দুই বা ততোধিক সরলরেখার সমীকরণ
barcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
  • সরলরেখার ঐতিহাসিক পটভূমি
  • সরলরেখার সঙ্গা ও বিস্তারিত বিবরণ
  • দুই বা ততোধিক সরলরেখার সমীকরণ
  • সমমাত্রিক n-ঘাত সমীকরণ
  • সমমাত্রিক দ্বিঘাত সমীকরণ
  • সমমাত্রিক দ্বিঘাত সমীকরণের জোড়া সরলরেখা প্রকাশ করার শর্ত
  • মূলবিন্দুগামী জোড়া সরলরেখা
  • মূলবিন্দুগামী জোড়া সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয়
  • সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ
  • সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণের জোড়া সরলরেখা প্রকাশ করার শর্ত
  • প্রশ্ন এবং সমাধান
Historical Background
straight3
Blaise Pascal (1623-1662)
ব্লেজ পাস্কাল ছিলেন একজন ফরাসি গণিতবিদ, পদার্থবিদ, উদ্ভাবক, লেখক এবং ক্যাথলিক ধর্মতত্ত্ববিদ।
প্রাচীন গণিতবিদগণের নিকট সরলরেখা ছিল এমন একটি সোজা বস্তু যার প্রস্ত ও পুরত্ব অতি নগণ্য। সপ্তদশ শতাব্দী পর্যন্ত রেখা সংক্রান্ত ধারণাটি মূলতঃ এইরূপ ছিল। ইউক্লিড straight3 ইউক্লিড (৩০০-২৫০ খ্রিষ্টপূর্ব) বিখ্যাত গ্রিক গণিতজ্ঞ। তার লেখা গ্রন্থগুলির মধ্যে মাত্র তিনটির সন্ধান পাওয়া গিয়েছে এগুলো, ডাটা, অপটিক্স ও এলিমেন্টস। এলিমেন্টস বইটি মোট ১৩ খণ্ডে প্রকাশিত হয়েছিল। রেখাকে প্রস্তহীন দৈর্ঘ্য হিসেবে আখ্যায়িত করেন এবং সরলরেখার কয়েকটি অপ্রমাণযোগ্য ধর্মকে প্রস্তাবনা হিসেবে প্রদান করেন। তার এই প্রস্তাবনাসমূহ হতেই তিনি জ্যামিতিশাস্ত্রের উন্মেষ ঘটান। যা বর্তমানে ইউক্লিডীয় জ্যামিতি নামে পরিচিত। পরবর্তীতে এই জ্যামিতিশাস্ত্র আরও আধুনিকতর হয়েছে এবং আরও অনেক ধরণের শাখা প্রশাখা বিস্তার করেছে। কিন্তু জ্যামিতির এই শাখাটি এখনো অনেকটা অবিকৃত অবস্থায় রয়ে গেছে। উনবিংশ শতাব্দীর শেষভাগে অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতি, প্রজেক্টিভ জ্যামিতি ও অ্যাফিন জ্যামিতির উদ্ভবের ফলে সরলরেখার নানা দৃষ্টিকোণ থেকে সংজ্ঞা দেওয়ার প্রবণতা পরিলক্ষিত হয়। যেমনঃ বৈশ্লেষিক জ্যামিতিতে একঘাতী সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত জ্যামিতিক চিত্র হিসেবে সরলরেখাকে সংজ্ঞায়িত করা হয়। বৈশ্লেষিক জ্যামিতিতে এই ধারণার সাধারণীকৃত রূপ হিসেবে আমরা বলতে পারি যে, দ্বিঘাত সমীকরণ দ্বারা একজোড়া সরলরেখা প্রকাশিত হতে পারে। বাস্তবক্ষেত্রে দেখা যায় যে, কিছু শর্তসাপেক্ষে এই সাধারণীকরণ প্রযোজ্য হয়। অর্থাৎ সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ বিশেষ শর্তসাপেক্ষে একজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করে। তবে রেনে দেকার্তে straight3প্রখ্যাত ফরাসি দার্শনিক, গণিতবিদ রেনে দেকার্তে আধুনিক ফাংশনের ধারণা দেন । (Rene Descartes) (১৫৯৬-১৬৫০) ও ব্লেজ পাস্কাল straight3ব্লেজ পাস্কাল ছিলেন একজন ফরাসি গণিতবিদ, পদার্থবিদ, উদ্ভাবক, লেখক এবং ক্যাথলিক ধর্মতত্ত্ববিদ। (Blaise Pascal) (১৬২৩-১৬৬২) যুগল সরলরেখাকে অপজাত কণিক (Degenerate Conic) হিসেবে বিবেচনা করেন।
সরলরেখা (Straight line):
একটি বিন্দু-সেট দ্বারা সৃষ্ট সঞ্চারপথ দিক পরিবর্তন না করলে সেই সঞ্চারপথকে সরলরেখা বলে। সঞ্চারপথের সমীকরণকে সরলরেখার সমীকরণ বলে।
সরলরেখার ঢাল (Slope or Gradient):
কোনো সরলরেখা \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত যে কোণ উৎপন্ন করে তার ত্রিকোণমিতিক ট্যানজেন্টকে রেখাটির ঢাল বলে। ঢালকে সাধারণত \(m\) দ্বারা সূচিত করা হয়। \(AB\) সরলরেখা \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\theta \) কোণ উৎপন্ন করলে, তার ঢাল \(m=\tan\theta\).
সরলরেখার সমীকরণ চিহ্নিত করণের উপায়ঃ
\(x\) এবং \(y\) এর একঘাত সমীকরণ সর্বদা সরলরেখা প্রকাশ করে। যেমনঃ \(ax+by+c=0\) ইহাকে সরলরেখার সাধারণ সমীকরণও বলা হয়ে থাকে।
পরামিতিক সমীকরন (Parametric Equation):
যখন একটি সঞ্চারপথের উপর অবস্থিত কোনো বিন্দু \((x, y)\) এর স্থানাঙ্ক শুধুমাত্র একটি চলরাশি (Variable) এর মাধ্যমে প্রকাশিত হয়, তখন ঐ চলরাশিকে পরামিতি বা প্যারামিটার ( Parameter ) এবং উক্ত বিন্দুর স্থানাঙ্ককে পরামিতিক স্থানাঙ্ক বা প্যারামিটার যুক্ত স্থানাঙ্ক বলা হয়। \(x\) ও \(y\) এর মান জ্ঞাপক সমীকরণদ্বয়কে একত্রে ঐ সঞ্চারপথের পরামিতিক বা প্যারামিটারযুক্ত সমীকরণ বলে। পরামিতিকে অপসারণ করে যে সমীকরণ পাওয়া যাবে, তা কার্তেসীয় সমীকরণ হবে। সরলরেখার পরামিতিক সমীকরণকে লিখা হয়ঃ \(x=a+bt\), \(y=c+dt\) যখন \(a, b, c, d\) ধ্রুবক এবং \(t\) পরিবর্তনশীল রাশি। এখানে \(t\) কে পরামিতি বলা হয় ।
দুই বা ততোধিক সরলরেখার সমীকরণ ( Equations representing two or more straight lines )
দুই বা দুইয়ের অধিক সরলরেখার সমীকরণগুলো একত্রে গুণ করে একক সমীকরণে পরিণত করা যায়।
যেমনঃ \(x+2y-2=0\)
এবং \(3x-y+3=0\)
একত্রে গুণ করে, \((x+2y-2)(3x-y+3)=0\)
\(\Rightarrow 3x^2+5xy-2y^2-3x+8y-6=0\)
এই সমীকরণটি সিদ্ধ হয় সে সমস্ত বিন্দু দ্বারা যারা \(x+2y-2=0\) অথবা \(3x-y+3=0\)সরলরেখার উপর অবস্থিত।
\(n\)-ঘাত সমীকরণ \(f(x,y)=0\) দ্বারা \(n\)-সংখ্যক সরলরেখা নির্দেশিত হবে যদি \(f(x,y)\) কে \(n\)-সংখ্যক একঘাত উৎপাদকে বিশ্লেষিত করা যায়।
যেমনঃ \(f(x,y)\equiv{(a_{1}x+b_{1}y+c_{1})(a_{2}x+b_{2}y+c_{2})....(a_{n}x+b_{n}y+c_{n})=0}\)
এই সমীকরণ দ্বারা \(n\)-সংখ্যক সরলরেখা নির্দেশিত হয়। সরলরেখাগুলি নিম্নরূপঃ
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 .......(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 .......(2)\)
\(.................................\)
\(.................................\)
\(a_{n}x+b_{n}y+c_{n}=0 .......(n)\)
সমমাত্রিক সমীকরণঃ কোনো সমীকরণের প্রতিটি পদের চলকের এর ঘাতের যোগফল সমান হলে সমীকরণটিকে একটি সমমাত্রিক সমীকরণ বলে।
\(x\) ও \(y\) এর সমমাত্রিক সমীকরণঃ কোনো সমীকরণের প্রতিটি পদের \(x\) ও \(y\) এর ঘাতদ্বয়ের যোগফল সমান হলে সমীকরণটিকে \(x, y\) এর সমমাত্রিক সমীকরণ বলে।
\(x\) ও \(y\) এর সমমাত্রিক দ্বিঘাত সমীকরণঃ কোনো সমীকরণের প্রতিটি পদের \(x\) ও \(y\) এর ঘাতদ্বয়ের যোগফল \(2\) হলে সমীকরণটিকে \(x, y\) এর সমমাত্রিক দ্বিঘাত সমীকরণ বলে।
\(x\) ও \(y\) এর সমমাত্রিক \(n\)-ঘাত সমীকরণঃ কোনো সমীকরণের প্রতিটি পদের চলকের তথা \(x\) ও \(y\) এর ঘাতদ্বয়ের যোগফল একটি নির্দিষ্ট পূর্ণ সংখ্যা \(n\) হলে সমীকরণটিকে \(x, y\) এর একটি সমমাত্রিক \(n\)-ঘাত সমীকরণ বলে।
যেমনঃ \(2x^2-3xy+y^2=0 .....(1)\)
\(x^3-3x^2y+3xy^2-y^3=0 .......(2)\)
\(x^4+3x^3y-3x^2y^2+y^4=0 .......(3)\)
এখানে, \((1), \ (2)\) ও \((3)\) যথাক্রমে দ্বিঘাত, ত্রিঘাত ও চতুর্ঘাত সমমাত্রিক সমীকরণ।
প্রয়োজনীয় এবং স্মরণীয় সূত্র ও অনুসিদ্ধান্তসমূহ।
\((1)\) যে কোনো সমমাত্রিক \(n\)-ঘাত সমীকরণ মূলবিন্দুগামী \(n\)-সংখ্যক সরলরেখা (বাস্তব বা কাল্পনিক ) নির্দেশ করে।
যেমনঃ \(a_{o}x^n+a_{1}x^{n-1}y+a_{2}x^{n-2}y^2+ ...+a_{n-1}xy^{n-1}+a_{n}y^{n}=0 .......(i)\)
\((i)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত মূলবিন্দুগামী সরলরেখগুলির সমীকরণ নিম্নরূপ।
\(y-m_{1}x=0 .....(1)\)
\(y-m_{2}x=0 .....(2)\)
\(...................\)
\(...................\)
\(y-m_{n}x=0 .....(n)\)
\((2)\) সমমাত্রিক দ্বিঘাত সমীকরণ মূলবিন্দুগামী এক জোড়া সরলরেখা প্রকাশ করে।
অথবা,
\(ax^2+2hxy+by^2=0\) সমীকরণ মূলবিন্দুগামী এক জোড়া সরলরেখা প্রকাশ করে।
\((3)\) সমমাত্রিক দ্বিঘাত সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখাদ্বয়,
অথবা,
\(ax^2+2hxy+by^2=0\) সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখাদ্বয়,
\(y-m_{1}x=0 .....(1)\)
\(y-m_{2}x=0 .....(2)\)
সে ক্ষেত্রে,
\(m_{1}+m_{2}=-\frac{2h}{b}\)
