এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
- ঐতিহাসিক পটভূমি
- সার সংক্ষেপ
- ত্রিকোণমিতিক কোণ
- কোণের পরিমাপ
- ষাটমূলক পদ্ধতি
- বৃত্তীয় পদ্ধতি
- বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত ধ্রুব সংখ্যা
- রেডিয়ান একটি ধ্রুবক কোণ
- শতমূলক পদ্ধতি
- ডিগ্রি, রেডিয়ান ও গ্রাড এর মধ্যে সম্পর্ক
- বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য
- বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল
- ঘড়ির ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ
- অধ্যায় \(6A\)-এর উদাহরণসমুহ
- অধ্যায় \(6A\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(6A\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
Historical Background
হিপার্কাস (১৯০ খ্রিষ্টপূর্ব-১২০ খ্রিষ্টপূর্ব )
গণিত, জ্যোতির্বিদা ও ভূগোলে তাঁর অবদান অপরিসীম। তিনিই প্রথম ত্রিকোণমিতক সারণি প্রণয়ন করে 'arc' ও 'chord' সিরিজের মাণ নির্ণয় করেন। এজন্য তাঁকে ত্রিকোণমিতির জনক বলা হয়।
ইংরেজী শব্দ 'Trigonometry' শব্দটি দুইটি গ্রিক শব্দ 'Trigon' যার অর্থ তিন কোণ এবং 'Metron' যার অর্থ পরিমাপ, এর সমন্বয়ে গঠিত। ত্রিকোণমিতি গণিত শাস্ত্রের একটি অত্যান্ত গুরুত্বপূর্ণ শাখা। গ্রিক গণিতবিদ ও জ্যোতির্বিদ হিপার্কাস (Hipparchus) এই শাখার আবিষ্কার করেন। এই গুরুত্বপূর্ণ শাখার বহুবিধ ব্যবহার বিজ্ঞানের বহু শাখার উন্নয়নে সহায়ক হয়েছে। প্রাথমিকভাবে ত্রিকোণমিতি ত্রিভুজে পরিমাপের জন্য ব্যবহৃত হয়েছে। অন্যভাবে বলা যায়, ত্রিভুজের বাহু, কোণ ও ক্ষেত্রফলের মধ্যে সম্পর্ক স্থাপনের জন্য ত্রিকোণমিতি ব্যবহৃত হয়। পরবর্তীতে ধনাত্মক কোণ, ঋণাত্মক কোণ তথা অন্য অনেক শাখায় বহুল সমস্যা সমাধানের জন্য এর ব্যবহার উল্লেখযোগ্য।
বিজ্ঞান ও প্রকৌশলীর বিভিন্ন শাখা ছাড়াও বিশ্লেষণী জ্যামিতি ও বিশ্লেষণী গণিত ত্রিকোণমিতির ভিত্তির ওপর প্রতিষ্ঠিত। বায়োটেকনোলজি, ভিডিও গেমস ও কম্পিউটার গ্রাফিক্সে ব্যাপক আকারে ত্রিকোণমিতিক ব্যবহার রয়েছে। কোণের ব্যবহারিক প্রয়োগ ছয়টি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন দ্বারা সীমাবদ্ধ। একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন কোণকে তাদের বাহুদ্বয়ের অনুপাতের মাধ্যমে প্রকাশ করার জন্য ছয়টি অপারেটর ব্যবহার করা হয়।
যথাঃ Sine, Cosine, Tangent, Cotangent, Secant এবং Cosecant. জ্যোতির্বিদ্যা নিয়ে গবেষণার সূত্র ধরেই ত্রিকোণমিতিক তত্ত্বের উদ্ভব ঘটে। পিথাগোরাসের উপপাদ্য এর উৎকৃষ্ট উদাহরণ।
ভারতবর্ষে ৪র্থ - ৫ম শতাব্দীতে সিদ্ধার্থ ও আর্জভট্ট 
প্রাচীন ভারতীয় গণিতের ইতিহাসে আর্যভট্টের (৪৭৬ – ৫৫০ খ্রিষ্টপূর্ব ) হাত ধরেই ক্লাসিকাল যুগ (কিংবা স্বর্ণযুগ) শুরু হয়। গণিত এবং জ্যোতির্বিদ্যা সংক্রান্ত আর্যভট্টের বিভিন্ন কাজ মূলত দুটি গ্রন্থে সংকলিত হয়েছে বলে জানা গেছে। এর মাঝে ‘আর্যভট্টীয়’ একটি, যেটি উদ্ধার করা গিয়েছে। এটি রচিত চার খণ্ডে, মোট ১১৮টি স্তোত্রে। অন্য যে কাজটি সম্পর্কে জানা যায় সেটি হল ‘আর্য-সিদ্ধান্ত’। আর্য-সিদ্ধান্তের কোন পাণ্ডুলিপি খুঁজে পাওয়া যায়নি, তবে বরাহমিহির, ব্রহ্মগুপ্ত এবং প্রথম ভাস্করের কাজে এটির উল্লেখ মেলে। আর্যভট্ট গ্রন্থ রচনা করেছেন পদবাচ্যের আকারে। , ৭ম শতাব্দীতে ভাষ্করা-১ ও ব্রহ্মগুপ্ত বিপরীত ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ নিয়ে প্রচুর তত্ত্ব লিপিবদ্ধ করেন। মধ্যযুগে মুসলমানরা ত্রিকোণমিতির অন্তর্নিহিত তত্ত্ব উদ্ঘাটন করেন। মূসা-আল খোয়ারিজমী নির্ভুলভাবে সাইন, কোসাইন ও ট্যানজেন্ট এর সারণী প্রণয়ন করেন।
সপ্তদশ শতাব্দীতে স্যার আইজ্যাক নিউটন 
১৬৮৭ সালে স্যার আইজ্যাক নিউটনের বিশ্ব নন্দিত গ্রন্থ প্রকাশিত হয়, যেখানে তিনি সর্বজনীন মহাকর্ষ সূত্র সহ গতির তিনটি সূত্র প্রদান করেন। তিনি বলবিজ্ঞানের ভিত্তি স্থাপন করেন। আলোকবিজ্ঞান, শব্দবিজ্ঞান, তাপবিজ্ঞানসহ পদার্থবিজ্ঞানের সকল মৌলিক শাখায় তাঁর অবদান অনস্বীকার্য। বৈজ্ঞানিক পর্যবেক্ষন ও পরীক্ষণের তিনি উদ্ভাবিত তত্ত্বকে যাচাই ও পরীক্ষা নিরীক্ষার জন্য পরীক্ষণের ব্যবস্থা করতেন। ১৬৬৯ সালে নিউটন ক্যামব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয়ে গণিতের লুকাসিয়ান প্রফেসর হিসাবে যোগদান করেন। ও জেমস স্টার্লিং 
স্টার্লিং (11/05/1692-5/12/1770) ছিলেন আর্চিবাল্ড স্টার্লিং অফ গার্ডেনের তৃতীয় পুত্র। ১৮ বছর বয়সে তিনি বলিওল কলেজ, অক্সফোর্ডে গিয়েছিলেন, যেখানে প্রধানত আর্ল অফ মারের প্রভাবে তিনি ব্যালিওলের বিশপ ওয়ার্নারের প্রদর্শনীকারীদের (বা স্নেল প্রদর্শনী) মনোনীত হন। লন্ডনে তিনি দশ বছর অবস্থান করেন, বেশিরভাগ সময় টাওয়ার স্ট্রিটের একটি একাডেমির সাথে যুক্ত ছিলেন এবং তাঁর অবসরকে গণিত এবং খ্যাতিমান গণিতবিদদের সাথে যোগাযোগের জন্য উৎসর্গ করেছিলেন। ত্রিকোণমিতিক সিরিজের বিস্তার নির্ণয় করেন এবং ত্রিকোণমিতি আধুনিক গণিতের গুরুত্বপূর্ন শাখা হিসেবে প্রতিষ্ঠা লাভ করে। বর্তমানে ব্যবহৃত sin, cos, tan, cosec, sec এবং cot প্রতীকগুলি বৈজ্ঞানিক লেওনার্ড অয়লারের 
অয়লার (15 /04/1707 - 18/09/1783 ) একজন সুইস গণিতবিদ এবং পদার্থবিজ্ঞানী (বাসেল, সুইজারল্যান্ড )। তিনি ক্যালকুলাস, সংখ্যাতত্ত্ব, অন্তরক সমীকরণ, গ্রাফ তত্ত্ব ও টপোগণিতে অনেক গুরুত্বপূর্ণ অবদান রাখেন। আধুনিক গণিতে ব্যবহৃত অনেক পরিভাষা ও ধারণা তার অবদান। গাণিতিক বিশ্লেষণে ব্যবহৃত গাণিতিক ফাংশন-এর ধারণা তারই আবিষ্কার।[১] অয়লার e , পাই এর জন্য π , যোগের জন্য Σ চিহ্নের প্রবর্তন করেন। তিনি বলবিজ্ঞান, আলোকবিজ্ঞান ও জ্যোতির্বিজ্ঞানেও অবদান রাখেন। সমসাময়িককালে তার মত প্রকাশনা সম্পন্ন কোনো গণিতবিদ ছিলেন না। এমনকি মুদ্রণ ব্যবস্থার উন্নতি হওয়ার পরও তার সমপরিমাণ প্রকাশনা সম্পন্ন বিজ্ঞানীর সংখ্যা খুবই কম। অনস্বীকার্য অবদান। তিনি এগুলিকে অসীম সিরিজ আকারে বর্ণনা করেন।
প্রাচীন ভারতীয় গণিতের ইতিহাসে আর্যভট্টের (৪৭৬ – ৫৫০ খ্রিষ্টপূর্ব ) হাত ধরেই ক্লাসিকাল যুগ (কিংবা স্বর্ণযুগ) শুরু হয়। গণিত এবং জ্যোতির্বিদ্যা সংক্রান্ত আর্যভট্টের বিভিন্ন কাজ মূলত দুটি গ্রন্থে সংকলিত হয়েছে বলে জানা গেছে। এর মাঝে ‘আর্যভট্টীয়’ একটি, যেটি উদ্ধার করা গিয়েছে। এটি রচিত চার খণ্ডে, মোট ১১৮টি স্তোত্রে। অন্য যে কাজটি সম্পর্কে জানা যায় সেটি হল ‘আর্য-সিদ্ধান্ত’। আর্য-সিদ্ধান্তের কোন পাণ্ডুলিপি খুঁজে পাওয়া যায়নি, তবে বরাহমিহির, ব্রহ্মগুপ্ত এবং প্রথম ভাস্করের কাজে এটির উল্লেখ মেলে। আর্যভট্ট গ্রন্থ রচনা করেছেন পদবাচ্যের আকারে। , ৭ম শতাব্দীতে ভাষ্করা-১ ও ব্রহ্মগুপ্ত বিপরীত ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ নিয়ে প্রচুর তত্ত্ব লিপিবদ্ধ করেন। মধ্যযুগে মুসলমানরা ত্রিকোণমিতির অন্তর্নিহিত তত্ত্ব উদ্ঘাটন করেন। মূসা-আল খোয়ারিজমী নির্ভুলভাবে সাইন, কোসাইন ও ট্যানজেন্ট এর সারণী প্রণয়ন করেন।
সপ্তদশ শতাব্দীতে স্যার আইজ্যাক নিউটন ১৬৮৭ সালে স্যার আইজ্যাক নিউটনের বিশ্ব নন্দিত গ্রন্থ প্রকাশিত হয়, যেখানে তিনি সর্বজনীন মহাকর্ষ সূত্র সহ গতির তিনটি সূত্র প্রদান করেন। তিনি বলবিজ্ঞানের ভিত্তি স্থাপন করেন। আলোকবিজ্ঞান, শব্দবিজ্ঞান, তাপবিজ্ঞানসহ পদার্থবিজ্ঞানের সকল মৌলিক শাখায় তাঁর অবদান অনস্বীকার্য। বৈজ্ঞানিক পর্যবেক্ষন ও পরীক্ষণের তিনি উদ্ভাবিত তত্ত্বকে যাচাই ও পরীক্ষা নিরীক্ষার জন্য পরীক্ষণের ব্যবস্থা করতেন। ১৬৬৯ সালে নিউটন ক্যামব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয়ে গণিতের লুকাসিয়ান প্রফেসর হিসাবে যোগদান করেন। ও জেমস স্টার্লিং স্টার্লিং (11/05/1692-5/12/1770) ছিলেন আর্চিবাল্ড স্টার্লিং অফ গার্ডেনের তৃতীয় পুত্র। ১৮ বছর বয়সে তিনি বলিওল কলেজ, অক্সফোর্ডে গিয়েছিলেন, যেখানে প্রধানত আর্ল অফ মারের প্রভাবে তিনি ব্যালিওলের বিশপ ওয়ার্নারের প্রদর্শনীকারীদের (বা স্নেল প্রদর্শনী) মনোনীত হন। লন্ডনে তিনি দশ বছর অবস্থান করেন, বেশিরভাগ সময় টাওয়ার স্ট্রিটের একটি একাডেমির সাথে যুক্ত ছিলেন এবং তাঁর অবসরকে গণিত এবং খ্যাতিমান গণিতবিদদের সাথে যোগাযোগের জন্য উৎসর্গ করেছিলেন। ত্রিকোণমিতিক সিরিজের বিস্তার নির্ণয় করেন এবং ত্রিকোণমিতি আধুনিক গণিতের গুরুত্বপূর্ন শাখা হিসেবে প্রতিষ্ঠা লাভ করে। বর্তমানে ব্যবহৃত sin, cos, tan, cosec, sec এবং cot প্রতীকগুলি বৈজ্ঞানিক লেওনার্ড অয়লারের অয়লার (15 /04/1707 - 18/09/1783 ) একজন সুইস গণিতবিদ এবং পদার্থবিজ্ঞানী (বাসেল, সুইজারল্যান্ড )। তিনি ক্যালকুলাস, সংখ্যাতত্ত্ব, অন্তরক সমীকরণ, গ্রাফ তত্ত্ব ও টপোগণিতে অনেক গুরুত্বপূর্ণ অবদান রাখেন। আধুনিক গণিতে ব্যবহৃত অনেক পরিভাষা ও ধারণা তার অবদান। গাণিতিক বিশ্লেষণে ব্যবহৃত গাণিতিক ফাংশন-এর ধারণা তারই আবিষ্কার।[১] অয়লার e , পাই এর জন্য π , যোগের জন্য Σ চিহ্নের প্রবর্তন করেন। তিনি বলবিজ্ঞান, আলোকবিজ্ঞান ও জ্যোতির্বিজ্ঞানেও অবদান রাখেন। সমসাময়িককালে তার মত প্রকাশনা সম্পন্ন কোনো গণিতবিদ ছিলেন না। এমনকি মুদ্রণ ব্যবস্থার উন্নতি হওয়ার পরও তার সমপরিমাণ প্রকাশনা সম্পন্ন বিজ্ঞানীর সংখ্যা খুবই কম। অনস্বীকার্য অবদান। তিনি এগুলিকে অসীম সিরিজ আকারে বর্ণনা করেন।
সার সংক্ষেপ
ত্রিকোণমিতিক কোণ
কোণের পরিমাপ ষাটমূলক পদ্ধতি বৃত্তীয় পদ্ধতি শতমূলক পদ্ধতি বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত ধ্রুব সংখ্যা রেডিয়ান একটি ধ্রুবক কোণ ডিগ্রি, রেডিয়ান ও গ্রাড এর মধ্যে সম্পর্ক বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল ঘড়ির ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ রেডিয়ান পরিমাপে বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য বৃত্তকলার ক্ষেত্রফলের সূত্র
ত্রিকোণমিতিক কোণ
Trigonomeriic angle
দুইটি সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করলে যে কোণ উৎপন্ন হয়, তাঁকে জ্যামিতিক কোণ বলে। জ্যামিতিক কোণ কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না এবং \(0^{o}\) ও \((360^{o}\) এর মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকে।
ত্রিকোণমিতিতে কোণ উৎপন্ন হয় একটি রশ্মির ঘূর্ণনের ফলে। একটি রশ্মি তাঁর প্রান্ত বিন্দুকে কেন্দ্র করে একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ ঘুরে তাঁর আদি অবস্থানের সাথে যদি কোণ উৎপন্ন করে তবে তাকে ত্রিকোণমিতক কোণ বলা হয়। ঘূর্ণায়মান রশ্মিটি ঘড়ির কাঁটার ঘূর্ণনের বিপরীত দিকে ঘুরে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে ধনাত্মক কোণ এবং ঘড়ির কাঁটার ঘূর্ণনের দিকে ঘুরে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে ঋণাত্মক কোণ বলে।
কোণের পরিমাপ
Measurement of angle
কোণ পরিমাপের পদ্ধতিঃ
\((1)\) ষাটমূলক পদ্ধতি (Sexagesimal System)
\((2)\) বৃত্তীয় পদ্ধতি (Circular System)
\((3)\) শতমূলক পদ্ধতি (Centesimal System)
\((2)\) বৃত্তীয় পদ্ধতি (Circular System)
\((3)\) শতমূলক পদ্ধতি (Centesimal System)
ষাটমূলক পদ্ধতি
Sexagesimal System
ষাটমূলক পদ্ধতিঃ এই পদ্ধতিতে এক সমকোণকে সমান নব্বইভাগে ভাগ করা হয় এবং প্রত্যেক ভাগকে এক ডিগ্রি \((1^{o})\) বলা হয়। এক ডিগ্রিকে সমান ষাট ভাগে ভাগ করে প্রতি ভাগকে মিনিট \((1^{\prime})\) বলা হয় এবং এক মিনিটকে সমান ষাট ভাগে ভাগ করে প্রতি ভাগকে এক সেকেন্ড \((1^{\prime\prime})\) বলা হয়। অর্থাৎ \(1\) সমকোণ \(=90\) ডিগ্রি \(90^{o}\)
\(1\) ডিগ্রি \(=60\) মিনিট \(60^{\prime}\)
\(1\) মিনিট \(=60\) সেকেন্ড \(60^{\prime\prime}\)
এই পদ্ধতিকে ব্রিটিশ পদ্ধতি বা ইংলিশ পদ্ধতিও বলা হয়ে থাকে।
বৃত্তীয় পদ্ধতি
Circular System
বৃত্তীয় পদ্ধতিঃ এই পদ্ধতিতে মূল একক হচ্ছে রেডিয়ান। কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান চাপ কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে এক রেডিয়ান \((1^{c})\) কোণ বলা হয়। রেডিয়ান একটি ধ্রুবক কোণ। এই কোণ পরিমাপের একককে বৃত্তীয় একক বলে। সকল তত্ত্বীয় কাজে কোণ পরিমাপের জন্য রেডিয়ানকে ব্যবহার করা হয়।
প্রয়োজনীয় ও স্বরণীয় সূত্রসমূহ
Necessary and memorable formulas
বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত ধ্রুব সংখ্যা
The ratio of the circumference to the diameter of a circle is a constant number
মনে করি, দুইটি বৃত্তে কেন্দ্র \(O\)
এখন, বহিঃস্থ বৃত্তটিকে \(n\) সংখ্যক \(n>1\) সমান ভাগে বিভক্ত করি। কেন্দ্র \(O\) এর সহিত বিভক্ত বিন্দুগুলি যোগ করায় অন্তঃস্থ বৃত্তটিও \(n\) সংখ্যক সমান ভাগে বিভক্ত হলো। উভয় বৃত্তে বিভক্ত বিন্দুগুলো পরস্পর যুক্ত করি। ফলে বহিঃস্থ ও অন্তঃস্থ বৃত্তে \(n\) সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট একটি করে সুষম বহুভুজ অন্তর্লিখিত হলো।
এখন, \(OA=OB ....(1)\) (উভয়ে বহিঃস্থ বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
এবং \(OA^{\prime}=OB^{\prime} .....(2)\) (উভয়ে অন্তঃস্থ বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
\((1)\) কে \((2)\) দ্বারা ভাগ করে।
\(\frac{OA}{OA^{\prime}}=\frac{OB}{OB^{\prime}} .......(3)\)
\(\triangle{AOB}\) এবং \(\triangle{A^{\prime}OB^{\prime}}\) এর সাধারণ কোণ \(O\) বিন্দুতে,
অর্থাৎ ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ
\(\therefore \frac{AB}{A^{\prime}B^{\prime}}=\frac{OB}{OB^{\prime}}\) ➜ \(\because \) সদৃশ ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক।
\(\Rightarrow \frac{n\times AB}{n\times A^{\prime}B^{\prime}}=\frac{OB}{OB^{\prime}}\) ➜ বাম পার্শে লব ও হরের সহিত \(n\) গুণ করে।
\(\Rightarrow \frac{n\times AB}{OB}=\frac{n\times A^{\prime}B^{\prime}}{OB^{\prime}}\)
অর্থাৎ \(\frac{\text{বহিঃস্থ বহুভুজের পরিসীমা}}{\text{বহিঃস্থ বৃত্তের ব্যাসার্ধ}}=\frac{\text{অন্তঃস্থ বহুভুজের পরিসীমা}}{\text{অন্তঃস্থ বৃত্তের ব্যাসার্ধ}} .........(4)\)
বহুভুজের যে কোনো সংখ্যক বাহুর জন্য \((4)\) নং সম্পর্কটি সত্য। \(n\) এর মাণ যথেষ্ট বড় হলে \((n\rightarrow{\infty})\) বহুভুজের বাহুগুলো ছোট হয় এবং বাহুগুলো বৃত্তের ছোট ছোট চাপে পরিণত হয়। তখন বহিঃস্থ এবং অন্তঃস্থ বহুভুজের পরিসীমা যথাক্রমে এদের পরিধিতে পরিগণিত হয়।
\((4)\) নং হতে,
\(\frac{\text{বহিঃস্থ বৃত্তের পরিধি}}{\text{বহিঃস্থ বৃত্তের ব্যাসার্ধ}}=\frac{\text{অন্তঃস্থ বৃত্তের পরিধি}}{\text{অন্তঃস্থ বৃত্তের ব্যাসার্ধ}} \)
অর্থাৎ বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসার্ধের অনুপাত সমান।
অর্থাৎ \(\frac{\text{ বৃত্তের পরিধি}}{\text{ বৃত্তের ব্যাসার্ধ}}=\text{ধ্রুব সংখ্যা }\)
\(\Rightarrow \frac{\text{ বৃত্তের পরিধি}}{2\times\text{বৃত্তের ব্যাসার্ধ}}=\frac{\text{ধ্রুব সংখ্যা }}{2}\) ➜ উভয় পার্শে \(2 \) ভাগ করে।
\(\therefore \frac{\text{ বৃত্তের পরিধি}}{\text{বৃত্তের ব্যাস}}=\text{ধ্রুব সংখ্যা } ........(5)\) ➜ \(\because \) ব্যাস \(=2\times\) ব্যাসার্ধ
এবং \(\frac{\text{ধ্রুব সংখ্যা }}{2}=\text{ধ্রুব সংখ্যা }\)
এই ধ্রুব সংখ্যাটিকে গ্রিক অক্ষর \(\pi\) (পাই) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। \(\pi\) একটি অমূলদ সংখ্যা দশমিকে প্রকাশ করলে এটি একটি অন্তহীন অপৌনঃপুনিক সংখ্যা \((\pi=3.1459265358.......)\) হয়।
\((5)\) নং হতে,
\(\frac{\text{ বৃত্তের পরিধি}}{\text{ব্যাস}}= \pi \ (\text{ধ্রুব সংখ্যা })\)
\(\Rightarrow \text{ বৃত্তের পরিধি}= \pi\times\text{ব্যাস}\)
\(\Rightarrow \text{ বৃত্তের পরিধি}= \pi\times2r\) যেখানে, \(r=\) ব্যাসার্ধ
\(\therefore \text{পরিধি}= 2\pi r\)
\(\text{পরিধি}= 2\pi r\)
রেডিয়ান একটি ধ্রুবক কোণ
Radian is a constant angle
\(1^{c}=\frac{2}{\pi}\) সমকোণ। যেখানে, \(\pi=\frac{22}{7}\) ধ্রুবক
দ্রষ্টব্যঃ আমরা জানি, বৃত্তের পরিধি এবং ব্যাসের অনুপাত নিত্য বা ধ্রুবক। এই ধ্রুবকটি হচ্ছে \(\pi\) (গ্রিক অক্ষর,)
কেননা \(r\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের পরিধি \(=2\pi r\) এবং ব্যাস \(=2r\)
সুতরাং \(\frac{\text{পরিধি}}{\text{ব্যাস}}=\frac{2\pi r}{2r}\)
\(=\pi\) যা একটি ধ্রুবক।
এই ধ্রুবক একটি অমূলদ সংখ্যা \(\frac{22}{7}\) ইহা অমূলদ সংখ্যা হওয়া স্বত্বেও দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত মিল থাকায় কখনও কখনও বিশেষ সুবিধার্থে \(\pi=\frac{22}{7}\) ধরা হয়।
আবার,
\(1^{c}=\frac{2}{\pi}\) সমকোণ।
\(\Rightarrow \pi^{c}=2\) সমকোণ।
\(\therefore \pi^{c}=180^{o}\)
আবার,
\(1^{c}=\frac{2}{\pi}\) সমকোণ।
\(\Rightarrow 1^{c}=\frac{1}{\pi}\times 2\) সমকোণ।
\(\Rightarrow 1^{c}=\frac{1}{3.1416}\times 180^{o}\) যেখানে, \(\pi=3.1416\)
\(\Rightarrow 1^{c}=\frac{180^{o}}{3.1416}\)
\(\therefore 1^{c}=57.2956455\) ডিগ্রি।
শতমূলক পদ্ধতি
Centesimal System
শতমূলক পদ্ধতিঃ এই পদ্ধতিতে এক সমকোণকে সমান একশত ভাগে ভাগ করা হয় এবং প্রত্যেক ভাগকে এক গ্রেড \((1^{g})\) বলা হয়। এক গ্রেডকে সমান একশত ভাগে ভাগ করে প্রতি ভাগকে মিনিট \((1^{\prime})\) বলা হয় এবং এক মিনিটকে সমান একশত ভাগে ভাগ করে প্রতি ভাগকে এক সেকেন্ড \((1^{\prime\prime})\) বলা হয়।
অর্থাৎ \(1\) সমকোণ \(=100\) গ্রেড \(100^{g}\)
\(1\) গ্রেড \(=100\) মিনিট \(100^{\prime}\)
\(1\) মিনিট \(=100\) সেকেন্ড \(100^{\prime\prime}\)
এই পদ্ধতিকে ফরাসি পদ্ধতিও বলা হয়।
আবার,
\(1\) সমকোণ \(=90^{o}=100^{g}\)
\(\Rightarrow 1^{o}=\frac{100^{g}}{90}\)
\(\therefore 1^{o}=\left(\frac{10}{9}\right)^{g}\)
আবার,
\(1\) সমকোণ \(=90^{o}=100^{g}\)
\(\Rightarrow 100^{g}=90^{o}\)
\(\Rightarrow 1^{g}=\frac{90^{0}}{100}\)
\(\therefore 1^{g}=\left(\frac{9}{10}\right)^{o}\)
অর্থাৎ \(1\) সমকোণ \(=100\) গ্রেড \(100^{g}\)
\(1\) গ্রেড \(=100\) মিনিট \(100^{\prime}\)
\(1\) মিনিট \(=100\) সেকেন্ড \(100^{\prime\prime}\)
এই পদ্ধতিকে ফরাসি পদ্ধতিও বলা হয়।
আবার,
\(1\) সমকোণ \(=90^{o}=100^{g}\)
\(\Rightarrow 1^{o}=\frac{100^{g}}{90}\)
\(\therefore 1^{o}=\left(\frac{10}{9}\right)^{g}\)
আবার,
\(1\) সমকোণ \(=90^{o}=100^{g}\)
\(\Rightarrow 100^{g}=90^{o}\)
\(\Rightarrow 1^{g}=\frac{90^{0}}{100}\)
\(\therefore 1^{g}=\left(\frac{9}{10}\right)^{o}\)
ডিগ্রি, রেডিয়ান ও গ্রাড এর মধ্যে সম্পর্ক
Relation between degree, radian and grad
\(\frac{D}{180}=\frac{R}{\pi}=\frac{G}{200}\) বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য
The length of the arc
\(s=r\theta\)যেখানে, \(s=\) চাপ
\(r=\) ব্যাসার্ধ
এবং \(\theta=\) কোণের বৃত্তীয় মাণ
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল
Area of the sector
\(A=\frac{1}{2}r^2\theta\) যেখানে, \(A=\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল
\(r=\) ব্যাসার্ধ
এবং \(\theta=\) চাপ দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্ত কোণের বৃত্তীয় মাণ
অথবা,
\(A=\frac{\theta}{360^{o}}\pi r^2\)
যেখানে, \(A=\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল
\(r=\) ব্যাসার্ধ
এবং \(\theta=\) চাপ দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্ত কোণ
ঘড়ির ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ
The angle between the hour hand and the minute hand
ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ \(\left|\frac{60H-11M}{2}\right|^{o}\)যদি, \(\left|\frac{60H-11M}{2}\right|^{o}>180^{o}\)
ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ \(360^{o}-\left|\frac{60H-11M}{2}\right|^{o}\)
যেখানে, \(H=\) ঘন্টা
এবং \(M=\) মিনিট
রেডিয়ান একটি ধ্রুবক কোণ
Radian is a constant angle
\(1^{c}=\frac{2}{\pi}\) সমকোণ। যেখানে, \(\pi=\frac{22}{7}\) ধ্রুবক
প্রমাণঃ
ধরি,\(O\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(r\) এবং ব্যাসার্ধের সমান চাপ \(AB\)।
অর্থাৎ \(AB=r\)।
এবং \(\angle{AOB}=1\) রেডিয়ান।
কেন্দ্র \(O\) বিন্দুতে \(OA\) এর উপর \(OC\) লম্ব আঁকি।
\(\therefore \angle{AOC}=1 \) সমকোণ \(=90^{o}\)।
এবং চাপ \(AC=\frac{1}{4}\times\) পরিধি ।
\(\Rightarrow AC=\frac{1}{4}\times 2\pi r\) ➜ \(\because \) পরিধি \(=2\pi r\)
\(\therefore AC=\frac{\pi r}{2}\)
আমরা জানি,
বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে ধারণকৃত কোণ বৃত্তচাপটির দৈর্ঘ্যের সমানুপাতিক।
\(\therefore \frac{\angle{AOB}}{\text{চাপ} AB}=\frac{\angle{AOC}}{\text{চাপ} AC}\)
\(\Rightarrow \frac{1^{c}}{r}=\frac{90^{o}}{\frac{\pi r}{2}}\) ➜ \(\because \angle{AOB}=1\) রেডিয়ান।
\(AB=r\)।
\(\angle{AOC}=1 \) সমকোণ \(=90^{o}\)।
এবং \(AC=\frac{\pi r}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{1^{c}}{r}=\frac{2\times 90^{o}}{\pi r}\)
\(\Rightarrow 1^{c}=\frac{2}{\pi}\times 90^{o}\)
\(\therefore 1^{c}=\frac{2}{\pi}\) সমকোণ।
এখন, \(\pi\) একটি স্থির রাশি বা ধ্রুবক।
\(\therefore \) রেডিয়ান একটি ধ্রুবক কোণ
( প্রমাণিত )
বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য
The length of the arc
\(s=r\theta\)যেখানে, \(s=\) চাপ
\(r=\) ব্যাসার্ধ
এবং \(\theta=\) কোণের বৃত্তীয় মাণ
প্রমাণঃ
ধরি, \(ABC\) বৃত্তের কেন্দ্র \(O,\) ব্যাসার্ধ \(OA=r\) একক, চাপ \(AB=s\) একক, এবং \(AB\) চাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ \(\angle{AOB}=\theta\) রেডিয়ান।
প্রমাণ করতে হবে যে, \(s=r\theta\)
বৃত্তের কেন্দ্র \(O\) হতে \(OA\) সমান ব্যসার্ধ নিয়ে \(AP\) বৃত্তচাপ আঁকি যেন পরিধিকে \(P\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(\therefore AP=r\)
এবং \(\angle{AOP}=1\) রেডিয়ান।
কোনো বৃত্তচাপ দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণ, বৃত্তচাপটির দৈর্ঘ্যের সমানুপাতিক।
সুতরাং, \(\frac{\angle{AOB}}{AB}=\frac{\angle{AOP}}{AP}\)
\(\Rightarrow \frac{\angle{AOB}}{\angle{AOP}}=\frac{AB}{AP}\)
\(\Rightarrow \frac{\theta}{1}=\frac{s}{r}\) ➜ \(\because \angle{AOB}=\theta\)
\(\angle{AOP}=1\) রেডিয়ান।
\(AB=s\)
এবং \(AP=r\)
\(\therefore s=r\theta\)
\(s=r\theta\)
( প্রমাণিত )
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল
Area of the sector
\(A=\frac{1}{2}r^2\theta\)যেখানে, \(A=\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল
\(r=\) ব্যাসার্ধ
এবং \(\theta=\) কোণের বৃত্তীয় মাণ
প্রমাণঃ
ধরি, \(PQR\) বৃত্তের কেন্দ্র \(O,\) ব্যাসার্ধ \(OP=r\) একক, চাপ \(PQ=s\) একক, এবং \(PQ\) চাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ \(\angle{POQ}=\theta\) রেডিয়ান।
প্রমাণ করতে হবে যে, \(A=\frac{1}{2}r^2\theta\)
বৃত্তের কেন্দ্র \(O\) হতে \(OP\) সমান ব্যসার্ধ নিয়ে \(PQ\) বৃত্তচাপ আঁকি যেন পরিধিকে \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(\therefore OP=r\)
কোনো বৃত্তচাপ দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণ, বৃত্তচাপটির দ্বারা উৎপন্ন বৃত্তকলার ক্ষেত্রফলের সমানুপাতিক।
সুতরাং, \(\frac{POQ \ \text{ক্ষেত্র}}{\angle{POQ}}=\frac{\text{সম্পূর্ণ বৃত্ত}}{2\pi}\)
\(\Rightarrow \frac{A}{\theta}=\frac{\pi r^2 }{2\pi}\) ➜ \(\because A=POQ\) ক্ষেত্র
\(\angle{POQ}=\theta\) রেডিয়ান।
এবং বৃত্তের ক্ষেত্রফল \(=\pi r^2 \)
\(\Rightarrow \frac{A}{\theta}=\frac{r^2 }{2}\)
\(\therefore A=\frac{1}{2}r^2\theta\)
\(A=\frac{1}{2}r^2\theta\)
আবার,
\(180^{o}=\pi\)
\(\Rightarrow 1=\frac{\pi}{180^{o}}\)
\(\therefore \theta=\frac{\theta\pi}{180^{o}}\)
এখন, উপরোক্ত সম্পর্ক হতে,
\(A=\frac{1}{2}r^2\times\frac{\theta\pi}{180}\) ➜ \(\because \theta=\frac{\theta\pi}{180^{o}}\)
\(=\frac{\theta}{360^{o}}\pi r^2\)
\(A=\frac{\theta}{360^{o}}\pi r^2\)
( প্রমাণিত )
অধ্যায় \(6A\)-এর উদাহরণসমুহ
উদাহরণ \(1.\) একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(5\) সে.মি. এবং এর একটি চাপ কেন্দ্রে \(40^{o}\) কোণ উৎপন্ন করলে, চাপের দৈর্ঘ্য এবং বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(8.727\) বর্গ সে.মি. (প্রায়)
উদাহরণ \(2.\) \(13\) সে.মি. ব্যসার্ধের দুইটি বৃত্ত পরস্পর ছেদ করেছে। তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(24\) সে.মি.। সাধারণ অংশের পরিধি ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(20.5 \) সে.মি.। \(8.727\) বর্গ সে.মি.।
উদাহরণ \(3.\) পৃথিবীর ব্যাসার্ধ \(6440\) কি.মি. । ঢাকা ও চট্টগ্রাম পৃথিবীর কেন্দ্রে \(5^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। ঢাকা ও চট্টগ্রামের দূরত্ব কত?
উত্তরঃ \(562\) কি.মি. (প্রায়)
উদাহরণ \(4.\) \(2\) টা \(20\) মিনিটের সময় ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ কত?
উত্তরঃ \(50^{o}\)
উদাহরণ \(5.\) \(10\) টা \(15\) মিনিটের সময় ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ কত?
উত্তরঃ \(142.5^{o}\)
উদাহরণ \(6.\) \(1\) টা \(15\) মিনিটের সময় ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ কত?
