নির্দিষ্ট যোগজীকরণ
barcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয়গুলি আলোচনা করব।
নির্দিষ্ট যোগজীকরণঃ আমরা জেনেছি, যোগজীকরণ হলো অন্তরীকরণের বিপরীত প্রক্রিয়া। এখন, আমরা একে সমষ্টিকরণের পদ্ধতি হিসেবে সংজ্ঞায়িত করব। প্রকৃতপক্ষে যোগজীকরণের উৎপত্তিই হলো বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের উদ্দেশ্য নিয়ে। এক্ষেত্রে ক্ষেত্রটিকে ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র অংশে বিভক্ত করে, ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র ক্ষেত্রের সমষ্টি থেকেই মূল ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা হয়।
নির্দিষ্ট যোগজের বৈশিষ্ট্যঃ
\(1.\) \(\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{a}^{b}{f(t)dt}\)
যেমনঃ \(\int_{0}^{1}{x^2dx}=\int_{0}^{1}{t^2dt}\)
\(2.\) \(\int_{a}^{b}{f(x)dx}=-\int_{b}^{a}{f(x)dx}\)
যেমনঃ \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin{x}dx}=-\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}{\sin{x}dx}\)
যেহেতু,
\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin{x}dx}\)
\(=\left[-\cos{x}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\)
\(=-\left[\cos{x}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\)
\(=-\left[\cos{\frac{\pi}{2}}-\cos{0}\right]\)
\(=-\left[0-1\right]\) ➜ \(\because \cos{\frac{\pi}{2}}=0, \cos{0}=1\)
\(=-\left[-1\right]\)
\(=1\)
এবং
\(-\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}{\sin{x}dx}\)
\(=-\left[-\cos{x}\right]_{\frac{\pi}{2}}^{0}\)
\(=\left[\cos{x}\right]_{\frac{\pi}{2}}^{0}\)
\(=\left[\cos{0}-\cos{\frac{\pi}{2}}\right]\)
\(=\left[1-0\right]\) ➜ \(\because \cos{0}=1, \cos{\frac{\pi}{2}}=0\)
\(=1\)
\(\therefore \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin{x}dx}=-\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}{\sin{x}dx}\)
\(3.\) \(\int_{0}^{a}{f(x)dx}=\int_{0}^{a}{f(a-x)dx}\)
যেমনঃ \(\int_{0}^{2}{x^3dx}=\int_{0}^{2}{(2-x)^3dx}\);
\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin{x}dx}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}dx}\)
ইত্যাদি।
নির্দিষ্ট যোগজ ও এর প্রয়োগঃ
নির্দিষ্ট যোগজের সাহায্যে আমরা কোনো সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে পারি। বক্ররেখার দৈর্ঘ্য, বক্ররেখা দ্বারা পরিবেষ্টিত ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, কোনো বস্তুর আয়তন এবং গতিবেগ ইত্যাদি নির্ণয়ে নির্দিষ্ট যোগজ বিশেষ ভূমিকা পালন করে।
ক্ষেত্রফল থেকে যোগজের ধারণাঃ
\(x=a, x=b, y=f(x)\) এবং \(y=0\) এ চারটি রেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে \(n\) সমানভাবে বিভক্ত করলে এবং প্রতিটি ভাগের দূরত্ব \(h\) হলে \(nh=b-a\) হবে। এখন \(nh=b-a\) হলে, \[\lim_{a \rightarrow b}h\{f(a)+f(a+h)+f(a+2h)+f(a+3h)+ ..........+f(a+\overline{n-1}.h)\}\] কে নির্দিষ্ট যোগজ বলে। যাকে \(\int_{a}^{b}{f(x)dx}\) প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
\(\therefore \int_{a}^{b}{f(x)dx}\) \[=\lim_{a \rightarrow b}h\{f(a)+f(a+h)+f(a+2h)+f(a+3h)+ ..........+f(a+\overline{n-1}.h)\}\]
উর্ধসীমা ও নিম্নসীমাঃ
যদি \(f(x)\) ফাংশনের অনির্দিষ্ট যোগজ \(F(x)\) হয়, অর্থাৎ \(\int{f(x)dx}=F(x)\) হয়, তবে \([a, b]\) বদ্ধ ব্যবধিতে \(F(b)-F(a)\) কে \(f(x)\) ফাংশনের নির্দিষ্ট যোগজের মান বলা হয়, যাকে \(\int_{a}^{b}{f(x)dx}\) প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয় ।
গাণিতিকভাবে, যদি \(f(x)\) এর যোগজ \(F(x)\) হয়
অর্থাৎ \(\int{f(x)dx}=F(x)\) হয় তবে \(\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\left[F(x)\right]_{a}^{b}=F(b)-F(a)\).
এখানে \(a\) কে নিম্নপ্রান্ত (lower limit) , \(b\) কে উর্ধবপ্রান্ত (upper limit) এবং \([ a, b]\) ব্যবধিকে যোগজের রেঞ্জ বলে।
মন্তব্যঃ
স্বাধীন চলরাশি \(x\) এর মান পরিবর্তিত হলে, অনির্দিষ্ট যোগজটির মান যে নির্দিষ্ট পরিমাণ পার্থক্য সৃষ্টি হয়, তা হলো নির্দিষ্ট যোজিতফল বা নির্দিষ্ট যোগজ।
নির্দিষ্ট যোগজীকরণে ধ্রুবক \( c\)-এর অপ্রয়োজনীয়তাঃ
ব্যাখ্যাঃ \(\int{f(x)dx}=F(x)\) হয় তবে \(\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\left[F(x)\right]_{a}^{b}=F(b)-F(a) ......(1)\)
আবার,
\(\int{f(x)dx}=F(x)+c\) হয় তবে \(\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\left[F(x)+c\right]_{a}^{b}=F(b)+c-F(a)-c=F(b)-F(a) ......(2)\)
অর্থাৎ নির্দিষ্ট যোগজে ধ্রুবক \(c\) সংযুক্ত করলে উর্ধবপ্রান্ত এবং নিম্নপ্রান্ত প্রয়োগের ফলে তা অপসারিত হয়।
\((1)\) ও \((2)\) থেকে ইহা স্পষ্ট যে, \(\int_{a}^{b}{f(x)dx}\) এর যোজিতফল \(F(x)\) এর সাথে \(c\) ব্যবহার না করলেও ফলাফল যা, ব্যবহার করেও ফলাফল একই থাকে। কাজেই \(\int_{a}^{b}{f(x)dx}\) এর মান ধ্রুবক \(c\) এর উপর নির্ভরশীল নয়। তাই নির্দিষ্ট যোগজে ধ্রুবক \(c\) এর ব্যবহার অপ্রয়োজনীয়।
\(\int_{a}^{b}{f(x)dx}\)-এর জ্যামিতিক ব্যাখ্যাঃ
int-image \(y=f(x)\)বক্ররেখা এবং \(y=0, x=a\) এবং \(x=b\) রেখত্রয় দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(ABCD\) কে \(\int_{a}^{b}{f(x)dx}\) প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয় ।
অর্থাৎ \(ABCD\) এর ক্ষেত্রফল \(=\int_{a}^{b}{f(x)dx}\)
\(\int_{a}^{b}{f(x)dx}\)-এর মান নির্ণয়ের ধাপসমুহঃ
নির্দিষ্ট যোগজ নির্ণয়ের কতগুলি কৌশল অবলম্বন করা হয়। এই কৌশলের ধাপসমুহ নিম্নরূপঃ
\((1)\) প্রদত্ত ফাংশনের অনির্দিষ্ট যোগজ নির্ণয় করতে হয়। অর্থাৎ \(\int{f(x)dx}\) এর অনির্দিষ্ট যোগজ \(F(x)\) হলে, \(F(x)\) বের করতে হয়।
\((2)\) \(F(x)\) এ \(x\) এর পরিবর্তে যথাক্রমে উর্ধবপ্রান্ত \(b\) এবং নিম্নপ্রান্ত \(a\) বসিয়ে \(F(b)\) থেকে \(F(a)\) বিয়োগ করতে হয়। এ বিয়োগফলই অর্থাৎ \(F(b)-F(a)\) হচ্ছে \(a\) এবং \(b\) সীমার মধ্যে \(f(x)\) এর যোজিতফল অর্থাৎ \(\int_{a}^{b}{f(x)dx}\) এর মান।
প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে নির্দিষ্ট যোগজ নির্ণয়ের ধাপসমুহঃ
নির্দিষ্ট যোগজ নির্ণয়ের ক্ষেত্রে প্রতিস্থাপন পদ্ধতি একটি অত্যন্ত প্রয়োজনীয় প্রক্রিয়া। এর ধাপসমুহ নিম্নরূপঃ
\((1)\) যোজ্য ফাংশনকে নতুন চলরাশিতে প্রকাশ করা।
\((2)\) অন্তরজ \(dx\) কে নতুন চলরাশির অন্তরজে রূপান্তর করা।
\((2)\) নতুন চলরাশির সীমার মান নির্ণয় করা।
অনুশীলনী \(10.G\) উদাহরণ সমুহ
নিচের যোগজগুলির মান নির্ণয় করঃ
\((1.)\) \(\int_{1}^{2}{\frac{(x^2-1)^2}{x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{5}{6}\)

