মনে করি, \(n\)-ঘাত সমীকরণটি
\(a_{o}x^n+a_{1}x^{n-1}y+a_{2}x^{n-2}y^2+ ...+a_{n-1}xy^{n-1}+a_{n}y^{n}=0 .......(i)\)
\(\Rightarrow x^n\left(a_{o}+a_{1}\frac{x^{n-1}}{x^n}y+a_{2}\frac{x^{n-2}}{x^n}y^2+ ...+a_{n-1}\frac{x}{x^n}y^{n-1}+a_{n}\frac{y^{n}}{x^n}\right)=0\)
\(\Rightarrow a_{o}+a_{1}\frac{1}{x}y+a_{2}\frac{1}{x^2}y^2+ ...+a_{n-1}\frac{1}{x^{n-1}}y^{n-1}+a_{n}\frac{y^{n}}{x^n}=0; \ \because x^n\ne{0}\)
\(\Rightarrow a_{o}+a_{1}\frac{y}{x}+a_{2}\frac{y^2}{x^2}+ ...+a_{n-1}\frac{y^{n-1}}{x^{n-1}}+a_{n}\frac{y^{n}}{x^n}=0\)
\(\Rightarrow a_{o}+a_{1}\frac{y}{x}+a_{2}\left(\frac{y}{x}\right)^2+ ...+a_{n-1}\left(\frac{y}{x}\right)^{n-1}+a_{n}\left(\frac{y}{x}\right)^n=0\)
\(\therefore a_{n}\left(\frac{y}{x}\right)^n+a_{n-1}\left(\frac{y}{x}\right)^{n-1}+a_{n-2}\left(\frac{y}{x}\right)^{n-2}+ ...+a_{1}\left(\frac{y}{x}\right)+a_{o}=0 .....(ii)\)
\((ii)\) নং সমীকরণটি \(\frac{y}{x}\) এর \(n\) -ঘাত
\(\therefore \) এর \(n\) সংখ্যক মূল আছে (বাস্তব বা কাল্পনিক ) ।
ধরি, মূলগুলি \(m_{1}, \ m_{2}, \ m_{2} .......m_{n}\)
\(\therefore (ii)\) নং সমীকরণকে লিখা যায়,
\(a_{n}\left(\frac{y}{x}-m_{1}\right)\left(\frac{y}{x}-m_{2}\right)\left(\frac{y}{x}-m_{3}\right)....\left(\frac{y}{x}-m_{n}\right)=0\)
\(\Rightarrow \frac{a_{n}}{x^n}(y-m_{1}x)(y-m_{2}x)(y-m_{3}x)....(y-m_{n}x)=0\)
\(\Rightarrow (y-m_{1}x)(y-m_{2}x)(y-m_{3}x)....(y-m_{n}x)=0; \ \frac{a_{n}}{x^n}\ne{0}\)
\(\therefore (y-m_{1}x)(y-m_{2}x)(y-m_{3}x)....(y-m_{n}x)=0 ......(iii)\)
\(\therefore (iii)\) নং সমীকরণ হতে,
\(y-m_{1}x=0 .....(1)\)
\(y-m_{2}x=0 .....(2)\)
\(...................\)
\(...................\)
\(y-m_{n}x=0 .....(n)\)
\(\therefore (i)\) নং সমীকরণ মূলবিন্দুগামী \(n\)-সংখ্যক সরলরেখা (বাস্তব বা কাল্পনিক ) প্রকাশ করে।

মনে করি, সমমাত্রিক দ্বিঘাত সমীকরণটি
\(ax^2+2hxy+by^2=0 .......(i)\)
\(\Rightarrow bx^2\left(\frac{a}{b}+\frac{2h}{b}\frac{y}{x}+\frac{y^2}{x^2}\right)=0\)
\(\Rightarrow \frac{a}{b}+\frac{2h}{b}\frac{y}{x}+\left(\frac{y}{x}\right)^2=0; \ \because b\ne{0}\)
\(\Rightarrow \left(\frac{y}{x}\right)^2+\frac{2h}{b}\frac{y}{x}+\frac{a}{b}=0 .....(ii)\)
\((ii)\) নং সমীকরণটি \(\frac{y}{x}\) এর দ্বিঘাত
\(\therefore (ii)\) এর \(2\) টি মূল আছে (বাস্তব বা কাল্পনিক ) ।
ধরি, মূলগুলি \(m_{1}, \ m_{2}\)
\(\therefore (ii)\) নং সমীকরণকে লিখা যায়,
\(\left(\frac{y}{x}-m_{1}\right)\left(\frac{y}{x}-m_{2}\right)=0\)
\(\therefore (y-m_{1}x)(y-m_{2}x)=0 ......(iii)\) ➜ Note উভয় পার্শে \(x^2\) গুণ করে।
\(\therefore (iii)\) নং সমীকরণ হতে,
\(y-m_{1}x=0 .....(1)\)
\(y-m_{2}x=0 .....(2)\)
\(\therefore (i)\) নং সমীকরণ মূলবিন্দুগামী এক জোড়া সরলরেখা (বাস্তব বা কাল্পনিক ) প্রকাশ করে।
মনে করি, সমমাত্রিক দ্বিঘাত সমীকরণটি
\(ax^2+2hxy+by^2=0 .......(i)\)
\(\Rightarrow ax^2+(2hy)x+by^2=0\)
ইহা \(x\) এর দ্বিঘাত সমীকরণ,
\(\therefore x=\frac{-2hy\pm{\sqrt{(2hy)^2-4\times{a}\times{by^2}}}}{2a}\) ➜ Note \(\because ax^2+bx+c=0\) এর সমাধান,
\(x=\frac{-b\pm{\sqrt{b^2-4ac}}}{2a}\)

\(\Rightarrow x=\frac{-2hy\pm{\sqrt{4h^2y^2-4aby^2}}}{2a}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-2hy\pm{\sqrt{4y^2(h^2-ab)}}}{2a}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-2hy\pm{2y\sqrt{h^2-ab}}}{2a}\)
\(\Rightarrow x=\frac{2(-hy\pm{y\sqrt{h^2-ab}})}{2a}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-hy\pm{y\sqrt{h^2-ab}}}{a}\)
\(\Rightarrow ax=-hy\pm{y\sqrt{h^2-ab}}\)
\(\Rightarrow ax+hy\pm{y\sqrt{h^2-ab}}=0\)
\(\Rightarrow ax+hy+y\sqrt{h^2-ab}=0, \ ax+hy-y\sqrt{h^2-ab}=0\)
\(\therefore ax+y(h+\sqrt{h^2-ab})=0, \ ax+y(h-\sqrt{h^2-ab})=0\)
\(ax+y(h+\sqrt{h^2-ab})=0 .......(1)\)
\(ax+y(h-\sqrt{h^2-ab})=0 .......(2)\)
দুইটি সরলরেখার সমীকরণ যারা উভয় মূলবিন্দুগামী।

\(y-m_{1}x=0 .....(1)\)
\(y-m_{2}x=0 .....(2)\)
সে ক্ষেত্রে,
\(m_{1}+m_{2}=-\frac{2h}{b}\)
\(m_{1}m_{2}=\frac{a}{b}\)

মনে করি, সমমাত্রিক দ্বিঘাত সমীকরণটি
\(ax^2+2hxy+by^2=0 .......(i)\)
\(\Rightarrow bx^2\left(\frac{a}{b}+\frac{2h}{b}\frac{y}{x}+\frac{y^2}{x^2}\right)=0\)
\(\Rightarrow \frac{a}{b}+\frac{2h}{b}\frac{y}{x}+\left(\frac{y}{x}\right)^2=0; \ \because b\ne{0}\)
\(\Rightarrow \left(\frac{y}{x}\right)^2+\frac{2h}{b}\frac{y}{x}+\frac{a}{b}=0 .....(ii)\)
\((ii)\) নং সমীকরণটি \(\frac{y}{x}\) এর দ্বিঘাত
\(\therefore \) এর \(2\) টি মূল আছে (বাস্তব বা কাল্পনিক ) ।
ধরি, মূলগুলি \(m_{1}, \ m_{2}\)
\(\therefore (ii)\) নং সমীকরণকে লিখা যায়,
\(\left(\frac{y}{x}-m_{1}\right)\left(\frac{y}{x}-m_{2}\right)=0\)
\(\therefore (y-m_{1}x)(y-m_{2}x)=0 ......(iii)\) ➜ Note উভয় পার্শে \(x^2\) গুণ করে।
\(\therefore (iii)\) নং সমীকরণ হতে,
\(y-m_{1}x=0 .....(1)\)
\(y-m_{2}x=0 .....(2)\)
\((ii)\) নং সমীকরণ হতে,
মূলদ্বয়ের যোগফল \(m_{1}+m_{2}=-\frac{\frac{2h}{b}}{1}\) ➜ Note \(\because ax^2+bx+c=0\) এর মূলদ্বয়,
\(\alpha, \ \beta\) হলে,
মূলদ্বয়ের যোগফল , \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\)

\(=-\frac{2h}{b}\)
\(\therefore m_{1}+m_{2}=-\frac{2h}{b}\)
মূলদ্বয়ের গুণফল \(m_{1}m_{2}=\frac{\frac{a}{b}}{1}\) ➜ Note \(\because ax^2+bx+c=0\) এর মূলদ্বয়,
\(\alpha, \ \beta\) হলে,
মূলদ্বয়ের গুণফল, \(\alpha\beta=\frac{c}{a}\)

\(=\frac{a}{b}\)
\(\therefore m_{1}m_{2}=\frac{a}{b}\)

\(\theta=\tan^{-1}{\left(\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\right)}\)

মনে করি, সমমাত্রিক দ্বিঘাত সমীকরণটি
\(ax^2+2hxy+by^2=0 .......(i)\)
\((i)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত রেখাদ্বয়
\(y-m_{1}x=0 .....(1)\)
\(y-m_{2}x=0 .....(2)\)
সে ক্ষেত্রে,
\(m_{1}+m_{2}=-\frac{2h}{b}\)
\(m_{1}m_{2}=\frac{a}{b}\)
যদি অক্ষ দ্বয় আয়তাকার হয় তবে রেখা দুইটির মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) এর জন্য
\(\tan{\theta}=\pm{\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}}\) ➜ Note \(y=m_{1}x+c_{1} .....(1)\)
\(y=m_{2}x+c_{2} .....(2)\)
\((1)\) নং ও \((2)\) নং রেখা দুইটির মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) হলে,
\(\tan{\theta}=\pm{\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}}\)

\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}{\left(\pm{\frac{\sqrt{(m_{1}+m_{2})^2-4m_{1}m_{2}}}{1+m_{1}m_{2}}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\pm{\frac{\sqrt{(-\frac{2h}{b})^2-4\frac{a}{b}}}{1+\frac{a}{b}}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\pm{\frac{\sqrt{\frac{4h^2}{b^2}-\frac{4a}{b}}}{\frac{b+a}{b}}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\pm{\frac{\sqrt{\frac{4h^2-4ab}{b^2}}}{\frac{a+b}{b}}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\pm{\frac{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{b}}{\frac{a+b}{b}}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{b}\times{\frac{b}{a+b}}}\right)}\)
\(\therefore \theta=\tan^{-1}{\left(\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\right)}\)
ইহাই নির্ণেয় কোণ।

\(a+b=0\)

\(h^2=ab\)

মনে করি, সমমাত্রিক দ্বিঘাত সমীকরণটি
\(ax^2+2hxy+by^2=0 .......(i)\)
\((i)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত রেখাদ্বয়
\(y-m_{1}x=0 .....(1)\)
\(y-m_{2}x=0 .....(2)\)
রেখা দুইটির মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) এর জন্য
\(\theta=\tan^{-1}{\left(\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\right)}\)
সরলরেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব হয় তবে, \(\theta=90^{o}\)
\(90^{o}=\tan^{-1}{\left(\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\right)}\)
\(\Rightarrow \tan{90^{o}}=\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{0}=\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\)
\(\therefore a+b=0\)
ইহাই লম্ব হওয়ার শর্ত।
আবার,
সরলরেখাদ্বয় পরস্পর সমাপতিত হয় তবে, \(\theta=0^{o}\)
\(0^{o}=\tan^{-1}{\left(\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\right)}\)
\(\Rightarrow \tan{0^{o}}=\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\)
\(\Rightarrow 0=\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{h^2-ab}=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{h^2-ab}=0\)
\(\Rightarrow h^2-ab=0\)
\(\therefore h^2=ab\)
ইহাই সমাপতিত হওয়ার শর্ত।

\(\frac{x^2-y^2}{a-b}=\frac{xy}{h}\)

মনে করি, সমমাত্রিক দ্বিঘাত সমীকরণটি
\(ax^2+2hxy+by^2=0 .......(i)\)
\((i)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত রেখাদ্বয়
\(y-m_{1}x=0 .....(1)\)
\(y-m_{2}x=0 .....(2)\)
সে ক্ষেত্রে,
\(m_{1}+m_{2}=-\frac{2h}{b}\)
\(m_{1}m_{2}=\frac{a}{b}\)
\((1)\) ও \((2)\) অন্তর্ভুক্ত কোণের সম দ্বি খন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{y-m_{1}x}{\sqrt{1^2+m_{1}^2}}=\pm{\frac{y-m_{2}x}{\sqrt{1^2+m_{2}^2}}}\) ➜ Note \(\because a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 .....(1)\)
\(\because a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 .....(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_{1}^2+b_{1}^2}}=\pm{\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_{2}^2+b_{2}^2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{(y-m_{1}x)^2}{1+m_{1}^2}=\frac{(y-m_{2}x)^2}{1+m_{2}^2}\) ➜ Note উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (y-m_{1}x)^2(1+m_{2}^2)=(y-m_{2}x)^2(1+m_{1}^2)\)
\(\Rightarrow (y^2+m_{1}^2x^2-2m_{1}xy)(1+m_{2}^2)=(y^2+m_{2}^2x^2-2m_{2}xy)(1+m_{1}^2)\)
\(\Rightarrow x^2(m_{1}^2+m_{1}^2m_{2}^2-m_{2}^2-m_{1}^2m_{2}^2)+y^2(1+m_{2}^2-1-m_{1}^2)\)\(=2xy(m_{1}+m_{1}m_{2}^2-m_{2}-m_{2}m_{1}^2)\)➜ Note সাধারণ গুণ প্রক্রিয়া ব্যবহারে ইহা সম্ভব। যা ব্যাপক সময়বহুল। কিন্তু গণিতে সম্মান শ্রেণীর শিক্ষার্থী হিসাবে শটকাট পদ্ধতিতে গুণ করা বাঞ্ছনীয়। এখানে \(x^2, \ y^2\) এর সহগ একপার্শে এবং \(2xy\) এর সহগ অন্য পার্শে নেয়া হয়েছে।

\(\Rightarrow x^2(m_{1}^2-m_{2}^2)+y^2(m_{2}^2-m_{1}^2)=2xy(m_{1}+m_{1}m_{2}^2-m_{2}-m_{2}m_{1}^2)\)
\(\Rightarrow x^2(m_{1}^2-m_{2}^2)-y^2(m_{1}^2-m_{2}^2)=2xy\{(m_{1}-m_{2})-m_{1}m_{2}(m_{1}-m_{2})\}\)
\(\Rightarrow (m_{1}^2-m_{2}^2)(x^2-y^2)=2xy(m_{1}-m_{2})(1-m_{1}m_{2})\)
\(\Rightarrow (m_{1}+m_{2})(m_{1}-m_{2})(x^2-y^2)=2xy(m_{1}-m_{2})(1-m_{1}m_{2})\)
\(\Rightarrow (m_{1}+m_{2})(x^2-y^2)=2xy(1-m_{1}m_{2})\)
\(\Rightarrow -\frac{2h}{b}(x^2-y^2)=2xy(1-\frac{a}{b})\)
\(\Rightarrow -\frac{2h}{b}(x^2-y^2)=2xy\times{\frac{b-a}{b}}\)
\(\Rightarrow -h(x^2-y^2)=xy(b-a)\)
\(\Rightarrow \frac{-(x^2-y^2)}{b-a}=\frac{xy}{h}\)
\(\Rightarrow \frac{-(x^2-y^2)}{-(a-b)}=\frac{xy}{h}\)
\(\therefore \frac{x^2-y^2}{a-b}=\frac{xy}{h}\)
ইহাই নির্ণেয় সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ

\(\Delta\equiv{\left|\begin{array}{c}a & h & g\\ h & b & f\\ g & f & c\end{array}\right|=0}\)

\(\Delta\equiv{abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2=0}\).

মনে করি, সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণটি
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0 .......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত রেখাদ্বয়
\(l_{1}x+m_{1}y+n_{1}=0 .....(2)\)
\(l_{2}x+m_{2}y+n_{2}=0 .....(3)\)
\((2)\times{(3)}\) এর সাহায্যে,
\((l_{1}x+m_{1}y+n_{1})(l_{2}x+m_{2}y+n_{2})=0\)
\(\Rightarrow l_{1}l_{2}x^2+(l_{1}m_{2}+l_{2}m_{1})xy+m_{1}m_{2}y^2+(l_{1}n_{2}+l_{2}n_{1})x+(m_{1}n_{2}+m_{2}n_{1})y+n_{1}n_{2}=0 ....(4)\) ➜ Note সাধারণ গুণ প্রক্রিয়া ব্যবহারে ইহা সম্ভব। যা ব্যাপক সময়বহুল। কিন্তু গণিতে সম্মান শ্রেণীর শিক্ষার্থী হিসাবে শটকাট পদ্ধতিতে গুণ করা বাঞ্ছনীয়। এখানে \(x^2, \ y^2, \ xy, \ x, \ y\) সম্বলিত এবং ধ্রুবক রাশি পৃথক করা হয়েছে।

\((1)\) ও \((4)\) অভিন্ন সমীকরণ,
সহগগুলি সমীকৃত করে,
\(l_{1}l_{2}=a\)
\(m_{1}m_{2}=b\)
\(l_{1}m_{2}+l_{2}m_{1}=2h\)
\(l_{1}n_{2}+l_{2}n_{1}=2g\)
\(m_{1}n_{2}+m_{2}n_{1}=2f\)
\(n_{1}n_{2}=c\)
এগুলো থেকে \(l_{1}, \ l_{2}, \ m_{1}, \ m_{2}, \ n_{1}, \ n_{2}\) অপনয়ন করে আমরা নির্ণেয় শর্তটি পাব,
লিখা যায়,
\(\left|\begin{array}{c}l_{1} & l_{2} & 0\\ m_{1} & m_{2} & 0\\ n_{1} & n_{2} & 0\end{array}\right|\times{\left|\begin{array}{c}l_{2} & l_{1} & 0\\ m_{2} & m_{1} & 0\\ n_{2} & n_{1} & 0\end{array}\right|}=0\) ➜ Note উভয় নির্ণায়কের মান শূন্য।
\(\Rightarrow \left|\begin{array}{c}l_{1}l_{2}+l_{2}l_{1}+0 & l_{1}m_{2}+l_{2}m_{1}+0 & l_{1}n_{2}+l_{2}n_{1}+0\\ l_{2}m_{1}+l_{1}m_{2}+0 & m_{1}m_{2}+m_{2}m_{1}+0 & m_{1}n_{2}+m_{2}n_{1}+0\\ l_{2}n_{1}+l_{1}n_{2}+0 & m_{2}n_{1}+m_{1}n_{2}+0 & n_{1}n_{2}+n_{2}n_{1}+0\end{array}\right|=0\) ➜ Note নির্ণায়কের গুণ প্রক্রিয়া ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow \left|\begin{array}{c}2l_{1}l_{2} & l_{1}m_{2}+l_{2}m_{1} & l_{1}n_{2}+l_{2}n_{1}\\ l_{1}m_{2}+l_{2}m_{1} & 2m_{1}m_{2} & m_{1}n_{2}+m_{2}n_{1}\\ l_{1}n_{2}+l_{2}n_{1} & m_{1}n_{2}+m_{2}n_{1} & 2n_{1}n_{2}\end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow \left|\begin{array}{c}2a & 2h & 2g\\ 2h & 2b & 2f\\ 2g & 2f & 2c\end{array}\right|=0\) ➜ Note \(\because l_{1}l_{2}=a\)
\(m_{1}m_{2}=b\)
\(l_{1}m_{2}+l_{2}m_{1}=2h\)
\(l_{1}n_{2}+l_{2}n_{1}=2g\)
\(m_{1}n_{2}+m_{2}n_{1}=2f\)
\(n_{1}n_{2}=c\)

\(\Rightarrow 2\times{2}\times{2}\left|\begin{array}{c}a & h & g\\ h & b & f\\ g & f & c\end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow 8\left|\begin{array}{c}a & h & g\\ h & b & f\\ g & f & c\end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow \left|\begin{array}{c}a & h & g\\ h & b & f\\ g & f & c\end{array}\right|=0\)
\(\therefore \triangle\equiv{\left|\begin{array}{c}a & h & g\\ h & b & f\\ g & f & c\end{array}\right|}=0\)
ইহাই সাধারণ দ্বি ঘাত সমীকরণটি দ্বারা একজোড়া সরলরেখা প্রকশ করার নির্ণেয় শর্ত
আবার, উপরোক্ত শর্তকে নির্ণায়ক পদ্ধতিতে বিশ্লেষণ করে লিখা যায়,
\(abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2=0\)
মনে করি, সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণটি
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0 .......(1)\)
যদি \(a\ne{0},\) তবে \((1)\) নং সমীকরণটি \(x\) এর দ্বিঘাত সমীকরণ হিসেবে সাজিয়ে লিখা যায়,
\(ax^2+2(hy+g)x+(by^2+2fy+c)=0\)
\(\therefore x=\frac{-2(hy+g)\pm{\sqrt{4(hy+g)^2-4a(by^2+2fy+c)}}}{2a}\)➜ Note \(\because ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের সমাধান,
\(x=\frac{-b\pm{\sqrt{b^2-4ac}}}{2a}\)

\(\Rightarrow x=\frac{-2(hy+g)\pm{2\sqrt{(hy+g)^2-a(by^2+2fy+c)}}}{2a}\)
\(\Rightarrow x=\frac{2\{-(hy+g)\pm{\sqrt{h^2y^2+2hgy+g^2-aby^2-2afy-ac}}\}}{2a}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-(hy+g)\pm{\sqrt{(h^2-ab)y^2+2(hg-af)y+g^2-ac}}}{a}\)
\(\Rightarrow ax=-(hy+g)\pm{\sqrt{(h^2-ab)y^2+2(hg-af)y+g^2-ac}}\)
\(\therefore ax+hy+g=\pm{\sqrt{(h^2-ab)y^2+2(hg-af)y+g^2-ac}} .......(2)\)
\((2)\) নং সমীকরণ একজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করবে যদি এর ডান পক্ষের
\((h^2-ab)y^2+2(hg-af)y+g^2-ac\) রাশিটি একটি পূর্ণ বর্গ হয়।
অর্থাৎ \(\{2(hg-af)\}^2-4(h^2-ab)(g^2-ac)=0\) হয়। ➜ Note \(\because ax^2+bx+c\) রাশিটি পূর্ণ বর্গ হবে,
যদি \( b^2-4ac=0\) হয়।

\(\Rightarrow 4(hg-af)^2-4(h^2-ab)(g^2-ac)=0\)
\(\Rightarrow 4\{(hg-af)^2-(h^2-ab)(g^2-ac)\}=0\)
\(\Rightarrow h^2g^2-2afgh+a^2f^2-(h^2g^2-ach^2-abg^2+a^2bc)=0\)
\(\Rightarrow h^2g^2-2afgh+a^2f^2-h^2g^2+ach^2+abg^2-a^2bc=0\)
\(\Rightarrow -2afgh+a^2f^2+ach^2+abg^2-a^2bc=0\)
\(\Rightarrow -a(abc+2fgh-af^2-ch^2-bg^2)=0\)
\(\Rightarrow abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2=0; \ \because a\ne{0}\)
\(\therefore abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2=0\)
ইহাই নির্ণেয় শর্ত।
ইহাকে নির্ণায়কের সাহায্যে নিম্নরূপে লিখা যায়,
\(\triangle\equiv{\left|\begin{array}{c}a & h & g\\ h & b & f\\ g & f & c\end{array}\right|}=0\)
মনে করি, সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণটি
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0 .......(1)\)
\((1)\) সমীকরণটি একজোড়া সরলরেখা নির্দেশকারী এবং রেখা দুইটি \(x_{1}, y_{1}\) বিন্দুতে ছেদ করে। অক্ষদ্বয়ের দিক অপরিবর্তিত রেখে মূলবিন্দুকে \(x_{1}, y_{1}\) বিন্দুতে স্থানান্তরিত করা হলে নুতন অক্ষদ্বয়ের সাপেক্ষে \((1)\) নং সমীকরণের পরিবর্তিত রূপ হবে,
\(a(x^{\prime}+x_{1})^2+2h(x^{\prime}+x_{1})(y^{\prime}+y_{1})+b(y^{\prime}+y_{1})^2\)\(+2g(x^{\prime}+x_{1})+2f(y^{\prime}+y_{1})+c=0\)
\(\therefore a{x^{\prime}}^2+2hx^{\prime}y^{\prime}+b{y^{\prime}}^2+2(ax_{1}+hy_{1}+g)x^{\prime}\)\(+2(hx_{1}+by_{1}+f)y^{\prime}+ax_{1}^2+2hx_{1}y_{1}+by_{1}^2+2gx_{1}+2fy_{1}+c=0 ....(2)\) ➜ Note সাধারণ গুণ প্রক্রিয়া ব্যবহারে ইহা সম্ভব। যা ব্যাপক সময়বহুল। কিন্তু গণিতে সম্মান শ্রেণীর শিক্ষার্থী হিসাবে শর্টকাট পদ্ধতিতে গুণ করা বাঞ্ছনীয়। এখানে, \(x^{\prime}, \ y^{\prime}\) কে চলক ধরে \({x^{\prime}}^2, \ {y^{\prime}}^2, \ x^{\prime}y^{\prime}, \ x^{\prime}, \ y^{\prime}\) সম্বলিত এবং ধ্রুবক রাশি পৃথক করা হয়েছে।

\((2)\) নং সমীকরণটি নতুন মূলবিন্দুগামী একজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করবে,
কাজেই এটা অবশ্যই \(x^{\prime}, \ y^{\prime}\) এর সমমাত্রিক দ্বিঘাত সমীকরণ হবে।
সুতরাং, \((2)\) নং সমীকরণের
\(ax_{1}+hy_{1}+g=0 .....(3)\)
\(hx_{1}+by_{1}+f=0 .....(4)\)
\(ax_{1}^2+2hx_{1}y_{1}+by_{1}^2+2gx_{1}+2fy_{1}+c=0 .....(5)\)
\((5)\) হতে,
\(ax_{1}^2+2hx_{1}y_{1}+by_{1}^2+2gx_{1}+2fy_{1}+c=0\)
\(\Rightarrow x_{1}(ax_{1}+hy_{1}+g)+y_{1}(hx_{1}+by_{1}+f)+gx_{1}+fy_{1}+c=0\)
\(\Rightarrow x_{1}(0)+y_{1}(0)+gx_{1}+fy_{1}+c=0\) ➜ Note \(\because ax_{1}+hy_{1}+g=0 .....(3)\)
\(hx_{1}+by_{1}+f=0 .....(4)\)

\(\Rightarrow 0+0+gx_{1}+fy_{1}+c=0\)
\(\therefore gx_{1}+fy_{1}+c=0 .......(6)\)
এখন, \((3), \ (4)\) ও \((6)\) হতে \(x_{1}, \ y_{1}\) অপনয়ণ করে,
\(\left|\begin{array}{c}a & h & g\\ h & b & f\\ g & f & c\end{array}\right|=0\)
\(\therefore \triangle\equiv{\left|\begin{array}{c}a & h & g\\ h & b & f\\ g & f & c\end{array}\right|}=0\)
ইহাই নির্ণেয় শর্ত।

\(\left(\frac{hf-bg}{ab-h^2}, \frac{hg-af}{ab-h^2}\right)\)

মনে করি, সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণটি
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0 .......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণকে যথাক্রমে \(x\) ও \(y\) এর সাপেক্ষে আংশিক অন্তরীকরণ করে,
\(\frac{\partial}{\partial{x}}(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c)=0\)
\(\Rightarrow a.2x+2hy.1+0+2g.1+0+0=0\)
\(\Rightarrow 2ax+2hy+2g=0\)
\(\Rightarrow 2(ax+hy+g)=0\)
\(\therefore ax+hy+g=0 .....(2)\)
আবার,
\(\frac{\partial}{\partial{y}}(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c)=0\)
\(\Rightarrow 0+2hx.1+b.2y+0+2f.1+0=0\)
\(\Rightarrow 2hx+2by+2f=0\)
\(\Rightarrow 2(hx+by+f)=0\)
\(\therefore hx+by+f=0 .....(3)\)
\((2)\) ও \((3)\) বজ্রগুণ করে,
\(ax+hy+g=0\)
\(hx+by+f=0\)
\(\frac{x}{hf-bg}=\frac{y}{hg-af}=\frac{1}{ab-h^2}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{hf-bg}=\frac{1}{ab-h^2}, \ \frac{y}{hg-af}=\frac{1}{ab-h^2}\)
\(\therefore x=\frac{hf-bg}{ab-h^2}, \ y=\frac{hg-af}{ab-h^2}\)
\(\therefore\) নির্ণেয় ছেদবিন্দু \(\left(\frac{hf-bg}{ab-h^2}, \frac{hg-af}{ab-h^2}\right)\)
মনে করি, সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণটি
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0 .......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণের এক জোড়া সরলরেখা প্রকাশ করার শর্ত।
\(\triangle\equiv\left|\begin{array}{c}a & h & g\\ h & b & f\\ g & f & c\end{array}\right|=0\)
উপরোক্ত নির্ণায়কের প্রথম দুইটি সারির উপাদান গুলোকে সহগ হিসেবে নিয়ে গঠত সমীকরণদ্বয় নিম্নরূপঃ
\(ax+hy+g=0 .....(2)\)
\(hx+by+f=0 .....(3)\)
\((2)\) ও \((3)\) বজ্রগুণ করে,
\(\frac{x}{hf-bg}=\frac{y}{hg-af}=\frac{1}{ab-h^2}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{hf-bg}=\frac{1}{ab-h^2}, \ \frac{y}{hg-af}=\frac{1}{ab-h^2}\)
\(\therefore x=\frac{hf-bg}{ab-h^2}, \ y=\frac{hg-af}{ab-h^2}\)
\(\therefore\) নির্ণেয় ছেদবিন্দু \(\left(\frac{hf-bg}{ab-h^2}, \frac{hg-af}{ab-h^2}\right)\)

\(\theta=\tan^{-1}{\left(\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\right)}\)

মনে করি, সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণটি
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0 .......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত রেখাদ্বয়
\(l_{1}x+m_{1}y+n_{1}=0 .....(2)\)
\(l_{2}x+m_{2}y+n_{2}=0 .....(3)\)
\((2)\times{(3)}\) এর সাহায্যে,
\((l_{1}x+m_{1}y+n_{1})(l_{2}x+m_{2}y+n_{2})=0\)
\(\Rightarrow l_{1}l_{2}x^2+(l_{1}m_{2}+l_{2}m_{1})xy+m_{1}m_{2}y^2+(l_{1}n_{2}+l_{2}n_{1})x+(m_{1}n_{2}+m_{2}n_{1})y+n_{1}n_{2}=0 ....(4)\) ➜ Note সাধারণ গুণ প্রক্রিয়া ব্যবহারে ইহা সম্ভব। যা ব্যাপক সময়বহুল। কিন্তু গণিতে সম্মান শ্রেণীর শিক্ষার্থী হিসাবে শটকাট পদ্ধতিতে গুণ করা বাঞ্ছনীয়। এখানে \(x^2, \ y^2, \ xy, \ x, \ y\) সম্বলিত এবং ধ্রুবক রাশি পৃথক করা হয়েছে।

\((1)\) ও \((4)\) অভিন্ন সমীকরণ,
সহগগুলি সমীকৃত করে,
\(l_{1}l_{2}=a\)
\(m_{1}m_{2}=b\)
\(l_{1}m_{2}+l_{2}m_{1}=2h\)
\(l_{1}n_{2}+l_{2}n_{1}=2g\)
\(m_{1}n_{2}+m_{2}n_{1}=2f\)
\(n_{1}n_{2}=c\)
\((2)\) নং সমীকরণের ঢাল \(p_{1}=-\frac{l_{1}}{m_{1}}\) ➜ Note \(\because ax+by+c=0\) সরলরেখার ঢল,
\(m=-\frac{a}{b}\)

\((3)\) নং সমীকরণের ঢাল \(p_{2}=-\frac{l_{2}}{m_{2}}\) ➜ Note \(\because ax+by+c=0\) সরলরেখার ঢল,
\(m=-\frac{a}{b}\)

\((2)\) ও \((3)\) সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) হলে,
\(\tan{\theta}=\pm{\frac{p_{1}-p_{2}}{1+p_{1}p_{2}}}\) ➜ Note \(y=m_{1}x+c_{1} .....(1)\)
\(y=m_{2}x+c_{2} .....(2)\)
\((1)\) নং ও \((2)\) নং রেখা দুইটির মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) হলে,
\(\tan{\theta}=\pm{\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}}\)

\(=\pm{\frac{-\frac{l_{1}}{m_{1}}+\frac{l_{2}}{m_{2}}}{1+\left(-\frac{l_{1}}{m_{1}}\right)\times{\left(-\frac{l_{2}}{m_{2}}\right)}}}\)
\(=\pm{\frac{\frac{l_{2}}{m_{2}}-\frac{l_{1}}{m_{1}}}{1+\frac{l_{1}l_{2}}{m_{1}m_{2}}}}\)
\(=\pm{\frac{\frac{l_{2}m_{1}-l_{1}m_{2}}{m_{1}m_{2}}}{\frac{m_{1}m_{2}+l_{1}l_{2}}{m_{1}m_{2}}}}\)
\(=\pm{\frac{l_{2}m_{1}-l_{1}m_{2}}{m_{1}m_{2}}\times{\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}m_{2}+l_{1}l_{2}}}}\)
\(=\pm{\frac{l_{2}m_{1}-l_{1}m_{2}}{m_{1}m_{2}+l_{1}l_{2}}}\)
\(=\pm{\frac{\sqrt{(l_{2}m_{1}+l_{1}m_{2})^2-4l_{1}l_{2}m_{1}m_{2}}}{l_{1}l_{2}+m_{1}m_{2}}}\) ➜ Note \(\because a-b=\sqrt{(a+b)^2-4ab}\)
\(=\pm{\frac{\sqrt{(2h)^2-4\times{a}\times{b}}}{a+b}}\) ➜ Note \(\because l_{1}l_{2}=a\)
\(m_{1}m_{2}=b\)
\(l_{1}m_{2}+l_{2}m_{1}=2h\)

\(=\pm{\frac{\sqrt{4h^2-4ab}}{a+b}}\)
\(=\pm{\frac{\sqrt{4(h^2-ab)}}{a+b}}\)
\(\therefore \tan{\theta}=\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\)
\(\therefore \theta=\tan^{-1}{\left(\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\right)}\)
ইহাই নির্ণেয় কোণ।

\(a+b=0\)

\(\frac{a}{h}=\frac{h}{b}=\frac{g}{f}\)

\(\frac{a}{h}=\frac{h}{b}=\frac{g}{f}=\frac{ch}{f^2}\)

মনে করি, সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণটি
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0 .......(1)\)
\((i)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ।
\(\theta=\tan^{-1}{\left(\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\right)}\)
সরলরেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে যদি \(\theta=90^{o}\) হয়।
\(\therefore 90^{o}=\tan^{-1}{\left(\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\right)}\)
\(\Rightarrow \tan{90^{o}}=\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{0}=\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\)
\(\therefore a+b=0\)
ইহাই নির্ণেয় শর্ত।
আবার,
সরলরেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল হবে যদি \(\theta=0^{o}\) হয়।
\(\therefore 0^{o}=\tan^{-1}{\left(\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\right)}\)
\(\Rightarrow \tan{0^{o}}=\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\)
\(\Rightarrow 0=\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{h^2-ab}=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{h^2-ab}=0\)
\(\Rightarrow h^2-ab=0\) ➜ Note উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\therefore h^2=ab \Rightarrow h=\sqrt{ab}\)
যেহেতু সমীকরণটি একজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করে,
\(\triangle\equiv{abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2}=0\)
\(\Rightarrow abc-ch^2+2fgh-af^2-bg^2=0\)
\(\Rightarrow c(ab-h^2)+2fgh-af^2-bg^2=0\)
\(\Rightarrow c(ab-ab)+2fgh-af^2-bg^2=0\)
\(\Rightarrow c(0)+2fgh-af^2-bg^2=0\)
\(\Rightarrow 2fgh-af^2-bg^2=0\)
\(\Rightarrow -(af^2-2fgh+bg^2)=0\)
\(\Rightarrow af^2-2fg\sqrt{ab}+bg^2=0\) ➜ Note \(\because h^2=ab \)
\(\Rightarrow h=\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow (\sqrt{a}f)^2-2\sqrt{a}f.\sqrt{b}g+(\sqrt{b}g)^2=0\)
\(\Rightarrow (\sqrt{a}f-\sqrt{b}g)^2=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{a}f-\sqrt{b}g=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{a}f=\sqrt{b}g\)
\(\therefore \frac{g}{f}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
\(=\frac{\sqrt{a}\sqrt{a}}{\sqrt{a}\sqrt{b}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{ab}}\)
\(=\frac{a}{h}\) ➜ Note \(\because h^2=ab \)
\(\Rightarrow h=\sqrt{ab}\)

আবার,
\(\frac{g}{f}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
\(=\frac{\sqrt{a}\sqrt{b}}{\sqrt{b}\sqrt{b}}\)
\(=\frac{\sqrt{ab}}{b}\)
\(=\frac{h}{b}\) ➜ Note \(\because h^2=ab \)
\(\Rightarrow h=\sqrt{ab}\)

\(\therefore \frac{a}{h}=\frac{h}{b}=\frac{g}{f}\)
ইহাই নির্ণেয় শর্ত।
আবার,
মনে করি, সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণটি
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0 .......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত রেখাদ্বয়
\(l_{1}x+m_{1}y+n_{1}=0 .....(2)\)
\(l_{2}x+m_{2}y+n_{2}=0 .....(3)\)
\((2)\times{(3)}\) এর সাহায্যে,
\((l_{1}x+m_{1}y+n_{1})(l_{2}x+m_{2}y+n_{2})=0\)
\(\Rightarrow l_{1}l_{2}x^2+(l_{1}m_{2}+l_{2}m_{1})xy+(l_{1}n_{2}+l_{2}n_{1})x+(m_{1}n_{2}+m_{2}n_{1})y+n_{1}n_{2}=0 ....(4)\) ➜ Note সাধারণ গুণ প্রক্রিয়া ব্যবহারে ইহা সম্ভব। যা ব্যাপক সময়বহুল। কিন্তু গণিতে সম্মান শ্রেণীর শিক্ষার্থী হিসাবে শটকাট পদ্ধতিতে গুণ করা বাঞ্ছনীয়। এখানে \(x^2, \ y^2, \ xy, \ x, \ y\) সম্বলিত এবং ধ্রুবক রাশি পৃথক করা হয়েছে।

\((1)\) ও \((4)\) অভিন্ন সমীকরণ,
সহগগুলি সমীকৃত করে,
\(l_{1}l_{2}=a\)
\(m_{1}m_{2}=b\)
\(l_{1}m_{2}+l_{2}m_{1}=2h\)
\(l_{1}n_{2}+l_{2}n_{1}=2g\)
\(m_{1}n_{2}+m_{2}n_{1}=2f\)
\(n_{1}n_{2}=c\)
সরলরেখাদ্বয় পরস্পর সমাপতিত হবে যদি \(\frac{l_{1}}{l_{2}}=\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{n_{1}}{n_{2}}\) হয়।
\(\Rightarrow \frac{l_{1}}{l_{2}}=\frac{m_{1}}{m_{2}}, \ \frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{n_{1}}{n_{2}}, \ \frac{l_{1}}{l_{2}}=\frac{n_{1}}{n_{2}}\)
\(\Rightarrow l_{1}m_{2}=l_{2}m_{1}, \ m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}, \ l_{1}n_{2}=l_{2}n_{1}\)
\(\Rightarrow l_{1}m_{2}-l_{2}m_{1}=0, \ m_{1}n_{2}-m_{2}n_{1}=0, \ l_{1}n_{2}-l_{2}n_{1}=0\)
\(\Rightarrow (l_{1}m_{2}-l_{2}m_{1})^2=0, \ (m_{1}n_{2}-m_{2}n_{1})^2=0, \ (l_{1}n_{2}-l_{2}n_{1})^2=0\)
\(\Rightarrow (l_{1}m_{2}+l_{2}m_{1})^2-4l_{1}l_{2}m_{1}m_{2}=0, \ (m_{1}n_{2}+m_{2}n_{1})^2-4m_{1}m_{2}n_{1}n_{2}=0, \ (l_{1}n_{2}+l_{2}n_{1})^2-4l_{1}l_{2}n_{1}n_{2}=0\)
\(\Rightarrow (2h)^2-4ab=0, \ (2f)^2-4bc=0, \ (2g)^2-4ac=0\) ➜ Note \(\because l_{1}l_{2}=a\)
\(m_{1}m_{2}=b\)
\(l_{1}m_{2}+l_{2}m_{1}=2h\)
\(l_{1}n_{2}+l_{2}n_{1}=2g\)
\(m_{1}n_{2}+m_{2}n_{1}=2f\)
\(n_{1}n_{2}=c\)