উত্তরঃ \(52.5^{o}\)
উদাহরণ \(7.\) বৃত্তীয় এককে বা রেডিয়ানে প্রকাশ কর।
\((a)\) \(18^{o}33^{\prime}45^{\prime\prime}\)
\((b)\) \(20^{o}32^{\prime}45^{\prime\prime}\)
\((c)\) \(29^{o}36^{\prime}9.8^{\prime\prime}\)
উত্তরঃ \((a)\) \(\frac{33\pi}{320}\) রেডিয়ান।
\((b)\) \(\frac{4931\pi}{43200}\) রেডিয়ান।
\((c)\) \(0.1644595\pi\) রেডিয়ান।
উদাহরণ \(8.\) ষাটমূলক পদ্ধতিতে প্রকাশ কর।
\((a)\) \(\frac{7\pi}{15}\) রেডিয়ান।
\((b)\) \(\frac{5\pi}{16}\) রেডিয়ান।
\((c)\) \(\frac{3\pi}{8}\) রেডিয়ান।
\((d)\) \(\frac{3\pi}{14}\) রেডিয়ান।
উত্তরঃ \((a)\) \(84^{o}\)
\((b)\) \(56^{o}25^{\prime}\)
\((c)\) \(67^{o}30^{\prime}\)
\((d)\) \(38^{o}34^{\prime}17.14^{\prime\prime}\)
উদাহরণ \(9.\) একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণ যথাক্রমে \(72^{o}53^{\prime}51^{\prime\prime}\) এবং \(37^{o}6^{\prime}9^{\prime\prime}\) তৃতীয় কোণটির মাণ রেডিয়ানে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{7\pi}{18}\) রেডিয়ান।
উদাহরণ \(10.\) পৃথিবীর ব্যাসার্ধ \(6440\) কি.মি. । ঢাকা ও ফরিদপুর পৃথিবীর কেন্দ্রে \(1\frac{1}{2}^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। ঢাকা ও ফরিদপুরের দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(168.6\) কি.মি. (প্রায়)
উত্তরঃ \(8.727\) বর্গ সে.মি. (প্রায়)
বঃ ২০১৬ ।
উদাহরণ \(2.\) \(13\) সে.মি. ব্যসার্ধের দুইটি বৃত্ত পরস্পর ছেদ করেছে। তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(24\) সে.মি.। সাধারণ অংশের পরিধি ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(20.5 \) সে.মি.। \(8.727\) বর্গ সে.মি.।
বঃ ২০১৬ ।
উদাহরণ \(3.\) পৃথিবীর ব্যাসার্ধ \(6440\) কি.মি. । ঢাকা ও চট্টগ্রাম পৃথিবীর কেন্দ্রে \(5^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। ঢাকা ও চট্টগ্রামের দূরত্ব কত?
উত্তরঃ \(562\) কি.মি. (প্রায়)
উদাহরণ \(4.\) \(2\) টা \(20\) মিনিটের সময় ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ কত?
উত্তরঃ \(50^{o}\)
উদাহরণ \(5.\) \(10\) টা \(15\) মিনিটের সময় ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ কত?
উত্তরঃ \(142.5^{o}\)
উদাহরণ \(6.\) \(1\) টা \(15\) মিনিটের সময় ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ কত?
উত্তরঃ \(52.5^{o}\)
উদাহরণ \(7.\) বৃত্তীয় এককে বা রেডিয়ানে প্রকাশ কর।
\((a)\) \(18^{o}33^{\prime}45^{\prime\prime}\)
\((b)\) \(20^{o}32^{\prime}45^{\prime\prime}\)
\((c)\) \(29^{o}36^{\prime}9.8^{\prime\prime}\)
উত্তরঃ \((a)\) \(\frac{33\pi}{320}\) রেডিয়ান।
\((b)\) \(\frac{4931\pi}{43200}\) রেডিয়ান।
\((c)\) \(0.1644595\pi\) রেডিয়ান।
উদাহরণ \(8.\) ষাটমূলক পদ্ধতিতে প্রকাশ কর।
\((a)\) \(\frac{7\pi}{15}\) রেডিয়ান।
\((b)\) \(\frac{5\pi}{16}\) রেডিয়ান।
\((c)\) \(\frac{3\pi}{8}\) রেডিয়ান।
\((d)\) \(\frac{3\pi}{14}\) রেডিয়ান।
উত্তরঃ \((a)\) \(84^{o}\)
\((b)\) \(56^{o}25^{\prime}\)
\((c)\) \(67^{o}30^{\prime}\)
\((d)\) \(38^{o}34^{\prime}17.14^{\prime\prime}\)
উদাহরণ \(9.\) একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণ যথাক্রমে \(72^{o}53^{\prime}51^{\prime\prime}\) এবং \(37^{o}6^{\prime}9^{\prime\prime}\) তৃতীয় কোণটির মাণ রেডিয়ানে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{7\pi}{18}\) রেডিয়ান।
উদাহরণ \(10.\) পৃথিবীর ব্যাসার্ধ \(6440\) কি.মি. । ঢাকা ও ফরিদপুর পৃথিবীর কেন্দ্রে \(1\frac{1}{2}^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। ঢাকা ও ফরিদপুরের দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(168.6\) কি.মি. (প্রায়)
উদাহরণ \(11.\) একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(8\) সে.মি. এবং একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে \(56^{o}\) কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য এবং বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(7.82\) সে.মি. (প্রায়); \(31.28\) বর্গ সে.মি. (প্রায়)।
উদাহরণ \(12.\) দুইটি কোণের সমষ্টি এবং অন্তর যথাক্রমে \(\frac{2\pi}{5}\) এবং \(18^{o}\) । কোণ দুইটিকে ডিগ্রিতে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(45^{o}, \ 27^{o}\)
উদাহরণ \(13.\) \(5\) টা \(10\) মিনিটের সময় ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ কত?
উত্তরঃ \(95^{o}\)
উদাহরণ \(14.\) \(11\) টা \(15\) মিনিটের সময় ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ কত?
উত্তরঃ \(112.5^{o}\)
উদাহরণ \(15.\) একটি কোণের পরিমাণ ডিগ্রি ও রেডিয়ান এককে যথাক্রমে \(D^{o}\) ও \(R^{c}\) হলে দেখাও যে, \(\frac{D}{180}=\frac{R}{\pi}\)
উদাহরণ \(16.\) একটি চাকা \(2.40\) কি.মি. পথ যেতে \(54\) বার ঘুরে। চাকাটির ব্যাসার্ধ কত?
উত্তরঃ \(7.07354\) মিটার (প্রায়)।
উদাহরণ \(17.\) চিত্রের উপবৃত্তটির ক্ষেত্রফল \(\pi ab\) বর্গ একক হলে ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(6.85\) বর্গ একক।
.png)
উদাহরণ \(18.\) চিত্রে, \(2\) একক ব্যাসার্ধ এবং \(Q\) ও \(S\) কেন্দ্রবিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে \(P\) ও \(R\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(PQRS\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\left(\frac{8\pi}{3}-2\sqrt{3}\right)\) বর্গ একক।
উত্তরঃ \(7.82\) সে.মি. (প্রায়); \(31.28\) বর্গ সে.মি. (প্রায়)।
উদাহরণ \(12.\) দুইটি কোণের সমষ্টি এবং অন্তর যথাক্রমে \(\frac{2\pi}{5}\) এবং \(18^{o}\) । কোণ দুইটিকে ডিগ্রিতে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(45^{o}, \ 27^{o}\)
উদাহরণ \(13.\) \(5\) টা \(10\) মিনিটের সময় ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ কত?
উত্তরঃ \(95^{o}\)
উদাহরণ \(14.\) \(11\) টা \(15\) মিনিটের সময় ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ কত?
উত্তরঃ \(112.5^{o}\)
উদাহরণ \(15.\) একটি কোণের পরিমাণ ডিগ্রি ও রেডিয়ান এককে যথাক্রমে \(D^{o}\) ও \(R^{c}\) হলে দেখাও যে, \(\frac{D}{180}=\frac{R}{\pi}\)
উদাহরণ \(16.\) একটি চাকা \(2.40\) কি.মি. পথ যেতে \(54\) বার ঘুরে। চাকাটির ব্যাসার্ধ কত?
উত্তরঃ \(7.07354\) মিটার (প্রায়)।
উদাহরণ \(17.\) চিত্রের উপবৃত্তটির ক্ষেত্রফল \(\pi ab\) বর্গ একক হলে ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(6.85\) বর্গ একক।
উদাহরণ \(18.\) চিত্রে, \(2\) একক ব্যাসার্ধ এবং \(Q\) ও \(S\) কেন্দ্রবিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে \(P\) ও \(R\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(PQRS\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\left(\frac{8\pi}{3}-2\sqrt{3}\right)\) বর্গ একক।
উদাহরণ \(1.\) একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(5\) সে.মি. এবং এর একটি চাপ কেন্দ্রে \(40^{o}\) কোণ উৎপন্ন করলে, চাপের দৈর্ঘ্য এবং বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3.491\) সে.মি. (প্রায়); \(8.727\) বর্গ সে.মি. (প্রায়)
উত্তরঃ \(3.491\) সে.মি. (প্রায়); \(8.727\) বর্গ সে.মি. (প্রায়)
বঃ ২০১৬ ।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(r=5\) সে.মি.
কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ \(\theta=40^{o}\)
\(=\frac{40\times\pi}{180}\) রেডিয়ান
\(\therefore \theta=\frac{2\pi}{9}\) রেডিয়ান
আমরা জানি,
বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য \(s=r\theta\)
\(=5\times \frac{2\pi}{9}\) ➜ \(\because r=5\)
এবং \(\theta=\frac{2\pi}{9}\)
\(=\frac{10\pi}{9}\)
\(=\frac{10\times 3.1416}{9}\) ➜ \(\because \pi=3.1416\)
\(=\frac{31.416}{9}\)
\(=3.491\) সে.মি.
আবার,
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(A=\frac{1}{2}r^2\theta\)
\(=\frac{1}{2}\times 5^2\times \frac{2\pi}{9}\) ➜ \(\because r=5\)
এবং \(\theta=\frac{2\pi}{9}\)
\(=\frac{1}{2}\times 25\times \frac{2\pi}{9}\)
\(=25\times \frac{\pi}{9}\)
\(=\frac{25\times 3.1416}{9}\) ➜ \(\because \pi=3.1416\)
\(=\frac{78.54}{9}\)
\(=8.727\) বর্গ সে.মি. (প্রায়)
উদাহরণ \(2.\) \(13\) সে.মি. ব্যসার্ধের দুইটি বৃত্ত পরস্পর ছেদ করেছে। তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(24\) সে.মি.। সাধারণ অংশের পরিধি ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(20.5 \) সে.মি.। \(8.727\) বর্গ সে.মি.।
উত্তরঃ \(20.5 \) সে.মি.। \(8.727\) বর্গ সে.মি.।
বঃ ২০১৬ ।
সমাধানঃ
চিত্র হতে, \(\triangle{CAE}\)-এ \(AE=\frac{1}{2}AB\)
\(=\frac{1}{2}\times 24\) ➜ \(\because AB=24\)
\(=12\)
\(\therefore AE=12\)
\(\angle{CAD}=2\theta\)
এখন, \(\cos{\theta}=\frac{AE}{AC}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{12}{13}\) ➜ \(\because AE=12\)
এবং ব্যসার্ধ \(AC=12\)
\(\Rightarrow \theta=\cos^{-1}{\left(\frac{12}{13}\right)}\)
\(\therefore \theta=0.3948\) রেডিয়ান।
চাপ \(CD=13\times 2\theta\) ➜ \(\because s=r\theta\)
\(\therefore CD=26\theta\)
সাধারণ অংশের পরিধি \(=2\times\) চাপ \(CD\)
\(=2\times 26\theta\)
\(=52\times 0.3948\) ➜ \(\because \theta=0.3948\)
\(=20.5\)
আবার,
সাধারণ অংশের ক্ষেত্রফল \(=2\times CDF\) অংশের ক্ষেত্রফল
\(=2\)(\(ACD\) বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল - \(\triangle{ACD}\) এর ক্ষেত্রফল)
\(=2(\frac{1}{2}\times AC^2\times \angle{CAD}-\frac{1}{2}\times AD\times AC\times \sin{\angle{CAD}})\) ➜ \(\because A=\frac{1}{2}r^2\theta\)
এবং \(\triangle=\frac{1}{2}ab\sin{C}\)
\(=2(\frac{1}{2}\times 13^2\times 2\theta-\frac{1}{2}\times 13\times 13\times \sin{2\theta})\) ➜ \(\because \angle{CAD}=2\theta\)
এবং \(AC=AD=13\)
\(=2(169\theta-\frac{169}{2}\sin{2\theta})\)
\(=2(169\times 0.3948-\frac{169}{2}\sin{2\times 0.3948})\) ➜ \(\because \theta=0.3948\)
\(=2(66.7212-\frac{169}{2}\sin{0.7896})\)
\(=2(66.7212-60.0011)\)
\(=2(6.7201)\)
\(=13.44\) বর্গ সে.মি.
উদাহরণ \(3.\) পৃথিবীর ব্যাসার্ধ \(6440\) কি.মি. । ঢাকা ও চট্টগ্রাম পৃথিবীর কেন্দ্রে \(5^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। ঢাকা ও চট্টগ্রামের দূরত্ব কত?
উত্তরঃ \(562\) কি.মি. (প্রায়)
উত্তরঃ \(562\) কি.মি. (প্রায়)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, ব্যাসার্ধ \(r=6440\)
কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ \(\theta=5^{o}\)
\(=5\times\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান ➜ \(\because 1^{o}=\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান
\(=\frac{\pi}{36}\) রেডিয়ান
\(\therefore \theta=\frac{\pi}{36}\) রেডিয়ান
ঢাকা ও চট্টগ্রামের দূরত্ব \( =r\theta\) ➜ \(\because s=r\theta\)
ঢাকা ও চট্টগ্রামের দূরত্ব \( =6440\times \frac{\pi}{36}\) ➜ \(\because r=6440\)
এবং \(\theta=\frac{\pi}{36}\)
\(=\frac{6440\pi}{36}\)
\(=\frac{6440\times 3.2416}{36}\)
\(=\frac{20231.904}{36}\)
\(=562\)
\(\therefore \text{ঢাকা ও চট্টগ্রামের দূরত্ব}=562\) কি.মি. (প্রায়)
উদাহরণ \(4.\) \(2\) টা \(20\) মিনিটের সময় ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ কত?
উত্তরঃ \(50^{o}\)
উত্তরঃ \(50^{o}\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, ঘন্টা \(H=2\)
মিনিট \(M=20\)
ঘড়ির ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ \(=\left|\frac{60H-11M}{2}\right|^{o}\) ➜ ঘড়ির ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ ,
\(\left|\frac{60H-11M}{2}\right|^{o}\)
\(=\left|\frac{60\times 2-11\times 20}{2}\right|^{o}\) ➜ \(\because \) ঘন্টা \(H=2\)
এবং মিনিট \(M=20\)
\(=\left|\frac{120-220}{2}\right|^{o}\)
\(=\left|\frac{-100}{2}\right|^{o}\)
\(=\left|-50\right|^{o}\)
\(=50^{o}\)
উদাহরণ \(5.\) \(10\) টা \(15\) মিনিটের সময় ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ কত?
উত্তরঃ \(142.5^{o}\)
উত্তরঃ \(142.5^{o}\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, ঘন্টা \(H=10\)
মিনিট \(M=15\)
ঘড়ির ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ \(=\left|\frac{60H-11M}{2}\right|^{o}\) ➜ ঘড়ির ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ ,
\(\left|\frac{60H-11M}{2}\right|^{o}\)
\(=\left|\frac{60\times 10-11\times 15}{2}\right|^{o}\) ➜ \(\because \) ঘন্টা \(H=10\)
এবং মিনিট \(M=15\)
\(=\left|\frac{600-165}{2}\right|^{o}\)
\(=\left|\frac{435}{2}\right|^{o}\)
\(=\left|217.5\right|^{o}\)
\(=217.5^{o}>180^{o}\)
\(\therefore \) নির্ণেয় মধ্যবর্তী কোণ \(360^{o}-217.5^{o}\)
\(=142.5^{o}\)
উদাহরণ \(6.\) \(1\) টা \(15\) মিনিটের সময় ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ কত?
উত্তরঃ \(52.5^{o}\)
উত্তরঃ \(52.5^{o}\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, ঘন্টা \(H=1\)
মিনিট \(M=15\)
ঘড়ির ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ \(=\left|\frac{60H-11M}{2}\right|^{o}\) ➜ ঘড়ির ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ ,
\(\left|\frac{60H-11M}{2}\right|^{o}\)
\(=\left|\frac{60\times 1-11\times 15}{2}\right|^{o}\) ➜ \(\because \) ঘন্টা \(H=1\)
এবং মিনিট \(M=15\)
\(=\left|\frac{60-165}{2}\right|^{o}\)
\(=\left|\frac{-105}{2}\right|^{o}\)
\(=\left|-52.5\right|^{o}\)
\(=52.5^{o}\)
\(\therefore \) নির্ণেয় মধ্যবর্তী কোণ \(52.5^{o}\)
উদাহরণ \(10.\) পৃথিবীর ব্যাসার্ধ \(6440\) কি.মি. । ঢাকা ও ফরিদপুর পৃথিবীর কেন্দ্রে \(1\frac{1}{2}^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। ঢাকা ও ফরিদপুরের দূরত্ব নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(168.6\) কি.মি. (প্রায়)
উত্তরঃ \(168.6\) কি.মি. (প্রায়)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, ব্যাসার্ধ \(r=6440\)
কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ \(\theta=1\frac{1}{2}^{o}\)
\(=\frac{3}{2}^{o}\)
\(=\frac{3}{2}\times\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান ➜ \(\because 1^{o}=\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান
\(=\frac{1}{2}\times\frac{\pi}{60}\)
\(=\frac{\pi}{120}\)
\(\therefore \theta=\frac{\pi}{120}\)রেডিয়ান
ঢাকা ও ফরিদপুরের দূরত্ব \( =r\theta\) ➜ \(\because s=r\theta\)
ঢাকা ও ফরিদপুরের দূরত্ব \( =6440\times \frac{\pi}{120}\) ➜ \(\because r=6440\)
এবং \(\theta=\frac{\pi}{120}\)
\(=\frac{6440\pi}{120}\)
\(=\frac{6440\times 3.2416}{120}\)
\(=\frac{20231.904}{120}\)
\(=168.5992\)
\(\therefore \text{ঢাকা ও ফরিদপুরের দূরত্ব}=168.6\) কি.মি. (প্রায়)
উদাহরণ \(13.\) \(5\) টা \(10\) মিনিটের সময় ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ কত?
উত্তরঃ \(95^{o}\)
উত্তরঃ \(95^{o}\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, ঘন্টা \(H=5\)
মিনিট \(M=10\)
ঘড়ির ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ \(=\left|\frac{60H-11M}{2}\right|^{o}\) ➜ ঘড়ির ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ ,
\(\left|\frac{60H-11M}{2}\right|^{o}\)
\(=\left|\frac{60\times 5-11\times 10}{2}\right|^{o}\) ➜ \(\because \) ঘন্টা \(H=5\)
এবং মিনিট \(M=10\)
\(=\left|\frac{300-110}{2}\right|^{o}\)
\(=\left|\frac{190}{2}\right|^{o}\)
\(=\left|95\right|^{o}\)
\(=95^{o}\)
উদাহরণ \(14.\) \(11\) টা \(15\) মিনিটের সময় ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ কত?
উত্তরঃ \(112.5^{o}\)
উত্তরঃ \(112.5^{o}\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, ঘন্টা \(H=11\)
মিনিট \(M=15\)
ঘড়ির ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ \(=\left|\frac{60H-11M}{2}\right|^{o}\) ➜ ঘড়ির ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ ,
\(\left|\frac{60H-11M}{2}\right|^{o}\)
\(=\left|\frac{60\times 11-11\times 15}{2}\right|^{o}\) ➜ \(\because \) ঘন্টা \(H=5\)
এবং মিনিট \(M=10\)
\(=\left|\frac{660-165}{2}\right|^{o}\)
\(=\left|\frac{495}{2}\right|^{o}\)
\(=\left|247.5\right|^{o}\)
\(=247.5^{o}>180^{o}\)
\(\therefore \) নির্ণেয় মধ্যবর্তী কোণ \(360^{o}-247.5^{o}\)
\(=112.5^{o}\)
উদাহরণ \(17.\) চিত্রের উপবৃত্তটির ক্ষেত্রফল \(\pi ab\) বর্গ একক হলে ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(6.85\) বর্গ একক।
সমাধানঃ
চিত্রে, দেওয়া আছে,
উপবৃত্তটির ক্ষেত্রফল \(\pi ab\) বর্গ একক।
\(a=3, \ b=2\) ➜ চিত্রে, হতে
\(\because (3,0)\Rightarrow (a,0)\)
এবং \((0,2)\Rightarrow (0,b)\)
\(\therefore \) উপবৃত্তটির ক্ষেত্রফল \(=\pi ab\) বর্গ একক।
\(=\pi \times3\times2\) ➜ \(\because a=3, \ b=2\)
\(=6\pi\)
\(\therefore \text{উপবৃত্তটির ক্ষেত্রফল }=6\pi\) বর্গ একক।
চারটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল অর্থাৎ ফাঁকা অংশের ক্ষেত্রফল \(=4\times\frac{1}{2}ab\) বর্গ একক। ➜ \(\triangle=\frac{1}{2}\times\text{ভূমি}\times\text{উচ্চতা}\)
\(=2\times3\times2\) ➜ \(\because a=3, \ b=2\)
\(=12\)
\(\therefore \text{ফাঁকা অংশের ক্ষেত্রফল}=12\) বর্গ একক।
ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল \(=(\text{উপবৃত্তটির ক্ষেত্রফল }-\text{ফাঁকা অংশের ক্ষেত্রফল})\) বর্গ একক।
\(=6\pi-12\) ➜ \(\because \text{উপবৃত্তটির ক্ষেত্রফল }=6\pi\) বর্গ একক।
এবং \(\text{ফাঁকা অংশের ক্ষেত্রফল}=12\) বর্গ একক।
\(=6\times3.1416-12\) ➜ \(\because \pi=3.1416\)
\(=18.8496-12\)
\(=6.85\)
\(\therefore \text{নির্ণেয় ক্ষেত্রফল }=6.85\) বর্গ একক।
উপবৃত্তটির ক্ষেত্রফল \(\pi ab\) বর্গ একক।
\(a=3, \ b=2\) ➜ চিত্রে, হতে
\(\because (3,0)\Rightarrow (a,0)\)
এবং \((0,2)\Rightarrow (0,b)\)
\(\therefore \) উপবৃত্তটির ক্ষেত্রফল \(=\pi ab\) বর্গ একক।
\(=\pi \times3\times2\) ➜ \(\because a=3, \ b=2\)
\(=6\pi\)
\(\therefore \text{উপবৃত্তটির ক্ষেত্রফল }=6\pi\) বর্গ একক।
চারটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল অর্থাৎ ফাঁকা অংশের ক্ষেত্রফল \(=4\times\frac{1}{2}ab\) বর্গ একক। ➜ \(\triangle=\frac{1}{2}\times\text{ভূমি}\times\text{উচ্চতা}\)
\(=2\times3\times2\) ➜ \(\because a=3, \ b=2\)
\(=12\)
\(\therefore \text{ফাঁকা অংশের ক্ষেত্রফল}=12\) বর্গ একক।
ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল \(=(\text{উপবৃত্তটির ক্ষেত্রফল }-\text{ফাঁকা অংশের ক্ষেত্রফল})\) বর্গ একক।
\(=6\pi-12\) ➜ \(\because \text{উপবৃত্তটির ক্ষেত্রফল }=6\pi\) বর্গ একক।
এবং \(\text{ফাঁকা অংশের ক্ষেত্রফল}=12\) বর্গ একক।
\(=6\times3.1416-12\) ➜ \(\because \pi=3.1416\)
\(=18.8496-12\)
\(=6.85\)
\(\therefore \text{নির্ণেয় ক্ষেত্রফল }=6.85\) বর্গ একক।
উদাহরণ \(18.\) চিত্রে, \(2\) একক ব্যাসার্ধ এবং \(Q\) ও \(S\) কেন্দ্রবিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে \(P\) ও \(R\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(PQRS\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\left(\frac{8\pi}{3}-2\sqrt{3}\right)\) বর্গ একক।
সমাধানঃ
.png)
চিত্রে দেওয়া আছে, \(2\) একক ব্যাসার্ধ এবং \(Q\) ও \(S\) কেন্দ্রবিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে \(P\) ও \(R\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(P, Q; Q, R; R, S; P, S\) এবং \(Q, S\) যোগ করি।
এখন, \(PQS\) একটি সমবাহু ত্রিভুজ যার \(PQ=QS=PS=2\) একক।
এবং \(\angle{P}=\angle{Q}=\angle{S}=\frac{\pi}{3}\) ➜ \(\because \) সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের মাণ
\(\frac{\pi}{3}\)
এখন, \(\triangle{PQS}\) এর ক্ষেত্রফল
\(=\frac{\sqrt{3}}{4}2^2\) বর্গ একক ➜ \(\because a\) বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
\(=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 4\)
\(=\sqrt{3}\)
\(\therefore \triangle{PQS}=\sqrt{3}\) বর্গ একক।
আবার, \(PQS\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল
\(=\frac{1}{2}2^2\frac{\pi}{3}\) বর্গ একক ➜ \(\because a\) ব্যাসার্ধ এবং কেন্দ্রে \(\theta\) কোণ উতপন্নকারী বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল
\(=\frac{1}{2}a^2\theta\) বর্গ একক
\(=\frac{1}{2}\times 4\times \frac{\pi}{3}\)
\(=2\times \frac{\pi}{3}\)
\(=\frac{2\pi}{3}\)
\(\therefore \text{বৃত্তকলা} PQS=\frac{2\pi}{3}\) বর্গ একক।
\(PQ\) রেখাংশ দ্বারা আবদ্ধ বৃত্তের ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল \(=(\text{বৃত্তকলা} PQS-\triangle{PQS})\) বর্গ একক।
\(=\left(\frac{2\pi}{3}-\sqrt{3}\right)\) বর্গ একক।
এখন, \(PQRS\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=2\times\triangle{PQS}+4\times\text{ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল}\) বর্গ একক।
\(=\left(2\sqrt{3}+\frac{8\pi}{3}-4\sqrt{3}\right)\) বর্গ একক।
\(=\left(\frac{8\pi}{3}-2\sqrt{3}\right)\) বর্গ একক।
ইহাই নির্ণেয় ক্ষেত্রফল।
অধ্যায় \(6A\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
\(Q.1.(i)\) বৃত্তীয় এককে বা রেডিয়ানে প্রকাশ কর।
\((a) \) \(18^{o}33^{\prime}45^{\prime\prime}\)
\((b) \) \(73^{o}7^{\prime}30^{\prime\prime}\)
\((c) \) \(50^{o}37^{\prime}30^{\prime\prime}\)
\((d) \) \(45^{o}12^{\prime}23.2^{\prime\prime}\)
\((e) \) \(45^{o}12^{\prime}36^{\prime\prime}\)
\((f) \) \(55^{o}54^{\prime}53^{\prime\prime}\)
\((g) \) \(30^{o}12^{\prime}36^{\prime\prime}\)
\((h) \) \(72^{o}53^{\prime}51^{\prime\prime}\)
উত্তরঃ \((a) \ \frac{33\pi}{320}\) রেডিয়ান
\((b) \ \frac{13\pi}{32}\) রেডিয়ান
\((c) \ \frac{9\pi}{32}\) রেডিয়ান
\((d) \ 0.25115\pi\) রেডিয়ান
\((e) \ \frac{1507\pi}{6000}\) রেডিয়ান
\((f) \ 0.310637345\pi\) রেডিয়ান
\((g) \ 0.167833333\pi\) রেডিয়ান
\((h) \ 0.404986111\pi\) রেডিয়ান
\(Q.1.(ii)\) ডিগ্রিতে বা ষাটমূলক পদ্ধতিতে প্রকাশ কর।
\((a) \) \(\frac{5\pi}{16}\) রেডিয়ান
\((b) \) \(\frac{47\pi}{12}\) রেডিয়ান
\((c) \) \(\frac{7\pi}{15}\) রেডিয়ান
\((d) \) \(\frac{25\pi}{3}\) রেডিয়ান
\((e) \) \(\frac{7\pi}{20}\) রেডিয়ান
\((f) \) \(0.9759\) রেডিয়ান
\((g) \) \(12.3046\) রেডিয়ান
\((h) \) \(\frac{5\pi}{4}\) রেডিয়ান
উত্তরঃ \((a) \ 56^{o}15^{\prime}\)
\((b) \ 705^{o}\)
\((c) \ 84^{o}\)
\((d) \ 1500^{o}\)
\((e) \ 705^{o}\)
\((f) \ 55^{o}54^{\prime}53.82^{\prime\prime}\)
\((g) \ 705^{o}5.93^{\prime\prime}\)
\((h) \ 255^{o}\)
\(Q.1.(iii)\) কোনো ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত \(3:4:5\) কোনগুলিকে ষাটমূলক এবং রেডিয়ানে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(45^{o}, \ 60^{o}, \ 75^{o}, \ \frac{\pi}{4}, \ \frac{\pi}{3}, \ \frac{5\pi}{12}\)
\(Q.1.(iv)\) একটি ত্রিভুজের কোণ তিনটি সমান্তর শ্রেণীভুক্ত। ক্ষুদ্রতম ও মধ্যম কোণ দুইটিকে ডিগ্রিতে প্রকাশ করলে তাদের অনুপাত \(3:5\) । কোণগুলির মাণ রেডিয়ানে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{5}, \ \frac{\pi}{3}, \ \frac{7\pi}{15}\)
\(Q.1.(v)\) একটি ত্রিভুজের কোণ তিনটি সমান্তর শ্রেণীভুক্ত। এর বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণ দুইটিকে যথাক্রমে রেডিয়ানে ও ডিগ্রিতে প্রকাশ করলে তাদের অনুপাত \(\pi:90^{o}\) কোণগুলির মাণ রেডিয়ানে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{2\pi}{9}, \ \frac{\pi}{3}, \ \frac{4\pi}{9}\)
\(Q.1.(vi)\) একটি ত্রিভুজের কোণগুলি যথাক্রমে \(x, \ 25^{o}\) এবং \(\frac{11\pi}{36}\) হলে, \(x\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(100^{o}\)
\(Q.1.(vii)\) দুইটি ত্রিভুজের প্রত্যেকটির কোণগুলি গুণোত্তর প্রগমনভুক্ত। একটি ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতর কোণ অপরটির ক্ষুদ্রতর কোণের তিনগুণ এবং তাদের বৃহত্তম কোণ দুইটির সমষ্টি \(240^{o}\) বৃত্তীয় এককে কোণগুলির মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{21}, \ \frac{4\pi}{21}, \ \frac{16\pi}{21}, \ \frac{\pi}{7}, \ \frac{2\pi}{7}, \ \frac{4\pi}{7}\)
\(Q.1.(viii)\) একটি চতুর্ভুজের দুইটি কোণ \(60^{o}\) ও \(\frac{3\pi}{4}\) রেডিয়ান। অপর দুইটি কোণের অনুপাত \(3:4\) হলে, কোণগুলি বৃত্তীয় এককে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{3}, \ \frac{3\pi}{4}, \ \frac{2\pi}{3}, \ \frac{\pi}{4}\)
\(Q.1.(ix)\) \(54^{o}\) কোণকে এমন তিনটি অংশে ভাগ কর যেন রেডিয়ানে প্রকাশিত প্রথম ও দ্বিতীয় কোণটির অন্তর \(\frac{\pi}{10}\) এবং দ্বিতীয় ও তৃতীয় কোণ দুইটির যোগফল \(27^{o}\) ।
উত্তরঃ \(27^{o}, \ 9^{o}, \ 18^{o}\)
\(Q.1.(x)\) একটি বৃত্তচাপ \(30\) মিটার ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তের কেন্দ্রে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তচাপটির দৈর্ঘ্য এবং চাপটির উপর দন্ডায়মান বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(31.42\) মিটার। \(471.24\) বর্গ মিটার।
\(Q.1.(xi)\) একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে \(24^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। যদি বৃহত্তর জ্যা \(49\) মিটার হয়, তবে বৃত্তচাপটির দৈর্ঘ্য এবং চাপটির উপর দন্ডায়মান বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(10.263\) মিটার। \(125.716\) বর্গ মিটার।
\(Q.1.(xii)\) একটি বৃত্তচাপ বৃত্তের কেন্দ্রে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। যদি বৃত্তচাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(13.09\) বর্গ সে.মি. হয়, তবে বৃত্তের ব্যসার্ধ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5\) সে.মি.
\(Q.1.(xiii)\) এক ব্যক্তি বৃত্তাকার পথে ঘন্টায় \(5\) কি.মি. বেগে পরিভ্রমণ করে \(15\) সেকেন্ডে একটি বৃত্তচাপ অতিক্রম করে। যদি ঐ বৃত্তচাপ কেন্দ্রে \(\frac{5\pi}{12}\) কোণ উৎপন্ন করে তবে বৃত্তাকার পথের ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(15.915\) মিটার।
\(Q.1.(xiv)\) একটি গাড়ি বৃত্তাকার পথে প্রতি সেকেন্ডে একটি বৃত্তচাপ অতিক্রম করে। যদি চাপটি কেন্দ্রে \(28^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এবং বৃত্তের ব্যাস \(60\) মিটার হয়, তবে গাড়িটির গতিবেগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(52.78\) কি.মি./ ঘন্টা (প্রায়)
\(Q.1.(xv)\) \(10\) সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের \(14\) সে.মি. দৈর্ঘ্যের একটি জ্যা বৃত্তের কেন্দ্রে যে পরিমাণ কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর। জ্যাটি বৃত্তের যে ক্ষুদ্রতম অংশ কর্তন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1.55\) রেডিয়ান। \(27.51\) বর্গ সে.মি.।
\(Q.1.(xvi)\) একটি গাড়ির চাকা \(200\) বার আবর্তিত হয়ে \(800\) মিটার দূরত্ব অতিক্রম করে। চাকার ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(0.6366\) মিটার (প্রায়)
\(Q.1.(xvii)\) একজন সাইকেল আরোহী মিনিটে \(250\) মিটার বেগে, \(A\) কলেজ থেকে \(B\) কলেজে পৌছালো। কলেজ দুইটি পৃথিবীর কেন্দ্রে \(1^{o}5^{\prime}\) কোণ উৎপন্ন করলে তার কত ঘন্টা সময় লাগবে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(8\) ঘন্টা \(7\) মিনিট।
\(Q.1.(xviii)\) \(7\) টা \(15\) মিনিটের সময় ঘন্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ ষাটমূলক এককে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(127^{o}30^{\prime}\)
\(Q.1.(xix)\) \(11\) টা \(45\) মিনিটের সময় ঘন্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ বৃত্তীয় পদ্ধতিতে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(\frac{11\pi}{24}\)
\(Q.1.(xx)\) পৃথিবীর ব্যাসার্ধ \(6371\) কি.মি. । ঢাকা ও দিল্লী পৃথিবীর পৃষ্ঠে দুইটি স্থান। ঢাকা ও দিল্লীর মধ্যবর্তী দূরত্ব \(1882\) কি.মি. হলে, স্থান দুইটি পৃথিবীর কেন্দ্রে কত ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করবে?
