প্রতিস্থাপন পদ্ধতি ব্যবহার করে অনির্দিষ্ট যোগজীকরণ
barcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয়গুলি আলোচনা করব।
  • প্রতিস্থাপন পদ্ধতি
  • প্রতিস্থাপন সূত্র ব্যবহার করে অনির্দিষ্ট যোগজ নির্ণয়
  • অনির্দিষ্ট যোগজ নির্ণয়ের বিভিন্ন কৌশল
  • কতিপয় স্মরণীয় ফাংশনের যোগজ
প্রতিস্থাপন পদ্ধতি ( Method of Replacement )
যোগজীকরণ প্রক্রিয়ায় অনেক সময় প্রদত্ত ফাংশনের সরাসরি যোগজ নির্ণয় করা কঠিন হয়ে পড়ে। সেই ক্ষেত্রে প্রতিস্থাপন পদ্ধতি যোগজীকরণ প্রক্রিয়াকে সহজ করে দেয়। প্রদত্ত যোজ্য রাশি এর অন্তর্ভুক্ত কোনো ফাংশনের পরিবর্তে একটি চলরাশি স্থাপন করাকে প্রতিস্থাপন পদ্ধতি বলে।
\(\int{f(ax+b)dx}\) এর ক্ষেত্রে \(ax+b\) কে \(t\) ধরতে হয়।
ধরি,
\(ax+b=t\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(ax+b)=\frac{d}{dx}(t)\)
\(\Rightarrow a.1+0=\frac{dt}{dx}\)
\(\Rightarrow a=\frac{dt}{dx}\)
\(\Rightarrow adx=dt\)
\(\therefore dx=\frac{1}{a}dt\)
\(\int{f(ax+b)dx}\)
\(=\int{f(t).\frac{1}{a}dt}\)
\(=\frac{1}{a}\int{f(t)dt}\)
\(\therefore \int{f(ax+b)dx}=\frac{1}{a}\int{f(t)dt}\) এর পর প্রমিত ফাংশনের সূত্র প্রয়োগ করে যোগজীকরণ করতে হয়।
কতিপয় স্মরণীয় ফাংশনের যোগজ ( Some memorable Integrals of functions )
ক্রমিক নং যোগজীকরণের সূত্রাবলী ক্রমিক নং যোগজীকরণের সূত্রাবলী
1 \(\int{(ax+b)^ndx}\)\(=\frac{1}{a}.\frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1}+c\) 9 \(\int{cosec^2{ax}dx}\)\(=-\frac{\cot{ax}}{a}+c\)
2 \(\int{e^{ax}dx}\)\(=\frac{1}{a}e^{ax}+c\) 10 \(\int{\sec{ax}\tan{ax}dx}\)\(=\frac{\sec{ax}}{a}+c\)
3 \(\int{\frac{1}{ax+b}dx}\)\(=\frac{1}{a}\ln{|ax+b|}+c\) 11 \(\int{cosec \ {ax}\cot{ax}dx}\)\(=-\frac{cosec \ {ax}}{a}+c\)
4 \(\int{\cos{ax}dx}\)\(=\frac{1}{a}\sin{ax}+c\) 12 \(\int{\cos{(ax+b)}dx}\)\(=\frac{\sin{(ax+b)}}{a}+c\)
5 \(\int{\sin{ax}dx}\)\(=-\frac{1}{a}\cos{ax}+c\) 13 \(\int{\sin{(ax+b)}dx}\)\(=-\frac{\cos{(ax+b)}}{a}+c\)
6 \(\int{\sec^2{ax}dx}\)\(=\frac{1}{a}\tan{ax}+c\) 14 \(\int{\sec^2{(ax+b)}dx}\)\(=\frac{1}{a}\tan{(ax+b)}+c\)
7 \(\int{e^{ax+b}dx}\)\(=\frac{1}{a}e^{ax+b}+c\) 15 \(\int{a^{mx+n}dx}\)\(=\frac{a^{mx+n}}{m\ln{a}}+c\)
8 \(\int{\frac{1}{(ax+b)^2}dx}\)\(=-\frac{1}{a}\frac{1}{(ax+b)}+c\)
অনুশীলনী \(10.B\) উদাহরণ সমুহ
যোজিত ফল নির্ণয় করঃ
\((1.)\) \(\int{(2x+3)^5dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{12}(2x+3)^{6}+c\)