\((2.)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos^2{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{4}\)

\((3.)\) \(\int_{1}^{3}{\frac{2x}{1+x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\ln{5}\)

\((4.)\) \(\int_{1}^{3}{\frac{1}{x}\cos{(\ln{|x|})}dx}\)
উত্তরঃ \(\sin{(\ln{3})}\)

\((5.)\) \(\int_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt{2x-x^2}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{2}\)

\((6.)\) \(\int_{0}^{1}{\ln{|1+x|}dx}\)
উত্তরঃ \(2\ln{2}-1\)

\((7.)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{e^x(\sin{x}+\cos{x})dx}\)
উত্তরঃ \(e^{\frac{\pi}{2}}\)

\((8.)\) \(\int_{0}^{4}{y\sqrt{4-y}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{128}{15}\)

\((9.)\) \(\int_{0}^{3}{(3-2x+x^2)dx}\)
উত্তরঃ \(9\)

\((10.)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sin{x}}{\sin{x}+\cos{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{4}\)

\((11.)\) \(\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{|\sin{x}|dx}\)
উত্তরঃ \(2\)

\((12.)\) \(\int_{2}^{8}{|x-5|dx}\)
উত্তরঃ \(9\)

\((13.)\) \(\int_{0}^{3}{\sqrt{9-x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{9\pi}{4}\)

অনুশীলনী \(10.G / Q.1\)-এর অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমুহ
নিচের যোগজগুলির মান নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(i)\) \(\int_{0}^{3}{(3-2x+x^2)dx}\)
উত্তরঃ \(9\)
[ কুঃ ২০০৭,২০০৬; বঃ২০০৪ ]

\(Q.1.(ii)\) \(\int_{0}^{1}{x(1-\sqrt{x})^2dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{30}\)

\(Q.1.(iii)\) \(\int_{-1}^{1}{|x|dx}\)
উত্তরঃ \(1\)

\(Q.1.(iv)\) \(\int_{0}^{4}{\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{28}{3}\)

\(Q.1.(v)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{(\sin{\theta}+\cos{\theta})d\theta}\)
উত্তরঃ \(2\)
[ চঃ২০০৪]

