\(\int{\frac{2x}{x^2-5x+6}dx}\)
\(=\int{\frac{2x}{x^2-3x-2x+6}dx}\)
\(=\int{\frac{2x}{x(x-3)-2(x-3)}dx}\)
\(=\int{\frac{2x}{(x-3)(x-2)}dx}\)
ধরি,
\(\frac{2x}{(x-3)(x-2)}\equiv \frac{A}{x-3}+\frac{B}{x-2} .......(i)\)
\(\Rightarrow 2x\equiv A(x-2)+B(x-3) .......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \((x-3)(x-2)\) গুন করে।
এখানে, \((x-3)(x-2)\) দুইটি উৎপাদক এর যে কোনো একটি সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x-3=0\)
\(\Rightarrow x=3\)
এখন, \(x=3\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(2.3=A(3-2)+B.0\)
\(\Rightarrow 6=A.1+0\)
\(\Rightarrow 6=A\)
\(\therefore A=6\)
\(A\) ও \(B\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{2x}{(x-3)(x-2)}=\frac{6}{x-3}+\frac{-4}{x-2}\)
\(\therefore \frac{2x}{(x-3)(x-2)}=\frac{6}{x-3}-\frac{4}{x-2}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left(\frac{6}{x-3}-\frac{4}{x-2}\right)dx}\)
\(=6\int{\frac{1}{x-3}dx}-4\int{\frac{1}{x-2}dx}\)
\(=6\ln{\left|x-3\right|}-4\ln{\left|x-2\right|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকদ্বয়ের \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।

\(\int{\frac{2x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)}dx}\)
এখন,
\(\frac{2x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\frac{2.1-1}{(x-1)(1-2)(1-3)}+\frac{2.2-1}{(2-1)(x-2)(2-3)}+\frac{2.3-1}{(3-1)(3-2)(x-3)}\) ➜Note এখানে \((x-1)\) ব্যতীত \(\frac{2x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=1\), \((x-2)\) ব্যতীত \(\frac{2x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=2\) এবং \((x-3)\) ব্যতীত \(\frac{2x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=3\) বসানো হয়েছে।
\(\Rightarrow \frac{2x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\frac{2-1}{(x-1)(-1)(-2)}+\frac{4-1}{(1)(x-2)(-1)}+\frac{6-1}{(2)(1)(x-3)}\)
\(\therefore \frac{2x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\frac{1}{2(x-1)}-\frac{3}{x-2}+\frac{5}{2(x-3)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{2(x-1)}-\frac{3}{x-2}+\frac{5}{2(x-3)}\right\}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x-1}dx}-3\int{\frac{1}{x-2}dx}+\frac{5}{2}\int{\frac{1}{x-3}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\ln{|x-1|}-3\ln{|x-2|}+\frac{5}{2}\ln{|x-3|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।

\(\int{\frac{2x-1}{(x+1)(x-2)^2}dx}\)
এখন,
\(\frac{2x-1}{(x+1)(x-2)^2}=\frac{1}{x-2}\left\{\frac{2x-1}{(x+1)(x-2)}\right\}\)
\(=\frac{1}{x-2}\left\{\frac{2(-1)-1}{(x+1)(-1-2)}+\frac{2.2-1}{(2+1)(x-2)}\right\}\) ➜Note এখানে \((x+1)\) ব্যতীত \(\frac{2x-1}{(x+1)(x-2)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=-1\) এবং \((x-2)\) ব্যতীত \(\frac{2x-1}{(x+1)(x-2)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=2\) বসানো হয়েছে।
\(=\frac{1}{x-2}\left\{\frac{-2-1}{(x+1)(-3)}+\frac{4-1}{3(x-2)}\right\}\)
\(=\frac{1}{x-2}\left\{\frac{-3}{(x+1)(-3)}+\frac{3}{3(x-2)}\right\}\)
\(=\frac{1}{x-2}\left\{\frac{1}{(x+1)}+\frac{1}{(x-2)}\right\}\)
\(=\frac{1}{(x+1)(x-2)}+\frac{1}{(x-2)^2}\)
\(=\frac{1}{(x+1)(-1-2)}+\frac{1}{(2+1)(x-2)}+\frac{1}{(x-2)^2}\) ➜Note এখানে \((x+1)\) ব্যতীত \(\frac{1}{(x+1)(x-2)}\) এর অপর উৎপাদকে \(x=-1\) এবং \((x-2)\) ব্যতীত \(\frac{1}{(x+1)(x-2)}\) এর অপর উৎপাদকে \(x=2\) বসানো হয়েছে।
\(=\frac{1}{(x+1)(-3)}+\frac{1}{3(x-2)}+\frac{1}{(x-2)^2}\)
\(=-\frac{1}{3(x+1)}+\frac{1}{3(x-2)}+\frac{1}{(x-2)^2}\)
\(\therefore \frac{2x-1}{(x+1)(x-2)^2}=\frac{1}{3(x-2)}-\frac{1}{3(x+1)}+\frac{1}{(x-2)^2}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{3(x-2)}-\frac{1}{3(x+1)}+\frac{1}{(x-2)^2}\right\}dx}\)
\(=\frac{1}{3}\int{\frac{1}{x-2}dx}-\frac{1}{3}\int{\frac{1}{x+1}dx}+\int{\frac{1}{(x-2)^2}dx}\)
\(=\frac{1}{3}\ln{|x-2|}-\frac{1}{3}\ln{|x+1|}-\frac{1}{(x-2)}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}, \int{\frac{1}{x^2}dx}=-\frac{1}{x}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।

\(\int{\frac{2x}{(x-1)(x^2+4)}dx}\)
ধরি, \(\frac{2x}{(x-1)(x^2+4)}\equiv \frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+4} .......(i)\)
\(\Rightarrow 2x\equiv A(x^2+4)+(Bx+C)(x-1) .......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \((x-1)(x^2+4)\) গুন করে।
এখানে, \((x-1)(x^2+4)\) দুইটি উৎপাদক এর মধ্যে \((x-1)\) সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x-1=0\)
\(\Rightarrow x=1\)
এখন, \(x=1\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(2.1=A(1^2+4)+(B.1+C).0\)
\(\Rightarrow 2=A(1+4)+0\)
\(\Rightarrow 2=5A\)
\(\Rightarrow 5A=2\)
\(\therefore A=\frac{2}{5}\)
এখন,
\((ii)\) এর উভয় পার্শ হতে \(x^2\) এবং \(x\) এর সহগ সমীকৃত করে পাই। ➜Note অপর উৎপাদকটি \((x^2+4)\) জটিল দ্বিঘাত বলে এটি শুন্য ধরে \(x\) এর বাস্তব মান পাওয়া যাবে না।
\(0=A+B\)
\(\Rightarrow A+B=0\)
\(\Rightarrow B=-A\)
\(\therefore B=-\frac{2}{5}\) ➜Note \(\because A=\frac{2}{5}\)
\(A\), \(B\) ও \(C\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{2x}{(x-1)(x^2+4)}=\frac{\frac{2}{5}}{x-1}+\frac{-\frac{2}{5}x+\frac{8}{5}}{x^2+4}\)
\(\therefore \frac{2x}{(x-1)(x^2+4)}=\frac{2}{5(x-1)}-\frac{2x}{5(x^2+4)}+\frac{8}{5(x^2+4)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{2}{5(x-1)}-\frac{2x}{5(x^2+4)}+\frac{8}{5(x^2+4)}\right\}dx}\)
\(=\frac{2}{5}\int{\frac{1}{x-1}dx}-\frac{1}{5}\int{\frac{2x}{x^2+4}dx}+\frac{8}{5}\int{\frac{1}{4+x^2}dx}\)
\(=\frac{2}{5}\int{\frac{1}{x-1}dx}-\frac{1}{5}\int{\frac{d(x^2+4)}{x^2+4}}+\frac{8}{5}\int{\frac{1}{2^2+x^2}dx}\)
\(=\frac{2}{5}\ln{|x-1|}-\frac{1}{5}\ln{|x^2+4|}+\frac{8}{5}.\frac{1}{2}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{2}\right)}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}, \int{\frac{dx}{x}}=\ln{|x|}\), \(\int{\frac{1}{a^2+x^2}}=\frac{1}{a}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{a}\right)}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=\frac{2}{5}\ln{|x-1|}-\frac{1}{5}\ln{|x^2+4|}+\frac{4}{5}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{2}\right)}+c\)

\(\int{\frac{x^2+3x-4}{x^2-5x+6}dx}\)
এখন,
\(\frac{x^2+3x-4}{x^2-5x+6}=\frac{(x^2-5x+6)+8x-10}{x^2-5x+6}\)
\(=\frac{x^2-5x+6}{x^2-5x+6}+\frac{8x-10}{x^2-5x+6}\)
\(=1+\frac{8x-10}{x^2-3x-2+6}\)
\(=1+\frac{8x-10}{x(x-3)-2(x-3)}\)
\(=1+\frac{8x-10}{(x-3)(x-2)}\)
\(=1+\frac{8.3-10}{(x-3)(3-2)}+\frac{8.2-10}{(2-3)(x-2)}\) ➜Note এখানে \((x-3)\) ব্যতীত \(\frac{8x-10}{(x-3)(x-2)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=3\) এবং \((x-2)\) ব্যতীত \(\frac{8x-10}{(x-3)(x-2)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=2\) বসানো হয়েছে।
\(=1+\frac{24-10}{(x-3).1}+\frac{16-10}{(-1)(x-2)}\)
\(=1+\frac{14}{x-3}-\frac{6}{x-2}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left(1+\frac{14}{x-3}-\frac{6}{x-2}\right)dx}\)
\(=\int{dx}+\int{\frac{14}{x-3}dx}-\int{\frac{6}{x-2}dx}\)
\(=\int{dx}+14\int{\frac{1}{x-3}dx}-6\int{\frac{1}{x-2}dx}\)
\(=x+14\ln{|x-3|}-6\ln{|x-2|}+c\) ➜Note\(\because \int{dx}=x, \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।

\(\int{\frac{x^3-4}{x^2-5x+4}dx}\)
এখন,
\(\frac{x^3-4}{x^2-5x+4}=\frac{x(x^2-5x+4)+5(x^2-5x+4)+21x-24}{x^2-5x+4}\)
\(=\frac{x(x^2-5x+4)}{x^2-5x+4}+\frac{5(x^2-5x+4)}{x^2-5x+4}+\frac{21x-24}{x^2-5x+4}\)
\(=x+5+\frac{21x-24}{x^2-4x-x+4}\)
\(=x+5+\frac{21x-24}{x(x-4)-1(x-4)}\)
\(=x+5+\frac{21x-24}{(x-4)(x-1)}\)
\(=x+5+\frac{21.4-24}{(x-4)(4-1)}+\frac{21.1-24}{(1-4)(x-1)}\) ➜Note এখানে \((x-4)\) ব্যতীত \(\frac{25x-24}{(x-4)(x-1)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=4\) এবং \((x-1)\) ব্যতীত \(\frac{25x-24}{(x-4)(x-1)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=1\) বসানো হয়েছে।
\(=x+5+\frac{84-24}{3(x-4)}+\frac{21-24}{-3(x-1)}\)
\(=x+5+\frac{60}{3(x-4)}+\frac{-3}{-3(x-1)}\)
\(=x+5+\frac{20}{x-4}+\frac{1}{x-1}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left(x+5+\frac{20}{x-4}+\frac{1}{x-1}\right)dx}\)
\(=\int{xdx}+5\int{dx}+\int{\frac{20}{x-4}dx}+\int{\frac{1}{x-1}dx}\)
\(=\int{xdx}+5\int{dx}+20\int{\frac{1}{x-4}dx}+\int{\frac{1}{x-1}dx}\)
\(=\frac{x^2}{2}+5x+20\ln{|x-4|}+\ln{|x-1|}+c\) ➜Note\(\because \int{xdx}=\frac{x^2}{2}, \int{dx}=x\), \(\int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।

\(\int{\frac{x}{x^2-5x+6}dx}\)
\(=\int{\frac{x}{x^2-3x-2x+6}dx}\)
\(=\int{\frac{x}{x(x-3)-2(x-3)}dx}\)
\(=\int{\frac{x}{(x-3)(x-2)}dx}\)
ধরি,
\(\frac{x}{(x-3)(x-2)}\equiv \frac{A}{x-3}+\frac{B}{x-2} .......(i)\)
\(\Rightarrow x\equiv A(x-2)+B(x-3) .......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \((x-3)(x-2)\) গুন করে।
এখানে, \((x-3)(x-2)\) দুইটি উৎপাদক এর যে কোনো একটি সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x-3=0\)
\(\Rightarrow x=3\)
এখন, \(x=3\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(3=A(3-2)+B.0\)
\(\Rightarrow 3=A.1+0\)
\(\Rightarrow 3=A\)
\(\therefore A=3\)
\(A\) ও \(B\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x}{(x-3)(x-2)}=\frac{3}{x-3}+\frac{-2}{x-2}\)
\(\therefore \frac{x}{(x-3)(x-2)}=\frac{3}{x-3}-\frac{2}{x-2}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left(\frac{3}{x-3}-\frac{2}{x-2}\right)dx}\)
\(=3\int{\frac{1}{x-3}dx}-2\int{\frac{1}{x-2}dx}\)
\(=3\ln{\left|x-3\right|}-2\ln{\left|x-2\right|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকদ্বয়ের \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(\int{\frac{x}{x^2-5x+6}dx}\)
\(=\int{\frac{x}{x^2-3x-2x+6}dx}\)
\(=\int{\frac{x}{x(x-3)-2(x-3)}dx}\)
\(=\int{\frac{x}{(x-3)(x-2)}dx}\)
এখন,
\(\frac{x}{(x-3)(x-2)}=\frac{3}{(x-3)(3-2)}+\frac{2}{(2-3)(x-2)}\) ➜Note এখানে \((x-3)\) ব্যতীত \(\frac{x}{(x-3)(x-2)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=3\) এবং \((x-2)\) ব্যতীত \(\frac{x}{(x-3)(x-2)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=2\) বসানো হয়েছে।
\(=\frac{3}{(x-3)(1)}+\frac{2}{(-1)(x-2)}\)
\(=\frac{3}{x-3}-\frac{2}{x-2}\)
\(\therefore \frac{x}{(x-3)(x-2)}=\frac{3}{x-3}-\frac{2}{x-2}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left(\frac{3}{x-3}-\frac{2}{x-2}\right)dx}\)
\(=3\int{\frac{1}{x-3}dx}-2\int{\frac{1}{x-2}dx}\)
\(=3\ln{\left|x-3\right|}-2\ln{\left|x-2\right|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকদ্বয়ের \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।

\(\int{\frac{x-1}{(x-2)(x-3)}dx}\)
ধরি,
\(\frac{x-1}{(x-2)(x-3)}\equiv \frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3} .......(i)\)
\(\Rightarrow x-1\equiv A(x-3)+B(x-2) .......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \((x-2)(x-3)\) গুন করে।
এখানে, \((x-2)(x-3)\) দুইটি উৎপাদক এর যে কোনো একটি সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x-2=0\)
\(\Rightarrow x=2\)
এখন, \(x=2\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(2-1=A(2-3)+B.0\)
\(\Rightarrow 1=A(-1)+0\)
\(\Rightarrow 1=-A\)
\(\Rightarrow -A=1\)
\(\therefore A=-1\)
\(A\) ও \(B\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x-1}{(x-2)(x-3)}=\frac{-1}{x-2}+\frac{2}{x-3}\)
\(\Rightarrow \frac{x-1}{(x-2)(x-3)}=-\frac{1}{x-2}+\frac{2}{x-3}\)
\(\therefore \frac{x-1}{(x-2)(x-3)}=\frac{2}{x-3}-\frac{1}{x-2}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{2}{(x-3)}-\frac{1}{x-2}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{2}{x-3}dx}-\int{\frac{1}{x-2}dx}\)
\(=2\int{\frac{1}{x-3}dx}-\int{\frac{1}{x-2}dx}\)
\(=2\ln{|x-3|}-\ln{|x-2|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(\int{\frac{x-1}{(x-2)(x-3)}dx}\)
এখন,
\(\frac{x-1}{(x-2)(x-3)}=\frac{2-1}{(x-2)(2-3)}+\frac{3-1}{(3-2)(x-3)}\) ➜Note এখানে \((x-2)\) ব্যতীত \(\frac{x-1}{(x-2)(x-3)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=2\) এবং \((x-3)\) ব্যতীত \(\frac{x-1}{(x-2)(x-3)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=3\) বসানো হয়েছে।
\(\Rightarrow \frac{x-1}{(x-2)(x-3)}=\frac{2-1}{(x-2)(-1)}+\frac{3-1}{(1)(x-3)}\)
\(\Rightarrow \frac{x-1}{(x-2)(x-3)}=-\frac{1}{x-2}+\frac{2}{x-3}\)
\(\therefore \frac{x-1}{(x-2)(x-3)}=\frac{2}{x-3}-\frac{1}{x-2}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{2}{(x-3)}-\frac{1}{x-2}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{2}{x-3}dx}-\int{\frac{1}{x-2}dx}\)
\(=2\int{\frac{1}{x-3}dx}-\int{\frac{1}{x-2}dx}\)
\(=2\ln{|x-3|}-\ln{|x-2|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।

\(\int{\frac{2x+1}{(x+2)(x-3)^2}dx}\)
ধরি,
\(\frac{2x+1}{(x+2)(x-3)^2}\equiv \frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-3}+\frac{C}{(x-3)^2} .......(i)\)
\(\Rightarrow 2x+1\equiv A(x-3)^2+B(x+2)(x-3)+C(x+2) .......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \((x+2)(x-3)^2\) গুন করে।
এখানে, \((x+2)(x-3)^2\) দুইটি উৎপাদক এর মধ্যে \((x+2)\) সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x+2=0\)
\(\Rightarrow x=-2\)
এখন, \(x=-2\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(2(-2)+1=A(-2-3)^2+B.0.(-2-3)+C.0\)
\(\Rightarrow -4+1=A(-5)^2+0+0\)
\(\Rightarrow -3=A.25\)
\(\Rightarrow -3=25A\)
\(\Rightarrow 25A=-3\)
\(\therefore A=-\frac{3}{25}\)
এখন,
\((ii)\) এর উভয় পার্শ হতে \(x^2\) এর সহগ সমীকৃত করে পাই।
\(0=A+B\) ➜Note \(\because (ii)\Rightarrow 2x+1\equiv A(x^2-6x+9)\)\(+B(x^2-x-6)+C(x+2)\)
\(\Rightarrow A+B=0\)
\(\Rightarrow B=-A\)
\(\therefore B=\frac{3}{25}\) ➜Note \(\because A=\frac{1}{5}\)
\(A\), \(B\) ও \(C\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{2x+1}{(x+2)(x-3)^2}=\frac{-\frac{3}{25}}{x+2}+\frac{\frac{3}{25}}{x-3}+\frac{\frac{7}{5}}{(x-3)^2}\)
\(\Rightarrow \frac{2x+1}{(x+2)(x-3)^2}=-\frac{3}{25(x+2)}+\frac{3}{25(x-3)}+\frac{7}{5(x-3)^2}\)
\(\therefore \frac{2x+1}{(x+2)(x-3)^2}=\frac{3}{25(x-3)}-\frac{3}{25(x+2)}+\frac{7}{5(x-3)^2}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{3}{25(x-3)}-\frac{3}{25(x+2)}+\frac{7}{5(x-3)^2}\right\}dx}\)
\(=\frac{3}{25}\int{\frac{1}{x-3}dx}-\frac{3}{25}\int{\frac{1}{x+2}dx}+\frac{7}{5}\int{\frac{1}{(x-3)^2}dx}\)
\(=\frac{3}{25}\ln{|x-3|}-\frac{3}{25}\ln{|x+2|}+\frac{7}{5}\left(-\frac{1}{x-3}\right)+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}, \int{\frac{1}{x^2}dx}=-\frac{1}{x}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(=\frac{3}{25}\ln{|x-3|}-\frac{3}{25}\ln{|x+2|}-\frac{7}{5(x-3)}+c\)
\(\int{\frac{2x+1}{(x+2)(x-3)^2}dx}\)
এখন,
\(\frac{2x+1}{(x+2)(x-3)^2}=\frac{1}{x-3}\left\{\frac{2x+1}{(x+2)(x-3)}\right\}\)
\(=\frac{1}{x-3}\left\{\frac{2(-2)+1}{(x+2)(-2-3)}+\frac{2.3+1}{(3+2)(x-3)}\right\}\) ➜Note এখানে \((x+2)\) ব্যতীত \(\frac{2x+1}{(x+2)(x-3)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=-2\) এবং \((x-3)\) ব্যতীত \(\frac{2x+1}{(x+2)(x-3)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=3\) বসানো হয়েছে।
\(=\frac{1}{x-3}\left\{\frac{-4+1}{(x+2)(-5)}+\frac{6+1}{5(x-3)}\right\}\)
\(=\frac{1}{x-3}\left\{\frac{-3}{(x+2)(-5)}+\frac{7}{5(x-3)}\right\}\)
\(=\frac{1}{x-3}\left\{\frac{3}{5(x+2)}+\frac{7}{5(x-3)}\right\}\)
\(=\frac{3}{5(x+2)(x-3)}+\frac{7}{5(x-3)^2}\)
\(=\frac{3}{5(x+2)(-2-3)}+\frac{3}{5(3+2)(x-3)}+\frac{7}{5(x-3)^2}\) ➜Note এখানে \((x+2)\) ব্যতীত \(\frac{3}{5(x+2)(x-3)}\) এর অপর উৎপাদকে \(x=-2\) এবং \((x-3)\) ব্যতীত \(\frac{3}{5(x+2)(x-3)}\) এর অপর উৎপাদকে \(x=3\) বসানো হয়েছে।
\(=\frac{3}{5(x+2)(-5)}+\frac{3}{5.5(x-3)}+\frac{7}{5(x-3)^2}\)
\(=-\frac{3}{25(x+2)}+\frac{3}{25(x-3)}+\frac{7}{5(x-3)^2}\)
\(\therefore \frac{2x+1}{(x+2)(x-3)^2}=\frac{3}{25(x-3)}-\frac{3}{25(x+2)}+\frac{7}{5(x-3)^2}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{3}{25(x-3)}-\frac{3}{25(x+2)}+\frac{7}{5(x-3)^2}\right\}dx}\)
\(=\frac{3}{25}\int{\frac{1}{x-3}dx}-\frac{3}{25}\int{\frac{1}{x+2}dx}+\frac{7}{5}\int{\frac{1}{(x-3)^2}dx}\)
\(=\frac{3}{25}\ln{|x-3|}-\frac{3}{25}\ln{|x+2|}+\frac{7}{5}\left(-\frac{1}{x-3}\right)+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}, \int{\frac{1}{x^2}dx}=-\frac{1}{x}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(=\frac{3}{25}\ln{|x-3|}-\frac{3}{25}\ln{|x+2|}-\frac{7}{5(x-3)}+c\)

\(\int{\frac{x}{(x-1)(x^2+4)}dx}\)
ধরি,
\(\frac{x}{(x-1)(x^2+4)}\equiv \frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+4} .......(i)\)
\(\Rightarrow x\equiv A(x^2+4)+(Bx+C)(x-1) .......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \((x-1)(x^2+4)\) গুন করে।
এখানে, \((x-1)(x^2+4)\) দুইটি উৎপাদক এর মধ্যে \((x-1)\) সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x-1=0\)
\(\Rightarrow x=1\)
এখন, \(x=1\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(1=A(1^2+4)+(B.1+C).0\)
\(\Rightarrow 1=A(1+4)+0\)
\(\Rightarrow 1=5A\)
\(\Rightarrow 5A=1\)
\(\therefore A=\frac{1}{5}\)
এখন,
\((ii)\) এর উভয় পার্শ হতে \(x^2\) এবং \(x\) এর সহগ সমীকৃত করে পাই। ➜Note অপর উৎপাদকটি \((x^2+4)\) জটিল দ্বিঘাত বলে এটি শুন্য ধরে \(x\) এর বাস্তব মান পাওয়া যাবে না।
\(0=A+B\)
\(\Rightarrow A+B=0\)
\(\Rightarrow B=-A\)
\(\therefore B=-\frac{1}{5}\) ➜Note \(\because A=\frac{1}{5}\)
\(A\), \(B\) ও \(C\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x}{(x-1)(x^2+4)}=\frac{\frac{1}{5}}{x-1}+\frac{-\frac{1}{5}x+\frac{4}{5}}{x^2+4}\)
\(\therefore \frac{x}{(x-1)(x^2+4)}=\frac{1}{5(x-1)}-\frac{x}{5(x^2+4)}+\frac{4}{5(x^2+4)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{5(x-1)}-\frac{x}{5(x^2+4)}+\frac{4}{5(x^2+4)}\right\}dx}\)
\(=\frac{1}{5}\int{\frac{1}{x-1}dx}-\frac{1}{10}\int{\frac{2x}{x^2+4}dx}+\frac{4}{5}\int{\frac{1}{4+x^2}dx}\)
\(=\frac{1}{5}\int{\frac{1}{x-1}dx}-\frac{1}{10}\int{\frac{d(x^2+4)}{x^2+4}}+\frac{4}{5}\int{\frac{1}{2^2+x^2}dx}\)
\(=\frac{1}{5}\ln{|x-1|}-\frac{1}{10}\ln{|x^2+4|}+\frac{4}{5}.\frac{1}{2}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{2}\right)}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}, \int{\frac{dx}{x}}=\ln{|x|}\), \(\int{\frac{1}{a^2+x^2}}=\frac{1}{a}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{a}\right)}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=\frac{1}{5}\ln{|x-1|}-\frac{1}{10}\ln{|x^2+4|}+\frac{2}{5}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{2}\right)}+c\)

\(\int{\frac{x^2+3x-4}{x^2-2x-8}dx}\)
এখন,
\(\frac{x^2+3x-4}{x^2-2x-8}=\frac{(x^2-2x-8)+5x+4}{x^2-2x-8}\)
\(=\frac{x^2-2x-8}{x^2-5x+6}+\frac{5x+4}{x^2-2x-8}\)
\(=1+\frac{5x+4}{x^2-4x+2x-8}\)
\(=1+\frac{5x+4}{x(x-4)+2(x-4)}\)
\(=1+\frac{5x+4}{(x-4)(x+2)}\)
\(=1+\frac{5.4+4}{(x-4)(4+2)}+\frac{5(-2)+4}{(-2-4)(x+2)}\) ➜Note এখানে \((x-4)\) ব্যতীত \(\frac{5x+4}{(x-4)(x+2)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=4\) এবং \((x+2)\) ব্যতীত \(\frac{5x+4}{(x-4)(x+2)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=-2\) বসানো হয়েছে।
\(=1+\frac{20+4}{(x-4).6}+\frac{-10+4}{(-6)(x+2)}\)
\(=1+\frac{24}{(x-4).6}+\frac{-6}{(-6)(x+2)}\)
\(=1+\frac{4}{x-4}+\frac{1}{x+2}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left(1+\frac{4}{x-4}+\frac{1}{x+2}\right)dx}\)
\(=\int{dx}+\int{\frac{4}{x-4}dx}+\int{\frac{1}{x+2}dx}\)
\(=\int{dx}+4\int{\frac{1}{x-4}dx}+\int{\frac{1}{x+2}dx}\)
\(=x+4\ln{|x-4|}+\ln{|x+2|}+c\) ➜Note\(\because \int{dx}=x, \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।