\((2.)\) \(\int{\sin{x^{o}}dx}\)
উত্তরঃ \(-\frac{180}{\pi}\cos{\frac{\pi{x}}{180}}+c\)

\((3.)\) \(\int{\sin{5x}\sin{3x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{16}(4\sin{2x}-\sin{8x})+c\)
[ যঃ২০১০; চঃ২০১২]

\((4.)\) \(\int{\cos^3{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{12}(\sin{3x}+9\sin{x})+c\)

\((5.)\) \(\int{\cos^4{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{32}(12x+8\sin{2x}+\sin{4x})+c\)
[ ঢাঃ২০১৪; দিঃ ২০১৩; সিঃ ২০০৮,২০০৪; রাঃ ২০১৪,২০০৭; চঃ ২০০৫ ]

\((6.)\) \(\int{\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{x-1}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{3}\left\{x^{\frac{3}{2}}+(x-1)^{\frac{3}{2}}\right\}+c\)

\((7.)\) \(\int{(1-2x)^4dx}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{10}(1-2x)^{5}+c\)

অনুশীলনী \(10.B / Q.1\)-এর প্রশ্নসমুহ
যোজিত ফল নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(i)\) \(\int{(5x+2)^6dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{35}(5x+2)^7+c\)

\(Q.1.(ii)\) \(\int{\sqrt{2x+3}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}(2x+3)^{\frac{3}{2}}+c\)

\(Q.1.(iii)\) \(\int{\frac{1}{\sqrt[3]{1-4x}}dx}\)
উত্তরঃ \(-\frac{3}{8}\sqrt[3]{(1-4x)^2}+c\)
[ বুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ]

\(Q.1.(iv)\) \(\int{\frac{1}{\sqrt[3]{1-6x}}dx}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{4}\sqrt[3]{(1-6x)^{\frac{3}{2}}}+c\)
[ বুয়েটঃ ২০০৫ ]

\(Q.1.(v)\) \(\int{\frac{x}{\sqrt{x+3}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{3}(x+3)^{\frac{3}{2}}-6\sqrt{(x+3)}+c\)

\(Q.1.(vi)\) \(\int{\frac{x}{\sqrt{1-x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{3}(1-x)^{\frac{3}{2}}-2\sqrt{(1-x)}+c\)
[ বুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬; ঢাঃ,চঃ ২০১৪ ]

\(Q.1.(vii)\) \(\int{\left\{\frac{1}{(a+x)^2}+\frac{1}{(a-x)^2}\right\}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{a-x}-\frac{1}{a+x}+c\)

\(Q.1.(viii)\) \(\int{\frac{x^2-2x+3}{(x-1)^2}dx}\)
উত্তরঃ \(x-\frac{2}{x-1}+c\)

\(Q.1.(ix)\) \(\int{\frac{xdx}{x-1}}\)
উত্তরঃ \(x+\ln{|x-1|}+c\)
[ সিঃ ২০১৭ ]

\(Q.1.(x)\) \(\int{\frac{x}{x+3}dx}\)
উত্তরঃ \(x-3\ln{|x+3|}+c\)

\(Q.1.(xi)\) \(\int{\frac{x-2}{x+5}dx}\)
উত্তরঃ \(x-7\ln{|x+5|}+c\)

\(Q.1.(xii)\) \(\int{(5x+2)^3dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{20}(5x+2)^4+c\)

\(Q.1.(xiii)\) \(\int{(2-7x)^4dx}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{35}(2-7x)^5+c\)