\(Q.1.(vi)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{1-\cos{2\theta}}{1+\cos{2\theta}}d\theta}\)
উত্তরঃ \(1-\frac{\pi}{4}\)
[ চঃ২০১৪; রাঃ২০০৩ ]

\(Q.1.(vii)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{1+\cos{2x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
[ চঃ২০০৭; ঢাঃ২০০৬; কুঃ২০০৩ ]

\(Q.1.(viii)\) \(\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{1-\cos{2x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}(\sqrt{3}-1)\)
[ দিঃ,চঃ২০১২ ]

\(Q.1.(ix)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{dx}{1-\sin{x}}}\)
উত্তরঃ \(\sqrt{3}+1\)
[ ঢাঃ২০১৩,২০০৯,২০০৮; রাঃ২০১৩; সিঃ২০১০; কুঃ,যঃ২০০৯ ]

\(Q.1.(x)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{dx}{1+\sin{x}}}\)
উত্তরঃ \(2-\sqrt{2}\)
[ বঃ২০১৪,২০১২,২০০৯,২০০৬,২০০৩; দিঃ২০১৪,২০১০; সিঃ২০১৪,২০০৮,২০০৪; কুঃ২০১৪,২০০৫; ঢাঃ২০১২,২০১০; রাঃ২০১০,২০০৮; চঃ২০০৮,২০০৬; যঃ২০০৮,২০০৩ ]

\(Q.1.(xi)\) \(\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sec{x}+1}{\sec{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\pi+2\)
[ যঃ২০১৩,২০০৬,২০০৩ ]

\(Q.1.(xii)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{\cos{2x}}{\cos^2{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{2}-1\)
[ বঃ২০১১; চঃ২০০৪; রাঃ২০০৯,২০০৫; সিঃ২০১১ ]

\(Q.1.(xiii)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\tan^2{x}dx}\)
উত্তরঃ \(1-\frac{\pi}{4}\)
[ বঃ২০১১; কুঃ২০০৯ ]

\(Q.1.(xiv)\) \(\int_{0}^{1}{\frac{dx}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{4}{3}(\sqrt{2}-1)\)

\(Q.1.(xv)\) \(\int_{0}^{4}{\frac{dx}{\sqrt{2x+1}}}\)
উত্তরঃ \(2\)

\(Q.1.(xvi)\) \(\int_{1}^{4}{\frac{dx}{(2+3x)^2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{3}{70}\)
[ যঃ২০০৭ ]

\(Q.1.(xvii)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos{4x}dx}\)
উত্তরঃ \(0\)
[ রাঃ২০০৪; কুঃ২০০৬ ]

\(Q.1.(xviii)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{dx}{1+\cos{x}}}\)
উত্তরঃ \(1\)
[ ঢাঃ২০১১; বঃ২০০৮ ]

\(Q.1.(xix)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1+\cos{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(2\)

\(Q.1.(xx)\) \(\int_{0}^{\pi}{3\sqrt{1-\cos{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(6\sqrt{2}\)
[ কুঃ২০০৮ ]

\(Q.1.(xxi)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1+\sin{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(2\)
[ বঃ২০১১ ]

\(Q.1.(xxii)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1+\sin{\theta}}d\theta}\)
উত্তরঃ \(2\)
[ বঃ২০১৭ ]

\(Q.1.(xxiii)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin^2{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{4}\)
[ সিঃ২০০৫ ]

\(Q.1.(xxiv)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos^2{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{4}\)
[ রাঃ২০০৯,২০০৫; সিঃ২০১১; চঃ২০০৪ ]

\(Q.1.(xxv)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin^2{2\theta}d\theta}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{4}\)
[ মাঃ২০০৯ ]

\(Q.1.(xxvi)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos^3{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{3}\)
[ যঃ২০১৩,২০০৯,২০০৭; দিঃ২০১৩; বঃ২০০৮; সিঃ২০১২,২০০৬,২০০৫ ]

\(Q.1.(xxvii)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin^3{\theta}d\theta}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{3}\)

\(Q.1.(xxviii)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{(a\cos^2{x}+b\sin^2{x})dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{4}(a+b)\pi\)
[ চঃ২০০৩ ]

\(Q.1.(xxix)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos^4{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{3\pi}{16}\)
[ যঃ২০০৪ ]

\(Q.1.(xxx)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\sin^4{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{3\pi-8}{32}\)
[ চঃ২০০৩ ]

\(Q.1.(xxxi)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin{x}\sin{2x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{3}\)
[ রাঃ২০০৮; দিঃ২০১৩; যঃ২০০৮; চঃ২০০৬; বঃ২০০৬,২০০৪ ]

\(Q.1.(xxxii)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin{2x}\cos{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{3}\)
[ যঃ২০০৫ ]

\(Q.1.(xxxiii)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos{3\theta}\cos{2\theta}d\theta}\)
উত্তরঃ \(\frac{3}{5}\)
[ ঢাঃ২০১৪; চঃ২০০৩ ]

\(Q.1.(xxxiv)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin^2{x}\sin{3x}dx}\)
উত্তরঃ \(-\frac{2}{15}\)
[ সিঃ২০০৩; বঃ২০০৫; যঃ২০১৪; রাঃ২০০৮; মাঃ২০০৩,২০০৫ ]

\(Q.1.(xxxv)\) \(\int_{1}^{4}{\frac{dx}{(2x+3)^2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{3}{55}\)

\(Q.1.(xxxvi)\) \(\int_{3}^{1}{\frac{2x}{1+x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(-\ln{(5)}\)
[ কুঃ২০০৩; সিঃ২০০৬ ]

\(Q.1.(xxxvii)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin^5{\theta}\cos{\theta}d\theta}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{6}\)
[ বুয়েটঃ২০০৭-২০০৮ ]