\(\Rightarrow 4h^2-4ab=0, \ 4f^2-4bc=0, \ 4g^2-4ac=0\)
\(\Rightarrow 4h^2=4ab, \ 4f^2=4bc, \ 4g^2=4ac\)
\(\therefore h^2=ab, \ f^2=bc, \ g^2=ac ......(5)\)
আবার,
\(\triangle\equiv{abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2}=0\)
\(\Rightarrow abc+2fgh-a.bc-b.ac-c.ab=0\) ➜ Note \(\because h^2=ab\)
\(f^2=bc\)
\(g^2=ac\)

\(\Rightarrow abc+2fgh-abc-abc-abc=0\)
\(\Rightarrow 2fgh-2abc=0\)
\(\Rightarrow 2fgh=2abc\)
\(\therefore fgh=abc\)
আবার,
\((5)\) নং কে লিখা যায়,
\(ch^2=abc, \ af^2=abc, \ bg^2=abc\)
\(\Rightarrow ch^2=fgh, \ af^2=fgh, \ bg^2=fgh\) ➜ Note\(\because fgh=abc\)
\(\Rightarrow ch=fg, \ af=gh, \ bg=fh\)
\(\Rightarrow \frac{ch}{f^2}=\frac{fg}{f^2}, \ \frac{a}{h}=\frac{g}{f}, \ \frac{h}{b}=\frac{g}{f}\)
\(\Rightarrow \frac{ch}{f^2}=\frac{g}{f}, \ \frac{a}{h}=\frac{g}{f}, \ \frac{h}{b}=\frac{g}{f}\)
\(\therefore \frac{a}{h}=\frac{h}{b}=\frac{g}{f}=\frac{ch}{f^2}\)
ইহাই নির্ণেয় শর্ত।

\(ax^2+2hxy+by^2=0\)

মনে করি,
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0 .......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত রেখাদ্বয়
\(l_{1}x+m_{1}y+n_{1}=0 .....(2)\)
\(l_{2}x+m_{2}y+n_{2}=0 .....(3)\)
\((2)\times{(3)}\) এর সাহায্যে,
\((l_{1}x+m_{1}y+n_{1})(l_{2}x+m_{2}y+n_{2})=0\)
\(\Rightarrow l_{1}l_{2}x^2+(l_{1}m_{2}+l_{2}m_{1})xy+m_{1}m_{2}y^2+(l_{1}n_{2}+l_{2}n_{1})x+(m_{1}n_{2}+m_{2}n_{1})y+n_{1}n_{2}=0 ....(4)\) ➜ Note সাধারণ গুণ প্রক্রিয়া ব্যবহারে ইহা সম্ভব। যা ব্যাপক সময়বহুল। কিন্তু গণিতে সম্মান শ্রেণীর শিক্ষার্থী হিসাবে শটকাট পদ্ধতিতে গুণ করা বাঞ্ছনীয়। এখানে \(x^2, \ y^2, \ xy, \ x, \ y\) সম্বলিত এবং ধ্রুবক রাশি পৃথক করা হয়েছে।

\((1)\) ও \((4)\) অভিন্ন সমীকরণ,
সহগগুলি সমীকৃত করে,
\(l_{1}l_{2}=a\)
\(m_{1}m_{2}=b\)
\(l_{1}m_{2}+l_{2}m_{1}=2h\)
\(l_{1}n_{2}+l_{2}n_{1}=2g\)
\(m_{1}n_{2}+m_{2}n_{1}=2f\)
\(n_{1}n_{2}=c\)
এখন, \((1)\) ও \((4)\) এর সমান্তরাল এবং মূলবিন্দুগামী সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ,
\(l_{1}x+m_{1}y=0 .....(5)\)
\(l_{2}x+m_{2}y=0 .....(6)\)
\((5)\times{(6)}\) এর সাহায্যে,
\((l_{1}x+m_{1}y)(l_{2}x+m_{2}y)=0\)
\(\Rightarrow l_{1}l_{2}x^2+(l_{1}m_{2}+l_{2}m_{1})xy+m_{1}m_{2}y^2=0\) ➜ Note সাধারণ গুণ প্রক্রিয়া ব্যবহারে ইহা সম্ভব। যা ব্যাপক সময়বহুল। কিন্তু গণিতে সম্মান শ্রেণীর শিক্ষার্থী হিসাবে শটকাট পদ্ধতিতে গুণ করা বাঞ্ছনীয়। এখানে \(x^2, \ y^2, \ xy\) সম্বলিত রাশি পৃথক করা হয়েছে।

\(\therefore ax^2+2hxy+by^2=0\) ➜ Note \(\because l_{1}l_{2}=a\)
\(m_{1}m_{2}=b\)
\(l_{1}m_{2}+l_{2}m_{1}=2h\)

( প্রমাণিত )

\(\frac{(x-x_{1})^2-(y-y_{1})^2}{a-b}=\frac{(x-x_{1})(y-y_{1})}{h}\)

মনে করি,
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0 .......(1)\)
\((i)\) নং সমীকরণটি একজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করে। রেখাদ্বয় \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে ছেদ করে।
অক্ষদ্বয়ের দিক অপরিবর্তিত রেখে মূলবিন্দুকে \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুতে স্থানান্তরিত করলে \((1)\) নং এর পরিবর্তিত রূপ হবে,
\(a{x^{\prime}}^2+2hx^{\prime}y^{\prime}+b{y^{\prime}}^2=0 .......(2)\)
যা নতুন মূলবিন্দুগামী একজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করে।
যেখানে, \(x_{1}+x^{\prime}=x\)
\(\therefore x^{\prime}=x-x_{1}\)
এবং \(y_{1}+y^{\prime}=y\)
\(\therefore y^{\prime}=y-y_{1}\)
\((2)\) এর রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{{x^{\prime}}^2-{y^{\prime}}^2}{a-b}=\frac{x^{\prime}y^{\prime}}{h}\)➜ Note \(\because ax^2+2hxy+by^2=0\) এর রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{x^2-y^2}{a-b}=\frac{xy}{h}\)

\(\therefore \frac{(x-x_{1})^2-(y-y_{1})^2}{a-b}=\frac{(x-x_{1})(y-y_{1})}{h}\) ➜ Note \(\because x^{\prime}=x-x_{1}\)
\(y^{\prime}=y-y_{1}\)

ইটাই নির্ণেয় সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ।

\(ax^2+2hxy+by^2-\frac{2(gx+fy)(lx+my)}{n}+\frac{c(lx+my)^2}{n^2}=0\)

মনে করি,
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0 .......(1)\)
\(lx+my+n=0 ......(2)\)
আমরা জানি, \((1)\) নং সমীকরণটি শর্ত সাপেক্ষে (\(\triangle=0\)) একজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করে। এই বিশেষ ক্ষেত্র ছাড়া এটা সাধারণভাবে একটি বক্ররেখা ( বৃত্ত, পরাবৃত্ত, উপবৃত্ত, অধিবৃত্ত ) প্রকাশ করে। \((2)\) নং থেকে \(y\) এর মান নিয়ে তা \((1)\) নং এ বসালে আমরা \(x\) এর একটি দ্বিঘাত সমীকরণ পাব, যা থেকে \(x\) এর দুইটি মান পাওয়া যাবে। এর থেকে এটাই প্রমাণিত হয় যে, \((2)\) নং রেখাটি \((1)\) নং এর সঞ্চারপথকে দুইটি বিন্দুতে ছেদ করে।
\((2)\) থেকে \(lx+my=-n\)
\(\Rightarrow \frac{lx+my}{-n}=1\) এর সাহায্যে
\((1)\) নং কে \(x, \ y\) এর দ্বিঘাত সমীকরণে পরিণত করি,
\(ax^2+2hxy+by^2+(2gx+2fy).1+c.1^2=0\)
\(\Rightarrow ax^2+2hxy+by^2+(2gx+2fy)\left(\frac{lx+my}{-n}\right)+c\left(\frac{lx+my}{-n}\right)^2=0\)
\(\therefore ax^2+2hxy+by^2-2(gx+fy)\left(\frac{lx+my}{n}\right)+\frac{c(lx+my)^2}{n^2}=0\)
এটা মূলবিন্দুগামী একজোড়া সরলরেখা নির্দেশ করে। আবার \((1)\) ও \((2)\) এর উভয়কে সিদ্ধ করে এমন যে কোনো বিন্দুই এটাকে সিদ্ধ করবে। এর দ্বারা নির্দেশিত রেখাদ্বয় \((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী।
\(\therefore \) ইহাই নির্ণেয় সমীকরণ।

\(\frac{ax+hy+g}{\left|\begin{array}{c}a & h & g\\ a^{\prime} & h^{\prime} & g^{\prime}\\ h^{\prime} & b^{\prime} & f^{\prime}\end{array}\right|}=\frac{ax+hy+g}{\left|\begin{array}{c}h & b & f\\ a^{\prime} & h^{\prime} & g^{\prime}\\ h^{\prime} & b^{\prime} & f^{\prime}\end{array}\right|}\)

মনে করি,
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0 .......(1)\)
\(a^{\prime}x^2+2h^{\prime}xy+b^{\prime}y^2+2g^{\prime}x+2f^{\prime}y+c^{\prime}=0 .......(2)\)
সমীকরণ দুইটি প্রত্যেক্যে একজোড়া সরলরেখা নির্দেশ করে।
\((1)\) নং সরলরেখা দুইটির ছেদবিন্দু
\(ax+hy+g=0 .......(3)\)
এবং \(hx+by+f=0 .......(4)\)
কে সমাধান করে পাওয়া যায়।
\((2)\) নং সরলরেখা দুইটির ছেদবিন্দু
\(a^{\prime}x+h^{\prime}y+g^{\prime}=0 .......(5)\)
এবং \(h^{\prime}x+b^{\prime}y+f^{\prime}=0 .......(6)\)
কে সমাধান করে পাওয়া যায়।
সুতরাং নির্ণেয় সরলরেখাটি \((3)\) ও \((4)\) এর ছেদবিন্দু এবং \((5)\) ও \((6)\) এর ছেদবিন্দুগামী হবে।
\((3)\) ও \((4)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(ax+hy+g+\lambda(hx+by+f)=0\)
\(\therefore (a+\lambda{h})x+(h+\lambda{b})y+(g+\lambda{f})=0 .....(7)\)
যদি এটা \((5)\) ও \((6)\) এর ছেদবিন্দুগামী হয়, তবে
\(\left|\begin{array}{c}a+\lambda{h} & h+\lambda{b} & g+\lambda{f}\\ a^{\prime} & h^{\prime} & g^{\prime}\\ h^{\prime} & b^{\prime} & f^{\prime}\end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow \left|\begin{array}{c}a & h & g\\ a^{\prime} & h^{\prime} & g^{\prime}\\ h^{\prime} & b^{\prime} & f^{\prime}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{c}\lambda{h} & \lambda{b} & \lambda{f}\\ a^{\prime} & h^{\prime} & g^{\prime}\\ h^{\prime} & b^{\prime} & f^{\prime}\end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow \left|\begin{array}{c}a & h & g\\ a^{\prime} & h^{\prime} & g^{\prime}\\ h^{\prime} & b^{\prime} & f^{\prime}\end{array}\right|+\lambda\left|\begin{array}{c}h & b & f\\ a^{\prime} & h^{\prime} & g^{\prime}\\ h^{\prime} & b^{\prime} & f^{\prime}\end{array}\right|=0 .......(8)\)
\((8)\) থেকে \(\) এর মান \((7)\) এ বসিয়ে,
\(\frac{ax+hy+g}{\left|\begin{array}{c}a & h & g\\ a^{\prime} & h^{\prime} & g^{\prime}\\ h^{\prime} & b^{\prime} & f^{\prime}\end{array}\right|}=\frac{ax+hy+g}{\left|\begin{array}{c}h & b & f\\ a^{\prime} & h^{\prime} & g^{\prime}\\ h^{\prime} & b^{\prime} & f^{\prime}\end{array}\right|}\)
ইহাই নির্ণেয় সমীকরণ।

মনে করি, কোনো ত্রিভুজের বাহু তিনটি যথাক্রমে
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 .........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 .........(2)\)
\(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0 .........(3)\)
\((1)\), \((2)\), \((3)\) হতে \(x, y\) অপনয়ন করে পাই
\(\Delta=\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|\)
ধরি,
\((2)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দু \(A(x_{1},y_{1})\Rightarrow a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2}=0 ........(4),\)
\(a_{3}x_{1}+b_{3}y_{1}+c_{3}=0 .........(5)\)
\((3)\) ও \((1)\) এর ছেদবিন্দু \(B(x_{2},y_{2})\Rightarrow a_{3}x_{2}+b_{3}y_{2}+c_{3}=0 ........(6),\)
\(a_{1}x_{2}+b_{1}y_{2}+c_{1}=0 ........(7) \)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু \(C(x_{3},y_{3})\Rightarrow a_{1}x_{3}+b_{1}y_{3}+c_{1}=0 ........(8),\)
\(a_{2}x_{3}+b_{2}y_{3}+c_{2}=0 ........(9) \)
এখন, \(\triangle ABC\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ y_{1} \ \ \ \ 1\\x_{2} \ \ y_{2} \ \ \ \ 1\\x_{3} \ \ y_{3} \ \ \ \ 1\end{array}\right| \)
\(=\frac{1}{2}\frac{\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ y_{1} \ \ \ \ 1\\x_{2} \ \ y_{2} \ \ \ \ 1\\x_{3} \ \ y_{3} \ \ \ \ 1\end{array}\right|\times \left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|} \)
\(=\frac{\left|\begin{array}{c}a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1} \ \ \ \ a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2} \ \ \ \ a_{3}x_{1}+b_{3}y_{1}+c_{3} \\ a_{1}x_{2}+b_{1}y_{2}+c_{1} \ \ \ \ a_{2}x_{2}+b_{2}y_{2}+c_{2} \ \ \ \ a_{3}x_{2}+b_{3}y_{2}+c_{3}\\ a_{1}x_{3}+b_{1}y_{3}+c_{1} \ \ \ \ a_{2}x_{3}+b_{2}y_{3}+c_{2} \ \ \ \ a_{3}x_{3}+b_{3}y_{3}+c_{3}\end{array}\right|}{2\Delta} \)
\(=\frac{\left|\begin{array}{c}a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a_{2}x_{2}+b_{2}y_{2}+c_{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a_{3}x_{3}+b_{3}y_{3}+c_{3}\end{array}\right|}{2\Delta} \) ➜Note (4),(5),(6),(7),(8),(9) এর সাহায্যে
\(=\frac{(a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1})(a_{2}x_{2}+b_{2}y_{2}+c_{2})(a_{3}x_{3}+b_{3}y_{3}+c_{3})}{2\Delta} ..........(10)\)
ধরি,
\(a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1}=k_{1}\)
\(\Rightarrow a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1}-k_{1}=0 ............. (11)\)
\(a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2}=0 ............(12)\)
\(a_{3}x_{1}+b_{3}y_{1}+c_{3}=0 ............. (13)\)
\((11), (12), (13)\) হতে \(x_{1}, y_{1}\) অপনয়ন করে পাই ,
\(\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}-k_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ \ \ \ \ c_{2} \ \ \ \ \\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ \ \ \ \ c_{3} \ \ \ \ \end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow \left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ -k_{1}\\a_{2} \ \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \\a_{3} \ \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow \Delta-k_{1}\left|\begin{array}{c}a_{2} \ \ \ \ b_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3}\end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow \Delta-k_{1}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})=0\)
\(\Rightarrow \Delta-k_{1}C_{1}=0\) ➜Note \(C_{1}= \Delta \) নির্ণায়কে \( c_{1}\) এর সহগুণক।
\(\Rightarrow \Delta=k_{1}C_{1}\)
\(\Rightarrow k_{1}C_{1}=\Delta\)
\(\therefore k_{1}=\frac{\Delta}{C_{1}}\)
অনুরূপভাবে,
\(a_{2}x_{2}+b_{2}y_{2}+c_{2}=k_{2}, \ a_{3}x_{3}+b_{3}y_{3}+c_{3}=k_{3} \) কল্পনা করে পাই
\(k_{2}=-\frac{\Delta}{C_{2}}, \ k_{3}=\frac{\Delta}{C_{3}}\) ➜Note \(C_{2}, C_{3}\) যথাক্রমে \(\Delta \) নির্ণায়কে \( c_{2},c_{3} \) এর সহগুণক।
এখন \((10)\) হতে পাই,
\(\triangle ABC\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{\frac{\Delta}{C_{1}}\times -\frac{\Delta}{C_{2}}\times \frac{\Delta}{C_{3}}}{2\Delta\times C_{1}C_{2}C_{3}}\)
\(=-\frac{\Delta^{3}}{2\Delta\times C_{1}C_{2}C_{3}}\)
\(=\frac{\Delta^{2}}{2C_{1}C_{2}C_{3}}\) ➜Note \(\because \triangle \neq -ve\)

\(y-y_{1}-m(x-x_{1})=0\)

ধরি,
\(y-mx=0 .......(1)\)
\((1)\) নং রেখার সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-mx+k=0 .......(2)\)
\((2)\) নং রেখা \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুগামী
\(\therefore y_{1}-mx_{1}+k=0\)
\(\Rightarrow k=mx_{1}-y_{1}\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(y-mx+mx_{1}-y_{1}=0\)
\(\Rightarrow y-y_{1}-mx+mx_{1}=0\)
\(\therefore y-y_{1}-m(x-x_{1})=0\)
( প্রমাণিত )

\(a(x-x_{1})^2+2h(x-x_{1})(y-y_{1})+b(y-y_{1})^2=0\)

ধরি,
\(ax^2+2hxy+by^2=0.......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ,
\(y-m_{1}x=0 .......(2)\)
\(y-m_{2}x=0 .......(3)\)
যখন,
\(m_{1}+m_{2}=-\frac{2h}{b}\)
\(m_{1}m_{2}=\frac{a}{b}\)
\((2)\) ও \((3)\) এর সমান্তরাল এবং \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ।
\(y-y_{1}-m_{1}(x-x_{1})=0 .......(4)\)
\(y-y_{1}-m_{2}(x-x_{1})=0 .......(5)\)
\((4)\times{(5)}\) এর সাহায্যে,
\(\{y-y_{1}-m_{1}(x-x_{1})\}\{y-y_{1}-m_{2}(x-x_{1})\}=0\)
\(\Rightarrow (y-y_{1})^2-(m_{1}+m_{2})(x-x_{1})(y-y_{1})+m_{1}m_{2}(x-x_{1})^2=0\)
\(\Rightarrow (y-y_{1})^2-\left(-\frac{2h}{b}\right)(x-x_{1})(y-y_{1})+\frac{a}{b}(x-x_{1})^2=0\) ➜Note \(\because m_{1}+m_{2}=-\frac{2h}{b}\)
\(m_{1}m_{2}=\frac{a}{b}\)

\(\Rightarrow b(y-y_{1})^2+2h(x-x_{1})(y-y_{1})+a(x-x_{1})^2=0\)
\(\therefore a(x-x_{1})^2+2h(x-x_{1})(y-y_{1})+b(y-y_{1})^2=0\)
( প্রমাণিত )

\(ym+x=0\)

ধরি,
\(y-mx=0.......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণের ঢাল \(=m\)
\((1)\) নং সমীকরণের উপর লম্ব রেখার ঢাল \(=-\frac{1}{m}\)
\(-\frac{1}{m}\) ঢাল বিশিষ্ট মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ।
\(y=-\frac{1}{m}x\)
\(\Rightarrow my=-x\)
\(\therefore my+x=0\)
( প্রমাণিত )
বিঃদ্রঃ \((1)\) নং সমীকরণে \(x\) এর স্থানে \(-y\) এবং \(y\) এর স্থানে \(x\) বসানো হলে, নির্ণেয় সমীকরণ \(my+x=0\) পাওয়া যায়।

\(ay^2-2hxy+bx^2=0\)

ধরি,
\(ax^2+2hxy+by^2=0.......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ,
\(y-m_{1}x=0 .......(2)\)
\(y-m_{2}x=0 .......(3)\)
যখন,
\(m_{1}+m_{2}=-\frac{2h}{b}\)
\(m_{1}m_{2}=\frac{a}{b}\)
\((2)\) ও \((3)\) এর উপর লম্ব এবং মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ।
\(ym_{1}+x=0 .......(4)\)
\(ym_{2}+x=0 .......(5)\)
\((4)\times{(5)}\) এর সাহায্যে,
\((ym_{1}+x)(ym_{2}+x)=0\)
\(\Rightarrow m_{1}m_{2}y^2+(m_{1}+m_{2})xy+x^2=0\)
\(\Rightarrow \frac{a}{b}y^2+\left(-\frac{2h}{b}\right)xy+x^2=0\) ➜Note \(\because m_{1}+m_{2}=-\frac{2h}{b}\)
\(m_{1}m_{2}=\frac{a}{b}\)

\(\Rightarrow \frac{a}{b}y^2-\frac{2h}{b}xy+x^2=0\)
\(\Rightarrow ay^2-2hxy+bx^2=0\) ➜Note উভয় পার্শে \(b\) গুণ করে।
\(\therefore ay^2-2hxy+bx^2=0\)
( প্রমাণিত )
বিঃদ্রঃ \((1)\) নং সমীকরণে \(x\) এর স্থানে \(-y\) এবং \(y\) এর স্থানে \(x\) বসানো হলে, নির্ণেয় সমীকরণ \(ay^2-2hxy+bx^2=0\) পাওয়া যায়।

\((y-y_{1})m+(x-x_{1})=0\)

ধরি,
\(y-mx=0.......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণের উপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ।
\((1)\) নং সমীকরণে \(x\) এর স্থানে \(-y\) এবং \(y\) এর স্থানে \(x\) বসিয়ে,
\(x+my=0.......(2)\)
\((2)\) নং সমীকরণের সমান্তরাল এবং \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ।
\(x-x_{1}+m(y-y_{1})=0\)
\(\therefore (y-y_{1})m+(x-x_{1})=0\)
( প্রমাণিত )

\(a(y-y_{1})^2-2h(x-x_{1})(y-y_{1})+b(x-x_{1})^2=0\)

ধরি,
\(ax^2+2hxy+by^2=0......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণের উপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ।
\((1)\) নং সমীকরণে \(x\) এর স্থানে \(-y\) এবং \(y\) এর স্থানে \(x\) বসিয়ে,
\(ay^2-2hxy+bx^2=0.......(2)\)
\((2)\) নং সমীকরণের সমান্তরাল এবং \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ।
\(a(y-y_{1})^2-2h(x-x_{1})(y-y_{1})+b(x-x_{1})^2=0\)
\(x\) এর স্থানে \((x-x_{1})\) এবং \(y\) এর স্থানে \((y-y_{1})\) বসানো হয়েছে।
( প্রমাণিত )

মনে করি,
\(3x^2+5xy-2y^2-3x+8y-6=0......(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখাদ্বয়ের সমান্তরাল এবং মূলবিন্দুগামী রেখা দুইটির সমীকরণ,
\(3x^2+5xy-2y^2=0......(2)\)
এখন, \((2)\) নং সরলরেখাদ্বয়ের সমান্তরাল এবং \((1, -2)\) বিন্দুগামী রেখা দুইটির সমীকরণ,
\((2)\) নং সমীকরণে \(x\) এর স্থানে \((x-1)\) এবং \(y\) এর স্থানে \((y+2)\) বসিয়ে,
\(3(x-1)^2+5(x-1)(y+2)-2(y+2)^2=0\)
\(\Rightarrow 3x^2-6x+3+5xy+10x-5y-10-2y^2-8y-8=0\)
\(\therefore 3x^2+5xy-2y^2+4x-13y-15=0\)
ইহাই নির্ণেয় সমীকরণ,
আবার,
সমীকরণটির রেখাদ্বয়ের উপর লম্ব এবং মূলবিন্দুগামী এরূপ রেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় করার জন্য
\((2)\) নং সমীকরণে \(x\) এর স্থানে \(-y\) এবং \(y\) এর স্থানে \(x\) বসিয়ে,
\(3(-y)^2+5(-y)x-2x^2=0\)
\(\therefore 3y^2-5xy-2x^2=0\)
ইহাই নির্ণেয় সমীকরণ,

মনে করি,
\(x^2-2pxy-y^2=0......(1)\)
\(x^2-2qxy-y^2=0......(2)\)
\((1)\) নং সমীকরণের ক্ষেত্রে,
\(a=1, \ h=-p, \ b=-1\)
এখন, \((1)\) নং সরলরেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক রেখা দুইটির সমীকরণ,
\(\frac{x^2-y^2}{1-(-1)}=\frac{xy}{-p}\) ➜Note \(\because ax^2+2hxy+by^2=0\) সরলরেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক রেখা দুইটির সমীকরণ,
\(\frac{x^2-y^2}{a-b}=\frac{xy}{h}\)

\(\Rightarrow \frac{x^2-y^2}{1+1}=\frac{xy}{-p}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2-y^2}{2}=\frac{xy}{-p}\)
\(\Rightarrow 2xy=-px^2+py^2\)
\(\Rightarrow px^2+2xy-py^2=0\)
\(\therefore x^2+2\frac{1}{p}xy-y^2=0 .....(3)\)
শর্ত মতে, \((2)\) ও \((3)\) অভিন্ন সমীকরণ, \(xy\) এর সহগ সমীকৃত করে।
\(2\frac{1}{p}=-2q\)
\(\Rightarrow \frac{1}{p}=-q\)
\(\therefore pq=-1\)
( প্রমাণিত )

মনে করি,
\(ax^2+2hxy+by^2=0......(1)\)
\(a^{\prime}x^2+2h^{\prime}xy+b^{\prime}y^2=0......(2)\)
\((1)\) নং সমীকরণের একটি রেখা \(y=mx ....(3)\)
\((3)\) নং রেখার উপর লম্ব রেখার সমীকরণ, \(y=-\frac{1}{m}x ....(4)\)
শর্তমতে, \(y=mx, \ (1)\) নং সমীকরণ সদ্ধ করবে,
\(\therefore ax^2+2hxmx+b(mx)^2=0\)
\(\Rightarrow ax^2+2hmx^2+bm^2x^2=0\)
\(\Rightarrow x^2(a+2hm+bm^2)=0\)
\(\Rightarrow a+2hm+bm^2=0, \because x^2\ne{0}\)
\(\therefore bm^2+2hm+a=0 ....(5)\)
আবার,
\(y=-\frac{1}{m}x, \ (2)\) নং সমীকরণ সদ্ধ করবে,
\(\therefore a^{\prime}x^2+2h^{\prime}x\left(-\frac{1}{m}x\right)+b^{\prime}\left(-\frac{1}{m}x\right)^2=0\)
\(\therefore a^{\prime}x^2-2h^{\prime}\frac{x^2}{m}+b^{\prime}\frac{x^2}{m^2}=0\)
\(\therefore \frac{x^2}{m^2}(a^{\prime}m^2-2h^{\prime}m+b^{\prime})=0\)
\(\Rightarrow a^{\prime}m^2-2h^{\prime}m+b^{\prime}=0, \because \frac{x^2}{m^2}\ne{0}\)
\(\therefore a^{\prime}m^2-2h^{\prime}m+b^{\prime}=0 ....(6)\)
\((5)\) ও \((6)\) বজ্রগুণ করে,
\(\frac{m^2}{2hb^{\prime}+2h^{\prime}a}=\frac{m}{aa^{\prime}-bb^{\prime}}=\frac{1}{-2h^{\prime}b-2ha^{\prime}}\)
\(\Rightarrow \frac{m^2}{2(hb^{\prime}+h^{\prime}a)}=\frac{m}{aa^{\prime}-bb^{\prime}}=\frac{1}{-2(h^{\prime}b+ha^{\prime})}\)
\(\Rightarrow \frac{m^2}{2(hb^{\prime}+h^{\prime}a)}=\frac{m}{aa^{\prime}-bb^{\prime}}, \ \frac{m}{aa^{\prime}-bb^{\prime}}=\frac{1}{-2(h^{\prime}b+ha^{\prime})}\)
\(\Rightarrow \frac{m}{2(hb^{\prime}+h^{\prime}a)}=\frac{1}{aa^{\prime}-bb^{\prime}}, \ \frac{m}{aa^{\prime}-bb^{\prime}}=\frac{1}{-2(h^{\prime}b+ha^{\prime})}\)
\(\Rightarrow m=\frac{2(hb^{\prime}+h^{\prime}a)}{aa^{\prime}-bb^{\prime}}, \ m=\frac{aa^{\prime}-bb^{\prime}}{-2(h^{\prime}b+ha^{\prime})}\)
\(\Rightarrow \frac{2(hb^{\prime}+h^{\prime}a)}{aa^{\prime}-bb^{\prime}}=\frac{aa^{\prime}-bb^{\prime}}{-2(h^{\prime}b+ha^{\prime})}\)
\(\Rightarrow (aa^{\prime}-bb^{\prime})^2=-4(h^{\prime}b+ha^{\prime})(hb^{\prime}+h^{\prime}a)\)
\(\Rightarrow (aa^{\prime}-bb^{\prime})^2+4(bh^{\prime}+a^{\prime}h)(b^{\prime}h+ah^{\prime})=0\)
\(\therefore (aa^{\prime}-bb^{\prime})^2+4(a^{\prime}h+bh^{\prime})(ah^{\prime}+b^{\prime}h)=0\)
( প্রমাণিত )

ধরি,
\(ax^2+2hxy+by^2=0.......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ,
\(y-m_{1}x=0 .......(2)\)
\(y-m_{2}x=0 .......(3)\)
যখন,
\(m_{1}+m_{2}=-\frac{2h}{b}\)
\(m_{1}m_{2}=\frac{a}{b}\)
\((2)\) ও \((3)\) এর উপর লম্ব এবং মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ।
\(ym_{1}+x=0 .......(4)\)
\(ym_{2}+x=0 .......(5)\)
\((4)\times{(5)}\) এর সাহায্যে,
\((ym_{1}+x)(ym_{2}+x)=0\)
\(\Rightarrow m_{1}m_{2}y^2+(m_{1}+m_{2})xy+x^2=0\)
\(\Rightarrow \frac{a}{b}y^2+\left(-\frac{2h}{b}\right)xy+x^2=0\) ➜Note \(\because m_{1}+m_{2}=-\frac{2h}{b}\)
\(m_{1}m_{2}=\frac{a}{b}\)

\(\Rightarrow \frac{a}{b}y^2-\frac{2h}{b}xy+x^2=0\)
\(\Rightarrow ay^2-2hxy+bx^2=0\) ➜Note উভয় পার্শে \(b\) গুণ করে।
\(\therefore bx^2-2hxy+ay^2=0\)
( প্রমাণিত )

ধরি,
\(y+x=0.......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখার ঢাল,
\(m=-\frac{1}{1}\) ➜Note \(\because ax+by+c=0\) সরলরেখার ঢাল,
\(m=-\frac{a}{b}\)

\(=-1\)
\((1)\) নং সরলরেখার সাথে \(\alpha\) কোণ উতপন্নকারী সরলরেখাদ্বয়ের যে কোনো একটির ঢাল \(m_{1}\) হলে,
\(\tan{\alpha}=\pm{\frac{m_{1}-m}{1+m_{1}m}}\)
\(\Rightarrow \tan{\alpha}=\pm{\frac{m_{1}-(-1)}{1+m_{1}(-1)}}\)
\(\Rightarrow \tan{\alpha}=\pm{\frac{m_{1}+1}{1-m_{1}}}\)
\(\Rightarrow \tan{\alpha}-m_{1}\tan{\alpha}=\pm{(m_{1}+1)}\)
\(\Rightarrow \tan{\alpha}-m_{1}\tan{\alpha}=m_{1}+1, \ \tan{\alpha}-m_{1}\tan{\alpha}=-m_{1}-1\)
\(\Rightarrow \tan{\alpha}-1=m_{1}+m_{1}\tan{\alpha}, \ \tan{\alpha}+1=m_{1}\tan{\alpha}-m_{1}\)
\(\Rightarrow \tan{\alpha}-1=m_{1}(1+\tan{\alpha}), \ \tan{\alpha}+1=m_{1}(\tan{\alpha}-1)\)
\(\therefore m_{1}=\frac{\tan{\alpha}-1}{\tan{\alpha}+1}, \ m_{1}=\frac{\tan{\alpha}+1}{\tan{\alpha}-1}\)
\(\therefore y+x=0\) সরলরেখার সাথে \(\alpha\) কোণ উতপন্নকারী মূলবিন্দুগামী সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ,
\(y-\frac{\tan{\alpha}-1}{\tan{\alpha}+1}x=0 .......(2)\)
\(y-\frac{\tan{\alpha}+1}{\tan{\alpha}-1}x=0 .......(3)\)
\((2)\times{(3)}\) এর সাহায্যে,
\(\left(y-\frac{\tan{\alpha}-1}{\tan{\alpha}+1}x\right)\left(y-\frac{\tan{\alpha}+1}{\tan{\alpha}-1}x\right)=0\)
\(\Rightarrow y^2-\left(\frac{\tan{\alpha}-1}{\tan{\alpha}+1}+\frac{\tan{\alpha}+1}{\tan{\alpha}-1}\right)xy+x^2=0\)
\(\Rightarrow y^2-\frac{(\tan{\alpha}-1)^2+(\tan{\alpha}+1)^2}{(\tan{\alpha}+1)(\tan{\alpha}-1)}xy+x^2=0\)
\(\Rightarrow y^2-\frac{2\tan^2{\alpha}+2\times{1^2}}{\tan^2{\alpha}-1^2}xy+x^2=0\) ➜Note \(\because (a-b)^2+(a+b)^2=2a^2+2b^2\)
\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)

\(\Rightarrow y^2-\frac{2\tan^2{\alpha}+2}{\tan^2{\alpha}-1}xy+x^2=0\)
\(\Rightarrow y^2+2\frac{1+\tan^2{\alpha}}{1-\tan^2{\alpha}}xy+x^2=0\)
\(\Rightarrow y^2+2\frac{1}{\frac{1-\tan^2{\alpha}}{1+\tan^2{\alpha}}}xy+x^2=0\)
\(\Rightarrow y^2+2\frac{1}{\cos{2\alpha}}xy+x^2=0\) ➜Note\(\because \frac{1-\tan^2{A}}{1+\tan^2{A}}=\cos{2A}\)
\(\Rightarrow y^2+2\sec{2\alpha}xy+x^2=0\)
\(\therefore x^2+2xy\sec{2\alpha}+y^2=0\)
( প্রমাণিত )

ধরি,
\(ax^2+2hxy+by^2=0.......(1)\)
\(lx+my+n=0.......(2)\)
\((1)\) নং সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ,
\(y-m_{1}x=0 .......(3)\)
\(y-m_{2}x=0 .......(4)\)
যখন,
\(m_{1}+m_{2}=-\frac{2h}{b}\)
\(m_{1}m_{2}=\frac{a}{b}\)
\((2), \ (3)\) ও \((4)\) হতে,
\(\Delta=\left|\begin{array}{c}l & m & n\\-m_{1} & 1 & 0\\ -m_{2} & 1 & 0\end{array}\right|\)
\(=n(-m_{1}+m_{2})\)
\(=n(m_{2}-m_{1})\)
এখানে,
\(C_{1}=(-m_{1}+m_{2})\)
\(=(m_{2}-m_{1})\)
\(C_{2}=-(l+mm_{2})\)
\(C_{3}=(l+mm_{1})\)
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল,
\(=\frac{1}{2}\frac{\Delta^2}{C_{1}C_{2}C_{3}}\) ➜Note \(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
\(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0 ........(3)\)
উপরক্ত \((1)\), \((2)\) এবং \((3)\) রেখাগুলি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= \(\frac{1}{2} \frac{\Delta^{2}}{C_{1}C_{2}C_{3}}\)

যেখানে,\(\Delta=\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\ a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|\) এবং \(C_{1}, C_{2}, C_{3}\) হচ্ছে \(\Delta\) নির্ণায়কটির যথাক্রমে \(c_{1}, c_{2}, c_{3}\) উপাদানের সহ-গুণক।

অর্থাৎ \(C_{1}=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}),\) \(C_{2}= -(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1}),\) \(C_{3}=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\)

\(=\frac{1}{2}\frac{\{n(m_{2}-m_{1})\}^2}{(m_{2}-m_{1})\times{-(l+mm_{2})}\times{(l+mm_{1})}}\)
\(=\frac{1}{2}\frac{n^2(m_{2}-m_{1})}{-(l+mm_{2})(l+mm_{1})}\)
\(=-\frac{1}{2}\frac{n^2\sqrt{(m_{1}+m_{2})^2-4m_{1}m_{2}}}{l^2+(m_{1}+m_{2})lm+m_{1}m_{2}m^2}\)
\(=-\frac{1}{2}\frac{n^2\sqrt{\left(-\frac{2h}{b}\right)^2-4\frac{a}{b}}}{l^2+\left(-\frac{2h}{b}\right)lm+\left(\frac{a}{b}\right)m^2}\)
\(=-\frac{1}{2}\frac{n^2\sqrt{\frac{4h^2}{b^2}-\frac{4a}{b}}}{l^2-\frac{2hlm}{b}+\frac{am^2}{b}}\)
\(=-\frac{1}{2}\frac{n^2\sqrt{\frac{4h^2-4ab}{b^2}}}{\frac{bl^2-2hlm+am^2}{b}}\)
\(=-\frac{1}{2}\frac{2n^2\sqrt{\frac{h^2-ab}{b^2}}}{\frac{bl^2-2hlm+am^2}{b}}\)
\(=-\frac{\frac{n^2\sqrt{h^2-ab}}{b}}{\frac{bl^2-2hlm+am^2}{b}}\)
\(=-\frac{n^2\sqrt{h^2-ab}}{b}\times{\frac{b}{bl^2-2hlm+am^2}}\)
\(=\frac{n^2\sqrt{h^2-ab}}{bl^2-2hlm+am^2}, \ \because\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(\ne{-ve}\)
\(\therefore \) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\frac{n^2\sqrt{h^2-ab}}{bl^2-2hlm+am^2}\)
( দেখানো হলো। )
ধরি,
\(ax^2+2hxy+by^2=0.......(1)\)
\(lx+my+n=0.......(2)\)
\((1)\) নং সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ,
\(y-m_{1}x=0 .......(3)\)
\(y-m_{2}x=0 .......(4)\)
যখন,
\(m_{1}+m_{2}=-\frac{2h}{b}\)
\(m_{1}m_{2}=\frac{a}{b}\)
\((3)\) ও \((4)\) এর ছেদবিন্দু \(O(0, 0)\)
\((2)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দু \(A\left(\frac{-n}{l+mm_{1}}, \frac{-nm_{1}}{l+mm_{1}}\right)\)
\((2)\) ও \((4)\) এর ছেদবিন্দু \(B\left(\frac{-n}{l+mm_{2}}, \frac{-nm_{2}}{l+mm_{2}}\right)\)
এখন, \(\triangle{OAB}=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}0 & 0 & 1\\\frac{-n}{l+mm_{1}} & \frac{-nm_{1}}{l+mm_{1}} & 1\\ \frac{-n}{l+mm_{2}} & \frac{-nm_{2}}{l+mm_{2}} & 1\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\times{\frac{n^2m_{2}}{(l+mm_{1})(l+mm_{2})}-\frac{n^2m_{1}}{(l+mm_{1})(l+mm_{2})}}\)
\(=\frac{1}{2}\times{\frac{n^2m_{2}-n^2m_{1}}{(l+mm_{1})(l+mm_{2})}}\)
\(=\frac{n^2}{2}\times{\frac{m_{2}-m_{1}}{l^2+(m_{1}+m_{2})lm+m_{1}m_{2}m^2}}\)
\(=\frac{n^2}{2}\times{\frac{\sqrt{(m_{1}+m_{2})^2-4m_{1}m_{2}}}{l^2+(m_{1}+m_{2})lm+m_{1}m_{2}m^2}}\)
\(=\frac{n^2}{2}\times{\frac{\sqrt{\left(-\frac{2h}{b}\right)^2-4\frac{a}{b}}}{l^2+\left(-\frac{2h}{b}\right)lm+\left(\frac{a}{b}\right)m^2}}\)
\(=\frac{n^2}{2}\times{\frac{\sqrt{\frac{4h^2}{b^2}-\frac{4a}{b}}}{l^2-\frac{2hlm}{b}+\frac{am^2}{b}}}\)
\(=\frac{n^2}{2}\times{\frac{\sqrt{\frac{4h^2-4ab}{b^2}}}{\frac{bl^2-2hlm+am^2}{b}}}\)
\(=\frac{n^2}{2}\times{\frac{2\frac{\sqrt{h^2-ab}}{b}}{\frac{bl^2-2hlm+am^2}{b}}}\)
\(=\frac{\frac{n^2\sqrt{h^2-ab}}{b}}{\frac{bl^2-2hlm+am^2}{b}}\)
\(=\frac{n^2\sqrt{h^2-ab}}{b}\times{\frac{b}{bl^2-2hlm+am^2}}\)
\(=\frac{n^2\sqrt{h^2-ab}}{bl^2-2hlm+am^2}\)
\(\therefore \) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\frac{n^2\sqrt{h^2-ab}}{bl^2-2hlm+am^2}\)
( দেখানো হলো। )