\(Q.1.(xiv)\) \(\int{\sqrt{1-x}dx}\)
উত্তরঃ \(-\frac{2}{3}(1-x)^{\frac{3}{2}}+c\)

\(Q.1.(xv)\) \(\int{\frac{dx}{\sqrt{2-3x}}}\)
উত্তরঃ \(-\frac{2}{3}\sqrt{2-3x}+c\)

\(Q.1.(xvi)\) \(\int{\frac{dx}{(1-x)^2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{1-x}+c\)

\(Q.1.(xvii)\) \(\int{\frac{2x+1}{2x+3}dx}\)
উত্তরঃ \(x-\ln{|2x+3|}+c\)

\(Q.1.(xviii)\) \(\int{5(3-x)^{-1}dx}\)
উত্তরঃ \(-5\ln{|3-x|}+c\)

\(Q.1.(xix)\) \(\int{\left(\frac{3}{x-1}-\frac{4}{x-2}\right)dx}\)
উত্তরঃ \(\ln{\left\{\frac{(|x-1|)^3}{(x-2)^4}\right\}}+c\)

অনুশীলনী \(10.B / Q.2\)-এর প্রশ্নসমুহ
যোজিত ফল নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(i)\) \(\int{e^{3x+2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}e^{3x+2}+c\)

\(Q.2.(ii)\) \(\int{\frac{dt}{2e^{2t}}}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{4e^{2t}}+c\)

\(Q.2.(iii)\) \(\int{a^{4x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{a^{4x}}{4\ln{a}}+c\)

\(Q.2.(iv)\) \(\int{\left(e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}\right)dx}\)
উত্তরঃ \(2\left(e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}\right)+c\)

\(Q.2.(v)\) \(\int{\frac{(e^x+1)^2}{\sqrt{e^x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{3}e^{\frac{3x}{2}}+4e^{\frac{x}{2}}-2e^{-\frac{x}{2}}+c\)
[ চঃ ২০১৪; মাঃ ২০১০ ]

\(Q.2.(vi)\) \(\int{\frac{e^{5x}+e^{3x}}{e^x+e^{-x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{4}e^{4x}+c\)
[ চঃ ২০০০; দিঃ ২০১০ ]

\(Q.2.(vii)\) \(\int{\sin{7x}dx}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{7}\cos{7x}+c\)
[ সিঃ ২০০৫ ]

\(Q.2.(viii)\) \(\int{\cos{7x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{7}\sin{7x}+c\)

\(Q.2.(ix)\) \(\int{\sin{5x}dx}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{5}\cos{5x}+c\)
[ মাঃ ২০১৫ ]

\(Q.2.(x)\) \(\int{\cos{\left(5x+\frac{\pi}{3}\right)}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{5}\sin{\left(5x+\frac{\pi}{3}\right)}+c\)

\(Q.2.(xi)\) \(\int{\sqrt{1-\cos{4x}}dx}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\cos{2x}+c\)
[ চঃ২০০৭ ]

\(Q.2.(xii)\) \(\int{\sqrt{1+\cos{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(2\sqrt{2}\sin{\frac{x}{2}}+c\)
[ বুয়েটঃ২০০৪-২০০৫ ]

\(Q.2.(xiii)\) \(\int{\sqrt{1-\cos{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(-2\sqrt{2}\cos{\frac{x}{2}}+c\)

\(Q.2.(xiv)\) \(\int{\tan^2{\frac{x}{2}}dx}\)
উত্তরঃ \(2\tan{\frac{x}{2}}-x+c\)

\(Q.2.(xv)\) \(\int{\sec^2{(3x+2)}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}\tan{(3x+2)}+c\)

\(Q.2.(xvi)\) \(\int{\frac{1-\cos{5x}}{1+\cos{5x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{5}\tan{\frac{5x}{2}}-x+c\)
[ সিঃ২০০২ ]

\(Q.2.(xvii)\) \(\int{cosec^2{5x} \ dx}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{5}\cot{5x}+c\)

