জ্যামিতিতে ভেক্টরের প্রয়োগ
barcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ
Vector Equatiion of a Straight line
straight3 \(A(\overline{a})\) বিন্দুগামী \(\overline{B}\) ভেক্টরের সমান্তরাল রেখার ভেক্টর সমীকরণঃ
\(\overline{r}=\overline{a}+t\overline{b}\)
অথবা,
\((\overline{r}-\overline{a})\times\overline{b}=0\)
জাতীয়ঃ ২০১৮,২০০৮,২০০৩ ।

দ্রঃ সরলরেখাটি যদি মূলবিন্দুগামী হয় তাহলে, \(\overline{a}=\overline{0}\)
সুতরাং, মূলবিন্দুগামী এবং \(\overline{b}\) ভেক্টরের সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণঃ
\(\overline{r}=t\overline{b}\)
অথবা,
\(\overline{r}\times\overline{b}=0\)
straight3 \(A(\overline{a})\) বিন্দুগামী এবং \(B(\overline{b})\) ও \(C(\overline{c})\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণঃ
\(\overline{r}=\overline{a}+t(\overline{b}-\overline{c})\)
অথবা,
\((\overline{r}-\overline{a})\times(\overline{c}-\overline{b})=0\)

straight3 দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণঃ
\(A(\overline{a})\) এবং \(B(\overline{b})\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ,
\(\overline{r}=(1-t)\overline{a}+t\overline{b}\)
অথবা,
\((\overline{r}-\overline{a})\times(\overline{b}-\overline{a})=0\)

সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ থেকে কার্তেসীয় সমীকরণঃ
ভেক্টর সমীকরণ \(\overline{r}=\overline{a}+t\overline{b}\) এর কার্তেসীয় সমীকরণ,
\(\frac{x-a_{1}}{b_{1}}=\frac{y-a_{2}}{b_{2}}=\frac{z-a_{3}}{b_{3}}\)

\(C(\overline{c})\) বিন্দু হতে \(A(\overline{a})\) এবং \(B(\overline{b})\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ সরলরেখার ন্যূনতম দূরত্বঃ
CL=\(\left|(\overline{c}-\overline{a})\times\frac{\overline{b}-\overline{a}}{|\overline{b}-\overline{a}|}\right|\)

\(A(\overline{a}),\) \(B(\overline{b})\) এবং \(C(\overline{c})\) বিন্দুগামী সমতলের ভেক্টর সমীকরণঃ
\([\overline{r} \ \overline{a} \ \overline{b}]+[\overline{r} \ \overline{b} \ \overline{c}]+[\overline{r} \ \overline{c} \ \overline{a}]=[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]\)

\(A(\overline{a})\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{b}\) ও \(\overline{c}\) ভেক্টরের সমান্তরাল সমতলের ভেক্টর সমীকরণঃ
\([\overline{r} \ \overline{b} \ \overline{c}]=[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]\)

\(A(\overline{a})\) ও \(B(\overline{b})\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{c}\) ভেক্টরের সমান্তরাল সমতলের ভেক্টর সমীকরণঃ
\([\overline{r} \ \overline{b} \ \overline{c}]+[\overline{r} \ \overline{c} \ \overline{a}]=[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]\)
অথবা,
\((\overline{r}-\overline{a}).\{(\overline{b}-\overline{a})\times\overline{c}\}=0\)
জাতীয়ঃ ২০০৭ ।

\(A(\overline{a})\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{n}\) ভেক্টরের উপর লম্ব সমতলের ভেক্টর সমীকরণঃ
\(\overline{r}.\overline{n}=\overline{a}.\overline{n}\)

অনুসিদ্ধান্তঃ
\(lx+my+nz=P\) সমতলের ভেক্টর সমীকরণঃ
\(\overline{r}.\overline{n}=P\)
যেখানে, \(\overline{n}=l\hat{i}+m\hat{j}+n\hat{k}\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(A(\overline{a})\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{r}.\overline{n}=P\) সমতলের সমান্তরাল সমতলের ভেক্টর সমীকরণঃ
\((\overline{r}-\overline{a}).\overline{n}=0\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(A(\overline{a})\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{r}.\overline{n_{1}}=p\) ও \(\overline{r}.\overline{n_{2}}=q\) সমতলদ্বয়ের ছেদরেখার উপর লম্ব সমতলের ভেক্টর সমীকরণঃ
\((\overline{r}-\overline{a}).(\overline{n_{1}}\times\overline{n_{2}})=0\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(A(\overline{a})\) ও \(B(\overline{b})\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{r}=\overline{c}+t\overline{d} \) সরলরেখার সমান্তরাল সমতলের ভেক্টর সমীকরণঃ
\((\overline{r}-\overline{a}).\{(\overline{b}-\overline{a})\times\overline{d}\}=0\)
\(\overline{r}=\overline{a_{1}}+t\overline{b_{1}}\) ও \(\overline{r}=\overline{a_{2}}+s\overline{b_{2}}\) রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী ন্যূনতম দূরত্বঃ
S.D=\(\left|(\overline{a_{1}}-\overline{a_{2}}).\frac{\overline{b_{1}}\times\overline{b_{2}}}{|\overline{b_{1}}\times\overline{b_{2}}|}\right|\)

অনুসিদ্ধান্তঃ
\(\overline{r}=\overline{a_{1}}+t\overline{b_{1}}\) রেখা এবং ন্যূনতম দূরত্ব রেখাগামী সমতলের ভেক্টর সমীকরণঃ
\((\overline{r}-\overline{a_{1}}).\{\overline{b_{1}}\times(\overline{b_{1}}\times\overline{b_{2}})\}=0\)
অনুসিদ্ধান্তঃ
\(\overline{r}=\overline{a_{1}}+t\overline{b_{1}}\) রেখা এবং ন্যূনতম দূরত্ব রেখাগামী রেখার ভেক্টর সমীকরণঃ
\((\overline{r}-\overline{a_{1}}).\{\overline{b_{1}}\times(\overline{b_{1}}\times\overline{b_{2}})\}=0=(\overline{r}-\overline{a_{2}}).\{\overline{b_{2}}\times(\overline{b_{1}}\times\overline{b_{2}})\}\)
কোনো সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহু \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) দ্বারা সূচিত হলে ঐ সামান্তরিকের ক্ষেত্রফলঃ
\(▱=|\overline{a}\times\overline{b}|\)

কোনো ত্রিভুজের দুইটি বাহু \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) দ্বারা সূচিত হলে ঐ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলঃ
\(\triangle=\frac{1}{2}|\overline{a}\times\overline{b}|\)

\(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) ভেক্টর দ্বারা কোনো সামান্তরিকের দুইটি কর্ণ সূচিত হলে ঐ সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফলঃ
\(▱=\frac{1}{2}|\overline{a}\times\overline{b}|\)

কোনো চতুস্তলকের সমবিন্দু ধারসমূহ \(\overline{a},\) \(\overline{b}\) ও \(\overline{c}\) ভেক্টর দ্বারা সূচিত হলে ঐ চতুস্তলকটির আয়তনঃ
\(\frac{1}{6}[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}].\)

কোনো চতুস্তলকের চারটি শীর্ষবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{a},\) \(\overline{b},\) \(\overline{c},\) \(\overline{d}\) হলে ঐ চতুস্তলকটির আয়তনঃ
\(\frac{1}{6}\{[\overline{b} \ \overline{c} \ \overline{d}]-[\overline{c} \ \overline{d} \ \overline{a}]+[\overline{d} \ \overline{a} \ \overline{b}]-[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]\}.\)

যদি, \(ABC\) ত্রিভুজের \(A , \ B, \ C\) শীর্ষবিন্দু সমূহের অবস্থান ভেক্টর \(\overline{a},\) \(\overline{b},\) \(\overline{c}\) হয় তবে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফলঃ
\(\triangle=\frac{1}{2}|\overline{a}\times\overline{b}+\overline{b}\times\overline{c}+\overline{c}\times\overline{a}|\)

অধ্যায় \(12\)-এর উদাহরণসমুহ
উদাহরণ \(1.\) \(3\hat{i}-2\hat{j}+5\hat{k}\) বিন্দুগামী এবং \(2\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}\) ভেক্টরের সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ ও এর কার্তেসীয় আকার নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}=(2t+3)\hat{i}+(t-2)\hat{j}+(5-4t)\hat{k};\)
\(\frac{x-3}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-5}{-4}\)

উদাহরণ \(2.\) ভেক্টর পদ্ধতি ব্যবহার করে দেখাও যে, \((x_{1},y_{1},z_{1})\) বিন্দুগামী এবং \(l,m,n\) দিক-কোসাইন বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ
\(\frac{x-x_{1}}{l}=\frac{y-y_{1}}{m}=\frac{z-z_{1}}{n}\)

উদাহরণ \(3.\) \((1,2,-3)\) বিন্দুগামী এবং \((2,3,-1)\) ও \((3,5,2)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}=(1+t)\hat{i}+(2+2t)\hat{j}+(-3+3t)\hat{k}\)

উদাহরণ \(4.\) \((1,2,3)\) এবং \((4,-3,1)\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}=(1+3t)\hat{i}+(2-5t)\hat{j}+(3-2t)\hat{k}\)
জাতীয়ঃ ২০১৮; নঃমেঃ ২০০২; পাসঃ ২০১৪ ।

উদাহরণ \(5.\) \(P(6,-4,4)\) বিন্দু হতে \(A(2,1,3)\) এবং \(B(3,-1,4)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার ন্যূনতম দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(S.D=\frac{3\sqrt{2}}{2}\)
জাতীয়ঃ ২০১৮, ২০০২ ।

উদাহরণ \(6.\) ভেক্টর পদ্ধতিতে \((1,5,10)\) বিন্দু হতে \(\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{4}=\frac{z-2}{12}\) সরলরেখার লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(S.D=2\sqrt{5}\)
জাতীয়ঃ ২০১৩, ২০১৫ ।

উদাহরণ \(7.\) দেখাও যে, \((2,-1,0),\) \((3,1,5),\) \((0,3,6)\) বিন্দুগামী সমতলের ভেক্টর সমীকরণ \(\overline{r}.(\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k})=0\)

উদাহরণ \(8.\) \(x-12y-7z=9\) সমতলের সমান্তরাল এবং \(2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}\) বিন্দুগামী সমতলের ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}.(\hat{i}-12\hat{j}-7\hat{k})=31\)

উদাহরণ \(9.\) \(5\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{r}.(2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k})=0\) ও \(\overline{r}.(\hat{i}+3\hat{j}-5\hat{k})+3=0\) সমতলের ছেদরেখার উপর লম্ব সমতলের ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}.(\hat{i}-12\hat{j}-7\hat{k})=2\)
জাতীয়ঃ ২০০২ ।

উদাহরণ \(10.\) \(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k},\) \(3\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}\) ভেক্টরগামী এবং \(\hat{i}+5\hat{k}\) ভেক্টরের সমান্তরাল সমতলের ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}.(10\hat{i}-9\hat{j}-2\hat{k})=17\)

উদাহরণ \(11.\) \(2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k},\) \(\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}\) ভেক্টরগামী যে সমতল \(\overline{r}=\hat{i}+2\hat{i}+3\hat{k}+t(2\hat{i}+\hat{i}+\hat{k})\) রেখার সমান্তরাল, তার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}.(4\hat{i}-5\hat{j}-3\hat{k})=-10\)
জাতীয়ঃ ১৯৯৮ ।

উদাহরণ \(12.\) \((1,2,4),\) \((3,4,5)\) বিন্দুগামী সমতলের ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর যাহা \(4\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}\) ভেক্টরের সমান্তরাল ।
উত্তরঃ \(\overline{r}.(\hat{i}-2\hat{k})+7=0\)
জাতীয়ঃ ২০১৭,২০১৩; ঢাবিঃ২০০৭,২০০৩; ঢাঃএফিঃ ২০১৭ ।

উদাহরণ \(13.\) \(\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-4}{4}\) এবং \(\frac{x-2}{2}=\frac{y-4}{4}=\frac{z-5}{5}\) সরলরেখদ্বয়ের মধ্যে ন্যূনতম দূরত্ব এবং ন্যূনতম দূরত্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1;\) \(14x-8y-z+6=0=2x-y\)

উদাহরণ \(14.\) \(\overline{r}=\overline{a}+t\overline{b}\) এবং \(\overline{r}=\overline{c}+s\overline{d}\) সরলরেখদ্বয়ের মধ্যে ন্যূনতম দূরত্ব নির্ণয় কর।
যেখানে, \(\overline{a}=6\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}, \ \overline{b}=\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k}, \ \overline{c}=-4\hat{i}-\hat{k}\) এবং \(\overline{d}=3\hat{i}-2\hat{j}-2\hat{k}\)
উত্তরঃ \(9\)
জাতীয়ঃ ২০০৫ ।

উদাহরণ \(15.\) \(2\hat{i}-4\hat{j}+5\hat{k}\) এবং \(2\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k}\) একটি সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহু নির্দেশ করলে এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\sqrt{521}\) বর্গ একক।
জাতীয়ঃ ২০১০ ।

উদাহরণ \(16.\) সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর যার বাহুগুলি \(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}\) ভেক্টর দ্বারা সূচিত হয়।
উত্তরঃ \(2\sqrt{2}\) বর্গ একক।

উদাহরণ \(17.\) একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর যার শীর্ষ বিন্দুগুলো \(\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k},\) \(2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(-\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}.\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\sqrt{107}\) বর্গ একক।
জাতীয়ঃ পাসঃ ২০১৪; রাঃ ১৯৮৬ ।

উদাহরণ \(18.\) সামান্তরিক আকারের ঘনবস্তুর আয়তন নির্ণয় কর যেখানে এর ধারসমূহ \(\overline{a}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k},\) \(\overline{b}=\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টর দ্বারা নির্দেশিত।
উত্তরঃ \(2\) ঘন একক।

উদাহরণ \(19.\) কোনো সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় \(3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}\) এবং \(\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\) দ্বারা সূচিত হলে সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5\sqrt{3}\) বর্গ একক।
জাতীয়ঃ ১৯৯৬ ।

উদাহরণ \(20.\) একটি চতুস্তলকের আয়তন নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দুসমূহ \(\hat{i}+2\hat{k}, \ 3\hat{i}+\hat{k}, \ 4\hat{i}+3\hat{j}+6\hat{k}\) এবং \(2\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}.\)
উত্তরঃ \(6\) ঘন একক।

উদাহরণ \(21.\) কোনো আয়তাকার ঘনবস্তুর ধার তিনটি \(2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}, \ \hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\) এবং \(2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\) হলে উহার আয়তন নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(14\) ঘন একক।
জাতীয়ঃ পাসঃ ২০০৮; ।

উদাহরণ \(22.\) ভেক্টর স্কেলার ট্রিপল প্রডাক্ট ব্যবহার করে প্রমাণ কর যে, \((2,-1,0), \ (3,1,5), \ (0,3,6) \) বিন্দুত্রয় মূলবিন্দুগামী একটি সমতলের উপর অবস্থিত।
জাতীয়ঃ পাসঃ ২০০৭; ।

উদাহরণ \(23.\) \(\overrightarrow{F}=3\hat{i}+2\hat{j}-4\hat{k}\) দ্বারা প্রদত্ত একটি বল \((1,-1,2)\) বিন্দুতে প্রয়োগ করা হলো। \((2,-1,3)\) বিন্দুর সাপেক্ষে \(\overrightarrow{F}\) এর মোমেন্ট নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(2\hat{i}-7\hat{j}-2\hat{k}\)
জাতীয়ঃ ২০০২; ঢাবিঃ ১৯৯৪ ।

উদাহরণ \(24.\) \(A(1,2,3)\) \(B(2,3,1)\) এবং \(C(3,1,2)\) বিন্দুত্রয় একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।
\((a)\) দেখাও যে, \(ABC\) সমবাহু ত্রিভুজ।
\((b)\) \(A\) কোণের মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(ABC\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) 60^{o}, \ (c) \frac{3\sqrt{3}}{2}\) বর্গ একক।

উদাহরণ \(25.\) \(\overline{A}=2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k};\) \(\overline{B}=-\hat{i}-4\hat{j}+7\hat{k}\) এবং তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(P(-3,-2,-1), \ Q(4,0,-3)\) এবং \(S(6,-7,8) \)
\((a)\) উদাহরণসহ একক ভেক্টরে সংজ্ঞা দাও।
\((b)\) উদ্দীপকের আলোকে \(\overline{A}\) বরাবর \(\overline{B}\) এর উপাংশ নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকের আলোকে \(PQS\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) \frac{3}{14}(2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}), \ (c) 48.57\) বর্গ একক।

উদাহরণ \(26.\) \(\overline{a}=3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k};\) \(\overline{b}=\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=2\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}\)
\((a)\) \(\overline{a}.\overline{b}\) নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর পরস্পরের উপর অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
\((c)\) দেখাও যে ভেক্টর তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে।
উত্তরঃ \((a) 14; \ \sqrt{14}; \ \frac{14}{\sqrt{35}}\)

উদাহরণ \(27.\) \((1,2,-3)\) বিন্দুগামী এবং \((2,3,-1)\) ও \((3,5,2)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}=(1+t)\hat{i}+(2+2t)\hat{j}+(-3+3t)\hat{k}\)

উদাহরণ \(28.\) \((1,2,-6)\) বিন্দুগামী এবং \((2,-3,0)\) ও \((4,-4,1)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}=(1+2t)\hat{i}+(2-t)\hat{j}+(t-6)\hat{k}\)

উদাহরণ \(29.\) \(A(3,-1,-1)\) \(B(2,1,3)\) এবং \(C(1,-2,5)\) বিন্দুত্রয় দিয়ে অঙ্কিত সমতলের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(16x-2y+5z-45=0\)

উদাহরণ \(30.\) \((1, -2, 3)\) ও \((3, 5, -2)\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((1+2\lambda)\hat{i}+(7\lambda-2)\hat{j}+(3-5\lambda)\hat{k}\)

উদাহরণ \(31.\) \(A(1,2,3)\) \(B(2,3,1)\) এবং \(C(3,1,2)\) বিন্দুত্রয় একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।
\((a)\) দেখাও যে, \(ABC\) সমবাহু ত্রিভুজ।
\((b)\) \(A\) কোণের মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(ABC\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) 60^{o}, \ (c) \frac{3\sqrt{3}}{2}\) বর্গ একক।

উদাহরণ \(32.\) \((1,2,-6)\) বিন্দুগামী এবং \((2,-3,0)\) ও \((4,-4,1)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}=(1+2t)\hat{i}+(2-t)\hat{j}+(t-6)\hat{k}\)

উদাহরণ \(33.\) \((1, -2, 3)\) ও \((3, 5, -2)\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((1+2\lambda)\hat{i}+(7\lambda-2)\hat{j}+(3-5\lambda)\hat{k}\)

উদাহরণ \(34.\) \((1,2,3)\) এবং \((4,-3,1)\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}=(1+3t)\hat{i}+(2-5t)\hat{j}+(3-2t)\hat{k}\)

উদাহরণ \(35.\) ভেক্টর পদ্ধতির সাহায্যে দেখাও যে, \((x_{1}, y_{1})\) ও \((x_{2}, y_{2})\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ \(\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}\)

উদাহরণ \(36.\) \(\overline{a}=2\hat{i}+5\hat{j}-3\hat{k},\) \(\overline{b}=\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\) ভেক্টর তিনটি দ্বারা গঠিত ঘন বস্তুর আয়তন নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(18\) ঘন একক।

উদাহরণ \(37.\) \(A(3,-1,-1)\) \(B(2,1,3)\) এবং \(C(1,-2,5)\) বিন্দুত্রয় দিয়ে অঙ্কিত সমতলের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(16x-2y+5z-45=0\)

অধ্যায় \(12\) / \(Q.1\)-এর অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
\(Q.1.(i)\) \(A(\overline{a})\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{b}\) ভেক্টরের সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ লিখ।

\(Q.1.(ii)\) \(\frac{x-x_{1}}{l}=\frac{y-y_{1}}{m}=\frac{z-z_{1}}{n}\) সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ লিখ।
জাতীয়ঃ ২০১৬ ।

\(Q.1.(iii)\) \(A(\overline{a})\) এবং \(B(\overline{b})\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ লিখ।

\(Q.1.(iv)\) \((x_{1},y_{1},z_{1})\) এবং \((x_{2},y_{2},z_{2})\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ লিখ।

\(Q.1.(v)\) \(A(\overline{a}), \ B(\overline{b})\) এবং \(C(\overline{c})\) বিন্দুগামী সমতলের ভেক্টর সমীকরণ লিখ।
জাতীয়ঃ ২০১৩ ।

\(Q.1.(vi)\) \(A(\overline{a})\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{b}\) ও \(\overline{c}\) ভেক্টরের সমান্তরাল সমতলের ভেক্টর সমীকরণ লিখ।

\(Q.1.(vii)\) \(A(\overline{a})\) ও \(B(\overline{b})\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{c}\) ভেক্টরের সমান্তরাল সমতলের ভেক্টর সমীকরণ লিখ।

\(Q.1.(viii)\) \(\overline{r}=\overline{a_{1}}+t\overline{b_{1}}\) ও \(\overline{r}=\overline{a_{2}}+t\overline{b_{2}}\) সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যে ন্যূনতম দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্র লিখ।
জাতীয়ঃ ২০১২ ।

\(Q.1.(ix)\) \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) কোনো ত্রিভুজের দুইটি বাহু সূচিত হলে, ইহার ক্ষেত্রফল কত?
জাতীয়ঃ ২০১২ ।

\(Q.1.(x)\) \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) কোনো সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহু সূচিত হলে, ইহার ক্ষেত্রফল কত?

\(Q.1.(xi)\) \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) কোনো সামান্তরিকের দুইটি কর্ণ সূচিত হলে, ইহার ক্ষেত্রফল কত?
জাতীয়ঃপাসঃ ২০১৫ ।

\(Q.1.(xii)\) \(\overline{a}, \ \overline{b}\) ও \(\overline{c}\) শীর্ষবিশিষ্ট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

\(Q.1.(xiii)\) কোনো সামান্তরিক আকারের ঘনবস্তুর ধারসমূহ \(\overline{a}, \ \overline{b}\) ও \(\overline{c}\) দ্বারা সূচিত হলে, ইহার আয়তন কত?

\(Q.1.(xiv)\) কোনো চতুস্তলকের ধারসমূহ \(\overline{a}, \ \overline{b}\) ও \(\overline{c}\) দ্বারা সূচিত হলে, ইহার আয়তন কত?

\(Q.1.(xv)\) \(lx+my+nz=P\) সমতলের ভেক্টর সমীকরণ লিখ।

\(Q.1.(xvi)\) \(A(\overline{a})\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{r}.\overline{n}=P\) সমতলের সমান্তরাল সমতলের ভেক্টর সমীকরণ লিখ।

\(Q.1.(xvii)\) \(A(\overline{a})\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{r}.\overline{n_{1}}=p\) ও \(\overline{r}.\overline{n_{2}}=q\) সমতলদ্বয়ের ছেদরেখার উপর লম্ব সমতলের ভেক্টর সমীকরণ লিখ।

\(Q.1.(xviii)\) \(A(\overline{a})\) ও \(B(\overline{b})\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{r}=\overline{c}+t\overline{d} \) সরলরেখার সমান্তরাল সমতলের ভেক্টর সমীকরণ লিখ।

\(Q.1.(xix)\) \(\overline{r}=\overline{a_{1}}+t\overline{b_{1}}\) রেখা এবং ন্যূনতম দূরত্ব রেখাগামী সমতলের ভেক্টর সমীকরণ লিখ।

\(Q.1.(xx)\) \(\overline{r}=\overline{a_{1}}+t\overline{b_{1}}\) রেখা এবং ন্যূনতম দূরত্ব রেখাগামী রেখার ভেক্টর সমীকরণ লিখ।

\(Q.1.(xxi)\) কোনো চতুস্তলকের চারটি শীর্ষবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{a},\) \(\overline{b},\) \(\overline{c},\) \(\overline{d}\) হলে ঐ চতুস্তলকটির আয়তন কত?

অধ্যায় \(12\) / \(Q.2\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
\(Q.2.(i)\) সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর যার দুইটি সন্নিহিত বাহু \(\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}\) এবং \(-2\hat{i}+\hat{j}-5\hat{k}\) ভেক্টর দ্বারা সূচিত হয়।
উত্তরঃ \(\sqrt{170}\)

\(Q.2.(ii)\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দুগুলি \(3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k},\) \(\hat{i}-\hat{j}-3\hat{k}\) এবং \(4\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টর দ্বারা সূচিত হয়।
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\sqrt{165}\)

\(Q.2.(iii)\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দুগুলি \((1,2,3),\) \((2,5,-1)\) এবং \((-1,1,2)\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\sqrt{155}\)

\(Q.2.(iv)\) একটি সামান্তরিক আকারের ঘনবস্তুর ধারগুলো \(\overline{a}=2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k},\) \(\overline{b}=\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\) ভেক্টর দ্বারা নির্দেশিত। ঘনবস্তুটির আয়তন নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(7\) ঘন একক।

\(Q.2.(v)\) চতুস্তলকের আয়তন নির্ণয় কর যার একটি শীর্ষবিন্দু মূলবিন্দু এবং অপর শীর্ষবিন্দুসমূহ \(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k},\) \(-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}.\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{3}\) ঘন একক।

\(Q.2.(vi)\) ভেক্টরের সাহায্যে \(A(1,3,2)\) \(B(2,-1,1)\) এবং \(C(-1,2,3)\) শীর্ষ দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\sqrt{107}\) বর্গ একক।

\(Q.2.(vii)\) \(\overline{P}=4\hat{i}-4\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{Q}=2\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}\) একটি সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহু নির্দেশ করলে এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(6\sqrt{2}\)

\(Q.2.(viii)\) একটি ত্রিভুজের শীর্ষ তিনটির অবস্থান ভেক্টর \(\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k},\) \(3\hat{i}+5\hat{j}-\hat{k},\) এবং \(2\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k};\) ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{5}{2}\sqrt{38}\) বর্গ একক।

\(Q.2.(ix)\) একটি আয়াতাকার ঘনবস্তুর ধারগুলো \(\overline{A}=2\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k},\) \(\overline{B}=\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{C}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\) ভেক্টর দ্বারা নির্দেশিত। ঘনবস্তুটির আয়তন নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(7\) ঘন একক।

\(Q.2.(x)\) একটি সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় \(\overline{A}=3\hat{i}-4\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=2\hat{i}+3\hat{j}-6\hat{k}\) ভেক্টর দ্বারা নির্দেশিত। দেখাও যে, সামান্তরিকটি একটি রম্বস এবং এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(17.85\) বর্গ একক।

\(Q.2.(xi)\) কোনো সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহদ্বয় \(2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\hat{i}+4\hat{j}+3\hat{k}\) দ্বারা সূচিত হলে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(15.59\) বর্গ একক।

অনুশীলনী \(12\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(Q.3.(i)\) \(\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}\) বিন্দুগামী এবং \(2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টরের সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ ও এর কার্তেসীয় আকার নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}=(2t+1)\hat{i}+(2-3t)\hat{j}+(t-2)\hat{k};\)
\(\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z+2}{1}\)

\(Q.3.(ii)\) ভেক্টর পদ্ধতিতে দেখাও যে, \((1,2,3)\) বিন্দুগামী এবং \(\frac{2}{3}, \ -\frac{1}{3}, \ -\frac{2}{3}\) দিক-কোসাইন বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ \(\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-3}{-2}\)

\(Q.3.(iii)\) \((1,2,-6)\) বিন্দুগামী এবং \((2,-3,0)\) ও \((4,-4,1)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}=(1+2t)\hat{i}+(2-t)\hat{j}+(t-6)\hat{k}\)

\(Q.3.(iv)\) \(4x-5y-3z=9\) সমতলের সমান্তরাল এবং \(2\hat{i}-\hat{j}-4\hat{k}\) বিন্দুগামী সমতলের ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}.(4\hat{i}-5\hat{j}-3\hat{k})=25\)

\(Q.3.(v)\) ভেক্টর পদ্ধতির সাহায্যে দেখাও যে, \((x_{1}, y_{1}, z_{1})\) ও \((x_{2}, y_{2}, z_{2})\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ \(\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{z-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}\)

\(Q.3.(vi)\) \(P(7,6,7)\) বিন্দু হতে \(A(2,1,3)\) এবং \(B(4,4,9)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার ন্যূনতম দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(S.D=\sqrt{17}\)

\(Q.3.(vii)\) দেখাও যে, \((2,0,1),\) \((0,3,4),\) \((4,3,2)\) বিন্দুগামী সমতলের ভেক্টর সমীকরণ \(\overline{r}.(3\hat{i}-4\hat{j}+6\hat{k})=12\)

\(Q.3.(viii)\) \(2\hat{i}-4\hat{j}+5\hat{k}\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{r}.(2\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k})=1\) ও \(\overline{r}.(3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k})=2\) সমতলের ছেদরেখার উপর লম্ব সমতলের ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}.(2\hat{i}+8\hat{j}+7\hat{k})=7\)
জাতীয়ঃ ২০০২ ।

\(Q.3.(ix)\) \(\overrightarrow{OA}=2\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=6\hat{i}-3\hat{j}-2\hat{k}\) হলে, \(B\) বিন্দু হতে \(OA\) এর লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{377}}{3}\) একক।

\(Q.3.(x)\) \(2\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k}\) বিন্দুগামী এবং \(5\hat{i}+6\hat{j}+8\hat{k}\) ভেক্টরের সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}=2\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k}+t(5\hat{i}+6\hat{j}+8\hat{k})\)

\(Q.3.(xi)\) \(\hat{i}\) এবং \(\hat{j}\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}=(1-t)\hat{i}+t\hat{j}\)

\(Q.3.(xii)\) দেখাও যে, \((2,-3,4)\) এবং \((5,7,-8)\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ \(\overline{r}=(2+3t)\hat{i}+(-3+10t)\hat{j}+(4-12t)\hat{k}\) যেখানে \(t\) একটি প্যারামিটার। এর সাহায্যে এর কার্তেসীয় সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{x-2}{3}=\frac{y+3}{10}=\frac{z-4}{-12}\)

\(Q.3.(xiii)\) \((2,3,1)\) এবং \((1,1,3)\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((2-t)\hat{i}(3-2t)\hat{j}+(1+2t)\hat{k})\)

\(Q.3.(xiv)\) \((4, 1, -2)\) বিন্দুগামী এবং \((3,2,1)\) ও \((5,3,-4)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((4+2t)\hat{i}(1+t)\hat{j}-(2+5t)\hat{k})\)

\(Q.3.(xv)\) দেখাও যে, \((2,3,4)\) এবং \((5,7,-6)\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ \(\overline{r}=(2+3t)\hat{i}+(3+4t)\hat{j}+(4-10t)\hat{k}\) যেখানে \(t\) একটি প্যারামিটার। এর সাহায্যে এর কার্তেসীয় সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{x-2}{3}=\frac{y-3}{4}=\frac{z-4}{-10}\)

\(Q.3.(xvi)\) \(\overline{P}=3\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{Q}=3\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}\) ভেক্টরের সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}=3(1+t)\hat{i}-(3+2t)\hat{j}+4(1+t)\hat{k}\)

\(Q.3.(xvii)\) \(\overline{a}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{a}=2\hat{i}+5\hat{j}+4\hat{k}\) ভেক্টরের সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর এবং এটিকে কার্তেসীয় আকারে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}=(1+2t)\hat{i}+(2+5t)\hat{j}+(3+4t)\hat{k}; \ \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{5}=\frac{z-3}{4}\)

\(Q.3.(xviii)\) \(2\hat{i}-4\hat{j}+3\hat{k}\) বিন্দুগামী এবং \(3\hat{i}+\hat{j}-5\hat{k}\) ভেক্টরের সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর এবং এটিকে কার্তেসীয় আকারে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}=(2+3t)\hat{i}-(4-t)\hat{j}+(3-5t)\hat{k}; \ \frac{x-2}{3}=\frac{y+4}{1}=\frac{z-3}{-5}\)

\(Q.3.(xix)\) \(3\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(2\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}=(3-t)\hat{i}+(1+t)\hat{j}+(1-2t)\hat{k}\)

\(Q.3.(xx)\) \((1,2,3)\) এবং \((3,2,1)\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}=(1+2t)\hat{i}+2\hat{j}+(3-2t)\hat{k}\)

\(Q.3.(xxi)\) \(A(1,5,2)\) এবং \(B(2,-3,4)\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}=(1+t)\hat{i}+(5-8t)\hat{j}+(2+2t)\hat{k}\)

Please leave your question below

2 Question(s)
imonhaider
October 29, 2019, 12:15 am
\[\frac{d}{dx}(e^{x^2})=?\]
Reply
Tanmoy
October 28, 2019, 11:53 pm
\[\int{\frac{dx}{1+x^2}}=? \]
Reply

Post List

MATH. LIST
Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Trigonometry 11 and 12 standard
Statistics 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard
Vector 11 and 12 standard
Vector Honours course standard