\(Q.1.(xxxviii)\) \(\int_{2}^{5}{\frac{7x}{\sqrt{x^2+3}}dx}\)
উত্তরঃ \(7\sqrt{7}\)

\(Q.1.(xxxix)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}{\frac{\cos{x}}{\sqrt{12+\sin{x}}}dx}\)
উত্তরঃ \(5\sqrt{2}-4\sqrt{3}\)
[ সাস্টঃ২০০৭-২০০৮ ]

\(Q.1.(xL)\) \(\int_{-\frac{\pi}{4}}^{0}{\tan{\left(\frac{\pi}{4}+x\right)}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\ln{(2)}\)

\(Q.1.(xLi)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{\cos{2\theta}}{\cos^2{\theta}}d\theta}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{2}-1\)
[ বঃ২০১১; চঃ২০০৪; রাঃ২০০৯,২০০৫; সিঃ২০১১ ]

\(Q.1.(xLii)\) \(\int_{\frac{1}{4}}^{1}{|2x-1|dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{5}{16}\)

\(Q.1.(xLiii)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{|\cos{2x}|dx}\)
উত্তরঃ \(1\)

\(Q.1.(xLiv)\) \(\int_{-\pi}^{\pi}{|\cos{x}|dx}\)
উত্তরঃ \(4\)

\(Q.1.(xLv)\) \(\int_{1}^{4}{\frac{(2-x)^2}{\sqrt{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(1\frac{11}{15}\)

\(Q.1.(xLvi)\) \(\int_{0}^{4}{\frac{dx}{(2x+3)^2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{4}{33}\)

অনুশীলনী \(10.G / Q.2\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমুহ
নিচের যোগজগুলির মান নির্ণয় করঃ
\(\int{f\{g(x)\}g^\prime(x)dx}\) আকার।
\(Q.2.(i)\) \(\int_{1}^{3}{\frac{1}{x}\cos{(\ln{|x|})}dx}\)
উত্তরঃ \(\sin{(\ln{3})}\)
[ ঢাঃ২০১২,২০০৮; দিঃ২০১১; বুয়েটঃ২০০৯; চঃ২০১৩; কুঃ২০১৪,২০০৮; বঃ২০১২ ]

\(Q.2.(ii)\) \(\int_{1}^{2}{\frac{1}{z}\cos{(\ln{|z|})}dz}\)
উত্তরঃ \(\sin{(\ln{2})}\)
[ দিঃ২০১৭ ]

\(\int{\{f(x)\}^nf^\prime(x)dx}\) আকার।
\(Q.2.(iii)\) \(\int_{0}^{1}{x^3\sqrt{1+3x^4}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{7}{18}\)
[ রাঃ২০৯,২০০৭,২০০৫; কুঃ২০১০,২০০৭; চঃ২০০৮,২০০৫; সিঃ২০০৮,২০১২; যঃ২০১২; বঃ২০০৯,২০০৪; মাঃ ২০১১ ]

\(Q.2.(iv)\) \(\int_{0}^{\pi}{3\sqrt{1-\cos{x}}\sin{x}dx}\)
উত্তরঃ \(4\sqrt{2}\)
[ কুঃ২০৪]

\(Q.2.(v)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos{\theta}}{(1+\sin{\theta})^3}d\theta}\)
উত্তরঃ \(\frac{3}{8}\)

\(Q.2.(vi)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\tan^2{x}\sec^2{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}\)
[ ঢাঃ২০১৩,২০০৫,২০০৩; চঃ২০১১,২০০৪; রাঃ২০০৫; কুঃ২০০৬,২০০৪ ]

\(Q.2.(vii)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\tan^3{x}\sec^2{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{4}\)
[ সিঃ২০১৩ ]

\(Q.2.(viii)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{4\tan^3{x}\sec^2{x}dx}\)
উত্তরঃ \(1\)
[ ঢাঃ২০১১; কুঃ২০০৯; দিঃ২০০৯; যঃ২০০৬; সিঃ২০১৩,২০০৯; বঃ২০১১ ]

\(Q.2.(ix)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{(\tan^3{x}+\tan{x})dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
[ কুঃ২০০৮; যঃ২০০৫ ]

\(Q.2.(x)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{(1+\cos{x})^2\sin{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{7}{3}\)
[ চঃ২০১১; সিঃ২০০৫; বুয়েটঃ ২০০৮-২০০৯ ]

\(Q.2.(xi)\) \(\int_{0}^{1}{\frac{\sin^{-1}{x}}{\sqrt{1-x^2}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi^2}{8}\)
[ দিঃ২০০৯; সিঃ২০০৭; যঃ ২০০৪; বঃ২০০৮; মাঃ২০১২ ]

\(Q.2.(xii)\) \(\int_{0}^{1}{\frac{(\cos^{-1}{x})^3}{\sqrt{1-x^2}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi^4}{64}\)
[ রাঃ,যঃ২০০৩ ]

\(Q.2.(xiii)\) \(\int_{0}^{1}{\frac{(\sin^{-1}{x})^2}{\sqrt{1-x^2}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi^3}{24}\)
[ রাঃ২০১১; কুঃ২০০৬,২০০৩; ঢাঃ২০০৪ ]

\(Q.2.(xiv)\) \(\int_{0}^{1}{\frac{(\tan^{-1}{x})^2}{1+x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi^3}{192}\)
[ ঢাঃ২০১১,২০০৫; কুঃ২০১১,২০০৮; রাঃ২০০৭; সিঃ২০১০,২০০৬; চঃ,যঃ২০১৩,২০১০; বঃ২০১২,২০০৬,২০০৩ ]

\(Q.2.(xv)\) \(\int_{0}^{1}{\frac{\tan^{-1}{x}}{1+x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi^2}{32}\)
[ মাঃ২০১২; দিঃ২০৯; বঃ২০০৮; সিঃ২০০৭; যঃ২০০৪ ]

