ভেক্টর ডট গুণন, ক্রস গুণন ও সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ
barcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
\(\overline{r}\) ভেক্টরের মাণ
straight3 ধরি,
\(P(x,y), \ M(0,y), \ N(x,0), \ \overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
এবং অক্ষরেখাগুলি বরাবর একক ভেক্টর যথাক্রমে \(\hat{i}, \ \hat{j}\)
\(\therefore \overrightarrow{ON}=x\hat{i}, \overrightarrow{NP}=\overrightarrow{OM}=y\hat{j}\)
\(\triangle{OPN}\) সমকোণী
\(\therefore OP^2=ON^2+NP^2\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{OP}.\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{ON}.\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NP}.\overrightarrow{NP}\)
\(\Rightarrow \overline{r}.\overline{r}=x\hat{i}.x\hat{i}+y\hat{j}.y\hat{j}\)
\(\Rightarrow r^2=x^2\hat{i}.\hat{i}+y^2\hat{j}.\hat{j}\) ➜ \(\because \overline{r}.\overline{r}=r^2\)

\(\Rightarrow r^2=x^2.1+y^2.1\) ➜ \(\because \hat{i}.\hat{i}=\hat{j}.\hat{j}=1\)

\(\Rightarrow r^2=x^2+y^2\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(\therefore\) \(r=|\overline{r}|=\sqrt{x^2+y^2}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(P(x_{1}, y_{1})\) \(Q(x_{2}, y_{2})\) হলে,
\(\overrightarrow{PQ}=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}\)
কার্তেসীয় ত্রিমাত্রিক জগত
Cartesian three Dimension Space
straight3 ত্রিমাত্রিক কার্তেসীয় বা আয়তাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় পরস্পর লম্ব তিনটি অক্ষ রেখা থাকে যাদের যথাক্রমে \(x, y, z\) অক্ষ বলে। এই স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((x, y, z)\) আকারে লিখে প্রকাশ করা হয়। \(x\) স্থাংক দ্বারা \(x\) অক্ষ বরাবর দূরত্ব, \(y\) স্থাংক এবং \(z\) স্থাংক দ্বারা অনুরূপে \(y\) অক্ষ এবং \(z\) অক্ষ বরাবর মূলবিন্দু হতে দূরত্ব বুঝায়।
ত্রিমাত্রিক জগতে একক ভেক্টর \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\)
Unite Vector in three Dimension Space \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\)
straight3 ত্রিমাত্রিক কার্তেসীয় বা আয়তাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায়,
\(x\) অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর \(\hat{i}\)
\(y\) অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর \(\hat{j}\)
\(z\) অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর \(\hat{k}\)
কার্তেসীয় ত্রিমাত্রিক জগতে অবস্থান ভেক্টর
Position Vector in three Dimensional Space
straight3 কার্তেসীয় ত্রিমাত্রিক জগতে মূলবিন্দু \((0, 0, 0)\) এর সাপেক্ষে \(P(x, y, z)\) এর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{r}\) হলে,
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\)

কার্তেসীয় ত্রিমাত্রিক জগতে ভেক্টরের মাণ
straight3 \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) এর মাণ,
\(r=|\overline{r}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

ত্রিমাত্রিক জগতে ভেক্টরের যোগফল, বিয়োগফল এবং স্কেলার গুণিতক
addition, Subtraction and Multiple of Vector in three Dimensional Space
straight3 ধরি, \(A\) ও \(B\) ত্রিমাত্রিক জগতের দুইটি ভেক্টর
যেখানে, \(\overline{A}=A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(\overline{B}=B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\)
যোগফলঃ \(\overline{A}+\overline{B}=(A_{1}+B_{1})\hat{i}+(A_{2}+B_{2})\hat{j}+(A_{3}+B_{3})\hat{k}\)
বিয়োগফলঃ \(\overline{A}-\overline{B}=(A_{1}-B_{1})\hat{i}+(A_{2}-B_{2})\hat{j}+(A_{3}-B_{3})\hat{k}\)
ভেক্টর গুনিতকঃ \(\lambda \overline{A}=\lambda A_{1}\hat{i}+\lambda A_{2}\hat{j}+\lambda A_{3}\hat{k}\)
যখন \(\lambda\) একটি স্কেলার রাশি।
অনুসিদ্ধান্তঃ
straight3 \(P(x_{1}, y_{1}, z_{1})\) \(Q(x_{2}, y_{2}, z_{2})\) হলে,
\(\overrightarrow{PQ}=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}+(z_{2}-z_{1})\hat{k}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
যদি, \(\overrightarrow{OP}=\overline{r}\) ভেক্টর \(x, y\) ও \(z\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত যথাক্রমে \(\alpha, \beta\) ও \(\gamma\) কোণ উৎপন্ন করে,
তখন \(\cos{\alpha}, \cos{\beta}, \cos{\gamma}\) কে \(\overline{r}\) এর দিক কোসাইন বলা হয়।
কার্তেসীয় ত্রিমাত্রিক জগতে ভেক্টরের অংশক
Components of a Vector in three Dimensional space
straight3
\(O\) বিন্দু থেকে তিনটি পরস্পর লম্ব সরলরেখা \(OX, OY, OZ\) আঁকা হলো।
\(\overrightarrow{OX}=\hat{i}, \overrightarrow{OY}=\hat{j}\) এবং \(\overrightarrow{OZ}=\hat{k}\) হয়, যেখানে \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\) তিনটি পরস্পর লম্ব একক ভেক্টর।
\(\overrightarrow{OP}=\overline{r}\) ভেক্টরকে তিনটি পরস্পর লম্ব একক ভেক্টর \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\) এর যোগাশ্রয়ী সমাবেশ হিসেবে প্রকাশ করা হয়েছে।
অর্থাৎ , \(\overline{r}=x\overline{i}+y\overline{j}+z\overline{k}\)
\(OX\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=x\overline{i}\)
\(OY\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=y\overline{j}\)
\(OZ\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=z\overline{k}\)

সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ
Vector Equatiion of a Straight line
straight3 \(A(\overline{a})\) বিন্দুগামী \(\overline{B}\) ভেক্টরের সমান্তরাল রেখার ভেক্টর সমীকরণঃ
\(\overline{r}=\overline{a}+t\overline{b}\)
অথবা,
\((\overline{r}-\overline{a})\times\overline{b}=0\)

দ্রঃ সরলরেখাটি যদি মূলবিন্দুগামী হয় তাহলে, \(\overline{a}=\overline{0}\)
সুতরাং, মূলবিন্দুগামী এবং \(\overline{b}\) ভেক্টরের সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণঃ
\(\overline{r}=t\overline{b}\)
অথবা,
\(\overline{r}\times\overline{b}=0\)
straight3 \(A(\overline{a})\) বিন্দুগামী এবং \(B(\overline{b})\) ও \(C(\overline{c})\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণঃ
\(\overline{r}=\overline{a}+t(\overline{b}-\overline{c})\)
অথবা,
\((\overline{r}-\overline{a})\times(\overline{c}-\overline{b})=0\)

straight3 দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণঃ
\(A(\overline{a})\) এবং \(B(\overline{b})\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ,
\(\overline{r}=(1-t)\overline{a}+t\overline{b}\)
অথবা,
\((\overline{r}-\overline{a})\times(\overline{b}-\overline{a})=0\)

সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ থেকে কার্তেসীয় সমীকরণঃ
ভেক্টর সমীকরণ \(\overline{r}=\overline{a}+t\overline{b}\) এর কার্তেসীয় সমীকরণ,
\(\frac{x-a_{1}}{b_{1}}=\frac{y-a_{2}}{b_{2}}=\frac{z-a_{3}}{b_{3}}\)

