ধরি,
একটি কণার উপর একই সময়ে \(\overline{P}\) ও \(\overline{Q}\) দুইটি ভেক্টর রাশি পরস্পর \(\alpha\) কোণে ক্রিয়ারত। \(AB\) এবং \(AD\) রেখাংশ দুইটি যথাক্রমে \(\overline{P}\) ও \(\overline{Q}\) এর মাণ এবং তীর চিহ্ন তাদের দিক নির্দেশ করছে।
অর্থাৎ, \(\overrightarrow{AB}=\overline{P}, \overrightarrow{AD}=\overline{Q}\)
এখানে, \(\angle{DAB}=\alpha\)
এই দুইটি ভেক্টর রাশির লব্ধি নির্ণয় করতে হবে।
\(ABCD\) সামান্তরিকটি অঙ্কন করি এবং \(A, C\) যুক্ত করি।
তাহলে \(AC\) কর্ণই ভেক্টর রাশি দুইটির লব্ধির মাণ ও দিক নির্দেশ করবে।
এখানে, \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=\overline{Q}\)
এখান, \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)
\(\therefore\ \overline{R}=\overline{P}+\overline{Q}\)
\(\therefore AC\) কর্ণই ভেক্টর রাশি দুইটির লব্ধির মাণ ও দিক নির্দেশ করে।

ধরি, একটি কণার উপর একই সময়ে ক্রিয়ারত ভেক্টরগুলির মাণ ও দিক যথাক্রমে \(ABCDE\) বহুভুজের বাহু \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{CD}\) ও \(\overrightarrow{DE}\) বরাবর নির্দেশ করে।
প্রমাণ করতে হবে যে,
\(\therefore \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}\)
\(ABCDE\) বহুভুজে \(A, C\) এবং \(A, D\) যোগ করি,
এখন, \(\triangle{ABC}\) ত্রিভুজে ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} .........(1)\)
অনুরূপভাবে, \(\triangle{ACD}\) ও \(\triangle{ADE}\) ত্রিভুজে ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD} .........(2)\)
\(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE} .........(3)\)
\((1)\) হতে \(\overrightarrow{AC}\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD} .........(4)\)
\((4)\) হতে \(\overrightarrow{AD}\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}\)
( প্রমাণিত )

দেওয়া আছে, \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\) দুইটি ভেক্টর।
\(A, B\) যোগ করি,
এখন, \(\triangle{OAB}\) ত্রিভুজে ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}\)
\(\therefore\ \overrightarrow{BA}=\overline{a}-\overline{b}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OA}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\)

আবার, \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\) দুইটি ভেক্টর।
\(A, B\) যোগ করি,
এখন, \(\triangle{OAB}\) ত্রিভুজে ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\)
\(\therefore\ \overrightarrow{AB}=\overline{b}-\overline{a}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OA}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\)

( প্রমাণিত )

ধরি, \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\) দুইটি ভেক্টর \(O\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত।
\(OACB\) সামান্তরিকটি অঙ্কন করি,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}\) সামান্তরিক সূত্র মতে,
\(\therefore \overline{a}+\overline{b}=\overline{c}\)
\(OA\) এবং \(BC\) সামান এবং সমান্তরাল,
\(\therefore \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BC}=\overline{a}\)
আবার, \(OB\) এবং \(AC\) সামান এবং সমান্তরাল,
\(\therefore \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AC}=\overline{b}\)
এখন, \(\triangle{OAC}\) ত্রিভুজে ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}\)
\(\therefore \overline{a}+\overline{b}=\overline{c} ....(1)\)
আবার, \(\triangle{OBC}\) ত্রিভুজে ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}\)
\(\therefore \overline{b}+\overline{a}=\overline{c} ...(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(\overline{a}+\overline{b}=\overline{b}+\overline{a}\)
( প্রমাণিত )

ধরি, \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}, \ \overrightarrow{AB}=\overline{b}, \ \overrightarrow{BC}=\overline{c}\) এবং \(\overrightarrow{OC}=\overline{d}\)
\(OABC\) চতুর্ভুজটি অঙ্কন করি,
\(O, B\) এবং \(A, C\) সংযোগ করি,
এখন, \(\triangle{OAB}\) ত্রিভুজে ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}\)
\(\therefore \overrightarrow{OB}=\overline{a}+\overline{b} ....(1)\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OA}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{AB}=\overline{b}\)

আবার, \(\triangle{ABC}\) ত্রিভুজে ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)
\(\therefore \overrightarrow{AC}=\overline{b}+\overline{c} ...(2)\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AB}=\overline{b}\)
এবং \(\overrightarrow{BC}=\overline{c}\)

আবার, \(\triangle{OAC}\) ত্রিভুজে ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}\)
\(\therefore \overline{d}=\overline{a}+(\overline{b}+\overline{c}) ...(3)\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OA}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{AC}=\overline{b}+\overline{c}\)

আবার, \(\triangle{OBC}\) ত্রিভুজে ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC}\)
\(\therefore \overline{d}=(\overline{a}+\overline{b})+\overline{c} ...(4)\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OB}=\overline{a}+\overline{b}\)
এবং \(\overrightarrow{BC}=\overline{c}\)

\((3)\) ও \((4)\) হতে,
\(\overline{a}+(\overline{b}+\overline{c})=(\overline{a}+\overline{b})+\overline{c}\)
( প্রমাণিত )

ধরি, \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}, \ \overrightarrow{AP}=m_{1}\overrightarrow{OA}\)
\(O, A, P\) একই সরলরেখায় অবস্থিত
এখন, \(OP=OA+AP\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}\) ভেক্টর চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+m_{1}\overrightarrow{OA}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AP}=m_{1}\overrightarrow{OA}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{OP}=(1+m_{1})\overrightarrow{OA}\)
\(\therefore \overrightarrow{OP}=m\overline{a} .....(1)\) ➜Note যেখানে, \(m=1+m_{1}\)
এবং \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\)

আবার, \(OP=OA+AP\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}\) ভেক্টর চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+m_{1}\overrightarrow{OA}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AP}=m_{1}\overrightarrow{OA}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}(1+m_{1})\)
\(\therefore \overrightarrow{OP}=\overline{a}m .....(2)\) ➜Note যেখানে, \(m=1+m_{1}\)
এবং \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\)

\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(m\overline{a}=\overline{a}m\)
( প্রমাণিত )

ধরি, \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}, \ \overrightarrow{AP}=m_{1}\overrightarrow{OA}\)
\(O, A, P\) একই সরলরেখায় অবস্থিত
এখন, \(OP=OA+AP\)
\(\Rightarrow nOP=nOA+nAP\)
\(\Rightarrow n\overrightarrow{OP}=n\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{AP}\) ভেক্টর চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow n\overrightarrow{OP}=n\overrightarrow{OA}+m_{1}n\overrightarrow{OA}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AP}=m_{1}\overrightarrow{OA}\)

\(\Rightarrow n\overrightarrow{OP}=(1+m_{1})n\overrightarrow{OA}\)
\(\therefore n\overrightarrow{OP}=(mn)\overline{a} .....(1)\) ➜Note যেখানে, \(m=1+m_{1}\)
এবং \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\)

আবার, \(OP=OA+AP\)
\(\Rightarrow nOP=nOA+nAP\)
\(\Rightarrow n\overrightarrow{OP}=n\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{AP}\) ভেক্টর চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow n\overrightarrow{OP}=n\overrightarrow{OA}+m_{1}n\overrightarrow{OA}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AP}=m_{1}\overrightarrow{OA}\)

\(\Rightarrow n\overrightarrow{OP}=n\overrightarrow{OA}(1+m_{1})\)
\(\Rightarrow n\overrightarrow{OP}=(n\overline{a})(1+m_{1})\)
\(\Rightarrow n\overrightarrow{OP}=(1+m_{1})(n\overline{a})\)
\(\therefore \overrightarrow{OP}=m(n\overline{a}) .....(2)\) ➜Note যেখানে, \(m=1+m_{1}\)
এবং \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\)

\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\((mn)\overline{a}=m(n\overline{a})\)
( প্রমাণিত )

ধরি, \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}, \ \overrightarrow{AB}=\overline{b}, \ \overrightarrow{OB}=\overline{c}\)
এখন, \(\triangle{OAB}\) ত্রিভুজে ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}\)
\(\therefore \overline{c}=\overline{a}+\overline{b} ....(1)\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OA}=\overline{a}\)
\(\overrightarrow{AB}=\overline{b}\)
এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{c}\)

আবার ধরি, \(\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}=m\overline{a}\)
\(AB\parallel{PQ}\) আঁকি, যেন বর্ধিত \(OB\) রেখা \(PQ\) কে \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(O, B, Q\) একই সরলরেখা \(OQ\) তে অবস্থিত। সদৃশ \(\triangle{OAB}\) ও \(\triangle{OPQ}\) থেকে,
\(\frac{AB}{PQ}=\frac{OA}{OP}\)
\(\Rightarrow \frac{AB}{PQ}=\frac{OA}{mOA}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}\)

\(\Rightarrow \frac{AB}{PQ}=\frac{1}{m}\)
\(\Rightarrow PQ=mAB\)
\(\therefore \overrightarrow{PQ}=m\overrightarrow{AB}\)
অনুরূপভাবে, \(\overrightarrow{OQ}=m\overrightarrow{OB}\)
আবার, \(\triangle{OPQ}\) থেকে,
\(\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PQ}\)
\(\Rightarrow m\overrightarrow{OB}=m\overrightarrow{OA}+m\overrightarrow{AB}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OQ}=m\overrightarrow{OB}\)
এবং \(\overrightarrow{PQ}=m\overrightarrow{AB}\)

\(\Rightarrow m\overline{c}=m\overline{a}+m\overline{b}\)
\(\therefore m(\overline{a}+\overline{b})=m\overline{a}+m\overline{b}\) ➜Note \(\because \overline{c}=\overline{a}+\overline{b}\)

( প্রমাণিত )

ধরি, \(OA, OB, OC\) তিনটি রেখা একই সমতলে অবস্থান করে \(O\) বিন্দুতে ছেদ করে এবং \(OX\) বরাবর একটি ভেক্টর \(\overline{a}, \ OY\) বরাবর একটি ভেক্টর \(\overline{b}\) এবং \(\overrightarrow{OC}=\overline{r}\)
যেখানে, \(OACB\) সামান্তরিকের কর্ণ \(OC\) এবং \(OA\) ও \(OB\) সন্নিহিত দুইটি বাহু।
সুতরাং, দুইটি স্কেলার \(m\) ও \(n\) এর জন্য
\(\overrightarrow{OA}=m\overline{a}\) ও \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AC}=n\overline{b}\)
\(OACB\) সামান্তরিক হতে,
\(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}\)
\(\therefore \overline{r}=m\overline{a}+n\overline{b}\)
( প্রমাণিত )
যেহেতু, \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) বরাবর সন্নিহিত বাহু দ্বারা একটি মাত্র সামান্তরিক অঙ্কন করা যায়, যার কর্ণ \(\overrightarrow{OC},\) সুতরাং ইহা স্পষ্ট যে, \(\overline{r}\) কে এককভাবে বিশ্লেষণ করা যায়।
এখানে,
\(OX\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=m\overline{a}\)
\(OY\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=n\overline{b}\)

ধরি, কার্তেসীয় সমতলে \(P\) বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((x, y)\) এবং মূলবিন্দু \((0, 0), x\) ও \(y\) অক্ষের ধনাত্মক দিকে একক ভেক্টর যথাক্রমে \(\hat{i}\) ও \(\hat{j}\)
এবং \(\overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
এখানে, \(PN\perp{OX}\) এবং \(PM\perp{OY}\)
তাহলে, \(\overrightarrow{ON}=x\hat{i}\) এবং \(\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{OM}=y\hat{j}\)
এখন, \(\triangle{PON}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NP}\)
\(\therefore\) \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}\)

\(\triangle{OAP}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}\)
\(\therefore \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}\)
আবার, \(\triangle{OBP}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{OB}\)
\(\therefore \overrightarrow{PB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP}\)
প্রশ্ন মতে, \(AP:PB=m:n\)
\(\Rightarrow \frac{AP}{PB}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow nAP=mPB\)
\(\Rightarrow n\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{PB}\)
\(\Rightarrow n(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA})=m(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP})\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}\)
\(\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP}\)

\(\Rightarrow n\overrightarrow{OP}-n\overrightarrow{OA}=m\overrightarrow{OB}-m\overrightarrow{OP}\)
\(\Rightarrow n\overrightarrow{OP}+m\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OB}+n\overrightarrow{OA}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{OP}(m+n)=m\overline{b}+n\overline{a}\)
\(\therefore \overrightarrow{OP}=\frac{m\overline{b}+n\overline{a}}{m+n}\)
( প্রমাণিত )

ধরি,
\(\triangle{ABC}\)এর \(AB\) এবং \(AC\) বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে \(D\) ও \(E\)
প্রমাণ করতে হবে যে, \(DE=\frac{1}{2}BC\) এবং \(DE||BC\)
\(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AE}-2\overrightarrow{AD}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AE}\)
এবং \(\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AD}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{BC}=2(\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD})\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{DE}\) ➜Note \(\triangle{ADE}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}\)
\(\therefore \overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DE}\)

\(\Rightarrow 2\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{BC}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\)
\(\Rightarrow |\overrightarrow{DE}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{BC}|\)
\(\therefore DE=\frac{1}{2}BC\)
যেহুতু, \( DE=\frac{1}{2}BC\)
অতএব, \( DE\) ও \(BC\) এর ধারক রেখা একই বা সমান্তরাল হবে।
এখানে ধারক রেখাদ্বয় একই নয়, ফলে সমান্তরাল হবে।
অতএব, \( DE||BC\) এবং \(\therefore DE=\frac{1}{2}BC\)
( প্রমাণিত )

ধরি,
\(OABC\) সামান্তরিকে \(O\) মূলবিন্দু এবং \(A\) ও \(C\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\)
এখানে, \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{OC}=\overline{b}\)
\(\therefore \overrightarrow{CB}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{AB}=\overline{b}\) ➜Note \(\because \) সামান্তরিকের বিপরীতদ্বয় সমান এবং সমান্তরাল
(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CB}, \ \overrightarrow{OA}||\overrightarrow{CB}\)
এবং (\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CB}, \ \overrightarrow{OA}||\overrightarrow{CB}\)

এখন, \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}\) ➜Note \(\triangle{OAB}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{OB}=\overline{a}+\overline{b}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OA}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{AB}=\overline{b}\)

\(\therefore B\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{a}+\overline{b}\)
এখন, কর্ণ \(OB\) এর মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \( =\frac{\overline{0}+\overline{a}+\overline{b}}{2}\) ➜Note \(\because P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{q}\) হলে,
\(PQ\) এর মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{p}+\overline{q}}{2}\)

\(=\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}\)
আবার, কর্ণ \(AC\) এর মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \( =\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}\) ➜Note \(\because P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{q}\) হলে,
\(PQ\) এর মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{p}+\overline{q}}{2}\)

\(=\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}\)
\(\therefore OB\) ও \(AC\) কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর একই।
অর্থাৎ সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
( প্রমাণিত )

ধরি,
\(\triangle{ABC}\) এ \(\overrightarrow{CB}=\overline{a}, \ \overrightarrow{CA}=\overline{b}\) এবং \(\overrightarrow{AB}=\overline{c}\)
এখন, \(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}\) ➜Note \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overline{a}-\overline{b}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{CB}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{CA}=\overline{b}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB}=(\overline{a}-\overline{b}).(\overline{a}-\overline{b})\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB}=\overline{a}.\overline{a}-\overline{a}.\overline{b}-\overline{b}.\overline{a}+\overline{b}.\overline{b}\)
\(\Rightarrow AB^2=a^2-2\overline{a}.\overline{b}+b^2\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB}=AB^2, \ \overline{a}.\overline{a}=a^2, \ \overline{b}.\overline{b}=b^2\)
এবং \(\overline{a}.\overline{b}=\overline{b}.\overline{a}\)

\(\Rightarrow AB^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}\) ➜Note \(\because \overline{a}.\overline{b}=ab\cos{C}\)

\(\Rightarrow c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}\) ➜Note \(\because AB=c\)

\(\Rightarrow 2ab\cos{C}=a^2+b^2-c^2\)
\(\therefore \cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
( প্রমাণিত )

\((a)\)
দেওয়া আছে,
\(P(4,-3,1), \ Q(2,-1,-2)\) এর সংযোগ রেখাকে \(R\) বিন্দু \(3:4\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
এখন,
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OP}=4\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}\)
\(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OQ}=2\hat{i}-\hat{j}-2\hat{k}\)
\(R\) বিন্দু \(PQ\) কে \(3:4\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore R\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OR}=\frac{3\overrightarrow{OQ}+4\overrightarrow{OP}}{3+4}\) ➜Note বিভক্তিকরণ সূত্রঃ
\(\overrightarrow{OA}=\overline{a}, \ \overrightarrow{OB}=\overline{b}\)
\(C\) বিন্দু \(\overrightarrow{AB}\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করলে,
\(C\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OC}=\frac{m\overrightarrow{OB}+n\overrightarrow{OA}}{m+n}\)

\(=\frac{3(2\hat{i}-\hat{j}-2\hat{k})+4(4\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k})}{7}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OQ}=2\hat{i}-\hat{j}-2\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{OP}=4\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}\)

\(=\frac{6\hat{i}-3\hat{j}-6\hat{k}+16\hat{i}-12\hat{j}+4\hat{k}}{7}\)
\(=\frac{22\hat{i}-15\hat{j}-2\hat{k}}{7}\)
\(=\frac{22}{7}\hat{i}-\frac{15}{7}\hat{j}-\frac{2}{7}\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{OR}=\frac{22}{7}\hat{i}-\frac{15}{7}\hat{j}-\frac{2}{7}\hat{k}\)
\((b)\)
চিত্র হতে,
\(\overrightarrow{OA}=\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\)
\(\overrightarrow{OB}=2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}\)
এখন, \(\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}=(\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k})\times(2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k})\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OA}=\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{OB}=2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}\)

\(=\left|\begin{array}{c}\hat{i}& \ \ \hat{j}&\hat{k}\\ 1&-2&1\\ 2&-3&1 \end{array}\right|\) ➜Note \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k})\times(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}& \hat{j}&\hat{k}\\ A_{1}&A_{2}&A_{3}\\ B_{1}&B_{2}&B_{3} \end{array}\right|\)

\(=\{-2\times{1}-1\times{-3}\}\hat{i}-\{1\times{1}-1\times{2}\}\hat{j}+\{1\times{-3}-(-2)\times{2}\}\hat{k}\)
\(=\{-2+3\}\hat{i}-\{1-2\}\hat{j}+\{-3+4\}\hat{k}\)
\(=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\)
\(\Rightarrow |\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}|=|\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}|\)
\(=\sqrt{1^2+1^2+1^2}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{1+1+1}\)
\(=\sqrt{3}\)
\(\therefore |\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}|=\sqrt{3}\)
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}|\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}|\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{3}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{2}\) বর্গ একক।
\((c)\) ধরি,
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(D\)
ধরি,
\(A\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{a}=\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\)
\(B\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{b}=2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}\)
\(\therefore AB\) এর মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overrightarrow{OD}=\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}\) ➜Note মধ্যবিন্দুর সূত্রঃ
\(\overrightarrow{OA}=\overline{a}, \ \overrightarrow{OB}=\overline{b}\)
\(C\) বিন্দু \(\overrightarrow{AB}\) এর মধ্যবিন্দু হলে,
\(C\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OC}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}{2}\)

\(=\frac{\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}+2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}}{2}\) ➜Note \(\because \overline{a}=\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\)
এবং \(\overline{b}=2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}\)

\(=\frac{3\hat{i}-5\hat{j}+2\hat{k}}{2}\)
\(=\frac{3}{2}\hat{i}-\frac{5}{2}\hat{j}+\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{OD}=\frac{3}{2}\hat{i}-\frac{5}{2}\hat{j}+\hat{k}\)
\(x\) অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর \(=\hat{i}\)
\(\overrightarrow{OD}\) এবং \(x\) অক্ষের মধ্যবর্তী কোণ \(=\theta\) হলে,
\(\theta=\cos^{-1}{\left(\frac{\overrightarrow{OD}.\hat{i}}{|\overrightarrow{OD}||\hat{i}|}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{\frac{\left(\frac{3}{2}\hat{i}-\frac{5}{2}\hat{j}+\hat{k}\right).\hat{i}}{|\frac{3}{2}\hat{i}-\frac{5}{2}\hat{j}+\hat{k}||\hat{i}|}\right\}}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OD}=\frac{3}{2}\hat{i}-\frac{5}{2}\hat{j}+\hat{k}\)

\(=\cos^{-1}{\left\{\frac{\frac{3}{2}\times 1+\left(-\frac{5}{2}\right)\times 0+1\times 0}{\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2+\left(-\frac{5}{2}\right)^2+1^2}.1}\right\}}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{\frac{\frac{3}{2}+0+0}{\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{25}{4}+1}}\right\}}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{\frac{9+25+4}{4}}}\right\}}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{\frac{38}{4}}}\right\}}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{\frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{38}}{2}}\right\}}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{\frac{3}{2}\times\frac{2}{\sqrt{38}}\right\}}\)
\(\therefore \theta=\cos^{-1}{\left(\frac{3}{\sqrt{38}}\right)}\)

\((a)\)
দেওয়া আছে,
\(\overline{A}=2\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}\)
এখন, \(\overline{A}\) বিন্দুগামী \(\overline{B}\) ভেক্টরের সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ,
\(\overline{r}=\overline{A}+t\overline{B}\)
\(\Rightarrow \overline{r}=2\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}+t(2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k})\) ➜Note \(\because \overline{A}=2\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}\)
এবং \(\overline{B}=2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}\)

\(\Rightarrow \overline{r}=2\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}+2t\hat{i}-t\hat{j}+3t\hat{k}\)
\(\therefore \overline{r}=(2+2t)\hat{i}-(2+t)\hat{j}+(3+3t)\hat{k}\)
ইহাই নির্ণেয় ভেক্টর সমীকরণ।
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(\overline{A}=2\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}, \ \overline{B}=2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}\) এবং \(\overline{C}=\hat{i}-\hat{j}+p\hat{k}\)
\(p=-1\) হলে,
\(\overline{C}=\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}\)
ধরি,
\(c=|\overline{C}|\)
\(\Rightarrow c=|\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}|\) ➜Note \(\because \overline{C}=\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}\)

\(=\sqrt{1^2+(-1)^2+(-1)^2}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{1+1+1}\)
\(=\sqrt{3}\)
\(\therefore c=\sqrt{3}\)
\(a=|\overline{A}|\)
\(\Rightarrow a=|2\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}|\) ➜Note \(\because \overline{A}=2\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}\)

\(=\sqrt{2^2+(-2)^2+3^2}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{4+4+9}\)
\(=\sqrt{17}\)
\(\therefore a=\sqrt{17}\)
এবং \(b=|\overline{B}|\)
\(\Rightarrow b=|2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}|\) ➜Note \(\because \overline{B}=2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}\)

\(=\sqrt{2^2+(-1)^2+3^2}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{4+1+9}\)
\(=\sqrt{14}\)
\(\therefore b=\sqrt{14}\)
এখন, \(b^2+c^2=(\sqrt{3})^2+(\sqrt{14})^2\) ➜Note \(\because b=\sqrt{14}\)
এবং \(c=\sqrt{3}\)

\(=3+14\)
\(=17\)
\(=(\sqrt{17})^2\)
\(=a^2\) ➜Note \(\because a=\sqrt{17}\)

\(\therefore b^2+c^2=a^2\)
আবার, \(\overline{B}.\overline{C}=(2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}).(\hat{i}-\hat{j}-\hat{k})\) ➜Note \(\because \overline{B}=2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}\)
এবং \(\overline{C}=\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}\)

\(=2\times 1+(-1)\times -1+3\times -1\) ➜Note \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}).(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}\)

\(=2+1-3\)
\(=3-3\)
\(=0\)
\(\therefore \overline{B}.\overline{C}=0\)
\(\therefore A, \ B, \ C\) ভেক্টর তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে।
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(\overline{A}=2\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}, \ \overline{B}=2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}\) এবং \(\overline{C}=\hat{i}-\hat{j}+p\hat{k}\)
\(\overline{B}\) ও \(\overline{C}\) উভয় ভেক্টরের সহিত লম্ব ভেক্টর,
\(=\overline{B}\times\overline{C}\)
\(=(2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k})\times(\hat{i}-\hat{j}+p\hat{k})\) ➜Note \(\because \overline{B}=2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}\)
এবং \(\overline{C}=\hat{i}-\hat{j}+p\hat{k}\)

\(=\left|\begin{array}{c}\hat{i}& \ \ \hat{j}&\hat{k}\\ 2&-1&3\\ 1&-1&p \end{array}\right|\) ➜Note \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k})\times(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ A_{1}&A_{2}&A_{3}\\ B_{1}&B_{2}&B_{3} \end{array}\right|\)

\(=\{(-1)\times{p}-3\times{-1}\}\hat{i}-\{2\times{p}-3\times{1}\}\hat{j}+\{2\times{-1}-(-1)\times{1}\}\hat{k}\)
\(=\{-p+3\}\hat{i}-\{2p-3\}\hat{j}+\{-2+1\}\hat{k}\)
\(=(3-p)\hat{i}+(3-2p)\hat{j}-\hat{k}\)
\(\therefore \overline{B}\times\overline{C}=(3-p)\hat{i}+(3-2p)\hat{j}-\hat{k}\)
আবার, \(\overline{A}-\overline{B}=2\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}-2\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}\) ➜Note \(\because \overline{A}=2\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}\)
এবং \(\overline{B}=2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}\)

\(\therefore \overline{A}-\overline{B}=-\hat{j}\)
যেহেতু \(\overline{A}-\overline{B}\) ভেক্টরটি \(\overline{B}\) এবং \(\overline{C}\) উভয় ভেক্টরের উপর লম্ব ভেক্টরের সাথে লম্ব,
\(\therefore (\overline{A}-\overline{B}).(\overline{B}\times\overline{C})=0\)
\(\Rightarrow (-\hat{j}).\{(3-p)\hat{i}+(3-2p)\hat{j}-\hat{k}\}=0\) ➜Note \(\because \overline{A}-\overline{B}=-\hat{j}\)
এবং \(\overline{B}\times\overline{C}=(3-p)\hat{i}+(3-2p)\hat{j}-\hat{k}\)

\(\Rightarrow 0\times (3-p)+(-1)\times (3-2p)+0\times -1=0\) ➜Note \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}).(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}\)

\(\Rightarrow 0-3+2p+0=0\)
\(\Rightarrow -3+2p=0\)
\(\Rightarrow 2p=3\)
\(\therefore p=\frac{3}{2}\)

\((a)\)
অবস্থান ভেক্টরঃ প্রসঙ্গ কাঠামোর মূলবিন্দু সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টরের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয় তাকে ঐ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর বলে।
ধরি, \(O\) মূলবিন্দু সাপেক্ষে \(A\) ও \(B\) এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে, \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\)
চিত্র হতে,
\(\overrightarrow{OA}=\overline{a}, \overrightarrow{OB}=\overline{b}\)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(\overline{A}=\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}, \ \overline{B}=-3\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{C}=-4\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}\)
এখন, \(\overline{A}=\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}\)
\(\Rightarrow |\overline{A}|=|\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}|\)
\(=\sqrt{1^2+3^2+4^2}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{1+9+16}\)
\(=\sqrt{26}\)
\(\therefore |\overline{A}|=\sqrt{26}\)
\(\overline{B}=-3\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}\)
\(\Rightarrow |\overline{A}|=|-3\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}|\)
\(=\sqrt{(-3)^2+4^2+(-1)^2}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{9+16+1}\)
\(=\sqrt{26}\)
\(\therefore |\overline{B}|=\sqrt{26}\)
এবং \(\overline{C}=-4\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}\)
\(\Rightarrow |\overline{A}|=|-4\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}|\)
\(=\sqrt{(-4)^2+(-1)^2+3^2}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{16+1+9}\)
\(=\sqrt{26}\)
\(\therefore |\overline{C}|=\sqrt{26}\)
\(\therefore |\overline{A}|=|\overline{B}|=|\overline{C}|\)
\(\therefore \) উদ্দীপকের ভেক্টর তিনটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ গঠন করে।
( দেখানো হলো )
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(\overline{A}=\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}, \ \overline{B}=-3\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{C}=-4\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}\)
\(\overline{B}\times\overline{C}=(-3\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k})\times(-4\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k})\)
\(=\left|\begin{array}{c} \ \ \hat{i}& \ \ \hat{j}& \ \ \hat{k}\\ -3& \ \ 4&-1\\ -4&-1& \ \ 3 \end{array}\right|\) ➜Note \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k})\times(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ A_{1}&A_{2}&A_{3}\\ B_{1}&B_{2}&B_{3} \end{array}\right|\)

\(=\{4\times 3-(-1)\times{-1}\}\hat{i}-\{(-3)\times 3-(-1)\times{-4}\}\hat{j}+\{(-3)\times{-1}-4\times{-4}\}\hat{k}\)
\(=\{12-1\}\hat{i}-\{-9-4\}\hat{j}+\{3+16\}\hat{k}\)
\(=11\hat{i}+13\hat{j}+19\hat{k}\)
\(\therefore \overline{B}\times\overline{C}=11\hat{i}+13\hat{j}+19\hat{k}\)
আবার, \(\overline{A}\times(\overline{B}\times\overline{C})=(\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k})\times(11\hat{i}+13\hat{j}+19\hat{k})\) ➜Note \(\because \overline{A}=\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}\)
এবং \(\overline{B}\times\overline{C}=11\hat{i}+13\hat{j}+19\hat{k}\)

\(=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ 1&3&4\\ 11&13&19 \end{array}\right|\) ➜Note \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k})\times(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ A_{1}&A_{2}&A_{3}\\ B_{1}&B_{2}&B_{3} \end{array}\right|\)

