Post -Learn Mathematics

\(x=a, x=b, y=f(x)\) এবং \(y=0\) এ চারটি রেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে \(n\) সমানভাবে বিভক্ত করলে এবং প্রতিটি ভাগের দূরত্ব \(h\) হলে \(nh=b-a\) হবে। এখন \(nh=b-a\) হলে, \[\lim_{a \rightarrow b}h\{f(a)+f(a+h)+f(a+2h)+f(a+3h)+..\] \[........+f(a+\overline{n-1}.h)\}\] কে নির্দিষ্ট যোগজ বলে। যাকে \(\int_{a}^{b}{f(x)dx}\) প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
\(\therefore \int_{a}^{b}{f(x)dx}\) \[=\lim_{a \rightarrow b}h\{f(a)+f(a+h)+f(a+2h)+f(a+3h)+..\] \[........+f(a+\overline{n-1}.h)\}\]

Proof:

ধরি,
\(x=a\) সরলরেখা \(y=f(x)\) বক্ররেখাকে \(B_{0}\) বিন্দুতে এবং \(x\)-অক্ষরেখাকে \(A_{0}\) বিন্দুতে ছেদ করে। এবং \(x=b\) সরলরেখা উক্ত বক্ররেখা এবং \(x\)-অক্ষরেখাকে যথাক্রমে \(B_{n}\) এবং \(A_{n}\) বিন্দুতে ছেদ করে। অতএব, \(y=f(x)\) বক্ররেখা \(x=a, x=b\) এবং \(y=0\) কতৃক গঠিত ক্ষেত্র \(A_{0}A_{n}B_{n}B_{0}\) এবং মনে করি, এর ক্ষেত্রফল \(S\). এখন \(A_{0}A_{n}\) রেখাংশকে \(A_{1} A_{2} A_{3} ......... A_{n}\) বিন্দু দ্বারা সমান \(n\) ভাগে ভাগ করি যেন \(A_{0}A_{n}=nh\) হয়, অর্থাৎ \(b-a=nh\) হয়। \(x=a\) এর সমান্তরাল করে \(A_{1} A_{2} A_{3} ......... A_{n}\) বিন্দুগুলির মধ্যদিয়ে অঙ্কিত রেখাগুলি \(y=f(x)\) বক্ররেখাকে যথাক্রমে \(B_{1} B_{2} B_{3} ......... B_{n}\) বিন্দুতে ছেদ করে।
int-image

এখানে,
\(B_{0}\) বিন্দুর ভুজ \(=a\) এবং কটি \(=A_{0}B_{0}=f(a)\).
\(B_{1}\) বিন্দুর ভুজ \(=a+h\) এবং কটি \(A_{1}B_{1}=f(a+h)\).
\(B_{2}\) বিন্দুর ভুজ \(=a+2h\) এবং কটি \(A_{2}B_{2}=f(a+2h)\) ইত্যাদি।
আবার ধরি,
\(S_{n}= A_{0}B_{0}.A_{0}A_{1}+A_{1}B_{1}.A_{1}A_{2}+A_{2}B_{2}.A_{2}A_{3}+ ....... +A_{n-1}B_{n-1}.A_{n-1}A_{n}\)
\(= f(a).h+f(a+h).h+f(a+2h).h+ ....... +f(a+\overline{n-1}.h).h\)
\(=h\{f(a)+f(a+h)+f(a+2h)+ ....... +f(a+\overline{n-1}.h)\}\)
\(h\) অতি ক্ষুদ্র হলে, \(B_{0}A_{0}A_{1}B_{1}, B_{1}A_{1}A_{2}B_{2} ..... \) ক্ষেত্রগুলি আয়তক্ষেত্রের আকার ধারণ করে।
অতএব, \(n\rightarrow\infty\) হলে \(n\rightarrow 0\) হবে এবং এক্ষেত্রে
\(A_{0}A_{n}B_{n}B_{0}\) এর ক্ষেত্রফল \[=\lim_{a \rightarrow b}h\{f(a)+f(a+h)+f(a+2h)+f(a+3h)+ ..........+f(a+\overline{n-1}.h)\}\] হবে।
এ সীমাস্থ মানকে নির্দিষ্ট যোগজ বলে, যাকে \(\int_{a}^{b}{f(x)dx}\) প্রতীক দ্বারা সূচিত করা হয়।
\(\therefore \int_{a}^{b}{f(x)dx}\) \[=\lim_{a \rightarrow b}h\{f(a)+f(a+h)+f(a+2h)+f(a+3h)+ ..........+f(a+\overline{n-1}.h)\}\]
(proved)

\((3.)\) \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তীয়ক্ষেত্রের যে অংশ \(x=\frac{a}{2}\) জ্যা দ্বারা খন্ডিত তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{a^2}{12}\left(4\pi-3\sqrt{3}\right)\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

\(x^2+y^2=a^2 .....(1)\)
প্রদত্ত বৃত্তের কেন্দ্র \((0,0)\) এবং ব্যাসার্ধ \(a\); এবং \(OD=\frac{a}{2}\)
\((1)\) নং সমীকরণ হতে, \(y=\sqrt{a^2-x^2}\)
int-image

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল \(=BC\) রেখাংশ ও \(BAC\) বৃত্তচাপ দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=BDCA\) বৃত্তীয় ক্ষেত্রাংশের ক্ষেত্রফল
\(=2\times{ABD}\) বৃত্তীয় ক্ষেত্রাংশের ক্ষেত্রফল \(=2\int_{\frac{a}{2}}^{a}{ydx}\)
\(=2\int_{\frac{a}{2}}^{a}{\sqrt{a^2-x^2}dx}\) ➜
\(=2\left[\frac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2}+\frac{a^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{a}\right)}\right]_{\frac{a}{2}}^{a}\) ➜
\(=2\left[\frac{a\sqrt{a^2-a^2}}{2}+\frac{a^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{a}{a}\right)}-\frac{\frac{a}{2}.\sqrt{a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}}{2}-\frac{a^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{\frac{a}{2}}{a}\right)}\right]\)
\(=2\left[\frac{a.0}{2}+\frac{a^2}{2}\sin^{-1}{(1)}-\frac{a}{2}\times{\frac{1}{2}}\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}-\frac{a^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{a}{2}\times{\frac{1}{a}}\right)}\right]\)
\(=2\left[\frac{0}{2}+\frac{a^2}{2}\sin^{-1}{\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}}-\frac{a}{4}\sqrt{\frac{4a^2-a^2}{4}}-\frac{a^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{1}{2}\right)}\right]\)
\(=2\left[0+\frac{a^2}{2}\times{\frac{\pi}{2}}-\frac{a}{4}\times{\frac{\sqrt{3}a}{2}}-\frac{a^2}{2}\sin^{-1}{\sin{\left(\frac{\pi}{6}\right)}}\right]\)
\(=2\left[\frac{\pi{a^2}}{4}-\frac{\sqrt{3}a^2}{8}-\frac{a^2}{2}\times{\frac{\pi}{6}}\right]\)
\(=2\left[\frac{\pi{a^2}}{4}-\frac{\sqrt{3}a^2}{8}-\frac{\pi{a^2}}{12}\right]\)
\(=2\left[\frac{\pi{a^2}}{4}-\frac{\pi{a^2}}{12}-\frac{\sqrt{3}a^2}{8}\right]\)
\(=2\left[\frac{3\pi{a^2}-\pi{a^2}}{12}-\frac{\sqrt{3}a^2}{8}\right]\)
\(=2\left[\frac{2\pi{a^2}}{12}-\frac{\sqrt{3}a^2}{8}\right]\)
\(=2\left[\frac{\pi{a^2}}{6}-\frac{\sqrt{3}a^2}{8}\right]\)
\(=\frac{\pi{a^2}}{3}-\frac{\sqrt{3}a^2}{4}\)
\(=\frac{a^2}{12}(4\pi-3\sqrt{3})\) বর্গ একক।

\((4.)\) \(y=\frac{1}{2}x^2+1\) বক্ররেখা এবং তার উপকেন্দ্রিক লম্ব দ্বারা বেষ্টিত ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{2}{3}\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

\(y=\frac{1}{2}x^2+1\)
\(\Rightarrow 2y=x^2+2\)
\(\Rightarrow 2y-2=x^2\)
\(\Rightarrow x^2=2y-2\)
\(\Rightarrow x^2=2(y-1)\)
\(\therefore x^2=4\times{\frac{1}{2}}(y-1)\)
int-image

প্রদত্ত সমীকরণটি একটি পরাবৃত্ত পরাবৃত্তের সমীকরণ \(x^2=4ay \ (a>0)\)
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(0, 0)\)
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(S(0, a)\)
নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(y=-a\)
অক্ষরেখার সমীকরণ \(x=0\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(y=a\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য্য \(= |4a|\)
শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \(y=0\)
নিয়ামকরেখার পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(Z(0, -a)\)
নির্দেশ করে যার শীর্ষ \(A(0,1)\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য্য \(=4\times{\frac{1}{2}}\)
\(=2\)
\(y\)-অক্ষই এ পরাবৃত্তের অক্ষরেখা এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ,
\(y-1=\frac{1}{2}\) ➜
\(\Rightarrow y=1+\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow y=\frac{2+1}{2}\)
\(\therefore y=\frac{3}{2}\)
যেহেতু পরাবৃত্ত তার অক্ষ সাপেক্ষে প্রতিসম
সুতরাং নির্ণেয় \(ABC\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=2\times{ASB}\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=2\int_{1}^{\frac{3}{2}}{xdy}\)
\(=2\int_{1}^{\frac{3}{2}}{\sqrt{2(y-1)}dy}\) ➜
\(=2\int_{1}^{\frac{3}{2}}{\sqrt{2(y-1)}dy}\)
\(=2\sqrt{2}\int_{1}^{\frac{3}{2}}{\sqrt{(y-1)}dy}\)
\(=2\sqrt{2}\int_{1}^{\frac{3}{2}}{(y-1)^{\frac{1}{2}}dy}\)
\(=2\sqrt{2}\left[\frac{(y-1)^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}\right]_{1}^{\frac{3}{2}}\) ➜
\(=2\sqrt{2}\left[\frac{(y-1)^{\frac{1+2}{2}}}{\frac{1+2}{2}}\right]_{1}^{\frac{3}{2}}\)
\(=2\sqrt{2}\left[\frac{(y-1)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]_{1}^{\frac{3}{2}}\)
\(=2\sqrt{2}\times{\frac{2}{3}}\left[(y-1)^{\frac{3}{2}}\right]_{1}^{\frac{3}{2}}\)
\(=\frac{4\sqrt{2}}{3}\left[\left(\frac{3}{2}-1\right)^{\frac{3}{2}}-(1-1)^{\frac{3}{2}}\right]\)
\(=\frac{4\sqrt{2}}{3}\left[\left(\frac{3-2}{2}\right)^{\frac{3}{2}}-(0)^{\frac{3}{2}}\right]\)
\(=\frac{4\sqrt{2}}{3}\left[\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{3}{2}}-0\right]\)
\(=\frac{4\sqrt{2}}{3}\times{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{3}}\)
\(=\frac{4\sqrt{2}}{3}\times{\frac{1}{(\sqrt{2})^3}}\)
\(=\frac{4\sqrt{2}}{3}\times{\frac{1}{(\sqrt{2})^2\sqrt{2}}}\)
\(=\frac{4\sqrt{2}}{3}\times{\frac{1}{2\sqrt{2}}}\)
\(=\frac{2}{3}\) বর্গ একক।

\((5.)\) \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তীয় ক্ষেত্রের যে অংশ ধনাত্মক, বৃহৎ অক্ষ ও ক্ষুদ্র অক্ষ দ্বারা বেষ্টিত তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর এবং তা থেকে সমগ্র উপবৃত্তীয় ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(ab\pi\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
int-image

প্রদত্ত সমীকরণটি একটি উপবৃত্ত
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \ (a>b)\)
উপবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(C(0, 0)\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2a|\)
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2b|\)
বৃহদাক্ষের সমীকরণ \(y=0\)
ক্ষুদ্রাক্ষের সমীকরণ \(x=0\)
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\pm ae, 0)\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x=\pm \frac{a}{e}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(= |\frac{2b^2}{a}|\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(x=\pm ae\)
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\pm a, 0)\)
নিয়ামকরেখার পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\pm \frac{a}{e}, 0)\)
উপকেন্দ্রের মধ্যকার দূরত্ব \(=|2ae|\)
নিয়ামকদ্বয়ের মধ্যকার দূরত্ব \(=|\frac{2a}{e}|\)
একই দিকের উপকেন্দ্র ও অনুরূপ নিয়ামকরেখার মধ্যকার দূরত্ব \(|\frac{a}{e}-ae|\)
নির্দেশ করে যার কেন্দ্র \(O(0,0)\) এবং বৃহৎ অক্ষ ও ক্ষুদ্র অক্ষের দৈর্ঘ্য্য যথাক্রমে \(2a\) এবং
\(2b\) যা দ্বারা অক্ষ দ্বয়ের ধনাত্মক অংশের ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(A(a, 0)\) ও \(B(0, b)\)।
তাহলে \(AOB\) অংশের ক্ষেত্রফল \(=\) উপবৃত ও \(x\) অক্ষ এবং \(y\) অক্ষ দ্বারা বেষ্টিত ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল।
\(=\int_{0}^{a}{ydx}\)
\(=\int_{0}^{a}{\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}dx}\) ➜
\(=\frac{b}{a}\int_{0}^{a}{\sqrt{a^2-x^2}dx}\)
\(=\frac{b}{a}\left[\frac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2}+\frac{a^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{a}\right)}\right]_{0}^{a}\) ➜
\(=\frac{b}{a}\left[\frac{a\sqrt{a^2-a^2}}{2}+\frac{a^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{a}{a}\right)}-\frac{0.\sqrt{a^2-0^2}}{2}-\frac{a^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{0}{a}\right)}\right]\)
\(=\frac{b}{a}\left[\frac{a\sqrt{0}}{2}+\frac{a^2}{2}\sin^{-1}{(1)}-\frac{0}{2}-\frac{a^2}{2}\sin^{-1}{(0)}\right]\)
\(=\frac{b}{a}\left[\frac{a.0}{2}+\frac{a^2}{2}\sin^{-1}{\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}}-0-\frac{a^2}{2}\sin^{-1}{\sin{0}}\right]\)
\(=\frac{b}{a}\left[\frac{0}{2}+\frac{a^2}{2}\times{\frac{\pi}{2}}-\frac{a^2}{2}\times{0}\right]\)
\(=\frac{b}{a}\left[0+\frac{\pi{a^2}}{4}-0\right]\)
\(=\frac{ab\pi}{4}\)
যেহেতু উপবৃত্তটি তার অক্ষ সাপেক্ষে প্রতিসম
সুতরাং সমগ্র উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল \(=4\times{AOB}\) অংশের ক্ষেত্রফল
\(=4\times{\frac{ab\pi}{4}}\)
\(=ab\pi\) বর্গ একক।

\((6.)\) \(x^2+y^2=2ax\) এবং \(y^2=ax\) বক্ররেখাদ্বয় দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a^2\left(\frac{\pi}{2}-\frac{4}{3}\right)\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

\(x^2+y^2=2ax\)
int-image

বৃত্তের কেন্দ্র \((a,0)\) এবং ব্যাসার্ধ \(a\) এবং \(y^2=ax\) পরাবৃত্তের শীর্ষ \((0, 0)\) অক্ষরেখা \(x\) অক্ষ । প্রদত্ত বক্ররেখাদ্বয়ের যে অংশ \(x=0, x=a\) কোটিদ্বয়ের মধ্যে আবদ্ধ ১ম চতুর্ভাগের অংশের ক্ষেত্রফল \(=\int_{0}^{a}{(y_{1}-y_{2})dx}\)
\(=\int_{0}^{a}{(\sqrt{2ax-x^2}-\sqrt{ax})dx}\) ➜
\(=\int_{0}^{a}{\sqrt{2ax-x^2}dx}-\int_{0}^{a}{\sqrt{ax}dx}\)
\(=\int_{0}^{a}{\sqrt{a^2-a^2+2ax-x^2}dx}-\sqrt{a}\int_{0}^{a}{\sqrt{x}dx}\)
\(=\int_{0}^{a}{\sqrt{a^2-(x-a)^2}dx}-\sqrt{a}\int_{0}^{a}{x^{\frac{1}{2}}dx}\)
\(=\left[\frac{(x-a)\sqrt{a^2-(x-a)^2}}{2}+\frac{a^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x-a}{a}\right)}\right]_{0}^{a}-\sqrt{a}\left[\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}\right]_{0}^{a}\) ➜
\(=\left[\frac{(a-a)\sqrt{a^2-(a-a)^2}}{2}+\frac{a^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{a-a}{a}\right)}-\frac{(0-a)\sqrt{a^2-(0-a)^2}}{2}-\frac{a^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{0-a}{a}\right)}\right]-\sqrt{a}\left[\frac{x^{\frac{1+2}{2}}}{\frac{1+2}{2}}\right]_{0}^{a}\)
\(=\frac{0.\sqrt{a^2-0^2}}{2}+\frac{a^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{0}{a}\right)}-\frac{(-a)\sqrt{a^2-a^2}}{2}-\frac{a^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{-a}{a}\right)}-\sqrt{a}\left[\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{a}\)
\(=\frac{0}{2}+\frac{a^2}{2}\sin^{-1}{(0)}-\frac{(-a)\sqrt{0}}{2}-\frac{a^2}{2}\sin^{-1}{(-1)}-\sqrt{a}\times{\frac{2}{3}}\left[x^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{a}\)
\(=0+\frac{a^2}{2}\sin^{-1}{\sin{0}}-\frac{0}{2}+\frac{a^2}{2}\sin^{-1}{(1)}-\frac{2\sqrt{a}}{3}\left[a^{\frac{3}{2}}-0^{\frac{3}{2}}\right]\)
\(=\frac{a^2}{2}\times{0}-0+\frac{a^2}{2}\sin^{-1}{\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}}-\frac{2\sqrt{a}}{3}\left[(\sqrt{a})^{3}-0\right]\)
\(=0+\frac{a^2}{2}\times{\frac{\pi}{2}}-\frac{2\sqrt{a}}{3}\left[(\sqrt{a})^{2}\sqrt{a}\right]\)
\(=\frac{a^2\pi}{4}-\frac{2\sqrt{a}}{3}\times{a\sqrt{a}}\)
\(=\frac{a^2\pi}{4}-\frac{2a.a}{3}\)
\(=\frac{a^2\pi}{4}-\frac{2a^2}{3}\)
\(=a^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2}{3}\right)\)
যেহেতু বৃত্ত ও পরাবৃত্ত উভয়েই অক্ষ সাপেক্ষে প্রতিসম
সুতরাং নির্ণেয় ক্ষেত্রফল \(=2\times{a^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2}{3}\right)}\)
\(=a^2\left(\frac{\pi}{2}-\frac{4}{3}\right)\) বর্গ একক।

\((7.)\) \(y^2=4ax\) এবং \(x^2=4ay\) পরাবৃত্ত দুইটি দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{16a^2}{3}\) বর্গ একক।
[ বঃ২০০১৫,২০১৪; দিঃ২০০৯; ঢাঃ,কুঃ২০০৮; সিঃ২০১৫,২০০৮; রাঃ২০১৩ ]

সমাধানঃ

প্রদত্ত পরাবৃত্তদ্বয় যথাক্রমে
\(y^2=4ax .......(1)\)
এবং \(x^2=4ay .....(2)\)
int-image

পরাবৃত্তদ্বয়ের ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((2)\) নং থেকে \(y\) এর মাণ \((1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে
\(\left(\frac{x^2}{4a}\right)^2=4ax\)
\(\Rightarrow \frac{x^4}{16a^2}=4ax\)
\(\Rightarrow x^4=64a^3x\)
\(\Rightarrow x^4-64a^3x=0\)
\(\Rightarrow x(x^3-64a^3)=0\)
\(\Rightarrow x=0, x^3-64a^3=0\)
\(\Rightarrow x=0, x^3=64a^3\)
\(\Rightarrow x=0, x^3=(4a)^3\)
\(\therefore x=0, x=4a\)
\((2)\) নং থেকে
\(x=0, x=4a \Rightarrow y=0, y=4a\)
\(\therefore\) পরাবৃত্তদ্বয়ের ছেদবিন্দুদ্বয় \(O(0, 0)\) ও \(B(4a, 4a)\)
পরাবৃত্তের দ্বারা নির্ণেয় আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=\int_{0}^{4a}{(y_{1}-y_{2})dx}\)
\(=\int_{0}^{4a}{(2\sqrt{a}\sqrt{x}-\frac{x^2}{4a})dx}\) ➜
\(=\int_{0}^{4a}{2\sqrt{a}\sqrt{x}dx}-\int_{0}^{4a}{\frac{x^2}{4a}dx}\)
\(=2\sqrt{a}\int_{0}^{4a}{\sqrt{x}dx}-\frac{1}{4a}\int_{0}^{4a}{x^2dx}\)
\(=2\sqrt{a}\int_{0}^{4a}{x^{\frac{1}{2}}dx}-\frac{1}{4a}\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{4a}\) ➜
\(=2\sqrt{a}\left[\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}\right]_{0}^{4a}-\frac{1}{12a}\left[x^3\right]_{0}^{4a}\) ➜
\(=2\sqrt{a}\left[\frac{x^{\frac{1+2}{2}}}{\frac{1+2}{2}}\right]_{0}^{4a}-\frac{1}{12a}\left[(4a)^3-0^3\right]\)
\(=2\sqrt{a}\left[\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{4a}-\frac{1}{12a}\left[64a^3-0\right]\)
\(=2\sqrt{a}\times{\frac{2}{3}}\left[x^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{4a}-\frac{1}{12a}\times{64a^3}\)
\(=2\sqrt{a}\times{\frac{2}{3}}\left[(4a)^{\frac{3}{2}}-0^{\frac{3}{2}}\right]-\frac{16a^2}{3}\)
\(=\frac{4\sqrt{a}}{3}\left[(2\sqrt{a})^{3}-0\right]-\frac{16a^2}{3}\)
\(=\frac{4\sqrt{a}}{3}\times{8(\sqrt{a})^{2}\sqrt{a}}-\frac{16a^2}{3}\)
\(=\frac{4\sqrt{a}}{3}\times{8a\sqrt{a}}-\frac{16a^2}{3}\)
\(=\frac{32a.a}{3}-\frac{16a^2}{3}\)
\(=\frac{32a^2}{3}-\frac{16a^2}{3}\)
\(=\frac{32a^2-16a^2}{3}\)
\(=\frac{16a^2}{3}\) বর্গ একক।

\((8.)\) \(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{25}=1\), \(x=3\); \(f(x)=xe^x\), \(g(x)=(x+1)^3\)
ক. \(\cot{x}=\frac{1}{9}\) হলে, \(\sec{2x}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
খ. \(\int_{0}^{3}{\frac{f(x)}{\frac{d}{dx}\{g(x)\}}dx}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
গ. উদ্দিপকের উপবৃত্ত এবং সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(\frac{41}{40}\),
খ. \(\frac{1}{3}\left(\frac{e^3}{4}-1\right)\),
গ. \(5\left(2\pi-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

ক. দেওয়া আছে,
\(\cot{x}=\frac{1}{9}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\tan{x}}=\frac{1}{9}\)
\(\Rightarrow \tan{x}=9\)
\(\Rightarrow \tan^2{x}=9^2\)
\(\therefore \tan^2{x}=81\)
আমরা জানি,
\(\sec{2x}=\frac{1}{cos{2x}}\)
\(=\frac{1}{\frac{1-\tan^2{x}}{1+\tan^2{x}}}\) ➜
\(=\frac{1+\tan^2{x}}{1-\tan^2{x}}\)
\(=\frac{1+81}{1-81}\) ➜
\(=\frac{82}{-80}\)
\(=-\frac{41}{40}\)
খ. দেওয়া আছে,
\(x=3\)
\(f(x)=xe^x\)
\(g(x)=(x+1)^3\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{g(x)\}=\frac{d}{dx}(x+1)^3\)
\(=3(x+1)^{3-1}\) ➜
\(=3(x+1)^{2}\)
এখন,
\(\int_{0}^{3}{\frac{f(x)}{\frac{d}{dx}\{g(x)\}}dx}\)
\(=\int_{0}^{3}{\frac{xe^x}{3(x+1)^{2}}dx}\) ➜
\(=\frac{1}{3}\int_{0}^{3}{\frac{xe^x}{(x+1)^2}dx}\)
\(=\frac{1}{3}\int_{0}^{3}{\frac{e^x(x+1)-e^x}{(x+1)^2}dx}\)
\(=\frac{1}{3}\int_{0}^{3}{\left\{\frac{e^x(x+1)}{(x+1)^2}-\frac{e^x}{(x+1)^2}\right\}dx}\)
\(=\frac{1}{3}\int_{0}^{3}{\left\{\frac{e^x}{x+1}-\frac{e^x}{(x+1)^2}\right\}dx}\)
\(=\frac{1}{3}\int_{0}^{3}{\frac{e^x}{x+1}dx}-\frac{1}{3}\int_{0}^{3}{\frac{e^x}{(x+1)^2}dx}\)
\(=\frac{1}{3}\int_{0}^{3}{\frac{1}{x+1}e^xdx}-\frac{1}{3}\int_{0}^{3}{\frac{e^x}{(x+1)^2}dx}\)

এখানে, LIATE শব্দের
\(A=\frac{1}{x+1}, \ \ E=e^x\)
যেহেতু A, শব্দের মধ্যে E এর পূর্বে আছে, তাই \(\frac{1}{x+1}\) কে \(u\) ধরা হয়েছে।

\(=\frac{1}{3}\left[\frac{1}{x+1}.e^x\right]_{0}^{3}-\frac{1}{3}\int_{0}^{3}{\left\{\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x+1}\right)\int{e^xdx}\right\}dx}-\frac{1}{3}\int_{0}^{3}{\frac{e^x}{(x+1)^2}dx}\) ➜
\(=\frac{1}{3}\left[\frac{1}{3+1}.e^3-\frac{1}{0+1}.e^0\right]-\frac{1}{3}\int_{0}^{3}{\left\{-\frac{1}{(x+1)^2}\right\}e^xdx}-\frac{1}{3}\int_{0}^{3}{\frac{e^x}{(x+1)^2}dx}\) ➜
\(=\frac{1}{3}\left[\frac{1}{3+1}.e^3-\frac{1}{0+1}.e^0\right]+\frac{1}{3}\int_{0}^{3}{\frac{e^x}{(x+1)^2}dx}-\frac{1}{3}\int_{0}^{3}{\frac{e^x}{(x+1)^2}dx}\)
\(=\frac{1}{3}\left[\frac{e^3}{4}-1.1\right]\)
\(=\frac{1}{3}\left(\frac{e^3}{4}-1\right)\)
int-image

গ. উপবৃত্তের সমীকরণ,
\(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{25}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{25}=1-\frac{x^2}{36}\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{25}=\frac{36-x^2}{36}\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{25}=\frac{1}{36}(36-x^2)\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{25}{36}(36-x^2)\)
\(\Rightarrow y=\sqrt{\frac{25}{36}(36-x^2)}\)
\(\Rightarrow y=\frac{5}{6}\sqrt{36-x^2}\)
এবং সরলরেখার সমীকরণ, \(x=3\)
উপবৃত্ত উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \ (a>b)\)
উপবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(C(0, 0)\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2a|\)
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2b|\)
বৃহদাক্ষের সমীকরণ \(y=0\)
ক্ষুদ্রাক্ষের সমীকরণ \(x=0\)
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\pm ae, 0)\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x=\pm \frac{a}{e}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{2b^2}{a}|\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(x=\pm ae\)
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\pm a, 0)\)
নিয়ামকরেখার পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\pm \frac{a}{e}, 0)\)
উপকেন্দ্রের মধ্যকার দূরত্ব \(=|2ae|\)
নিয়ামকদ্বয়ের মধ্যকার দূরত্ব \(=|\frac{2a}{e}|\)
একই দিকের উপকেন্দ্র ও অনুরূপ নিয়ামকরেখার মধ্যকার দূরত্ব \(|\frac{a}{e}-ae|\)

এবং সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল
\(=2\int_{3}^{6}{ydx}\)
\(=2\int_{3}^{6}{\frac{5}{6}\sqrt{36-x^2}dx}\) ➜
\(=2\times{\frac{5}{6}}\int_{3}^{6}{\sqrt{6^2-x^2}dx}\)
\(=\frac{5}{3}\left[\frac{x\sqrt{6^2-x^2}}{2}+\frac{6^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{6}\right)}\right]_{3}^{6}\) ➜
\(=\frac{5}{3}\left[\frac{x\sqrt{36-x^2}}{2}+\frac{36}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{6}\right)}\right]_{3}^{6}\)
\(=\frac{5}{3}\left[\frac{x\sqrt{36-x^2}}{2}+18\sin^{-1}{\left(\frac{x}{6}\right)}\right]_{3}^{6}\)
\(=\frac{5}{3}\left[\frac{6\sqrt{36-6^2}}{2}+18\sin^{-1}{\left(\frac{6}{6}\right)}-\frac{3\sqrt{36-3^2}}{2}-18\sin^{-1}{\left(\frac{3}{6}\right)}\right]\)
\(=\frac{5}{3}\left[\frac{6\sqrt{36-36}}{2}+18\sin^{-1}{(1)}-\frac{3\sqrt{36-9}}{2}-18\sin^{-1}{\left(\frac{1}{2}\right)}\right]\)
\(=\frac{5}{3}\left[\frac{6\sqrt{0}}{2}+18\sin^{-1}{\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}}-\frac{3\sqrt{27}}{2}-18\sin^{-1}{\sin{\left(\frac{\pi}{6}\right)}}\right]\)
\(=\frac{5}{3}\left[\frac{6.0}{2}+18\times{\frac{\pi}{2}}-\frac{3\times{3\sqrt{3}}}{2}-18\times{\frac{\pi}{6}}\right]\)
\(=\frac{5}{3}\left[\frac{0}{2}+9\pi-\frac{9\sqrt{3}}{2}-3\pi\right]\)
\(=\frac{5}{3}\left[0+6\pi-\frac{9\sqrt{3}}{2}\right]\)
\(=\frac{5}{3}\left(6\pi-\frac{9\sqrt{3}}{2}\right)\)
\(=\frac{5}{3}\times{3}\left(2\pi-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\)
\(=5\left(2\pi-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\) বর্গ একক।

\((11.)\) \(f(x)=\sin{x}\) একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন।
ক. উদ্দীপকের ফাংশনটির দ্বারা ১ম চতুর্ভাগে উৎপন্ন একটি লুপের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
খ. \( 4f(x)[1-\{f(x)\}^2]\) ফাংশনটির \(0\le{x}\le{\frac{\pi}{2}}\) ব্যবধিতে লঘু মাণ ও গুরুমান নির্ণয় কর।
গ. \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) ব্যবধিতে \(\int{e^xf(x)dx}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(2\) বর্গ একক;
খ. \(0, \frac{8}{3\sqrt{3}}\);
গ. \(\frac{1}{2}\left(e^{\frac{\pi}{2}}+1\right)\).