ভেক্টরের স্কেলার গুণন বা ডট গুণন
Scalar Multiplication of Vector
straight3 দুইটি ভেক্টর রাশির গুণফল যদি একটি স্কেলার রাশি হয় তাহলে এ ধরনের গুণফলকে স্কেলার গুণন বা ডট গুণন বলা হয়। এ গুণফলের মাণ রাশি দুইটির মাণ ও এদের মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতর কোণের কোসাইন (cosine) এর গুণফলের সমান। \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর স্কেলার গুণজ \(\overline{a}.\overline{b}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
\(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) দুইটি ভেক্টর রাশির মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) হলে, সংজ্ঞানুসারে স্কেলার গুণফল হবে,
\(\overline{a}.\overline{b}=ab\cos{\theta}\)
ভেক্টরদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ
\(\theta=\cos^{-1}\left(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{ab}\right)\)
দুইটি ভেক্টরের পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্তঃ
straight3 The condition that two vectors are perpendicular to each other:
\(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) দুইটি ভেক্টর রাশি পরস্পর লম্ব হলে,
\(\overline{a}.\overline{b}=0\)
স্কেলার গুণজের ধর্ম
Porperties of Scalar Product
\(\overline{a}.\overline{b}=ab\cos{\theta}=ba\cos{\theta}=\overline{b}.\overline{a}\)
\(\therefore \overline{a}.\overline{b}=\overline{b}.\overline{a}\)
অর্থাৎ স্কেলার গুণজ বিনিময় বিধি মেনে চলে।
\(\overline{a}.(-\overline{b})=-(\overline{a}.\overline{b})\)
\((-\overline{a}).(-\overline{b})=\overline{a}.\overline{b}\)
\((\overline{a}+\overline{b}).\overline{c}=\overline{a}.\overline{c}+\overline{b}.\overline{c}\)
\(\theta\) সূক্ষ্ণকোণ হলে, স্কেলার গুণন ধনাত্মক হবে
\(\theta\) স্থুলকোণ হলে, স্কেলার গুণন ঋণাত্মক হবে
\(\theta=90^{o}\) হলে, স্কেলার গুণনের মাণ শূন্য হবে
অর্থাৎ দুইটি ভেক্টরের স্কেলার গুণন শূন্য হলে ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হয়।
\(\theta=0\) হলে, ভেক্টরদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল হবে
\(\theta=180^{o}\) হলে, ভেক্টরদ্বয় পরস্পর অসদৃশ সমান্তরাল হবে
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(\overline{a}.\overline{a}=a^2\)
\(\hat{i}.\hat{i}=\hat{j}.\hat{j}=\hat{k}.\hat{k}=1\)
\(\hat{i}.\hat{j}=\hat{j}.\hat{k}=\hat{k}.\hat{i}=0\)
\(\theta=\cos^{-1}\left(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{ab}\right)\)
দুইটি ভেক্টরের স্কেলার গুণজকে ভেক্টর দুইটির অংশকের মাধ্যমে প্রকাশ
\(\overline{a}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) দুইটি অশূন্য ভেক্টর
এখন, \(\overline{a}.\overline{b}=(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}).(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})\)
\(=a_{1}b_{1}\hat{i}.\hat{i}+a_{1}b_{2}\hat{i}.\hat{j}+a_{1}b_{3}\hat{i}.\hat{k}+a_{2}b_{1}\hat{j}.\hat{i}+a_{2}b_{2}\hat{j}.\hat{j}+a_{2}b_{3}\hat{j}.\hat{k}+a_{3}b_{1}\hat{k}.\hat{i}+a_{3}b_{2}\hat{k}.\hat{j}+a_{3}b_{3}\hat{k}.\hat{k}\)
\(=a_{1}b_{1}1+a_{1}b_{2}0+a_{1}b_{3}0+a_{2}b_{1}0+a_{2}b_{2}1+a_{2}b_{3}0+a_{3}b_{1}0+a_{3}b_{2}0+a_{3}b_{3}1\) ➜ \(\because \hat{i}.\hat{i}=\hat{j}.\hat{j}=\hat{k}.\hat{k}=1\)
এবং
\(\hat{i}.\hat{j}=\hat{j}.\hat{k}=\hat{k}.\hat{i}=0\)

\(=a_{1}b_{1}+0+0+0+a_{2}b_{2}+0+0+0+a_{3}b_{3}\)
\(=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\)
\(\therefore\) \(\overline{a}.\overline{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\)
ভেক্টরের অভিক্ষেপ
Projection of a Vector
একটি ভেক্টরের উপর অন্য একটি ভেক্টরের অভিক্ষেপঃ
\(\overline{a}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর অভিক্ষেপ, \(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{a}\) অথবা, \(\hat{a}.\overline{b}\)
\(\overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর অভিক্ষেপ, \(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{b}\) অথবা, \(\hat{b}.\overline{a}\)

ভেক্টরের ভেক্টর লম্ব অভিক্ষেপ বা উপাংশ
Component of a Vector
একটি ভেক্টরের দিক বরাবর অন্য একটি ভেক্টরের ভেক্টর লম্ব অভিক্ষেপ বা অংশকঃ
\(\overline{a}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর ভেক্টর লম্ব অভিক্ষেপ বা উপাংশ ভেক্টর, \((\hat{a}.\overline{b})\hat{a}\) অথবা, \(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{a^2}\overline{a}\)
\(\overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর ভেক্টর লম্ব অভিক্ষেপ বা উপাংশ ভেক্টর, \((\overline{a}.\hat{b})\hat{b}\) অথবা, \(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{b^2}\overline{b}\)

স্কেলার বা ডট গুণনের জ্যামিতিক ব্যাখ্যা
Geometric Interpretation of Scalar Multiplication of Vector
\(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর স্কেলার গুণজ,straight3 \(\overline{a}.\overline{b}=ab\cos{\theta}\)
\(=a(b\cos{\theta})\)
\(=a(OB\times{\frac{ON}{OB}})\) ➜ \(\because OB=b\)
এবং \(\cos{\theta}=\frac{ON}{OB}\)

\(=a(ON)\)
\(=a\) এর মাণ \(\times{\overline{a}}\)বরাবর \(\overline{b}\) এর অভিক্ষেপ।
\(\therefore\) \(\overline{a}.\overline{b}=a\) এর মাণ \(\times{\overline{a}}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর অভিক্ষেপ
অনুরূপভাবে,
\(\overline{a}.\overline{b}=b\) এর মাণ \(\times{\overline{b}}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর অভিক্ষেপ
দুইটি ভেক্টরের অন্তর্ভুক্ত কোণ
Angle between two vectors
\(\overline{a}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) দুইটি অশূন্য ভেক্টরের অন্তর্ভুক্ত কোণ \(\theta\) হলে,
\(\theta=\cos^{-1}\left(\frac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}{\sqrt{a_{1}^2+a_{2}^2+a_{3}^2}\sqrt{b_{1}^2+b_{2}^2+b_{3}^2}}\right)\)

ভেক্টরের ভেক্টর গুণন বা ক্রস গুণন
Scalar Multiplication of Vector
straight3 দুইটি ভেক্টর রাশির গুণফল যদি একটি ভেক্টর রাশি হয় তাহলে এ ধরনের গুণফলকে ভেক্টর গুণন বা ক্রস গুণন বলা হয়। এ গুণফলের মাণ রাশি দুইটির মাণ ও এদের মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতর কোণের সাইন (sine) এর গুণফলের সমান। ভেক্টর গুণফলের দিক হবে প্রদত্ত ভেক্টরদ্বয়ের সমতলে লম্বভাবে স্থাপিত একটি ডানহাতি স্ক্রকে প্রথম ভেক্টর থেকে দ্বিতীয় ভেক্টরের দিকে ক্ষুদ্রতর কোণে ঘুরালে স্ক্রটি যে দিকে অগ্রসর হয় সেদিকে।
\(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর ভেক্টর গুণজ \(\overline{a}\times{\overline{b}}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
\(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) দুইটি ভেক্টর রাশির মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) হলে, সংজ্ঞানুসারে ভেক্টর গুণফল হবে,
\(\overline{a}\times{\overline{b}}=ab\sin{\theta} \ \hat{n}\)
\(\hat{n}\) একটি একক ভেক্টর যা \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) ভেক্টরদ্বয়ের সমতলের উপর লম্ব।
দুইটি ভেক্টরের পরস্পর সমান্তরাল হওয়ার শর্তঃ
straight3 The condition that two vectors are parallel to each other:
\(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) দুইটি ভেক্টর রাশি পরস্পর সমান্তরাল হলে,
\(\overline{a}\times{\overline{b}}=0\)
ভেক্টর গুণজের ধর্ম
Porperties of Vector Product
\(\overline{a}\times{\overline{b}}=-\overline{b}\times{\overline{a}}\)
\(\overline{a}\times{\overline{b}}\ne{\overline{b}\times{\overline{a}}}\)
এদের মাণ ও ধারক রেখা অভিন্ন হলেও দিক ভিন্ন। সুতরাং ভেক্টরের ভেক্টর গুণন বিনিময় বিধি মেনে চলে না।
\(m(\overline{a}\times{\overline{b}})=(m\overline{a})\times{\overline{b}}=\overline{a}\times{(m\overline{b})}\)
\((m\overline{a})\times{(n\overline{b})}=(n\overline{a})\times{(m\overline{b})}=\overline{a}\times{(mn\overline{b})}=(mn\overline{a})\times{\overline{b}}=mn(\overline{a}\times{\overline{b}})\)
\(\overline{a}\times{(\overline{b}+\overline{c})}=\overline{a}\times{\overline{b}}+\overline{a}\times{\overline{c}}\)
\((\overline{a}+\overline{b})\times{\overline{c}}=\overline{a}\times{\overline{c}}+\overline{b}\times{\overline{c}}\)
\(\overline{a}\times{(\overline{b}\times{\overline{c}})}\ne{(\overline{a}\times{\overline{b}})\times{\overline{c}}}\)
\(\overline{a}\times{\overline{b}}=\overline{0}\) হলে, ভেক্টরদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল হবে।
\(\overline{a}\times{\overline{b}}=\overline{c}\) হলে, \(\overline{c}\) ভেক্টরটি \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর সমতলের উপর লম্ব হবে।
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(\overline{a}\times{\overline{a}}=0\)
\(\hat{i}\times{\hat{i}}=\hat{j}\times{\hat{j}}=\hat{k}\times{\hat{k}}=0\)
\(\hat{i}\times{\hat{j}}=\hat{k}, \hat{j}\times{\hat{k}}=\hat{i}, \hat{k}\times{\hat{i}}=\hat{j}\)
\(\hat{j}\times{\hat{i}}=-\hat{k}, \hat{k}\times{\hat{j}}=-\hat{i}, \hat{i}\times{\hat{k}}=-\hat{j}\)
\(\theta=\sin^{-1}\left(\frac{|\overline{a}\times{\overline{b}}|}{ab}\right)\)
দুইটি ভেক্টরের ভেক্টর গুণজকে ভেক্টর দুইটির অংশকের মাধ্যমে প্রকাশ
\(\overline{a}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) দুইটি অশূন্য ভেক্টর
এখন, \(\overline{a}\times{\overline{b}}=(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times{(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})}\)
\(=a_{1}b_{1}\hat{i}\times{\hat{i}}+a_{1}b_{2}\hat{i}\times{\hat{j}}+a_{1}b_{3}\hat{i}\times{\hat{k}}+a_{2}b_{1}\hat{j}\times{\hat{i}}+a_{2}b_{2}\hat{j}\times{\hat{j}}+a_{2}b_{3}\hat{j}\times{\hat{k}}+a_{3}b_{1}\hat{k}\times{\hat{i}}+a_{3}b_{2}\hat{k}\times{\hat{j}}+a_{3}b_{3}\hat{k}\times{\hat{k}}\)
\(=a_{1}b_{1}0+a_{1}b_{2}\hat{k}+a_{1}b_{3}(-\hat{j})+a_{2}b_{1}(-\hat{k})+a_{2}b_{2}0+a_{2}b_{3}\hat{i}+a_{3}b_{1}\hat{j}+a_{3}b_{2}(-\hat{i})+a_{3}b_{3}0\) ➜ \(\because \hat{i}\times{\hat{i}}=\hat{j}\times{\hat{j}}=\hat{k}\times{\hat{k}}=0\)
\(\hat{i}\times{\hat{j}}=\hat{k}, \hat{j}\times{\hat{k}}=\hat{i}, \hat{k}\times{\hat{i}}=\hat{j}\)
এবং
\(\hat{j}\times{\hat{i}}=-\hat{k}, \hat{k}\times{\hat{j}}=-\hat{i}, \hat{i}\times{\hat{k}}=-\hat{j}\)