\(=\{3\times 19-4\times 13\}\hat{i}-\{1\times 19-4\times{11}\}\hat{j}+\{1\times{13}-3\times{11}\}\hat{k}\)
\(=\{57-52\}\hat{i}-\{19-44\}\hat{j}+\{13-33\}\hat{k}\)
\(=5\hat{i}+25\hat{j}-20\hat{k}\)
\(\therefore \overline{A}\times(\overline{B}\times\overline{C})=5\hat{i}+25\hat{j}-20\hat{k}\)

\((a)\)
দেওয়া আছে,
\(\overline{A}=2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\)
এখন, \(\overline{A}.\overline{B}\)
\(=(2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}).(3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k})\)
\(=2\times 3+(-2)\times -2+1\times 4\) ➜Note \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}).(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}\)

\(=6+4+4\)
\(=14\)
\(\therefore \overline{A}.\overline{B}=14\)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(\overline{A}=2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\)
এখন, \(\overline{A}\) ও \(\overline{B}\) এর লব্ধি ভেক্টর,
\(=\overline{A}+\overline{B}\)
\(=2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}+3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\)
\(=5\hat{i}-4\hat{j}+5\hat{k}\)
\(\therefore \overline{A}+\overline{B}=5\hat{i}-4\hat{j}+5\hat{k}\)
\(\Rightarrow |\overline{A}+\overline{B}|=|5\hat{i}-4\hat{j}+5\hat{k}|\)
\(=\sqrt{5^2+(-4)^2+5^2}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{25+16+25}\)
\(=\sqrt{66}\)
\(\therefore |\overline{A}+\overline{B}|=\sqrt{66}\)
এখন, \(\overline{A}\) ও \(\overline{B}\) এর লব্ধি ভেক্টরের সমান্তরাল একক ভেক্টর,
\(=\frac{\overline{A}+\overline{B}}{|\overline{A}+\overline{B}|}\)
\(=\frac{5\hat{i}-4\hat{j}+5\hat{k}}{\sqrt{66}}\) ➜Note \(\because \overline{A}+\overline{B}=5\hat{i}-4\hat{j}+5\hat{k}\)
এবং \(|\overline{A}+\overline{B}|=\sqrt{66}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{66}}(5\hat{i}-4\hat{j}+5\hat{k})\)
ইহাই নির্ণেয় একক ভেক্টর।
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(\overline{A}=2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}, \ \overline{B}=3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\) এবং \(\overline{C}=\hat{i}-3\hat{j}+a\hat{k}\)
\(\overline{A}, \ \overline{B}, \ \overline{C}\) ভেক্টরত্রয় একই সমতলে অবস্থান করবে।
যদি, ভেক্টরত্রয় হতে \(\hat{i}, \ \hat{j}\) এবং \(\hat{k}\) এর সহগগুলি নিয়ে গঠিত নির্নায়কের মাণ শূন্য হয়।
অতএব, \(\left|\begin{array}{c}2&-2&1\\3&-2&4\\1&-3&a\end{array}\right|=0\) ➜Note \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
\(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\)
এবং \(C_{1}\hat{i}+C_{2}\hat{j}+C_{3}\hat{k}\) ভেক্টরত্রয়ের একই সমতলে অবস্থান করার শর্ত,
\(\left|\begin{array}{c} A_{1}&A_{2}&A_{3}\\ B_{1}&B_{2}&B_{3}\\ C_{1}&C_{2}&C_{3} \end{array}\right|=0\)

\(\Rightarrow 2\{-2\times a-4\times{-3}\}-(-2)\{3\times a-4\times{1}\}+1\{3\times{-3}-(-2)\times{1}\}=0\)
\(\Rightarrow 2\{-2a+12\}+2\{3a-4\}+\{-9+2\}=0\)
\(\Rightarrow -4a+24+6a-8-7=0\)
\(\Rightarrow 2a+24-15=0\)
\(\Rightarrow 2a+9=0\)
\(\Rightarrow 2a=-9\)
\(\therefore a=-\frac{9}{2}\)

ধরি,
\(\triangle{ABC}\) সমকোণী ত্রিভুজের \(AC\) অতিভুজ এবং \(AB, \ BC\) এর উপর লম্ব।
এবং \(\overrightarrow{BA}=\overline{a}, \ \overrightarrow{BC}=\overline{b}, \ \overrightarrow{AC}=\overline{c}\)
এখন, \(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}\) ➜Note \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}\)

\(\Rightarrow \overline{a}+\overline{c}=\overline{b}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{BA}=\overline{a}\)
\(\overrightarrow{AC}=\overline{c}\)
এবং \(\overrightarrow{BC}=\overline{b}\)

\(\Rightarrow \overline{c}=\overline{b}-\overline{a}\)
\(\Rightarrow \overline{c}.\overline{c}=(\overline{b}-\overline{a}).(\overline{b}-\overline{a})\)
\(\Rightarrow \overline{c}.\overline{c}=\overline{b}.\overline{b}-\overline{b}.\overline{a}-\overline{a}.\overline{b}+\overline{a}.\overline{a}\)
\(\Rightarrow c^2=b^2-2\overline{b}.\overline{a}+a^2\) ➜Note \(\because \overline{c}.\overline{c}=c^2, \ \overline{b}.\overline{b}=b^2, \ \overline{a}.\overline{a}=a^2\)
এবং \(\overline{b}.\overline{a}=\overline{a}.\overline{b}\)

\(\Rightarrow c^2=b^2+a^2-2ba\cos{90^{o}}\) ➜Note \(\because \overline{b}\) ও \(\overline{a}\) পরস্পর লম্ব।

\(\Rightarrow c^2=b^2+a^2-2ba.0\) ➜Note \(\because \cos{90^{o}}=0\)

\(\Rightarrow c^2=b^2+a^2-0\)
\(\therefore c^2=b^2+a^2\)
সুতরাং, সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান।
( প্রমাণিত )

ধরি,
\(\triangle{ABC}\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু \(A, \ B, \ C\) এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(\overline{a}, \ \overline{b}, \ \overline{c}\) এবং \(D, \ E, \ F\) বিন্দু তিনটি যথাক্রমে \(BC, \ CA, \ AB\) এর মধ্যবিন্দু।
তাহলে,
\(D\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{b}+\overline{c}}{2}\) ➜Note মধ্যবিন্দুর সূত্রঃ
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(PQ\) এর মধ্যবিন্দু \(R\) এর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{p}+\overline{q}}{2}\) হবে।

\(E\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{c}+\overline{a}}{2}\) ➜Note মধ্যবিন্দুর সূত্রঃ
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(PQ\) এর মধ্যবিন্দু \(R\) এর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{p}+\overline{q}}{2}\) হবে।

এবং \(F\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}\) ➜Note মধ্যবিন্দুর সূত্রঃ
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(PQ\) এর মধ্যবিন্দু \(R\) এর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{p}+\overline{q}}{2}\) হবে।

\(G\) বিন্দু \(AD\) মধ্যমাকে \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore G\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{2\times\frac{\overline{b}+\overline{c}}{2}+1\times\overline{a}}{2+1}\) ➜Note বিভক্তিকরণ সূত্রঃ
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(R\) বিন্দু \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(R\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{m\overline{q}+n\overline{p}}{m+n}\) হবে।

\(=\frac{\overline{b}+\overline{c}+\overline{a}}{3}\)
\(=\frac{\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}}{3}\)
অনুরূপভাবে, দেখানো যায় যে, \(BE\) এবং \(CF\) মধ্যমাকে \(2:1\) অনুপাতে বিভক্তকারী বিন্দুদ্বয়ের উভয়ের অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}}{3}.\)
সুতরাং, ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় সমবিন্দু।
( প্রমাণিত )

ধরি,
\(\triangle{ABC}\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু \(B\) ও \(C\) হতে বিপরীত বাহুদ্বয়ের উপর লম্ব যথাক্রমে \(BE\) এবং \(CF\) পরস্পর \(O\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(A, \ O\) যোগ করে তাকে বর্ধিত করি যেন \(BC\) বাহুকে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমান করতে হবে যে, \(AD\) ও \(BC\) পরস্পর লম্ব।
মূলবিন্দু \(O\) সাপেক্ষে \(A, \ B, \ C\) বিন্দুত্রয়ের অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(\overline{a}, \ \overline{b}, \ \overline{c}\)
অর্থাৎ \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) \(\therefore \overrightarrow{AD}=-\eta\overline{a}\)
\(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\) \(\therefore \overrightarrow{BE}=-\mu\overline{b}\)
\(\overrightarrow{OC}=\overline{c}\) \(\therefore \overrightarrow{CF}=-\lambda\overline{c}\)
এখানে, \(\eta, \ \mu, \ \lambda\) প্রত্যেকেই স্কেলার।
এখন, \(\overrightarrow{AB}=\overline{b}-\overline{a}\) ➜Note \(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(\overrightarrow{PQ}=\overline{q}-\overline{p}\)

\(\overrightarrow{BC}=\overline{c}-\overline{b}\) ➜Note \(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(\overrightarrow{PQ}=\overline{q}-\overline{p}\)

এবং \(\overrightarrow{AC}=\overline{c}-\overline{a}\) ➜Note \(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(\overrightarrow{PQ}=\overline{q}-\overline{p}\)

যেহেতু \(BE\) এবং \(AC\) পরস্পর লম্ব।
\(\overrightarrow{BE}.\overrightarrow{AC}=0\)
\(\Rightarrow -\mu\overline{b}.(\overline{c}-\overline{a})=0\) ➜Note \(\because \overrightarrow{BE}=-\mu\overline{b}\)
এবং \(\overrightarrow{AC}=\overline{c}-\overline{a}\)

\(\Rightarrow -\mu(\overline{b}.\overline{c}-\overline{b}.\overline{a})=0\)
\(\Rightarrow \overline{b}.\overline{c}-\overline{b}.\overline{a}=0 \ \because \mu\ne{0}\)
\(\Rightarrow \overline{b}.\overline{c}=\overline{b}.\overline{a}\)
\(\therefore \overline{b}.\overline{c}=\overline{a}.\overline{b} ....(1)\)
আবার, \(CF\) এবং \(AB\) পরস্পর লম্ব।
\(\overrightarrow{CF}.\overrightarrow{AB}=0\)
\(\Rightarrow -\lambda\overline{c}.(\overline{b}-\overline{a})=0\) ➜Note \(\because \overrightarrow{CF}=-\lambda\overline{c}\)
এবং \(\overrightarrow{AB}=\overline{b}-\overline{a}\)

\(\Rightarrow -\lambda(\overline{c}.\overline{b}-\overline{c}.\overline{a})=0\)
\(\Rightarrow \overline{c}.\overline{b}-\overline{c}.\overline{a}=0 \ \because \lambda\ne{0}\)
\(\Rightarrow \overline{c}.\overline{b}=\overline{c}.\overline{a}\)
\(\therefore \overline{b}.\overline{c}=\overline{c}.\overline{a} ....(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(\overline{c}.\overline{a}=\overline{a}.\overline{b}\)
\(\Rightarrow \overline{a}.\overline{c}=\overline{a}.\overline{b}\)
\(\Rightarrow \overline{a}.\overline{c}-\overline{a}.\overline{b}=0\)
\(\Rightarrow \overline{a}.(\overline{c}-\overline{b})=0\)
\(\Rightarrow -\eta\overline{a}.(\overline{c}-\overline{b})=0 \ \because \eta\ne{0}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AD}=-\eta\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{BC}=\overline{c}-\overline{b}\)

\(\therefore \overrightarrow{AD}\) এবং \(\overrightarrow{BC}\) পরস্পর লম্ব।
\(\therefore \) ত্রিভুজের শীর্ষ হতে বিপরীত বাহুর ওপর অঙ্কিত লম্বত্রয় সমবিন্দু।
( প্রমাণিত )

ধরি,
\(\triangle{ABC}\) ত্রিভুজের \(BC\) ও \(CA\) বাহুদ্বয়ের উপর লম্বসমদ্বিখন্ডকদ্বয় পরস্পর \(O\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(AB\) বাহুর মধ্যবিন্দু \(F\)
\(F, \ O\) যোগ করি
প্রমান করতে হবে যে, \(OF\) ও \(AB\) পরস্পর লম্ব।
মূলবিন্দু \(O\) সাপেক্ষে \(A, \ B, \ C\) বিন্দুত্রয়ের অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(\overline{a}, \ \overline{b}, \ \overline{c}\)
এখন, \(BC\) এর মধ্যবিন্দু \(D\) এর অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OD}=\frac{\overline{b}+\overline{c}}{2}\) ➜Note মধ্যবিন্দুর সূত্রঃ
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(PQ\) এর মধ্যবিন্দু \(R\) এর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{p}+\overline{q}}{2}\) হবে।

\(CA\) এর মধ্যবিন্দু \(E\) এর অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OE}=\frac{\overline{c}+\overline{a}}{2}\) ➜Note মধ্যবিন্দুর সূত্রঃ
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(PQ\) এর মধ্যবিন্দু \(R\) এর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{p}+\overline{q}}{2}\) হবে।

\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(F\) এর অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OF}=\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}\) ➜Note মধ্যবিন্দুর সূত্রঃ
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(PQ\) এর মধ্যবিন্দু \(R\) এর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{p}+\overline{q}}{2}\) হবে।

এখন, \(\overrightarrow{AB}=\overline{b}-\overline{a}\) ➜Note \(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(\overrightarrow{PQ}=\overline{q}-\overline{p}\)

\(\overrightarrow{BC}=\overline{c}-\overline{b}\) ➜Note \(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(\overrightarrow{PQ}=\overline{q}-\overline{p}\)

এবং \(\overrightarrow{AC}=\overline{c}-\overline{a}\) ➜Note \(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(\overrightarrow{PQ}=\overline{q}-\overline{p}\)

যেহেতু \(OD\) এবং \(BC\) পরস্পর লম্ব।
\(\overrightarrow{OD}.\overrightarrow{BC}=0\)
\(\Rightarrow \left(\frac{\overline{b}+\overline{c}}{2}\right).(\overline{c}-\overline{b})=0\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OD}=\frac{\overline{b}+\overline{c}}{2}\)
এবং \(\overrightarrow{BC}=\overline{c}-\overline{b}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{2}(\overline{c}+\overline{b}).(\overline{c}-\overline{b})=0\)
\(\Rightarrow (\overline{c}+\overline{b}).(\overline{c}-\overline{b})=0\)
\(\Rightarrow \overline{c}.\overline{c}-\overline{c}.\overline{b}+\overline{b}.\overline{c}-\overline{b}.\overline{b}=0\)
\(\Rightarrow c^2-b^2=0\) ➜Note \(\because \overline{c}.\overline{c}=c^2\)
\(\overline{b}.\overline{b}=b^2\)
এবং \(\overline{c}.\overline{b}=\overline{b}.\overline{c}\)

\(\therefore c^2=b^2 ......(1)\)
আবার, \(OE\) এবং \(AC\) পরস্পর লম্ব।
\(\overrightarrow{OE}.\overrightarrow{AC}=0\)
\(\Rightarrow \left(\frac{\overline{c}+\overline{a}}{2}\right).(\overline{c}-\overline{a})=0\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OE}=\frac{\overline{c}+\overline{a}}{2}\)
এবং \(\overrightarrow{AC}=\overline{c}-\overline{a}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{2}(\overline{c}+\overline{a}).(\overline{c}-\overline{a})=0\)
\(\Rightarrow (\overline{c}+\overline{a}).(\overline{c}-\overline{a})=0\)
\(\Rightarrow \overline{c}.\overline{c}-\overline{c}.\overline{a}+\overline{a}.\overline{c}-\overline{a}.\overline{a}=0\)
\(\Rightarrow c^2-a^2=0\) ➜Note \(\because \overline{c}.\overline{c}=c^2\)
\(\overline{a}.\overline{a}=a^2\)
এবং \(\overline{c}.\overline{a}=\overline{a}.\overline{c}\)

\(\therefore c^2=a^2 ......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(b^2=a^2\)
\(\Rightarrow b^2-a^2=0\)
\(\Rightarrow \overline{b}.\overline{b}-\overline{a}.\overline{a}=0\) ➜Note \(\because b^2=\overline{b}.\overline{b}\)
এবং \(a^2=\overline{a}.\overline{a}\)

\(\Rightarrow \overline{b}.\overline{b}+\overline{b}.\overline{a}-\overline{a}.\overline{b}-\overline{a}.\overline{a}=0\)
\(\Rightarrow \overline{b}.(\overline{b}+\overline{a})-\overline{a}.(\overline{b}+\overline{a})=0\)
\(\Rightarrow (\overline{b}+\overline{a}).(\overline{b}-\overline{a})=0\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}(\overline{b}+\overline{a}).(\overline{b}-\overline{a})=0\)
\(\Rightarrow \left(\frac{\overline{b}+\overline{a}}{2}\right).(\overline{b}-\overline{a})=0\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{OF}.\overrightarrow{AB}=0\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OF}=\frac{\overline{b}+\overline{a}}{2}\)
এবং \(\overrightarrow{AB}=\overline{b}-\overline{a}\)

\(\therefore \overrightarrow{OF}\) এবং \(\overrightarrow{AB}\) পরস্পর লম্ব।
\(\therefore \) ত্রিভুজের বাহুগুলির লম্ব সমদ্বিখন্ডকত্রয় সমবিন্দু।
( প্রমাণিত )

ধরি,
মূলবিন্দু \(O\) সাপেক্ষে \(A, \ B, \ C\) বিন্দুত্রয়ের অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(\overline{a}, \ \overline{b}, \ \overline{c}\)
এখন, \(BC\) এর মধ্যবিন্দু \(D\) এর অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OD}=\frac{\overline{b}+\overline{c}}{2}\) ➜Note মধ্যবিন্দুর সূত্রঃ
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(PQ\) এর মধ্যবিন্দু \(R\) এর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{p}+\overline{q}}{2}\) হবে।

\(CA\) এর মধ্যবিন্দু \(E\) এর অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OE}=\frac{\overline{c}+\overline{a}}{2}\) ➜Note মধ্যবিন্দুর সূত্রঃ
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(PQ\) এর মধ্যবিন্দু \(R\) এর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{p}+\overline{q}}{2}\) হবে।

\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(F\) এর অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OF}=\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}\) ➜Note মধ্যবিন্দুর সূত্রঃ
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(PQ\) এর মধ্যবিন্দু \(R\) এর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{p}+\overline{q}}{2}\) হবে।

ধরি,
\(G\) বিন্দু দ্বারা \(AD\) রেখা \(k:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়।
\(\therefore G\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{k\times\frac{\overline{b}+\overline{c}}{2}+1\times\overline{a}}{k+1}\) ➜Note বিভক্তিকরণ সূত্রঃ
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(R\) বিন্দু \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(R\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{m\overline{q}+n\overline{p}}{m+n}\) হবে।

\(=\frac{\frac{k(\overline{b}+\overline{c})}{2}+\overline{a}}{k+1}\)
\(=\frac{\frac{k(\overline{b}+\overline{c})+2\overline{a}}{2}}{k+1}\)
\(=\frac{k(\overline{b}+\overline{c})+2\overline{a}}{2(k+1)} ......(1)\)
আবার, যে বিন্দু দ্বারা \(BE\) রেখা \(k:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়।
সেই বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{k\times\frac{\overline{c}+\overline{a}}{2}+1\times\overline{b}}{k+1}\) ➜Note বিভক্তিকরণ সূত্রঃ
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(R\) বিন্দু \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(R\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{m\overline{q}+n\overline{p}}{m+n}\) হবে।

\(=\frac{\frac{k(\overline{c}+\overline{a})}{2}+\overline{b}}{k+1}\)
\(=\frac{\frac{k(\overline{c}+\overline{a})+2\overline{b}}{2}}{k+1}\)
\(=\frac{k(\overline{c}+\overline{a})+2\overline{b}}{2(k+1)} .......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) একই বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর হবে যদি
\(\frac{k(\overline{b}+\overline{c})+2\overline{a}}{2(k+1)}=\frac{k(\overline{c}+\overline{a})+2\overline{b}}{2(k+1)}\) হয়
\(\Rightarrow k\overline{b}+k\overline{c}+2\overline{a}=k\overline{c}+k\overline{a}+2\overline{b}\)
\(\Rightarrow k=2, \ 2=k\) ➜Note উভয় পার্শ হতে \(\overline{b}\) এবং \(\overline{a}\) এর সহগ সমীকৃত করে।

\(\therefore k=2\)
অর্থাৎ \(k=2\) হলে \(AD\) ও \(BE\) মধ্যমাদ্বয় পরস্পরকে \(G\) বিন্দুতে \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করবে।
সে ক্ষেত্রে \(G\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\frac{2(\overline{b}+\overline{c})+2\overline{a}}{2}}{2+1}\)
\(=\frac{\frac{2(\overline{b}+\overline{c}+\overline{a})}{2}}{3}\)
\(=\frac{\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}}{3}\)
\(=\frac{1}{3}(\overline{a}+\overline{b}+\overline{c})\)
অনুরূপভাবে, দেখানো যায় যে, \(CF\) মধ্যমা যে বিন্দুতে \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয় তার অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{1}{3}(\overline{a}+\overline{b}+\overline{c})\)
সুতরাং ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় সমবিন্দু এবং তাদের ছেদবিন্দুতে মধ্যমা \(2:1\) অনুপাতে বিভক্ত হয়।
( প্রমাণিত )

ধরি,
\(ABCD\) একটি চতুর্ভুজ, মূলবিন্দু \(O\) সাপেক্ষে \(A, \ B, \ C, \ D\) বিন্দুগুলির অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(\overline{a}, \ \overline{b}, \ \overline{c}, \ \overline{d}\)
\(AB, \ BC, \ CD, \ DA\) বাহুগুলির মধ্যবিন্দু যথাক্রমে \(E, \ F, \ G, \ H\)
এখন, \(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(E\) এর অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OE}=\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}\) ➜Note মধ্যবিন্দুর সূত্রঃ
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(PQ\) এর মধ্যবিন্দু \(R\) এর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{p}+\overline{q}}{2}\) হবে।

\(BC\) এর মধ্যবিন্দু \(F\) এর অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OF}=\frac{\overline{b}+\overline{c}}{2}\) ➜Note মধ্যবিন্দুর সূত্রঃ
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(PQ\) এর মধ্যবিন্দু \(R\) এর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{p}+\overline{q}}{2}\) হবে।

\(CD\) এর মধ্যবিন্দু \(G\) এর অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OG}=\frac{\overline{c}+\overline{d}}{2}\) ➜Note মধ্যবিন্দুর সূত্রঃ
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(PQ\) এর মধ্যবিন্দু \(R\) এর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{p}+\overline{q}}{2}\) হবে।

\(DA\) এর মধ্যবিন্দু \(H\) এর অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OH}=\frac{\overline{d}+\overline{a}}{2}\) ➜Note মধ্যবিন্দুর সূত্রঃ
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(PQ\) এর মধ্যবিন্দু \(R\) এর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{p}+\overline{q}}{2}\) হবে।

এখন, \(\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OE}\) ➜Note \(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(\overrightarrow{PQ}=\overline{q}-\overline{p}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{EF}=\frac{\overline{b}+\overline{c}}{2}-\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OF}=\frac{\overline{b}+\overline{c}}{2}\)
এবং \(\overrightarrow{OE}=\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}(\overline{b}+\overline{c}-\overline{a}-\overline{b})\)
\(\therefore \overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}(\overline{c}-\overline{a})\)
এবং \(\overrightarrow{HG}=\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OH}\) ➜Note \(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(\overrightarrow{PQ}=\overline{q}-\overline{p}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{HG}=\frac{\overline{c}+\overline{d}}{2}-\frac{\overline{d}+\overline{a}}{2}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OG}=\frac{\overline{c}+\overline{d}}{2}\)
এবং \(\overrightarrow{OH}=\frac{\overline{d}+\overline{a}}{2}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{HG}=\frac{1}{2}(\overline{c}+\overline{d}-\overline{d}-\overline{a})\)
\(\therefore \overrightarrow{HG}=\frac{1}{2}(\overline{c}-\overline{a})\)
\(\therefore \overrightarrow{HG}=\overrightarrow{EF}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}(\overline{c}-\overline{a})\)
এবং \(\overrightarrow{HG}=\frac{1}{2}(\overline{c}-\overline{a})\)

\(\therefore |\overrightarrow{HG}|=|\overrightarrow{EF}|\)
সুতরাং \(HG\) এবং \(EF\) বাহুদ্বয় পরস্পর সমান ও সমান্তরাল।
অনুরূপভাবে, দেখানো যায় যে, \(EH\) এবং \(FG\) বাহুদ্বয় ও পরস্পর সমান ও সমান্তরাল।
তাহলে, \(EFGH\) একটি সামান্তরিক।
সুতরাং কোনো চতুর্ভুজের বাহুগুলির মধ্যবিন্দু পর্যায়ক্রমে যোগ করলে উৎপন্ন চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক হবে।
( প্রমাণিত )

ধরি,
\(ABCD\) একটি সামান্তরিকের \(\overrightarrow{AB}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{BC}=\overline{b}\)
তাহলে, \(\overrightarrow{AD}=\overline{b}\) এবং \(\overrightarrow{DC}=\overline{a}\) ➜Note সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলি পরস্পর সমান ও সমান্তরাল।

এখন, \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\) ➜Note \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AC}=\overline{a}+\overline{b}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AB}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{BC}=\overline{b}\)

\(\therefore \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AC}=(\overline{a}+\overline{b}).(\overline{a}+\overline{b})\)
আবার, \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\) ➜Note \(\triangle{BCD}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{DC}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{BD}=\overline{b}-\overline{a}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{BC}=\overline{b}\)
এবং \(\overrightarrow{DC}=\overline{a}\)

\(\therefore \overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BD}=(\overline{b}-\overline{a}).(\overline{b}-\overline{a})\)
এখন, \(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BD}=(\overline{a}+\overline{b}).(\overline{a}+\overline{b})+(\overline{b}-\overline{a}).(\overline{b}-\overline{a})\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AC}=(\overline{a}+\overline{b}).(\overline{a}+\overline{b})\)
এবং \(\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BD}=(\overline{b}-\overline{a}).(\overline{b}-\overline{a})\)

\(\Rightarrow AC^2+BD^2=\overline{a}.\overline{a}+\overline{a}.\overline{b}+\overline{b}.\overline{a}+\overline{b}.\overline{b}+\overline{b}.\overline{b}-\overline{b}.\overline{a}-\overline{a}.\overline{b}+\overline{a}.\overline{a} \) ➜Note \(\because \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AC}=AC^2\)
এবং \(\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BD}=BD^2\)

\(\Rightarrow AC^2+BD^2=a^2+b^2+b^2+a^2\) ➜Note \(\because \overline{a}.\overline{a}=a^2\)
\(\overline{b}.\overline{a}=\overline{a}.\overline{b}\)
এবং \(\overline{b}.\overline{b}=b^2\)

\(\Rightarrow AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+AD^2+DC^2\) ➜Note \(\because a^2=AB^2=DC^2\)
এবং \(b^2=BC^2=AD^2\)

\(\therefore AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+CD^2+DA^2\)
সুতরাং, সামান্তরিকের কর্ণদ্বয়ের বর্গের সমষ্টি তার বাহু চারটির বর্গের সমষ্টির সমান।
( প্রমাণিত )

ধরি,
\(ABCD\) ট্রাপিজিয়ামের \(AB\) এবং \(CD\) বাহুদ্বয় অসমান্তরাল এবং \(BC\) ও \(AD\) বাহুদ্বয় সমান্তরাল। \(E\) ও \(F\) যথাক্রমে \(AB\) এবং \(CD\) এর মধ্যবিন্দু।
\(E, \ F\) যোগ করি।
প্রমাণ করতে হবে যে, \(EF, \ AD\) ও \(BC\) এর সমান্তরাল।
এবং \(EF=\frac{1}{2}(AD+BC)\)
মূলবিন্দু \(O\) সাপেক্ষে \(A, \ B, \ C\) এবং \(D\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(\overline{a}, \ \overline{b}, \ \overline{c}\) এবং \(\overline{d}\)
এখন, \(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(E\) এর অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OE}=\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}\) ➜Note মধ্যবিন্দুর সূত্রঃ
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(PQ\) এর মধ্যবিন্দু \(R\) এর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{p}+\overline{q}}{2}\) হবে।

\(CD\) এর মধ্যবিন্দু \(F\) এর অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OF}=\frac{\overline{c}+\overline{d}}{2}\) ➜Note মধ্যবিন্দুর সূত্রঃ
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(PQ\) এর মধ্যবিন্দু \(R\) এর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{p}+\overline{q}}{2}\) হবে।

আবার, \(\overrightarrow{BC}=\overline{c}-\overline{b}\) ➜Note \(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(\overrightarrow{PQ}=\overline{q}-\overline{p}\)

এবং \(\overrightarrow{AD}=\overline{d}-\overline{a}\) ➜Note \(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(\overrightarrow{PQ}=\overline{q}-\overline{p}\)

\(\overrightarrow{BC}\) এবং \(\overrightarrow{AD}\) সমান্তরাল।
ফলে, \(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}; \ \overrightarrow{BC}\) এবং \(\overrightarrow{AD}\) উভয়ের সমান্তরাল।
\(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=\overline{c}-\overline{b}+\overline{d}-\overline{a}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{BC}=\overline{c}-\overline{b}\)
এবং \(\overrightarrow{AD}=\overline{d}-\overline{a}\)

\(\therefore \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=\overline{c}+\overline{d}-\overline{a}-\overline{b}\)
এখন, \(\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OE}\) ➜Note \(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overrightarrow{OP}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overrightarrow{OQ}\) হলে,
\(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{EF}=\frac{\overline{c}+\overline{d}}{2}-\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OF}=\frac{\overline{c}+\overline{d}}{2}\)
এবং \(\overrightarrow{OE}=\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}(\overline{c}+\overline{d}-\overline{a}-\overline{b})\)
\(\therefore \overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD})\) ➜Note \(\because \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=\overline{c}+\overline{d}-\overline{a}-\overline{b}\)