সমাধানঃ

ক. ধরি,
\(y=f(x)=\sin{x}\)
যেহেতু \(x=0\) এবং \(x=\pi\) হলে \(y=0\) হয়, কাজেই ফাংশনটির ১ম চতুর্ভাগে ফাঁসটি \(0\) হতে \(\pi\) সীমার মধ্যে অবস্থিত।
int-image

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল \(=\int_{0}^{\pi}{ydx}\)
\(=\int_{0}^{\pi}{\sin{x}dx}\) ➜
\(=\left[-\cos{x}\right]_{0}^{\pi}\) ➜
\(=-\left[\cos{x}\right]_{0}^{\pi}\)
\(=-\left[\cos{\pi}-\cos{0}\right]\)
\(=-\left[-1-1\right]\) ➜
\(=-\left[-2\right]\)
\(=2\) বর্গ একক।
খ. ধরি,
\(y=4f(x)[1-\{f(x)\}^2]\)
\(=4\sin{x}[1-\{\sin{x}\}^2]\) ➜
\(=4\sin{x}[1-\sin^2{x}]\)
\(\therefore y=4\sin{x}\cos^2{x}\) ➜
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=4\frac{d}{dx}(\sin{x}\cos^2{x})\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=4\sin{x}\frac{d}{dx}(\cos^2{x})+4\cos^2{x}\frac{d}{dx}(\sin{x})\) ➜
\(=4\sin{x}.2\cos{x}(-\sin{x})+4\cos^2{x}\cos{x}\) ➜
\(=-8\sin^2{x}\cos{x}+4\cos^3{x}\)
\(=4\cos{x}(\cos^2{x}-2\sin^2{x})\)
\(=4\cos{x}(1-\sin^2{x}-2\sin^2{x})\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=4\cos{x}(1-3\sin^2{x})\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=4\frac{d}{dx}\{\cos{x}(1-3\sin^2{x})\}\)
\(\Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2}=4\cos{x}\frac{d}{dx}(1-3\sin^2{x})+4(1-3\sin^2{x})\frac{d}{dx}(\cos{x})\) ➜
\(=4\cos{x}(0-3.2\sin{x}.\cos{x})+4(1-3\sin^2{x})(-\sin{x})\) ➜
\(=4\cos{x}(-6\sin{x}\cos{x})-4\sin{x}(1-3\sin^2{x})\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=-24\sin{x}\cos^2{x}-4\sin{x}+12\sin^3{x}\)
লঘু মাণ ও গুরু মানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 4\cos{x}(1-3\sin^2{x})=0\) ➜
\(\Rightarrow \cos{x}(1-3\sin^2{x})=0\)
\(\Rightarrow \cos{x}=0, 1-3\sin^2{x}=0\)
\(\Rightarrow \cos{x}=\cos{\frac{\pi}{2}}, -3\sin^2{x}=-1\)
\(\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}, \sin^2{x}=\frac{-1}{-3}\)
\(\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}, \sin^2{x}=\frac{1}{3}\)
\(\therefore x=\frac{\pi}{2}, \sin{x}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
এখন,
\(x=\frac{\pi}{2}\) বিন্দুতে, \(\frac{d^2y}{dx^2}=-24\sin{\frac{\pi}{2}}\cos^2{\frac{\pi}{2}}-4\sin{\frac{\pi}{2}}+12\sin^3{\frac{\pi}{2}}\)
\(=-24.1.0^2-4.1+12.1^3\)
\(=-24.0-4+12.1\)
\(=0-4+12\)
\(=8>0\)
\(\therefore x=\frac{\pi}{2}\) বিন্দুতে, ফাংশনটির লঘু মাণ বিদ্যমান।
\(\therefore\) লঘু মাণ \(=4\sin{\frac{\pi}{2}}\cos^2{\frac{\pi}{2}}\) ➜
\(=4.1.0^2\)
\(=4.0\)
\(=0\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=-24\sin{x}\cos^2{x}-4\sin{x}+12\sin^3{x}\)
\(=-24\sin{x}(1-\sin^2{x})-4\sin{x}+12\sin^3{x}\)
\(=-24\sin{x}+24\sin^3{x}-4\sin{x}+12\sin^3{x}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=-28\sin{x}+36\sin^3{x}\)
এখন,
\(\sin{x}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) বিন্দুতে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=-28\times{\frac{1}{\sqrt{3}}}+36\times{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^3}\) ➜
\(=-\frac{28}{\sqrt{3}}+36\times{\frac{1}{(\sqrt{3})^3}}\)
\(=-\frac{28}{\sqrt{3}}+36\times{\frac{1}{(\sqrt{3})^2\sqrt{3}}}\)
\(=-\frac{28}{\sqrt{3}}+36\times{\frac{1}{3\sqrt{3}}}\)
\(=-\frac{28}{\sqrt{3}}+12\times{\frac{1}{\sqrt{3}}}\)
\(=-\frac{28}{\sqrt{3}}+\frac{12}{\sqrt{3}}\)
\(=\frac{-28+12}{\sqrt{3}}\)
\(=\frac{-16}{\sqrt{3}}\)
\(=-\frac{16}{\sqrt{3}}<0\)
\(\therefore \sin{x}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) বিন্দুতে, ফাংশনটির গুরু মাণ বিদ্যমান।
\(\therefore\) গুরু মাণ \(=4\times{\frac{1}{\sqrt{3}}}\left\{1-\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2\right\}\) ➜
\(=\frac{4}{\sqrt{3}}\{1-\frac{1}{3}\}\)
\(=\frac{4}{\sqrt{3}}\times{\frac{3-1}{3}}\)
\(=\frac{4}{\sqrt{3}}\times{\frac{2}{3}}\)
\(=\frac{8}{3\sqrt{3}}\)
গ. দেওয়া আছে,
\(f(x)=\sin{x}\)
\(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) ব্যবধিতে \(\int{e^xf(x)dx}\) এর মাণ,
\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{e^x\sin{x}dx}\)
\(=\left[\frac{e^{x}}{1^2+1^2}(1.\sin{x}-1.\cos{x})\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\) ➜
\(=\left[\frac{e^{x}}{1+1}(\sin{x}-\cos{x})\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\)
\(=\left[\frac{1}{2}e^{x}(\sin{x}-\cos{x})\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\)
\(=\frac{1}{2}\left[e^{x}(\sin{x}-\cos{x})\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\)
\(=\frac{1}{2}\left[e^{\frac{\pi}{2}}(\sin{\frac{\pi}{2}}-\cos{\frac{\pi}{2}})-e^{0}(\sin{0}-\cos{0})\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left[e^{\frac{\pi}{2}}(1-0)-1(0-1)\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left(e^{\frac{\pi}{2}}+1\right)\)

\((12.)\) \(x^2+y^2=50\) একটি বৃত্তের সমীকরণ।
ক. \(f(x)=x+\frac{1}{x}\) ফাংশনটি কোন ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় এবং কোন ব্যবধিতে হ্রাস পায় তা নির্ণয় কর।
খ. \(y=x\) রেখা উদ্দীপকের বৃত্তকে ১ম চতুর্ভাগে যে বিন্দুতে ছেদ করে উক্ত বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ. উদ্দীপকের বৃত্তটি \(x\) অক্ষের উপরে যে অংশ আবদ্ধ করে উক্ত অংশের ক্ষেত্রফল যোগজের সাহায্যে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(-1>x\) ও \(x>1\) ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায়; \(1>x>-1\) ব্যবধিতে হ্রাস পায়;
খ. \(x+y-10=0\);
গ. \(25\pi\).

সমাধানঃ

ক. দেওয়া আছে,
\(f(x)=x+\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{f(x)\}=\frac{d}{dx}\left(x+\frac{1}{x}\right)\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=1-\frac{1}{x^2}\) ➜
ধরি,
\(f^{\prime}(x)=0\)
\(\Rightarrow 1-\frac{1}{x^2}=0\) ➜
\(\Rightarrow \frac{x^2-1}{x^2}=0\)
\(\Rightarrow x^2-1=0\)
\(\Rightarrow (x-1)(x+1)=0\)
\(\Rightarrow x-1=0, x+1=0\)
\(\Rightarrow x=1, x=-1\)
\(\therefore x=1, -1\) এর জন্য \(f(x)=0\) হয়।
আবার,
ধরি,
\(f^{\prime}(x)>0\)
\(\Rightarrow 1-\frac{1}{x^2}>0\) ➜
\(\Rightarrow \frac{x^2-1}{x^2}>0\)
\(\Rightarrow x^2-1>0\)
\(\Rightarrow (x-1)(x+1)>0\)
\(\Rightarrow x-1>0, x+1>0\) অথবা, \(0>x-1, 0>x+1\)
\(\Rightarrow x>1, x>-1\) অথবা, \(1>x, -1>x\)
\(\therefore x>1 \) অথবা, \(-1>x \) এর জন্য \(f(x)>0 \) হয়।
সুতরাং
\(x>1 \) ও \(-1>x \) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশনটি বৃদ্ধি পায়।
আবার,
ধরি,
\(0>f^{\prime}(x)\)
\(\Rightarrow 0>1-\frac{1}{x^2}\) ➜
\(\Rightarrow 0>\frac{x^2-1}{x^2}\)
\(\Rightarrow 0>x^2-1\)
\(\Rightarrow 0>(x-1)(x+1)\)
\(\Rightarrow x-1>0, 0>x+1\) অথবা, \(0>x-1, x+1>0\)
\(\Rightarrow 1>x, x>-1\)
\(\therefore 1>x>-1\) এর জন্য \(0>f(x)\) হয়।
সুতরাং
\(1>x>-1\) ব্যবধিতে \(f(x)\) ফাংশনটি হ্রাস পায়।
খ. ধরি,
\(x^2+y^2=50 ........(1)\)
\(y=x ........(2)\)
int-image

\((1)\) ও \((2)\) নং সমীকরণ সমাধান করি।
\(x^2+x^2=50\) ➜
\(\Rightarrow 2x^2=50\)
\(\Rightarrow x^2=25\)
\(\Rightarrow x=\pm{\sqrt{25}}\)
\(\Rightarrow x=\pm{5}\)
\(\therefore x=-5, 5\)
এখন,
\((2)\) হতে,
\(x=-5, 5 \Rightarrow y=-5, 5\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \((-5, -5), (5, 5)\)
কিন্তু \(y=x\) রেখাটি বৃত্তটিকে ১ম চতুর্ভাগে \((5, 5)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((1)\) কে \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করি।
\(\frac{d}{dx}(x^2+y^2)=\frac{d}{dx}(50)\)
\(\Rightarrow 2x+2y\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}=-2x\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\)
\((5, 5)\) বিন্দুতে \(\frac{dy}{dx}=-\frac{5}{5}\)
\(=-1\)
\((5, 5)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(y-5=\frac{dy}{dx}(x-5)\) ➜
\(\Rightarrow y-5=-1(x-5)\) ➜
\(\Rightarrow y-5=-x+5\)
\(\Rightarrow x-5+y-5=0\)
\(\therefore x+y-10=0\) ইহাই নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ।
গ.
প্রদত্ত সমীকরণ,
\(x^2+y^2=50\)
\(\therefore x^2+y^2=(5\sqrt{2})^2\)
যা একটি বৃত্ত প্রকাশ করে।
যার কেন্দ্র \(O(0, 0)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=5\sqrt{2}\) ➜
বৃত্তটি চারটি চতুর্ভাগে সমান অংশে বিভক্ত ও প্রথম চতুর্ভাগে \(x\) এর সীমা \(0\) থেকে \(5\sqrt{2}\)
প্রথম চতুর্ভাগে আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
int-image

\(=\int_{0}^{5\sqrt{2}}{ydx}\)
\(=\int_{0}^{5\sqrt{2}}{\sqrt{(5\sqrt{2})^2-x^2}dx}\) ➜
\(=\left[\frac{x\sqrt{(5\sqrt{2})^2-x^2}}{2}+\frac{(5\sqrt{2})^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{5\sqrt{2}}\right)}\right]_{0}^{5\sqrt{2}}\) ➜
\(=\left[\frac{x\sqrt{50-x^2}}{2}+\frac{50}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{5\sqrt{2}}\right)}\right]_{0}^{5\sqrt{2}}\)
\(=\left[\frac{x\sqrt{50-x^2}}{2}+25\sin^{-1}{\left(\frac{x}{5\sqrt{2}}\right)}\right]_{0}^{5\sqrt{2}}\)
\(=\frac{5\sqrt{2}\sqrt{50-(5\sqrt{2})^2}}{2}+25\sin^{-1}{\left(\frac{5\sqrt{2}}{5\sqrt{2}}\right)}-\frac{0.\sqrt{50-0^2}}{2}-25\sin^{-1}{\left(\frac{0}{5\sqrt{2}}\right)}\)
\(=\frac{5\sqrt{2}\sqrt{50-50}}{2}+25\sin^{-1}{(1)}-\frac{0}{2}-25\sin^{-1}{(0)}\)
\(=\frac{5\sqrt{2}\sqrt{0}}{2}+25\sin^{-1}{\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}}-0-25\sin^{-1}{\sin{0}}\)
\(=\frac{5\sqrt{2}.0}{2}+25\times{\frac{\pi}{2}}-25\times{0}\)
\(=\frac{0}{2}+\frac{25\pi}{2}-0\)
\(=0+\frac{25\pi}{2}\)
\(=\frac{25\pi}{2}\)
\(x\) অক্ষের উপরে অবস্থিত অংশের ক্ষেত্রফল \(=2\times{\frac{25\pi}{2}}\)
\(=25\pi\) বর্গ একক।

\((16.)\) দৃশ্যকল্প-১: \(f(x)=x+6\)
দৃশ্যকল্প-২: \(g(x)=x^2\)
ক. \(\int{\frac{1}{e^x+e^{-x}}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. \(\int{\frac{xdx}{f(x)\{g(x)+4\}}}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
গ. \(g(x)\) বক্ররেখা এবং \(f(x)\) সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(\tan^{-1}{(e^x)}+c\)
খ. \(-\frac{3}{20}\ln{|x+6|}+\frac{3}{40}\ln{|x^2+4|}+\frac{1}{20}\tan^{-1}{\frac{x}{2}}+c\);
গ. \(\frac{125}{6}\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

ক. ধরি,
\(e^{x}=t\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\left(e^{x}\right)=\frac{d}{dx}(t)\)
\(\Rightarrow e^{x}=\frac{dt}{dx}\)
\(\therefore e^{x}dx=dt\)

\(\int{\frac{1}{e^x+e^{-x}}dx}\)
\(=\int{\frac{e^x}{e^x(e^x+e^{-x})}dx}\) ➜
\(=\int{\frac{e^x}{(e^x)^2+e^{-x+x}}dx}\)
\(=\int{\frac{e^x}{(e^x)^2+e^{0}}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{(e^x)^2+1}e^xdx}\)
\(=\int{\frac{1}{t^2+1}dt}\)
\(=\int{\frac{1}{1+t^2}dt}\)
\(=\tan^{-1}{t}+c\) ➜
\(=\tan^{-1}{\left(e^{x}\right)}+c\) ➜
খ. \(\int{\frac{xdx}{f(x)\{g(x)+4\}}}\)
\(=\int{\frac{xdx}{(x+6)(x^2+4)}}\) ➜
\(=\int{\frac{x}{(x+6)(x^2+4)}dx}\)
ধরি,
\(\frac{x}{(x+6)(x^2+4)}\equiv \frac{A}{x+6}+\frac{Bx+C}{x^2+4} .......(i)\)
\(\Rightarrow x\equiv A(x^2+4)+(Bx+C)(x+6) .......(ii)\) ➜
এখানে, \((x+6)(x^2+4)\) দুইটি উৎপাদক এর মধ্যে \((x+6)\) সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x+6=0\)
\(\Rightarrow x=-6\)
এখন, \(x=-6\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(-6=A\{(-6)^2+4\}+\{B(-6)+C\}.0\)
\(\Rightarrow -6=A(36+4)+0\)
\(\Rightarrow -6=40A\)
\(\Rightarrow 40A=-6\)
\(\Rightarrow A=-\frac{6}{40}\)
\(\therefore A=-\frac{3}{20}\)
এখন,
\((ii)\) এর উভয় পার্শ হতে \(x^2\) এবং \(x\) এর সহগ সমীকৃত করে পাই। ➜

এবং
\(1=6B+C\)
\(\Rightarrow 6B+C=1\)
\(\Rightarrow C=1-6B\)
\(\Rightarrow C=1-6\frac{3}{20}\) ➜
\(\Rightarrow C=1-\frac{18}{20}\)
\(\Rightarrow C=1-\frac{9}{10}\)
\(\Rightarrow C=\frac{10-9}{20}\)
\(\therefore C=\frac{1}{10}\)

\(0=A+B\)
\(\Rightarrow A+B=0\)
\(\Rightarrow B=-A\)
\(\therefore B=\frac{3}{20}\) ➜

\(A\), \(B\) ও \(C\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x}{(x+6)(x^2+4)}=\frac{-\frac{3}{20}}{x+6}+\frac{\frac{3}{20}x+\frac{1}{10}}{x^2+4}\)
\(\therefore \frac{x}{(x+6)(x^2+4)}=-\frac{3}{20(x+6)}+\frac{3x}{20(x^2+4)}+\frac{1}{10(x^2+4)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{-\frac{3}{20(x+6)}+\frac{3x}{20(x^2+4)}+\frac{1}{10(x^2+4)}\right\}dx}\)
\(=-\frac{3}{20}\int{\frac{1}{x+6}dx}+\frac{3}{40}\int{\frac{2x}{x^2+4}dx}+\frac{1}{10}\int{\frac{1}{4+x^2}dx}\)
\(=-\frac{3}{20}\int{\frac{1}{x+6}dx}+\frac{3}{40}\int{\frac{d(x^2+4)}{x^2+4}}+\frac{1}{10}\int{\frac{1}{2^2+x^2}dx}\)
\(=-\frac{3}{20}\ln{|x+6|}+\frac{3}{40}\ln{|x^2+4|}+\frac{1}{10}.\frac{1}{2}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{2}\right)}+c\) ➜
\(=-\frac{3}{20}\ln{|x+6|}+\frac{3}{40}\ln{|x^2+4|}+\frac{1}{20}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{2}\right)}+c\)
গ. উদ্দীপকে দেওয়া আছে,
\(f(x)=x+6, g(x)=x^2\)
ধরি,
\(y=x^2 ........(1)\)
\(y=x+6 ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সমীকরণ সমাধান করি।
\(x^2=x+6\) ➜
\(\Rightarrow x^2-x-6=0\)
\(\Rightarrow x^2-3x+2x-6=0\)
\(\Rightarrow x(x-3)+2(x-3)=0\)
\(\Rightarrow (x-3)(x+2)=0\)
\(\Rightarrow x-3=0, x+2=0\)
\(\Rightarrow x=3, x=-2\)
\(\therefore x=-2, 3\)
তাহলে, \((1)\) পরাবৃত্ত ও \((2)\) সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রে \(x\) এর সীমা \(-2\) থেকে \(3\) পর্যন্ত।
int-image

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল \(=\int_{-2}^{3}{(y_{1}-y_{2})dx}\)
\(=\int_{-2}^{3}{(x^2-x-6)dx}\) ➜
\(=\int_{-2}^{3}{x^2dx}-\int_{-2}^{3}{xdx}-6\int_{-2}^{3}{1dx}\)
\(=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{3}-\left[\frac{x^2}{2}\right]_{-2}^{3}-6\left[x\right]_{-2}^{3}\) ➜
\(=\frac{1}{3}\left[x^3\right]_{-2}^{3}-\frac{1}{2}\left[x^2\right]_{-2}^{3}-6\left[3-(-2)\right]\)
\(=\frac{1}{3}\left[3^3-(-2)^3\right]-\frac{1}{2}\left[3^2-(-2)^2\right]-6\left[3+2\right]\)
\(=\frac{1}{3}\left[27+8\right]-\frac{1}{2}\left[9-4\right]-6\times{5}\)
\(=\frac{1}{3}\times{35}-\frac{1}{2}\times{5}-30\)
\(=\frac{35}{3}-\frac{5}{2}-30\)
\(=\frac{70-15-180}{6}\)
\(=\frac{70-195}{6}\)
\(=\frac{-125}{6}\)
\(=-\frac{125}{6}\)
\(=\frac{125}{6}\) বর্গ একক। ➜

\(Q.1.(iv)\) \(x^2+y^2=16\) বৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(16\pi\) বর্গ একক।
[ যঃ ২০১৪; সিঃ ২০১৪; দিঃ,ঢাঃ২০১২; কুঃ২০১১,২০০৭,২০০০; বঃ২০১১,২০০৮,২০০৬ ]

সমাধানঃ

প্রদত্ত সমীকরণ,
\(x^2+y^2=16\)
\(\therefore x^2+y^2=4^2\)
যা একটি বৃত্ত বৃত্তের সমীকরণ \(x^2+y^2=a^2 \ (a>0)\)
বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(C(0, 0)\)
বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(=a\)

প্রকাশ করে।
যার কেন্দ্র \(O(0, 0)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=4\) ➜
int-image

বৃত্তটি চারটি চতুর্ভাগে সমান অংশে বিভক্ত ও প্রথম চতুর্ভাগে \(x\) এর সীমা \(0\) থেকে \(4\)
প্রথম চতুর্ভাগে আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=OAB\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=\int_{0}^{4}{ydx}\)
\(=\int_{0}^{4}{\sqrt{4^2-x^2}dx}\) ➜
\(=\left[\frac{x\sqrt{4^2-x^2}}{2}+\frac{4^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{4}\right)}\right]_{0}^{4}\) ➜
\(=\left[\frac{x\sqrt{16-x^2}}{2}+\frac{16}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{4}\right)}\right]_{0}^{4}\)
\(=\left[\frac{x\sqrt{16-x^2}}{2}+8\sin^{-1}{\left(\frac{x}{4}\right)}\right]_{0}^{4}\)
\(=\frac{4\sqrt{16-4^2}}{2}+8\sin^{-1}{\left(\frac{4}{4}\right)}-\frac{0.\sqrt{16-0^2}}{2}-8\sin^{-1}{\left(\frac{0}{4}\right)}\)
\(=\frac{4\sqrt{16-16}}{2}+8\sin^{-1}{(1)}-\frac{0}{2}-8\sin^{-1}{(0)}\)
\(=\frac{4\sqrt{0}}{2}+8\sin^{-1}{\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}}-0-8\sin^{-1}{\sin{0}}\)
\(=\frac{4.0}{2}+8\times{\frac{\pi}{2}}-8\times{0}\)
\(=\frac{0}{2}+4\pi-0\)
\(=0+4\pi\)
\(=4\pi\)
সমগ্র বৃত্তের ক্ষেত্রফল \(=4\times{OAB}\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=4\times{4\pi}\)
\(=16\pi\) বর্গ একক।

\(Q.1.(v)\) \(x^2+y^2=36\) বৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(36\pi\) বর্গ একক।
[ বঃ২০১৭ ]

সমাধানঃ

প্রদত্ত সমীকরণ,
\(x^2+y^2=36\)
\(\therefore x^2+y^2=6^2\)
যা একটি বৃত্ত বৃত্তের সমীকরণ \(x^2+y^2=a^2 \ (a>0)\)
বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(C(0, 0)\)
বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(=a\)

প্রকাশ করে।
যার কেন্দ্র \(O(0, 0)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=6\) ➜
int-image

বৃত্তটি চারটি চতুর্ভাগে সমান অংশে বিভক্ত ও প্রথম চতুর্ভাগে \(x\) এর সীমা \(0\) থেকে \(6\)
প্রথম চতুর্ভাগে আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=OAB\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=\int_{0}^{6}{ydx}\)
\(=\int_{0}^{6}{\sqrt{6^2-x^2}dx}\) ➜
\(=\left[\frac{x\sqrt{6^2-x^2}}{2}+\frac{6^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{6}\right)}\right]_{0}^{6}\) ➜
\(=\left[\frac{x\sqrt{36-x^2}}{2}+\frac{36}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{6}\right)}\right]_{0}^{6}\)
\(=\left[\frac{x\sqrt{36-x^2}}{2}+18\sin^{-1}{\left(\frac{x}{6}\right)}\right]_{0}^{6}\)
\(=\frac{6\sqrt{36-6^2}}{2}+18\sin^{-1}{\left(\frac{6}{6}\right)}-\frac{0.\sqrt{36-0^2}}{2}-18\sin^{-1}{\left(\frac{0}{6}\right)}\)
\(=\frac{6\sqrt{36-36}}{2}+18\sin^{-1}{(1)}-\frac{0}{2}-18\sin^{-1}{(0)}\)
\(=\frac{6\sqrt{0}}{2}+18\sin^{-1}{\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}}-0-18\sin^{-1}{\sin{0}}\)
\(=\frac{6.0}{2}+18\times{\frac{\pi}{2}}-18\times{0}\)
\(=\frac{0}{2}+9\pi-0\)
\(=0+9\pi\)
\(=9\pi\)
সমগ্র বৃত্তের ক্ষেত্রফল \(=4\times{OAB}\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=4\times{9\pi}\)
\(=36\pi\) বর্গ একক।

\(Q.1.(vi)\) \(4x^2+9y^2=36\) উপবৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(6\pi\) বর্গ একক।
[ কুঃ২০১৭; ঢাঃ২০১২, ২০০৪; রাঃ২০১৪,২০১২,২০০৬; চঃ২০১২,২০০৬,২০০৪; বঃ২০১২,২০০৯,২০০৭; সিঃ২০১৩ ]

সমাধানঃ

প্রদত্ত সমীকরণ,
\(4x^2+9y^2=36\)
\(\Rightarrow \frac{4x^2}{36}+\frac{9y^2}{36}=\frac{36}{36}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{2^2}=1\)
যা একটি উপবৃত্ত
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \ (a>b)\)
উপবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(C(0, 0)\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2a|\)
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2b|\)
বৃহদাক্ষের সমীকরণ \(y=0\)
ক্ষুদ্রাক্ষের সমীকরণ \(x=0\)
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\pm ae, 0)\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x=\pm \frac{a}{e}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(= |\frac{2b^2}{a}|\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(x=\pm ae\)
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\pm a, 0)\)
নিয়ামকরেখার পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\pm \frac{a}{e}, 0)\)
উপকেন্দ্রের মধ্যকার দূরত্ব \(=|2ae|\)
নিয়ামকদ্বয়ের মধ্যকার দূরত্ব \(=|\frac{2a}{e}|\)
একই দিকের উপকেন্দ্র ও অনুরূপ নিয়ামকরেখার মধ্যকার দূরত্ব \(|\frac{a}{e}-ae|\)

প্রকাশ করে।
যার কেন্দ্র \(O(0, 0)\) এবং বৃহৎ অক্ষ ও ক্ষুদ্র অক্ষের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(=6\) একক ও \(=4\) একক। ➜
উপবৃত্তটি অক্ষদ্বয়ের ধনাত্মক অংশে যথাক্রমে \(A(3, 0)\) ও \(B(0, 2)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
int-image

উপবৃত্তটি চারটি চতুর্ভাগে সমান অংশে বিভক্ত ও প্রথম চতুর্ভাগে \(x\) এর সীমা \(0\) থেকে \(3\)
প্রথম চতুর্ভাগে আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=OAB\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=\int_{0}^{3}{ydx}\)
\(=\int_{0}^{3}{\frac{2}{3}\sqrt{3^2-x^2}dx}\) ➜
\(=\frac{2}{3}\left[\frac{x\sqrt{3^2-x^2}}{2}+\frac{3^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{3}\right)}\right]_{0}^{3}\) ➜
\(=\frac{2}{3}\left[\frac{x\sqrt{9-x^2}}{2}+\frac{9}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{3}\right)}\right]_{0}^{3}\)
\(=\frac{2}{3}\left[\frac{3\sqrt{9-3^2}}{2}+\frac{9}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{3}{3}\right)}-\frac{0.\sqrt{9-0^2}}{2}-\frac{9}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{0}{3}\right)}\right]\)
\(=\frac{2}{3}\left[\frac{3\sqrt{9-9}}{2}+\frac{9}{2}\sin^{-1}{(1)}-\frac{0}{2}-\frac{9}{2}\sin^{-1}{(0)}\right]\)
\(=\frac{2}{3}\left[\frac{3\sqrt{0}}{2}+\frac{9}{2}\sin^{-1}{\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}}-0-\frac{9}{2}\sin^{-1}{\sin{0}}\right]\)
\(=\frac{2}{3}\left[\frac{3.0}{2}+\frac{9}{2}\times{\frac{\pi}{2}}-\frac{9}{2}\times{0}\right]\)
\(=\frac{2}{3}\left[\frac{0}{2}+\frac{9\pi}{4}-0\right]\)
\(=\frac{2}{3}\left[0+\frac{9\pi}{4}\right]\)
\(=\frac{2}{3}\times{\frac{9\pi}{4}}\)
\(=\frac{3\pi}{2}\)
সমগ্র উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল \(=4\times{OAB}\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=4\times{\frac{3\pi}{2}}\)
\(=2\times{3\pi}\)
\(=6\pi\) বর্গ একক।

\(Q.1.(vii)\) \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\) উপবৃত্ত দ্বারা বেষ্টিত ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(8\pi\) বর্গ একক।
[ বঃ২০১২,২০০৯,২০০৭; যঃ২০১১; কুঃ২০০৯; সিঃ২০১৩; দিঃ২০১১; রাঃ২০১৪,২০১২,২০১২,২০০৬; ঢাঃ২০১২,২০০৪; চঃ২০১২,২০০৬,২০০২ ]

সমাধানঃ

প্রদত্ত সমীকরণ,
\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{2^2}=1\)
যা একটি উপবৃত্ত উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \ (a>b)\)
উপবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(C(0, 0)\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2a|\)
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2b|\)
বৃহদাক্ষের সমীকরণ \(y=0\)
ক্ষুদ্রাক্ষের সমীকরণ \(x=0\)
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\pm ae, 0)\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x=\pm \frac{a}{e}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{2b^2}{a}|\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(x=\pm ae\)
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\pm a, 0)\)
নিয়ামকরেখার পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\pm \frac{a}{e}, 0)\)
উপকেন্দ্রের মধ্যকার দূরত্ব \(=|2ae|\)
নিয়ামকদ্বয়ের মধ্যকার দূরত্ব \(= |\frac{2a}{e}|\)
একই দিকের উপকেন্দ্র ও অনুরূপ নিয়ামকরেখার মধ্যকার দূরত্ব \( |\frac{a}{e}-ae|\)