\(m_{1}m_{2}=\frac{a}{b}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(ax^2+2hxy+by^2=0\) সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখাদ্বয়,
বাস্তব ও পৃথক হবে, যদি
\(h^2-ab>0\)
বাস্তব ও সমাপতিত হবে, যদি
\(h^2-ab=0\)
কাল্পনিক হবে, যদি
\(0>h^2-ab\)
\((4)\) সমমাত্রিক দ্বিঘাত সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখা যুগোলের মধ্যবর্তী কোণ।
অথবা,
\(ax^2+2hxy+by^2=0\) সরলরেখা যুগোলের মধ্যবর্তী কোণ।
\(\theta=\tan^{-1}{\left(\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\right)}\)
\((5)\) সমমাত্রিক দ্বিঘাত সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখা যুগোলের পরস্পর লম্ব ও সমাপতিত হওয়ার শর্ত ।
অথবা,
\(ax^2+2hxy+by^2=0\) সরলরেখা যুগোলের পরস্পর লম্ব ও সমাপতিত হওয়ার শর্ত।
লম্ব হওয়ার শর্তঃ
\(a+b=0\)
সমাপতিত হওয়ার শর্তঃ
\(h^2=ab\)
\((6)\) সমমাত্রিক দ্বিঘাত সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখা যুগোলের মধ্যবর্তী কোণসমূহের সমদ্বিখন্ডকদ্বয়ের সমীকরণ।
অথবা,
\(ax^2+2hxy+by^2=0\) সরলরেখা যুগোলের মধ্যবর্তী কোণসমূহের সমদ্বিখন্ডকদ্বয়ের সমীকরণ।
\(\frac{x^2-y^2}{a-b}=\frac{xy}{h}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
সমদ্বিখন্ডকদ্বয় পরস্পর লম্ব
\(\because a+b=h+(-h)\)
\(=h-h\)
\(=0\)
\(ax^2+2hxy+by^2=0\) সরলরেখা যুগোল কাল্পনিক হলেও কোণের সমদ্বিখন্ডক দুইটি বাস্তব হবে।
\((7)\) সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণের এক জোড়া সরলরেখা প্রকাশ করার শর্ত।
অথবা,
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের এক জোড়া সরলরেখা প্রকাশ করার শর্ত।
\(\Delta\equiv{\left|\begin{array}{c}a & h & g\\ h & b & f\\ g & f & c\end{array}\right|=0}\)
অথবা,
\(\Delta\equiv{abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2=0}\)
\((8)\) সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু।
অথবা,
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু।
\(\left(\frac{hf-bg}{ab-h^2}, \frac{hg-af}{ab-h^2}\right)\)
\((9)\) সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ।
অথবা,
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ।
\(\theta=\tan^{-1}{\left(\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\right)}\)
\((10)\) সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখাদ্বয়ের পরস্পর লম্ব, সমান্তরাল ও সমাপতিত হওয়ার শর্ত।
অথবা,
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখাদ্বয়ের পরস্পর লম্ব, সমান্তরাল ও সমাপতিত হওয়ার শর্ত।
লম্ব হওয়ার শর্তঃ
\(a+b=0\)
সমান্তরাল হওয়ার শর্তঃ
\(\frac{a}{h}=\frac{h}{b}=\frac{g}{f}\)
সমাপতিত হওয়ার শর্তঃ
\(\frac{a}{h}=\frac{h}{b}=\frac{g}{f}=\frac{ch}{f^2}\)
\((11)\) যদি \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণ একজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করে তবে ঐ রেখা দুইটির সমান্তরাল এবং মূলবিন্দুগামী সরলরেখা দুইটির সমীকরণ হবে।
\(ax^2+2hxy+by^2=0\)
\((12)\) সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণসমূহের সমদ্বিখন্ডকদ্বয়ের সমীকরণ।
অথবা,
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণসমূহের সমদ্বিখন্ডকদ্বয়ের সমীকরণ।
\(\frac{(x-x_{1})^2-(y-y_{1})^2}{a-b}=\frac{(x-x_{1})(y-y_{1})}{h}\)
\((13)\) \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সঞ্চারপথ এবং \(lx+my+n=0\) সরলরেখার ছেদবিন্দুদ্বয়ের সাথে মূলবিন্দুর সংযোগকারী সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ।
অথবা,
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) এবং \(lx+my+n=0\) সমীকরণদ্বয় দ্বারা গঠিত সমমাত্রিক সমীকরণ।
\(ax^2+2hxy+by^2-\frac{2(gx+fy)(lx+my)}{n}+\frac{c(lx+my)^2}{n^2}=0\)
\((14)\) দুই জোড়া সরলরেখার ছেদবিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী সরলরেখার সমীকরণ।
\(\frac{ax+hy+g}{\left|\begin{array}{c}a & h & g\\ a^{\prime} & h^{\prime} & g^{\prime}\\ h^{\prime} & b^{\prime} & f^{\prime}\end{array}\right|}=\frac{ax+hy+g}{\left|\begin{array}{c}h & b & f\\ a^{\prime} & h^{\prime} & g^{\prime}\\ h^{\prime} & b^{\prime} & f^{\prime}\end{array}\right|}\)
\((15)\) তিনটি সরলরেখা দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলঃ
ধরি,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
\(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0 ........(3)\)
উপরক্ত \((1)\), \((2)\) এবং \((3)\) রেখাগুলি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= \(\frac{1}{2} \frac{\Delta^{2}}{C_{1}C_{2}C_{3}}\)
যেখানে,\(\Delta=\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\ a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|\) এবং \(C_{1}, C_{2}, C_{3}\) হচ্ছে \(\Delta\) নির্ণায়কটির যথাক্রমে \(c_{1}, c_{2}, c_{3}\) উপাদানের সহ-গুণক।
অর্থাৎ \(C_{1}=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}),\) \(C_{2}= -(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1}),\) \(C_{3}=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\)
\((16)\) \(y-mx=0\) রেখার সমান্তরাল এবং \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ।
\(y-y_{1}-m(x-x_{1})=0\)
\((17)\) \(ax^2+2hxy+by^2=0\) রেখাদ্বয়ের সমান্তরাল এবং \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ।
\(a(x-x_{1})^2+2h(x-x_{1})(y-y_{1})+b(y-y_{1})^2=0\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(a_{o}x^n+a_{1}x^{n-1}y+a_{2}x^{n-2}y^2+ ...+a_{n}y^{n}=0\) রেখাগুলির সমান্তরাল এবং \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ।
\(a_{o}(x-x_{1})^n+a_{1}(x-x_{1})^{n-1}(y-y_{1})+a_{2}(x-x_{1})^{n-2}(y-y_{1})^2+ ...+a_{n}(y-y_{1})^{n}=0\)
\(x\) এর স্থানে \((x-x_{1})\) এবং \(y\) এর স্থানে \((y-y_{1})\) বসানো হয়েছে।
\((18)\) \(y-mx=0\) রেখার উপর লম্ব এবং মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ।
\(ym+x=0\)
\((19)\) \(ax^2+2hxy+by^2=0\) রেখাদ্বয়ের উপর লম্ব এবং মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ।
\(ay^2-2hxy+bx^2=0\)
\((20)\) \(y-mx=0\) রেখার উপর লম্ব এবং \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ।
\((y-y_{1})m+(x-x_{1})=0\)
\((21)\) \(ax^2+2hxy+by^2=0\) রেখাদ্বয়ের উপর লম্ব এবং \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ।
\(a(y-y_{1})^2-2h(y-y_{1})(x-x_{1})+b(x-x_{1})^2=0\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(a_{o}x^n+a_{1}x^{n-1}y+a_{2}x^{n-2}y^2+ ...+a_{n}y^{n}=0\) রেখাগুলির উপর লম্ব এবং \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ।
\(a_{o}(y-y_{1})^n-a_{1}(y-y_{1})^{n-1}(x-x_{1})+a_{2}(y-y_{1})^{n-2}(x-x_{1})^2- ...+(-1)^na_{n}(x-x_{1})^{n}=0\)
প্রথমে \(x\) এর স্থানে \(-y\) এবং \(y\) এর স্থানে \(x\), অতঃপর \(x\) এর স্থানে \((x-x_{1})\) এবং \(y\) এর স্থানে \((y-y_{1})\) বসানো হয়েছে।
অধ্যায় \(3\)-এর উদাহরণসমুহ
উদাহরণ \(1.\) \(3x^2+5xy-2y^2-3x+8y-6=0\) সমীকরণের সরলরেখাদ্বয়ের সমান্তরাল এবং \((1, -2)\) বিন্দুগামী রেখা দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর। সমীকরণটির রেখাদ্বয়ের উপর লম্ব এবং মূলবিন্দুগামী এরূপ রেখাদ্বয়ের সমীকরণও বের কর।
উত্তরঃ \(3x^2+5xy-2y^2+4x-13y-15=0;\) \(3y^2-5xy-2x^2=0\)