ধরি,
\(4xy(x^2-y^2)-\tan{\alpha}(x^2+2xy-y^2)(x^2-2xy-y^2)=0.......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখাগুলির একটির সমীকরণ,
\(y=x\tan{\theta}.......(2)\)
ফলে, \(y=x\tan{\theta}, \ (1)\) নং সমীকরণ সিদ্ধ করবে,
\(\therefore 4x.x\tan{\theta}\{x^2-(x\tan{\theta})^2\}-\tan{\alpha}\{x^2+2x.x\tan{\theta}-(x\tan{\theta})^2\}\{x^2-2x.x\tan{\theta}-(x\tan{\theta})^2\}=0\)
\(\Rightarrow 4x^2\tan{\theta}\{x^2-x^2\tan^2{\theta}\}-\tan{\alpha}\{x^2+2x^2\tan{\theta}-x^2\tan^2{\theta}\}\{x^2-2x^2\tan{\theta}-x^2\tan^2{\theta}\}=0\)
\(\Rightarrow 4x^4\tan{\theta}\{1-1\tan^2{\theta}\}-x^4\tan{\alpha}\{1+2\tan{\theta}-\tan^2{\theta}\}\{1-2\tan{\theta}-\tan^2{\theta}\}=0\)
\(\Rightarrow x^4\{4\tan{\theta}(1-1\tan^2{\theta})-\tan{\alpha}(1+2\tan{\theta}-\tan^2{\theta})(1-2\tan{\theta}-\tan^2{\theta})\}=0\)
\(\Rightarrow 4\tan{\theta}(1-\tan^2{\theta})-\tan{\alpha}(1+2\tan{\theta}-\tan^2{\theta})(1-2\tan{\theta}-\tan^2{\theta})=0, \ x^4\ne{0}\)
\(\Rightarrow 4\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}(1-\frac{\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta}})-\tan{\alpha}(1+2\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}-\frac{\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta}})(1-2\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}-\frac{\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta}})=0\)
\(\Rightarrow 4\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}\times{\frac{\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta}}}-\tan{\alpha}\frac{\cos^2{\theta}+2\sin{\theta}\cos{\theta}-\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta}}\times{\frac{\cos^2{\theta}-2\sin{\theta}\cos{\theta}-\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta}}}=0\)
\(\Rightarrow 2(2\sin{\theta}\cos{\theta})\times{(\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta})}-\tan{\alpha}(\cos^2{\theta}+2\sin{\theta}\cos{\theta}-\sin^2{\theta})(\cos^2{\theta}-2\sin{\theta}\cos{\theta}-\sin^2{\theta})=0\)
\(\Rightarrow 2(2\sin{\theta}\cos{\theta})\times{(\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta})}-\tan{\alpha}(\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta}+2\sin{\theta}\cos{\theta})(\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta}-2\sin{\theta}\cos{\theta})=0\)
\(\Rightarrow 2\sin{2\theta}\cos{2\theta}-\tan{\alpha}(\cos{2\theta}+\sin{2\theta})(\cos{2\theta}-\sin{2\theta})=0\)
\(\Rightarrow \sin{4\theta}-\tan{\alpha}(\cos^2{2\theta}-\sin^2{2\theta})=0\)
\(\Rightarrow \sin{4\theta}-\tan{\alpha}\cos{4\theta}=0\)
\(\Rightarrow \sin{4\theta}=\tan{\alpha}\cos{4\theta}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{4\theta}}{\cos{4\theta}}=\tan{\alpha}\)
\(\Rightarrow \tan{4\theta}=\tan{\alpha}\)
\(\Rightarrow 4\theta=n\pi+\alpha\)
\(\therefore \theta=\frac{n\pi}{4}+\frac{\alpha}{4}\)
যেহেতু, \((1)\) নং সমীকরণ চারটি সরলরেখা নির্দেশ করে, সুতরাং \(\theta\) এর চারটি মান পাওয়া যাবে।
\(n=0, \ 1, \ 2, \ 3 \) হলে,
\(\theta=\frac{0}{4}+\frac{\alpha}{4}, \ \frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{4}, \ \frac{2\pi}{4}+\frac{\alpha}{4}, \ \frac{3\pi}{4}+\frac{\alpha}{4}\) হবে।
\(\therefore \theta=\frac{\alpha}{4}, \ \frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{4}, \ \frac{\pi}{2}+\frac{\alpha}{4}, \ \frac{3\pi}{4}+\frac{\alpha}{4}\)
\(\theta\) এর এই মান গুলি, সরলরেখা চারটির \(x\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত যে কোণগুলি উৎপন্ন তা নির্দেশ করে।
ধরি, কোণগুলি যথাক্রমে \(\theta_{1}, \ \theta_{2}, \ \theta_{3}, \ \theta_{4}\)
\(\therefore \theta_{1}=\frac{\alpha}{4}, \ \theta_{2}=\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{4}, \ \theta_{3}=\frac{\pi}{2}+\frac{\alpha}{4}, \ \theta_{4}=\frac{3\pi}{4}+\frac{\alpha}{4}\)
\(\therefore \) সরলরেখাগুলির মধ্যবর্তী কোণ হবে,
প্রথম ও দ্বিতীয় রেখার মধ্যবর্তী কোণ, \(\theta_{2}-\theta_{1}=\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{4}-\frac{\alpha}{4}=\frac{\pi}{4}\)
দ্বিতীয় ও তৃতীয় রেখার মধ্যবর্তী কোণ, \(\theta_{3}-\theta_{2}=\frac{\pi}{2}+\frac{\alpha}{4}-\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{4}=\frac{2\pi-\pi}{4}=\frac{\pi}{4}\)
তৃতীয় ও চতুর্থ রেখার মধ্যবর্তী কোণ, \(\theta_{4}-\theta_{3}=\frac{3\pi}{4}+\frac{\alpha}{4}-\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{4}=\frac{3\pi-2\pi}{4}=\frac{\pi}{4}\)
চতুর্থ ও প্রথম রেখার মধ্যবর্তী কোণ,\(=\pi-\frac{3\pi}{4}=\frac{4\pi-3\pi}{4}=\frac{\pi}{4}\)
\(\therefore \) রেখাগুলো একে অপরের সাথে সমভাবে নত।
( দেখানো হলো। )

ধরি,
\(ax^3+bx^2y+cxy^2+dy^3=0.......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখাগুলির দুইটি যারা পরস্পর লম্ব তাদের সমীকরণ,
\(x^2+kxy-y^2=0......(2)\)
ফলে, অপর সরলরেখাটির সমীকরণ হবে,
\(ax-dy=0......(3)\)
এখন, \(ax^3+bx^2y+cxy^2+dy^3\equiv{(x^2+kxy-y^2)(ax-dy)}.......(4)\)
\((4)\) এর উভয় পার্শ থেকে \(x^3, \ x^2y, \ xy^2, \ y^3\) এর সহগগুলো তুলুনা করেপাই,
\(b=ak-d, \ c=-a-dk\)
\(\Rightarrow b+d=ak, \ dk=-a-c\)
\(\Rightarrow k=\frac{b+d}{a}, \ k=\frac{-a-c}{d}\)
\(\Rightarrow \frac{b+d}{a}=\frac{-a-c}{d}\)
\(\Rightarrow bd+d^2=-a^2-ac\)
\(\therefore a^2+ac+bd+d^2=0\)
( দেখানো হলো। )
ধরি,
\(ax^3+bx^2y+cxy^2+dy^3=0.......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখাগুলির একটির সমীকরণ,
\(‍y=mx......(2)\) যা
\((1)\) নং সমীকরণকে সিদ্ধ করে।
\(\therefore ax^3+bx^2.mx+cx(mx)^2+d(mx)^3=0\)
\(\Rightarrow ax^3+bmx^3+cm^2x^3+dm^3x^3=0\)
\(\Rightarrow x^3(dm^3+cm^2+bm+a)=0\)
\(\Rightarrow dm^3+cm^2+bm+a=0, \ x^3\ne{0}\)
\(\therefore dm^3+cm^2+bm+a=0 ....(3)\) ইহা \(m\) এর ত্রিঘাত সমীকরণ, এখানে \(m\) এর তিনটি মান আছে। যা \((1)\) দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখা তিনটির ঢাল বুঝায়।
\(\therefore \) ঢালত্রয় হবে, \(m_{1}, \ m_{2}, \ m_{3}\)
যেহেতু সরলরেখ তিনটির মধ্যে দুইটি পরস্পর লম্ব,
\(m_{1}m_{2}=-1\)
আবার, \((3)\) নং সমীকরণের মূলতিন্টির গুণফল,
\(m_{1}m_{2}m_{3}=-\frac{a}{d}\)
\(\Rightarrow (-1)m_{3}=-\frac{a}{d}\)
\(\therefore m_{3}=\frac{a}{d}\)
যেহেতু \(m_{3}, \ (3)\) নং সমীকরণের একটি মূল।
\(\therefore d\left(\frac{a}{d}\right)^3+c\left(\frac{a}{d}\right)^2+b\left(\frac{a}{d}\right)+a=0\)
\(\Rightarrow d\frac{a^3}{d^3}+c\frac{a^2}{d^2}+\frac{ab}{d}+a=0\)
\(\Rightarrow \frac{a^3}{d^2}+\frac{a^2c}{d^2}+\frac{ab}{d}+a=0\)
\(\Rightarrow \frac{a}{d^2}(a^2+ac+bd+d^2)=0\)
\(\therefore a^2+ac+bd+d^2=0, \ \frac{a}{d^2}\ne{0}\)
\(\therefore a^2+ac+bd+d^2=0\)
( দেখানো হলো। )

ধরি,
\(ax^4+bx^3y+cx^2y^2+dxy^3+ay^4=0.......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখাগুলির দুইটি সরলরেখার সমীকরণ,
\(lx^2+2hxy+my^2=0......(2)\)
\((2)\) নং এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক রেখাদ্বয়ের সমীকরণ হবে,
\(\frac{x^2-y^2}{l-m}=\frac{xy}{h}\)
\(\Rightarrow hx^2-hy^2=(l-m)xy\)
\(\therefore hx^2-(l-m)xy-hy^2=0......(3)\)
এখন, \(ax^4+bx^3y+cx^2y^2+dxy^3+ay^4\equiv{(lx^2+2hxy+my^2)\{hx^2-(l-m)xy-hy^2\}}.......(4)\)
\((4)\) এর উভয় পার্শ থেকে \(x^4, \ x^3y, \ x^2y^2, \ xy^3, \ y^4\) এর সহগগুলো তুলুনা করেপাই,
\(a=lh, \ b=-l(l-m)+2h^2, \ c=-lh-2h(l-m)+mh, \ d=-2h^2-m(l-m), \ a=-hm\)
\(\Rightarrow lh=-hm, \ b=-l(l-m)+2h^2, \ c=-lh-2h(l-m)+mh, \ d=-2h^2-m(l-m)\)
\(\Rightarrow l=-m, \ b=-l(l-m)+2h^2, \ c=-lh-2h(l-m)+mh, \ d=-2h^2-m(l-m)\)
\(\Rightarrow b=-(-m)(-m-m)+2h^2, \ c=-(-m)h-2h(-m-m)+mh, \ d=-2h^2-m(-m-m)\)
\(\Rightarrow b=-m^3+2h^2, \ c=mh+4hm+mh, \ d=-2h^2+m^3\)
\(\Rightarrow c=6mh, \ b+d=-m^3+2h^2-2h^2+m^3\)
\(\Rightarrow c=-6(-hm), \ b+d=0\)
\(\Rightarrow c=-6a, \ b+d=0\)
\(\therefore c+6a=0, \ b+d=0\)
( প্রমাণিত )

ধরি,
\(ax^2+2hxy+by^2=\left\{(a+b)\sin^2{\theta}+\sqrt{h^2-ab}\sin{2\theta}\right\}\)\((x^2+y^2)...(1)\)
\(ax^2+2hxy+by^2=0 ........(2)\)
এবং \((a+b)\sin^2{\theta}+\sqrt{h^2-ab}\sin{2\theta}=\lambda\)
ফলে, \((1)\) নং সমীকরণটি হবে,
\(ax^2+2hxy+by^2=\lambda(x^2+y^2)\)
\(\Rightarrow (a-\lambda)x^2+2hxy+(b-\lambda)y^2=0 ......(3)\)
যা \(x, \ y\) এর সমমাত্রিক দ্বিঘাত সমীকরণ,
\((3)\) এর রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক রেখার সমীকরণ,
\(\frac{x^2-y^2}{(a-\lambda)-(b-\lambda)}=\frac{xy}{h}\) ➜Note \(\because ax^2+2hxy+by^2=0\) এর রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক রেখার সমীকরণ,
\(\frac{x^2-y^2}{a-b}=\frac{xy}{h}\)

\(\Rightarrow \frac{x^2-y^2}{a-\lambda-b+\lambda}=\frac{xy}{h}\)
\(\therefore \frac{x^2-y^2}{a-b}=\frac{xy}{h}\)
যা \((2)\) নং সমীকরণের রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক রেখার সমীকরণের সাথে মিলে যায়।
আবার,
মনে করি, \((2)\) এর রেখা দুইটি \(x\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে যথাক্রমে \(\alpha\) ও \(\beta\) কোণ উৎপন্ন করে। এবং \(\beta>\alpha\).
রেখা দুইটির সমীকরণ হবে, \(y-x\tan{\alpha}=0 .....(4)\)
এবং \(y-x\tan{\beta}=0.....(5)\)
যেখানে, \(\tan{\alpha}+\tan{\beta}=-\frac{2h}{b}\)
এবং \(\tan{\alpha}\tan{\beta}=\frac{a}{b}\)
\((4)\) ও \((5)\) রেখাদ্বয়ের সাথে \(\theta\) কোণে নত এবং মূলবিন্দুগামী রেখাদ্বয়ের সমীকরণ হবে, \(y-x\tan{(\alpha+\theta)}=0 .....(6)\)
এবং \(y-x\tan{(\beta-\theta)}=0.....(7)\)
\((6)\times(7)\) এর সাহায্যে,
\(\{y-x\tan{(\alpha+\theta)}\}\{y-x\tan{(\beta-\theta)}\}=0\)
\(\Rightarrow y^2-xy\{\tan{(\alpha+\theta)}+\tan{(\beta-\theta)}\}+x^2\tan{(\alpha+\theta)}\tan{(\beta-\theta)}=0\)
\(\Rightarrow y^2-xy\{\frac{\tan{\alpha}+\tan{\theta}}{1-\tan{\alpha}\tan{\theta}}+\frac{\tan{\beta}-\tan{\theta}}{1+\tan{\beta}\tan{\theta}}\}+x^2\frac{\tan{\alpha}+\tan{\theta}}{1-\tan{\alpha}\tan{\theta}}\times{\frac{\tan{\beta}-\tan{\theta}}{1+\tan{\beta}\tan{\theta}}}=0\) ➜Note \(\because \tan{(A+B)}=\frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}\)
\(\tan{(A-B)}=\frac{\tan{A}-\tan{B}}{1+\tan{A}\tan{B}}\)

\(\Rightarrow y^2(1-\tan{\alpha}\tan{\theta})(1+\tan{\beta}\tan{\theta})-xy\{(\tan{\alpha}+\tan{\theta})(1+\tan{\beta}\tan{\theta})+(\tan{\beta}-\tan{\theta})(1-\tan{\alpha}\tan{\theta})\}+x^2(\tan{\alpha}+\tan{\theta})(\tan{\beta}-\tan{\theta})=0\)
\(\Rightarrow y^2\{1-(\tan{\alpha}-\tan{\beta})\tan{\theta}-\tan{\alpha}\tan{\beta}\tan^2{\theta}\}-xy\{(\tan{\alpha}+\tan{\beta})(1+\tan^2{\theta})\}+x^2\{\tan{\alpha}\tan{\beta}-(\tan{\alpha}-\tan{\beta})\tan{\theta}-\tan^2{\theta}\}=0\)
\(\Rightarrow y^2\{1-\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{b}\tan{\theta}-\frac{a}{b}\tan^2{\theta}\}+\frac{2hxy}{b}(1+\tan^2{\theta})+x^2\{\frac{a}{b}-\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{b}\tan{\theta}-\tan^2{\theta}\}=0\) ➜Note \(\because \tan{\alpha}+\tan{\beta}=-\frac{2h}{b}\)
\(\tan{\alpha}\tan{\beta}=\frac{a}{b}\)
\(\therefore \tan{\alpha}-\tan{\beta}=\sqrt{(\tan{\alpha}-\tan{\beta})^2-4\tan{\alpha}\tan{\beta}}\)
\(=\sqrt{\left(-\frac{2h}{b}\right)^2-4\frac{a}{b}}\)
\(=\sqrt{\frac{4h^2}{b^2}-\frac{4a}{b}}\)
\(=\sqrt{\frac{4h^2-4ab}{b^2}}\)
\(=\frac{\sqrt{4h^2-4ab}}{b}\)
\(=\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{b}\)

\(\Rightarrow y^2(b-2\sqrt{h^2-ab}\tan{\theta}-a\tan^2{\theta})+2hxy(1+\tan^2{\theta})+x^2(a-2\sqrt{h^2-ab}\tan{\theta}-b\tan^2{\theta})=0\)
\(\Rightarrow y^2(b\cos^2{\theta}-\sqrt{h^2-ab}2\sin{\theta}\cos{\theta}-a\sin^2{\theta})+2hxy(\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta})+x^2(a\cos^2{\theta}-\sqrt{h^2-ab}2\sin{\theta}\cos{\theta}-b\sin^2{\theta})=0\) ➜Noteউভয় পার্শে \(\cos^2{\theta}\) গুণ করে।
\(\Rightarrow y^2(b\cos^2{\theta}-\sqrt{h^2-ab}\sin{2\theta}-a\sin^2{\theta})+2hxy+x^2(a\cos^2{\theta}-\sqrt{h^2-ab}\sin{2\theta}-b\sin^2{\theta})=0\) ➜Note\(\therefore 2\sin{A}\cos{A}=\sin{2A}\)
\(\Rightarrow y^2(b-b\sin^2{\theta}-\sqrt{h^2-ab}\sin{2\theta}-a\sin^2{\theta})+2hxy+x^2(a-a\sin^2{\theta}-\sqrt{h^2-ab}\sin{2\theta}-b\sin^2{\theta})=0\)
\(\Rightarrow ax^2+2hxy+by^2-(b\sin^2{\theta}+\sqrt{h^2-ab}\sin{2\theta}+a\sin^2{\theta})y^2-(a\sin^2{\theta}+\sqrt{h^2-ab}\sin{2\theta}+b\sin^2{\theta})x^2=0\)
\(\Rightarrow ax^2+2hxy+by^2-(b\sin^2{\theta}+\sqrt{h^2-ab}\sin{2\theta}+a\sin^2{\theta})(x^2+y^2)=0\)
\(\Rightarrow ax^2+2hxy+by^2-\{(a+b)\sin^2{\theta}+\sqrt{h^2-ab}\sin{2\theta}\}(x^2+y^2)=0\)
\(\therefore ax^2+2hxy+by^2=\{(a+b)\sin^2{\theta}+\sqrt{h^2-ab}\sin{2\theta}\}(x^2+y^2)\)
( প্রমাণিত )

মনে করি,
\(x^2-2axy-y^2=0......(1)\)
\(x^2-2bxy-y^2=0......(2)\)
\((1)\) নং সমীকরণের ক্ষেত্রে,
\(A=1, \ H=-a, \ B=-1\)
এখন, \((1)\) নং সরলরেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক রেখা দুইটির সমীকরণ,
\(\frac{x^2-y^2}{1-(-1)}=\frac{xy}{-a}\) ➜Note \(\because Ax^2+2Hxy+By^2=0\) সরলরেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক রেখা দুইটির সমীকরণ,
\(\frac{x^2-y^2}{A-B}=\frac{xy}{H}\)

\(\Rightarrow \frac{x^2-y^2}{1+1}=\frac{xy}{-a}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2-y^2}{2}=\frac{xy}{-a}\)
\(\Rightarrow 2xy=-ax^2+ay^2\)
\(\Rightarrow ax^2+2xy-ay^2=0\)
\(\therefore x^2+2\frac{1}{a}xy-y^2=0 .....(3)\)
শর্ত মতে, \((2)\) ও \((3)\) অভিন্ন সমীকরণ, \(xy\) এর সহগ সমীকৃত করে।
\(2\frac{1}{a}=-2b\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a}=-b\)
\(\therefore ab=-1\)
( প্রমাণিত )

মনে করি,
\((Ax+By)^2-3(Ay-Bx)^2=0......(1)\)
\(Ax+By+C=0......(2)\)
\((1)\) নং সমীকরণ হতে,
\((Ax+By)^2-\{\sqrt{3}(Ay-Bx)\}^2=0\)
\(\Rightarrow \{(Ax+By)+\sqrt{3}(Ay-Bx)\}\{(Ax+By)-\sqrt{3}(Ay-Bx)\}=0\)
\(\Rightarrow (Ax+By)+\sqrt{3}(Ay-Bx)=0, \ (Ax+By)-\sqrt{3}(Ay-Bx)=0\)
\(\Rightarrow (A-\sqrt{3}B)x+(B+\sqrt{3}A)y=0, \ (A+\sqrt{3}B)x+(B-\sqrt{3}A)y=0\)
\((A-\sqrt{3}B)x+(B+\sqrt{3}A)y=0......(3)\)
\((A+\sqrt{3}B)x+(B-\sqrt{3}A)y=0......(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) এর ছেদবিন্দু হলো মূলবিন্দু যা ত্রিভুজটির একটি শীর্ষবিন্দু।
\((2)\) ও \((3)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণ,
\(=\tan^{-1}{\left\{\pm{\frac{(A-\sqrt{3}B)B-A(B+\sqrt{3}A)}{A(A-\sqrt{3}B)+B(B+\sqrt{3}A)}}\right\}}\)➜Note \(\because a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0\)
এবং \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0\) সরলরেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত সুক্ষ্ণকোণ,
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}}{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}}\right)}\)

\(=\tan^{-1}{\left\{\pm{\frac{AB-\sqrt{3}B^2-AB-\sqrt{3}A^2}{A^2-\sqrt{3}AB+B^2+\sqrt{3}AB}}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\pm{\frac{-\sqrt{3}(A^2+B^2)}{A^2+B^2}}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\{\pm{(-\sqrt{3})}\}}\)
\(=\tan^{-1}{(\sqrt{3})}\)
\(=\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{3}}}\)
\(=\frac{\pi}{3}\)
আবার,
\((2)\) ও \((4)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণ,
\(=\tan^{-1}{\left\{\pm{\frac{(A+\sqrt{3}B)B-A(B-\sqrt{3}A)}{A(A+\sqrt{3}B)+B(B-\sqrt{3}A)}}\right\}}\) ➜Note \(\because a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0\)
এবং \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0\) সরলরেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত সুক্ষ্ণকোণ,
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}}{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}}\right)}\)

\(=\tan^{-1}{\left\{\pm{\frac{AB+\sqrt{3}B^2-AB+\sqrt{3}A^2}{A^2+\sqrt{3}AB+B^2-\sqrt{3}AB}}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\pm{\frac{\sqrt{3}(A^2+B^2)}{A^2+B^2}}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\{\pm{(\sqrt{3})}\}}\)
\(=\tan^{-1}{(\sqrt{3})}\)
\(=\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{3}}}\)
\(=\frac{\pi}{3}\)
\(\because \) ত্রিভুজটির দুইটি কোণের প্রত্যেক্যে \(\frac{\pi}{3}\)
\(\therefore \) ত্রিভুজটি সমবাহু।
এখন, ত্রিভুজটির শির্ষ মূলবিন্দু হতে \((2)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2}}\)➜Note
\(Ax+By+C=0......(2)\)
মূলবিন্দু হতে \((2)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব,
\(OR=\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2}}\)

ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য,
\(=\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2}} \ cosec \ \left(\frac{\pi}{3}\right)\) ➜Note
\(OR=\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2}}\)
\(PQ=OP=OR\times{\frac{OP}{OR}}\)
\(=\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2}}\times{ \ cosec \ \left(\frac{\pi}{3}\right)}\)
\(=\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2}}\times{\frac{2}{\sqrt{3}}}\)
\(=\frac{2C}{\sqrt{3}\sqrt{A^2+B^2}}\)

\(=\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2}}\times\frac{2}{\sqrt{3}}\)
\(=\frac{2C}{\sqrt{3}\sqrt{A^2+B^2}}\)
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল,
\(=\frac{1}{2}\times{\frac{2C}{\sqrt{3}\sqrt{A^2+B^2}}}\times{\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2}}}\)
\(=\frac{C^2}{\sqrt{3}(A^2+B^2)}\)
( প্রমাণিত )

মনে করি,
\(12x^2-10xy+2y^2+11x-5y+2=0......(1)\)
এখানে, \(a=12, \ 2h=-10, \ b=2, \ 2g=11, \ 2f=-5, \ c=2\) ➜Note \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=12, \ h=-5, \ b=2, \ g=\frac{11}{2}, \ f=-\frac{5}{2}, \ c=2\)
এখন, \(\Delta=abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2\)
\(=12\times{2}\times{2}+2\times{-\frac{5}{2}}\times{\frac{11}{2}}\times{-5}-12\left(-\frac{5}{2}\right)^2-2\left(\frac{11}{2}\right)^2-2(-5)^2\)
\(=48+\frac{275}{2}-75-\frac{121}{2}-50\)
\(=\frac{275-121}{2}-77\)
\(=\frac{154}{2}-77\)
\(=77-77\)
\(=0\)
\(\therefore \) সমীকরণটি একজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করে।
ধরি,
\(F(x,y)\equiv{12x^2-10xy+2y^2+11x-5y+2}=0\)
\(\Rightarrow \frac{\partial{F}}{\partial{x}}=24x-10y+0+11-0+0=0\)
\(\therefore 24x-10y+11=0 ......(2)\)
আবার,
\(\Rightarrow \frac{\partial{F}}{\partial{y}}=0-10x+4y+0-5+0=0\)
\(\Rightarrow -10x+4y-5=0\)
\(\therefore 10x-4y+5=0 ......(3)\)
\((2)\) ও \((3)\) বজ্রগুণ করে।
\(\frac{x}{-50+44}=\frac{y}{110-120}=\frac{1}{-96+100}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-6}=\frac{y}{-10}=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-6}=\frac{1}{4}, \ \frac{y}{-10}=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-6}{4}, \ y=\frac{-10}{4}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{3}{2}, \ y=-\frac{5}{2}\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \(\left(-\frac{3}{2}, -\frac{5}{2}\right)\)
রেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণ \(\theta\) এর জন্য।
\(\theta=\tan^{-1}{\left(\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\right)}\) ➜Note \(\because ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) রেখা দুইটির মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) হলে,
\(\theta=\tan^{-1}{\left(\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\right)}\)

\(=\tan^{-1}{\left(\pm{\frac{2\sqrt{(-5)^2-12\times{2}}}{12+2}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\pm{\frac{2\sqrt{25-24}}{14}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\pm{\frac{\sqrt{1}}{7}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\pm{\frac{1}{7}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{1}{7}\right)}\) সুক্ষ্ণকোণ \(\theta\) এর জন্য।
রেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\left(y+\frac{5}{2}\right)^2}{12-2}=\frac{\left(x+\frac{3}{2}\right)\left(y+\frac{5}{2}\right)}{-5}\) ➜Note \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) সরলরেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু \((x_{1}, y_{1})\) হলে,
রেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{(x-x_{1})^2-(y-y_{1})^2}{a-b}=\frac{(x-x_{1})(y-y_{1})}{h}\)

\(\Rightarrow \frac{\frac{(2x+3)^2}{4}-\frac{(2y+5)^2}{4}}{10}=\frac{\frac{2x+3}{2}\times{\frac{2y+5}{2}}}{-5}\)
\(\Rightarrow \frac{(2x+3)^2-(2y+5)^2}{2\times{4}}=-\frac{(2x+3)(2y+5)}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{4x^2+12x+9-4y^2-20y-25}{2}=-(4xy+10x+6y+15)\)
\(\Rightarrow 4x^2-4y^2+12x-20y-16=-8xy-20x-12y-30\)
\(\Rightarrow 2(2x^2+4xy-2y^2+16x-4y+7)=0\)
\(\therefore 2x^2+4xy-2y^2+16x-4y+7=0\)
নির্ণেয় সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ।

মনে করি,
\(\lambda{x^2}+4xy+y^2-4x-2y-3=0......(1)\)
এখানে, \(a=\lambda, \ 2h=4, \ b=1, \ 2g=-4, \ 2f=-2, \ c=-3\) ➜Note \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=\lambda, \ h=2, \ b=1, \ g=-2, \ f=-1, \ c=-3\)
শর্তমতে, \(\Delta=abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2=0\)
\(\Rightarrow \lambda\times{1}\times{-3}+2\times{-1}\times{-2}\times{2}-\lambda (-1)^2-1(-2)^2-(-3)(2)^2=0\)
\(\Rightarrow -3\lambda+8-\lambda-4+12=0\)
\(\Rightarrow -4\lambda+16=0\)
\(\Rightarrow -4\lambda=-16\)
\(\therefore \lambda=4\)
ইহাই নির্ণেয় মান।

মনে করি,
\(x^2+6xy+9y^2+4x+12y-5=0......(1)\)
এখানে, \(a=1, \ 2h=6, \ b=9, \ 2g=4, \ 2f=12, \ c=-5\) ➜Note \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=1, \ h=3, \ b=9, \ g=2, \ f=6, \ c=-5\)
এখন, \(\frac{a}{h}=\frac{1}{3}\)
\(\frac{h}{b}=\frac{3}{9}\)
\(=\frac{1}{3}\)
\(\frac{g}{f}=\frac{2}{6}\)
\(=\frac{1}{3}\)
\(\therefore \frac{a}{h}=\frac{h}{b}=\frac{g}{f}\)
\(\therefore (1)\) নং সমীকরণটি একজোড়া সমান্তরাল সরলরেখা প্রকাশ করে।
দেখানো হলো।

মনে করি, সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণটি
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0 .......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল হবে যদি \(\theta=0^{o}\) হয়।
\(\therefore 0^{o}=\tan^{-1}{\left(\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\right)}\) ➜Note \(\because ax^2+2hxy+by^2=0\) রেখা দুইটির মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) হলে,
\(\theta=\tan^{-1}{\left(\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\right)}\)

\(\Rightarrow \tan{0^{o}}=\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\)
\(\Rightarrow 0=\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{h^2-ab}=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{h^2-ab}=0\)
\(\Rightarrow h^2-ab=0\) ➜ Note উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\therefore h^2=ab \Rightarrow h=\sqrt{ab}\)
যেহেতু সমীকরণটি একজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করে,
\(\triangle\equiv{abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2}=0\)
\(\Rightarrow abc-ch^2+2fgh-af^2-bg^2=0\)
\(\Rightarrow c(ab-h^2)+2fgh-af^2-bg^2=0\)
\(\Rightarrow c(ab-ab)+2fgh-af^2-bg^2=0\)
\(\Rightarrow c(0)+2fgh-af^2-bg^2=0\)
\(\Rightarrow 2fgh-af^2-bg^2=0\)
\(\Rightarrow -(af^2-2fgh+bg^2)=0\)
\(\Rightarrow af^2-2fg\sqrt{ab}+bg^2=0\) ➜ Note \(\because h^2=ab \)
\(\Rightarrow h=\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow (\sqrt{a}f)^2-2\sqrt{a}f.\sqrt{b}g+(\sqrt{b}g)^2=0\)
\(\Rightarrow (\sqrt{a}f-\sqrt{b}g)^2=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{a}f-\sqrt{b}g=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{a}f=\sqrt{b}g\)
\(\therefore \frac{g}{f}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
\(=\frac{\sqrt{a}\sqrt{a}}{\sqrt{a}\sqrt{b}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{ab}}\)
\(=\frac{a}{h}\) ➜ Note \(\because h^2=ab \)
\(\Rightarrow h=\sqrt{ab}\)

আবার,
\(\frac{g}{f}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
\(=\frac{\sqrt{a}\sqrt{b}}{\sqrt{b}\sqrt{b}}\)
\(=\frac{\sqrt{ab}}{b}\)
\(=\frac{h}{b}\) ➜ Note \(\because h^2=ab \)
\(\Rightarrow h=\sqrt{ab}\)

\(\therefore \frac{a}{h}=\frac{h}{b}=\frac{g}{f}\)
( প্রমাণিত )
আবার,
\((i)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সমান্তরাল রেখাদ্বয়
\(lx+my+n_{1}=0 .....(2)\)
\(lx+my+n_{2}=0 .....(3)\)
\((2)\times{(3)}\) এর সাহায্যে,
\((lx+my+n_{1})(lx+my+n_{2})=0\)
\(\Rightarrow l^2x^2+2lmxy+m^2y^2+l(n_{2}+n_{1})x+m(n_{2}+n_{1})y+n_{1}n_{2}=0 ....(4)\) ➜ Note সাধারণ গুণ প্রক্রিয়া ব্যবহারে ইহা সম্ভব। যা ব্যাপক সময়বহুল। কিন্তু গণিতে সম্মান শ্রেণীর শিক্ষার্থী হিসাবে শটকাট পদ্ধতিতে গুণ করা বাঞ্ছনীয়। এখানে \(x^2, \ y^2, \ xy, \ x, \ y\) সম্বলিত এবং ধ্রুবক রাশি পৃথক করা হয়েছে।

\((1)\) ও \((4)\) অভিন্ন সমীকরণ,
সহগগুলি সমীকৃত করে,
\(l^2=a\)
\(m^2=b\)
\(2lm=2h\)
\(l(n_{2}+n_{1})=2g \Rightarrow n_{1}+n_{2}=\frac{2g}{l}\)
\(m(n_{2}+n_{1})=2f\)
\(n_{1}n_{2}=c\)
\((2)\) ও \((3)\) সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব,
\(=\frac{|n_{1}-n_{2}|}{\sqrt{l^2+m^2}}\) ➜ Note \(\because ax+by+c_{1}=0 \)
এবং \(ax+by+c_{2}=0 \)
সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব,
\(=\frac{|c_{1}-c_{2}|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

\(=\frac{\sqrt{(n_{1}+n_{2})^2-4n_{1}n_{2}}}{\sqrt{l^2+m^2}}\)
\(=\frac{\sqrt{\left(\frac{2g}{l}\right)^2-4c}}{\sqrt{a+b}}\) ➜ Note \(\because n_{1}+n_{2}=\frac{2g}{l}, \ n_{1}n_{2}=c\)
এবং \(l^2=a, \ m^2=b\)

\(=\frac{\sqrt{\frac{4g^2}{l^2}-4c}}{\sqrt{a+b}}\)
\(=\frac{\sqrt{\frac{4g^2}{a}-4c}}{\sqrt{a+b}}\)
\(=\frac{\sqrt{\frac{4g^2-4ac}{a}}}{\sqrt{a+b}}\)
\(=\frac{\frac{\sqrt{4g^2-4ac}}{\sqrt{a}}}{\sqrt{a+b}}\)
\(=\frac{2\sqrt{g^2-ac}}{\sqrt{a}\sqrt{a+b}}\)
\(=2\sqrt{\frac{g^2-ac}{a(a+b)}}\)
দেখানো হলো।

\(kx+hy=2hk\)
\(\therefore \frac{kx+hy}{2hk}=1 .....(1)\)
আবার,
\((x-h)^2+(y-k)^2=c^2\)
\(\Rightarrow x^2-2hx+h^2+y^2-2ky+k^2-c^2=0\)
\(\therefore x^2+y^2-2(hx+ky)+(h^2+k^2-c^2)=0 ....(2)\)
\((1)\) এর সাহয্যে \((2)\) কে সমমাত্রিক দ্বিঘাত সমীকরণে পরিণত করি,
\((2)\) হতে,
\(x^2+y^2-2(hx+ky).1+(h^2+k^2-c^2).1^2=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2(hx+ky).\frac{kx+hy}{2hk}+(h^2+k^2-c^2).\left(\frac{kx+hy}{2hk}\right)^2=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-\frac{2(hx+ky)(kx+hy)}{2hk}+(h^2+k^2-c^2)\frac{(kx+hy)^2}{4h^2k^2}=0\)
\(\Rightarrow 4h^2k^2(x^2+y^2)-4hk(hx+ky)(kx+hy)+(h^2+k^2-c^2)(kx+hy)^2=0\) ➜ Note উভয় পার্শে \(4h^2k^2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 4h^2k^2(x^2+y^2)-4hk(hkx^2+h^2xy+k^2xy+hky^2)+(h^2+k^2-c^2)(k^2x^2+2hkxy+h^2y^2)=0\)
\(\Rightarrow 4h^2k^2(x^2+y^2)-4h^2k^2(x^2+y^2)-4hk(h^2+k^2)xy+(h^2+k^2-c^2)(k^2x^2+h^2y^2)+2hk(h^2+k^2-c^2)xy=0\)
\(\Rightarrow (h^2+k^2-c^2)(k^2x^2+h^2y^2)-4hk(h^2+k^2)xy+2hk(h^2+k^2-c^2)xy=0\)
\(\Rightarrow (h^2+k^2-c^2)(k^2x^2+h^2y^2)-2hk(2h^2+2k^2-h^2-k^2+c^2)xy=0\)
\(\therefore (h^2+k^2-c^2)(k^2x^2+h^2y^2)-2hk(h^2+k^2+c^2)xy=0 ......(3)\)
\((3)\) নং সমীকরণ মূলবিন্দুগামী দুইটি সরলরেখা প্রকাশ করে। যা \((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী। এই রেখা দুইটি পরস্পর লম্ব হবে যদি \(x^2\) ও \(y^2\) এর সহগগুলোর যোগফল শুন্য হয়।
অর্থাৎ \(k^2(h^2+k^2-c^2)+h^2(h^2+k^2-c^2)=0\)
\(\Rightarrow (h^2+k^2-c^2)(k^2+h^2)=0\)
\(\Rightarrow h^2+k^2-c^2=0, \ \because k^2+h^2\ne{0}\)
\(\therefore h^2+k^2-c^2=0\)
( প্রমাণিত )

মনে করি,
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0 .......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত রেখাদ্বয়
\(l_{1}x+m_{1}y+n_{1}=0 .....(2)\)
\(l_{2}x+m_{2}y+n_{2}=0 .....(3)\)
\((2)\times{(3)}\) এর সাহায্যে,
\((l_{1}x+m_{1}y+n_{1})(l_{2}x+m_{2}y+n_{2})=0\)
\(\Rightarrow l_{1}l_{2}x^2+(l_{1}m_{2}+l_{2}m_{1})xy+m_{1}m_{2}y^2+(l_{1}n_{2}+l_{2}n_{1})x+(m_{1}n_{2}+m_{2}n_{1})y+n_{1}n_{2}=0 ....(4)\) ➜ Note সাধারণ গুণ প্রক্রিয়া ব্যবহারে ইহা সম্ভব। যা ব্যাপক সময়বহুল। কিন্তু গণিতে সম্মান শ্রেণীর শিক্ষার্থী হিসাবে শটকাট পদ্ধতিতে গুণ করা বাঞ্ছনীয়। এখানে \(x^2, \ y^2, \ xy, \ x, \ y\) সম্বলিত এবং ধ্রুবক রাশি পৃথক করা হয়েছে।

\((1)\) ও \((4)\) অভিন্ন সমীকরণ,
সহগগুলি সমীকৃত করে,
\(l_{1}l_{2}=a\)
\(m_{1}m_{2}=b\)
\(l_{1}m_{2}+l_{2}m_{1}=2h\)
\(l_{1}n_{2}+l_{2}n_{1}=2g\)
\(m_{1}n_{2}+m_{2}n_{1}=2f\)
\(n_{1}n_{2}=c\)
\((2)\) ও \((3)\) রেখা দুইটি মূলবিন্দু হতে সমদুরবর্তী হলে,
\(\frac{|n_{1}|}{\sqrt{l_{1}^2+m_{1}^2}}=\frac{|n_{2}|}{\sqrt{l_{2}^2+m_{2}^2}}\) ➜ Note মূলবিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) সরলরেখার লম্ব দূরত্ব,
\(\frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