প্রকাশ করে।
যার কেন্দ্র \(O(0, 0)\) এবং বৃহৎ অক্ষ ও ক্ষুদ্র অক্ষের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(=8\) একক ও \(=4\) একক। ➜
উপবৃত্তটি অক্ষদ্বয়ের ধনাত্মক অংশে যথাক্রমে \(A(4, 0)\) ও \(B(0, 2)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
int-image

উপবৃত্তটি চারটি চতুর্ভাগে সমান অংশে বিভক্ত ও প্রথম চতুর্ভাগে \(x\) এর সীমা \(0\) থেকে \(4\)
প্রথম চতুর্ভাগে আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=OAB\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=\int_{0}^{4}{ydx}\)
\(=\int_{0}^{4}{\frac{1}{2}\sqrt{4^2-x^2}dx}\) ➜
\(=\frac{1}{2}\left[\frac{x\sqrt{4^2-x^2}}{2}+\frac{4^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{4}\right)}\right]_{0}^{4}\) ➜
\(=\frac{1}{2}\left[\frac{x\sqrt{16-x^2}}{2}+\frac{16}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{4}\right)}\right]_{0}^{4}\)
\(=\frac{1}{2}\left[\frac{x\sqrt{16-x^2}}{2}+8\sin^{-1}{\left(\frac{x}{4}\right)}\right]_{0}^{4}\)
\(=\frac{1}{2}\left[\frac{4\sqrt{16-4^2}}{2}+8\sin^{-1}{\left(\frac{4}{4}\right)}-\frac{0.\sqrt{16-0^2}}{2}-8\sin^{-1}{\left(\frac{0}{4}\right)}\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left[\frac{4\sqrt{16-16}}{2}+8\sin^{-1}{(1)}-\frac{0}{2}-8\sin^{-1}{(0)}\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left[\frac{4\sqrt{0}}{2}+8\sin^{-1}{\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}}-0-8\sin^{-1}{\sin{0}}\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left[\frac{4.0}{2}+8\times{\frac{\pi}{2}}-8\times{0}\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left[\frac{0}{2}+4\pi-0\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left[0+4\pi\right]\)
\(=\frac{1}{2}\times{4\pi}\)
\(=2\pi\)
সমগ্র উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল \(=4\times{OAB}\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=4\times{2\pi}\)
\(=8\pi\) বর্গ একক।

\(Q.1.(viii)\) \(b>a\) হলে, \(\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\) বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের অর্ধাংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}ab\pi\) বর্গ একক।
[ দিঃ২০১৭ ]

সমাধানঃ

প্রদত্ত সমীকরণ,
\(\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\)
যা একটি উপবৃত্ত উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \ (a>b)\)
উপবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(C(0, 0)\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2a|\)
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2b|\)
বৃহদাক্ষের সমীকরণ \(y=0\)
ক্ষুদ্রাক্ষের সমীকরণ \(x=0\)
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\pm ae, 0)\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x=\pm \frac{a}{e}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{2b^2}{a}|\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(x=\pm ae\)
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\pm a, 0)\)
নিয়ামকরেখার পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\pm \frac{a}{e}, 0)\)
উপকেন্দ্রের মধ্যকার দূরত্ব \(=|2ae|\)
নিয়ামকদ্বয়ের মধ্যকার দূরত্ব \(=|\frac{2a}{e}|\)
একই দিকের উপকেন্দ্র ও অনুরূপ নিয়ামকরেখার মধ্যকার দূরত্ব \(|\frac{a}{e}-ae|\)

প্রকাশ করে।
যার কেন্দ্র \(O(0, 0)\) এবং বৃহৎ অক্ষ ও ক্ষুদ্র অক্ষের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(=2b\) একক ও \(=2a\) একক। ➜
উপবৃত্তটি অক্ষদ্বয়ের ধনাত্মক অংশে যথাক্রমে \(A(b, 0)\) ও \(B(0, a)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
int-image

উপবৃত্তটি চারটি চতুর্ভাগে সমান অংশে বিভক্ত ও প্রথম চতুর্ভাগে \(x\) এর সীমা \(0\) থেকে \(b\)
প্রথম চতুর্ভাগে আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=OAB\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=\int_{0}^{b}{ydx}\)
\(=\int_{0}^{b}{\frac{a}{b}\sqrt{b^2-x^2}dx}\) ➜
\(=\frac{a}{b}\left[\frac{x\sqrt{b^2-x^2}}{2}+\frac{b^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{b}\right)}\right]_{0}^{b}\) ➜
\(=\frac{a}{b}\left[\frac{x\sqrt{b^2-x^2}}{2}+\frac{b^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{b}\right)}\right]_{0}^{b}\)
\(=\frac{a}{b}\left[\frac{b\sqrt{b^2-b^2}}{2}+\frac{b^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{b}{b}\right)}-\frac{0.\sqrt{b^2-0^2}}{2}-\frac{b^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{0}{b}\right)}\right]\)
\(=\frac{a}{b}\left[\frac{b\sqrt{b^2-b^2}}{2}+\frac{b^2}{2}\sin^{-1}{(1)}-\frac{0}{2}-\frac{b^2}{2}\sin^{-1}{(0)}\right]\)
\(=\frac{a}{b}\left[\frac{b\sqrt{0}}{2}+\frac{b^2}{2}\sin^{-1}{\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}}-0-\frac{b^2}{2}\sin^{-1}{\sin{0}}\right]\)
\(=\frac{a}{b}\left[\frac{b.0}{2}+\frac{b^2}{2}\times{\frac{\pi}{2}}-\frac{b^2}{2}\times{0}\right]\)
\(=\frac{a}{b}\left[\frac{0}{2}+\frac{b^2\pi}{4}-0\right]\)
\(=\frac{a}{b}\left[0+\frac{b^2\pi}{4}\right]\)
\(=\frac{a}{b}\times{\frac{b^2\pi}{4}}\)
\(=\frac{ab\pi}{4}\)
উপবৃত্তের অর্ধাংশের ক্ষেত্রফল \(=2\times{OAB}\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=2\times{\frac{ab\pi}{4}}\)
\(=\frac{ab\pi}{2}\)
\(=\frac{1}{2}ab\pi\) বর্গ একক।

\(Q.1.(ix)\) \(x^2+y^2=16\) দ্বারা
\((a)\) আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ২০১১; রাঃ২০১৬,২০০৭; কুঃ২০১১,২০০৭; দিঃ২০১২; সিঃ২০১৪,২০০৭; চঃ২০০৪; যঃ২০১৪; বঃ২০১১,২০০৮,২০০৬ ]
\((b)\) ১ম চতুর্ভাগে আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((c)\) \(x\) অক্ষের উপরে অবস্থিত অংশের ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) 16\pi\) বর্গ একক।
\((b) 4\pi\) বর্গ একক।
\((c) 8\pi\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

\((a)\) প্রদত্ত সমীকরণ,
\(x^2+y^2=16\)
\(\therefore x^2+y^2=4^2\)
যা একটি বৃত্ত
বৃত্তের সমীকরণ \(x^2+y^2=a^2 \ (a>0)\)
বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(C(0, 0)\)
বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(=a\)

প্রকাশ করে।
যার কেন্দ্র \(O(0, 0)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=4\) ➜
int-image

বৃত্তটি চারটি চতুর্ভাগে সমান অংশে বিভক্ত ও প্রথম চতুর্ভাগে \(x\) এর সীমা \(0\) থেকে \(4\)
প্রথম চতুর্ভাগে আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=\int_{0}^{4}{ydx}\)
\(=\int_{0}^{4}{\sqrt{4^2-x^2}dx}\) ➜
\(=\left[\frac{x\sqrt{4^2-x^2}}{2}+\frac{4^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{4}\right)}\right]_{0}^{4}\) ➜
\(=\left[\frac{x\sqrt{16-x^2}}{2}+\frac{16}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{4}\right)}\right]_{0}^{4}\)
\(=\left[\frac{x\sqrt{16-x^2}}{2}+8\sin^{-1}{\left(\frac{x}{4}\right)}\right]_{0}^{4}\)
\(=\frac{4\sqrt{16-4^2}}{2}+8\sin^{-1}{\left(\frac{4}{4}\right)}-\frac{0.\sqrt{16-0^2}}{2}-8\sin^{-1}{\left(\frac{0}{4}\right)}\)
\(=\frac{4\sqrt{16-16}}{2}+8\sin^{-1}{(1)}-\frac{0}{2}-8\sin^{-1}{(0)}\)
\(=\frac{4\sqrt{0}}{2}+8\sin^{-1}{\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}}-0-8\sin^{-1}{\sin{0}}\)
\(=\frac{4.0}{2}+8\times{\frac{\pi}{2}}-8\times{0}\)
\(=\frac{0}{2}+4\pi-0\)
\(=0+4\pi\)
\(=4\pi\)
সমগ্র বৃত্তের ক্ষেত্রফল,
\(=4\times{4\pi}\)
\(=16\pi\) বর্গ একক।
\((b)\) প্রদত্ত সমীকরণ,
\(x^2+y^2=16\)
\(\therefore x^2+y^2=4^2\)
যা একটি বৃত্ত প্রকাশ করে।
যার কেন্দ্র \(O(0, 0)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=4\) ➜
int-image

বৃত্তটি চারটি চতুর্ভাগে সমান অংশে বিভক্ত ও প্রথম চতুর্ভাগে \(x\) এর সীমা \(0\) থেকে \(4\)
প্রথম চতুর্ভাগে আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=\int_{0}^{4}{ydx}\)
\(=\int_{0}^{4}{\sqrt{4^2-x^2}dx}\) ➜
\(=\left[\frac{x\sqrt{4^2-x^2}}{2}+\frac{4^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{4}\right)}\right]_{0}^{4}\) ➜
\(=\left[\frac{x\sqrt{16-x^2}}{2}+\frac{16}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{4}\right)}\right]_{0}^{4}\)
\(=\left[\frac{x\sqrt{16-x^2}}{2}+8\sin^{-1}{\left(\frac{x}{4}\right)}\right]_{0}^{4}\)
\(=\frac{4\sqrt{16-4^2}}{2}+8\sin^{-1}{\left(\frac{4}{4}\right)}-\frac{0.\sqrt{16-0^2}}{2}-8\sin^{-1}{\left(\frac{0}{4}\right)}\)
\(=\frac{4\sqrt{16-16}}{2}+8\sin^{-1}{(1)}-\frac{0}{2}-8\sin^{-1}{(0)}\)
\(=\frac{4\sqrt{0}}{2}+8\sin^{-1}{\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}}-0-8\sin^{-1}{\sin{0}}\)
\(=\frac{4.0}{2}+8\times{\frac{\pi}{2}}-8\times{0}\)
\(=\frac{0}{2}+4\pi-0\)
\(=0+4\pi\)
\(=4\pi\)
\((c)\) প্রদত্ত সমীকরণ,
\(x^2+y^2=16\)
\(\therefore x^2+y^2=4^2\)
যা একটি বৃত্ত প্রকাশ করে।
যার কেন্দ্র \(O(0, 0)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=4\) ➜
int-image

বৃত্তটি চারটি চতুর্ভাগে সমান অংশে বিভক্ত ও প্রথম চতুর্ভাগে \(x\) এর সীমা \(0\) থেকে \(4\)
প্রথম চতুর্ভাগে আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=\int_{0}^{4}{ydx}\)
\(=\int_{0}^{4}{\sqrt{4^2-x^2}dx}\) ➜
\(=\left[\frac{x\sqrt{4^2-x^2}}{2}+\frac{4^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{4}\right)}\right]_{0}^{4}\) ➜
\(=\left[\frac{x\sqrt{16-x^2}}{2}+\frac{16}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{4}\right)}\right]_{0}^{4}\)
\(=\left[\frac{x\sqrt{16-x^2}}{2}+8\sin^{-1}{\left(\frac{x}{4}\right)}\right]_{0}^{4}\)
\(=\frac{4\sqrt{16-4^2}}{2}+8\sin^{-1}{\left(\frac{4}{4}\right)}-\frac{0.\sqrt{16-0^2}}{2}-8\sin^{-1}{\left(\frac{0}{4}\right)}\)
\(=\frac{4\sqrt{16-16}}{2}+8\sin^{-1}{(1)}-\frac{0}{2}-8\sin^{-1}{(0)}\)
\(=\frac{4\sqrt{0}}{2}+8\sin^{-1}{\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}}-0-8\sin^{-1}{\sin{0}}\)
\(=\frac{4.0}{2}+8\times{\frac{\pi}{2}}-8\times{0}\)
\(=\frac{0}{2}+4\pi-0\)
\(=0+4\pi\)
\(=4\pi\)
\(x\) অক্ষের উপরে অবস্থিত অংশের ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল,
\(=2\times{4\pi}\)
\(=8\pi\) বর্গ একক।

\(Q.2.(ii)\) \(x^2+y^2=25\) বৃত্ত এবং \(x=3\) রেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষুদ্রতম ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{25\pi}{2}-25\sin^{-1}{\left(\frac{3}{5}\right)}-12\) বর্গ একক।
[ রুয়েটঃ২০০৪-২০০৫; ঢাঃ২০১৪;আকুঃ২০১০; চঃ২০১৪,২০০৯,২০০৫; রাঃ২০০৯; যঃ২০১৩ ]

সমাধানঃ

\(x^2+y^2=25\)
\(\therefore x^2+y^2=5^2 .....(1)\)
যা একটি বৃত্ত
বৃত্তের সমীকরণ \(x^2+y^2=a^2 \ (a>0)\)
বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(C(0, 0)\)
বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(=a\)

প্রকাশ করে।
\((1)\) নং বৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=5\)
সরলরেখার সমীকরণ,
\(x=3 ....(2)\)
এখন,
\((1)\) নং বৃত্ত এবং \((2)\) নং সরলরেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষুদ্রতম ক্ষেত্রটির \(x\) এর সীমা \(3\) থেকে \(5\) পর্যন্ত এবং দুইটি চতুর্ভাগে সমানভাবে বিভক্ত।
int-image

নির্নেয় আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=2\int_{3}^{5}{ydx}\)
\(=2\int_{3}^{5}{\sqrt{5^2-x^2}dx}\) ➜
\(=2\left[\frac{x\sqrt{5^2-x^2}}{2}+\frac{5^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{5}\right)}\right]_{3}^{5}\) ➜
\(=2\left[\frac{5\sqrt{5^2-5^2}}{2}+\frac{5^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{5}{5}\right)}-\frac{3\sqrt{5^2-3^2}}{2}-\frac{5^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{3}{5}\right)}\right]\)
\(=2\left[\frac{5\sqrt{0}}{2}+\frac{25}{2}\sin^{-1}{(1)}-\frac{3\sqrt{25-9}}{2}-\frac{25}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{3}{5}\right)}\right]\)
\(=2\left[\frac{5.0}{2}+\frac{25}{2}\sin^{-1}{\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}}-\frac{3\sqrt{16}}{2}-\frac{25}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{3}{5}\right)}\right]\)
\(=2\left[\frac{0}{2}+\frac{25}{2}\times{\frac{\pi}{2}}-\frac{3.4}{2}-\frac{25}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{3}{5}\right)}\right]\)
\(=2\left[0+\frac{25\pi}{4}-6-\frac{25}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{3}{5}\right)}\right]\)
\(=2\left[\frac{25\pi}{4}-6-\frac{25}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{3}{5}\right)}\right]\)
\(=\frac{25\pi}{2}-12-25\sin^{-1}{\left(\frac{3}{5}\right)}\)
\(=\frac{25\pi}{2}-25\sin^{-1}{\left(\frac{3}{5}\right)}-12\) বর্গ একক।

\(Q.2.(iii)\) \(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{25}=1\) উপবৃত্ত এবং \(x=3\) সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(10\pi-\frac{15\sqrt{3}}{2}\) বর্গ একক।
[ রাঃ২০১৭ ]

সমাধানঃ

\(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{25}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{6^2}+\frac{y^2}{5^2}=1 .....(1)\)
যা একটি উপবৃত্ত
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \ (a>b)\)
উপবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(C(0, 0)\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2a|\)
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(= |2b|\)
বৃহদাক্ষের সমীকরণ \(y=0\)
ক্ষুদ্রাক্ষের সমীকরণ \(x=0\)
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\pm ae, 0)\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x=\pm \frac{a}{e}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{2b^2}{a}|\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(x=\pm ae\)
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\pm a, 0)\)
নিয়ামকরেখার পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\pm \frac{a}{e}, 0)\)
উপকেন্দ্রের মধ্যকার দূরত্ব \(=|2ae|\)
নিয়ামকদ্বয়ের মধ্যকার দূরত্ব \(=|\frac{2a}{e}|\)
একই দিকের উপকেন্দ্র ও অনুরূপ নিয়ামকরেখার মধ্যকার দূরত্ব \(|\frac{a}{e}-ae|\)

প্রকাশ করে।
\((1)\) নং উপবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\) এবং বৃহৎ অক্ষ ও ক্ষুদ্র অক্ষের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(12\) ও \(10\) । উপবৃত্তটি \(x\) অক্ষের ধনাত্মক অংশে \(C(6,0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
সরলরেখার সমীকরণ,
\(x=3 ....(2)\)
এখন,
\((1)\) নং উপবৃত্ত এবং \((2)\) নং সরলরেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষুদ্রতম ক্ষেত্রটির \(x\) এর সীমা \(3\) থেকে \(6\) পর্যন্ত এবং দুইটি চতুর্ভাগে সমানভাবে বিভক্ত।
int-image

নির্নেয় আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=2\int_{3}^{6}{ydx}\)
\(=2\int_{3}^{6}{\frac{5}{6}\sqrt{6^2-x^2}dx}\) ➜
\(=2\times{\frac{5}{6}}\int_{3}^{6}{\sqrt{6^2-x^2}dx}\)
\(=\frac{5}{3}\left[\frac{x\sqrt{6^2-x^2}}{2}+\frac{6^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{6}\right)}\right]_{3}^{6}\) ➜
\(=\frac{5}{3}\left[\frac{6\sqrt{6^2-6^2}}{2}+\frac{6^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{6}{6}\right)}-\frac{3\sqrt{6^2-3^2}}{2}-\frac{6^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{3}{6}\right)}\right]\)
\(=\frac{5}{3}\left[\frac{6\sqrt{0}}{2}+\frac{36}{2}\sin^{-1}{(1)}-\frac{3\sqrt{36-9}}{2}-\frac{36}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{1}{2}\right)}\right]\)
\(=\frac{5}{3}\left[\frac{6.0}{2}+18\sin^{-1}{\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}}-\frac{3\sqrt{27}}{2}-18\sin^{-1}{\sin{\left(\frac{\pi}{6}\right)}}\right]\)
\(=\frac{5}{3}\left[\frac{0}{2}+18\times{\frac{\pi}{2}}-\frac{3\times{3\sqrt{3}}}{2}-18\times{\frac{\pi}{6}}\right]\)
\(=\frac{5}{3}\left[0+9\pi-\frac{9\sqrt{3}}{2}-3\pi\right]\)
\(=\frac{5}{3}\left[6\pi-\frac{9\sqrt{3}}{2}\right]\)
\(=10\pi-\frac{15\sqrt{3}}{2}\) বর্গ একক।

\(Q.2.(iv)\) \(9x^2+16y^2-144=0\) \(x-2=0\) সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4\pi-3\sqrt{3}\) বর্গ একক।
[ সিঃ২০১৭ ]

সমাধানঃ

\(9x^2+16y^2-144=0\)
\(\Rightarrow 9x^2+16y^2=144\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2}{144}+\frac{16y^2}{144}=\frac{144}{144}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{3^2}=1 .....(1)\)
যা একটি উপবৃত্ত
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \ (a>b)\)
উপবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(C(0, 0)\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2a|\)
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2b|\)
বৃহদাক্ষের সমীকরণ \(y=0\)
ক্ষুদ্রাক্ষের সমীকরণ \(x=0\)
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\pm ae, 0)\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x=\pm \frac{a}{e}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{2b^2}{a}|\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(x=\pm ae\)
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\pm a, 0)\)
নিয়ামকরেখার পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\pm \frac{a}{e}, 0)\)
উপকেন্দ্রের মধ্যকার দূরত্ব \(=|2ae|\)
নিয়ামকদ্বয়ের মধ্যকার দূরত্ব \(= |\frac{2a}{e}|\)
একই দিকের উপকেন্দ্র ও অনুরূপ নিয়ামকরেখার মধ্যকার দূরত্ব \(|\frac{a}{e}-ae|\)

প্রকাশ করে।
\((1)\) নং উপবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\) এবং বৃহৎ অক্ষ ও ক্ষুদ্র অক্ষের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(=8\) ও \(=6\) । উপবৃত্তটি \(x\) অক্ষের ধনাত্মক অংশে \(C(4,0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
সরলরেখার সমীকরণ,
\(x-2=0\)
\(\therefore x=2 ....(2)\)
এখন,
\((1)\) নং উপবৃত্ত এবং \((2)\) নং সরলরেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষুদ্রতম ক্ষেত্রটির \(x\) এর সীমা \(2\) থেকে \(4\) পর্যন্ত এবং দুইটি চতুর্ভাগে সমানভাবে বিভক্ত।
int-image

নির্নেয় আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=2\int_{2}^{4}{ydx}\)
\(=2\int_{2}^{4}{\frac{3}{4}\sqrt{4^2-x^2}dx}\) ➜
\(=2\times{\frac{3}{4}}\int_{2}^{4}{\sqrt{4^2-x^2}dx}\)
\(=\frac{3}{2}\left[\frac{x\sqrt{4^2-x^2}}{2}+\frac{4^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{4}\right)}\right]_{2}^{4}\) ➜
\(=\frac{3}{2}\left[\frac{4\sqrt{4^2-4^2}}{2}+\frac{4^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{4}{4}\right)}-\frac{2\sqrt{4^2-2^2}}{2}-\frac{4^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{2}{4}\right)}\right]\)
\(=\frac{3}{2}\left[\frac{4\sqrt{0}}{2}+\frac{16}{2}\sin^{-1}{(1)}-\frac{2\sqrt{16-4}}{2}-\frac{16}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{1}{2}\right)}\right]\)
\(=\frac{3}{2}\left[\frac{4.0}{2}+8\sin^{-1}{\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}}-\frac{2\sqrt{12}}{2}-8\sin^{-1}{\sin{\left(\frac{\pi}{6}\right)}}\right]\)
\(=\frac{3}{2}\left[\frac{0}{2}+8\times{\frac{\pi}{2}}-2\sqrt{3}-8\times{\frac{\pi}{6}}\right]\)
\(=\frac{3}{2}\left[0+4\pi-2\sqrt{3}-\frac{4\pi}{3}\right]\)
\(=\frac{3}{2}\left[4\pi-\frac{4\pi}{3}-2\sqrt{3}\right]\)
\(=\frac{3}{2}\left[\frac{12\pi-4\pi}{3}-2\sqrt{3}\right]\)
\(=\frac{3}{2}\left[\frac{8\pi}{3}-2\sqrt{3}\right]\)
\(=4\pi-3\sqrt{3}\) বর্গ একক।

\(Q.3.(vi)\) \(y^2=x-1\) পরাবৃত্ত এবং \(2y=x-1\) সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{4}{3}\) বর্গ একক।
[ বুয়েটঃ২০১৪-২০১৫]

সমাধানঃ

ধরি,
\(y^2=x-1 ........(1)\)
\(2y=x-1 ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সমীকরণ সমাধান করি।
\(\left\{\frac{x-1}{2}\right\}^2=x-1\) ➜
\(\Rightarrow \frac{(x-1)^2}{4}=x-1\)
\(\Rightarrow (x-1)^2=4x-4\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1=4x-4\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1-4x+4=0\)
\(\Rightarrow x^2-6x+5=0\)
\(\Rightarrow x^2-5x-x+5=0\)
\(\Rightarrow x(x-5)-1(x-5)=0\)
\(\Rightarrow (x-1)(x-5)=0\)
\(\Rightarrow x-1=0, x-5=0\)
\(\Rightarrow x=1, x=5\)
\(\therefore x=1, 5\)
তাহলে, \((1)\) পরাবৃত্ত ও \((2)\) সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রে \(x\) এর সীমা \(1\) থেকে \(5\) পর্যন্ত।
int-image

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল \(=\int_{1}^{5}{(y_{1}-y_{2})dx}\)
\(=\int_{1}^{5}{(\sqrt{x-1}-\frac{x-1}{2})dx}\) ➜
\(=\int_{1}^{5}{\{(x-1)^{\frac{1}{2}}-\frac{x-1}{2}\}dx}\)
\(=\int_{1}^{5}{(x-1)^{\frac{1}{2}}dx}-\frac{1}{2}\int_{1}^{5}{(x-1)dx}\)
\(=\int_{1}^{5}{(x-1)^{\frac{1}{2}}dx}-\frac{1}{2}\int_{1}^{5}{xdx}+\frac{1}{2}\int_{1}^{5}{1dx}\)
\(=\left[\frac{1}{1}\frac{(x-1)^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}\right]_{1}^{5}-\frac{1}{2}\left[\frac{x^2}{2}\right]_{1}^{5}+\frac{1}{2}\left[x\right]_{1}^{5}\) ➜
\(=\left[\frac{(x-1)^{\frac{1+2}{2}}}{\frac{1+2}{2}}\right]_{1}^{5}-\frac{1}{4}\left[x^2\right]_{1}^{5}+\frac{1}{2}\left[5-1\right]\)
\(=\left[\frac{(x-1)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]_{1}^{5}-\frac{1}{4}\left[5^2-1^2\right]+\frac{1}{2}\left[5-1\right]\)
\(=\frac{2}{3}\left[(x-1)^{\frac{3}{2}}\right]_{1}^{5}-\frac{1}{4}\left[25-1\right]+\frac{1}{2}\times{4}\)
\(=\frac{2}{3}\left[(5-1)^{\frac{3}{2}}-(1-1)^{\frac{3}{2}}\right]-\frac{1}{4}\times{24}+2\)
\(=\frac{2}{3}\left[(4)^{\frac{3}{2}}-0^{\frac{3}{2}}\right]-6+2\)
\(=\frac{2}{3}\left[(\sqrt{4})^{3}-0\right]-4\)
\(=\frac{2}{3}\times{(2)^{3}}-4\)
\(=\frac{2}{3}\times{8}-4\)
\(=\frac{16}{3}-4\)
\(=\frac{16-12}{3}\)
\(=\frac{4}{3}\) বর্গ একক।

\(Q.3.(x)\) \(x^2+y^2=1\) এবং \(y^2=1-x\) দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{2}-\frac{4}{3}\) বর্গ একক।
[ ঢাঃ২০০১]

সমাধানঃ

ধরি,
\(x^2+y^2=1 ........(1)\)
\(y^2=1-x ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সমীকরণ সমাধান করি।
\(x^2+1-x=1\) ➜
\(\Rightarrow x^2+1-x-1=0\)
\(\Rightarrow x^2-x=0\)
\(\Rightarrow x(x-1)=0\)
\(\Rightarrow x=0, x-1=0\)
\(\Rightarrow x=0, x=1\)
\(\therefore x=0, 1\)
তাহলে, \((1)\) বৃত্ত ও \((2)\) পরাবৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রে \(x\) এর সীমা \(0\) থেকে \(1\) পর্যন্ত এবং দুইটি চতুর্ভাগে সমান অংশে বিভক্ত।
int-image

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল \(=2\int_{0}^{1}{(y_{1}-y_{2})dx}\)
\(=2\int_{0}^{1}{\{\sqrt{1-x^2}-\sqrt{1-x}\}dx}\) ➜
\(=2\int_{0}^{1}{\sqrt{1-x^2}dx}-2\int_{0}^{1}{\sqrt{1-x}dx}\)
\(=2\int_{0}^{1}{\sqrt{1^2-x^2}dx}-2\int_{0}^{1}{(1-x)^{\frac{1}{2}}dx}\)
\(=2\left[\frac{x\sqrt{1^2-x^2}}{2}+\frac{1^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{1}\right)}\right]_{0}^{1}-2\left[\frac{1}{-1}\frac{(1-x)^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}\right]_{0}^{1}\) ➜
\(=2\left[\frac{x\sqrt{1-x^2}}{2}+\frac{1}{2}\sin^{-1}{(x)}\right]_{0}^{1}-2\left[-\frac{(1-x)^{\frac{1+2}{2}}}{\frac{1+2}{2}}\right]_{0}^{1}\)
\(=2\left[\frac{1\sqrt{1-1^2}}{2}+\frac{1}{2}\sin^{-1}{(1)}-\frac{0.\sqrt{1-0^2}}{2}-\frac{1}{2}\sin^{-1}{(0)}\right]+2\left[\frac{(1-x)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{1}\)
\(=2\left[\frac{1\sqrt{1-1}}{2}+\frac{1}{2}\sin^{-1}{\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}}-\frac{0}{2}-\frac{1}{2}\sin^{-1}{\sin{0}}\right]+2\times{\frac{3}{2}}\left[(1-x)^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{1}\)
\(=2\left[\frac{1\sqrt{0}}{2}+\frac{1}{2}\times{\frac{\pi}{2}}-0-\frac{1}{2}\times{0}\right]+\frac{4}{3}\left[(1-1)^{\frac{3}{2}}-(1-0)^{\frac{3}{2}}\right]\)
\(=2\left[\frac{1.0}{2}+\frac{\pi}{4}-0\right]+\frac{4}{3}\left[0^{\frac{3}{2}}-1^{\frac{3}{2}}\right]\)
\(=2\left[\frac{0}{2}+\frac{\pi}{4}\right]+\frac{4}{3}\left[0-1\right]\)
\(=2\left[0+\frac{\pi}{4}\right]-\frac{4}{3}\)
\(=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{3}\) বর্গ একক।

\(Q.3.(xi)\) \(y^2=4ax\) পরাবৃত্ত এবং \(y=mx\) দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{8a^2}{3m^3}\) বর্গ একক।
[ রাঃ২০১৩; সিঃ২০১৫; বঃ২০১৪ ]

সমাধানঃ

ধরি,
\(y^2=4ax ........(1)\)
\(y=mx ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সমীকরণ সমাধান করি।
\((mx)^2=4ax\) ➜
\(\Rightarrow m^2x^2-4ax=0\)
\(\Rightarrow x(m^2x-4a)=0\)
\(\Rightarrow x=0, m^2x-4a=0\)
\(\Rightarrow x=0, m^2x=4a\)
\(\Rightarrow x=0, x=\frac{4a}{m^2}\)
\(\therefore x=0, \frac{4a}{m^2}\)
তাহলে, \((1)\) পরাবৃত্ত ও \((2)\) সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রে \(x\) এর সীমা \(0\) থেকে \(\frac{4a}{m^2}\) পর্যন্ত ।
int-image