উত্তরঃ \(17^{\prime}43.44^{\prime\prime}\)
\(Q.1.(xxi)\) একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(35\) মি.। বৃত্তটির কোনো চাপ কেন্দ্রে \(\frac{\pi}{4}\) রেডিয়ান কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তচাপটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(27.5\) মি.।
\(Q.1.(xxii)\) \(44\) সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তচাপ বৃত্তের কেন্দ্রে \(\frac{\pi}{3}\) কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(42\) সে.মি.।
\(Q.1.(xxiii)\) যদি দুইটি বৃত্তের কেন্দ্রে দুইটি সমান দৈর্ঘ্যের চাপ যথাক্রমে \(60^{o}\) ও \(75^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে, তবে বৃত্ত দুইটির ব্যাসার্ধ্যের অনুপাত নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5:4\)
\(Q.1.(xxiv)\) একটি ঘড়ির মিনিটের কাঁটা \(12\) সে.মি. লম্বা হলে এর অগ্রভাগ \(15\) মিনিটে যে দূরত্ব অতিক্রম করবে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(18.857\) সে.মি. (প্রায়)
\(Q.1.(xxv)\) পৃথিবী হতে চন্দ্রের দূরত্ব \(237600\) কি.মি. । যদি ভূপৃষ্টে অবস্থিত কোনো বিন্দুতে চন্দ্র \(16^{\prime}\) কোণ উৎপন্ন করে, তবে চন্দ্রের ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(533.14\) কি.মি. ।
\(Q.1.(xxvi)\) \(540\) কি.মি. দূরে একটি বিন্দুতে একটি পাহাড় \(7^{\prime}\) কোণ উৎপন্ন করলে পাহাড়টির উচ্চতা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1.1\) কি.মি. ।
\(Q.1.(xxvii)\) একটি বৃত্তচাপ বৃত্তের কেন্দ্রে \(30^{o}15^{\prime}\) কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(10\) মিটার হলে বৃত্তচাপটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5.28\) মিটার ।
\((a) \) \(18^{o}33^{\prime}45^{\prime\prime}\)
\((b) \) \(73^{o}7^{\prime}30^{\prime\prime}\)
\((c) \) \(50^{o}37^{\prime}30^{\prime\prime}\)
\((d) \) \(45^{o}12^{\prime}23.2^{\prime\prime}\)
\((e) \) \(45^{o}12^{\prime}36^{\prime\prime}\)
\((f) \) \(55^{o}54^{\prime}53^{\prime\prime}\)
\((g) \) \(30^{o}12^{\prime}36^{\prime\prime}\)
\((h) \) \(72^{o}53^{\prime}51^{\prime\prime}\)
উত্তরঃ \((a) \ \frac{33\pi}{320}\) রেডিয়ান
\((b) \ \frac{13\pi}{32}\) রেডিয়ান
\((c) \ \frac{9\pi}{32}\) রেডিয়ান
\((d) \ 0.25115\pi\) রেডিয়ান
\((e) \ \frac{1507\pi}{6000}\) রেডিয়ান
\((f) \ 0.310637345\pi\) রেডিয়ান
\((g) \ 0.167833333\pi\) রেডিয়ান
\((h) \ 0.404986111\pi\) রেডিয়ান
\(Q.1.(ii)\) ডিগ্রিতে বা ষাটমূলক পদ্ধতিতে প্রকাশ কর।
\((a) \) \(\frac{5\pi}{16}\) রেডিয়ান
\((b) \) \(\frac{47\pi}{12}\) রেডিয়ান
\((c) \) \(\frac{7\pi}{15}\) রেডিয়ান
\((d) \) \(\frac{25\pi}{3}\) রেডিয়ান
\((e) \) \(\frac{7\pi}{20}\) রেডিয়ান
\((f) \) \(0.9759\) রেডিয়ান
\((g) \) \(12.3046\) রেডিয়ান
\((h) \) \(\frac{5\pi}{4}\) রেডিয়ান
উত্তরঃ \((a) \ 56^{o}15^{\prime}\)
\((b) \ 705^{o}\)
\((c) \ 84^{o}\)
\((d) \ 1500^{o}\)
\((e) \ 705^{o}\)
\((f) \ 55^{o}54^{\prime}53.82^{\prime\prime}\)
\((g) \ 705^{o}5.93^{\prime\prime}\)
\((h) \ 255^{o}\)
\(Q.1.(iii)\) কোনো ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত \(3:4:5\) কোনগুলিকে ষাটমূলক এবং রেডিয়ানে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(45^{o}, \ 60^{o}, \ 75^{o}, \ \frac{\pi}{4}, \ \frac{\pi}{3}, \ \frac{5\pi}{12}\)
\(Q.1.(iv)\) একটি ত্রিভুজের কোণ তিনটি সমান্তর শ্রেণীভুক্ত। ক্ষুদ্রতম ও মধ্যম কোণ দুইটিকে ডিগ্রিতে প্রকাশ করলে তাদের অনুপাত \(3:5\) । কোণগুলির মাণ রেডিয়ানে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{5}, \ \frac{\pi}{3}, \ \frac{7\pi}{15}\)
\(Q.1.(v)\) একটি ত্রিভুজের কোণ তিনটি সমান্তর শ্রেণীভুক্ত। এর বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণ দুইটিকে যথাক্রমে রেডিয়ানে ও ডিগ্রিতে প্রকাশ করলে তাদের অনুপাত \(\pi:90^{o}\) কোণগুলির মাণ রেডিয়ানে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{2\pi}{9}, \ \frac{\pi}{3}, \ \frac{4\pi}{9}\)
কুঃ ২০১৫ ।
\(Q.1.(vi)\) একটি ত্রিভুজের কোণগুলি যথাক্রমে \(x, \ 25^{o}\) এবং \(\frac{11\pi}{36}\) হলে, \(x\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(100^{o}\)
\(Q.1.(vii)\) দুইটি ত্রিভুজের প্রত্যেকটির কোণগুলি গুণোত্তর প্রগমনভুক্ত। একটি ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতর কোণ অপরটির ক্ষুদ্রতর কোণের তিনগুণ এবং তাদের বৃহত্তম কোণ দুইটির সমষ্টি \(240^{o}\) বৃত্তীয় এককে কোণগুলির মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{21}, \ \frac{4\pi}{21}, \ \frac{16\pi}{21}, \ \frac{\pi}{7}, \ \frac{2\pi}{7}, \ \frac{4\pi}{7}\)
\(Q.1.(viii)\) একটি চতুর্ভুজের দুইটি কোণ \(60^{o}\) ও \(\frac{3\pi}{4}\) রেডিয়ান। অপর দুইটি কোণের অনুপাত \(3:4\) হলে, কোণগুলি বৃত্তীয় এককে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{3}, \ \frac{3\pi}{4}, \ \frac{2\pi}{3}, \ \frac{\pi}{4}\)
\(Q.1.(ix)\) \(54^{o}\) কোণকে এমন তিনটি অংশে ভাগ কর যেন রেডিয়ানে প্রকাশিত প্রথম ও দ্বিতীয় কোণটির অন্তর \(\frac{\pi}{10}\) এবং দ্বিতীয় ও তৃতীয় কোণ দুইটির যোগফল \(27^{o}\) ।
উত্তরঃ \(27^{o}, \ 9^{o}, \ 18^{o}\)
\(Q.1.(x)\) একটি বৃত্তচাপ \(30\) মিটার ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তের কেন্দ্রে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তচাপটির দৈর্ঘ্য এবং চাপটির উপর দন্ডায়মান বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(31.42\) মিটার। \(471.24\) বর্গ মিটার।
যঃ ২০১৫ ।
\(Q.1.(xi)\) একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে \(24^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। যদি বৃহত্তর জ্যা \(49\) মিটার হয়, তবে বৃত্তচাপটির দৈর্ঘ্য এবং চাপটির উপর দন্ডায়মান বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(10.263\) মিটার। \(125.716\) বর্গ মিটার।
যঃ ২০১৫ ।
\(Q.1.(xii)\) একটি বৃত্তচাপ বৃত্তের কেন্দ্রে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। যদি বৃত্তচাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(13.09\) বর্গ সে.মি. হয়, তবে বৃত্তের ব্যসার্ধ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5\) সে.মি.
\(Q.1.(xiii)\) এক ব্যক্তি বৃত্তাকার পথে ঘন্টায় \(5\) কি.মি. বেগে পরিভ্রমণ করে \(15\) সেকেন্ডে একটি বৃত্তচাপ অতিক্রম করে। যদি ঐ বৃত্তচাপ কেন্দ্রে \(\frac{5\pi}{12}\) কোণ উৎপন্ন করে তবে বৃত্তাকার পথের ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(15.915\) মিটার।
\(Q.1.(xiv)\) একটি গাড়ি বৃত্তাকার পথে প্রতি সেকেন্ডে একটি বৃত্তচাপ অতিক্রম করে। যদি চাপটি কেন্দ্রে \(28^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এবং বৃত্তের ব্যাস \(60\) মিটার হয়, তবে গাড়িটির গতিবেগ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(52.78\) কি.মি./ ঘন্টা (প্রায়)
\(Q.1.(xv)\) \(10\) সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের \(14\) সে.মি. দৈর্ঘ্যের একটি জ্যা বৃত্তের কেন্দ্রে যে পরিমাণ কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর। জ্যাটি বৃত্তের যে ক্ষুদ্রতম অংশ কর্তন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1.55\) রেডিয়ান। \(27.51\) বর্গ সে.মি.।
\(Q.1.(xvi)\) একটি গাড়ির চাকা \(200\) বার আবর্তিত হয়ে \(800\) মিটার দূরত্ব অতিক্রম করে। চাকার ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(0.6366\) মিটার (প্রায়)
\(Q.1.(xvii)\) একজন সাইকেল আরোহী মিনিটে \(250\) মিটার বেগে, \(A\) কলেজ থেকে \(B\) কলেজে পৌছালো। কলেজ দুইটি পৃথিবীর কেন্দ্রে \(1^{o}5^{\prime}\) কোণ উৎপন্ন করলে তার কত ঘন্টা সময় লাগবে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(8\) ঘন্টা \(7\) মিনিট।
যঃ ২০১৯ ।
\(Q.1.(xviii)\) \(7\) টা \(15\) মিনিটের সময় ঘন্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ ষাটমূলক এককে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(127^{o}30^{\prime}\)
\(Q.1.(xix)\) \(11\) টা \(45\) মিনিটের সময় ঘন্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ বৃত্তীয় পদ্ধতিতে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(\frac{11\pi}{24}\)
\(Q.1.(xx)\) পৃথিবীর ব্যাসার্ধ \(6371\) কি.মি. । ঢাকা ও দিল্লী পৃথিবীর পৃষ্ঠে দুইটি স্থান। ঢাকা ও দিল্লীর মধ্যবর্তী দূরত্ব \(1882\) কি.মি. হলে, স্থান দুইটি পৃথিবীর কেন্দ্রে কত ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করবে?
উত্তরঃ \(17^{\prime}43.44^{\prime\prime}\)
কুঃ ২০১৯ ।
\(Q.1.(xxi)\) একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(35\) মি.। বৃত্তটির কোনো চাপ কেন্দ্রে \(\frac{\pi}{4}\) রেডিয়ান কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তচাপটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(27.5\) মি.।
\(Q.1.(xxii)\) \(44\) সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তচাপ বৃত্তের কেন্দ্রে \(\frac{\pi}{3}\) কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(42\) সে.মি.।
\(Q.1.(xxiii)\) যদি দুইটি বৃত্তের কেন্দ্রে দুইটি সমান দৈর্ঘ্যের চাপ যথাক্রমে \(60^{o}\) ও \(75^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে, তবে বৃত্ত দুইটির ব্যাসার্ধ্যের অনুপাত নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5:4\)
\(Q.1.(xxiv)\) একটি ঘড়ির মিনিটের কাঁটা \(12\) সে.মি. লম্বা হলে এর অগ্রভাগ \(15\) মিনিটে যে দূরত্ব অতিক্রম করবে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(18.857\) সে.মি. (প্রায়)
\(Q.1.(xxv)\) পৃথিবী হতে চন্দ্রের দূরত্ব \(237600\) কি.মি. । যদি ভূপৃষ্টে অবস্থিত কোনো বিন্দুতে চন্দ্র \(16^{\prime}\) কোণ উৎপন্ন করে, তবে চন্দ্রের ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(533.14\) কি.মি. ।
\(Q.1.(xxvi)\) \(540\) কি.মি. দূরে একটি বিন্দুতে একটি পাহাড় \(7^{\prime}\) কোণ উৎপন্ন করলে পাহাড়টির উচ্চতা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1.1\) কি.মি. ।
\(Q.1.(xxvii)\) একটি বৃত্তচাপ বৃত্তের কেন্দ্রে \(30^{o}15^{\prime}\) কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(10\) মিটার হলে বৃত্তচাপটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5.28\) মিটার ।
\(Q.1.(xxviii)\) একটি বালক সাইকেলে চড়ে বৃত্তাকার পথে প্রতি সেকেন্ডে যে বৃত্তচাপ অতিক্রম করে তা কেন্দ্রে \(28^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ \(90\) মিটার হলে বালকটির ঘন্টায় গতিবেগ কত?
উত্তরঃ \(158.4\) কি.মি. / ঘন্টা ।
\(Q.1.(xxix)\) এক ব্যক্তি সাইকেলে চড়ে বৃত্তাকার পথে প্রতি সেকেন্ডে যে পথ অতিক্রম করে তা কেন্দ্রে \(28^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। যদি বৃত্তটির ব্যাস \(180\) মিটার হয় তবে লোকটির গিতিবেগ কত তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(44\) মি. / সে. ।
\(Q.1.(xxx)\) একটি ত্রিভুজের কোণ তিনটি সমান্তর শ্রেণীভুক্ত। এর বৃহত্তম কোণকে রেডিয়ানে ও ক্ষুদ্রতম কোণটিকে গ্রাডে প্রকাশ করলে \(\pi:40\) অনুপাত হয়। কোণগুলির মাণ ডিগ্রিতে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(20^{o}, \ 60^{o}, \ 100^{o}\)
\(Q.1.(xxxi)\) দুইটি কোণের সমষ্টি \(120^{0}\) এবং তাদের অন্তর \(\frac{\pi}{6}\) রেডিয়ান। কোণ দুইটির বৃত্তীয় মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{5\pi}{12}, \ \frac{\pi}{4}\)
\(Q.1.(xxxii)\) দুইটি ত্রিভুজের মধ্যে প্রত্যেকটির কোণসমূহ সমান্তর প্রগমন শ্রেণীভুক্ত; তাদের একটির ক্ষুদ্রতম কোণ অপরটির ক্ষুদ্রতম কোণের দ্বিগুণ এবং ত্রিভুজ দুইটির বৃহত্তম কোণদ্বয়ের সমষ্টি \(180^{o}\) । কোণসমূহকে রেডিয়ানে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{9}, \ \frac{\pi}{3}, \ \frac{5\pi}{9}, \ \frac{2\pi}{9}, \ \frac{\pi}{3}, \ \frac{4\pi}{9}\)
\(Q.1.(xxxiii)\) বহুভুজের কোণগুলি সমান্তর প্রগমন শ্রেণীভুক্ত। ক্ষুদ্রতম কোণটি \(\frac{2\pi}{3}\) রেডিয়ান এবং সাধারণ অন্তর \(5^{o}\) হলে, বাহুর সংখ্যা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(9\) অথবা, \(16\)
\(Q.1.(xxxiv)\) সকাল \(10.45\) টায় ঘড়ির ঘন্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ ডিগ্রিতে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(52.5^{o}\)
\(Q.1.(xxxv)\) দুইটি কোণের যোগফল ও অন্তর যথাক্রমে \(25^{c}\) এবং \(35^{o}\) হলে, কোণ দুইটির মাণ ডিগ্রিতে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(733.7^{o}; 698.7^{o}\)
\(Q.1.(xxxvi)\) দুইটি কোণের যোগফল ও অন্তর যথাক্রমে \(1\) রেডিয়ান এবং \(1^{o}\) হলে, রেডিয়ানে ক্ষুদ্রতর কোণটির মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\left(1-\frac{\pi}{180}\right)\)
\(Q.1.(xxxvii)\) পৌণে বারটার সময় ঘন্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ ষাটমূলক ও বৃত্তীয় এককে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(82^{o}30^{\prime}; \ \frac{11\pi}{24}\)
\(Q.1.(xxxviii)\) একটি চতুর্ভুজের একটি কোণ আর একটি কোণের \(\frac{3}{8}\) এবং অন্য দুইটি কোণ যথাক্রমে \(60^{o}\) এবং \(\frac{3\pi}{4}\) রেডিয়ান। কোণগুলি ডিগ্রিতে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(45^{o}, \ 60^{o}, \ 120^{o}, \ 135^{o}\)
\(Q.1.(xxxix)\) \(6\) কিলোমিটার দূরত্ব একটি স্তম্ভ পৃথিবী পৃষ্টে কোনো বিন্দুতে \(10^{\prime}\) কোণ উৎপন্ন করে। স্তম্ভটির উচ্চতা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(17.46\) মিটার।
\(Q.1.(xL)\) একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণ যথাক্রমে \(74^{o}53^{\prime}51^{\prime\prime}\) এবং \(35^{o}6^{\prime}9^{\prime\prime}\) তৃতীয় কোণটির মাণ রেডিয়ানে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{7\pi}{18}\) রেডিয়ান।
\(Q.1.(xLi)\) সকাল \(9.30\) টায় ঘড়ির ঘন্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ রেডিয়ানে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(\frac{7\pi}{12}\) রেডিয়ান।
\(Q.1.(xLii)\) একটি ত্রিভুজের কোণগুলো সমান্তর শ্রেণীভুক্ত এবং বৃহত্তম কোণটি ক্ষুদ্রতম কোণের দ্বিগুণ। কোণগুলির রেডিয়ান পরিমাপ কত?
উত্তরঃ \(\frac{2\pi}{9}, \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{9}\) রেডিয়ান।
\(Q.1.(xLiii)\) \(800\) কি.মি. দূরে একটি বিন্দুতে একটি পাহাড় \(7.5^{\prime}\) কোণ উৎপন্ন করলে পাহাড়টির উচ্চতা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1.746\) কি.মি.(প্রায়) ।
\(Q.1.(xLiv)\) পৃথিবীর ব্যাসার্ধ \(6440\) কি.মি. । টেকনাফ ও তেঁতুলিয়া পৃথিবীর কেন্দ্রে \(10^{o}6^{\prime}3^{\prime\prime}\) কোণ উৎপন্ন করে। টেকনাফ ও তেঁতুলিয়ার মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?
উত্তরঃ \(1135.32\) কি.মি. (প্রায়)
\(Q.1.(xLv)\) পৃথিবীর ব্যাসার্ধ \(6440\) কি.মি. । পৃথিবীর উপরে যে কোনো দুইটি স্থান কেন্দ্রে \(32^{\prime\prime}\) কোণ উৎপন্ন করে, তাদের দূরত্ব কত?
উত্তরঃ \(1\) কি.মি. (প্রায়)
\(Q.1.(xLvi)\) রেজা বৃত্তাকার পথে ঘন্টায় \(6\) কিলোমিটার বেগে দৌড়ে \(36\) সেকেন্ডে যে বৃত্তচাপ অতিক্রম করে তা কেন্দ্রে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তাকার পথের ব্যাস নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(114.59\) মিটার (প্রায়)।
\(Q.1.(xLvii)\) একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে \(36^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। যদি বৃত্তের ব্যাস \(1.28\) মিটার হয়, তবে বৃত্তচাপটির দৈর্ঘ্য এবং এর উপর দণ্ডায়মান বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(0.402\) মিটার (প্রায়)। \(0.1287\) বর্গ মিটার (প্রায়)।
\(Q.1.(xLviii)\) \(72^{o}\) কোণকে এমন তিনটি অংশে ভাগ কর যেন প্রথম ও দ্বিতীয় কোণটির অন্তর \(18^{o}\) এবং দ্বিতীয় ও তৃতীয় কোণ দুইটির সমষ্টি \(\frac{\pi}{5}\) রেডিয়ান হয়।
উত্তরঃ \(36^{o}, \ 18^{o}, \ 18^{o}\)
\(Q.1.(xLix)\) একটি চতুর্ভুজের একটি কোণ আর একটি কোণের \(\frac{3}{8}\) এবং অন্য দুইটি কোণ যথাক্রমে \(\frac{\pi}{3}\) রেডিয়ান এবং \(135^{o}\)। কোণগুলি ডিগ্রিতে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(45^{o}, \ 60^{o}, \ 120^{o}, \ 135^{o}\)
\(Q.1.(L)\) একটি গরু দড়ির সাহায্যে একটি খুঁটির সঙ্গে বাঁধা আছে। গরুটি দড়িটিকে স্টান রেখে \(5\) মিটার দূরত্বে বৃত্তাকার পথে পরিভ্রমণ করতে পারে। গরুটি যখন কেন্দ্রে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে তখন চাপের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3.927\) মিটার (প্রায়)।
\(Q.1.(Li)\) \(13\) সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তের কোনো চাপ কেন্দ্রে \(\theta\) রেডিয়ান কোণ উৎপন্ন করে। উক্ত চাপ দ্বারা সৃষ্ট বৃত্তকলার পরিসীমা \(44\) সে.মি. হলে \(\theta\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(79.33^{o}\) ।
\(Q.1.(Lii)\) বৃত্তের কোনো চাপ কেন্দ্রে \(0.75\) রেডিয়ান কোণ উৎপন্ন করে। উক্ত চাপ দ্বারা সৃষ্ট বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(37\frac{1}{2}\) বর্গ সে.মি. হলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(10\) সে.মি.।
\(Q.1.(Liii)\) একটি দেয়াল ঘড়ির সেকেন্ডের কাঁটার দৈর্ঘ্য \(3\) মিটার। \(15\) সেকেন্ড সময়ে কাঁটার শীর্ষবিন্দু কতটুকু বৃত্তাকার পথ অতিক্রম করবে?
উত্তরঃ \(4.7124\) মিটার।
\(Q.1.(Liv)\) \(2\) সে.মি. বাহুবিশিষ্ট \(ABCD\) রম্বসের সূক্ষ্ণকোণ \(\theta=60^{o}\) । \(A\) কে কেন্দ্র করে অঙ্কিত \(BD\) বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য কত হবে।
উত্তরঃ \(2.094\) সে.মি.।
\(Q.1.(Lv)\) একটি ত্রিভুজের কোণ তিনটি সমান্তর শ্রেণীভুক্ত। এর বৃহত্তম কোণকে রেডিয়ানে ও ক্ষুদ্রতম কোণটিকে ডিগ্রিতে প্রকাশ করলে \(\pi:36\) অনুপাত হয়। কোণগুলির মাণ ডিগ্রিতে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(20^{o}, \ 60^{o}, \ 100^{o}\)
\(Q.1.(Lvi)\) তিনটি কোণ গুণোত্তর প্রগমন শ্রেণীভুক্ত। এর বৃহত্তম কোণকে রেডিয়ানে ও ক্ষুদ্রতম কোণটিকে ডিগ্রিতে প্রকাশ করলে \(\pi:45\) অনুপাত হয়। কোণ তিনটির সমষ্টি \(126^{o}\) হলে, কোণগুলির মাণ ডিগ্রিতে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(18^{o}, \ 36^{o}, \ 72^{o}\)
\(Q.1.(Lvii)\) বৃত্তে অন্তর্লিখিত ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি পরিধিকে \(a:b:c\) অনুপাতে বিভক্ত করে। ত্রিভুজের কোণগুলি রেডিয়ানে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi a}{a+b+c}, \ \frac{\pi b}{a+b+c}, \ \frac{\pi c}{a+b+c}\)
\(Q.1.(Lviii)\) একটি কোণের পরিমাণ ডিগ্রি ও রেডিয়ানে যথাক্রমে \(x\) ও \(z\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(\frac{x}{90}=\frac{2z}{\pi}.\)
\(Q.1.(Lix)\) \(n\) বাহুবিশিষ্ট একটি সুষম ক্ষেত্রের একটি কোণকে ডিগ্রি ও রেডিয়ানে পরিমাপ করলে দেখাও যে, কোণটির রেডিয়ানের পরিমাপ থেকে ডিগ্রির পরিমাপ \((180-\pi)\left(1-\frac{2}{n}\right)\) বেশি।
\(Q.1.(Lx)\) একটি গাড়ির চাকার ব্যাস \(70\) সে.মি. এবং চাকাটি প্রতি সেকেন্ডে \(7\) বার আবর্তিত হয়। গাড়িটির গিতিবেগ ঘন্টায় কত তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(55.42\) কি.মি. (প্রায়)।
উত্তরঃ \(158.4\) কি.মি. / ঘন্টা ।
\(Q.1.(xxix)\) এক ব্যক্তি সাইকেলে চড়ে বৃত্তাকার পথে প্রতি সেকেন্ডে যে পথ অতিক্রম করে তা কেন্দ্রে \(28^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। যদি বৃত্তটির ব্যাস \(180\) মিটার হয় তবে লোকটির গিতিবেগ কত তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(44\) মি. / সে. ।
\(Q.1.(xxx)\) একটি ত্রিভুজের কোণ তিনটি সমান্তর শ্রেণীভুক্ত। এর বৃহত্তম কোণকে রেডিয়ানে ও ক্ষুদ্রতম কোণটিকে গ্রাডে প্রকাশ করলে \(\pi:40\) অনুপাত হয়। কোণগুলির মাণ ডিগ্রিতে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(20^{o}, \ 60^{o}, \ 100^{o}\)
\(Q.1.(xxxi)\) দুইটি কোণের সমষ্টি \(120^{0}\) এবং তাদের অন্তর \(\frac{\pi}{6}\) রেডিয়ান। কোণ দুইটির বৃত্তীয় মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{5\pi}{12}, \ \frac{\pi}{4}\)
\(Q.1.(xxxii)\) দুইটি ত্রিভুজের মধ্যে প্রত্যেকটির কোণসমূহ সমান্তর প্রগমন শ্রেণীভুক্ত; তাদের একটির ক্ষুদ্রতম কোণ অপরটির ক্ষুদ্রতম কোণের দ্বিগুণ এবং ত্রিভুজ দুইটির বৃহত্তম কোণদ্বয়ের সমষ্টি \(180^{o}\) । কোণসমূহকে রেডিয়ানে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{9}, \ \frac{\pi}{3}, \ \frac{5\pi}{9}, \ \frac{2\pi}{9}, \ \frac{\pi}{3}, \ \frac{4\pi}{9}\)
\(Q.1.(xxxiii)\) বহুভুজের কোণগুলি সমান্তর প্রগমন শ্রেণীভুক্ত। ক্ষুদ্রতম কোণটি \(\frac{2\pi}{3}\) রেডিয়ান এবং সাধারণ অন্তর \(5^{o}\) হলে, বাহুর সংখ্যা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(9\) অথবা, \(16\)
\(Q.1.(xxxiv)\) সকাল \(10.45\) টায় ঘড়ির ঘন্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ ডিগ্রিতে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(52.5^{o}\)
\(Q.1.(xxxv)\) দুইটি কোণের যোগফল ও অন্তর যথাক্রমে \(25^{c}\) এবং \(35^{o}\) হলে, কোণ দুইটির মাণ ডিগ্রিতে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(733.7^{o}; 698.7^{o}\)
\(Q.1.(xxxvi)\) দুইটি কোণের যোগফল ও অন্তর যথাক্রমে \(1\) রেডিয়ান এবং \(1^{o}\) হলে, রেডিয়ানে ক্ষুদ্রতর কোণটির মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\left(1-\frac{\pi}{180}\right)\)
\(Q.1.(xxxvii)\) পৌণে বারটার সময় ঘন্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ ষাটমূলক ও বৃত্তীয় এককে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(82^{o}30^{\prime}; \ \frac{11\pi}{24}\)
\(Q.1.(xxxviii)\) একটি চতুর্ভুজের একটি কোণ আর একটি কোণের \(\frac{3}{8}\) এবং অন্য দুইটি কোণ যথাক্রমে \(60^{o}\) এবং \(\frac{3\pi}{4}\) রেডিয়ান। কোণগুলি ডিগ্রিতে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(45^{o}, \ 60^{o}, \ 120^{o}, \ 135^{o}\)
\(Q.1.(xxxix)\) \(6\) কিলোমিটার দূরত্ব একটি স্তম্ভ পৃথিবী পৃষ্টে কোনো বিন্দুতে \(10^{\prime}\) কোণ উৎপন্ন করে। স্তম্ভটির উচ্চতা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(17.46\) মিটার।
\(Q.1.(xL)\) একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণ যথাক্রমে \(74^{o}53^{\prime}51^{\prime\prime}\) এবং \(35^{o}6^{\prime}9^{\prime\prime}\) তৃতীয় কোণটির মাণ রেডিয়ানে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{7\pi}{18}\) রেডিয়ান।
\(Q.1.(xLi)\) সকাল \(9.30\) টায় ঘড়ির ঘন্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ রেডিয়ানে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(\frac{7\pi}{12}\) রেডিয়ান।
\(Q.1.(xLii)\) একটি ত্রিভুজের কোণগুলো সমান্তর শ্রেণীভুক্ত এবং বৃহত্তম কোণটি ক্ষুদ্রতম কোণের দ্বিগুণ। কোণগুলির রেডিয়ান পরিমাপ কত?
উত্তরঃ \(\frac{2\pi}{9}, \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{9}\) রেডিয়ান।
\(Q.1.(xLiii)\) \(800\) কি.মি. দূরে একটি বিন্দুতে একটি পাহাড় \(7.5^{\prime}\) কোণ উৎপন্ন করলে পাহাড়টির উচ্চতা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1.746\) কি.মি.(প্রায়) ।
\(Q.1.(xLiv)\) পৃথিবীর ব্যাসার্ধ \(6440\) কি.মি. । টেকনাফ ও তেঁতুলিয়া পৃথিবীর কেন্দ্রে \(10^{o}6^{\prime}3^{\prime\prime}\) কোণ উৎপন্ন করে। টেকনাফ ও তেঁতুলিয়ার মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?
উত্তরঃ \(1135.32\) কি.মি. (প্রায়)
\(Q.1.(xLv)\) পৃথিবীর ব্যাসার্ধ \(6440\) কি.মি. । পৃথিবীর উপরে যে কোনো দুইটি স্থান কেন্দ্রে \(32^{\prime\prime}\) কোণ উৎপন্ন করে, তাদের দূরত্ব কত?
উত্তরঃ \(1\) কি.মি. (প্রায়)
\(Q.1.(xLvi)\) রেজা বৃত্তাকার পথে ঘন্টায় \(6\) কিলোমিটার বেগে দৌড়ে \(36\) সেকেন্ডে যে বৃত্তচাপ অতিক্রম করে তা কেন্দ্রে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তাকার পথের ব্যাস নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(114.59\) মিটার (প্রায়)।
\(Q.1.(xLvii)\) একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে \(36^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। যদি বৃত্তের ব্যাস \(1.28\) মিটার হয়, তবে বৃত্তচাপটির দৈর্ঘ্য এবং এর উপর দণ্ডায়মান বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(0.402\) মিটার (প্রায়)। \(0.1287\) বর্গ মিটার (প্রায়)।
\(Q.1.(xLviii)\) \(72^{o}\) কোণকে এমন তিনটি অংশে ভাগ কর যেন প্রথম ও দ্বিতীয় কোণটির অন্তর \(18^{o}\) এবং দ্বিতীয় ও তৃতীয় কোণ দুইটির সমষ্টি \(\frac{\pi}{5}\) রেডিয়ান হয়।
উত্তরঃ \(36^{o}, \ 18^{o}, \ 18^{o}\)
\(Q.1.(xLix)\) একটি চতুর্ভুজের একটি কোণ আর একটি কোণের \(\frac{3}{8}\) এবং অন্য দুইটি কোণ যথাক্রমে \(\frac{\pi}{3}\) রেডিয়ান এবং \(135^{o}\)। কোণগুলি ডিগ্রিতে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(45^{o}, \ 60^{o}, \ 120^{o}, \ 135^{o}\)
\(Q.1.(L)\) একটি গরু দড়ির সাহায্যে একটি খুঁটির সঙ্গে বাঁধা আছে। গরুটি দড়িটিকে স্টান রেখে \(5\) মিটার দূরত্বে বৃত্তাকার পথে পরিভ্রমণ করতে পারে। গরুটি যখন কেন্দ্রে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে তখন চাপের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3.927\) মিটার (প্রায়)।
\(Q.1.(Li)\) \(13\) সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তের কোনো চাপ কেন্দ্রে \(\theta\) রেডিয়ান কোণ উৎপন্ন করে। উক্ত চাপ দ্বারা সৃষ্ট বৃত্তকলার পরিসীমা \(44\) সে.মি. হলে \(\theta\) এর মাণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(79.33^{o}\) ।
\(Q.1.(Lii)\) বৃত্তের কোনো চাপ কেন্দ্রে \(0.75\) রেডিয়ান কোণ উৎপন্ন করে। উক্ত চাপ দ্বারা সৃষ্ট বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(37\frac{1}{2}\) বর্গ সে.মি. হলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(10\) সে.মি.।
\(Q.1.(Liii)\) একটি দেয়াল ঘড়ির সেকেন্ডের কাঁটার দৈর্ঘ্য \(3\) মিটার। \(15\) সেকেন্ড সময়ে কাঁটার শীর্ষবিন্দু কতটুকু বৃত্তাকার পথ অতিক্রম করবে?
উত্তরঃ \(4.7124\) মিটার।
\(Q.1.(Liv)\) \(2\) সে.মি. বাহুবিশিষ্ট \(ABCD\) রম্বসের সূক্ষ্ণকোণ \(\theta=60^{o}\) । \(A\) কে কেন্দ্র করে অঙ্কিত \(BD\) বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য কত হবে।
উত্তরঃ \(2.094\) সে.মি.।
\(Q.1.(Lv)\) একটি ত্রিভুজের কোণ তিনটি সমান্তর শ্রেণীভুক্ত। এর বৃহত্তম কোণকে রেডিয়ানে ও ক্ষুদ্রতম কোণটিকে ডিগ্রিতে প্রকাশ করলে \(\pi:36\) অনুপাত হয়। কোণগুলির মাণ ডিগ্রিতে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(20^{o}, \ 60^{o}, \ 100^{o}\)
\(Q.1.(Lvi)\) তিনটি কোণ গুণোত্তর প্রগমন শ্রেণীভুক্ত। এর বৃহত্তম কোণকে রেডিয়ানে ও ক্ষুদ্রতম কোণটিকে ডিগ্রিতে প্রকাশ করলে \(\pi:45\) অনুপাত হয়। কোণ তিনটির সমষ্টি \(126^{o}\) হলে, কোণগুলির মাণ ডিগ্রিতে নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(18^{o}, \ 36^{o}, \ 72^{o}\)
\(Q.1.(Lvii)\) বৃত্তে অন্তর্লিখিত ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি পরিধিকে \(a:b:c\) অনুপাতে বিভক্ত করে। ত্রিভুজের কোণগুলি রেডিয়ানে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi a}{a+b+c}, \ \frac{\pi b}{a+b+c}, \ \frac{\pi c}{a+b+c}\)
\(Q.1.(Lviii)\) একটি কোণের পরিমাণ ডিগ্রি ও রেডিয়ানে যথাক্রমে \(x\) ও \(z\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(\frac{x}{90}=\frac{2z}{\pi}.\)
\(Q.1.(Lix)\) \(n\) বাহুবিশিষ্ট একটি সুষম ক্ষেত্রের একটি কোণকে ডিগ্রি ও রেডিয়ানে পরিমাপ করলে দেখাও যে, কোণটির রেডিয়ানের পরিমাপ থেকে ডিগ্রির পরিমাপ \((180-\pi)\left(1-\frac{2}{n}\right)\) বেশি।
\(Q.1.(Lx)\) একটি গাড়ির চাকার ব্যাস \(70\) সে.মি. এবং চাকাটি প্রতি সেকেন্ডে \(7\) বার আবর্তিত হয়। গাড়িটির গিতিবেগ ঘন্টায় কত তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(55.42\) কি.মি. (প্রায়)।
\(Q.1.(x)\) একটি বৃত্তচাপ \(30\) মিটার ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তের কেন্দ্রে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তচাপটির দৈর্ঘ্য এবং চাপটির উপর দন্ডায়মান বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(31.42\) মিটার। \(471.24\) বর্গ মিটার।
উত্তরঃ \(31.42\) মিটার। \(471.24\) বর্গ মিটার।
যঃ ২০১৫ ।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, ব্যাসার্ধ \(r=30\) মিটার।
কোণ \(\theta=60^{o}\)
\(=60\times\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান ➜ \(\because 1^{o}=\left(\frac{\pi}{180}\right)\) রেডিয়ান ।
\(\therefore \theta=\frac{\pi}{3}\) রেডিয়ান
আমরা জানি, চাপ \(s=r\theta\)
\(=30\times\frac{\pi}{3}\) ➜ \(\because r=30\)
এবং \(\theta=\frac{\pi}{3}\)
\(=10\pi\)
\(=10\times 3.1428\) যেখানে, \(\pi=3.1428\)
\(=31.428\)
\(\therefore \) চাপের দৈর্ঘ্য \(=31.43\) মিটার
আবার, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(A=\frac{1}{2}r^2\theta\)
\(=\frac{1}{2}\times(30)^2\times\frac{\pi}{3}\) ➜ \(\because r=30\)
এবং \(\theta=\frac{\pi}{3}\)
\(=\frac{1}{6}\times900\times 3.1428\) যেখানে, \(\pi=3.1428\)
\(=150\times 3.1428\)
\(=471.42\)
\(\therefore A=471.42\) বর্গ মিটার।
\(Q.1.(xv)\) \(10\) সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের \(14\) সে.মি. দৈর্ঘ্যের একটি জ্যা বৃত্তের কেন্দ্রে যে পরিমাণ কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর। জ্যাটি বৃত্তের যে ক্ষুদ্রতম অংশ কর্তন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1.55\) রেডিয়ান। \(27.51\) বর্গ সে.মি.।
উত্তরঃ \(1.55\) রেডিয়ান। \(27.51\) বর্গ সে.মি.।
সমাধানঃ
ধরি, \(O\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ব্যাসার্ধ \(r=OA=OB=10\) সে.মি.
জ্যা \(AB\)
\(AB\) জ্যা বৃত্তের কেন্দ্রে \(\angle{AOB}=\theta\) কোণ উৎপন্ন করে। \(ADBA\) অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে।
এখানে, \(AOB\) একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(\triangle=\frac{14}{4}\sqrt{4\times(10)^2-(14)^2}\) ➜ \(\because \) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
\(\triangle=\frac{b}{4}\sqrt{4a^2-b^2}\)
যেখানে, সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য \(=a\)
\(=\frac{7}{2}\sqrt{4\times100-196}\)
\(=\frac{7}{2}\sqrt{400-196}\)
\(=\frac{7}{2}\sqrt{204}\)
\(=\frac{7}{2}\sqrt{4\times 51}\)
\(=\frac{7}{2}\times2\sqrt{51}\)
\(=7\sqrt{51}\)
\(=7\times7.1414\)
\(=49.99\) বর্গ সে.মি.।
আবার, \(\frac{1}{2}\times10\times10\sin{\theta}=7\sqrt{51}\) ➜ \(\triangle=\frac{1}{2}ab\sin{C}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}\times100\sin{\theta}=7\sqrt{51}\)
\(\Rightarrow 50\sin{\theta}=7\sqrt{51}\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=\frac{7\sqrt{51}}{50}\)
\(\Rightarrow \theta=\sin^{-1}{\frac{7\sqrt{51}}{50}}\)
\(\therefore \theta=1.55\) রেডিয়ান।
আমরা জানি, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(A=\frac{1}{2}r^2\theta\)
\(=\frac{1}{2}\times(10)^2\times1.55\) ➜ \(\because r=10\)
\(\theta=1.55\) রেডিয়ান।
\(=\frac{1}{2}\times100\times1.55\)
\(=50\times1.55\)
\(=77.5\)
এখন, নির্ণেয় অংশ \(ADBA\) এর ক্ষেত্রফল \(=\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(-\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
\(=77.5-49.99\)
\(=27.51\) বর্গ সে.মি.।
\(Q.1.(xviii)\) \(7\) টা \(15\) মিনিটের সময় ঘন্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ ষাটমূলক এককে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(127^{o}30^{\prime}\)
উত্তরঃ \(127^{o}30^{\prime}\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, \(H=7\)
এবং \(M=15\)
তাহলে, ঘন্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের \(=\left|\frac{60H-11M}{2}\right|^{o}\) ➜ ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ
\(\left|\frac{60H-11M}{2}\right|^{o}\)
যেখানে, \(H=\) ঘন্টা
এবং \(M=\) মিনিট
\(=\left|\frac{60\times7-11\times15}{2}\right|^{o}\) ➜ \(\because H=7\)
এবং \(M=15\)
\(=\left|\frac{420-165}{2}\right|^{o}\)
\(=\left|\frac{255}{2}\right|^{o}\)
\(=127^{o}\left(\frac{1\times60}{2}\right)^{\prime}\)
\(=127^{o} 30^{\prime}\)
\(Q.1.(xix)\) \(11\) টা \(45\) মিনিটের সময় ঘন্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ বৃত্তীয় পদ্ধতিতে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(\frac{11\pi}{24}\)
উত্তরঃ \(\frac{11\pi}{24}\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, \(H=11\)
এবং \(M=45\)
তাহলে, ঘন্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের \(=\left|\frac{60H-11M}{2}\right|^{o}\) ➜ ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ
\(\left|\frac{60H-11M}{2}\right|^{o}\)
যেখানে, \(H=\) ঘন্টা
এবং \(M=\) মিনিট
\(=\left|\frac{60\times11-11\times45}{2}\right|^{o}\) ➜ \(\because H=11\)
এবং \(M=45\)
\(=\left|\frac{660-495}{2}\right|^{o}\)
\(=\left|\frac{165}{2}\right|^{o}\)
\(=\left(\frac{165}{2}\times\frac{\pi}{180}\right)\) রেডিয়ান। ➜ \(\because 1^{o}=\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান।
\(=\left(\frac{11}{2}\times\frac{\pi}{12}\right)\) রেডিয়ান।
\(=\frac{11\pi}{24}\) রেডিয়ান।
\(Q.1.(xx)\) পৃথিবীর ব্যাসার্ধ \(6371\) কি.মি. । ঢাকা ও দিল্লী পৃথিবীর পৃষ্ঠে দুইটি স্থান। ঢাকা ও দিল্লীর মধ্যবর্তী দূরত্ব \(1882\) কি.মি. হলে, স্থান দুইটি পৃথিবীর কেন্দ্রে কত ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করবে?