\(\Rightarrow \frac{n_{1}^2}{l_{1}^2+m_{1}^2}=\frac{n_{2}^2}{l_{2}^2+m_{2}^2}\) ➜ Note উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow n_{1}^2(l_{2}^2+m_{2}^2)=n_{2}^2(l_{1}^2+m_{1}^2)\)
\(\Rightarrow l_{2}^2n_{1}^2+m_{2}^2n_{1}^2=l_{1}^2n_{2}^2+m_{1}^2n_{2}^2\)
\(\Rightarrow l_{2}^2n_{1}^2-l_{1}^2n_{2}^2=m_{1}^2n_{2}^2-m_{2}^2n_{1}^2\)
\(\Rightarrow (l_{2}n_{1})^2-(l_{1}n_{2})^2=(m_{1}n_{2})^2-(m_{2}n_{1})^2\)
\(\Rightarrow (l_{2}n_{1}+l_{1}n_{2})(l_{2}n_{1}-l_{1}n_{2})=(m_{1}n_{2}+m_{2}n_{1})(m_{1}n_{2}-m_{2}n_{1})\)
\(\Rightarrow (l_{1}n_{2}+l_{2}n_{1})^2(l_{2}n_{1}-l_{1}n_{2})^2=(m_{1}n_{2}+m_{2}n_{1})^2(m_{1}n_{2}-m_{2}n_{1})^2\) ➜ Note উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (l_{1}n_{2}+l_{2}n_{1})^2\{(l_{1}n_{2}+l_{2}n_{1})^2-4l_{1}l_{2}n_{1}n_{2}\}=(m_{1}n_{2}+m_{2}n_{1})^2\{(m_{1}n_{2}+m_{2}n_{1})^2-4m_{1}m_{2}n_{1}n_{2}\}\)
\(\Rightarrow (2g)^2\{(2g)^2-4ac\}=(2f)^2\{(2f)^2-4bc\}\) ➜ Note \(\because l_{1}l_{2}=a\)
\(m_{1}m_{2}=b\)
\(l_{1}n_{2}+l_{2}n_{1}=2g\)
\(m_{1}n_{2}+m_{2}n_{1}=2f\)

\(\Rightarrow 4g^2(4g^2-4ac)=4f^2(4f^2-4bc)\)
\(\Rightarrow 16g^2(g^2-ac)=16f^2(f^2-bc)\)
\(\Rightarrow g^2(g^2-ac)=f^2(f^2-bc)\)
\(\Rightarrow g^4-g^2ac=f^4-f^2bc\)
\(\Rightarrow g^4-f^4=g^2ac-f^2bc\)
\(\Rightarrow -(f^4-g^4)=-c(bf^2-ag^2)\)
\(\therefore f^4-g^4=c(bf^2-ag^2)\)
( প্রমাণিত )

মনে করি,
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0 .......(1)\)
ধরি, \((i)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু \((\alpha, \beta)\)
\(\therefore (\alpha, \beta)\Rightarrow \left(\frac{hf-bg}{ab-h^2}, \frac{hg-af}{ab-h^2}\right)\) ➜ Note \(\because ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত
রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু \(\left(\frac{hf-bg}{ab-h^2}, \frac{hg-af}{ab-h^2}\right)\)

\(\Rightarrow \alpha=\frac{hf-bg}{ab-h^2}, \ \beta=\frac{hg-af}{ab-h^2}\)
এখন, \((i)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{(x-\alpha)^2-(y-\beta)^2}{a-b}=\frac{(x-\alpha)(y-\beta)}{h} ......(2)\)
\((2)\) নং রেখাদ্বয় যখন \(x\) অক্ষকে ছেদ করে তখন \(y=0\)
\((2)\) হতে,
\(\frac{(x-\alpha)^2-(0-\beta)^2}{a-b}=\frac{(x-\alpha)(0-\beta)}{h}\)
\(\Rightarrow \frac{(x-\alpha)^2-\beta^2}{a-b}=-\frac{\beta(x-\alpha)}{h}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2-2\alpha x+\alpha^2-\beta^2}{a-b}=-\frac{\beta(x-\alpha)}{h}\)
\(\Rightarrow hx^2-2h\alpha x+h(\alpha^2-\beta^2)=-\beta(a-b)(x-\alpha)\)
\(\Rightarrow hx^2-2h\alpha x+h(\alpha^2-\beta^2)=-\beta(a-b)x+\alpha\beta(a-b)\)
\(\Rightarrow hx^2-2h\alpha x+\beta(a-b)x+h(\alpha^2-\beta^2)-\alpha\beta(a-b)=0\)
\(\therefore hx^2-\{2h\alpha-\beta(a-b)\}x+\{h(\alpha^2-\beta^2)-\alpha\beta(a-b)\}=0 ......(3)\)
\((3)\) নং \(x\) এর দ্বিঘাত সমীকরণ,
এখানে, \(x\) এর দুইটি মান আছে, মানদ্বয় \(x_{1}\) ও \(x_{2}\) হলে,
\(x_{1}+x_{2}=\frac{2h\alpha-\beta(a-b)}{h}, \ x_{1}x_{2}=\frac{h(\alpha^2-\beta^2)-\alpha\beta(a-b)}{h}\) ➜ Note \(\because ax+by+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha, \beta\) হলে,
\(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\)
এবং \(\alpha\beta=\frac{c}{a}\)

এখন, \(x_{1}-x_{2}=\sqrt{(x_{1}+x_{2})^2-4x_{1}x_{2}}\)
\(=\sqrt{\left(\frac{2h\alpha-\beta(a-b)}{h}\right)^2-4\frac{h(\alpha^2-\beta^2)-\alpha\beta(a-b)}{h}}\)
\(=\sqrt{\frac{\{2h\alpha-\beta(a-b)\}^2}{h^2}-\frac{4h(\alpha^2-\beta^2)-4\alpha\beta(a-b)}{h}}\)
\(=\sqrt{\frac{\{2h\alpha-\beta(a-b)\}^2-4h^2(\alpha^2-\beta^2)+4h\alpha\beta(a-b)}{h^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{4h^2\alpha^2-4h\alpha\beta(a-b)+\beta^2(a-b)^2-4h^2(\alpha^2-\beta^2)+4h\alpha\beta(a-b)}{h^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{4h^2\alpha^2+\beta^2(a-b)^2-4h^2\alpha^2+4h^2\beta^2}{h^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{\beta^2(a-b)^2+4h^2\beta^2}{h^2}}\)
\(\therefore x_{1}-x_{2}=\sqrt{\frac{\beta^2(a-b)^2}{h^2}+4\beta^2} ......(4)\)
সমদ্বিখন্ডক রেখা দুইটি \(x\) অক্ষকে \(B(x_{1}, 0)\) ও \(C(x_{1}, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে। অতএব ত্রিভুজটির শীর্ষবিন্দুগুলো \(A(\alpha, \beta), \ B(x_{1}, 0)\) ও \(C(x_{1}, 0)\)।
\(A(\alpha, \beta)\) হতে ভূমি \(BC\) এর উপর লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\beta\)
\(\therefore ABC\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল,
\(=\frac{1}{2}\times{BC}\times{\beta}\)
\(=\frac{1}{2}\times{\sqrt{(x_{1}-x_{2})^2+(0-0)^2}}\times{\beta}\)
\(=\frac{1}{2}\times{\sqrt{(x_{1}-x_{2})^2}}\times{\beta}\)
\(=\frac{1}{2}\times{(x_{1}-x_{2})}\times{\beta}\)
\(=\frac{1}{2}\times{\sqrt{\frac{\beta^2(a-b)^2}{h^2}+4\beta^2}}\times{\beta}\)
\(=\frac{1}{2}\times{\sqrt{\frac{(a-b)^2+4h^2}{h^2}}}\times{\beta}\times{\beta}\)
\(=\frac{\sqrt{(a-b)^2+4h^2}}{2h}\times{\beta^2}\)
\(\therefore \triangle{ABC}=\frac{\sqrt{(a-b)^2+4h^2}}{2h}\times{\left(\frac{hg-af}{ab-h^2}\right)^2} .......(5)\)
এখন, \((i)\) নং সমীকরণের একজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করার শর্ত,
\(\Delta\equiv{abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2}=0\)
\(\Rightarrow abc-ch^2=af^2-2fgh+bg^2\)
\(\Rightarrow a^2bc-ach^2=a^2f^2-2afgh+abg^2\) ➜ Note উভয় পার্শে \(a\) গুণ করে।
\(\Rightarrow (ab-h^2)ca=a^2f^2-2afgh+g^2h^2-g^2h^2+abg^2\)
\(\Rightarrow (ab-h^2)ca=(af-gh)^2+g^2(ab-h^2)\)
\(\Rightarrow (ab-h^2)ca-g^2(ab-h^2)=(af-gh)^2\)
\(\Rightarrow (ab-h^2)(ca-g^2)=(af-gh)^2\)
\(\Rightarrow (ca-g^2)=\frac{(af-gh)^2}{(ab-h^2)}\)
\(\Rightarrow \frac{ca-g^2}{ab-h^2}=\frac{(af-gh)^2}{(ab-h^2)^2}\)
\(\Rightarrow \frac{ca-g^2}{ab-h^2}=\left(\frac{af-gh}{ab-h^2}\right)^2\)
\(\therefore \left(\frac{af-gh}{ab-h^2}\right)^2=\frac{ca-g^2}{ab-h^2}\)
এই মান \((5)\) নং এ বসিয়ে,
\(\triangle{ABC}=\frac{\sqrt{(a-b)^2+4h^2}}{2h}.\frac{ca-g^2}{ab-h^2}\)
( প্রমাণিত )

মনে করি,
\(\Rightarrow (ab-h^2)(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy)+af^2+bg^2-2fgh=0\)
\(\Rightarrow (ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy)+\frac{af^2+bg^2-2fgh}{(ab-h^2)}=0\) ➜ Note উভয় পার্শে \(ab-h^2\) ভাগ করে।
\(\therefore ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0 .......(1)\)
যেখানে, \(\frac{af^2+bg^2-2fgh}{(ab-h^2)}=c\)
\(\therefore (ab-h^2)c=af^2+bg^2-2fgh ......(2)\)
এবং \(ax^2+2hxy+by^2=0 ......(3)\)
\((1)\) নং সমীকরণ হতে,
\(\Delta\equiv{abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2}\)
\(=abc-ch^2+2fgh-af^2-bg^2\)
\(=(ab-h^2)c+2fgh-af^2-bg^2\)
\(=af^2+bg^2-2fgh+2fgh-af^2-bg^2\) ➜ Note \((2)\) এর সাহায্যে
\(=0\)
\(\therefore \Delta=0\)
\(\therefore (1)\) নং সমীকরণ একজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করে।
এবং এই সরলরেখাদ্বয় \((3)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত মূলবিন্দুগামী সরলরেখাদ্বয়ের সমান্তরাল। সুতরাং এই দুইজোড়া সরলরেখা একটি সামান্তরিক গঠন করে।
\((1)\) নং দ্বারা প্রকাশিত রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু \(\left(\frac{hf-bg}{ab-h^2}, \frac{gh-af}{ab-h^2}\right)\)
আবার, \((3)\) নং দ্বারা প্রকাশিত রেখাদ্বয় মূলবিন্দুগামী অর্থাৎ তাদের ছেদবিন্দু \((0, 0)\)
\(\therefore \) সামান্তরিকের একটি কর্ণের ঢাল \(m_{1}=\frac{\frac{gh-af}{ab-h^2}-0}{\frac{hf-bg}{ab-h^2}-0}\)
\(=\frac{\frac{gh-af}{ab-h^2}}{\frac{hf-bg}{ab-h^2}}\)
\(=\frac{gh-af}{ab-h^2}\times{\frac{ab-h^2}{hf-bg}}\)
\(=\frac{gh-af}{hf-bg}\)
আবার, \((1)-(3)\) এর সাহায্যে
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c-ax^2-2hxy-by^2=0\)
\(\therefore 2gx+2fy+c=0\) যা সামান্তরিকের অপর কর্ণের সমীকরণ।
এর ঢাল \(m_{2}=-\frac{2g}{2f}\)
\(=-\frac{g}{f}\)
এখন, সামান্তরিকটি একটি রম্বস হবে যদি কর্ণদ্বয় পরস্পর লম্ব হয়।
অর্থাৎ \(m_{1}m_{2}=-1\) হয়।
\(\Rightarrow \frac{gh-af}{hf-bg}\times{-\frac{g}{f}}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{g^2h-afg}{hf^2-bgf}=1\)
\(\Rightarrow hf^2-bgf=g^2h-afg\)
\(\Rightarrow afg-bgf=g^2h-hf^2\)
\(\Rightarrow (a-b)fg=-h(f^2-g^2)\)
\(\therefore (a-b)fg+h(f^2-g^2)=0\)
( প্রমাণিত )

মনে করি,
\(y^3-x^3+3xy(y-x)=0.......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত একটি সরলরেখার সমীকরণ,
\(y=x\tan{\theta}.......(2)\)
\(\therefore (2)\) নং সমীকরণ \((1)\) নং কে সিদ্ধ করবে।
\(x^3\tan^3{\theta}-x^3+3x.x\tan{\theta}(x\tan{\theta}-x)=0\)
\(\Rightarrow x^3\tan^3{\theta}-x^3+3x^3\tan{\theta}(\tan{\theta}-1)=0\)
\(\Rightarrow x^3(\tan^3{\theta}-1+3\tan^2{\theta}-3\tan{\theta})=0\)
\(\Rightarrow \tan^3{\theta}-1+3\tan^2{\theta}-3\tan{\theta}=0, \ x^3\ne{0}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin^3{\theta}}{\cos^3{\theta}}-1+3\frac{\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta}}-3\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}=0\)
\(\Rightarrow \sin^3{\theta}-\cos^3{\theta}+3\sin^2{\theta}\cos{\theta}-3\sin{\theta}\cos^2{\theta}=0\) ➜ Note উভয় পার্শে \(\cos^3{\theta}\) গুণ করে।
\(\Rightarrow \sin^3{\theta}-\cos^3{\theta}+3(1-\cos^2{\theta})\cos{\theta}-3\sin{\theta}(1-\sin^2{\theta})=0\)
\(\Rightarrow \sin^3{\theta}-\cos^3{\theta}+3\cos{\theta}-3\cos^3{\theta}-3\sin{\theta}-3\sin^3{\theta}=0\)
\(\Rightarrow -3\sin{\theta}+4\sin^3{\theta}-4\cos^3{\theta}+3\cos{\theta}=0\)
\(\Rightarrow -(3\sin{\theta}-4\sin^3{\theta})-(4\cos^3{\theta}-3\cos{\theta})=0\)
\(\Rightarrow -\sin{3\theta}-\cos{3\theta}=0\)
\(\Rightarrow -\sin{3\theta}=\cos{3\theta}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{3\theta}}{\cos{3\theta}}=-1\)
\(\Rightarrow \tan{3\theta}=\tan{\frac{3\pi}{4}}\)
\(\Rightarrow 3\theta=n\pi+\frac{3\pi}{4}\)
\(\therefore \theta=\frac{n\pi}{3}+\frac{\pi}{4}\)
\((1)\) নং সমীকরণ মূলবিন্দুগামী তিনটি সরলরেখা প্রকাশ করে।
\(\therefore \theta\) এর মান হবে তিনটি।
\(n=0, \ 1, \ 2\) এর জন্য,
\(\theta_{1}=\frac{0.\pi}{3}+\frac{\pi}{4}, \ \theta_{2}=\frac{1.\pi}{3}+\frac{\pi}{4}, \ \theta_{3}=\frac{2.\pi}{3}+\frac{\pi}{4}\)
\(\Rightarrow \theta_{1}=\frac{\pi}{4}, \ \theta_{2}=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}, \ \theta_{3}=\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{4}\)
\(\therefore \theta_{1}=\frac{\pi}{4}, \ \theta_{2}=\frac{7\pi}{12}, \ \theta_{3}=\frac{11\pi}{12}\)
\(\therefore \) সরলরেখা তিনটি \(x\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত যথাক্রমে \(\theta_{1}, \ \theta_{2}, \ \theta_{3}\) কোণ উৎপন্ন করে।
\(\therefore \) সরলরেখাগুলির মধ্যবর্তী কোণ হবে,
প্রথম ও দ্বিতীয় রেখার মধ্যবর্তী কোণ, \(\theta_{2}-\theta_{1}=\frac{7\pi}{12}-\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi-3\pi}{12}=\frac{4\pi}{12}=\frac{\pi}{3}\)
দ্বিতীয় ও তৃতীয় রেখার মধ্যবর্তী কোণ, \(\theta_{3}-\theta_{2}=\frac{11\pi}{12}-\frac{7\pi}{12}=\frac{11\pi-7\pi}{12}=\frac{4\pi}{12}=\frac{\pi}{3}\)
তৃতীয় ও প্রথম রেখার মধ্যবর্তী কোণ, \(=\pi-\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}=\frac{3\pi-\pi-\pi}{3}=\frac{\pi}{3}\)
অতএব সরলরেখাগুলি একে অপরের সহিত সমান কোণ উৎপন্ন করে।
( প্রমাণিত )

মনে করি,
\(ax^4+bx^3y+cx^2y^2+dxy^3+ey^4=0.......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত চারটি সরলরেখার পরস্পর লম্ব দুইটি সরলরেখার সমীকরণ,
\(x^2+\lambda{xy}-y^2=0.......(2)\)
এবং অপর দুইটি সরলরেখার সমীকরণ,
\(ax^2+kxy-ey^2=0.......(3)\)
\(\therefore (2)\) ও \((3)\) এর যৌথ সমীকরণ।
\((x^2+\lambda{xy}-y^2)(ax^2+kxy-ey^2)=0 .......(4)\)
\((1)\) ও \((4)\) অভিন্ন সমীকরণ তাই,
\(ax^4+bx^3y+cx^2y^2+dxy^3+ey^4=(x^2+\lambda{xy}-y^2)(ax^2+kxy-ey^2) .......(5)\)
\((5)\) এর উভয় পার্শ হতে \(x^3y, \ x^2y^2, \ xy^3\) এর সহগ সমীকৃত করে,
\(b=k+a\lambda.......(6)\)
\(c=-e-a+k\lambda ......(7)\)
\(d=-e\lambda-k ......(8)\)
এখন, \((6)+(8)\) এর সাহায্যে
\(b+d=k+a\lambda-e\lambda-k\)
\(\Rightarrow b+d=(a-e)\lambda\)
\(\Rightarrow (a-e)\lambda=b+d\)
\(\therefore \lambda=\frac{b+d}{a-e}\)
আবার, \((6)\times{e}+(8)\times{a}\) এর সাহায্যে
\(be+ad=ek+ae\lambda-ae\lambda-ak\)
\(\Rightarrow be+ad=ek-ak\)
\(\Rightarrow be+ad=(e-a)k\)
\(\Rightarrow (e-a)k=be+ad\)
\(\Rightarrow k=\frac{be+ad}{e-a}\)
\(\therefore k=-\frac{be+ad}{a-e}\)
এখন, \(\lambda\) ও \(k\) এর মান \((7)\) এ বসিয়ে,
\(c=-e-a+\left(-\frac{be+ad}{a-e}\right)\left(\frac{b+d}{a-e}\right)\)
\(\Rightarrow c+e+a=-\frac{(b+d)(be+ad)}{(a-e)^2}\)
\(\Rightarrow (a-e)^2(a+c+e)=-(b+d)(ad+be)\)
\(\therefore (b+d)(ad+be)+(a-e)^2(a+c+e)=0\)
( প্রমাণিত )

মনে করি,
\(7x^2+8xy-7y^2+6x-12y=0.......(1)\)
\(2x+y-1=0\)
\(\therefore 2x+y=1.......(2)\)
\((1)\) কে \((2)\) এর সাহায্যে সমমাত্রিক গঠন করে,
\(7x^2+8xy-7y^2+(6x-12y).1=0\)
\(\Rightarrow 7x^2+8xy-7y^2+(6x-12y).(2x+y)=0\)
\(\Rightarrow 7x^2+8xy-7y^2+12x^2-18xy-12y^2=0\)
\(\therefore 19x^2-10xy-19y^2=0\)
যা, \((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু ও মূলবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা।
এখানে, \(a=19, \ b=-19\)
\(\therefore a+b=19-19\)
\(\Rightarrow a+b=0\)
\(\therefore\) \((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু ও মূলবিন্দুর সংযোজক সরলরেখাদ্বয় পরস্পরের সহিত লম্ব।
( দেখানো হলো )

মনে করি,
\(x^2+y^2=a^2.......(1)\)
\(lx+my=1.......(2)\)
\((1)\) কে \((2)\) এর সাহায্যে সমমাত্রিক গঠন করে,
\(x^2+y^2=a^2.1^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=a^2(lx+my)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=a^2l^2x^2+2a^2lmxy+a^2m^2y^2\)
\(\Rightarrow a^2l^2x^2+2a^2lmxy+a^2m^2y^2=x^2+y^2\)
\(\Rightarrow a^2l^2x^2+2a^2lmxy+a^2m^2y^2-x^2-y^2=0\)
\(\therefore (a^2l^2-1)x^2+2a^2lmxy+(a^2m^2-1)y^2=0 .....(3)\)
যা, \((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু ও মূলবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা।
\((3)\) দ্বারা প্রকাশিত সরলবয়েদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ,
\(\tan{\theta}=\frac{2\sqrt{(a^2lm)^2-(a^2l^2-1)(a^2m^2-1)}}{a^2l^2-1+a^2m^2-1}\) ➜Note \(\because ax^2+2hxy+by^2=0\) রেখা দুইটির মধ্যবর্তী সূক্ষ্ণকোণ \(\theta\) হলে,
\(\tan{\theta}=\left(\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}\right)\)

\(=\frac{2\sqrt{a^4l^2m^2-a^4l^2m^2+a^2l^2+a^2m^2-1}}{a^2(l^2+m^2)-2}\)
\(=\frac{2\sqrt{a^2(l^2+m^2)-1}}{a^2(l^2+m^2)-2}\)
শর্তমতে, \(\theta=45^{o}\)
\(\therefore \frac{2\sqrt{a^2(l^2+m^2)-1}}{a^2(l^2+m^2)-2}=\tan{45^{o}}\)
\(\Rightarrow \frac{2\sqrt{a^2(l^2+m^2)-1}}{a^2(l^2+m^2)-2}=1\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{a^2(l^2+m^2)-1}=a^2(l^2+m^2)-2\)
\(\Rightarrow 4\{a^2(l^2+m^2)-1\}=\{a^2(l^2+m^2)-2\}^2\) ➜ Note উভয় পার্শে বর্গ করে।
( দেখানো হলো )

মনে করি,
\(axy+bx+cy+d=0.......(1)\)
এখানে, \(A=0, \ 2H=a, \ B=0, \ 2G=b, \ 2F=c, \ C=d\) ➜ Note \(Ax^2+2Hxy+By^2+2Gx+2Fy+C=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।

\(\therefore A=0, \ H=\frac{a}{2}, \ B=0, \ G=\frac{b}{2}, \ F=\frac{c}{2}, \ C=d\)
এখন, প্রদত্ত সমীকরণ একজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করবে যদি, \(\Delta= ABC+2FGH-AF^2-BG^2-CH^2=0\) হয়।
\(\Rightarrow 0.0.d+2\frac{c}{2}\times{\frac{b}{2}}\times{\frac{a}{2}}-0.\left(\frac{c}{2}\right)^2-0.\left(\frac{b}{2}\right)^2-d.\left(\frac{a}{2}\right)^2=0\)
\(\Rightarrow 0+\frac{abc}{4}-0-0-\frac{a^2d}{4}=0\)
\(\Rightarrow \frac{abc}{4}-\frac{a^2d}{4}=0\)
\(\Rightarrow abc-a^2d=0\) ➜ Note উভয় পার্শে \(4\) গুণ করে।
\(\Rightarrow a(bc-ad)=0\)
\(\Rightarrow bc-ad=0, \ a\ne{0}\)
\(\therefore bc=ad\)
( প্রমাণিত )

মনে করি,
\((x-p)^2+2h(x-p)(y-q)+(y-q)^2=0.......(1)\)
অক্ষের দিক অপরিবর্তিত রেখে মূলবিন্দুকে \((p,q)\) বিন্দুতে স্থানান্তরিত করলে \((1)\) এর রূপান্তরিত সমীকরণ হবে,
\({x^{\prime}}^2+2hx^{\prime}y^{\prime}+{y^{\prime}}^2=0 ......(2)\)
যেখানে, \(x^{\prime}=x-p, \ y^{\prime}=y-q\)
\((2)\) নং সমীকরণ নুতন মূলবিন্দু সাপেক্ষে একটি সমমাত্রিক সমীকরণ,
যা একজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করে এবং নুতন মূলবিন্দু \((p,q)\) দিয়ে যায়।
আবার,
\((2)\) হতে,
\({x^{\prime}}^2\) ও \({y^{\prime}}^2\) এর সহগদ্বয়ের যোগফল,
\(=1+(-1)\)
\(=1-1\)
\(=0\)
সুতরাং \((2)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব।
অর্থাৎ \((1)\) নং সমীকরণটি একজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করে যারা পরস্পর লম্ব।
( প্রমাণিত )

প্রদত্ত সমীকরণ,
\(ax+by=2ab\)
\(\therefore \frac{ax+by}{2ab}=1.......(1)\)
\((x-b)^2+(y-a)^2=c^2\)
\(\Rightarrow x^2-2bx+b^2+y^2-2ay+a^2=c^2\)
\(\therefore x^2+y^2-2bx-2ay+(a^2+b^2-c^2)=0.......(2)\)
\((2)\) কে \((1)\) এর সাহায্যে সমমাত্রিক গঠন করে,
\(x^2+y^2-2(bx+ay).1+(a^2+b^2-c^2).1^2=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2(bx+ay)\frac{ax+by}{2ab}+(a^2+b^2-c^2)\left(\frac{ax+by}{2ab}\right)^2=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-\frac{(bx+ay)(ax+by)}{ab}+(a^2+b^2-c^2)\frac{(ax+by)^2}{4a^2b^2}=0\)
\(\Rightarrow 4a^2b^2x^2+4a^2b^2y^2-4ab(bx+ay)(ax+by)+(a^2+b^2-c^2)(ax+by)^2=0\) ➜ Note উভয় পার্শে \(4a^2b^2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 4a^2b^2x^2+4a^2b^2y^2-4ab\{abx^2+aby^2+(a^2+b^2)xy\}+(a^2+b^2-c^2)(a^2x^2+b^2y^2+2abxy)=0\)
\(\Rightarrow 4a^2b^2x^2+4a^2b^2y^2-4a^2b^2x^2-4a^2b^2y^2-4ab(a^2+b^2)xy+(a^2+b^2-c^2)(a^2x^2+b^2y^2+2abxy)=0\)
\(\Rightarrow -4ab(a^2+b^2)xy+(a^2+b^2-c^2)a^2x^2+(a^2+b^2-c^2)b^2y^2+2ab(a^2+b^2-c^2)xy=0\)
\(\therefore (a^2+b^2-c^2)a^2x^2+\{2ab(a^2+b^2-c^2)-4ab(a^2+b^2)\}xy+(a^2+b^2-c^2)b^2y^2=0 ....(3)\)
\((3)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখাদ্বয় \((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু এবং মূলবিন্দুগামী।
রেখা দুইটি পরস্পর লম্ব হবে যদি \(x^2\) ও \(y^2\) এর সহগদ্বয়ের যোগফল শূন্য হয়,
\(\therefore (a^2+b^2-c^2)a^2+(a^2+b^2-c^2)b^2=0\)
\(\Rightarrow (a^2+b^2-c^2)(a^2+b^2)=0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2-c^2=0, \ \because a^2+b^2\ne{0}\)
\(\therefore a^2+b^2=c^2\)
( প্রমাণিত )

প্রদত্ত সমীকরণ,
\(bx+ay=ab\)
\(\therefore \frac{bx+ay}{ab}=1.......(1)\)
\(x^2+y^2=c^2.......(2)\)
\((2)\) কে \((1)\) এর সাহায্যে সমমাত্রিক গঠন করে,
\(x^2+y^2=c^2.1^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=c^2\left(\frac{bx+ay}{ab}\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=\frac{c^2(bx+ay)^2}{a^2b^2}\)
\(\Rightarrow a^2b^2x^2+a^2b^2y^2=c^2(bx+ay)^2\)
\(\Rightarrow a^2b^2x^2+a^2b^2y^2=c^2(b^2x^2+2abxy+a^2y^2)\)
\(\Rightarrow a^2b^2x^2+a^2b^2y^2-c^2(b^2x^2+2abxy+a^2y^2)=0\)
\(\Rightarrow (a^2b^2-b^2c^2)x^2+(a^2b^2-a^2c^2)y^2-2abc^2xy=0\)
\(\therefore b^2(a^2-c^2)x^2-2abc^2xy+a^2(b^2-c^2)y^2=0\)
ইহাই \((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুদ্বয়ের সংযোগ সরলরেখাদ্বয়ের যুগ্ন সমীকরণ।
আবার,
\((2)\) নং বৃত্তের কেন্দ্র \((0,0)\)
এবং ব্যাসার্ধ \(=c\)
\((1)\) নং সরলরেখা অর্থাৎ \(bx+ay-ab=0\) রেখা \((2)\) নং বৃত্তে স্পর্শক হবে যদি,
\(\frac{|b.0+a.0-ab|}{\sqrt{b^2+a^2}}=c\) হয়। ➜ Note অর্থাৎ যদি কেন্দ্র \((0,0)\) হতে,
\(bx+ay-ab=0\) এর লম্বদূরত্ব
ব্যাসার্ধ \(=c\) এর সমান হয়।

\(\Rightarrow \frac{|-ab|}{\sqrt{b^2+a^2}}=c\)
\(\Rightarrow \frac{ab}{\sqrt{b^2+a^2}}=c\)
\(\Rightarrow \frac{a^2b^2}{b^2+a^2}=c^2\) ➜ Note উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow c^2(b^2+a^2)=a^2b^2\)
\(\therefore b^2c^2+a^2c^2=a^2b^2\)
( প্রমাণিত )

প্রদত্ত সমীকরণ,
\((x^2+y^2)\sin^2{\alpha}=(x\cos{\theta}-y\sin{\theta})^2\)
\(\Rightarrow (x^2+y^2)\sin^2{\alpha}=x^2\cos^2{\theta}-2xy\sin{\theta}\cos{\theta}+y^2\sin^2{\theta}\)
\(\therefore (\sin^2{\alpha}-\cos^2{\theta})x^2+2xy\sin{\theta}\cos{\theta}+(\sin^2{\alpha}-\sin^2{\theta})y^2=0 ....(1)\)
\((1)\) নং একটি সমমাত্রিক সমীকরণ
সুতরাং ইহা মূলবিন্দুগামী একজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করে।
এখানে, \(a=\sin^2{\alpha}-\cos^2{\theta}, \ h=\sin{\theta}\cos{\theta}, \ b=\sin^2{\alpha}-\sin^2{\theta}\) ➜ Note \(ax^2+2hxy+by^2=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।

\((1)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ,
\(=\tan^{-1}{\left(\pm{\frac{2\sqrt{\sin^2{\theta}\cos^2{\theta}-(\sin^2{\alpha}-\cos^2{\theta})(\sin^2{\alpha}-\sin^2{\theta})}}{\sin^2{\alpha}-\cos^2{\theta}+\sin^2{\alpha}-\sin^2{\theta}}}\right)}\) ➜ Note \(ax^2+2hxy+by^2=0\) দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী সূক্ষ্ণকোণ,
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}\right)}\)

\(=\tan^{-1}{\left(\pm{\frac{2\sqrt{\sin^2{\theta}\cos^2{\theta}-\sin^4{\alpha}+\sin^2{\alpha}(\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta})-\sin^2{\theta}\cos^2{\theta}}}{2\sin^2{\alpha}-(\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta})}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\pm{\frac{2\sqrt{-\sin^4{\alpha}+\sin^2{\alpha}.1}}{2\sin^2{\alpha}-1}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\pm{\frac{2\sqrt{\sin^2{\alpha}(1-\sin^2{\alpha})}}{-(1-2\sin^2{\alpha})}}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\pm{\frac{2\sqrt{\sin^2{\alpha}\cos^2{\alpha}}}{-\cos{2\alpha}}}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\pm{\frac{2\sin{\alpha}\cos{\alpha}}{\cos{2\alpha}}}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\pm{\frac{\sin{2\alpha}}{\cos{2\alpha}}}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\tan{2\alpha}\right\}}\)
\(=2\alpha\)
( প্রমাণিত )

একটি বিন্দু-সেট দ্বারা সৃষ্ট সঞ্চারপথ দিক পরিবর্তন না করলে সেই সঞ্চারপথকে সরলরেখা বলে। সঞ্চারপথের সমীকরণকে সরলরেখার সমীকরণ বলে।

কোনো সরলরেখা \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত যে কোণ উৎপন্ন করে তার ত্রিকোণমিতিক ট্যানজেন্টকে রেখাটির ঢাল বলে। ঢালকে সাধারণত \(m\) দ্বারা সূচিত করা হয়। \(AB\) সরলরেখা \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\theta \) কোণ উৎপন্ন করলে, তার ঢাল \(m=\tan\theta\).

\(x\) এবং \(y\) এর একঘাত সমীকরণ সর্বদা সরলরেখা প্রকাশ করে।
যেমনঃ \(ax+by+c=0\) ইহাকে সরলরেখার সাধারণ সমীকরণও বলা হয়ে থাকে।

যখন একটি সঞ্চারপথের উপর অবস্থিত কোনো বিন্দু \((x, y)\) এর স্থানাঙ্ক শুধুমাত্র একটি চলরাশি (Variable) এর মাধ্যমে প্রকাশিত হয়, তখন ঐ চলরাশিকে পরামিতি বা প্যারামিটার ( Parameter ) এবং উক্ত বিন্দুর স্থানাঙ্ককে পরামিতিক স্থানাঙ্ক বা প্যারামিটার যুক্ত স্থানাঙ্ক বলা হয়। \(x\) ও \(y\) এর মান জ্ঞাপক সমীকরণদ্বয়কে একত্রে ঐ সঞ্চারপথের পরামিতিক বা প্যারামিটারযুক্ত সমীকরণ বলে। পরামিতিকে অপসারণ করে যে সমীকরণ পাওয়া যাবে, তা কার্তেসীয় সমীকরণ হবে। সরলরেখার পরামিতিক সমীকরণকে লিখা হয়ঃ \(x=a+bt\), \(y=c+dt\) যখন \(a, b, c, d\) ধ্রুবক এবং \(t\) পরিবর্তনশীল রাশি। এখানে \(t\) কে পরামিতি বলা হয় ।

কোনো সমীকরণের প্রতিটি পদের চলকের ঘাতের যোগফল সমান হলে সমীকরণটিকে একটি সমমাত্রিক সমীকরণ বলে।

কোনো সমীকরণের প্রতিটি পদের \(x\) ও \(y\) এর ঘাতদ্বয়ের যোগফল সমান হলে সমীকরণটিকে \(x, y\) এর সমমাত্রিক সমীকরণ বলে।

কোনো সমীকরণের প্রতিটি পদের \(x\) ও \(y\) এর ঘাতদ্বয়ের যোগফল \(2\) হলে সমীকরণটিকে \(x, y\) এর সমমাত্রিক দ্বিঘাত সমীকরণ বলে।
যেমনঃ \(ax^2+2hxy+by^2=0\)

কোনো সমীকরণের প্রতিটি পদের চলকের তথা \(x\) ও \(y\) এর ঘাতদ্বয়ের যোগফল একটি নির্দিষ্ট পূর্ণ সংখ্যা \(n\) হলে সমীকরণটিকে \(x, y\) এর একটি সমমাত্রিক \(n\)-ঘাত সমীকরণ বলে।
যেমনঃ \(a_{o}x^n+a_{1}x^{n-1}y+a_{2}x^{n-2}y^2+ ...+a_{n-1}xy^{n-1}+a_{n}y^{n}=0\)

সমমাত্রিক দ্বিঘাত সমীকরণ দ্বারা মূলবিন্দুগামী একজোড়া বাস্তব অথবা কাল্পনিক সরলরেখা প্রকাশিত হয়।
যেমনঃ
\(y-m_{1}x=0 .....(1)\)
\(y-m_{2}x=0 .....(2)\)
সে ক্ষেত্রে,
\(m_{1}+m_{2}=-\frac{2h}{b}\)
\(m_{1}m_{2}=\frac{a}{b}\)

যে কোনো সমমাত্রিক \(n\)-ঘাত সমীকরণ মূলবিন্দুগামী \(n\)-সংখ্যক সরলরেখা (বাস্তব বা কাল্পনিক ) নির্দেশ করে।
যেমনঃ
সমমাত্রিক \(n\)-ঘাত সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত মূলবিন্দুগামী সরলরেখগুলির সমীকরণ নিম্নরূপ।
\(y-m_{1}x=0 .....(1)\)
\(y-m_{2}x=0 .....(2)\)
\(...................\)
\(...................\)
\(y-m_{n}x=0 .....(n)\)

\(ax^2+2hxy+by^2=0\) সরলরেখা যুগোলের মধ্যবর্তী কোণ।
\(\theta=\tan^{-1}{\left(\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\right)}\)

\(ax^2+2hxy+by^2=0\) সরলরেখা যুগোলের মধ্যবর্তী কোণসমূহের সমদ্বিখন্ডকদ্বয়ের সমীকরণ।
\(\frac{x^2-y^2}{a-b}=\frac{xy}{h}\)

\(a, \ h\) ও \(b\) এর প্রত্যেকটির মান শূন্য না হলে, \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণটিকে সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ বলা হয়।

সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ দ্বারা ভিন্ন ভিন্ন নির্দিষ্ট শর্ত সাপেক্ষে একজোড়া ( যুগল ) সরলরেখা, কনিক ( পরাবৃত্ত, উপবৃত্ত, অধিবৃত্ত ) এবং বৃত্ত নির্দেশিত হয়।

যদি \(\Delta=0\) হয়, যেখানে \(\Delta\equiv{\left|\begin{array}{c}a & h & g\\ h & b & f\\ g & f & c\end{array}\right|}\) অথবা, \(\Delta\equiv{abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2}\) তবে সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ দ্বারা একজোড়া ( যুগল ) সরলরেখা নির্দেশিত হয়।

যদি \(\Delta=0\) এবং \(a+b=0\) হয়, যেখানে \(\Delta\equiv{abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2}\) তবে সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ দ্বারা পরস্পর লম্ব একজোড়া ( যুগল ) সরলরেখা নির্দেশিত হয়।

যদি \(\Delta=0\) এবং \(\frac{a}{h}=\frac{h}{b}=\frac{g}{f}\) হয়, যেখানে \(\Delta\equiv{abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2}\) তবে সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ দ্বারা পরস্পর সমান্তরাল একজোড়া ( যুগল ) সরলরেখা নির্দেশিত হয়।

যদি \(\Delta=0\) এবং \(\frac{a}{h}=\frac{h}{b}=\frac{g}{f}=\frac{ch}{f^2}\) হয়, যেখানে \(\Delta\equiv{abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2}\) তবে সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ দ্বারা পরস্পর সমাপতিত একজোড়া ( যুগল ) সরলরেখা নির্দেশিত হয়।

\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0 \) দ্বারা প্রকাশিত রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক ,
\(\left(\frac{fh-bg}{ab-h^2}, \frac{gh-af}{ab-h^2}\right)\)

\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0 \) দ্বারা প্রকাশিত রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ
\(\theta=\tan^{-1}{\left(\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\right)}\)

সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0 \) দ্বারা প্রকাশিত সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্বঃ
\(\frac{2\sqrt{g^2-ac}}{a(a+b)}\) অথবা, \(\frac{2\sqrt{f^2-bc}}{b(a+b)}\)

সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0 \) দ্বারা প্রকাশিত রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু \((\alpha, \beta)\) হলে, তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণসমূহের সমদ্বিখন্ডক রেখাদ্বয়ের সমীকরণ
\(\frac{(x-\alpha)^2-(y-\beta)^2}{a-b}=\frac{(x-\alpha)(y-\beta)}{h}\)

যেহেতু \(x^2+2hxy-y^2=0\) সমীকরণের \(x^2\) ও \(y^2\) এর সহগের যোগফল শূন্য, সুতরাং সমীকরণটি দ্বারা প্রকাশিত রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব। অতএব রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(90^{o}\)

\(lx^2+2hxy+my^2=0\) সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ
\(\theta=\tan^{-1}{\left(\pm{\frac{2\sqrt{h^2-lm}}{l+m}}\right)}\)

\(ax^2+2hxy+by^2=0\) সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত রেখাদ্বয় উভয়ে মূলবিন্দুগামী অতএব তাদের ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((0, 0)\)

