^2 \frac{x}{2}\cos x}\]
\[=\frac{1}{2}\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}\cos x}\]
\[=\frac{1}{2}\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}}\times \frac{1}{\cos x}\]
\[=\frac{1}{2}\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}}\times \lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{\cos x}\]
\[=\frac{1}{2}\times 1\times 1\] ➜\[\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}}=1, \lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{\cos x}=1\]
\[=\frac{1}{2}\]
\((c)\)
\[L.S=\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}g(\theta)\]
\[=\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{\sec^3 \theta-\tan^3 \theta}{\tan \theta}\right)\] ➜ \(\because g(\theta)=\left(\frac{\sec^3 \theta-\tan^3 \theta}{\tan \theta}\right)\)
\[=\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{\frac{1}{\cos^3 \theta}-\frac{\sin^3 \theta}{\cos^3 \theta}}{\tan \theta}\right)\]
\[=\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{\frac{1-\sin^3 \theta}{\cos^3 \theta}}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}\right)\]
\[=\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{1-\sin^3 \theta}{\cos^3 \theta}\times \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\right)\]
\[=\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{1-\sin^3 \theta}{\cos^2 \theta\sin \theta}\right)\]
\[=\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{1-\sin^3 \theta}{(1-\sin^2 \theta)\sin \theta}\right)\]
\[=\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{(1-\sin \theta)(1+\sin \theta+\sin^2 \theta)}{(1-\sin \theta)(1+\sin \theta)\sin \theta}\right)\] ➜ \[\because a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\]
\[=\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{1+\sin \theta+\sin^2 \theta}{(1+\sin \theta)\sin \theta}\right)\]
\[=\frac{1+1+1}{(1+1)\times 1}\] ➜ \[\because \lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\sin \theta=1, \lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\sin^2 \theta=1 \]
\[=\frac{3}{2\times 1}\]
\[=\frac{3}{2}\]
\[=R.S\]
\[\therefore L.S=R.S\]
(Showed)
\(f(x)=\frac{\tan{x}-\sin{x}}{\sin^3{x}}\)
\(g(\theta)=\frac{\sec^3{\theta}-\tan^3{\theta}}{\tan{\theta}}\)
\((a)\)
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{(2x)^2}}{x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin (2x)^2}{(2x)^2}\times 4x\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin (2x)^2}{(2x)^2}\times \lim_{x \rightarrow 0}42x\]
\[=1\times 0\] ➜ \[\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1, \lim_{x \rightarrow 0}4x=0\]
\[=0\]
\((b)\)
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan x-\sin x}{\sin^3 x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x}{\sin^3 x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x\left(\frac{1}{\cos x}-1\right)}{\sin^3 x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\left(\frac{1-\cos x}{\cos x}\right)}{\sin^2 x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{\sin^2 x\cos x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{4\sin^2 \frac{x}{2}\cos^2 \frac{x}{2}\cos x}\] ➜\[\because 1-\cos A=2\sin^2 \frac{A}{2}, \sin A=2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{2\cos^2 \frac{x}{2}\cos x}\]
\[=\frac{1}{2}\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}\cos x}\]
\[=\frac{1}{2}\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}}\times \frac{1}{\cos x}\]
\[=\frac{1}{2}\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}}\times \lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{\cos x}\]
\[=\frac{1}{2}\times 1\times 1\] ➜\[\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}}=1, \lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{\cos x}=1\]
\[=\frac{1}{2}\]
\((c)\)
\[L.S=\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}g(\theta)\]
\[=\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{\sec^3 \theta-\tan^3 \theta}{\tan \theta}\right)\] ➜ \(\because g(\theta)=\left(\frac{\sec^3 \theta-\tan^3 \theta}{\tan \theta}\right)\)
\[=\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{\frac{1}{\cos^3 \theta}-\frac{\sin^3 \theta}{\cos^3 \theta}}{\tan \theta}\right)\]
\[=\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{\frac{1-\sin^3 \theta}{\cos^3 \theta}}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}\right)\]
\[=\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{1-\sin^3 \theta}{\cos^3 \theta}\times \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\right)\]
\[=\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{1-\sin^3 \theta}{\cos^2 \theta\sin \theta}\right)\]
\[=\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{1-\sin^3 \theta}{(1-\sin^2 \theta)\sin \theta}\right)\]
\[=\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{(1-\sin \theta)(1+\sin \theta+\sin^2 \theta)}{(1-\sin \theta)(1+\sin \theta)\sin \theta}\right)\] ➜ \[\because a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\]
\[=\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{1+\sin \theta+\sin^2 \theta}{(1+\sin \theta)\sin \theta}\right)\]
\[=\frac{1+1+1}{(1+1)\times 1}\] ➜ \[\because \lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\sin \theta=1, \lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\sin^2 \theta=1 \]
\[=\frac{3}{2\times 1}\]
\[=\frac{3}{2}\]
\[=R.S\]
\[\therefore L.S=R.S\]
(Showed)
\(Q.4.(ix)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}x^2\cos{\left(\frac{1}{x}\right)}=0\]
\((a)\) স্যান্ডউইচ উপপাদ্যটি লিখ।
\((b)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}2^{x}\sin{\left(\frac{b}{2^{x}}\right)}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(b\)
\((c)\) স্যান্ডউইচ উপপাদ্য অনুসারে
দেখাও যে, \[\lim_{x \rightarrow 0}x^2\cos{\left(\frac{1}{x}\right)}=0\].
\((a)\) স্যান্ডউইচ উপপাদ্যটি লিখ।
\((b)\) \[\lim_{x \rightarrow \infty}2^{x}\sin{\left(\frac{b}{2^{x}}\right)}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(b\)
\((c)\) স্যান্ডউইচ উপপাদ্য অনুসারে
দেখাও যে, \[\lim_{x \rightarrow 0}x^2\cos{\left(\frac{1}{x}\right)}=0\].
সমাধানঃ
উদ্দীপক,
\[\lim_{x \rightarrow 0}x^2\cos{\left(\frac{1}{x}\right)}=0\]
\((a)\)
স্যান্ডউইচ উপপাদ্যঃ যদি \(\delta >|x-a|> 0\) ব্যবধির অন্তর্গত \(x\)-এর সকল মানের জন্য
\(f(x)\leq g(x)\leq h(x)\) এবং \[\lim_{x \rightarrow a}f(x)=l=\lim_{x \rightarrow a}h(x)\] হয় তবে, \[\lim_{x \rightarrow a}g(x)=l\] স্যান্ডউইচ এর উপপাদ্য বা স্কুইজিং ( Squeezing ) বা পিনচিং ( Pinching ) উপপাদ্য নামেও পরিচিত।
\((b)\)
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}2^x\sin \left(\frac{b}{2^x}\right)\]
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{\sin \left(\frac{b}{2^x}\right)}{\left(\frac{b}{2^x}\right)}\times b\]
ধরি,
\[\frac{b}{2^x}=h\] তাহলে, \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{b}{2^x}=0 \therefore h\rightarrow 0\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin h}{h}\times b\]
\[=1\times b\] ➜\[\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\]
\[=b\]
\((c)\)
\[L.S=\lim_{x \rightarrow 0}x^2\cos{\left(\frac{1}{x}\right)}\]
আমরা জানি,
\[-1\le \cos x\le 1\]
\[\therefore -1\le \cos \left(\frac{1}{x}\right)\le 1\]
\[\Rightarrow -x^2\le x^2\cos \left(\frac{1}{x}\right)\le x^2\] ➜ \[x^2\] গুণ করে।
\[\Rightarrow \lim_{x \rightarrow 0}(-x^2)\le \lim_{x \rightarrow 0}x^2\cos \left(\frac{1}{x}\right)\le \lim_{x \rightarrow 0}x^2\] ➜ প্রতিটি পদে লিমিট সংযোগ করে।
\[\Rightarrow 0\le \lim_{x \rightarrow 0}x^2\cos \left(\frac{1}{x}\right)\le 0\] ➜ \[\because \lim_{x \rightarrow 0}x^2=0\]
\[\therefore \lim_{x \rightarrow 0}x^2\cos \left(\frac{1}{x}\right)=0\] ➜ স্যান্ডউইচ উপপাদ্যের সাহায্যে।
\[L.S=0\]
\[\therefore L.S=R.S\]
(Showed)
\[\lim_{x \rightarrow 0}x^2\cos{\left(\frac{1}{x}\right)}=0\]
\((a)\)
স্যান্ডউইচ উপপাদ্যঃ যদি \(\delta >|x-a|> 0\) ব্যবধির অন্তর্গত \(x\)-এর সকল মানের জন্য
\(f(x)\leq g(x)\leq h(x)\) এবং \[\lim_{x \rightarrow a}f(x)=l=\lim_{x \rightarrow a}h(x)\] হয় তবে, \[\lim_{x \rightarrow a}g(x)=l\] স্যান্ডউইচ এর উপপাদ্য বা স্কুইজিং ( Squeezing ) বা পিনচিং ( Pinching ) উপপাদ্য নামেও পরিচিত।
\((b)\)
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}2^x\sin \left(\frac{b}{2^x}\right)\]
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{\sin \left(\frac{b}{2^x}\right)}{\left(\frac{b}{2^x}\right)}\times b\]
ধরি,
\[\frac{b}{2^x}=h\] তাহলে, \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{b}{2^x}=0 \therefore h\rightarrow 0\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin h}{h}\times b\]
\[=1\times b\] ➜\[\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\]
\[=b\]
\((c)\)
\[L.S=\lim_{x \rightarrow 0}x^2\cos{\left(\frac{1}{x}\right)}\]
আমরা জানি,
\[-1\le \cos x\le 1\]
\[\therefore -1\le \cos \left(\frac{1}{x}\right)\le 1\]
\[\Rightarrow -x^2\le x^2\cos \left(\frac{1}{x}\right)\le x^2\] ➜ \[x^2\] গুণ করে।
\[\Rightarrow \lim_{x \rightarrow 0}(-x^2)\le \lim_{x \rightarrow 0}x^2\cos \left(\frac{1}{x}\right)\le \lim_{x \rightarrow 0}x^2\] ➜ প্রতিটি পদে লিমিট সংযোগ করে।
\[\Rightarrow 0\le \lim_{x \rightarrow 0}x^2\cos \left(\frac{1}{x}\right)\le 0\] ➜ \[\because \lim_{x \rightarrow 0}x^2=0\]
\[\therefore \lim_{x \rightarrow 0}x^2\cos \left(\frac{1}{x}\right)=0\] ➜ স্যান্ডউইচ উপপাদ্যের সাহায্যে।
\[L.S=0\]
\[\therefore L.S=R.S\]
(Showed)
\(Q.4.(x)\) \(f(x)=\cos{2x}\), \(g(x)=\frac{\cos{x}-\cos{2x}}{1-\cos{x}}\) এবং \(y=(\cos^{-1}{x})^2\)
\((a)\) মূলনিয়মের সাহায্যে দেখাও যে, \(f^{\prime}(x)=-2\sin{2x}\).
\((b)\) \(g^{\prime}(x)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-2\sin x\)
\((c)\) দেখাও যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}=2\)
\((a)\) মূলনিয়মের সাহায্যে দেখাও যে, \(f^{\prime}(x)=-2\sin{2x}\).
\((b)\) \(g^{\prime}(x)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-2\sin x\)
\((c)\) দেখাও যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}=2\)
সমাধানঃ
উদ্দীপক,
\(f(x)=\cos{2x}\), \(g(x)=\frac{\cos{x}-\cos{2x}}{1-\cos{x}}\) এবং \(y=(\cos^{-1}{x})^2\)
\((a)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\cos 2x\)
\(\therefore f(x+h)=\cos 2(x+h)\)
আমরা জানি,
\[\frac{d}{dx}\{f(x)\}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\] ➜ মূল নিয়মে অন্তরজের সংজ্ঞানুসারে
\[\Rightarrow f^{\prime}(x)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\cos 2(x+h)-\cos 2x}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2\sin \frac{2(x+h)+2x}{2}\sin \frac{2x-2(x+h)}{2}}{h}\] ➜ \(\because \cos C-\cos D=2\sin \frac{C+D}{2}\sin \frac{D-C}{2}\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2\sin \frac{2x+2h+2x}{2}\sin \frac{2x-2x-2h}{2}}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2\sin \frac{4x+2h}{2}\sin \frac{-2h}{2}}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2\sin \frac{2(2x+h)}{2}\sin (-h)}{h}\]
\[=-2\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin (2x+h)\sin h}{h}\]
\[=-2\lim_{h \rightarrow 0}\sin (2x+h)\times \frac{\sin h}{h}\]
\[=-2\lim_{h \rightarrow 0}\sin (2x+h)\times \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin h}{h}\]
\[=-2\sin 2x\times 1\] ➜ \(\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\)
\[=-2\sin 2x\]
(Showed)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(g(x)=\frac{\cos{x}-\cos{2x}}{1-\cos{x}}\)
\(\Rightarrow y=\frac{2\sin \frac{x+2x}{2}\sin \frac{2x-x}{2}}{2\sin^2 \frac{x}{2}}\) ➜ \[\because \cos C-\cos D=2\sin \frac{C+D}{2}\sin \frac{D-C}{2}, 1-\cos A=2\sin^2 \frac{A}{2}\]
\(\Rightarrow g(x)=\frac{2\sin \frac{3x}{2}\sin \frac{x}{2}}{2\sin^2 \frac{x}{2}}\)
\(\Rightarrow g(x)=\frac{\sin \frac{3x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}\)
\(\Rightarrow g(x)=\frac{\sin 3\frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}\)
\(\Rightarrow g(x)=\frac{3\sin \frac{x}{2}-4\sin^3 \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}\) ➜ \[\because \sin 3A=3\sin A-4\sin^3 A\]
\(\Rightarrow g(x)=\frac{\sin \frac{x}{2}\left(3-4\sin^2 \frac{x}{2}\right)}{\sin \frac{x}{2}}\)
\(\Rightarrow g(x)=3-4\sin^2 \frac{x}{2}\)
\(\Rightarrow g(x)=3-2.2\sin^2 \frac{x}{2}\)
\(\Rightarrow g(x)=3-2\left(1-\cos 2\frac{x}{2}\right)\) ➜ \[\because 2\sin^2 A=1-\cos 2A\]
\(\Rightarrow g(x)=3-2(1-\cos x)\)
\(\Rightarrow g(x)=3-2+2\cos x\)
\(\Rightarrow g(x)=1+2\cos x\)
\[\therefore \frac{d}{dx}\{g(x)\}=\frac{d}{dx}(1+2\cos x)\] ➜ \[x\]-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\[\Rightarrow g^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(1)+\frac{d}{dx}(2\cos x)\]
\[=\frac{d}{dx}(1)+2\frac{d}{dx}(\cos x)\]
\[=0-2\sin x\] ➜ \[\because \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x\]
\[=-2\sin x\]
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(y=(\cos^{-1}{x})^2\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\cos^{-1}{x})^2\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=2\cos^{-1}{x}\frac{d}{dx}(\cos^{-1}{x})\) ➜ \(\sin^{-1}{x}\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=-2\cos^{-1}{x}.\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cos^{-1}{x})=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-x^2}y_{1}=-2\cos^{-1}{x}\) ➜ উভয় পার্শে \(\sqrt{1-x^2}\) গুণ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)y^2_{1}=4(\cos^{-1}{x})^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)y^2_{1}=4y\) ➜ \(\because y=(\cos^{-1}{x})^2\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{(1-x^2)y^2_{1}\}=4\frac{d}{dx}(y)\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)\frac{d}{dx}(y^2_{1})+y^2_{1}\frac{d}{dx}(1-x^2)=4y_{1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow (1-x^2).2y_{1}\frac{d}{dx}(y_{1})+y^2_{1}(0-2x)=4y_{1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(y^2_{1})=2y_{1}\frac{d}{dx}(y_{1})\), \(\frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x^2)=2x\)
\(\Rightarrow 2(1-x^2)y_{1}y_{2}-2xy^2_{1}=4y_{1}\)
\(\Rightarrow 2(1-x^2)y_{1}y_{2}-2xy^2_{1}-4y_{1}=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\{(1-x^2)y_{2}-xy_{1}-2\}=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\ne{0}, (1-x^2)y_{2}-xy_{1}-2=0\)
\(\Rightarrow (1-x^2)y_{2}-xy_{1}-2=0\)
\(\therefore (1-x^2)y_{2}-xy_{1}=2\)
(Showed)
\(f(x)=\cos{2x}\), \(g(x)=\frac{\cos{x}-\cos{2x}}{1-\cos{x}}\) এবং \(y=(\cos^{-1}{x})^2\)
\((a)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\cos 2x\)
\(\therefore f(x+h)=\cos 2(x+h)\)
আমরা জানি,
\[\frac{d}{dx}\{f(x)\}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\] ➜ মূল নিয়মে অন্তরজের সংজ্ঞানুসারে
\[\Rightarrow f^{\prime}(x)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\cos 2(x+h)-\cos 2x}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2\sin \frac{2(x+h)+2x}{2}\sin \frac{2x-2(x+h)}{2}}{h}\] ➜ \(\because \cos C-\cos D=2\sin \frac{C+D}{2}\sin \frac{D-C}{2}\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2\sin \frac{2x+2h+2x}{2}\sin \frac{2x-2x-2h}{2}}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2\sin \frac{4x+2h}{2}\sin \frac{-2h}{2}}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2\sin \frac{2(2x+h)}{2}\sin (-h)}{h}\]
\[=-2\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin (2x+h)\sin h}{h}\]
\[=-2\lim_{h \rightarrow 0}\sin (2x+h)\times \frac{\sin h}{h}\]
\[=-2\lim_{h \rightarrow 0}\sin (2x+h)\times \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin h}{h}\]
\[=-2\sin 2x\times 1\] ➜ \(\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\)
\[=-2\sin 2x\]
(Showed)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(g(x)=\frac{\cos{x}-\cos{2x}}{1-\cos{x}}\)
\(\Rightarrow y=\frac{2\sin \frac{x+2x}{2}\sin \frac{2x-x}{2}}{2\sin^2 \frac{x}{2}}\) ➜ \[\because \cos C-\cos D=2\sin \frac{C+D}{2}\sin \frac{D-C}{2}, 1-\cos A=2\sin^2 \frac{A}{2}\]
\(\Rightarrow g(x)=\frac{2\sin \frac{3x}{2}\sin \frac{x}{2}}{2\sin^2 \frac{x}{2}}\)
\(\Rightarrow g(x)=\frac{\sin \frac{3x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}\)
\(\Rightarrow g(x)=\frac{\sin 3\frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}\)
\(\Rightarrow g(x)=\frac{3\sin \frac{x}{2}-4\sin^3 \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}\) ➜ \[\because \sin 3A=3\sin A-4\sin^3 A\]
\(\Rightarrow g(x)=\frac{\sin \frac{x}{2}\left(3-4\sin^2 \frac{x}{2}\right)}{\sin \frac{x}{2}}\)
\(\Rightarrow g(x)=3-4\sin^2 \frac{x}{2}\)
\(\Rightarrow g(x)=3-2.2\sin^2 \frac{x}{2}\)
\(\Rightarrow g(x)=3-2\left(1-\cos 2\frac{x}{2}\right)\) ➜ \[\because 2\sin^2 A=1-\cos 2A\]
\(\Rightarrow g(x)=3-2(1-\cos x)\)
\(\Rightarrow g(x)=3-2+2\cos x\)
\(\Rightarrow g(x)=1+2\cos x\)
\[\therefore \frac{d}{dx}\{g(x)\}=\frac{d}{dx}(1+2\cos x)\] ➜ \[x\]-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\[\Rightarrow g^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(1)+\frac{d}{dx}(2\cos x)\]
\[=\frac{d}{dx}(1)+2\frac{d}{dx}(\cos x)\]
\[=0-2\sin x\] ➜ \[\because \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x\]
\[=-2\sin x\]
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(y=(\cos^{-1}{x})^2\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\cos^{-1}{x})^2\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=2\cos^{-1}{x}\frac{d}{dx}(\cos^{-1}{x})\) ➜ \(\sin^{-1}{x}\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=-2\cos^{-1}{x}.\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cos^{-1}{x})=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-x^2}y_{1}=-2\cos^{-1}{x}\) ➜ উভয় পার্শে \(\sqrt{1-x^2}\) গুণ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)y^2_{1}=4(\cos^{-1}{x})^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)y^2_{1}=4y\) ➜ \(\because y=(\cos^{-1}{x})^2\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{(1-x^2)y^2_{1}\}=4\frac{d}{dx}(y)\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)\frac{d}{dx}(y^2_{1})+y^2_{1}\frac{d}{dx}(1-x^2)=4y_{1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow (1-x^2).2y_{1}\frac{d}{dx}(y_{1})+y^2_{1}(0-2x)=4y_{1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(y^2_{1})=2y_{1}\frac{d}{dx}(y_{1})\), \(\frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x^2)=2x\)
\(\Rightarrow 2(1-x^2)y_{1}y_{2}-2xy^2_{1}=4y_{1}\)
\(\Rightarrow 2(1-x^2)y_{1}y_{2}-2xy^2_{1}-4y_{1}=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\{(1-x^2)y_{2}-xy_{1}-2\}=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\ne{0}, (1-x^2)y_{2}-xy_{1}-2=0\)
\(\Rightarrow (1-x^2)y_{2}-xy_{1}-2=0\)
\(\therefore (1-x^2)y_{2}-xy_{1}=2\)
(Showed)
\(Q.4.(xi)\) নিচের ফাংশনগুলি লক্ষ করঃ
\((1) \ y=\log_a{x}\)
\((2) \ f(x)=2x^{o}\cos{3x^{o}}\)
\((3) \ g(x)=\tan^{-1}{\sqrt{\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}}}\)
\((4) \ y=ax^2+bx^{-\frac{1}{2}}\)
\((a)\) মূলনিয়মের সাহায্যে দেখাও যে, \(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}\log_{a}e\).
\((b)\) \(f^{\prime}(x)\) ও \(g^{\prime}(x)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{90}\left(\cos \frac{\pi x}{60}-\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}\right)\); \(\frac{1}{2}\)
\((c)\) দেখাও যে, \(2x^2y_{2}-xy_{1}-2y=0\)
\((1) \ y=\log_a{x}\)
\((2) \ f(x)=2x^{o}\cos{3x^{o}}\)
\((3) \ g(x)=\tan^{-1}{\sqrt{\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}}}\)
\((4) \ y=ax^2+bx^{-\frac{1}{2}}\)
\((a)\) মূলনিয়মের সাহায্যে দেখাও যে, \(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}\log_{a}e\).
\((b)\) \(f^{\prime}(x)\) ও \(g^{\prime}(x)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{90}\left(\cos \frac{\pi x}{60}-\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}\right)\); \(\frac{1}{2}\)
\((c)\) দেখাও যে, \(2x^2y_{2}-xy_{1}-2y=0\)
সমাধানঃ
উদ্দীপক,
\((1) \ y=\log_a{x}\)
\((2) \ f(x)=2x^{o}\cos{3x^{o}}\)
\((3) \ g(x)=\tan^{-1}{\sqrt{\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}}}\)
\((4) \ y=ax^2+bx^{-\frac{1}{2}}\)
\((a)\)
ধরি,
\(y=f(x)=\log_a{x}\)
\(\Rightarrow f(x)=\ln x \times \log_ae\)
\(\therefore f(x+h)=\ln (x+h)\times \log_ae\)
আমরা জানি,
\[\frac{d}{dx}\{f(x)\}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\] ➜ মূল নিয়মে অন্তরজের সংজ্ঞানুসারে
\[\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\log_ax\}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\ln (x+h)\times \log_ae-\ln x\times \log_ae}{h}\]
\[\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\log_ae\{\ln (x+h)-\ln x\}}{h}\]
\[=\log_ae\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\ln \frac{(x+h)}{x}}{h}\]
\[=\log_ae\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\ln \left(1+\frac{h}{x}\right)}{h}\]
\[=\log_ae\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{h}{x}-\frac{1}{2}.\frac{h^2}{x^2}+\frac{1}{3}.\frac{h^3}{x^3}-......\infty}{h}\] ➜ \[\because \ln (1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4+.......\infty \]
\[=\log_ae\lim_{h \rightarrow 0}\frac{h\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2}.\frac{h}{x^2}+\frac{1}{3}.\frac{h^2}{x^3}-......\infty\right)}{h}\]
\[=\log_ae\lim_{h \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2}.\frac{h}{x^2}+\frac{1}{3}.\frac{h^2}{x^3}-......\infty\right)\]
\[=\log_ae\left(\frac{1}{x}-0+0-......\right)\] ➜ লিমিট ব্যবহার করে।
\[=\log_ae\times \frac{1}{x}\]
\[=\frac{1}{x}\log_a{e}\]
(Showed)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\((2) \ f(x)=2x^{o}\cos{3x^{o}}\)
\((3) \ g(x)=\tan^{-1}{\sqrt{\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}}}\)
আমরা জানি,
\(180^{o}=\pi\) \(\Rightarrow 1^{o}=\frac{\pi}{180}\)
\(\Rightarrow x^{o}=\frac{\pi x}{180}\)
\(\therefore f(x)=2\frac{\pi x}{180}\cos 3\frac{\pi x}{180}\)
\(=\frac{\pi x}{90}\cos \frac{\pi x}{60}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}\{f(x)\}=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi x}{90}\cos \frac{\pi x}{60}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{\pi x}{90}\frac{d}{dx}(\cos \frac{\pi x}{60})+\cos \frac{\pi x}{60}\frac{d}{dx}(\frac{\pi x}{90})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=\frac{\pi x}{90}(-\sin \frac{\pi x}{60})\frac{d}{dx}(\frac{\pi x}{60})+\cos \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi}{90}\frac{d}{dx}(x)\) ➜ \(\left(\frac{\pi x}{60}\right)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=-\frac{\pi x}{90}\sin \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi}{60}\frac{d}{dx}(x)+\cos \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi }{90}\frac{d}{dx}(x)\)
\(=-\frac{\pi x}{90}\sin \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi}{60}.1+\cos \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi }{90}.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=-\frac{\pi x}{90}.\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}+\frac{\pi }{90}\cos \frac{\pi x}{60}\)
\(=\frac{\pi}{90}\left(\cos \frac{\pi x}{60}-\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}\right)\)
আবার,
\(g(x)=\tan^{-1}{\sqrt{\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}}}\)
\(=\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{2\sin^2 \frac{\theta}{2}}{2\cos^2 \frac{\theta}{2}}}\right)\) ➜ \(\because 1-\cos A=2\sin^2 \frac{A}{2}, \ 1+\cos A=2\cos^2 \frac{A}{2}\)
\(=\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{\sin^2 \frac{\theta}{2}}{\cos^2 \frac{\theta}{2}}}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\sqrt{\tan^2 \frac{\theta}{2}}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\tan \frac{\theta}{2}\right)\)
\(=\frac{\theta}{2}\)
\(\therefore g(x)=\frac{1}{2}\theta\)
\(\therefore \frac{d}{d\theta}\{g(x)\}=\frac{d}{d\theta}\left(\frac{1}{2}\theta\right)\) ➜ \(\theta\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow g^{\prime}(x)=\frac{1}{2}\frac{d}{d\theta}(\theta)\)
\(=\frac{1}{2}.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{1}{2}\)
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(y=ax^2+bx^{-\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(ax^2+bx^{-\frac{1}{2}})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=a\frac{d}{dx}(x^2)+b\frac{d}{dx}(x^{-\frac{1}{2}})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=a.2x-b\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2ax-\frac{b}{2}x^{\frac{-1-2}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2ax-\frac{b}{2}x^{-\frac{3}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d}{dx}\left(2ax-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}\right)\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2}=2a\frac{d}{dx}(x)-\frac{b}{2}\frac{d}{dx}(x^{-\frac{3}{2}})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2}=2a+\frac{b}{2}.\frac{3}{2}x^{-\frac{3}{2}-1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2}=2a+\frac{3b}{4}x^{\frac{-3-2}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2}=2a+\frac{3b}{4}x^{\frac{-5}{2}}\)
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}=4ax^2+\frac{3b}{2}x^{\frac{-5}{2}}\times{x^2}\) ➜ \(2x^2\) দ্বারা গুণ করে।
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}=4ax^2+\frac{3b}{2}x^{\frac{-5}{2}+2}\)
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}=4ax^2+\frac{3b}{2}x^{\frac{-5+4}{2}}\)
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}=4ax^2+\frac{3b}{2}x^{\frac{-1}{2}}\)
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}=2ax^2-\frac{b}{2}x^{-\frac{1}{2}}+2ax^2+2bx^{-\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}=x(2ax-\frac{b}{2}x^{-\frac{3}{2}})+2(ax^2+bx^{-\frac{1}{2}})\)
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}=x\frac{dy}{dx}+2y\) ➜ \(\because \frac{dy}{dx}=2ax-\frac{b}{2}x^{-\frac{3}{2}}, y=ax^2+bx^{-\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}-2y=0\)
\(\therefore 2x^2y_{2}-xy_{1}-2y=0\)
(Showed)
\((1) \ y=\log_a{x}\)
\((2) \ f(x)=2x^{o}\cos{3x^{o}}\)
\((3) \ g(x)=\tan^{-1}{\sqrt{\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}}}\)
\((4) \ y=ax^2+bx^{-\frac{1}{2}}\)
\((a)\)
ধরি,
\(y=f(x)=\log_a{x}\)
\(\Rightarrow f(x)=\ln x \times \log_ae\)
\(\therefore f(x+h)=\ln (x+h)\times \log_ae\)
আমরা জানি,
\[\frac{d}{dx}\{f(x)\}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\] ➜ মূল নিয়মে অন্তরজের সংজ্ঞানুসারে
\[\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\log_ax\}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\ln (x+h)\times \log_ae-\ln x\times \log_ae}{h}\]
\[\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\log_ae\{\ln (x+h)-\ln x\}}{h}\]
\[=\log_ae\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\ln \frac{(x+h)}{x}}{h}\]
\[=\log_ae\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\ln \left(1+\frac{h}{x}\right)}{h}\]
\[=\log_ae\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{h}{x}-\frac{1}{2}.\frac{h^2}{x^2}+\frac{1}{3}.\frac{h^3}{x^3}-......\infty}{h}\] ➜ \[\because \ln (1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4+.......\infty \]
\[=\log_ae\lim_{h \rightarrow 0}\frac{h\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2}.\frac{h}{x^2}+\frac{1}{3}.\frac{h^2}{x^3}-......\infty\right)}{h}\]
\[=\log_ae\lim_{h \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2}.\frac{h}{x^2}+\frac{1}{3}.\frac{h^2}{x^3}-......\infty\right)\]
\[=\log_ae\left(\frac{1}{x}-0+0-......\right)\] ➜ লিমিট ব্যবহার করে।
\[=\log_ae\times \frac{1}{x}\]
\[=\frac{1}{x}\log_a{e}\]
(Showed)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\((2) \ f(x)=2x^{o}\cos{3x^{o}}\)
\((3) \ g(x)=\tan^{-1}{\sqrt{\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}}}\)
আমরা জানি,
\(180^{o}=\pi\) \(\Rightarrow 1^{o}=\frac{\pi}{180}\)
\(\Rightarrow x^{o}=\frac{\pi x}{180}\)
\(\therefore f(x)=2\frac{\pi x}{180}\cos 3\frac{\pi x}{180}\)
\(=\frac{\pi x}{90}\cos \frac{\pi x}{60}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}\{f(x)\}=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi x}{90}\cos \frac{\pi x}{60}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{\pi x}{90}\frac{d}{dx}(\cos \frac{\pi x}{60})+\cos \frac{\pi x}{60}\frac{d}{dx}(\frac{\pi x}{90})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=\frac{\pi x}{90}(-\sin \frac{\pi x}{60})\frac{d}{dx}(\frac{\pi x}{60})+\cos \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi}{90}\frac{d}{dx}(x)\) ➜ \(\left(\frac{\pi x}{60}\right)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=-\frac{\pi x}{90}\sin \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi}{60}\frac{d}{dx}(x)+\cos \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi }{90}\frac{d}{dx}(x)\)
\(=-\frac{\pi x}{90}\sin \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi}{60}.1+\cos \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi }{90}.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=-\frac{\pi x}{90}.\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}+\frac{\pi }{90}\cos \frac{\pi x}{60}\)
\(=\frac{\pi}{90}\left(\cos \frac{\pi x}{60}-\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}\right)\)
আবার,
\(g(x)=\tan^{-1}{\sqrt{\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}}}\)
\(=\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{2\sin^2 \frac{\theta}{2}}{2\cos^2 \frac{\theta}{2}}}\right)\) ➜ \(\because 1-\cos A=2\sin^2 \frac{A}{2}, \ 1+\cos A=2\cos^2 \frac{A}{2}\)
\(=\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{\sin^2 \frac{\theta}{2}}{\cos^2 \frac{\theta}{2}}}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\sqrt{\tan^2 \frac{\theta}{2}}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\tan \frac{\theta}{2}\right)\)
\(=\frac{\theta}{2}\)
\(\therefore g(x)=\frac{1}{2}\theta\)
\(\therefore \frac{d}{d\theta}\{g(x)\}=\frac{d}{d\theta}\left(\frac{1}{2}\theta\right)\) ➜ \(\theta\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow g^{\prime}(x)=\frac{1}{2}\frac{d}{d\theta}(\theta)\)
\(=\frac{1}{2}.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{1}{2}\)
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(y=ax^2+bx^{-\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(ax^2+bx^{-\frac{1}{2}})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=a\frac{d}{dx}(x^2)+b\frac{d}{dx}(x^{-\frac{1}{2}})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=a.2x-b\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2ax-\frac{b}{2}x^{\frac{-1-2}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2ax-\frac{b}{2}x^{-\frac{3}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d}{dx}\left(2ax-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}\right)\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2}=2a\frac{d}{dx}(x)-\frac{b}{2}\frac{d}{dx}(x^{-\frac{3}{2}})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2}=2a+\frac{b}{2}.\frac{3}{2}x^{-\frac{3}{2}-1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2}=2a+\frac{3b}{4}x^{\frac{-3-2}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2}=2a+\frac{3b}{4}x^{\frac{-5}{2}}\)
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}=4ax^2+\frac{3b}{2}x^{\frac{-5}{2}}\times{x^2}\) ➜ \(2x^2\) দ্বারা গুণ করে।
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}=4ax^2+\frac{3b}{2}x^{\frac{-5}{2}+2}\)
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}=4ax^2+\frac{3b}{2}x^{\frac{-5+4}{2}}\)
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}=4ax^2+\frac{3b}{2}x^{\frac{-1}{2}}\)
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}=2ax^2-\frac{b}{2}x^{-\frac{1}{2}}+2ax^2+2bx^{-\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}=x(2ax-\frac{b}{2}x^{-\frac{3}{2}})+2(ax^2+bx^{-\frac{1}{2}})\)
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}=x\frac{dy}{dx}+2y\) ➜ \(\because \frac{dy}{dx}=2ax-\frac{b}{2}x^{-\frac{3}{2}}, y=ax^2+bx^{-\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}-2y=0\)
\(\therefore 2x^2y_{2}-xy_{1}-2y=0\)
(Showed)
\(Q.4.(xii)\) নিচের ফাংশনগুলি লক্ষ করঃ
\((1) \ f(x)=x\cos^{-1}{x}\)
\((2) \ x^y=y^x\)
\((3) \ y=x^2+\sqrt{1-x^2}\)
\((a)\) \(y=3x^2+2x-1\) বক্ররেখার \((-1, 0)\) বিন্দুতে ঢাল কত?
উত্তরঃ \(8\)
\((b)\) \(f^{\prime}(x)\) নির্ণয় কর এবং \((2) \) ব্যবহার করে দেখাও যে, \(\frac{dy}{dx}=\frac{y(x\ln{y}-y)}{x(y\ln{x}-x)}\).
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{x}-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
\((c)\) \((3)\) নং এ উল্লেখিত বক্ররেখার যে সমস্ত বিন্দুতে স্পর্শক \(x\) অক্ষের উপর লম্ব তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((1, 1); (-1, 1)\)
\((1) \ f(x)=x\cos^{-1}{x}\)
\((2) \ x^y=y^x\)
\((3) \ y=x^2+\sqrt{1-x^2}\)
\((a)\) \(y=3x^2+2x-1\) বক্ররেখার \((-1, 0)\) বিন্দুতে ঢাল কত?
উত্তরঃ \(8\)
\((b)\) \(f^{\prime}(x)\) নির্ণয় কর এবং \((2) \) ব্যবহার করে দেখাও যে, \(\frac{dy}{dx}=\frac{y(x\ln{y}-y)}{x(y\ln{x}-x)}\).
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{x}-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
\((c)\) \((3)\) নং এ উল্লেখিত বক্ররেখার যে সমস্ত বিন্দুতে স্পর্শক \(x\) অক্ষের উপর লম্ব তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((1, 1); (-1, 1)\)
সমাধানঃ
উদ্দীপক,
\((1) \ f(x)=x\cos^{-1}{x}\)
\((2) \ x^y=y^x\)
\((3) \ y=x^2+\sqrt{1-x^2}\)
\((a)\)
দেওয়া আছে,
\(y=3x^2+2x-1\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(3x^2+2x-1)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=3\frac{d}{dx}(x^2)+2\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(1)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u+v-w)=\frac{dy}{dx}(u)\)\(+\frac{dy}{dx}(v)-\frac{dy}{dx}(w)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=3.2x+2.1-0\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=6x+2\)
\((1, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1, 0)}=6.1+2\)
\(=6+2\)
\(=8\)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=x\cos^{-1}{x}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}\{f(x)\}=\frac{d}{dx}(x\cos^{-1}{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=x\frac{d}{dx}(\cos^{-1}{x})+\cos^{-1}{x}\frac{d}{dx}(x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=-x\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+\cos^{-1}{x}.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cos^{-1}{x})=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+\cos^{-1}{x}\)
\(=\cos^{-1}{x}-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
আবার,
\((2) \ x^y=y^x\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^y)=\frac{d}{dx}(y^x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow x^y\left(\frac{y}{x}\frac{d}{dx}(x)+\ln{x}\frac{d}{dx}(y)\right)=y^x\left(\frac{x}{y}\frac{d}{dx}(y)+\ln{y}\frac{d}{dx}(x)\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u^v)=u^v\left(\frac{v}{u}\frac{d}{dx}(u)+\ln{u}\frac{d}{dx}(v)\right)\)
\(\Rightarrow y^x\left(\frac{y}{x}.1+\ln{x}\frac{dy}{dx}\right)=y^x\left(\frac{x}{y}\frac{dy}{dx}+\ln{y}.1\right)\) ➜ \(\because x^y=y^x, \frac{d}{dx}(x)=1, \)
\(\Rightarrow \ln{x}\frac{dy}{dx}-\frac{x}{y}\frac{dy}{dx}=\ln{y}-\frac{y}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}\left(\frac{y\ln{x}-x}{y}\right)=\frac{x\ln{y}-y}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{x\ln{y}-y}{x}\times{\frac{y}{y\ln{x}-x}}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{y(x\ln{y}-y)}{x(y\ln{x}-x)}\)
\((c)\)
ধরি,
\(y=x^2+\sqrt{1-x^2} ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^2+\sqrt{1-x^2})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(\sqrt{1-x^2})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2x+\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\frac{d}{dx}(1-x^2)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2x+\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}(0-2x)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2x-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{2x\sqrt{1-x^2}-x}{\sqrt{1-x^2}}\)
যেহেতু, স্পর্শক \(x\) অক্ষের উপর লম্ব \(\therefore \frac{dy}{dx}=\infty\)
\(\therefore \frac{2x\sqrt{1-x^2}-x}{\sqrt{1-x^2}}=\infty\)
\(\therefore \frac{2x\sqrt{1-x^2}-x}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{1}{0}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-x^2}=0\)
\(\Rightarrow 1-x^2=0\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ কর।
\(\Rightarrow -x^2=-1\)
\(\Rightarrow x^2=1\)
\(\Rightarrow x=\pm{\sqrt{1}}\)
\(\therefore x=\pm{1}\)
যখন, \(x=1\),
\(\therefore y=(1)^2+\sqrt{1-1^2}\) ➜ \((1)\) এর সাহায্যে।
\(=1+\sqrt{1-1}\)
\(=1+\sqrt{0}\)
\(=1+0\)
\(=1\)
যখন, \(x=-1\),
\(\therefore y=(-1)^2+\sqrt{1-(-1)^2}\) ➜ \((1)\) এর সাহায্যে।
\(=1+\sqrt{1-1}\)
\(=1+\sqrt{0}\)
\(=1+0\)
\(=1\)
নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((1, 1); (-1, 1)\)
\((1) \ f(x)=x\cos^{-1}{x}\)
\((2) \ x^y=y^x\)
\((3) \ y=x^2+\sqrt{1-x^2}\)
\((a)\)
দেওয়া আছে,
\(y=3x^2+2x-1\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(3x^2+2x-1)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=3\frac{d}{dx}(x^2)+2\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(1)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u+v-w)=\frac{dy}{dx}(u)\)\(+\frac{dy}{dx}(v)-\frac{dy}{dx}(w)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=3.2x+2.1-0\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=6x+2\)
\((1, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1, 0)}=6.1+2\)
\(=6+2\)
\(=8\)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=x\cos^{-1}{x}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}\{f(x)\}=\frac{d}{dx}(x\cos^{-1}{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=x\frac{d}{dx}(\cos^{-1}{x})+\cos^{-1}{x}\frac{d}{dx}(x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=-x\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+\cos^{-1}{x}.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cos^{-1}{x})=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+\cos^{-1}{x}\)
\(=\cos^{-1}{x}-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
আবার,
\((2) \ x^y=y^x\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^y)=\frac{d}{dx}(y^x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow x^y\left(\frac{y}{x}\frac{d}{dx}(x)+\ln{x}\frac{d}{dx}(y)\right)=y^x\left(\frac{x}{y}\frac{d}{dx}(y)+\ln{y}\frac{d}{dx}(x)\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u^v)=u^v\left(\frac{v}{u}\frac{d}{dx}(u)+\ln{u}\frac{d}{dx}(v)\right)\)
\(\Rightarrow y^x\left(\frac{y}{x}.1+\ln{x}\frac{dy}{dx}\right)=y^x\left(\frac{x}{y}\frac{dy}{dx}+\ln{y}.1\right)\) ➜ \(\because x^y=y^x, \frac{d}{dx}(x)=1, \)
\(\Rightarrow \ln{x}\frac{dy}{dx}-\frac{x}{y}\frac{dy}{dx}=\ln{y}-\frac{y}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}\left(\frac{y\ln{x}-x}{y}\right)=\frac{x\ln{y}-y}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{x\ln{y}-y}{x}\times{\frac{y}{y\ln{x}-x}}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{y(x\ln{y}-y)}{x(y\ln{x}-x)}\)
\((c)\)
ধরি,
\(y=x^2+\sqrt{1-x^2} ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^2+\sqrt{1-x^2})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(\sqrt{1-x^2})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2x+\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\frac{d}{dx}(1-x^2)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2x+\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}(0-2x)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2x-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{2x\sqrt{1-x^2}-x}{\sqrt{1-x^2}}\)
যেহেতু, স্পর্শক \(x\) অক্ষের উপর লম্ব \(\therefore \frac{dy}{dx}=\infty\)
\(\therefore \frac{2x\sqrt{1-x^2}-x}{\sqrt{1-x^2}}=\infty\)
\(\therefore \frac{2x\sqrt{1-x^2}-x}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{1}{0}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-x^2}=0\)
\(\Rightarrow 1-x^2=0\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ কর।
\(\Rightarrow -x^2=-1\)
\(\Rightarrow x^2=1\)
\(\Rightarrow x=\pm{\sqrt{1}}\)
\(\therefore x=\pm{1}\)
যখন, \(x=1\),
\(\therefore y=(1)^2+\sqrt{1-1^2}\) ➜ \((1)\) এর সাহায্যে।
\(=1+\sqrt{1-1}\)
\(=1+\sqrt{0}\)
\(=1+0\)
\(=1\)
যখন, \(x=-1\),
\(\therefore y=(-1)^2+\sqrt{1-(-1)^2}\) ➜ \((1)\) এর সাহায্যে।
\(=1+\sqrt{1-1}\)
\(=1+\sqrt{0}\)
\(=1+0\)
\(=1\)
নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((1, 1); (-1, 1)\)
\(Q.4.(xiii)\) নিচের ফাংশন তিনটি লক্ষ করঃ
\((1) \ f(x)=4e^x+9e^{-x}\)
\((2) \ y=\sqrt{4+3\sin{x}}\)
\((3) \ g(x)=\sin^2{(\ln{x^2})}\)
\((a)\) \(g^{\prime}(x)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{2}{x}\sin 4\ln (x)\)
\((b)\) দেখাও যে, \(2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+y^2=4 \).
\((c)\) \(f(x)\) এর লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(12\)
\((1) \ f(x)=4e^x+9e^{-x}\)
\((2) \ y=\sqrt{4+3\sin{x}}\)
\((3) \ g(x)=\sin^2{(\ln{x^2})}\)
\((a)\) \(g^{\prime}(x)\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{2}{x}\sin 4\ln (x)\)
\((b)\) দেখাও যে, \(2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+y^2=4 \).
\((c)\) \(f(x)\) এর লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(12\)
সমাধানঃ
উদ্দীপক,
\((1) \ f(x)=4e^x+9e^{-x}\)
\((2) \ y=\sqrt{4+3\sin{x}}\)
\((3) \ g(x)=\sin^2{(\ln{x^2})}\)
\((a)\)
দেওয়া আছে,
\(g(x)=\sin^2 \{\ln (x^2)\}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}\{g(x)\}=\frac{d}{dx}\left[\sin^2 \{\ln (x^2)\}\right]\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow g^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}\left[\sin^2 \{\ln (x^2)\}\right].\frac{d}{dx}\left[\sin \{\ln (x^2)\}\right].\frac{d}{dx}\{\ln (x^2)\}.\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜ \(\sin \{\ln (x^2)\}\), \(\ln (x^2)\) এবং \(x^2\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=2\sin \{\ln (x^2)\}.\cos \{\ln (x^2)\}.\frac{1}{x^2}.2x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x\)\(\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}\)
\(=\sin 2\{\ln (x^2)\}.\frac{2}{x}\)
\(=\frac{2}{x}\sin 2.2\ln (x)\)
\(=\frac{2}{x}\sin 4\ln (x)\)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(y=\sqrt{(4+3\sin{x})}\)
\(\Rightarrow y^2=4+3\sin{x}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y^2)=\frac{d}{dx}(4+3\sin{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(4)+3\frac{d}{dx}(\sin{x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}=0+3\cos{x}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\)
\(\Rightarrow 2\frac{d}{dx}\left(y\frac{dy}{dx}\right)=3\frac{d}{dx}(\cos{x})\) ➜আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow 2y\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)+2\frac{dy}{dx}.\frac{dy}{dx}=-3\sin{x}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u), \frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}\)
\(\Rightarrow 2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=-4-3\sin{x}+4\)
\(\Rightarrow 2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=-(4+3\sin{x})+4\)
\(\Rightarrow 2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=-y^2+4\) ➜\(\because 4+3\sin{x}=y^2\)
\(\therefore 2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+y^2=4\)
(Showed)
\((c)\)
ধরি,
\(y=4e^{x}+9e^{-x} ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(4e^{x}+9e^{-x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=4\frac{d}{dx}(e^{x})+9\frac{d}{dx}(e^{-x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(=4e^{x}+9e^{-x}(-1)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(e^{x})=e^{x}\), \(\frac{d}{dx}(e^{-x})=e^{-x}(-1)\)
\(=4e^{x}-9e^{-x}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=4e^{x}-9e^{-x}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 4e^{x}-9e^{-x}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=4e^{x}-9e^{-x}\)
\(\Rightarrow 4e^{x}=9e^{-x}\)
\(\Rightarrow \frac{e^{x}}{e^{-x}}=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow e^{x}.e^{x}=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow (e^{x})^2=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow e^{x}=\sqrt{\frac{9}{4}}\)
\(\Rightarrow e^{x}=\frac{3}{2} \ \because e^{x}\ne{-ve}\)
\(\therefore e^{x}=\frac{3}{2}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(4e^{x}-9e^{-x})\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=4e^{x}-9e^{-x}\)
\(=4\frac{d}{dx}(e^{x})-9\frac{d}{dx}(e^{-x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(=4e^{x}-9e^{-x}(-1)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(e^{x})=e^{x}\), \(\frac{d}{dx}(e^{-x})=e^{-x}(-1)\)
\(=4e^{x}+9e^{-x}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=4e^{x}+9e^{-x}\)
এখন, \(e^{x}=\frac{3}{2}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=4e^{x}+9e^{-x}\)
\(=4e^{x}+\frac{9}{e^{x}}\)
\(=4.\frac{3}{2}+\frac{9}{\frac{3}{2}}\)
\(=2.3+\frac{9.2}{3}\)
\(=2.3+3.2\)
\(=6+6\)
\(=12\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore e^{x}=\frac{3}{2}\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান আছে।
ফাংশনটির লঘুমান \(=4e^{x}+9e^{-x}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=4e^{x}+9e^{-x}\)
\(=4e^{x}+9e^{-x}\)
\(=4e^{x}+\frac{9}{e^{x}}\)
\(=4.\frac{3}{2}+\frac{9}{\frac{3}{2}}\) ➜ \(\because e^{x}=\frac{3}{2}\)
\(=2.3+\frac{9.2}{3}\)
\(=2.3+3.2\)
\(=6+6\)
\(=12\)
\((1) \ f(x)=4e^x+9e^{-x}\)
\((2) \ y=\sqrt{4+3\sin{x}}\)
\((3) \ g(x)=\sin^2{(\ln{x^2})}\)
\((a)\)
দেওয়া আছে,
\(g(x)=\sin^2 \{\ln (x^2)\}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}\{g(x)\}=\frac{d}{dx}\left[\sin^2 \{\ln (x^2)\}\right]\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow g^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}\left[\sin^2 \{\ln (x^2)\}\right].\frac{d}{dx}\left[\sin \{\ln (x^2)\}\right].\frac{d}{dx}\{\ln (x^2)\}.\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜ \(\sin \{\ln (x^2)\}\), \(\ln (x^2)\) এবং \(x^2\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=2\sin \{\ln (x^2)\}.\cos \{\ln (x^2)\}.\frac{1}{x^2}.2x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x\)\(\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}\)
\(=\sin 2\{\ln (x^2)\}.\frac{2}{x}\)
\(=\frac{2}{x}\sin 2.2\ln (x)\)
\(=\frac{2}{x}\sin 4\ln (x)\)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(y=\sqrt{(4+3\sin{x})}\)
\(\Rightarrow y^2=4+3\sin{x}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y^2)=\frac{d}{dx}(4+3\sin{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(4)+3\frac{d}{dx}(\sin{x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}=0+3\cos{x}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\)
\(\Rightarrow 2\frac{d}{dx}\left(y\frac{dy}{dx}\right)=3\frac{d}{dx}(\cos{x})\) ➜আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow 2y\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)+2\frac{dy}{dx}.\frac{dy}{dx}=-3\sin{x}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u), \frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}\)
\(\Rightarrow 2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=-4-3\sin{x}+4\)
\(\Rightarrow 2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=-(4+3\sin{x})+4\)
\(\Rightarrow 2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=-y^2+4\) ➜\(\because 4+3\sin{x}=y^2\)
\(\therefore 2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+y^2=4\)
(Showed)
\((c)\)
ধরি,
\(y=4e^{x}+9e^{-x} ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(4e^{x}+9e^{-x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=4\frac{d}{dx}(e^{x})+9\frac{d}{dx}(e^{-x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(=4e^{x}+9e^{-x}(-1)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(e^{x})=e^{x}\), \(\frac{d}{dx}(e^{-x})=e^{-x}(-1)\)
\(=4e^{x}-9e^{-x}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=4e^{x}-9e^{-x}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 4e^{x}-9e^{-x}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=4e^{x}-9e^{-x}\)
\(\Rightarrow 4e^{x}=9e^{-x}\)
\(\Rightarrow \frac{e^{x}}{e^{-x}}=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow e^{x}.e^{x}=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow (e^{x})^2=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow e^{x}=\sqrt{\frac{9}{4}}\)
\(\Rightarrow e^{x}=\frac{3}{2} \ \because e^{x}\ne{-ve}\)
\(\therefore e^{x}=\frac{3}{2}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(4e^{x}-9e^{-x})\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=4e^{x}-9e^{-x}\)
\(=4\frac{d}{dx}(e^{x})-9\frac{d}{dx}(e^{-x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(=4e^{x}-9e^{-x}(-1)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(e^{x})=e^{x}\), \(\frac{d}{dx}(e^{-x})=e^{-x}(-1)\)
\(=4e^{x}+9e^{-x}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=4e^{x}+9e^{-x}\)
এখন, \(e^{x}=\frac{3}{2}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=4e^{x}+9e^{-x}\)
\(=4e^{x}+\frac{9}{e^{x}}\)
\(=4.\frac{3}{2}+\frac{9}{\frac{3}{2}}\)
\(=2.3+\frac{9.2}{3}\)
\(=2.3+3.2\)
\(=6+6\)
\(=12\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore e^{x}=\frac{3}{2}\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান আছে।
ফাংশনটির লঘুমান \(=4e^{x}+9e^{-x}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=4e^{x}+9e^{-x}\)
\(=4e^{x}+9e^{-x}\)
\(=4e^{x}+\frac{9}{e^{x}}\)
\(=4.\frac{3}{2}+\frac{9}{\frac{3}{2}}\) ➜ \(\because e^{x}=\frac{3}{2}\)
\(=2.3+\frac{9.2}{3}\)
\(=2.3+3.2\)
\(=6+6\)
\(=12\)
\(Q.4.(xiv)\) \(f(x)=e^x\) এবং \(g(x)=\cos{x}\)
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin{x}}-\frac{1}{\tan{x}}\right)\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(0\)
\((b)\) \(y=\{f(x)+f(-x)\}g\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(y_{4}+4y=0\).
\((c)\) দেখাও যে, \(4f(x)+9f(-x)\) এর ক্ষুদ্রতম মান \(12\).
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin{x}}-\frac{1}{\tan{x}}\right)\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(0\)
\((b)\) \(y=\{f(x)+f(-x)\}g\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(y_{4}+4y=0\).
\((c)\) দেখাও যে, \(4f(x)+9f(-x)\) এর ক্ষুদ্রতম মান \(12\).
সমাধানঃ
উদ্দীপক,
\(f(x)=e^x\) এবং \(g(x)=\cos{x}\)
\((a)\)
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{\tan x}\right)\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{\frac{\sin x}{\cos x}}\right)\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{\cos x}{\sin x}\right)\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1-\cos x}{\sin x}\right)\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}\right)\] ➜ \[\because 1-\cos A=2\sin^2 \frac{A}{2}, \sin A=2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}\right)\]
\[=\left(\frac{0}{1}\right)\] ➜ \[\because \lim_{x \rightarrow 0}\sin \frac{x}{2}=0, \lim_{x \rightarrow 0}\cos \frac{x}{2}=1\]
\[=0\]
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(y=\{f(x)+f(-x)\}g\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\)
\(\Rightarrow y=(e^{x}+e^{-x})\sin{x}\) ➜ \(\because f(x)=e^x \Rightarrow f(-x)=e^{-x}, g(x)=\cos{x}\) \(\Rightarrow g\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{(e^{x}+e^{-x})\sin{x}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=(e^{x}+e^{-x})\frac{d}{dx}(\sin{x})+\sin{x}\frac{d}{dx}(e^{x}+e^{-x})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{1}=(e^{x}+e^{-x})\cos{x}+\sin{x}\{e^{x}+e^{-x}\frac{d}{dx}(-x)\}\) ➜ \((-x)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(\Rightarrow y_{1}=(e^{x}+e^{-x})\cos{x}+\sin{x}\{e^{x}+e^{-x}(-1)\}\)
\(\Rightarrow y_{1}=(e^{x}+e^{-x})\cos{x}+\sin{x}(e^{x}-e^{-x})\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=\frac{d}{dx}\{(e^{x}+e^{-x})\cos{x}\}+\frac{d}{dx}\{\sin{x}(e^{x}-e^{-x})\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=(e^{x}+e^{-x})\frac{d}{dx}(\cos{x})+\cos{x}\frac{d}{dx}(e^{x}+e^{-x})\)\(+\sin{x}\frac{d}{dx}(e^{x}-e^{-x})+(e^{x}-e^{-x})\frac{d}{dx}(\sin{x})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{2}=-(e^{x}+e^{-x})\sin{x}+(e^{x}-e^{-x})\cos{x}\)\(+(e^{x}+e^{-x})\sin{x}+(e^{x}-e^{-x})\cos{x}\)
\(\Rightarrow y_{2}=2(e^{x}-e^{-x})\cos{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=2\frac{d}{dx}\{(e^{x}-e^{-x})\cos{x}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=2(e^{x}-e^{-x})\frac{d}{dx}(\cos{x})+2\cos{x}\frac{d}{dx}(e^{x}-e^{-x})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{3}=-2(e^{x}-e^{-x})\sin{x})+2\cos{x}(e^{x}+e^{-x})\)
\(\Rightarrow y_{3}=-2(e^{x}-e^{-x})\sin{x})+2(e^{x}+e^{-x})\cos{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{3})=-2\frac{d}{dx}\{(e^{x}-e^{-x})\sin{x}\}+2\frac{d}{dx}\{(e^{x}+e^{-x})\cos{x}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow (y_{4})=-2(e^{x}-e^{-x})\frac{d}{dx}(\sin{x})-2\sin{x}\frac{d}{dx}(e^{x}-e^{-x})\)\(+2(e^{x}+e^{-x})\frac{d}{dx}(\cos{x})+2\cos{x}\frac{d}{dx}(e^{x}+e^{-x})\)
\(\Rightarrow y_{4}=-2(e^{x}-e^{-x})\cos{x}-2\sin{x}(e^{x}+e^{-x})\)\(-2(e^{x}+e^{-x})\sin{x}+2\cos{x}(e^{x}-e^{-x})\)
\(\Rightarrow y_{4}=-2(e^{x}-e^{-x})\cos{x}-2(e^{x}+e^{-x})\sin{x}\)\(-2(e^{x}+e^{-x})\sin{x}+2(e^{x}-e^{-x})\cos{x}\)
\(\Rightarrow y_{4}=-4(e^{x}+e^{-x})\sin{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d^4y}{dx^4}=-4y\) ➜ \(\because y_{4}=\frac{d^4y}{dx^4}, y=(e^{x}+e^{-x})\sin{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d^4y}{dx^4}+4y=0\)
\(\therefore y_{4}+4y=0\)
(Proved)
\((c)\)
ধরি,
\(y=4e^{x}+9e^{-x} ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(4e^{x}+9e^{-x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=4\frac{d}{dx}(e^{x})+9\frac{d}{dx}(e^{-x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(=4e^{x}+9e^{-x}(-1)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(e^{x})=e^{x}\), \(\frac{d}{dx}(e^{-x})=e^{-x}(-1)\)
\(=4e^{x}-9e^{-x}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=4e^{x}-9e^{-x}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 4e^{x}-9e^{-x}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=4e^{x}-9e^{-x}\)
\(\Rightarrow 4e^{x}=9e^{-x}\)
\(\Rightarrow \frac{e^{x}}{e^{-x}}=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow e^{x}.e^{x}=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow (e^{x})^2=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow e^{x}=\sqrt{\frac{9}{4}}\)
\(\Rightarrow e^{x}=\frac{3}{2} \ \because e^{x}\ne{-ve}\)
\(\therefore e^{x}=\frac{3}{2}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(4e^{x}-9e^{-x})\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=4e^{x}-9e^{-x}\)
\(=4\frac{d}{dx}(e^{x})-9\frac{d}{dx}(e^{-x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(=4e^{x}-9e^{-x}(-1)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(e^{x})=e^{x}\), \(\frac{d}{dx}(e^{-x})=e^{-x}(-1)\)
\(=4e^{x}+9e^{-x}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=4e^{x}+9e^{-x}\)
এখন, \(e^{x}=\frac{3}{2}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=4e^{x}+9e^{-x}\)
\(=4e^{x}+\frac{9}{e^{x}}\)
\(=4.\frac{3}{2}+\frac{9}{\frac{3}{2}}\)
\(=2.3+\frac{9.2}{3}\)
\(=2.3+3.2\)
\(=6+6\)
\(=12\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore e^{x}=\frac{3}{2}\) বিন্দুতে ফাংশনটির ক্ষুদ্রতম মান আছে।
ফাংশনটির ক্ষুদ্রতম মান \(=4e^{x}+9e^{-x}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=4e^{x}+9e^{-x}\)
\(=4e^{x}+9e^{-x}\)
\(=4e^{x}+\frac{9}{e^{x}}\)
\(=4.\frac{3}{2}+\frac{9}{\frac{3}{2}}\) ➜ \(\because e^{x}=\frac{3}{2}\)
\(=2.3+\frac{9.2}{3}\)
\(=2.3+3.2\)
\(=6+6\)
\(=12\)
(Showed)
\(f(x)=e^x\) এবং \(g(x)=\cos{x}\)
\((a)\)
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{\tan x}\right)\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{\frac{\sin x}{\cos x}}\right)\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{\cos x}{\sin x}\right)\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1-\cos x}{\sin x}\right)\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}\right)\] ➜ \[\because 1-\cos A=2\sin^2 \frac{A}{2}, \sin A=2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}\right)\]
\[=\left(\frac{0}{1}\right)\] ➜ \[\because \lim_{x \rightarrow 0}\sin \frac{x}{2}=0, \lim_{x \rightarrow 0}\cos \frac{x}{2}=1\]
\[=0\]
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(y=\{f(x)+f(-x)\}g\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\)
\(\Rightarrow y=(e^{x}+e^{-x})\sin{x}\) ➜ \(\because f(x)=e^x \Rightarrow f(-x)=e^{-x}, g(x)=\cos{x}\) \(\Rightarrow g\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{(e^{x}+e^{-x})\sin{x}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=(e^{x}+e^{-x})\frac{d}{dx}(\sin{x})+\sin{x}\frac{d}{dx}(e^{x}+e^{-x})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{1}=(e^{x}+e^{-x})\cos{x}+\sin{x}\{e^{x}+e^{-x}\frac{d}{dx}(-x)\}\) ➜ \((-x)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(\Rightarrow y_{1}=(e^{x}+e^{-x})\cos{x}+\sin{x}\{e^{x}+e^{-x}(-1)\}\)
\(\Rightarrow y_{1}=(e^{x}+e^{-x})\cos{x}+\sin{x}(e^{x}-e^{-x})\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=\frac{d}{dx}\{(e^{x}+e^{-x})\cos{x}\}+\frac{d}{dx}\{\sin{x}(e^{x}-e^{-x})\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=(e^{x}+e^{-x})\frac{d}{dx}(\cos{x})+\cos{x}\frac{d}{dx}(e^{x}+e^{-x})\)\(+\sin{x}\frac{d}{dx}(e^{x}-e^{-x})+(e^{x}-e^{-x})\frac{d}{dx}(\sin{x})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{2}=-(e^{x}+e^{-x})\sin{x}+(e^{x}-e^{-x})\cos{x}\)\(+(e^{x}+e^{-x})\sin{x}+(e^{x}-e^{-x})\cos{x}\)
\(\Rightarrow y_{2}=2(e^{x}-e^{-x})\cos{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{2})=2\frac{d}{dx}\{(e^{x}-e^{-x})\cos{x}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{3}=2(e^{x}-e^{-x})\frac{d}{dx}(\cos{x})+2\cos{x}\frac{d}{dx}(e^{x}-e^{-x})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{3}=-2(e^{x}-e^{-x})\sin{x})+2\cos{x}(e^{x}+e^{-x})\)
\(\Rightarrow y_{3}=-2(e^{x}-e^{-x})\sin{x})+2(e^{x}+e^{-x})\cos{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{3})=-2\frac{d}{dx}\{(e^{x}-e^{-x})\sin{x}\}+2\frac{d}{dx}\{(e^{x}+e^{-x})\cos{x}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow (y_{4})=-2(e^{x}-e^{-x})\frac{d}{dx}(\sin{x})-2\sin{x}\frac{d}{dx}(e^{x}-e^{-x})\)\(+2(e^{x}+e^{-x})\frac{d}{dx}(\cos{x})+2\cos{x}\frac{d}{dx}(e^{x}+e^{-x})\)
\(\Rightarrow y_{4}=-2(e^{x}-e^{-x})\cos{x}-2\sin{x}(e^{x}+e^{-x})\)\(-2(e^{x}+e^{-x})\sin{x}+2\cos{x}(e^{x}-e^{-x})\)
\(\Rightarrow y_{4}=-2(e^{x}-e^{-x})\cos{x}-2(e^{x}+e^{-x})\sin{x}\)\(-2(e^{x}+e^{-x})\sin{x}+2(e^{x}-e^{-x})\cos{x}\)
\(\Rightarrow y_{4}=-4(e^{x}+e^{-x})\sin{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d^4y}{dx^4}=-4y\) ➜ \(\because y_{4}=\frac{d^4y}{dx^4}, y=(e^{x}+e^{-x})\sin{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d^4y}{dx^4}+4y=0\)
\(\therefore y_{4}+4y=0\)
(Proved)
\((c)\)
ধরি,
\(y=4e^{x}+9e^{-x} ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(4e^{x}+9e^{-x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=4\frac{d}{dx}(e^{x})+9\frac{d}{dx}(e^{-x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(=4e^{x}+9e^{-x}(-1)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(e^{x})=e^{x}\), \(\frac{d}{dx}(e^{-x})=e^{-x}(-1)\)
\(=4e^{x}-9e^{-x}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=4e^{x}-9e^{-x}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 4e^{x}-9e^{-x}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=4e^{x}-9e^{-x}\)
\(\Rightarrow 4e^{x}=9e^{-x}\)
\(\Rightarrow \frac{e^{x}}{e^{-x}}=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow e^{x}.e^{x}=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow (e^{x})^2=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow e^{x}=\sqrt{\frac{9}{4}}\)
\(\Rightarrow e^{x}=\frac{3}{2} \ \because e^{x}\ne{-ve}\)
\(\therefore e^{x}=\frac{3}{2}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(4e^{x}-9e^{-x})\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=4e^{x}-9e^{-x}\)
\(=4\frac{d}{dx}(e^{x})-9\frac{d}{dx}(e^{-x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(=4e^{x}-9e^{-x}(-1)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(e^{x})=e^{x}\), \(\frac{d}{dx}(e^{-x})=e^{-x}(-1)\)
\(=4e^{x}+9e^{-x}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=4e^{x}+9e^{-x}\)
এখন, \(e^{x}=\frac{3}{2}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=4e^{x}+9e^{-x}\)
\(=4e^{x}+\frac{9}{e^{x}}\)
\(=4.\frac{3}{2}+\frac{9}{\frac{3}{2}}\)
\(=2.3+\frac{9.2}{3}\)
\(=2.3+3.2\)
\(=6+6\)
\(=12\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore e^{x}=\frac{3}{2}\) বিন্দুতে ফাংশনটির ক্ষুদ্রতম মান আছে।
ফাংশনটির ক্ষুদ্রতম মান \(=4e^{x}+9e^{-x}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=4e^{x}+9e^{-x}\)
\(=4e^{x}+9e^{-x}\)
\(=4e^{x}+\frac{9}{e^{x}}\)
\(=4.\frac{3}{2}+\frac{9}{\frac{3}{2}}\) ➜ \(\because e^{x}=\frac{3}{2}\)
\(=2.3+\frac{9.2}{3}\)
\(=2.3+3.2\)
\(=6+6\)
\(=12\)
(Showed)
\(Q.4.(xv)\) \(\phi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) এবং \(\psi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) ফাংশন দুইটি \(\phi(x)=\sin{x}\) এবং \(\psi(x)=\cos{x}\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত।
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\psi(x)}{x}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(0\)
\((b)\) মূল নিয়মে \(\psi(2x)\) এর অন্তরীকরণ কর।
উত্তরঃ \(-2\sin 2x\)
\((c)\) \(y=1+2\phi(x)+3\{\psi(x)\}^2, \ \left(0\le{x}\le{\frac{\pi}{2}}\right)\) ফাংশনটির বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক্ষুদ্রতম মান \(=0\), বৃহত্তমমান \(=4\frac{1}{3}\).
