ভেক্টর, ভেক্টরের সংযোগ ও দ্বিমাত্রিক ভেক্টরের বিধি
barcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
Historical Background
straight3
স্যার আইজ্যাক নিউটন ( ১৬৪২-১৭২৭ )
১৬৬৯ সালে তিনি ক্যামব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয়ে গণিতের লুকাসিয়ান প্রফেসর হিসাবে যোগদান করেন।
ঊনবিংশ শতাব্দীর শেষ দিকে এবং বিংশ শতাব্দীর প্রথম দিকে জটিল সংখ্যার জ্যামিতিক উপস্থাপনের মধ্য দিয়ে পদ্ধতিগতভাবে ভেক্টরের ব্যবহার শুরু হলেও ভেক্টর ব্যবহারের ইতিহাস অনেক পুরনো। এরিষ্টটল ( ৩৮৪-৩২২ খ্রীষ্টপূর্ব ) , গণিতবিদ হেরণ, স্যার আইজ্যক নিউটন ( ১৬৪২-১৭২৭ খ্রীষ্টাব্দ ) প্রমুখ বিজ্ঞানীগণ ভেক্টর যোগের সামান্তরিক সূত্র ব্যবহার করেছেন। দেকার্ত, ফার্মাট, বলজানো, বিলাভিটিজ, ফার্দিনাদ মবিয়াস, ফেরিদ্রিচ, গাউস, গাব্রিয়াল স্টকস প্রমুখ গণিতবিদগণ ভেক্টর সম্পর্কিত তত্ত্ব ব্যাখ্যা করেন। গণিত ও বিজ্ঞানের বিভিন্ন সমস্যা উপস্থাপন এবং সমাধান করতে ভেক্টর ব্যবহৃত হয়। ভেক্টর বিজ্ঞানের এমন একটি অংশ, যা জ্যামিতি ও বলবিদ্যার সকল শাখায় ব্যবহৃত হয়। যে রাশিকে সম্পূর্ণরূপে প্রকাশ করতে মাণ ও দিক উভয় নির্দেশ করতে হয়, তাকে ভেক্টর রাশি বলে। সরণ, ত্বরণ, বেগ প্রভৃতি ভেক্টর রাশি। ভেক্টর শব্দটির উৎপত্তি হয়েছে ল্যাটিন শব্দ 'Vehere'থেকে যার অর্থ - বহন করা। বিংশ শতাব্দীর প্রথম দিকে জটিল সংখ্যার জ্যামিতিক পদ্ধতিতে ভেক্টরের ব্যবহার শুরু হলেও এর ইতিহাস প্রাচীন। দার্শনিক এরিষ্টটল ( ৩৮৪-৩২২ খ্রীষ্টপূর্ব ) ও গণিতবিদ হেরণ ভেক্টর ভাবনার সুত্রপাত করেন। ১৮৩১ সালের পর গণিতশাস্ত্রের তিনটি আবিষ্কার ভেক্টরের উদ্ভাবনকে ত্বরান্বিত করে -"গাউসের অবাস্তব সংখ্যার জ্যামিতিক ব্যাখ্যা," লিবনিজের "জ্যামিতিক অবস্থান নির্ণয় পদ্ধতি" এবং নিউটনের "সামান্তরিক ক্ষেত্রে বল বা গতি সম্পর্কিত বিদ্যা"। পরবর্তিতে অলিভার হ্যাকিসাইড ( Oliver Heakiside ) এবং জসিয়া উইলার্ড গিবস ( Jashia Willard Gibs ) একটি বিশেষ ভেক্টর পদ্ধতি আবিষ্কার করেন। টেন্সর ( Tensor ) ভেক্টরের অত্যাধুনিক রূপ তুলে ধরেন, যা গণিতশাস্ত্রের উচ্চতর পর্যায়ে আলোচনা করা হয়। গণিত, পদার্থবিদ্যা ও প্রকৌসল বিদ্যায় ভেক্টরের ব্যবহার বহুল। এছাড়া জ্যামিতিক প্রিমিটিভ যেমন বিন্দু, রেখা , বক্ররেখা ও বহুভুজের ভেক্টর গাণিতিক সমীকরণ ব্যবহার করে ভেক্টর গ্রাফিক্স পদ্ধতিতে কম্পিউটারে ছবি প্রদর্শন করা হয়। ভেক্টর গ্রাফিক্স পদ্ধতিতে ছবি বড় করলে তা বিটম্যাপ পদ্ধতির মতো ফেটে যায় না বরং আরও স্পষ্ট হয় এবং ফাইলের সাইজ অপরিবর্তিত থাকে।
সার সংক্ষেপ
সদিক রাশির প্রতিরূপ হিসেবে ভেক্টর, জ্যামিতিক ভেক্টরের ধারক, সমতা, বিপরীত ভেক্টর, শন্য ভেক্টর, দ্বিমাত্রিক ভেক্টরের যোগ, বিয়োগ ও স্কেলার গুণিতক,দ্বিমাত্রিক ভেক্টরের যোগ, বিয়োগ ও স্কেলার গুণিতকের বিধি, সমতলে ভেক্টরের অংশক, ভেক্টরকে কার্তেসীয় স্থানাংকে প্রকাশ, একক ভেক্টর \(\hat{i}, \hat{j}\) অবস্থান ভেক্টর, দ্বিমাত্রিক জ্যামিতির সমস্যা সমাধানে ভেক্টর, দ্বিমাত্রিক জগতে ভেক্টরের অংশক নির্ণয়, ত্রিমাত্রিক জগতে ভেক্টরকে \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ, ত্রিমাত্রিক জগতে ভেক্টরের যোগফল ও স্কেলার গুণিতককে \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ, সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ, ভেক্টর স্কেলার গুণন, স্কেলার গুণজের ধর্ম, স্কেলার গণজ, ভেক্টরের ভেক্টর গুণন, ভেক্টর গুণজের ধর্ম, ভেক্টর গুণজ।
সদিক রাশির প্রতিরূপ হিসেবে ভেক্টর
Vector as a counter part of directed line
যে রাশির মাণ ও দিক উভয়ই আছে তাকে ভেক্টর রাশি বা সদিক রাশি বলে। যেমনঃ সরণ, ত্বরণ, বল, বেগ প্রভৃতি ভেক্টর রাশি।
সাধারণত একটি মাত্র বর্ণ বা প্রতীক দ্বারা \(( a, b, c, ... u, v, w )\) ভেক্টর বুঝানো হলে তার উপরে বা নিচে তীর চিহ্ন অথবা একটা টান \(( \overrightarrow{a}, \underline{b}, \overline{c} )\) ব্যবহার করা হয়। আবার একক ভেক্টরকে \(\hat{a}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। অনেক সময় অক্ষর বোল্ড \(\bf{a}\) করেও ভেক্টর বুঝানো হয়।
\( \overrightarrow{a}\) ভেক্টরের মাণকে \(|a|\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। কোনো রেখাংশ \(OP\) কে ভেক্টর হিসেবে চিহ্নিত করার জন্য \( \overrightarrow{OP}\) লেখা হয়ে থাকে। উক্ত রেখাংশের দৈর্ঘ্যকে \( \overrightarrow{OP}\) ভেক্টরের মাণ হিসেবে বিবেচনা করা হয়। \(O\) বিন্দুকে মূলবিন্দু বা প্রারম্ভিক বিন্দু এবং \(P\) বিন্দুকে শীর্ষবিন্দু বা প্রান্তবিন্দু বলা হয়। প্রকৃতির সকল রাশিকে দুইভাগে ভাগ করা যায়। যেমনঃ অদিক রাশি বা স্কেলার রাশি অপরটি সদিক রাশি বা ভেক্টর রাশি।
অদিক রাশি বা স্কেলার রাশিঃ
যে সকল ভৌত রাশি প্রকাশ করতে দিকের প্রয়োজন হয় না শুধু মাণ দিয়ে সম্পূর্ণরূপে প্রকাশ করা যায় সেগুলিকে স্কেলার রাশি বা অদিক রাশি বলে। অর্থাৎ স্কেলার রাশির শুধু মাণ আছে দিক নেই। যেমনঃ দৈর্ঘ্য, ভর, সময়, আয়তন, তাপমাত্রা, দূরত্ব, দ্রুতি, কাজ, শক্তি , জনসংখ্যা, বাস্তব সংখ্যা ইত্যাদি। স্কেলার রাশিকে বীজগণিতের ন্যায় বর্ণ প্রতীক বা সংখ্যা দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
সদিক রাশি বা ভেক্টর রাশিঃ
যে সকল ভৌত রাশিকে পূর্ণাঙ্গ প্রকাশের জন্য মাণ ও দিক উভয়েই প্রয়োজন হয় তাদেরকে ভেক্টর রাশি বা সদিক রাশি বলে। স্পষ্ট যে ভেক্টর রাশির মাণ ও দিক উভয়েই আছে। যেমনঃ সরণ, বেগ, ত্বরণ, মন্দন, ওজন, বল ইত্যাদি ভেক্টর রাশি।
ভেক্টরের ধারক রেখা
Line of support of Vector
যে দিক নির্দেশক রেখাংশ দ্বারা কোনো ভেক্টর রাশিকে সূচীত করা হয় তাকে ঐ ভেক্টরের ধারক রেখা বলা হয়। এখানে \(XY\) রেখার \(AB\) রেখাংশ দ্বারা \( \overrightarrow{V}\) ভেক্টরকে সূচিত করা হয়েছে তাই \( \overrightarrow{AB}\) কে \( \overrightarrow{V}\) ভেক্টরের ধারক রেখা বলে। straight3
ভেক্টরের মাণ
Magnitude of Vector
ভেক্টর নির্দেশক রেখাংশের প্রারম্ভিক বিন্দু এবং প্রান্তবিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্বকে ভেক্টরের মাণ বলা হয়। \( \overrightarrow{V}\) ভেক্টরের মাণকে \(|\overrightarrow{V}|\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
ভেক্টরের সমতা
Equality of Vector
দুইটি ভেক্টরকে সমান বলা হবে, যখন তাদের-
\((1)\) মাণ সমান হয়।
\((2)\) উভয়ের ধারক রেখা এক অথবা সমান্তরাল।
\((3)\) দিক অভিন্ন হয়।
straight3 দুইটি সদিক রেখাংশ একই ভেক্টর নির্দেশ করতে পারে।
যেমনঃ \(\overrightarrow{AB}, \ \overrightarrow{CD}, \ \overrightarrow{EF}\) রেখাংশগুলি সমান ভেক্টর নির্দেশ করে। কারণ তাদের ধারক রেখা একই অথবা সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্য সমান।
সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলি দ্বারা সমান ভেক্টর নির্দেশ করা হয়।
যেমনঃ \(ABCD\) সামান্তরিকের ক্ষেত্রে \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) এবং \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\)
বিপরীত ভেক্টর
Opposite Vector
straight3 দুইটি ভেক্টরের দৈর্ঘ্য বা মাণ সমান তাদের ধারক রেখা একই অথবা সমান্তরাল কিন্তু দিক বিপরীতমুখী এরূপ ভেক্টরকে একে অপরের বিপরীত ভেক্টর বলা হয়।
যেমনঃ
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{v}\) এবং বিপরীত ভেক্টর \(\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{v};\)
\(\overrightarrow{AB}\) এবং \(\overrightarrow{BA}\) এর দৈর্ঘ্য সমান কিন্তু এরা পরস্পর বিপরীতমুখী।
শূন্য ভেক্টর বা নাল ভেক্টর
Zero Vector Or, Null Vector
যে ভেক্টর রাশির দৈর্ঘ্য বা মাণ শূন্য, কোনো নির্দিষ্ট দিক নেই, তাকে শূন্য ভেক্টর বলে। এরূপ ভেক্টরের প্রারম্ভিক ও প্রান্তবিন্দু একই। এ ভেক্টরকে মোটা হরফে \(\bf{0}\) বা \(\underline{0}\) দ্বারা নির্দেশ করা হয়। এর বৈশিষ্ট স্কেলার রাশির মতই।
একক ভেক্টর
Unite Vector
কোনো ভেক্টরের দৈর্ঘ্য বা মাণ \(\) (এক) হলে তাকে একক ভেক্টর বলে। মাণ শন্য নয় এরূপ একটি ভেক্টরকে তার মাণ দ্বারা ভাগ করলে ঐ ভেক্টর রাশিটির দিক বরাবর অথবা তার সমান্তরাল বরাবর একটি একক ভেক্টর পাওয়া যায়। একক ভেক্টর প্রকাশের জন্য ভেক্টর প্রতীক হিসেবে হ্যাট \((\hat{})\) চিহ্ন ব্যবহার করা হয়।
যেমনঃ
অক্ষ রেখা বরাবর একক ভেক্টরগুলি যথাক্রমে \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\)
আবার
\(\overline{a}\) একটি ভেক্টর রাশি যার মাণ \(|\overline{a}|,\) যেখানে \(|\overline{a}|\ne{0}\)
তাহলে, \(\overline{a}\) এর একক ভেক্টর অথবা সমান্তরাল একক ভেক্টর, \(\hat{a}=\pm{\frac{\overline{a}}{\overline{a}|}}\)
\(\overline{a}\) এর দিক বরাবর একক ভেক্টর , \(\hat{a}=\frac{\overline{a}}{\overline{a}|}\)
\(\overline{a}\) এর বিপরিতদিক বরাবর একক ভেক্টর , \(\hat{a}=-\frac{\overline{a}}{\overline{a}|}\)
প্রকৃত ও অপ্রকৃত ভেক্টর
Proper and Imporoper Vector
শূন্য ভেক্টর ব্যতীত সকল ভেক্টরকে প্রকৃত ভেক্টর এবং শূন্য ভেক্টরকে অপ্রকৃত ভেক্টর বলে।
সদৃশ ভেক্টর
Like Vector
straight3 যে সব ভেক্টরসমূহের দিক এবং ধারক রেখা একই অথবা পরস্পর সমান্তরাল তাদেরকে সদৃশ ভেক্টর বলে। সদৃশ ভেক্টরসমূহের মাণ সমান অথবা ভিন্ন হতে পারে।
অসদৃশ ভেক্টর
Unlike Vector
straight3 দুইটি ভেক্টরের দিক বিপরীতমুখী কিন্তু ধারক রেখা একই অথবা পরস্পর সমান্তরাল তাদেরকে অসদৃশ ভেক্টর বলে। অসদৃশ ভেক্টরসমূহের মাণ সমান অথবা ভিন্ন হতে পারে।
সমরৈখিক ভেক্টর
Collinear Vector
দুই বা ততোধিক ভেক্টর একটি সরলরেখার সমান্তরাল হলে, তবে তাদেরকে সমরৈখিক বা সমান্তরাল ভেক্টর বলে।
যদি \(\overline{A}\) ও \(\overline{B}\) ভেক্টরদ্বয় সমরৈখিক হয় তবে \(\overline{A}=m\overline{B};\) যেখানে \(m\) একটি স্কেলার ।
সমতলীয় ভেক্টর
Coplanar Vector
দুই বা ততোধিক ভেক্টরের ধারক রেখা অভিন্ন হলে, তাদেরকে সমতলীয় ভেক্টর বলে।
মুক্ত ভেক্টর
Free Vector
যে ভেক্টরের মডুলাস ও দিক স্থির কিন্ত অবস্থান স্থির নয়, মডুলাস ও দিকের পরিবর্তন না করে যে ভেক্টরকে স্থানান্তর করা যায় তাকে মুক্ত ভেক্টর বলে।
দুইটি ভেক্টরের অন্তরভুক্ত কোণ
Angle of two Vectors
ধরা যাক, \(\overline{P}\) ও \(\overline{Q}\) দুইটি ভেক্টর এদের ধারক রেখাদ্বয় পরস্পরকে \(O\) বিন্দুতে ছেদ করেছে। ছেদবিন্দুতে \(0<\theta<\pi\) কোণ উৎপন্ন হয়।
straight3
ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ সূত্র
Triangle law of vector addition
straight3 যদি কোনো ত্রিভুজের দুইটি বাহু একই ক্রমে দিকে ও মাণে দুইটি ভেক্টর রাশিকে নির্দেশ করে, তাহলে ত্রিভুজের তৃতীয় বাহুটি বিপরীতক্রমে ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধির মাণ ও দিক নির্দেশ করবে।
এখানে, \(\overline{P}\) ও \(\overline{Q}\) ভেক্টর দুইটিকে \(\overrightarrow{AB}\) ও \(\overrightarrow{BC}\) দ্বারা সূচিত করা হলো। \(\overrightarrow{AB}\) এর প্রারম্ভিকবিন্দু \(A\) এবং \(\overrightarrow{BC}\) এর প্রান্তবিন্দু \(B\) এর সংযোগ রেখাংশ দ্বারা গঠিত ভেক্টর \(\overrightarrow{AC}\) পূর্বোক্ত ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধি নির্দেশ করবে যাকে \(\overline{R}\) দ্বারা সূচীত করা হলো।
সুতরাং , \(\overline{P}+\overline{Q}=\overline{R}\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)
ভেক্টর যোগের সামান্তরিক সূত্র
Parallelogram law of vector addition
straight3 কোনো সামান্তরিকের একটি কৌণিক বিন্দু থেকে অঙ্কিত সন্নিহিত বাহুদ্বয় যদি কোনো কণার উপর একই সময়ে ক্রিয়ারত দুইটি ভেক্টরের মাণ ও দিক নির্দেশ করে, তাহলে ঐ বিন্দু থেকে অঙ্কিত সামান্তরিকের কর্ণটি ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধির মাণ ও দিক নির্দেশ করবে।
অর্থাৎ, \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\)