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল \(=\int_{0}^{\frac{4a}{m^2}}{(y_{1}-y_{2})dx}\)
\(=\int_{0}^{\frac{4a}{m^2}}{\{2\sqrt{a}\sqrt{x}-mx\}dx}\) ➜
\(=2\sqrt{a}\int_{0}^{\frac{4a}{m^2}}{\sqrt{x}dx}-m\int_{0}^{\frac{4a}{m^2}}{xdx}\)
\(=2\sqrt{a}\int_{0}^{\frac{4a}{m^2}}{x^{\frac{1}{2}}dx}-m\int_{0}^{\frac{4a}{m^2}}{xdx}\)
\(=2\sqrt{a}\left[\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}\right]_{0}^{\frac{4a}{m^2}}-m\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{\frac{4a}{m^2}}\) ➜
\(=2\sqrt{a}\left[\frac{x^{\frac{1+2}{2}}}{\frac{1+2}{2}}\right]_{0}^{\frac{4a}{m^2}}-m\times{\frac{1}{2}}\left[x^2\right]_{0}^{\frac{4a}{m^2}}\)
\(=2\sqrt{a}\left[\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{\frac{4a}{m^2}}-\frac{m}{2}\left[\left(\frac{4a}{m^2}\right)^2-0^2\right]\)
\(=2\sqrt{a}\times{\frac{2}{3}}\left[x^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{\frac{4a}{m^2}}-\frac{m}{2}\left[\frac{16a^2}{m^4}-0\right]\)
\(=\frac{4\sqrt{a}}{3}\left[\left(\frac{4a}{m^2}\right)^{\frac{3}{2}}-0^{\frac{3}{2}}\right]-\frac{m}{2}\times{\frac{16a^2}{m^4}}\)
\(=\frac{4\sqrt{a}}{3}\left[\left(\frac{2\sqrt{a}}{m}\right)^{3}-0\right]-\frac{8a^2}{m^3}\)
\(=\frac{4\sqrt{a}}{3}\times{\frac{(2\sqrt{a})^3}{m^3}}-\frac{8a^2}{m^3}\)
\(=\frac{4\sqrt{a}}{3}\times{\frac{(2\sqrt{a})^2.2\sqrt{a}}{m^3}}-\frac{8a^2}{m^3}\)
\(=\frac{4\sqrt{a}}{3}\times{\frac{4a.2\sqrt{a}}{m^3}}-\frac{8a^2}{m^3}\)
\(=\frac{32a.a}{3m^3}-\frac{8a^2}{m^3}\)
\(=\frac{32a^2}{3m^3}-\frac{8a^2}{m^3}\)
\(=\frac{32a^2-24a^2}{3m^3}\)
\(=\frac{8a^2}{3m^3}\) বর্গ একক।

\(Q.4.(i)\) \(f(x)=x^2\) একটি কণিকের সমীকরণ।
ক. সমাকলন করঃ \(\int{\ln{x}dx}\).
খ. যোগজ নির্ণয় করঃ \(\int{\frac{dx}{f(x)\left(\sqrt{f(x)}+1\right)}}\).
গ. দেখাও যে, \(f(x)\) এবং \(x-y=0\) রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(\frac{1}{6}\) বর্গ একক।
উত্তরঃ ক. \(x\ln{x}-x+c\)
খ. \(\ln{|x+1|}-\ln{|x|}-\frac{1}{x}+c\)
[ সকল বঃ ২০১৮ ]

সমাধানঃ

ক. \(\int{\ln{x}dx}\)

এখানে, LIATE শব্দের
\(A=1, \ \ L=\ln{|x|}\)
যেহেতু L, শব্দের মধ্যে A এর পূর্বে আছে, তাই \(\ln{|x|}\) কে \(u\) ধরা হয়েছে।

\(=\int{\ln{|x|}.1dx}\)
\(=\ln{|x|}\int{1dx}-\int{\left\{\frac{d}{dx}(\ln{|x|})\int{1dx}\right\}dx}\) ➜
\(=\ln{|x|}.x-\int{\left\{\frac{1}{x}.x\right\}dx}\) ➜
\(=x\ln{|x|}-\int{1dx}\)
\(=x\ln{|x|}-x+c\) ➜
\(=x(\ln{|x|}-1)+c\)
খ. \(\int{\frac{dx}{f(x)\left(\sqrt{f(x)}+1\right)}}\)
\(=\int{\frac{dx}{x^2\left(\sqrt{x^2}+1\right)}}\) ➜
\(=\int{\frac{dx}{x^2(x+1)}}\)
এখন,
\(\frac{1}{x^2(x+1)}=\frac{1}{x}\left\{\frac{1}{x(x+1)}\right\}\)
\(=\frac{1}{x}\left\{\frac{1}{x(0+1)}+\frac{1}{-1.(x+1)}\right\}\) ➜
\(=\frac{1}{x}\left\{\frac{1}{x(1)}-\frac{1}{x+1}\right\}\)
\(=\frac{1}{x}\left\{\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right\}\)
\(=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x(x+1)}\)
\(=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x(0+1)}-\frac{1}{-1.(x+1)}\) ➜
\(=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x(+1)}+\frac{1}{x+1}\)
\(=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}\)
\(\therefore \frac{1}{x^2(x+1)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{x+1}dx}-\int{\frac{1}{x}dx}+\int{\frac{1}{x^2}dx}\)
\(=\ln{|x+1|}-\ln{|x|}-\frac{1}{x}+c\) ➜
\(=\ln{\left|\frac{x+1}{x}\right|}-\frac{1}{x}+c\) ➜
গ. \(f(x)\) এবং \(x-y=0\) রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্র
অর্থাৎ
\(y=x^2\) এবং \(x-y=0\) রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্র ➜
ধরি,
\(y=x^2 ........(1)\)
\(x-y=0 ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সমীকরণ সমাধান করি।
\(x=x^2\) ➜
\(\Rightarrow x^2=x\)
\(\Rightarrow x^2-x=0\)
\(\Rightarrow x(x-1)=0\)
\(\Rightarrow x=0, x-1=0\)
\(\Rightarrow x=0, x=1\)
\(\therefore x=0, 1\)
তাহলে, \((1)\) পরাবৃত্ত ও \((2)\) সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রে \(x\) এর সীমা \(0\) থেকে \(1\) পর্যন্ত।
int-image

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল \(=\int_{-1}^{2}{(y_{1}-y_{2})dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{\{x^2-x\}dx}\) ➜
\(=\int_{0}^{1}{x^2dx}-\int_{0}^{1}{xdx}\)
\(=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1}-\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1}\) ➜
\(=\frac{1}{3}\left[x^3\right]_{0}^{1}-\frac{1}{2}\left[x^2\right]_{0}^{1}\)
\(=\frac{1}{3}\left[1^3-0^3\right]-\frac{1}{2}\left[1^2-0^2\right]\)
\(=\frac{1}{3}\left[1-0\right]-\frac{1}{2}\left[1-0\right]\)
\(=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\)
\(=\frac{2-3}{6}\)
\(=\frac{-1}{6}\)
\(=-\frac{1}{6}\)
\(=\frac{1}{6}\) বর্গ একক। ➜

\(Q.4.(ii)\) দৃশ্যকল্প-I: \(f(x)=\frac{x}{(x-1)(x^2+1)}\).
দৃশ্যকল্প-II: \(2x^2+2y^2=64\).
ক. \(\int{\ln{x}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. দৃশ্যকল্প-I হতে \(\int{f(x)dx}\) নির্ণয় কর।
গ. দৃশ্যকল্প-II দ্বারা প্রথম চতুর্ভাগের আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(x\ln{|x|}-x+c\)
খ. \(\ln{|x-1|}-\frac{1}{4}\ln{|1+x^2|}+\frac{1}{2}\tan^{-1}{x}+c\)
গ. \(8\pi\) বর্গ একক।
[ ঢাঃ ২০১৭ ]

সমাধানঃ

ক. \(\int{\ln{x}dx}\)

এখানে, LIATE শব্দের
\(A=1, \ \ L=\ln{|x|}\)
যেহেতু L, শব্দের মধ্যে A এর পূর্বে আছে, তাই \(\ln{|x|}\) কে \(u\) ধরা হয়েছে।

\(=\int{\ln{|x|}.1dx}\)
\(=\ln{|x|}\int{1dx}-\int{\left\{\frac{d}{dx}(\ln{|x|})\int{1dx}\right\}dx}\) ➜
\(=\ln{|x|}.x-\int{\left\{\frac{1}{x}.x\right\}dx}\) ➜
\(=x\ln{|x|}-\int{1dx}\)
\(=x\ln{|x|}-x+c\) ➜
\(=x(\ln{|x|}-1)+c\)
খ. \(\int{f(x)dx}\)
\(=\int{\frac{x}{(x-1)(x^2+1)}dx}\) ➜
ধরি,
\(\frac{x}{(x-1)(x^2+1)}\equiv \frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1} .......(i)\)
\(\Rightarrow x\equiv A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1) .......(ii)\) ➜
এখানে, \((x-1)(x^2+1)\) দুইটি উৎপাদক এর মধ্যে \((x-1)\) সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x-1=0\)
\(\Rightarrow x=1\)
এখন, \(x=1\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(1=A(1^2+1)+(B.1+C).0\)
\(\Rightarrow 1=A(1+1)+0\)
\(\Rightarrow 1=2A\)
\(\Rightarrow 2A=1\)
\(\therefore A=\frac{1}{2}\)
এখন,
\((ii)\) এর উভয় পার্শ হতে \(x^2\) এবং \(x\) এর সহগ সমীকৃত করি। ➜

\((ii)\) এর উভয় পার্শ হতে \(x\) এর সহগ সমীকৃত করে পাই।
\(1=C-B\) ➜
\(\Rightarrow C-B=1\)
\(\Rightarrow C=1+B\)
\(\Rightarrow C=1-\frac{1}{2}\) ➜
\(\Rightarrow C=\frac{2-1}{2}\)
\(\therefore C=\frac{1}{2}\)

\((ii)\) এর উভয় পার্শ হতে \(x^2\) এর সহগ সমীকৃত করে পাই।
\(0=A+B\) ➜
\(\Rightarrow A+B=0\)
\(\Rightarrow B=-A\)
\(\therefore B=-\frac{1}{2}\) ➜

\(A\), \(B\) ও \(C\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{\frac{1}{2}}{x-1}+\frac{-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}{x^2+1}\)
\(\therefore \frac{x}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{1}{2(x-1)}-\frac{x}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2(x^2+1)}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{2(x-1)}-\frac{x}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2(x^2+1)}\right\}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x-1}dx}-\frac{1}{4}\int{\frac{2x}{x^2+1}dx}+\frac{1}{2}\int{\frac{1}{1+x^2}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\ln{|x-1|}-\frac{1}{4}\ln{|x^2+1|}+\frac{1}{2}\tan^{-1}{x}+c\) ➜
\(=\frac{1}{2}\ln{|x-1|}-\frac{1}{4}\ln{|x^2+1|}+\frac{1}{2}\tan^{-1}{x}+c\)
গ. প্রদত্ত সমীকরণ,
\(2x^2+2y^2=64\)
\(\Rightarrow 2(x^2+y^2)=64\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=\frac{64}{2}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=32\)
\(\therefore x^2+y^2=(4\sqrt{2})^2\)
যা একটি বৃত্ত প্রকাশ করে।
যার কেন্দ্র \(O(0, 0)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=4\sqrt{2}\) ➜
int-image

প্রদত্ত বৃত্ত দ্বারা প্রথম চতুর্ভাগে আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=OAB\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=\int_{0}^{4\sqrt{2}}{ydx}\)
\(=\int_{0}^{4\sqrt{2}}{\sqrt{(4\sqrt{2})^2-x^2}dx}\) ➜
\(=\left[\frac{x\sqrt{(4\sqrt{2})^2-x^2}}{2}+\frac{(4\sqrt{2})^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{4\sqrt{2}}\right)}\right]_{0}^{4\sqrt{2}}\) ➜
\(=\left[\frac{x\sqrt{32-x^2}}{2}+\frac{32}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{4\sqrt{2}}\right)}\right]_{0}^{4\sqrt{2}}\)
\(=\left[\frac{x\sqrt{32-x^2}}{2}+16\sin^{-1}{\left(\frac{x}{4\sqrt{2}}\right)}\right]_{0}^{4\sqrt{2}}\)
\(=\frac{4\sqrt{2}\sqrt{32-(4\sqrt{2})^2}}{2}+16\sin^{-1}{\left(\frac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}\right)}-\frac{0.\sqrt{32-0^2}}{2}-16\sin^{-1}{\left(\frac{0}{4\sqrt{2}}\right)}\)
\(=\frac{4\sqrt{2}\sqrt{32-32}}{2}+16\sin^{-1}{(1)}-\frac{0}{2}-16\sin^{-1}{(0)}\)
\(=\frac{4\sqrt{2}\sqrt{0}}{2}+16\sin^{-1}{\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}}-0-16\sin^{-1}{\sin{0}}\)
\(=\frac{4\sqrt{2}.0}{2}+16\times{\frac{\pi}{2}}-16\times{0}\)
\(=\frac{0}{2}+8\pi-0\)
\(=0+8\pi\)
\(=8\pi\) বর্গ একক।

\(Q.4.(iii)\) দৃশ্যকল্প-১: \(f(\theta)=\cos^3{\theta}, g(\theta)=\sin{\theta}\).
দৃশ্যকল্প-২: \(x^2+y^2=36\).
ক. \(\int{\frac{dx}{1+e^x}}\) নির্ণয় কর।
খ. দৃশ্যকল্প-I হতে নির্ণয় করঃ \((i)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1+g(\theta)}d\theta}\)
\((ii)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(\theta)\sqrt[3]{g(\theta)}d\theta}\)
গ. দৃশ্যকল্প-II এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(-\ln{|1+e^x|}+c\)
খ. \((i)\) 2. \((ii)\) \(\frac{9}{20}\)
গ. \(36\pi\) বর্গ একক।
[ বঃ ২০১৭ ]

সমাধানঃ

ক. \(\int{\frac{dx}{1+e^x}}\)

ধরি,
\(1+e^{-x}=t\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(1+e^{-x})=\frac{d}{dx}(t)\)
\(\Rightarrow 0+e^{-x}(-1)=\frac{dt}{dx}\)
\(\Rightarrow -e^{-x}=\frac{dt}{dx}\)
\(\Rightarrow -e^{-x}dx=dt\)
\(\therefore e^{-x}dx=-dt\)

\(=\int{\frac{1}{e^{x}+1}dx}\)
\(=\int{\frac{e^{-x}}{e^{x}.e^{-x}+e^{-x}}dx}\) ➜
\(=\int{\frac{e^{-x}}{e^{x-x}+e^{-x}}dx}\)
\(=\int{\frac{e^{-x}}{e^{0}+e^{-x}}dx}\)
\(=\int{\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}dx}\) ➜
\(=\int{\frac{1}{1+e^{-x}}e^{-x}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{t}(-dt)}\)
\(=-\int{\frac{1}{t}dt}\)
\(=-\ln{|t|}+c\) ➜
\(=-\ln{(1+e^{-x})}+c\) ➜
খ. \((i)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1+g(\theta)}d\theta}\)
\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1+\sin{\theta}}d\theta}\) ➜
\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{\sin^2{\left(\frac{\theta}{2}\right)}+\cos^2{\left(\frac{\theta}{2}\right)}+2\sin{\left(\frac{\theta}{2}\right)}\cos{\left(\frac{\theta}{2}\right)}}d\theta}\) ➜
\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{\left\{\sin{\left(\frac{\theta}{2}\right)}+\cos{\left(\frac{\theta}{2}\right)}\right\}^2}d\theta}\) ➜
\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left\{\sin{\left(\frac{\theta}{2}\right)}+\cos{\left(\frac{\theta}{2}\right)}\right\}d\theta}\)
\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin{\left(\frac{\theta}{2}\right)}d\theta}+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos{\left(\frac{\theta}{2}\right)}d\theta}\)
\(=\left[-\frac{1}{\frac{1}{2}}\cos{\left(\frac{\theta}{2}\right)}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\left[\frac{1}{\frac{1}{2}}\sin{\left(\frac{\theta}{2}\right)}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\) ➜
\(=-2\left[\cos{\left(\frac{1}{2}\theta\right)}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}+2\left[\sin{\left(\frac{1}{2}\theta\right)}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\)
\(=-2\left[\cos{\left(\frac{1}{2}\times{\frac{\pi}{2}}\right)}-\cos{0}\right]+2\left[\sin{\left(\frac{1}{2}\times{\frac{\pi}{2}}\right)}-\sin{0}\right]\)
\(=-2\left[\cos{\left(\frac{\pi}{4}\right)}-1\right]+2\left[\sin{\left(\frac{\pi}{4}\right)}-0\right]\) ➜
\(=-2\left[\frac{1}{\sqrt{2}}-1\right]+2\left[\frac{1}{\sqrt{2}}-0\right]\) ➜
\(=-\frac{2}{\sqrt{2}}+2+\frac{2}{\sqrt{2}}\)
\(=2\)
\((ii)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(\theta)\sqrt[3]{g(\theta)}d\theta}\)
\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos^3{\theta}\sqrt[3]{\sin{\theta}}d\theta}\) ➜

ধরি,
\(\sqrt[3]{\sin{\theta}}=t\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=t^3\)
\(\Rightarrow \frac{d}{d\theta}(\sin{\theta})=\frac{d}{d\theta}(t^3)\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=3t^2\frac{dt}{d\theta}\)
\(\therefore \cos{\theta}d\theta=3t^2dt\)

\(x\)	\(0\)	\(\frac{\pi}{2}\)
\(t\)	\(0\)	\(1\)

➜

\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos^2{\theta}\sqrt[3]{\sin{\theta}}.\cos{\theta}d\theta}\)
\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{(1-\sin^2{\theta})\sqrt[3]{\sin{\theta}}.\cos{\theta}d\theta}\)
\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\{1-(\sqrt[3]{\sin{\theta}})^6\}\sqrt[3]{\sin{\theta}}.\cos{\theta}d\theta}\)
\(=\int_{0}^{1}{\{1-t^6\}t.3t^2dt}\)
\(=3\int_{0}^{1}{t^3(1-t^6)dt}\)
\(=3\int_{0}^{1}{(t^3-t^9)dt}\)
\(=3\left[\frac{t^4}{4}-\frac{t^{10}}{10}\right]_{0}^{1}\) ➜
\(=3\left[\left(\frac{1^4}{4}-\frac{1^{10}}{10}\right)-\left(\frac{0^4}{4}-\frac{0^{10}}{10}\right)\right]\)
\(=3\left[\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{10}\right)-\left(\frac{0}{4}-\frac{0}{10}\right)\right]\)
\(=3\left[\left(\frac{5-2}{20}\right)-\left(0-0\right)\right]\)
\(=3\left[\left(\frac{3}{20}\right)-0\right]\)
\(=3\times{\frac{3}{20}}\)
\(=\frac{9}{20}\)
গ. প্রদত্ত সমীকরণ,
\(x^2+y^2=36\)
\(\therefore x^2+y^2=6^2\)
যা একটি বৃত্ত প্রকাশ করে।
যার কেন্দ্র \(O(0, 0)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=6\) ➜
int-image

বৃত্তটি চারটি চতুর্ভাগে সমান অংশে বিভক্ত ও প্রথম চতুর্ভাগে \(x\) এর সীমা \(0\) থেকে \(6\)
প্রথম চতুর্ভাগে আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=OAB\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=\int_{0}^{6}{ydx}\)
\(=\int_{0}^{6}{\sqrt{6^2-x^2}dx}\) ➜
\(=\left[\frac{x\sqrt{6^2-x^2}}{2}+\frac{6^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{6}\right)}\right]_{0}^{6}\) ➜
\(=\left[\frac{x\sqrt{36-x^2}}{2}+\frac{36}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{6}\right)}\right]_{0}^{6}\)
\(=\left[\frac{x\sqrt{36-x^2}}{2}+18\sin^{-1}{\left(\frac{x}{6}\right)}\right]_{0}^{6}\)
\(=\frac{6\sqrt{36-6^2}}{2}+18\sin^{-1}{\left(\frac{6}{6}\right)}-\frac{0.\sqrt{36-0^2}}{2}-18\sin^{-1}{\left(\frac{0}{6}\right)}\)
\(=\frac{6\sqrt{36-36}}{2}+18\sin^{-1}{(1)}-\frac{0}{2}-18\sin^{-1}{(0)}\)
\(=\frac{6\sqrt{0}}{2}+18\sin^{-1}{\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}}-0-18\sin^{-1}{\sin{0}}\)
\(=\frac{6.0}{2}+18\times{\frac{\pi}{2}}-18\times{0}\)
\(=\frac{0}{2}+9\pi-0\)
\(=0+9\pi\)
\(=9\pi\)
সমগ্র বৃত্তের ক্ষেত্রফল \(=4\times{OAB}\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=4\times{9\pi}\)
\(=36\pi\) বর্গ একক।

\(Q.4.(iv)\) \(F(x)=\frac{x^2+x+1}{x},\) \(H(x)=\frac{xe^x}{(x+1)^2}\).
ক. \(y=(x-2)(x+1)\) বক্ররেখার \(x=2\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।
খ. দেখাও যে, \(F(x)\) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।
গ. \(\int_{0}^{1}{H(x)dx}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(3\)
গ. \(\frac{e}{2}-1\).
[ যঃ ২০১৭ ]

সমাধানঃ

ক. দেওয়া আছে,
\(y=(x-2)(x+1)\)
\(\Rightarrow y=x^2-2x+x-2\)
\(\Rightarrow y=x^2-x-2\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^2-x-2)\) ➜
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^2)-\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(2)\) ➜
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2x-1-0\) ➜
\(\therefore \frac{dy}{dx}=2x-1\)
\(x=2\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=2}=2.2-1\)
\(=4-1\)
\(=3\)
খ. ধরি,
\(y=F(x)=\frac{x^2+x+1}{x} .......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2+x+1}{x}\right)\) ➜
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{x\frac{d}{dx}(x^2+x+1)-(x^2+x+1)\frac{d}{dx}(x)}{x^2}\) ➜
\(=\frac{x(2x+1+0)-(x^2+x+1).1}{x^2}\) ➜
\(=\frac{x(2x+1)-(x^2+x+1)}{x^2}\)
\(=\frac{2x^2+x-x^2-x-1}{x^2}\)
\(=\frac{x^2-1}{x^2}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{x^2-1}{x^2}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{x^2-1}{x^2}=0\) ➜
\(\Rightarrow x^2-1=0\)
\(\Rightarrow x^2=1\)
\(\Rightarrow x=\pm{1}\)
\(\therefore x=-1, 1\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2-1}{x^2}\right)\) ➜
\(=\frac{x^2\frac{d}{dx}(x^2-1)-(x^2-1)\frac{d}{dx}(x^2)}{x^4}\) ➜
\(=\frac{x^2(2x-0)-(x^2-1)2x}{x^4}\)
\(=\frac{2x^3-2x^3+2x}{x^4}\)
\(=\frac{2x}{x^4}\)
\(=\frac{2}{x^3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2}{x^3}\)
এখন, \(x=1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2}{1^3}\)
\(=\frac{2}{1}\)
\(=2\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান আছে।
ফাংশনটির লঘুমান \(=\frac{1^2+1+1}{1}\) ➜
\(=\frac{1+1+1}{1}\)
\(=\frac{3}{1}\)
\(=3\)
আবার, \(x=-1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2}{(-1)^3}\)
\(=\frac{2}{-1}\)
\(=-2\)
\(\therefore 0>\frac{d^2y}{dx^2}\)
\(\therefore x=-1\) বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান আছে।
ফাংশনটির গুরুমান \(=\frac{(-1)^2+(-1)+1}{-1}\) ➜
\(=\frac{1-1+1}{-1}\)
\(=\frac{1}{-1}\)
\(=-1\)
\(\therefore\) ফাংশনটির লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।
(Showed)
গ. \(\int_{0}^{1}{H(x)dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{\frac{xe^x}{(x+1)^2}dx}\) ➜

এখানে, LIATE শব্দের
\(A=\frac{1}{x+1}, \ \ E=e^x\)
যেহেতু A, শব্দের মধ্যে E এর পূর্বে আছে, তাই \(\frac{1}{x+1}\) কে \(u\) ধরা হয়েছে।

\(=\int_{0}^{1}{\frac{e^x(x+1)-e^x}{(x+1)^2}dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{\left\{\frac{e^x(x+1)}{(x+1)^2}-\frac{e^x}{(x+1)^2}\right\}dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{\left\{\frac{e^x}{x+1}-\frac{e^x}{(x+1)^2}\right\}dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{\frac{e^x}{x+1}dx}-\int_{0}^{1}{\frac{e^x}{(x+1)^2}dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{\frac{1}{x+1}e^xdx}-\int_{0}^{1}{\frac{e^x}{(x+1)^2}dx}\)
\(=\left[\frac{1}{x+1}.e^x\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}{\left\{\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x+1}\right)\int{e^xdx}\right\}dx}-\int_{0}^{1}{\frac{e^x}{(x+1)^2}dx}\) ➜
\(=\frac{1}{1+1}.e^1-\frac{1}{0+1}.e^0-\int_{0}^{1}{\left\{-\frac{1}{(x+1)^2}\right\}e^xdx}-\int_{0}^{1}{\frac{e^x}{(x+1)^2}dx}\) ➜
\(=\frac{1}{1+1}.e^1-\frac{1}{0+1}.e^0+\int_{0}^{1}{\frac{e^x}{(x+1)^2}dx}-\int_{0}^{1}{\frac{e^x}{(x+1)^2}dx}\)
\(=\frac{e}{2}-1.1\) ➜
\(=\frac{e}{2}-1\)

\(Q.4.(v)\) \(\phi(x,y)=9x^2+16y^2-144;\) \(f(x)=x-2\) এবং \(g(x)=\sin^6{x}\).
ক. \(\int{\frac{xdx}{x-1}}\) নির্ণয় কর।
খ. \((i)\) \(\int_{0}^{2}{f(x)\tan^{-1}{(x-2)}dx}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
\((ii)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{g(x)\cos{x}dx}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
গ. \(\phi(x,y)=0\) এবং \(f(x)=0\)দ্বারা আবদ্ধ ক্ষদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(x+\ln{|x-1|}+c\)
খ. \((i)\) \(-1+\frac{5}{2}\tan^{-1}{(2)}\).
\((ii) \frac{1}{7}\)
গ. \(4\pi-3\sqrt{3}\) বর্গ একক।
[ সিঃ ২০১৭ ]

সমাধানঃ

ক. \(\int{\frac{xdx}{x-1}}\)

ধরি,
\(x-1=t\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x-1)=\frac{d}{dx}(t)\)
\(\Rightarrow 1-0=\frac{dt}{dx}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{dt}{dx}\)
\(\therefore dx=dt\)

\(=\int{\frac{x-1+1}{x-1}dx}\)
\(=\int{\left(\frac{x-1}{x-1}+\frac{1}{x-1}\right)dx}\)
\(=\int{\left(1+\frac{1}{x-1}\right)dx}\)
\(=\int{dx}+\int{\frac{1}{x-1}dx}\)
\(=\int{dx}+\int{\frac{1}{t}dt}\)
\(=x+\ln{|t|}+c\) ➜
\(=x+\ln{|x-1|}+c\) ➜

বিকল্প পদ্ধতিঃ

\(\int{\frac{xdx}{x-1}}\)
\(=\int{\frac{x-1+1}{x-1}dx}\)
\(=\int{\left(\frac{x-1}{x-1}+\frac{1}{x-1}\right)dx}\)
\(=\int{\left(1+\frac{1}{x-1}\right)dx}\)
\(=\int{dx}+\int{\frac{1}{x-1}dx}\)
\(=x+\frac{1}{1}\ln{|x-1|}+c\) ➜
\(=x+\ln{|x-1|}+c\)
খ. \((i)\) \(\int_{0}^{2}{f(x)\tan^{-1}{(x-2)}dx}\)
\(=\int_{0}^{2}{(x-2)\tan^{-1}{(x-2)}dx}\) ➜

ধরি,
\(x-2=t\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x-2)=\frac{d}{dx}(t)\)
\(\Rightarrow 1=\frac{dt}{dx}\)
\(\therefore dx=dt\)

\(x\)	\(0\)	\(2\)
\(t\)	\(-2\)	\(0\)

➜
এখানে, LIATE শব্দের
\(I=\tan^{-1}{t}, \ \ A=t\)
যেহেতু I, শব্দের মধ্যে A এর পূর্বে আছে, তাই \(\tan^{-1}{t}\) কে \(u\) ধরা হয়েছে।

\(=\int_{-2}^{0}{t\tan^{-1}{t}dt}\)
\(=\left[\frac{t^2}{2}\tan^{-1}{t}\right]_{-2}^{0}-\int_{-2}^{0}{\left\{\frac{d}{dt}(\tan^{-1}{t})\int{tdt}\right\}dt}\) ➜
\(=\frac{1}{2}\left[t^2\tan^{-1}{t}\right]_{-2}^{0}-\int_{-2}^{0}{\frac{1}{1+t^2}.\frac{t^2}{2}dx}\) ➜
\(=\frac{1}{2}\left[0^2\tan^{-1}{(0)}-(-2)^2.\tan^{-1}{(-2)}\right]-\frac{1}{2}\int_{-2}^{0}{\frac{t^2}{1+t^2}dt}\)
\(=\frac{1}{2}\left[0\tan^{-1}{(0)}+4\tan^{-1}{(2)}\right]-\frac{1}{2}\int_{-2}^{0}{\frac{1+t^2-1}{1+t^2}dt}\)
\(=\frac{1}{2}\left[0+4\tan^{-1}{(2)}\right]-\frac{1}{2}\int+4\tan^{-1}{(2)}{\left(\frac{1+t^2}{1+t^2}-\frac{1}{1+t^2}\right)dt}\)
\(=2\tan^{-1}{(2)}-\frac{1}{2}\int_{-2}^{0}{\left(1-\frac{1}{1+t^2}\right)dt}\)
\(=2\tan^{-1}{(2)}-\frac{1}{2}\int_{-2}^{0}{1dt}+\frac{1}{2}\int_{-2}^{0}{\frac{1}{1+t^2}dt}\)
\(=2\tan^{-1}{(2)}-\frac{1}{2}\left[t\right]_{-2}^{0}+\frac{1}{2}\left[\tan^{-1}{t}\right]_{-2}^{0}\) ➜
\(=2\tan^{-1}{(2)}-\frac{1}{2}\left[0+2\right]+\frac{1}{2}\left[\tan^{-1}{(0)}-\tan^{-1}{(-2)}\right]\)
\(=2\tan^{-1}{(2)}-1+\frac{1}{2}\left[\tan^{-1}{\tan{0}}+\tan^{-1}{(2)}\right]\)
\(=2\tan^{-1}{(2)}-1+\frac{1}{2}\left[0+\tan^{-1}{(2)}\right]\)
\(=2\tan^{-1}{(2)}-1+\frac{1}{2}\tan^{-1}{(2)}\)
\(=2\tan^{-1}{(2)}+\frac{1}{2}\tan^{-1}{(2)}-1\)
\(=\frac{4+1}{2}\tan^{-1}{(2)}-1\)
\(=\frac{5}{2}\tan^{-1}{(2)}-1\)
\((ii)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(x)\cos{x}dx}\)
\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin^6{x}\cos{x}dx}\) ➜