\(Q.2.(xvi)\) \(\int_{0}^{1}{\frac{2x(\tan^{-1}{x^2})^3}{1+x^4}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi^4}{1024}\)

\(Q.2.(xvii)\) \(\int_{1}^{e^{2}}{\frac{\ln{|x|}}{x}dx}+\int_{1}^{2}{e^xdx}\)
উত্তরঃ \(2+e^2-e\)
[ দিঃ২০১৭ ]

\(Q.2.(xviii)\) \(\int_{1}^{e^{2}}{\frac{dx}{x(1+\ln{|x|})^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{3}\)
[ ঢাঃ২০১৪,২০০৮,২০০৬; রাঃ২০১৩,২০০৯; কুঃ২০০৯; যঃ২০১২,২০১০,২০০৬; চঃ২০১৩,২০০৭,২০০৫; দিঃ২০১৪; সিঃ২০১০,২০০৪; মাঃ২০১৪,২০১০ ]

\(\int{\sin^{m}{x}\cos^{n}{x}dx}\) আকার।
\(Q.2.(xix)\) \(\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos^5{x}}{\sin^7{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{162}\)
[ ঢাঃ২০১২; রাঃ২০০৭; যঃ২০০৫; চঃ২০০৮; দিঃ২০১১ ]

\(Q.2.(xx)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\sin^3{\theta}\cos{\theta}d\theta}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{16}\)
[ ঢাঃ২০১১; কুঃ,দিঃ২০০৯; যঃ২০০৬; সিঃ২০১৩,২০০৯; বঃ২০১১ ]

\(Q.2.(xxi)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin^6{x}\cos{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{7}\)
[ সিঃ২০১৭ ]

\(Q.2.(xxii)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos^5{x}\sin{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{6}\)
[ দিঃ২০১০; যঃ২০১১ ]

\(Q.2.(xxiii)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos^2{\theta}\sin{\theta}d\theta}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}\)
[ দিঃ২০১০; যঃ২০১১; ঢাঃ২০০৩ ]

\(Q.2.(xxiv)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin^5{\theta}\cos^4{\theta}d\theta}\)
উত্তরঃ \(\frac{8}{315}\)

\(\int{e^{f(x)}f^{\prime}{x}dx}\) আকার।
\(Q.2.(xxv)\) \(\int_{0}^{1}{xe^{x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}(e-1)\)
[ ঢাঃ২০১৩,২০০৯,২০০৫; কুঃ২০১৩,২০১২; যঃ২০১৩,২০০৮,২০০৬; চঃ২০১২,২০০৬,২০০৪,২০০৩; সিঃ২০১০,২০০৭,২০০৩; বঃ২০০৫; দিঃ২০১২ ]

\(Q.2.(xxvi)\) \(\int_{1}^{2}{x^2e^{x^3}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}e(e^7-1)\)
[ ঢাঃ২০০৯ বঃ২০১০; রাঃ২০০৬,২০০৪ ]

\(Q.2.(xxvii)\) \(\int_{0}^{1}{\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(2(e-1)\)

\(\int{\frac{f^{\prime}{x}}{\sqrt{f(x)}}dx}\) আকার।
\(Q.2.(xxviii)\) \(\int_{4}^{8}{\frac{xdx}{\sqrt{x^2-15}}}\)
উত্তরঃ \(6\)

\(Q.2.(xxix)\) \(\int_{0}^{1}{\frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}}}\)
উত্তরঃ \(1\)
[ ঢাঃ২০০৭; রাঃ২০১২; যঃ২০০৭ ]

\(Q.2.(xxx)\) \(\int_{0}^{2}{\frac{xdx}{\sqrt{9-2x^2}}}\)
উত্তরঃ \(1\)
[ ঢাঃ২০১৫; রাঃ২০১২; সিঃ,চঃ২০১৪; দিঃ২০১৩ ]

\(Q.2.(xxxi)\) \(\int_{0}^{1}{\frac{xdx}{\sqrt{4-x^2}}}\)
উত্তরঃ \(2-\sqrt{3}\)
[ ঢাঃ, রাঃ২০১০; কুঃ২০১০,২০০৫; দিঃ২০১৩ ]

\(\int{\frac{f^{\prime}{x}}{f(x)}dx}\) আকার।
\(Q.2.(xxxii)\) \(\int_{0}^{1}{\frac{e^x}{1+e^x}dx}\)
উত্তরঃ \(\ln{(\frac{3}{2})}\)
[ ঢাঃ২০১০,২০০৭; রাঃ২০১০,২০০৬,২০০৪; কুঃ২০১৭,২০১৩,২০১০,২০০৭,২০০৫; যঃ২০১৪,২০১১,২০০৯,২০০৭; দিঃ২০০৯; চঃ২০১১,২০০৯,২০০৫; সিঃ২০১২,২০০৮; বঃ২০১৪,২০১১,২০০৬; মাঃ২০১৪,২০১১ ]

\(Q.2.(xxxiii)\) \(\int_{1}^{e^{2}}{\frac{dx}{x(1+\ln{|x|})}}\)
উত্তরঃ \(\ln{3}\)
[ দিঃ২০১১; বঃ২০৭,২০০৪ ]

\(Q.2.(xxxiv)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{dx}{1+\cot{x}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{4}\)

\(Q.2.(xxxv)\) \(\int_{0}^{1}{\frac{dx}{1+x^2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{4}\)

\(Q.2.(xxxvi)\) \(\int_{0}^{1}{\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{2}\)

\(Q.2.(xxxvii)\) \(\int_{0}^{1}{\frac{dx}{\sqrt{4-3x^2}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{3\sqrt{3}}\)
[ ঢাঃ২০০৩ ]