\(\therefore \overrightarrow{EF}\) ভেক্টর \(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\) এর সমান্তরাল।
অর্থাৎ, \(\overrightarrow{BC}\) এবং \(\overrightarrow{AD}\) উভয়ের সমান্তরাল।
সুতরাং, ট্রাপিজিয়ামের অসমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমান্তরাল এবং তাদের যোগফলের অর্ধেক।
( প্রমাণিত )

ধরি,
\(ABCD\) ট্রাপিজিয়ামের \(AC\) এবং \(BD\) কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে \(E\) ও \(F\)
\(E, \ F\) যোগ করি।
\(\overrightarrow{EC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)
এবং \(\overrightarrow{FB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}\)
এখন, \(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{BO}\) ➜Note \(\triangle{BCO}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{BO}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{BC}-\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OB}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\)
\(\therefore \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BC}\)
\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\) ➜Note \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)

এবং \(\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}\) ➜Note \(\triangle{ABD}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}\)

আবার, \(\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FO}=\overrightarrow{EO}\) ➜Note \(\triangle{EFO}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FO}=\overrightarrow{EO}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EO}-\overrightarrow{FO}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{EF}=(\overrightarrow{EC}-\overrightarrow{OC})-(\overrightarrow{FB}-\overrightarrow{OB})\) ➜Note \(\because \overrightarrow{EO}=\overrightarrow{EC}-\overrightarrow{OC}\)
এবং \(\overrightarrow{FO}=\overrightarrow{FB}-\overrightarrow{OB}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EC}-\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{OB}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EC}-\overrightarrow{FB}-(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB})\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}-(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB})\) ➜Note \(\because \overrightarrow{EC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)
এবং \(\overrightarrow{FB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})-\frac{1}{2}(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB})-\overrightarrow{BC}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BC}\)
\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)
এবং \(\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{BC})\)
\(\therefore \overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC})\)
যেহেতু \(\overrightarrow{BC}||\overrightarrow{AD}\)
সুতরাং, \(\overrightarrow{EF}, \ \overrightarrow{BC}\) এবং \(\overrightarrow{AD}\) উভয়ের সমান্তরাল।
এবং \(\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC})\)
সুতরাং, ট্রাপিজিয়ামের কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমান্তরাল এবং তাদের বিয়োগফলের অর্ধেক।
( প্রমাণিত )

ধরি,
\(OABC\) রম্বসের \(OB\) এবং \(AC\) কর্ণদ্বয় পরস্পরকে \(G\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(O\) মূলবিন্দু সাপেক্ষে \(A\) এবং \(C\) এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(\overline{a}, \ \overline{b}\)
\(\therefore \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CB}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AB}=\overline{b}\)
ইহা স্পষ্ট যে, \(|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{OC}|=|\overline{a}|=|\overline{b}|\)
অর্থাৎ, \(OA=AB=BC=OC=a=b\) ➜Note যেহেতু, রম্বসের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য সমান।

এখন, \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}\) ➜Note \(\triangle{OAB}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}\)

\(\therefore \overrightarrow{OB}=\overline{a}+\overline{b}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OA}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{AB}=\overline{b}\)

অর্থাৎ, \(B\) এর অবস্থান ভেক্টর \(=\overline{a}+\overline{b}\)
\(OB\) কর্ণের মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{0}+\overline{a}+\overline{b}}{2}\) ➜Note মধ্যবিন্দুর সূত্রঃ
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(PQ\) এর মধ্যবিন্দু \(R\) এর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{p}+\overline{q}}{2}\) হবে।

\(=\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}\)
আবার, \(AC\) কর্ণের মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}\) ➜Note মধ্যবিন্দুর সূত্রঃ
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(PQ\) এর মধ্যবিন্দু \(R\) এর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{p}+\overline{q}}{2}\) হবে।

\(=\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}\)
উভয় কর্ণের মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}\)
সুতরাং কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
আবার,
\(\overrightarrow{AC}=\overline{b}-\overline{a}\) ➜Note \(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(\overrightarrow{PQ}=\overline{q}-\overline{p}\)

এখন, \(\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{AC}=(\overline{a}+\overline{b}).(\overline{b}-\overline{a})\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OB}=\overline{a}+\overline{b}\)
এবং \(\overrightarrow{AC}=\overline{b}-\overline{a}\)

\(=(\overline{b}+\overline{a}).(\overline{b}-\overline{a})\)
\(=\overline{b}.\overline{b}-\overline{b}.\overline{a}+\overline{a}.\overline{b}-\overline{a}.\overline{a}\)
\(=b^2-a^2\) ➜Note \(\because \overline{b}.\overline{b}=b^2\)
\(\overline{a}.\overline{a}=a^2\)
এবং \(\overline{a}.\overline{b}=\overline{b}.\overline{a}\)

\(=b^2-b^2\) ➜Note \(\because a=b\)

\(=0\)
\(\therefore \overrightarrow{OB}\) এবং \(\overrightarrow{AC}\) কর্ণদ্বয় পরস্পর লম্ব।
সুতরাং, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পর সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত হয়।
( প্রমাণিত )

ধরি,
\(O\) কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের \(AB\) একটি ব্যাস এবং \(C\) পরিধির উপর একটি বিন্দু।
\(O\) মূলবিন্দু সাপেক্ষে \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}, \ \overrightarrow{OC}=\overline{b}\)
\(\therefore \overrightarrow{OB}=-\overline{a}\)
আবার, \(|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OC}|\) ➜Note \(|\overrightarrow{OA}|\) এবং \(|\overrightarrow{OC}|\)
উভয়ে বৃত্তের ব্যাসার্ধ

\(\Rightarrow |\overline{a}|=|\overline{b}|\)
\(\therefore a=b\)
এখন, \(\overrightarrow{AC}=\overline{b}-\overline{a}\) ➜Note \(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(\overrightarrow{PQ}=\overline{q}-\overline{p}\)

এবং \(\overrightarrow{BC}=\overline{b}-(-\overline{a})\) ➜Note \(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(\overrightarrow{PQ}=\overline{q}-\overline{p}\)

\(\therefore \overrightarrow{BC}=\overline{b}+\overline{a}\)
এখন, \(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=(\overline{b}-\overline{a}).(\overline{b}+\overline{a})\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AC}=\overline{b}-\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{BC}=\overline{b}+\overline{a}\)

\(=\overline{b}.\overline{b}+\overline{b}.\overline{a}-\overline{a}.\overline{b}-\overline{a}.\overline{a}\)
\(=b^2-a^2\) ➜Note \(\because \overline{b}.\overline{b}=b^2\)
\(\overline{a}.\overline{a}=a^2\)
এবং \(\overline{b}.\overline{a}=\overline{a}.\overline{b}\)

\(=b^2-b^2\) ➜Note \(\because a=b\)

\(=0\)
\(\therefore \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=0\)
সুতরাং, \(AC\) এবং \(BC\) পরস্পর লম্ব।
অর্থাৎ, \(\angle{ACB}=90^{o}\)
সুতরাং, অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ।
( প্রমাণিত )

ধরি,
\(OABC\) একটি রম্বস।
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\overline{b}\)
\(AC\) এবং \(BD\) এর দুইটি কর্ণ।
এখন, \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\) ➜Note \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)

\(\therefore \overrightarrow{AC}=\overline{a}+\overline{b}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AB}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{BC}=\overline{b}\)

আবার, \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\) ➜Note \(\triangle{ABD}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{BD}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{BD}=-\overline{a}+\overline{b}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AB}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{AD}=\overline{b}\)

\(\therefore \overrightarrow{BD}=\overline{b}-\overline{a}\)
যদি কর্ণদ্বয় সমান হয় তবে, \(|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BD}|\)
\(\Rightarrow |\overline{a}+\overline{b}|=|\overline{b}-\overline{a}|\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AC}=\overline{a}+\overline{b}\)
এবং \(\overrightarrow{BD}=\overline{b}-\overline{a}\)

\(\Rightarrow |\overline{b}+\overline{a}|^2=|\overline{b}-\overline{a}|^2\) ➜Note উভয় পার্শে বর্গ করে।

\(\Rightarrow (\overline{b}+\overline{a}).(\overline{b}+\overline{a})=(\overline{b}-\overline{a}).(\overline{b}-\overline{a})\)
\(\Rightarrow \overline{b}.\overline{b}+\overline{b}.\overline{a}+\overline{a}.\overline{b}+\overline{a}.\overline{a}=\overline{b}.\overline{b}-\overline{b}.\overline{a}-\overline{a}.\overline{b}+\overline{a}.\overline{a}\)
\(\Rightarrow b^2+a^2+2\overline{a}.\overline{b}=b^2+a^2-2\overline{a}.\overline{b}\) ➜Note \(\because \overline{b}.\overline{b}=b^2\)
\(\overline{a}.\overline{a}=a^2\)
এবং \(\overline{b}.\overline{a}=\overline{a}.\overline{b}\)

\(\Rightarrow b^2+a^2+2\overline{a}.\overline{b}-b^2-a^2+2\overline{a}.\overline{b}=0\)
\(\Rightarrow 4\overline{b}.\overline{a}=0\)
\(\Rightarrow \overline{b}.\overline{a}=0\)
\(\Rightarrow \overline{a}.\overline{b}=0\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=0\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AB}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{AD}=\overline{b}\)

সুতরাং, \(\overrightarrow{AB}\) এবং \(\overrightarrow{AD}\) পরস্পর লম্ব।
\(\therefore ABCD\) একটি বর্গ।
সুতরাং, রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য সমান হলে এটি একটি বর্গ।
( প্রমাণিত )

ধরি,
\(ABCD\) চতুর্ভজের \(AC\) ও \(BD\) কর্ণদ্বয় পরস্পরকে \(O\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
\(\therefore \overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}\) এবং \(\therefore \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{DO}\)
এখন, \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}\) ➜Note \(\triangle{AOB}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{DO}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}\)
এবং \(\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{OD}\)

\(\therefore \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OC} .....(1)\)
আবার, \(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OC} .....(2)\) ➜Note \(\triangle{DOC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OC}\)

\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)
\(\therefore AB=DC\) এবং \(AB\parallel{DC}\) ➜Note \(\because AB\) ও \(DC\) একই রেখা হতে পারে না।

\(\therefore ABCD\) একটি সামান্তরিক।
( প্রমাণিত )

ধরি,
\(OAB\) সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ \(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(D\) এবং \(O\) কে মূলবিন্দু ধরে \(A\) ও \(B\) এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) ও \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\)
\(\therefore \angle{AOB}=90^{o}\)
\(\therefore \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0\)
\(\therefore \overline{a}.\overline{b}=0\)
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(D\) এর অবস্থান ভেক্টর,
\(\overrightarrow{OD}=\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}(\overline{a}+\overline{b})\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{OD}.\overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}(\overline{a}+\overline{b}).\frac{1}{2}(\overline{a}+\overline{b})\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{OD}.\overrightarrow{OD}=\frac{1}{4}(\overline{a}+\overline{b}).(\overline{a}+\overline{b})\)
\(\Rightarrow OD^2=\frac{1}{4}(\overline{a}.\overline{a}+\overline{a}.\overline{b}+\overline{b}.\overline{a}+\overline{b}.\overline{b})\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OD}.\overrightarrow{OD}=OD^2\)

\(\Rightarrow OD^2=\frac{1}{4}(a^2+2\overline{a}.\overline{b}+b^2)\) ➜Note \(\because \overline{a}.\overline{a}=a^2\)
\(\overline{b}.\overline{b}=b^2\)
এবং \(\overline{b}.\overline{a}=\overline{a}.\overline{b}\)

\(\Rightarrow OD^2=\frac{1}{4}(a^2+2.0+b^2)\) ➜Note \(\because \overline{a}.\overline{b}=0\)

\(\Rightarrow OD=\sqrt{\frac{1}{4}(a^2+b^2)}\)
\(\therefore OD=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2} ......(1)\)
এখন, \(\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OA}\) ➜Note \(\triangle{AOD}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OA}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OA}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{DA}=-\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}+\overline{a}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OD}=\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}\)
এবং \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{DA}=\frac{-\overline{a}-\overline{b}+2\overline{a}}{2}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{DA}=\frac{1}{2}(\overline{a}-\overline{b})\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{DA}.\overrightarrow{DA}=\frac{1}{2}(\overline{a}-\overline{b}).\frac{1}{2}(\overline{a}-\overline{b})\)
\(\Rightarrow DA^2=\frac{1}{4}(\overline{a}-\overline{b}).(\overline{a}-\overline{b})\) ➜Note \(\because \overrightarrow{DA}.\overrightarrow{DA}=DA^2\)

\(=\frac{1}{4}(\overline{a}.\overline{a}-\overline{a}.\overline{b}-\overline{b}.\overline{a}+\overline{b}.\overline{b})\)
\(=\frac{1}{4}(a^2-2\overline{a}.\overline{b}+b^2)\) ➜Note \(\because \overline{a}.\overline{a}=a^2\)
\(\overline{b}.\overline{b}=b^2\)
এবং \(\overline{b}.\overline{a}=\overline{a}.\overline{b}\)

\(=\frac{1}{4}(a^2-2.0+b^2)\) ➜Note \(\because \overline{a}.\overline{b}=0\)

\(\therefore DA^2=\frac{1}{4}(a^2+b^2)\)
\(\Rightarrow DA=\sqrt{\frac{1}{4}(a^2+b^2)}\)
\(\therefore DA=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2} .....(2)\)
এখন, \(\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OB}\) ➜Note \(\triangle{BOD}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OB}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{DB}=-\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OB}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{DB}=-\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}+\overline{b}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OD}=\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}\)
এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{DB}=\frac{-\overline{a}-\overline{b}+2\overline{b}}{2}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{DB}=\frac{1}{2}(\overline{b}-\overline{a})\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{DB}.\overrightarrow{DB}=\frac{1}{2}(\overline{b}-\overline{a}).\frac{1}{2}(\overline{b}-\overline{a})\)
\(\Rightarrow DB^2=\frac{1}{4}(\overline{b}-\overline{a}).(\overline{b}-\overline{a})\) ➜Note \(\because \overrightarrow{DB}.\overrightarrow{DB}=DB^2\)

\(=\frac{1}{4}(\overline{b}.\overline{b}-\overline{b}.\overline{a}-\overline{a}.\overline{b}+\overline{a}.\overline{a})\)
\(=\frac{1}{4}(b^2-2\overline{a}.\overline{b}+a^2)\) ➜Note \(\because \overline{a}.\overline{a}=a^2\)
\(\overline{b}.\overline{b}=b^2\)
এবং \(\overline{b}.\overline{a}=\overline{a}.\overline{b}\)

\(=\frac{1}{4}(b^2-2.0+a^2)\) ➜Note \(\because \overline{a}.\overline{b}=0\)

\(\therefore DB^2=\frac{1}{4}(a^2+b^2)\)
\(\Rightarrow DB=\sqrt{\frac{1}{4}(a^2+b^2)}\)
\(\therefore DB=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2} .....(3)\)
\((1), \ (2)\) ও \((3)\) হতে,
\(OD=DA=DB\)
\(\therefore \) একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের মধ্যবিন্দু ত্রিভুজটির শীর্ষবিন্দুগুলি হতে সমদূরবর্তী।
( প্রমাণিত )

\((1)\) ধরি,
\(O\) বিন্দুতে পরস্পর লম্বভাবে ছেদ করে এরূপ \(OX\) ও \(OY\) অক্ষ বরাবর দুইটি একক ভেক্টর \(\hat{i}\) ও \(\hat{j}\)
ঐ একই সমতলে অবস্থিত \(\hat{r_{1}}\) এবং \(\hat{r_{2}}\) দুইটি একক ভেক্টর \(X\) অক্ষের বিপরীত পার্শে অবস্থিত এবং \(X\) অক্ষের সাথে যথাক্রমে \(A\) এবং \(B\) কোণ উৎপন্ন করে।
তাহলে, \(\hat{r_{1}}\) এবং \(\hat{r_{2}}\) ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \((A+B).\)
এখানে, \(\hat{r_{1}}\) একক ভেক্টর \(XY\) সমতলে অবস্থিত এবং \(X\) ও \(Y\) অক্ষের সাথে যথাক্রমে \(A\) ও \(90^{o}-A\) কোণ উৎপন্ন করে।
\(\therefore \hat{r_{1}}=\hat{i}\cos{A}+\hat{j}\cos{(90^{o}-A)}\)
\(\therefore \hat{r_{1}}=\hat{i}\cos{A}+\hat{j}\sin{A} .......(1)\)
আবার, \(\hat{r_{2}}\) একক ভেক্টর \(XY\) সমতলে অবস্থিত এবং \(X\) ও \(Y\) অক্ষের সাথে যথাক্রমে \(B\) ও \(90^{o}+B\) কোণ উৎপন্ন করে।
\(\therefore \hat{r_{2}}=\hat{i}\cos{B}+\hat{j}\cos{(90^{o}+B)}\)
\(\therefore \hat{r_{2}}=\hat{i}\cos{B}-\hat{j}\sin{B} .......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে, ভেক্টর গুণনের সাহায্যে,
\(\hat{r_{1}}\times\hat{r_{2}}=(\hat{i}\cos{A}+\hat{j}\sin{A})\times(\hat{i}\cos{B}-\hat{j}\sin{B})\)
\(=\left|\begin{array}{c}\hat{i}& \ \ \hat{j}&\hat{k}\\\cos{A}& \ \ \sin{A}&0\\\cos{B}&-\sin{B}&0\end{array}\right|\) ➜Note \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
\(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array}\right|\)

\(=\hat{i}\{\sin{A}\times 0-0\times -\sin{B}\}-\hat{j}\{\cos{A}\times 0-0\times \cos{B}\}+\hat{k}\{\cos{A}\times -\sin{B}-\sin{A}\times \cos{B}\}\)
\(=\hat{i}\{0-0\}-\hat{j}\{0-0\}+\hat{k}\{-\cos{A}\sin{B}-\sin{A}\cos{B}\}\)
\(=-\hat{k}(\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B})\)
\(\therefore \hat{r_{1}}\times\hat{r_{2}}=-\hat{k}(\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B})\)
\(\Rightarrow r_{1}r_{2}\sin{(A+B)}\hat{\mu}=-\hat{k}(\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B})\) ➜Note \(\because \overline{a}\times\overline{b}=ab\sin{\theta}\hat{n}\)
এখানে, \(\hat{\mu}, \ \hat{r_{1}}\) এবং \(\hat{r_{2}}\) এর সমতলের উপর লম্ব একক ভেক্টর।

\(\Rightarrow r_{1}r_{2}\sin{(A+B)}(-\hat{k})=-\hat{k}(\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B})\) ➜Note এখানে, \(\hat{\mu}=-\hat{k}\)

\(\Rightarrow -\hat{k}r_{1}r_{2}\sin{(A+B)}=-\hat{k}(\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B})\)
\(\Rightarrow 1.1.\sin{(A+B)}=\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}\) ➜Note \(\because r_{1}=r_{2}=1\)

\(\therefore \sin{(A+B)}=\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}\)
\((2)\) ধরি,
\(O\) বিন্দুতে পরস্পর লম্বভাবে ছেদ করে এরূপ \(OX\) ও \(OY\) অক্ষ বরাবর দুইটি একক ভেক্টর \(\hat{i}\) ও \(\hat{j}\)
ঐ একই সমতলে অবস্থিত \(\hat{r_{1}}\) এবং \(\hat{r_{2}}\) দুইটি একক ভেক্টর \(X\) অক্ষের সাথে যথাক্রমে \(A\) এবং \(B\) কোণ উৎপন্ন করে।
তাহলে, \(\hat{r_{1}}\) এবং \(\hat{r_{2}}\) ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \((A-B).\)
এখানে, \(\hat{r_{1}}\) একক ভেক্টর \(XY\) সমতলে অবস্থিত এবং \(X\) ও \(Y\) অক্ষের সাথে যথাক্রমে \(A\) ও \(90^{o}-A\) কোণ উৎপন্ন করে।
\(\therefore \hat{r_{1}}=\hat{i}\cos{A}+\hat{j}\cos{(90^{o}-A)}\)
\(\therefore \hat{r_{1}}=\hat{i}\cos{A}+\hat{j}\sin{A} .......(1)\)
আবার, \(\hat{r_{2}}\) একক ভেক্টর \(XY\) সমতলে অবস্থিত এবং \(X\) ও \(Y\) অক্ষের সাথে যথাক্রমে \(B\) ও \(90^{o}-B\) কোণ উৎপন্ন করে।
\(\therefore \hat{r_{2}}=\hat{i}\cos{B}+\hat{j}\cos{(90^{o}-B)}\)
\(\therefore \hat{r_{2}}=\hat{i}\cos{B}+\hat{j}\sin{B} .......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে, ভেক্টর গুণনের সাহায্যে,
\(\hat{r_{1}}\times\hat{r_{2}}=(\hat{i}\cos{A}+\hat{j}\sin{A})\times(\hat{i}\cos{B}+\hat{j}\sin{B})\)
\(=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\\cos{A}&\sin{A}&0\\\cos{B}&\sin{B}&0\end{array}\right|\) ➜Note \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
\(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array}\right|\)

\(=\hat{i}\{\sin{A}\times 0-0\times \sin{B}\}-\hat{j}\{\cos{A}\times 0-0\times \cos{B}\}+\hat{k}\{\cos{A}\times \sin{B}-\sin{A}\times \cos{B}\}\)
\(=\hat{i}\{0-0\}-\hat{j}\{0-0\}+\hat{k}\{\cos{A}\sin{B}-\sin{A}\cos{B}\}\)
\(=-\hat{k}(\sin{A}\cos{B}-\cos{A}\sin{B})\)
\(\therefore \hat{r_{1}}\times\hat{r_{2}}=-\hat{k}(\sin{A}\cos{B}-\cos{A}\sin{B})\)
\(\Rightarrow r_{1}r_{2}\sin{(A-B)}\hat{\mu}=-\hat{k}(\sin{A}\cos{B}-\cos{A}\sin{B})\) ➜Note \(\because \overline{a}\times\overline{b}=ab\sin{\theta}\hat{n}\)
এখানে, \(\hat{\mu}, \ \hat{r_{1}}\) এবং \(\hat{r_{2}}\) এর সমতলের উপর লম্ব একক ভেক্টর।

\(\Rightarrow r_{1}r_{2}\sin{(A-B)}(-\hat{k})=-\hat{k}(\sin{A}\cos{B}-\cos{A}\sin{B})\) ➜Note এখানে, \(\hat{\mu}=-\hat{k}\)

\(\Rightarrow -\hat{k}r_{1}r_{2}\sin{(A-B)}=-\hat{k}(\sin{A}\cos{B}-\cos{A}\sin{B})\)
\(\Rightarrow 1.1.\sin{(A-B)}=\sin{A}\cos{B}-\cos{A}\sin{B}\) ➜Note \(\because r_{1}=r_{2}=1\)

\(\therefore \sin{(A-B)}=\sin{A}\cos{B}-\cos{A}\sin{B}\)
\((3)\) ধরি,
\(O\) বিন্দুতে পরস্পর লম্বভাবে ছেদ করে এরূপ \(OX\) ও \(OY\) অক্ষ বরাবর দুইটি একক ভেক্টর \(\hat{i}\) ও \(\hat{j}\)
ঐ একই সমতলে অবস্থিত \(\hat{r_{1}}\) এবং \(\hat{r_{2}}\) দুইটি একক ভেক্টর \(X\) অক্ষের বিপরীত পার্শে অবস্থিত এবং \(X\) অক্ষের সাথে যথাক্রমে \(A\) এবং \(B\) কোণ উৎপন্ন করে।
তাহলে, \(\hat{r_{1}}\) এবং \(\hat{r_{2}}\) ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \((A+B).\)
এখানে, \(\hat{r_{1}}\) একক ভেক্টর \(XY\) সমতলে অবস্থিত এবং \(X\) ও \(Y\) অক্ষের সাথে যথাক্রমে \(A\) ও \(90^{o}-A\) কোণ উৎপন্ন করে।
\(\therefore \hat{r_{1}}=\hat{i}\cos{A}+\hat{j}\cos{(90^{o}-A)}\)
\(\therefore \hat{r_{1}}=\hat{i}\cos{A}+\hat{j}\sin{A} .......(1)\)
আবার, \(\hat{r_{2}}\) একক ভেক্টর \(XY\) সমতলে অবস্থিত এবং \(X\) ও \(Y\) অক্ষের সাথে যথাক্রমে \(B\) ও \(90^{o}+B\) কোণ উৎপন্ন করে।
\(\therefore \hat{r_{2}}=\hat{i}\cos{B}+\hat{j}\cos{(90^{o}+B)}\)
\(\therefore \hat{r_{2}}=\hat{i}\cos{B}-\hat{j}\sin{B} .......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে, ডট গুণনের সাহায্যে,
\(\hat{r_{1}}.\hat{r_{2}}=(\hat{i}\cos{A}+\hat{j}\sin{A}).(\hat{i}\cos{B}-\hat{j}\sin{B})\)
\(\Rightarrow r_{1}r_{2}\cos{(A+B)}=\cos{A}\times\cos{B}+\sin{A}\times -\sin{B}+0\times{0}\) ➜Note \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}).(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}\)

\(\Rightarrow 1.1\cos{(A+B)}=\cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}+0\) ➜Note \(\because r_{1}=r_{2}=1\)

\(\therefore \cos{(A+B)}=\cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}\)
\((4)\) ধরি,
\(O\) বিন্দুতে পরস্পর লম্বভাবে ছেদ করে এরূপ \(OX\) ও \(OY\) অক্ষ বরাবর দুইটি একক ভেক্টর \(\hat{i}\) ও \(\hat{j}\)
ঐ একই সমতলে অবস্থিত \(\hat{r_{1}}\) এবং \(\hat{r_{2}}\) দুইটি একক ভেক্টর \(X\) অক্ষের সাথে যথাক্রমে \(A\) এবং \(B\) কোণ উৎপন্ন করে।
তাহলে, \(\hat{r_{1}}\) এবং \(\hat{r_{2}}\) ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \((A-B).\)
এখানে, \(\hat{r_{1}}\) একক ভেক্টর \(XY\) সমতলে অবস্থিত এবং \(X\) ও \(Y\) অক্ষের সাথে যথাক্রমে \(A\) ও \(90^{o}-A\) কোণ উৎপন্ন করে।
\(\therefore \hat{r_{1}}=\hat{i}\cos{A}+\hat{j}\cos{(90^{o}-A)}\)
\(\therefore \hat{r_{1}}=\hat{i}\cos{A}+\hat{j}\sin{A} .......(1)\)
আবার, \(\hat{r_{2}}\) একক ভেক্টর \(XY\) সমতলে অবস্থিত এবং \(X\) ও \(Y\) অক্ষের সাথে যথাক্রমে \(B\) ও \(90^{o}-B\) কোণ উৎপন্ন করে।
\(\therefore \hat{r_{2}}=\hat{i}\cos{B}+\hat{j}\cos{(90^{o}-B)}\)
\(\therefore \hat{r_{2}}=\hat{i}\cos{B}+\hat{j}\sin{B} .......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে, ডট গুণনের সাহায্যে,
\(\hat{r_{1}}.\hat{r_{2}}=(\hat{i}\cos{A}+\hat{j}\sin{A}).(\hat{i}\cos{B}+\hat{j}\sin{B})\)
\(\Rightarrow r_{1}r_{2}\cos{(A-B)}=\cos{A}\times\cos{B}+\sin{A}\times \sin{B}+0\times{0}\) ➜Note \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}).(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}\)

\(\Rightarrow 1.1\cos{(A-B)}=\cos{A}\cos{B}+\sin{A}\sin{B}+0\) ➜Note \(\because r_{1}=r_{2}=1\)

\(\therefore \cos{(A-B)}=\cos{A}\cos{B}+\sin{A}\sin{B}\)
( প্রমাণিত )

ধরি,
\(ABC\) একটি ত্রিভুজ
এবং \(\overrightarrow{BC}=\overline{a}, \overrightarrow{CA}=\overline{b}, \overrightarrow{AB}=\overline{c}\)
\(\therefore |\overrightarrow{BC}|=\overline{a}=a\)
\(|\overrightarrow{CA}|=|\overline{b}|=b\)
এবং \(|\overrightarrow{AB}|=|\overline{c}|=c\)
\((1)\)
এখন, \(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\) ➜Note \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\)

\(\Rightarrow -\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\)
\(\Rightarrow -\overline{a}=\overline{b}+\overline{c}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{BC}=\overline{a}\)
\(\overrightarrow{CA}=\overline{b}\)
এবং \(\overrightarrow{AB}=\overline{c}\)

\(\Rightarrow -\overline{a}.\overline{a}=\overline{a}.(\overline{b}+\overline{c})\) ➜Note উভয় পার্শে \(\overline{a}\) দ্বারা ডট (.) গুণ করে।

\(\Rightarrow -a^2=\overline{a}.\overline{b}+\overline{a}.\overline{c}\)
\(=ab\cos{(\pi-C)}+ac\cos{(\pi-B)}\) ➜Note \(\because \overline{a}=a^2\)
\(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-C)\)
এবং \(\overline{a}\) ও \(\overline{c}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-B)\)

\(=-ab\cos{C}-ac\cos{B}\)
\(=-a(b\cos{C}+c\cos{B})\)
\(\therefore a=b\cos{C}+c\cos{B}\)
( প্রমাণিত )
\((2)\)
এখন, \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\) ➜Note \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)

\(\Rightarrow -\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)
\(\Rightarrow -\overline{b}=\overline{c}+\overline{a}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{CA}=\overline{b}\)
\(\overrightarrow{AB}=\overline{c}\)
এবং \(\overrightarrow{BC}=\overline{a}\)