\(\int{\frac{x^2}{x^2-4}dx}\)
\(=\int{\frac{x^2-4+4}{x^2-4}dx}\)
\(=\int{\left(\frac{x^2-4}{x^2-4}+\frac{4}{x^2-4}\right)dx}\)
\(=\int{\left(1+\frac{4}{x^2-4}\right)dx}\)
\(=\int{dx}+\int{\frac{4}{x^2-4}dx}\)
\(=\int{dx}+4\int{\frac{1}{x^2-2^2}dx}\)
\(=x+4.\frac{1}{2.2}\ln{\left|\frac{x-2}{x+2}\right|}+c\) ➜Note\(\because \int{dx}=x, \int{\frac{1}{x^2-a^2}dx}=\frac{1}{2a}\ln{\left|\frac{x-a}{x+a}\right|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=x+4.\frac{1}{4}\ln{\left|\frac{x-2}{x+2}\right|}+c\)
\(=x+\ln{\left|\frac{x-2}{x+2}\right|}+c\)

\(\int{\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}dx}\)
\(=\int{\frac{(x^2-x+1)+(2x-1)+1}{x^2-x+1}dx}\)
\(=\int{\left(\frac{x^2-x+1}{x^2-x+1}+\frac{2x-1}{x^2-x+1}+\frac{1}{x^2-x+1}\right)dx}\)
\(=\int{\left(1+\frac{2x-1}{x^2-x+1}+\frac{1}{x^2-x+1}\right)dx}\)
\(=\int{dx}+\int{\frac{2x-1}{x^2-x+1}dx}+\int{\frac{1}{x^2-x+1}dx}\)
\(=\int{dx}+\int{\frac{2x-1}{x^2-x+1}dx}+\int{\frac{1}{x^2-2.x.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}+1}dx}\)
\(=\int{dx}+\int{\frac{2x-1}{x^2-x+1}dx}+\int{\frac{1}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+1-\frac{1}{4}}dx}\)
\(=\int{dx}+\int{\frac{2x-1}{x^2-x+1}dx}+\int{\frac{1}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{4-1}{4}}dx}\)
\(=\int{dx}+\int{\frac{2x-1}{x^2-x+1}dx}+\int{\frac{1}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}dx}\)
\(=\int{dx}+\int{\frac{d(x^2-x+1)}{x^2-x+1}}+\int{\frac{1}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(x-\frac{1}{2}\right)^2}dx}\)
\(=x+\ln{|x^2-x+1|}+\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\tan^{-1}{\left(\frac{x-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)}+c\) ➜Note\(\because \int{dx}=x, \int{\frac{dx}{x}}=\ln{|x|}\), \(\int{\frac{1}{a^2+x^2}dx}=\frac{1}{a}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{a}\right)}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=x+\ln{|x^2-x+1|}+\frac{2}{\sqrt{3}}\tan^{-1}{\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)}+c\) ➜Note লব ও হরের সহিত \(2\) গুণ করে।

\(\int{\frac{x+1}{(x-2)(x+3)}dx}\)
ধরি,
\(\frac{x+1}{(x-2)(x+3)}\equiv \frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+3} .......(i)\)
\(\Rightarrow x+1\equiv A(x+3)+B(x-2) .......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \((x-2)(x+3)\) গুন করে।
এখানে, \((x-2)(x+3)\) দুইটি উৎপাদক এর যে কোনো একটি সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x-2=0\)
\(\Rightarrow x=2\)
এখন, \(x=2\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(2+1=A(2+3)+B.0\)
\(\Rightarrow 3=A(5)+0\)
\(\Rightarrow 3=5A\)
\(\Rightarrow 5A=3\)
\(\therefore A=\frac{3}{5}\)
\(A\) ও \(B\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x+1}{(x-2)(x+3)}=\frac{\frac{3}{5}}{x-2}+\frac{\frac{2}{5}}{x+3}\)
\(\therefore \frac{x+1}{(x-2)(x+3)}=\frac{3}{5(x-2)}+\frac{2}{5(x+3)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{3}{5(x-2)}+\frac{2}{5(x+3)}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{3}{5(x-2)}dx}+\int{\frac{2}{5(x+3)}dx}\)
\(=\frac{3}{5}\int{\frac{1}{x-2}dx}+\frac{2}{5}\int{\frac{1}{x+3}dx}\)
\(=\frac{3}{5}\ln{|x-2|}+\frac{2}{5}\ln{|x+3|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(=\frac{1}{5}\left(3\ln{|x-2|}+2\ln{|x+3|}\right)+c\)
\(\int{\frac{x+1}{(x-2)(x+3)}dx}\)
এখন,
\(\frac{x+1}{(x-2)(x+3)}=\frac{2+1}{(x-2)(2+3)}+\frac{-3+1}{(-3-2)(x+3)}\) ➜Note এখানে \((x-2)\) ব্যতীত \(\frac{x+1}{(x-2)(x+3)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=2\) এবং \((x+3)\) ব্যতীত \(\frac{x+1}{(x-2)(x+3)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=-3\) বসানো হয়েছে।
\(=\frac{3}{(x-2)(5)}+\frac{-2}{-5(x+3)}\)
\(=\frac{3}{5(x-2)}+\frac{2}{5(x+3)}\)
\(\therefore \frac{x+1}{(x-2)(x+3)}=\frac{3}{5(x-2)}+\frac{2}{5(x+3)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{3}{5(x-2)}+\frac{2}{5(x+3)}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{3}{5(x-2)}dx}+\int{\frac{2}{5(x+3)}dx}\)
\(=\frac{3}{5}\int{\frac{1}{x-2}dx}+\frac{2}{5}\int{\frac{1}{x+3}dx}\)
\(=\frac{3}{5}\ln{|x-2|}+\frac{2}{5}\ln{|x+3|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(=\frac{1}{5}\left(3\ln{|x-2|}+2\ln{|x+3|}\right)+c\)

\(\int{\frac{1}{x^2+5x+4}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{x^2+4x+x+4}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{x(x+4)+1(x+4)}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{(x+4)(x+1)}dx}\)
ধরি,
\(\frac{1}{(x+4)(x+1)}\equiv \frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+4} .......(i)\)
\(\Rightarrow 1\equiv A(x+4)+B(x+1) .......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \((x+4)(x+1)\) গুন করে।
এখানে, \((x+4)(x+1)\) দুইটি উৎপাদক এর যে কোনো একটি সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x+1=0\)
\(\Rightarrow x=-1\)
এখন, \(x=-1\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(1=A(-1+4)+B.0\)
\(\Rightarrow 1=A(3)+0\)
\(\Rightarrow 1=3A\)
\(\Rightarrow 3A=1\)
\(\therefore A=\frac{1}{3}\)
\(A\) ও \(B\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{1}{(x+4)(x+1)}=\frac{\frac{1}{3}}{x+1}+\frac{-\frac{1}{3}}{x+4}\)
\(\therefore \frac{1}{(x+4)(x+1)}=\frac{1}{3(x+1)}-\frac{1}{3(x+4)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{3(x+1)}-\frac{1}{3(x+4)}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{3(x+1)}dx}-\int{\frac{1}{3(x+4)}dx}\)
\(=\frac{1}{3}\int{\frac{1}{x+1}dx}-\frac{1}{3}\int{\frac{1}{x+4}dx}\)
\(=\frac{1}{3}\ln{|x+1|}-\frac{1}{3}\ln{|x+4|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(=\frac{1}{3}\left(\ln{|x+1|}-\ln{|x+4|}\right)+c\)
\(=\frac{1}{3}\ln{\left|\frac{x+1}{x+4}\right|}+c\)
\(\int{\frac{1}{x^2+5x+4}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{x^2+4x+x+4}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{x(x+4)+1(x+4)}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{(x+4)(x+1)}dx}\)
এখন,
\(\frac{1}{(x+4)(x+1)}=\frac{1}{(-1+4)(x+1)}+\frac{1}{(x+4)(-4+1)}\) ➜Note এখানে \((x+1)\) ব্যতীত \(\frac{1}{(x+4)(x+1)}\) এর অপর উৎপাদকে \(x=-1\) এবং \((x+4)\) ব্যতীত \(\frac{1}{(x+4)(x+1)}\) এর অপর উৎপাদকে \(x=-4\) বসানো হয়েছে।
\(=\frac{1}{3(x+1)}+\frac{1}{-3(x+4)}\)
\(=\frac{1}{3(x+1)}-\frac{1}{3(x+4)}\)
\(\therefore \frac{1}{(x+4)(x+1)}=\frac{1}{3(x+1)}-\frac{1}{3(x+4)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{3(x+1)}-\frac{1}{3(x+4)}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{3(x+1)}dx}-\int{\frac{1}{3(x+4)}dx}\)
\(=\frac{1}{3}\int{\frac{1}{x+1}dx}-\frac{1}{3}\int{\frac{1}{x+4}dx}\)
\(=\frac{1}{3}\ln{|x+1|}-\frac{1}{3}\ln{|x+4|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(=\frac{1}{3}\left(\ln{|x+1|}-\ln{|x+4|}\right)+c\)
\(=\frac{1}{3}\ln{\left|\frac{x+1}{x+4}\right|}+c\)

\(\int{\frac{x^3-2x+3}{x^2+x-2}dx}\)
\(=\int{\frac{x(x^2+x-2)-(x^2+x-2)+(x+1)}{x^2+x-2}dx}\)
\(=\int{\left\{\frac{x(x^2+x-2)}{x^2+x-2}-\frac{x^2+x-2}{x^2+x-2}+\frac{x+1}{x^2+x-2}\right\}dx}\)
\(=\int{\left\{x-1+\frac{x+1}{x^2+x-2}\right\}dx}\)
\(=\int{\left\{x-1+\frac{x+1}{x^2+2x-x-2}\right\}dx}\)
\(=\int{\left\{x-1+\frac{x+1}{x(x+2)-1(x+2)}\right\}dx}\)
\(=\int{\left\{x-1+\frac{x+1}{(x+2)(x-1)}\right\}dx}\)
ধরি,
\(\frac{x+1}{(x+2)(x-1)}\equiv \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2} .......(i)\)
\(\Rightarrow x+1\equiv A(x+2)+B(x-1) .......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \((x+2)(x-1)\) গুন করে।
এখানে, \((x+2)(x-1)\) দুইটি উৎপাদক এর যে কোনো একটি সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x-1=0\)
\(\Rightarrow x=1\)
এখন, \(x=1\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(1+1=A.(1+2)+B.0\)
\(\Rightarrow 2=A(3)+0\)
\(\Rightarrow 2=3A\)
\(\Rightarrow 3A=2\)
\(\therefore A=\frac{2}{3}\)
\(A\) ও \(B\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x+1}{(x+2)(x-1)}=\frac{\frac{2}{3}}{x-1}+\frac{\frac{1}{3}}{x+2}\)
\(\Rightarrow \frac{x+1}{(x+2)(x-1)}=\frac{2}{3(x-1)}+\frac{1}{3(x+2)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{x-1+\frac{2}{3(x-1)}+\frac{1}{3(x+2)}\right\}dx}\)
\(=\int{xdx}-\int{dx}+\int{\frac{2}{3(x-1)}dx}+\int{\frac{1}{3(x+2)}dx}\)
\(=\int{xdx}-\int{dx}+\frac{2}{3}\int{\frac{1}{x-1}dx}+\frac{1}{3}\int{\frac{1}{x+2}dx}\)
\(=\frac{x^2}{2}-x+\frac{2}{3}\ln{|x-1|}+\frac{1}{3}\ln{|x+2|}+c\) ➜Note\(\because \int{xdx}=\frac{x^2}{2}, \int{dx}=x, \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(=\frac{x^2}{2}-x+\frac{1}{3}\ln{|x+2|}+\frac{2}{3}\ln{|x-1|}+c\)
\(\int{\frac{x^3-2x+3}{x^2+x-2}dx}\)
\(=\int{\frac{x(x^2+x-2)-(x^2+x-2)+(x+1)}{x^2+x-2}dx}\)
\(=\int{\left\{\frac{x(x^2+x-2)}{x^2+x-2}-\frac{x^2+x-2}{x^2+x-2}+\frac{x+1}{x^2+x-2}\right\}dx}\)
\(=\int{\left\{x-1+\frac{x+1}{x^2+x-2}\right\}dx}\)
\(=\int{\left\{x-1+\frac{x+1}{x^2+2x-x-2}\right\}dx}\)
\(=\int{\left\{x-1+\frac{x+1}{x(x+2)-1(x+2)}\right\}dx}\)
\(=\int{\left\{x-1+\frac{x+1}{(x+2)(x-1)}\right\}dx}\)
এখন,
\(\frac{x+1}{(x+2)(x-1)}=\frac{1+1}{(1+2)(x-1)}+\frac{-2+1}{(x+2)(-2-1)}\) ➜Note এখানে \((x-1)\) ব্যতীত \(\frac{x+1}{(x+2)(x-1)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=1\) এবং \((x+2)\) ব্যতীত \(\frac{x+1}{(x+2)(x-1)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=-2\) বসানো হয়েছে।
\(=\frac{2}{3(x-1)}+\frac{-1}{-3(x+2)}\)
\(=\frac{2}{3(x-1)}+\frac{1}{3(x+2)}\)
\(\therefore \frac{x+1}{(x+2)(x-1)}=\frac{2}{3(x-1)}+\frac{1}{3(x+2)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{x-1+\frac{2}{3(x-1)}+\frac{1}{3(x+2)}\right\}dx}\)
\(=\int{xdx}-\int{dx}+\int{\frac{2}{3(x-1)}dx}+\int{\frac{1}{3(x+2)}dx}\)
\(=\int{xdx}-\int{dx}+\frac{2}{3}\int{\frac{1}{x-1}dx}+\frac{1}{3}\int{\frac{1}{x+2}dx}\)
\(=\frac{x^2}{2}-x+\frac{2}{3}\ln{|x-1|}+\frac{1}{3}\ln{|x+2|}+c\) ➜Note\(\because \int{xdx}=\frac{x^2}{2}, \int{dx}=x, \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(=\frac{x^2}{2}-x+\frac{1}{3}\ln{|x+2|}+\frac{2}{3}\ln{|x-1|}+c\)

\(\int{\frac{x^2dx}{(x^2+4)(x^2-3)}}\)
\(=\int{\frac{x^2}{(x^2+4)(x^2-3)}dx}\)
\(=\int{\frac{t}{(t+4)(t-3)}dx}\) যেখানে, \(x^2=t\)
ধরি,
\(\frac{t}{(t+4)(t-3)}\equiv \frac{A}{t+4}+\frac{B}{t-3} .......(i)\)
\(\Rightarrow t\equiv A(t-3)+B(t+4) .......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \((t+4)(t-3)\) গুন করে।
এখানে, \((t+4)(t-3)\) দুইটি উৎপাদক এর যে কোনো একটি সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(t+4=0\)
\(\Rightarrow t=-4\)
এখন, \(t=-4\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(-4=A(-4-3)+B.0\)
\(\Rightarrow -4=A(-7)+0\)
\(\Rightarrow -4=-7A\)
\(\Rightarrow -7A=-4\)
\(\therefore A=\frac{4}{7}\)
\(A\) ও \(B\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{t}{(t+4)(t-3)}=\frac{\frac{4}{7}}{t+4}+\frac{\frac{3}{7}}{t-3} \)
\(=\frac{4}{7(t+4)}+\frac{3}{7(t-3)} \)
\(\Rightarrow \frac{t}{(t+4)(t-3)}=\frac{4}{7(t+4)}+\frac{3}{7(t-3)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{4}{7(t+4)}+\frac{3}{7(t-3)}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{4}{7(t+4)}dx}+\int{\frac{3}{7(t-3)}dx}\)
\(=\frac{4}{7}\int{\frac{1}{t+4}dx}+\frac{3}{7}\int{\frac{1}{t-3}dx}\)
\(=\frac{4}{7}\int{\frac{1}{x^2+4}dx}+\frac{3}{7}\int{\frac{1}{x^2-3}dx}\) ➜Note \(\because t=x^2\)
\(=\frac{4}{7}\int{\frac{1}{2^2+x^2}dx}+\frac{3}{7}\int{\frac{1}{x^2-(\sqrt{3})^2}dx}\)
\(=\frac{4}{7}\times{\frac{1}{2}}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{2}\right)}+\frac{3}{7}\times{\frac{1}{2\sqrt{3}}}\ln{\left|\frac{x-\sqrt{3}}{x-\sqrt{3}}\right|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{a^2+x^2}dx}=\frac{1}{a}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{a}\right)}\), \(\int{\frac{1}{x^2-a^2}dx}=\frac{1}{2a}\ln{\left|\frac{x-a}{x+a}\right|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=\frac{2}{7}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{2}\right)}+\frac{\sqrt{3}.\sqrt{3}}{14\sqrt{3}}\ln{\left|\frac{x-\sqrt{3}}{x-\sqrt{3}}\right|}+c\)
\(=\frac{2}{7}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{2}\right)}+\frac{\sqrt{3}}{14}\ln{\left|\frac{x-\sqrt{3}}{x-\sqrt{3}}\right|}+c\)
\(\int{\frac{x^2dx}{(x^2+4)(x^2-3)}}\)
\(=\int{\frac{x^2}{(x^2+4)(x^2-3)}dx}\)
\(=\int{\frac{t}{(t+4)(t-3)}dx}\) যেখানে, \(x^2=t\)
এখন,
\(\frac{t}{(t+4)(t-3)}=\frac{-4}{(t+4)(-4-3)}+\frac{3}{(3+4)(t-3)}\) ➜Note এখানে \((t+4)\) ব্যতীত \(\frac{t}{(t+4)(t-3)}\) এর সকল উৎপাদকে \(t=-4\) এবং \((t-3)\) ব্যতীত \(\frac{t}{(t+4)(t-3)}\) এর সকল উৎপাদকে \(t=3\) বসানো হয়েছে।
\(=\frac{-4}{-7(t+4)}+\frac{3}{7(t-3)}\)
\(=\frac{4}{7(t+4)}+\frac{3}{7(t-3)}\)
\(\therefore \frac{t}{(t+4)(t-3)}=\frac{4}{7(t+4)}+\frac{3}{7(t-3)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{4}{7(t+4)}+\frac{3}{7(t-3)}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{4}{7(t+4)}dx}+\int{\frac{3}{7(t-3)}dx}\)
\(=\int{\frac{4}{7(t+4)}dx}+\int{\frac{3}{7(t-3)}dx}\)
\(=\frac{4}{7}\int{\frac{1}{t+4}dx}+\frac{3}{7}\int{\frac{1}{t-3}dx}\)
\(=\frac{4}{7}\int{\frac{1}{x^2+4}dx}+\frac{3}{7}\int{\frac{1}{x^2-3}dx}\) ➜Note \(\because t=x^2\)
\(=\frac{4}{7}\int{\frac{1}{2^2+x^2}dx}+\frac{3}{7}\int{\frac{1}{x^2-(\sqrt{3})^2}dx}\)
\(=\frac{4}{7}\times{\frac{1}{2}}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{2}\right)}+\frac{3}{7}\times{\frac{1}{2\sqrt{3}}}\ln{\left|\frac{x-\sqrt{3}}{x-\sqrt{3}}\right|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{a^2+x^2}dx}=\frac{1}{a}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{a}\right)}\), \(\int{\frac{1}{x^2-a^2}dx}=\frac{1}{2a}\ln{\left|\frac{x-a}{x+a}\right|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=\frac{2}{7}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{2}\right)}+\frac{\sqrt{3}.\sqrt{3}}{14\sqrt{3}}\ln{\left|\frac{x-\sqrt{3}}{x-\sqrt{3}}\right|}+c\)
\(=\frac{2}{7}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{2}\right)}+\frac{\sqrt{3}}{14}\ln{\left|\frac{x-\sqrt{3}}{x-\sqrt{3}}\right|}+c\)

\(\int{\frac{dx}{(x+1)(x+3)}}\)
\(=\int{\frac{1}{(x+1)(x+3)}dx}\)
ধরি,
\(\frac{1}{(x+1)(x+3)}\equiv \frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+3} .......(i)\)
\(\Rightarrow 1\equiv A(x+3)+B(x+1) .......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \((x+1)(x+3)\) গুন করে।
এখানে, \((x+1)(x+3)\) উৎপাদকগুলির মধ্যে \((x+1)\) সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x+1=0\)
\(\therefore x=-1\)
এখন, \(x=-1\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(1=A(-1+3)+B.0\)
\(\Rightarrow 1=A(2)+0\)
\(\Rightarrow 1=2A\)
\(\Rightarrow 2A=1\)
\(\therefore A=\frac{1}{2}\)
\(A\) ও \(B\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{1}{(x+1)(x+3)}=\frac{\frac{1}{2}}{x+1}+\frac{-\frac{1}{2}}{x+3}\)
\(\therefore \frac{1}{(x+1)(x+3)}=\frac{1}{2(x+1)}-\frac{1}{2(x+3)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{2(x+1)}-\frac{1}{2(x+3)}\right\}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x+1}dx}-\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x+3}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\ln{|x+1|}-\frac{1}{2}\ln{|x+3|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(=\frac{1}{2}\left(\ln{|x+1|}-\ln{|x+3|}\right)+c\)
\(=\frac{1}{2}\ln{\left|\frac{x+1}{x+3}\right|}+c\) ➜Note\(\because \ln{|M|}-\ln{|N|}=\ln{|\frac{M}{N}|}\)
\(\int{\frac{dx}{(x+1)(x+3)}}\)
\(=\int{\frac{1}{(x+1)(x+3)}dx}\)
এখন,
\(\frac{1}{(x+1)(x+3)}=\frac{1}{(x+1)(-1+3)}+\frac{1}{(-3+1)(x+3)}\) ➜Note এখানে \((x+1)\) ব্যতীত \(\frac{1}{(x+1)(x+3)}\) এর অপর উৎপাদকে \(x=-1\) এবং \((x+3)\) ব্যতীত \(\frac{1}{(x+1)(x+3)}\) এর অপর উৎপাদকে \(x=-3\) বসানো হয়েছে।
\(=\frac{1}{(x+1)(2)}+\frac{1}{(-2)(x+3)}\)
\(\therefore \frac{1}{(x+1)(x+3)}=\frac{1}{2(x+1)}-\frac{1}{2(x+3)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{2(x+1)}-\frac{1}{2(x+3)}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{2(x+1)}dx}-\int{\frac{1}{2(x+3)}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x+1}dx}-\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x+3}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\ln{|x+1|}-\frac{1}{2}\ln{|x+3|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(=\frac{1}{2}\left(\ln{|x+1|}-\ln{|x+3|}\right)+c\)
\(=\frac{1}{2}\ln{\left|\frac{x+1}{x+3}\right|}+c\)

\(\int{\frac{dx}{x^2+x}}\)
\(=\int{\frac{1}{x(x+1)}dx}\)
ধরি,
\(\frac{1}{x(x+1)}\equiv \frac{A}{x}+\frac{B}{x+1} .......(i)\)
\(\Rightarrow 1\equiv A(x+1)+Bx .......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \(x(x+1)\) গুন করে।
এখানে, \(x(x+1)\) উৎপাদকগুলির মধ্যে \(x\) সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x=0\)
এখন, \(x=0\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(1=A(0+1)+B.0\)
\(\Rightarrow 1=A(1)+0\)
\(\Rightarrow 1=A\)
\(\therefore A=1\)
\(A\) ও \(B\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x+1}+\frac{-1}{x+3}\)
\(\therefore \frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{x}dx}-\int{\frac{1}{x+1}dx}\)
\(=\ln{|x|}-\ln{|x+1|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(=\ln{\left|\frac{x}{x+1}\right|}+c\) ➜Note\(\because \ln{|M|}-\ln{|N|}=\ln{|\frac{M}{N}|}\)
\(\int{\frac{dx}{x^2+x}}\)
\(=\int{\frac{1}{x(x+1)}dx}\)
এখন,
\(\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x(0+1)}+\frac{1}{(-1)(x+1)}\) ➜Note এখানে \((x)\) ব্যতীত \(\frac{1}{x(x+1)}\) এর অপর উৎপাদকে \(x=0\) এবং \((x+1)\) ব্যতীত \(\frac{1}{x(x+1)}\) এর অপর উৎপাদকে \(x=-1\) বসানো হয়েছে।
\(=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\)
\(\therefore \frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{x}dx}-\int{\frac{1}{x+1}dx}\)
\(=\ln{|x|}-\ln{|x+1|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(=\ln{\left|\frac{x}{x+1}\right|}+c\)

\(\int{\frac{xdx}{(x-a)(x-b)}}\)
\(=\int{\frac{x}{(x-a)(x-b)}dx}\)
ধরি,
\(\frac{x}{(x-a)(x-b)}\equiv \frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b} .......(i)\)
\(\Rightarrow x\equiv A(x-b)+B(x-a) .......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \((x-a)(x-b)\) গুন করে।
এখানে, \((x-a)(x-b)\) উৎপাদকগুলির মধ্যে \((x-a)\) সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x-a=0\)
\(\therefore x=a\)
এখন, \(x=a\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(a= A(a-b)+B.0\)
\(\Rightarrow a=A(a-b)+0\)
\(\Rightarrow a=A(a-b)\)
\(\Rightarrow A(a-b)=a\)
\(\therefore A=\frac{a}{a-b}\)
\(A\) ও \(B\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x}{(x-a)(x-b)}=\frac{\frac{a}{a-b}}{x-a}+\frac{-\frac{b}{a-b}}{x-b}\)
\(\therefore \frac{x}{(x-a)(x-b)}=\frac{a}{(a-b)(x-a)}-\frac{b}{(a-b)(x-b)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{a}{(a-b)(x-a)}-\frac{b}{(a-b)(x-b)}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{a}{(a-b)(x-a)}dx}-\int{\frac{b}{(a-b)(x-b)}dx}\)
\(=\frac{a}{a-b}\int{\frac{1}{x-a}dx}-\frac{b}{a-b}\int{\frac{1}{x-b}dx}\)
\(=\frac{a}{a-b}\ln{|x-a|}-\frac{b}{a-b}\ln{|x-b|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(=\frac{1}{a-b}\{a\ln{|x-a|}-b\ln{|x-b|}\}+c\)
\(\int{\frac{xdx}{(x-a)(x-b)}}\)
\(=\int{\frac{x}{(x-a)(x-b)}dx}\)
এখন,
\(\frac{x}{(x-a)(x-b)}=\frac{a}{(x-a)(a-b)}+\frac{b}{(b-a)(x-b)}\) ➜Note এখানে \((x-a)\) ব্যতীত \(\frac{x}{(x-a)(x-b)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=a\) এবং \((x-b)\) ব্যতীত \(\frac{x}{(x-a)(x-b)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=b\) বসানো হয়েছে।
\(=\frac{a}{(x-a)(a-b)}+\frac{b}{-(a-b)(x-b)}\)
\(=\frac{a}{(a-b)(x-a)}-\frac{b}{(a-b)(x-b)}\)
\(\therefore \frac{x}{(x-a)(x-b)}=\frac{a}{(a-b)(x-a)}-\frac{b}{(a-b)(x-b)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{a}{(a-b)(x-a)}-\frac{b}{(a-b)(x-b)}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{a}{(a-b)(x-a)}dx}-\int{\frac{b}{(a-b)(x-b)}dx}\)
\(=\frac{a}{a-b}\int{\frac{1}{x-a}dx}-\frac{b}{a-b}\int{\frac{1}{x-b}dx}\)
\(=\frac{a}{a-b}\ln{|x-a|}-\frac{b}{a-b}\ln{|x-b|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(=\frac{1}{a-b}\{a\ln{|x-a|}-b\ln{|x-b|}\}+c\)