উদাহরণ \(2.\) \(x^2-2pxy-y^2=0\) রেখাজোড়া এবং \(x^2-2qxy-y^2=0\) রেখাজোড়া যদি এরূপ হয় যে প্রত্যেক জোড়া অপর জোড়ার মধ্যবর্তী কোণের সমদ্বিখন্ডক নির্দেশ করে তবে দেখাও যে, \(pq=-1\).

উদাহরণ \(3.\) \(ax^2+2hxy+by^2=0\) রেখাদ্বয়ের একটি, \(a^{\prime}x^2+2h^{\prime}xy+b^{\prime}y^2=0\) রেখাদ্বয়ের একটির উপর লম্ব হয় তবে প্রমাণ কর যে, \((aa^{\prime}-bb^{\prime})^2+4(a^{\prime}h+bh^{\prime})(ah^{\prime}+b^{\prime}h)=0\).
[ রাঃ বিঃ সঃ ১৯৭৭ ]

উদাহরণ \(4.\) প্রমাণ কর যে, \(ax^2+2hxy+by^2=0\) রেখাদ্বয়ের ওপর মূলবিন্দুতে লম্ব রেখা দুইটির সমীকরণ হবে \(bx^2-2hxy+ay^2=0\)
[ রাঃ বিঃ সঃ ১৯৯৮; ঢঃ বিঃ সঃ ১৯৭৫ ]

উদাহরণ \(5.\) প্রমাণ কর যে, মূলবিন্দুগামী এবং \(y+x=0\) সরলরেখার সাথে \(\alpha\) কোণ উতপন্নকারী সরলরেখাদ্বয় \(x^2+2xy\sec{2\alpha}+y^2=0\) সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত হয়।
[ ঢঃ বিঃ সঃ ১৯৮২ ]

উদাহরণ \(6.\) দেখাও যে, \(ax^2+2hxy+by^2=0\) সরলরেখাদ্বয় এবং \(lx+my+n=0\) রেখাটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(\frac{n^2\sqrt{h^2-ab}}{am^2-2hlm+bl^2}\)
[ রাঃ বিঃ সঃ ১৯৭৮; ঢঃ বিঃ সঃ ১৯৬০ ]

উদাহরণ \(7.\) দেখাও যে, \(4xy(x^2-y^2)-\tan{\alpha}(x^2+2xy-y^2)(x^2-2xy-y^2)=0\) সমীকরণটি চারটি রেখা প্রকাশ করে এবং রেখাগুলো একে অপরের সাথে সমভাবে নত।

উদাহরণ \(8.\) দেখাও যে, \(ax^3+bx^2y+cxy^2+dy^3=0\) রেখাগুলোর দুইটি পরস্পর লম্ব হবে যদি \(a^2+ac+bd+d^2=0\) হয়।

উদাহরণ \(9.\) প্রমাণ কর যে, \(ax^4+bx^3y+cx^2y^2+dxy^3+ay^4=0\) রেখাগুলোর দুইটি অপর দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণকে দ্বিখণ্ডিত করে যদি \(c+6a=0, \ b+d=0\) হয়।
[ চঃ বিঃ সঃ ১৯৭৮,১৯৭৯,১৯৮৫; ঢঃ বিঃ সঃ ১৯৫৮,১৯৮০ ]

উদাহরণ \(10.\) দেখাও যে, \(ax^2+2hxy+by^2=\left\{(a+b)\sin^2{\theta}+\sqrt{h^2-ab}\sin{2\theta}\right\}\)\((x^2+y^2)\) সমীকরণটি এক জোড়া সরলরেখা সূচিত করে যাদের কোণদ্বয়ের সমদ্বিখন্ডক রেখা, \(ax^2+2hxy+by^2=0\) রেখাদ্বয়ের কোণের সমদ্বিখন্ডক রেখার সাথে অভিন্ন হবে এবং দ্বিতীয় রেখাদ্বয়ের সাথে সমান কোণ \(\theta\) উৎপন্ন করবে।
[ চঃ বিঃ সঃ ১৯৮৪ ]

উদাহরণ \(11.\) \(x^2-2axy-y^2=0\) রেখাজোড়া এবং \(x^2-2bxy-y^2=0\) রেখাজোড়া যদি এরূপ হয় যে প্রত্যেক জোড়া অপর জোড়ার মধ্যবর্তী কোণের সমদ্বিখন্ডক নির্দেশ করে তবে দেখাও যে, \(ab=-1\).

