নির্দিষ্ট যোগজীকরণের সাহায্যে ক্ষেত্রফল
barcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয়গুলি আলোচনা করব।
  • নির্দিষ্ট যোগজএর সাহায্যে ক্ষেত্রফল নির্ণয়
  • সমীকরণ দ্বারা সূচিত বৃত্তীয়ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়
  • পরাবৃত্তীয়ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়
  • উপবৃত্তীয়ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়
  • দুইটি নির্দিষ্ট বক্ররেখা ও দুইটি নির্দিষ্ট কোটি দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়
  • একটি নির্দিষ্ট বৃত্ত ও একটি নির্দিষ্ট পরাবৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়
  • দুইটি নির্দিষ্ট পরাবৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়
  • একটি নির্দিষ্ট উপবৃত্ত ও একটি নির্দিষ্ট সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়
নির্দিষ্ট যোগজএর সাহায্যে ক্ষেত্রফল নির্ণয়ঃ
\(x=a, x=b, y=f(x)\) এবং \(y=0\) এ চারটি রেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে \(n\) সমানভাবে বিভক্ত করলে এবং প্রতিটি ভাগের দূরত্ব \(h\) হলে \(nh=b-a\) হবে। এখন \(nh=b-a\) হলে, \[\lim_{a \rightarrow b}h\{f(a)+f(a+h)+f(a+2h)+f(a+3h)+..\] \[........+f(a+\overline{n-1}.h)\}\] কে নির্দিষ্ট যোগজ বলে। যাকে \(\int_{a}^{b}{f(x)dx}\) প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
\(\therefore \int_{a}^{b}{f(x)dx}\) \[=\lim_{a \rightarrow b}h\{f(a)+f(a+h)+f(a+2h)+f(a+3h)+..\] \[........+f(a+\overline{n-1}.h)\}\]
ক্ষেত্রফল নির্ণয়ঃ
int-image
\(y=f(x)\)বক্ররেখা, \(x\) অক্ষরেখা এবং \(x=a, x=b\) রেখত্রয় দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(ABCD\) কে \(\int_{a}^{b}{f(x)dx}\) প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয় ।
অর্থাৎ \(ABCD\) এর ক্ষেত্রফল \(=\int_{a}^{b}{f(x)dx}\)
ক্ষেত্রফল নির্ণয়ঃ
int-image
\(x=f(y)\)বক্ররেখা, \(y\) অক্ষরেখা এবং \(y=a, y=b\) রেখত্রয় দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(EFGH\) কে \(\int_{a}^{b}{f(y)dx}\) প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয় ।
অর্থাৎ \(EFGH\) এর ক্ষেত্রফল \(=\int_{a}^{b}{f(y)dx}\)
দুইটি নির্দিষ্ট বক্ররেখা ও দুইটি নির্দিষ্ট কোটি দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলঃ
int-image
মনে করি, \(y_{1}=f_{1}(x)\) ও \(y_{2}=f_{2}(x)\) বক্ররেখাদ্বয় ও \(x=a, x=b\) দ্বারা বেষ্টিত ক্ষেত্র \(Q_{1}Q_{2}P_{2}P_{1}\) তাহলে, \(OM=a, ON=b\)
\(\therefore Q_{1}Q_{2}P_{2}P_{1}\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=P_{1}MNP_{2}\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল -\(Q_{1}MNQ_{2}\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
\(=\int_{a}^{b}{f_{1}(x)dx}-\int_{a}^{b}{f_{2}(x)dx}\)
\(=\int_{a}^{b}{\{f_{1}(x)-f_{2}(x)\}dx}\)
\(=\int_{a}^{b}{(y_{1}-y_{2})dx}\)
এখানে, \(y_{1}\) এবং \(y_{2}\) যথাক্রমে \(P_{1}P_{2}\) ও \(Q_{1}Q_{2}\) বক্ররেখাদ্বয়ের কোটি নির্দেশ করে।
int-image
অনুরূপভাবে,
\(x_{1}=f_{1}(y)\) ও \(x_{2}=f_{2}(y)\) বক্ররেখাদ্বয় ও \(y=c, y=d\) দ্বারা বেষ্টিত ক্ষেত্র \(=\int_{c}^{d}{(x_{1}-x_{2})dy}\)
অনুশীলনী \(10.H\) উদাহরণ সমুহ
\((1.)\) সরলরেখায় চলন্ত একটি কণার বেগ \(t\) সেকেন্ড পরে \(v=3t^2+4t\) মিটার/সেঃ হলে, \(3\) সেকেন্ড পরে ত্বরণ, চতুর্থ ও পঞ্চম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ত্বরণ \(=22\) মিটার/সেঃ\(^2\); \(51\) মিটার; \(81\) মিটার;

