আদর্শ সূত্র ব্যবহার করে যোগজীকরণ
barcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয়গুলি আলোচনা করব।
কতিপয় আদর্শ যোগজ
ক্রমিক নং যোগজীকরণের সূত্রাবলী
1 \(\int{\frac{1}{a^2+x^2}dx}\)\(=\frac{1}{a}\tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+c\)
2 \(\int{\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx}\)\(=\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+c\)
3 \(\int{\frac{1}{x\sqrt{x^2-a^2}}dx}\)\(=\frac{1}{a}\sec^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+c\)
4 \(\int{\frac{1}{a^2-x^2}dx}\)\(=\frac{1}{2a}\ln{\left|\frac{a+x}{a-x}\right|}+c\)
5 \(\int{\frac{1}{x^2-a^2}dx}\)\(=\frac{1}{2a}\ln{\left|\frac{x-a}{x+a}\right|}+c\)
6 \(\int{\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}dx}\)\(=\ln{|\sqrt{a^2+x^2}+x|}+c\)
7 \(\int{\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx}\)\(=\ln{|\sqrt{x^2-a^2}+x|}+c\)
8 \(\int{\sqrt{a^2-x^2}dx}\)\(=\frac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2}+\frac{a^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{a}\right)}+c\)
বিশেষ আকারের যোগজ
\(1.\) \(\int{\frac{1}{ax^2+bx+c}dx}\) আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।
\(\int{\frac{1}{ax^2+bx+c}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)}dx}\)
\(=\frac{1}{a}\int{\frac{1}{x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}}dx}\)
\(=\frac{1}{a}\int{\frac{1}{x^2+2.x.\frac{b}{2a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}}dx}\)
\(=\frac{1}{a}\int{\frac{1}{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}}dx}\)
\(=\frac{1}{a}\int{\frac{1}{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2}}dx}\)
\(=\frac{1}{a}\int{\frac{1}{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a^2}}dx}\)
\(=\frac{1}{a}\int{\frac{1}{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}\right)^2}dx}\)
এখন \(x+\frac{b}{2a}\) কে \(t\) দ্বারা প্রতিস্থাপন করে আদর্শ যোগজের সূত্র প্রয়োগ করে সমাধান করতে হয়।
যেমনঃ
\(1.\) \(\int{\frac{1}{x^2+8x+25}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
\(2.\) \(\int{\frac{1}{(ax+b)\sqrt{cx+d}}dx}\) আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।
\(\sqrt{cx+d}\) কে \(t\) দ্বারা প্রতিস্থাপন করে আদর্শ যোগজের সূত্র প্রয়োগ করে সমাধান করতে হয়।
যেমনঃ
\(2.\) \(\int{\frac{1}{(2x+3)\sqrt{4x+5}}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
\(3.\) \(\int{\frac{1}{(cx+d)\sqrt{ax^2+bx+c}}dx}\) আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।
\(\sqrt{cx+d}\) কে \(\frac{1}{t}\) দ্বারা প্রতিস্থাপন করে আদর্শ যোগজের সূত্র প্রয়োগ করে সমাধান করতে হয়।
যেমনঃ
\(3.\) \(\int{\frac{1}{(x-1)\sqrt{x^2+1}}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
\(4.\) \(\int{\frac{1}{(ax^2+b)\sqrt{cx^2+d}}dx}\) আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।
\(\frac{\sqrt{cx^2+d}}{x}\) কে \(t\) দ্বারা প্রতিস্থাপন করে আদর্শ যোগজের সূত্র প্রয়োগ করে সমাধান করতে হয়।
যেমনঃ
\(4.\) \(\int{\frac{1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+4}}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
\(5.\) \(\int{\frac{1}{\sin^{m}{x}\cos^{n}{x}}dx}\), \(m+n=p\) জোড় সংখ্যা, আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।
লব ও হরের সহিত \(\sec^{p}{x}\) দ্বারা গুণ করে, অতঃপর \(\tan{x}\) কে \(t\) দ্বারা প্রতিস্থাপন করে সমাধান করতে হয়।
যেমনঃ
\(5.\) \(\int{\frac{1}{\sqrt{\sin^3{x}}\sqrt{\cos^5{x}}}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
\(6.\) \(\int{\frac{1}{\sin^{m}{x}+\cos^{m}{x}}dx}\), \(m\) জোড় সংখ্যা, আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।
লব ও হরের সহিত \(\sec^{m}{x}\) দ্বারা গুণ করে, অতঃপর \(\tan{x}\) কে \(t\) দ্বারা প্রতিস্থাপন করে সমাধান করতে হয়।
যেমনঃ
\(6.\) \(\int{\frac{\sin{x}\cos{x}}{\sin^4{x}+\cos^4{x}}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
\(7.\) \(\int{\frac{1}{x^{\frac{1}{a}}-x^{\frac{1}{b}}}dx}\), \(\int{\frac{x^{\frac{1}{a}}}{1+x^{\frac{1}{b}}}dx}\), \(b>a\) আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।