\(=0+a_{1}b_{2}\hat{k}-a_{1}b_{3}\hat{j}-a_{2}b_{1}\hat{k}+0+a_{2}b_{3}\hat{i}+a_{3}b_{1}\hat{j}-a_{3}b_{2}\hat{i}+0\)
\(=\hat{i}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})-\hat{j}(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})+\hat{k}(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\)
\(=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{array}\right|\)
\(\therefore\) \(\overline{a}\times{\overline{b}}=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{array}\right|\)
ভেক্টর গুণনের জ্যামিতিক ব্যাখ্যা
Geometric interpretation of Vector product
straight3 \(OACB\) সামান্তরিকের \(OA\) এবং \(OB\) সন্নিহিত বাহু দুইটি দ্বারা যথাক্রমে \(\overline{a}\) এবং \(\overline{b}\) ভেক্টর দুইটি সূচীত করা হলো।
যদি \(\angle{AOB}=\theta\) হয়,
তাহলে, \(\overline{a}\times{\overline{b}}=\overrightarrow{OA}\times{\overrightarrow{OB}}\)
\(=OA \ OB \sin{\theta} \ \hat{n}\)
\(=ab\sin{\theta} \ \hat{n}\)
\(=\overline{c}\)
যেখানে, \(\hat{n}\) হলো \(\overline{a}\) এবং \(\overline{b}\) ভেক্টরদ্বয়ের সমতলের উপর লম্ব একক ভেক্টর। উল্লেখ্য, ডানহাতি স্ক্র \(\overline{a}\) থেকে \(\overline{b}\) এর দিকে ক্ষুদ্রতম কোণে ঘূর্ণন হলে \(\hat{n}\) এর দিক \(OD\) বরাবর এবং \(\overline{b}\) থেকে \(\overline{a}\) এর দিকে ঘূর্ণন হলে \(\hat{n}\) এর দিক \(DO\) বরাবর হবে।
\(\overline{a}\times{\overline{b}}=OA \ OB \sin{\theta}\)
\(=OA \ h\) যখন, \(h=OB \sin{\theta}\)
\(=OACB\) সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল।
\(\Box{OACB}=|\overline{a}\times{\overline{b}}|\)
আবার, \(\frac{1}{2}|\overline{a}\times{\overline{b}}|=\frac{1}{2}.OA.h\)
\(=\triangle{OAB}\)
\(\triangle{OAB}=\frac{1}{2}|\overline{a}\times{\overline{b}}|\)
তিনটি ভেক্টরের স্কেলার গুণনঃ
\(\overline{a}, \overline{b}\) এবং \(\overline{c}\) তিনটি ভেক্টর রাশি।
তাহলে,
\(\overline{a}.(\overline{b}\times{\overline{c}})=\overline{b}.(\overline{c}\times{\overline{a}})=\overline{c}.(\overline{a}\times{\overline{b}})=\)ভেক্টর তিনটি দ্বারা গঠিত সামান্তরিক আকারের ঘনবস্তুর আয়তন।

তিনটি ভেক্টর সমতলীয় হওয়ার শর্তঃ
\(\overline{a}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}, \overline{b}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k}\) ভেক্টর তিনটির সমতলীয় হওয়ার শর্তঃ
\(\left|\begin{array}{c}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\\ c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|=0\)

অধ্যায় \(2\)-এর উদাহরণসমুহ
উদাহরণ \(1.\) \(\overline{a}=3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k},\) \(\overline{b}=2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}\) হলে, \((\overline{b}+2\overline{a}).(\overline{c}-\overline{a})\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-14\)
যঃ ২০০১ ; সিঃ ২০০২ ।

উদাহরণ \(2.\) \(\overline{a}=2\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}\) ও \(\overline{b}=2\hat{i}+10\hat{j}-11\hat{k}\) ভেক্টর দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{\left(\frac{13}{45}\right)}\)
রাঃ ২০০৬; সিঃ ২০১০ ।

উদাহরণ \(3.\) \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) ভেক্টরটি \(x, y\) ও \(z\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত যথাক্রমে \(\alpha, \beta\) ও \(\gamma\) কোণ উৎপন্ন করলে \(\alpha, \beta\) ও \(\gamma\) কোণের মাণ নির্ণয় কর এবং প্রমাণ কর যে, \(\cos^2{\alpha}+\cos^2{\beta}+\cos^2{\gamma}=1\)
উত্তরঃ \(\alpha=\cos^{-1}{\left(\frac{x}{r}\right)}, \beta=\cos^{-1}{\left(\frac{y}{r}\right)}, \gamma=\cos^{-1}{\left(\frac{z}{r}\right)}\)

উদাহরণ \(4.\) \((1, -2, 3)\) ও \((3, 5, -2)\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((1+2\lambda)\hat{i}+(7\lambda-2)\hat{j}+(3-5\lambda)\hat{k}\)

উদাহরণ \(5.\) \(\overline{a}=2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}\) ও \(\overline{b}=-\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\) হলে, \(\overline{b}\) এর উপর \(\overline{a}\) এর অভিক্ষেপ এবং \(\overline{a}\) এর উপর \(\overline{b}\) এর অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\frac{9}{\sqrt{6}}; \ -\frac{9}{\sqrt{14}}\)
যঃ ২০০৬ ।

উদাহরণ \(6.\) \(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}\) ভেক্টর তিনটির জন্য, দেখাও যে, \(\overline{a}.(\overline{b}\times{\overline{c}})=\overline{b}.(\overline{c}\times{\overline{a}})=\overline{c}.(\overline{a}\times{\overline{b}})\)

উদাহরণ \(7.\) \(\overline{a}=2\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}\) ভেক্টর বরাবর \(\overline{b}=5\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}\) ভেক্টরের অংশক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}(2\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k})\)
কুঃ ২০০৬; যঃ ২০১১; বঃ ২০০৬,২০১১; রাঃ ২০০৯, ২০১১; চঃ ২০০৯, ২০১১; ঢাঃ ২০১০, ২০১২ ।

উদাহরণ \(8.\) \(\overline{a}=3\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}\) ও \(\overline{b}=-\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}\) হলে, \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর লব্ধি ভেক্টরের সমান্তরাল একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{7}(2\hat{i}+3\hat{j}-6\hat{k})}\)
যঃ ২০১১; বঃ ২০০৫,২০০৭; রাঃ ২০০৬; চঃ ২০০৬, ২০০৮; ঢাঃ ২০০৭, ২০১২; সিঃ২০০৭; মাঃ ২০০৯; দিঃ ২০১৩ ।

উদাহরণ \(9.\) \(\overline{a}=2\hat{i}-6\hat{j}-3\hat{k}\) ও \(\overline{b}=4\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}\) ভেক্টর দ্বারা গঠিত সমতলের উপর একক লম্ব ভেক্টর নির্ণয় কর। আবার একই দিকে \(5\) একক দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট একটি ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{7}(3\hat{i}-2\hat{j}+6\hat{k})}; \ \pm{\frac{5}{7}(3\hat{i}-2\hat{j}+6\hat{k})}\)
কুঃ ২০০৩; যঃ ২০০৪; বঃ ২০০৩; রাঃ ২০১০; ঢাঃ ২০০৬, ২০০৯; সিঃ২০১৩; দিঃ ২০১২।

উদাহরণ \(10.\) \(2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k},\) \(3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\) ও \(\hat{i}-3\hat{j}+a\hat{k}\) ভেক্টর তিনটি একই সমতলে অবস্থিত হলে ধ্রুবক \(a\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a=5\)
কুঃ ২০০৬, ২০১২; চঃ ২০০৬; বঃ ২০০৬; রাঃ ২০১০; ঢাঃ ২০০৪; সিঃ২০০৩, ২০১১; দিঃ ২০১১; চুয়েটঃ ১০০৭-২০০৮ ।