\((2.)\) \(x^2+y^2=a^2\) সমীকরণ দ্বারা সূচিত বৃত্তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pi{a^2}\) বর্গ একক।
[ বঃ২০১৩,২০০১; যঃ২০০৯; মাঃ২০০৪; বুয়েটঃ২০০৪-২০০৫ ]

\((3.)\) \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তীয়ক্ষেত্রের যে অংশ \(x=\frac{a}{2}\) জ্যা দ্বারা খন্ডিত তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{a^2}{12}\left(4\pi-3\sqrt{3}\right)\) বর্গ একক।

\((4.)\) \(y=\frac{1}{2}x^2+1\) বক্ররেখা এবং তার উপকেন্দ্রিক লম্ব দ্বারা বেষ্টিত ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{2}{3}\) বর্গ একক।

\((5.)\) \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তীয় ক্ষেত্রের যে অংশ ধনাত্মক, বৃহৎ অক্ষ ও ক্ষুদ্র অক্ষ দ্বারা বেষ্টিত তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর এবং তা থেকে সমগ্র উপবৃত্তীয় ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(ab\pi\) বর্গ একক।

\((6.)\) \(x^2+y^2=2ax\) এবং \(y^2=ax\) বক্ররেখাদ্বয় দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a^2\left(\frac{\pi}{2}-\frac{4}{3}\right)\) বর্গ একক।

\((7.)\) \(y^2=4ax\) এবং \(x^2=4ay\) পরাবৃত্ত দুইটি দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{16a^2}{3}\) বর্গ একক।
[ বঃ২০০১৫,২০১৪; দিঃ২০০৯; ঢাঃ,কুঃ২০০৮; সিঃ২০১৫,২০০৮; রাঃ২০১৩ ]

\((8.)\) \(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{25}=1\), \(x=3\); \(f(x)=xe^x\), \(g(x)=(x+1)^3\)
ক. \(\cot{x}=\frac{1}{9}\) হলে, \(\sec{2x}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
খ. \(\int_{0}^{3}{\frac{f(x)}{\frac{d}{dx}\{g(x)\}}dx}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
গ. উদ্দিপকের উপবৃত্ত এবং সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(\frac{41}{40}\), খ. \(\frac{1}{3}\left(\frac{e^3}{4}-1\right)\), গ. \(5\left(2\pi-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\) বর্গ একক।

\((9.)\) \(y=x-x^2\) পরাবৃত্ত এবং \(y=4x\) সরলরেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{9}{2}\) বর্গ একক।

\((10.)\) \(y=x(x-1)^2\) বক্ররেখা, \(y\) অক্ষ এবং \(y=2\) সরলরেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ স্থানের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{10}{3}\) বর্গ একক।

\((11.)\) \(f(x)=\sin{x}\) একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন।
ক. উদ্দীপকের ফাংশনটির দ্বারা ১ম চতুর্ভাগে উৎপন্ন একটি লুপের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
খ. \( 4f(x)[1-\{f(x)\}^2]\) ফাংশনটির \(0\le{x}\le{\frac{\pi}{2}}\) ব্যবধিতে লঘু মাণ ও গুরুমান নির্ণয় কর।
গ. \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) ব্যবধিতে \(\int{e^xf(x)dx}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(2\) বর্গ একক;
খ. \(0, \frac{8}{3\sqrt{3}}\);
গ. \(\frac{1}{2}\left(e^{\frac{\pi}{2}}+1\right)\).

\((12.)\) \(x^2+y^2=50\) একটি বৃত্তের সমীকরণ।
ক. \(f(x)=x+\frac{1}{x}\) ফাংশনটি কোন ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায় এবং কোন ব্যবধিতে হ্রাস পায় তা নির্ণয় কর।
খ. \(y=x\) রেখা উদ্দীপকের বৃত্তকে ১ম চতুর্ভাগে যে বিন্দুতে ছেদ করে উক্ত বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ. উদ্দীপকের বৃত্তটি \(x\) অক্ষের উপরে যে অংশ আবদ্ধ করে উক্ত অংশের ক্ষেত্রফল যোগজের সাহায্যে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(-1>x\) ও \(x>1\) ব্যবধিতে বৃদ্ধি পায়; \(1>x>-1\) ব্যবধিতে হ্রাস পায়;
খ. \(x+y-10=0\);
গ. \(25\pi\).