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\psi(x)}{x}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(0\)
\((b)\) মূল নিয়মে \(\psi(2x)\) এর অন্তরীকরণ কর।
উত্তরঃ \(-2\sin 2x\)
\((c)\) \(y=1+2\phi(x)+3\{\psi(x)\}^2, \ \left(0\le{x}\le{\frac{\pi}{2}}\right)\) ফাংশনটির বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক্ষুদ্রতম মান \(=0\), বৃহত্তমমান \(=4\frac{1}{3}\).
সমাধানঃ
উদ্দীপক,
\(\phi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) এবং \(\psi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) ফাংশন দুইটি \(\phi(x)=\sin{x}\) এবং \(\psi(x)=\cos{x}\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত।
\((a)\)
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\psi(x)}{x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x}\] ➜\[\because \psi(x)=\cos{x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{x}\] ➜\[\because 1- \cos A=2\sin^2 \frac{A}{2}\]
\[=2\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2\times \frac{x}{4}\]
\[=\left(\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2\times \lim_{x \rightarrow 0}\frac{x}{2}\]
\[=(1)^2\times 0\] ➜\[\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1, \lim_{x \rightarrow 0}\frac{x}{2}=0\]
\[=1\times 0\]
\[=0\]
\((b)\)
মনে করি,
\(f(x)=\psi(2x)\)
\(\Rightarrow f(x)=\cos{(2x)}\) ➜\[\because \psi(x)=\cos{x}\Rightarrow \psi(2x)=\cos{(2x)}\]
\(\therefore f(x+h)=\cos 2(x+h)\)
আমরা জানি,
\[\frac{d}{dx}\{f(x)\}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\] ➜ মূল নিয়মে অন্তরজের সংজ্ঞানুসারে
\[\Rightarrow \frac{d}{dx}(\cos 2x)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\cos 2(x+h)-\cos 2x}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2\sin \frac{2(x+h)+2x}{2}\sin \frac{2x-2(x+h)}{2}}{h}\] ➜ \(\because \cos C-\cos D=2\sin \frac{C+D}{2}\sin \frac{D-C}{2}\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2\sin \frac{2x+2h+2x}{2}\sin \frac{2x-2x-2h}{2}}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2\sin \frac{4x+2h}{2}\sin \frac{-2h}{2}}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2\sin \frac{2(2x+h)}{2}\sin (-h)}{h}\]
\[=-2\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin (2x+h)\sin h}{h}\]
\[=-2\lim_{h \rightarrow 0}\sin (2x+h)\times \frac{\sin h}{h}\]
\[=-2\lim_{h \rightarrow 0}\sin (2x+h)\times \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin h}{h}\]
\[=-2\sin 2x\times 1\] ➜ \(\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\)
\[=-2\sin 2x\]
\((c)\)
প্রদত্ত রাশি,
\(y=1+2\phi(x)+3\{\psi(x)\}^2, \ \left(0\le{x}\le{\frac{\pi}{2}}\right)\)
\(\Rightarrow y=1+2\sin{x}+3\cos^2{x} ......(1)\) ➜\(\because \phi(x)=\sin{x}, \psi(x)=\cos{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(1+2\sin{x}+3\cos^2{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(1)+2\frac{d}{dx}(\sin{x})+3\frac{d}{dx}(\cos^2{x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v+w)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=0+2\cos{x}+3.2\cos{x}(-\sin{x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\),\(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=2\cos{x}-6\sin{x}\cos{x}\)
ফাংশনটির বৃহত্তমমান ও ক্ষুদ্রতমমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 2\cos{x}-6\sin{x}\cos{x}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=2\cos{x}-6\sin{x}\cos{x}\)
\(\Rightarrow 2\cos{x}(1-3\sin{x})=0\)
\(\Rightarrow \cos{x}=0, 1-3\sin{x}=0\)
\(\Rightarrow \cos{x}=0, -3\sin{x}=-1\)
\(\Rightarrow \cos{x}=0, \sin{x}=\frac{-1}{-3}\)
\(\Rightarrow \cos{x}=0, \sin{x}=\frac{1}{3}\)
\(\therefore x=\frac{\pi}{2}, \sin{x}=\frac{1}{3}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(2\cos{x}-3\sin{2x})\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=2\cos{x}-6\sin{x}\cos{x}=2\cos{x}-3\sin{2x}\)
\(=2\frac{d}{dx}(\cos{x})-3\frac{d}{dx}(\sin{2x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(=-2\sin{x}-3\cos{2x}.2\)
\(=-2\sin{x}-6\cos{2x}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=-2\sin{x}-6\cos{2x}\)
এখন, \(x=\frac{\pi}{2}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=-2\sin{x}-6\cos{2x}\)
\(=-2\sin{\frac{\pi}{2}}-6\cos{2.\frac{\pi}{2}}\)
\(=-2.1-6\cos{\pi}\)
\(=-2.1-6.(-1)\)
\(=-2+6\)
\(=4\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=\frac{\pi}{2}\) বিন্দুতে ফাংশনটির ক্ষুদ্রতমমান আছে।
ফাংশনটির ক্ষুদ্রতমমান \(=1+2\sin{\frac{\pi}{2}}+3\cos^2{\frac{\pi}{2}}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=1+2\sin{x}+3\cos^2{x}\)
\(=1+2.1+3.0\)
\(=1+2+0\)
\(=3\)
আবার, \(\sin{x}=\frac{1}{3}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=-2\sin{x}-6\cos{2x}\)
\(=-2.\frac{1}{3}-6\{1-2.\left(\frac{1}{3}\right)^2\}\)
\(=-\frac{2}{3}-6\{1-2\frac{1}{9}\}\)
\(=-\frac{2}{3}-6\{1-\frac{2}{9}\}\)
\(=-\frac{2}{3}-6.\frac{9-2}{9}.\)
\(=-\frac{2}{3}-2.\frac{7}{3}\)
\(=-\frac{2}{3}-\frac{14}{3}\)
\(=\frac{-2-14}{3}\)
\(=\frac{-16}{3}\)
\(=-\frac{16}{3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore \sin{x}=\frac{1}{3}\) বিন্দুতে ফাংশনটির বৃহত্তমমান আছে।
ফাংশনটির বৃহত্তমমান \(=1+2\sin{x}+3\cos^2{x}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=1+2\sin{x}+3\cos^2{x}\)
\(=1+2\sin{x}+3(1-\sin^2{x})\)
\(=1+2.\frac{1}{3}+3\{1-\left(\frac{1}{3}\right)^2\}\)
\(=1+\frac{2}{3}+3\{1-\frac{1}{9}\}\)
\(=1+\frac{2}{3}+3.\frac{9-1}{9}\)
\(=1+\frac{2}{3}+3.\frac{8}{9}\)
\(=1+\frac{2}{3}+\frac{24}{9}\)
\(=\frac{39}{9}\)
\(=\frac{13}{3}\)
\(=4\frac{1}{3}\)
\(\phi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) এবং \(\psi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) ফাংশন দুইটি \(\phi(x)=\sin{x}\) এবং \(\psi(x)=\cos{x}\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত।
\((a)\)
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\psi(x)}{x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x}\] ➜\[\because \psi(x)=\cos{x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{x}\] ➜\[\because 1- \cos A=2\sin^2 \frac{A}{2}\]
\[=2\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2\times \frac{x}{4}\]
\[=\left(\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2\times \lim_{x \rightarrow 0}\frac{x}{2}\]
\[=(1)^2\times 0\] ➜\[\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1, \lim_{x \rightarrow 0}\frac{x}{2}=0\]
\[=1\times 0\]
\[=0\]
\((b)\)
মনে করি,
\(f(x)=\psi(2x)\)
\(\Rightarrow f(x)=\cos{(2x)}\) ➜\[\because \psi(x)=\cos{x}\Rightarrow \psi(2x)=\cos{(2x)}\]
\(\therefore f(x+h)=\cos 2(x+h)\)
আমরা জানি,
\[\frac{d}{dx}\{f(x)\}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\] ➜ মূল নিয়মে অন্তরজের সংজ্ঞানুসারে
\[\Rightarrow \frac{d}{dx}(\cos 2x)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\cos 2(x+h)-\cos 2x}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2\sin \frac{2(x+h)+2x}{2}\sin \frac{2x-2(x+h)}{2}}{h}\] ➜ \(\because \cos C-\cos D=2\sin \frac{C+D}{2}\sin \frac{D-C}{2}\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2\sin \frac{2x+2h+2x}{2}\sin \frac{2x-2x-2h}{2}}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2\sin \frac{4x+2h}{2}\sin \frac{-2h}{2}}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2\sin \frac{2(2x+h)}{2}\sin (-h)}{h}\]
\[=-2\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin (2x+h)\sin h}{h}\]
\[=-2\lim_{h \rightarrow 0}\sin (2x+h)\times \frac{\sin h}{h}\]
\[=-2\lim_{h \rightarrow 0}\sin (2x+h)\times \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin h}{h}\]
\[=-2\sin 2x\times 1\] ➜ \(\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\)
\[=-2\sin 2x\]
\((c)\)
প্রদত্ত রাশি,
\(y=1+2\phi(x)+3\{\psi(x)\}^2, \ \left(0\le{x}\le{\frac{\pi}{2}}\right)\)
\(\Rightarrow y=1+2\sin{x}+3\cos^2{x} ......(1)\) ➜\(\because \phi(x)=\sin{x}, \psi(x)=\cos{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(1+2\sin{x}+3\cos^2{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(1)+2\frac{d}{dx}(\sin{x})+3\frac{d}{dx}(\cos^2{x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v+w)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=0+2\cos{x}+3.2\cos{x}(-\sin{x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\),\(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=2\cos{x}-6\sin{x}\cos{x}\)
ফাংশনটির বৃহত্তমমান ও ক্ষুদ্রতমমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 2\cos{x}-6\sin{x}\cos{x}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=2\cos{x}-6\sin{x}\cos{x}\)
\(\Rightarrow 2\cos{x}(1-3\sin{x})=0\)
\(\Rightarrow \cos{x}=0, 1-3\sin{x}=0\)
\(\Rightarrow \cos{x}=0, -3\sin{x}=-1\)
\(\Rightarrow \cos{x}=0, \sin{x}=\frac{-1}{-3}\)
\(\Rightarrow \cos{x}=0, \sin{x}=\frac{1}{3}\)
\(\therefore x=\frac{\pi}{2}, \sin{x}=\frac{1}{3}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(2\cos{x}-3\sin{2x})\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=2\cos{x}-6\sin{x}\cos{x}=2\cos{x}-3\sin{2x}\)
\(=2\frac{d}{dx}(\cos{x})-3\frac{d}{dx}(\sin{2x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(=-2\sin{x}-3\cos{2x}.2\)
\(=-2\sin{x}-6\cos{2x}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=-2\sin{x}-6\cos{2x}\)
এখন, \(x=\frac{\pi}{2}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=-2\sin{x}-6\cos{2x}\)
\(=-2\sin{\frac{\pi}{2}}-6\cos{2.\frac{\pi}{2}}\)
\(=-2.1-6\cos{\pi}\)
\(=-2.1-6.(-1)\)
\(=-2+6\)
\(=4\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=\frac{\pi}{2}\) বিন্দুতে ফাংশনটির ক্ষুদ্রতমমান আছে।
ফাংশনটির ক্ষুদ্রতমমান \(=1+2\sin{\frac{\pi}{2}}+3\cos^2{\frac{\pi}{2}}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=1+2\sin{x}+3\cos^2{x}\)
\(=1+2.1+3.0\)
\(=1+2+0\)
\(=3\)
আবার, \(\sin{x}=\frac{1}{3}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=-2\sin{x}-6\cos{2x}\)
\(=-2.\frac{1}{3}-6\{1-2.\left(\frac{1}{3}\right)^2\}\)
\(=-\frac{2}{3}-6\{1-2\frac{1}{9}\}\)
\(=-\frac{2}{3}-6\{1-\frac{2}{9}\}\)
\(=-\frac{2}{3}-6.\frac{9-2}{9}.\)
\(=-\frac{2}{3}-2.\frac{7}{3}\)
\(=-\frac{2}{3}-\frac{14}{3}\)
\(=\frac{-2-14}{3}\)
\(=\frac{-16}{3}\)
\(=-\frac{16}{3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore \sin{x}=\frac{1}{3}\) বিন্দুতে ফাংশনটির বৃহত্তমমান আছে।
ফাংশনটির বৃহত্তমমান \(=1+2\sin{x}+3\cos^2{x}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=1+2\sin{x}+3\cos^2{x}\)
\(=1+2\sin{x}+3(1-\sin^2{x})\)
\(=1+2.\frac{1}{3}+3\{1-\left(\frac{1}{3}\right)^2\}\)
\(=1+\frac{2}{3}+3\{1-\frac{1}{9}\}\)
\(=1+\frac{2}{3}+3.\frac{9-1}{9}\)
\(=1+\frac{2}{3}+3.\frac{8}{9}\)
\(=1+\frac{2}{3}+\frac{24}{9}\)
\(=\frac{39}{9}\)
\(=\frac{13}{3}\)
\(=4\frac{1}{3}\)
\(Q.4.(xvi)\) \(f(x)=3x^3-6x^2+3x+1\) এবং \(g(x)=b\cos{\ln{x}}+d\sin{\ln{x}}\).
\((a)\) \(y=x^2+\sqrt{1-x^2}\) বক্ররেখাটির উপর যে সকল বিন্দুতে স্পর্শক \(x\)অক্ষের উপর লম্ব, তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((1, 1); (-1, 1)\)
\((b)\) প্রমাণ কর যে, \(x^2g_{2}(x)+xg_{1}(x)+g(x)=0\).
\((c)\) \(f(x)\) এর চরম মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক্ষুদ্রতম মান \(=1\), বৃহত্তমমান \(=\frac{13}{9}\).
\((a)\) \(y=x^2+\sqrt{1-x^2}\) বক্ররেখাটির উপর যে সকল বিন্দুতে স্পর্শক \(x\)অক্ষের উপর লম্ব, তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((1, 1); (-1, 1)\)
\((b)\) প্রমাণ কর যে, \(x^2g_{2}(x)+xg_{1}(x)+g(x)=0\).
\((c)\) \(f(x)\) এর চরম মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক্ষুদ্রতম মান \(=1\), বৃহত্তমমান \(=\frac{13}{9}\).
সমাধানঃ
উদ্দীপক,
\(f(x)=3x^3-6x^2+3x+1\) এবং \(g(x)=b\cos{\ln{x}}+d\sin{\ln{x}}\).
\((a)\)
ধরি,
\(y=x^2+\sqrt{1-x^2} ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^2+\sqrt{1-x^2})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(\sqrt{1-x^2})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2x+\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\frac{d}{dx}(1-x^2)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2x+\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}(0-2x)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2x-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{2x\sqrt{1-x^2}-x}{\sqrt{1-x^2}}\)
যেহেতু, স্পর্শক \(x\) অক্ষের উপর লম্ব \(\therefore \frac{dy}{dx}=\infty\)
\(\therefore \frac{2x\sqrt{1-x^2}-x}{\sqrt{1-x^2}}=\infty\)
\(\therefore \frac{2x\sqrt{1-x^2}-x}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{1}{0}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-x^2}=0\)
\(\Rightarrow 1-x^2=0\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ কর।
\(\Rightarrow -x^2=-1\)
\(\Rightarrow x^2=1\)
\(\Rightarrow x=\pm{\sqrt{1}}\)
\(\therefore x=\pm{1}\)
যখন, \(x=1\),
\(\therefore y=(1)^2+\sqrt{1-1^2}\) ➜ \((1)\) এর সাহায্যে।
\(=1+\sqrt{1-1}\)
\(=1+\sqrt{0}\)
\(=1+0\)
\(=1\)
যখন, \(x=-1\),
\(\therefore y=(-1)^2+\sqrt{1-(-1)^2}\) ➜ \((1)\) এর সাহায্যে।
\(=1+\sqrt{1-1}\)
\(=1+\sqrt{0}\)
\(=1+0\)
\(=1\)
নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((1, 1); (-1, 1)\)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(g(x)=b\cos{\ln{x}}+d\sin{\ln{x}}\).
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{g(x)\}=\frac{d}{dx}\{b\cos{(\ln{x})}+d\sin{(\ln{x})}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow g_{1}(x)=b\frac{d}{dx}\{\cos{(\ln{x})}\}+d\frac{d}{dx}\{\sin{(\ln{x})}\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow g_{1}(x)=-b\sin{(\ln{x})}\frac{d}{dx}(\ln{x})+d\cos{(\ln{x})}\frac{d}{dx}(\ln{x})\) ➜\(\ln{x}\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}, \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\)
\(\Rightarrow g_{1}(x)=-b\sin{(\ln{x})}\frac{1}{x}+d\cos{(\ln{x})}\frac{1}{x}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow xg_{1}(x)=-b\sin{(\ln{x})}+d\cos{(\ln{x})}\) ➜ উভয় পার্শে \(x\)গুণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{xg_{1}(x)\}=\frac{d}{dx}\{-b\sin{(\ln{x})}+d\cos{(\ln{x})}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow x\frac{d}{dx}\{g_{1}(x)\}+g_{1}(x)\frac{d}{dx}(x)=-b\frac{d}{dx}\{\sin{(\ln{x})}\}+d\frac{d}{dx}\{\cos{(\ln{x})}\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\), \(\frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow xg_{2}(x)+g_{1}(x).1=-b\cos{(\ln{x})}\frac{d}{dx}(\ln{x})-d\sin{(\ln{x})}\frac{d}{dx}(\ln{x})\) ➜ \(\ln{x}\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}, \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\)
\(\Rightarrow xg_{2}(x)+g_{1}(x)=-b\cos{(\ln{x})}\frac{1}{x}-d\sin{(\ln{x})}\frac{1}{x}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow x^2g_{2}(x)+xg_{1}(x)=-b\cos{(\ln{x})}-d\sin{(\ln{x})}\) ➜উভয় পার্শে \(x\)গুণ করে।
\(\Rightarrow x^2g_{2}(x)+xg_{1}(x)=-\{b\cos{(\ln{x})}+d\sin{(\ln{x})}\}\)
\(\Rightarrow x^2g_{2}(x)+xg_{1}(x)=-g(x)\) ➜\(\because g(x)=b\cos{(\ln{x})}+d\sin{(\ln{x})}\)
\(\therefore x^2g_{2}(x)+xg_{1}(x)+g(x)=0\)
(Showed)
\((c)\)
ধরি,
\(y=f(x)\)
\(y=3x^3-6x^2+3x+1 ......(1)\) ➜\(\because f(x)=3x^3-6x^2+3x+1\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(3x^3-6x^2+3x+1)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=3\frac{d}{dx}(x^3)-6\frac{d}{dx}(x^2)+3\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(1)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=3.3x^2-6.2x+3.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=9x^2-12x+3\)
\(=3(3x^2-4x+1)\)
\(=3(3x^2-3x-x+1)\)
\(=3\{3x(x-1)-1(x-1)\}\)
\(=3(x-1)(3x-1)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=3(x-1)(3x-1)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 3(x-1)(3x-1)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=3(x-1)(3x-1)\)
\(\Rightarrow (x-1)(3x-1)=0\)
\(\Rightarrow x-1=0, 3x-1=0\)
\(\Rightarrow x=1, 3x=1\)
\(\Rightarrow x=1, x=\frac{1}{3}\)
\(\therefore x=1, \frac{1}{3}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(9x^2-12x+3)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=3(x-1)(3x-1)=9x^2-12x+3\)
\(=9\frac{d}{dx}(x^2)-12\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(3)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=9.2x-12.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\) \(\frac{d}{dx}(x)=1,\frac{d}{dx}(c)=0\),
\(=18x-12\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=18x-12\)
এখন, \(x=1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=18.1-12\)
\(=18-12\)
\(=6\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান আছে।
ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান \(=3.1^3-6.1^2+3.1+1\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=3x^3-6x^2+3x+1\)
\(=3.1-6.1+3+1\)
\(=3-6+4\)
\(=7-6\)
\(=1\)
আবার, \(x=\frac{1}{3}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=18.\frac{1}{3}-12\)
\(=6-12\)
\(=-6\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=\frac{1}{3}\) বিন্দুতে ফাংশনটির গরিষ্ঠমাণ আছে।
ফাংশনটির গরিষ্ঠমাণ \(=3.\left(\frac{1}{3}\right)^3-6.\left(\frac{1}{3}\right)^2+3.\frac{1}{3}+1\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=3x^3-6x^2+3x+1\)
\(=3.\frac{1}{27}-6.\frac{1}{9}+1+1\)
\(=\frac{1}{9}-\frac{2}{3}+2\)
\(=\frac{1-6+18}{9}\)
\(=\frac{19-6}{9}\)
\(=\frac{13}{9}\)
\(f(x)=3x^3-6x^2+3x+1\) এবং \(g(x)=b\cos{\ln{x}}+d\sin{\ln{x}}\).
\((a)\)
ধরি,
\(y=x^2+\sqrt{1-x^2} ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^2+\sqrt{1-x^2})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(\sqrt{1-x^2})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2x+\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\frac{d}{dx}(1-x^2)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2x+\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}(0-2x)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2x-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{2x\sqrt{1-x^2}-x}{\sqrt{1-x^2}}\)
যেহেতু, স্পর্শক \(x\) অক্ষের উপর লম্ব \(\therefore \frac{dy}{dx}=\infty\)
\(\therefore \frac{2x\sqrt{1-x^2}-x}{\sqrt{1-x^2}}=\infty\)
\(\therefore \frac{2x\sqrt{1-x^2}-x}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{1}{0}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-x^2}=0\)
\(\Rightarrow 1-x^2=0\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ কর।
\(\Rightarrow -x^2=-1\)
\(\Rightarrow x^2=1\)
\(\Rightarrow x=\pm{\sqrt{1}}\)
\(\therefore x=\pm{1}\)
যখন, \(x=1\),
\(\therefore y=(1)^2+\sqrt{1-1^2}\) ➜ \((1)\) এর সাহায্যে।
\(=1+\sqrt{1-1}\)
\(=1+\sqrt{0}\)
\(=1+0\)
\(=1\)
যখন, \(x=-1\),
\(\therefore y=(-1)^2+\sqrt{1-(-1)^2}\) ➜ \((1)\) এর সাহায্যে।
\(=1+\sqrt{1-1}\)
\(=1+\sqrt{0}\)
\(=1+0\)
\(=1\)
নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((1, 1); (-1, 1)\)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(g(x)=b\cos{\ln{x}}+d\sin{\ln{x}}\).
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{g(x)\}=\frac{d}{dx}\{b\cos{(\ln{x})}+d\sin{(\ln{x})}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow g_{1}(x)=b\frac{d}{dx}\{\cos{(\ln{x})}\}+d\frac{d}{dx}\{\sin{(\ln{x})}\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow g_{1}(x)=-b\sin{(\ln{x})}\frac{d}{dx}(\ln{x})+d\cos{(\ln{x})}\frac{d}{dx}(\ln{x})\) ➜\(\ln{x}\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}, \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\)
\(\Rightarrow g_{1}(x)=-b\sin{(\ln{x})}\frac{1}{x}+d\cos{(\ln{x})}\frac{1}{x}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow xg_{1}(x)=-b\sin{(\ln{x})}+d\cos{(\ln{x})}\) ➜ উভয় পার্শে \(x\)গুণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{xg_{1}(x)\}=\frac{d}{dx}\{-b\sin{(\ln{x})}+d\cos{(\ln{x})}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow x\frac{d}{dx}\{g_{1}(x)\}+g_{1}(x)\frac{d}{dx}(x)=-b\frac{d}{dx}\{\sin{(\ln{x})}\}+d\frac{d}{dx}\{\cos{(\ln{x})}\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\), \(\frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow xg_{2}(x)+g_{1}(x).1=-b\cos{(\ln{x})}\frac{d}{dx}(\ln{x})-d\sin{(\ln{x})}\frac{d}{dx}(\ln{x})\) ➜ \(\ln{x}\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}, \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\)
\(\Rightarrow xg_{2}(x)+g_{1}(x)=-b\cos{(\ln{x})}\frac{1}{x}-d\sin{(\ln{x})}\frac{1}{x}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow x^2g_{2}(x)+xg_{1}(x)=-b\cos{(\ln{x})}-d\sin{(\ln{x})}\) ➜উভয় পার্শে \(x\)গুণ করে।
\(\Rightarrow x^2g_{2}(x)+xg_{1}(x)=-\{b\cos{(\ln{x})}+d\sin{(\ln{x})}\}\)
\(\Rightarrow x^2g_{2}(x)+xg_{1}(x)=-g(x)\) ➜\(\because g(x)=b\cos{(\ln{x})}+d\sin{(\ln{x})}\)
\(\therefore x^2g_{2}(x)+xg_{1}(x)+g(x)=0\)
(Showed)
\((c)\)
ধরি,
\(y=f(x)\)
\(y=3x^3-6x^2+3x+1 ......(1)\) ➜\(\because f(x)=3x^3-6x^2+3x+1\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(3x^3-6x^2+3x+1)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=3\frac{d}{dx}(x^3)-6\frac{d}{dx}(x^2)+3\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(1)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=3.3x^2-6.2x+3.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=9x^2-12x+3\)
\(=3(3x^2-4x+1)\)
\(=3(3x^2-3x-x+1)\)
\(=3\{3x(x-1)-1(x-1)\}\)
\(=3(x-1)(3x-1)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=3(x-1)(3x-1)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 3(x-1)(3x-1)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=3(x-1)(3x-1)\)
\(\Rightarrow (x-1)(3x-1)=0\)
\(\Rightarrow x-1=0, 3x-1=0\)
\(\Rightarrow x=1, 3x=1\)
\(\Rightarrow x=1, x=\frac{1}{3}\)
\(\therefore x=1, \frac{1}{3}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(9x^2-12x+3)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=3(x-1)(3x-1)=9x^2-12x+3\)
\(=9\frac{d}{dx}(x^2)-12\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(3)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=9.2x-12.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\) \(\frac{d}{dx}(x)=1,\frac{d}{dx}(c)=0\),
\(=18x-12\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=18x-12\)
এখন, \(x=1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=18.1-12\)
\(=18-12\)
\(=6\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান আছে।
ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান \(=3.1^3-6.1^2+3.1+1\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=3x^3-6x^2+3x+1\)
\(=3.1-6.1+3+1\)
\(=3-6+4\)
\(=7-6\)
\(=1\)
আবার, \(x=\frac{1}{3}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=18.\frac{1}{3}-12\)
\(=6-12\)
\(=-6\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=\frac{1}{3}\) বিন্দুতে ফাংশনটির গরিষ্ঠমাণ আছে।
ফাংশনটির গরিষ্ঠমাণ \(=3.\left(\frac{1}{3}\right)^3-6.\left(\frac{1}{3}\right)^2+3.\frac{1}{3}+1\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=3x^3-6x^2+3x+1\)
\(=3.\frac{1}{27}-6.\frac{1}{9}+1+1\)
\(=\frac{1}{9}-\frac{2}{3}+2\)
\(=\frac{1-6+18}{9}\)
\(=\frac{19-6}{9}\)
\(=\frac{13}{9}\)
\(Q.4.(xvii)\) \(f(x)=\cos{x}\) এবং \(g(x)=\sin{x}\).
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow y}\frac{g(x)-g(y)}{x-y}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\cos y\)
\((b)\) মূল নিয়মে \(f(x)\) এর অন্তরক সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\sin x\)
\((c)\) \(x\) এর সাপেক্ষে \(\{f(x)\}^{g(x)}\) এর অন্তরক সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((\cos{x})^{\sin{x}}\left(\cos{x}\ln{\cos{x}}-\sin^2{x} \sec{x}\right)\)
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow y}\frac{g(x)-g(y)}{x-y}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\cos y\)
\((b)\) মূল নিয়মে \(f(x)\) এর অন্তরক সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\sin x\)
\((c)\) \(x\) এর সাপেক্ষে \(\{f(x)\}^{g(x)}\) এর অন্তরক সহগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((\cos{x})^{\sin{x}}\left(\cos{x}\ln{\cos{x}}-\sin^2{x} \sec{x}\right)\)
সমাধানঃ
উদ্দীপক,
\(f(x)=\cos{x}\) এবং \(g(x)=\sin{x}\).
\((a)\)
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{x \rightarrow y}\frac{g(x)-g(y)}{x-y}\]
\[=\lim_{x \rightarrow y}\frac{\sin x-\sin y}{x-y}\] ➜ \[\because g(x)=\sin{x}\Rightarrow g(y)=\sin{y}\]
\[=\lim_{x \rightarrow y}\frac{2\cos \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2}}{x-y}\] ➜ \[\because \sin C-\sin D=2\cos \frac{C+D}{2}\sin \frac{C-D}{2}\]
\[=2\lim_{x \rightarrow y}\cos \frac{x+y}{2}\times \frac{\sin \frac{x-y}{2}}{x-y}\]
\[=2\lim_{x \rightarrow y}\cos \frac{x+y}{2}\times \lim_{x \rightarrow y}\frac{\sin \frac{x-y}{2}}{\frac{x-y}{2}}\times \frac{1}{2}\]
ধরি,
\[x-y=h \therefore x\rightarrow y \Rightarrow h\rightarrow 0\]
\[=\cos \frac{2y}{2}\times \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\] ➜ \[\because \lim_{x \rightarrow y}\cos \frac{x+y}{2}=\cos \frac{2y}{2}\]
\[=\cos y\times 1\] ➜ \[\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\]
\[=\cos y\]
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\cos x\)
\(\therefore f(x+h)=\cos (x+h)\)
আমরা জানি,
\[\frac{d}{dx}\{f(x)\}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\] ➜ মূল নিয়মে অন্তরজের সংজ্ঞানুসারে
\[\Rightarrow \frac{d}{dx}(\cos x)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\cos (x+h)-\cos x}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2\sin \frac{x+h+x}{2}\sin \frac{x-x-h}{2}}{h}\] ➜ \(\because \cos C-\cos D=2\sin \frac{C+D}{2}\sin \frac{D-C}{2}\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2\sin \frac{2x+h}{2}\sin \frac{-h}{2}}{h}\]
\[=-2\lim_{h \rightarrow 0}\sin \frac{2x+h}{2}\times \frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\times \frac{1}{2}\]
\[=-\lim_{h \rightarrow 0}\sin \frac{2x+h}{2}\times \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\]
\[=-\sin \frac{2x}{2}\times 1\] ➜ \(\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\)
\[=-\sin x\]
\((c)\)
ধরি,
\(y=\{f(x)\}^{g(x)}\)
\(\Rightarrow y=(\cos{x})^{\sin{x}}\) ➜ \(\because f(x)=\cos{x}, g(x)=\sin{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\{\cos{x})^{\sin{x}}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=(\cos{x})^{\sin{x}}\left(\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\frac{d}{dx}(\cos{x})+\ln{(\cos{x})}\frac{d}{dx}(\sin{x})\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u^v)=u^v\left(\frac{v}{u}\frac{d}{dx}(u)+\ln{u}\frac{d}{dx}(v)\right)\)
\(=(\cos{x})^{\sin{x}}\left(\frac{\sin{x}}{\cos{x}}.(-\sin{x})+\ln{(\cos{x})}.\cos{x}\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}, \ \frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}\)
\(=(\cos{x})^{\sin{x}}\left(-\sin^2{x} \sec{x}+\cos{x}\ln{\cos{x}}\right)\)
\(=(\cos{x})^{\sin{x}}\left(\cos{x}\ln{\cos{x}}-\sin^2{x} \sec{x}\right)\)
\(f(x)=\cos{x}\) এবং \(g(x)=\sin{x}\).
\((a)\)
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{x \rightarrow y}\frac{g(x)-g(y)}{x-y}\]
\[=\lim_{x \rightarrow y}\frac{\sin x-\sin y}{x-y}\] ➜ \[\because g(x)=\sin{x}\Rightarrow g(y)=\sin{y}\]
\[=\lim_{x \rightarrow y}\frac{2\cos \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2}}{x-y}\] ➜ \[\because \sin C-\sin D=2\cos \frac{C+D}{2}\sin \frac{C-D}{2}\]
\[=2\lim_{x \rightarrow y}\cos \frac{x+y}{2}\times \frac{\sin \frac{x-y}{2}}{x-y}\]
\[=2\lim_{x \rightarrow y}\cos \frac{x+y}{2}\times \lim_{x \rightarrow y}\frac{\sin \frac{x-y}{2}}{\frac{x-y}{2}}\times \frac{1}{2}\]
ধরি,
\[x-y=h \therefore x\rightarrow y \Rightarrow h\rightarrow 0\]
\[=\cos \frac{2y}{2}\times \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\] ➜ \[\because \lim_{x \rightarrow y}\cos \frac{x+y}{2}=\cos \frac{2y}{2}\]
\[=\cos y\times 1\] ➜ \[\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\]
\[=\cos y\]
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\cos x\)
\(\therefore f(x+h)=\cos (x+h)\)
আমরা জানি,
\[\frac{d}{dx}\{f(x)\}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\] ➜ মূল নিয়মে অন্তরজের সংজ্ঞানুসারে
\[\Rightarrow \frac{d}{dx}(\cos x)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\cos (x+h)-\cos x}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2\sin \frac{x+h+x}{2}\sin \frac{x-x-h}{2}}{h}\] ➜ \(\because \cos C-\cos D=2\sin \frac{C+D}{2}\sin \frac{D-C}{2}\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2\sin \frac{2x+h}{2}\sin \frac{-h}{2}}{h}\]
\[=-2\lim_{h \rightarrow 0}\sin \frac{2x+h}{2}\times \frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\times \frac{1}{2}\]
\[=-\lim_{h \rightarrow 0}\sin \frac{2x+h}{2}\times \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\]
\[=-\sin \frac{2x}{2}\times 1\] ➜ \(\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\)
\[=-\sin x\]
\((c)\)
ধরি,
\(y=\{f(x)\}^{g(x)}\)
\(\Rightarrow y=(\cos{x})^{\sin{x}}\) ➜ \(\because f(x)=\cos{x}, g(x)=\sin{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\{\cos{x})^{\sin{x}}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=(\cos{x})^{\sin{x}}\left(\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\frac{d}{dx}(\cos{x})+\ln{(\cos{x})}\frac{d}{dx}(\sin{x})\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u^v)=u^v\left(\frac{v}{u}\frac{d}{dx}(u)+\ln{u}\frac{d}{dx}(v)\right)\)
\(=(\cos{x})^{\sin{x}}\left(\frac{\sin{x}}{\cos{x}}.(-\sin{x})+\ln{(\cos{x})}.\cos{x}\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}, \ \frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}\)
\(=(\cos{x})^{\sin{x}}\left(-\sin^2{x} \sec{x}+\cos{x}\ln{\cos{x}}\right)\)
\(=(\cos{x})^{\sin{x}}\left(\cos{x}\ln{\cos{x}}-\sin^2{x} \sec{x}\right)\)
\(Q.4.(xviii)\) \(g(x)=9e^{x}+16e^{-x}\) এবং \(y=\sqrt{2+5\sin{x}}\).
\((a)\) \(x\) এর সাপেক্ষে \((1+x)^x\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((1+x)^{x}\left(\frac{x}{1+x}+\ln{(1+x)}\right)\).
\((b)\) প্রমান কর যে, \(2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+y^2=2 \).
\((c)\) প্রমান কর যে, \(g(x)\) এর ক্ষুদ্রতম মান \(24\).
\((a)\) \(x\) এর সাপেক্ষে \((1+x)^x\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((1+x)^{x}\left(\frac{x}{1+x}+\ln{(1+x)}\right)\).
\((b)\) প্রমান কর যে, \(2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+y^2=2 \).
\((c)\) প্রমান কর যে, \(g(x)\) এর ক্ষুদ্রতম মান \(24\).
সমাধানঃ
উদ্দীপক,
\(g(x)=9e^{x}+16e^{-x}\) এবং \(y=\sqrt{2+5\sin{x}}\).
\((a)\)
ধরি,
\(y=(1+x)^{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left((1+x)^{x}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=(1+x)^{x}\left(\frac{x}{1+x}\frac{d}{dx}(1+x)+\ln{(1+x)}\frac{d}{dx}(x)\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u^v)=u^v\left(\frac{v}{u}\frac{d}{dx}(u)+\ln{u}\frac{d}{dx}(v)\right)\)
\(=(1+x)^{x}\left(\frac{x}{1+x}(0+1)+\ln{(1+x)}.1\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=(1+x)^{x}\left(\frac{x}{1+x}+\ln{(1+x)}\right)\)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(y=\sqrt{2+5\sin{x}}\)
\(\Rightarrow y^2=2+5\sin{x}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y^2)=\frac{d}{dx}(2+5\sin{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(2)+5\frac{d}{dx}(\sin{x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}=0+5\cos{x}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\)
\(\Rightarrow 2\frac{d}{dx}\left(y\frac{dy}{dx}\right)=5\frac{d}{dx}(\cos{x})\) ➜আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow 2y\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)+2\frac{dy}{dx}.\frac{dy}{dx}=-5\sin{x}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u), \frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}\)
\(\Rightarrow 2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=-2-5\sin{x}+2\)
\(\Rightarrow 2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=-(2+5\sin{x})+2\)
\(\Rightarrow 2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=-y^2+2\) ➜\(\because 2+5\sin{x}=y^2\)
\(\therefore 2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+y^2=2\)
(Showed)
\((c)\)
ধরি,
\(y=g(x)\)
\(\Rightarrow y=9e^{x}+16e^{-x} ......(1)\) ➜\(\because g(x)=9e^{x}+16e^{-x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(9e^{x}+16e^{-x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=9\frac{d}{dx}(e^{x})+16\frac{d}{dx}(e^{-x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(=9e^{x}+16e^{-x}(-1)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(e^{x})=e^{x}\), \(\frac{d}{dx}(e^{-x})=e^{-x}(-1)\)
\(=9e^{x}-16e^{-x}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=4e^{x}-9e^{-x}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 9e^{x}-16e^{-x}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=9e^{x}-16e^{-x}\)
\(\Rightarrow 9e^{x}=16e^{-x}\)
\(\Rightarrow \frac{e^{x}}{e^{-x}}=\frac{16}{9}\)
\(\Rightarrow e^{x}.e^{x}=\frac{16}{9}\)
\(\Rightarrow (e^{x})^2=\frac{16}{9}\)
\(\Rightarrow e^{x}=\sqrt{\frac{16}{9}}\)
\(\Rightarrow e^{x}=\frac{4}{3} \ \because e^{x}\ne{-ve}\)
\(\therefore e^{x}=\frac{4}{3}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(9e^{x}-16e^{-x})\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=9e^{x}-16e^{-x}\)
\(=9\frac{d}{dx}(e^{x})-16\frac{d}{dx}(e^{-x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(=9e^{x}-16e^{-x}(-1)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(e^{x})=e^{x}\), \(\frac{d}{dx}(e^{-x})=e^{-x}(-1)\)
\(=9e^{x}+16e^{-x}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=9e^{x}+16e^{-x}\)
এখন, \(e^{x}=\frac{4}{3}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=9e^{x}+16e^{-x}\)
\(=9e^{x}+\frac{16}{e^{x}}\)
\(=9.\frac{4}{3}+\frac{16}{\frac{4}{3}}\)
\(=3.4+\frac{16.3}{4}\)
\(=12+4.3\)
\(=12+12\)
\(=24\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore e^{x}=\frac{4}{3}\) বিন্দুতে ফাংশনটির ক্ষুদ্রতম মান আছে।
ফাংশনটির ক্ষুদ্রতম মান \(=9e^{x}+16e^{-x}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=9e^{x}+16e^{-x}\)
\(=9e^{x}+16e^{-x}\)
\(=9e^{x}+\frac{16}{e^{x}}\)
\(=9.\frac{4}{3}+\frac{16}{\frac{4}{3}}\) ➜ \(\because e^{x}=\frac{3}{2}\)
\(=3.4+\frac{16.3}{4}\)
\(=12+4.3\)
\(=12+12\)
\(=24\)
(Showed)
\(g(x)=9e^{x}+16e^{-x}\) এবং \(y=\sqrt{2+5\sin{x}}\).
\((a)\)
ধরি,
\(y=(1+x)^{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left((1+x)^{x}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=(1+x)^{x}\left(\frac{x}{1+x}\frac{d}{dx}(1+x)+\ln{(1+x)}\frac{d}{dx}(x)\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u^v)=u^v\left(\frac{v}{u}\frac{d}{dx}(u)+\ln{u}\frac{d}{dx}(v)\right)\)
\(=(1+x)^{x}\left(\frac{x}{1+x}(0+1)+\ln{(1+x)}.1\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=(1+x)^{x}\left(\frac{x}{1+x}+\ln{(1+x)}\right)\)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(y=\sqrt{2+5\sin{x}}\)
\(\Rightarrow y^2=2+5\sin{x}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y^2)=\frac{d}{dx}(2+5\sin{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(2)+5\frac{d}{dx}(\sin{x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}=0+5\cos{x}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\)
\(\Rightarrow 2\frac{d}{dx}\left(y\frac{dy}{dx}\right)=5\frac{d}{dx}(\cos{x})\) ➜আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow 2y\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)+2\frac{dy}{dx}.\frac{dy}{dx}=-5\sin{x}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u), \frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}\)
\(\Rightarrow 2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=-2-5\sin{x}+2\)
\(\Rightarrow 2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=-(2+5\sin{x})+2\)
\(\Rightarrow 2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=-y^2+2\) ➜\(\because 2+5\sin{x}=y^2\)
\(\therefore 2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+y^2=2\)
(Showed)
\((c)\)
ধরি,
\(y=g(x)\)
\(\Rightarrow y=9e^{x}+16e^{-x} ......(1)\) ➜\(\because g(x)=9e^{x}+16e^{-x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(9e^{x}+16e^{-x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=9\frac{d}{dx}(e^{x})+16\frac{d}{dx}(e^{-x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(=9e^{x}+16e^{-x}(-1)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(e^{x})=e^{x}\), \(\frac{d}{dx}(e^{-x})=e^{-x}(-1)\)
\(=9e^{x}-16e^{-x}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=4e^{x}-9e^{-x}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 9e^{x}-16e^{-x}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=9e^{x}-16e^{-x}\)
\(\Rightarrow 9e^{x}=16e^{-x}\)
\(\Rightarrow \frac{e^{x}}{e^{-x}}=\frac{16}{9}\)
\(\Rightarrow e^{x}.e^{x}=\frac{16}{9}\)
\(\Rightarrow (e^{x})^2=\frac{16}{9}\)
\(\Rightarrow e^{x}=\sqrt{\frac{16}{9}}\)
\(\Rightarrow e^{x}=\frac{4}{3} \ \because e^{x}\ne{-ve}\)
\(\therefore e^{x}=\frac{4}{3}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(9e^{x}-16e^{-x})\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=9e^{x}-16e^{-x}\)
\(=9\frac{d}{dx}(e^{x})-16\frac{d}{dx}(e^{-x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(=9e^{x}-16e^{-x}(-1)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(e^{x})=e^{x}\), \(\frac{d}{dx}(e^{-x})=e^{-x}(-1)\)
\(=9e^{x}+16e^{-x}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=9e^{x}+16e^{-x}\)
এখন, \(e^{x}=\frac{4}{3}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=9e^{x}+16e^{-x}\)
\(=9e^{x}+\frac{16}{e^{x}}\)
\(=9.\frac{4}{3}+\frac{16}{\frac{4}{3}}\)
\(=3.4+\frac{16.3}{4}\)
\(=12+4.3\)
\(=12+12\)
\(=24\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore e^{x}=\frac{4}{3}\) বিন্দুতে ফাংশনটির ক্ষুদ্রতম মান আছে।
ফাংশনটির ক্ষুদ্রতম মান \(=9e^{x}+16e^{-x}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=9e^{x}+16e^{-x}\)
\(=9e^{x}+16e^{-x}\)
\(=9e^{x}+\frac{16}{e^{x}}\)
\(=9.\frac{4}{3}+\frac{16}{\frac{4}{3}}\) ➜ \(\because e^{x}=\frac{3}{2}\)
\(=3.4+\frac{16.3}{4}\)
\(=12+4.3\)
\(=12+12\)
\(=24\)
(Showed)
\(Q.4.(xix)\) \(f(x)=\ln{x}\)
\((a)\) \(2x^{o}\cos{3x^{o}}\) কে \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{90}\left(\cos \frac{\pi x}{60}-\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}\right)\)
\((b)\) মূল নিয়মে দেখাও যে, \(\frac{d}{dx}\{f(x)\}=\frac{1}{x}\).
\((c)\) \(y=a\cos{\{f(x)\}}+b\sin{\{f(x)\}}\) হলে, দেখাও যে, \(x^2y_{2}+xy_{1}+y=0\).
\((a)\) \(2x^{o}\cos{3x^{o}}\) কে \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{90}\left(\cos \frac{\pi x}{60}-\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}\right)\)
\((b)\) মূল নিয়মে দেখাও যে, \(\frac{d}{dx}\{f(x)\}=\frac{1}{x}\).
\((c)\) \(y=a\cos{\{f(x)\}}+b\sin{\{f(x)\}}\) হলে, দেখাও যে, \(x^2y_{2}+xy_{1}+y=0\).
সমাধানঃ
উদ্দীপক,
\(f(x)=\ln{x}\)
\((a)\)
ধরি,
\(y=2x^{o}\cos{3x^{o}}\)
এবং
\(180^{o}=\pi\)
\(\Rightarrow 1^{o}=\frac{\pi}{180}\)
\(\Rightarrow x^{o}=\frac{\pi x}{180}\)
\(\therefore y=2\frac{\pi x}{180}\cos 3\frac{\pi x}{180}\)
\(\Rightarrow y=\frac{\pi x}{90}\cos \frac{\pi x}{60}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi x}{90}\cos \frac{\pi x}{60}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{\pi x}{90}\frac{d}{dx}(\cos \frac{\pi x}{60})+\cos \frac{\pi x}{60}\frac{d}{dx}(\frac{\pi x}{90})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=\frac{\pi x}{90}(-\sin \frac{\pi x}{60})\frac{d}{dx}(\frac{\pi x}{60})+\cos \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi}{90}\frac{d}{dx}(x)\) ➜ \(\left(\frac{\pi x}{60}\right)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=-\frac{\pi x}{90}\sin \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi}{60}\frac{d}{dx}(x)+\cos \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi }{90}\frac{d}{dx}(x)\)
\(=-\frac{\pi x}{90}\sin \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi}{60}.1+\cos \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi }{90}.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=-\frac{\pi x}{90}.\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}+\frac{\pi }{90}\cos \frac{\pi x}{60}\)
\(=\frac{\pi}{90}\left(\cos \frac{\pi x}{60}-\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}\right)\)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\ln x\)
\(\therefore f(x+h)=\ln (x+h)\)
আমরা জানি,
\[\frac{d}{dx}\{f(x)\}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\] ➜ মূল নিয়মে অন্তরজের সংজ্ঞানুসারে
\[\Rightarrow \frac{d}{dx}\{\ln x\}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\ln (x+h)-\ln x}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\ln \frac{(x+h)}{x}}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\ln \left(1+\frac{h}{x}\right)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{h}{x}-\frac{1}{2}.\frac{h^2}{x^2}+\frac{1}{3}.\frac{h^3}{x^3}-......\infty}{h}\] ➜ \[\because \ln (1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4+.......\infty \]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{h\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2}.\frac{h}{x^2}+\frac{1}{3}.\frac{h^2}{x^3}-......\infty\right)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2}.\frac{h}{x^2}+\frac{1}{3}.\frac{h^2}{x^3}-......\infty\right)\]
\[=\frac{1}{x}-0+0-......\] ➜ লিমিট ব্যবহার করে।
\[=\frac{1}{x}\]
(Showed)
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(y=a\cos{\{f(x)\}}+b\sin{\{f(x)\}}\)
\(\Rightarrow y=a\cos{(\ln{x})}+b\sin{(\ln{x})}\) ➜ \(\because f(x)=\ln{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{a\cos{(\ln{x})}+b\sin{(\ln{x})}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=a\frac{d}{dx}\{\cos{(\ln{x})}\}+b\frac{d}{dx}\{\sin{(\ln{x})}\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow y_{1}=-a\sin{(\ln{x})}\frac{d}{dx}(\ln{x})+b\cos{(\ln{x})}\frac{d}{dx}(\ln{x})\) ➜\(\ln{x}\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}, \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\)
\(\Rightarrow y_{1}=-a\sin{(\ln{x})}\frac{1}{x}+b\cos{(\ln{x})}\frac{1}{x}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow xy_{1}=-a\sin{(\ln{x})}+b\cos{(\ln{x})}\) ➜ উভয় পার্শে \(x\)গুণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(xy_{1})=\frac{d}{dx}\{-a\sin{(\ln{x})}+b\cos{(\ln{x})}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow x\frac{d}{dx}(y_{1})+y_{1}\frac{d}{dx}(x)=-a\frac{d}{dx}\{\sin{(\ln{x})}\}+b\frac{d}{dx}\{\cos{(\ln{x})}\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\), \(\frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow xy_{2}+y_{1}.1=-a\cos{(\ln{x})}\frac{d}{dx}(\ln{x})-b\sin{(\ln{x})}\frac{d}{dx}(\ln{x})\) ➜ \(\ln{x}\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}, \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\)
\(\Rightarrow xy_{2}+y_{1}=-a\cos{(\ln{x})}\frac{1}{x}-b\sin{(\ln{x})}\frac{1}{x}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow x^2y_{2}+xy_{1}=-a\cos{(\ln{x})}-b\sin{(\ln{x})}\) ➜উভয় পার্শে \(x\)গুণ করে।
\(\Rightarrow x^2y_{2}+xy_{1}=-\{a\cos{(\ln{x})}+b\sin{(\ln{x})}\}\)
\(\Rightarrow x^2y_{2}+xy_{1}=-y\) ➜\(\because y=a\cos{(\ln{x})}+b\sin{(\ln{x})}\)
\(\therefore x^2y_{2}+xy_{1}+y=0\)
(Showed)
\(f(x)=\ln{x}\)
\((a)\)
ধরি,
\(y=2x^{o}\cos{3x^{o}}\)
এবং
\(180^{o}=\pi\)
\(\Rightarrow 1^{o}=\frac{\pi}{180}\)
\(\Rightarrow x^{o}=\frac{\pi x}{180}\)
\(\therefore y=2\frac{\pi x}{180}\cos 3\frac{\pi x}{180}\)
\(\Rightarrow y=\frac{\pi x}{90}\cos \frac{\pi x}{60}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi x}{90}\cos \frac{\pi x}{60}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{\pi x}{90}\frac{d}{dx}(\cos \frac{\pi x}{60})+\cos \frac{\pi x}{60}\frac{d}{dx}(\frac{\pi x}{90})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=\frac{\pi x}{90}(-\sin \frac{\pi x}{60})\frac{d}{dx}(\frac{\pi x}{60})+\cos \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi}{90}\frac{d}{dx}(x)\) ➜ \(\left(\frac{\pi x}{60}\right)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=-\frac{\pi x}{90}\sin \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi}{60}\frac{d}{dx}(x)+\cos \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi }{90}\frac{d}{dx}(x)\)
\(=-\frac{\pi x}{90}\sin \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi}{60}.1+\cos \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi }{90}.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=-\frac{\pi x}{90}.\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}+\frac{\pi }{90}\cos \frac{\pi x}{60}\)
\(=\frac{\pi}{90}\left(\cos \frac{\pi x}{60}-\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}\right)\)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\ln x\)
\(\therefore f(x+h)=\ln (x+h)\)
আমরা জানি,
\[\frac{d}{dx}\{f(x)\}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\] ➜ মূল নিয়মে অন্তরজের সংজ্ঞানুসারে
\[\Rightarrow \frac{d}{dx}\{\ln x\}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\ln (x+h)-\ln x}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\ln \frac{(x+h)}{x}}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\ln \left(1+\frac{h}{x}\right)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{h}{x}-\frac{1}{2}.\frac{h^2}{x^2}+\frac{1}{3}.\frac{h^3}{x^3}-......\infty}{h}\] ➜ \[\because \ln (1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4+.......\infty \]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{h\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2}.\frac{h}{x^2}+\frac{1}{3}.\frac{h^2}{x^3}-......\infty\right)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2}.\frac{h}{x^2}+\frac{1}{3}.\frac{h^2}{x^3}-......\infty\right)\]
\[=\frac{1}{x}-0+0-......\] ➜ লিমিট ব্যবহার করে।
\[=\frac{1}{x}\]
(Showed)
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(y=a\cos{\{f(x)\}}+b\sin{\{f(x)\}}\)
\(\Rightarrow y=a\cos{(\ln{x})}+b\sin{(\ln{x})}\) ➜ \(\because f(x)=\ln{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{a\cos{(\ln{x})}+b\sin{(\ln{x})}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=a\frac{d}{dx}\{\cos{(\ln{x})}\}+b\frac{d}{dx}\{\sin{(\ln{x})}\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow y_{1}=-a\sin{(\ln{x})}\frac{d}{dx}(\ln{x})+b\cos{(\ln{x})}\frac{d}{dx}(\ln{x})\) ➜\(\ln{x}\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}, \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\)
\(\Rightarrow y_{1}=-a\sin{(\ln{x})}\frac{1}{x}+b\cos{(\ln{x})}\frac{1}{x}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow xy_{1}=-a\sin{(\ln{x})}+b\cos{(\ln{x})}\) ➜ উভয় পার্শে \(x\)গুণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(xy_{1})=\frac{d}{dx}\{-a\sin{(\ln{x})}+b\cos{(\ln{x})}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow x\frac{d}{dx}(y_{1})+y_{1}\frac{d}{dx}(x)=-a\frac{d}{dx}\{\sin{(\ln{x})}\}+b\frac{d}{dx}\{\cos{(\ln{x})}\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\), \(\frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow xy_{2}+y_{1}.1=-a\cos{(\ln{x})}\frac{d}{dx}(\ln{x})-b\sin{(\ln{x})}\frac{d}{dx}(\ln{x})\) ➜ \(\ln{x}\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}, \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\)
\(\Rightarrow xy_{2}+y_{1}=-a\cos{(\ln{x})}\frac{1}{x}-b\sin{(\ln{x})}\frac{1}{x}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow x^2y_{2}+xy_{1}=-a\cos{(\ln{x})}-b\sin{(\ln{x})}\) ➜উভয় পার্শে \(x\)গুণ করে।
\(\Rightarrow x^2y_{2}+xy_{1}=-\{a\cos{(\ln{x})}+b\sin{(\ln{x})}\}\)
\(\Rightarrow x^2y_{2}+xy_{1}=-y\) ➜\(\because y=a\cos{(\ln{x})}+b\sin{(\ln{x})}\)
\(\therefore x^2y_{2}+xy_{1}+y=0\)
(Showed)
\(Q.4.(xx)\) বক্ররেখা - \(x^3+xy^2-3x^2+4x+5y+2=0 ....(1)\) এবং \(g(x)=\ln{(2x)}\).
\((a)\) \(\ln{(xy)}=x+y \) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{y(x-1)}{x(1-y)}\)
\((b)\) মূল নিয়মে \(x\) এর সাপেক্ষে \(g(x)\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{x}\)
\((c)\) \((1)\) নং বক্ররেখার \((1, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ স্পর্শকের সমীকরণ \(2x+3y+1=0\), অভিলম্বের সমীকরণ \(3x-2y-5=0\)
\((a)\) \(\ln{(xy)}=x+y \) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{y(x-1)}{x(1-y)}\)
\((b)\) মূল নিয়মে \(x\) এর সাপেক্ষে \(g(x)\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{x}\)
\((c)\) \((1)\) নং বক্ররেখার \((1, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শক ও অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ স্পর্শকের সমীকরণ \(2x+3y+1=0\), অভিলম্বের সমীকরণ \(3x-2y-5=0\)
সমাধানঃ
উদ্দীপক,
বক্ররেখা - \(x^3+xy^2-3x^2+4x+5y+2=0 ....(1)\) এবং \(g(x)=\ln{(2x)}\).
\((a)\)
দেওয়া আছে,
\(\ln{(xy)}=x+y\)
\(\Rightarrow \ln{x}+\ln{y}=x+y\) ➜ \(\because \ln{(MN)}=\ln{(M)}+\ln{(M)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(\ln{x}+\ln{y})=\frac{d}{dx}(x+y)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(\ln{x})+\frac{d}{dx}(\ln{y})=1+\frac{dy}{dx}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v), \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=1+\frac{dy}{dx}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(\ln{y})=\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}-\frac{dy}{dx}=1-\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}\left(\frac{1}{y}-1\right)=1-\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}\frac{1-y}{y}=\frac{x-1}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{x-1}{x}\times{\frac{y}{1-y}}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{y(x-1)}{x(1-y)}\)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(g(x)=\ln (2x)\)
\(\therefore g(x+h)=\ln 2(x+h)\)
আমরা জানি,
\[\frac{d}{dx}\{g(x)\}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\] ➜ মূল নিয়মে অন্তরজের সংজ্ঞানুসারে
\[\Rightarrow \frac{d}{dx}\{\ln (2x)\}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\ln 2(x+h)-\ln (2x)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\ln \frac{2(x+h)}{2x}}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\ln \frac{(x+h)}{x}}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\ln \left(1+\frac{h}{x}\right)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{h}{x}-\frac{1}{2}.\frac{h^2}{x^2}+\frac{1}{3}.\frac{h^3}{x^3}-......\infty}{h}\] ➜ \[\because \ln (1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4+.......\infty \]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{h\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2}.\frac{h}{x^2}+\frac{1}{3}.\frac{h^2}{x^3}-......\infty\right)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2}.\frac{h}{x^2}+\frac{1}{3}.\frac{h^2}{x^3}-......\infty\right)\]
\[=\frac{1}{x}-0+0-......\] ➜ লিমিট ব্যবহার করে।
\[=\frac{1}{x}\]
(Showed)
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\((1)\) নং বক্ররেখা
\(x^3+xy^2-3x^2+4x+5y+2=0\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^3+xy^2-3x^2+4x+5y+2)=\frac{d}{dx}(0)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^3)+\frac{d}{dx}(xy^2)-3\frac{d}{dx}(x^2)+4\frac{d}{dx}(x)+5\frac{d}{dx}(y)+\frac{d}{dx}(2)=0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v-w+s+p+q)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)\)\(+\frac{d}{dx}(s)+\frac{d}{dx}(p)+\frac{d}{dx}(q)\)
\(\Rightarrow 3x^2+x\frac{d}{dx}(y^2)+y^2\frac{d}{dx}(x)-3.2x+4.1+5\frac{dy}{dx}+0=0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(c)=0\), \(\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow 3x^2+x.2y\frac{dy}{dx}+y^2.1-6x+4+5\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 3x^2+2xy\frac{dy}{dx}+y^2-6x+4+5\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(2xy+5)=6x-3x^2-y^2-4\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{6x-3x^2-y^2-4}{2xy+5}\)
\((1, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1, -1)}=\frac{6.1-3.1^2-(-1)^2-4}{2.1(-1)+5}\)
\(=\frac{6-3-1-4}{-2+5}\)
\(=\frac{6-8}{3}\)
\(=\frac{-2}{3}\)
\(=-\frac{2}{3}\)
\((1, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \(y-(-1)=-\frac{2}{3}(x-1)\) ➜ \(\because (x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \(y-y_{1}=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}(x-x_{1})\)
\(\Rightarrow y+1=-\frac{2}{3}(x-1)\)
\(\Rightarrow 3(y+1)=-2(x-1)\)
\(\Rightarrow 3y+3=-2x+2\)
\(\Rightarrow 2x+3y+3-2=0\)
\(\Rightarrow 2x+3y+1=0\)
\(\therefore\) স্পর্শকের সমীকরণ \(2x+3y+1=0\).
আবার,
\((1, -1)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ \((y+1)\times{-\frac{2}{3}}+(x-1)=0\) ➜ \(\because (x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ \((y-y_{1})\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}+(x-x_{1})=0\)
\(\Rightarrow -\frac{2(y+1)}{3}+(x-1)=0\)
\(\Rightarrow x-1=\frac{2(y+1)}{3}\)
\(\Rightarrow 3(x-1)=2(y+1)\)
\(\Rightarrow 3x-3=2y+2\)
\(\Rightarrow 3x-3-2y-2=0\)
\(\Rightarrow 3x-2y-5=0\)
\(\therefore \) অভিলম্বের সমীকরণ \(3x-2y-5=0\)
বক্ররেখা - \(x^3+xy^2-3x^2+4x+5y+2=0 ....(1)\) এবং \(g(x)=\ln{(2x)}\).
\((a)\)
দেওয়া আছে,
\(\ln{(xy)}=x+y\)
\(\Rightarrow \ln{x}+\ln{y}=x+y\) ➜ \(\because \ln{(MN)}=\ln{(M)}+\ln{(M)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(\ln{x}+\ln{y})=\frac{d}{dx}(x+y)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(\ln{x})+\frac{d}{dx}(\ln{y})=1+\frac{dy}{dx}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v), \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=1+\frac{dy}{dx}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(\ln{y})=\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}-\frac{dy}{dx}=1-\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}\left(\frac{1}{y}-1\right)=1-\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}\frac{1-y}{y}=\frac{x-1}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{x-1}{x}\times{\frac{y}{1-y}}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{y(x-1)}{x(1-y)}\)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(g(x)=\ln (2x)\)
\(\therefore g(x+h)=\ln 2(x+h)\)
আমরা জানি,
\[\frac{d}{dx}\{g(x)\}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\] ➜ মূল নিয়মে অন্তরজের সংজ্ঞানুসারে
\[\Rightarrow \frac{d}{dx}\{\ln (2x)\}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\ln 2(x+h)-\ln (2x)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\ln \frac{2(x+h)}{2x}}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\ln \frac{(x+h)}{x}}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\ln \left(1+\frac{h}{x}\right)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{h}{x}-\frac{1}{2}.\frac{h^2}{x^2}+\frac{1}{3}.\frac{h^3}{x^3}-......\infty}{h}\] ➜ \[\because \ln (1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4+.......\infty \]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{h\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2}.\frac{h}{x^2}+\frac{1}{3}.\frac{h^2}{x^3}-......\infty\right)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2}.\frac{h}{x^2}+\frac{1}{3}.\frac{h^2}{x^3}-......\infty\right)\]
\[=\frac{1}{x}-0+0-......\] ➜ লিমিট ব্যবহার করে।
\[=\frac{1}{x}\]
(Showed)
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\((1)\) নং বক্ররেখা
\(x^3+xy^2-3x^2+4x+5y+2=0\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^3+xy^2-3x^2+4x+5y+2)=\frac{d}{dx}(0)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^3)+\frac{d}{dx}(xy^2)-3\frac{d}{dx}(x^2)+4\frac{d}{dx}(x)+5\frac{d}{dx}(y)+\frac{d}{dx}(2)=0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v-w+s+p+q)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)\)\(+\frac{d}{dx}(s)+\frac{d}{dx}(p)+\frac{d}{dx}(q)\)
\(\Rightarrow 3x^2+x\frac{d}{dx}(y^2)+y^2\frac{d}{dx}(x)-3.2x+4.1+5\frac{dy}{dx}+0=0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(c)=0\), \(\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow 3x^2+x.2y\frac{dy}{dx}+y^2.1-6x+4+5\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 3x^2+2xy\frac{dy}{dx}+y^2-6x+4+5\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(2xy+5)=6x-3x^2-y^2-4\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{6x-3x^2-y^2-4}{2xy+5}\)
\((1, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1, -1)}=\frac{6.1-3.1^2-(-1)^2-4}{2.1(-1)+5}\)
\(=\frac{6-3-1-4}{-2+5}\)
\(=\frac{6-8}{3}\)
\(=\frac{-2}{3}\)
\(=-\frac{2}{3}\)
\((1, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \(y-(-1)=-\frac{2}{3}(x-1)\) ➜ \(\because (x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \(y-y_{1}=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}(x-x_{1})\)
\(\Rightarrow y+1=-\frac{2}{3}(x-1)\)
\(\Rightarrow 3(y+1)=-2(x-1)\)
\(\Rightarrow 3y+3=-2x+2\)
\(\Rightarrow 2x+3y+3-2=0\)
\(\Rightarrow 2x+3y+1=0\)
\(\therefore\) স্পর্শকের সমীকরণ \(2x+3y+1=0\).