ধরি,
\(\sin{x}=t\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(\sin{x})=\frac{d}{dx}(t)\)
\(\Rightarrow \cos{x}=\frac{dt}{dx}\)
\(\therefore \cos{x}dx=dt\)

\(x\)	\(0\)	\(\frac{\pi}{2}\)
\(t\)	\(0\)	\(1\)

➜

\(=\int_{0}^{1}{t^6dt}\)
\(=\left[\frac{t^7}{7}\right]_{0}^{1}\) ➜
\(=\frac{1}{7}\left[t^7\right]_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\)
\(=\frac{1}{7}\left[1^7-0^7\right]\)
\(=\frac{1}{7}\left[1-0\right]\)
\(=\frac{1}{7}\)
গ. \(\phi(x,y)=0\) এবং \(f(x)=0\) দ্বারা আবদ্ধ ক্ষদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল
অর্থাৎ
\(9x^2+16y^2-144=0\) এবং \(x-2=0\) দ্বারা আবদ্ধ ক্ষদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল ➜
\(\Rightarrow 9x^2+16y^2=144\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2}{144}+\frac{16y^2}{144}=\frac{144}{144}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{3^2}=1 .....(1)\)
\((1)\) নং উপবৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\) এবং বৃহৎ অক্ষ ও ক্ষুদ্র অক্ষের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(=8\) ও \(=6\) । উপবৃত্তটি \(x\) অক্ষের ধনাত্মক অংশে \(C(4,0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
সরলরেখার সমীকরণ,
\(x-2=0\)
\(\therefore x=2 ....(2)\)
এখন,
\((1)\) নং উপবৃত্ত এবং \((2)\) নং সরলরেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষুদ্রতম ক্ষেত্রটির \(x\) এর সীমা \(2\) থেকে \(4\) পর্যন্ত এবং দুইটি চতুর্ভাগে সমানভাবে বিভক্ত।
int-image

নির্নেয় আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=2\int_{2}^{4}{ydx}\)
\(=2\int_{2}^{4}{\frac{3}{4}\sqrt{4^2-x^2}dx}\) ➜
\(=2\times{\frac{3}{4}}\int_{2}^{4}{\sqrt{4^2-x^2}dx}\)
\(=\frac{3}{2}\left[\frac{x\sqrt{4^2-x^2}}{2}+\frac{4^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{4}\right)}\right]_{2}^{4}\) ➜
\(=\frac{3}{2}\left[\frac{4\sqrt{4^2-4^2}}{2}+\frac{4^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{4}{4}\right)}-\frac{2\sqrt{4^2-2^2}}{2}-\frac{4^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{2}{4}\right)}\right]\)
\(=\frac{3}{2}\left[\frac{4\sqrt{0}}{2}+\frac{16}{2}\sin^{-1}{(1)}-\frac{2\sqrt{16-4}}{2}-\frac{16}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{1}{2}\right)}\right]\)
\(=\frac{3}{2}\left[\frac{4.0}{2}+8\sin^{-1}{\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}}-\frac{2\sqrt{12}}{2}-8\sin^{-1}{\sin{\left(\frac{\pi}{6}\right)}}\right]\)
\(=\frac{3}{2}\left[\frac{0}{2}+8\times{\frac{\pi}{2}}-2\sqrt{3}-8\times{\frac{\pi}{6}}\right]\)
\(=\frac{3}{2}\left[0+4\pi-2\sqrt{3}-\frac{4\pi}{3}\right]\)
\(=\frac{3}{2}\left[4\pi-\frac{4\pi}{3}-2\sqrt{3}\right]\)
\(=\frac{3}{2}\left[\frac{12\pi-4\pi}{3}-2\sqrt{3}\right]\)
\(=\frac{3}{2}\left[\frac{8\pi}{3}-2\sqrt{3}\right]\)
\(=4\pi-3\sqrt{3}\) বর্গ একক।

\(Q.4.(vi)\) \(u=e^x\) এবং \(4x^2+9y^2=36\).
ক. দেখাও যে, \(\int{\ln{x}dx}=x\ln{|x|}-x+c\).
খ. \(\int_{0}^{\ln{2}}{\frac{u}{1+u}dx}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
গ. যোগজীকরণের সাহায্যে প্রদত্ত উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(x\ln{x}-x+c\)
খ. \(\ln{\left(\frac{3}{2}\right)}\)
গ. \(6\pi\) বর্গ একক।
[ কুঃ ২০১৭ ]

সমাধানঃ

ক. \(L.S=\int{\ln{x}dx}\)

এখানে, LIATE শব্দের
\(A=1, \ \ L=\ln{|x|}\)
যেহেতু L, শব্দের মধ্যে A এর পূর্বে আছে, তাই \(\ln{|x|}\) কে \(u\) ধরা হয়েছে।

\(=\int{\ln{|x|}.1dx}\)
\(=\ln{|x|}\int{1dx}-\int{\left\{\frac{d}{dx}(\ln{|x|})\int{1dx}\right\}dx}\) ➜
\(=\ln{|x|}.x-\int{\left\{\frac{1}{x}.x\right\}dx}\) ➜
\(=x\ln{|x|}-\int{1dx}\)
\(=x\ln{|x|}-x+c\) ➜
\(=x(\ln{|x|}-1)+c\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(shadow)
খ. \(\int_{0}^{\ln{2}}{\frac{u}{1+u}dx}\)
\(=\int_{0}^{\ln{2}}{\frac{e^x}{1+e^x}dx}\) ➜

ধরি,
\(1+e^x=t\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(1+e^x)=\frac{d}{dx}(t)\)
\(\Rightarrow 0+e^x=\frac{dt}{dx}\)
\(\Rightarrow e^x=\frac{dt}{dx}\)
\(\therefore e^xdx=dt\)

\(x\)	\(0\)	\(\ln{2}\)
\(t\)	\(2\)	\(3\)

➜

\(\int_{0}^{1}{\frac{e^x}{1+e^x}dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{\frac{1}{1+e^x}e^xdx}\)
\(=\int_{2}^{3}{\frac{1}{t}dt}\)
\(=\left[\ln{|t|}\right]_{2}^{3}\) ➜
\(=\left[\ln{|3|}-\ln{|2|}\right]\)
\(=\ln{3}-\ln{2}\)
\(=\ln{\left(\frac{3}{2}\right)}\)
গ. প্রদত্ত সমীকরণ,
\(4x^2+9y^2=36\)
\(\Rightarrow \frac{4x^2}{36}+\frac{9y^2}{36}=\frac{36}{36}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{2^2}=1\)
যা একটি উপবৃত্ত প্রকাশ করে।
যার কেন্দ্র \(O(0, 0)\) এবং বৃহৎ অক্ষ ও ক্ষুদ্র অক্ষের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(=6\) একক ও \(=4\) একক। ➜
উপবৃত্তটি অক্ষদ্বয়ের ধনাত্মক অংশে যথাক্রমে \(A(3, 0)\) ও \(B(0, 2)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
int-image

উপবৃত্তটি চারটি চতুর্ভাগে সমান অংশে বিভক্ত ও প্রথম চতুর্ভাগে \(x\) এর সীমা \(0\) থেকে \(3\)
প্রথম চতুর্ভাগে আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=OAB\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=\int_{0}^{3}{ydx}\)
\(=\int_{0}^{3}{\frac{2}{3}\sqrt{3^2-x^2}dx}\) ➜
\(=\frac{2}{3}\left[\frac{x\sqrt{3^2-x^2}}{2}+\frac{3^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{3}\right)}\right]_{0}^{3}\) ➜
\(=\frac{2}{3}\left[\frac{x\sqrt{9-x^2}}{2}+\frac{9}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{3}\right)}\right]_{0}^{3}\)
\(=\frac{2}{3}\left[\frac{3\sqrt{9-3^2}}{2}+\frac{9}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{3}{3}\right)}-\frac{0.\sqrt{9-0^2}}{2}-\frac{9}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{0}{3}\right)}\right]\)
\(=\frac{2}{3}\left[\frac{3\sqrt{9-9}}{2}+\frac{9}{2}\sin^{-1}{(1)}-\frac{0}{2}-\frac{9}{2}\sin^{-1}{(0)}\right]\)
\(=\frac{2}{3}\left[\frac{3\sqrt{0}}{2}+\frac{9}{2}\sin^{-1}{\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}}-0-\frac{9}{2}\sin^{-1}{\sin{0}}\right]\)
\(=\frac{2}{3}\left[\frac{3.0}{2}+\frac{9}{2}\times{\frac{\pi}{2}}-\frac{9}{2}\times{0}\right]\)
\(=\frac{2}{3}\left[\frac{0}{2}+\frac{9\pi}{4}-0\right]\)
\(=\frac{2}{3}\left[0+\frac{9\pi}{4}\right]\)
\(=\frac{2}{3}\times{\frac{9\pi}{4}}\)
\(=\frac{3\pi}{2}\)
সমগ্র উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল \(=4\times{OAB}\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=4\times{\frac{3\pi}{2}}\)
\(=2\times{3\pi}\)
\(=6\pi\) বর্গ একক।

\(Q.4.(vii)\) \(g(z)=mz\sin^{-1}{z}\) একটি ফাংশন এবং \(\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\) একটি বক্ররেখা।
ক. \(\int_{1}^{2}{\frac{1}{z}\cos{(\ln{z})}dz}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
খ. \(\int{g(x)dx}\) এর যোগজ নির্ণয় কর।
গ. \(b>a\) হলে উদ্দীপকে প্রদত্ত বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের অর্ধাংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(\sin{(\ln{2})}\)
খ. \(m\left(\frac{1}{2}x^2\sin^{-1}{x}-\frac{1}{4}\sin^{-1}{x}+\frac{1}{4}x\sqrt{1-x^2}\right)+c\)
গ. \(\frac{ab\pi}{2}\) বর্গ একক।
[ দিঃ ২০১৭ ]

সমাধানঃ

ক. \(\int_{1}^{2}{\frac{1}{z}\cos{(\ln{|z|})}dz}\)

ধরি,
\(\ln{|z|}=t\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dz}(\ln{|z|})=\frac{d}{dz}(t)\)
\(\Rightarrow \frac{1}{z}=\frac{dt}{dz}\)
\(\therefore \frac{1}{z}dx=dt\)

\(z\)	\(1\)	\(2\)
\(t\)	\(0\)	\(\ln{2}\)

➜

\(=\int_{1}^{2}{\cos{(\ln{|z|})}.\frac{1}{z}dz}\)
\(=\int_{0}^{\ln{(2)}}{\cos{t}.dt}\)
\(=\left[\sin{t}\right]_{0}^{\ln{(2)}}\) ➜
\(=\left[\sin{(\ln{2})}-\sin{0}\right]\)
\(=\sin{(\ln{2})}-0\) ➜
\(=\sin{(\ln{2})}\)

খ. \(\int{g(x)dx}\)
\(=\int{mx\sin^{-1}{x}dx}\) ➜

এখানে, LIATE শব্দের
\(A=x, \ \ I=\sin^{-1}{x}\)
যেহেতু I, শব্দের মধ্যে A এর পূর্বে আছে, তাই \(\sin^{-1}{x}\) কে \(u\) ধরা হয়েছে।

\(=m\int{\sin^{-1}{x}.xdx}\)
\(=m\left[\sin^{-1}{x}\int{xdx}-\int{\left\{\frac{d}{dx}(\sin^{-1}{x})\int{xdx}\right\}dx}\right]\) ➜
\(=m\left[\sin^{-1}{x}.\frac{x^2}{2}-\int{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.\frac{x^2}{2}dx}\right]\) ➜
\(=m\left[\frac{1}{2}x^2\sin^{-1}{x}-\frac{1}{2}\int{\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx}\right]\)
\(=m\left[\frac{1}{2}x^2\sin^{-1}{x}-\frac{1}{2}\int{\frac{1-(1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}}dx}\right]\)
\(=m\left[\frac{1}{2}x^2\sin^{-1}{x}-\frac{1}{2}\int{\left(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}}\right)dx}\right]\)
\(=m\left[\frac{1}{2}x^2\sin^{-1}{x}-\frac{1}{2}\int{\left(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{\sqrt{1-x^2}.\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}}\right)dx}\right]\)
\(=m\left[\frac{1}{2}x^2\sin^{-1}{x}-\frac{1}{2}\int{\left(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\sqrt{1-x^2}\right)dx}\right]\)
\(=m\left[\frac{1}{2}x^2\sin^{-1}{x}-\frac{1}{2}\int{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx}+\frac{1}{2}\int{\sqrt{1-x^2}dx}\right]\)
\(=m\left[\frac{1}{2}x^2\sin^{-1}{x}-\frac{1}{2}\sin^{-1}{x}+\frac{1}{2}\left(\frac{x\sqrt{1-x^2}}{2}+\frac{1}{2}\sin^{-1}{x}\right)\right]+c\) ➜
\(=m\left(\frac{1}{2}x^2\sin^{-1}{x}+\frac{1}{4}x\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{4}\sin^{-1}{x}-\frac{1}{2}\sin^{-1}{x}\right)+c\)
\(=m\left(\frac{1}{2}x^2\sin^{-1}{x}+\frac{1}{4}x\sqrt{1-x^2}+\frac{1-2}{4}\sin^{-1}{x}\right)+c\)
\(=m\left(\frac{1}{2}x^2\sin^{-1}{x}+\frac{1}{4}x\sqrt{1-x^2}+\frac{-1}{4}\sin^{-1}{x}\right)+c\)
\(=m\left(\frac{1}{2}x^2\sin^{-1}{x}+\frac{1}{4}x\sqrt{1-x^2}-\frac{1}{4}\sin^{-1}{x}\right)+c\)
গ. প্রদত্ত বক্ররেখা ,
\(\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\)
যা একটি উপবৃত্ত
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \ (a>b)\)
উপবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(C(0, 0)\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2a|\)
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2b|\)
বৃহদাক্ষের সমীকরণ \(y=0\)
ক্ষুদ্রাক্ষের সমীকরণ \(x=0\)
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\pm ae, 0)\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x=\pm \frac{a}{e}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{2b^2}{a}|\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(x=\pm ae\)
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\pm a, 0)\)
নিয়ামকরেখার পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\pm \frac{a}{e}, 0)\)
উপকেন্দ্রের মধ্যকার দূরত্ব \(=|2ae|\)
নিয়ামকদ্বয়ের মধ্যকার দূরত্ব \(=|\frac{2a}{e}|\)
একই দিকের উপকেন্দ্র ও অনুরূপ নিয়ামকরেখার মধ্যকার দূরত্ব \(|\frac{a}{e}-ae|\)

প্রকাশ করে।
যার কেন্দ্র \(O(0, 0)\) এবং বৃহৎ অক্ষ ও ক্ষুদ্র অক্ষের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(2b\) একক ও \(2a\) একক। ➜
উপবৃত্তটি অক্ষদ্বয়ের ধনাত্মক অংশে যথাক্রমে \(A(b, 0)\) ও \(B(0, a)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
int-image

উপবৃত্তটি চারটি চতুর্ভাগে সমান অংশে বিভক্ত ও প্রথম চতুর্ভাগে \(x\) এর সীমা \(0\) থেকে \(b\)
প্রথম চতুর্ভাগে আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=OAB\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=\int_{0}^{b}{ydx}\)
\(=\int_{0}^{b}{\frac{a}{b}\sqrt{b^2-x^2}dx}\) ➜
\(=\frac{a}{b}\left[\frac{x\sqrt{b^2-x^2}}{2}+\frac{b^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{b}\right)}\right]_{0}^{b}\) ➜
\(=\frac{a}{b}\left[\frac{x\sqrt{b^2-x^2}}{2}+\frac{b^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{b}\right)}\right]_{0}^{b}\)
\(=\frac{a}{b}\left[\frac{b\sqrt{b^2-b^2}}{2}+\frac{b^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{b}{b}\right)}-\frac{0.\sqrt{b^2-0^2}}{2}-\frac{b^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{0}{b}\right)}\right]\)
\(=\frac{a}{b}\left[\frac{b\sqrt{b^2-b^2}}{2}+\frac{b^2}{2}\sin^{-1}{(1)}-\frac{0}{2}-\frac{b^2}{2}\sin^{-1}{(0)}\right]\)
\(=\frac{a}{b}\left[\frac{b\sqrt{0}}{2}+\frac{b^2}{2}\sin^{-1}{\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}}-0-\frac{b^2}{2}\sin^{-1}{\sin{0}}\right]\)
\(=\frac{a}{b}\left[\frac{b.0}{2}+\frac{b^2}{2}\times{\frac{\pi}{2}}-\frac{b^2}{2}\times{0}\right]\)
\(=\frac{a}{b}\left[\frac{0}{2}+\frac{b^2\pi}{4}-0\right]\)
\(=\frac{a}{b}\left[0+\frac{b^2\pi}{4}\right]\)
\(=\frac{a}{b}\times{\frac{b^2\pi}{4}}\)
\(=\frac{ab\pi}{4}\)
সমগ্র উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল \(=4\times{OAB}\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=4\times{\frac{ab\pi}{4}}\)
\(=\frac{ab\pi}{2}\)
\(=\frac{1}{2}ab\pi\) বর্গ একক।

\(Q.4.(viii)\) \(f(x)=\frac{\ln{|x|}}{x^2+1} ......(1);\) \(g(x)=x^2+1 ....(2)\)
ক. \(\int{\left(\sin{\frac{x}{2}}+\cos{\frac{x}{2}}\right)^2dx}\) নির্ণয় কর।
খ. \((1)\) নং বক্ররেখার \(x=2\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ. \(\int_{0}^{1}{f(x)g(x)dx}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(x-\cos{x}+c\)
খ. \(y-\frac{\ln{2}}{5}=\frac{5-8\ln{2}}{50}(x-2)\)
গ. \(-1\)
[ রাঃ ২০১৭ ]

সমাধানঃ

ক. \(\int{\left(\sin{\frac{x}{2}}+\cos{\frac{x}{2}}\right)^2dx}\)
\(=\int{\left(\sin^2{\frac{x}{2}}+\cos^2{\frac{x}{2}}+2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}\right)dx}\) ➜
\(=\int{(1+\sin{x})dx}\) ➜
\(=\int{dx}+\int{\sin{x}dx}\)
\(=x-\cos{x}+c\) ➜
খ. ধরি,
\(y=f(x)=\frac{\ln{x}}{x^2+1} .....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln{x}}{x^2+1}\right)\) ➜
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{(x^2+1)\frac{d}{dx}(\ln{x})-\ln{x}\frac{d}{dx}(x^2+1)}{(x^2+1)^2}\) ➜
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{(x^2+1)\frac{1}{x}-\ln{x}(2x+0)}{(x^2+1)^2}\) ➜
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{x^2+1}{x}-2x\ln{x}}{(x^2+1)^2}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{x^2+1-2x^2\ln{x}}{x(x^2+1)^2}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{x^2-2x^2\ln{x}+1}{x(x^2+1)^2}\)
\(x=2\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=2}=\frac{2^2-2.2^2\ln{2}+1}{2(2^2+1)^2}\)
\(=\frac{4-2.4\ln{2}+1}{2.(4+1)^2}\)
\(=\frac{5-8\ln{2}}{2.(5)^2}\)
\(=\frac{5-8\ln{2}}{2.25}\)
\(=\frac{5-8\ln{2}}{50}\)
এখন,
\((1)\) হতে,
\(x=2\) হলে,
\(y=\frac{\ln{x}}{x^2+1}=\frac{\ln{2}}{2^2+1}\)
\(=\frac{\ln{2}}{4+1}\)
\(=\frac{\ln{2}}{5}\)
\(\therefore \left(2, \frac{\ln{2}}{5}\right)\) বা, \(x=2\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(y-\frac{\ln{2}}{5}=\frac{5-8\ln{2}}{50}(x-2)\) ➜
\(\therefore\) স্পর্শকের সমীকরণ, \(y-\frac{\ln{2}}{5}=\frac{5-8\ln{2}}{50}(x-2)\)
গ. \(\int_{0}^{1}{f(x)g(x)dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{\frac{\ln{|x|}}{x^2+1}\times{(x^2+1)}dx}\) ➜
\(=\int_{0}^{1}{\ln{|x|}dx}\)

এখানে, LIATE শব্দের
\(A=1, \ \ L=\ln{|x|}\)
যেহেতু L, শব্দের মধ্যে A এর পূর্বে আছে, তাই \(\ln{|x|}\) কে \(u\) ধরা হয়েছে।

\(=\int_{0}^{1}{\ln{|x|}.1dx}\)
\(=\left[\ln{|x|}.x\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}{\left\{\frac{d}{dx}(\ln{|x|})\int{1dx}\right\}dx}\) ➜
\(=\left[\ln{(1)}.1-\ln{(0)}.0\right]-\int_{0}^{1}{\frac{1}{x}.xdx}\) ➜
\(=0.1-0-\int_{0}^{1}{1dx}\) ➜
\(=0-\left[x\right]_{0}^{1}\) ➜
\(=-\left[1-0\right]\)
\(=-1\)

\(Q.4.(ix)\) \(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{25}=1\), \(x=3\); \(f(x)=xe^x\), \(g(x)=(x+1)^3\)
ক. \(\cot{x}=\frac{1}{9}\) হলে, \(\sec{2x}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
খ. \(\int_{0}^{3}{\frac{f(x)}{\frac{d}{dx}\{g(x)\}}dx}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
গ. উদ্দিপকের উপবৃত্ত এবং সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(-\frac{41}{40}\)
খ. \(\frac{1}{3}\left(\frac{e^3}{4}-1\right)\)
গ. \(5\left(2\pi-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\) বর্গ একক।
[ রাঃ ২০১৭ ]

সমাধানঃ

ক. দেওয়া আছে,
\(\cot{x}=\frac{1}{9}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\tan{x}}=\frac{1}{9}\)
\(\Rightarrow \tan{x}=9\)
\(\Rightarrow \tan^2{x}=9^2\)
\(\therefore \tan^2{x}=81\)
আমরা জানি,
\(\sec{2x}=\frac{1}{cos{2x}}\)
\(=\frac{1}{\frac{1-\tan^2{x}}{1+\tan^2{x}}}\) ➜
\(=\frac{1+\tan^2{x}}{1-\tan^2{x}}\)
\(=\frac{1+81}{1-81}\) ➜
\(=\frac{82}{-80}\)
\(=-\frac{41}{40}\)
খ. \(\int_{0}^{3}{\frac{f(x)}{\frac{d}{dx}\{g(x)\}}dx}\)
\(=\int_{0}^{3}{\frac{xe^x}{\frac{d}{dx}\{(x+1)^3\}}dx}\) ➜
\(=\int_{0}^{3}{\frac{xe^x}{3(x+1)^2}dx}\) ➜

এখানে, LIATE শব্দের
\(A=\frac{1}{x+1}, \ \ E=e^x\)
যেহেতু A, শব্দের মধ্যে E এর পূর্বে আছে, তাই \(\frac{1}{x+1}\) কে \(u\) ধরা হয়েছে।

\(=\frac{1}{3}\int_{0}^{3}{\frac{xe^x}{(x+1)^2}dx}\)
\(=\frac{1}{3}\int_{0}^{3}{\frac{e^x(x+1)-e^x}{(x+1)^2}dx}\)
\(=\frac{1}{3}\int_{0}^{3}{\left\{\frac{e^x(x+1)}{(x+1)^2}-\frac{e^x}{(x+1)^2}\right\}dx}\)
\(=\frac{1}{3}\int_{0}^{3}{\left\{\frac{e^x}{x+1}-\frac{e^x}{(x+1)^2}\right\}dx}\)
\(=\frac{1}{3}\int_{0}^{3}{\frac{e^x}{x+1}dx}-\frac{1}{3}\int_{0}^{3}{\frac{e^x}{(x+1)^2}dx}\)
\(=\frac{1}{3}\int_{0}^{3}{\frac{1}{x+1}e^xdx}-\frac{1}{3}\int_{0}^{3}{\frac{e^x}{(x+1)^2}dx}\)
\(=\frac{1}{3}\left[\frac{1}{x+1}.e^x\right]_{0}^{3}-\frac{1}{3}\int_{0}^{3}{\left\{\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x+1}\right)\int{e^xdx}\right\}dx}-\frac{1}{3}\int_{0}^{3}{\frac{e^x}{(x+1)^2}dx}\) ➜
\(=\frac{1}{3}\left[\frac{1}{3+1}.e^3-\frac{1}{0+1}.e^0\right]-\frac{1}{3}\int_{0}^{3}{\left\{-\frac{1}{(x+1)^2}\right\}e^xdx}-\frac{1}{3}\int_{0}^{3}{\frac{e^x}{(x+1)^2}dx}\) ➜
\(=\frac{1}{3}\left[\frac{1}{3+1}.e^3-\frac{1}{0+1}.e^0\right]+\frac{1}{3}\int_{0}^{3}{\frac{e^x}{(x+1)^2}dx}-\frac{1}{3}\int_{0}^{3}{\frac{e^x}{(x+1)^2}dx}\)
\(=\frac{1}{3}\left[\frac{e^3}{4}-1.1\right]\)
\(=\frac{1}{3}\left(\frac{e^3}{4}-1\right)\)
int-image

গ. উপবৃত্তের সমীকরণ,
\(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{25}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{25}=1-\frac{x^2}{36}\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{25}=\frac{36-x^2}{36}\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{25}=\frac{1}{36}(36-x^2)\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{25}{36}(36-x^2)\)
\(\Rightarrow y=\sqrt{\frac{25}{36}(36-x^2)}\)
\(\Rightarrow y=\frac{5}{6}\sqrt{36-x^2}\)
এবং সরলরেখার সমীকরণ, \(x=3\)
উপবৃত্ত এবং সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল
\(=2\int_{3}^{6}{ydx}\)
\(=2\int_{3}^{6}{\frac{5}{6}\sqrt{36-x^2}dx}\) ➜
\(=2\times{\frac{5}{6}}\int_{3}^{6}{\sqrt{6^2-x^2}dx}\)
\(=\frac{5}{3}\left[\frac{x\sqrt{6^2-x^2}}{2}+\frac{6^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{6}\right)}\right]_{3}^{6}\) ➜
\(=\frac{5}{3}\left[\frac{x\sqrt{36-x^2}}{2}+\frac{36}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{6}\right)}\right]_{3}^{6}\)
\(=\frac{5}{3}\left[\frac{x\sqrt{36-x^2}}{2}+18\sin^{-1}{\left(\frac{x}{6}\right)}\right]_{3}^{6}\)
\(=\frac{5}{3}\left[\frac{6\sqrt{36-6^2}}{2}+18\sin^{-1}{\left(\frac{6}{6}\right)}-\frac{3\sqrt{36-3^2}}{2}-18\sin^{-1}{\left(\frac{3}{6}\right)}\right]\)
\(=\frac{5}{3}\left[\frac{6\sqrt{36-36}}{2}+18\sin^{-1}{(1)}-\frac{3\sqrt{36-9}}{2}-18\sin^{-1}{\left(\frac{1}{2}\right)}\right]\)
\(=\frac{5}{3}\left[\frac{6\sqrt{0}}{2}+18\sin^{-1}{\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}}-\frac{3\sqrt{27}}{2}-18\sin^{-1}{\sin{\left(\frac{\pi}{6}\right)}}\right]\)
\(=\frac{5}{3}\left[\frac{6.0}{2}+18\times{\frac{\pi}{2}}-\frac{3\times{3\sqrt{3}}}{2}-18\times{\frac{\pi}{6}}\right]\)
\(=\frac{5}{3}\left[\frac{0}{2}+9\pi-\frac{9\sqrt{3}}{2}-3\pi\right]\)
\(=\frac{5}{3}\left[0+6\pi-\frac{9\sqrt{3}}{2}\right]\)
\(=\frac{5}{3}\left(6\pi-\frac{9\sqrt{3}}{2}\right)\)
\(=\frac{5}{3}\times{3}\left(2\pi-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\)
\(=5\left(2\pi-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\) বর্গ একক।

\(Q.4.(x)\) \(f(x)=x^3-6x^2+9x-8\)
ক. \(\int{xe^{2x}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. \(\int{f(\sin{\theta})d\theta}\) নির্ণয় কর।
গ. \(f(x)\) এর চরম মাণ গুলি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(\frac{1}{4}(2xe^{2x}-e^{2x})+c\),
খ. \(\frac{1}{12}\cos{3\theta}-\frac{39}{4}\cos{\theta}+\frac{3}{2}\sin{2\theta}-11\theta+c\)
গ. বৃহত্তমমান \(=-4\).
ক্ষুদ্রতমমান \( =-8\) .