\(a\) ও \(b\) এর ল. সা. গু. \(c\) হলে, \(x\) কে \(t^{c}\) দ্বারা প্রতিস্থাপন করে সমাধান করতে হয়।
যেমনঃ
\(7.\) \(\int{\frac{dx}{x^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{1}{4}}}}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
\(8.\) \(\int{\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}dx}\) আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।
লবকে কে বর্গমূল \((\sqrt{})\) মুক্ত করে সমাধান করতে হয়।
যেমনঃ
\(8.\) \(\int{\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\sin^{-1}{x}+\sqrt{1-x^2}+c\)
\(9.\) \(\int{\frac{dx}{\sqrt{(x-\alpha)(x-\beta)}}}\), \(\int{\frac{dx}{\sqrt{(x-\alpha)(\beta-x)}}}\) আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।
১ম যোগজের ক্ষেত্রে \(\sqrt{x-\alpha}+\sqrt{x-\beta}=t\) ধরে সমাধান করতে হয়।
২য় যোগজের ক্ষেত্রে \(\sqrt{x-\alpha}=t\) ধরে সমাধান করতে হয়।
যেমনঃ
\(9.(i)\) \(\int{\frac{dx}{\sqrt{(x-2)(x-3)}}}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2\ln{|\sqrt{x-2}+\sqrt{x-3}|}+c\)
যেমনঃ
\(9.(ii)\) \(\int{\frac{dx}{\sqrt{(x-2)(3-x)}}}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2\sin^{-1}{(\sqrt{x-2})}+c\)
\(10.\) \(\int{\frac{dx}{a+b\sin{x}}}\), \(\int{\frac{dx}{a+b\cos{x}}}\) এবং \(\int{\frac{dx}{a\sin{x}+b\cos{x}+c}}\) আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।
\(\sin{x}\) এবং \(\cos{x}\) কে \(\tan{\frac{x}{2}}\) এ রুপান্তর করে, অতঃপর \(\tan{\frac{x}{2}}=t\) ধরে সমাধান করতে হয়।
যেমনঃ
\(10.(i)\) \(\int{\frac{dx}{3+2\sin{x}}}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{2}{\sqrt{5}}\tan^{-1}{\left\{\frac{1}{\sqrt{5}}(3\tan{\frac{x}{2}}+2)\right\}}+c\)
যেমনঃ
\(10.(ii)\) \(\int{\frac{dx}{3+2\cos{x}}}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{2}{\sqrt{5}}\tan^{-1}{\left(\frac{\tan{\frac{x}{2}}}{\sqrt{5}}\right)}+c\)
যেমনঃ
\(10.(iii)\) \(\int{\frac{dx}{\sin{x}-\cos{x}+1}}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\ln{\left|\frac{\tan{\frac{x}{2}}}{1+\tan{\frac{x}{2}}}\right|}+c\)
[ বুয়েটঃ২০১১-২০১২ ]
\(11.\) \(\int{\frac{dx}{a\sin{x}+b\cos{x}}}\) আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।
\(a=r\cos{\alpha}\) এবং \(b=r\sin{\alpha}\) বসালে যোগজটি \(\frac{1}{r}\int{cosec \ {x+\alpha}}\) আকার ধারণ করে, যেখানে \(r=\sqrt{a^2+b^2}\) অতঃপর \(x+\alpha=t\) ধরে সমাধান করতে হয়।
যেমনঃ
\(11.\) \(\int{\frac{dx}{a\cos{x}+b\sin{x}}}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\ln{\left|\tan{\frac{1}{2}\left\{x+\tan^{-1}{\left(\frac{a}{b}\right)}\right\}}\right|}+c\)
[ কুয়েটঃ২০০৯-২০১০ ]
\(12.\) \(\int{\frac{p\cos{x}+q\sin{x}}{a\cos{x}+b\sin{x}}dx}\) এবং \(\int{\frac{p\cos{x}+q\sin{x}+r}{a\cos{x}+b\sin{x}+c}dx}\) আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।
১ম যোগজের ক্ষেত্রে লব= \(L\times\) ( হর ) +\(M\times\) ( হরের অন্তরকসহগ ) ধরে উভয় পার্শ হতে \(\sin{x}\) ও \(\cos{x}\) এর সহগ সমীকৃত করে, অতঃপর \(L\) ও \(M\) নির্ণয় করে সমাধান করতে হয়।
২য় যোগজের ক্ষেত্রে লব= \(L\times\) ( হর ) +\(M\times\) ( হরের অন্তরকসহগ ) +\(N\) ধরে উভয় পার্শ হতে \(\sin{x}\) ও \(\cos{x}\) এর সহগ এবং ধ্রুবক রাশি সমীকৃত করে, অতঃপর \(L\), \(M\) ও \(N\) নির্ণয় করে সমাধান করতে হয়।
যেমনঃ
\(12.(i)\) \(\int{\frac{2\sin{x}+3\cos{x}}{7\sin{x}-2\cos{x}}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{8x}{53}+\frac{25}{53}\ln{|7\sin{x}-2\cos{x}|}+c\)
যেমনঃ
\(12.(ii)\) \(\int{\frac{1-\sin{x}+\cos{x}}{1+\sin{x}-\cos{x}}dx}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-x+2\ln{\left|\frac{\tan{\frac{x}{2}}}{1+\tan{\frac{x}{2}}}\right|}+c\)
\(13.\) \(\int{\frac{1}{(x-a)^m(x-b)^n}dx}\) আকারের যোগজের ক্ষেত্রে।
\(x-a=t(x-b)\) ধরে সমাধান করতে হয়।
যেমনঃ
\(13.\) \(\int{\frac{dx}{(x-b)^3(x-a)^2}}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{(a-b)^4}\left[\frac{3(x-a)}{x-b}+3\ln{\left|\frac{x-b}{x-a}\right|}-\frac{(x-a)^2}{2(x-b)^2}-\frac{x-b}{x-a}\right]+c\)
অনুশীলনী \(10.D\) উদাহরণ সমুহ
যোজিত ফল নির্ণয় করঃ
\((1.)\) \(\int{\frac{dx}{x^2+25}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{5}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{5}\right)}+c\)