আবার,
\((1, -1)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ \((y+1)\times{-\frac{2}{3}}+(x-1)=0\) ➜ \(\because (x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ \((y-y_{1})\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}+(x-x_{1})=0\)
\(\Rightarrow -\frac{2(y+1)}{3}+(x-1)=0\)
\(\Rightarrow x-1=\frac{2(y+1)}{3}\)
\(\Rightarrow 3(x-1)=2(y+1)\)
\(\Rightarrow 3x-3=2y+2\)
\(\Rightarrow 3x-3-2y-2=0\)
\(\Rightarrow 3x-2y-5=0\)
\(\therefore \) অভিলম্বের সমীকরণ \(3x-2y-5=0\)
\(Q.4.(xxi)\) \(A=2x^{o}\cos{3x^{o}}, y=ax^2+\frac{b}{\sqrt{x}}\) এবং \(f(x)=\ln{x}\).
\((a)\) \(\frac{d}{dx}A\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{90}\left(\cos \frac{\pi x}{60}-\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}\right)\)
\((b)\) প্রমান কর যে, \(2x^2y_{2}-xy_{1}-2y=0 \).
\((c)\) দেখাও যে, \(\frac{f(2x)}{x}\) এর বৃহত্তম মান \(\frac{2}{e}\).
\((a)\) \(\frac{d}{dx}A\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{90}\left(\cos \frac{\pi x}{60}-\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}\right)\)
\((b)\) প্রমান কর যে, \(2x^2y_{2}-xy_{1}-2y=0 \).
\((c)\) দেখাও যে, \(\frac{f(2x)}{x}\) এর বৃহত্তম মান \(\frac{2}{e}\).
সমাধানঃ
উদ্দীপক,
\(A=2x^{o}\cos{3x^{o}}, y=ax^2+\frac{b}{\sqrt{x}}\) এবং \(f(x)=\ln{x}\).
\((a)\)
দেওয়া আছে,
\(A=2x^{o}\cos{3x^{o}}\)
এবং
\(180^{o}=\pi\)
\(\Rightarrow 1^{o}=\frac{\pi}{180}\)
\(\Rightarrow x^{o}=\frac{\pi x}{180}\)
\(\therefore A=2\frac{\pi x}{180}\cos 3\frac{\pi x}{180}\)
\(\Rightarrow A=\frac{\pi x}{90}\cos \frac{\pi x}{60}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(A)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi x}{90}\cos \frac{\pi x}{60}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dA}{dx}=\frac{\pi x}{90}\frac{d}{dx}(\cos \frac{\pi x}{60})+\cos \frac{\pi x}{60}\frac{d}{dx}(\frac{\pi x}{90})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=\frac{\pi x}{90}(-\sin \frac{\pi x}{60})\frac{d}{dx}(\frac{\pi x}{60})+\cos \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi}{90}\frac{d}{dx}(x)\) ➜ \(\left(\frac{\pi x}{60}\right)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=-\frac{\pi x}{90}\sin \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi}{60}\frac{d}{dx}(x)+\cos \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi }{90}\frac{d}{dx}(x)\)
\(=-\frac{\pi x}{90}\sin \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi}{60}.1+\cos \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi }{90}.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=-\frac{\pi x}{90}.\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}+\frac{\pi }{90}\cos \frac{\pi x}{60}\)
\(=\frac{\pi}{90}\left(\cos \frac{\pi x}{60}-\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}\right)\)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(y=ax^2+\frac{b}{\sqrt{x}}\)
\(\Rightarrow y=ax^2+\frac{b}{x^{\frac{1}{2}}}\)
\(\Rightarrow y=ax^2+bx^{-\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(ax^2+bx^{-\frac{1}{2}})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=a\frac{d}{dx}(x^2)+b\frac{d}{dx}(x^{-\frac{1}{2}})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=a.2x-b\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2ax-\frac{b}{2}x^{\frac{-1-2}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2ax-\frac{b}{2}x^{-\frac{3}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d}{dx}\left(2ax-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}\right)\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2}=2a\frac{d}{dx}(x)-\frac{b}{2}\frac{d}{dx}(x^{-\frac{3}{2}})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2}=2a+\frac{b}{2}.\frac{3}{2}x^{-\frac{3}{2}-1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2}=2a+\frac{3b}{4}x^{\frac{-3-2}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2}=2a+\frac{3b}{4}x^{\frac{-5}{2}}\)
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}=4ax^2+\frac{3b}{2}x^{\frac{-5}{2}}\times{x^2}\) ➜ \(2x^2\) দ্বারা গুণ করে।
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}=4ax^2+\frac{3b}{2}x^{\frac{-5}{2}+2}\)
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}=4ax^2+\frac{3b}{2}x^{\frac{-5+4}{2}}\)
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}=4ax^2+\frac{3b}{2}x^{\frac{-1}{2}}\)
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}=2ax^2-\frac{b}{2}x^{-\frac{1}{2}}+2ax^2+2bx^{-\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}=x(2ax-\frac{b}{2}x^{-\frac{3}{2}})+2(ax^2+bx^{-\frac{1}{2}})\)
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}=x\frac{dy}{dx}+2y\) ➜ \(\because \frac{dy}{dx}=2ax-\frac{b}{2}x^{-\frac{3}{2}}, y=ax^2+bx^{-\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}-2y=0\)
\(\therefore 2x^2y_{2}-xy_{1}-2y=0\)
(Showed)
\((c)\)
প্রদত্ত রাশি \(=\frac{f(2x)}{x}\)
\(=\frac{\ln{2x}}{x}\) ➜\(\because f(x)=\ln{x}\Rightarrow f(2x)=\ln{2x}\)
ধরি,
\(y=\frac{\ln{2x}}{x} .......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln{2x}}{x}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{x\frac{d}{dx}(\ln{2x})-\ln{2x}\frac{d}{dx}(x)}{x^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{x\frac{1}{2x}.2-\ln{2x}.1}{x^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{1-\ln{2x}}{x^2}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{1-\ln{2x}}{x^2}\)
ফাংশনটির বৃহত্তম মান ও ক্ষুদ্রতমমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{1-\ln{2x}}{x^2}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{1-\ln{2x}}{x^2}\)
\(\Rightarrow \frac{1-\ln{2x}}{x^2}=0\)
\(\Rightarrow 1-\ln{2x}=0\)
\(\Rightarrow -\ln{2x}=-1\)
\(\Rightarrow \ln{2x}=1\)
\(\Rightarrow 2x=e^1\) ➜\(\because \ln{x}=y \Rightarrow x=e^y\)
\(\Rightarrow 2x=e\)
\(\therefore x=\frac{e}{2}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{1-\ln{2x}}{x^2}\right)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{1-\ln{2x}}{x^2}\)
\(=\frac{x^2\frac{d}{dx}(1-\ln{2x})-(1-\ln{2x})\frac{d}{dx}(x^2)}{x^4}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{x^2(0-\frac{1}{2x}.2)-(1-\ln{2x})2x}{x^4}\)
\(=\frac{-x-2x+2x\ln{2x}}{x^4}\)
\(=\frac{2x\ln{2x}-3x}{x^4}\)
\(=\frac{x(2\ln{2x}-3)}{x^4}\)
\(=\frac{2\ln{2x}-3}{x^3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2\ln{2x}-3}{x^3}\)
এখন, \(x=\frac{e}{2}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2\ln{2.\frac{e}{2}}-3}{\left(\frac{e}{2}\right)^3}\)
\(=\frac{2\ln{e}-3}{\frac{e^3}{8}}\)
\(=\frac{2.1-3}{\frac{e^3}{8}}\) ➜ \(\because \ln{e}=1\)
\(=\frac{2-3}{\frac{e^3}{8}}\)
\(=\frac{-1}{\frac{e^3}{8}}\)
\(=-\frac{8}{e^3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=\frac{e}{2}\) বিন্দুতে ফাংশনটির বৃহত্তম মান আছে।
ফাংশনটির বৃহত্তম মান \(=\frac{\ln{2.\frac{e}{2}}}{\frac{e}{2}}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=\frac{\ln{2x}}{x}\)
\(=\frac{\ln{e}}{\frac{e}{2}}\)
\(=\frac{1}{\frac{e}{2}}\) ➜ \(\because \ln{e}=1\)
\(=\frac{2}{e}\)
(Showed)
\(A=2x^{o}\cos{3x^{o}}, y=ax^2+\frac{b}{\sqrt{x}}\) এবং \(f(x)=\ln{x}\).
\((a)\)
দেওয়া আছে,
\(A=2x^{o}\cos{3x^{o}}\)
এবং
\(180^{o}=\pi\)
\(\Rightarrow 1^{o}=\frac{\pi}{180}\)
\(\Rightarrow x^{o}=\frac{\pi x}{180}\)
\(\therefore A=2\frac{\pi x}{180}\cos 3\frac{\pi x}{180}\)
\(\Rightarrow A=\frac{\pi x}{90}\cos \frac{\pi x}{60}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(A)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi x}{90}\cos \frac{\pi x}{60}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dA}{dx}=\frac{\pi x}{90}\frac{d}{dx}(\cos \frac{\pi x}{60})+\cos \frac{\pi x}{60}\frac{d}{dx}(\frac{\pi x}{90})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=\frac{\pi x}{90}(-\sin \frac{\pi x}{60})\frac{d}{dx}(\frac{\pi x}{60})+\cos \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi}{90}\frac{d}{dx}(x)\) ➜ \(\left(\frac{\pi x}{60}\right)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=-\frac{\pi x}{90}\sin \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi}{60}\frac{d}{dx}(x)+\cos \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi }{90}\frac{d}{dx}(x)\)
\(=-\frac{\pi x}{90}\sin \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi}{60}.1+\cos \frac{\pi x}{60}.\frac{\pi }{90}.1\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=-\frac{\pi x}{90}.\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}+\frac{\pi }{90}\cos \frac{\pi x}{60}\)
\(=\frac{\pi}{90}\left(\cos \frac{\pi x}{60}-\frac{\pi}{60}\sin \frac{\pi x}{60}\right)\)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(y=ax^2+\frac{b}{\sqrt{x}}\)
\(\Rightarrow y=ax^2+\frac{b}{x^{\frac{1}{2}}}\)
\(\Rightarrow y=ax^2+bx^{-\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(ax^2+bx^{-\frac{1}{2}})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=a\frac{d}{dx}(x^2)+b\frac{d}{dx}(x^{-\frac{1}{2}})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=a.2x-b\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2ax-\frac{b}{2}x^{\frac{-1-2}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2ax-\frac{b}{2}x^{-\frac{3}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d}{dx}\left(2ax-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}\right)\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2}=2a\frac{d}{dx}(x)-\frac{b}{2}\frac{d}{dx}(x^{-\frac{3}{2}})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2}=2a+\frac{b}{2}.\frac{3}{2}x^{-\frac{3}{2}-1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2}=2a+\frac{3b}{4}x^{\frac{-3-2}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2}=2a+\frac{3b}{4}x^{\frac{-5}{2}}\)
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}=4ax^2+\frac{3b}{2}x^{\frac{-5}{2}}\times{x^2}\) ➜ \(2x^2\) দ্বারা গুণ করে।
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}=4ax^2+\frac{3b}{2}x^{\frac{-5}{2}+2}\)
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}=4ax^2+\frac{3b}{2}x^{\frac{-5+4}{2}}\)
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}=4ax^2+\frac{3b}{2}x^{\frac{-1}{2}}\)
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}=2ax^2-\frac{b}{2}x^{-\frac{1}{2}}+2ax^2+2bx^{-\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}=x(2ax-\frac{b}{2}x^{-\frac{3}{2}})+2(ax^2+bx^{-\frac{1}{2}})\)
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}=x\frac{dy}{dx}+2y\) ➜ \(\because \frac{dy}{dx}=2ax-\frac{b}{2}x^{-\frac{3}{2}}, y=ax^2+bx^{-\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}-2y=0\)
\(\therefore 2x^2y_{2}-xy_{1}-2y=0\)
(Showed)
\((c)\)
প্রদত্ত রাশি \(=\frac{f(2x)}{x}\)
\(=\frac{\ln{2x}}{x}\) ➜\(\because f(x)=\ln{x}\Rightarrow f(2x)=\ln{2x}\)
ধরি,
\(y=\frac{\ln{2x}}{x} .......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln{2x}}{x}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{x\frac{d}{dx}(\ln{2x})-\ln{2x}\frac{d}{dx}(x)}{x^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{x\frac{1}{2x}.2-\ln{2x}.1}{x^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{1-\ln{2x}}{x^2}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{1-\ln{2x}}{x^2}\)
ফাংশনটির বৃহত্তম মান ও ক্ষুদ্রতমমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{1-\ln{2x}}{x^2}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{1-\ln{2x}}{x^2}\)
\(\Rightarrow \frac{1-\ln{2x}}{x^2}=0\)
\(\Rightarrow 1-\ln{2x}=0\)
\(\Rightarrow -\ln{2x}=-1\)
\(\Rightarrow \ln{2x}=1\)
\(\Rightarrow 2x=e^1\) ➜\(\because \ln{x}=y \Rightarrow x=e^y\)
\(\Rightarrow 2x=e\)
\(\therefore x=\frac{e}{2}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{1-\ln{2x}}{x^2}\right)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{1-\ln{2x}}{x^2}\)
\(=\frac{x^2\frac{d}{dx}(1-\ln{2x})-(1-\ln{2x})\frac{d}{dx}(x^2)}{x^4}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{x^2(0-\frac{1}{2x}.2)-(1-\ln{2x})2x}{x^4}\)
\(=\frac{-x-2x+2x\ln{2x}}{x^4}\)
\(=\frac{2x\ln{2x}-3x}{x^4}\)
\(=\frac{x(2\ln{2x}-3)}{x^4}\)
\(=\frac{2\ln{2x}-3}{x^3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2\ln{2x}-3}{x^3}\)
এখন, \(x=\frac{e}{2}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2\ln{2.\frac{e}{2}}-3}{\left(\frac{e}{2}\right)^3}\)
\(=\frac{2\ln{e}-3}{\frac{e^3}{8}}\)
\(=\frac{2.1-3}{\frac{e^3}{8}}\) ➜ \(\because \ln{e}=1\)
\(=\frac{2-3}{\frac{e^3}{8}}\)
\(=\frac{-1}{\frac{e^3}{8}}\)
\(=-\frac{8}{e^3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=\frac{e}{2}\) বিন্দুতে ফাংশনটির বৃহত্তম মান আছে।
ফাংশনটির বৃহত্তম মান \(=\frac{\ln{2.\frac{e}{2}}}{\frac{e}{2}}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=\frac{\ln{2x}}{x}\)
\(=\frac{\ln{e}}{\frac{e}{2}}\)
\(=\frac{1}{\frac{e}{2}}\) ➜ \(\because \ln{e}=1\)
\(=\frac{2}{e}\)
(Showed)
\(Q.4.(xxii)\) \(f(u)=\ln{u}\) একটি লগারিদমিক ফাংশন এবং \(g(v)=p\sin^{-1}{v}\) একটি বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশন।
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow a}\frac{x^{\frac{5}{2}}-a^{\frac{5}{2}}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5a^2\)
\((b)\) মূল নিয়মে \(x\) এর সাপেক্ষে \(f(x)\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{x}\)
\((c)\) \(f(y)=g(x)\) হলে, দেখাও যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}-p^2y=0\).
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow a}\frac{x^{\frac{5}{2}}-a^{\frac{5}{2}}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5a^2\)
\((b)\) মূল নিয়মে \(x\) এর সাপেক্ষে \(f(x)\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{x}\)
\((c)\) \(f(y)=g(x)\) হলে, দেখাও যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}-p^2y=0\).
সমাধানঃ
উদ্দীপক,
\(f(u)=\ln{u}\) একটি লগারিদমিক ফাংশন এবং \(g(v)=p\sin^{-1}{v}\) একটি বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশন।
\((a)\)
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{x \rightarrow a}\frac{x^{\frac{5}{2}}-a^{\frac{5}{2}}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}\]
\[=\lim_{x \rightarrow a}\frac{(\sqrt{x})^{5}-(\sqrt{a})^{5}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}\]
\[=\lim_{x \rightarrow a}\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{a})\{(\sqrt{x})^{4}+(\sqrt{x})^{3}\sqrt{a}+(\sqrt{x})^{2}(\sqrt{a})^2+\sqrt{x}(\sqrt{a})^3+(\sqrt{a})^4\}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}\]
\[=\lim_{x \rightarrow a}\{(\sqrt{x})^{4}+(\sqrt{x})^{3}\sqrt{a}+(\sqrt{x})^{2}(\sqrt{a})^2+\sqrt{x}(\sqrt{a})^3+(\sqrt{a})^4\}\]
\[=(\sqrt{a})^{4}+(\sqrt{a})^{3}\sqrt{a}+(\sqrt{a})^{2}(\sqrt{a})^2+\sqrt{a}(\sqrt{a})^3+(\sqrt{a})^4\] ➜ লিমিট ব্যবহার করে।
\[=a^2+a\sqrt{a}\times \sqrt{a}+a.a+\sqrt{a}\times a\sqrt{a}+a^2\]
\[=a^2+a.a+a.a+a.a+a^2\]
\[=a^2+a^2+a^2+a^2+a^2\]
\[=5a^2\]
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(f(u)=\ln{u}\)
\(\Rightarrow f(x)=\ln{x}\)
\(\therefore f(x+h)=\ln{(x+h)}\)
আমরা জানি,
\[\frac{d}{dx}\{f(x)\}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\] ➜ মূল নিয়মে অন্তরজের সংজ্ঞানুসারে
\[\Rightarrow \frac{d}{dx}\{\ln{(x)}\}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\ln{(x+h)}-\ln{x}}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\ln \frac{(x+h)}{x}}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\ln \left(1+\frac{h}{x}\right)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{h}{x}-\frac{1}{2}.\frac{h^2}{x^2}+\frac{1}{3}.\frac{h^3}{x^3}-......\infty}{h}\] ➜ \[\because \ln (1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4+.......\infty \]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{h\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2}.\frac{h}{x^2}+\frac{1}{3}.\frac{h^2}{x^3}-......\infty\right)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2}.\frac{h}{x^2}+\frac{1}{3}.\frac{h^2}{x^3}-......\infty\right)\]
\[=\frac{1}{x}-0+0-......\] ➜ লিমিট ব্যবহার করে।
\[=\frac{1}{x}\]
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(f(y)=g(x)\)
\(\Rightarrow \ln{y}=p\sin^{-1}{x}\) ➜\(\because f(u)=\ln{u}\Rightarrow f(x)=\ln{x}\); \(g(v)=p\sin^{-1}{v}\Rightarrow g(x)=p\sin^{-1}{x}\)
\(\Rightarrow \ln{y}=p\sin^{-1}{x}\)
\(\Rightarrow y=e^{p\sin^{-1}{x}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(e^{p\sin^{-1}{x}})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=e^{p\sin^{-1}{x}}.p\frac{d}{dx}(\sin^{-1}{x})\) ➜ \(p\sin^{-1}{x}\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে ।
\(\Rightarrow y_{1}=pe^{p\sin^{-1}{x}}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin^{-1}{x})=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-x^2}y_{1}=py\) ➜ উভয় পার্শে \(\sqrt{1-x^2}\) গুণ করে এবং \(\because y=e^{p\sin^{-1}{x}}\)
\(\Rightarrow (1-x^2)y^2_{1}=p^2y^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{(1-x^2)y^2_{1}\}=p^2\frac{d}{dx}(y^2)\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)\frac{d}{dx}(y^2_{1})+y^2_{1}\frac{d}{dx}(1-x^2)=p^2.2yy_{1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\), \(\frac{d}{dx}(y^2)=2yy_{1}\)
\(\Rightarrow (1-x^2).2y_{1}\frac{d}{dx}(y_{1})+y^2_{1}(0-2x)=2p^2yy_{1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(y^2_{1})=2y_{1}\frac{d}{dx}(y_{1})\), \(\frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x^2)=2x\)
\(\Rightarrow 2(1-x^2)y_{1}y_{2}-2xy^2_{1}=2p^2yy_{1}\)
\(\Rightarrow 2(1-x^2)y_{1}y_{2}-2xy^2_{1}-2p^2yy_{1}=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\{(1-x^2)y_{2}-xy_{1}-p^2y\}=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\ne{0}, (1-x^2)y_{2}-xy_{1}-p^2y=0\)
\(\therefore (1-x^2)y_{2}-xy_{1}-p^2y=0\)
(Showed)
\(f(u)=\ln{u}\) একটি লগারিদমিক ফাংশন এবং \(g(v)=p\sin^{-1}{v}\) একটি বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশন।
\((a)\)
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{x \rightarrow a}\frac{x^{\frac{5}{2}}-a^{\frac{5}{2}}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}\]
\[=\lim_{x \rightarrow a}\frac{(\sqrt{x})^{5}-(\sqrt{a})^{5}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}\]
\[=\lim_{x \rightarrow a}\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{a})\{(\sqrt{x})^{4}+(\sqrt{x})^{3}\sqrt{a}+(\sqrt{x})^{2}(\sqrt{a})^2+\sqrt{x}(\sqrt{a})^3+(\sqrt{a})^4\}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}\]
\[=\lim_{x \rightarrow a}\{(\sqrt{x})^{4}+(\sqrt{x})^{3}\sqrt{a}+(\sqrt{x})^{2}(\sqrt{a})^2+\sqrt{x}(\sqrt{a})^3+(\sqrt{a})^4\}\]
\[=(\sqrt{a})^{4}+(\sqrt{a})^{3}\sqrt{a}+(\sqrt{a})^{2}(\sqrt{a})^2+\sqrt{a}(\sqrt{a})^3+(\sqrt{a})^4\] ➜ লিমিট ব্যবহার করে।
\[=a^2+a\sqrt{a}\times \sqrt{a}+a.a+\sqrt{a}\times a\sqrt{a}+a^2\]
\[=a^2+a.a+a.a+a.a+a^2\]
\[=a^2+a^2+a^2+a^2+a^2\]
\[=5a^2\]
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(f(u)=\ln{u}\)
\(\Rightarrow f(x)=\ln{x}\)
\(\therefore f(x+h)=\ln{(x+h)}\)
আমরা জানি,
\[\frac{d}{dx}\{f(x)\}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\] ➜ মূল নিয়মে অন্তরজের সংজ্ঞানুসারে
\[\Rightarrow \frac{d}{dx}\{\ln{(x)}\}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\ln{(x+h)}-\ln{x}}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\ln \frac{(x+h)}{x}}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\ln \left(1+\frac{h}{x}\right)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{h}{x}-\frac{1}{2}.\frac{h^2}{x^2}+\frac{1}{3}.\frac{h^3}{x^3}-......\infty}{h}\] ➜ \[\because \ln (1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4+.......\infty \]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{h\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2}.\frac{h}{x^2}+\frac{1}{3}.\frac{h^2}{x^3}-......\infty\right)}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2}.\frac{h}{x^2}+\frac{1}{3}.\frac{h^2}{x^3}-......\infty\right)\]
\[=\frac{1}{x}-0+0-......\] ➜ লিমিট ব্যবহার করে।
\[=\frac{1}{x}\]
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(f(y)=g(x)\)
\(\Rightarrow \ln{y}=p\sin^{-1}{x}\) ➜\(\because f(u)=\ln{u}\Rightarrow f(x)=\ln{x}\); \(g(v)=p\sin^{-1}{v}\Rightarrow g(x)=p\sin^{-1}{x}\)
\(\Rightarrow \ln{y}=p\sin^{-1}{x}\)
\(\Rightarrow y=e^{p\sin^{-1}{x}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(e^{p\sin^{-1}{x}})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=e^{p\sin^{-1}{x}}.p\frac{d}{dx}(\sin^{-1}{x})\) ➜ \(p\sin^{-1}{x}\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে ।
\(\Rightarrow y_{1}=pe^{p\sin^{-1}{x}}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin^{-1}{x})=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-x^2}y_{1}=py\) ➜ উভয় পার্শে \(\sqrt{1-x^2}\) গুণ করে এবং \(\because y=e^{p\sin^{-1}{x}}\)
\(\Rightarrow (1-x^2)y^2_{1}=p^2y^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{(1-x^2)y^2_{1}\}=p^2\frac{d}{dx}(y^2)\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)\frac{d}{dx}(y^2_{1})+y^2_{1}\frac{d}{dx}(1-x^2)=p^2.2yy_{1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\), \(\frac{d}{dx}(y^2)=2yy_{1}\)
\(\Rightarrow (1-x^2).2y_{1}\frac{d}{dx}(y_{1})+y^2_{1}(0-2x)=2p^2yy_{1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(y^2_{1})=2y_{1}\frac{d}{dx}(y_{1})\), \(\frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x^2)=2x\)
\(\Rightarrow 2(1-x^2)y_{1}y_{2}-2xy^2_{1}=2p^2yy_{1}\)
\(\Rightarrow 2(1-x^2)y_{1}y_{2}-2xy^2_{1}-2p^2yy_{1}=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\{(1-x^2)y_{2}-xy_{1}-p^2y\}=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\ne{0}, (1-x^2)y_{2}-xy_{1}-p^2y=0\)
\(\therefore (1-x^2)y_{2}-xy_{1}-p^2y=0\)
(Showed)
\(Q.4.(xxiii)\) \(f(x)=x+\sqrt{a^2+x^2}\), \(\phi(x)=\ln{x}\) দুইটি ফাংশন।
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow a}\frac{1-\cos{(a+b)x}}{mx^2}=\] কত?
উত্তরঃ \(\frac{(a+b)^2}{2m}\)
\((b)\) \(y=\ln{\{f(x)\}}\) হলে, প্রমাণ যে, \((a^2+x^2)y_{2}+xy_{1}=0\).
\((c)\) দেখাও যে, \(\frac{\phi(x)}{x}\) এর সর্বোচ্চ মান \(\frac{1}{e}\).
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow a}\frac{1-\cos{(a+b)x}}{mx^2}=\] কত?
উত্তরঃ \(\frac{(a+b)^2}{2m}\)
\((b)\) \(y=\ln{\{f(x)\}}\) হলে, প্রমাণ যে, \((a^2+x^2)y_{2}+xy_{1}=0\).
\((c)\) দেখাও যে, \(\frac{\phi(x)}{x}\) এর সর্বোচ্চ মান \(\frac{1}{e}\).
সমাধানঃ
উদ্দীপক,
\(f(x)=x+\sqrt{a^2+x^2}\), \(\phi(x)=\ln{x}\) দুইটি ফাংশন।
\((a)\)
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{x \rightarrow a}\frac{1-\cos{(a+b)x}}{mx^2}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2\sin^2 \frac{(a+b)x}{2}}{mx^2}\] ➜\[\because 1- \cos A=2\sin^2 \frac{A}{2}\]
\[=\frac{2}{m}\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin \frac{(a+b)x}{2}}{\frac{(a+b)x}{2}}\right)^2\times \frac{(a+b)^2}{4}\]
\[=\frac{(a+b)^2}{2m}\times{(1)^2}\] ➜\[\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\]
\[=\frac{(a+b)^2}{2m}\times 1\]
\[=\frac{(a+b)^2}{2m}\]
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(y=\ln{\{f(x)\}}\)
\(\Rightarrow y=\ln{(x+\sqrt{a^2+x^2})}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\ln{(x+\sqrt{a^2+x^2})}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{1}{x+\sqrt{a^2+x^2}}\frac{d}{dx}(x+\sqrt{a^2+x^2})\) ➜\((x+\sqrt{a^2+x^2})\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে ।
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{1}{x+\sqrt{a^2+x^2}}\left[\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(\sqrt{a^2+x^2})\right]\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{1}{x+\sqrt{a^2+x^2}}\left[1+\frac{1}{2\sqrt{a^2+x^2}}\frac{d}{dx}(a^2+x^2)\right]\) ➜ \((a^2+x^2)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে ।
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{1}{x+\sqrt{a^2+x^2}}\left[1+\frac{1}{2\sqrt{a^2+x^2}}(0+2x)\right]\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x^2)=2x\)
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{1}{x+\sqrt{a^2+x^2}}\left[1+\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}\right]\)
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{1}{x+\sqrt{a^2+x^2}}\times{\frac{\sqrt{a^2+x^2}+x}{\sqrt{a^2+x^2}}}\)
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}\)
\(\Rightarrow (\sqrt{a^2+x^2})y_{1}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(\sqrt{a^2+x^2}\) গুণ করে।
\(\Rightarrow (a^2+x^2)y^2_{1}=1\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{(a^2+x^2)y^2_{1}\}=\frac{d}{dx}(1)\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow (a^2+x^2)\frac{d}{dx}(y^2_{1})+y^2_{1}\frac{d}{dx}(a^2+x^2)=0\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u), \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow (a^2+x^2).2y_{1}y_{2}+y^2_{1}(0+2x)=0\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(y^2_{1})=2y_{1}y_{2}\), \(\frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x^2)=2x\)
\(\Rightarrow 2(a^2+x^2)y_{1}y_{2}+2xy^2_{1}=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\{(a^2+x^2)y_{2}+xy_{1}\}=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\ne{0}, (a^2+x^2)y_{2}+xy_{1}=0\)
\(\therefore (a^2+x^2)y_{2}+xy_{1}=0\)
(Showed)
\((c)\)
ধরি,
\(y=\frac{\phi(x)}{x}\)
\(\Rightarrow y=\frac{\ln{x}}{x} .......(1)\) ➜\(\because \phi(x)=\ln{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln{x}}{x}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{x\frac{d}{dx}(\ln{x})-\ln{x}\frac{d}{dx}(x)}{x^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{x.\frac{1}{x}-\ln{x}.1}{x^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{1-\ln{x}}{x^2}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{1-\ln{x}}{x^2}\)
ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান ও সর্বনিম্নমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{1-\ln{x}}{x^2}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{1-\ln{x}}{x^2}\)
\(\Rightarrow 1-\ln{x}=0\)
\(\Rightarrow -\ln{x}=-1\)
\(\Rightarrow \ln{x}=1\)
\(\Rightarrow x=e^1\) ➜\(\because \ln{x}=y \Rightarrow x=e^y\)
\(\therefore x=e\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{1-\ln{x}}{x^2}\right)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{1-\ln{x}}{x^2}\)
\(=\frac{x^2\frac{d}{dx}(1-\ln{x})-(1-\ln{x})\frac{d}{dx}(x^2)}{x^4}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{x^2\times{-\frac{1}{x}}-(1-\ln{x}).2x}{x^4}\)
\(=\frac{-x-2x+2x\ln{x}}{x^4}\)
\(=\frac{-3x+2x\ln{x}}{x^4}\)
\(=\frac{x(2\ln{x}-3)}{x^4}\)
\(=\frac{2\ln{x}-3}{x^3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2\ln{x}-3}{x^3}\)
এখন, \(x=e\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2\ln{e}-3}{e^3}\)
\(=\frac{2.1-3}{e^3}\) ➜ \(\because \ln{e}=1\)
\(=\frac{2-3}{e^3}\)
\(=-\frac{1}{e^3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=e\) বিন্দুতে ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান আছে।
ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান \(=\frac{\ln{e}}{e}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=\frac{\ln{x}}{x}\)
\(=\frac{1}{e}\) ➜ \(\because \ln{e}=1\)
(Showed)
\(f(x)=x+\sqrt{a^2+x^2}\), \(\phi(x)=\ln{x}\) দুইটি ফাংশন।
\((a)\)
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{x \rightarrow a}\frac{1-\cos{(a+b)x}}{mx^2}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2\sin^2 \frac{(a+b)x}{2}}{mx^2}\] ➜\[\because 1- \cos A=2\sin^2 \frac{A}{2}\]
\[=\frac{2}{m}\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin \frac{(a+b)x}{2}}{\frac{(a+b)x}{2}}\right)^2\times \frac{(a+b)^2}{4}\]
\[=\frac{(a+b)^2}{2m}\times{(1)^2}\] ➜\[\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\]
\[=\frac{(a+b)^2}{2m}\times 1\]
\[=\frac{(a+b)^2}{2m}\]
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(y=\ln{\{f(x)\}}\)
\(\Rightarrow y=\ln{(x+\sqrt{a^2+x^2})}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\ln{(x+\sqrt{a^2+x^2})}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{1}{x+\sqrt{a^2+x^2}}\frac{d}{dx}(x+\sqrt{a^2+x^2})\) ➜\((x+\sqrt{a^2+x^2})\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে ।
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{1}{x+\sqrt{a^2+x^2}}\left[\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(\sqrt{a^2+x^2})\right]\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{1}{x+\sqrt{a^2+x^2}}\left[1+\frac{1}{2\sqrt{a^2+x^2}}\frac{d}{dx}(a^2+x^2)\right]\) ➜ \((a^2+x^2)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে ।
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{1}{x+\sqrt{a^2+x^2}}\left[1+\frac{1}{2\sqrt{a^2+x^2}}(0+2x)\right]\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x^2)=2x\)
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{1}{x+\sqrt{a^2+x^2}}\left[1+\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}\right]\)
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{1}{x+\sqrt{a^2+x^2}}\times{\frac{\sqrt{a^2+x^2}+x}{\sqrt{a^2+x^2}}}\)
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}\)
\(\Rightarrow (\sqrt{a^2+x^2})y_{1}=1\) ➜ উভয় পার্শে \(\sqrt{a^2+x^2}\) গুণ করে।
\(\Rightarrow (a^2+x^2)y^2_{1}=1\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{(a^2+x^2)y^2_{1}\}=\frac{d}{dx}(1)\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow (a^2+x^2)\frac{d}{dx}(y^2_{1})+y^2_{1}\frac{d}{dx}(a^2+x^2)=0\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u), \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow (a^2+x^2).2y_{1}y_{2}+y^2_{1}(0+2x)=0\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(y^2_{1})=2y_{1}y_{2}\), \(\frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x^2)=2x\)
\(\Rightarrow 2(a^2+x^2)y_{1}y_{2}+2xy^2_{1}=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\{(a^2+x^2)y_{2}+xy_{1}\}=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\ne{0}, (a^2+x^2)y_{2}+xy_{1}=0\)
\(\therefore (a^2+x^2)y_{2}+xy_{1}=0\)
(Showed)
\((c)\)
ধরি,
\(y=\frac{\phi(x)}{x}\)
\(\Rightarrow y=\frac{\ln{x}}{x} .......(1)\) ➜\(\because \phi(x)=\ln{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln{x}}{x}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{x\frac{d}{dx}(\ln{x})-\ln{x}\frac{d}{dx}(x)}{x^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{x.\frac{1}{x}-\ln{x}.1}{x^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{1-\ln{x}}{x^2}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{1-\ln{x}}{x^2}\)
ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান ও সর্বনিম্নমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{1-\ln{x}}{x^2}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{1-\ln{x}}{x^2}\)
\(\Rightarrow 1-\ln{x}=0\)
\(\Rightarrow -\ln{x}=-1\)
\(\Rightarrow \ln{x}=1\)
\(\Rightarrow x=e^1\) ➜\(\because \ln{x}=y \Rightarrow x=e^y\)
\(\therefore x=e\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{1-\ln{x}}{x^2}\right)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{1-\ln{x}}{x^2}\)
\(=\frac{x^2\frac{d}{dx}(1-\ln{x})-(1-\ln{x})\frac{d}{dx}(x^2)}{x^4}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{x^2\times{-\frac{1}{x}}-(1-\ln{x}).2x}{x^4}\)
\(=\frac{-x-2x+2x\ln{x}}{x^4}\)
\(=\frac{-3x+2x\ln{x}}{x^4}\)
\(=\frac{x(2\ln{x}-3)}{x^4}\)
\(=\frac{2\ln{x}-3}{x^3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2\ln{x}-3}{x^3}\)
এখন, \(x=e\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2\ln{e}-3}{e^3}\)
\(=\frac{2.1-3}{e^3}\) ➜ \(\because \ln{e}=1\)
\(=\frac{2-3}{e^3}\)
\(=-\frac{1}{e^3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=e\) বিন্দুতে ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান আছে।
ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান \(=\frac{\ln{e}}{e}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=\frac{\ln{x}}{x}\)
\(=\frac{1}{e}\) ➜ \(\because \ln{e}=1\)
(Showed)
\(Q.4.(xxiv)\) \(f(x)=\ln{x}\) এবং \(g(x)=\cos^{-1}{\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)}\).
\((a)\) \(x^2-2xy+y^2=5\) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1\)
\((b)\) \(y=e^{g(x)}\) হলে, প্রমাণ যে, \((1+x^2)y_{2}+2(x-1)y_{1}=0\).
\((c)\) \(\frac{f(x)}{x}\) এর বৃহত্তম মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{e}\)
\((a)\) \(x^2-2xy+y^2=5\) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1\)
\((b)\) \(y=e^{g(x)}\) হলে, প্রমাণ যে, \((1+x^2)y_{2}+2(x-1)y_{1}=0\).
\((c)\) \(\frac{f(x)}{x}\) এর বৃহত্তম মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{e}\)
সমাধানঃ
উদ্দীপক,
\(f(x)=\ln{x}\) এবং \(g(x)=\cos^{-1}{\left(\frac{1-x^1}{1+x^2}\right)}\).
\((a)\)
দেওয়া আছে,
\(x^2-2xy+y^2=5\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^2-2xy+y^2)=\frac{d}{dx}(5)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^2)-2\frac{d}{dx}(xy)+\frac{d}{dx}(y^2)=0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w), \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow 2x-2\left(x\frac{d}{dx}(y)+y\frac{d}{dx}(x)\right)+2y\frac{dy}{dx}=0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^2)=2x, \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\), \(\frac{d}{dx}(y^2)=2y\frac{dy}{dx}\)
\(\Rightarrow 2x-2x\frac{dy}{dx}-2y+2y\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow -2x\frac{dy}{dx}+2y\frac{dy}{dx}=2y-2x\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(2y-2x)=2y-2x\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{-2(x-y)}{-2(x-y)}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{x-y}{x-y}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=1\)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(y=e^{g(x)}\)
\(\Rightarrow y=e^{\cos^{-1}{\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)}}\) ➜ \(\because g(x)=\cos^{-1}{\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)}\)
\(\Rightarrow y=e^{2\tan^{-1}{x}}\) ➜ \(\because \cos^{-1}{\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)}=2\tan^{-1}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(e^{2\tan^{-1}{x}})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=e^{2\tan^{-1}{x}}.\frac{d}{dx}(2\tan^{-1}{x})\) ➜ \(\tan^{-1}{x}\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে ।
\(\Rightarrow y_{1}=e^{2\tan^{-1}{x}}.2\frac{1}{1+x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1}{x})=\frac{1}{1+x^2}\)
\(\Rightarrow (1+x^2)y_{1}=2y\) ➜ উভয় পার্শে \(1+x^2\) গুণ করে এবং \(\because y=e^{2\tan^{-1}{x}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{(1+x^2)y_{1}\}=2\frac{d}{dx}(y)\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow (1+x^2)\frac{d}{dx}(y_{1})+y_{1}\frac{d}{dx}(1+x^2)=2y_{1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow (1+x^2)y_{2}+y_{1}(0+2x)=2y_{1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(y_{1})=y_{2}\), \(\frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x^2)=2x\)
\(\Rightarrow (1+x^2)y_{2}+2xy_{1}-2y_{1}=0\)
\(\therefore (1+x^2)y_{2}+2(x-1)y_{1}=0\)
(Proved)
\((c)\)
ধরি,
\(y=\frac{f(x)}{x}\)
\(\Rightarrow y=\frac{\ln{x}}{x} .......(1)\) ➜\(\because f(x)=\ln{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln{x}}{x}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{x\frac{d}{dx}(\ln{x})-\ln{x}\frac{d}{dx}(x)}{x^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{x.\frac{1}{x}-\ln{x}.1}{x^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{1-\ln{x}}{x^2}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{1-\ln{x}}{x^2}\)
ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান ও সর্বনিম্নমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{1-\ln{x}}{x^2}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{1-\ln{x}}{x^2}\)
\(\Rightarrow 1-\ln{x}=0\)
\(\Rightarrow -\ln{x}=-1\)
\(\Rightarrow \ln{x}=1\)
\(\Rightarrow x=e^1\) ➜\(\because \ln{x}=y \Rightarrow x=e^y\)
\(\therefore x=e\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{1-\ln{x}}{x^2}\right)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{1-\ln{x}}{x^2}\)
\(=\frac{x^2\frac{d}{dx}(1-\ln{x})-(1-\ln{x})\frac{d}{dx}(x^2)}{x^4}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{x^2\times{-\frac{1}{x}}-(1-\ln{x}).2x}{x^4}\)
\(=\frac{-x-2x+2x\ln{x}}{x^4}\)
\(=\frac{-3x+2x\ln{x}}{x^4}\)
\(=\frac{x(2\ln{x}-3)}{x^4}\)
\(=\frac{2\ln{x}-3}{x^3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2\ln{x}-3}{x^3}\)
এখন, \(x=e\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2\ln{e}-3}{e^3}\)
\(=\frac{2.1-3}{e^3}\) ➜ \(\because \ln{e}=1\)
\(=\frac{2-3}{e^3}\)
\(=-\frac{1}{e^3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=e\) বিন্দুতে ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান আছে।
ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান \(=\frac{\ln{e}}{e}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=\frac{\ln{x}}{x}\)
\(=\frac{1}{e}\) ➜ \(\because \ln{e}=1\)
(Showed)
\(f(x)=\ln{x}\) এবং \(g(x)=\cos^{-1}{\left(\frac{1-x^1}{1+x^2}\right)}\).
\((a)\)
দেওয়া আছে,
\(x^2-2xy+y^2=5\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^2-2xy+y^2)=\frac{d}{dx}(5)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^2)-2\frac{d}{dx}(xy)+\frac{d}{dx}(y^2)=0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w), \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow 2x-2\left(x\frac{d}{dx}(y)+y\frac{d}{dx}(x)\right)+2y\frac{dy}{dx}=0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^2)=2x, \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\), \(\frac{d}{dx}(y^2)=2y\frac{dy}{dx}\)
\(\Rightarrow 2x-2x\frac{dy}{dx}-2y+2y\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow -2x\frac{dy}{dx}+2y\frac{dy}{dx}=2y-2x\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(2y-2x)=2y-2x\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{-2(x-y)}{-2(x-y)}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{x-y}{x-y}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=1\)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(y=e^{g(x)}\)
\(\Rightarrow y=e^{\cos^{-1}{\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)}}\) ➜ \(\because g(x)=\cos^{-1}{\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)}\)
\(\Rightarrow y=e^{2\tan^{-1}{x}}\) ➜ \(\because \cos^{-1}{\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)}=2\tan^{-1}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(e^{2\tan^{-1}{x}})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=e^{2\tan^{-1}{x}}.\frac{d}{dx}(2\tan^{-1}{x})\) ➜ \(\tan^{-1}{x}\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে ।
\(\Rightarrow y_{1}=e^{2\tan^{-1}{x}}.2\frac{1}{1+x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1}{x})=\frac{1}{1+x^2}\)
\(\Rightarrow (1+x^2)y_{1}=2y\) ➜ উভয় পার্শে \(1+x^2\) গুণ করে এবং \(\because y=e^{2\tan^{-1}{x}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{(1+x^2)y_{1}\}=2\frac{d}{dx}(y)\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow (1+x^2)\frac{d}{dx}(y_{1})+y_{1}\frac{d}{dx}(1+x^2)=2y_{1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow (1+x^2)y_{2}+y_{1}(0+2x)=2y_{1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(y_{1})=y_{2}\), \(\frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x^2)=2x\)
\(\Rightarrow (1+x^2)y_{2}+2xy_{1}-2y_{1}=0\)
\(\therefore (1+x^2)y_{2}+2(x-1)y_{1}=0\)
(Proved)
\((c)\)
ধরি,
\(y=\frac{f(x)}{x}\)
\(\Rightarrow y=\frac{\ln{x}}{x} .......(1)\) ➜\(\because f(x)=\ln{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln{x}}{x}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{x\frac{d}{dx}(\ln{x})-\ln{x}\frac{d}{dx}(x)}{x^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{x.\frac{1}{x}-\ln{x}.1}{x^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{1-\ln{x}}{x^2}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{1-\ln{x}}{x^2}\)
ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান ও সর্বনিম্নমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{1-\ln{x}}{x^2}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{1-\ln{x}}{x^2}\)
\(\Rightarrow 1-\ln{x}=0\)
\(\Rightarrow -\ln{x}=-1\)
\(\Rightarrow \ln{x}=1\)
\(\Rightarrow x=e^1\) ➜\(\because \ln{x}=y \Rightarrow x=e^y\)
\(\therefore x=e\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{1-\ln{x}}{x^2}\right)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{1-\ln{x}}{x^2}\)
\(=\frac{x^2\frac{d}{dx}(1-\ln{x})-(1-\ln{x})\frac{d}{dx}(x^2)}{x^4}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{x^2\times{-\frac{1}{x}}-(1-\ln{x}).2x}{x^4}\)
\(=\frac{-x-2x+2x\ln{x}}{x^4}\)
\(=\frac{-3x+2x\ln{x}}{x^4}\)
\(=\frac{x(2\ln{x}-3)}{x^4}\)
\(=\frac{2\ln{x}-3}{x^3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2\ln{x}-3}{x^3}\)
এখন, \(x=e\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2\ln{e}-3}{e^3}\)
\(=\frac{2.1-3}{e^3}\) ➜ \(\because \ln{e}=1\)
\(=\frac{2-3}{e^3}\)
\(=-\frac{1}{e^3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=e\) বিন্দুতে ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান আছে।
ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান \(=\frac{\ln{e}}{e}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=\frac{\ln{x}}{x}\)
\(=\frac{1}{e}\) ➜ \(\because \ln{e}=1\)
(Showed)
\(Q.4.(xxv)\) \(f(x)=x^3-5x^2+3x+2\) একটি বক্ররেখা।
\((a)\) \(y=x^{x}\) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{x}(1+\ln{x})\)
\((b)\) প্রদত্ত বক্ররেখার \((4, 3)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y=11x-41\)
\((c)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত ফাংশনের গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \(=-7\) ; গুরুমান \(\frac{67}{27}\)
\((a)\) \(y=x^{x}\) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{x}(1+\ln{x})\)
\((b)\) প্রদত্ত বক্ররেখার \((4, 3)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(y=11x-41\)
\((c)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত ফাংশনের গুরুমান ও লঘুমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \(=-7\) ; গুরুমান \(\frac{67}{27}\)
সমাধানঃ
উদ্দীপক,
\(f(x)=x^3-5x^2+3x+2\) একটি বক্ররেখা।
\((a)\)
ধরি,
\(y=x^{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=x^{x}\left(\frac{x}{x}\frac{d}{dx}(x)+\ln{x}\frac{d}{dx}(x)\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u^v)=u^v\left(\frac{v}{u}\frac{d}{dx}(u)+\ln{u}\frac{d}{dx}(v)\right)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=x^{x}(1.1+\ln{x}.1)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=x^{x}(1+\ln{x})\)
\((b)\)
ধরি,
\(y=f(x)=x^3-5x^2+3x+2\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^3-5x^2+3x+2)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3)-5\frac{d}{dx}(x^2)+3\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(2)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w+s)=\frac{d}{dx}(u)\)\(-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)+\frac{d}{dx}(s)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=3x^2-5.2x+3.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=3x^2-10x+3\)
\((4, 3)\) বিন্দুতে
\(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(4, 3)}=3.4^2-10.4+3\)
\(=3.16-40+3\)
\(=48-37\)
\(=11\)
\((4, 3)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ
\(y-3=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(4, 3)}(x-4)\) ➜\(\because (x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \( y-y_{1}=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}(x-x_{1})\)
\(\Rightarrow y-3=11(x-4)\) ➜\(\because \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(4, 3)}=11\)
\(\Rightarrow y-3=11x-44\)
\(\Rightarrow y=11x-44+3\)
\(\therefore y=11x-41\)
\((c)\)
ধরি,
\(y=f(x)=x^3-5x^2+3x+2 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^3-5x^2+3x+2)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3)-5\frac{d}{dx}(x^2)+3\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(2)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=3x^2-5.2x+3.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=3x^2-10x+3\)
\(=3x^2-9x-x+3\)
\(=3x(x-3)-1(x-3)\)
\(=(x-3)(3x-1)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=(x-3)(3x-1)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow (x-3)(3x-1)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=(x-3)(3x-1)\)
\(\Rightarrow x-3=0, 3x-1=0\)
\(\Rightarrow x=3, 3x=1\)
\(\Rightarrow x=3, x=\frac{1}{3}\)
\(\therefore x=3, \frac{1}{3}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(3x^2-10x+3)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=(x-3)(3x-1)=3x^2-10x+3\)
\(=3\frac{d}{dx}(x^2)-10\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(3)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=3.2x-10.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\) \(\frac{d}{dx}(x)=1,\frac{d}{dx}(c)=0\),
\(=6x-10\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=6x-10\)
এখন, \(x=3\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=6.3-10\)
\(=18-10\)
\(=8\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=3\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান আছে।
ফাংশনটির লঘুমান \(=3^3-5.3^2+3.3+2\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^3-5x^2+3x+2\)
\(=27-5.9+9+2\)
\(=38-45\)
\(=-7\)
আবার, \(x=\frac{1}{3}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=6.\frac{1}{3}-10\)
\(=2-10\)
\(=-8\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=\frac{1}{3}\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান আছে।
ফাংশনটির গুরুমান \(=\left(\frac{1}{3}\right)^3-5.\left(\frac{1}{3}\right)^2+3.\frac{1}{3}+2\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^3-5x^2+3x+2\)
\(=\frac{1}{27}-5.\frac{1}{9}+1+2\)
\(=\frac{1}{27}-\frac{5}{9}+3\)
\(=\frac{1-15+81}{27}\)
\(=\frac{82-15}{27}\)
\(=\frac{67}{27}\)
\(f(x)=x^3-5x^2+3x+2\) একটি বক্ররেখা।
\((a)\)
ধরি,
\(y=x^{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=x^{x}\left(\frac{x}{x}\frac{d}{dx}(x)+\ln{x}\frac{d}{dx}(x)\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u^v)=u^v\left(\frac{v}{u}\frac{d}{dx}(u)+\ln{u}\frac{d}{dx}(v)\right)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=x^{x}(1.1+\ln{x}.1)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=x^{x}(1+\ln{x})\)
\((b)\)
ধরি,
\(y=f(x)=x^3-5x^2+3x+2\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^3-5x^2+3x+2)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3)-5\frac{d}{dx}(x^2)+3\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(2)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w+s)=\frac{d}{dx}(u)\)\(-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)+\frac{d}{dx}(s)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=3x^2-5.2x+3.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=3x^2-10x+3\)
\((4, 3)\) বিন্দুতে
\(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(4, 3)}=3.4^2-10.4+3\)
\(=3.16-40+3\)
\(=48-37\)
\(=11\)
\((4, 3)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ
\(y-3=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(4, 3)}(x-4)\) ➜\(\because (x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \( y-y_{1}=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}(x-x_{1})\)
\(\Rightarrow y-3=11(x-4)\) ➜\(\because \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(4, 3)}=11\)
\(\Rightarrow y-3=11x-44\)
\(\Rightarrow y=11x-44+3\)
\(\therefore y=11x-41\)
\((c)\)
ধরি,
\(y=f(x)=x^3-5x^2+3x+2 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^3-5x^2+3x+2)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3)-5\frac{d}{dx}(x^2)+3\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(2)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=3x^2-5.2x+3.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=3x^2-10x+3\)
\(=3x^2-9x-x+3\)
\(=3x(x-3)-1(x-3)\)
\(=(x-3)(3x-1)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=(x-3)(3x-1)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow (x-3)(3x-1)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=(x-3)(3x-1)\)
\(\Rightarrow x-3=0, 3x-1=0\)
\(\Rightarrow x=3, 3x=1\)
\(\Rightarrow x=3, x=\frac{1}{3}\)
\(\therefore x=3, \frac{1}{3}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(3x^2-10x+3)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=(x-3)(3x-1)=3x^2-10x+3\)
\(=3\frac{d}{dx}(x^2)-10\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(3)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=3.2x-10.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\) \(\frac{d}{dx}(x)=1,\frac{d}{dx}(c)=0\),
\(=6x-10\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=6x-10\)
এখন, \(x=3\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=6.3-10\)
\(=18-10\)
\(=8\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=3\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান আছে।
ফাংশনটির লঘুমান \(=3^3-5.3^2+3.3+2\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^3-5x^2+3x+2\)
\(=27-5.9+9+2\)
\(=38-45\)
\(=-7\)
আবার, \(x=\frac{1}{3}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=6.\frac{1}{3}-10\)
\(=2-10\)
\(=-8\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=\frac{1}{3}\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান আছে।
ফাংশনটির গুরুমান \(=\left(\frac{1}{3}\right)^3-5.\left(\frac{1}{3}\right)^2+3.\frac{1}{3}+2\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x^3-5x^2+3x+2\)
\(=\frac{1}{27}-5.\frac{1}{9}+1+2\)
\(=\frac{1}{27}-\frac{5}{9}+3\)
\(=\frac{1-15+81}{27}\)
\(=\frac{82-15}{27}\)
\(=\frac{67}{27}\)
\(Q.4.(xxvi)\) \(f(x)=3x^3-6x^2-5x+2\) এবং \(g(x, y)=x^2+y^2-4x-6y+11\)
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{x}}{2x^2}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{4}\)
\((b)\) \(x\) এর কোন মানের জন্য \(f(x)\) ফাংশনটির মান সর্বোচ্চ?
উত্তরঃ \(x=-\frac{1}{3}\)
\((c)\) \((1, 2)\) বিন্দুতে \(g(x, y)\) এর স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+y-3=0\)
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{x}}{2x^2}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{4}\)
\((b)\) \(x\) এর কোন মানের জন্য \(f(x)\) ফাংশনটির মান সর্বোচ্চ?
উত্তরঃ \(x=-\frac{1}{3}\)
\((c)\) \((1, 2)\) বিন্দুতে \(g(x, y)\) এর স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x+y-3=0\)
সমাধানঃ
উদ্দীপক,
\(f(x)=3x^3-6x^2-5x+2\) এবং \(g(x, y)=x^2+y^2-4x-6y+11\)
\((a)\)
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{x}}{2x^2}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{2x^2}\] ➜\[\because 1- \cos A=2\sin^2 \frac{A}{2}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2\times \frac{1}{4}\]
\[=(1)^2\times \frac{1}{4}\] ➜\[\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\]
\[=1\times \frac{1}{4}\]
\[=\frac{1}{4}\]
\((b)\)
ধরি,
\(y=f(x)=3x^3-6x^2-5x+2 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(3x^3-6x^2-5x+2)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=3\frac{d}{dx}(x^3)-6\frac{d}{dx}(x^2)-5\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(2)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v-w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=3.3x^2-6.2x-5.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=9x^2-12x-5\)
\(=9x^2-15x+3x-5\)
\(=3x(3x-5)+1(3x-5)\)
\(=(3x-5)(3x+1)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=(3x-5)(3x+1)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\) \(\Rightarrow (3x-5)(3x+1)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=(3x-5)(3x+1)\)
\(\Rightarrow 3x-5=0, 3x+1=0\)
\(\Rightarrow 3x=5, 3x=-1\)
\(\Rightarrow x=\frac{5}{3}, x=-\frac{1}{3}\)
\(\therefore x=\frac{5}{3}, -\frac{1}{3}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(9x^2-12x-5)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=(3x-5)(3x+1)=9x^2-12x-5\)
\(=9\frac{d}{dx}(x^2)-12\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(5)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v-w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)\)
\(=9.2x-12.1-0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\) \(\frac{d}{dx}(x)=1,\frac{d}{dx}(c)=0\),
\(=18x-12\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=18x-12\)
এখন, \(x=-\frac{1}{3}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=18\times{-\frac{1}{3}}-12\)
\(=-6-12\)
\(=-18\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=-\frac{1}{3}\) হলে, ফাংশনটির মান সর্বোচ্চ হবে।
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(g(x, y)=x^2+y^2-4x-6y+11\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x-6y+11=0\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^2+y^2-4x-6y+11)=\frac{dy}{dx}(0)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(y^2)-4\frac{d}{dx}(x)-6\frac{d}{dx}(y)+\frac{d}{dx}(11)=0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v-w-s+..)=\frac{d}{dx}(u)\)\(+\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)-\frac{d}{dx}(s)+..\)
\(\Rightarrow 2x+2y\frac{dy}{dx}-4.1-6\frac{dy}{dx}+0=0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow 2x+2y\frac{dy}{dx}-4-6\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(2y-6)=4-2x\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{4-2x}{2y-6}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{2(2-x)}{2(y-3)}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{2-x}{y-3}\)
\((1, 2)\) বিন্দুতে
\(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1, 2)}=\frac{2-1}{2-3}\)
\(=\frac{1}{-1}\)
\(=-1\)
\((1, 2)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ
\(y-2=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1, 2)}(x-1)\) ➜\(\because (x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \( y-y_{1}=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}(x-x_{1})\)
\(\Rightarrow y-2=-1(x-1)\) ➜\(\because \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1, 2)}=-1\)
\(\Rightarrow y-2=-x+1\)
\(\Rightarrow y-2+x-1=0\)
\(\therefore x+y-3=0\)
\(f(x)=3x^3-6x^2-5x+2\) এবং \(g(x, y)=x^2+y^2-4x-6y+11\)
\((a)\)
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{x}}{2x^2}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{2x^2}\] ➜\[\because 1- \cos A=2\sin^2 \frac{A}{2}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2\times \frac{1}{4}\]
\[=(1)^2\times \frac{1}{4}\] ➜\[\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\]
\[=1\times \frac{1}{4}\]
\[=\frac{1}{4}\]
\((b)\)
ধরি,
\(y=f(x)=3x^3-6x^2-5x+2 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(3x^3-6x^2-5x+2)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=3\frac{d}{dx}(x^3)-6\frac{d}{dx}(x^2)-5\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(2)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v-w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=3.3x^2-6.2x-5.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=9x^2-12x-5\)
\(=9x^2-15x+3x-5\)
\(=3x(3x-5)+1(3x-5)\)
\(=(3x-5)(3x+1)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=(3x-5)(3x+1)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\) \(\Rightarrow (3x-5)(3x+1)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=(3x-5)(3x+1)\)
\(\Rightarrow 3x-5=0, 3x+1=0\)
\(\Rightarrow 3x=5, 3x=-1\)
\(\Rightarrow x=\frac{5}{3}, x=-\frac{1}{3}\)
\(\therefore x=\frac{5}{3}, -\frac{1}{3}\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(9x^2-12x-5)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=(3x-5)(3x+1)=9x^2-12x-5\)
\(=9\frac{d}{dx}(x^2)-12\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(5)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v-w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)\)
\(=9.2x-12.1-0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\) \(\frac{d}{dx}(x)=1,\frac{d}{dx}(c)=0\),
\(=18x-12\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=18x-12\)
এখন, \(x=-\frac{1}{3}\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=18\times{-\frac{1}{3}}-12\)
\(=-6-12\)
\(=-18\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=-\frac{1}{3}\) হলে, ফাংশনটির মান সর্বোচ্চ হবে।
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(g(x, y)=x^2+y^2-4x-6y+11\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x-6y+11=0\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^2+y^2-4x-6y+11)=\frac{dy}{dx}(0)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(y^2)-4\frac{d}{dx}(x)-6\frac{d}{dx}(y)+\frac{d}{dx}(11)=0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v-w-s+..)=\frac{d}{dx}(u)\)\(+\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)-\frac{d}{dx}(s)+..\)
\(\Rightarrow 2x+2y\frac{dy}{dx}-4.1-6\frac{dy}{dx}+0=0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow 2x+2y\frac{dy}{dx}-4-6\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(2y-6)=4-2x\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{4-2x}{2y-6}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{2(2-x)}{2(y-3)}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{2-x}{y-3}\)
\((1, 2)\) বিন্দুতে
\(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1, 2)}=\frac{2-1}{2-3}\)
\(=\frac{1}{-1}\)
\(=-1\)
\((1, 2)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ
\(y-2=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1, 2)}(x-1)\) ➜\(\because (x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \( y-y_{1}=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}(x-x_{1})\)
\(\Rightarrow y-2=-1(x-1)\) ➜\(\because \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1, 2)}=-1\)
\(\Rightarrow y-2=-x+1\)
\(\Rightarrow y-2+x-1=0\)
\(\therefore x+y-3=0\)
\(Q.4.(xxvii)\)
\((1) \ f(x)=\cot{x}\)
\((2) \ y=px^2+qx^{-\frac{1}{2}}\) এবং
\((3) \ g(x)=x^3-3x^2+6x+3\)
\((a)\) মূল নিয়মে \(f(x)\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-cosec^2{x}\)
\((b)\) দেখাও যে, \(x^2y_{2}-xy_{1}-2y=0\).
\((c)\) দেখাও যে, \(g(x)\) এর সর্বোচ্চ অথবা সর্বনিম্ন মান নেই।
\((1) \ f(x)=\cot{x}\)
\((2) \ y=px^2+qx^{-\frac{1}{2}}\) এবং
\((3) \ g(x)=x^3-3x^2+6x+3\)
\((a)\) মূল নিয়মে \(f(x)\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-cosec^2{x}\)
\((b)\) দেখাও যে, \(x^2y_{2}-xy_{1}-2y=0\).
