ধরি,
একটি কণার উপর একই সময়ে \(\overline{P}\) ও \(\overline{Q}\) দুইটি ভেক্টর রাশি পরস্পর \(\alpha\) কোণে ক্রিয়ারত। \(AB\) এবং \(AD\) রেখাংশ দুইটি যথাক্রমে \(\overline{P}\) ও \(\overline{Q}\) এর মাণ এবং তীর চিহ্ন তাদের দিক নির্দেশ করছে।
অর্থাৎ, \(\overrightarrow{AB}=\overline{P}, \overrightarrow{AD}=\overline{Q}\)
এখানে, \(\angle{DAB}=\alpha\)
এই দুইটি ভেক্টর রাশির লব্ধি নির্ণয় করতে হবে।
\(ABCD\) সামান্তরিকটি অঙ্কন করি এবং \(A, C\) যুক্ত করি।
তাহলে \(AC\) কর্ণই ভেক্টর রাশি দুইটির লব্ধির মাণ ও দিক নির্দেশ করবে।
এখানে, \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=\overline{Q}\)
এখান, \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)
\(\therefore\ \overline{R}=\overline{P}+\overline{Q}\)
\(\therefore AC\) কর্ণই ভেক্টর রাশি দুইটির লব্ধির মাণ ও দিক নির্দেশ করে।

ধরি, একটি কণার উপর একই সময়ে ক্রিয়ারত ভেক্টরগুলির মাণ ও দিক যথাক্রমে \(ABCDE\) বহুভুজের বাহু \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{CD}\) ও \(\overrightarrow{DE}\) বরাবর নির্দেশ করে।
প্রমাণ করতে হবে যে,
\(\therefore \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}\)
\(ABCDE\) বহুভুজে \(A, C\) এবং \(A, D\) যোগ করি,
এখন, \(\triangle{ABC}\) ত্রিভুজে ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} .........(1)\)
অনুরূপভাবে, \(\triangle{ACD}\) ও \(\triangle{ADE}\) ত্রিভুজে ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD} .........(2)\)
\(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE} .........(3)\)
\((1)\) হতে \(\overrightarrow{AC}\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD} .........(4)\)
\((4)\) হতে \(\overrightarrow{AD}\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}\)
( প্রমাণিত )

দেওয়া আছে, \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\) দুইটি ভেক্টর।
\(A, B\) যোগ করি,
এখন, \(\triangle{OAB}\) ত্রিভুজে ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}\)
\(\therefore\ \overrightarrow{BA}=\overline{a}-\overline{b}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OA}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\)

আবার, \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\) দুইটি ভেক্টর।
\(A, B\) যোগ করি,
এখন, \(\triangle{OAB}\) ত্রিভুজে ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\)
\(\therefore\ \overrightarrow{AB}=\overline{b}-\overline{a}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OA}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\)

( প্রমাণিত )

ধরি, \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\) দুইটি ভেক্টর \(O\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত।
\(OACB\) সামান্তরিকটি অঙ্কন করি,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}\) সামান্তরিক সূত্র মতে,
\(\therefore \overline{a}+\overline{b}=\overline{c}\)
\(OA\) এবং \(BC\) সামান এবং সমান্তরাল,
\(\therefore \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BC}=\overline{a}\)
আবার, \(OB\) এবং \(AC\) সামান এবং সমান্তরাল,
\(\therefore \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AC}=\overline{b}\)
এখন, \(\triangle{OAC}\) ত্রিভুজে ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}\)
\(\therefore \overline{a}+\overline{b}=\overline{c} ....(1)\)
আবার, \(\triangle{OBC}\) ত্রিভুজে ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}\)
\(\therefore \overline{b}+\overline{a}=\overline{c} ...(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(\overline{a}+\overline{b}=\overline{b}+\overline{a}\)
( প্রমাণিত )

ধরি, \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}, \ \overrightarrow{AB}=\overline{b}, \ \overrightarrow{BC}=\overline{c}\) এবং \(\overrightarrow{OC}=\overline{d}\)
\(OABC\) চতুর্ভুজটি অঙ্কন করি,
\(O, B\) এবং \(A, C\) সংযোগ করি,
এখন, \(\triangle{OAB}\) ত্রিভুজে ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}\)
\(\therefore \overrightarrow{OB}=\overline{a}+\overline{b} ....(1)\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OA}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{AB}=\overline{b}\)

আবার, \(\triangle{ABC}\) ত্রিভুজে ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)
\(\therefore \overrightarrow{AC}=\overline{b}+\overline{c} ...(2)\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AB}=\overline{b}\)
এবং \(\overrightarrow{BC}=\overline{c}\)

আবার, \(\triangle{OAC}\) ত্রিভুজে ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}\)
\(\therefore \overline{d}=\overline{a}+(\overline{b}+\overline{c}) ...(3)\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OA}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{AC}=\overline{b}+\overline{c}\)

আবার, \(\triangle{OBC}\) ত্রিভুজে ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC}\)
\(\therefore \overline{d}=(\overline{a}+\overline{b})+\overline{c} ...(4)\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OB}=\overline{a}+\overline{b}\)
এবং \(\overrightarrow{BC}=\overline{c}\)

\((3)\) ও \((4)\) হতে,
\(\overline{a}+(\overline{b}+\overline{c})=(\overline{a}+\overline{b})+\overline{c}\)
( প্রমাণিত )

ধরি, \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}, \ \overrightarrow{AP}=m_{1}\overrightarrow{OA}\)
\(O, A, P\) একই সরলরেখায় অবস্থিত
এখন, \(OP=OA+AP\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}\) ভেক্টর চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+m_{1}\overrightarrow{OA}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AP}=m_{1}\overrightarrow{OA}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{OP}=(1+m_{1})\overrightarrow{OA}\)
\(\therefore \overrightarrow{OP}=m\overline{a} .....(1)\) ➜Note যেখানে, \(m=1+m_{1}\)
এবং \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\)

আবার, \(OP=OA+AP\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}\) ভেক্টর চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+m_{1}\overrightarrow{OA}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AP}=m_{1}\overrightarrow{OA}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}(1+m_{1})\)
\(\therefore \overrightarrow{OP}=\overline{a}m .....(2)\) ➜Note যেখানে, \(m=1+m_{1}\)
এবং \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\)

\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(m\overline{a}=\overline{a}m\)
( প্রমাণিত )

ধরি, \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}, \ \overrightarrow{AP}=m_{1}\overrightarrow{OA}\)
\(O, A, P\) একই সরলরেখায় অবস্থিত
এখন, \(OP=OA+AP\)
\(\Rightarrow nOP=nOA+nAP\)
\(\Rightarrow n\overrightarrow{OP}=n\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{AP}\) ভেক্টর চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow n\overrightarrow{OP}=n\overrightarrow{OA}+m_{1}n\overrightarrow{OA}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AP}=m_{1}\overrightarrow{OA}\)

\(\Rightarrow n\overrightarrow{OP}=(1+m_{1})n\overrightarrow{OA}\)
\(\therefore n\overrightarrow{OP}=(mn)\overline{a} .....(1)\) ➜Note যেখানে, \(m=1+m_{1}\)
এবং \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\)

আবার, \(OP=OA+AP\)
\(\Rightarrow nOP=nOA+nAP\)
\(\Rightarrow n\overrightarrow{OP}=n\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{AP}\) ভেক্টর চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow n\overrightarrow{OP}=n\overrightarrow{OA}+m_{1}n\overrightarrow{OA}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AP}=m_{1}\overrightarrow{OA}\)

\(\Rightarrow n\overrightarrow{OP}=n\overrightarrow{OA}(1+m_{1})\)
\(\Rightarrow n\overrightarrow{OP}=(n\overline{a})(1+m_{1})\)
\(\Rightarrow n\overrightarrow{OP}=(1+m_{1})(n\overline{a})\)
\(\therefore \overrightarrow{OP}=m(n\overline{a}) .....(2)\) ➜Note যেখানে, \(m=1+m_{1}\)
এবং \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\)

\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\((mn)\overline{a}=m(n\overline{a})\)
( প্রমাণিত )

ধরি, \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}, \ \overrightarrow{AB}=\overline{b}, \ \overrightarrow{OB}=\overline{c}\)
এখন, \(\triangle{OAB}\) ত্রিভুজে ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}\)
\(\therefore \overline{c}=\overline{a}+\overline{b} ....(1)\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OA}=\overline{a}\)
\(\overrightarrow{AB}=\overline{b}\)
এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{c}\)

আবার ধরি, \(\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}=m\overline{a}\)
\(AB\parallel{PQ}\) আঁকি, যেন বর্ধিত \(OB\) রেখা \(PQ\) কে \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(O, B, Q\) একই সরলরেখা \(OQ\) তে অবস্থিত। সদৃশ \(\triangle{OAB}\) ও \(\triangle{OPQ}\) থেকে,
\(\frac{AB}{PQ}=\frac{OA}{OP}\)
\(\Rightarrow \frac{AB}{PQ}=\frac{OA}{mOA}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}\)

\(\Rightarrow \frac{AB}{PQ}=\frac{1}{m}\)
\(\Rightarrow PQ=mAB\)
\(\therefore \overrightarrow{PQ}=m\overrightarrow{AB}\)
অনুরূপভাবে, \(\overrightarrow{OQ}=m\overrightarrow{OB}\)
আবার, \(\triangle{OPQ}\) থেকে,
\(\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PQ}\)
\(\Rightarrow m\overrightarrow{OB}=m\overrightarrow{OA}+m\overrightarrow{AB}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OQ}=m\overrightarrow{OB}\)
এবং \(\overrightarrow{PQ}=m\overrightarrow{AB}\)

\(\Rightarrow m\overline{c}=m\overline{a}+m\overline{b}\)
\(\therefore m(\overline{a}+\overline{b})=m\overline{a}+m\overline{b}\) ➜Note \(\because \overline{c}=\overline{a}+\overline{b}\)

( প্রমাণিত )

ধরি, \(OA, OB, OC\) তিনটি রেখা একই সমতলে অবস্থান করে \(O\) বিন্দুতে ছেদ করে এবং \(OX\) বরাবর একটি ভেক্টর \(\overline{a}, \ OY\) বরাবর একটি ভেক্টর \(\overline{b}\) এবং \(\overrightarrow{OC}=\overline{r}\)
যেখানে, \(OACB\) সামান্তরিকের কর্ণ \(OC\) এবং \(OA\) ও \(OB\) সন্নিহিত দুইটি বাহু।
সুতরাং, দুইটি স্কেলার \(m\) ও \(n\) এর জন্য
\(\overrightarrow{OA}=m\overline{a}\) ও \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AC}=n\overline{b}\)
\(OACB\) সামান্তরিক হতে,
\(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}\)
\(\therefore \overline{r}=m\overline{a}+n\overline{b}\)
( প্রমাণিত )
যেহেতু, \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) বরাবর সন্নিহিত বাহু দ্বারা একটি মাত্র সামান্তরিক অঙ্কন করা যায়, যার কর্ণ \(\overrightarrow{OC},\) সুতরাং ইহা স্পষ্ট যে, \(\overline{r}\) কে এককভাবে বিশ্লেষণ করা যায়।
এখানে,
\(OX\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=m\overline{a}\)
\(OY\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=n\overline{b}\)

ধরি, কার্তেসীয় সমতলে \(P\) বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((x, y)\) এবং মূলবিন্দু \((0, 0), x\) ও \(y\) অক্ষের ধনাত্মক দিকে একক ভেক্টর যথাক্রমে \(\hat{i}\) ও \(\hat{j}\)
এবং \(\overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
এখানে, \(PN\perp{OX}\) এবং \(PM\perp{OY}\)
তাহলে, \(\overrightarrow{ON}=x\hat{i}\) এবং \(\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{OM}=y\hat{j}\)
এখন, \(\triangle{PON}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NP}\)
\(\therefore\) \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}\)

\(\triangle{OAP}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}\)
\(\therefore \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}\)
আবার, \(\triangle{OBP}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{OB}\)
\(\therefore \overrightarrow{PB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP}\)
প্রশ্ন মতে, \(AP:PB=m:n\)
\(\Rightarrow \frac{AP}{PB}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow nAP=mPB\)
\(\Rightarrow n\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{PB}\)
\(\Rightarrow n(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA})=m(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP})\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}\)
\(\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP}\)

\(\Rightarrow n\overrightarrow{OP}-n\overrightarrow{OA}=m\overrightarrow{OB}-m\overrightarrow{OP}\)
\(\Rightarrow n\overrightarrow{OP}+m\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OB}+n\overrightarrow{OA}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{OP}(m+n)=m\overline{b}+n\overline{a}\)
\(\therefore \overrightarrow{OP}=\frac{m\overline{b}+n\overline{a}}{m+n}\)
( প্রমাণিত )

দেওয়া আছে,
\(\overrightarrow{AB}=\overline{a}, \overrightarrow{BC}=\overline{b}, \overrightarrow{CD}=\overline{c}\) এবং \(\overrightarrow{DE}=\overline{d}\)
\(A, C\) এবং \(A, D\) যোগ করি,
\(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)
এবং \(\triangle{ACD}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}\)
\(\therefore \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)

আবার, \(\triangle{ADE}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\)

\(\therefore \overrightarrow{AE}=\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}+\overline{d}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AB}=\overline{a}, \overrightarrow{BC}=\overline{b}, \overrightarrow{CD}=\overline{c}, \overrightarrow{DE}=\overline{d}\)

( দেখানো হলো )

দেওয়া আছে,
\(AC\) বাহুর মধ্যবিন্দু \(B; \overrightarrow{OA}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\)
\(\triangle{OAB}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}=\overline{b}-\overline{a}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OB}=\overline{b}\)
এবং \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\)

আবার, \(\triangle{OAC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{AB}\) ➜Note \(\because B, AC\) এর মধ্যবিন্দু
অর্থাৎ \(AC=2AB\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{OC}=\overline{a}+2(\overline{b}-\overline{a})\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OA}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{AB}=\overline{b}-\overline{a}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{OC}=\overline{a}+2\overline{b}-2\overline{a}\)
\(\therefore \overrightarrow{OC}=2\overline{b}-\overline{a}\)

দেওয়া আছে,
\(ABC\) ত্রিভুজের \(BC\) বাহুর মধ্যবিন্দু \(D\)
\(A, D\) যোগ করি,
ধরি,
\(\angle{ADB}=\theta\) এবং \(\angle{ADC}=180^{o}-\angle{ADB}=180^{o}-\theta\)
\(\therefore \overrightarrow{DA}.\overrightarrow{BD}=DA BD\cos{\theta}\)
এবং \(\overrightarrow{DA}.\overrightarrow{DC}=DA DC\cos{(180^{o}-\theta})\)
\(\therefore \overrightarrow{DA}.\overrightarrow{DC}=-DA DC\cos{\theta}\)
\(\therefore \overrightarrow{DA}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DA}.\overrightarrow{DC}=DA BD\cos{\theta}-DA DC\cos{\theta}\)
\(=DA BD\cos{\theta}-DA DB\cos{\theta}\) ➜Note \(\because D, BC\) এর মধ্যবিন্দু
\(\therefore DC=DB\)

\(=0\)
\(\therefore \overrightarrow{DA}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DA}.\overrightarrow{DC}=0\)
( দেখানো হলো )

\((a)\) দেওয়া আছে,
\(ABC\) ত্রিভুজের \(BC\) বাহুর মধ্যবিন্দু \(D\) মধ্যবিন্দুর সূত্রানুসারে,
\(\therefore 2\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\)
\(\therefore \overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\)
অনুরূপভাবে, \(ABC\) ত্রিভুজের \(AC\) বাহুর মধ্যবিন্দু \(E\)
\(\therefore \overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA})\)
\(ABC\) ত্রিভুজের \(AB\) বাহুর মধ্যবিন্দু \(F\)
\(\therefore \overrightarrow{CF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA})\)
এখন, \(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA})\)
\(=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA})\)
\(=\frac{1}{2}\{(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA})+(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB})+(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AC})\}\)
\(=\frac{1}{2}\{0+0+0\}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=0\)
\(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB}=0\)
এবং \(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AC}=0\)

\(=\frac{1}{2}\{0\}\)
\(=0\)
( দেখানো হলো )
\((b)\) ধরি, \(ABC\) ত্রিভুজের \(AD, BE, CE\) বাহুগুলি পরস্পরকে \(G\) বিন্দুতে ছেদ করে।
অতএব, \(G\) ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্র।
\(\therefore AD, BE, CE\) বাহুগুলি পরস্পরকে \(G\) বিন্দুতে \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
এখন, \(\therefore \overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{FB}\) ➜Note \(\because AB\) বাহুর মধ্যবিন্দু \(F\)

\(=2(\overrightarrow{FG}+\overrightarrow{GB})\) ➜Note \(\triangle{FBG}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{FB}=\overrightarrow{FG}+\overrightarrow{GB}\)

\(=2(\frac{1}{3}\overrightarrow{FC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{EB})\) ➜Note \(\because FC\) বাহুকে \(G\) বিন্দুতে \(1:2\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore \overrightarrow{FG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{FC}\)
\(EB\) বাহুকে \(G\) বিন্দুতে \(1:2\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore \overrightarrow{GB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{EB}\)

\(=2\{\frac{1}{3}(-\overrightarrow{CF})+\frac{2}{3}(-\overrightarrow{BE})\}\)
\(=-\frac{2}{3}\overrightarrow{CF}-\frac{4}{3}\overrightarrow{BE}\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{CF}-\frac{4}{3}\overrightarrow{BE}\)
আবার, \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GC}\) ➜Note \(\triangle{BGC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GC}\)

\(=\overrightarrow{BG}-\overrightarrow{CG}\)
\(=\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}-\frac{2}{3}\overrightarrow{CF}\) ➜Note \(\because BE\) বাহুকে \(G\) বিন্দুতে \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore \overrightarrow{BG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}\)
\(CF\) বাহুকে \(G\) বিন্দুতে \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore \overrightarrow{CG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CF}\)

\(\therefore \overrightarrow{BC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}-\frac{2}{3}\overrightarrow{CF}\)

দেওয়া আছে,
\(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) দুইটি অশূন্য অসমান্তরার ভেক্টর হয় এবং \((x-2)\overline{a}+(y+5)\overline{b}=\underline{0}\)
ধরি, \((x-2)\overline{a}+(y+5)\overline{b}=\underline{0} ........(1)\)
\((1)\) এর উভয় পার্শ হতে \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর সহগের সমতা নিয়ে,
\(x-2=0, \ y+5=0\)
\(\therefore x=2, \ y=-5\)
( দেখানো হলো )

ধরি,
\(\triangle{ABC}\)এর \(AB\) এবং \(AC\) বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে \(D\) ও \(E\)
প্রমাণ করতে হবে যে, \(DE=\frac{1}{2}BC\) এবং \(DE||BC\)
\(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AE}-2\overrightarrow{AD}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AE}\)
এবং \(\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AD}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{BC}=2(\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD})\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{DE}\) ➜Note \(\triangle{ADE}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}\)
\(\therefore \overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DE}\)

\(\Rightarrow 2\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{BC}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\)
\(\Rightarrow |\overrightarrow{DE}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{BC}|\)
\(\therefore DE=\frac{1}{2}BC\)
যেহুতু, \( DE=\frac{1}{2}BC\)
অতএব, \( DE\) ও \(BC\) এর ধারক রেখা একই বা সমান্তরাল হবে।
এখানে ধারক রেখাদ্বয় একই নয়, ফলে সমান্তরাল হবে।
অতএব, \( DE||BC\) এবং \(\therefore DE=\frac{1}{2}BC\)
( প্রমাণিত )

ধরি,
\(OABC\) সামান্তরিকে \(O\) মূলবিন্দু এবং \(A\) ও \(C\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\)
এখানে, \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{OC}=\overline{b}\)
\(\therefore \overrightarrow{CB}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{AB}=\overline{b}\) ➜Note \(\because \) সামান্তরিকের বিপরীতদ্বয় সমান এবং সমান্তরাল
(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CB}, \ \overrightarrow{OA}||\overrightarrow{CB}\)
এবং (\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CB}, \ \overrightarrow{OA}||\overrightarrow{CB}\)

এখন, \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}\) ➜Note \(\triangle{OAB}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{OB}=\overline{a}+\overline{b}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OA}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{AB}=\overline{b}\)

\(\therefore B\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{a}+\overline{b}\)
এখন, কর্ণ \(OB\) এর মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \( =\frac{\overline{0}+\overline{a}+\overline{b}}{2}\) ➜Note \(\because P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{q}\) হলে,
\(PQ\) এর মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{p}+\overline{q}}{2}\)

\(=\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}\)
আবার, কর্ণ \(AC\) এর মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \( =\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}\) ➜Note \(\because P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{q}\) হলে,
\(PQ\) এর মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{p}+\overline{q}}{2}\)

\(=\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}\)
\(\therefore OB\) ও \(AC\) কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর একই।
অর্থাৎ সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
( প্রমাণিত )

ধরি,
\(\triangle{ABC}\) এ \(\overrightarrow{CB}=\overline{a}, \ \overrightarrow{CA}=\overline{b}\) এবং \(\overrightarrow{AB}=\overline{c}\)
এখন, \(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}\) ➜Note \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overline{a}-\overline{b}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{CB}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{CA}=\overline{b}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB}=(\overline{a}-\overline{b}).(\overline{a}-\overline{b})\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB}=\overline{a}.\overline{a}-\overline{a}.\overline{b}-\overline{b}.\overline{a}+\overline{b}.\overline{b}\)
\(\Rightarrow AB^2=a^2-2\overline{a}.\overline{b}+b^2\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB}=AB^2, \ \overline{a}.\overline{a}=a^2, \ \overline{b}.\overline{b}=b^2\)
এবং \(\overline{a}.\overline{b}=\overline{b}.\overline{a}\)

\(\Rightarrow AB^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}\) ➜Note \(\because \overline{a}.\overline{b}=ab\cos{C}\)

\(\Rightarrow c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}\) ➜Note \(\because AB=c\)

\(\Rightarrow 2ab\cos{C}=a^2+b^2-c^2\)
\(\therefore \cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
( প্রমাণিত )

দেওয়া আছে,
\(\triangle{ABC}\) এ \(D, \ BC\) এর মধ্যবিন্দু। \(\overrightarrow{AB}=\overline{c}\) এবং \(\overrightarrow{AC}=\overline{b}\)
এখন, \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}\) ➜Note \(\triangle{ABD}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\) ➜Note \(\because D, BC\) এর মধ্যবিন্দু
\(\therefore \overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})\) ➜Note \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)
\(\therefore \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AD}=\overline{c}+\frac{1}{2}(\overline{b}-\overline{c})\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AB}=\overline{c}\)
এবং \(\overrightarrow{AC}=\overline{b}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(2\overline{c}+\overline{b}-\overline{c})\)
\(\therefore \overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overline{b}+\overline{c})\)
( দেখানো হলো )

দেওয়া আছে,
\(ABCDE\) একটি পঞ্চভুজ; \(\overrightarrow{AB}=\overline{a}, \ \overrightarrow{BC}=\overline{b}, \ \overrightarrow{CD}=\overline{c}\) এবং \(\overrightarrow{DE}=\overline{d}\)
এখন, \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\) ➜Note \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)

\(\therefore \overrightarrow{AC}=\overline{a}+\overline{b} .....(1)\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AB}=\overline{a}, \ \overrightarrow{BC}=\overline{b}\)

আবার, \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}\) ➜Note \(\triangle{ACD}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}\)

\(\therefore \overrightarrow{AD}=\overline{a}+\overline{b}+\overline{c} .....(2)\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AC}=\overline{a}+\overline{b}, \ \overrightarrow{CD}=\overline{c}\)

আবার, \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}\) ➜Note \(\triangle{ADE}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}\)

\(\therefore \overrightarrow{AE}=\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}+\overline{d}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AD}=\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}, \ \overrightarrow{DE}=\overline{d}\)

( দেখানো হলো )

দেওয়া আছে,
\(\triangle{PQR}\)-এ \(QR, \ RP\) ও \(PQ\) বাহগুলির মধ্যবিন্দু যথাক্রম \(L, \ M\) ও \(N\)
এখন, \(2\overrightarrow{PL}=\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{PR}\) ➜Note \(\because\)\(QR\) বাহুর মধ্যবিন্দু \(L\)
\(\therefore 2\overrightarrow{PL}=\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{PR}\)

\(\therefore \overrightarrow{PL}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{PR}) .....(1)\)
আবার, \(2\overrightarrow{QM}=\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{QR}\) ➜Note \(\because\)\(PR\) বাহুর মধ্যবিন্দু \(M\)
\(\therefore 2\overrightarrow{QM}=\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{QR}\)

\(\therefore \overrightarrow{QM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{QR}) .....(2)\)
আবার, \(2\overrightarrow{RN}=\overrightarrow{RP}+\overrightarrow{RQ}\) ➜Note \(\because\)\(PQ\) বাহুর মধ্যবিন্দু \(N\)
\(\therefore 2\overrightarrow{RN}=\overrightarrow{RP}+\overrightarrow{RQ}\)

\(\therefore \overrightarrow{RN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{RP}+\overrightarrow{RQ}) .....(3)\)
\((1)+(2)+(3)\) এর সাহায্যে
\(\overrightarrow{PL}+\overrightarrow{QM}+\overrightarrow{RN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{PR})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{QR})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{RP}+\overrightarrow{RQ})\)
\(=\frac{1}{2}(\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{PR}+\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{QR}+\overrightarrow{RP}+\overrightarrow{RQ})\)
\(=\frac{1}{2}\{(\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QP})+(\overrightarrow{QR}+\overrightarrow{RQ})+(\overrightarrow{RP}+\overrightarrow{PR})\}\)
\(=\frac{1}{2}\{0+0+0\}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QP}=0\)
\(\overrightarrow{QR}+\overrightarrow{RQ}=0\)
এবং
\(\overrightarrow{RP}+\overrightarrow{PR}=0\)

\(=\frac{1}{2}\{0\}\)
\(=0\)
\(\therefore \overrightarrow{PL}+\overrightarrow{QM}+\overrightarrow{RN}=0\)
( দেখানো হলো )

দেওয়া আছে,
\(\overline{a}\) এবং \(\overline{b}\) দুইটি অসমরৈখিক ভেক্টর
এবং \((x+1)\overline{a}+(y-2)\overline{b}=2\overline{a}+\overline{b} ........(1)\) (ধরি)
\((1)\) এর উভয় পার্শ হতে \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর সহগের সমতা নিয়ে,
\(x+1=2, \ y-2=1\)
\(\Rightarrow x=2-1, \ y=1+2\)
\(\therefore x=1, \ y=3\)

দেওয়া আছে,
\(\triangle{ABC}\) এ \(BC\) বাহুর মধ্যবিন্দু \(D\)
এখন, \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD} .....(1)\) ➜Note \(\triangle{ABD}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}\)

আবার, \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD} .....(2)\) ➜Note \(\triangle{ACD}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}\)

\((1)+(2)\) এর সাহায্যে
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{AD}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{AD}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{AD}\) ➜Note \(\because BC\) বাহুর মধ্যবিন্দু \(D\)
\(\therefore \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DC}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{AD}\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}\)
( দেখানো হলো )

দেওয়া আছে,
\(\triangle{ABC}\) এ \(BC\) বাহুর মধ্যবিন্দু \(D\)
এখন, \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}\) ➜Note \(\triangle{ABD}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB}=(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB})(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB})\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DB}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}.\overrightarrow{DB}\)
\(\Rightarrow AB^2=AD^2+DB^2+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DB}.\overrightarrow{AD}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB}=AB^2\)
\(\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AD}=AD^2\)
এবং \(\overrightarrow{DB}.\overrightarrow{DB}=DB^2\)

\(\therefore AB^2=AD^2+DB^2+2\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{DB} .....(1)\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DB}.\overrightarrow{AD}\)

আবার, \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}\) ➜Note \(\triangle{ACD}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AC}=(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DC})(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC})\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DC}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}.\overrightarrow{DC}\)
\(\Rightarrow AC^2=AD^2+DC^2+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DC}.\overrightarrow{AD}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AC}=AC^2\)
\(\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AD}=AD^2\)
এবং \(\overrightarrow{DC}.\overrightarrow{DC}=DC^2\)

\(\therefore AC^2=AD^2+DC^2+2\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{DC} .....(2)\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DC}.\overrightarrow{AD}\)

\((1)+(2)\) এর সাহায্যে
\(AB^2+AC^2=AD^2+DB^2+AD^2+DC^2+2\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{DB}+2\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{DC}\)
\(=2AD^2+DB^2+DB^2+2\overrightarrow{AD}(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC})\) ➜Note \(\because BC\) বাহুর মধ্যবিন্দু \(D\)
\(\therefore DC^2=DB^2\)

\(=2AD^2+2DB^2+2\overrightarrow{AD}(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BD})\) ➜Note \(\because BC\) বাহুর মধ্যবিন্দু \(D\)
\(\therefore \overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BD}\)

\(=2AD^2+2DB^2+2\overrightarrow{AD}(\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DB})\)
\(=2(AD^2+DB^2)+2\overrightarrow{AD}(0)\)
\(=2(AD^2+DB^2)+0\)
\(\therefore AB^2+AC^2=2(AD^2+BD^2)\)
( দেখানো হলো )

দেওয়া আছে,
\(ABC\) ত্রিভুজের \(BC, CA, AB\) বাহুগুলির মধ্যবিন্দু যথাক্রমে \(D, E, F\)
এখন, \(2\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\) ➜Note \(\because BC\) বাহুর মধ্যবিন্দু \(D\) মধ্যবিন্দুর সূত্রানুসারে,
\(2\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\)
\(\therefore \overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\)
আবার,\(\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}\) ➜Note \(\triangle{ABE}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{BE}=-\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\) ➜Note \(\because E, \ AC\) এর মধ্যবিন্দু
\(\therefore \overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)

\(\therefore \overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\)
আবার, \(\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AF}\) ➜Note \(\triangle{ACF}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AF}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{CF}=-\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\) ➜Note \(\because F, \ AB\) এর মধ্যবিন্দু
\(\therefore \overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)

\(\therefore \overrightarrow{CF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\)
( দেখানো হলো )

দেওয়া আছে,
\(\overrightarrow{OA}=\overline{a}, \ \overrightarrow{OB}=\overline{b}, \ \overrightarrow{OC}=\overline{c}\) এবং \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}\)
এখন, \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB} .......(1)\) ➜Note \(\triangle{OAB}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}\)

আবার, \(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC} .....(2)\) ➜Note \(\triangle{OCB}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC}\)

\((1)\) ও \((2)\) যোগ করে,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OB}\)
\(\therefore \overline{a}+\overline{c}=2\overline{b}\) ➜Note দেওয়া আছে,
\(\because \overrightarrow{OA}=\overline{a}\)
\(\overrightarrow{OC}=\overline{c}\)
এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\)

( দেখানো হলো )

দেওয়া আছে,
\(ABC\) একটি ত্রিভুজে। \(\overrightarrow{BC}=\overline{a}, \ \overrightarrow{CA}=\overline{b}\) এবং \(\overrightarrow{BA}=\overline{c}\)
এখন, \(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}\) ➜Note \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}\)

\(\therefore \overline{a}+\overline{b}=\overline{c}\) ➜Note দেওয়া আছে,
\(\overrightarrow{BC}=\overline{a}\)
\(\overrightarrow{CA}=\overline{b}\)
এবং \(\overrightarrow{BA}=\overline{c}\)

( দেখানো হলো )

দেওয়া আছে,
\(\triangle{ABC}\) এ \(BC\) বাহুর মধ্যবিন্দু \(M\)
এখন, \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}\) ➜Note \(\triangle{ABM}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB}=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB})(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB})\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MB}\)
\(\Rightarrow AB^2=AM^2+MB^2+\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{AM}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB}=AB^2\)
\(\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AM}=AM^2\)
এবং \(\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MB}=MB^2\)

\(\therefore AB^2=AM^2+MB^2+2\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{MB} .....(1)\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{AM}\)

আবার, \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC}\) ➜Note \(\triangle{ACM}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AC}=(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{MC})(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC})\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MC}\)
\(\Rightarrow AC^2=AM^2+MC^2+\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{AM}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AC}=AC^2\)
\(\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AM}=AM^2\)
এবং \(\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MC}=MC^2\)

\(\therefore AC^2=AM^2+MC^2+2\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{MC} .....(2)\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{AM}\)

\((1)+(2)\) এর সাহায্যে
\(AB^2+AC^2=AM^2+MB^2+AM^2+MC^2+2\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{MC}\)
\(=2AM^2+MB^2+MB^2+2\overrightarrow{AM}(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})\) ➜Note \(\because BC\) বাহুর মধ্যবিন্দু \(M\)
\(\therefore MC^2=MB^2\)

\(=2AM^2+2MB^2+2\overrightarrow{AM}(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BM})\) ➜Note \(\because BC\) বাহুর মধ্যবিন্দু \(M\)
\(\therefore \overrightarrow{MC}=\overrightarrow{BM}\)

\(=2AM^2+2MB^2+2\overrightarrow{AM}(\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MB})\)
\(=2(AM^2+MB^2)+2\overrightarrow{AM}(0)\)
\(=2(AM^2+MB^2)+0\)
\(\therefore AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)\)
( দেখানো হলো )

ধরি,
\(-\overline{a}+2\overline{b}=2\overline{c} .....(1)\)
\(5\overline{a}-2\overline{b}=3\overline{d} .....(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) যোগ করে,
\(-\overline{a}+2\overline{b}+5\overline{a}-2\overline{b}=2\overline{c}+3\overline{d}\)
\(\Rightarrow 4\overline{a}=2\overline{c}+3\overline{d}\)
\(\therefore \overline{a}=\frac{2\overline{c}+3\overline{d}}{4}\)
\((1)\) হতে,
\(2\overline{b}=2\overline{c}+\overline{a}\)
\(\Rightarrow \overline{b}=\overline{c}+\frac{1}{2}\overline{a}\)
\(=\overline{c}+\frac{1}{2}\times{\frac{2\overline{c}+3\overline{d}}{4}}\) ➜Note \(\because \overline{a}=\frac{2\overline{c}+3\overline{d}}{4}\)

\(=\overline{c}+\frac{2\overline{c}+3\overline{d}}{8}\)
\(=\frac{8\overline{c}+2\overline{c}+3\overline{d}}{8}\)
\(=\frac{10\overline{c}+3\overline{d}}{8}\)
\(\therefore \overline{b}=\frac{10\overline{c}+3\overline{d}}{8}\)

দেওয়া আছে,
\(OPQ\) ত্রিভুজে, \(\overrightarrow{OP}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{OQ}=\overline{b};\) \(PQ\) রেখার উপর \(R\) এমন একটি বিন্দু যেন, \(PQ=2QR.\)
শর্তমতে, \(R,\) \(PQ\) এর বর্ধিতাংশের উপর অবস্থিত।
এবং \(PQ=2QR\)
\(\Rightarrow PQ=2(PR-PQ)\)
\(\Rightarrow PQ=2PR-2PQ\)
\(\Rightarrow PQ+2PQ=2PR\)
\(\Rightarrow 3PQ=2PR\)
\(\therefore \overrightarrow{PQ}=\frac{2}{3}\overrightarrow{PR}\)
\(R, \ O\) যোগ করি।
এখন, \(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OQ}\) ➜Note \(\triangle{OPQ}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OQ}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{PQ}=-\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}\) ➜Note \(\because R,\) \(PQ\) এর মধ্যবিন্দু।

\(\Rightarrow \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}\)
\(\Rightarrow \frac{2}{3}\overrightarrow{PR}=\overline{b}-\overline{a}\) ➜Note দেওয়া আছে,
\(\overrightarrow{OP}=\overline{a}, \ \overrightarrow{OQ}=\overline{b}\)
এবং \(\overrightarrow{PQ}=\frac{2}{3}\overrightarrow{PR}\)

\(\therefore \overrightarrow{PR}=\frac{3}{2}(\overline{b}-\overline{a})\)
( দেখানো হলো )

ধরি,
\(\triangle{ABC}\) সমকোণী ত্রিভুজের \(AC\) অতিভুজ এবং \(AB, \ BC\) এর উপর লম্ব।
এবং \(\overrightarrow{BA}=\overline{a}, \ \overrightarrow{BC}=\overline{b}, \ \overrightarrow{AC}=\overline{c}\)
এখন, \(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}\) ➜Note \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}\)

\(\Rightarrow \overline{a}+\overline{c}=\overline{b}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{BA}=\overline{a}\)
\(\overrightarrow{AC}=\overline{c}\)
এবং \(\overrightarrow{BC}=\overline{b}\)

\(\Rightarrow \overline{c}=\overline{b}-\overline{a}\)
\(\Rightarrow \overline{c}.\overline{c}=(\overline{b}-\overline{a}).(\overline{b}-\overline{a})\)
\(\Rightarrow \overline{c}.\overline{c}=\overline{b}.\overline{b}-\overline{b}.\overline{a}-\overline{a}.\overline{b}+\overline{a}.\overline{a}\)
\(\Rightarrow c^2=b^2-2\overline{b}.\overline{a}+a^2\) ➜Note \(\because \overline{c}.\overline{c}=c^2, \ \overline{b}.\overline{b}=b^2, \ \overline{a}.\overline{a}=a^2\)
এবং \(\overline{b}.\overline{a}=\overline{a}.\overline{b}\)

\(\Rightarrow c^2=b^2+a^2-2ba\cos{90^{o}}\) ➜Note \(\because \overline{b}\) ও \(\overline{a}\) পরস্পর লম্ব।

\(\Rightarrow c^2=b^2+a^2-2ba.0\) ➜Note \(\because \cos{90^{o}}=0\)

\(\Rightarrow c^2=b^2+a^2-0\)
\(\therefore c^2=b^2+a^2\)
সুতরাং, সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান।
( প্রমাণিত )

ধরি,
\(\triangle{ABC}\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু \(A, \ B, \ C\) এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(\overline{a}, \ \overline{b}, \ \overline{c}\) এবং \(D, \ E, \ F\) বিন্দু তিনটি যথাক্রমে \(BC, \ CA, \ AB\) এর মধ্যবিন্দু।
তাহলে,
\(D\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{b}+\overline{c}}{2}\) ➜Note মধ্যবিন্দুর সূত্রঃ
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(PQ\) এর মধ্যবিন্দু \(R\) এর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{p}+\overline{q}}{2}\) হবে।

\(E\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{c}+\overline{a}}{2}\) ➜Note মধ্যবিন্দুর সূত্রঃ
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(PQ\) এর মধ্যবিন্দু \(R\) এর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{p}+\overline{q}}{2}\) হবে।

এবং \(F\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}\) ➜Note মধ্যবিন্দুর সূত্রঃ
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(PQ\) এর মধ্যবিন্দু \(R\) এর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{p}+\overline{q}}{2}\) হবে।

\(G\) বিন্দু \(AD\) মধ্যমাকে \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore G\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{2\times\frac{\overline{b}+\overline{c}}{2}+1\times\overline{a}}{2+1}\) ➜Note বিভক্তিকরণ সূত্রঃ
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(R\) বিন্দু \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(R\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{m\overline{q}+n\overline{p}}{m+n}\) হবে।

\(=\frac{\overline{b}+\overline{c}+\overline{a}}{3}\)
\(=\frac{\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}}{3}\)
অনুরূপভাবে, দেখানো যায় যে, \(BE\) এবং \(CF\) মধ্যমাকে \(2:1\) অনুপাতে বিভক্তকারী বিন্দুদ্বয়ের উভয়ের অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}}{3}.\)
সুতরাং, ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় সমবিন্দু।
( প্রমাণিত )

ধরি,
\(\triangle{ABC}\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু \(B\) ও \(C\) হতে বিপরীত বাহুদ্বয়ের উপর লম্ব যথাক্রমে \(BE\) এবং \(CF\) পরস্পর \(O\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(A, \ O\) যোগ করে তাকে বর্ধিত করি যেন \(BC\) বাহুকে \(D\) বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমান করতে হবে যে, \(AD\) ও \(BC\) পরস্পর লম্ব।
মূলবিন্দু \(O\) সাপেক্ষে \(A, \ B, \ C\) বিন্দুত্রয়ের অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(\overline{a}, \ \overline{b}, \ \overline{c}\)
অর্থাৎ \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) \(\therefore \overrightarrow{AD}=-\eta\overline{a}\)
\(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\) \(\therefore \overrightarrow{BE}=-\mu\overline{b}\)
\(\overrightarrow{OC}=\overline{c}\) \(\therefore \overrightarrow{CF}=-\lambda\overline{c}\)
এখানে, \(\eta, \ \mu, \ \lambda\) প্রত্যেকেই স্কেলার।
এখন, \(\overrightarrow{AB}=\overline{b}-\overline{a}\) ➜Note \(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(\overrightarrow{PQ}=\overline{q}-\overline{p}\)

\(\overrightarrow{BC}=\overline{c}-\overline{b}\) ➜Note \(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(\overrightarrow{PQ}=\overline{q}-\overline{p}\)

এবং \(\overrightarrow{AC}=\overline{c}-\overline{a}\) ➜Note \(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(\overrightarrow{PQ}=\overline{q}-\overline{p}\)

যেহেতু \(BE\) এবং \(AC\) পরস্পর লম্ব।
\(\overrightarrow{BE}.\overrightarrow{AC}=0\)
\(\Rightarrow -\mu\overline{b}.(\overline{c}-\overline{a})=0\) ➜Note \(\because \overrightarrow{BE}=-\mu\overline{b}\)
এবং \(\overrightarrow{AC}=\overline{c}-\overline{a}\)

\(\Rightarrow -\mu(\overline{b}.\overline{c}-\overline{b}.\overline{a})=0\)
\(\Rightarrow \overline{b}.\overline{c}-\overline{b}.\overline{a}=0 \ \because \mu\ne{0}\)
\(\Rightarrow \overline{b}.\overline{c}=\overline{b}.\overline{a}\)
\(\therefore \overline{b}.\overline{c}=\overline{a}.\overline{b} ....(1)\)
আবার, \(CF\) এবং \(AB\) পরস্পর লম্ব।
\(\overrightarrow{CF}.\overrightarrow{AB}=0\)
\(\Rightarrow -\lambda\overline{c}.(\overline{b}-\overline{a})=0\) ➜Note \(\because \overrightarrow{CF}=-\lambda\overline{c}\)
এবং \(\overrightarrow{AB}=\overline{b}-\overline{a}\)

\(\Rightarrow -\lambda(\overline{c}.\overline{b}-\overline{c}.\overline{a})=0\)
\(\Rightarrow \overline{c}.\overline{b}-\overline{c}.\overline{a}=0 \ \because \lambda\ne{0}\)
\(\Rightarrow \overline{c}.\overline{b}=\overline{c}.\overline{a}\)
\(\therefore \overline{b}.\overline{c}=\overline{c}.\overline{a} ....(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(\overline{c}.\overline{a}=\overline{a}.\overline{b}\)
\(\Rightarrow \overline{a}.\overline{c}=\overline{a}.\overline{b}\)
\(\Rightarrow \overline{a}.\overline{c}-\overline{a}.\overline{b}=0\)
\(\Rightarrow \overline{a}.(\overline{c}-\overline{b})=0\)
\(\Rightarrow -\eta\overline{a}.(\overline{c}-\overline{b})=0 \ \because \eta\ne{0}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AD}=-\eta\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{BC}=\overline{c}-\overline{b}\)

\(\therefore \overrightarrow{AD}\) এবং \(\overrightarrow{BC}\) পরস্পর লম্ব।
\(\therefore \) ত্রিভুজের শীর্ষ হতে বিপরীত বাহুর ওপর অঙ্কিত লম্বত্রয় সমবিন্দু।
( প্রমাণিত )

ধরি,
\(\triangle{ABC}\) ত্রিভুজের \(BC\) ও \(CA\) বাহুদ্বয়ের উপর লম্বসমদ্বিখন্ডকদ্বয় পরস্পর \(O\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(AB\) বাহুর মধ্যবিন্দু \(F\)
\(F, \ O\) যোগ করি
প্রমান করতে হবে যে, \(OF\) ও \(AB\) পরস্পর লম্ব।
মূলবিন্দু \(O\) সাপেক্ষে \(A, \ B, \ C\) বিন্দুত্রয়ের অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(\overline{a}, \ \overline{b}, \ \overline{c}\)
এখন, \(BC\) এর মধ্যবিন্দু \(D\) এর অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OD}=\frac{\overline{b}+\overline{c}}{2}\) ➜Note মধ্যবিন্দুর সূত্রঃ
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(PQ\) এর মধ্যবিন্দু \(R\) এর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{p}+\overline{q}}{2}\) হবে।

\(CA\) এর মধ্যবিন্দু \(E\) এর অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OE}=\frac{\overline{c}+\overline{a}}{2}\) ➜Note মধ্যবিন্দুর সূত্রঃ
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(PQ\) এর মধ্যবিন্দু \(R\) এর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{p}+\overline{q}}{2}\) হবে।

\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(F\) এর অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OF}=\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}\) ➜Note মধ্যবিন্দুর সূত্রঃ
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(PQ\) এর মধ্যবিন্দু \(R\) এর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{p}+\overline{q}}{2}\) হবে।

এখন, \(\overrightarrow{AB}=\overline{b}-\overline{a}\) ➜Note \(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(\overrightarrow{PQ}=\overline{q}-\overline{p}\)

\(\overrightarrow{BC}=\overline{c}-\overline{b}\) ➜Note \(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(\overrightarrow{PQ}=\overline{q}-\overline{p}\)

এবং \(\overrightarrow{AC}=\overline{c}-\overline{a}\) ➜Note \(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(\overrightarrow{PQ}=\overline{q}-\overline{p}\)

যেহেতু \(OD\) এবং \(BC\) পরস্পর লম্ব।
\(\overrightarrow{OD}.\overrightarrow{BC}=0\)
\(\Rightarrow \left(\frac{\overline{b}+\overline{c}}{2}\right).(\overline{c}-\overline{b})=0\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OD}=\frac{\overline{b}+\overline{c}}{2}\)
এবং \(\overrightarrow{BC}=\overline{c}-\overline{b}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{2}(\overline{c}+\overline{b}).(\overline{c}-\overline{b})=0\)
\(\Rightarrow (\overline{c}+\overline{b}).(\overline{c}-\overline{b})=0\)
\(\Rightarrow \overline{c}.\overline{c}-\overline{c}.\overline{b}+\overline{b}.\overline{c}-\overline{b}.\overline{b}=0\)
\(\Rightarrow c^2-b^2=0\) ➜Note \(\because \overline{c}.\overline{c}=c^2\)
\(\overline{b}.\overline{b}=b^2\)
এবং \(\overline{c}.\overline{b}=\overline{b}.\overline{c}\)

\(\therefore c^2=b^2 ......(1)\)
আবার, \(OE\) এবং \(AC\) পরস্পর লম্ব।
\(\overrightarrow{OE}.\overrightarrow{AC}=0\)
\(\Rightarrow \left(\frac{\overline{c}+\overline{a}}{2}\right).(\overline{c}-\overline{a})=0\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OE}=\frac{\overline{c}+\overline{a}}{2}\)
এবং \(\overrightarrow{AC}=\overline{c}-\overline{a}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{2}(\overline{c}+\overline{a}).(\overline{c}-\overline{a})=0\)
\(\Rightarrow (\overline{c}+\overline{a}).(\overline{c}-\overline{a})=0\)
\(\Rightarrow \overline{c}.\overline{c}-\overline{c}.\overline{a}+\overline{a}.\overline{c}-\overline{a}.\overline{a}=0\)
\(\Rightarrow c^2-a^2=0\) ➜Note \(\because \overline{c}.\overline{c}=c^2\)
\(\overline{a}.\overline{a}=a^2\)
এবং \(\overline{c}.\overline{a}=\overline{a}.\overline{c}\)

\(\therefore c^2=a^2 ......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(b^2=a^2\)
\(\Rightarrow b^2-a^2=0\)
\(\Rightarrow \overline{b}.\overline{b}-\overline{a}.\overline{a}=0\) ➜Note \(\because b^2=\overline{b}.\overline{b}\)
এবং \(a^2=\overline{a}.\overline{a}\)

\(\Rightarrow \overline{b}.\overline{b}+\overline{b}.\overline{a}-\overline{a}.\overline{b}-\overline{a}.\overline{a}=0\)
\(\Rightarrow \overline{b}.(\overline{b}+\overline{a})-\overline{a}.(\overline{b}+\overline{a})=0\)
\(\Rightarrow (\overline{b}+\overline{a}).(\overline{b}-\overline{a})=0\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}(\overline{b}+\overline{a}).(\overline{b}-\overline{a})=0\)
\(\Rightarrow \left(\frac{\overline{b}+\overline{a}}{2}\right).(\overline{b}-\overline{a})=0\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{OF}.\overrightarrow{AB}=0\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OF}=\frac{\overline{b}+\overline{a}}{2}\)
এবং \(\overrightarrow{AB}=\overline{b}-\overline{a}\)

\(\therefore \overrightarrow{OF}\) এবং \(\overrightarrow{AB}\) পরস্পর লম্ব।
\(\therefore \) ত্রিভুজের বাহুগুলির লম্ব সমদ্বিখন্ডকত্রয় সমবিন্দু।
( প্রমাণিত )

ধরি,
মূলবিন্দু \(O\) সাপেক্ষে \(A, \ B, \ C\) বিন্দুত্রয়ের অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(\overline{a}, \ \overline{b}, \ \overline{c}\)
এখন, \(BC\) এর মধ্যবিন্দু \(D\) এর অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OD}=\frac{\overline{b}+\overline{c}}{2}\) ➜Note মধ্যবিন্দুর সূত্রঃ
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(PQ\) এর মধ্যবিন্দু \(R\) এর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{p}+\overline{q}}{2}\) হবে।

\(CA\) এর মধ্যবিন্দু \(E\) এর অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OE}=\frac{\overline{c}+\overline{a}}{2}\) ➜Note মধ্যবিন্দুর সূত্রঃ
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(PQ\) এর মধ্যবিন্দু \(R\) এর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{p}+\overline{q}}{2}\) হবে।

\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(F\) এর অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OF}=\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}\) ➜Note মধ্যবিন্দুর সূত্রঃ
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(PQ\) এর মধ্যবিন্দু \(R\) এর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{p}+\overline{q}}{2}\) হবে।

ধরি,
\(G\) বিন্দু দ্বারা \(AD\) রেখা \(k:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়।
\(\therefore G\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{k\times\frac{\overline{b}+\overline{c}}{2}+1\times\overline{a}}{k+1}\) ➜Note বিভক্তিকরণ সূত্রঃ
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(R\) বিন্দু \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(R\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{m\overline{q}+n\overline{p}}{m+n}\) হবে।

\(=\frac{\frac{k(\overline{b}+\overline{c})}{2}+\overline{a}}{k+1}\)
\(=\frac{\frac{k(\overline{b}+\overline{c})+2\overline{a}}{2}}{k+1}\)
\(=\frac{k(\overline{b}+\overline{c})+2\overline{a}}{2(k+1)} ......(1)\)
আবার, যে বিন্দু দ্বারা \(BE\) রেখা \(k:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়।
সেই বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{k\times\frac{\overline{c}+\overline{a}}{2}+1\times\overline{b}}{k+1}\) ➜Note বিভক্তিকরণ সূত্রঃ
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(R\) বিন্দু \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(R\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{m\overline{q}+n\overline{p}}{m+n}\) হবে।

\(=\frac{\frac{k(\overline{c}+\overline{a})}{2}+\overline{b}}{k+1}\)
\(=\frac{\frac{k(\overline{c}+\overline{a})+2\overline{b}}{2}}{k+1}\)
\(=\frac{k(\overline{c}+\overline{a})+2\overline{b}}{2(k+1)} .......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) একই বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর হবে যদি
\(\frac{k(\overline{b}+\overline{c})+2\overline{a}}{2(k+1)}=\frac{k(\overline{c}+\overline{a})+2\overline{b}}{2(k+1)}\) হয়
\(\Rightarrow k\overline{b}+k\overline{c}+2\overline{a}=k\overline{c}+k\overline{a}+2\overline{b}\)
\(\Rightarrow k=2, \ 2=k\) ➜Note উভয় পার্শ হতে \(\overline{b}\) এবং \(\overline{a}\) এর সহগ সমীকৃত করে।

\(\therefore k=2\)
অর্থাৎ \(k=2\) হলে \(AD\) ও \(BE\) মধ্যমাদ্বয় পরস্পরকে \(G\) বিন্দুতে \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করবে।
সে ক্ষেত্রে \(G\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\frac{2(\overline{b}+\overline{c})+2\overline{a}}{2}}{2+1}\)
\(=\frac{\frac{2(\overline{b}+\overline{c}+\overline{a})}{2}}{3}\)
\(=\frac{\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}}{3}\)
\(=\frac{1}{3}(\overline{a}+\overline{b}+\overline{c})\)
অনুরূপভাবে, দেখানো যায় যে, \(CF\) মধ্যমা যে বিন্দুতে \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয় তার অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{1}{3}(\overline{a}+\overline{b}+\overline{c})\)
সুতরাং ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় সমবিন্দু এবং তাদের ছেদবিন্দুতে মধ্যমা \(2:1\) অনুপাতে বিভক্ত হয়।
( প্রমাণিত )

ধরি,
\(ABCD\) একটি চতুর্ভুজ, মূলবিন্দু \(O\) সাপেক্ষে \(A, \ B, \ C, \ D\) বিন্দুগুলির অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(\overline{a}, \ \overline{b}, \ \overline{c}, \ \overline{d}\)
\(AB, \ BC, \ CD, \ DA\) বাহুগুলির মধ্যবিন্দু যথাক্রমে \(E, \ F, \ G, \ H\)
এখন, \(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(E\) এর অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OE}=\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}\) ➜Note মধ্যবিন্দুর সূত্রঃ
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(PQ\) এর মধ্যবিন্দু \(R\) এর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{p}+\overline{q}}{2}\) হবে।

\(BC\) এর মধ্যবিন্দু \(F\) এর অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OF}=\frac{\overline{b}+\overline{c}}{2}\) ➜Note মধ্যবিন্দুর সূত্রঃ
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(PQ\) এর মধ্যবিন্দু \(R\) এর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{p}+\overline{q}}{2}\) হবে।

\(CD\) এর মধ্যবিন্দু \(G\) এর অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OG}=\frac{\overline{c}+\overline{d}}{2}\) ➜Note মধ্যবিন্দুর সূত্রঃ
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(PQ\) এর মধ্যবিন্দু \(R\) এর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{p}+\overline{q}}{2}\) হবে।

\(DA\) এর মধ্যবিন্দু \(H\) এর অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OH}=\frac{\overline{d}+\overline{a}}{2}\) ➜Note মধ্যবিন্দুর সূত্রঃ
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(PQ\) এর মধ্যবিন্দু \(R\) এর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{p}+\overline{q}}{2}\) হবে।

এখন, \(\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OE}\) ➜Note \(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(\overrightarrow{PQ}=\overline{q}-\overline{p}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{EF}=\frac{\overline{b}+\overline{c}}{2}-\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OF}=\frac{\overline{b}+\overline{c}}{2}\)
এবং \(\overrightarrow{OE}=\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}(\overline{b}+\overline{c}-\overline{a}-\overline{b})\)
\(\therefore \overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}(\overline{c}-\overline{a})\)
এবং \(\overrightarrow{HG}=\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OH}\) ➜Note \(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(\overrightarrow{PQ}=\overline{q}-\overline{p}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{HG}=\frac{\overline{c}+\overline{d}}{2}-\frac{\overline{d}+\overline{a}}{2}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OG}=\frac{\overline{c}+\overline{d}}{2}\)
এবং \(\overrightarrow{OH}=\frac{\overline{d}+\overline{a}}{2}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{HG}=\frac{1}{2}(\overline{c}+\overline{d}-\overline{d}-\overline{a})\)
\(\therefore \overrightarrow{HG}=\frac{1}{2}(\overline{c}-\overline{a})\)
\(\therefore \overrightarrow{HG}=\overrightarrow{EF}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}(\overline{c}-\overline{a})\)
এবং \(\overrightarrow{HG}=\frac{1}{2}(\overline{c}-\overline{a})\)

\(\therefore |\overrightarrow{HG}|=|\overrightarrow{EF}|\)
সুতরাং \(HG\) এবং \(EF\) বাহুদ্বয় পরস্পর সমান ও সমান্তরাল।
অনুরূপভাবে, দেখানো যায় যে, \(EH\) এবং \(FG\) বাহুদ্বয় ও পরস্পর সমান ও সমান্তরাল।
তাহলে, \(EFGH\) একটি সামান্তরিক।
সুতরাং কোনো চতুর্ভুজের বাহুগুলির মধ্যবিন্দু পর্যায়ক্রমে যোগ করলে উৎপন্ন চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক হবে।
( প্রমাণিত )

ধরি,
\(ABCD\) একটি সামান্তরিকের \(\overrightarrow{AB}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{BC}=\overline{b}\)
তাহলে, \(\overrightarrow{AD}=\overline{b}\) এবং \(\overrightarrow{DC}=\overline{a}\) ➜Note সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলি পরস্পর সমান ও সমান্তরাল।

এখন, \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\) ➜Note \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AC}=\overline{a}+\overline{b}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AB}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{BC}=\overline{b}\)

\(\therefore \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AC}=(\overline{a}+\overline{b}).(\overline{a}+\overline{b})\)
আবার, \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\) ➜Note \(\triangle{BCD}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{DC}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{BD}=\overline{b}-\overline{a}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{BC}=\overline{b}\)
এবং \(\overrightarrow{DC}=\overline{a}\)

\(\therefore \overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BD}=(\overline{b}-\overline{a}).(\overline{b}-\overline{a})\)
এখন, \(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BD}=(\overline{a}+\overline{b}).(\overline{a}+\overline{b})+(\overline{b}-\overline{a}).(\overline{b}-\overline{a})\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AC}=(\overline{a}+\overline{b}).(\overline{a}+\overline{b})\)
এবং \(\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BD}=(\overline{b}-\overline{a}).(\overline{b}-\overline{a})\)

\(\Rightarrow AC^2+BD^2=\overline{a}.\overline{a}+\overline{a}.\overline{b}+\overline{b}.\overline{a}+\overline{b}.\overline{b}+\overline{b}.\overline{b}-\overline{b}.\overline{a}-\overline{a}.\overline{b}+\overline{a}.\overline{a} \) ➜Note \(\because \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AC}=AC^2\)
এবং \(\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BD}=BD^2\)

\(\Rightarrow AC^2+BD^2=a^2+b^2+b^2+a^2\) ➜Note \(\because \overline{a}.\overline{a}=a^2\)
\(\overline{b}.\overline{a}=\overline{a}.\overline{b}\)
এবং \(\overline{b}.\overline{b}=b^2\)

\(\Rightarrow AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+AD^2+DC^2\) ➜Note \(\because a^2=AB^2=DC^2\)
এবং \(b^2=BC^2=AD^2\)

\(\therefore AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+CD^2+DA^2\)
সুতরাং, সামান্তরিকের কর্ণদ্বয়ের বর্গের সমষ্টি তার বাহু চারটির বর্গের সমষ্টির সমান।
( প্রমাণিত )

ধরি,
\(ABCD\) ট্রাপিজিয়ামের \(AB\) এবং \(CD\) বাহুদ্বয় অসমান্তরাল এবং \(BC\) ও \(AD\) বাহুদ্বয় সমান্তরাল। \(E\) ও \(F\) যথাক্রমে \(AB\) এবং \(CD\) এর মধ্যবিন্দু।
\(E, \ F\) যোগ করি।
প্রমাণ করতে হবে যে, \(EF, \ AD\) ও \(BC\) এর সমান্তরাল।
এবং \(EF=\frac{1}{2}(AD+BC)\)
মূলবিন্দু \(O\) সাপেক্ষে \(A, \ B, \ C\) এবং \(D\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(\overline{a}, \ \overline{b}, \ \overline{c}\) এবং \(\overline{d}\)
এখন, \(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(E\) এর অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OE}=\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}\) ➜Note মধ্যবিন্দুর সূত্রঃ
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(PQ\) এর মধ্যবিন্দু \(R\) এর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{p}+\overline{q}}{2}\) হবে।

\(CD\) এর মধ্যবিন্দু \(F\) এর অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OF}=\frac{\overline{c}+\overline{d}}{2}\) ➜Note মধ্যবিন্দুর সূত্রঃ
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(PQ\) এর মধ্যবিন্দু \(R\) এর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{p}+\overline{q}}{2}\) হবে।

আবার, \(\overrightarrow{BC}=\overline{c}-\overline{b}\) ➜Note \(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(\overrightarrow{PQ}=\overline{q}-\overline{p}\)

এবং \(\overrightarrow{AD}=\overline{d}-\overline{a}\) ➜Note \(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(\overrightarrow{PQ}=\overline{q}-\overline{p}\)

\(\overrightarrow{BC}\) এবং \(\overrightarrow{AD}\) সমান্তরাল।
ফলে, \(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}; \ \overrightarrow{BC}\) এবং \(\overrightarrow{AD}\) উভয়ের সমান্তরাল।
\(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=\overline{c}-\overline{b}+\overline{d}-\overline{a}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{BC}=\overline{c}-\overline{b}\)
এবং \(\overrightarrow{AD}=\overline{d}-\overline{a}\)

\(\therefore \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=\overline{c}+\overline{d}-\overline{a}-\overline{b}\)
এখন, \(\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OE}\) ➜Note \(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overrightarrow{OP}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overrightarrow{OQ}\) হলে,
\(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{EF}=\frac{\overline{c}+\overline{d}}{2}-\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OF}=\frac{\overline{c}+\overline{d}}{2}\)
এবং \(\overrightarrow{OE}=\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}(\overline{c}+\overline{d}-\overline{a}-\overline{b})\)
\(\therefore \overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD})\) ➜Note \(\because \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=\overline{c}+\overline{d}-\overline{a}-\overline{b}\)

\(\therefore \overrightarrow{EF}\) ভেক্টর \(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\) এর সমান্তরাল।
অর্থাৎ, \(\overrightarrow{BC}\) এবং \(\overrightarrow{AD}\) উভয়ের সমান্তরাল।
সুতরাং, ট্রাপিজিয়ামের অসমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমান্তরাল এবং তাদের যোগফলের অর্ধেক।
( প্রমাণিত )

ধরি,
\(ABCD\) ট্রাপিজিয়ামের \(AC\) এবং \(BD\) কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে \(E\) ও \(F\)
\(E, \ F\) যোগ করি।
\(\overrightarrow{EC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)
এবং \(\overrightarrow{FB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}\)
এখন, \(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{BO}\) ➜Note \(\triangle{BCO}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{BO}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{BC}-\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OB}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\)
\(\therefore \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BC}\)
\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\) ➜Note \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)

এবং \(\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}\) ➜Note \(\triangle{ABD}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}\)

আবার, \(\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FO}=\overrightarrow{EO}\) ➜Note \(\triangle{EFO}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FO}=\overrightarrow{EO}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EO}-\overrightarrow{FO}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{EF}=(\overrightarrow{EC}-\overrightarrow{OC})-(\overrightarrow{FB}-\overrightarrow{OB})\) ➜Note \(\because \overrightarrow{EO}=\overrightarrow{EC}-\overrightarrow{OC}\)
এবং \(\overrightarrow{FO}=\overrightarrow{FB}-\overrightarrow{OB}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EC}-\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{OB}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EC}-\overrightarrow{FB}-(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB})\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}-(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB})\) ➜Note \(\because \overrightarrow{EC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)
এবং \(\overrightarrow{FB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})-\frac{1}{2}(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB})-\overrightarrow{BC}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BC}\)
\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)
এবং \(\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{BC})\)
\(\therefore \overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC})\)
যেহেতু \(\overrightarrow{BC}||\overrightarrow{AD}\)
সুতরাং, \(\overrightarrow{EF}, \ \overrightarrow{BC}\) এবং \(\overrightarrow{AD}\) উভয়ের সমান্তরাল।
এবং \(\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC})\)
সুতরাং, ট্রাপিজিয়ামের কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমান্তরাল এবং তাদের বিয়োগফলের অর্ধেক।
( প্রমাণিত )

ধরি,
\(OABC\) রম্বসের \(OB\) এবং \(AC\) কর্ণদ্বয় পরস্পরকে \(G\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(O\) মূলবিন্দু সাপেক্ষে \(A\) এবং \(C\) এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(\overline{a}, \ \overline{b}\)
\(\therefore \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CB}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AB}=\overline{b}\)
ইহা স্পষ্ট যে, \(|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{OC}|=|\overline{a}|=|\overline{b}|\)
অর্থাৎ, \(OA=AB=BC=OC=a=b\) ➜Note যেহেতু, রম্বসের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য সমান।

এখন, \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}\) ➜Note \(\triangle{OAB}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}\)

\(\therefore \overrightarrow{OB}=\overline{a}+\overline{b}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OA}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{AB}=\overline{b}\)

অর্থাৎ, \(B\) এর অবস্থান ভেক্টর \(=\overline{a}+\overline{b}\)
\(OB\) কর্ণের মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{0}+\overline{a}+\overline{b}}{2}\) ➜Note মধ্যবিন্দুর সূত্রঃ
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(PQ\) এর মধ্যবিন্দু \(R\) এর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{p}+\overline{q}}{2}\) হবে।

\(=\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}\)
আবার, \(AC\) কর্ণের মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}\) ➜Note মধ্যবিন্দুর সূত্রঃ
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(PQ\) এর মধ্যবিন্দু \(R\) এর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{p}+\overline{q}}{2}\) হবে।

\(=\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}\)
উভয় কর্ণের মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(=\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}\)
সুতরাং কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
আবার,
\(\overrightarrow{AC}=\overline{b}-\overline{a}\) ➜Note \(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(\overrightarrow{PQ}=\overline{q}-\overline{p}\)

এখন, \(\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{AC}=(\overline{a}+\overline{b}).(\overline{b}-\overline{a})\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OB}=\overline{a}+\overline{b}\)
এবং \(\overrightarrow{AC}=\overline{b}-\overline{a}\)

\(=(\overline{b}+\overline{a}).(\overline{b}-\overline{a})\)
\(=\overline{b}.\overline{b}-\overline{b}.\overline{a}+\overline{a}.\overline{b}-\overline{a}.\overline{a}\)
\(=b^2-a^2\) ➜Note \(\because \overline{b}.\overline{b}=b^2\)
\(\overline{a}.\overline{a}=a^2\)
এবং \(\overline{a}.\overline{b}=\overline{b}.\overline{a}\)

\(=b^2-b^2\) ➜Note \(\because a=b\)

\(=0\)
\(\therefore \overrightarrow{OB}\) এবং \(\overrightarrow{AC}\) কর্ণদ্বয় পরস্পর লম্ব।
সুতরাং, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পর সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত হয়।
( প্রমাণিত )

ধরি,
\(O\) কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের \(AB\) একটি ব্যাস এবং \(C\) পরিধির উপর একটি বিন্দু।
\(O\) মূলবিন্দু সাপেক্ষে \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}, \ \overrightarrow{OC}=\overline{b}\)
\(\therefore \overrightarrow{OB}=-\overline{a}\)
আবার, \(|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OC}|\) ➜Note \(|\overrightarrow{OA}|\) এবং \(|\overrightarrow{OC}|\)
উভয়ে বৃত্তের ব্যাসার্ধ

\(\Rightarrow |\overline{a}|=|\overline{b}|\)
\(\therefore a=b\)
এখন, \(\overrightarrow{AC}=\overline{b}-\overline{a}\) ➜Note \(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(\overrightarrow{PQ}=\overline{q}-\overline{p}\)

এবং \(\overrightarrow{BC}=\overline{b}-(-\overline{a})\) ➜Note \(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{p}\)
এবং \(Q\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, \(\overline{q}\) হলে,
\(\overrightarrow{PQ}=\overline{q}-\overline{p}\)

\(\therefore \overrightarrow{BC}=\overline{b}+\overline{a}\)
এখন, \(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=(\overline{b}-\overline{a}).(\overline{b}+\overline{a})\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AC}=\overline{b}-\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{BC}=\overline{b}+\overline{a}\)

\(=\overline{b}.\overline{b}+\overline{b}.\overline{a}-\overline{a}.\overline{b}-\overline{a}.\overline{a}\)
\(=b^2-a^2\) ➜Note \(\because \overline{b}.\overline{b}=b^2\)
\(\overline{a}.\overline{a}=a^2\)
এবং \(\overline{b}.\overline{a}=\overline{a}.\overline{b}\)

\(=b^2-b^2\) ➜Note \(\because a=b\)

\(=0\)
\(\therefore \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=0\)
সুতরাং, \(AC\) এবং \(BC\) পরস্পর লম্ব।
অর্থাৎ, \(\angle{ACB}=90^{o}\)
সুতরাং, অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ।
( প্রমাণিত )

ধরি,
\(OABC\) একটি রম্বস।
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\overline{b}\)
\(AC\) এবং \(BD\) এর দুইটি কর্ণ।
এখন, \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\) ➜Note \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)

\(\therefore \overrightarrow{AC}=\overline{a}+\overline{b}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AB}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{BC}=\overline{b}\)

আবার, \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\) ➜Note \(\triangle{ABD}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{BD}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{BD}=-\overline{a}+\overline{b}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AB}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{AD}=\overline{b}\)

\(\therefore \overrightarrow{BD}=\overline{b}-\overline{a}\)
যদি কর্ণদ্বয় সমান হয় তবে, \(|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BD}|\)
\(\Rightarrow |\overline{a}+\overline{b}|=|\overline{b}-\overline{a}|\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AC}=\overline{a}+\overline{b}\)
এবং \(\overrightarrow{BD}=\overline{b}-\overline{a}\)

\(\Rightarrow |\overline{b}+\overline{a}|^2=|\overline{b}-\overline{a}|^2\) ➜Note উভয় পার্শে বর্গ করে।

\(\Rightarrow (\overline{b}+\overline{a}).(\overline{b}+\overline{a})=(\overline{b}-\overline{a}).(\overline{b}-\overline{a})\)
\(\Rightarrow \overline{b}.\overline{b}+\overline{b}.\overline{a}+\overline{a}.\overline{b}+\overline{a}.\overline{a}=\overline{b}.\overline{b}-\overline{b}.\overline{a}-\overline{a}.\overline{b}+\overline{a}.\overline{a}\)
\(\Rightarrow b^2+a^2+2\overline{a}.\overline{b}=b^2+a^2-2\overline{a}.\overline{b}\) ➜Note \(\because \overline{b}.\overline{b}=b^2\)
\(\overline{a}.\overline{a}=a^2\)
এবং \(\overline{b}.\overline{a}=\overline{a}.\overline{b}\)

\(\Rightarrow b^2+a^2+2\overline{a}.\overline{b}-b^2-a^2+2\overline{a}.\overline{b}=0\)
\(\Rightarrow 4\overline{b}.\overline{a}=0\)
\(\Rightarrow \overline{b}.\overline{a}=0\)
\(\Rightarrow \overline{a}.\overline{b}=0\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=0\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AB}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{AD}=\overline{b}\)

সুতরাং, \(\overrightarrow{AB}\) এবং \(\overrightarrow{AD}\) পরস্পর লম্ব।
\(\therefore ABCD\) একটি বর্গ।
সুতরাং, রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য সমান হলে এটি একটি বর্গ।
( প্রমাণিত )

ধরি,
\(ABCD\) চতুর্ভজের \(AC\) ও \(BD\) কর্ণদ্বয় পরস্পরকে \(O\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
\(\therefore \overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}\) এবং \(\therefore \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{DO}\)
এখন, \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}\) ➜Note \(\triangle{AOB}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{DO}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}\)
এবং \(\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{OD}\)

\(\therefore \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OC} .....(1)\)
আবার, \(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OC} .....(2)\) ➜Note \(\triangle{DOC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OC}\)

\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)
\(\therefore AB=DC\) এবং \(AB\parallel{DC}\) ➜Note \(\because AB\) ও \(DC\) একই রেখা হতে পারে না।

\(\therefore ABCD\) একটি সামান্তরিক।
( প্রমাণিত )

ধরি,
\(OAB\) সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ \(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(D\) এবং \(O\) কে মূলবিন্দু ধরে \(A\) ও \(B\) এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) ও \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\)
\(\therefore \angle{AOB}=90^{o}\)
\(\therefore \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0\)
\(\therefore \overline{a}.\overline{b}=0\)
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(D\) এর অবস্থান ভেক্টর,
\(\overrightarrow{OD}=\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}(\overline{a}+\overline{b})\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{OD}.\overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}(\overline{a}+\overline{b}).\frac{1}{2}(\overline{a}+\overline{b})\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{OD}.\overrightarrow{OD}=\frac{1}{4}(\overline{a}+\overline{b}).(\overline{a}+\overline{b})\)
\(\Rightarrow OD^2=\frac{1}{4}(\overline{a}.\overline{a}+\overline{a}.\overline{b}+\overline{b}.\overline{a}+\overline{b}.\overline{b})\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OD}.\overrightarrow{OD}=OD^2\)

\(\Rightarrow OD^2=\frac{1}{4}(a^2+2\overline{a}.\overline{b}+b^2)\) ➜Note \(\because \overline{a}.\overline{a}=a^2\)
\(\overline{b}.\overline{b}=b^2\)
এবং \(\overline{b}.\overline{a}=\overline{a}.\overline{b}\)

\(\Rightarrow OD^2=\frac{1}{4}(a^2+2.0+b^2)\) ➜Note \(\because \overline{a}.\overline{b}=0\)

\(\Rightarrow OD=\sqrt{\frac{1}{4}(a^2+b^2)}\)
\(\therefore OD=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2} ......(1)\)
এখন, \(\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OA}\) ➜Note \(\triangle{AOD}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OA}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OA}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{DA}=-\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}+\overline{a}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OD}=\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}\)
এবং \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{DA}=\frac{-\overline{a}-\overline{b}+2\overline{a}}{2}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{DA}=\frac{1}{2}(\overline{a}-\overline{b})\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{DA}.\overrightarrow{DA}=\frac{1}{2}(\overline{a}-\overline{b}).\frac{1}{2}(\overline{a}-\overline{b})\)
\(\Rightarrow DA^2=\frac{1}{4}(\overline{a}-\overline{b}).(\overline{a}-\overline{b})\) ➜Note \(\because \overrightarrow{DA}.\overrightarrow{DA}=DA^2\)

\(=\frac{1}{4}(\overline{a}.\overline{a}-\overline{a}.\overline{b}-\overline{b}.\overline{a}+\overline{b}.\overline{b})\)
\(=\frac{1}{4}(a^2-2\overline{a}.\overline{b}+b^2)\) ➜Note \(\because \overline{a}.\overline{a}=a^2\)
\(\overline{b}.\overline{b}=b^2\)
এবং \(\overline{b}.\overline{a}=\overline{a}.\overline{b}\)

\(=\frac{1}{4}(a^2-2.0+b^2)\) ➜Note \(\because \overline{a}.\overline{b}=0\)

\(\therefore DA^2=\frac{1}{4}(a^2+b^2)\)
\(\Rightarrow DA=\sqrt{\frac{1}{4}(a^2+b^2)}\)
\(\therefore DA=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2} .....(2)\)
এখন, \(\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OB}\) ➜Note \(\triangle{BOD}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OB}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{DB}=-\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OB}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{DB}=-\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}+\overline{b}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OD}=\frac{\overline{a}+\overline{b}}{2}\)
এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{DB}=\frac{-\overline{a}-\overline{b}+2\overline{b}}{2}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{DB}=\frac{1}{2}(\overline{b}-\overline{a})\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{DB}.\overrightarrow{DB}=\frac{1}{2}(\overline{b}-\overline{a}).\frac{1}{2}(\overline{b}-\overline{a})\)
\(\Rightarrow DB^2=\frac{1}{4}(\overline{b}-\overline{a}).(\overline{b}-\overline{a})\) ➜Note \(\because \overrightarrow{DB}.\overrightarrow{DB}=DB^2\)

\(=\frac{1}{4}(\overline{b}.\overline{b}-\overline{b}.\overline{a}-\overline{a}.\overline{b}+\overline{a}.\overline{a})\)
\(=\frac{1}{4}(b^2-2\overline{a}.\overline{b}+a^2)\) ➜Note \(\because \overline{a}.\overline{a}=a^2\)
\(\overline{b}.\overline{b}=b^2\)
এবং \(\overline{b}.\overline{a}=\overline{a}.\overline{b}\)

\(=\frac{1}{4}(b^2-2.0+a^2)\) ➜Note \(\because \overline{a}.\overline{b}=0\)

\(\therefore DB^2=\frac{1}{4}(a^2+b^2)\)
\(\Rightarrow DB=\sqrt{\frac{1}{4}(a^2+b^2)}\)
\(\therefore DB=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2} .....(3)\)
\((1), \ (2)\) ও \((3)\) হতে,
\(OD=DA=DB\)
\(\therefore \) একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের মধ্যবিন্দু ত্রিভুজটির শীর্ষবিন্দুগুলি হতে সমদূরবর্তী।
( প্রমাণিত )

দেওয়া আছে,
\(ABC\) ত্রিভুজের \(BC, CA, AB\) বাহুগুলির মধ্যবিন্দু যথাক্রমে \(D, E, F\)
এখন, \(\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}\) ➜Note \(\triangle{ABE}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{BE}=-\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\) ➜Note \(\because E, \ AC\) এর মধ্যবিন্দু
\(\therefore \overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)

\(\therefore \overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\)
আবার, \(\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AF}\) ➜Note \(\triangle{ACF}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AF}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{CF}=-\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\) ➜Note \(\because F, \ AB\) এর মধ্যবিন্দু
\(\therefore \overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)

\(\therefore \overrightarrow{CF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\)

দেওয়া আছে,
\(OAC\) ত্রিভুজের \(AC\) বাহুগুলির মধ্যবিন্দু \(B\); \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\)
এখন, \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}\) ➜Note \(\triangle{OAB}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} .....(1)\)
আবার, \(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}\) ➜Note \(\triangle{OAC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{AB}\) ➜Note \(\because B, \ AC\) এর মধ্যবিন্দু
\(\therefore \overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+2(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}-2\overrightarrow{OA}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\)
\(\therefore \overrightarrow{OC}=2\overline{b}-\overline{a}\)

দেওয়া আছে,
\(\overrightarrow{OP}=\overline{a}, \ \overrightarrow{OQ}=\overline{b}\) এবং \(\overrightarrow{OR}=\overline{a}+\overline{b}\)
এখন, \(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}=\overline{a}+\overline{b}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OP}=\overline{a}, \ \overrightarrow{OQ}=\overline{b}\)

\(\therefore \overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OR}\)
যা ভেক্টর যোগের সামান্তরিক সূত্রের শর্ত।
\(\therefore OPRQ\) একটি সামান্তরিক।

ধরি,
\(ABCD\) একটি সামান্তরিক। \(A, \ C\) এবং \(B, \ D\) যোগ করি।
আবার, \(\overrightarrow{AB}=\overline{a}, \ \overrightarrow{BC}=\overline{b}\)
এখন, কর্ণ \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\) ➜Note \(\because ABCD\) এ ভেক্টর সংযোগের সামান্তরিক সূত্র ব্যবহার করে।
\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\) ➜Note \(\because ABCD\) সামান্তরিকের বিপরীত বাহু ।
\(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}, \ \overrightarrow{AD}\parallel{\overrightarrow{BC}}\) এবং সদৃশ।

\(\therefore \overrightarrow{AC}=\overline{a}+\overline{b}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AB}=\overline{a}, \ \overrightarrow{BC}=\overline{b}\)

আবার, কর্ণ \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\) ➜Note \(\because ABCD\) এ ভেক্টর সংযোগের সামান্তরিক সূত্র ব্যবহার করে।
\(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{BD}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{BD}=-\overline{a}+\overline{b}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AB}=\overline{a}, \ \overrightarrow{BC}=\overline{b}\)

\(\therefore \overrightarrow{BD}=\overline{b}-\overline{a}\)

দেওয়া আছে,
\(ABCD\) চতুর্ভুজের \(BD\) এবং \(AC\) কর্ণের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে \(E\) এবং \(F\)
এখন, \(\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{CF}\) ➜Note \(\triangle{CEF}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{CF}\)

\(\therefore \overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CF}-\overrightarrow{EF} ......(1)\)
আবার, \(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}\) ➜Note \(\triangle{AEF}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}\)

\(\therefore \overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{EF} ......(2)\)
এখন, \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AE} ....(3)\) ➜Note \(\because BD\) কর্ণের মধ্যবিন্দু \(E\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AE}\)

আবার, \(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{CE} ....(4)\) ➜Note \(\because BD\) কর্ণের মধ্যবিন্দু \(E\)
\(\therefore \overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{CE}\)

\((3)\) ও \((4)\) যোগ করে।
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{AE}+2\overrightarrow{CE}\)
\(=2(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{CE})\)
\(=2(\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{CF}-\overrightarrow{EF})\) ➜Note \((1)\) ও \((2)\) এর সাহায্যে
\(\because \overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{EF}\)
\(\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CF}-\overrightarrow{EF}\)

\(=2(\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{CF}-2\overrightarrow{EF})\)
\(=2(\overrightarrow{FC}+\overrightarrow{CF}+2\overrightarrow{FE})\) ➜Note \(\because AC\) কর্ণের মধ্যবিন্দু \(F\)
\(\because \overrightarrow{AF}=\overrightarrow{FC}\)

\(=2(\overrightarrow{FC}-\overrightarrow{FC}+2\overrightarrow{FE})\)
\(=2(2\overrightarrow{FE})\)
\(=4\overrightarrow{FE}\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=4\overrightarrow{FE}\)
( প্রমাণিত )
এখন, \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\) ➜Note \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)

\(\therefore \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} .....(5)\)
আবার, \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}\) ➜Note \(\triangle{ACD}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}\)

\(\therefore \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)

( প্রমাণিত )

দেওয়া আছে,
\(ABCDE\) পঞ্চভুজ
\(A, \ C\) এবং \(A, \ D\) যোগ করি,
এখন, \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} ......(1)\) ➜Note \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)

আবার, \(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{AD} ......(2)\) ➜Note \(\triangle{AED}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{AD}\)

আবার, \(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC} ......(3)\) ➜Note \(\triangle{ADC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}\)

\((1), \ (2)\) ও \((3)\) যোগ করে।
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\overrightarrow{AC}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{AC}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}\) ➜Note উভয় পার্শে \(\overrightarrow{AC}\)যোগ করে,

\(\therefore \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AC}\)
( প্রমাণিত )

ধরি,
মূলবিন্দু \(O\) এর সাপেক্ষে \(A\) ও \(B\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে, \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) ও \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\)
\(\overrightarrow{AB}\) কে এরূপভাবে বর্ধিত করা হলো যেন, \(\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AB}\) হয়।
\(O, \ A\), \(O, \ B\) এবং \(O, \ C\) যোগ করি,
এখন, \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}\) ➜Note \(\triangle{OAB}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}=\overline{b}-\overline{a} .........(1)\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OA}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\)

এখন, \(\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AB}\)
\(\therefore \overrightarrow{AC}=3(\overline{b}-\overline{a}).......(2)\) ➜Note \((1)\) হতে,
\(\overrightarrow{AB}=\overline{b}-\overline{a} \)

আবার, \(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}\) ➜Note \(\triangle{OAC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{OC}=\overline{a}+3(\overline{b}-\overline{a})\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OA}=\overline{a} \)
এবং \((2)\) হতে,
\(\overrightarrow{AC}=3(\overline{b}-\overline{a})\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{OC}=\overline{a}+3\overline{b}-3\overline{a}\)
\(\therefore \overrightarrow{OC}=3\overline{b}-2\overline{a}\)
\(\therefore C\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OC}=3\overline{b}-2\overline{a}\)

দেওয়া আছে,
\(A, \ B, \ C\) বিন্দুত্রয়ের অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(\overline{a}, \ \overline{b}, \ \overline{c};\)
\(ABCD\) সামান্তরিকটি আঁকি।
\(O, A\); \(O, B\); \(O, C\) এবং \( O, D\) যোগ করি,
তাহলে, \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}, \ \overrightarrow{OB}=\overline{b}, \ \overrightarrow{OC}=\overline{c};\)
এখন, \(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}\) ➜Note \(\triangle{OBC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\)
\(\therefore \overrightarrow{BC}=\overline{c}-\overline{b} .........(1)\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OC}=\overline{c}\)
এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\)

আবার, \(\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{OA}\) ➜Note \(\triangle{ODA}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{OA}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{DA}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{CB}\) ➜Note \(\because ABCD\) সামান্তরিকের বিপরীত বাহু ।
\(\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CB}, \ \overrightarrow{DA}\parallel{\overrightarrow{CB}}\) এবং সদৃশ।

\(\Rightarrow \overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{OD}=\overline{a}+\overline{c}-\overline{b}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{OA}=\overline{a} \)
এবং \((1)\) হতে,
\(\overrightarrow{BC}=\overline{c}-\overline{b}\)

\(\therefore \overrightarrow{OD}=\overline{a}-\overline{b}+\overline{c}\)
\(\therefore D\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OD}=\overline{a}-\overline{b}+\overline{c}\)

দেওয়া আছে,
\(ABC\) ত্রিভুজের \(BC, CA, AB\) বাহুগুলির মধ্যবিন্দু যথাক্রমে \(D, E, F\)
এখন, \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FC} ......(1)\) ➜Note \(\triangle{ACF}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FC}\)

আবার, \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EB}\) ➜Note \(\triangle{AEB}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EB}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{EB}\) ➜Note \(AC\) বাহুর মধ্যবিন্দু \(E\)
\(\therefore \overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FC})-\overrightarrow{BE}\) ➜Note \((1)\) হতে,
\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FC}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AF}+\frac{1}{2}\overrightarrow{FC}-\overrightarrow{BE}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\times{\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CF}-\overrightarrow{BE}\) ➜Note \(AB\) বাহুর মধ্যবিন্দু \(F\)
\(\therefore \overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CF}-\overrightarrow{BE}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}-\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{CF}-\overrightarrow{BE}\)
\(\Rightarrow \frac{4-1}{4}\overrightarrow{AB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{CF}-\overrightarrow{BE}\)
\(\Rightarrow \frac{3}{4}\overrightarrow{AB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{CF}-\overrightarrow{BE}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=-\frac{4}{3}\times{\frac{1}{2}}\overrightarrow{CF}-\frac{4}{3}\overrightarrow{BE}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{CF}-\frac{4}{3}\overrightarrow{BE}\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}=-\frac{4}{3}\overrightarrow{BE}-\frac{2}{3}\overrightarrow{CF} ........(2)\)
এখন, \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{EC}\) ➜Note \(\triangle{BEC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{EC}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BE}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\) ➜Note \(AC\) বাহুর মধ্যবিন্দু \(E\)
\(\therefore \overrightarrow{EC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BE}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FC})\) ➜Note \((1)\) হতে,
\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FC}\)

\(=\overrightarrow{BE}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AF}+\frac{1}{2}\overrightarrow{FC}\)
\(=\overrightarrow{BE}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AF}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CF}\)
\(=\overrightarrow{BE}+\frac{1}{2}\times{\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CF}\) ➜Note \(AB\) বাহুর মধ্যবিন্দু \(F\)
\(\therefore \overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)

\(=\overrightarrow{BE}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CF}\)
\(=\overrightarrow{BE}+\frac{1}{4}\left(-\frac{4}{3}\overrightarrow{BE}-\frac{2}{3}\overrightarrow{CF}\right)-\frac{1}{2}\overrightarrow{CF}\) ➜Note \((2)\) হতে,
\(\overrightarrow{AB}=-\frac{4}{3}\overrightarrow{BE}-\frac{2}{3}\overrightarrow{CF}\)

\(=\overrightarrow{BE}-\frac{1}{3}\overrightarrow{BE}-\frac{1}{6}\overrightarrow{CF}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CF}\)
\(=\frac{3-1}{3}\overrightarrow{BE}-\frac{1+3}{6}\overrightarrow{CF}\)
\(=\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}-\frac{4}{6}\overrightarrow{CF}\)
\(\therefore \overrightarrow{BC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}-\frac{2}{3}\overrightarrow{CF} ......(3)\)
এখন, \(\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}\) ➜Note \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}\)

\(=-\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}\)
\(=-\left(\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}-\frac{2}{3}\overrightarrow{CF}\right)-\left(-\frac{4}{3}\overrightarrow{BE}-\frac{2}{3}\overrightarrow{CF}\right)\) ➜Note \((3)\) ও \((2)\) হতে,
\(\overrightarrow{BC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}-\frac{2}{3}\overrightarrow{CF}\)
এবং \(\overrightarrow{AB}=-\frac{4}{3}\overrightarrow{BE}-\frac{2}{3}\overrightarrow{CF}\)

\(=-\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CF}+\frac{4}{3}\overrightarrow{BE}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CF}\)
\(=-\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}+\frac{4}{3}\overrightarrow{BE}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CF}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CF}\)
\(=\frac{-2+4}{3}\overrightarrow{BE}+\frac{2+2}{3}\overrightarrow{CF}\)
\(\therefore \overrightarrow{CA}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}+\frac{4}{3}\overrightarrow{CF} .......(4)\)
এখন, \(2\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\) ➜Note \(BC\) বাহুর মধ্যবিন্দু \(D\) মধ্যবিন্দুর সূত্রানুসারে,
\(\therefore 2\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\)

\(=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CA}\)
\(=-\frac{4}{3}\overrightarrow{BE}-\frac{2}{3}\overrightarrow{CF}-\left(\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}+\frac{4}{3}\overrightarrow{CF}\right)\) ➜Note \((3)\) ও \((4)\) হতে,
\(\overrightarrow{AB}=-\frac{4}{3}\overrightarrow{BE}-\frac{2}{3}\overrightarrow{CF}\)
এবং \(\overrightarrow{CA}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}+\frac{4}{3}\overrightarrow{CF}\)

\(=-\frac{4}{3}\overrightarrow{BE}-\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}-\frac{2}{3}\overrightarrow{CF}-\frac{4}{3}\overrightarrow{CF}\)
\(=\frac{-4-2}{3}\overrightarrow{BE}+\frac{-2-4}{3}\overrightarrow{CF}\)
\(=\frac{-6}{3}\overrightarrow{BE}+\frac{-6}{3}\overrightarrow{CF}\)
\(\therefore 2\overrightarrow{AD}=-2\overrightarrow{BE}-2\overrightarrow{CF}\)
\(\therefore \overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{BE}-\overrightarrow{CF}\)

দেওয়া আছে,
\(ABCD\) ট্রাপিজিয়ামে \(AB\parallel{DC}\) এবং \(DC=3AB,\) \(DC\) বাহুর মধ্যবিন্দু \(M,\) \(\overrightarrow{AB}=\overline{a}, \ \overrightarrow{BC}=\overline{b}\)
এখন, \(\overrightarrow{MC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}\) ➜Note \(DC\) বাহুর মধ্যবিন্দু \(M,\)
\(\therefore \overrightarrow{MC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{MC}=\frac{1}{2}\times{3}\overrightarrow{AB}\) ➜Note দেওয়া আছে,
\(\overrightarrow{DC}=3\overrightarrow{AB}\)

\(\therefore \overrightarrow{MC}=\frac{3}{2}\overline{a} ....(1)\) ➜Note দেওয়া আছে,
\(\overrightarrow{AB}=\overline{a}\)

আবার, \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CM}\) ➜Note \(ABCM\)চতুর্ভুজে ভেক্টর সংযোগের বহুভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CM}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{MC}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\overline{a}+\overline{b}-\frac{3}{2}\overline{a}\) ➜Note দেওয়া আছে,
\(\overrightarrow{AB}=\overline{a}\)
\(\overrightarrow{BC}=\overline{b}\)
এবং \((1)\) হতে,
\(\overrightarrow{MC}=\frac{3}{2}\overline{a}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\overline{b}-\frac{3-2}{2}\overline{a}\)
\(\therefore \overrightarrow{AM}=\overline{b}-\frac{1}{2}\overline{a}\)
এখন, \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\) ➜Note \(\triangle{BCD}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{DC}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}-3\overrightarrow{AB}\) ➜Note দেওয়া আছে,
\(\overrightarrow{DC}=3\overrightarrow{AB}\)

\(\therefore \overrightarrow{BD}=\overline{b}-3\overline{a}\) ➜Note দেওয়া আছে,
\(\overrightarrow{BC}=\overline{b}\)
এবং \(\overrightarrow{AB}=\overline{a}\)

আবার, \(\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB}\) ➜Note \(\triangle{MBC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB}\)

\(=\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{BC}\)
\(=\frac{3}{2}\overline{a}-\overline{b}\) ➜Note দেওয়া আছে,
\(\overrightarrow{BC}=\overline{b}\)
এবং \((1)\) হতে,
\(\overrightarrow{MC}=\frac{3}{2}\overline{a}\)

\(\therefore \overrightarrow{MB}=\frac{3}{2}\overline{a}-\overline{b}\)
আবার, \(\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}\) ➜Note \(DCBA\)চতুর্ভুজে ভেক্টর সংযোগের বহুভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}\)

\(=\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}\)
\(=3\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}\) ➜Note দেওয়া আছে,
\(\overrightarrow{DC}=3\overrightarrow{AB}\)

\(=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\)
\(=2\overline{a}-\overline{b}\) ➜Note দেওয়া আছে,
\(\overrightarrow{AB}=\overline{a}\)
\(\overrightarrow{BC}=\overline{b}\)

\(\therefore \overrightarrow{DA}=2\overline{a}-\overline{b}\)

দেওয়া আছে,
\(ABCD\) সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় \(AC\) এবং \(BD\)
এখন, \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}\) ➜Note \(\triangle{ABD}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}\)

\(\therefore \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BD} .....(1)\)
আবার, \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\) ➜Note \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\) ➜Note \(\because ABCD\) সামান্তরিকের বিপরীত বাহু ।
\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}, \ \overrightarrow{BC}\parallel{\overrightarrow{AD}}\) এবং সদৃশ।

\(\Rightarrow \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AD}\) ➜Note \((1)\) হতে,
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BD}\)

\(\therefore \overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BD}\)
এখন, \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} ......(2)\) ➜Note \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)

আবার, \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\) ➜Note \(\triangle{BCD}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\)

\(\therefore \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA} .....(3)\) ➜Note \(\because ABCD\) সামান্তরিকের বিপরীত বাহু ।
\(\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}, \ \overrightarrow{CD}\parallel{\overrightarrow{BA}}\) এবং সদৃশ।

\((2)\) ও \((3)\) যোগ করে,
\(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}\)
\(=2\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AB}\)
\(=2\overrightarrow{BC}\)
\(\therefore \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{BC}\)
( দেখানো হলো )
\((2)\) হতে \((3)\) বিয়োগ করে,
\(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}\)
\(=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}\)
\(=2\overrightarrow{AB}\)
\(\therefore \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{AB}\)
( দেখানো হলো )

দেওয়া আছে,
\(ABCDE\) পঞ্চভুজ
ধরি, একটি কণার উপর একই সময়ে ক্রিয়ারত ভেক্টরগুলির মাণ ও দিক যথাক্রমে \(ABCDE\) বহুভুজের বাহু \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{CD}\) ও \(\overrightarrow{DE}\) বরাবর নির্দেশ করে।
প্রমাণ করতে হবে যে,
\(\therefore \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}\)
\(ABCDE\) বহুভুজে \(A, C\) এবং \(A, D\) যোগ করি,
এখন, \(\triangle{ABC}\) ত্রিভুজে ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} .........(1)\)
অনুরূপভাবে, \(\triangle{ACD}\) ও \(\triangle{ADE}\) ত্রিভুজে ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD} .........(2)\)
\(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE} .........(3)\)
\((1)\) হতে \(\overrightarrow{AC}\) এর মাণ \((2)\) এ বসিয়ে,
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD} .........(4)\)
\((4)\) হতে \(\overrightarrow{AD}\) এর মাণ \((3)\) এ বসিয়ে,
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}=-\overrightarrow{EA}\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EA}=0\)
( প্রমাণিত )

দেওয়া আছে,
\(ABCD\) সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় \(AC\) এবং \(BD\)
এখন, \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\) ➜Note \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)

\(\therefore \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\) ➜Note \(\because ABCD\) সামান্তরিকের বিপরীত বাহু ।
\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}, \ \overrightarrow{BC}\parallel{\overrightarrow{AD}}\) এবং সদৃশ।

আবার, \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\) ➜Note \(\triangle{ABD}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{BD}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\)
\(\therefore \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\)
( দেখানো হলো )

\((1)\) ধরি,
\(O\) বিন্দুতে পরস্পর লম্বভাবে ছেদ করে এরূপ \(OX\) ও \(OY\) অক্ষ বরাবর দুইটি একক ভেক্টর \(\hat{i}\) ও \(\hat{j}\)
ঐ একই সমতলে অবস্থিত \(\hat{r_{1}}\) এবং \(\hat{r_{2}}\) দুইটি একক ভেক্টর \(X\) অক্ষের বিপরীত পার্শে অবস্থিত এবং \(X\) অক্ষের সাথে যথাক্রমে \(A\) এবং \(B\) কোণ উৎপন্ন করে।
তাহলে, \(\hat{r_{1}}\) এবং \(\hat{r_{2}}\) ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \((A+B).\)
এখানে, \(\hat{r_{1}}\) একক ভেক্টর \(XY\) সমতলে অবস্থিত এবং \(X\) ও \(Y\) অক্ষের সাথে যথাক্রমে \(A\) ও \(90^{o}-A\) কোণ উৎপন্ন করে।
\(\therefore \hat{r_{1}}=\hat{i}\cos{A}+\hat{j}\cos{(90^{o}-A)}\)
\(\therefore \hat{r_{1}}=\hat{i}\cos{A}+\hat{j}\sin{A} .......(1)\)
আবার, \(\hat{r_{2}}\) একক ভেক্টর \(XY\) সমতলে অবস্থিত এবং \(X\) ও \(Y\) অক্ষের সাথে যথাক্রমে \(B\) ও \(90^{o}+B\) কোণ উৎপন্ন করে।
\(\therefore \hat{r_{2}}=\hat{i}\cos{B}+\hat{j}\cos{(90^{o}+B)}\)
\(\therefore \hat{r_{2}}=\hat{i}\cos{B}-\hat{j}\sin{B} .......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে, ভেক্টর গুণনের সাহায্যে,
\(\hat{r_{1}}\times\hat{r_{2}}=(\hat{i}\cos{A}+\hat{j}\sin{A})\times(\hat{i}\cos{B}-\hat{j}\sin{B})\)
\(=\left|\begin{array}{c}\hat{i}& \ \ \hat{j}&\hat{k}\\\cos{A}& \ \ \sin{A}&0\\\cos{B}&-\sin{B}&0\end{array}\right|\) ➜Note \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
\(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array}\right|\)

\(=\hat{i}\{\sin{A}\times 0-0\times -\sin{B}\}-\hat{j}\{\cos{A}\times 0-0\times \cos{B}\}+\hat{k}\{\cos{A}\times -\sin{B}-\sin{A}\times \cos{B}\}\)
\(=\hat{i}\{0-0\}-\hat{j}\{0-0\}+\hat{k}\{-\cos{A}\sin{B}-\sin{A}\cos{B}\}\)
\(=-\hat{k}(\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B})\)
\(\therefore \hat{r_{1}}\times\hat{r_{2}}=-\hat{k}(\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B})\)
\(\Rightarrow r_{1}r_{2}\sin{(A+B)}\hat{\mu}=-\hat{k}(\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B})\) ➜Note \(\because \overline{a}\times\overline{b}=ab\sin{\theta}\hat{n}\)
এখানে, \(\hat{\mu}, \ \hat{r_{1}}\) এবং \(\hat{r_{2}}\) এর সমতলের উপর লম্ব একক ভেক্টর।

\(\Rightarrow r_{1}r_{2}\sin{(A+B)}(-\hat{k})=-\hat{k}(\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B})\) ➜Note এখানে, \(\hat{\mu}=-\hat{k}\)

\(\Rightarrow -\hat{k}r_{1}r_{2}\sin{(A+B)}=-\hat{k}(\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B})\)
\(\Rightarrow 1.1.\sin{(A+B)}=\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}\) ➜Note \(\because r_{1}=r_{2}=1\)

\(\therefore \sin{(A+B)}=\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}\)
\((2)\) ধরি,
\(O\) বিন্দুতে পরস্পর লম্বভাবে ছেদ করে এরূপ \(OX\) ও \(OY\) অক্ষ বরাবর দুইটি একক ভেক্টর \(\hat{i}\) ও \(\hat{j}\)
ঐ একই সমতলে অবস্থিত \(\hat{r_{1}}\) এবং \(\hat{r_{2}}\) দুইটি একক ভেক্টর \(X\) অক্ষের সাথে যথাক্রমে \(A\) এবং \(B\) কোণ উৎপন্ন করে।
তাহলে, \(\hat{r_{1}}\) এবং \(\hat{r_{2}}\) ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \((A-B).\)
এখানে, \(\hat{r_{1}}\) একক ভেক্টর \(XY\) সমতলে অবস্থিত এবং \(X\) ও \(Y\) অক্ষের সাথে যথাক্রমে \(A\) ও \(90^{o}-A\) কোণ উৎপন্ন করে।
\(\therefore \hat{r_{1}}=\hat{i}\cos{A}+\hat{j}\cos{(90^{o}-A)}\)
\(\therefore \hat{r_{1}}=\hat{i}\cos{A}+\hat{j}\sin{A} .......(1)\)
আবার, \(\hat{r_{2}}\) একক ভেক্টর \(XY\) সমতলে অবস্থিত এবং \(X\) ও \(Y\) অক্ষের সাথে যথাক্রমে \(B\) ও \(90^{o}-B\) কোণ উৎপন্ন করে।
\(\therefore \hat{r_{2}}=\hat{i}\cos{B}+\hat{j}\cos{(90^{o}-B)}\)
\(\therefore \hat{r_{2}}=\hat{i}\cos{B}+\hat{j}\sin{B} .......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে, ভেক্টর গুণনের সাহায্যে,
\(\hat{r_{1}}\times\hat{r_{2}}=(\hat{i}\cos{A}+\hat{j}\sin{A})\times(\hat{i}\cos{B}+\hat{j}\sin{B})\)
\(=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\\cos{A}&\sin{A}&0\\\cos{B}&\sin{B}&0\end{array}\right|\) ➜Note \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
\(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array}\right|\)

\(=\hat{i}\{\sin{A}\times 0-0\times \sin{B}\}-\hat{j}\{\cos{A}\times 0-0\times \cos{B}\}+\hat{k}\{\cos{A}\times \sin{B}-\sin{A}\times \cos{B}\}\)
\(=\hat{i}\{0-0\}-\hat{j}\{0-0\}+\hat{k}\{\cos{A}\sin{B}-\sin{A}\cos{B}\}\)
\(=-\hat{k}(\sin{A}\cos{B}-\cos{A}\sin{B})\)
\(\therefore \hat{r_{1}}\times\hat{r_{2}}=-\hat{k}(\sin{A}\cos{B}-\cos{A}\sin{B})\)
\(\Rightarrow r_{1}r_{2}\sin{(A-B)}\hat{\mu}=-\hat{k}(\sin{A}\cos{B}-\cos{A}\sin{B})\) ➜Note \(\because \overline{a}\times\overline{b}=ab\sin{\theta}\hat{n}\)
এখানে, \(\hat{\mu}, \ \hat{r_{1}}\) এবং \(\hat{r_{2}}\) এর সমতলের উপর লম্ব একক ভেক্টর।

\(\Rightarrow r_{1}r_{2}\sin{(A-B)}(-\hat{k})=-\hat{k}(\sin{A}\cos{B}-\cos{A}\sin{B})\) ➜Note এখানে, \(\hat{\mu}=-\hat{k}\)

\(\Rightarrow -\hat{k}r_{1}r_{2}\sin{(A-B)}=-\hat{k}(\sin{A}\cos{B}-\cos{A}\sin{B})\)
\(\Rightarrow 1.1.\sin{(A-B)}=\sin{A}\cos{B}-\cos{A}\sin{B}\) ➜Note \(\because r_{1}=r_{2}=1\)

\(\therefore \sin{(A-B)}=\sin{A}\cos{B}-\cos{A}\sin{B}\)
\((3)\) ধরি,
\(O\) বিন্দুতে পরস্পর লম্বভাবে ছেদ করে এরূপ \(OX\) ও \(OY\) অক্ষ বরাবর দুইটি একক ভেক্টর \(\hat{i}\) ও \(\hat{j}\)
ঐ একই সমতলে অবস্থিত \(\hat{r_{1}}\) এবং \(\hat{r_{2}}\) দুইটি একক ভেক্টর \(X\) অক্ষের বিপরীত পার্শে অবস্থিত এবং \(X\) অক্ষের সাথে যথাক্রমে \(A\) এবং \(B\) কোণ উৎপন্ন করে।
তাহলে, \(\hat{r_{1}}\) এবং \(\hat{r_{2}}\) ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \((A+B).\)
এখানে, \(\hat{r_{1}}\) একক ভেক্টর \(XY\) সমতলে অবস্থিত এবং \(X\) ও \(Y\) অক্ষের সাথে যথাক্রমে \(A\) ও \(90^{o}-A\) কোণ উৎপন্ন করে।
\(\therefore \hat{r_{1}}=\hat{i}\cos{A}+\hat{j}\cos{(90^{o}-A)}\)
\(\therefore \hat{r_{1}}=\hat{i}\cos{A}+\hat{j}\sin{A} .......(1)\)
আবার, \(\hat{r_{2}}\) একক ভেক্টর \(XY\) সমতলে অবস্থিত এবং \(X\) ও \(Y\) অক্ষের সাথে যথাক্রমে \(B\) ও \(90^{o}+B\) কোণ উৎপন্ন করে।
\(\therefore \hat{r_{2}}=\hat{i}\cos{B}+\hat{j}\cos{(90^{o}+B)}\)
\(\therefore \hat{r_{2}}=\hat{i}\cos{B}-\hat{j}\sin{B} .......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে, ডট গুণনের সাহায্যে,
\(\hat{r_{1}}.\hat{r_{2}}=(\hat{i}\cos{A}+\hat{j}\sin{A}).(\hat{i}\cos{B}-\hat{j}\sin{B})\)
\(\Rightarrow r_{1}r_{2}\cos{(A+B)}=\cos{A}\times\cos{B}+\sin{A}\times -\sin{B}+0\times{0}\) ➜Note \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}).(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}\)

\(\Rightarrow 1.1\cos{(A+B)}=\cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}+0\) ➜Note \(\because r_{1}=r_{2}=1\)

\(\therefore \cos{(A+B)}=\cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}\)
\((4)\) ধরি,
\(O\) বিন্দুতে পরস্পর লম্বভাবে ছেদ করে এরূপ \(OX\) ও \(OY\) অক্ষ বরাবর দুইটি একক ভেক্টর \(\hat{i}\) ও \(\hat{j}\)
ঐ একই সমতলে অবস্থিত \(\hat{r_{1}}\) এবং \(\hat{r_{2}}\) দুইটি একক ভেক্টর \(X\) অক্ষের সাথে যথাক্রমে \(A\) এবং \(B\) কোণ উৎপন্ন করে।
তাহলে, \(\hat{r_{1}}\) এবং \(\hat{r_{2}}\) ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \((A-B).\)
এখানে, \(\hat{r_{1}}\) একক ভেক্টর \(XY\) সমতলে অবস্থিত এবং \(X\) ও \(Y\) অক্ষের সাথে যথাক্রমে \(A\) ও \(90^{o}-A\) কোণ উৎপন্ন করে।
\(\therefore \hat{r_{1}}=\hat{i}\cos{A}+\hat{j}\cos{(90^{o}-A)}\)
\(\therefore \hat{r_{1}}=\hat{i}\cos{A}+\hat{j}\sin{A} .......(1)\)
আবার, \(\hat{r_{2}}\) একক ভেক্টর \(XY\) সমতলে অবস্থিত এবং \(X\) ও \(Y\) অক্ষের সাথে যথাক্রমে \(B\) ও \(90^{o}-B\) কোণ উৎপন্ন করে।
\(\therefore \hat{r_{2}}=\hat{i}\cos{B}+\hat{j}\cos{(90^{o}-B)}\)
\(\therefore \hat{r_{2}}=\hat{i}\cos{B}+\hat{j}\sin{B} .......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে, ডট গুণনের সাহায্যে,
\(\hat{r_{1}}.\hat{r_{2}}=(\hat{i}\cos{A}+\hat{j}\sin{A}).(\hat{i}\cos{B}+\hat{j}\sin{B})\)
\(\Rightarrow r_{1}r_{2}\cos{(A-B)}=\cos{A}\times\cos{B}+\sin{A}\times \sin{B}+0\times{0}\) ➜Note \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}).(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}\)

\(\Rightarrow 1.1\cos{(A-B)}=\cos{A}\cos{B}+\sin{A}\sin{B}+0\) ➜Note \(\because r_{1}=r_{2}=1\)

\(\therefore \cos{(A-B)}=\cos{A}\cos{B}+\sin{A}\sin{B}\)
( প্রমাণিত )

ধরি,
\(ABC\) একটি ত্রিভুজ
এবং \(\overrightarrow{BC}=\overline{a}, \overrightarrow{CA}=\overline{b}, \overrightarrow{AB}=\overline{c}\)
\(\therefore |\overrightarrow{BC}|=\overline{a}=a\)
\(|\overrightarrow{CA}|=|\overline{b}|=b\)
এবং \(|\overrightarrow{AB}|=|\overline{c}|=c\)
\((1)\)
এখন, \(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\) ➜Note \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\)

\(\Rightarrow -\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\)
\(\Rightarrow -\overline{a}=\overline{b}+\overline{c}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{BC}=\overline{a}\)
\(\overrightarrow{CA}=\overline{b}\)
এবং \(\overrightarrow{AB}=\overline{c}\)

\(\Rightarrow -\overline{a}.\overline{a}=\overline{a}.(\overline{b}+\overline{c})\) ➜Note উভয় পার্শে \(\overline{a}\) দ্বারা ডট (.) গুণ করে।

\(\Rightarrow -a^2=\overline{a}.\overline{b}+\overline{a}.\overline{c}\)
\(=ab\cos{(\pi-C)}+ac\cos{(\pi-B)}\) ➜Note \(\because \overline{a}=a^2\)
\(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-C)\)
এবং \(\overline{a}\) ও \(\overline{c}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-B)\)

\(=-ab\cos{C}-ac\cos{B}\)
\(=-a(b\cos{C}+c\cos{B})\)
\(\therefore a=b\cos{C}+c\cos{B}\)
( প্রমাণিত )
\((2)\)
এখন, \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\) ➜Note \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)

\(\Rightarrow -\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)
\(\Rightarrow -\overline{b}=\overline{c}+\overline{a}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{CA}=\overline{b}\)
\(\overrightarrow{AB}=\overline{c}\)
এবং \(\overrightarrow{BC}=\overline{a}\)

\(\Rightarrow -\overline{b}.\overline{b}=\overline{b}.(\overline{c}+\overline{a})\) ➜Note উভয় পার্শে \(\overline{b}\) দ্বারা ডট (.) গুণ করে।

\(\Rightarrow -b^2=\overline{b}.\overline{c}+\overline{b}.\overline{a}\)
\(=bc\cos{(\pi-A)}+ba\cos{(\pi-C)}\) ➜Note \(\because \overline{b}=b^2\)
\(\overline{b}\) ও \(\overline{c}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-A)\)
এবং \(\overline{b}\) ও \(\overline{a}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-C)\)

\(=-bc\cos{A}-ba\cos{C}\)
\(=-b(c\cos{A}+a\cos{B})\)
\(\therefore b=c\cos{A}+a\cos{B}\)
( প্রমাণিত )
\((3)\)
এখন, \(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\) ➜Note \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\)

\(\Rightarrow -\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\)
\(\Rightarrow -\overline{c}=\overline{a}+\overline{b}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AB}=\overline{c}\)
\(\overrightarrow{BC}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{CA}=\overline{b}\)

\(\Rightarrow -\overline{c}.\overline{c}=\overline{c}.(\overline{a}+\overline{b})\) ➜Note উভয় পার্শে \(\overline{c}\) দ্বারা ডট (.) গুণ করে।

\(\Rightarrow -c^2=\overline{c}.\overline{a}+\overline{c}.\overline{b}\)
\(=bc\cos{(\pi-B)}+ba\cos{(\pi-A)}\) ➜Note \(\because \overline{c}=c^2\)
\(\overline{c}\) ও \(\overline{a}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-B)\)
এবং \(\overline{c}\) ও \(\overline{b}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-A)\)

\(=-ca\cos{B}-cb\cos{A}\)
\(=-c(a\cos{B}+b\cos{A})\)
\(\therefore c=a\cos{B}+b\cos{A}\)
( প্রমাণিত )

ধরি,
\(ABC\) একটি ত্রিভুজ
এবং \(\overrightarrow{BC}=\overline{a}, \overrightarrow{CA}=\overline{b}, \overrightarrow{AB}=\overline{c}\)
\(\therefore |\overrightarrow{BC}|=\overline{a}=a\)
\(|\overrightarrow{CA}|=|\overline{b}|=b\)
এবং \(|\overrightarrow{AB}|=|\overline{c}|=c\)
\((1)\)
এখন, \(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\) ➜Note \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\)

\(\Rightarrow -\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\)
\(\Rightarrow -\overline{a}=\overline{b}+\overline{c}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{BC}=\overline{a}\)
\(\overrightarrow{CA}=\overline{b}\)
এবং \(\overrightarrow{AB}=\overline{c}\)

\(\Rightarrow (-\overline{a}).(-\overline{a})=(\overline{b}+\overline{c}).(\overline{b}+\overline{c})\)
\(\Rightarrow (\overline{a}).(\overline{a})=\overline{b}.\overline{b}+\overline{b}.\overline{c}+\overline{c}.\overline{b}+\overline{c}.\overline{c}\)
\(\Rightarrow a^2=b^2+2\overline{b}.\overline{c}+c^2\) ➜Note \(\because \overline{a}.\overline{a}=a^2, \ \overline{b}.\overline{b}=b^2, \ \overline{c}.\overline{c}=c^2\)
এবং \(\overline{c}.\overline{b}=\overline{b}.\overline{c}\)

\(\Rightarrow a^2=b^2+c^2+2bc\cos{(\pi-A)}\) ➜Note \(\because \overline{b}\) ও \(\overline{c}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-A)\)

\(\therefore a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}\)
আবার,
\(\Rightarrow 2bc\cos{A}=b^2+c^2-a^2\)
\(\therefore \cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
( প্রমাণিত )
\((2)\)
\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\) ➜Note \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)

\(\Rightarrow -\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)
\(\Rightarrow -\overline{b}=\overline{c}+\overline{a}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{CA}=\overline{b}\)
\(\overrightarrow{AB}=\overline{c}\)
এবং \(\overrightarrow{BC}=\overline{a}\)

\(\Rightarrow (-\overline{b}).(-\overline{b})=(\overline{c}+\overline{a}).(\overline{c}+\overline{a})\)
\(\Rightarrow (\overline{b}).(\overline{b})=\overline{c}.\overline{c}+\overline{c}.\overline{a}+\overline{a}.\overline{c}+\overline{a}.\overline{a}\)
\(\Rightarrow b^2=c^2+2\overline{c}.\overline{a}+a^2\) ➜Note \(\because \overline{b}.\overline{b}=b^2, \ \overline{c}.\overline{c}=c^2, \ \overline{a}.\overline{a}=a^2\)
এবং \(\overline{a}.\overline{c}=\overline{c}.\overline{a}\)

\(\Rightarrow b^2=c^2+a^2+2ca\cos{(\pi-B)}\) ➜Note \(\because \overline{c}\) ও \(\overline{a}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-B)\)

\(\therefore b^2=c^2+a^2-2ca\cos{B}\)
আবার,
\(\Rightarrow 2ca\cos{B}=c^2+a^2-b^2\)
\(\therefore \cos{B}=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\)
( প্রমাণিত )
\((3)\)
\(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\) ➜Note \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\)

\(\Rightarrow -\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\)
\(\Rightarrow -\overline{c}=\overline{a}+\overline{b}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AB}=\overline{c}\)
\(\overrightarrow{BC}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{CA}=\overline{b}\)

\(\Rightarrow (-\overline{c}).(-\overline{c})=(\overline{a}+\overline{b}).(\overline{a}+\overline{b})\)
\(\Rightarrow (\overline{c}).(\overline{c})=\overline{a}.\overline{a}+\overline{a}.\overline{b}+\overline{b}.\overline{a}+\overline{b}.\overline{b}\)
\(\Rightarrow c^2=a^2+2\overline{a}.\overline{b}+b^2\) ➜Note \(\because \overline{c}.\overline{c}=c^2, \ \overline{a}.\overline{a}=a^2, \ \overline{b}.\overline{b}=b^2\)
এবং \(\overline{b}.\overline{a}=\overline{a}.\overline{b}\)

\(\Rightarrow c^2=a^2+b^2+2ab\cos{(\pi-C)}\) ➜Note \(\because \overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-C)\)

\(\therefore c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}\)
আবার,
\(\Rightarrow 2ab\cos{C}=a^2+b^2-c^2\)
\(\therefore \cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
( প্রমাণিত )

ধরি,
\(ABC\) একটি ত্রিভুজ
এবং \(\overrightarrow{BC}=\overline{a}, \overrightarrow{CA}=\overline{b}, \overrightarrow{AB}=\overline{c}\)
\(\therefore |\overrightarrow{BC}|=\overline{a}=a\)
\(|\overrightarrow{CA}|=|\overline{b}|=b\)
এবং \(|\overrightarrow{AB}|=|\overline{c}|=c\)
এখন, \(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\) ➜Note \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\)

\(\Rightarrow -\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\)
\(\therefore -\overline{c}=\overline{a}+\overline{b}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AB}=\overline{c}\)
\(\overrightarrow{BC}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{CA}=\overline{b}\)

এখন,
\(\overline{b}\times\overline{c}=-\overline{c}\times\overline{b}\)
\(\Rightarrow \overline{b}\times\overline{c}=(\overline{a}+\overline{b})\times\overline{b}\) ➜Note \(\because -\overline{c}=\overline{a}+\overline{b}\)

\(\Rightarrow \overline{b}\times\overline{c}=\overline{a}\times\overline{b}+\overline{b}\times\overline{b}\)
\(\Rightarrow \overline{b}\times\overline{c}=\overline{a}\times\overline{b}+\overline{0}\) ➜Note \(\because \overline{b}\times\overline{b}=\overline{0}\)

\(\therefore \overline{b}\times\overline{c}=\overline{a}\times\overline{b} .......(1)\)
আবার, \(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\) ➜Note \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\)

\(\Rightarrow -\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\)
\(\therefore -\overline{a}=\overline{b}+\overline{c}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{BC}=\overline{a}\)
\(\overrightarrow{CA}=\overline{b}\)
এবং \(\overrightarrow{AB}=\overline{b}\)

আবার,
\(\overline{c}\times\overline{a}=-\overline{a}\times\overline{c}\)
\(\Rightarrow \overline{c}\times\overline{a}=(\overline{b}+\overline{c})\times\overline{c}\) ➜Note \(\because -\overline{a}=\overline{b}+\overline{c}\)

\(\Rightarrow \overline{c}\times\overline{a}=\overline{b}\times\overline{c}+\overline{c}\times\overline{c}\)
\(\Rightarrow \overline{c}\times\overline{a}=\overline{b}\times\overline{c}+\overline{0}\) ➜Note \(\because \overline{c}\times\overline{c}=\overline{0}\)

\(\Rightarrow \overline{c}\times\overline{a}=\overline{b}\times\overline{c}\)
\(\therefore \overline{b}\times\overline{c}=\overline{c}\times\overline{a} ......(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(\overline{b}\times\overline{c}=\overline{c}\times\overline{a}=\overline{a}\times\overline{b}\)
\(\Rightarrow |\overline{b}\times\overline{c}|=|\overline{c}\times\overline{a}|=|\overline{a}\times\overline{b}|\)
\(\Rightarrow bc\sin{(\pi-A)}=ca\sin{(\pi-B)}=ab\sin{(\pi-C)}\) ➜Note \(\because |\overline{p}\times\overline{q}|=pq\sin{(p^{\wedge}q)}\)
\(\because \overline{b}\) ও \(\overline{c}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-A)\)
\(\overline{c}\) ও \(\overline{a}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-B)\)
এবং \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-C)\)

\(\Rightarrow bc\sin{A}=ca\sin{B}=ab\sin{C}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{A}}{a}=\frac{\sin{B}}{b}=\frac{\sin{C}}{c}\) ➜Note প্রত্যেক পদের সহিত \(abc\) ভাগ করে।

\(\therefore \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}\) ➜Note ব্যস্তকরণ করে।

( প্রমাণিত )

ধরি,
\(ABC\) একটি ত্রিভুজ
এবং \(\overrightarrow{BC}=\overline{a}, \overrightarrow{CA}=\overline{b}, \overrightarrow{AB}=\overline{c}\)
\(\therefore |\overrightarrow{BC}|=\overline{a}=a\)
\(|\overrightarrow{CA}|=|\overline{b}|=b\)
\(|\overrightarrow{AB}|=|\overline{c}|=c\)
এবং \(\triangle{ABC}=\Delta\)
অর্থাৎ, \(ABC\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\Delta\)
\((1)\)
এখন, \(\frac{1}{2}|\overrightarrow{CA}\times\overrightarrow{AB}|=\Delta\) ➜Note \(\triangle{PQR}\)এর সন্নিহিত বাহুদ্বয় \(\overrightarrow{PQ}\) এবং \(\overrightarrow{PR}\)
\(\frac{1}{2}|\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}|=\Delta\)

\(\Rightarrow \frac{1}{2}|\overline{b}\times\overline{c}|=\Delta\) ➜Note \(\because \overrightarrow{CA}=\overline{b}\)
এবং \(\overrightarrow{AB}=\overline{c}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{2}bc\sin{(\pi-A)}=\Delta\) ➜Note \(\because |\overline{p}\times\overline{q}|=pq\sin{(p^{\wedge}q)}\)
এবং \(\overline{b}\) ও \(\overline{c}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-A)\)

\(\therefore \frac{1}{2}bc\sin{A}=\Delta\)
অথবা,
\(bc\sin{A}=2\Delta\)
অথবা,
\(\sin{A}=\frac{2\Delta}{bc}\)
( প্রমাণিত )
\((2)\)
\(\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{BC}|=\Delta\) ➜Note \(\triangle{PQR}\)এর সন্নিহিত বাহুদ্বয় \(\overrightarrow{PQ}\) এবং \(\overrightarrow{PR}\)
\(\frac{1}{2}|\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}|=\Delta\)

\(\Rightarrow \frac{1}{2}|\overline{c}\times\overline{a}|=\Delta\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AB}=\overline{c}\)
এবং \(\overrightarrow{BC}=\overline{a}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{2}ca\sin{(\pi-B)}=\Delta\) ➜Note \(\because |\overline{p}\times\overline{q}|=pq\sin{(p^{\wedge}q)}\)
এবং \(\overline{c}\) ও \(\overline{a}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-B)\)

\(\therefore \frac{1}{2}ca\sin{B}=\Delta\)
অথবা,
\(ca\sin{B}=2\Delta\)
অথবা,
\(\sin{B}=\frac{2\Delta}{ca}\)
( প্রমাণিত )
\((3)\)
\(\frac{1}{2}|\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{CA}|=\Delta\) ➜Note \(\triangle{PQR}\)এর সন্নিহিত বাহুদ্বয় \(\overrightarrow{PQ}\) এবং \(\overrightarrow{PR}\)
\(\frac{1}{2}|\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}|=\Delta\)

\(\Rightarrow \frac{1}{2}|\overline{a}\times\overline{b}|=\Delta\) ➜Note \(\because \overrightarrow{BC}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{CA}=\overline{b}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{2}ab\sin{(\pi-C)}=\Delta\) ➜Note \(\because |\overline{p}\times\overline{q}|=pq\sin{(p^{\wedge}q)}\)
এবং \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-C)\)

\(\therefore \frac{1}{2}ab\sin{C}=\Delta\)
অথবা,
\(ab\sin{C}=2\Delta\)
অথবা,
\(\sin{C}=\frac{2\Delta}{ab}\)
( প্রমাণিত )

ধরি,
\(ABC\) একটি ত্রিভুজ
এবং \(\overrightarrow{BC}=\overline{a}, \overrightarrow{CA}=\overline{b}, \overrightarrow{AB}=\overline{c}\)
\(\therefore |\overrightarrow{BC}|=\overline{a}=a\)
\(|\overrightarrow{CA}|=|\overline{b}|=b\)
এবং \(|\overrightarrow{AB}|=|\overline{c}|=c\)
\((1)\)
এখন, \(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\) ➜Note \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\)

\(\Rightarrow -\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\)
\(\therefore -\overline{c}=\overline{a}+\overline{b}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AB}=\overline{c}\)
\(\overrightarrow{BC}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{CA}=\overline{b}\)

এখন,
\(\overline{c}\times\overline{a}=-\overline{a}\times\overline{c}\)
\(\Rightarrow \overline{c}\times\overline{a}=\overline{a}\times(-\overline{c})\)
\(\Rightarrow \overline{c}\times\overline{a}=\overline{a}\times(\overline{a}+\overline{b})\) ➜Note \(\because -\overline{c}=\overline{a}+\overline{b}\)

\(\Rightarrow \overline{c}\times\overline{a}=\overline{a}\times\overline{a}+\overline{a}\times\overline{b}\)
\(\Rightarrow \overline{c}\times\overline{a}=\overline{0}+\overline{a}\times\overline{b}\) ➜Note \(\because \overline{a}\times\overline{a}=\overline{0}\)

\(\Rightarrow \overline{c}\times\overline{a}=\overline{a}\times\overline{b}\)
\(\Rightarrow |\overline{c}\times\overline{a}|=|\overline{a}\times\overline{b}|\)
\(\Rightarrow ca\sin{(\pi-B)}=ab\sin{(\pi-C)}\) ➜Note \(\because |\overline{p}\times\overline{q}|=pq\sin{(p^{\wedge}q)}\)
\(\overline{c}\) ও \(\overline{a}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-B)\)
এবং \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-C)\)

\(\Rightarrow ca\sin{B}=ab\sin{C}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{B}}{b}=\frac{\sin{C}}{c}\) ➜Note উভয় পার্শে \(abc\) ভাগ করে।

\(\Rightarrow \frac{\sin{B}}{\sin{C}}=\frac{b}{c}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{B}-\sin{C}}{\sin{B}+\sin{C}}=\frac{b-c}{b+c}\) ➜Note বিয়োজন ও যোজন করে।

\(\Rightarrow \frac{2\cos{\frac{B+C}{2}}\sin{\frac{B-C}{2}}}{2\sin{\frac{B+C}{2}}\cos{\frac{B-C}{2}}}=\frac{b-c}{b+c}\) ➜Note \(\because \sin{C}-\sin{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)
এবং
\(\sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(\Rightarrow \cot{\frac{B+C}{2}}\tan{\frac{B-C}{2}}=\frac{b-c}{b+c}\)
\(\Rightarrow \cot{\frac{(\pi-A)}{2}}\tan{\frac{B-C}{2}}=\frac{b-c}{b+c}\) ➜Note \(\because B+C=\pi-A\)

\(\Rightarrow \cot{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{A}{2}\right)}\tan{\frac{B-C}{2}}=\frac{b-c}{b+c}\)
\(\Rightarrow \tan{\frac{A}{2}}\tan{\frac{B-C}{2}}=\frac{b-c}{b+c}\)
\(\Rightarrow \tan{\frac{B-C}{2}}=\frac{b-c}{b+c}\frac{1}{\tan{\frac{A}{2}}}\)
\(\therefore \tan{\frac{B-C}{2}}=\frac{b-c}{b+c}\cot{\frac{A}{2}}\)
( প্রমাণিত )
\((2)\)
এখন, \(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\) ➜Note \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\)

\(\Rightarrow -\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\)
\(\therefore -\overline{c}=\overline{a}+\overline{b}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AB}=\overline{c}\)
\(\overrightarrow{BC}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{CA}=\overline{b}\)

এখন,
\(\overline{b}\times\overline{c}=-\overline{c}\times\overline{b}\)
\(\Rightarrow \overline{b}\times\overline{c}=(\overline{a}+\overline{b})\times\overline{b}\) ➜Note \(\because -\overline{c}=\overline{a}+\overline{b}\)

\(\Rightarrow \overline{b}\times\overline{c}=\overline{a}\times\overline{b}+\overline{b}\times\overline{b}\)
\(\Rightarrow \overline{b}\times\overline{c}=\overline{a}\times\overline{b}+\overline{0}\) ➜Note \(\because \overline{b}\times\overline{b}=\overline{0}\)

\(\Rightarrow \overline{b}\times\overline{c}=\overline{a}\times\overline{b}\)
\(\Rightarrow |\overline{b}\times\overline{c}|=|\overline{a}\times\overline{b}|\)
\(\Rightarrow bc\sin{(\pi-A)}=ab\sin{(\pi-C)}\) ➜Note \(\because |\overline{p}\times\overline{q}|=pq\sin{(p^{\wedge}q)}\)
\(\overline{b}\) ও \(\overline{c}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-A)\)
এবং \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-C)\)

\(\Rightarrow bc\sin{A}=ab\sin{C}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{A}}{a}=\frac{\sin{C}}{c}\) ➜Note উভয় পার্শে \(abc\) ভাগ করে।

\(\Rightarrow \frac{\sin{A}}{\sin{C}}=\frac{a}{c}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{C}-\sin{A}}{\sin{C}+\sin{A}}=\frac{c-a}{c+a}\) ➜Note বিয়োজন ও যোজন করে।

\(\Rightarrow \frac{2\cos{\frac{C+A}{2}}\sin{\frac{C-A}{2}}}{2\sin{\frac{C+A}{2}}\cos{\frac{C-A}{2}}}=\frac{c-a}{c+a}\) ➜Note \(\because \sin{C}-\sin{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)
এবং
\(\sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(\Rightarrow \cot{\frac{C+A}{2}}\tan{\frac{C-A}{2}}=\frac{c-a}{c+a}\)
\(\Rightarrow \cot{\frac{(\pi-B)}{2}}\tan{\frac{C-A}{2}}=\frac{c-a}{c+a}\) ➜Note \(\because C+A=\pi-B\)

\(\Rightarrow \cot{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{B}{2}\right)}\tan{\frac{C-A}{2}}=\frac{c-a}{c+a}\)
\(\Rightarrow \tan{\frac{B}{2}}\tan{\frac{C-A}{2}}=\frac{c-a}{c+a}\)
\(\Rightarrow \tan{\frac{C-A}{2}}=\frac{c-a}{c+a}\frac{1}{\tan{\frac{B}{2}}}\)
\(\therefore \tan{\frac{C-A}{2}}=\frac{c-a}{c+a}\cot{\frac{B}{2}}\)
( প্রমাণিত )
\((3)\)
আবার, \(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\) ➜Note \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\)

\(\Rightarrow -\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\)
\(\therefore -\overline{a}=\overline{b}+\overline{c}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{BC}=\overline{a}\)
\(\overrightarrow{CA}=\overline{b}\)
এবং \(\overrightarrow{AB}=\overline{b}\)

আবার,
\(\overline{c}\times\overline{a}=-\overline{a}\times\overline{c}\)
\(\Rightarrow \overline{c}\times\overline{a}=(\overline{b}+\overline{c})\times\overline{c}\) ➜Note \(\because -\overline{a}=\overline{b}+\overline{c}\)

\(\Rightarrow \overline{c}\times\overline{a}=\overline{b}\times\overline{c}+\overline{c}\times\overline{c}\)
\(\Rightarrow \overline{c}\times\overline{a}=\overline{b}\times\overline{c}+\overline{0}\) ➜Note \(\because \overline{c}\times\overline{c}=\overline{0}\)

\(\Rightarrow \overline{c}\times\overline{a}=\overline{b}\times\overline{c}\)
\(\Rightarrow \overline{b}\times\overline{c}=\overline{c}\times\overline{a}\)
\(\Rightarrow |\overline{b}\times\overline{c}|=|\overline{c}\times\overline{a}|\)
\(\Rightarrow bc\sin{(\pi-A)}=ca\sin{(\pi-B)}\) ➜Note \(\because |\overline{p}\times\overline{q}|=pq\sin{(p^{\wedge}q)}\)
\(\overline{b}\) ও \(\overline{c}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-A)\)
এবং \(\overline{c}\) ও \(\overline{a}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-B)\)

\(\Rightarrow bc\sin{A}=ca\sin{B}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{A}}{a}=\frac{\sin{B}}{b}\) ➜Note উভয় পার্শে \(abc\) ভাগ করে।

\(\Rightarrow \frac{\sin{A}}{\sin{B}}=\frac{a}{b}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{A}-\sin{B}}{\sin{A}+\sin{B}}=\frac{a-b}{a+b}\) ➜Note বিয়োজন ও যোজন করে।

\(\Rightarrow \frac{2\cos{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}}}{2\sin{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}}=\frac{a-b}{a+b}\) ➜Note \(\because \sin{C}-\sin{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)
এবং
\(\sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(\Rightarrow \cot{\frac{A+B}{2}}\tan{\frac{A-B}{2}}=\frac{a-b}{a+b}\)
\(\Rightarrow \cot{\frac{(\pi-C)}{2}}\tan{\frac{A-B}{2}}=\frac{a-b}{a+b}\) ➜Note \(\because A+B=\pi-C\)

\(\Rightarrow \cot{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}\right)}\tan{\frac{A-B}{2}}=\frac{a-b}{a+b}\)
\(\Rightarrow \tan{\frac{C}{2}}\tan{\frac{A-B}{2}}=\frac{a-b}{a+b}\)
\(\Rightarrow \tan{\frac{A-B}{2}}=\frac{a-b}{a+b}\frac{1}{\tan{\frac{C}{2}}}\)
\(\therefore \tan{\frac{A-B}{2}}=\frac{a-b}{a+b}\cot{\frac{C}{2}}\)
( প্রমাণিত )

ধরি,
\(ABC\) একটি ত্রিভুজ
এবং \(\overrightarrow{BC}=\overline{a}, \overrightarrow{CA}=\overline{b}, \overrightarrow{AB}=\overline{c}\)
\(\therefore |\overrightarrow{BC}|=\overline{a}=a\)
\(|\overrightarrow{CA}|=|\overline{b}|=b\)
এবং \(|\overrightarrow{AB}|=|\overline{c}|=c\)
এখন, \(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\) ➜Note \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\)

\(\Rightarrow -\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\)
\(\Rightarrow -\overline{a}=\overline{b}+\overline{c}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{BC}=\overline{a}\)
\(\overrightarrow{CA}=\overline{b}\)
এবং \(\overrightarrow{AB}=\overline{c}\)

\(\Rightarrow (-\overline{a}).(-\overline{a})=(\overline{b}+\overline{c}).(\overline{b}+\overline{c})\)
\(\Rightarrow (\overline{a}).(\overline{a})=\overline{b}.\overline{b}+\overline{b}.\overline{c}+\overline{c}.\overline{b}+\overline{c}.\overline{c}\)
\(\Rightarrow a^2=b^2+2\overline{b}.\overline{c}+c^2\) ➜Note \(\because \overline{a}.\overline{a}=a^2, \ \overline{b}.\overline{b}=b^2, \ \overline{c}.\overline{c}=c^2\)
এবং \(\overline{c}.\overline{b}=\overline{b}.\overline{c}\)

\(\Rightarrow a^2=b^2+c^2+2bc\cos{(\pi-A)}\) ➜Note \(\because \overline{b}\) ও \(\overline{c}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-A)\)

\(\therefore a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A} .......(1)\)
আবার, \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\) ➜Note \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)

\(\Rightarrow -\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)
\(\Rightarrow -\overline{b}=\overline{c}+\overline{a}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{CA}=\overline{b}\)
\(\overrightarrow{AB}=\overline{c}\)
এবং \(\overrightarrow{BC}=\overline{a}\)

\(\Rightarrow (-\overline{b}).(-\overline{b})=(\overline{c}+\overline{a}).(\overline{c}+\overline{a})\)
\(\Rightarrow (\overline{b}).(\overline{b})=\overline{c}.\overline{c}+\overline{c}.\overline{a}+\overline{a}.\overline{c}+\overline{a}.\overline{a}\)
\(\Rightarrow b^2=c^2+2\overline{c}.\overline{a}+a^2\) ➜Note \(\because \overline{b}.\overline{b}=b^2, \ \overline{c}.\overline{c}=c^2, \ \overline{a}.\overline{a}=a^2\)
এবং \(\overline{a}.\overline{c}=\overline{c}.\overline{a}\)

\(\Rightarrow b^2=c^2+a^2+2ca\cos{(\pi-B)}\) ➜Note \(\because \overline{c}\) ও \(\overline{a}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-B)\)

\(\therefore b^2=c^2+a^2-2ca\cos{B} ........(2)\)
আবার, \(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\) ➜Note \(\triangle{ABC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\)

\(\Rightarrow -\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\)
\(\Rightarrow -\overline{c}=\overline{a}+\overline{b}\) ➜Note \(\because \overrightarrow{AB}=\overline{c}\)
\(\overrightarrow{BC}=\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{CA}=\overline{b}\)

\(\Rightarrow (-\overline{c}).(-\overline{c})=(\overline{a}+\overline{b}).(\overline{a}+\overline{b})\)
\(\Rightarrow (\overline{c}).(\overline{c})=\overline{a}.\overline{a}+\overline{a}.\overline{b}+\overline{b}.\overline{a}+\overline{b}.\overline{b}\)
\(\Rightarrow c^2=a^2+2\overline{a}.\overline{b}+b^2\) ➜Note \(\because \overline{c}.\overline{c}=c^2, \ \overline{a}.\overline{a}=a^2, \ \overline{b}.\overline{b}=b^2\)
এবং \(\overline{b}.\overline{a}=\overline{a}.\overline{b}\)

\(\Rightarrow c^2=a^2+b^2+2ab\cos{(\pi-C)}\) ➜Note \(\because \overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \((\pi-C)\)

\(\therefore c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C} .....(3)\)
\((1)+(2)+(3)\) এর সাহায্যে
\(a^2+b^2+c^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}+c^2+a^2-2ca\cos{B}+a^2+b^2-2ab\cos{C}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=2a^2+2b^2+2c^2-2bc\cos{A}-2ca\cos{B}-2ab\cos{C}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=2(a^2+b^2+c^2)-2bc\cos{A}-2ca\cos{B}-2ab\cos{C}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-2(a^2+b^2+c^2)=-2bc\cos{A}-2ca\cos{B}-2ab\cos{C}\)
\(\Rightarrow -(a^2+b^2+c^2)=-2(bc\cos{A}+ca\cos{B}+ab\cos{C})\)
\(\therefore a^2+b^2+c^2=2(bc\cos{A}+ca\cos{B}+ab\cos{C})\)
( প্রমাণিত )

ধরি,
\(XY\) সমতলে অবস্থিত একক ভেক্টর \(\hat{r},\) \(X\) অক্ষের সহিত \(\alpha\) কোণ উৎপন্ন করে।
\(\therefore \hat{r},\) ভেক্টরটি \(Y\) অক্ষের সহিত \((90^{o}-\alpha)\) কোণ উৎপন্ন করবে।
এখন, \(\hat{r}=\hat{i}\cos{\alpha}+\hat{j}\cos{(90^{o}-\alpha)}\)
\(\Rightarrow \hat{r}=\hat{i}\cos{\alpha}+\hat{j}\sin{\alpha}\)
\(\Rightarrow |\hat{r}|=|\hat{i}\cos{\alpha}+\hat{j}\sin{\alpha}|\)
\(\Rightarrow 1=\sqrt{\cos^2{\alpha}+\sin^2{\alpha}}\) ➜Note \(\overline{a}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}\) হলে,
\(a=|a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}|=\sqrt{a_{1}^2+a_{2}^2}\)
এবং \(|\hat{r}|=1\)

\(\Rightarrow \sqrt{\cos^2{\alpha}+\sin^2{\alpha}}=1\)
\(\Rightarrow \cos^2{\alpha}+\sin^2{\alpha}=1^2\) ➜Note উভয় পার্শে বর্গ করে।

\(\therefore \sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1\)
( প্রমাণিত )