মনে করি,
\(2x^2+xy-6y^2=0........(1)\)
\(\Rightarrow 2x^2+4xy-3xy-6y^2=0\)
\(\Rightarrow 2x(x+2y)-3y(x+2y)=0\)
\(\Rightarrow (x+2y)(2x-3y)=0\)
\(\therefore x+2y=0, \ 2x-3y=0\)
নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

মনে করি,
\(x^2-2xy\cot{2\alpha}-y^2=0........(1)\)
\(\Rightarrow x^2-2y\cot{2\alpha}x-y^2=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{-(-2y\cot{2\alpha})\pm{\sqrt{(-2y\cot{2\alpha})^2-4\times{1}(-y^2)}}}{2\times{1}}\) ➜Note \(\because ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের সমাধান,
\(x=\frac{-b\pm{\sqrt{b^2-4ac}}}{2a}\)

\(\Rightarrow x=\frac{2y\cot{2\alpha}\pm{2y\sqrt{\cot^2{2\alpha}+1}}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{2y(\cot{2\alpha}\pm{ \ cosec{2\alpha}})}{2}\)
\(\Rightarrow x=y(\cot{2\alpha}\pm{ \ cosec{2\alpha}})\)
\(\Rightarrow x=y\left(\frac{\cos{2\alpha}}{\sin{2\alpha}}\pm{\frac{1}{sin{2\alpha}}}\right)\)
\(\Rightarrow x\sin{2\alpha}=y(\cos{2\alpha}\pm{1})\)
\(\Rightarrow x\sin{2\alpha}=y(\cos{2\alpha}+1), \ x\sin{2\alpha}=y(\cos{2\alpha}-1)\)
\(\Rightarrow 2x\sin{\alpha}\cos{\alpha}=2y\cos^2{\alpha}, \ 2x\sin{\alpha}\cos{\alpha}=2y\sin^2{\alpha}\) ➜Note \(\because \sin{2A}=2\sin{A}\cos{A}\)
\(\cos{2A}+1=2\cos^2{A}\)
\(\cos{2A}-1=2\sin^2{A}\)

\(\Rightarrow x=y\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}, \ x=y\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}\)
\(\Rightarrow x=y\cot{\alpha}, \ x=y\tan{\alpha}\)
\(\therefore x-y\cot{\alpha}=0, \ x-y\tan{\alpha}=0\)
নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

মনে করি,
\(x^2+4xy+4y^2+2x+4y-3=0........(1)\)
\(\Rightarrow (x+2y)^2+2(x+2y)-3=0\)
\(\Rightarrow (x+2y)^2+3(x+2y)-(x+2y)-3=0\)
\(\Rightarrow (x+2y)(x+2y+3)-1(x+2y+3)=0\)
\(\Rightarrow (x+2y+3)(x+2y-1)=0\)
\(\therefore x+2y+3=0, \ x+2y-1=0\)
নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

মনে করি,
\(2y^3+xy^2-5x^2y+2x^3=0........(1)\)
\(\Rightarrow 2y^3-2x^2y+xy^2-x^2y-2x^2y+2x^3=0\)
\(\Rightarrow 2y(y^2-x^2)+xy(y-x)-2x^2(y-x)=0\)
\(\Rightarrow 2y(y+x)(y-x)+xy(y-x)-2x^2(y-x)=0\)
\(\Rightarrow (y-x)(2y^2+2xy+xy-2x^2)=0\)
\(\Rightarrow (y-x)(2y^2+3xy-2x^2)=0\)
\(\Rightarrow (y-x)(2y^2+4xy-xy-2x^2)=0\)
\(\Rightarrow (y-x)\{2y(y+2x)-x(y+2x)\}=0\)
\(\Rightarrow (y-x)(y+2x)(2y-x)=0\)
\(\therefore y-x=0, \ y+2x=0, \ 2y-x=0\)
নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

মনে করি,
\(x^2\cos{2\theta}-4xy\cos{\theta}+2y^2+x^2=0........(1)\)
\(\Rightarrow x^2(\cos{2\theta}+1)-4xy\cos{\theta}+2y^2=0\)
\(\Rightarrow 2x^2\cos^2{\theta}-4xy\cos{\theta}+2y^2=0\) ➜Note\(\because \cos{2A}+1=2\cos^2{A}\)
\(\Rightarrow x^2\cos^2{\theta}-2xy\cos{\theta}+y^2=0\)
\(\Rightarrow (x\cos{\theta}-y)^2=0\)
\(\Rightarrow x\cos{\theta}-y=0, \ x\cos{\theta}-y=0\)
\(\Rightarrow x\cos{\theta}=y, \ x\cos{\theta}=y\)
\(\therefore y=x\cos{\theta}, \ y=x\cos{\theta}\)
নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

মনে করি,
\(3x^2-16xy+5y^2=0........(1)\)
\(\Rightarrow 3x^2-15xy-xy+5y^2=0\)
\(\Rightarrow 3x(x-5y)-y(x-5y)=0\)
\(\Rightarrow (x-5y)(3x-y)=0\)
\(\therefore x-5y=0, \ 3x-y=0\)
নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

মনে করি,
\(y^3-xy^2-14x^2y+24x^2=0.......(1)\)
\(\Rightarrow y^3-2xy^2+xy^2-2x^2y-12x^2y+24x^3=0\)
\(\Rightarrow y^2(y-2x)+xy(y-2x)-12x^2(y-2x)=0\)
\(\Rightarrow (y-2x)(y^2+xy-12x^2)=0\)
\(\Rightarrow (y-2x)(y^2+4xy-3xy-12x^2)=0\)
\(\Rightarrow (y-2x)\{y(y+4x)-3x(y-4x)\}=0\)
\(\Rightarrow (y-2x)(y+4x)(y-3x)=0\)
\(\Rightarrow y-2x=0, \ y+4x=0, \ y-3x=0\)
\(\therefore y=2x, \ y=-4x, \ y=3x\)
নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

মনে করি,
\(x^2-5xy+4y^2+x+2y-2=0......(1)\)
এখানে, \(a=1, \ 2h=-5, \ b=4, \ 2g=1, \ 2f=2, \ c=-2\)
\(\therefore a=1, \ h=-\frac{5}{2}, \ b=4, \ g=\frac{1}{2}, \ f=1, \ c=-2\)
এখন, \(\Delta=abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2\)
\(=1\times{4}\times{-2}+2\times{1}\times{\frac{1}{2}}\times{-\frac{5}{2}}-1(1)^2-4\left(\frac{1}{2}\right)^2-(-2)\left(-\frac{5}{2}\right)^2\)
\(=-8-\frac{5}{2}-1-4\left(\frac{1}{4}\right)-(-2)\left(\frac{25}{4}\right)\)
\(=-9-\frac{5}{2}-1+\frac{25}{2}\)
\(=-10-\frac{5}{2}+\frac{25}{2}\)
\(=\frac{-20-5+25}{2}\)
\(=\frac{-25+25}{2}\)
\(=\frac{0}{2}\)
\(\therefore \Delta=0\)
\(\therefore \) সমীকরণটি একজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করে।
রেখা দুইটির ছেদবিন্দু \(\left\{\frac{1\times{-\frac{5}{2}}-4\times{\frac{1}{2}}}{1\times{4}-\left(-\frac{5}{2}\right)^2}, \frac{\frac{1}{2}\times{-\frac{5}{2}}-1\times{1}}{1\times{4}-\left(-\frac{5}{2}\right)^2}\right\}\) ➜Note \(\because ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) রেখা দুইটির ছেদবিন্দু
\(\left(\frac{fh-bg}{ab-h^2}, \frac{gh-af}{ab-h^2}\right)\)

\(\Rightarrow \left(\frac{-\frac{5}{2}-2}{4-\frac{25}{4}}, \frac{-\frac{5}{4}-1}{4-\frac{25}{4}}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{\frac{-5-4}{2}}{\frac{16-25}{4}}, \frac{\frac{-5-4}{4}}{\frac{16-25}{4}}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{\frac{-9}{2}}{\frac{-9}{4}}, \frac{\frac{-9}{4}}{\frac{-9}{4}}\right)\)
\(\therefore\) ছেদবিন্দু \((2, 1)\)
মধ্যবর্তী কোণ
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{2\sqrt{\left(-\frac{5}{2}\right)^2-1\times{4}}}{1+4}\right)}\) ➜Note \(\because ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) রেখা দুইটির মধ্যবর্তী সূক্ষ্ণকোণ
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}\right)}\)

\(=\tan^{-1}{\left(\frac{2\sqrt{\frac{25}{4}-4}}{5}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{2\sqrt{\frac{25-16}{4}}}{5}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{2\sqrt{\frac{9}{4}}}{5}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{2\times{\frac{3}{2}}}{5}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{3}{5}\right)}\)

মনে করি,
\(2y^2+3xy-5y-6x+2=0......(1)\)
এখানে, \(a=0, \ 2h=3, \ b=2, \ 2g=-6, \ 2f=-5, \ c=2\)
\(\therefore a=0, \ h=\frac{3}{2}, \ b=2, \ g=-3, \ f=-\frac{5}{2}, \ c=2\)
এখন, \(\Delta=abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2\)
\(=0\times{2}\times{2}+2\times{-\frac{5}{2}}\times{-3}\times{\frac{3}{2}}-0\left(-\frac{5}{2}\right)^2-2(-3)^2-2\left(\frac{3}{2}\right)^2\)
\(=0+\frac{45}{2}-0-18-\frac{9}{2}\)
\(=\frac{45-36-9}{2}\)
\(=\frac{45-45}{2}\)
\(=\frac{0}{2}\)
\(=0\)
\(\therefore \Delta=0\)
\(\therefore \) সমীকরণটি একজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করে।
রেখা দুইটির ছেদবিন্দু \(\left\{\frac{-\frac{5}{2}\times{\frac{3}{2}}-2\times{-3}}{0\times{2}-\left(\frac{3}{2}\right)^2}, \frac{-3\times{\frac{3}{2}}-0\times{-\frac{5}{2}}}{0\times{2}-\left(\frac{3}{2}\right)^2}\right\}\) ➜Note \(\because ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) রেখা দুইটির ছেদবিন্দু
\(\left(\frac{fh-bg}{ab-h^2}, \frac{gh-af}{ab-h^2}\right)\)

\(\Rightarrow \left(\frac{-\frac{15}{4}+6}{0-\frac{9}{4}}, \frac{-\frac{9}{2}-0}{0-\frac{9}{4}}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{\frac{-15+24}{4}}{-\frac{9}{4}}, \frac{-\frac{9}{2}}{-\frac{9}{4}}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{\frac{9}{4}}{-\frac{9}{4}}, 2\right)\)
\(\Rightarrow (-1, 2)\)
\(\therefore\) ছেদবিন্দু \((-1, 2\)
মধ্যবর্তী কোণ
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{2\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2-0\times{2}}}{0+2}\right)}\) ➜Note \(\because ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) রেখা দুইটির মধ্যবর্তী সূক্ষ্ণকোণ
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}\right)}\)

\(=\tan^{-1}{\left(\frac{2\sqrt{\frac{9}{4}-0}}{2}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{2\times{\frac{3}{2}}}{2}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{3}{2}\right)}\)

মনে করি,
\(2x^2+3xy-2y^2+5x+5y+3=0......(1)\)
এখানে, \(a=2, \ 2h=3, \ b=-2, \ 2g=5, \ 2f=5, \ c=3\)
\(\therefore a=2, \ h=\frac{3}{2}, \ b=-2, \ g=\frac{5}{2}, \ f=\frac{5}{2}, \ c=3\)
এখন, \(\Delta=abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2\)
\(=2\times{-2}\times{3}+2\times{\frac{5}{2}}\times{\frac{5}{2}}\times{\frac{3}{2}}-2\left(\frac{5}{2}\right)^2-(-2)\left(\frac{5}{2}\right)^2-3\left(\frac{3}{2}\right)^2\)
\(=-12+\frac{75}{4}-\frac{25}{2}+\frac{25}{2}-\frac{27}{4}\)
\(=-12+\frac{75}{4}-\frac{27}{4}\)
\(=\frac{-48+75-27}{4}\)
\(=\frac{75-75}{4}\)
\(=\frac{0}{4}\)
\(=0\)
\(\therefore \Delta=0\)
\(\therefore \) সমীকরণটি একজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করে।
রেখা দুইটির ছেদবিন্দু \(\left\{\frac{\frac{5}{2}\times{\frac{3}{2}}-(-2)\times{\frac{5}{2}}}{2\times{-2}-\left(\frac{3}{2}\right)^2}, \frac{\frac{5}{2}\times{\frac{3}{2}}-2\times{\frac{5}{2}}}{2\times{-2}-\left(\frac{3}{2}\right)^2}\right\}\) ➜Note \(\because ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) রেখা দুইটির ছেদবিন্দু
\(\left(\frac{fh-bg}{ab-h^2}, \frac{gh-af}{ab-h^2}\right)\)

\(\Rightarrow \left(\frac{\frac{15}{4}+5}{-4-\frac{9}{4}}, \frac{\frac{15}{4}-5}{-4-\frac{9}{4}}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{\frac{15+20}{4}}{\frac{-16-9}{4}}, \frac{\frac{15-20}{4}}{\frac{-16-9}{4}}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{\frac{35}{4}}{\frac{-25}{4}}, \frac{\frac{-5}{4}}{\frac{-25}{4}}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{35}{-25}, \frac{1}{5}\right)\)
\(\Rightarrow \left(-\frac{7}{5}, \frac{1}{5}\right)\)
\(\therefore\) ছেদবিন্দু \(\left(-\frac{7}{5}, \frac{1}{5}\right)\)
যেহেতু সমীকরণটির \(x^2\) ও \(y^2\) এর সহগের যোগফল শূন্য, সুতরাং সমীকরণটি দ্বারা প্রকাশিত রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব। অতএব রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(90^{o}\)

মনে করি,
\(3y^2-8xy-3x^2-29x+3y-18=0......(1)\)
এখানে, \(a=-3, \ 2h=-8, \ b=3, \ 2g=-29, \ 2f=3, \ c=-18\)
\(\therefore a=-3, \ h=-4, \ b=3, \ g=-\frac{29}{2}, \ f=\frac{3}{2}, \ c=-18\)
এখন, \(\Delta=abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2\)
\(=-3\times{3}\times{-18}+2\times{\frac{3}{2}}\times{-\frac{29}{2}}\times{-4}-(-3)\left(\frac{3}{2}\right)^2-3\left(-\frac{29}{2}\right)^2-(-18)(-4)^2\)
\(=162+174+\frac{27}{4}-\frac{2523}{4}+288\)
\(=624+\frac{27}{4}-\frac{2523}{4}\)
\(=\frac{2496+27-2523}{4}\)
\(=\frac{2523-2523}{4}\)
\(=\frac{0}{4}\)
\(=0\)
\(\therefore \Delta=0\)
\(\therefore \) সমীকরণটি একজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করে।
রেখা দুইটির ছেদবিন্দু \(\left\{\frac{\frac{3}{2}\times{-4}-3\times{-\frac{29}{2}}}{-3\times{3}-(-4)^2}, \frac{-\frac{29}{2}\times{-4}-(-3)\times{\frac{3}{2}}}{-3\times{3}-(-4)^2}\right\}\) ➜Note \(\because ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) রেখা দুইটির ছেদবিন্দু
\(\left(\frac{fh-bg}{ab-h^2}, \frac{gh-af}{ab-h^2}\right)\)

\(\Rightarrow \left(\frac{-6+\frac{87}{2}}{-9-16}, \frac{58+\frac{9}{2}}{-9-16}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{\frac{-12+87}{2}}{-25}, \frac{\frac{116+9}{2}}{-25}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{\frac{75}{2}}{-25}, \frac{\frac{125}{2}}{-25}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{75}{2\times{-25}}, \frac{125}{2\times{-25}}\right)\)
\(\Rightarrow \left(-\frac{3}{2}, -\frac{5}{2}\right)\)
\(\therefore\) ছেদবিন্দু \(\left(-\frac{3}{2}, -\frac{5}{2}\right)\)
যেহেতু সমীকরণটির \(x^2\) ও \(y^2\) এর সহগের যোগফল শূন্য, সুতরাং সমীকরণটি দ্বারা প্রকাশিত রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব। অতএব রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(90^{o}\)

মনে করি,
\(2y^2-xy-x^2+y+2x-1=0......(1)\)
এখানে, \(a=-1, \ 2h=-1, \ b=2, \ 2g=2, \ 2f=1, \ c=-1\)
\(\therefore a=-1, \ h=-\frac{1}{2}, \ b=2, \ g=1, \ f=\frac{1}{2}, \ c=-1\)
এখন, \(\Delta=abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2\)
\(=-1\times{2}\times{-1}+2\times{\frac{1}{2}}\times{1}\times{-\frac{1}{2}}-(-1)\left(\frac{1}{2}\right)^2-2(1)^2-(-1)\left(-\frac{1}{2}\right)^2\)
\(=2-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-2+\frac{1}{4}\)
\(=-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\)
\(=\frac{-2+1+1}{4}\)
\(=\frac{-2+2}{4}\)
\(=\frac{0}{4}\)
\(=0\)
\(\therefore \Delta=0\)
\(\therefore \) সমীকরণটি একজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করে।
রেখা দুইটির ছেদবিন্দু \(\left\{\frac{\frac{1}{2}\times{-\frac{1}{2}}-2\times{1}}{-1\times{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)^2}, \frac{1\times{-\frac{1}{2}}-(-1)\times{\frac{1}{2}}}{-1\times{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)^2}\right\}\) ➜Note \(\because ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) রেখা দুইটির ছেদবিন্দু
\(\left(\frac{fh-bg}{ab-h^2}, \frac{gh-af}{ab-h^2}\right)\)

\(\Rightarrow \left(\frac{-\frac{1}{4}-2}{-2-\frac{1}{4}}, \frac{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}{-2-\frac{1}{4}}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{\frac{-1-8}{4}}{\frac{-8-1}{4}}, \frac{0}{\frac{-8-1}{4}}\right)\)
\(\Rightarrow (1, 0)\)
\(\therefore\) ছেদবিন্দু \((1, 0)\)
মধ্যবর্তী কোণ
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{2\sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2-(-1)\times{2}}}{-1+2}\right)}\) ➜Note \(\because ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) রেখা দুইটির মধ্যবর্তী সূক্ষ্ণকোণ
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}\right)}\)

\(=\tan^{-1}{\left(\frac{2\sqrt{\frac{1}{4}+2}}{1}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(2\sqrt{\frac{1+8}{4}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(2\sqrt{\frac{9}{4}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(2\times{\frac{3}{2}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{(3)}\)

মনে করি,
\(6x^2-5xy-6y^2+14x+5y+4=0......(1)\)
এখানে, \(a=6, \ 2h=-5, \ b=-6, \ 2g=14, \ 2f=5, \ c=4\)
\(\therefore a=6, \ h=-\frac{5}{2}, \ b=-6, \ g=7, \ f=\frac{5}{2}, \ c=4\)
এখন, \(\Delta=abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2\)
\(=6\times{-6}\times{4}+2\times{\frac{5}{2}}\times{7}\times{-\frac{5}{2}}-6\left(\frac{5}{2}\right)^2-(-6)(7)^2-4\left(-\frac{5}{2}\right)^2\)
\(=-144-\frac{175}{2}-\frac{75}{2}+294-25\)
\(=125-\frac{175}{2}-\frac{75}{2}\)
\(=\frac{250-175-75}{2}\)
\(=\frac{250-250}{2}\)
\(=\frac{0}{2}\)
\(=0\)
\(\therefore \Delta=0\)
\(\therefore \) সমীকরণটি একজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করে।
রেখা দুইটির ছেদবিন্দু \(\left\{\frac{\frac{5}{2}\times{-\frac{5}{2}}-(-6)\times{7}}{6\times{-6}-\left(-\frac{5}{2}\right)^2}, \frac{7\times{-\frac{5}{2}}-6\times{\frac{5}{2}}}{6\times{-6}-\left(-\frac{5}{2}\right)^2}\right\}\) ➜Note \(\because ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) রেখা দুইটির ছেদবিন্দু
\(\left(\frac{fh-bg}{ab-h^2}, \frac{gh-af}{ab-h^2}\right)\)

\(\Rightarrow \left(\frac{-\frac{25}{4}+42}{-36-\frac{25}{4}}, \frac{-\frac{35}{2}-15}{-36-\frac{25}{4}}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{\frac{-25+168}{4}}{\frac{-144-25}{4}}, \frac{\frac{-35-30}{2}}{\frac{-144-25}{4}}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{\frac{143}{4}}{\frac{-169}{4}}, \frac{\frac{-65}{2}}{\frac{-169}{4}}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{143}{-169}, \frac{-130}{-169}\right)\)
\(\Rightarrow \left(-\frac{11}{13}, \frac{10}{13}\right)\)
\(\therefore\) ছেদবিন্দু \(\left(-\frac{11}{13}, \frac{10}{13}\right)\)
যেহেতু সমীকরণটির \(x^2\) ও \(y^2\) এর সহগের যোগফল শূন্য, সুতরাং সমীকরণটি দ্বারা প্রকাশিত রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব। অতএব রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(90^{o}\)

মনে করি,
\(2y^2+3xy-5y-6x+2=0.....(1)\)
এখানে, \(a=0, \ 2h=3, \ b=2, \ 2g=-6, \ 2f=-5, \ c=2\)
\(\therefore a=0, \ h=\frac{3}{2}, \ b=2, \ g=-3, \ f=-\frac{5}{2}, \ c=2\)
এখন, \(\Delta=abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2\)
\(=0\times{2}\times{2}+2\times{-\frac{5}{2}}\times{-3}\times{\frac{3}{2}}-0\left(-\frac{5}{2}\right)^2-2(-3)^2-2\left(\frac{3}{2}\right)^2\)
\(=0+\frac{45}{2}-0-18-\frac{9}{2}\)
\(=\frac{45}{2}-18-\frac{9}{2}\)
\(=\frac{45-36-9}{2}\)
\(=\frac{45-45}{2}\)
\(=\frac{0}{2}\)
\(=0\)
\(\therefore \Delta=0\)
\(\therefore \) সমীকরণটি একজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করে।
রেখা দুইটির ছেদবিন্দু \(\left\{\frac{-\frac{5}{2}\times{\frac{3}{2}}-2\times{-3}}{0\times{2}-\left(\frac{3}{2}\right)^2}, \frac{-3\times{\frac{3}{2}}-0\times{-\frac{5}{2}}}{0\times{2}-\left(\frac{3}{2}\right)^2}\right\}\) ➜Note \(\because ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) রেখা দুইটির ছেদবিন্দু
\(\left(\frac{fh-bg}{ab-h^2}, \frac{gh-af}{ab-h^2}\right)\)

\(\Rightarrow \left(\frac{-\frac{15}{4}+6}{0-\frac{9}{4}}, \frac{-\frac{9}{2}-0}{0-\frac{9}{4}}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{\frac{-15+24}{4}}{-\frac{9}{4}}, \frac{-\frac{9}{2}}{-\frac{9}{4}}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{\frac{9}{4}}{-\frac{9}{4}}, \frac{-\frac{9}{2}}{-\frac{9}{4}}\right)\)
\(\Rightarrow (-1, 2)\)
\(\therefore\) ছেদবিন্দু \((-1, 2)\)
মধ্যবর্তী কোণ
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{2\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2-0\times{2}}}{0+2}\right)}\) ➜Note \(\because ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) রেখা দুইটির মধ্যবর্তী সূক্ষ্ণকোণ
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}\right)}\)

\(=\tan^{-1}{\left(\frac{2\sqrt{\frac{9}{4}-0}}{2}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{2\times{\frac{3}{2}}}{2}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{3}{2}\right)}\)

মনে করি,
\(12x^2-10xy+2y^2+11x-5y+\lambda=0.....(1)\)
এখানে, \(a=12, \ 2h=-10, \ b=2, \ 2g=11, \ 2f=-5, \ c=\lambda\)
\(\therefore a=12, \ h=-5, \ b=2, \ g=\frac{11}{2}, \ f=-\frac{5}{2}, \ c=\lambda\)
সমীকরণটি একজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করবে যদি \(\Delta\equiv{abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2}=0\) হয়।
\(\Rightarrow 12\times{2}\times{\lambda}+2\times{-\frac{5}{2}}\times{\frac{11}{2}}\times{-5}-12\left(-\frac{5}{2}\right)^2-2\left(\frac{11}{2}\right)^2-\lambda(-5)^2=0\)
\(\Rightarrow 24\lambda+\frac{275}{2}-75-\frac{121}{2}-25\lambda=0\)
\(\Rightarrow -\lambda+\frac{275}{2}-75-\frac{121}{2}=0\)
\(\Rightarrow -\lambda=75+\frac{121}{2}-\frac{275}{2}\)
\(\Rightarrow -\lambda=\frac{150+121-275}{2}\)
\(\Rightarrow -\lambda=\frac{271-275}{2}\)
\(\Rightarrow \lambda=\frac{4}{2}\)
\(\therefore \lambda=2\)

মনে করি,
\(2x^2+xy-y^2+kx+6y-9=0.....(1)\)
এখানে, \(a=2, \ 2h=1, \ b=-1, \ 2g=k, \ 2f=6, \ c=-9\)
\(\therefore a=2, \ h=\frac{1}{2}, \ b=-1, \ g=\frac{k}{2}, \ f=3, \ c=-9\)
সমীকরণটি একজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করবে যদি \(\Delta\equiv{abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2}=0\) হয়।
\(\Rightarrow 2\times{-1}\times{-9}+2\times{3}\times{\frac{k}{2}}\times{\frac{1}{2}}-2(3)^2-(-1)\left(\frac{k}{2}\right)^2-(-9)\left(\frac{1}{2}\right)^2=0\)
\(\Rightarrow 18+\frac{3k}{2}-18+\frac{k^2}{4}+\frac{9}{4}=0\)
\(\Rightarrow \frac{3k}{2}+\frac{k^2}{4}+\frac{9}{4}=0\)
\(\Rightarrow 6k+k^2+9=0\) ➜Note উভয় পার্শে \(4\) গুণ করে।
\(\Rightarrow k^2+6k+9=0\)
\(\Rightarrow (k+3)^2=0\)
\(\Rightarrow k+3=0\)
\(\therefore k=-3\)

মনে করি,
\(6x^2-7xy+16x-3y^2-2y+k=0....(1)\)
এখানে, \(a=6, \ 2h=-7, \ b=-3, \ 2g=16, \ 2f=-2, \ c=k\)
\(\therefore a=6, \ h=-\frac{7}{2}, \ b=-3, \ g=8, \ f=-1, \ c=k\)
সমীকরণটি একজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করবে যদি \(\Delta\equiv{abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2}=0\) হয়।
\(\Rightarrow 6\times{-3}\times{k}+2\times{-1}\times{8}\times{-\frac{7}{2}}-6(-1)^2-(-3)(8)^2-k\left(-\frac{7}{2}\right)^2=0\)
\(\Rightarrow -18k+56-6+192-\frac{49k}{4}=0\)
\(\Rightarrow \frac{-72k-49k}{4}+242=0\)
\(\Rightarrow \frac{-121k}{4}+242=0\)
\(\Rightarrow \frac{-121k}{4}=-242\)
\(\Rightarrow k=-242\times{-\frac{4}{121}}\)
\(\Rightarrow k=2\times{4}\)
\(\therefore k=8\)

মনে করি,
\(6x^2+xy+ky^2-11x+43y-35=0....(1)\)
এখানে, \(a=6, \ 2h=1, \ b=k, \ 2g=-11, \ 2f=43, \ c=-35\)
\(\therefore a=6, \ h=\frac{1}{2}, \ b=k, \ g=-\frac{11}{2}, \ f=\frac{43}{2}, \ c=-35\)
সমীকরণটি একজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করবে যদি \(\Delta\equiv{abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2}=0\) হয়।
\(\Rightarrow 6\times{k}\times{-35}+2\times{\frac{43}{2}}\times{-\frac{11}{2}}\times{\frac{1}{2}}-6\left(\frac{43}{2}\right)^2-k\left(-\frac{11}{2}\right)^2-(-35)\left(\frac{1}{2}\right)^2=0\)
\(\Rightarrow -210k-\frac{473}{4}-\frac{5547}{2}-\frac{121k}{4}+\frac{35}{4}=0\)
\(\Rightarrow \frac{-840k-121k}{4}=\frac{473}{4}+\frac{5547}{2}-\frac{35}{4}\)
\(\Rightarrow -\frac{961k}{4}=\frac{473+11094-35}{4}\)
\(\Rightarrow -961k=11532\)
\(\Rightarrow k=\frac{11532}{-961}\)
\(\therefore k=-12\)

মনে করি,
\(\lambda{xy}+5x+3y+2=0....(1)\)
এখানে, \(a=0, \ 2h=\lambda, \ b=0, \ 2g=5, \ 2f=3, \ c=2\)
\(\therefore a=0, \ h=\frac{\lambda}{2}, \ b=0, \ g=\frac{5}{2}, \ f=\frac{3}{2}, \ c=2\)
সমীকরণটি একজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করবে যদি \(\Delta\equiv{abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2}=0\) হয়।
\(\Rightarrow 0\times{0}\times{2}+2\times{\frac{3}{2}}\times{\frac{5}{2}}\times{\frac{\lambda}{2}}-0\left(\frac{3}{2}\right)^2-0\left(\frac{5}{2}\right)^2-2\left(\frac{\lambda}{2}\right)^2=0\)
\(\Rightarrow \frac{15\lambda}{4}-\frac{\lambda^2}{2}=0\)
\(\Rightarrow 15\lambda-2\lambda^2=0\) ➜Note উভয় পার্শে \(4\) গুণ করে।
\(\Rightarrow \lambda(15-2\lambda)=0\)
\(\Rightarrow 15-2\lambda=0, \ \lambda\ne{0}\)
\(\Rightarrow -2\lambda=-15\)
\(\Rightarrow \lambda=\frac{-15}{-2}\)
\(\therefore \lambda=\frac{15}{2}\)

মনে করি,
\(2x^2-y^2+xy-2x-5y+k=0....(1)\)
এখানে, \(a=2, \ 2h=1, \ b=-1, \ 2g=-2, \ 2f=-5, \ c=k\)
\(\therefore a=2, \ h=\frac{1}{2}, \ b=-1, \ g=-1, \ f=-\frac{5}{2}, \ c=k\)
সমীকরণটি একজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করবে যদি \(\Delta\equiv{abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2}=0\) হয়।
\(\Rightarrow 2\times{-1}\times{k}+2\times{-\frac{5}{2}}\times{-1}\times{\frac{1}{2}}-2\left(-\frac{5}{2}\right)^2-(-1)(-1)^2-k\left(\frac{1}{2}\right)^2=0\)
\(\Rightarrow -2k+\frac{5}{2}-\frac{25}{2}+1-\frac{k}{4}=0\)
\(\Rightarrow \frac{-8k-k}{4}+\frac{5-25}{2}+1=0\)
\(\Rightarrow -\frac{9k}{4}-\frac{20}{2}+1=0\)
\(\Rightarrow -\frac{9k}{4}-10+1=0\)
\(\Rightarrow -\frac{9k}{4}-9=0\)
\(\Rightarrow -\frac{9k}{4}=9\)
\(\Rightarrow k=9\times{-\frac{4}{9}}\)
\(\therefore k=-4\)

মনে করি,
\(\lambda{x^2}+4xy+y^2-4x-2y-3=0....(1)\)
এখানে, \(a=\lambda, \ 2h=4, \ b=1, \ 2g=-4, \ 2f=-2, \ c=-3\)
\(\therefore a=\lambda, \ h=2, \ b=1, \ g=-2, \ f=-1, \ c=-3\)
সমীকরণটি একজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করবে যদি \(\Delta\equiv{abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2}=0\) হয়।
\(\Rightarrow \lambda\times{1}\times{-3}+2\times{-1}\times{-2}\times{2}-\lambda(-1)^2-1(-2)^2-(-3)(2)^2=0\)
\(\Rightarrow -3\lambda+8-\lambda-4+12=0\)
\(\Rightarrow -4\lambda+16=0\)
\(\Rightarrow -4\lambda=-16\)
\(\therefore \lambda=4\)

মনে করি,
\(x^2-\lambda{xy}+2y^2+3x-5y+2=0....(1)\)
এখানে, \(a=1, \ 2h=-\lambda, \ b=2, \ 2g=3, \ 2f=-5, \ c=2\)
\(\therefore a=1, \ h=-\frac{\lambda}{2}, \ b=2, \ g=\frac{3}{2}, \ f=-\frac{5}{2}, \ c=2\)
সমীকরণটি একজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করবে যদি \(\Delta\equiv{abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2}=0\) হয়।
\(\Rightarrow 1\times{2}\times{2}+2\times{-\frac{5}{2}}\times{\frac{3}{2}}\times{-\frac{\lambda}{2}}-1\left(-\frac{5}{2}\right)^2-2\left(\frac{3}{2}\right)^2-2\left(-\frac{\lambda}{2}\right)^2=0\)
\(\Rightarrow 4+\frac{15\lambda}{4}-\frac{25}{4}-\frac{9}{2}-\frac{\lambda^2}{2}=0\)
\(\Rightarrow \frac{16-25-18}{4}-\frac{\lambda^2}{2}+\frac{15\lambda}{4}=0\)
\(\Rightarrow \frac{-27}{4}-\frac{\lambda^2}{2}+\frac{15\lambda}{4}=0\)
\(\Rightarrow 27+2\lambda^2-15\lambda=0\) ➜Note উভয় পার্শে \(-4\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 2\lambda^2-9\lambda-6\lambda+27=0\)
\(\Rightarrow \lambda(2\lambda-9)-3(2\lambda-9)=0\)
\(\Rightarrow (2\lambda-9)(\lambda-3)=0\)
\(\Rightarrow 2\lambda-9=0, \ \lambda-3=0\)
\(\Rightarrow 2\lambda=9, \ \lambda=3\)
\(\Rightarrow \lambda=\frac{9}{2}, \ \lambda=3\)
\(\therefore \lambda=3, \ \frac{9}{2}\)

মনে করি,
\(kxy-8x+9y-12=0....(1)\)
এখানে, \(a=0, \ 2h=k, \ b=0, \ 2g=-8, \ 2f=9, \ c=-12\)
\(\therefore a=0, \ h=\frac{k}{2}, \ b=0, \ g=-4, \ f=\frac{9}{2}, \ c=-12\)
সমীকরণটি একজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করবে যদি \(\Delta\equiv{abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2}=0\) হয়।
\(\Rightarrow 0\times{0}\times{-12}+2\times{\frac{9}{2}}\times{-4}\times{\frac{k}{2}}-0\left(\frac{9}{2}\right)^2-0(-4)^2-(-12)\left(\frac{k}{2}\right)^2=0\)
\(\Rightarrow 0-18k-0-0+3k^2=0\)
\(\Rightarrow 3k^2-18k=0\)
\(\Rightarrow 3k(k-6)=0\)
\(\Rightarrow 3k\ne{0}, \ k-6=0\)
\(\therefore k=6\)

মনে করি,
\(6x^2+2kxy+12y^2+22x+31y+20=0....(1)\)
এখানে, \(a=6, \ 2h=2k, \ b=12, \ 2g=22, \ 2f=31, \ c=20\)
\(\therefore a=6, \ h=k, \ b=12, \ g=11, \ f=\frac{31}{2}, \ c=20\)
সমীকরণটি একজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করবে যদি \(\Delta\equiv{abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2}=0\) হয়।
\(\Rightarrow 6\times{12}\times{20}+2\times{\frac{31}{2}}\times{11}\times{k}-6\left(\frac{31}{2}\right)^2-12(11)^2-20(k)^2=0\)
\(\Rightarrow 1440+341k-\frac{2883}{2}-1452-20k^2=0\)
\(\Rightarrow -\frac{2883}{2}-12+341k-20k^2=0\)
\(\Rightarrow \frac{-2883-24}{2}+341k-20k^2=0\)
\(\Rightarrow \frac{-2907}{2}+341k-20k^2=0\)
\(\Rightarrow 40k^2-682k+2907=0\) ➜Note উভয় পার্শে \(-2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow k=\frac{682\pm{\sqrt{(682)^2-4\times{40}\times{2907}}}}{80}\) ➜Note \(\because ax^2+bx+c=0\) এর সমাধান,
\(x=\frac{-b\pm{\sqrt{b^2-4ac}}}{2a}\)

\(\Rightarrow k=\frac{682\pm{\sqrt{465124-465120}}}{80}\)
\(\Rightarrow k=\frac{682\pm{\sqrt{4}}}{80}\)
\(\Rightarrow k=\frac{682\pm{2}}{80}\)
\(\Rightarrow k=\frac{682+2}{80}, \ \frac{682-2}{80}\)
\(\Rightarrow k=\frac{684}{80}, \ \frac{680}{80}\)
\(\therefore k=\frac{171}{20}, \ \frac{17}{2}\)

মনে করি,
\(y^3-x^3+3xy(y-x)=0.......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত একটি সরলরেখার সমীকরণ,
\(y=x\tan{\theta}.......(2)\)
\(\therefore (2)\) নং সমীকরণ \((1)\) নং কে সিদ্ধ করবে।
\(x^3\tan^3{\theta}-x^3+3x.x\tan{\theta}(x\tan{\theta}-x)=0\)
\(\Rightarrow x^3\tan^3{\theta}-x^3+3x^3\tan{\theta}(\tan{\theta}-1)=0\)
\(\Rightarrow x^3(\tan^3{\theta}-1+3\tan^2{\theta}-3\tan{\theta})=0\)
\(\Rightarrow \tan^3{\theta}-1+3\tan^2{\theta}-3\tan{\theta}=0, \ \because x^3\ne{0}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin^3{\theta}}{\cos^3{\theta}}-1+3\frac{\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta}}-3\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}=0\)
\(\Rightarrow \sin^3{\theta}-\cos^3{\theta}+3\sin^2{\theta}\cos{\theta}-3\sin{\theta}\cos^2{\theta}=0\) ➜ Note উভয় পার্শে \(\cos^3{\theta}\) গুণ করে।
\(\Rightarrow \sin^3{\theta}-\cos^3{\theta}+3(1-\cos^2{\theta})\cos{\theta}-3\sin{\theta}(1-\sin^2{\theta})=0\)
\(\Rightarrow \sin^3{\theta}-\cos^3{\theta}+3\cos{\theta}-3\cos^3{\theta}-3\sin{\theta}-3\sin^3{\theta}=0\)
\(\Rightarrow -3\sin{\theta}+4\sin^3{\theta}-4\cos^3{\theta}+3\cos{\theta}=0\)
\(\Rightarrow -(3\sin{\theta}-4\sin^3{\theta})-(4\cos^3{\theta}-3\cos{\theta})=0\)
\(\Rightarrow -\sin{3\theta}-\cos{3\theta}=0\)
\(\Rightarrow -\sin{3\theta}=\cos{3\theta}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{3\theta}}{\cos{3\theta}}=-1\)
\(\Rightarrow \tan{3\theta}=\tan{\frac{3\pi}{4}}\)
\(\Rightarrow 3\theta=n\pi+\frac{3\pi}{4}\)
\(\therefore \theta=\frac{n\pi}{3}+\frac{\pi}{4}\)
\((1)\) নং সমীকরণ মূলবিন্দুগামী তিনটি সরলরেখা প্রকাশ করে।
\(\therefore \theta\) এর মান হবে তিনটি।
\(n=0, \ 1, \ 2\) এর জন্য,
\(\theta_{1}=\frac{0.\pi}{3}+\frac{\pi}{4}, \ \theta_{2}=\frac{1.\pi}{3}+\frac{\pi}{4}, \ \theta_{3}=\frac{2.\pi}{3}+\frac{\pi}{4}\)
\(\Rightarrow \theta_{1}=\frac{\pi}{4}, \ \theta_{2}=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}, \ \theta_{3}=\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{4}\)
\(\therefore \theta_{1}=\frac{\pi}{4}, \ \theta_{2}=\frac{7\pi}{12}, \ \theta_{3}=\frac{11\pi}{12}\)
\(\therefore \) সরলরেখা তিনটি \(x\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত যথাক্রমে \(\theta_{1}, \ \theta_{2}, \ \theta_{3}\) কোণ উৎপন্ন করে।
\(\therefore \) সরলরেখাগুলির মধ্যবর্তী কোণ হবে,
প্রথম ও দ্বিতীয় রেখার মধ্যবর্তী কোণ, \(\theta_{2}-\theta_{1}=\frac{7\pi}{12}-\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi-3\pi}{12}=\frac{4\pi}{12}=\frac{\pi}{3}\)
দ্বিতীয় ও তৃতীয় রেখার মধ্যবর্তী কোণ, \(\theta_{3}-\theta_{2}=\frac{11\pi}{12}-\frac{7\pi}{12}=\frac{11\pi-7\pi}{12}=\frac{4\pi}{12}=\frac{\pi}{3}\)
তৃতীয় ও প্রথম রেখার মধ্যবর্তী কোণ, \(=\pi-\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}=\frac{3\pi-\pi-\pi}{3}=\frac{\pi}{3}\)
অতএব সরলরেখাগুলি একে অপরের সহিত সমান কোণ উৎপন্ন করে।
( প্রমাণিত )