উদাহরণ \(11.\) \(A(3,-1,2),\) \(B(1,-1,-3)\) ও \(C(4,-3,1)\) বিন্দু তিনটি শুন্যে অবস্থিত। \(ABC\) ত্রিভুজের কোণ তিনটি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\angle{A}=\cos^{-1}{\left(\frac{3}{\sqrt{174}}\right)}; \ \angle{B}=\cos^{-1}{\left(\frac{26}{29}\right)};\) \( \angle{C}=\cos^{-1}{\left(\frac{3}{\sqrt{174}}\right)}\)

উদাহরণ \(12.\) \((1,2,-6)\) বিন্দুগামী এবং \((2,-3,0)\) ও \((4,-4,1)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}=(1+2t)\hat{i}+(2-t)\hat{j}+(t-6)\hat{k}\)

উদাহরণ \(13.\) ভেক্টর পদ্ধতির সাহায্যে দেখাও যে, \((x_{1}, y_{1})\) ও \((x_{2}, y_{2})\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ \(\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}\)

উদাহরণ \(14.\) \((1,2,3)\) এবং \((4,-3,1)\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}=(1+2t)\hat{i}+(2-t)\hat{j}+(t-6)\hat{k}\)

উদাহরণ \(15.\) \((1,2,-3)\) বিন্দুগামী এবং \((2,3,-1)\) ও \((3,5,2)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}=(1+t)\hat{i}+(2+2t)\hat{j}+(-3+3t)\hat{k}\)

উদাহরণ \(16.\) \(A, \ B, \ C, \ D\) বিন্দু চারটির অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(3\hat{i}+4\hat{j}+5\hat{k}, \ 4\hat{i}+5\hat{j}+6\hat{k}, \ 7\hat{i}+9\hat{j}+3\hat{k}\) এবং \(4\hat{i}+6\hat{j}\) হলে, দেখাও যে, \(\overrightarrow{AB}\) এবং \(\overrightarrow{CD}\) সমান্তরাল।

উদাহরণ \(17.\) \(\overline{a}=2\hat{i}+5\hat{j}-3\hat{k},\) \(\overline{b}=\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\) ভেক্টর তিনটি দ্বারা গঠিত ঘন বস্তুর আয়তন নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(18\) ঘন একক।

উদাহরণ \(18.\) যদি \(\overline{a}=\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k},\) \(\overline{b}=-2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\) হয় তবে, \(\overline{a}\times(\overline{b}\times\overline{c})\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(7\hat{i}-14\hat{j}-7\hat{k}\)

উদাহরণ \(19.\) \(A(3,-1,-1)\) \(B(2,1,3)\) এবং \(C(1,-2,5)\) বিন্দুত্রয় দিয়ে অঙ্কিত সমতলের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(16x-2y+5z-45=0\)

উদাহরণ \(20.\) \(A(1,2,3)\) \(B(2,3,1)\) এবং \(C(3,1,2)\) বিন্দুত্রয় একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।
\((a)\) দেখাও যে, \(ABC\) সমবাহু ত্রিভুজ।
\((b)\) \(A\) কোণের মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(ABC\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) 60^{o}, \ (c) \frac{3\sqrt{3}}{2}\) বর্গ একক।

উদাহরণ \(21.\) \(\overline{A}=2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k};\) \(\overline{B}=-\hat{i}-4\hat{j}+7\hat{k}\) এবং তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(P(-3,-2,-1), \ Q(4,0,-3)\) এবং \(S(6,-7,8) \)
\((a)\) উদাহরণসহ একক ভেক্টরে সংজ্ঞা দাও।
\((b)\) উদ্দীপকের আলোকে \(\overline{A}\) বরাবর \(\overline{B}\) এর উপাংশ নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকের আলোকে \(PQS\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) \frac{3}{14}(2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}), \ (c) 48.57\) বর্গ একক।
সিঃ২০১৭ ।

উদাহরণ \(22.\) \(\overline{a}=3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k};\) \(\overline{b}=\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=2\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}\)
\((a)\) \(\overline{a}.\overline{b}\) নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর পরস্পরের উপর অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
\((c)\) দেখাও যে ভেক্টর তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে।
উত্তরঃ \((a) 14; \ \sqrt{14}; \ \frac{14}{\sqrt{35}}\)

অধ্যায় \(3\) / \(Q.1\)-এর অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
\(Q.1.(i)\) \(\overline{A}=\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=4\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\) হলে, \(2\overline{A}+\overline{B}\) ও \(6\overline{A}-3\overline{B}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(6\hat{i}+4\hat{j}, \ -6\hat{i}+24\hat{j}-24\hat{k}\)
কুঃ ২০০৭ ।

\(Q.1.(ii)\) \(\overline{A}=\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=4\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\) হলে, \(|3\overline{A}+2\overline{B}|\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\sqrt{150}\)
কুঃ ২০০৭; রুয়েটঃ২০১১-২০১২ ।

\(Q.1.(iii)\) \(\overline{A}=3\hat{i}+2\hat{j},\) \(\overline{B}=-\hat{i}+5\hat{j}\) এবং \(\overline{C}=8\hat{i}-3\hat{j}\) হলে, \(\overline{A}-3\overline{B}\) ও \(3\overline{A}-7\overline{C}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(6\hat{i}-13\hat{j}; \ -47\hat{i}+27\hat{j}\)
চঃ ২০০১ ।

\(Q.1.(iv)\) \(\overline{A}=\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=4\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\) হলে, \((2\overline{A}-\overline{B}).(6\overline{A}+3\overline{B})\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(60\)
যঃ ২০০৩ ।

\(Q.1.(v)\) \(\overline{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k},\) \(\overline{b}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\) হলে, \((\overline{a}.\overline{b})+(\overline{b}.\overline{c})+(\overline{c}.\overline{a})\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1\)
রাঃ ২০০৩; যঃ২০০৯ ।

\(Q.1.(vi)\) \((2, 3, 1)\) এবং \((3, 1, -2)\) বিন্দুদ্বয়ের অবস্থান ভেক্টর দুইটির স্কেলার গুণফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(7\)
ঢাঃ ২০০২ ।

\(Q.1.(vii)\) \(\overrightarrow{OA}=2\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=4\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}\) হলে, \(|\overrightarrow{AB}|\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2\sqrt{19}\)
রাঃ ২০১২; যঃ২০১২; বঃ ২০১০; চঃ ২০১২; দিঃ ২০০৯, ২০১১; ঢাঃ ২০১৩ ।

প্রতি জোড়া ভেক্টরের অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয় কর।
\(Q.1.(viii). (a)\) \(\overline{A}=2\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=2\hat{i}+10\hat{j}-11\hat{k}\)
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{\left(\frac{13}{45}\right)}\)
রাঃ ২০০৬; যঃ২০০৩; কুঃ ২০০১; ঢাঃ ২০১২ ।

\(Q.1.(viii). (b)\) \(\overline{A}=2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=\hat{i}+4\hat{j}+3\hat{k}\)
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{\left(-\frac{\sqrt{13}}{2\sqrt{7}}\right)}\)
রাঃ ২০০৪, ২০১১; যঃ২০০৭; সিঃ ২০০৭, ২০১১; বঃ ২০১১; ঢাঃ ২০০৩ ।

\(Q.1.(viii). (c)\) \(\overline{A}=2\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}\)
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{\left(-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{35}}\right)}\)
চঃ ২০০৪, ২০০৮; বঃ ২০০৫।

\(Q.1.(viii). (d)\) \(\overline{A}=\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\)
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{\left(\frac{3}{2\sqrt{21}}\right)}\)
কুঃ ২০০৫, ২০১৩।

\(Q.1.(viii). (e)\) \(2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\)
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{\left(\sqrt{\frac{6}{7}}\right)}\)
কুঃ ২০০৬ ।

\(Q.1.(ix)\) \(\underline{a}=\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}\) এবং \(\underline{b}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\) হলে, \(2\underline{a}+\underline{b}\) এবং \(\underline{a}+2\underline{b}\) ভেক্টরের অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{\left(\frac{31}{50}\right)}\)
বঃ ২০০৬ ।

নিচের ভেক্টরগুলি অক্ষত্রয়ের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর।
\(Q.1.(x) .(a)\) \(2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\)
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{\left(\frac{2}{3}\right)}; \ \cos^{-1}{\left(-\frac{1}{3}\right)}; \ \cos^{-1}{\left(\frac{2}{3}\right)}\)
ঢাঃ,কুঃ ২০১১; দিঃ,রাঃ,কুঃ,যঃ ২০১০; রাঃ,দিঃ,সিঃ, চঃ ২০১৩ ।

\(Q.1.(x) .(b)\) \(\hat{j}+2\hat{k}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{2}; \ \cos^{-1}{\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)}; \ \cos^{-1}{\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)}\)
রাঃ ২০০৮ ।

\(Q.1.(x) .(c)\) \(3\hat{i}-6\hat{j}+2\hat{k}\)
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{\left(\frac{3}{7}\right)}; \ \cos^{-1}{\left(-\frac{6}{7}\right)}; \ \cos^{-1}{\left(\frac{2}{7}\right)}\)
যঃ ২০০৮ ।

\(Q.1.(xi)\) \(\overline{B}=6\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}\) ভেক্টরের উপর \(\overline{A}=2\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টরের অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{8}{7}\)
কুঃ ২০০৮, ২০১১; রাঃ ২০০৪,২০১৩; চঃ ২০০৫; সিঃ ২০১২; যঃ ২০১২; কুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ।

\(Q.1.(xii)\) \(\overline{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) ও \(\overline{b}=\sqrt{3}\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}\) হলে, \(\overline{b}\) এর উপর \(\overline{a}\) এর অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{3}+1}{4}\)
চঃ,কুঃ ২০১২; বঃ ২০০৭; দিঃ ২০১১ ।