\((2.)\) \(\int{\frac{dx}{\sqrt{9-4x^2}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{2x}{3}\right)}+c\)

\((3.)\) \(\int{\frac{1}{9x^2-16}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{24}\ln{|\frac{3x-4}{3x+4}|}+c\)

\((4.)\) \(\int{\frac{1}{x^2+x+1}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{\sqrt{3}}\tan^{-1}{\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)}+c\)

\((5.)\) \(\int{\frac{xdx}{2x^4-3x^2-2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{10}\ln{\left|\frac{x^2-2}{2x^2+1}\right|}+c\)

\((6.)\) \(\int{\frac{e^xdx}{5-4e^x-e^{2x}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{6}\ln{\left|\frac{5+e^x}{1-e^x}\right|}+c\)

\((7.)\) \(\int{\frac{(3x-5)dx}{x^2-2x+10}}\)
উত্তরঃ \(\frac{3}{2}\ln{\left|x^2-2x+10\right|}-\frac{2}{3}\tan^{-1}{\left(\frac{x-1}{3}\right)}+c\)

\((8.)\) \(\int{\frac{dx}{\sqrt{2x^2+3x+4}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{2}}\ln{\left|x+\frac{3}{4}+\sqrt{x^2+\frac{3}{2}x+2}\right|}+c\)

\((9.)\) \(\int{\frac{dx}{\sqrt{3-5x-2x^2}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin^{-1}{\left(\frac{4x+5}{7}\right)}+c\)

\((10.)\) \(\int{\frac{(x+1)}{\sqrt{4+8x-5x^2}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{9}{5\sqrt{5}}\sin^{-1}{\left(\frac{5x-4}{6}\right)}-\frac{1}{5}\sqrt{4+8x-5x^2}+c\)

\((11.)\) \(\int{\frac{dx}{(2x-3)\sqrt{3x+2}}}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{\sqrt{26}}\ln{\left|\frac{\sqrt{6x+4}-\sqrt{13}}{\sqrt{6x+4}+\sqrt{13}}\right|}+c\)

\((12.)\) \(\int{\frac{dx}{(x-3)\sqrt{2x^2-12x+17}}}\)
উত্তরঃ \(-\sin^{-1}{\left(\frac{1}{\sqrt{2}(x-3)}\right)}+c\)

\((13.)\) \(\int{\frac{dx}{(2x^2+a^2)\sqrt{x^2+a^2}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{a^2}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}\right)}+c\)

\((14.)\) \(\int{\frac{1}{(x-b)^3(x-a)^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{(a-b)^4}\left[\frac{3(x-a)}{x-b}+3\ln{\left|\frac{x-b}{x-a}\right|}-\frac{(x-a)^2}{2(x-b)^2}-\frac{x-b}{x-a}\right]+c\)

\((15.)\) \(\int{\frac{dx}{9x^2+4}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{6}\tan^{-1}{\left(\frac{3x}{2}\right)}+c\)

\((16.)\) \(\int{\frac{dx}{\sqrt{5-4x^2}}}\)
উত্তরঃ \(\sin^{-1}{\left(\frac{\sqrt{2}x}{\sqrt{5}}\right)}+c\)

\((17.)\) \(\int{\frac{dx}{16x^2-9}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{24}\ln{\left|\frac{4x-3}{4x+2}\right|}+c\)

অনুশীলনী \(10.D / Q.1\)-এর অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমুহ
যোজিত ফল নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(i)\) \(\int{\frac{dx}{16+x^2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{4}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{4}\right)}+c\)

\(Q.1.(ii)\) \(\int{\frac{1}{16a^2+x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{4a}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{4a}\right)}+c\)

\(Q.1.(iii)\) \(\int{\frac{1}{9+x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{3}\right)}+c\)

\(Q.1.(iv)\) \(\int{\frac{1}{9x^2+4}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{6}\tan^{-1}{\left(\frac{3x}{2}\right)}+c\)
[ বঃ২০০৭; সিঃ২০০২; কুঃ২০০০ ]

\(Q.1.(v)\) \(\int{\frac{dx}{\sqrt{25-x^2}}}\)
উত্তরঃ \(\sin^{-1}{\left(\frac{x}{5}\right)}+c\)
[ দিঃ২০১০; চঃ ২০০৩ ]

\(Q.1.(vi)\) \(\int{\frac{dx}{\sqrt{25-16x^2}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{4}\sin^{-1}{\left(\frac{4x}{5}\right)}+c\)
[সিঃ ২০০৯ ]

\(Q.1.(vii)\) \(\int{\frac{dx}{\sqrt{5-4x^2}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{2x}{\sqrt{5}}\right)}+c\)
[ যঃ ২০১১; চঃ২০১১,২০০৩; বঃ ২০১০,২০০৬; ঢাঃ২০০৯; রাঃ২০০৮ ]