\((13.)\) \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) রেখা এবং \(x\) অক্ষ ও \(y\) অক্ষ দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}ab\) বর্গ একক।

\((14.)\) \(x^2+y^2=r^2\) বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pi{r^2}\) বর্গ একক।
[ রুয়েটঃ২০০৫-২০০৫; বঃ২০০১; মাঃ২০০৪; যঃ২০০৯ ]

\((15.)\) দেখাও যে, \(y^2=4x\) প্যারাবোলা এবং \(y=2x-4\) রেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ এলাকার ক্ষেত্রফল \(9\) বর্গ একক।

\((16.)\) দৃশ্যকল্প-১: \(f(x)=x+6\)
দৃশ্যকল্প-২: \(g(x)=x^2\)

ক. \(\int{\frac{1}{e^x+e^{-x}}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. \(\int{\frac{xdx}{f(x)\{g(x)+4\}}}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
গ. \(g(x)\) বক্ররেখা এবং \(f(x)\) সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(\tan^{-1}{(e^x)}+c\)
খ. \(-\frac{3}{20}\ln{|x+6|}+\frac{3}{40}\ln{|x^2+4|}+\frac{1}{20}\tan^{-1}{\frac{x}{2}}+c\);
গ. \(\frac{125}{6}\) বর্গ একক।

অনুশীলনী \(10.H / Q.1\)-এর প্রশ্নসমুহ
\(Q.1.(i)\) \(2x^2+2y^2=64\) দ্বারা প্রথম চতুর্ভাগের আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(8\pi\) বর্গ একক।
[ ঢাঃ ২০১৭ ]

\(Q.1.(ii)\) \(3x+4y=12\) সরলরেখা এবং স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয় দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(6\) বর্গ একক।
[ মাঃ ২০০৩ ]

\(Q.1.(iii)\) \(x^2+y^2=4\) বৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4\pi\) বর্গ একক।
[ ঢাঃ ২০০৭ ]

\(Q.1.(iv)\) \(x^2+y^2=16\) বৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(16\pi\) বর্গ একক।
[ যঃ ২০১৪; সিঃ ২০১৪; দিঃ,ঢাঃ২০১২; কুঃ২০১১,২০০৭,২০০০; বঃ২০১১,২০০৮,২০০৬ ]

\(Q.1.(v)\) \(x^2+y^2=36\) বৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(36\pi\) বর্গ একক।
[ বঃ২০১৭ ]

\(Q.1.(vi)\) \(4x^2+9y^2=36\) উপবৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(6\pi\) বর্গ একক।
[ কুঃ২০১৭; ঢাঃ২০১২, ২০০৪; রাঃ২০১৪,২০১২,২০০৬; চঃ২০১২,২০০৬,২০০৪; বঃ২০১২,২০০৯,২০০৭; সিঃ২০১৩ ]

\(Q.1.(vii)\) \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\) উপবৃত্ত দ্বারা বেষ্টিত ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(8\pi\) বর্গ একক।
[ বঃ২০১২,২০০৯,২০০৭; যঃ২০১১; কুঃ২০০৯; সিঃ২০১৩; দিঃ২০১১; রাঃ২০১৪,২০১২,২০১২,২০০৬; ঢাঃ২০১২,২০০৪; চঃ২০১২,২০০৬,২০০২ ]

\(Q.1.(viii)\) \(b>a\) হলে, \(\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\) বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের অর্ধাংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}ab\pi\) বর্গ একক।
[ দিঃ২০১৭ ]

\(Q.1.(ix)\) \(x^2+y^2=16\) দ্বারা
\((a)\) আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ২০১১; রাঃ২০১৬,২০০৭; কুঃ২০১১,২০০৭; দিঃ২০১২; সিঃ২০১৪,২০০৭; চঃ২০০৪; যঃ২০১৪; বঃ২০১১,২০০৮,২০০৬ ]
\((b)\) ১ম চতুর্ভাগে আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((c)\) \(x\) অক্ষের উপরে অবস্থিত অংশের ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) 16\pi\) বর্গ একক।
\((b) 4\pi\) বর্গ একক।
\((c) 8\pi\) বর্গ একক।

\(Q.1.(x)\) \(\frac{x}{6}+\frac{y}{5}=1\) রেখা, \(x\)-অক্ষ ও \(y\)-অক্ষ দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(15\) বর্গ একক।

\(Q.1.(xi)\) \(\frac{x}{10}+\frac{y}{b}=1\) রেখা ও অক্ষদ্বয় দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(500\) বর্গ একক হলে, \(b\) এর মাণ কত?
উত্তরঃ \(b=100\)

অনুশীলনী \(10.H / Q.2\)-এর প্রশ্নসমুহ
\(Q.2.(i)\) \(y=2x-x^2\) এবং \(x\) অক্ষ দ্বারা বেষ্টিত ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{4}{3}\) বর্গ একক।
[ রাঃ২০০১ ]