উত্তরঃ \(17^{\prime}43.44^{\prime\prime}\)
উত্তরঃ \(17^{\prime}43.44^{\prime\prime}\)
কুঃ ২০১৯ ।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, ব্যাসার্ধ \(r=6371\)
কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ \(\theta\) রেডিয়ান
ঢাকা ও দিল্লীর মধ্যবর্তী দূরত্ব \(s=1882\) কি.মি.
আমরা জানি,
\(s=r\theta\) ➜ \(\because \text{চাপ, ব্যাসার্ধ ও কেন্দ্রস্থ কোণের মধ্যে সম্পর্ক} \)
\(s=r\theta\)
\(\Rightarrow 1882=6371\theta\) ➜ \(\because r=6371\)
এবং \(s=1882\)
\(\Rightarrow 6371\theta=1882\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{1882}{6371}\)
\(\therefore \theta=17^{\prime}43.44^{\prime\prime}\)
\(Q.1.(xxi)\) একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(35\) মি.। বৃত্তটির কোনো চাপ কেন্দ্রে \(\frac{\pi}{4}\) রেডিয়ান কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তচাপটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(27.5\) মি.।
উত্তরঃ \(27.5\) মি.।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, ব্যাসার্ধ \(r=35\) মিটার।
কোণ \(\theta=\frac{\pi}{4}\) রেডিয়ান
আমরা জানি, চাপ \(s=r\theta\)
\(=35\times\frac{\pi}{4}\) ➜ \(\because r=35\)
এবং \(\theta=\frac{\pi}{4}\)
\(=\frac{35\pi}{4}\)
\(=\frac{35\times22}{4\times7}\) যেখানে, \(\pi=\frac{22}{7}\)
\(=\frac{5\times11}{2}\)
\(=\frac{55}{2}\)
\(=27.5\)
\(\therefore \) চাপের দৈর্ঘ্য \(=27.5\) মিটার
\(Q.1.(xxiv)\) একটি ঘড়ির মিনিটের কাঁটা \(12\) সে.মি. লম্বা হলে এর অগ্রভাগ \(15\) মিনিটে যে দূরত্ব অতিক্রম করবে তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(18.857\) সে.মি. (প্রায়)
উত্তরঃ \(18.857\) সে.মি. (প্রায়)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, ঘড়ির মিনিটের কাঁটা \(12\) সে.মি. লম্বা।
ব্যাসার্ধ \(OB=r=12\) সে.মি.
ঘড়ির মিনিটের কাঁটা \(60\) মিনিটে অতিক্রম করে \(=360^{o}\)
\(^{\therefore} \) \(" \ \ \ \ "\) \( \ \ \ \ "\) \( \ \ 1\) \( \ \ \ "\) \( \ \ \ \ "\) \( \ \ \ \ "\) \(=\frac{360^{o}}{60}\)
\(^{\therefore} \) \(" \ \ \ \ "\) \( \ \ \ \ "\) \( \ \ 15\) \( \ \ "\) \( \ \ \ \ "\) \( \ \ \ \ "\) \(=\frac{360^{o}\times15}{60}\)
\(=90^{o}\)
\(\therefore \text{কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ } \theta=90^{o}\)
\(\Rightarrow \theta=90\times\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান ➜ \(\because 1^{o}=\frac{\pi}{180} \text{রেডিয়ান}\)
\(\therefore \theta=\frac{\pi}{2}\) রেডিয়ান
ধরি, \(15\) মিনিটে অতিক্রান্ত বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য \(s\)
তাহলে, \(s=r\theta\)
\(\Rightarrow s=12\times\frac{\pi}{2}\) ➜ \(\because r=12\) সে.মি.
এবং \(\theta=\frac{\pi}{2}\) রেডিয়ান
\(=6\pi\)
\(=6\times\frac{22}{7}\) যেখানে, \(\pi=\frac{22}{7}\)
\(=\frac{132}{7}\)
\(\therefore s=18.857\) সে.মি. (প্রায়)
\(Q.1.(xxv)\) পৃথিবী হতে চন্দ্রের দূরত্ব \(237600\) কি.মি. । যদি ভূপৃষ্টে অবস্থিত কোনো বিন্দুতে চন্দ্র \(16^{\prime}\) কোণ উৎপন্ন করে, তবে চন্দ্রের ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(533.14\) কি.মি. ।
উত্তরঃ \(533.14\) কি.মি. ।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, পৃথিবী হতে চন্দ্রের দূরত্ব \(237600\) কি.মি. । যদি ভূপৃষ্টে অবস্থিত কোনো বিন্দুতে চন্দ্র \(16^{\prime}\) কোণ উৎপন্ন করে।
ধরি, চন্দ্রের ব্যাস \(PQ=D\)
\(PQ\) ব্যাস দ্বারা উৎপন্ন কোণ ক্ষুদ্র হওয়ায় \(PR\) এর তুলনায় \(PQ\) এর দৈর্ঘ্য অতি ক্ষুদ্র হবে।
এখানে চন্দ্রের ব্যাসকে সেই বৃত্তের ক্ষুদ্র চাপ \(s\) যার ব্যাসার্ধ \(r=PR=237600\) কি.মি. ।
চন্দ্রের ব্যাস \(D=\text{চাপ } s\)
\(\theta=16^{\prime}\)
\(=\frac{16}{60}\times\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান। ➜ \(\because 1^{\prime}=\left(\frac{1}{60}\right)^{o}\)
এবং \(1^{o}=\frac{\pi}{180} \text{রেডিয়ান}\)
\(=\frac{1}{15}\times\frac{\pi}{45}\) রেডিয়ান।
\(=\frac{\pi}{675}\) রেডিয়ান।
\(\therefore \theta=\frac{\pi}{675}\) রেডিয়ান।
এখন, \(s=r\theta\)
\(=237600\times \frac{\pi}{675}\) ➜ \(\because \text{ব্যাসার্ধ} r=PR=237600\) কি.মি. ।
এবং \(\theta=\frac{\pi}{675}\) রেডিয়ান।
\(=\frac{237600\pi}{675}\)
\(=\frac{237600\times 22}{675\times 7}\) যেখানে, \(\pi=\frac{22}{7}\)
\(=\frac{352\times 22}{7}\)
\(=\frac{7744}{7}\)
\(=1106.28\)
\(\therefore s=1106.28\) কি.মি. ।
\(\therefore\) চন্দ্রের ব্যাসার্ধ \(=\frac{s}{2}\)
\(=\frac{1106.28}{2}\)
\(=553.14\) কি.মি. ।
ইহাই নির্ণেয় চন্দ্রের ব্যাসার্ধ।
\(Q.1.(xxvi)\) \(540\) কি.মি. দূরে একটি বিন্দুতে একটি পাহাড় \(7^{\prime}\) কোণ উৎপন্ন করলে পাহাড়টির উচ্চতা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1.1\) কি.মি. ।
উত্তরঃ \(1.1\) কি.মি. ।
সমাধানঃ
মনে করি, পাহাড়টির উচ্চতা \(=AB\)।
এখানে, \(\angle{AOB}\) অতি সূক্ষ্ণ এবং \(AB\) এর দৈর্ঘ্য \(OA\) এর তুলনায় খুবই ক্ষুদ্র হবে।
সুতরাং, \(AB\) কে সেই বৃত্তের চাপ \(s\)
যার ব্যাসার্ধ \(r=540\) কি.মি.
চাপ \(AB=s\) পাহাড়ের উচ্চতা।
চাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ,
\(\theta=7^{\prime}\)
\(=\left(\frac{7}{60}\right)^{o}\) ➜ \(\because 1^{\prime}=\left(\frac{1}{60}\right)^{o}\)
\(=\frac{7}{60}\times\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান। ➜ \(\because 1^{o}=\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান।
\(=\frac{7\pi}{60\times180}\)
\(=\frac{7\times22}{60\times180\times7}\) রেডিয়ান। ➜ \(\because \pi=\frac{22}{7}\)
\(=\frac{11}{30\times180}\)
\(\therefore \theta=\frac{11}{5400}\)রেডিয়ান।
এখন, \(s=r\theta\)
\(=540\times\frac{11}{5400}\) ➜ \(\because r=540\) কি.মি.
এবং \(\theta=\frac{11}{5400}\)রেডিয়ান।
\(=\frac{11}{10}\)
\(=1.1\)
\(\therefore s=1.1\) কি.মি.
\(\therefore\) পাহাড়টির নির্ণেয় উচ্চতা \(=1.1\) কি.মি.
\(Q.1.(xxvii)\) একটি বৃত্তচাপ বৃত্তের কেন্দ্রে \(30^{o}15^{\prime}\) কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(10\) মিটার হলে বৃত্তচাপটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5.28\) মিটার ।
উত্তরঃ \(5.28\) মিটার ।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, একটি বৃত্তচাপ বৃত্তের কেন্দ্রে \(30^{o}15^{\prime}\) কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(10\) মিটার।
এখানে, \(\theta=30^{o}15^{\prime}\)
\(=\left(30+\frac{15}{60}\right)^{o}\) ➜ \(\because 1^{\prime}=\left(\frac{1}{60}\right)^{o}\)
\(=\left(30+\frac{1}{4}\right)^{o}\)
\(=\left(\frac{120+1}{4}\right)^{o}\)
\(=\left(\frac{121}{4}\right)^{o}\)
\(=\left(\frac{121}{4}\times\frac{\pi}{180}\right)\) রেডিয়ান। ➜ \(\because 1^{o}=\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান।
\(=\frac{121\pi}{720}\) রেডিয়ান।
\(\therefore \theta=\frac{121\pi}{720}\) রেডিয়ান।
এবং ব্যাসার্ধ \(r=10\) মিটার।
ধরি, বৃত্তচাপটি \(s\)
এখন, \(s=r\theta\)
\(=10\times\frac{121\pi}{720}\) ➜ \(\because r=10\) মিটার।
এবং \(\theta=\frac{121\pi}{720}\) রেডিয়ান।
\(=\frac{121\pi}{72}\)
\(=\frac{121\times 22}{72\times7}\) যেখানে, \(\pi=\frac{22}{7}\)
\(=\frac{121\times 11}{36\times7}\)
\(=\frac{1331}{252}\)
\(=5.28\)
\(\therefore s=5.28\) মিটার।
\(Q.1.(xxviii)\) একটি বালক সাইকেলে চড়ে বৃত্তাকার পথে প্রতি সেকেন্ডে যে বৃত্তচাপ অতিক্রম করে তা কেন্দ্রে \(28^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ \(90\) মিটার হলে বালকটির ঘন্টায় গতিবেগ কত?
উত্তরঃ \(158.4\) কি.মি. / ঘন্টা ।
উত্তরঃ \(158.4\) কি.মি. / ঘন্টা ।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ \(\theta=28^{o}\)
\(=\left(28\times\frac{\pi}{180}\right)\) রেডিয়ান। ➜ \(\because 1^{o}=\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান।
\(=\left(7\times\frac{\pi}{45}\right)\)
\(=\frac{7\pi}{45}\) রেডিয়ান।
\(\therefore \theta=\frac{7\pi}{45}\) রেডিয়ান।
এবং ব্যাসার্ধ \(r=90\) মিটার।
ধরি, বালকটি দ্বারা প্রতি সেকেন্ডে অতিক্রান্ত বৃত্তচাপটি \(s\)
এখন, \(s=r\theta\)
\(=90\times\frac{7\pi}{45}\) ➜ \(\because r=90\) মিটার।
এবং \(\theta=\frac{7\pi}{45}\) রেডিয়ান।
\(=2\times7\pi\)
\(=14\pi\)
\(=14\times\frac{22}{7}\) যেখানে, \(\pi=\frac{22}{7}\)
\(=2\times22\)
\(=44\)
\(\therefore s=44\) মিটার।
\(\therefore \) বালকটি দ্বারা প্রতি সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব \(44\) মিটার।
\(\therefore \) বালকটির ঘন্টায় গতিবেগ \(=\frac{44\times60\times60}{1000}\) কি.মি.।
গতিবেগ \(=\frac{22\times6\times6}{5}\) কি.মি. / ঘন্টা ।
\(=158.4\) কি.মি. / ঘন্টা ।
\(Q.1.(xxix)\) এক ব্যক্তি সাইকেলে চড়ে বৃত্তাকার পথে প্রতি সেকেন্ডে যে পথ অতিক্রম করে তা কেন্দ্রে \(28^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। যদি বৃত্তটির ব্যাস \(180\) মিটার হয় তবে লোকটির গিতিবেগ কত তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(44\) মি. / সে. ।
উত্তরঃ \(44\) মি. / সে. ।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ \(\theta=28^{o}\)
\(=\left(28\times\frac{\pi}{180}\right)\) রেডিয়ান। ➜ \(\because 1^{o}=\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান।
\(=\left(7\times\frac{\pi}{45}\right)\)
\(=\frac{7\pi}{45}\) রেডিয়ান।
\(\therefore \theta=\frac{7\pi}{45}\) রেডিয়ান।
এবং ব্যাস \(2r=180\) মিটার।
তাহলে, ব্যাসার্ধ \(r=90\) মিটার।
ধরি, লোকটি দ্বারা প্রতি সেকেন্ডে অতিক্রান্ত বৃত্তচাপটি \(s\)
এখন, \(s=r\theta\)
\(=90\times\frac{7\pi}{45}\) ➜ \(\because r=90\) মিটার।
এবং \(\theta=\frac{7\pi}{45}\) রেডিয়ান।
\(=2\times7\pi\)
\(=14\pi\)
\(=14\times\frac{22}{7}\) যেখানে, \(\pi=\frac{22}{7}\)
\(=2\times22\)
\(=44\)
\(\therefore s=44\) মিটার।
\(\therefore \) লোকটি দ্বারা প্রতি সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব \(44\) মিটার।
\(\therefore \) গতিবেগ \(44\) মি. / সে. ।
\(Q.1.(xxxiv)\) সকাল \(10.45\) টায় ঘড়ির ঘন্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ ডিগ্রিতে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(52.5^{o}\)
উত্তরঃ \(52.5^{o}\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, ঘন্টা \(H=10\)
মিনিট \(M=45\)
ঘড়ির ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ \(=\left|\frac{60H-11M}{2}\right|^{o}\) ➜ ঘড়ির ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ ,
\(\left|\frac{60H-11M}{2}\right|^{o}\)
\(=\left|\frac{60\times 10-11\times 45}{2}\right|^{o}\) ➜ \(\because \) ঘন্টা \(H=10\)
এবং মিনিট \(M=45\)
\(=\left|\frac{600-495}{2}\right|^{o}\)
\(=\left|\frac{105}{2}\right|^{o}\)
\(=\left|52.5\right|^{o}\)
\(=52.5^{o}\)
\(\therefore \) নির্ণেয় মধ্যবর্তী কোণ \(52.5^{o}\)
\(Q.1.(xxxvii)\) পৌণে বারটার সময় ঘন্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ ষাটমূলক ও বৃত্তীয় এককে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(82^{o}30^{\prime}; \ \frac{11\pi}{24}\)
উত্তরঃ \(82^{o}30^{\prime}; \ \frac{11\pi}{24}\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, পৌণে বারটার সময়
অর্থাৎ \(11\) টা \(45\) মিনিট এর সময়
অতএব, ঘন্টা \(H=11\)
এবং মিনিট \(M=45\)
তাহলে, ঘন্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের \(=\left|\frac{60H-11M}{2}\right|^{o}\) ➜ ঘড়ির ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ ,
\(\left|\frac{60H-11M}{2}\right|^{o}\)
\(=\left|\frac{60\times11-11\times45}{2}\right|^{o}\) ➜ \(\because H=11\)
এবং \(M=45\)
\(=\left|\frac{660-495}{2}\right|^{o}\)
\(=\left|\frac{165}{2}\right|^{o}=82^{o}30^{\prime}\)
\(=\left(\frac{165}{2}\times\frac{\pi}{180}\right)\) রেডিয়ান। ➜ \(\because 1^{o}=\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান।
\(=\left(\frac{11}{2}\times\frac{\pi}{12}\right)\) রেডিয়ান।
\(=\frac{11\pi}{24}\) রেডিয়ান।
\(Q.1.(xxxix)\) \(6\) কিলোমিটার দূরত্ব একটি স্তম্ভ পৃথিবী পৃষ্টে কোনো বিন্দুতে \(10^{\prime}\) কোণ উৎপন্ন করে। স্তম্ভটির উচ্চতা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(17.46\) মিটার।
উত্তরঃ \(17.46\) মিটার।
সমাধানঃ
মনে করি, স্তম্ভটির উচ্চতা \(=AB\)।
এখানে, \(\angle{AOB}\) অতি সূক্ষ্ণ এবং \(AB\) এর দৈর্ঘ্য \(OA\) এর তুলনায় খুবই ক্ষুদ্র হবে।
সুতরাং, \(AB\) কে সেই বৃত্তের চাপ \(s\)
যার ব্যাসার্ধ \(r=6\) কি.মি.
চাপ \(AB=s\) স্তম্ভটির উচ্চতা।
চাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ,
\(\theta=10^{\prime}\)
\(=\left(\frac{10}{60}\right)^{o}\) ➜ \(\because 1^{\prime}=\left(\frac{1}{60}\right)^{o}\)
\(=\frac{1}{6}\times\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান। ➜ \(\because 1^{o}=\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান।
\(=\frac{\pi}{6\times180}\)
\(=\frac{22}{6\times180\times7}\) রেডিয়ান। ➜ \(\because \pi=\frac{22}{7}\)
\(=\frac{11}{3\times180\times7}\)
\(=\frac{11}{3780}\)
\(\therefore \theta=\frac{11}{3780}\)রেডিয়ান।
এখন, \(s=r\theta\)
\(=6\times\frac{11}{3780}\) ➜ \(\because r=6\) কি.মি.
এবং \(\theta=\frac{11}{3780}\)রেডিয়ান।
\(=\frac{11}{630}\)
\(=.01746\)
\(=.01746\) কি.মি.
\(=.01746\times1000\) মিটার।
\(=17.46\) মিটার।
\(\therefore\) স্তম্ভটির নির্ণেয় উচ্চতা \(=17.46\) মিটার।
\(Q.1.(xLi)\) সকাল \(9.30\) টায় ঘড়ির ঘন্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ রেডিয়ানে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(\frac{7\pi}{12}\) রেডিয়ান।
উত্তরঃ \(\frac{7\pi}{12}\) রেডিয়ান।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, ঘন্টা \(H=9\)
মিনিট \(M=30\)
ঘড়ির ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ \(=\left|\frac{60H-11M}{2}\right|^{o}\) ➜ ঘড়ির ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ ,
\(\left|\frac{60H-11M}{2}\right|^{o}\)
\(=\left|\frac{60\times 9-11\times 30}{2}\right|^{o}\) ➜ \(\because \) ঘন্টা \(H=9\)
এবং মিনিট \(M=30\)
\(=\left|\frac{540-330}{2}\right|^{o}\)
\(=\left|\frac{210}{2}\right|^{o}\)
\(=\left|105\right|^{o}\)
\(=105^{o}\)
\(=105\times\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান। ➜ \(\because 1^{o}=\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান
\(=7\times\frac{\pi}{12}\)
\(=\frac{7\pi}{12}\)
\(\therefore \) নির্ণেয় মধ্যবর্তী কোণ \(\frac{7\pi}{12}\) রেডিয়ান।
\(Q.1.(xLiii)\) \(800\) কি.মি. দূরে একটি বিন্দুতে একটি পাহাড় \(7.5^{\prime}\) কোণ উৎপন্ন করলে পাহাড়টির উচ্চতা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(1.746\) কি.মি.(প্রায়) ।
উত্তরঃ \(1.746\) কি.মি.(প্রায়) ।
সমাধানঃ
মনে করি, পাহাড়টির উচ্চতা \(=AB\)।
এখানে, \(\angle{AOB}\) অতি সূক্ষ্ণ এবং \(AB\) এর দৈর্ঘ্য \(OA\) এর তুলনায় খুবই ক্ষুদ্র হবে।
সুতরাং, \(AB\) কে সেই বৃত্তের চাপ \(s\)
যার ব্যাসার্ধ \(r=800\) কি.মি.
চাপ \(AB=s\) পাহাড়ের উচ্চতা।
চাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ,
\(\theta=7.5^{\prime}\)
\(=\left(\frac{75}{10}\right)^{\prime}\)
\(=\left(\frac{75}{10\times60}\right)^{o}\) ➜ \(\because 1^{\prime}=\left(\frac{1}{60}\right)^{o}\)
\(=\frac{1}{2\times4}\times\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান। ➜ \(\because 1^{o}=\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান।
\(=\frac{\pi}{8\times180}\)
\(=\frac{22}{8\times180\times7}\) রেডিয়ান। ➜ \(\because \pi=\frac{22}{7}\)
\(=\frac{11}{4\times180\times7}\)
\(=\frac{11}{5040}\)
\(\therefore \theta=\frac{11}{5040}\)রেডিয়ান।
এখন, \(s=r\theta\)
\(=800\times\frac{11}{5040}\) ➜ \(\because r=800\) কি.মি.
এবং \(\theta=\frac{11}{5040}\)রেডিয়ান।
\(=10\times\frac{11}{63}\)
\(=\frac{110}{63}\)
\(=1.746\)
\(\therefore s=1.746\) কি.মি.
\(\therefore\) পাহাড়টির নির্ণেয় উচ্চতা \(=1.746\) কি.মি.
\(Q.1.(xLiv)\) পৃথিবীর ব্যাসার্ধ \(6440\) কি.মি. । টেকনাফ ও তেঁতুলিয়া পৃথিবীর কেন্দ্রে \(10^{o}6^{\prime}3^{\prime\prime}\) কোণ উৎপন্ন করে। টেকনাফ ও তেঁতুলিয়ার মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?
উত্তরঃ \(1135.32\) কি.মি. (প্রায়)
উত্তরঃ \(1135.32\) কি.মি. (প্রায়)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, ব্যাসার্ধ \(r=6440\)
কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ \(\theta=10^{o}6^{\prime}3^{\prime\prime}\)
\(=10^{o}\left(6+\frac{3}{60}\right)^{\prime}\) ➜ \(\because 1^{\prime\prime}=\left(\frac{1}{60}\right)^{\prime}\)
\(=10^{o}\left(6+\frac{1}{20}\right)^{\prime}\)
\(=10^{o}\left(\frac{120+1}{20}\right)^{\prime}\)
\(=10^{o}\left(\frac{121}{20}\right)^{\prime}\)
\(=\left(10+\frac{121}{20\times60}\right)^{0}\) ➜ \(\because 1^{\prime}=\left(\frac{1}{60}\right)^{o}\)
\(=\left(10+\frac{121}{1200}\right)^{0}\)
\(=\left(\frac{12000+121}{1200}\right)^{0}\)
\(=\left(\frac{12121}{1200}\right)^{0}\)
\(=\left(\frac{12121}{1200}\times\frac{\pi}{180}\right)\) রেডিয়ান ➜ \(\because 1^{o}=\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান
\(=\frac{12121\pi}{216000}\) রেডিয়ান
\(=\frac{12121\times3.1416}{216000}\) রেডিয়ান ➜ \(\because \pi=3.1416\)
\(=0.1762932111\) রেডিয়ান
\(\therefore \theta=0.1762932111\) রেডিয়ান
টেকনাফ ও তেঁতুলিয়ার দূরত্ব \( =r\theta\) ➜ \(\because s=r\theta\)
টেকনাফ ও তেঁতুলিয়ার দূরত্ব \( =6440\times0.1762932111\) ➜ \(\because r=6440\)
এবং \(\theta=0.1762932111\)
\(=1135.32\)
\(\therefore \text{টেকনাফ ও তেঁতুলিয়ার দূরত্ব}=1135.32\) কি.মি. (প্রায়)
\(Q.1.(xLv)\) পৃথিবীর ব্যাসার্ধ \(6440\) কি.মি. । পৃথিবীর উপরে যে কোনো দুইটি স্থান কেন্দ্রে \(32^{\prime\prime}\) কোণ উৎপন্ন করে, তাদের দূরত্ব কত?
উত্তরঃ \(1\) কি.মি. (প্রায়)
উত্তরঃ \(1\) কি.মি. (প্রায়)
সমাধানঃ
ধরি, স্থান দুইটি \(A\) ও \(B\)
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ \(r=6440\)
কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ \(\theta=32^{\prime\prime}\)
\(=\left(\frac{32}{60\times60}\right)^{o}\) ➜ \(\because 1^{\prime\prime}=\left(\frac{1}{60\times60}\right)^{o}\)
\(=\left(\frac{2}{15\times15}\right)^{o}\)
\(=\left(\frac{2}{225}\right)^{o}\)
\(=\left(\frac{2}{225}\times\frac{\pi}{180}\right)\) রেডিয়ান ➜ \(\because 1^{o}=\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান
\(=\left(\frac{1}{225}\times\frac{\pi}{90}\right)\) রেডিয়ান
\(=\frac{\pi}{20250}\) রেডিয়ান
\(=\frac{3.1416}{20250}\) রেডিয়ান ➜ \(\because \pi=3.1416\)
\(=0.00015514\) রেডিয়ান
\(\therefore \theta=0.00015514\) রেডিয়ান
স্থান দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব \( =r\theta\) ➜ \(\because s=r\theta\)
স্থান দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব \( =6440\times0.00015514\) ➜ \(\because r=6440\)
এবং \(\theta=0.00015514\)
\(=0.99910637\)
\(=1\)
\(\therefore \text{স্থান দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব}=1\) কি.মি. (প্রায়)
\(Q.1.(Liv)\) \(2\) সে.মি. বাহুবিশিষ্ট \(ABCD\) রম্বসের সূক্ষ্ণকোণ \(\theta=60^{o}\) । \(A\) কে কেন্দ্র করে অঙ্কিত \(BD\) বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য কত হবে।
উত্তরঃ \(2.094\) সে.মি.।
উত্তরঃ \(2.094\) সে.মি.।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, ব্যাসার্ধ \(r=2\) সে.মি.।
\(\therefore \text{কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ } \theta=60^{o}\)
\(\Rightarrow \theta=60\times\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান ➜ \(\because 1^{o}=\frac{\pi}{180} \text{রেডিয়ান}\)
\(\therefore \theta=\frac{\pi}{3}\) রেডিয়ান
বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য \(BD=s\)
এখন, \(s=r\theta\)
\(\Rightarrow s=2\times\frac{\pi}{3}\) ➜ \(\because r=2\) সে.মি.।
এবং \(\theta=\frac{\pi}{3}\) রেডিয়ান
\(=\frac{2\pi}{3}\)
\(=\frac{2\times3.1416}{3}\) যেখানে, \(\pi=3.1416\)
\(=\frac{6.2832}{3}\)
\(=2.094\)
\(\therefore BD\) বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য \(2.094\) সে.মি.।
\(Q.1.(Lvii)\) বৃত্তে অন্তর্লিখিত ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি পরিধিকে \(a:b:c\) অনুপাতে বিভক্ত করে। ত্রিভুজের কোণগুলি রেডিয়ানে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi a}{a+b+c}, \ \frac{\pi b}{a+b+c}, \ \frac{\pi c}{a+b+c}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi a}{a+b+c}, \ \frac{\pi b}{a+b+c}, \ \frac{\pi c}{a+b+c}\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, বৃত্তে অন্তর্লিখিত ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি পরিধিকে \(a:b:c\) অনুপাতে বিভক্ত করে।
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(=r\) একক।
সুতরাং বৃত্তের পরিধি \(=2\pi r\) একক।
বৃত্তচাপ \(BC=l\)
বৃত্তচাপ \(CA=m\)
এবং বৃত্তচাপ \(AB=n\)
শর্তমতে, \(\frac{a}{l}=\frac{b}{m}=\frac{c}{n}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{l}=\frac{b}{m}=\frac{c}{n}=\frac{a+b+c}{l+m+n}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{l}=\frac{b}{m}=\frac{c}{n}=\frac{a+b+c}{2\pi r}\) ➜ \(\because \) বৃত্তের পরিধি \(l+m+n=2\pi r\)
\(\Rightarrow \frac{a}{l}=\frac{a+b+c}{2\pi r}, \ \frac{b}{m}=\frac{a+b+c}{2\pi r}, \ \frac{c}{n}=\frac{a+b+c}{2\pi r}\)
\(\Rightarrow \frac{l}{a}=\frac{2\pi r}{a+b+c}, \ \frac{m}{b}=\frac{2\pi r}{a+b+c}, \ \frac{n}{c}=\frac{2\pi r}{a+b+c}\)
\(\therefore l=\frac{2a\pi r}{a+b+c}, \ m=\frac{2b\pi r}{a+b+c}, \ n=\frac{2c\pi r}{a+b+c}\)
আবার, \(\frac{\angle{BOC}}{l}=\frac{2\pi}{2\pi r}\) ➜ \(\because \) বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে ধারণকৃত কোণ বৃত্তচাপটির দৈর্ঘ্যের সমানুপাতিক।
\(\Rightarrow \frac{\angle{BOC}}{l}=\frac{1}{r}\)
\(\Rightarrow \angle{BOC}=\frac{l}{r}\)
\(\Rightarrow \angle{BOC}=\frac{\frac{2a\pi r}{a+b+c}}{r}\) ➜ \(\because l=\frac{2a\pi r}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow \angle{BOC}=\frac{2a\pi r}{r(a+b+c)}\)
\(\therefore \angle{BOC}=\frac{2a\pi}{a+b+c}\)
আবার, \(\angle{BAC}=\frac{1}{2}\angle{BOC}\) ➜ \(\because \) একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
\(\Rightarrow \angle{BAC}=\frac{1}{2}\times\frac{2a\pi}{a+b+c}\) ➜ \(\because \angle{BOC}=\frac{2a\pi}{a+b+c}\)
\(\therefore \angle{BAC}=\frac{\pi a}{a+b+c}\)
অনুরূপভাবে,
\(\angle{ABC}=\frac{\pi b}{a+b+c}\)
\(\angle{BCA}=\frac{\pi c}{a+b+c}\)
\(\therefore\) ত্রিভুজের কোণগুলি \(\frac{\pi a}{a+b+c}, \ \frac{\pi b}{a+b+c}, \ \frac{\pi c}{a+b+c}\)
অধ্যায় \(6A\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(Q.2.(i)\) চিত্রে একটি বৃত্তাংশ দেখানো হয়েছে যার কেন্দ্র \(O\) ব্যাসার্ধ \(10\) সে.মি. এবং \(AB\) চাপের দৈর্ঘ্য \(14\) সে.মি.
\((a)\) রেডিয়ান এককে কোণ \(AOB\) এর মাণ নির্ণয় কর।
\((b)\) গাড় অংশটুকুর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 1.40\) রেডিয়ান।
\((b) \ 20.73\) বর্গ সে.মি.(প্রায়)
\(Q.2.(ii)\) একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে \(OCD\) এর \(OD=OC,\) \(OAB\) একটি বৃত্তকলা এবং \(\angle{COD}=0.8\) রেডিয়ান হলে, ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(21.467\) বর্গ সে.মি. । \(20.588\) সে.মি. ।
\(Q.2.(iii)\) চিত্রানুসারে \(O\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের চাপ \(AC,\) \(BC\) রেখা \(OC\) রেখার উপর লম্ব এবং \(OB\) অতিভুজ। \(\angle{AOC}=\frac{\pi}{3}\) রেডিয়ান। ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(12.327\) বর্গ সে.মি. ।
\(Q.2.(iv)\) চিত্রে ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। যেখানে, ব্যাসার্ধ \(OC=6.5\) সে.মি. এবং \(BC=5\) সে.মি.
উত্তরঃ \(36.37\) বর্গ সে.মি. ।
রাঃ ২০১৯ ।
\(Q.2.(v)\) \(OABC\) একটি রম্বস এবং \(OAC\) বৃত্তকলা \(O\) কেন্দ্রিক বৃত্তের অংশ । \(ABCA\) ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(503.051\) বর্গ সে.মি. (প্রায়)।
দিঃ ২০১৯ ।
\(Q.2.(vi)\) \(\angle{AOC}=90^{o},\) \(OA=2\) সে.মি. হলে, চিত্রে ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(0.3623\) বর্গ সে.মি. (প্রায়)।
চঃ ২০১৯ ।
\(Q.2.(vii)\) চিত্রে প্রদর্শিত বৃত্তের পরিধি \(31.416\) সে.মি. হলে, বৃত্তটির ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(65.89\) বর্গ সে.মি. (প্রায়)।
বঃ ২০১৯ ।
\(Q.2.(viii)\) চিত্রে প্রদর্শিত বৃত্তের ক্ষেত্রফল \(49\pi\) হলে, বৃত্তটির ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(51.31\) বর্গ একক (প্রায়)।
সিঃ ২০১৯ ।
\(Q.2.(ix)\) চিত্রের ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4.57\) বর্গ একক (প্রায়)।
বঃ ২০১৭ ।
\(Q.2.(x)\) চিত্রে \(AB=5\) সে.মি. হলে, গাড় অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(67.63\) বর্গ সে.মি. (প্রায়)।
ঢাঃ,দিঃ,সিঃ, যঃ ২০১৮ ।
\(Q.2.(xi)\) চিত্রের ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(20.76\) বর্গ মি. (প্রায়)।
রাঃ ২০১৭ ।
\(Q.2.(xii)\) চিত্রে \(PEF\) একটি বৃত্তকলা হলে, \(EQRF\) এলাকার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(19.335\) বর্গ সে.মি.(প্রায়)।
চঃ ২০১৭ ।
\(Q.2.(xiii)\) চিত্রে \(ABCD\) একটি একটি আয়তক্ষেত্র যার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে \(8\) মিটার ও \(7\) মিটার এবং \(DAE\) ক্ষেত্রটি একটি বৃত্তকলা। বৃত্তাংশ \(DE\) এর দৈর্ঘ্য এবং \(ABCDE\) সম্পূর্ণ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4.189\) মিটার (প্রায়); \(72.755\) বর্গ মিটার (প্রায়)।
\(Q.2.(xiv)\) চিত্রে \(ABCD\) একটি একটি আয়তক্ষেত্র যার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে \(4\) মিটার ও \(3\) মিটার এবং \(ACE\) ক্ষেত্রটি একটি বৃত্তকলা। বৃত্তাংশ \(CE\) এর দৈর্ঘ্য এবং \(CDE\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4.635\) মিটার (প্রায়); \(5.5875\) বর্গ মিটার (প্রায়)।
\(Q.2.(xv)\) চিত্রে \(ABC\) সমকোণী ত্রিভুজে \(ADC\) একটি অর্ধবৃত্ত ও \(AECB\) একটি বৃত্তকলা। বৃত্তাংশ \(AEC\) এর দৈর্ঘ্য এবং \(AECD\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(6.2832\) মিটার (প্রায়); \(8\) বর্গ মিটার (প্রায়)।
\(Q.2.(xvi)\) চিত্রে \(1\) একক ব্যাসার্ধ এবং \(P\) ও \(Q\) কেন্দ্রবিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(APBQ\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{2\pi-3\sqrt{3}}{3}\) বর্গ একক (প্রায়) ।
\(Q.2.(xvii)\) একজন বালক চিত্রের \(OAB\) পথ \(6\) সেকেন্ডে অতিক্রম করলে তার বেগ নির্ণয় কর। যদি \(R\) অংশের প্রতি বর্গ এককে টাইলস বসাতে \(5000\) টাকা খরচ হর তাহলে \(R\) অংশের জন্য মোট কত টাকা খরচ হবে?