দ্রঃ দুইটি ভেক্টর সমান্তরাল হলে তাদের যোগের ক্ষেত্রে সামান্তরিক বিধি প্রযোজ্য নয়, কিন্তু ত্রিভুজ বিধি সকল ক্ষেত্রেই প্রযোজ্য হবে।
ভেক্টর যোগের বহুভুজ সূত্র
Polygon law of vector addition
straight3 দুইয়ের অধিক ভেক্টরের ক্ষেত্রে একই ক্রমে ভেক্টরগুলিকে সাজিয়ে প্রথম ভেক্টরের প্রারম্ভিকবিন্দু এবং শেষ ভেক্টরের প্রান্তবিন্দু যোগ করে একটি বহুভুজ অঙ্কন করলে বহুভুজের শেষ বাহুটি বিপরীতক্রমে ভেক্টরগুলির লব্ধির মাণ ও দিক নির্দেশ করবে।
অর্থাৎ , \(\therefore \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}\)

দুইটি ভেক্টরের বিয়োগ
Subtraction of two vectors
straight3 ভেক্টরের বিয়োগের ক্ষেত্রে যে ভেক্টর বিয়োগ করতে হবে তার ঋণাত্মক ভেক্টরকে অপর ভেক্টরের সাথে যোগ করলেই বিয়োগফল পাওয়া যায়।
\(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\) দুইটি ভেক্টর।
এদের বিয়োগফল হবে,
\(\overrightarrow{BA}=\overline{a}-\overline{b}\)
অথবা,
straight3
\(\overrightarrow{AB}=\overline{b}-\overline{a}\)

দ্রঃ ভেক্টরদ্বয়ের প্রান্তবিন্দুর সংযোগ রেখাংশ দ্বারা তাদের বিয়োগফল প্রকাশিত হয়। প্রথম ভেক্টরের প্রান্তবিন্দু পরে এবং দ্বিতীয় ভেক্টরের প্রান্তবিন্দু প্রথমে হয়।
ভেক্টর রাশির স্কেলার গুণিতক
Scalar Multiple of Vector
ধরি, \(\overline{a}\) একটি ভেক্টর এবং \(m\) একটি স্কেলার। \(m\overline{a}\) দ্বারা ভেক্টর \(\overline{a}\) এর \(m\) গুণিতক বোঝায়। \(m\) গুনিতকের বিবরণ নিম্নে দেওয়া হলো।
\(\overline{a}=\underline{0}\) হলে,
\((1) \ m\overline{a}=\underline{0}\)
\(\overline{a}\ne{\underline{0}}\) হলে,
\((1) \ m\overline{a}\) এবং \(\overline{a}\) এর ধারকরেখা একই অথবা সমান্তরাল হবে।
\((2) \ m\overline{a}\) এর দৈর্ঘ্য \(\overline{a}\) এর দৈর্ঘ্যের \(m\) গুণ হবে। অর্থাৎ, \(|m\overline{a}|=m|\overline{a}|\) হবে।
\((3) \ m\overline{a}\) এর দিক এবং \(\overline{a}\) এর দিক একই হবে যখন, \(m>0\)
\((4) \ m\overline{a}\) এর দিক এবং \(\overline{a}\) এর দিক পরস্পর বিপরীত হবে যখন, \(m<0\)
\(m\) গুনিতকের বিশেষ বিধি
\((1) \ (mn)\overline{a}=m(n)\overline{a}\)
\((2) \ m(-\overline{a})=(-m)\overline{a}=-m\overline{a}\)
\((3) \ (-1)\overline{a}=-\overline{a}\)
\((4) \ 0\overline{a}=\underline{0}\) (এখানে, বামপক্ষের শূন্যটি স্কেলার কিন্তু ডানপক্ষের শূন্যটি ভেক্টর )
\((5) \ m=\frac{\overline{a}}{\overline{b}} \Rightarrow \overline{a}=m\overline{b}\)
দ্রঃ যদি দুইটি অশূণ্য ভেক্টরের ধারকরেখা একই অথবা সমান্তরাল হয়, তবে একটি ভেক্টরকে অন্যটির একটি স্কেলার গুণিতক হিসেবে বিবেচনা করা হয়।
দ্বিমাত্রিক ভেক্টরের যোগ, বিয়োগ ও স্কেলার গুণিতকের বিধি
Addition Subtraction and Scalar Multiple Law of two Dimentional Vector
ভেক্টর যোগের এবং স্কেলার গুণিতক গঠনের মৌলিক বিধিগুলো নিম্নে তালিকা আকারে দেওয়া হলো। এখানে, \(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}\) যে কোনো ভেক্টর এবং \(m, \ n\) কে স্কেলার হিসেবে বিবেচনা করা হয়েছে।
\((1) \ \overline{a}+\overline{b}=\overline{b}+\overline{a}\) ( যোগের বিনিময় বিধি )

\((2) \ \overline{a}+(\overline{b}+\overline{c})=(\overline{a}+\overline{b})+\overline{c}\) ( যোগের সংযোগ বিধি )

\((3) \ m\overline{a}=\overline{a}m\) ( গুণের বিনিময় বিধি )

\((4) \ m(n\overline{a})=(mn)\overline{a}\) ( গুণের সংযোগ বিধি )

\((5) \ m(\overline{a}+\overline{a})=m\overline{a}+m\overline{b}\) ( বন্টন বিধি )

দ্বিমাত্রিক ভেক্টরের বিশেষ বিধি
Spacial Law of two Dimentional Vector
এখানে, \(\overline{a}\) যে কোনো ভেক্টর এবং \(m, \ n\) কে স্কেলার হিসেবে বিবেচনা করা হয়েছে।
\((1) \ \overline{a}+\underline{0}=\underline{0}+\overline{a}=\overline{a}\) ( যোগের অভেদক বিধি )
\((2) \ \overline{a}+(-\overline{a})=\underline{0}\) ( যোগের বিপরীতক বিধি )
\((3) \ (m+n)\overline{a}=m\overline{a}+n\overline{a}\) ( বন্টন বিধি )
\((4) \ 1(\overline{a})=\overline{a}\) ( গুণের অভেদক বিধি )
সমতলে ভেক্টরের অংশক
Components of a Vector in a Plane
যদি, \(\overline{a}\) এবং \(\overline{b}\) দুইটি অসম ভেক্টর হয়, তবে \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর সমতলে যে কোনো ভেক্টর \(\overline{r}\) কে \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর যোগাশ্রয়ী সমাবেশ এককভাবে প্রকাশ করা যাবে।
অর্থাৎ , \(\overline{r}=m\overline{a}+n\overline{b}\)
\(OX\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=m\overline{a}\)
\(OY\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=n\overline{b}\)

আয়ত একক ভেক্টর \(\hat{i}, \hat{j}\)
Unite Vector \(\hat{i}, \hat{j}\)
কার্তেসীয় সমতলে \(x\) ও \(y\) অক্ষ বরাবর যথাক্রমে একক ভেক্টর \(\hat{i}\) ও \(\hat{j}\) কে আয়ত একক ভেক্টর বলা হয়। \(\hat{i}\) ও \(\hat{j}\) পরস্পর লম্ব দুইটি একক ভেক্টর।
এখানে, \(|\hat{i}|=|\hat{j}|=1\)
কার্তেসীয় স্থানাংককে ভেক্টরে এবং ভেক্টরকে কার্তেসীয় স্থানাংকে প্রকাশ
Represention of Vector in Cartesian Co-ordinates and Cartesian Co-ordinates in Vector
straight3 ধরি, কার্তেসীয় সমতলে \(P\) বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((x, y)\) এবং মূলবিন্দু \((0, 0), x\) ও \(y\) অক্ষের ধনাত্মক দিকে একক ভেক্টর যথাক্রমে \(\hat{i}\) ও \(\hat{j}\)
এবং \(\overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
এখানে, \(PN\perp{OX}\) এবং \(PM\perp{OY}\)
তাহলে, \(\overrightarrow{ON}=x\hat{i}\) এবং \(\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{OM}=y\hat{j}\)
এখন, \(\triangle{PON}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NP}\)
\(\therefore\) \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}\)
আবার, \(\triangle{PON}\) সমকোণী
\(\therefore OP^2=ON^2+NP^2\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{OP}.\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{ON}.\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NP}.\overrightarrow{NP}\)
\(\Rightarrow \overline{r}.\overline{r}=x\hat{i}.x\hat{i}+y\hat{j}.y\hat{j}\)
\(\Rightarrow r^2=x^2\hat{i}.\hat{i}+y^2\hat{j}.\hat{j}\) ➜ \(\because \overline{r}.\overline{r}=r^2\)

\(\Rightarrow r^2=x^2.1+y^2.1\) ➜ \(\because \hat{i}.\hat{i}=\hat{j}.\hat{j}=1\)

\(\Rightarrow r^2=x^2+y^2\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(\therefore\) \(r=|\overline{r}|=\sqrt{x^2+y^2}\)
অবস্থান ভেক্টর
Position Vector
straight3 অবস্থান ভেক্টরঃ প্রসঙ্গ কাঠামোর মূলবিন্দু সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টরের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয় তাকে ঐ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর বলে।
ধরি, \(O\) মূলবিন্দু সাপেক্ষে \(A\) ও \(B\) এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে, \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\)
চিত্র হতে,
\(\overrightarrow{OA}=\overline{a}, \overrightarrow{OB}=\overline{b}\)
এখন, \(\triangle{OAB}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}=\overline{b}-\overline{a}\)
কার্তেসীয় দ্বিমাত্রিক জগতে অবস্থান ভেক্টর
Position Vector in two Dimension Space
straight3 কার্তেসীয় দ্বিমাত্রিক জগতে মূলবিন্দু \((0, 0)\) এর সাপেক্ষে \(P(x, y)\) এর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{r}\) হলে,
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}\)

\(\overline{r}\) ভেক্টরের মাণ
straight3 ধরি,
\(P(x,y), \ M(0,y), \ N(x,0), \ \overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
এবং অক্ষরেখাগুলি বরাবর একক ভেক্টর যথাক্রমে \(\hat{i}, \ \hat{j}\)
\(\therefore \overrightarrow{ON}=x\hat{i}, \overrightarrow{NP}=\overrightarrow{OM}=y\hat{j}\)
\(\triangle{OPN}\) সমকোণী
\(\therefore OP^2=ON^2+NP^2\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{OP}.\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{ON}.\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NP}.\overrightarrow{NP}\)
\(\Rightarrow \overline{r}.\overline{r}=x\hat{i}.x\hat{i}+y\hat{j}.y\hat{j}\)
\(\Rightarrow r^2=x^2\hat{i}.\hat{i}+y^2\hat{j}.\hat{j}\) ➜ \(\because \overline{r}.\overline{r}=r^2\)

\(\Rightarrow r^2=x^2.1+y^2.1\) ➜ \(\because \hat{i}.\hat{i}=\hat{j}.\hat{j}=1\)

\(\Rightarrow r^2=x^2+y^2\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(\therefore\) \(r=|\overline{r}|=\sqrt{x^2+y^2}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(P(x_{1}, y_{1})\) \(Q(x_{2}, y_{2})\) হলে,
\(\overrightarrow{PQ}=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}\)
ভেক্টর বিভক্তিকরণ সূত্র
Section formula Of Vector
straight3 \(O\) মূলবিন্দু এবং \(\overrightarrow{OA}\) ও \(\overrightarrow{OB}\) যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর,
যেখানে, \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\) এবং \(P\) বিন্দু \(AB\) রেখাংশকে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overrightarrow{OP}=\frac{m\overline{b}+n\overline{a}}{m+n}\)

অনুসিদ্ধান্তঃ
\(O\) মূলবিন্দু এবং \(\overrightarrow{OA}\) ও \(\overrightarrow{OB}\) যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর,
যেখানে, \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\) এবং \(P\) বিন্দু \(AB\) রেখাংশকে \(m:n\) অনুপাতে বহিঃর্বিভক্ত করে।
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overrightarrow{OP}=\frac{m\overline{b}-n\overline{a}}{m-n}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(O\) মূলবিন্দু এবং \(\overrightarrow{OA}\) ও \(\overrightarrow{OB}\) যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর,
\(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\) এবং \(P, \ AB\) রেখাংশের মধ্যবিন্দু হলে,
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overrightarrow{OP}=\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
straight3 \(O\) মূলবিন্দু এবং \(\overrightarrow{OA}\) ও \(\overrightarrow{OB}\) যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর,
\(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\) এবং \(C, \ AB\) রেখাংশের মধ্যবিন্দু হলে,
\(2\overrightarrow{OC}=(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\)
\(\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\)
অধ্যায় \(11\)-এর উদাহরণসমুহ
উদাহরণ \(1.\) \(ABCDE\) একটি পঞ্চভুজ; \(\overrightarrow{AB}=\overline{a}, \overrightarrow{BC}=\overline{b}, \overrightarrow{CD}=\overline{c}\) এবং \(\overrightarrow{DE}=\overline{d}\) হলে দেখাও যে, \(\overrightarrow{AE}=\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}+\overline{d}.\)

উদাহরণ \(2.\) \(OAC\) ত্রিভুজে \(AC\) বাহুর মধ্যবিন্দু \(B;\) যদি \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\) হয়, তবে \(\overrightarrow{OC}\) কে \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(\overrightarrow{OC}=2\overline{b}-\overline{a}\)

উদাহরণ \(3.\) \(ABC\) ত্রিভুজের \(BC\) বাহুর মধ্যবিন্দু \(D\) হলে, দেখাও যে, \(\overrightarrow{DA}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DA}.\overrightarrow{DC}=0\)

উদাহরণ \(4.\) \(ABC\) ত্রিভুজের \(BC, CA, AB\) বাহুগুলির মধ্যবিন্দু যথাক্রমে \(D, E, F\) হলে,
\((a)\) প্রমাণ কর যে, \(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\underline{0}\)
\((b)\) \(\overrightarrow{AB}\) ও \(\overrightarrow{BC}\) ভেক্টরদ্বয়কে \(\overrightarrow{BE}\) ও \(\overrightarrow{CF}\) ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(\overrightarrow{AB}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{CF}-\frac{4}{3}\overrightarrow{BE}; \ \overrightarrow{BC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}-\frac{2}{3}\overrightarrow{CF}\)

উদাহরণ \(5.\) যদি \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) দুইটি অশূন্য অসমান্তরার ভেক্টর হয় এবং \((x-2)\overline{a}+(y+5)\overline{b}=\underline{0}\) হয় তবে দেখাও যে, \(x=2, \ y=-5\)

উদাহরণ \(6.\) ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে, ত্রিভুজের যে কোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশ ঐ ত্রিভুজের তৃতীয় বাহুর অর্ধেক ও সমান্তরাল।

উদাহরণ \(7.\) ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে, সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

উদাহরণ \(8.\) ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে, \(\cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)

অধ্যায় \(11\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
\(Q.1.(i)\) \(\triangle{ABC}\) এ \(D, \ BC\) এর মধ্যবিন্দু। \(\overrightarrow{AB}=\overline{c}\) এবং \(\overrightarrow{AC}=\overline{b}\) হলে, দেখাও যে, \(\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overline{b}+\overline{c})\)

\(Q.1.(ii)\) \(ABCDE\) একটি পঞ্চভুজ; \(\overrightarrow{AB}=\overline{a}, \ \overrightarrow{BC}=\overline{b}, \ \overrightarrow{CD}=\overline{c}\) এবং \(\overrightarrow{DE}=\overline{d}\) হলে, দেখাও যে, \(\overrightarrow{AE}=\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}+\overline{d}\)

\(Q.1.(iii)\) \(\triangle{PQR}\)-এ \(QR, \ RP\) ও \(PQ\) বাহগুলির মধ্যবিন্দু যথাক্রম \(L, \ M\) ও \(N\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(\overrightarrow{PL}+\overrightarrow{QM}+\overrightarrow{RN}=0\)

\(Q.1.(iv)\) যদি, \(\overline{a}\) এবং \(\overline{b}\) দুইটি অসমরৈখিক ভেক্টর এবং \((x+1)\overline{a}+(y-2)\overline{b}=2\overline{a}+\overline{b}\) হয় তবে \(x\) ও \(y\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x=1, \ y=3\)

\(Q.1.(v)\) \(\triangle{ABC}\) এ \(BC\) বাহুর মধ্যবিন্দু \(D\) হলে, দেখাও যে, \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}\)

\(Q.1.(vi)\) \(\triangle{ABC}\) এ \(BC\) বাহুর মধ্যবিন্দু \(D\) হলে, দেখাও যে, \(AB^2+AC^2=2(AD^2+BD^2)\)

\(Q.1.(vii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের \(BC, CA, AB\) বাহুগুলির মধ্যবিন্দু যথাক্রমে \(D, E, F\) হলে, \(\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{BE}\) ও \(\overrightarrow{CF}\) ভেক্টরগুলোকে \(\overrightarrow{AB}\) ও \(\overrightarrow{AC}\) ভেক্টরের মাধ্যমে প্রকাশ কর।

\(Q.1.(viii)\) \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}, \ \overrightarrow{OB}=\overline{b}, \ \overrightarrow{OC}=\overline{c}\) এবং \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}\) হলে, দেখাও যে \(\overline{a}+\overline{c}=2\overline{b}\)

\(Q.1.(ix)\) \(ABC\) একটি ত্রিভুজে। \(\overrightarrow{BC}=\overline{a}, \ \overrightarrow{CA}=\overline{b}\) এবং \(\overrightarrow{BA}=\overline{c}\) হলে, দেখাও যে \(\overline{a}+\overline{b}=\overline{c}\)

\(Q.1.(x)\) \(\triangle{ABC}\) এ \(BC\) বাহুর মধ্যবিন্দু \(M\) হলে, দেখাও যে, \(AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)\)

\(Q.1.(xi)\) \(-\overline{a}+2\overline{b}=2\overline{c}\) এবং \(5\overline{a}-2\overline{b}=3\overline{d}\) হলে, \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) কে \(\overline{c}\) ও \(\overline{d}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(\overline{a}=\frac{2\overline{c}+3\overline{d}}{4}, \ \overline{b}=\frac{10\overline{c}+3\overline{d}}{8}\)

\(Q.1.(xii)\) \(OPQ\) ত্রিভুজে, \(\overrightarrow{OP}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{OQ}=\overline{b};\) \(PQ\) রেখার উপর \(R\) এমন একটি বিন্দু যেন, \(PQ=2QR.\) দেখাও যে, \(\overrightarrow{PR}=\frac{3}{2}(\overline{b}-\overline{a})\)

\(Q.1.(xiii)\) ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে, সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান।

\(Q.1.(xiv)\) ভেক্টর পদ্ধতিতে দেখাও যে, ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় সমবিন্দু।

\(Q.1.(xv)\) ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, ত্রিভুজের শীর্ষ হতে বিপরীত বাহুর ওপর অঙ্কিত লম্বত্রয় সমবিন্দু।

\(Q.1.(xvi)\) ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে, ত্রিভুজের বাহুগুলির লম্ব সমদ্বিখন্ডকত্রয় সমবিন্দু।

\(Q.1.(xvii)\) ভেক্টর পদ্ধতিতে দেখাও যে, ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় সমবিন্দু এবং তাদের ছেদবিন্দুতে মধ্যমা \(2:1\) অনুপাতে বিভক্ত হয়।

\(Q.1.(xviii)\) কোনো চতুর্ভুজের বাহুগুলির মধ্যবিন্দু পর্যায়ক্রমে যোগ করলে উৎপন্ন চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক হবে, ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর।

\(Q.1.(xix)\) ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, সামান্তরিকের কর্ণদ্বয়ের বর্গের সমষ্টি তার বাহু চারটির বর্গের সমষ্টির সমান।

\(Q.1.(xx)\) ট্রাপিজিয়ামের অসমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমান্তরাল এবং তাদের যোগফলের অর্ধেক, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর।

\(Q.1.(xxi)\) ট্রাপিজিয়ামের কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমান্তরাল এবং তাদের বিয়োগফলের অর্ধেক, ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর।

\(Q.1.(xxii)\) ভেক্টর পদ্ধতিতে দেখাও যে, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পর সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত হয়।

\(Q.1.(xxiii)\) ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ।

\(Q.1.(xxiv)\) রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য সমান হলে এটি একটি বর্গ, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর।

\(Q.1.(xxv)\) ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, কোনো চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করলে তা একটি সামান্তরিক উৎপন্ন করে।

\(Q.1.(xxvi)\) ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে, একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের মধ্যবিন্দু ত্রিভুজটির শীর্ষবিন্দুগুলি হতে সমদূরবর্তী।

অধ্যায় \(11\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(Q.2.(i)\) \(ABC\) ত্রিভুজের \(BC, CA, AB\) বাহুগুলির মধ্যবিন্দু যথাক্রমে \(D, E, F\) হলে, \(\overrightarrow{BE}\) ও \(\overrightarrow{CF}\) ভেক্টর দুইটিকে \(\overrightarrow{AB}\) ও \(\overrightarrow{AC}\) ভেক্টর দুইটির যোগাশ্রয়ী সমাবেশে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(\overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}, \ \overrightarrow{CF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\)

\(Q.2.(ii)\) \(OAC\) ত্রিভুজের \(AC\) বাহুগুলির মধ্যবিন্দু \(B\); যদি \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\) হয়, তবে \(\overrightarrow{OC}\) ভেক্টরকে \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(2\overline{b}-\overline{a}\)

\(Q.2.(iii)\) \(\overrightarrow{OP}=\overline{a}, \ \overrightarrow{OQ}=\overline{b}\) এবং \(\overrightarrow{OR}=\overline{a}+\overline{b}\) হলে, \(OPRQ\) কি ধরনের চতুর্ভুজ তা নির্ধারণ কর।
উত্তরঃ সামান্তরিক ।

\(Q.2.(iv)\) \(\overline{a}\) এবং \(\overline{b}\) ভেক্টরদ্বয় দ্বারা সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহু সূচীত হলে, ঐ সামান্তরিকের কর্ণদ্বয়কে \(\overline{a}\) এবং \(\overline{b}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(\overrightarrow{AC}=\overline{a}+\overline{b}; \ \overrightarrow{BD}=\overline{b}-\overline{a}\)

\(Q.2.(v)\) \(ABCD\) চতুর্ভুজের \(BD\) এবং \(AC\) কর্ণের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে \(E\) এবং \(F\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=4\overrightarrow{FE}\) এবং \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}\)

\(Q.2.(vi)\) \(ABCDE\) পঞ্চভুজ হলে, প্রমাণ কর যে,
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AC}\)

\(Q.2.(vii)\) \(A\) ও \(B\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(\overline{a}\) ও \(\overline{b};\) বর্ধিত \(AB\) এর উপর এরূপ \(C\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর নির্ণয় কর যেন \(AC=3AB\) হয়।
উত্তরঃ \(\overrightarrow{OC}=3\overline{b}-2\overline{a}\)

\(Q.2.(viii)\) \(A, \ B, \ C\) বিন্দুত্রয়ের অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(\overline{a}, \ \overline{b}, \ \overline{c};\) \(ABCD\) সামান্তরিকের \(D\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\overrightarrow{OD}=\overline{a}-\overline{b}+\overline{c}\)

\(Q.2.(ix)\) \(ABC\) ত্রিভুজের \(BC, CA, AB\) বাহুগুলির মধ্যবিন্দু যথাক্রমে \(D, E, F\) হলে, \(\overrightarrow{AB}, \ \overrightarrow{BC}, \ \overrightarrow{CA}\) ও \(\overrightarrow{AD}\) ভেক্টরগুলিকে \(\overrightarrow{BE}\) ও \(\overrightarrow{CF}\) ভেক্টরের মাধ্যমে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(\overrightarrow{AB}=-\frac{4}{3}\overrightarrow{BE}-\frac{2}{3}\overrightarrow{CF}, \ \overrightarrow{BC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}-\frac{2}{3}\overrightarrow{CF}\)
\(\overrightarrow{CA}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}+\frac{4}{3}\overrightarrow{CF}\)
\(\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{BE}-\overrightarrow{CF}\)

\(Q.2.(x)\) \(ABCD\) ট্রাপিজিয়ামে \(AB\parallel{DC}\) এবং \(DC=3AB,\) \(DC\) বাহুর মধ্যবিন্দু \(M,\) \(\overrightarrow{AB}=\overline{a}, \ \overrightarrow{BC}=\overline{b}\) হলে, \(\overrightarrow{AM}, \ \overrightarrow{BD}, \ \overrightarrow{MB}, \ \overrightarrow{DA}\) ভেক্টরগুলিকে \(\overline{a}\) এবং \(\overline{b}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(\overrightarrow{AM}=\overline{b}-\frac{1}{2}\overline{a}, \ \overrightarrow{BD}=\overline{b}-3\overline{a}\)
\(\overrightarrow{MB}=\frac{3}{2}\overline{a}-\overline{b}\)
\(\overrightarrow{DA}=2\overline{a}-\overline{b}\)

\(Q.2.(xi)\) \(ABCD\) সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় \(AC\) এবং \(BD\) । \(\overrightarrow{AB}\) ও \(\overrightarrow{AC}\) ভেক্টরদ্বয়কে \(\overrightarrow{AD}\) ও \(\overrightarrow{BD}\) ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ কর এবং দেখাও যে, \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{BC}\) এবং \(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{AB}\)
উত্তরঃ \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BD}, \ \overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BD}\)

\(Q.2.(xii)\) \(ABCDE\) পঞ্চভুজ হলে, প্রমাণ কর যে, \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EA}=0\)

\(Q.2.(xiii)\) \(ABCD\) সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় \(AC\) এবং \(BD\) । \(\overrightarrow{AC}\) ও \(\overrightarrow{BD}\) ভেক্টরদ্বয়কে \(\overrightarrow{AB}\) ও \(\overrightarrow{AD}\) ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(\overrightarrow{AC}=, \ \overrightarrow{BD}=\)

\(Q.2.(xiv)\) \(ABC\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে,
\((1)\) \(\sin{(A+B)}=\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}\)
\((2)\) \(\sin{(A-B)}=\sin{A}\cos{B}-\cos{A}\sin{B}\)
\((3)\) \(\cos{(A+B)}=\cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}\)
\((4)\) \(\cos{(A-B)}=\cos{A}\cos{B}+\sin{A}\sin{B}\)

\(Q.2.(xv)\) \(ABC\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে,
\((1)\) \(a=b\cos{C}+c\cos{B}\)
\((2)\) \(b=c\cos{A}+a\cos{C}\)
\((3)\) \(c=a\cos{B}+b\cos{A}\)

\(Q.2.(xvi)\) \(ABC\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে,
\((1)\) \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}\) অথবা, \(\cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
\((2)\) \(b^2=c^2+a^2-2ca\cos{B}\) অথবা, \(\cos{B}=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\)
\((3)\) \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}\) অথবা, \(\cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)

\(Q.2.(xvii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে,
\(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}\)

\(Q.2.(xviii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে,
\((1)\) \(\frac{1}{2}bc\sin{A}=\Delta\) অথবা, \(bc\sin{A}=2\Delta\) অথবা, \(\sin{A}=\frac{2\Delta}{bc}\)
\((2)\) \(\frac{1}{2}ca\sin{B}=\Delta\) অথবা, \(ca\sin{B}=2\Delta\) অথবা, \(\sin{B}=\frac{2\Delta}{ca}\)
\((3)\) \(\frac{1}{2}ab\sin{C}=\Delta\) অথবা, \(ab\sin{C}=2\Delta\) অথবা, \(\sin{C}=\frac{2\Delta}{ab}\)

\(Q.2.(xix)\) \(ABC\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে,
\((1)\) \(\tan{\left(\frac{B-C}{2}\right)}=\frac{b-c}{b+c}\cot{\frac{A}{2}}\)
\((2)\) \(\tan{\left(\frac{C-A}{2}\right)}=\frac{c-a}{c+a}\cot{\frac{B}{2}}\)
\((3)\) \(\tan{\left(\frac{A-B}{2}\right)}=\frac{a-b}{a+b}\cot{\frac{C}{2}}\)

\(Q.2.(xx)\) \(ABC\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে,
\(a^2+b^2+c^2=2(bc\cos{A}+ca\cos{B}+ab\cos{C})\)

\(Q.2.(xxi)\) ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে,
\(\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1\)

Please leave your question below

2 Question(s)
imonhaider
October 29, 2019, 12:15 am
\[\frac{d}{dx}(e^{x^2})=?\]
Reply
Tanmoy
October 28, 2019, 11:53 pm
\[\int{\frac{dx}{1+x^2}}=? \]
Reply

Post List

MATH. LIST
Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Trigonometry 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Statistics 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard
Vector 11 and 12 standard
Vector Honours course standard