\(Q.1.(viii)\) \(\int{\frac{dx}{\sqrt{2-3x^2}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{3}}\sin^{-1}{\left(\sqrt{\frac{3}{2}}x\right)}+c\)
[ যঃ ২০০৫; কুঃ২০১০,২০০৭ ]

\(Q.1.(ix)\) \(\int{\frac{dx}{\sqrt{9-16x^2}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{4}\sin^{-1}{\left(\frac{4x}{3}\right)}+c\)
[ যঃ ২০০৫; কুঃ২০১০,২০০৭; ঢাঃ২০০৪,২০০৬; রাঃ২০০৩,২০০৬ ]

\(Q.1.(x)\) \(\int{\frac{dx}{\sqrt{12-16x^2}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{4}\sin^{-1}{\left(\frac{2x}{\sqrt{3}}\right)}+c\)
[ বঃ২০১৭ ]

\(Q.1.(xi)\) \(\int{\frac{dx}{16-4x^2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{16}\ln{\left|\frac{2+x}{2-x}\right|}+c\)
[ সিঃ২০০১ ]

\(Q.1.(xii)\) \(\int{\frac{dx}{9-4x^2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{12}\ln{\left|\frac{3+2x}{3-2x}\right|}+c\)
[ সিঃ২০০১ ]

\(Q.1.(xiii)\) \(\int{\sqrt{1-9x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{x\sqrt{1-9x^2}}{2}+\frac{1}{6}\sin^{-1}{(3x)}+c\)
[ বঃ২০০১ ]

\(Q.1.(xiv)\) \(\int{\frac{1}{2x^2+x+1}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{\sqrt{7}}\tan^{-1}{\left(\frac{4x+1}{\sqrt{7}}\right)}+c\)

\(Q.1.(xv)\) \(\int{\frac{1}{x^2-x+1}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{\sqrt{3}}\tan^{-1}{\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)}+c\)
[ চঃ২০০৩ ]

\(Q.1.(xvi)\) \(\int{\frac{dx}{\sqrt{x(4-x)}}}\)
উত্তরঃ \(\sin^{-1}{\left(\frac{x-2}{2}\right)}+c\)

\(Q.1.(xvii)\) \(\int{\frac{dx}{\sqrt{2ax-x^2}}}\)
উত্তরঃ \(\sin^{-1}{\left(\frac{x-a}{a}\right)}+c\)
[ যঃ২০০৯]

\(Q.1.(xviii)\) \(\int{\frac{dx}{\sqrt{15-4x-4x^2}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{2x+1}{4}\right)}+c\)

\(Q.1.(xix)\) \(\int{\frac{1}{5+4x-x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{6}\ln{\left|\frac{x+1}{5-x}\right|}+c\)
[ কুয়েটঃ২০০৪-২০০৫]

\(Q.1.(xx)\) \(\int{\frac{1}{\sqrt{x^2+4x+13}}dx}\)
উত্তরঃ \(\ln{\left|(x+2)+\sqrt{x^2+4x+13}\right|}+c\)
[ রাঃ২০০২]

\(Q.1.(xxi)\) \(\int{\frac{dx}{\sqrt{2x+x^2}}}\)
উত্তরঃ \(\ln{\left|(x+1)+\sqrt{2x+x^2}\right|}+c\)

\(Q.1.(xxii)\) \(\int{\sqrt{2ax-x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{(x-a)\sqrt{2ax-x^2}}{2}+\frac{a^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x-a}{a}\right)}+c\)

\(Q.1.(xxiii)\) \(\int{\frac{1}{4x^2+9}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{6}\tan^{-1}{\left(\frac{2x}{3}\right)}+c\)

\(Q.1.(xxiv)\) \(\int{\frac{1}{x^2+4x+13}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}\tan^{-1}{\left(\frac{x+2}{3}\right)}+c\)

\(Q.1.(xxv)\) \(\int{\frac{dx}{\sqrt{12x-9x^2}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}\sin^{-1}{\left(\frac{3x-2}{2}\right)}+c\)

\(Q.1.(xxvi)\) \(\int{\frac{dx}{x^2+x}}\)
উত্তরঃ \(\ln{\left|\frac{x}{x+1}\right|}+c\)

\(Q.1.(xxvii)\) \(\int{\sqrt{16-9x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{x\sqrt{16-9x^2}}{2}+\frac{8}{3}\sin^{-1}{\left(\frac{3x}{4}\right)}+c\)

\(Q.1.(xxviii)\) \(\int{\sqrt{a^2-x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{a^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{a}\right)}+\frac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2}+c\)

অনুশীলনী \(10.D / Q.2\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমুহ
যোজিত ফল নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(i)\) \(\int{\frac{xdx}{x^4+1}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\tan^{-1}{(x^2)}+c\)
[ বঃ২০১১; রাঃ২০০৮ ]

\(Q.2.(ii)\) \(\int{\frac{xdx}{x^4-4}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{8}\ln{\left|\frac{x^2-2}{x^2+2}\right|}+c\)

\(Q.2.(iii)\) \(\int{\frac{xdx}{x^4+3}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2\sqrt{3}}\tan^{-1}{\left(\frac{x^2}{\sqrt{3}}\right)}+c\)

\(Q.2.(iv)\) \(\int{\frac{3x^2}{1+x^6}dx}\)
উত্তরঃ \(\tan^{-1}{(x^3)}+c\)
[ চঃ২০০৮ ]