\(Q.2.(ii)\) \(x^2+y^2=25\) বৃত্ত এবং \(x=3\) রেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষুদ্রতম ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{25\pi}{2}-25\sin^{-1}{\left(\frac{3}{5}\right)}-12\) বর্গ একক।
[ রুয়েটঃ২০০৪-২০০৫; ঢাঃ২০১৪;আকুঃ২০১০; চঃ২০১৪,২০০৯,২০০৫; রাঃ২০০৯; যঃ২০১৩ ]

\(Q.2.(iii)\) \(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{25}=1\) উপবৃত্ত এবং \(x=3\) সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(10\pi-\frac{15\sqrt{3}}{2}\) বর্গ একক।
[ রাঃ২০১৭ ]

\(Q.2.(iv)\) \(9x^2+16y^2-144=0\) \(x-2=0\) সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4\pi-3\sqrt{3}\) বর্গ একক।
[ সিঃ২০১৭ ]

\(Q.2.(v)\) \(y^2=16x\) পরাবৃত্ত এবং এর উপকেন্দ্রিক লম্ব দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{128}{3}\) বর্গ একক।
[ সিঃ২০০৫ ]

\(Q.2.(vi)\) \(y=x^2\) বক্ররেখা , \(x\) অক্ষ এবং \(x=1\) ও \(x=7\) রেখাদ্বয় দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(114\) বর্গ একক।
[ কুঃ২০০২ ]

\(Q.2.(vii)\) \(y=x^3\), \(x\) অক্ষ এবং \(x=2\) ও \(x=3\) রেখাদ্বয় দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{65}{4}\) বর্গ একক।
[ কুঃ২০০২ ]

\(Q.2.(viii)\) \(x^2=4ay\) পরাবৃত্ত এবং এর উপকেন্দ্রিক লম্ব দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{8a^2}{3}\) বর্গ একক।

\(Q.2.(ix)\) \(y=4x^2\) পরাবৃত্ত এবং \(y=4\) সরলরেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{16}{3}\) বর্গ একক।
[ কুঃ২০০১ ]

\(Q.2.(x)\) \(xy=c^2\), \(x\) অক্ষ এবং \(x=a\), \(x=b\) রেখাদ্বয় দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(c^2\ln{\left(\frac{b}{a}\right)}\) বর্গ একক।

\(Q.2.(xi)\) \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}\) এবং \(x\) অক্ষ দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{6}a^2\) বর্গ একক।
[ সিঃ২০০৪ ]

\(Q.2.(xii)\) \(y=0, y=x\) এবং \(x=6\) রেখাদ্বয় দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(18\) বর্গ একক।

\(Q.2.(xiii)\) \(y=x^3, y=0, x=1\) এবং \(x=3\) রেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(20\) বর্গ একক।

\(Q.2.(xiv)\) \(y=x\) এবং \(y=x^2\) দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{6}\) বর্গ একক।
[ ঢাঃবিঃ ভর্তিঃ ২০১৪-২০১৫]

\(Q.2.(xv)\) \(x^2=2y\) বক্ররেখা এবং \(y+x=0\) সরলরেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{2}{3}\) বর্গ একক।

\(Q.2.(xvi)\) পরাবৃত্ত \(y^2=2x\) এবং এর উপকেন্দ্রিক লম্ব দ্বারা বেষ্টিত ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{2}{3}\) বর্গ একক।
[ বুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮ ]

\(Q.2.(xvii)\) \(x\) অক্ষের সাথে \(y=\sin{x}\) বক্ররেখা \(x=\frac{\pi}{2}\) সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1\) বর্গ একক।
[ চঃ ২০০৫ ]

\(Q.2.(xviii)\) \(y=3x\) রেখা, \(x\)-অক্ষ এবং \(x=2\) রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(6\) বর্গ একক।

\(Q.2.(xix)\) \(x^2+y^2=36\) বৃত্ত এবং \(x=5\) রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2\left(9\pi-\frac{5\sqrt{11}}{2}-18\sin^{-1}{\frac{5}{6}}\right)\) বর্গ একক।

\(Q.2.(xx)\) \(y=2\sin{x}\) বক্ররেখা \(x\) অক্ষ এবং \(x=0\) এর মধ্যে সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4\) বর্গ একক।

\(Q.2.(xxi)\) \(x^2=4y\) বক্ররেখা , \(x\) অক্ষ, \(x=2\) এবং \(x=4\) রেখাদ্বয় দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{14}{3}\) বর্গ একক।