\(Q.1.(xiii)\) \(\overline{P}=5\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}\) ভেক্টরের উপর \(\overline{Q}=2\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}\) ভেক্টরের অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{3}{\sqrt{38}}\)
ঢাঃ ২০০৭ ।

\(Q.1.(xiv)\) \(\underline{a}=\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টরের উপর \(\underline{b}=2\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}\) ভেক্টরের অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{10}{\sqrt{6}}\)
যঃ ২০০৮ ।

\(Q.1.(xv)\) \(A(2,3,-1)\) ও \(B(-2,-4,3)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ সরলরেখার উপর \(4\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টরের অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1\)

\(Q.1.(xvi)\) \(\overline{B}=2\hat{i}+10\hat{j}-11\hat{k}\) ভেক্টর বরাবর \(\overline{A}=2\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টরের অংশক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{13}{225}(2\hat{i}+10\hat{j}-11\hat{k})\)
সিঃ ২০১১ ।

\(Q.1.(xvii)\) \(\overline{A}=2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=3\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\) হলে, \(|\overline{A}|, \ |\overline{B}|, \ |\overline{A}+\overline{B}|, \ |\overline{A}-\overline{B}|\) এবং \(|\overline{A}-2\overline{B}|\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\sqrt{29}, \ \sqrt{11}, \ \sqrt{38}, \ \sqrt{42}\) এবং \(\sqrt{77}\)

\(Q.1.(xviii)\) \(\overline{a}=\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k},\) \(\overline{b}=-2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}\) ভেক্টরত্রয়ের লব্ধি ভেক্টর ও তার মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}\) এবং \(3\)

\(Q.1.(xix)\) মূলবিন্দু \(O\) এর সাপেক্ষে \(A(2,-1,7)\) এবং \(B(-4,5,0)\) হলে, \(\overrightarrow{AB}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-6\hat{i}+6\hat{j}-7\hat{k}\)
সিঃ ২০০৫, ২০০৯ ।

\(Q.1.(xx)\) যদি \(A(1,1,4)\) আদি বিন্দু এবং \(B(3,4,-2)\) প্রান্ত বিন্দু হয়, তবে \(\overrightarrow{AB}\) ভেক্টর এবং তার মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2\hat{i}+3\hat{j}-6\hat{k}, \ 7\)

\(Q.1.(xxi)\) \(\overline{A}=3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=6\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}\) হলে, \(\overline{A}.\overline{B}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(26\)

\(Q.1.(xxii)\) যদি \(2\hat{i}+\lambda\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}\) ভেক্টর দুইটি পরস্পর লম্ব হয়, তবে \(\lambda\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\lambda=\frac{5}{2}\)

\(Q.1.(xxiii)\) যে শর্তে \(a\hat{i}+b\hat{j}+c\hat{k}\) ভেক্টরটি
\((1)\) \(x\) অক্ষের ;
\((2)\) \(y\) অক্ষের ;
\((3)\) \(z\) অক্ষের উপর লম্ব তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a=0, \ b=0, \ c=0\)

\(Q.1.(xxiv)\) দেখাও যে, \(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টরটি অক্ষত্রয়ের সাথে সমান কোণে আনত।
বটেক্সঃ ২০০৫-২০০৬ ।

\(Q.1.(xxv)\) \(\overline{P}=3\hat{i}-4\hat{j}-2\hat{k}\) এবং \(\overline{Q}=5\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\) হলে,
\((1)\) \(\overline{P}+\overline{Q}\) ;
\((2)\) \(\overline{P}-\overline{Q}\) ;
\((3)\) \(\overline{Q}-\overline{P}\) মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((1) 8\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}, \ (2) -2\hat{i}-6\hat{j}-\hat{k}, \ (3) 2\hat{i}+6\hat{j}+\hat{k}\)

\(Q.1.(xxvi)\) \(\overline{A}=3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}, \ \overline{B}=2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{C}=2\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}\) হলে, \(|2\overline{A}-\overline{B}+\overline{C}|\)
উত্তরঃ \(11\)

\(Q.1.(xxvii)\) \(\overline{P}=5\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}, \ \overline{Q}=\hat{k}\) হলে, \(\overline{P}.\overline{Q}=\) কত?
উত্তরঃ \(3\)

\(Q.1.(xxviii)\) \(\overline{A}=3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}, \ \overline{B}=2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{C}=2\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(\overline{A}.(\overline{B}+\overline{C})=\overline{A}.\overline{B}+\overline{A}.\overline{C}\)

\(Q.1.(xxix)\) \(\overline{A}=3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}, \ \overline{B}=2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{C}=\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}\) হলে, \((\overline{B}+2\overline{A}).(\overline{C}-\overline{A})\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-14\)
সিঃ ২০০২; যঃ২০০১ ।

\(Q.1.(xxx)\) \(\overline{A}=\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\) ভেক্টর দুইটি লম্ব কিনা যাচাই কর।
উত্তরঃ লম্ব নয়।
ঢাঃ ২০১৭ ।

\(Q.1.(xxxi)\) \(\overline{A}=2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টর দুইটি লম্ব কিনা যাচাই কর।
উত্তরঃ লম্ব নয়।
ঢাঃ ২০১৯ ।

\(Q.1.(xxxii)\) \(A(-11,8,4), \ B(-1,1,2)\) এবং \(C(-5,-5,3)\) হলে, ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, \(AB\) ও \(BC\) পরস্পর লম্ব।

\(Q.1.(xxxiii)\) \(4\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}\) এবং \(3\hat{i}-4\hat{j}+a\hat{k}\) ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হলে, \(a\) এর মাণ কত?
উত্তরঃ \(\frac{4}{3}\)
চঃ ২০১৯ ।

\(Q.1.(xxxiv)\) \(m\) এর মাণ কত হলে, \(\overline{A}=2\hat{i}+3\hat{j}-6\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=m\hat{i}+2\hat{j}+10\hat{k}\) ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে?
উত্তরঃ \(27\)
চুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫ ।

\(Q.1.(xxxv)\) \(r\) এর মাণ কত হলে, \(\overline{A}=2\hat{i}-3\hat{j}+r\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=-\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}\) ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে?
উত্তরঃ \(-\frac{8}{3}\)
রাঃ,কুঃ,চঃ,বঃ ২০১৮ ।

\(Q.1.(xxxvi)\) \(\mu\) এর মাণ কত হলে, \(\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(2\hat{i}+\mu\hat{j}-2\hat{k}\) ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে?
উত্তরঃ \(0\)
রাঃ,কুঃ,চঃ,বঃ ২০১৮ ।

\(Q.1.(xxxvii)\) \(\overline{u}=4\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}\) এবং \(\overline{v}=\lambda\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}\) ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হয় তবে, \(\lambda\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3\)
বঃ ২০০৯ ।

\(Q.1.(xxxviii)\) \(\underline{a}=\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টরের উপর \(\underline{b}=2\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}\) ভেক্টরের অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\frac{2}{\sqrt{6}}\)
যঃ ২০০৮ ।

\(Q.1.(xxxix)\) \((2,3,1)\) এবং \((3,1,-2)\) এর স্কেলার গুণফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(7\)
ঢাঃ ২০০২ ।

\(Q.1.(xL)\) দেখাও যে, \(\overline{A}=-2\hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k}, \ \overline{B}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}\) এবং \(\overline{C}=7\hat{i}-\hat{k}\) ভেক্টরত্রয় সমরেখ।

\(Q.1.(xLi)\) \(\overline{A}=2\hat{i}+3\hat{j}-5\hat{k}, \ \overline{B}=-5\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}, \ \overline{C}=\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\) এবং \(\overline{D}=4\hat{i}-3\hat{j}-2\hat{k}\) ভেক্টর চারটি কোনো বস্তু কণার উপর ক্রিয়া করে। এদের লব্ধির মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\sqrt{5}\)

অধ্যায় \(3\) / \(Q.2\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
\(Q.2.(i)\) \(\overline{A}=\hat{i}-2\hat{j}-2\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=6\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}\) ভেক্টর দুইটির অন্তর্গত কোণ নির্ণয় কর। \(\overline{A}\) ভেক্টর বরাবর \(\overline{B}\) ভেক্টরের অংশক এবং অভিক্ষেপ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে এদের সাংখ্যিক মাণ সমান।
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{\left(-\frac{4}{21}\right)}; \ -\frac{4}{9}(\hat{i}-2\hat{j}-2\hat{k}); \ -\frac{4}{3}\)
যঃ ২০০৭; ঢাঃ২০০৯; চঃ ২০১০ ।

\(Q.2.(ii)\) \(2\hat{i}+10\hat{j}-11\hat{k}\) ভেক্টরটির সমান্তরালে একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{15}(2\hat{i}+10\hat{j}-11\hat{k})}\)
সিঃ ২০০৫,২০০৯ ।

\(Q.2.(iii)\) \(\overline{A}=2\hat{i}+4\hat{j}+5\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}\) হলে, ভেক্টর দুইটির লব্ধির সমান্তরালে একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{\sqrt{109}}(3\hat{i}+6\hat{j}+8\hat{k})}\)