\(Q.2.(v)\) \(\int{\frac{5e^{2x}}{1+e^{4x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{5}{2}\tan^{-1}{\left(e^{2x}\right)}+c\)
[ চঃ২০১১, ২০০১ ]

\(Q.2.(vi)\) \(\int{\frac{1}{e^x+e^{-x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\tan^{-1}{\left(e^{x}\right)}+c\)
[ সিঃ২০১০; বঃ২০০৯,২০০৭,২০০৫; চঃ২০০৮; রাঃ২০০৭; ঢাঃ২০০৬; যঃ২০০৩ ]

\(Q.2.(vii)\) \(\int{\frac{x^2}{e^{x^3}+e^{-x^3}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}\tan^{-1}{\left(e^{x^3}\right)}+c\)
[ কুয়েটঃ২০১০-২০১১ ]

\(Q.2.(viii)\) \(\int{\frac{\cos{2x}dx}{\sin^2{2x}+8}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{2}}{8}\tan^{-1}{\left(\frac{\sin{2x}}{2\sqrt{2}}\right)}+c\)

\(Q.2.(ix)\) \(\int{\frac{d\theta}{1+3\cos^2{\theta}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\tan^{-1}{\left(\frac{1}{2}\tan{\theta}\right)}+c\)
[ চঃ২০১৩,২০০৯; রাঃ২০০৭; বঃ২০০৫; ঢাঃ২০১২; কুঃ২০১৫; বুটেক্সঃ২০০২-২০০৩ ]

\(Q.2.(x)\) \(\int{\frac{dx}{1+\cos^2{x}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{2}}\tan^{-1}{\left(\frac{\tan{x}}{\sqrt{2}}\right)}+c\)
[ রাঃ২০০৬ ]

\(Q.2.(xi)\) \(\int{\frac{x^2+1}{x^4+1}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{2}}\tan^{-1}{\left(\frac{x^2-1}{\sqrt{2}x}\right)}+c\)
[ বুয়েটঃ২০১৪-২০১৫ ]

\(Q.2.(xii)\) \(\int{\frac{\sec^2{x}dx}{\sqrt{1-\tan^2{x}}}}\)
উত্তরঃ \(\sin^{-1}{(\tan{x})}+c\)

\(Q.2.(xiii)\) \(\int{\frac{x^2dx}{\sqrt{1-x^6}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}\sin^{-1}{(x^3)}+c\)
[ যঃ২০১১; বঃ২০০৮; ঢাঃ২০০২]

\(Q.2.(xiv)\) \(\int{\frac{x^2-1}{x^4+1}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln{\left|\frac{x^2+1-\sqrt{2}x}{x^2+1+\sqrt{2}x}\right|}+c\)

\(Q.2.(xv)\) \(\int{\frac{1}{e^x-e^{-x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\ln{\left|\frac{e^x-1}{e^x+1}\right|}+c\)
[ বুয়েটঃ২০০৫ ]

\(Q.2.(xvi)\) \(\int{\frac{x^2}{e^{x^3}-e^{-x^3}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{6}\ln{\left|\frac{e^{x^3}-1}{e^{x^3}+1}\right|}+c\)
[ বুয়েটঃ২০০১-২০০২ ]

\(Q.2.(xvii)\) \(\int{\frac{\cos{x}dx}{3+\cos^2{x}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{4}\ln{\left|\frac{2+\sin{x}}{2-\sin{x}}\right|}+c\)
[ কুয়েটঃ২০০৫-২০০৬; বুটেক্সঃ২০০৬-২০০৭ ]

\(Q.2.(xviii)\) \(\int{\frac{e^x}{\sqrt{e^{2x}+1}}dx}\)
উত্তরঃ \(\ln{\left|e^x+\sqrt{e^{2x}+1}\right|}+c\)

\(Q.2.(xix)\) \(\int{\frac{dx}{(a^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{x}{a^2\sqrt{a^2+x^2}}+c\)
[ রুয়েটঃ২০০৬-২০০৭; যঃ২০০২ ]

\(Q.2.(xx)\) \(\int{\frac{dx}{(x^2+9)^{2}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{108}\left[2\tan^{-1}{\left(\frac{x}{3}\right)}+\sin{\left\{2\tan^{-1}{\left(\frac{x}{3}\right)}\right\}}\right]+c\)
[ বুয়েটঃ২০০০-২০০১ ]

\(Q.2.(xxi)\) \(\int{\frac{dx}{x\sqrt{x^2+1}}}\)
উত্তরঃ \(\ln{\left|\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\right|}+c\)
[ চুয়েটঃ২০১০-২০১১ ]

\(Q.2.(xxii)\) \(\int{\frac{dx}{a^2\sin^2{x}+b^2\cos^2{x}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{ab}\tan^{-1}{\left(\frac{a\tan{x}}{b}\right)}+c\)

\(Q.2.(xxiii)\) \(\int{\frac{dx}{a^2\cos^2{x}-b^2\sin^2{x}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2ab}\ln{\left|\frac{a+b\tan{x}}{a-b\tan{x}}\right|}+c\)

\(Q.2.(xxiv)\) \(\int{\frac{dx}{25\sin^2{x}-16\cos^2{x}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{40}\ln{\left|\frac{5\tan{x}-4}{5\tan{x}+4}\right|}+c\)