উত্তরঃ \(\text{বালকটির বেগ }=1.26\) একক/সেঃ(প্রায়); খরচ \(545\) টাকা।
\(Q.2.(xviii)\) চিত্রে \(O\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের অর্ধবৃত্ত দেখানো হয়েছে, যার \(AB=12cm, \ BC=6cm\) । ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল ও \(x\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(25.37\) বর্গ সে.মি.। \(30^{o}\)
\(Q.2.(xix)\) নিচের চিত্র হতে \(AEC\) চাপের দৈর্ঘ্য ও ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4.5\pi;\) \(18\) বর্গ সে.মি.।
\(Q.2.(xx)\) নিচের চিত্রের ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর, যেখানে \(\angle{AOD}=45^{o}\) এবং ব্যাস \(CD=10cm.\)
উত্তরঃ \(7.135\) বর্গ সে.মি.।
\(Q.2.(xxi)\) নিচের চিত্রে হতে ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। \(A\) ও \(B\) বৃত্ত দুইটির কেন্দ্র এবং \(AB=24cm.\)
উত্তরঃ \(73.56\) বর্গ সে.মি.।
\(Q.2.(xxii)\) নিচের চিত্রের ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(104.72\) বর্গ সে.মি.(প্রায়)।
\(Q.2.(xxiii)\) দুইটি সমকেন্দ্রিক বৃত্তের কেন্দ্র \(O\) এবং \(AB\) ও \(CD\) দুইটি বৃত্তচাপ। \(OA=6cm\) এবং \(AC=3cm\) হলে, ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর, যেখানে \(AOB\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(12\) বর্গ সে.মি.।
উত্তরঃ \(15\) বর্গ সে.মি.(প্রায়)।
\(Q.2.(xxiv)\) \(OAB\) একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। \(OA=5cm; \ C, \ OA\) এর মধ্যবিন্দু এবং \(O\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তচাপ \(CD\) হলে, ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(7.59\) বর্গ সে.মি.(প্রায়)।
\(Q.2.(xxv)\) চিত্রের \(OABC\) একটি অর্ধবৃত্ত। যার \(AB\) চাপের দৈর্ঘ্য \(3.14cm, \ \angle{AOB}=30^{o}\) এবং \(OB\) হলো এর ব্যাসার্ধ। \(BC\) চাপের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(15.7\) সে.মি.।
\(Q.2.(xxvi)\) চিত্রের বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(\frac{\pi}{2}\) বর্গ একক হলে, ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3\) একক।
\(Q.2.(xxvii)\) চিত্র হতে ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(30.02\) বর্গ সে.মি.।
\(Q.2.(xxviii)\) চিত্রে একটি অর্ধবৃত্ত দেখানো হলো। \(OB\) এবং ছায়াঘেরা অংশের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5.14\) সে.মি.। \(37.41\) সে.মি.। \(88.32\) বর্গ সে.মি.।
\(Q.2.(i)\) চিত্রে একটি বৃত্তাংশ দেখানো হয়েছে যার কেন্দ্র \(O\) ব্যাসার্ধ \(10\) সে.মি. এবং \(AB\) চাপের দৈর্ঘ্য \(14\) সে.মি.
\((a)\) রেডিয়ান এককে কোণ \(AOB\) এর মাণ নির্ণয় কর।
\((b)\) গাড় অংশটুকুর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 1.40\) রেডিয়ান।
\((b) \ 20.73\) বর্গ সে.মি.(প্রায়)
সমাধানঃ
\((a)\)
দেওয়া আছে,
\(AB\) চাপের দৈর্ঘ্য \(s=14\) সে.মি.
ব্যাসার্ধ \(r=10\) সে.মি.
ধরি, \(\angle{AOB}=\theta\) রেডিয়ান।
আমরা জানি, \(s=r\theta\)
\(\Rightarrow r\theta=s\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{s}{r}\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{14}{10}\) ➜ \(\because s=14\)
এবং \(r=10\)
\(\therefore \theta=\frac{7}{5}\) রেডিয়ান।
\((b)\) দেওয়া আছে,
\(AB\) চাপের দৈর্ঘ্য \(s=14\) সে.মি.
ব্যাসার্ধ \(r=10\) সে.মি.
ধরি, \(\angle{AOB}=\theta\) রেডিয়ান।
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(A=\frac{1}{2}r^2\theta\)
\(=\frac{1}{2}\times(10)^2\times\frac{7}{5}\) ➜ \(\because r=10\)
এবং \(\theta=\frac{7}{5}\) রেডিয়ান।
\(=\frac{1}{2}\times100\times\frac{7}{5}\)
\(=50\times\frac{7}{5}\)
\(=10\times7\)
\(\therefore A=70\) বর্গ সে.মি.
আবার, \(\triangle{OAB}\) এর ক্ষেত্রফল
\(=\frac{1}{2}\times OA\times OB\sin{\angle{AOB}}\) ➜ \(\triangle=\frac{1}{2}ab\sin{C}\)
\(=\frac{1}{2}\times 10\times 10\sin{\frac{7}{5}}\) ➜ \(\because OA=OB=10\)
\(\angle{AOB}=\theta=\frac{7}{5}\)
\(=\frac{1}{2}\times 100\times 0.0872\)
\(=50\times 0.985\)
\(\therefore \triangle{OAB}=49.27\) বর্গ সে.মি.
গাড় অংশটুকুর ক্ষেত্রফল \(=(A-\triangle{OAB})\) বর্গ সে.মি.
\(=(70-49.27)\) বর্গ সে.মি.➜ \(\because A=70\)
এবং \(\triangle{OAB}=49.27\)
\(=20.73\) বর্গ সে.মি.(প্রায়)
\(AB\) চাপের দৈর্ঘ্য \(s=14\) সে.মি.
ব্যাসার্ধ \(r=10\) সে.মি.
ধরি, \(\angle{AOB}=\theta\) রেডিয়ান।
আমরা জানি, \(s=r\theta\)
\(\Rightarrow r\theta=s\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{s}{r}\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{14}{10}\) ➜ \(\because s=14\)
এবং \(r=10\)
\(\therefore \theta=\frac{7}{5}\) রেডিয়ান।
\((b)\) দেওয়া আছে,
\(AB\) চাপের দৈর্ঘ্য \(s=14\) সে.মি.
ব্যাসার্ধ \(r=10\) সে.মি.
ধরি, \(\angle{AOB}=\theta\) রেডিয়ান।
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(A=\frac{1}{2}r^2\theta\)
\(=\frac{1}{2}\times(10)^2\times\frac{7}{5}\) ➜ \(\because r=10\)
এবং \(\theta=\frac{7}{5}\) রেডিয়ান।
\(=\frac{1}{2}\times100\times\frac{7}{5}\)
\(=50\times\frac{7}{5}\)
\(=10\times7\)
\(\therefore A=70\) বর্গ সে.মি.
আবার, \(\triangle{OAB}\) এর ক্ষেত্রফল
\(=\frac{1}{2}\times OA\times OB\sin{\angle{AOB}}\) ➜ \(\triangle=\frac{1}{2}ab\sin{C}\)
\(=\frac{1}{2}\times 10\times 10\sin{\frac{7}{5}}\) ➜ \(\because OA=OB=10\)
\(\angle{AOB}=\theta=\frac{7}{5}\)
\(=\frac{1}{2}\times 100\times 0.0872\)
\(=50\times 0.985\)
\(\therefore \triangle{OAB}=49.27\) বর্গ সে.মি.
গাড় অংশটুকুর ক্ষেত্রফল \(=(A-\triangle{OAB})\) বর্গ সে.মি.
\(=(70-49.27)\) বর্গ সে.মি.➜ \(\because A=70\)
এবং \(\triangle{OAB}=49.27\)
\(=20.73\) বর্গ সে.মি.(প্রায়)
\(Q.2.(ii)\) একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে \(OCD\) এর \(OD=OC,\) \(OAB\) একটি বৃত্তকলা এবং \(\angle{COD}=0.8\) রেডিয়ান হলে, ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(21.467\) বর্গ সে.মি. । \(20.588\) সে.মি. ।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে \(OCD\) এর \(OD=OC,\) \(OAB\) একটি বৃত্তকলা এবং \(\angle{COD}=0.8\) রেডিয়ান
চিত্র হতে,
\(OA=OB=6\) সে.মি.
\(AD=BC=4\) সে.মি.
\(\therefore OD=OC=6+4=10\) সে.মি.
\(\therefore \triangle{ODC}=\frac{1}{2}\times10\times10\sin{\angle{COD}}\) বর্গ সে.মি. ➜ \(\triangle=\frac{1}{2}ab\sin{C}\)
\(=\frac{1}{2}\times100\sin{0.8}\) ➜ \(\because \angle{COD}=0.8\)
\(=50\times0.717\)
\(=35.8678\)
\(\therefore \triangle{ODC}=35.8678\) বর্গ সে.মি.
আবার, বৃত্তকলা \(OAB\) এর ক্ষেত্রফল \(A=\frac{1}{2}r^2\theta\) বর্গ সে.মি.
\(=\frac{1}{2}\times6^2\times0.8\) ➜ \(\because r=OA=OB=6\)
এবং \(\theta=\angle{COD}=0.8\) রেডিয়ান
\(=\frac{1}{2}\times36\times0.8\)
\(=18\times0.8\)
\(=14.4\)
\(\therefore\) বৃত্তকলা \(OAB\) এর ক্ষেত্রফল \(A=14.4\) বর্গ সে.মি.
এখন, নির্ণেয় ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল \(=(\triangle{ODC}-A)\) বর্গ সে.মি.
\(=35.8678-14.4\) বর্গ সে.মি. ➜ \(\because \triangle{ODC}=35.8678\) বর্গ সে.মি.
এবং \(A=14.4\) বর্গ সে.মি.
\(=21.467\) বর্গ সে.মি.
আবার, \(\triangle{ODC}\) হতে,
\(CD^2=OD^2+OC^2-2OD.OC\cos{\angle{COD}}\) ➜ \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}\)
\(\Rightarrow CD^2=(10)^2+(10)^2-2\times10\times10\cos{0.8}\) ➜ \(\because OD=OC=10\)
এবং \(\theta=\angle{COD}=0.8\) রেডিয়ান
\(\Rightarrow CD^2=100+100-200\times0.6967\)
\(\Rightarrow CD^2=200-139.34\)
\(\Rightarrow CD^2=60.66\)
\(\Rightarrow CD=\sqrt{60.66}\)
\(\Rightarrow CD=7.788\)
\(\therefore CD=7.788\) সে.মি.
আবার, \(AB\) বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য \(s=r\theta\)
\(=6\times 0.8\) ➜ \(\because r=OA=OB=6\)
এবং \(\theta=\angle{COD}=0.8\) রেডিয়ান
\(=4.8\)
\(\therefore AB=4.8\) সে.মি.
এখন, ছায়াঘেরা অংশের পরিসীমা \(=AB+BC+CD+AD\)
\(=4.8+4+7.788+4\) ➜ \(\because AB=4.8\)
\(BC=4\)
\(CD=7.788\)
এবং \(AD=4\)
\(=20.588\) সে.মি.
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে \(OCD\) এর \(OD=OC,\) \(OAB\) একটি বৃত্তকলা এবং \(\angle{COD}=0.8\) রেডিয়ান
চিত্র হতে,
\(OA=OB=6\) সে.মি.
\(AD=BC=4\) সে.মি.
\(\therefore OD=OC=6+4=10\) সে.মি.
\(\therefore \triangle{ODC}=\frac{1}{2}\times10\times10\sin{\angle{COD}}\) বর্গ সে.মি. ➜ \(\triangle=\frac{1}{2}ab\sin{C}\)
\(=\frac{1}{2}\times100\sin{0.8}\) ➜ \(\because \angle{COD}=0.8\)
\(=50\times0.717\)
\(=35.8678\)
\(\therefore \triangle{ODC}=35.8678\) বর্গ সে.মি.
আবার, বৃত্তকলা \(OAB\) এর ক্ষেত্রফল \(A=\frac{1}{2}r^2\theta\) বর্গ সে.মি.
\(=\frac{1}{2}\times6^2\times0.8\) ➜ \(\because r=OA=OB=6\)
এবং \(\theta=\angle{COD}=0.8\) রেডিয়ান
\(=\frac{1}{2}\times36\times0.8\)
\(=18\times0.8\)
\(=14.4\)
\(\therefore\) বৃত্তকলা \(OAB\) এর ক্ষেত্রফল \(A=14.4\) বর্গ সে.মি.
এখন, নির্ণেয় ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল \(=(\triangle{ODC}-A)\) বর্গ সে.মি.
\(=35.8678-14.4\) বর্গ সে.মি. ➜ \(\because \triangle{ODC}=35.8678\) বর্গ সে.মি.
এবং \(A=14.4\) বর্গ সে.মি.
\(=21.467\) বর্গ সে.মি.
আবার, \(\triangle{ODC}\) হতে,
\(CD^2=OD^2+OC^2-2OD.OC\cos{\angle{COD}}\) ➜ \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}\)
\(\Rightarrow CD^2=(10)^2+(10)^2-2\times10\times10\cos{0.8}\) ➜ \(\because OD=OC=10\)
এবং \(\theta=\angle{COD}=0.8\) রেডিয়ান
\(\Rightarrow CD^2=100+100-200\times0.6967\)
\(\Rightarrow CD^2=200-139.34\)
\(\Rightarrow CD^2=60.66\)
\(\Rightarrow CD=\sqrt{60.66}\)
\(\Rightarrow CD=7.788\)
\(\therefore CD=7.788\) সে.মি.
আবার, \(AB\) বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য \(s=r\theta\)
\(=6\times 0.8\) ➜ \(\because r=OA=OB=6\)
এবং \(\theta=\angle{COD}=0.8\) রেডিয়ান
\(=4.8\)
\(\therefore AB=4.8\) সে.মি.
এখন, ছায়াঘেরা অংশের পরিসীমা \(=AB+BC+CD+AD\)
\(=4.8+4+7.788+4\) ➜ \(\because AB=4.8\)
\(BC=4\)
\(CD=7.788\)
এবং \(AD=4\)
\(=20.588\) সে.মি.
\(Q.2.(iii)\) চিত্রানুসারে \(O\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের চাপ \(AC,\) \(BC\) রেখা \(OC\) রেখার উপর লম্ব এবং \(OB\) অতিভুজ। \(\angle{AOC}=\frac{\pi}{3}\) রেডিয়ান। ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(12.327\) বর্গ সে.মি. ।
সমাধানঃ
চিত্রে, দেওয়া আছে,
\(O\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের চাপ \(AC,\) \(BC\) রেখা \(OC\) রেখার উপর লম্ব এবং \(OB\) অতিভুজ। \(\angle{AOC}=\frac{\pi}{3}\) রেডিয়ান।
\(OA=OC=6\) সে.মি.
\(\triangle{OBC}\) হতে,
\(\tan{\angle{BOC}}=\frac{BC}{OC}\)
\(\Rightarrow \tan{\frac{\pi}{3}}=\frac{BC}{OC}\) ➜ \(\tan{\theta}=\frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}=\frac{BC}{6}\) ➜ \(\because\tan{\frac{\pi}{3}}=\sqrt{3}\)
এবং \(OC=6\) সে.মি.
\(\therefore BC=6\sqrt{3}\) সে.মি.
\(\therefore \triangle{OBC}=\frac{1}{2}\times{OC}\times{BC}\) বর্গ সে.মি. ➜ \(\triangle=\frac{1}{2}\times\text{ভূমি}\times\text{উচ্চতা}\)
\(=\frac{1}{2}\times{6}\times{6\sqrt{3}}\) ➜ \(\because OC=6\)
এবং \(BC=6\sqrt{3}\)
\(=\times{3}\times{6\sqrt{3}}\)
\(=18\sqrt{3}\)
\(=31.1769\)
\(\therefore \triangle{OBC}=31.1769\) বর্গ সে.মি.
আবার, বৃত্তকলা \(OAC\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}r^2\theta\) বর্গ সে.মি.
\(=\frac{1}{2}\times6^2\times\frac{\pi}{3}\) ➜ \(\because r=OA=6\)
এবং \(\theta=\angle{AOC}=\frac{\pi}{3}\) রেডিয়ান।
\(=\frac{1}{2}\times36\times\frac{\pi}{3}\)
\(=6\times \pi\)
\(=6\times 3.1416\) যেখানে, \(\pi=3.1416\)
\(=18.8496\)
\(\therefore\) বৃত্তকলা \(OAC\) এর ক্ষেত্রফল \(=18.8496\) বর্গ সে.মি.
এখন, নির্ণেয় ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল \(=(\triangle{OBC}-\text{বৃত্তকলা} OAC)\) বর্গ সে.মি.
\(=(31.1769-18.8496)\) বর্গ সে.মি. ➜ \(\because \triangle{OBC}=31.1769\) বর্গ সে.মি.
এবং \(\text{বৃত্তকলা} OAC=18.8496\) বর্গ সে.মি.
\(=12.327\) বর্গ সে.মি.
\(O\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের চাপ \(AC,\) \(BC\) রেখা \(OC\) রেখার উপর লম্ব এবং \(OB\) অতিভুজ। \(\angle{AOC}=\frac{\pi}{3}\) রেডিয়ান।
\(OA=OC=6\) সে.মি.
\(\triangle{OBC}\) হতে,
\(\tan{\angle{BOC}}=\frac{BC}{OC}\)
\(\Rightarrow \tan{\frac{\pi}{3}}=\frac{BC}{OC}\) ➜ \(\tan{\theta}=\frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}=\frac{BC}{6}\) ➜ \(\because\tan{\frac{\pi}{3}}=\sqrt{3}\)
এবং \(OC=6\) সে.মি.
\(\therefore BC=6\sqrt{3}\) সে.মি.
\(\therefore \triangle{OBC}=\frac{1}{2}\times{OC}\times{BC}\) বর্গ সে.মি. ➜ \(\triangle=\frac{1}{2}\times\text{ভূমি}\times\text{উচ্চতা}\)
\(=\frac{1}{2}\times{6}\times{6\sqrt{3}}\) ➜ \(\because OC=6\)
এবং \(BC=6\sqrt{3}\)
\(=\times{3}\times{6\sqrt{3}}\)
\(=18\sqrt{3}\)
\(=31.1769\)
\(\therefore \triangle{OBC}=31.1769\) বর্গ সে.মি.
আবার, বৃত্তকলা \(OAC\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}r^2\theta\) বর্গ সে.মি.
\(=\frac{1}{2}\times6^2\times\frac{\pi}{3}\) ➜ \(\because r=OA=6\)
এবং \(\theta=\angle{AOC}=\frac{\pi}{3}\) রেডিয়ান।
\(=\frac{1}{2}\times36\times\frac{\pi}{3}\)
\(=6\times \pi\)
\(=6\times 3.1416\) যেখানে, \(\pi=3.1416\)
\(=18.8496\)
\(\therefore\) বৃত্তকলা \(OAC\) এর ক্ষেত্রফল \(=18.8496\) বর্গ সে.মি.
এখন, নির্ণেয় ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল \(=(\triangle{OBC}-\text{বৃত্তকলা} OAC)\) বর্গ সে.মি.
\(=(31.1769-18.8496)\) বর্গ সে.মি. ➜ \(\because \triangle{OBC}=31.1769\) বর্গ সে.মি.
এবং \(\text{বৃত্তকলা} OAC=18.8496\) বর্গ সে.মি.
\(=12.327\) বর্গ সে.মি.
\(Q.2.(iv)\) চিত্রে ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। যেখানে, ব্যাসার্ধ \(OC=6.5\) সে.মি. এবং \(BC=5\) সে.মি.
উত্তরঃ \(36.37\) বর্গ সে.মি. ।
রাঃ ২০১৯ ।
সমাধানঃ
চিত্রে, দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ \(OC=6.5\) সে.মি. এবং \(BC=5\) সে.মি.
\(\therefore AC=2OC=2\times6.5=13\) সে.মি.
\(\triangle{ABC}\) সমকোণী, কারণ ইহা অর্ধবৃত্তস্থ।
\(\angle{ABC}= 1\) সমকোণ।
\(\therefore AB^2+BC^2=AC^2\) ➜ সমকোণী ত্রিভুজের
\((\text{লম্ব})^2+(\text{ভূমি})^2=(\text{অতিভুজ})^2\)
\(\Rightarrow AB^2+5^2=(13)^2\) ➜ \(\because BC=5\) সে.মি.
এবং \(AC=13\) সে.মি.
\(\Rightarrow AB^2=(13)^2-5^2\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{(13)^2-5^2}\) \(=\sqrt{169-25}\)
\(=\sqrt{169-25}\)
\(=\sqrt{144}\)
\(=12\)
\(\therefore AB=12\)
এখন, \(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল
\(=\frac{1}{2}\times AB\times BC\) ➜ \(\triangle=\frac{1}{2}\times\text{ভূমি}\times\text{উচ্চতা}\)
\(=\frac{1}{2}\times 12\times 5\) ➜ \(\because AB=12\) সে.মি.
এবং \(BC=5\) সে.মি.
\(=6\times 5\)
\(=30\)
\(\therefore \triangle{ABC}=30\) বর্গ সে.মি.
আবার, \(ABC\) অর্ধবৃত্তের এর ক্ষেত্রফল
\(=\frac{1}{2}\times\pi\times OC^2\) ➜ বৃত্তের ক্ষেত্রফল \(=\pi r^2\)
\(=\frac{1}{2}\times 3.1416\times (6.5)^2\) ➜ \(\because \pi=3.1416\)
এবং \(OC=6.5\) সে.মি.
\(=\frac{1}{2}\times 3.1416\times 42.25\)
\(=\frac{1}{2}\times 132.7326\)
\(=66.3663\)
\(\therefore \text{অর্ধবৃত্ত} ABC=66.3663\) বর্গ সে.মি.
এখন, নির্ণেয় ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল \(=(\text{অর্ধবৃত্ত} ABC-\triangle{ABC})\) বর্গ সে.মি.
\(=(66.3663-30)\) বর্গ সে.মি. ➜ \(\because \text{অর্ধবৃত্ত} ABC=66.3663\) বর্গ সে.মি.
এবং \(\triangle{ABC}=30\) বর্গ সে.মি.
\(=36.3663\) বর্গ সে.মি.
\(\therefore \text{ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল}=36.37\) বর্গ সে.মি.
ব্যাসার্ধ \(OC=6.5\) সে.মি. এবং \(BC=5\) সে.মি.
\(\therefore AC=2OC=2\times6.5=13\) সে.মি.
\(\triangle{ABC}\) সমকোণী, কারণ ইহা অর্ধবৃত্তস্থ।
\(\angle{ABC}= 1\) সমকোণ।
\(\therefore AB^2+BC^2=AC^2\) ➜ সমকোণী ত্রিভুজের
\((\text{লম্ব})^2+(\text{ভূমি})^2=(\text{অতিভুজ})^2\)
\(\Rightarrow AB^2+5^2=(13)^2\) ➜ \(\because BC=5\) সে.মি.
এবং \(AC=13\) সে.মি.
\(\Rightarrow AB^2=(13)^2-5^2\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{(13)^2-5^2}\) \(=\sqrt{169-25}\)
\(=\sqrt{169-25}\)
\(=\sqrt{144}\)
\(=12\)
\(\therefore AB=12\)
এখন, \(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল
\(=\frac{1}{2}\times AB\times BC\) ➜ \(\triangle=\frac{1}{2}\times\text{ভূমি}\times\text{উচ্চতা}\)
\(=\frac{1}{2}\times 12\times 5\) ➜ \(\because AB=12\) সে.মি.
এবং \(BC=5\) সে.মি.
\(=6\times 5\)
\(=30\)
\(\therefore \triangle{ABC}=30\) বর্গ সে.মি.
আবার, \(ABC\) অর্ধবৃত্তের এর ক্ষেত্রফল
\(=\frac{1}{2}\times\pi\times OC^2\) ➜ বৃত্তের ক্ষেত্রফল \(=\pi r^2\)
\(=\frac{1}{2}\times 3.1416\times (6.5)^2\) ➜ \(\because \pi=3.1416\)
এবং \(OC=6.5\) সে.মি.
\(=\frac{1}{2}\times 3.1416\times 42.25\)
\(=\frac{1}{2}\times 132.7326\)
\(=66.3663\)
\(\therefore \text{অর্ধবৃত্ত} ABC=66.3663\) বর্গ সে.মি.
এখন, নির্ণেয় ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল \(=(\text{অর্ধবৃত্ত} ABC-\triangle{ABC})\) বর্গ সে.মি.
\(=(66.3663-30)\) বর্গ সে.মি. ➜ \(\because \text{অর্ধবৃত্ত} ABC=66.3663\) বর্গ সে.মি.
এবং \(\triangle{ABC}=30\) বর্গ সে.মি.
\(=36.3663\) বর্গ সে.মি.
\(\therefore \text{ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল}=36.37\) বর্গ সে.মি.
\(Q.2.(v)\) \(OABC\) একটি রম্বস এবং \(OAC\) বৃত্তকলা \(O\) কেন্দ্রিক বৃত্তের অংশ । \(ABCA\) ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(503.051\) বর্গ সে.মি. (প্রায়)।
দিঃ ২০১৯ ।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(OABC\) একটি রম্বস এবং \(OAC\) বৃত্তকলা \(O\) কেন্দ্রিক বৃত্তের অংশ ।
চিত্রে, ব্যাসার্ধ \(r=OA=40\) সে.মি.
\(\therefore OA=AB=BC=OC=40\) সে.মি.
এবং \(\angle{AOC}=45^{o}\)
\(A, \ C\) যোগ করি।
বৃত্তকলা \(OAC\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{\theta}{360^{0}}\pi r^2\) বর্গ সে.মি. ➜ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল
\(A=\frac{\theta}{360^{o}}\pi r^2\)
যেখানে, \(A=\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল
\(r=\) ব্যাসার্ধ
এবং \(\theta=\) চাপ দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্ত কোণ
\(=\frac{45^{o}}{360^{o}}\pi\times(40)^2\) ➜ \(\because \theta=\angle{AOC}=45^{o}\) সে.মি.
\(\because r=OA=40\) সে.মি.
\(=\frac{1}{8}\pi\times1600\)
\(=\pi\times200\)
\(=200\pi\)
\(\therefore \text{বৃত্তকলা} OAC=200\pi\)
আবার, \(\triangle{OAC}\) এর ক্ষেত্রফল
\(=\frac{1}{2}\times OA\times OC\sin{\angle{AOC}}\) ➜ \(\triangle=\frac{1}{2}ab\sin{C}\)
\(=\frac{1}{2}\times 40\times 40\sin{45^{o}}\) ➜ \(\because OA=OC=40\) সে.মি.
এবং \(\angle{AOC}=45^{o}\)
\(=\frac{1}{2}\times1600\times \frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(=800\times \frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{800}{\sqrt{2}}\)
\(\therefore \triangle{OAC}=\frac{800}{\sqrt{2}}\) বর্গ সে.মি.
\(\therefore\) রম্বস \(OABC=2\times\triangle{OAC}\)
\(=\frac{1600}{\sqrt{2}}\)
\(\therefore \Box{OABC}=\frac{1600}{\sqrt{2}}\) বর্গ সে.মি.
এখন, \(ABCA\) অংশের ক্ষেত্রফল \(=(\text{রম্বস } OABC-\text{বৃত্তকলা} OAC)\) বর্গ সে.মি.
\(=\frac{1600}{\sqrt{2}}-200\pi\) ➜ \(\because \Box{OABC}=\frac{1600}{\sqrt{2}}\)
এবং \(\text{বৃত্তকলা} OAC=200\pi\)
\(=\frac{1600}{1.4142}-200\times 3.1416\) ➜ \(\because \pi=3.1416\)
এবং \(\sqrt{2}=1.4142\)
\(=1131.3708-628.32\)
\(=503.0508\)
\(\therefore ABCA \ \text{অংশের ক্ষেত্রফল} =503.051\) বর্গ সে.মি.
\(OABC\) একটি রম্বস এবং \(OAC\) বৃত্তকলা \(O\) কেন্দ্রিক বৃত্তের অংশ ।
চিত্রে, ব্যাসার্ধ \(r=OA=40\) সে.মি.
\(\therefore OA=AB=BC=OC=40\) সে.মি.
এবং \(\angle{AOC}=45^{o}\)
\(A, \ C\) যোগ করি।
বৃত্তকলা \(OAC\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{\theta}{360^{0}}\pi r^2\) বর্গ সে.মি. ➜ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল
\(A=\frac{\theta}{360^{o}}\pi r^2\)
যেখানে, \(A=\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল
\(r=\) ব্যাসার্ধ
এবং \(\theta=\) চাপ দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্ত কোণ
\(=\frac{45^{o}}{360^{o}}\pi\times(40)^2\) ➜ \(\because \theta=\angle{AOC}=45^{o}\) সে.মি.
\(\because r=OA=40\) সে.মি.
\(=\frac{1}{8}\pi\times1600\)
\(=\pi\times200\)
\(=200\pi\)
\(\therefore \text{বৃত্তকলা} OAC=200\pi\)
আবার, \(\triangle{OAC}\) এর ক্ষেত্রফল
\(=\frac{1}{2}\times OA\times OC\sin{\angle{AOC}}\) ➜ \(\triangle=\frac{1}{2}ab\sin{C}\)
\(=\frac{1}{2}\times 40\times 40\sin{45^{o}}\) ➜ \(\because OA=OC=40\) সে.মি.
এবং \(\angle{AOC}=45^{o}\)
\(=\frac{1}{2}\times1600\times \frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(=800\times \frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{800}{\sqrt{2}}\)
\(\therefore \triangle{OAC}=\frac{800}{\sqrt{2}}\) বর্গ সে.মি.
\(\therefore\) রম্বস \(OABC=2\times\triangle{OAC}\)
\(=\frac{1600}{\sqrt{2}}\)
\(\therefore \Box{OABC}=\frac{1600}{\sqrt{2}}\) বর্গ সে.মি.
এখন, \(ABCA\) অংশের ক্ষেত্রফল \(=(\text{রম্বস } OABC-\text{বৃত্তকলা} OAC)\) বর্গ সে.মি.
\(=\frac{1600}{\sqrt{2}}-200\pi\) ➜ \(\because \Box{OABC}=\frac{1600}{\sqrt{2}}\)
এবং \(\text{বৃত্তকলা} OAC=200\pi\)
\(=\frac{1600}{1.4142}-200\times 3.1416\) ➜ \(\because \pi=3.1416\)
এবং \(\sqrt{2}=1.4142\)
\(=1131.3708-628.32\)
\(=503.0508\)
\(\therefore ABCA \ \text{অংশের ক্ষেত্রফল} =503.051\) বর্গ সে.মি.
\(Q.2.(vi)\) \(\angle{AOC}=90^{o},\) \(OA=2\) সে.মি. হলে, চিত্রে ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(0.3623\) বর্গ সে.মি. (প্রায়)।
চঃ ২০১৯ ।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(\angle{AOC}=90^{o},\) \(OA=2\) সে.মি.।
চিত্রে, ব্যাসার্ধ \(r=OA=OB=OC=2\) সে.মি.
এবং \(\angle{AOB}=30^{o}\)
এখন, \(\angle{AOB}+\angle{BOC}=\angle{AOC}\)
\(\Rightarrow 30^{o}+\angle{BOC}=90^{o}\) ➜ \(\because \angle{AOB}=30^{o}\)
এবং \(\angle{AOC}=90^{o}\)
\(\Rightarrow \angle{BOC}=90^{o}-30^{o}\)
\(\therefore \angle{BOC}=60^{o}\)
বৃত্তকলা \(BOC\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{\theta}{360^{0}}\pi r^2\) বর্গ সে.মি. ➜ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল
\(A=\frac{\theta}{360^{o}}\pi r^2\)
যেখানে, \(A=\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল
\(r=\) ব্যাসার্ধ
এবং \(\theta=\) চাপ দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্ত কোণ
\(=\frac{60^{o}}{360^{o}}\pi\times2^2\) ➜ \(\because \theta=\angle{BOC}=60^{o}\) সে.মি.
এবং \(r=OA=2\) সে.মি.
\(=\frac{1}{6}\pi\times4\)
\(=\frac{1}{3}\pi\times2\)
\(=\frac{2\pi}{3}\)
\(\therefore \text{বৃত্তকলা} BOC=\frac{2\pi}{3}\)
আবার, \(\triangle{BOC}\) এর ক্ষেত্রফল
\(=\frac{1}{2}\times OB\times OC\sin{\angle{BOC}}\) ➜ \(\triangle=\frac{1}{2}ab\sin{C}\)
\(=\frac{1}{2}\times 2\times 2\sin{60^{o}}\) ➜ \(\because OB=OC=2\) সে.মি.
এবং \(\angle{BOC}=60^{o}\)
\(=\frac{1}{2}\times4\times \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=2\times \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=\sqrt{3}\)
\(\therefore \triangle{BOC}=\sqrt{3}\) বর্গ সে.মি.
ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল \(=(\text{বৃত্তকলা} BOC-\triangle{BOC})\) বর্গ সে.মি.
\(=\frac{2\pi}{3}-\sqrt{3}\) ➜ \(\because \text{বৃত্তকলা} BOC=\frac{2\pi}{3}\)
এবং \(\triangle{BOC}=\sqrt{3}\)
\(=\frac{2\times3.1416}{3}-1.7321\) ➜ \(\because \pi=3.1416\)
এবং \(\sqrt{3}=1.7321\)
\(=\frac{6.2832}{3}-1.7321\)
\(=2.0944-1.7321\)
\(=0.3623\)
\(\therefore \text{ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল} =0.3623\) বর্গ সে.মি.
\(\angle{AOC}=90^{o},\) \(OA=2\) সে.মি.।
চিত্রে, ব্যাসার্ধ \(r=OA=OB=OC=2\) সে.মি.
এবং \(\angle{AOB}=30^{o}\)
এখন, \(\angle{AOB}+\angle{BOC}=\angle{AOC}\)
\(\Rightarrow 30^{o}+\angle{BOC}=90^{o}\) ➜ \(\because \angle{AOB}=30^{o}\)
এবং \(\angle{AOC}=90^{o}\)
\(\Rightarrow \angle{BOC}=90^{o}-30^{o}\)
\(\therefore \angle{BOC}=60^{o}\)
বৃত্তকলা \(BOC\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{\theta}{360^{0}}\pi r^2\) বর্গ সে.মি. ➜ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল
\(A=\frac{\theta}{360^{o}}\pi r^2\)
যেখানে, \(A=\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল
\(r=\) ব্যাসার্ধ
এবং \(\theta=\) চাপ দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্ত কোণ
\(=\frac{60^{o}}{360^{o}}\pi\times2^2\) ➜ \(\because \theta=\angle{BOC}=60^{o}\) সে.মি.
এবং \(r=OA=2\) সে.মি.
\(=\frac{1}{6}\pi\times4\)
\(=\frac{1}{3}\pi\times2\)
\(=\frac{2\pi}{3}\)
\(\therefore \text{বৃত্তকলা} BOC=\frac{2\pi}{3}\)
আবার, \(\triangle{BOC}\) এর ক্ষেত্রফল
\(=\frac{1}{2}\times OB\times OC\sin{\angle{BOC}}\) ➜ \(\triangle=\frac{1}{2}ab\sin{C}\)
\(=\frac{1}{2}\times 2\times 2\sin{60^{o}}\) ➜ \(\because OB=OC=2\) সে.মি.
এবং \(\angle{BOC}=60^{o}\)
\(=\frac{1}{2}\times4\times \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=2\times \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=\sqrt{3}\)
\(\therefore \triangle{BOC}=\sqrt{3}\) বর্গ সে.মি.
ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল \(=(\text{বৃত্তকলা} BOC-\triangle{BOC})\) বর্গ সে.মি.
\(=\frac{2\pi}{3}-\sqrt{3}\) ➜ \(\because \text{বৃত্তকলা} BOC=\frac{2\pi}{3}\)
এবং \(\triangle{BOC}=\sqrt{3}\)
\(=\frac{2\times3.1416}{3}-1.7321\) ➜ \(\because \pi=3.1416\)
এবং \(\sqrt{3}=1.7321\)
\(=\frac{6.2832}{3}-1.7321\)
\(=2.0944-1.7321\)
\(=0.3623\)
\(\therefore \text{ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল} =0.3623\) বর্গ সে.মি.
\(Q.2.(vii)\) চিত্রে প্রদর্শিত বৃত্তের পরিধি \(31.416\) সে.মি. হলে, বৃত্তটির ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(65.89\) বর্গ সে.মি. (প্রায়)।
বঃ ২০১৯ ।
সমাধানঃ
চিত্রে, দেওয়া আছে,
\(\theta=\angle{AOB}=58^{o}\)
\(=58\times\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান। ➜ \(\because 1^{o}=\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান।
\(=29\times\frac{\pi}{90}\)
\(=\frac{29\pi}{90}\)
\(\therefore \theta=\frac{29\pi}{90}\) রেডিয়ান।
ধরি,
ব্যাসার্ধ \(OA=OB=r\)
তাহলে, পরিধি \(2\pi r=31.416\) ➜ চিত্রে, দেওয়া আছে,
বৃত্তের পরিধি \(31.416\) সে.মি.
\(\Rightarrow r=\frac{31.416}{2\pi}\)
\(=\frac{31.416}{2\times3.1416}\) যেখানে, \(\pi=3.1416\)
\(=\frac{31.416}{6.2832}\)
\(\therefore r=5\) সে.মি.
বৃত্তের ক্ষেত্রফল \(=\pi r^2\) বর্গ সে.মি.
\(=3.1416\times5^2\) ➜ \(\because \pi=3.1416\)
এবং \(r=5\) সে.মি.
\(=3.1416\times5^2\)
\(=3.1416\times25\)
\(\therefore \text{বৃত্তের ক্ষেত্রফল } =78.54\) বর্গ সে.মি.
বৃত্তকলা \(AOB\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}r^2\theta\) বর্গ সে.মি.
\(=\frac{1}{2}\times5^2\times\frac{29\pi}{90}\) ➜ \(\because r=5\) সে.মি.
এবং \(\theta=\frac{29\pi}{90}\)
\(=\frac{1}{2}\times25\times\frac{29\pi}{90}\)
\(=\frac{1}{2}\times5\times\frac{29\pi}{18}\)
\(=\frac{145\pi}{36}\)
\(=\frac{145\times3.1416}{36}\) যেখানে, \(\pi=3.1416\)
\(=\frac{455.532}{36}\)
\(=12.65\)
\(\therefore \text{বৃত্তকলা} \ AOB \ \text{এর ক্ষেত্রফল } =12.65\) বর্গ সে.মি.