মনে করি,
\(m(x^3-3xy^2)+y^3-3x^2y=0.......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণটি \(x\) ও \(y\) এর ত্রিঘাত সমমাত্রিক সুতরাং ইহা তিনটি সরলরেখা প্রকাশ করে।
সরলরেখা তিনটির একটি \(x\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\theta\) কোণ উৎপন্ন করলে তার সমীকরণ হবে,
\(y=x\tan{\theta}.......(2)\)
\(\therefore (2)\) নং সমীকরণ \((1)\) নং কে সিদ্ধ করবে।
\(m(x^3-3xx^2\tan^2{\theta})+x^3\tan^3{\theta}-3x^2x\tan{\theta}=0\)
\(\Rightarrow m(x^3-3x^3\tan^2{\theta})+x^3\tan^3{\theta}-3x^3\tan{\theta}=0\)
\(\Rightarrow x^3m\{(1-3\tan^2{\theta})+\tan^3{\theta}-3\tan{\theta}\}=0\)
\(\Rightarrow m(1-3\tan^2{\theta})+\tan^3{\theta}-3\tan{\theta}=0, \ \because x^3\ne{0}\)
\(\Rightarrow m(1-3\tan^2{\theta})=3\tan{\theta}-\tan^3{\theta}\)
\(\Rightarrow m=\frac{3\tan{\theta}-\tan^3{\theta}}{1-3\tan^2{\theta}}\)
\(\Rightarrow m=\tan{3\theta}\) ➜ Note \(\because \frac{3\tan{A}-\tan^3{A}}{1-3\tan^2{A}}=\tan{3A}\)
\(\Rightarrow \tan{3\theta}=m\)
\(\Rightarrow \tan{3\theta}=\tan{\alpha}\) যেখানে, \(m=\tan{\alpha}\)
\(\Rightarrow 3\theta=n\pi+\alpha\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{N}}\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{n\pi}{3}+\frac{\alpha}{3}\)
এখানে, তিনটি সরলরেখার জন্য \(\theta\) এর তিনটি মান পাওয়া যাবে।
যখন, \(n=0,\ 1, \ 2\)
তখন, \(\theta_{1}=\frac{0.\pi}{3}+\frac{\alpha}{3},\ \theta_{2}=\frac{1.\pi}{3}+\frac{\alpha}{3}, \ \theta_{3}=\frac{2.\pi}{3}+\frac{\alpha}{3}\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{\alpha}{3},\ \theta_{2}=\frac{\pi}{3}+\frac{\alpha}{3}, \ \theta_{3}=\frac{2\pi}{3}+\frac{\alpha}{3}\)
\(\therefore \) সরলরেখাগুলির মধ্যবর্তী কোণ হবে,
প্রথম ও দ্বিতীয় রেখার মধ্যবর্তী কোণ, \(\theta_{2}-\theta_{1}=\frac{\pi}{3}+\frac{\alpha}{3}-\frac{\alpha}{3}=\frac{\pi}{3}\)
দ্বিতীয় ও তৃতীয় রেখার মধ্যবর্তী কোণ, \(\theta_{3}-\theta_{2}=\frac{2\pi}{3}+\frac{\alpha}{3}-\frac{\pi}{3}-\frac{\alpha}{3}=\frac{2\pi-\pi}{3}=\frac{\pi}{3}\)
তৃতীয় ও প্রথম রেখার মধ্যবর্তী কোণ, \(=\pi-\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}=\frac{3\pi-\pi-\pi}{3}=\frac{\pi}{3}\)
অতএব সরলরেখাগুলি একে অপরের সহিত সমান কোণ উৎপন্ন করে।
( প্রমাণিত )

মনে করি,
\((x^2-3y^2)x=my(y^2-3x^2)\)
\(\Rightarrow x^3-3xy^2=m(y^3-3x^2y).......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণটি \(x\) ও \(y\) এর ত্রিঘাত সমমাত্রিক সুতরাং ইহা তিনটি সরলরেখা প্রকাশ করে।
সরলরেখা তিনটির একটি \(x\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\theta\) কোণ উৎপন্ন করলে তার সমীকরণ হবে,
\(y=x\tan{\theta}.......(2)\)
\(\therefore (2)\) নং সমীকরণ \((1)\) নং কে সিদ্ধ করবে।
\(x^3-3xx^2\tan^2{\theta}=m(x^3\tan^3{\theta}-3x^2x\tan{\theta})=0\)
\(\Rightarrow x^3-3x^3\tan^2{\theta}=m(x^3\tan^3{\theta}-3x^3\tan{\theta})=0\)
\(\Rightarrow x^3(1-3\tan^2{\theta})=mx^3(\tan^3{\theta}-3\tan{\theta})=0\)
\(\Rightarrow 1-3\tan^2{\theta}=m(\tan^3{\theta}-3\tan{\theta}), \ \because x^3\ne{0}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{m}=\frac{3\tan{\theta}-\tan^3{\theta}}{1-3\tan^2{\theta}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{m}=\tan{3\theta}\) ➜ Note \(\because \frac{3\tan{A}-\tan^3{A}}{1-3\tan^2{A}}=\tan{3A}\)
\(\Rightarrow \tan{3\theta}=\frac{1}{m}\)
\(\Rightarrow \tan{3\theta}=\tan{\alpha}\) যেখানে, \(\frac{1}{m}=\tan{\alpha}\)
\(\Rightarrow 3\theta=n\pi+\alpha\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{N}}\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{n\pi}{3}+\frac{\alpha}{3}\)
এখানে, তিনটি সরলরেখার জন্য \(\theta\) এর তিনটি মান পাওয়া যাবে।
যখন, \(n=0,\ 1, \ 2\)
তখন, \(\theta_{1}=\frac{0.\pi}{3}+\frac{\alpha}{3},\ \theta_{2}=\frac{1.\pi}{3}+\frac{\alpha}{3}, \ \theta_{3}=\frac{2.\pi}{3}+\frac{\alpha}{3}\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{\alpha}{3},\ \theta_{2}=\frac{\pi}{3}+\frac{\alpha}{3}, \ \theta_{3}=\frac{2\pi}{3}+\frac{\alpha}{3}\)
\(\therefore \) সরলরেখাগুলির মধ্যবর্তী কোণ হবে,
প্রথম ও দ্বিতীয় রেখার মধ্যবর্তী কোণ, \(\theta_{2}-\theta_{1}=\frac{\pi}{3}+\frac{\alpha}{3}-\frac{\alpha}{3}=\frac{\pi}{3}\)
দ্বিতীয় ও তৃতীয় রেখার মধ্যবর্তী কোণ, \(\theta_{3}-\theta_{2}=\frac{2\pi}{3}+\frac{\alpha}{3}-\frac{\pi}{3}-\frac{\alpha}{3}=\frac{2\pi-\pi}{3}=\frac{\pi}{3}\)
তৃতীয় ও প্রথম রেখার মধ্যবর্তী কোণ, \(=\pi-\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}=\frac{3\pi-\pi-\pi}{3}=\frac{\pi}{3}\)
অতএব সরলরেখাগুলি একে অপরের সহিত সমান কোণ উৎপন্ন করে।
( প্রমাণিত )

মনে করি,
\((x^2+y^2)(\cos^2{\theta}\sin^2{\alpha}+\sin^2{\theta})=(x\tan{\alpha}-y\sin{\theta})^2\)
\(\Rightarrow (x^2+y^2)(\cos^2{\theta}\sin^2{\alpha}+\sin^2{\theta})\)\(=x^2\tan^2{\alpha}-2xy\tan{\alpha}\sin{\theta}+y^2\sin^2{\theta}\)
\(\Rightarrow x^2(\cos^2{\theta}\sin^2{\alpha}+\sin^2{\theta}-\tan^2{\alpha})+2xy\tan{\alpha}\sin{\theta}\)\(+y^2(\cos^2{\theta}\sin^2{\alpha}+\sin^2{\theta}-\sin^2{\theta})=0\)
\(\therefore x^2(\cos^2{\theta}\sin^2{\alpha}+\sin^2{\theta}-\tan^2{\alpha})+2xy\tan{\alpha}\sin{\theta}+y^2(\cos^2{\theta}\sin^2{\alpha})=0.......(1)\)
এখানে, \(a=\cos^2{\theta}\sin^2{\alpha}+\sin^2{\theta}-\tan^2{\alpha}\) ➜ Note \(ax^2+2hxy+by^2=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।

\(\Rightarrow a=k-\tan^2{\alpha}\)
যেখানে, \(k=\cos^2{\theta}\sin^2{\alpha}+\sin^2{\theta}\)
\(h=\tan{\alpha}\sin{\theta}\)
\(b=\cos^2{\theta}\sin^2{\alpha}\)
\(\therefore h^2-ab=\tan^2{\alpha}\sin^2{\theta}-(k-\tan^2{\alpha})\cos^2{\theta}\sin^2{\alpha}\)
\(=\tan^2{\alpha}\sin^2{\theta}-k\cos^2{\theta}\sin^2{\alpha}+\tan^2{\alpha}\cos^2{\theta}\sin^2{\alpha}\)
\(=\tan^2{\alpha}\sin^2{\theta}+\tan^2{\alpha}\cos^2{\theta}\sin^2{\alpha}-k\cos^2{\theta}\sin^2{\alpha}\)
\(=\tan^2{\alpha}(\cos^2{\theta}\sin^2{\alpha}+\sin^2{\theta})-k\cos^2{\theta}\sin^2{\alpha}\)
\(=k\tan^2{\alpha}-k\cos^2{\theta}\sin^2{\alpha}\) ➜ Note \(\because k=\cos^2{\theta}\sin^2{\alpha}+\sin^2{\theta}\)
\(=k\tan^2{\alpha}-k\cos^2{\theta}\sin^2{\alpha}\)
\(=k\tan^2{\alpha}-k\cos^2{\theta}\cos^2{\alpha}\tan^2{\alpha}\)
\(=k\tan^2{\alpha}(1-\cos^2{\theta}\cos^2{\alpha})\)
\(=k\tan^2{\alpha}\{1-\cos^2{\theta}(1-\sin^2{\alpha})\}\)
\(=k\tan^2{\alpha}\{1-\cos^2{\theta}+\cos^2{\theta}\sin^2{\alpha}\}\)
\(=k\tan^2{\alpha}\{\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}\sin^2{\alpha}\}\)
\(=k\tan^2{\alpha}.k\) ➜ Note \(\because k=\cos^2{\theta}\sin^2{\alpha}+\sin^2{\theta}\)
\(=k^2\tan^2{\alpha}\)
এবং \(a+b=k-\tan^2{\alpha}+\cos^2{\theta}\sin^2{\alpha}\)
\(=k-\tan^2{\alpha}+\cos^2{\theta}\cos^2{\alpha}\tan^2{\alpha}\)
\(=k-\tan^2{\alpha}(1-\cos^2{\theta}\cos^2{\alpha})\)
\(=k-\tan^2{\alpha}\{1-\cos^2{\theta}(1-\sin^2{\alpha})\}\)
\(=k-\tan^2{\alpha}\{1-\cos^2{\theta}+\cos^2{\theta}\sin^2{\alpha}\}\)
\(=k-\tan^2{\alpha}\{\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}\sin^2{\alpha}\}\)
\(=k-\tan^2{\alpha}k\) ➜ Note \(\because k=\cos^2{\theta}\sin^2{\alpha}+\sin^2{\theta}\)
\(=k(1-\tan^2{\alpha})\)
সরলরেখা দুইটির মধ্যবর্তী কোণ \(\phi\) হলে,
\(\tan{\phi}=\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}\)
\(\Rightarrow \tan{\phi}=\frac{2\sqrt{k^2\tan^2{\alpha}}}{k(1-\tan^2{\alpha})}\) ➜ Note \(\because h^2=k^2\tan^2{\alpha}\)
\(a+b=k(1-\tan^2{\alpha})\)

\(\Rightarrow \tan{\phi}=\frac{2k\tan{\alpha}}{k(1-\tan^2{\alpha})}\)
\(\Rightarrow \tan{\phi}=\frac{2\tan{\alpha}}{1-\tan^2{\alpha}}\)
\(\Rightarrow \tan{\phi}=\tan{2\alpha}\) ➜ Note \(\because \frac{2\tan{A}}{1-\tan^2{A}}=\tan{2A}\)
\(\therefore \phi=2\alpha\)
( দেখানো হলো )

মনে করি,
\(x^2(\tan^2{\theta}+\cos^2{\theta})-2xy\tan{\theta}+y^2\sin^2{\theta}=0\)
\(\Rightarrow y^2\sin^2{\theta}-2xy\tan{\theta}+x^2(\tan^2{\theta}+\cos^2{\theta})=0\)
\(\Rightarrow y^2-\frac{2\tan{\theta}}{\sin^2{\theta}}xy+\frac{\tan^2{\theta}+\cos^2{\theta}}{\sin^2{\theta}}x^2=0 .....(1)\) ➜ Note \(\sin^2{\theta}\) ভাগ করে।
দেওয়া আছে, \((1)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত রেখাদ্বয় \(x\) অক্ষরেখার সাথে \(\alpha\) এবং \(\beta\) কোণ উৎপন্ন করে।
ফলে রেখাদ্বয়ের সমীকরণ হবে,
\(y-x\tan{\alpha}=0 .....(2)\)
এবং \(y-x\tan{\beta}=0 .....(3)\)
\((2)\) ও \((3)\) গুণ করে।
\((y-x\tan{\alpha})(y-x\tan{\beta})=0\)
\(\Rightarrow y^2-(\tan{\alpha}+\tan{\beta})xy+x^2\tan{\alpha}\tan{\beta}=0 ......(4)\)
\((1)\) ও \((4)\) নং সমীকরণ অভিন্ন তাই, \(xy\) ও \(x^2\) এর সহগের সমতা নিয়ে,
\(\tan{\alpha}+\tan{\beta}=\frac{2\tan{\theta}}{\sin^2{\theta}}\)
এবং \(\tan{\alpha}\tan{\beta}=\frac{\tan^2{\theta}+\cos^2{\theta}}{\sin^2{\theta}}\)
এখন, \(\tan{\alpha}-\tan{\beta}=\sqrt{(\tan{\alpha}+\tan{\beta})^2-4\tan{\alpha}\tan{\beta}}\)
\(=\sqrt{\left(\frac{2\tan{\theta}}{\sin^2{\theta}}\right)^2-4\frac{\tan^2{\theta}+\cos^2{\theta}}{\sin^2{\theta}}}\)
\(=\sqrt{4\frac{\tan^2{\theta}}{\sin^4{\theta}}-4\frac{\tan^2{\theta}+\cos^2{\theta}}{\sin^2{\theta}}}\)
\(=2\sqrt{\frac{\tan^2{\theta}}{\sin^4{\theta}}-\frac{\tan^2{\theta}+\cos^2{\theta}}{\sin^2{\theta}}}\)
\(=2\sqrt{\frac{\tan^2{\theta}-\tan^2{\theta}\sin^2{\theta}-\sin^2{\theta}\cos^2{\theta}}{\sin^4{\theta}}}\)
\(=2\sqrt{\frac{\tan^2{\theta}(1-\sin^2{\theta})-\sin^2{\theta}\cos^2{\theta}}{\sin^4{\theta}}}\)
\(=2\sqrt{\frac{\tan^2{\theta}\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta}\cos^2{\theta}}{\sin^4{\theta}}}\)
\(=2\sqrt{\frac{\sin^2{\theta}-\sin^2{\theta}\cos^2{\theta}}{\sin^4{\theta}}}\)
\(=2\sqrt{\frac{\sin^2{\theta}(1-\cos^2{\theta})}{\sin^4{\theta}}}\)
\(=2\sqrt{\frac{\sin^2{\theta}\sin^2{\theta}}{\sin^4{\theta}}}\)
\(=2\sqrt{\frac{\sin^4{\theta}}{\sin^4{\theta}}}\)
\(=2\sqrt{1}\)
\(\therefore \tan{\alpha}-\tan{\beta}=2\)
( দেখানো হলো )

মনে করি,
\(y=mx ....(1)\)
\(x^2+2xy-3y^2=0 ....(2)\)
এখানে, \(a=1, \ 2h=2, \ b=-3\) ➜ Note \(ax^2+2hxy+by^2=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।

\(\therefore a=1, \ h=1, \ b=-3\)
\((2)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{x^2-y^2}{1-(-3)}=\frac{xy}{1}\) ➜ Note \(ax^2+2hxy+by^2=0\) সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{x^2-y^2}{a-b}=\frac{xy}{h}\)

\(\Rightarrow \frac{x^2-y^2}{1+3}=\frac{xy}{1}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2-y^2}{4}=xy\)
\(\Rightarrow x^2-y^2=4xy\)
\(\therefore x^2-y^2-4xy=0 .....(3)\)
যদি \((2)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণের একটি \((1)\) নং সমীকরণ হয় তবে \((1)\) নং সমীকরণ \((3)\) নং কে সিদ্ধ করবে।
\(\therefore x^2-(mx)^2-4x(mx)=0\)
\(\Rightarrow x^2-m^2x^2-4mx^2=0\)
\(\Rightarrow -x^2(m^2+4m-1)=0\)
\(\Rightarrow m^2+4m-1=0, \ \because x^2\ne{0}\)
\(\Rightarrow m=\frac{-4\pm{\sqrt{4^2-4\times{1}\times{-1}}}}{2\times{1}}\)➜ Note \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের সমাধান
\(x=\frac{-b\pm{\sqrt{b^2-4ac}}}{2a}\)

\(\Rightarrow m=\frac{-4\pm{\sqrt{16+4}}}{2}\)
\(\Rightarrow m=\frac{-4\pm{\sqrt{20}}}{2}\)
\(\Rightarrow m=\frac{-4\pm{2\sqrt{5}}}{2}\)
\(\Rightarrow m=\frac{2(-2\pm{\sqrt{5}})}{2}\)
\(\therefore m=-2\pm{\sqrt{5}}\)
( দেখানো হলো )

মনে করি,
\(y=mx ....(1)\)
\(ax^2-2hxy+by^2=0 ....(2)\)
\((2)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{x^2-y^2}{a-b}=\frac{xy}{-h} .....(3)\) ➜ Note \(ax^2+2hxy+by^2=0\) সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{x^2-y^2}{a-b}=\frac{xy}{h}\)

যদি \((2)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণের একটি \((1)\) নং সমীকরণ হয় তবে \((1)\) নং সমীকরণ \((3)\) নং কে সিদ্ধ করবে।
\(\therefore \frac{x^2-m^2x^2}{a-b}=\frac{x.mx}{-h}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2(1-m^2)}{a-b}=\frac{mx^2}{-h}\)
\(\Rightarrow \frac{1-m^2}{a-b}=\frac{m}{-h}, \ \because x^2\ne{0}\)
\(\Rightarrow m(a-b)=-h(1-m^2)\)
\(\therefore h(1-m^2)+m(a-b)=0\)
( দেখানো হলো )

মনে করি,
\(ax^2+2hxy+by^2+\lambda{x^2}+\lambda{y^2}=0\)
\(\Rightarrow (a+\lambda)x^2+2hxy+(b+\lambda)y^2=0....(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{x^2-y^2}{(a+\lambda)-(b+\lambda)}=\frac{xy}{h}\) ➜ Note \(ax^2+2hxy+by^2=0\) সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{x^2-y^2}{a-b}=\frac{xy}{h}\)

\(\Rightarrow \frac{x^2-y^2}{a+\lambda-b-\lambda}=\frac{xy}{h}\)
\(\therefore \frac{x^2-y^2}{a-b}=\frac{xy}{h} ....(2)\)
এটি \(\lambda\) মুক্ত। কাজেই \(\lambda\) এর সকল মানের জন্য প্রদত্ত সমীকরণটি দ্বারা নির্দেশিত রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণের একই দ্বিখন্ডক থাকে।
যখন, \(\lambda=-(a+b),\) প্রদত্ত \((1)\) নং সমীকরণটি দ্বাড়ায়।
\(\{a-(a+b)\}x^2+2hxy+\{b-(a+b)\}y^2=0\)
\(\Rightarrow \{a-a-b\}x^2+2hxy+\{b-a-b\}y^2=0\)
\(\Rightarrow -bx^2+2hxy-ay^2=0\)
\(\therefore bx^2-2hxy+ay^2=0 .....(3)\)
\((3)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ,
\(ax^2+2hxy+by^2=0\) সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখণ্ডকের সাথে অনুরূপ হবে।

প্রদত্ত সমীকরণ,
\((y-mx)^2=c^2(1+m^2)\)
\(\Rightarrow y-mx=\pm{c\sqrt{(1+m^2)}}\)
\(\Rightarrow y-mx\pm{c\sqrt{(1+m^2)}}=0\)
\(\therefore y-mx+c\sqrt{(1+m^2)}=0....(1)\)
এবং \(y-mx-c\sqrt{(1+m^2)}=0....(2)\)
আবার,
\((y-nx)^2=c^2(1+n^2)\)
\(\Rightarrow y-nx=\pm{c\sqrt{(1+n^2)}}\)
\(\Rightarrow y-nx\pm{c\sqrt{(1+n^2)}}=0\)
\(\therefore y-nx+c\sqrt{(1+n^2)}=0....(3)\)
এবং \(y-nx-c\sqrt{(1+n^2)}=0....(4)\)
এখন প্রমাণ করতে হবে যে, সমীকরণ \((1),\ (2), \ (3) \) ও \((4)\) একটি রম্বসের চারটি বাহু।
এখানে, সরলরেখা \((1) \) ও \((2)\) উভয়ের ঢাল \(m\)
\(\therefore \) সরলরেখা দুইটি পরস্পর সমান্তরাল।
আবার,
সরলরেখা \((3) \) ও \((4)\) উভয়ের ঢাল \(n\)
\(\therefore \) সরলরেখা দুইটি পরস্পর সমান্তরাল।
এখন,
\((1) \) ও \((2)\) এর মধ্যবর্তী দূরত্ব
\(=\frac{|c\sqrt{(1+m^2)}+c\sqrt{(1+m^2)}|}{\sqrt{1^2+m^2}}\)
\(=\frac{2c\sqrt{(1+m^2)}}{\sqrt{1+m^2}}\)
\(=2c\)
আবার,
\((3) \) ও \((4)\) এর মধ্যবর্তী দূরত্ব
\(=\frac{|c\sqrt{(1+n^2)}+c\sqrt{(1+n^2)}|}{\sqrt{1^2+n^2}}\)
\(=\frac{2c\sqrt{(1+n^2)}}{\sqrt{1+n^2}}\)
\(=2c\)
যেহেতু দূরত্বদ্বয় সমান এবং একটি সরলরেখা অন্যটির উপর লম্ব নয়, সুতরাং সমীকরণ \((1),\ (2), \ (3) \) ও \((4)\) একটি রম্বসের চারটি বাহু।
( দেখানো হলো )

মনে করি,
\(a^2x^2+2h(a+b)xy+b^2y^2=0....(1)\)
এবং \(ax^2+2hxy+by^2=0....(2)\)
\((1)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{x^2-y^2}{a^2-b^2}=\frac{xy}{h(a+b)}\) ➜ Note \(ax^2+2hxy+by^2=0\) সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{x^2-y^2}{a-b}=\frac{xy}{h}\)

\(\Rightarrow \frac{x^2-y^2}{(a-b)(a+b)}=\frac{xy}{h(a+b)}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2-y^2}{a-b}=\frac{xy}{h} ......(3)\)
আবার,
\((2)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{x^2-y^2}{a-b}=\frac{xy}{h}\) যা \((3)\) নং সমীকরণের অনুরূপ।
যেহেতু \((1)\) ও \((2)\) নং উভয় জোড়া দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ অভিন্ন, অতএব একজোড়া অপর জোড়ার সাথে সমভাবে নত।
( দেখানো হলো )

মনে করি,
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1....(1)\)
\(lx+my+n=0\)
\(\Rightarrow lx+my=-n\)
\(\Rightarrow \frac{lx+my}{-n}=1....(2)\)
\((1)\) নং সমীকরণকে \((2)\) এর সাহায্যে সমমাত্রিক গঠন করে,
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1^2\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\left(\frac{lx+my}{-n}\right)^2\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{(lx+my)^2}{n^2}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{l^2x^2+m^2y^2+2lmxy}{n^2}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{l^2x^2}{n^2}+\frac{m^2y^2}{n^2}+2\frac{lm}{n^2}xy\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}-\frac{l^2x^2}{n^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{m^2y^2}{n^2}-2\frac{lm}{n^2}xy=0\)
\(\Rightarrow \left(\frac{1}{a^2}-\frac{l^2}{n^2}\right)x^2+\left(\frac{1}{b^2}-\frac{m^2}{n^2}\right)y^2-2\frac{lm}{n^2}xy=0 ....(3)\)
\((3)\) নং সমীকরণটি মূলবিন্দুগামী এবং \((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী একজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করে
এখানে, \(A=\frac{1}{a^2}-\frac{l^2}{n^2}, \ B=\frac{1}{b^2}-\frac{m^2}{n^2}, \ H=-\frac{lm}{n^2}\) ➜ Note \(Ax^2+2Hxy+By^2=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।

\((3)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখাদ্বয় সমাপতিত হবে,
যদি, \(H^2=AB\) হয়। ➜ Note \(Ax^2+2Hxy+By^2=0\) সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখাদ্বয়
সমাপতিত হওয়ার শর্ত \(H^2=AB\)

\(\Rightarrow \left(-\frac{lm}{n^2}\right)^2=\left(\frac{1}{a^2}-\frac{l^2}{n^2}\right)\left(\frac{1}{b^2}-\frac{m^2}{n^2}\right)\) ➜ Note \(\because A=\frac{1}{a^2}-\frac{l^2}{n^2}\)
\(B=\frac{1}{b^2}-\frac{m^2}{n^2}\)
\(H=\frac{lm}{n^2}\)

\(\Rightarrow \frac{l^2m^2}{n^4}=\frac{1}{a^2b^2}-\frac{l^2}{b^2n^2}-\frac{m^2}{a^2n^2}+\frac{l^2m^2}{n^4}\)
\(\Rightarrow \frac{l^2m^2}{n^4}-\frac{1}{a^2b^2}+\frac{l^2}{b^2n^2}+\frac{m^2}{a^2n^2}-\frac{l^2m^2}{n^4}=0\)
\(\Rightarrow \frac{l^2}{b^2n^2}+\frac{m^2}{a^2n^2}-\frac{1}{a^2b^2}=0\)
\(\Rightarrow a^2l^2+b^2m^2-n^2=0\) ➜ Noteউভয় পার্শে \(a^2b^2n^2\) গুণ করে।
\(\therefore a^2l^2+b^2m^2=n^2\)
( প্রমাণিত )

মনে করি,
\(ax^2+2hxy+by^2=0....(1)\)
এবং \(a^{\prime}x^2+2h^{\prime}xy+b^{\prime}y^2=0....(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সমীকরণদ্বয়ের প্রত্যাক্যে মূলবিন্দুগামীএকজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করে।
ধরি, \(y=mx .....(3)\) রেখাটি উভয় জোড়ার একটি সাধারণ রেখা।
ফলে, \((3)\) নং সমীকরণটি \((1)\) ও \((2)\) উভয়কে সিদ্ধ করবে।
\(\therefore ax^2+2hx.mx+b(mx)^2=0\)
\(\Rightarrow ax^2+2hmx^2+bm^2x^2=0\)
\(\Rightarrow x^2(a+2hm+bm^2)=0\)
\(\Rightarrow a+2hm+bm^2=0, \ x^2\ne{0}\)
\(\therefore bm^2+2hm+a=0 .....(4)\)
এবং \(a^{\prime}x^2+2h^{\prime}x.mx+b^{\prime}(mx)^2=0\)
\(\Rightarrow a^{\prime}x^2+2h^{\prime}mx^2+b^{\prime}m^2x^2=0\)
\(\Rightarrow x^2(a^{\prime}+2h^{\prime}m+b^{\prime}m^2)=0\)
\(\Rightarrow a^{\prime}+2h^{\prime}m+b^{\prime}m^2=0, \ x^2\ne{0}\)
\(\therefore b^{\prime}m^2+2h^{\prime}m+a^{\prime}=0 ...(5)\)
\((4)\) ও \((5)\) নং বজ্রগুণ করে।
\(\frac{m^2}{2ha^{\prime}-2h^{\prime}a}=\frac{m}{ab^{\prime}-a^{\prime}b}=\frac{1}{2h^{\prime}b-2hb^{\prime}}\)
\(\Rightarrow \frac{m^2}{2(ha^{\prime}-h^{\prime}a)}=\frac{m}{ab^{\prime}-a^{\prime}b}=\frac{1}{2(h^{\prime}b-hb^{\prime})}\)
\(\Rightarrow \frac{m^2}{2(ha^{\prime}-h^{\prime}a)}=\frac{1}{2(h^{\prime}b-hb^{\prime})}, \ \frac{m}{ab^{\prime}-a^{\prime}b}=\frac{1}{2(h^{\prime}b-hb^{\prime})}\)
\(\Rightarrow m^2=\frac{2(ha^{\prime}-h^{\prime}a)}{2(h^{\prime}b-hb^{\prime})}, \ m=\frac{ab^{\prime}-a^{\prime}b}{2(h^{\prime}b-hb^{\prime})}\)
\(\Rightarrow m^2=\frac{ha^{\prime}-h^{\prime}a}{h^{\prime}b-hb^{\prime}}, \ m^2=\frac{(ab^{\prime}-a^{\prime}b)^2}{4(h^{\prime}b-hb^{\prime})^2}\)
\(\Rightarrow \frac{ha^{\prime}-h^{\prime}a}{h^{\prime}b-hb^{\prime}}=\frac{(ab^{\prime}-a^{\prime}b)^2}{4(h^{\prime}b-hb^{\prime})^2}\)
\(\Rightarrow ha^{\prime}-h^{\prime}a=\frac{(ab^{\prime}-a^{\prime}b)^2}{4(h^{\prime}b-hb^{\prime})}\)
\(\Rightarrow (ab^{\prime}-a^{\prime}b)^2=4(ha^{\prime}-h^{\prime}a)(h^{\prime}b-hb^{\prime})\)
\(\therefore (ab^{\prime}-a^{\prime}b)^2=4(ha^{\prime}-h^{\prime}a)(bh^{\prime}-b^{\prime}h)\)
( দেখানো হলো )

মনে করি,
\(5y(x^2+y^2)^2-20y^3(x^2+y^2)+16y^5=0 .....(1)\)
\((1)\) সমীকরণটি \(x, \ y\) এর সমমাত্রিক পঞ্চঘাত। সুতরাং এটি মূলবিন্দুগামী পাঁচটি সরলরেখা প্রকাশ করে।
ধরি, রেখাগুলোর যে কোনো একটির সমীকরণ \(y=x\tan{\theta} .....(2)\)
ফলে, \((2)\) নং সমীকরণটি \((1)\) কে সিদ্ধ করবে।
\(5x\tan{\theta}(x^2+x^2\tan^2{\theta})^2-20x^3\tan^3{\theta}(x^2+x^2\tan^2{\theta})+16x^5\tan^5{\theta}=0\)
\(\Rightarrow 5x^5\tan{\theta}(1+\tan^2{\theta})^2-20x^5\tan^3{\theta}(1+\tan^2{\theta})+16x^5\tan^5{\theta}=0\)
\(\Rightarrow x^5\{5\tan{\theta}(1+\tan^2{\theta})^2-20\tan^3{\theta}(1+\tan^2{\theta})+16\tan^5{\theta}\}=0\)
\(\Rightarrow 5\tan{\theta}(1+\tan^2{\theta})^2-20\tan^3{\theta}(1+\tan^2{\theta})+16\tan^5{\theta}=0, \ x^5\ne{0}\)
\(\Rightarrow 5\tan{\theta}(\sec^2{\theta})^2-20\tan^3{\theta}(\sec^2{\theta})+16\tan^5{\theta}=0\)
\(\Rightarrow 5\tan{\theta}\sec^4{\theta}-20\tan^3{\theta}\sec^2{\theta}+16\tan^5{\theta}=0\)
\(\Rightarrow 5\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}\frac{1}{\cos^4{\theta}}-20\frac{\sin^3{\theta}}{\cos^3{\theta}}\frac{1}{\cos^2{\theta}}+16\frac{\sin^5{\theta}}{\cos^5{\theta}}=0\)
\(\Rightarrow 5\frac{\sin{\theta}}{\cos^5{\theta}}-20\frac{\sin^3{\theta}}{\cos^5{\theta}}+16\frac{\sin^5{\theta}}{\cos^5{\theta}}=0\)
\(\Rightarrow 5\sin{\theta}-20\sin^3{\theta}+16\sin^5{\theta}=0\) ➜ Noteউভয় পার্শে \(\cos^5{\theta}\) গুণ করে।
\(\Rightarrow \sin{\theta}(16\sin^4{\theta}-20\sin^2{\theta}+5)=0\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}\{4(2\sin^2{\theta})^2-10(2\sin^2{\theta})+5\}=0\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}\{4(1-\cos{2\theta})^2-10(1-\cos{2\theta})+5\}=0\) ➜ Note \(\because 2\sin^2{A}=1-\cos{2A}\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}\{4-8\cos{2\theta}+4\cos^2{2\theta}-10+10\cos{2\theta}+5\}=0\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}\{2\cos{2\theta}+2(2\cos^2{2\theta})-1\}=0\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}\{2\cos{2\theta}+2(1+\cos{4\theta})-1\}=0\) ➜ Note \(\because 2\cos^2{A}=1+\cos{2A}\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}\{2\cos{2\theta}+2+2\cos{4\theta}-1\}=0\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}\{2\cos{2\theta}+2\cos{4\theta}+1\}=0\)
\(\Rightarrow 2\cos{2\theta}\sin{\theta}+2\cos{4\theta}\sin{\theta}+\sin{\theta}=0\)
\(\Rightarrow \sin{(2\theta+\theta)}-\sin{(2\theta-\theta)}+\sin{(4\theta+\theta)}-\sin{(4\theta-\theta)}+\sin{\theta}=0\) ➜ Note \(\because 2\cos{A}\sin{B}=\sin{(A+B)}-\sin{(A-B)}\)
\(\Rightarrow \sin{3\theta}-\sin{\theta}+\sin{5\theta}-\sin{3\theta}+\sin{\theta}=0\)
\(\Rightarrow \sin{5\theta}=0\)
\(\Rightarrow 5\theta=n\pi\)
\(\therefore \theta=\frac{n\pi}{5}\)
যেহেতু সরলরেখা পাঁচটি \(\theta\) এর মান হবে পাঁচটি।
\(n=0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4\) এর জন্য।
\(\theta=\frac{0.\pi}{5}, \ \frac{1.\pi}{5}, \ \frac{2.\pi}{5}, \ \frac{3.\pi}{5}, \ \frac{4.\pi}{5}\)
\(\Rightarrow \theta=0, \ \frac{\pi}{5}, \ \frac{2\pi}{5}, \ \frac{3\pi}{5}, \ \frac{4\pi}{5}\)
\(\Rightarrow \theta=0^{o}, \ 36^{o}, \ 72^{o}, \ 108^{o}, \ 144^{o}\)
\(\Rightarrow \theta=0^{o}, \ 36^{o}, \ 72^{o}, \ (108^{o}+180^{o}), \ 144^{o}\)
\(\therefore \theta=0^{o}, \ 36^{o}, \ 72^{o}, \ 144^{o}, \ 288^{o}\)

মনে করি,
\(x^3-3x^2y\cot{3\alpha}-3xy^2+y^3\cot{3\alpha}=0\)
\(\Rightarrow (y^3-3x^2y)\cot{3\alpha}-3xy^2+x^3=0\)
\(\Rightarrow (y^3-3x^2y)\frac{1}{\tan{3\alpha}}-(3xy^2-x^3)=0\)
\(\Rightarrow (y^3-3x^2y)-(3xy^2-x^3)\tan{3\alpha}=0\) ➜ Noteউভয় পার্শে \(\tan{3\alpha}\) গুণ করে।
\(\Rightarrow -(3xy^2-x^3)m=-(y^3-3x^2y)\) যেখানে, \(m=\tan{3\alpha}\)
\(\Rightarrow (x^3-3xy^2)m=3x^2y-y^3 .....(1)\)
\((1)\) সমীকরণটি \(x, \ y\) এর সমমাত্রিক ত্রিঘাত। সুতরাং এটি মূলবিন্দুগামী তিনটি সরলরেখা প্রকাশ করে।
ধরি, রেখাগুলোর যে কোনো একটির সমীকরণ \(y=x\tan{\theta} .....(2)\)
ফলে, \((2)\) নং সমীকরণটি \((1)\) কে সিদ্ধ করবে।
\((x^3-3x.x^2\tan^2{\theta})m=3x^2.x\tan{\theta}-x^3\tan^3{\theta}\)
\(\Rightarrow (x^3-3x^3\tan^2{\theta})m=3x^3\tan{\theta}-x^3\tan^3{\theta}\)
\(\Rightarrow x^3(1-3\tan^2{\theta})m=x^3(3\tan{\theta}-\tan^3{\theta})\)
\(\Rightarrow (1-3\tan^2{\theta})m=3\tan{\theta}-\tan^3{\theta}, \ x^3\ne{0}\)
\(\Rightarrow m=\frac{3\tan{\theta}-\tan^3{\theta}}{1-3\tan^2{\theta}}\)
\(\Rightarrow m=\tan{3\theta}\) ➜ Note \(\because \frac{3\tan{A}-\tan^3{A}}{1-3\tan^2{A}}=\tan{3A}\)
\(\Rightarrow \tan{3\theta}=\tan{3\alpha}\) ➜ Note \(\because m=\tan{3\alpha}\)
\(\Rightarrow 3\theta=n\pi+3\alpha\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{n\pi}{3}+\alpha\)
যেহেতু সরলরেখা তিনটি \(\theta\) এর মান হবে তিনটি।
\(n=0, \ 1, \ 2\) এর জন্য।
\(\theta=\frac{0.\pi}{3}+\alpha, \ \frac{1.\pi}{3}+\alpha, \ \frac{2.\pi}{3}+\alpha\)
\(\Rightarrow \theta=\alpha, \ \frac{\pi}{3}+\alpha, \ \frac{2\pi}{3}+\alpha\)
\(\Rightarrow \theta=\alpha, \ 60^{0}+\alpha, \ 120^{o}+\alpha\)
\(\therefore \theta=\alpha, \ \alpha+60^{0}, \ \alpha+120^{o}\)
\(\therefore (2)\) নং এর সাহায্যে, সমীকরণটি দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখা তিনটি,
\(y=x\tan{\alpha}, \ y=x\tan{(\alpha+60^{o})},\) \(y=x\tan{(\alpha+120^{o})}\)

মনে করি,
\(x^2+2hxy-y^2=0 .......(1)\)
\(x^4+Bx^3y+Cx^2y^2+Dxy^3+Ey^4=0.......(2)\)
মূলবিন্দুগামী এবং পরস্পর লম্ব এরূপ যেকোনো দুইটি সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-mx=0 .......(3)\)
\(my+x=0.......(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) গুণ করে,
\((y-mx)(my+x)=0\)
\(\Rightarrow my^2+xy-m^2xy-mx^2=0\)
\(\Rightarrow -m\left(x^2-\frac{1}{m}xy+mxy-y^2\right)=0\)
\(\Rightarrow x^2-\frac{1}{m}xy+mxy-y^2=0, \ m\ne{0}\)
\(\Rightarrow x^2+\left(m-\frac{1}{m}\right)xy-y^2=0\)
\(\therefore x^2+2hxy-y^2=0\) যেখানে, \(2h=m-\frac{1}{m}\)
যা, \((1)\) নং সমীকরণের অনুরূপ।
\(\therefore \) মূলবিন্দুগামী এবং পরস্পর লম্ব এরূপ যে কোনো একজোড়া সরলরেখার সমীকরণকে \(x^2+2hxy-y^2=0\) আকারে প্রকাশ করা যায়।
\((2)\) নং সমীকরণ মূলবিন্দুগামী দুই জোড়া লম্বিক সরলরেখা নির্দেশ করে,
দুই জোড়া লম্বিক সরলরেখার সমীকরণ,
\(x^2+2hxy-y^2=0 ......(5)\)
\(x^2+2kxy-y^2=0 ......(6)\)
\((5)\) ও \((6)\) গুণ করে,
\((x^2+2hxy-y^2)(x^2+2kxy-y^2)=0\)
\(\therefore x^4+(2h+2k)x^3y+(4hk-2)x^2y^2-(2h+2k)xy^3+y^4=0 ......(7)\)
শর্তমতে \((2)\) ও \((7)\) সমীকরণদ্বয় অভিন্ন। তাই সমীকরণ দুইটি তুলুনা করে,
\(B=2h+2k, \ D=-(2h+2k), \ E=1\)
\(\Rightarrow B+D=2h+2k-(2h+2k), \ E=1\)
\(\therefore B+D=0, \ E=1\)
( দেখানো হলো )