\(Q.2.(xxxviii)\) \(\int_{3}^{4}{\frac{dx}{25-x^2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{5}\ln{\left(\frac{3}{2}\right)}\)
[ বঃ২০১৩ ]

\(Q.2.(xxxix)\) \(\int_{0}^{3}{\frac{dx}{\sqrt{3x-x^2}}}\)
উত্তরঃ \(\pi\)
[ চঃ২০১০ ]

\(Q.2.(xL)\) \(\int_{0}^{1}{\frac{1+x}{1+x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\ln{2}\)
[ সিঃ২০১২,২০০৫; কুঃ২০১২; রাঃ২০০৯,২০০৬,২০০৪; ঢাঃ২০০৯; বঃ২০০৭; দিঃ,চঃ,যঃ২০১১ ]

\(Q.2.(xLi)\) \(\int_{0}^{1}{\frac{xdx}{1+x^4}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{8}\)
[ রাঃ২০১১ ]

\(Q.2.(xLii)\) \(\int_{0}^{1}{\frac{dx}{e^x+e^{-x}}}\)
উত্তরঃ \(\tan^{-1}{e}-\frac{\pi}{4}\)
[ রাঃ২০১২,২০০৩; কুঃ২০০৮; বঃ২০১৩; সিঃ২০০৭,২০০৪; মাঃ২০১০ ]

\(Q.2.(xLiii)\) \(\int_{0}^{\pi}{\frac{\sin{x}}{1+\cos^2{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{2}\)
[ ঢাঃ২০০৭ ]

\(Q.2.(xLiv)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos{x}}{1+\sin^2{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{4}\)
[ রাঃ,সিঃ২০১৩ ]

\(Q.2.(xLv)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos{\theta}}{\sqrt{4-\sin^2{\theta}}}d\theta}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{6}\)
[ রাঃ,সিঃ২০১৩ ]

\(Q.2.(xLvi)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos{x}}{9-\sin^2{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{6}\ln{2}\)
[ ঢাঃ২০০৫; কুঃ২০১০; দিঃ২০১৩; চঃ২০০৯; সিঃ২০১৩,২০০৯; বঃ২০১০ ]

\(Q.2.(xLvii)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{\sin{2x}}{\cos^4{x}+\sin^4{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{4}\)
[ বুয়েটঃ২০০৮-২০০৯ ]

\(Q.2.(xLviii)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{dx}{a^2\cos^2{x}+b^2\sin^2{x}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{2ab}\)
[ রুয়েটঃ২০১১-২০১২ ]

\(Q.2.(iL)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{d\theta}{a\sin^2{\theta}+b\cos^2{\theta}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{2\sqrt{ab}}\)
[ রাঃ২০১১ ]

\(Q.2.(L)\) \(\int_{0}^{1}{\frac{\ln{|x+1|}}{x+1}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}(\ln{2})^2\)
[ ঢাঃবিঃ২০১৪-২০১৫ ]

\(Q.2.(Li)\) \(\int_{1}^{e^2}{\frac{1+\ln{|x|}}{x}dx}\)
উত্তরঃ \(4\)

\(Q.2.(Lii)\) \(\int_{0}^{1}{\frac{dx}{\sqrt{x-x^2}}}\)
উত্তরঃ \(\pi\)
[ বুয়েটঃ২০১৩-২০১৪ ]

\(Q.2.(Liii)\) \(\int_{2}^{5}{\frac{dx}{x^2-4x+13}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{12}\)

\(Q.2.(Liv)\) \(\int_{0}^{1}{\frac{dx}{\sqrt{2x-x^2}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{2}\)
[ ঢাঃবিঃ২০০৮-২০০৯ ]

\(Q.2.(Lv)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos{x}}{\sqrt{4-\sin^2{x}}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{6}\)

\(Q.2.(Lvi)\) \(\int_{2}^{3}{\frac{dx}{9x^2-16}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{24}\ln{\left(\frac{25}{13}\right)}\)

অনুশীলনী \(10.G / Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমুহ
নিচের যোগজগুলির মান নির্ণয় করঃ
\(Q.3.(i)\) \(\int_{0}^{4}{\sqrt{16-x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(4\pi\)
[ সিঃ২০১৩,২০১১,২০০৯,২০০৬,২০০৩; কুঃ২০১১,২০০৩; রাঃ২০০৯,২০০৬,২০০৩; যঃ২০০৮; বঃ২০০৭; চঃ২০০৬ ]

\(Q.3.(ii)\) \(\int_{0}^{5}{\sqrt{25-x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{25\pi}{4}\)
[ রাঃ২০০১১,২০০৩ ]

\(Q.3.(iii)\) \(\int_{-a}^{a}{\sqrt{a^2-x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{a^2\pi}{2}\)
[ রাঃ২০০১১,২০০৩ ]

\(Q.3.(iv)\) \(\int_{-1}^{1}{x^2\sqrt{4-x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
[ ঢাঃ২০০৮; চঃ২০০৩; যঃ২০০৯,২০০৫;বঃ২০০৮ ]

\(Q.3.(v)\) \(\int_{0}^{2a}{\sqrt{2ax-x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{a^2\pi}{2}\)
[ রাঃ২০০১১,২০০৩ ]

\(Q.3.(vi)\) \(\int_{-1}^{1}{\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\pi\)

\(Q.3.(vii)\) \(\int_{0}^{a}{\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{a(\pi+2)}{2}\)

\(Q.3.(viii)\) \(\int_{1}^{4}{\ln{|x|}dx}\)
উত্তরঃ \(8\ln{(2)}-3\)
[ কুঃ২০০৪ ]

\(Q.3.(ix)\) \(\int_{0}^{1}{\ln{(x^2+1)}dx}\)
উত্তরঃ \(\ln{2}+\frac{\pi}{2}-2\)
[ ঢাঃ২০০৭ ]