\(Q.2.(xviii)\) \(\int{\frac{1}{1+\cos{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\tan{\frac{x}{2}}+c\)
[ কুঃ২০১৩; রাঃ ২০১১, ২০১০; যঃ ২০১১ ]

\(Q.2.(xix)\) \(\int{3\cos{3x}\cos{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{3}{8}(\sin{4x}+2\sin{2x})+c\)

\(Q.2.(xx)\) \(\int{\sin{5x}\sin{3x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{16}(4\sin{2x}-\sin{8x})+c\)
[ যঃ২০১০; বঃ ২০০৮; চঃ২০১২ ]

\(Q.2.(xxi)\) \(\int{\sin{3x}\cos{5x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{16}(4\cos{2x}-\cos{8x})+c\)
[ সিঃ২০১২; দিঃ২০১২ ]

\(Q.2.(xxii)\) \(\int{7\sin{4x}\sin{2x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{7}{12}(3\sin{2x}-\sin{6x})+c\)
[ ঢাঃ২০১১; রাঃ২০০৫; যঃ২০০৪ ]

\(Q.2.(xxiii)\) \(\int{5\cos{4x}\sin{3x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{5}{14}(7\cos{x}-\cos{7x})+c\)
[ সিঃ,দিঃ, রাঃ২০০৯; চঃ২০১১; কুঃ২০১৩; যঃ২০১২,২০১৪ ]

\(Q.2.(xxiv)\) \(\int{4\cos{4x}\sin{5x}dx}\)
উত্তরঃ \(-\frac{2}{9}(\cos{9x}+9\cos{x})+c\)
[ রাঃ২০০৩ ]

\(Q.2.(xxv)\) \(\int{\sin{px}\cos{qx}dx}, (p>q)\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{2}\left\{\frac{\cos{(p+q)x}}{p+q}+\frac{\cos{(p-q)x}}{p-q}\right\}+c\)
[ সিঃ২০০৭; ঢাঃ২০০৩ ]

\(Q.2.(xxvi)\) \(\int{\sin{4x}\sin{2x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{12}(3\sin{2x}-\sin{6x})+c\)

\(Q.2.(xxvii)\) \(\int{3\sin{3x}\cos{4x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{3}{14}(7\cos{x}-\cos{7x})+c\)

\(Q.2.(xxviii)\) \(\int{\cos^2{3\theta}d\theta}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{12}(6\theta-\sin{6\theta})+c\)

\(Q.2.(xxix)\) \(\int{\cos^2{\frac{\theta}{2}}d\theta}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}(\theta+\sin{\theta})+c\)

\(Q.2.(xxx)\) \(\int{\cos^2{2x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{8}(4x+\sin{4x})+c\)
[ ঢঃ২০০০ ]

\(Q.2.(xxxi)\) \(\int{\cos^2{\frac{x}{2}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}(x+\sin{x})+c\)

\(Q.2.(xxxii)\) \(\int{\sin^3{\theta}d\theta}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{12}(\cos{3\theta}-9\cos{\theta})+c\)

\(Q.2.(xxxiii)\) \(\int{\cos^3{2x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{24}(\cos{6x}-9\cos{2x})+c\)
[ ঢাঃ২০০১]

\(Q.2.(xxxiv)\) \(\int{\sin^4{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{32}(12x-8\sin{2x}+\sin{4x})+c\)
[ কুঃ২০০৯]

\(Q.2.(xxxv)\) \(\int{\left(1+\cos^2{\frac{x}{2}}\right)dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}(3x+\sin{x})+c\)
[ বুটেক্সঃ২০০৪-২০০৫ ]

\(Q.2.(xxxvi)\) \(\int{\sin^2{x}\cos{2x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{16}(4\sin{2x}-\sin{4x}-4x)+c\)
[ রাঃ২০১২,২০১৩; সিঃ২০১১; কুঃ২০০৭,২০১০,২০১৩,২০১৪; চঃ২০০২,২০০৯; যঃ২০০৫ ]