\(Q.2.(xxv)\) \(\int{\frac{dx}{a^2+b^2\sin^2{x}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{a\sqrt{a^2+b^2}}\tan^{-1}{\left(\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}\tan{x}\right)}+c\)

\(Q.2.(xxvi)\) \(\int{\frac{e^x}{1+e^{2x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\tan^{-1}{\left(e^x\right)}+c\)

\(Q.2.(xxvii)\) \(\int{\frac{\sin{8x}}{9+\sin^4{4x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{12}\tan^{-1}{\left(\frac{1}{3}\sin^2{4x}\right)}+c\)

\(Q.2.(xxviii)\) \(\int{\frac{\sec^2{x}}{4+9\tan^2{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{6}\tan^{-1}{\left(\frac{3}{2}\tan{x}\right)}+c\)

\(Q.2.(xxix)\) \(\int{\frac{\cos{x}}{9+\sin^2{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}\tan^{-1}{\left(\frac{1}{3}\sin{x}\right)}+c\)

\(Q.2.(xxx)\) \(\int{\frac{dx}{(1+x^2)\sqrt{1-(\tan^{-1}{x})^2}}}\)
উত্তরঃ \(\sin^{-1}{(\tan^{-1}{x})}+c\)

\(Q.2.(xxxi)\) \(\int{\frac{x+35}{x^2-25}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\ln{\left|x^2-25\right|}+\frac{7}{2}\ln{\left|\frac{x-5}{x+5}\right|}+c\)

\(Q.2.(xxxii)\) \(\int{\frac{x^2}{x^2-4}dx}\)
উত্তরঃ \(x+\ln{\left|\frac{x-2}{x+2}\right|}+c\)
[ রাঃ২০১১; বঃ২০০৮ ]

\(Q.2.(xxxiii)\) \(\int{\frac{dx}{x\sqrt{x^4-1}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\sec^{-1}{(x^2)}+c\)

\(Q.2.(xxxiv)\) \(\int{\frac{x^2-1}{x^2-4}dx}\)
উত্তরঃ \(x+\frac{3}{4}\ln{\left|\frac{x-2}{x+2}\right|}+c\)
[ ঢাঃ২০১৫,২০১১; সিঃ২০১২; বঃ২০১৩ ]

\(Q.2.(xxxv)\) \(\int{\frac{dx}{(a^2-x^2)^{\frac{3}{2}}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{x}{a^2\sqrt{a^2-x^2}}+c\)

\(Q.2.(xxxvi)\) \(\int{\frac{x^2dx}{x^{4}+a^{4}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2\sqrt{2}a}\left\{\tan^{-1}{\left(\frac{x^2-a^2}{\sqrt{2}ax}\right)} +\frac{1}{2}\ln{\left|\frac{x^2+a^2-\sqrt{2}ax}{x^2+a^2+\sqrt{2}ax}\right|}\right\}+c\)

\(Q.2.(xxxvii)\) \(\int{\frac{dx}{(e^x-1)^2}}\)
উত্তরঃ \(\ln{\left|\frac{e^x}{e^x-1}\right|}-\frac{1}{e^x-1}+c\)

অনুশীলনী \(10.D / Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমুহ
যোজিত ফল নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(i)\) \(\int{\frac{dx}{(x+2)\sqrt{x+3}}}\)
উত্তরঃ \(\ln{\left|\frac{\sqrt{x+3}-1}{\sqrt{x+3}+1}\right|}+c\)

\(Q.3.(ii)\) \(\int{\frac{dx}{(2x+1)\sqrt{4x+3}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\ln{\left|\frac{\sqrt{4x+3}-1}{\sqrt{4x+3}+1}\right|}+c\)

\(Q.3.(iii)\) \(\int{\frac{dx}{(2x+1)\sqrt{x+3}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{10}}\ln{\left|\frac{\sqrt{2x+6}-\sqrt{5}}{\sqrt{2x+6}+\sqrt{5}}\right|}+c\)

\(Q.3.(iv)\) \(\int{\frac{dx}{x^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{1}{4}}}}\)
উত্তরঃ \(2\sqrt{x}+4\sqrt[4]{x}+4\ln{|\sqrt[4]{x}-1|}+c\)
[ চঃ২০১০,২০১৫; রাঃ২০০৭; যঃ২০০০ ]

\(Q.3.(v)\) \(\int{\frac{\sqrt{x}dx}{1+\sqrt[3]{x}}}\) এর যোজিত ফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{6}{7}x^{\frac{7}{6}}-\frac{6}{5}x^{\frac{5}{6}}+2x^{\frac{1}{2}}\) \(-6x^{\frac{1}{6}}+6\tan^{-1}{\left(x^{\frac{1}{6}}\right)}+c\)
[ চঃ২০০০ ]

\(Q.3.(vi)\) \(\int{\frac{1}{1+\tan{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}(x+\ln{|\cos{x}+\sin{x}|})+c\)
[ দিঃ২০১৪; রাঃ২০১২,২০০৮; যঃ২০১২; বঃ২০১৪,২০১২,২০০৯; ঢাঃ২০১০,২০০৮ ]

\(Q.3.(vii)\) \(\int{\frac{dx}{2+\cot{x}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{5}(2x-\ln{|2\sin{x}+\cos{x}|})+c\)