উদাহরণ \(12.\) দেখাও যে, \((Ax+By)^2-3(Ay-Bx)^2=0\) রেখা দুইটি \(Ax+By+C=0\) রেখাটির সাথে একটি সমবাহু ত্রিভুজ উৎপন্ন করে যার ক্ষেত্রফল \(\frac{C^2}{\sqrt{3}(A^2+B^2)}\)

উদাহরণ \(13.\) দেখাও যে, \(12x^2-10xy+2y^2+11x-5y+2=0\) সমীকরণটি এক জোড়া সরলরেখা নির্দেশ করে। রেখা দুইটির ছেদবিন্দু এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর। রেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণও নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(14.\) \(\lambda\) এর মান কি হলে \(\lambda{x^2}+4xy+y^2-4x-2y-3=0\) সমীকরণটি একজোড়া সরলরেখা নির্দেশ করবে?
[ ঢঃ বিঃ সঃ ১৯৫৮,১৯৮৩]

উদাহরণ \(15.\) দেখাও যে, \(x^2+6xy+9y^2+4x+12y-5=0\) সমীকরণটি একজোড়া সমান্তরাল সরলরেখা প্রকাশ করে এবং ইহাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(\frac{3\sqrt{10}}{5}\)
[ রাঃ বিঃ সঃ ১৯৭৯]

উদাহরণ \(16.\) দেখাও যে, \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণটি দুইটি সমান্তরাল সরলরেখা নির্দেশ করবে যদি \(a:h=h:b=g:f\) হয়। আরও দেখাও যে ঐ রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(2\sqrt{\frac{g^2-ac}{a(a+b)}}\)
[ চঃ বিঃ সঃ ১৯৮৪]

উদাহরণ \(17.\) প্রমাণ কর যে, মূলবিন্দুগামী দুইটি রেখা যা সরলরেখা \(kx+hy=2hk\) ও বক্ররেখা \((x-h)^2+(y-k)^2=c^2\) এর ছেদবিন্দুগামী, পরস্পর লম্ব, যদি \(h^2+k^2=c^2\) হয়।
[ চঃ বিঃ সঃ ১৯৮৫]

উদাহরণ \(18.\) প্রমাণ কর যে, \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত রেখা দুইটি মূলবিন্দু হতে সমদূরবর্তী হবে, যদি \(f^4-g^4=c(bf^2-ag^2)\) হয়।
[ ঢাঃ বিঃ সঃ ১৯৫৬; চঃ বিঃ সঃ ১৯৭৭]

উদাহরণ \(19.\) প্রমাণ কর যে, যদি \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণটি দুইটি সরলরেখা প্রকাশ করে তবে তাদের মধ্যবর্তী কোণের সমদ্বিখন্ডক দুইটি এবং \(x\) অক্ষ দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(\frac{\sqrt{(a-b)^2+4h^2}}{2h}.\frac{ca-g^2}{ab-h^2}\).

উদাহরণ \(20.\) প্রমাণ কর যে, \((ab-h^2)(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy)+af^2+\)\(bg^2-2fgh=0\) সমীকরণটি দুইটি সরলরেখা প্রকাশ করে এবং \((a-b)fg+h(f^2-g^2)=0\) হলে এই রেখাগুলো \(ax^2+2hxy+by^2=0\) রেখাদ্বয়ের সাথে একটি রম্বস উৎপন্ন করে।
[ ঢাঃ বিঃ সঃ ১৯৮০]

উদাহরণ \(21.\) \(y^3-x^3+3xy(y-x)=0\) সমীকরণটি তিনটি সরলরেখা প্রকাশ করে। প্রমাণ কর যে, ইহারা একে অপরের সহিত সমান কোণ উৎপন্ন করে।
[ চঃ বিঃ সঃ ১৯৮৭]

উদাহরণ \(22.\) যদি \(ax^4+bx^3y+cx^2y^2+dxy^3+ey^4=0\) সমীকরণটি চারটি সরলরেখা প্রকাশ করে এবং তদের দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণ এক সমকোণ হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \((b+d)(ad+be)+(a-e)^2(a+c+e)=0\)

উদাহরণ \(23.\) দেখাও যে, \(7x^2+8xy-7y^2+6x-12y=0\) সরলরেখাদ্বয়ের সহিত \(2x+y-1=0\) সরলরেখার ছেদবিন্দু ও মূলবিন্দুর সংযোজক সরলরেখাদ্বয় পরস্পরের সহিত লম্ব।

উদাহরণ \(24.\) যদি \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তের \(lx+my=1\) সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত জ্যাটি কেন্দ্রে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে তবে দেখাও যে, \(4\{a^2(l^2+m^2)-1\}=\{a^2(l^2+m^2)-2\}^2\)

উদাহরণ \(25.\) যদি \(axy+bx+cy+d=0\) সমীকরণটি এক জোড়া সরলরেখা প্রকাশ করে তবে প্রমাণ কর যে, \(bc=ad\)

উদাহরণ \(26.\) প্রমাণ কর যে, \((x-p)^2+2h(x-p)(y-q)+(y-q)^2=0\) সমীকরণটি এক জোড়া পরস্পর লম্ব সরলরেখা প্রকাশ করে।

উদাহরণ \(27.\) প্রমাণ কর যে, \(ax+by=2ab\) সরলরেখা এবং \((x-b)^2+(y-a)^2=c^2\) বক্ররেখার ছেদবিন্দুর সহিত মূলবিন্দুর সংযোগ সরলরেখাদ্বয় পরস্পরের উপর লম্ব হবে যদি \(a^2+b^2=c^2\) হয়।

উদাহরণ \(28.\) মূলবিন্দু থেকে \(bx+ay=ab\) রেখার সাথে \(x^2+y^2=c^2\) বৃত্তের ছেদবিন্দুদ্বয়ের সংযোগ সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর এবং প্রমাণ কর যে, যদি রেখাটি বৃত্তে স্পর্শক হয় তবে \(b^2c^2+c^2a^2=a^2b^2\) হবে।
[ জাতীঃ বিঃ সঃ ২০০৬]

উদাহরণ \(29.\) প্রমাণ কর যে, \((x^2+y^2)\sin^2{\alpha}=(x\cos{\theta}-y\sin{\theta})^2\) এক জোড়া সরলরেখা প্রকাশ করে যারা মূলবিন্দুগামী এবং সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(2\alpha\)
[ জাতীঃ বিঃ সঃ ২০১৪]

অধ্যায় \(3\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
\(Q.1.(i)\) সরলরেখা কাকে বলে? সরলরেখার সমীকরণ বলতে কি বুঝ?

\(Q.1.(ii)\) সরলরেখার ঢাল বলতে কি বুঝ?

\(Q.1.(iii)\) সরলরেখার সমীকরণ চিহ্নিত করণের উপায় কি?

\(Q.1.(iv)\) সরলরেখার পরামিতিক সমীকরন বলতে কি বুঝ?

\(Q.1.(v)\) সমমাত্রিক সমীকরণ বলতে কি বুঝ?

\(Q.1.(vi)\) \(x\) ও \(y\) এর সমমাত্রিক সমীকরণ কি?

\(Q.1.(vii)\) \(x\) ও \(y\) এর সমমাত্রিক দ্বিঘাত সমীকরণ বলতে কি বুঝ?

\(Q.1.(viii)\) \(x\) ও \(y\) এর সমমাত্রিক \(n\)-ঘাত সমীকরণ বলতে কি বুঝ?

\(Q.1.(ix)\) সমমাত্রিক দ্বিঘাত সমীকরণ দ্বারা কি প্রকাশিত হয়?

\(Q.1.(x)\) সমমাত্রিক \(n\)-ঘাত সমীকরণ দ্বারা কি প্রকাশিত হয়?

\(Q.1.(xi)\) সমমাত্রিক দ্বিঘাত সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয়ের সূত্র লিখ।

\(Q.1.(xii)\) সমমাত্রিক দ্বিঘাত সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখাদ্বয়ের সমান্তরাল ও সমাপতিত হওয়ার শর্ত লিখ।

\(Q.1.(xiii)\) সমমাত্রিক দ্বিঘাত সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখা যুগোলের মধ্যবর্তী কোণসমূহের সমদ্বিখন্ডকদ্বয়ের সমীকরণ লিখ।

\(Q.1.(xiv)\) \(x\) ও \(y\) এর সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ বলতে কি বুঝ?

\(Q.1.(xv)\) সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ দ্বারা কি নির্দেশিত হয়?

\(Q.1.(xvi)\) কি শর্তে সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ দ্বারা একজোড়া ( যুগল ) সরলরেখা নির্দেশিত হয়?

\(Q.1.(xvii)\) কি শর্তে সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ দ্বারা পরস্পর লম্ব একজোড়া ( যুগল ) সরলরেখা নির্দেশিত হয়?