\(\Rightarrow -\overline{b}.\overline{b}=\overline{b}.(\overline{c}+\overline{a})\) ➜Note উভয় পার্শে \(\overline{b}\) দ্বারা ডট (.) গুণ করে।

\(\Rightarrow -b^2=\overline{b}.\overline{c}+\overline{b}.\overline{a}\)
\(=bc\cos{(\pi-A)}+ba\cos{(\pi-C)}\) ➜Note \(\because \overline{b}=b^2\)
\(\overline{b}\) ও \(\overline{c}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-A)\)
এবং \(\overline{b}\) ও \(\overline{a}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-C)\)

\(=-bc\cos{A}-ba\cos{C}\)
\(=-b(c\cos{A}+a\cos{B})\)
\(\therefore b=c\cos{A}+a\cos{B}\)
( প্রমাণিত )
\((3)\)
এখন, \(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\) ➜Note \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\)

\(\Rightarrow -\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\)
\(\Rightarrow -\overline{c}=\overline{a}+\overline{b}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AB}=\overline{c}\)
\(\overrightarrow{BC}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{CA}=\overline{b}\)

\(\Rightarrow -\overline{c}.\overline{c}=\overline{c}.(\overline{a}+\overline{b})\) ➜Note উভয় পার্শে \(\overline{c}\) দ্বারা ডট (.) গুণ করে।

\(\Rightarrow -c^2=\overline{c}.\overline{a}+\overline{c}.\overline{b}\)
\(=bc\cos{(\pi-B)}+ba\cos{(\pi-A)}\) ➜Note \(\because \overline{c}=c^2\)
\(\overline{c}\) ও \(\overline{a}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-B)\)
এবং \(\overline{c}\) ও \(\overline{b}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-A)\)

\(=-ca\cos{B}-cb\cos{A}\)
\(=-c(a\cos{B}+b\cos{A})\)
\(\therefore c=a\cos{B}+b\cos{A}\)
( প্রমাণিত )

ধরি,
\(ABC\) একটি ত্রিভুজ
এবং \(\overrightarrow{BC}=\overline{a}, \overrightarrow{CA}=\overline{b}, \overrightarrow{AB}=\overline{c}\)
\(\therefore |\overrightarrow{BC}|=\overline{a}=a\)
\(|\overrightarrow{CA}|=|\overline{b}|=b\)
এবং \(|\overrightarrow{AB}|=|\overline{c}|=c\)
\((1)\)
এখন, \(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\) ➜Note \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\)

\(\Rightarrow -\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\)
\(\Rightarrow -\overline{a}=\overline{b}+\overline{c}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{BC}=\overline{a}\)
\(\overrightarrow{CA}=\overline{b}\)
এবং \(\overrightarrow{AB}=\overline{c}\)

\(\Rightarrow (-\overline{a}).(-\overline{a})=(\overline{b}+\overline{c}).(\overline{b}+\overline{c})\)
\(\Rightarrow (\overline{a}).(\overline{a})=\overline{b}.\overline{b}+\overline{b}.\overline{c}+\overline{c}.\overline{b}+\overline{c}.\overline{c}\)
\(\Rightarrow a^2=b^2+2\overline{b}.\overline{c}+c^2\) ➜Note \(\because \overline{a}.\overline{a}=a^2, \ \overline{b}.\overline{b}=b^2, \ \overline{c}.\overline{c}=c^2\)
এবং \(\overline{c}.\overline{b}=\overline{b}.\overline{c}\)

\(\Rightarrow a^2=b^2+c^2+2bc\cos{(\pi-A)}\) ➜Note \(\because \overline{b}\) ও \(\overline{c}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-A)\)

\(\therefore a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}\)
আবার,
\(\Rightarrow 2bc\cos{A}=b^2+c^2-a^2\)
\(\therefore \cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
( প্রমাণিত )
\((2)\)
\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\) ➜Note \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)

\(\Rightarrow -\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)
\(\Rightarrow -\overline{b}=\overline{c}+\overline{a}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{CA}=\overline{b}\)
\(\overrightarrow{AB}=\overline{c}\)
এবং \(\overrightarrow{BC}=\overline{a}\)

\(\Rightarrow (-\overline{b}).(-\overline{b})=(\overline{c}+\overline{a}).(\overline{c}+\overline{a})\)
\(\Rightarrow (\overline{b}).(\overline{b})=\overline{c}.\overline{c}+\overline{c}.\overline{a}+\overline{a}.\overline{c}+\overline{a}.\overline{a}\)
\(\Rightarrow b^2=c^2+2\overline{c}.\overline{a}+a^2\) ➜Note \(\because \overline{b}.\overline{b}=b^2, \ \overline{c}.\overline{c}=c^2, \ \overline{a}.\overline{a}=a^2\)
এবং \(\overline{a}.\overline{c}=\overline{c}.\overline{a}\)

\(\Rightarrow b^2=c^2+a^2+2ca\cos{(\pi-B)}\) ➜Note \(\because \overline{c}\) ও \(\overline{a}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-B)\)

\(\therefore b^2=c^2+a^2-2ca\cos{B}\)
আবার,
\(\Rightarrow 2ca\cos{B}=c^2+a^2-b^2\)
\(\therefore \cos{B}=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\)
( প্রমাণিত )
\((3)\)
\(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\) ➜Note \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\)

\(\Rightarrow -\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\)
\(\Rightarrow -\overline{c}=\overline{a}+\overline{b}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AB}=\overline{c}\)
\(\overrightarrow{BC}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{CA}=\overline{b}\)

\(\Rightarrow (-\overline{c}).(-\overline{c})=(\overline{a}+\overline{b}).(\overline{a}+\overline{b})\)
\(\Rightarrow (\overline{c}).(\overline{c})=\overline{a}.\overline{a}+\overline{a}.\overline{b}+\overline{b}.\overline{a}+\overline{b}.\overline{b}\)
\(\Rightarrow c^2=a^2+2\overline{a}.\overline{b}+b^2\) ➜Note \(\because \overline{c}.\overline{c}=c^2, \ \overline{a}.\overline{a}=a^2, \ \overline{b}.\overline{b}=b^2\)
এবং \(\overline{b}.\overline{a}=\overline{a}.\overline{b}\)

\(\Rightarrow c^2=a^2+b^2+2ab\cos{(\pi-C)}\) ➜Note \(\because \overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-C)\)

\(\therefore c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}\)
আবার,
\(\Rightarrow 2ab\cos{C}=a^2+b^2-c^2\)
\(\therefore \cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
( প্রমাণিত )

ধরি,
\(ABC\) একটি ত্রিভুজ
এবং \(\overrightarrow{BC}=\overline{a}, \overrightarrow{CA}=\overline{b}, \overrightarrow{AB}=\overline{c}\)
\(\therefore |\overrightarrow{BC}|=\overline{a}=a\)
\(|\overrightarrow{CA}|=|\overline{b}|=b\)
এবং \(|\overrightarrow{AB}|=|\overline{c}|=c\)
এখন, \(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\) ➜Note \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\)

\(\Rightarrow -\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\)
\(\therefore -\overline{c}=\overline{a}+\overline{b}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AB}=\overline{c}\)
\(\overrightarrow{BC}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{CA}=\overline{b}\)

এখন,
\(\overline{b}\times\overline{c}=-\overline{c}\times\overline{b}\)
\(\Rightarrow \overline{b}\times\overline{c}=(\overline{a}+\overline{b})\times\overline{b}\) ➜Note \(\because -\overline{c}=\overline{a}+\overline{b}\)

\(\Rightarrow \overline{b}\times\overline{c}=\overline{a}\times\overline{b}+\overline{b}\times\overline{b}\)
\(\Rightarrow \overline{b}\times\overline{c}=\overline{a}\times\overline{b}+\overline{0}\) ➜Note \(\because \overline{b}\times\overline{b}=\overline{0}\)

\(\therefore \overline{b}\times\overline{c}=\overline{a}\times\overline{b} .......(1)\)
আবার, \(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\) ➜Note \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\)

\(\Rightarrow -\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\)
\(\therefore -\overline{a}=\overline{b}+\overline{c}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{BC}=\overline{a}\)
\(\overrightarrow{CA}=\overline{b}\)
এবং \(\overrightarrow{AB}=\overline{b}\)

আবার,
\(\overline{c}\times\overline{a}=-\overline{a}\times\overline{c}\)
\(\Rightarrow \overline{c}\times\overline{a}=(\overline{b}+\overline{c})\times\overline{c}\) ➜Note \(\because -\overline{a}=\overline{b}+\overline{c}\)

\(\Rightarrow \overline{c}\times\overline{a}=\overline{b}\times\overline{c}+\overline{c}\times\overline{c}\)
\(\Rightarrow \overline{c}\times\overline{a}=\overline{b}\times\overline{c}+\overline{0}\) ➜Note \(\because \overline{c}\times\overline{c}=\overline{0}\)

\(\Rightarrow \overline{c}\times\overline{a}=\overline{b}\times\overline{c}\)
\(\therefore \overline{b}\times\overline{c}=\overline{c}\times\overline{a} ......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(\overline{b}\times\overline{c}=\overline{c}\times\overline{a}=\overline{a}\times\overline{b}\)
\(\Rightarrow |\overline{b}\times\overline{c}|=|\overline{c}\times\overline{a}|=|\overline{a}\times\overline{b}|\)
\(\Rightarrow bc\sin{(\pi-A)}=ca\sin{(\pi-B)}=ab\sin{(\pi-C)}\) ➜Note \(\because |\overline{p}\times\overline{q}|=pq\sin{(p^{\wedge}q)}\)
\(\because \overline{b}\) ও \(\overline{c}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-A)\)
\(\overline{c}\) ও \(\overline{a}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-B)\)
এবং \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-C)\)

\(\Rightarrow bc\sin{A}=ca\sin{B}=ab\sin{C}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{A}}{a}=\frac{\sin{B}}{b}=\frac{\sin{C}}{c}\) ➜Note প্রত্যেক পদের সহিত \(abc\) ভাগ করে।

\(\therefore \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}\) ➜Note ব্যস্তকরণ করে।

( প্রমাণিত )

ধরি,
\(ABC\) একটি ত্রিভুজ
এবং \(\overrightarrow{BC}=\overline{a}, \overrightarrow{CA}=\overline{b}, \overrightarrow{AB}=\overline{c}\)
\(\therefore |\overrightarrow{BC}|=\overline{a}=a\)
\(|\overrightarrow{CA}|=|\overline{b}|=b\)
\(|\overrightarrow{AB}|=|\overline{c}|=c\)
এবং \(\triangle{ABC}=\Delta\)
অর্থাৎ, \(ABC\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\Delta\)
\((1)\)
এখন, \(\frac{1}{2}|\overrightarrow{CA}\times\overrightarrow{AB}|=\Delta\) ➜Note \(\triangle{PQR}\)এর সন্নিহিত বাহুদ্বয় \(\overrightarrow{PQ}\) এবং \(\overrightarrow{PR}\)
\(\frac{1}{2}|\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}|=\Delta\)

\(\Rightarrow \frac{1}{2}|\overline{b}\times\overline{c}|=\Delta\) ➜Note \(\because \overrightarrow{CA}=\overline{b}\)
এবং \(\overrightarrow{AB}=\overline{c}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{2}bc\sin{(\pi-A)}=\Delta\) ➜Note \(\because |\overline{p}\times\overline{q}|=pq\sin{(p^{\wedge}q)}\)
এবং \(\overline{b}\) ও \(\overline{c}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-A)\)

\(\therefore \frac{1}{2}bc\sin{A}=\Delta\)
অথবা,
\(bc\sin{A}=2\Delta\)
অথবা,
\(\sin{A}=\frac{2\Delta}{bc}\)
( প্রমাণিত )
\((2)\)
\(\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{BC}|=\Delta\) ➜Note \(\triangle{PQR}\)এর সন্নিহিত বাহুদ্বয় \(\overrightarrow{PQ}\) এবং \(\overrightarrow{PR}\)
\(\frac{1}{2}|\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}|=\Delta\)

\(\Rightarrow \frac{1}{2}|\overline{c}\times\overline{a}|=\Delta\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AB}=\overline{c}\)
এবং \(\overrightarrow{BC}=\overline{a}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{2}ca\sin{(\pi-B)}=\Delta\) ➜Note \(\because |\overline{p}\times\overline{q}|=pq\sin{(p^{\wedge}q)}\)
এবং \(\overline{c}\) ও \(\overline{a}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-B)\)

\(\therefore \frac{1}{2}ca\sin{B}=\Delta\)
অথবা,
\(ca\sin{B}=2\Delta\)
অথবা,
\(\sin{B}=\frac{2\Delta}{ca}\)
( প্রমাণিত )
\((3)\)
\(\frac{1}{2}|\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{CA}|=\Delta\) ➜Note \(\triangle{PQR}\)এর সন্নিহিত বাহুদ্বয় \(\overrightarrow{PQ}\) এবং \(\overrightarrow{PR}\)
\(\frac{1}{2}|\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}|=\Delta\)

\(\Rightarrow \frac{1}{2}|\overline{a}\times\overline{b}|=\Delta\) ➜Note \(\because \overrightarrow{BC}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{CA}=\overline{b}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{2}ab\sin{(\pi-C)}=\Delta\) ➜Note \(\because |\overline{p}\times\overline{q}|=pq\sin{(p^{\wedge}q)}\)
এবং \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-C)\)

\(\therefore \frac{1}{2}ab\sin{C}=\Delta\)
অথবা,
\(ab\sin{C}=2\Delta\)
অথবা,
\(\sin{C}=\frac{2\Delta}{ab}\)
( প্রমাণিত )

ধরি,
\(ABC\) একটি ত্রিভুজ
এবং \(\overrightarrow{BC}=\overline{a}, \overrightarrow{CA}=\overline{b}, \overrightarrow{AB}=\overline{c}\)
\(\therefore |\overrightarrow{BC}|=\overline{a}=a\)
\(|\overrightarrow{CA}|=|\overline{b}|=b\)
এবং \(|\overrightarrow{AB}|=|\overline{c}|=c\)
\((1)\)
এখন, \(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\) ➜Note \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\)

\(\Rightarrow -\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\)
\(\therefore -\overline{c}=\overline{a}+\overline{b}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AB}=\overline{c}\)
\(\overrightarrow{BC}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{CA}=\overline{b}\)

এখন,
\(\overline{c}\times\overline{a}=-\overline{a}\times\overline{c}\)
\(\Rightarrow \overline{c}\times\overline{a}=\overline{a}\times(-\overline{c})\)
\(\Rightarrow \overline{c}\times\overline{a}=\overline{a}\times(\overline{a}+\overline{b})\) ➜Note \(\because -\overline{c}=\overline{a}+\overline{b}\)

\(\Rightarrow \overline{c}\times\overline{a}=\overline{a}\times\overline{a}+\overline{a}\times\overline{b}\)
\(\Rightarrow \overline{c}\times\overline{a}=\overline{0}+\overline{a}\times\overline{b}\) ➜Note \(\because \overline{a}\times\overline{a}=\overline{0}\)

\(\Rightarrow \overline{c}\times\overline{a}=\overline{a}\times\overline{b}\)
\(\Rightarrow |\overline{c}\times\overline{a}|=|\overline{a}\times\overline{b}|\)
\(\Rightarrow ca\sin{(\pi-B)}=ab\sin{(\pi-C)}\) ➜Note \(\because |\overline{p}\times\overline{q}|=pq\sin{(p^{\wedge}q)}\)
\(\overline{c}\) ও \(\overline{a}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-B)\)
এবং \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-C)\)

\(\Rightarrow ca\sin{B}=ab\sin{C}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{B}}{b}=\frac{\sin{C}}{c}\) ➜Note উভয় পার্শে \(abc\) ভাগ করে।

\(\Rightarrow \frac{\sin{B}}{\sin{C}}=\frac{b}{c}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{B}-\sin{C}}{\sin{B}+\sin{C}}=\frac{b-c}{b+c}\) ➜Note বিয়োজন ও যোজন করে।

\(\Rightarrow \frac{2\cos{\frac{B+C}{2}}\sin{\frac{B-C}{2}}}{2\sin{\frac{B+C}{2}}\cos{\frac{B-C}{2}}}=\frac{b-c}{b+c}\) ➜Note \(\because \sin{C}-\sin{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)
এবং
\(\sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(\Rightarrow \cot{\frac{B+C}{2}}\tan{\frac{B-C}{2}}=\frac{b-c}{b+c}\)
\(\Rightarrow \cot{\frac{(\pi-A)}{2}}\tan{\frac{B-C}{2}}=\frac{b-c}{b+c}\) ➜Note \(\because B+C=\pi-A\)

\(\Rightarrow \cot{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{A}{2}\right)}\tan{\frac{B-C}{2}}=\frac{b-c}{b+c}\)
\(\Rightarrow \tan{\frac{A}{2}}\tan{\frac{B-C}{2}}=\frac{b-c}{b+c}\)
\(\Rightarrow \tan{\frac{B-C}{2}}=\frac{b-c}{b+c}\frac{1}{\tan{\frac{A}{2}}}\)
\(\therefore \tan{\frac{B-C}{2}}=\frac{b-c}{b+c}\cot{\frac{A}{2}}\)
( প্রমাণিত )
\((2)\)
এখন, \(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\) ➜Note \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\)

\(\Rightarrow -\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\)
\(\therefore -\overline{c}=\overline{a}+\overline{b}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AB}=\overline{c}\)
\(\overrightarrow{BC}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{CA}=\overline{b}\)

এখন,
\(\overline{b}\times\overline{c}=-\overline{c}\times\overline{b}\)
\(\Rightarrow \overline{b}\times\overline{c}=(\overline{a}+\overline{b})\times\overline{b}\) ➜Note \(\because -\overline{c}=\overline{a}+\overline{b}\)

\(\Rightarrow \overline{b}\times\overline{c}=\overline{a}\times\overline{b}+\overline{b}\times\overline{b}\)
\(\Rightarrow \overline{b}\times\overline{c}=\overline{a}\times\overline{b}+\overline{0}\) ➜Note \(\because \overline{b}\times\overline{b}=\overline{0}\)

\(\Rightarrow \overline{b}\times\overline{c}=\overline{a}\times\overline{b}\)
\(\Rightarrow |\overline{b}\times\overline{c}|=|\overline{a}\times\overline{b}|\)
\(\Rightarrow bc\sin{(\pi-A)}=ab\sin{(\pi-C)}\) ➜Note \(\because |\overline{p}\times\overline{q}|=pq\sin{(p^{\wedge}q)}\)
\(\overline{b}\) ও \(\overline{c}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-A)\)
এবং \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-C)\)

\(\Rightarrow bc\sin{A}=ab\sin{C}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{A}}{a}=\frac{\sin{C}}{c}\) ➜Note উভয় পার্শে \(abc\) ভাগ করে।

\(\Rightarrow \frac{\sin{A}}{\sin{C}}=\frac{a}{c}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{C}-\sin{A}}{\sin{C}+\sin{A}}=\frac{c-a}{c+a}\) ➜Note বিয়োজন ও যোজন করে।

\(\Rightarrow \frac{2\cos{\frac{C+A}{2}}\sin{\frac{C-A}{2}}}{2\sin{\frac{C+A}{2}}\cos{\frac{C-A}{2}}}=\frac{c-a}{c+a}\) ➜Note \(\because \sin{C}-\sin{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)
এবং
\(\sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(\Rightarrow \cot{\frac{C+A}{2}}\tan{\frac{C-A}{2}}=\frac{c-a}{c+a}\)
\(\Rightarrow \cot{\frac{(\pi-B)}{2}}\tan{\frac{C-A}{2}}=\frac{c-a}{c+a}\) ➜Note \(\because C+A=\pi-B\)

\(\Rightarrow \cot{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{B}{2}\right)}\tan{\frac{C-A}{2}}=\frac{c-a}{c+a}\)
\(\Rightarrow \tan{\frac{B}{2}}\tan{\frac{C-A}{2}}=\frac{c-a}{c+a}\)
\(\Rightarrow \tan{\frac{C-A}{2}}=\frac{c-a}{c+a}\frac{1}{\tan{\frac{B}{2}}}\)
\(\therefore \tan{\frac{C-A}{2}}=\frac{c-a}{c+a}\cot{\frac{B}{2}}\)
( প্রমাণিত )
\((3)\)
আবার, \(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\) ➜Note \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\)

\(\Rightarrow -\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\)
\(\therefore -\overline{a}=\overline{b}+\overline{c}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{BC}=\overline{a}\)
\(\overrightarrow{CA}=\overline{b}\)
এবং \(\overrightarrow{AB}=\overline{b}\)

আবার,
\(\overline{c}\times\overline{a}=-\overline{a}\times\overline{c}\)
\(\Rightarrow \overline{c}\times\overline{a}=(\overline{b}+\overline{c})\times\overline{c}\) ➜Note \(\because -\overline{a}=\overline{b}+\overline{c}\)

\(\Rightarrow \overline{c}\times\overline{a}=\overline{b}\times\overline{c}+\overline{c}\times\overline{c}\)
\(\Rightarrow \overline{c}\times\overline{a}=\overline{b}\times\overline{c}+\overline{0}\) ➜Note \(\because \overline{c}\times\overline{c}=\overline{0}\)

\(\Rightarrow \overline{c}\times\overline{a}=\overline{b}\times\overline{c}\)
\(\Rightarrow \overline{b}\times\overline{c}=\overline{c}\times\overline{a}\)
\(\Rightarrow |\overline{b}\times\overline{c}|=|\overline{c}\times\overline{a}|\)
\(\Rightarrow bc\sin{(\pi-A)}=ca\sin{(\pi-B)}\) ➜Note \(\because |\overline{p}\times\overline{q}|=pq\sin{(p^{\wedge}q)}\)
\(\overline{b}\) ও \(\overline{c}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-A)\)
এবং \(\overline{c}\) ও \(\overline{a}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-B)\)

\(\Rightarrow bc\sin{A}=ca\sin{B}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{A}}{a}=\frac{\sin{B}}{b}\) ➜Note উভয় পার্শে \(abc\) ভাগ করে।

\(\Rightarrow \frac{\sin{A}}{\sin{B}}=\frac{a}{b}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{A}-\sin{B}}{\sin{A}+\sin{B}}=\frac{a-b}{a+b}\) ➜Note বিয়োজন ও যোজন করে।

\(\Rightarrow \frac{2\cos{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}}}{2\sin{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}}=\frac{a-b}{a+b}\) ➜Note \(\because \sin{C}-\sin{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)
এবং
\(\sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(\Rightarrow \cot{\frac{A+B}{2}}\tan{\frac{A-B}{2}}=\frac{a-b}{a+b}\)
\(\Rightarrow \cot{\frac{(\pi-C)}{2}}\tan{\frac{A-B}{2}}=\frac{a-b}{a+b}\) ➜Note \(\because A+B=\pi-C\)

\(\Rightarrow \cot{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}\right)}\tan{\frac{A-B}{2}}=\frac{a-b}{a+b}\)
\(\Rightarrow \tan{\frac{C}{2}}\tan{\frac{A-B}{2}}=\frac{a-b}{a+b}\)
\(\Rightarrow \tan{\frac{A-B}{2}}=\frac{a-b}{a+b}\frac{1}{\tan{\frac{C}{2}}}\)
\(\therefore \tan{\frac{A-B}{2}}=\frac{a-b}{a+b}\cot{\frac{C}{2}}\)
( প্রমাণিত )

ধরি,
\(ABC\) একটি ত্রিভুজ
এবং \(\overrightarrow{BC}=\overline{a}, \overrightarrow{CA}=\overline{b}, \overrightarrow{AB}=\overline{c}\)
\(\therefore |\overrightarrow{BC}|=\overline{a}=a\)
\(|\overrightarrow{CA}|=|\overline{b}|=b\)
এবং \(|\overrightarrow{AB}|=|\overline{c}|=c\)
এখন, \(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\) ➜Note \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\)

\(\Rightarrow -\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\)
\(\Rightarrow -\overline{a}=\overline{b}+\overline{c}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{BC}=\overline{a}\)
\(\overrightarrow{CA}=\overline{b}\)
এবং \(\overrightarrow{AB}=\overline{c}\)

\(\Rightarrow (-\overline{a}).(-\overline{a})=(\overline{b}+\overline{c}).(\overline{b}+\overline{c})\)
\(\Rightarrow (\overline{a}).(\overline{a})=\overline{b}.\overline{b}+\overline{b}.\overline{c}+\overline{c}.\overline{b}+\overline{c}.\overline{c}\)
\(\Rightarrow a^2=b^2+2\overline{b}.\overline{c}+c^2\) ➜Note \(\because \overline{a}.\overline{a}=a^2, \ \overline{b}.\overline{b}=b^2, \ \overline{c}.\overline{c}=c^2\)
এবং \(\overline{c}.\overline{b}=\overline{b}.\overline{c}\)

\(\Rightarrow a^2=b^2+c^2+2bc\cos{(\pi-A)}\) ➜Note \(\because \overline{b}\) ও \(\overline{c}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-A)\)

\(\therefore a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A} .......(1)\)
আবার, \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\) ➜Note \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)

\(\Rightarrow -\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)
\(\Rightarrow -\overline{b}=\overline{c}+\overline{a}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{CA}=\overline{b}\)
\(\overrightarrow{AB}=\overline{c}\)
এবং \(\overrightarrow{BC}=\overline{a}\)

\(\Rightarrow (-\overline{b}).(-\overline{b})=(\overline{c}+\overline{a}).(\overline{c}+\overline{a})\)
\(\Rightarrow (\overline{b}).(\overline{b})=\overline{c}.\overline{c}+\overline{c}.\overline{a}+\overline{a}.\overline{c}+\overline{a}.\overline{a}\)
\(\Rightarrow b^2=c^2+2\overline{c}.\overline{a}+a^2\) ➜Note \(\because \overline{b}.\overline{b}=b^2, \ \overline{c}.\overline{c}=c^2, \ \overline{a}.\overline{a}=a^2\)
এবং \(\overline{a}.\overline{c}=\overline{c}.\overline{a}\)

\(\Rightarrow b^2=c^2+a^2+2ca\cos{(\pi-B)}\) ➜Note \(\because \overline{c}\) ও \(\overline{a}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-B)\)

\(\therefore b^2=c^2+a^2-2ca\cos{B} ........(2)\)
আবার, \(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\) ➜Note \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\)

\(\Rightarrow -\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\)
\(\Rightarrow -\overline{c}=\overline{a}+\overline{b}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AB}=\overline{c}\)
\(\overrightarrow{BC}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{CA}=\overline{b}\)

\(\Rightarrow (-\overline{c}).(-\overline{c})=(\overline{a}+\overline{b}).(\overline{a}+\overline{b})\)
\(\Rightarrow (\overline{c}).(\overline{c})=\overline{a}.\overline{a}+\overline{a}.\overline{b}+\overline{b}.\overline{a}+\overline{b}.\overline{b}\)
\(\Rightarrow c^2=a^2+2\overline{a}.\overline{b}+b^2\) ➜Note \(\because \overline{c}.\overline{c}=c^2, \ \overline{a}.\overline{a}=a^2, \ \overline{b}.\overline{b}=b^2\)
এবং \(\overline{b}.\overline{a}=\overline{a}.\overline{b}\)

\(\Rightarrow c^2=a^2+b^2+2ab\cos{(\pi-C)}\) ➜Note \(\because \overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-C)\)

\(\therefore c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C} .....(3)\)
\((1)+(2)+(3)\) এর সাহায্যে
\(a^2+b^2+c^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}+c^2+a^2-2ca\cos{B}+a^2+b^2-2ab\cos{C}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=2a^2+2b^2+2c^2-2bc\cos{A}-2ca\cos{B}-2ab\cos{C}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=2(a^2+b^2+c^2)-2bc\cos{A}-2ca\cos{B}-2ab\cos{C}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-2(a^2+b^2+c^2)=-2bc\cos{A}-2ca\cos{B}-2ab\cos{C}\)
\(\Rightarrow -(a^2+b^2+c^2)=-2(bc\cos{A}+ca\cos{B}+ab\cos{C})\)
\(\therefore a^2+b^2+c^2=2(bc\cos{A}+ca\cos{B}+ab\cos{C})\)
( প্রমাণিত )

\((a)\)
দেওয়া আছে,
\(\overline{P}=3\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\) এবং \(\overline{Q}=3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\)
এখন, \(p=|\overline{P}|=|3\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}|\) ➜Note \(\because \overline{P}=3\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\)

\(=\sqrt{3^2+(-3)^2+4^2}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{9+9+16}\)
\(=\sqrt{34}\)
\(\therefore p=\sqrt{34}\)
আবার, \(\overline{P}.\overline{Q}=(3\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}).(3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k})\) ➜Note \(\because \overline{P}=3\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\)
এবং \(\overline{Q}=3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\)

\(=3\times{3}+(-3)\times{-2}+4\times{4}\) ➜Note \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}).(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}\)

\(=9+6+16\)
\(=31\)
\(\therefore \overline{P}.\overline{Q}=31\)
\(\overline{P}\) এর উপর \(\overline{Q}\) এর অভিক্ষেপ \(=\frac{\overline{P}.\overline{Q}}{p}\)
\(=\frac{31}{\sqrt{34}}\) ➜Note \(\because \overline{P}.\overline{Q}=31\)
এবং \(A=|\overline{A}|=\sqrt{34}\)

\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(\overline{P}=3\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\) এবং \(\overline{Q}=3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\)
এখন, \(\overline{P}\times\overline{Q}=(3\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k})\times(3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k})\) ➜Note \(\because \overline{P}=3\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\)
এবং \(\overline{Q}=3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\)

\(=\left|\begin{array}{c}\hat{i}& \ \ \hat{j}&\hat{k}\\ 3&-3&4\\ 3&-2&4 \end{array}\right|\) ➜Note \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
\(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array}\right|\)