মনে করি,
\(ax^3+bx^2y+cxy^2+dy^3=0.......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখা তিনটির মধ্যে একটি,
\(y=mx.....(2)\)
ফলে, \((2)\) নং সমীকরণ \((1)\) নং সমীকরণকে সিদ্ধ করবে,
\(\therefore ax^3+bx^2mx+cxm^2x^2+dm^3x^3=0\)
\(\Rightarrow ax^3+bmx^3+cm^2x^3+dm^3x^3=0\)
\(\Rightarrow x^3(dm^3+cm^2+bm+a)=0\)
\(\Rightarrow dm^3+cm^2+bm+a=0, \ x^3\ne{0}\)
\(\therefore dm^3+cm^2+bm+a=0 .....(3)\)
যা \(m\) এর ত্রিঘাত সমীকরণ, এখানে \(m\) এর তিনটি মান \(m_{1}, \ m_{2}, \ m_{3}\) সরলরেখা তিনটির ঢাল প্রকাশ করে।
\(\therefore \) সরলরেখা তিনটির সমীকরণ,
\(y=m_{1}x.....(4)\)
\(y=m_{2}x.....(5)\)
\(y=m_{3}x.....(6)\)
যেখানে, \(m_{1}=\tan{\theta_{1}}, \ m_{2}=\tan{\theta_{2}}, \ m_{3}=\tan{\theta_{3}}\)
\(\therefore \tan^{-1}{m_{1}}=\theta_{1}, \ \tan^{-1}{m_{2}}=\theta_{2}, \ \tan^{-1}{m_{3}}=\theta_{3}\)
\((3)\) হতে,
\(m_{1}+m_{2}+m_{3}=-\frac{c}{d}\)
\(m_{1}m_{2}+m_{2}m_{3}+m_{1}m_{3}=\frac{b}{d}\)
\(m_{1}m_{2}m_{3}=-\frac{a}{d}\)
ধরি, \((4)\) নং সরলরেখাটি \((5)\) ও \((6)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডক,
তাহলে, \(\theta_{1}-\theta_{2}=\theta_{2}-\theta_{3}\)
\(\Rightarrow \theta_{1}+\theta_{3}=2\theta_{2}\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}{m_{1}}+\tan^{-1}{m_{3}}=2\tan^{-1}{m_{2}}\) ➜ Note \(\because \tan^{-1}{m_{1}}=\theta_{1}\)
\(\tan^{-1}{m_{2}}=\theta_{2}\)
\(\tan^{-1}{m_{3}}=\theta_{3}\)

\(\Rightarrow \tan^{-1}{\left(\frac{m_{1}+m_{3}}{1-m_{1}m_{3}}\right)}=\tan^{-1}{\left(\frac{2m_{2}}{1-m_{2}^2}\right)}\) ➜ Note \(\because \tan^{-1}{x}+\tan^{-1}{y}=\tan^{-1}{\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)}\)
\(2\tan^{-1}{x}=\tan^{-1}{\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)}\)

\(\Rightarrow \frac{m_{1}+m_{3}}{1-m_{1}m_{3}}=\frac{2m_{2}}{1-m_{2}^2}\)
\(\Rightarrow \frac{-\frac{c}{d}-m_{2}}{1+\frac{a}{dm_{2}}}=\frac{2m_{2}}{1-m_{2}^2}\) ➜ Note \(\because m_{1}+m_{2}+m_{3}=-\frac{c}{d}\)
\(\Rightarrow m_{1}+m_{3}=-\frac{c}{d}-m_{2}\)
আবার,
\(m_{1}m_{2}m_{3}=-\frac{a}{d}\)
\(\Rightarrow m_{1}m_{3}=-\frac{a}{dm_{2}}\)

\(\Rightarrow -\frac{c}{d}-m_{2}+\frac{c}{d}m_{2}^2+m_{2}^3=2m_{2}+\frac{2a}{d}\)
\(\Rightarrow m_{2}^3+\frac{c}{d}m_{2}^2-3m_{2}-\frac{2a}{d}-\frac{c}{d}=0\)
\(\Rightarrow dm_{2}^3+cm_{2}^2-3dm_{2}-2a-c=0\) ➜ Note উভয় পার্শে \(d\) গুণ করে।
\(\Rightarrow dm_{2}^3+cm_{2}^2-3dm_{2}-(2a+c)=0 .....(7)\)
\(m_{2}, \ (3)\) নং সমীকরণের একটি মূল।
\(\therefore dm_{2}^3+cm_{2}^2+bm_{2}+a=0 .....(8)\)
\((8)-(7)\) এর সাহায্যে,
\(dm_{2}^3+cm_{2}^2+bm_{2}+a-dm_{2}^3-cm_{2}^2+3dm_{2}+2a+c=0\)
\(\Rightarrow bm_{2}+3dm_{2}+3a+c=0\)
\(\Rightarrow m_{2}(b+3d)=-(3a+c)\)
\(\therefore m_{2}=-\frac{3a+c}{b+3d}\)
\(m_{2}\) এর মান \((8)\) এ বসিয়ে,
\(\therefore d\left(-\frac{3a+c}{b+3d}\right)^3+c\left(-\frac{3a+c}{b+3d}\right)^2+b\left(-\frac{3a+c}{b+3d}\right)+a=0\)
\(\Rightarrow -d(3a+c)^3+c(3a+c)^2(b+3d)-b(3a+c)(b+3d)^2+a(b+3d)^3=0\) ➜ Note উভয় পার্শে \((b+3d)^3\) গুণ করে।
\(\Rightarrow (3a+c)^2(-3ad-cd+bc+3cd)+(b+3d)^2(-3ab-bc+ab+3ad)=0\)
\(\Rightarrow (3a+c)^2(2cd+bc-3ad)+(b+3d)^2(-2ab-bc+3ad)=0\)
\(\Rightarrow (3a+c)^2(2cd+bc-3ad)-(b+3d)^2(2ab+bc-3ad)=0\)
\(\therefore (3a+c)^2(bc+2cd-3ad)=(b+3d)^2(2ab+bc-3ad)\)
( দেখানো হলো )

মনে করি,
\(2x^2-7xy+3y^2+x+7y-6=0.......(1)\)
এখানে, \(a=2, \ 2h=-7, \ b=3, 2g=1, \ 2f=7, c=-6\)
\(\therefore a=2, \ h=-\frac{7}{2}, \ b=3, \ g=\frac{1}{2}, \ f=\frac{7}{2}, \ c=-6\)
এখন, \(\Delta=abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2\)
\(=2\times{3}\times{-6}+2\times{\frac{7}{2}}\times{\frac{1}{2}}\times{-\frac{7}{2}}-2\left(\frac{7}{2}\right)^2-3\left(\frac{1}{2}\right)^2-(-6)\left(-\frac{7}{2}\right)^2\)
\(=-36-\frac{49}{4}-\frac{49}{2}-\frac{3}{4}+\frac{147}{2}\)
\(=\frac{-144-49-98-3+294}{4}\)
\(=\frac{-294+294}{4}\)
\(=\frac{0}{4}\)
\(\therefore \Delta=0\)
\(\therefore \) সমীকরণটি একজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করে।
মধ্যবর্তী কোণ
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{2\sqrt{\left(-\frac{7}{2}\right)^2-2\times{3}}}{2+3}\right)}\) ➜Note \(\because ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) রেখা দুইটির মধ্যবর্তী সূক্ষ্ণকোণ
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}\right)}\)

\(=\tan^{-1}{\left(\frac{2\sqrt{\frac{49}{4}-6}}{5}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{2\sqrt{\frac{49-24}{4}}}{5}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{2\sqrt{\frac{25}{4}}}{5}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{2\times{\frac{5}{2}}}{5}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{5}{5}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{(1)}\)
\(=\tan^{-1}{\tan{45^{o}}}\)
\(=45^{o}\)
( দেখানো হলো )

মনে করি,
\(6x^2-5xy-6y^2+14x+5y+4=0.......(1)\)
এখানে, \(a=6, \ 2h=-5, \ b=-6, 2g=14, \ 2f=5, c=4\)
\(\therefore a=6, \ h=-\frac{5}{2}, \ b=-6, \ g=7, \ f=\frac{5}{2}, \ c=4\)
এখন, \(\Delta=abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2\)
\(=6\times{-6}\times{4}+2\times{\frac{5}{2}}\times{7}\times{-\frac{5}{2}}-6\left(\frac{5}{2}\right)^2-(-6)(7)^2-4\left(-\frac{5}{2}\right)^2\)
\(=-144-\frac{175}{2}-\frac{75}{2}+294-25\)
\(=150-\frac{175}{2}-\frac{75}{2}\)
\(=\frac{250-250}{2}\)
\(=\frac{0}{2}\)
\(\therefore \Delta=0\)
\(\therefore \) সমীকরণটি একজোড়া সরলরেখা প্রকাশ করে।
যেহেতু সমীকরণটির \(x^2\) ও \(y^2\) এর সহগের যোগফল শূন্য, সুতরাং সমীকরণটি দ্বারা প্রকাশিত রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব।
( দেখানো হলো )

মনে করি,
\(ax^2+2\lambda{xy}-ay^2=0.......(1)\)
\((1)\) নং \(\) এর সমমাত্রিক দ্বিঘাত সমীকরণ,
\(\therefore \) সমীকরণটি মূলবিন্দুগামী একজোড়া সরলরেখা ( বাস্তব অথবা কাল্পনিক ) প্রকাশ করে।
যেহেতু সমীকরণটির \(x^2\) ও \(y^2\) এর সহগের যোগফল শূন্য, সুতরাং সমীকরণটি দ্বারা প্রকাশিত রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব।
( দেখানো হলো )

মনে করি,
\(p(x^3-3xy^2)+y^3-3x^2y=0.......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণটি \(x\) ও \(y\) এর ত্রিঘাত সমমাত্রিক সুতরাং ইহা তিনটি সরলরেখা প্রকাশ করে।
সরলরেখা তিনটির একটি \(x\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\theta\) কোণ উৎপন্ন করলে তার সমীকরণ হবে,
\(y=x\tan{\theta}.......(2)\)
\(\therefore (2)\) নং সমীকরণ \((1)\) নং কে সিদ্ধ করবে।
\(p(x^3-3xx^2\tan^2{\theta})+x^3\tan^3{\theta}-3x^2x\tan{\theta}=0\)
\(\Rightarrow p(x^3-3x^3\tan^2{\theta})+x^3\tan^3{\theta}-3x^3\tan{\theta}=0\)
\(\Rightarrow x^3p\{(1-3\tan^2{\theta})+\tan^3{\theta}-3\tan{\theta}\}=0\)
\(\Rightarrow p(1-3\tan^2{\theta})+\tan^3{\theta}-3\tan{\theta}=0, \ \because x^3\ne{0}\)
\(\Rightarrow p(1-3\tan^2{\theta})=3\tan{\theta}-\tan^3{\theta}\)
\(\Rightarrow p=\frac{3\tan{\theta}-\tan^3{\theta}}{1-3\tan^2{\theta}}\)
\(\Rightarrow p=\tan{3\theta}\) ➜ Note \(\because \frac{3\tan{A}-\tan^3{A}}{1-3\tan^2{A}}=\tan{3A}\)
\(\Rightarrow \tan{3\theta}=p\)
\(\Rightarrow \tan{3\theta}=\tan{\alpha}\) যেখানে, \(p=\tan{\alpha}\)
\(\Rightarrow 3\theta=n\pi+\alpha\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{N}}\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{n\pi}{3}+\frac{\alpha}{3}\)
এখানে, তিনটি সরলরেখার জন্য \(\theta\) এর তিনটি মান পাওয়া যাবে।
যখন, \(n=0,\ 1, \ 2\)
তখন, \(\theta_{1}=\frac{0.\pi}{3}+\frac{\alpha}{3},\ \theta_{2}=\frac{1.\pi}{3}+\frac{\alpha}{3}, \ \theta_{3}=\frac{2.\pi}{3}+\frac{\alpha}{3}\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{\alpha}{3},\ \theta_{2}=\frac{\pi}{3}+\frac{\alpha}{3}, \ \theta_{3}=\frac{2\pi}{3}+\frac{\alpha}{3}\)
\(\therefore \) সরলরেখাগুলির মধ্যবর্তী কোণ হবে,
প্রথম ও দ্বিতীয় রেখার মধ্যবর্তী কোণ, \(\theta_{2}-\theta_{1}=\frac{\pi}{3}+\frac{\alpha}{3}-\frac{\alpha}{3}=\frac{\pi}{3}\)
দ্বিতীয় ও তৃতীয় রেখার মধ্যবর্তী কোণ, \(\theta_{3}-\theta_{2}=\frac{2\pi}{3}+\frac{\alpha}{3}-\frac{\pi}{3}-\frac{\alpha}{3}=\frac{2\pi-\pi}{3}=\frac{\pi}{3}\)
তৃতীয় ও প্রথম রেখার মধ্যবর্তী কোণ, \(=\pi-\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}=\frac{3\pi-\pi-\pi}{3}=\frac{\pi}{3}\)
অতএব সরলরেখাগুলি একে অপরের সহিত সমান কোণ উৎপন্ন করে।
( দেখানো হলো )

মনে করি,
\(x^2+4xy-2y^2+6x-12y-15=0......(1)\)
এখানে, \(a=1, \ 2h=4, \ b=-2, 2g=6, \ 2f=-12, c=-15\)
\(\therefore a=1, \ h=2, \ b=-2, \ g=3, \ f=-6, \ c=-15\)
এখন, \(\Delta=abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2\)
\(=1\times{-2}\times{-15}+2\times{-6}\times{3}\times{2}-1(-6)^2-(-2)(3)^2-(-15)(2)^2\)
\(=30-72-36+18+60\)
\(=108-108\)
\(=0\)
\(\therefore \Delta=0\)
\(\therefore \) সমীকরণটি দুইটি সরলরেখা প্রকাশ করে।

মনে করি,
\(ax^2+2hxy+by^2=0......(1)\)
\(a^{\prime}x^2+2h^{\prime}xy+b^{\prime}y^2=0......(2)\)
\((1)\) নং সমীকরণের একটি রেখা \(y=mx ....(3)\)
\((3)\) নং রেখার উপর লম্ব রেখার সমীকরণ, \(y=-\frac{1}{m}x ....(4)\)
শর্তমতে, \(y=mx, \ (1)\) নং সমীকরণ সদ্ধ করবে,
\(\therefore ax^2+2hxmx+b(mx)^2=0\)
\(\Rightarrow ax^2+2hmx^2+bm^2x^2=0\)
\(\Rightarrow x^2(a+2hm+bm^2)=0\)
\(\Rightarrow a+2hm+bm^2=0, \because x^2\ne{0}\)
\(\therefore bm^2+2hm+a=0 ....(5)\)
আবার,
\(y=-\frac{1}{m}x, \ (2)\) নং সমীকরণ সদ্ধ করবে,
\(\therefore a^{\prime}x^2+2h^{\prime}x\left(-\frac{1}{m}x\right)+b^{\prime}\left(-\frac{1}{m}x\right)^2=0\)
\(\therefore a^{\prime}x^2-2h^{\prime}\frac{x^2}{m}+b^{\prime}\frac{x^2}{m^2}=0\)
\(\therefore \frac{x^2}{m^2}(a^{\prime}m^2-2h^{\prime}m+b^{\prime})=0\)
\(\Rightarrow a^{\prime}m^2-2h^{\prime}m+b^{\prime}=0, \because \frac{x^2}{m^2}\ne{0}\)
\(\therefore a^{\prime}m^2-2h^{\prime}m+b^{\prime}=0 ....(6)\)
\((5)\) ও \((6)\) বজ্রগুণ করে,
\(\frac{m^2}{2hb^{\prime}+2h^{\prime}a}=\frac{m}{aa^{\prime}-bb^{\prime}}=\frac{1}{-2h^{\prime}b-2ha^{\prime}}\)
\(\Rightarrow \frac{m^2}{2(hb^{\prime}+h^{\prime}a)}=\frac{m}{aa^{\prime}-bb^{\prime}}=\frac{1}{-2(h^{\prime}b+ha^{\prime})}\)
\(\Rightarrow \frac{m^2}{2(hb^{\prime}+h^{\prime}a)}=\frac{m}{aa^{\prime}-bb^{\prime}}, \ \frac{m}{aa^{\prime}-bb^{\prime}}=\frac{1}{-2(h^{\prime}b+ha^{\prime})}\)
\(\Rightarrow \frac{m}{2(hb^{\prime}+h^{\prime}a)}=\frac{1}{aa^{\prime}-bb^{\prime}}, \ \frac{m}{aa^{\prime}-bb^{\prime}}=\frac{1}{-2(h^{\prime}b+ha^{\prime})}\)
\(\Rightarrow m=\frac{2(hb^{\prime}+h^{\prime}a)}{aa^{\prime}-bb^{\prime}}, \ m=\frac{aa^{\prime}-bb^{\prime}}{-2(h^{\prime}b+ha^{\prime})}\)
\(\Rightarrow \frac{2(hb^{\prime}+h^{\prime}a)}{aa^{\prime}-bb^{\prime}}=\frac{aa^{\prime}-bb^{\prime}}{-2(h^{\prime}b+ha^{\prime})}\)
\(\Rightarrow (aa^{\prime}-bb^{\prime})^2=-4(h^{\prime}b+ha^{\prime})(hb^{\prime}+h^{\prime}a)\)
\(\Rightarrow (aa^{\prime}-bb^{\prime})^2+4(bh^{\prime}+a^{\prime}h)(b^{\prime}h+ah^{\prime})=0\)
\(\therefore (aa^{\prime}-bb^{\prime})^2+4(a^{\prime}h+bh^{\prime})(ah^{\prime}+b^{\prime}h)=0\)
( দেখানো হলো )

মনে করি,
\(ax^4+bx^3y+cx^2y^2+dxy^3+ey^4=0.......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত চারটি সরলরেখার পরস্পর লম্ব দুইটি সরলরেখার সমীকরণ,
\(x^2+\lambda{xy}-y^2=0.......(2)\)
এবং অপর দুইটি সরলরেখার সমীকরণ,
\(ax^2+kxy-ey^2=0.......(3)\)
\(\therefore (2)\) ও \((3)\) এর যৌথ সমীকরণ।
\((x^2+\lambda{xy}-y^2)(ax^2+kxy-ey^2)=0 .......(4)\)
\((1)\) ও \((4)\) অভিন্ন সমীকরণ তাই,
\(ax^4+bx^3y+cx^2y^2+dxy^3+ey^4=(x^2+\lambda{xy}-y^2)(ax^2+kxy-ey^2) .......(5)\)
\((5)\) এর উভয় পার্শ হতে \(x^3y, \ x^2y^2, \ xy^3\) এর সহগ সমীকৃত করে,
\(b=k+a\lambda.......(6)\)
\(c=-e-a+k\lambda ......(7)\)
\(d=-e\lambda-k ......(8)\)
এখন, \((6)+(8)\) এর সাহায্যে
\(b+d=k+a\lambda-e\lambda-k\)
\(\Rightarrow b+d=(a-e)\lambda\)
\(\Rightarrow (a-e)\lambda=b+d\)
\(\therefore \lambda=\frac{b+d}{a-e}\)
আবার, \((6)\times{e}+(8)\times{a}\) এর সাহায্যে
\(be+ad=ek+ae\lambda-ae\lambda-ak\)
\(\Rightarrow be+ad=ek-ak\)
\(\Rightarrow be+ad=(e-a)k\)
\(\Rightarrow (e-a)k=be+ad\)
\(\Rightarrow k=\frac{be+ad}{e-a}\)
\(\therefore k=-\frac{be+ad}{a-e}\)
এখন, \(\lambda\) ও \(k\) এর মান \((7)\) এ বসিয়ে,
\(c=-e-a+\left(-\frac{be+ad}{a-e}\right)\left(\frac{b+d}{a-e}\right)\)
\(\Rightarrow c+e+a=-\frac{(b+d)(be+ad)}{(a-e)^2}\)
\(\Rightarrow (a-e)^2(a+c+e)=-(b+d)(ad+be)\)
\(\therefore (b+d)(ad+be)+(a-e)^2(a+c+e)=0\)
( দেখানো হলো )

মনে করি,
\(ax^2+by^2=1.......(1)\)
\(lx+my=1.......(2)\)
\((1)\) নং কে \((2)\) এর সাহায্যে সমমাত্রিক গঠন করে,
\(ax^2+by^2=1^2\)
\(\Rightarrow ax^2+by^2=(lx+my)^2\)
\(\Rightarrow ax^2+by^2=l^2x^2+2lmxy+m^2y^2\)
\(\Rightarrow ax^2+by^2-l^2x^2-2lmxy-m^2y^2=0\)
\(\therefore (a-l^2)x^2-2lmxy+(b-m^2)y^2=0\)
এটিই \(OA\) এবং \(OB\) সরলরেখা দুইটির সংযুক্ত সমীকরণ।
( দেখানো হলো )

মনে করি,
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx=0.......(1)\)
\(a^{\prime}x^2+2h^{\prime}xy+b^{\prime}y^2+2g^{\prime}x=0.......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর সমন্বয়ে সমমাত্রিক গঠন করি,
\((1)\times{g^{\prime}}-(2)\times{g}\) এর সাহায্যে,
\(ag^{\prime}x^2+2hg^{\prime}xy+bg^{\prime}y^2+2gg^{\prime}x-a^{\prime}gx^2-2h^{\prime}gxy-b^{\prime}gy^2-2gg^{\prime}x=0\)
\(\therefore (ag^{\prime}-a^{\prime}g)x^2+2(hg^{\prime}-h^{\prime}g)xy+(bg^{\prime}-b^{\prime}g)y^2=0 ......(3)\)
\((3)\) নং সমীকরণটি দুইটি সরলরেখা প্রকাশ করে যারা মূলবিন্দু এবং প্রদত্ত রেখাদ্বয়ের অপর দুইটি ছেদবিন্দুর সংযোগকারী।
সরলরেখা দুইটি পরস্পর লম্ব হবে যদি,
যদি, \((ag^{\prime}-a^{\prime}g)+(bg^{\prime}-b^{\prime}g)=0\) হয়।
\(\Rightarrow ag^{\prime}-a^{\prime}g+bg^{\prime}-b^{\prime}g=0\)
\(\Rightarrow g^{\prime}(a+b)-g(a^{\prime}+b^{\prime})=0\)
\(\Rightarrow -g(a^{\prime}+b^{\prime})=-g^{\prime}(a+b)\)
\(\therefore g(a^{\prime}+b^{\prime})=g^{\prime}(a+b)\)
( প্রমাণিত )

ধরি,
\(ax^2+2hxy+by^2=0.......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ,
\(y-m_{1}x=0 .......(2)\)
\(y-m_{2}x=0 .......(3)\)
যখন,
\(m_{1}+m_{2}=-\frac{2h}{b}\)
\(m_{1}m_{2}=\frac{a}{b}\)
\((x_{1}, y_{1})\) বিন্দু হতে \((2)\) নং সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{|y_{1}-m_{1}x_{1}|}{\sqrt{1^2+m_{1}^2}}\) ➜ Note \(\because (x_{1}, y_{1})\) বিন্দু হতে
\(ax+by+c=0\) সরলরেখার লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{|ax_{1}+by_{1}+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

\(=\frac{|y_{1}-m_{1}x_{1}|}{\sqrt{1+m_{1}^2}}\)
আবার,
\((x_{1}, y_{1})\) বিন্দু হতে \((3)\) নং সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{|y_{1}-m_{2}x_{1}|}{\sqrt{1^2+m_{2}^2}}\) ➜ Note \(\because (x_{1}, y_{1})\) বিন্দু হতে
\(ax+by+c=0\) সরলরেখার লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{|ax_{1}+by_{1}+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

\(=\frac{|y_{1}-m_{2}x_{1}|}{\sqrt{1+m_{2}^2}}\)
লম্ব দূরত্বদ্বয়ের গুণফল,
\(=\frac{|y_{1}-m_{1}x_{1}|}{\sqrt{1+m_{1}^2}}\times{\frac{|y_{1}-m_{2}x_{1}|}{\sqrt{1+m_{2}^2}}}\)
\(=\frac{(y_{1}-m_{1}x_{1})(y_{1}-m_{2}x_{1})}{\sqrt{(1+m_{1}^2)(1+m_{2}^2)}}\)
\(=\frac{y_{1}^2-(m_{1}+m_{2})x_{1}y_{1}+m_{1}m_{2}x_{1}^2}{\sqrt{1+m_{1}^2+m_{2}^2+m_{1}^2m_{2}^2}}\)
\(=\frac{y_{1}^2-(m_{1}+m_{2})x_{1}y_{1}+m_{1}m_{2}x_{1}^2}{\sqrt{1+(m_{1}+m_{2})^2-2m_{1}m_{2}+m_{1}^2m_{2}^2}}\)
\(=\frac{y_{1}^2-\left(-\frac{2h}{b}\right)x_{1}y_{1}+\frac{a}{b}x_{1}^2}{\sqrt{1+\left(-\frac{2h}{b}\right)^2-2\frac{a}{b}+\left(\frac{a}{b}\right)^2}}\) ➜ Note \(\because m_{1}+m_{2}=-\frac{2h}{b}\)
\(m_{1}m_{2}=\frac{a}{b}\)

\(=\frac{y_{1}^2+\frac{2h}{b}x_{1}y_{1}+\frac{a}{b}x_{1}^2}{\sqrt{1+\frac{4h^2}{b^2}-\frac{2a}{b}+\frac{a^2}{b^2}}}\)
\(=\frac{\frac{by_{1}^2+2hx_{1}y_{1}+ax_{1}^2}{b}}{\sqrt{\frac{b^2+4h^2-2ab+a^2}{b^2}}}\)
\(=\frac{\frac{by_{1}^2+2hx_{1}y_{1}+ax_{1}^2}{b}}{\frac{\sqrt{a^2-2ab+b^2+4h^2}}{b}}\)
\(=\frac{\frac{by_{1}^2+2hx_{1}y_{1}+ax_{1}^2}{b}}{\frac{\sqrt{(a-b)^2+4h^2}}{b}}\)
\(=\frac{by_{1}^2+2hx_{1}y_{1}+ax_{1}^2}{b}\times{\frac{b}{\sqrt{(a-b)^2+4h^2}}}\)
\(=\frac{ax_{1}^2+2hx_{1}y_{1}+by_{1}^2}{\sqrt{(a-b)^2+4h^2}}\)
( প্রমাণিত )

ধরি,
\(ax^2+2hxy+by^2=0.......(1)\)
\(y=mx+c \Rightarrow mx-y+c=0.......(2)\)
\((1)\) নং সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ,
\(y-m_{1}x=0 .......(3)\)
\(y-m_{2}x=0 .......(4)\)
যখন,
\(m_{1}+m_{2}=-\frac{2h}{b}\)
\(m_{1}m_{2}=\frac{a}{b}\)
\((2), \ (3)\) ও \((4)\) হতে,
\(\Delta=\left|\begin{array}{c}m & -1 & c\\-m_{1} & 1 & 0\\ -m_{2} & 1 & 0\end{array}\right|\)
\(=c(-m_{1}+m_{2})\)
\(=c(m_{2}-m_{1})\)
এখানে,
\(C_{1}=(-m_{1}+m_{2})\)
\(=(m_{2}-m_{1})\)
\(C_{2}=-(m-m_{2})\)
\(C_{3}=(m-m_{1})\)
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল,
\(=\frac{1}{2}\frac{\Delta^2}{C_{1}C_{2}C_{3}}\) ➜Note \(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ........(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ........(2)\)
\(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0 ........(3)\)
উপরক্ত \((1)\), \((2)\) এবং \((3)\) রেখাগুলি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= \(\frac{1}{2} \frac{\Delta^{2}}{C_{1}C_{2}C_{3}}\)

যেখানে,\(\Delta=\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\ a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|\) এবং \(C_{1}, C_{2}, C_{3}\) হচ্ছে \(\Delta\) নির্ণায়কটির যথাক্রমে \(c_{1}, c_{2}, c_{3}\) উপাদানের সহ-গুণক।

অর্থাৎ \(C_{1}=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}),\) \(C_{2}= -(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1}),\) \(C_{3}=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\)

\(=\frac{1}{2}\frac{\{c(m_{2}-m_{1})\}^2}{(m_{2}-m_{1})\times{-(m-m_{2})}\times{(m-m_{1})}}\)
\(=\frac{1}{2}\frac{c^2(m_{2}-m_{1})}{-(m-m_{2})(m-m_{1})}\)
\(=\frac{1}{2}\frac{c^2\sqrt{(m_{1}+m_{2})^2-4m_{1}m_{2}}}{-m^2+(m_{1}+m_{2})m-m_{1}m_{2}}\)
\(=\frac{1}{2}\frac{c^2\sqrt{\left(-\frac{2h}{b}\right)^2-4\frac{a}{b}}}{-m^2+\left(-\frac{2h}{b}\right)m-\left(\frac{a}{b}\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\frac{c^2\sqrt{\frac{4h^2}{b^2}-\frac{4a}{b}}}{-m^2-\frac{2hm}{b}-\frac{a}{b}}\)
\(=\frac{1}{2}\frac{c^2\sqrt{\frac{4h^2-4ab}{b^2}}}{\frac{-bm^2-2hm-a}{b}}\)
\(=\frac{1}{2}\frac{2c^2\sqrt{\frac{h^2-ab}{b^2}}}{-\frac{bm^2+2hm+a}{b}}\)
\(=-\frac{\frac{c^2\sqrt{h^2-ab}}{b}}{\frac{bm^2+2hm+a}{b}}\)
\(=-\frac{c^2\sqrt{h^2-ab}}{b}\times{\frac{b}{bm^2+2hm+a}}\)
\(=\frac{c^2\sqrt{h^2-ab}}{bm^2+2hm+a}, \ \because\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(\ne{-ve}\)
\(\therefore \) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\frac{c^2\sqrt{h^2-ab}}{bm^2+2hm+a}\)
( দেখানো হলো। )
ধরি,
\(ax^2+2hxy+by^2=0.......(1)\)
\(y=mx+c.......(2)\)
\((1)\) নং সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ,
\(y-m_{1}x=0 .......(3)\)
\(y-m_{2}x=0 .......(4)\)
যখন,
\(m_{1}+m_{2}=-\frac{2h}{b}\)
\(m_{1}m_{2}=\frac{a}{b}\)
\((3)\) ও \((4)\) এর ছেদবিন্দু \(O(0, 0)\)
\((2)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দু \(A\left(\frac{-c}{m-m_{1}}, \frac{-cm_{1}}{m-m_{1}}\right)\)
\((2)\) ও \((4)\) এর ছেদবিন্দু \(B\left(\frac{-c}{m-m_{2}}, \frac{-cm_{2}}{m-m_{2}}\right)\)
এখন, \(\triangle{OAB}=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}0 & 0 & 1\\\frac{-c}{m-m_{1}} & \frac{-cm_{1}}{m-m_{1}} & 1\\ \frac{-c}{m-m_{2}} & \frac{-cm_{2}}{m-m_{2}} & 1\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\times{\frac{c^2m_{2}}{(m-m_{1})(m-m_{2})}-\frac{c^2m_{1}}{(m-m_{1})(m-m_{2})}}\)
\(=\frac{1}{2}\times{\frac{c^2m_{2}-c^2m_{1}}{(m-m_{1})(m-m_{2})}}\)
\(=\frac{c^2}{2}\times{\frac{m_{2}-m_{1}}{m^2-(m_{1}+m_{2})m+m_{1}m_{2}}}\)
\(=\frac{c^2}{2}\times{\frac{\sqrt{(m_{1}+m_{2})^2-4m_{1}m_{2}}}{m^2-(m_{1}+m_{2})m+m_{1}m_{2}}}\)
\(=\frac{c^2}{2}\times{\frac{\sqrt{\left(-\frac{2h}{b}\right)^2-4\frac{a}{b}}}{m^2-\left(-\frac{2h}{b}\right)lm+\left(\frac{a}{b}\right)}}\)
\(=\frac{c^2}{2}\times{\frac{\sqrt{\frac{4h^2}{b^2}-\frac{4a}{b}}}{m^2+\frac{2hlm}{b}+\frac{a}{b}}}\)
\(=\frac{c^2}{2}\times{\frac{\sqrt{\frac{4h^2-4ab}{b^2}}}{\frac{bm^2+2hm+a}{b}}}\)
\(=\frac{c^2}{2}\times{\frac{2\frac{\sqrt{h^2-ab}}{b}}{\frac{bm^2+2hm+a}{b}}}\)
\(=\frac{\frac{c^2\sqrt{h^2-ab}}{b}}{\frac{bm^2+2hm+a}{b}}\)
\(=\frac{c^2\sqrt{h^2-ab}}{b}\times{\frac{b}{bm^2+2hm+a}}\)
\(=\frac{c^2\sqrt{h^2-ab}}{bm^2+2hm+a}\)
\(\therefore \) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\frac{c^2\sqrt{h^2-ab}}{bm^2+2hm+a}\)
( দেখানো হলো। )

ধরি,
\(11y^2+16xy-x^2=0.......(1)\)
\(x+2y=1.......(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখার ঢাল \(m_{1}=-\frac{1}{2}\)
মূলবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(y=mx.......(3)\)
\((2)\) ও \((3)\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(=30^{o}\)
\(\therefore \tan{30^{o}}=\pm{\frac{m-m_{1}}{1+mm_{1}}}\) ➜Note \(\because ax^2+2hxy+by^2=0\) রেখা দুইটির মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) হলে,
\(\tan{\theta}=\pm{\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\pm{\frac{m+\frac{1}{2}}{1+m\times{-\frac{1}{2}}}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\pm{\frac{m+\frac{1}{2}}{1-\frac{m}{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\pm{\frac{\frac{2m+1}{2}}{\frac{2-m}{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\pm{\frac{2m+1}{2}\times{\frac{2}{2-m}}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\pm{\frac{2m+1}{2-m}}\)
\(\Rightarrow \pm{\sqrt{3}(2m+1)}=2-m\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}(2m+1)=2-m, \ -\sqrt{3}(2m+1)=2-m\)
\(\Rightarrow m+2\sqrt{3}m+\sqrt{3}=2, \ m-2\sqrt{3}m-\sqrt{3}=2\)
\(\Rightarrow m(1+2\sqrt{3})=2-\sqrt{3}, \ m(1-2\sqrt{3})=2+\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow m=\frac{2-\sqrt{3}}{1+2\sqrt{3}}, \ m=\frac{2+\sqrt{3}}{1-2\sqrt{3}}\)
\(\therefore \) মূলবিন্দুগামী রেখাদ্বয়ের সমীকরণ, \((3)\) হতে,
\(\Rightarrow y=\frac{2-\sqrt{3}}{1+2\sqrt{3}}x, \ y=\frac{2+\sqrt{3}}{1-2\sqrt{3}}x\)
\(\Rightarrow y-\frac{2-\sqrt{3}}{1+2\sqrt{3}}x=0, \ y-\frac{2+\sqrt{3}}{1-2\sqrt{3}}x=0\)
\(\Rightarrow \left(y-\frac{2-\sqrt{3}}{1+2\sqrt{3}}x\right)\left(y-\frac{2+\sqrt{3}}{1-2\sqrt{3}}x\right)=0\)
\(\Rightarrow y^2-\left(\frac{2-\sqrt{3}}{1+2\sqrt{3}}+\frac{2+\sqrt{3}}{1-2\sqrt{3}}\right)xy+\frac{2-\sqrt{3}}{1+2\sqrt{3}}\times{\frac{2+\sqrt{3}}{1-2\sqrt{3}}}x^2=0\)
\(\Rightarrow y^2-\left(\frac{2-4\sqrt{3}-\sqrt{3}+6+2+4\sqrt{3}+\sqrt{3}+6}{1-4\times{3}}\right)xy+\frac{4-3}{1-4\times{3}}x^2=0\)
\(\Rightarrow y^2-\left(\frac{16}{1-12}\right)xy+\frac{1}{1-12}x^2=0\)
\(\Rightarrow y^2-\left(\frac{16}{-11}\right)xy+\frac{1}{-11}x^2=0\)
\(\Rightarrow y^2+\left(\frac{16}{11}\right)xy-\frac{1}{11}x^2=0\)
\(\therefore 11y^2+16xy-x^2=0\) ➜ Note উভয় পার্শে \(11\) গুণ করে।
যা \((1)\) নং সমীকরণের অনুরূপ।
( দেখানো হলো। )

ধরি,
\(x\cos{\alpha}+y\sin{\alpha}=p.......(1)\)
\(ax^2+2hxy+by^2=0.......(2)\)
\((2)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখাদ্বয় মূলবিন্দুগামী।
মূলবিন্দুগামী এবং \((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x\cos{\alpha}+y\sin{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow x\cos{\alpha}=-y\sin{\alpha}\)
\(\Rightarrow x=-y\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}\)
\(\therefore x=-y\tan{\alpha} .......(3)\)
শর্তমতে, \((3)\) নং সমীকরণ \((2)\) কে সিদ্ধ করবে।
\(\therefore a(-y\tan{\alpha})^2+2h(-y\tan{\alpha})y+by^2=0\)
\(\Rightarrow ay^2\tan^2{\alpha}-2hy^2\tan{\alpha}+by^2=0\)
\(\Rightarrow y^2(a\tan^2{\alpha}-2h\tan{\alpha}+b)=0\)
\(\Rightarrow a\tan^2{\alpha}-2h\tan{\alpha}+b=0, \ y^2\ne{0}\)
\(\therefore a\tan^2{\alpha}-2h\tan{\alpha}+b=0\)
ইহাই নির্ণেয় শর্ত।

ধরি,
\(ax^2+2hxy+by^2=0.......(1)\)
\(Ax^2+2Hxy+By^2=0.......(2)\)
\((1)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখাদ্বয় অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকদ্বয়ের সমীকরণ,
\(\frac{x^2-y^2}{a-b}=\frac{xy}{h}\) ➜Note \(\because ax^2+2hxy+by^2=0\) রেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{x^2-y^2}{a-b}=\frac{xy}{h}\)

\(\Rightarrow (x^2-y^2)h=(a-b)xy\)
\(\therefore (x^2-y^2)h-(a-b)xy=0 .....(3)\)
ধরি, \((2)\) ও \((3)\) সাধারণ রেখাটির সমীকরণ,
\(y=mx .....(4)\)
শর্তমতে, \((4)\) নং সমীকরণ \((2)\) ও \((3)\) উভয়কে সিদ্ধ করবে।
\(\therefore Ax^2+2Hx.mx+B(mx)^2=0\)
\(\Rightarrow Ax^2+2Hmx^2+Bm^2x^2=0\)
\(\Rightarrow x^2(A+2Hm+Bm^2)=0\)
\(\Rightarrow A+2Hm+Bm^2=0, \ x^2\ne{0}\)
\(\therefore Bm^2+2Hm+A=0 .....(5)\)
আবার,
\(\therefore (x^2-m^2x^2)h-(a-b)x.mx=0\)
\(\therefore x^2(h-hm^2)-(a-b)mx^2=0\)
\(\therefore -x^2\{m^2h+(a-b)m-h\}=0\)
\(\Rightarrow m^2h+(a-b)m-h=0, \ x^2\ne{0}\)
\(\therefore m^2h+(a-b)m-h=0 .....(6)\)
\((5)\) ও \((6)\) বজ্রগুণ করে,
\(\frac{m^2}{-2Hh-A(a-b)}=\frac{m}{Ah+Bh}=\frac{1}{B(a-b)-2Hh}\)
\(\Rightarrow \frac{m^2}{-\{A(a-b)+2Hh\}}=\frac{m}{h(A+B)}=\frac{1}{-\{2Hh-B(a-b)\}}\)
\(\Rightarrow \frac{m^2}{-\{A(a-b)+2Hh\}}=\frac{1}{-\{2Hh-B(a-b)\}}, \ \frac{m}{h(A+B)}=\frac{1}{-\{2Hh-B(a-b)\}}\)
\(\Rightarrow m^2=\frac{-\{A(a-b)+2Hh\}}{-\{2Hh-B(a-b)\}}, \ m=\frac{h(A+B)}{-\{2Hh-B(a-b)\}}\)
\(\Rightarrow m^2=\frac{A(a-b)+2Hh}{2Hh-B(a-b)}, \ m=\frac{h(A+B)}{-\{2Hh-B(a-b)\}}\)
\(\Rightarrow m^2=\frac{A(a-b)+2Hh}{2Hh-B(a-b)}, \ m^2=\frac{h^2(A+B)^2}{\{2Hh-B(a-b)\}^2}\)
\(\Rightarrow \frac{2Hh+A(a-b)}{2Hh-B(a-b)}=\frac{h^2(A+B)^2}{\{2Hh-B(a-b)\}^2}\)
\(\Rightarrow 2Hh+A(a-b)=\frac{h^2(A+B)^2}{2Hh-B(a-b)}\)
\(\therefore h^2(A+B)^2=\{{2Hh-B(a-b)}\}\{2Hh+A(a-b)\}\)
( দেখানো হলো। )