\(Q.2.(iv)\) \(\overline{A}=4\hat{i}+5\hat{j}-3\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=-\hat{i}-5\hat{j}-\hat{k}\) হলে,
\((a)\) ভেক্টর দুইটির লব্ধির সমান্তরালে একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
\((b)\) ভেক্টর দুইটির লব্ধির দিক বরাবর একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
\((c)\) ভেক্টর দুইটির লব্ধির বিসদৃশ সমান্তরাল একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{5}(3\hat{i}-4\hat{k})}; \ \frac{1}{5}(3\hat{i}-4\hat{k}); \ -\frac{1}{5}(3\hat{i}-4\hat{k})\)
বঃ ২০০৪ ।

\(Q.2.(v)\) \(2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টর দুইটির উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{\sqrt{35}}(3\hat{i}-\hat{j}-5\hat{k})}\)
ঢাঃ,কুঃ ২০১১; রুয়েটঃ২০১১-২০১২ ।

\(Q.2.(vi). (b)\) \(2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টর দুইটির উপর লম্ব \(5\) একক মাণ বিশিষ্ট ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{5}{\sqrt{35}}(3\hat{i}-\hat{j}-5\hat{k})}\)

\(Q.2.(vii)\) \(\overline{a}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) হলে, এমন একটি ভেক্টর \(\hat{c}\) নির্ণয় কর যা \(\overline{a}\) এবং \(\overline{b}\) এর সাথে সমতলীয় হবে এবং \(\overline{a}\) এর উপর লম্ব হবে।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{\sqrt{6}}(2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})}\)

\(Q.2.(viii)\) \(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\) ভেক্টর দুইটির উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{\sqrt{14}}(-\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})}\)
রাঃ,কুঃ ২০০৮; যঃ২০১০ ।

\(Q.2.(ix)\) \(P(1,1,1)\) এবং \(Q(3,2,-1)\) শুন্যে অবস্থিত দুইটি বিন্দু। \(\overrightarrow{PQ}\) ভেক্টর নির্ণয় কর এবং এর সমান্তরাল একটি একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}; \ \pm{\frac{1}{3}(2\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k})}\)
যঃ ২০০৯ ; বুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪।

\(Q.2.(x)\) দেখাও যে, \(\overline{a}=9\hat{i}+\hat{j}-6\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=4\hat{i}-6\hat{j}+5\hat{k}\) ভেক্টর দুইটি পরস্পর লম্ব।
বঃ ২০০৮; রুয়েটঃ ২০০৭-২০০৮ ।

\(Q.2.(xi)\) দেখাও যে, \(\overline{A}=8\hat{i}+\hat{j}-6\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=4\hat{i}-2\hat{j}+5\hat{k}\) ভেক্টর দুইটি পরস্পর লম্ব।
রাঃ ২০০৭; যঃ ২০১২; রুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ,২০১০-২০১১ ।

\(Q.2.(xii)\) \(\overline{A}=\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\) হলে দেখাও যে, \(\overline{A}+\overline{B}\) এবং \(\overline{A}-\overline{B}\) ভেক্টর দুইটি পরস্পর লম্ব।
রাঃ ২০০৬; ঢাঃ ২০০৩,২০০৪,২০০৮; যঃ ২০০৭; চঃ ২০০৭,২০১২; মাঃ ২০০৮; দিঃ ২০১০; বঃ ২০১০,২০১২; বুয়েটঃ ২০১১-২০১২।

\(Q.2.(xiii)\) দেখাও যে, \(\overline{a}=3\hat{i}+2\hat{j}-6\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=4\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টর দুইটি পরস্পর লম্ব। এ ভেক্টর দুইটির উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{\sqrt{1274}}(-16\hat{i}-27\hat{j}-17\hat{k})}\)
ঢাঃ ২০০২; কুঃ ২০০৫ ।

\(Q.2.(xiv)\) \(A\) ও \(B\) বিন্দু দুইটির অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(2\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k}\) এবং \(4\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}\) হলে \(\overrightarrow{AB}\) এর দৈর্ঘ্য এবং \(\overrightarrow{AB}\) বরাবর একটি একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(|\overrightarrow{AB}|=2\sqrt{19}; \ \frac{1}{\sqrt{19}}(\hat{i}-3\hat{j}+3\hat{k})\)
রুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭ ।

\(Q.2.(xv)\) \(a\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(2a\hat{i}-a\hat{j}-4\hat{k}\) ভেক্টর দুইটি পরস্পর লম্ব হলে \(a\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a=1, \ a=-2\)
রাঃ ২০০৯-২০০১২; যঃ ২০০৫,২০০৯; ঢাঃ ২০০৬,২০১০; সিঃ ২০০৮,২০১২; চঃ২০০৯; কুঃ ২০১৩ ।

\(Q.2.(xvi)\) \(2\hat{i}+a\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(4\hat{i}-2\hat{j}-2\hat{k}\) ভেক্টর দুইটি পরস্পর লম্ব হলে \(a\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3\)
বঃ ২০০৮ ।

\(Q.2.(xvii)\) \(\overline{a}=2\hat{i}+y\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=4\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}\) ভেক্টর দুইটি পরস্পর লম্ব হলে \(y\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{7}{2}\)

\(Q.2.(xviii)\) দেখাও যে, \(\overline{a}=3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k},\) \(\overline{b}=\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=2\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}\) ভেক্টর তিনটি সমতলীয়।
ঢাঃ ২০০৬ ।

\(Q.2.(xix)\) \(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k},\) \(2\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\lambda \hat{i}-\hat{j}+\lambda \hat{k}\) ভেক্টর তিনটি সমতলীয় হলে \(\lambda\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\lambda=1\)

\(Q.2.(xx)\) দেখাও যে, \(\overline{a}=3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k},\) \(\overline{b}=\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=2\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}\) ভেক্টর তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে।
ঢাঃ ২০০৪; বঃ ২০০৩,২০১২; রাঃ ২০০৭; বুয়েট ২০০৩-২০০৪ ।

\(Q.2.(xxi)\) তিনটি বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k},\) \(-\hat{i}-\hat{j}+8\hat{k}\) এবং \(-4\hat{i}+4\hat{j}+6\hat{k}\) হলে দেখাও যে, বিন্দু তিনটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ গঠন করে।
ঢাঃ ২০০৫, ২০১৩; সিঃ,চঃ ২০১০,২০১৩ ।

\(Q.2.(xxii)\) ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, \(A(1,-1,-1)\) \(B(3,3,1)\) এবং \(C(-1,4,4)\) বিন্দু তিনটি একটি গোলকের উপর অবস্থিত যার কেন্দ্র \(P(0,1,2).\)

\(Q.2.(xxiii)\) \(A(0,1,2)\) \(B(-1,3,0)\) এবং \(C(1,-1,1)\) বিন্দু তিনটি অবস্থান ভেক্টর নির্ণয় কর এবং \(|\overrightarrow{AB}|\) ও \(|\overrightarrow{AC}|\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\hat{j}+2\hat{k}, \ -\hat{i}+3\hat{j}, \ \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}; \ 3, \ \sqrt{6}\)
ঢাঃ ২০০৩ ।

\(Q.2.(xxiv)\) \(\overline{A}=2\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}\) হলে, \(\overline{A}\times{\overline{B}}\) হতে তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\sin^{-1}{\left(\frac{\sqrt{13}}{3\sqrt{7}}\right)}\)
কুঃ ২০০৪ ।

\(Q.2.(xxv)\) \(\overline{A}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=3\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}\) হলে, \(|\overline{A}\times{\overline{B}}|\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(6\sqrt{5}\)
বুয়েটঃ ২০০০-২০০১ ।

\(Q.2.(xxvi)\) \((a\hat{i}+b\hat{j}+\hat{k})\times{(2\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})}=\hat{i}-\hat{j}\) হলে, \(a\) ও \(b\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a=1, \ b=1\)
বুয়েটঃ ২০০১-২০০২ ।

\(Q.2.(xxvii)\) \(\overline{A}=3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k},\) \(\overline{B}=2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{C}=\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}\) হলে, \(\overline{A}\times{(\overline{B}\times{\overline{C}})}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(17\hat{i}-19\hat{j}+16\hat{k}\)

\(Q.2.(xxviii)\) \(\underline{a}=2\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}\) এবং \(\underline{b}=-\hat{i}+2\hat{j}-7\hat{k}\) হলে, \(5\underline{a}\times{\underline{b}}\) এবং \(\frac{\underline{b}}{|\underline{a}|}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(55\hat{i}+45\hat{j}+5\hat{k}, \ \frac{1}{\sqrt{38}}(-\hat{i}+2\hat{j}-7\hat{k})\)
চঃ ২০০২ ।

\(Q.2.(xxix)\) যে কোনো দুইটি ভেক্টর \(\underline{A}\) এবং \(\underline{B}\) এর জন্য প্রমাণ কর যে, \(\underline{A}.\underline{B}=\underline{B}.\underline{A}\) এবং \(\underline{A}\times{\underline{B}}=-\underline{B}\times{\underline{A}}.\)
চঃ ২০০২ ।

\(Q.2.(xxx)\) প্রমাণ কর যে, \(\underline{A}\times{\underline{B}}=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{array}\right|,\) যেখানে \(\underline{A}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k},\) \(\underline{B}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}.\)

\(Q.2.(xxxi)\) দুইটি ভেক্টর \(\underline{a}\) এবং \(\underline{b}\) এর স্কেলার বা ডট গুণনের সংজ্ঞা দাও। প্রমাণ কর যে, \(\hat{i}.\hat{j}=0,\) \(\hat{i}.\hat{i}=1; \) যেখানে \(\hat{i}\) ও \(\hat{j}\) যথাক্রমে \(x\) ও \(y\) অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর।
চঃ ২০১১ ।