\(Q.3.(x)\) \(\int_{1}^{4}{\frac{\ln{|x|}}{\sqrt{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\ln{2}-4\)
[ ঢাঃ২০১২ ]

\(Q.3.(xi)\) \(\int_{1}^{e}{\ln{|x|}dx}\)
উত্তরঃ \(1\)
[ বুয়েটঃ২০০৫-২০০৬ ]

\(Q.3.(xii)\) \(\int_{1}^{\sqrt{e}}{x\ln{|x|}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{4}\)
[ রাঃ২০১৪; যঃ২০০৪ ]

\(Q.3.(xiii)\) \(\int_{2}^{4}{\ln{|2x|}dx}\)
উত্তরঃ \(8\ln{2}-2\)
[ বঃ২০০৯ ]

\(Q.3.(xiv)\) \(\int_{0}^{1}{\ln{|x|}dx}\)
উত্তরঃ \(-1\)
[ রাঃ২০১৭ ]

\(Q.3.(xv)\) \(\int_{0}^{3}{\frac{xe^x}{3(x+1)^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}\left(\frac{e^2}{4}-1\right)\)
[ রাঃ২০১৭ ]

\(Q.3.(xvi)\) \(\int_{0}^{1}{\frac{xe^x}{(x+1)^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{e}{2}-1\)
[ যঃ২০১৭ ]

\(Q.3.(xvii)\) \(\int_{0}^{1}{2x^3e^{-x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(1-\frac{2}{e}\)

\(Q.3.(xviii)\) \(\int_{0}^{1}{xe^{-3x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{9}(1-4e^{-3})\)
[ দিঃ২০১০; সিঃ২০০৩]

\(Q.3.(xix)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{x^2\cos{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi^2}{4}-2\)
[ চঃ২০০৭; ঢাঃ২০০৬; কুঃ২০০৪ ]

\(Q.3.(xx)\) \(\int_{0}^{\pi}{x^2\sin{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\pi^2+4\)

\(Q.3.(xxi)\) \(\int_{0}^{1}{\sin^{-1}{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{2}-1\)

\(Q.3.(xxii)\) \(\int_{1}^{\sqrt{3}}{x\tan^{-1}{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{12}(5\pi-6\sqrt{3}+6)\)
[ বঃ২০১৩; রাঃ,চঃ২০১২,২০০৮; দিঃ২০১২; যঃ২০১১ ]

\(Q.3.(xxiii)\) \(\int_{0}^{2}{(x-2)\tan^{-1}{(x-2)}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{5}{2}\tan^{-1}{(2)}-1\)
[ সিঃ২০১৭ ]

\(Q.3.(xxiv)\) \(\int_{1}^{\sqrt{3}}{x\cot^{-1}{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{12}(\pi+6\sqrt{3}-6)\)
[ বুয়েটঃ২০০৯ ]

\(Q.3.(xxv)\) \(\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{dx}{1+\sin{x}-\cos{x}}}\)
উত্তরঃ \(\ln{\left(\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)}\)
[ বুয়েটঃ২০১১-২০১২ ]

\(Q.3.(xxvi)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{dx}{\sin{x}+\cos{x}}}\)
উত্তরঃ \(-\sqrt{2}\ln{(\sqrt{2}-1)}\)
[ কুয়েটঃ২০১৩-২০১৪; বুটেক্সঃ২০০১-২০০২ ]

\(Q.3.(xxvii)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin^3{x}\sqrt{\cos{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{8}{21}\)
[ চঃ২০১৩,২০০৯; বঃ,সিঃ২০১৩; যঃ২০১০; রাঃ২০০৮ ]

\(Q.3.(xxviii)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos^3{x}\sqrt{\sin{x}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{8}{21}\)
[ ঢাঃ২০১৪,২০০৬,২০০৪; রাঃ২০১৪; কুঃ২০১৩,২০১১,২০০৭; দিঃ২০১১; চঃ২০০৭,২০০৩; সিঃ২০১১,২০০৮,২০০৪; যঃ২০১২; বঃ২০১১,২০০৯,২০০৭,২০০৫ ]

\(Q.3.(xxix)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos^3{\theta}\sqrt[3]{\sin{\theta}}d\theta}\)
উত্তরঃ \(\frac{9}{20}\)
[ বঃ২০১৭ ]

\(Q.3.(xxx)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos^3{\theta}}{\sqrt{\sin{\theta}}}d\theta}\)
উত্তরঃ \(\frac{8}{5}\)
[ রাঃ২০১২; চঃ,বঃ২০১০ ]

\(Q.3.(xxxi)\) \(\int_{0}^{\pi}{\frac{xdx}{1+\sin{x}}}\)
উত্তরঃ \(\pi\)

\(Q.3.(xxxii)\) \(\int_{8}^{15}{\frac{dx}{(x-3)\sqrt{x+1}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\ln{\left(\frac{5}{3}\right)}\)

\(Q.3.(xxxiii)\) \(\int_{\frac{1}{2}}^{1}{\frac{dx}{x\sqrt{4x^2-1}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{3}\)
[ বুয়েটঃ২০০৪ ]

\(Q.3.(xxxiv)\) \(\int_{1}^{2}{\frac{dx}{x^2\sqrt{4-x^2}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)
[ বুয়েটঃ২০০৪ ]

\(Q.3.(xxxv)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}{\frac{dx}{1-\tan^2{x}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{12}+\frac{1}{4}\ln{(2+\sqrt{3})}\)
[ বুয়েটঃ২০০৮; বঃ২০১৫ ]

\(Q.3.(xxxvi)\) \(\int_{0}^{\infty}{e^{-2x}\cos{4x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{10}\)
[ কুয়েটঃ২০১৩-২০১৪ ]