\(Q.1.(xviii)\) কি শর্তে সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ দ্বারা পরস্পর সমান্তরাল একজোড়া ( যুগল ) সরলরেখা নির্দেশিত হয়?

\(Q.1.(xix)\) কি শর্তে সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ দ্বারা পরস্পর সমাপতিত একজোড়া ( যুগল ) সরলরেখা নির্দেশিত হয়?

\(Q.1.(xx)\) সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ \( ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0 \) একজোড়া ( যুগল ) সরলরেখা নির্দেশ করলে রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখ।

\(Q.1.(xxi)\) সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ \( ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0 \) একজোড়া ( যুগল ) সরলরেখা নির্দেশ করলে রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয়ের সূত্র লিখ।

\(Q.1.(xxii)\) সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ \( ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0 \) একজোড়া সমান্তরাল সরলরেখা নির্দেশ করলে রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্র লিখ।

\(Q.1.(xxiii)\) সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ \( ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0 \) একজোড়া সরলরেখা নির্দেশ করলে রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণসমূহের সমদ্বিখন্ডক রেখাদ্বয়ের সমীকরণ লিখ।

\(Q.1.(xxiv)\) \(x^2+2hxy-y^2=0 \) দ্বারা নির্দেশিত রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয় কর।

\(Q.1.(xxv)\) \(lx^2+2hxy+my^2=0\) দ্বারা নির্দেশিত রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ কত?

\(Q.1.(xxvi)\) \(ax^2+2hxy+by^2=0\) দ্বারা নির্দেশিত রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখ।

অধ্যায় \(3\) / \(Q.2\)-এর প্রশ্নসমূহ
নিম্নলিখিত সমীকরণগুলো দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখাগুলো নির্ণয় কর।
\(Q.2.(i)(a)\) \(2x^2+xy-6y^2=0\)
উত্তরঃ \(x+2y=0; \ 2x-3y=0\)।

\(Q.2.(i)(b)\) \(x^2-2xy\cot{2\alpha}-y^2=0\)
উত্তরঃ \(x+y\tan{\alpha}=0; \ x-y\cot{\alpha}=0\)।

\(Q.2.(i)(c)\) \(x^2+4xy+4y^2+2x+4y-3=0\)
উত্তরঃ \(x+2y-1=0; \ x+2y+3=0\)।

\(Q.2.(i)(d)\) \(2y^3+xy^2-5x^2y+2x^3=0\)
উত্তরঃ \(y-x=0; \ y+2x=0; \ 2y-x=0\)।

\(Q.2.(i)(e)\) \(x^2\cos{2\theta}-4xy\cos{\theta}+2y^2+x^2=0\)
উত্তরঃ \(y=x\cos{\theta}; \ y=x\cos{\theta}\)।

\(Q.2.(i)(f)\) \(3x^2-16xy+5y^2=0\)
উত্তরঃ \(x-5y=0; \ 3x-y=0\)।

\(Q.2.(i)(g)\) \(y^3-xy^2-14x^2y+24x^3=0\)
উত্তরঃ \(y=-4x; \ y=2x; \ y=3x\)।

দেখাও যে, নিম্নের প্রতিটি সমীকরণ একজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করে; রেখা দুইটির ছেদবিন্দু এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।
\(Q.2.(ii)(a)\) \(x^2-5xy+4y^2+x+2y-2=0\)
উত্তরঃ \((2, 1); \ \tan^{-1}{\frac{3}{5}}\)।

\(Q.2.(ii)(b)\) \(2y^2+3xy-5y-6x+2=0\)
উত্তরঃ \((-1, 2); \ \tan^{-1}{\frac{3}{2}}\)।
[ঢাঃ বিঃ সঃ ১৯৫২]

\(Q.2.(ii)(c)\) \(2x^2+3xy-2y^2+5x+5y+3=0\)
উত্তরঃ \((-\frac{7}{5}, \frac{1}{5}); \ 90^{o}\)।

\(Q.2.(ii)(d)\) \(3y^2-8xy-3x^2-29x+3y-18=0\)
উত্তরঃ \((-\frac{3}{2}, -\frac{5}{2}); \ 90^{o}\)।

\(Q.2.(ii)(e)\) \(2y^2-xy-x^2+y+2x-1=0\)
উত্তরঃ \((1, 0); \ \tan^{-1}{3}\)।

\(Q.2.(ii)(f)\) \(6x^2-5xy-6y^2+14x+5y+4=0\)
উত্তরঃ \((-\frac{11}{13}, \frac{10}{13}); \ 90^{o}\)।
[রাঃ বিঃ সঃ ১৯৬০]

\(Q.2.(ii)(g)\) \(2y^2+3xy-5y-6x+2=0\)
উত্তরঃ \((-1, 2); \ \tan^{-1}{\left(\frac{3}{2}\right)}\)।
[ঢাঃ বিঃ সঃ ১৯৫২]

\(\lambda \) অথবা \(k\) এর মান কত হলে নিম্নের সমীকরণগুলোর প্রত্যেক্যে একজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করবে?
\(Q.2.(iii)(a)\) \(12x^2-10xy+2y^2+11x-5y+\lambda=0\)
উত্তরঃ \( 2\)।
[রাঃ বিঃ সঃ ১৯৭৮; ঢাঃ বিঃ সঃ ১৯৬২]

\(Q.2.(iii)(b)\) \(2x^2+xy-y^2+kx+6y-9=0\)
উত্তরঃ \(-3\)।

\(Q.2.(iii)(c)\) \(6x^2-7xy+16x-3y^2-2y+k=0\)
উত্তরঃ \(8\)।
[ ঢাঃ বিঃ সঃ ১৯৬২]

\(Q.2.(iii)(d)\) \(6x^2+xy+ky^2-11x+43y-35=0\)
উত্তরঃ \(-12\)।

\(Q.2.(iii)(e)\) \(\lambda{xy}+5x+3y+2=0\)
উত্তরঃ \(\frac{15}{2}\)।

\(Q.2.(iii)(f)\) \(2x^2-y^2+xy-2x-5y+k=0\)
উত্তরঃ \(-4\)।
[রাঃ বিঃ সঃ ১৯৮৩]

\(Q.2.(iii)(g)\) \(\lambda{x^2}+4xy+y^2-4x-2y-3=0\)
উত্তরঃ \(4\)।
[ঢাঃ বিঃ সঃ ১৯৬০]

\(Q.2.(iii)(h)\) \(x^2-\lambda{xy}+2y^2+3x-5y+2=0\)
উত্তরঃ \(3, \ \frac{9}{2}\)।

\(Q.2.(iii)(i)\) \(kxy-8x+9y-12=0\)
উত্তরঃ \(6\)।

\(Q.2.(iii)(j)\) \(6x^2+2kxy+12y^2+22x+31y+20=0\)
উত্তরঃ \(\frac{171}{20}, \ \frac{17}{2}\)।
[ঢাঃ বিঃ সঃ ১৯৬২]

দেখাও যে, নিম্নের প্রতিটি সমীকরণ নির্দেশিত সরলরেখগুলো একে অপরের সাথে সমভাবে নতঃ
\(Q.2.(iv)(a)\) \(y^3-x^3+3xy(y-x)=0\)
[রাঃ বিঃ সঃ ১৯৭৪]

\(Q.2.(iv)(b)\) \(m(x^3-3xy^2)+y^3-3x^2y=0\)

\(Q.2.(iv)(c)\) \((x^2-3y^2)x=my(y^2-3x^2)\)

\(Q.2.(v)\) দেখাও যে, \((x^2+y^2)(\cos^2{\theta}\sin^2{\alpha}+\sin^2{\theta})=(x\tan{\alpha}-y\sin{\theta})^2\) সরলরেখা দুইটির মধ্যবর্তী কোণ \(2\alpha\).