\((c)\) দেখাও যে, \(g(x)\) এর সর্বোচ্চ অথবা সর্বনিম্ন মান নেই।
সমাধানঃ
উদ্দীপক,
\((1) \ f(x)=\cot{x}\)
\((2) \ y=px^2+qx^{-\frac{1}{2}}\) এবং
\((3) \ g(x)=x^3-3x^2+6x+3\)
\((a)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\cot x\)
\(\therefore f(x+h)=\cot (x+h)\)
আমরা জানি,
\[\frac{d}{dx}\{f(x)\}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\] ➜ মূল নিয়মে অন্তরজের সংজ্ঞানুসারে
\[\Rightarrow \frac{d}{dx}(\cot x)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\cot (x+h)-\cot x}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{\cos (x+h)}{\sin (x+h)}-\frac{\cos x}{\sin x}}{h}\] ➜ \(\because \cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{\sin x\cos (x+h)-\cos x\sin (x+h)}{\sin (x+h)\sin x}}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{\sin (x-x-h)}{\sin (x+h)\sin x}}{h}\] ➜ \(\because \sin (A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{\sin (-h)}{\sin (x+h)\sin x}}{h}\]
\[=-\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1}{\sin (x+h)\sin x}\times \frac{\sin h}{h}\]
\[=-\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1}{\sin (x+h)\sin x}\times \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin h}{h}\]
\[=-\frac{1}{\sin x.\sin x}\times 1\] ➜ \(\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\)
\[=-\frac{1}{\sin^2 x}\]
\[=-cosec^2{x}\] ➜ \(\because \frac{1}{\sin^2 x}=\csc^2 x\)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(y=px^2+qx^{-\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(px^2+qx^{-\frac{1}{2}})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=p\frac{d}{dx}(x^2)+q\frac{d}{dx}(x^{-\frac{1}{2}})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=p.2x-q\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2px-\frac{q}{2}x^{\frac{-1-2}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2px-\frac{q}{2}x^{-\frac{3}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d}{dx}\left(2ax-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}\right)\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2}=2p\frac{d}{dx}(x)-\frac{q}{2}\frac{d}{dx}(x^{-\frac{3}{2}})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2}=2p+\frac{q}{2}.\frac{3}{2}x^{-\frac{3}{2}-1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2}=2p+\frac{3q}{4}x^{\frac{-3-2}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2}=2p+\frac{3q}{4}x^{\frac{-5}{2}}\)
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}=4px^2+\frac{3q}{2}x^{\frac{-5}{2}}\times{x^2}\) ➜ \(2x^2\) দ্বারা গুণ করে।
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}=4px^2+\frac{3q}{2}x^{\frac{-5}{2}+2}\)
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}=4px^2+\frac{3q}{2}x^{\frac{-5+4}{2}}\)
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}=4px^2+\frac{3q}{2}x^{\frac{-1}{2}}\)
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}=2px^2-\frac{q}{2}x^{-\frac{1}{2}}+2px^2+2qx^{-\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}=x(2px-\frac{q}{2}x^{-\frac{3}{2}})+2(px^2+qx^{-\frac{1}{2}})\)
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}=x\frac{dy}{dx}+2y\) ➜ \(\because \frac{dy}{dx}=2px-\frac{q}{2}x^{-\frac{3}{2}}, y=px^2+qx^{-\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}-2y=0\)
\(\therefore 2x^2y_{2}-xy_{1}-2y=0\)
(Showed)
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(g(x)=x^3-3x^2+6x+3\)
ধরি,
\(y=g(x)=x^3-3x^2+6x+3 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^3-3x^2+6x+3)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3)-3\frac{d}{dx}(x^2)+6\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(3)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=3x^2-3.2x+6.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=3x^2-6x+6\)
\(=3(x^2-2x)+6\)
\(=3(x^2-2x+1-1)+6\)
\(=3(x^2-2x+1)-3+6\)
\(=3(x-1)^2+3\)
\(=3\{(x-1)^2+1\}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=3\{(x-1)^2+1^2\}\) ➜ একাধিক রাশির বর্গের যোগফল ঋনাত্মক হতে পারে না।
যা, সর্বদাই ধনাত্মক।
\(\therefore x\) এর কোনো বাস্তব মানের জন্য \(\frac{dy}{dx}\) কখনো শূন্য হতে পারে না।
\(\therefore \) প্রদত্ত ফাংশনটির কোনো সর্বোচ্চ মান অথবা সর্বনিম্ন মান নেই।
\((1) \ f(x)=\cot{x}\)
\((2) \ y=px^2+qx^{-\frac{1}{2}}\) এবং
\((3) \ g(x)=x^3-3x^2+6x+3\)
\((a)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\cot x\)
\(\therefore f(x+h)=\cot (x+h)\)
আমরা জানি,
\[\frac{d}{dx}\{f(x)\}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\] ➜ মূল নিয়মে অন্তরজের সংজ্ঞানুসারে
\[\Rightarrow \frac{d}{dx}(\cot x)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\cot (x+h)-\cot x}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{\cos (x+h)}{\sin (x+h)}-\frac{\cos x}{\sin x}}{h}\] ➜ \(\because \cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{\sin x\cos (x+h)-\cos x\sin (x+h)}{\sin (x+h)\sin x}}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{\sin (x-x-h)}{\sin (x+h)\sin x}}{h}\] ➜ \(\because \sin (A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{\sin (-h)}{\sin (x+h)\sin x}}{h}\]
\[=-\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1}{\sin (x+h)\sin x}\times \frac{\sin h}{h}\]
\[=-\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1}{\sin (x+h)\sin x}\times \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin h}{h}\]
\[=-\frac{1}{\sin x.\sin x}\times 1\] ➜ \(\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\)
\[=-\frac{1}{\sin^2 x}\]
\[=-cosec^2{x}\] ➜ \(\because \frac{1}{\sin^2 x}=\csc^2 x\)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(y=px^2+qx^{-\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(px^2+qx^{-\frac{1}{2}})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=p\frac{d}{dx}(x^2)+q\frac{d}{dx}(x^{-\frac{1}{2}})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=p.2x-q\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2px-\frac{q}{2}x^{\frac{-1-2}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2px-\frac{q}{2}x^{-\frac{3}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d}{dx}\left(2ax-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}\right)\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2}=2p\frac{d}{dx}(x)-\frac{q}{2}\frac{d}{dx}(x^{-\frac{3}{2}})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2}=2p+\frac{q}{2}.\frac{3}{2}x^{-\frac{3}{2}-1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(\Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2}=2p+\frac{3q}{4}x^{\frac{-3-2}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2}=2p+\frac{3q}{4}x^{\frac{-5}{2}}\)
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}=4px^2+\frac{3q}{2}x^{\frac{-5}{2}}\times{x^2}\) ➜ \(2x^2\) দ্বারা গুণ করে।
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}=4px^2+\frac{3q}{2}x^{\frac{-5}{2}+2}\)
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}=4px^2+\frac{3q}{2}x^{\frac{-5+4}{2}}\)
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}=4px^2+\frac{3q}{2}x^{\frac{-1}{2}}\)
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}=2px^2-\frac{q}{2}x^{-\frac{1}{2}}+2px^2+2qx^{-\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}=x(2px-\frac{q}{2}x^{-\frac{3}{2}})+2(px^2+qx^{-\frac{1}{2}})\)
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}=x\frac{dy}{dx}+2y\) ➜ \(\because \frac{dy}{dx}=2px-\frac{q}{2}x^{-\frac{3}{2}}, y=px^2+qx^{-\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow 2x^2\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}-2y=0\)
\(\therefore 2x^2y_{2}-xy_{1}-2y=0\)
(Showed)
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(g(x)=x^3-3x^2+6x+3\)
ধরি,
\(y=g(x)=x^3-3x^2+6x+3 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^3-3x^2+6x+3)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3)-3\frac{d}{dx}(x^2)+6\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(3)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w+..)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(=3x^2-3.2x+6.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=3x^2-6x+6\)
\(=3(x^2-2x)+6\)
\(=3(x^2-2x+1-1)+6\)
\(=3(x^2-2x+1)-3+6\)
\(=3(x-1)^2+3\)
\(=3\{(x-1)^2+1\}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=3\{(x-1)^2+1^2\}\) ➜ একাধিক রাশির বর্গের যোগফল ঋনাত্মক হতে পারে না।
যা, সর্বদাই ধনাত্মক।
\(\therefore x\) এর কোনো বাস্তব মানের জন্য \(\frac{dy}{dx}\) কখনো শূন্য হতে পারে না।
\(\therefore \) প্রদত্ত ফাংশনটির কোনো সর্বোচ্চ মান অথবা সর্বনিম্ন মান নেই।
\(Q.4.(xxviii)\) \(y=\sqrt{4+3\sin{x}}\) একটি ফাংশন এবং \(y=x^3-3x^2-2x+1\) একটি বক্ররেখার সমীকরণ।
\((a)\) \(x\) এর সাপেক্ষে \(2x^{o}\cos^3{x^{o}}\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{360}\left(3\cos{\frac{\pi x}{180}}+\cos{\frac{\pi x}{60}}-\frac{\pi}{60}x\sin{\frac{\pi x}{180}}-\frac{\pi}{60}x\sin{\frac{\pi x}{60}}\right)\)
\((b)\) প্রথম ফাংশন থেকে প্রমাণ কর যে, \(2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+y^2=4\).
\((c)\) বক্ররেখার যে সকল বিন্দুতে স্পর্শকগুলি অক্ষদ্বয়ের সাথে সমান সমান কোণ উৎপন্ন করে, তাদের ভুজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ভুজদ্বয় \(1\pm \sqrt{2}; 1\pm \frac{2}{\sqrt{3}}\)
\((a)\) \(x\) এর সাপেক্ষে \(2x^{o}\cos^3{x^{o}}\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{360}\left(3\cos{\frac{\pi x}{180}}+\cos{\frac{\pi x}{60}}-\frac{\pi}{60}x\sin{\frac{\pi x}{180}}-\frac{\pi}{60}x\sin{\frac{\pi x}{60}}\right)\)
\((b)\) প্রথম ফাংশন থেকে প্রমাণ কর যে, \(2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+y^2=4\).
\((c)\) বক্ররেখার যে সকল বিন্দুতে স্পর্শকগুলি অক্ষদ্বয়ের সাথে সমান সমান কোণ উৎপন্ন করে, তাদের ভুজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ভুজদ্বয় \(1\pm \sqrt{2}; 1\pm \frac{2}{\sqrt{3}}\)
সমাধানঃ
উদ্দীপক,
\(y=\sqrt{4+3\sin{x}}\) একটি ফাংশন এবং \(y=x^3-3x^2-2x+1\) একটি বক্ররেখার সমীকরণ।
\((a)\)
দেওয়া আছে,
\(A=2x^{o}\cos^3{x^{o}}\)
\(\Rightarrow A=\frac{1}{2}x^{o}4\cos^3{x^{o}}\)
\(\Rightarrow A=\frac{1}{2}x^{o}(3\cos{x^{o}}+\cos{3x^{o}})\) ➜ \(\because 4\cos^3{A}=3\cos{A}+\cos{3A}\)
এবং
\(180^{o}=\pi\)
\(\Rightarrow 1^{o}=\frac{\pi}{180}\)
\(\Rightarrow x^{o}=\frac{\pi x}{180}\)
\(\therefore A=\frac{1}{2}\frac{\pi x}{180}(3\cos{\frac{\pi x}{180}}+\cos{3.\frac{\pi x}{180}})\)
\(\Rightarrow A=\frac{\pi}{360}x(3\cos{\frac{\pi x}{180}}+\cos{\frac{\pi x}{60}})\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(A)=\frac{d}{dx}\{\frac{\pi}{360}x\left(3\cos{\frac{\pi x}{180}}+\cos{\frac{\pi x}{60}}\right)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dA}{dx}=\frac{\pi}{360}x\frac{d}{dx}\left(3\cos{\frac{\pi x}{180}}+\cos{\frac{\pi x}{60}}\right)\)\(+\left(3\cos{\frac{\pi x}{180}}+\cos{\frac{\pi x}{60}}\right)\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{360}x\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=\frac{\pi}{360}x\left(-3\sin{\frac{\pi x}{180}}\times{\frac{\pi}{180}}-\sin{\frac{\pi x}{60}\times{\frac{\pi}{60}}}\right)\)\(+\left(3\cos{\frac{\pi x}{180}}+\cos{\frac{\pi x}{60}}\right)\left(\frac{\pi}{360}\right)\) ➜ \(\left(\frac{\pi x}{180}\right)\), \(\left(\frac{\pi x}{60}\right)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{\pi}{360}\left(-\frac{\pi}{60}x\sin{\frac{\pi x}{180}}-\frac{\pi}{60}x\sin{\frac{\pi x}{60}}+3\cos{\frac{\pi x}{180}}+\cos{\frac{\pi x}{60}}\right)\)
\(=\frac{\pi}{360}\left(3\cos{\frac{\pi x}{180}}+\cos{\frac{\pi x}{60}}-\frac{\pi}{60}x\sin{\frac{\pi x}{180}}-\frac{\pi}{60}x\sin{\frac{\pi x}{60}}\right)\)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(y=\sqrt{(4+3\sin{x})}\)
\(\Rightarrow y^2=4+3\sin{x}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y^2)=\frac{d}{dx}(4+3\sin{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(4)+3\frac{d}{dx}(\sin{x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}=0+3\cos{x}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\)
\(\Rightarrow 2\frac{d}{dx}\left(y\frac{dy}{dx}\right)=3\frac{d}{dx}(\cos{x})\) ➜আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow 2y\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)+2\frac{dy}{dx}.\frac{dy}{dx}=-3\sin{x}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u), \frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}\)
\(\Rightarrow 2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=-4-3\sin{x}+4\)
\(\Rightarrow 2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=-(4+3\sin{x})+4\)
\(\Rightarrow 2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=-y^2+4\) ➜\(\because 4+3\sin{x}=y^2\)
\(\therefore 2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+y^2=4\)
(Showed)
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(y=x^3-3x^2-2x+1\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^3-3x^2-2x+1)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3)-3\frac{d}{dx}(x^2)-2\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(1)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v-w+s)=\frac{d}{dx}(u)\)\(-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)+\frac{d}{dx}(s)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=3x^2-3.2x-2.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=3x^2-6x-2\)
যেহেতু, স্পর্শকগুলি অক্ষদুইটির সাথে সমান সমান কোণ উৎপন্ন করে। \(\therefore \frac{dy}{dx}=\pm{1}\)
\(\therefore 3x^2-6x-2=\pm{1}\)
ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 3x^2-6x-2=1\)
\(\Rightarrow 3x^2-6x-2-1=0\)
\(\Rightarrow 3x^2-6x-3=0\)
\(\Rightarrow 3(x^2-2x-1)=0\)
\(\Rightarrow x^2-2x-1=0\)
\(\Rightarrow x^2-2x=1\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1=1+1\)
\(\Rightarrow (x-1)^2=2\)
\(\Rightarrow x-1=\pm{\sqrt{2}}\)
\(\therefore x=1\pm{\sqrt{2}}\)
ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 3x^2-6x-2=-1\)
\(\Rightarrow 3x^2-6x-2+1=0\)
\(\Rightarrow 3x^2-6x-1=0\)
\(\Rightarrow 3x^2-6x=1\)
\(\Rightarrow 3x^2-6x+3=1+3\)
\(\Rightarrow 3(x^2-2x+1)=4\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1=\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2=\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow x-1=\pm{\sqrt{\frac{4}{3}}}\)
\(\therefore x=1\pm{\frac{2}{\sqrt{3}}}\)
\(\therefore \) ভুজদ্বয় \(1\pm \sqrt{2}; 1\pm \frac{2}{\sqrt{3}}\)
\(y=\sqrt{4+3\sin{x}}\) একটি ফাংশন এবং \(y=x^3-3x^2-2x+1\) একটি বক্ররেখার সমীকরণ।
\((a)\)
দেওয়া আছে,
\(A=2x^{o}\cos^3{x^{o}}\)
\(\Rightarrow A=\frac{1}{2}x^{o}4\cos^3{x^{o}}\)
\(\Rightarrow A=\frac{1}{2}x^{o}(3\cos{x^{o}}+\cos{3x^{o}})\) ➜ \(\because 4\cos^3{A}=3\cos{A}+\cos{3A}\)
এবং
\(180^{o}=\pi\)
\(\Rightarrow 1^{o}=\frac{\pi}{180}\)
\(\Rightarrow x^{o}=\frac{\pi x}{180}\)
\(\therefore A=\frac{1}{2}\frac{\pi x}{180}(3\cos{\frac{\pi x}{180}}+\cos{3.\frac{\pi x}{180}})\)
\(\Rightarrow A=\frac{\pi}{360}x(3\cos{\frac{\pi x}{180}}+\cos{\frac{\pi x}{60}})\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(A)=\frac{d}{dx}\{\frac{\pi}{360}x\left(3\cos{\frac{\pi x}{180}}+\cos{\frac{\pi x}{60}}\right)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dA}{dx}=\frac{\pi}{360}x\frac{d}{dx}\left(3\cos{\frac{\pi x}{180}}+\cos{\frac{\pi x}{60}}\right)\)\(+\left(3\cos{\frac{\pi x}{180}}+\cos{\frac{\pi x}{60}}\right)\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{360}x\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=\frac{\pi}{360}x\left(-3\sin{\frac{\pi x}{180}}\times{\frac{\pi}{180}}-\sin{\frac{\pi x}{60}\times{\frac{\pi}{60}}}\right)\)\(+\left(3\cos{\frac{\pi x}{180}}+\cos{\frac{\pi x}{60}}\right)\left(\frac{\pi}{360}\right)\) ➜ \(\left(\frac{\pi x}{180}\right)\), \(\left(\frac{\pi x}{60}\right)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{\pi}{360}\left(-\frac{\pi}{60}x\sin{\frac{\pi x}{180}}-\frac{\pi}{60}x\sin{\frac{\pi x}{60}}+3\cos{\frac{\pi x}{180}}+\cos{\frac{\pi x}{60}}\right)\)
\(=\frac{\pi}{360}\left(3\cos{\frac{\pi x}{180}}+\cos{\frac{\pi x}{60}}-\frac{\pi}{60}x\sin{\frac{\pi x}{180}}-\frac{\pi}{60}x\sin{\frac{\pi x}{60}}\right)\)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(y=\sqrt{(4+3\sin{x})}\)
\(\Rightarrow y^2=4+3\sin{x}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y^2)=\frac{d}{dx}(4+3\sin{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(4)+3\frac{d}{dx}(\sin{x})\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}=0+3\cos{x}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\)
\(\Rightarrow 2\frac{d}{dx}\left(y\frac{dy}{dx}\right)=3\frac{d}{dx}(\cos{x})\) ➜আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow 2y\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)+2\frac{dy}{dx}.\frac{dy}{dx}=-3\sin{x}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u), \frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}\)
\(\Rightarrow 2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=-4-3\sin{x}+4\)
\(\Rightarrow 2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=-(4+3\sin{x})+4\)
\(\Rightarrow 2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=-y^2+4\) ➜\(\because 4+3\sin{x}=y^2\)
\(\therefore 2y\frac{d^2y}{dx^2}+2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+y^2=4\)
(Showed)
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(y=x^3-3x^2-2x+1\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^3-3x^2-2x+1)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3)-3\frac{d}{dx}(x^2)-2\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(1)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v-w+s)=\frac{d}{dx}(u)\)\(-\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)+\frac{d}{dx}(s)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=3x^2-3.2x-2.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=3x^2-6x-2\)
যেহেতু, স্পর্শকগুলি অক্ষদুইটির সাথে সমান সমান কোণ উৎপন্ন করে। \(\therefore \frac{dy}{dx}=\pm{1}\)
\(\therefore 3x^2-6x-2=\pm{1}\)
ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 3x^2-6x-2=1\)
\(\Rightarrow 3x^2-6x-2-1=0\)
\(\Rightarrow 3x^2-6x-3=0\)
\(\Rightarrow 3(x^2-2x-1)=0\)
\(\Rightarrow x^2-2x-1=0\)
\(\Rightarrow x^2-2x=1\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1=1+1\)
\(\Rightarrow (x-1)^2=2\)
\(\Rightarrow x-1=\pm{\sqrt{2}}\)
\(\therefore x=1\pm{\sqrt{2}}\)
ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 3x^2-6x-2=-1\)
\(\Rightarrow 3x^2-6x-2+1=0\)
\(\Rightarrow 3x^2-6x-1=0\)
\(\Rightarrow 3x^2-6x=1\)
\(\Rightarrow 3x^2-6x+3=1+3\)
\(\Rightarrow 3(x^2-2x+1)=4\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1=\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2=\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow x-1=\pm{\sqrt{\frac{4}{3}}}\)
\(\therefore x=1\pm{\frac{2}{\sqrt{3}}}\)
\(\therefore \) ভুজদ্বয় \(1\pm \sqrt{2}; 1\pm \frac{2}{\sqrt{3}}\)
\(Q.4.(xxix)\) \(x^3+xy^2-3x^2+4x+5y+2=0\) একটি বক্ররেখার সমীকরণ।
\((a)\) \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{6x-3x^2-y^2-4}{2xy+5}\)
\((b)\) \((1, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x+3y+1=0\)
\((c)\) \((0, -1)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-y-1=0\)
\((a)\) \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{6x-3x^2-y^2-4}{2xy+5}\)
\((b)\) \((1, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x+3y+1=0\)
\((c)\) \((0, -1)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x-y-1=0\)
সমাধানঃ
উদ্দীপক,
\(x^3+xy^2-3x^2+4x+5y+2=0\) একটি বক্ররেখার সমীকরণ।
\((a)\)
দেওয়া আছে,
\(x^3+xy^2-3x^2+4x+5y+2=0\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^3+xy^2-3x^2+4x+5y+2)=\frac{d}{dx}(0)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^3)+\frac{d}{dx}(xy^2)-3\frac{d}{dx}(x^2)+4\frac{d}{dx}(x)+5\frac{d}{dx}(y)+\frac{d}{dx}(2)=0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v-w+..)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(\Rightarrow 3x^2+x\frac{d}{dx}(y^2)+y^2\frac{d}{dx}(x)-3.2x+4.1+5\frac{dy}{dx}+0=0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(y)=\frac{dy}{dx}\), \(\frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow 3x^2+x.2y\frac{dy}{dx}+y^2.1-6x+4+5\frac{dy}{dx}(y)=0\)
\(\Rightarrow 3x^2+2xy\frac{dy}{dx}+y^2-6x+4+5\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(2xy+5)=6x-3x^2-y^2-4\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{6x-3x^2-y^2-4}{2xy+5}\)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(x^3+xy^2-3x^2+4x+5y+2=0\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^3+xy^2-3x^2+4x+5y+2)=\frac{d}{dx}(0)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^3)+\frac{d}{dx}(xy^2)-3\frac{d}{dx}(x^2)+4\frac{d}{dx}(x)+5\frac{d}{dx}(y)+\frac{d}{dx}(2)=0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v-w+..)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(\Rightarrow 3x^2+x\frac{d}{dx}(y^2)+y^2\frac{d}{dx}(x)-3.2x+4.1+5\frac{dy}{dx}+0=0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(y)=\frac{dy}{dx}\), \(\frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow 3x^2+x.2y\frac{dy}{dx}+y^2.1-6x+4+5\frac{dy}{dx}(y)=0\)
\(\Rightarrow 3x^2+2xy\frac{dy}{dx}+y^2-6x+4+5\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(2xy+5)=6x-3x^2-y^2-4\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{6x-3x^2-y^2-4}{2xy+5}\)
\((1, -1)\) বিন্দুতে
\(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1, -1)}=\frac{6.1-3.1^2-(-1)^2-4}{2.1.(-1)+5}\)
\(=\frac{6-3-1-4}{-2+5}\)
\(=\frac{6-8}{3}\)
\(=\frac{-2}{3}\)
\(=-\frac{2}{3}\)
\((1, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ
\(y+1=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1, -1)}(x-1)\) ➜\(\because (x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \( y-y_{1}=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}(x-x_{1})\)
\(\Rightarrow y+1=-\frac{2}{3}(x-1)\) ➜\(\because \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1, -1)}=-\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow 3y+3=-2x+2\)
\(\Rightarrow 3y+3+2x-2=0\)
\(\therefore 2x+3y+1=0\)
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(x^3+xy^2-3x^2+4x+5y+2=0\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^3+xy^2-3x^2+4x+5y+2)=\frac{d}{dx}(0)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^3)+\frac{d}{dx}(xy^2)-3\frac{d}{dx}(x^2)+4\frac{d}{dx}(x)+5\frac{d}{dx}(y)+\frac{d}{dx}(2)=0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v-w+..)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(\Rightarrow 3x^2+x\frac{d}{dx}(y^2)+y^2\frac{d}{dx}(x)-3.2x+4.1+5\frac{dy}{dx}+0=0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(y)=\frac{dy}{dx}\), \(\frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow 3x^2+x.2y\frac{dy}{dx}+y^2.1-6x+4+5\frac{dy}{dx}(y)=0\)
\(\Rightarrow 3x^2+2xy\frac{dy}{dx}+y^2-6x+4+5\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(2xy+5)=6x-3x^2-y^2-4\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{6x-3x^2-y^2-4}{2xy+5}\)
\((0, -1)\) বিন্দুতে
\(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0, -1)}=\frac{6.0-3.0^2-(-1)^2-4}{2.0.(-1)+5}\)
\(=\frac{0-0-1-4}{0+5}\)
\(=\frac{-5}{5}\)
\(=-1\)
\((0, -1)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ
\((y+1)\times{\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1, -1)}}+(x-0)=0\) ➜\(\because (x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ \( (y-y_{1})\times{\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}}+(x-x_{1})=0\)
\(\Rightarrow (y+1)\times{-1}+x=0\) ➜\(\because \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0, -1)}=-1\)
\(\Rightarrow -y-1+x=0\)
\(\therefore x-y-1=0\)
\(x^3+xy^2-3x^2+4x+5y+2=0\) একটি বক্ররেখার সমীকরণ।
\((a)\)
দেওয়া আছে,
\(x^3+xy^2-3x^2+4x+5y+2=0\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^3+xy^2-3x^2+4x+5y+2)=\frac{d}{dx}(0)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^3)+\frac{d}{dx}(xy^2)-3\frac{d}{dx}(x^2)+4\frac{d}{dx}(x)+5\frac{d}{dx}(y)+\frac{d}{dx}(2)=0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v-w+..)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(\Rightarrow 3x^2+x\frac{d}{dx}(y^2)+y^2\frac{d}{dx}(x)-3.2x+4.1+5\frac{dy}{dx}+0=0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(y)=\frac{dy}{dx}\), \(\frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow 3x^2+x.2y\frac{dy}{dx}+y^2.1-6x+4+5\frac{dy}{dx}(y)=0\)
\(\Rightarrow 3x^2+2xy\frac{dy}{dx}+y^2-6x+4+5\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(2xy+5)=6x-3x^2-y^2-4\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{6x-3x^2-y^2-4}{2xy+5}\)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(x^3+xy^2-3x^2+4x+5y+2=0\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^3+xy^2-3x^2+4x+5y+2)=\frac{d}{dx}(0)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^3)+\frac{d}{dx}(xy^2)-3\frac{d}{dx}(x^2)+4\frac{d}{dx}(x)+5\frac{d}{dx}(y)+\frac{d}{dx}(2)=0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v-w+..)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(\Rightarrow 3x^2+x\frac{d}{dx}(y^2)+y^2\frac{d}{dx}(x)-3.2x+4.1+5\frac{dy}{dx}+0=0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(y)=\frac{dy}{dx}\), \(\frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow 3x^2+x.2y\frac{dy}{dx}+y^2.1-6x+4+5\frac{dy}{dx}(y)=0\)
\(\Rightarrow 3x^2+2xy\frac{dy}{dx}+y^2-6x+4+5\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(2xy+5)=6x-3x^2-y^2-4\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{6x-3x^2-y^2-4}{2xy+5}\)
\((1, -1)\) বিন্দুতে
\(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1, -1)}=\frac{6.1-3.1^2-(-1)^2-4}{2.1.(-1)+5}\)
\(=\frac{6-3-1-4}{-2+5}\)
\(=\frac{6-8}{3}\)
\(=\frac{-2}{3}\)
\(=-\frac{2}{3}\)
\((1, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ
\(y+1=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1, -1)}(x-1)\) ➜\(\because (x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \( y-y_{1}=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}(x-x_{1})\)
\(\Rightarrow y+1=-\frac{2}{3}(x-1)\) ➜\(\because \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1, -1)}=-\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow 3y+3=-2x+2\)
\(\Rightarrow 3y+3+2x-2=0\)
\(\therefore 2x+3y+1=0\)
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(x^3+xy^2-3x^2+4x+5y+2=0\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^3+xy^2-3x^2+4x+5y+2)=\frac{d}{dx}(0)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^3)+\frac{d}{dx}(xy^2)-3\frac{d}{dx}(x^2)+4\frac{d}{dx}(x)+5\frac{d}{dx}(y)+\frac{d}{dx}(2)=0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v-w+..)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)+..\)
\(\Rightarrow 3x^2+x\frac{d}{dx}(y^2)+y^2\frac{d}{dx}(x)-3.2x+4.1+5\frac{dy}{dx}+0=0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\), \(\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\), \(\frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(y)=\frac{dy}{dx}\), \(\frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow 3x^2+x.2y\frac{dy}{dx}+y^2.1-6x+4+5\frac{dy}{dx}(y)=0\)
\(\Rightarrow 3x^2+2xy\frac{dy}{dx}+y^2-6x+4+5\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(2xy+5)=6x-3x^2-y^2-4\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{6x-3x^2-y^2-4}{2xy+5}\)
\((0, -1)\) বিন্দুতে
\(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0, -1)}=\frac{6.0-3.0^2-(-1)^2-4}{2.0.(-1)+5}\)
\(=\frac{0-0-1-4}{0+5}\)
\(=\frac{-5}{5}\)
\(=-1\)
\((0, -1)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ
\((y+1)\times{\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1, -1)}}+(x-0)=0\) ➜\(\because (x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ \( (y-y_{1})\times{\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_{1}, y_{1})}}+(x-x_{1})=0\)
\(\Rightarrow (y+1)\times{-1}+x=0\) ➜\(\because \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0, -1)}=-1\)
\(\Rightarrow -y-1+x=0\)
\(\therefore x-y-1=0\)
\(Q.4.(xxx)\) \(x=\cos{\sqrt{y}}\) এবং \(x^2+2ax+y^2=0\)
\((a)\) \[\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{\sec^3{\theta}-\tan^3{\theta}}{\tan{\theta}}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{3}{2}\)
\((b)\) ১ম উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, \((1-x^x)y_{2}-xy_{1}-2=0\).
\((c)\) দ্বিতীয় উদ্দীপকের যে সকল বিন্দুতে স্পর্শকগুলো \(x\) অক্ষের উপর লম্ব তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((0, 0); (-2a, 0)\)
\((a)\) \[\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{\sec^3{\theta}-\tan^3{\theta}}{\tan{\theta}}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{3}{2}\)
\((b)\) ১ম উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, \((1-x^x)y_{2}-xy_{1}-2=0\).
\((c)\) দ্বিতীয় উদ্দীপকের যে সকল বিন্দুতে স্পর্শকগুলো \(x\) অক্ষের উপর লম্ব তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((0, 0); (-2a, 0)\)
সমাধানঃ
উদ্দীপক,
\(x=\cos{\sqrt{y}}\) এবং \(x^2+2ax+y^2=0\) \((a)\)
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{\sec^3 \theta-\tan^3 \theta}{\tan \theta}\right)\]
\[=\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{\frac{1}{\cos^3 \theta}-\frac{\sin^3 \theta}{\cos^3 \theta}}{\tan \theta}\right)\]
\[=\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{\frac{1-\sin^3 \theta}{\cos^3 \theta}}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}\right)\]
\[=\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{1-\sin^3 \theta}{\cos^3 \theta}\times \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\right)\]
\[=\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{1-\sin^3 \theta}{\cos^2 \theta\sin \theta}\right)\]
\[=\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{1-\sin^3 \theta}{(1-\sin^2 \theta)\sin \theta}\right)\]
\[=\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{(1-\sin \theta)(1+\sin \theta+\sin^2 \theta)}{(1-\sin \theta)(1+\sin \theta)\sin \theta}\right)\] ➜ \[\because a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\]
\[=\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{1+\sin \theta+\sin^2 \theta}{(1+\sin \theta)\sin \theta}\right)\]
\[=\frac{1+1+1}{(1+1)\times 1}\] ➜ \[\because \lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\sin \theta=1, \lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\sin^2 \theta=1 \]
\[=\frac{3}{2\times 1}\]
\[=\frac{3}{2}\]
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(x=\cos{\sqrt{y}}\)
\(\Rightarrow \cos^{-1}{x}=\sqrt{y}\)
\(\Rightarrow \sqrt{y}=\cos^{-1}{x}\)
\(\Rightarrow y=(\cos^{-1}{x})^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\cos^{-1}{x})^2\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=2\cos^{-1}{x}\frac{d}{dx}(\cos^{-1}{x})\) ➜ \(\sin^{-1}{x}\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=-2\cos^{-1}{x}.\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cos^{-1}{x})=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-x^2}y_{1}=-2\cos^{-1}{x}\) ➜ উভয় পার্শে \(\sqrt{1-x^2}\) গুণ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)y^2_{1}=4(\cos^{-1}{x})^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)y^2_{1}=4y\) ➜ \(\because y=(\cos^{-1}{x})^2\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{(1-x^2)y^2_{1}\}=4\frac{d}{dx}(y)\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)\frac{d}{dx}(y^2_{1})+y^2_{1}\frac{d}{dx}(1-x^2)=4y_{1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow (1-x^2).2y_{1}\frac{d}{dx}(y_{1})+y^2_{1}(0-2x)=4y_{1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(y^2_{1})=2y_{1}\frac{d}{dx}(y_{1})\), \(\frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x^2)=2x\)
\(\Rightarrow 2(1-x^2)y_{1}y_{2}-2xy^2_{1}=4y_{1}\)
\(\Rightarrow 2(1-x^2)y_{1}y_{2}-2xy^2_{1}-4y_{1}=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\{(1-x^2)y_{2}-xy_{1}-2\}=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\ne{0}, (1-x^2)y_{2}-xy_{1}-2=0\)
\(\therefore (1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}-2=0\) ➜ \(\because y_{2}=\frac{d^2y}{dx^2}, y_{1}=\frac{dy}{dx}\)
(Showed)
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(x^2+2ax+y^2=0 \)
\(\Rightarrow x^2+2ax+y^2=0 ....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^2+2ax+y^2)=\frac{d}{dx}(0)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^2)+2a\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(y^2)=0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v+w)=\frac{d}{dx}(u)\)\(+\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(\Rightarrow 2x+2a.1+2y\frac{dy}{dx}=0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(y^2)=2y\frac{dy}{dx}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\)
\(\Rightarrow 2x+2a+2y\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}=-2x-2a\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{-2x-2a}{2y}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{-2(x+a)}{2y}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{-(x+a)}{y}\)
যেহেতু, স্পর্শক \(x\) অক্ষের উপর লম্ব \(\therefore \frac{dy}{dx}=\infty\)
\(\therefore \frac{-(x+a)}{y}=\infty\)
\(\therefore \frac{-(x+a)}{y}=\frac{1}{0}\)
\(\Rightarrow y=0\)
\((1)\) হতে,
যখন, \(y=0\)
\(x^2+2ax+0^2=0\) ➜ \((1)\) এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow x^2+2ax+0=0\)
\(\Rightarrow x^2+2ax=0\)
\(\Rightarrow x(x+2a)=0\)
\(\Rightarrow x=0, x+2a=0\)
\(\therefore x=0, x=-2a\)
নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((0, 0); (-2a, 0)\)
\(x=\cos{\sqrt{y}}\) এবং \(x^2+2ax+y^2=0\) \((a)\)
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{\sec^3 \theta-\tan^3 \theta}{\tan \theta}\right)\]
\[=\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{\frac{1}{\cos^3 \theta}-\frac{\sin^3 \theta}{\cos^3 \theta}}{\tan \theta}\right)\]
\[=\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{\frac{1-\sin^3 \theta}{\cos^3 \theta}}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}\right)\]
\[=\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{1-\sin^3 \theta}{\cos^3 \theta}\times \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\right)\]
\[=\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{1-\sin^3 \theta}{\cos^2 \theta\sin \theta}\right)\]
\[=\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{1-\sin^3 \theta}{(1-\sin^2 \theta)\sin \theta}\right)\]
\[=\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{(1-\sin \theta)(1+\sin \theta+\sin^2 \theta)}{(1-\sin \theta)(1+\sin \theta)\sin \theta}\right)\] ➜ \[\because a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\]
\[=\lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{1+\sin \theta+\sin^2 \theta}{(1+\sin \theta)\sin \theta}\right)\]
\[=\frac{1+1+1}{(1+1)\times 1}\] ➜ \[\because \lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\sin \theta=1, \lim_{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}}\sin^2 \theta=1 \]
\[=\frac{3}{2\times 1}\]
\[=\frac{3}{2}\]
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(x=\cos{\sqrt{y}}\)
\(\Rightarrow \cos^{-1}{x}=\sqrt{y}\)
\(\Rightarrow \sqrt{y}=\cos^{-1}{x}\)
\(\Rightarrow y=(\cos^{-1}{x})^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\cos^{-1}{x})^2\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=2\cos^{-1}{x}\frac{d}{dx}(\cos^{-1}{x})\) ➜ \(\sin^{-1}{x}\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=-2\cos^{-1}{x}.\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cos^{-1}{x})=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-x^2}y_{1}=-2\cos^{-1}{x}\) ➜ উভয় পার্শে \(\sqrt{1-x^2}\) গুণ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)y^2_{1}=4(\cos^{-1}{x})^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)y^2_{1}=4y\) ➜ \(\because y=(\cos^{-1}{x})^2\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{(1-x^2)y^2_{1}\}=4\frac{d}{dx}(y)\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)\frac{d}{dx}(y^2_{1})+y^2_{1}\frac{d}{dx}(1-x^2)=4y_{1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow (1-x^2).2y_{1}\frac{d}{dx}(y_{1})+y^2_{1}(0-2x)=4y_{1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(y^2_{1})=2y_{1}\frac{d}{dx}(y_{1})\), \(\frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x^2)=2x\)
\(\Rightarrow 2(1-x^2)y_{1}y_{2}-2xy^2_{1}=4y_{1}\)
\(\Rightarrow 2(1-x^2)y_{1}y_{2}-2xy^2_{1}-4y_{1}=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\{(1-x^2)y_{2}-xy_{1}-2\}=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\ne{0}, (1-x^2)y_{2}-xy_{1}-2=0\)
\(\therefore (1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}-2=0\) ➜ \(\because y_{2}=\frac{d^2y}{dx^2}, y_{1}=\frac{dy}{dx}\)
(Showed)
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(x^2+2ax+y^2=0 \)
\(\Rightarrow x^2+2ax+y^2=0 ....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^2+2ax+y^2)=\frac{d}{dx}(0)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^2)+2a\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(y^2)=0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v+w)=\frac{d}{dx}(u)\)\(+\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(\Rightarrow 2x+2a.1+2y\frac{dy}{dx}=0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(y^2)=2y\frac{dy}{dx}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\)
\(\Rightarrow 2x+2a+2y\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}=-2x-2a\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{-2x-2a}{2y}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{-2(x+a)}{2y}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{-(x+a)}{y}\)
যেহেতু, স্পর্শক \(x\) অক্ষের উপর লম্ব \(\therefore \frac{dy}{dx}=\infty\)
\(\therefore \frac{-(x+a)}{y}=\infty\)
\(\therefore \frac{-(x+a)}{y}=\frac{1}{0}\)
\(\Rightarrow y=0\)
\((1)\) হতে,
যখন, \(y=0\)
\(x^2+2ax+0^2=0\) ➜ \((1)\) এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow x^2+2ax+0=0\)
\(\Rightarrow x^2+2ax=0\)
\(\Rightarrow x(x+2a)=0\)
\(\Rightarrow x=0, x+2a=0\)
\(\therefore x=0, x=-2a\)
নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((0, 0); (-2a, 0)\)
\(Q.4.(xxxi)\) \(f(x)=\sin{x}\)
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{7x}}{3x^2}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{49}{6}\)
\((b)\) মূল নিয়মে \(f(2x)\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2\cos 2x\)
\((c)\) \(y=f(m\sin^{-1}{x})\) হলে, দেখাও যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}+m^2y=0\).
\((a)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{7x}}{3x^2}\] এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{49}{6}\)
\((b)\) মূল নিয়মে \(f(2x)\) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2\cos 2x\)
\((c)\) \(y=f(m\sin^{-1}{x})\) হলে, দেখাও যে, \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}+m^2y=0\).
সমাধানঃ
উদ্দীপক,
\(f(x)=\sin{x}\)
\((a)\)
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos 7x}{3x^2}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2\sin^2 \frac{7x}{2}}{3x^2}\] ➜\[\because 1- \cos A=2\sin^2 \frac{A}{2}\]
\[=\frac{2}{3}\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin^2 \frac{7x}{2}}{x^2}\]
\[=\frac{2}{3}\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin \frac{7x}{2}}{\frac{7x}{2}}\right)^2\times \frac{49}{4}\]
\[=\frac{49}{6}\left(\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin \frac{7x}{2}}{\frac{7x}{2}}\right)^2\]
\[=\frac{49}{6}\times (1)^2\] ➜\[\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\]
\[=\frac{49}{6}\times 1\]
\[=\frac{49}{6}\]
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\sin{x}\)
\(\Rightarrow f(2x)=\sin{2x}\)
মনে করি,
\(g(x)=f(2x)=\sin 2x\)
\(\Rightarrow g(x)=\sin 2x\)
\(\therefore g(x+h)=\sin 2(x+h)\)
আমরা জানি,
\[\frac{d}{dx}\{g(x)\}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\] ➜ মূল নিয়মে অন্তরজের সংজ্ঞানুসারে
\[\Rightarrow \frac{d}{dx}(\sin 2x)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin 2(x+h)-\sin 2x}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2\cos \frac{2(x+h)+2x}{2}\sin \frac{2(x+h)-2x}{2}}{h}\] ➜ \(\because \sin C-\sin D=2\cos \frac{C+D}{2}\sin \frac{C-D}{2}\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2\cos \frac{2x+2h+2x}{2}\sin \frac{2x+2h-2x}{2}}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2\cos \frac{4x+2h}{2}\sin \frac{2h}{2}}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2\cos \frac{2(2x+h)}{2}\sin h}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2\cos (2x+h)\sin h}{h}\]
\[=2\lim_{h \rightarrow 0}\cos (2x+h)\times \frac{\sin h}{h}\]
\[=2\lim_{h \rightarrow 0}\cos (2x+h)\times \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin h}{h}\]
\[=2\cos 2x\times 1\] ➜ \(\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\)
\[=2\cos 2x\]
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(y=f(m\sin^{-1}{x})\)
\(\Rightarrow y=\sin{(m\sin^{-1}{x})}\) ➜ \(\because f(x)=\sin{x}\Rightarrow f(m\sin^{-1}{x})=\sin{(m\sin^{-1}{x})}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\sin{(m\sin^{-1}{x})}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=\cos{(m\sin^{-1}{x})}.m\frac{d}{dx}(\sin^{-1}{x})\) ➜ \(a\sin^{-1}{x}\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে ।
\(\Rightarrow y_{1}=m\cos{(m\sin^{-1}{x})}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin^{-1}{x})=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-x^2}y_{1}=m\cos{(m\sin^{-1}{x})}\) ➜ উভয় পার্শে \(\sqrt{1-x^2}\) গুণ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)y^2_{1}=m^2\cos^2{(m\sin^{-1}{x})}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)y^2_{1}=m^2\{1-\sin^2{(m\sin^{-1}{x})}\}\) ➜\(\because \cos^2{x}=1-\sin^2{x}\)
\(\Rightarrow (1-x^2)y^2_{1}=m^2(1-y^2)\) ➜\(\because y=\sin{(m\sin^{-1}{x})}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{(1-x^2)y^2_{1}\}=m^2\frac{d}{dx}(1-y^2)\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)\frac{d}{dx}(y^2_{1})+y^2_{1}\frac{d}{dx}(1-x^2)=m^2(0-2yy_{1})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\), \(\frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(y^2)=2yy_{1}\)
\(\Rightarrow (1-x^2)2y_{1}y_{2}+y^2_{1}(0-2x)=2m^2yy_{1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(y^2)=2yy_{1}, \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x^2)=2x\)
\(\Rightarrow 2(1-x^2)y_{1}y_{2}-2xy^2_{1}=-2m^2yy_{1}\)
\(\Rightarrow 2(1-x^2)y_{1}y_{2}-2xy^2_{1}+2m^2yy_{1}=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\{(1-x^2)y_{2}-xy_{1}+m^2y\}=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\ne{0}, (1-x^2)y_{2}-xy_{1}+m^2y=0\)
\(\therefore (1-x^2)y_{2}-xy_{1}+m^2y=0\)
(Showed)
\(f(x)=\sin{x}\)
\((a)\)
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos 7x}{3x^2}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2\sin^2 \frac{7x}{2}}{3x^2}\] ➜\[\because 1- \cos A=2\sin^2 \frac{A}{2}\]
\[=\frac{2}{3}\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin^2 \frac{7x}{2}}{x^2}\]
\[=\frac{2}{3}\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin \frac{7x}{2}}{\frac{7x}{2}}\right)^2\times \frac{49}{4}\]
\[=\frac{49}{6}\left(\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin \frac{7x}{2}}{\frac{7x}{2}}\right)^2\]
\[=\frac{49}{6}\times (1)^2\] ➜\[\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\]
\[=\frac{49}{6}\times 1\]
\[=\frac{49}{6}\]
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\sin{x}\)
\(\Rightarrow f(2x)=\sin{2x}\)
মনে করি,
\(g(x)=f(2x)=\sin 2x\)
\(\Rightarrow g(x)=\sin 2x\)
\(\therefore g(x+h)=\sin 2(x+h)\)
আমরা জানি,
\[\frac{d}{dx}\{g(x)\}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\] ➜ মূল নিয়মে অন্তরজের সংজ্ঞানুসারে
\[\Rightarrow \frac{d}{dx}(\sin 2x)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin 2(x+h)-\sin 2x}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2\cos \frac{2(x+h)+2x}{2}\sin \frac{2(x+h)-2x}{2}}{h}\] ➜ \(\because \sin C-\sin D=2\cos \frac{C+D}{2}\sin \frac{C-D}{2}\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2\cos \frac{2x+2h+2x}{2}\sin \frac{2x+2h-2x}{2}}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2\cos \frac{4x+2h}{2}\sin \frac{2h}{2}}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2\cos \frac{2(2x+h)}{2}\sin h}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2\cos (2x+h)\sin h}{h}\]
\[=2\lim_{h \rightarrow 0}\cos (2x+h)\times \frac{\sin h}{h}\]
\[=2\lim_{h \rightarrow 0}\cos (2x+h)\times \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin h}{h}\]
\[=2\cos 2x\times 1\] ➜ \(\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\)
\[=2\cos 2x\]
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(y=f(m\sin^{-1}{x})\)
\(\Rightarrow y=\sin{(m\sin^{-1}{x})}\) ➜ \(\because f(x)=\sin{x}\Rightarrow f(m\sin^{-1}{x})=\sin{(m\sin^{-1}{x})}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\sin{(m\sin^{-1}{x})}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=\cos{(m\sin^{-1}{x})}.m\frac{d}{dx}(\sin^{-1}{x})\) ➜ \(a\sin^{-1}{x}\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে ।
\(\Rightarrow y_{1}=m\cos{(m\sin^{-1}{x})}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin^{-1}{x})=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-x^2}y_{1}=m\cos{(m\sin^{-1}{x})}\) ➜ উভয় পার্শে \(\sqrt{1-x^2}\) গুণ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)y^2_{1}=m^2\cos^2{(m\sin^{-1}{x})}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)y^2_{1}=m^2\{1-\sin^2{(m\sin^{-1}{x})}\}\) ➜\(\because \cos^2{x}=1-\sin^2{x}\)
\(\Rightarrow (1-x^2)y^2_{1}=m^2(1-y^2)\) ➜\(\because y=\sin{(m\sin^{-1}{x})}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{(1-x^2)y^2_{1}\}=m^2\frac{d}{dx}(1-y^2)\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)\frac{d}{dx}(y^2_{1})+y^2_{1}\frac{d}{dx}(1-x^2)=m^2(0-2yy_{1})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\), \(\frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(y^2)=2yy_{1}\)
\(\Rightarrow (1-x^2)2y_{1}y_{2}+y^2_{1}(0-2x)=2m^2yy_{1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(y^2)=2yy_{1}, \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x^2)=2x\)
\(\Rightarrow 2(1-x^2)y_{1}y_{2}-2xy^2_{1}=-2m^2yy_{1}\)
\(\Rightarrow 2(1-x^2)y_{1}y_{2}-2xy^2_{1}+2m^2yy_{1}=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\{(1-x^2)y_{2}-xy_{1}+m^2y\}=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\ne{0}, (1-x^2)y_{2}-xy_{1}+m^2y=0\)
\(\therefore (1-x^2)y_{2}-xy_{1}+m^2y=0\)
(Showed)
ভর্তি পরীক্ষায় আসা প্রশ্নাবলী।
\(Q.5.(i)\) একটি নলাকার আবদ্ধ টিনের তৈরি পাত্রের তরল পদার্থ ধারন ক্ষমতা \(1 litre (1000 cm^3)\) পাত্রটির উচ্চতা ও ব্যাসার্ধ কত হলে ইহা তৈরি করতে ন্যূনতম টিনের প্রয়োজন হবে।
উত্তরঃ \(r=5.42\) সে.মি., \(h=10.84\) সে.মি.
[ বুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫ ]
\(Q.5.(ii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-e^{2x}}{\ln{(1-x)}}\] এর মান বের কর।
উত্তরঃ \(2\)
[ বুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫ ]
\(Q.5.(iii)\) শুন্য ব্যতীত \(k\) এর এমন একটি মান নির্ণয় কর যা উল্লেখিত ফাংশনকে \(x=0\) বিন্দুতে অবিছিন্ন করবে। তোমার উত্তরের যৌক্তিকতা ব্যখ্যা কর।
\(f(x)=\begin{cases}\frac{\tan{kx}}{x}, & x<0\\3x+2k^2, & x \ge 0\end{cases}\)
উত্তরঃ \(k=\frac{1}{2}\)
[ বুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫ ]
\(Q.5.(iv)\) \((\cos{x})^{y}=(\sin{y})^{x}\) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\ln{(\sin{y})}+y\tan{x}}{\ln{(\cos{x})}-x\cot{y}}\)
[ বুয়েটঃ ২০১৩-২০১৪ ]
\(Q.5.(v)\) যদি \(y=\tan^{-1}\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\) হয়, তবে \(\frac{dy}{dx}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{2(1+x^2)}\)
[ বুয়েটঃ ২০১৩-২০১৪ ]
\(Q.5.(vi)\) যদি \(y=a\cos{\ln{x}}+b\sin{\ln{x}}\) হয়, তবে \(\frac{dy}{dx}\) প্রমাণ কর যে, \(x^2y_{2}+xy_{1}+y=0\)
[ চুয়েটঃ ২০১৩-২০১৪ ]
\(Q.5.(vii)\) \(f(x)=2x^3+3\) এবং \(g(x)=\sqrt[3]{\frac{x-3}{2}}\) হলে দেখাও যে, \(fog(x)=gof(x)\)
[ বুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]
\(Q.5.(viii)\) যদি \(f(x)=\sin{x}\) হয় তবে \[\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+nh)-f(x)}{h}\] নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(n\cos x\)
[ বুয়েটঃ ২০০০-২০০১ ]
\(Q.5.(ix)\) সীমাস্থ মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2(b-\sqrt{b^2+x^2})}{x^2}\].
উত্তরঃ \(-\frac{1}{b}\)
[ রুয়েটঃ ২০১২-২০১৩ ]
\(Q.5.(x)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+3}\].
উত্তরঃ \(e\)
[ রুয়েটঃ ২০১০-২০১১ ]
\(Q.5.(xi)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x-\ln{(1+x)}}{1+x-e^x}\].
উত্তরঃ \(-1\)
[ বুয়েটঃ ২০১০-২০১১ ]
\(Q.5.(xii)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan^{-1}{x}}{x}\].
উত্তরঃ \(1\)
[ রুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ]
\(Q.5.(xiii)\) প্রমাণ কর যে, \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^{x}-1}{x}=1\].
[ রুয়েটঃ ২০০৯-২০১০, কুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ]
\(Q.5.(xiv)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{3\sin{x}-\sin{3x}}{x^3}\].
উত্তরঃ \(4\)
[ রুয়েটঃ ২০০৯-২০১০, কুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ]
\(Q.5.(xv)\) প্রমাণ কর যে, \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{x}}{x}=0\].
[ রুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮ ]
\(Q.5.(xvi)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\cos{7x}-\cos{9x}}{\cos{4x}-\cos{5x}}\].
উত্তরঃ \(\frac{32}{9}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮ ]
\(Q.5.(xvii)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{a^{x}-a^{-x}}{x}\].
উত্তরঃ \(2\ln a\)
[ রুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭ ]
\(Q.5.(xviii)\) যদি \(x^2=5y^2+\sin{y}\) হয়, তাহলে \(\frac{dy}{dx}\) কত হবে?
উত্তরঃ \(\frac{2x}{10y+\cos{y}}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭ ]
\(Q.5.(xix)\) প্রমাণ কর যে, \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{x}}{x}=1\]. [ রুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]
\(Q.5.(xx)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{1-\sin{x}}{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)^2}\].
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]
\(Q.5.(xxi)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin{x}}-\frac{1}{\tan{x}}\right)\Rightarrow \lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{x}}{\sin{x}}\].
উত্তরঃ \(0\)
[ রুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]
\(Q.5.(xxii)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\{\sec{x}(\sec{x}-\tan{x})\}\].
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]
\(Q.5.(xxiii)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow \infty}\{\ln{(2x-1)}-\ln{(x+5)}\}\].
উত্তরঃ \(\ln 2\)
[ কুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫ ]
\(Q.5.(xxiv)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow y}\frac{\sin{x}-\sin{y}}{x-y}\].
উত্তরঃ \(\cos y\)
[ কুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫ ]
\(Q.5.(xxv)\) \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(\sin^4\left(\cot^{-1}\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{x-1}{2}\)
[ বুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ]
\(Q.5.(xxvi)\) \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(\left(\sqrt{x}\right)^{\sqrt{x}}\)
উত্তরঃ \((\sqrt{x})^{\sqrt{x}}\frac{1}{2\sqrt{x}}\left(1+\ln{\sqrt{x}}\right)\)
[ বুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]
\(Q.5.(xxvii)\) \(\log_{e}(xy)=x^2+y^2\) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{(2x^2-1)y}{(1-2y^2)x}\)
[ বুয়েটঃ ২০১০-২০১১ ]
\(Q.5.(xxviii)\) \(y=(\cos^{-1}{x})^2\) হলে, দেখাও যে \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}=2\)
[ বুটেক্সঃ ২০১০-২০১১ ]
\(Q.5.(xxix)\) \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(e^{x^2}+x^{x^2}\)
উত্তরঃ \(2xe^{x^2}+x^{x^2+1}(1+\ln{x^2})\)
[ বুটেক্সঃ ২০০০-২০০১ ]
\(Q.5.(xxx)\) মান নির্ণয় করঃ \(\frac{dy}{dx}\), যখন \(y=\cot^{-1}(\sqrt{1+x^2}-x)\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2(1+x^2)}\)
[ রুয়েটঃ ২০১২-২০১৩, ২০০৮-২০০৯ ]
\(Q.5.(xxxi)\) মান নির্ণয় করঃ \(\frac{dy}{dx}\), যখন \(x^ay^b=(x-y)^{a+b}\)
উত্তরঃ \(\frac{y}{x}\)
[ রুয়েটঃ ২০১১-২০১২ ]
\(Q.5.(xxxii)\) \(f(x)=\sin{x}\) হলে, মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+nh)-f(x)}{nh}\].
উত্তরঃ \(n\cos x\)
[ রুয়েটঃ ২০১০-২০১১ ]
\(Q.5.(xxxiii)\) \(e^x+e^y=e^{x+y}\) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-e^{y-x}\)
[ রুয়েটঃ ২০১০-২০১১ ]
\(Q.5.(xxxiv)\) \(y^3=x^2(2a-x)\) বক্ররেখার যেসব বিন্দুতে স্পর্শক \(x\) অক্ষের সমান্তরাল, সেগুলি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((0, 0) ; (2a, 0)\)
[ রুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮ ]
\(Q.5.(xxxv)\) \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(\tan^{-1}\frac{a+bx}{b-ax}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{1+x^2}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭, কুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭ ]
\(Q.5.(xxxvi)\) \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(\cot^{-1}\left(\frac{x^2}{e^x}\right)+\cot^{-1}\left(\frac{e^x}{x^2}\right)\)
উত্তরঃ \(0\)
[ রুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]
\(Q.5.(xxxvii)\) \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(\ln{(\sin^{-1}{x})}\cos^{-1}{x}\)
উত্তরঃ \(\frac{\cos^{-1}{x}}{\sin^{-1}{x}\sqrt{1-x^2}}-\frac{\ln{(\sin^{-1}{x})}}{\sqrt{1-x^2}}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫ ]
\(Q.5.(xxxviii)\) মান নির্ণয় করঃ \(\frac{dy}{dx}\), যখন \(x^y=y^x\)
উত্তরঃ \(\frac{y(x\ln{y}-y)}{x(y\ln{x}-x)}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫ ]
উত্তরঃ \(r=5.42\) সে.মি., \(h=10.84\) সে.মি.
[ বুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫ ]
\(Q.5.(ii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-e^{2x}}{\ln{(1-x)}}\] এর মান বের কর।
উত্তরঃ \(2\)
[ বুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫ ]
\(Q.5.(iii)\) শুন্য ব্যতীত \(k\) এর এমন একটি মান নির্ণয় কর যা উল্লেখিত ফাংশনকে \(x=0\) বিন্দুতে অবিছিন্ন করবে। তোমার উত্তরের যৌক্তিকতা ব্যখ্যা কর।
\(f(x)=\begin{cases}\frac{\tan{kx}}{x}, & x<0\\3x+2k^2, & x \ge 0\end{cases}\)
উত্তরঃ \(k=\frac{1}{2}\)
[ বুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫ ]
\(Q.5.(iv)\) \((\cos{x})^{y}=(\sin{y})^{x}\) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\ln{(\sin{y})}+y\tan{x}}{\ln{(\cos{x})}-x\cot{y}}\)
[ বুয়েটঃ ২০১৩-২০১৪ ]
\(Q.5.(v)\) যদি \(y=\tan^{-1}\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\) হয়, তবে \(\frac{dy}{dx}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{2(1+x^2)}\)
[ বুয়েটঃ ২০১৩-২০১৪ ]
\(Q.5.(vi)\) যদি \(y=a\cos{\ln{x}}+b\sin{\ln{x}}\) হয়, তবে \(\frac{dy}{dx}\) প্রমাণ কর যে, \(x^2y_{2}+xy_{1}+y=0\)
[ চুয়েটঃ ২০১৩-২০১৪ ]
\(Q.5.(vii)\) \(f(x)=2x^3+3\) এবং \(g(x)=\sqrt[3]{\frac{x-3}{2}}\) হলে দেখাও যে, \(fog(x)=gof(x)\)
[ বুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]
\(Q.5.(viii)\) যদি \(f(x)=\sin{x}\) হয় তবে \[\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+nh)-f(x)}{h}\] নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(n\cos x\)
[ বুয়েটঃ ২০০০-২০০১ ]
\(Q.5.(ix)\) সীমাস্থ মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2(b-\sqrt{b^2+x^2})}{x^2}\].
উত্তরঃ \(-\frac{1}{b}\)
[ রুয়েটঃ ২০১২-২০১৩ ]
\(Q.5.(x)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+3}\].
উত্তরঃ \(e\)
[ রুয়েটঃ ২০১০-২০১১ ]
\(Q.5.(xi)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x-\ln{(1+x)}}{1+x-e^x}\].
উত্তরঃ \(-1\)
[ বুয়েটঃ ২০১০-২০১১ ]
\(Q.5.(xii)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan^{-1}{x}}{x}\].
উত্তরঃ \(1\)
[ রুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ]
\(Q.5.(xiii)\) প্রমাণ কর যে, \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^{x}-1}{x}=1\].
[ রুয়েটঃ ২০০৯-২০১০, কুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ]
\(Q.5.(xiv)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{3\sin{x}-\sin{3x}}{x^3}\].
উত্তরঃ \(4\)
[ রুয়েটঃ ২০০৯-২০১০, কুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ]
\(Q.5.(xv)\) প্রমাণ কর যে, \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{x}}{x}=0\].
[ রুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮ ]
\(Q.5.(xvi)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\cos{7x}-\cos{9x}}{\cos{4x}-\cos{5x}}\].
উত্তরঃ \(\frac{32}{9}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮ ]
\(Q.5.(xvii)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{a^{x}-a^{-x}}{x}\].
উত্তরঃ \(2\ln a\)
[ রুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭ ]
\(Q.5.(xviii)\) যদি \(x^2=5y^2+\sin{y}\) হয়, তাহলে \(\frac{dy}{dx}\) কত হবে?
উত্তরঃ \(\frac{2x}{10y+\cos{y}}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭ ]
\(Q.5.(xix)\) প্রমাণ কর যে, \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{x}}{x}=1\]. [ রুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]
\(Q.5.(xx)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{1-\sin{x}}{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)^2}\].
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]
\(Q.5.(xxi)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin{x}}-\frac{1}{\tan{x}}\right)\Rightarrow \lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{x}}{\sin{x}}\].
উত্তরঃ \(0\)
[ রুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]
\(Q.5.(xxii)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\{\sec{x}(\sec{x}-\tan{x})\}\].
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]
\(Q.5.(xxiii)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow \infty}\{\ln{(2x-1)}-\ln{(x+5)}\}\].
উত্তরঃ \(\ln 2\)
[ কুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫ ]
\(Q.5.(xxiv)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow y}\frac{\sin{x}-\sin{y}}{x-y}\].
উত্তরঃ \(\cos y\)
[ কুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫ ]
\(Q.5.(xxv)\) \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(\sin^4\left(\cot^{-1}\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{x-1}{2}\)
[ বুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ]
\(Q.5.(xxvi)\) \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(\left(\sqrt{x}\right)^{\sqrt{x}}\)
উত্তরঃ \((\sqrt{x})^{\sqrt{x}}\frac{1}{2\sqrt{x}}\left(1+\ln{\sqrt{x}}\right)\)
[ বুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]
\(Q.5.(xxvii)\) \(\log_{e}(xy)=x^2+y^2\) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{(2x^2-1)y}{(1-2y^2)x}\)
[ বুয়েটঃ ২০১০-২০১১ ]
\(Q.5.(xxviii)\) \(y=(\cos^{-1}{x})^2\) হলে, দেখাও যে \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}=2\)
[ বুটেক্সঃ ২০১০-২০১১ ]
\(Q.5.(xxix)\) \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(e^{x^2}+x^{x^2}\)
উত্তরঃ \(2xe^{x^2}+x^{x^2+1}(1+\ln{x^2})\)
[ বুটেক্সঃ ২০০০-২০০১ ]
\(Q.5.(xxx)\) মান নির্ণয় করঃ \(\frac{dy}{dx}\), যখন \(y=\cot^{-1}(\sqrt{1+x^2}-x)\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2(1+x^2)}\)
[ রুয়েটঃ ২০১২-২০১৩, ২০০৮-২০০৯ ]
\(Q.5.(xxxi)\) মান নির্ণয় করঃ \(\frac{dy}{dx}\), যখন \(x^ay^b=(x-y)^{a+b}\)
উত্তরঃ \(\frac{y}{x}\)
[ রুয়েটঃ ২০১১-২০১২ ]
\(Q.5.(xxxii)\) \(f(x)=\sin{x}\) হলে, মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+nh)-f(x)}{nh}\].
উত্তরঃ \(n\cos x\)
[ রুয়েটঃ ২০১০-২০১১ ]
\(Q.5.(xxxiii)\) \(e^x+e^y=e^{x+y}\) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-e^{y-x}\)
[ রুয়েটঃ ২০১০-২০১১ ]
\(Q.5.(xxxiv)\) \(y^3=x^2(2a-x)\) বক্ররেখার যেসব বিন্দুতে স্পর্শক \(x\) অক্ষের সমান্তরাল, সেগুলি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((0, 0) ; (2a, 0)\)
[ রুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮ ]
\(Q.5.(xxxv)\) \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(\tan^{-1}\frac{a+bx}{b-ax}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{1+x^2}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭, কুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭ ]
\(Q.5.(xxxvi)\) \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(\cot^{-1}\left(\frac{x^2}{e^x}\right)+\cot^{-1}\left(\frac{e^x}{x^2}\right)\)
উত্তরঃ \(0\)
[ রুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]
\(Q.5.(xxxvii)\) \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(\ln{(\sin^{-1}{x})}\cos^{-1}{x}\)
উত্তরঃ \(\frac{\cos^{-1}{x}}{\sin^{-1}{x}\sqrt{1-x^2}}-\frac{\ln{(\sin^{-1}{x})}}{\sqrt{1-x^2}}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫ ]
\(Q.5.(xxxviii)\) মান নির্ণয় করঃ \(\frac{dy}{dx}\), যখন \(x^y=y^x\)
উত্তরঃ \(\frac{y(x\ln{y}-y)}{x(y\ln{x}-x)}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫ ]
\(Q.5.(xxxix)\) যদি \(y=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\) হয়, তবে দেখাও যে, \(2xy_{1}+y=2\sqrt{x}\).
[ রুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫ ]
\(Q.5.(xL)\) মান নির্ণয় করঃ \(\frac{dy}{dx}\), যখন \(y=\frac{(x-1)^2}{\sqrt[3]{x}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}\left(5\sqrt[3]{x^{2}}-\frac{4}{\sqrt[3]{x}}-\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4}}}\right)\)
[ রুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]
\(Q.5.(xLi)\) \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(a^{\sin^{-1}{x}}\)
উত্তরঃ \(\frac{a^{\sin^{-1} x}\ln a}{\sqrt{1-x^2}}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]
\(Q.5.(xLii)\) দেখাও যে একটি গোলাকার সাবানের বুদবুদের আয়তনের বৃদ্ধির হার তার ব্যাসার্ধের বৃদ্ধির হারের \(4\pi{r^2}\) গুণ।
[ রুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]
\(Q.5.(xLiii)\) \(y=3\) সরলরেখার সমান্তরাল যে রেখা \(y=(x-3)^2(x-2)\) বক্ররেখার যে সমস্ত বিন্দুতে স্পর্শক সেই বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((3, 0); \left(\frac{7}{3}, \frac{4}{27}\right)\)
[ কুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭ ]
\(Q.5.(xLiv)\) \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(\frac{x\ln{x}}{\sqrt{1+x^2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1+x^2+\ln x}{(\sqrt{1+x^2})^3}\)
[ কুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]
\(Q.5.(xLv)\) \(\tan{y}=\frac{2t}{1-t^2}\) এবং \(\sin{x}=\frac{2t}{1+t^2}\) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1\)
[ কুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫]
\(Q.5.(xLvi)\) যদি \(y=e^{ax}\cos{bx}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(y_{2}-2ay_{1}+(a^2+b^2)y=0\).
[ কুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪]
\(Q.5.(xLvii)\) \(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(5e^x\ln{x}\)
উত্তরঃ \(5e^x\left(\frac{1}{x}+\ln{x}\right)\)
[ কুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪]
\(Q.5.(xLviii)\) \(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(\tan^{-1}\left(\frac{3x-x^3}{1-3x^2}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{3}{1+x^2}\)
[ কুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪]
\(Q.5.(xLix)\) যদি \(y=\sin \left(2\tan^{-1}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right) \) হয়, তবে \(\frac{dy}{dx}=?\).