\(Q.2.(xxxvii)\) \(\int{(2\cos{x}+\sin{x})\cos{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{4}(4x+2\sin{2x}-\cos{2x})+c\)
[ ঢাঃ২০০৫ ]

\(Q.2.(xxxviii)\) \(\int{\sin^2{x}\cos^2{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{32}(4x-\sin{4x})+c\)
[ ঢাঃ২০১৩; বঃ২০০৮; চঃ২০০৬; বুয়েটঃ২০০৩-২০০৪ ]

\(Q.2.(xxxix)\) \(\int{\cos^2{3\theta}d\theta}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{12}(6\theta+\sin{6\theta})+c\)

\(Q.2.(xL)\) \(\int{\cos^3{2x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{24}(\sin{6x}+9\sin{2x})+c\)

\(Q.2.(xLi)\) \(\int{\sqrt{1+\sin{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(2(\sin{\frac{x}{2}}-\cos{\frac{x}{2}})+c\)

\(Q.2.(xLii)\) \(\int{\frac{1}{1+\sin{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\tan{x}-\sec{x}+c\)
[ চঃ২০১০; যঃ২০১৩]

\(Q.2.(xLiii)\) \(\int{\frac{1}{1-\cos{3x}}dx}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{3}\cot{\frac{3x}{2}}+c\)

\(Q.2.(xLiv)\) \(\int{\frac{1+e^{5x}}{\sqrt{e^{3x}}}dx}\)
উত্তরঃ \(-\frac{2}{3}e^{-\frac{3x}{2}}+\frac{2}{7}e^{\frac{7x}{2}}+c\)

\(Q.2.(xLv)\) \(\int{\frac{1}{1-\sin{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\tan{x}+\sec{x}+c\)

অনুশীলনী \(10.B / Q.3\)-এর প্রশ্নসমুহ
যোজিত ফল নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(i)\) \(\int{\frac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}\left\{(x+1)^{\frac{3}{2}}-(x-1)^{\frac{3}{2}}\right\}+c\)
[ দিঃ২০১০; রাঃ২০০২; বিআইটিঃ ১৯৯৪-১৯৯৫ ]

\(Q.3.(ii)\) \(\int{\frac{1}{\sqrt{x+2}-\sqrt{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}\left\{(x+2)^{\frac{3}{2}}+x^{\frac{3}{2}}\right\}+c\)
[ ঢাঃ২০০০ ]

\(Q.3.(iii)\) \(\int{\frac{dx}{\sqrt{2x+5}+\sqrt{2x-3}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{24}\left\{(2x+5)^{\frac{3}{2}}-(2x-3)^{\frac{3}{2}}\right\}+c\)

\(Q.3.(iv)\) \(\int{\frac{dx}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{3}\left\{(x+2)^{\frac{3}{2}}-(x+1)^{\frac{3}{2}}\right\}+c\)

\(Q.3.(v)\) \(\int{\frac{5dx}{\sqrt{3x+3}+\sqrt{3x-2}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{9}\left\{(3x+3)^{\frac{3}{2}}-(3x-2)^{\frac{3}{2}}\right\}+c\)

\(Q.3.(vi)\) \(\int{\frac{3xdx}{\sqrt{4x+5}-\sqrt{x+5}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{6}\left\{(4x+5)^{\frac{3}{2}}+4(x+5)^{\frac{3}{2}}\right\}+c\)

\(Q.3.(vii)\) \(\int{\frac{(x+8)dx}{\sqrt{3x+5}+\sqrt{2x-3}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{9}\left\{2(3x+5)^{\frac{3}{2}}-3(2x-3)^{\frac{3}{2}}\right\}+c\)

Please leave your question below

2 Question(s)
imonhaider
October 29, 2019, 12:15 am
\[\frac{d}{dx}(e^{x^2})=?\]
Reply
Tanmoy
October 28, 2019, 11:53 pm
\[\int{\frac{dx}{1+x^2}}=? \]
Reply

Post List

MATH. LIST
Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Trigonometry 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Statistics 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Calculus 11 and 12 standard