\(Q.3.(xxxvii)\) \(\int_{2}^{3}{\frac{dx}{2(x-1)\sqrt{x^2-2x}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{6}\)
[ বুয়েটঃ২০০১-২০০২,২০০৩-২০০৪ ]

\(Q.3.(xxxviii)\) \(\int_{2}^{e}{\left\{\frac{1}{\ln{|x|}}-\frac{1}{(\ln{|x|})^2}\right\}}\)
উত্তরঃ \(e-\frac{2}{\ln{2}}\)
[ বুয়েটঃ২০০৩-২০০৪; বিআইটিঃ১৯৯৮-১৯৯৫ ]

\(Q.3.(xxxix)\) \(\int_{0}^{a}{\frac{a^2-x^2}{(a^2+x^2)^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2a}\)
[ বুয়েটঃ২০০০-২০০১ ]

\(Q.3.(xL)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos{x}}{(1+\sin{x})(2+\sin{x})}dx}\)
উত্তরঃ \(\ln{\left(\frac{4}{3}\right)}\)
[ কুয়েটঃ২০০৯-২০১০; বিআইটিঃ১৯৯৭-১৯৯৮ ]

\(Q.3.(xLi)\) \(\int_{0}^{\pi}{x\sin^2{x}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi^2}{4}\)
[ বুয়েটঃ২০০৫ ]

\(Q.3.(xLii)\) \(\int_{0}^{a}{\sqrt{a^2-x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{4}\pi{a^2}\)
[ ঢাঃ২০১১; চঃ২০১২ ]

\(Q.3.(xLiii)\) \(\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{(\sin{x}+\cos{x})^2dx}\)
উত্তরঃ \(\pi\)

\(Q.3.(xLiv)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{(\sin{\theta}+\cos{\theta})d\theta}\)
উত্তরঃ \(2\)
[ চঃ২০০৪ ]

\(Q.3.(xLv)\) \(\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}{(1+\sin{2\theta})d\theta}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{2}-1\)

\(Q.3.(xLvi)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos{x}}{(1+\sin{x})^3}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{3}{8}\)
[ দিঃ২০১৪ ]

\(Q.3.(xLvii)\) \(\int_{0}^{\frac{1}{2}}{\frac{dx}{(1-2x^2)\sqrt{1-x^2}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\ln{(2+\sqrt{3})}\)

\(Q.3.(xLviii)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\sec{x}\sqrt{\frac{1-\sin{x}}{1+\sin{x}}}dx}\)
উত্তরঃ \(2-\sqrt{2}\)

\(Q.3.(iL)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sqrt{\sin{x}}}{\sqrt{\sin{x}}+\sqrt{\cos{x}}}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{4}\)

\(Q.3.(L)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{dx}{1+\tan{x}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{4}\)

\(Q.3.(Li)\) \(\int_{8}^{27}{\frac{dx}{x-x^{\frac{1}{3}}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{3}{2}\ln{\left(\frac{8}{3}\right)}\)
[ যঃ২০১৪ ]

\(Q.3.(Lii)\) \(\int_{0}^{4}{f(x)dx}=5\) হয় তবে \(\int_{1}^{5}{f(x-1)dx}\) এর মাণ কত?
উত্তরঃ \(5\)
[ ঢাঃবিঃ২০০৭-২০০৮ ]

\(Q.3.(Liii)\) \(\int_{0}^{1}{\frac{1-x}{1+x}dx}\)
উত্তরঃ \(\ln{\left(\frac{4}{e}\right)}\)
[ যঃ২০০৪; বঃ২০০৪,২০০৩; মাঃ২০১০ ]

\(Q.3.(Liv)\) \(\int_{0}^{16}{\frac{x^{\frac{1}{4}}}{1+x^{\frac{1}{2}}}dx}\)
উত্তরঃ \(4\left(\frac{2}{3}+\tan^{-1}{(2)}\right)\)

\(Q.3.(Lv)\) \(\int_{1}^{3}{\frac{x-3}{x^3+x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(4\ln{\left(\frac{3}{2}\right)}-2\)

\(Q.3.(Lvi)\) \(\int_{0}^{2}{\frac{x^4+1}{x^2+1}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{3}+2\tan^{-1}{(2)}\)

\(Q.3.(Lvii)\) \(\int_{0}^{3}{\frac{dx}{(2+x^2)^{\frac{3}{2}}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{3\sqrt{11}}{22}\)

\(Q.3.(Lviii)\) দেখাও যে, \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{d\theta}{a^2\sin^2{\theta}+b^2\cos^2{\theta}}}=\frac{\pi}{2ab}\)
[ রাঃ ২০১১ ]

\(Q.3.(Lix)\) দেখাও যে, \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{(a\cos^2{\theta}+b\sin^2{\theta})d\theta}=\frac{1}{4}(a+b)\pi\)
[ চঃ ২০০৩ ]

\(Q.3.(Lx)\) \(\int_{0}^{\sqrt{2}}{\frac{x^2}{(4-x^2)^{\frac{3}{2}}}dx}\)
উত্তরঃ \(1-\frac{\pi}{4}\)

\(Q.3.(Lxi)\) \(\int_{1}^{15}{\frac{x+2}{(x+1)(x+3)}dx}\)
উত্তরঃ \(\ln{(6)}\)

\(Q.3.(Lxii)\) \(\int_{0}^{\frac{a}{2}}{\frac{1}{a^2-x^2}dx}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2a}\ln{3}\)

Please leave your question below

2 Question(s)
imonhaider
October 29, 2019, 12:15 am
\[\frac{d}{dx}(e^{x^2})=?\]
Reply
Tanmoy
October 28, 2019, 11:53 pm
\[\int{\frac{dx}{1+x^2}}=? \]
Reply

Post List

MATH. LIST
Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Trigonometry 11 and 12 standard
Statistics 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard
Vector 11 and 12 standard
Vector Honours course standard