\(Q.2.(xxxii)\) মূলবিন্দু \(O\) এর সাপেক্ষে \(P(2,-1,7)\) এবং \(Q(-4,5,0)\) হলে, \(|\overrightarrow{PQ}|\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}; \ \pm{\frac{1}{3}(2\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k})}\)
সিঃ ২০০৫, ২০০৯ ।

\(Q.2.(xxxiii)\) \(\overline{P}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{Q}=2\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}\) হলে দেখাও যে, \(\overline{P}\) এবং \(\overline{Q}\) পরস্পর সমান্তরাল।

\(Q.2.(xxxiv)\) \(\overline{P}=3\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\) এবং \(\overline{Q}=3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\) হলে দেখাও যে, \(\overline{P}-\overline{Q}\) ভেক্টরটি \(\overline{P}\) এবং \(\overline{Q}\) ভেক্টর দ্বারা গঠিত সমতলের উপর লম্ব ভেক্টরের সাথে লম্ব।
রাঃ ২০১৭ ।

\(Q.2.(xxxv)\) \(\overline{a}=2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{d}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\) হলে, \(\overline{a}\) এবং \(\overline{d}\) যে সমতলে অবস্থিত তার উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{\sqrt{195}}(5\hat{i}-7\hat{j}-11\hat{k})}\)
ঢাঃ ২০১৯ ।

\(Q.2.(xxxvi)\) একটি একক ভেক্টর নির্ণয় কর যা \(\overline{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}\) ভেক্টরদ্বয়ের সমতলীয় এবং \(\overline{a}\) ভেক্টরের উপর লম্ব।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{\sqrt{6}}(2\hat{i}-\hat{j}-\hat{k})}\)
বুয়েটঃ ২০১৮-২০১৯ ।

\(Q.2.(xxxvii)\) \(\overline{A}=2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\) হলে, \(\overline{A}+\overline{B}\) এবং \(\overline{A}\times\overline{B}\) ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(90^{o}\)
দিঃ ২০১৭ ।

\(Q.2.(xxxviii)\) \(\overrightarrow{RS}=-2\hat{i}-5\hat{k}\) এবং \(\overrightarrow{RT}=\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}\) হলে, \(\angle{RST}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(26.29^{o}\)
কুঃ ২০১৯ ।

\(Q.2.(xxxix)\) \(\overline{b}=\hat{i}-2\hat{j}, \ \overline{c}=\hat{i}+p\hat{j}+2\hat{k}\) এবং \(\overline{b}\) ও \(\overline{c}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(45^{o}\) হলে, \(p\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{4\pm{\sqrt{85}}}{3}\)
কুঃ ২০১৯ ।

\(Q.2.(xL)\) \(\overline{A}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}, \ \overline{B}=3\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \ \overline{C}=5\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{D}=-\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}\) হলে, \(\overrightarrow{AB}\) এর উপর \(\overrightarrow{BC}\) এর অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(0\)
বুয়েটঃ ২০১৫-২০১৬ ।

\(Q.2.(xLi)\) \(\overline{A}=2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}\) এর উপর \(\overline{B}=2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) এর অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{6}{\sqrt{14}}\)
রাঃ ২০১৯ ।

\(Q.2.(xLii)\) \(\overline{A}=3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=\hat{i}-4\hat{j}-3\hat{k}\) হলে, \(\overline{A}\) বরাবর \(\overline{B}\) এর উপাংশ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\frac{23}{49}(3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k})\)
ঢঃ,দিঃ,সিঃ,যঃ ২০১৮ ।

\(Q.2.(xLiii)\) \(\overline{a}=2\hat{i}-3\hat{j}+6\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=2\hat{i}-6\hat{j}+\hat{k}\) হলে, \(\overline{a}\) ভেক্টরের উপর \(\overline{b}\) ভেক্টরের অভিক্ষেপ ও \(\overline{a}\) ভেক্টর বরাবর \(\overline{b}\)ভেক্টরের উপাংশ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4; \ \frac{4}{7}(2\hat{i}-3\hat{j}+6\hat{k})\)
যঃ ২০১৫ ।

\(Q.2.(xLiv)\) \(\overline{P}=\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{Q}=2\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}\) হলে, \((\overline{P}+\overline{Q})\) ভেক্টর বরাবর \(\overline{Q}\) ভেক্টরের উপাংশ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{11}{14}(3\hat{i}-\hat{j}-2\hat{k})\)
বঃ ২০১৭ ।

\(Q.2.(xLv)\) \(\overline{A}=2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}, \ \overline{B}=\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}, \ \overline{C}=\hat{i}+b\hat{j}+3\hat{k}\) এবং \(\overline{A}\) ভেক্টর বরাবর \(\overline{B}\) ভেক্টরের উপাংশ \(\overline{C}\) ভেক্টরের সাথে লম্ব হলে, \(b\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}\)
দিঃ ২০১৭ ।

\(Q.2.(xLvi)\) \(\overline{A}=2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) দ্বারা গঠিত সমতলের উপর লম্ব একক ভেক্টরটি \(a\) এর কোন মাণের জন্য \(\overline{C}=a\hat{i}-7\hat{j}+10\hat{k}\) এর উপর লম্ব হবে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3\)
রাঃ ২০১৯ ।

\(Q.2.(xLvii)\) কোনো ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(\overline{a}=2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k},\) \(\overline{b}=\hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=3\hat{i}-4\hat{j}-4\hat{k}\) হলে, দেখাও যে এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

\(Q.2.(xLviii)\) ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, \(A(-11,8,4),\) \(B(-1,-7,-1)\) এবং \(C(9,-2,4)\) বিন্দুত্রয় একটি সমকোণী ত্রিভুজ উৎপন্ন করে।

অনুশীলনী \(3.E\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(Q.3.(i)\) ভেক্টরের সাহায্যে \(A(1,3,2)\) \(B(2,-1,1)\) এবং \(C(-1,2,3)\) শীর্ষ দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\sqrt{107}\) বর্গ একক।
বুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫ ।

\(Q.3.(ii)\) \(\overline{P}=4\hat{i}-4\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{Q}=2\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}\) একটি সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহু নির্দেশ করলে এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(6\sqrt{2}\)
বুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭ ।

\(Q.3.(iii)\) একটি ত্রিভুজের শীর্ষ তিনটির অবস্থান ভেক্টর \(\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k},\) \(3\hat{i}+5\hat{j}-\hat{k},\) এবং \(2\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k};\) ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{5}{2}\sqrt{38}\) বর্গ একক।

\(Q.3.(iv)\) \(\overrightarrow{OA}=2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=\hat{i}+4\hat{j}+3\hat{k}\) হলে, \(OAB\) ত্রিভুজটির কোণ তিনটি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\angle{AOB}=\cos^{-1}{\left(-\frac{13}{\sqrt{364}}\right)}, \ \angle{OAB}=\cos^{-1}{\left(\frac{27}{\sqrt{924}}\right)},\) \( \angle{OBA}=\cos^{-1}{\left(\frac{39}{\sqrt{1716}}\right)}\)

\(Q.3.(v)\) \(\overrightarrow{OA}=2\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=6\hat{i}-3\hat{j}-2\hat{k}\) হলে, \(B\) বিন্দু হতে \(OA\) এর লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{377}}{3}\) একক।

\(Q.3.(vi)\) একটি আয়াতাকার ঘনবস্তুর ধারগুলো \(\overline{A}=2\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k},\) \(\overline{B}=\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{C}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\) ভেক্টর দ্বারা নির্দেশিত। ঘনবস্তুটির আয়তন নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(7\) ঘন একক।

\(Q.3.(vii)\) একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু \(\overline{A}=3\hat{i}+6\hat{j}-2\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=4\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}\) ভেক্টর দ্বারা নির্দেশিত। ত্রিভুজটির কোণ তিনটি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{\left(\frac{7}{5\sqrt{3}}\right)}, \ \cos^{-1}{\left(\frac{\sqrt{26}}{5\sqrt{3}}\right)}, \ 90^{o}\)

\(Q.3.(viii)\) একটি সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় \(\overline{A}=3\hat{i}-4\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=2\hat{i}+3\hat{j}-6\hat{k}\) ভেক্টর দ্বারা নির্দেশিত। দেখাও যে, সামান্তরিকটি একটি রম্বস এবং এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(17.85\) বর্গ একক।

\(Q.3.(ix)\) \(2\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k}\) বিন্দুগামী এবং \(5\hat{i}+6\hat{j}+8\hat{k}\) ভেক্টরের সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}=2\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k}+t(5\hat{i}+6\hat{j}+8\hat{k})\)

\(Q.3.(x)\) \(\hat{i}\) এবং \(\hat{j}\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}=(1-t)\hat{i}+t\hat{j}\)

\(Q.3.(xi)\) দেখাও যে, \((2,-3,4)\) এবং \((5,7,-8)\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ \(\overline{r}=(2+3t)\hat{i}+(-3+10t)\hat{j}+(4-12t)\hat{k}\) যেখানে \(t\) একটি প্যারামিটার। এর সাহায্যে এর কার্তেসীয় সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{x-2}{3}=\frac{y+3}{10}=\frac{z-4}{-12}\)

\(Q.3.(xii)\) \(\overline{A}=2\hat{i}+4\hat{j}-5\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}\) হলে, ভেক্টর দুইটির লব্ধির সমান্তরালে একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{7}(3\hat{i}+6\hat{j}-2\hat{k})}\)