\(=\{-3\times 4-4\times -2\}\hat{i}+\{3\times 4-4\times 3\}\hat{j}+\{3\times -2-(-3)\times 3\}\hat{k}\)
\(=\{-12+8\}\hat{i}+\{12-12\}\hat{j}+\{-6+9\}\hat{k}\)
\(=-4\hat{i}+0\hat{j}+3\hat{k}\)
\(\therefore \overline{P}\times\overline{Q}=-4\hat{i}+3\hat{k}\)
আবার,
\(\overline{P}-\overline{Q}=3\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}-3\hat{i}+2\hat{j}-4\hat{k}\) ➜Note \(\because \overline{P}=3\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\)
এবং \(\overline{Q}=3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\)

\(\therefore \overline{P}-\overline{Q}=-\hat{j}\)
এখন, \((\overline{P}\times\overline{Q}).(\overline{P}-\overline{Q})=(-4\hat{i}+3\hat{k}).(-\hat{j})\) ➜Note \(\because \overline{P}\times\overline{Q}=-4\hat{i}+3\hat{k}\)
এবং \(\overline{P}-\overline{Q}=-\hat{j}\)

\(=-4\times 0+0\times -1+3\times 0\) ➜Note \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}).(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}\)

\(=0+0+0\)
\(=0\)
\(\therefore (\overline{P}\times\overline{Q}).(\overline{P}-\overline{Q})=0\)
\(\therefore (\overline{P}\times\overline{Q})\) এবং \((\overline{P}-\overline{Q})\) ভেক্টদ্বয় পরস্পর লম্ব।
( দেখানো হলো )
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(\overline{P}=\overrightarrow{OA}=3\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}, \ \overline{Q}=\overrightarrow{OB}=3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\)
\(\therefore A\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{P}\)
\(\therefore B\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{Q}\)
\(\overrightarrow{AB}\) এর মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{D}=\frac{\overline{P}+\overline{Q}}{2}\) ➜Note মধ্যবিন্দুর সূত্রঃ
\(A\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{a}\)
এবং \(B\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{b}\) হলে,
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(C\) এর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}\) হবে।

\(=\frac{3\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}+3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}}{2}\) ➜Note \(\because \overline{P}=3\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\)
\(\overline{Q}=3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\)

\(=\frac{1}{2}(6\hat{i}-5\hat{j}+8\hat{k})\)
\(\therefore \overline{D}=\frac{1}{2}(6\hat{i}-5\hat{j}+8\hat{k})\)
\(\Rightarrow d=|\overline{D}|=|\frac{1}{2}(6\hat{i}-5\hat{j}+8\hat{k})|\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{6^2+(-5)^2+8^2}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\frac{1}{2}\sqrt{6^2+(-5)^2+8^2}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{36+25+64}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{125}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{25\times 5}\)
\(=\frac{1}{2}5\sqrt{5}\)
\(\therefore d=\frac{5\sqrt{5}}{2}\)
\(\overline{D}\) বরাবর একক ভেক্টর \(=\frac{\overline{D}}{d}\)
\(=\frac{\frac{1}{2}(6\hat{i}-5\hat{j}+8\hat{k})}{\frac{5\sqrt{5}}{2}}\)
\(=\frac{6\hat{i}-5\hat{j}+8\hat{k}}{5\sqrt{5}}\)
\(=\frac{6}{5\sqrt{5}}\hat{i}-\frac{1}{\sqrt{5}}\hat{j}+\frac{8}{5\sqrt{5}}\hat{k}\)
ধরি,
\(\overline{D}\) ভেক্টরটি অক্ষ রেখা গুলির সহিত \(\alpha, \ \beta, \gamma\) কোণ উৎপন্ন করে।
তাহলে, \(\cos{\alpha}=\frac{6}{5\sqrt{5}}, \ \cos{\beta}=-\frac{1}{\sqrt{5}}, \cos{\gamma}=\frac{8}{5\sqrt{5}}\) ➜Note \(\cos{\alpha}=\overline{D}\) বরাবর একক ভেক্টরে \(\hat{i}\) এর সহগ।
\(\cos{\beta}=\overline{D}\) বরাবর একক ভেক্টরে \(\hat{j}\) এর সহগ।
\(\cos{\gamma}=\overline{D}\) বরাবর একক ভেক্টরে \(\hat{k}\) এর সহগ।

\(\therefore \alpha=\cos^{-1}{\left(\frac{6}{5\sqrt{5}}\right)}; \ \beta=\cos^{-1}{\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)}; \gamma=\cos^{-1}{\left(\frac{8}{5\sqrt{5}}\right)}\)
কোণগুলির মধ্যে বৃহত্তম কোণ \(\beta=\cos^{-1}{\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)}\)

\((a)\)
দেওয়া আছে,
\(P(1,3,2), \ Q(2,-1,3)\) এবং \(O\) মূলবিন্দু
\(P(1,3,2)\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OP}=\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}\)
\(Q(2,-1,3)\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OQ}=2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}\)
এখন, \(\overrightarrow{OP}.\overrightarrow{OQ}=(\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}).(2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k})\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OP}=\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{OQ}=2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}\)

\(=1\times{2}+3\times{-1}+2\times{3}\) ➜Note \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}).(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}\)

\(=2-3+6\)
\(=8-3\)
\(=5\)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(Q(2,-1,3), \ R(-1,2,3)\) এবং \(O\) মূলবিন্দু
\(Q(2,-1,3)\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{a}=\overrightarrow{OQ}=2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}\)
\(R(-1,2,3)\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{b}=\overrightarrow{OR}=-\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}\)
এখন \(QR\) বাহুর ভেক্টর সমীকরণ \(\overline{r}=\overline{a}+t(\overline{b}-\overline{a})\) যেখানে \(t\) একটি প্যারামিটার।
\(=\overline{a}+t\overline{b}-t\overline{a}\)
\(=(1-t)\overline{a}+t\overline{b}\)
\(=(1-t)(2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k})+t(-\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})\) ➜Note \(\because \overline{a}=2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}\)
এবং \(\overline{b}=-\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}\)

\(=(2-2t)\hat{i}-(1-t)\hat{j}+(3-3t)\hat{k}-t\hat{i}+2t\hat{j}+3t\hat{k}\)
\(=(2-2t-t)\hat{i}-(1-t-2t)\hat{j}+(3-3t+3t)\hat{k}\)
\(\therefore \overline{r}=(2-3t)\hat{i}-(1-3t)\hat{j}+3\hat{k}\)
ইহাই নির্ণেয় ভেক্টর সমীকরণ।
কার্তেসীয় সমীকরণের ক্ষেত্রে, \(x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}=(2-3t)\hat{i}-(1-3t)\hat{j}+3\hat{k}\) ➜Note \(\because \overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\)

\(\Rightarrow x=(2-3t), \ y=-(1-3t), \ z=3\) ➜Note উভয় পার্শ হতে \(\hat{i}, \ \hat{j}, \ \hat{k}\) এর সহগ সমীকৃত করে।

\(\Rightarrow x=2-3t, \ y=-1+3t, \ z-3=0\)
\(\Rightarrow x-2=-3t, \ y+1=3t, \ z-3=0t\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{-3}=t, \ \frac{y+1}{3}=t, \ \frac{z-3}{0}=t\)
\(\therefore \frac{x-2}{-3}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-3}{0}\)
ইহাই নির্ণেয় কার্তেসীয় সমীকরণ।
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(P(1,3,2), \ Q(2,-1,3), \ R(-1,2,3)\) এবং \(O\) মূলবিন্দু
\(\overrightarrow{PQ}=(2-1)\hat{i}+(-1-3)\hat{j}+(3-2)\hat{k}\) ➜Note \(\because A(x_{1},y_{1},z_{1})\) এবং \(B(x_{2},y_{2},z_{2})\) হলে,
\(\overrightarrow{AB}=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}+(z_{2}-z_{1})\hat{k}\)

\(\therefore \overrightarrow{PQ}=\hat{i}-4\hat{j}+\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{QR}=(-1-2)\hat{i}+(2+1)\hat{j}+(3-3)\hat{k}\) ➜Note \(\because A(x_{1},y_{1},z_{1})\) এবং \(B(x_{2},y_{2},z_{2})\) হলে,
\(\overrightarrow{AB}=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}+(z_{2}-z_{1})\hat{k}\)

\(\therefore \overrightarrow{QR}=-3\hat{i}+3\hat{j}+0\hat{k}\)
এখন, \(\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{QR}=(\hat{i}-4\hat{j}+\hat{k})\times(-3\hat{i}+3\hat{j}+0\hat{k})\) ➜Note \(\because \overrightarrow{PQ}=\hat{i}-4\hat{j}+\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{QR}=-3\hat{i}+3\hat{j}+0\hat{k}\)

\(=\left|\begin{array}{c} \ \ \hat{i}& \ \ \hat{j}&\hat{k}\\ \ \ 1&-4&1\\ -3& \ \ 3&0 \end{array}\right|\) ➜Note \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
\(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array}\right|\)

\(=\{-4\times 0-1\times 3\}\hat{i}-\{1\times 0-1\times -3\}\hat{j}+\{1\times 3-(-4)\times -3\}\hat{k}\)
\(=\{0-3\}\hat{i}-\{0+3\}\hat{j}+\{3-12\}\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{QR}=-3\hat{i}-3\hat{j}-9\hat{k}\)
এখন, \(\triangle{PQR}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{QR}|\) ➜Note ত্রিভুজের সন্নিহিত দুইটি বাহু \(\overrightarrow{AB}\) এবং \(\overrightarrow{BC}\) হলে,
\(\triangle{ABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{BC}|\)

\(=\frac{1}{2}|-3\hat{i}-3\hat{j}-9\hat{k}|\) ➜Note \(\because \overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{QR}=-3\hat{i}-3\hat{j}-9\hat{k}\)

\(=\frac{1}{2}\sqrt{(-3)^2+(-3)^2+(-9)^2}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\frac{1}{2}\sqrt{9+9+81}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{99}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{9\times 11}\)
\(=\frac{1}{2}3\sqrt{11}\)
\(\therefore \triangle{PQR}=\frac{3\sqrt{11}}{2}\) বর্গ একক।

\((a)\)
দেওয়া আছে,
মূলবিন্দু \(O\) সাপেক্ষে \(A(2,-1,7)\) এবং \(B(-4,5,0)\)
\(\overrightarrow{AB}=(-4-2)\hat{i}+(5+1)\hat{j}+(0-7)\hat{k}\) ➜Note \(\because A(x_{1},y_{1},z_{1})\) এবং \(B(x_{2},y_{2},z_{2})\) হলে,
\(\overrightarrow{AB}=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}+(z_{2}-z_{1})\hat{k}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=-6\hat{i}+6\hat{j}-7\hat{k}\)
\(\Rightarrow |\overrightarrow{AB}|=|-6\hat{i}+6\hat{j}-7\hat{k}|\)
\(=\sqrt{(-6)^2+6^2+(-7)^2}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{36+36+49}\)
\(=\sqrt{121}\)
\(=11\)
\((b)\)
চিত্রে দেওয়া আছে,
\(\overline{p}=3\hat{i}+4\hat{j}+2\hat{k}\)
\(\overline{q}=6\hat{i}-4\hat{j}+4\hat{k}\)
এবং \(SM=\overline{p}\) ভেক্টরের উপর \(\overline{q}\) ভেক্টরের অভিক্ষেপ।
\(=\frac{\overline{p}.\overline{q}}{|\overline{p}|}\)
\(=\frac{(3\hat{i}+4\hat{j}+2\hat{k}).(6\hat{i}-4\hat{j}+4\hat{k})}{|3\hat{i}+4\hat{j}+2\hat{k}|}\) ➜Note \(\because \overline{p}=3\hat{i}+4\hat{j}+2\hat{k}\)
এবং \(\overline{q}=6\hat{i}-4\hat{j}+4\hat{k}\)

\(=\frac{3\times 6+4\times -4+2\times 4}{\sqrt{3^2+4^2+2^2}}\) ➜Note \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}).(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}\)
আবার, \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\frac{18-16+8}{\sqrt{9+16+4}}\)
\(=\frac{26-16}{\sqrt{29}}\)
\(=\frac{10}{\sqrt{29}}\)
\(\therefore SM=\frac{10}{\sqrt{29}}\)
\((c)\)
চিত্রে দেওয়া আছে,
\(\overline{p}=3\hat{i}+4\hat{j}+2\hat{k}\)
\(\overline{q}=6\hat{i}-4\hat{j}+4\hat{k}\)
\(\overline{p}\) এবং \(\overline{q}\) উভয় ভেক্টরের সমতলে লম্ব ভেক্টর,
\(=\overline{p}\times\overline{q}\)
\(=(3\hat{i}+4\hat{j}+2\hat{k})\times(6\hat{i}-4\hat{j}+4\hat{k})\) ➜Note \(\because \overline{p}=3\hat{i}+4\hat{j}+2\hat{k}\)
এবং \(\overline{q}=6\hat{i}-4\hat{j}+4\hat{k}\)

\(=\left|\begin{array}{c}\hat{i}& \ \ \hat{j}&\hat{k}\\3& \ \ 4&2\\ 6&-4&4 \end{array}\right|\) ➜Note \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
\(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array}\right|\)

\(=\{4\times 4-2\times -4\}\hat{i}-\{3\times 4-2\times 6\}\hat{j}+\{3\times -4-4\times 6\}\hat{k}\)
\(=\{16+8\}\hat{i}-\{12-12\}\hat{j}+\{-12-24\}\hat{k}\)
\(=24\hat{i}-0\hat{j}-36\hat{k}\)
\(\therefore \overline{p}\times\overline{q}=24\hat{i}-36\hat{k}\)
\(\overline{p}\) এবং \(\overline{q}\) উভয় ভেক্টরের সমতলে লম্ব একক ভেক্টর,
\(=\pm{\frac{\overline{p}\times\overline{q}}{|\overline{p}\times\overline{q}|}}\)
\(=\pm{\frac{24\hat{i}-36\hat{k}}{|24\hat{i}-36\hat{k}|}}\) ➜Note \(\because \overline{p}\times\overline{q}=24\hat{i}-36\hat{k}\)

\(=\pm{\frac{24\hat{i}-36\hat{k}}{\sqrt{(24)^2+0^2+(-36)^2}}}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\pm{\frac{24\hat{i}-36\hat{k}}{\sqrt{576+1296}}}\)
\(=\pm{\frac{24\hat{i}-36\hat{k}}{\sqrt{1872}}}\)
\(=\pm{\frac{24\hat{i}-36\hat{k}}{\sqrt{144\times 13}}}\)
\(=\pm{\frac{12(2\hat{i}-3\hat{k})}{12\sqrt{13}}}\)
\(=\pm{\frac{(2\hat{i}-3\hat{k})}{\sqrt{13}}}\)
\(=\pm{\frac{1}{\sqrt{13}}(2\hat{i}-3\hat{k})}\)
ইহাই নির্ণেয় একক ভেক্টর।

\((a)\)
দেওয়া আছে,
\(PQRS\) সামান্তরিকের শীর্ষবিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(P(1,0,2), \ Q(2,-3,3), \ R(2,1,4)\) এবং \(S(1,4,3)\)
ধরি,
\(A(-1,2,2)\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{a}=-\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{PQ}=(2-1)\hat{i}+(-3-0)\hat{j}+(3-2)\hat{k}\) ➜Note \(\because A(x_{1},y_{1},z_{1})\) এবং \(B(x_{2},y_{2},z_{2})\) হলে,
\(\overrightarrow{AB}=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}+(z_{2}-z_{1})\hat{k}\)

\(=\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{PQ}=\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}\)
তাহলে, \(\overline{a}\) বিন্দুগামী এবং \(\overrightarrow{PQ}\) ভেক্টরের সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ \(\overline{r}=\overline{a}+t\overrightarrow{PQ}\) যেখানে, \(t\) একটি প্যারামিটার।
\(\Rightarrow \overline{r}=-\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}+t(\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k})\) ➜Note \(\because \overline{a}=-\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{PQ}=\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}\)

\(=-\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}+t\hat{i}-3t\hat{j}+t\hat{k}\)
\(\therefore \overline{r}=(-1+t)\hat{i}+(2-3t)\hat{j}+(2+t)\hat{k}\)
ইহাই নির্ণেয় ভেক্টর সমীকরণ।
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(PQRS\) সামান্তরিকের শীর্ষবিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(P(1,0,2), \ Q(2,-3,3), \ R(2,1,4)\) এবং \(S(1,4,3)\)
এখন, \(\overrightarrow{PR}=(2-1)\hat{i}+(1-0)\hat{j}+(4-2)\hat{k}\) ➜Note \(\because A(x_{1},y_{1},z_{1})\) এবং \(B(x_{2},y_{2},z_{2})\) হলে,
\(\overrightarrow{AB}=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}+(z_{2}-z_{1})\hat{k}\)

\(=\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{PR}=\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}\)
আবার, \(\overrightarrow{QS}=(1-2)\hat{i}+(4+3)\hat{j}+(3-3)\hat{k}\) ➜Note \(\because A(x_{1},y_{1},z_{1})\) এবং \(B(x_{2},y_{2},z_{2})\) হলে,
\(\overrightarrow{AB}=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}+(z_{2}-z_{1})\hat{k}\)

\(=-\hat{i}+7\hat{j}+0\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{QS}=-\hat{i}+7\hat{j}+0\hat{k}\)
\(\overrightarrow{PR}\times\overrightarrow{QS}=(\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k})\times(-\hat{i}+7\hat{j}+0\hat{k})\) ➜Note \(\because \overrightarrow{PR}=\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{QS}=-\hat{i}+7\hat{j}+0\hat{k}\)

\(=\left|\begin{array}{c} \ \ \hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ \ \ 1&1&2\\-1&7&0 \end{array}\right|\) ➜Note \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
\(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array}\right|\)

\(=\{1\times 0-2\times 7\}\hat{i}-\{1\times 0-2\times -1\}\hat{j}+\{1\times 7-1\times -1\}\hat{k}\)
\(=\{0-14\}\hat{i}-\{-2-0\}\hat{j}+\{7+1\}\hat{k}\)
\(=-14\hat{i}+2\hat{j}+8\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{PR}\times\overrightarrow{QS}=-14\hat{i}+2\hat{j}+8\hat{k}\)
\(\overrightarrow{PR}\) এবং \(\overrightarrow{QS}\) কর্ণ দ্বারা গঠিত \(PQRS\) সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল,
\(=\frac{1}{2}|\overrightarrow{PR}\times\overrightarrow{QS}|\) ➜Note \(\overrightarrow{AC}\) এবং \(\overrightarrow{BD}\)
কর্ণ দ্বারা গঠিত \(ABCD\) সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল,
\(=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{BD}|\)

\(=\frac{1}{2}|-14\hat{i}+2\hat{j}+8\hat{k}|\) ➜Note \(\because \overrightarrow{PR}\times\overrightarrow{QS}=-14\hat{i}+2\hat{j}+8\hat{k}\)

\(=\frac{1}{2}\sqrt{(-14)^2+2^2+8^2}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\frac{1}{2}\sqrt{196+4+64}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{264}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{4\times 66}\)
\(=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{66}\)
\(=\sqrt{66}\)
\(PQRS\) সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল \(=\sqrt{66}\) বর্গ একক।
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(PQRS\) সামান্তরিকের শীর্ষবিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(P(1,0,2), \ Q(2,-3,3), \ R(2,1,4)\) এবং \(S(1,4,3)\)
এখন, \(\overrightarrow{QR}=(2-2)\hat{i}+(1+3)\hat{j}+(4-3)\hat{k}\) ➜Note \(\because A(x_{1},y_{1},z_{1})\) এবং \(B(x_{2},y_{2},z_{2})\) হলে,
\(\overrightarrow{AB}=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}+(z_{2}-z_{1})\hat{k}\)

\(=0\hat{i}+4\hat{j}+\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{QR}=0\hat{i}+4\hat{j}+\hat{k}\)
আবার, \(\overrightarrow{RS}=(1-2)\hat{i}+(4-1)\hat{j}+(3-4)\hat{k}\) ➜Note \(\because A(x_{1},y_{1},z_{1})\) এবং \(B(x_{2},y_{2},z_{2})\) হলে,
\(\overrightarrow{AB}=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}+(z_{2}-z_{1})\hat{k}\)

\(=-\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{RS}=-\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}\)
\(\overrightarrow{QR}\times\overrightarrow{RS}=(0\hat{i}+4\hat{j}+\hat{k})\times(-\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k})\) ➜Note \(\because \overrightarrow{QR}=0\hat{i}+4\hat{j}+\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{RS}=-\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}\)

\(=\left|\begin{array}{c} \ \ \hat{i}&\hat{j}& \ \ \hat{k}\\ \ \ 0&4& \ \ 1\\-1&3&-1 \end{array}\right|\) ➜Note \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
\(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array}\right|\)

\(=\{4\times -1-1\times 3\}\hat{i}-\{0\times -1-1\times -1\}\hat{j}+\{0\times 3-4\times -1\}\hat{k}\)
\(=\{-4-3\}\hat{i}-\{0+1\}\hat{j}+\{0+4\}\hat{k}\)
\(=-7\hat{i}-\hat{j}+4\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{QR}\times\overrightarrow{RS}=-7\hat{i}-\hat{j}+4\hat{k}\)
\(\overrightarrow{QR}\) এবং \(\overrightarrow{RS}\) ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) হলে,
\(\sin{\theta}=\frac{|\overrightarrow{QR}\times\overrightarrow{RS}|}{|\overrightarrow{QR}||\overrightarrow{RS}|}\) ➜Note \(\overrightarrow{AB}\) এবং \(\overrightarrow{BC}\)
ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) হলে,
\(\sin{\theta}=\frac{|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{BC}|}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{BC}|}\)

\(=\frac{|-7\hat{i}-\hat{j}+4\hat{k}|}{|0\hat{i}+4\hat{j}+\hat{k}||-\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}|}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{QR}\times\overrightarrow{RS}=-7\hat{i}-\hat{j}+4\hat{k}\)
\(\overrightarrow{QR}=0\hat{i}+4\hat{j}+\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{RS}=-\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}\)

\(=\frac{\sqrt{(-7)^2+(-1)^2+4^2}}{\sqrt{0^2+4^2+1^2}\sqrt{(-1)^2+3^2+(-1)^2}}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\frac{\sqrt{49+1+16}}{\sqrt{0+16+1}\sqrt{1+9+1}}\)
\(=\frac{\sqrt{66}}{\sqrt{17}\sqrt{11}}\)
\(=\sqrt{\frac{66}{17\times 11}}\)
\(=\sqrt{\frac{6}{17}}\)
\(\therefore \sin{\theta}=\sqrt{\frac{6}{17}}\)
\(\therefore \theta=\sin^{-1}{\left(\sqrt{\frac{6}{17}}\right)}\)
ইহাই নির্ণেয় কোণ।

\((a)\)
দেওয়া আছে,
\(A(1,2,3), \ B(-1,-1,8)\) এবং \(C(-4,4,6)\) বিন্দু তিনটি একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু এবং \(O\) মূলবিন্দু।
\(A(1,2,3)\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{a}=\overrightarrow{OA}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}\)
\(B(-1,-1,8)\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{b}=\overrightarrow{OB}=-\hat{i}-\hat{j}+8\hat{k}\)
এখন, \(A(1,2,3)\) এবং \(B(-1,-1,8)\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ,
\(\overline{r}=\overline{a}+t(\overline{b}-\overline{a})\) যেখানে, \(t\) একটি প্যারামিটার।
\(\Rightarrow \overline{r}=\overline{a}+t\overline{b}-t\overline{a}\)
\(\Rightarrow \overline{r}=(1-t)\overline{a}+t\overline{b}\)
\(\Rightarrow \overline{r}=(1-t)(\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})+t(-\hat{i}-\hat{j}+8\hat{k})\) ➜Note \(\because \overline{a}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}\)
এবং \(\overline{b}=-\hat{i}-\hat{j}+8\hat{k}\)

\(=(1-t)\hat{i}+(2-2t)\hat{j}+(3-3t)\hat{k}-t\hat{i}-t\hat{j}+8t\hat{k}\)
\(=(1-t-t)\hat{i}+(2-2t-t)\hat{j}+(3-3t+8t)\hat{k}\)
\(=(1-2t)\hat{i}+(2-3t)\hat{j}+(3+5t)\hat{k}\)
\(\therefore \overline{r}=(1-2t)\hat{i}+(2-3t)\hat{j}+(3+5t)\hat{k}\)
ইহাই নির্ণেয় ভেক্টর সমীকরণ।
\((b)\)
\((a)\) হতে প্রাপ্ত
\(\overrightarrow{OB}=-\hat{i}-\hat{j}+8\hat{k}\)
এখন, \(OB=|\overrightarrow{OB}|=|-\hat{i}-\hat{j}+8\hat{k}|\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OB}=-\hat{i}-\hat{j}+8\hat{k}\)

\(=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+8^2}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{1+1+64}\)
\(=\sqrt{66}\)
\(\therefore OB=\sqrt{66}\)
\(\overrightarrow{OB}\) বরাবর একক ভেক্টর \(=\frac{\overrightarrow{OB}}{OB}\)
\(=\frac{-\hat{i}-\hat{j}+8\hat{k}}{\sqrt{66}}\)
\(=-\frac{1}{\sqrt{66}}\hat{i}-\frac{1}{\sqrt{66}}\hat{j}+\frac{8}{\sqrt{66}}\hat{k}\)
ধরি,
\(\overrightarrow{OB}\) ভেক্টরটি অক্ষ রেখা গুলির সহিত \(\alpha, \ \beta, \gamma\) কোণ উৎপন্ন করে।
তাহলে, \(\cos{\alpha}=-\frac{1}{\sqrt{66}}, \ \cos{\beta}=-\frac{1}{\sqrt{66}}, \cos{\gamma}=\frac{8}{\sqrt{66}}\) ➜Note \(\cos{\alpha}=\overrightarrow{OB}\) বরাবর একক ভেক্টরে \(\hat{i}\) এর সহগ।
\(\cos{\beta}=\overrightarrow{OB}\) বরাবর একক ভেক্টরে \(\hat{j}\) এর সহগ।
\(\cos{\gamma}=\overrightarrow{OB}\) বরাবর একক ভেক্টরে \(\hat{k}\) এর সহগ।

\(\therefore \alpha=\cos^{-1}{\left(-\frac{1}{\sqrt{66}}\right)}; \ \beta=\cos^{-1}{\left(-\frac{1}{\sqrt{66}}\right)}; \gamma=\cos^{-1}{\left(\frac{8}{\sqrt{66}}\right)}\)
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(A(1,2,3), \ B(-1,-1,8)\) এবং \(C(-4,4,6)\) বিন্দু তিনটি একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু এবং \(O\) মূলবিন্দু।
এখন, \(\overrightarrow{AB}=(-1-1)\hat{i}+(-1-2)\hat{j}+(8-3)\hat{k}\) ➜Note \(\because A(x_{1},y_{1},z_{1})\) এবং \(B(x_{2},y_{2},z_{2})\) হলে,
\(\overrightarrow{AB}=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}+(z_{2}-z_{1})\hat{k}\)

\(=-2\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}=-2\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}\)
\(\Rightarrow |\overrightarrow{AB}|=|-2\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}|\)
\(=\sqrt{(-2)^2+(-3)^2+5^2}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{4+9+25}\)
\(=\sqrt{38}\)
\(\therefore |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{38}\)
\(\overrightarrow{BC}=(-4+1)\hat{i}+(4+1)\hat{j}+(6-8)\hat{k}\) ➜Note \(\because A(x_{1},y_{1},z_{1})\) এবং \(B(x_{2},y_{2},z_{2})\) হলে,
\(\overrightarrow{AB}=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}+(z_{2}-z_{1})\hat{k}\)

\(=-3\hat{i}+5\hat{j}-2\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{BC}=-3\hat{i}+5\hat{j}-2\hat{k}\)
\(\Rightarrow |\overrightarrow{BC}|=|-3\hat{i}+5\hat{j}-2\hat{k}|\)
\(=\sqrt{(-3)^2+5^2+(-2)^2}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{9+25+4}\)
\(=\sqrt{38}\)
\(\therefore |\overrightarrow{BC}|=\sqrt{38}\)
এবং \(\overrightarrow{AC}=(-4-1)\hat{i}+(4-2)\hat{j}+(6-3)\hat{k}\) ➜Note \(\because A(x_{1},y_{1},z_{1})\) এবং \(B(x_{2},y_{2},z_{2})\) হলে,
\(\overrightarrow{AB}=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}+(z_{2}-z_{1})\hat{k}\)

\(=-5\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{AC}=-5\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}\)
\(\Rightarrow |\overrightarrow{AC}|=|-5\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}|\)
\(=\sqrt{(-5)^2+2^2+3^2}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{25+4+9}\)
\(=\sqrt{38}\)
\(\therefore |\overrightarrow{AC}|=\sqrt{38}\)
\(\therefore |\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{AC}|\)
\(\therefore \triangle{ABC}\) সমবাহু।
( দেখানো হলো )

\((a)\)
দেওয়া আছে,
\(\overline{a}=2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}, \ \overline{b}=\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\) ভেক্টর তিনটি একটি ঘনবস্তুর ধার নির্দেশ করে।
এখন, \(|\overline{a}-\overline{b}-\overline{c}|=|2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}-\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}-3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}|\) ➜Note \(\because \overline{a}=2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\)
\(\overline{b}=\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\)
এবং \(\overline{c}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\)

\(=|-2\hat{i}-4\hat{j}+3\hat{k}|\)
\(=\sqrt{(-2)^2+(-4)^2+3^2}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{4+16+9}\)
\(=\sqrt{29}\)
\(\therefore |\overline{a}-\overline{b}-\overline{c}|=\sqrt{29}\)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(\overline{a}=2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}, \ \overline{b}=\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\) ভেক্টর তিনটি একটি ঘনবস্তুর ধার নির্দেশ করে।
ঘনবস্তুটির আয়তন \(=\overline{a}.(\overline{b}\times\overline{c})\) ঘন একক।
\(=(2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}).\{(\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k})\times(3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k})\}\) ➜Note \(\because \overline{a}=2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\)
\(\overline{b}=\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\)
এবং \(\overline{c}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\)