\(Q.3.(viii)\) \(\int{\frac{3\sin{x}dx}{\cos{x}+\sin{x}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{3}{2}(x-\ln{|\cos{x}+\sin{x}|})+c\)

\(Q.3.(ix)\) \(\int{\frac{dx}{a+b\cos{x}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{\sqrt{a^2-b^2}}\tan^{-1}{\left(\frac{\sqrt{a-b}\tan{\frac{x}{2}}}{\sqrt{a+b}}\right)}+c\)
[ রুয়েটঃ২০১০-২০১১ ]

\(Q.3.(x)\) \(\int{\frac{dx}{1+\sin{x}-\cos{x}}}\)
উত্তরঃ \(\ln{\left|\frac{\tan{\frac{x}{2}}}{1+\tan{\frac{x}{2}}}\right|}+c\)
[ বুয়েটঃ২০১১-২০১২ ]

\(Q.3.(xi)\) \(\int{\frac{dx}{a\cos{x}+b\sin{x}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\ln{\left|\tan{\frac{1}{2}\left\{x+\tan^{-1}{\left(\frac{a}{b}\right)}\right\}}\right|}+c\)
[ কুয়েটঃ২০০৯-২০১০ ]

\(Q.3.(xii)\) \(\int{\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\sin^{-1}{x}+\sqrt{1-x^2}+c\)

\(Q.3.(xiii)\) \(\int{\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\sin^{-1}{x}-\sqrt{1-x^2}+c\)
[ কুয়েটঃ২০১১-২০১২ ]

\(Q.3.(xiv)\) \(\int{\sqrt{\frac{5-x}{5+x}}dx}\)
উত্তরঃ \(5\sin^{-1}{\left(\frac{x}{5}\right)}+\sqrt{25-x^2}+c\)

\(Q.3.(xv)\) \(\int{\frac{dx}{\sqrt{(x-2)(x-3)}}}\)
উত্তরঃ \(2\ln{|\sqrt{x-2}+\sqrt{x-3}|}+c\)

\(Q.3.(xvi)\) \(\int{\frac{dx}{\sqrt{(x-2)(3-x)}}}\)
উত্তরঃ \(2\sin^{-1}{(\sqrt{x-2})}+c\)

\(Q.3.(xvii)\) \(\int{\sqrt{\frac{a+x}{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\sqrt{ax+x^2}+\frac{a}{2}\ln{\left|\sqrt{ax+x^2}+\left(x+\frac{a}{2}\right)\right|}+c\)

\(Q.3.(xviii)\) \(\int{\sqrt{\tan{y}}+\sqrt{\cot{y}}dy}\)
উত্তরঃ \(\sqrt{2}\sin^{-1}{(\sin{y}-\cos{y})}+c\)

\(Q.3.(xix)\) \(\int{\sqrt{\tan{y}}dy}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{2}}\tan^{-1}\left(\frac{\tan{y}-1}{\sqrt{2\tan{y}}}\right)\) \(+\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln{\left|\frac{\tan{y}-\sqrt{2\tan{y}}+1}{\tan{y}+\sqrt{2\tan{y}}+1}\right|}+c\)

\(Q.3.(xx)\) \(\int{\frac{\sin{y}dy}{\sin{(y+a)}}}\)
উত্তরঃ \(y\cos{a}-\sin{a}\ln{|\sin{(y+a)}|}+c\)

\(Q.3.(xxi)\) \(\int{\frac{dy}{\sqrt{y}+\sqrt{1-y}}}\)
উত্তরঃ \(\sqrt{y}-\sqrt{1-y}-\frac{1}{\sqrt{2}}\ln{\left|\tan{\frac{1}{2}\left\{\sin^{-1}{(\sqrt{y})}+\frac{\pi}{4}\right\}}\right|}+c\)

\(Q.3.(xxii)\) \(\int{\frac{dx}{4+5\sin{x}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}\ln{\left|\frac{2\tan{\left(\frac{x}{2}\right)}+1}{2\tan{\left(\frac{x}{2}\right)}+4}\right|}+c\)

\(Q.3.(xxiii)\) \(\int{\frac{dx}{5+4\cos{x}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{3}\tan^{-1}{\left\{\frac{1}{3}\tan{\left(\frac{x}{2}\right)}\right\}}+c\)

\(Q.3.(xxiv)\) \(\int{\frac{dx}{3+2\cos{x}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{\sqrt{5}}\tan^{-1}{\left\{\frac{1}{\sqrt{5}}\tan{\left(\frac{x}{2}\right)}\right\}}+c\)

\(Q.3.(xxv)\) \(\int{\frac{dx}{4+5\cos{x}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}\ln{\left|\frac{3+\tan{\left(\frac{x}{2}\right)}}{3-\tan{\left(\frac{x}{2}\right)}}\right|}+c\)

\(Q.3.(xxvi)\) \(\int{\frac{dx}{5-13\sin{x}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{12}\ln{\left|\frac{5\tan{\left(\frac{x}{2}\right)}-25}{5\tan{\left(\frac{x}{2}\right)}-1}\right|}+c\)

\(Q.3.(xxvii)\) \(\int{\frac{dx}{5+4\sin{x}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{3}\tan^{-1}{\left[\frac{1}{3}\left\{5\tan{\left(\frac{x}{2}\right)}+4\right\}\right]}+c\)

\(Q.3.(xxviii)\) \(\int{\frac{dx}{3+5\cos{x}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{4}\ln{\left|\frac{2+\tan{\left(\frac{x}{2}\right)}}{2-\tan{\left(\frac{x}{2}\right)}}\right|}+c\)

\(Q.3.(xxix)\) \(\int{\frac{5\sin{x}+4\cos{x}}{2\sin{x}+3\cos{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{22x}{13}-\frac{7}{13}\ln{\left|2\sin{x}+3\cos{x}\right|}+c\)

\(Q.3.(xxx)\) \(\int{\frac{4\sin{x}+3\cos{x}}{5\sin{x}+4\cos{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{32x}{41}-\frac{1}{41}\ln{\left|5\sin{x}+4\cos{x}\right|}+c\)

\(Q.3.(xxxi)\) \(\int{\frac{11\cos{x}-16\sin{x}}{2\cos{x}+5\sin{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(3\ln{\left|2\cos{x}+5\sin{x}\right|}-2x+c\)

\(Q.3.(xxxii)\) \(\int{\frac{2\sin{x}+3\cos{x}}{3\sin{x}+4\cos{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{18x}{25}+\frac{1}{25}\ln{\left|3\sin{x}+4\cos{x}\right|}+c\)

\(Q.3.(xxxiii)\) \(\int{\frac{6+3\sin{x}+14\cos{x}}{3+4\sin{x}+5\cos{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(2x+\ln{\left|3+4\sin{x}+5\cos{x}\right|}+c\)

\(Q.3.(xxxiv)\) \(\int{\frac{1-\sin{x}-\cos{x}}{1+\sin{x}-\cos{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\ln{\left|\frac{\tan{\left(\frac{x}{2}\right)}}{1+\tan{\left(\frac{x}{2}\right)}}\right|}-\ln{|1+\sin{x}-\cos{x}|}+c\)

\(Q.3.(xxxv)\) \(\int{\frac{\cos{x}+2\sin{x}+3}{4\cos{x}+5\sin{x}+6}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{14x}{41}-\frac{3}{41}\ln{\left|4\cos{x}+5\sin{x}+6\right|}\)
\(+\frac{39}{41\sqrt{5}}\ln{\left|\frac{2\tan{\left(\frac{x}{2}\right)}+5-\sqrt{5}}{2\tan{\left(\frac{x}{2}\right)}+5+\sqrt{5}}\right|}+c\)

\(Q.3.(xxxvi)\) \(\int{\frac{2\sin{x}+\cos{x}+3}{\sin{x}+2\cos{x}+4}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{4x}{5}-\frac{3}{5}\ln{\left|\sin{x}+2\cos{x}+4\right|}\)\(-\frac{2}{5\sqrt{11}}\tan^{-1}{\left[\frac{1}{\sqrt{11}}\left\{1+2\tan{\left(\frac{x}{2}\right)}\right\}\right]}+c\)

\(Q.3.(xxxvii)\) \(\int{\frac{dx}{(x-1)\sqrt{x+4}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{5}}\ln{\left|\frac{\sqrt{x+4}-\sqrt{5}}{\sqrt{x+4}+\sqrt{5}}\right|}+c\)

\(Q.3.(xxxviii)\) \(\int{\frac{dx}{(x-3)\sqrt{x+1}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\ln{\left|\frac{\sqrt{x+1}-2}{\sqrt{x+1}+2}\right|}+c\)
[ ঢাঃ২০১০,বঃ২০১৩ ]

\(Q.3.(xxxix)\) \(\int{\frac{dx}{(1-x)\sqrt{1-x^2}}}\)
উত্তরঃ \(\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}+c\)
[ ঢাঃ২০১০,বঃ২০১৩ ]

\(Q.3.(xL)\) \(\int{\sqrt{1+\sec{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(2\sin^{-1}{\left\{\sqrt{2}\sin{\left(\frac{x}{2}\right)}\right\}}+c\)

\(Q.3.(xLi)\) \(\int{\cos{\left\{2\cot^{-1}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right\}}dx}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{2}x^2+c\)

\(Q.3.(xLii)\) \(\int{\sin{\left\{2\tan^{-1}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right\}}dx}\)
উত্তরঃ \(-\frac{1}{2}\cos^{-1}{x}+\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}+c\)

\(Q.3.(xLiii)\) \(\int{\frac{dx}{x+\sqrt{x}}}\)
উত্তরঃ \(2\ln{(\sqrt{x}+1)}+c\)

\(Q.3.(xLiv)\) \(\int{x\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{x\sqrt{1-x^2}}{2}-\frac{1}{2}\sin^{-1}{x}-\sqrt{1-x^2}+c\)

\(Q.3.(xLv)\) \(\int{\sin^{-1}{\sqrt{\frac{x}{a+x}}}dx}\)
উত্তরঃ \((a+x)\tan^{-1}{\left(\sqrt{\frac{x}{a}}\right)}-\sqrt{(ax)}+c\)

Please leave your question below

2 Question(s)
imonhaider
October 29, 2019, 12:15 am
\[\frac{d}{dx}(e^{x^2})=?\]
Reply
Tanmoy
October 28, 2019, 11:53 pm
\[\int{\frac{dx}{1+x^2}}=? \]
Reply

Post List

MATH. LIST
Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Trigonometry 11 and 12 standard
Statistics 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard
Vector 11 and 12 standard
Vector Honours course standard