\(Q.3.(xiii)\) দেখাও যে, \(\overline{a}=4\hat{i}+5\hat{j}+\hat{k},\) \(\overline{b}=2\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=3\hat{i}+6\hat{j}-3\hat{k}\) অবস্থান ভেক্টর তিনটি একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ গঠন করে।

\(Q.3.(xiv)\) \(\overline{A}=\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=2\hat{i}-3\hat{j}+6\hat{k}\) হলে, \(\overline{A}\) ভেক্টরের উপর \(\overline{B}\) ভেক্টরের লম্ব অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{8}{3}\)
সিঃ ২০০৬; বঃ ২০০৪ ।

\(Q.3.(xv)\) \(\overline{a}=7\hat{i}-6\hat{j}+6\hat{k}\) ভেক্টরের দিক বরাবর \(\overline{b}=\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}\) ভেক্টরের অংশক নির্ণয় কর। আবার, \(b\) বরাবর \(a\) এর অংশক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\frac{17}{121}(7\hat{i}-6\hat{j}+6\hat{k}); \ -\frac{17}{9}(\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k})\)

\(Q.3.(xvi)\) \((2,3,1)\) এবং \((1,1,3)\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((2-t)\hat{i}(3-2t)\hat{j}+(1+2t)\hat{k})\)

\(Q.3.(xvii)\) \((4, 1, -2)\) বিন্দুগামী এবং \((3,2,1)\) ও \((5,3,-4)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((4+2t)\hat{i}(1+t)\hat{j}-(2+5t)\hat{k})\)

\(Q.3.(xviii)\) \(F=7\hat{i}-4\hat{j}+2\hat{k}\) নিউটন বলের ক্রিয়ার ফলে একটি বস্তু \((2,4,-1)\) বিন্দু থেকে \((4,6,-3)\) বিন্দুতে সরে যায়। কৃত কাজের পরিমাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2\) জুল।

\(Q.3.(xix)\) দেখাও যে, \((2,3,4)\) এবং \((5,7,-6)\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ \(\overline{r}=(2+3t)\hat{i}+(3+4t)\hat{j}+(4-10t)\hat{k}\) যেখানে \(t\) একটি প্যারামিটার। এর সাহায্যে এর কার্তেসীয় সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{x-2}{3}=\frac{y-3}{4}=\frac{z-4}{-10}\)

\(Q.3.(xx)\) \(\overline{A}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k},\) \(\overline{B}=2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{C}=\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k}\) হলে, \(\overline{A}\times{(\overline{B}\times{\overline{C}})}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(15\hat{i}+15\hat{j}-15\hat{k}\)

\(Q.3.(xxi)\) \(\overline{a}=2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=\hat{i}+4\hat{j}-2\hat{k}\) হলে দেখাও যে, \((\overline{a}+\overline{b})\times(\overline{a}-\overline{b})\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-20\hat{i}-6\hat{j}-22\hat{k}\)

\(Q.3.(xxii)\) কোনো সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় \(3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}\) এবং \(\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\) দ্বারা সূচিত হলে সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5\sqrt{3}\) বর্গ একক।

\(Q.3.(xxiii)\) একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর যার শীর্ষ বিন্দুগুলো \(\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k},\) \(2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(-\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}.\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\sqrt{107}\) বর্গ একক।

\(Q.3.(xxiv)\) কোনো সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহদ্বয় \(2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\hat{i}+4\hat{j}+3\hat{k}\) দ্বারা সূচিত হলে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(15.59\) বর্গ একক।

\(Q.3.(xxv)\) \(A(5,2,-3),\) \(B(-3,-2,1)\)\(C(3,-2,11)\) এবং \(D(-1,-4,13)\) হলে, ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, \(\overrightarrow{AB}\) ও \(\overrightarrow{CD}\) সমান্তরাল।

\(Q.3.(xxvi)\) \(a\) এর মাণ কত হলে, \(\overline{P}=2\hat{i}+a\hat{j}-3\hat{k}\) এবং \(\overline{Q}=6\hat{i}-3\hat{j}-9\hat{k}\) পরস্পরের সমান্তরাল হবে।

\(Q.3.(xxvii)\) দেখাও যে, \(\overline{a}=3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k},\) \(\overline{b}=\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=2\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}\) ভেক্টরত্রয় একই সমতলে অবস্থিত।

\(Q.3.(xxviii)\) \(2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k},\) \(\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}\) এবং \(4\hat{i}-\hat{j}+\lambda \hat{k}\) ভেক্টর তিনটি সমতলীয় হলে, \(\lambda\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{3}{5}\)

\(Q.3.(xxix)\) \(2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k}\) ভেক্টর দুইটির উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{\sqrt{35}}(3\hat{i}-\hat{j}-5\hat{k})}\)
ঢাঃ,কুঃ ২০১১; রুয়েটঃ২০১১-২০১২ ।

\(Q.3.(xxx)\) এমন একটি একক ভেক্টর নির্ণয় কর যা \(\overline{a}=\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টর দুইটি দ্বারা সৃষ্ট সমতলের উপর লম্ব।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{3}(2\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k})}\)
কুঃ ২০১৩; সিঃ২০১৫ ।

\(Q.3.(xxxi)\) প্রমাণ কর যে, \(|\overline{A}\times\overline{B}|^2+|\overline{A}.\overline{B}|^2=|\overline{A}|^2|\overline{B}|^2\)

\(Q.3.(xxxii)\) \(A(1,5,2)\) এবং \(B(2,-3,4)\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}=(1+t)\hat{i}+(5-8t)\hat{j}+(2+2t)\hat{k}\)
সিঃ২০১৯ ।

\(Q.3.(xxxiii)\) \(\hat{i}-2\hat{j}-2\hat{k},\) ভেক্টরটি \(y\) অক্ষের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{\left(-\frac{2}{3}\right)}\) ঘন একক।
যঃ২০১৯ ।

\(Q.3.(xxxiv)\) \((1,-3,2)\) এবং \((3,-5,1)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ সরলরেখা স্থানাঙ্কের অক্ষত্রয়ের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{\left(\frac{2}{3}\right)}, \ \cos^{-1}{\left(-\frac{2}{3}\right)}, \ \cos^{-1}{\left(-\frac{1}{3}\right)}\)

\(Q.3.(xxxv)\) \((3,2,-4)\) এবং \((1,-1,2)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ সরলরেখার দিক কোসাইন নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\frac{2}{7}, \ -\frac{3}{7}, \ \frac{6}{7}\) অথবা, \(\frac{2}{7}, \ \frac{3}{7}, \ -\frac{6}{7}\)

\(Q.3.(xxxvi)\) ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, \((4,-1,2), \ (0,-2,3)\) এবং \((1,-5,-1)\) বিন্দুত্রয় একটি গোলকের উপর অবস্থান করে যার কেন্দ্র \((2,-3,1);\) ঐ গোলকের ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3\) একক।

\(Q.3.(xxxvii)\) \(\overline{P}=3\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{Q}=3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\) ভেক্টরের সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}=3(1+t)\hat{i}-(3+2t)\hat{j}+4(1+t)\hat{k}\)
রাঃ২০১৭ ।

\(Q.3.(xxxviii)\) \(\overline{a}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{a}=2\hat{i}+5\hat{j}+4\hat{k}\) ভেক্টরের সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর এবং এটিকে কার্তেসীয় আকারে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}=(1+2t)\hat{i}+(2+5t)\hat{j}+(3+4t)\hat{k}; \ \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{5}=\frac{z-3}{4}\)

\(Q.3.(xxxix)\) \(2\hat{i}-4\hat{j}+3\hat{k}\) বিন্দুগামী এবং \(3\hat{i}+\hat{j}-5\hat{k}\) ভেক্টরের সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর এবং এটিকে কার্তেসীয় আকারে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}=(2+3t)\hat{i}-(4-t)\hat{j}+(3-5t)\hat{k}; \ \frac{x-2}{3}=\frac{y+4}{1}=\frac{z-3}{-5}\)

\(Q.3.(xL)\) \(3\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(2\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}=(3-t)\hat{i}+(1+t)\hat{j}+(1-2t)\hat{k}\)

\(Q.3.(xLi)\) \((1,2,3)\) এবং \((3,2,1)\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}=(1+2t)\hat{i}+2\hat{j}+(3-2t)\hat{k}\)
দিঃ২০১৯ ।

\(Q.3.(xLii)\) \(\overline{A}=\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}, \ \overline{B}=\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{C}=2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\) হলে, দেখাও যে,
\((a) \ (\overline{A}+\overline{B})\times\overline{C}=\overline{A}\times\overline{C}+\overline{B}\times\overline{C}\)
\((b) \ \overline{A}\times(\overline{B}+\overline{C})=\overline{A}\times\overline{B}+\overline{A}\times\overline{C}\)
\((c) \ (\overline{A}+\overline{B}).\overline{C}=\overline{A}.\overline{C}+\overline{B}.\overline{C}\)
\((c) \ \overline{A}\times(\overline{B}\times\overline{C})=(\overline{A}.\overline{C})\overline{B}-(\overline{A}.\overline{B})\overline{C}\)

Please leave your question below

2 Question(s)
imonhaider
October 29, 2019, 12:15 am
\[\frac{d}{dx}(e^{x^2})=?\]
Reply
Tanmoy
October 28, 2019, 11:53 pm
\[\int{\frac{dx}{1+x^2}}=? \]
Reply

Post List

MATH. LIST
Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Trigonometry 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Statistics 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard
Vector 11 and 12 standard
Vector Honours course standard