উত্তরঃ \(-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
[ চুয়েটঃ ২০০৯-২০১০]
\(Q.5.(L)\) \(x^2+2ax+y^2=0\) বক্ররেখার উপর স্পর্শকের স্পর্শবিন্দুগুলো নির্ণয় কর, যেখানে স্পর্শকসমুহ \(x\) অক্ষের উপর লম্ব।
উত্তরঃ নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((0, 0); (-2a, 0)\)
[ চুয়েটঃ ২০০৯-২০১০]
\(Q.5.(Li)\) \(y=\frac{1}{3}x^3+2\) বক্ররেখার উপরস্থ এমন কিছু বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর যেসব বিন্দুগামী স্পর্শকগুলো \(x\) অক্ষের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে।
উত্তরঃ নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \(\left(1, \frac{7}{3}\right); \left(1, \frac{5}{3}\right)\)
[ চুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮]
\(Q.5.(Lii)\) \(y=\sec{x}\) হলে, দেখাও যে \(y_{2}=y(2y^2-1)\)
[ চুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮]
\(Q.5.(Liii)\) \(x^y+y^x=0\) সমীকরণ হতে \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\frac{y^x\ln{y}+yx^{y-1}}{x^y\ln{x}+xy^{x-1}}\)
[ চুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮]
\(Q.5.(Liv)\) দেখাও যে, \(x\) এর সাপেক্ষে \(\ln{\sqrt[3]{\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}}}\) এর অন্তরকসহগ \(\frac{2}{3} \ cosec \ x\).
[ চুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬]
\(Q.5.(Lv)\) \(y=x^3-3x+2\) বক্ররেখার যেসব বিন্দুতে স্পর্শক \(x\) অক্ষের সমান্তরাল, সেগুলি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((1, 0); (-1, 4)\)
[ চুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬]
\(Q.5.(Lvi)\) \(y=kx(1+x)\) বক্ররেখাটির \((3, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শক \(x\) অক্ষের সাথে \(30^{o}\) কোণ উৎপন্ন করলে \(k\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(k=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
[ চুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬]
\(Q.5.(Lvii)\) যদি \(y=e^{\tan^{-1}{x}}\) হয়, তবে \(\frac{\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)}\) এর মান কত?
উত্তরঃ \(\frac{1+x^2}{1-2x}\)
[ চুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪]
\(Q.5.(Lviii)\) দেখাও যে, \(f(x)=x^{\frac{1}{x}}\) এর মান বৃহত্তম হবে যদি \(x=e\) হয়।
[ বুয়েটঃ ২০১২-২০১৩]
\(Q.5.(Lix)\) যদি কোনো সমবাহু ত্রিভুজের বাহু প্রতি সেকেন্ডে \(\sqrt{3}\) সে.মি. এবং ক্ষেত্রফল প্রতি সেকেন্ডে \(12\) বর্গ সে.মি. বৃদ্ধি পায় তবে সমবাহু ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a=8\) সে.মি.
[ বুয়েটঃ ২০১১-২০১২]
\(Q.5.(Lx)\) যদি \(\cos^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)=\ln{\left(\frac{x}{n}\right)^n}\) হয়, প্রমাণ কর যে, \(x^2\frac{d^2y}{dx^2}+x\frac{dy}{dx}+n^2y=0\)
[ বুয়েটঃ ২০১০-২০১১]
\(Q.5.(Lxi)\) \(y=x^{n-1}\ln{x}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(x^2y_{2}+(3-2n)xy_{1}+(n-1)^2y=0\).
[ বুয়েটঃ ২০০৯-২০১০]
\(Q.5.(Lxii)\) \(x^{y^n}=y^{x^n}\) হলে, দেখাও যে, \(\frac{dy}{dx}=\frac{y^{n+1}(n\ln{x}-1)}{x^{n+1}(n\ln{y}-1)}\).
[ বুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯]
\(Q.5.(Lxiii)\) \(1\) লিটার ( \(1000\) ঘন সে.মি. ) তরল ধারন ক্ষমতা সম্পন্ন দুই প্রান্তে আবদ্ধ একটি খাড়া বৃত্তাকার সিলিন্ডার প্রয়োজন। সিলিন্ডারটির উচ্চতা ও ব্যাসার্ধ কিরূপ হলে সর্বাপেক্ষা কম ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট টিন দিয়ে তা তৈরি করা সম্ভব।
উত্তরঃ \(r=5.42\) সে.মি., \(h=10.84\) সে.মি.
[ বুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭]
\(Q.5.(Lxiv)\) যদি \(y=\cos{2\sin^{-1}{x}}\) হয়, তবে দেখাও যে, \((1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}+4y=0\)
[ বুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬, বুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫]
\(Q.5.(Lxv)\) \(y=(x+1)(x-1)(x-3)\) বক্ররেখাটি যেসব বিন্দুতে \(x\) অক্ষকে ছেদ করে, ঐ বিন্দুগুলিতে অঙ্কিত স্পর্শকসমুহের ঢাল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(8; -4; 8\)
[ বুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]
\(Q.5.(Lxvi)\) \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় কর। যেখানে \((\cos{x})^y=(\sin{y})^x\)
উত্তরঃ \(\frac{\ln{(\sin{y})}+y\tan{x}}{\ln{(\cos{x})}-x\cot{y}}\)
[ বুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]
\(Q.5.(Lxvii)\) যদি \(x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}=0\) এবং \(y\ne{x}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{(1+x)^2}\)
[ বুয়েটঃ ২০০২-২০০৩ ]
\(Q.5.(Lxviii)\) যদি \(x^yy^x=a^2\) হয়, তবে \(\frac{dy}{dx}\) এর মান বাহির কর।
উত্তরঃ \(-\frac{y^2}{x^2}.\frac{1-ln{x}}{1-\ln{y}}\)
[ বুয়েটঃ ২০০২-২০০৩ ]
\(Q.5.(Lxix)\) \(e^{3x}\sin^2{x}\) এর \(n\) তম অন্তরীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}e^{3x}\left\{3^n-(\sqrt{13})^n\cos{\left(2x+n\tan^{-1}{\frac{2}{3}}\right)}\right\}\)
[ বুয়েটঃ ২০০১-২০০২ ]
\(Q.5.(Lxx)\) ফাংশনটির গুরুমান বা লঘুমানের পরীক্ষা কর এবং সে মান নির্ণয় করঃ \(\frac{x}{\ln{x}}\)
[ বুয়েটঃ ২০০১-২০০২ ]
\(Q.5.(Lxxi)\) \(x(12-2x)^2\) এর বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \( =0\); গুরুমান \( =128\) .
[ রুয়েটঃ ২০১২-২০১৩ ]
\(Q.5.(Lxxii)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{3\sin{x}-\sin{3x}}{x^3}\]. উত্তরঃ \(4\) [ রুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯ ]
\(Q.5.(Lxxiii)\) দেখাও যে, \(y=\sin{(m\sin^{-1}{x})}\) সমীকরণ \((1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}+m^2y=0\) কে সিদ্ধ করে।
[ রুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮, ২০০৮-২০০৯,২০০০-২০০১ ]
\(Q.5.(Lxxiv)\) \(x\) ও \(y\) এমন দুইটি সংখ্যা যাদের যোগফল \(100\) । \(x^2+y^2\) এর সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বনিম্ন মান \(5000\)
[ রুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]
\(Q.5.(Lxxv)\) যদি \(y=\frac{1}{2}(\sin^{-1}{x})^2\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \( (1-x^2)y_{2}-xy_{1}=1\)
[ চুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]
[ রুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫ ]
\(Q.5.(xL)\) মান নির্ণয় করঃ \(\frac{dy}{dx}\), যখন \(y=\frac{(x-1)^2}{\sqrt[3]{x}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}\left(5\sqrt[3]{x^{2}}-\frac{4}{\sqrt[3]{x}}-\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4}}}\right)\)
[ রুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]
\(Q.5.(xLi)\) \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(a^{\sin^{-1}{x}}\)
উত্তরঃ \(\frac{a^{\sin^{-1} x}\ln a}{\sqrt{1-x^2}}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]
\(Q.5.(xLii)\) দেখাও যে একটি গোলাকার সাবানের বুদবুদের আয়তনের বৃদ্ধির হার তার ব্যাসার্ধের বৃদ্ধির হারের \(4\pi{r^2}\) গুণ।
[ রুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]
\(Q.5.(xLiii)\) \(y=3\) সরলরেখার সমান্তরাল যে রেখা \(y=(x-3)^2(x-2)\) বক্ররেখার যে সমস্ত বিন্দুতে স্পর্শক সেই বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((3, 0); \left(\frac{7}{3}, \frac{4}{27}\right)\)
[ কুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭ ]
\(Q.5.(xLiv)\) \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(\frac{x\ln{x}}{\sqrt{1+x^2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1+x^2+\ln x}{(\sqrt{1+x^2})^3}\)
[ কুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]
\(Q.5.(xLv)\) \(\tan{y}=\frac{2t}{1-t^2}\) এবং \(\sin{x}=\frac{2t}{1+t^2}\) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1\)
[ কুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫]
\(Q.5.(xLvi)\) যদি \(y=e^{ax}\cos{bx}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(y_{2}-2ay_{1}+(a^2+b^2)y=0\).
[ কুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪]
\(Q.5.(xLvii)\) \(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(5e^x\ln{x}\)
উত্তরঃ \(5e^x\left(\frac{1}{x}+\ln{x}\right)\)
[ কুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪]
\(Q.5.(xLviii)\) \(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(\tan^{-1}\left(\frac{3x-x^3}{1-3x^2}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{3}{1+x^2}\)
[ কুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪]
\(Q.5.(xLix)\) যদি \(y=\sin \left(2\tan^{-1}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right) \) হয়, তবে \(\frac{dy}{dx}=?\).
উত্তরঃ \(-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
[ চুয়েটঃ ২০০৯-২০১০]
\(Q.5.(L)\) \(x^2+2ax+y^2=0\) বক্ররেখার উপর স্পর্শকের স্পর্শবিন্দুগুলো নির্ণয় কর, যেখানে স্পর্শকসমুহ \(x\) অক্ষের উপর লম্ব।
উত্তরঃ নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((0, 0); (-2a, 0)\)
[ চুয়েটঃ ২০০৯-২০১০]
\(Q.5.(Li)\) \(y=\frac{1}{3}x^3+2\) বক্ররেখার উপরস্থ এমন কিছু বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর যেসব বিন্দুগামী স্পর্শকগুলো \(x\) অক্ষের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে।
উত্তরঃ নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \(\left(1, \frac{7}{3}\right); \left(1, \frac{5}{3}\right)\)
[ চুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮]
\(Q.5.(Lii)\) \(y=\sec{x}\) হলে, দেখাও যে \(y_{2}=y(2y^2-1)\)
[ চুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮]
\(Q.5.(Liii)\) \(x^y+y^x=0\) সমীকরণ হতে \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\frac{y^x\ln{y}+yx^{y-1}}{x^y\ln{x}+xy^{x-1}}\)
[ চুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮]
\(Q.5.(Liv)\) দেখাও যে, \(x\) এর সাপেক্ষে \(\ln{\sqrt[3]{\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}}}\) এর অন্তরকসহগ \(\frac{2}{3} \ cosec \ x\).
[ চুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬]
\(Q.5.(Lv)\) \(y=x^3-3x+2\) বক্ররেখার যেসব বিন্দুতে স্পর্শক \(x\) অক্ষের সমান্তরাল, সেগুলি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((1, 0); (-1, 4)\)
[ চুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬]
\(Q.5.(Lvi)\) \(y=kx(1+x)\) বক্ররেখাটির \((3, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শক \(x\) অক্ষের সাথে \(30^{o}\) কোণ উৎপন্ন করলে \(k\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(k=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
[ চুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬]
\(Q.5.(Lvii)\) যদি \(y=e^{\tan^{-1}{x}}\) হয়, তবে \(\frac{\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)}\) এর মান কত?
উত্তরঃ \(\frac{1+x^2}{1-2x}\)
[ চুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪]
\(Q.5.(Lviii)\) দেখাও যে, \(f(x)=x^{\frac{1}{x}}\) এর মান বৃহত্তম হবে যদি \(x=e\) হয়।
[ বুয়েটঃ ২০১২-২০১৩]
\(Q.5.(Lix)\) যদি কোনো সমবাহু ত্রিভুজের বাহু প্রতি সেকেন্ডে \(\sqrt{3}\) সে.মি. এবং ক্ষেত্রফল প্রতি সেকেন্ডে \(12\) বর্গ সে.মি. বৃদ্ধি পায় তবে সমবাহু ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a=8\) সে.মি.
[ বুয়েটঃ ২০১১-২০১২]
\(Q.5.(Lx)\) যদি \(\cos^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)=\ln{\left(\frac{x}{n}\right)^n}\) হয়, প্রমাণ কর যে, \(x^2\frac{d^2y}{dx^2}+x\frac{dy}{dx}+n^2y=0\)
[ বুয়েটঃ ২০১০-২০১১]
\(Q.5.(Lxi)\) \(y=x^{n-1}\ln{x}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(x^2y_{2}+(3-2n)xy_{1}+(n-1)^2y=0\).
[ বুয়েটঃ ২০০৯-২০১০]
\(Q.5.(Lxii)\) \(x^{y^n}=y^{x^n}\) হলে, দেখাও যে, \(\frac{dy}{dx}=\frac{y^{n+1}(n\ln{x}-1)}{x^{n+1}(n\ln{y}-1)}\).
[ বুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯]
\(Q.5.(Lxiii)\) \(1\) লিটার ( \(1000\) ঘন সে.মি. ) তরল ধারন ক্ষমতা সম্পন্ন দুই প্রান্তে আবদ্ধ একটি খাড়া বৃত্তাকার সিলিন্ডার প্রয়োজন। সিলিন্ডারটির উচ্চতা ও ব্যাসার্ধ কিরূপ হলে সর্বাপেক্ষা কম ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট টিন দিয়ে তা তৈরি করা সম্ভব।
উত্তরঃ \(r=5.42\) সে.মি., \(h=10.84\) সে.মি.
[ বুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭]
\(Q.5.(Lxiv)\) যদি \(y=\cos{2\sin^{-1}{x}}\) হয়, তবে দেখাও যে, \((1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}+4y=0\)
[ বুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬, বুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫]
\(Q.5.(Lxv)\) \(y=(x+1)(x-1)(x-3)\) বক্ররেখাটি যেসব বিন্দুতে \(x\) অক্ষকে ছেদ করে, ঐ বিন্দুগুলিতে অঙ্কিত স্পর্শকসমুহের ঢাল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(8; -4; 8\)
[ বুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]
\(Q.5.(Lxvi)\) \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় কর। যেখানে \((\cos{x})^y=(\sin{y})^x\)
উত্তরঃ \(\frac{\ln{(\sin{y})}+y\tan{x}}{\ln{(\cos{x})}-x\cot{y}}\)
[ বুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]
\(Q.5.(Lxvii)\) যদি \(x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}=0\) এবং \(y\ne{x}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{(1+x)^2}\)
[ বুয়েটঃ ২০০২-২০০৩ ]
\(Q.5.(Lxviii)\) যদি \(x^yy^x=a^2\) হয়, তবে \(\frac{dy}{dx}\) এর মান বাহির কর।
উত্তরঃ \(-\frac{y^2}{x^2}.\frac{1-ln{x}}{1-\ln{y}}\)
[ বুয়েটঃ ২০০২-২০০৩ ]
\(Q.5.(Lxix)\) \(e^{3x}\sin^2{x}\) এর \(n\) তম অন্তরীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}e^{3x}\left\{3^n-(\sqrt{13})^n\cos{\left(2x+n\tan^{-1}{\frac{2}{3}}\right)}\right\}\)
[ বুয়েটঃ ২০০১-২০০২ ]
\(Q.5.(Lxx)\) ফাংশনটির গুরুমান বা লঘুমানের পরীক্ষা কর এবং সে মান নির্ণয় করঃ \(\frac{x}{\ln{x}}\)
[ বুয়েটঃ ২০০১-২০০২ ]
\(Q.5.(Lxxi)\) \(x(12-2x)^2\) এর বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \( =0\); গুরুমান \( =128\) .
[ রুয়েটঃ ২০১২-২০১৩ ]
\(Q.5.(Lxxii)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{3\sin{x}-\sin{3x}}{x^3}\]. উত্তরঃ \(4\) [ রুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯ ]
\(Q.5.(Lxxiii)\) দেখাও যে, \(y=\sin{(m\sin^{-1}{x})}\) সমীকরণ \((1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}+m^2y=0\) কে সিদ্ধ করে।
[ রুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮, ২০০৮-২০০৯,২০০০-২০০১ ]
\(Q.5.(Lxxiv)\) \(x\) ও \(y\) এমন দুইটি সংখ্যা যাদের যোগফল \(100\) । \(x^2+y^2\) এর সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বনিম্ন মান \(5000\)
[ রুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]
\(Q.5.(Lxxv)\) যদি \(y=\frac{1}{2}(\sin^{-1}{x})^2\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \( (1-x^2)y_{2}-xy_{1}=1\)
[ চুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]
\(Q.5.(i)\) একটি নলাকার আবদ্ধ টিনের তৈরি পাত্রের তরল পদার্থ ধারন ক্ষমতা \(1 litre (1000 cm^3)\) পাত্রটির উচ্চতা ও ব্যাসার্ধ কত হলে ইহা তৈরি করতে ন্যূনতম টিনের প্রয়োজন হবে।
উত্তরঃ \(r=5.42\) সে.মি., \(h=10.84\) সে.মি.
[ বুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫ ]
উত্তরঃ \(r=5.42\) সে.মি., \(h=10.84\) সে.মি.
[ বুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫ ]
সমাধানঃ
ধরি,
পাত্রের উচ্চতা \(=h\)
ব্যাসার্ধ \(=r\)
পাত্রটি তৈরি করতে টিনের পরিমাণ \(=p\)
\(\therefore \) পাত্রের আয়তন \(\pi r^2h=1000\) ➜ ধারন ক্ষমতা \(1 litre (1000 cm^3)\) অর্থাৎ আয়তন \( (1000 cm^3)\)
\(\Rightarrow h=\frac{1000}{\pi r^2} ...(1)\)
আবার,
টিনের পরিমাণ \(p=2\pi rh+2\pi r^2\) ➜ \(p=\) গোলাকার তলের ক্ষেত্রফল + প্রান্তদ্বয়ের যোগফল।
\(\Rightarrow p=2\pi r\times{\frac{1000}{\pi r^2}}+2\pi r^2\)
\(\Rightarrow p=\frac{2000}{r}+2\pi r^2\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dr}(p)=\frac{d}{dr}\left(\frac{2000}{r}+2\pi r^2\right)\) ➜ \(r\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dp}{dr}=2000\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{r}\right)+2\pi \frac{d}{dr}(r^2)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(=2000\left(-\frac{1}{r^2}\right)+2\pi .2r\)
\(=-\frac{2000}{r^2}+4\pi r\)
\(\therefore \frac{dp}{dr}=-\frac{2000}{r^2}+4\pi r\)
চরমমানের জন্য \(\frac{dp}{dr}=0\)
\(\therefore -\frac{2000}{r^2}+4\pi r=0\)
\(\Rightarrow 4\pi r=\frac{2000}{r^2}\)
\(\Rightarrow r^3=\frac{2000}{4\pi}\)
\(\Rightarrow r^3=\frac{500}{\pi}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt[3]{\left(\frac{500}{\pi}\right)}\)
\(\therefore r=5.42\) সে.মি.
আবার,
\(\frac{d^2p}{dr^2}=\frac{d}{dr}\left(\frac{dp}{dr}\right)\)
\(=\frac{d}{dr}\left(-\frac{2000}{r^2}+4\pi r\right)\) ➜ \(\because \frac{dp}{dx}=-\frac{2000}{r^2}+4\pi r\)
\(=-2000\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{r^2}\right)+4\pi .1\)
\(=-2000\frac{d}{dr}(r^{-2})+4\pi\)
\(=-2000\times{-2}(r^{-2-1})+4\pi\)
\(=4000(r^{-3})+4\pi\)
\(=\frac{4000}{r^{3}}+4\pi\)
\(r^3=\frac{500}{\pi}\) হলে,
\(\frac{d^2p}{dr^2}=\frac{4000}{\frac{500}{\pi}}+4\pi\)
\(=\frac{4000\pi}{500}+4\pi\)
\(=8\pi+4\pi\)
\(=12\pi>0\)
\(\therefore \frac{d^2p}{dr^2}>0\)
\(\therefore r^3=\frac{500}{\pi}\Rightarrow r=5.42\) সে.মি. হলে,
পাত্রটির টিনের পরিমাণ ন্যূনতম হবে।
সে ক্ষেত্রে উচ্চতা \(h=\frac{1000}{\pi\times{(5.42)^2}}\)
\(=10.84\) সে.মি.
পাত্রের উচ্চতা \(=h\)
ব্যাসার্ধ \(=r\)
পাত্রটি তৈরি করতে টিনের পরিমাণ \(=p\)
\(\therefore \) পাত্রের আয়তন \(\pi r^2h=1000\) ➜ ধারন ক্ষমতা \(1 litre (1000 cm^3)\) অর্থাৎ আয়তন \( (1000 cm^3)\)
\(\Rightarrow h=\frac{1000}{\pi r^2} ...(1)\)
আবার,
টিনের পরিমাণ \(p=2\pi rh+2\pi r^2\) ➜ \(p=\) গোলাকার তলের ক্ষেত্রফল + প্রান্তদ্বয়ের যোগফল।
\(\Rightarrow p=2\pi r\times{\frac{1000}{\pi r^2}}+2\pi r^2\)
\(\Rightarrow p=\frac{2000}{r}+2\pi r^2\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dr}(p)=\frac{d}{dr}\left(\frac{2000}{r}+2\pi r^2\right)\) ➜ \(r\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dp}{dr}=2000\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{r}\right)+2\pi \frac{d}{dr}(r^2)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(=2000\left(-\frac{1}{r^2}\right)+2\pi .2r\)
\(=-\frac{2000}{r^2}+4\pi r\)
\(\therefore \frac{dp}{dr}=-\frac{2000}{r^2}+4\pi r\)
চরমমানের জন্য \(\frac{dp}{dr}=0\)
\(\therefore -\frac{2000}{r^2}+4\pi r=0\)
\(\Rightarrow 4\pi r=\frac{2000}{r^2}\)
\(\Rightarrow r^3=\frac{2000}{4\pi}\)
\(\Rightarrow r^3=\frac{500}{\pi}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt[3]{\left(\frac{500}{\pi}\right)}\)
\(\therefore r=5.42\) সে.মি.
আবার,
\(\frac{d^2p}{dr^2}=\frac{d}{dr}\left(\frac{dp}{dr}\right)\)
\(=\frac{d}{dr}\left(-\frac{2000}{r^2}+4\pi r\right)\) ➜ \(\because \frac{dp}{dx}=-\frac{2000}{r^2}+4\pi r\)
\(=-2000\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{r^2}\right)+4\pi .1\)
\(=-2000\frac{d}{dr}(r^{-2})+4\pi\)
\(=-2000\times{-2}(r^{-2-1})+4\pi\)
\(=4000(r^{-3})+4\pi\)
\(=\frac{4000}{r^{3}}+4\pi\)
\(r^3=\frac{500}{\pi}\) হলে,
\(\frac{d^2p}{dr^2}=\frac{4000}{\frac{500}{\pi}}+4\pi\)
\(=\frac{4000\pi}{500}+4\pi\)
\(=8\pi+4\pi\)
\(=12\pi>0\)
\(\therefore \frac{d^2p}{dr^2}>0\)
\(\therefore r^3=\frac{500}{\pi}\Rightarrow r=5.42\) সে.মি. হলে,
পাত্রটির টিনের পরিমাণ ন্যূনতম হবে।
সে ক্ষেত্রে উচ্চতা \(h=\frac{1000}{\pi\times{(5.42)^2}}\)
\(=10.84\) সে.মি.
\(Q.5.(ii)\) \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-e^{2x}}{\ln{(1-x)}}\] এর মান বের কর।
উত্তরঃ \(2\)
[ বুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫ ]
উত্তরঃ \(2\)
[ বুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫ ]
সমাধানঃ
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-e^{2x}}{\ln(1-x)}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\left(1+\frac{2x}{1!}+\frac{4x^2}{2!}+\frac{8x^3}{3!}+ .......\right)}{\left(-x-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3-.......\right)}\] ➜ \[\because \ln(1-x)=-x-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3-........\] \[e^{x}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ ........\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-1-\frac{2x}{1!}-\frac{4x^2}{2!}-\frac{8x^3}{3!}- .......}{\left(-x-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3-.......\right)}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{-\frac{2x}{1!}-\frac{4x^2}{2!}-\frac{8x^3}{3!}- ......}{\left(-x-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3-.......\right)}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x\left(-\frac{2}{1!}-\frac{4x}{2!}-\frac{8x^2}{3!}- .......\right)}{x\left(-1-\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}x^2-.......\right)}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{-\frac{2}{1!}-\frac{4x}{2!}-\frac{8x^2}{3!}- .......}{-1-\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}x^2-.......}\]
\[=\frac{-\frac{2}{1!}-0-0- ......}{-1-0-0-......}\] ➜ লিমিট ব্যবহার করে।
\[=\frac{-\frac{2}{1}}{-1}\]
\[=\frac{-2}{-1}\]
\[=2\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-e^{2x}}{\ln(1-x)}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\left(1+\frac{2x}{1!}+\frac{4x^2}{2!}+\frac{8x^3}{3!}+ .......\right)}{\left(-x-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3-.......\right)}\] ➜ \[\because \ln(1-x)=-x-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3-........\] \[e^{x}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ ........\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-1-\frac{2x}{1!}-\frac{4x^2}{2!}-\frac{8x^3}{3!}- .......}{\left(-x-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3-.......\right)}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{-\frac{2x}{1!}-\frac{4x^2}{2!}-\frac{8x^3}{3!}- ......}{\left(-x-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3-.......\right)}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x\left(-\frac{2}{1!}-\frac{4x}{2!}-\frac{8x^2}{3!}- .......\right)}{x\left(-1-\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}x^2-.......\right)}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{-\frac{2}{1!}-\frac{4x}{2!}-\frac{8x^2}{3!}- .......}{-1-\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}x^2-.......}\]
\[=\frac{-\frac{2}{1!}-0-0- ......}{-1-0-0-......}\] ➜ লিমিট ব্যবহার করে।
\[=\frac{-\frac{2}{1}}{-1}\]
\[=\frac{-2}{-1}\]
\[=2\]
\(Q.5.(iii)\) শুন্য ব্যতীত \(k\) এর এমন একটি মান নির্ণয় কর যা উল্লেখিত ফাংশনকে \(x=0\) বিন্দুতে অবিছিন্ন করবে। তোমার উত্তরের যৌক্তিকতা ব্যখ্যা কর।
\(f(x)=\begin{cases}\frac{\tan{kx}}{x}, & x<0\\3x+2k^2, & x \ge 0\end{cases}\)
উত্তরঃ \(k=\frac{1}{2}\)
[ বুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫ ]
উত্তরঃ \(k=\frac{1}{2}\)
[ বুয়েটঃ ২০১৪-২০১৫ ]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\[f(x)=\begin{cases}\frac{\tan kx}{x} & যখন \ \ x<0 \\3x+2k^2 & যখন\ \ x\ge 0\end{cases}\]
এখন,
\[x=0\] বিন্দুতে
\[f(x)=3x+2k^2\] ➜ \[\because x\ge 0\] ব্যবধিতে \[f(x)=3x+2k^2\]
\[f(0)=3.0+2k^2\]
\[=0+2k^2\]
\[=2k^2\]
আবার,
\[R.H.L=\lim_{x \rightarrow 0^{+}}f(x)\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0^{+}}(3x+2k^2)\] ➜ \[\because x\ge 0\] ব্যবধিতে \[f(x)=3x+2k^2\]
\[=2k^2\] ➜ \[\because \lim_{x \rightarrow 0^{+}}3x=0\]
আবার,
\[L.H.L=\lim_{x \rightarrow 0^{-}}f(x)\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0^{-}}\frac{\tan kx}{x}\] ➜ \[\because x<0 \] ব্যবধিতে \[ f(x)=\frac{\tan kx}{x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0^{-}}\frac{\tan kx}{kx}\times k\]
\[=1\times k\] ➜ \[\because \lim_{x \rightarrow 0^{-}}\frac{\tan x}{x}=1 \]
\[=k\]
এখন,
ফাংশনটি \[x=0\] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হবে,
যদি, \[R.H.L=L.H.L=f(0)\] হয়,
\[\Rightarrow 2k^2=k=2k^2\]
\[\Rightarrow 2k^2=k\]
\[\Rightarrow 2k^2-k=0\]
\[\Rightarrow k(2k-1)=0\]
\[\Rightarrow k\ne 0, 2k-1=0\]
\[\Rightarrow 2k-1=0\]
\[\Rightarrow 2k=1\]
\[\therefore k=\frac{1}{2}\]
\[f(x)=\begin{cases}\frac{\tan kx}{x} & যখন \ \ x<0 \\3x+2k^2 & যখন\ \ x\ge 0\end{cases}\]
এখন,
\[x=0\] বিন্দুতে
\[f(x)=3x+2k^2\] ➜ \[\because x\ge 0\] ব্যবধিতে \[f(x)=3x+2k^2\]
\[f(0)=3.0+2k^2\]
\[=0+2k^2\]
\[=2k^2\]
আবার,
\[R.H.L=\lim_{x \rightarrow 0^{+}}f(x)\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0^{+}}(3x+2k^2)\] ➜ \[\because x\ge 0\] ব্যবধিতে \[f(x)=3x+2k^2\]
\[=2k^2\] ➜ \[\because \lim_{x \rightarrow 0^{+}}3x=0\]
আবার,
\[L.H.L=\lim_{x \rightarrow 0^{-}}f(x)\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0^{-}}\frac{\tan kx}{x}\] ➜ \[\because x<0 \] ব্যবধিতে \[ f(x)=\frac{\tan kx}{x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0^{-}}\frac{\tan kx}{kx}\times k\]
\[=1\times k\] ➜ \[\because \lim_{x \rightarrow 0^{-}}\frac{\tan x}{x}=1 \]
\[=k\]
এখন,
ফাংশনটি \[x=0\] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হবে,
যদি, \[R.H.L=L.H.L=f(0)\] হয়,
\[\Rightarrow 2k^2=k=2k^2\]
\[\Rightarrow 2k^2=k\]
\[\Rightarrow 2k^2-k=0\]
\[\Rightarrow k(2k-1)=0\]
\[\Rightarrow k\ne 0, 2k-1=0\]
\[\Rightarrow 2k-1=0\]
\[\Rightarrow 2k=1\]
\[\therefore k=\frac{1}{2}\]
\(Q.5.(iv)\) \((\cos{x})^{y}=(\sin{y})^{x}\) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\ln{(\sin{y})}+y\tan{x}}{\ln{(\cos{x})}-x\cot{y}}\)
[ বুয়েটঃ ২০১৩-২০১৪ ]
উত্তরঃ \(\frac{\ln{(\sin{y})}+y\tan{x}}{\ln{(\cos{x})}-x\cot{y}}\)
[ বুয়েটঃ ২০১৩-২০১৪ ]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\((\cos{x})^y=(\sin{y})^x\)
\(\Rightarrow \ln{(\cos{x})^y}=\ln{(\sin{y})^x}\) ➜ উভয় পার্শে \(\ln\) সংযোজন করে।
\(\Rightarrow y\ln{(\cos{x})}=x\ln{(\sin{y})}\) ➜ \(\because \ln{M^{n}}=n\ln{(M)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{y\ln{(\cos{x})}\}=\frac{d}{dx}\{x\ln{(\sin{y})}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y\frac{d}{dx}\{\ln{(\cos{x})}\}+\ln{(\cos{x})}\frac{d}{dx}(y)=x\frac{d}{dx}\{\ln{(\sin{y})}\}+\ln{(\sin{y})}\frac{d}{dx}(x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y\frac{1}{\cos{x}}\frac{d}{dx}(\cos{x})+\ln{(\cos{x})}\frac{dy}{dx}=x\frac{1}{\sin{y}}\frac{d}{dx}(\sin{y})+\ln{(\sin{y})}.1\) ➜ \(\cos{x}\), \(\sin{x}\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(\Rightarrow \frac{y}{\cos{x}}(-\sin{x})+\ln{(\cos{x})}\frac{dy}{dx}=\frac{x}{\sin{y}}.\cos{y}\frac{dy}{dx}+\ln{(\sin{y})}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}, \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\)
\(\Rightarrow -\frac{y\sin{x}}{\cos{x}}+\ln{(\cos{x})}\frac{dy}{dx}=\frac{x\cos{y}}{\sin{y}}\frac{dy}{dx}+\ln{(\sin{y})}\)
\(\Rightarrow -y\tan{x}+\ln{(\cos{x})}\frac{dy}{dx}=x\cot{y}\frac{dy}{dx}+\ln{(\sin{y})}\)
\(\Rightarrow \ln{(\cos{x})}\frac{dy}{dx}-x\cot{y}\frac{dy}{dx}=\ln{(\sin{y})}+y\tan{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(\ln{(\cos{x})}-x\cot{y})=\ln{(\sin{y})}+y\tan{x}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{\ln{(\sin{y})}+y\tan{x}}{\ln{(\cos{x})}-x\cot{y}}\)
\((\cos{x})^y=(\sin{y})^x\)
\(\Rightarrow \ln{(\cos{x})^y}=\ln{(\sin{y})^x}\) ➜ উভয় পার্শে \(\ln\) সংযোজন করে।
\(\Rightarrow y\ln{(\cos{x})}=x\ln{(\sin{y})}\) ➜ \(\because \ln{M^{n}}=n\ln{(M)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{y\ln{(\cos{x})}\}=\frac{d}{dx}\{x\ln{(\sin{y})}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y\frac{d}{dx}\{\ln{(\cos{x})}\}+\ln{(\cos{x})}\frac{d}{dx}(y)=x\frac{d}{dx}\{\ln{(\sin{y})}\}+\ln{(\sin{y})}\frac{d}{dx}(x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y\frac{1}{\cos{x}}\frac{d}{dx}(\cos{x})+\ln{(\cos{x})}\frac{dy}{dx}=x\frac{1}{\sin{y}}\frac{d}{dx}(\sin{y})+\ln{(\sin{y})}.1\) ➜ \(\cos{x}\), \(\sin{x}\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(\Rightarrow \frac{y}{\cos{x}}(-\sin{x})+\ln{(\cos{x})}\frac{dy}{dx}=\frac{x}{\sin{y}}.\cos{y}\frac{dy}{dx}+\ln{(\sin{y})}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}, \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\)
\(\Rightarrow -\frac{y\sin{x}}{\cos{x}}+\ln{(\cos{x})}\frac{dy}{dx}=\frac{x\cos{y}}{\sin{y}}\frac{dy}{dx}+\ln{(\sin{y})}\)
\(\Rightarrow -y\tan{x}+\ln{(\cos{x})}\frac{dy}{dx}=x\cot{y}\frac{dy}{dx}+\ln{(\sin{y})}\)
\(\Rightarrow \ln{(\cos{x})}\frac{dy}{dx}-x\cot{y}\frac{dy}{dx}=\ln{(\sin{y})}+y\tan{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(\ln{(\cos{x})}-x\cot{y})=\ln{(\sin{y})}+y\tan{x}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{\ln{(\sin{y})}+y\tan{x}}{\ln{(\cos{x})}-x\cot{y}}\)
\(Q.5.(v)\) যদি \(y=\tan^{-1}\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\) হয়, তবে \(\frac{dy}{dx}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{2(1+x^2)}\)
[ বুয়েটঃ ২০১৩-২০১৪ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{2(1+x^2)}\)
[ বুয়েটঃ ২০১৩-২০১৪ ]
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\tan^{-1}\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\)
এবং
\(\tan \theta=x\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore y=\tan^{-1} \left(\frac{\sqrt{1+\tan^2 \theta}-1}{\tan \theta}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\sec \theta-1}{\tan \theta}\right)\) ➜ \(\because \sqrt{1+\tan^2 A}=\sec A\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\frac{1}{\cos \theta}-1}{\tan \theta}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\frac{1-\cos \theta}{\cos \theta}}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}\right)\) ➜ \(\because \tan A=\frac{\sin A}{\cos A}\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{1-\cos \theta}{\cos \theta}\times \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{2\sin^2 \frac{\theta}{2}}{2\sin \frac{\theta}{2}\cos \frac{\theta}{2}}\right)\) ➜ \(\because 1-\cos A=2\sin^2 \frac{A}{2}, \ \sin A=2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2}}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\tan \frac{\theta}{2}\right)\)
\(=\frac{\theta}{2}\)
\(=\frac{1}{2}\theta\)
\(=\frac{1}{2}\tan^{-1} x\) ➜ \(\because \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^{-1} x\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{2}\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)\)
\(=\frac{1}{2}\frac{1}{1+x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1})=\frac{1}{1+x^2}\)
\(=\frac{1}{2(1+x^2)}\)
\(y=\tan^{-1}\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\)
এবং
\(\tan \theta=x\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore y=\tan^{-1} \left(\frac{\sqrt{1+\tan^2 \theta}-1}{\tan \theta}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\sec \theta-1}{\tan \theta}\right)\) ➜ \(\because \sqrt{1+\tan^2 A}=\sec A\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\frac{1}{\cos \theta}-1}{\tan \theta}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\frac{1-\cos \theta}{\cos \theta}}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}\right)\) ➜ \(\because \tan A=\frac{\sin A}{\cos A}\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{1-\cos \theta}{\cos \theta}\times \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{2\sin^2 \frac{\theta}{2}}{2\sin \frac{\theta}{2}\cos \frac{\theta}{2}}\right)\) ➜ \(\because 1-\cos A=2\sin^2 \frac{A}{2}, \ \sin A=2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2}}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\tan \frac{\theta}{2}\right)\)
\(=\frac{\theta}{2}\)
\(=\frac{1}{2}\theta\)
\(=\frac{1}{2}\tan^{-1} x\) ➜ \(\because \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^{-1} x\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{2}\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)\)
\(=\frac{1}{2}\frac{1}{1+x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1})=\frac{1}{1+x^2}\)
\(=\frac{1}{2(1+x^2)}\)
\(Q.5.(vi)\) যদি \(y=a\cos{\ln{x}}+b\sin{\ln{x}}\) হয়, তবে \(\frac{dy}{dx}\) প্রমাণ কর যে, \(x^2y_{2}+xy_{1}+y=0\)
[ চুয়েটঃ ২০১৩-২০১৪ ]
[ চুয়েটঃ ২০১৩-২০১৪ ]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(y=a\cos{\{f(x)\}}+b\sin{\{f(x)\}}\)
\(\Rightarrow y=a\cos{(\ln{x})}+b\sin{(\ln{x})}\) ➜ \(\because f(x)=\ln{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{a\cos{(\ln{x})}+b\sin{(\ln{x})}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=a\frac{d}{dx}\{\cos{(\ln{x})}\}+b\frac{d}{dx}\{\sin{(\ln{x})}\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow y_{1}=-a\sin{(\ln{x})}\frac{d}{dx}(\ln{x})+b\cos{(\ln{x})}\frac{d}{dx}(\ln{x})\) ➜\(\ln{x}\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}, \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\)
\(\Rightarrow y_{1}=-a\sin{(\ln{x})}\frac{1}{x}+b\cos{(\ln{x})}\frac{1}{x}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow xy_{1}=-a\sin{(\ln{x})}+b\cos{(\ln{x})}\) ➜ উভয় পার্শে \(x\)গুণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(xy_{1})=\frac{d}{dx}\{-a\sin{(\ln{x})}+b\cos{(\ln{x})}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow x\frac{d}{dx}(y_{1})+y_{1}\frac{d}{dx}(x)=-a\frac{d}{dx}\{\sin{(\ln{x})}\}+b\frac{d}{dx}\{\cos{(\ln{x})}\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\), \(\frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow xy_{2}+y_{1}.1=-a\cos{(\ln{x})}\frac{d}{dx}(\ln{x})-b\sin{(\ln{x})}\frac{d}{dx}(\ln{x})\) ➜ \(\ln{x}\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}, \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\)
\(\Rightarrow xy_{2}+y_{1}=-a\cos{(\ln{x})}\frac{1}{x}-b\sin{(\ln{x})}\frac{1}{x}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow x^2y_{2}+xy_{1}=-a\cos{(\ln{x})}-b\sin{(\ln{x})}\) ➜উভয় পার্শে \(x\)গুণ করে।
\(\Rightarrow x^2y_{2}+xy_{1}=-\{a\cos{(\ln{x})}+b\sin{(\ln{x})}\}\)
\(\Rightarrow x^2y_{2}+xy_{1}=-y\) ➜\(\because y=a\cos{(\ln{x})}+b\sin{(\ln{x})}\)
\(\therefore x^2y_{2}+xy_{1}+y=0\)
(Showed)
\(y=a\cos{\{f(x)\}}+b\sin{\{f(x)\}}\)
\(\Rightarrow y=a\cos{(\ln{x})}+b\sin{(\ln{x})}\) ➜ \(\because f(x)=\ln{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{a\cos{(\ln{x})}+b\sin{(\ln{x})}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=a\frac{d}{dx}\{\cos{(\ln{x})}\}+b\frac{d}{dx}\{\sin{(\ln{x})}\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow y_{1}=-a\sin{(\ln{x})}\frac{d}{dx}(\ln{x})+b\cos{(\ln{x})}\frac{d}{dx}(\ln{x})\) ➜\(\ln{x}\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}, \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\)
\(\Rightarrow y_{1}=-a\sin{(\ln{x})}\frac{1}{x}+b\cos{(\ln{x})}\frac{1}{x}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow xy_{1}=-a\sin{(\ln{x})}+b\cos{(\ln{x})}\) ➜ উভয় পার্শে \(x\)গুণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(xy_{1})=\frac{d}{dx}\{-a\sin{(\ln{x})}+b\cos{(\ln{x})}\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow x\frac{d}{dx}(y_{1})+y_{1}\frac{d}{dx}(x)=-a\frac{d}{dx}\{\sin{(\ln{x})}\}+b\frac{d}{dx}\{\cos{(\ln{x})}\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\), \(\frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow xy_{2}+y_{1}.1=-a\cos{(\ln{x})}\frac{d}{dx}(\ln{x})-b\sin{(\ln{x})}\frac{d}{dx}(\ln{x})\) ➜ \(\ln{x}\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}, \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\)
\(\Rightarrow xy_{2}+y_{1}=-a\cos{(\ln{x})}\frac{1}{x}-b\sin{(\ln{x})}\frac{1}{x}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow x^2y_{2}+xy_{1}=-a\cos{(\ln{x})}-b\sin{(\ln{x})}\) ➜উভয় পার্শে \(x\)গুণ করে।
\(\Rightarrow x^2y_{2}+xy_{1}=-\{a\cos{(\ln{x})}+b\sin{(\ln{x})}\}\)
\(\Rightarrow x^2y_{2}+xy_{1}=-y\) ➜\(\because y=a\cos{(\ln{x})}+b\sin{(\ln{x})}\)
\(\therefore x^2y_{2}+xy_{1}+y=0\)
(Showed)
\(Q.5.(vii)\) \(f(x)=2x^3+3\) এবং \(g(x)=\sqrt[3]{\frac{x-3}{2}}\) হলে দেখাও যে, \(fog(x)=gof(x)\)
[ বুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]
[ বুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(f(x)=2x^3+3\) এবং \(g(x)=\sqrt[3]{\frac{x-3}{2}}\)
এখন,
\(gof=g\{f(x)\}\)
\(=\sqrt[3]{\frac{f(x)-3}{2}}\) ➜ \(\because g(x)=\sqrt[3]{\frac{x-3}{2}}\)
\(=\sqrt[3]{\frac{2x^3+3-3}{2}}\) ➜ \(\because f(x)=2x^3+3\)
\(=\sqrt[3]{\frac{2x^3}{2}}\)
\(=\sqrt[3]{x^3}\)
\(=x\)
আবার,
\(fog=f\{g(x)\}\)
\(=2\{g(x)\}^3+3\) ➜ \(\because f(x)=2x^3+3\)
\(=2\{\sqrt[3]{\frac{x-3}{2}}\}^3+3\) ➜ \(\because g(x)=\sqrt[3]{\frac{x-3}{2}}\)
\(=2.\frac{x-3}{2}+3\)
\(=x-3+3\)
\(=x\)
\(\therefore gof=fog\)
(Showed)
\(f(x)=2x^3+3\) এবং \(g(x)=\sqrt[3]{\frac{x-3}{2}}\)
এখন,
\(gof=g\{f(x)\}\)
\(=\sqrt[3]{\frac{f(x)-3}{2}}\) ➜ \(\because g(x)=\sqrt[3]{\frac{x-3}{2}}\)
\(=\sqrt[3]{\frac{2x^3+3-3}{2}}\) ➜ \(\because f(x)=2x^3+3\)
\(=\sqrt[3]{\frac{2x^3}{2}}\)
\(=\sqrt[3]{x^3}\)
\(=x\)
আবার,
\(fog=f\{g(x)\}\)
\(=2\{g(x)\}^3+3\) ➜ \(\because f(x)=2x^3+3\)
\(=2\{\sqrt[3]{\frac{x-3}{2}}\}^3+3\) ➜ \(\because g(x)=\sqrt[3]{\frac{x-3}{2}}\)
\(=2.\frac{x-3}{2}+3\)
\(=x-3+3\)
\(=x\)
\(\therefore gof=fog\)
(Showed)
\(Q.5.(viii)\) যদি \(f(x)=\sin{x}\) হয় তবে \[\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+nh)-f(x)}{h}\] নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(n\cos x\)
[ বুয়েটঃ ২০০০-২০০১ ]
উত্তরঃ \(n\cos x\)
[ বুয়েটঃ ২০০০-২০০১ ]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\sin x\)
\(\therefore f(x+nh)=\sin (x+nh)\)
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+nh)-f(x)}{h}\] ➜ মূল নিয়মে অন্তরজের সংজ্ঞানুসারে
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin (x+nh)-\sin x}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2\cos \frac{x+nh+x}{2}\sin \frac{x+nh-x}{2}}{h}\] ➜ \(\because \sin C-\sin D=2\cos \frac{C+D}{2}\sin \frac{C-D}{2}\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2\cos \frac{2x+nh}{2}\sin \frac{nh}{2}}{h}\]
\[=2\lim_{h \rightarrow 0}\cos \frac{2x+nh}{2}\times \frac{\sin \frac{nh}{2}}{\frac{nh}{2}}\times \frac{n}{2}\]
\[=n\lim_{h \rightarrow 0}\cos \frac{2x+nh}{2}\times \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin \frac{nh}{2}}{\frac{nh}{2}}\]
\[=n\cos \frac{2x}{2}\times 1\] ➜ \(\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\)
\[=n\cos x\]
\(f(x)=\sin x\)
\(\therefore f(x+nh)=\sin (x+nh)\)
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+nh)-f(x)}{h}\] ➜ মূল নিয়মে অন্তরজের সংজ্ঞানুসারে
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin (x+nh)-\sin x}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2\cos \frac{x+nh+x}{2}\sin \frac{x+nh-x}{2}}{h}\] ➜ \(\because \sin C-\sin D=2\cos \frac{C+D}{2}\sin \frac{C-D}{2}\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2\cos \frac{2x+nh}{2}\sin \frac{nh}{2}}{h}\]
\[=2\lim_{h \rightarrow 0}\cos \frac{2x+nh}{2}\times \frac{\sin \frac{nh}{2}}{\frac{nh}{2}}\times \frac{n}{2}\]
\[=n\lim_{h \rightarrow 0}\cos \frac{2x+nh}{2}\times \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin \frac{nh}{2}}{\frac{nh}{2}}\]
\[=n\cos \frac{2x}{2}\times 1\] ➜ \(\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\)
\[=n\cos x\]
\(Q.5.(ix)\) সীমাস্থ মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2(b-\sqrt{b^2+x^2})}{x^2}\].
উত্তরঃ \(-\frac{1}{b}\)
[ রুয়েটঃ ২০১২-২০১৩ ]
উত্তরঃ \(-\frac{1}{b}\)
[ রুয়েটঃ ২০১২-২০১৩ ]
সমাধানঃ
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2(b-\sqrt{b^2+x^2})}{x^2}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2(b-\sqrt{b^2+x^2})(b+\sqrt{b^2+x^2})}{x^2(b+\sqrt{b^2+x^2})}\] ➜ লব ও হরের সহিত \((b+\sqrt{b^2+x^2})\) গুণ করে।
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2\{(b)^2-(\sqrt{b^2+x^2})^2\}}{x^2(b+\sqrt{b^2+x^2})}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2b^2-2b^2-2x^2}{x^2(b+\sqrt{b^2+x^2})}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{-2x^2}{x^2(b+\sqrt{b^2+x^2})}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{-2}{b+\sqrt{b^2+x^2}}\]
\[=-2\frac{1}{b+\sqrt{b^2}}\] ➜ লিমিট ব্যবহার করে।
\[=-2\frac{1}{b+b}\]
\[=-2\frac{1}{2b}\]
\[=-\frac{1}{b}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2(b-\sqrt{b^2+x^2})}{x^2}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2(b-\sqrt{b^2+x^2})(b+\sqrt{b^2+x^2})}{x^2(b+\sqrt{b^2+x^2})}\] ➜ লব ও হরের সহিত \((b+\sqrt{b^2+x^2})\) গুণ করে।
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2\{(b)^2-(\sqrt{b^2+x^2})^2\}}{x^2(b+\sqrt{b^2+x^2})}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2b^2-2b^2-2x^2}{x^2(b+\sqrt{b^2+x^2})}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{-2x^2}{x^2(b+\sqrt{b^2+x^2})}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{-2}{b+\sqrt{b^2+x^2}}\]
\[=-2\frac{1}{b+\sqrt{b^2}}\] ➜ লিমিট ব্যবহার করে।
\[=-2\frac{1}{b+b}\]
\[=-2\frac{1}{2b}\]
\[=-\frac{1}{b}\]
\(Q.5.(x)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+3}\].
উত্তরঃ \(e\)
[ রুয়েটঃ ২০১০-২০১১ ]
উত্তরঃ \(e\)
[ রুয়েটঃ ২০১০-২০১১ ]
সমাধানঃ
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+3}\]
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\times \left(1+\frac{1}{x}\right)^{3}\]
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\times \lim_{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{3}\]
\[=e\times (1+0)\] ➜\[\because \lim_{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e, \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{1}{x}=0\]
\[=e\times 1\]
\[=e\]
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+3}\]
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\times \left(1+\frac{1}{x}\right)^{3}\]
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\times \lim_{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{3}\]
\[=e\times (1+0)\] ➜\[\because \lim_{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e, \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{1}{x}=0\]
\[=e\times 1\]
\[=e\]
\(Q.5.(xi)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x-\ln{(1+x)}}{1+x-e^x}\].
উত্তরঃ \(-1\)
[ বুয়েটঃ ২০১০-২০১১ ]
উত্তরঃ \(-1\)
[ বুয়েটঃ ২০১০-২০১১ ]
সমাধানঃ
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x-\ln(1+x)}{1+x-e^x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x-\left(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5}+ .........\right)}{1+x-\left(1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ .........\right)}\] ➜ \[\because \ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-........\] \[e^{x}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ ........\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x-x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}- .........}{1+x-1-\frac{x}{1}-\frac{x^2}{2\times 1}-\frac{x^3}{3!}-.........}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}- .........}{x-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3!}-.........}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}- .........}{-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3!}-.........}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x^2\left(\frac{1}{2}-\frac{x}{3}+\frac{x^3}{5}- .........\right)}{x^2\left(-\frac{1}{2!}-\frac{x}{3!}-.........\right)}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\left(\frac{1}{2}-\frac{x}{3}+\frac{x^3}{5}- .........\right)}{\left(-\frac{1}{2\times 1}-\frac{x}{3!}-.........\right)}\]
\[=\frac{\left(\frac{1}{2}-0-0.........\right)}{\left(-\frac{1}{2}-0-0.........\right)}\] ➜ লিমিট ব্যবহার করে।
\[=\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}}\]
\[=\frac{1}{2}\times -\frac{2}{1}\]
\[=-1\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x-\ln(1+x)}{1+x-e^x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x-\left(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5}+ .........\right)}{1+x-\left(1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ .........\right)}\] ➜ \[\because \ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-........\] \[e^{x}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ ........\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x-x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}- .........}{1+x-1-\frac{x}{1}-\frac{x^2}{2\times 1}-\frac{x^3}{3!}-.........}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}- .........}{x-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3!}-.........}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}- .........}{-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3!}-.........}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x^2\left(\frac{1}{2}-\frac{x}{3}+\frac{x^3}{5}- .........\right)}{x^2\left(-\frac{1}{2!}-\frac{x}{3!}-.........\right)}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\left(\frac{1}{2}-\frac{x}{3}+\frac{x^3}{5}- .........\right)}{\left(-\frac{1}{2\times 1}-\frac{x}{3!}-.........\right)}\]
\[=\frac{\left(\frac{1}{2}-0-0.........\right)}{\left(-\frac{1}{2}-0-0.........\right)}\] ➜ লিমিট ব্যবহার করে।
\[=\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}}\]
\[=\frac{1}{2}\times -\frac{2}{1}\]
\[=-1\]
\(Q.5.(xii)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan^{-1}{x}}{x}\].
উত্তরঃ \(\)
[ রুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ]
উত্তরঃ \(\)
[ রুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ]
সমাধানঃ
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan^{-1}{x}}{x}\]
ধরি,
\[\tan^{-1}{x}=h \Rightarrow x=\tan h \therefore x\rightarrow 0 \Rightarrow h\rightarrow 0\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{h}{\tan h}\]
\[=1\] ➜ \[\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{x}{\tan x}=1\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan^{-1}{x}}{x}\]
ধরি,
\[\tan^{-1}{x}=h \Rightarrow x=\tan h \therefore x\rightarrow 0 \Rightarrow h\rightarrow 0\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{h}{\tan h}\]
\[=1\] ➜ \[\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{x}{\tan x}=1\]
\(Q.5.(xiii)\) প্রমাণ কর যে, \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^{x}-1}{x}=1\].
[ রুয়েটঃ ২০০৯-২০১০, কুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ]
[ রুয়েটঃ ২০০৯-২০১০, কুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ]
সমাধানঃ
\[L.S=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^x-1}{x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\left(1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ ..........+\infty \right)-1}{x}\] ➜ \(\because e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ ..........+\infty \)
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\left(\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ ..........+\infty \right)}{x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x\left(\frac{1}{1!}+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{3!}+ ..........+\infty \right)}{x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{1}+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{3!}+ ..........\right)\] ➜ \(\because 1!=1 \)
\[=1+\frac{0}{2!}+\frac{0}{3!}+ ..........\]
\[=1+0+0+ ..........\]
\[=1\]
\[=R.S\]
\[\therefore L.S=R.S\]
(proved)
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\left(1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ ..........+\infty \right)-1}{x}\] ➜ \(\because e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ ..........+\infty \)
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\left(\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ ..........+\infty \right)}{x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x\left(\frac{1}{1!}+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{3!}+ ..........+\infty \right)}{x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{1}+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{3!}+ ..........\right)\] ➜ \(\because 1!=1 \)
\[=1+\frac{0}{2!}+\frac{0}{3!}+ ..........\]
\[=1+0+0+ ..........\]
\[=1\]
\[=R.S\]
\[\therefore L.S=R.S\]
(proved)
\(Q.5.(xiv)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{3\sin{x}-\sin{3x}}{x^3}\].
উত্তরঃ \(4\)
[ রুয়েটঃ ২০০৯-২০১০, কুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ]
উত্তরঃ \(4\)
[ রুয়েটঃ ২০০৯-২০১০, কুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ]
সমাধানঃ
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{3\sin{x}-\sin{3x}}{x^3}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{3\sin{x}-(3\sin{x}-4\sin^3{x})}{x^3}\] ➜ \(\because \sin{3A}=3\sin{A}-4\sin^3{A}\)
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{3\sin{x}-3\sin{x}+4\sin^3{x}}{x^3}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{4\sin^3{x}}{x^3}\]
\[=4\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin^3{x}}{x^3}\]
\[=4\left(\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{x}}{x}\right)^3\]
\[=4.1^3\] ➜ \(\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{x}}{x}=1\)
\[=4.1\]
\[=4\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{3\sin{x}-\sin{3x}}{x^3}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{3\sin{x}-(3\sin{x}-4\sin^3{x})}{x^3}\] ➜ \(\because \sin{3A}=3\sin{A}-4\sin^3{A}\)
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{3\sin{x}-3\sin{x}+4\sin^3{x}}{x^3}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{4\sin^3{x}}{x^3}\]
\[=4\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin^3{x}}{x^3}\]
\[=4\left(\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{x}}{x}\right)^3\]
\[=4.1^3\] ➜ \(\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{x}}{x}=1\)
\[=4.1\]
\[=4\]
\(Q.5.(xv)\) প্রমাণ কর যে, \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{x}}{x}=0\].
[ রুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮ ]
[ রুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮ ]
সমাধানঃ
\[L.H=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{x}\] ➜\[\because 1- \cos A=2\sin^2 \frac{A}{2}\]
\[=2\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2\times \frac{x}{4}\]
\[=\left(\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2\times \lim_{x \rightarrow 0}\frac{x}{2}\]
\[=(1)^2\times 0\] ➜\[\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1, \lim_{x \rightarrow 0}\frac{x}{2}=0\]
\[=1\times 0\]
\[=0\]
\[=R.H\]
\[\therefore L.H=R.H\]
(Proved)
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{x}\] ➜\[\because 1- \cos A=2\sin^2 \frac{A}{2}\]
\[=2\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2\times \frac{x}{4}\]
\[=\left(\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2\times \lim_{x \rightarrow 0}\frac{x}{2}\]
\[=(1)^2\times 0\] ➜\[\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1, \lim_{x \rightarrow 0}\frac{x}{2}=0\]
\[=1\times 0\]
\[=0\]
\[=R.H\]
\[\therefore L.H=R.H\]
(Proved)
\(Q.5.(xvi)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\cos{7x}-\cos{9x}}{\cos{4x}-\cos{5x}}\].
উত্তরঃ \(\frac{32}{9}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮ ]
উত্তরঃ \(\frac{32}{9}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮ ]
সমাধানঃ
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\cos 7x-\cos 9x}{\cos 4x-\cos 5x}\right)\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{2\sin \frac{7x+9x}{2}\sin \frac{9x-7x}{2}}{2\sin \frac{4x+5x}{2}\sin \frac{5x-4x}{2}}\right)\] ➜ \[\because \cos C-\cos D=2\sin \frac{C+D}{2}\sin \frac{D-C}{2}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{2\sin \frac{16x}{2}\sin \frac{2x}{2}}{2\sin \frac{9x}{2}\sin \frac{x}{2}}\right)\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin 8x\sin x}{\sin \frac{9x}{2}\sin \frac{x}{2}}\right)\]
\[=\left(\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin 8x}{8x}.\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}\right)\div\left(\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin \frac{9x}{2}}{\frac{9x}{2}}.\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)\times{8}\times{\frac{2}{9}}\times{2}\]
\[=(1.1)\div(1.1)\times{\frac{32}{9}}\]
\[=(1)\div(1)\times{\frac{32}{9}}\]
\[=1\times{\frac{32}{9}}\]
\[=\frac{32}{9}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\cos 7x-\cos 9x}{\cos 4x-\cos 5x}\right)\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{2\sin \frac{7x+9x}{2}\sin \frac{9x-7x}{2}}{2\sin \frac{4x+5x}{2}\sin \frac{5x-4x}{2}}\right)\] ➜ \[\because \cos C-\cos D=2\sin \frac{C+D}{2}\sin \frac{D-C}{2}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{2\sin \frac{16x}{2}\sin \frac{2x}{2}}{2\sin \frac{9x}{2}\sin \frac{x}{2}}\right)\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin 8x\sin x}{\sin \frac{9x}{2}\sin \frac{x}{2}}\right)\]
\[=\left(\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin 8x}{8x}.\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}\right)\div\left(\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin \frac{9x}{2}}{\frac{9x}{2}}.\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)\times{8}\times{\frac{2}{9}}\times{2}\]
\[=(1.1)\div(1.1)\times{\frac{32}{9}}\]
\[=(1)\div(1)\times{\frac{32}{9}}\]
\[=1\times{\frac{32}{9}}\]
\[=\frac{32}{9}\]
\(Q.5.(xvii)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{a^{x}-a^{-x}}{x}\].
উত্তরঃ \(2\ln a\)
[ রুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭ ]
উত্তরঃ \(2\ln a\)
[ রুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭ ]
সমাধানঃ
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{a^{x}-a^{-x}}{x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\left(1+\frac{x}{1!}\ln a+\frac{x^2}{2!}(\ln a)^2+\frac{x^3}{3!}(\ln a)^3+ .........\right)-\left(1-\frac{x}{1!}\ln a+\frac{x^2}{2!}(\ln a)^2-\frac{x^3}{3!}(\ln a)^3+ .........\right)}{x}\] ➜ \(\because a^{x}=1+\frac{x}{1!}\ln a+\frac{x^2}{2!}(\ln a)^2+\frac{x^3}{3!}(\ln a)^3+ .......\), \(a^{-x}=1-\frac{x}{1!}\ln a+\frac{x^2}{2!}(\ln a)^2-\frac{x^3}{3!}(\ln a)^3+ .......\)
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1+\frac{x}{1!}\ln a+\frac{x^2}{2!}(\ln a)^2+\frac{x^3}{3!}(\ln a)^3+ ......... -1+\frac{x}{1!}\ln a-\frac{x^2}{2!}(\ln a)^2+\frac{x^3}{3!}(\ln a)^3- .........}{x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2\frac{x}{1!}\ln a+2\frac{x^3}{3!}(\ln a)^3+ ......... }{x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2x\left(\frac{1}{1!}\ln a+\frac{x^2}{3!}(\ln a)^3+ ......... \right)}{x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}2\left(\frac{1}{1!}\ln a+\frac{x^2}{3!}(\ln a)^3+ ......... \right)\]
\[=2\left(\frac{1}{1!}\ln a+0+0 ......... \right)\] ➜ লিমিট ব্যবহার করে।
\[=2\left(\frac{1}{1}\ln a\right)\]
\[=2\ln a\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{a^{x}-a^{-x}}{x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\left(1+\frac{x}{1!}\ln a+\frac{x^2}{2!}(\ln a)^2+\frac{x^3}{3!}(\ln a)^3+ .........\right)-\left(1-\frac{x}{1!}\ln a+\frac{x^2}{2!}(\ln a)^2-\frac{x^3}{3!}(\ln a)^3+ .........\right)}{x}\] ➜ \(\because a^{x}=1+\frac{x}{1!}\ln a+\frac{x^2}{2!}(\ln a)^2+\frac{x^3}{3!}(\ln a)^3+ .......\), \(a^{-x}=1-\frac{x}{1!}\ln a+\frac{x^2}{2!}(\ln a)^2-\frac{x^3}{3!}(\ln a)^3+ .......\)
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1+\frac{x}{1!}\ln a+\frac{x^2}{2!}(\ln a)^2+\frac{x^3}{3!}(\ln a)^3+ ......... -1+\frac{x}{1!}\ln a-\frac{x^2}{2!}(\ln a)^2+\frac{x^3}{3!}(\ln a)^3- .........}{x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2\frac{x}{1!}\ln a+2\frac{x^3}{3!}(\ln a)^3+ ......... }{x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2x\left(\frac{1}{1!}\ln a+\frac{x^2}{3!}(\ln a)^3+ ......... \right)}{x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}2\left(\frac{1}{1!}\ln a+\frac{x^2}{3!}(\ln a)^3+ ......... \right)\]
\[=2\left(\frac{1}{1!}\ln a+0+0 ......... \right)\] ➜ লিমিট ব্যবহার করে।
\[=2\left(\frac{1}{1}\ln a\right)\]
\[=2\ln a\]
\(Q.5.(xviii)\) যদি \(x^2=5y^2+\sin{y}\) হয়, তাহলে \(\frac{dy}{dx}\) কত হবে?
উত্তরঃ \(\frac{2x}{10y+\cos{y}}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{2x}{10y+\cos{y}}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭ ]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(x^2=5y^2+\sin{y}\)
\(\Rightarrow 5y^2+\sin{y}=x^2\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(5y^2+\sin{y})=\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow 5\frac{d}{dx}(y^2)+\frac{d}{dx}(\sin{y})=2x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v), \frac{d}{dx}(x^2)=2x\)
\(\Rightarrow 5.2y\frac{dy}{dx}+\cos{y}\frac{dy}{dx}=2x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(y^2)=2y\frac{dy}{dx}, \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(10y+\cos{y})=2x\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{2x}{10y+\cos{y}}\)
\(x^2=5y^2+\sin{y}\)
\(\Rightarrow 5y^2+\sin{y}=x^2\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(5y^2+\sin{y})=\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow 5\frac{d}{dx}(y^2)+\frac{d}{dx}(\sin{y})=2x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v), \frac{d}{dx}(x^2)=2x\)
\(\Rightarrow 5.2y\frac{dy}{dx}+\cos{y}\frac{dy}{dx}=2x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(y^2)=2y\frac{dy}{dx}, \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(10y+\cos{y})=2x\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{2x}{10y+\cos{y}}\)
\(Q.5.(xix)\) প্রমাণ কর যে, \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{x}}{x}=1\].
[ রুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]
[ রুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]
সমাধানঃ
মনে করি,
\(O\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে \(APB\) একটি চাপ। \(OP\) ব্যাসার্ধ \(AB\) জ্যা কে \(D\) বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত করে। তাহলে \(OP\) দ্বারা চাপ \(APB\) সমদ্বিখন্ডিত হয়। \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় \(AC\) ও \(BC\) বর্ধিত \(OP\)-এর সহিত \(C\) বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।
ধরি,
\(\angle POA=x\) রেডিয়ান এবং \(\frac{\pi}{2}>x>0\)
এখন,
\(AC+BC>APB\) চাপ \(>AB\) জ্যা
\(\Rightarrow 2AC>2\) চাপ \(AP>2AD\) ➜ \(\because BC=AC, BP=AP, AB=2AD\)
\(\Rightarrow AC>\) চাপ \(AP>AD\) ➜ \(2\) দ্বারা ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{AC}{OA}>\) চাপ \(\frac{AP}{OA}>\frac{AD}{OA}\) ➜ \(\because OA>0, OA\) দ্বারা ভাগ করে।
\(\Rightarrow \tan x > x >\sin x\) ➜ \(\because \tan \angle AOC=\tan x=\frac{AC}{OA}, \sin \angle AOD=\sin x=\frac{AD}{OA}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin x}{\cos x} > x >\sin x \)
\(\Rightarrow \frac{1}{\cos x} > \frac{x}{\sin x} >1\) ➜ \(\because \sin x>0, \sin x\) দ্বারা ভাগ করে।
\(\Rightarrow 1 > \frac{x}{\sin x} > \cos x\) ➜ ব্যস্তকরণ করে।
\[\Rightarrow 1> \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} >\lim_{x \rightarrow 0}\cos x\] ➜ লিমিট ব্যবহার করে।
\[\Rightarrow 1> \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} >1\]
এখানে, স্পষ্ট যে, \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}\] রাশিটি দুইটি বাস্তব সংখ্যার মধ্যে অবস্থিত, উভয় সংখ্যার মাণ \(1\)
\[\therefore \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} =1\]
(proved)
\(O\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে \(APB\) একটি চাপ। \(OP\) ব্যাসার্ধ \(AB\) জ্যা কে \(D\) বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত করে। তাহলে \(OP\) দ্বারা চাপ \(APB\) সমদ্বিখন্ডিত হয়। \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় \(AC\) ও \(BC\) বর্ধিত \(OP\)-এর সহিত \(C\) বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।
ধরি,
\(\angle POA=x\) রেডিয়ান এবং \(\frac{\pi}{2}>x>0\)
এখন,
\(AC+BC>APB\) চাপ \(>AB\) জ্যা
\(\Rightarrow 2AC>2\) চাপ \(AP>2AD\) ➜ \(\because BC=AC, BP=AP, AB=2AD\)
\(\Rightarrow AC>\) চাপ \(AP>AD\) ➜ \(2\) দ্বারা ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{AC}{OA}>\) চাপ \(\frac{AP}{OA}>\frac{AD}{OA}\) ➜ \(\because OA>0, OA\) দ্বারা ভাগ করে।
\(\Rightarrow \tan x > x >\sin x\) ➜ \(\because \tan \angle AOC=\tan x=\frac{AC}{OA}, \sin \angle AOD=\sin x=\frac{AD}{OA}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin x}{\cos x} > x >\sin x \)
\(\Rightarrow \frac{1}{\cos x} > \frac{x}{\sin x} >1\) ➜ \(\because \sin x>0, \sin x\) দ্বারা ভাগ করে।
\(\Rightarrow 1 > \frac{x}{\sin x} > \cos x\) ➜ ব্যস্তকরণ করে।
\[\Rightarrow 1> \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} >\lim_{x \rightarrow 0}\cos x\] ➜ লিমিট ব্যবহার করে।
\[\Rightarrow 1> \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} >1\]
এখানে, স্পষ্ট যে, \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}\] রাশিটি দুইটি বাস্তব সংখ্যার মধ্যে অবস্থিত, উভয় সংখ্যার মাণ \(1\)
\[\therefore \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} =1\]
(proved)
\(Q.5.(xx)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{1-\sin{x}}{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)^2}\].
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]
সমাধানঃ
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{1-\sin x}{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)^2}\]
ধরি,
\(\frac{\pi}{2}-x=h \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}-h \therefore x\rightarrow \frac{\pi}{2}\) হলে, \(h\rightarrow 0\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1-\sin \left(\frac{\pi}{2}-h\right)}{h^2}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1-\cos h}{h^2}\] ➜ \[\because \sin \left(\frac{\pi}{2}-h\right)=\cos h\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2\sin^2 \frac{h}{2}}{h^2}\] ➜ \[\because 1-\cos x=2\sin^2 \frac{x}{2}\]
\[=2\left(\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\right)^2\times \frac{1}{4}\]
\[=2\times 1^2\times \frac{1}{4}\] ➜ \[\because \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}=1\]
\[=2\times 1\times \frac{1}{4}\]
\[=\frac{1}{2}\]
\[=\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{1-\sin x}{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)^2}\]
ধরি,
\(\frac{\pi}{2}-x=h \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}-h \therefore x\rightarrow \frac{\pi}{2}\) হলে, \(h\rightarrow 0\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1-\sin \left(\frac{\pi}{2}-h\right)}{h^2}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1-\cos h}{h^2}\] ➜ \[\because \sin \left(\frac{\pi}{2}-h\right)=\cos h\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2\sin^2 \frac{h}{2}}{h^2}\] ➜ \[\because 1-\cos x=2\sin^2 \frac{x}{2}\]
\[=2\left(\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\right)^2\times \frac{1}{4}\]
\[=2\times 1^2\times \frac{1}{4}\] ➜ \[\because \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}=1\]
\[=2\times 1\times \frac{1}{4}\]
\[=\frac{1}{2}\]
\(Q.5.(xxi)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin{x}}-\frac{1}{\tan{x}}\right)\Rightarrow \lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{x}}{\sin{x}}\].
উত্তরঃ \(0\)
[ রুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]
উত্তরঃ \(0\)
[ রুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]
সমাধানঃ
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin{x}}-\frac{1}{\tan{x}}\right)\Rightarrow \lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{x}}{\sin{x}}\].
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{\frac{\sin x}{\cos x}}\right)\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{\cos x}{\sin x}\right)\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1-\cos x}{\sin x}\right)\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}\right)\] ➜ \[\because 1-\cos A=2\sin^2 \frac{A}{2}, \sin A=2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}\right)\]
\[=\left(\frac{0}{1}\right)\] ➜ \[\because \lim_{x \rightarrow 0}\sin \frac{x}{2}=0, \lim_{x \rightarrow 0}\cos \frac{x}{2}=1\]
\[=0\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{\frac{\sin x}{\cos x}}\right)\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{\cos x}{\sin x}\right)\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1-\cos x}{\sin x}\right)\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}\right)\] ➜ \[\because 1-\cos A=2\sin^2 \frac{A}{2}, \sin A=2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}\right)\]
\[=\left(\frac{0}{1}\right)\] ➜ \[\because \lim_{x \rightarrow 0}\sin \frac{x}{2}=0, \lim_{x \rightarrow 0}\cos \frac{x}{2}=1\]
\[=0\]
\(Q.5.(xxii)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\{\sec{x}(\sec{x}-\tan{x})\}\].
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]
সমাধানঃ
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\{\sec x(\sec x-\tan x)\}\]
\[=\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\{\frac{1}{\cos x}\left(\frac{1}{\cos x}-\frac{\sin x}{\cos x}\right)\}\]
\[=\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\{\frac{1}{\cos x}\left(\frac{1-\sin x}{\cos x}\right)\}\]
\[=\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{1-\sin x}{\cos^2 x}\right)\]
ধরি,
\[\frac{\pi}{2}-x=h \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}-h\]
\[\therefore x\rightarrow \frac{\pi}{2} \Rightarrow h\rightarrow 0\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1-\sin \left(\frac{\pi}{2}-h\right)}{\cos^2 \left(\frac{\pi}{2}-h\right)}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\left(\frac{1-\cos h}{\sin^2 h}\right)\] ➜ \[\because \sin \left(\frac{\pi}{2}+h\right)=\cos h, \cos^2 \left(\frac{\pi}{2}+h\right)=\sin^2 h\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\left(\frac{2\sin^2 \frac{h}{2}}{4\sin^2 \frac{h}{2}\cos^2 \frac{h}{2}}\right)\] ➜ \[\because 1-\cos A=2\sin^2 \frac{h}{2}, \sin A=2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\left(\frac{1}{2\cos^2 \frac{h}{2}}\right)\]
\[=\frac{1}{2}\lim_{h \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\cos^2 \frac{h}{2}}\right)\]
\[=\frac{1}{2}\times 1\] ➜ \[\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{\cos^2 x}=1\]
\[=\frac{1}{2}\]
\[=\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\{\sec x(\sec x-\tan x)\}\]
\[=\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\{\frac{1}{\cos x}\left(\frac{1}{\cos x}-\frac{\sin x}{\cos x}\right)\}\]
\[=\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\{\frac{1}{\cos x}\left(\frac{1-\sin x}{\cos x}\right)\}\]
\[=\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{1-\sin x}{\cos^2 x}\right)\]
ধরি,
\[\frac{\pi}{2}-x=h \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}-h\]
\[\therefore x\rightarrow \frac{\pi}{2} \Rightarrow h\rightarrow 0\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1-\sin \left(\frac{\pi}{2}-h\right)}{\cos^2 \left(\frac{\pi}{2}-h\right)}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\left(\frac{1-\cos h}{\sin^2 h}\right)\] ➜ \[\because \sin \left(\frac{\pi}{2}+h\right)=\cos h, \cos^2 \left(\frac{\pi}{2}+h\right)=\sin^2 h\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\left(\frac{2\sin^2 \frac{h}{2}}{4\sin^2 \frac{h}{2}\cos^2 \frac{h}{2}}\right)\] ➜ \[\because 1-\cos A=2\sin^2 \frac{h}{2}, \sin A=2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\left(\frac{1}{2\cos^2 \frac{h}{2}}\right)\]
\[=\frac{1}{2}\lim_{h \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\cos^2 \frac{h}{2}}\right)\]
\[=\frac{1}{2}\times 1\] ➜ \[\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{\cos^2 x}=1\]
\[=\frac{1}{2}\]
\(Q.5.(xxiii)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow \infty}\{\ln{(2x-1)}-\ln{(x+5)}\}\].
উত্তরঃ \(\ln 2\)
[ কুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫ ]
উত্তরঃ \(\ln 2\)
[ কুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫ ]
সমাধানঃ
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\{\ln{(2x-1)}-\ln{(x+5)}\}\].
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\left\{\ln \frac{(2x-1)}{(x+5)}\right\}\] ➜\[\because \ln x-\ln y=\ln\frac{x}{y}\]
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\left\{\ln \frac{x\left(2-\frac{1}{x}\right)}{x\left(1+\frac{5}{x}\right)}\right\}\]
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\left\{\ln \frac{\left(2-\frac{1}{x}\right)}{\left(1+\frac{5}{x}\right)}\right\}\]
\[=\ln \frac{2-0}{1+0} \] ➜\[\because \lim_{x \rightarrow \infty }\frac{1}{x}=0, \lim_{x \rightarrow \infty }\frac{5}{x}=0\]
\[=\ln \frac{2}{1}\]
\[=\ln 2\]
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\{\ln{(2x-1)}-\ln{(x+5)}\}\].
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\left\{\ln \frac{(2x-1)}{(x+5)}\right\}\] ➜\[\because \ln x-\ln y=\ln\frac{x}{y}\]
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\left\{\ln \frac{x\left(2-\frac{1}{x}\right)}{x\left(1+\frac{5}{x}\right)}\right\}\]
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\left\{\ln \frac{\left(2-\frac{1}{x}\right)}{\left(1+\frac{5}{x}\right)}\right\}\]
\[=\ln \frac{2-0}{1+0} \] ➜\[\because \lim_{x \rightarrow \infty }\frac{1}{x}=0, \lim_{x \rightarrow \infty }\frac{5}{x}=0\]
\[=\ln \frac{2}{1}\]
\[=\ln 2\]
\(Q.5.(xxiv)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow y}\frac{\sin{x}-\sin{y}}{x-y}\].
উত্তরঃ \(\cos y\)
[ কুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫ ]
উত্তরঃ \(\cos y\)
[ কুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫ ]
সমাধানঃ
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{x \rightarrow y}\frac{\sin{x}-\sin{y}}{x-y}\]
\[=\lim_{x \rightarrow y}\frac{2\cos \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2}}{x-y}\] ➜ \[\because \sin C-\sin D=2\cos \frac{C+D}{2}\sin \frac{C-D}{2}\]
\[=2\lim_{x \rightarrow y}\cos \frac{x+y}{2}\times \frac{\sin \frac{x-y}{2}}{x-y}\]
\[=2\lim_{x \rightarrow y}\cos \frac{x+y}{2}\times \lim_{x \rightarrow y}\frac{\sin \frac{x-y}{2}}{\frac{x-y}{2}}\times \frac{1}{2}\]
ধরি,
\[x-y=h \therefore x\rightarrow y \Rightarrow h\rightarrow 0\]
\[=\cos \frac{2y}{2}\times \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\] ➜ \[\because \lim_{x \rightarrow y}\cos \frac{x+y}{2}=\cos \frac{2y}{2}\]
\[=\cos y\times 1\] ➜ \[\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\]
\[=\cos y\]
\[=\lim_{x \rightarrow y}\frac{\sin{x}-\sin{y}}{x-y}\]
\[=\lim_{x \rightarrow y}\frac{2\cos \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2}}{x-y}\] ➜ \[\because \sin C-\sin D=2\cos \frac{C+D}{2}\sin \frac{C-D}{2}\]
\[=2\lim_{x \rightarrow y}\cos \frac{x+y}{2}\times \frac{\sin \frac{x-y}{2}}{x-y}\]
\[=2\lim_{x \rightarrow y}\cos \frac{x+y}{2}\times \lim_{x \rightarrow y}\frac{\sin \frac{x-y}{2}}{\frac{x-y}{2}}\times \frac{1}{2}\]
ধরি,
\[x-y=h \therefore x\rightarrow y \Rightarrow h\rightarrow 0\]
\[=\cos \frac{2y}{2}\times \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\] ➜ \[\because \lim_{x \rightarrow y}\cos \frac{x+y}{2}=\cos \frac{2y}{2}\]
\[=\cos y\times 1\] ➜ \[\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\]
\[=\cos y\]
\(Q.5.(xxv)\) \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(\sin^4\left(\cot^{-1}\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{x-1}{2}\)
[ বুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ]
উত্তরঃ \(\frac{x-1}{2}\)
[ বুয়েটঃ ২০০৯-২০১০ ]
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\sin^4 \left(\cot^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right)\)
এবং
\(\cos \theta=x\)
\(\therefore y=\sin^4 \left(\cot^{-1} \sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}}\right)\)
\(=\sin^4 \left(\cot^{-1} \sqrt{\frac{2\cos^2 \frac{\theta}{2}}{2\sin^2 \frac{\theta}{2}}}\right)\) ➜ \(\because 1-\cos A=2\sin^2 \frac{A}{2}, \ 1+\cos A=2\cos^2 \frac{A}{2}\)
\(=\sin^4 \left(\cot^{-1} \sqrt{\frac{\cos^2 \frac{\theta}{2}}{\sin^2 \frac{\theta}{2}}}\right)\)
\(=\sin^4 \left(\cot^{-1} \sqrt{\cot^2 \frac{\theta}{2}}\right)\)
\(=\sin^4 \left(\cot^{-1} \cot \frac{\theta}{2}\right)\)
\(=\sin^4 \left(\frac{\theta}{2}\right)\)
\(=\sin^4 \frac{\theta}{2}\)
\(=\frac{1}{4}(2\sin^2 \frac{\theta}{2})^2\)
\(=\frac{1}{4}(1-\cos{\theta})^2\)
\(=\frac{1}{4}(1-x)^2\) ➜ \(\because \cos \theta=x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{1}{4}\frac{d}{dx}(1-x)^2\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\{(1-x)^2\}.\frac{d}{dx}(1-x)\) ➜ \(1-x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{4}.2(1-x)^{2-1}.(0-1)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \ \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{2}(1-x)^1.(-1)\)
\(=-\frac{1}{2}(1-x)\)
\(=-\frac{1-x}{2}\)
\(=\frac{x-1}{2}\)
\(y=\sin^4 \left(\cot^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right)\)
এবং
\(\cos \theta=x\)
\(\therefore y=\sin^4 \left(\cot^{-1} \sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}}\right)\)
\(=\sin^4 \left(\cot^{-1} \sqrt{\frac{2\cos^2 \frac{\theta}{2}}{2\sin^2 \frac{\theta}{2}}}\right)\) ➜ \(\because 1-\cos A=2\sin^2 \frac{A}{2}, \ 1+\cos A=2\cos^2 \frac{A}{2}\)
\(=\sin^4 \left(\cot^{-1} \sqrt{\frac{\cos^2 \frac{\theta}{2}}{\sin^2 \frac{\theta}{2}}}\right)\)
\(=\sin^4 \left(\cot^{-1} \sqrt{\cot^2 \frac{\theta}{2}}\right)\)
\(=\sin^4 \left(\cot^{-1} \cot \frac{\theta}{2}\right)\)
\(=\sin^4 \left(\frac{\theta}{2}\right)\)
\(=\sin^4 \frac{\theta}{2}\)
\(=\frac{1}{4}(2\sin^2 \frac{\theta}{2})^2\)
\(=\frac{1}{4}(1-\cos{\theta})^2\)
\(=\frac{1}{4}(1-x)^2\) ➜ \(\because \cos \theta=x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{1}{4}\frac{d}{dx}(1-x)^2\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\{(1-x)^2\}.\frac{d}{dx}(1-x)\) ➜ \(1-x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{4}.2(1-x)^{2-1}.(0-1)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \ \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{2}(1-x)^1.(-1)\)
\(=-\frac{1}{2}(1-x)\)
\(=-\frac{1-x}{2}\)
\(=\frac{x-1}{2}\)
\(Q.5.(xxvi)\) \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(\left(\sqrt{x}\right)^{\sqrt{x}}\)
উত্তরঃ \((\sqrt{x})^{\sqrt{x}}\frac{1}{2\sqrt{x}}\left(1+\ln{\sqrt{x}}\right)\)
[ বুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]
উত্তরঃ \((\sqrt{x})^{\sqrt{x}}\frac{1}{2\sqrt{x}}\left(1+\ln{\sqrt{x}}\right)\)
[ বুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=(\sqrt{x})^{\sqrt{x}}\)
\(\Rightarrow \ln{y}=\ln{(\sqrt{x})^{\sqrt{x}}}\) ➜ উভয় পার্শে \(\ln\) সংযোজন করে।
\(\Rightarrow \ln{y}=\sqrt{x}\ln{\sqrt{x}}\) ➜ \(\because \ln{M^{n}}=n\ln{(M)}\)
\(\Rightarrow \ln{y}=\sqrt{x}\ln{x^{\frac{1}{2}}}\)
\(\Rightarrow \ln{y}=\frac{1}{2}\sqrt{x}\ln{x}\) ➜ \(\because \ln{M^{n}}=n\ln{(M)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(\ln{y})=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\sqrt{x}\ln{x}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}\frac{d}{dx}(\sqrt{x}\ln{x})\)
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}\left\{\sqrt{x}\frac{d}{dx}(\ln{x})+\ln{x}\frac{d}{dx}(\sqrt{x})\right\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{x}\frac{1}{x}+\ln{x}\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{x}}{x}+\frac{\ln{x}}{2\sqrt{x}}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x}}\left(\frac{x}{x}+\frac{\ln{x}}{2}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x}}\left(1+\frac{1}{2}\ln{x}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x}}\left(1+\ln{x^{\frac{1}{2}}}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x}}\left(1+\ln{\sqrt{x}}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}y\frac{1}{\sqrt{x}}\left(1+\ln{\sqrt{x}}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}(\sqrt{x})^{\sqrt{x}}\frac{1}{\sqrt{x}}\left(1+\ln{\sqrt{x}}\right)\) |\(\because y=(\sqrt{x})^{\sqrt{x}}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=(\sqrt{x})^{\sqrt{x}}\frac{1}{2\sqrt{x}}\left(1+\ln{\sqrt{x}}\right)\)
\(y=(\sqrt{x})^{\sqrt{x}}\)
\(\Rightarrow \ln{y}=\ln{(\sqrt{x})^{\sqrt{x}}}\) ➜ উভয় পার্শে \(\ln\) সংযোজন করে।
\(\Rightarrow \ln{y}=\sqrt{x}\ln{\sqrt{x}}\) ➜ \(\because \ln{M^{n}}=n\ln{(M)}\)
\(\Rightarrow \ln{y}=\sqrt{x}\ln{x^{\frac{1}{2}}}\)
\(\Rightarrow \ln{y}=\frac{1}{2}\sqrt{x}\ln{x}\) ➜ \(\because \ln{M^{n}}=n\ln{(M)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(\ln{y})=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\sqrt{x}\ln{x}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}\frac{d}{dx}(\sqrt{x}\ln{x})\)
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}\left\{\sqrt{x}\frac{d}{dx}(\ln{x})+\ln{x}\frac{d}{dx}(\sqrt{x})\right\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{x}\frac{1}{x}+\ln{x}\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{x}}{x}+\frac{\ln{x}}{2\sqrt{x}}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x}}\left(\frac{x}{x}+\frac{\ln{x}}{2}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x}}\left(1+\frac{1}{2}\ln{x}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x}}\left(1+\ln{x^{\frac{1}{2}}}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x}}\left(1+\ln{\sqrt{x}}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}y\frac{1}{\sqrt{x}}\left(1+\ln{\sqrt{x}}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}(\sqrt{x})^{\sqrt{x}}\frac{1}{\sqrt{x}}\left(1+\ln{\sqrt{x}}\right)\) |\(\because y=(\sqrt{x})^{\sqrt{x}}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=(\sqrt{x})^{\sqrt{x}}\frac{1}{2\sqrt{x}}\left(1+\ln{\sqrt{x}}\right)\)
\(Q.5.(xxvii)\) \(\log_{e}(xy)=x^2+y^2\) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{(2x^2-1)y}{(1-2y^2)x}\)
[ বুয়েটঃ ২০১০-২০১১ ]
উত্তরঃ \(\frac{(2x^2-1)y}{(1-2y^2)x}\)
[ বুয়েটঃ ২০১০-২০১১ ]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(\log_{e}(xy)=x^2+y^2\)
\(\Rightarrow \ln{xy}=x^2+y^2\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(\ln{xy})=\frac{d}{dx}(x^2+y^2)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{1}{xy}\frac{d}{dx}(xy)=\frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(y^2)\) ➜ \((xy)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow \frac{1}{xy}\left\{x\frac{d}{dx}(y)+y\frac{d}{dx}(x)\right\}=2x+2y\frac{dy}{dx}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\), \(\frac{d}{dx}(x^2)=2x, \frac{d}{dx}(y^2)=2y\frac{dy}{dx}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}=2x+2y\frac{dy}{dx}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}-2y\frac{dy}{dx}=2x-\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}\left(\frac{1}{y}-2y\right)=2x-\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}\left(\frac{1-2y^2}{y}\right)=\frac{2x^2-1}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{2x^2-1}{x}\times{\frac{y}{1-2y^2}}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{(2x^2-1)y}{(1-2y^2)x}\)
\(\log_{e}(xy)=x^2+y^2\)
\(\Rightarrow \ln{xy}=x^2+y^2\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(\ln{xy})=\frac{d}{dx}(x^2+y^2)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{1}{xy}\frac{d}{dx}(xy)=\frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(y^2)\) ➜ \((xy)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow \frac{1}{xy}\left\{x\frac{d}{dx}(y)+y\frac{d}{dx}(x)\right\}=2x+2y\frac{dy}{dx}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\), \(\frac{d}{dx}(x^2)=2x, \frac{d}{dx}(y^2)=2y\frac{dy}{dx}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}=2x+2y\frac{dy}{dx}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}-2y\frac{dy}{dx}=2x-\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}\left(\frac{1}{y}-2y\right)=2x-\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}\left(\frac{1-2y^2}{y}\right)=\frac{2x^2-1}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{2x^2-1}{x}\times{\frac{y}{1-2y^2}}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{(2x^2-1)y}{(1-2y^2)x}\)
\(Q.5.(xxviii)\) \(y=(\cos^{-1}{x})^2\) হলে, দেখাও যে \((1-x^2)y_{2}-xy_{1}=2\)
উত্তরঃ \(\)
[ বুটেক্সঃ ২০১০-২০১১ ]
উত্তরঃ \(\)
[ বুটেক্সঃ ২০১০-২০১১ ]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(\Rightarrow y=(\cos^{-1}{x})^2 \)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\cos^{-1}{x})^2\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=2\cos^{-1}{x}\frac{d}{dx}(\cos^{-1}{x})\) ➜ \(\cos^{-1}{x}\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে ।
\(\Rightarrow y_{1}=-2\cos^{-1}{x}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cos^{-1}{x})=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-x^2}y_{1}=-2\cos^{-1}{x}\) ➜ উভয় পার্শে \(\sqrt{1-x^2}\) গুণ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)y^2_{1}=4(\cos^{-1}{x})^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)y^2_{1}=4y\) ➜ \(\because y=(\cos^{-1}{x})^2\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{(1-x^2)y^2_{1}\}=4\frac{d}{dx}(y)\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)\frac{d}{dx}(y^2_{1})+y^2_{1}\frac{d}{dx}(1-x^2)=4y_{1}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u), \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow (1-x^2)2y_{1}y_{2}+y^2_{1}(0-2x)=4y_{1}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(y^2_{1})=2y_{1}y_{2}, \frac{d}{dx}(c)=0\), \(\frac{d}{dx}(x^2)=2x\)
\(\Rightarrow 2(1-x^2)y_{1}y_{2}-2xy^2_{1}=4y_{1}\)
\(\Rightarrow 2(1-x^2)y_{1}y_{2}-2xy^2_{1}-4y_{1}=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\{(1-x^2)y_{2}-xy_{1}-2\}=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\ne{0}, (1-x^2)y_{2}-xy_{1}-2=0\)
\(\therefore (1-x^2)y_{2}-xy_{1}-2=0\)
(Showed)
\(\Rightarrow y=(\cos^{-1}{x})^2 \)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\cos^{-1}{x})^2\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=2\cos^{-1}{x}\frac{d}{dx}(\cos^{-1}{x})\) ➜ \(\cos^{-1}{x}\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে ।
\(\Rightarrow y_{1}=-2\cos^{-1}{x}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cos^{-1}{x})=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-x^2}y_{1}=-2\cos^{-1}{x}\) ➜ উভয় পার্শে \(\sqrt{1-x^2}\) গুণ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)y^2_{1}=4(\cos^{-1}{x})^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)y^2_{1}=4y\) ➜ \(\because y=(\cos^{-1}{x})^2\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{(1-x^2)y^2_{1}\}=4\frac{d}{dx}(y)\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)\frac{d}{dx}(y^2_{1})+y^2_{1}\frac{d}{dx}(1-x^2)=4y_{1}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u), \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow (1-x^2)2y_{1}y_{2}+y^2_{1}(0-2x)=4y_{1}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(y^2_{1})=2y_{1}y_{2}, \frac{d}{dx}(c)=0\), \(\frac{d}{dx}(x^2)=2x\)
\(\Rightarrow 2(1-x^2)y_{1}y_{2}-2xy^2_{1}=4y_{1}\)
\(\Rightarrow 2(1-x^2)y_{1}y_{2}-2xy^2_{1}-4y_{1}=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\{(1-x^2)y_{2}-xy_{1}-2\}=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\ne{0}, (1-x^2)y_{2}-xy_{1}-2=0\)
\(\therefore (1-x^2)y_{2}-xy_{1}-2=0\)
(Showed)
\(Q.5.(xxix)\) \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(e^{x^2}+x^{x^2}\)
উত্তরঃ \(2xe^{x^2}+x^{x^2+1}(1+\ln{x^2})\)
[ বুটেক্সঃ ২০০০-২০০১ ]
উত্তরঃ \(2xe^{x^2}+x^{x^2+1}(1+\ln{x^2})\)
[ বুটেক্সঃ ২০০০-২০০১ ]
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=e^{x^2}+x^{x^2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(e^{x^2}+x^{x^2}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(e^{x^2}\right)+\frac{d}{dx}\left(x^{x^2}\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(=e^{x^2}\frac{d}{dx}(x^2)+x^{x^2}\left\{\frac{x^2}{x}\frac{d}{dx}(x)+\ln{x}\frac{d}{dx}(x^2)\right\}\) ➜ \(x^2\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(u^v)=u^v\left(\frac{v}{u}\frac{d}{dx}(u)+\ln{u}\frac{d}{dx}(v)\right)\)
\(=e^{x^2}.2x+x^{x^2}(x.1+\ln{x}.2x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^2)=2x, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=2xe^{x^2}+x^{x^2}(x+2x\ln{x})\)
\(=2xe^{x^2}+x^{x^2}x(1+2\ln{x})\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=2xe^{x^2}+x^{x^2+1}(1+\ln{x^2})\) ➜ \(\because n\ln{(M)}=\ln{M^n}\)
\(y=e^{x^2}+x^{x^2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(e^{x^2}+x^{x^2}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(e^{x^2}\right)+\frac{d}{dx}\left(x^{x^2}\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(=e^{x^2}\frac{d}{dx}(x^2)+x^{x^2}\left\{\frac{x^2}{x}\frac{d}{dx}(x)+\ln{x}\frac{d}{dx}(x^2)\right\}\) ➜ \(x^2\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(u^v)=u^v\left(\frac{v}{u}\frac{d}{dx}(u)+\ln{u}\frac{d}{dx}(v)\right)\)
\(=e^{x^2}.2x+x^{x^2}(x.1+\ln{x}.2x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^2)=2x, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=2xe^{x^2}+x^{x^2}(x+2x\ln{x})\)
\(=2xe^{x^2}+x^{x^2}x(1+2\ln{x})\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=2xe^{x^2}+x^{x^2+1}(1+\ln{x^2})\) ➜ \(\because n\ln{(M)}=\ln{M^n}\)
\(Q.5.(xxx)\) মান নির্ণয় করঃ \(\frac{dy}{dx}\), যখন \(y=\cot^{-1}(\sqrt{1+x^2}-x)\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2(1+x^2)}\)
[ রুয়েটঃ ২০১২-২০১৩, ২০০৮-২০০৯ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{2(1+x^2)}\)
[ রুয়েটঃ ২০১২-২০১৩, ২০০৮-২০০৯ ]
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\cot^{-1}(\sqrt{1+x^2}-x)\) এবং
\(\cot{\theta}=x \Rightarrow \theta=\cot^{-1}{x}\)
\(\therefore y=\cot^{-1}(\sqrt{1+\cot^2{\theta}}-\cot{\theta})\)
\(\Rightarrow y=\cot^{-1}(cosec{\theta}-\cot{\theta})\)
\(\Rightarrow y=\cot^{-1}\left(\frac{1}{\sin{\theta}}-\frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}\right)\)
\(\Rightarrow y=\cot^{-1}\left(\frac{1-\cos{\theta}}{\sin{\theta}}\right)\)
\(\Rightarrow y=\cot^{-1}\left(\frac{2\sin^2{\frac{\theta}{2}}}{2\sin{\frac{\theta}{2}}\cos{\frac{\theta}{2}}}\right)\) ➜ \(\because 1-\cos{A}=2\sin^2{\frac{A}{2}}, \sin{A}=2\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}\)
\(\Rightarrow y=\cot^{-1}\left(\frac{\sin{\frac{\theta}{2}}}{\cos{\frac{\theta}{2}}}\right)\)
\(\Rightarrow y=\cot^{-1}\left(\tan{\frac{\theta}{2}}\right)\)
\(\Rightarrow y=\cot^{-1}\{\cot{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}\right)}\}\)
\(\Rightarrow y=\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}\)
\(\Rightarrow y=\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\theta\)
\(\Rightarrow y=\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\cot^{-1}{x}\) ➜ \(\because \theta=\cot^{-1}{x}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\cot^{-1}{x}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}\right)-\frac{1}{2}\frac{d}{dx}\left(\cot^{-1}{x}\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(=0-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{1+x^2}\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}\left(\cot^{-1}{x}\right)=-\frac{1}{1+x^2}\)
\(=\frac{1}{2(1+x^2)}\)
\(y=\cot^{-1}(\sqrt{1+x^2}-x)\) এবং
\(\cot{\theta}=x \Rightarrow \theta=\cot^{-1}{x}\)
\(\therefore y=\cot^{-1}(\sqrt{1+\cot^2{\theta}}-\cot{\theta})\)
\(\Rightarrow y=\cot^{-1}(cosec{\theta}-\cot{\theta})\)
\(\Rightarrow y=\cot^{-1}\left(\frac{1}{\sin{\theta}}-\frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}\right)\)
\(\Rightarrow y=\cot^{-1}\left(\frac{1-\cos{\theta}}{\sin{\theta}}\right)\)
\(\Rightarrow y=\cot^{-1}\left(\frac{2\sin^2{\frac{\theta}{2}}}{2\sin{\frac{\theta}{2}}\cos{\frac{\theta}{2}}}\right)\) ➜ \(\because 1-\cos{A}=2\sin^2{\frac{A}{2}}, \sin{A}=2\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}\)
\(\Rightarrow y=\cot^{-1}\left(\frac{\sin{\frac{\theta}{2}}}{\cos{\frac{\theta}{2}}}\right)\)
\(\Rightarrow y=\cot^{-1}\left(\tan{\frac{\theta}{2}}\right)\)
\(\Rightarrow y=\cot^{-1}\{\cot{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}\right)}\}\)
\(\Rightarrow y=\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}\)
\(\Rightarrow y=\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\theta\)
\(\Rightarrow y=\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\cot^{-1}{x}\) ➜ \(\because \theta=\cot^{-1}{x}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\cot^{-1}{x}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}\right)-\frac{1}{2}\frac{d}{dx}\left(\cot^{-1}{x}\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(=0-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{1+x^2}\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}\left(\cot^{-1}{x}\right)=-\frac{1}{1+x^2}\)
\(=\frac{1}{2(1+x^2)}\)
\(Q.5.(xxxi)\) মান নির্ণয় করঃ \(\frac{dy}{dx}\), যখন \(x^ay^b=(x-y)^{a+b}\)
উত্তরঃ \(\frac{y}{x}\)
[ রুয়েটঃ ২০১১-২০১২ ]
উত্তরঃ \(\frac{y}{x}\)
[ রুয়েটঃ ২০১১-২০১২ ]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(x^ay^b=(x-y)^{a+b}\)
\(\Rightarrow \ln{x^ay^b}=\ln{(x-y)^{a+b}}\) ➜ উভয় পার্শে \(\ln\) সংযোজন করে।
\(\Rightarrow \ln{x^a}+\ln{y^b}=\ln{(x-y)^{a+b}}\) ➜ \(\because \ln{(MN)}=\ln{(M)}+\ln{(N)}\)
\(\Rightarrow a\ln{x}+b\ln{y}=(a+b)\ln{(x-y)}\) ➜ \(\because \ln{(M)^n}=n\ln{(M)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(a\ln{x}+b\ln{y})=(a+b)\frac{d}{dx}\{\ln{(x-y)}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow a\frac{d}{dx}(\ln{x})+b\frac{d}{dx}(\ln{y})=(a+b)\frac{d}{dx}\{\ln{(x-y)}\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow a\frac{1}{x}+b\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=(a+b)\frac{1}{x-y}\frac{d}{dx}(x-y)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}\) এবং \((x-y)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{a}{x}+\frac{b}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{a+b}{x-y}\left(1-\frac{dy}{dx}\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(\Rightarrow \frac{a}{x}+\frac{b}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{a+b}{x-y}-\frac{a+b}{x-y}\frac{dy}{dx}\)
\(\Rightarrow \frac{b}{y}\frac{dy}{dx}+\frac{a+b}{x-y}\frac{dy}{dx}=\frac{a+b}{x-y}-\frac{a}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}\left(\frac{b}{y}+\frac{a+b}{x-y}\right)=\frac{a+b}{x-y}-\frac{a}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}\frac{bx-by+ay+by}{y(x-y)}=\frac{ax+bx-ax+ay}{x(x-y)}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}\frac{bx+ay}{y(x-y)}=\frac{bx+ay}{x(x-y)}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{bx+ay}{x(x-y)}\times{\frac{y(x-y)}{bx+ay}}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}\)
\(x^ay^b=(x-y)^{a+b}\)
\(\Rightarrow \ln{x^ay^b}=\ln{(x-y)^{a+b}}\) ➜ উভয় পার্শে \(\ln\) সংযোজন করে।
\(\Rightarrow \ln{x^a}+\ln{y^b}=\ln{(x-y)^{a+b}}\) ➜ \(\because \ln{(MN)}=\ln{(M)}+\ln{(N)}\)
\(\Rightarrow a\ln{x}+b\ln{y}=(a+b)\ln{(x-y)}\) ➜ \(\because \ln{(M)^n}=n\ln{(M)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(a\ln{x}+b\ln{y})=(a+b)\frac{d}{dx}\{\ln{(x-y)}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow a\frac{d}{dx}(\ln{x})+b\frac{d}{dx}(\ln{y})=(a+b)\frac{d}{dx}\{\ln{(x-y)}\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow a\frac{1}{x}+b\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=(a+b)\frac{1}{x-y}\frac{d}{dx}(x-y)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}\) এবং \((x-y)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{a}{x}+\frac{b}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{a+b}{x-y}\left(1-\frac{dy}{dx}\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(\Rightarrow \frac{a}{x}+\frac{b}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{a+b}{x-y}-\frac{a+b}{x-y}\frac{dy}{dx}\)
\(\Rightarrow \frac{b}{y}\frac{dy}{dx}+\frac{a+b}{x-y}\frac{dy}{dx}=\frac{a+b}{x-y}-\frac{a}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}\left(\frac{b}{y}+\frac{a+b}{x-y}\right)=\frac{a+b}{x-y}-\frac{a}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}\frac{bx-by+ay+by}{y(x-y)}=\frac{ax+bx-ax+ay}{x(x-y)}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}\frac{bx+ay}{y(x-y)}=\frac{bx+ay}{x(x-y)}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{bx+ay}{x(x-y)}\times{\frac{y(x-y)}{bx+ay}}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}\)
\(Q.5.(xxxii)\) \(f(x)=\sin{x}\) হলে, মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+nh)-f(x)}{nh}\].
উত্তরঃ \(n\cos x\)
[ রুয়েটঃ ২০১০-২০১১ ]
উত্তরঃ \(n\cos x\)
[ রুয়েটঃ ২০১০-২০১১ ]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(f(x)=\sin x\)
\(\therefore f(x+nh)=\sin (x+nh)\)
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+nh)-f(x)}{h}\] ➜ মূল নিয়মে অন্তরজের সংজ্ঞানুসারে
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin (x+nh)-\sin x}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2\cos \frac{x+nh+x}{2}\sin \frac{x+nh-x}{2}}{h}\] ➜ \(\because \sin C-\sin D=2\cos \frac{C+D}{2}\sin \frac{C-D}{2}\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2\cos \frac{2x+nh}{2}\sin \frac{nh}{2}}{h}\]
\[=2\lim_{h \rightarrow 0}\cos \frac{2x+nh}{2}\times \frac{\sin \frac{nh}{2}}{\frac{nh}{2}}\times \frac{n}{2}\]
\[=n\lim_{h \rightarrow 0}\cos \frac{2x+h}{2}\times \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\]
\[=n\cos \frac{2x}{2}\times 1\] ➜ \(\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\)
\[=n\cos x\]
\(f(x)=\sin x\)
\(\therefore f(x+nh)=\sin (x+nh)\)
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+nh)-f(x)}{h}\] ➜ মূল নিয়মে অন্তরজের সংজ্ঞানুসারে
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin (x+nh)-\sin x}{h}\]
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2\cos \frac{x+nh+x}{2}\sin \frac{x+nh-x}{2}}{h}\] ➜ \(\because \sin C-\sin D=2\cos \frac{C+D}{2}\sin \frac{C-D}{2}\)
\[=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2\cos \frac{2x+nh}{2}\sin \frac{nh}{2}}{h}\]
\[=2\lim_{h \rightarrow 0}\cos \frac{2x+nh}{2}\times \frac{\sin \frac{nh}{2}}{\frac{nh}{2}}\times \frac{n}{2}\]
\[=n\lim_{h \rightarrow 0}\cos \frac{2x+h}{2}\times \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\]
\[=n\cos \frac{2x}{2}\times 1\] ➜ \(\because \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\)
\[=n\cos x\]
\(Q.5.(xxxiii)\) \(e^x+e^y=e^{x+y}\) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-e^{y-x}\)
[ রুয়েটঃ ২০১০-২০১১ ]
উত্তরঃ \(-e^{y-x}\)
[ রুয়েটঃ ২০১০-২০১১ ]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(e^x+e^y=e^{x+y}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(e^x+e^y)=(a+b)\frac{d}{dx}\left(e^{x+y}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow e^x+e^{y}\frac{dy}{dx}=e^{x+y}\frac{d}{dx}(x+y)\)
\(\Rightarrow e^x+e^{y}\frac{dy}{dx}=e^{x+y}\left(1+\frac{dy}{dx}\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(\Rightarrow e^x+e^{y}\frac{dy}{dx}=e^{x+y}+e^{x+y}\frac{dy}{dx}\)
\(\Rightarrow e^{y}\frac{dy}{dx}-e^{x+y}\frac{dy}{dx}=e^{x+y}-e^x\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(e^{y}-e^{x+y})=e^{x+y}-e^x\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{e^{x+y}-e^x}{e^{y}-e^{x+y}}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{e^x+e^y-e^x}{e^{y}-e^x-e^y}\) ➜ \(\because e^{x}+e^y=e^{x+y}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{e^y}{-e^x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{e^y}{e^x}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=-e^{y-x}\)
\(e^x+e^y=e^{x+y}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(e^x+e^y)=(a+b)\frac{d}{dx}\left(e^{x+y}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow e^x+e^{y}\frac{dy}{dx}=e^{x+y}\frac{d}{dx}(x+y)\)
\(\Rightarrow e^x+e^{y}\frac{dy}{dx}=e^{x+y}\left(1+\frac{dy}{dx}\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(\Rightarrow e^x+e^{y}\frac{dy}{dx}=e^{x+y}+e^{x+y}\frac{dy}{dx}\)
\(\Rightarrow e^{y}\frac{dy}{dx}-e^{x+y}\frac{dy}{dx}=e^{x+y}-e^x\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(e^{y}-e^{x+y})=e^{x+y}-e^x\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{e^{x+y}-e^x}{e^{y}-e^{x+y}}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{e^x+e^y-e^x}{e^{y}-e^x-e^y}\) ➜ \(\because e^{x}+e^y=e^{x+y}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{e^y}{-e^x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{e^y}{e^x}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=-e^{y-x}\)
\(Q.5.(xxxiv)\) \(y^3=x^2(2a-x)\) বক্ররেখার যেসব বিন্দুতে স্পর্শক \(x\) অক্ষের সমান্তরাল, সেগুলি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((0, 0) ; (2a, 0)\)
[ রুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮ ]
উত্তরঃ নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((0, 0) ; (2a, 0)\)
[ রুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮ ]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(y^3=x^2(2a-x)\)
\(\Rightarrow y^3=2ax^2-x^3 ....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(y^3)=\frac{d}{dx}(2ax^2-x^3)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow 3y^2\frac{dy}{dx}=2a\frac{d}{dx}(x^2)-\frac{d}{dx}(x^3)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}(y^3)=3y^2\frac{dy}{dx}\), \(\frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow 3y^2\frac{dy}{dx}=2a.2x-3x^2\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(\Rightarrow 3y^2\frac{dy}{dx}=4ax-3x^2\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{4ax-3x^2}{3y^2}\)
যেহেতু, স্পর্শক \(y\) অক্ষের সমান্তরাল বা, ( \(x\) অক্ষের উপর লম্ব ) \(\therefore \frac{dy}{dx}=\infty\)
\(\therefore \frac{4ax-3x^2}{3y^2}=\infty\)
\(\Rightarrow \frac{4ax-3x^2}{3y^2}=\frac{1}{0}\)
\(\Rightarrow 3y^2=0\)
\(\Rightarrow y^2=0\)
\(\therefore y=0\)
\((1)\) হতে,
যখন, \(y=0\),
\(\Rightarrow 0^3=2ax^2-x^3\) ➜ \((1)\) এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow 0=2ax^2-x^3\)
\(\Rightarrow 2ax^2-x^3=0\)
\(\Rightarrow x^2(2a-x)=0\)
\(\Rightarrow x^2=0, 2a-x=0\)
\(\Rightarrow x=0, -x=-2a\)
\(\Rightarrow x=0, x=2a\)
নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((0, 0) ; (2a, 0)\)
\(y^3=x^2(2a-x)\)
\(\Rightarrow y^3=2ax^2-x^3 ....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(y^3)=\frac{d}{dx}(2ax^2-x^3)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow 3y^2\frac{dy}{dx}=2a\frac{d}{dx}(x^2)-\frac{d}{dx}(x^3)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}(y^3)=3y^2\frac{dy}{dx}\), \(\frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow 3y^2\frac{dy}{dx}=2a.2x-3x^2\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(\Rightarrow 3y^2\frac{dy}{dx}=4ax-3x^2\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{4ax-3x^2}{3y^2}\)
যেহেতু, স্পর্শক \(y\) অক্ষের সমান্তরাল বা, ( \(x\) অক্ষের উপর লম্ব ) \(\therefore \frac{dy}{dx}=\infty\)
\(\therefore \frac{4ax-3x^2}{3y^2}=\infty\)
\(\Rightarrow \frac{4ax-3x^2}{3y^2}=\frac{1}{0}\)
\(\Rightarrow 3y^2=0\)
\(\Rightarrow y^2=0\)
\(\therefore y=0\)
\((1)\) হতে,
যখন, \(y=0\),
\(\Rightarrow 0^3=2ax^2-x^3\) ➜ \((1)\) এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow 0=2ax^2-x^3\)
\(\Rightarrow 2ax^2-x^3=0\)
\(\Rightarrow x^2(2a-x)=0\)
\(\Rightarrow x^2=0, 2a-x=0\)
\(\Rightarrow x=0, -x=-2a\)
\(\Rightarrow x=0, x=2a\)
নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((0, 0) ; (2a, 0)\)
\(Q.5.(xxxv)\) \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(\tan^{-1}\frac{a+bx}{b-ax}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{1+x^2}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭, কুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{1+x^2}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭, কুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭ ]
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\tan^{-1} \left(\frac{a+bx}{b-ax}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\frac{a}{b}+x}{1-\frac{a}{b}x}\right)\) ➜ লব ও হরের সহিত \(b\) ভাগ করে।
এবং
\(\tan \theta=x, \tan \alpha=\frac{a}{b}\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1} x, \alpha=\tan^{-1} \frac{a}{b}\)
\(\therefore y=\tan^{-1} \left(\frac{\tan \alpha+\tan \theta}{1-\tan \alpha\tan \theta}\right)\)
\(=\tan^{-1} \tan (\alpha+\theta)\) ➜ \(\because \tan (A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}\)
\(=\alpha+\theta\)
\(=\tan^{-1} \frac{a}{b}+\tan^{-1} x\) ➜ \(\because \theta=\tan^{-1} x, \alpha=\tan^{-1} \frac{a}{b}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\tan^{-1} \frac{a}{b}+\tan^{-1} x\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left(\tan^{-1} \frac{a}{b}\right)+\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)\)
\(=0+\frac{1}{1+x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{1+x^2}\)
\(y=\tan^{-1} \left(\frac{a+bx}{b-ax}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\frac{a}{b}+x}{1-\frac{a}{b}x}\right)\) ➜ লব ও হরের সহিত \(b\) ভাগ করে।
এবং
\(\tan \theta=x, \tan \alpha=\frac{a}{b}\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1} x, \alpha=\tan^{-1} \frac{a}{b}\)
\(\therefore y=\tan^{-1} \left(\frac{\tan \alpha+\tan \theta}{1-\tan \alpha\tan \theta}\right)\)
\(=\tan^{-1} \tan (\alpha+\theta)\) ➜ \(\because \tan (A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}\)
\(=\alpha+\theta\)
\(=\tan^{-1} \frac{a}{b}+\tan^{-1} x\) ➜ \(\because \theta=\tan^{-1} x, \alpha=\tan^{-1} \frac{a}{b}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\tan^{-1} \frac{a}{b}+\tan^{-1} x\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}\left(\tan^{-1} \frac{a}{b}\right)+\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)\)
\(=0+\frac{1}{1+x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{1+x^2}\)
\(Q.5.(xxxvi)\) \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ
\(\cot^{-1}\left(\frac{x^2}{e^x}\right)+\cot^{-1}\left(\frac{e^x}{x^2}\right)\)
উত্তরঃ \(0\)
[ রুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]
\(\cot^{-1}\left(\frac{x^2}{e^x}\right)+\cot^{-1}\left(\frac{e^x}{x^2}\right)\)
উত্তরঃ \(0\)
[ রুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\cot^{-1}\left(\frac{x^2}{e^x}\right)+\cot^{-1}\left(\frac{e^x}{x^2}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{e^x}{x^2}\right)+\tan^{-1} \left(\frac{x^2}{e^x}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\frac{e^x}{x^2}+\frac{x^2}{e^x}}{1-\frac{e^x}{x^2}.\frac{x^2}{e^x}}\right)\) ➜ \(\because \tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1} \frac{x+y}{1-xy}\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\frac{e^x}{x^2}+\frac{x^2}{e^x}}{1-1}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\frac{e^x}{x^2}+\frac{x^2}{e^x}}{0}\right)\)
\(=\tan^{-1} \infty\)
\(=\tan^{-1} \tan \frac{\pi}{2}\) ➜ \(\because \tan \frac{\pi}{2}=\infty\)
\(=\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=0\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(y=\cot^{-1}\left(\frac{x^2}{e^x}\right)+\cot^{-1}\left(\frac{e^x}{x^2}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{e^x}{x^2}\right)+\tan^{-1} \left(\frac{x^2}{e^x}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\frac{e^x}{x^2}+\frac{x^2}{e^x}}{1-\frac{e^x}{x^2}.\frac{x^2}{e^x}}\right)\) ➜ \(\because \tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1} \frac{x+y}{1-xy}\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\frac{e^x}{x^2}+\frac{x^2}{e^x}}{1-1}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\frac{e^x}{x^2}+\frac{x^2}{e^x}}{0}\right)\)
\(=\tan^{-1} \infty\)
\(=\tan^{-1} \tan \frac{\pi}{2}\) ➜ \(\because \tan \frac{\pi}{2}=\infty\)
\(=\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=0\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(Q.5.(xxxvii)\) \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(\ln{(\sin^{-1}{x})}\cos^{-1}{x}\)
উত্তরঃ \(\frac{\cos^{-1}{x}}{\sin^{-1}{x}\sqrt{1-x^2}}-\frac{\ln{(\sin^{-1}{x})}}{\sqrt{1-x^2}}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫ ]
উত্তরঃ \(\frac{\cos^{-1}{x}}{\sin^{-1}{x}\sqrt{1-x^2}}-\frac{\ln{(\sin^{-1}{x})}}{\sqrt{1-x^2}}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫ ]
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\ln{(\sin^{-1}{x})}\cos^{-1}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\ln{(\sin^{-1}{x})}\cos^{-1}{x}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\ln{(\sin^{-1}{x})}\frac{d}{dx}(\cos^{-1}{x})+\cos^{-1}{x}\frac{d}{dx}\{\ln{(\sin^{-1}{x})}\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=\ln{(\sin^{-1}{x})}\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)+\cos^{-1}{x}.\frac{1}{\sin^{-1}{x}}\frac{d}{dx}(\sin^{-1}{x})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cos^{-1}{x})=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}\)
\(=-\frac{\ln{(\sin^{-1}{x})}}{\sqrt{1-x^2}}+\cos^{-1}{x}.\frac{1}{\sin^{-1}{x}}.\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(=-\frac{\ln{(\sin^{-1}{x})}}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{\cos^{-1}{x}}{\sin^{-1}{x}\sqrt{1-x^2}}\)
\(=\frac{\cos^{-1}{x}}{\sin^{-1}{x}\sqrt{1-x^2}}-\frac{\ln{(\sin^{-1}{x})}}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(y=\ln{(\sin^{-1}{x})}\cos^{-1}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\ln{(\sin^{-1}{x})}\cos^{-1}{x}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\ln{(\sin^{-1}{x})}\frac{d}{dx}(\cos^{-1}{x})+\cos^{-1}{x}\frac{d}{dx}\{\ln{(\sin^{-1}{x})}\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=\ln{(\sin^{-1}{x})}\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)+\cos^{-1}{x}.\frac{1}{\sin^{-1}{x}}\frac{d}{dx}(\sin^{-1}{x})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cos^{-1}{x})=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}\)
\(=-\frac{\ln{(\sin^{-1}{x})}}{\sqrt{1-x^2}}+\cos^{-1}{x}.\frac{1}{\sin^{-1}{x}}.\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(=-\frac{\ln{(\sin^{-1}{x})}}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{\cos^{-1}{x}}{\sin^{-1}{x}\sqrt{1-x^2}}\)
\(=\frac{\cos^{-1}{x}}{\sin^{-1}{x}\sqrt{1-x^2}}-\frac{\ln{(\sin^{-1}{x})}}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(Q.5.(xxxviii)\) মান নির্ণয় করঃ \(\frac{dy}{dx}\), যখন \(x^y=y^x\)
উত্তরঃ \(\frac{y(x\ln{y}-y)}{x(y\ln{x}-x)}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫ ]
উত্তরঃ \(\frac{y(x\ln{y}-y)}{x(y\ln{x}-x)}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫ ]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(x^y=y^x\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^y)=\frac{d}{dx}(y^x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow x^y\left\{\frac{y}{x}\frac{d}{dx}(x)+\ln{x}\frac{d}{dx}(y)\right\}=y^x\left\{\frac{x}{y}\frac{d}{dx}(y)+\ln{y}\frac{d}{dx}(x)\right\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u^v)=u^v\left(\frac{v}{u}\frac{d}{dx}(u)+\ln{u}\frac{d}{dx}(v)\right)\)
\(\Rightarrow y^x\left(\frac{y}{x}.1+\ln{x}\frac{dy}{dx}\right)=y^x\left(\frac{x}{y}\frac{dy}{dx}+\ln{y}.1\right)\) ➜ \(\because x^y=y^x, \frac{d}{dx}(x)=1, \)
\(\Rightarrow \ln{x}\frac{dy}{dx}-\frac{x}{y}\frac{dy}{dx}=\ln{y}-\frac{y}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}\left(\frac{y\ln{x}-x}{y}\right)=\frac{x\ln{y}-y}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{x\ln{y}-y}{x}\times{\frac{y}{y\ln{x}-x}}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{y(x\ln{y}-y)}{x(y\ln{x}-x)}\)
\(x^y=y^x\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^y)=\frac{d}{dx}(y^x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow x^y\left\{\frac{y}{x}\frac{d}{dx}(x)+\ln{x}\frac{d}{dx}(y)\right\}=y^x\left\{\frac{x}{y}\frac{d}{dx}(y)+\ln{y}\frac{d}{dx}(x)\right\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u^v)=u^v\left(\frac{v}{u}\frac{d}{dx}(u)+\ln{u}\frac{d}{dx}(v)\right)\)
\(\Rightarrow y^x\left(\frac{y}{x}.1+\ln{x}\frac{dy}{dx}\right)=y^x\left(\frac{x}{y}\frac{dy}{dx}+\ln{y}.1\right)\) ➜ \(\because x^y=y^x, \frac{d}{dx}(x)=1, \)
\(\Rightarrow \ln{x}\frac{dy}{dx}-\frac{x}{y}\frac{dy}{dx}=\ln{y}-\frac{y}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}\left(\frac{y\ln{x}-x}{y}\right)=\frac{x\ln{y}-y}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{x\ln{y}-y}{x}\times{\frac{y}{y\ln{x}-x}}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{y(x\ln{y}-y)}{x(y\ln{x}-x)}\)
\(Q.5.(xxxix)\) যদি \(y=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\) হয়, তবে দেখাও যে, \(2xy_{1}+y=2\sqrt{x}\).
[ রুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫ ]
[ রুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫ ]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(y=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\)
\(\Rightarrow y=\sqrt{x}+\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}\)
\(\Rightarrow y=\sqrt{x}+x^{-\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sqrt{x}+x^{-\frac{1}{2}})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(\sqrt{x})+\frac{d}{dx}(x^{-\frac{1}{2}})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2}x^{\frac{-1-2}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2}x^{\frac{-3}{2}}\)
\(\Rightarrow 2x\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2}x^{\frac{-3}{2}}\times{2x}\) ➜ উভয় পার্শে \(2x\) গুন করে।
\(\Rightarrow 2x\frac{dy}{dx}=\frac{\sqrt{x}.\sqrt{x}}{\sqrt{x}}-x^{\frac{-3}{2}+1}\)
\(\Rightarrow 2x\frac{dy}{dx}=\sqrt{x}-x^{\frac{-3+2}{2}}\)
\(\Rightarrow 2x\frac{dy}{dx}=\sqrt{x}-x^{\frac{-1}{2}}\)
\(\Rightarrow 2x\frac{dy}{dx}=\sqrt{x}-\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}\)
\(\Rightarrow 2x\frac{dy}{dx}=\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\)
\(\Rightarrow 2x\frac{dy}{dx}=2\sqrt{x}-\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\)
\(\Rightarrow 2x\frac{dy}{dx}=2\sqrt{x}-\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\)
\(\Rightarrow 2x\frac{dy}{dx}=2\sqrt{x}-y\) ➜ \(\because y=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\)
\(\Rightarrow 2x\frac{dy}{dx}+y=2\sqrt{x}\)
\(\therefore 2xy_{1}+y=2\sqrt{x}\)
(Showed)
\(y=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\)
\(\Rightarrow y=\sqrt{x}+\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}\)
\(\Rightarrow y=\sqrt{x}+x^{-\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sqrt{x}+x^{-\frac{1}{2}})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(\sqrt{x})+\frac{d}{dx}(x^{-\frac{1}{2}})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2}x^{\frac{-1-2}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2}x^{\frac{-3}{2}}\)
\(\Rightarrow 2x\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2}x^{\frac{-3}{2}}\times{2x}\) ➜ উভয় পার্শে \(2x\) গুন করে।
\(\Rightarrow 2x\frac{dy}{dx}=\frac{\sqrt{x}.\sqrt{x}}{\sqrt{x}}-x^{\frac{-3}{2}+1}\)
\(\Rightarrow 2x\frac{dy}{dx}=\sqrt{x}-x^{\frac{-3+2}{2}}\)
\(\Rightarrow 2x\frac{dy}{dx}=\sqrt{x}-x^{\frac{-1}{2}}\)
\(\Rightarrow 2x\frac{dy}{dx}=\sqrt{x}-\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}\)
\(\Rightarrow 2x\frac{dy}{dx}=\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\)
\(\Rightarrow 2x\frac{dy}{dx}=2\sqrt{x}-\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\)
\(\Rightarrow 2x\frac{dy}{dx}=2\sqrt{x}-\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\)
\(\Rightarrow 2x\frac{dy}{dx}=2\sqrt{x}-y\) ➜ \(\because y=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\)
\(\Rightarrow 2x\frac{dy}{dx}+y=2\sqrt{x}\)
\(\therefore 2xy_{1}+y=2\sqrt{x}\)
(Showed)
\(Q.5.(xL)\) মান নির্ণয় করঃ \(\frac{dy}{dx}\), যখন \(y=\frac{(x-1)^2}{\sqrt[3]{x}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}\left(5\sqrt[3]{x^{2}}-\frac{4}{\sqrt[3]{x}}-\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4}}}\right)\) [ রুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}\left(5\sqrt[3]{x^{2}}-\frac{4}{\sqrt[3]{x}}-\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4}}}\right)\) [ রুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\frac{(x-1)^2}{\sqrt[3]{x}}\)
\(\Rightarrow y=\frac{x^2-2x+1}{x^{\frac{1}{3}}}\)
\(\Rightarrow y=\frac{x^2}{x^{\frac{1}{3}}}-2\frac{x}{x^{\frac{1}{3}}}+\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}\)
\(\Rightarrow y=x^{2-\frac{1}{3}}-2x^{1-\frac{1}{3}}+x^{-\frac{1}{3}}\)
\(\Rightarrow y=x^{\frac{6-1}{3}}-2x^{\frac{3-1}{3}}+x^{-\frac{1}{3}}\)
\(\Rightarrow y=x^{\frac{5}{3}}-2x^{\frac{2}{3}}+x^{-\frac{1}{3}}\)
\[\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^{\frac{5}{3}}-2x^{\frac{2}{3}}+x^{-\frac{1}{3}})\] ➜ \[x\]-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\[=\frac{d}{dx}(x^{\frac{5}{3}})-\frac{d}{dx}(2x^{\frac{2}{3}})+\frac{d}{dx}(x^{-\frac{1}{3}})\]
\[=\frac{d}{dx}(x^{\frac{5}{3}})-2\frac{d}{dx}(x^{\frac{2}{3}})+\frac{d}{dx}(x^{-\frac{1}{3}})\]
\[=\frac{5}{3}x^{\frac{5}{3}-1}-2\frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1}-\frac{1}{3}x^{-\frac{1}{3}-1}\] ➜ \[\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\]
\[=\frac{5}{3}x^{\frac{5-3}{3}}-\frac{4}{3}x^{\frac{2-3}{3}}-\frac{1}{3}x^{\frac{-1-3}{3}}\]
\[=\frac{5}{3}x^{\frac{2}{3}}-\frac{4}{3}x^{\frac{-1}{3}}-\frac{1}{3}x^{\frac{-4}{3}}\]
\[=\frac{5}{3}x^{\frac{2}{3}}-\frac{4}{3}x^{-\frac{1}{3}}-\frac{1}{3}x^{-\frac{4}{3}}\]
\[=\frac{5}{3}x^{\frac{2}{3}}-\frac{4}{3x^{\frac{1}{3}}}-\frac{1}{3x^{\frac{4}{3}}}\]
\[=\frac{5}{3}\sqrt[3]{x^{2}}-\frac{4}{3\sqrt[3]{x}}-\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{4}}}\]
\[=\frac{1}{3}\left(5\sqrt[3]{x^{2}}-\frac{4}{\sqrt[3]{x}}-\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4}}}\right)\]
\(\Rightarrow y=\frac{x^2}{x^{\frac{1}{3}}}-2\frac{x}{x^{\frac{1}{3}}}+\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}\)
\(\Rightarrow y=x^{2-\frac{1}{3}}-2x^{1-\frac{1}{3}}+x^{-\frac{1}{3}}\)
\(\Rightarrow y=x^{\frac{6-1}{3}}-2x^{\frac{3-1}{3}}+x^{-\frac{1}{3}}\)
\(\Rightarrow y=x^{\frac{5}{3}}-2x^{\frac{2}{3}}+x^{-\frac{1}{3}}\)
\[\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^{\frac{5}{3}}-2x^{\frac{2}{3}}+x^{-\frac{1}{3}})\] ➜ \[x\]-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\[=\frac{d}{dx}(x^{\frac{5}{3}})-\frac{d}{dx}(2x^{\frac{2}{3}})+\frac{d}{dx}(x^{-\frac{1}{3}})\]
\[=\frac{d}{dx}(x^{\frac{5}{3}})-2\frac{d}{dx}(x^{\frac{2}{3}})+\frac{d}{dx}(x^{-\frac{1}{3}})\]
\[=\frac{5}{3}x^{\frac{5}{3}-1}-2\frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1}-\frac{1}{3}x^{-\frac{1}{3}-1}\] ➜ \[\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\]
\[=\frac{5}{3}x^{\frac{5-3}{3}}-\frac{4}{3}x^{\frac{2-3}{3}}-\frac{1}{3}x^{\frac{-1-3}{3}}\]
\[=\frac{5}{3}x^{\frac{2}{3}}-\frac{4}{3}x^{\frac{-1}{3}}-\frac{1}{3}x^{\frac{-4}{3}}\]
\[=\frac{5}{3}x^{\frac{2}{3}}-\frac{4}{3}x^{-\frac{1}{3}}-\frac{1}{3}x^{-\frac{4}{3}}\]
\[=\frac{5}{3}x^{\frac{2}{3}}-\frac{4}{3x^{\frac{1}{3}}}-\frac{1}{3x^{\frac{4}{3}}}\]
\[=\frac{5}{3}\sqrt[3]{x^{2}}-\frac{4}{3\sqrt[3]{x}}-\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{4}}}\]
\[=\frac{1}{3}\left(5\sqrt[3]{x^{2}}-\frac{4}{\sqrt[3]{x}}-\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4}}}\right)\]
\(Q.5.(xLi)\) \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(a^{\sin^{-1}{x}}\)
উত্তরঃ \(\frac{a^{\sin^{-1} x}\ln a}{\sqrt{1-x^2}}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]
উত্তরঃ \(\frac{a^{\sin^{-1} x}\ln a}{\sqrt{1-x^2}}\)
[ রুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=a^{\sin^{-1} x}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(a^{\sin^{-1} x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(a^{\sin^{-1} x}).\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)\) ➜ \(\sin^{-1} x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=a^{\sin^{-1} x}\ln a.\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \frac{d}{dx}(a^x)=a^x\ln a\)
\(=\frac{a^{\sin^{-1} x}\ln a}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(y=a^{\sin^{-1} x}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(a^{\sin^{-1} x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(a^{\sin^{-1} x}).\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)\) ➜ \(\sin^{-1} x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=a^{\sin^{-1} x}\ln a.\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \frac{d}{dx}(a^x)=a^x\ln a\)
\(=\frac{a^{\sin^{-1} x}\ln a}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(Q.5.(xLii)\) দেখাও যে একটি গোলাকার সাবানের বুদবুদের আয়তনের বৃদ্ধির হার তার ব্যাসার্ধের বৃদ্ধির হারের \(4\pi{r^2}\) গুণ।
[ রুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]
[ রুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]
সমাধানঃ
ধরি,
বুদবুদের ব্যসার্ধ \(=r\)
ব্যসার্ধ বৃদ্ধির হার \(=\frac{dr}{dt}\)
বুদবুদের আয়তন \(v=\frac{4}{3}\pi r^3\)
আয়তন বৃদ্ধির হার \(=\frac{dv}{dt}\)
\(=\frac{d}{dt}(v)\)
\(=\frac{d}{dt}\left(\frac{4}{3}\pi r^3\right)\)
\(=\frac{4}{3}\pi \frac{d}{dt}(r^3)\)
\(=\frac{4}{3}\pi .3r^2\frac{dr}{dt}\)
\(=4\pi r^2\times \) ব্যসার্ধ বৃদ্ধির হার। ➜ \(\because \) ব্যসার্ধ বৃদ্ধির হার \(=\frac{dr}{dt}\)
(Showed)
বুদবুদের ব্যসার্ধ \(=r\)
ব্যসার্ধ বৃদ্ধির হার \(=\frac{dr}{dt}\)
বুদবুদের আয়তন \(v=\frac{4}{3}\pi r^3\)
আয়তন বৃদ্ধির হার \(=\frac{dv}{dt}\)
\(=\frac{d}{dt}(v)\)
\(=\frac{d}{dt}\left(\frac{4}{3}\pi r^3\right)\)
\(=\frac{4}{3}\pi \frac{d}{dt}(r^3)\)
\(=\frac{4}{3}\pi .3r^2\frac{dr}{dt}\)
\(=4\pi r^2\times \) ব্যসার্ধ বৃদ্ধির হার। ➜ \(\because \) ব্যসার্ধ বৃদ্ধির হার \(=\frac{dr}{dt}\)
(Showed)
\(Q.5.(xLiii)\) \(y=3\) সরলরেখার সমান্তরাল যে রেখা \(y=(x-3)^2(x-2)\) বক্ররেখার যে সমস্ত বিন্দুতে স্পর্শক সেই বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((3, 0); \left(\frac{7}{3}, \frac{4}{27}\right)\)
[ কুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭ ]
উত্তরঃ নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((3, 0); \left(\frac{7}{3}, \frac{4}{27}\right)\)
[ কুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭ ]
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=(x-3)^2(x-2) ....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{(x-3)^2(x-2)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=(x-3)^2\frac{d}{dx}(x-2)+(x-2)\frac{d}{dx}(x-3)^2\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=(x-3)^2(1-0)+(x-2).2(x-3)\frac{d}{dx}(x-3)\) ➜ \(x-3\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\), \(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=(x-3)^2+2(x-2)(x-3)(1-0)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=(x-3)^2+2(x-2)(x-3)\)
যেহেতু, স্পর্শক \(x\) অক্ষের সমান্তরাল \(\therefore \frac{dy}{dx}=0\)
\(\therefore (x-3)^2+2(x-2)(x-3)=0\)
\(\Rightarrow (x-3)(x-3+2x-4)=0\)
\(\Rightarrow (x-3)(3x-7)=0\)
\(\Rightarrow x-3=0, 3x-7=0\)
\(\Rightarrow x=3, 3x=7\)
\(\Rightarrow x=3, x=\frac{7}{3}\)
\(\therefore x=3, \frac{7}{3}\)
যখন, \(x=3\),
\(\Rightarrow y=(3-3)^2(3-2)\) ➜ \((1)\) এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow y=0.1\)
\(\therefore y=0\)
যখন, \(x=\frac{7}{3}\),
\(\Rightarrow y=\left(\frac{7}{3}-3\right)^2.\left(\frac{7}{3}-2\right)\) ➜ \((1)\) এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow y=\left(\frac{7-9}{3}\right)^2.\left(\frac{7-6}{3}\right)\)
\(\Rightarrow y=\left(\frac{-2}{3}\right)^2.\left(\frac{1}{3}\right)\)
\(\Rightarrow y=\frac{4}{9}.\frac{1}{3}\)
\(\therefore y=\frac{4}{27}\)
নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((3, 0); \left(\frac{7}{3}, \frac{4}{27}\right)\)
\(y=(x-3)^2(x-2) ....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{(x-3)^2(x-2)\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=(x-3)^2\frac{d}{dx}(x-2)+(x-2)\frac{d}{dx}(x-3)^2\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=(x-3)^2(1-0)+(x-2).2(x-3)\frac{d}{dx}(x-3)\) ➜ \(x-3\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\), \(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=(x-3)^2+2(x-2)(x-3)(1-0)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=(x-3)^2+2(x-2)(x-3)\)
যেহেতু, স্পর্শক \(x\) অক্ষের সমান্তরাল \(\therefore \frac{dy}{dx}=0\)
\(\therefore (x-3)^2+2(x-2)(x-3)=0\)
\(\Rightarrow (x-3)(x-3+2x-4)=0\)
\(\Rightarrow (x-3)(3x-7)=0\)
\(\Rightarrow x-3=0, 3x-7=0\)
\(\Rightarrow x=3, 3x=7\)
\(\Rightarrow x=3, x=\frac{7}{3}\)
\(\therefore x=3, \frac{7}{3}\)
যখন, \(x=3\),
\(\Rightarrow y=(3-3)^2(3-2)\) ➜ \((1)\) এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow y=0.1\)
\(\therefore y=0\)
যখন, \(x=\frac{7}{3}\),
\(\Rightarrow y=\left(\frac{7}{3}-3\right)^2.\left(\frac{7}{3}-2\right)\) ➜ \((1)\) এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow y=\left(\frac{7-9}{3}\right)^2.\left(\frac{7-6}{3}\right)\)
\(\Rightarrow y=\left(\frac{-2}{3}\right)^2.\left(\frac{1}{3}\right)\)
\(\Rightarrow y=\frac{4}{9}.\frac{1}{3}\)
\(\therefore y=\frac{4}{27}\)
নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((3, 0); \left(\frac{7}{3}, \frac{4}{27}\right)\)
\(Q.5.(xLiv)\) \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(\frac{x\ln{x}}{\sqrt{1+x^2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1+x^2+\ln x}{(\sqrt{1+x^2})^3}\)
[ কুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]
উত্তরঃ \(\frac{1+x^2+\ln x}{(\sqrt{1+x^2})^3}\)
[ কুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\frac{x\ln x}{\sqrt{1+x^2}}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x\ln x}{\sqrt{1+x^2}}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{\sqrt{1+x^2}\frac{d}{dx}(x\ln x)-x\ln x\frac{d}{dx}(\sqrt{1+x^2})}{(\sqrt{1+x^2})^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\frac{u}{v})=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{\sqrt{1+x^2}\{x\frac{d}{dx}(\ln x)+\ln x\frac{d}{dx}(x)\}-x\ln x.\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\frac{d}{dx}(1+x^2)}{1+x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=\frac{\sqrt{1+x^2}\{x.\frac{1}{x}+\ln x.1\}-x\ln x.\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\{\frac{d}{dx}(1)+\frac{d}{dx}(x^2)\}}{1+x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{\sqrt{1+x^2}(1+\ln x)-x\ln x.\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\{0+2x\}}{1+x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{\sqrt{1+x^2}(1+\ln x)-x\ln x.\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}.2x}{1+x^2}\)
\(=\frac{\sqrt{1+x^2}(1+\ln x)-x^2\ln x.\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}\)
\(=\frac{\frac{(1+x^2)(1+\ln x)-x^2\ln x}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}\)
\(=\frac{(1+x^2)(1+\ln x)-x^2\ln x}{\sqrt{1+x^2}(1+x^2)}\)
\(=\frac{1+x^2+\ln x+x^2\ln x-x^2\ln x}{\sqrt{1+x^2}(1+x^2)}\)
\(=\frac{1+x^2+\ln x}{(1+x^2)^{\frac{1}{2}}(1+x^2)}\)
\(=\frac{1+x^2+\ln x}{(1+x^2)^{\frac{1}{2}+1}}\)
\(=\frac{1+x^2+\ln x}{(1+x^2)^{\frac{1+2}{2}}}\)
\(=\frac{1+x^2+\ln x}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}\)
\(=\frac{1+x^2+\ln x}{(\sqrt{1+x^2})^3}\)
\(y=\frac{x\ln x}{\sqrt{1+x^2}}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x\ln x}{\sqrt{1+x^2}}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{\sqrt{1+x^2}\frac{d}{dx}(x\ln x)-x\ln x\frac{d}{dx}(\sqrt{1+x^2})}{(\sqrt{1+x^2})^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\frac{u}{v})=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{\sqrt{1+x^2}\{x\frac{d}{dx}(\ln x)+\ln x\frac{d}{dx}(x)\}-x\ln x.\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\frac{d}{dx}(1+x^2)}{1+x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=\frac{\sqrt{1+x^2}\{x.\frac{1}{x}+\ln x.1\}-x\ln x.\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\{\frac{d}{dx}(1)+\frac{d}{dx}(x^2)\}}{1+x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{\sqrt{1+x^2}(1+\ln x)-x\ln x.\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\{0+2x\}}{1+x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{\sqrt{1+x^2}(1+\ln x)-x\ln x.\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}.2x}{1+x^2}\)
\(=\frac{\sqrt{1+x^2}(1+\ln x)-x^2\ln x.\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}\)
\(=\frac{\frac{(1+x^2)(1+\ln x)-x^2\ln x}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}\)
\(=\frac{(1+x^2)(1+\ln x)-x^2\ln x}{\sqrt{1+x^2}(1+x^2)}\)
\(=\frac{1+x^2+\ln x+x^2\ln x-x^2\ln x}{\sqrt{1+x^2}(1+x^2)}\)
\(=\frac{1+x^2+\ln x}{(1+x^2)^{\frac{1}{2}}(1+x^2)}\)
\(=\frac{1+x^2+\ln x}{(1+x^2)^{\frac{1}{2}+1}}\)
\(=\frac{1+x^2+\ln x}{(1+x^2)^{\frac{1+2}{2}}}\)
\(=\frac{1+x^2+\ln x}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}\)
\(=\frac{1+x^2+\ln x}{(\sqrt{1+x^2})^3}\)
\(Q.5.(xLv)\) \(\tan{y}=\frac{2t}{1-t^2}\) এবং \(\sin{x}=\frac{2t}{1+t^2}\) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1\)
[ কুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫]
উত্তরঃ \(1\)
[ কুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(\tan{y}=\frac{2t}{1-t^2}\) এবং \(\sin{x}=\frac{2t}{1+t^2}\)
\(\Rightarrow \tan{y}=\frac{2t}{1-t^2}\)
\(\Rightarrow \tan{y}=\frac{2\tan{\theta}}{1-\tan^2{\theta}}\) ধরি, \(\tan{\theta}=t\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(t)\)
\(\Rightarrow \tan{y}=\tan{2\theta}\)
\(\Rightarrow y=2\theta\)
\(\Rightarrow y=2\tan^{-1}{t}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dt}=2\frac{d}{dt}(\tan^{-1}{t})\) ➜ \(t\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dt}=2\frac{1}{1+t^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1}{x})=\frac{1}{1+x^2}\)
\(\therefore \frac{dy}{dt}=\frac{2}{1+t^2} ....(1)\)
আবার,
\(\sin{x}=\frac{2t}{1+t^2}\)
\(\Rightarrow \sin{x}=\frac{2\tan{\theta}}{1+\tan^2{\theta}}\) ধরি, \(\tan{\theta}=t\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(t)\)
\(\Rightarrow \sin{x}=\sin{2\theta}\)
\(\Rightarrow x=2\theta\)
\(\Rightarrow x=2\tan^{-1}{t}\)
\(\Rightarrow \frac{dx}{dt}=2\frac{d}{dt}(\tan^{-1}{t})\) ➜ \(t\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dx}{dt}=2\frac{1}{1+t^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1}{x})=\frac{1}{1+x^2}\)
\(\therefore \frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+t^2} ....(2)\)
এখন,
\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\times{\frac{dt}{dx}}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\times{\frac{1}{\frac{dx}{dt}}}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{2}{1+t^2}\times{\frac{1}{\frac{2}{1+t^2}}}\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) এর সাহায্যে।
\(\therefore \frac{dy}{dx}=1\)
\(\tan{y}=\frac{2t}{1-t^2}\) এবং \(\sin{x}=\frac{2t}{1+t^2}\)
\(\Rightarrow \tan{y}=\frac{2t}{1-t^2}\)
\(\Rightarrow \tan{y}=\frac{2\tan{\theta}}{1-\tan^2{\theta}}\) ধরি, \(\tan{\theta}=t\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(t)\)
\(\Rightarrow \tan{y}=\tan{2\theta}\)
\(\Rightarrow y=2\theta\)
\(\Rightarrow y=2\tan^{-1}{t}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dt}=2\frac{d}{dt}(\tan^{-1}{t})\) ➜ \(t\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dt}=2\frac{1}{1+t^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1}{x})=\frac{1}{1+x^2}\)
\(\therefore \frac{dy}{dt}=\frac{2}{1+t^2} ....(1)\)
আবার,
\(\sin{x}=\frac{2t}{1+t^2}\)
\(\Rightarrow \sin{x}=\frac{2\tan{\theta}}{1+\tan^2{\theta}}\) ধরি, \(\tan{\theta}=t\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(t)\)
\(\Rightarrow \sin{x}=\sin{2\theta}\)
\(\Rightarrow x=2\theta\)
\(\Rightarrow x=2\tan^{-1}{t}\)
\(\Rightarrow \frac{dx}{dt}=2\frac{d}{dt}(\tan^{-1}{t})\) ➜ \(t\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dx}{dt}=2\frac{1}{1+t^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1}{x})=\frac{1}{1+x^2}\)
\(\therefore \frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+t^2} ....(2)\)
এখন,
\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\times{\frac{dt}{dx}}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\times{\frac{1}{\frac{dx}{dt}}}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{2}{1+t^2}\times{\frac{1}{\frac{2}{1+t^2}}}\) ➜ \((1)\) ও \((2)\) এর সাহায্যে।
\(\therefore \frac{dy}{dx}=1\)
\(Q.5.(xLvi)\) যদি \(y=e^{ax}\cos{bx}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(y_{2}-2ay_{1}+(a^2+b^2)y=0\).
[ কুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪]
[ কুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(y=e^{ax}\sin{bx}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(e^{ax}\sin{bx})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=e^{ax}\frac{d}{dx}(\sin{bx})+\sin{bx}\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{1}=e^{ax}\cos{bx}\frac{d}{dx}(bx)+\sin{bx}e^{ax}\frac{d}{dx}(ax)\) ➜\((ax)\) ও \((bx)\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(\Rightarrow y_{1}=e^{ax}\cos{bx}.b+\sin{bx}e^{ax}.a\)
\(\Rightarrow y_{1}=be^{ax}\cos{bx}+ae^{ax}\sin{bx}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=b\frac{d}{dx}(e^{ax}\cos{bx})+a\frac{d}{dx}(e^{ax}\sin{bx})\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=be^{ax}\frac{d}{dx}(\cos{bx})+b\cos{bx}\frac{d}{dx}(e^{ax})\)\(+ae^{ax}\frac{d}{dx}(\sin{bx})+a\sin{bx}\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{2}=-be^{ax}\sin{bx}.b+b\cos{bx}e^{ax}.a\)\(+ae^{ax}\cos{bx}.b+a\sin{bx}e^{ax}.a\)
\(\Rightarrow y_{2}=-b^2e^{ax}\sin{bx}+abe^{ax}\cos{bx}+abe^{ax}\cos{bx}+a^2e^{ax}\sin{bx}\)
\(\Rightarrow y_{2}=(a^2-b^2)e^{ax}\sin{bx}+2abe^{ax}\cos{bx}\)
\(\Rightarrow y_{2}=(-a^2-b^2)e^{ax}\sin{bx}+2abe^{ax}\cos{bx}+2a^2e^{ax}\sin{bx}\)
\(\Rightarrow y_{2}=-(a^2+b^2)e^{ax}\sin{bx}+2a(be^{ax}\cos{bx}+ae^{ax}\sin{bx})\)
\(\Rightarrow y_{2}=-(a^2+b^2)y+2ay_{1}\) ➜ \(\because y=e^{ax}\sin{bx}, y_{1}=be^{ax}\cos{bx}+ae^{ax}\sin{bx}\)
\(\therefore y_{2}-2ay_{1}+(a^2+b^2)y=0\)
(Proved)
\(y=e^{ax}\sin{bx}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(e^{ax}\sin{bx})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=e^{ax}\frac{d}{dx}(\sin{bx})+\sin{bx}\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{1}=e^{ax}\cos{bx}\frac{d}{dx}(bx)+\sin{bx}e^{ax}\frac{d}{dx}(ax)\) ➜\((ax)\) ও \((bx)\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}, \frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(\Rightarrow y_{1}=e^{ax}\cos{bx}.b+\sin{bx}e^{ax}.a\)
\(\Rightarrow y_{1}=be^{ax}\cos{bx}+ae^{ax}\sin{bx}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=b\frac{d}{dx}(e^{ax}\cos{bx})+a\frac{d}{dx}(e^{ax}\sin{bx})\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=be^{ax}\frac{d}{dx}(\cos{bx})+b\cos{bx}\frac{d}{dx}(e^{ax})\)\(+ae^{ax}\frac{d}{dx}(\sin{bx})+a\sin{bx}\frac{d}{dx}(e^{ax})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{2}=-be^{ax}\sin{bx}.b+b\cos{bx}e^{ax}.a\)\(+ae^{ax}\cos{bx}.b+a\sin{bx}e^{ax}.a\)
\(\Rightarrow y_{2}=-b^2e^{ax}\sin{bx}+abe^{ax}\cos{bx}+abe^{ax}\cos{bx}+a^2e^{ax}\sin{bx}\)
\(\Rightarrow y_{2}=(a^2-b^2)e^{ax}\sin{bx}+2abe^{ax}\cos{bx}\)
\(\Rightarrow y_{2}=(-a^2-b^2)e^{ax}\sin{bx}+2abe^{ax}\cos{bx}+2a^2e^{ax}\sin{bx}\)
\(\Rightarrow y_{2}=-(a^2+b^2)e^{ax}\sin{bx}+2a(be^{ax}\cos{bx}+ae^{ax}\sin{bx})\)
\(\Rightarrow y_{2}=-(a^2+b^2)y+2ay_{1}\) ➜ \(\because y=e^{ax}\sin{bx}, y_{1}=be^{ax}\cos{bx}+ae^{ax}\sin{bx}\)
\(\therefore y_{2}-2ay_{1}+(a^2+b^2)y=0\)
(Proved)
\(Q.5.(xLvii)\) \(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(5e^x\ln{x}\)
উত্তরঃ \(5e^x\left(\frac{1}{x}+\ln{x}\right)\)
[ কুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪]
উত্তরঃ \(5e^x\left(\frac{1}{x}+\ln{x}\right)\)
[ কুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪]
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=5e^x\ln{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=5\frac{d}{dx}(e^x\ln{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=5e^x\frac{d}{dx}(\ln{x})+5\ln{x}\frac{d}{dx}(e^x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=5e^x\frac{1}{x}+5\ln{x}e^x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(e^{x})=e^{x}\)
\(=5e^x\left(\frac{1}{x}+\ln{x}\right)\)
\(y=5e^x\ln{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=5\frac{d}{dx}(e^x\ln{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=5e^x\frac{d}{dx}(\ln{x})+5\ln{x}\frac{d}{dx}(e^x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=5e^x\frac{1}{x}+5\ln{x}e^x\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(e^{x})=e^{x}\)
\(=5e^x\left(\frac{1}{x}+\ln{x}\right)\)
\(Q.5.(xLviii)\) \(x\) কে পরিবর্তনশীল ধরে অন্তরক সহগ নির্ণয় করঃ \(\tan^{-1}\left(\frac{3x-x^3}{1-3x^2}\right)\)
উত্তরঃ \(\frac{3}{1+x^2}\)
[ কুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪]
উত্তরঃ \(\frac{3}{1+x^2}\)
[ কুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪]
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\tan^{-1}\left(\frac{3x-x^3}{1-3x^2}\right)\)
এবং
\(\tan \theta=x\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1} x\) \(\therefore y=\tan^{-1} \left(\frac{3\tan \theta-\tan^3 \theta}{1-3\tan^2 \theta}\right)\) \(=\tan^{-1} (\tan 3\theta)\) ➜ \(\because \tan 3A=\frac{3\tan A-\tan^3 A}{1-3\tan^2 A}\)
\(=3\theta\)
\(=3\tan^{-1} x\) ➜ \(\because \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(3\tan^{-1} x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=3\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)\)
\(=3\left(\frac{1}{1+x^2}\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}\)
\(=\frac{3}{1+x^2}\)
\(y=\tan^{-1}\left(\frac{3x-x^3}{1-3x^2}\right)\)
এবং
\(\tan \theta=x\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1} x\) \(\therefore y=\tan^{-1} \left(\frac{3\tan \theta-\tan^3 \theta}{1-3\tan^2 \theta}\right)\) \(=\tan^{-1} (\tan 3\theta)\) ➜ \(\because \tan 3A=\frac{3\tan A-\tan^3 A}{1-3\tan^2 A}\)
\(=3\theta\)
\(=3\tan^{-1} x\) ➜ \(\because \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(3\tan^{-1} x)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=3\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)\)
\(=3\left(\frac{1}{1+x^2}\right)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)=\frac{1}{1+x^2}\)
\(=\frac{3}{1+x^2}\)
\(Q.5.(xLix)\) যদি \(y=\sin \left(2\tan^{-1}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right) \) হয়, তবে \(\frac{dy}{dx}=?\).
উত্তরঃ \(-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
[ চুয়েটঃ ২০০৯-২০১০]
উত্তরঃ \(-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
[ চুয়েটঃ ২০০৯-২০১০]
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\sin \left(2\tan^{-1}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)\)
এবং
\(\cos \theta=x\)
\(\therefore y=\sin \left(2\tan^{-1} \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}}\right)\)
\(=\sin \left(2\tan^{-1} \sqrt{\frac{2\sin^2 \frac{\theta}{2}}{2\cos^2 \frac{\theta}{2}}}\right)\) ➜ \(\because 1-\cos A=2\sin^2 \frac{A}{2}, \ 1+\cos A=2\cos^2 \frac{A}{2}\)
\(=\sin \left(2\tan^{-1} \sqrt{\frac{\sin^2 \frac{\theta}{2}}{\cos^2 \frac{\theta}{2}}}\right)\)
\(=\sin \left(2\tan^{-1} \sqrt{\tan^2 \frac{\theta}{2}}\right)\)
\(=\sin \left(2\tan^{-1} \tan \frac{\theta}{2}\right)\)
\(=\sin \left(2\times \frac{\theta}{2}\right)\)
\(=\sin \theta\)
\(=\sqrt{\sin^2 \theta}\)
\(=\sqrt{1-\cos^2 \theta}\)
\(=\sqrt{1-x^2}\) ➜ \(\because \cos \theta=x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sqrt{1-x^2})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\sqrt{1-x^2}).\frac{d}{dx}(1-x^2)\) ➜ \(1-x^2\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}.(0-2x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \ \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \ \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}.(-2x)\)
\(=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.x\)
\(=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(y=\sin \left(2\tan^{-1}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)\)
এবং
\(\cos \theta=x\)
\(\therefore y=\sin \left(2\tan^{-1} \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}}\right)\)
\(=\sin \left(2\tan^{-1} \sqrt{\frac{2\sin^2 \frac{\theta}{2}}{2\cos^2 \frac{\theta}{2}}}\right)\) ➜ \(\because 1-\cos A=2\sin^2 \frac{A}{2}, \ 1+\cos A=2\cos^2 \frac{A}{2}\)
\(=\sin \left(2\tan^{-1} \sqrt{\frac{\sin^2 \frac{\theta}{2}}{\cos^2 \frac{\theta}{2}}}\right)\)
\(=\sin \left(2\tan^{-1} \sqrt{\tan^2 \frac{\theta}{2}}\right)\)
\(=\sin \left(2\tan^{-1} \tan \frac{\theta}{2}\right)\)
\(=\sin \left(2\times \frac{\theta}{2}\right)\)
\(=\sin \theta\)
\(=\sqrt{\sin^2 \theta}\)
\(=\sqrt{1-\cos^2 \theta}\)
\(=\sqrt{1-x^2}\) ➜ \(\because \cos \theta=x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sqrt{1-x^2})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{d}{dx}(\sqrt{1-x^2}).\frac{d}{dx}(1-x^2)\) ➜ \(1-x^2\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}.(0-2x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \ \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \ \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}.(-2x)\)
\(=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.x\)
\(=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(Q.5.(L)\) \(x^2+2ax+y^2=0\) বক্ররেখার উপর স্পর্শকের স্পর্শবিন্দুগুলো নির্ণয় কর, যেখানে স্পর্শকসমুহ \(x\) অক্ষের উপর লম্ব।
উত্তরঃ নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((0, 0); (-2a, 0)\)
[ চুয়েটঃ ২০০৯-২০১০]
উত্তরঃ নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((0, 0); (-2a, 0)\)
[ চুয়েটঃ ২০০৯-২০১০]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(x^2+2ax+y^2=0 \)
\(\Rightarrow x^2+2ax+y^2=0 ....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^2+2ax+y^2)=\frac{d}{dx}(0)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^2)+2a\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(y^2)=0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v+w)=\frac{d}{dx}(u)\)\(+\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(\Rightarrow 2x+2a.1+2y\frac{dy}{dx}=0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(y^2)=2y\frac{dy}{dx}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\)
\(\Rightarrow 2x+2a+2y\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}=-2x-2a\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{-2x-2a}{2y}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{-2(x+a)}{2y}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{-(x+a)}{y}\)
যেহেতু, স্পর্শক \(x\) অক্ষের উপর লম্ব \(\therefore \frac{dy}{dx}=\infty\)
\(\therefore \frac{-(x+a)}{y}=\infty\)
\(\therefore \frac{-(x+a)}{y}=\frac{1}{0}\)
\(\Rightarrow y=0\)
\((1)\) হতে,
যখন, \(y=0\)
\(x^2+2ax+0^2=0\) ➜ \((1)\) এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow x^2+2ax+0=0\)
\(\Rightarrow x^2+2ax=0\)
\(\Rightarrow x(x+2a)=0\)
\(\Rightarrow x=0, x+2a=0\)
\(\therefore x=0, x=-2a\)
নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((0, 0); (-2a, 0)\)
\(x^2+2ax+y^2=0 \)
\(\Rightarrow x^2+2ax+y^2=0 ....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^2+2ax+y^2)=\frac{d}{dx}(0)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^2)+2a\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(y^2)=0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v+w)=\frac{d}{dx}(u)\)\(+\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(\Rightarrow 2x+2a.1+2y\frac{dy}{dx}=0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(y^2)=2y\frac{dy}{dx}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\)
\(\Rightarrow 2x+2a+2y\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}=-2x-2a\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{-2x-2a}{2y}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{-2(x+a)}{2y}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{-(x+a)}{y}\)
যেহেতু, স্পর্শক \(x\) অক্ষের উপর লম্ব \(\therefore \frac{dy}{dx}=\infty\)
\(\therefore \frac{-(x+a)}{y}=\infty\)
\(\therefore \frac{-(x+a)}{y}=\frac{1}{0}\)
\(\Rightarrow y=0\)
\((1)\) হতে,
যখন, \(y=0\)
\(x^2+2ax+0^2=0\) ➜ \((1)\) এর সাহায্যে।
\(\Rightarrow x^2+2ax+0=0\)
\(\Rightarrow x^2+2ax=0\)
\(\Rightarrow x(x+2a)=0\)
\(\Rightarrow x=0, x+2a=0\)
\(\therefore x=0, x=-2a\)
নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((0, 0); (-2a, 0)\)
\(Q.5.(Li)\) \(y=\frac{1}{3}x^3+2\) বক্ররেখার উপরস্থ এমন কিছু বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর যেসব বিন্দুগামী স্পর্শকগুলো \(x\) অক্ষের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে।
উত্তরঃ নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \(\left(1, \frac{7}{3}\right); \left(1, \frac{5}{3}\right)\)
[ চুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮]
উত্তরঃ নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \(\left(1, \frac{7}{3}\right); \left(1, \frac{5}{3}\right)\)
[ চুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(y=\frac{1}{3}x^3+2 .....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(\frac{1}{3}x^3+2)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1}{3}\frac{d}{dx}(x^3)+\frac{d}{dx}(2)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1}{3}.3x^2+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=x^2\)
যেহেতু, স্পর্শক \(x\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। \(\therefore \frac{dy}{dx}=1\)
\(\therefore x^2=1\)
\(\Rightarrow x=\pm{\sqrt{1}}\)
\(\therefore x=\pm{1}\)
যখন, \(x=1\),
\(\therefore y=\frac{1}{3}.1^3+2\) ➜ \((1)\) এর সাহায্যে।
\(=\frac{1}{3}.1+2\)
\(=\frac{1}{3}+2\)
\(=\frac{1+6}{3}\)
\(=\frac{7}{3}\)
যখন, \(x=-1\),
\(\therefore y=\frac{1}{3}.(-1)^3+2\) ➜ \((1)\) এর সাহায্যে।
\(=\frac{1}{3}.(-1)+2\)
\(=-\frac{1}{3}+2\)
\(=\frac{-1+6}{3}\)
\(=\frac{5}{3}\)
নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \(\left(1, \frac{7}{3}\right); \left(1, \frac{5}{3}\right)\)
\(y=\frac{1}{3}x^3+2 .....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(\frac{1}{3}x^3+2)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1}{3}\frac{d}{dx}(x^3)+\frac{d}{dx}(2)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1}{3}.3x^2+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=x^2\)
যেহেতু, স্পর্শক \(x\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। \(\therefore \frac{dy}{dx}=1\)
\(\therefore x^2=1\)
\(\Rightarrow x=\pm{\sqrt{1}}\)
\(\therefore x=\pm{1}\)
যখন, \(x=1\),
\(\therefore y=\frac{1}{3}.1^3+2\) ➜ \((1)\) এর সাহায্যে।
\(=\frac{1}{3}.1+2\)
\(=\frac{1}{3}+2\)
\(=\frac{1+6}{3}\)
\(=\frac{7}{3}\)
যখন, \(x=-1\),
\(\therefore y=\frac{1}{3}.(-1)^3+2\) ➜ \((1)\) এর সাহায্যে।
\(=\frac{1}{3}.(-1)+2\)
\(=-\frac{1}{3}+2\)
\(=\frac{-1+6}{3}\)
\(=\frac{5}{3}\)
নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \(\left(1, \frac{7}{3}\right); \left(1, \frac{5}{3}\right)\)
\(Q.5.(Lii)\) \(y=\sec{x}\) হলে, দেখাও যে \(y_{2}=y(2y^2-1)\)
[ চুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮]
[ চুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(y=\sec{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sec{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=\sec{x}\tan{x}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sec{x})=\sec{x}\tan{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=\frac{d}{dx}(\sec{x}\tan{x})\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=\sec{x}\frac{d}{dx}(\tan{x})+\tan{x}\frac{d}{dx}(\sec{x})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{2}=\sec{x}\sec^2{x}+\tan{x}\sec{x}\tan{x}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sec{x})=\sec{x}\tan{x}, \frac{d}{dx}(\tan{x})=\sec^2{x}\)
\(\Rightarrow y_{2}=\sec^3{x}+\tan^2{x}\sec{x}\)
\(\Rightarrow y_{2}=\sec^3{x}+(\sec^2{x}-1)\sec{x}\) ➜ \(\because \tan^2{x}=\sec^2{x}-1\)
\(\Rightarrow y_{2}=y^3+(y^2-1)y\) ➜ \(\because y=\sec{x}\)
\(\Rightarrow y_{2}=y(y^2+y^2-1)\)
\(\therefore y_{2}=y(2y^2-1)\)
(Showed)
\(y=\sec{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sec{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=\sec{x}\tan{x}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sec{x})=\sec{x}\tan{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y_{1})=\frac{d}{dx}(\sec{x}\tan{x})\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{2}=\sec{x}\frac{d}{dx}(\tan{x})+\tan{x}\frac{d}{dx}(\sec{x})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{2}=\sec{x}\sec^2{x}+\tan{x}\sec{x}\tan{x}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sec{x})=\sec{x}\tan{x}, \frac{d}{dx}(\tan{x})=\sec^2{x}\)
\(\Rightarrow y_{2}=\sec^3{x}+\tan^2{x}\sec{x}\)
\(\Rightarrow y_{2}=\sec^3{x}+(\sec^2{x}-1)\sec{x}\) ➜ \(\because \tan^2{x}=\sec^2{x}-1\)
\(\Rightarrow y_{2}=y^3+(y^2-1)y\) ➜ \(\because y=\sec{x}\)
\(\Rightarrow y_{2}=y(y^2+y^2-1)\)
\(\therefore y_{2}=y(2y^2-1)\)
(Showed)
\(Q.5.(Liii)\) \(x^y+y^x=0\) সমীকরণ হতে \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\frac{y^x\ln{y}+yx^{y-1}}{x^y\ln{x}+xy^{x-1}}\)
[ চুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮]
উত্তরঃ \(-\frac{y^x\ln{y}+yx^{y-1}}{x^y\ln{x}+xy^{x-1}}\)
[ চুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(x^y+y^x=0\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^y+y^x)=\frac{d}{dx}(0)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^y)+\frac{d}{dx}(y^x)=0\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v), \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow x^y\left\{\frac{y}{x}\frac{d}{dx}(x)+\ln{x}\frac{d}{dx}(y)\right\}+y^x\left\{\frac{x}{y}\frac{d}{dx}(y)+\ln{y}\frac{d}{dx}(x)\right\}=0\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u^v)=u^v\left(\frac{v}{u}\frac{d}{dx}(u)+\ln{u}\frac{d}{dx}(v)\right)\)
\(\Rightarrow x^y\left(\frac{y}{x}.1+\ln{x}\frac{dy}{dx}\right)+y^x\left(\frac{x}{y}\frac{dy}{dx}+\ln{y}.1\right)=0\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(\Rightarrow x^y\frac{y}{x}+x^y\ln{x}\frac{dy}{dx}+y^x\frac{x}{y}\frac{dy}{dx}+y^x\ln{y}=0\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}\left(x^y\ln{x}+y^x\frac{x}{y}\right)=-y^x\ln{y}-x^y\frac{y}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(x^y\ln{x}+xy^xy^{-1})=-y^x\ln{y}-yx^yx^{-1}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(x^y\ln{x}+xy^{x-1})=-(y^x\ln{y}+yx^{y-1})\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=-\frac{y^x\ln{y}+yx^{y-1}}{x^y\ln{x}+xy^{x-1}}\)
\(x^y+y^x=0\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^y+y^x)=\frac{d}{dx}(0)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^y)+\frac{d}{dx}(y^x)=0\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v), \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow x^y\left\{\frac{y}{x}\frac{d}{dx}(x)+\ln{x}\frac{d}{dx}(y)\right\}+y^x\left\{\frac{x}{y}\frac{d}{dx}(y)+\ln{y}\frac{d}{dx}(x)\right\}=0\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u^v)=u^v\left(\frac{v}{u}\frac{d}{dx}(u)+\ln{u}\frac{d}{dx}(v)\right)\)
\(\Rightarrow x^y\left(\frac{y}{x}.1+\ln{x}\frac{dy}{dx}\right)+y^x\left(\frac{x}{y}\frac{dy}{dx}+\ln{y}.1\right)=0\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(\Rightarrow x^y\frac{y}{x}+x^y\ln{x}\frac{dy}{dx}+y^x\frac{x}{y}\frac{dy}{dx}+y^x\ln{y}=0\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}\left(x^y\ln{x}+y^x\frac{x}{y}\right)=-y^x\ln{y}-x^y\frac{y}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(x^y\ln{x}+xy^xy^{-1})=-y^x\ln{y}-yx^yx^{-1}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(x^y\ln{x}+xy^{x-1})=-(y^x\ln{y}+yx^{y-1})\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=-\frac{y^x\ln{y}+yx^{y-1}}{x^y\ln{x}+xy^{x-1}}\)
\(Q.5.(Liv)\) দেখাও যে, \(x\) এর সাপেক্ষে \(\ln{\sqrt[3]{\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}}}\) এর অন্তরকসহগ \(\frac{2}{3} \ cosec \ x\).
[ চুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬]
[ চুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬]
সমাধানঃ
মনে করি,
\(y=\ln \sqrt[3]{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\)
\(=\ln \left(\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\right)^{\frac{1}{3}}\)
\(=\frac{1}{3}\ln \left(\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\right)\) ➜ \(\because \ln M^n=n\ln M\)
\(=\frac{1}{3}\{\ln (1-\cos x)-\ln (1+\cos x)\}\) ➜ \(\because \ln (\frac{M}{N})=\ln M-\ln N\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{3}\{\ln (1-\cos x)-\ln (1+\cos x)\}\right]\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{3}\frac{d}{dx}\{\ln (1-\cos x)-\ln (1+\cos x)\}\)
\(=\frac{1}{3}\{\frac{d}{dx}\ln (1-\cos x)-\frac{d}{dx}\ln (1+\cos x)\}\)
\(=\frac{1}{3}\{\frac{d}{dx}\ln (1-\cos x).\frac{d}{dx}(1-\cos x)-\frac{d}{dx}\ln (1+\cos x).\frac{d}{dx}(1+\cos x)\}\) ➜ \(1-\cos x\) এবং \(1+\cos x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{3}\{\frac{1}{1-\cos x}.(0+\sin x)-\frac{1}{1+\cos x}.(0-\sin x)\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \ \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x, \ \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{3}\{\frac{1}{1-\cos x}.\sin x+\frac{1}{1+\cos x}.\sin x\}\)
\(=\frac{1}{3}\sin x\{\frac{1}{1-\cos x}+\frac{1}{1+\cos x}\}\)
\(=\frac{1}{3}\sin x\times \frac{1+\cos x+1-\cos x}{(1-\cos x)(1+\cos x)}\)
\(=\frac{1}{3}\sin x\times \frac{2}{1-\cos^2 x}\)
\(=\frac{1}{3}\sin x\times \frac{2}{\sin^2 x}\) ➜ \(\because \sin^2 x=1-\cos ^2 x\)
\(=\frac{2}{3}\frac{1}{\sin x}\)
\(=\frac{2}{3} \ cosec \ x\)
(Showed)
\(y=\ln \sqrt[3]{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\)
\(=\ln \left(\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\right)^{\frac{1}{3}}\)
\(=\frac{1}{3}\ln \left(\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\right)\) ➜ \(\because \ln M^n=n\ln M\)
\(=\frac{1}{3}\{\ln (1-\cos x)-\ln (1+\cos x)\}\) ➜ \(\because \ln (\frac{M}{N})=\ln M-\ln N\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{3}\{\ln (1-\cos x)-\ln (1+\cos x)\}\right]\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{3}\frac{d}{dx}\{\ln (1-\cos x)-\ln (1+\cos x)\}\)
\(=\frac{1}{3}\{\frac{d}{dx}\ln (1-\cos x)-\frac{d}{dx}\ln (1+\cos x)\}\)
\(=\frac{1}{3}\{\frac{d}{dx}\ln (1-\cos x).\frac{d}{dx}(1-\cos x)-\frac{d}{dx}\ln (1+\cos x).\frac{d}{dx}(1+\cos x)\}\) ➜ \(1-\cos x\) এবং \(1+\cos x\) কে \(x\) ধরে সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{1}{3}\{\frac{1}{1-\cos x}.(0+\sin x)-\frac{1}{1+\cos x}.(0-\sin x)\}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \ \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x, \ \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=\frac{1}{3}\{\frac{1}{1-\cos x}.\sin x+\frac{1}{1+\cos x}.\sin x\}\)
\(=\frac{1}{3}\sin x\{\frac{1}{1-\cos x}+\frac{1}{1+\cos x}\}\)
\(=\frac{1}{3}\sin x\times \frac{1+\cos x+1-\cos x}{(1-\cos x)(1+\cos x)}\)
\(=\frac{1}{3}\sin x\times \frac{2}{1-\cos^2 x}\)
\(=\frac{1}{3}\sin x\times \frac{2}{\sin^2 x}\) ➜ \(\because \sin^2 x=1-\cos ^2 x\)
\(=\frac{2}{3}\frac{1}{\sin x}\)
\(=\frac{2}{3} \ cosec \ x\)
(Showed)
\(Q.5.(Lv)\) \(y=x^3-3x+2\) বক্ররেখার যেসব বিন্দুতে স্পর্শক \(x\) অক্ষের সমান্তরাল, সেগুলি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((1, 0); (-1, 4)\)
[ চুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬]
উত্তরঃ নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((1, 0); (-1, 4)\)
[ চুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(y=x^3-3x+2 .......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3-3x+2)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3)-3\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(2)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)\(-\frac{d}{dx}(w)+\frac{d}{dx}(s)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=3x^2-3.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(x)=1\),\(\frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=3x^2-3\)
যেহেতু, স্পর্শক \(x\) অক্ষের সমান্তরাল \(\therefore \frac{dy}{dx}=0\)
\(\therefore 3x^2-3=0\)
\(\Rightarrow 3(x^2-1)=0\)
\(\Rightarrow x^2-1=0\) ➜ উভয় পার্শে \(3\) ভাগ কর।
\(\Rightarrow x^2=1\)
\(\Rightarrow x=\pm{\sqrt{1}}\)
\(\therefore x=\pm{1}\)
যখন, \(x=1\),
\(\therefore y=(1)^3-3.(1)+2\) ➜ \((1)\) এর সাহায্যে।
\(=1-3+2\)
\(=3-3\)
\(=0\)
যখন, \(x=-1\),
\(\therefore y=(-1)^3-3.(-1)+2\) ➜ \((1)\) এর সাহায্যে।
\(=-1+3+2\)
\(=-1+5\)
\(=4\)
নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((1, 0); (-1, 4)\)
\(y=x^3-3x+2 .......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3-3x+2)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3)-3\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(2)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)\(-\frac{d}{dx}(w)+\frac{d}{dx}(s)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=3x^2-3.1+0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(x)=1\),\(\frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=3x^2-3\)
যেহেতু, স্পর্শক \(x\) অক্ষের সমান্তরাল \(\therefore \frac{dy}{dx}=0\)
\(\therefore 3x^2-3=0\)
\(\Rightarrow 3(x^2-1)=0\)
\(\Rightarrow x^2-1=0\) ➜ উভয় পার্শে \(3\) ভাগ কর।
\(\Rightarrow x^2=1\)
\(\Rightarrow x=\pm{\sqrt{1}}\)
\(\therefore x=\pm{1}\)
যখন, \(x=1\),
\(\therefore y=(1)^3-3.(1)+2\) ➜ \((1)\) এর সাহায্যে।
\(=1-3+2\)
\(=3-3\)
\(=0\)
যখন, \(x=-1\),
\(\therefore y=(-1)^3-3.(-1)+2\) ➜ \((1)\) এর সাহায্যে।
\(=-1+3+2\)
\(=-1+5\)
\(=4\)
নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((1, 0); (-1, 4)\)
\(Q.5.(Lvi)\) \(y=kx(1+x)\) বক্ররেখাটির \((3, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শক \(x\) অক্ষের সাথে \(30^{o}\) কোণ উৎপন্ন করলে \(k\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(k=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
[ চুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬]
উত্তরঃ \(k=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
[ চুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(y=kx(1+x)\)
\(\Rightarrow y=kx+kx^2\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(kx+kx^2)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=k\frac{d}{dx}(x)+k\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=k.1+k.2x\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=k+2kx\)
মূলবিন্দুতে \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0, 0)}=k+2k.0\)
\(=k+0\)
\(=k\)
যেহেতু, স্পর্শক \(x\) অক্ষের সাথে \(30^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। \(\therefore \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0, 0)}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\therefore k=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(y=kx(1+x)\)
\(\Rightarrow y=kx+kx^2\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(kx+kx^2)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=k\frac{d}{dx}(x)+k\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=k.1+k.2x\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=k+2kx\)
মূলবিন্দুতে \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0, 0)}=k+2k.0\)
\(=k+0\)
\(=k\)
যেহেতু, স্পর্শক \(x\) অক্ষের সাথে \(30^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। \(\therefore \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0, 0)}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\therefore k=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(Q.5.(Lvii)\) যদি \(y=e^{\tan^{-1}{x}}\) হয়, তবে \(\frac{\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)}\) এর মান কত?
উত্তরঃ \(\frac{1+x^2}{1-2x}\)
[ চুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪]
[ চুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(y=e^{\tan^{-1}{x}}\)
\(\Rightarrow y=e^{\tan^{-1}{x}}\) ➜ \(\because \ln{x}=y\Rightarrow x=e^{y}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(e^{\tan^{-1}{x}})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=e^{\tan^{-1}{x}}.\frac{d}{dx}(\tan^{-1}{x})\) ➜ \(\tan^{-1}{x}\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে ।
\(\Rightarrow y_{1}=e^{\tan^{-1}{x}}\frac{1}{1+x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1}{x})=\frac{1}{1+x^2}\)
\(\Rightarrow (1+x^2)y_{1}=y\) ➜ উভয় পার্শে \(1+x^2\) গুণ করে এবং \(\because y=e^{\tan^{-1}{x}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{(1+x^2)y_{1}\}=\frac{d}{dx}(y)\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow (1+x^2)\frac{d}{dx}(y_{1})+y_{1}\frac{d}{dx}(1+x^2)=y_{1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow (1+x^2)y_{2}+y_{1}(0+2x)=y_{1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(y_{1})=y_{2}\), \(\frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x^2)=2x\)
\(\Rightarrow (1+x^2)y_{2}+2xy_{1}-y_{1}=0\)
\(\Rightarrow (1+x^2)y_{2}+(2x-1)y_{1}=0\)
\(\Rightarrow (2x-1)y_{1}=-(1+x^2)y_{2}\)
\(\Rightarrow \frac{y_{1}}{y_{2}}=-\frac{1+x^2}{2x-1}\)
\(\therefore \frac{\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)}=\frac{1+x^2}{1-2x}\)
(Proved)
\(y=e^{\tan^{-1}{x}}\)
\(\Rightarrow y=e^{\tan^{-1}{x}}\) ➜ \(\because \ln{x}=y\Rightarrow x=e^{y}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(e^{\tan^{-1}{x}})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=e^{\tan^{-1}{x}}.\frac{d}{dx}(\tan^{-1}{x})\) ➜ \(\tan^{-1}{x}\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে ।
\(\Rightarrow y_{1}=e^{\tan^{-1}{x}}\frac{1}{1+x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\tan^{-1}{x})=\frac{1}{1+x^2}\)
\(\Rightarrow (1+x^2)y_{1}=y\) ➜ উভয় পার্শে \(1+x^2\) গুণ করে এবং \(\because y=e^{\tan^{-1}{x}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{(1+x^2)y_{1}\}=\frac{d}{dx}(y)\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow (1+x^2)\frac{d}{dx}(y_{1})+y_{1}\frac{d}{dx}(1+x^2)=y_{1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow (1+x^2)y_{2}+y_{1}(0+2x)=y_{1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(y_{1})=y_{2}\), \(\frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x^2)=2x\)
\(\Rightarrow (1+x^2)y_{2}+2xy_{1}-y_{1}=0\)
\(\Rightarrow (1+x^2)y_{2}+(2x-1)y_{1}=0\)
\(\Rightarrow (2x-1)y_{1}=-(1+x^2)y_{2}\)
\(\Rightarrow \frac{y_{1}}{y_{2}}=-\frac{1+x^2}{2x-1}\)
\(\therefore \frac{\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)}=\frac{1+x^2}{1-2x}\)
(Proved)
\(Q.5.(Lviii)\) দেখাও যে, \(f(x)=x^{\frac{1}{x}}\) এর মান বৃহত্তম হবে যদি \(x=e\) হয়।
[ বুয়েটঃ ২০১২-২০১৩]
[ বুয়েটঃ ২০১২-২০১৩]
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=x^{\frac{1}{x}} .......(1)\)
\(\Rightarrow \ln{y}=\ln{x^{\frac{1}{x}}}\) ➜ উভয় পার্শে \(\ln\) সংযোজন করে।
\(\Rightarrow \ln{y}=\frac{1}{x}\ln{x}\) ➜ \(\because \ln{M^{n}}=n\ln{(M)}\)
\(\Rightarrow \ln{y}=\frac{\ln{x}}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(\ln{y})=\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln{x}}{x}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(\ln{y})=\frac{x\frac{d}{dx}(\ln{x})-\ln{x}\frac{d}{dx}(x)}{x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{x\frac{1}{x}-\ln{x}.1}{x^2}\) |\(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{1-\ln{x}}{x^2}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=y\left(\frac{1-\ln{x}}{x^2}\right)\)
\(=x^{\frac{1}{x}}x^{-2}(1-\ln{x})\)
\(=x^{\frac{1}{x}-2}(1-\ln{x})\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=x^{\frac{1}{x}-2}(1-\ln{x})\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow x^{\frac{1}{x}-2}(1-\ln{x})=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=x^{\frac{1}{x}-2}(1-\ln{x})\)
\(\Rightarrow x^{\frac{1}{x}-2}\ne{0}, 1-\ln{x}=0\)
\(\Rightarrow -\ln{x}=-1\)
\(\Rightarrow \ln{x}=1\)
\(\Rightarrow x=e^1\) ➜\(\because \ln{x}=y \Rightarrow x=e^y\)
\(\therefore x=e\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left\{x^{\frac{1}{x}-2}(1-\ln{x})\right\}\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=x^{\frac{1}{x}-2}(1-\ln{x})\)
\(=x^{\frac{1}{x}-2}\frac{d}{dx}(1-\ln{x})+(1-\ln{x})\frac{d}{dx}\left(x^{\frac{1}{x}-2}\right)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=x^{\frac{1}{x}-2}\times{-\frac{1}{x}}+(1-\ln{x})x^{\frac{1}{x}-2}\left(\frac{\frac{1}{x}-2}{x}.1+\ln{x}\times{-\frac{1}{x^2}}\right)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u^{v})=u^{v}\left(\frac{v}{u}\frac{du}{dx}+\ln{u}\frac{dv}{dx}\right)\)
\(=-x^{\frac{1}{x}-3}+(1-\ln{x})x^{\frac{1}{x}-2}\left(\frac{\frac{1}{x}-2}{x}-\frac{\ln{x}}{x^2}\right)\)
\(=-x^{\frac{1}{x}-3}+(1-\ln{x})x^{\frac{1}{x}-2}\left(\frac{1-2x}{x^2}-\frac{\ln{x}}{x^2}\right)\)
\(=-x^{\frac{1}{x}-3}+(1-\ln{x})x^{\frac{1}{x}-2}\frac{1-2x-\ln{x}}{x^2}\)
\(=-x^{\frac{1}{x}-3}+(1-\ln{x})(1-2x-\ln{x})x^{\frac{1}{x}-4}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=-x^{\frac{1}{x}-3}+(1-\ln{x})(1-2x-\ln{x})x^{\frac{1}{x}-4}\)
এখন, \(x=e\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=-e^{\frac{1}{e}-3}+(1-\ln{e})(1-2e-\ln{e})e^{\frac{1}{e}-4}\)
\(=-e^{\frac{1}{e}-3}+(1-1)(1-2e-1)e^{\frac{1}{e}-4}\) ➜ \(\because \ln{e}=1\)
\(=-e^{\frac{1}{e}-3}+0.(1-2e-1)e^{\frac{1}{e}-4}\)
\(=-e^{\frac{1}{e}-3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore \) ফাংশনটি বৃহত্তম হবে যদি \(x=e\) হয়।
\(y=x^{\frac{1}{x}} .......(1)\)
\(\Rightarrow \ln{y}=\ln{x^{\frac{1}{x}}}\) ➜ উভয় পার্শে \(\ln\) সংযোজন করে।
\(\Rightarrow \ln{y}=\frac{1}{x}\ln{x}\) ➜ \(\because \ln{M^{n}}=n\ln{(M)}\)
\(\Rightarrow \ln{y}=\frac{\ln{x}}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(\ln{y})=\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln{x}}{x}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(\ln{y})=\frac{x\frac{d}{dx}(\ln{x})-\ln{x}\frac{d}{dx}(x)}{x^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{x\frac{1}{x}-\ln{x}.1}{x^2}\) |\(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(\Rightarrow \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{1-\ln{x}}{x^2}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=y\left(\frac{1-\ln{x}}{x^2}\right)\)
\(=x^{\frac{1}{x}}x^{-2}(1-\ln{x})\)
\(=x^{\frac{1}{x}-2}(1-\ln{x})\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=x^{\frac{1}{x}-2}(1-\ln{x})\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow x^{\frac{1}{x}-2}(1-\ln{x})=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=x^{\frac{1}{x}-2}(1-\ln{x})\)
\(\Rightarrow x^{\frac{1}{x}-2}\ne{0}, 1-\ln{x}=0\)
\(\Rightarrow -\ln{x}=-1\)
\(\Rightarrow \ln{x}=1\)
\(\Rightarrow x=e^1\) ➜\(\because \ln{x}=y \Rightarrow x=e^y\)
\(\therefore x=e\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left\{x^{\frac{1}{x}-2}(1-\ln{x})\right\}\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=x^{\frac{1}{x}-2}(1-\ln{x})\)
\(=x^{\frac{1}{x}-2}\frac{d}{dx}(1-\ln{x})+(1-\ln{x})\frac{d}{dx}\left(x^{\frac{1}{x}-2}\right)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(=x^{\frac{1}{x}-2}\times{-\frac{1}{x}}+(1-\ln{x})x^{\frac{1}{x}-2}\left(\frac{\frac{1}{x}-2}{x}.1+\ln{x}\times{-\frac{1}{x^2}}\right)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u^{v})=u^{v}\left(\frac{v}{u}\frac{du}{dx}+\ln{u}\frac{dv}{dx}\right)\)
\(=-x^{\frac{1}{x}-3}+(1-\ln{x})x^{\frac{1}{x}-2}\left(\frac{\frac{1}{x}-2}{x}-\frac{\ln{x}}{x^2}\right)\)
\(=-x^{\frac{1}{x}-3}+(1-\ln{x})x^{\frac{1}{x}-2}\left(\frac{1-2x}{x^2}-\frac{\ln{x}}{x^2}\right)\)
\(=-x^{\frac{1}{x}-3}+(1-\ln{x})x^{\frac{1}{x}-2}\frac{1-2x-\ln{x}}{x^2}\)
\(=-x^{\frac{1}{x}-3}+(1-\ln{x})(1-2x-\ln{x})x^{\frac{1}{x}-4}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=-x^{\frac{1}{x}-3}+(1-\ln{x})(1-2x-\ln{x})x^{\frac{1}{x}-4}\)
এখন, \(x=e\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=-e^{\frac{1}{e}-3}+(1-\ln{e})(1-2e-\ln{e})e^{\frac{1}{e}-4}\)
\(=-e^{\frac{1}{e}-3}+(1-1)(1-2e-1)e^{\frac{1}{e}-4}\) ➜ \(\because \ln{e}=1\)
\(=-e^{\frac{1}{e}-3}+0.(1-2e-1)e^{\frac{1}{e}-4}\)
\(=-e^{\frac{1}{e}-3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore \) ফাংশনটি বৃহত্তম হবে যদি \(x=e\) হয়।
\(Q.5.(Lix)\) যদি কোনো সমবাহু ত্রিভুজের বাহু প্রতি সেকেন্ডে \(\sqrt{3}\) সে.মি. এবং ক্ষেত্রফল প্রতি সেকেন্ডে \(12\) বর্গ সে.মি. বৃদ্ধি পায় তবে সমবাহু ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a=8\) সে.মি.
[ বুয়েটঃ ২০১১-২০১২]
উত্তরঃ \(a=8\) সে.মি.
[ বুয়েটঃ ২০১১-২০১২]
সমাধানঃ
ধরি,
ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য \(a=f(x)\)
বাহুর প্রতি সেকেন্ডে বৃদ্ধি \(\frac{da}{dx}=\sqrt{3} .....(1)\)
ত্রিভুজের অর্ধপরিসীমা \(s=\frac{3a}{2}\)
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(A=\sqrt{\frac{3a}{2}\left(\frac{3a}{2}-a\right)\left(\frac{3a}{2}-a\right)\left(\frac{3a}{2}-a\right)}\) ➜ \(\because\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-b)}\)
\(=\sqrt{\frac{3a}{2}\left(\frac{3a}{2}-a\right)^3}\)
\(=\sqrt{\frac{3a}{2}\left(\frac{3a-2a}{2}\right)^3}\)
\(=\sqrt{\frac{3a}{2}\left(\frac{a}{2}\right)^3}\)
\(=\sqrt{\frac{3a}{2}\times{\frac{a^3}{8}}}\)
\(=\sqrt{\frac{3a^4}{16}}\)
\(\therefore A=\frac{a^2}{4}\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \frac{dA}{dx}=\frac{\sqrt{3}}{4}\frac{d}{dx}(a^2)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{\sqrt{3}}{4}.2a.\frac{da}{dx}\)
\(=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{da}{dx}\)
\(=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\sqrt{3}\) ➜ \(\because \frac{da}{dx}=\sqrt{3}\)
\(\therefore \frac{dA}{dx}=\frac{3a}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{3a}{2}=\frac{dA}{dx}\)
\(\Rightarrow \frac{3a}{2}=12\) ➜ দেওয়া আছে ক্ষেত্রফল প্রতি সেকেন্ডে \(12\) বর্গ সে.মি. বৃদ্ধি পায়। অর্থাৎ, \(\frac{dA}{dx}=12\)
\(\Rightarrow 3a=24\)
\(\Rightarrow a=\frac{24}{3}\)
\(\therefore a=8\) সে.মি.
ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য \(a=f(x)\)
বাহুর প্রতি সেকেন্ডে বৃদ্ধি \(\frac{da}{dx}=\sqrt{3} .....(1)\)
ত্রিভুজের অর্ধপরিসীমা \(s=\frac{3a}{2}\)
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(A=\sqrt{\frac{3a}{2}\left(\frac{3a}{2}-a\right)\left(\frac{3a}{2}-a\right)\left(\frac{3a}{2}-a\right)}\) ➜ \(\because\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-b)}\)
\(=\sqrt{\frac{3a}{2}\left(\frac{3a}{2}-a\right)^3}\)
\(=\sqrt{\frac{3a}{2}\left(\frac{3a-2a}{2}\right)^3}\)
\(=\sqrt{\frac{3a}{2}\left(\frac{a}{2}\right)^3}\)
\(=\sqrt{\frac{3a}{2}\times{\frac{a^3}{8}}}\)
\(=\sqrt{\frac{3a^4}{16}}\)
\(\therefore A=\frac{a^2}{4}\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \frac{dA}{dx}=\frac{\sqrt{3}}{4}\frac{d}{dx}(a^2)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(=\frac{\sqrt{3}}{4}.2a.\frac{da}{dx}\)
\(=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{da}{dx}\)
\(=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\sqrt{3}\) ➜ \(\because \frac{da}{dx}=\sqrt{3}\)
\(\therefore \frac{dA}{dx}=\frac{3a}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{3a}{2}=\frac{dA}{dx}\)
\(\Rightarrow \frac{3a}{2}=12\) ➜ দেওয়া আছে ক্ষেত্রফল প্রতি সেকেন্ডে \(12\) বর্গ সে.মি. বৃদ্ধি পায়। অর্থাৎ, \(\frac{dA}{dx}=12\)
\(\Rightarrow 3a=24\)
\(\Rightarrow a=\frac{24}{3}\)
\(\therefore a=8\) সে.মি.
\(Q.5.(Lx)\) যদি \(\cos^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)=\ln{\left(\frac{x}{n}\right)^n}\) হয়, প্রমাণ কর যে, \(x^2\frac{d^2y}{dx^2}+x\frac{dy}{dx}+n^2y=0\)
[ বুয়েটঃ ২০১০-২০১১]
[ বুয়েটঃ ২০১০-২০১১]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(\cos^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)=\ln{\left(\frac{x}{n}\right)^n}\)
\(\Rightarrow \cos^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)=n\ln{\left(\frac{x}{n}\right)}\)
\(\Rightarrow \cos^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)=n\ln{x}-n\ln{n}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{\cos^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)\}=\frac{d}{dx}(n\ln{x}-n\ln{n})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{y}{b}\right)^2}}\frac{d}{dx}\left(\frac{y}{b}\right)=n\frac{d}{dx}(\ln{x})-n\frac{d}{dx}(\ln{n})\) ➜\(\left(\frac{y}{b}\right)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\cos^{-1}{x})=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\), \(\frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{1-\frac{y^2}{b^2}}}.\frac{1}{b}.y_{1}=n\frac{1}{x}-n.0\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{\frac{b^2-y^2}{b^2}}}.\frac{1}{b}.y_{1}=n\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow -\frac{b}{\sqrt{b^2-y^2}}.\frac{1}{b}.y_{1}=n\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{b^2-y^2}}y_{1}=n\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow -y_{1}=n\frac{\sqrt{b^2-y^2}}{x}\)
\(\Rightarrow y^2_{1}=n^2\frac{b^2-y^2}{x^2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2y^2_{1}=n^2(b^2-y^2)\) ➜ উভয় পার্শে \(x^2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^2y^2_{1})=n^2\frac{d}{dx}(b^2-y^2)\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow x^2\frac{d}{dx}(y^2_{1})+y^2_{1}\frac{d}{dx}(x^2)=n^2\frac{d}{dx}(b^2)-n^2\frac{d}{dx}(y^2)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\), \(\frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow x^2.2y_{1}y_{2}+y^2_{1}.2x=n^2.0-n^2.2yy_{1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(y^2_{1})=2y_{1}y_{2}, \frac{d}{dx}(y^2)=2yy_{1}\)
\(\Rightarrow 2x^2y_{1}y_{2}+2xy^2_{1}=-2n^2yy_{1}\)
\(\Rightarrow 2x^2y_{1}y_{2}+2xy^2_{1}+2n^2yy_{1}=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}(x^2y_{2}+xy_{1}+n^2y)=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\ne{0}, x^2y_{2}+xy_{1}+n^2y=0\)
\(\Rightarrow x^2y_{2}+xy_{1}+n^2y=0\)
\(\therefore x^2\frac{d^2y}{dx^2}+x\frac{dy}{dx}+n^2y=0\) ➜ \(\because y_{2}=\frac{d^2y}{dx^2}, y_{1}=\frac{dy}{dx}\)
(Proved)
\(\cos^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)=\ln{\left(\frac{x}{n}\right)^n}\)
\(\Rightarrow \cos^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)=n\ln{\left(\frac{x}{n}\right)}\)
\(\Rightarrow \cos^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)=n\ln{x}-n\ln{n}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{\cos^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)\}=\frac{d}{dx}(n\ln{x}-n\ln{n})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{y}{b}\right)^2}}\frac{d}{dx}\left(\frac{y}{b}\right)=n\frac{d}{dx}(\ln{x})-n\frac{d}{dx}(\ln{n})\) ➜\(\left(\frac{y}{b}\right)\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\cos^{-1}{x})=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\), \(\frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{1-\frac{y^2}{b^2}}}.\frac{1}{b}.y_{1}=n\frac{1}{x}-n.0\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{\frac{b^2-y^2}{b^2}}}.\frac{1}{b}.y_{1}=n\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow -\frac{b}{\sqrt{b^2-y^2}}.\frac{1}{b}.y_{1}=n\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{b^2-y^2}}y_{1}=n\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow -y_{1}=n\frac{\sqrt{b^2-y^2}}{x}\)
\(\Rightarrow y^2_{1}=n^2\frac{b^2-y^2}{x^2}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^2y^2_{1}=n^2(b^2-y^2)\) ➜ উভয় পার্শে \(x^2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^2y^2_{1})=n^2\frac{d}{dx}(b^2-y^2)\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow x^2\frac{d}{dx}(y^2_{1})+y^2_{1}\frac{d}{dx}(x^2)=n^2\frac{d}{dx}(b^2)-n^2\frac{d}{dx}(y^2)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\), \(\frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow x^2.2y_{1}y_{2}+y^2_{1}.2x=n^2.0-n^2.2yy_{1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(y^2_{1})=2y_{1}y_{2}, \frac{d}{dx}(y^2)=2yy_{1}\)
\(\Rightarrow 2x^2y_{1}y_{2}+2xy^2_{1}=-2n^2yy_{1}\)
\(\Rightarrow 2x^2y_{1}y_{2}+2xy^2_{1}+2n^2yy_{1}=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}(x^2y_{2}+xy_{1}+n^2y)=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\ne{0}, x^2y_{2}+xy_{1}+n^2y=0\)
\(\Rightarrow x^2y_{2}+xy_{1}+n^2y=0\)
\(\therefore x^2\frac{d^2y}{dx^2}+x\frac{dy}{dx}+n^2y=0\) ➜ \(\because y_{2}=\frac{d^2y}{dx^2}, y_{1}=\frac{dy}{dx}\)
(Proved)
\(Q.5.(Lxi)\) \(y=x^{n-1}\ln{x}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(x^2y_{2}+(3-2n)xy_{1}+(n-1)^2y=0\).