\(\int{\frac{x+1}{3x^2-x-2}dx}\)
\(=\int{\frac{x+1}{3x^2-x-2}dx}\)
\(=\int{\frac{x+1}{3x^2-3x+2x-2}dx}\)
\(=\int{\frac{x+1}{3x(x-1)+2(x-1)}dx}\)
\(=\int{\frac{x+1}{(x-1)(3x+2)}dx}\)
ধরি,
\(\frac{x+1}{(x-1)(3x+2)}\equiv \frac{A}{x-1}+\frac{B}{3x+2} .......(i)\)
\(\Rightarrow x+1\equiv A(3x+2)+B(x-1) .......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \((x-1)(3x+2)\) গুন করে।
এখানে, \((x-1)(3x+2)\) উৎপাদকগুলির মধ্যে \((x-1)\) সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x-1=0\)
\(\therefore x=1\)
এখন, \(x=1\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(1+1= A(3.1+2)+B.0\)
\(\Rightarrow 2=A(3+2)+0\)
\(\Rightarrow 2=A(5)\)
\(\Rightarrow 2=5A\)
\(\Rightarrow 5A=2\)
\(\therefore A=\frac{2}{5}\)
\(A\) ও \(B\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x+1}{(x-1)(3x+2)}=\frac{\frac{2}{5}}{x-1}+\frac{-\frac{1}{5}}{3x+2}\)
\(\therefore \frac{x+1}{(x-1)(3x+2)}=\frac{2}{5(x-1)}-\frac{1}{5(3x+2)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{2}{5(x-1)}-\frac{1}{5(3x+2)}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{2}{5(x-1)}dx}-\int{\frac{1}{5(3x+2)}dx}\)
\(=\frac{2}{5}\int{\frac{1}{x-1}dx}-\frac{1}{5}\int{\frac{1}{3x+2}dx}\)
\(=\frac{2}{5}\ln{|x-1|}-\frac{1}{5}\frac{\ln{|3x+2|}}{3}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}, \int{\frac{1}{ax+b}dx}=\frac{\ln{|ax+b|}}{a}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(=\frac{2}{5}\ln{|x-1|}-\frac{1}{5.3}\ln{|3x+2|}+c\)
\(=\frac{2}{5}\ln{|x-1|}-\frac{1}{15}\ln{|3x+2|}+c\)
\(\int{\frac{x+1}{3x^2-x-2}dx}\)
\(=\int{\frac{x+1}{3x^2-x-2}dx}\)
\(=\int{\frac{x+1}{3x^2-3x+2x-2}dx}\)
\(=\int{\frac{x+1}{3x(x-1)+2(x-1)}dx}\)
\(=\int{\frac{x+1}{(x-1)(3x+2)}dx}\)
এখন,
\(\frac{x+1}{(x-1)(3x+2)}=\frac{1+1}{(x-1)(3.1+2)}+\frac{-\frac{2}{3}+1}{\left(-\frac{2}{3}-1\right)(3x+2)}\) ➜Note এখানে \((x-1)\) ব্যতীত \(\frac{x+1}{(x-1)(3x+2)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=1\) এবং \((3x+2)\) ব্যতীত \(\frac{x+1}{(x-1)(3x+2)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=-\frac{2}{3}\) বসানো হয়েছে।
\(=\frac{2}{(x-1)(3+2)}+\frac{\frac{3-2}{3}}{\left(\frac{-2-3}{3}\right)(3x+2)}\)
\(=\frac{2}{5(x-1)}+\frac{\frac{1}{3}}{\left(\frac{-5}{3}\right)(3x+2)}\)
\(=\frac{2}{5(x-1)}+\frac{1}{-5(3x+2)}\)
\(=\frac{2}{5(x-1)}-\frac{1}{5(3x+2)}\)
\(\therefore \frac{x+1}{(x-1)(3x+2)}=\frac{2}{5(x-1)}-\frac{1}{5(3x+2)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{2}{5(x-1)}-\frac{1}{5(3x+2)}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{2}{5(x-1)}dx}-\int{\frac{1}{5(3x+2)}dx}\)
\(=\frac{2}{5}\int{\frac{1}{x-1}dx}-\frac{1}{5}\int{\frac{1}{3x+2}dx}\)
\(=\frac{2}{5}\int{\frac{1}{x-1}dx}-\frac{1}{5}\int{\frac{1}{3\left(x+\frac{2}{3}\right)}dx}\)
\(=\frac{2}{5}\int{\frac{1}{x-1}dx}-\frac{1}{5\times{3}}\int{\frac{1}{x+\frac{2}{3}}dx}\)
\(=\frac{2}{5}\int{\frac{1}{x-1}dx}-\frac{1}{15}\int{\frac{1}{x+\frac{2}{3}}dx}\)
\(=\frac{2}{5}\ln{|x-1|}-\frac{1}{15}\ln{\left|x+\frac{2}{3}\right|}+c_{1}\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c_{1})\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(=\frac{2}{5}\ln{|x-1|}-\frac{1}{15}\ln{\left|\frac{3x+2}{3}\right|}+c_{1}\)
\(=\frac{2}{5}\ln{|x-1|}-\frac{1}{15}\left(\ln{|3x+2|}-\ln{3}\right)+c_{1}\)
\(=\frac{2}{5}\ln{|x-1|}-\frac{1}{15}\ln{|3x+2|}-\frac{1}{15}\ln{3}+c_{1}\)
\(=\frac{2}{5}\ln{|x-1|}-\frac{1}{15}\ln{|3x+2|}+c\) ➜Note\(\because -\frac{1}{15}\ln{3}+c_{1}=c\)

\(\int{\frac{x}{x^2-5x+6}dx}\)
\(=\int{\frac{x}{x^2-3x-2x+6}dx}\)
\(=\int{\frac{x}{x(x-3)-2(x-3)}dx}\)
\(=\int{\frac{x}{(x-3)(x-2)}dx}\)
ধরি,
\(\frac{x}{(x-3)(x-2)}\equiv \frac{A}{x-3}+\frac{B}{x-2} .......(i)\)
\(\Rightarrow x\equiv A(x-2)+B(x-3) .......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \((x-3)(x-2)\) গুন করে।
এখানে, \((x-3)(x-2)\) উৎপাদকগুলির মধ্যে \((x-3)\) সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x-3=0\)
\(\therefore x=3\)
এখন, \(x=3\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(3= A(3-2)+B.0\)
\(\Rightarrow 3= A(1)+B.0\)
\(\Rightarrow 3=A+0\)
\(\Rightarrow 3=A\)
\(\Rightarrow A=3\)
\(\therefore A=3\)
\(A\) ও \(B\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x}{(x-3)(x-2)}=\frac{3}{x-3}+\frac{-2}{x-2}\)
\(\therefore \frac{x}{(x-3)(x-2)}=\frac{3}{x-3}-\frac{2}{x-2}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{3}{x-3}-\frac{2}{x-2}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{3}{x-3}dx}-\int{\frac{2}{x-2}dx}\)
\(=3\int{\frac{1}{x-3}dx}-2\int{\frac{1}{x-2}dx}\)
\(=3\ln{|x-3|}-2\ln{|x-2|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(\int{\frac{x}{x^2-5x+6}dx}\)
\(=\int{\frac{x}{x^2-3x-2x+6}dx}\)
\(=\int{\frac{x}{x(x-3)-2(x-3)}dx}\)
\(=\int{\frac{x}{(x-3)(x-2)}dx}\)
এখন,
\(\frac{x}{(x-3)(x-2)}=\frac{3}{(x-3)(3-2)}+\frac{2}{(2-3)(x-2)}\) ➜Note এখানে \((x-3)\) ব্যতীত \(\frac{x}{(x-3)(x-2)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=3\) এবং \((x-2)\) ব্যতীত \(\frac{x}{(x-3)(x-2)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=2\) বসানো হয়েছে।
\(=\frac{3}{(x-3)(1)}+\frac{2}{(-1)(x-2)}\)
\(=\frac{3}{x-3}-\frac{2}{x-2}\)
\(\therefore \frac{x}{(x-3)(x-2)}=\frac{3}{x-3}-\frac{2}{x-2}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{3}{x-3}-\frac{2}{x-2}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{3}{x-3}dx}-\int{\frac{2}{x-2}dx}\)
\(=3\int{\frac{1}{x-3}dx}-2\int{\frac{1}{x-2}dx}\)
\(=3\ln{|x-3|}-2\ln{|x-2|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।

\(\int{\frac{1}{x(x-1)(x-3)}dx}\)
ধরি,
\(\frac{1}{x(x-1)(x-3)}\equiv \frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x-3} .......(i)\)
\(\Rightarrow 1\equiv A(x-1)(x-3)+Bx(x-3)+Cx(x-1) .......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \(x(x-1)(x-3)\) গুন করে।
এখানে, \(x(x-1)(x-3)\) উৎপাদকগুলির মধ্যে \(x\) সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x=0\)
এখন, \(x=0\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(1=A(0-1)(0-3)+B.0.(0-3)+C.0.(0-1)\)
\(\Rightarrow 1=A(-1)(-3)+0+0\)
\(\Rightarrow 1=3A+0+0\)
\(\Rightarrow 1=3A\)
\(\Rightarrow 3A=1\)
\(\therefore A=\frac{1}{3}\)
আবার, \(x(x-1)(x-3)\) উৎপাদকগুলির মধ্যে \((x-3)\) সমান শুন্য ধরি।
\(x-3=0\)
\(\therefore x=3\)
এখন, \(x=3\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(1=A(3-1).0+B.3.0+C.3.(3-1)\)
\(\Rightarrow 1=0+0+C.3.(2)\)
\(\Rightarrow 1=6C\)
\(\Rightarrow 6C=1\)
\(\therefore C=\frac{1}{6}\)
\(A\), \(B\) ও \(C\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{1}{x(x-1)(x-3)}=\frac{\frac{1}{3}}{x}+\frac{-\frac{1}{2}}{x-1}+\frac{\frac{1}{6}}{x-3}\)
\(\therefore \frac{1}{x(x-1)(x-3)}=\frac{1}{3x}-\frac{1}{2(x-1)}+\frac{1}{6(x-3)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{3x}-\frac{1}{2(x-1)}+\frac{1}{6(x-3)}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{3x}dx}-\int{\frac{1}{2(x-1)}dx}+\int{\frac{1}{6(x-3)}dx}\)
\(=\frac{1}{3}\int{\frac{1}{x}dx}-\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x-1}dx}+\frac{1}{6}\int{\frac{1}{x-3}dx}\)
\(=\frac{1}{3}\ln{|x|}-\frac{1}{2}\ln{|x-1|}+\frac{1}{6}\ln{|x-3|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(=\frac{1}{3}\ln{|x|}+\frac{1}{6}\ln{|x-3|}-\frac{1}{2}\ln{|x-1|}+c\)
\(\int{\frac{1}{x(x-1)(x-3)}dx}\)
এখন,
\(\frac{1}{x(x-1)(x-3)}=\frac{1}{x(0-1)(0-3)}+\frac{1}{1.(x-1)(1-3)}+\frac{1}{3.(3-1)(x-3)}\) ➜Note এখানে \((x)\) ব্যতীত \(\frac{1}{x(x-1)(x-3)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=0\), \((x-1)\) ব্যতীত \(\frac{1}{x(x-1)(x-3)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=1\) এবং \((x-3)\) ব্যতীত \(\frac{1}{x(x-1)(x-3)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=3\) বসানো হয়েছে।
\(=\frac{1}{x(-1)(-3)}+\frac{1}{1.(x-1)(-2)}+\frac{1}{3.(2)(x-3)}\)
\(=\frac{1}{3x}+\frac{1}{-2(x-1)}+\frac{1}{6(x-3)}\)
\(=\frac{1}{3x}-\frac{1}{2(x-1)}+\frac{1}{6(x-3)}\)
\(\therefore \frac{1}{x(x-1)(x-3)}=\frac{1}{3x}-\frac{1}{2(x-1)}+\frac{1}{6(x-3)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{3x}-\frac{1}{2(x-1)}+\frac{1}{6(x-3)}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{3x}dx}-\int{\frac{1}{2(x-1)}dx}+\int{\frac{1}{6(x-3)}dx}\)
\(=\frac{1}{3}\int{\frac{1}{x}dx}-\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x-1}dx}+\frac{1}{6}\int{\frac{1}{x-3}dx}\)
\(=\frac{1}{3}\ln{|x|}-\frac{1}{2}\ln{|x-1|}+\frac{1}{6}\ln{|x-3|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(=\frac{1}{3}\ln{|x|}+\frac{1}{6}\ln{|x-3|}-\frac{1}{2}\ln{|x-1|}+c\)

\(\int{\frac{(2x+3)dx}{x^3+x^2-2x}}\)
\(=\int{\frac{2x+3}{x(x^2+x-2)}dx}\)
\(=\int{\frac{2x+3}{x(x^2+2x-x-2)}dx}\)
\(=\int{\frac{2x+3}{x\{x(x+2)-1(x+2)\}}dx}\)
\(=\int{\frac{2x+3}{x(x+2)(x-1)}dx}\)
ধরি,
\(\frac{2x+3}{x(x+2)(x-1)}\equiv \frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x-1} .......(i)\)
\(\Rightarrow 2x+3\equiv A(x+2)(x-1)+Bx(x-1)+Cx(x+2) .......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \(x(x+2)(x-1)\) গুন করে।
এখানে, \(x(x+2)(x-1)\) উৎপাদকগুলির মধ্যে \(x\) সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x=0\)
এখন, \(x=0\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(2.0+3=A(0+2)(0-1)+B.0.(0-1)+C.0.(0+2)\)
\(\Rightarrow 0+3=A(2)(-1)+0+0\)
\(\Rightarrow 3=-2A\)
\(\Rightarrow -2A=3\)
\(\therefore A=-\frac{3}{2}\)
আবার, \(x(x+2)(x-1)\) উৎপাদকগুলির মধ্যে \((x-1)\) সমান শুন্য ধরি।
\(x-1=0\)
\(\therefore x=1\)
এখন, \(x=1\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(2.1+3=A(1+2).0+B.1.0+C.1.(1+2)\)
\(\Rightarrow 2+3=0+0+C.1.(3)\)
\(\Rightarrow 5=3C\)
\(\Rightarrow 3C=5\)
\(\therefore C=\frac{5}{3}\)
\(A\), \(B\) ও \(C\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{2x+3}{x(x+2)(x-1)}=\frac{-\frac{3}{2}}{x}+\frac{-\frac{1}{6}}{x+2}+\frac{\frac{5}{3}}{x-1}\)
\(\Rightarrow \frac{2x+3}{x(x+2)(x-1)}=-\frac{3}{2x}-\frac{1}{6(x+2)}+\frac{5}{3(x-1)}\)
\(\therefore \frac{2x+3}{x(x+2)(x-1)}=\frac{5}{3(x-1)}-\frac{3}{2x}-\frac{1}{6(x+2)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{5}{3(x-1)}-\frac{3}{2x}-\frac{1}{6(x+2)}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{5}{3(x-1)}dx}-\int{\frac{3}{2x}dx}-\int{\frac{1}{6(x+2)}dx}\)
\(=\frac{5}{3}\int{\frac{1}{x-1}dx}-\frac{3}{2}\int{\frac{1}{x}dx}-\frac{1}{6}\int{\frac{1}{x+2}dx}\)
\(=\frac{5}{3}\ln{|x-1|}-\frac{3}{2}\ln{|x|}-\frac{1}{6}\ln{|x+2|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(\int{\frac{(2x+3)dx}{x^3+x^2-2x}}\)
\(=\int{\frac{2x+3}{x(x^2+x-2)}dx}\)
\(=\int{\frac{2x+3}{x(x^2+2x-x-2)}dx}\)
\(=\int{\frac{2x+3}{x\{x(x+2)-1(x+2)\}}dx}\)
\(=\int{\frac{2x+3}{x(x+2)(x-1)}dx}\)
এখন,
\(\frac{2x+3}{x(x+2)(x-1)}=\frac{2.0+3}{x(0+2)(0-1)}+\frac{2(-2)+3}{-2(x+2)(-2-1)}+\frac{2.1+3}{1(1+2)(x-1)}\) ➜Note এখানে \((x)\) ব্যতীত \(\frac{2x+3}{x(x+2)(x-1)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=0\), \((x+2)\) ব্যতীত \(\frac{2x+3}{x(x+2)(x-1)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=-2\) এবং \((x-1)\) ব্যতীত \(\frac{2x+3}{x(x+2)(x-1)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=1\) বসানো হয়েছে।
\(=\frac{0+3}{x(2)(-1)}+\frac{-4+3}{-2(x+2)(-3)}+\frac{2+3}{3(x-1)}\)
\(=\frac{3}{-2x}+\frac{-1}{6(x+2)}+\frac{5}{3(x-1)}\)
\(=-\frac{3}{2x}-\frac{1}{6(x+2)}+\frac{5}{3(x-1)}\)
\(=\frac{5}{3(x-1)}-\frac{3}{2x}-\frac{1}{6(x+2)}\)
\(\therefore \frac{2x+3}{x(x+2)(x-1)}=\frac{5}{3(x-1)}-\frac{3}{2x}-\frac{1}{6(x+2)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{5}{3(x-1)}-\frac{3}{2x}-\frac{1}{6(x+2)}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{5}{3(x-1)}dx}-\int{\frac{3}{2x}dx}-\int{\frac{1}{6(x+2)}dx}\)
\(=\frac{5}{3}\int{\frac{1}{x-1}dx}-\frac{3}{2}\int{\frac{1}{x}dx}-\frac{1}{6}\int{\frac{1}{x+2}dx}\)
\(=\frac{5}{3}\ln{|x-1|}-\frac{3}{2}\ln{|x|}-\frac{1}{6}\ln{|x+2|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।

\(\int{\frac{2x-1}{x(x-1)(x-2)}dx}\)
ধরি,
\(\frac{2x-1}{x(x-1)(x-2)}\equiv \frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x-2} .......(i)\)
\(\Rightarrow 2x-1\equiv A(x-1)(x-2)+Bx(x-2)+Cx(x-1) .......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \(x(x-1)(x-2)\) গুন করে।
এখানে, \(x(x-1)(x-2)\) উৎপাদকগুলির মধ্যে \(x\) সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x=0\)
এখন, \(x=0\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(2.0-1=A.(0-1).(0-2)+B.0.(0-2)+C.0.(0-1)\)
\(\Rightarrow 0-1=A.(-1)(-2)+0+0\)
\(\Rightarrow -1=2A\)
\(\Rightarrow 2A=-1\)
\(\therefore A=-\frac{1}{2}\)
আবার, \(x(x-1)(x-2)\) উৎপাদকগুলির মধ্যে \((x-2)\) সমান শুন্য ধরি।
\(x-2=0\)
\(\therefore x=2\)
এখন, \(x=2\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(2.2-1=A.(2-1).0+B.2.0+C.2.(2-1)\)
\(\Rightarrow 4-1=0+0+C.2.(1)\)
\(\Rightarrow 3=2C\)
\(\Rightarrow 2C=3\)
\(\therefore C=\frac{3}{2}\)
\(A\), \(B\) ও \(C\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{2x-1}{x(x-1)(x-2)}=\frac{-\frac{1}{2}}{x}+\frac{-1}{x-1}+\frac{\frac{3}{2}}{x-2}\)
\(\Rightarrow \frac{2x-1}{x(x-1)(x-2)}=-\frac{1}{2x}-\frac{1}{x-1}+\frac{3}{2(x-2)}\)
\(\therefore \frac{2x-1}{x(x-1)(x-2)}=\frac{3}{2(x-2)}-\frac{1}{2x}-\frac{1}{x-1}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{3}{2(x-2)}-\frac{1}{2x}-\frac{1}{x-1}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{3}{2(x-2)}dx}-\int{\frac{1}{2x}dx}-\int{\frac{1}{x-1}dx}\)
\(=\frac{3}{2}\int{\frac{1}{x-2}dx}-\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x}dx}-\int{\frac{1}{x-1}dx}\)
\(=\frac{3}{2}\ln{|x-2|}-\frac{1}{2}\ln{|x|}-\ln{|x-1|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(\int{\frac{2x-1}{x(x-1)(x-2)}dx}\)
এখন,
\(\frac{2x-1}{x(x-1)(x-2)}=\frac{2.0-1}{x(0-1)(0-2)}+\frac{2.1-1}{1(x-1)(1-2)}+\frac{2.2-1}{2(2-1)(x-2)}\) ➜Note এখানে \((x)\) ব্যতীত \(\frac{2x-1}{x(x-1)(x-2)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=0\), \((x-1)\) ব্যতীত \(\frac{2x-1}{x(x-1)(x-2)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=1\) এবং \((x-2)\) ব্যতীত \(\frac{2x-1}{x(x-1)(x-2)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=2\) বসানো হয়েছে।
\(=\frac{0-1}{x(-1)(-2)}+\frac{2-1}{1(x-1)(-1)}+\frac{4-1}{2(1)(x-2)}\)
\(=\frac{-1}{2x}+\frac{1}{-(x-1)}+\frac{3}{2(x-2)}\)
\(=-\frac{1}{2x}-\frac{1}{x-1}+\frac{3}{2(x-2)}\)
\(=\frac{3}{2(x-2)}-\frac{1}{2x}-\frac{1}{x-1}\)
\(\therefore \frac{2x-1}{x(x-1)(x-2)}=\frac{3}{2(x-2)}-\frac{1}{2x}-\frac{1}{x-1}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{3}{2(x-2)}-\frac{1}{2x}-\frac{1}{x-1}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{3}{2(x-2)}dx}-\int{\frac{1}{2x}dx}-\int{\frac{1}{x-1}dx}\)
\(=\frac{3}{2}\int{\frac{1}{x-2}dx}-\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x}dx}-\int{\frac{1}{x-1}dx}\)
\(=\frac{3}{2}\ln{|x-2|}-\frac{1}{2}\ln{|x|}-\ln{|x-1|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।

\(\int{\frac{x-3}{(1-2x)(1+x)}dx}\)
ধরি,
\(\frac{x-3}{(1-2x)(1+x)}\equiv \frac{A}{1-2x}+\frac{B}{1+x} .......(i)\)
\(\Rightarrow x-3\equiv A(1+x)+B(1-2x).......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \((1-2x)(1+x)\) গুন করে।
এখানে, \((1-2x)(1+x)\) উৎপাদকগুলির মধ্যে \((1-2x)\) সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(1-2x=0\)
\(\Rightarrow -2x=-1\)
\(\Rightarrow 2x=1\)
\(\therefore x=\frac{1}{2}\)
এখন, \(x=\frac{1}{2}\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{1}{2}-3=A.(1+\frac{1}{2})+B.0\)
\(\Rightarrow \frac{1-6}{2}=A.\frac{2+1}{2}+0\)
\(\Rightarrow \frac{-5}{2}=A.\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow -5=3A\)
\(\Rightarrow 3A=-5\)
\(\therefore A=-\frac{5}{3}\)
\(A\) ও \(B\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x-3}{(1-2x)(1+x)}=\frac{-\frac{5}{3}}{1-2x}+\frac{-\frac{4}{3}}{1+x}\)
\(\therefore \frac{x-3}{(1-2x)(1+x)}=-\frac{5}{3(1-2x)}-\frac{4}{3(1+x)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{-\frac{5}{3(1-2x)}-\frac{4}{3(1+x)}\right\}dx}\)
\(=-\int{\frac{5}{3(1-2x)}dx}-\int{\frac{4}{3(1+x)}dx}\)
\(=-\frac{5}{3}\int{\frac{1}{1-2x}dx}-\frac{4}{3}\int{\frac{1}{1+x}dx}\)
\(=-\frac{5}{3}.\frac{\ln{|1-2x|}}{-2}-\frac{4}{3}.\frac{\ln{|1+x|}}{1}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{ax+b}dx}=\frac{\ln{|ax+b|}}{a}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=\frac{5}{6}\ln{|1-2x|}-\frac{4}{3}\ln{|x+1|}+c\)
\(\int{\frac{x-3}{(1-2x)(1+x)}dx}\)
এখন,
\(\frac{x-3}{(1-2x)(1+x)}=\frac{\frac{1}{2}-3}{(1-2x)\left(1+\frac{1}{2}\right)}+\frac{-1-3}{\{1-2(-1)\}(1+x)}\) ➜Note এখানে \((1-2x)\) ব্যতীত \(\frac{x-3}{(1-2x)(1+x)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=\frac{1}{2}\) এবং \((1+x)\) ব্যতীত \(\frac{x-3}{(1-2x)(1+x)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=-1\) বসানো হয়েছে।
\(=\frac{\frac{1-6}{2}}{(1-2x).\frac{2+1}{2}}+\frac{-4}{(1+2)(1+x)}\)
\(=\frac{\frac{-5}{2}}{(1-2x).\frac{3}{2}}-\frac{4}{3(1+x)}\)
\(=-\frac{5}{3(1-2x)}-\frac{4}{3(1+x)}\)
\(\therefore \frac{x-3}{(1-2x)(1+x)}=-\frac{5}{3(1-2x)}-\frac{4}{3(1+x)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{-\frac{5}{3(1-2x)}-\frac{4}{3(1+x)}\right\}dx}\)
\(=-\int{\frac{5}{3(1-2x)}dx}-\int{\frac{4}{3(1+x)}dx}\)
\(=-\frac{5}{3}\int{\frac{1}{1-2x}dx}-\frac{4}{3}\int{\frac{1}{1+x}dx}\)
\(=-\frac{5}{3}.\frac{\ln{|1-2x|}}{-2}-\frac{4}{3}.\frac{\ln{|1+x|}}{1}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{ax+b}dx}=\frac{\ln{|ax+b|}}{a}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=\frac{5}{6}\ln{|1-2x|}-\frac{4}{3}\ln{|x+1|}+c\)