বৃত্তটির ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল \(=(\text{বৃত্তের ক্ষেত্রফল } -\text{বৃত্তকলা} \ AOB \ \text{এর ক্ষেত্রফল } )\) বর্গ সে.মি.
\(=78.54 -12.65\) ➜ \(\because \text{বৃত্তের ক্ষেত্রফল } =78.54\) বর্গ সে.মি.
এবং \(\text{বৃত্তকলা} \ AOB \ \text{এর ক্ষেত্রফল } =12.65\) বর্গ সে.মি.
\(=65.89\) বর্গ সে.মি.
\(\theta=\angle{AOB}=58^{o}\)
\(=58\times\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান। ➜ \(\because 1^{o}=\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান।
\(=29\times\frac{\pi}{90}\)
\(=\frac{29\pi}{90}\)
\(\therefore \theta=\frac{29\pi}{90}\) রেডিয়ান।
ধরি,
ব্যাসার্ধ \(OA=OB=r\)
তাহলে, পরিধি \(2\pi r=31.416\) ➜ চিত্রে, দেওয়া আছে,
বৃত্তের পরিধি \(31.416\) সে.মি.
\(\Rightarrow r=\frac{31.416}{2\pi}\)
\(=\frac{31.416}{2\times3.1416}\) যেখানে, \(\pi=3.1416\)
\(=\frac{31.416}{6.2832}\)
\(\therefore r=5\) সে.মি.
বৃত্তের ক্ষেত্রফল \(=\pi r^2\) বর্গ সে.মি.
\(=3.1416\times5^2\) ➜ \(\because \pi=3.1416\)
এবং \(r=5\) সে.মি.
\(=3.1416\times5^2\)
\(=3.1416\times25\)
\(\therefore \text{বৃত্তের ক্ষেত্রফল } =78.54\) বর্গ সে.মি.
বৃত্তকলা \(AOB\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}r^2\theta\) বর্গ সে.মি.
\(=\frac{1}{2}\times5^2\times\frac{29\pi}{90}\) ➜ \(\because r=5\) সে.মি.
এবং \(\theta=\frac{29\pi}{90}\)
\(=\frac{1}{2}\times25\times\frac{29\pi}{90}\)
\(=\frac{1}{2}\times5\times\frac{29\pi}{18}\)
\(=\frac{145\pi}{36}\)
\(=\frac{145\times3.1416}{36}\) যেখানে, \(\pi=3.1416\)
\(=\frac{455.532}{36}\)
\(=12.65\)
\(\therefore \text{বৃত্তকলা} \ AOB \ \text{এর ক্ষেত্রফল } =12.65\) বর্গ সে.মি.
বৃত্তটির ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল \(=(\text{বৃত্তের ক্ষেত্রফল } -\text{বৃত্তকলা} \ AOB \ \text{এর ক্ষেত্রফল } )\) বর্গ সে.মি.
\(=78.54 -12.65\) ➜ \(\because \text{বৃত্তের ক্ষেত্রফল } =78.54\) বর্গ সে.মি.
এবং \(\text{বৃত্তকলা} \ AOB \ \text{এর ক্ষেত্রফল } =12.65\) বর্গ সে.মি.
\(=65.89\) বর্গ সে.মি.
\(Q.2.(viii)\) চিত্রে প্রদর্শিত বৃত্তের ক্ষেত্রফল \(49\pi\) হলে, বৃত্তটির ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(51.31\) বর্গ একক (প্রায়)।
সিঃ ২০১৯ ।
সমাধানঃ
চিত্রে, দেওয়া আছে,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল \(49\pi\)
ধরি,
ব্যাসার্ধ \(r\)
তাহলে, বৃত্তের ক্ষেত্রফল \(\pi r^2=49\pi\) ➜ চিত্রে, দেওয়া আছে,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল \(49\pi\)
\(\Rightarrow r^2=49\)
\(\Rightarrow r=7\)
\(\Rightarrow OB=OC=r=7\) একক।
চিত্রে, দেওয়া আছে,
\(\angle{BAC}=60^{o}\)
\(\Rightarrow \angle{BOC}=2\times\angle{BAC}\) ➜ বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুণ।
\(\Rightarrow \angle{BOC}=2\times60^{o}\) ➜ \(\because \angle{BAC}=60^{o}\)
\(\Rightarrow \angle{BOC}=120^{o}\)
\(\Rightarrow \angle{BOC}=120\times\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান। ➜ \(\because 1^{o}=\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান।
\(\Rightarrow \angle{BOC}=2\times\frac{\pi}{3}\)
\(\therefore \theta=\angle{BOC}=\frac{2\pi}{3}\)
বৃত্তকলা \(OBC\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}r^2\theta\) বর্গ একক।
\(=\frac{1}{2}\times7^2\times\frac{2\pi}{3}\) ➜ \(\because r=7\) সে.মি.
এবং \(\theta=\frac{2\pi}{3}\)
\(=49\times\frac{\pi}{3}\)
\(=\frac{49\pi}{3}\)
\(=\frac{49\times3.1416}{3}\) যেখানে, \(\pi=3.1416\)
\(=\frac{153.9384}{3}\)
\(=51.31\) বর্গ একক।
বৃত্তের ক্ষেত্রফল \(49\pi\)
ধরি,
ব্যাসার্ধ \(r\)
তাহলে, বৃত্তের ক্ষেত্রফল \(\pi r^2=49\pi\) ➜ চিত্রে, দেওয়া আছে,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল \(49\pi\)
\(\Rightarrow r^2=49\)
\(\Rightarrow r=7\)
\(\Rightarrow OB=OC=r=7\) একক।
চিত্রে, দেওয়া আছে,
\(\angle{BAC}=60^{o}\)
\(\Rightarrow \angle{BOC}=2\times\angle{BAC}\) ➜ বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুণ।
\(\Rightarrow \angle{BOC}=2\times60^{o}\) ➜ \(\because \angle{BAC}=60^{o}\)
\(\Rightarrow \angle{BOC}=120^{o}\)
\(\Rightarrow \angle{BOC}=120\times\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান। ➜ \(\because 1^{o}=\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান।
\(\Rightarrow \angle{BOC}=2\times\frac{\pi}{3}\)
\(\therefore \theta=\angle{BOC}=\frac{2\pi}{3}\)
বৃত্তকলা \(OBC\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}r^2\theta\) বর্গ একক।
\(=\frac{1}{2}\times7^2\times\frac{2\pi}{3}\) ➜ \(\because r=7\) সে.মি.
এবং \(\theta=\frac{2\pi}{3}\)
\(=49\times\frac{\pi}{3}\)
\(=\frac{49\pi}{3}\)
\(=\frac{49\times3.1416}{3}\) যেখানে, \(\pi=3.1416\)
\(=\frac{153.9384}{3}\)
\(=51.31\) বর্গ একক।
\(Q.2.(ix)\) চিত্রের ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4.57\) বর্গ একক (প্রায়)।
বঃ ২০১৭ ।
সমাধানঃ
চিত্রে, দেওয়া আছে,
\(\triangle{ABC}\) এ
\(AC=BC=4\)
এবং \(AB=4\sqrt{2}\)
এখন, \(AC^2+BC^2\)
\(=4^2+4^2\) ➜ \(\because AC=BC=4\)
\(=16+16\)
\(=32\)
\(=(4\sqrt{2})^2\)
\(=AB^2\) ➜ \(\because AB=4\sqrt{2}\)
\(\therefore AC^2+BC^2=AB^2\)
সুতরাং, \(\angle{ACB}=90^{o}\)
\(\therefore \theta=\angle{ACB}=90^{o}\)
\(=90\times\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান। ➜ \(\because 1^{o}=\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান।
\(\therefore \theta=\frac{\pi}{2}\) রেডিয়ান।
এবং ব্যাসার্ধ \(r=AC=BC=4\)
বৃত্তকলা \(CAB\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}r^2\theta\) বর্গ একক।
\(=\frac{1}{2}\times4^2\times\frac{\pi}{2}\) ➜ \(\because r=4\) সে.মি.
এবং \(\theta=\frac{\pi}{2}\)
\(=\frac{1}{2}\times16\times\frac{\pi}{2}\)
\(=8\times\frac{\pi}{2}\)
\(=4\pi\)
\(\therefore \) বৃত্তকলা \(CAB\) এর ক্ষেত্রফল \(=4\pi\) বর্গ একক।
আবার, \(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\times AC\times BC\) বর্গ একক। ➜ \(\triangle=\frac{1}{2}\times\text{ভূমি}\times\text{উচ্চতা}\)
\(=\frac{1}{2}\times 4\times 4\) বর্গ একক। ➜ \(\because AC=BC=4\)
\(=2\times 4\) বর্গ একক।
\(=8\) বর্গ একক।
\(\therefore \triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল \(=8\) বর্গ একক।
ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল \(=(\text{বৃত্তকলা} \ CAB \ \text{এর ক্ষেত্রফল} - \triangle{ABC} \ \text{এর ক্ষেত্রফল}) \) বর্গ একক।
\(=4\pi-8\) ➜ \(\because\) বৃত্তকলা \(CAB\) এর ক্ষেত্রফল \(=4\pi\) বর্গ একক।
এবং \(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল \(=8\) বর্গ একক।
\(=4\times3.1416-8\) ➜ \(\because \pi=3.1416\)
\(=12.5664-8\)
\(=4.57\)
\(\therefore\) ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল \(=4.57\) বর্গ একক (প্রায়)।
\(\triangle{ABC}\) এ
\(AC=BC=4\)
এবং \(AB=4\sqrt{2}\)
এখন, \(AC^2+BC^2\)
\(=4^2+4^2\) ➜ \(\because AC=BC=4\)
\(=16+16\)
\(=32\)
\(=(4\sqrt{2})^2\)
\(=AB^2\) ➜ \(\because AB=4\sqrt{2}\)
\(\therefore AC^2+BC^2=AB^2\)
সুতরাং, \(\angle{ACB}=90^{o}\)
\(\therefore \theta=\angle{ACB}=90^{o}\)
\(=90\times\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান। ➜ \(\because 1^{o}=\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান।
\(\therefore \theta=\frac{\pi}{2}\) রেডিয়ান।
এবং ব্যাসার্ধ \(r=AC=BC=4\)
বৃত্তকলা \(CAB\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}r^2\theta\) বর্গ একক।
\(=\frac{1}{2}\times4^2\times\frac{\pi}{2}\) ➜ \(\because r=4\) সে.মি.
এবং \(\theta=\frac{\pi}{2}\)
\(=\frac{1}{2}\times16\times\frac{\pi}{2}\)
\(=8\times\frac{\pi}{2}\)
\(=4\pi\)
\(\therefore \) বৃত্তকলা \(CAB\) এর ক্ষেত্রফল \(=4\pi\) বর্গ একক।
আবার, \(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\times AC\times BC\) বর্গ একক। ➜ \(\triangle=\frac{1}{2}\times\text{ভূমি}\times\text{উচ্চতা}\)
\(=\frac{1}{2}\times 4\times 4\) বর্গ একক। ➜ \(\because AC=BC=4\)
\(=2\times 4\) বর্গ একক।
\(=8\) বর্গ একক।
\(\therefore \triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল \(=8\) বর্গ একক।
ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল \(=(\text{বৃত্তকলা} \ CAB \ \text{এর ক্ষেত্রফল} - \triangle{ABC} \ \text{এর ক্ষেত্রফল}) \) বর্গ একক।
\(=4\pi-8\) ➜ \(\because\) বৃত্তকলা \(CAB\) এর ক্ষেত্রফল \(=4\pi\) বর্গ একক।
এবং \(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল \(=8\) বর্গ একক।
\(=4\times3.1416-8\) ➜ \(\because \pi=3.1416\)
\(=12.5664-8\)
\(=4.57\)
\(\therefore\) ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল \(=4.57\) বর্গ একক (প্রায়)।
\(Q.2.(x)\) চিত্রে \(AB=5\) সে.মি. হলে, গাড় অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(67.63\) বর্গ সে.মি. (প্রায়)।
ঢাঃ,দিঃ,সিঃ, যঃ ২০১৮ ।
সমাধানঃ
চিত্রে, দেওয়া আছে,
\(AB=5\) সে.মি.
\(\therefore \text{ব্যাসার্ধ} \ r=AB=5\) সে.মি.
বৃত্তটির ক্ষেত্রফল \(=\pi r^2\) বর্গ সে.মি.
\(=\pi\times5^2\) ➜ \(\because r=AB=5\) সে.মি.
\(=3.1416\times25\) ➜ \(\because \pi=3.1416\)
\(=78.54\)
\(\therefore \) বৃত্তটির ক্ষেত্রফল \(=78.54\) বর্গ সে.মি.
চিত্রে, দেওয়া আছে,
\(\angle{ABC}=50^{o}\)
\(=50\times\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান। ➜ \(\because 1^{o}=\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান।
\(=5\times\frac{\pi}{18}\)
\(=\frac{5\pi}{18}\)
\(\therefore \theta=\angle{ABC}=\frac{5\pi}{18}\)
বৃত্তকলা \(ABC\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}r^2\theta\) বর্গ সে.মি.
\(=\frac{1}{2}\times5^2\times\frac{5\pi}{18}\) ➜ \(\because r=5\) সে.মি.
এবং \(\theta=\frac{5\pi}{18}\)
\(=\frac{1}{2}\times25\times\frac{5\pi}{18}\)
\(=\frac{125\pi}{36}\)
\(=\frac{125\times3.1416}{36}\) ➜ \(\because \pi=3.1416\)
\(=\frac{392.7}{36}\)
\(=10.908\)
\(\therefore \) বৃত্তকলা \(ABC\) এর ক্ষেত্রফল \(=10.91\) বর্গ সে.মি.
ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল \(=(\text{বৃত্তের ক্ষেত্রফল} - \text{বৃত্তকলা } \ ABC \ \text{এর ক্ষেত্রফল} )\) বর্গ সে.মি.
\(=78.54-10.91\) ➜ \(\because\) বৃত্তটির ক্ষেত্রফল \(=78.54\) বর্গ সে.মি.
এবং বৃত্তকলা \(ABC\) এর ক্ষেত্রফল \(=10.91\) বর্গ সে.মি.
\(=67.63\)
\(\therefore\) ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল \(=67.63\) বর্গ সে.মি.(প্রায়)।
\(AB=5\) সে.মি.
\(\therefore \text{ব্যাসার্ধ} \ r=AB=5\) সে.মি.
বৃত্তটির ক্ষেত্রফল \(=\pi r^2\) বর্গ সে.মি.
\(=\pi\times5^2\) ➜ \(\because r=AB=5\) সে.মি.
\(=3.1416\times25\) ➜ \(\because \pi=3.1416\)
\(=78.54\)
\(\therefore \) বৃত্তটির ক্ষেত্রফল \(=78.54\) বর্গ সে.মি.
চিত্রে, দেওয়া আছে,
\(\angle{ABC}=50^{o}\)
\(=50\times\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান। ➜ \(\because 1^{o}=\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান।
\(=5\times\frac{\pi}{18}\)
\(=\frac{5\pi}{18}\)
\(\therefore \theta=\angle{ABC}=\frac{5\pi}{18}\)
বৃত্তকলা \(ABC\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}r^2\theta\) বর্গ সে.মি.
\(=\frac{1}{2}\times5^2\times\frac{5\pi}{18}\) ➜ \(\because r=5\) সে.মি.
এবং \(\theta=\frac{5\pi}{18}\)
\(=\frac{1}{2}\times25\times\frac{5\pi}{18}\)
\(=\frac{125\pi}{36}\)
\(=\frac{125\times3.1416}{36}\) ➜ \(\because \pi=3.1416\)
\(=\frac{392.7}{36}\)
\(=10.908\)
\(\therefore \) বৃত্তকলা \(ABC\) এর ক্ষেত্রফল \(=10.91\) বর্গ সে.মি.
ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল \(=(\text{বৃত্তের ক্ষেত্রফল} - \text{বৃত্তকলা } \ ABC \ \text{এর ক্ষেত্রফল} )\) বর্গ সে.মি.
\(=78.54-10.91\) ➜ \(\because\) বৃত্তটির ক্ষেত্রফল \(=78.54\) বর্গ সে.মি.
এবং বৃত্তকলা \(ABC\) এর ক্ষেত্রফল \(=10.91\) বর্গ সে.মি.
\(=67.63\)
\(\therefore\) ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল \(=67.63\) বর্গ সে.মি.(প্রায়)।
\(Q.2.(xi)\) চিত্রের ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(20.76\) বর্গ মি. (প্রায়)।
রাঃ ২০১৭ ।
সমাধানঃ
চিত্রে, প্রদত্ত ত্রিভুজের বাহুগুলো
\((9+6)\) মিটার, \((6+3)\) মিটার এবং \(21\) মিটার,
\(\therefore 15\) মিটার, \(9\) মিটার এবং \(21\) মিটার,
ত্রিভুজটির \(\alpha\) কোণের বিপরীত বাহু \(21\) মিটার।
\(\therefore \cos{\alpha}=\frac{(15)^2+9^2-(21)^2}{2\times15\times9}\)
\(=\frac{225+81-441}{270}\)
\(=\frac{306-441}{270}\)
\(=\frac{-135}{270}\)
\(=-\frac{1}{2}\)
\(=\cos{120^{o}}\)
\(\therefore \cos{\alpha}=\cos{120^{o}}\)
\(\Rightarrow \alpha=120^{o}\)
\(\Rightarrow \alpha=120\times\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান। ➜ \(\because 1^{o}=\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান।
\(\Rightarrow \alpha=2\times\frac{\pi}{3}\)
\(\therefore \alpha=\frac{2\pi}{3}\) রেডিয়ান।
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ \(r=6\) মিটার।
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}r^2\alpha\) বর্গ মিটার।
\(=\frac{1}{2}\times6^2\times\frac{2\pi}{3}\) ➜ \(\because r=6\) সে.মি.
এবং \(\theta=\frac{2\pi}{3}\)
\(=\frac{1}{2}\times36\times\frac{2\pi}{3}\)
\(=6\times2\pi\)
\(=12\pi\)
\(\therefore\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=12\pi\) বর্গ মিটার।
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\times15\times9\sin{\alpha}\) বর্গ মিটার। ➜ \(\triangle=\frac{1}{2}ab\sin{C}\)
\(=\frac{1}{2}\times135\sin{\frac{2\pi}{3}}\) ➜ \(\because \alpha=\frac{2\pi}{3}\)
\(=\frac{135}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}\) ➜ \(\because \sin{\frac{2\pi}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=\frac{135\sqrt{3}}{4}\)
\(\therefore \text{ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল }=\frac{135\sqrt{3}}{4}\) বর্গ মিটার।
ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল \(=(\text{ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল } - \text{বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল}) \) বর্গ মিটার।
\(=\frac{135\sqrt{3}}{4}-12\pi\) ➜ \(\because \text{ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল }=\frac{135\sqrt{3}}{4}\) বর্গ মিটার।
এবং বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=12\pi\) বর্গ মিটার।
\(=\frac{135\sqrt{3}-48\pi}{4}\)
\(=\frac{135\times1.7321-48\times3.1416}{4}\) ➜ \(\because \sqrt{3}=1.7321\)
এবং \(\pi=3.1416\)
\(=\frac{233.8269-150.7968}{4}\)
\(=\frac{83.0301}{4}\)
\(=20.76\)
\(\therefore\) ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল \(=20.76\) বর্গ মিটার (প্রায়)।
\((9+6)\) মিটার, \((6+3)\) মিটার এবং \(21\) মিটার,
\(\therefore 15\) মিটার, \(9\) মিটার এবং \(21\) মিটার,
ত্রিভুজটির \(\alpha\) কোণের বিপরীত বাহু \(21\) মিটার।
\(\therefore \cos{\alpha}=\frac{(15)^2+9^2-(21)^2}{2\times15\times9}\)
\(=\frac{225+81-441}{270}\)
\(=\frac{306-441}{270}\)
\(=\frac{-135}{270}\)
\(=-\frac{1}{2}\)
\(=\cos{120^{o}}\)
\(\therefore \cos{\alpha}=\cos{120^{o}}\)
\(\Rightarrow \alpha=120^{o}\)
\(\Rightarrow \alpha=120\times\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান। ➜ \(\because 1^{o}=\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান।
\(\Rightarrow \alpha=2\times\frac{\pi}{3}\)
\(\therefore \alpha=\frac{2\pi}{3}\) রেডিয়ান।
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ \(r=6\) মিটার।
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}r^2\alpha\) বর্গ মিটার।
\(=\frac{1}{2}\times6^2\times\frac{2\pi}{3}\) ➜ \(\because r=6\) সে.মি.
এবং \(\theta=\frac{2\pi}{3}\)
\(=\frac{1}{2}\times36\times\frac{2\pi}{3}\)
\(=6\times2\pi\)
\(=12\pi\)
\(\therefore\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=12\pi\) বর্গ মিটার।
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\times15\times9\sin{\alpha}\) বর্গ মিটার। ➜ \(\triangle=\frac{1}{2}ab\sin{C}\)
\(=\frac{1}{2}\times135\sin{\frac{2\pi}{3}}\) ➜ \(\because \alpha=\frac{2\pi}{3}\)
\(=\frac{135}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}\) ➜ \(\because \sin{\frac{2\pi}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=\frac{135\sqrt{3}}{4}\)
\(\therefore \text{ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল }=\frac{135\sqrt{3}}{4}\) বর্গ মিটার।
ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল \(=(\text{ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল } - \text{বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল}) \) বর্গ মিটার।
\(=\frac{135\sqrt{3}}{4}-12\pi\) ➜ \(\because \text{ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল }=\frac{135\sqrt{3}}{4}\) বর্গ মিটার।
এবং বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=12\pi\) বর্গ মিটার।
\(=\frac{135\sqrt{3}-48\pi}{4}\)
\(=\frac{135\times1.7321-48\times3.1416}{4}\) ➜ \(\because \sqrt{3}=1.7321\)
এবং \(\pi=3.1416\)
\(=\frac{233.8269-150.7968}{4}\)
\(=\frac{83.0301}{4}\)
\(=20.76\)
\(\therefore\) ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল \(=20.76\) বর্গ মিটার (প্রায়)।
\(Q.2.(xii)\) চিত্রে \(PEF\) একটি বৃত্তকলা হলে, \(EQRF\) এলাকার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(=19.335\) বর্গ সে.মি.(প্রায়)।
চঃ ২০১৭ ।
সমাধানঃ
চিত্রে দেওয়া আছে,
\(PQ=QR=RP=8 cm\)
\(\therefore PQR\) একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
\(\therefore \triangle{PQR}\) এর ক্ষেত্রফল,
\(=\frac{\sqrt{3}}{4}8^2\) বর্গ সে.মি. ➜ \(\because a\) বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল,
\(=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{4}\times64\)
\(=\sqrt{3}\times16\)
\(=16\sqrt{3}\)
\(\therefore \triangle{PQR}=16\sqrt{3}\) বর্গ সে.মি.।
আবার, \(\theta=\angle{RPQ}=60^{o}\) ➜ \(\because \) সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণ সমান
এবং এর মাণ \(60^{o}\)
\(=60\times\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান। ➜ \(\because 1^{o}=\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান।
\(=\frac{\pi}{3}\)
\(\therefore \theta=\frac{\pi}{3}\) রেডিয়ান।
এখানে, ব্যাসার্ধ \(r=PE=4\) সে.মি.
\(PEF\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}r^2\theta\) বর্গ সে.মি.।
\(=\frac{1}{2}\times4^2\times\frac{\pi}{3}\) ➜ \(\because r=4\) সে.মি.
এবং \(\theta=\frac{\pi}{3}\)
\(=\frac{1}{2}\times16\times\frac{\pi}{3}\)
\(=8\times\frac{\pi}{3}\)
\(=\frac{8\pi}{3}\)
\(\therefore PEF\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=\frac{8\pi}{3}\) বর্গ সে.মি.।
এখন, \(EQRF\) অংশের ক্ষেত্রফল \(=(\triangle{PQR}-PEF \ \text{বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল } )\) বর্গ সে.মি.।
\(=16\sqrt{3}-\frac{8\pi}{3}\) ➜ \(\because \triangle{PQR}=16\sqrt{3}\) বর্গ সে.মি.।
এবং \(PEF\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=\frac{8\pi}{3}\) বর্গ সে.মি.।
\(=16\times1.7321-\frac{8\times3.1416}{3}\) ➜ \(\because \sqrt{3}=1.7321\)
এবং \(\pi=3.1416\)
\(=27.7128-\frac{25.1328}{3}\)
\(=27.7128-8.3776\)
\(=19.335\)
\(\therefore EQRF\) অংশের ক্ষেত্রফল \(=19.335\) বর্গ সে.মি.(প্রায়)।
\(PQ=QR=RP=8 cm\)
\(\therefore PQR\) একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
\(\therefore \triangle{PQR}\) এর ক্ষেত্রফল,
\(=\frac{\sqrt{3}}{4}8^2\) বর্গ সে.মি. ➜ \(\because a\) বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল,
\(=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{4}\times64\)
\(=\sqrt{3}\times16\)
\(=16\sqrt{3}\)
\(\therefore \triangle{PQR}=16\sqrt{3}\) বর্গ সে.মি.।
আবার, \(\theta=\angle{RPQ}=60^{o}\) ➜ \(\because \) সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণ সমান
এবং এর মাণ \(60^{o}\)
\(=60\times\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান। ➜ \(\because 1^{o}=\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান।
\(=\frac{\pi}{3}\)
\(\therefore \theta=\frac{\pi}{3}\) রেডিয়ান।
এখানে, ব্যাসার্ধ \(r=PE=4\) সে.মি.
\(PEF\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}r^2\theta\) বর্গ সে.মি.।
\(=\frac{1}{2}\times4^2\times\frac{\pi}{3}\) ➜ \(\because r=4\) সে.মি.
এবং \(\theta=\frac{\pi}{3}\)
\(=\frac{1}{2}\times16\times\frac{\pi}{3}\)
\(=8\times\frac{\pi}{3}\)
\(=\frac{8\pi}{3}\)
\(\therefore PEF\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=\frac{8\pi}{3}\) বর্গ সে.মি.।
এখন, \(EQRF\) অংশের ক্ষেত্রফল \(=(\triangle{PQR}-PEF \ \text{বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল } )\) বর্গ সে.মি.।
\(=16\sqrt{3}-\frac{8\pi}{3}\) ➜ \(\because \triangle{PQR}=16\sqrt{3}\) বর্গ সে.মি.।
এবং \(PEF\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=\frac{8\pi}{3}\) বর্গ সে.মি.।
\(=16\times1.7321-\frac{8\times3.1416}{3}\) ➜ \(\because \sqrt{3}=1.7321\)
এবং \(\pi=3.1416\)
\(=27.7128-\frac{25.1328}{3}\)
\(=27.7128-8.3776\)
\(=19.335\)
\(\therefore EQRF\) অংশের ক্ষেত্রফল \(=19.335\) বর্গ সে.মি.(প্রায়)।
\(Q.2.(xiii)\) চিত্রে \(ABCD\) একটি একটি আয়তক্ষেত্র যার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে \(8\) মিটার ও \(7\) মিটার এবং \(DAE\) ক্ষেত্রটি একটি বৃত্তকলা। বৃত্তাংশ \(DE\) এর দৈর্ঘ্য এবং \(ABCDE\) সম্পূর্ণ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4.189\) মিটার (প্রায়); \(72.755\) বর্গ মিটার (প্রায়)।
সমাধানঃ
চিত্রে দেওয়া আছে,
\(r=8\) মিটার
\(\theta=\angle{DAE}=30^{o}\)
\(=30\times\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান। ➜ \(\because 1^{o}=\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান।
\(=\frac{\pi}{6}\)
\(\therefore \theta=\frac{\pi}{6}\) রেডিয়ান।
বৃত্তচাপ \(s=DE\)
এখন বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য \(s=r\theta\)
\(=8\times\frac{\pi}{6}\) ➜ \(\because r=8\)
এবং \(\theta=\frac{\pi}{6}\) রেডিয়ান
\(=4\times\frac{\pi}{3}\)
\(=\frac{4\pi}{3}\)
\(=\frac{4\times3.1416}{3}\) ➜ \(\because \pi=3.1416\)
\(=\frac{12.5664}{3}\)
\(=4.189\)
\(\therefore\) বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য \(=4.189\) মিটার (প্রায়)।
\(ABCD\) আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=8\times7\) বর্গ মিটার ➜ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ,
\(\Box{ABCD}=\text{দৈর্ঘ্য}\times\text{প্রস্থ}\)
\(=56\)
\(\therefore \Box{ABCD}=56\) বর্গ মিটার ।
\(ADE\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}r^2\theta\) বর্গ মিটার ।
\(=\frac{1}{2}\times8^2\times\frac{\pi}{6}\) ➜ \(\because r=8\) সে.মি.
এবং \(\theta=\frac{\pi}{6}\) রেডিয়ান
\(=\frac{1}{2}\times64\times\frac{\pi}{6}\)
\(=16\times\frac{\pi}{3}\)
\(=\frac{16\pi}{3}\)
\(\therefore ADE\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=\frac{16\pi}{3}\) বর্গ মিটার ।
এখন, \(ABCDE\) সম্পূর্ণ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল\(=(\Box{ABCD}+ADE \ \text{বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল})\) বর্গ মিটার ।
\(=56+\frac{16\pi}{3}\) ➜ \(\because \Box{ABCD}=56\) বর্গ মিটার ।
এবং \(ADE\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=\frac{16\pi}{3}\) বর্গ মিটার ।
\(=56+\frac{16\times3.1416}{3}\) ➜ \(\because \pi=3.1416\)
\(=56+\frac{50.2656}{3}\)
\(=56+16.7552\)
\(=72.755\)
\(\therefore\) নির্ণেয় ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=72.755\) বর্গ মিটার ।
\(r=8\) মিটার
\(\theta=\angle{DAE}=30^{o}\)
\(=30\times\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান। ➜ \(\because 1^{o}=\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান।
\(=\frac{\pi}{6}\)
\(\therefore \theta=\frac{\pi}{6}\) রেডিয়ান।
বৃত্তচাপ \(s=DE\)
এখন বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য \(s=r\theta\)
\(=8\times\frac{\pi}{6}\) ➜ \(\because r=8\)
এবং \(\theta=\frac{\pi}{6}\) রেডিয়ান
\(=4\times\frac{\pi}{3}\)
\(=\frac{4\pi}{3}\)
\(=\frac{4\times3.1416}{3}\) ➜ \(\because \pi=3.1416\)
\(=\frac{12.5664}{3}\)
\(=4.189\)
\(\therefore\) বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য \(=4.189\) মিটার (প্রায়)।
\(ABCD\) আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=8\times7\) বর্গ মিটার ➜ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ,
\(\Box{ABCD}=\text{দৈর্ঘ্য}\times\text{প্রস্থ}\)
\(=56\)
\(\therefore \Box{ABCD}=56\) বর্গ মিটার ।
\(ADE\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}r^2\theta\) বর্গ মিটার ।
\(=\frac{1}{2}\times8^2\times\frac{\pi}{6}\) ➜ \(\because r=8\) সে.মি.
এবং \(\theta=\frac{\pi}{6}\) রেডিয়ান
\(=\frac{1}{2}\times64\times\frac{\pi}{6}\)
\(=16\times\frac{\pi}{3}\)
\(=\frac{16\pi}{3}\)
\(\therefore ADE\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=\frac{16\pi}{3}\) বর্গ মিটার ।
এখন, \(ABCDE\) সম্পূর্ণ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল\(=(\Box{ABCD}+ADE \ \text{বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল})\) বর্গ মিটার ।
\(=56+\frac{16\pi}{3}\) ➜ \(\because \Box{ABCD}=56\) বর্গ মিটার ।
এবং \(ADE\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=\frac{16\pi}{3}\) বর্গ মিটার ।
\(=56+\frac{16\times3.1416}{3}\) ➜ \(\because \pi=3.1416\)
\(=56+\frac{50.2656}{3}\)
\(=56+16.7552\)
\(=72.755\)
\(\therefore\) নির্ণেয় ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=72.755\) বর্গ মিটার ।
\(Q.2.(xiv)\) চিত্রে \(ABCD\) একটি একটি আয়তক্ষেত্র যার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে \(4\) মিটার ও \(3\) মিটার এবং \(ACE\) ক্ষেত্রটি একটি বৃত্তকলা। বৃত্তাংশ \(CE\) এর দৈর্ঘ্য এবং \(CDE\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4.635\) মিটার (প্রায়); \(5.5875\) বর্গ মিটার (প্রায়)।
সমাধানঃ
চিত্রে দেওয়া আছে,
\(AD=BC=3\) মিটার
\(DC=AB=4\) মিটার
এখন, \(\tan{\angle{CAD}}=\frac{DC}{AD}\)
\(\Rightarrow \tan{\angle{CAD}}=\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow \angle{CAD}=\tan^{-1}{\frac{4}{3}}\)
\(\therefore \theta=\angle{CAD}=0.927\) রেডিয়ান।
ব্যাসার্ধ \(r=AC\)
\(=\sqrt{AD^2+DC^2}\) ➜ \(\because \triangle{ADC}\) সমকোণী \(AC\) অতিভুজ,
\(\therefore AC=\sqrt{AD^2+DC^2}\)
\(=\sqrt{3^2+4^2}\)
\(=\sqrt{9+16}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)
\(\therefore r=5\)
বৃত্তচাপ \(s=CE\)
এখন বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য \(s=r\theta\)
\(=5\times0.927\) ➜ \(\because r=5\)
এবং \(\theta=\angle{CAD}=0.927\) রেডিয়ান।
\(=4.635\)
\(\therefore\) বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য \(CE=4.635\) মিটার (প্রায়)।
ত্রিভুজ \(ACD\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\times AD\times DC\) বর্গ মিটার ➜ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ,
\(\triangle=\frac{1}{2}\times\text{ভূমি}\times\text{উচ্চতা}\)
\(=\frac{1}{2}\times 3\times 4\)
\(=3\times 2\)
\(\therefore \triangle{ACD}=6\) বর্গ মিটার ।
\(ACE\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}r^2\theta\) বর্গ মিটার ।
\(=\frac{1}{2}\times5^2\times0.927\) ➜ \(\because r=5\) সে.মি.
এবং \(\theta=0.927\) রেডিয়ান
\(=\frac{1}{2}\times25\times0.927\)
\(=\frac{1}{2}\times23.175\)
\(=11.5875\)
\(\therefore ACE\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=11.5875\) বর্গ মিটার ।
এখন, \(CDE\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল\(=(ACE \ \text{বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল}-\triangle{ACD})\) বর্গ মিটার ।
\(=11.5875-6\) ➜ \(\because ACE\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=11.5875\) বর্গ মিটার ।
এবং \(\triangle{ACD}=6\)
\(=5.5875\)
\(\therefore\) নির্ণেয় ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=5.5875\) বর্গ মিটার ।
\(AD=BC=3\) মিটার
\(DC=AB=4\) মিটার
এখন, \(\tan{\angle{CAD}}=\frac{DC}{AD}\)
\(\Rightarrow \tan{\angle{CAD}}=\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow \angle{CAD}=\tan^{-1}{\frac{4}{3}}\)
\(\therefore \theta=\angle{CAD}=0.927\) রেডিয়ান।
ব্যাসার্ধ \(r=AC\)
\(=\sqrt{AD^2+DC^2}\) ➜ \(\because \triangle{ADC}\) সমকোণী \(AC\) অতিভুজ,
\(\therefore AC=\sqrt{AD^2+DC^2}\)
\(=\sqrt{3^2+4^2}\)
\(=\sqrt{9+16}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)
\(\therefore r=5\)
বৃত্তচাপ \(s=CE\)
এখন বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য \(s=r\theta\)
\(=5\times0.927\) ➜ \(\because r=5\)
এবং \(\theta=\angle{CAD}=0.927\) রেডিয়ান।
\(=4.635\)
\(\therefore\) বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য \(CE=4.635\) মিটার (প্রায়)।
ত্রিভুজ \(ACD\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\times AD\times DC\) বর্গ মিটার ➜ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ,
\(\triangle=\frac{1}{2}\times\text{ভূমি}\times\text{উচ্চতা}\)
\(=\frac{1}{2}\times 3\times 4\)
\(=3\times 2\)
\(\therefore \triangle{ACD}=6\) বর্গ মিটার ।
\(ACE\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}r^2\theta\) বর্গ মিটার ।
\(=\frac{1}{2}\times5^2\times0.927\) ➜ \(\because r=5\) সে.মি.