অনুশীলনী \(10.H / Q.3\)-এর প্রশ্নসমুহ
\(Q.3.(i)\) \(y^2=x\) এবং \(x^2=y\) বক্ররেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}\) বর্গ একক।
[ যঃ২০১০; বুটেক্সঃ২০০৫-২০০৬ ]

\(Q.3.(ii)\) \(y^2=16x\) পরাবৃত্ত এবং \(y=x\) সরলরেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{128}{3}\) বর্গ একক।
[ কুয়েটঃ২০১১-২০১২; ঢাঃ২০০৩; সিঃ২০০২ ]

\(Q.3.(iii)\) \(y^2=4x\) পরাবৃত্ত এবং \(y=x\) সরলরেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{8}{3}\) বর্গ একক।
[ চঃ,ঢাঃ, কুঃ২০১৩ ]

\(Q.3.(iv)\) \(y^2=4x\) পরাবৃত্ত এবং \(y=2x\) সরলরেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}\) বর্গ একক।
[ চঃ২০১০ ]

\(Q.3.(v)\) \(y^2=4x\) পরাবৃত্ত এবং \(2y=x\) সরলরেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{64}{3}\) বর্গ একক।

\(Q.3.(vi)\) \(y^2=x-1\) পরাবৃত্ত এবং \(2y=x-1\) সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{4}{3}\) বর্গ একক।
[ বুয়েটঃ২০১৪-২০১৫]

\(Q.3.(vii)\) \(x-y+2=0\) এবং \(y=x^2\) দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{9}{2}\) বর্গ একক।
[ সিঃ২০০৩]

\(Q.3.(viii)\) \(y^2+x=0\) প্যারাবোলা এবং \(y=x+2\) সরলরেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{9}{2}\) বর্গ একক।

\(Q.3.(ix)\) \(x\)এর সাপেক্ষে যোগজীকরণ করে \(x=y^2\) এবং \(y=x-2\) রেখাদ্বয় দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{9}{2}\) বর্গ একক।
[ বুয়েটঃ২০১০-২০১১,২০১২-২০১৩]

\(Q.3.(x)\) \(x^2+y^2=1\) এবং \(y^2=1-x\) দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{2}-\frac{4}{3}\) বর্গ একক।
[ ঢাঃ২০০১]

\(Q.3.(xi)\) \(y^2=4ax\) পরাবৃত্ত এবং \(y=mx\) দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{8a^2}{3m^3}\) বর্গ একক।
[ রাঃ২০১৩; সিঃ২০১৫; বঃ২০১৪ ]

\(Q.3.(xii)\) \(y^2=4x\) এবং \(x^2=4y\) পরাবৃত্ত দ্বয়ের সাধারণ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{16}{3}\) বর্গ একক।

\(Q.3.(xiii)\) \(y^2=16x\) পরাবৃত্ত এবং \(y=4x\) সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{2}{3}\) বর্গ একক।
[ ঢাঃবিঃ ভর্তিঃ ২০১১-২০১২]

\(Q.3.(xiv)\) \(y^2=x^3\) এবং \(x=1\) সরলরেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রমাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{4}{5}\) বর্গ একক।

\(Q.3.(xv)\) \(y^2=4x\) পরাবৃত্ত এবং \(y=4\) সরলরেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{16}{3}\) বর্গ একক।

অনুশীলনী \(10.A-10.H /\) সৃজনশীল প্রশ্নসমুহ
\(Q.4.(i)\) \(f(x)=x^2\) একটি কণিকের সমীকরণ।
ক. সমাকলন করঃ \(\int{\ln{x}dx}\).
খ. যোগজ নির্ণয় করঃ \(\int{\frac{dx}{f(x)\left(\sqrt{f(x)}+1\right)}}\).
গ. দেখাও যে, \(f(x)\) এবং \(x-y=0\) রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(\frac{1}{6}\) বর্গ একক।
উত্তরঃ ক. \(x\ln{x}-x+c\)
খ. \(\ln{|x+1|}-\ln{|x|}-\frac{1}{x}+c\)
[ সকল বঃ ২০১৮ ]

\(Q.4.(ii)\) দৃশ্যকল্প-I: \(f(x)=\frac{x}{(x-1)(x^2+1)}\).
দৃশ্যকল্প-II: \(2x^2+2y^2=64\).

ক. \(\int{\ln{x}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. দৃশ্যকল্প-I হতে \(\int{f(x)dx}\) নির্ণয় কর।
গ. দৃশ্যকল্প-II দ্বারা প্রথম চতুর্ভাগের আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(x\ln{|x|}-x+c\)
খ. \(\ln{|x-1|}-\frac{1}{4}\ln{|1+x^2|}+\frac{1}{2}\tan^{-1}{x}+c\)
গ. \(8\pi\) বর্গ একক।
[ ঢাঃ ২০১৭ ]

\(Q.4.(iii)\) দৃশ্যকল্প-১: \(f(\theta)=\cos^3{\theta}, g(\theta)=\sin{\theta}\).
দৃশ্যকল্প-২: \(x^2+y^2=36\).