\(Q.2.(vi)\) দেখাও যে, \(x^2(\tan^2{\theta}+\cos^2{\theta})-2xy\tan{\theta}+y^2\sin^2{\theta}=0\) সরলরেখাদ্বয় যদি \(x\)অক্ষরেখার সাথে \(\alpha\) এবং \(\beta\) কোণ উৎপন্ন করে তাহলে \(\tan{\alpha}-\tan{\beta}=2\) হবে।
[রাঃ বিঃ সঃ ১৯৮৩; ঢাঃ বিঃ সঃ ১৯৮২ ]

\(Q.2.(vii)\) দেখাও যে, \(y=mx\) সরলরেখা \(x^2+2xy-3y^2=0\) সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করলে \(m=-2\pm{\sqrt{5}}\) হবে।

\(Q.2.(viii)\) দেখাও যে, \(y=mx\) সরলরেখা \(ax^2-2hxy+by^2=0\) সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করবে যদি \(h(1-m^2)+m(a-b)=0\) হয়।
[ ঢাঃ বিঃ সঃ ১৯৭৭ ]

\(Q.2.(ix)\) দেখাও যে, \(\lambda\) এর বিভিন্ন মানের জন্য \(ax^2+2hxy+by^2+\lambda(x^2+y^2)=0\) সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখা যুগলের অন্তর্ভুক্ত কোণের একই সমদ্বিখণ্ডক থাকে। ব্যপারটি ব্যখ্যা কর যখন \(\lambda=-(a+b)\)
[ রাঃ বিঃ সঃ ১৯৭৭]

\(Q.2.(x)\) দেখাও যে, \((y-mx)^2=c^2(1+m^2)\) এবং \((y-nx)^2=c^2(1+n^2)\) সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখা চারটি একটি রম্বস গঠন করে।

\(Q.2.(xi)\) প্রমাণ কর যে, \(a^2x^2+2h(a+b)xy+b^2y^2=0\) রেখা দুইটি, \(ax^2+2hxy+by^2=0\) রেখদ্বয়ের সাথে সমভাবে নত থাকে।

\(Q.2.(xii)\) প্রমাণ কর যে, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) এবং \(lx+my+n=0\) এর ছেদবন্দুদ্বয় এবং মূলবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা দুইটি সমাপতিত হবে যদি \(a^2l^2+b^2m^2=n^2\) হয়।
[ রাঃ বিঃ সঃ ১৯৭৭, ১৯৮২ ]

\(Q.2.(xiii)\) দেখাও যে, \(ax^2+2hxy+by^2=0\) সরলরেখদ্বয়ের একটি \(a^{\prime}x^2+2h^{\prime}xy+b^{\prime}y^2=0\) সরলরেখদ্বয়ের একটির সাথে সমাপতিত হবে যদি \((ab^{\prime}-a^{\prime}b)^2=4(ha^{\prime}-h^{\prime}a)(bh^{\prime}-b^{\prime}h)\) হয়।
[ ঢঃ বিঃ সঃ ১৯৮৩; জাতীঃ ১৯৯৫ ]

\(Q.2.(xiv)\) \(5y(x^2+y^2)^2-20y^3(x^2+y^2)+16y^5=0\) সরলরেখাগুলো \(x\) অক্ষের সাথে যে কোণগুলি উৎপন্ন করে সেগুলি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( 0^{o}, \ 36^{o}, \ 72^{o}, \ 144^{o}, \ 288^{o}\)।

\(Q.2.(xv)\) \(x^3-3x^2y\cot{3\alpha}-3xy^2+y^3\cot{3\alpha}=0\) সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখাগুলো বের কর।
উত্তরঃ \( y=x\tan{\alpha}, \ y=x\tan{(\alpha+60^{o})},\) \(y=x\tan{(\alpha+120^{o})}\)।

\(Q.2.(xvi)\) দেখাও যে, মূলবিন্দুগামী এবং পরস্পর লম্ব এরূপ যে কোনো একজোড়া সরলরেখার সমীকরণকে \(x^2+2hxy-y^2=0\) আকারে প্রকাশ করা যায়। এর সাহায্যে দেখাও যে, \(x^4+Bx^3y+Cx^2y^2+Dxy^3+Ey^4=0\) সমীকরণটি দুই জোড়া লম্বিক সরলরেখা নির্দেশ করে যদি \(B+D=0\) এবং \(E=1\) হয়।

\(Q.2.(xvii)\) প্রমাণ কর যে, \(ax^3+bx^2y+cxy^2+dy^3=0\) সরলরেখা তিনটির একটি অপর দুইটির মধ্যবর্তী কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করবে যদি \((3a+c)^2(bc+2cd-3ad)=(b+3d)^2(2ab+bc-3ad)\) হয়।

\(Q.2.(xviii)\) প্রমাণ কর যে, \(2x^2-7xy+3y^2+x+7y-6=0\) সমীকরণটি দুইটি সরলরেখা প্রকাশ করে এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ \(45^{o}\).

\(Q.2.(xix)\) দেখাও যে, \(6x^2-5xy-6y^2+14x+5y+4=0\) সমীকরণটি দুইটি সরলরেখা প্রকাশ করে এবং তারা পরস্পরের সহিত লম্ব।

\(Q.2.(xx)\) দেখাও যে, \(ax^2+2\lambda{xy}-ay^2=0\) সমীকরণটি পরস্পরের সহিত লম্ব দুইটি সরলরেখা প্রকাশ করে।

\(Q.2.(xxi)\) দেখাও যে, \(p(x^3-3xy^2)+y^3-3x^2y=0\) সমীকরণটি তিনটি রেখা প্রকাশ করে এবং রেখাগুলো এক অপরের সাথে সমভাবে নত।
[ রাঃ বিঃ সঃ ১৯৮৭ ]

\(Q.2.(xxii)\) দেখাও যে, \(x^2+4xy-2y^2+6x-12y-15=0\) সমীকরণটি দুইটি সরলরেখা প্রকাশ করে।
[ ঢাঃ বিঃ সঃ ১৯৭৯ ]

\(Q.2.(xxiii)\) দেখাও যে, \(ax^2+2hxy+by^2=0\) সরলরেখদ্বয়ের একটি \(a^{\prime}x^2+2h^{\prime}xy+b^{\prime}y^2=0\) সরলরেখদ্বয়ের একটির সাথে পরস্পর লম্ব হবে যদি \((aa^{\prime}-bb^{\prime})^2+4(a^{\prime}h+bh^{\prime})(ah^{\prime}+b^{\prime}h)=0\) হয়।
[ রাঃ বিঃ সঃ ১৯৭৭ ]

\(Q.2.(xxiv)\) দেখাও যে, \(ax^4+bx^3y+cx^2y^2+dxy^3+ey^4=0\) সমীকরণের চারটি সরলরেখার মধ্যে দুইটি পরস্পর লম্ব হবে যদি \((b+d)(ad+be)+(a-e)^2(a+c+e)\) হয়।

\(Q.2.(xxv)\) দেখাও যে, মূলবিন্দু এবং \(ax^2+by^2=1\) ও \(lx+my=1\) এর ছেদবিন্দু \(A\) ও \(B\) এর সংযোগকারী সরলরেখা দুইটির সমীকরণ \((a-l^2)x^2-2lmxy+(b-m^2)y^2=0\) হবে।
[ রাঃ বিঃ সঃ ১৯৬৩]

\(Q.2.(xxvi)\) প্রমাণ কর যে, মূলবিন্দুর সাথে \(ax^2+2hxy+by^2+2gx=0\) ও \(a^{\prime}x^2+2h^{\prime}xy+b^{\prime}y^2+2g^{\prime}x=0\) এর অন্য দুইটি ছেদবিন্দুর সংযোগকারী সরলরেখাদ্বয়ের পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত হলো \(g(a^{\prime}+b^{\prime})=g^{\prime}(a+b)\).

\(Q.2.(xxvii)\) প্রমাণ কর যে, \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দু হতে \(ax^2+2hxy+by^2=0\) সরলরেখাদ্বয়ের উপর অঙ্কিত লম্বদ্বয়ের গুণফল \(\frac{ax_{1}^2+2hx_{1}y_{1}+by_{1}^2}{\sqrt{(a-b)^2+4h^2}}\) হবে।

\(Q.2.(xxviii)\) \(y=mx+c\) এবং \(ax^2+2hxy+by^2=0\) সরলরেখাগুলো দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( \frac{c^2\sqrt{h^2-ab}}{a+2hm+bm^2}\).
[ রাঃ বিঃ সঃ ১৯৮২]

\(Q.2.(xxix)\) দেখাও যে, \(11y^2+16xy-x^2=0\) সমীকরণটি দুইটি সরলরেখা নির্দেশ করে যারা মূলবিন্দুগামী এবং \(x+2y=1\) সরলরেখার সাথে \(30^{o}\) কোণে নত।

\(Q.2.(xxx)\) যে শর্তে \(x\cos{\alpha}+y\sin{\alpha}=p\) সরলরেখা \(ax^2+2hxy+by^2=0\) সরলরেখাদ্বয়ের একটির সমান্তরাল হবে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( a\tan^2{\alpha}-2h\tan{\alpha}+b=0\).

\(Q.2.(xxxi)\) যদি \(ax^2+2hxy+by^2=0\) সরলরেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকদ্বয়ের একটি \(Ax^2+2Hxy+By^2=0\) রেখাদ্বয়ের একটির সাথে মিলে যায় তবে দেখাও যে, \(h^2(A+B)^2=\{2hH-B(a-b)\}\{2hH+A(a-b)\}\).