\(=\left|\begin{array}{c}2&-3& \ \ 4\\1& \ \ 2&-1\\3&-1& \ \ 2 \end{array}\right|\) ➜Note \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
\(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\)
\(c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k}\) হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}).\{(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})\times(c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k})\}=\left|\begin{array}{c}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\\ c_{1}&c_{2}&c_{3} \end{array}\right|\)

\(=2\{2\times 2-(-1)\times -1\}-(-3)\{1\times 2-(-1)\times 3\}+4\{1\times -1-2\times 3\}\)
\(=2\{4-1\}+3\{2+3\}+4\{-1-6\}\)
\(=2\{3\}+3\{5\}+4\{-7\}\)
\(=6+15-28\)
\(=21-28\)
\(=-7\)
\(\therefore\) ঘনবস্তুটির আয়তন \(7\) ঘন একক। ➜Note \(\because \) আয়তন ঋণাত্মক হতে পারে না।

\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(\overline{a}=2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}, \ \overline{b}=\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\) ভেক্টর তিনটি একটি ঘনবস্তুর ধার নির্দেশ করে।
ঘন বস্তুটির পৃষ্টতল আছে ছয়টি। দুইটি বিপরীত পৃষ্টতলের ক্ষেত্রফল সমান
পৃষ্টতল গুলি যথাক্রমে, \(|\overline{a}\times\overline{b}|, |\overline{b}\times\overline{c}|\) এবং \(|\overline{c}\times\overline{a}|\)
অতএব ঘন বস্তুটির সম্পূর্ণ পৃষ্টতলের ক্ষেত্র ফল \(=2(|\overline{a}\times\overline{b}|+|\overline{b}\times\overline{c}|+|\overline{c}\times\overline{a}|)\) বর্গ একক।
এখন, \(\overline{a}\times\overline{b}=(2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k})\times(\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k})\) ➜Note \(\because \overline{a}=2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\)
এবং \(\overline{b}=\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\)

\(=\left|\begin{array}{c}\hat{i}& \ \ \hat{j}& \ \ \hat{k}\\2&-3& \ \ 4\\1& \ \ 2&-1\end{array}\right|\) ➜Note \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
\(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\)
হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array}\right|\)

\(=\{-3\times -1-4\times 2\}\hat{i}-\{2\times -1-4\times 1\}\hat{j}+\{2\times 2-(-3)\times 1\}\hat{k}\)
\(=\{3-8\}\hat{i}-\{-2-4\}\hat{j}+\{4+3\}\hat{k}\)
\(=-5\hat{i}+6\hat{j}+7\hat{k}\)
\(\therefore \overline{a}\times\overline{b}=-5\hat{i}+6\hat{j}+7\hat{k}\)
\(\Rightarrow |\overline{a}\times\overline{b}|=|-5\hat{i}+6\hat{j}+7\hat{k}|\)
\(=\sqrt{(-5)^2+6^2+7^2}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{25+36+49}\)
\(=\sqrt{110}\)
\(\therefore |\overline{a}\times\overline{b}|=\sqrt{110}\)
\(\overline{b}\times\overline{c}=(\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k})\times(3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k})\) ➜Note \(\because \overline{b}=\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\)
এবং \(\overline{c}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\)

\(=\left|\begin{array}{c}\hat{i}& \ \ \hat{j}& \ \ \hat{k}\\1& \ \ 2&-1\\3&-1& \ \ 2\end{array}\right|\) ➜Note \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
\(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\)
হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array}\right|\)

\(=\{2\times 2-(-1)\times -1\}\hat{i}-\{1\times 2-(-1)\times 3\}\hat{j}+\{1\times -1-2\times 3\}\hat{k}\)
\(=\{4-1\}\hat{i}-\{2+3\}\hat{j}+\{-1-6\}\hat{k}\)
\(=3\hat{i}-5\hat{j}-7\hat{k}\)
\(\therefore \overline{b}\times\overline{c}=3\hat{i}-5\hat{j}-7\hat{k}\)
\(\Rightarrow |\overline{b}\times\overline{c}|=|3\hat{i}-5\hat{j}-7\hat{k}|\)
\(=\sqrt{3^2+(-5)^2+(-7)^2}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{9+25+49}\)
\(=\sqrt{83}\)
\(\therefore |\overline{b}\times\overline{c}|=\sqrt{83}\)
এবং \(\overline{c}\times\overline{a}=(3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k})\times(2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k})\) ➜Note \(\because \overline{c}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\)
এবং \(\overline{a}=2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\)

\(=\left|\begin{array}{c}\hat{i}& \ \ \hat{j}& \ \ \hat{k}\\3&-1& \ \ 2\\2&-3& \ \ 4\end{array}\right|\) ➜Note \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
\(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\)
হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array}\right|\)

\(=\{(-1)\times 4-2\times -3\}\hat{i}-\{3\times 4-2\times 2\}\hat{j}+\{3\times -3-(-1)\times 2\}\hat{k}\)
\(=\{-4+6\}\hat{i}-\{12-4\}\hat{j}+\{-9+2\}\hat{k}\)
\(=2\hat{i}-8\hat{j}-7\hat{k}\)
\(\therefore \overline{c}\times\overline{a}=2\hat{i}-8\hat{j}-7\hat{k}\)
\(\Rightarrow |\overline{c}\times\overline{a}|=|2\hat{i}-8\hat{j}-7\hat{k}|\)
\(=\sqrt{2^2+(-8)^2+(-7)^2}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{4+64+49}\)
\(=\sqrt{117}\)
\(\therefore |\overline{c}\times\overline{a}|=\sqrt{117}\)
ঘন বস্তুটির সম্পূর্ণ পৃষ্টতলের ক্ষেত্র ফল \(=2(|\overline{a}\times\overline{b}|+|\overline{b}\times\overline{c}|+|\overline{c}\times\overline{a}|)\)
\(=2(\sqrt{110}+\sqrt{83}+\sqrt{117})\) ➜Note \(\because |\overline{a}\times\overline{b}|=\sqrt{110}\)
\(|\overline{b}\times\overline{c}|=\sqrt{83}\)
এবং \(|\overline{c}\times\overline{a}|=\sqrt{117}\)

\(=2(10.48808+9.11043+10.81665)\)
\(=2(30.41516)\)
\(=60.83\) বর্গ একক।

\((a)\)
দেওয়া আছে,
\(\overline{a}=3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}, \ \overline{b}=2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}\) তিনটি ভেক্টর ।
\(A(1,2,3)\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{d}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}\)
\(A(1,2,3)\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{b}\) ভেক্টরের সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ,
\(\overline{r}=\overline{d}+t\overline{b}\) যেখানে, \(t\) একটি প্যারামিটার।
\(\Rightarrow \overline{r}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}+t(2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})\) ➜Note \(\because \overline{d}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}\)
এবং \(\overline{b}=2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\)

\(\therefore \overline{r}=(1+2t)\hat{i}+(2-t)\hat{j}+(3+t)\hat{k}\)
ইহাই নির্ণেয় ভেক্টর সমীকরণ।
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(\overline{a}=3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}, \ \overline{b}=2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}\) তিনটি ভেক্টর ।
\(\overline{a}\) এবং \(\overline{b}\) এর লব্ধি
\(=\overline{a}+\overline{b}\)
\(=3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}+2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) ➜Note \(\because \overline{a}=3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}\)
এবং \(\overline{b}=2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\)

\(=5\hat{i}-\hat{k}\)
\(\therefore \overline{a}+\overline{b}=5\hat{i}-\hat{k}\)
এখন, \(|\overline{c}|=|\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}|\)
\(=\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{1+4+4}\)
\(=\sqrt{9}\)
\(=3\)
\(\therefore |\overline{c}|=3\)
\(\overline{c}\) বরাবর একক ভেক্টর \(\hat{c}=\frac{\overline{c}}{|\overline{c}|}\)
\(\therefore \hat{c}=\frac{\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}}{3}\) ➜Note \(\because \overline{c}=\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}\)
এবং \( |\overline{c}|=3\)

\(\overline{c}\) ভেক্টরের দিক বরাবর \(\overline{a}\) এবং \(\overline{b}\) এর লব্ধির অংশক,
\(=\{\hat{c}.(\overline{a}+\overline{b})\}\hat{c}\) ➜Note \(\overline{p}\) ভেক্টরের দিক বরাবর \(\overline{q}\) এর লব্ধির অংশক,
\((\hat{p}.\overline{q})\hat{p}\)

\(=\{\frac{\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}}{3}.(5\hat{i}-\hat{k})\}\hat{c}\) ➜Note \(\because \hat{c}=\frac{\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}}{3}\)
এবং \(\overline{a}+\overline{b}=5\hat{i}-\hat{k}\)

\(=\frac{1\times 5+2\times 0+(-2)\times -1}{3}\hat{c}\) ➜Note \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}).(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}\)

\(=\frac{5+0+2}{3}\hat{c}\)
\(=\frac{7}{3}\hat{c}\)
\(=\frac{7}{3}\frac{\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}}{3}\) ➜Note \(\because \hat{c}=\frac{\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}}{3}\)

\(=\frac{7}{9}(\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k})\)
ইহাই নির্ণেয় অংশক।
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(\overline{b}=2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}\)
এখন, \(\overline{b}\times\overline{c}=(2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})\times(\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k})\) ➜Note \(\because \overline{b}=2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\)
এবং \(\overline{c}=\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}\)

\(=\left|\begin{array}{c}\hat{i}& \ \ \hat{j}& \ \ \hat{k}\\2&-1& \ \ 1\\1& \ \ 2&-2\end{array}\right|\) ➜Note \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
\(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\)
হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array}\right|\)

\(=\{-1\times -2-1\times 2\}\hat{i}-\{2\times -2-1\times 1\}\hat{j}+\{2\times 2-(-1)\times 1\}\hat{k}\)
\(=\{2-2\}\hat{i}-\{-4-1\}\hat{j}+\{4+1\}\hat{k}\)
\(=0\hat{i}+5\hat{j}+5\hat{k}\)
\(\therefore \overline{b}\times\overline{c}=0\hat{i}+5\hat{j}+5\hat{k}\)
\(\Rightarrow |\overline{b}\times\overline{c}|=|0\hat{i}+5\hat{j}+5\hat{k}|\)
\(=\sqrt{0^2+5^2+5^2}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{0+25+25}\)
\(=\sqrt{50}\)
\(=5\sqrt{2}\)
\(\therefore |\overline{b}\times\overline{c}|=5\sqrt{2}\)
\(\overline{b}\) এবং \(\overline{c}\) ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) হলে,
\(\theta=\sin^{-1}{\left(\frac{|\overline{b}\times\overline{c}|}{|\overline{b}||\overline{c}|}\right)}\)
\(=\sin^{-1}{\left(\frac{5\sqrt{2}}{|2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}||\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}|}\right)}\) ➜Note \(\because |\overline{b}\times\overline{c}|=5\sqrt{2}\)
\(\overline{b}=2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\)
এবং \(\overline{c}=\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}\)

\(=\sin^{-1}{\left(\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}}\right)}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sin^{-1}{\left(\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{4+1+1}\sqrt{1+4+4}}\right)}\)
\(=\sin^{-1}{\left(\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{6}\sqrt{9}}\right)}\)
\(=\sin^{-1}{\left(\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{3\times 2}3}\right)}\)
\(=\sin^{-1}{\left(\frac{5\sqrt{2}}{3\sqrt{3}\sqrt{2}}\right)}\)
\(\therefore \theta=\sin^{-1}{\left(\frac{5}{3\sqrt{3}}\right)}\)
( দেখানো হলো )

\((a)\)
দেওয়া আছে,
\(x\hat{i}+\frac{1}{2}\hat{j}-\frac{1}{2}\hat{k}\) একটি একক ভেক্টর।
শর্তমতে, \(|x\hat{i}+\frac{1}{2}\hat{j}-\frac{1}{2}\hat{k}|=1\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(-\frac{1}{2}\right)^2}=1\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(\Rightarrow \sqrt{x^2+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=1\)
\(\Rightarrow x^2+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=1^2\) ➜Note উভয় পার্শে বর্গ করে।

\(\Rightarrow x^2+\frac{1+1}{4}=1\)
\(\Rightarrow x^2+\frac{2}{4}=1\)
\(\Rightarrow x^2+\frac{1}{2}=1\)
\(\Rightarrow x^2=1-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow x^2=\frac{2-1}{2}\)
\(\Rightarrow x^2=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow x=\pm{\sqrt{\frac{1}{2}}}\)
\(\therefore x=\pm{\frac{1}{\sqrt{2}}}\)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(\overline{P}, \ \overline{Q}, \ \overline{R}\) তিনটি ভেক্টর ।
চিত্র হতে,
\(O(0,0,0)\) এবং \(A(2,1,9)\)
\(\overline{P}=\overrightarrow{OA}\)
\(\Rightarrow \overline{P}=(2-0)\hat{i}+(1-0)\hat{j}+(9-0)\hat{k}\) ➜Note \(\because A(x_{1},y_{1},z_{1})\) এবং \(B(x_{2},y_{2},z_{2})\) হলে,
\(\overrightarrow{AB}=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}+(z_{2}-z_{1})\hat{k}\)

\(\therefore \overline{P}=2\hat{i}+\hat{j}+9\hat{k}\)
আবার, \(A(2,1,9)\) এবং \(B(4,1,8)\)
\(\overline{Q}=\overrightarrow{AB}\)
\(\Rightarrow \overline{Q}=(4-2)\hat{i}+(1-1)\hat{j}+(8-9)\hat{k}\) ➜Note \(\because A(x_{1},y_{1},z_{1})\) এবং \(B(x_{2},y_{2},z_{2})\) হলে,
\(\overrightarrow{AB}=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}+(z_{2}-z_{1})\hat{k}\)

\(\Rightarrow \overline{Q}=2\hat{i}+0\hat{j}-\hat{k}\)
\(\therefore \overline{Q}=2\hat{i}-\hat{k}\)
আবার, \(B(4,1,8)\) এবং \(C(2,3,4)\)
\(\overline{R}=\overrightarrow{BC}\)
\(\Rightarrow \overline{R}=(2-4)\hat{i}+(3-1)\hat{j}+(4-8)\hat{k}\) ➜Note \(\because A(x_{1},y_{1},z_{1})\) এবং \(B(x_{2},y_{2},z_{2})\) হলে,
\(\overrightarrow{AB}=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}+(z_{2}-z_{1})\hat{k}\)

\(\therefore \overline{R}=-2\hat{i}+2\hat{j}-4\hat{k}\)
ভেক্টর যোগের সহযোজন সূত্র হতে,
\(\overline{P}+(\overline{Q}+\overline{R})=(\overline{P}+\overline{Q})+\overline{R}\)
\(L.S=\overline{P}+(\overline{Q}+\overline{R})\)
\(=2\hat{i}+\hat{j}+9\hat{k}+(2\hat{i}-\hat{k}-2\hat{i}+2\hat{j}-4\hat{k})\) ➜Note \(\because \overline{P}=2\hat{i}+\hat{j}+9\hat{k}\)
\(\overline{Q}=2\hat{i}-\hat{k}\)
এবং \(\overline{R}=-2\hat{i}+2\hat{j}-4\hat{k}\)

\(=2\hat{i}+\hat{j}+9\hat{k}+2\hat{j}-5\hat{k}\)
\(\therefore L.S=2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}\)
আবার, \(R.S=(\overline{P}+\overline{Q})+\overline{R}\)
\(=(2\hat{i}+\hat{j}+9\hat{k}+2\hat{i}-\hat{k})-2\hat{i}+2\hat{j}-4\hat{k}\) ➜Note \(\because \overline{P}=2\hat{i}+\hat{j}+9\hat{k}\)
\(\overline{Q}=2\hat{i}-\hat{k}\)
এবং \(\overline{R}=-2\hat{i}+2\hat{j}-4\hat{k}\)

\(=4\hat{i}+\hat{j}+8\hat{k}-2\hat{i}+2\hat{j}-4\hat{k}\)
\(\therefore R.S=2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}\)
\(\therefore L.S=R.S\)
\(\therefore \overline{P}+(\overline{Q}+\overline{R})=(\overline{P}+\overline{Q})+\overline{R}\)
\(\therefore\) ভেক্টরত্রয় ভেক্টর যোগের সহযোজন সূত্র মেনে চলে।
( দেখানো হলো )
\((c)\)
চিত্র হতে,
\(O(0,0,0)\) এবং \(D(-1,x,2)\)
\(\overrightarrow{OD}=(-1-0)\hat{i}+(x-0)\hat{j}+(2-0)\hat{k}\) ➜Note \(\because A(x_{1},y_{1},z_{1})\) এবং \(B(x_{2},y_{2},z_{2})\) হলে,
\(\overrightarrow{AB}=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}+(z_{2}-z_{1})\hat{k}\)

\(\therefore \overrightarrow{OD}=-\hat{i}+x\hat{j}+2\hat{k}\)
\(\Rightarrow |\overrightarrow{OD}|=|-\hat{i}+x\hat{j}+2\hat{k}|\)
\(=\sqrt{(-1)^2+x^2+2^2}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{1+x^2+4}\)
\(=\sqrt{x^2+5}\)
\(\therefore |\overrightarrow{OD}|=\sqrt{x^2+5}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+5}=|\overrightarrow{OD}|\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+5}=9\) ➜Note দেওয়া আছে,
\(|\overrightarrow{OD}|=9\)

\(\Rightarrow x^2+5=81\) ➜Note উভয় পার্শে বর্গ করে।

\(\Rightarrow x^2=81-5\)
\(\Rightarrow x^2=76\)
\(\therefore x=\sqrt{76}\)
\(\therefore \overrightarrow{OD}=-\hat{i}+\sqrt{76}\hat{j}+2\hat{k}\)
ধরি,
\(\overline{a}=3\hat{i}+4\hat{j}-2\hat{k}\)
\(\Rightarrow |\overline{a}|=|3\hat{i}+4\hat{j}-2\hat{k}|\)
\(=\sqrt{3^2+4^2+(-2)^2}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{9+16+4}\)
\(=\sqrt{29}\)
\(\therefore |\overline{a}|=\sqrt{29}\)
এখন, \(\overrightarrow{OD}\) এবং \(\overline{a}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) হলে,
\(\theta =\cos^{-1}{\left(\frac{\overrightarrow{OD}.\overline{a}}{|\overrightarrow{OD}||\overline{a}|}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{(-\hat{i}+\sqrt{76}\hat{j}+2\hat{k}).(3\hat{i}+4\hat{j}-2\hat{k})}{9\sqrt{29}}\right)}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OD}=-\hat{i}+\sqrt{76}\hat{j}+2\hat{k}\)
\(\overline{a}=3\hat{i}+4\hat{j}-2\hat{k}\)
\(|\overrightarrow{OD}|=9\)
এবং \(|\overline{a}|=\sqrt{29}\)

\(=\cos^{-1}{\left(\frac{-1\times 3+\sqrt{76}\times 4+2\times -2}{9\sqrt{29}}\right)}\) ➜Note \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}).(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}\)

\(=\cos^{-1}{\left(\frac{-3+4\sqrt{76}-4}{9\sqrt{29}}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{+4\sqrt{76}-7}{9\sqrt{29}}\right)}\)
\(\therefore \theta=\cos^{-1}{\left(\frac{+4\sqrt{76}-7}{9\sqrt{29}}\right)}\)
ইহাই নির্ণেয় কোণ।

\((a)\)
দেওয়া আছে,
\(\overline{a}=2\hat{i}+\hat{j}+\mu\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\) পরস্পর লম্ব।
শর্তমতে, \(\overline{a}.\overline{b}=0\)
\(\Rightarrow (2\hat{i}+\hat{j}+\mu\hat{k}).(3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k})=0\) ➜Note \(\because \overline{a}=2\hat{i}+\hat{j}+\mu\hat{k}\)
এবং \(\overline{b}=3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\)

\(\Rightarrow 2\times 3+1\times -2+\mu\times 4=0\) ➜Note \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}).(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}\)

\(\Rightarrow 6-2+4\mu=0\)
\(\Rightarrow 4+4\mu=0\)
\(\Rightarrow 4\mu=-4\)
\(\therefore \mu=-1\)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(\overline{a}=2\hat{i}+\hat{j}+\mu\hat{k}, \ \overline{b}=3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}\) তিনটি ভেক্টর।
ভেক্টরত্রয় একই সমতলে অবস্থিত হবে,
যদি,
\(\overline{a}.(\overline{b}\times\overline{c})=0\) হয়।
\(\Rightarrow (2\hat{i}+\hat{j}+\mu\hat{k}).\{(3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k})\times(\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k})\}=0\) ➜Note \(\because \overline{a}=2\hat{i}+\hat{j}+\mu\hat{k}\)
\(\overline{b}=3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\)
এবং \(\overline{c}=\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}\)

\(\Rightarrow \left|\begin{array}{c}2& \ \ 1&\mu\\3&-2&4\\1&-3&5 \end{array}\right|=0\) ➜Note \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
\(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\)
\(c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k}\) হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}).\{(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})\times(c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k})\}=\left|\begin{array}{c}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\\ c_{1}&c_{2}&c_{3} \end{array}\right|\)

\(\Rightarrow 2\{-2\times 5-4\times -3\}-1\{3\times 5-4\times 1\}+\mu\{3\times -3-(-2)\times 1\}=0\)
\(\Rightarrow 2\{-10+12\}-1\{15-4\}+\mu\{-9+2\}=0\)
\(\Rightarrow 2\{2\}-1\{11\}+\mu\{-7\}=0\)
\(\Rightarrow 4-11-7\mu=0\)
\(\Rightarrow -7-7\mu=0\)
\(\Rightarrow -7\mu=7\)
\(\therefore \mu=-1\)
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(\overline{b}=3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}\)
\(\overline{b}\) এবং \(\overline{c}\) দ্বারা গঠিত সমতলের উপর লম্ব ভেক্টর,
\(=\overline{b}\times\overline{c}\)
\(=(3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k})\times(\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k})\) ➜Note \(\because \overline{b}=3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\)
এবং \(\overline{c}=\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}\)

\(=\left|\begin{array}{c}\hat{i}& \ \ \hat{j}&\hat{k}\\3&-2&4\\1&-3&5 \end{array}\right|\) ➜Note \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
\(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array}\right|\)

\(=\{-2\times 5-4\times -3\}\hat{i}-\{3\times 5-4\times 1\}\hat{j}+\{3\times -3-(-2)\times 1\}\hat{k}\)
\(=\{-10+12\}\hat{i}-\{15-4\}\hat{j}+\{-9+2\}\hat{k}\)
\(=2\hat{i}-11\hat{j}-7\hat{k}\)
\(\therefore \overline{b}\times\overline{c}=2\hat{i}-11\hat{j}-7\hat{k}\)
\(\Rightarrow |\overline{b}\times\overline{c}|=|2\hat{i}-11\hat{j}-7\hat{k}|\)
\(=\sqrt{2^2+(-11)^2+(-7)^2}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{4+121+49}\)
\(=\sqrt{174}\)
\(\therefore |\overline{b}\times\overline{c}|=\sqrt{174}\)
\(\therefore \overline{b}\) এবং \(\overline{c}\) দ্বারা গঠিত সমতলের উপর লম্ব একক ভেক্টর,
\(=\pm{\frac{\overline{b}\times\overline{c}}{|\overline{b}\times\overline{c}|}}\)
\(=\pm{\frac{2\hat{i}-11\hat{j}-7\hat{k}}{\sqrt{174}}}\) ➜Note \(\because \overline{b}\times\overline{c}=2\hat{i}-11\hat{j}-7\hat{k}\)
এবং \(|\overline{b}\times\overline{c}|=\sqrt{174}\)

\(=\pm{\frac{1}{\sqrt{174}}(2\hat{i}-11\hat{j}-7\hat{k})}\)
ইহাই নির্নেয় একক ভেক্টর।

\((a)\)
দেওয়া আছে,
\(\overline{M}=4\hat{i}+5\hat{j}+2\hat{k}\) এবং \(\overline{N}=3\hat{i}-3\hat{j}-6\hat{k}\) দুইটি ভেক্টর।
\(\overline{M}\) এবং \(\overline{N}\) এর লব্ধি ভেক্টর,
\(=\overline{M}+\overline{N}\)
\(=4\hat{i}+5\hat{j}+2\hat{k}+3\hat{i}-3\hat{j}-6\hat{k}\) ➜Note \(\because \overline{M}=4\hat{i}+5\hat{j}+2\hat{k}\)
এবং \(\overline{N}=3\hat{i}-3\hat{j}-6\hat{k}\)

\(=7\hat{i}+2\hat{j}-4\hat{k}\)
\(\therefore \overline{M}+\overline{N}=7\hat{i}+2\hat{j}-4\hat{k}\)
\(\Rightarrow |\overline{M}+\overline{N}|=|7\hat{i}+2\hat{j}-4\hat{k}|\)
\(=\sqrt{7^2+2^2+(-4)^2}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{49+4+16}\)
\(=\sqrt{69}\)
\(\therefore \) \(\overline{M}\) এবং \(\overline{N}\) এর লব্ধি ভেক্টরের মাণ \(=\sqrt{69}\)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(\overline{M}=4\hat{i}+5\hat{j}+2\hat{k}\) এবং \(\overline{N}=3\hat{i}-3\hat{j}-6\hat{k}\) দুইটি ভেক্টর।
\(\overline{M}\) এবং \(\overline{N}\) দ্বারা গঠিত সমতলের উপর লম্ব ভেক্টর,
\(=\overline{M}\times\overline{N}\)
\(=(4\hat{i}+5\hat{j}+2\hat{k})\times(3\hat{i}-3\hat{j}-6\hat{k})\) ➜Note \(\because \overline{M}=4\hat{i}+5\hat{j}+2\hat{k}\)
এবং \(\overline{N}=3\hat{i}-3\hat{j}-6\hat{k}\)

\(=\left|\begin{array}{c}\hat{i}& \ \ \hat{j}& \ \ \hat{k}\\4& \ \ 5& \ \ 2\\3&-3&-6 \end{array}\right|\) ➜Note \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
\(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array}\right|\)

\(=\{5\times -6-2\times -3\}\hat{i}-\{4\times -6-2\times 3\}\hat{j}+\{4\times -3-5\times 3\}\hat{k}\)
\(=\{-30+6\}\hat{i}-\{-24-6\}\hat{j}+\{-12-15\}\hat{k}\)
\(=-24\hat{i}+30\hat{j}-27\hat{k}\)
\(\therefore \overline{M}\times\overline{N}=-24\hat{i}+30\hat{j}-27\hat{k}\)
\(\Rightarrow |\overline{M}\times\overline{N}|=|-24\hat{i}+30\hat{j}-27\hat{k}|\)
\(=\sqrt{(-24)^2+(30)^2+(-27)^2}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{576+900+729}\)
\(=\sqrt{2205}\)
\(=\sqrt{441\times 5}\)
\(=21\sqrt{5}\)
\(\therefore |\overline{M}\times\overline{N}|=21\sqrt{5}\)
\(\therefore \overline{M}\) এবং \(\overline{N}\) দ্বারা গঠিত সমতলের উপর লম্ব একক ভেক্টর,
\(=\pm{\frac{\overline{M}\times\overline{N}}{|\overline{M}\times\overline{N}|}}\)
\(=\pm{\frac{-24\hat{i}+30\hat{j}-27\hat{k}}{21\sqrt{5}}}\) ➜Note \(\because \overline{M}\times\overline{N}=-24\hat{i}+30\hat{j}-27\hat{k}\)
এবং \(|\overline{M}\times\overline{N}|=21\sqrt{5}\)

\(=\pm{\frac{3}{21\sqrt{5}}(-8\hat{i}+10\hat{j}-9\hat{k})}\)
\(=\pm{\frac{1}{7\sqrt{5}}(-8\hat{i}+10\hat{j}-9\hat{k})}\)
ইহাই নির্নেয় একক ভেক্টর।
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(\overline{M}=4\hat{i}+5\hat{j}+2\hat{k}, \ \overline{N}=3\hat{i}-3\hat{j}-6\hat{k}\) এবং \(\overline{P}=2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\)
এখন, \(M=|\overline{M}|=|4\hat{i}+5\hat{j}+2\hat{k}|\)
\(=\sqrt{4^2+5^2+2^2}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{16+25+4}\)
\(=\sqrt{45}\)
\(\therefore M=\sqrt{45}\)
আবার, \(N=|\overline{N}|=|3\hat{i}-3\hat{j}-6\hat{k}|\)
\(=\sqrt{3^2+(-3)^2+(-6)^2}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{9+9+36}\)
\(=\sqrt{54}\)
\(\therefore N=\sqrt{54}\)
আবার, \(P=|\overline{P}|=|2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}|\)
\(=\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{4+4+1}\)
\(=\sqrt{9}\)
\(=3\)
\(\therefore P=3\)
এখন, \(M^2+P^2=(\sqrt{45})^2+3^2\) ➜Note \(\because M=\sqrt{45}\)
এবং \(P=3\)

\(=45+9\)
\(=54\)
\(=(\sqrt{54})^2\)
\(=N^2\)
\(\therefore M^2+P^2=N^2\)
\(\therefore \) ভেক্টর তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে।
( দেখানো হলো )