ক. \(\int{\frac{dx}{1+e^x}}\) নির্ণয় কর।
খ. দৃশ্যকল্প-I হতে নির্ণয় করঃ \((i)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1+g(\theta)}d\theta}\)
\((ii)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(\theta)\sqrt[3]{g(\theta)}d\theta}\)
গ. দৃশ্যকল্প-II এর আলোকে বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমাকলন পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(-\ln{|1+e^x|}+c\)
খ. \((i)\) 2. \((ii)\) \(\frac{9}{20}\)
গ. \(36\pi\) বর্গ একক।
[ বঃ ২০১৭ ]

\(Q.4.(iv)\) \(F(x)=\frac{x^2+x+1}{x},\) \(H(x)=\frac{xe^x}{(x+1)^2}\).
ক. \(y=(x-2)(x+1)\) বক্ররেখার \(x=2\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল নির্ণয় কর।
খ. দেখাও যে, \(F(x)\) এর লঘুমান, গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।
গ. \(\int_{0}^{1}{H(x)dx}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(3\)
গ. \(\frac{e}{2}-1\).
[ যঃ ২০১৭ ]

\(Q.4.(v)\) \(\phi(x,y)=9x^2+16y^2-144;\) \(f(x)=x-2\) এবং \(g(x)=\sin^6{x}\).
ক. \(\int{\frac{xdx}{x-1}}\) নির্ণয় কর।
খ. \((i)\) \(\int_{0}^{2}{f(x)\tan^{-1}{(x-2)}dx}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
\((ii)\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{g(x)\cos{x}dx}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
গ. \(\phi(x,y)=0\) এবং \(f(x)=0\)দ্বারা আবদ্ধ ক্ষদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(x+\ln{|x-1|}+c\)
খ. \((i)\) \(-1+\frac{5}{2}\tan^{-1}{(2)}\).
\((ii) \frac{1}{7}\)
গ. \(4\pi-3\sqrt{3}\) বর্গ একক।
[ সিঃ ২০১৭ ]

\(Q.4.(vi)\) \(u=e^x\) এবং \(4x^2+9y^2=36\).
ক. দেখাও যে, \(\int{\ln{x}dx}=x\ln{|x|}-x+c\).
খ. \(\int_{0}^{\ln{2}}{\frac{u}{1+u}dx}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
গ. যোগজীকরণের সাহায্যে প্রদত্ত উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(x\ln{x}-x+c\)
খ. \(\ln{\left(\frac{3}{2}\right)}\)
গ. \(6\pi\) বর্গ একক।
[ কুঃ ২০১৭ ]

\(Q.4.(vii)\) \(g(z)=mz\sin^{-1}{z}\) একটি ফাংশন এবং \(\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\) একটি বক্ররেখা।
ক. \(\int_{1}^{2}{\frac{1}{z}\cos{(\ln{z})}dz}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
খ. \(\int{g(x)dx}\) এর যোগজ নির্ণয় কর।
গ. \(b>a\) হলে উদ্দীপকে প্রদত্ত বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের অর্ধাংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(\sin{(\ln{2})}\)
খ. \(m\left(\frac{1}{2}x^2\sin^{-1}{x}-\frac{1}{4}\sin^{-1}{x}+\frac{1}{4}x\sqrt{1-x^2}\right)+c\)
গ. \(\frac{ab\pi}{2}\) বর্গ একক।
[ দিঃ ২০১৭ ]

\(Q.4.(viii)\) \(f(x)=\frac{\ln{x}}{x^2+1} ......(1);\) \(g(x)=x^2+1 ....(2)\)
ক. \(\int{\left(\sin{\frac{x}{2}}+\cos{\frac{x}{2}}\right)^2dx}\) নির্ণয় কর।
খ. \((1)\) নং বক্ররেখার \(x=2\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ. \(\int_{0}^{1}{f(x)g(x)dx}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(x-\cos{x}+c\)
খ. \(y-\frac{\ln{2}}{5}=\frac{5-8\ln{2}}{50}(x-2)\)
গ. \(-1\) বর্গ একক।
[ রাঃ ২০১৭ ]