\(Q.2.(xxxii)\) প্রমাণ কর যে, \((a+2h+b)x^2-2(a-b)xy+(a-2h+b)y^2=0\) সমীকরণটি একজোড়া সরলরেখা নির্দেশ করে যার প্রত্যেক্যে \(ay^2+2hxy+bx^2=0\) রেখাদ্বয়ের একটির সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে।
[ রাঃ বিঃ সঃ ১৯৮৪]

নিম্নের সমীকরণগুলো দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখা যুগলের অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\(Q.2.(xxxiii)(a)\) \(2x^2+7xy+6y^2+13x+22y+20=0\)
উত্তরঃ \( 7x^2+8xy-7y^2-4x-58y-83=0\).
[ রাঃ বিঃ সঃ ১৯৬১]

\(Q.2.(xxxiii)(b)\) \(xy+y^2-2x-5y+6=0\)
উত্তরঃ \( x^2+2xy-y^2-6x+2y+1=0\).

\(Q.2.(xxxiii)(c)\) \(12x^2+7xy-10y^2+13x+45y-35=0\)
উত্তরঃ \( 7(23x+25)^2-7(23y-43)^2=44(23x+25)(23y-43)\).
[ ঢাঃ বিঃ সঃ ১৯৬২]

\(Q.2.(xxxiv)\) মূলবিন্দুগামী এবং \(5x^2-7xy-3y^2=0\) সমীকরণের সরলরেখাদ্বয়ের উপর লম্ব এরূপ রেখা দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( 3x^2-7xy-5y^2=0\).
[ ঢাঃ বিঃ সঃ ১৯৭৮]

\(Q.2.(xxxv)\) \((1, 2)\) বিন্দুগামী এবং \(x^2+3xy+2y^2+5x+6y+4=0\) সমীকরণের সরলরেখাদ্বয়ের সমান্তরাল এরূপ রেখা দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( x^2+3xy+2y^2-8x-11y+15=0\).

\(Q.2.(xxxvi)\) দেখাও যে, \(x^2+y^2+19x+4y-3=0\) এবং \(3x+4y=1\) এর ছেদবিন্দুদ্বয় এবং মূলবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা দুইটি পরস্পর লম্বভাবে অবস্থিত।
[ ঢাঃ বিঃ সঃ ১৯৮৩]

\(Q.2.(xxxvii)\) দেখাও যে, \(y=3x+2\) এবং \(x^2+3y^2+2xy+4x+8y-11=0\) এর ছেদবিন্দুদ্বয় এবং মূলবিন্দুর সংযোজক সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(\tan^{-1}{\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)}\)
[ রাঃ বিঃ সঃ ১৯৫৮]

\(Q.2.(xxxviii)\) মূলবিন্দুর সাথে \(y=x+1\) এবং \(x^2-3y^2+2xy-3x+3y+1=0\) এর ছেদবিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\tan^{-1}{\left(\frac{2}{3}\right)}\).
[ রাঃ বিঃ সঃ ১৯৮১]

\(Q.2.(xxxix)\) দেখাও যে, \(ax^2+2hxy+by^2=0\) এবং \(lx+my=1\) সরলরেখা তিনটি দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজটি সমকোণী হবে যদি \((a+b)(al^2+2hlm+bm^2)=0\) হয়।

\(Q.2.(xL)\) দেখাও যে, \(y^2-4y+3=0\) এবং \(x^2+4xy+4y^2-5x-10y+4=0\) এর দ্বারা চারটি সরলরেখা নির্দেশিত হয় যারা একটি সামান্তরিক গঠন করে।
[ ঢাঃ বিঃ সঃ ১৯৫৪]

অনুশীলনী \(3.E\) / \(Q.3\)-এর প্রশ্নসমূহ
\(Q.3.(i)\) দেখাও যে, \(2x^2+2y^2+3x+3y-9=0\) সমীকরণটি দুইটি সরলরেখা প্রকাশ করে যারা, \(2x^2-5xy+2y^2=0\) সরলরেখাদ্বয়ের সাথে একটি রম্বস সৃষ্টি করে।

\(Q.3.(ii)\) দেখাও যে, \(x^2+4xy-2y^2+6x-12y+15=0\) সমীকরণটি দুইটি সরলরেখা প্রকাশ করে যারা, \(x^2+4xy-2y^2=0\) সরলরেখাদ্বয়ের সাথে একটি রম্বস সৃষ্টি করে।

\(Q.3.(iii)\) মূলবিন্দুগামী সরলরেখা দুইটি \(2x^2+5xy+2y^2+10x+5y=0\) সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখা দুইটির উপর পরস্পর লম্ব হলে মূলবিন্দুগামী সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2x^2-5xy+2y^2=0\).
[ চঃ বিঃ সঃ ১৯৯০]

\(Q.3.(iv)\) দেখাও যে, \(x^2+4xy+4y^2-5x-10y+4=0\) এবং \(4x^2-4xy+y^2+4x-2y-3=0\) এর দ্বারা চারটি সরলরেখা নির্দেশিত হয় যারা একটি সামান্তরিক গঠন করে।

\(Q.3.(v)\) দেখাও যে, \(3x^2+3xy+y^2+2x+5y=0\) এবং \(3x-2y=1\) এর ছেদবিন্দুদ্বয় এবং মূলবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা দুইটি পরস্পর লম্বভাবে অবস্থিত।
[ চঃ বিঃ সঃ ১৯৮৭]

\(Q.3.(vi)\) দেখাও যে, \(a(x^4+y^4)-4bxy(x^2-y^2)+6cx^2y^2=0\) সমীকরণটি দুইজোড়া পরস্পর লম্ব সরলরেখা প্রকাশ করে। এই দুইজোড়া সরলরেখা সমাপতিত হবে, যদি \(2b^2=a^2+3ac\) হয়।
[ রাঃ বিঃ সঃ ১৯৮১]

\(Q.3.(vii)\) দেখাও যে, \(x^4+y^4-4xy(x^2-y^2)+2cx^2y^2=0\) সমীকরণটি দুইজোড়া পরস্পর লম্ব সরলরেখা প্রকাশ করে, আরও দেখাও যে \(c=1\) হলে, ঐ জোড়া রেখাদ্বয় পরস্পর সমাপতিত হবে।
[ চঃ বিঃ সঃ ১৯৮৯]

\(Q.3.(viii)\) \(y^2-4ax=0\) ও \(y=mx+c\) সরলরেখাটির ছেদবিন্দু ও মূলবিন্দুর সংযোজক সরলরেখাদ্বয় যদি পরস্পরের সহিত সমাপতিত হয় তবে দেখাও যে, \(c=\frac{a}{m}.\)

\(Q.3.(ix)\) দেখাও যে, \(12x^2+7xy-12y^2=0\) এবং \(12x^2+7xy-12y^2-x+7y-1=0\) এর সরলরেখা চারটি একটি বর্গের বাহুগুলো বরাবর থাকে।

\(Q.3.(x)\) \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণটি দুইটি সরলরেখা প্রকাশ করলে সেই রেখাদ্বয় \(ax^2+2hxy+by^2=0\) সরলরেখাদ্বয়ের সাথে যে সামান্তরিক গঠন করে তার কর্ণদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((hf-bg)y=(hg-af)x, \ 2gx+2fy+c=0\).
[ রাঃ বিঃ সঃ ১৯৯২]

\(Q.3.(xi)\) যদি \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণটি দুইটি সরলরেখা প্রকাশ করে, প্রমাণ কর যে, মূলবিন্দু হতে তাদের ছেদবিন্দুর দূরত্বের বর্গ \(\frac{c(c+b)-f^2-g^2}{ab-h^2}\) হয়।
[ চঃ বিঃ সঃ ১৯৮২; ঢাঃ বিঃ সঃ ১৯৬৬]

\(Q.3.(xii)\) যদি \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণটি মূলবিন্দু হতে সমদুরবর্তী এরূপ দুইটি সরলরেখা প্রকাশ করে, তবে দেখাও যে, \(h(g^2-f^2)=fg(a-b)\) হয়।
[ ঢাঃ বিঃ সঃ ১৯৫৯]