এবং \(\theta=0.927\) রেডিয়ান
\(=\frac{1}{2}\times25\times0.927\)
\(=\frac{1}{2}\times23.175\)
\(=11.5875\)
\(\therefore ACE\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=11.5875\) বর্গ মিটার ।
এখন, \(CDE\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল\(=(ACE \ \text{বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল}-\triangle{ACD})\) বর্গ মিটার ।
\(=11.5875-6\) ➜ \(\because ACE\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=11.5875\) বর্গ মিটার ।
এবং \(\triangle{ACD}=6\)
\(=5.5875\)
\(\therefore\) নির্ণেয় ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=5.5875\) বর্গ মিটার ।
\(Q.2.(xv)\) চিত্রে \(ABC\) সমকোণী ত্রিভুজে \(ADC\) একটি অর্ধবৃত্ত ও \(AECB\) একটি বৃত্তকলা। বৃত্তাংশ \(AEC\) এর দৈর্ঘ্য এবং \(AECD\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(6.2832\) মিটার (প্রায়); \(8\) বর্গ মিটার (প্রায়)।
সমাধানঃ
চিত্রে দেওয়া আছে,
\(ABC\) সমকোণী ত্রিভুজে \(ADC\) একটি অর্ধবৃত্ত ও \(AECB\) একটি বৃত্তকলা।
\(AB=BC=4\) মিটার
এবং \(\angle{ABC}=90^{o}\)
\(=90\times\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান। ➜ \(\because 1^{o}=\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান।
\(\therefore \theta=\angle{ABC}=\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}\) ➜ \(\because \triangle{ABC}\) সমকোণী \(AC\) অতিভুজ,
\(\therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}\)
\(=\sqrt{4^2+4^2}\) ➜ \(\because AB=BC=4\)
\(=\sqrt{16+16}\)
\(=\sqrt{32}\)
\(=4\sqrt{2}\)
\(\therefore AC=4\sqrt{2}\) মিটার
\(ADC\) অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধ \(r=\frac{1}{2}AC\)
\(=\frac{1}{2}\times4\sqrt{2}\)
\(=2\sqrt{2}\)
\(\therefore r=2\sqrt{2}\)
\(ADC\) অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\pi r^2\) বর্গ মিটার ➜ \(\because \) বৃত্তের ক্ষেত্রফল \(=\pi r^2\)
\(=\frac{1}{2}\pi\times(2\sqrt{2})^2\) ➜ \(\because r=2\sqrt{2}\)
\(=\frac{1}{2}\pi\times8\)
\(=\pi\times4\)
\(=4\pi\)
\(\therefore ADC\) অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল \(=4\pi\) বর্গ মিটার
\(ABC\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\times AB\times BC\) বর্গ মিটার ➜ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ,
\(\triangle=\frac{1}{2}\times\text{ভূমি}\times\text{উচ্চতা}\)
\(=\frac{1}{2}\times 4\times 4\) ➜ \(\because AB=BC=4\)
\(=2\times 4\)
\(=8\)
\(\therefore \triangle{ABC}=8\) বর্গ মিটার
\(ACE\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রে,
ব্যাসার্ধ \(r=4\) মিটার ।
চাপ \(s\)
\(ACE\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}r^2\theta\) বর্গ মিটার ।
\(=\frac{1}{2}\times4^2\times\frac{\pi}{2}\) ➜ \(\because r=4\) মিটার ।
এবং \(\theta=\frac{\pi}{2}\) রেডিয়ান
\(=8\times\frac{\pi}{2}\)
\(=4\times\pi\)
\(=4\pi\)
\(\therefore AEC \ \text{বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল}=4\pi\) বর্গ মিটার ।
\(AEC\) বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য \(s=r\theta\) মিটার ।
\(=4\times\frac{\pi}{2}\) ➜ \(\because r=4\) মিটার ।
এবং \(\theta=\frac{\pi}{2}\) রেডিয়ান
\(=2\times\pi\)
\(=2\pi\)
\(=2\times3.1416\) ➜ \(\because \pi=3.1416\)
\(=6.2832\)
\(\therefore AEC \ \text{বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য} \ =6.2832\) মিটার ।
\(AEC\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=(ACE \ \text{বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল}- \triangle{ABC})\) বর্গ মিটার ।
\(=4\pi-8\) ➜ \(\because AEC \ \text{বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল}=4\pi\) বর্গ মিটার ।
এবং \(\triangle{ABC}=8\) বর্গ মিটার
\(\therefore AEC\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=4\pi-8\) বর্গ মিটার ।
\(\therefore AECD\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=(ADC \ \text{অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল }-AEC \ \text{ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল} )\) বর্গ মিটার ।
\(=4\pi-(4\pi-8)\) ➜ \(\because ADC\) অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল \(=4\pi\) বর্গ মিটার
এবং \(AEC\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=4\pi-8\) বর্গ মিটার ।
\(=4\pi-4\pi+8\)
\(=8\)
\(\therefore AECD\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=8\) বর্গ মিটার (প্রায়)।
\(ABC\) সমকোণী ত্রিভুজে \(ADC\) একটি অর্ধবৃত্ত ও \(AECB\) একটি বৃত্তকলা।
\(AB=BC=4\) মিটার
এবং \(\angle{ABC}=90^{o}\)
\(=90\times\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান। ➜ \(\because 1^{o}=\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান।
\(\therefore \theta=\angle{ABC}=\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}\) ➜ \(\because \triangle{ABC}\) সমকোণী \(AC\) অতিভুজ,
\(\therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}\)
\(=\sqrt{4^2+4^2}\) ➜ \(\because AB=BC=4\)
\(=\sqrt{16+16}\)
\(=\sqrt{32}\)
\(=4\sqrt{2}\)
\(\therefore AC=4\sqrt{2}\) মিটার
\(ADC\) অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধ \(r=\frac{1}{2}AC\)
\(=\frac{1}{2}\times4\sqrt{2}\)
\(=2\sqrt{2}\)
\(\therefore r=2\sqrt{2}\)
\(ADC\) অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\pi r^2\) বর্গ মিটার ➜ \(\because \) বৃত্তের ক্ষেত্রফল \(=\pi r^2\)
\(=\frac{1}{2}\pi\times(2\sqrt{2})^2\) ➜ \(\because r=2\sqrt{2}\)
\(=\frac{1}{2}\pi\times8\)
\(=\pi\times4\)
\(=4\pi\)
\(\therefore ADC\) অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল \(=4\pi\) বর্গ মিটার
\(ABC\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\times AB\times BC\) বর্গ মিটার ➜ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ,
\(\triangle=\frac{1}{2}\times\text{ভূমি}\times\text{উচ্চতা}\)
\(=\frac{1}{2}\times 4\times 4\) ➜ \(\because AB=BC=4\)
\(=2\times 4\)
\(=8\)
\(\therefore \triangle{ABC}=8\) বর্গ মিটার
\(ACE\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রে,
ব্যাসার্ধ \(r=4\) মিটার ।
চাপ \(s\)
\(ACE\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}r^2\theta\) বর্গ মিটার ।
\(=\frac{1}{2}\times4^2\times\frac{\pi}{2}\) ➜ \(\because r=4\) মিটার ।
এবং \(\theta=\frac{\pi}{2}\) রেডিয়ান
\(=8\times\frac{\pi}{2}\)
\(=4\times\pi\)
\(=4\pi\)
\(\therefore AEC \ \text{বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল}=4\pi\) বর্গ মিটার ।
\(AEC\) বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য \(s=r\theta\) মিটার ।
\(=4\times\frac{\pi}{2}\) ➜ \(\because r=4\) মিটার ।
এবং \(\theta=\frac{\pi}{2}\) রেডিয়ান
\(=2\times\pi\)
\(=2\pi\)
\(=2\times3.1416\) ➜ \(\because \pi=3.1416\)
\(=6.2832\)
\(\therefore AEC \ \text{বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য} \ =6.2832\) মিটার ।
\(AEC\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=(ACE \ \text{বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল}- \triangle{ABC})\) বর্গ মিটার ।
\(=4\pi-8\) ➜ \(\because AEC \ \text{বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল}=4\pi\) বর্গ মিটার ।
এবং \(\triangle{ABC}=8\) বর্গ মিটার
\(\therefore AEC\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=4\pi-8\) বর্গ মিটার ।
\(\therefore AECD\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=(ADC \ \text{অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল }-AEC \ \text{ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল} )\) বর্গ মিটার ।
\(=4\pi-(4\pi-8)\) ➜ \(\because ADC\) অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল \(=4\pi\) বর্গ মিটার
এবং \(AEC\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=4\pi-8\) বর্গ মিটার ।
\(=4\pi-4\pi+8\)
\(=8\)
\(\therefore AECD\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=8\) বর্গ মিটার (প্রায়)।
\(Q.2.(xvi)\) চিত্রে \(1\) একক ব্যাসার্ধ এবং \(P\) ও \(Q\) কেন্দ্রবিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(APBQ\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{2\pi-3\sqrt{3}}{3}\) বর্গ একক (প্রায়) ।
সমাধানঃ
চিত্রে দেওয়া আছে,
\(1\) একক ব্যাসার্ধ এবং \(P\) ও \(Q\) কেন্দ্রবিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(A, P; P, B; B, Q; A, Q\) এবং \(P, Q\) যোগ করি।
এখন, \(PQS\) একটি সমবাহু ত্রিভুজ যার \(AP=PQ=AQ=1\) একক।
এবং \(\angle{A}=\angle{P}=\angle{Q}=\frac{\pi}{3}\) ➜ \(\because \) সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের মাণ
\(\frac{\pi}{3}\)
.png)
এখন, \(\triangle{APQ}\) এর ক্ষেত্রফল
\(=\frac{\sqrt{3}}{4}\times1^2\) বর্গ একক ➜ \(\because a\) বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
\(=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 1\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{4}\)
\(\therefore \triangle{APQ}=\frac{\sqrt{3}}{4}\) বর্গ একক।
আবার, \(APQ\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল
\(=\frac{1}{2}\times1^2\times\frac{\pi}{3}\) বর্গ একক ➜ \(\because a\) ব্যাসার্ধ এবং কেন্দ্রে \(\theta\) কোণ উতপন্নকারী বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল
\(=\frac{1}{2}a^2\theta\) বর্গ একক
\(=\frac{1}{2}\times 1\times \frac{\pi}{3}\)
\(=\frac{\pi}{6}\)
\(\therefore \text{বৃত্তকলা} APQ=\frac{\pi}{6}\) বর্গ একক।
\(AP\) রেখাংশ দ্বারা আবদ্ধ বৃত্তের ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল \(=(\text{বৃত্তকলা} APQ-\triangle{APQ})\) বর্গ একক।
\(=\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)\) বর্গ একক।
এখন, \(PQRS\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=(2\times\triangle{APQ}+4\times\text{ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল})\) বর্গ একক।
\(=2\times\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{2\pi}{3}-\sqrt{3}
\(=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{2\pi}{3}-\sqrt{3}\)
\(=\frac{2\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}\)
\(=\frac{2\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{2}\)
\(=\frac{2\pi}{3}+\frac{-\sqrt{3}}{2}\)
\(=\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=\frac{4\pi-3\sqrt{3}}{6}\)
ইহাই নির্ণেয় ক্ষেত্রফল।
\(1\) একক ব্যাসার্ধ এবং \(P\) ও \(Q\) কেন্দ্রবিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(A, P; P, B; B, Q; A, Q\) এবং \(P, Q\) যোগ করি।
এখন, \(PQS\) একটি সমবাহু ত্রিভুজ যার \(AP=PQ=AQ=1\) একক।
এবং \(\angle{A}=\angle{P}=\angle{Q}=\frac{\pi}{3}\) ➜ \(\because \) সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের মাণ
\(\frac{\pi}{3}\)
এখন, \(\triangle{APQ}\) এর ক্ষেত্রফল\(=\frac{\sqrt{3}}{4}\times1^2\) বর্গ একক ➜ \(\because a\) বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
\(=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 1\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{4}\)
\(\therefore \triangle{APQ}=\frac{\sqrt{3}}{4}\) বর্গ একক।
আবার, \(APQ\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল
\(=\frac{1}{2}\times1^2\times\frac{\pi}{3}\) বর্গ একক ➜ \(\because a\) ব্যাসার্ধ এবং কেন্দ্রে \(\theta\) কোণ উতপন্নকারী বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল
\(=\frac{1}{2}a^2\theta\) বর্গ একক
\(=\frac{1}{2}\times 1\times \frac{\pi}{3}\)
\(=\frac{\pi}{6}\)
\(\therefore \text{বৃত্তকলা} APQ=\frac{\pi}{6}\) বর্গ একক।
\(AP\) রেখাংশ দ্বারা আবদ্ধ বৃত্তের ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল \(=(\text{বৃত্তকলা} APQ-\triangle{APQ})\) বর্গ একক।
\(=\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)\) বর্গ একক।
এখন, \(PQRS\) ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=(2\times\triangle{APQ}+4\times\text{ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল})\) বর্গ একক।
\(=2\times\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{2\pi}{3}-\sqrt{3}
\(=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{2\pi}{3}-\sqrt{3}\)
\(=\frac{2\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}\)
\(=\frac{2\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{2}\)
\(=\frac{2\pi}{3}+\frac{-\sqrt{3}}{2}\)
\(=\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=\frac{4\pi-3\sqrt{3}}{6}\)
ইহাই নির্ণেয় ক্ষেত্রফল।
\(Q.2.(xvii)\) একজন বালক চিত্রের \(OAB\) পথ \(6\) সেকেন্ডে অতিক্রম করলে তার বেগ নির্ণয় কর। যদি \(R\) অংশের প্রতি বর্গ এককে টাইলস বসাতে \(5000\) টাকা খরচ হর তাহলে \(R\) অংশের জন্য মোট কত টাকা খরচ হবে?
উত্তরঃ \(\text{বালকটির বেগ }=1.26\) একক/সেঃ(প্রায়); খরচ \(545\) টাকা।
সমাধানঃ
চিত্রে দেওয়া আছে,
\(OA=OB=3\) একক।
\(AB=1.55\) একক।
\(\angle{AOB}=30^{o}\)
\(=30\times\frac{\pi}{180}\) ➜ \(\because 1^{o}=\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান।
\(=\frac{\pi}{6}\)
\(\therefore \theta=\angle{AOB}=\frac{\pi}{6}\) রেডিয়ান।
চাপ \(AB=r\theta\) একক।
\(=3\times\frac{\pi}{6}\) ➜ \(\because r=OA=OB=3\) একক।
এবং \(\theta=\angle{AOB}=\frac{\pi}{6}\) রেডিয়ান।
\(=\frac{\pi}{2}\)
\(=\frac{3.1416}{2}\)
\(=1.57\)
চাপ \(AB=1.57\) একক।
\(OAB\) বৃত্তকলার পরিসীমা \(=OA+\text{চাপ } \ AB+OB\)
\(=3+1.57+3\) ➜ \(\because OA=OB=3\) একক।
এবং \(\text{চাপ } \ AB=1.57\) একক।
\(=7.57\)
\(OAB\) বৃত্তকলার পরিসীমা \(=7.57\) একক।
ধরি, বালকটির বেগ \(=v\) একক/সেঃ
এখন,\(OAB\) বৃত্তকলার পরিসীমা \(=vt\) ➜ \(\because \text{দূরত্ব}=\text{বেগ}\times\text{সময়}\)
\(\Rightarrow 7.57=v\times6\) ➜ \(\because OAB\) বৃত্তকলার পরিসীমা \(=7.57\) একক।
এবং \(t=6\) সেকেন্ড।
\(\Rightarrow 7.57=6v\)
\(\Rightarrow 6v=7.57\)
\(\Rightarrow v=\frac{7.57}{6}\)
\(\Rightarrow v=1.261666666666667\)
\(\therefore \text{বালকটির বেগ }=1.26\) একক/সেঃ(প্রায়)
বৃত্তকলা \(OAB\) এর ক্ষেত্রফল,
\(=\frac{1}{2}r^2\theta\) বর্গ একক।
\(=\frac{1}{2}\times3^2\times\frac{\pi}{6}\) ➜ \(\because r=OA=OB=3\) একক।
এবং \(\theta=\angle{AOB}=\frac{\pi}{6}\) রেডিয়ান।
\(=\frac{1}{2}\times9\times\frac{\pi}{6}\)
\(=9\times\frac{\pi}{12}\)
\(=3\times\frac{\pi}{4}\)
\(=\frac{3\pi}{4}\)
\(=\frac{3\times3.1416}{4}\) যেখানে, \(\pi=3.1416\)
\(=2.355\)
\(\therefore \) বৃত্তকলা \(OAB\) এর ক্ষেত্রফল \(=2.355\) বর্গ একক।
\(\triangle{OAB}\) এর ক্ষেত্রফল ,
\(=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
\(=\sqrt{3.775(3.775-3)(3.775-3)(3.775-1.55)}\) ➜ \(\triangle{OAB}\) এর পরিসীমা \(=3+1.55+3=7.55\) একক।
\(\therefore \text{অর্ধ পরিসীমা} s=\frac{7.55}{2}=3.775\) একক।
এবং \(a=3, \ b=3, \ c=1.55\) একক।
\(=\sqrt{3.775\times0.775\times0.775\times2.225}\)
\(=\sqrt{5.044874609375}\)
\(=2.246\)
\(\therefore \triangle{OAB}\) এর ক্ষেত্রফল \(=2.246\) বর্গ একক।
\(R\) অংশের ক্ষেত্রফল \(=(\text{বৃত্তকলা} \ OAB \text{এর ক্ষেত্রফল} -\triangle{OAB} \ \text{এর ক্ষেত্রফল} )\) বর্গ একক।
\(=(2.355 -2.246 )\) ➜ \(\because \) বৃত্তকলা \(OAB\) এর ক্ষেত্রফল \(=2.355\) বর্গ একক।
এবং \(\triangle{OAB}\) এর ক্ষেত্রফল \(=2.246\) বর্গ একক।
\(=0.109\)
\(\therefore R\) অংশের ক্ষেত্রফল \(=0.1102\) বর্গ একক।
প্রতি বর্গ এককে টাইলস বসাতে খরচ হয় \(=5000\) টাকা।
\(=0.109\) বর্গ এককে টাইলস বসাতে খরচ হবে \(=5000\times0.109\) টাকা।
\(=545\) টাকা।
\(OA=OB=3\) একক।
\(AB=1.55\) একক।
\(\angle{AOB}=30^{o}\)
\(=30\times\frac{\pi}{180}\) ➜ \(\because 1^{o}=\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান।
\(=\frac{\pi}{6}\)
\(\therefore \theta=\angle{AOB}=\frac{\pi}{6}\) রেডিয়ান।
চাপ \(AB=r\theta\) একক।
\(=3\times\frac{\pi}{6}\) ➜ \(\because r=OA=OB=3\) একক।
এবং \(\theta=\angle{AOB}=\frac{\pi}{6}\) রেডিয়ান।
\(=\frac{\pi}{2}\)
\(=\frac{3.1416}{2}\)
\(=1.57\)
চাপ \(AB=1.57\) একক।
\(OAB\) বৃত্তকলার পরিসীমা \(=OA+\text{চাপ } \ AB+OB\)
\(=3+1.57+3\) ➜ \(\because OA=OB=3\) একক।
এবং \(\text{চাপ } \ AB=1.57\) একক।
\(=7.57\)
\(OAB\) বৃত্তকলার পরিসীমা \(=7.57\) একক।
ধরি, বালকটির বেগ \(=v\) একক/সেঃ
এখন,\(OAB\) বৃত্তকলার পরিসীমা \(=vt\) ➜ \(\because \text{দূরত্ব}=\text{বেগ}\times\text{সময়}\)
\(\Rightarrow 7.57=v\times6\) ➜ \(\because OAB\) বৃত্তকলার পরিসীমা \(=7.57\) একক।
এবং \(t=6\) সেকেন্ড।
\(\Rightarrow 7.57=6v\)
\(\Rightarrow 6v=7.57\)
\(\Rightarrow v=\frac{7.57}{6}\)
\(\Rightarrow v=1.261666666666667\)
\(\therefore \text{বালকটির বেগ }=1.26\) একক/সেঃ(প্রায়)
বৃত্তকলা \(OAB\) এর ক্ষেত্রফল,
\(=\frac{1}{2}r^2\theta\) বর্গ একক।
\(=\frac{1}{2}\times3^2\times\frac{\pi}{6}\) ➜ \(\because r=OA=OB=3\) একক।
এবং \(\theta=\angle{AOB}=\frac{\pi}{6}\) রেডিয়ান।
\(=\frac{1}{2}\times9\times\frac{\pi}{6}\)
\(=9\times\frac{\pi}{12}\)
\(=3\times\frac{\pi}{4}\)
\(=\frac{3\pi}{4}\)
\(=\frac{3\times3.1416}{4}\) যেখানে, \(\pi=3.1416\)
\(=2.355\)
\(\therefore \) বৃত্তকলা \(OAB\) এর ক্ষেত্রফল \(=2.355\) বর্গ একক।
\(\triangle{OAB}\) এর ক্ষেত্রফল ,
\(=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
\(=\sqrt{3.775(3.775-3)(3.775-3)(3.775-1.55)}\) ➜ \(\triangle{OAB}\) এর পরিসীমা \(=3+1.55+3=7.55\) একক।
\(\therefore \text{অর্ধ পরিসীমা} s=\frac{7.55}{2}=3.775\) একক।
এবং \(a=3, \ b=3, \ c=1.55\) একক।
\(=\sqrt{3.775\times0.775\times0.775\times2.225}\)
\(=\sqrt{5.044874609375}\)
\(=2.246\)
\(\therefore \triangle{OAB}\) এর ক্ষেত্রফল \(=2.246\) বর্গ একক।
\(R\) অংশের ক্ষেত্রফল \(=(\text{বৃত্তকলা} \ OAB \text{এর ক্ষেত্রফল} -\triangle{OAB} \ \text{এর ক্ষেত্রফল} )\) বর্গ একক।
\(=(2.355 -2.246 )\) ➜ \(\because \) বৃত্তকলা \(OAB\) এর ক্ষেত্রফল \(=2.355\) বর্গ একক।
এবং \(\triangle{OAB}\) এর ক্ষেত্রফল \(=2.246\) বর্গ একক।
\(=0.109\)
\(\therefore R\) অংশের ক্ষেত্রফল \(=0.1102\) বর্গ একক।
প্রতি বর্গ এককে টাইলস বসাতে খরচ হয় \(=5000\) টাকা।
\(=0.109\) বর্গ এককে টাইলস বসাতে খরচ হবে \(=5000\times0.109\) টাকা।
\(=545\) টাকা।
\(Q.2.(xviii)\) চিত্রে \(O\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের অর্ধবৃত্ত দেখানো হয়েছে, যার \(AB=12cm, \ BC=6cm\) । ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল ও \(x\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(25.37\) বর্গ সে.মি.। \(30^{o}\)
সমাধানঃ
চিত্রে দেওয়া আছে,
\(O\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের অর্ধবৃত্ত দেখানো হয়েছে, যার \(AB=12cm, \ BC=6cm\) ।
\(\angle{ACB}=90^{o}\) অর্ধবৃত্তস্থ কোণ বলে।
\(\therefore \triangle{ACB}\) সমকোণী,
\(\therefore AC^2+BC^2=AB^2\)
\(\Rightarrow AC^2+6^2=(12)^2\) ➜ \(\because AB=12cm, \ BC=6cm\)
\(\Rightarrow AC^2+36=144\)
\(\Rightarrow AC^2=144-36\)
\(\Rightarrow AC^2=108\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{108}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{36\times3}\)
\(\therefore AC=6\sqrt{3} cm\)
\(\triangle{ACB}\) এর ক্ষেত্রফল,
\(=\frac{1}{2}\times AC\times BC\) ➜ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ,
\(\triangle=\frac{1}{2}\times\text{ভূমি}\times\text{উচ্চতা}\)
\(=\frac{1}{2}\times 6\sqrt{3}\times 6\) ➜ \(\because AC=6\sqrt{3}cm, \ BC=6cm\)
\(=3\sqrt{3}\times 6\)
\(=18\sqrt{3}\)
\(\therefore \triangle{ACB}\) এর ক্ষেত্রফল \(=18\sqrt{3}\) বর্গ সে.মি.।
অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল,
\(=\frac{1}{2}\pi r^2\) বর্গ সে.মি.। ➜ বৃত্তের ক্ষেত্রফল \(=\pi r^2\)
\(=\frac{1}{2}\pi\times6^2\) ➜ চিত্রে দেওয়া আছে,
ব্যাস \(2r=AB=12cm\)
\(\therefore \) ব্যাসার্ধ \(r=6cm\)
\(=\frac{1}{2}\pi\times36\)
\(=18\pi\)
\(=18\times3.1416\) যেখানে, \(\pi=3.1416\)
\(=56.5488\)
\(\therefore \) অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল \(=56.5488\) বর্গ সে.মি.।
ছায়াঘের অংশের ক্ষেত্রফল \(=(\text{অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল}-\triangle{ACB} \ \text{এর ক্ষেত্রফল})\) বর্গ সে.মি.।
\(=56.5488-18\sqrt{3}\) ➜ \(\because \) অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল \(=56.5488\) বর্গ সে.মি.।
এবং \(\triangle{ACB}\) এর ক্ষেত্রফল \(=18\sqrt{3}\) বর্গ সে.মি.।
\(=56.5488-31.1769\)
\(=25.3719\)
\(\therefore\) ছায়াঘের অংশের ক্ষেত্রফল \(=25.37\) বর্গ সে.মি.।
আবার, \(x\) নির্ণয়ঃ
\(\triangle{ACB}\) এর ক্ষেত্রফল \(=18\sqrt{3}\) বর্গ সে.মি.।
এবং \(AC=6\sqrt{3} cm, \ AB=12cm\)
এখন, \(\frac{1}{2}\times AB\times AC\sin{x}=\triangle{ABC}\) ➜ \(\frac{1}{2}bc\sin{A}=\triangle\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}\times 12\times 6\sqrt{3}\sin{x}=18\sqrt{3}\) ➜ \(\because AC=6\sqrt{3} cm, \ AB=12cm\)
এবং \(\triangle{ACB}\) এর ক্ষেত্রফল \(=18\sqrt{3}\) বর্গ সে.মি.।
\(\Rightarrow 6\times 6\sqrt{3}\sin{x}=18\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow 36\sqrt{3}\sin{x}=18\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \sin{x}=\frac{18\sqrt{3}}{36\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \sin{x}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \sin{x}=\sin{30^{o}}\)
\(\therefore x=30^{o}\)
\(O\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের অর্ধবৃত্ত দেখানো হয়েছে, যার \(AB=12cm, \ BC=6cm\) ।
\(\angle{ACB}=90^{o}\) অর্ধবৃত্তস্থ কোণ বলে।
\(\therefore \triangle{ACB}\) সমকোণী,
\(\therefore AC^2+BC^2=AB^2\)
\(\Rightarrow AC^2+6^2=(12)^2\) ➜ \(\because AB=12cm, \ BC=6cm\)
\(\Rightarrow AC^2+36=144\)
\(\Rightarrow AC^2=144-36\)
\(\Rightarrow AC^2=108\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{108}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{36\times3}\)
\(\therefore AC=6\sqrt{3} cm\)
\(\triangle{ACB}\) এর ক্ষেত্রফল,
\(=\frac{1}{2}\times AC\times BC\) ➜ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ,
\(\triangle=\frac{1}{2}\times\text{ভূমি}\times\text{উচ্চতা}\)
\(=\frac{1}{2}\times 6\sqrt{3}\times 6\) ➜ \(\because AC=6\sqrt{3}cm, \ BC=6cm\)
\(=3\sqrt{3}\times 6\)
\(=18\sqrt{3}\)
\(\therefore \triangle{ACB}\) এর ক্ষেত্রফল \(=18\sqrt{3}\) বর্গ সে.মি.।
অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল,
\(=\frac{1}{2}\pi r^2\) বর্গ সে.মি.। ➜ বৃত্তের ক্ষেত্রফল \(=\pi r^2\)
\(=\frac{1}{2}\pi\times6^2\) ➜ চিত্রে দেওয়া আছে,
ব্যাস \(2r=AB=12cm\)
\(\therefore \) ব্যাসার্ধ \(r=6cm\)
\(=\frac{1}{2}\pi\times36\)
\(=18\pi\)
\(=18\times3.1416\) যেখানে, \(\pi=3.1416\)
\(=56.5488\)
\(\therefore \) অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল \(=56.5488\) বর্গ সে.মি.।
ছায়াঘের অংশের ক্ষেত্রফল \(=(\text{অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল}-\triangle{ACB} \ \text{এর ক্ষেত্রফল})\) বর্গ সে.মি.।
\(=56.5488-18\sqrt{3}\) ➜ \(\because \) অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল \(=56.5488\) বর্গ সে.মি.।
এবং \(\triangle{ACB}\) এর ক্ষেত্রফল \(=18\sqrt{3}\) বর্গ সে.মি.।
\(=56.5488-31.1769\)
\(=25.3719\)
\(\therefore\) ছায়াঘের অংশের ক্ষেত্রফল \(=25.37\) বর্গ সে.মি.।
আবার, \(x\) নির্ণয়ঃ
\(\triangle{ACB}\) এর ক্ষেত্রফল \(=18\sqrt{3}\) বর্গ সে.মি.।
এবং \(AC=6\sqrt{3} cm, \ AB=12cm\)
এখন, \(\frac{1}{2}\times AB\times AC\sin{x}=\triangle{ABC}\) ➜ \(\frac{1}{2}bc\sin{A}=\triangle\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}\times 12\times 6\sqrt{3}\sin{x}=18\sqrt{3}\) ➜ \(\because AC=6\sqrt{3} cm, \ AB=12cm\)
এবং \(\triangle{ACB}\) এর ক্ষেত্রফল \(=18\sqrt{3}\) বর্গ সে.মি.।
\(\Rightarrow 6\times 6\sqrt{3}\sin{x}=18\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow 36\sqrt{3}\sin{x}=18\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \sin{x}=\frac{18\sqrt{3}}{36\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \sin{x}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \sin{x}=\sin{30^{o}}\)
\(\therefore x=30^{o}\)
\(Q.2.(xix)\) নিচের চিত্র হতে \(AEC\) চাপের দৈর্ঘ্য ও ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(4.5\pi;\) \(18\) বর্গ সে.মি.।
সমাধানঃ
চিত্রে দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ \(r=OC=6cm\)
\(\angle{BOC}=45^{o}\)
\(\therefore \angle{AOC}=180^{o}-45^{o}\)
\(=135^{o}\)
\(=135\times\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান। ➜ \(\because 1^{o}=\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান।
\(=3\times\frac{\pi}{4}\)
\(=\frac{3\pi}{4}\)
\(\therefore \theta=\angle{AOC}=\frac{3\pi}{4}\)
এখন, \(\text{চাপ} \ AEC=r\theta\) ➜ \(\text{চাপ} \ s=r\theta\)
\(=6\times\frac{3\pi}{4}\) ➜ \(\because r=OC=6cm\)
এবং \(\theta=\angle{AOC}=\frac{3\pi}{4}\)
\(=3\times\frac{3\pi}{2}\)
\(=\frac{9\pi}{2}\)
\(=4.5\pi\)
\(\therefore \text{চাপ} \ AEC=4.5\pi\)
চিত্রে দেওয়া আছে,
\(OC=CD=6cm\)
এবং \(\angle{OCD}=90^{o}\)
\(\therefore \triangle{OCD}\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\times OC\times CD\) বর্গ সে.মি.। ➜ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ,
\(\triangle=\frac{1}{2}\times\text{ভূমি}\times\text{উচ্চতা}\)
\(=\frac{1}{2}\times 6\times 6\) ➜ \(\because OC=CD=6cm\)
\(=3\times 6\)
\(=18\)
\(\therefore \triangle{OCD}\) এর ক্ষেত্রফল \(=18\) বর্গ সে.মি.।
ব্যাসার্ধ \(r=OC=6cm\)
\(\angle{BOC}=45^{o}\)
\(\therefore \angle{AOC}=180^{o}-45^{o}\)
\(=135^{o}\)
\(=135\times\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান। ➜ \(\because 1^{o}=\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান।
\(=3\times\frac{\pi}{4}\)
\(=\frac{3\pi}{4}\)
\(\therefore \theta=\angle{AOC}=\frac{3\pi}{4}\)
এখন, \(\text{চাপ} \ AEC=r\theta\) ➜ \(\text{চাপ} \ s=r\theta\)
\(=6\times\frac{3\pi}{4}\) ➜ \(\because r=OC=6cm\)
এবং \(\theta=\angle{AOC}=\frac{3\pi}{4}\)
\(=3\times\frac{3\pi}{2}\)
\(=\frac{9\pi}{2}\)
\(=4.5\pi\)
\(\therefore \text{চাপ} \ AEC=4.5\pi\)
চিত্রে দেওয়া আছে,
\(OC=CD=6cm\)
এবং \(\angle{OCD}=90^{o}\)
\(\therefore \triangle{OCD}\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\times OC\times CD\) বর্গ সে.মি.। ➜ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ,
\(\triangle=\frac{1}{2}\times\text{ভূমি}\times\text{উচ্চতা}\)
\(=\frac{1}{2}\times 6\times 6\) ➜ \(\because OC=CD=6cm\)
\(=3\times 6\)
\(=18\)
\(\therefore \triangle{OCD}\) এর ক্ষেত্রফল \(=18\) বর্গ সে.মি.।
\(Q.2.(xx)\) নিচের চিত্রের ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর, যেখানে \(\angle{AOD}=45^{o}\) এবং ব্যাস \(CD=10cm.\)
উত্তরঃ \(7.135\) বর্গ সে.মি.।
সমাধানঃ
চিত্রে দেওয়া আছে,
\(\angle{AOD}=45^{o}\)
এখন, \(\angle{AOB}=2\angle{AOD}=2\times45^{o}\)
\(\Rightarrow \angle{AOB}=90^{o}\)
\(=90\times\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান। ➜ \(\because 1^{o}=\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান।
\(=\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore \theta=\angle{AOB}=\frac{\pi}{2}\)
ব্যাস \(2r=CD=10cm\)
\(\therefore\) ব্যাসার্ধ \(r=5cm\)
বৃত্তকলা \(AOBD\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}r^2\theta\)
\(=\frac{1}{2}\times5^2\times\frac{\pi}{2}\) ➜ \(\because r=5cm\)
এবং \(\theta=\angle{AOB}=\frac{\pi}{2}\)
\(=\frac{1}{2}\times25\times\frac{\pi}{2}\)
\(=\frac{25\pi}{4}\)
\(=6.25\pi\)
\(=6.25\times3.1416\) যেখানে, \(\pi=3.1416\)
\(=19.635\)
\(\therefore AOBD \ \text{বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল }=19.635\) বর্গ সে.মি.।
\(\triangle{AOB}\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\times OA\times OB\) ➜ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ,
\(\triangle=\frac{1}{2}\times\text{ভূমি}\times\text{উচ্চতা}\)
\(=\frac{1}{2}\times 5\times 5\) ➜ \(\because OA=OB=OD=5cm\)
\(=\frac{1}{2}\times 25\)
\(=\frac{25}{2}\)
\(=12.5\)
\(\therefore \triangle{AOB}\) এর ক্ষেত্রফল \(=12.5\) বর্গ সে.মি.।
ছায়াঘের অংশের ক্ষেত্রফল \(=(AOBD \ \text{বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল }-\triangle{AOB} \ \text{এর ক্ষেত্রফল})\) বর্গ সে.মি.।
\(=19.635-12.5\) ➜ \(\because AOBD \ \text{বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল }=19.635\) বর্গ সে.মি.।
এবং \(\triangle{AOB}\) এর ক্ষেত্রফল \(=12.5\) বর্গ সে.মি.।
\(=7.135\)
\(\therefore\) ছায়াঘের অংশের ক্ষেত্রফল \(=7.135\) বর্গ সে.মি.।
\(\angle{AOD}=45^{o}\)
এখন, \(\angle{AOB}=2\angle{AOD}=2\times45^{o}\)
\(\Rightarrow \angle{AOB}=90^{o}\)
\(=90\times\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান। ➜ \(\because 1^{o}=\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান।
\(=\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore \theta=\angle{AOB}=\frac{\pi}{2}\)
ব্যাস \(2r=CD=10cm\)
\(\therefore\) ব্যাসার্ধ \(r=5cm\)
বৃত্তকলা \(AOBD\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}r^2\theta\)
\(=\frac{1}{2}\times5^2\times\frac{\pi}{2}\) ➜ \(\because r=5cm\)
এবং \(\theta=\angle{AOB}=\frac{\pi}{2}\)
\(=\frac{1}{2}\times25\times\frac{\pi}{2}\)
\(=\frac{25\pi}{4}\)
\(=6.25\pi\)
\(=6.25\times3.1416\) যেখানে, \(\pi=3.1416\)
\(=19.635\)
\(\therefore AOBD \ \text{বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল }=19.635\) বর্গ সে.মি.।
\(\triangle{AOB}\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\times OA\times OB\) ➜ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ,
\(\triangle=\frac{1}{2}\times\text{ভূমি}\times\text{উচ্চতা}\)
\(=\frac{1}{2}\times 5\times 5\) ➜ \(\because OA=OB=OD=5cm\)
\(=\frac{1}{2}\times 25\)
\(=\frac{25}{2}\)
\(=12.5\)
\(\therefore \triangle{AOB}\) এর ক্ষেত্রফল \(=12.5\) বর্গ সে.মি.।