সমাধানঃ

ক. \(\int{xe^{2x}dx}\)

এখানে, LIATE শব্দের
\(A=x, \ \ E=e^{2x}\)
যেহেতু A, শব্দের মধ্যে E এর পূর্বে আছে, তাই \(x\) কে \(u\) ধরা হয়েছে।

\(=\left[x\int{e^{2x}dx}-\int{\left\{\frac{d}{dx}(x)\int{e^{2x}dx}\right\}dx}\right]\) ➜
\(=\left[x\frac{1}{2}e^{2x}-\int{1.\frac{1}{2}e^{2x}dx}\right]\) ➜
\(=\frac{1}{2}xe^{2x}-\frac{1}{2}\int{e^{2x}dx}\)
\(=\frac{1}{2}xe^{2x}-\frac{1}{2}.\frac{1}{2}e^{2x}+c\) ➜
\(=\frac{1}{2}xe^{2x}-\frac{1}{4}e^{2x}+c\)
\(=\frac{1}{4}(2xe^{2x}-e^{2x})+c\)
খ. \(\int{f(\sin{\theta})d\theta}\)
\(=\int{(\sin^3{\theta}-6\sin^2{\theta}+9\sin{\theta}-8)d\theta}\) ➜
\(=\int{\sin^3{\theta}d\theta}-6\int{\sin^2{\theta}d\theta}+9\int{\sin{\theta}d\theta}-8\int{1d\theta}\)
\(=\frac{1}{4}\int{4\sin^3{\theta}d\theta}-3\int{2\sin^2{\theta}d\theta}-9\cos{\theta}-8\theta\)
\(=\frac{1}{4}\int{(3\sin{\theta}-\sin{3\theta})d\theta}-3\int{(1-\cos{2\theta})d\theta}-9\cos{\theta}-8\theta\) ➜
\(=\frac{3}{4}\int{\sin{\theta}d\theta}-\frac{1}{4}\int{\sin{3\theta}d\theta}-3\int{1d\theta}+3\int{\cos{2\theta}d\theta}-9\cos{\theta}-8\theta\)
\(=-\frac{3}{4}\cos{\theta}+\frac{1}{4}\times{\frac{1}{3}}\cos{3\theta}-3\theta+3\times{\frac{1}{2}}\sin{2\theta}-9\cos{\theta}-8\theta+c\) ➜
\(=\frac{1}{12}\cos{3\theta}-\frac{3}{4}\cos{\theta}-9\cos{\theta}+\frac{3}{2}\sin{2\theta}-11\theta+c\)
\(=\frac{1}{12}\cos{3\theta}-\frac{3+36}{4}\cos{\theta}+\frac{3}{2}\sin{2\theta}-11\theta+c\)
\(=\frac{1}{12}\cos{3\theta}-\frac{39}{4}\cos{\theta}+\frac{3}{2}\sin{2\theta}-11\theta+c\)
int-image

গ. ধরি,
\(y=f(x)=x^3-6x^2+9x-8 ......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^3-6x^2+9x-8)\) ➜
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^3)-6\frac{d}{dx}(x^2)+9\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(8)\) ➜
\(=3x^2-6.2x+9.1-0\) ➜
\(=3x^2-12x+9\)
\(=3(x^2-4x+3)\)
\(=3\{x^2-3x-x+3\}\)
\(=3\{x(x-3)-1(x-3)\}\)
\(=3(x-3)(x-1)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=3(x-3)(x-1)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 3(x-3)(x-1)=0\) ➜
\(\Rightarrow (x-3)(x-1)=0\)
\(\Rightarrow x-3=0, x-1=0\)
\(\Rightarrow x=3, x=1\)
\(\therefore x=3, 1\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(3x^2-12x+9)\) ➜
\(=3\frac{d}{dx}(x^2)-12\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(9)\) ➜
\(=3.2x-12.1+0\) ➜
\(=6x-12\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=6x-12\)
এখন, \(x=1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=6.1-12\)
\(=6-12\)
\(=-6\)
\(\therefore 0>\frac{d^2y}{dx^2}\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে ফাংশনটির বৃহত্তমমান আছে।
ফাংশনটির বৃহত্তমমান \(=1^3-6.1^2+9.1-8\) ➜
\(=1-6+9-8\)
\(=10-14\)
\(=-4\)
আবার, \(x=3\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=6.3-12\)
\(=18-12\)
\(=6\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=3\) বিন্দুতে ফাংশনটির ক্ষুদ্রতমমান আছে।
ফাংশনটির ক্ষুদ্রতমমান \(=3^3-6.3^2+9.3-8 \) ➜
\(=27-6.9+27-8\)
\(=54-54-8\)
\(=-8\)
\(\therefore \) বৃহত্তমমান \(=-4\).
ক্ষুদ্রতমমান \( =-8\) .

\(Q.4.(xi)\) \(8x^2+9y^2=72\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ।
ক. \(\int{\frac{1}{\sqrt{2x+1}}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. উপবৃত্তটি \(x=1\) রেখাকে যে সকল বিন্দুতে ছেদ করে ঐ বিন্দু গুলিতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ. যোগজীকরণের সাহায্যে উপবৃত্তটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(\sqrt{2x+1}+c\);
খ. \(x+3y-9=0, x-3y-9=0\);
গ. \(6\sqrt{2}\pi\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

ক. \(\int{\frac{1}{\sqrt{2x+1}}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{(2x+1)^{\frac{1}{2}}}dx}\)
\(=\int{(2x+1)^{-\frac{1}{2}}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\frac{(2x+1)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+c\) ➜
\(=\frac{1}{2}\frac{(2x+1)^{\frac{-1+2}{2}}}{\frac{-1+2}{2}}+c\)
\(=\frac{1}{2}\frac{(2x+1)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+c\)
\(=(2x+1)^{\frac{1}{2}}+c\)
\(=\sqrt{2x+1}+c\)
খ. ধরি,
\(8x^2+9y^2=72 ......(1)\)
\(x=1 ......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সমীকরণ সমাধান করি।
\(8.1^2+9y^2=72\) ➜
\(\Rightarrow 8.1+9y^2=72\)
\(\Rightarrow 8+9y^2=72\)
\(\Rightarrow 9y^2=72-8\)
\(\Rightarrow 9y^2=64\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{64}{9}\)
\(\Rightarrow y=\pm{\sqrt{\frac{64}{9}}}\)
\(\therefore y=\pm{\frac{8}{3}}\)
\(\therefore x=1\) রেখাটি উপবৃত্তটিকে \((1, \frac{8}{3})\) এবং \((1, -\frac{8}{3})\) বিন্দুতে ছেদ করে।
এখন,
\(16x+18y\frac{dy}{dx}=0\) ➜
\(\Rightarrow 18y\frac{dy}{dx}=-16x\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{16x}{18y}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=-\frac{8x}{9y}\)
\((1, \frac{8}{3})\) বিন্দুতে \(\frac{dy}{dx}=-\frac{8.1}{9\times{\frac{8}{3}}}\)
\(=-\frac{8}{3\times{8}}\)
\(=-\frac{1}{3\times{1}}\)
\(=-\frac{1}{3}\)
আবার,
\((1, -\frac{8}{3})\) বিন্দুতে \(\frac{dy}{dx}=-\frac{8.1}{9\times{-\frac{8}{3}}}\)
\(=-\frac{8}{-3\times{8}}\)
\(=-\frac{1}{-3\times{1}}\)
\(=\frac{1}{3}\)
এখন,
\((1, \frac{8}{3})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ
\(y-\frac{8}{3}=-\frac{1}{3}(x-1)\) ➜
\(\Rightarrow 3y-8=-(x-1)\) ➜
\(\Rightarrow 3y-8=-x+1\)
\(\Rightarrow x+3y-8-1=0\)
\(\therefore x+3y-9=0\)
আবার,
\((1, -\frac{8}{3})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ
\(y+\frac{8}{3}=\frac{1}{3}(x-1)\) ➜
\(\Rightarrow 3y+8=x-1\) ➜
\(\Rightarrow x-1=3y+8\)
\(\Rightarrow x-1-3y-8=0\)
\(\therefore x-3y-9=0\)
গ. প্রদত্ত সমীকরণ,
\(8x^2+9y^2=72\)
\(\Rightarrow \frac{8x^2}{72}+\frac{9y^2}{72}=\frac{72}{72}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{(2\sqrt{2})^2}=1\)
যা একটি উপবৃত্ত
উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \ (a>b)\)
উপবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(C(0, 0)\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2a|\)
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2b|\)
বৃহদাক্ষের সমীকরণ \(y=0\)
ক্ষুদ্রাক্ষের সমীকরণ \(x=0\)
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\pm ae, 0)\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ \(x=\pm \frac{a}{e}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|\frac{2b^2}{a}|\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(x=\pm ae\)
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\pm a, 0)\)
নিয়ামকরেখার পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\pm \frac{a}{e}, 0)\)
উপকেন্দ্রের মধ্যকার দূরত্ব \(=|2ae|\)
নিয়ামকদ্বয়ের মধ্যকার দূরত্ব \(= |\frac{2a}{e}|\)
একই দিকের উপকেন্দ্র ও অনুরূপ নিয়ামকরেখার মধ্যকার দূরত্ব \(|\frac{a}{e}-ae|\)

প্রকাশ করে।
যার কেন্দ্র \(O(0, 0)\) এবং বৃহৎ অক্ষ ও ক্ষুদ্র অক্ষের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(2b\) একক ও \(2a\) একক। ➜
উপবৃত্তটি অক্ষদ্বয়ের ধনাত্মক অংশে যথাক্রমে \(A(3, 0)\) ও \(B(0, 2\sqrt{2})\) বিন্দুতে ছেদ করে।
int-image

উপবৃত্তটি চারটি চতুর্ভাগে সমান অংশে বিভক্ত ও প্রথম চতুর্ভাগে \(x\) এর সীমা \(0\) থেকে \(3\)
প্রথম চতুর্ভাগে আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=OAB\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=\int_{0}^{3}{ydx}\)
\(=\int_{0}^{3}{\frac{2\sqrt{2}}{3}\sqrt{3^2-x^2}dx}\) ➜
\(=\frac{2\sqrt{2}}{3}\left[\frac{x\sqrt{3^2-x^2}}{2}+\frac{3^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{3}\right)}\right]_{0}^{3}\) ➜
\(=\frac{2\sqrt{2}}{3}\left[\frac{x\sqrt{9-x^2}}{2}+\frac{9}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{3}\right)}\right]_{0}^{3}\)
\(=\frac{2\sqrt{2}}{3}\left[\frac{3\sqrt{9-3^2}}{2}+\frac{9}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{3}{3}\right)}-\frac{0.\sqrt{9-0^2}}{2}-\frac{9}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{0}{3}\right)}\right]\)
\(=\frac{2\sqrt{2}}{3}\left[\frac{3\sqrt{9-9}}{2}+\frac{9}{2}\sin^{-1}{(1)}-\frac{0}{2}-\frac{9}{2}\sin^{-1}{(0)}\right]\)
\(=\frac{2\sqrt{2}}{3}\left[\frac{3\sqrt{0}}{2}+\frac{9}{2}\sin^{-1}{\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}}-0-\frac{9}{2}\sin^{-1}{\sin{0}}\right]\)
\(=\frac{2\sqrt{2}}{3}\left[\frac{3.0}{2}+\frac{9}{2}\times{\frac{\pi}{2}}-\frac{9}{2}\times{0}\right]\)
\(=\frac{2\sqrt{2}}{3}\left[\frac{0}{2}+\frac{9\pi}{4}-0\right]\)
\(=\frac{2\sqrt{2}}{3}\left[0+\frac{9\pi}{4}\right]\)
\(=\frac{2\sqrt{2}}{3}\times{\frac{9\pi}{4}}\)
\(=\sqrt{2}\times{\frac{3\pi}{2}}\)
\(=\frac{3\sqrt{2}\pi}{2}\)
সমগ্র উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল \(=4\times{OAB}\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=4\times{\frac{3\sqrt{2}\pi}{2}}\)
\(=2\times{3\sqrt{2}\pi}\)
\(=6\sqrt{2}\pi\) বর্গ একক।

\(Q.4.(xii)\) \(\phi(x)=x^4-8x^3+22x^2-24x+5\)
ক. \(\int_{0}^{1}{\frac{1}{3+x^2}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. \(\int{\phi(\cos{x})dx}\) নির্ণয় কর।
গ. \(\phi(x)\) এর চরম মাণ গুলি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(\frac{\pi}{6\sqrt{3}}\)
খ. \(\frac{1}{32}\sin{4x}-\frac{2}{3}\sin{3x}+\frac{23}{4}\sin{2x}-30\sin{x}+\frac{131}{8}x+c\)
গ. গরিষ্ঠমান \(=-3\).
লঘিষ্ঠমান \( =-4\) .

সমাধানঃ

ক. \(\int_{0}^{1}{\frac{1}{3+x^2}dx}\)
\(\int_{0}^{1}{\frac{dx}{(\sqrt{3})^2+x^2}}\)
\(=\left[\frac{1}{\sqrt{3}}\tan^{-1}{\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)}\right]_{0}^{1}\) ➜
\(=\frac{1}{\sqrt{3}}\left[\tan^{-1}{\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)}\right]_{0}^{1}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{3}}\left[\tan^{-1}{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}-\tan^{-1}{\left(\frac{0}{\sqrt{3}}\right)}\right]\)
\(=\frac{1}{\sqrt{3}}\left[\tan^{-1}{\tan{\left(\frac{\pi}{6}\right)}}-\tan^{-1}{0}\right]\)
\(=\frac{1}{\sqrt{3}}\left[\frac{\pi}{6}-0\right]\)
\(=\frac{\pi}{6\sqrt{3}}\)
খ. \(\int{\phi(\cos{x})dx}\)
\(=\int{(\cos^4{x}-8\cos^3{x}+22\cos^2{x}-24\cos{x}+5)dx}\) ➜
\(=\int{\cos^4{x}dx}-8\int{\cos^3{x}dx}+22\int{\cos^2{x}dx}-24\int{\cos{x}dx}+5\int{1dx}\)
\(=\frac{1}{4}\int{4\cos^4{x}dx}-2\int{4\cos^3{x}dx}+11\int{2\cos^2{x}dx}-24\sin{x}+5x\)
\(=\frac{1}{4}\int{(2\cos^2{x})^2dx}-2\int{(\cos{3x}+3\cos{x})dx}+11\int{(1+\cos{2x})dx}-24\sin{x}+5x\)
\(=\frac{1}{4}\int{(1+\cos{2x})^2dx}-2\int{\cos{3x}dx}-6\int{\cos{x}dx}+11\int{1dx}+11\int{\cos{2x}dx}-24\sin{x}+5x\)
\(=\frac{1}{4}\int{(1+2\cos{2x}+\cos^2{2x})dx}-2\times{\frac{1}{3}}\sin{3x}-6\sin{x}+11x+11\times{\frac{1}{2}}\sin{2x}-24\sin{x}+5x\)
\(=\frac{1}{4}\int{1dx}+\frac{1}{2}\int{\cos{2x}dx}+\frac{1}{4}\int{\cos^2{2x}dx}-\frac{2}{3}\sin{3x}+\frac{11}{2}\sin{2x}-30\sin{x}+16x\)
\(=\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}\times{\frac{1}{2}}\sin{2x}+\frac{1}{8}\int{2\cos^2{2x}dx}-\frac{2}{3}\sin{3x}+\frac{11}{2}\sin{2x}-30\sin{x}+16x\)
\(=\frac{1}{4}\sin{2x}+\frac{1}{8}\int{(1+\cos{4x})dx}-\frac{2}{3}\sin{3x}+\frac{11}{2}\sin{2x}-30\sin{x}+\frac{1+64}{4}x\)
\(=\frac{1}{8}\int{1dx}+\frac{1}{8}\int{\cos{4x}dx}-\frac{2}{3}\sin{3x}+\frac{22+1}{4}\sin{2x}-30\sin{x}+\frac{65}{4}x\)
\(=\frac{1}{8}x+\frac{1}{8}\times{\frac{1}{4}}\sin{4x}-\frac{2}{3}\sin{3x}+\frac{23}{4}\sin{2x}-30\sin{x}+\frac{65}{4}x\)
\(=\frac{1}{32}\sin{4x}-\frac{2}{3}\sin{3x}+\frac{23}{4}\sin{2x}-30\sin{x}+\frac{1+130}{8}x+c\)
\(=\frac{1}{32}\sin{4x}-\frac{2}{3}\sin{3x}+\frac{23}{4}\sin{2x}-30\sin{x}+\frac{131}{8}x+c\)
গ. ধরি,
\(y=\phi(x)=x^4-8x^3+22x^2-24x+5 .....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^4-8x^3+22x^2-24x+5)\) ➜
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^4)-8\frac{d}{dx}(x^3)+22\frac{d}{dx}(x^2)-24\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(5)\) ➜
\(=4x^3-8.3x^2+22.2x-24.1+0\) ➜
\(=4x^3-24x^2+44x-24\)
\(=4(x^3-6x^2+11x-6)\)
\(=4\{x^3-x^2-5x^2+5x+6x-6\}\)
\(=4\{x^2(x-1)-5x(x-1)+6(x-1)\}\)
\(=4(x-1)\{x^2-5x+6\}\)
\(=4(x-1)\{x^2-3x-2x+6\}\)
\(=4(x-1)\{x(x-3)-2(x-3)\}\)
\(=4(x-1)(x-2)(x-3)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=4(x-1)(x-2)(x-3)\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 4(x-1)(x-2)(x-3)=0\) ➜
\(\Rightarrow (x-1)(x-2)(x-3)=0\)
\(\Rightarrow x-1=0, x-2=0, x-3=0\)
\(\Rightarrow x=1, x=2, x=3\)
\(\therefore x=1, 2, 3\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}(4x^3-24x^2+44x-24)\) ➜
\(=4\frac{d}{dx}(x^3)-24\frac{d}{dx}(x^2)+44\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(24)\) ➜
\(=4.3x^2-24.2x+44.1-0\) ➜
\(=12x^2-48x+44\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=12x^2-48x+44\)
এখন, \(x=1\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.1^2-48.1+44\)
\(=12-48+44\)
\(=56-48\)
\(=8\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=1\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান আছে।
ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান \(=1^4-8.1^3+22.1^2-24.1+5\) ➜
\(=1-8.1+22.1-24+5\)
\(=1-8+22-24+5\)
\(=28-32\)
\(=-4\)
আবার, \(x=2\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.2^2-48.2+44\)
\(=12.4-96+44\)
\(=48-96+44\)
\(=92-96\)
\(=-4\)
\(\therefore 0>\frac{d^2y}{dx^2}\)
\(\therefore x=2\) বিন্দুতে ফাংশনটির গরিষ্ঠমান আছে।
ফাংশনটির গরিষ্ঠমান \(=2^4-8.2^3+22.2^2-24.2+5\) ➜
\(=16-8.8+22.4-48+5\)
\(=16-64+88-48+5\)
\(=109-112\)
\(=-3\)
আবার, \(x=3\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=12.3^2-48.3+44\)
\(=12.9-144+44\)
\(=108-144+44\)
\(=152-96\)
\(=56\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=3\) বিন্দুতে ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান আছে।
ফাংশনটির লঘিষ্ঠমান \(=3^4-8.3^3+22.3^2-24.3+5\) ➜
\(=81-8.27+22.9-72+5\)
\(=81-216+198-72+5\)
\(=284-288\)
\(=-4\)

\(Q.4.(xiii)\) \(y=(x-4)^2(x-3)\) একটি বক্ররেখার সমীকরণ।
ক. \(\int{\frac{1}{1+\cos{2x}}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. \(\int{\frac{x}{y}dx}\) নির্ণয় কর।
গ. বক্ররেখাটির যে সমস্ত বিন্দুতে স্পর্শক \(x\) অক্ষের সমান্তরাল ঐ সমস্ত বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(\frac{1}{2}\tan{x}+c\)
খ. \(3\ln{\left|\frac{x-3}{x-4}\right|}-\frac{4}{x-4}+c\)
গ. \((4,0); \left(\frac{10}{3}, \frac{4}{27}\right)\)

সমাধানঃ

ক. \(\int{\frac{1}{1+\cos{2x}}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{2\cos^2{x}}dx}\) ➜
\(=\frac{1}{2}\int{\frac{1}{\cos^2{x}}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\int{\sec^2{x}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\tan{x}+c\) ➜
খ. \(\int{\frac{x}{y}dx}\)
\(=\int{\frac{x}{(x-4)^2(x-3)}dx}\) ➜
ধরি,
\(\frac{x}{(x-4)^2(x-3)}\equiv \frac{A}{x-3}+\frac{B}{x-4}+\frac{C}{(x-4)^2} .......(i)\)
\(\Rightarrow x\equiv A(x-4)^2+B(x-4)(x-3)+C(x-3) .......(ii)\) ➜

আবার, অপর উৎপাদকটি সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x-4=0\)
\(\Rightarrow x=4\)
এখন, \(x=4\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(4=A.0+B.0.(4-3)+C(4-3)\)
\(\Rightarrow 4=0+0+C(1)\)
\(\Rightarrow 4=C\)
\(\therefore C=4\)

এখানে, \((x-4)^2(x-3)\) দুইটি উৎপাদক এর যে কোনো একটি সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x-3=0\)
\(\Rightarrow x=3\)
এখন, \(x=3\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(3= A(3-4)^2+B(3-4).0+C.0\)
\(\Rightarrow 3=A.(-1)^2+0+0\)
\(\Rightarrow 3=A.1\)
\(\Rightarrow 3=A\)
\(\therefore A=3\)
\(B\) এর মান নির্ণয়ের জন্য তৃতীয় কোনো উৎপাদক না থাকায় \((ii)\) এর উভয় পার্শ হতে \(x^2\) এর সহগ সমীকৃত করে পাই।
\(0=A+B\) ➜
\(\Rightarrow A+B=0\)
\(\Rightarrow B=-A\)
\(\therefore B=-3\) ➜

\(A\), \(B\) ও \(C\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{x}{(x-4)^2(x-3)}=\frac{3}{x-3}+\frac{-3}{x-4}+\frac{4}{(x-4)^2}\)
\(\therefore \frac{x}{(x-4)^2(x-3)}=\frac{3}{x-3}-\frac{3}{x-4}+\frac{4}{(x-4)^2}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{3}{x-3}-\frac{3}{x-4}+\frac{4}{(x-4)^2}\right\}dx}\)
\(=3\int{\frac{1}{x-3}dx}-3\int{\frac{1}{x-4}dx}+4\int{\frac{1}{(x-4)^2}dx}\)
\(=3\ln{|x-3|}-3\ln{|x-4|}-4\frac{1}{x-4}+c\) ➜
\(=3\left(\ln{|x-3|}-\ln{|x-4|}\right)-4\frac{1}{x-4}+c\)
\(=3\ln{\left|\frac{x-3}{x-4}\right|}-4\frac{1}{x-4}+c\) ➜

বিকল্প পদ্ধতিঃ

\(\int{\frac{x}{(x-4)^2(x-3)}dx}\)
এখন,
\(\frac{x}{(x-4)^2(x-3)}=\frac{1}{x-4}\left\{\frac{x}{(x-4)(x-3)}\right\}\)
\(=\frac{1}{x-4}\left\{\frac{1}{(x-4)(4-3)}+\frac{3}{(3-4)(x-3)}\right\}\) ➜
\(=\frac{1}{x-4}\left\{\frac{1}{(x-1)(1)}+\frac{3}{(-1)(x-3)}\right\}\)
\(=\frac{1}{x-4}\left\{\frac{1}{x-4}-\frac{3}{x-3}\right\}\)
\(=\frac{1}{(x-4)^2}-\frac{3}{(x-4)(x-3)}\)
\(=\frac{1}{(x-4)^2}-\frac{3}{(x-4)(4-3)}-\frac{3}{(3-4)(x-3)}\) ➜
\(=\frac{1}{(x-4)^2}-\frac{3}{(x-4)(1)}-\frac{3}{(-1)(x-3)}\)
\(=\frac{1}{(x-4)^2}-\frac{3}{x-4}+\frac{3}{x-3}\)
\(\therefore \frac{x}{(x-4)^2(x-3)}=\frac{3}{x-3}-\frac{3}{x-4}+\frac{1}{(x-4)^2}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{3}{x-3}-\frac{3}{x-4}+\frac{4}{(x-4)^2}\right\}dx}\)
\(=3\int{\frac{1}{x-3}dx}-3\int{\frac{1}{x-4}dx}+4\int{\frac{1}{(x-4)^2}dx}\)
\(=3\ln{|x-3|}-3\ln{|x-4|}-4\frac{1}{x-4}+c\) ➜
\(=3\left(\ln{|x-3|}-\ln{|x-4|}\right)-4\frac{1}{x-4}+c\)
\(=3\ln{\left|\frac{x-3}{x-4}\right|}-4\frac{1}{x-4}+c\) ➜
গ. ধরি,
\(y=(x-4)^2(x-3) .....(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{(x-4)^2(x-3)\}\) ➜
\(=(x-4)^2\frac{d}{dx}(x-3)+(x-3)\frac{d}{dx}(x-4)^2\) ➜
\(=(x-4)^2(1-0)+(x-3).2(x-4)(1-0)\) ➜
\(=(x-4)^2+2(x-3)(x-4)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=(x-4)^2+2(x-3)(x-4)\)
যেহেতু, স্পর্শক \(x\) অক্ষের সমান্তরাল \(\therefore \frac{dy}{dx}=\infty\)
\(\therefore (x-4)^2+2(x-3)(x-4)=0\)
\(\Rightarrow (x-4)\{x-4+2(x-3)\}=0\)
\(\Rightarrow (x-4)\{x-4+2x-6\}=0\)
\(\Rightarrow (x-4)(3x-10)=0\)
\(\Rightarrow x-4=0, 3x-10=0\)
\(\Rightarrow x=4, 3x=10\)
\(\Rightarrow x=4, x=\frac{10}{3}\)
\(\therefore x=4, \frac{10}{3}\)
এখন, \(x=4, \frac{10}{3}, \ (1)\) সমীকরণে বসিয়ে,
\(x=4 \Rightarrow y=(4-4)^2(4-3)\)
\(\Rightarrow y=0^2.(1)\)
\(\Rightarrow y=0.1\)
\(\therefore y=0\)
\(x=\frac{10}{3} \Rightarrow y=\left(\frac{10}{3}-4\right)^2\left(\frac{10}{3}-3\right)\)
\(\Rightarrow y=\left(\frac{10-12}{3}\right)^2\times{\frac{10-9}{3}}\)
\(\Rightarrow y=\left(\frac{-2}{3}\right)^2\times{\frac{1}{3}}\)
\(\Rightarrow y=\frac{4}{9}\times{\frac{1}{3}}\)
\(\therefore y=\frac{4}{27}\)
নির্ণেয় বিন্দু দুইটি \((4, 0)\) এবং \(\left(\frac{10}{3}, \frac{4}{27}\right)\)

\(Q.4.(xiv)\) \(x^2+y^2=36\) একটি বৃত্তের সমীকরণ।
ক. \(\int{\frac{1}{4x^2-9}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. বৃত্তটির উপরস্থ \((2\sqrt{5}, 4)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ. যোগজীকরণের সাহায্যে বৃত্তটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(\frac{1}{12}\ln{\left|\frac{2x-3}{2x+3}\right|}+c\)
খ. \(2x-\sqrt{5}y=0\)
গ. \(36\pi\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

ক. \(\int{\frac{1}{4x^2-9}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{4\left(x^2-\frac{9}{4}\right)}dx}\)
\(=\frac{1}{4}\int{\frac{1}{x^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2}dx}\)
\(=\frac{1}{4}\times{\frac{1}{2.\frac{3}{2}}}\ln{\left|\frac{x-\frac{3}{2}}{x+\frac{3}{2}}\right|}+c\) ➜
\(=\frac{1}{4}\times{\frac{1}{3}}\ln{\left|\frac{\frac{2x-3}{2}}{\frac{2x+3}{2}}\right|}+c\)
\(=\frac{1}{12}\ln{\left|\frac{2x-3}{2}\times{\frac{2}{2x+3}}\right|}+c\)
\(=\frac{1}{12}\ln{\left|\frac{2x-3}{2x+3}\right|}+c\)
খ. দেওয়া আছে,
\(x^2+y^2=36\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^2+y^2)=\frac{d}{dx}(36)\) ➜
\(\Rightarrow 2x+2y\frac{dy}{dx}=0\) ➜
\(\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}=-2x\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{2x}{2y}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\)
\((2\sqrt{5}, 4)\) বিন্দুতে \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(2\sqrt{5}, 4)}=-\frac{2\sqrt{5}}{4}\)
\(=-\frac{\sqrt{5}}{2}\)
\((2\sqrt{5}, 4)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ \((y-4)\left(-\frac{\sqrt{5}}{2}\right)+(x-2\sqrt{5})=0\) ➜
\(\Rightarrow -\frac{\sqrt{5}}{2}(y-4)+(x-2\sqrt{5})=0\)
\(\Rightarrow -\sqrt{5}(y-4)+2(x-2\sqrt{5})=0\) ➜
\(\Rightarrow -\sqrt{5}y+4\sqrt{5}+2x-4\sqrt{5}=0\)
\(\Rightarrow 2x-\sqrt{5}y=0\)
\(\therefore \) অভিলম্বের সমীকরণ \(2x-\sqrt{5}y=0\)
গ. প্রদত্ত সমীকরণ,
\(x^2+y^2=36\)
\(\therefore x^2+y^2=6^2\)
যা একটি বৃত্ত প্রকাশ করে।
যার কেন্দ্র \(O(0, 0)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=6\) ➜
int-image

বৃত্তটি চারটি চতুর্ভাগে সমান অংশে বিভক্ত ও প্রথম চতুর্ভাগে \(x\) এর সীমা \(0\) থেকে \(6\)
প্রথম চতুর্ভাগে আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=OAB\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=\int_{0}^{6}{ydx}\)
\(=\int_{0}^{6}{\sqrt{6^2-x^2}dx}\) ➜
\(=\left[\frac{x\sqrt{6^2-x^2}}{2}+\frac{6^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{6}\right)}\right]_{0}^{6}\) ➜
\(=\left[\frac{x\sqrt{36-x^2}}{2}+\frac{36}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{6}\right)}\right]_{0}^{6}\)
\(=\left[\frac{x\sqrt{36-x^2}}{2}+18\sin^{-1}{\left(\frac{x}{6}\right)}\right]_{0}^{6}\)
\(=\frac{6\sqrt{36-6^2}}{2}+18\sin^{-1}{\left(\frac{6}{6}\right)}-\frac{0.\sqrt{36-0^2}}{2}-18\sin^{-1}{\left(\frac{0}{6}\right)}\)
\(=\frac{6\sqrt{36-36}}{2}+18\sin^{-1}{(1)}-\frac{0}{2}-18\sin^{-1}{(0)}\)
\(=\frac{6\sqrt{0}}{2}+18\sin^{-1}{\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}}-0-18\sin^{-1}{\sin{0}}\)
\(=\frac{6.0}{2}+18\times{\frac{\pi}{2}}-18\times{0}\)
\(=\frac{0}{2}+9\pi-0\)
\(=0+9\pi\)
\(=9\pi\)
সমগ্র বৃত্তের ক্ষেত্রফল \(=4\times{OAB}\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=4\times{9\pi}\)
\(=36\pi\) বর্গ একক।

\(Q.4.(xv)\) \(f(x)=e^x\) এবং \(g(x,y)=x^2+y^2\)
ক. \(\int{\frac{(\sec^{-1}{x})^3}{x\sqrt{x^2-1}}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. \(\int{\frac{f(x)(x^2+1)}{(x+1)^2}dx}\) নির্ণয় কর।
গ. \(g(x,y)=100\) বক্ররেখা ও \(x=6\) সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(\frac{1}{4}(\sec^{-1}{x})^4+c\)
খ. \(\frac{e^x(x-1)}{x+1}+c\),
গ. \(100\left(\frac{\pi}{2}-\frac{12}{25}-\sin^{-1}{\frac{3}{5}}\right)\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

ক. \(\int{\frac{(\sec^{-1}{x})^3}{x\sqrt{x^2-1}}dx}\)

ধরি,
\(\sec^{-1}{x}=t\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(\sec^{-1}{x})=\frac{d}{dx}(t)\)
\(\Rightarrow \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}=\frac{dt}{dx}\) ➜
\(\therefore \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}dx=dt\)

\(=\int{(\sec^{-1}{x})^3\times{\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}}dx}\)
\(=\int{t^3dt}\)
\(=\frac{t^{3+1}}{3+1}+c\) ➜
\(=\frac{t^{4}}{4}+c\)
\(=\frac{1}{4}t^{4}+c\)
\(=\frac{1}{4}(\sec^{-1}{x})^{4}+c\) ➜
খ. \(\int{\frac{f(x)(x^2+1)}{(x+1)^2}dx}\)
\(=\int{\frac{e^x(x^2+1)}{(x+1)^2}dx}\) ➜
\(=\int{\frac{e^x(x^2+1^2)}{(x+1)^2}dx}\)
\(=\int{\frac{e^x\{(x+1)^2-2x\}}{(x+1)^2}dx}\) ➜
\(=\int{\left\{\frac{e^x(x+1)^2}{(x+1)^2}-\frac{2xe^x}{(x+1)^2}\right\}dx}\)
\(=\int{\left\{e^x-\frac{2xe^x}{(x+1)^2}\right\}dx}\)
\(=\int{e^xdx}-2\int{\frac{xe^x}{(x+1)^2}dx}\)
\(=\int{e^xdx}-2\int{\frac{e^x(x+1-1)}{(x+1)^2}dx}\)
\(=\int{e^xdx}-2\int{\left\{\frac{e^x(x+1)}{(x+1)^2}-\frac{e^x}{(x+1)^2}\right\}dx}\)
\(=\int{e^xdx}-2\int{\left\{\frac{e^x}{(x+1)}-\frac{e^x}{(x+1)^2}\right\}dx}\)
\(=\int{e^xdx}-2\int{\frac{e^x}{(x+1)}dx}+2\int{\frac{e^x}{(x+1)^2}dx}\)
\(=\int{e^xdx}-2\int{\frac{1}{(x+1)}.e^xdx}+2\int{\frac{e^x}{(x+1)^2}dx}\)

এখানে, LIATE শব্দের
\(A=\frac{1}{x+1}, \ \ E=e^{x}\)
যেহেতু A, শব্দের মধ্যে E এর পূর্বে আছে, তাই \(\frac{1}{x+1}\) কে \(u\) ধরা হয়েছে।

\(=\int{e^xdx}-2\left[\frac{1}{x+1}\int{e^xdx}-\int{\left\{\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x+1}\right)\int{e^xdx}\right\}dx}\right]+2\int{\frac{e^x}{(x+1)^2}dx}\) ➜
\(=\int{e^xdx}-2\left[\frac{1}{x+1}e^x-\int{\left\{-\frac{1}{(x+1)^2}e^x\right\}dx}\right]+2\int{\frac{e^x}{(x+1)^2}dx}\) ➜
\(=\int{e^xdx}-2\left[\frac{e^x}{x+1}+\int{\frac{e^x}{(x+1)^2}dx}\right]+2\int{\frac{e^x}{(x+1)^2}dx}\)
\(=e^x-2\frac{e^x}{x+1}-2\int{\frac{e^x}{(x+1)^2}dx}+2\int{\frac{e^x}{(x+1)^2}dx}\)
\(=e^x-\frac{2e^x}{x+1}+c\)
\(=\frac{xe^x+e^x-2e^x}{x+1}+c\)
\(=\frac{xe^x-e^x}{x+1}+c\)
\(=\frac{e^x(x-1)}{x+1}+c\)
গ. \(g(x,y)=100\) বক্ররেখা
অর্থাৎ
\(x^2+y^2=100\) ➜
\(\therefore x^2+y^2=(10)^2\)
যা একটি বৃত্ত প্রকাশ করে।
যার কেন্দ্র \(O(0, 0)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=10\) ➜
int-image

বৃত্তটি এবং \(x=6\) সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম ক্ষেত্রে \(x\) এর সীমা \(6\) থেকে \(10\) যা দুইটি চতুর্ভাগে সমান অংশে বিভক্ত।
নির্ণেয় ক্ষেত্রফল,
\(=2\int_{6}^{10}{ydx}\)
\(=2\int_{6}^{10}{\sqrt{(10)^2-x^2}dx}\) ➜
\(=2\left[\frac{x\sqrt{(10)^2-x^2}}{2}+\frac{(10)^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{10}\right)}\right]_{6}^{10}\) ➜
\(=2\left[\frac{x\sqrt{100-x^2}}{2}+\frac{100}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{10}\right)}\right]_{6}^{10}\)
\(=2\left[\frac{x\sqrt{100-x^2}}{2}+50\sin^{-1}{\left(\frac{x}{10}\right)}\right]_{6}^{10}\)
\(=2\left[\frac{10\sqrt{100-(10)^2}}{2}+50\sin^{-1}{\left(\frac{10}{10}\right)}-\frac{6.\sqrt{100-6^2}}{2}-50\sin^{-1}{\left(\frac{6}{10}\right)}\right]\)
\(=10\sqrt{100-100}+100\sin^{-1}{(1)}-6\sqrt{100-36}-100\sin^{-1}{\left(\frac{3}{5}\right)}\)
\(=10\sqrt{0}+100\sin^{-1}{\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}}-6\sqrt{64}-100\sin^{-1}{\left(\frac{3}{5}\right)}\)
\(=10.0+100\times{\frac{\pi}{2}}-6.8-100\sin^{-1}{\left(\frac{3}{5}\right)}\)
\(=0+50\pi-48-100\sin^{-1}{\left(\frac{3}{5}\right)}\)
\(=50\pi-48-100\sin^{-1}{\left(\frac{3}{5}\right)}\)
\(=100\left(\frac{\pi}{2}-\frac{12}{25}-\sin^{-1}{\frac{3}{5}}\right)\) বর্গ একক।

\(Q.4.(xvi)\) \(f(x)=\sin^{-1}{x}\)
ক. \(\int{\ln{|2x|}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. \(y=e^{mf(x)}\) হলে দেখাও যে, \((1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}=m^2y\).
গ. \(\int{yf(y^2)dy}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(x\ln{|2x|}-x+c\)
গ. \(\frac{1}{2}\left\{y^2\sin^{-1}{(y^2)}+\sqrt{1-y^4}\right\}+c\)

সমাধানঃ

ক. \(\int{\ln{(2x)}dx}\)

এখানে, LIATE শব্দের
\(A=1, \ \ L=\ln{|x|}\)
যেহেতু L, শব্দের মধ্যে A এর পূর্বে আছে, তাই \(\ln{|x|}\) কে \(u\) ধরা হয়েছে।

\(\int{\ln{|2x|}dx}\)
\(=\int{\ln{|2x|}.1dx}\)
\(=\ln{|2x|}\int{1dx}-\int{\left\{\frac{d}{dx}(\ln{|2x|})\int{1dx}\right\}dx}\) ➜
\(=\ln{|2x|}.x-\int{\frac{1}{2x}.\frac{d}{dx}(2x).xdx}\) ➜
\(=x\ln{|2x|}-\int{\frac{1}{2x}.2.xdx}\)
\(=x\ln{|2x|}-\int{1dx}\)
\(=x\ln{|2x|}-x+c\) ➜
খ. দেওয়া আছে,
\(y=e^{mf(x)}\)
\(\Rightarrow y=e^{m\sin^{-1}{x}}\) ➜
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(e^{m\sin^{-1}{x}})\) ➜
\(\Rightarrow y_{1}=e^{m\sin^{-1}{x}}.m\frac{d}{dx}(\sin^{-1}{x})\) ➜
\(\Rightarrow y_{1}=me^{m\sin^{-1}{x}}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) ➜
\(\Rightarrow \sqrt{1-x^2}y_{1}=my\) ➜
\(\Rightarrow (1-x^2)y^2_{1}=m^2y^2\) ➜
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{(1-x^2)y^2_{1}\}=m^2\frac{d}{dx}(y^2)\) ➜
\(\Rightarrow (1-x^2)\frac{d}{dx}(y^2_{1})+y^2_{1}\frac{d}{dx}(1-x^2)=m^2.2yy_{1}\) ➜
\(\Rightarrow (1-x^2).2y_{1}\frac{d}{dx}(y_{1})+y^2_{1}(0-2x)=2m^2yy_{1}\) ➜
\(\Rightarrow 2(1-x^2)y_{1}y_{2}-2xy^2_{1}=2m^2yy_{1}\)
\(\Rightarrow 2(1-x^2)y_{1}y_{2}-2xy^2_{1}-2m^2yy_{1}=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\{(1-x^2)y_{2}-xy_{1}-m^2y\}=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\ne{0}, (1-x^2)y_{2}-xy_{1}-m^2y=0\)
\(\Rightarrow (1-x^2)y_{2}-xy_{1}-m^2y=0\)
\(\Rightarrow (1-x^2)y_{2}-xy_{1}=m^2y\)
\(\therefore (1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}=m^2y\) ➜
(Showed)
গ. \(\int{yf(y^2)dy}\)
\(=\int{y\sin^{-1}{y^2}dy}\) ➜

ধরি,
\(y^2=t\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dy}(y^2)=\frac{d}{dy}(t)\)
\(\Rightarrow 2y=\frac{dt}{dy}\)
\(\Rightarrow 2ydy=dt\)
\(\therefore ydy=\frac{1}{2}dt\)
আবার,
ধরি,
\(1-t^2=z\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dt}(1-t^2)=\frac{d}{dt}(z)\)
\(\Rightarrow -2t=\frac{dz}{dt}\)
\(\therefore -2tdt=dz\)
এখানে, LIATE শব্দের
\(A=1, \ \ I=\sin^{-1}{t}\)
যেহেতু I, শব্দের মধ্যে A এর পূর্বে আছে, তাই \(\sin^{-1}{t}\) কে \(u\) ধরা হয়েছে।

\(=\int{\sin^{-1}{(y^2)}.ydy}\)
\(=\int{\sin^{-1}{t}.\frac{1}{2}dt}\)
\(=\frac{1}{2}\int{\sin^{-1}{t}.1dt}\)
\(=\frac{1}{2}\left[\sin^{-1}{t}\int{1dt}-\int{\left\{\frac{d}{dt}(\sin^{-1}{t})\int{1dt}\right\}dt}\right]\) ➜
\(=\frac{1}{2}\left(\sin^{-1}{t}.t-\int{\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}.tdt}\right)\) ➜
\(=\frac{1}{2}\left(t\sin^{-1}{t}-\int{\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}dt}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(t\sin^{-1}{t}+\frac{1}{2}\int{\frac{-2t}{\sqrt{1-t^2}}dt}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(t\sin^{-1}{t}+\frac{1}{2}\int{\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\times{-2tdt}}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(t\sin^{-1}{t}+\frac{1}{2}\int{\frac{1}{\sqrt{z}}\times{dz}}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(t\sin^{-1}{t}+\frac{1}{2}\int{z^{-\frac{1}{2}}dz}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(t\sin^{-1}{t}+\frac{1}{2}.\frac{z^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}\right)+c\) ➜
\(=\frac{1}{2}\left(t\sin^{-1}{t}+\frac{1}{2}.\frac{z^{\frac{-1+2}{2}}}{\frac{-1+2}{2}}\right)+c\)
\(=\frac{1}{2}\left(t\sin^{-1}{t}+\frac{1}{2}.\frac{z^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}\right)+c\)
\(=\frac{1}{2}\left(t\sin^{-1}{t}+z^{\frac{1}{2}}\right)+c\)
\(=\frac{1}{2}\left(t\sin^{-1}{t}+\sqrt{z}\right)+c\)
\(=\frac{1}{2}\left(t\sin^{-1}{t}+\sqrt{1-t^2}\right)+c\) ➜
\(=\frac{1}{2}\left\{y^2\sin^{-1}{(y^2)}+\sqrt{1-y^4}\right\}+c\) ➜

\(Q.4.(xvii)\) \(y=x^2\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ।
ক. \(\int{\cos{x^{o}}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. উদ্দীপকের পরাবৃত্ত ও \(x-y+2=0\) রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
গ. \(\int{\frac{dx}{y(x-2)}}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(\frac{180}{\pi}\sin{\left(\frac{\pi{x}}{180}\right)}+c\)
খ. \(\frac{9}{2}\) বর্গ একক।
গ. \(\frac{1}{4}\ln{\left|\frac{x-2}{x}\right|}+\frac{1}{2x}+c\)

সমাধানঃ

ক. \(\int{\cos{x^{o}}dx}\)

আমরা জানি,
\(180^{o}=\pi\)
\(\Rightarrow 1^{o}=\frac{\pi}{180}\)
\(\therefore x^{o}=\frac{\pi{x}}{180}\)
ধরি,
\(\frac{\pi{x}}{180}=t\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\left(\frac{\pi{x}}{180}\right)=\frac{d}{dx}(t)\)
\(\Rightarrow \frac{\pi}{180}.1=\frac{dt}{dx}\)
\(\Rightarrow \frac{\pi}{180}=\frac{dt}{dx}\)
\(\Rightarrow \frac{\pi}{180}dx=dt\)
\(\therefore dx=\frac{180}{\pi}dt\)

\(\int{\cos{x^{o}}dx}\)
\(=\int{\cos{\frac{\pi{x}}{180}}dx}\)
\(=\int{\cos{t}.\frac{180}{\pi}dt}\)
\(=\frac{180}{\pi}\int{\cos{t}dt}\)
\(=\frac{180}{\pi}(\sin{t})+c\) ➜
\(=\frac{180}{\pi}\sin{t}+c\)
\(=\frac{180}{\pi}\sin{\frac{\pi{x}}{180}}+c\) ➜

বিকল্প পদ্ধতিঃ

\(\int{\cos{x^{o}}dx}\)
\(=\int{\cos{\frac{\pi{x}}{180}}dx}\)
\(=\frac{1}{\frac{\pi}{180}}\sin{\frac{\pi{x}}{180}}+c\) ➜
\(=\frac{180}{\pi}\sin{\frac{\pi{x}}{180}}+c\)
খ. ধরি,
\(y=x^2 ........(1)\)
\(x-y+2=0 ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সমীকরণ সমাধান করি।
\(x+2=x^2\) ➜
\(\Rightarrow x^2=x+2\)
\(\Rightarrow x^2-x-2=0\)
\(\Rightarrow x^2-2x+x-2=0\)
\(\Rightarrow x(x-2)+1(x-2)=0\)
\(\Rightarrow (x-2)(x+1)=0\)
\(\Rightarrow x-2=0, x+1=0\)
\(\Rightarrow x=2, x=-1\)
\(\therefore x=-1, 2\)
তাহলে, \((1)\) পরাবৃত্ত ও \((2)\) সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রে \(x\) এর সীমা \(-1\) থেকে \(2\) পর্যন্ত।
int-image

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল \(=\int_{-1}^{2}{(y_{1}-y_{2})dx}\)
\(=\int_{-1}^{2}{\{x^2-(x+2)\}dx}\) ➜
\(=\int_{-1}^{2}{\{x^2-x-2\}dx}\)
\(=\int_{-1}^{2}{x^2dx}-\int_{-1}^{2}{xdx}-\int_{-1}^{2}{2dx}\)
\(=\int_{-1}^{2}{x^2dx}-\int_{-1}^{2}{xdx}-2\int_{-1}^{2}{1dx}\)
\(=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2}-\left[\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{2}-2\left[x\right]_{-1}^{2}\) ➜
\(=\frac{1}{3}\left[x^3\right]_{-1}^{2}-\frac{1}{2}\left[x^2\right]_{-1}^{2}-2\left[2+1\right]\)
\(=\frac{1}{3}\left[2^3-(-1)^3\right]-\frac{1}{2}\left[2^2-(-1)^2\right]-2\times{3}\)
\(=\frac{1}{3}\left[8-(-1)\right]-\frac{1}{2}\left[4-1\right]-6\)
\(=\frac{1}{3}\left[8+1\right]-\frac{1}{2}\times{3}-6\)
\(=\frac{1}{3}\times{9}-\frac{3}{2}-6\)
\(=3-\frac{3}{2}-6\)
\(=\frac{6-3-12}{2}\)
\(=\frac{6-15}{2}\)
\(=\frac{-9}{2}\)
\(=-\frac{9}{2}\)
\(=\frac{9}{2}\) বর্গ একক। ➜
গ. \(\int{\frac{dx}{y(x-2)}}\)
\(=\int{\frac{dx}{x^2(x-2)}}\) ➜
ধরি,
\(\frac{1}{x^2(x-2)}\equiv \frac{A}{x-2}+\frac{B}{x}+\frac{C}{x^2} .......(i)\)
\(\Rightarrow 1\equiv Ax^2+Bx(x-2)+C(x-2) .......(ii)\) ➜

আবার, অপর উৎপাদকটি সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x=0\)
এখন, \(x=0\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(1=A.0^2+B.0.(0-2)+C(0-2)\)
\(\Rightarrow 1=0+0+C(-2)\)
\(\Rightarrow 1=-2C\)
\(\Rightarrow -2C=1\)
\(\therefore C=-\frac{1}{2}\)

এখানে, \(x^2(x-2)\) দুইটি উৎপাদক এর যে কোনো একটি সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x-2=0\)
\(\Rightarrow x=2\)
এখন, \(x=2\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(1=A.2^2+B.2.0+C.0\)
\(\Rightarrow 1=A.4+0+0\)
\(\Rightarrow 1=4A\)
\(\therefore A=\frac{1}{4}\)

\(B\) এর মান নির্ণয়ের জন্য তৃতীয় কোনো উৎপাদক না থাকায় \((ii)\) এর উভয় পার্শ হতে \(x^2\) এর সহগ সমীকৃত করে পাই।
\(0=A+B\) ➜
\(\Rightarrow A+B=0\)
\(\Rightarrow B=-A\)
\(\therefore B=-\frac{1}{4}\) ➜

\(A\), \(B\) ও \(C\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{1}{x^2(x-2)}=\frac{\frac{1}{4}}{x-2}+\frac{-\frac{1}{4}}{x}+\frac{-\frac{1}{2}}{x^2}\)
\(=\frac{1}{4(x-2)}-\frac{1}{4x}-\frac{1}{2x^2}\)
\(\therefore \frac{1}{x^2(x-2)}=\frac{1}{4(x-2)}-\frac{1}{4x}-\frac{1}{2x^2}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{4(x-2)}-\frac{1}{4x}-\frac{1}{2x^2}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{4(x-2)}dx}-\int{\frac{1}{4x}dx}-\int{\frac{1}{2x^2}dx}\)
\(=\frac{1}{4}\int{\frac{1}{x-2}dx}-\frac{1}{4}\int{\frac{1}{x}dx}-\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x^2}dx}\)
\(=\frac{1}{4}\ln{|x-2|}-\frac{1}{4}\ln{|x|}-\frac{1}{2}\times{-\frac{1}{x}}+c\) ➜
\(=\frac{1}{4}\left(\ln{|x-2|}-\ln{|x|}\right)+\frac{1}{2x}+c\)
\(=\frac{1}{4}\ln{\left|\frac{x-2}{x}\right|}+\frac{1}{2x}+c\) ➜

বিকল্প পদ্ধতিঃ

\(\int{\frac{1}{x^2(x-2)}dx}\)
এখন,
\(\frac{1}{x^2(x-2)}=\frac{1}{x}\left\{\frac{1}{x(x-2)}\right\}\)
\(=\frac{1}{x}\left\{\frac{1}{x(0-2)}+\frac{1}{2.(x-2)}\right\}\) ➜
\(=\frac{1}{x}\left\{-\frac{1}{2x}+\frac{1}{2(x-2)}\right\}\)
\(=\frac{1}{x}\left\{\frac{1}{2(x-2)}-\frac{1}{2x}\right\}\)
\(=\frac{1}{2x(x-2)}-\frac{1}{2x^2}\)
\(=\frac{1}{2x(0-2)}+\frac{1}{2.2.(x-2)}-\frac{1}{2x^2}\) ➜
\(=\frac{1}{-4x}+\frac{1}{4(x-2)}-\frac{1}{2x^2}\)
\(=\frac{1}{4(x-2)}-\frac{1}{4x}-\frac{1}{2x^2}\)
\(\therefore \frac{1}{x^2(x-1)}=\frac{1}{4(x-2)}-\frac{1}{4x}-\frac{1}{2x^2}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\int{\left\{\frac{1}{4(x-2)}-\frac{1}{4x}-\frac{1}{2x^2}\right\}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{4(x-2)}dx}-\int{\frac{1}{4x}dx}-\int{\frac{1}{2x^2}dx}\)
\(=\frac{1}{4}\int{\frac{1}{x-2}dx}-\frac{1}{4}\int{\frac{1}{x}dx}-\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x^2}dx}\)
\(=\frac{1}{4}\ln{|x-2|}-\frac{1}{4}\ln{|x|}-\frac{1}{2}\times{-\frac{1}{x}}+c\) ➜
\(=\frac{1}{4}\left(\ln{|x-2|}-\ln{|x|}\right)+\frac{1}{2x}+c\)
\(=\frac{1}{4}\ln{\left|\frac{x-2}{x}\right|}+\frac{1}{2x}+c\) ➜

\(Q.4.(xviii)\) \(g(x)=cos^{-1}{x}\)
ক. \(\int{\sec{x}(\sec{x}+\tan{x})dx}\) নির্ণয় কর।
খ. \(\int{xg(x^2)dx}\) নির্ণয় কর।
গ. \(y=\cos{\{mg(x)\}}\) হলে প্রমাণ কর যে, \((1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}+m^2y=0\)
উত্তরঃ ক. \(\tan{x}+\sec{x}+c\)
খ. \(\frac{1}{2}(x^2\cos^{-1}{x^2}-\sqrt{1-x^4})+c\)

সমাধানঃ

ক. \(\int{\sec{x}(\sec{x}+\tan{x})dx}\)
\(=\int{(\sec^2{x}+\sec{x}\tan{x})dx}\)
\(=\int{\sec^2{x}dx}+\int{\sec{x}\tan{x}dx}\)
\(=\tan{x}+\sec{x}+c\) ➜
খ. \(\int{xg(x^2)dx}\)
\(=\int{xcos^{-1}{(x^2)}dx}\) ➜
\(=\int{cos^{-1}{(x^2)}xdx}\)

ধরি,
\(x^2=t\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^2)=\frac{d}{dx}(t)\)
\(\Rightarrow 2x=\frac{dt}{dx}\)
\(\Rightarrow 2xdx=dt\)
\(\therefore xdx=\frac{1}{2}dt\)
আবার,
\(1-t^2=z\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dt}(1-t^2)=\frac{d}{dt}(z)\)
\(\Rightarrow -2t=\frac{dz}{dt}\)
\(\therefore -2tdt=dz\)
এখানে, LIATE শব্দের
\(A=1, \ \ I=\tan^{-1}{t}\)
যেহেতু I, শব্দের মধ্যে A এর পূর্বে আছে, তাই \(\tan^{-1}{t}\) কে \(u\) ধরা হয়েছে।

\(=\int{\cos^{-1}{t}.\frac{1}{2}dt}\)
\(=\frac{1}{2}\int{\cos^{-1}{t}.1dt}\)
\(=\frac{1}{2}\left[\cos^{-1}{t}\int{1dt}-\int{\left\{\frac{d}{dt}(\cos^{-1}{t})\int{1dt}\right\}dt}\right]\) ➜
\(=\frac{1}{2}\left[\cos^{-1}{t}.t-\int{\left(-\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\right).tdt}\right]\) ➜
\(=\frac{1}{2}t\cos^{-1}{t}+\frac{1}{2}\int{\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}dt}\)
\(=\frac{1}{2}t\cos^{-1}{t}-\frac{1}{4}\int{\frac{-2t}{\sqrt{1-t^2}}dt}\)
\(=\frac{1}{2}t\cos^{-1}{t}-\frac{1}{4}\int{\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\times{-2tdt}}\)
\(=\frac{1}{2}t\cos^{-1}{t}-\frac{1}{4}\int{\frac{1}{\sqrt{z}}dz}\)
\(=\frac{1}{2}t\cos^{-1}{t}-\frac{1}{4}\int{\frac{1}{z^{\frac{1}{2}}}dz}\)
\(=\frac{1}{2}t\cos^{-1}{t}-\frac{1}{4}\int{z^{-\frac{1}{2}}dz}\)
\(=\frac{1}{2}t\cos^{-1}{t}-\frac{1}{4}\frac{z^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+c\) ➜
\(=\frac{1}{2}t\cos^{-1}{t}-\frac{1}{4}\frac{z^{\frac{-1+2}{2}}}{\frac{-1+2}{2}}+c\)
\(=\frac{1}{2}t\cos^{-1}{t}-\frac{1}{4}\frac{z^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+c\)
\(=\frac{1}{2}t\cos^{-1}{t}-\frac{1}{2}z^{\frac{1}{2}}+c\)
\(=\frac{1}{2}t\cos^{-1}{t}-\frac{1}{2}\sqrt{z}+c\)
\(=\frac{1}{2}t\cos^{-1}{t}-\frac{1}{2}\sqrt{1-t^2}+c\) ➜
\(=\frac{1}{2}x^2\cos^{-1}{(x^2)}-\frac{1}{2}\sqrt{1-x^4}+c\) ➜
\(=\frac{1}{2}(x^2\cos^{-1}{(x^2)}-\sqrt{1-x^4})+c\)

বিকল্প পদ্ধতিঃ

এখানে, LIATE শব্দের
\(A=x, \ \ I=\cos^{-1}{(x^2)}\)
যেহেতু I, শব্দের মধ্যে A এর পূর্বে আছে, তাই \(\cos^{-1}{(x^2)}\) কে \(u\) ধরা হয়েছে।
ধরি,
\(1-x^4=t\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(1-x^4)=\frac{d}{dx}(t)\)
\(\Rightarrow -4x^3=\frac{dt}{dx}\)
\(\therefore -4x^3dx=dt\)

\(\int{x\cos^{-1}{(x^2)}dx}\)
\(=\int{\cos^{-1}{(x^2)}.xdx}\)
\(=\cos^{-1}{(x^2)}\int{xdx}-\int{\left\{\frac{d}{dt}(\cos^{-1}{(x^2)})\int{xdx}\right\}dx}\) ➜
\(=\cos^{-1}{(x^2)}.\frac{x^2}{2}-\int{\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^4}}\right).\frac{d}{dx}(x^2).\frac{x^2}{2}dx}\) ➜
\(=\frac{1}{2}x^2\cos^{-1}{(x^2)}+\int{\frac{1}{\sqrt{1-x^4}}.2x.\frac{x^2}{2}dx}\) ➜
\(=\frac{1}{2}x^2\cos^{-1}{(x^2)}+\int{\frac{x^3}{\sqrt{1-x^4}}dx}\)
\(=\frac{1}{2}x^2\cos^{-1}{(x^2)}-\frac{1}{4}\int{\frac{-4x^3}{\sqrt{1-x^4}}dx}\)
\(=\frac{1}{2}x^2\cos^{-1}{(x^2)}-\frac{1}{4}\int{\frac{1}{\sqrt{1-x^4}}\times{-4x^3dx}}\)
\(=\frac{1}{2}x^2\cos^{-1}{(x^2)}-\frac{1}{4}\int{\frac{1}{\sqrt{t}}dt}\)
\(=\frac{1}{2}x^2\cos^{-1}{(x^2)}-\frac{1}{4}\int{\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}dt}\)
\(=\frac{1}{2}x^2\cos^{-1}{(x^2)}-\frac{1}{4}\int{t^{-\frac{1}{2}}dt}\)
\(=\frac{1}{2}x^2\cos^{-1}{(x^2)}-\frac{1}{4}\frac{t^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+c\) ➜
\(=\frac{1}{2}x^2\cos^{-1}{(x^2)}-\frac{1}{4}\frac{t^{\frac{-1+2}{2}}}{\frac{-1+2}{2}}+c\)
\(=\frac{1}{2}x^2\cos^{-1}{(x^2)}-\frac{1}{4}\frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+c\)
\(=\frac{1}{2}x^2\cos^{-1}{(x^2)}-\frac{1}{2}t^{\frac{1}{2}}+c\)
\(=\frac{1}{2}x^2\cos^{-1}{(x^2)}-\frac{1}{2}\sqrt{t}+c\)
\(=\frac{1}{2}x^2\cos^{-1}{(x^2)}-\frac{1}{2}\sqrt{1-x^4}+c\) ➜
\(=\frac{1}{2}(x^2\cos^{-1}{(x^2)}-\sqrt{1-x^4})+c\)
গ. দেওয়া আছে, \(y=\cos{\{mg(x)\}}\)
\(\Rightarrow y=\cos{(mcos^{-1}{x})}\) ➜
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\{\cos{(m\cos^{-1}{x})}\}\) ➜
\(\Rightarrow y_{1}=-\sin{(m\cos^{-1}{x})}.m\frac{d}{dx}(\cos^{-1}{x})\) ➜
\(\Rightarrow y_{1}=-m\sin{(m\cos^{-1}{x})}\times{-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\) ➜
\(\Rightarrow y_{1}=m\sin{(m\cos^{-1}{x})}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) \(\Rightarrow \sqrt{1-x^2}y_{1}=m\sin{(m\cos^{-1}{x})}\) ➜
\(\Rightarrow (1-x^2)y^2_{1}=m^2\sin^2{(m\cos^{-1}{x})}\) ➜
\(\Rightarrow (1-x^2)y^2_{1}=m^2\{1-\cos^2{(m\cos^{-1}{x})}\}\) ➜
\(\Rightarrow (1-x^2)y^2_{1}=m^2(1-y^2)\) ➜
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{(1-x^2)y^2_{1}\}=m^2\frac{d}{dx}(1-y^2)\) ➜
\(\Rightarrow (1-x^2)\frac{d}{dx}(y^2_{1})+y^2_{1}\frac{d}{dx}(1-x^2)=m^2(0-2yy_{1})\) ➜
\(\Rightarrow (1-x^2)2y_{1}y_{2}+y^2_{1}(0-2x)=-2m^2yy_{1}\) ➜
\(\Rightarrow 2(1-x^2)y_{1}y_{2}-2xy^2_{1}=-2m^2yy_{1}\)
\(\Rightarrow 2(1-x^2)y_{1}y_{2}-2xy^2_{1}+2m^2yy_{1}=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\{(1-x^2)y_{2}-xy_{1}+m^2y\}=0\)
\(\Rightarrow 2y_{1}\ne{0}, (1-x^2)y_{2}-xy_{1}+m^2y=0\)
\(\Rightarrow (1-x^2)y_{2}-xy_{1}+m^2y=0\)
\(\therefore (1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}+m^2y=0\) ➜
(Showed)

\(Q.4.(xix)\) \(y^2=16x\) এবং \(x^2=16y\) দুইটি পরাবৃত্তের সমীকরণ।
ক. \(\int{\frac{1}{1-\cos{4x}}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. প্রথম পরাবৃত্তের উপরস্থ \((1, 4)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ. পরাবৃত্ত দুইটি দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(-\frac{1}{4}\cot{2x}+c\)
খ. \(x+2y=9\)
গ. \(\frac{256}{3}\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