ধরি,
\((a+2h+b)x^2-2(a-b)xy+(a-2h+b)y^2=0......(1)\)
\(ax^2+2hxy+by^2=0.......(2)\)
\((2)\) নং সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ,
\(y-m_{1}x=0 .......(3)\)
\(y-m_{2}x=0 .......(4)\)
যখন,
\(m_{1}+m_{2}=-\frac{2h}{b}\)
\(m_{1}m_{2}=\frac{a}{b}\)
মূলবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(y=mx .....(5)\)
শর্তমতে, \((5)\) নং সরলরেখা \((3)\) এর সহিত \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে।
\(\tan{45^{o}}=\frac{m_{1}-m}{1+mm_{1}}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{m_{1}-m}{1+mm_{1}}\)
\(\Rightarrow 1+mm_{1}=m_{1}-m\)
\(\Rightarrow mm_{1}+m=m_{1}-1\)
\(\Rightarrow m(m_{1}+1)=m_{1}-1\)
\(\therefore m=\frac{m_{1}-1}{m_{1}+1}\)
অনুরূপভাবে, \((5)\) নং সরলরেখা \((4)\) এর সহিত \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে।
\(\therefore m=\frac{m_{2}-1}{m_{2}+1}\)
\((3)\) ও \((4)\) এর সহিত \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এরূপ রেখাদ্বয় যথাক্রমে,
\(y-\frac{m_{1}-1}{m_{1}+1}x=0 .......(6)\)
এবং \(y-\frac{m_{2}-1}{m_{2}+1}x=0.......(7)\)
\((6)\) ও \((7)\) গুণ করে,
\(\left(y-\frac{m_{1}-1}{m_{1}+1}x\right)\left(y-\frac{m_{2}-1}{m_{2}+1}x\right)=0\)
\(\Rightarrow y^2-\left(\frac{m_{1}-1}{m_{1}+1}+\frac{m_{2}-1}{m_{2}+1}\right)xy+\frac{m_{1}-1}{m_{1}+1}\times{\frac{m_{2}-1}{m_{2}+1}}x^2=0\)
\(\Rightarrow y^2-\frac{m_{1}m_{2}+(m_{1}-m_{2})-1+m_{1}m_{2}-(m_{1}-m_{2})-1}{m_{1}m_{2}+m_{1}+m_{2}+1}xy+\frac{m_{1}m_{2}-(m_{1}+m_{2})+1}{m_{1}m_{2}+(m_{1}+m_{2})+1}x^2=0\)
\(\Rightarrow y^2-\frac{2m_{1}m_{2}-2}{m_{1}m_{2}+m_{1}+m_{2}+1}xy+\frac{m_{1}m_{2}-(m_{1}+m_{2})+1}{m_{1}m_{2}+(m_{1}+m_{2})+1}x^2=0\)
\(\Rightarrow y^2-\frac{2\frac{a}{b}-2}{\frac{a}{b}+\left(-\frac{2h}{b}\right)+1}xy+\frac{\frac{a}{b}-\left(-\frac{2h}{b}\right)+1}{\frac{a}{b}+\left(-\frac{2h}{b}\right)+1}x^2=0\)
\(\Rightarrow y^2-\frac{2\frac{a-b}{b}}{\frac{a}{b}-\frac{2h}{b}+1}xy+\frac{\frac{a}{b}+\frac{2h}{b}+1}{\frac{a}{b}-\frac{2h}{b}+1}x^2=0\)
\(\Rightarrow y^2-\frac{2\frac{a-b}{b}}{\frac{a-2h+b}{b}}xy+\frac{\frac{a+2h+b}{b}}{\frac{a-2h+b}{b}}x^2=0\)
\(\Rightarrow y^2-2\frac{a-b}{a-2h+b}xy+\frac{a+2h+b}{a-2h+b}x^2=0\)
\(\Rightarrow (a-2h+b)y^2-2(a-b)xy+(a+2h+b)x^2=0\) ➜ Note উভয় পার্শে \((a-2h+b)\) গুণ করে।
\(\therefore (a+2h+b)x^2-2(a-b)xy+(a-2h+b)y^2=0\)
যা \((1)\) এর অনুরূপ।
( প্রমাণিত )

মনে করি,
\(2x^2+7xy+6y^2+13x+22y+20=0......(1)\)
এখানে, \(a=2, \ 2h=7, \ b=6, \ 2g=13, \ 2f=22, \ c=20\) ➜Note \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=2, \ h=\frac{7}{2}, \ b=6, \ g=\frac{13}{2}, \ f=11, \ c=20\)
ধরি,
\(F(x,y)\equiv{2x^2+7xy+6y^2+13x+22y+20}=0\)
\(\Rightarrow \frac{\partial{F}}{\partial{x}}=4x+7y+0+13-0+0=0\)
\(\therefore 4x+7y+13=0 ......(2)\)
আবার,
\(\Rightarrow \frac{\partial{F}}{\partial{y}}=0+7x+12y+0+22+0=0\)
\(\therefore 7x+12y+22=0 ......(3)\)
\((2)\) ও \((3)\) বজ্রগুণ করে।
\(\frac{x}{154-156}=\frac{y}{91-88}=\frac{1}{48-49}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-2}=\frac{y}{3}=\frac{1}{-1}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-2}=\frac{y}{3}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-2}=-1, \ \frac{y}{3}=-1\)
\(\Rightarrow x=2, \ y=-3\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \((2, -3)\)
রেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{(x-2)^2-(y+3)^2}{2-6}=\frac{(x-2)(y+3)}{\frac{7}{2}}\) ➜Note \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) সরলরেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু \((x_{1}, y_{1})\) হলে,
রেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{(x-x_{1})^2-(y-y_{1})^2}{a-b}=\frac{(x-x_{1})(y-y_{1})}{h}\)

\(\Rightarrow \frac{x^2-4x+4-y^2-6y-9}{-4}=\frac{xy+3x-2y-6}{\frac{7}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2-y^2-4x-6y-5}{-4}=\frac{2xy+6x-4y-12}{7}\)
\(\Rightarrow 7x^2-7y^2-28x-42y-35=-8xy-24x+16y+48\)
\(\Rightarrow 7x^2-7y^2-28x-42y-35+8xy+24x-16y-48=0\)
\(\therefore 7x^2+8xy-7y^2-4x-58y-83=0\)
নির্ণেয় সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ।

মনে করি,
\(xy+y^2-2x-5y+6=0......(1)\)
এখানে, \(a=0, \ 2h=1, \ b=1, \ 2g=-2, \ 2f=-5, \ c=6\) ➜Note \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=0, \ h=\frac{1}{2}, \ b=1, \ g=-1, \ f=-\frac{5}{2}, \ c=6\)
ধরি,
\(F(x,y)\equiv{xy+y^2-2x-5y+6}=0\)
\(\Rightarrow \frac{\partial{F}}{\partial{x}}=y+0-2-0+0=0\)
\(\Rightarrow y-2=0\)
\(\therefore y=2 ......(2)\)
আবার,
\(\Rightarrow \frac{\partial{F}}{\partial{y}}=x+2y-0-5+0=0\)
\(\therefore x+2y-5=0 ......(3)\)
\((2)\) হতে \(y\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(\Rightarrow x+2\times{2}-5=0\)
\(\Rightarrow x+4-5=0\)
\(\Rightarrow x-1=0\)
\(\therefore x=1\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \((1, 2)\)
রেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{(x-1)^2-(y-2)^2}{0-1}=\frac{(x-1)(y-2)}{\frac{1}{2}}\) ➜Note \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) সরলরেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু \((x_{1}, y_{1})\) হলে,
রেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{(x-x_{1})^2-(y-y_{1})^2}{a-b}=\frac{(x-x_{1})(y-y_{1})}{h}\)

\(\Rightarrow \frac{x^2-2x+1-y^2+4y-4}{-1}=\frac{xy-2x-y+2}{\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow x^2-y^2-2x+4y-3=-\frac{2xy-4x-2y+4}{1}\)
\(\Rightarrow x^2-y^2-2x+4y-3=-2xy+4x+2y-4\)
\(\Rightarrow x^2-y^2-2x+4y-3+2xy-4x-2y+4=0\)
\(\therefore x^2+2xy-y^2-6x+2y+1=0\)
নির্ণেয় সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ।

মনে করি,
\(12x^2+7xy-10y^2+13x+45y-35=0......(1)\)
এখানে, \(a=12, \ 2h=7, \ b=-10, \ 2g=13, \ 2f=45, \ c=-35\) ➜Note \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=12, \ h=\frac{7}{2}, \ b=-10, \ g=\frac{13}{2}, \ f=\frac{45}{2}, \ c=-35\)
ধরি,
\(F(x,y)\equiv{12x^2+7xy-10y^2+13x+45y-35}=0\)
\(\Rightarrow \frac{\partial{F}}{\partial{x}}=24x+7y-0+13+0-0=0\)
\(\therefore 24x+7y+13=0 ......(2)\)
আবার,
\(\Rightarrow \frac{\partial{F}}{\partial{y}}=0+7x-20y+0+45-0=0\)
\(\therefore 7x-20y+45=0 ......(3)\)
\((2)\) ও \((3)\) বজ্রগুণ করে।
\(\frac{x}{315+260}=\frac{y}{91-1080}=\frac{1}{-480-49}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{575}=\frac{y}{-989}=\frac{1}{-529}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{575}=\frac{1}{-529}, \ \frac{y}{-989}=\frac{1}{-529}\)
\(\Rightarrow x=\frac{575}{-529}, \ y=\frac{-989}{-529}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{25}{23}, \ y=\frac{43}{23}\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \(\left(-\frac{25}{23}, \frac{43}{23}\right)\)
রেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{\left(x+\frac{25}{23}\right)^2-\left(y-\frac{43}{23}\right)^2}{12+10}=\frac{\left(x+\frac{25}{23}\right)\left(y-\frac{43}{23}\right)}{\frac{7}{2}}\) ➜Note \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) সরলরেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু \((x_{1}, y_{1})\) হলে,
রেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{(x-x_{1})^2-(y-y_{1})^2}{a-b}=\frac{(x-x_{1})(y-y_{1})}{h}\)

\(\Rightarrow \frac{\frac{(23x+25)^2}{529}-\frac{(23y-43)^2}{529}}{22}=2\frac{\frac{23x+25}{23}\times{\frac{23y-43}{23}}}{7}\)
\(\Rightarrow \frac{(23x+25)^2-(23y-43)^2}{22\times{529}}=\frac{2(23x+25)(23y-43)}{7\times{529}}\)
\(\Rightarrow \frac{(23x+25)^2-(23y-43)^2}{22}=\frac{2(23x+25)(23y-43)}{7}\)
\(\therefore 7(23x+25)^2-7(23y-43)^2=44(23x+25)(23y-43)\)
নির্ণেয় সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ।

ধরি,
\(5x^2-7xy-3y^2=0......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ,
\(y-m_{1}x=0 .......(2)\)
\(y-m_{2}x=0 .......(3)\)
যখন,
\(m_{1}+m_{2}=-\frac{2h}{b}\)
\(=-\frac{-7}{-3}\)
\(=-\frac{7}{3}\)
\(m_{1}m_{2}=\frac{a}{b}\)
\(=\frac{5}{-3}\)
\(=-\frac{5}{3}\)
\((2)\) ও \((3)\) নং রেখাদ্বয়ের উপর লম্ব এবং মূলবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ যথাক্রমে,
\(m_{1}y+x=0 .......(4)\)
\(m_{2}y+x=0 .......(5)\)
\((4)\) ও \((5)\) গুণ করে,
\((m_{1}y+x)(m_{2}y+x)=0\)
\(\Rightarrow m_{1}m_{2}y^2+(m_{1}+m_{2})xy+x^2=0\)
\(\Rightarrow -\frac{5}{3}y^2+\left(-\frac{7}{3}\right)xy+x^2=0\) ➜Note \(\because m_{1}+m_{2}=-\frac{7}{3}\)
\(m_{1}m_{2}=-\frac{5}{3}\)

\(\Rightarrow -\frac{5}{3}y^2-\frac{7}{3}xy+x^2=0\)
\(\Rightarrow -5y^2-7xy+3x^2=0\) ➜Note উভয় পার্শে \(3\) গুণ করে,
\(\therefore 3x^2-7xy-5y^2=0\)
ইহাই নির্ণেয় সমীকরণ।

ধরি,
\(x^2+3xy+2y^2+5x+6y+4=0......(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখাদ্বয়ের ঢালদ্বয় \(m_{1}\) ও \(m_{2}\) হলে,
\(m_{1}+m_{2}=-\frac{2h}{b}\)
\(=-\frac{3}{2}\)
\(m_{1}m_{2}=\frac{a}{b}\)
\(=\frac{1}{2}\)
ঐ রেখাদ্বয়ের সমান্তরাল এবং \((1, 2)\) বিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ যথাক্রমে,
\(y-2=m_{1}(x-1)\)
\(\therefore (y-2)-m_{1}(x-1)=0 .......(2)\)
\(y-2=m_{2}(x-1)\)
\(\therefore (y-2)-m_{2}(x-1)=0 .......(3)\)
\((2)\) ও \((3)\) গুণ করে,
\((y-2)^2-(m_{1}+m_{2})(x-1)(y-2)+m_{1}m_{2}(x-1)^2=0\)
\(\Rightarrow (y-2)^2+\frac{3}{2}(x-1)(y-2)+\frac{1}{2}(x-1)^2=0\) ➜Note \(\because m_{1}+m_{2}=-\frac{3}{2}\)
\(m_{1}m_{2}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow 2(y-2)^2+3(x-1)(y-2)+(x-1)^2=0\) ➜Note উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে,
\(\Rightarrow 2y^2-8y+8+3(xy-2x-y+2)+x^2-2x+1=0\)
\(\Rightarrow 2y^2-8y+8+3xy-6x-3y+6+x^2-2x+1=0\)
\(\therefore x^2+3xy+2y^2-8x-11y+15=0\)
ইহাই নির্ণেয় সমীকরণ।

ধরি,
\(x^2+y^2+19x+4y-3=0......(1)\)
\(3x+4y=1......(2)\)
\((1)\) নং কে \((2)\) এর সাহায্যে সমমাত্রিক গঠন করে,
\(x^2+y^2+(19x+4y)\times{1}-3\times{1^2}=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+(19x+4y)(3x+4y)-3(3x+4y)^2=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+57x^2+12xy+76xy+16y^2-27x^2-72xy-48y^2=0\)
\(\therefore 31x^2+16xy-31y^2=0\)
এটি দুইটি সরলরেখা প্রকাশ করে যারা মূলবিন্দুগামী এবং প্রদত্ত রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুগামী।
এখানে, \(a=31, \ b=-31\) ➜Note \(ax^2+2hxy+by^2=0\) এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a+b=31-31=0\)
যেহেতু সমীকরণটির \(x^2\) ও \(y^2\) এর সহগের যোগফল শূন্য, সুতরাং সমীকরণটি দ্বারা প্রকাশিত রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব।

ধরি,
\(x^2+3y^2+2xy+4x+8y-11=0......(1)\)
\(y=3x+2\)
\(\Rightarrow y-3x=2\)
\(\therefore \frac{y-3x}{2}=1......(2)\)
\((1)\) নং কে \((2)\) এর সাহায্যে সমমাত্রিক গঠন করে,
\(x^2+3y^2+2xy+(4x+8y)\times{1}-11\times{1^2}=0\)
\(\Rightarrow x^2+3y^2+2xy+(4x+8y)\frac{y-3x}{2}-11\left(\frac{y-3x}{2}\right)^2=0\)
\(\Rightarrow x^2+3y^2+2xy+(4x+8y)\frac{y-3x}{2}-11\frac{(y-3x)^2}{4}=0\)
\(\Rightarrow 4x^2+12y^2+8xy+2(4x+8y)(y-3x)-11(y-3x)^2=0\) ➜Note উভয় পার্শে \(4\) গুণ করে,
\(\Rightarrow 4x^2+12y^2+8xy+2(-12x^2-24xy+4xy+8y^2)-11y^2+66xy-99x^2=0\)
\(\Rightarrow 4x^2+12y^2+8xy-24x^2-48xy+8xy+16y^2-11y^2+66xy-99x^2=0\)
\(\Rightarrow -119x^2+34xy+17y^2=0\)
\(\Rightarrow -17(7x^2-2xy-y^2)=0\)
\(\therefore 7x^2-2xy-y^2=0\)
এটি দুইটি সরলরেখা প্রকাশ করে যারা মূলবিন্দুগামী এবং প্রদত্ত রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুগামী।
এখানে, \(a=7, \ 2h=-2, \ b=-1\) ➜Note \(ax^2+2hxy+by^2=0\) এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=7, \ h=-1, \ b=-1\)
সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী সূক্ষ্ণকোণ
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{2\sqrt{(-1)^2-7\times{-1}}}{7-1}\right)}\) ➜Note \(\because ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) রেখা দুইটির মধ্যবর্তী কোণ
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}\right)}\)

\(=\tan^{-1}{\left(\frac{2\sqrt{1+7}}{6}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{\sqrt{8}}{3}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)}\)
( দেখানো হলো )

ধরি,
\(x^2-3y^2+2xy-3x+3y+1=0......(1)\)
\(y=x+1\)
\(\therefore y-x=1......(2)\)
\((1)\) নং কে \((2)\) এর সাহায্যে সমমাত্রিক গঠন করে,
\(x^2-3y^2+2xy-(3x-3y)\times{1}+\times{1^2}=0\)
\(\Rightarrow x^2-3y^2+2xy-(3x-3y)(y-x)+(y-x)^2=0\)
\(\Rightarrow x^2-3y^2+2xy-(-3x^2+3xy+3xy-3y^2)+y^2-2xy+x^2=0\)
\(\Rightarrow x^2-3y^2+2xy+3x^2-3xy-3xy+3y^2+y^2-2xy+x^2=0\)
\(\therefore 5x^2-6xy+y^2=0\)
এটি দুইটি সরলরেখা প্রকাশ করে যারা মূলবিন্দুগামী এবং প্রদত্ত রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুগামী।
এখানে, \(a=5, \ 2h=-6, \ b=1\) ➜Note \(ax^2+2hxy+by^2=0\) এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=5, \ h=-3, \ b=1\)
সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{2\sqrt{(-3)^2-5\times{1}}}{5+1}\right)}\) ➜Note \(\because ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) রেখা দুইটির মধ্যবর্তী সূক্ষ্ণকোণ
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}\right)}\)

\(=\tan^{-1}{\left(\frac{2\sqrt{9-5}}{6}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{\sqrt{4}}{3}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{2}{3}\right)}\)
( দেখানো হলো )

ধরি,
\(ax^2+2hxy+by^2=0......(1)\)
\(lx+my=1......(2)\)
\((1)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব হলে ত্রিভুজটি সমকোণী হবে।
অর্থাৎ \(a+b=0 ....(3)\)
\((2)\) নং রেখার উপর লম্ব মূলবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(mx-ly=0\) ➜Note \(\because ax+by+c=0\) রেখার উপর লম্ব মূলবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(bx-ay=0\)

\(\Rightarrow mx=ly\)
\(\therefore x=\frac{ly}{m} ......(4)\)
\((4)\) নং রেখাটি যদি \((1)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত রেখাদ্বয়ের যে কোনো একটির সঙ্গে মিলে যায়। সে ক্ষেত্রেও ত্রিভুজটি সমকোণী হবে।
ফলে, \((4)\) নং সমীকরণটি \((1)\) নং সমীকরণকে সিদ্ধ করবে।
\(\therefore a\left(\frac{ly}{m}\right)^2+2h\left(\frac{ly}{m}\right)y+by^2=0\)
\(\Rightarrow a\frac{l^2y^2}{m^2}+\frac{2hl}{m}y^2+by^2=0\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{m^2}(al^2+2hlm+bm^2)=0\)
\(\Rightarrow al^2+2hlm+bm^2=0, \ \frac{y^2}{m^2}\ne{0}\)
\(\therefore al^2+2hlm+bm^2=0 .......(5)\)
\((4)\) ও \((5)\) গুণ করে।
\((a+b)(al^2+2hlm+bm^2)=0\)
\(\therefore (a+b)(al^2+2hlm+bm^2)=0\) হলে, প্রদত্ত সরলরেখা তিনটি দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজটি সমকোণী হবে।
( দেখানো হলো )

ধরি,
\(y^2-4y+3=0......(1)\)
\(x^2+4xy+4y^2-5x-10y+4=0......(2)\)
\((1)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত রেখাদ্বয় নির্ণয় করি,
\(\Rightarrow y^2-3y-y+3=0\)
\(\Rightarrow y(y-3)-1(y-3)=0\)
\(\Rightarrow (y-3)(y-1)=0\)
\(\therefore y-3=0 ...(3)\)
\(y-1=0 ....(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) নং সরলরেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল এবং তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব
\(d_{1}=\frac{|-3+1|}{\sqrt{0^2+1^2}}\) ➜Note \(\because ax+by+c_{1}=0\)
\(ax+by+c_{2}=0\) সমান্তরাল সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
\(=\frac{|c_{1}-c_{2}|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

\(=\frac{|-2|}{\sqrt{1}}\)
\(=\frac{2}{1}\)
\(=2\)
\((2)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত রেখাদ্বয় নির্ণয় করি,
\(\Rightarrow (x+2y)^2-5(x+2y)+4=0\)
\(\Rightarrow (x+2y)^2-4(x+2y)-(x+2y)+4=0\)
\(\Rightarrow (x+2y)(x+2y-4)-1(x+2y-4)=0\)
\(\Rightarrow (x+2y-4)(x+2y-1)=0\)
\(\Rightarrow x+2y-4=0, \ x+2y-1=0\)
\(\therefore x+2y-4=0 ...(5)\)
\(x+2y-1=0 ....(6)\)
\((5)\) ও \((6)\) নং সরলরেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল এবং তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব
\(d_{2}=\frac{|-4+1|}{\sqrt{1^2+2^2}}\) ➜Note \(\because ax+by+c_{1}=0\)
\(ax+by+c_{2}=0\) সমান্তরাল সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
\(=\frac{|c_{1}-c_{2}|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

\(=\frac{|-3|}{\sqrt{1+4}}\)
\(=\frac{3}{\sqrt{5}}\)
\(\because d_{1}\ne{d_{2}}\) প্রদত্ত সরলরেখা চারটি দ্বারা গঠিত চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক।
( দেখানো হলো )

ধরি,
\(2x^2-5xy+2y^2+3x+3y-9=0......(1)\)
\(2x^2-5xy+2y^2=0......(2)\)
ইহা স্পষ্ট যে, \((2)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত রেখাদ্বয়, \((1)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত রেখাদ্বয়ের সমান্তরাল এবং মূলবিন্দুগামী।
প্রদত্ত রেখা চারটি দ্বারা গঠিত চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক হতে পারে।
\((1)\) হতে,
এখানে, \(a=2, \ 2h=-5, \ b=2, \ 2g=3, \ 2f=3, \ c=-9\) ➜Note \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=2, \ h=-\frac{5}{2}, \ b=2, \ g=\frac{3}{2}, \ f=\frac{3}{2}, \ c=-9\)
রেখা দুইটি ছেদবিন্দু \(\left\{\frac{\frac{3}{2}\times{-\frac{5}{2}}-2\times{\frac{3}{2}}}{2\times{2}-\left(-\frac{5}{2}\right)^2}, \frac{\frac{3}{2}\times{-\frac{5}{2}}-2\times{\frac{3}{2}}}{2\times{2}-\left(-\frac{5}{2}\right)^2}\right\}\) ➜Note \(\because ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) রেখা দুইটি ছেদবিন্দু
\(\left(\frac{fh-bg}{ab-h^2}, \frac{gh-af}{ab-h^2}\right)\)

\(\Rightarrow \left(\frac{-\frac{15}{4}-3}{4-\frac{25}{4}}, \frac{-\frac{15}{4}-3}{4-\frac{25}{4}}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{\frac{-15-12}{4}}{\frac{16-25}{4}}, \frac{\frac{-15-12}{4}}{\frac{16-25}{4}}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{\frac{-27}{4}}{\frac{-9}{4}}, \frac{\frac{-27}{4}}{\frac{-9}{4}}\right)\)
\(\therefore\) ছেদবিন্দু \((3, 3)\)
সামান্তরিকটির একটি কর্ণ মূলবিন্দু এবং \((3, 3)\) বিন্দুগামী।
অতএব, কর্ণটির সমীকরণ,
\(\frac{x-0}{0-3}=\frac{y-0}{0-3}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-3}=\frac{y}{-3}\)
\(\Rightarrow x=y\)
\(\therefore x-y=0 ......(3)\)
সামান্তরিকটির অপর কর্ণের সমীকরণ, \((1)-(2)\) এর সাহায্যে পাওয়া যাবে,
\(\therefore 2x^2-5xy+2y^2+3x+3y-9-2x^2+5xy-2y^2=0\)
\(\Rightarrow 3x+3y-9=0\)
\(\Rightarrow 3(x+y-3)=0\)
\(\therefore x+y-3=0 ....(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) নং কর্ণদ্বয় পরস্পর লম্ব।
অতএব, সামান্তরিকটি একটি রম্বস।
( দেখানো হলো )

ধরি,
\(x^2+4xy-2y^2+6x-12y+15=0......(1)\)
\(x^2+4xy-2y^2=0......(2)\)
ইহা স্পষ্ট যে, \((2)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত রেখাদ্বয়, \((1)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত রেখাদ্বয়ের সমান্তরাল এবং মূলবিন্দুগামী।
প্রদত্ত রেখা চারটি দ্বারা গঠিত চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক হতে পারে।
\((1)\) হতে,
এখানে, \(a=1, \ 2h=4, \ b=-2, \ 2g=6, \ 2f=-12, \ c=15\) ➜Note \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a=1, \ h=2, \ b=-2, \ g=3, \ f=-6, \ c=15\)
রেখা দুইটি ছেদবিন্দু \(\left\{\frac{-6\times{2}-(-2)\times{3}}{1\times{-2}-(2)^2}, \frac{3\times{2}-1\times{-6}}{1\times{-2}-(2)^2}\right\}\) ➜Note \(\because ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) রেখা দুইটি ছেদবিন্দু
\(\left(\frac{fh-bg}{ab-h^2}, \frac{gh-af}{ab-h^2}\right)\)

\(\Rightarrow \left(\frac{-12+6}{-2-4}, \frac{6+6}{-2-4}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{-6}{-6}, \frac{12}{-6}\right)\)
\(\Rightarrow (1, -2)\)
\(\therefore\) ছেদবিন্দু \((1, -2)\)
সামান্তরিকটির একটি কর্ণ মূলবিন্দু এবং \((1, -2)\) বিন্দুগামী।
অতএব, কর্ণটির সমীকরণ,
\(\frac{x-0}{0-1}=\frac{y-0}{0+2}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-1}=\frac{y}{2}\)
\(\Rightarrow 2x=-y\)
\(\therefore 2x+y=0 ......(3)\)
সামান্তরিকটির অপর কর্ণের সমীকরণ, \((1)-(2)\) এর সাহায্যে পাওয়া যাবে,
\(\therefore x^2+4xy-2y^2+6x-12y+15-x^2-4xy+2y^2=0\)
\(\Rightarrow 6x-12y+15=0\)
\(\Rightarrow 6\left(x-2y-\frac{5}{2}\right)=0\)
\(\therefore x-2y-\frac{5}{2}=0 ....(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) নং কর্ণদ্বয় পরস্পর লম্ব।
অতএব, সামান্তরিকটি একটি রম্বস।
( দেখানো হলো )

ধরি,
\(2x^2+5xy+2y^2+10x+5y=0......(1)\)
ইহা স্পষ্ট যে, \((1)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত রেখাদ্বয়ের একটি মূলবিন্দুগামী।
অতএব রেখাদ্বয়ের সমীকরণ,
\(l_{1}x+m_{1}y+n=0 ....(2)\)
\(l_{2}x+m_{2}y=0 ....(3)\)
\((2)\) ও \((3)\) গুণ করে,
\((l_{1}x+m_{1}y+n)(l_{2}x+m_{2}y)=0 ....(4)\)
\((1)\) ও \((4)\) অভিন্ন বলে, \(x^2, \ xy\) ও \(y^2\) এর সহগ সমীকৃত করে,
\(l_{1}l_{2}=2, \ l_{1}m_{2}+l_{2}m_{1}=5, m_{1}m_{2}=2\)
\((2)\) ও \((3)\) নং সরলরেখাদ্বয়ের উপর লম্ব এবং মূলবিন্দুগামী এরূপ সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ যথাক্রমে,
\(m_{1}x-l_{1}y+n=0 ....(5)\)
এবং \(m_{2}x-l_{2}y=0 ....(6)\)
\((5)\) ও \((6)\) গুণ করে,
\((m_{1}x-l_{1}y)(m_{2}x-l_{2}y)=0\)
\(\Rightarrow m_{1}m_{2}x-(l_{1}m_{2}+l_{1}m_{2})xy+l_{1}l_{2}y^2=0\)
\(\therefore 2x-5xy+2y^2=0\) ➜Note \(\because l_{1}l_{2}=2\)
\(l_{1}m_{2}+l_{2}m_{1}=5\)
\(m_{1}m_{2}=2\)

ইহাই নির্নেয় সমীকরণ।

ধরি,
\(x^2+4xy+4y^2-5x-10y+4=0......(1)\)
\(4x^2-4xy+y^2+4x-2y-3=0......(2)\)
\((1)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত রেখাদ্বয় নির্ণয় করি,
\(\Rightarrow (x+2y)^2-5(x+2y)+4=0\)
\(\Rightarrow (x+2y)^2-4(x+2y)-(x+2y)+4=0\)
\(\Rightarrow (x+2y)(x+2y-4)-1(x+2y-4)=0\)
\(\Rightarrow (x+2y-4)(x+2y-1)=0\)
\(\Rightarrow x+2y-4=0, \ x+2y-1=0\)
\(\therefore x+2y-4=0 ...(3)\)
\(x+2y-1=0 ....(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) নং সরলরেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল এবং তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব
\(d_{2}=\frac{|-4+1|}{\sqrt{1^2+2^2}}\) ➜Note \(\because ax+by+c_{1}=0\)
\(ax+by+c_{2}=0\) সমান্তরাল সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
\(=\frac{|c_{1}-c_{2}|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

\(=\frac{|-3|}{\sqrt{1+4}}\)
\(=\frac{3}{\sqrt{5}}\)
\((2)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত রেখাদ্বয় নির্ণয় করি,
\(\Rightarrow (2x-y)^2+2(2x-y)-3=0\)
\(\Rightarrow (2x-y)^2+3(2x-y)-(2x-y)-3=0\)
\(\Rightarrow (2x-y)(2x-y+3)-1(2x-y+3)=0\)
\(\Rightarrow (2x-y+3)(2x-y-1)=0\)
\(\Rightarrow 2x-y+3=0, \ 2x-y-1=0\)
\(\therefore 2x-y+3=0 ...(5)\)
\(2x-y-1=0 ....(6)\)
\((5)\) ও \((6)\) নং সরলরেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল এবং তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব
\(d_{2}=\frac{|3+1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}\) ➜Note \(\because ax+by+c_{1}=0\)
\(ax+by+c_{2}=0\) সমান্তরাল সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
\(=\frac{|c_{1}-c_{2}|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

\(=\frac{|4|}{\sqrt{4+1}}\)
\(=\frac{4}{\sqrt{5}}\)
\(\because d_{1}\ne{d_{2}}\) প্রদত্ত সরলরেখা চারটি দ্বারা গঠিত চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক।
( দেখানো হলো )

ধরি,
\(3x^2+3xy+y^2+2x+5y=0......(1)\)
\(3x-2y=1......(2)\)
\((1)\) নং কে \((2)\) এর সাহায্যে সমমাত্রিক গঠন করে,
\(3x^2+3xy+y^2+(2x+5y)\times{1}=0\)
\(\Rightarrow 3x^2+3xy+y^2+(2x+5y)(3x-2y)=0\)
\(\Rightarrow 3x^2+3xy+y^2+6x^2-4xy+15xy-10y^2=0\)
\(\therefore 9x^2+14xy-9y^2=0\)
এটি দুইটি সরলরেখা প্রকাশ করে যারা মূলবিন্দুগামী এবং প্রদত্ত রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুগামী।
এখানে, \(a=9, \ b=-9\) ➜Note \(ax^2+2hxy+by^2=0\) এর সহিত তুলুনা করে।
\(\therefore a+b=9-9=0\)
যেহেতু সমীকরণটির \(x^2\) ও \(y^2\) এর সহগের যোগফল শূন্য, সুতরাং সমীকরণটি দ্বারা প্রকাশিত রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব।

ধরি,
\(a(x^4+y^4)-4bxy(x^2-y^2)+6cx^2y^2=0......(1)\)
পরস্পর লম্ব দুই জোড়া সরলরেখার সমীকরণ,
\(x^2+kxy-y^2=0......(2)\)
\(x^2+\lambda{xy}-y^2=0......(3)\)
\((2)\) ও \((3)\) গুণ করি,
\((x^2+kxy-y^2)(x^2+\lambda{xy}-y^2)=0\)
\(\Rightarrow x^4+y^4+kx^3y+\lambda{x^3y}-kxy^3-\lambda{xy^3}+k\lambda{x^2y^2}-2x^2y^2=0\)
\(\Rightarrow x^4+y^4+(k+\lambda)x^3y-(k+\lambda)xy^3+(k\lambda-2)x^2y^2=0\)
\(\therefore (x^4+y^4)+(k+\lambda)xy(x^2-y^2)+(k\lambda-2)x^2y^2=0 .......(4)\)
\((1)\) ও \((4)\) নং সমীকরণ অনুরূপ
\((4)\) নং পরস্পর লম্ব দুই জোড়া সরলরেখার সমীকরণ,
ফলে, \((1)\) নং সমীকরণও পরস্পর লম্ব দুই জোড়া সরলরেখা প্রকাশ করবে।
আবার, \((2)\) ও \((3)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখা যুগল সমাপতিত হবে যদি
\(\lambda=k\) হয়।
তাহলে, \((4)\) হতে,
\((x^4+y^4)+(k+k)xy(x^2-y^2)+(k.k-2)x^2y^2=0\)
\(\Rightarrow (x^4+y^4)+2kxy(x^2-y^2)+(k^2-2)x^2y^2=0 .......(5)\)
এখন, \((1)\) ও \((5)\) নং সমীকরণ তুলুনা করে,
\(\frac{1}{a}=\frac{2k}{-4b}=\frac{k^2-2}{6c}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a}=\frac{k}{-2b}=\frac{k^2-2}{6c}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a}=\frac{k}{-2b}, \ \frac{1}{a}=\frac{k^2-2}{6c}\)
\(\Rightarrow k=\frac{-2b}{a}, \ 6c=a(k^2-2)\)
\(\Rightarrow 6c=a\left\{\left(\frac{-2b}{a}\right)^2-2\right\}\)
\(\Rightarrow 6c=a\left(\frac{4b^2}{a^2}-2\right)\)
\(\Rightarrow 6c=\frac{4b^2}{a}-2a\)
\(\Rightarrow 6ac=4b^2-2a^2\)
\(\Rightarrow 6ac=2(2b^2-a^2)\)
\(\Rightarrow 3ac=2b^2-a^2\)
\(\Rightarrow 3ac+a^2=2b^2\)
\(\therefore 2b^2=a^2+3ac\)
( দেখানো হলো। )

ধরি,
\(x^4+y^4-4xy(x^2-y^2)+2cx^2y^2=0......(1)\)
পরস্পর লম্ব দুই জোড়া সরলরেখার সমীকরণ,
\(x^2+kxy-y^2=0......(2)\)
\(x^2+\lambda{xy}-y^2=0......(3)\)
\((2)\) ও \((3)\) গুণ করি,
\((x^2+kxy-y^2)(x^2+\lambda{xy}-y^2)=0\)
\(\Rightarrow x^4+y^4+kx^3y+\lambda{x^3y}-kxy^3-\lambda{xy^3}+k\lambda{x^2y^2}-2x^2y^2=0\)
\(\Rightarrow x^4+y^4+(k+\lambda)x^3y-(k+\lambda)xy^3+(k\lambda-2)x^2y^2=0\)
\(\therefore (x^4+y^4)+(k+\lambda)xy(x^2-y^2)+(k\lambda-2)x^2y^2=0 .......(4)\)
\((1)\) ও \((4)\) নং সমীকরণ অনুরূপ
\((4)\) নং পরস্পর লম্ব দুই জোড়া সরলরেখার সমীকরণ,
ফলে, \((1)\) নং সমীকরণও পরস্পর লম্ব দুই জোড়া সরলরেখা প্রকাশ করবে।
আবার, \((2)\) ও \((3)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখা যুগল সমাপতিত হবে যদি
\(\lambda=k\) হয়।
তাহলে, \((4)\) হতে,
\((x^4+y^4)+(k+k)xy(x^2-y^2)+(k.k-2)x^2y^2=0\)
\(\Rightarrow (x^4+y^4)+2kxy(x^2-y^2)+(k^2-2)x^2y^2=0 .......(5)\)
এখন, \((1)\) ও \((5)\) নং সমীকরণ তুলুনা করে,
\(\frac{1}{1}=\frac{2k}{-4}=\frac{k^2-2}{2c}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{k}{-2}=\frac{k^2-2}{2c}\)
\(\Rightarrow \frac{k}{-2}=1, \ \frac{k^2-2}{2c}=1\)
\(\Rightarrow k=-2, \ 2c=k^2-2\)
\(\Rightarrow 2c=(-2)^2-2\)
\(\Rightarrow 2c=4-2\)
\(\Rightarrow 2c=2\)
\(\therefore c=1\)
( দেখানো হলো। )

ধরি,
\(y^2-4ax=0......(1)\)
এবং \(y=mx+c\)
\(\Rightarrow y-mx=c\)
\(\therefore \frac{y-mx}{c}=1 ......(2)\)
\((1)\) নং কে \((2)\) এর সাহায্যে সমমাত্রিক গঠন করে,
\(y^2-4ax\times{1}=0\)
\(\Rightarrow y^2-4ax\times{\frac{y-mx}{c}}=0\)
\(\Rightarrow cy^2-4ax(y-mx)=0\) ➜Note উভয় পার্শে \(c\) গুণ করে।
\(\Rightarrow cy^2-4axy+4amx^2=0\)
\(\therefore 4amx^2-4axy+cy^2=0 ......(3)\)
এটি দুইটি সরলরেখা প্রকাশ করে যারা মূলবিন্দুগামী এবং প্রদত্ত রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুগামী।
এখানে, \(A=4am, \ 2H=-4a, \ B=c\) ➜Note \(Ax^2+2Hxy+By^2=0\) এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow A=4am, \ H=-2a, \ B=c\)
\((3)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখাদ্বয় সমাপতিত হবে যদি।
\(H^2=AB\) হয়। ➜Note \(Ax^2+2Hxy+By^2=0\) সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখাদ্বয়ের সমাপতিত হওয়ার শর্ত,
\(H^2=AB\)

\(\Rightarrow (-2a)^2=4amc\) ➜Note \(\because A=4am, \ H=-2a, \ B=c\)
\(\Rightarrow 4a^2=4amc\)
\(\Rightarrow a=mc\)
\(\Rightarrow mc=a\)
\(\therefore c=\frac{a}{m}\)
( দেখানো হলো। )

ধরি,
\(y^2-4ax=0......(1)\)
এবং \(y=mx+c\)
\(\Rightarrow y-mx=c\)
\(\therefore \frac{y-mx}{c}=1 ......(2)\)
\((1)\) নং কে \((2)\) এর সাহায্যে সমমাত্রিক গঠন করে,
\(y^2-4ax\times{1}=0\)
\(\Rightarrow y^2-4ax\times{\frac{y-mx}{c}}=0\)
\(\Rightarrow cy^2-4ax(y-mx)=0\) ➜Note উভয় পার্শে \(c\) গুণ করে।
\(\Rightarrow cy^2-4axy+4amx^2=0\)
\(\therefore 4amx^2-4axy+cy^2=0 ......(3)\)
এটি দুইটি সরলরেখা প্রকাশ করে যারা মূলবিন্দুগামী এবং প্রদত্ত রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুগামী।
এখানে, \(A=4am, \ 2H=-4a, \ B=c\) ➜Note \(Ax^2+2Hxy+By^2=0\) এর সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow A=4am, \ H=-2a, \ B=c\)
\((3)\) নং সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখাদ্বয় সমাপতিত হবে যদি।
\(H^2=AB\) হয়। ➜Note \(Ax^2+2Hxy+By^2=0\) সমীকরণ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখাদ্বয়ের সমাপতিত হওয়ার শর্ত,
\(H^2=AB\)

\(\Rightarrow (-2a)^2=4amc\) ➜Note \(\because A=4am, \ H=-2a, \ B=c\)
\(\Rightarrow 4a^2=4amc\)
\(\Rightarrow a=mc\)
\(\Rightarrow mc=a\)
\(\therefore c=\frac{a}{m}\)
( দেখানো হলো। )