\(Q.3.(xiii)\) দেখাও যে, \(\frac{x}{\alpha}+\frac{y}{\beta}=1\) এবং \(ax^2+2hxy+by^2=0\) রেখা তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের লম্বকেন্দ্র হতে মূলবিন্দুর দূরত্ব \(\frac{(a+b)\alpha\beta(\alpha^2+\beta^2)^{\frac{1}{2}}}{a\alpha^2+b\beta^2-2h\alpha\beta}\) হয়।
[ চঃ বিঃ সঃ ১৯৬৯, ১৯৭৩; ঢাঃ বিঃ সঃ ১৯৬৬]

\(Q.3.(xiv)\) প্রমাণ কর যে, \((ax+by)(\alpha{x}+\beta{y})+kxy-(a+\alpha)x-(b+\beta)y+1=0\) সমীকরণটি একজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করে, যদি \(k=(a-\alpha)(b-\beta)\) হয়। সরলরেখা দুইটির ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ বিঃ সঃ ১৯৭৫]

\(Q.3.(xv)\) যদি \(ax^2+2hxy+by^2=0\) সরলরেখাদ্বয়ের একটি \(a^{\prime}x^2+2h^{\prime}xy+b^{\prime}y^2=0\) সরলরেখদ্বয়ের একটির সাথে সমাপতিত হয় এবং ওপর দুইটি রেখা পরস্পর লম্ব হয় তবে দেখাও যে, \(\frac{ha^{\prime}b^{\prime}}{b^{\prime}-a^{\prime}}=\frac{h^{\prime}ab}{b-a}=\frac{1}{2}\sqrt{-aa^{\prime}bb^{\prime}}\)
[ ঢাঃ বিঃ সঃ ১৯৮৩, ১৯৫৯ ]

\(Q.3.(xvi)\) দেখাও যে, \(ax^2+2hxy+by^2=0\) এবং \(lx+my=1\) রেখাগুলি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের লম্বকেন্দ্র একটি বিন্দু \((x^{\prime}, y^{\prime})\) যেখানে, \(\frac{x^{\prime}}{l}=\frac{y^{\prime}}{m}=\frac{a+b}{am^2-2hlm+bl^2}\)
[ রাঃ বিঃ সঃ ১৯৭৯]

\(Q.3.(xvii)\) দেখাও যে, \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণটি দুইটি সমান্তরাল সরলরেখা নির্দেশ করবে যদি \(a:h=h:b=g:f\) হয়।

\(Q.3.(xviii)\) যদি \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণটি একজোড়া সরলরেখা করে তবে এ রেখা দুইটি অক্ষরেখাদ্বয়কে যে সব বিন্দুতে ছেদ করে তাদের মধ্যদিয়ে অতিক্রমকারী তৃতীয় রেখাযুগলের সমীকরণ হয় \(ax^2-2hxy+by^2+2gx+2fy+c+\frac{4fg}{c}xy=0\).

\(Q.3.(xix)\) দেখাও যে, \(\cos{3\alpha}(x^3-3xy^2)+\sin{3\alpha}(y^3-3x^2y)+3a(x^2+y^2)\)\(-4a^3=0\) সমীকরণের সরলরেখা তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(3\sqrt{3}a^2\) হয়।

\(Q.3.(xx)\) একটি ত্রিভুজের ভূমি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু \((f, g)\) দিয়ে যায় এবং এর বাহু দুইটি \(ax^2+2hxy+by^2=0\) সমীকরণের রেখা দুইটি দ্বারা সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত হয়। প্রমাণ কর যে, ত্রিভুজটির শীর্ষের সঞ্চারপথ \((a+b)(x^2+y^2)+2h(fy+gx)+(a-b)(fx-gy)=0\) হয়।

\(Q.3.(xxi)\) যদি \(ax^2+bxy+cy^2=0\) সরলরেখাদ্বয়ের একটি \(a^{\prime}x^2+b^{\prime}xy+c^{\prime}y^2=0\) সরলরেখদ্বয়ের একটির সাথে মিলে যায়। দেখাও যে অপর রেখা দুইটির মধ্যবর্তী কোণের ট্যানজেন্ট, \(\frac{(ac^{\prime}-a^{\prime}c)^2}{aa^{\prime}(bc^{\prime}-b^{\prime}c)+cc^{\prime}(ab^{\prime}-a^{\prime}b)}\)

\(Q.3.(xxii)\) \(k\) এর মান কত হলে \((lx+my+1)(l^{\prime}x+m^{\prime}y+1)+kxy=0\) সমীকরণটি একজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করবে?
উত্তরঃ \(k=(l-l^{\prime})(m-m^{\prime}), \ 0, \ \infty\).

\(Q.3.(xxiii)\) প্রমাণ কর যে, যদি \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) এর সকল জ্যা মূলবিন্দুতে একটি সমকোণ উৎপন্ন করে তবে সমীকরণটি অবশ্যই মূলবিন্দুগামী এবং পরস্পর লম্ব এরূপ দুইটি সরলরেখা প্রকাশ করবে।

\(Q.3.(xxiv)\) যদি \(x^2+y^2=a^2\) বৃত্তের \(lx+my=1\) সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত জ্যাটি কেন্দ্রে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে তবে দেখাও যে, \(4\{a^2(l^2+m^2)-1\}=\{a^2(l^2+m^2)-2\}^2\)

\(Q.3.(xxv)\) \((x^{\prime}, y^{\prime})\) বিন্দুগামী একটি সরলরেখার যে অংশটি \(ax^2+2hxy+by^2=0\) রেখাদ্বয় দ্বারা ছেদিত হয়, তার মধ্যবিন্দুর সঞ্চারপথ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(ax^2+2hxy+by^2=(ax^{\prime}+hy^{\prime})x+(hx^{\prime}+by^{\prime})y\).

\(Q.3.(xxvi)\) যদি অক্ষদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ \(\omega\) হয়, তবে দেখাও যে, \(x^2+2xy\cos{\omega}+y^2\cos{2\omega}=0\) সমীকরণ দুইটি পরস্পর লম্ব সরলরেখা প্রকাশ করে।

\(Q.3.(xxvii)\) অক্ষদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ \(\omega\) হলে, দেখাও যে, \(ax^2+2hxy+by^2=0\) সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখা দুইটির মধ্যবর্তী কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ \(\left|\begin{array}{c}ax+hy & hx+by\\ x+y\cos{\omega} & y+x\cos{\omega}\end{array}\right|=0\)

\(Q.3.(xxviii)\) একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি যথাক্রমে \(y=m_{1}x, \ y=m_{2}x, \ y=m_{3}x\) সরলরেখার উপর অবস্থিত এবং ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র মূলবিন্দুতে হলে, দেখাও যে, ত্রিভুজের লম্ববিন্দুর সঞ্চারপথ \(x(\sin{\theta_{1}}+\sin{\theta_{2}}+\sin{\theta_{3}})-y(\cos{\theta_{1}}+\cos{\theta_{2}}+\cos{\theta_{3}})=0\)

\(Q.3.(xxix)\) দেখাও যে, কোনো ত্রিভুজের লম্বত্রয় \(y-m_{1}x=0, \ y-m_{2}x=0, \ y-m_{3}x=0\) সরলরেখা বরাবর থাকিলে ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র, \(y(3+m_{2}m_{3}+m_{3}m_{1}+m_{1}m_{2})=x(m_{1}+m_{2}+m_{3}+3m_{1}m_{2}m_{3})\) এর উপর থাকবে।

\(Q.3.(xxx)\) দেখাও যে, \(3x^2-y^2-2x+4y=0\) সমীকরণ দ্বারা বক্ররেখার সকল জ্যাগুলি মূলবিন্দুতে সমকোণ উৎপন্ন করলে তারা একটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী হবে।

\(Q.3.(xxxi)\) যদি \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) এবং \(ax^2+2hxy+by^2-2gx-2fy+c=0\) সমীকরণদ্বয় দ্বারা চারটি সরলরেখা প্রকাশিত হয়, যারা একটি সামান্তরিক উৎপন্ন করে তবে দেখাও যে, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল \(\frac{2c}{\sqrt{h^2-ab}}\)

\(Q.3.(xxxii)\) যদি \(ax^2+2hxy+by^2=0\) সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত যুগল সরলরেখাদ্বয়ের একটির ঢাল অপরটির ঢালের বর্গের সমান হয়, তবে দেখাও যে, \(ab(a+b)-6abh+8h^3=0\)

Please leave your question below

2 Question(s)
imonhaider
October 29, 2019, 12:15 am
\[\frac{d}{dx}(e^{x^2})=?\]
Reply
Tanmoy
October 28, 2019, 11:53 pm
\[\int{\frac{dx}{1+x^2}}=? \]
Reply

Post List

MATH. LIST
Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Trigonometry 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Statistics 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard