Post -Learn Mathematics

\(A(\overline{a})\) বিন্দুগামী \(\overline{B}\) ভেক্টরের সমান্তরাল রেখার ভেক্টর সমীকরণঃ
\(\overline{r}=\overline{a}+t\overline{b}\)
অথবা,
\((\overline{r}-\overline{a})\times\overline{b}=0\)
জাতীয়ঃ ২০১৮,২০০৮,২০০৩ ।

প্রমাণঃ

ধরি, \(O\) মূলবিন্দু সাপেক্ষে \(A(\overline{a})\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\) এবং \(A(\overline{a})\) বিন্দুগামী সরলরেখার উপর \(P(\overline{r})\) যে কোনো একটি বিন্দু যার \(O\) মূলবিন্দু সাপেক্ষে অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
\(\triangle{OAP}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP} ........(1)\)
যেহেতু, \(\overrightarrow{AP}\) ভেক্টরটি \(\overline{b}\) ভেক্টরের সমান্তরাল।
সুতরাং, \(\overrightarrow{AP}=t\overline{b},\) যখন \(t\) একটি প্যারামিটার।
\((1)\) নং হতে,
\(\overline{r}=\overline{a}+t\overline{b}\) ➜
যা সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্দেশ করে।
আবার,
\((1)\) নং হতে,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}\)
\(\therefore \overrightarrow{AP}=\overline{r}-\overline{a}\) ➜
এখন,
\(\overrightarrow{AP}\) এবং \(\overline{b}\) সমান্তরাল বলে,
\(\overrightarrow{AP}\times\overline{b}=0\)
\(\therefore (\overline{r}-\overline{a})\times\overline{b}=0\)➜
( প্রমাণিত )

\(A(\overline{a})\) বিন্দুগামী এবং \(B(\overline{b})\) ও \(C(\overline{c})\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণঃ
\(\overline{r}=\overline{a}+t(\overline{b}-\overline{c})\)
অথবা,
\((\overline{r}-\overline{a})\times(\overline{c}-\overline{b})\)

প্রমাণঃ

ধরি, \(O\) মূলবিন্দু সাপেক্ষে \(A(\overline{a}), B(\overline{b})\) এবং \(C(\overline{c})\) বিন্দু তিনটির অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}, \overrightarrow{OB}=\overline{b}\) এবং \(\overrightarrow{OC}=\overline{c}\)
\(\triangle{OCB}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OB}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}\)
\(\therefore \overrightarrow{CB}=\overline{b}-\overline{c} ........(1)\)
\(A(\overline{a})\) বিন্দুগামী এবং \(CB\) রেখার সমান্তরাল সরলরেখার উপর \(P(\overline{r})\) যে কোনো একটি বিন্দু নেই যার \(O\) মূলবিন্দু সাপেক্ষে অবস্থান ভেক্টর \(\overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
\(\triangle{OAP}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP} ........(2)\)
যেহেতু, \(\overrightarrow{AP}\) ভেক্টরটি \(\overrightarrow{CB}=\overline{b}-\overline{c}\) ভেক্টরের সমান্তরাল।
সুতরাং, \(\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{CB}\) যখন \(t\) একটি প্যারামিটার।
\(\therefore \overrightarrow{AP}=t(\overline{b}-\overline{c})\)
\((2)\) নং হতে,
\(\overline{r}=\overline{a}+t(\overline{b}-\overline{c})\) ➜
যা সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্দেশ করে।
আবার,
\((2)\) নং হতে,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}\)
\(\therefore \overrightarrow{AP}=\overline{r}-\overline{a} ......(3)\) ➜
এখন,
\(\overrightarrow{AP}\) এবং \(\overrightarrow{CB}\) সমান্তরাল বলে,
\(\overrightarrow{AP}\times\overrightarrow{CB}=0\)
\((3)\) ও \((1)\) নং হতে,
\((\overline{r}-\overline{a})\times(\overline{b}-\overline{c})=0\)
( প্রমাণিত )

\(A(\overline{a})\) এবং \(B(\overline{b})\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ,
\(\overline{r}=(1-t)\overline{a}+t\overline{b}\)
অথবা,
\((\overline{r}-\overline{a})\times(\overline{b}-\overline{a})=0\)

প্রমাণঃ

ধরি, \(O\) মূলবিন্দু , \(A(\overline{a})\) এবং \(B(\overline{b})\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং রেখাটির উপর \(P(\overline{r})\) যে কোনো একটি বিন্দু
\(O\) মূলবিন্দু সাপেক্ষে \(A, B\) এবং \(P\) বিন্দুগুলির অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}, \overrightarrow{OB}=\overline{b}\) এবং \(\overrightarrow{OP}=\overline{r}\)
\(\triangle{OAB}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}=\overline{b}-\overline{a} ........(1)\) ➜
যেহেতু, \(\overrightarrow{AP}\) এবং \(\overrightarrow{AB}\) ভেক্টরদ্বয় একই ধারক রেখার উপর অবস্থিত।
সুতরাং, \(\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{AB}\) যখন \(t\) একটি প্যারামিটার।
\(\therefore \overrightarrow{AP}=t(\overline{b}-\overline{a}) .......(2)\)
আবার, \(\triangle{OAP}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP} .......(3)\)
\((3)\) হতে,
\(\overline{r}=\overline{a}+t(\overline{b}-\overline{a})\) ➜
\(\Rightarrow \overline{r}=\overline{a}+t\overline{b}-t\overline{a}\)
\(\therefore \overline{r}=(1-t)\overline{a}+t\overline{b}\)
যা দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্দেশ করে।
আবার,
\((3)\) হতে,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AP}=\overline{r}-\overline{a} ......(4)\) ➜
এখন,
\(\overrightarrow{AP}\) এবং \(\overrightarrow{AB}\) একই সরলরেখায় অবস্থিত বলে,
\(\overrightarrow{AP}\times\overrightarrow{AB}=0\)
\((4)\) ও \((1)\) নং হতে,
\((\overline{r}-\overline{a})\times(\overline{b}-\overline{a})=0\)
( প্রমাণিত )

\(A(\overline{a}),\) \(B(\overline{b})\) এবং \(C(\overline{c})\) বিন্দুগামী সমতলের ভেক্টর সমীকরণঃ
\([\overline{r} \ \overline{a} \ \overline{b}]+[\overline{r} \ \overline{b} \ \overline{c}]+[\overline{r} \ \overline{c} \ \overline{a}]=[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]\)

প্রমাণঃ

ধরি,
\(A(\overline{a}),\) \(B(\overline{b})\) এবং \(C(\overline{c})\) বিন্দুগামী সমতলের উপরস্থ যে কোনো বিন্দু \(P(\overline{r}).\)
এখন, \(\overrightarrow{AP}=\overline{r}-\overline{a}\) ➜
অনুরূপভাবে, \(\overrightarrow{AB}=\overline{b}-\overline{a}\)
\(\overrightarrow{AC}=\overline{c}-\overline{a}\)
যেহেতু, \(A(\overline{a}),\) \(B(\overline{b}),\) \(C(\overline{c}),\) \(P(\overline{r})\) বিন্দুসমূহ একই সমতলে অবস্থিত,
সুতরাং, \(\overrightarrow{AP},\) \(\overrightarrow{AB}\) এবং \(\overrightarrow{AC}\) ভেক্টরসমূহ একই সমতলে থাকবে।
\([\overrightarrow{AP} \ \overrightarrow{AB} \ \overrightarrow{AC}]=0\) ➜
\(\Rightarrow \overrightarrow{AP}.(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})=0\) ➜
\(\Rightarrow (\overline{r}-\overline{a}).\{(\overline{b}-\overline{a})\times(\overline{c}-\overline{a})\}=0\) ➜
\(\Rightarrow (\overline{r}-\overline{a}).\{\overline{b}\times\overline{c}-\overline{b}\times\overline{a}-\overline{a}\times\overline{c}+\overline{a}\times\overline{a}\}=0\)
\(\Rightarrow (\overline{r}-\overline{a}).\{\overline{b}\times\overline{c}+\overline{a}\times\overline{b}+\overline{c}\times\overline{a}+0\}=0\) ➜
\(\Rightarrow (\overline{r}-\overline{a}).\{\overline{b}\times\overline{c}+\overline{a}\times\overline{b}+\overline{c}\times\overline{a}\}=0\)
\(\Rightarrow \overline{r}.(\overline{b}\times\overline{c})+\overline{r}.(\overline{a}\times\overline{b})+\overline{r}.(\overline{c}\times\overline{a})-\overline{a}.(\overline{b}\times\overline{c})-\overline{a}.(\overline{a}\times\overline{b})-\overline{a}.(\overline{c}\times\overline{a})=0\)
\(\Rightarrow [\overline{r} \ \overline{b} \ \overline{c}]+[\overline{r} \ \overline{a} \ \overline{b}]+[\overline{r} \ \overline{c} \ \overline{a}]-[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]-0-0=0\) ➜
\(\Rightarrow [\overline{r} \ \overline{b} \ \overline{c}]+[\overline{r} \ \overline{a} \ \overline{b}]+[\overline{r} \ \overline{c} \ \overline{a}]-[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]=0\)
\(\therefore [\overline{r} \ \overline{b} \ \overline{c}]+[\overline{r} \ \overline{a} \ \overline{b}]+[\overline{r} \ \overline{c} \ \overline{a}]=[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]\)
( প্রমাণিত )

\(A(\overline{a})\) ও \(B(\overline{b})\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{c}\) ভেক্টরের সমান্তরাল সমতলের ভেক্টর সমীকরণঃ
\([\overline{r} \ \overline{b} \ \overline{c}]+[\overline{r} \ \overline{c} \ \overline{a}]=[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]\)
জাতীয়ঃ ২০০৭ ।

প্রমাণঃ

ধরি,
\(A(\overline{a})\) ও \(B(\overline{b})\)
এখন, \(\overrightarrow{AB}=\overline{b}-\overline{a}\) ➜
সমতলের উপরস্থ যে কোনো বিন্দু \(P(\overline{r}).\)
\(\therefore \overrightarrow{AP}=\overline{r}-\overline{a}\) ➜
যেহেতু সমতলটি \(\overline{c}\) ভেক্টরের সমান্তরাল,
সুতরাং, \(\overline{c}\) ভেক্টরটি \(\overrightarrow{AP}\times\overrightarrow{AB}\) এর সহিত লম্ব হবে,
অর্থাৎ, \(\overline{c}.(\overrightarrow{AP}\times\overrightarrow{AB})=0\) হবে, ➜
\(\Rightarrow \overline{c}.\{(\overline{r}-\overline{a})\times(\overline{b}-\overline{a})\}=0\) ➜
\(\Rightarrow \overline{c}.\{\overline{r}\times\overline{b}-\overline{r}\times\overline{a}-\overline{a}\times\overline{b}+\overline{a}\times\overline{a}\}=0\)
\(\Rightarrow \overline{c}.(\overline{r}\times\overline{b})-\overline{c}.(\overline{r}\times\overline{a})-\overline{c}.(\overline{a}\times\overline{b})+0=0\) ➜
\(\Rightarrow [\overline{c} \ \overline{r} \ \overline{b}]-[\overline{c} \ \overline{r} \ \overline{a}]-[\overline{c} \ \overline{a} \ \overline{b}]=0\) ➜
\(\Rightarrow [\overline{r} \ \overline{b} \ \overline{c}]+[\overline{r} \ \overline{c} \ \overline{a}]-[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]=0\) ➜
\(\therefore [\overline{r} \ \overline{b} \ \overline{c}]+[\overline{r} \ \overline{c} \ \overline{a}]=[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]=0\)
( প্রমাণিত )

কোনো চতুস্তলকের চারটি শীর্ষবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{a},\) \(\overline{b},\) \(\overline{c},\) \(\overline{d}\) হলে ঐ চতুস্তলকটির আয়তনঃ
\(\frac{1}{6}\{[\overline{b} \ \overline{c} \ \overline{d}]-[\overline{c} \ \overline{d} \ \overline{a}]+[\overline{d} \ \overline{a} \ \overline{b}]-[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]\}.\)

প্রমাণঃ

ধরি,
\(ABCD\) চতুস্তলকের \(A, \ B, \ C, \ D\) শীর্ষবিন্দু সমূহের অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(\overline{a}, \ \overline{b}, \ \overline{c}, \ \overline{d}\)
তাহলে, \(\overrightarrow{AD}=\overline{d}-\overline{a}\) ➜
অনুরূপভাবে, \(\overrightarrow{BD}=\overline{d}-\overline{b}\)
\(\overrightarrow{CD}=\overline{d}-\overline{c}\)
এখন, \(ABCD\) চতুস্তলকের আয়তন
\(=\frac{1}{6}[\overrightarrow{AD} \ \overrightarrow{BD} \ \overrightarrow{CD}]\)
\(=\frac{1}{6}[\overline{d}-\overline{a} \ \overline{d}-\overline{b} \ \overline{d}-\overline{c}]\) ➜
\(=\frac{1}{6}[(\overline{d}-\overline{a}). \{(\overline{d}-\overline{b})\times(\overline{d}-\overline{c})\}]\) ➜
\(=\frac{1}{6}[(\overline{d}-\overline{a}). \{\overline{d}\times(\overline{d}-\overline{c})-\overline{b}\times(\overline{d}-\overline{c})\}]\)
\(=\frac{1}{6}[(\overline{d}-\overline{a}). \{\overline{d}\times\overline{d}-\overline{d}\times\overline{c}-\overline{b}\times\overline{d}+\overline{b}\times\overline{c}\}]\)
\(=\frac{1}{6}[(\overline{d}-\overline{a}). \{0+\overline{c}\times\overline{d}-\overline{b}\times\overline{d}+\overline{b}\times\overline{c}\}]\) ➜
\(=\frac{1}{6}[\overline{d}.(\overline{c}\times\overline{d})-\overline{d}.(\overline{b}\times\overline{d})+\overline{d}.(\overline{b}\times\overline{c})-\overline{a}.(\overline{c}\times\overline{d})+\overline{a}.(\overline{b}\times\overline{d})-\overline{a}.(\overline{b}\times\overline{c})]\)
\(=\frac{1}{6}\{0-0+[\overline{d} \ \overline{b} \ \overline{c}]-[\overline{a} \ \overline{c} \ \overline{d}]+[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{d}]-[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]\}\) ➜
\(=\frac{1}{6}\{[\overline{b} \ \overline{c} \ \overline{d}]-[\overline{c} \ \overline{d} \ \overline{a}]+[\overline{d} \ \overline{a} \ \overline{b}]-[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]\}\) ➜
\(=\frac{1}{6}([\overline{b} \ \overline{c} \ \overline{d}]-[\overline{c} \ \overline{d} \ \overline{a}]+[\overline{d} \ \overline{a} \ \overline{b}]-[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}])\)
ইহাই নির্ণেয় চতুস্তলকের আয়তন
( প্রমাণিত )

উদাহরণ \(5.\) \(P(6,-4,4)\) বিন্দু হতে \(A(2,1,3)\) এবং \(B(3,-1,4)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার ন্যূনতম দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(S.D=\frac{3\sqrt{2}}{2}\)

জাতীয়ঃ ২০১৮, ২০০২ ।

সমাধানঃ

ধরি,
\(A(2,1,3)\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{a}=2\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}\)
\(B(3,-1,4)\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{b}=3\hat{i}-\hat{j}+4\hat{k}\)
এবং \(P(6,-4,4)\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{c}=6\hat{i}-4\hat{j}+4\hat{k}\)
\(A(2,1,3)\) ও \(P(6,-4,4)\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ
\(\overline{c}-\overline{a}=(6-2)\hat{i}+(-4-1)\hat{j}+(4-3)\hat{k}\) ➜ \(\because (x_{1}, y_{1}, z_{1})\) ও \((x_{2}, y_{2}, z_{2})\) বিন্দুদ্বয়ের অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে
\(\overline{a}=x_{1}\hat{i}+y_{1}\hat{j}+z_{1}\hat{k}\)
এবং \(\overline{b}=x_{2}\hat{i}+y_{2}\hat{j}+z_{2}\hat{k}\) হলে,
\((x_{1}, y_{1}, z_{1})\) ও \((x_{2}, y_{2}, z_{2})\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ হবে
\(\overline{b}-\overline{a}=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}+(z_{2}-z_{1})\hat{k}\)

\(\therefore \overline{c}-\overline{a}=4\hat{i}-5\hat{j}+\hat{k}\)
আবার, \(A(2,1,3)\) ও \(B(3,-1,4)\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ
\(\overline{b}-\overline{a}=(3-2)\hat{i}+(-1-1)\hat{j}+(4-3)\hat{k}\) ➜ \(\because (x_{1}, y_{1}, z_{1})\) ও \((x_{2}, y_{2}, z_{2})\) বিন্দুদ্বয়ের অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে
\(\overline{a}=x_{1}\hat{i}+y_{1}\hat{j}+z_{1}\hat{k}\)
এবং \(\overline{b}=x_{2}\hat{i}+y_{2}\hat{j}+z_{2}\hat{k}\) হলে,
\((x_{1}, y_{1}, z_{1})\) ও \((x_{2}, y_{2}, z_{2})\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ হবে
\(\overline{b}-\overline{a}=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}+(z_{2}-z_{1})\hat{k}\)

\(\Rightarrow \overline{b}-\overline{a}=\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\)
\(\Rightarrow |\overline{b}-\overline{a}|=|\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}|\)
\(=\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2}\) ➜ \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{1+4+1}\)
\(=\sqrt{6}\)
\(\therefore |\overline{b}-\overline{a}|=\sqrt{6}\)
ন্যূনতম দূরত্ব \(S.D=\left|(\overline{c}-\overline{a})\times\frac{\overline{b}-\overline{a}}{|\overline{b}-\overline{a}|}\right|\) ➜
\(=\left|(4\hat{i}-5\hat{j}+\hat{k})\times\frac{\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}}{\sqrt{6}}\right|\) ➜
\(=\left|\frac{1}{\sqrt{6}}(4\hat{i}-5\hat{j}+\hat{k})\times(\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k})\right|\)
\(=\left|\frac{1}{\sqrt{6}}\left|\begin{array}{c}\hat{i}& \ \ \hat{j}& \ \ \hat{k}\\4&-5&1\\ 1&-2&1 \end{array}\right|\right|\) ➜ \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
এবং \(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\)
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array}\right|\)

\(=\frac{1}{\sqrt{6}}\left|\{-5\times 1-1\times -2\}\hat{i}-\{4\times 1-1\times 1\}\hat{j}+\{4\times -2-(-5)\times 1\}\hat{k}\right|\)
\(=\frac{1}{\sqrt{6}}\left|\{-5+2\}\hat{i}-\{4-1\}\hat{j}+\{-8+5\}\hat{k}\right|\)
\(=\frac{1}{\sqrt{6}}\left|-3\hat{i}-3\hat{j}-3\hat{k}\right|\)
\(=\frac{1}{\sqrt{6}}\times\sqrt{(-3)^2+(-3)^2+(-3)^2}\) ➜ \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{6}}\times\sqrt{9+9+9}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{6}}\times\sqrt{27}\)
\(=\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3\times2}}\)
\(=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{2}}\)
\(=\frac{3}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}}\)
\(=\frac{3\sqrt{2}}{2}\)
\(\therefore S.D=\frac{3\sqrt{2}}{2}\)
ইহাই নির্ণেয় ন্যূনতম দূরত্ব।

উদাহরণ \(6.\) ভেক্টর পদ্ধতিতে \((1,5,10)\) বিন্দু হতে \(\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{4}=\frac{z-2}{12}\) সরলরেখার লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(S.D=2\sqrt{5}\)

জাতীয়ঃ ২০১৩, ২০১৫ ।

সমাধানঃ

ধরি,
\(\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{4}=\frac{z-2}{12}=t\) এখানে, \(t\) একটি প্যারামিটার।
\(\Rightarrow \frac{x-2}{3}=t, \ \frac{y+1}{4}=t, \ \frac{z-2}{12}=t\)
\(\Rightarrow x-2=3t, \ y+1=4t, \ z-2=12t\)
\(\therefore x=2+3t, \ y=4t-1, \ z=2+12t\)
\(\therefore\) সরলরেখাটির ভেক্টর সমীকরণ
\(\overline{r}=(2+3t)\hat{i}+(4t-1)\hat{j}+(2+12t)\hat{k}\)
\(\Rightarrow \overline{r}=2\hat{i}+3t\hat{i}+4t\hat{j}-\hat{j}+2\hat{k}+12t\hat{k}\)
\(\Rightarrow \overline{r}=2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}+t(3\hat{i}+4\hat{j}+12\hat{k})\)
\(\Rightarrow \overline{a}+t(\overline{b}-\overline{a})=2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}+t(3\hat{i}+4\hat{j}+12\hat{k})\) ➜ সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ।
\(\because \overline{r}=\overline{a}+t(\overline{b}-\overline{a})\)

\(\therefore \overline{a}=2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\)
এবং \(\overline{b}-\overline{a}=3\hat{i}+4\hat{j}+12\hat{k}\)
\(\Rightarrow |\overline{b}-\overline{a}|=|3\hat{i}+4\hat{j}+12\hat{k}|\)
\(=\sqrt{3^2+4^2+(12)^2}\) ➜ \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{9+16+144}\)
\(=\sqrt{169}\)
\(=13\)
\(\therefore |\overline{b}-\overline{a}|=13\)
এখন, \((1,5,10)\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{c}=\hat{i}+5\hat{j}+10\hat{k}\)
\(\overline{c}-\overline{a}=\hat{i}+5\hat{j}+10\hat{k}-2\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}\)
\(\therefore \overline{c}-\overline{a}=-\hat{i}+6\hat{j}+8\hat{k}\)
আবার, \((1,5,10)\) বিন্দু হতে সরলরেখাটির লম্ব দূরত্ব
\(=\left|(\overline{c}-\overline{a})\times\frac{\overline{b}-\overline{a}}{|\overline{b}-\overline{a}|}\right|\) ➜ \(C(\overline{c})\) বিন্দু হতে \(A(\overline{a})\) এবং \(B(\overline{b})\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ সরলরেখার
ন্যূনতম দূরত্ব \(=\left|(\overline{c}-\overline{a})\times\frac{\overline{b}-\overline{a}}{|\overline{b}-\overline{a}|}\right|\)

\(=\left|(-\hat{i}+6\hat{j}+8\hat{k})\times\frac{3\hat{i}+4\hat{j}+12\hat{k}}{13}\right|\) ➜ \(\because \overline{c}-\overline{a}=-\hat{i}+6\hat{j}+8\hat{k}\)
\(\overline{b}-\overline{a}=3\hat{i}+4\hat{j}+12\hat{k}\)
এবং \(|\overline{b}-\overline{a}|=13\)

\(=\left|\frac{1}{13}(-\hat{i}+6\hat{j}+8\hat{k})\times(3\hat{i}+4\hat{j}+12\hat{k})\right|\)
\(=\left|\frac{1}{13}\left|\begin{array}{c} \ \ \hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\-1&6&8\\ \ \ 3&4&12 \end{array}\right|\right|\) ➜ \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
এবং \(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\)
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array}\right|\)

\(=\frac{1}{13}\left|\{6\times 12-8\times 4\}\hat{i}-\{-1\times 12-8\times 3\}\hat{j}+\{-1\times 4-6\times 3\}\hat{k}\right|\)
\(=\frac{1}{13}\left|\{72-32\}\hat{i}-\{-12-24\}\hat{j}+\{-4-18\}\hat{k}\right|\)
\(=\frac{1}{13}\left|40\hat{i}+36\hat{j}-22\hat{k}\right|\)
\(=\frac{1}{13}\times\sqrt{(40)^2+(36)^2+(-22)^2}\)
\(=\frac{1}{13}\times\sqrt{1600+1296+484}\)
\(=\frac{1}{13}\times\sqrt{3380}\)
\(=\frac{\sqrt{3380}}{13}\)
\(=\frac{\sqrt{676\times 5}}{13}\)
\(=\frac{26\sqrt{5}}{13}\)
\(=2\sqrt{5}\)
\(\therefore S.D=2\sqrt{5}\)
ইহাই নির্ণেয় ন্যূনতম দূরত্ব।

উদাহরণ \(7.\) দেখাও যে, \((2,-1,0),\) \((3,1,5),\) \((0,3,6)\) বিন্দুগামী সমতলের ভেক্টর সমীকরণ \(\overline{r}.(\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k})=0\)

সমাধানঃ

ধরি,
\(A(2,-1,0)\) \(B(3,1,5)\) এবং \(C(0,3,6)\)
সমতলের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x,y,z)\)
\(P(x,y,z)\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\)
এখন, \(\overrightarrow{AP}=(x-2)\hat{i}+(y+1)\hat{j}+(z-0)\hat{k}\) ➜
\(\therefore \overrightarrow{AP}=(x-2)\hat{i}+(y+1)\hat{j}+z\hat{k}\)
আবার, \(\overrightarrow{AB}=(3-2)\hat{i}+(1+1)\hat{j}+(5-0)\hat{k}\) ➜
\(=\hat{i}+2\hat{j}+5\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}=\hat{i}+2\hat{j}+5\hat{k}\)
আবার, \(\overrightarrow{AC}=(0-2)\hat{i}+(3+1)\hat{j}+(6-0)\hat{k}\) ➜
\(=-2\hat{i}+4\hat{j}+6\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{AC}=-2\hat{i}+4\hat{j}+6\hat{k}\)
যেহেতু বিন্দুগুলি একই সমতলে অবস্থান করে,
সুতরাং , \(\overrightarrow{AP}.(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})=0\)
\(\Rightarrow \{(x-2)\hat{i}+(y+1)\hat{j}+z\hat{k}\}.\{(\hat{i}+2\hat{j}+5\hat{k})\times(-2\hat{i}+4\hat{j}+6\hat{k})\}=0\) ➜ \(\because \overrightarrow{AP}=(x-2)\hat{i}+(y+1)\hat{j}+z\hat{k}\)
\(\overrightarrow{AB}=\hat{i}+2\hat{j}+5\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{AC}=-2\hat{i}+4\hat{j}+6\hat{k}\)

\(\Rightarrow \left|\begin{array}{c}x-2&y+1&z\\ \ \ 1& \ \ 2&5\\-2&4&6\end{array}\right|=0\) ➜ \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
\(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\)
এবং \(c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k}\) হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}).\{(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})\times(c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k})\}=\left|\begin{array}{c}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\\ c_{1}&c_{2}&c_{3} \end{array}\right|\)

\(\Rightarrow \{2\times 6-5\times 4\}(x-2)-\{1\times 6-5\times -2\}(y+1)+\{1\times 4-2\times -2\}z=0\)
\(\Rightarrow \{12-20\}(x-2)-\{6+10\}(y+1)+\{4+4\}z=0\)
\(\Rightarrow -8(x-2)-16(y+1)+8z=0\)
\(\Rightarrow x-2+2(y+1)-z=0\)
\(\Rightarrow x-2+2y+2-z=0\)
\(\Rightarrow x+2y-z=0\)
\(\Rightarrow (x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}).(\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k})=0\)
\(\therefore \overline{r}.(\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k})=0\) যেখানে, \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\)
ইহাই নির্ণেয় সমতলের ভেক্টর সমীকরণ।

উদাহরণ \(9.\) \(5\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{r}.(2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k})=0\) ও \(\overline{r}.(\hat{i}+3\hat{j}-5\hat{k})+3=0\) সমতলের ছেদরেখার উপর লম্ব সমতলের ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}.(\hat{i}-12\hat{j}-7\hat{k})=2\)

জাতীয়ঃ ২০০২ ।

সমাধানঃ

ধরি,
\(A(\overline{a})=5\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}\)
\(\overline{r}.\overline{b}=0\) যেখানে, \(\overline{b}=2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\)
\(\overline{r}.\overline{c}=-3\) যেখানে, \(\overline{c}=\hat{i}+3\hat{j}-5\hat{k}\)
এখন, \(A(\overline{a})\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{r}.\overline{b}=0\) ও \(\overline{r}.\overline{c}+3=0\) সমতলের ছেদরেখার উপর লম্ব সমতলের ভেক্টর সমীকরণ
\((\overline{r}-\overline{a}).\{\overline{b}\times\overline{c}\}=0\) ➜ \(A(\overline{a})\) বিন্দুগামী
এবং \(\overline{r}.\overline{n_{1}}=p\)
ও \(\overline{r}.\overline{n_{2}}=q\)
সমতলদ্বয়ের ছেদরেখার উপর লম্ব সমতলের ভেক্টর সমীকরণ,
\((\overline{r}-\overline{a}).(\overline{n_{1}}\times\overline{n_{2}})=0\)

\(\Rightarrow \{\overline{r}-(5\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k})\}.\{(2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k})\times(\hat{i}+3\hat{j}-5\hat{k})\}=0\) ➜ \(\because \overline{a}=5\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}\)
\(\overline{b}=2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\)
এবং \(\overline{c}=\hat{i}+3\hat{j}-5\hat{k}\)

\(\Rightarrow \{\overline{r}-(5\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k})\}.\left|\begin{array}{c}\hat{i}& \ \ \hat{j}& \ \ \hat{k}\\2&-1& \ \ 2\\1& \ \ 3&-5 \end{array}\right|=0\) ➜ \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
এবং \(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\)
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array}\right|\)

\(\Rightarrow \{\overline{r}-(5\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k})\}.[\{-1\times -5-2\times 3\}\hat{i}-\{2\times -5-2\times 1\}\hat{j}+\{2\times 3-(-1)\times 1\}\hat{k}]=0\)
\(\Rightarrow \{\overline{r}-(5\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k})\}.[\{5-6\}\hat{i}-\{-10-2\}\hat{j}+\{6+1\}\hat{k}]=0\)
\(\Rightarrow \{\overline{r}-(5\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k})\}.(-\hat{i}+12\hat{j}+7\hat{k})=0\)
\(\Rightarrow \overline{r}.(-\hat{i}+12\hat{j}+7\hat{k})-(5\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}).(-\hat{i}+12\hat{j}+7\hat{k})=0\)
\(\Rightarrow \overline{r}.(-\hat{i}+12\hat{j}+7\hat{k})-(5\times -1+2\times 12+(-3)\times 7)=0\) ➜ \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}).(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}\)

\(\Rightarrow \overline{r}.(-\hat{i}+12\hat{j}+7\hat{k})-(-5+24-21)=0\)
\(\Rightarrow \overline{r}.(-\hat{i}+12\hat{j}+7\hat{k})-(-26+24)=0\)
\(\Rightarrow \overline{r}.(-\hat{i}+12\hat{j}+7\hat{k})-(-2)=0\)
\(\Rightarrow \overline{r}.(-\hat{i}+12\hat{j}+7\hat{k})+2=0\)
\(\Rightarrow \overline{r}.(\hat{i}-12\hat{j}-7\hat{k})-2=0\)
\(\therefore \overline{r}.(\hat{i}-12\hat{j}-7\hat{k})=2\)
ইহাই নির্ণেয় সমতলের ভেক্টর সমীকরণ।

উদাহরণ \(10.\) \(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k},\) \(3\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}\) ভেক্টরগামী এবং \(\hat{i}+5\hat{k}\) ভেক্টরের সমান্তরাল সমতলের ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}.(10\hat{i}-9\hat{j}-2\hat{k})=17\)

সমাধানঃ

ধরি,
\(A(\overline{a})=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\)
\(B(\overline{b})=3\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}\)
এবং \(\overline{c}=\hat{i}+5\hat{k}\)
এখন, \(A(\overline{a}),\) \(B(\overline{b})\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{c}\) ভেক্টরের সমান্তরাল সমতলের ভেক্টর সমীকরণ
\((\overline{r}-\overline{a}).\{(\overline{b}-\overline{a})\times\overline{c}\}=0\) ➜
\(\Rightarrow \{\overline{r}-(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})\}.\{(3\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}-\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})\times(\hat{i}+5\hat{k})\}=0\) ➜
\(\Rightarrow \{\overline{r}-(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})\}.\{(2\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k})\times(\hat{i}+5\hat{k})\}=0\)
\(\Rightarrow \{\overline{r}-(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})\}.\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\2&2&1\\1&0&5 \end{array}\right|=0\) ➜ \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
এবং \(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\)
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array}\right|\)

\(\Rightarrow \{\overline{r}-(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})\}.[\{2\times 5-1\times 0\}\hat{i}-\{2\times 5-1\times 1\}\hat{j}+\{2\times 0-2\times 1\}\hat{k}]=0\)
\(\Rightarrow \{\overline{r}-(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})\}.[\{10-0\}\hat{i}-\{10-1\}\hat{j}+\{0-2\}\hat{k}]=0\)
\(\Rightarrow \{\overline{r}-(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})\}.(10\hat{i}-9\hat{j}-2\hat{k})=0\)
\(\Rightarrow \overline{r}.(10\hat{i}-9\hat{j}-2\hat{k})-(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}).(10\hat{i}-9\hat{j}-2\hat{k})=0\)
\(\Rightarrow \overline{r}.(10\hat{i}-9\hat{j}-2\hat{k})-(1\times 10+(-1)\times -9+1\times -2)=0\) ➜ \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}).(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}\)

\(\Rightarrow \overline{r}.(10\hat{i}-9\hat{j}-2\hat{k})-(10+9-2)=0\)
\(\Rightarrow \overline{r}.(10\hat{i}-9\hat{j}-2\hat{k})-(19-2)=0\)
\(\Rightarrow \overline{r}.(10\hat{i}-9\hat{j}-2\hat{k})-17=0\)
\(\therefore \overline{r}.(10\hat{i}-9\hat{j}-2\hat{k})=17\)
ইহাই নির্ণেয় সমতলের ভেক্টর সমীকরণ।

উদাহরণ \(11.\) \(2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k},\) \(\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}\) ভেক্টরগামী যে সমতল \(\overline{r}=\hat{i}+2\hat{i}+3\hat{k}+t(2\hat{i}+\hat{i}+\hat{k})\) রেখার সমান্তরাল, তার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}.(4\hat{i}-5\hat{j}-3\hat{k})=-10\)

জাতীয়ঃ ১৯৯৮ ।

সমাধানঃ

ধরি,
\(A(\overline{a})=2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}\)
\(B(\overline{b})=\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}\)
এবং \(\overline{r}=\overline{c}+t\overline{d}\)
যেখানে, \(\overline{c}=\hat{i}+2\hat{i}+3\hat{k}, \ \overline{d}=2\hat{i}+\hat{i}+\hat{k}\)
এখন, \(A(\overline{a}),\) \(B(\overline{b})\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{r}=\overline{c}+t\overline{d}\) সরলরেখার সমান্তরাল সমতলের ভেক্টর সমীকরণ
\((\overline{r}-\overline{a}).\{(\overline{b}-\overline{a})\times\overline{d}\}=0\) ➜
\(\Rightarrow \{\overline{r}-(2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k})\}.\{(\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}-2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k})\times(2\hat{i}+\hat{i}+\hat{k})\}=0\) ➜
\(\Rightarrow \{\overline{r}-(2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k})\}.\{(-\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k})\times(2\hat{i}+\hat{i}+\hat{k})\}=0\)
\(\Rightarrow \{\overline{r}-(2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k})\}.\left|\begin{array}{c} \ \ \hat{i}& \ \ \hat{j}&\hat{k}\\-1&-2&2\\ \ \ 2& \ \ 1&1 \end{array}\right|=0\) ➜ \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
এবং \(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\)
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array}\right|\)

\(\Rightarrow \{\overline{r}-(2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k})\}.[\{-2\times 1-2\times 1\}\hat{i}-\{-1\times 1-2\times 2\}\hat{j}+\{-1\times 1-(-2)\times 2\}\hat{k}]=0\)
\(\Rightarrow \{\overline{r}-(2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k})\}.[\{-2-2\}\hat{i}-\{-1-4\}\hat{j}+\{-1+4\}\hat{k}]=0\)
\(\Rightarrow \{\overline{r}-(2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k})\}.(-4\hat{i}+5\hat{j}+3\hat{k})=0\)
\(\Rightarrow \overline{r}.(-4\hat{i}+5\hat{j}+3\hat{k})-(2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}).(-4\hat{i}+5\hat{j}+3\hat{k})=0\)
\(\Rightarrow \overline{r}.(-4\hat{i}+5\hat{j}+3\hat{k})-(2\times -4+3\times 5+1\times 3)=0\) ➜ \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}).(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}\)

\(\Rightarrow \overline{r}.(-4\hat{i}+5\hat{j}+3\hat{k})-(-8+15+3)=0\)
\(\Rightarrow \overline{r}.(-4\hat{i}+5\hat{j}+3\hat{k})-(-8+18)=0\)
\(\Rightarrow \overline{r}.(-4\hat{i}+5\hat{j}+3\hat{k})-10=0\)
\(\Rightarrow \overline{r}.(4\hat{i}-5\hat{j}-3\hat{k})+10=0\)
\(\therefore \overline{r}.(4\hat{i}-5\hat{j}-3\hat{k})=-10\)
ইহাই নির্ণেয় সমতলের ভেক্টর সমীকরণ।

উদাহরণ \(12.\) \((1,2,4),\) \((3,4,5)\) বিন্দুগামী সমতলের ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর যাহা \(4\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}\) ভেক্টরের সমান্তরাল ।
উত্তরঃ \(\overline{r}.(\hat{i}-2\hat{k})+7=0\)

জাতীয়ঃ ২০১৭,২০১৩; ঢাবিঃ২০০৭,২০০৩; ঢাঃএফিঃ ২০১৭ ।

সমাধানঃ

ধরি,
\((1,2,4)\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(A(\overline{a})=\hat{i}+2\hat{j}+4\hat{k}\)
\((3,4,5)\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(B(\overline{b})=3\hat{i}+4\hat{j}+5\hat{k}\)
এবং \(\overline{c}=4\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}\)
এখন, \(A(\overline{a}),\) \(B(\overline{b})\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{c}\) ভেক্টরের সমান্তরাল সমতলের ভেক্টর সমীকরণ
\((\overline{r}-\overline{a}).\{(\overline{b}-\overline{a})\times\overline{c}\}=0\) ➜
\(\Rightarrow \{\overline{r}-(\hat{i}+2\hat{j}+4\hat{k})\}.\{(3\hat{i}+4\hat{j}+5\hat{k}-\hat{i}-2\hat{j}-4\hat{k})\times(4\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k})\}=0\) ➜
\(\Rightarrow \{\overline{r}-(\hat{i}+2\hat{j}+4\hat{k})\}.\{(2\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k})\times(4\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k})\}=0\)
\(\Rightarrow \{\overline{r}-(\hat{i}+2\hat{j}+4\hat{k})\}.\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\2&2&1\\4&3&2 \end{array}\right|=0\) ➜ \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
এবং \(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\)
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array}\right|\)

\(\Rightarrow \{\overline{r}-(\hat{i}+2\hat{j}+4\hat{k})\}.[\{2\times 2-1\times 3\}\hat{i}-\{2\times 2-1\times 4\}\hat{j}+\{2\times 3-2\times 4\}\hat{k}]=0\)
\(\Rightarrow \{\overline{r}-(\hat{i}+2\hat{j}+4\hat{k})\}.[\{4-3\}\hat{i}-\{4-4\}\hat{j}+\{6-8\}\hat{k}]=0\)
\(\Rightarrow \{\overline{r}-(\hat{i}+2\hat{j}+4\hat{k})\}.(\hat{i}-0\hat{j}-2\hat{k})=0\)
\(\Rightarrow \{\overline{r}-(\hat{i}+2\hat{j}+4\hat{k})\}.(\hat{i}-2\hat{k})=0\)
\(\Rightarrow \overline{r}.(\hat{i}-2\hat{k})-(\hat{i}+2\hat{j}+4\hat{k}).(\hat{i}-2\hat{k})=0\)
\(\Rightarrow \overline{r}.(\hat{i}-2\hat{k})-(1\times 1+2\times 0+4\times -2)=0\) ➜ \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}).(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}\)

\(\Rightarrow \overline{r}.(\hat{i}-2\hat{k})-(1+0-8)=0\)
\(\Rightarrow \overline{r}.(\hat{i}-2\hat{k})-(-7)=0\)
\(\therefore \overline{r}.(\hat{i}-2\hat{k})+7=0\)
ইহাই নির্ণেয় সমতলের ভেক্টর সমীকরণ।

উদাহরণ \(13.\) \(\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-4}{4}\) এবং \(\frac{x-2}{2}=\frac{y-4}{4}=\frac{z-5}{5}\) সরলরেখদ্বয়ের মধ্যে ন্যূনতম দূরত্ব এবং ন্যূনতম দূরত্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ\(1;\) \(14x-8y-z+6=0=2x-y\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-4}{4}\) এবং \(\frac{x-2}{2}=\frac{y-4}{4}=\frac{z-5}{5}\)
\(\Rightarrow \overline{r}=\hat{i}+2\hat{j}+4\hat{k}+t(2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k})\) এবং \(\overline{r}=2\hat{i}+4\hat{j}+5\hat{k}+s(2\hat{i}+4\hat{j}+5\hat{k})\)
\(\Rightarrow \overline{r}=\overline{p_{1}}+t\overline{q_{1}}\) এবং \(\overline{r}=\overline{p_{2}}+s\overline{q_{2}}\)
যেখানে, \(\overline{p_{1}}=\hat{i}+2\hat{j}+4\hat{k}, \overline{q_{1}}=2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}\)
এবং \(\overline{p_{2}}=2\hat{i}+4\hat{j}+5\hat{k}, \overline{q_{2}}=2\hat{i}+4\hat{j}+5\hat{k}\)
এখন, \(\overline{q_{1}}\times\overline{q_{2}}=(2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k})\times(2\hat{i}+4\hat{j}+5\hat{k})\)
\(=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\2&3&4\\2&4&5 \end{array}\right|\) ➜ \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
এবং \(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\)
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array}\right|\)

\(=\{3\times 5-4\times 4\}\hat{i}-\{2\times 5-4\times 2\}\hat{j}+\{2\times 4-3\times 2\}\hat{k}\)
\(=\{15-16\}\hat{i}-\{10-8\}\hat{j}+\{8-6\}\hat{k}\)
\(=-\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k}\)
\(\therefore \overline{q_{1}}\times\overline{q_{2}}=-\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k}\)
\(\Rightarrow |\overline{q_{1}}\times\overline{q_{2}}|=|-\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k}|\)
\(=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2+2^2}\) ➜ \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{1+4+4}\)
\(=\sqrt{9}\)
\(=3\)
\(\therefore |\overline{q_{1}}\times\overline{q_{2}}|=3\)
আবার, \(\overline{q_{1}}.\overline{q_{2}}=(2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}).(2\hat{i}+4\hat{j}+5\hat{k})\)
\(=2\times 2+3\times 4+4\times 5\) ➜ \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}).(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}\)

\(=4+12+20\)
\(=36\)
\(\therefore \overline{q_{1}}.\overline{q_{2}}=36\)
আবার, \(\overline{q_{1}}.\overline{q_{1}}=(2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}).(2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k})\)
\(=2\times 2+3\times 3+4\times 4\) ➜ \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}).(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}\)

\(=4+9+16\)
\(=29\)
\(\therefore \overline{q_{1}}.\overline{q_{1}}=29\)
আবার, \(\overline{q_{2}}.\overline{q_{2}}=(2\hat{i}+4\hat{j}+5\hat{k}).(2\hat{i}+4\hat{j}+5\hat{k})\)
\(=2\times 2+4\times 4+5\times 5\) ➜ \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}).(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}\)

\(=4+16+25\)
\(=45\)
\(\therefore \overline{q_{2}}.\overline{q_{2}}=45\)
সরলরেখদ্বয়ের মধ্যে ন্যূনতম দূরত্ব
\(=\left|(\overline{p_{1}}-\overline{p_{2}}).\frac{\overline{q_{1}}\times\overline{q_{2}}}{|\overline{q_{1}}\times\overline{q_{2}}|}\right|\) ➜
\(=\left|(\hat{i}+2\hat{j}+4\hat{k}-2\hat{i}-4\hat{j}-5\hat{k}).\frac{-\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k}}{3}\right|\) ➜
\(=\left|(-\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}).\frac{-\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k}}{3}\right|\)
\(=\left|\frac{1}{3}(-\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}).(-\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k})\right|\)
\(=\left|\frac{1}{3}(-1\times -1+(-2)\times -2+(-1)\times 2)\right|\) ➜ \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}).(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}\)

\(=\left|\frac{1}{3}(1+4-2)\right|\)
\(=\left|\frac{1}{3}(5-2)\right|\)
\(=\left|\frac{1}{3}(3)\right|\)
\(=\left|1\right|\)
\(=1\)
ইহাই নির্ণেয় ন্যূনতম দূরত্ব।
ন্যূনতম দূরত্ব রেখার সমীকরণ
\((\overline{r}-\overline{p_{1}}).\{\overline{q_{1}}\times(\overline{q_{1}}\times\overline{q_{2}})\}=0=(\overline{r}-\overline{p_{2}}).\{\overline{q_{2}}\times(\overline{q_{1}}\times\overline{q_{2}})\}\) ➜
\(\Rightarrow (\overline{r}-\overline{p_{1}}).\{(\overline{q_{1}}.\overline{q_{2}})\overline{q_{1}}-(\overline{q_{1}}.\overline{q_{1}})\overline{q_{2}}\}=0=(\overline{r}-\overline{p_{2}}).\{(\overline{q_{2}}.\overline{q_{2}})\overline{q_{1}}-(\overline{q_{2}}.\overline{q_{1}})\overline{q_{2}}\}\) ➜
\(\Rightarrow (\overline{r}-\overline{p_{1}}).\{36(2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k})-29(2\hat{i}+4\hat{j}+5\hat{k})\}=0=(\overline{r}-\overline{p_{2}}).\{45(2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k})-36(2\hat{i}+4\hat{j}+5\hat{k})\}\) ➜
\(\Rightarrow (x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}-\hat{i}-2\hat{j}-4\hat{k}).\{72\hat{i}+108\hat{j}+144\hat{k}-58\hat{i}-116\hat{j}-145\hat{k}\}=0=(x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}-2\hat{i}-4\hat{j}-5\hat{k}).\{90\hat{i}+135\hat{j}+180\hat{k}-72\hat{i}-144\hat{j}-180\hat{k}\}\) ➜
\(\Rightarrow \{(x-1)\hat{i}+(y-2)\hat{j}+(z-4)\hat{k}\}.(14\hat{i}-8\hat{j}-\hat{k})=0=\{(x-2)\hat{i}+(y-4)\hat{j}+(z-5)\hat{k}\}.(18\hat{i}-9\hat{j})\)
\(\Rightarrow 14(x-1)-8(y-2)-(z-4)=0=18(x-2)-9(y-4)+0(z-5)\) ➜ \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}).(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}\)

\(\Rightarrow 14x-14-8y+16-z+4=0=18x-36-9y+36\)
\(\Rightarrow 14x-8y-z+20-14=0=18x-9y\)
\(\Rightarrow 14x-8y-z+6=0=9(2x-y)\)
\(\therefore 14x-8y-z+6=0=2x-y\)
ইহাই নির্ণেয় ন্যূনতম দূরত্ব রেখার সমীকরণ।

উদাহরণ \(14.\) \(\overline{r}=\overline{a}+t\overline{b}\) এবং \(\overline{r}=\overline{c}+s\overline{d}\) সরলরেখদ্বয়ের মধ্যে ন্যূনতম দূরত্ব নির্ণয় কর।
যেখানে, \(\overline{a}=6\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}, \ \overline{b}=\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k}, \ \overline{c}=-4\hat{i}-\hat{k}\) এবং \(\overline{d}=3\hat{i}-2\hat{j}-2\hat{k}\)
উত্তরঃ \(9\)

জাতীয়ঃ ২০০৫ ।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(\overline{r}=\overline{a}+t\overline{b}\) এবং \(\overline{r}=\overline{c}+s\overline{d}\)
যেখানে, \(\overline{a}=6\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}, \ \overline{b}=\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k}, \ \overline{c}=-4\hat{i}-\hat{k}\) এবং \(\overline{d}=3\hat{i}-2\hat{j}-2\hat{k}\)
এখন, \(\overline{b}\times\overline{d}=(\hat{i}-2\hat{j}+2\hat{k})\times(3\hat{i}-2\hat{j}-2\hat{k})\)
\(=\left|\begin{array}{c}\hat{i}& \ \ \hat{j}& \ \ \hat{k}\\1&-2& \ \ 2\\3&-2&-2 \end{array}\right|\) ➜ \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
এবং \(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\)
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array}\right|\)

\(=\{-2\times -2-2\times -2\}\hat{i}-\{1\times -2-2\times 3\}\hat{j}+\{1\times -2-(-2)\times 3\}\hat{k}\)
\(=\{4+4\}\hat{i}-\{-2-6\}\hat{j}+\{-2+6\}\hat{k}\)
\(=8\hat{i}+8\hat{j}+4\hat{k}\)
\(\therefore \overline{b}\times\overline{d}=8\hat{i}+8\hat{j}+4\hat{k}\)
\(\Rightarrow |\overline{b}\times\overline{d}|=|8\hat{i}+8\hat{j}+4\hat{k}|\)
\(=\sqrt{8^2+8^2+4^2}\) ➜ \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{64+64+16}\)
\(=\sqrt{144}\)
\(=12\)
\(\therefore |\overline{b}\times\overline{d}|=12\)
সরলরেখদ্বয়ের মধ্যে ন্যূনতম দূরত্ব
\(=\left|(\overline{a}-\overline{c}).\frac{\overline{b}\times\overline{d}}{|\overline{b}\times\overline{d}|}\right|\) ➜
\(=\left|(6\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}+4\hat{i}+\hat{k}).\frac{8\hat{i}+8\hat{j}+4\hat{k}}{12}\right|\) ➜
\(=\left|(10\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}).\frac{8\hat{i}+8\hat{j}+4\hat{k}}{12}\right|\)
\(=\left|\frac{1}{12}(10\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}).(8\hat{i}+8\hat{j}+4\hat{k})\right|\)
\(=\left|\frac{1}{12}(10\times 8+2\times 8+3\times 4)\right|\) ➜ \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}).(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}\)

\(=\left|\frac{1}{12}(80+16+12)\right|\)
\(=\left|\frac{1}{12}(108)\right|\)
\(=\left|9\right|\)
\(=9\)
ইহাই নির্ণেয় ন্যূনতম দূরত্ব।

উদাহরণ \(17.\) একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর যার শীর্ষ বিন্দুগুলো \(\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k},\) \(2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(-\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}.\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\sqrt{107}\) বর্গ একক।

জাতীয়ঃ পাসঃ ২০১৪; রাঃ ১৯৮৬ ।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
শীর্ষ বিন্দুগুলো \(\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k},\) \(2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(-\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}.\)
\(\therefore A(1,3,2)\) \(B(2,-1,1)\) এবং \(C(-1,2,3)\)
এখন, \(\overrightarrow{AB}=(2-1)\hat{i}+(-1-3)\hat{j}+(1-2)\hat{k}\) ➜
\(\therefore \overrightarrow{AB}=\hat{i}-4\hat{j}-k\hat{k}\)
আবার, \(\overrightarrow{AC}=(-1-1)\hat{i}+(2-3)\hat{j}+(3-2)\hat{k}\) ➜
\(\therefore \overrightarrow{AC}=-2\hat{i}-\hat{j}+k\hat{k}\)
আবার, \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(\hat{i}-4\hat{j}-k\hat{k})\times(-2\hat{i}-\hat{j}+k\hat{k})\) ➜ \(\because \overrightarrow{AB}=\hat{i}-4\hat{j}-k\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{AC}=-2\hat{i}-\hat{j}+k\hat{k}\)

\(=\left|\begin{array}{c} \ \ \hat{i}& \ \ \hat{j}& \ \ \hat{k}\\ \ \ 1&-4&-1\\-2&-1& \ \ 1\end{array}\right|\) ➜ \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
এবং \(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array}\right|\)

\(=\{4\times(-1)-1\times 1\}\hat{i}-\{(-1)\times(-1)-1\times 2\}\hat{j}+\{-1\times 1-4\times 2\}\hat{k}\)
\(=\{-4-1\}\hat{i}-\{1-2\}\hat{j}+\{-1-8\}\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=-5\hat{i}+\hat{j}-9\hat{k}\)
\(\therefore |\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=|-5\hat{i}+\hat{j}-9\hat{k}|\)
\(=\sqrt{(-5)^2+1^2+(-9)^2}\) ➜ \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{25+1+81}\)
\(\therefore |\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=\sqrt{107}\)
এখন, \(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|\) ➜ \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\)
\(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\) হলে,
\(\triangle{OAB}=\frac{1}{2}|\overline{a}\times\overline{b}|\)

\(=\frac{1}{2}\sqrt{107}\) ➜ \(\because |\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=\sqrt{107}\)

\(\therefore \) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\sqrt{107}\) বর্গ একক।

উদাহরণ \(19.\) কোনো সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় \(3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}\) এবং \(\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\) দ্বারা সূচিত হলে সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5\sqrt{3}\) বর্গ একক।

জাতীয়ঃ ১৯৯৬ ।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় \(3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}\) এবং \(\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\) দ্বারা সূচিত।
ধরি,
\(\overline{a}=3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\)
এখন, \(\overline{a}\times\overline{b}=(3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k})\times(\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k})\) ➜
\(=\left|\begin{array}{c}\hat{i}& \ \ \hat{j}& \ \ \hat{k}\\ 3& \ \ 1&-2\\ 1&-3& \ \ 4 \end{array}\right|\) ➜ \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k})\times(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}& \ \ \hat{j}& \ \ \hat{k}\\ A_{1}&A_{2}&A_{3}\\ B_{1}&B_{2}&B_{3} \end{array}\right|\)

\(=\{1\times{4}-(-2)\times{-3}\}\hat{i}-\{3\times{4}-(-2)\times{1}\}\hat{j}+\{3\times{-3}-1\times{1}\}\hat{k}\)
\(=\{4-6\}\hat{i}-\{12+2\}\hat{j}+\{-9-1\}\hat{k}\)
\(=-2\hat{i}-14\hat{j}-10\hat{k}\)
\(\therefore \overline{a}\times\overline{b}=-2\hat{i}-14\hat{j}-10\hat{k}\)
\(\therefore |\overline{a}\times\overline{b}|=|-2\hat{i}-14\hat{j}-10\hat{k}|\)
\(=\sqrt{(-2)^2+(-14)^2+(-10)^2}\) ➜ \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{4+196+100}\)
\(=\sqrt{300}\)
\(=\sqrt{100\times 3}\)
\(=10\sqrt{3}\)
\(\therefore |\overline{a}\times\overline{b}|=10\sqrt{3}\)
সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}|\overline{a}\times\overline{b}|\) ➜ সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় \(\overline{A}, \ \overline{B}\) হলে,
ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}|\overline{A}\times\overline{B}|\)

\(=\frac{1}{2}\times 10\sqrt{3}\)
\(=5\sqrt{3}\)
\(\therefore\) সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফল \(=5\sqrt{3}\) বর্গ একক।

উদাহরণ \(20.\) একটি চতুস্তলকের আয়তন নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দুসমূহ \(\hat{j}+2\hat{k}, \ 3\hat{i}+\hat{k}, \ 4\hat{i}+3\hat{j}+6\hat{k}\) এবং \(2\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}.\)
উত্তরঃ \(6\) ঘন একক।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
চতুস্তলকের শীর্ষবিন্দুসমূহ \(\hat{i}+2\hat{k}, \ 3\hat{i}+\hat{k}, \ 4\hat{i}+3\hat{j}+6\hat{k}\) এবং \(2\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}.\)
অর্থাৎ, \(A(0,1,2), \ B(3,0,1), \ C(4,3,6)\) এবং \( D(2,3,2)\)
তাহলে, \(\overrightarrow{AB}=(3-0)\hat{i}+(0-1)\hat{j}+(1-2)\hat{k}\) ➜
\(=3\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}=3\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}\)
\(\overrightarrow{AC}=(4-0)\hat{i}+(3-1)\hat{j}+(6-2)\hat{k}\) ➜
\(=4\hat{i}+2\hat{j}+4\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{AC}=4\hat{i}+2\hat{j}+4\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{AD}=(2-0)\hat{i}+(3-1)\hat{j}+(2-2)\hat{k}\) ➜
\(=2\hat{i}+2\hat{j}+0\hat{k}\)
\(=2\hat{i}+2\hat{j}\)
\(\therefore \overrightarrow{AD}=2\hat{i}+2\hat{j}\)
এখন, \(ABCD\) চতুস্তলকের আয়তন
\(=\frac{1}{6}[\overrightarrow{AB} \ \overrightarrow{AC} \ \overrightarrow{AD}]\) ঘন একক।
\(=\frac{1}{6}\{\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD})\}\) ➜
\(=\frac{1}{6}[(3\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}).\{(4\hat{i}+2\hat{j}+4\hat{k})\times(2\hat{i}+2\hat{j})\}]\) ➜
\(=\frac{1}{6}\left|\begin{array}{c}3&-1&-1\\ 4& \ \ 2& \ \ 4\\ 2& \ \ 2& \ \ 0 \end{array}\right|\) ➜ \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
\(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\)
এবং \(c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k}\) হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}).\{(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})\times{(c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k})}\}=\left|\begin{array}{c}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\\ c_{1}&c_{2}&c_{3} \end{array}\right|\)

\(=\frac{1}{6}[3\{2\times 0-4\times 2\}+1\{4\times 0-4\times 2\}-1\{4\times 2-2\times 2\}]\)
\(=\frac{1}{6}[3\{0-8\}+\{0-8\}-1\{8-4\}]\)
\(=\frac{1}{6}[-24-8-4]\)
\(=\frac{1}{6}[-36]\)
\(=-6\)
\(\therefore \) চতুস্তলকের আয়তন \(6\) ঘন একক। (আয়তন ঋণাত্মক হতে পারে না)

উদাহরণ \(24.\) \(A(1,2,3)\) \(B(2,3,1)\) এবং \(C(3,1,2)\) বিন্দুত্রয় একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।
\((a)\) দেখাও যে, \(ABC\) সমবাহু ত্রিভুজ।
\((b)\) \(A\) কোণের মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(ABC\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) 60^{o}, \ (c) \frac{3\sqrt{3}}{2}\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(A(1,2,3)\) \(B(2,3,1)\) এবং \(C(3,1,2)\) বিন্দুত্রয় একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।
\((a)\)
এখন, \(\overrightarrow{AB}=(2-1)\hat{i}+(3-2)\hat{j}+(1-3)\hat{k}\) ➜
\(=\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}=\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}\)
\(\therefore |\overrightarrow{AB}|=|\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}|\)
\(=\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}\) ➜ \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{1+1+4}\)
\(=\sqrt{6}\)
\(\therefore |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{6}\)
আবার, \(\overrightarrow{BC}=(3-2)\hat{i}+(1-3)\hat{j}+(2-1)\hat{k}\) ➜
\(=\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{BC}=\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\)
\(\therefore |\overrightarrow{BC}|=|\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}|\)
\(=\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2}\) ➜ \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{1+4+1}\)
\(=\sqrt{6}\)
\(\therefore |\overrightarrow{BC}|=\sqrt{6}\)
আবার, \(\overrightarrow{AC}=(3-1)\hat{i}+(1-2)\hat{j}+(2-3)\hat{k}\) ➜
\(=\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{AC}=2\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}\)
\(\therefore |\overrightarrow{AC}|=|2\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}|\)
\(=\sqrt{2^2+(-1)^2+(-1)^2}\) ➜ \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{4+1+1}\)
\(=\sqrt{6}\)
\(\therefore |\overrightarrow{AC}|=\sqrt{6}\)
\(\therefore |\overrightarrow{B}|=|\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{6}\)
\(\therefore ABC\) ত্রিভুজটি সমবাহু
( দেখানো হলো )
\((b)\)
\((a)\) হতে প্রাপ্ত
\(\overrightarrow{AB}=\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{AC}=2\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}\)
\(\overrightarrow{AB}\) ও \(\overrightarrow{AC}\) ভেক্টরদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ \(\angle{A}\)
\(\therefore \angle{A}=\cos^{-1}{\left(\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}|}\right)}\) ➜
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{(\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}).(2\hat{i}-\hat{j}-\hat{k})}{\sqrt{6}\sqrt{6}}\right)}\) ➜
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{1\times 2+(-2)\times -1+1\times -1}{6}\right)}\) ➜ \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}).(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}\)

\(=\cos^{-1}{\left(\frac{2+2-1}{6}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{3}{6}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{1}{2}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\cos{60^{o}}\right)}\)
\(=60^{o}\)
\(\therefore \angle{A}=60^{o}\)
\((c)\)
\((a)\) হতে প্রাপ্ত
\(\overrightarrow{AB}=\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{AC}=2\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}\)
এখন, \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k})\times(2\hat{i}-\hat{j}-\hat{k})\) ➜
\(=\left|\begin{array}{c}\hat{i}& \ \ \hat{j}& \ \ \hat{k}\\1& \ \ 1&-2\\ 2&-1&-1 \end{array}\right|\) ➜ \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
এবং \(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\)
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array}\right|\)

\(=\{1\times -1-(-2)\times -1\}\hat{i}-\{1\times -1-(-2)\times 2\}\hat{j}+\{1\times -1-1\times 2\}\hat{k}\)
\(=\{-1-2\}\hat{i}-\{-1+4\}\hat{j}+\{-1-2\}\hat{k}\)
\(=-3\hat{i}-3\hat{j}-3\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=-3\hat{i}-3\hat{j}-3\hat{k}\)
এখন, \(\triangle{ABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|\) ➜
\(=\frac{1}{2}|-3\hat{i}-3\hat{j}-3\hat{k}|\) ➜
\(=\frac{1}{2}\sqrt{(-3)^2+(-3)^2+(-3)^2}\) ➜ \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\frac{1}{2}\sqrt{9+9+9}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{9\times 3}\)
\(=\frac{1}{2}3\sqrt{3}\)
\(=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
\(\therefore\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\frac{3\sqrt{3}}{2}\) বর্গ একক।

উদাহরণ \(25.\) \(\overline{A}=2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k};\) \(\overline{B}=-\hat{i}-4\hat{j}+7\hat{k}\) এবং তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(P(-3,-2,-1), \ Q(4,0,-3)\) এবং \(S(6,-7,8)\)
\((a)\) উদাহরণসহ একক ভেক্টরে সংজ্ঞা দাও।
\((b)\) উদ্দীপকের আলোকে \(\overline{A}\) বরাবর \(\overline{B}\) এর উপাংশ নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকের আলোকে \(PQS\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) \frac{3}{14}(2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}), \ (c) 48.57\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

\((a)\)
একক ভেক্টরঃ কোনো ভেক্টরের দৈর্ঘ্য অথবা তার মাণ \(1\) হলে, তাকে একক ভেক্টর বলে।
উদাহরণঃ \(\overline{a}\) একটি ভেক্টর রাশি যার মাণ \(|\overline{a}|\)
\(\therefore \overline{a}\) বরাবর একক ভেক্টর \(\hat{a}=\frac{\overline{a}}{|\overline{a}|}\)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(\overline{A}=2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k};\) \(\overline{B}=-\hat{i}-4\hat{j}+7\hat{k}\)
এখন, \(|\overline{A}|=|2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}|\)
\(=\sqrt{2^2+(-3)^2+(-1)^2}\) ➜ \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{4+9+1}\)
\(=\sqrt{14}\)
\(\therefore |\overline{A}|=\sqrt{14}\)
\(\therefore \overline{A}\) বরাবর একক ভেক্টর \(\hat{a}=\frac{\overline{A}}{|\overline{A}|}\)
\(\therefore \hat{a}=\frac{2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}}{\sqrt{14}}\) ➜
\(\overline{A}\) বরাবর \(\overline{B}\) এর উপাংশ \(=(\hat{a}.\overline{B})\hat{a}\)
\(=\{\frac{2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}}{\sqrt{14}}.(-\hat{i}-4\hat{j}+7\hat{k})\}\hat{a}\) ➜
\(=\frac{2\times -1+(-3)\times -4+(-1)\times 7}{\sqrt{14}}\hat{a}\) ➜ \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}).(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}\)

\(=\frac{-2+12-7}{\sqrt{14}}\hat{a}\)
\(=\frac{3}{\sqrt{14}}\hat{a}\)
\(=\frac{3}{\sqrt{14}}\frac{2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}}{\sqrt{14}}\) ➜
\(\therefore \overline{A}\) বরাবর \(\overline{B}\) এর উপাংশ \(=\frac{3}{14}(2\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k})\)
\((c)\)
দেওয়া আছে,
তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(P(-3,-2,-1), \ Q(4,0,-3)\) এবং \(S(6,-7,8)\)
এখন, \(\overrightarrow{PQ}=(4+3)\hat{i}+(0+2)\hat{j}+(-3+1)\hat{k}\) ➜
\(\therefore \overrightarrow{PQ}=7\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}\)
আবার, \(\overrightarrow{PS}=(6+3)\hat{i}+(-7+2)\hat{j}+(8+1)\hat{k}\) ➜
\(\therefore \overrightarrow{PS}=9\hat{i}-5\hat{j}+9\hat{k}\)
এখন, \(\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PS}=(7\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k})\times(9\hat{i}-5\hat{j}+9\hat{k})\) ➜
\(=\left|\begin{array}{c}\hat{i}& \ \ \hat{j}& \ \ \hat{k}\\7& \ \ 2&-2\\ 9&-5& \ \ 9 \end{array}\right|\) ➜ \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
এবং \(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\)
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array}\right|\)

\(=\{2\times 9-(-2)\times -5\}\hat{i}-\{7\times 9-(-2)\times 9\}\hat{j}+\{7\times -5-2\times 9\}\hat{k}\)
\(=\{18-10\}\hat{i}-\{63+18\}\hat{j}+\{-35-18\}\hat{k}\)
\(=8\hat{i}-81\hat{j}-53\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PS}=8\hat{i}-81\hat{j}-53\hat{k}\)
এখন, \(\triangle{PQS}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PS}|\) ➜
\(=\frac{1}{2}|8\hat{i}-81\hat{j}-53\hat{k}|\) ➜
\(=\frac{1}{2}\sqrt{(8^2+(-81)^2+(-53)^2}\) ➜ \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\frac{1}{2}\sqrt{64+6561+2809}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{9434}\)
\(=\frac{\sqrt{9434}}{2}\)
\(=\frac{97.12878}{2}\)
\(=48.57\)
\(\therefore\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=48.57\) বর্গ একক।

উদাহরণ \(26.\) \(\overline{a}=3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k};\) \(\overline{b}=\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=2\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}\)
\((a)\) \(\overline{a}.\overline{b}\) নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\overline{a}\) ও \(\overline{b}\) এর পরস্পরের উপর অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
\((c)\) দেখাও যে ভেক্টর তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে।
উত্তরঃ \((a) 14; \ \sqrt{14}; \ \frac{14}{\sqrt{35}}\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(\overline{a}=3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}\)
\((a)\)
এখন, \(\overline{a}.\overline{b}=(3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}).(\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k})\) ➜
\(=3\times 1+(-2)\times -3+1\times 5\) ➜ \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}).(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}\)

\(=3+6+5\)
\(=14\)
\(\therefore \overline{a}.\overline{b}=14\)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(\overline{a}=3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}\)
এখন, \(|\overline{a}|=|3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}|\)
\(=\sqrt{3^2+(-2)^2+1^2}\) ➜ \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{9+4+1}\)
\(=\sqrt{14}\)
\(\therefore |\overline{a}|=\sqrt{14}\)
আবার, \(|\overline{b}|=|\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}|\)
\(=\sqrt{1^2+(-3)^2+5^2}\) ➜ \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{1+9+25}\)
\(=\sqrt{35}\)
\(\therefore |\overline{b}|=\sqrt{35}\)
\((a)\) হতে প্রাপ্ত
\(\overline{a}.\overline{b}=14\)
\(\overline{a}\) বরাবর \(\overline{b}\) এর লম্ব অভিক্ষেপ,
\(=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{|\overline{a}|}\) ➜
\(=\frac{14}{\sqrt{14}}\) ➜
\(=\frac{\sqrt{14}\sqrt{14}}{\sqrt{14}}\)
\(=\sqrt{14}\)
আবার,
\(\overline{b}\) বরাবর \(\overline{a}\) এর লম্ব অভিক্ষেপ,
\(=\frac{\overline{a}.\overline{b}}{|\overline{b}|}\) ➜
\(=\frac{14}{\sqrt{35}}\) ➜
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(\overline{a}=3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k};\) \(\overline{b}=\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=2\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}\)
\((b)\) হতে প্রাপ্ত
\(a=|\overline{a}|=\sqrt{14}\)
এবং \(b=|\overline{b}|=\sqrt{35}\)
এখন, \(c=|\overline{c}|=|2\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}|\) ➜
\(=\sqrt{2^2+1^2+(-4)^2}\) ➜ \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{4+1+16}\)
\(=\sqrt{21}\)
\(\therefore c=\sqrt{21}\)
এখন, \(a^2+c^2=(\sqrt{14})^2+(\sqrt{21})^2\)
\(=14+21\)
\(=35\)
\(=(\sqrt{35})^2\)
\(=b^2\) ➜
\(\therefore a^2+c^2=b^2\)
\(\therefore \) বিন্দু তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে।

উদাহরণ \(29.\) \(A(3,-1,-1)\) \(B(2,1,3)\) এবং \(C(1,-2,5)\) বিন্দুত্রয় দিয়ে অঙ্কিত সমতলের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(16x-2y+5z-45=0\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(A(3,-1,-1)\) \(B(2,1,3)\) এবং \(C(1,-2,5)\)
ধরি,
সমতলের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x,y,z)\)
এখন, \(\overrightarrow{AP}=(x-3)\hat{i}+(y+1)\hat{j}+(z+1)\hat{k}\) ➜
আবার, \(\overrightarrow{AB}=(2-3)\hat{i}+(1+1)\hat{j}+(3+1)\hat{k}\) ➜
\(=-\hat{i}+2\hat{j}+4\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}=-\hat{i}+2\hat{j}+4\hat{k}\)
আবার, \(\overrightarrow{AC}=(1-3)\hat{i}+(-2+1)\hat{j}+(5+1)\hat{k}\) ➜
\(=-2\hat{i}-\hat{j}+6\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{AC}=-2\hat{i}-\hat{j}+6\hat{k}\)
যেহেতু বিন্দুগুলি একই সমতলে অবস্থান করে,
সুতরাং , \(\overrightarrow{AP}.(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})=0\)
\(\Rightarrow ((x-3)\hat{i}+(y+1)\hat{j}+(z+1)\hat{k}).\{(-\hat{i}+2\hat{j}+4\hat{k})\times(-2\hat{i}-\hat{j}+6\hat{k})\}=0\) ➜ \(\because \overrightarrow{AP}=(x-3)\hat{i}+(y+1)\hat{j}+(z+1)\hat{k}\)
\(\overrightarrow{AB}=-\hat{i}+2\hat{j}+4\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{AC}=-2\hat{i}-\hat{j}+6\hat{k}\)

\(\Rightarrow \left|\begin{array}{c}x-3&y+1&z+1\\-1& \ \ 2&4\\-2&-1& 6\end{array}\right|=0\) ➜ \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
\(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\)
এবং \(c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k}\) হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}).\{(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})\times(c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k})\}=\left|\begin{array}{c}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\\ c_{1}&c_{2}&c_{3} \end{array}\right|\)

\(\Rightarrow \{2\times 6-4\times -1\}(x-3)-\{(-1)\times 6-4\times -2\}(y+1)+\{-1\times -1-2\times -2\}(z+1)=0\)
\(\Rightarrow \{12+4\}(x-3)-\{-6+8\}(y+1)+\{1+4\}(z+1)=0\)
\(\Rightarrow 16(x-3)-2(y+1)+5(z+1)=0\)
\(\Rightarrow 16x-48-2y-2+5z+5=0\)
\(\therefore 16x-2y+5z-45=0\)
ইহাই নির্ণেয় সমতলের সমীকরণ।

৩

উদাহরণ \(31.\) \(A(1,2,3)\) \(B(2,3,1)\) এবং \(C(3,1,2)\) বিন্দুত্রয় একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।
\((a)\) দেখাও যে, \(ABC\) সমবাহু ত্রিভুজ।
\((b)\) \(A\) কোণের মাণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(ABC\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) 60^{o}, \ (c) \frac{3\sqrt{3}}{2}\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(A(1,2,3)\) \(B(2,3,1)\) এবং \(C(3,1,2)\) বিন্দুত্রয় একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।
\((a)\)
এখন, \(\overrightarrow{AB}=(2-1)\hat{i}+(3-2)\hat{j}+(1-3)\hat{k}\) ➜
\(=\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}=\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}\)
\(\therefore |\overrightarrow{AB}|=|\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}|\)
\(=\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}\) ➜ \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{1+1+4}\)
\(=\sqrt{6}\)
\(\therefore |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{6}\)
আবার, \(\overrightarrow{BC}=(3-2)\hat{i}+(1-3)\hat{j}+(2-1)\hat{k}\) ➜
\(=\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{BC}=\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\)
\(\therefore |\overrightarrow{BC}|=|\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}|\)
\(=\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2}\) ➜ \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{1+4+1}\)
\(=\sqrt{6}\)
\(\therefore |\overrightarrow{BC}|=\sqrt{6}\)
আবার, \(\overrightarrow{AC}=(3-1)\hat{i}+(1-2)\hat{j}+(2-3)\hat{k}\) ➜
\(=\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{AC}=2\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}\)
\(\therefore |\overrightarrow{AC}|=|2\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}|\)
\(=\sqrt{2^2+(-1)^2+(-1)^2}\) ➜ \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{4+1+1}\)
\(=\sqrt{6}\)
\(\therefore |\overrightarrow{AC}|=\sqrt{6}\)
\(\therefore |\overrightarrow{B}|=|\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{6}\)
\(\therefore ABC\) ত্রিভুজটি সমবাহু
( দেখানো হলো )
\((b)\)
\((a)\) হতে প্রাপ্ত
\(\overrightarrow{AB}=\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{AC}=2\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}\)
\(\overrightarrow{AB}\) ও \(\overrightarrow{AC}\) ভেক্টরদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ \(\angle{A}\)
\(\therefore \angle{A}=\cos^{-1}{\left(\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}|}\right)}\) ➜
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{(\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}).(2\hat{i}-\hat{j}-\hat{k})}{\sqrt{6}\sqrt{6}}\right)}\) ➜
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{1\times 2+(-2)\times -1+1\times -1}{6}\right)}\) ➜ \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}).(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}\)

\(=\cos^{-1}{\left(\frac{2+2-1}{6}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{3}{6}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{1}{2}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\cos{60^{o}}\right)}\)
\(=60^{o}\)
\(\therefore \angle{A}=60^{o}\)
\((c)\)
\((a)\) হতে প্রাপ্ত
\(\overrightarrow{AB}=\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{AC}=2\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}\)
এখন, \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k})\times(2\hat{i}-\hat{j}-\hat{k})\) ➜
\(=\left|\begin{array}{c}\hat{i}& \ \ \hat{j}& \ \ \hat{k}\\1& \ \ 1&-2\\ 2&-1&-1 \end{array}\right|\) ➜ \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
এবং \(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\)
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array}\right|\)

\(=\{1\times -1-(-2)\times -1\}\hat{i}-\{1\times -1-(-2)\times 2\}\hat{j}+\{1\times -1-1\times 2\}\hat{k}\)
\(=\{-1-2\}\hat{i}-\{-1+4\}\hat{j}+\{-1-2\}\hat{k}\)
\(=-3\hat{i}-3\hat{j}-3\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=-3\hat{i}-3\hat{j}-3\hat{k}\)
এখন, \(\triangle{ABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|\) ➜
\(=\frac{1}{2}|-3\hat{i}-3\hat{j}-3\hat{k}|\) ➜
\(=\frac{1}{2}\sqrt{(-3)^2+(-3)^2+(-3)^2}\) ➜ \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\frac{1}{2}\sqrt{9+9+9}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{9\times 3}\)
\(=\frac{1}{2}3\sqrt{3}\)
\(=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
\(\therefore\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\frac{3\sqrt{3}}{2}\) বর্গ একক।

উদাহরণ \(35.\) ভেক্টর পদ্ধতির সাহায্যে দেখাও যে, \((x_{1}, y_{1})\) ও \((x_{2}, y_{2})\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ \(\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}\)

সমাধানঃ

ধরি,
\((x,y)\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}\)
\((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{a}=x_{1}\hat{i}+y_{1}\hat{j}\)
\((x_{2}, y_{2})\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{b}=x_{2}\hat{i}+y_{2}\hat{j}\)
\((x_{1}, y_{1})\) ও \((x_{2}, y_{2})\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ \(\overline{r}=\overline{a}+t(\overline{b}-\overline{a})\) যেখানে, \(t\) একটি প্যারামিটার। ➜ \(\because (x_{1}, y_{1})\) ও \((x_{2}, y_{2})\) বিন্দুদ্বয়ের অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে,
\(\overline{a}=x_{1}\hat{i}+y_{1}\hat{j}\)
এবং \(\overline{b}=x_{2}\hat{i}+y_{2}\hat{j}\) হলে,
\((x_{1}, y_{1})\) ও \((x_{2}, y_{2})\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ হবে
\(\overline{r}=\overline{a}+t(\overline{b}-\overline{a})\) যেখানে, \(t\) একটি প্যারামিটার।

\(\Rightarrow x\hat{i}+y\hat{j}=x_{1}\hat{i}+y_{1}\hat{j}+t(x_{2}\hat{i}+y_{2}\hat{j}-x_{1}\hat{i}-y_{1}\hat{j})\) ➜
\(\Rightarrow x\hat{i}+y\hat{j}-x_{1}\hat{i}-y_{1}\hat{j}=x_{2}t\hat{i}+y_{2}t\hat{j}-x_{1}t\hat{i}-y_{1}t\hat{j}\)
\(\Rightarrow (x-x_{1})\hat{i}+(y-y_{1})\hat{j}=(x_{2}-x_{1})t\hat{i}+(y_{2}-y_{1})t\hat{j}\)
\(\Rightarrow (x-x_{1})=(x_{2}-x_{1})t, \ (y-y_{1})=(y_{2}-y_{1})t\) ➜
\(\Rightarrow \frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=t, \ \frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=t\)
\(\Rightarrow \frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=t\)
\(\therefore \frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}\)
( দেখানো হলো )

উদাহরণ \(37.\) \(A(3,-1,-1)\) \(B(2,1,3)\) এবং \(C(1,-2,5)\) বিন্দুত্রয় দিয়ে অঙ্কিত সমতলের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(16x-2y+5z-45=0\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(A(3,-1,-1)\) \(B(2,1,3)\) এবং \(C(1,-2,5)\)
ধরি,
সমতলের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x,y,z)\)
এখন, \(\overrightarrow{AP}=(x-3)\hat{i}+(y+1)\hat{j}+(z+1)\hat{k}\) ➜
আবার, \(\overrightarrow{AB}=(2-3)\hat{i}+(1+1)\hat{j}+(3+1)\hat{k}\) ➜
\(=-\hat{i}+2\hat{j}+4\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}=-\hat{i}+2\hat{j}+4\hat{k}\)
আবার, \(\overrightarrow{AC}=(1-3)\hat{i}+(-2+1)\hat{j}+(5+1)\hat{k}\) ➜
\(=-2\hat{i}-\hat{j}+6\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{AC}=-2\hat{i}-\hat{j}+6\hat{k}\)
যেহেতু বিন্দুগুলি একই সমতলে অবস্থান করে,
সুতরাং , \(\overrightarrow{AP}.(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})=0\)
\(\Rightarrow \{(x-3)\hat{i}+(y+1)\hat{j}+(z+1)\hat{k}\}.\{(-\hat{i}+2\hat{j}+4\hat{k})\times(-2\hat{i}-\hat{j}+6\hat{k})\}=0\) ➜ \(\because \overrightarrow{AP}=(x-3)\hat{i}+(y+1)\hat{j}+(z+1)\hat{k}\)
\(\overrightarrow{AB}=-\hat{i}+2\hat{j}+4\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{AC}=-2\hat{i}-\hat{j}+6\hat{k}\)

\(\Rightarrow \left|\begin{array}{c}x-3&y+1&z+1\\-1& \ \ 2&4\\-2&-1& 6\end{array}\right|=0\) ➜ \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
\(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\)
এবং \(c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k}\) হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}).\{(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})\times(c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k})\}=\left|\begin{array}{c}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\\ c_{1}&c_{2}&c_{3} \end{array}\right|\)

\(\Rightarrow \{2\times 6-4\times -1\}(x-3)-\{(-1)\times 6-4\times -2\}(y+1)+\{-1\times -1-2\times -2\}(z+1)=0\)
\(\Rightarrow \{12+4\}(x-3)-\{-6+8\}(y+1)+\{1+4\}(z+1)=0\)
\(\Rightarrow 16(x-3)-2(y+1)+5(z+1)=0\)
\(\Rightarrow 16x-48-2y-2+5z+5=0\)
\(\therefore 16x-2y+5z-45=0\)
ইহাই নির্ণেয় সমতলের সমীকরণ।

\(Q.2.(ii)\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দুগুলি \(3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k},\) \(\hat{i}-\hat{j}-3\hat{k}\) এবং \(4\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টর দ্বারা সূচিত হয়।
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\sqrt{165}\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি \(3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k},\) \(\hat{i}-\hat{j}-3\hat{k}\) এবং \(4\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টর দ্বারা সূচিত হয়।
\(\therefore A(3,-1,2)\) \(B(1,-1,-3)\) এবং \(C(4,-3,1)\)
এখন, \(\overrightarrow{AB}=(1-3)\hat{i}+(-1+1)\hat{j}+(-3-2)\hat{k}\) ➜
\(=-2\hat{i}-5\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}=-2\hat{i}-5\hat{k}\)
আবার, \(\overrightarrow{AC}=(4-3)\hat{i}+(-3+1)\hat{j}+(1-2)\hat{k}\) ➜
\(\therefore \overrightarrow{AC}=\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}\)
আবার, \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-2\hat{i}-5\hat{k})\times(\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k})\) ➜ \(\because \overrightarrow{AB}=-2\hat{i}-5\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{AC}=\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}\)

\(=\left|\begin{array}{c} \ \ \hat{i}& \ \ \hat{j}& \ \ \hat{k}\\-2& \ \ 0&-5\\ \ \ 1&-2&-1\end{array}\right|\) ➜ \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
এবং \(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array}\right|\)

\(=\{0\times(-1)-(-5)\times -2\}\hat{i}-\{(-2)\times(-1)-(-5)\times 1\}\hat{j}+\{-2\times -2-0\times 1\}\hat{k}\)
\(=\{0-10\}\hat{i}-\{2+5\}\hat{j}+\{4-0\}\hat{k}\)
\(=-10\hat{i}-7\hat{j}+4\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=-10\hat{i}-7\hat{j}+4\hat{k}\)
\(\therefore |\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=|-10\hat{i}-7\hat{j}+4\hat{k}|\)
\(=\sqrt{(-10)^2+(-7)^2+4^2}\) ➜ \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{100+49+16}\)
\(=\sqrt{165}\)
\(\therefore |\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=\sqrt{165}\)
এখন, \(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|\) ➜ \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\)
\(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\) হলে,
\(\triangle{OAB}=\frac{1}{2}|\overline{a}\times\overline{b}|\)

\(=\frac{1}{2}\sqrt{165}\) ➜ \(\because |\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=\sqrt{165}\)

\(\therefore \) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\sqrt{165}\) বর্গ একক।

\(Q.2.(iii)\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দুগুলি \((1,2,3),\) \((2,5,-1)\) এবং \((-1,1,2)\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\sqrt{155}\)

সমাধানঃ

ধরি,
ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি \(A(1,2,3),\) \(B(2,5,-1)\) এবং \(C(-1,1,2)\)
এখন, \(\overrightarrow{AB}=(2-1)\hat{i}+(5-2)\hat{j}+(-1-3)\hat{k}\) ➜
\(\therefore \overrightarrow{AB}=\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k}\)
আবার, \(\overrightarrow{AC}=(-1-1)\hat{i}+(1-2)\hat{j}+(2-3)\hat{k}\) ➜
\(\therefore \overrightarrow{AC}=-2\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}\)
আবার, \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k})\times(-2\hat{i}-\hat{j}-\hat{k})\) ➜ \(\because \overrightarrow{AB}=\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{AC}=-2\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}\)

\(=\left|\begin{array}{c} \ \ \hat{i}& \ \ \hat{j}& \ \ \hat{k}\\ \ \ 1& \ \ 3&-4\\-2&-1&-1\end{array}\right|\) ➜ \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
এবং \(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array}\right|\)

\(=\{3\times(-1)-(-4)\times -1\}\hat{i}-\{1\times(-1)-(-4)\times -2\}\hat{j}+\{1\times -1-3\times -2\}\hat{k}\)
\(=\{-3-4\}\hat{i}-\{-1-8\}\hat{j}+\{-1+6\}\hat{k}\)
\(=-7\hat{i}+9\hat{j}+5\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=-7\hat{i}+9\hat{j}+5\hat{k}\)
\(\therefore |\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=|-7\hat{i}+9\hat{j}+5\hat{k}|\)
\(=\sqrt{(-7)^2+9^2+5^2}\) ➜ \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{49+81+25}\)
\(=\sqrt{155}\)
\(\therefore |\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=\sqrt{155}\)
এখন, \(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|\) ➜ \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\)
\(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\) হলে,
\(\triangle{OAB}=\frac{1}{2}|\overline{a}\times\overline{b}|\)

\(=\frac{1}{2}\sqrt{155}\) ➜ \(\because |\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=\sqrt{155}\)

\(\therefore \) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\sqrt{155}\) বর্গ একক।

\(Q.2.(v)\) চতুস্তলকের আয়তন নির্ণয় কর যার একটি শীর্ষবিন্দু মূলবিন্দু এবং অপর শীর্ষবিন্দুসমূহ \(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k},\) \(-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}.\)
উত্তরঃ \(\frac{2}{3}\) ঘন একক।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
চতুস্তলকের একটি শীর্ষবিন্দু মূলবিন্দু এবং অপর শীর্ষবিন্দুসমূহ \(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k},\) \(-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}.\)
\(\therefore \overrightarrow{OA}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k},\) \(\overrightarrow{OB}=-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overrightarrow{OC}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}.\)
\(\therefore \) চতুস্তলকের আয়তন \(=\frac{1}{6}[\overrightarrow{OA} \ \overrightarrow{OB} \ \overrightarrow{OC}]\) ➜ \(\overrightarrow{PQ},\) \(\overrightarrow{PR}\) এবং \(\overrightarrow{PS}\) ধার বিশিষ্ট চতুস্তলকের
আয়তন \(=\frac{1}{6}[\overrightarrow{OA} \ \overrightarrow{OB} \ \overrightarrow{OC}]\)

\(=\frac{1}{6}\{\overrightarrow{OA}.(\overrightarrow{OB}\times\overrightarrow{OC})\}\) ➜ \(\because [\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]=\overline{a}.(\overline{b}\times\overline{c})\)

\(=\frac{1}{6}[(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}).\{(-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})\times(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})\}]\) ➜ \(\because \overrightarrow{OA}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\)
\(\overrightarrow{OB}=-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{OC}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\)

\(=\frac{1}{6}\left|\begin{array}{c} \ \ 1& \ \ 1&-1\\-1& \ \ 1& \ \ 1\\ \ \ 1&-1& \ \ 1 \end{array}\right|\) ➜ \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
\(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\)
এবং \(c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k}\) হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}).\{(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})\times{(c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k})}\}=\left|\begin{array}{c}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\\ c_{1}&c_{2}&c_{3} \end{array}\right|\)

\(=\frac{1}{6}[1\{1\times 1-1\times -1\}-1\{-1\times 1-1\times 1\}-1\{-1\times -1-1\times 1\}]\)
\(=\frac{1}{6}[\{1+1\}-\{-1-1\}-\{1-1\}]\)
\(=\frac{1}{6}[2+2-0]\)
\(=\frac{4}{6}\)
\(=\frac{2}{3}\)
\(\therefore \) চতুস্তলকের আয়তন \(=\frac{2}{3}\) ঘন একক।

\(Q.2.(vi)\) ভেক্টরের সাহায্যে \(A(1,3,2)\) \(B(2,-1,1)\) এবং \(C(-1,2,3)\) শীর্ষ দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\sqrt{107}\) বর্গ একক।

বুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫ ।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(A(1,3,2)\) \(B(2,-1,1)\) এবং \(C(-1,2,3)\)
এখন, \(\overrightarrow{AB}=(2-1)\hat{i}+(-1-3)\hat{j}+(1-2)\hat{k}\) ➜
\(\therefore \overrightarrow{AB}=\hat{i}-4\hat{j}-\hat{k}\)
আবার, \(\overrightarrow{AC}=(-1-1)\hat{i}+(2-3)\hat{j}+(3-2)\hat{k}\) ➜
\(\therefore \overrightarrow{AC}=-2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\)
আবার, \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(\hat{i}-4\hat{j}-\hat{k})\times(-2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})\) ➜ \(\because \overrightarrow{AB}=\hat{i}-4\hat{j}-\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{AC}=-2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\)

\(=\left|\begin{array}{c} \ \ \hat{i}& \ \ \hat{j}& \ \ \hat{k}\\ \ \ 1&-4&-1\\-2&-1& \ \ 1\end{array}\right|\) ➜ \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
এবং \(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array}\right|\)

\(=\{4\times(-1)-1\times 1\}\hat{i}-\{(-1)\times(-1)-1\times 2\}\hat{j}+\{-1\times 1-4\times 2\}\hat{k}\)
\(=\{-4-1\}\hat{i}-\{1-2\}\hat{j}+\{-1-8\}\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=-5\hat{i}+\hat{j}-9\hat{k}\)
\(\therefore |\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=|-5\hat{i}+\hat{j}-9\hat{k}|\)
\(=\sqrt{(-5)^2+1^2+(-9)^2}\) ➜ \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{25+1+81}\)
\(\therefore |\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=\sqrt{107}\)
এখন, \(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|\) ➜ \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\)
\(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\) হলে,
\(\triangle{OAB}=\frac{1}{2}|\overline{a}\times\overline{b}|\)

\(=\frac{1}{2}\sqrt{107}\) ➜ \(\because |\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=\sqrt{107}\)

\(\therefore \) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\sqrt{107}\) বর্গ একক।

\(Q.2.(viii)\) একটি ত্রিভুজের শীর্ষ তিনটির অবস্থান ভেক্টর \(\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k},\) \(3\hat{i}+5\hat{j}-\hat{k},\) এবং \(2\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k};\) ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{5}{2}\sqrt{38}\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

ধরি,
\(\triangle{ABC}\) এর শীর্ষ তিনটির অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে, \(\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k},\) \(3\hat{i}+5\hat{j}-\hat{k},\) এবং \(2\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k};\)
অর্থাৎ, \(\overrightarrow{OA}=\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}, \ \overrightarrow{OB}=3\hat{i}+5\hat{j}-\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{OC}=2\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k};\)
এখন, \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}\) ➜ \(\triangle{OAB}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=3\hat{i}+5\hat{j}-\hat{k}-\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}\) ➜ \(\because \overrightarrow{OB}=3\hat{i}+5\hat{j}-\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{OA}=\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}\)

\(\therefore \overrightarrow{AB}=2\hat{i}+7\hat{j}-4\hat{k}\)
আবার, \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}\) ➜ \(\triangle{OAC}\)-এ ভেক্টর সংযোগের ত্রিভুজ সূত্র ব্যবহার করে,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AC}=2\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k}-\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}\) ➜ \(\because \overrightarrow{OC}=2\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{OA}=\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}\)

\(\therefore \overrightarrow{AC}=\hat{i}+5\hat{j}-7\hat{k}\)
এখন, \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(2\hat{i}+7\hat{j}-4\hat{k})\times(\hat{i}+5\hat{j}-7\hat{k})\)
\(=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}& \ \ \hat{k}\\ 2&7&-4\\ 1&5&-7 \end{array}\right|\) ➜ \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
এবং \(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array}\right|\)

\(=\{7\times(-7)-(-4)\times 5\}\hat{i}-\{2\times(-7)-(-4)\times 1\}\hat{j}+\{2\times 5-7\times 1\}\hat{k}\)
\(=\{-49+20\}\hat{i}-\{-14+4\}\hat{j}+\{10-7\}\hat{k}\)
\(=-29\hat{i}+10\hat{j}+3\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=-29\hat{i}+10\hat{j}+3\hat{k}\)
\(\therefore |\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=|-29\hat{i}+10\hat{j}+3\hat{k}|\)
\(=\sqrt{(-29)^2+(10)^2+3^2}\) ➜ \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{841+100+9}\)
\(=\sqrt{950}\)
\(=\sqrt{25\times 38}\)
\(=5\sqrt{38}\)
\(\therefore |\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=5\sqrt{38}\)
\(\therefore ABC\) ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|\) ➜ \(\overrightarrow{OA}=\overline{a}\)
\(\overrightarrow{OB}=\overline{b}\) হলে,
\(\triangle{OAB}=\frac{1}{2}|\overline{a}\times\overline{b}|\)

\(=\frac{1}{2}5\sqrt{38}\) ➜ \(\because |\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=5\sqrt{38}\)

\(\therefore \) ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল \(=\frac{5}{2}\sqrt{38}\) বর্গ একক।

\(Q.2.(x)\) একটি সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় \(\overline{A}=3\hat{i}-4\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=2\hat{i}+3\hat{j}-6\hat{k}\) ভেক্টর দ্বারা নির্দেশিত। দেখাও যে, সামান্তরিকটি একটি রম্বস এবং এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(17.85\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

ধরি,
একটি সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় \(\overline{A}=3\hat{i}-4\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=2\hat{i}+3\hat{j}-6\hat{k}\) ভেক্টর দ্বারা নির্দেশিত।
এখন, \(\overline{A}.\overline{B}=(3\hat{i}-4\hat{j}-\hat{k}).(2\hat{i}+3\hat{j}-6\hat{k})\) ➜ \(\because \overline{A}=3\hat{i}-4\hat{j}-\hat{k}\)
এবং \(\overline{B}=2\hat{i}+3\hat{j}-6\hat{k}\)

\(=3\times 2+(-4)\times 3+(-1)\times -6\) ➜ \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
এবং \(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}).(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\)

\(=6-12+6\)
\(=12-12\)
\(=0\)
\(\because \overline{A}.\overline{B}=0\)
\(\therefore \overline{A}\) এবং \(\overline{B}\) ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব।
\(\therefore\) সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পর লম্ব।
ফলে, সামান্তরিকটি একটি রম্বস।
রম্বসের ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}|\overline{A}| |\overline{B}|\) ➜ রম্বসের ক্ষেত্রফল এর কর্ণদ্বয়ের গুণফলের অর্ধেক।

\(=\frac{1}{2}|3\hat{i}-4\hat{j}-\hat{k}| |2\hat{i}+3\hat{j}-6\hat{k}|\) ➜ \(\because \overline{A}=3\hat{i}-4\hat{j}-\hat{k}\)
এবং \(\overline{B}=2\hat{i}+3\hat{j}-6\hat{k}\)

\(=\frac{1}{2}\sqrt{3^2+(-4)^2+(-1)^2}\sqrt{2^2+3^2+(-6)^2}\) ➜ \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\frac{1}{2}\sqrt{9+16+1}\sqrt{4+9+36}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{26}\sqrt{49}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{26}.7\)
\(=\frac{7\sqrt{26}}{2}\)
\(=17.84656829757475\)
\(=17.85\) বর্গ একক।

\(Q.3.(v)\) ভেক্টর পদ্ধতির সাহায্যে দেখাও যে, \((x_{1}, y_{1}, z_{1})\) ও \((x_{2}, y_{2}, z_{2})\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ \(\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{z-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}\)

সমাধানঃ

ধরি,
\((x,y,z)\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\)
\((x_{1}, y_{1}, z_{1})\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{a}=x_{1}\hat{i}+y_{1}\hat{j}+z_{1}\hat{k}\)
\((x_{2}, y_{2}, z_{2})\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{b}=x_{2}\hat{i}+y_{2}\hat{j}+z_{2}\hat{k}\)
\((x_{1}, y_{1}, z_{1})\) ও \((x_{2}, y_{2}, z_{2})\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ \(\overline{r}=\overline{a}+t(\overline{b}-\overline{a})\) যেখানে, \(t\) একটি প্যারামিটার। ➜ \(\because (x_{1}, y_{1}, z_{1})\) ও \((x_{2}, y_{2}, z_{2})\) বিন্দুদ্বয়ের অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে,
\(\overline{a}=x_{1}\hat{i}+y_{1}\hat{j}+z_{1}\hat{k}\)
এবং \(\overline{b}=x_{2}\hat{i}+y_{2}\hat{j}+z_{2}\hat{k}\) হলে,
\((x_{1}, y_{1}, z_{1})\) ও \((x_{2}, y_{2}, z_{2})\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ হবে
\(\overline{r}=\overline{a}+t(\overline{b}-\overline{a})\) যেখানে, \(t\) একটি প্যারামিটার।

\(\Rightarrow x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}=x_{1}\hat{i}+y_{1}\hat{j}+z_{1}\hat{k}+t(x_{2}\hat{i}+y_{2}\hat{j}+z_{2}\hat{k}-x_{1}\hat{i}-y_{1}\hat{j}-z_{1}\hat{k})\) ➜
\(\Rightarrow x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}=x_{1}\hat{i}+y_{1}\hat{j}+z_{1}\hat{k}+t(x_{2}-x_{1})\hat{i}+t(y_{2}-y_{1})\hat{j}+t(z_{2}-z_{1})\hat{k}\)
\(\Rightarrow x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}=\{x_{1}+t(x_{2}-x_{1})\}\hat{i}+\{y_{1}+t(y_{2}-y_{1})\}\hat{j}+\{z_{1}+t(z_{2}-z_{1})\}\hat{k}\)
\(\Rightarrow x=x_{1}+t(x_{2}-x_{1}), \ y=y_{1}+t(y_{2}-y_{1}), \ z=z_{1}+t(z_{2}-z_{1})\) ➜
\(\Rightarrow x-x_{1}=t(x_{2}-x_{1}), \ y-y_{1}=t(y_{2}-y_{1}), \ z-z_{1}=t(z_{2}-z_{1})\)
\(\Rightarrow \frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=t, \ \frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=t, \ \frac{z-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}=t\)
\(\Rightarrow \frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{z-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}=t\)
\(\therefore \frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{z-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}\)
( দেখানো হলো )

\(Q.3.(vi)\) \(P(7,6,7)\) বিন্দু হতে \(A(2,1,3)\) এবং \(B(4,4,9)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার ন্যূনতম দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(S.D=\sqrt{17}\)

সমাধানঃ

ধরি,
\(A(2,1,3)\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{a}=2\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}\)
\(B(4,4,9)\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{b}=4\hat{i}+4\hat{j}+9\hat{k}\)
এবং \(P(7,6,7)\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{c}=7\hat{i}+6\hat{j}+7\hat{k}\)
\(A(2,1,3)\) এবং \(P(7,6,7)\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ
\(\overline{c}-\overline{a}=(7-2)\hat{i}+(6-1)\hat{j}+(7-3)\hat{k}\) ➜ \(\because (x_{1}, y_{1}, z_{1})\) ও \((x_{2}, y_{2}, z_{2})\) বিন্দুদ্বয়ের অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে
\(\overline{a}=x_{1}\hat{i}+y_{1}\hat{j}+z_{1}\hat{k}\)
এবং \(\overline{b}=x_{2}\hat{i}+y_{2}\hat{j}+z_{2}\hat{k}\) হলে,
\((x_{1}, y_{1}, z_{1})\) ও \((x_{2}, y_{2}, z_{2})\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ হবে
\(\overline{b}-\overline{a}=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}+(z_{2}-z_{1})\hat{k}\)

\(\therefore \overline{c}-\overline{a}=5\hat{i}+5\hat{j}+4\hat{k}\)
আবার, \(A(2,1,3)\) ও \(B(3,-1,4)\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ
\(\overline{b}-\overline{a}=(4-2)\hat{i}+(4-1)\hat{j}+(9-3)\hat{k}\) ➜ \(\because (x_{1}, y_{1}, z_{1})\) ও \((x_{2}, y_{2}, z_{2})\) বিন্দুদ্বয়ের অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে
\(\overline{a}=x_{1}\hat{i}+y_{1}\hat{j}+z_{1}\hat{k}\)
এবং \(\overline{b}=x_{2}\hat{i}+y_{2}\hat{j}+z_{2}\hat{k}\) হলে,
\((x_{1}, y_{1}, z_{1})\) ও \((x_{2}, y_{2}, z_{2})\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ হবে
\(\overline{b}-\overline{a}=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}+(z_{2}-z_{1})\hat{k}\)

\(\Rightarrow \overline{b}-\overline{a}=2\hat{i}+3\hat{j}+6\hat{k}\)
\(\Rightarrow |\overline{b}-\overline{a}|=|2\hat{i}+3\hat{j}+6\hat{k}|\)
\(=\sqrt{2^2+3^2+6^2}\) ➜ \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{4+9+36}\)
\(=\sqrt{49}\)
\(=7\)
\(\therefore |\overline{b}-\overline{a}|=7\)
ন্যূনতম দূরত্ব \(S.D=\left|(\overline{c}-\overline{a})\times\frac{\overline{b}-\overline{a}}{|\overline{b}-\overline{a}|}\right|\) ➜
\(=\left|(5\hat{i}+5\hat{j}+4\hat{k})\times\frac{2\hat{i}+3\hat{j}+6\hat{k}}{7}\right|\) ➜
\(=\left|\frac{1}{7}(5\hat{i}+5\hat{j}+4\hat{k})\times(2\hat{i}+3\hat{j}+6\hat{k})\right|\)
\(=\left|\frac{1}{7}\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\5&5&4\\2&3&6 \end{array}\right|\right|\) ➜ \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
এবং \(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\)
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array}\right|\)

\(=\frac{1}{7}\left|\{5\times 6-4\times 3\}\hat{i}-\{5\times 6-4\times 2\}\hat{j}+\{5\times 3-5\times 2\}\hat{k}\right|\)
\(=\frac{1}{7}\left|\{30-12\}\hat{i}-\{30-8\}\hat{j}+\{15-10\}\hat{k}\right|\)
\(=\frac{1}{7}\left|18\hat{i}-22\hat{j}+5\hat{k}\right|\)
\(=\frac{1}{7}\times\sqrt{(18)^2+(-22)^2+5^2}\) ➜ \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\frac{1}{7}\times\sqrt{324+484+25}\)
\(=\frac{1}{7}\times\sqrt{833}\)
\(=\frac{\sqrt{49\times 17}}{7}\)
\(=\frac{7\sqrt{17}}{7}\)
\(=\sqrt{17}\)
\(\therefore S.D=\sqrt{17}\)
ইহাই নির্ণেয় ন্যূনতম দূরত্ব।

\(Q.3.(vii)\) দেখাও যে, \((2,0,1),\) \((0,3,4),\) \((4,3,2)\) বিন্দুগামী সমতলের ভেক্টর সমীকরণ \(\overline{r}.(3\hat{i}-4\hat{j}+6\hat{k})=12\)

সমাধানঃ

ধরি,
\(A(2,0,1),\) \(B(0,3,4)\) এবং \(C(4,3,2)\)
সমতলের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x,y,z)\)
\(P(x,y,z)\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\)
এখন, \(\overrightarrow{AP}=(x-2)\hat{i}+(y-0)\hat{j}+(z-1)\hat{k}\) ➜
\(\therefore \overrightarrow{AP}=(x-2)\hat{i}+y\hat{j}+(z-1)\hat{k}\)
আবার, \(\overrightarrow{AB}=(0-2)\hat{i}+(3-0)\hat{j}+(4-1)\hat{k}\) ➜
\(=\hat{i}+2\hat{j}+5\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{AB}=-2\hat{i}+3\hat{j}+3\hat{k}\)
আবার, \(\overrightarrow{AC}=(4-2)\hat{i}+(3-0)\hat{j}+(2-1)\hat{k}\) ➜
\(=2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{AC}=2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}\)
যেহেতু বিন্দুগুলি একই সমতলে অবস্থান করে,
সুতরাং , \(\overrightarrow{AP}.(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})=0\)
\(\Rightarrow \{(x-2)\hat{i}+y\hat{j}+(z-1)\hat{k}\}.\{(-2\hat{i}+3\hat{j}+3\hat{k})\times(2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k})\}=0\) ➜ \(\because \overrightarrow{AP}=(x-2)\hat{i}+y\hat{j}+(z-1)\hat{k}\)
\(\overrightarrow{AB}=-2\hat{i}+3\hat{j}+3\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{AC}=2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}\)

\(\Rightarrow \left|\begin{array}{c}x-2&y&z-1\\-2&3&3\\ \ \ \ 2&3&1\end{array}\right|=0\) ➜ \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
\(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\)
এবং \(c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k}\) হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}).\{(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})\times(c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k})\}=\left|\begin{array}{c}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\\ c_{1}&c_{2}&c_{3} \end{array}\right|\)

\(\Rightarrow \{3\times 1-3\times 3\}(x-2)-\{-2\times 1-3\times 2\}y+\{-2\times 3-3\times 2\}(z-1)=0\)
\(\Rightarrow \{3-9\}(x-2)-\{-2-6\}y+\{-6-6\}(z-1)=0\)
\(\Rightarrow -6(x-2)+8y-12(z-1)=0\)
\(\Rightarrow -6x+12+8y-12z+12=0\)
\(\Rightarrow -6x+8y-12z+24=0\)
\(\Rightarrow -6x+8y-12z=-24\)
\(\Rightarrow -2(3x-4y+6z)=-24\)
\(\Rightarrow 3x-4y+6z=12\)
\(\Rightarrow (x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}).(3\hat{i}-4\hat{j}+6\hat{k})=12\)
\(\therefore \overline{r}.(3\hat{i}-4\hat{j}+6\hat{k})=12\) যেখানে, \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\)
ইহাই নির্ণেয় সমতলের ভেক্টর সমীকরণ।

\(Q.3.(viii)\) \(2\hat{i}-4\hat{j}+5\hat{k}\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{r}.(2\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k})=1\) ও \(\overline{r}.(3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k})=2\) সমতলের ছেদরেখার উপর লম্ব সমতলের ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\overline{r}.(2\hat{i}+8\hat{j}+7\hat{k})=7\)

জাতীয়ঃ ২০০২ ।

সমাধানঃ

ধরি,
\(A(\overline{a})=2\hat{i}-4\hat{j}+5\hat{k}\)
\(\overline{r}.\overline{b}=1\) যেখানে, \(\overline{b}=2\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k}\)
\(\overline{r}.\overline{c}=2\) যেখানে, \(\overline{c}=3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}\)
এখন, \(A(\overline{a})\) বিন্দুগামী এবং \(\overline{r}.\overline{b}=1\) ও \(\overline{r}.\overline{c}=2\) সমতলের ছেদরেখার উপর লম্ব সমতলের ভেক্টর সমীকরণ
\((\overline{r}-\overline{a}).\{\overline{b}\times\overline{c}\}=0\) ➜ \(A(\overline{a})\) বিন্দুগামী
এবং \(\overline{r}.\overline{n_{1}}=p\)
ও \(\overline{r}.\overline{n_{2}}=q\)
সমতলদ্বয়ের ছেদরেখার উপর লম্ব সমতলের ভেক্টর সমীকরণ,
\((\overline{r}-\overline{a}).(\overline{n_{1}}\times\overline{n_{2}})=0\)

\(\Rightarrow \{\overline{r}-(2\hat{i}-4\hat{j}+5\hat{k})\}.\{(2\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k})\times(3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k})\}=0\) ➜ \(\because \overline{a}=2\hat{i}-4\hat{j}+5\hat{k}\)
\(\overline{b}=2\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k}\)
এবং \(\overline{c}=3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}\)

\(\Rightarrow \{\overline{r}-(2\hat{i}-4\hat{j}+5\hat{k})\}.\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}& \ \ \hat{k}\\2&3&-4\\3&1&-2 \end{array}\right|=0\) ➜ \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
এবং \(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\)
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array}\right|\)

\(\Rightarrow \{\overline{r}-(2\hat{i}-4\hat{j}+5\hat{k})\}.[\{3\times -2-(-4)\times 1\}\hat{i}-\{2\times -2-(-4)\times 3\}\hat{j}+\{2\times 1-3\times 3\}\hat{k}]=0\)
\(\Rightarrow \{\overline{r}-(2\hat{i}-4\hat{j}+5\hat{k})\}.[\{-6+4\}\hat{i}-\{-4+12\}\hat{j}+\{2-9\}\hat{k}]=0\)
\(\Rightarrow \{\overline{r}-(2\hat{i}-4\hat{j}+5\hat{k})\}.(-2\hat{i}-8\hat{j}-7\hat{k})=0\)
\(\Rightarrow \overline{r}.(-2\hat{i}-8\hat{j}-7\hat{k})-(2\hat{i}-4\hat{j}+5\hat{k}).(-2\hat{i}-8\hat{j}-7\hat{k})=0\)
\(\Rightarrow \overline{r}.(-2\hat{i}-8\hat{j}-7\hat{k})-(2\times -2+(-4)\times -8+5\times -7)=0\) ➜ \(A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}\)
এবং \(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k}\) হলে,
\((A_{1}\hat{i}+A_{2}\hat{j}+A_{3}\hat{k}).(B_{1}\hat{i}+B_{2}\hat{j}+B_{3}\hat{k})=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}\)

\(\Rightarrow \overline{r}.(-2\hat{i}-8\hat{j}-7\hat{k})-(-4+32-35)=0\)
\(\Rightarrow \overline{r}.(-2\hat{i}-8\hat{j}-7\hat{k})-(32-39)=0\)
\(\Rightarrow \overline{r}.(-2\hat{i}-8\hat{j}-7\hat{k})-(-7)=0\)
\(\Rightarrow \overline{r}.(-2\hat{i}-8\hat{j}-7\hat{k})+7=0\)
\(\Rightarrow \overline{r}.(2\hat{i}+8\hat{j}+7\hat{k})-7=0\)
\(\therefore \overline{r}.(2\hat{i}+8\hat{j}+7\hat{k})=7\)
ইহাই নির্ণেয় সমতলের ভেক্টর সমীকরণ।

\(Q.3.(ix)\) \(\overrightarrow{OA}=2\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\overrightarrow{OB}=6\hat{i}-3\hat{j}-2\hat{k}\) হলে, \(B\) বিন্দু হতে \(OA\) এর লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{377}}{3}\) একক।

সমাধানঃ

ধরি,
\(OAB\) ত্রিভুজে,
\(\overrightarrow{OA}=2\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{OB}=6\hat{i}-3\hat{j}-2\hat{k}\)
\(B\) বিন্দু হতে \(OA\) এর লম্ব দূরত্ব \(d\)
এখন, \(|\overrightarrow{OA}|=|2\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}|\)
\(=\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2}\) ➜ \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{4+4+1}\)
\(=\sqrt{9}\)
\(\therefore |\overrightarrow{OA}|=3\)
আবার, \(\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}=(2\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k})\times(6\hat{i}-3\hat{j}-2\hat{k})\) ➜ \(\because \overrightarrow{OA}=2\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\)
এবং \(\overrightarrow{OB}=6\hat{i}-3\hat{j}-2\hat{k}\)

\(=\left|\begin{array}{c}\hat{i}& \ \ \hat{j}& \ \ \hat{k}\\ 2& \ \ 2&-1\\ 6&-3&-2 \end{array}\right|\) ➜ \(a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\)
এবং \(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) হলে,
\((a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k})\times(b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k})=\left|\begin{array}{c}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3} \end{array}\right|\)

\(=\{2\times(-2)-(-1)\times -3\}\hat{i}-\{2\times(-2)-(-1)\times 6\}\hat{j}+\{2\times -3-2\times 6\}\hat{k}\)
\(=\{-4-3\}\hat{i}-\{-4+6\}\hat{j}+\{-6-12\}\hat{k}\)
\(=-7\hat{i}-2\hat{j}-18\hat{k}\)
\(\therefore \overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}=-7\hat{i}-2\hat{j}-18\hat{k}\)
\(\therefore |\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}|=|-7\hat{i}-2\hat{j}-18\hat{k}|\)
\(=\sqrt{(-7)^2+(-2)^2+(-18)^2}\) ➜ \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) হলে,
\(r=|x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(=\sqrt{49+4+324}\)
\(=\sqrt{377}\)
\(\therefore |\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}|=\sqrt{377}\)
\(\therefore \triangle{ABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{OA}|d=\frac{1}{2}|\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}|\)
\(\Rightarrow |\overrightarrow{OA}|d=|\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}|\)
\(\Rightarrow 3d=\sqrt{377}\) ➜ \(\because |\overrightarrow{OA}|=3\)
এবং \(|\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}|=\sqrt{377}\)

\(\therefore d=\frac{\sqrt{377}}{3}\) একক।

\(Q.3.(xii)\) দেখাও যে, \((2,-3,4)\) এবং \((5,7,-8)\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ \(\overline{r}=(2+3t)\hat{i}+(-3+10t)\hat{j}+(4-12t)\hat{k}\) যেখানে \(t\) একটি প্যারামিটার। এর সাহায্যে এর কার্তেসীয় সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{x-2}{3}=\frac{y+3}{10}=\frac{z-4}{-12}\)

সমাধানঃ

ধরি,
\((2,-3,4)\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{a}=2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\)
\((5,7,-8)\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{b}=5\hat{i}+7\hat{j}-8\hat{k}\)
এখন প্রদত্ত বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ \(\overline{r}=\overline{a}+t(\overline{b}-\overline{a})\) যেখানে \(t\) একটি প্যারামিটার।
\(=\overline{a}+t\overline{b}-t\overline{a}\)
\(=(1-t)\overline{a}+t\overline{b}\)
\(=(1-t)(2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k})+t(5\hat{i}+7\hat{j}-8\hat{k})\) ➜ \(\because \overline{a}=2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\)
এবং \(\overline{b}=5\hat{i}+7\hat{j}-8\hat{k}\)

\(=2(1-t)\hat{i}-3(1-t)\hat{j}+4(1-t)\hat{k})+5t\hat{i}+7t\hat{j}-8t\hat{k}\)
\(=\{2(1-t)+5t\}\hat{i}+\{7t-3(1-t)\}\hat{j}+\{4(1-t)-8t\}\hat{k}\)
\(=\{2-2t+5t\}\hat{i}+\{7t-3+3t\}\hat{j}+\{4-4t-8t\}\hat{k}\)
\(\therefore \overline{r}=(2+3t)\hat{i}+(-3+10t)\hat{j}+(4-12t)\hat{k} ......(1)\)
ইহাই নির্ণেয় ভেক্টর সমীকরণ যেখানে \(t\) একটি প্যারামিটার।
( দেখানো হলো )
কার্তেসীয় সমীকরণের ক্ষেত্রে, \(\overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\)
\((1)\) হতে,
\(x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}=(2+3t)\hat{i}+(-3+10t)\hat{j}+(4-12t)\hat{k} ......(2)\)
\((2)\) এর উভয় পার্শ হতে \(\hat{i}, \ \hat{j}, \ \hat{k}\) এর সহগ সমীকৃত করে,
\(x=2+3t, \ y=-3+10t, \ z=4-12t\)
\(\Rightarrow x-2=3t, \ y+3=10t, \ z-4=-12t\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{3}=t, \ \frac{y+3}{10}=t, \ \frac{z-4}{-12}=t\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{3}=\frac{y+3}{10}=\frac{z-4}{-12}=t\)
\(\therefore \frac{x-2}{3}=\frac{y+3}{10}=\frac{z-4}{-12}\)
ইহাই নির্ণেয় কার্তেসীয় সমীকরণ।

\(Q.3.(xv)\) দেখাও যে, \((2,3,4)\) এবং \((5,7,-6)\) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ \(\overline{r}=(2+3t)\hat{i}+(3+4t)\hat{j}+(4-10t)\hat{k}\) যেখানে \(t\) একটি প্যারামিটার। এর সাহায্যে এর কার্তেসীয় সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{x-2}{3}=\frac{y-3}{4}=\frac{z-4}{-10}\)

সমাধানঃ

ধরি,
\((2,3,4)\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{a}=2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}\)
\((5,7,-6)\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\overline{b}=5\hat{i}+7\hat{j}-6\hat{k}\)
এখন প্রদত্ত বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ \(\overline{r}=\overline{a}+t(\overline{b}-\overline{a})\) যেখানে \(t\) একটি প্যারামিটার।
\(=\overline{a}+t\overline{b}-t\overline{a}\)
\(=(1-t)\overline{a}+t\overline{b}\)
\(=(1-t)(2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k})+t(5\hat{i}+7\hat{j}-6\hat{k})\) ➜ \(\because \overline{a}=2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}\)
এবং \(\overline{b}=5\hat{i}+7\hat{j}-6\hat{k}\)

\(=2(1-t)\hat{i}+3(1-t)\hat{j}+4(1-t)\hat{k}+5t\hat{i}+7t\hat{j}-6t\hat{k}\)
\(=\{2(1-t)+5t\}\hat{i}+\{3(1-t)+7t\}\hat{j}+\{4(1-t)-6t\}\hat{k}\)
\(=\{2-2t+5t\}\hat{i}+\{3-3t+7t\}\hat{j}+\{4-4t-6t\}\hat{k}\)
\(=(2+3t)\hat{i}+(3+4t)\hat{j}+(4-10t)\hat{k}\)
প্রদত্ত বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ \(\overline{r}=(2+3t)\hat{i}+(3+4t)\hat{j}+(4-10t)\hat{k}\)
( দেখানো হলো )
আবার,
ভেক্টর সমীকরণ \(\overline{r}=(2+3t)\hat{i}+(3+4t)\hat{j}+(4-10t)\hat{k}\)
\(\Rightarrow x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}=(2+3t)\hat{i}+(3+4t)\hat{j}+(4-10t)\hat{k}\) ➜ \(\because \overline{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\)

\(\Rightarrow x=2+3t , \ y=3+4t, \ z=4-10t\) ➜ উভয় পার্শ হতে \(\hat{i}, \ \hat{j}\) এবং \(\hat{k}\) এর সহগ সমীকৃত করে।

\(\Rightarrow x-2=3t , \ y-3=4t, \ z-4=-10t\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{3}=t , \ \frac{y-3}{4}=t, \ \frac{z-4}{-10}=t\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{3}=\frac{y-3}{4}=\frac{z-4}{-10}=t\)
\(\therefore \frac{x-2}{3}=\frac{y-3}{4}=\frac{z-4}{-10}\)
ইহাই নির্ণেয় কার্তেসীয় সমীকরণ।

Related Post

Category

Post List

Multiple Choise

Question Paper

Post List

Multiple Choise

Ctagory