\(Q.4.(ix)\) \(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{25}=1\), \(x=3\); \(f(x)=xe^x\), \(g(x)=(x+1)^3\)
ক. \(\cot{x}=\frac{1}{9}\) হলে, \(\sec{2x}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
খ. \(\int_{0}^{3}{\frac{f(x)}{\frac{d}{dx}\{g(x)\}}dx}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
গ. উদ্দিপকের উপবৃত্ত এবং সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(-\frac{41}{40}\)
খ. \(\frac{1}{3}\left(\frac{e^3}{4}-1\right)\)
গ. \(5\left(2\pi-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\) বর্গ একক।
[ রাঃ ২০১৭ ]

\(Q.4.(x)\) \(f(x)=x^3-6x^2+9x-8\)
ক. \(\int{xe^{2x}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. \(\int{f(\sin{\theta})d\theta}\) নির্ণয় কর।
গ. \(f(x)\) এর চরম মাণ গুলি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(\frac{1}{4}(2xe^{2x}-e^{2x})+c\),
খ. \(\frac{1}{12}\cos{3\theta}-\frac{39}{4}\cos{\theta}+\frac{3}{2}\sin{2\theta}-11\theta+c\)
গ. বৃহত্তমমান \(=-4\).
ক্ষুদ্রতমমান \( =-8\) .

\(Q.4.(xi)\) \(8x^2+9y^2=72\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ।
ক. \(\int{\frac{1}{\sqrt{2x+1}}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. উপবৃত্তটি \(x=1\) রেখাকে যে সকল বিন্দুতে ছেদ করে ঐ বিন্দু গুলিতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ. যোগজীকরণের সাহায্যে উপবৃত্তটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(\sqrt{2x+1}+c\);
খ. \(x+3y-9=0, x-3y-9=0\);
গ. \(6\sqrt{2}\pi\) বর্গ একক।

\(Q.4.(xii)\) \(\phi(x)=x^4-8x^3+22x^2-24x+5\)
ক. \(\int_{0}^{1}{\frac{1}{3+x^2}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. \(\int{\phi(\cos{x})dx}\) নির্ণয় কর।
গ. \(\phi(x)\) এর চরম মাণ গুলি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(\frac{\pi}{6\sqrt{3}}\)
খ. \(\frac{1}{32}\sin{4x}-\frac{2}{3}\sin{3x}+\frac{23}{4}\sin{2x}-30\sin{x}+\frac{131}{8}x+c\)
গ. গরিষ্ঠমান \(=-3\).
লঘিষ্ঠমান \( =-4\) .

\(Q.4.(xiii)\) \(y=(x-4)^2(x-3)\) একটি বক্ররেখার সমীকরণ।
ক. \(\int{\frac{1}{1+\cos{2x}}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. \(\int{\frac{x}{y}dx}\) নির্ণয় কর।
গ. বক্ররেখাটির যে সমস্ত বিন্দুতে স্পর্শক \(x\) অক্ষের সমান্তরাল ঐ সমস্ত বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(\frac{\tan{x}}{2}+c\)
খ. \(3\ln{\left|\frac{x-3}{x-4}\right|}-\frac{4}{x-4}+c\)
গ. \((4,0); \left(\frac{10}{3}, \frac{4}{27}\right)\)

\(Q.4.(xiv)\) \(x^2+y^2=36\) একটি বৃত্তের সমীকরণ।
ক. \(\int{\frac{1}{4x^2-9}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. বৃত্তটির উপরস্থ \((2\sqrt{5}, 4)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ. যোগজীকরণের সাহায্যে বৃত্তটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(\frac{1}{12}\ln{\left|\frac{2x-3}{2x+3}\right|}+c\)
খ. \(2x-\sqrt{5}y=0\)
গ. \(36\pi\) বর্গ একক।

\(Q.4.(xv)\) \(f(x)=e^x\) এবং \(g(x,y)=x^2+y^2\)
ক. \(\int{\frac{(\sec^{-1}{x})^3}{x\sqrt{x^2-1}}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. \(\int{\frac{f(x)(x^2+1)}{(x+1)^2}dx}\) নির্ণয় কর।
গ. \(g(x,y)=100\) বক্ররেখা ও \(x=6\) সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(\frac{1}{4}(\sec^{-1}{x})^4+c\)
খ. \(\frac{e^x(x-1)}{x+1}+c\),
গ. \(100\left(\frac{\pi}{2}-\frac{12}{25}-\sin^{-1}{\frac{3}{5}}\right)\) বর্গ একক।

\(Q.4.(xvi)\) \(f(x)=\sin^{-1}{x}\)
ক. \(\int{\ln{|2x|}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. \(y=e^{mf(x)}\) হলে দেখাও যে, \((1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}=m^2y\).
গ. \(\int{yf(y^2)dy}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(x\ln{|2x|}-x+c\)
গ. \(\frac{1}{2}\left\{y^2\sin^{-1}{(y^2)}+\sqrt{1-y^4}\right\}+c\)