[ বুয়েটঃ ২০০৯-২০১০]
[ বুয়েটঃ ২০০৯-২০১০]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(y=x^{n-1}\ln{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^{n-1}\ln{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=x^{n-1}\frac{d}{dx}(\ln{x})+\ln{x}\frac{d}{dx}(x^{n-1})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{1}=x^{n-1}\frac{1}{x}+\ln{x}(n-1)x^{n-1-1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(\Rightarrow xy_{1}=x^{n-1}+\ln{x}(n-1)x^{n-2}\times{x}\) ➜ উভয় পার্শে \(x\)গুণ করে।
\(\Rightarrow xy_{1}=x^{n-1}+(n-1)x^{n-2+1}\ln{x}\)
\(\Rightarrow xy_{1}=x^{n-1}+(n-1)x^{n-1}\ln{x}\)
\(\Rightarrow xy_{1}=x^{n-1}+(n-1)y\) ➜ \(\because y=x^m\ln{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(xy_{1})=\frac{d}{dx}\{x^{n-1}+(n-1)y\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(xy_{1})=\frac{d}{dx}\{x^{n-1}+(n-1)y\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow x\frac{d}{dx}(y_{1})+y_{1}\frac{d}{dx}(x)=\frac{d}{dx}(x^{n-1})+(n-1)\frac{d}{dx}(y)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\), \(\frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow xy_{2}+y_{1}.1=(n-1)x^{n-1-1}+(n-1)y_{1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(\Rightarrow x^2y_{2}+xy_{1}=(n-1)x^{n-2}\times{x}+(n-1)xy_{1}\) ➜ উভয় পার্শে \(x\)গুণ করে।
\(\Rightarrow x^2y_{2}+xy_{1}=(n-1)x^{n-2+1}+(n-1)xy_{1}\)
\(\Rightarrow x^2y_{2}+xy_{1}=(n-1)x^{n-1}+(n-1)xy_{1}\)
\(\Rightarrow x^2y_{2}+xy_{1}=(n-1)\{xy_{1}-(n-1)y\}+(n-1)xy_{1}\) ➜ \(\because xy_{1}=x^{n-1}+(n-1)y \Rightarrow xy_{1}-(n-1)y=x^{n-1}\)
\(\Rightarrow x^2y_{2}+xy_{1}=(n-1)xy_{1}-(n-1)^2y+(n-1)xy_{1}\)
\(\Rightarrow x^2y_{2}+xy_{1}=2(n-1)xy_{1}-(n-1)^2y\)
\(\Rightarrow x^2y_{2}+xy_{1}-2(n-1)xy_{1}+(n-1)^2y=0\)
\(\Rightarrow x^2y_{2}+(1-2n+2)xy_{1}+(n-1)^2y=0\)
\(\therefore x^2y_{2}+(3-2n)xy_{1}+(n-1)^2y=0\)
(Proved)
\(y=x^{n-1}\ln{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^{n-1}\ln{x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=x^{n-1}\frac{d}{dx}(\ln{x})+\ln{x}\frac{d}{dx}(x^{n-1})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y_{1}=x^{n-1}\frac{1}{x}+\ln{x}(n-1)x^{n-1-1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(\Rightarrow xy_{1}=x^{n-1}+\ln{x}(n-1)x^{n-2}\times{x}\) ➜ উভয় পার্শে \(x\)গুণ করে।
\(\Rightarrow xy_{1}=x^{n-1}+(n-1)x^{n-2+1}\ln{x}\)
\(\Rightarrow xy_{1}=x^{n-1}+(n-1)x^{n-1}\ln{x}\)
\(\Rightarrow xy_{1}=x^{n-1}+(n-1)y\) ➜ \(\because y=x^m\ln{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(xy_{1})=\frac{d}{dx}\{x^{n-1}+(n-1)y\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(xy_{1})=\frac{d}{dx}\{x^{n-1}+(n-1)y\}\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow x\frac{d}{dx}(y_{1})+y_{1}\frac{d}{dx}(x)=\frac{d}{dx}(x^{n-1})+(n-1)\frac{d}{dx}(y)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\), \(\frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(\Rightarrow xy_{2}+y_{1}.1=(n-1)x^{n-1-1}+(n-1)y_{1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(\Rightarrow x^2y_{2}+xy_{1}=(n-1)x^{n-2}\times{x}+(n-1)xy_{1}\) ➜ উভয় পার্শে \(x\)গুণ করে।
\(\Rightarrow x^2y_{2}+xy_{1}=(n-1)x^{n-2+1}+(n-1)xy_{1}\)
\(\Rightarrow x^2y_{2}+xy_{1}=(n-1)x^{n-1}+(n-1)xy_{1}\)
\(\Rightarrow x^2y_{2}+xy_{1}=(n-1)\{xy_{1}-(n-1)y\}+(n-1)xy_{1}\) ➜ \(\because xy_{1}=x^{n-1}+(n-1)y \Rightarrow xy_{1}-(n-1)y=x^{n-1}\)
\(\Rightarrow x^2y_{2}+xy_{1}=(n-1)xy_{1}-(n-1)^2y+(n-1)xy_{1}\)
\(\Rightarrow x^2y_{2}+xy_{1}=2(n-1)xy_{1}-(n-1)^2y\)
\(\Rightarrow x^2y_{2}+xy_{1}-2(n-1)xy_{1}+(n-1)^2y=0\)
\(\Rightarrow x^2y_{2}+(1-2n+2)xy_{1}+(n-1)^2y=0\)
\(\therefore x^2y_{2}+(3-2n)xy_{1}+(n-1)^2y=0\)
(Proved)
\(Q.5.(Lxii)\) \(x^{y^n}=y^{x^n}\) হলে, দেখাও যে, \(\frac{dy}{dx}=\frac{y^{n+1}(n\ln{x}-1)}{x^{n+1}(n\ln{y}-1)}\).
[ বুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯]
[ বুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(x^{y^n}=y^{x^n}\)
\(\Rightarrow \ln{x^{y^n}}=\ln{y^{x^n}}\) ➜ উভয় পার্শে \(\ln\) সংযোজন করে।
\(\Rightarrow y^n\ln{x}=x^n\ln{y}\) ➜ \(\because \ln{M^{n}}=n\ln{(M)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y^n\ln{x})=\frac{d}{dx}(x^n\ln{y})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y^n\frac{d}{dx}(\ln{x})+\ln{x}\frac{d}{dx}(y^n)=x^n\frac{d}{dx}(\ln{y})+\ln{y}\frac{d}{dx}(x^n)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y^n\frac{1}{x}+\ln{x}.ny^{n-1}\frac{dy}{dx}=x^n\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}+\ln{y}.nx^{n-1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(y^n)=ny^{n-1}\frac{dy}{dx}\), \(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(\Rightarrow \frac{y^n}{x}+ny^{n-1}\ln{x}\frac{dy}{dx}=\frac{x^n}{y}\frac{dy}{dx}+nx^{n-1}\ln{y}\)
\(\Rightarrow ny^{n-1}\ln{x}\frac{dy}{dx}-\frac{x^n}{y}\frac{dy}{dx}=nx^{n-1}\ln{y}-\frac{y^n}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}\left(ny^{n-1}\ln{x}-\frac{x^n}{y}\right)=nx^{n-1}\ln{y}-\frac{y^n}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}\frac{ny^{n}\ln{x}-x^n}{y}=\frac{nx^{n}\ln{y}-y^n}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{nx^{n}\ln{y}-y^n}{x}\times{\frac{y}{ny^{n}\ln{x}-x^n}}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{nyy^{n}\ln{x}-y^{n+1}}{nxx^{n}\ln{y}-x^{n+1}}\) ➜ \(\because y^n\ln{x}=x^n\ln{y}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{ny^{n+1}\ln{x}-y^{n+1}}{nx^{n+1}\ln{y}-x^{n+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{y^{n+1}(n\ln{x}-1)}{x^{n+1}(n\ln{y}-1)}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{y^{n+1}}{x^{n+1}}.\frac{n\ln{x}-1}{n\ln{y}-1}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\left(\frac{y}{x}\right)^{n+1}.\frac{n\ln{x}-1}{n\ln{y}-1}\)
(Showed)
\(x^{y^n}=y^{x^n}\)
\(\Rightarrow \ln{x^{y^n}}=\ln{y^{x^n}}\) ➜ উভয় পার্শে \(\ln\) সংযোজন করে।
\(\Rightarrow y^n\ln{x}=x^n\ln{y}\) ➜ \(\because \ln{M^{n}}=n\ln{(M)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y^n\ln{x})=\frac{d}{dx}(x^n\ln{y})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y^n\frac{d}{dx}(\ln{x})+\ln{x}\frac{d}{dx}(y^n)=x^n\frac{d}{dx}(\ln{y})+\ln{y}\frac{d}{dx}(x^n)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y^n\frac{1}{x}+\ln{x}.ny^{n-1}\frac{dy}{dx}=x^n\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}+\ln{y}.nx^{n-1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(y^n)=ny^{n-1}\frac{dy}{dx}\), \(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(\Rightarrow \frac{y^n}{x}+ny^{n-1}\ln{x}\frac{dy}{dx}=\frac{x^n}{y}\frac{dy}{dx}+nx^{n-1}\ln{y}\)
\(\Rightarrow ny^{n-1}\ln{x}\frac{dy}{dx}-\frac{x^n}{y}\frac{dy}{dx}=nx^{n-1}\ln{y}-\frac{y^n}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}\left(ny^{n-1}\ln{x}-\frac{x^n}{y}\right)=nx^{n-1}\ln{y}-\frac{y^n}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}\frac{ny^{n}\ln{x}-x^n}{y}=\frac{nx^{n}\ln{y}-y^n}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{nx^{n}\ln{y}-y^n}{x}\times{\frac{y}{ny^{n}\ln{x}-x^n}}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{nyy^{n}\ln{x}-y^{n+1}}{nxx^{n}\ln{y}-x^{n+1}}\) ➜ \(\because y^n\ln{x}=x^n\ln{y}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{ny^{n+1}\ln{x}-y^{n+1}}{nx^{n+1}\ln{y}-x^{n+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{y^{n+1}(n\ln{x}-1)}{x^{n+1}(n\ln{y}-1)}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{y^{n+1}}{x^{n+1}}.\frac{n\ln{x}-1}{n\ln{y}-1}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\left(\frac{y}{x}\right)^{n+1}.\frac{n\ln{x}-1}{n\ln{y}-1}\)
(Showed)
\(Q.5.(Lxiii)\) \(1\) লিটার ( \(1000\) ঘন সে.মি. ) তরল ধারন ক্ষমতা সম্পন্ন দুই প্রান্তে আবদ্ধ একটি খাড়া বৃত্তাকার সিলিন্ডার প্রয়োজন। সিলিন্ডারটির উচ্চতা ও ব্যাসার্ধ কিরূপ হলে সর্বাপেক্ষা কম ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট টিন দিয়ে তা তৈরি করা সম্ভব।
উত্তরঃ \(r=5.42\) সে.মি., \(h=10.84\) সে.মি.
[ বুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭]
উত্তরঃ \(r=5.42\) সে.মি., \(h=10.84\) সে.মি.
[ বুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭]
সমাধানঃ
ধরি,
পাত্রের উচ্চতা \(=h\)
ব্যাসার্ধ \(=r\)
পাত্রটি তৈরি করতে টিনের পরিমাণ \(=p\)
\(\therefore \) পাত্রের আয়তন \(\pi r^2h=1000\) ➜ ধারন ক্ষমতা \(1 litre (1000 cm^3)\) অর্থাৎ আয়তন \( (1000 cm^3)\)
\(\Rightarrow h=\frac{1000}{\pi r^2} ...(1)\)
আবার,
টিনের পরিমাণ \(p=2\pi rh+2\pi r^2\) ➜ \(p=\) গোলাকার তলের ক্ষেত্রফল + প্রান্তদ্বয়ের যোগফল।
\(\Rightarrow p=2\pi r\times{\frac{1000}{\pi r^2}}+2\pi r^2\)
\(\Rightarrow p=\frac{2000}{r}+2\pi r^2\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dr}(p)=\frac{d}{dr}\left(\frac{2000}{r}+2\pi r^2\right)\) ➜ \(r\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dp}{dr}=2000\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{r}\right)+2\pi \frac{d}{dr}(r^2)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(=2000\left(-\frac{1}{r^2}\right)+2\pi .2r\)
\(=-\frac{2000}{r^2}+4\pi r\)
\(\therefore \frac{dp}{dr}=-\frac{2000}{r^2}+4\pi r\)
চরমমানের জন্য \(\frac{dp}{dr}=0\)
\(\therefore -\frac{2000}{r^2}+4\pi r=0\)
\(\Rightarrow 4\pi r=\frac{2000}{r^2}\)
\(\Rightarrow r^3=\frac{2000}{4\pi}\)
\(\Rightarrow r^3=\frac{500}{\pi}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt[3]{\left(\frac{500}{\pi}\right)}\)
\(\therefore r=5.42\) সে.মি.
আবার,
\(\frac{d^2p}{dr^2}=\frac{d}{dr}\left(\frac{dp}{dr}\right)\)
\(=\frac{d}{dr}\left(-\frac{2000}{r^2}+4\pi r\right)\) ➜ \(\because \frac{dp}{dx}=-\frac{2000}{r^2}+4\pi r\)
\(=-2000\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{r^2}\right)+4\pi .1\)
\(=-2000\frac{d}{dr}(r^{-2})+4\pi\)
\(=-2000\times{-2}(r^{-2-1})+4\pi\)
\(=4000(r^{-3})+4\pi\)
\(=\frac{4000}{r^{3}}+4\pi\)
\(r^3=\frac{500}{\pi}\) হলে,
\(\frac{d^2p}{dr^2}=\frac{4000}{\frac{500}{\pi}}+4\pi\)
\(=\frac{4000\pi}{500}+4\pi\)
\(=8\pi+4\pi\)
\(=12\pi>0\)
\(\therefore \frac{d^2p}{dr^2}>0\)
\(\therefore r^3=\frac{500}{\pi}\Rightarrow r=5.42\) সে.মি. হলে,
পাত্রটির টিনের পরিমাণ ন্যূনতম হবে।
সে ক্ষেত্রে উচ্চতা \(h=\frac{1000}{\pi\times{(5.42)^2}}\)
\(=10.84\) সে.মি.
পাত্রের উচ্চতা \(=h\)
ব্যাসার্ধ \(=r\)
পাত্রটি তৈরি করতে টিনের পরিমাণ \(=p\)
\(\therefore \) পাত্রের আয়তন \(\pi r^2h=1000\) ➜ ধারন ক্ষমতা \(1 litre (1000 cm^3)\) অর্থাৎ আয়তন \( (1000 cm^3)\)
\(\Rightarrow h=\frac{1000}{\pi r^2} ...(1)\)
আবার,
টিনের পরিমাণ \(p=2\pi rh+2\pi r^2\) ➜ \(p=\) গোলাকার তলের ক্ষেত্রফল + প্রান্তদ্বয়ের যোগফল।
\(\Rightarrow p=2\pi r\times{\frac{1000}{\pi r^2}}+2\pi r^2\)
\(\Rightarrow p=\frac{2000}{r}+2\pi r^2\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dr}(p)=\frac{d}{dr}\left(\frac{2000}{r}+2\pi r^2\right)\) ➜ \(r\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dp}{dr}=2000\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{r}\right)+2\pi \frac{d}{dr}(r^2)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(=2000\left(-\frac{1}{r^2}\right)+2\pi .2r\)
\(=-\frac{2000}{r^2}+4\pi r\)
\(\therefore \frac{dp}{dr}=-\frac{2000}{r^2}+4\pi r\)
চরমমানের জন্য \(\frac{dp}{dr}=0\)
\(\therefore -\frac{2000}{r^2}+4\pi r=0\)
\(\Rightarrow 4\pi r=\frac{2000}{r^2}\)
\(\Rightarrow r^3=\frac{2000}{4\pi}\)
\(\Rightarrow r^3=\frac{500}{\pi}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt[3]{\left(\frac{500}{\pi}\right)}\)
\(\therefore r=5.42\) সে.মি.
আবার,
\(\frac{d^2p}{dr^2}=\frac{d}{dr}\left(\frac{dp}{dr}\right)\)
\(=\frac{d}{dr}\left(-\frac{2000}{r^2}+4\pi r\right)\) ➜ \(\because \frac{dp}{dx}=-\frac{2000}{r^2}+4\pi r\)
\(=-2000\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{r^2}\right)+4\pi .1\)
\(=-2000\frac{d}{dr}(r^{-2})+4\pi\)
\(=-2000\times{-2}(r^{-2-1})+4\pi\)
\(=4000(r^{-3})+4\pi\)
\(=\frac{4000}{r^{3}}+4\pi\)
\(r^3=\frac{500}{\pi}\) হলে,
\(\frac{d^2p}{dr^2}=\frac{4000}{\frac{500}{\pi}}+4\pi\)
\(=\frac{4000\pi}{500}+4\pi\)
\(=8\pi+4\pi\)
\(=12\pi>0\)
\(\therefore \frac{d^2p}{dr^2}>0\)
\(\therefore r^3=\frac{500}{\pi}\Rightarrow r=5.42\) সে.মি. হলে,
পাত্রটির টিনের পরিমাণ ন্যূনতম হবে।
সে ক্ষেত্রে উচ্চতা \(h=\frac{1000}{\pi\times{(5.42)^2}}\)
\(=10.84\) সে.মি.
\(Q.5.(Lxiv)\) যদি \(y=\cos{2\sin^{-1}{x}}\) হয়, তবে দেখাও যে, \((1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}+4y=0\)
[ বুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬, বুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫]
[ বুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬, বুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(y=\cos{(2\sin^{-1}{x})}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\cos{(2\sin^{-1}{x})}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=-\sin{(2\sin^{-1}{x})}.2\frac{d}{dx}(\sin^{-1}{x})\) ➜ \(2\sin^{-1}{x}\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে ।
\(\Rightarrow y_{1}=-2\sin{(2\sin^{-1}{x})}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin^{-1}{x})=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-x^2}y_{1}=2\sin{(2\sin^{-1}{x})}\) ➜ উভয় পার্শে \(\sqrt{1-x^2}\) গুণ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)y^2_{1}=4\sin^2{(2\sin^{-1}{x})}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)y^2_{1}=4\{1-\cos^2{(2\sin^{-1}{x})}\}\) ➜\(\because \sin^2{x}=1-\cos^2{x}\)
\(\Rightarrow (1-x^2)y^2_{1}=4(1-y^2)\) ➜\(\because y=\cos{(2\sin^{-1}{x})}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{(1-x^2)y^2_{1}\}=4\frac{d}{dx}(1-y^2)\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)\frac{d}{dx}(y^2_{1})+y^2_{1}\frac{d}{dx}(1-x^2)=4(0-2yy_{1})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\), \(\frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(y^2)=2yy_{1}\)
\(\Rightarrow (1-x^2)2y_{1}y_{2}+y^2_{1}(0-2x)=-8yy_{1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(y^2)=2yy_{1}, \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x^2)=2x\)
\(\Rightarrow 2(1-x^2)y_{1}y_{2}-2xy^2_{1}=-8yy_{1}\)
\(\Rightarrow 2(1-x^2)y_{1}y_{2}-2xy^2_{1}+8yy_{1}=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\{(1-x^2)y_{2}-xy_{1}+4y\}=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\ne{0}, (1-x^2)y_{2}-xy_{1}+4y=0\)
\(\Rightarrow (1-x^2)y_{2}-xy_{1}+4y=0\)
\(\therefore (1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}+4y=0\) ➜ \(\because y_{2}=\frac{d^2y}{dx^2}, y_{1}=\frac{dy}{dx}(c)\)
(Showed)
\(y=\cos{(2\sin^{-1}{x})}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\cos{(2\sin^{-1}{x})}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=-\sin{(2\sin^{-1}{x})}.2\frac{d}{dx}(\sin^{-1}{x})\) ➜ \(2\sin^{-1}{x}\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে ।
\(\Rightarrow y_{1}=-2\sin{(2\sin^{-1}{x})}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin^{-1}{x})=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-x^2}y_{1}=2\sin{(2\sin^{-1}{x})}\) ➜ উভয় পার্শে \(\sqrt{1-x^2}\) গুণ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)y^2_{1}=4\sin^2{(2\sin^{-1}{x})}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)y^2_{1}=4\{1-\cos^2{(2\sin^{-1}{x})}\}\) ➜\(\because \sin^2{x}=1-\cos^2{x}\)
\(\Rightarrow (1-x^2)y^2_{1}=4(1-y^2)\) ➜\(\because y=\cos{(2\sin^{-1}{x})}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{(1-x^2)y^2_{1}\}=4\frac{d}{dx}(1-y^2)\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)\frac{d}{dx}(y^2_{1})+y^2_{1}\frac{d}{dx}(1-x^2)=4(0-2yy_{1})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\), \(\frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(y^2)=2yy_{1}\)
\(\Rightarrow (1-x^2)2y_{1}y_{2}+y^2_{1}(0-2x)=-8yy_{1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(y^2)=2yy_{1}, \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x^2)=2x\)
\(\Rightarrow 2(1-x^2)y_{1}y_{2}-2xy^2_{1}=-8yy_{1}\)
\(\Rightarrow 2(1-x^2)y_{1}y_{2}-2xy^2_{1}+8yy_{1}=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\{(1-x^2)y_{2}-xy_{1}+4y\}=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\ne{0}, (1-x^2)y_{2}-xy_{1}+4y=0\)
\(\Rightarrow (1-x^2)y_{2}-xy_{1}+4y=0\)
\(\therefore (1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}+4y=0\) ➜ \(\because y_{2}=\frac{d^2y}{dx^2}, y_{1}=\frac{dy}{dx}(c)\)
(Showed)
\(Q.5.(Lxv)\) \(y=(x+1)(x-1)(x-3)\) বক্ররেখাটি যেসব বিন্দুতে \(x\) অক্ষকে ছেদ করে, ঐ বিন্দুগুলিতে অঙ্কিত স্পর্শকসমুহের ঢাল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(8; -4; 8\)
[ বুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]
উত্তরঃ \(8; -4; 8\)
[ বুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=(x+1)(x-1)(x-3) ....(1)\)
\((1)\) বক্ররেখা যখন \(x\) অক্ষকে ছেদ করে,
তখন \(y=0\)
\(\therefore 0=(x+1)(x-1)(x-3)\)
\(\Rightarrow (x+1)(x-1)(x-3)=0\)
\(\Rightarrow x+1=0, x-1=0, x-3=0\)
\(\Rightarrow x=-1, x=1, x=3\)
\(\Rightarrow x=-1, 1, 3\)
\(\therefore (1)\) বক্ররেখাটি \(x\) অক্ষকে \((-1, 0),(1, 0)\) এবং \((3, 0) \) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{(x+1)(x-1)(x-3)\}\) ➜\((1)\) এর উভয় পার্শে \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=(x+1)(x-1)\frac{d}{dx}(x-3)+(x+1)(x-3)\frac{d}{dx}(x-1)+(x-1)(x-3)\frac{d}{dx}(x+1)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uvw)=uv\frac{d}{dx}(w)\)\(+uw\frac{d}{dx}(v)+vw\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=(x+1)(x-1)(1-0)+(x+1)(x-3)(1-0)+(x-1)(x-3)(1+0)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=(x+1)(x-1)+(x+1)(x-3)+(x-1)(x-3)\)
\((-1, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(-1, 0)}=(-1+1)(-1-1)+(-1+1)(-1-3)+(-1-1)(-1-3)\)
\(=0.(-2)+0.(-4)+(-2)(-4)\)
\(=0+0+8\)
\(=8\)
\((1, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1, 0)}=(1+1)(1-1)+(1+1)(1-3)+(1-1)(1-3)\)
\(=2.0+2.(-2)+0.(-2)\)
\(=0-4+0\)
\(=-4\)
আবার,
\((3, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(3, 0)}=(3+1)(3-1)+(3+1)(3-3)+(3-1)(3-3)\)
\(=4.2+4.0+2.0\)
\(=8+0+0\)
\(=8\)
\(y=(x+1)(x-1)(x-3) ....(1)\)
\((1)\) বক্ররেখা যখন \(x\) অক্ষকে ছেদ করে,
তখন \(y=0\)
\(\therefore 0=(x+1)(x-1)(x-3)\)
\(\Rightarrow (x+1)(x-1)(x-3)=0\)
\(\Rightarrow x+1=0, x-1=0, x-3=0\)
\(\Rightarrow x=-1, x=1, x=3\)
\(\Rightarrow x=-1, 1, 3\)
\(\therefore (1)\) বক্ররেখাটি \(x\) অক্ষকে \((-1, 0),(1, 0)\) এবং \((3, 0) \) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{(x+1)(x-1)(x-3)\}\) ➜\((1)\) এর উভয় পার্শে \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=(x+1)(x-1)\frac{d}{dx}(x-3)+(x+1)(x-3)\frac{d}{dx}(x-1)+(x-1)(x-3)\frac{d}{dx}(x+1)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uvw)=uv\frac{d}{dx}(w)\)\(+uw\frac{d}{dx}(v)+vw\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=(x+1)(x-1)(1-0)+(x+1)(x-3)(1-0)+(x-1)(x-3)(1+0)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=(x+1)(x-1)+(x+1)(x-3)+(x-1)(x-3)\)
\((-1, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(-1, 0)}=(-1+1)(-1-1)+(-1+1)(-1-3)+(-1-1)(-1-3)\)
\(=0.(-2)+0.(-4)+(-2)(-4)\)
\(=0+0+8\)
\(=8\)
\((1, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1, 0)}=(1+1)(1-1)+(1+1)(1-3)+(1-1)(1-3)\)
\(=2.0+2.(-2)+0.(-2)\)
\(=0-4+0\)
\(=-4\)
আবার,
\((3, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(3, 0)}=(3+1)(3-1)+(3+1)(3-3)+(3-1)(3-3)\)
\(=4.2+4.0+2.0\)
\(=8+0+0\)
\(=8\)
\(Q.5.(Lxvi)\) \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় কর। যেখানে \((\cos{x})^y=(\sin{y})^x\)
উত্তরঃ \(\frac{\ln{(\sin{y})}+y\tan{x}}{\ln{(\cos{x})}-x\cot{y}}\)
[ বুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]
উত্তরঃ \(\frac{\ln{(\sin{y})}+y\tan{x}}{\ln{(\cos{x})}-x\cot{y}}\)
[ বুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪ ]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\((\cos{x})^y=(\sin{y})^x\)
\(\Rightarrow \ln{(\cos{x})^y}=\ln{(\sin{y})^x}\) ➜ উভয় পার্শে \(\ln\) সংযোজন করে।
\(\Rightarrow y\ln{(\cos{x})}=x\ln{(\sin{y})}\) ➜ \(\because \ln{M^{n}}=n\ln{(M)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{y\ln{(\cos{x})}\}=\frac{d}{dx}\{x\ln{(\sin{y})}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y\frac{d}{dx}\{\ln{(\cos{x})}\}+\ln{(\cos{x})}\frac{d}{dx}(y)=x\frac{d}{dx}\{\ln{(\sin{y})}\}+\ln{(\sin{y})}\frac{d}{dx}(x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y\frac{1}{\cos{x}}\frac{d}{dx}(\cos{x})+\ln{(\cos{x})}\frac{dy}{dx}=x\frac{1}{\sin{y}}\frac{d}{dx}(\sin{y})+\ln{(\sin{y})}.1\) ➜ \(\cos{x}\), \(\sin{x}\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(\Rightarrow \frac{y}{\cos{x}}(-\sin{x})+\ln{(\cos{x})}\frac{dy}{dx}=\frac{x}{\sin{y}}.\cos{y}\frac{dy}{dx}+\ln{(\sin{y})}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}, \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\)
\(\Rightarrow -\frac{y\sin{x}}{\cos{x}}+\ln{(\cos{x})}\frac{dy}{dx}=\frac{x\cos{y}}{\sin{y}}\frac{dy}{dx}+\ln{(\sin{y})}\)
\(\Rightarrow -y\tan{x}+\ln{(\cos{x})}\frac{dy}{dx}=x\cot{y}\frac{dy}{dx}+\ln{(\sin{y})}\)
\(\Rightarrow \ln{(\cos{x})}\frac{dy}{dx}-x\cot{y}\frac{dy}{dx}=\ln{(\sin{y})}+y\tan{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(\ln{(\cos{x})}-x\cot{y})=\ln{(\sin{y})}+y\tan{x}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{\ln{(\sin{y})}+y\tan{x}}{\ln{(\cos{x})}-x\cot{y}}\)
\((\cos{x})^y=(\sin{y})^x\)
\(\Rightarrow \ln{(\cos{x})^y}=\ln{(\sin{y})^x}\) ➜ উভয় পার্শে \(\ln\) সংযোজন করে।
\(\Rightarrow y\ln{(\cos{x})}=x\ln{(\sin{y})}\) ➜ \(\because \ln{M^{n}}=n\ln{(M)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{y\ln{(\cos{x})}\}=\frac{d}{dx}\{x\ln{(\sin{y})}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y\frac{d}{dx}\{\ln{(\cos{x})}\}+\ln{(\cos{x})}\frac{d}{dx}(y)=x\frac{d}{dx}\{\ln{(\sin{y})}\}+\ln{(\sin{y})}\frac{d}{dx}(x)\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y\frac{1}{\cos{x}}\frac{d}{dx}(\cos{x})+\ln{(\cos{x})}\frac{dy}{dx}=x\frac{1}{\sin{y}}\frac{d}{dx}(\sin{y})+\ln{(\sin{y})}.1\) ➜ \(\cos{x}\), \(\sin{x}\) কে পর্যায়ক্রমে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে এবং \(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(\Rightarrow \frac{y}{\cos{x}}(-\sin{x})+\ln{(\cos{x})}\frac{dy}{dx}=\frac{x}{\sin{y}}.\cos{y}\frac{dy}{dx}+\ln{(\sin{y})}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}, \frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\)
\(\Rightarrow -\frac{y\sin{x}}{\cos{x}}+\ln{(\cos{x})}\frac{dy}{dx}=\frac{x\cos{y}}{\sin{y}}\frac{dy}{dx}+\ln{(\sin{y})}\)
\(\Rightarrow -y\tan{x}+\ln{(\cos{x})}\frac{dy}{dx}=x\cot{y}\frac{dy}{dx}+\ln{(\sin{y})}\)
\(\Rightarrow \ln{(\cos{x})}\frac{dy}{dx}-x\cot{y}\frac{dy}{dx}=\ln{(\sin{y})}+y\tan{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(\ln{(\cos{x})}-x\cot{y})=\ln{(\sin{y})}+y\tan{x}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{\ln{(\sin{y})}+y\tan{x}}{\ln{(\cos{x})}-x\cot{y}}\)
\(Q.5.(Lxvii)\) যদি \(x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}=0\) এবং \(y\ne{x}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{(1+x)^2}\)
[ বুয়েটঃ ২০০২-২০০৩ ]
[ বুয়েটঃ ২০০২-২০০৩ ]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(x\sqrt{(1+y)}+y\sqrt{(1+x)}=0\)
\(\Rightarrow x\sqrt{(1+y)}=-y\sqrt{(1+x)}\)
\(\Rightarrow x^2(1+y)=y^2(1+x)\)
\(\Rightarrow x^2+x^2y=y^2+xy^2\)
\(\Rightarrow x^2+x^2y-y^2-xy^2=0\)
\(\Rightarrow x^2-y^2+x^2y-xy^2=0\)
\(\Rightarrow (x+y)(x-y)+xy(x-y)=0\)
\(\Rightarrow (x-y)(x+y+xy)=0\)
\(\Rightarrow (x-y)\ne{0}, (x+y+xy)=0\)
\(\Rightarrow x+y+xy=0\)
\(\Rightarrow y(1+x)=-x\)
\(\Rightarrow y=-\frac{x}{1+x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=-\frac{d}{dx}(\frac{x}{1+x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{(1+x)\frac{d}{dx}(x)-x\frac{d}{dx}(1+x)}{(1+x)^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{(1+x).1-x(0+1)}{(1+x)^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{1+x-x}{(1+x)^2}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{(1+x)^2}\)
(Showed)
\(x\sqrt{(1+y)}+y\sqrt{(1+x)}=0\)
\(\Rightarrow x\sqrt{(1+y)}=-y\sqrt{(1+x)}\)
\(\Rightarrow x^2(1+y)=y^2(1+x)\)
\(\Rightarrow x^2+x^2y=y^2+xy^2\)
\(\Rightarrow x^2+x^2y-y^2-xy^2=0\)
\(\Rightarrow x^2-y^2+x^2y-xy^2=0\)
\(\Rightarrow (x+y)(x-y)+xy(x-y)=0\)
\(\Rightarrow (x-y)(x+y+xy)=0\)
\(\Rightarrow (x-y)\ne{0}, (x+y+xy)=0\)
\(\Rightarrow x+y+xy=0\)
\(\Rightarrow y(1+x)=-x\)
\(\Rightarrow y=-\frac{x}{1+x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=-\frac{d}{dx}(\frac{x}{1+x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{(1+x)\frac{d}{dx}(x)-x\frac{d}{dx}(1+x)}{(1+x)^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{(1+x).1-x(0+1)}{(1+x)^2}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{1+x-x}{(1+x)^2}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{(1+x)^2}\)
(Showed)
\(Q.5.(Lxviii)\) যদি \(x^yy^x=a^2\) হয়, তবে \(\frac{dy}{dx}\) এর মান বাহির কর।
উত্তরঃ \(-\frac{y^2}{x^2}.\frac{1-ln{x}}{1-\ln{y}}\)
[ বুয়েটঃ ২০০২-২০০৩ ]
উত্তরঃ \(-\frac{y^2}{x^2}.\frac{1-ln{x}}{1-\ln{y}}\)
[ বুয়েটঃ ২০০২-২০০৩ ]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(x^yy^x=a^2\)
\(\Rightarrow \ln{x^yy^x}=\ln{a^2}\) ➜ উভয় পার্শে \(\ln\) সংযোজন করে।
\(\Rightarrow \ln{x^y}+\ln{y^x}=\ln{a^2}\) ➜ \(\because \ln{(MN)}=\ln{(M)}+\ln{(N)}\)
\(\Rightarrow y\ln{x}+x\ln{y}=\ln{a^2}\) ➜ \(\because \ln{(M)^n}=n\ln{(M)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y\ln{x}+x\ln{y})=\frac{d}{dx}(\ln{a^2})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y\ln{x})+\frac{d}{dx}(x\ln{y})=0\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v), \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow y\frac{d}{dx}(\ln{x})+\ln{x}\frac{d}{dx}(y)+x\frac{d}{dx}(\ln{y})+\ln{y}\frac{d}{dx}(x)=0\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y\frac{1}{x}+\ln{x}\frac{dy}{dx}+x\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}+\ln{y}.1=0\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(\Rightarrow \frac{y}{x}+\ln{x}\frac{dy}{dx}+\frac{x}{y}\frac{dy}{dx}+\ln{y}=0\)
\(\Rightarrow \ln{x}\frac{dy}{dx}+\frac{x}{y}\frac{dy}{dx}=-\ln{y}-\frac{y}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}\left(\ln{x}+\frac{x}{y}\right)=-\left(\ln{y}+\frac{y}{x}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}\left(\frac{y\ln{x}+x}{y}\right)=-\frac{x\ln{y}+y}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{x\ln{y}+y}{x}\times{\frac{y}{y\ln{x}+x}}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{-y\ln{x}+y}{x}\times{\frac{y}{-x\ln{y}+x}}\) ➜ \(\because y\ln{x}+x\ln{y}=0\Rightarrow x\ln{y}=-y\ln{x}\Rightarrow y\ln{x}=-x\ln{y}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{y-y\ln{x}}{x}\times{\frac{y}{x-x\ln{y}}}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{y(1-\ln{x})}{x}\times{\frac{y}{x(1-\ln{y})}}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=-\frac{y^2}{x^2}.\frac{1-ln{x}}{1-\ln{y}}\)
\(x^yy^x=a^2\)
\(\Rightarrow \ln{x^yy^x}=\ln{a^2}\) ➜ উভয় পার্শে \(\ln\) সংযোজন করে।
\(\Rightarrow \ln{x^y}+\ln{y^x}=\ln{a^2}\) ➜ \(\because \ln{(MN)}=\ln{(M)}+\ln{(N)}\)
\(\Rightarrow y\ln{x}+x\ln{y}=\ln{a^2}\) ➜ \(\because \ln{(M)^n}=n\ln{(M)}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y\ln{x}+x\ln{y})=\frac{d}{dx}(\ln{a^2})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y\ln{x})+\frac{d}{dx}(x\ln{y})=0\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v), \frac{d}{dx}(c)=0\)
\(\Rightarrow y\frac{d}{dx}(\ln{x})+\ln{x}\frac{d}{dx}(y)+x\frac{d}{dx}(\ln{y})+\ln{y}\frac{d}{dx}(x)=0\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow y\frac{1}{x}+\ln{x}\frac{dy}{dx}+x\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}+\ln{y}.1=0\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}, \frac{d}{dx}(x)=1\)
\(\Rightarrow \frac{y}{x}+\ln{x}\frac{dy}{dx}+\frac{x}{y}\frac{dy}{dx}+\ln{y}=0\)
\(\Rightarrow \ln{x}\frac{dy}{dx}+\frac{x}{y}\frac{dy}{dx}=-\ln{y}-\frac{y}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}\left(\ln{x}+\frac{x}{y}\right)=-\left(\ln{y}+\frac{y}{x}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}\left(\frac{y\ln{x}+x}{y}\right)=-\frac{x\ln{y}+y}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{x\ln{y}+y}{x}\times{\frac{y}{y\ln{x}+x}}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{-y\ln{x}+y}{x}\times{\frac{y}{-x\ln{y}+x}}\) ➜ \(\because y\ln{x}+x\ln{y}=0\Rightarrow x\ln{y}=-y\ln{x}\Rightarrow y\ln{x}=-x\ln{y}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{y-y\ln{x}}{x}\times{\frac{y}{x-x\ln{y}}}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{y(1-\ln{x})}{x}\times{\frac{y}{x(1-\ln{y})}}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=-\frac{y^2}{x^2}.\frac{1-ln{x}}{1-\ln{y}}\)
\(Q.5.(Lxix)\) \(e^{3x}\sin^2{x}\) এর \(n\) তম অন্তরীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}e^{3x}\left\{3^n-(\sqrt{13})^n\cos{\left(2x+n\tan^{-1}{\frac{2}{3}}\right)}\right\}\)
[ বুয়েটঃ ২০০১-২০০২ ]
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}e^{3x}\left\{3^n-(\sqrt{13})^n\cos{\left(2x+n\tan^{-1}{\frac{2}{3}}\right)}\right\}\)
[ বুয়েটঃ ২০০১-২০০২ ]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(y=e^{3x}\sin^2{x}\)
\(\Rightarrow 2y=e^{3x}2\sin^2{x}\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 2y=e^{3x}(1-\cos{2x})\)
\(\Rightarrow 2y=e^{3x}-e^{3x}\cos{2x}\)
\(\Rightarrow 2\frac{d^n}{dx^n}(y)=\frac{d^n}{dx^n}(e^{3x}-e^{3x}\cos{2x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে \(n\) সংখ্যকবার অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow 2y_{n}=\frac{d^n}{dx^n}(e^{3x})-\frac{d^n}{dx^n}(e^{3x}\cos{2x})\)
\(\Rightarrow 2y_{n}=3^ne^{3x}-(3^2+2^2)^{\frac{n}{2}}e^{3x}\cos{\left(2x+n\tan^{-1}{\frac{2}{3}}\right)}\) ➜ \(\because \frac{d^n}{dx^n}(e^{ax})=a^ne^{ax}\), \(\frac{d^n}{dx^n}(e^{ax}\cos{bx})=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\cos{\left\{bx+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\right\}}\)
\(\Rightarrow 2y_{n}=3^ne^{3x}-(9+4)^{\frac{n}{2}}e^{3x}\cos{\left(2x+n\tan^{-1}{\frac{2}{3}}\right)}\)
\(\Rightarrow 2y_{n}=3^ne^{3x}-(13)^{\frac{n}{2}}e^{3x}\cos{\left(2x+n\tan^{-1}{\frac{2}{3}}\right)}\)
\(\Rightarrow y_{n}=\frac{1}{2}\left\{3^ne^{3x}-(\sqrt{13})^ne^{3x}\cos{\left(2x+n\tan^{-1}{\frac{2}{3}}\right)}\right\}\)
\(\therefore y_{n}=\frac{1}{2}e^{3x}\left\{3^n-(\sqrt{13})^n\cos{\left(2x+n\tan^{-1}{\frac{2}{3}}\right)}\right\}\)
\(y=e^{3x}\sin^2{x}\)
\(\Rightarrow 2y=e^{3x}2\sin^2{x}\) ➜ উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 2y=e^{3x}(1-\cos{2x})\)
\(\Rightarrow 2y=e^{3x}-e^{3x}\cos{2x}\)
\(\Rightarrow 2\frac{d^n}{dx^n}(y)=\frac{d^n}{dx^n}(e^{3x}-e^{3x}\cos{2x})\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে \(n\) সংখ্যকবার অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow 2y_{n}=\frac{d^n}{dx^n}(e^{3x})-\frac{d^n}{dx^n}(e^{3x}\cos{2x})\)
\(\Rightarrow 2y_{n}=3^ne^{3x}-(3^2+2^2)^{\frac{n}{2}}e^{3x}\cos{\left(2x+n\tan^{-1}{\frac{2}{3}}\right)}\) ➜ \(\because \frac{d^n}{dx^n}(e^{ax})=a^ne^{ax}\), \(\frac{d^n}{dx^n}(e^{ax}\cos{bx})=(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}}e^{ax}\cos{\left\{bx+n\tan^{-1}{\left(\frac{b}{a}\right)}\right\}}\)
\(\Rightarrow 2y_{n}=3^ne^{3x}-(9+4)^{\frac{n}{2}}e^{3x}\cos{\left(2x+n\tan^{-1}{\frac{2}{3}}\right)}\)
\(\Rightarrow 2y_{n}=3^ne^{3x}-(13)^{\frac{n}{2}}e^{3x}\cos{\left(2x+n\tan^{-1}{\frac{2}{3}}\right)}\)
\(\Rightarrow y_{n}=\frac{1}{2}\left\{3^ne^{3x}-(\sqrt{13})^ne^{3x}\cos{\left(2x+n\tan^{-1}{\frac{2}{3}}\right)}\right\}\)
\(\therefore y_{n}=\frac{1}{2}e^{3x}\left\{3^n-(\sqrt{13})^n\cos{\left(2x+n\tan^{-1}{\frac{2}{3}}\right)}\right\}\)
\(Q.5.(Lxx)\) ফাংশনটির গুরুমান বা লঘুমানের পরীক্ষা কর এবং সে মান নির্ণয় করঃ \(\frac{x}{\ln{x}}\)
উত্তরঃ লঘুমান \(=e\)
[ বুয়েটঃ ২০০১-২০০২ ]
উত্তরঃ লঘুমান \(=e\)
[ বুয়েটঃ ২০০১-২০০২ ]
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=\frac{x}{\ln{x}} .......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{\ln{x}}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{\ln{x}\frac{d}{dx}(x)-x\frac{d}{dx}(\ln{x})}{(\ln{x})^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{\ln{x}.1-x\frac{1}{x}}{(\ln{x})^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{\ln{x}-1}{(\ln{x})^2}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{\ln{x}-1}{(\ln{x})^2}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{\ln{x}-1}{(\ln{x})^2}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{\ln{x}-1}{(\ln{x})^2}\)
\(\Rightarrow \ln{x}-1=0\)
\(\Rightarrow \ln{x}=1\)
\(\Rightarrow x=e^1\) ➜\(\because \ln{x}=y \Rightarrow x=e^y\)
\(\therefore x=e\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left\{\frac{\ln{x}-1}{(\ln{x})^2}\right\}\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{\ln{x}-1}{(\ln{x})^2}\)
\(=\frac{(\ln{x})^2\frac{d}{dx}(\ln{x}-1)-(\ln{x}-1)\frac{d}{dx}\{(\ln{x})^2\}}{(\ln{x})^4}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{(\ln{x})^2\frac{1}{x}-(\ln{x}-1).2\ln{x}.\frac{1}{x}}{(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{\frac{(\ln{x})^2}{x}-\frac{2\ln{x}(\ln{x}-1)}{x}}{(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{\frac{(\ln{x})^2-2\ln{x}(\ln{x}-1)}{x}}{(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{(\ln{x})^2-2\ln{x}(\ln{x}-1)}{x(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{(\ln{x})^2-2(\ln{x})^2+2\ln{x}}{x(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{2\ln{x}-(\ln{x})^2}{x(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{\ln{x}(2-\ln{x})}{x(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{2-\ln{x}}{x(\ln{x})^3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2-\ln{x}}{x(\ln{x})^3}\)
এখন, \(x=e\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2-\ln{e}}{e(\ln{e})^3}\)
\(=\frac{2-1}{e(1)^3}\) ➜ \(\because \ln{e}=1\)
\(=\frac{1}{e}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=e\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমানের আছে।
ফাংশনটির লঘুমান \(=\frac{e}{\ln{e}}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=\frac{x}{\ln{x}}\)
\(=\frac{e}{1}\) ➜ \(\because \ln{e}=1\)
\(=e\)
\(y=\frac{x}{\ln{x}} .......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{\ln{x}}\right)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{\ln{x}\frac{d}{dx}(x)-x\frac{d}{dx}(\ln{x})}{(\ln{x})^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{\ln{x}.1-x\frac{1}{x}}{(\ln{x})^2}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(\ln{x})=\frac{1}{x}\), \(\frac{d}{dx}(x)=1\)
\(=\frac{\ln{x}-1}{(\ln{x})^2}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{\ln{x}-1}{(\ln{x})^2}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{\ln{x}-1}{(\ln{x})^2}=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{\ln{x}-1}{(\ln{x})^2}\)
\(\Rightarrow \ln{x}-1=0\)
\(\Rightarrow \ln{x}=1\)
\(\Rightarrow x=e^1\) ➜\(\because \ln{x}=y \Rightarrow x=e^y\)
\(\therefore x=e\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left\{\frac{\ln{x}-1}{(\ln{x})^2}\right\}\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=\frac{\ln{x}-1}{(\ln{x})^2}\)
\(=\frac{(\ln{x})^2\frac{d}{dx}(\ln{x}-1)-(\ln{x}-1)\frac{d}{dx}\{(\ln{x})^2\}}{(\ln{x})^4}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\)
\(=\frac{(\ln{x})^2\frac{1}{x}-(\ln{x}-1).2\ln{x}.\frac{1}{x}}{(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{\frac{(\ln{x})^2}{x}-\frac{2\ln{x}(\ln{x}-1)}{x}}{(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{\frac{(\ln{x})^2-2\ln{x}(\ln{x}-1)}{x}}{(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{(\ln{x})^2-2\ln{x}(\ln{x}-1)}{x(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{(\ln{x})^2-2(\ln{x})^2+2\ln{x}}{x(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{2\ln{x}-(\ln{x})^2}{x(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{\ln{x}(2-\ln{x})}{x(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{2-\ln{x}}{x(\ln{x})^3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2-\ln{x}}{x(\ln{x})^3}\)
এখন, \(x=e\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2-\ln{e}}{e(\ln{e})^3}\)
\(=\frac{2-1}{e(1)^3}\) ➜ \(\because \ln{e}=1\)
\(=\frac{1}{e}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=e\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমানের আছে।
ফাংশনটির লঘুমান \(=\frac{e}{\ln{e}}\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=\frac{x}{\ln{x}}\)
\(=\frac{e}{1}\) ➜ \(\because \ln{e}=1\)
\(=e\)
\(Q.5.(Lxxi)\) \(x(12-2x)^2\) এর বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ লঘুমান \( =0\); গুরুমান \( =128\) .
[ রুয়েটঃ ২০১২-২০১৩ ]
উত্তরঃ লঘুমান \( =0\); গুরুমান \( =128\) .
[ রুয়েটঃ ২০১২-২০১৩ ]
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=f(x)=x(12-2x)^2 ......(1)\)
\(\Rightarrow y=x\{(12)^2-2.12.2x+(2x)^2\}\)
\(\Rightarrow y=x\{144-48x+4x^2\}\)
\(\Rightarrow y=144x-48x^2+4x^3\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(144x-48x^2+4x^3)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=144\frac{d}{dx}(x)-48\frac{d}{dx}(x^2)+3\frac{d}{dx}(x^3)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=144.1-48.2x+4.3x^2\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=144-96x+12x^2\)
\(=12x^2-96x+144\)
\(=12(x^2-8x+12)\)
\(=12(x^2-6x-2x+12)\)
\(=12\{x(x-6)-2(x-6)\}\)
\(=12(x-6)(x-2)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=12(x-6)(x-2)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 12(x-6)(x-2)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=12(x-6)(x-2)\)
\(\Rightarrow (x-6)(x-2)=0\)
\(\Rightarrow x-6=0, x-2=0\)
\(\Rightarrow x=6, x=2\)
\(\therefore x=6, 2\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(144-96x+12x^2)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=12(x-6)(x-2)=144-96x+12x^2\)
\(=\frac{d}{dx}(144)-96\frac{d}{dx}(x)+12\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=0-96.1+12.2x\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(c)=0,\frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=-96+24x\)
\(=24x-96\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=24(x-4)\)
এখন, \(x=2\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=24(2-4)\)
\(=24.(-2)\)
\(=-48\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=2\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান আছে।
ফাংশনটির গুরুমান \(=2(12-2.2)^2\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x(12-2x)^2\)
\(=2(12-4)^2\)
\(=2(8)^2\)
\(=2.64\)
\(=128\)
আবার, \(x=6\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=24(6-4)\)
\(=24.2\)
\(=48\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=6\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান হবে।
ফাংশনটির লঘুমান \(=2(12-2.6)^2\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x(12-2x)^2\)
\(=2(12-12)^2\)
\(=2(0)^2\)
\(=2.0\)
\(=0\)
\(y=f(x)=x(12-2x)^2 ......(1)\)
\(\Rightarrow y=x\{(12)^2-2.12.2x+(2x)^2\}\)
\(\Rightarrow y=x\{144-48x+4x^2\}\)
\(\Rightarrow y=144x-48x^2+4x^3\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(144x-48x^2+4x^3)\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=144\frac{d}{dx}(x)-48\frac{d}{dx}(x^2)+3\frac{d}{dx}(x^3)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=144.1-48.2x+4.3x^2\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=144-96x+12x^2\)
\(=12x^2-96x+144\)
\(=12(x^2-8x+12)\)
\(=12(x^2-6x-2x+12)\)
\(=12\{x(x-6)-2(x-6)\}\)
\(=12(x-6)(x-2)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=12(x-6)(x-2)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 12(x-6)(x-2)=0\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=12(x-6)(x-2)\)
\(\Rightarrow (x-6)(x-2)=0\)
\(\Rightarrow x-6=0, x-2=0\)
\(\Rightarrow x=6, x=2\)
\(\therefore x=6, 2\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(144-96x+12x^2)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=12(x-6)(x-2)=144-96x+12x^2\)
\(=\frac{d}{dx}(144)-96\frac{d}{dx}(x)+12\frac{d}{dx}(x^2)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v+w)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)+\frac{d}{dx}(w)\)
\(=0-96.1+12.2x\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(c)=0,\frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\)
\(=-96+24x\)
\(=24x-96\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=24(x-4)\)
এখন, \(x=2\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=24(2-4)\)
\(=24.(-2)\)
\(=-48\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}<0\)
\(\therefore x=2\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান আছে।
ফাংশনটির গুরুমান \(=2(12-2.2)^2\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x(12-2x)^2\)
\(=2(12-4)^2\)
\(=2(8)^2\)
\(=2.64\)
\(=128\)
আবার, \(x=6\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=24(6-4)\)
\(=24.2\)
\(=48\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=6\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান হবে।
ফাংশনটির লঘুমান \(=2(12-2.6)^2\) ➜ \((1)\) হতে \(\because y=x(12-2x)^2\)
\(=2(12-12)^2\)
\(=2(0)^2\)
\(=2.0\)
\(=0\)
\(Q.5.(Lxxii)\) মান নির্ণয় করঃ \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{3\sin{x}-\sin{3x}}{x^3}\].
উত্তরঃ \(4\)
[ রুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯ ]
উত্তরঃ \(4\)
[ রুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯ ]
সমাধানঃ
প্রদত্ত রাশি,
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{3\sin{x}-\sin{3x}}{x^3}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{4\sin^3{x}}{x^3}\] ➜\(\because 3\sin{A}-\sin{3A}=4\sin^3{A}\)
\[=4\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin^3{x}}{x^3}\]
\[=4\left(\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{x}}{x}\right)^3\]
\[=4\times{1^3}\]
\[=4\times{1}\]
\[=4\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{3\sin{x}-\sin{3x}}{x^3}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{4\sin^3{x}}{x^3}\] ➜\(\because 3\sin{A}-\sin{3A}=4\sin^3{A}\)
\[=4\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin^3{x}}{x^3}\]
\[=4\left(\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{x}}{x}\right)^3\]
\[=4\times{1^3}\]
\[=4\times{1}\]
\[=4\]
\(Q.5.(Lxxiii)\) দেখাও যে, \(y=\sin{(m\sin^{-1}{x})}\) সমীকরণ \((1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}+m^2y=0\) কে সিদ্ধ করে।
[ রুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮, ২০০৮-২০০৯,২০০০-২০০১ ]
[ রুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮, ২০০৮-২০০৯,২০০০-২০০১ ]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(y=\sin{(m\sin^{-1}{x})}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\sin{(m\sin^{-1}{x})}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=\cos{(m\sin^{-1}{x})}.m\frac{d}{dx}(\sin^{-1}{x})\) ➜ \(a\sin^{-1}{x}\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে ।
\(\Rightarrow y_{1}=m\cos{(m\sin^{-1}{x})}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin^{-1}{x})=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-x^2}y_{1}=m\cos{(m\sin^{-1}{x})}\) ➜ উভয় পার্শে \(\sqrt{1-x^2}\) গুণ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)y^2_{1}=m^2\cos^2{(m\sin^{-1}{x})}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)y^2_{1}=m^2\{1-\sin^2{(m\sin^{-1}{x})}\}\) ➜\(\because \cos^2{x}=1-\sin^2{x}\)
\(\Rightarrow (1-x^2)y^2_{1}=m^2(1-y^2)\) ➜\(\because y=\sin{(m\sin^{-1}{x})}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{(1-x^2)y^2_{1}\}=m^2\frac{d}{dx}(1-y^2)\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)\frac{d}{dx}(y^2_{1})+y^2_{1}\frac{d}{dx}(1-x^2)=m^2(0-2yy_{1})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\), \(\frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(y^2)=2yy_{1}\)
\(\Rightarrow (1-x^2)2y_{1}y_{2}+y^2_{1}(0-2x)=2m^2yy_{1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(y^2)=2yy_{1}, \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x^2)=2x\)
\(\Rightarrow 2(1-x^2)y_{1}y_{2}-2xy^2_{1}=-2m^2yy_{1}\)
\(\Rightarrow 2(1-x^2)y_{1}y_{2}-2xy^2_{1}+2m^2yy_{1}=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\{(1-x^2)y_{2}-xy_{1}+m^2y\}=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\ne{0}, (1-x^2)y_{2}-xy_{1}+m^2y=0\)
\(\Rightarrow (1-x^2)y_{2}-xy_{1}+m^2y=0\)
\(\therefore (1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}+m^2y=0\) ➜ \(\because y_{2}=\frac{d^2y}{dx^2}, y_{1}=\frac{dy}{dx}(c)\)
(Showed)
\(y=\sin{(m\sin^{-1}{x})}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\sin{(m\sin^{-1}{x})}\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=\cos{(m\sin^{-1}{x})}.m\frac{d}{dx}(\sin^{-1}{x})\) ➜ \(a\sin^{-1}{x}\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে ।
\(\Rightarrow y_{1}=m\cos{(m\sin^{-1}{x})}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin^{-1}{x})=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-x^2}y_{1}=m\cos{(m\sin^{-1}{x})}\) ➜ উভয় পার্শে \(\sqrt{1-x^2}\) গুণ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)y^2_{1}=m^2\cos^2{(m\sin^{-1}{x})}\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)y^2_{1}=m^2\{1-\sin^2{(m\sin^{-1}{x})}\}\) ➜\(\because \cos^2{x}=1-\sin^2{x}\)
\(\Rightarrow (1-x^2)y^2_{1}=m^2(1-y^2)\) ➜\(\because y=\sin{(m\sin^{-1}{x})}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{(1-x^2)y^2_{1}\}=m^2\frac{d}{dx}(1-y^2)\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)\frac{d}{dx}(y^2_{1})+y^2_{1}\frac{d}{dx}(1-x^2)=m^2(0-2yy_{1})\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\), \(\frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(y^2)=2yy_{1}\)
\(\Rightarrow (1-x^2)2y_{1}y_{2}+y^2_{1}(0-2x)=2m^2yy_{1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(y^2)=2yy_{1}, \frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x^2)=2x\)
\(\Rightarrow 2(1-x^2)y_{1}y_{2}-2xy^2_{1}=-2m^2yy_{1}\)
\(\Rightarrow 2(1-x^2)y_{1}y_{2}-2xy^2_{1}+2m^2yy_{1}=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\{(1-x^2)y_{2}-xy_{1}+m^2y\}=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\ne{0}, (1-x^2)y_{2}-xy_{1}+m^2y=0\)
\(\Rightarrow (1-x^2)y_{2}-xy_{1}+m^2y=0\)
\(\therefore (1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}+m^2y=0\) ➜ \(\because y_{2}=\frac{d^2y}{dx^2}, y_{1}=\frac{dy}{dx}(c)\)
(Showed)
\(Q.5.(Lxxiv)\) \(x\) ও \(y\) এমন দুইটি সংখ্যা যাদের যোগফল \(100\) । \(x^2+y^2\) এর সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ সর্বনিম্ন মান \(5000\)
[ রুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]
উত্তরঃ সর্বনিম্ন মান \(5000\)
[ রুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(x+y=100\)
\(\Rightarrow y=100-x ...(1)\)
ধরি,
\(p=x^2+y^2\)
\(\Rightarrow p=x^2+(100-x)^2 ...(2)\) ➜ \(\because y=100-x\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(p)=\frac{d}{dx}\{x^2+(100-x)^2\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dp}{dx}=\frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}\{(100-x)^2\}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(=2x+2(100-x)\times{\frac{d}{dx}(-x)}\)
\(=2x+2(100-x)\times{-1}\)
\(=2x-2(100-x)\)
\(=2x-200+2x\)
\(=4x-200\)
\(=4(x-50)\)
\(\therefore \frac{dp}{dx}=4(x-50)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dp}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 4(x-50)=0\) ➜\(\because \frac{dp}{dx}=4(x-50)\)
\(\Rightarrow x-50=0\)
\(\therefore x=50\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(4x-200)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=4(x-50)=4x-200\)
\(=4\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(200)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(=4.1-0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=4\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=4\)
এখন, \(x=50\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=4\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=50\) বিন্দুতে ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান আছে।
ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান \(=(50)^2+(100-50)^2\) ➜ \((2)\) হতে \(\because p=x^2+(100-x)^2\)
\(=(50)^2+(100-50)^2\)
\(=2500+(50)^2\)
\(=2500+2500\)
\(=5000\)
\(x+y=100\)
\(\Rightarrow y=100-x ...(1)\)
ধরি,
\(p=x^2+y^2\)
\(\Rightarrow p=x^2+(100-x)^2 ...(2)\) ➜ \(\because y=100-x\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(p)=\frac{d}{dx}\{x^2+(100-x)^2\}\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dp}{dx}=\frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}\{(100-x)^2\}\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u+v)=\frac{d}{dx}(u)+\frac{d}{dx}(v)\)
\(=2x+2(100-x)\times{\frac{d}{dx}(-x)}\)
\(=2x+2(100-x)\times{-1}\)
\(=2x-2(100-x)\)
\(=2x-200+2x\)
\(=4x-200\)
\(=4(x-50)\)
\(\therefore \frac{dp}{dx}=4(x-50)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dp}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 4(x-50)=0\) ➜\(\because \frac{dp}{dx}=4(x-50)\)
\(\Rightarrow x-50=0\)
\(\therefore x=50\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(4x-200)\) ➜\(\because \frac{dy}{dx}=4(x-50)=4x-200\)
\(=4\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(200)\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(u-v)=\frac{d}{dx}(u)-\frac{d}{dx}(v)\)
\(=4.1-0\) ➜\(\because \frac{d}{dx}(x)=1\), \(\frac{d}{dx}(c)=0\)
\(=4\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=4\)
এখন, \(x=50\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=4\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=50\) বিন্দুতে ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান আছে।
ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান \(=(50)^2+(100-50)^2\) ➜ \((2)\) হতে \(\because p=x^2+(100-x)^2\)
\(=(50)^2+(100-50)^2\)
\(=2500+(50)^2\)
\(=2500+2500\)
\(=5000\)
\(Q.5.(Lxxv)\) যদি \(y=\frac{1}{2}(\sin^{-1}{x})^2\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \( (1-x^2)y_{2}-xy_{1}=1\)
[ চুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]
[ চুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(y=\frac{1}{2}(\sin^{-1}{x})^2\)
\(\Rightarrow 2y=(\sin^{-1}{x})^2\)
\(\Rightarrow 2\frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sin^{-1}{x})^2\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow 2y_{1}=2\sin^{-1}{x}\frac{d}{dx}(\sin^{-1}{x})\) ➜ \(\sin^{-1}{x}\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=\sin^{-1}{x}.\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin^{-1}{x})=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-x^2}y_{1}=\sin^{-1}{x}\) ➜ উভয় পার্শে \(\sqrt{1-x^2}\) গুণ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)y^2_{1}=(\sin^{-1}{x})^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)y^2_{1}=2y\) ➜ \(\because 2y=(\sin^{-1}{x})^2\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{(1-x^2)y^2_{1}\}=2\frac{d}{dx}(y)\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)\frac{d}{dx}(y^2_{1})+y^2_{1}\frac{d}{dx}(1-x^2)=2y_{1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow (1-x^2).2y_{1}\frac{d}{dx}(y_{1})+y^2_{1}(0-2x)=2y_{1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(y^2_{1})=2y_{1}\frac{d}{dx}(y_{1})\), \(\frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x^2)=2x\)
\(\Rightarrow 2(1-x^2)y_{1}y_{2}-2xy^2_{1}=2y_{1}\)
\(\Rightarrow 2(1-x^2)y_{1}y_{2}-2xy^2_{1}-2y_{1}=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\{(1-x^2)y_{2}-xy_{1}-1\}=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\ne{0}, (1-x^2)y_{2}-xy_{1}-1=0\)
\(\Rightarrow (1-x^2)y_{2}-xy_{1}-1=0\)
\(\therefore (1-x^2)y_{2}-xy_{1}=1\)
(Showed)
\(y=\frac{1}{2}(\sin^{-1}{x})^2\)
\(\Rightarrow 2y=(\sin^{-1}{x})^2\)
\(\Rightarrow 2\frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(\sin^{-1}{x})^2\) ➜ \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow 2y_{1}=2\sin^{-1}{x}\frac{d}{dx}(\sin^{-1}{x})\) ➜ \(\sin^{-1}{x}\) কে \(x\) মনে করে, সংযোজিত ফাংশনের নিয়মানুযায়ী অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow y_{1}=\sin^{-1}{x}.\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(\sin^{-1}{x})=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-x^2}y_{1}=\sin^{-1}{x}\) ➜ উভয় পার্শে \(\sqrt{1-x^2}\) গুণ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)y^2_{1}=(\sin^{-1}{x})^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)y^2_{1}=2y\) ➜ \(\because 2y=(\sin^{-1}{x})^2\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{(1-x^2)y^2_{1}\}=2\frac{d}{dx}(y)\) ➜ আবার, \(x\)-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow (1-x^2)\frac{d}{dx}(y^2_{1})+y^2_{1}\frac{d}{dx}(1-x^2)=2y_{1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{d}{dx}(v)+v\frac{d}{dx}(u)\)
\(\Rightarrow (1-x^2).2y_{1}\frac{d}{dx}(y_{1})+y^2_{1}(0-2x)=2y_{1}\) ➜ \(\because \frac{d}{dx}(y^2_{1})=2y_{1}\frac{d}{dx}(y_{1})\), \(\frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x^2)=2x\)
\(\Rightarrow 2(1-x^2)y_{1}y_{2}-2xy^2_{1}=2y_{1}\)
\(\Rightarrow 2(1-x^2)y_{1}y_{2}-2xy^2_{1}-2y_{1}=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\{(1-x^2)y_{2}-xy_{1}-1\}=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\ne{0}, (1-x^2)y_{2}-xy_{1}-1=0\)
\(\Rightarrow (1-x^2)y_{2}-xy_{1}-1=0\)
\(\therefore (1-x^2)y_{2}-xy_{1}=1\)
(Showed)