\(\int{\frac{x+1}{x^2-7x+6}dx}\)
\(=\int{\frac{x+1}{x^2-6x-x+6}dx}\)
\(=\int{\frac{x+1}{x(x-6)-1(x-6)}dx}\)
\(=\int{\frac{x+1}{(x-6)(x-1)}dx}\)
ধরি,
\(\frac{x+1}{(x-6)(x-1)}\equiv \frac{A}{x-6}+\frac{B}{x-1} .......(i)\)
\(\Rightarrow x+1\equiv A(x-1)+B(x-6).......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \((x-6)(x-1)\) গুন করে।
এখানে, \((x-6)(x-1)\) উৎপাদকগুলির মধ্যে \((x-6)\) সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x-6=0\)
\(\therefore x=6\)
এখন, \(x=6\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(6+1=A.0+B(1-6)\)
\(\Rightarrow 7=5A+0\)
\(\Rightarrow 7=5A\)
\(\Rightarrow 5A=7\)
\(\therefore A=\frac{7}{5}\)
\(A\) ও \(B\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x+1}{(x-6)(x-1)}=\frac{\frac{7}{5}}{x-6}+\frac{-\frac{2}{5}}{x-1}\)
\(\therefore \frac{x+1}{(x-6)(x-1)}=\frac{7}{5(x-6)}-\frac{2}{5(x-1)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{7}{5(x-6)}-\frac{2}{5(x-1)}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{7}{5(x-6)}dx}-\int{\frac{2}{5(x-1)}dx}\)
\(=\frac{7}{5}\int{\frac{1}{x-6}dx}-\frac{2}{5}\int{\frac{1}{x-1}dx}\)
\(=\frac{7}{5}\ln{|x-6|}-\frac{2}{5}\ln{|x-1|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(\int{\frac{x+1}{x^2-7x+6}dx}\)
\(=\int{\frac{x+1}{x^2-6x-x+6}dx}\)
\(=\int{\frac{x+1}{x(x-6)-1(x-6)}dx}\)
\(=\int{\frac{x+1}{(x-6)(x-1)}dx}\)
এখন,
\(\frac{x+1}{(x-6)(x-1)}=\frac{6+1}{(x-6)(6-1)}+\frac{1+1}{(1-6)(x-1)}\) ➜Note এখানে \((x-6)\) ব্যতীত \(\frac{x+1}{(x-6)(x-1)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=6\) এবং \((x-1)\) ব্যতীত \(\frac{x+1}{(x-6)(x-1)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=1\) বসানো হয়েছে।
\(=\frac{7}{(x-6)(5)}+\frac{2}{(-5)(x-1)}\)
\(=\frac{7}{5(x-6)}-\frac{2}{5(x-1)}\)
\(\therefore \frac{x+1}{(x-6)(x-1)}=\frac{7}{5(x-6)}-\frac{2}{5(x-1)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{7}{5(x-6)}-\frac{2}{5(x-1)}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{7}{5(x-6)}dx}-\int{\frac{2}{5(x-1)}dx}\)
\(=\frac{7}{5}\int{\frac{1}{x-6}dx}-\frac{2}{5}\int{\frac{1}{x-1}dx}\)
\(=\frac{7}{5}\ln{|x-6|}-\frac{2}{5}\ln{|x-1|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।

\(\int{\frac{x+1}{x^3+x^2-6x}dx}\)
\(=\int{\frac{x+1}{x(x^2+x-6)}dx}\)
\(=\int{\frac{x+1}{x(x^2+3x-2x-6)}dx}\)
\(=\int{\frac{x+1}{x\{x(x+3)-2(x+3)\}}dx}\)
\(=\int{\frac{x+1}{x(x+3)(x-2)}dx}\)
ধরি,
\(\frac{x+1}{x(x+3)(x-2)}\equiv \frac{A}{x}+\frac{B}{x+3}+\frac{C}{x-2} .......(i)\)
\(\Rightarrow x+1\equiv A(x+3)(x-2)+Bx(x-2)+Cx(x+3) .......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \(x(x+3)(x-2)\) গুন করে।
এখানে, \(x(x+3)(x-2)\) উৎপাদকগুলির মধ্যে \(x\) সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x=0\)
এখন, \(x=0\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(0+1=A(0+3)(0-2)+B.0.(0-2)+C.0.(0+3)\)
\(\Rightarrow 1=A(3)(-2)+0+0\)
\(\Rightarrow 1=-6A\)
\(\Rightarrow -6A=1\)
\(\therefore A=-\frac{1}{6}\)
আবার, \(x(x+3)(x-2)\) উৎপাদকগুলির মধ্যে \((x-2)\) সমান শুন্য ধরি।
\(x-2=0\)
\(\therefore x=2\)
এখন, \(x=2\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(2+1=A(2+3).0+B.2.0+C.2.(2+3)\)
\(\Rightarrow 3=0+0+C.2.(5)\)
\(\Rightarrow 3=10C\)
\(\Rightarrow 10C=3\)
\(\therefore C=\frac{3}{10}\)
\(A\), \(B\) ও \(C\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x+1}{x(x+3)(x-2)}=\frac{-\frac{1}{6}}{x}+\frac{-\frac{2}{15}}{x+3}+\frac{\frac{3}{10}}{x-2}\)
\(\Rightarrow \frac{x+1}{x(x+3)(x-2)}=-\frac{1}{6x}-\frac{2}{15(x+3)}+\frac{3}{10(x-2}\)
\(\therefore \frac{x+1}{x(x+3)(x-2)}=\frac{3}{10(x-2)}-\frac{1}{6x}-\frac{2}{15(x+3)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{3}{10(x-2)}-\frac{1}{6x}-\frac{2}{15(x+3)}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{3}{10(x-2)}dx}-\int{\frac{1}{6x}dx}-\int{\frac{2}{15(x+3)}dx}\)
\(=\frac{3}{10}\int{\frac{1}{x-2}dx}-\frac{1}{6}\int{\frac{1}{x}dx}-\frac{2}{15}\int{\frac{1}{x+3}dx}\)
\(=\frac{3}{10}\ln{|x-2|}-\frac{1}{6}\ln{|x|}-\frac{2}{15}\ln{|x+3|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(\int{\frac{x+1}{x^3+x^2-6x}dx}\)
\(=\int{\frac{x+1}{x(x^2+x-6)}dx}\)
\(=\int{\frac{x+1}{x(x^2+3x-2x-6)}dx}\)
\(=\int{\frac{x+1}{x\{x(x+3)-2(x+3)\}}dx}\)
\(=\int{\frac{x+1}{x(x+3)(x-2)}dx}\)
এখন,
\(\frac{x+1}{x(x+3)(x-2)}=\frac{0+1}{x(0+3)(0-2)}+\frac{-3+1}{-3(x+3)(-3-2)}+\frac{2+1}{2(2+3)(x-2)}\) ➜Note এখানে \((x)\) ব্যতীত \(\frac{x+1}{x(x+3)(x-2)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=0\), \((x+3)\) ব্যতীত \(\frac{x+1}{x(x+3)(x-2)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=-3\) এবং \((x-2)\) ব্যতীত \(\frac{x+1}{x(x+3)(x-2)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=2\) বসানো হয়েছে।
\(=\frac{1}{x(3)(-2)}+\frac{-2}{-3(x+3)(-5)}+\frac{3}{2(5)(x-2)}\)
\(=\frac{1}{-6x}+\frac{-2}{15(x+3)}+\frac{3}{10(x-2)}\)
\(=-\frac{1}{6x}-\frac{2}{15(x+3)}+\frac{3}{10(x-2)}\)
\(=\frac{3}{10(x-2)}-\frac{1}{6x}-\frac{2}{15(x+3)}\)
\(\therefore \frac{x+1}{x(x+3)(x-2)}=\frac{3}{10(x-2)}-\frac{1}{6x}-\frac{2}{15(x+3)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{3}{10(x-2)}-\frac{1}{6x}-\frac{2}{15(x+3)}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{3}{10(x-2)}dx}-\int{\frac{1}{6x}dx}-\int{\frac{2}{15(x+3)}dx}\)
\(=\frac{3}{10}\int{\frac{1}{x-2}dx}-\frac{1}{6}\int{\frac{1}{x}dx}-\frac{2}{15}\int{\frac{1}{x+3}dx}\)
\(=\frac{3}{10}\ln{|x-2|}-\frac{1}{6}\ln{|x|}-\frac{2}{15}\ln{|x+3|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।

\(\int{\frac{x+1}{x^2-7x+10}dx}\)
\(=\int{\frac{x+1}{x^2-5x-2x+10}dx}\)
\(=\int{\frac{x+1}{x(x-5)-2(x-5)}dx}\)
\(=\int{\frac{x+1}{(x-5)(x-2)}dx}\)
ধরি,
\(\frac{x+1}{(x-5)(x-2)}\equiv \frac{A}{x-5}+\frac{B}{x-2} .......(i)\)
\(\Rightarrow x+1\equiv A(x-2)+B(x-5).......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \((x-5)(x-2)\) গুন করে।
এখানে, \((x-5)(x-2)\) উৎপাদকগুলির মধ্যে \((x-5)\) সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x-5=0\)
\(\therefore x=5\)
এখন, \(x=5\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(5+1=A.(5-2)+B.0\)
\(\Rightarrow 6=3A+0\)
\(\Rightarrow 6=3A\)
\(\Rightarrow 3A=6\)
\(\therefore A=2\)
\(A\) ও \(B\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x+1}{(x-5)(x-2)}=\frac{2}{x-5}+\frac{-1}{x-2}\)
\(\therefore \frac{x+1}{(x-5)(x-2)}=\frac{2}{x-5}-\frac{1}{x-2}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{2}{x-5}-\frac{1}{x-2}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{2}{x-5}dx}-\int{\frac{1}{x-2}dx}\)
\(=2\int{\frac{1}{x-5}dx}-\int{\frac{1}{x-2}dx}\)
\(=2\ln{|x-5|}-\ln{|x-2|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(\int{\frac{x+1}{x^2-7x+10}dx}\)
\(=\int{\frac{x+1}{x^2-5x-2x+10}dx}\)
\(=\int{\frac{x+1}{x(x-5)-2(x-5)}dx}\)
\(=\int{\frac{x+1}{(x-5)(x-2)}dx}\)
এখন,
\(\frac{x+1}{(x-5)(x-2)}=\frac{5+1}{(x-5)(5-2)}+\frac{2+1}{(2-5)(x-2)}\) ➜Note এখানে \((x-5)\) ব্যতীত \(\frac{x+1}{(x-5)(x-2)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=5\) এবং \((x-2)\) ব্যতীত \(\frac{x+1}{(x-5)(x-2)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=2\) বসানো হয়েছে।
\(=\frac{6}{3(x-5)}+\frac{3}{-3(x-2)}\)
\(=\frac{2}{x-5}-\frac{1}{x-2}\)
\(\therefore \frac{x+1}{(x-5)(x-2)}=\frac{2}{x-5}-\frac{1}{x-2}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{2}{x-5}-\frac{1}{x-2}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{2}{x-5}dx}-\int{\frac{1}{x-2}dx}\)
\(=2\int{\frac{1}{x-5}dx}-\int{\frac{1}{x-2}dx}\)
\(=2\ln{|x-5|}-\ln{|x-2|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।

\(\int{\frac{dx}{x^2+x-6}}\)
\(=\int{\frac{1}{x^2+x-6}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{x^2+3x-2x-6}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{x(x+3)-2(x+3)}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{(x+3)(x-2)}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{(x-2)(x+3)}dx}\)
ধরি,
\(\frac{1}{(x-2)(x+3)}\equiv \frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+3} .......(i)\)
\(\Rightarrow 1\equiv A(x+3)+B(x-2) .......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \((x-2)(x+3)\) গুন করে।
এখানে, \((x-2)(x+3)\) উৎপাদকগুলির মধ্যে \((x-2)\) সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x-2=0\)
\(\therefore x=2\)
এখন, \(x=2\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(1=A(2+3)+B.0\)
\(\Rightarrow 1=A(5)+0\)
\(\Rightarrow 1=5A\)
\(\Rightarrow 5A=1\)
\(\therefore A=\frac{1}{5}\)
\(A\) ও \(B\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{1}{(x-2)(x+3)}=\frac{\frac{1}{5}}{x-2}+\frac{-\frac{1}{5}}{x+3}\)
\(\therefore \frac{1}{(x-2)(x+3)}=\frac{1}{5(x-2)}-\frac{1}{5(x+3)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{5(x-2)}-\frac{1}{5(x+3)}\right\}dx}\)
\(=\frac{1}{5}\int{\frac{1}{x-2}dx}-\frac{1}{5}\int{\frac{1}{x+3}dx}\)
\(=\frac{1}{5}\ln{|x-2|}-\frac{1}{5}\ln{|x+3|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(=\frac{1}{5}\left(\ln{|x-2|}-\ln{|x+3|}\right)+c\)
\(=\frac{1}{5}\ln{\left|\frac{x-2}{x+3}\right|}+c\) ➜Note\(\because \ln{|M|}-\ln{|N|}=\ln{|\frac{M}{N}|}\)
\(\int{\frac{dx}{x^2+x-6}}\)
\(=\int{\frac{1}{x^2+x-6}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{x^2+3x-2x-6}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{x(x+3)-2(x+3)}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{(x+3)(x-2)}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{(x-2)(x+3)}dx}\)
এখন,
\(\frac{1}{(x-2)(x+3)}=\frac{1}{(x-2)(2+3)}+\frac{1}{(-3-2)(x+3)}\) ➜Note এখানে \((x-2)\) ব্যতীত \(\frac{1}{(x-2)(x+3)}\) এর অপর উৎপাদকে \(x=2\) এবং \((x+3)\) ব্যতীত \(\frac{1}{(x-2)(x+3)}\) এর অপর উৎপাদকে \(x=-3\) বসানো হয়েছে।
\(=\frac{1}{(x-2)(5)}+\frac{1}{(-5)(x+3)}\)
\(\therefore \frac{1}{(x-2)(x+3)}=\frac{1}{5(x-2)}-\frac{1}{5(x+3)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{5(x-2)}-\frac{1}{5(x+3)}\right\}dx}\)
\(=\frac{1}{5}\int{\frac{1}{x-2}dx}-\frac{1}{5}\int{\frac{1}{x+3}dx}\)
\(=\frac{1}{5}\ln{|x-2|}-\frac{1}{5}\ln{|x+3|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(=\frac{1}{5}\left(\ln{|x-2|}-\ln{|x+3|}\right)+c\)
\(=\frac{1}{5}\ln{\left|\frac{x-2}{x+3}\right|}+c\) ➜Note\(\because \ln{|M|}-\ln{|N|}=\ln{|\frac{M}{N}|}\)

\(\int{\frac{dx}{(x+1)(x-5)}}\)
\(=\int{\frac{1}{(x+1)(x-5)}dx}\)
ধরি,
\(\frac{1}{(x+1)(x-5)}\equiv \frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-5} .......(i)\)
\(\Rightarrow 1\equiv A(x-5)+B(x+1) .......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \((x+1)(x-5)\) গুন করে।

এখানে, \((x+1)(x-5)\) উৎপাদকগুলির মধ্যে \((x+1)\) সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x+1=0\)
\(\therefore x=-1\)
এখন, \(x=-1\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(1=A(-1-5)+B.0\)
\(\Rightarrow 1=A(-6)+0\)
\(\Rightarrow 1=-6A\)
\(\Rightarrow -6A=1\)
\(\therefore A=-\frac{1}{6}\)
\(A\) ও \(B\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{1}{(x+1)(x-5)}=\frac{-\frac{1}{6}}{x+1}+\frac{\frac{1}{6}}{x-5}\)
\(=-\frac{1}{6(x+1)}+\frac{1}{6(x-5)}\)
\(\therefore \frac{1}{(x+1)(x-5)}=\frac{1}{6(x-5)}-\frac{1}{6(x+1)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{6(x-5)}-\frac{1}{6(x+1)}\right\}dx}\)
\(=\frac{1}{6}\int{\frac{1}{x-5}dx}-\frac{1}{6}\int{\frac{1}{x+1}dx}\)
\(=\frac{1}{6}\ln{|x-5|}-\frac{1}{6}\ln{|x+1|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(=\frac{1}{6}\left(\ln{|x-5|}-\ln{|x+1|}\right)+c\)
\(=\frac{1}{6}\ln{\left|\frac{x-5}{x+1}\right|}+c\) ➜Note\(\because \ln{|M|}-\ln{|N|}=\ln{|\frac{M}{N}|}\)
\(\int{\frac{dx}{(x+1)(x-5)}}\)
\(=\int{\frac{1}{(x+1)(x-5)}dx}\)
এখন,
\(\frac{1}{(x+1)(x-5)}=\frac{1}{(x+1)(-1-5)}+\frac{1}{(5+1)(x-5)}\) ➜Note এখানে \((x+1)\) ব্যতীত \(\frac{1}{(x+1)(x-5)}\) এর অপর উৎপাদকে \(x=-1\) এবং \((x-5)\) ব্যতীত \(\frac{1}{(x+1)(x-5)}\) এর অপর উৎপাদকে \(x=5\) বসানো হয়েছে।
\(=\frac{1}{(x+1)(-6)}+\frac{1}{(6)(x-5)}\)
\(=-\frac{1}{6(x+1)}+\frac{1}{6(x-5)}\)
\(\therefore \frac{1}{(x+1)(x-5)}=\frac{1}{6(x-5)}-\frac{1}{6(x+1)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{6(x-5)}-\frac{1}{6(x+1)}\right\}dx}\)
\(=\frac{1}{6}\int{\frac{1}{x-5}dx}-\frac{1}{6}\int{\frac{1}{x+1}dx}\)
\(=\frac{1}{6}\ln{|x-5|}-\frac{1}{6}\ln{|x+1|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(=\frac{1}{6}\left(\ln{|x-5|}-\ln{|x+1|}\right)+c\)
\(=\frac{1}{6}\ln{\left|\frac{x-5}{x+1}\right|}+c\) ➜Note\(\because \ln{|M|}-\ln{|N|}=\ln{|\frac{M}{N}|}\)

\(\int{\frac{dx}{x^2-3x+2}}\)
\(=\int{\frac{1}{x^2-2x-x+2}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{x(x-2)-1(x-2)}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{(x-2)(x-1)}dx}\)
ধরি,
\(\frac{1}{(x-2)(x-1)}\equiv \frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-1} .......(i)\)
\(\Rightarrow 1\equiv A(x-1)+B(x-2) .......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \((x-2)(x-1)\) গুন করে।
এখানে, \((x-2)(x-1)\) উৎপাদকগুলির মধ্যে \((x-2)\) সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x-2=0\)
\(\therefore x=2\)
এখন, \(x=2\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(1=A(2-1)+B.0\)
\(\Rightarrow 1=A(1)+0\)
\(\Rightarrow 1=A\)
\(\therefore A=1\)
\(A\) ও \(B\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{1}{(x-2)(x-1)}=\frac{1}{x-2}+\frac{-1}{x-1}\)
\(=\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}\)
\(\therefore \frac{1}{(x-2)(x-1)}=\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{x-2}dx}-\int{\frac{1}{x-1}dx}\)
\(=\ln{|x-2|}-\ln{|x-1|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(=\left(\ln{|x-2|}-\ln{|x-1|}\right)+c\)
\(=\ln{\left|\frac{x-2}{x-1}\right|}+c\) ➜Note\(\because \ln{|M|}-\ln{|N|}=\ln{|\frac{M}{N}|}\)
\(\int{\frac{dx}{x^2-3x+2}}\)
\(=\int{\frac{1}{x^2-2x-x+2}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{x(x-2)-1(x-2)}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{(x-2)(x-1)}dx}\)
এখন,
\(\frac{1}{(x-2)(x-1)}=\frac{1}{(x-2)(2-1)}+\frac{1}{(1-2)(x-1)}\) ➜Note এখানে \((x-2)\) ব্যতীত \(\frac{1}{(x-2)(x-1)}\) এর অপর উৎপাদকে \(x=2\) এবং \((x-1)\) ব্যতীত \(\frac{1}{(x-2)(x-1)}\) এর অপর উৎপাদকে \(x=1\) বসানো হয়েছে।
\(=\frac{1}{(x-2)(1)}+\frac{1}{(-1)(x-1)}\)
\(=\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}\)
\(\therefore \frac{1}{(x-2)(x-1)}=\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{x-2}dx}-\int{\frac{1}{x-1}dx}\)
\(=\ln{|x-2|}-\ln{|x-1|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(=\left(\ln{|x-2|}-\ln{|x-1|}\right)+c\)
\(=\ln{\left|\frac{x-2}{x-1}\right|}+c\) ➜Note\(\because \ln{|M|}-\ln{|N|}=\ln{|\frac{M}{N}|}\)

\(\int{\frac{(x+1)dx}{x^2-5x+6}}\)
\(=\int{\frac{x+1}{x^2-5x+6}dx}\)
\(=\int{\frac{x+1}{x^2-3x-2x+6}dx}\)
\(=\int{\frac{x+1}{x(x-3)-2(x-3)}dx}\)
\(=\int{\frac{x+1}{(x-3)(x-2)}dx}\)
ধরি,
\(\frac{x+1}{(x-3)(x-2)}\equiv \frac{A}{x-3}+\frac{B}{x-2} .......(i)\)
\(\Rightarrow x+1\equiv A(x-2)+B(x-3) .......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \((x-3)(x-2)\) গুন করে।
এখানে, \((x-3)(x-2)\) দুইটি উৎপাদক এর যে কোনো একটি সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x-3=0\)
\(\Rightarrow x=3\)
এখন, \(x=3\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(3+1=A(3-2)+B.0\)
\(\Rightarrow 4=A.1+0\)
\(\Rightarrow 4=A\)
\(\therefore A=4\)
\(A\) ও \(B\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x+1}{(x-3)(x-2)}=\frac{4}{x-3}+\frac{-3}{x-2}\)
\(\therefore \frac{x+1}{(x-3)(x-2)}=\frac{4}{x-3}-\frac{4}{x-2}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left(\frac{4}{x-3}-\frac{3}{x-2}\right)dx}\)
\(=4\int{\frac{1}{x-3}dx}-3\int{\frac{1}{x-2}dx}\)
\(=4\ln{\left|x-3\right|}-3\ln{\left|x-2\right|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকদ্বয়ের \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(\int{\frac{x+1}{x^2-5x+6}dx}\)
\(=\int{\frac{x+1}{x^2-3x-2x+6}dx}\)
\(=\int{\frac{x+1}{x(x-3)-2(x-3)}dx}\)
\(=\int{\frac{x+1}{(x-3)(x-2)}dx}\)
এখন,
\(\frac{x+1}{(x-3)(x-2)}=\frac{3+1}{(x-3)(3-2)}+\frac{2+1}{(2-3)(x-2)}\) ➜Note এখানে \((x-3)\) ব্যতীত \(\frac{x+1}{(x-3)(x-2)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=3\) এবং \((x-2)\) ব্যতীত \(\frac{x+1}{(x-3)(x-2)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=2\) বসানো হয়েছে।
\(=\frac{4}{(x-3)(1)}+\frac{3}{(-1)(x-2)}\)
\(=\frac{4}{x-3}-\frac{3}{x-2}\)
\(\therefore \frac{x+1}{(x-3)(x-2)}=\frac{4}{x-3}-\frac{3}{x-2}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left(\frac{4}{x-3}-\frac{3}{x-2}\right)dx}\)
\(=4\int{\frac{1}{x-3}dx}-3\int{\frac{1}{x-2}dx}\)
\(=4\ln{\left|x-3\right|}-3\ln{\left|x-2\right|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকদ্বয়ের \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।

\(\int{\frac{dx}{x^2-2x-3}}\)
\(=\int{\frac{1}{x^2-3x+x-3}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{x(x-3)+1(x-3)}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{(x-3)(x+1)}dx}\)
ধরি,
\(\frac{1}{(x-3)(x+1)}\equiv \frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+1} .......(i)\)
\(\Rightarrow 1\equiv A(x+1)+B(x-3) .......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \((x-3)(x+1)\) গুন করে।
এখানে, \((x-3)(x+1)\) দুইটি উৎপাদক এর যে কোনো একটি সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x-3=0\)
\(\Rightarrow x=3\)
এখন, \(x=3\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(1=A(3+1)+B.0\)
\(\Rightarrow 1=A.4+0\)
\(\Rightarrow 1=4A\)
\(\therefore A=\frac{1}{4}\)
\(A\) ও \(B\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{1}{(x-3)(x+1)}=\frac{\frac{1}{4}}{x-3}+\frac{-\frac{1}{4}}{x+1}\)
\(\therefore \frac{1}{(x-3)(x+1)}=\frac{1}{4(x-3)}-\frac{1}{4(x+1)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{4(x-3)}-\frac{1}{4(x+1)}\right\}dx}\)
\(=\frac{1}{4}\int{\frac{1}{x-3}dx}-\frac{1}{4}\int{\frac{1}{x+1}dx}\)
\(=\frac{1}{4}\ln{\left|x-3\right|}-\frac{1}{4}\ln{\left|x+1\right|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকদ্বয়ের \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(=\frac{1}{4}\left(\ln{\left|x-3\right|}-\ln{\left|x+1\right|}\right)+c\)
\(=\frac{1}{4}\ln{\left|\frac{x-3}{x+1}\right|}+c\) ➜Note\(\because \ln{|M|}-\ln{|N|}=\ln{|\frac{M}{N}|}\)
\(\int{\frac{dx}{x^2-2x-3}}\)
\(=\int{\frac{1}{x^2-3x+x-3}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{x(x-3)+1(x-3)}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{(x-3)(x+1)}dx}\)
এখন,
\(\frac{1}{(x-3)(x+1)}=\frac{1}{(x-3)(3+1)}+\frac{1}{(-1-3)(x+1)}\) ➜Note এখানে \((x-3)\) ব্যতীত \(\frac{1}{(x-3)(x+1)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=3\) এবং \((x+1)\) ব্যতীত \(\frac{1}{(x-3)(x+1)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=-1\) বসানো হয়েছে।
\(=\frac{1}{(x-3)(4)}+\frac{1}{(-4)(x+1)}\)
\(=\frac{1}{4(x-3)}-\frac{1}{4(x-2)}\)
\(\therefore \frac{1}{(x-3)(x+1)}=\frac{1}{4(x-3)}-\frac{1}{4(x-2)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{4(x-3)}-\frac{1}{4(x+1)}\right\}dx}\)
\(=\frac{1}{4}\int{\frac{1}{x-3}dx}-\frac{1}{4}\int{\frac{1}{x+1}dx}\)
\(=\frac{1}{4}\ln{\left|x-3\right|}-\frac{1}{4}\ln{\left|x+1\right|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকদ্বয়ের \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(=\frac{1}{4}\left(\ln{\left|x-3\right|}-\ln{\left|x+1\right|}\right)+c\)
\(=\frac{1}{4}\ln{\left|\frac{x-3}{x+1}\right|}+c\) ➜Note\(\because \ln{|M|}-\ln{|N|}=\ln{|\frac{M}{N}|}\)

\(\int{\frac{x}{x^2-5x-6}dx}\)
\(=\int{\frac{x}{x^2-6x+x-6}dx}\)
\(=\int{\frac{x}{x(x-6)+1(x-6)}dx}\)
\(=\int{\frac{x}{(x-6)(x+1)}dx}\)
\(=\int{\frac{x}{(x+1)(x-6)}dx}\)
ধরি,
\(\frac{x}{(x+1)(x-6)}\equiv \frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-6} .......(i)\)
\(\Rightarrow x\equiv A(x-6)+B(x+1) .......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \((x+1)(x-6)\) গুন করে।
এখানে, \((x+1)(x-6)\) দুইটি উৎপাদক এর যে কোনো একটি সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x+1=0\)
\(\Rightarrow x=-1\)
এখন, \(x=-1\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(-1=A(-1-6)+B.0\)
\(\Rightarrow -1=A.(-7)+0\)
\(\Rightarrow -1=-7A\)
\(\Rightarrow -7A=-1\)
\(\therefore A=\frac{1}{7}\)
\(A\) ও \(B\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x}{(x+1)(x-6)}=\frac{\frac{1}{7}}{x+1}+\frac{\frac{6}{7}}{x-6}\)
\(\therefore \frac{x}{(x+1)(x-6)}=\frac{1}{7(x+1)}+\frac{6}{7(x-6)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{7(x+1)}+\frac{6}{7(x-6)}\right\}dx}\)
\(=\frac{1}{7}\int{\frac{1}{x+1}dx}+\frac{6}{7}\int{\frac{1}{x-6}dx}\)
\(=\frac{1}{7}\ln{\left|x+1\right|}+\frac{6}{7}\ln{\left|x-6\right|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকদ্বয়ের \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(\int{\frac{x}{x^2-5x-6}dx}\)
\(=\int{\frac{x}{x^2-6x+x-6}dx}\)
\(=\int{\frac{x}{x(x-6)+1(x-6)}dx}\)
\(=\int{\frac{x}{(x-6)(x+1)}dx}\)
\(=\int{\frac{x}{(x+1)(x-6)}dx}\)
এখন,
\(\frac{x}{(x+1)(x-6)}=\frac{-1}{(x+1)(-1-6)}+\frac{6}{(6+1)(x-6)}\) ➜Note এখানে \((x+1)\) ব্যতীত \(\frac{x}{(x+1)(x-6)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=-1\) এবং \((x-6)\) ব্যতীত \(\frac{x}{(x+1)(x-6)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=6\) বসানো হয়েছে।
\(=\frac{-1}{(x+1)(-7)}+\frac{6}{(7)(x-6)}\)
\(=\frac{1}{7(x+1)}+\frac{6}{7(x-6)}\)
\(\therefore \frac{x}{(x+1)(x-6)}=\frac{1}{7(x+1)}+\frac{6}{7(x-6)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{7(x+1)}+\frac{6}{7(x-6)}\right\}dx}\)
\(=\frac{1}{7}\int{\frac{1}{x+1}dx}+\frac{6}{7}\int{\frac{1}{x-6}dx}\)
\(=\frac{1}{7}\ln{\left|x+1\right|}+\frac{6}{7}\ln{\left|x-6\right|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকদ্বয়ের \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।

\(\int{\frac{1}{x(x+1)^2}dx}\)
ধরি,
\(\frac{1}{x(x+1)^2}\equiv \frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^2} .......(i)\)
\(\Rightarrow 1\equiv A(x+1)^2+Bx(x+1)+Cx .......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \(x(x+1)^2\) গুন করে।
এখানে, \((x+1)(x+2)^2\) দুইটি উৎপাদক এর যে কোনো একটি সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x=0\)
এখন, \(x=0\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(1=A(0+1)^2+B.0.(x+1)+C.0\)
\(\Rightarrow 1=A.1^2+0+0\)
\(\Rightarrow 1=A.1\)
\(\Rightarrow 1=A\)
\(\therefore A=1\)
\(B\) এর মান নির্ণয়ের জন্য তৃতীয় কোনো উৎপাদক না থাকায় \((ii)\) এর উভয় পার্শ হতে \(x^2\) এর সহগ সমীকৃত করে পাই।
\(0=A+B\) ➜Note \(\because (ii)\Rightarrow 1\equiv A(x^2+2x+1)+B(x^2+x)+Cx\)
\(\Rightarrow A+B=0\)
\(\Rightarrow B=-A\)
\(\therefore B=-1\) ➜Note \(\because A=1\)
\(A\), \(B\) ও \(C\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{1}{x(x+1)^2}=\frac{1}{x}+\frac{-1}{x+1}+\frac{-1}{(x+1)^2}\)
\(\therefore \frac{1}{x(x+1)^2}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^2}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^2}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{x}dx}-\int{\frac{1}{x+1}dx}-\int{\frac{1}{(x+1)^2}dx}\)
\(=\ln{\left|x\right|}-\ln{\left|x+1\right|}+\frac{1}{x+1}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}, \int{\frac{1}{x^2}dx}=-\frac{1}{x}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকদ্বয়ের \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(=\ln{\left|\frac{x}{x+1}\right|}+\frac{1}{x+1}+c\) ➜Note\(\because \ln{|M|}-\ln{|N|}=\ln{|\frac{M}{N}|}\)
\(\int{\frac{1}{x(x+1)^2}dx}\)
এখন,
\(\frac{1}{x(x+1)^2}=\frac{1}{x+1}\left\{\frac{1}{x(x+1)}\right\}\)
\(=\frac{1}{x+1}\left\{\frac{1}{x(0+1)}+\frac{1}{-1(x+1)}\right\}\) ➜Note এখানে \((x)\) ব্যতীত \(\frac{1}{x(x+1)}\) এর অপর উৎপাদকে \(x=0\) এবং \((x+1)\) ব্যতীত \(\frac{1}{x(x+1)}\) এর অপর উৎপাদকে \(x=-1\) বসানো হয়েছে।
\(=\frac{1}{x+1}\left\{\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right\}\) \(=\frac{1}{x(x+1)}-\frac{1}{(x+1)^2}\) \(=\frac{1}{x(0+1)}+\frac{1}{-1(x+1)}-\frac{1}{(x+1)^2}\) ➜Note এখানে \((x)\) ব্যতীত \(\frac{1}{x(x+1)}\) এর অপর উৎপাদকে \(x=0\) এবং \((x+1)\) ব্যতীত \(\frac{1}{x(x+1)}\) এর অপর উৎপাদকে \(x=-1\) বসানো হয়েছে।
\(=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^2}\)
\(\therefore \frac{1}{x(x+1)^2}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^2}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^2}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{x}dx}-\int{\frac{1}{x+1}dx}-\int{\frac{1}{(x+1)^2}dx}\)
\(=\ln{|x|}-\ln{|x+1|}+\frac{1}{x+1}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}, \int{\frac{1}{x^2}dx}=-\frac{1}{x}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(=\ln{\left|\frac{x}{x+1}\right|}+\frac{1}{x+1}+c\) ➜Note\(\because \ln{|M|}-\ln{|N|}=\ln{|\frac{M}{N}|}\)

\(\int{\frac{x^2dx}{(x+1)(x+2)^2}}\)
\(=\int{\frac{x^2}{(x+1)(x+2)^2}dx}\)
ধরি,
\(\frac{x^2}{(x+1)(x+2)^2}\equiv \frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{(x+2)^2} .......(i)\)
\(\Rightarrow x^2\equiv A(x+2)^2+B(x+1)(x+2)+C(x+1) .......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \((x+1)(x+2)^2\) গুন করে।
এখানে, \((x+1)(x+2)^2\) দুইটি উৎপাদক এর যে কোনো একটি সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x+1=0\)
\(\Rightarrow x=-1\)
এখন, \(x=-1\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\((-1)^2=A(-1+2)^2+B.0(x+2)+C.0\)
\(\Rightarrow 1=A.1^2+0+0\)
\(\Rightarrow 1=A.1\)
\(\Rightarrow 1=A\)
\(\therefore A=1\)
\(B\) এর মান নির্ণয়ের জন্য তৃতীয় কোনো উৎপাদক না থাকায় \((ii)\) এর উভয় পার্শ হতে \(x^2\) এর সহগ সমীকৃত করে পাই।
\(1=A+B\) ➜Note \(\because (ii)\Rightarrow x^2\equiv A(x^2+4x+4)+B(x^2+3x+2)+C(x+1)\)
\(\Rightarrow A+B=1\)
\(\Rightarrow B=1-A\)
\(\Rightarrow B=1-1\) ➜Note \(\because A=1\)
\(\therefore B=0\)
\(A\), \(B\) ও \(C\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x^2}{(x+1)(x+2)^2}=\frac{1}{x+1}+\frac{0}{x+2}+\frac{-4}{(x+2)^2}\)
\(\therefore \frac{x^2}{(x+1)(x+2)^2}=\frac{1}{x+1}-\frac{4}{(x+2)^2}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{x+1}-\frac{4}{(x+2)^2}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{x+1}dx}-4\int{\frac{1}{(x+2)^2}dx}\)
\(=\ln{\left|x+1\right|}+4\frac{1}{x+2}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}, \int{\frac{1}{x^2}dx}=-\frac{1}{x}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকদ্বয়ের \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(=\ln{\left|x+1\right|}+\frac{4}{x+2}+c\)
\(\int{\frac{x^2dx}{(x+1)(x+2)^2}}\)
\(=\int{\frac{x^2}{(x+1)(x+2)^2}dx}\)
এখন,
\(\frac{x^2}{(x+1)(x+2)^2}=\frac{1}{x+2}\left\{\frac{x^2}{(x+1)(x+2)}\right\}\)
\(=\frac{1}{x+2}\left\{\frac{(x^2+3x+2)-(3x+2)}{(x+1)(x+2)}\right\}\)
\(=\frac{1}{x+2}\left\{\frac{x^2+3x+2}{(x+1)(x+2)}-\frac{3x+2}{(x+1)(x+2)}\right\}\)
\(=\frac{1}{x+2}\left\{\frac{x^2+3x+2}{x^2+3x+2}-\frac{3x+2}{(x+1)(x+2)}\right\}\)
\(=\frac{1}{x+2}\left\{1-\frac{3x+2}{(x+1)(x+2)}\right\}\)
\(=\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+2}\left\{\frac{3x+2}{(x+1)(x+2)}\right\}\)
\(=\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+2}\left\{\frac{3(-1)+2}{(x+1)(-1+2)}+\frac{3(-2)+2}{(-2+1)(x+2)}\right\}\) ➜Note এখানে \((x+1)\) ব্যতীত \(\frac{3x+2}{(x+1)(x+2)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=-1\) এবং \((x+2)\) ব্যতীত \(\frac{3x+2}{(x+1)(x+2)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=-2\) বসানো হয়েছে।
\(=\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+2}\left\{\frac{-3+2}{(x+1)(1)}+\frac{-6+2}{(-1)(x+2)}\right\}\)
\(=\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+2}\left\{\frac{-1}{x+1}+\frac{-4}{(-1)(x+2)}\right\}\)
\(=\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+2}\left\{-\frac{1}{x+1}+\frac{4}{x+2}\right\}\)
\(=\frac{1}{x+2}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}-\frac{4}{(x+2)^2}\)
\(=\frac{1}{x+2}+\frac{1}{(x+1)(-1+2)}+\frac{1}{(-2+1)(x+2)}-\frac{4}{(x+2)^2}\) ➜Note এখানে \((x+1)\) ব্যতীত \(\frac{1}{(x+1)(x+2)}\) এর অপর উৎপাদকে \(x=-1\) এবং \((x+2)\) ব্যতীত \(\frac{1}{(x+1)(x+2)}\) এর অপর উৎপাদকে \(x=-2\) বসানো হয়েছে।
\(=\frac{1}{x+2}+\frac{1}{(x+1)(1)}+\frac{1}{(-1)(x+2)}-\frac{4}{(x+2)^2}\)
\(=\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}-\frac{4}{(x+2)^2}\)
\(\therefore \frac{x^2}{(x+1)(x+2)^2}=\frac{1}{x+1}-\frac{4}{(x+2)^2}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{x+1}-\frac{4}{(x+2)^2}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{x+1}dx}-\int{\frac{4}{(x+2)^2}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{x+1}dx}-4\int{\frac{1}{(x+2)^2}dx}\)
\(=\ln{|x+1|}+4\frac{1}{x+2}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}, \int{\frac{1}{x^2}dx}=-\frac{1}{x}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=\ln{|x+1|}+\frac{4}{x+2}+c\)
\(\int{\frac{x^2dx}{(x+1)(x+2)^2}}\)
\(=\int{\frac{x^2+4x+4-4x-4}{(x+1)(x+2)^2}dx}\)
\(=\int{\frac{(x+2)^2-4(x+1)}{(x+1)(x+2)^2}dx}\)
\(=\int{\left\{\frac{(x+2)^2}{(x+1)(x+2)^2}-\frac{4(x+1)}{(x+1)(x+2)^2}\right\}dx}\)
\(=\int{\left\{\frac{1}{x+1}-\frac{4}{(x+2)^2}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{x+1}dx}-4\int{\frac{1}{(x+2)^2}dx}\)
\(=\ln{|x+1|}+4\frac{1}{x+2}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}, \int{\frac{1}{x^2}dx}=-\frac{1}{x}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=\ln{|x+1|}+\frac{4}{x+2}+c\)

\(\int{\frac{5-2x}{(x-1)^2(x+2)}dx}\)
ধরি,
\(\frac{5-2x}{(x-1)^2(x+2)}\equiv \frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^2} .......(i)\)
\(\Rightarrow 5-2x\equiv A(x-1)^2+B(x-1)(x+2)+C(x+2) .......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \((x-1)^2(x+2)\) গুন করে।
এখানে, \((x-1)^2(x+2)\) দুইটি উৎপাদক এর যে কোনো একটি সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x+2=0\)
\(\Rightarrow x=-2\)
এখন, \(x=-2\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(5-2(-2)= A(-2-1)^2+B(x-1).0+C.0\)
\(\Rightarrow 5+4=A.(-3)^2+0+0\)
\(\Rightarrow 9=A.9\)
\(\Rightarrow 9=9A\)
\(\Rightarrow 9A=9\)
\(\therefore A=1\)
\(B\) এর মান নির্ণয়ের জন্য তৃতীয় কোনো উৎপাদক না থাকায় \((ii)\) এর উভয় পার্শ হতে \(x^2\) এর সহগ সমীকৃত করে পাই।
\(0=A+B\) ➜Note \(\because (ii)\Rightarrow 5-2x\equiv A(x^2-2x+1)+B(x^2+x-2)+C(x+2)\)
\(\Rightarrow A+B=0\)
\(\Rightarrow B=-A\)
\(\therefore B=-1\) ➜Note \(\because A=1\)
\(A\), \(B\) ও \(C\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{5-2x}{(x-1)^2(x+2)}=\frac{1}{x+2}+\frac{-1}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^2}\)
\(\therefore \frac{5-2x}{(x-1)^2(x+2)}=\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^2}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^2}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{x+2}dx}-\int{\frac{1}{x-1}dx}+\int{\frac{1}{(x-1)^2}dx}\)
\(=\ln{|x+2|}-\ln{|x-1|}-\frac{1}{x-1}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}, \int{\frac{1}{x^2}dx}=-\frac{1}{x}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকদ্বয়ের \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(=\ln{\left|\frac{x+2}{x-1}\right|}-\frac{1}{x-1}+c\) ➜Note\(\because \ln{|M|}-\ln{|N|}=\ln{|\frac{M}{N}|}\)
\(\int{\frac{5-2x}{(x-1)^2(x+2)}dx}\)
এখন,
\(\frac{5-2x}{(x-1)^2(x+2)}=\frac{1}{x-1}\left\{\frac{5-2x}{(x-1)(x+2)}\right\}\)
\(=\frac{1}{x-1}\left\{\frac{5-2.1}{(x-1)(1+2)}+\frac{5-2(-2)}{(-2-1)(x+2)}\right\}\) ➜Note এখানে \((x-1)\) ব্যতীত \(\frac{5-2x}{(x-1)(x+2)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=1\) এবং \((x+2)\) ব্যতীত \(\frac{5-2x}{(x-1)(x+2)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=-2\) বসানো হয়েছে।
\(=\frac{1}{x-1}\left\{\frac{5-2}{(x-1)(3)}+\frac{5+4}{(-3)(x+2)}\right\}\)
\(=\frac{1}{x-1}\left\{\frac{3}{3(x-1)}-\frac{9}{3(x+2)}\right\}\)
\(=\frac{1}{x-1}\left\{\frac{1}{x-1}-\frac{3}{x+2}\right\}\)
\(=\frac{1}{(x-1)^2}-\frac{3}{(x-1)(x+2)}\)
\(=\frac{1}{(x-1)^2}-\left\{\frac{3}{(x-1)(1+2)}+\frac{3}{(-2-1)(x+2)}\right\}\) ➜Note এখানে \((x-1)\) ব্যতীত \(\frac{3}{(x-1)(x+2)}\) এর অপর উৎপাদকে \(x=1\) এবং \((x+2)\) ব্যতীত \(\frac{3}{(x-1)(x+2)}\) এর অপর উৎপাদকে \(x=-2\) বসানো হয়েছে।
\(=\frac{1}{(x-1)^2}-\left\{\frac{3}{(x-1)(3)}+\frac{3}{(-3)(x+2)}\right\}\)
\(=\frac{1}{(x-1)^2}-\left\{\frac{3}{3(x-1)}-\frac{3}{3(x+2)}\right\}\)
\(=\frac{1}{(x-1)^2}-\left\{\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+2}\right\}\)
\(\therefore \frac{5-2x}{(x-1)^2(x+2)}=\frac{1}{(x-1)^2}-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+2}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{(x-1)^2}-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+2}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{(x-1)^2}dx}-\int{\frac{1}{x-1}dx}+\int{\frac{1}{x+2}dx}\)
\(=-\frac{1}{x-1}-\ln{|x-1|}+\ln{|x+2|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x^2}dx}=-\frac{1}{x}, \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=\ln{|x+2|}-\ln{|x-1|}-\frac{1}{x-1}+c\)
\(=\ln{\left|\frac{x+2}{x-1}\right|}-\frac{1}{x-1}+c\) ➜Note\(\because \ln{|M|}-\ln{|N|}=\ln{|\frac{M}{N}|}\)

\(\int{\frac{1}{x^2(x-1)}dx}\)
ধরি,
\(\frac{1}{x^2(x-1)}\equiv \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x}+\frac{C}{x^2} .......(i)\)
\(\Rightarrow 1\equiv Ax^2+Bx(x-1)+C(x-1) .......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \(x^2(x-1)\) গুন করে।
এখানে, \(x^2(x-1)\) দুইটি উৎপাদক এর যে কোনো একটি সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x-1=0\)
\(\Rightarrow x=1\)
এখন, \(x=1\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(1=A.1^2+B.1.0+C.0\)
\(\Rightarrow 1=A.1+0+0\)
\(\Rightarrow 1=A\)
\(\therefore A=1\)
\(B\) এর মান নির্ণয়ের জন্য তৃতীয় কোনো উৎপাদক না থাকায় \((ii)\) এর উভয় পার্শ হতে \(x^2\) এর সহগ সমীকৃত করে পাই।
\(0=A+B\) ➜Note \(\because (ii)\Rightarrow 1\equiv Ax^2+B(x^2-x)+C(x-1)\)
\(\Rightarrow A+B=0\)
\(\Rightarrow B=-A\)
\(\therefore B=-1\) ➜Note \(\because A=1\)
\(A\), \(B\) ও \(C\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{1}{x^2(x-1)}=\frac{1}{x-1}+\frac{-1}{x}+\frac{-1}{x^2}\)
\(\therefore \frac{1}{x^2(x-1)}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{x-1}dx}-\int{\frac{1}{x}dx}-\int{\frac{1}{x^2}dx}\)
\(=\ln{|x-1|}-\ln{|x|}+\frac{1}{x}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}, \int{\frac{1}{x^2}dx}=-\frac{1}{x}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকদ্বয়ের \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(=\ln{\left|\frac{x-1}{x}\right|}+\frac{1}{x}+c\) ➜Note\(\because \ln{|M|}-\ln{|N|}=\ln{|\frac{M}{N}|}\)
\(\int{\frac{1}{x^2(x-1)}dx}\)
এখন,
\(\frac{1}{x^2(x-1)}=\frac{1}{x}\left\{\frac{1}{x(x-1)}\right\}\)
\(=\frac{1}{x}\left\{\frac{1}{x(0-1)}+\frac{1}{1.(x-1)}\right\}\) ➜Note এখানে \((x)\) ব্যতীত \(\frac{1}{x(x-1)}\) এর অপর উৎপাদকে \(x=0\) এবং \((x-1)\) ব্যতীত \(\frac{1}{x(x-1)}\) এর অপর উৎপাদকে \(x=1\) বসানো হয়েছে।
\(=\frac{1}{x}\left\{\frac{1}{x(-1)}+\frac{1}{x-1}\right\}\)
\(=\frac{1}{x}\left\{-\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}\right\}\)
\(=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x(x-1)}\)
\(=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x(0-1)}+\frac{1}{1.(x-1)}\) ➜Note এখানে \((x)\) ব্যতীত \(\frac{1}{x(x-1)}\) এর অপর উৎপাদকে \(x=0\) এবং \((x-1)\) ব্যতীত \(\frac{1}{x(x-1)}\) এর অপর উৎপাদকে \(x=1\) বসানো হয়েছে।
\(=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x(-1)}+\frac{1}{x-1}\)
\(=-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}\)
\(=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\)
\(\therefore \frac{1}{x^2(x-1)}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{x-1}dx}-\int{\frac{1}{x}dx}-\int{\frac{1}{x^2}dx}\)
\(=\ln{|x-1|}-\ln{|x|}+\frac{1}{x}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}, \int{\frac{1}{x^2}dx}=-\frac{1}{x}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=\ln{\left|\frac{x-1}{x}\right|}+\frac{1}{x}+c\) ➜Note\(\because \ln{|M|}-\ln{|N|}=\ln{|\frac{M}{N}|}\)

\(\int{\frac{x}{(x-1)^2(x+2)}dx}\)
ধরি,
\(\frac{x}{(x-1)^2(x+2)}\equiv \frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^2} .......(i)\)
\(\Rightarrow x\equiv A(x-1)^2+B(x-1)(x+2)+C(x+2) .......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \((x-1)^2(x+2)\) গুন করে।
এখানে, \((x-1)^2(x+2)\) দুইটি উৎপাদক এর যে কোনো একটি সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x+2=0\)
\(\Rightarrow x=-2\)
এখন, \(x=-2\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(-2= A(-2-1)^2+B(-2-1).0+C.0\)
\(\Rightarrow -2=A.(-3)^2+0+0\)
\(\Rightarrow -2=A.9\)
\(\Rightarrow -2=9A\)
\(\Rightarrow 9A=-2\)
\(\therefore A=-\frac{2}{9}\)
\(B\) এর মান নির্ণয়ের জন্য তৃতীয় কোনো উৎপাদক না থাকায় \((ii)\) এর উভয় পার্শ হতে \(x^2\) এর সহগ সমীকৃত করে পাই।
\(0=A+B\) ➜Note \(\because (ii)\Rightarrow x\equiv A(x^2-2x+1)+B(x^2+x-2)+C(x+2)\)
\(\Rightarrow A+B=0\)
\(\Rightarrow B=-A\)
\(\therefore B=\frac{2}{9}\) ➜Note \(\because A=-\frac{2}{9}\)
\(A\), \(B\) ও \(C\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x}{(x-1)^2(x+2)}=\frac{-\frac{2}{9}}{x+2}+\frac{\frac{2}{9}}{x-1}+\frac{\frac{1}{3}}{(x-1)^2}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{(x-1)^2(x+2)}=-\frac{2}{9(x+2)}+\frac{2}{9(x-1)}+\frac{1}{3(x-1)^2}\)
\(\therefore \frac{x}{(x-1)^2(x+2)}=\frac{2}{9(x-1)}-\frac{2}{9(x+2)}+\frac{1}{3(x-1)^2}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{2}{9(x-1)}-\frac{2}{9(x+2)}+\frac{1}{3(x-1)^2}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{2}{9(x-1)}dx}-\int{\frac{2}{9(x+2)}dx}+\int{\frac{1}{3(x-1)^2}dx}\)
\(=\frac{2}{9}\int{\frac{1}{x-1}dx}-\frac{2}{9}\int{\frac{1}{x+2}dx}+\frac{1}{3}\int{\frac{1}{(x-1)^2}dx}\)
\(=\frac{2}{9}\ln{|x-1|}-\frac{2}{9}\ln{|x+2|}-\frac{1}{3}\frac{1}{x-1}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}, \int{\frac{1}{x^2}dx}=-\frac{1}{x}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকদ্বয়ের \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(=\frac{2}{9}\left\{\ln{|x-1|}-\ln{|x+2|}\right\}-\frac{1}{3(x-1)}+c\)
\(=\frac{2}{9}\ln{\left|\frac{x-1}{x+2}\right|}-\frac{1}{3(x-1)}+c\) ➜Note\(\because \ln{|M|}-\ln{|N|}=\ln{|\frac{M}{N}|}\)
\(\int{\frac{x}{(x-1)^2(x+2)}dx}\)
এখন,
\(\frac{x}{(x-1)^2(x+2)}=\frac{1}{x-1}\left\{\frac{x}{(x-1)(x+2)}\right\}\)
\(=\frac{1}{x-1}\left\{\frac{1}{(x-1)(1+2)}+\frac{-2}{(-2-1)(x+2)}\right\}\) ➜Note এখানে \((x-1)\) ব্যতীত \(\frac{x}{(x-1)(x+2)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=1\) এবং \((x+2)\) ব্যতীত \(\frac{x}{(x-1)(x+2)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=-2\) বসানো হয়েছে।
\(=\frac{1}{x-1}\left\{\frac{1}{(x-1)(3)}+\frac{-2}{(-3)(x+2)}\right\}\)
\(=\frac{1}{x-1}\left\{\frac{1}{3(x-1)}+\frac{2}{3(x+2)}\right\}\)
\(=\frac{1}{3(x-1)^2}+\frac{2}{3(x-1)(x+2)}\)
\(=\frac{1}{3(x-1)^2}+\frac{2}{3(x-1)(1+2)}+\frac{2}{3(-2-1)(x+2)}\) ➜Note এখানে \((x-1)\) ব্যতীত \(\frac{2}{3(x-1)(x+2)}\) এর অপর উৎপাদকে \(x=1\) এবং \((x+2)\) ব্যতীত \(\frac{2}{3(x-1)(x+2)}\) এর অপর উৎপাদকে \(x=-2\) বসানো হয়েছে।
\(=\frac{1}{3(x-1)^2}+\frac{2}{3(x-1)(3)}+\frac{2}{3(-3)(x+2)}\)
\(=\frac{1}{3(x-1)^2}+\frac{2}{9(x-1)}-\frac{2}{9(x+2)}\)
\(\therefore \frac{x}{(x-1)^2(x+2)}=\frac{1}{3(x-1)^2}+\frac{2}{9(x-1)}-\frac{2}{9(x+2)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{3(x-1)^2}+\frac{2}{9(x-1)}-\frac{2}{9(x+2)}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{3(x-1)^2}dx}+\int{\frac{2}{9(x-1)}dx}-\int{\frac{2}{9(x+2)}dx}\)
\(=\frac{1}{3}\int{\frac{1}{(x-1)^2}dx}+\frac{2}{9}\int{\frac{1}{x-1}dx}-\frac{2}{9}\int{\frac{1}{x+2}dx}\)
\(=\frac{1}{3}\times{-\frac{1}{x-1}}+\frac{2}{9}\ln{|x-1|}-\frac{2}{9}\ln{|x+2|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x^2}dx}=-\frac{1}{x}, \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=-\frac{1}{3(x-1)}+\frac{2}{9}\left\{\ln{|x-1|}-\ln{|x+2|}\right\}+c\)
\(=-\frac{1}{3(x-1)}+\frac{2}{9}\ln{\left|\frac{x-1}{x+2}\right|}+c\) ➜Note\(\because \ln{|M|}-\ln{|N|}=\ln{|\frac{M}{N}|}\)
\(=\frac{2}{9}\ln{\left|\frac{x-1}{x+2}\right|}-\frac{1}{3(x-1)}+c\)

\(\int{\frac{xdx}{(x-1)(x^2+1)}}\)
\(=\int{\frac{x}{(x-1)(x^2+1)}dx}\)
ধরি,
\(\frac{x}{(x-1)(x^2+1)}\equiv \frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1} .......(i)\)
\(\Rightarrow x\equiv A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1) .......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \((x-1)(x^2+1)\) গুন করে।
এখানে, \((x-1)(x^2+1)\) দুইটি উৎপাদক এর মধ্যে \((x-1)\) সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x-1=0\)
\(\Rightarrow x=1\)
এখন, \(x=1\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(1=A(1^2+1)+(B.1+C).0\)
\(\Rightarrow 1=A(1+1)+0\)
\(\Rightarrow 1=2A\)
\(\Rightarrow 2A=1\)
\(\therefore A=\frac{1}{2}\)
এখন,
\((ii)\) এর উভয় পার্শ হতে \(x^2\) এবং \(x\) এর সহগ সমীকৃত করি। ➜Note অপর উৎপাদকটি \((x^2+1)\) জটিল দ্বিঘাত বলে এটি শুন্য ধরে \(x\) এর বাস্তব মান পাওয়া যাবে না।
\((ii)\) এর উভয় পার্শ হতে \(x^2\) এর সহগ সমীকৃত করে পাই।
\(0=A+B\) ➜Note \(\because (ii)\Rightarrow x\equiv Ax^2+A+Bx^2+Cx-Bx-c\)
\(\Rightarrow A+B=0\)
\(\Rightarrow B=-A\)
\(\therefore B=-\frac{1}{2}\) ➜Note \(\because A=\frac{1}{2}\)
\(A\), \(B\) ও \(C\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{\frac{1}{2}}{x-1}+\frac{-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}{x^2+1}\)
\(\therefore \frac{x}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{1}{2(x-1)}-\frac{x}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2(x^2+1)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{2(x-1)}-\frac{x}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2(x^2+1)}\right\}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x-1}dx}-\frac{1}{4}\int{\frac{2x}{x^2+1}dx}+\frac{1}{2}\int{\frac{1}{1+x^2}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\ln{|x-1|}-\frac{1}{4}\ln{|x^2+1|}+\frac{1}{2}\tan^{-1}{x}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}, \int{\frac{dx}{x}}=\ln{|x|}\), \(\int{\frac{1}{1+x^2}}=\tan^{-1}{x}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=\frac{1}{2}\ln{|x-1|}-\frac{1}{4}\ln{|x^2+1|}+\frac{1}{2}\tan^{-1}{x}+c\)

\(\int{\frac{dx}{x(x^2+1)}}\)
\(=\int{\frac{1}{x(x^2+1)}dx}\)
ধরি,
\(\frac{1}{x(x^2+1)}\equiv \frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1} .......(i)\)
\(\Rightarrow 1\equiv A(x^2+1)+(Bx+C)x .......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \(x(x^2+1)\) গুন করে।
এখানে, \(x(x^2+1)\) দুইটি উৎপাদক এর মধ্যে \(x\) সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x=0\)
এখন, \(x=0\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(1=A(0^2+1)+(B.0+C).0\)
\(\Rightarrow 1=A(0+1)+0\)
\(\Rightarrow 1=A\)
\(\therefore A=1\)
এখন,
\((ii)\) এর উভয় পার্শ হতে \(x^2\) এবং \(x\) এর সহগ সমীকৃত করি। ➜Note অপর উৎপাদকটি \((x^2+1)\) জটিল দ্বিঘাত বলে এটি শুন্য ধরে \(x\) এর বাস্তব মান পাওয়া যাবে না।
\((ii)\) এর উভয় পার্শ হতে \(x^2\) এর সহগ সমীকৃত করে পাই।
\(0=A+B\) ➜Note \(\because (ii)\Rightarrow 1\equiv Ax^2+A+Bx^2+Cx\)
\(\Rightarrow A+B=0\)
\(\Rightarrow B=-A\)
\(\therefore B=-1\) ➜Note \(\because A=1\)
\(A\), \(B\) ও \(C\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{1}{x(x^2+1)}=\frac{1}{x}+\frac{-1.x+0}{x^2+1}\)
\(\therefore \frac{1}{x(x^2+1)}=\frac{1}{x}-\frac{x}{x^2+1}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{x}-\frac{x}{x^2+1}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{x}dx}-\int{\frac{x}{x^2+1}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{x}dx}-\frac{1}{2}\int{\frac{2x}{x^2+1}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{x}dx}-\frac{1}{2}\int{\frac{d(x^2+1)}{x^2+1}}\)
\(=\ln{|x|}-\frac{1}{2}\ln{|x^2+1|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}, \int{\frac{dx}{x}}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=\ln{|x|}-\frac{1}{2}\ln{|x^2+1|}+c\)

\(\int{\frac{x^2dx}{x^4-1}}\)
\(=\int{\frac{x^2}{x^4-1}dx}\)
\(=\int{\frac{x^2}{(x^2+1)(x^2-1)}dx}\) ➜Note \(\because a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
\(=\int{\frac{(x^2+1)+(x^2-1)}{2(x^2+1)(x^2-1)}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\int{\frac{(x^2+1)+(x^2-1)}{(x^2+1)(x^2-1)}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\int{\left\{\frac{x^2+1}{(x^2+1)(x^2-1)}+\frac{x^2-1}{(x^2+1)(x^2-1)}\right\}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\int{\left\{\frac{1}{x^2-1}+\frac{1}{x^2+1}\right\}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x^2-1^2}dx}+\frac{1}{2}\int{\frac{1}{1+x^2}dx}\)
\(=\frac{1}{2}.\frac{1}{2.1}\ln{\left|\frac{x-1}{x+1}\right|}+\frac{1}{2}\tan^{-1}{x}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x^2-a^2}dx}=\frac{1}{2a}\ln{\left|\frac{x-a}{x+a}\right|}, \int{\frac{1}{1+x^2}}=\tan^{-1}{x}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}\ln{\left|\frac{x-1}{x+1}\right|}+\frac{1}{2}\tan^{-1}{x}+c\)
\(=\frac{1}{4}\ln{\left|\frac{x-1}{x+1}\right|}+\frac{1}{2}\tan^{-1}{x}+c\)

\(\int{\frac{2x+3}{x^3-x}dx}\)
\(=\int{\frac{2x+3}{x(x^2-1)}dx}\)
\(=\int{\frac{2x+3}{x(x+1)(x-1)}dx}\) ➜Note \(\because a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
ধরি,
\(\frac{2x+3}{x(x+1)(x-1)}\equiv \frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x-1} .......(i)\)
\(\Rightarrow 2x+3\equiv A(x+1)(x-1)+Bx(x-1)+Cx(x+1) .......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \(x(x+1)(x-1)\) গুন করে।
এখানে, \(x(x+1)(x-1)\) উৎপাদকগুলির মধ্যে \(x\) সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x=0\)
এখন, \(x=0\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(2.0+3=A(0+1)(0-1)+B.0.(0-1)+C.0.(0+1)\)
\(\Rightarrow 0+3=A(+1)(-1)+0+0)\)
\(\Rightarrow 3=-A\)
\(\Rightarrow -A=3\)
\(\therefore A=-3\)
আবার, \(x(x+1)(x-1)\) উৎপাদকগুলির মধ্যে \(x-1\) সমান শুন্য ধরি।
\(x-1=0\)
\(\therefore x=1\)
এখন, \(x=1\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(2.1+3=A.1.0+B.1.0+C.1.(1+1)\)
\(\Rightarrow 2+3=0+0+C.1.2\)
\(\Rightarrow 5=2C\)
\(\Rightarrow 2C=5\)
\(\therefore C=\frac{5}{2}\)
\(A\), \(B\) ও \(C\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{2x+3}{x(x+1)(x-1)}=\frac{-3}{x}+\frac{\frac{1}{2}}{x+1}+\frac{\frac{5}{2}}{x-1}\)
\(\therefore \frac{2x+3}{x(x+1)(x-1)}=-\frac{3}{x}+\frac{1}{2(x+1)}+\frac{5}{2(x-1)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{-\frac{3}{x}+\frac{1}{2(x+1)}+\frac{5}{2(x-1)}\right\}dx}\)
\(=-3\int{\frac{1}{x}dx}+\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x+1}dx}+\frac{5}{2}\int{\frac{1}{x-1}dx}\)
\(=-3\ln{|x|}+\frac{1}{2}\ln{|x+1|}+\frac{5}{2}\ln{|x-1|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(=\frac{1}{2}\ln{|x+1|}-3\ln{|x|}+\frac{5}{2}\ln{|x-1|}+c\)
\(\int{\frac{2x+3}{x^3-x}dx}\)
\(=\int{\frac{2x+3}{x(x^2-1)}dx}\)
\(=\int{\frac{2x+3}{x(x+1)(x-1)}dx}\) ➜Note \(\because a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
এখন,
\(\frac{2x+3}{x(x+1)(x-1)}=\frac{2.0+3}{x(0+1)(0-1)}+\frac{2.1+3}{1(1+1)(x-1)}+\frac{2(-1)+3}{(-1)(x+1)(-1-1)}\) ➜Note এখানে \((x)\) ব্যতীত \(\frac{2x+3}{x(x+1)(x-1)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=0\), \((x-1)\) ব্যতীত \(\frac{2x+3}{x(x+1)(x-1)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=1\) এবং \((x+1)\) ব্যতীত \(\frac{2x+3}{x(x+1)(x-1)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=-1\) বসানো হয়েছে।
\(=\frac{0+3}{x(1)(-1)}+\frac{2+3}{1(2)(x-1)}+\frac{-2+3}{(-1)(x+1)(-2)}\)
\(=-\frac{3}{x}+\frac{5}{2(x-1)}+\frac{1}{2(x+1)}\)
\(\therefore \frac{2x+3}{x(x-1)(x+1)}=-\frac{3}{x}+\frac{5}{2(x-1)}+\frac{1}{2(x+1)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{-\frac{3}{x}+\frac{5}{2(x-1)}+\frac{1}{2(x+1)}\right\}dx}\)
\(=-\int{\frac{3}{x}dx}+\int{\frac{5}{2(x-1)}dx}+\int{\frac{1}{2(x+1)}dx}\)
\(=-3\int{\frac{1}{x}dx}+\frac{5}{2}\int{\frac{1}{x-1}dx}+\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x+1}dx}\)
\(=-3\ln{|x|}+\frac{5}{2}\ln{|x-1|}+\frac{1}{2}\ln{|x+1|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(=\frac{1}{2}\ln{|x+1|}-3\ln{|x|}+\frac{5}{2}\ln{|x-1|}+c\)

\(\int{\frac{x+2}{(1-x)(x^2+4)}dx}\)
ধরি,
\(\frac{x+2}{(1-x)(x^2+4)}\equiv \frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+4} .......(i)\)
\(\Rightarrow x+2\equiv A(x^2+4)+(Bx+C)(1-x) .......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \((1-x)(x^2+4)\) গুন করে।
এখানে, \((1-x)(x^2+4)\) দুইটি উৎপাদক এর মধ্যে \((1-x)\) সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(1-x=0\)
\(\Rightarrow x=1\)
এখন, \(x=1\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(1+2=A(1^2+4)+(B.1+C).0\)
\(\Rightarrow 3=A(1+4)+0\)
\(\Rightarrow 3=5A\)
\(\Rightarrow 5A=3\)
\(\therefore A=\frac{3}{5}\)
এখন,
\((ii)\) এর উভয় পার্শ হতে \(x^2\) এবং \(x\) এর সহগ সমীকৃত করি। ➜Note অপর উৎপাদকটি \((x^2+4)\) জটিল দ্বিঘাত বলে এটি শুন্য ধরে \(x\) এর বাস্তব মান পাওয়া যাবে না।
\((ii)\) এর উভয় পার্শ হতে \(x^2\) এর সহগ সমীকৃত করে পাই।
\(0=A-B\) ➜Note \(\because (ii)\Rightarrow x+2\equiv Ax^2+4A+Bx\)\(+C-Bx^2-Cx\)
\(\Rightarrow B=A\)
\(\therefore B=\frac{3}{5}\) ➜Note \(\because A=\frac{3}{5}\)
\(A\), \(B\) ও \(C\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x+2}{(x-1)(x^2+4)}=\frac{\frac{3}{5}}{x-1}+\frac{\frac{3}{5}x-\frac{2}{5}}{x^2+4}\)
\(\therefore \frac{x+2}{(x-1)(x^2+4)}=\frac{3}{5(x-1)}+\frac{3x}{5(x^2+4)}-\frac{2}{5(x^2+4)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{5(x-1)}+\frac{3x}{5(x^2+4)}-\frac{2}{5(x^2+4)}\right\}dx}\)
\(=\frac{3}{5}\int{\frac{1}{x-1}dx}+\frac{3}{10}\int{\frac{2x}{x^2+4}dx}-\frac{2}{5}\int{\frac{1}{4+x^2}dx}\)
\(=\frac{3}{5}\int{\frac{1}{x-1}dx}+\frac{3}{10}\int{\frac{d(x^2+4)}{x^2+4}}-\frac{2}{5}\int{\frac{1}{2^2+x^2}dx}\)
\(=\frac{3}{5}\ln{|x-1|}+\frac{3}{10}\ln{|x^2+4|}-\frac{2}{5}.\frac{1}{2}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{2}\right)}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}, \int{\frac{dx}{x}}=\ln{|x|}\), \(\int{\frac{1}{a^2+x^2}}=\frac{1}{a}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{a}\right)}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=\frac{3}{5}\ln{|x-1|}+\frac{3}{10}\ln{|x^2+4|}-\frac{1}{5}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{2}\right)}+c\)

\(\int{\frac{x}{(x-1)(x^2+4)}dx}\)
ধরি,
\(\frac{x}{(x-1)(x^2+4)}\equiv \frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+4} .......(i)\)
\(\Rightarrow x\equiv A(x^2+4)+(Bx+C)(x-1) .......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \((x-1)(x^2+4)\) গুন করে।
এখানে, \((x-1)(x^2+4)\) দুইটি উৎপাদক এর মধ্যে \((x-1)\) সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x-1=0\)
\(\Rightarrow x=1\)
এখন, \(x=1\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(1=A(1^2+4)+(B.1+C).0\)
\(\Rightarrow 1=A(1+4)+0\)
\(\Rightarrow 1=5A\)
\(\Rightarrow 5A=1\)
\(\therefore A=\frac{1}{5}\)
এখন,
\((ii)\) এর উভয় পার্শ হতে \(x^2\) এবং \(x\) এর সহগ সমীকৃত করি। ➜Note অপর উৎপাদকটি \((x^2+4)\) জটিল দ্বিঘাত বলে এটি শুন্য ধরে \(x\) এর বাস্তব মান পাওয়া যাবে না।
\((ii)\) এর উভয় পার্শ হতে \(x^2\) এর সহগ সমীকৃত করে পাই।
\(0=A+B\) ➜Note \(\because (ii)\Rightarrow x\equiv Ax^2+4A+Bx^2\)\(+Cx-Bx-C\)
\(\Rightarrow A+B=0\)
\(\Rightarrow B=-A\)
\(\therefore B=-\frac{1}{5}\) ➜Note \(\because A=\frac{1}{5}\)
\(A\), \(B\) ও \(C\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x}{(x-1)(x^2+4)}=\frac{\frac{1}{5}}{x-1}+\frac{-\frac{1}{5}x+\frac{4}{5}}{x^2+4}\)
\(\therefore \frac{x}{(x-1)(x^2+4)}=\frac{1}{5(x-1)}-\frac{x}{5(x^2+4)}+\frac{4}{5(x^2+4)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{5(x-1)}-\frac{x}{5(x^2+4)}+\frac{4}{5(x^2+4)}\right\}dx}\)
\(=\frac{1}{5}\int{\frac{1}{x-1}dx}-\frac{1}{10}\int{\frac{2x}{x^2+4}dx}+\frac{4}{5}\int{\frac{1}{4+x^2}dx}\)
\(=\frac{1}{5}\int{\frac{1}{x-1}dx}-\frac{1}{10}\int{\frac{d(x^2+4)}{x^2+4}}+\frac{4}{5}\int{\frac{1}{2^2+x^2}dx}\)
\(=\frac{1}{5}\ln{|x-1|}-\frac{1}{10}\ln{|x^2+4|}+\frac{4}{5}.\frac{1}{2}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{2}\right)}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}, \int{\frac{dx}{x}}=\ln{|x|}\), \(\int{\frac{1}{a^2+x^2}}=\frac{1}{a}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{a}\right)}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=\frac{1}{5}\ln{|x-1|}-\frac{1}{10}\ln{|x^2+4|}+\frac{2}{5}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{2}\right)}+c\)

\(\int{\frac{dx}{x^2(x+1)^2}}\)
\(=\int{\frac{1}{x^2(x+1)^2}dx}\)
ধরি,
\(\frac{1}{x^2(x+1)^2}\equiv \frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x+1}+\frac{D}{(x+1)^2} .......(i)\)
\(\Rightarrow 1\equiv Ax(x+1)^2+B(x+1)^2+Cx^2(x+1)+Dx^2 .......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \(x^2(x+1)^2\) গুন করে।
এখানে, \(x^2(x+1)^2\) দুইটি উৎপাদক এর মধ্যে \((x)\) সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x=0\)
এখন, \(x=0\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(1=A.0.(0+1)+B.(0+1)^2+C.0^2.(0+1)+D.0^2\)
\(\Rightarrow 1=0+B.1+0+0\)
\(\Rightarrow 1=B\)
\(\therefore B=1\)
\((ii)\) এর উভয় পার্শ হতে \(x\) এর সহগের সমতা নিয়ে ।
\(0=A+2B\) ➜Note \(\because (ii)\Rightarrow 1\equiv A(x^3+2x^2+x)\)\(+B(x^2+2x+1)+C(x^3+x^2)+Dx^2 \)
\(\Rightarrow A+2B=0\)
\(\Rightarrow A=-2B\)
\(\Rightarrow A=-2\times{1}\) ➜Note \(\because B=1\)
\(\therefore A=-2\)
\(A\), \(B\), \(C\) ও \(D\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{1}{x^2(x+1)^2}=\frac{-2}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x+1}+\frac{1}{(x+1)^2}\)
\(=-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x+1}+\frac{1}{(x+1)^2}\)
\(=\frac{2}{x+1}-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x+1)^2}\)
\(\therefore \frac{1}{x^2(x+1)^2}=\frac{2}{x+1}-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x+1)^2}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{2}{x+1}-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x+1)^2}\right\}dx}\)
\(=2\int{\frac{1}{x+1}dx}-2\int{\frac{1}{x}dx}+\int{\frac{1}{x^2}dx}+\int{\frac{1}{(x+1)^2}dx}\)
\(=2\ln{|x+1|}-2\ln{|x|}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}, \int{\frac{1}{x^2}dx}=-\frac{1}{x}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=2\left(\ln{|x+1|}-\ln{|x|}\right)-\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+c\)
\(=2\ln{\left|\frac{x+1}{x}\right|}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+c\)
\(\int{\frac{dx}{x^2(x+1)^2}}\)
\(=\int{\frac{1}{x^2(x+1)^2}dx}\)
এখন,
\(\frac{1}{x^2(x+1)^2}=\frac{1}{x(x+1)}\times{\frac{1}{x(x+1)}}\)
\(=\frac{1}{x(x+1)}\times{\frac{x+1-x}{x(x+1)}}\)
\(=\frac{1}{x(x+1)}\left\{\frac{x+1}{x(x+1)}-\frac{x}{x(x+1)}\right\}\)
\(=\frac{1}{x(x+1)}\left\{\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right\}\)
\(=\frac{1}{x^2(x+1)}-\frac{1}{x(x+1)^2}\)
\(=\frac{1}{x}\times{\frac{1}{x(x+1)}}-\frac{1}{x+1}\times{\frac{1}{x(x+1)}}\)
\(=\frac{1}{x}\times{\frac{x+1-x}{x(x+1)}}-\frac{1}{x+1}\times{\frac{x+1-x}{x(x+1)}}\)
\(=\frac{1}{x}\left\{\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right\}-\frac{1}{x+1}\left\{\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right\}\)
\(=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x(x+1)}-\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)^2}\)
\(=\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)^2}\)
\(=\frac{1}{x^2}-2\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)^2}\)
\(=\frac{1}{x^2}-2\times{\frac{x+1-x}{x(x+1)}}+\frac{1}{(x+1)^2}\)
\(=\frac{1}{x^2}-2\left\{\frac{x+1}{x(x+1)}-\frac{x}{x(x+1)}\right\}+\frac{1}{(x+1)^2}\)
\(=\frac{1}{x^2}-2\left\{\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right\}+\frac{1}{(x+1)^2}\)
\(=\frac{1}{x^2}-2\frac{1}{x}+2\frac{1}{x+1}+\frac{1}{(x+1)^2}\)
\(\therefore \frac{1}{x^2(x+1)^2}=\frac{2}{x+1}-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x+1)^2}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{2}{x+1}-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x+1)^2}\right\}dx}\)
\(=2\int{\frac{1}{x+1}dx}-2\int{\frac{1}{x}dx}+\int{\frac{1}{x^2}dx}+\int{\frac{1}{(x+1)^2}dx}\)
\(=2\ln{|x+1|}-2\ln{|x|}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}, \int{\frac{1}{x^2}dx}=-\frac{1}{x}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=2\left(\ln{|x+1|}-\ln{|x|}\right)-\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+c\)
\(=2\ln{\left|\frac{x+1}{x}\right|}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+c\)

\(\int{\frac{2x^2}{(x^2+1)(x^2+3)}dx}\)
ধরি,
\(\frac{2x^2}{(x^2+1)(x^2+3)}\equiv \frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{Cx+D}{x^2+3} .......(1)\)
\(\Rightarrow 2x^2\equiv (Ax+B)(x^2+3)+(Cx+D)(x^2+1) .......(2)\) ➜Note \((1)\) এর উভয় পার্শে \((x^2+1)(x^2+3)\) গুন করে।
এখন,
\((2)\) এর উভয় পার্শ হতে \(x^3\) এর সহগের সমতা নিয়ে ।
\(0=A+C\) ➜Note \(\because (2)\Rightarrow 2x^2\equiv Ax^3+Bx^2+3Ax+3B\)\(+Cx^3+Dx^2+Cx+D\)
\(\Rightarrow A+C=0\)
\(\therefore C=-A .....(3)\)
আবার,
\((2)\) এর উভয় পার্শ হতে ধ্রুবক রাশির সমতা নিয়ে ।
\(0=3B+D\) ➜Note \(\because (2)\Rightarrow 2x^2\equiv Ax^3+Bx^2+3Ax+3B\)\(+Cx^3+Dx^2+Cx+D\)
\(\Rightarrow 3B+D=0\)
\(\therefore D=-3B .....(4)\)
\(A\), \(B\), \(C\) ও \(D\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{2x^2}{(x^2+1)(x^2+3)}=\frac{0.x+(-1)}{x^2+1}+\frac{0.x+3}{x^2+3}\)
\(=\frac{0-1}{x^2+1}+\frac{0+3}{x^2+3}\)
\(=\frac{-1}{x^2+1}+\frac{3}{x^2+3}\)
\(=-\frac{1}{x^2+1}+\frac{3}{x^2+3}\)
\(\therefore \frac{2x^2}{(x^2+1)(x^2+3)}=\frac{3}{x^2+3}-\frac{1}{x^2+1}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{3}{x^2+3}-\frac{1}{x^2+1}\right\}dx}\)
\(=3\int{\frac{1}{x^2+3}dx}-\int{\frac{1}{x^2+1}dx}\)
\(=3\int{\frac{1}{(\sqrt{3})^2+x^2}dx}-\int{\frac{1}{1+x^2}dx}\)
\(=3\frac{1}{\sqrt{3}}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)}-\tan^{-1}{x}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{a^2+x^2}dx}=\frac{1}{a}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{a}\right)}, \int{\frac{1}{1+x^2}dx}=\tan^{-1}{x}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=\frac{3}{\sqrt{3}}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)}-\tan^{-1}{x}+c\)
\(=\frac{\sqrt{3}.\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)}-\tan^{-1}{x}+c\)
\(=\sqrt{3}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)}-\tan^{-1}{x}+c\)
\(\int{\frac{2x^2}{(x^2+1)(x^2+3)}dx}\)
এখন,
\(\frac{2x^2}{(x^2+1)(x^2+3)}=\frac{3(x^2+1)-(x^2+3)}{(x^2+1)(x^2+3)}\)
\(=\frac{3(x^2+1)}{(x^2+1)(x^2+3)}-\frac{x^2+3}{(x^2+1)(x^2+3)}\)
\(=\frac{3}{x^2+3}-\frac{1}{x^2+1}\)
\(\therefore \frac{2x^2}{(x^2+1)(x^2+3)}=\frac{3}{x^2+3}-\frac{1}{x^2+1}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{3}{x^2+3}-\frac{1}{x^2+1}\right\}dx}\)
\(=3\int{\frac{1}{x^2+3}dx}-\int{\frac{1}{x^2+1}dx}\)
\(=3\int{\frac{1}{(\sqrt{3})^2+x^2}dx}-\int{\frac{1}{1+x^2}dx}\)
\(=3\frac{1}{\sqrt{3}}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)}-\tan^{-1}{x}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{a^2+x^2}dx}=\frac{1}{a}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{a}\right)}, \int{\frac{1}{1+x^2}dx}=\tan^{-1}{x}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=\frac{3}{\sqrt{3}}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)}-\tan^{-1}{x}+c\)
\(=\frac{\sqrt{3}.\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)}-\tan^{-1}{x}+c\)
\(=\sqrt{3}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)}-\tan^{-1}{x}+c\)

\(\int{\frac{x^2+3x-4}{x^2-2x-8}dx}\)
এখন,
\(\frac{x^2+3x-4}{x^2-2x-8}=\frac{(x^2-2x-8)+5x+4}{x^2-2x-8}\)
\(=\frac{x^2-2x-8}{x^2-5x+6}+\frac{5x+4}{x^2-2x-8}\)
\(=1+\frac{5x+4}{x^2-4x+2x-8}\)
\(=1+\frac{5x+4}{x(x-4)+2(x-4)}\)
\(\therefore \frac{x^2+3x-4}{x^2-2x-8}=1+\frac{5x+4}{(x-4)(x+2)} .......(i)\)
ধরি,
\(\frac{5x+4}{(x-4)(x+2)}\equiv \frac{A}{x-4}+\frac{B}{x+2} .......(ii)\)
\(\Rightarrow 5x+4\equiv A(x+2)+B(x-4).......(iii)\) ➜Note \((ii)\) এর উভয় পার্শে \((x-4)(x+2)\) গুন করে।
এখানে, \((x-4)(x+2)\) উৎপাদকগুলির মধ্যে \((x-4)\) সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x-4=0\)
\(\therefore x=4\)
এখন, \(x=4\)
\((iii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(5.4+4=A(4+2)+B.0\)
\(\Rightarrow 20+4=A(6)+0\)
\(\Rightarrow 24=6A\)
\(\Rightarrow 6A=24\)
\(\Rightarrow A=\frac{24}{6}\)
\(\therefore A=4\)
\(A\) ও \(B\) এর মান \((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{5x+4}{(x-4)(x+2)}=\frac{4}{x-4}+\frac{1}{x+2}\)
\(\therefore \frac{x^2+3x-4}{x^2-2x-8}=1+\frac{4}{x-4}+\frac{1}{x+2}\) ➜Note \((i)\) এর সাহায্যে।
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left(1+\frac{4}{x-4}+\frac{1}{x+2}\right)dx}\)
\(=\int{dx}+\int{\frac{4}{x-4}dx}+\int{\frac{1}{x+2}dx}\)
\(=\int{dx}+4\int{\frac{1}{x-4}dx}+\int{\frac{1}{x+2}dx}\)
\(=x+4\ln{|x-4|}+\ln{|x+2|}+c\) ➜Note\(\because \int{dx}=x, \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(\int{\frac{x^2+3x-4}{x^2-2x-8}dx}\)
এখন,
\(\frac{x^2+3x-4}{x^2-2x-8}=\frac{(x^2-2x-8)+5x+4}{x^2-2x-8}\)
\(=\frac{x^2-2x-8}{x^2-5x+6}+\frac{5x+4}{x^2-2x-8}\)
\(=1+\frac{5x+4}{x^2-4x+2x-8}\)
\(=1+\frac{5x+4}{x(x-4)+2(x-4)}\)
\(=1+\frac{5x+4}{(x-4)(x+2)}\)
\(=1+\frac{5.4+4}{(x-4)(4+2)}+\frac{5(-2)+4}{(-2-4)(x+2)}\) ➜Note এখানে \((x-4)\) ব্যতীত \(\frac{5x+4}{(x-4)(x+2)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=4\) এবং \((x+2)\) ব্যতীত \(\frac{5x+4}{(x-4)(x+2)}\) এর সকল উৎপাদকে \(x=-2\) বসানো হয়েছে।
\(=1+\frac{20+4}{(x-4).6}+\frac{-10+4}{(-6)(x+2)}\)
\(=1+\frac{24}{(x-4).6}+\frac{-6}{(-6)(x+2)}\)
\(=1+\frac{4}{x-4}+\frac{1}{x+2}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left(1+\frac{4}{x-4}+\frac{1}{x+2}\right)dx}\)
\(=\int{dx}+\int{\frac{4}{x-4}dx}+\int{\frac{1}{x+2}dx}\)
\(=\int{dx}+4\int{\frac{1}{x-4}dx}+\int{\frac{1}{x+2}dx}\)
\(=x+4\ln{|x-4|}+\ln{|x+2|}+c\) ➜Note\(\because \int{dx}=x, \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।

\(\int{\frac{x^2}{x^2-4}dx}\)
\(=\int{\frac{x^2-4+4}{x^2-4}dx}\)
\(=\int{\left(\frac{x^2-4}{x^2-4}+\frac{4}{x^2-4}\right)dx}\)
\(=\int{\left(1+\frac{4}{x^2-4}\right)dx}\)
\(=\int{dx}+\int{\frac{4}{x^2-2^2}dx}\)
\(=\int{dx}+\int{\frac{4}{(x+2)(x-2)}dx}\)
\(=\int{dx}+\int{\frac{(x+2)-(x-2)}{(x+2)(x-2)}dx}\)
\(=\int{dx}+\int{\left\{\frac{x+2}{(x+2)(x-2)}-\frac{(x-2)}{(x+2)(x-2)}\right\}dx}\)
\(=\int{dx}+\int{\left\{\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}\right\}dx}\)
\(=\int{dx}+\int{\frac{1}{x-2}dx}-\int{\frac{1}{x+2}dx}\)
\(=\int{dx}+\ln{|x-2|}-\ln{|x+2|}+c\) ➜Note\(\because \int{dx}=x, \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=x+\ln{\left|\frac{x-2}{x+2}\right|}+c\) ➜Note\(\because \ln{|M|}-\ln{|N|}=\ln{|\frac{M}{N}|}\)
\(\int{\frac{x^2}{x^2-4}dx}\)
\(=\int{\frac{x^2-4+4}{x^2-4}dx}\)
\(=\int{\left(\frac{x^2-4}{x^2-4}+\frac{4}{x^2-4}\right)dx}\)
\(=\int{\left(1+\frac{4}{x^2-4}\right)dx}\)
\(=\int{dx}+4\int{\frac{1}{x^2-2^2}dx}\)
\(=x+4\times{\frac{1}{2.2}}\ln{\left|\frac{x-2}{x+2}\right|}+c\) ➜Note\(\because \int{dx}=x, \int{\frac{1}{x^2-a^2}dx}=\ln{\left|\frac{x-a}{x+a}\right|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=x+4\times{\frac{1}{4}}\ln{\left|\frac{x-2}{x+2}\right|}+c\)
\(=x+\ln{\left|\frac{x-2}{x+2}\right|}+c\)

\(\int{\frac{x^2-1}{x^2-4}dx}\)
\(=\int{\frac{x^2-4+3}{x^2-4}dx}\)
\(=\int{\left(\frac{x^2-4}{x^2-4}+\frac{3}{x^2-4}\right)dx}\)
\(=\int{\left(1+\frac{3}{x^2-4}\right)dx}\)
\(=\int{dx}+\frac{3}{4}\int{\frac{4}{x^2-2^2}dx}\)
\(=\int{dx}+\frac{3}{4}\int{\frac{4}{(x+2)(x-2)}dx}\)
\(=\int{dx}+\frac{3}{4}\int{\frac{(x+2)-(x-2)}{(x+2)(x-2)}dx}\)
\(=\int{dx}+\frac{3}{4}\int{\left\{\frac{x+2}{(x+2)(x-2)}-\frac{(x-2)}{(x+2)(x-2)}\right\}dx}\)
\(=\int{dx}+\frac{3}{4}\int{\left\{\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}\right\}dx}\)
\(=\int{dx}+\frac{3}{4}\left\{\int{\frac{1}{x-2}dx}-\int{\frac{1}{x+2}dx}\right\}\)
\(=\int{dx}+\frac{3}{4}\left(\ln{|x-2|}-\ln{|x+2|}\right)+c\) ➜Note\(\because \int{dx}=x, \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=x+\frac{3}{4}\ln{\left|\frac{x-2}{x+2}\right|}+c\) ➜Note\(\because \ln{|M|}-\ln{|N|}=\ln{|\frac{M}{N}|}\)
\(\int{\frac{x^2-1}{x^2-4}dx}\)
\(=\int{\frac{x^2-4+3}{x^2-4}dx}\)
\(=\int{\left(\frac{x^2-4}{x^2-4}+\frac{3}{x^2-4}\right)dx}\)
\(=\int{\left(1+\frac{3}{x^2-4}\right)dx}\)
\(=\int{dx}+3\int{\frac{1}{x^2-2^2}dx}\)
\(=x+3\times{\frac{1}{2.2}}\ln{\left|\frac{x-2}{x+2}\right|}+c\) ➜Note\(\because \int{dx}=x, \int{\frac{1}{x^2-a^2}dx}=\ln{\left|\frac{x-a}{x+a}\right|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=x+3\times{\frac{1}{4}}\ln{\left|\frac{x-2}{x+2}\right|}+c\)
\(=x+\frac{3}{4}\ln{\left|\frac{x-2}{x+2}\right|}+c\)

\(\int{\frac{dx}{x^2-9}}\)
\(=\int{\frac{1}{x^2-9}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{x^2-3^2}dx}\)
\(=\frac{1}{6}\int{\frac{6}{(x+3)(x-3)}dx}\)
\(=\frac{1}{6}\int{\frac{(x+3)-(x-3)}{(x+3)(x-3)}dx}\)
\(=\frac{1}{6}\int{\left\{\frac{x+3}{(x+3)(x-3)}-\frac{x-3}{(x+3)(x-3)}\right\}dx}\)
\(=\frac{1}{6}\int{\left\{\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+3}\right\}dx}\)
\(=\frac{1}{6}\left\{\int{\frac{1}{x-3}dx}-\int{\frac{1}{x+3}dx}\right\}\)
\(=\frac{1}{6}\left\{\ln{|x-3|}-\ln{|x+3|}\right\}+c\) ➜Note\(\because \int{dx}=x, \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=\frac{1}{6}\ln{\left|\frac{x-3}{x+3}\right|}+c\) ➜Note\(\because \ln{|M|}-\ln{|N|}=\ln{|\frac{M}{N}|}\)
\(\int{\frac{dx}{x^2-9}}\)
\(=\int{\frac{1}{x^2-9}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{x^2-3^2}dx}\)
\(=\frac{1}{2.3}\ln{\left|\frac{x-3}{x+3}\right|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x^2-a^2}dx}=\ln{\left|\frac{x-a}{x+a}\right|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=\frac{1}{6}\ln{\left|\frac{x-3}{x+3}\right|}+c\)

\(\int{\frac{x+35}{x^2-25}dx}\)
\(=\int{\frac{x+35}{x^2-5^2}dx}\)
\(=\int{\frac{x+35}{(x+5)(x-5)}dx}\)
ধরি,
\(\frac{x+35}{(x+5)(x-5)}\equiv \frac{A}{x-5}+\frac{B}{x+5} .......(i)\)
\(\Rightarrow x+35\equiv A(x+5)+B(x-5).......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \((x+5)(x-5)\) গুন করে।
এখানে, \((x+5)(x-5)\) উৎপাদকগুলির মধ্যে \((x-5)\) সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x-5=0\)
\(\therefore x=5\)
এখন, \(x=5\)
\((iii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(5+35=A(5+5)+B.0\)
\(\Rightarrow 40=A(10)+0\)
\(\Rightarrow 40=10A\)
\(\Rightarrow 10A=40\)
\(\therefore A=4\)
\(A\) ও \(B\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x+35}{(x+5)(x-5)}=\frac{4}{x-5}+\frac{-3}{x+5}\)
\(\therefore \frac{x+35}{(x+5)(x-5)}=\frac{4}{x-5}-\frac{3}{x+5}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left(\frac{4}{x-5}-\frac{3}{x+5}\right)dx}\)
\(=\int{\frac{4}{x-5}dx}-\int{\frac{3}{x+5}dx}\)
\(=4\int{\frac{1}{x-5}dx}-3\int{\frac{1}{x+5}dx}\)
\(=4\ln{|x-5|}-3\ln{|x+5|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(\int{\frac{x+35}{x^2-25}dx}\)
\(=\int{\frac{x+35}{x^2-5^2}dx}\)
\(=\int{\frac{x+35}{(x+5)(x-5)}dx}\)
এখন,
\(\frac{x+35}{(x+5)(x-5)}=\frac{5+35}{(5+5)(x-5)}+\frac{-5+35}{(x+5)(-5-5)}\) ➜Note এখানে \((x-5)\) ব্যতীত \(\frac{x+35}{(x+5)(x-5)}\) এর অপর উৎপাদকে \(x=5\) এবং \((x+5)\) ব্যতীত \(\frac{x+35}{(x+5)(x-5)}\) এর অপর উৎপাদকে \(x=-5\) বসানো হয়েছে।
\(=\frac{40}{(10)(x-5)}+\frac{30}{(x+5)(-10)}\)
\(=\frac{4}{x-5}-\frac{3}{x+5}\)
\(\therefore \frac{x+35}{(x+5)(x-5)}=\frac{4}{x-5}-\frac{3}{x+5}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left(\frac{4}{x-5}-\frac{3}{x+5}\right)dx}\)
\(=\int{\frac{4}{x-5}dx}-\int{\frac{3}{x+5}dx}\)
\(=4\int{\frac{1}{x-5}dx}-3\int{\frac{1}{x+5}dx}\)
\(=4\ln{|x-5|}-3\ln{|x+5|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।

\(\int{\frac{3x+1}{(x+1)^2}dx}\)
\(=\int{\frac{3(x+1)-2}{(x+1)^2}dx}\)
\(=\int{\left\{\frac{3(x+1)}{(x+1)^2}-\frac{2}{(x+1)^2}\right\}dx}\)
\(=\int{\left\{\frac{3}{x+1}-\frac{2}{(x+1)^2}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{3}{x+1}dx}-\int{\frac{2}{(x+1)^2}dx}\)
\(=3\int{\frac{1}{x+1}dx}-2\int{\frac{1}{(x+1)^2}dx}\)
\(=3\ln{|x+1|}-2\times{-\frac{1}{x+1}}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}, \int{\frac{1}{x^2}dx}=-\frac{1}{x}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=3\ln{|x+1|}+2\frac{1}{x+1}+c\)
\(=3\ln{|x+1|}+\frac{2}{x+1}+c\)

\(\int{\frac{2x+1}{(2x+3)^2}dx}\)
\(=\int{\frac{(2x+3)-2}{(2x+3)^2}dx}\)
\(=\int{\left\{\frac{2x+3}{(2x+3)^2}-\frac{2}{(2x+3)^2}\right\}dx}\)
\(=\int{\left\{\frac{1}{2x+3}-\frac{2}{(2x+3)^2}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{2x+3}dx}-\int{\frac{2}{(2x+3)^2}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{2x+3}dx}-2\int{\frac{1}{(2x+3)^2}dx}\)
\(=\frac{\ln{|2x+3|}}{2}-2\times{\frac{-\frac{1}{2x+3}}{2}}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{ax+b}dx}=\frac{\left(\ln{|ax+b|}\right)}{a}, \int{\frac{1}{(ax+b)^2}dx}=\frac{\left(-\frac{1}{ax+b}\right)}{a}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=\frac{1}{2}\ln{|2x+3|}+\frac{1}{2x+3}+c\)

\(\int{\frac{xdx}{(1-x)^2}}\)
\(=\int{\frac{x}{(1-x)^2}dx}\)
\(=\int{\frac{1-(1-x)}{(1-x)^2}dx}\)
\(=\int{\left\{\frac{1}{(1-x)^2}-\frac{(1-x)}{(1-x)^2}\right\}dx}\)
\(=\int{\left\{\frac{1}{(1-x)^2}-\frac{1}{1-x}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{(1-x)^2}dx}-\int{\frac{1}{1-x}dx}\)
\(=\frac{-\frac{1}{1-x}}{-1}-\frac{\ln{|1-x|}}{-1}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{(ax+b)^2}dx}=\frac{\left(-\frac{1}{ax+b}\right)}{a}\), \(\int{\frac{1}{ax+b}dx}=\frac{\left(\ln{|ax+b|}\right)}{a}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=\frac{1}{1-x}+\ln{|1-x|}+c\)

\(\int{\frac{6x-10}{(2x+1)^2}dx}\)
\(=\int{\frac{3(2x+1)-13}{(2x+1)^2}dx}\)
\(=\int{\left\{\frac{3(2x+1)}{(2x+1)^2}-\frac{13}{(2x+1)^2}\right\}dx}\)
\(=\int{\left\{\frac{3}{2x+1}-\frac{13}{(2x+1)^2}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{3}{2x+1}dx}-\int{\frac{13}{(2x+1)^2}dx}\)
\(=3\int{\frac{1}{2x+1}dx}-13\int{\frac{1}{(2x+1)^2}dx}\)
\(=3\frac{\ln{|2x+1|}}{2}-13\times{\frac{-\frac{1}{2x+1}}{2}}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{ax+b}dx}=\frac{\left(\ln{|ax+b|}\right)}{a}, \int{\frac{1}{(ax+b)^2}dx}=\frac{\left(-\frac{1}{ax+b}\right)}{a}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=\frac{3}{2}\ln{|2x+1|}+\frac{13}{2(2x+1)}+c\)
\(=\frac{1}{2}\left\{3\ln{|2x+1|}+\frac{13}{2x+1}\right\}+c\)

\(\int{\frac{x^2+1}{(x+2)^2}dx}\)
\(=\int{\frac{x^2+4x+4-4(x+2)+5}{(x+2)^2}dx}\)
\(=\int{\frac{(x+2)^2-4(x+2)+5}{(x+2)^2}dx}\)
\(=\int{\left\{\frac{(x+2)^2}{(x+2)^2}-\frac{4(x+2)}{(x+2)^2}+\frac{5}{(x+2)^2}\right\}dx}\)
\(=\int{\left\{1-\frac{4}{x+2}+\frac{5}{(x+2)^2}\right\}dx}\)
\(=\int{dx}-\int{\frac{4}{x+2}dx}+\int{\frac{5}{(x+2)^2}dx}\)
\(=\int{dx}-4\int{\frac{1}{x+2}dx}+5\int{\frac{1}{(x+2)^2}dx}\)
\(=x-4\ln{|x+2|}+5\times{-\frac{1}{x+2}}+c\) ➜Note\(\because \int{dx}=x, \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \(\int{\frac{1}{x^2}dx}=-\frac{1}{x}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=x-4\ln{|x+2|}-\frac{5}{x+2}+c\)

\(\int{\frac{dx}{e^{2x}-3e^{x}}}\)
\(=\int{\frac{1}{(e^{x})^2-3e^{x}}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{t^2-3t}.\frac{dt}{t}}\)
\(=\int{\frac{1}{t(t-3)}.\frac{dt}{t}}\)
\(=\int{\frac{1}{t^2(t-3)}dt}\)
ধরি,
\(\frac{1}{t^2(t-3)}\equiv \frac{A}{t-3}+\frac{B}{t}+\frac{C}{t^2} .......(i)\)
\(\Rightarrow 1\equiv At^2+Bt(t-3)+C(t-3) .......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \(t^2(t-3)\) গুন করে।
এখানে, \(t^2(t-3)\) দুইটি উৎপাদক এর যে কোনো একটি সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(t-3=0\)
\(\Rightarrow t=3\)
এখন, \(t=3\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(1=A.3^2+B.3.0+C.0\)
\(\Rightarrow 1=A.9+0+0\)
\(\Rightarrow 1=9A\)
\(\Rightarrow 9A=1\)
\(\therefore A=\frac{1}{9}\)
\(B\) এর মান নির্ণয়ের জন্য তৃতীয় কোনো উৎপাদক না থাকায় \((ii)\) এর উভয় পার্শ হতে \(t^2\) এর সহগ সমীকৃত করে পাই।
\(0=A+B\) ➜Note \(\because (ii)\Rightarrow 1\equiv At^2+B(t^2-3t)+C(t-3)\)
\(\Rightarrow A+B=0\)
\(\Rightarrow B=-A\)
\(\therefore B=-\frac{1}{9}\) ➜Note \(\because A=\frac{1}{9}\)
\(A\), \(B\) ও \(C\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{1}{t^2(t-3)}=\frac{\frac{1}{9}}{t-3}+\frac{-\frac{1}{9}}{t}+\frac{-\frac{1}{3}}{t^2}\)
\(\therefore \frac{1}{t^2(t-3)}=\frac{1}{9(t-3)}-\frac{1}{9t}-\frac{1}{3t^2}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{9(t-3)}-\frac{1}{9t}-\frac{1}{3t^2}\right\}dt}\)
\(=\frac{1}{9}\int{\frac{1}{t-3}dt}-\frac{1}{9}\int{\frac{1}{t}dt}-\frac{1}{3}\int{\frac{1}{t^2}dt}\)
\(=\frac{1}{9}\ln{|t-3|}-\frac{1}{9}\ln{|t|}-\frac{1}{3}\times{-\frac{1}{t}}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}, \int{\frac{1}{x^2}dx}=-\frac{1}{x}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকদ্বয়ের \(t\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(=\frac{1}{9}\ln{|t-3|}-\frac{1}{9}\ln{|t|}+\frac{1}{3t}+c\)
\(=\frac{1}{9}\ln{|e^{x}-3|}-\frac{1}{9}\ln{|e^{x}|}+\frac{1}{3e^{x}}+c\) ➜Note \(\because t=e^{x}\)
\(=\frac{1}{9}\ln{|e^{x}-3|}-\frac{1}{9}x+\frac{1}{3e^{x}}+c\) ➜Note\(\because \ln{(e^{x})}=x\)
\(=\frac{1}{9}\ln{|e^{x}-3|}-\frac{x}{9}+\frac{1}{3e^{x}}+c\)
\(\int{\frac{dx}{e^{2x}-3e^{x}}}\)
\(=\int{\frac{1}{(e^{x})^2-3e^{x}}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{t^2-3t}.\frac{dt}{t}}\)
\(=\int{\frac{1}{t(t-3)}.\frac{dt}{t}}\)
\(=\int{\frac{1}{t^2(t-3)}dt}\)
এখন,
\(\frac{1}{t^2(t-3)}=\frac{1}{t}\left\{\frac{1}{t(t-3)}\right\}\)
\(=\frac{1}{t}\left\{\frac{1}{t(0-3)}+\frac{1}{3.(t-3)}\right\}\) ➜Note এখানে \((t)\) ব্যতীত \(\frac{1}{t(t-3)}\) এর অপর উৎপাদকে \(t=0\) এবং \((t-3)\) ব্যতীত \(\frac{1}{t(t-3)}\) এর অপর উৎপাদকে \(t=3\) বসানো হয়েছে।
\(=\frac{1}{t}\left\{\frac{1}{t(-3)}+\frac{1}{3.(t-3)}\right\}\)
\(=\frac{1}{-3t^2}+\frac{1}{3t(t-3)}\)
\(=\frac{1}{3t(t-3)}-\frac{1}{3t^2}\)
\(=\frac{1}{3t(0-3)}+\frac{1}{3.3(t-3)}-\frac{1}{3t^2}\) ➜Note এখানে \((t)\) ব্যতীত \(\frac{1}{3t(t-3)}\) এর অপর উৎপাদকে \(t=0\) এবং \((t-3)\) ব্যতীত \(\frac{1}{3t(t-3)}\) এর অপর উৎপাদকে \(t=3\) বসানো হয়েছে।
\(=\frac{1}{3t(-3)}+\frac{1}{9(t-3)}-\frac{1}{3t^2}\)
\(=\frac{1}{-9t}+\frac{1}{9(t-3)}-\frac{1}{3t^2}\)
\(=\frac{1}{9(t-3)}-\frac{1}{9t}-\frac{1}{3t^2}\)
\(\therefore \frac{1}{t^2(t-3)}=\frac{1}{9(t-3)}-\frac{1}{9t}-\frac{1}{3t^2}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{9(t-3)}-\frac{1}{9t}-\frac{1}{3t^2}\right\}dt}\)
\(=\frac{1}{9}\int{\frac{1}{t-3}dt}-\frac{1}{9}\int{\frac{1}{t}dt}-\frac{1}{3}\int{\frac{1}{t^2}dt}\)
\(=\frac{1}{9}\ln{|t-3|}-\frac{1}{9}\ln{|t|}-\frac{1}{3}\times{-\frac{1}{t}}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}, \int{\frac{1}{x^2}dx}=-\frac{1}{x}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকদ্বয়ের \(t\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(=\frac{1}{9}\ln{|t-3|}-\frac{1}{9}\ln{|t|}+\frac{1}{3t}+c\)
\(=\frac{1}{9}\ln{|e^{x}-3|}-\frac{1}{9}\ln{|e^{x}|}+\frac{1}{3e^{x}}+c\) ➜Note \(\because t=e^{x}\)
\(=\frac{1}{9}\ln{|e^{x}-3|}-\frac{1}{9}x+\frac{1}{3e^{x}}+c\) ➜Note\(\because \ln{(e^{x})}=x\)
\(=\frac{1}{9}\ln{|e^{x}-3|}-\frac{x}{9}+\frac{1}{3e^{x}}+c\)

\(\int{\frac{x}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)}dx}\)
ধরি,
\(\frac{x}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)}\equiv \frac{Ax+B}{x^2+a^2}+\frac{Cx+D}{x^2+b^2} .......(1)\)
\(\Rightarrow x\equiv (Ax+B)(x^2+b^2)+(Cx+D)(x^2+a^2) .......(2)\) ➜Note \((1)\) এর উভয় পার্শে \((x^2+a^2)(x^2+b^2)\) গুন করে।
\((2)\) এর উভয় পার্শ হতে \(x^3\), \(x^2\), \(x\) এর সহগের এবং ধ্রুবক রাশির সমতা লই। ➜Note \((x^2+a^2)(x^2+b^2)\) উৎপাদকগুলি জটিল দ্বিঘাত তাই এগুলির মান শুন্য ধরে \(x\) এর বাস্তব মান পাওয়া যাবে না।
\((2)\) এর উভয় পার্শ হতে \(x^3\) এর সহগের সমতা নিয়ে।
\(0=A+C\) ➜Note \(\because (2)\Rightarrow x\equiv Ax^3+Bx^2+Ab^2x+Bb^2\)\(+Cx^3+Dx^2+Ca^2x+Da^2\)
\(\Rightarrow A+C=0\)
\(\therefore C=-A .....(3)\)
\((2)\) এর উভয় পার্শ হতে \(x^2\) এর সহগের সমতা নিয়ে।
\(0=B+D\) ➜Note \(\because (2)\Rightarrow x\equiv Ax^3+Bx^2+Ab^2x+Bb^2\)\(+Cx^3+Dx^2+Ca^2x+Da^2\)
\(\Rightarrow B+D=0\)
\(\Rightarrow D=-B .....(4)\)
\((2)\) এর উভয় পার্শ হতে \(x\) এর সহগের সমতা নিয়ে।
\(1=Ab^2+Ca^2\) ➜Note \(\because (2)\Rightarrow x\equiv Ax^3+Bx^2+Ab^2x+Bb^2\)\(+Cx^3+Dx^2+Ca^2x+Da^2\)
\(\Rightarrow Ab^2+Ca^2=1\)
\(\Rightarrow Ab^2-Aa^2=1\) ➜Note \(\because (3)\Rightarrow C=-A\)
\(\Rightarrow Ab^2-Aa^2=1\)
\(\Rightarrow -A(a^2-b^2)=1\)
\(\therefore A=-\frac{1}{a^2-b^2}\)
\(A\), \(B\), \(C\) ও \(D\) এর মান \((1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)}=\frac{-\frac{1}{a^2-b^2}x+0}{x^2+a^2}+\frac{\frac{1}{a^2-b^2}x+0}{x^2+b^2}\)
\(=\frac{-\frac{1}{a^2-b^2}x}{x^2+a^2}+\frac{\frac{1}{a^2-b^2}x}{x^2+b^2}\)
\(=-\frac{x}{(a^2-b^2)(x^2+a^2)}+\frac{x}{(a^2-b^2)(x^2+b^2)}\)
\(\therefore \frac{x}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)}=\frac{x}{(a^2-b^2)(x^2+b^2)}-\frac{x}{(a^2-b^2)(x^2+a^2)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{x}{(a^2-b^2)(x^2+b^2)}-\frac{x}{(a^2-b^2)(x^2+a^2)}\right\}dx}\)
\(=\frac{1}{a^2-b^2}\int{\frac{x}{x^2+b^2}dx}-\frac{1}{a^2-b^2}\int{\frac{x}{x^2+a^2}dx}\)
\(=\frac{1}{2(a^2-b^2)}\int{\frac{2x}{x^2+b^2}dx}-\frac{1}{2(a^2-b^2)}\int{\frac{2x}{x^2+a^2}dx}\)
\(=\frac{1}{2(a^2-b^2)}\int{\frac{d(x^2+b^2)}{x^2+b^2}}-\frac{1}{2(a^2-b^2)}\int{\frac{d(x^2+a^2)}{x^2+a^2}}\)
\(=\frac{1}{2(a^2-b^2)}\ln{|x^2+b^2|}-\frac{1}{2(a^2-b^2)}\ln{|x^2+a^2|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{dx}{x}}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=\frac{1}{2(a^2-b^2)}\left(\ln{|x^2+b^2|}-\ln{|x^2+a^2|}\right)+c\)
\(=\frac{1}{2(a^2-b^2)}\ln{\left|\frac{x^2+b^2}{x^2+a^2}\right|}+c\) ➜Note\(\because \ln{|M|}-\ln{|N|}=\ln{|\frac{M}{N}|}\)

\(\int{\frac{\cos{x}}{(a-\sin{x})(b-\sin{x})}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{(a-\sin{x})(b-\sin{x})}\cos{x}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{(a-t)(b-t)}dt}\)
ধরি,
\(\frac{1}{(a-t)(b-t)}\equiv \frac{A}{a-t}+\frac{B}{b-t} .......(i)\)
\(\Rightarrow 1\equiv A(b-t)+B(a-t) .......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \((a-t)(b-t)\) গুন করে।
এখানে, \((a-t)(b-t)\) দুইটি উৎপাদক এর যে কোনো একটি সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(a-t=0\)
\(\Rightarrow t=a\)
এখন, \(t=a\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(1=A(b-a)+B.0\)
\(\Rightarrow 1=A(b-a)+0\)
\(\Rightarrow A(b-a)=1\)
\(\Rightarrow A=\frac{1}{b-a}\)
\(\therefore A=-\frac{1}{a-b}\)
\(A\) ও \(B\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{1}{(a-t)(b-t)}=\frac{-\frac{1}{a-b}}{a-t}+\frac{\frac{1}{a-b}}{b-t} \)
\(=-\frac{1}{(a-b)(a-t)}+\frac{1}{(a-b)(b-t)} \)
\(\therefore \frac{1}{(a-t)(b-t)}=\frac{1}{(a-b)(b-t)}-\frac{1}{(a-b)(a-t)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{(a-b)(b-t)}-\frac{1}{(a-b)(a-t)}\right\}dt}\)
\(=\frac{1}{a-b}\int{\frac{1}{b-t}dt}-\frac{1}{a-b}\int{\frac{1}{a-t}dt}\)
\(=\frac{1}{a-b}\frac{\ln{|b-t|}}{-1}-\frac{1}{a-b}\frac{\ln{|a-t|}}{-1}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{ax+b}dx}=\frac{\ln{|ax+b|}}{a}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=-\frac{1}{a-b}\ln{|b-t|}+\frac{1}{a-b}\ln{|a-t|}+c\)
\(=\frac{1}{a-b}\left(\ln{|a-t|}-\ln{|b-t|}\right)+c\)
\(=\frac{1}{a-b}\ln{\left|\frac{a-t}{b-t}\right|}+c\) ➜Note\(\because \ln{|M|}-\ln{|N|}=\ln{|\frac{M}{N}|}\)
\(=\frac{1}{a-b}\ln{\left|\frac{a-\sin{x}}{b-\sin{x}}\right|}+c\) ➜Note \(\because t=\sin{x}\)
\(\int{\frac{\cos{x}}{(a-\sin{x})(b-\sin{x})}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{(a-\sin{x})(b-\sin{x})}\cos{x}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{(a-t)(b-t)}dt}\)
এখন,
\(\frac{1}{(a-t)(b-t)}=\frac{1}{(a-t)(b-a)}+\frac{1}{(a-b)(b-t)}\) ➜Note এখানে \((a-t)\) ব্যতীত \(\frac{1}{(a-t)(b-t)}\) এর অপর উৎপাদকে \(t=a\) এবং \((b-t)\) ব্যতীত \(\frac{1}{(a-t)(b-t)}\) এর অপর উৎপাদকে \(t=b\) বসানো হয়েছে।
\(=-\frac{1}{(a-b)(a-t)}+\frac{1}{(a-b)(b-t)}\)
\(=\frac{1}{(a-b)(b-t)}-\frac{1}{(a-b)(a-t)}\)
\(\therefore \frac{1}{(a-t)(b-t)}=\frac{1}{(a-b)(b-t)}-\frac{1}{(a-b)(a-t)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{(a-b)(b-t)}-\frac{1}{(a-b)(a-t)}\right\}dt}\)
\(=\frac{1}{a-b}\int{\frac{1}{b-t}dt}-\frac{1}{a-b}\int{\frac{1}{a-t}dt}\)
\(=\frac{1}{a-b}\frac{\ln{|b-t|}}{-1}-\frac{1}{a-b}\frac{\ln{|a-t|}}{-1}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{ax+b}dx}=\frac{\ln{|ax+b|}}{a}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=-\frac{1}{a-b}\ln{|b-t|}+\frac{1}{a-b}\ln{|a-t|}+c\)
\(=\frac{1}{a-b}\left(\ln{|a-t|}-\ln{|b-t|}\right)+c\)
\(=\frac{1}{a-b}\ln{\left|\frac{a-t}{b-t}\right|}+c\) ➜Note\(\because \ln{|M|}-\ln{|N|}=\ln{|\frac{M}{N}|}\)
\(=\frac{1}{a-b}\ln{\left|\frac{a-\sin{x}}{b-\sin{x}}\right|}+c\) ➜Note \(\because t=\sin{x}\)

\(\int{\frac{\sec^2{x}}{(1+\tan{x})(2-\tan{x})}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{(1+\tan{x})(2-\tan{x})}\sec^2{x}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{(1+t)(2-t)}dt}\)
ধরি,
\(\frac{1}{(1+t)(2-t)}\equiv \frac{A}{1+t}+\frac{B}{2-t} .......(i)\)
\(\Rightarrow 1\equiv A(2-t)+B(1+t) .......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \((1+t)(2-t)\) গুন করে।
এখানে, \((1+t)(2-t)\) দুইটি উৎপাদক এর যে কোনো একটি সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(1+t=0\)
\(\Rightarrow t=-1\)
এখন, \(t=-1\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(1=A(2+1)+B.0\)
\(\Rightarrow 1=A(3)+0\)
\(\Rightarrow 1=3A\)
\(\Rightarrow 3A=1\)
\(\therefore A=\frac{1}{3}\)
\(A\) ও \(B\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{1}{(1+t)(2-t)}=\frac{\frac{1}{3}}{1+t}+\frac{\frac{1}{3}}{2-t} \)
\(\therefore \frac{1}{(1+t)(2-t)}=\frac{1}{3(1+t)}+\frac{1}{3(2-t)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{3(1+t)}+\frac{1}{3(2-t)} \right\}dt}\)
\(=\frac{1}{3}\int{\frac{1}{1+t}dt}+\frac{1}{3}\int{\frac{1}{2-t}dt}\)
\(=\frac{1}{3}\frac{\ln{|1+t|}}{1}+\frac{1}{3}\frac{\ln{|2-t|}}{-1}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{ax+b}dx}=\frac{\ln{|ax+b|}}{a}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=\frac{1}{3}\ln{|1+t|}-\frac{1}{3}\ln{|2-t|}+c\)
\(=\frac{1}{3}\left(\ln{|1+t|}-\ln{|2-t|}\right)+c\)
\(=\frac{1}{3}\ln{\left|\frac{1+t}{2-t}\right|}+c\) ➜Note\(\because \ln{|M|}-\ln{|N|}=\ln{|\frac{M}{N}|}\)
\(=\frac{1}{3}\ln{\left|\frac{1+\tan{x}}{2-\tan{x}}\right|}+c\) ➜Note \(\because t=\tan{x}\)
\(\int{\frac{\sec^2{x}}{(1+\tan{x})(2-\tan{x})}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{(1+\tan{x})(2-\tan{x})}\sec^2{x}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{(1+t)(2-t)}dt}\)
এখন,
\(\frac{1}{(1+t)(2-t)}=\frac{1}{(1+t)(2+1)}+\frac{1}{(1+2)(2-t)}\) ➜Note এখানে \((1+t)\) ব্যতীত \(\frac{1}{(1+t)(2-t)}\) এর অপর উৎপাদকে \(t=-1\) এবং \((2-t)\) ব্যতীত \(\frac{1}{(1+t)(2-t)}\) এর অপর উৎপাদকে \(t=2\) বসানো হয়েছে।
\(=\frac{1}{(1+t)(3)}+\frac{1}{(3)(2-t)}\)
\(=\frac{1}{3(1+t)}+\frac{1}{3(2-t)}\)
\(\therefore \frac{1}{(1+t)(2-t)}=\frac{1}{3(1+t)}+\frac{1}{3(2-t)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{3(1+t)}+\frac{1}{3(2-t)} \right\}dt}\)
\(=\frac{1}{3}\int{\frac{1}{1+t}dt}+\frac{1}{3}\int{\frac{1}{2-t}dt}\)
\(=\frac{1}{3}\frac{\ln{|1+t|}}{1}+\frac{1}{3}\frac{\ln{|2-t|}}{-1}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{ax+b}dx}=\frac{\ln{|ax+b|}}{a}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=\frac{1}{3}\ln{|1+t|}-\frac{1}{3}\ln{|2-t|}+c\)
\(=\frac{1}{3}\left(\ln{|1+t|}-\ln{|2-t|}\right)+c\)
\(=\frac{1}{3}\ln{\left|\frac{1+t}{2-t}\right|}+c\) ➜Note\(\because \ln{|M|}-\ln{|N|}=\ln{|\frac{M}{N}|}\)
\(=\frac{1}{3}\ln{\left|\frac{1+\tan{x}}{2-\tan{x}}\right|}+c\) ➜Note \(\because t=\tan{x}\)

\(\int{\frac{x^7}{(1-x^4)^2}dx}\)
\(=\int{\frac{-x^3(1-x^4)+x^3}{(1-x^4)^2}dx}\)
\(=\int{\left\{\frac{-x^3(1-x^4)}{(1-x^4)^2}+\frac{x^3}{(1-x^4)^2}\right\}dx}\)
\(=\int{\left\{\frac{-x^3}{1-x^4}+\frac{x^3}{(1-x^4)^2}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{-x^3}{1-x^4}dx}+\int{\frac{x^3}{(1-x^4)^2}dx}\)
\(=\frac{1}{4}\int{\frac{-4x^3}{1-x^4}dx}-\frac{1}{4}\int{\frac{-4x^3}{(1-x^4)^2}dx}\)
\(=\frac{1}{4}\int{\frac{d(1-x^4)}{1-x^4}}-\frac{1}{4}\int{\frac{d(1-x^4)}{(1-x^4)^2}}\)
\(=\frac{1}{4}\ln{|1-x^4|}-\frac{1}{4}\times{-\frac{1}{1-x^4}}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{dx}{x}}=\ln{|x|}, \int{\frac{dx}{x^2}}=-\frac{1}{x}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=\frac{1}{4}\ln{|1-x^4|}+\frac{1}{4}\times{\frac{1}{1-x^4}}+c\)
\(=\frac{1}{4}\left(\ln{|1-x^4|}+\frac{1}{1-x^4}\right)+c\)

\(\int{\frac{(x-2)^2}{(x+1)^2}dx}\)
\(=\int{\frac{x^2-4x+4}{(x+1)^2}dx}\)
\(=\int{\frac{(x^2+2x+1)-(6x-3)}{(x+1)^2}dx}\)
\(=\int{\frac{(x+1)^2-(6x-3)}{(x+1)^2}dx}\)
\(=\int{\left\{\frac{(x+1)^2}{(x+1)^2}-\frac{6x-3}{(x+1)^2}\right\}dx}\)
\(=\int{\left\{1-\frac{6x-3}{(x+1)^2}\right\}dx}\)
ধরি,
\(\frac{6x-3}{(x+1)^2}\equiv \frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^2} .......(i)\)
\(\Rightarrow 6x-3\equiv A(x+1)+B .......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \((x+1)^2\) গুন করে।
এখন, \((x+1)\) সমান শুন্য ধরি।
\(x+1=0\)
\(\therefore x=-1\)
\(x=-1\), \((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(6(-1)-3=A.0+B\)
\(\Rightarrow -6-3=A.0+B\)
\(\Rightarrow -9=0+B\)
\(\Rightarrow -9=B\)
\(\therefore B=-9\)
\(A\) ও \(B\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{6x-3}{(x+1)^2}=\frac{6}{x+1}+\frac{-9}{(x+1)^2}\)
\(\therefore \frac{6x-3}{(x+1)^2}=\frac{6}{x+1}-\frac{9}{(x+1)^2}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{1-\left(\frac{6}{x+1}-\frac{9}{(x+1)^2}\right)\right\}dx}\)
\(=\int{\left\{1-\frac{6}{x+1}+\frac{9}{(x+1)^2}\right\}dx}\)
\(=\int{dx}-6\int{\frac{1}{x+1}dx}+9\int{\frac{1}{(x+1)^2}dx}\)
\(=x-6\ln{|x+1|}+9\times{-\frac{1}{x+1}}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}, \int{\frac{1}{x^2}dx}=-\frac{1}{x}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(=x-6\ln{|x+1|}-9\frac{1}{x+1}+c\)
\(=x-6\ln{|x+1|}-\frac{9}{x+1}+c\)
\(\int{\frac{(x-2)^2}{(x+1)^2}dx}\)
\(=\int{\frac{x^2-4x+4}{(x+1)^2}dx}\)
\(=\int{\frac{(x^2+2x+1)-6(x+1)+9}{(x+1)^2}dx}\)
\(=\int{\left\{\frac{(x+1)^2}{(x+1)^2}-\frac{6(x+1)}{(x+1)^2}+\frac{9}{(x+1)^2}\right\}dx}\)
\(=\int{\left\{1-\frac{6}{x+1}+\frac{9}{(x+1)^2}\right\}dx}\)
\(=\int{dx}-\int{\frac{6}{x+1}dx}+\int{\frac{9}{(x+1)^2}dx}\)
\(=\int{dx}-6\int{\frac{1}{x+1}dx}+9\int{\frac{1}{(x+1)^2}dx}\)
\(=x-6\ln{|x+1|}+9\times{-\frac{1}{x+1}}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}, \int{\frac{1}{x^2}dx}=-\frac{1}{x}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(x\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(=x-6\ln{|x+1|}-9\frac{1}{x+1}+c\)
\(=x-6\ln{|x+1|}-\frac{9}{x+1}+c\)

\(\int{\frac{\sin{2x}}{3+5\cos{x}}dx}\)
\(=\int{\frac{2\sin{x}\cos{x}}{3+5\cos{x}}dx}\) ➜Note\(\because \sin{2A}=2\sin{A}\cos{A}\)
\(=2\int{\frac{\cos{x}}{3+5\cos{x}}\sin{x}dx}\)
\(=2\int{\frac{\frac{t-3}{5}}{t}\times{-\frac{1}{5}dt}}\) ➜Note\(\because \cos{x}=\frac{t-3}{5}, 3+5\cos{x}=t\), \(\sin{x}dx=-\frac{1}{5}dt\)
\(=-\frac{2}{5}\int{\frac{t-3}{5t}dt}\)
\(=-\frac{2}{25}\int{\left(\frac{t}{t}-\frac{3}{t}\right)dt}\)
\(=-\frac{2}{25}\int{\left(1-\frac{3}{t}\right)dt}\)
\(=-\frac{2}{25}\left(\int{dt}-3\int{\frac{1}{t}dt}\right)\)
\(=-\frac{2}{25}\left(t-3\ln{|t|}\right)+c_{1}\) ➜Note\(\because \int{dx}=x, \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c_{1})\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=-\frac{2}{25}\left(3+5\cos{x}-3\ln{|3+5\cos{x}|}\right)+c_{1}\) ➜Note\(\because t=3+5\cos{x}\)
\(=-\frac{6}{25}-\frac{2}{25}\left(5\cos{x}-3\ln{|3+5\cos{x}|}\right)+c_{1}\)
\(=-\frac{2}{25}\left(5\cos{x}-3\ln{|3+5\cos{x}|}\right)+c_{1}-\frac{6}{25}\)
\(=\frac{2}{25}\left(3\ln{|3+5\cos{x}|}-5\cos{x}\right)+c\) ➜Note\(\because c=c_{1}-\frac{6}{25}\)

\(\int{\frac{dx}{(e^x-1)(e^x+3)}}\)
\(=\int{\frac{1}{(t-1)(t+3)}\times{\frac{dt}{t}}}\)
\(=\int{\frac{1}{t(t-1)(t+3)}dt}\)
ধরি,
\(\frac{1}{t(t-1)(t+3)}\equiv \frac{A}{t}+\frac{B}{t-1}+\frac{C}{t+3} .......(i)\)
\(\Rightarrow 1\equiv A(t-1)(t+3)+Bt(t+3)+Ct(t-1) .......(ii)\) ➜Note \((i)\) এর উভয় পার্শে \(t(t-1)(t+3)\) গুন করে।
এখানে, \(t(t-1)(t+3)\) উৎপাদকগুলির যে কোনো একটি সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ, \(t=0\)
এখন, \(t=0\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে, \(1=A(0-1)(0+3)+B.0.(0+3)+C.0.(0-1)\)
\(\Rightarrow 1=A(-1)(3)+0+0\)
\(\Rightarrow 1=-3A\)
\(\Rightarrow -3A=1\)
\(\therefore A=-\frac{1}{3}\)
আবার, \(t(t-1)(t+3)\) উৎপাদকগুলির \((t+3)\) সমান শুন্য ধরি।
\(t+3=0\)
\(\therefore t=-3\)
এখন, \(t=-3\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(1=A.(-3-1).0+B.(-3).0+C.(-3).(-3-1)\)
\(\Rightarrow 1=0+0+C.(-3).(-4)\)
\(\Rightarrow 1=12C\)
\(\Rightarrow 12C=1\)
\(\therefore C=\frac{1}{12}\)
\(A\), \(B\) ও \(C\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{1}{t(t-1)(t+3)}=\frac{-\frac{1}{3}}{t}+\frac{\frac{1}{4}}{t-1}+\frac{\frac{1}{12}}{t+3}\)
\(=-\frac{1}{3t}+\frac{1}{4(t-1)}+\frac{1}{12(t+3)}\)
\(\therefore \frac{1}{t(t-1)(t+3)}=\frac{1}{12(t+3)}+\frac{1}{4(t-1)}-\frac{1}{3t}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{12(t+3)}+\frac{1}{4(t-1)}-\frac{1}{3t}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{12(t+3)}dt}+\int{\frac{1}{4(t-1)}dt}-\int{\frac{1}{3t}dx}\)
\(=\frac{1}{12}\int{\frac{1}{t+3}dt}+\frac{1}{4}\int{\frac{1}{t-1}dt}-\frac{1}{3}\int{\frac{1}{t}dx}\)
\(=\frac{1}{12}\ln{|t+3|}+\frac{1}{4}\ln{|t-1|}-\frac{1}{3}\ln{|t|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(t\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(=\frac{1}{12}\ln{|e^x+3|}+\frac{1}{4}\ln{|e^x-1|}-\frac{1}{3}\ln{|e^x|}+c\) ➜Note\(\because t=e^x\)
\(=\frac{1}{12}\ln{|e^x+3|}+\frac{1}{4}\ln{|e^x-1|}-\frac{1}{3}x+c\) ➜Note\(\because \ln{(e^x)}=x\)
\(=\frac{1}{12}\ln{|e^x+3|}+\frac{1}{4}\ln{|e^x-1|}-\frac{x}{3}+c\)
\(\int{\frac{dx}{(e^x-1)(e^x+3)}}\)
\(=\int{\frac{1}{(t-1)(t+3)}\times{\frac{dt}{t}}}\)
\(=\int{\frac{1}{t(t-1)(t+3)}dt}\)
এখন,
\(\frac{1}{t(t-1)(t+3)}=\frac{1}{t(0-1)(0+3)}+\frac{1}{1(t-1)(1+3)}+\frac{1}{-3(-3-1)(t+3)}\) ➜Note এখানে, \((t)\) ব্যতীত \(\frac{1}{t(t-1)(t+3)}\) এর সকল উৎপাদকে \(t=0\), \((t-1)\) ব্যতীত \(\frac{1}{t(t-1)(t+3)}\) এর সকল উৎপাদকে \(t=1\) এবং \((t+3)\) ব্যতীত \(\frac{1}{t(t-1)(t+3)}\) এর সকল উৎপাদকে \(t=-3\) বসানো হয়েছে।
\(=\frac{1}{t(-1)(+3)}+\frac{1}{1(t-1)(4)}+\frac{1}{-3(-4)(t+3)}\)
\(=\frac{1}{-3t}+\frac{1}{4(t-1)}+\frac{1}{12(t+3)}\)
\(=-\frac{1}{3t}+\frac{1}{4(t-1)}+\frac{1}{12(t+3)}\)
\(=\frac{1}{12(t+3)}+\frac{1}{4(t-1)}-\frac{1}{3t}\)
\(\therefore \frac{1}{t(t-1)(t+3)}=\frac{1}{12(t+3)}+\frac{1}{4(t-1)}-\frac{1}{3t}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{12(t+3)}+\frac{1}{4(t-1)}-\frac{1}{3t}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{12(t+3)}dt}+\int{\frac{1}{4(t-1)}dt}-\int{\frac{1}{3t}dx}\)
\(=\frac{1}{12}\int{\frac{1}{t+3}dt}+\frac{1}{4}\int{\frac{1}{t-1}dt}-\frac{1}{3}\int{\frac{1}{t}dx}\)
\(=\frac{1}{12}\ln{|t+3|}+\frac{1}{4}\ln{|t-1|}-\frac{1}{3}\ln{|t|}+c\) ➜Note\(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক। দ্রঃ এই ক্ষেত্রে উৎপাদকগুলির \(t\) এর সহগ \(1\) বাঞ্চনীয়।
\(=\frac{1}{12}\ln{|e^x+3|}+\frac{1}{4}\ln{|e^x-1|}-\frac{1}{3}\ln{|e^x|}+c\) ➜Note\(\because t=e^x\)
\(=\frac{1}{12}\ln{|e^x+3|}+\frac{1}{4}\ln{|e^x-1|}-\frac{1}{3}x+c\) ➜Note\(\because \ln{(e^x)}=x\)
\(=\frac{1}{12}\ln{|e^x+3|}+\frac{1}{4}\ln{|e^x-1|}-\frac{x}{3}+c\)

\(\int{\frac{x^2}{x^2-16}dx}\)
\(=\int{\frac{x^2-16+16}{x^2-16}dx}\)
\(=\int{\left(\frac{x^2-16}{x^2-16}+\frac{16}{x^2-16}\right)dx}\)
\(=\int{\left(1+\frac{16}{x^2-16}\right)dx}\)
\(=\int{dx}+\int{\frac{16}{x^2-4^2}dx}\)
\(=\int{dx}+2\int{\frac{8}{(x+4)(x-4)}dx}\)
\(=\int{dx}+\int{\frac{(x+4)-(x-4)}{(x+4)(x-4)}dx}\)
\(=\int{dx}+2\int{\left\{\frac{x+4}{(x+4)(x-4)}-\frac{(x-4)}{(x+4)(x-4)}\right\}dx}\)
\(=\int{dx}+2\int{\left\{\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x+4}\right\}dx}\)
\(=\int{dx}+2\int{\frac{1}{x-4}dx}-2\int{\frac{1}{x+4}dx}\)
\(=\int{dx}+2\ln{|x-4|}-2\ln{|x+4|}+c\) ➜Note\(\because \int{dx}=x, \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=\int{dx}+2\left(\ln{|x-4|}-\ln{|x+4|}\right)+c\)
\(=x+2\ln{\left|\frac{x-4}{x+4}\right|}+c\) ➜Note\(\because \ln{|M|}-\ln{|N|}=\ln{|\frac{M}{N}|}\)
\(\int{\frac{x^2}{x^2-16}dx}\)
\(=\int{\frac{x^2-16+16}{x^2-16}dx}\)
\(=\int{\left(\frac{x^2-16}{x^2-16}+\frac{16}{x^2-16}\right)dx}\)
\(=\int{\left(1+\frac{16}{x^2-16}\right)dx}\)
\(=\int{dx}+16\int{\frac{1}{x^2-4^2}dx}\)
\(=x+16\times{\frac{1}{2.4}}\ln{\left|\frac{x-4}{x+4}\right|}+c\) ➜Note\(\because \int{dx}=x, \int{\frac{1}{x^2-a^2}dx}=\ln{\left|\frac{x-a}{x+a}\right|}\), \((c)\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=x+16\times{\frac{1}{8}}\ln{\left|\frac{x-4}{x+4}\right|}+c\)
\(=x+2\ln{\left|\frac{x-4}{x+4}\right|}+c\)