\(Q.4.(xvii)\) \(y=x^2\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ।
ক. \(\int{\cos{x^{o}}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. উদ্দীপকের পরাবৃত্ত ও \(x-y+2=0\) রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
গ. \(\int{\frac{dx}{y(x-2)}}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(\frac{180}{\pi}\sin{\left(\frac{\pi{x}}{180}\right)}+c\)
খ. \(\frac{9}{2}\) বর্গ একক।
গ. \(\frac{1}{4}\ln{\left|\frac{x-2}{x}\right|}+\frac{1}{2x}+c\)

\(Q.4.(xviii)\) \(g(x)=cos^{-1}{x}\)
ক. \(\int{\sec{x}(\sec{x}+\tan{x})dx}\) নির্ণয় কর।
খ. \(\int{xg(x^2)dx}\) নির্ণয় কর।
গ. \(y=\cos{\{mg(x)\}}\) হলে প্রমাণ কর যে, \((1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}+m^2y=0\)
উত্তরঃ ক. \(\tan{x}+\sec{x}+c\)
খ. \(\frac{1}{2}(x^2\cos^{-1}{x^2}-\sqrt{1-x^4})+c\)

\(Q.4.(xix)\) \(y^2=16x\) এবং \(x^2=16y\) দুইটি পরাবৃত্তের সমীকরণ।
ক. \(\int{\frac{1}{1-\cos{4x}}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. প্রথম পরাবৃত্তের উপরস্থ \((1, 4)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ. পরাবৃত্ত দুইটি দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(-\frac{1}{4}\cot{2x}+c\)
খ. \(x+2y=9\)
গ. \(\frac{256}{3}\) বর্গ একক।

\(Q.4.(xx)\) \(f(x)=\frac{5x^2-8x+1}{2x(x-1)^2}\) এবং \(g(x)=e^x\)
ক. \(\int{\frac{\ln{|x|}}{2x}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. দেখাও যে, \(\int_{4}^{9}{f(x)dx}=\ln{\left(\frac{32}{3}\right)}-\frac{5}{24}\)
গ. প্রমাণ কর যে, \(\frac{x}{g^{-1}(x)}\) এর ক্ষুদ্রতম মাণ \(e\)
উত্তরঃ ক. \(\frac{1}{4}(\ln{|x|})^2+c\)

\(Q.4.(xxi)\) \((1)\) \(y=x\) একটি সরলরেখা এবং \(y^2=4x\) একটি পরাবৃত্ত নির্দেশ করে।
\((2)\) \(f(x)=\cot^{-1}{x}\) একটি বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন।

ক. \(\int{\sin{x}\cos{x}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. \(\int_{1}^{\sqrt{3}}{xf(x)dx}\) নির্ণয় কর।
গ. সরলরেখা এবং পরাবৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(-\frac{1}{4}\cos{2x}+c\)
খ. \(\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{6}+\sqrt{3}-1\right)\)
গ. \(\frac{8}{3}\) বর্গ একক।

\(Q.4.(xxii)\)
int-image
ক. \(\int{x\sin{x}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. \(B\) বিন্দুতে বক্ররেখাটির স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ. ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(\sin{x}-x\cos{x}+c\)
খ. \(2x+y=1\)
গ. \(\frac{32}{3}\) বর্গ একক।

\(Q.4.(xxiii)\)
int-image
ক. \(\int{\sin^2{2x}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. \(A\) বিন্দুতে বক্ররেখাটির অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ. ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{4}\sin{4x}\right)+c\)
খ. \(x-4y+22=0\)
গ. \(17\frac{1}{6}\) বর্গ একক।

\(Q.4.(xxiv)\)
int-image
উপরের চিত্রটি একটি উপবৃত্ত যার সমীকরণ \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)
ক. \(\int{xe^{x^2}dx}\) নির্ণয় কর।
খ. \(C\) বিন্দুতে বক্ররেখাটির স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ. ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ ক. \(\frac{1}{2}e^{x^2}+c\)
খ. \(4x+3\sqrt{5}y+18=0\)
গ. \(\left(\frac{3\pi}{2}-2\right)\) বর্গ একক।

Please leave your question below

2 Question(s)
imonhaider
October 29, 2019, 12:15 am
\[\frac{d}{dx}(e^{x^2})=?\]
Reply
Tanmoy
October 28, 2019, 11:53 pm
\[\int{\frac{dx}{1+x^2}}=? \]
Reply

Post List

MATH. LIST
Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Trigonometry 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Statistics 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard