এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
- \(|\overline{r}|=\sqrt{x^2+y^2}\) সম্পর্কে ধারণা
- \(\overrightarrow{PQ}=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}\) সম্পর্কে ধারণা
- ত্রিমাত্রিক জগতে একক ভেক্টর \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\)
- কার্তেসীয় ত্রিমাত্রিক জগতে অবস্থান ভেক্টর
- \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) এর মাণ
- ত্রিমাত্রিক জগতে ভেক্টরের যোগফল, বিয়োগফল এবং স্কেলার গুণিতক
- \(\overline{r}\) এর দিক কোসাইন
- কার্তেসীয় ত্রিমাত্রিক জগতে ভেক্টরের অংশক
- ভেক্টরের স্কেলার গুণন বা ডট গুণন
- দুইটি ভেক্টরের পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত
- স্কেলার গুণজের ধর্ম
- দুইটি ভেক্টরের স্কেলার গুণজকে ভেক্টর দুইটির অংশকের মাধ্যমে প্রকাশ
- একটি ভেক্টরের উপর অন্য একটি ভেক্টরের অভিক্ষেপ
- একটি ভেক্টরের দিক বরাবর অন্য একটি ভেক্টরের অংশক
- স্কেলার বা ডট গুণনের জ্যামিতিক ব্যাখ্যা
- দুইটি ভেক্টরের অন্তর্ভুক্ত কোণ
- ভেক্টরের ভেক্টর গুণন বা ক্রস গুণন
- দুইটি ভেক্টরের পরস্পর সমান্তরাল হওয়ার শর্ত
- ভেক্টর গুণজের ধর্ম
- দুইটি ভেক্টরের ভেক্টর গুণজকে ভেক্টর দুইটির অংশকের মাধ্যমে প্রকাশ
- ভেক্টর গুণনের জ্যামিতিক ব্যাখ্যা
- তিনটি ভেক্টরের স্কেলার গুণন
- তিনটি ভেক্টর সমতলীয় হওয়ার শর্ত
- তিনটি ভেক্টরের ভেক্টর গুণন
- চারটি ভেক্টরের স্কেলার গুণন
\(\overline{r}\) ভেক্টরের মাণ
ধরি,\(P(x,y), \ M(0,y), \ N(x,0), \ \overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
এবং অক্ষরেখাগুলি বরাবর একক ভেক্টর যথাক্রমে \(\hat{i}, \ \hat{j}\)
\(\therefore \overrightarrow{ON}=x\hat{i}, \overrightarrow{NP}=\overrightarrow{OM}=y\hat{j}\)
\(\triangle{OPN}\) সমকোণী
\(\therefore OP^2=ON^2+NP^2\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{OP}.\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{ON}.\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NP}.\overrightarrow{NP}\)
\(\Rightarrow \overline{r}.\overline{r}=x\hat{i}.x\hat{i}+y\hat{j}.y\hat{j}\)
\(\Rightarrow r^2=x^2\hat{i}.\hat{i}+y^2\hat{j}.\hat{j}\) ➜ \(\because \overline{r}.\overline{r}=r^2\)
\(\Rightarrow r^2=x^2.1+y^2.1\) ➜ \(\because \hat{i}.\hat{i}=\hat{j}.\hat{j}=1\)
\(\Rightarrow r^2=x^2+y^2\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(\therefore\) \(r=|\overline{r}|=\sqrt{x^2+y^2}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(P(x_{1}, y_{1})\) \(Q(x_{2}, y_{2})\) হলে,
\(\overrightarrow{PQ}=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}\)
\(\overrightarrow{PQ}=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}\)
কার্তেসীয় ত্রিমাত্রিক জগত
Cartesian three Dimension Space
ত্রিমাত্রিক কার্তেসীয় বা আয়তাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় পরস্পর লম্ব তিনটি অক্ষ রেখা থাকে যাদের যথাক্রমে \(x, y, z\) অক্ষ বলে। এই স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((x, y, z)\) আকারে লিখে প্রকাশ করা হয়। \(x\) স্থাংক দ্বারা \(x\) অক্ষ বরাবর দূরত্ব, \(y\) স্থাংক এবং \(z\) স্থাংক দ্বারা অনুরূপে \(y\) অক্ষ এবং \(z\) অক্ষ বরাবর মূলবিন্দু হতে দূরত্ব বুঝায়। ত্রিমাত্রিক জগতে একক ভেক্টর \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\)
Unite Vector in three Dimension Space \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\)
ত্রিমাত্রিক কার্তেসীয় বা আয়তাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায়, \(x\) অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর \(\hat{i}\)
\(y\) অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর \(\hat{j}\)
\(z\) অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর \(\hat{k}\)
কার্তেসীয় ত্রিমাত্রিক জগতে অবস্থান ভেক্টর
Position Vector in three Dimensional Space
কার্তেসীয় ত্রিমাত্রিক জগতে ভেক্টরের মাণ
ত্রিমাত্রিক জগতে ভেক্টরের যোগফল, বিয়োগফল এবং স্কেলার গুণিতক
addition, Subtraction and Multiple of Vector in three Dimensional Space
ধরি, \(A\) ও \(B\) ত্রিমাত্রিক জগতের দুইটি ভেক্টর যেখানে, \(\overline{A}=A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(\overline{B}=B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\)
বিয়োগফলঃ \(\overline{A}-\overline{B}=(A_{1}-B_{1})\hat{i}+(A_{2}-B_{2})\hat{j}+(A_{3}-B_{3})\hat{k}\)
ভেক্টর গুনিতকঃ \(\lambda \overline{A}=\lambda A_{1}\hat{i}+\lambda A_{2}\hat{j}+\lambda A_{3}\hat{k}\)
যখন \(\lambda\) একটি স্কেলার রাশি।
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(P(x_{1}, y_{1}, z_{1})\) \(Q(x_{2}, y_{2}, z_{2})\) হলে, \(\overrightarrow{PQ}=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}+(z_{2}-z_{1})\hat{k}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
যদি, \(\overrightarrow{OP}=\overline{r}\) ভেক্টর \(x, y\) ও \(z\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত যথাক্রমে \(\alpha, \beta\) ও \(\gamma\) কোণ উৎপন্ন করে,
তখন \(\cos{\alpha}, \cos{\beta}, \cos{\gamma}\) কে \(\overline{r}\) এর দিক কোসাইন বলা হয়।
তখন \(\cos{\alpha}, \cos{\beta}, \cos{\gamma}\) কে \(\overline{r}\) এর দিক কোসাইন বলা হয়।
কার্তেসীয় ত্রিমাত্রিক জগতে ভেক্টরের অংশক
Components of a Vector in three Dimensional space
\(O\) বিন্দু থেকে তিনটি পরস্পর লম্ব সরলরেখা \(OX, OY, OZ\) আঁকা হলো।
\(\overrightarrow{OX}=\hat{i}, \overrightarrow{OY}=\hat{j}\) এবং \(\overrightarrow{OZ}=\hat{k}\) হয়, যেখানে \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\) তিনটি পরস্পর লম্ব একক ভেক্টর।
\(\overrightarrow{OP}=\overline{r}\) ভেক্টরকে তিনটি পরস্পর লম্ব একক ভেক্টর \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\) এর যোগাশ্রয়ী সমাবেশ হিসেবে প্রকাশ করা হয়েছে।
অর্থাৎ , \(\overline{r}=x\overline{i}+y\overline{j}+z\overline{k}\)
\(OX\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=x\overline{i}\)
\(OY\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=y\overline{j}\)
\(OZ\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=z\overline{k}\)
ভেক্টরের স্কেলার গুণন বা ডট গুণন
Scalar Multiplication of Vector
দুইটি ভেক্টর রাশির গুণফল যদি একটি স্কেলার রাশি হয় তাহলে এ ধরনের গুণফলকে স্কেলার গুণন বা ডট গুণন বলা হয়। এ গুণফলের মাণ রাশি দুইটির মাণ ও এদের মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতর কোণের কোসাইন (cosine) এর গুণফলের সমান। \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর স্কেলার গুণজ \(\overline{a}.\overline{b}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) দুইটি ভেক্টর রাশির মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) হলে, সংজ্ঞানুসারে স্কেলার গুণফল হবে,
\(\overline{a}.\overline{b}=ab\cos{\theta}\)
ভেক্টরদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ
\(\theta=\cos^{-1}\left(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{ab}\right)\) দুইটি ভেক্টরের পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্তঃ
The condition that two vectors are perpendicular to each other:\(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) দুইটি ভেক্টর রাশি পরস্পর লম্ব হলে,
\(\overline{a}.\overline{b}=0\)
স্কেলার গুণজের ধর্ম
Porperties of Scalar Product
\(\overline{a}.\overline{b}=ab\cos{\theta}=ba\cos{\theta}=\overline{b}.\overline{a}\)\(\therefore \overline{a}.\overline{b}=\overline{b}.\overline{a}\)
অর্থাৎ স্কেলার গুণজ বিনিময় বিধি মেনে চলে।
\(\overline{a}.(-\overline{b})=-(\overline{a}.\overline{b})\)
\((-\overline{a}).(-\overline{b})=\overline{a}.\overline{b}\)
\((\overline{a}+\overline{b}).\overline{c}=\overline{a}.\overline{c}+\overline{b}.\overline{c}\)
\(\theta\) সূক্ষ্ণকোণ হলে, স্কেলার গুণন ধনাত্মক হবে
\(\theta\) স্থুলকোণ হলে, স্কেলার গুণন ঋণাত্মক হবে
\(\theta=90^{o}\) হলে, স্কেলার গুণনের মাণ শূন্য হবে
অর্থাৎ দুইটি ভেক্টরের স্কেলার গুণন শূন্য হলে ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হয়।
\(\theta=0\) হলে, ভেক্টরদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল হবে
\(\theta=180^{o}\) হলে, ভেক্টরদ্বয় পরস্পর অসদৃশ সমান্তরাল হবে
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(\overline{a}.\overline{a}=a^2\)
\(\hat{i}.\hat{i}=\hat{j}.\hat{j}=\hat{k}.\hat{k}=1\)
\(\hat{i}.\hat{j}=\hat{j}.\hat{k}=\hat{k}.\hat{i}=0\)
\(\theta=\cos^{-1}\left(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{ab}\right)\)
দুইটি ভেক্টরের স্কেলার গুণজকে ভেক্টর দুইটির অংশকের মাধ্যমে প্রকাশ
\(\overline{a}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) দুইটি অশূন্য ভেক্টর
এখন, \(\overline{a}.\overline{b}=(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}).(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})\)
\(=a_{1}b_{1}\hat{i}.\hat{i}+a_{1}b_{2}\hat{i}.\hat{j}+a_{1}b_{3}\hat{i}.\hat{k}+a_{2}b_{1}\hat{j}.\hat{i}+a_{2}b_{2}\hat{j}.\hat{j}+a_{2}b_{3}\hat{j}.\hat{k}+a_{3}b_{1}\hat{k}.\hat{i}+a_{3}b_{2}\hat{k}.\hat{j}+a_{3}b_{3}\hat{k}.\hat{k}\)
\(=a_{1}b_{1}1+a_{1}b_{2}0+a_{1}b_{3}0+a_{2}b_{1}0+a_{2}b_{2}1+a_{2}b_{3}0+a_{3}b_{1}0+a_{3}b_{2}0+a_{3}b_{3}1\) ➜ \(\because \hat{i}.\hat{i}=\hat{j}.\hat{j}=\hat{k}.\hat{k}=1\)
এবং
\(\hat{i}.\hat{j}=\hat{j}.\hat{k}=\hat{k}.\hat{i}=0\)
\(=a_{1}b_{1}+0+0+0+a_{2}b_{2}+0+0+0+a_{3}b_{3}\)
\(=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\)
\(\therefore\) \(\overline{a}.\overline{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\)
এখন, \(\overline{a}.\overline{b}=(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}).(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})\)
\(=a_{1}b_{1}\hat{i}.\hat{i}+a_{1}b_{2}\hat{i}.\hat{j}+a_{1}b_{3}\hat{i}.\hat{k}+a_{2}b_{1}\hat{j}.\hat{i}+a_{2}b_{2}\hat{j}.\hat{j}+a_{2}b_{3}\hat{j}.\hat{k}+a_{3}b_{1}\hat{k}.\hat{i}+a_{3}b_{2}\hat{k}.\hat{j}+a_{3}b_{3}\hat{k}.\hat{k}\)
\(=a_{1}b_{1}1+a_{1}b_{2}0+a_{1}b_{3}0+a_{2}b_{1}0+a_{2}b_{2}1+a_{2}b_{3}0+a_{3}b_{1}0+a_{3}b_{2}0+a_{3}b_{3}1\) ➜ \(\because \hat{i}.\hat{i}=\hat{j}.\hat{j}=\hat{k}.\hat{k}=1\)
এবং
\(\hat{i}.\hat{j}=\hat{j}.\hat{k}=\hat{k}.\hat{i}=0\)
\(=a_{1}b_{1}+0+0+0+a_{2}b_{2}+0+0+0+a_{3}b_{3}\)
\(=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\)
\(\therefore\) \(\overline{a}.\overline{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\)
ভেক্টরের অভিক্ষেপ
Projection of a Vector
একটি ভেক্টরের উপর অন্য একটি ভেক্টরের অভিক্ষেপঃ \(\overline{a}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর অভিক্ষেপ, \(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{a}\) অথবা, \(\hat{a}.\overline{b}\)
\(\overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর অভিক্ষেপ, \(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{b}\) অথবা, \(\hat{b}.\overline{a}\)
ভেক্টরের ভেক্টর লম্ব অভিক্ষেপ বা, উপাংশ
Component of a Vector
একটি ভেক্টরের দিক বরাবর অন্য একটি ভেক্টরের ভেক্টর লম্ব অভিক্ষেপ বা, অংশক বা, উপাংশঃ \(\overline{a}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর ভেক্টর লম্ব অভিক্ষেপ বা উপাংশ ভেক্টর, \((\hat{a}.\overline{b})\hat{a}\) অথবা, \(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{a^2}\overline{a}\)
\(\overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর ভেক্টর লম্ব অভিক্ষেপ বা উপাংশ ভেক্টর, \((\overline{a}.\hat{b})\hat{b}\) অথবা, \(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{b^2}\overline{b}\)
স্কেলার বা ডট গুণনের জ্যামিতিক ব্যাখ্যা
Geometric Interpretation of Scalar Multiplication of Vector
\(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর স্কেলার গুণজ,
\(\overline{a}.\overline{b}=ab\cos{\theta}\)\(=a(b\cos{\theta})\)
\(=a(OB\times{\frac{ON}{OB}})\) ➜ \(\because OB=b\)
এবং \(\cos{\theta}=\frac{ON}{OB}\)
\(=a(ON)\)
\(=a\) এর মাণ \(\times{\overline{a}}\)বরাবর \(\overline{b}\) এর অভিক্ষেপ।
\(\therefore\) \(\overline{a}.\overline{b}=a\) এর মাণ \(\times{\overline{a}}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর অভিক্ষেপ
অনুরূপভাবে,
\(\overline{a}.\overline{b}=b\) এর মাণ \(\times{\overline{b}}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর অভিক্ষেপ
দুইটি ভেক্টরের অন্তর্ভুক্ত কোণ
Angle between two vectors
\(\overline{a}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) দুইটি অশূন্য ভেক্টরের অন্তর্ভুক্ত কোণ \(\theta\) হলে, \(\theta=\cos^{-1}\left(\frac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}{\sqrt{a_{1}^2+a_{2}^2+a_{3}^2}\sqrt{b_{1}^2+b_{2}^2+b_{3}^2}}\right)\)
ভেক্টরের ভেক্টর গুণন বা ক্রস গুণন
Scalar Multiplication of Vector
দুইটি ভেক্টর রাশির গুণফল যদি একটি ভেক্টর রাশি হয় তাহলে এ ধরনের গুণফলকে ভেক্টর গুণন বা ক্রস গুণন বলা হয়। এ গুণফলের মাণ রাশি দুইটির মাণ ও এদের মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতর কোণের সাইন (sine) এর গুণফলের সমান। ভেক্টর গুণফলের দিক হবে প্রদত্ত ভেক্টরদ্বয়ের সমতলে লম্বভাবে স্থাপিত একটি ডানহাতি স্ক্রকে প্রথম ভেক্টর থেকে দ্বিতীয় ভেক্টরের দিকে ক্ষুদ্রতর কোণে ঘুরালে স্ক্রটি যে দিকে অগ্রসর হয় সেদিকে। \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর ভেক্টর গুণজ \(\overline{a}\times{\overline{b}}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
\(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) দুইটি ভেক্টর রাশির মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) হলে, সংজ্ঞানুসারে ভেক্টর গুণফল হবে,
\(\overline{a}\times{\overline{b}}=ab\sin{\theta} \ \hat{n}\)
\(\hat{n}\) একটি একক ভেক্টর যা \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) ভেক্টরদ্বয়ের সমতলের উপর লম্ব।
দুইটি ভেক্টরের পরস্পর সমান্তরাল হওয়ার শর্তঃ
The condition that two vectors are parallel to each other:\(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) দুইটি ভেক্টর রাশি পরস্পর সমান্তরাল হলে,
\(\overline{a}\times{\overline{b}}=0\)
ভেক্টর গুণজের ধর্ম
Porperties of Vector Product
\(\overline{a}\times{\overline{b}}=-\overline{b}\times{\overline{a}}\)\(\overline{a}\times{\overline{b}}\ne{\overline{b}\times{\overline{a}}}\)
এদের মাণ ও ধারক রেখা অভিন্ন হলেও দিক ভিন্ন। সুতরাং ভেক্টরের ভেক্টর গুণন বিনিময় বিধি মেনে চলে না।
\(m(\overline{a}\times{\overline{b}})=(m\overline{a})\times{\overline{b}}=\overline{a}\times{(m\overline{b})}\)
\((m\overline{a})\times{(n\overline{b})}=(n\overline{a})\times{(m\overline{b})}=\overline{a}\times{(mn\overline{b})}=(mn\overline{a})\times{\overline{b}}=mn(\overline{a}\times{\overline{b}})\)
\(\overline{a}\times{(\overline{b}+\overline{c})}=\overline{a}\times{\overline{b}}+\overline{a}\times{\overline{c}}\)
\((\overline{a}+\overline{b})\times{\overline{c}}=\overline{a}\times{\overline{c}}+\overline{b}\times{\overline{c}}\)
\(\overline{a}\times{(\overline{b}\times{\overline{c}})}\ne{(\overline{a}\times{\overline{b}})\times{\overline{c}}}\)
\(\overline{a}\times{\overline{b}}=\overline{0}\) হলে, ভেক্টরদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল হবে।
\(\overline{a}\times{\overline{b}}=\overline{c}\) হলে, \(\overline{c}\) ভেক্টরটি \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর সমতলের উপর লম্ব হবে।
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(\overline{a}\times{\overline{a}}=0\)
\(\hat{i}\times{\hat{i}}=\hat{j}\times{\hat{j}}=\hat{k}\times{\hat{k}}=0\)
\(\hat{i}\times{\hat{j}}=\hat{k}, \hat{j}\times{\hat{k}}=\hat{i}, \hat{k}\times{\hat{i}}=\hat{j}\)
\(\hat{j}\times{\hat{i}}=-\hat{k}, \hat{k}\times{\hat{j}}=-\hat{i}, \hat{i}\times{\hat{k}}=-\hat{j}\)
\(\theta=\sin^{-1}\left(\frac{|\overline{a}\times{\overline{b}}|}{ab}\right)\)
দুইটি ভেক্টরের ভেক্টর গুণজকে ভেক্টর দুইটির অংশকের মাধ্যমে প্রকাশ
\(\overline{a}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) দুইটি অশূন্য ভেক্টর
এখন, \(\overline{a}\times{\overline{b}}=(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times{(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})}\)
\(=a_{1}b_{1}\hat{i}\times{\hat{i}}+a_{1}b_{2}\hat{i}\times{\hat{j}}+a_{1}b_{3}\hat{i}\times{\hat{k}}+a_{2}b_{1}\hat{j}\times{\hat{i}}+a_{2}b_{2}\hat{j}\times{\hat{j}}+a_{2}b_{3}\hat{j}\times{\hat{k}}+a_{3}b_{1}\hat{k}\times{\hat{i}}+a_{3}b_{2}\hat{k}\times{\hat{j}}+a_{3}b_{3}\hat{k}\times{\hat{k}}\)
\(=a_{1}b_{1}0+a_{1}b_{2}\hat{k}+a_{1}b_{3}(-\hat{j})+a_{2}b_{1}(-\hat{k})+a_{2}b_{2}0+a_{2}b_{3}\hat{i}+a_{3}b_{1}\hat{j}+a_{3}b_{2}(-\hat{i})+a_{3}b_{3}0\) ➜ \(\because \hat{i}\times{\hat{i}}=\hat{j}\times{\hat{j}}=\hat{k}\times{\hat{k}}=0\)
\(\hat{i}\times{\hat{j}}=\hat{k}, \hat{j}\times{\hat{k}}=\hat{i}, \hat{k}\times{\hat{i}}=\hat{j}\)
এবং
\(\hat{j}\times{\hat{i}}=-\hat{k}, \hat{k}\times{\hat{j}}=-\hat{i}, \hat{i}\times{\hat{k}}=-\hat{j}\)
\(=0+a_{1}b_{2}\hat{k}-a_{1}b_{3}\hat{j}-a_{2}b_{1}\hat{k}+0+a_{2}b_{3}\hat{i}+a_{3}b_{1}\hat{j}-a_{3}b_{2}\hat{i}+0\)
\(=\hat{i}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})-\hat{j}(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})+\hat{k}(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\)
\(=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{array}\right|\)
\(\therefore\) \(\overline{a}\times{\overline{b}}=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{array}\right|\)
এখন, \(\overline{a}\times{\overline{b}}=(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times{(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})}\)
\(=a_{1}b_{1}\hat{i}\times{\hat{i}}+a_{1}b_{2}\hat{i}\times{\hat{j}}+a_{1}b_{3}\hat{i}\times{\hat{k}}+a_{2}b_{1}\hat{j}\times{\hat{i}}+a_{2}b_{2}\hat{j}\times{\hat{j}}+a_{2}b_{3}\hat{j}\times{\hat{k}}+a_{3}b_{1}\hat{k}\times{\hat{i}}+a_{3}b_{2}\hat{k}\times{\hat{j}}+a_{3}b_{3}\hat{k}\times{\hat{k}}\)
\(=a_{1}b_{1}0+a_{1}b_{2}\hat{k}+a_{1}b_{3}(-\hat{j})+a_{2}b_{1}(-\hat{k})+a_{2}b_{2}0+a_{2}b_{3}\hat{i}+a_{3}b_{1}\hat{j}+a_{3}b_{2}(-\hat{i})+a_{3}b_{3}0\) ➜ \(\because \hat{i}\times{\hat{i}}=\hat{j}\times{\hat{j}}=\hat{k}\times{\hat{k}}=0\)
\(\hat{i}\times{\hat{j}}=\hat{k}, \hat{j}\times{\hat{k}}=\hat{i}, \hat{k}\times{\hat{i}}=\hat{j}\)
এবং
\(\hat{j}\times{\hat{i}}=-\hat{k}, \hat{k}\times{\hat{j}}=-\hat{i}, \hat{i}\times{\hat{k}}=-\hat{j}\)
\(=0+a_{1}b_{2}\hat{k}-a_{1}b_{3}\hat{j}-a_{2}b_{1}\hat{k}+0+a_{2}b_{3}\hat{i}+a_{3}b_{1}\hat{j}-a_{3}b_{2}\hat{i}+0\)
\(=\hat{i}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})-\hat{j}(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})+\hat{k}(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\)
\(=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{array}\right|\)
\(\therefore\) \(\overline{a}\times{\overline{b}}=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{array}\right|\)
ভেক্টর গুণনের জ্যামিতিক ব্যাখ্যা
Geometric interpretation of Vector product
\(OACB\) সামান্তরিকের \(OA\) এবং \(OB\) সন্নিহিত বাহু দুইটি দ্বারা যথাক্রমে \(\overline{a}\) এবং \(\overline{b}\) ভেক্টর দুইটি সূচীত করা হলো। যদি \(\angle{AOB}=\theta\) হয়,
তাহলে, \(\overline{a}\times{\overline{b}}=\overrightarrow{OA}\times{\overrightarrow{OB}}\)
\(=OA \ OB \sin{\theta} \ \hat{n}\)
\(=ab\sin{\theta} \ \hat{n}\)
\(=\overline{c}\)
যেখানে, \(\hat{n}\) হলো \(\overline{a}\) এবং \(\overline{b}\) ভেক্টরদ্বয়ের সমতলের উপর লম্ব একক ভেক্টর। উল্লেখ্য, ডানহাতি স্ক্র \(\overline{a}\) থেকে \(\overline{b}\) এর দিকে ক্ষুদ্রতম কোণে ঘূর্ণন হলে \(\hat{n}\) এর দিক \(OD\) বরাবর এবং \(\overline{b}\) থেকে \(\overline{a}\) এর দিকে ঘূর্ণন হলে \(\hat{n}\) এর দিক \(DO\) বরাবর হবে।
\(\overline{a}\times{\overline{b}}=OA \ OB \sin{\theta}\)
\(=OA \ h\) যখন, \(h=OB \sin{\theta}\)
\(=OACB\) সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল।
\(\Box{OACB}=|\overline{a}\times{\overline{b}}|\)
আবার, \(\frac{1}{2}|\overline{a}\times{\overline{b}}|=\frac{1}{2}.OA.h\)
\(=\triangle{OAB}\)
\(\triangle{OAB}=\frac{1}{2}|\overline{a}\times{\overline{b}}|\)
তিনটি ভেক্টরের স্কেলার গুণনঃ
কোনো সামান্তরিক আকারের ঘনবস্তুর সমবিন্দু ধারসমূহ \(\overline{a}, \overline{b}\) এবং \(\overline{c}\) ভেক্টর তিনটি দ্বারা সূচিত হলে, ভেক্টরত্রয়ের স্কেলার গুণন \([\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]\) বা \(\overline{a}.(\overline{b}\times{\overline{c}})\) দ্বারা ঐ সামান্তরিক আকারের ঘনবস্তুর আয়তন নির্দেশিত হয়। তাহলে,
\([\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]=\overline{a}.(\overline{b}\times{\overline{c}})=\overline{b}.(\overline{c}\times{\overline{a}})=\overline{c}.(\overline{a}\times{\overline{b}})=\)ভেক্টর তিনটি দ্বারা গঠিত সামান্তরিক আকারের ঘনবস্তুর আয়তন।
অথবা,
\([\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]=\overline{a}.(\overline{b}\times{\overline{c}})=\overline{b}.(\overline{c}\times{\overline{a}})=\overline{c}.(\overline{a}\times{\overline{b}})=\left|\begin{array}{c}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\\ c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|\)
তিনটি ভেক্টর সমতলীয় হওয়ার শর্তঃ
\(\overline{a}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}, \overline{b}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k}\) ভেক্টর তিনটির সমতলীয় হওয়ার শর্তঃ \([\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]=\left|\begin{array}{c}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\\ c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|=0\)
তিনটি ভেক্টরের ভেক্টর গুণনঃ
তিনটি ভেক্টর \(\overline{a}, \overline{b}\) এবং \(\overline{c}\) এর ভেক্টর গুণন \(\overline{a}\times(\overline{b}\times{\overline{c}})=(\overline{a}.\overline{c})\overline{b}-(\overline{a}.\overline{b})\overline{c}\)
\((\overline{a}\times\overline{b})\times{\overline{c}}=(\overline{a}.\overline{c})\overline{b}-(\overline{b}.\overline{c})\overline{a}\)
চারটি ভেক্টরের স্কেলার গুণনঃ
\(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}\) এবং \(\overline{d}\) যে কোনো ভেক্টরের জন্য \((\overline{a}\times\overline{b}).(\overline{c}\times\overline{d})=\left|\begin{array}{c}\overline{a}.\overline{c}&\overline{a}.\overline{d}\\\overline{b}.\overline{c}&\overline{b}.\overline{d}\end{array}\right|\)
কার্তেসীয় ত্রিমাত্রিক জগতে মূলবিন্দু \((0, 0, 0)\) এর সাপেক্ষে \(P(x, y, z)\) এর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{r}\) হলে,
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\)
\(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\)
প্রমাণঃ
ধরি,
কার্তেসীয় ত্রিমাত্রিক আয়তাকার স্থাংক ব্যবস্থায় \(P\) বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((x, y, z)\) এবং মূলবিন্দু \((0, 0, 0), x, y\) ও \(z\) অক্ষের ধনাত্মক দিকে একক ভেক্টর যথাক্রমে \(\hat{i}, \hat{j}\) ও \(\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
এখানে, \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CQ}=x\hat{i}, \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{QP}=y\hat{j}\) এবং \(\overrightarrow{OC}=z\hat{k}\)
এখন, \({OCQP}\)-এ ভেক্টর সংযোগের বহুভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CQ}+\overrightarrow{QP}\)
\(\Rightarrow \overline{r}=z\overline{k}+x\overline{i}+y\overline{j}\) ➜ \(\because \overrightarrow{OC}=z\hat{k}\)
\(\overrightarrow{CQ}=x\hat{i}\)
\(\overrightarrow{QP}=y\hat{j}\)
\(\therefore\) \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\)
কার্তেসীয় ত্রিমাত্রিক আয়তাকার স্থাংক ব্যবস্থায় \(P\) বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((x, y, z)\) এবং মূলবিন্দু \((0, 0, 0), x, y\) ও \(z\) অক্ষের ধনাত্মক দিকে একক ভেক্টর যথাক্রমে \(\hat{i}, \hat{j}\) ও \(\hat{k}\)এবং \(\overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
এখানে, \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CQ}=x\hat{i}, \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{QP}=y\hat{j}\) এবং \(\overrightarrow{OC}=z\hat{k}\)
এখন, \({OCQP}\)-এ ভেক্টর সংযোগের বহুভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CQ}+\overrightarrow{QP}\)
\(\Rightarrow \overline{r}=z\overline{k}+x\overline{i}+y\overline{j}\) ➜ \(\because \overrightarrow{OC}=z\hat{k}\)
\(\overrightarrow{CQ}=x\hat{i}\)
\(\overrightarrow{QP}=y\hat{j}\)
\(\therefore\) \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\)
\(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) এর মাণ,
\(r=|\overline{r}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
\(r=|\overline{r}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
প্রমাণঃ
ধরি,\(P(x,y,z), \ L(x,0,0), \ M(0,y,0), \ N(0,0,z), \ \overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
এবং অক্ষরেখাগুলি বরাবর একক ভেক্টর যথাক্রমে \(\hat{i}, \ \hat{j}, \ \hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{OL}=\overrightarrow{MN}=x\hat{i}, \overrightarrow{OM}=y\hat{j}, \overrightarrow{ON}=\overrightarrow{NP}=z\hat{k}\)
\(\triangle{OMN}\) সমকোণী
\(\therefore ON^2=OM^2+MN^2\)
আবার, \(\triangle{OPN}\) সমকোণী
\(\therefore OP^2=ON^2+NP^2\)
\(\Rightarrow OP^2=OM^2+MN^2+NP^2\) ➜ \(\because ON^2=OM^2+MN^2\)
\(\Rightarrow OP^2=MN^2+OM^2+NP^2\)
\(\Rightarrow \overline{r}.\overline{r}=x\hat{i}.x\hat{i}+y\hat{j}.y\hat{j}+z\hat{k}.z\hat{k}\) ➜ \(\because \overrightarrow{OP}=\overline{r}, \overrightarrow{MN}=x\hat{i}, \overrightarrow{OM}=y\hat{j}, \overrightarrow{NP}=z\hat{k}\)
\(\Rightarrow r^2=x^2\hat{i}.\hat{i}+y^2\hat{j}.\hat{j}+z^2\hat{k}.\hat{k}\) ➜ \(\because \overline{r}.\overline{r}=r^2\)
\(\Rightarrow r^2=x^2.1+y^2.1+z^2.1\) ➜ \(\because \hat{i}.\hat{i}=\hat{j}.\hat{j}=\hat{k}.\hat{k}=1\)
\(\Rightarrow r^2=x^2+y^2+z^2\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
\(\therefore\) \(r=|\overline{r}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
\(O\) বিন্দু থেকে তিনটি পরস্পর লম্ব সরলরেখা \(OX, OY, OZ\) আঁকা হলো।
\(\overrightarrow{OX}=\hat{i}, \overrightarrow{OY}=\hat{j}\) এবং \(\overrightarrow{OZ}=\hat{k}\) হয়, যেখানে \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\) তিনটি পরস্পর লম্ব একক ভেক্টর।
\(\overrightarrow{OP}=\overline{r}\) ভেক্টরকে তিনটি পরস্পর লম্ব একক ভেক্টর \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\) এর যোগাশ্রয়ী সমাবেশ হিসেবে প্রকাশ করা হয়েছে।
অর্থাৎ , \(\overline{r}=x\overline{i}+y\overline{j}+z\overline{k}\)
\(OX\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=x\overline{i}\)
\(OY\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=y\overline{j}\)
\(OZ\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=z\overline{k}\)
\(\overrightarrow{OX}=\hat{i}, \overrightarrow{OY}=\hat{j}\) এবং \(\overrightarrow{OZ}=\hat{k}\) হয়, যেখানে \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\) তিনটি পরস্পর লম্ব একক ভেক্টর।
\(\overrightarrow{OP}=\overline{r}\) ভেক্টরকে তিনটি পরস্পর লম্ব একক ভেক্টর \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\) এর যোগাশ্রয়ী সমাবেশ হিসেবে প্রকাশ করা হয়েছে।
অর্থাৎ , \(\overline{r}=x\overline{i}+y\overline{j}+z\overline{k}\)
\(OX\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=x\overline{i}\)
\(OY\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=y\overline{j}\)
\(OZ\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=z\overline{k}\)
প্রমাণঃ
ধরি, \(P\) যে কোনো একটি বিন্দু। \(P\) বিন্দুর মধ্য দিয়ে \(YOZ, ZOX\) এবং \(XOY\) সমতলগুলির সমান্তরাল তিনটি তল অঙ্কন করি; যারা \(OX, OY\) এবং \(OZ\) কে যথাক্রমে \(L, M\) এবং \(N^{\prime}\) বিন্দুতে ছেদ করে। এভাবে একটি আয়াতাকার ঘনক \(OLNML^{\prime}N^{\prime}M^{\prime}P\) পাওয়া যায়। যার একটি কর্ণ \(OP,\) যাকে \(\overline{r}\) দ্বারা সূচীত করা যায়।
\(\overline{r}=\overrightarrow{OP}\)
\(=\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NP}\) ➜ \(\triangle{OPN}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NP}\)
\(=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{ON^{\prime}}\) ➜ \(\triangle{OMN}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MN}\)
এবং \(\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{ON^{\prime}}\)
\(=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OL}+\overrightarrow{ON^{\prime}}\) ➜ \(\because \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{OL}\)
\(=\overrightarrow{OL}+\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON^{\prime}}\)
\(x, y, z\) এরূপ তিনটি স্কেলার রাশি যেখানে,
\(P\) বিন্দুর আয়াতাকার কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((x, y, z)\)
এবং
\(\overrightarrow{OL}=x\overrightarrow{OA}=x\hat{i}\)
\(\overrightarrow{OM}=y\overrightarrow{OB}=y\hat{j}\)
\(\overrightarrow{ON^{\prime}}=z\overrightarrow{OC}=z\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OL}+\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON^{\prime}}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{OP}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\)
\(\therefore \overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\)
ইহা স্পষ্ট যে,
\(OX\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=x\overline{i}\)
\(OY\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=y\overline{j}\)
\(OZ\) বরাবর \(\overline{r}\) এর অংশক \(=z\overline{k}\)
( প্রমাণিত )
একটি ভেক্টরের উপর অন্য একটি ভেক্টরের অভিক্ষেপঃ
\(\overline{a}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর অভিক্ষেপ, \(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{a}\) অথবা, \(\hat{a}.\overline{b}\)
\(\overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর অভিক্ষেপ, \(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{b}\) অথবা, \(\hat{b}.\overline{a}\)
\(\overline{a}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর অভিক্ষেপ, \(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{a}\) অথবা, \(\hat{a}.\overline{b}\)
\(\overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর অভিক্ষেপ, \(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{b}\) অথবা, \(\hat{b}.\overline{a}\)
প্রমাণঃ
ধরি, \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\) এবং ভেক্টর দুইটির মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\)
\(B\) বিন্দু থেকে \(OA\) এর উপর \(BC\) এবং \(A\) বিন্দু থেকে \(OB\) এর উপর \(AD\) লম্ব অঙ্কন করি,
এখানে, \(OC=OB\times{\frac{OC}{OB}}\)
\(=b\cos{\theta}\) ➜ \(\because OB=b\)
এবং \(\frac{OC}{OB}=\cos{\theta}\)
\(\therefore OC=b\cos{\theta}\)
যা \(\overline{a}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর অভিক্ষেপ।
আবার, \( OC=b\cos{\theta}\)
\(=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{a}\) ➜ \(\because ab\cos{\theta}=\overline{a}.\overline{b}\)
\(\Rightarrow b\cos{\theta}=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{a}\)
\(=\frac{\overline{a}}{a}.\overline{b}\)
\(=\hat{a}.\overline{b}\)
\(\therefore \overline{a}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর অভিক্ষেপ, \(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{a}\) অথবা, \(\hat{a}.\overline{b}\)
আবার, \(OD=OA\times{\frac{OD}{OA}}\)
\(=a\cos{\theta}\) ➜ \(\because OA=a\)
এবং \(\frac{OD}{OA}=\cos{\theta}\)
\(\therefore OD=a\cos{\theta}\)
যা \(\overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর অভিক্ষেপ।
আবার, \( OD=a\cos{\theta}\)
\(=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{b}\) ➜ \(\because ab\cos{\theta}=\overline{a}.\overline{b}\)
\(\Rightarrow a\cos{\theta}=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{b}\)
\(=\frac{\overline{b}}{b}.\overline{a}\)
\(=\hat{b}.\overline{a}\)
\(\therefore \overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর অভিক্ষেপ, \(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{b}\) অথবা, \(\hat{b}.\overline{a}\)
( প্রমাণিত )
একটি ভেক্টরের দিক বরাবর অন্য একটি ভেক্টরের অংশকঃ
\(\overline{a}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর উপাংশ ভেক্টর, \((\hat{a}.\overline{b})\hat{a}\) অথবা, \(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{a^2}\overline{a}\)
\(\overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর উপাংশ ভেক্টর, \((\overline{a}.\hat{b})\hat{b}\) অথবা, \(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{b^2}\overline{b}\)
\(\overline{a}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর উপাংশ ভেক্টর, \((\hat{a}.\overline{b})\hat{a}\) অথবা, \(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{a^2}\overline{a}\)
\(\overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর উপাংশ ভেক্টর, \((\overline{a}.\hat{b})\hat{b}\) অথবা, \(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{b^2}\overline{b}\)
প্রমাণঃ
আমরা জানি,
\(\overline{a}\) বরাবর একক ভেক্টর \(\hat{a}=\frac{\overline{a}}{a}\)
এবং \(\overline{b}\) বরাবর একক ভেক্টর \(\hat{b}=\frac{\overline{b}}{b}\)
আবার,
\(\overline{a}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর অভিক্ষেপ \(OC=b\cos{\theta}\)
এবং \(\overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর অভিক্ষেপ \(OD=a\cos{\theta}\)
এখন,
\(\overline{a}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর উপাংশ ভেক্টর,
\(\overrightarrow{OC}=OC\hat{a}\)
\(=b\cos{\theta}\times{\hat{a}}\) ➜ \(\because OC=b\cos{\theta}\)
\(=b\cos{\theta}\times{\frac{\overline{a}}{a}}\) ➜ \(\because \hat{a}=\frac{\overline{a}}{a}\)
\(=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{a}\times{\frac{\overline{a}}{a}}\) ➜ \(\because ab\cos{\theta}=\overline{a}.\overline{b}\)
\(\Rightarrow b\cos{\theta}=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{a}\)
\(=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{a}\times{\frac{\overline{a}}{a}}\)
\(=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{a^2}\overline{a}\)
\(\therefore \overline{a}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর উপাংশ ভেক্টর, \((\hat{a}.\overline{b})\hat{a}\) অথবা, \(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{a^2}\overline{a}\)
আবার,
\(\overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর উপাংশ ভেক্টর,
\(\overrightarrow{OD}=OD\hat{b}\)
\(=a\cos{\theta}\times{\hat{b}}\) ➜ \(\because OD=a\cos{\theta}\)
\(=a\cos{\theta}\times{\frac{\overline{b}}{b}}\) ➜ \(\because \hat{b}=\frac{\overline{b}}{b}\)
\(=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{b}\times{\frac{\overline{b}}{b}}\) ➜ \(\because ab\cos{\theta}=\overline{a}.\overline{b}\)
\(\Rightarrow a\cos{\theta}=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{b}\)
\(=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{b}\times{\frac{\overline{b}}{b}}\)
\(=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{b^2}\overline{b}\)
\(\therefore \overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর উপাংশ ভেক্টর, \((\overline{a}.\hat{b})\hat{b}\) অথবা, \(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{b^2}\overline{b}\)
( প্রমাণিত )
\(\overline{a}\) বরাবর একক ভেক্টর \(\hat{a}=\frac{\overline{a}}{a}\)
এবং \(\overline{b}\) বরাবর একক ভেক্টর \(\hat{b}=\frac{\overline{b}}{b}\)
আবার,
\(\overline{a}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর অভিক্ষেপ \(OC=b\cos{\theta}\)
এবং \(\overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর অভিক্ষেপ \(OD=a\cos{\theta}\)
এখন,
\(\overline{a}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর উপাংশ ভেক্টর,
\(\overrightarrow{OC}=OC\hat{a}\)
\(=b\cos{\theta}\times{\hat{a}}\) ➜ \(\because OC=b\cos{\theta}\)
\(=b\cos{\theta}\times{\frac{\overline{a}}{a}}\) ➜ \(\because \hat{a}=\frac{\overline{a}}{a}\)
\(=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{a}\times{\frac{\overline{a}}{a}}\) ➜ \(\because ab\cos{\theta}=\overline{a}.\overline{b}\)
\(\Rightarrow b\cos{\theta}=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{a}\)
\(=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{a}\times{\frac{\overline{a}}{a}}\)
\(=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{a^2}\overline{a}\)
\(\therefore \overline{a}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর উপাংশ ভেক্টর, \((\hat{a}.\overline{b})\hat{a}\) অথবা, \(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{a^2}\overline{a}\)
আবার,
\(\overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর উপাংশ ভেক্টর,
\(\overrightarrow{OD}=OD\hat{b}\)
\(=a\cos{\theta}\times{\hat{b}}\) ➜ \(\because OD=a\cos{\theta}\)
\(=a\cos{\theta}\times{\frac{\overline{b}}{b}}\) ➜ \(\because \hat{b}=\frac{\overline{b}}{b}\)
\(=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{b}\times{\frac{\overline{b}}{b}}\) ➜ \(\because ab\cos{\theta}=\overline{a}.\overline{b}\)
\(\Rightarrow a\cos{\theta}=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{b}\)
\(=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{b}\times{\frac{\overline{b}}{b}}\)
\(=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{b^2}\overline{b}\)
\(\therefore \overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর উপাংশ ভেক্টর, \((\overline{a}.\hat{b})\hat{b}\) অথবা, \(\frac{\overline{a}.\overline{b}}{b^2}\overline{b}\)
( প্রমাণিত )
তিনটি ভেক্টরের স্কেলার গুণনঃ
কোনো সামান্তরিক আকারের ঘনবস্তুর সমবিন্দু ধারসমূহ \(\overline{a}, \overline{b}\) এবং \(\overline{c}\) ভেক্টর তিনটি দ্বারা সূচিত হলে, ভেক্টরত্রয়ের স্কেলার গুণন \([\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]\) বা \(\overline{a}.(\overline{b}\times{\overline{c}})\) দ্বারা ঐ সামান্তরিক আকারের ঘনবস্তুর আয়তন নির্দেশিত হয়। তাহলে,
\([\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]=\overline{a}.(\overline{b}\times{\overline{c}})=\overline{b}.(\overline{c}\times{\overline{a}})=\overline{c}.(\overline{a}\times{\overline{b}})=\)ভেক্টর তিনটি দ্বারা গঠিত সামান্তরিক আকারের ঘনবস্তুর আয়তন।
অথবা,
\([\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]=\overline{a}.(\overline{b}\times{\overline{c}})=\overline{b}.(\overline{c}\times{\overline{a}})=\overline{c}.(\overline{a}\times{\overline{b}})=\left|\begin{array}{c}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\\ c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|\)
প্রমাণঃ
দেওয়া আছে,\(\overline{a}, \overline{b}\) এবং \(\overline{c}\) তিনটি ভেক্টর রাশি।
ধরি, \(V\) আয়তন বিশিষ্ট একটি সামান্তরিক আকারের ঘনবস্তু \(OABCDEFG\) এর মূলবিন্দু \(O\) তে ছেদিত ধারগুলি \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}, \ \overrightarrow{OC}=\overline{b}, \ \overrightarrow{OG}=\overline{c}\) এবং \(OABC\) ভূমির উপর উচ্চতা \(h.\)
এখন, \(OABC\) সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল \(=|\overline{a}\times{\overline{b}}|\)
\(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) ভেক্টরদ্বয়ের উপর লম্ব একক ভেক্টর \(\hat{n}\) হলে, \(\hat{n}=\frac{\overline{a}\times{\overline{b}}}{|\overline{a}\times{\overline{b}}|}\)
আবার, \(h=\hat{n}\) এর উপর \(\overline{c}\) ভেক্টরের লম্ব অভিক্ষেপ \(=\frac{\overline{c}.\hat{n}}{|\hat{n}|}\)
\(=\overline{c}.\hat{n}\)
\(=\overline{c}.\frac{\overline{a}\times{\overline{b}}}{|\overline{a}\times{\overline{b}}|}\) ➜ \(\because \hat{n}=\frac{\overline{a}\times{\overline{b}}}{|\overline{a}\times{\overline{b}}|}\)
\(\therefore h=\overline{c}.\frac{\overline{a}\times{\overline{b}}}{|\overline{a}\times{\overline{b}}|}\)
\(\therefore OABCDEFG\) সামান্তরিক আকারের ঘনবস্তুর আয়তন \(=OABC\) সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল \(\times \) উচ্চতা
\(=\overline{a}\times{\overline{b}}h\) ➜ \(\because OABC\) সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল \(=|\overline{a}\times{\overline{b}}|\)
এবং উচ্চতা \(h.\)
\(=\overline{a}\times{\overline{b}} \ \overline{c}.\frac{\overline{a}\times{\overline{b}}}{|\overline{a}\times{\overline{b}}|}\) ➜ \(\because h=\overline{c}.\frac{\overline{a}\times{\overline{b}}}{|\overline{a}\times{\overline{b}}|}\)
\(=\overline{a}\times{\overline{b}} \ \overline{c}.\frac{\overline{a}\times{\overline{b}}}{|\overline{a}\times{\overline{b}}|}\)
\(=\overline{c}.(\overline{a}\times{\overline{b}})\)
\(\therefore \overline{c}.(\overline{a}\times{\overline{b}})=\) সামান্তরিক আকারের ঘনবস্তুর আয়তন
অনুরূপভাবে, \(\overline{b}.(\overline{c}\times{\overline{a}})=\) সামান্তরিক আকারের ঘনবস্তুর আয়তন
\(\overline{a}.(\overline{b}\times{\overline{c}})=\) সামান্তরিক আকারের ঘনবস্তুর আয়তন
এবং \([\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]=\) সামান্তরিক আকারের ঘনবস্তুর আয়তন
\(\therefore [\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]= \overline{a}.(\overline{b}\times{\overline{c}})=\overline{b}.(\overline{c}\times{\overline{a}})=\overline{c}.(\overline{a}\times{\overline{b}})=\) সামান্তরিক আকারের ঘনবস্তুর আয়তন
( প্রমাণিত )
দেখাও যে, ভেক্টর \(\overline{r}\) কে উহার সহিত সমতলীয় অসমরৈখিক ভেক্টর \(\overline{a}\) এবং \(\overline{b}\) এর যোগাশ্রয়ী সমাবেশ \(\overline{r}=x\overline{a}+y\overline{b}\) রূপে অনন্যভাবে প্রকাশ করা যায় যেখানে, \(x\) এবং \(y\) স্কেলার।
প্রমাণঃ
দেওয়া আছে,\( \overline{r}, \ \overline{a}\) এবং \(\overline{b}\) ভেক্টরত্রয় সমতলীয় অসমরৈখিক।
ধরি,
\( \overrightarrow{OA}=\overline{a}, \ \overrightarrow{OB}=\overline{b}\) এবং \(\overrightarrow{OR}=\overline{b}\)
এখন, \( \overrightarrow{OR}\) কে কর্ণ ধরে \(OPRQ\) সামান্তরিকটি অঙ্কন করি যার \(OP\) বাহু \(OA\) বরাবর এবং \(OQ\) বাহু \(OB\) বরাবর।
এবং \( \overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}=x\overline{a}\) এবং \(\overrightarrow{OQ}=y\overrightarrow{OB}=y\overline{b}\)
যেখানে, \(x\) এবং \(y\) উভয় স্কেলার।
এখন, \( \overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PR}\) ➜ \(\triangle{OPR}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PR}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}\) ➜ \(\because \overrightarrow{PR}=\overrightarrow{OQ}\) এবং \(\overrightarrow{PR}||\overrightarrow{OQ}\)
সামান্তরিকের বিপরীত বাহু।
\(\therefore \overline{r}=x\overline{a}+y\overline{b} ....(1)\) ➜ \(\because \overrightarrow{OR}=\overline{r}\)
\(\overrightarrow{OP}=x\overline{a}\)
এবং \(\overrightarrow{OQ}=y\overline{b}\)
আবার ধরি,
\(\overline{r}=x^{\prime}\overline{a}+y^{\prime}\overline{b} ....(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(x\overline{a}+y\overline{b}=x^{\prime}\overline{a}+y^{\prime}\overline{b}\)
\(\Rightarrow x\overline{a}+y\overline{b}-x^{\prime}\overline{a}-y^{\prime}\overline{b}=0\)
\(\Rightarrow (x-x^{\prime})\overline{a}+(y-y^{\prime})\overline{b}=0\)
\(\Rightarrow x-x^{\prime}=0, \ y-y^{\prime}=0\) ➜ \(\because \overline{a}\ne{0}, \ \overline{b}\ne{0}\)
\(\therefore x=x^{\prime}, \ y=y^{\prime}\)
সুতরাং যোগাশ্রয়ী সমাবেশ \(\overline{r}=x\overline{a}+y\overline{b}\) অনন্য।
( প্রমাণিত )
দেখাও যে, \(\overline{A}=A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\) ভেক্টরের মাণ \(A=|\overline{A}|=\sqrt{A_{1}^2+A_{2}^2+A_{3}^2}\)
প্রমাণঃ
দেওয়া আছে,\(\overline{A}=A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
ধরি,
\(O\) মূলবিন্দু সাপেক্ষে \(P\) এর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{A}\) এবং \(P\) বিন্দু হতে যথাক্রমে \(XY\) সমতল ও \(Z\) অক্ষের উপর \(PM\) ও \(PD\) লম্ব আঁকি।
আবার, \(M\) বিন্দু হতে \(X\) অক্ষের উপর \(MB\) লম্ব আঁকি।
\(\therefore OP=A, \ OB=A_{1}, \ OC=MB=A_{2}, \ OD=PM=A_{3}\)
\(\triangle OMB\) সমকোণী
\(\therefore OM^2=OB^2+MB^2\)
\(\therefore OM^2=A_{1}^2+A_{2}^2\) ➜ \(\because OB=A_{1}, \ OC=MB=A_{2}\)
\(\triangle OPM\) সমকোণী
\(\therefore OP^2=OM^2+PM^2\)
\(\Rightarrow A^2=A_{1}^2+A_{2}^2+A_{3}^2\) ➜ \(\because OM^2=A_{1}^2+A_{2}^2\)
এবং \(PM=A_{3}\)
\(\Rightarrow A=\sqrt{A_{1}^2+A_{2}^2+A_{3}^2}\)
\(\therefore A=|A|=\sqrt{A_{1}^2+A_{2}^2+A_{3}^2}\)
( প্রমাণিত )
যদি, \(A(x_{1},y_{1},z_{1})\) আদি বিন্দু এবং \(B(x_{2},y_{2},z_{2})\) প্রান্তবিন্দু হয় তবে দেখাও যে, ভেক্টর \(\overrightarrow{AB}=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}+(z_{2}-z_{1})\hat{k}\) এর মাণ \(AB=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2+(z_{2}-z_{1})^2}\)
প্রমাণঃ
দেওয়া আছে,\(A(x_{1},y_{1},z_{1})\) আদি বিন্দু এবং \(B(x_{2},y_{2},z_{2})\) প্রান্তবিন্দু
ধরি,
\(O\) মূলবিন্দু সাপেক্ষে \(A\) এবং \(B\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(\overline{r_{1}}\) এবং \(\overline{r_{2}}\)
\(\therefore \overrightarrow{OA}=\overline{r_{1}}=x_{1}\hat{i}+y_{1}\hat{j}+z_{1}\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{OB}=\overline{r_{2}}=x_{2}\hat{i}+y_{2}\hat{j}+z_{2}\hat{k}\)
এখন, \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}\) ➜ \(\triangle{OAB}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}\)
\(=-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\)
\(=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\)
\(=x_{2}\hat{i}+y_{2}\hat{j}+z_{2}\hat{k}-x_{1}\hat{i}-y_{1}\hat{j}-z_{1}\hat{k}\) ➜ \(\because \overrightarrow{OB}=x_{2}\hat{i}+y_{2}\hat{j}+z_{2}\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{OA}=x_{1}\hat{i}+y_{1}\hat{j}+z_{1}\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}+(z_{2}-z_{1})\hat{k}\)
\(\Rightarrow AB=|\overrightarrow{AB}|=|(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}+(z_{2}-z_{1})\hat{k}|\)
\(\therefore AB=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2+(z_{2}-z_{1})^2}\) ➜ \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
( প্রমাণিত )
অধ্যায় \(11\)-এর উদাহরণসমুহ
উদাহরণ \(1.\) \(\overline{A}=2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=3\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\) হলে, \(|\overline{A}|, \ |\overline{B}|, \ |\overline{A}+\overline{B}|, \ |\overline{A}-\overline{B}|\) এবং \(|\overline{A}-2\overline{B}|\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\sqrt{29}, \ \sqrt{11}, \ \sqrt{38}, \ \sqrt{42}\) এবং \(\sqrt{77}\)
উদাহরণ \(2.\) \(\overline{a}=\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k},\) \(\overline{b}=-2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}\) ভেক্টরত্রয়ের লব্ধি ভেক্টর ও তার মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}\) এবং \(3\)
উদাহরণ \(3.\) যদি, \(-\hat{i}+\lambda\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}\) ভেক্টদ্বয় পরস্পর লম্ব হয় তবে \(\lambda\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\lambda=1\)
উদাহরণ \(4.\) যে শর্তে \(a\hat{i}+b\hat{j}+c\hat{k}\) ভেক্টরটি
\((1)\) \(YZ\) সমতল;
\((2)\) \(ZX\) সমতল ;
\((3)\) \(XY\) সমতলের সমান্তরাল তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a=0, \ b=0, \ c=0\)
উদাহরণ \(5.\) দেখাও যে, \(\overline{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \ \overline{b}=\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=5\hat{i}-4\hat{j}-\hat{k}\) ভেক্টরত্রয় পরস্পর লম্বিক।
উদাহরণ \(6.\) যদি \(|\overline{a}+\overline{b}|=|\overline{a}-\overline{b}|\) হয় তবে , দেখাও যে, \(\overline{a}\) ভেক্টরটি \(\overline{b}\) ভেক্টরের উপর লম্ব।
উদাহরণ \(7.\) নিম্নের ভেক্টরদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ নির্ণয় কর।
\((i) \overline{a}=2\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}, \ \overline{b}=6\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}\)
\((ii) \overline{a}=\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}, \ \overline{b}=4\hat{i}-3\hat{k}\)
\((ii) \ \cos^{-1}{\left(\frac{13}{5\sqrt{14}}\right)}\)
উদাহরণ \(8.\) নিম্নের ভেক্টর স্থাংকের অক্ষত্রয়ের যোগবোধক দিকের সহিত যে কোণসমূহ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর।
\((i) \ 3\hat{i}-6\hat{j}+2\hat{k}\)
উত্তরঃ \((i) \ \cos^{-1}{\left(\frac{3}{7}\right)}; \ \cos^{-1}{\left(-\frac{6}{7}\right)}; \ \cos^{-1}{\left(\frac{2}{7}\right)}\)
\((ii) \ \cos^{-1}{\left(\frac{1}{9}\right)}; \ \cos^{-1}{\left(\frac{4}{9}\right)}; \ \cos^{-1}{\left(\frac{8}{9}\right)}\)
উদাহরণ \(9.\) ডট গুণনের সাহায্যে \(A(1,3,2)\) \(B(2,-1,1)\) এবং \(C(-1,2,3)\) শীর্ষবিন্দু বিশিষ্ট ত্রিভুজের কোণসমূহ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\angle{A}=\cos^{-1}{\left(\frac{1}{6\sqrt{3}}\right)}; \ \angle{B}=\cos^{-1}{\left(\frac{17}{6\sqrt{11}}\right)}; \ \angle{C}=\cos^{-1}{\left(\frac{5}{2\sqrt{22}}\right)}\)
উদাহরণ \(10.\) \(\overline{b}\) এর উপর \(\overline{a}\) এর অভিক্ষেপ এবং \(\overline{a}\) এর উপর \(\overline{b}\) এর অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
\((i) \ \overline{a}=2\hat{i}+6\hat{j}-3\hat{k}\) ও \(\overline{b}=\hat{i}+4\hat{j}+8\hat{k}\)
\((ii) \ \overline{a}=2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}\) ও \(\overline{b}=\hat{i}+4\hat{j}-3\hat{k}\)
উত্তরঃ \((i) \ \frac{2}{9}; \ \frac{2}{7}\)
\((ii) \ \frac{7}{\sqrt{26}}; \ \frac{7}{\sqrt{14}}\)
উদাহরণ \(11.\) \(A(2,3,-1)\) ও \(B(-2,-4,3)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ সরলরেখার উপর \(4\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টরের অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1\)
উদাহরণ \(12.\) যদি, \(\overline{a}=\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=6\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}\) হয় তবে
\((i) \ \overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর
এবং \((ii) \ \overline{a}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর ভেক্টর লম্ব অভিক্ষেপ বা অংশক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((i) \ \frac{4}{49}\overline{b}\)
\((ii) \ \frac{4}{9}\overline{a}\)
উদাহরণ \(13.\) দেখাও যে, \(\overline{a}=3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k};\) \(\overline{b}=\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=2\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}\) ভেক্টর তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে।
উদাহরণ \(14.\) দেখাও যে, \(\overline{a}=4\hat{i}+5\hat{j}+\hat{k},\) \(\overline{b}=2\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=3\hat{i}+6\hat{j}-3\hat{k}\) অবস্থান ভেক্টর তিনটি একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ গঠন করে।
উদাহরণ \(15.\) \(\hat{a}\) এবং \(\hat{b}\) একক ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) হলে, দেখাও যে, \(\sin{\frac{\theta}{2}}=\frac{1}{2}|\hat{a}-\hat{b}|\)
উদাহরণ \(16.\) \(\overline{a}=2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=\hat{i}+4\hat{j}-2\hat{k}\) হলে দেখাও যে, \((\overline{a}+\overline{b})\times(\overline{a}-\overline{b})\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-20\hat{i}-6\hat{j}-22\hat{k}\)
উদাহরণ \(17.\) \(\overline{a}\) এবং \(\overline{b}\) দুইটি ভেক্টর হলে দেখাও যে, \((|\overline{a}\times\overline{b}|)^2=a^2b^2-(\overline{a}.\overline{b})^2\)
উদাহরণ \(18.\) \(\overline{a},\) \(\overline{b}\) এবং \(\overline{c}\) ভেক্টরের জন্য দেখাও যে , \(\overline{a}\times(\overline{b}+\overline{c})+\overline{b}\times(\overline{c}+\overline{a})+\overline{c}\times(\overline{a}+\overline{b})=0\)
উদাহরণ \(19.\) \(XY\) সমতলের সমান্তরাল এবং \(4\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টরের উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{5}(3\hat{j}+4\hat{k})}\)
উদাহরণ \(20.\) \(\overline{a}=2\hat{i}-6\hat{j}-3\hat{k}\) ও \(\overline{b}=4\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}\) ভেক্টর দ্বারা গঠিত সমতলের উপর একক লম্ব ভেক্টর নির্ণয় কর। আবার একই দিকে \(5\) একক দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট একটি ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{7}(3\hat{i}-2\hat{j}+6\hat{k})}; \ \pm{\frac{5}{7}(3\hat{i}-2\hat{j}+6\hat{k})}\)
উদাহরণ \(21.\) নিচের ভেক্টরদ্বয়ের প্রত্যেকটির উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর। ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণের সাইনও নির্ণয় কর।
\((a)\) \(\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}\) এবং \(5\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\)
\((b) \pm{\frac{1}{\sqrt{14}}(2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k})}, \ \sin{\theta}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{15}}\)
\((c) \pm{\frac{1}{3\sqrt{5}}(-2\hat{i}+5\hat{j}-4\hat{k})}, \ \sin{\theta}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{29}}\)
\((d) \pm{\frac{1}{\sqrt{117}}(-8\hat{i}+7\hat{j}-2\hat{k})}, \ \sin{\theta}=\sqrt{\left(\frac{117}{406}\right)}\)
উদাহরণ \(22.\) \(\overline{a}=2\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}\) ও \(\overline{b}=-4\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধি ভেক্টরের সমান্তরাল একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{\sqrt{17}}(2\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k})}\)
উদাহরণ \(23.\) যদি তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(2,4,-1)\) ও \(B(0,2,-3)\) এবং \(C(3,2,1)\) হয় তবে \(ABC\) সমতলের উপর লম্ব একটি ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-8\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}\)
উদাহরণ \(24.\) \(\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}=0\) হলে দেখাও যে, \(\overline{a}\times\overline{b}=\overline{b}\times\overline{c}=\overline{c}\times\overline{a}\)
উদাহরণ \(25.\) \(\overline{A}\) এবং \(\overline{B}\) দুইটি ভেক্টর হলে দেখাও যে, \(|\overline{A}\times\overline{B}|^2+|\overline{A}.\overline{B}|^2=|A|^2|B|^2\)
উদাহরণ \(26.\) যদি \(\overline{a}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}, \overline{b}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k}\) হয় তবে দেখাও যে,
\(\overline{a}.(\overline{b}\times{\overline{c}})=\overline{b}.(\overline{c}\times{\overline{a}})=\overline{c}.(\overline{a}\times{\overline{b}})\)
উদাহরণ \(27.\) যদি \(\overline{a}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}, \overline{b}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k}\) হয় তবে দেখাও যে,
\([\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]=\left|\begin{array}{c}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\\ c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|\)
উদাহরণ \(28.\) \(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}\) ভেক্টর তিনটির জন্য দেখাও যে, \([\overline{a}+\overline{b} \ \overline{b}+\overline{c} \ \overline{c}+\overline{a}]=2[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{a}]\)
উদাহরণ \(29.\) \(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}\) ভেক্টর তিনটির জন্য দেখাও যে, \([\overline{a}\times\overline{b} \ \overline{b}\times\overline{c} \ \overline{c}\times\overline{a}]=[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{a}]^2=\left|\begin{array}{c}\overline{a}.\overline{a}&\overline{a}.\overline{b}&\overline{a}.\overline{c}\\ \overline{b}.\overline{a}&\overline{b}.\overline{b}&\overline{b}.\overline{c}\\ \overline{c}.\overline{a}&\overline{c}.\overline{b}&\overline{c}.\overline{c}\end{array}\right|\)
উত্তরঃ \(\sqrt{29}, \ \sqrt{11}, \ \sqrt{38}, \ \sqrt{42}\) এবং \(\sqrt{77}\)
উদাহরণ \(2.\) \(\overline{a}=\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k},\) \(\overline{b}=-2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}\) ভেক্টরত্রয়ের লব্ধি ভেক্টর ও তার মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}\) এবং \(3\)
উদাহরণ \(3.\) যদি, \(-\hat{i}+\lambda\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}\) ভেক্টদ্বয় পরস্পর লম্ব হয় তবে \(\lambda\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\lambda=1\)
উদাহরণ \(4.\) যে শর্তে \(a\hat{i}+b\hat{j}+c\hat{k}\) ভেক্টরটি
\((1)\) \(YZ\) সমতল;
\((2)\) \(ZX\) সমতল ;
\((3)\) \(XY\) সমতলের সমান্তরাল তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a=0, \ b=0, \ c=0\)
উদাহরণ \(5.\) দেখাও যে, \(\overline{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \ \overline{b}=\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=5\hat{i}-4\hat{j}-\hat{k}\) ভেক্টরত্রয় পরস্পর লম্বিক।
উদাহরণ \(6.\) যদি \(|\overline{a}+\overline{b}|=|\overline{a}-\overline{b}|\) হয় তবে , দেখাও যে, \(\overline{a}\) ভেক্টরটি \(\overline{b}\) ভেক্টরের উপর লম্ব।
জাতীয়ঃ ২০১৬, ২০০৬ ।
উদাহরণ \(7.\) নিম্নের ভেক্টরদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ নির্ণয় কর।
\((i) \overline{a}=2\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}, \ \overline{b}=6\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}\)
\((ii) \overline{a}=\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}, \ \overline{b}=4\hat{i}-3\hat{k}\)
জাতীয়ঃ ২০১১ ।
উত্তরঃ \((i) \ \cos^{-1}{\left(\frac{8}{21}\right)}\)\((ii) \ \cos^{-1}{\left(\frac{13}{5\sqrt{14}}\right)}\)
উদাহরণ \(8.\) নিম্নের ভেক্টর স্থাংকের অক্ষত্রয়ের যোগবোধক দিকের সহিত যে কোণসমূহ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর।
\((i) \ 3\hat{i}-6\hat{j}+2\hat{k}\)
জাতীয়ঃ ২০১১ ।
\((ii) \ \hat{i}+4\hat{j}+8\hat{k}\) উত্তরঃ \((i) \ \cos^{-1}{\left(\frac{3}{7}\right)}; \ \cos^{-1}{\left(-\frac{6}{7}\right)}; \ \cos^{-1}{\left(\frac{2}{7}\right)}\)
\((ii) \ \cos^{-1}{\left(\frac{1}{9}\right)}; \ \cos^{-1}{\left(\frac{4}{9}\right)}; \ \cos^{-1}{\left(\frac{8}{9}\right)}\)
উদাহরণ \(9.\) ডট গুণনের সাহায্যে \(A(1,3,2)\) \(B(2,-1,1)\) এবং \(C(-1,2,3)\) শীর্ষবিন্দু বিশিষ্ট ত্রিভুজের কোণসমূহ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\angle{A}=\cos^{-1}{\left(\frac{1}{6\sqrt{3}}\right)}; \ \angle{B}=\cos^{-1}{\left(\frac{17}{6\sqrt{11}}\right)}; \ \angle{C}=\cos^{-1}{\left(\frac{5}{2\sqrt{22}}\right)}\)
উদাহরণ \(10.\) \(\overline{b}\) এর উপর \(\overline{a}\) এর অভিক্ষেপ এবং \(\overline{a}\) এর উপর \(\overline{b}\) এর অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
\((i) \ \overline{a}=2\hat{i}+6\hat{j}-3\hat{k}\) ও \(\overline{b}=\hat{i}+4\hat{j}+8\hat{k}\)
\((ii) \ \overline{a}=2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}\) ও \(\overline{b}=\hat{i}+4\hat{j}-3\hat{k}\)
উত্তরঃ \((i) \ \frac{2}{9}; \ \frac{2}{7}\)
\((ii) \ \frac{7}{\sqrt{26}}; \ \frac{7}{\sqrt{14}}\)
উদাহরণ \(11.\) \(A(2,3,-1)\) ও \(B(-2,-4,3)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ সরলরেখার উপর \(4\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টরের অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1\)
উদাহরণ \(12.\) যদি, \(\overline{a}=\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=6\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}\) হয় তবে
\((i) \ \overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর
এবং \((ii) \ \overline{a}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর ভেক্টর লম্ব অভিক্ষেপ বা অংশক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((i) \ \frac{4}{49}\overline{b}\)
\((ii) \ \frac{4}{9}\overline{a}\)
উদাহরণ \(13.\) দেখাও যে, \(\overline{a}=3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k};\) \(\overline{b}=\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=2\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}\) ভেক্টর তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে।
উদাহরণ \(14.\) দেখাও যে, \(\overline{a}=4\hat{i}+5\hat{j}+\hat{k},\) \(\overline{b}=2\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=3\hat{i}+6\hat{j}-3\hat{k}\) অবস্থান ভেক্টর তিনটি একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ গঠন করে।
জাতীয়ঃ ১৯৯৭ ।
উদাহরণ \(15.\) \(\hat{a}\) এবং \(\hat{b}\) একক ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) হলে, দেখাও যে, \(\sin{\frac{\theta}{2}}=\frac{1}{2}|\hat{a}-\hat{b}|\)
উদাহরণ \(16.\) \(\overline{a}=2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=\hat{i}+4\hat{j}-2\hat{k}\) হলে দেখাও যে, \((\overline{a}+\overline{b})\times(\overline{a}-\overline{b})\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-20\hat{i}-6\hat{j}-22\hat{k}\)
জাতীয়ঃ ১৯৯৭ ।
উদাহরণ \(17.\) \(\overline{a}\) এবং \(\overline{b}\) দুইটি ভেক্টর হলে দেখাও যে, \((|\overline{a}\times\overline{b}|)^2=a^2b^2-(\overline{a}.\overline{b})^2\)
জাতীয়ঃ ২০০৬; বিঃপাসঃ ২০১৭ ।
উদাহরণ \(18.\) \(\overline{a},\) \(\overline{b}\) এবং \(\overline{c}\) ভেক্টরের জন্য দেখাও যে , \(\overline{a}\times(\overline{b}+\overline{c})+\overline{b}\times(\overline{c}+\overline{a})+\overline{c}\times(\overline{a}+\overline{b})=0\)
জাতীয়ঃ ২০০২ ।
উদাহরণ \(19.\) \(XY\) সমতলের সমান্তরাল এবং \(4\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টরের উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{5}(3\hat{j}+4\hat{k})}\)
উদাহরণ \(20.\) \(\overline{a}=2\hat{i}-6\hat{j}-3\hat{k}\) ও \(\overline{b}=4\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}\) ভেক্টর দ্বারা গঠিত সমতলের উপর একক লম্ব ভেক্টর নির্ণয় কর। আবার একই দিকে \(5\) একক দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট একটি ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{7}(3\hat{i}-2\hat{j}+6\hat{k})}; \ \pm{\frac{5}{7}(3\hat{i}-2\hat{j}+6\hat{k})}\)
জাতীয়ঃ ২০০৬; বিঃপাসঃ ১৯৯৭ ।
উদাহরণ \(21.\) নিচের ভেক্টরদ্বয়ের প্রত্যেকটির উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর। ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণের সাইনও নির্ণয় কর।
\((a)\) \(\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}\) এবং \(5\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\)
জাতীয়ঃ ২০১৭, ২০১৫, ২০১৩, ২০০৮, ১৯৯৯ ।
\((b)\) \(\overline{a}=2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=-6\hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k}\) জাতীয়ঃ ২০০৭ ।
\((c)\) \(\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}\) এবং \(3\hat{i}-2\hat{j}-4\hat{k}\) জাতীয়ঃ ২০১০, ১৯৯৬; বিঃপাসঃ ২০১৫ ।
\((d)\) \(\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}\) এবং \(3\hat{i}+4\hat{j}+2\hat{k}\) জাতীয়ঃ ২০১৬ ।
উত্তরঃ \((a) \pm{\frac{1}{\sqrt{339}}(7\hat{i}+13\hat{j}-11\hat{k})}, \ \sin{\theta}=\sqrt{\left(\frac{113}{140}\right)}\)\((b) \pm{\frac{1}{\sqrt{14}}(2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k})}, \ \sin{\theta}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{15}}\)
\((c) \pm{\frac{1}{3\sqrt{5}}(-2\hat{i}+5\hat{j}-4\hat{k})}, \ \sin{\theta}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{29}}\)
\((d) \pm{\frac{1}{\sqrt{117}}(-8\hat{i}+7\hat{j}-2\hat{k})}, \ \sin{\theta}=\sqrt{\left(\frac{117}{406}\right)}\)
উদাহরণ \(22.\) \(\overline{a}=2\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}\) ও \(\overline{b}=-4\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধি ভেক্টরের সমান্তরাল একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{\sqrt{17}}(2\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k})}\)
উদাহরণ \(23.\) যদি তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(A(2,4,-1)\) ও \(B(0,2,-3)\) এবং \(C(3,2,1)\) হয় তবে \(ABC\) সমতলের উপর লম্ব একটি ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-8\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}\)
উদাহরণ \(24.\) \(\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}=0\) হলে দেখাও যে, \(\overline{a}\times\overline{b}=\overline{b}\times\overline{c}=\overline{c}\times\overline{a}\)
উদাহরণ \(25.\) \(\overline{A}\) এবং \(\overline{B}\) দুইটি ভেক্টর হলে দেখাও যে, \(|\overline{A}\times\overline{B}|^2+|\overline{A}.\overline{B}|^2=|A|^2|B|^2\)
জাতীয়ঃ ২০০০,১৯৯৭ ।
উদাহরণ \(26.\) যদি \(\overline{a}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}, \overline{b}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k}\) হয় তবে দেখাও যে,
\(\overline{a}.(\overline{b}\times{\overline{c}})=\overline{b}.(\overline{c}\times{\overline{a}})=\overline{c}.(\overline{a}\times{\overline{b}})\)
জাতীয়ঃ ২০০৬; বিঃপাসঃ ২০১৪ ।
উদাহরণ \(27.\) যদি \(\overline{a}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}, \overline{b}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k}\) হয় তবে দেখাও যে,
\([\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]=\left|\begin{array}{c}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\\ c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|\)
জাতীয়ঃ ২০১২ ।
উদাহরণ \(28.\) \(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}\) ভেক্টর তিনটির জন্য দেখাও যে, \([\overline{a}+\overline{b} \ \overline{b}+\overline{c} \ \overline{c}+\overline{a}]=2[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{a}]\)
জাতীয়ঃ ২০১৮,২০১০,২০০৩; ঢাঃবিঃ ২০১২,২০০৯,২০০৬; ঢাঃবিঃএফিঃকঃ ২০১৭ ।
উদাহরণ \(29.\) \(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}\) ভেক্টর তিনটির জন্য দেখাও যে, \([\overline{a}\times\overline{b} \ \overline{b}\times\overline{c} \ \overline{c}\times\overline{a}]=[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{a}]^2=\left|\begin{array}{c}\overline{a}.\overline{a}&\overline{a}.\overline{b}&\overline{a}.\overline{c}\\ \overline{b}.\overline{a}&\overline{b}.\overline{b}&\overline{b}.\overline{c}\\ \overline{c}.\overline{a}&\overline{c}.\overline{b}&\overline{c}.\overline{c}\end{array}\right|\)
জাতীয়ঃ ২০১৬,২০১৩,২০১০,২০০৫,১৯৯৯,১৯৯৬; ঢাঃবিঃ ২০০৭,২০০৪,২০০০,১৯৯৪; জাতীয়ঃপাসঃ ২০১৭,২০১৫ ।
উদাহরণ \(30.\) \(\overline{A}=x_{1}\overline{a}+y_{1}\overline{b}+z_{1}\overline{c}, \ \overline{B}=x_{2}\overline{a}+y_{2}\overline{b}+z_{2}\overline{c}\) এবং \(\overline{C}=x_{3}\overline{a}+y_{3}\overline{b}+z_{3}\overline{c}\) হয় তবে দেখাও যে, \(\overline{A}.(\overline{B}\times\overline{C})=\left|\begin{array}{c}x_{1}&y_{1}&z_{1}\\ x_{2}&y_{2}&z_{2}\\ x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{array}\right|\overline{a}.(\overline{b}\times\overline{c})\)
উদাহরণ \(31.\) \(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}\) ভেক্টর তিনটি একতলীয় না হয় তবে \(\overline{d}\) যে কোনো ভেক্টর হলে দেখাও যে, \(\overline{d}=\frac{\overline{c}.\overline{d}}{[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]}(\overline{a}\times\overline{b})+\frac{\overline{a}.\overline{d}}{[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]}(\overline{b}\times\overline{c})+\frac{\overline{b}.\overline{d}}{[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]}(\overline{c}\times\overline{a})\)
উদাহরণ \(32.\) \(2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k},\) \(\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}\) ও \(4\hat{i}-\hat{j}+\lambda\hat{k}\) ভেক্টর তিনটি একই সমতলে অবস্থিত হলে ধ্রুবক \(\lambda\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\lambda=\frac{3}{5}\)
উদাহরণ \(33.\) দেখাও যে, নিম্নের ভেক্টরগুলি সমতলীয়।
\((a) \ \overline{A}=5\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}, \ \overline{B}=\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}, \ \overline{C}=4\hat{i}-2\hat{j}-6\hat{k}\)
উদাহরণ \(34.\) \(\overline{A}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k},\) \(\overline{B}=2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{C}=\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k}\) হলে, \(\overline{A}\times{(\overline{B}\times{\overline{C}})}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(15\hat{i}+15\hat{j}-15\hat{k}\)
উদাহরণ \(35.\) \(\overline{a}=4\hat{i}-\hat{j}-3\hat{k},\) \(\overline{b}=2\hat{i}+5\hat{j}\) এবং \(\overline{c}=\hat{i}+5\hat{j}-2\hat{k}\) এর জন্য প্রমাণ কর যে, \(\overline{a}\times{(\overline{b}\times{\overline{c}})}=(\overline{a}.\overline{c})\overline{b}-(\overline{a}.\overline{b})\overline{c}\)
উদাহরণ \(36.\) \(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}\) ভেক্টর তিনটির জন্য দেখাও যে, \(\overline{a}\times(\overline{b}\times\overline{c})+\overline{b}\times(\overline{c}\times\overline{a})+\overline{c}\times(\overline{a}\times\overline{b})=0\)
উদাহরণ \(37.\) \(\overline{a}\) ভেক্টরটির জন্য দেখাও যে,
\((i) \ (\overline{a}.\hat{i})\hat{i}+(\overline{a}.\hat{j})\hat{j}+(\overline{a}.\hat{k})\hat{k}=\overline{a}\)
\((ii) \ \hat{i}\times(\overline{a}\times\hat{i})+\hat{j}\times(\overline{a}\times\hat{j})+\hat{k}\times(\overline{a}\times\hat{k})=2\overline{a}\)
উদাহরণ \(38.\) \(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}, \overline{d}\) ভেক্টর চারটির জন্য দেখাও যে, \((\overline{a}\times\overline{b})\times(\overline{c}\times\overline{d})=\overline{b}(\overline{a}.\overline{c}\times\overline{d})-\overline{a}(\overline{b}.\overline{c}\times\overline{d})\)\(=\overline{c}(\overline{a}.\overline{b}\times\overline{d})-\overline{d}(\overline{a}.\overline{b}\times\overline{c})\)
উদাহরণ \(39.\) \(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}, \overline{d}\) ভেক্টর চারটির জন্য দেখাও যে, \((\overline{a}\times\overline{b}).(\overline{c}\times\overline{d})+(\overline{b}\times\overline{c}).(\overline{a}\times\overline{d})+(\overline{c}\times\overline{a}).(\overline{b}\times\overline{d})=0\)
উদাহরণ \(40.\) যদি \(\overline{a}=\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k},\) \(\overline{b}=-2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\) হয় তবে, \(\overline{a}\times(\overline{b}\times\overline{c})\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(7\hat{i}-14\hat{j}-7\hat{k}\)
উদাহরণ \(41.\) \(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}, \overline{d}, \overline{e}, \overline{f}\) ভেক্টর ছয়টির জন্য দেখাও যে,
\((i) \ [\overline{a}\times\overline{b} \ \overline{c}\times\overline{d} \ \overline{e}\times\overline{f}]=[\overline{c} \ \overline{d} \ \overline{a}][\overline{b} \ \overline{e} \ \overline{f}]-[\overline{c} \ \overline{d} \ \overline{b}][\overline{a} \ \overline{e} \ \overline{f}]\)
\((ii) \ [\overline{a}\times\overline{b} \ \overline{c}\times\overline{d} \ \overline{e}\times\overline{f}]=[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{e}][\overline{c} \ \overline{d} \ \overline{f}]-[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{f}][\overline{c} \ \overline{d} \ \overline{e}]\)
\((iii) \ [\overline{a}\times\overline{b} \ \overline{c}\times\overline{d} \ \overline{e}\times\overline{f}]=[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{d}][\overline{e} \ \overline{f} \ \overline{c}]-[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}][\overline{d} \ \overline{e} \ \overline{f}]\)
উদাহরণ \(42.\) \(\overline{l}, \overline{m}, \overline{n}, \ \overline{a}, \overline{b}, \overline{c}\) ভেক্টর ছয়টির জন্য দেখাও যে,
\([\overline{l} \ \overline{m} \ \overline{n}][\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]=\left|\begin{array}{c}\overline{l}.\overline{a}&\overline{l}.\overline{b}&\overline{l}.\overline{c}\\ \overline{m}.\overline{a}&\overline{m}.\overline{b}&\overline{m}.\overline{c}\\ \overline{n}.\overline{a}&\overline{n}.\overline{b}&\overline{n}.\overline{c}\end{array}\right|\)
উদাহরণ \(43.\) \(\overline{l}, \overline{m}, \overline{n}, \ \overline{a}, \overline{b}\) ভেক্টর পাঁচটির জন্য দেখাও যে,
\([\overline{l} \ \overline{m} \ \overline{n}](\overline{a}\times\overline{b})=\left|\begin{array}{c}\overline{l}&\overline{l}.\overline{b}&\overline{l}.\overline{c}\\ \overline{m}&\overline{m}.\overline{b}&\overline{m}.\overline{c}\\ \overline{n}&\overline{n}.\overline{b}&\overline{n}.\overline{c}\end{array}\right|\)
উদাহরণ \(44.\) \(\overline{a}=3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k},\) \(\overline{b}=2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}\) হলে, \((\overline{b}+2\overline{a}).(\overline{c}-\overline{a})\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-14\)
উদাহরণ \(45.\) \(\overline{a}=2\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}\) ও \(\overline{b}=2\hat{i}+10\hat{j}-11\hat{k}\) ভেক্টর দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{\left(\frac{13}{45}\right)}\)
উদাহরণ \(46.\) \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) ভেক্টরটি \(x, y\) ও \(z\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত যথাক্রমে \(\alpha, \beta\) ও \(\gamma\) কোণ উৎপন্ন করলে \(\alpha, \beta\) ও \(\gamma\) কোণের মাণ নির্ণয় কর এবং প্রমাণ কর যে, \(\cos^2{\alpha}+\cos^2{\beta}+\cos^2{\gamma}=1\)
উত্তরঃ \(\alpha=\cos^{-1}{\left(\frac{x}{r}\right)}, \beta=\cos^{-1}{\left(\frac{y}{r}\right)}, \gamma=\cos^{-1}{\left(\frac{z}{r}\right)}\)
উদাহরণ \(47.\) \(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}\) ভেক্টর তিনটি একতলীয় না হয় তবে \(\overline{d}\) যে কোনো ভেক্টর হলে দেখাও যে,
\(\overline{d}=\frac{[\overline{d} \ \overline{b} \ \overline{c}]}{[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]}\overline{a}+\frac{[\overline{a} \ \overline{d} \ \overline{c}]}{[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]}\overline{b}+\frac{[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{d}]}{[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]}\overline{c}\)
উদাহরণ \(48.\) \(\overline{a}=2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}\) ও \(\overline{b}=-\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\) হলে, \(\overline{b}\) এর উপর \(\overline{a}\) এর অভিক্ষেপ এবং \(\overline{a}\) এর উপর \(\overline{b}\) এর অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\frac{9}{\sqrt{6}}; \ -\frac{9}{\sqrt{14}}\)
উদাহরণ \(49.\) \(\overline{a}=2\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}\) ভেক্টর বরাবর \(\overline{b}=5\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}\) ভেক্টরের অংশক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}(2\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k})\)
উদাহরণ \(50.\) \(\overline{a}=3\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}\) ও \(\overline{b}=-\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}\) হলে, \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর লব্ধি ভেক্টরের সমান্তরাল একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{7}(2\hat{i}+3\hat{j}-6\hat{k})}\)
উদাহরণ \(51.\) যদি \(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}\) এর বিপরীত ভেক্টর \(\overline{a}^{\prime}=\frac{\overline{b}\times\overline{c}}{[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]}, \ \overline{b}^{\prime}=\frac{\overline{c}\times\overline{a}}{[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]}, \ \overline{c}^{\prime}=\frac{\overline{a}\times\overline{b}}{[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]}\) হয়, তবে যে কোনো ভেক্টর \(\overline{r}\) এর জন্য দেখাও যে,
\(\overline{r}=(\overline{r}.\overline{a}^{\prime})\overline{a}+(\overline{r}.\overline{b}^{\prime})\overline{b}+(\overline{r}.\overline{c}^{\prime})\overline{c}\)
উদাহরণ \(52.\) যদি \([\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]\ne{0}\) এবং \(\overline{a}^{\prime}=\frac{\overline{b}\times\overline{c}}{[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]}, \ \overline{b}^{\prime}=\frac{\overline{c}\times\overline{a}}{[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]}, \ \overline{c}^{\prime}=\frac{\overline{a}\times\overline{b}}{[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]}\) হয়, তবে দেখাও যে,
\((a) \ \overline{a}.\overline{a}^{\prime}=\overline{b}.\overline{b}^{\prime}=\overline{c}.\overline{c}^{\prime}=1\)
\((b) \ \overline{a}^{\prime}.\overline{b}=\overline{a}^{\prime}.\overline{c}=\overline{b}^{\prime}.\overline{a}=\overline{b}^{\prime}.\overline{c}=\overline{c}^{\prime}.\overline{a}=\overline{c}^{\prime}.\overline{b}=0\)
\((c) \ \overline{a}\times\overline{a}^{\prime}+\overline{b}\times\overline{b}^{\prime}+\overline{c}\times\overline{c}^{\prime}=0\)
\((d) \ [\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]=\frac{1}{[\overline{a}^{\prime} \ \overline{b}^{\prime} \ \overline{c}^{\prime}]}\) যেখানে, \([\overline{a}^{\prime} \ \overline{b}^{\prime} \ \overline{c}^{\prime}]\ne{0}\)
উদাহরণ \(53.\) \(A(3,-1,2),\) \(B(1,-1,-3)\) ও \(C(4,-3,1)\) বিন্দু তিনটি শুন্যে অবস্থিত। \(ABC\) ত্রিভুজের কোণ তিনটি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\angle{A}=\cos^{-1}{\left(\frac{3}{\sqrt{174}}\right)}; \ \angle{B}=\cos^{-1}{\left(\frac{26}{29}\right)};\) \( \angle{C}=\cos^{-1}{\left(\frac{3}{\sqrt{174}}\right)}\)
উদাহরণ \(54.\) \(A, \ B, \ C, \ D\) বিন্দু চারটির অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(3\hat{i}+4\hat{j}+5\hat{k}, \ 4\hat{i}+5\hat{j}+6\hat{k}, \ 7\hat{i}+9\hat{j}+3\hat{k}\) এবং \(4\hat{i}+6\hat{j}\) হলে, দেখাও যে, \(\overrightarrow{AB}\) এবং \(\overrightarrow{CD}\) সমান্তরাল।
উদাহরণ \(55.\) \(\overline{A}=2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k};\) \(\overline{B}=-\hat{i}-4\hat{j}+7\hat{k}\) এবং তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(P(-3,-2,-1), \ Q(4,0,-3)\) এবং \(S(6,-7,8) \)
\((a)\) উদাহরণসহ একক ভেক্টরে সংজ্ঞা দাও।
\((b)\) উদ্দীপকের আলোকে \(\overline{A}\) বরাবর \(\overline{B}\) এর উপাংশ নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকের আলোকে \(PQS\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) \frac{3}{14}(2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}), \ (c) 48.57\) বর্গ একক।
উদাহরণ \(56.\) \(\overline{a}=3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k};\) \(\overline{b}=\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=2\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}\)
\((a)\) \(\overline{a}.\overline{b}\) নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর পরস্পরের উপর অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
\((c)\) দেখাও যে ভেক্টর তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে।
উত্তরঃ \((a) 14; \ \sqrt{14}; \ \frac{14}{\sqrt{35}}\)
উদাহরণ \(57.\) \(2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k},\) \(3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\) ও \(\hat{i}-3\hat{j}+a\hat{k}\) ভেক্টর তিনটি একই সমতলে অবস্থিত হলে ধ্রুবক \(a\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a=5\)
উদাহরণ \(58.\) \(2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k},\) \(-\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}\) ও \(\hat{i}-\hat{j}-2\hat{k}\) ভেক্টরগুচ্ছের বিপরীত ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}(2\hat{i}+\hat{k}); \ -\frac{1}{3}(7\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}); \ -\frac{1}{3}(8\hat{i}-3\hat{j}+7\hat{k})\)
উদাহরণ \(31.\) \(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}\) ভেক্টর তিনটি একতলীয় না হয় তবে \(\overline{d}\) যে কোনো ভেক্টর হলে দেখাও যে, \(\overline{d}=\frac{\overline{c}.\overline{d}}{[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]}(\overline{a}\times\overline{b})+\frac{\overline{a}.\overline{d}}{[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]}(\overline{b}\times\overline{c})+\frac{\overline{b}.\overline{d}}{[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]}(\overline{c}\times\overline{a})\)
উদাহরণ \(32.\) \(2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k},\) \(\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}\) ও \(4\hat{i}-\hat{j}+\lambda\hat{k}\) ভেক্টর তিনটি একই সমতলে অবস্থিত হলে ধ্রুবক \(\lambda\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\lambda=\frac{3}{5}\)
জাতীয়ঃ ১৯৯৫; রাঃবিঃ ১৯৬৬; জাতীয়ঃপাসঃ ২০১৪ ।
উদাহরণ \(33.\) দেখাও যে, নিম্নের ভেক্টরগুলি সমতলীয়।
\((a) \ \overline{A}=5\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}, \ \overline{B}=\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}, \ \overline{C}=4\hat{i}-2\hat{j}-6\hat{k}\)
জাতীয়ঃ ১৯৯৫; রাঃবিঃ ১৯৬৬; জাতীয়ঃপাসঃ ২০১৪ ।
\((b) \ \hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}, \ 2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}, \ 3\hat{i}+4\hat{j}+5\hat{k}\)উদাহরণ \(34.\) \(\overline{A}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k},\) \(\overline{B}=2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{C}=\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k}\) হলে, \(\overline{A}\times{(\overline{B}\times{\overline{C}})}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(15\hat{i}+15\hat{j}-15\hat{k}\)
জাতীয়ঃ ২০১১, ১৯৯৫ ।
উদাহরণ \(35.\) \(\overline{a}=4\hat{i}-\hat{j}-3\hat{k},\) \(\overline{b}=2\hat{i}+5\hat{j}\) এবং \(\overline{c}=\hat{i}+5\hat{j}-2\hat{k}\) এর জন্য প্রমাণ কর যে, \(\overline{a}\times{(\overline{b}\times{\overline{c}})}=(\overline{a}.\overline{c})\overline{b}-(\overline{a}.\overline{b})\overline{c}\)
উদাহরণ \(36.\) \(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}\) ভেক্টর তিনটির জন্য দেখাও যে, \(\overline{a}\times(\overline{b}\times\overline{c})+\overline{b}\times(\overline{c}\times\overline{a})+\overline{c}\times(\overline{a}\times\overline{b})=0\)
জাতীয়ঃ ২০১৭,২০১৩,২০১১,২০০২,১৯৯৭; ঢাঃবিঃ ২০০৫ ।
উদাহরণ \(37.\) \(\overline{a}\) ভেক্টরটির জন্য দেখাও যে,
\((i) \ (\overline{a}.\hat{i})\hat{i}+(\overline{a}.\hat{j})\hat{j}+(\overline{a}.\hat{k})\hat{k}=\overline{a}\)
\((ii) \ \hat{i}\times(\overline{a}\times\hat{i})+\hat{j}\times(\overline{a}\times\hat{j})+\hat{k}\times(\overline{a}\times\hat{k})=2\overline{a}\)
জাতীয়ঃ ২০০৫,১৯৯৫; জাতীয়ঃপাসঃ ২০১৫ ।
উদাহরণ \(38.\) \(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}, \overline{d}\) ভেক্টর চারটির জন্য দেখাও যে, \((\overline{a}\times\overline{b})\times(\overline{c}\times\overline{d})=\overline{b}(\overline{a}.\overline{c}\times\overline{d})-\overline{a}(\overline{b}.\overline{c}\times\overline{d})\)\(=\overline{c}(\overline{a}.\overline{b}\times\overline{d})-\overline{d}(\overline{a}.\overline{b}\times\overline{c})\)
উদাহরণ \(39.\) \(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}, \overline{d}\) ভেক্টর চারটির জন্য দেখাও যে, \((\overline{a}\times\overline{b}).(\overline{c}\times\overline{d})+(\overline{b}\times\overline{c}).(\overline{a}\times\overline{d})+(\overline{c}\times\overline{a}).(\overline{b}\times\overline{d})=0\)
জাতীয়ঃ ২০১৪ ।
উদাহরণ \(40.\) যদি \(\overline{a}=\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k},\) \(\overline{b}=-2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\) হয় তবে, \(\overline{a}\times(\overline{b}\times\overline{c})\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(7\hat{i}-14\hat{j}-7\hat{k}\)
উদাহরণ \(41.\) \(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}, \overline{d}, \overline{e}, \overline{f}\) ভেক্টর ছয়টির জন্য দেখাও যে,
\((i) \ [\overline{a}\times\overline{b} \ \overline{c}\times\overline{d} \ \overline{e}\times\overline{f}]=[\overline{c} \ \overline{d} \ \overline{a}][\overline{b} \ \overline{e} \ \overline{f}]-[\overline{c} \ \overline{d} \ \overline{b}][\overline{a} \ \overline{e} \ \overline{f}]\)
\((ii) \ [\overline{a}\times\overline{b} \ \overline{c}\times\overline{d} \ \overline{e}\times\overline{f}]=[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{e}][\overline{c} \ \overline{d} \ \overline{f}]-[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{f}][\overline{c} \ \overline{d} \ \overline{e}]\)
\((iii) \ [\overline{a}\times\overline{b} \ \overline{c}\times\overline{d} \ \overline{e}\times\overline{f}]=[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{d}][\overline{e} \ \overline{f} \ \overline{c}]-[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}][\overline{d} \ \overline{e} \ \overline{f}]\)
উদাহরণ \(42.\) \(\overline{l}, \overline{m}, \overline{n}, \ \overline{a}, \overline{b}, \overline{c}\) ভেক্টর ছয়টির জন্য দেখাও যে,
\([\overline{l} \ \overline{m} \ \overline{n}][\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]=\left|\begin{array}{c}\overline{l}.\overline{a}&\overline{l}.\overline{b}&\overline{l}.\overline{c}\\ \overline{m}.\overline{a}&\overline{m}.\overline{b}&\overline{m}.\overline{c}\\ \overline{n}.\overline{a}&\overline{n}.\overline{b}&\overline{n}.\overline{c}\end{array}\right|\)
জাতীয়ঃ ২০১৭ ।
উদাহরণ \(43.\) \(\overline{l}, \overline{m}, \overline{n}, \ \overline{a}, \overline{b}\) ভেক্টর পাঁচটির জন্য দেখাও যে,
\([\overline{l} \ \overline{m} \ \overline{n}](\overline{a}\times\overline{b})=\left|\begin{array}{c}\overline{l}&\overline{l}.\overline{b}&\overline{l}.\overline{c}\\ \overline{m}&\overline{m}.\overline{b}&\overline{m}.\overline{c}\\ \overline{n}&\overline{n}.\overline{b}&\overline{n}.\overline{c}\end{array}\right|\)
উদাহরণ \(44.\) \(\overline{a}=3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k},\) \(\overline{b}=2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}\) হলে, \((\overline{b}+2\overline{a}).(\overline{c}-\overline{a})\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-14\)
উদাহরণ \(45.\) \(\overline{a}=2\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}\) ও \(\overline{b}=2\hat{i}+10\hat{j}-11\hat{k}\) ভেক্টর দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{\left(\frac{13}{45}\right)}\)
উদাহরণ \(46.\) \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) ভেক্টরটি \(x, y\) ও \(z\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত যথাক্রমে \(\alpha, \beta\) ও \(\gamma\) কোণ উৎপন্ন করলে \(\alpha, \beta\) ও \(\gamma\) কোণের মাণ নির্ণয় কর এবং প্রমাণ কর যে, \(\cos^2{\alpha}+\cos^2{\beta}+\cos^2{\gamma}=1\)
উত্তরঃ \(\alpha=\cos^{-1}{\left(\frac{x}{r}\right)}, \beta=\cos^{-1}{\left(\frac{y}{r}\right)}, \gamma=\cos^{-1}{\left(\frac{z}{r}\right)}\)
উদাহরণ \(47.\) \(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}\) ভেক্টর তিনটি একতলীয় না হয় তবে \(\overline{d}\) যে কোনো ভেক্টর হলে দেখাও যে,
\(\overline{d}=\frac{[\overline{d} \ \overline{b} \ \overline{c}]}{[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]}\overline{a}+\frac{[\overline{a} \ \overline{d} \ \overline{c}]}{[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]}\overline{b}+\frac{[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{d}]}{[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]}\overline{c}\)
জাতীয়ঃ ১৯৯৩ ।
উদাহরণ \(48.\) \(\overline{a}=2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}\) ও \(\overline{b}=-\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\) হলে, \(\overline{b}\) এর উপর \(\overline{a}\) এর অভিক্ষেপ এবং \(\overline{a}\) এর উপর \(\overline{b}\) এর অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\frac{9}{\sqrt{6}}; \ -\frac{9}{\sqrt{14}}\)
উদাহরণ \(49.\) \(\overline{a}=2\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}\) ভেক্টর বরাবর \(\overline{b}=5\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}\) ভেক্টরের অংশক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}(2\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k})\)
উদাহরণ \(50.\) \(\overline{a}=3\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}\) ও \(\overline{b}=-\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}\) হলে, \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর লব্ধি ভেক্টরের সমান্তরাল একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{7}(2\hat{i}+3\hat{j}-6\hat{k})}\)
উদাহরণ \(51.\) যদি \(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}\) এর বিপরীত ভেক্টর \(\overline{a}^{\prime}=\frac{\overline{b}\times\overline{c}}{[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]}, \ \overline{b}^{\prime}=\frac{\overline{c}\times\overline{a}}{[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]}, \ \overline{c}^{\prime}=\frac{\overline{a}\times\overline{b}}{[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]}\) হয়, তবে যে কোনো ভেক্টর \(\overline{r}\) এর জন্য দেখাও যে,
\(\overline{r}=(\overline{r}.\overline{a}^{\prime})\overline{a}+(\overline{r}.\overline{b}^{\prime})\overline{b}+(\overline{r}.\overline{c}^{\prime})\overline{c}\)
জাতীয়ঃ ২০০১, ১৯৯৮ ।
উদাহরণ \(52.\) যদি \([\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]\ne{0}\) এবং \(\overline{a}^{\prime}=\frac{\overline{b}\times\overline{c}}{[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]}, \ \overline{b}^{\prime}=\frac{\overline{c}\times\overline{a}}{[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]}, \ \overline{c}^{\prime}=\frac{\overline{a}\times\overline{b}}{[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]}\) হয়, তবে দেখাও যে,
\((a) \ \overline{a}.\overline{a}^{\prime}=\overline{b}.\overline{b}^{\prime}=\overline{c}.\overline{c}^{\prime}=1\)
\((b) \ \overline{a}^{\prime}.\overline{b}=\overline{a}^{\prime}.\overline{c}=\overline{b}^{\prime}.\overline{a}=\overline{b}^{\prime}.\overline{c}=\overline{c}^{\prime}.\overline{a}=\overline{c}^{\prime}.\overline{b}=0\)
\((c) \ \overline{a}\times\overline{a}^{\prime}+\overline{b}\times\overline{b}^{\prime}+\overline{c}\times\overline{c}^{\prime}=0\)
\((d) \ [\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]=\frac{1}{[\overline{a}^{\prime} \ \overline{b}^{\prime} \ \overline{c}^{\prime}]}\) যেখানে, \([\overline{a}^{\prime} \ \overline{b}^{\prime} \ \overline{c}^{\prime}]\ne{0}\)
জাতীয়ঃ ২০০১ ।
উদাহরণ \(53.\) \(A(3,-1,2),\) \(B(1,-1,-3)\) ও \(C(4,-3,1)\) বিন্দু তিনটি শুন্যে অবস্থিত। \(ABC\) ত্রিভুজের কোণ তিনটি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\angle{A}=\cos^{-1}{\left(\frac{3}{\sqrt{174}}\right)}; \ \angle{B}=\cos^{-1}{\left(\frac{26}{29}\right)};\) \( \angle{C}=\cos^{-1}{\left(\frac{3}{\sqrt{174}}\right)}\)
উদাহরণ \(54.\) \(A, \ B, \ C, \ D\) বিন্দু চারটির অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(3\hat{i}+4\hat{j}+5\hat{k}, \ 4\hat{i}+5\hat{j}+6\hat{k}, \ 7\hat{i}+9\hat{j}+3\hat{k}\) এবং \(4\hat{i}+6\hat{j}\) হলে, দেখাও যে, \(\overrightarrow{AB}\) এবং \(\overrightarrow{CD}\) সমান্তরাল।
উদাহরণ \(55.\) \(\overline{A}=2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k};\) \(\overline{B}=-\hat{i}-4\hat{j}+7\hat{k}\) এবং তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(P(-3,-2,-1), \ Q(4,0,-3)\) এবং \(S(6,-7,8) \)
\((a)\) উদাহরণসহ একক ভেক্টরে সংজ্ঞা দাও।
\((b)\) উদ্দীপকের আলোকে \(\overline{A}\) বরাবর \(\overline{B}\) এর উপাংশ নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকের আলোকে \(PQS\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) \frac{3}{14}(2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}), \ (c) 48.57\) বর্গ একক।
উদাহরণ \(56.\) \(\overline{a}=3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k};\) \(\overline{b}=\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=2\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}\)
\((a)\) \(\overline{a}.\overline{b}\) নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর পরস্পরের উপর অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
\((c)\) দেখাও যে ভেক্টর তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে।
উত্তরঃ \((a) 14; \ \sqrt{14}; \ \frac{14}{\sqrt{35}}\)
উদাহরণ \(57.\) \(2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k},\) \(3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\) ও \(\hat{i}-3\hat{j}+a\hat{k}\) ভেক্টর তিনটি একই সমতলে অবস্থিত হলে ধ্রুবক \(a\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a=5\)
উদাহরণ \(58.\) \(2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k},\) \(-\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}\) ও \(\hat{i}-\hat{j}-2\hat{k}\) ভেক্টরগুচ্ছের বিপরীত ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}(2\hat{i}+\hat{k}); \ -\frac{1}{3}(7\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}); \ -\frac{1}{3}(8\hat{i}-3\hat{j}+7\hat{k})\)
উদাহরণ \(3.\) যদি, \(-\hat{i}+\lambda\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}\) ভেক্টদ্বয় পরস্পর লম্ব হয় তবে \(\lambda\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\lambda=1\)
উত্তরঃ \(\lambda=1\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,\(-\hat{i}+\lambda\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}\) ভেক্টদ্বয় পরস্পর লম্ব
\(\therefore (-\hat{i}+\lambda\hat{j}+\hat{k}).(2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k})=0\) ➜ \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) পরস্পর লম্ব হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}).(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=0\) হয়।
\(\Rightarrow -1\times{2}+\lambda\times{3}+1\times{-1}=0\) ➜ \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}).(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}\)
\(\Rightarrow -2+3\lambda-1=0\)
\(\Rightarrow 3\lambda-3=0\)
\(\Rightarrow 3\lambda=3\)
\(\therefore \lambda=1\)
উদাহরণ \(6.\) যদি \(|\overline{a}+\overline{b}|=|\overline{a}-\overline{b}|\) হয় তবে , দেখাও যে, \(\overline{a}\) ভেক্টরটি \(\overline{b}\) ভেক্টরের উপর লম্ব।
জাতীয়ঃ ২০১৬, ২০০৬ ।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,\(|\overline{a}+\overline{b}|=|\overline{a}-\overline{b}|\)
\(\Rightarrow |\overline{a}+\overline{b}|^2=|\overline{a}-\overline{b}|^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (\overline{a}+\overline{b}).(\overline{a}+\overline{b})=(\overline{a}-\overline{b}).(\overline{a}-\overline{b})\) ➜ \(\because |\overline{A}|^2=\overline{A}.\overline{A}\)
\(\Rightarrow \overline{a}.\overline{a}+\overline{a}.\overline{b}+\overline{b}.\overline{a}+\overline{b}.\overline{b}=\overline{a}.\overline{a}-\overline{a}.\overline{b}-\overline{b}.\overline{a}+\overline{b}.\overline{b}\)
\(\Rightarrow |\overline{a}|^2+2\overline{a}.\overline{b}+|\overline{b}|^2=|\overline{a}|^2-2\overline{a}.\overline{b}+|\overline{b}|^2\) ➜ \(\because \overline{A}.\overline{A}=|\overline{A}|^2\)
\(\overline{a}.\overline{b}=\overline{b}.\overline{a}\)
\(\Rightarrow |\overline{a}|^2+2\overline{a}.\overline{b}+|\overline{b}|^2-|\overline{a}|^2+2\overline{a}.\overline{b}-|\overline{b}|^2=0\)
\(\Rightarrow 4\overline{a}.\overline{b}=0\)
\(\therefore \overline{a}.\overline{b}=0\)
\(\therefore \overline{a}\) ভেক্টরটি \(\overline{b}\) ভেক্টরের উপর লম্ব।
( দেখানো হলো )
উদাহরণ \(14.\) দেখাও যে, \(\overline{a}=4\hat{i}+5\hat{j}+\hat{k},\) \(\overline{b}=2\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=3\hat{i}+6\hat{j}-3\hat{k}\) অবস্থান ভেক্টর তিনটি একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ গঠন করে।
সমাধানঃ
ধরি, \(A, \ B, \ C\) বিন্দু তিনটির অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে, \(\overline{a}=4\hat{i}+5\hat{j}+\hat{k},\) \(\overline{b}=2\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=3\hat{i}+6\hat{j}-3\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{OA}=4\hat{i}+5\hat{j}+\hat{k},\) \( \overrightarrow{OB}=2\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}\) এবং \( \overrightarrow{OC}=3\hat{i}+6\hat{j}-3\hat{k}\)
এখন, \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}\) ➜ \(\triangle{OAB}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=2\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}-4\hat{i}-5\hat{j}-\hat{k}\) ➜ \(\because \overrightarrow{OB}=2\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{OA}=4\hat{i}+5\hat{j}+\hat{k}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=-2\hat{i}-\hat{j}-2\hat{k}\)
\(\Rightarrow |\overrightarrow{AB}|=|-2\hat{i}-\hat{j}-2\hat{k}|\)
\(=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+(-2)^2}\) ➜ \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
\(=\sqrt{4+1+4}\)
\(=\sqrt{9}\)
\(=3\)
\(\therefore |\overrightarrow{AB}|=3\)
\(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}\) ➜ \(\triangle{OBC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{BC}=3\hat{i}+6\hat{j}-3\hat{k}-2\hat{i}-4\hat{j}+\hat{k}\) ➜ \(\because \overrightarrow{OC}=3\hat{i}+6\hat{j}-3\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{OB}=2\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{BC}=\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}\)
\(\Rightarrow |\overrightarrow{BC}|=|\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}|\)
\(=\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}\) ➜ \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
\(=\sqrt{1+4+4}\)
\(=\sqrt{9}\)
\(=3\)
\(\therefore |\overrightarrow{BC}|=3\)
এবং \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}\) ➜ \(\triangle{OAC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AC}=3\hat{i}+6\hat{j}-3\hat{k}-4\hat{i}-5\hat{j}-\hat{k}\) ➜ \(\because \overrightarrow{OC}=3\hat{i}+6\hat{j}-3\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{OA}=4\hat{i}+5\hat{j}+\hat{k}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AC}=-\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}\)
\(\Rightarrow |\overrightarrow{AC}|=|-\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}|\)
\(=\sqrt{(-1)^2+1^2+(-4)^2}\) ➜ \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
\(=\sqrt{1+1+16}\)
\(=\sqrt{18}\)
\(\therefore |\overrightarrow{AC}|=\sqrt{18}\)
\(\therefore |\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|\ne{|\overrightarrow{AC}|}\)
\(\therefore \) ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু ।
আবার,
\(|\overrightarrow{AB}|^2+|\overrightarrow{BC}|^2=3^2+3^2\)
\(=9+9\)
\(=18\)
\(=(\sqrt{18})^2\)
\(=|\overrightarrow{AC}|^2\)
\(\therefore |\overrightarrow{AB}|^2+|\overrightarrow{BC}|^2=|\overrightarrow{AC}|^2\)
\(\therefore \) ত্রিভুজটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ।
( দেখানো হলো )
উদাহরণ \(46.\) \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) ভেক্টরটি \(x, y\) ও \(z\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত যথাক্রমে \(\alpha, \beta\) ও \(\gamma\) কোণ উৎপন্ন করলে \(\alpha, \beta\) ও \(\gamma\) কোণের মাণ নির্ণয় কর এবং প্রমাণ কর যে, \(\cos^2{\alpha}+\cos^2{\beta}+\cos^2{\gamma}=1\)
উত্তরঃ \(\alpha=\cos^{-1}{\left(\frac{x}{r}\right)}, \beta=\cos^{-1}{\left(\frac{y}{r}\right)}, \gamma=\cos^{-1}{\left(\frac{z}{r}\right)}\)
উত্তরঃ \(\alpha=\cos^{-1}{\left(\frac{x}{r}\right)}, \beta=\cos^{-1}{\left(\frac{y}{r}\right)}, \gamma=\cos^{-1}{\left(\frac{z}{r}\right)}\)
সমাধানঃ
\(O\) কে মূলবিন্দু ধরে, \(X, Y, Z\) অক্ষত্রয়ের উপর যথাক্রমে \(A, B, C\) বিন্দু তিনটি নিই যেন \(OA=x, OB=y, OC=z\) হয়, যেখানে \(P(x, y, z)\) \(\overrightarrow{OP}=\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\)
\(\Rightarrow r=|\overline{r}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
\(\therefore r^2=x^2+y^2+z^2 ......(1)\)
\(\triangle{OAP}, \triangle{OBP}\) এবং \(\triangle{OCP}\) সমকোণী ত্রিভুজ আঁকি।
\(\triangle{OAP}\) এর \(\angle{OAP}=\)এক সমকোণ।
তাহলে, \(OP\) অতিভুজ।
\(\therefore \cos{\alpha}=\frac{OA}{OP}\)
\(\therefore \cos{\alpha}=\frac{x}{r} .....(2)\)
অনুরূপভাবে সমকোণী \(\triangle{OBP}\) এবং \(\triangle{OCP}\) হতে,
\(\therefore \cos{\alpha}=\frac{y}{r} .....(3)\)
\(\therefore \cos{\alpha}=\frac{z}{r} .....(4)\)
\((2), (3)\) ও \((4)\) হতে,
\(\alpha=\cos^{-1}{\left(\frac{x}{r}\right)}, \beta=\cos^{-1}{\left(\frac{y}{r}\right)}, \gamma=\cos^{-1}{\left(\frac{z}{r}\right)}\)
ইহাই নির্ণেয় কোণ।
আবার, \((2), (3)\) ও \((4)\) বর্গ করে যোগ করি,
\(\cos^2{\alpha}+\cos^2{\beta}+\cos^2{\gamma}=\frac{x^2}{r^2}+\frac{y^2}{r^2}+\frac{z^2}{r^2}\)
\(=\frac{x^2+y^2+z^2}{r^2}\)
\(=\frac{r^2}{r^2}\)
\(=1\)
\(\therefore \cos^2{\alpha}+\cos^2{\beta}+\cos^2{\gamma}=1\)
( প্রমাণিত )
উদাহরণ \(53.\) \(A(3,-1,2),\) \(B(1,-1,-3)\) ও \(C(4,-3,1)\) বিন্দু তিনটি শুন্যে অবস্থিত। \(ABC\) ত্রিভুজের কোণ তিনটি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\angle{A}=\cos^{-1}{\left(\frac{3}{\sqrt{174}}\right)}; \ \angle{B}=\cos^{-1}{\left(\frac{26}{29}\right)};\) \( \angle{C}=\cos^{-1}{\left(\frac{3}{\sqrt{174}}\right)}\)
উত্তরঃ \(\angle{A}=\cos^{-1}{\left(\frac{3}{\sqrt{174}}\right)}; \ \angle{B}=\cos^{-1}{\left(\frac{26}{29}\right)};\) \( \angle{C}=\cos^{-1}{\left(\frac{3}{\sqrt{174}}\right)}\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,\(A(3,-1,2),\) \(B(1,-1,-3)\) ও \(C(4,-3,1)\) বিন্দু তিনটি শুন্যে অবস্থিত।
\(\overrightarrow{AB}=(1-3)\hat{i}+(-1+1)\hat{j}+(-3-2)\hat{k}\) ➜ \(\because A(x_{1},y_{1},z_{1})\) এবং \(B(x_{2},y_{2},z_{2})\) হলে,
\(\overrightarrow{AB}=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}+(z_{2}-z_{1})\hat{k}\)
\(=-2\hat{i}-5\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}=-2\hat{i}-5\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{BA}=2\hat{i}+5\hat{k}\)
\(AB=BA=|\overrightarrow{AB}|\)
\(=|-2\hat{i}-5\hat{k}|\)
\(=\sqrt{(-2)^2+(-5)^2}\) ➜ \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
\(=\sqrt{4+25}\)
\(\therefore AB=BA=\sqrt{29}\)
\(\overrightarrow{BC}=(4-1)\hat{i}+(-3+1)\hat{j}+(1+3)\hat{k}\) ➜ \(\because A(x_{1},y_{1},z_{1})\) এবং \(B(x_{2},y_{2},z_{2})\) হলে,
\(\overrightarrow{AB}=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}+(z_{2}-z_{1})\hat{k}\)
\(=-2\hat{i}-5\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{BC}=3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{CB}=-3\hat{i}+2\hat{j}-4\hat{k}\)
\(BC=CB=|\overrightarrow{BC}|\)
\(=|3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}|\)
\(=\sqrt{3^2+(-2)^2+4^2}\) ➜ \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
\(=\sqrt{9+4+16}\)
\(\therefore BC=CB=\sqrt{29}\)
এবং \(\overrightarrow{AC}=(4-3)\hat{i}+(-3+1)\hat{j}+(1-2)\hat{k}\) ➜ \(\because A(x_{1},y_{1},z_{1})\) এবং \(B(x_{2},y_{2},z_{2})\) হলে,
\(\overrightarrow{AB}=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}+(z_{2}-z_{1})\hat{k}\)
\(=-2\hat{i}-5\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{AC}=\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{CA}=-\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}\)
\(AC=CA=|\overrightarrow{AC}|\)
\(=|\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}|\)
\(=\sqrt{1^2+(-2)^2+(-1)^2}\) ➜ \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
\(=\sqrt{1+4+1}\)
\(\therefore AC=CA=\sqrt{6}\)
এখন, \(\angle{A}=\cos^{-1}{\left(\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{AB \ AC}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{\frac{(-2\hat{i}-5\hat{k}).(\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k})}{\sqrt{29}\sqrt{6}}\right\}}\) ➜ \(\because \overrightarrow{AB}=-2\hat{i}-5\hat{k}\)
\(\overrightarrow{AC}=\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}\)
\(AB=\sqrt{29}\)
এবং \(AC=\sqrt{6}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{\frac{(-2)\times{1}+0\times{(-2)}+(-5)\times{(-1)}}{\sqrt{29\times{6}}}\right\}}\) ➜ \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}).(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{-2+0+5}{\sqrt{174}}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{3}{\sqrt{174}}\right)}\)
\(\therefore \angle{A}=\cos^{-1}{\left(\frac{3}{\sqrt{174}}\right)}\)
\(\angle{B}=\cos^{-1}{\left(\frac{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}{BA \ BC}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{\frac{(2\hat{i}+5\hat{k}).(3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k})}{\sqrt{29}\sqrt{29}}\right\}}\) ➜ \(\because \overrightarrow{BA}=2\hat{i}+5\hat{k}\)
\(\overrightarrow{BC}=3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\)
\(AB=\sqrt{29}\)
এবং \(BC=\sqrt{29}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{\frac{2\times{3}+0\times{(-2)}+5\times{4}}{29}\right\}}\) ➜ \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}).(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{6+0+20}{29}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{26}{29}\right)}\)
\(\therefore \angle{B}=\cos^{-1}{\left(\frac{26}{29}\right)}\)
এবং \(\angle{C}=\cos^{-1}{\left(\frac{\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}}{CA \ CB}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{\frac{(-\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}).(-3\hat{i}+2\hat{j}-4\hat{k})}{\sqrt{6}\sqrt{29}}\right\}}\) ➜ \(\because \overrightarrow{CA}=-\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}\)
\(\overrightarrow{CB}=-3\hat{i}+2\hat{j}-4\hat{k}\)
\(AB=\sqrt{29}\)
এবং \(BC=\sqrt{29}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{\frac{-1\times{-3}+2\times{2}+1\times{(-4)}}{\sqrt{6\times{29}}}\right\}}\) ➜ \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}).(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{3+4-4}{\sqrt{174}}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{3}{\sqrt{174}}\right)}\)
\(\therefore \angle{C}=\cos^{-1}{\left(\frac{3}{\sqrt{174}}\right)}\)
অধ্যায় \(11\) / \(Q.1\)-এর অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
\(Q.1.(i)\) ভেক্টর রাশির সংজ্ঞা দাও।
\(Q.1.(ii)\) ভেক্টর রাশির কয়েকটি উদাহরণ দাও।
\(Q.1.(iii)\) স্কেলার রাশির সংজ্ঞা দাও।
\(Q.1.(iv)\) স্কেলার রাশির কয়েকটি উদাহরণ দাও।
\(Q.1.(v)\) \(\overline{PQ}\) কি নির্দেশ করে?
\(Q.1.(vi)\) শূন্য ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।
\(Q.1.(vii)\) প্রকৃত ও অপ্রকৃত ভেক্টর কি?
\(Q.1.(viii)\) সমান ভেক্টর বলতে কি বুঝ?
\(Q.1.(ix)\) সদৃশ ভেক্টর বলতে কি বুঝ?
\(Q.1.(x)\) বিয়োগবোধক বা ঋণাত্মক ভেক্টর বলতে কি বুঝ?
\(Q.1.(xi)\) স্বাধীন ভেক্টর বলতে কি বুঝ?
\(Q.1.(xii)\) সহ-আদি ভেক্টর বলতে কি বুঝ?
\(Q.1.(xiii)\) একক ভেক্টর বলতে কি বুঝ?
\(Q.1.(xiv)\) অবস্থান ভেক্টর বলতে কি বুঝ?
\(Q.1.(xv)\) \(\overline{a}=2\hat{i}+3\hat{j}-6\hat{k}\) ভেক্টরের মাণ কত?
\(Q.1.(xvi)\) \(\overline{a}=2\hat{i}+3\hat{j}-6\hat{k}\) ভেক্টরের সদৃশ একক ভেক্টর কত?
\(Q.1.(xvii)\) \(\overline{a}=2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}\) ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধি ভেক্টরের মাণ কত?
\(Q.1.(xviii)\) দুইটি ভেক্টরের স্কেলার গুণন বা ডট গুণনের সংজ্ঞা দাও।
\(Q.1.(xix)\) \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) ভেক্টরদ্বয়ের পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত লিখ।
\(Q.1.(xx)\) \(\lambda\) এর মাণ কত হলে \(-\hat{i}+\lambda\hat{j}+2\hat{k}\) এবং \(4\hat{i}+2\hat{j}-5\hat{k}\) ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে?
\(Q.1.(xxi)\) \(\hat{i}-\hat{j}\) এবং \(-\hat{i}-\hat{j}\) ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত?
\(Q.1.(xxii)\) \(3\hat{i}-3\hat{j}\) এবং \(-\frac{1}{3}\hat{i}-\frac{1}{3}\hat{j}\) ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত?
\(Q.1.(xxiii)\) \(\overline{A}=A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে, \(\overline{A}.\overline{B}\) কত?
\(Q.1.(xxiv)\) \(\overline{a}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর লম্ব অভিক্ষেপ কত?
\(Q.1.(ii)\) ভেক্টর রাশির কয়েকটি উদাহরণ দাও।
\(Q.1.(iii)\) স্কেলার রাশির সংজ্ঞা দাও।
\(Q.1.(iv)\) স্কেলার রাশির কয়েকটি উদাহরণ দাও।
\(Q.1.(v)\) \(\overline{PQ}\) কি নির্দেশ করে?
\(Q.1.(vi)\) শূন্য ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।
জাতীয়ঃ ২০১৫, ২০১১ ।
\(Q.1.(vii)\) প্রকৃত ও অপ্রকৃত ভেক্টর কি?
জাতীয়ঃ ২০১২ ।
\(Q.1.(viii)\) সমান ভেক্টর বলতে কি বুঝ?
\(Q.1.(ix)\) সদৃশ ভেক্টর বলতে কি বুঝ?
\(Q.1.(x)\) বিয়োগবোধক বা ঋণাত্মক ভেক্টর বলতে কি বুঝ?
\(Q.1.(xi)\) স্বাধীন ভেক্টর বলতে কি বুঝ?
\(Q.1.(xii)\) সহ-আদি ভেক্টর বলতে কি বুঝ?
\(Q.1.(xiii)\) একক ভেক্টর বলতে কি বুঝ?
\(Q.1.(xiv)\) অবস্থান ভেক্টর বলতে কি বুঝ?
\(Q.1.(xv)\) \(\overline{a}=2\hat{i}+3\hat{j}-6\hat{k}\) ভেক্টরের মাণ কত?
\(Q.1.(xvi)\) \(\overline{a}=2\hat{i}+3\hat{j}-6\hat{k}\) ভেক্টরের সদৃশ একক ভেক্টর কত?
জাতীয়ঃ ২০১৫, ২০১০ ।
\(Q.1.(xvii)\) \(\overline{a}=2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}\) ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধি ভেক্টরের মাণ কত?
জাতীয়ঃ পাসঃ ২০১৬ ।
\(Q.1.(xviii)\) দুইটি ভেক্টরের স্কেলার গুণন বা ডট গুণনের সংজ্ঞা দাও।
জাতীয়ঃ ২০১১ ।
\(Q.1.(xix)\) \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) ভেক্টরদ্বয়ের পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত লিখ।
জাতীয়ঃ ২০১৮, ২০১১, ২০১০ ।
\(Q.1.(xx)\) \(\lambda\) এর মাণ কত হলে \(-\hat{i}+\lambda\hat{j}+2\hat{k}\) এবং \(4\hat{i}+2\hat{j}-5\hat{k}\) ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে?
জাতীয়ঃ পাসঃ ২০১৬ ।
\(Q.1.(xxi)\) \(\hat{i}-\hat{j}\) এবং \(-\hat{i}-\hat{j}\) ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত?
জাতীয়ঃ ২০১৭, ২০১৪; পাসঃ ২০১৭ ।
\(Q.1.(xxii)\) \(3\hat{i}-3\hat{j}\) এবং \(-\frac{1}{3}\hat{i}-\frac{1}{3}\hat{j}\) ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত?
ঢাঃ এফিঃকঃ ২০১৭ ।
\(Q.1.(xxiii)\) \(\overline{A}=A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে, \(\overline{A}.\overline{B}\) কত?
\(Q.1.(xxiv)\) \(\overline{a}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর লম্ব অভিক্ষেপ কত?
জাতীয়ঃ ২০১১ পাসঃ ২০১৫ ।
\(Q.1.(xxv)\) \(\overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর লম্ব অভিক্ষেপ কত?
\(Q.1.(xxvi)\) \(\overline{a}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর ভেক্টর লম্ব অভিক্ষেপ বা উপাংশ ভেক্টর বা, অংশক কত?
\(Q.1.(xxvii)\) \(\overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর ভেক্টর লম্ব অভিক্ষেপ বা উপাংশ ভেক্টর বা, অংশক কত?
\(Q.1.(xxviii)\) দুইটি ভেক্টরের ভেক্টর গুণন বা ক্রস গুণনের সংজ্ঞা দাও।
\(Q.1.(xxix)\) \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) ভেক্টরদ্বয়ের পরস্পর সমান্তরাল হওয়ার শর্ত লিখ।
\(Q.1.(xxx)\) \(\overline{a}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) হলে, \(\overline{a}\times\overline{b}\) কত?
\(Q.1.(xxxi)\) \(\overline{a}\) এবং \(\overline{b}\) ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) হলে, \(\cos{\theta}\) এবং \(\sin{\theta}\) এর মাণ কত?
\(Q.1.(xxxii)\) দুইটি ভেক্টরের উপর লম্ব একক ভেক্টর কত?
\(Q.1.(xxxiii)\) স্কেলার ট্রিপল গুণন কি?
\(Q.1.(xxxiv)\) ভেক্টর ট্রিপল গুণন কি?
\(Q.1.(xxxv)\) \([\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]\) কে নির্ণায়কের সাহায্যে লিখ।
\(Q.1.(xxxvi)\) \(\overline{a}, \ \overline{b}, \ \overline{c}\) ভেক্টরত্রয়ের সমতলীয় হওয়ার শর্ত লিখ।
\(Q.1.(xxxvii)\) \(\overline{a}, \ \overline{b}, \ \overline{c}\) ভেক্টরত্রয় সমতলীয় হলে, \(\overline{a}.(\overline{b}\times\overline{c})\) এর মাণ কত?
\(Q.1.(xxxviii)\) \([\hat{i} \ \hat{j} \ \hat{k}]\) এর মাণ কত?
\(Q.1.(xxxix)\) \([\overline{a} \ \overline{a} \ \overline{b}]\) এর মাণ কত?
\(Q.1.(xL)\) যদি, \([\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]=7\) হয় তবে \([\overline{c} \ \overline{a} \ \overline{b}]\) এর মাণ কত?
\(Q.1.(xLi)\) রেসিপ্রোকাল ভেক্টর কি?
\(Q.1.(xLii)\) \(\overline{a}, \ \overline{b}, \ \overline{c}\) ভেক্টর সমূহের বিপরীত ভেক্টর লিখ।
\(Q.1.(xLiii)\) কোনটি সঠিক?
\((a) \ \overline{a}\times\overline{a}=a^2\)
\((b) \ \overline{a}.\overline{a}=1\)
\((c) \ \overline{a}.\overline{a}=0\)
\((d) \ \overline{a}\times\overline{a}=0\)
\(Q.1.(xxvi)\) \(\overline{a}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর ভেক্টর লম্ব অভিক্ষেপ বা উপাংশ ভেক্টর বা, অংশক কত?
জাতীয়ঃ ২০১৪ ।
\(Q.1.(xxvii)\) \(\overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর ভেক্টর লম্ব অভিক্ষেপ বা উপাংশ ভেক্টর বা, অংশক কত?
জাতীয়ঃ ২০১৭ ।
\(Q.1.(xxviii)\) দুইটি ভেক্টরের ভেক্টর গুণন বা ক্রস গুণনের সংজ্ঞা দাও।
জাতীয়ঃ ২০১১ ।
\(Q.1.(xxix)\) \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) ভেক্টরদ্বয়ের পরস্পর সমান্তরাল হওয়ার শর্ত লিখ।
জাতীয়ঃ ২০১৮, ২০১০; পাসঃ ২০১৫ ।
\(Q.1.(xxx)\) \(\overline{a}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) হলে, \(\overline{a}\times\overline{b}\) কত?
জাতীয়ঃ পাসঃ ২০১৪ ।
\(Q.1.(xxxi)\) \(\overline{a}\) এবং \(\overline{b}\) ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) হলে, \(\cos{\theta}\) এবং \(\sin{\theta}\) এর মাণ কত?
জাতীয়ঃ ২০১৪ ।
\(Q.1.(xxxii)\) দুইটি ভেক্টরের উপর লম্ব একক ভেক্টর কত?
জাতীয়ঃ ২০১৫,২০১৩,২০১০; পাসঃ২০১৭,২০১৪ ।
\(Q.1.(xxxiii)\) স্কেলার ট্রিপল গুণন কি?
\(Q.1.(xxxiv)\) ভেক্টর ট্রিপল গুণন কি?
জাতীয়ঃ ২০১৬,২০১২,২০১০ ।
\(Q.1.(xxxv)\) \([\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]\) কে নির্ণায়কের সাহায্যে লিখ।
\(Q.1.(xxxvi)\) \(\overline{a}, \ \overline{b}, \ \overline{c}\) ভেক্টরত্রয়ের সমতলীয় হওয়ার শর্ত লিখ।
জাতীয়ঃ ২০১৭,২০১০; পাসঃ২০১৭,২০১৪ ।
\(Q.1.(xxxvii)\) \(\overline{a}, \ \overline{b}, \ \overline{c}\) ভেক্টরত্রয় সমতলীয় হলে, \(\overline{a}.(\overline{b}\times\overline{c})\) এর মাণ কত?
ঢাঃ এফিঃকঃ ২০১৭ ।
\(Q.1.(xxxviii)\) \([\hat{i} \ \hat{j} \ \hat{k}]\) এর মাণ কত?
জাতীয়ঃ ২০১৬ ।
\(Q.1.(xxxix)\) \([\overline{a} \ \overline{a} \ \overline{b}]\) এর মাণ কত?
জাতীয়ঃ ২০১২ ।
\(Q.1.(xL)\) যদি, \([\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]=7\) হয় তবে \([\overline{c} \ \overline{a} \ \overline{b}]\) এর মাণ কত?
\(Q.1.(xLi)\) রেসিপ্রোকাল ভেক্টর কি?
জাতীয়ঃ ২০১২ ।
\(Q.1.(xLii)\) \(\overline{a}, \ \overline{b}, \ \overline{c}\) ভেক্টর সমূহের বিপরীত ভেক্টর লিখ।
\(Q.1.(xLiii)\) কোনটি সঠিক?
\((a) \ \overline{a}\times\overline{a}=a^2\)
\((b) \ \overline{a}.\overline{a}=1\)
\((c) \ \overline{a}.\overline{a}=0\)
\((d) \ \overline{a}\times\overline{a}=0\)
জাতীয়ঃ ২০১০ ।
\(Q.1.(v)\) \(\overline{PQ}\) কি নির্দেশ করে?
উত্তরঃ
\(\overline{PQ}\) একটি সদিক রেখাংশ যার দিক \(P\) হতে \(Q\) এর দিকে এবং দৈর্ঘ্য বা মাণ হলো \(P\) ও \(Q\) এর মধ্যবর্তী দূরত্ব। অর্থাৎ \(\overline{PQ}\) একটি ভেক্টর নির্দেশ করে।
\(Q.1.(viii)\) সমান ভেক্টর বলতে কি বুঝ?
উত্তরঃ
দুইটি ভেক্টরের দিক একই দিকে বিদ্যমান এবং এদের মাণ সমান হলে ভেক্টরদ্বয়কে সমান ভেক্টর বলে। সমান ভেক্টরের ধারক রেখা একই অথবা সমান্তরাল হবে।
\(Q.1.(ix)\) সদৃশ ভেক্টর বলতে কি বুঝ?
উত্তরঃ
দুইটি ভেক্টরের দিক একই দিকে বিদ্যমান হলে ভেক্টরদ্বয়কে সদৃশ ভেক্টর বলে। সদৃশ ভেক্টরের মাণ একই অথবা ভিন্ন হতে পারে।
\(Q.1.(x)\) বিয়োগবোধক বা ঋণাত্মক ভেক্টর বলতে কি বুঝ?
উত্তরঃ
দুইটি ভেক্টরের মাণ একই এবং ধারক রেখা একই বা সমান্তরাল কিন্তু একটির দিক অপরটির বিপরীতমুখী হলে ভেক্টরদ্বয়ের একটিকে অপরটির বিয়োগবোধক বা ঋণাত্মক ভেক্টর বলে।
\(Q.1.(xiv)\) অবস্থান ভেক্টর বলতে কি বুঝ?
উত্তরঃ
যদি মূলবিন্দু \(O\) এর সাপেক্ষে একটি বিন্দু \(P\) এর অবস্থানকে \(\overrightarrow{OP}\) দ্বারা নির্দেশ করা হয় তবে \(\overrightarrow{OP}\) কে \(P\) এর অবস্থান ভেক্টর বলে। যদি \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((x,y,z)\) এবং \(\overrightarrow{OP}=\overline{r}\) হয় তবে \(P\) এর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হবে।
\(Q.1.(xviii)\) দুইটি ভেক্টরের স্কেলার গুণন বা ডট গুণনের সংজ্ঞা দাও।
জাতীয়ঃ ২০১১ ।
উত্তরঃ
দুইটি ভেক্টর রাশির গুণফল যদি একটি স্কেলার রাশি হয় তাহলে এ ধরনের গুণফলকে স্কেলার গুণন বা ডট গুণন বলা হয়। এ গুণফলের মাণ রাশি দুইটির মাণ ও এদের মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতর কোণের কোসাইন (cosine) এর গুণফলের সমান। \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর স্কেলার গুণজ \(\overline{a}.\overline{b}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) দুইটি ভেক্টর রাশির মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) হলে, সংজ্ঞানুসারে স্কেলার গুণফল হবে,
\(\overline{a}.\overline{b}=ab\cos{\theta}\)
\(Q.1.(xxviii)\) দুইটি ভেক্টরের ভেক্টর গুণন বা ক্রস গুণনের সংজ্ঞা দাও।
জাতীয়ঃ ২০১১ ।
উত্তরঃ
দুইটি ভেক্টর রাশির গুণফল যদি একটি ভেক্টর রাশি হয় তাহলে এ ধরনের গুণফলকে ভেক্টর গুণন বা ক্রস গুণন বলা হয়। এ গুণফলের মাণ রাশি দুইটির মাণ ও এদের মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতর কোণের সাইন (sine) এর গুণফলের সমান। ভেক্টর গুণফলের দিক হবে প্রদত্ত ভেক্টরদ্বয়ের সমতলে লম্বভাবে স্থাপিত একটি ডানহাতি স্ক্রকে প্রথম ভেক্টর থেকে দ্বিতীয় ভেক্টরের দিকে ক্ষুদ্রতর কোণে ঘুরালে স্ক্রটি যে দিকে অগ্রসর হয় সেদিকে। \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর ভেক্টর গুণজ \(\overline{a}\times{\overline{b}}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
\(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) দুইটি ভেক্টর রাশির মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) হলে, সংজ্ঞানুসারে ভেক্টর গুণফল হবে,
\(\overline{a}\times{\overline{b}}=ab\sin{\theta} \ \hat{n}\)
\(\hat{n}\) একটি একক ভেক্টর যা \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) ভেক্টরদ্বয়ের সমতলের উপর লম্ব।
অধ্যায় \(11\) / \(Q.2\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
\(Q.2.(i)\) \(\overline{a}=3\hat{i}-2\hat{j}-6\hat{k} , \ \overline{b}=-2\hat{i}+4\hat{j}-3\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\) হলে,
\((a)\) \(|\overline{a}|\)
\((b)\) \(|\overline{b}+2\overline{c}|\)
\((c)\) \(|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}|\)
নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 7\)
\((b) \ \sqrt{89}\)
\((c) \ \sqrt{120}\)
\(Q.2.(ii)\) যদি \(A(1,2,-4)\) আদিবিন্দু এবং \(B(2,4,-2)\) প্রান্তবিন্দু হয় তবে ভেক্টর \(\overrightarrow{AB}\) এবং এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}; \ 3\)
\(Q.2.(iii)\) দেখাও যে, \(|2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}|^2=14\)
\(Q.2.(iv)\) দেখাও যে, \(\overline{a}=2\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=7\hat{i}+2\hat{j}+5\hat{k}\) ভেক্টর দুইটি পরস্পর লম্ব।
\(Q.2.(v)\) যদি \(2\hat{i}+\lambda\hat{j}+2\hat{k}\) এবং \(4\hat{i}-2\hat{j}-2\hat{k}\) ভেক্টর দুইটি পরস্পর লম্ব হয়, তবে দেখাও যে, \(\lambda=2.\)
\(Q.2.(vi)\) যে শর্তে \(a\hat{i}+b\hat{j}+c\hat{k}\) ভেক্টরটি
\((1)\) \(x\) অক্ষের ;
\((2)\) \(y\) অক্ষের ;
\((3)\) \(z\) অক্ষের উপর লম্ব তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a=0, \ b=0, \ c=0\)
\(Q.2.(vii)\) দেখাও যে, নিম্নলিখিত ভেক্টরত্রয় পরস্পর লম্ব একক ভেক্টর।
\(\frac{2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}}{3}, \ \frac{\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}}{3}, \ \frac{2\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}}{3}\)
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{\left(\frac{13}{45}\right)}\)
\(Q.2.(viii). (b)\) \(\overline{A}=2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=\hat{i}+4\hat{j}+3\hat{k}\)
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{\left(-\frac{\sqrt{13}}{2\sqrt{7}}\right)}\)
\(Q.2.(viii). (c)\) \(\overline{A}=2\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}\)
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{\left(-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{35}}\right)}\)
\(Q.2.(viii). (d)\) \(\overline{A}=\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\)
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{\left(\frac{3}{2\sqrt{21}}\right)}\)
\(Q.2.(viii). (e)\) \(2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\)
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{\left(\sqrt{\frac{6}{7}}\right)}\)
\(Q.2.(ix)\) \(\underline{a}=\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}\) এবং \(\underline{b}=4\hat{i}-3\hat{k}\) হলে, ভেক্টরদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{\left(\frac{13}{5\sqrt{14}}\right)}\)
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{\left(\frac{2}{3}\right)}; \ \cos^{-1}{\left(-\frac{1}{3}\right)}; \ \cos^{-1}{\left(\frac{2}{3}\right)}\)
\(Q.2.(x) .(b)\) \(\hat{j}+2\hat{k}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{2}; \ \cos^{-1}{\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)}; \ \cos^{-1}{\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)}\)
\(Q.2.(x) .(c)\) \(3\hat{i}-6\hat{j}+2\hat{k}\)
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{\left(\frac{3}{7}\right)}; \ \cos^{-1}{\left(-\frac{6}{7}\right)}; \ \cos^{-1}{\left(\frac{2}{7}\right)}\)
\(Q.2.(xi)\) যদি, \(\overline{a}=2\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\) ভেক্টরের উপর \(\overline{b}=6\hat{i}-3\hat{j}-2\hat{k}\) হয় তবে,
\((a) \overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) ভেক্টরের লম্ব অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
\((b) \overline{a}\) বরাবর \(\overline{b}\) ভেক্টরের লম্ব অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{8}{7}\)
\((b) \ \frac{8}{3}\)
\(Q.2.(xii)\) \(\overline{a}=\hat{i}+4\hat{j}+8\hat{k}\) ভেক্টরটি স্থানাঙ্ক অক্ষত্রয়ের যগবোধক দিকের সহিত যে কোণসমূহ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{\left(\frac{1}{9}\right)}; \ \cos^{-1}{\left(\frac{4}{9}\right)}; \ \cos^{-1}{\left(\frac{8}{9}\right)}\)
\(Q.2.(xiii)\) যদি, \(\overline{a}=2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \ \overline{b}=\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=3\hat{i}-4\hat{j}+2\hat{k}\) হয় তবে \(\overline{b}\) বরাবর \((\overline{a}+\overline{c})\) ভেক্টরের ভেক্টর লম্ব অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{17}{9}\overline{b}}\)
\(Q.2.(xiv)\) ভেক্টর \(-7\hat{i}+4\hat{k}\) এর উপর ভেক্টর \(4\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}\) এর অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{24}{\sqrt{65}}\)
\(Q.2.(xv)\) \(a\hat{i}+b\hat{j}+c\hat{k}\) ভেক্টরের \(x, \ y\) এবং \(z\) অক্ষের যোগবোধক দিক বরাবর লম্ব অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a, \ b, \ c\)
\(Q.2.(xvi)\) যদি \(\overline{b}\) এর দিক বরাবর \(\overline{a}\) এর লম্ব অভিক্ষেপ এবং \(\overline{a}\) এর দিক বরাবর \(\overline{b}\) এর লম্ব অভিক্ষেপ সমান হয় তবে দেখাও যে, \(|\overline{a}|=|\overline{b}|\) যেখানে, \(\overline{a}.\overline{b}\ne{0}\)
\(Q.2.(xvii)\) যদি \(\overline{a}=\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}, \ \overline{b}=2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=4\hat{i}+5\hat{j}-3\hat{k}\) হয়, তবে \(\overline{a}.(\overline{b}\times\overline{c})\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(76\)
\(Q.2.(xviii)\) \(A, \ B, \ C\) বিন্দুগুলির অবস্থান ভেক্টরসমূহ \(\overline{a}, \ \overline{b}, \ \overline{c}\) হলে দেখাও যে, \(ABC\) সমতলের লম্ব ভেক্টর \(\overline{b}\times\overline{c}+\overline{c}\times\overline{a}+\overline{a}\times\overline{b}.\)
\(Q.2.(xix)\) \(\hat{i}-\lambda\hat{j}+\hat{k}, \ 3\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}\) এবং \(2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টরসমূহ সমতলীয় হলে, \(\lambda\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\lambda=\frac{8}{9}\)
\(Q.2.(xx)\) দেখাও যে, \(-2\hat{i}+4\hat{j}+\hat{k}, \ 3\hat{i}+2\hat{j}, \ 3\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}\) এবং \(\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টর চারটি সমতলীয়।
\(Q.2.(xxi)\) দেখাও যে, \(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টরটি অক্ষত্রয়ের সাথে সমান কোণে আনত।
\(Q.2.(xxii)\) \(\overline{P}=3\hat{i}-4\hat{j}-2\hat{k}\) এবং \(\overline{Q}=5\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\) হলে,
\((1)\) \(\overline{P}+\overline{Q}\) ;
\((2)\) \(\overline{P}-\overline{Q}\) ;
\((3)\) \(\overline{Q}-\overline{P}\) মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((1) 8\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}, \ (2) -2\hat{i}-6\hat{j}-\hat{k}, \ (3) 2\hat{i}+6\hat{j}+\hat{k}\)
\(Q.2.(xxiii)\) \(\overline{A}=3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}, \ \overline{B}=2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{C}=2\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}\) হলে, \(|2\overline{A}-\overline{B}+\overline{C}|\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(11\)
\(Q.2.(xxiv)\) \(\overline{P}=5\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}, \ \overline{Q}=\hat{k}\) হলে, \(\overline{P}.\overline{Q}=\) কত?
উত্তরঃ \(3\)
\(Q.2.(xxv)\) \(\overline{A}=3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}, \ \overline{B}=2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{C}=2\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(\overline{A}.(\overline{B}+\overline{C})=\overline{A}.\overline{B}+\overline{A}.\overline{C}\)
\(Q.2.(xxvi)\) \(\overline{A}=3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}, \ \overline{B}=2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{C}=\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}\) হলে, \((\overline{B}+2\overline{A}).(\overline{C}-\overline{A})\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-14\)
\(Q.2.(xxvii)\) \(\overline{A}=\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\) ভেক্টর দুইটি লম্ব কিনা যাচাই কর।
উত্তরঃ লম্ব নয়।
\(Q.2.(xxviii)\) \(\overline{A}=2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টর দুইটি লম্ব কিনা যাচাই কর।
উত্তরঃ লম্ব নয়।
\(Q.2.(xxix)\) \(A(-11,8,4), \ B(-1,1,2)\) এবং \(C(-5,-5,3)\) হলে, ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, \(AB\) ও \(BC\) পরস্পর লম্ব।
\(Q.2.(xxx)\) \(4\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}\) এবং \(3\hat{i}-4\hat{j}+a\hat{k}\) ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হলে, \(a\) এর মাণ কত?
উত্তরঃ \(\frac{4}{3}\)
\(Q.2.(xxxi)\) \(m\) এর মাণ কত হলে, \(\overline{A}=2\hat{i}+3\hat{j}-6\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=m\hat{i}+2\hat{j}+10\hat{k}\) ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে?
উত্তরঃ \(27\)
\(Q.2.(xxxii)\) \(r\) এর মাণ কত হলে, \(\overline{A}=2\hat{i}-3\hat{j}+r\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=-\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}\) ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে?
উত্তরঃ \(-\frac{8}{3}\)
\(Q.2.(xxxiii)\) \(\mu\) এর মাণ কত হলে, \(\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(2\hat{i}+\mu\hat{j}-2\hat{k}\) ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে?
উত্তরঃ \(0\)
\(Q.2.(xxxiv)\) \(\overline{u}=4\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}\) এবং \(\overline{v}=\lambda\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}\) ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হয় তবে, \(\lambda\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3\)
\(Q.2.(xxxv)\) \(\underline{a}=\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টরের উপর \(\underline{b}=2\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}\) ভেক্টরের অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\frac{2}{\sqrt{6}}\)
\(Q.2.(xxxvi)\) \((2,3,1)\) এবং \((3,1,-2)\) এর স্কেলার গুণফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(7\)
\(Q.2.(xxxvii)\) দেখাও যে, \(\overline{A}=-2\hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k}, \ \overline{B}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}\) এবং \(\overline{C}=7\hat{i}-\hat{k}\) ভেক্টরত্রয় সমরেখ।
\(Q.2.(xxxviii)\) \(\overline{A}=2\hat{i}+3\hat{j}-5\hat{k}, \ \overline{B}=-5\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}, \ \overline{C}=\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\) এবং \(\overline{D}=4\hat{i}-3\hat{j}-2\hat{k}\) ভেক্টর চারটি কোনো বস্তু কণার উপর ক্রিয়া করে। এদের লব্ধির মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\sqrt{5}\)
\(Q.2.(xxxix)\) \(\overline{A}=\hat{i}-2\hat{j}-2\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=6\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}\) ভেক্টর দুইটির অন্তর্গত কোণ নির্ণয় কর। \(\overline{A}\) ভেক্টর বরাবর \(\overline{B}\) ভেক্টরের অংশক এবং অভিক্ষেপ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে এদের সাংখ্যিক মাণ সমান।
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{\left(-\frac{4}{21}\right)}; \ -\frac{4}{9}(\hat{i}-2\hat{j}-2\hat{k}); \ -\frac{4}{3}\)
\(Q.2.(xL)\) \(2\hat{i}+10\hat{j}-11\hat{k}\) ভেক্টরটির সমান্তরালে একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{15}(2\hat{i}+10\hat{j}-11\hat{k})}\)
\(Q.2.(xLi)\) \(\overline{A}=2\hat{i}+4\hat{j}+5\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}\) হলে, ভেক্টর দুইটির লব্ধির সমান্তরালে একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{\sqrt{109}}(3\hat{i}+6\hat{j}+8\hat{k})}\)
\(Q.2.(xLii)\) \(\overline{A}=4\hat{i}+5\hat{j}-3\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=-\hat{i}-5\hat{j}-\hat{k}\) হলে,
\((a)\) ভেক্টর দুইটির লব্ধির সমান্তরালে একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
\((b)\) ভেক্টর দুইটির লব্ধির দিক বরাবর একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
\((c)\) ভেক্টর দুইটির লব্ধির বিসদৃশ সমান্তরাল একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{5}(3\hat{i}-4\hat{k})}; \ \frac{1}{5}(3\hat{i}-4\hat{k}); \ -\frac{1}{5}(3\hat{i}-4\hat{k})\)
\(Q.2.(xLiii)\) \(2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টর দুইটির উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{\sqrt{35}}(3\hat{i}-\hat{j}-5\hat{k})}\)
\(Q.2.(xLiv)\) \(2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টর দুইটির উপর লম্ব \(5\) একক মাণ বিশিষ্ট ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{5}{\sqrt{35}}(3\hat{i}-\hat{j}-5\hat{k})}\)
\(Q.2.(xLv)\) \(\overline{a}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) হলে, এমন একটি ভেক্টর \(\hat{c}\) নির্ণয় কর যা \(\overline{a}\) এবং \(\overline{b}\) এর সাথে সমতলীয় হবে এবং \(\overline{a}\) এর উপর লম্ব হবে।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{\sqrt{6}}(2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})}\)
\(Q.2.(xLvi)\) \(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\) ভেক্টর দুইটির উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{\sqrt{14}}(-\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})}\)
\(Q.2.(xLvii)\) \(P(1,1,1)\) এবং \(Q(3,2,-1)\) শুন্যে অবস্থিত দুইটি বিন্দু। \(\overrightarrow{PQ}\) ভেক্টর নির্ণয় কর এবং এর সমান্তরাল একটি একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}; \ \pm{\frac{1}{3}(2\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k})}\)
\((a)\) \(|\overline{a}|\)
\((b)\) \(|\overline{b}+2\overline{c}|\)
\((c)\) \(|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}|\)
নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 7\)
\((b) \ \sqrt{89}\)
\((c) \ \sqrt{120}\)
\(Q.2.(ii)\) যদি \(A(1,2,-4)\) আদিবিন্দু এবং \(B(2,4,-2)\) প্রান্তবিন্দু হয় তবে ভেক্টর \(\overrightarrow{AB}\) এবং এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}; \ 3\)
\(Q.2.(iii)\) দেখাও যে, \(|2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}|^2=14\)
\(Q.2.(iv)\) দেখাও যে, \(\overline{a}=2\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=7\hat{i}+2\hat{j}+5\hat{k}\) ভেক্টর দুইটি পরস্পর লম্ব।
\(Q.2.(v)\) যদি \(2\hat{i}+\lambda\hat{j}+2\hat{k}\) এবং \(4\hat{i}-2\hat{j}-2\hat{k}\) ভেক্টর দুইটি পরস্পর লম্ব হয়, তবে দেখাও যে, \(\lambda=2.\)
\(Q.2.(vi)\) যে শর্তে \(a\hat{i}+b\hat{j}+c\hat{k}\) ভেক্টরটি
\((1)\) \(x\) অক্ষের ;
\((2)\) \(y\) অক্ষের ;
\((3)\) \(z\) অক্ষের উপর লম্ব তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a=0, \ b=0, \ c=0\)
\(Q.2.(vii)\) দেখাও যে, নিম্নলিখিত ভেক্টরত্রয় পরস্পর লম্ব একক ভেক্টর।
\(\frac{2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}}{3}, \ \frac{\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}}{3}, \ \frac{2\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}}{3}\)
প্রতি জোড়া ভেক্টরের অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয় কর।
\(Q.2.(viii). (a)\) \(\overline{A}=2\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=2\hat{i}+10\hat{j}-11\hat{k}\)উত্তরঃ \(\cos^{-1}{\left(\frac{13}{45}\right)}\)
\(Q.2.(viii). (b)\) \(\overline{A}=2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=\hat{i}+4\hat{j}+3\hat{k}\)
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{\left(-\frac{\sqrt{13}}{2\sqrt{7}}\right)}\)
\(Q.2.(viii). (c)\) \(\overline{A}=2\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}\)
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{\left(-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{35}}\right)}\)
\(Q.2.(viii). (d)\) \(\overline{A}=\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\)
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{\left(\frac{3}{2\sqrt{21}}\right)}\)
\(Q.2.(viii). (e)\) \(2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\)
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{\left(\sqrt{\frac{6}{7}}\right)}\)
\(Q.2.(ix)\) \(\underline{a}=\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}\) এবং \(\underline{b}=4\hat{i}-3\hat{k}\) হলে, ভেক্টরদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{\left(\frac{13}{5\sqrt{14}}\right)}\)
নিচের ভেক্টরগুলি অক্ষত্রয়ের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর।
\(Q.2.(x) .(a)\) \(2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\) উত্তরঃ \(\cos^{-1}{\left(\frac{2}{3}\right)}; \ \cos^{-1}{\left(-\frac{1}{3}\right)}; \ \cos^{-1}{\left(\frac{2}{3}\right)}\)
\(Q.2.(x) .(b)\) \(\hat{j}+2\hat{k}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{2}; \ \cos^{-1}{\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)}; \ \cos^{-1}{\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)}\)
\(Q.2.(x) .(c)\) \(3\hat{i}-6\hat{j}+2\hat{k}\)
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{\left(\frac{3}{7}\right)}; \ \cos^{-1}{\left(-\frac{6}{7}\right)}; \ \cos^{-1}{\left(\frac{2}{7}\right)}\)
\(Q.2.(xi)\) যদি, \(\overline{a}=2\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\) ভেক্টরের উপর \(\overline{b}=6\hat{i}-3\hat{j}-2\hat{k}\) হয় তবে,
\((a) \overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) ভেক্টরের লম্ব অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
\((b) \overline{a}\) বরাবর \(\overline{b}\) ভেক্টরের লম্ব অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{8}{7}\)
\((b) \ \frac{8}{3}\)
\(Q.2.(xii)\) \(\overline{a}=\hat{i}+4\hat{j}+8\hat{k}\) ভেক্টরটি স্থানাঙ্ক অক্ষত্রয়ের যগবোধক দিকের সহিত যে কোণসমূহ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{\left(\frac{1}{9}\right)}; \ \cos^{-1}{\left(\frac{4}{9}\right)}; \ \cos^{-1}{\left(\frac{8}{9}\right)}\)
\(Q.2.(xiii)\) যদি, \(\overline{a}=2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \ \overline{b}=\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=3\hat{i}-4\hat{j}+2\hat{k}\) হয় তবে \(\overline{b}\) বরাবর \((\overline{a}+\overline{c})\) ভেক্টরের ভেক্টর লম্ব অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{17}{9}\overline{b}}\)
\(Q.2.(xiv)\) ভেক্টর \(-7\hat{i}+4\hat{k}\) এর উপর ভেক্টর \(4\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}\) এর অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{24}{\sqrt{65}}\)
জাতীয়ঃ ২০০১ ।
\(Q.2.(xv)\) \(a\hat{i}+b\hat{j}+c\hat{k}\) ভেক্টরের \(x, \ y\) এবং \(z\) অক্ষের যোগবোধক দিক বরাবর লম্ব অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a, \ b, \ c\)
\(Q.2.(xvi)\) যদি \(\overline{b}\) এর দিক বরাবর \(\overline{a}\) এর লম্ব অভিক্ষেপ এবং \(\overline{a}\) এর দিক বরাবর \(\overline{b}\) এর লম্ব অভিক্ষেপ সমান হয় তবে দেখাও যে, \(|\overline{a}|=|\overline{b}|\) যেখানে, \(\overline{a}.\overline{b}\ne{0}\)
\(Q.2.(xvii)\) যদি \(\overline{a}=\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}, \ \overline{b}=2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=4\hat{i}+5\hat{j}-3\hat{k}\) হয়, তবে \(\overline{a}.(\overline{b}\times\overline{c})\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(76\)
\(Q.2.(xviii)\) \(A, \ B, \ C\) বিন্দুগুলির অবস্থান ভেক্টরসমূহ \(\overline{a}, \ \overline{b}, \ \overline{c}\) হলে দেখাও যে, \(ABC\) সমতলের লম্ব ভেক্টর \(\overline{b}\times\overline{c}+\overline{c}\times\overline{a}+\overline{a}\times\overline{b}.\)
\(Q.2.(xix)\) \(\hat{i}-\lambda\hat{j}+\hat{k}, \ 3\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}\) এবং \(2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টরসমূহ সমতলীয় হলে, \(\lambda\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\lambda=\frac{8}{9}\)
\(Q.2.(xx)\) দেখাও যে, \(-2\hat{i}+4\hat{j}+\hat{k}, \ 3\hat{i}+2\hat{j}, \ 3\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}\) এবং \(\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টর চারটি সমতলীয়।
\(Q.2.(xxi)\) দেখাও যে, \(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টরটি অক্ষত্রয়ের সাথে সমান কোণে আনত।
\(Q.2.(xxii)\) \(\overline{P}=3\hat{i}-4\hat{j}-2\hat{k}\) এবং \(\overline{Q}=5\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\) হলে,
\((1)\) \(\overline{P}+\overline{Q}\) ;
\((2)\) \(\overline{P}-\overline{Q}\) ;
\((3)\) \(\overline{Q}-\overline{P}\) মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((1) 8\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}, \ (2) -2\hat{i}-6\hat{j}-\hat{k}, \ (3) 2\hat{i}+6\hat{j}+\hat{k}\)
\(Q.2.(xxiii)\) \(\overline{A}=3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}, \ \overline{B}=2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{C}=2\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}\) হলে, \(|2\overline{A}-\overline{B}+\overline{C}|\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(11\)
\(Q.2.(xxiv)\) \(\overline{P}=5\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}, \ \overline{Q}=\hat{k}\) হলে, \(\overline{P}.\overline{Q}=\) কত?
উত্তরঃ \(3\)
\(Q.2.(xxv)\) \(\overline{A}=3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}, \ \overline{B}=2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{C}=2\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(\overline{A}.(\overline{B}+\overline{C})=\overline{A}.\overline{B}+\overline{A}.\overline{C}\)
\(Q.2.(xxvi)\) \(\overline{A}=3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}, \ \overline{B}=2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{C}=\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}\) হলে, \((\overline{B}+2\overline{A}).(\overline{C}-\overline{A})\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-14\)
\(Q.2.(xxvii)\) \(\overline{A}=\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\) ভেক্টর দুইটি লম্ব কিনা যাচাই কর।
উত্তরঃ লম্ব নয়।
\(Q.2.(xxviii)\) \(\overline{A}=2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টর দুইটি লম্ব কিনা যাচাই কর।
উত্তরঃ লম্ব নয়।
\(Q.2.(xxix)\) \(A(-11,8,4), \ B(-1,1,2)\) এবং \(C(-5,-5,3)\) হলে, ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, \(AB\) ও \(BC\) পরস্পর লম্ব।
\(Q.2.(xxx)\) \(4\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}\) এবং \(3\hat{i}-4\hat{j}+a\hat{k}\) ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হলে, \(a\) এর মাণ কত?
উত্তরঃ \(\frac{4}{3}\)
\(Q.2.(xxxi)\) \(m\) এর মাণ কত হলে, \(\overline{A}=2\hat{i}+3\hat{j}-6\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=m\hat{i}+2\hat{j}+10\hat{k}\) ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে?
উত্তরঃ \(27\)
\(Q.2.(xxxii)\) \(r\) এর মাণ কত হলে, \(\overline{A}=2\hat{i}-3\hat{j}+r\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=-\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}\) ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে?
উত্তরঃ \(-\frac{8}{3}\)
\(Q.2.(xxxiii)\) \(\mu\) এর মাণ কত হলে, \(\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(2\hat{i}+\mu\hat{j}-2\hat{k}\) ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে?
উত্তরঃ \(0\)
\(Q.2.(xxxiv)\) \(\overline{u}=4\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}\) এবং \(\overline{v}=\lambda\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}\) ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হয় তবে, \(\lambda\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3\)
\(Q.2.(xxxv)\) \(\underline{a}=\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টরের উপর \(\underline{b}=2\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}\) ভেক্টরের অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\frac{2}{\sqrt{6}}\)
\(Q.2.(xxxvi)\) \((2,3,1)\) এবং \((3,1,-2)\) এর স্কেলার গুণফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(7\)
\(Q.2.(xxxvii)\) দেখাও যে, \(\overline{A}=-2\hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k}, \ \overline{B}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}\) এবং \(\overline{C}=7\hat{i}-\hat{k}\) ভেক্টরত্রয় সমরেখ।
\(Q.2.(xxxviii)\) \(\overline{A}=2\hat{i}+3\hat{j}-5\hat{k}, \ \overline{B}=-5\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}, \ \overline{C}=\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\) এবং \(\overline{D}=4\hat{i}-3\hat{j}-2\hat{k}\) ভেক্টর চারটি কোনো বস্তু কণার উপর ক্রিয়া করে। এদের লব্ধির মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\sqrt{5}\)
\(Q.2.(xxxix)\) \(\overline{A}=\hat{i}-2\hat{j}-2\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=6\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}\) ভেক্টর দুইটির অন্তর্গত কোণ নির্ণয় কর। \(\overline{A}\) ভেক্টর বরাবর \(\overline{B}\) ভেক্টরের অংশক এবং অভিক্ষেপ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে এদের সাংখ্যিক মাণ সমান।
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{\left(-\frac{4}{21}\right)}; \ -\frac{4}{9}(\hat{i}-2\hat{j}-2\hat{k}); \ -\frac{4}{3}\)
\(Q.2.(xL)\) \(2\hat{i}+10\hat{j}-11\hat{k}\) ভেক্টরটির সমান্তরালে একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{15}(2\hat{i}+10\hat{j}-11\hat{k})}\)
\(Q.2.(xLi)\) \(\overline{A}=2\hat{i}+4\hat{j}+5\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}\) হলে, ভেক্টর দুইটির লব্ধির সমান্তরালে একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{\sqrt{109}}(3\hat{i}+6\hat{j}+8\hat{k})}\)
\(Q.2.(xLii)\) \(\overline{A}=4\hat{i}+5\hat{j}-3\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=-\hat{i}-5\hat{j}-\hat{k}\) হলে,
\((a)\) ভেক্টর দুইটির লব্ধির সমান্তরালে একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
\((b)\) ভেক্টর দুইটির লব্ধির দিক বরাবর একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
\((c)\) ভেক্টর দুইটির লব্ধির বিসদৃশ সমান্তরাল একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{5}(3\hat{i}-4\hat{k})}; \ \frac{1}{5}(3\hat{i}-4\hat{k}); \ -\frac{1}{5}(3\hat{i}-4\hat{k})\)
বঃ ২০০৪ ।
\(Q.2.(xLiii)\) \(2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টর দুইটির উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{\sqrt{35}}(3\hat{i}-\hat{j}-5\hat{k})}\)
\(Q.2.(xLiv)\) \(2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টর দুইটির উপর লম্ব \(5\) একক মাণ বিশিষ্ট ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{5}{\sqrt{35}}(3\hat{i}-\hat{j}-5\hat{k})}\)
\(Q.2.(xLv)\) \(\overline{a}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) হলে, এমন একটি ভেক্টর \(\hat{c}\) নির্ণয় কর যা \(\overline{a}\) এবং \(\overline{b}\) এর সাথে সমতলীয় হবে এবং \(\overline{a}\) এর উপর লম্ব হবে।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{\sqrt{6}}(2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})}\)
\(Q.2.(xLvi)\) \(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\) ভেক্টর দুইটির উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{\sqrt{14}}(-\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})}\)
\(Q.2.(xLvii)\) \(P(1,1,1)\) এবং \(Q(3,2,-1)\) শুন্যে অবস্থিত দুইটি বিন্দু। \(\overrightarrow{PQ}\) ভেক্টর নির্ণয় কর এবং এর সমান্তরাল একটি একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}; \ \pm{\frac{1}{3}(2\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k})}\)
\(Q.2.(xLviii)\) দেখাও যে, \(\overline{a}=9\hat{i}+\hat{j}-6\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=4\hat{i}-6\hat{j}+5\hat{k}\) ভেক্টর দুইটি পরস্পর লম্ব।
\(Q.2.(xLix)\) দেখাও যে, \(\overline{A}=8\hat{i}+\hat{j}-6\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=4\hat{i}-2\hat{j}+5\hat{k}\) ভেক্টর দুইটি পরস্পর লম্ব।
\(Q.2.(L)\) \(\overline{A}=\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\) হলে দেখাও যে, \(\overline{A}+\overline{B}\) এবং \(\overline{A}-\overline{B}\) ভেক্টর দুইটি পরস্পর লম্ব।
\(Q.2.(Li)\) দেখাও যে, \(\overline{a}=3\hat{i}+2\hat{j}-6\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=4\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টর দুইটি পরস্পর লম্ব। এ ভেক্টর দুইটির উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{\sqrt{1274}}(-16\hat{i}-27\hat{j}-17\hat{k})}\)
\(Q.2.(Lii)\) \(A\) ও \(B\) বিন্দু দুইটির অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(2\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k}\) এবং \(4\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}\) হলে \(\overrightarrow{AB}\) এর দৈর্ঘ্য এবং \(\overrightarrow{AB}\) বরাবর একটি একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(|\overrightarrow{AB}|=2\sqrt{19}; \ \frac{1}{\sqrt{19}}(\hat{i}-3\hat{j}+3\hat{k})\)
\(Q.2.(Liii)\) \(a\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(2a\hat{i}-a\hat{j}-4\hat{k}\) ভেক্টর দুইটি পরস্পর লম্ব হলে \(a\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a=1, \ a=-2\)
\(Q.2.(Liv)\) \(2\hat{i}+a\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(4\hat{i}-2\hat{j}-2\hat{k}\) ভেক্টর দুইটি পরস্পর লম্ব হলে \(a\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3\)
\(Q.2.(Lv)\) \(\overline{a}=2\hat{i}+y\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=4\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}\) ভেক্টর দুইটি পরস্পর লম্ব হলে \(y\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{7}{2}\)
\(Q.2.(Lvi)\) দেখাও যে, \(\overline{a}=3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k},\) \(\overline{b}=\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=2\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}\) ভেক্টর তিনটি সমতলীয়।
\(Q.2.(Lvii)\) \(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k},\) \(2\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\lambda \hat{i}-\hat{j}+\lambda \hat{k}\) ভেক্টর তিনটি সমতলীয় হলে \(\lambda\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\lambda=1\)
\(Q.2.(Lviii)\) দেখাও যে, \(\overline{a}=3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k},\) \(\overline{b}=\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=2\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}\) ভেক্টর তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে।
\(Q.2.(Lix)\) তিনটি বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k},\) \(-\hat{i}-\hat{j}+8\hat{k}\) এবং \(-4\hat{i}+4\hat{j}+6\hat{k}\) হলে দেখাও যে, বিন্দু তিনটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ গঠন করে।
\(Q.2.(Lx)\) ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, \(A(1,-1,-1)\) \(B(3,3,1)\) এবং \(C(-1,4,4)\) বিন্দু তিনটি একটি গোলকের উপর অবস্থিত যার কেন্দ্র \(P(0,1,2).\)
\(Q.2.(Lxi)\) \(A(0,1,2)\) \(B(-1,3,0)\) এবং \(C(1,-1,1)\) বিন্দু তিনটি অবস্থান ভেক্টর নির্ণয় কর এবং \(|\overrightarrow{AB}|\) ও \(|\overrightarrow{AC}|\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\hat{j}+2\hat{k}, \ -\hat{i}+3\hat{j}, \ \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}; \ 3, \ \sqrt{6}\)
\(Q.2.(Lxii)\) \(\overline{A}=2\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}\) হলে, \(\overline{A}\times{\overline{B}}\) হতে তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\sin^{-1}{\left(\frac{\sqrt{13}}{3\sqrt{7}}\right)}\)
\(Q.2.(Lxiii)\) \(\overline{A}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=3\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}\) হলে, \(|\overline{A}\times{\overline{B}}|\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(6\sqrt{5}\)
\(Q.2.(Lxiv)\) \((a\hat{i}+b\hat{j}+\hat{k})\times{(2\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})}=\hat{i}-\hat{j}\) হলে, \(a\) ও \(b\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a=1, \ b=1\)
\(Q.2.(Lxv)\) \(\overline{A}=3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k},\) \(\overline{B}=2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{C}=\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}\) হলে, \(\overline{A}\times{(\overline{B}\times{\overline{C}})}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(17\hat{i}-19\hat{j}+16\hat{k}\)
\(Q.2.(Lxvi)\) \(\underline{a}=2\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}\) এবং \(\underline{b}=-\hat{i}+2\hat{j}-7\hat{k}\) হলে, \(5\underline{a}\times{\underline{b}}\) এবং \(\frac{\underline{b}}{|\underline{a}|}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(55\hat{i}+45\hat{j}+5\hat{k}, \ \frac{1}{\sqrt{38}}(-\hat{i}+2\hat{j}-7\hat{k})\)
\(Q.2.(Lxvii)\) যে কোনো দুইটি ভেক্টর \(\underline{A}\) এবং \(\underline{B}\) এর জন্য প্রমাণ কর যে, \(\underline{A}.\underline{B}=\underline{B}.\underline{A}\) এবং \(\underline{A}\times{\underline{B}}=-\underline{B}\times{\underline{A}}.\)
\(Q.2.(Lxviii)\) প্রমাণ কর যে, \(\underline{A}\times{\underline{B}}=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{array}\right|,\) যেখানে \(\underline{A}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k},\) \(\underline{B}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}.\)
\(Q.2.(Lxix)\) দুইটি ভেক্টর \(\underline{a}\) এবং \(\underline{b}\) এর স্কেলার বা ডট গুণনের সংজ্ঞা দাও। প্রমাণ কর যে, \(\hat{i}.\hat{j}=0,\) \(\hat{i}.\hat{i}=1; \) যেখানে \(\hat{i}\) ও \(\hat{j}\) যথাক্রমে \(x\) ও \(y\) অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর।
\(Q.2.(Lxx)\) মূলবিন্দু \(O\) এর সাপেক্ষে \(P(2,-1,7)\) এবং \(Q(-4,5,0)\) হলে, \(|\overrightarrow{PQ}|\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}; \ \pm{\frac{1}{3}(2\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k})}\)
\(Q.2.(Lxxi)\) \(\overline{P}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{Q}=2\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}\) হলে দেখাও যে, \(\overline{P}\) এবং \(\overline{Q}\) পরস্পর সমান্তরাল।
\(Q.2.(Lxxii)\) \(\overline{P}=3\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\) এবং \(\overline{Q}=3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\) হলে দেখাও যে, \(\overline{P}-\overline{Q}\) ভেক্টরটি \(\overline{P}\) এবং \(\overline{Q}\) ভেক্টর দ্বারা গঠিত সমতলের উপর লম্ব ভেক্টরের সাথে লম্ব।
\(Q.2.(Lxxiii)\) \(\overline{a}=2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{d}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\) হলে, \(\overline{a}\) এবং \(\overline{d}\) যে সমতলে অবস্থিত তার উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{\sqrt{195}}(5\hat{i}-7\hat{j}-11\hat{k})}\)
\(Q.2.(Lxxiv)\) একটি একক ভেক্টর নির্ণয় কর যা \(\overline{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}\) ভেক্টরদ্বয়ের সমতলীয় এবং \(\overline{a}\) ভেক্টরের উপর লম্ব।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{\sqrt{6}}(2\hat{i}-\hat{j}-\hat{k})}\)
\(Q.2.(Lxxv)\) \(\overline{A}=2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\) হলে, \(\overline{A}+\overline{B}\) এবং \(\overline{A}\times\overline{B}\) ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(90^{o}\)
\(Q.2.(Lxxvi)\) \(\overrightarrow{RS}=-2\hat{i}-5\hat{k}\) এবং \(\overrightarrow{RT}=\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}\) হলে, \(\angle{RST}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(26.29^{o}\)
\(Q.2.(Lxxvii)\) \(\overline{b}=\hat{i}-2\hat{j}, \ \overline{c}=\hat{i}+p\hat{j}+2\hat{k}\) এবং \(\overline{b}\) ও \(\overline{c}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(45^{o}\) হলে, \(p\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{4\pm{\sqrt{85}}}{3}\)
\(Q.2.(Lxxviii)\) \(\overline{A}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}, \ \overline{B}=3\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \ \overline{C}=5\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{D}=-\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}\) হলে, \(\overrightarrow{AB}\) এর উপর \(\overrightarrow{BC}\) এর অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(0\)
\(Q.2.(Lxxix)\) \(\overline{A}=2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}\) এর উপর \(\overline{B}=2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) এর অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{6}{\sqrt{14}}\)
\(Q.2.(Lxxx)\) \(\overline{A}=3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=\hat{i}-4\hat{j}-3\hat{k}\) হলে, \(\overline{A}\) বরাবর \(\overline{B}\) এর উপাংশ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\frac{23}{49}(3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k})\)
\(Q.2.(Lxxxi)\) \(\overline{a}=2\hat{i}-3\hat{j}+6\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=2\hat{i}-6\hat{j}+\hat{k}\) হলে, \(\overline{a}\) ভেক্টরের উপর \(\overline{b}\) ভেক্টরের অভিক্ষেপ ও \(\overline{a}\) ভেক্টর বরাবর \(\overline{b}\)ভেক্টরের উপাংশ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4; \ \frac{4}{7}(2\hat{i}-3\hat{j}+6\hat{k})\)
\(Q.2.(Lxxxii)\) \(\overline{P}=\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{Q}=2\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}\) হলে, \((\overline{P}+\overline{Q})\) ভেক্টর বরাবর \(\overline{Q}\) ভেক্টরের উপাংশ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{11}{14}(3\hat{i}-\hat{j}-2\hat{k})\)
\(Q.2.(Lxxxiii)\) \(\overline{A}=2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}, \ \overline{B}=\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}, \ \overline{C}=\hat{i}+b\hat{j}+3\hat{k}\) এবং \(\overline{A}\) ভেক্টর বরাবর \(\overline{B}\) ভেক্টরের উপাংশ \(\overline{C}\) ভেক্টরের সাথে লম্ব হলে, \(b\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}\)
\(Q.2.(Lxxxiv)\) \(\overline{A}=2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) দ্বারা গঠিত সমতলের উপর লম্ব একক ভেক্টরটি \(a\) এর কোন মাণের জন্য \(\overline{C}=a\hat{i}-7\hat{j}+10\hat{k}\) এর উপর লম্ব হবে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3\)
\(Q.2.(Lxxxv)\) কোনো ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(\overline{a}=2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k},\) \(\overline{b}=\hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=3\hat{i}-4\hat{j}-4\hat{k}\) হলে, দেখাও যে এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
\(Q.2.(Lxxxvi)\) ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, \(A(-11,8,4),\) \(B(-1,-7,-1)\) এবং \(C(9,-2,4)\) বিন্দুত্রয় একটি সমকোণী ত্রিভুজ উৎপন্ন করে।
\(Q.2.(Lxxxvii)\) \(\overline{A}=\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=4\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\) হলে, \(2\overline{A}+\overline{B}\) ও \(6\overline{A}-3\overline{B}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(6\hat{i}+4\hat{j}, \ -6\hat{i}+24\hat{j}-24\hat{k}\)
\(Q.2.(Lxxxviii)\) \(\overline{A}=\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=4\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\) হলে, \(|3\overline{A}+2\overline{B}|\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\sqrt{150}\)
\(Q.2.(Lxxxix)\) \(\overline{A}=3\hat{i}+2\hat{j},\) \(\overline{B}=-\hat{i}+5\hat{j}\) এবং \(\overline{C}=8\hat{i}-3\hat{j}\) হলে, \(\overline{A}-3\overline{B}\) ও \(3\overline{A}-7\overline{C}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(6\hat{i}-13\hat{j}; \ -47\hat{i}+27\hat{j}\)
\(Q.2.(xC)\) \(\overline{A}=\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=4\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\) হলে, \((2\overline{A}-\overline{B}).(6\overline{A}+3\overline{B})\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(60\)
\(Q.2.(xCi)\) \(\overline{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k},\) \(\overline{b}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\) হলে, \((\overline{a}.\overline{b})+(\overline{b}.\overline{c})+(\overline{c}.\overline{a})\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1\)
\(Q.2.(xCii)\) \(\overrightarrow{OA}=2\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=4\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}\) হলে, \(|\overrightarrow{AB}|\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2\sqrt{19}\)
\(Q.2.(xCiii)\) \(\underline{a}=\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}\) এবং \(\underline{b}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\) হলে, \(2\underline{a}+\underline{b}\) এবং \(\underline{a}+2\underline{b}\) ভেক্টরের অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{\left(\frac{31}{50}\right)}\)
\(Q.2.(xCiv)\) \(\overline{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) ও \(\overline{b}=\sqrt{3}\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}\) হলে, \(\overline{b}\) এর উপর \(\overline{a}\) এর অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{3}+1}{4}\)
\(Q.2.(xCv)\) \(\overline{P}=5\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}\) ভেক্টরের উপর \(\overline{Q}=2\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}\) ভেক্টরের অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{3}{\sqrt{38}}\)
\(Q.2.(xCvi)\) \(\underline{a}=\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টরের উপর \(\underline{b}=2\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}\) ভেক্টরের অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{10}{\sqrt{6}}\)
\(Q.2.(xCvii)\) \(\overline{B}=2\hat{i}+10\hat{j}-11\hat{k}\) ভেক্টর বরাবর \(\overline{A}=2\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টরের অংশক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{13}{225}(2\hat{i}+10\hat{j}-11\hat{k})\)
\(Q.2.(xCviii)\) মূলবিন্দু \(O\) এর সাপেক্ষে \(A(2,-1,7)\) এবং \(B(-4,5,0)\) হলে, \(\overrightarrow{AB}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-6\hat{i}+6\hat{j}-7\hat{k}\)
\(Q.2.(xCix)\) যদি \(A(1,1,4)\) আদি বিন্দু এবং \(B(3,4,-2)\) প্রান্ত বিন্দু হয়, তবে \(\overrightarrow{AB}\) ভেক্টর এবং তার মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2\hat{i}+3\hat{j}-6\hat{k}, \ 7\)
\(Q.2.(C)\) \(\overline{A}=3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=6\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}\) হলে, \(\overline{A}.\overline{B}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(26\)
\(Q.2.(Ci)\) যদি \(2\hat{i}+\lambda\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}\) ভেক্টর দুইটি পরস্পর লম্ব হয়, তবে \(\lambda\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\lambda=\frac{5}{2}\)
\(Q.2.(Cii)\) \((2, 3, 1)\) এবং \((3, 1, -2)\) বিন্দুদ্বয়ের অবস্থান ভেক্টর দুইটির স্কেলার গুণফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(7\)
\(Q.2.(xLix)\) দেখাও যে, \(\overline{A}=8\hat{i}+\hat{j}-6\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=4\hat{i}-2\hat{j}+5\hat{k}\) ভেক্টর দুইটি পরস্পর লম্ব।
\(Q.2.(L)\) \(\overline{A}=\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\) হলে দেখাও যে, \(\overline{A}+\overline{B}\) এবং \(\overline{A}-\overline{B}\) ভেক্টর দুইটি পরস্পর লম্ব।
\(Q.2.(Li)\) দেখাও যে, \(\overline{a}=3\hat{i}+2\hat{j}-6\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=4\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টর দুইটি পরস্পর লম্ব। এ ভেক্টর দুইটির উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{\sqrt{1274}}(-16\hat{i}-27\hat{j}-17\hat{k})}\)
\(Q.2.(Lii)\) \(A\) ও \(B\) বিন্দু দুইটির অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(2\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k}\) এবং \(4\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}\) হলে \(\overrightarrow{AB}\) এর দৈর্ঘ্য এবং \(\overrightarrow{AB}\) বরাবর একটি একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(|\overrightarrow{AB}|=2\sqrt{19}; \ \frac{1}{\sqrt{19}}(\hat{i}-3\hat{j}+3\hat{k})\)
\(Q.2.(Liii)\) \(a\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(2a\hat{i}-a\hat{j}-4\hat{k}\) ভেক্টর দুইটি পরস্পর লম্ব হলে \(a\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a=1, \ a=-2\)
\(Q.2.(Liv)\) \(2\hat{i}+a\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(4\hat{i}-2\hat{j}-2\hat{k}\) ভেক্টর দুইটি পরস্পর লম্ব হলে \(a\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3\)
\(Q.2.(Lv)\) \(\overline{a}=2\hat{i}+y\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=4\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}\) ভেক্টর দুইটি পরস্পর লম্ব হলে \(y\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{7}{2}\)
\(Q.2.(Lvi)\) দেখাও যে, \(\overline{a}=3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k},\) \(\overline{b}=\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=2\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}\) ভেক্টর তিনটি সমতলীয়।
\(Q.2.(Lvii)\) \(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k},\) \(2\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\lambda \hat{i}-\hat{j}+\lambda \hat{k}\) ভেক্টর তিনটি সমতলীয় হলে \(\lambda\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\lambda=1\)
\(Q.2.(Lviii)\) দেখাও যে, \(\overline{a}=3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k},\) \(\overline{b}=\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=2\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}\) ভেক্টর তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে।
\(Q.2.(Lix)\) তিনটি বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k},\) \(-\hat{i}-\hat{j}+8\hat{k}\) এবং \(-4\hat{i}+4\hat{j}+6\hat{k}\) হলে দেখাও যে, বিন্দু তিনটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ গঠন করে।
\(Q.2.(Lx)\) ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, \(A(1,-1,-1)\) \(B(3,3,1)\) এবং \(C(-1,4,4)\) বিন্দু তিনটি একটি গোলকের উপর অবস্থিত যার কেন্দ্র \(P(0,1,2).\)
\(Q.2.(Lxi)\) \(A(0,1,2)\) \(B(-1,3,0)\) এবং \(C(1,-1,1)\) বিন্দু তিনটি অবস্থান ভেক্টর নির্ণয় কর এবং \(|\overrightarrow{AB}|\) ও \(|\overrightarrow{AC}|\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\hat{j}+2\hat{k}, \ -\hat{i}+3\hat{j}, \ \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}; \ 3, \ \sqrt{6}\)
\(Q.2.(Lxii)\) \(\overline{A}=2\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}\) হলে, \(\overline{A}\times{\overline{B}}\) হতে তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\sin^{-1}{\left(\frac{\sqrt{13}}{3\sqrt{7}}\right)}\)
\(Q.2.(Lxiii)\) \(\overline{A}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=3\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}\) হলে, \(|\overline{A}\times{\overline{B}}|\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(6\sqrt{5}\)
\(Q.2.(Lxiv)\) \((a\hat{i}+b\hat{j}+\hat{k})\times{(2\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})}=\hat{i}-\hat{j}\) হলে, \(a\) ও \(b\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(a=1, \ b=1\)
\(Q.2.(Lxv)\) \(\overline{A}=3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k},\) \(\overline{B}=2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{C}=\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}\) হলে, \(\overline{A}\times{(\overline{B}\times{\overline{C}})}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(17\hat{i}-19\hat{j}+16\hat{k}\)
\(Q.2.(Lxvi)\) \(\underline{a}=2\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}\) এবং \(\underline{b}=-\hat{i}+2\hat{j}-7\hat{k}\) হলে, \(5\underline{a}\times{\underline{b}}\) এবং \(\frac{\underline{b}}{|\underline{a}|}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(55\hat{i}+45\hat{j}+5\hat{k}, \ \frac{1}{\sqrt{38}}(-\hat{i}+2\hat{j}-7\hat{k})\)
\(Q.2.(Lxvii)\) যে কোনো দুইটি ভেক্টর \(\underline{A}\) এবং \(\underline{B}\) এর জন্য প্রমাণ কর যে, \(\underline{A}.\underline{B}=\underline{B}.\underline{A}\) এবং \(\underline{A}\times{\underline{B}}=-\underline{B}\times{\underline{A}}.\)
\(Q.2.(Lxviii)\) প্রমাণ কর যে, \(\underline{A}\times{\underline{B}}=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{array}\right|,\) যেখানে \(\underline{A}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k},\) \(\underline{B}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}.\)
\(Q.2.(Lxix)\) দুইটি ভেক্টর \(\underline{a}\) এবং \(\underline{b}\) এর স্কেলার বা ডট গুণনের সংজ্ঞা দাও। প্রমাণ কর যে, \(\hat{i}.\hat{j}=0,\) \(\hat{i}.\hat{i}=1; \) যেখানে \(\hat{i}\) ও \(\hat{j}\) যথাক্রমে \(x\) ও \(y\) অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর।
\(Q.2.(Lxx)\) মূলবিন্দু \(O\) এর সাপেক্ষে \(P(2,-1,7)\) এবং \(Q(-4,5,0)\) হলে, \(|\overrightarrow{PQ}|\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}; \ \pm{\frac{1}{3}(2\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k})}\)
\(Q.2.(Lxxi)\) \(\overline{P}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{Q}=2\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}\) হলে দেখাও যে, \(\overline{P}\) এবং \(\overline{Q}\) পরস্পর সমান্তরাল।
\(Q.2.(Lxxii)\) \(\overline{P}=3\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\) এবং \(\overline{Q}=3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\) হলে দেখাও যে, \(\overline{P}-\overline{Q}\) ভেক্টরটি \(\overline{P}\) এবং \(\overline{Q}\) ভেক্টর দ্বারা গঠিত সমতলের উপর লম্ব ভেক্টরের সাথে লম্ব।
\(Q.2.(Lxxiii)\) \(\overline{a}=2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{d}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\) হলে, \(\overline{a}\) এবং \(\overline{d}\) যে সমতলে অবস্থিত তার উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{\sqrt{195}}(5\hat{i}-7\hat{j}-11\hat{k})}\)
\(Q.2.(Lxxiv)\) একটি একক ভেক্টর নির্ণয় কর যা \(\overline{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}\) ভেক্টরদ্বয়ের সমতলীয় এবং \(\overline{a}\) ভেক্টরের উপর লম্ব।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{\sqrt{6}}(2\hat{i}-\hat{j}-\hat{k})}\)
\(Q.2.(Lxxv)\) \(\overline{A}=2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\) হলে, \(\overline{A}+\overline{B}\) এবং \(\overline{A}\times\overline{B}\) ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(90^{o}\)
\(Q.2.(Lxxvi)\) \(\overrightarrow{RS}=-2\hat{i}-5\hat{k}\) এবং \(\overrightarrow{RT}=\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}\) হলে, \(\angle{RST}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(26.29^{o}\)
\(Q.2.(Lxxvii)\) \(\overline{b}=\hat{i}-2\hat{j}, \ \overline{c}=\hat{i}+p\hat{j}+2\hat{k}\) এবং \(\overline{b}\) ও \(\overline{c}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(45^{o}\) হলে, \(p\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{4\pm{\sqrt{85}}}{3}\)
\(Q.2.(Lxxviii)\) \(\overline{A}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}, \ \overline{B}=3\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \ \overline{C}=5\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{D}=-\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}\) হলে, \(\overrightarrow{AB}\) এর উপর \(\overrightarrow{BC}\) এর অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(0\)
\(Q.2.(Lxxix)\) \(\overline{A}=2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}\) এর উপর \(\overline{B}=2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) এর অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{6}{\sqrt{14}}\)
\(Q.2.(Lxxx)\) \(\overline{A}=3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=\hat{i}-4\hat{j}-3\hat{k}\) হলে, \(\overline{A}\) বরাবর \(\overline{B}\) এর উপাংশ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\frac{23}{49}(3\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k})\)
\(Q.2.(Lxxxi)\) \(\overline{a}=2\hat{i}-3\hat{j}+6\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=2\hat{i}-6\hat{j}+\hat{k}\) হলে, \(\overline{a}\) ভেক্টরের উপর \(\overline{b}\) ভেক্টরের অভিক্ষেপ ও \(\overline{a}\) ভেক্টর বরাবর \(\overline{b}\)ভেক্টরের উপাংশ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4; \ \frac{4}{7}(2\hat{i}-3\hat{j}+6\hat{k})\)
\(Q.2.(Lxxxii)\) \(\overline{P}=\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{Q}=2\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}\) হলে, \((\overline{P}+\overline{Q})\) ভেক্টর বরাবর \(\overline{Q}\) ভেক্টরের উপাংশ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{11}{14}(3\hat{i}-\hat{j}-2\hat{k})\)
\(Q.2.(Lxxxiii)\) \(\overline{A}=2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}, \ \overline{B}=\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}, \ \overline{C}=\hat{i}+b\hat{j}+3\hat{k}\) এবং \(\overline{A}\) ভেক্টর বরাবর \(\overline{B}\) ভেক্টরের উপাংশ \(\overline{C}\) ভেক্টরের সাথে লম্ব হলে, \(b\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{3}\)
\(Q.2.(Lxxxiv)\) \(\overline{A}=2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) দ্বারা গঠিত সমতলের উপর লম্ব একক ভেক্টরটি \(a\) এর কোন মাণের জন্য \(\overline{C}=a\hat{i}-7\hat{j}+10\hat{k}\) এর উপর লম্ব হবে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3\)
\(Q.2.(Lxxxv)\) কোনো ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(\overline{a}=2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k},\) \(\overline{b}=\hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=3\hat{i}-4\hat{j}-4\hat{k}\) হলে, দেখাও যে এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
\(Q.2.(Lxxxvi)\) ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, \(A(-11,8,4),\) \(B(-1,-7,-1)\) এবং \(C(9,-2,4)\) বিন্দুত্রয় একটি সমকোণী ত্রিভুজ উৎপন্ন করে।
\(Q.2.(Lxxxvii)\) \(\overline{A}=\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=4\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\) হলে, \(2\overline{A}+\overline{B}\) ও \(6\overline{A}-3\overline{B}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(6\hat{i}+4\hat{j}, \ -6\hat{i}+24\hat{j}-24\hat{k}\)
\(Q.2.(Lxxxviii)\) \(\overline{A}=\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=4\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\) হলে, \(|3\overline{A}+2\overline{B}|\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\sqrt{150}\)
\(Q.2.(Lxxxix)\) \(\overline{A}=3\hat{i}+2\hat{j},\) \(\overline{B}=-\hat{i}+5\hat{j}\) এবং \(\overline{C}=8\hat{i}-3\hat{j}\) হলে, \(\overline{A}-3\overline{B}\) ও \(3\overline{A}-7\overline{C}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(6\hat{i}-13\hat{j}; \ -47\hat{i}+27\hat{j}\)
\(Q.2.(xC)\) \(\overline{A}=\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=4\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\) হলে, \((2\overline{A}-\overline{B}).(6\overline{A}+3\overline{B})\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(60\)
\(Q.2.(xCi)\) \(\overline{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k},\) \(\overline{b}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\) হলে, \((\overline{a}.\overline{b})+(\overline{b}.\overline{c})+(\overline{c}.\overline{a})\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1\)
\(Q.2.(xCii)\) \(\overrightarrow{OA}=2\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=4\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}\) হলে, \(|\overrightarrow{AB}|\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2\sqrt{19}\)
\(Q.2.(xCiii)\) \(\underline{a}=\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}\) এবং \(\underline{b}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\) হলে, \(2\underline{a}+\underline{b}\) এবং \(\underline{a}+2\underline{b}\) ভেক্টরের অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{\left(\frac{31}{50}\right)}\)
\(Q.2.(xCiv)\) \(\overline{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) ও \(\overline{b}=\sqrt{3}\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}\) হলে, \(\overline{b}\) এর উপর \(\overline{a}\) এর অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{3}+1}{4}\)
\(Q.2.(xCv)\) \(\overline{P}=5\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}\) ভেক্টরের উপর \(\overline{Q}=2\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}\) ভেক্টরের অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{3}{\sqrt{38}}\)
\(Q.2.(xCvi)\) \(\underline{a}=\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টরের উপর \(\underline{b}=2\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}\) ভেক্টরের অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{10}{\sqrt{6}}\)
\(Q.2.(xCvii)\) \(\overline{B}=2\hat{i}+10\hat{j}-11\hat{k}\) ভেক্টর বরাবর \(\overline{A}=2\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টরের অংশক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{13}{225}(2\hat{i}+10\hat{j}-11\hat{k})\)
\(Q.2.(xCviii)\) মূলবিন্দু \(O\) এর সাপেক্ষে \(A(2,-1,7)\) এবং \(B(-4,5,0)\) হলে, \(\overrightarrow{AB}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-6\hat{i}+6\hat{j}-7\hat{k}\)
\(Q.2.(xCix)\) যদি \(A(1,1,4)\) আদি বিন্দু এবং \(B(3,4,-2)\) প্রান্ত বিন্দু হয়, তবে \(\overrightarrow{AB}\) ভেক্টর এবং তার মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2\hat{i}+3\hat{j}-6\hat{k}, \ 7\)
\(Q.2.(C)\) \(\overline{A}=3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=6\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}\) হলে, \(\overline{A}.\overline{B}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(26\)
\(Q.2.(Ci)\) যদি \(2\hat{i}+\lambda\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}\) ভেক্টর দুইটি পরস্পর লম্ব হয়, তবে \(\lambda\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\lambda=\frac{5}{2}\)
\(Q.2.(Cii)\) \((2, 3, 1)\) এবং \((3, 1, -2)\) বিন্দুদ্বয়ের অবস্থান ভেক্টর দুইটির স্কেলার গুণফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(7\)
\(Q.2.(Lxx)\) মূলবিন্দু \(O\) এর সাপেক্ষে \(P(2,-1,7)\) এবং \(Q(-4,5,0)\) হলে, \(|\overrightarrow{PQ}|\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(11\)
উত্তরঃ \(11\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, মূলবিন্দু \(O\) এর সাপেক্ষে \(P(2,-1,7)\) এবং \(Q(-4,5,0)\)
\(\therefore \overrightarrow{OP}=2\hat{i}-\hat{j}+7\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{OQ}=-4\hat{i}+5\hat{j}\)
এখন, \(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}\) ➜ \(\triangle{OPQ}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}\)
\(=-4\hat{i}+5\hat{j}-2\hat{i}+\hat{j}-7\hat{k}\) ➜ \(\because \overrightarrow{OQ}=-4\hat{i}+5\hat{j}\)
এবং \(\overrightarrow{OP}=2\hat{i}-\hat{j}+7\hat{k}\)
\(=-6\hat{i}+6\hat{j}-7\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{PQ}=-6\hat{i}+6\hat{j}-7\hat{k}\)
\(\therefore |\overrightarrow{PQ}|=|-6\hat{i}+6\hat{j}-7\hat{k}|\)
\(=\sqrt{(-6)^2+6^2+(-7)^2}\) ➜ \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
\(=\sqrt{36+36+49}\)
\(=\sqrt{121}\)
\(=11\)
\(\therefore |\overrightarrow{PQ}|=11\)
\(Q.2.(xCii)\) \(\overrightarrow{OA}=2\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=4\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}\) হলে, \(|\overrightarrow{AB}|\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2\sqrt{19}\)
উত্তরঃ \(2\sqrt{19}\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, \(\overrightarrow{OA}=2\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{OB}=4\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}\)
\(A, B\) যোগ করি,
এখন, \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}\) ➜ \(\triangle{OAB}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\)
\(=4\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}-(2\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k})\) ➜ \(\because \overrightarrow{OB}=4\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{OA}=2\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k}\)
\(=4\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}-2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}=2\hat{i}-6\hat{j}+6\hat{k}\)
\(\therefore |\overrightarrow{AB}|=|2\hat{i}-6\hat{j}+6\hat{k}|\)
\(=\sqrt{2^2+(-6)^2+6^2}\) ➜ \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
\(=\sqrt{4+36+36}\)
\(=\sqrt{76}\)
\(=\sqrt{4\times{19}}\)
\(=2\sqrt{19}\)
\(Q.2.(xCviii)\) মূলবিন্দু \(O\) এর সাপেক্ষে \(A(2,-1,7)\) এবং \(B(-4,5,0)\) হলে, \(\overrightarrow{AB}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-6\hat{i}+6\hat{j}-7\hat{k}\)
উত্তরঃ \(-6\hat{i}+6\hat{j}-7\hat{k}\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, মূলবিন্দু \(O\) এর সাপেক্ষে \(A(2,-1,7)\) এবং \(B(-4,5,0)\)
\(\therefore \overrightarrow{OA}=2\hat{i}-\hat{j}+7\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{OB}=-4\hat{i}+5\hat{j}\)
\(A, B\) যোগ করি,
এখন, \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}\) ➜ \(\triangle{OAB}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\)
\(=-4\hat{i}+5\hat{j}-(2\hat{i}-\hat{j}+7\hat{k})\) ➜ \(\because \overrightarrow{OB}=-4\hat{i}+5\hat{j}\)
এবং \(\overrightarrow{OA}=2\hat{i}-\hat{j}+7\hat{k}\)
\(=-4\hat{i}+5\hat{j}-2\hat{i}+\hat{j}-7\hat{k}\)
\(=-6\hat{i}+6\hat{j}-7\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}=-6\hat{i}+6\hat{j}-7\hat{k}\)
\(Q.2.(xCix)\) যদি \(A(1,1,4)\) আদি বিন্দু এবং \(B(3,4,-2)\) প্রান্ত বিন্দু হয়, তবে \(\overrightarrow{AB}\) ভেক্টর এবং তার মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2\hat{i}+3\hat{j}-6\hat{k}, \ 7\)
উত্তরঃ \(2\hat{i}+3\hat{j}-6\hat{k}, \ 7\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, \(A(1,1,4)\) আদি বিন্দু এবং \(B(3,4,-2)\) প্রান্ত বিন্দু।
ধরি,
মূলবিন্দু \(O\)
\(\therefore \overrightarrow{OA}=\hat{i}+\hat{j}+4\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{OB}=3\hat{i}+4\hat{j}-2\hat{k}\)
\(A, B\) যোগ করি,
এখন, \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}\) ➜ \(\triangle{OAB}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\)
\(=3\hat{i}+4\hat{j}-2\hat{k}-(\hat{i}+\hat{j}+4\hat{k})\) ➜ \(\because \overrightarrow{OB}=3\hat{i}+4\hat{j}-2\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{OA}=\hat{i}+\hat{j}+4\hat{k}\)
\(=3\hat{i}+4\hat{j}-2\hat{k}-\hat{i}-\hat{j}-4\hat{k})\)
\(=2\hat{i}+3\hat{j}-6\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}=2\hat{i}+3\hat{j}-6\hat{k}\)
এখন, \(|\overrightarrow{AB}|=|2\hat{i}+3\hat{j}-6\hat{k}|\)
\(=\sqrt{2^2+3^2+(-6)^2}\) ➜ \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
\(=\sqrt{4+9+36}\)
\(=\sqrt{49}\)
\(=7\)
\(\therefore |\overrightarrow{AB}|=7\)
অধ্যায় \(11\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(Q.3.(i)\) \(\overrightarrow{OA}=2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=\hat{i}+4\hat{j}+3\hat{k}\) হলে, \(OAB\) ত্রিভুজটির কোণ তিনটি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\angle{AOB}=\cos^{-1}{\left(-\frac{13}{\sqrt{364}}\right)}, \ \angle{OAB}=\cos^{-1}{\left(\frac{27}{\sqrt{924}}\right)},\) \( \angle{OBA}=\cos^{-1}{\left(\frac{39}{\sqrt{1716}}\right)}\)
\(Q.3.(ii)\) একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু \(\overline{A}=3\hat{i}+6\hat{j}-2\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=4\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}\) ভেক্টর দ্বারা নির্দেশিত। ত্রিভুজটির কোণ তিনটি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{\left(\frac{7}{5\sqrt{3}}\right)}, \ \cos^{-1}{\left(\frac{\sqrt{26}}{5\sqrt{3}}\right)}, \ 90^{o}\)
\(Q.3.(iii)\) \(\overline{A}=2\hat{i}+4\hat{j}-5\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}\) হলে, ভেক্টর দুইটির লব্ধির সমান্তরালে একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{7}(3\hat{i}+6\hat{j}-2\hat{k})}\)
\(Q.3.(iv)\) দেখাও যে, \(\overline{a}=4\hat{i}+5\hat{j}+\hat{k},\) \(\overline{b}=2\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=3\hat{i}+6\hat{j}-3\hat{k}\) অবস্থান ভেক্টর তিনটি একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ গঠন করে।
\(Q.3.(v)\) \(\overline{A}=\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=2\hat{i}-3\hat{j}+6\hat{k}\) হলে, \(\overline{A}\) ভেক্টরের উপর \(\overline{B}\) ভেক্টরের লম্ব অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{8}{3}\)
\(Q.3.(vi)\) \(\overline{a}=7\hat{i}-6\hat{j}+6\hat{k}\) ভেক্টরের দিক বরাবর \(\overline{b}=\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}\) ভেক্টরের অংশক নির্ণয় কর। আবার, \(b\) বরাবর \(a\) এর অংশক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\frac{17}{121}(7\hat{i}-6\hat{j}+6\hat{k}); \ -\frac{17}{9}(\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k})\)
\(Q.3.(vii)\) \(F=7\hat{i}-4\hat{j}+2\hat{k}\) নিউটন বলের ক্রিয়ার ফলে একটি বস্তু \((2,4,-1)\) বিন্দু থেকে \((4,6,-3)\) বিন্দুতে সরে যায়। কৃত কাজের পরিমাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2\) জুল।
\(Q.3.(viii)\) \(A(5,2,-3),\) \(B(-3,-2,1)\)\(C(3,-2,11)\) এবং \(D(-1,-4,13)\) হলে, ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, \(\overrightarrow{AB}\) ও \(\overrightarrow{CD}\) সমান্তরাল।
\(Q.3.(ix)\) \(a\) এর মাণ কত হলে, \(\overline{P}=2\hat{i}+a\hat{j}-3\hat{k}\) এবং \(\overline{Q}=6\hat{i}-3\hat{j}-9\hat{k}\) পরস্পরের সমান্তরাল হবে।
উত্তরঃ \(a=-1\)
উত্তরঃ \(\angle{AOB}=\cos^{-1}{\left(-\frac{13}{\sqrt{364}}\right)}, \ \angle{OAB}=\cos^{-1}{\left(\frac{27}{\sqrt{924}}\right)},\) \( \angle{OBA}=\cos^{-1}{\left(\frac{39}{\sqrt{1716}}\right)}\)
\(Q.3.(ii)\) একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু \(\overline{A}=3\hat{i}+6\hat{j}-2\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=4\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}\) ভেক্টর দ্বারা নির্দেশিত। ত্রিভুজটির কোণ তিনটি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{\left(\frac{7}{5\sqrt{3}}\right)}, \ \cos^{-1}{\left(\frac{\sqrt{26}}{5\sqrt{3}}\right)}, \ 90^{o}\)
\(Q.3.(iii)\) \(\overline{A}=2\hat{i}+4\hat{j}-5\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}\) হলে, ভেক্টর দুইটির লব্ধির সমান্তরালে একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{7}(3\hat{i}+6\hat{j}-2\hat{k})}\)
\(Q.3.(iv)\) দেখাও যে, \(\overline{a}=4\hat{i}+5\hat{j}+\hat{k},\) \(\overline{b}=2\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=3\hat{i}+6\hat{j}-3\hat{k}\) অবস্থান ভেক্টর তিনটি একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ গঠন করে।
\(Q.3.(v)\) \(\overline{A}=\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=2\hat{i}-3\hat{j}+6\hat{k}\) হলে, \(\overline{A}\) ভেক্টরের উপর \(\overline{B}\) ভেক্টরের লম্ব অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{8}{3}\)
\(Q.3.(vi)\) \(\overline{a}=7\hat{i}-6\hat{j}+6\hat{k}\) ভেক্টরের দিক বরাবর \(\overline{b}=\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}\) ভেক্টরের অংশক নির্ণয় কর। আবার, \(b\) বরাবর \(a\) এর অংশক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\frac{17}{121}(7\hat{i}-6\hat{j}+6\hat{k}); \ -\frac{17}{9}(\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k})\)
\(Q.3.(vii)\) \(F=7\hat{i}-4\hat{j}+2\hat{k}\) নিউটন বলের ক্রিয়ার ফলে একটি বস্তু \((2,4,-1)\) বিন্দু থেকে \((4,6,-3)\) বিন্দুতে সরে যায়। কৃত কাজের পরিমাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2\) জুল।
\(Q.3.(viii)\) \(A(5,2,-3),\) \(B(-3,-2,1)\)\(C(3,-2,11)\) এবং \(D(-1,-4,13)\) হলে, ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, \(\overrightarrow{AB}\) ও \(\overrightarrow{CD}\) সমান্তরাল।
\(Q.3.(ix)\) \(a\) এর মাণ কত হলে, \(\overline{P}=2\hat{i}+a\hat{j}-3\hat{k}\) এবং \(\overline{Q}=6\hat{i}-3\hat{j}-9\hat{k}\) পরস্পরের সমান্তরাল হবে।
উত্তরঃ \(a=-1\)
\(Q.3.(x)\) দেখাও যে, \(\overline{a}=3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k},\) \(\overline{b}=\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=2\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}\) ভেক্টরত্রয় একই সমতলে অবস্থিত।
\(Q.3.(xi)\) \(2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k},\) \(\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}\) এবং \(4\hat{i}-\hat{j}+\lambda \hat{k}\) ভেক্টর তিনটি সমতলীয় হলে, \(\lambda\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{3}{5}\)
\(Q.3.(xii)\) \(2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k}\) ভেক্টর দুইটির উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{\sqrt{35}}(3\hat{i}-\hat{j}-5\hat{k})}\)
\(Q.3.(xiii)\) এমন একটি একক ভেক্টর নির্ণয় কর যা \(\overline{a}=\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টর দুইটি দ্বারা সৃষ্ট সমতলের উপর লম্ব।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{3}(2\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k})}\)
\(Q.3.(xiv)\) প্রমাণ কর যে, \(|\overline{A}\times\overline{B}|^2+|\overline{A}.\overline{B}|^2=|\overline{A}|^2|\overline{B}|^2\)
\(Q.3.(xv)\) \(\hat{i}-2\hat{j}-2\hat{k},\) ভেক্টরটি \(y\) অক্ষের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{\left(-\frac{2}{3}\right)}\) ঘন একক।
\(Q.3.(xvi)\) \((1,-3,2)\) এবং \((3,-5,1)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ সরলরেখা স্থানাঙ্কের অক্ষত্রয়ের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{\left(\frac{2}{3}\right)}, \ \cos^{-1}{\left(-\frac{2}{3}\right)}, \ \cos^{-1}{\left(-\frac{1}{3}\right)}\)
\(Q.3.(xvii)\) \((3,2,-4)\) এবং \((1,-1,2)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ সরলরেখার দিক কোসাইন নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\frac{2}{7}, \ -\frac{3}{7}, \ \frac{6}{7}\) অথবা, \(\frac{2}{7}, \ \frac{3}{7}, \ -\frac{6}{7}\)
\(Q.3.(xviii)\) ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, \((4,-1,2), \ (0,-2,3)\) এবং \((1,-5,-1)\) বিন্দুত্রয় একটি গোলকের উপর অবস্থান করে যার কেন্দ্র \((2,-3,1);\) ঐ গোলকের ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3\) একক।
\(Q.3.(xix)\) \(\overline{A}=\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}, \ \overline{B}=\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{C}=2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\) হলে, দেখাও যে,
\((a) \ (\overline{A}+\overline{B})\times\overline{C}=\overline{A}\times\overline{C}+\overline{B}\times\overline{C}\)
\((b) \ \overline{A}\times(\overline{B}+\overline{C})=\overline{A}\times\overline{B}+\overline{A}\times\overline{C}\)
\((c) \ (\overline{A}+\overline{B}).\overline{C}=\overline{A}.\overline{C}+\overline{B}.\overline{C}\)
\((c) \ \overline{A}\times(\overline{B}\times\overline{C})=(\overline{A}.\overline{C})\overline{B}-(\overline{A}.\overline{B})\overline{C}\)
\(Q.3.(xi)\) \(2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k},\) \(\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}\) এবং \(4\hat{i}-\hat{j}+\lambda \hat{k}\) ভেক্টর তিনটি সমতলীয় হলে, \(\lambda\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{3}{5}\)
\(Q.3.(xii)\) \(2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k}\) ভেক্টর দুইটির উপর লম্ব একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{\sqrt{35}}(3\hat{i}-\hat{j}-5\hat{k})}\)
\(Q.3.(xiii)\) এমন একটি একক ভেক্টর নির্ণয় কর যা \(\overline{a}=\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টর দুইটি দ্বারা সৃষ্ট সমতলের উপর লম্ব।
উত্তরঃ \(\pm{\frac{1}{3}(2\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k})}\)
\(Q.3.(xiv)\) প্রমাণ কর যে, \(|\overline{A}\times\overline{B}|^2+|\overline{A}.\overline{B}|^2=|\overline{A}|^2|\overline{B}|^2\)
\(Q.3.(xv)\) \(\hat{i}-2\hat{j}-2\hat{k},\) ভেক্টরটি \(y\) অক্ষের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{\left(-\frac{2}{3}\right)}\) ঘন একক।
যঃ২০১৯ ।
\(Q.3.(xvi)\) \((1,-3,2)\) এবং \((3,-5,1)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ সরলরেখা স্থানাঙ্কের অক্ষত্রয়ের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{\left(\frac{2}{3}\right)}, \ \cos^{-1}{\left(-\frac{2}{3}\right)}, \ \cos^{-1}{\left(-\frac{1}{3}\right)}\)
\(Q.3.(xvii)\) \((3,2,-4)\) এবং \((1,-1,2)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ সরলরেখার দিক কোসাইন নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\frac{2}{7}, \ -\frac{3}{7}, \ \frac{6}{7}\) অথবা, \(\frac{2}{7}, \ \frac{3}{7}, \ -\frac{6}{7}\)
\(Q.3.(xviii)\) ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, \((4,-1,2), \ (0,-2,3)\) এবং \((1,-5,-1)\) বিন্দুত্রয় একটি গোলকের উপর অবস্থান করে যার কেন্দ্র \((2,-3,1);\) ঐ গোলকের ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3\) একক।
\(Q.3.(xix)\) \(\overline{A}=\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}, \ \overline{B}=\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{C}=2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\) হলে, দেখাও যে,
\((a) \ (\overline{A}+\overline{B})\times\overline{C}=\overline{A}\times\overline{C}+\overline{B}\times\overline{C}\)
\((b) \ \overline{A}\times(\overline{B}+\overline{C})=\overline{A}\times\overline{B}+\overline{A}\times\overline{C}\)
\((c) \ (\overline{A}+\overline{B}).\overline{C}=\overline{A}.\overline{C}+\overline{B}.\overline{C}\)
\((c) \ \overline{A}\times(\overline{B}\times\overline{C})=(\overline{A}.\overline{C})\overline{B}-(\overline{A}.\overline{B})\overline{C}\)
\(Q.3.(i)\) \(\overrightarrow{OA}=2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=\hat{i}+4\hat{j}+3\hat{k}\) হলে, \(OAB\) ত্রিভুজটির কোণ তিনটি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\angle{AOB}=\cos^{-1}{\left(-\frac{13}{\sqrt{364}}\right)}, \ \angle{OAB}=\cos^{-1}{\left(\frac{27}{\sqrt{924}}\right)},\) \( \angle{OBA}=\cos^{-1}{\left(\frac{39}{\sqrt{1716}}\right)}\)
উত্তরঃ \(\angle{AOB}=\cos^{-1}{\left(-\frac{13}{\sqrt{364}}\right)}, \ \angle{OAB}=\cos^{-1}{\left(\frac{27}{\sqrt{924}}\right)},\) \( \angle{OBA}=\cos^{-1}{\left(\frac{39}{\sqrt{1716}}\right)}\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, \(\overrightarrow{OA}=2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{OB}=\hat{i}+4\hat{j}+3\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{AO}=-2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{BO}=-\hat{i}-4\hat{j}-3\hat{k}\)
এখন, \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}\) ➜ \(\triangle{OAB}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\hat{i}+4\hat{j}+3\hat{k}-2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}\) ➜ \(\because \overrightarrow{OB}=\hat{i}+4\hat{j}+3\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{OA}=2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=-\hat{i}+7\hat{j}+4\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{BA}=\hat{i}-7\hat{j}-4\hat{k}\)
এখন, \(\angle{AOB}=\cos^{-1}{\left(\frac{\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{OB}|}\right)}\) ➜ \(\overrightarrow{OP}\) এবং \(\overrightarrow{OQ}\) দুইটি ভেক্টর হলে,
\(\therefore \angle{POQ}=\cos^{-1}{\left(\frac{\overrightarrow{OP}.\overrightarrow{OQ}}{|\overrightarrow{OP}| |\overrightarrow{OQ}|}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{(2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}).(\hat{i}+4\hat{j}+3\hat{k})}{|2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}| |\hat{i}+4\hat{j}+3\hat{k}|}\right)}\) ➜ \(\because \overrightarrow{OA}=2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{OB}=\hat{i}+4\hat{j}+3\hat{k}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{2\times 1+(-3)\times 4+(-1)\times 3}{\sqrt{2^2+(-3)^2+(-1)^2} \sqrt{1^2+4^2+3^2}}\right)}\) ➜ \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
আবার, \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
এবং \(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}).(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{2-12-3}{\sqrt{4+9+1} \sqrt{1+16+9}}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{-13}{\sqrt{14} \sqrt{26}}\right)}\)
\(\therefore \angle{AOB}=\cos^{-1}{\left(-\frac{13}{\sqrt{364}}\right)}\)
\(\angle{OAB}=\cos^{-1}{\left(\frac{\overrightarrow{AO}.\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AO}| |\overrightarrow{AB}|}\right)}\) ➜ \(\because \overrightarrow{OP}=2\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{OQ}=\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}\)
\(\therefore \angle{POQ}=\cos^{-1}{\left(\frac{\overrightarrow{OP}.\overrightarrow{OQ}}{|\overrightarrow{OP}| |\overrightarrow{OQ}|}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{(-2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}).(-\hat{i}+7\hat{j}+4\hat{k})}{|-2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}| |-\hat{i}+7\hat{j}+4\hat{k}|}\right)}\) ➜ \(\because \overrightarrow{AO}=-2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{AB}=-\hat{i}+7\hat{j}+4\hat{k}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{-2\times -1+3\times 7+1\times 4}{\sqrt{(-2)^2+3^2+1^2} \sqrt{(-1)^2+7^2+4^2}}\right)}\) ➜ \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
আবার, \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
এবং \(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}).(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{2+21+4}{\sqrt{4+9+1} \sqrt{1+49+16}}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{27}{\sqrt{14} \sqrt{66}}\right)}\)
\(\therefore \angle{OAB}=\cos^{-1}{\left(\frac{27}{\sqrt{924}}\right)}\)
এবং \(\angle{OBA}=\cos^{-1}{\left(\frac{\overrightarrow{BO}.\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{BO}| |\overrightarrow{BA}|}\right)}\) ➜ \(\because \overrightarrow{OP}=2\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{OQ}=\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}\)
\(\therefore \angle{POQ}=\cos^{-1}{\left(\frac{\overrightarrow{OP}.\overrightarrow{OQ}}{|\overrightarrow{OP}| |\overrightarrow{OQ}|}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{(-\hat{i}-4\hat{j}-3\hat{k}).(\hat{i}-7\hat{j}-4\hat{k})}{|-\hat{i}-4\hat{j}-3\hat{k}| |\hat{i}-7\hat{j}-4\hat{k}|}\right)}\) ➜ \(\because \overrightarrow{BO}=-\hat{i}-4\hat{j}-3\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{BA}=\hat{i}-7\hat{j}-4\hat{k}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{-1\times 1+(-4)\times -7+(-3)\times -4}{\sqrt{(-1)^2+(-4)^2+(-3)^2} \sqrt{1^2+(-7)^2+(-4)^2}}\right)}\) ➜ \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
আবার, \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
এবং \(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}).(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{-1+28+12}{\sqrt{1+16+9} \sqrt{1+49+16}}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{39}{\sqrt{26} \sqrt{66}}\right)}\)
\(\therefore \angle{OAB}=\cos^{-1}{\left(\frac{39}{\sqrt{1716}}\right)}\)
\(Q.3.(ii)\) একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু \(\overline{A}=3\hat{i}+6\hat{j}-2\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=4\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}\) ভেক্টর দ্বারা নির্দেশিত। ত্রিভুজটির কোণ তিনটি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{\left(\frac{7}{5\sqrt{3}}\right)}, \ \cos^{-1}{\left(\frac{\sqrt{26}}{5\sqrt{3}}\right)}, \ 90^{o}\)
উত্তরঃ \(\cos^{-1}{\left(\frac{7}{5\sqrt{3}}\right)}, \ \cos^{-1}{\left(\frac{\sqrt{26}}{5\sqrt{3}}\right)}, \ 90^{o}\)
সমাধানঃ
ধরি, \(PQR\) ত্রিভুজে, \(PQ\) ও \(PR\) বাহু দুইটি যথাক্রমে
\(\overline{A}=3\hat{i}+6\hat{j}-2\hat{k}\)
এবং \(\overline{B}=4\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}\) দ্বারা নির্দেশিত।
অর্থাৎ \(\overrightarrow{PQ}=3\hat{i}+6\hat{j}-2\hat{k}\) এবং \(\overrightarrow{PR}=4\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{QP}=-3\hat{i}-6\hat{j}+2\hat{k}\) এবং \(\overrightarrow{RP}=-4\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}\)
এখন, \(\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PR}\) ➜ \(\triangle{PQR}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PR}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PR}-\overrightarrow{PQ}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{QR}=4\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}-3\hat{i}-6\hat{j}+2\hat{k}\) ➜ \(\because \overrightarrow{PR}=4\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{PQ}=3\hat{i}+6\hat{j}-2\hat{k}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{QR}=\hat{i}-7\hat{j}+5\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{RQ}=-\hat{i}+7\hat{j}-5\hat{k}\)
এখন, \(\angle{QPR}=\cos^{-1}{\left(\frac{\overrightarrow{PR}.\overrightarrow{PQ}}{|\overrightarrow{PR}| |\overrightarrow{PQ}|}\right)}\) ➜ \(\overrightarrow{OA}\) এবং \(\overrightarrow{OB}\) দুইটি ভেক্টর হলে,
\(\therefore \angle{AOB}=\cos^{-1}{\left(\frac{\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{OB}|}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{\frac{(4\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}).(3\hat{i}+6\hat{j}-2\hat{k})}{|4\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}| |3\hat{i}+6\hat{j}-2\hat{k}|}\right\}}\) ➜ \(\because \overrightarrow{PR}=4\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{PQ}=3\hat{i}+6\hat{j}-2\hat{k}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{\frac{4\times 3+(-1)\times 6+3\times -2}{\sqrt{4^2+(-1)^2+3^2} \sqrt{3^2+6^2+(-2)^2}}\right\}}\) ➜ \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
এবং \(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}).(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\)
আবার, \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{12-6-6}{\sqrt{16+1+9} \sqrt{9+36+4}}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{0}{\sqrt{26} \sqrt{49}}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{0}\)
\(=90^{o}\)
\(\therefore \angle{QPR}=90^{o}\)
\(\angle{PQR}=\cos^{-1}{\left(\frac{\overrightarrow{QP}.\overrightarrow{QR}}{|\overrightarrow{QP}| |\overrightarrow{QR}|}\right)}\) ➜ \(\overrightarrow{OA}\) এবং \(\overrightarrow{OB}\) দুইটি ভেক্টর হলে,
\(\therefore \angle{AOB}=\cos^{-1}{\left(\frac{\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{OB}|}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{\frac{(-3\hat{i}-6\hat{j}+2\hat{k}).(\hat{i}-7\hat{j}+5\hat{k})}{|-3\hat{i}-6\hat{j}+2\hat{k}| |\hat{i}-7\hat{j}+5\hat{k}|}\right\}}\) ➜ \(\because \overrightarrow{QP}=-3\hat{i}-6\hat{j}+2\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{QR}=\hat{i}-7\hat{j}+5\hat{k}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{\frac{-3\times 1+(-6)\times -7+2\times 5}{\sqrt{(-3)^2+(-6)^2+2^2} \sqrt{1^2+(-7)^2+5^2}}\right\}}\) ➜ \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
এবং \(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}).(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\)
আবার, \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{-3+42+10}{\sqrt{9+36+4} \sqrt{1+49+25}}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{49}{\sqrt{49} \sqrt{75}}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{49}{7 \sqrt{25\times 3}}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{7}{5\sqrt{3}}\right)}\)
\(\therefore \angle{PQR}=\cos^{-1}{\left(\frac{7}{5\sqrt{3}}\right)}\)
এবং \(\angle{PRQ}=\cos^{-1}{\left(\frac{\overrightarrow{RP}.\overrightarrow{RQ}}{|\overrightarrow{RP}| |\overrightarrow{RQ}|}\right)}\) ➜ \(\overrightarrow{OA}\) এবং \(\overrightarrow{OB}\) দুইটি ভেক্টর হলে,
\(\therefore \angle{AOB}=\cos^{-1}{\left(\frac{\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{OB}|}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{\frac{(-4\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}).(-\hat{i}+7\hat{j}-5\hat{k})}{|-4\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}| |-\hat{i}+7\hat{j}-5\hat{k}|}\right\}}\) ➜ \(\because \overrightarrow{RP}=-4\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{RQ}=-\hat{i}+7\hat{j}-5\hat{k}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{\frac{-4\times -1+1\times 7+(-3)\times -5}{\sqrt{(-4)^2+1^2+(-3)^2} \sqrt{(-1)^2+7^2+(-5)^2}}\right\}}\) ➜ \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
এবং \(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}).(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\)
আবার, \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{4+7+15}{\sqrt{16+1+9} \sqrt{1+49+25}}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{26}{\sqrt{26}\sqrt{75}}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{\sqrt{26}\sqrt{26}}{\sqrt{26}\sqrt{75}}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{25\times 3}}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{\sqrt{26}}{5\sqrt{3}}\right)}\)
\(\therefore \angle{PRQ}=\cos^{-1}{\left(\frac{\sqrt{26}}{5\sqrt{3}}\right)}\)
\(Q.3.(iv)\) দেখাও যে, \(\overline{a}=4\hat{i}+5\hat{j}+\hat{k},\) \(\overline{b}=2\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=3\hat{i}+6\hat{j}-3\hat{k}\) অবস্থান ভেক্টর তিনটি একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ গঠন করে।
সমাধানঃ
ধরি, \(A, \ B, \ C\) বিন্দু তিনটির অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে, \(\overline{a}=4\hat{i}+5\hat{j}+\hat{k},\) \(\overline{b}=2\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=3\hat{i}+6\hat{j}-3\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{OA}=4\hat{i}+5\hat{j}+\hat{k},\) \( \overrightarrow{OB}=2\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}\) এবং \( \overrightarrow{OC}=3\hat{i}+6\hat{j}-3\hat{k}\)
এখন, \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}\) ➜ \(\triangle{OAB}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=2\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}-4\hat{i}-5\hat{j}-\hat{k}\) ➜ \(\because \overrightarrow{OB}=2\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{OA}=4\hat{i}+5\hat{j}+\hat{k}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=-2\hat{i}-\hat{j}-2\hat{k}\)
\(\Rightarrow |\overrightarrow{AB}|=|-2\hat{i}-\hat{j}-2\hat{k}|\)
\(=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+(-2)^2}\) ➜ \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
\(=\sqrt{4+1+4}\)
\(=\sqrt{9}\)
\(=3\)
\(\therefore |\overrightarrow{AB}|=3\)
\(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}\) ➜ \(\triangle{OBC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{BC}=3\hat{i}+6\hat{j}-3\hat{k}-2\hat{i}-4\hat{j}+\hat{k}\) ➜ \(\because \overrightarrow{OC}=3\hat{i}+6\hat{j}-3\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{OB}=2\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{BC}=\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}\)
\(\Rightarrow |\overrightarrow{BC}|=|\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}|\)
\(=\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}\) ➜ \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
\(=\sqrt{1+4+4}\)
\(=\sqrt{9}\)
\(=3\)
\(\therefore |\overrightarrow{BC}|=3\)
এবং \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}\) ➜ \(\triangle{OAC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AC}=3\hat{i}+6\hat{j}-3\hat{k}-4\hat{i}-5\hat{j}-\hat{k}\) ➜ \(\because \overrightarrow{OC}=3\hat{i}+6\hat{j}-3\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{OA}=4\hat{i}+5\hat{j}+\hat{k}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AC}=-\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}\)
\(\Rightarrow |\overrightarrow{AC}|=|-\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}|\)
\(=\sqrt{(-1)^2+1^2+(-4)^2}\) ➜ \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
\(=\sqrt{1+1+16}\)
\(=\sqrt{18}\)
\(\therefore |\overrightarrow{AC}|=\sqrt{18}\)
\(\therefore |\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|\ne{|\overrightarrow{AC}|}\)
\(\therefore \) ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু ।
আবার,
\(|\overrightarrow{AB}|^2+|\overrightarrow{BC}|^2=3^2+3^2\)
\(=9+9\)
\(=18\)
\(=(\sqrt{18})^2\)
\(=|\overrightarrow{AC}|^2\)
\(\therefore |\overrightarrow{AB}|^2+|\overrightarrow{BC}|^2=|\overrightarrow{AC}|^2\)
\(\therefore \) ত্রিভুজটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ।
( দেখানো হলো )