ক. \(\int{\frac{1}{1-\cos{4x}}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{1-\cos{2.2x}}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{2\sin^2{2x}}dx}\) ➜
\(=\frac{1}{2}\int{\frac{1}{\sin^2{2x}}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\int{cosec^2{2x}dx}\)
\(=\frac{1}{2}(-\frac{1}{2}\cot{2x})+c\) ➜
\(=-\frac{1}{4}\cot{2x}+c\)
খ.
দেওয়া আছে,
\(y^2=16x\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y^2)=16\frac{d}{dx}(x)\) ➜
\(\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}=16.1\) ➜
\(\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}=16\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{16}{2y}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{8}{y}\)
\((1, 4)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1, 4)}=\frac{8}{4}\)
\(=2\)
\(\therefore (1, 4)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ,
\((y-4).2+(x-1)=0\) ➜
\(\Rightarrow 2y-8+x-1=0\)
\(\Rightarrow x+2y-9=0\)
\(\therefore x+2y=9\)
গ. ধরি,
\(y^2=16x ........(1)\)
\(x^2=16y ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সমীকরণ সমাধান করি।
\(\left(\frac{x^2}{16}\right)^2=16x\) ➜
\(\Rightarrow \frac{x^4}{256}=16x\)
\(\Rightarrow x^4=4096x\)
\(\Rightarrow x^4-4096x=0\)
\(\Rightarrow x(x^3-4096)=0\)
\(\Rightarrow x=0, x^3-4096=0\)
\(\Rightarrow x=0, x^3=4096\)
\(\Rightarrow x=0, x^3=(16)^3\)
\(\Rightarrow x=0, x=16\)
\(\therefore x=0, 16\)
তাহলে, \((1)\) ও \((2)\) পরাবৃত্তদ্বয় দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রে \(x\) এর সীমা \(0\) থেকে \(16\) পর্যন্ত ।
int-image

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল \(=\int_{0}^{16}{(y_{1}-y_{2})dx}\)
\(=\int_{0}^{16}{\{4\sqrt{x}-\frac{x^2}{16}\}dx}\) ➜
\(=4\int_{0}^{16}{\sqrt{x}dx}-\int_{0}^{16}{\frac{x^2}{16}dx}\)
\(=4\int_{0}^{16}{x^{\frac{1}{2}}dx}-\frac{1}{16}\int_{0}^{16}{x^2dx}\)
\(=4\left[\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}\right]_{0}^{16}-\frac{1}{16}\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{16}\) ➜
\(=4\left[\frac{x^{\frac{1+2}{2}}}{\frac{1+2}{2}}\right]_{0}^{16}-\frac{1}{16}\times{\frac{1}{3}}\left[x^3\right]_{0}^{16}\)
\(=4\left[\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{16}-\frac{1}{48}\left[(16)^3-0^3\right]\)
\(=4\times{\frac{2}{3}}\left[x^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{16}-\frac{1}{48}\left[4096-0\right]\)
\(=\frac{8}{3}\left[(16)^{\frac{3}{2}}-0^{\frac{3}{2}}\right]-\frac{256}{3}\)
\(=\frac{8}{3}\left[4^3-0\right]-\frac{256}{3}\)
\(=\frac{8}{3}\times{64}-\frac{256}{3}\)
\(=\frac{512}{3}-\frac{256}{3}\)
\(=\frac{512-256}{3}\)
\(=\frac{256}{3}\) বর্গ একক।

\(Q.4.(xx)\) \(f(x)=\frac{5x^2-8x+1}{2x(x-1)^2}\) এবং \(g(x)=e^x\)
ক. \(\int{\frac{\ln{|x|}}{2x}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. দেখাও যে, \(\int_{4}^{9}{f(x)dx}=\ln{\left(\frac{32}{3}\right)}-\frac{5}{24}\)
গ. প্রমাণ কর যে, \(\frac{x}{g^{-1}(x)}\) এর ক্ষুদ্রতম মাণ \(e\)
উত্তরঃ ক. \(\frac{1}{4}(\ln{|x|})^2+c\)

সমাধানঃ

ক. \(\int{\frac{\ln{|x|}}{2x}dx}\)

ধরি,
\(\ln{|x|}=t\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(\ln{|x|})=\frac{d}{dx}(t)\)
\(\Rightarrow \frac{1}{x}=\frac{dt}{dx}\)
\(\therefore \frac{1}{x}dx=dt\)

\(=\frac{1}{2}\int{\ln{|x|}\frac{1}{x}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\int{tdt}\)
\(=\frac{1}{2}\times{\frac{t^2}{2}}+c\) ➜
\(=\frac{1}{4}t^2+c\)
\(=\frac{1}{4}(\ln{|x|})^2+c\) ➜
খ.
\(L.S=\int_{4}^{9}{f(x)dx}\)
\(=\int_{4}^{9}{\frac{5x^2-8x+1}{2x(x-1)^2}dx}\) ➜
\(=\frac{1}{2}\int_{4}^{9}{\frac{5x^2-8x+1}{x(x-1)^2}dx}\)
ধরি,
\(\frac{5x^2-8x+1}{x(x-1)^2}\equiv \frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^2} .......(i)\)
\(\Rightarrow 5x^2-8x+1\equiv A(x-1)^2+Bx(x-1)+Cx.......(ii)\) ➜

আবার, \(x(x-1)^2\) উৎপাদকগুলির মধ্যে \(x\) সমান শুন্য ধরি।
\(x=0\)
এখন, \(x=0\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(5.0^2-8.0+1=A.(0^2-1)^2+B.0.(0-1)+C.0\)
\(\Rightarrow 1=A.1+0+0\)
\(\Rightarrow 1=A\)
\(\therefore A=1\)

এখানে, \(x(x-1)^2\) উৎপাদকগুলির মধ্যে \((x-1)\) সমান শুন্য ধরি।
অর্থাৎ,
\(x-1=0\)
\(\therefore x=1\)
এখন, \(x=1\)
\((ii)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(5.1^2-8.1+1=A.0+B.1.0+C.1\)
\(\Rightarrow 5-8+1=0+0+C\)
\(\Rightarrow -2=C\)
\(\therefore C=-2\)
\(B\) এর মান নির্ণয়ের জন্য তৃতীয় কোনো উৎপাদক না থাকায় \((ii)\) এর উভয় পার্শ হতে \(x^2\) এর সহগ সমীকৃত করে পাই।
\(5=A+B\) ➜
\(\Rightarrow A+B=5\)
\(\Rightarrow B=5-A\)
\(\Rightarrow B=5-1\)
\(\therefore B=4\) ➜

\(A\), \(B\) ও \(C\) এর মান \((i)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(\frac{5x^2-8x+1}{x(x-1)^2}=\frac{1}{x}+\frac{4}{x-1}+\frac{-2}{(x-1)^2}\)
\(\therefore \frac{5x^2-8x+1}{x(x-1)^2}=\frac{1}{x}+\frac{4}{x-1}-\frac{2}{(x-1)^2}\)
প্রদত্ত যোগজটি দাঁড়ায়,
\(=\frac{1}{2}\int_{4}^{9}{\left\{\frac{1}{x}+\frac{4}{x-1}-\frac{2}{(x-1)^2}\right\}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\int_{4}^{9}{\frac{1}{x}dx}+\frac{1}{2}\int_{4}^{9}{\frac{4}{x-1}dx}-\frac{1}{2}\int_{4}^{9}{\frac{2}{(x-1)^2}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\int_{4}^{9}{\frac{1}{x}dx}+2\int_{4}^{9}{\frac{1}{x-1}dx}-\int_{4}^{9}{\frac{1}{(x-1)^2}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\left[\ln{|x|}\right]_{4}^{9}+2\left[\ln{|x-1|}\right]_{4}^{9}-\left[-\frac{1}{x-1}\right]_{4}^{9}\) ➜
\(=\frac{1}{2}\left[\ln{|x|}\right]_{4}^{9}+2\left[\ln{|x-1|}\right]_{4}^{9}+\left[\frac{1}{x-1}\right]_{4}^{9}\)
\(=\frac{1}{2}\left[\ln{|9|}-\ln{|4|}\right]+2\left[\ln{|9-1|}-\ln{|4-1|}\right]+\left[\frac{1}{9-1}-\frac{1}{4-1}\right]\)
\(=\frac{1}{2}\ln{\frac{9}{4}}+2\left[\ln{8}-\ln{3}\right]+\left[\frac{1}{8}-\frac{1}{3}\right]\) ➜
\(=\frac{1}{2}\ln{\frac{9}{4}}+2\ln{\frac{8}{3}}+\frac{3-8}{24}\) ➜
\(=\ln{\left(\frac{9}{4}\right)^{\frac{1}{2}}}+\ln{\left(\frac{8}{3}\right)^2}+\frac{-5}{24}\) ➜
\(=\ln{\sqrt{\left(\frac{9}{4}\right)}}+\ln{\left(\frac{64}{9}\right)}-\frac{5}{24}\)
\(=\ln{\left(\frac{3}{2}\right)}+\ln{\left(\frac{64}{9}\right)}-\frac{5}{24}\)
\(=\ln{\left(\frac{3}{2}\times{\frac{64}{9}}\right)}-\frac{5}{24}\) ➜
\(=\ln{\left(\frac{32}{3}\right)}-\frac{5}{24}\)
\(=R.S\)
(showed)
গ. \(\frac{x}{g^{-1}(x)}\)
\(=\frac{x}{\ln{|x|}}\) ➜
ধরি,
\(y=\frac{x}{\ln{x}} .......(1)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{\ln{x}}\right)\) ➜
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{\ln{x}\frac{d}{dx}(x)-x\frac{d}{dx}(\ln{x})}{(\ln{x})^2}\) ➜
\(=\frac{\ln{x}.1-x\frac{1}{x}}{(\ln{x})^2}\) ➜
\(=\frac{\ln{x}-1}{(\ln{x})^2}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{\ln{x}-1}{(\ln{x})^2}\)
ফাংশনটির গুরুমান ও লঘুমানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow \frac{\ln{x}-1}{(\ln{x})^2}=0\) ➜
\(\Rightarrow \ln{x}-1=0\)
\(\Rightarrow \ln{x}=1\)
\(\Rightarrow x=e^1\) ➜
\(\therefore x=e\)
আবার,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln{x}-1}{(\ln{x})^2}\right)\) ➜
\(=\frac{(\ln{x})^2\frac{d}{dx}(\ln{x}-1)-(\ln{x}-1)\frac{d}{dx}\{(\ln{x})^2\}}{(\ln{x})^4}\) ➜
\(=\frac{(\ln{x})^2\frac{1}{x}-(\ln{x}-1).2\ln{x}.\frac{1}{x}}{(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{\frac{(\ln{x})^2}{x}-\frac{2\ln{x}(\ln{x}-1)}{x}}{(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{\frac{(\ln{x})^2-2\ln{x}(\ln{x}-1)}{x}}{(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{(\ln{x})^2-2\ln{x}(\ln{x}-1)}{x(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{(\ln{x})^2-2(\ln{x})^2+2\ln{x}}{x(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{2\ln{x}-(\ln{x})^2}{x(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{\ln{x}(2-\ln{x})}{x(\ln{x})^4}\)
\(=\frac{2-\ln{x}}{x(\ln{x})^3}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2-\ln{x}}{x(\ln{x})^3}\)
এখন, \(x=e\) হলে,
\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2-\ln{e}}{e(\ln{e})^3}\)
\(=\frac{2-1}{e(1)^3}\) ➜
\(=\frac{1}{e}\)
\(\therefore \frac{d^2y}{dx^2}>0\)
\(\therefore x=e\) বিন্দুতে ফাংশনটির ক্ষুদ্রতমমান আছে।
ফাংশনটির ক্ষুদ্রতমমান \(=\frac{e}{\ln{e}}\) ➜
\(=\frac{e}{1}\) ➜
\(=e\)
(Showed)

\(Q.4.(xxi)\) \((1)\) \(y=x\) একটি সরলরেখা এবং \(y^2=4x\) একটি পরাবৃত্ত নির্দেশ করে।
\((2)\) \(f(x)=\cot^{-1}{x}\) একটি বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন।
ক. \(\int{\sin{x}\cos{x}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. \(\int_{1}^{\sqrt{3}}{xf(x)dx}\) নির্ণয় কর।
গ. সরলরেখা এবং পরাবৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(-\frac{1}{4}\cos{2x}+c\)
খ. \(\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{6}+\sqrt{3}-1\right)\)
গ. \(\frac{8}{3}\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

ক. \(\int{\sin{x}\cos{x}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\int{2\sin{x}\cos{x}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\int{\sin{2x}dx}\) ➜
\(=\frac{1}{2}\times{-\frac{1}{2}\cos{2x}}+c\) ➜
\(=-\frac{1}{4}\cos{2x}+c\)
খ. \(\int_{1}^{\sqrt{3}}{xf(x)dx}\)
\(=\int_{1}^{\sqrt{3}}{x\cot^{-1}{x}dx}\) ➜

এখানে, LIATE শব্দের
\(I=\cot^{-1}{x}, \ \ A=x\)
যেহেতু I, শব্দের মধ্যে A এর পূর্বে আছে, তাই \(\tan^{-1}{x}\) কে \(u\) ধরা হয়েছে।

\(\int_{0}^{\sqrt{3}}{x\cot^{-1}{x}dx}\)
\(=\int_{1}^{\sqrt{3}}{\cot^{-1}{x}.xdx}\)
\(=\left[\frac{x^2}{2}\cot^{-1}{x}\right]_{1}^{\sqrt{3}}-\int_{1}^{\sqrt{3}}{\left\{\frac{d}{dx}(\cot^{-1}{x})\int{.xdx}\right\}dx}\) ➜
\(=\frac{1}{2}\left[x^2\cot^{-1}{x}\right]_{1}^{\sqrt{3}}-\int_{1}^{\sqrt{3}}{\left(-\frac{1}{1+x^2}\right)\frac{x^2}{2}dx}\) ➜
\(=\frac{1}{2}\left[(\sqrt{3})^2\cot^{-1}{(\sqrt{3})}-1^2.\cot^{-1}{(1)}\right]+\frac{1}{2}\int_{1}^{\sqrt{3}}{\frac{x^2}{1+x^2}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\left[3\cot^{-1}{\cot{\left(\frac{\pi}{6}\right)}}-1.\cot^{-1}{\cot{\left(\frac{\pi}{4}\right)}}\right]+\frac{1}{2}\int_{1}^{\sqrt{3}}{\frac{1+x^2-1}{1+x^2}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\left[3.\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{4}\right]+\frac{1}{2}\int_{1}^{\sqrt{3}}{\left(\frac{1+x^2}{1+x^2}-\frac{1}{1+x^2}\right)dx}\)
\(=\frac{1}{2}\left[\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right]+\frac{1}{2}\int_{1}^{\sqrt{3}}{\left(1-\frac{1}{1+x^2}\right)dx}\)
\(=\frac{1}{2}.\frac{2\pi-\pi}{4}+\frac{1}{2}\int_{1}^{\sqrt{3}}{1dx}-\frac{1}{2}\int_{1}^{\sqrt{3}}{\frac{1}{1+x^2}dx}\)
\(=\frac{\pi}{8}+\frac{1}{2}\left[x\right]_{1}^{\sqrt{3}}-\frac{1}{2}\left[\tan^{-1}{x}\right]_{1}^{\sqrt{3}}\) ➜
\(=\frac{\pi}{8}+\frac{1}{2}\left[\sqrt{3}-1\right]-\frac{1}{2}\left[\tan^{-1}{(\sqrt{3})}-\tan^{-1}{(1)}\right]\)
\(=\frac{\pi}{8}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left[\tan^{-1}{\tan{\left(\frac{\pi}{3}\right)}}-\tan^{-1}{\tan{\left(\frac{\pi}{3}\right)}}\right]\)
\(=\frac{\pi}{8}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left[\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right]\)
\(=\frac{\pi}{8}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}.\frac{4\pi-3\pi}{12}\)
\(=\frac{\pi}{8}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}-\frac{\pi}{24}\)
\(=\frac{\pi}{8}-\frac{\pi}{24}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\)
\(=\frac{3\pi-\pi}{24}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\)
\(=\frac{2\pi}{24}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\)
\(=\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{6}+\sqrt{3}-1\right)\)
গ. ধরি,
\(y^2=4x ........(1)\)
\(y=x ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সমীকরণ সমাধান করি।
\((x)^2=4x\) ➜
\(\Rightarrow x^2-4x=0\)
\(\Rightarrow x(x-4)=0\)
\(\Rightarrow x=0, x-4=0\)
\(\Rightarrow x=0, x=4\)
\(\therefore x=0, 4\)
তাহলে, \((1)\) পরাবৃত্ত ও \((2)\) সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রে \(x\) এর সীমা \(0\) থেকে \(4\) পর্যন্ত।
int-image

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল \(=\int_{0}^{4}{(y_{1}-y_{2})dx}\)
\(=\int_{0}^{4}{(2\sqrt{x}-x)dx}\) ➜
\(=\int_{0}^{4}{(2x^{\frac{1}{2}}-x)dx}\)
\(=2\int_{0}^{4}{x^{\frac{1}{2}}dx}-\int_{0}^{4}{xdx}\)
\(=2\left[\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}\right]_{0}^{4}-\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{4}\) ➜
\(=2\left[\frac{x^{\frac{1+2}{2}}}{\frac{1+2}{2}}\right]_{0}^{4}-\frac{1}{2}\left[x^2\right]_{0}^{4}\)
\(=2\left[\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{4}-\frac{1}{2}\left[(4)^2-0^2\right]\)
\(=2\times{\frac{2}{3}}\left[x^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{4}-\frac{1}{2}\left[16-0\right]\)
\(=\frac{4}{3}\left[(4)^{\frac{3}{2}}-0^{\frac{3}{2}}\right]-8\)
\(=\frac{4}{3}\left[(\sqrt{4})^3-0\right]-8\)
\(=\frac{4}{3}\times{(2)^3}-8\)
\(=\frac{4}{3}\times{8}-8\)
\(=\frac{32}{3}-8\)
\(=\frac{32-24}{3}\)
\(=\frac{8}{3}\) বর্গ একক।

\(Q.4.(xxii)\)
int-image

ক. \(\int{x\sin{x}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. \(B\) বিন্দুতে বক্ররেখাটির স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ. ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(\sin{x}-x\cos{x}+c\)
খ. \(2x+y=1\)
গ. \(\frac{32}{3}\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

ক.
\(\int{x\sin{x}dx}\)

এখানে, LIATE শব্দের
\(A=x, \ \ T=\sin{x}\)
যেহেতু A, শব্দের মধ্যে T এর পূর্বে আছে, তাই \(x\) কে \(u\) ধরা হয়েছে।

\(=x\int{\sin{x}dx}-\int{\left\{\frac{d}{dx}(x)\int{\sin{x}dx}\right\}dx}\) ➜
\(=x(-\cos{x})-\int{1.(-\cos{x})dx}\) ➜
\(=-x\cos{x}+\int{\cos{x}dx}\)
\(=-x\cos{x}+\sin{x}+c\) ➜
\(=\sin{x}-x\cos{x}+c\)
int-image

খ. দেওয়া আছে,
\(y=(x-1)(x-5)\)
\(\Rightarrow y=x^2-5x-x+5\)
\(\Rightarrow y=x^2-6x+5\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^2-6x+5)\) ➜
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^2)-6\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(5)\) ➜
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2x-6.1+0\) ➜
\(\therefore \frac{dy}{dx}=2x-6\)
\(B(2, -3)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(2, -3)}=2.2-6\)
\(=4-6\)
\(=-2\)
\(\therefore B(2, -3)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(y+3=-2(x-2)\) ➜
\(\Rightarrow y+3=-2x+4\)
\(\Rightarrow 2x+y=4-3\)
\(\Rightarrow 2x+y=1\)
\(\therefore\) স্পর্শকের সমীকরণ, \( 2x+y=1\)
গ. ধরি,
\(y=(x-1)(x-5)........(1)\)
চিত্রে \(A\) ও \(C\) বিন্দুতে, \(y=0\)
\(\therefore (1)\) হতে,
\((x-1)(x-5)=0\)
\(\Rightarrow x-1=0, x-5=0\)
\(\Rightarrow x=1, x=5\)
\(\therefore x=1, 5\)
\(\therefore A(1, 0); C(5, 0)\)
\(\therefore \) ছায়াঘেরা অংশে \(x\) এর সীমা \(1\) থেকে \(5\).
int-image

\(\therefore \) ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল \(=\int_{1}^{5}{ydx}\)
\(=\int_{1}^{5}{(x-1)(x-5)dx}\) ➜
\(=\int_{1}^{5}{(x^2-5x-x+5)dx}\)
\(=\int_{1}^{5}{(x^2-6x+5)dx}\)
\(=\left[\frac{x^3}{3}-6\frac{x^2}{2}+5x\right]_{1}^{5}\) ➜
\(=\frac{5^3}{3}-6\frac{5^2}{2}+5.5-\frac{1^3}{3}+6\frac{1^2}{2}-5.1\)
\(=\frac{125}{3}-3\times{25}+25-\frac{1}{3}+3\times{1}-5\)
\(=\frac{125}{3}-75-\frac{1}{3}+3+20\)
\(=\frac{125}{3}-\frac{1}{3}-52\)
\(=\frac{125-1-156}{3}\)
\(=\frac{125-157}{3}\)
\(=\frac{-32}{3}\)
\(=-\frac{32}{3}\)
\(=\frac{32}{3}\) বর্গ একক। ➜

\(Q.4.(xxiii)\)
int-image

ক. \(\int{\sin^2{2x}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. \(A\) বিন্দুতে বক্ররেখাটির অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ. ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{4}\sin{4x}\right)+c\)
খ. \(x-4y+22=0\)
গ. \(17\frac{1}{6}\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

ক. \(\int{\sin^2{2x}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\int{2\sin^2{2x}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\int{(1-\cos{2\times{2x}})dx}\) ➜
\(=\frac{1}{2}\int{(1-\cos{4x})dx}\)
\(=\frac{1}{2}\int{1dx}-\frac{1}{2}\int{\cos{4x}dx}\)
\(=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\times{\frac{1}{4}\sin{4x}}+c\) ➜
\(=\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}\sin{4x}+c\)
\(=\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{4}\sin{4x}\right)+c\)
খ. দেওয়া আছে,
\(y=x^2+1\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}(x^2+1)\) ➜
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(1)\) ➜
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2x+0\) ➜
\(\therefore \frac{dy}{dx}=2x\)
\(A(-2, 5)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(-2, 5)}=2\times{-2}\)
\(=-4\)
\(\therefore A(-2, 5)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ,
\((y-5)(-4)+(x+2)=0\) ➜
\(\Rightarrow -4y+20+x+2=0\)
\(\Rightarrow x-4y+22=0\)
\(\therefore\) অভিলম্বের সমীকরণ, \(x-4y+22=0\)
গ. ধরি,
\(y=x^2+1........(1)\)
\(y=7-x........(2)\)
চিত্রে \((2)\) নং সরলরেখা \(x\) অক্ষকে \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে \(\therefore y=0\)
\(\therefore (2)\) হতে,
\(0=7-x\)
\(\Rightarrow x=7\)
\(\therefore B(7, 0)\)
আবার,
\((1)\) ও \((2)\) সমীকরণ সমাধান করি,
\(x^2+1=7-x\)
\(\Rightarrow x^2+x+1-7=0\)
\(\Rightarrow x^2+x-6=0\)
\(\Rightarrow x^2+3x-2x-6=0\)
\(\Rightarrow x(x+3)-2(x+3)=0\)
\(\Rightarrow (x+3)(x-2)=0\)
\(\Rightarrow x+3=0, x-2=0\)
\(\therefore x=-3, x=2\)
\((2)\) হতে,
\(x=-3, x=2\Rightarrow y=10, y=5\)
\(\therefore (1)\) নং বক্ররেখা ও \((2)\) নং সরলরেখা পরস্পর \(E(-3, 10)\) ও \(C(2, 5)\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(C(2, 5)\) বিন্দু হতে \(x\) অক্ষের উপর \(CA\) লম্ব অঙ্কন করি। \(\therefore A(2, 0)\)
int-image

এখন, ছায়াঘেরা অংশটি দুইটি ক্ষেত্রে বিভক্ত একটি \(OACD\) এবং অপরটি \(ABC\)
\(OACD\) ক্ষেত্রে \(x\) এর সীমা \(0\) থেকে \(2\) এবং \(ABC\) ক্ষেত্রে \(x\) এর সীমা \(2\) থেকে \(7\).
\(\therefore \) ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল \(=OACD\) অংশের ক্ষেত্রফল \(+ABC\) অংশের ক্ষেত্রফল
\(=\int_{0}^{2}{(x^2+1)dx}+\int_{2}^{7}{(7-x)dx}\)
\(=\left[\frac{x^3}{3}+x\right]_{0}^{2}+\left[7x-\frac{x^2}{2}\right]_{2}^{7}\) ➜
\(=\left[\frac{2^3}{3}+2-\frac{0^3}{3}-0\right]+\left[7.7-\frac{7^2}{2}-7.2+\frac{2^2}{2}\right]\)
\(=\left[\frac{8}{3}+2-\frac{0}{3}\right]+\left[49-\frac{49}{2}-14+\frac{4}{2}\right]\)
\(=\left[\frac{8+6}{3}-0\right]+\left[\frac{98-49}{2}-14+2\right]\)
\(=\frac{14}{3}+\frac{49}{2}-12\)
\(=\frac{28+147-72}{6}\)
\(=\frac{175-72}{6}\)
\(=\frac{103}{6}\)
\(=17\frac{1}{6}\) বর্গ একক।

\(Q.4.(xxiv)\)
int-image

ক. \(\int{xe^{x^2}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. \(C\) বিন্দুতে বক্ররেখাটির স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ. ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(\frac{1}{2}e^{x^2}+c\)
খ. \(4x+3\sqrt{5}y+18=0\)
গ. \(\left(\frac{3\pi}{2}-2\right)\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

ক.

ধরি,
\(x^2=t\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(x^2)=\frac{d}{dx}(t)\)
\(\Rightarrow 2x=\frac{dt}{dx}\)
\(\Rightarrow 2xdx=dt\)
\(\therefore xdx=\frac{1}{2}dt\)

\(\int{xe^{x^2}dx}\)
\(=\int{e^{x^2}xdx}\)
\(=\int{e^{t}.\frac{1}{2}dt}\)
\(=\frac{1}{2}\int{e^{t}dt}\)
\(=\frac{1}{2}e^{t}+c\) ➜
\(=\frac{1}{2}e^{x^2}+c\) ➜
int-image

খ. দেওয়া আছে,
\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)
\(\Rightarrow 4x^2+9y^2=36\) ➜
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}(4x^2+9y^2)=\frac{d}{dx}(36)\) ➜
\(\Rightarrow 8x+18y\frac{dy}{dx}=0\) ➜
\(\Rightarrow 18y\frac{dy}{dx}=-8x\)
\(\Rightarrow 18y\frac{dy}{dx}=-\frac{8x}{18y}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=-\frac{4x}{9y}\)
\(C(-2, -\frac{2\sqrt{5}}{3})\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(-2, -\frac{2\sqrt{5}}{3})}=-\frac{4\times{-2}}{9\times{-\frac{2\sqrt{5}}{3}}}\)
\(=-\frac{-8}{-6\sqrt{5}}\)
\(=-\frac{4}{3\sqrt{5}}\)
\(\therefore C(-2, -\frac{2\sqrt{5}}{3})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,
\(y+\frac{2\sqrt{5}}{3}=-\frac{4}{3\sqrt{5}}(x+2)\) ➜
\(\Rightarrow 3\sqrt{5}y+\frac{2\sqrt{5}}{3}\times{3\sqrt{5}}=-4(x+2)\) ➜
\(\Rightarrow 3\sqrt{5}y+2\sqrt{5}\times{\sqrt{5}}=-4x-8\)
\(\Rightarrow 4x+3\sqrt{5}y+2\times{5}+8=0\)
\(\Rightarrow 4x+3\sqrt{5}y+10+8=0\)
\(\Rightarrow 4x+3\sqrt{5}y+18=0\)
\(\therefore\) স্পর্শকের সমীকরণ, \(4x+3\sqrt{5}y+18=0\)
int-image

গ. উদ্দীপক অনুসারে \(D\) বিন্দু \(x\) অক্ষের উপর অবস্থিত
অর্থাৎ \(D\) বিন্দুতে \(y=0\)
ধরি, \(D(a, 0)\)
শর্তমতে,
\(BD\) সরলরেখার ঢাল \(=\tan{\angle{ADB}}\)
\(\Rightarrow \frac{2-0}{0-a}=\tan{135^{o}}\) ➜
\(\Rightarrow -\frac{2}{a}=-1\) ➜
\(\Rightarrow \frac{2}{a}=1\)
\(\Rightarrow a=2\)
\(\therefore D(2, 0)\)
\(BD\) সরলরেখার সমীকরণ \(\frac{x-0}{0-2}=\frac{y-2}{2-0}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-2}=\frac{y-2}{2}\)
\(\Rightarrow x=-(y-2)\)
\(\Rightarrow x=-y+2\)
\(\therefore y=2-x .....(1)\)
প্রদত্ত উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)
\(\Rightarrow 4x^2+9y^2=36\) ➜
\(\Rightarrow 9y^2=36-4x^2\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{1}{9}(36-4x^2)\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{4}{9}(9-x^2)\)
\(\Rightarrow y=\sqrt{\frac{4}{9}(9-x^2)}\)
\(\therefore y=\frac{2}{3}\sqrt{9-x^2} .....(2)\)
এখন,
ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল \(=OAB\) অংশের ক্ষেত্রফল \(-ODB\) অংশের ক্ষেত্রফল
\(=\int_{0}^{3}{\frac{2}{3}\sqrt{9-x^2}dx}-\int_{0}^{2}{(2-x)dx}\)
\(=\frac{2}{3}\int_{0}^{3}{\sqrt{3^2-x^2}dx}-\int_{0}^{2}{(2-x)dx}\)
\(=\frac{2}{3}\int_{0}^{3}{\sqrt{3^2-x^2}dx}-\left[2x-\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{2}\)
\(=\frac{2}{3}\left[\frac{x\sqrt{3^2-x^2}}{2}+\frac{3^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{x}{3}\right)}\right]_{0}^{3}-\left[2x-\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{2}\) ➜
\(=\frac{2}{3}\left[\frac{3\sqrt{3^2-3^2}}{2}+\frac{3^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{3}{3}\right)}-\frac{0.\sqrt{3^2-0^2}}{2}+\frac{3^2}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{0}{3}\right)}\right]-\left[4-\frac{4}{2}-0+\frac{0}{2}\right]\)
\(=\frac{2}{3}\left[\frac{3.\sqrt{0}}{2}+\frac{9}{2}\sin^{-1}{\left(1\right)}-\frac{0}{2}+\frac{9}{2}\sin^{-1}{\left(0\right)}\right]-\left[4-2\right]\)
\(=\frac{2}{3}\left[\frac{0}{2}+\frac{9}{2}\sin^{-1}{\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}}-0+\frac{9}{2}\sin^{-1}{\sin{0}}\right]-2\)
\(=\frac{2}{3}\left[0+\frac{9}{2}\times{\frac{\pi}{2}}+\frac{9}{2}\times{0}\right]-2\)
\(=\frac{2}{3}\left[\frac{9\pi}{4}+0\right]-2\)
\(=\left(\frac{3\pi}{2}-2\right)\) বর্গ একক।

Related Post

Category

Post List

Multiple Choise

Question Paper

Post List

Multiple Choise

Ctagory