\((a)\)
দুইটি ভেক্টর রাশির গুণফল যদি একটি ভেক্টর রাশি হয় তাহলে এ ধরনের গুণফলকে ভেক্টর গুণন বা ক্রস গুণন বলা হয়। এ গুণফলের মাণ রাশি দুইটির মাণ ও এদের মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতর কোণের সাইন (sine) এর গুণফলের সমান। ভেক্টর গুণফলের দিক হবে প্রদত্ত ভেক্টরদ্বয়ের সমতলে লম্বভাবে স্থাপিত একটি ডানহাতি স্ক্রকে প্রথম ভেক্টর থেকে দ্বিতীয় ভেক্টরের দিকে ক্ষুদ্রতর কোণে ঘুরালে স্ক্রটি যে দিকে অগ্রসর হয় সেদিকে।
\(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর ভেক্টর গুণজ \(\overline{a}\times{\overline{b}}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
\(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) দুইটি ভেক্টর রাশির মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) হলে, সংজ্ঞানুসারে ভেক্টর গুণফল হবে,
\(\overline{a}\times{\overline{b}}=ab\sin{\theta} \ \hat{n}\)
\(\hat{n}\) একটি একক ভেক্টর যা \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) ভেক্টরদ্বয়ের সমতলের উপর লম্ব।
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(\overline{P}=2\hat{i}-6\hat{j}-3\hat{k}\) এবং \(\overline{Q}=a\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}\) দুইটি ভেক্টর।
\(\overline{P}\) এবং \(\overline{Q}\) ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে,
যদি,
\(\overline{P}.\overline{Q}=0\) হয়।
\(\Rightarrow (2\hat{i}-6\hat{j}-3\hat{k}).(a\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k})=0\) ➜Note \(\because \overline{P}=2\hat{i}-6\hat{j}-3\hat{k}\)
এবং \(\overline{Q}=a\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}\)

\(\Rightarrow 2\times a+(-6)\times 3+(-3)\times -1=0\) ➜Note \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}).(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}\)

\(\Rightarrow 2a-18+3=0\)
\(\Rightarrow 2a-15=0\)
\(\Rightarrow 2a=15\)
\(\therefore a=\frac{15}{2}\)
সুতরাং, \(\overline{Q}=\frac{15}{2}\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}\)
\(\Rightarrow |\overline{Q}|=|\frac{15}{2}\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}|\)
\(=\sqrt{\left(\frac{15}{2}\right)^2+3^2+(-1)^2}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{\frac{225}{4}+9+1}\)
\(=\sqrt{\frac{225}{4}+10}\)
\(=\sqrt{\frac{225+40}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{265}{4}}\)
\(=\frac{\sqrt{265}}{2}\)
\(\therefore |\overline{Q}|=\frac{\sqrt{265}}{2}\)
\(\therefore \overline{Q}\) ভেক্টর বরাবর একক ভেক্টর,
\(=\frac{\overline{Q}}{|\overline{Q}|}\)
\(=\frac{\frac{15}{2}\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}}{\frac{\sqrt{265}}{2}}\) ➜Note \(\because \overline{Q}=\frac{15}{2}\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}\)
এবং \(|\overline{Q}|=\frac{\sqrt{265}}{2}\)

\(=\frac{\frac{15}{2}}{\frac{\sqrt{265}}{2}}\hat{i}+\frac{3}{\frac{\sqrt{265}}{2}}\hat{j}-\frac{1}{\frac{\sqrt{265}}{2}}\hat{k}\)
\(=\frac{15}{2}\times\frac{2}{\sqrt{265}}\hat{i}+3\times\frac{2}{\sqrt{265}}\hat{j}-\frac{2}{\sqrt{265}}\hat{k}\)
\(=\frac{15}{\sqrt{265}}\hat{i}+\frac{6}{\sqrt{265}}\hat{j}-\frac{2}{\sqrt{265}}\hat{k}\)
ধরি,
\(\overline{Q}\) ভেক্টরটি \(x\) অক্ষের সাথে \(\alpha\) কোণ উৎপন্ন করে।
তাহলে, \(\cos{\alpha}=\frac{15}{\sqrt{265}}\) ➜Note \(\cos{\alpha}=\overline{Q}\) বরাবর একক ভেক্টরে \(\hat{i}\) এর সহগ।

\(\alpha=\cos^{-1}{\left(\frac{15}{\sqrt{265}}\right)}\)
ইহাই নির্ণেয় কোণ।
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(\overline{P}=2\hat{i}-6\hat{j}-3\hat{k}\) এবং \(\overline{Q}=a\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}\) দুইটি ভেক্টর।
এখন, \(a=4\) হলে
\(\therefore \overline{Q}=4\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}\)
\(\overline{P}\) এবং \(\overline{Q}\) দ্বারা গঠিত সমতলের উপর লম্ব ভেক্টর,
\(=\overline{P}\times\overline{Q}\)
\(=(2\hat{i}-6\hat{j}-3\hat{k})\times(4\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k})\) ➜Note \(\because \overline{P}=2\hat{i}-6\hat{j}-3\hat{k}\)
এবং \(\overline{Q}=4\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}\)

\(=\left|\begin{array}{c}\hat{i}& \ \ \hat{j}& \ \ \hat{k}\\2&-6&-3\\4& \ \ 3&-1 \end{array}\right|\) ➜Note \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
\(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array}\right|\)

\(=\{-6\times -1-(-3)\times 3\}\hat{i}-\{2\times -1-(-3)\times 4\}\hat{j}+\{2\times 3-(-6)\times 4\}\hat{k}\)
\(=\{6+9\}\hat{i}-\{-2+12\}\hat{j}+\{6+24\}\hat{k}\)
\(=15\hat{i}-10\hat{j}+30\hat{k}\)
\(\therefore \overline{P}\times\overline{Q}=15\hat{i}-10\hat{j}+30\hat{k}\)
\(\Rightarrow |\overline{P}\times\overline{Q}|=|15\hat{i}-10\hat{j}+30\hat{k}|\)
\(=\sqrt{(15)^2+(-10)^2+(30)^2}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{225+100+900}\)
\(=\sqrt{1225}\)
\(=35\)
\(\therefore |\overline{P}\times\overline{Q}|=35\)
\(\overline{P}\) এবং \(\overline{Q}\) দ্বারা গঠিত সমতলের উপর লম্ব একক ভেক্টর,
\(=\pm{\frac{\overline{P}\times\overline{Q}}{|\overline{P}\times\overline{Q}|}}\)
\(=\pm{\frac{15\hat{i}-10\hat{j}+30\hat{k}}{35}}\) ➜Note \(\because \overline{P}\times\overline{Q}=15\hat{i}-10\hat{j}+30\hat{k}\)
এবং \(|\overline{P}\times\overline{Q}|=35\)

\(=\pm{\frac{1}{35}(15\hat{i}-10\hat{j}+30\hat{k})}\)
\(=\pm{\frac{1}{35}5(3\hat{i}-2\hat{j}+6\hat{k})}\)
\(=\pm{\frac{1}{7}(3\hat{i}-2\hat{j}+6\hat{k})}\)
ইহাই নির্নেয় একক ভেক্টর।

\((a)\)
দেওয়া আছে,
\(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\) দুইটি অসমান্তরাল ভেক্টর।
এখানে, \(\overline{a}\) এবং \(\overline{b}\) উভয়ের আদি বিন্দু \(O\) এবং প্রান্ত বিন্দু যথাক্রমে \(A\) ও \(B\)
এখন, \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}\) ➜Note \(\triangle{OAB}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}=\overline{b}-\overline{a}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OB}=\overline{b}\)
এবং \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\)

( দেখানো হলো )
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(S, \ QR\) বাহুর মধ্যবিন্দু। \(P, \ S\) যোগ করি।
এখন, \(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PS}+\overrightarrow{SQ}\) ➜Note \(\triangle{PQS}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PS}+\overrightarrow{SQ}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{PQ}.\overrightarrow{PQ}=(\overrightarrow{PS}+\overrightarrow{SQ}).(\overrightarrow{PS}+\overrightarrow{SQ})\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{PQ}.\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PS}.\overrightarrow{PS}+\overrightarrow{PS}.\overrightarrow{SQ}+\overrightarrow{SQ}.\overrightarrow{PS}+\overrightarrow{SQ}.\overrightarrow{SQ})\)
\(\Rightarrow PQ^2=PS^2+SQ^2+\overrightarrow{PS}.\overrightarrow{SQ}+\overrightarrow{SQ}.\overrightarrow{PS}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{PQ}.\overrightarrow{PQ}=PQ^2\)
\(\overrightarrow{PS}.\overrightarrow{PS}=PS^2\)
এবং \(\overrightarrow{SQ}.\overrightarrow{SQ}=SQ^2\)

\(\therefore PQ^2=PS^2+SQ^2+2\overrightarrow{PS}.\overrightarrow{SQ} ........(1)\) ➜Note \(\because \overrightarrow{PS}.\overrightarrow{SQ}=\overrightarrow{SQ}.\overrightarrow{PS}\)

আবার, \(\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{PS}+\overrightarrow{SR}\) ➜Note \(\triangle{PRS}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{PS}+\overrightarrow{SR}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{PR}.\overrightarrow{PR}=(\overrightarrow{PS}+\overrightarrow{SR}).(\overrightarrow{PS}+\overrightarrow{SR})\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{PR}.\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{PS}.\overrightarrow{PS}+\overrightarrow{PS}.\overrightarrow{SR}+\overrightarrow{SR}.\overrightarrow{PS}+\overrightarrow{SR}.\overrightarrow{SR})\)
\(\Rightarrow PR^2=PS^2+SR^2+\overrightarrow{PS}.\overrightarrow{SR}+\overrightarrow{SR}.\overrightarrow{PS}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{PR}.\overrightarrow{PR}=PR^2\)
\(\overrightarrow{PS}.\overrightarrow{PS}=PS^2\)
এবং \(\overrightarrow{SR}.\overrightarrow{SR}=SR^2\)

\(\therefore PR^2=PS^2+SR^2+2\overrightarrow{PS}.\overrightarrow{SR} ........(2)\) ➜Note \(\because \overrightarrow{PS}.\overrightarrow{SR}=\overrightarrow{SR}.\overrightarrow{PS}\)

\((1)\) ও \((2)\) যোগ করে।
\(PQ^2+PR^2=PS^2+SQ^2+2\overrightarrow{PS}.\overrightarrow{SQ}+PS^2+SR^2+2\overrightarrow{PS}.\overrightarrow{SR}\)
\(\Rightarrow PQ^2+PR^2=2PS^2+SQ^2+SR^2+2\overrightarrow{PS}.(\overrightarrow{SQ}+\overrightarrow{SR})\)
\(\Rightarrow PQ^2+PR^2=2PS^2+2SQ^2+2\overrightarrow{PS}.0\) ➜Note \(\because SR^2=SQ^2\)
এবং \(\overrightarrow{SQ}+\overrightarrow{SR}=0\)

\(\Rightarrow PQ^2+PR^2=2PS^2+2SQ^2+0\)
\(\therefore PQ^2+PR^2=2(PS^2+QS^2)\)
( প্রমাণিত )
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(PQR\) ত্রিভুজে \(S, \ T\) এবং \(U\) যথাক্রমে \(QR, \ RP\) এবং \(PQ\) এর মধ্যবিন্দু।
\(P, \ S; \ Q, \ T; \ R, \ U\) যোগ করি।
এখন, \(QR\) এর মধ্যবিন্দু \(S\)
\(\therefore 2\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{PR} .....(1)\) ➜Note \(\because \triangle{ABC}\) এ \(BC\) এর মধ্যবিন্দু \(D\) হলে,
\(2\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\) হয়।

আবার, \(PR\) এর মধ্যবিন্দু \(T\)
\(\therefore 2\overrightarrow{QT}=\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{QR} .....(2)\) ➜Note \(\because \triangle{ABC}\) এ \(BC\) এর মধ্যবিন্দু \(D\) হলে,
\(2\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\) হয়।

আবার, \(PQ\) এর মধ্যবিন্দু \(U\)
\(\therefore 2\overrightarrow{RU}=\overrightarrow{RP}+\overrightarrow{RQ} .....(3)\) ➜Note \(\because \triangle{ABC}\) এ \(BC\) এর মধ্যবিন্দু \(D\) হলে,
\(2\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\) হয়।

\((1), \ (2)\) ও \((3)\) যোগ করে।
\(2\overrightarrow{PS}+2\overrightarrow{QT}+2\overrightarrow{RU}=\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{PR}+\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{QR}+\overrightarrow{RP}+\overrightarrow{RQ}\)
\(\Rightarrow 2(\overrightarrow{PS}+\overrightarrow{QT}+\overrightarrow{RU})=(\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QP})+(\overrightarrow{PR}+\overrightarrow{RP})+(\overrightarrow{RQ}+\overrightarrow{QR})\)
\(\Rightarrow 2(\overrightarrow{PS}+\overrightarrow{QT}+\overrightarrow{RU})=0+0+0\) ➜Note \(\because \overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QP}=0\)
\(\overrightarrow{PR}+\overrightarrow{RP}=0\)
এবং \(\overrightarrow{RQ}+\overrightarrow{QR}=0\)

\(\Rightarrow 2(\overrightarrow{PS}+\overrightarrow{QT}+\overrightarrow{RU})=0\)
\(\therefore \overrightarrow{PS}+\overrightarrow{QT}+\overrightarrow{RU}=0\)
( দেখানো হলো )

\((a)\)
ধরি,
\((2,-1,2)\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{a}=2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\)
\((5,1,4)\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{b}=5\hat{i}+\hat{j}+4\hat{k}\)
এখন প্রদত্ত বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ \(\overline{r}=\overline{a}+t(\overline{b}-\overline{a})\) যেখানে \(t\) একটি প্যারামিটার।
\(=\overline{a}+t\overline{b}-t\overline{a}\)
\(=(1-t)\overline{a}+t\overline{b}\)
\(=(1-t)(2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k})+t(5\hat{i}+\hat{j}+4\hat{k})\) ➜Note \(\because \overline{a}=2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\)
এবং \(\overline{b}=5\hat{i}+\hat{j}+4\hat{k}\)

\(=2(1-t)\hat{i}-(1-t)\hat{j}+2(1-t)\hat{k}+5t\hat{i}+t\hat{j}+4t\hat{k}\)
\(=(2-2t)\hat{i}+(-1+t)\hat{j}+(2-2t)\hat{k}+5t\hat{i}+t\hat{j}+4t\hat{k}\)
\(=(2-2t+5t)\hat{i}+(-1+t+t)\hat{j}+(2-2t+4t)\hat{k}\)
\(=(2+3t)\hat{i}+(-1+2t)\hat{j}+(2+2t)\hat{k}\)
\(\therefore \overline{r}=(2+3t)\hat{i}+(-1+2t)\hat{j}+(2+2t)\hat{k}\)
ইহাই নির্ণেয় ভেক্টর সমীকরণ।
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(\overline{F}=2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\) মাণের বল \((2,-1,2)\) বিন্দুতে কোনো একটি কণার উপর প্রয়োগ করায় কণাটির শেষ অবস্থান \((5,1,4)\) হলো।
ধরি,
\(A(2,-1,2)), \ B(5,1,4))\)
\(\overline{b}=\overrightarrow{AB}=(5-2)\hat{i}+(1+1)\hat{j}+(4-2)\hat{k}\) ➜Note \(\because A(x_{1},y_{1},z_{1})\) এবং \(B(x_{2},y_{2},z_{2})\) হলে,
\(\overrightarrow{AB}=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}+(z_{2}-z_{1})\hat{k}\)

\(=3\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}\)
\(\therefore \overline{b}=3\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}\)
কাজ, \(W=F.\overline{b}\)
\(=(2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}).(3\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k})\) ➜Note \(\because F=2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\)
\(\overline{b}=3\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}\)

\(=2\times 3+(-2)\times 2+1\times 2\) ➜Note \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}).(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}\)

\(=6-4+2\)
\(=8-4\)
\(=4\)
\(\therefore\) কাজ \(=4\) জুল।
\((c)\)
ধরি,
\(\overline{F}=2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\) বলটি \(A(2,-1,2)\) বিন্দুতে \(AB\) বরাবর ক্রিয়ারত এবং ঘুর্ণন কেন্দ্র \(C(2,3,2)\)
\(\overrightarrow{CA}=(2-2)\hat{i}+(-1-3)\hat{j}+(2-2)\hat{k}\) ➜Note \(\because A(x_{1},y_{1},z_{1})\) এবং \(B(x_{2},y_{2},z_{2})\) হলে,
\(\overrightarrow{AB}=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}+(z_{2}-z_{1})\hat{k}\)

\(=0\hat{i}-4\hat{j}+0\hat{k}\)
\(=-4\hat{j}\)
\(\therefore \overrightarrow{CA}=-4\hat{j}\)
বলের ভ্রামকের মাণ \(=|\overrightarrow{CA}\times\overline{F}|\) একক।
এখন, \(\overrightarrow{CA}\times\overline{F}=(-4\hat{j})\times(2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k})\) ➜Note \(\because \overrightarrow{CA}=-4\hat{j}\)
এবং \(\overline{F}=2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\)

\(=\left|\begin{array}{c}\hat{i}& \ \ \hat{j}&\hat{k}\\0&-4&0\\2&-2&1 \end{array}\right|\) ➜Note \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
\(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array}\right|\)

\(=\{-4\times 1-0\times -2\}\hat{i}-\{0\times 1-0\times 2\}\hat{j}+\{0\times -2-(-4)\times 2\}\hat{k}\)
\(=\{-4+0\}\hat{i}-\{0-0\}\hat{j}+\{0+8\}\hat{k}\)
\(=-4\hat{i}-0\hat{j}+8\hat{k}\)
\(=-4\hat{i}+8\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{CA}\times\overline{F}=-4\hat{i}+8\hat{k}\)
বলের ভ্রামকের মাণ \(=|-4\hat{i}+8\hat{k}|\)
\(=\sqrt{(-4)^2+0^2+8^2}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{16+0+64}\)
\(=\sqrt{80}\)
\(=\sqrt{16\times 5}\)
\(=4\sqrt{5}\)
\(\therefore \) বলের ভ্রামকের মাণ \(=4\sqrt{5}\) একক।

\((a)\)
দেওয়া আছে,
\(A\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{A}=2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\)
\(C\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{C}=5\hat{i}+\hat{j}+4\hat{k}\)
এখন, \(|\overline{A}+\overline{C}|=|2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}+5\hat{i}+\hat{j}+4\hat{k}|\) ➜Note \(\because \overline{A}=2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\)
এবং \(\overline{C}=5\hat{i}+\hat{j}+4\hat{k}\)

\(=|7\hat{i}+6\hat{k}|\)
\(=\sqrt{7^2+0^2+6^2}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{49+0+36}\)
\(=\sqrt{85}\)
\(\therefore |\overline{A}+\overline{C}|=\sqrt{85}\)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(\overline{F}=2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\)
\(A\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{A}=2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\)
\(B\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{B}=3\hat{i}+2\hat{j}+z\hat{k}\)
\(\overrightarrow{AB}=\overline{B}-\overline{A}\) ➜Note \(P\) এবং \(Q)\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর,
যথাক্রমে \(\overline{p}\) এবং \(\overline{q})\) হলে,
\(\overrightarrow{PQ}=\overline{q}-\overline{p}\) হয়।

\(=3\hat{i}+2\hat{j}+z\hat{k}-2\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}\) ➜Note \(\because \overline{B}=3\hat{i}+2\hat{j}+z\hat{k}\)
এবং \(\overline{A}=2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\)

\(=\hat{i}+3\hat{j}+(z-2)\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}=\hat{i}+3\hat{j}+(z-2)\hat{k}\)
\(\overrightarrow{AB}\) বরাবর বস্তুটির সরণ \(=\overrightarrow{AB}\) বরাবর \(\overline{F}\) বলের লম্ব অভিক্ষেপ।
\(=\frac{\overrightarrow{AB}.\overline{F}}{|\overrightarrow{AB}|}\)
\(=\frac{(\hat{i}+3\hat{j}+(z-2)\hat{k}).(2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k})}{|\hat{i}+3\hat{j}+(z-2)\hat{k}|}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AB}=\hat{i}+3\hat{j}+(z-2)\hat{k}\)
এবং \(\overline{F}=2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\)

\(=\frac{1\times 2+3\times -2+(z-2)\times 1}{\sqrt{1^2+3^2+(z-2)^2}}\) ➜Note \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}).(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}\)
আবার, \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\frac{2-6+z-2}{\sqrt{1+9+(z-2)^2}}\)
\(=\frac{z-6}{\sqrt{1+9+(z-2)^2}}\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}\) বরাবর বস্তুটির সরণ \(=\frac{z-6}{\sqrt{1+9+(z-2)^2}}\)
শর্তমতে, \(\frac{z-6}{\sqrt{1+9+(z-2)^2}}=0\)
\(\Rightarrow z-6=0\)
\(\therefore z=6\)
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(\overline{F}=2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\)
\(A\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{A}=2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\)
\(C\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{C}=5\hat{i}+\hat{j}+4\hat{k}\)
\(\overrightarrow{CA}=\overline{A}-\overline{C}\) ➜Note \(P\) এবং \(Q)\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর,
যথাক্রমে \(\overline{p}\) এবং \(\overline{q})\) হলে,
\(\overrightarrow{PQ}=\overline{q}-\overline{p}\) হয়।

\(=2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}-5\hat{i}-\hat{j}-4\hat{k}\) ➜Note \(\because \overline{A}=2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\)
এবং \(\overline{C}=5\hat{i}+\hat{j}+4\hat{k}\)

\(=-3\hat{i}-2\hat{j}-2\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{CA}=-3\hat{i}-2\hat{j}-2\hat{k}\)
\(C\) বিন্দু সাপেক্ষে \(\overline{F}\) বলের ভ্রামক \(=\overrightarrow{CA}\times\overline{F}\)
\(=(-3\hat{i}-2\hat{j}-2\hat{k})\times(2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k})\) ➜Note \(\because \overrightarrow{CA}=-3\hat{i}-2\hat{j}-2\hat{k}\)
এবং \(\overline{F}=2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\)

\(=\left|\begin{array}{c} \ \ \hat{i}& \ \ \hat{j}& \ \ \hat{k}\\-3&-2&-2\\ \ \ 2&-2& \ \ 1 \end{array}\right|\) ➜Note \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
\(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array}\right|\)

\(=\{-2\times 1-(-2)\times -2\}\hat{i}-\{-3\times 1-(-2)\times 2\}\hat{j}+\{-3\times -2-(-2)\times 2\}\hat{k}\)
\(=\{-2-4\}\hat{i}-\{-3+4\}\hat{j}+\{6+4\}\hat{k}\)
\(=-6\hat{i}-\hat{j}+10\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{CA}\times\overline{F}=-6\hat{i}-\hat{j}+10\hat{k}\)
বলের ভ্রামকের মাণ \(=|-6\hat{i}-\hat{j}+10\hat{k}|\) ➜Note \(\because \overrightarrow{CA}\times\overline{F}=-6\hat{i}-\hat{j}+10\hat{k}\)

\(=\sqrt{(-6)^2+(-1)^2+(10)^2}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{36+1+100}\)
\(=\sqrt{137}\)
\(\therefore \) নির্ণেয় ভ্রামকের মাণ \(=\sqrt{137}\)

\((a)\)
দেওয়া আছে,
\(\overline{B}=4\hat{i}+7\hat{j}-2\hat{k}\)
\(\Rightarrow |\overline{B}|=|4\hat{i}+7\hat{j}-2\hat{k}|\)
\(=\sqrt{4^2+7^2+(-2)^2}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{16+49+4}\)
\(=\sqrt{69}\)
\(\therefore |\overline{B}|=\sqrt{69}\)
\(\overline{B}\) বরাবর একক ভেক্টর,
\(=\frac{\overline{B}}{|\overline{B}|}\)
\(=\frac{4\hat{i}+7\hat{j}-2\hat{k}}{\sqrt{69}}\) ➜Note \(\because \overline{B}=4\hat{i}+7\hat{j}-2\hat{k}\)
এবং \(|\overline{B}|=\sqrt{69}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{69}}(4\hat{i}+7\hat{j}-2\hat{k})\)
ইহাই নির্ণেয় একক ভেক্টর।
\((b)\)
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয় \(\overrightarrow{QP}=\hat{i}-\hat{j}-3\hat{k}\) এবং \(\overrightarrow{QR}=2\hat{i}+\hat{j}-5\hat{k}\)
এখন, \(\overrightarrow{QP}\times\overrightarrow{QR}=(\hat{i}-\hat{j}-3\hat{k})\times(2\hat{i}+\hat{j}-5\hat{k})\)
\(=\left|\begin{array}{c}\hat{i}& \ \ \hat{j}& \ \ \hat{k}\\1&-1&-3\\2& \ \ 1&-5 \end{array}\right|\) ➜Note \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
\(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array}\right|\)

\(=\{-1\times -5-(-3)\times 1\}\hat{i}-\{1\times -5-(-3)\times 2\}\hat{j}+\{1\times 1-(-1)\times 2\}\hat{k}\)
\(=\{5+3\}\hat{i}-\{-5+6\}\hat{j}+\{1+2\}\hat{k}\)
\(=8\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{QP}\times\overrightarrow{QR}=8\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}\)
\(\Rightarrow |\overrightarrow{QP}\times\overrightarrow{QR}|=|8\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}|\)
\(=\sqrt{8^2+(-1)^2+3^2}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{64+1+9}\)
\(=\sqrt{74}\)
\(\therefore |\overrightarrow{QP}\times\overrightarrow{QR}|=\sqrt{74}\)
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল \(=|\overrightarrow{QP}\times\overrightarrow{QR}|\)
\(=\sqrt{74}\) বর্গ একক।
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(\overline{B}=4\hat{i}+7\hat{j}-2\hat{k}\) এবং \(\overrightarrow{QR}=2\hat{i}+\hat{j}-5\hat{k}\)
\(\overline{B}\) এবং \(\overrightarrow{QR}\) উভয় ভেক্টরের উপর লম্ব ভেক্টর,
\(=\overline{B}\times\overrightarrow{QR}\)
\(=(4\hat{i}+7\hat{j}-2\hat{k})\times(2\hat{i}+\hat{j}-5\hat{k})\) ➜Note \(\because \overline{B}=4\hat{i}+7\hat{j}-2\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{QR}=2\hat{i}+\hat{j}-5\hat{k}\)

\(=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}& \ \ \hat{k}\\4&7&-2\\2&1&-5 \end{array}\right|\) ➜Note \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
\(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array}\right|\)

\(=\{7\times -5-(-2)\times 1\}\hat{i}-\{4\times -5-(-2)\times 2\}\hat{j}+\{4\times 1-7\times 2\}\hat{k}\)
\(=\{-35+2\}\hat{i}-\{-20+4\}\hat{j}+\{4-14\}\hat{k}\)
\(=-33\hat{i}+16\hat{j}-10\hat{k}\)
\(\therefore \overline{B}\times\overrightarrow{QR}=-33\hat{i}+16\hat{j}-10\hat{k}\)
\(\Rightarrow |\overline{B}\times\overrightarrow{QR}|=|-33\hat{i}+16\hat{j}-10\hat{k}|\)
\(=\sqrt{(-33)^2+(16)^2+(-10)^2}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{1089+256+100}\)
\(=\sqrt{1445}\)
\(=\sqrt{289\times 5}\)
\(=17\sqrt{5}\)
\(\therefore |\overline{B}\times\overrightarrow{QR}|=17\sqrt{5}\)
নির্ণেয় লম্ব একক ভেক্টর \(=\pm{\frac{\overline{B}\times\overrightarrow{QR}}{|\overline{B}\times\overrightarrow{QR}|}}\)
\(=\frac{-33\hat{i}+16\hat{j}-10\hat{k}}{17\sqrt{5}}\) ➜Note \(\because \overline{B}\times\overrightarrow{QR}=-33\hat{i}+16\hat{j}-10\hat{k}\)
এবং \(|\overline{B}\times\overrightarrow{QR}|=17\sqrt{5}\)

\(=\pm{\frac{1}{17\sqrt{5}}(-33\hat{i}+16\hat{j}-10\hat{k})}\)

\((a)\)
দেওয়া আছে,
\(\overline{r_{1}}=4\hat{i}+3\hat{j}-5\hat{k}+\lambda(\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k})\) এবং \(\overline{r_{2}}=9\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}+\mu(4\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})\)
দিক নির্দেশক ভেক্টর হতে,
\(\overline{a}=\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k}\)
এবং \(\overline{b}=4\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\)
এখন, \(\overline{a}.\overline{b}=(\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k}).(4\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})\)
\(\overline{a}.\overline{b}=(\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k}).(4\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})\)
\(=1\times 4+(-2)\times 1+2\times -1\) ➜Note \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}).(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}\)

\(=4-2-2\)
\(=4-4\)
\(=0\)
\(\therefore \overline{a}.\overline{b}=0\)
সুতরাং, সাবমেরিনদ্বয়ের গতিপথ পরস্পর লম্ব।
( দেখানো হলো )
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(\overline{r_{1}}=3\hat{i}+4\hat{j}-5\hat{k}+\lambda(\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k})\) এবং \(\overline{r_{2}}=9\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}+\mu(4\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})\)
\(\Rightarrow \overline{r_{1}}=3\hat{i}+4\hat{j}-5\hat{k}+\lambda\hat{i}-2\lambda\hat{j}+2\lambda\hat{k}\)
এবং \(\overline{r_{2}}=9\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}+4\mu\hat{i}+\mu\hat{j}-\mu\hat{k}\)
\(\therefore \overline{r_{1}}=(3+\lambda)\hat{i}+(4-2\lambda)\hat{j}+(2\lambda-5)\hat{k}\)
এবং \(\overline{r_{2}}=(9+4\mu)\hat{i}+(1+\mu)\hat{j}-(2+\mu)\hat{k}\)
ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্কের ক্ষেত্রে,
\(\overline{r_{1}}=\overline{r_{2}}\)
\(\Rightarrow (3+\lambda)\hat{i}+(4-2\lambda)\hat{j}+(2\lambda-5)\hat{k}=(9+4\mu)\hat{i}+(1+\mu)\hat{j}-(2+\mu)\hat{k} .........(1)\) ➜Note \(\because \overline{r_{1}}=(3+\lambda)\hat{i}+(4-2\lambda)\hat{j}+(2\lambda-5)\hat{k}\)
এবং \(\overline{r_{2}}=(9+4\mu)\hat{i}+(1+\mu)\hat{j}-(2+\mu)\hat{k}\)

\(\Rightarrow 3+\lambda=9+4\mu, \ 4-2\lambda=1+\mu, \ 2\lambda-5=-2-\mu\) ➜Note উভয় পার্শ হতে,
\(\hat{i}, \ \hat{j}, \ \hat{k}\) এর সহগ সমীকৃত করে।

\(\Rightarrow 3+\lambda=9+4\mu ......(2), \ 2\lambda-5=-2-\mu .......(3)\) ➜Note প্রথম ও শেষ সমীকরণদ্বয় ব্যবহার করে।

\(\Rightarrow 3+\lambda+8\lambda-20=9+4\mu-8-4\mu\) ➜Note \((2)+(3)\times 4\) এর সাহায্যে

\(\Rightarrow 9\lambda-17=1\)
\(\Rightarrow 9\lambda=17+1\)
\(\Rightarrow 9\lambda=18\)
\(\therefore \lambda=2\)
এখন, \(\overline{r_{1}}\) এ \(\lambda\) এর মাণ বসিয়ে।
\(3\hat{i}+4\hat{j}-5\hat{k}+2(\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k})\)
\(\Rightarrow 3\hat{i}+4\hat{j}-5\hat{k}+2\hat{i}-4\hat{j}+4\hat{k}\)
\(\therefore 5\hat{i}-\hat{k}\) যা, \(A\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর।
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(L\) ও \(M\) এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(2\hat{i}-3\hat{j}+3\hat{k}\) এবং \(5\hat{i}+\hat{j}+c\hat{k}, \ c\) একটি ধ্রুবক।
\(\therefore L\) এর অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OL}=\overline{l}=2\hat{i}-3\hat{j}+3\hat{k}\)
\(M\) এর অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OM}=\overline{m}=5\hat{i}+\hat{j}+c\hat{k}\)
ধরি,
\(N\) এর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{n}=a\hat{i}+b\hat{j}+d\hat{k}\)
এখন, \(\overrightarrow{LM}=\overline{m}-\overline{l}\) ➜Note \(A\) এর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{a}\)
এবং \(B\) এর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{b}\) হলে,
\(\overrightarrow{AB}=\overline{b}-\overline{a}\) হয়।

\(=5\hat{i}+\hat{j}+c\hat{k}-2\hat{i}+3\hat{j}-3\hat{k}\) ➜Note \(\because \overline{m}=5\hat{i}+\hat{j}+c\hat{k}\)
এবং \(\overline{l}=2\hat{i}-3\hat{j}+3\hat{k}\)

\(\therefore \overrightarrow{LM}=3\hat{i}+4\hat{j}+(c-3)\hat{k}\)
যেহেতু \(OLMN\) একটি আয়তক্ষেত্র,
অতএব, \(OL\perp LM\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{OL}.\overrightarrow{LM}=0\)
\(\Rightarrow (2\hat{i}-3\hat{j}+3\hat{k}).(3\hat{i}+4\hat{j}+(c-3)\hat{k})=0\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OL}=2\hat{i}-3\hat{j}+3\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{LM}=3\hat{i}+4\hat{j}+(c-3)\hat{k}\)

\(\Rightarrow 2\times 3+(-3)\times 4+3\times (c-3)=0\) ➜Note \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}).(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}\)

\(\Rightarrow 6-12+3c-9=0\)
\(\Rightarrow 3c-21+6=0\)
\(\Rightarrow 3c-15=0\)
\(\Rightarrow 3c=15\)
\(\therefore c=5\)
\(\therefore \overrightarrow{OM}=\overline{m}=5\hat{i}+\hat{j}+5\hat{k}\)
\(\overrightarrow{OM}\) কর্ণের মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর,
\(=\frac{\overline{0}+\overline{m}}{2}\) ➜Note \(\because A\) এর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{a}\)
এবং \(B\) এর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{b}\) হলে,
\(\overrightarrow{AB}\) এর মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর,
\(=\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}\)

\(=\frac{0+5\hat{i}+\hat{j}+5\hat{k}}{2}\) ➜Note \(\because \overline{0}=0\) এবং \(\overline{m}=5\hat{i}+\hat{j}+5\hat{k}\)

\(=\frac{5\hat{i}+\hat{j}+5\hat{k}}{2}\)
\(=\frac{5}{2}\hat{i}+\frac{1}{2}\hat{j}+\frac{5}{2}\hat{k}\)
আবার, \(\overrightarrow{LN}\) কর্ণের মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর,
\(=\frac{\overline{l}+\overline{n}}{2}\) ➜Note \(\because A\) এর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{a}\)
এবং \(B\) এর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{b}\) হলে,
\(\overrightarrow{AB}\) এর মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর,
\(=\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}\)

\(=\frac{2\hat{i}-3\hat{j}+3\hat{k}+a\hat{i}+b\hat{j}+d\hat{k}}{2}\) ➜Note \(\because \overline{l}=2\hat{i}-3\hat{j}+3\hat{k}\) এবং \(\overline{n}=a\hat{i}+b\hat{j}+d\hat{k}\)

\(=\frac{(2+a)\hat{i}-(3-b)\hat{j}+(3+d)\hat{k}}{2}\)
\(=\frac{2+a}{2}\hat{i}-\frac{3-b}{2}\hat{j}+\frac{3+d}{2}\hat{k}\)
যেহেতু সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে,
অতএব কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর সমান হবে।
\(\therefore \frac{2+a}{2}\hat{i}-\frac{3-b}{2}\hat{j}+\frac{3+d}{2}\hat{k}=\frac{5}{2}\hat{i}+\frac{1}{2}\hat{j}+\frac{5}{2}\hat{k}\)
\(\Rightarrow \frac{2+a}{2}=\frac{5}{2}, \ -\frac{3-b}{2}=\frac{1}{2}, \ \frac{3+d}{2}=\frac{5}{2}\) ➜Note উভয় পার্শ হতে,
\(\hat{i}, \ \hat{j}, \ \hat{k}\) এর সহগ সমীকৃত করে।

\(\Rightarrow 2+a=5, \ -3+b=1, \ 3+d=5\)
\(\Rightarrow a=5-2, \ b=1+3, \ d=5-3\)
\(\therefore a=3, \ b=4, \ d=2\)
\(\therefore N\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর,
\(\overline{n}=3\hat{i}+4\hat{j}+2\hat{k}\)

\((a)\)
দেওয়া আছে,
\(A(2,-3,1)\) এবং \(B(-1,0,4)\) দুইটি বিন্দু
এখন, \(\overrightarrow{AB}=(-1-2)\hat{i}+(0+3)\hat{j}+(4-1)\hat{k}\) ➜Note \(\because A(x_{1},y_{1},z_{1})\) এবং \(B(x_{2},y_{2},z_{2})\) হলে,
\(\overrightarrow{AB}=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}+(z_{2}-z_{1})\hat{k}\)

\(=-3\hat{i}+3\hat{j}+3\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}=-3\hat{i}+3\hat{j}+3\hat{k}\)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(\overline{b}=\hat{i}-2\hat{j}, \ \overline{c}=\hat{i}+p\hat{j}+2\hat{k}\)
এবং \(\overline{b}\) ও \(\overline{c}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(45^{o}\)
\(|\overline{b}|=|\hat{i}-2\hat{j}|\)
\(=\sqrt{1^2+(-2)^2+0^2}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{1+4+0}\)
\(=\sqrt{5}\)
\(\therefore |\overline{b}|=\sqrt{5}\)
\(|\overline{c}|=|\hat{i}+p\hat{j}+2\hat{k}|\)
\(=\sqrt{1^2+p^2+2^2}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{1+p^2+4}\)
\(=\sqrt{p^2+5}\)
\(\therefore |\overline{c}|=\sqrt{p^2+5}\)
শর্তমতে, \(\overline{b}.\overline{c}=|\overline{b}||\overline{c}|\cos{45^{o}}\)
\(\Rightarrow (\hat{i}-2\hat{j}).(\hat{i}+p\hat{j}+2\hat{k})=\sqrt{5}\sqrt{p^2+5}\times{\frac{1}{\sqrt{2}}}\) ➜Note \(\because \overline{b}=\hat{i}-2\hat{j}\)
\(\overline{c}=\hat{i}+p\hat{j}+2\hat{k}\)
\(|\overline{b}|=\sqrt{5}\)
\(|\overline{c}|=\sqrt{p^2+5}\)
এবং \(\cos{45^{o}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\Rightarrow 1\times 1+(-2)\times p+0\times 2=\sqrt{5(p^2+5)}\times{\frac{1}{\sqrt{2}}}\) ➜Note \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}).(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}\)

\(\Rightarrow 1-2p+0=\frac{\sqrt{5(p^2+5)}}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{2}(1-2p)=\sqrt{5(p^2+5)}\)
\(\Rightarrow 2(1-2p)^2=5(p^2+5)\) ➜Note উভয় পার্শে বর্গ করে।

\(\Rightarrow 2(1-4p+4p^2)=5p^2+25\)
\(\Rightarrow 2-8p+8p^2-5p^2-25=0\)
\(\Rightarrow 3p^2-8p-23=0\)
\(\Rightarrow p=\frac{8\pm{\sqrt{(-8)^2-4\times{3}\times(-23)}}}{2\times 3}\) ➜Note \(\because ax^2+bx+c=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

\(\Rightarrow p=\frac{8\pm{\sqrt{64+276}}}{6}\)
\(\Rightarrow p=\frac{8\pm{\sqrt{4\times 85}}}{6}\)
\(\Rightarrow p=\frac{8\pm{2\sqrt{85}}}{6}\)
\(\Rightarrow p=\frac{2(4\pm{\sqrt{85}})}{6}\)
\(\Rightarrow p=\frac{4\pm{\sqrt{85}}}{3}\)
\(\therefore p=\frac{4+\sqrt{85}}{3}\) ➜Note \(\because \cos{45^{o}}>0\)
\(\therefore \overline{b}.\overline{c}>0\) হতে হবে।

\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(\overline{a}=2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{d}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}.\)
\(\overline{a}\) এবং \(\overline{d}\) দ্বারা গঠিত সমতলের উপর লম্ব ভেক্টর,
\(=\overline{a}\times\overline{d}\)
\(=(2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k})\times(3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k})\) ➜Note \(\because \overline{a}=2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}\)
এবং \(\overline{d}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\)

\(=\left|\begin{array}{c}\hat{i}& \ \ \hat{j}& \ \ \hat{k}\\2& \ \ 3&-1\\3&-1& \ \ 2 \end{array}\right|\) ➜Note \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
\(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array}\right|\)

\(=\{3\times 2-(-1)\times -1\}\hat{i}-\{2\times 2-(-1)\times 3\}\hat{j}+\{2\times -1-3\times 3\}\hat{k}\)
\(=\{6-1\}\hat{i}-\{4+3\}\hat{j}+\{-2-9\}\hat{k}\)
\(=5\hat{i}-7\hat{j}-11\hat{k}\)
\(\therefore \overline{a}\times\overline{d}=5\hat{i}-7\hat{j}-11\hat{k}\)
\(\Rightarrow |\overline{a}\times\overline{d}|=|5\hat{i}-7\hat{j}-11\hat{k}|\)
\(=\sqrt{5^2+(-7)^2+(-11)^2}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{25+49+121}\)
\(=\sqrt{195}\)
\(\therefore |\overline{a}\times\overline{d}|=\sqrt{195}\)
\(\overline{a}\) এবং \(\overline{d}\) দ্বারা গঠিত সমতলের উপর লম্ব একক ভেক্টর,
\(=\pm{\frac{\overline{a}\times\overline{d}}{|\overline{a}\times\overline{d}|}}\)
\(=\frac{5\hat{i}-7\hat{j}-11\hat{k}}{\sqrt{195}}\) ➜Note \(\because \overline{a}\times\overline{d}=5\hat{i}-7\hat{j}-11\hat{k}\)
এবং \(|\overline{a}\times\overline{d}|=\sqrt{195}\)

\(=\pm{\frac{1}{\sqrt{195}}(5\hat{i}-7\hat{j}-11\hat{k})}\)
ইহাই নির্ণেয় একক ভেক্টর।

\((a)\)
দেওয়া আছে,
\(\overline{P}=3\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}, \ \overline{Q}=3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\)
\(\overline{P}\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{Q}\) ভেক্টরের সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ,
\(\overline{r}=\overline{P}+t\overline{Q}\) যখন \(t\) একটি প্যারামিটার। ➜Note \(\overline{a}\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{b}\) ভেক্টরের সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ,
\(\overline{r}=\overline{a}+t\overline{b}\) যখন \(t\) একটি প্যারামিটার।

\(=3\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}+t(3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k})\) ➜Note \(\because \overline{P}=3\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\)
এবং \(\overline{Q}=3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\)

\(=3\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}+3t\hat{i}-2t\hat{j}+4t\hat{k}\)
\(=(3+3t)\hat{i}-(3+2t)\hat{j}+(4+4t)\hat{k}\)
\(\therefore \overline{r}=(3+3t)\hat{i}-(3+2t)\hat{j}+(4+4t)\hat{k}\)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(\overline{P}=3\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\) এবং \(\overline{Q}=3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\)
এখন, \(\overline{P}\times\overline{Q}=(3\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k})\times(3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k})\) ➜Note \(\because \overline{P}=3\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\)
এবং \(\overline{Q}=3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\)

\(=\left|\begin{array}{c}\hat{i}& \ \ \hat{j}&\hat{k}\\ 3&-3&4\\ 3&-2&4 \end{array}\right|\) ➜Note \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
\(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array}\right|\)

\(=\{-3\times 4-4\times -2\}\hat{i}+\{3\times 4-4\times 3\}\hat{j}+\{3\times -2-(-3)\times 3\}\hat{k}\)
\(=\{-12+8\}\hat{i}+\{12-12\}\hat{j}+\{-6+9\}\hat{k}\)
\(=-4\hat{i}+0\hat{j}+3\hat{k}\)
\(\therefore \overline{P}\times\overline{Q}=-4\hat{i}+3\hat{k}\)
আবার,
\(\overline{P}-\overline{Q}=3\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}-3\hat{i}+2\hat{j}-4\hat{k}\) ➜Note \(\because \overline{P}=3\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\)
এবং \(\overline{Q}=3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\)

\(\therefore \overline{P}-\overline{Q}=-\hat{j}\)
এখন, \((\overline{P}\times\overline{Q}).(\overline{P}-\overline{Q})=(-4\hat{i}+3\hat{k}).(-\hat{j})\) ➜Note \(\because \overline{P}\times\overline{Q}=-4\hat{i}+3\hat{k}\)
এবং \(\overline{P}-\overline{Q}=-\hat{j}\)

\(=-4\times 0+0\times -1+3\times 0\) ➜Note \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}).(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}\)

\(=0+0+0\)
\(=0\)
\(\therefore (\overline{P}\times\overline{Q}).(\overline{P}-\overline{Q})=0\)
\(\therefore (\overline{P}\times\overline{Q})\) এবং \((\overline{P}-\overline{Q})\) ভেক্টদ্বয় পরস্পর লম্ব।
\(\therefore (\overline{P}-\overline{Q})\) ভেক্টরটি \(\overline{P}\) এবং \(\overline{Q}\) ভেক্টর দ্বারা গঠিত সমতলের উপর লম্ব ভেক্টরের সাথে লম্ব।
( দেখানো হলো )
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(\overline{P}=3\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}, \ \overline{Q}=3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\) এবং \(\overline{R}=\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}.\)
উদ্দীপকে উল্লেখিত ভেক্টরগুলির \(\hat{i}, \ \hat{j}, \ \hat{k}\) এর সহগ দ্বারা গঠিত ম্যাট্রিক্স ,
\(A=\begin{bmatrix}3&-3&4\\3&-2&4\\1&-1&2 \end{bmatrix}\)
\(\therefore |A|=\left|\begin{array}{c}3&-3&4\\3&-2&4\\1&-1&2\end{array}\right|\)
\(=3\{-2\times 2-4\times -1\}-(-3)\{3\times 2-4\times 1\}+4\{3\times -1-(-2)\times 1\}\)
\(=3\{-4+4\}+3\{6-4\}+4\{-3+2\}\)
\(=3\{0\}+3\{2\}+4\{-1\}\)
\(=0+6-4\)
\(=2\)
\(\therefore |A|=2\)
\(\therefore A\) ম্যাট্রিক্সটি বিপরীতযোগ্য।
এখন, \(A_{11}=(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{c}-2&4\\-1&2\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{2}(-4+4)\)
\(=1(0)\)
\(=0\)
\(A_{12}=(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{c}3&4\\1&2\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{3}(6-4)\)
\(=-1(2)\)
\(=-2\)
\(A_{13}=(-1)^{1+3}\left|\begin{array}{c}3&-2\\1&-1\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(-3+2)\)
\(=1(-1)\)
\(=-1\)
\(A_{21}=(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{c}-3&4\\-1&2\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{3}(-6+4)\)
\(=-1(-2)\)
\(=2\)
\(A_{22}=(-1)^{2+2}\left|\begin{array}{c}3&4\\1&2\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(6-4)\)
\(=1(2)\)
\(=2\)
\(A_{23}=(-1)^{2+3}\left|\begin{array}{c}3&-3\\1&-1\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{5}(-3+3)\)
\(=-1(0)\)
\(=0\)
\(A_{31}=(-1)^{3+1}\left|\begin{array}{c}-3&4\\-2&4\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(-12+8)\)
\(=1(-4)\)
\(=-4\)
\(A_{32}=(-1)^{3+2}\left|\begin{array}{c}3&4\\3&4\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{5}(12-12)\)
\(=-1(0)\)
\(=0\)
\(A_{33}=(-1)^{3+3}\left|\begin{array}{c}3&-3\\3&-2\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{6}(-6+9)\)
\(=1(3)\)
\(=3\)
এখন, \(A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj \ A\)
\(=\frac{1}{|A|}\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}^{t}\) ➜Note \(\because adj \ A=\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}^{t}\)

\(=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} \ \ 0&-2&-1\\ \ \ 2& \ \ 2& \ \ 0\\-4& \ \ 0& \ \ 3 \end{bmatrix}^{t}\)
\(=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} \ \ 0&2&-4\\-2&2& \ \ 0\\-1&0& \ \ 3 \end{bmatrix}\)
\(\therefore A^{-1}=\begin{bmatrix} \ \ 0&1&-2\\-1&1& \ \ 0\\-\frac{1}{2}&0& \ \ \frac{3}{2}\end{bmatrix}\)

\((a)\)
অবস্থান ভেক্টরঃ প্রসঙ্গ কাঠামোর মূলবিন্দু সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টরের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয় তাকে ঐ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর বলে।
ধরি, \(O\) মূলবিন্দু সাপেক্ষে \(A\) ও \(B\) এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে, \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\)
চিত্র হতে,
\(\overrightarrow{OA}=\overline{a}, \overrightarrow{OB}=\overline{b}\)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(\overline{A}=2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}, \ \overline{B}=\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{C}=\hat{i}+b\hat{j}+3\hat{k}.\)
এখন, \(|\overline{A}|=|2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}|\)
\(=\sqrt{2^2+3^2+(-1)^2}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{4+9+1}\)
\(=\sqrt{14}\)
\(\therefore |\overline{A}|=\sqrt{14}\)
\(\overline{A}\) ভেক্টর বরাবর একক ভেক্টর,
\(\hat{a}=\frac{\overline{A}}{|\overline{A}|}\)
\(\therefore \hat{a}=\frac{2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}}{\sqrt{14}}\) ➜Note \(\because \overline{A}=2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}\)
এবং \(|\overline{A}|=\sqrt{14}\)

\(\overline{A}\) ভেক্টর বরাবর \(\overline{B}\) ভেক্টরের উপাংশ,
\(=(\hat{a}.\overline{B})\hat{a}\)
\(=\{(\frac{2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}}{\sqrt{14}}).(\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k})\}\hat{a}\) ➜Note \(\because \hat{a}=\frac{2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}}{\sqrt{14}}\)
এবং \(\overline{B}=\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\)

\(=\{\frac{2\times 1+3\times 2+(-1)\times -1}{\sqrt{14}}\}\hat{a}\) ➜Note \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}).(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}\)

\(=\{\frac{2+6+1}{\sqrt{14}}\}\hat{a}\)
\(=\frac{9}{\sqrt{14}}\hat{a}\)
\(=\frac{9}{\sqrt{14}}\frac{2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}}{\sqrt{14}}\) ➜Note \(\because \hat{a}=\frac{2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}}{\sqrt{14}}\)

\(=\frac{9}{14}(2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k})\)
প্রশ্নমতে, \(\frac{9}{14}(2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}).\overline{C}=0\)
\(\Rightarrow \frac{9}{14}(2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}).(\hat{i}+b\hat{j}+3\hat{k})=0\) ➜Note \(\because \overline{C}=\hat{i}+b\hat{j}+3\hat{k}\)

\(\Rightarrow 2\times 1+3\times b+(-1)\times 3=0\) ➜Note \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}).(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}\)

\(\Rightarrow 2+3b-3=0\)
\(\Rightarrow 3b-1=0\)
\(\Rightarrow 3b=1\)
\(\therefore b=\frac{1}{3}\)
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(\overline{A}=2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}, \ \overline{B}=\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\)
এখন, \(\overline{A}+\overline{B}=2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}+\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\)
\(\Rightarrow \overline{A}+\overline{B}=3\hat{i}+5\hat{j}-2\hat{k}\)
\(\Rightarrow |\overline{A}+\overline{B}|=|3\hat{i}+5\hat{j}-2\hat{k}|\)
\(=\sqrt{3^2+5^2+(-2)^2}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{9+25+4}\)
\(=\sqrt{38}\)
\(\therefore |\overline{A}+\overline{B}|=\sqrt{38}\)
আবার, \(\therefore \overline{A}\times\overline{B}=(2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k})\times(\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k})\)
\(=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}& \ \ \hat{k}\\2&3&-1\\1&2&-1 \end{array}\right|\) ➜Note \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
\(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array}\right|\)

\(=\{3\times -1-(-1)\times 2\}\hat{i}-\{2\times -1-(-1)\times 1\}\hat{j}+\{2\times 2-3\times 1\}\hat{k}\)
\(=\{-3+2\}\hat{i}-\{-2+1\}\hat{j}+\{4-3\}\hat{k}\)
\(=-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\)
\(\therefore \overline{A}\times\overline{B}=-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\)
\(\Rightarrow |\overline{A}\times\overline{B}|=|-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}|\)
\(=\sqrt{(-1)^2+1^2+1^2}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{1+1+1}\)
\(=\sqrt{3}\)
\(\therefore |\overline{A}\times\overline{B}|=\sqrt{3}\)
ধরি, \(\overline{A}+\overline{B}\) এবং \(\overline{A}\times\overline{B}\) ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\)
\(\theta=\cos^{-1}{\left\{\frac{(\overline{A}+\overline{B}).(\overline{A}\times\overline{B})}{|\overline{A}+\overline{B}||\overline{A}\times\overline{B}|}\right\}}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{\frac{(3\hat{i}+5\hat{j}-2\hat{k}).(-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})}{\sqrt{38}\sqrt{3}}\right\}}\) ➜Note \(\because \overline{A}+\overline{B}=3\hat{i}+5\hat{j}-2\hat{k}\)
\(\overline{A}\times\overline{B}=-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\)
\(|\overline{A}+\overline{B}|=\sqrt{38}\)
এবং \(|\overline{A}\times\overline{B}|=\sqrt{3}\)

\(=\cos^{-1}{\left\{\frac{3\times -1+5\times 1+(-2)\times 1}{\sqrt{38}\sqrt{3}}\right\}}\)➜Note \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}).(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}\)

\(=\cos^{-1}{\left\{\frac{-3+5-2}{\sqrt{38}\sqrt{3}}\right\}}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{\frac{5-5}{\sqrt{38}\sqrt{3}}\right\}}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{\frac{0}{\sqrt{38}\sqrt{3}}\right\}}\)
\(=\cos^{-1}{0}\)
\(=\cos^{-1}{\cos{90^{o}}}\)
\(=90^{o}\)
\(\therefore \theta=90^{o}\)

\((a)\)
কোনো ভেক্টরের দৈর্ঘ্য বা মাণ \(\) (এক) হলে তাকে একক ভেক্টর বলে। মাণ শন্য নয় এরূপ একটি ভেক্টরকে তার মাণ দ্বারা ভাগ করলে ঐ ভেক্টর রাশিটির দিক বরাবর অথবা তার সমান্তরাল বরাবর একটি একক ভেক্টর পাওয়া যায়। একক ভেক্টর প্রকাশের জন্য ভেক্টর প্রতীক হিসেবে হ্যাট \((\hat{})\) চিহ্ন ব্যবহার করা হয়।
যেমনঃ
অক্ষ রেখা বরাবর একক ভেক্টরগুলি যথাক্রমে \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\)
আবার
\(\overline{a}\) একটি ভেক্টর রাশি যার মাণ \(|\overline{a}|,\) যেখানে \(|\overline{a}|\ne{0}\)
তাহলে, \(\overline{a}\) এর একক ভেক্টর অথবা সমান্তরাল একক ভেক্টর, \(\hat{a}=\pm{\frac{\overline{a}}{\overline{a}|}}\)
\(\overline{a}\) এর দিক বরাবর একক ভেক্টর , \(\hat{a}=\frac{\overline{a}}{\overline{a}|}\)
\(\overline{a}\) এর বিপরিতদিক বরাবর একক ভেক্টর , \(\hat{a}=-\frac{\overline{a}}{\overline{a}|}\)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(\overline{A}=2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}, \ \overline{B}=-\hat{i}-4\hat{j}+7\hat{k}\)
এখন, \(|\overline{A}|=|2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}|\)
\(=\sqrt{2^2+(-3)^2+(-1)^2}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{4+9+1}\)
\(=\sqrt{14}\)
\(\therefore |\overline{A}|=\sqrt{14}\)
\(\overline{A}\) ভেক্টর বরাবর একক ভেক্টর,
\(\hat{a}=\frac{\overline{A}}{|\overline{A}|}\)
\(\therefore \hat{a}=\frac{2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}}{\sqrt{14}}\) ➜Note \(\because \overline{A}=2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}\)
এবং \(|\overline{A}|=\sqrt{14}\)

\(\overline{A}\) ভেক্টর বরাবর \(\overline{B}\) ভেক্টরের উপাংশ,
\(=(\hat{a}.\overline{B})\hat{a}\)
\(=\{(\frac{2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}}{\sqrt{14}}).(-\hat{i}-4\hat{j}+7\hat{k})\}\hat{a}\) ➜Note \(\because \hat{a}=\frac{2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}}{\sqrt{14}}\)
এবং \(\overline{B}=-\hat{i}-4\hat{j}+7\hat{k}\)

\(=\{\frac{2\times -1+(-3)\times -4+(-1)\times 7}{\sqrt{14}}\}\hat{a}\) ➜Note \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}).(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}\)

\(=\{\frac{-2+12-7}{\sqrt{14}}\}\hat{a}\)
\(=\frac{12-9}{\sqrt{14}}\hat{a}\)
\(=\frac{3}{\sqrt{14}}\frac{2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}}{\sqrt{14}}\) ➜Note \(\because \hat{a}=\frac{2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}}{\sqrt{14}}\)

\(=\frac{3}{14}(2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k})\)
ইহাই নির্ণেয় একক ভেক্টর।
\((c)\)
দেওয়া আছে,
তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(P(-3,-2,-1), \ Q(4,0,-3)\) এবং \(S(6,-7,8)\)
এখন, \(\overrightarrow{PQ}=(4+3)\hat{i}+(0+2)\hat{j}+(-3+1)\hat{k}\) ➜Note \(\because A(x_{1},y_{1},z_{1})\) এবং \(B(x_{2},y_{2},z_{2})\) হলে,
\(\overrightarrow{AB}=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}+(z_{2}-z_{1})\hat{k}\)

\(\therefore \overrightarrow{PQ}=7\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}\)
আবার, \(\overrightarrow{PS}=(6+3)\hat{i}+(-7+2)\hat{j}+(8+1)\hat{k}\) ➜Note \(\because A(x_{1},y_{1},z_{1})\) এবং \(B(x_{2},y_{2},z_{2})\) হলে,
\(\overrightarrow{AB}=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}+(z_{2}-z_{1})\hat{k}\)

\(\therefore \overrightarrow{PS}=9\hat{i}-5\hat{j}+9\hat{k}\)
এখন, \(\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PS}=(7\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k})\times(9\hat{i}-5\hat{j}+9\hat{k})\) ➜Note \(\because \overrightarrow{PQ}=7\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{PS}=9\hat{i}-5\hat{j}+9\hat{k}\)

\(=\left|\begin{array}{c}\hat{i}& \ \ \hat{j}& \ \ \hat{k}\\7& \ \ 2&-2\\ 9&-5& \ \ 9 \end{array}\right|\) ➜Note \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
এবং \(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\)
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array}\right|\)

\(=\{2\times 9-(-2)\times -5\}\hat{i}-\{7\times 9-(-2)\times 9\}\hat{j}+\{7\times -5-2\times 9\}\hat{k}\)
\(=\{18-10\}\hat{i}-\{63+18\}\hat{j}+\{-35-18\}\hat{k}\)
\(=8\hat{i}-81\hat{j}-53\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PS}=8\hat{i}-81\hat{j}-53\hat{k}\)
এখন, \(\triangle{PQS}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PS}|\) ➜Note \(\overrightarrow{AB}, \ \overrightarrow{AC}\) কোনো ত্রিভুজের সন্নিহিত দুইটি বাহু হলে,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|\)

\(=\frac{1}{2}|8\hat{i}-81\hat{j}-53\hat{k}|\) ➜Note \(\because \overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PS}=8\hat{i}-81\hat{j}-53\hat{k}\)

\(=\frac{1}{2}\sqrt{(8^2+(-81)^2+(-53)^2}\) ➜Note \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\frac{1}{2}\sqrt{64+6561+2809}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{9434}\)
\(=\frac{\sqrt{9434}}{2}\)
\(=\frac{97.12878}{2}\)
\(=48.57\)
\(\therefore\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=48.57\) বর্গ একক।