ছায়াঘের অংশের ক্ষেত্রফল \(=(AOBD \ \text{বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল }-\triangle{AOB} \ \text{এর ক্ষেত্রফল})\) বর্গ সে.মি.।
\(=19.635-12.5\) ➜ \(\because AOBD \ \text{বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল }=19.635\) বর্গ সে.মি.।
এবং \(\triangle{AOB}\) এর ক্ষেত্রফল \(=12.5\) বর্গ সে.মি.।
\(=7.135\)
\(\therefore\) ছায়াঘের অংশের ক্ষেত্রফল \(=7.135\) বর্গ সে.মি.।
\(Q.2.(xxi)\) নিচের চিত্রে হতে ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। \(A\) ও \(B\) বৃত্ত দুইটির কেন্দ্র এবং \(AB=24cm.\)
উত্তরঃ \(73.56\) বর্গ সে.মি.।
সমাধানঃ
চিত্রে দেওয়া আছে,
\(A\) ও \(B\) বৃত্ত দুইটির কেন্দ্র , \(AB=24cm.\)
এবং ব্যাসার্ধ \(r=AC=15cm.\)
এখানে, \(AE=\frac{1}{2}AB\)
\(=\frac{1}{2}\times24\)
\(=12\)
\(\therefore AE=12cm\)
\(\triangle{AEC}\) সমকোণী
\(\therefore AE^2+CE^2=AC^2\)
\(\Rightarrow 12^2+CE^2=15^2\)
\(\Rightarrow CE^2=15^2-12^2\)
\(\Rightarrow CE^2=225-144\)
\(\Rightarrow CE^2=81\)
\(\Rightarrow CE=\sqrt{81}\)
\(\therefore CE=9cm\)
\(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\times AB\times CE\) ➜ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ,
\(\triangle=\frac{1}{2}\times\text{ভূমি}\times\text{উচ্চতা}\)
\(=\frac{1}{2}\times 24\times 9\) ➜ \(\because AB=24cm.\)
এবং \(CE=9cm.\)
\(=12\times 9\)
\(=108\)
\(\therefore \triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল \(=108\) বর্গ সে.মি.।
তাহলে, \(\triangle{AEC}\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{108}{2}\) বর্গ সে.মি.।
\(=54\) বর্গ সে.মি.।
\(\therefore \triangle{AEC}=54\) বর্গ সে.মি.।
আবার, \(\sin{\theta}=\frac{CE}{AC}\)
\(=\frac{9}{15}\)
\(\therefore \sin{\theta}=\frac{3}{5}\)
\(\Rightarrow \theta=\sin^{-1}{\frac{3}{5}}\)
\(\therefore \theta=0.6435\) রেডিয়ান।
বৃত্তকলা \(ACF\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}r^2\theta\)
\(=\frac{1}{2}\times(15)^2\times0.6435\) ➜ \(\because r=15cm\)
এবং \(\theta=0.6435\) রেডিয়ান।
\(=\frac{1}{2}\times225\times0.6435\)
\(=\frac{225\times0.6435}{2}\)
\(=\frac{144.7875}{2}\)
\(=72.39\)
\(\therefore\) বৃত্তকলা \(ACF\) এর ক্ষেত্রফল \(=72.39\) বর্গ সে.মি. ।
\(CEF\) অংশের ক্ষেত্রফল \(=(\text{বৃত্তকলা} \ ACF \text{এর ক্ষেত্রফল}- \triangle{AEC} \ \text{এর ক্ষেত্রফল})\) বর্গ একক ।
\(=72.39- 54\) ➜ \(\therefore \) বৃত্তকলা \(ACF\) এর ক্ষেত্রফল \(=72.39\) বর্গ সে.মি. ।
এবং \(\triangle{AEC}=54\) বর্গ সে.মি.।
\(=18.39\)
\(\therefore CEF\) অংশের ক্ষেত্রফল \(=18.39\) বর্গ সে.মি. ।
ছায়াঘের অংশের ক্ষেত্রফল \(=4\times CEF \ \text{অংশের ক্ষেত্রফল }\) বর্গ সে.মি.।
\(=4\times 18.39\) ➜ \(\because CEF\) অংশের ক্ষেত্রফল \(=18.39\) বর্গ সে.মি. ।
\(=73.56\)
\(\therefore\) ছায়াঘের অংশের ক্ষেত্রফল \(=73.56\) বর্গ সে.মি.।
\(A\) ও \(B\) বৃত্ত দুইটির কেন্দ্র , \(AB=24cm.\)
এবং ব্যাসার্ধ \(r=AC=15cm.\)
এখানে, \(AE=\frac{1}{2}AB\)
\(=\frac{1}{2}\times24\)
\(=12\)
\(\therefore AE=12cm\)
\(\triangle{AEC}\) সমকোণী
\(\therefore AE^2+CE^2=AC^2\)
\(\Rightarrow 12^2+CE^2=15^2\)
\(\Rightarrow CE^2=15^2-12^2\)
\(\Rightarrow CE^2=225-144\)
\(\Rightarrow CE^2=81\)
\(\Rightarrow CE=\sqrt{81}\)
\(\therefore CE=9cm\)
\(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\times AB\times CE\) ➜ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ,
\(\triangle=\frac{1}{2}\times\text{ভূমি}\times\text{উচ্চতা}\)
\(=\frac{1}{2}\times 24\times 9\) ➜ \(\because AB=24cm.\)
এবং \(CE=9cm.\)
\(=12\times 9\)
\(=108\)
\(\therefore \triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল \(=108\) বর্গ সে.মি.।
তাহলে, \(\triangle{AEC}\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{108}{2}\) বর্গ সে.মি.।
\(=54\) বর্গ সে.মি.।
\(\therefore \triangle{AEC}=54\) বর্গ সে.মি.।
আবার, \(\sin{\theta}=\frac{CE}{AC}\)
\(=\frac{9}{15}\)
\(\therefore \sin{\theta}=\frac{3}{5}\)
\(\Rightarrow \theta=\sin^{-1}{\frac{3}{5}}\)
\(\therefore \theta=0.6435\) রেডিয়ান।
বৃত্তকলা \(ACF\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}r^2\theta\)
\(=\frac{1}{2}\times(15)^2\times0.6435\) ➜ \(\because r=15cm\)
এবং \(\theta=0.6435\) রেডিয়ান।
\(=\frac{1}{2}\times225\times0.6435\)
\(=\frac{225\times0.6435}{2}\)
\(=\frac{144.7875}{2}\)
\(=72.39\)
\(\therefore\) বৃত্তকলা \(ACF\) এর ক্ষেত্রফল \(=72.39\) বর্গ সে.মি. ।
\(CEF\) অংশের ক্ষেত্রফল \(=(\text{বৃত্তকলা} \ ACF \text{এর ক্ষেত্রফল}- \triangle{AEC} \ \text{এর ক্ষেত্রফল})\) বর্গ একক ।
\(=72.39- 54\) ➜ \(\therefore \) বৃত্তকলা \(ACF\) এর ক্ষেত্রফল \(=72.39\) বর্গ সে.মি. ।
এবং \(\triangle{AEC}=54\) বর্গ সে.মি.।
\(=18.39\)
\(\therefore CEF\) অংশের ক্ষেত্রফল \(=18.39\) বর্গ সে.মি. ।
ছায়াঘের অংশের ক্ষেত্রফল \(=4\times CEF \ \text{অংশের ক্ষেত্রফল }\) বর্গ সে.মি.।
\(=4\times 18.39\) ➜ \(\because CEF\) অংশের ক্ষেত্রফল \(=18.39\) বর্গ সে.মি. ।
\(=73.56\)
\(\therefore\) ছায়াঘের অংশের ক্ষেত্রফল \(=73.56\) বর্গ সে.মি.।
\(Q.2.(xxii)\) নিচের চিত্রের ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(104.72\) বর্গ সে.মি.(প্রায়)।
সমাধানঃ
চিত্রে দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ \(r=OB=OC=10cm.\)
এবং \(\angle{BAC}=60^{o}\)
\(\therefore \angle{BOC}=2\times\angle{BAC}\) ➜ বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুণ।
\(=2\times60^{o}\)
\(=120^{o}\)
\(=120\times\frac{\pi}{180}\) ➜ \(\because 1^{o}=\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান।
\(=2\times\frac{\pi}{3}\)
\(=\frac{2\pi}{3}\)
\(\therefore \theta=\angle{BAC}=\frac{2\pi}{3}\)
\(BECO\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}r^2\theta\) রেডিয়ান।
\(=\frac{1}{2}\times(10)^2\times \frac{2\pi}{3}\) ➜ \(\because r=10cm.\)
এবং \(\theta=\angle{BAC}=\frac{2\pi}{3}\) রেডিয়ান।
\(=\frac{1}{2}\times100\times \frac{2\pi}{3}\)
\(=50\times \frac{2\pi}{3}\)
\(=\frac{100\pi}{3}\)
\(=\frac{100\times3.1416}{3}\) যেখানে, \(\pi=3.1416\)
\(=\frac{314.16}{3}\)
\(=104.72\)
\(\therefore \text{ছায়াঘের অংশের ক্ষেত্রফল }=104.72\) বর্গ সে.মি.(প্রায়)।
ব্যাসার্ধ \(r=OB=OC=10cm.\)
এবং \(\angle{BAC}=60^{o}\)
\(\therefore \angle{BOC}=2\times\angle{BAC}\) ➜ বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুণ।
\(=2\times60^{o}\)
\(=120^{o}\)
\(=120\times\frac{\pi}{180}\) ➜ \(\because 1^{o}=\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান।
\(=2\times\frac{\pi}{3}\)
\(=\frac{2\pi}{3}\)
\(\therefore \theta=\angle{BAC}=\frac{2\pi}{3}\)
\(BECO\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}r^2\theta\) রেডিয়ান।
\(=\frac{1}{2}\times(10)^2\times \frac{2\pi}{3}\) ➜ \(\because r=10cm.\)
এবং \(\theta=\angle{BAC}=\frac{2\pi}{3}\) রেডিয়ান।
\(=\frac{1}{2}\times100\times \frac{2\pi}{3}\)
\(=50\times \frac{2\pi}{3}\)
\(=\frac{100\pi}{3}\)
\(=\frac{100\times3.1416}{3}\) যেখানে, \(\pi=3.1416\)
\(=\frac{314.16}{3}\)
\(=104.72\)
\(\therefore \text{ছায়াঘের অংশের ক্ষেত্রফল }=104.72\) বর্গ সে.মি.(প্রায়)।
\(Q.2.(xxiii)\) দুইটি সমকেন্দ্রিক বৃত্তের কেন্দ্র \(O\) এবং \(AB\) ও \(CD\) দুইটি বৃত্তচাপ। \(OA=6cm\) এবং \(AC=3cm\) হলে, ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর, যেখানে \(AOB\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(12\) বর্গ সে.মি.।
উত্তরঃ \(15\) বর্গ সে.মি.(প্রায়)।
সমাধানঃ
চিত্রে দেওয়া আছে,
দুইটি সমকেন্দ্রিক বৃত্তের কেন্দ্র \(O\) এবং \(AB\) ও \(CD\) দুইটি বৃত্তচাপ। \(OA=6cm\) এবং \(AC=3cm\)
এবং \(AOB\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(12\) বর্গ সে.মি.।
ধরি, \(\angle{AOB}=\theta\)
এবং ব্যাসার্ধ \(r_{1}=OA=6cm, \ r_{2}=OC=6+3=9cm \)
এখন, \(AOB\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}r_{1}^{2}\theta\)
\(=\frac{1}{2}\times6^{2}\theta\) ➜ \(\because r_{1}=OA=6cm\)
\(=\frac{1}{2}\times36\theta\)
\(=18\theta\)
\(\therefore AOB\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=18\theta\)
শর্তমতে, \(18\theta=12\) ➜ দেওয়া আছে,
\(AOB\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(12\) বর্গ সে.মি.।
\(\Rightarrow \theta=\frac{12}{18}\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{2}{3}\)
\(\therefore \theta=\frac{2}{3}\) রেডিয়ান।
\(COD\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}r_{2}^2\theta\)
\(=\frac{1}{2}\times9^2\times\frac{2}{3}\) ➜ \(\because r_{2}=9cm\)
এবং \(\theta=\frac{2}{3}\) রেডিয়ান।
\(=81\times\frac{1}{3}\)
\(=27\)
\(\therefore COD\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=27\) বর্গ সে.মি.।
ছায়াঘের অংশের ক্ষেত্রফল \(=(COD \ \text{বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল}-AOB \ \text{বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল})\) বর্গ সে.মি.।
\(=27-12\) ➜ \(\because COD\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=27\) বর্গ সে.মি.।
এবং \(AOB\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(12\) বর্গ সে.মি.।
\(=15\)
\(\therefore \) ছায়াঘের অংশের ক্ষেত্রফল \(=15\) বর্গ সে.মি.(প্রায়)।
দুইটি সমকেন্দ্রিক বৃত্তের কেন্দ্র \(O\) এবং \(AB\) ও \(CD\) দুইটি বৃত্তচাপ। \(OA=6cm\) এবং \(AC=3cm\)
এবং \(AOB\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(12\) বর্গ সে.মি.।
ধরি, \(\angle{AOB}=\theta\)
এবং ব্যাসার্ধ \(r_{1}=OA=6cm, \ r_{2}=OC=6+3=9cm \)
এখন, \(AOB\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}r_{1}^{2}\theta\)
\(=\frac{1}{2}\times6^{2}\theta\) ➜ \(\because r_{1}=OA=6cm\)
\(=\frac{1}{2}\times36\theta\)
\(=18\theta\)
\(\therefore AOB\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=18\theta\)
শর্তমতে, \(18\theta=12\) ➜ দেওয়া আছে,
\(AOB\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(12\) বর্গ সে.মি.।
\(\Rightarrow \theta=\frac{12}{18}\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{2}{3}\)
\(\therefore \theta=\frac{2}{3}\) রেডিয়ান।
\(COD\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}r_{2}^2\theta\)
\(=\frac{1}{2}\times9^2\times\frac{2}{3}\) ➜ \(\because r_{2}=9cm\)
এবং \(\theta=\frac{2}{3}\) রেডিয়ান।
\(=81\times\frac{1}{3}\)
\(=27\)
\(\therefore COD\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=27\) বর্গ সে.মি.।
ছায়াঘের অংশের ক্ষেত্রফল \(=(COD \ \text{বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল}-AOB \ \text{বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল})\) বর্গ সে.মি.।
\(=27-12\) ➜ \(\because COD\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=27\) বর্গ সে.মি.।
এবং \(AOB\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(12\) বর্গ সে.মি.।
\(=15\)
\(\therefore \) ছায়াঘের অংশের ক্ষেত্রফল \(=15\) বর্গ সে.মি.(প্রায়)।
\(Q.2.(xxiv)\) \(OAB\) একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। \(OA=5cm; \ C, \ OA\) এর মধ্যবিন্দু এবং \(O\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তচাপ \(CD\) হলে, ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(7.59\) বর্গ সে.মি.(প্রায়)।
সমাধানঃ
চিত্রে দেওয়া আছে,
\(OAB\) একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। \(OA=5cm; \ C, \ OA\) এর মধ্যবিন্দু এবং \(O\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তচাপ \(CD\)
\(\therefore r=\frac{OA}{2}\)
\(=\frac{5}{2}\)
\(=2.5cm\)
\(\therefore r=2.5cm\)
\(\angle{AOB}=90^{o}\) যেহেতু \(OAB\) একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
\(=90\times\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান। ➜ \(\because 1^{o}=\frac{\pi}{2}\) রেডিয়ান।
\(=\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore \theta=\angle{AOB}=\frac{\pi}{2}\)রেডিয়ান।
এখন, \(AOB\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\times OA\times OB\) ➜ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ,
\(\triangle=\frac{1}{2}\times\text{ভূমি}\times\text{উচ্চতা}\)
\(=\frac{1}{2}\times 5\times 5\) ➜ \(\because OA=OB=5cm\)
\(=\frac{1}{2}\times 25\)
\(=\frac{25}{2}\)
\(=12.5\)
\(\therefore AOB\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=12.5\) বর্গ সে.মি.
\(ODC\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}r^{2}\theta\)
\(=\frac{1}{2}\times(2.5)^{2}\times\frac{\pi}{2}\) ➜ \(\because r=2.5cm\)
এবং \(\theta=\frac{\pi}{2}\)
\(=\frac{1}{2}\times6.25\times\frac{\pi}{2}\)
\(=\frac{6.25\pi}{4}\)
\(=\frac{6.25\times3.1416}{4}\) যেখানে, \(\pi=3.1416\)
\(=\frac{19.635}{4}\)
\(=\frac{19.635}{4}\)
\(=4.90875\)
\(\therefore ODC\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=4.90875\)
ছায়াঘের অংশের ক্ষেত্রফল \(=(AOB \ \text{ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল}-ODC \ \text{বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল})\) বর্গ সে.মি.।
\(=12.5-4.90875\) ➜ \(\because AOB\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=12.5\) বর্গ সে.মি.।
এবং \(ODC\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(4.90875\) বর্গ সে.মি.।
\(=7.59125\)
\(\therefore \) ছায়াঘের অংশের ক্ষেত্রফল \(=7.59\) বর্গ সে.মি.(প্রায়)।
\(OAB\) একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। \(OA=5cm; \ C, \ OA\) এর মধ্যবিন্দু এবং \(O\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তচাপ \(CD\)
\(\therefore r=\frac{OA}{2}\)
\(=\frac{5}{2}\)
\(=2.5cm\)
\(\therefore r=2.5cm\)
\(\angle{AOB}=90^{o}\) যেহেতু \(OAB\) একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
\(=90\times\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান। ➜ \(\because 1^{o}=\frac{\pi}{2}\) রেডিয়ান।
\(=\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore \theta=\angle{AOB}=\frac{\pi}{2}\)রেডিয়ান।
এখন, \(AOB\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\times OA\times OB\) ➜ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ,
\(\triangle=\frac{1}{2}\times\text{ভূমি}\times\text{উচ্চতা}\)
\(=\frac{1}{2}\times 5\times 5\) ➜ \(\because OA=OB=5cm\)
\(=\frac{1}{2}\times 25\)
\(=\frac{25}{2}\)
\(=12.5\)
\(\therefore AOB\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=12.5\) বর্গ সে.মি.
\(ODC\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}r^{2}\theta\)
\(=\frac{1}{2}\times(2.5)^{2}\times\frac{\pi}{2}\) ➜ \(\because r=2.5cm\)
এবং \(\theta=\frac{\pi}{2}\)
\(=\frac{1}{2}\times6.25\times\frac{\pi}{2}\)
\(=\frac{6.25\pi}{4}\)
\(=\frac{6.25\times3.1416}{4}\) যেখানে, \(\pi=3.1416\)
\(=\frac{19.635}{4}\)
\(=\frac{19.635}{4}\)
\(=4.90875\)
\(\therefore ODC\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=4.90875\)
ছায়াঘের অংশের ক্ষেত্রফল \(=(AOB \ \text{ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল}-ODC \ \text{বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল})\) বর্গ সে.মি.।
\(=12.5-4.90875\) ➜ \(\because AOB\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=12.5\) বর্গ সে.মি.।
এবং \(ODC\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(4.90875\) বর্গ সে.মি.।
\(=7.59125\)
\(\therefore \) ছায়াঘের অংশের ক্ষেত্রফল \(=7.59\) বর্গ সে.মি.(প্রায়)।
\(Q.2.(xxv)\) চিত্রের \(OABC\) একটি অর্ধবৃত্ত। যার \(AB\) চাপের দৈর্ঘ্য \(3.14cm, \ \angle{AOB}=30^{o}\) এবং \(OB\) হলো এর ব্যাসার্ধ। \(BC\) চাপের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(15.7\) সে.মি.।
সমাধানঃ
চিত্রে দেওয়া আছে,
\(OABC\) একটি অর্ধবৃত্ত। যার \(AB\) চাপের দৈর্ঘ্য \(3.14cm, \ \angle{AOB}=30^{o}\) এবং \(OB\) হলো এর ব্যাসার্ধ।
চাপ \(s=AB=3.14cm\)
ধরি, ব্যাসার্ধ \(r=OB\)
কোণ \(\theta_{1}=\angle{AOB}=30^{o}\)
\(=30\times\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান। ➜ \(\because 1^{o}=\frac{\pi}{2}\) রেডিয়ান।
\(=\frac{\pi}{6}\)
\(\therefore \theta_{1}=\angle{AOB}=\frac{\pi}{6}\) রেডিয়ান।
আবার, \(\theta_{2}=\angle{BOC}=\pi-\angle{AOB}\)
\(=\pi-\frac{\pi}{6}\) ➜ \(\because \angle{AOB}=\frac{\pi}{6}\) রেডিয়ান।
\(=\frac{6\pi-\pi}{6}\)
\(=\frac{5\pi}{6}\)
\(\therefore \theta_{2}=\angle{BOC}=\frac{5\pi}{6}\) রেডিয়ান।
এখন, \(s=r\theta_{1}\)
\(\Rightarrow 3.14=r\times\frac{\pi}{6}\) ➜ \(\because\) চাপ \(s=AB=3.14cm\)
এবং \(\theta_{1}=\angle{AOB}=\frac{\pi}{6}\) রেডিয়ান।
\(\Rightarrow 3.14=\frac{r\pi}{6}\)
\(\Rightarrow r\pi=6\times3.14\)
\(\Rightarrow r=\frac{6\times3.14}{\pi}\)
\(\Rightarrow r=\frac{6\times3.14}{3.14}\) যেখানে, \(\pi=3.14\)
\(\therefore r=6cm\)
আবার, চাপ \(BC=r\theta_{2}\)
\(=6\times\frac{5\pi}{6}\) ➜ \(\because\) ব্যাসার্ধ \(r=6cm\)
এবং \(\theta_{2}=\angle{AOB}=\frac{5\pi}{6}\) রেডিয়ান।
\(=5\pi\)
\(=5\times3.14\) যেখানে, \(\pi=3.14\)
\(=15.70\)
\(\therefore \) চাপ \(BC=15.70\) সে.মি.।
\(OABC\) একটি অর্ধবৃত্ত। যার \(AB\) চাপের দৈর্ঘ্য \(3.14cm, \ \angle{AOB}=30^{o}\) এবং \(OB\) হলো এর ব্যাসার্ধ।
চাপ \(s=AB=3.14cm\)
ধরি, ব্যাসার্ধ \(r=OB\)
কোণ \(\theta_{1}=\angle{AOB}=30^{o}\)
\(=30\times\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান। ➜ \(\because 1^{o}=\frac{\pi}{2}\) রেডিয়ান।
\(=\frac{\pi}{6}\)
\(\therefore \theta_{1}=\angle{AOB}=\frac{\pi}{6}\) রেডিয়ান।
আবার, \(\theta_{2}=\angle{BOC}=\pi-\angle{AOB}\)
\(=\pi-\frac{\pi}{6}\) ➜ \(\because \angle{AOB}=\frac{\pi}{6}\) রেডিয়ান।
\(=\frac{6\pi-\pi}{6}\)
\(=\frac{5\pi}{6}\)
\(\therefore \theta_{2}=\angle{BOC}=\frac{5\pi}{6}\) রেডিয়ান।
এখন, \(s=r\theta_{1}\)
\(\Rightarrow 3.14=r\times\frac{\pi}{6}\) ➜ \(\because\) চাপ \(s=AB=3.14cm\)
এবং \(\theta_{1}=\angle{AOB}=\frac{\pi}{6}\) রেডিয়ান।
\(\Rightarrow 3.14=\frac{r\pi}{6}\)
\(\Rightarrow r\pi=6\times3.14\)
\(\Rightarrow r=\frac{6\times3.14}{\pi}\)
\(\Rightarrow r=\frac{6\times3.14}{3.14}\) যেখানে, \(\pi=3.14\)
\(\therefore r=6cm\)
আবার, চাপ \(BC=r\theta_{2}\)
\(=6\times\frac{5\pi}{6}\) ➜ \(\because\) ব্যাসার্ধ \(r=6cm\)
এবং \(\theta_{2}=\angle{AOB}=\frac{5\pi}{6}\) রেডিয়ান।
\(=5\pi\)
\(=5\times3.14\) যেখানে, \(\pi=3.14\)
\(=15.70\)
\(\therefore \) চাপ \(BC=15.70\) সে.মি.।
\(Q.2.(xxvi)\) চিত্রের বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(\frac{\pi}{2}\) বর্গ একক হলে, ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3\) একক।
সমাধানঃ
চিত্রে দেওয়া আছে,
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(A=\frac{\pi}{2}\) বর্গ একক
ধরি, ব্যাসার্ধ \(r=OA=OB\)
কোণ \(\theta=\angle{AOB}=20^{o}\)
\(=20\times\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান। ➜ \(\because 1^{o}=\frac{\pi}{2}\) রেডিয়ান।
\(=\frac{\pi}{9}\)
\(\therefore \theta=\angle{AOB}=\frac{\pi}{9}\) রেডিয়ান।
এখন, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(A=\frac{1}{2}r^2\theta\)
\(\Rightarrow \frac{\pi}{2}=\frac{1}{2}r^2\times\frac{\pi}{9}\) ➜ \(\because\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(A=\frac{\pi}{2}\) বর্গ একক
এবং \(\theta=\angle{AOB}=\frac{\pi}{9}\) রেডিয়ান।
\(\Rightarrow 1=r^2\times\frac{1}{9}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{r^2}{9}\)
\(\Rightarrow r^2=9\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{9}\)
\(\therefore r=3\)
\(\therefore\) ব্যাসার্ধ \(r=3\) একক
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(A=\frac{\pi}{2}\) বর্গ একক
ধরি, ব্যাসার্ধ \(r=OA=OB\)
কোণ \(\theta=\angle{AOB}=20^{o}\)
\(=20\times\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান। ➜ \(\because 1^{o}=\frac{\pi}{2}\) রেডিয়ান।
\(=\frac{\pi}{9}\)
\(\therefore \theta=\angle{AOB}=\frac{\pi}{9}\) রেডিয়ান।
এখন, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(A=\frac{1}{2}r^2\theta\)
\(\Rightarrow \frac{\pi}{2}=\frac{1}{2}r^2\times\frac{\pi}{9}\) ➜ \(\because\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(A=\frac{\pi}{2}\) বর্গ একক
এবং \(\theta=\angle{AOB}=\frac{\pi}{9}\) রেডিয়ান।
\(\Rightarrow 1=r^2\times\frac{1}{9}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{r^2}{9}\)
\(\Rightarrow r^2=9\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{9}\)
\(\therefore r=3\)
\(\therefore\) ব্যাসার্ধ \(r=3\) একক
\(Q.2.(xxvii)\) চিত্র হতে ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(30.02\) বর্গ সে.মি.।
সমাধানঃ
চিত্রে দেওয়া আছে,
বৃত্ত চাপ \(AB=16\) সে.মি.।
ধরি, ব্যাসার্ধ \(r=OA=OB=10\) সে.মি.।
কোণ \(\theta=\angle{AOB}\)
এখন, \(s=r\theta\)
\(\Rightarrow 16=10\theta\) ➜ \(\because\) চাপ \(s=AB=16cm\)
এবং ব্যাসার্ধ \(r=OA=OB=10\) সে.মি.।
\(\Rightarrow 10\theta=16\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{16}{10}\)
\(\Rightarrow \theta=1.6\) রেডিয়ান।
\(\Rightarrow \theta=1.6\times\frac{180}{\pi}\) ডিগ্রি ➜ \(\because 1 \ \text{রেডিয়ান}=\frac{180}{\pi}\) ডিগ্রি ।
\(\Rightarrow \theta=\left(\frac{288}{\pi}\right)^{o}\)
\(\Rightarrow \theta=\left(\frac{288}{3.14}\right)^{o}\) যেখানে, \(\pi=3.14\)
\(\therefore \theta=\angle{AOB}=91.72^{o}\)
এখন, \(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল,
\(=\frac{1}{2}\times OA\times OB\sin{\theta}\) ➜ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ,
\(\triangle=\frac{1}{2}ab\sin{C}\)
\(=\frac{1}{2}\times 10\times 10\sin{91.72^{o}}\) ➜ \(\because OA=OB=10\) সে.মি.।
এবং \(\theta=\angle{AOB}=91.72^{o}\)
\(=5\times 10\times0.99\)
\(=49.98\)
\(\therefore \triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল \(=49.98\) বর্গ সে.মি.।
এখন, \(AOB\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}r^2\theta\)
\(=\frac{1}{2}\times(10)^2\times1.6\) ➜ \(\because r=OA=OB=10\) সে.মি.।
এবং \(\theta=1.6\) রেডিয়ান।
\(=\frac{1}{2}\times100\times1.6\)
\(=50\times1.6\)
\(=80\)
\(\therefore AOB\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=80\) বর্গ সে.মি.।
ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল \(=( AOB \ \text{বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল}- \triangle{ABC} \ \text{এর ক্ষেত্রফল})\) বর্গ সে.মি.।
\(=80-49.98\) ➜ \(\because AOB\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=80\) বর্গ সে.মি.।
এবং \(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল \(=49.98\) বর্গ সে.মি.।
\(=30.02\)
\(\therefore \) ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল \(=30.02\) বর্গ সে.মি.।
বৃত্ত চাপ \(AB=16\) সে.মি.।
ধরি, ব্যাসার্ধ \(r=OA=OB=10\) সে.মি.।
কোণ \(\theta=\angle{AOB}\)
এখন, \(s=r\theta\)
\(\Rightarrow 16=10\theta\) ➜ \(\because\) চাপ \(s=AB=16cm\)
এবং ব্যাসার্ধ \(r=OA=OB=10\) সে.মি.।
\(\Rightarrow 10\theta=16\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{16}{10}\)
\(\Rightarrow \theta=1.6\) রেডিয়ান।
\(\Rightarrow \theta=1.6\times\frac{180}{\pi}\) ডিগ্রি ➜ \(\because 1 \ \text{রেডিয়ান}=\frac{180}{\pi}\) ডিগ্রি ।
\(\Rightarrow \theta=\left(\frac{288}{\pi}\right)^{o}\)
\(\Rightarrow \theta=\left(\frac{288}{3.14}\right)^{o}\) যেখানে, \(\pi=3.14\)
\(\therefore \theta=\angle{AOB}=91.72^{o}\)
এখন, \(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল,
\(=\frac{1}{2}\times OA\times OB\sin{\theta}\) ➜ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ,
\(\triangle=\frac{1}{2}ab\sin{C}\)
\(=\frac{1}{2}\times 10\times 10\sin{91.72^{o}}\) ➜ \(\because OA=OB=10\) সে.মি.।
এবং \(\theta=\angle{AOB}=91.72^{o}\)
\(=5\times 10\times0.99\)
\(=49.98\)
\(\therefore \triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল \(=49.98\) বর্গ সে.মি.।
এখন, \(AOB\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}r^2\theta\)
\(=\frac{1}{2}\times(10)^2\times1.6\) ➜ \(\because r=OA=OB=10\) সে.মি.।
এবং \(\theta=1.6\) রেডিয়ান।
\(=\frac{1}{2}\times100\times1.6\)
\(=50\times1.6\)
\(=80\)
\(\therefore AOB\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=80\) বর্গ সে.মি.।
ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল \(=( AOB \ \text{বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল}- \triangle{ABC} \ \text{এর ক্ষেত্রফল})\) বর্গ সে.মি.।
\(=80-49.98\) ➜ \(\because AOB\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=80\) বর্গ সে.মি.।
এবং \(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল \(=49.98\) বর্গ সে.মি.।
\(=30.02\)
\(\therefore \) ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল \(=30.02\) বর্গ সে.মি.।
\(Q.2.(xxviii)\) চিত্রে একটি অর্ধবৃত্ত দেখানো হলো। \(OB\) এবং ছায়াঘেরা অংশের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(5.14\) সে.মি.। \(37.41\) সে.মি.। \(88.32\) বর্গ সে.মি.।
সমাধানঃ
চিত্রে দেওয়া আছে,
ধরি, ব্যাসার্ধ \(r=OA=OD=8\) সে.মি.।
কোণ \(\angle{AOB}=50^{o}\)
\(\therefore \theta=\angle{AOD}=180^{o}-\angle{AOB}\)
\(=180^{o}-50^{o}\)
\(=130^{o}\)
\(=130\times\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান। ➜ \(\because 1^{o}=\frac{\pi}{2}\) রেডিয়ান।
\(=13\times\frac{13\pi}{18}\)
\(=\frac{13\pi}{18}\)
\(\therefore \theta=\angle{AOD}=\frac{13\pi}{18}\) রেডিয়ান।
\(\triangle{AOB}\) সমকোণী যার \(\angle{ABO}=90^{o}\)
\(\cos{AOB}=\frac{OB}{OA}\)
\(\Rightarrow \cos{50^{o}}=\frac{OB}{8}\) ➜ \(\because \angle{AOB}=50^{o}\)
এবং ব্যাসার্ধ \(OA=8\) সে.মি.।
\(\Rightarrow OB=8\cos{50^{o}}\)
\(\Rightarrow OB=8\times 0.64\)
\(\therefore OB=5.14\) সে.মি.।
\(\triangle{AOB}\) সমকোণী যার \(\angle{ABO}=90^{o}\)
\(\therefore AB^2+OB^2=OA^2\)
\(\Rightarrow AB^2=OA^2-OB^2\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{OA^2-OB^2}\)
\(=\sqrt{8^2-(5.14)^2}\) ➜ \(\because OA=8\) সে.মি.।
এবং \(OB=5.14\) সে.মি.।
\(=\sqrt{64-26.4196}\)
\(=\sqrt{37.58}\)
\(=6.13\)
\(\therefore AB=6.13\) সে.মি.।
এখন, চাপ \(AD=s=r\theta\)
\(=8\times\frac{13\pi}{18}\) ➜ \(\because r=OA=OD=8\) সে.মি.।
এবং \(\theta=\angle{AOD}=\frac{13\pi}{18}\) রেডিয়ান।
\(=4\times\frac{13\pi}{9}\)
\(=\frac{52\pi}{9}\)
\(=\frac{52\times3.14}{9}\) যেখানে, \(\pi=3.14\)
\(=\frac{163.28}{9}\)
\(\therefore \text{ চাপ } \ AD=18.14\) সে.মি.।
\(\therefore\) ছায়াঘেরা অংশের পরিসীমা \( =\text{ চাপ } \ AD+OD+OB+AB\)
\(=18.14+8+5.14+6.13\) ➜ \(\because AD=18.14\) সে.মি.।
\(OD=8\) সে.মি.।
\(OB=5.14\) সে.মি.।
এবং \(AB=6.13\)
\(=37.41\)
\(\therefore\) ছায়াঘেরা অংশের পরিসীমা \(=37.41\) সে.মি.।
এখন, \(AOD\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}r^2\theta\)
\(=\frac{1}{2}\times8^2\times\frac{13\pi}{18}\) ➜ \(\because r=OA=OD=8\) সে.মি.।
এবং \(\theta=\angle{AOD}=\frac{13\pi}{18}\) রেডিয়ান।
\(=\frac{1}{2}\times64\times\frac{13\pi}{18}\)
\(=16\times\frac{13\pi}{9}\)
\(=\frac{208\pi}{9}\)
\(=\frac{208\times3.14}{9}\) যেখানে, \(\pi=3.14\)
\(=\frac{653.12}{9}\)
\(=72.57\)
\(\therefore AOD\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=72.57\) বর্গ সে.মি.।
\(\therefore AOB\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\times AB\times OB\) ➜ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ,
\(\triangle=\frac{1}{2}\times\text{ভূমি}\times\text{উচ্চতা}\)
\(=\frac{1}{2}\times 6.13\times 5.14\) ➜ \(\because AB=6.13\) সে.মি.।
এবং \(AB=5.14\)
\(=\frac{1}{2}\times 31.5082\)
\(=\frac{31.5082}{2}\)
\(=15.75\)
\(\therefore AOB\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=15.75\) বর্গ সে.মি.।
\(\therefore\) ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল \(=(AOD \ \text{বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল}+AOB \ \text{ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল} )\) বর্গ সে.মি.।
\(=72.57+15.75 \) ➜ \(\because AOD\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=72.57\) বর্গ সে.মি.।
এবং \(AOB\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=15.75\) বর্গ সে.মি.।
\(=88.32\)
\(\therefore\) ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল \(=88.32\) বর্গ সে.মি.।
ধরি, ব্যাসার্ধ \(r=OA=OD=8\) সে.মি.।
কোণ \(\angle{AOB}=50^{o}\)
\(\therefore \theta=\angle{AOD}=180^{o}-\angle{AOB}\)
\(=180^{o}-50^{o}\)
\(=130^{o}\)
\(=130\times\frac{\pi}{180}\) রেডিয়ান। ➜ \(\because 1^{o}=\frac{\pi}{2}\) রেডিয়ান।
\(=13\times\frac{13\pi}{18}\)
\(=\frac{13\pi}{18}\)
\(\therefore \theta=\angle{AOD}=\frac{13\pi}{18}\) রেডিয়ান।
\(\triangle{AOB}\) সমকোণী যার \(\angle{ABO}=90^{o}\)
\(\cos{AOB}=\frac{OB}{OA}\)
\(\Rightarrow \cos{50^{o}}=\frac{OB}{8}\) ➜ \(\because \angle{AOB}=50^{o}\)
এবং ব্যাসার্ধ \(OA=8\) সে.মি.।
\(\Rightarrow OB=8\cos{50^{o}}\)
\(\Rightarrow OB=8\times 0.64\)
\(\therefore OB=5.14\) সে.মি.।
\(\triangle{AOB}\) সমকোণী যার \(\angle{ABO}=90^{o}\)
\(\therefore AB^2+OB^2=OA^2\)
\(\Rightarrow AB^2=OA^2-OB^2\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{OA^2-OB^2}\)
\(=\sqrt{8^2-(5.14)^2}\) ➜ \(\because OA=8\) সে.মি.।
এবং \(OB=5.14\) সে.মি.।
\(=\sqrt{64-26.4196}\)
\(=\sqrt{37.58}\)
\(=6.13\)
\(\therefore AB=6.13\) সে.মি.।
এখন, চাপ \(AD=s=r\theta\)
\(=8\times\frac{13\pi}{18}\) ➜ \(\because r=OA=OD=8\) সে.মি.।
এবং \(\theta=\angle{AOD}=\frac{13\pi}{18}\) রেডিয়ান।
\(=4\times\frac{13\pi}{9}\)
\(=\frac{52\pi}{9}\)
\(=\frac{52\times3.14}{9}\) যেখানে, \(\pi=3.14\)
\(=\frac{163.28}{9}\)
\(\therefore \text{ চাপ } \ AD=18.14\) সে.মি.।
\(\therefore\) ছায়াঘেরা অংশের পরিসীমা \( =\text{ চাপ } \ AD+OD+OB+AB\)
\(=18.14+8+5.14+6.13\) ➜ \(\because AD=18.14\) সে.মি.।
\(OD=8\) সে.মি.।
\(OB=5.14\) সে.মি.।
এবং \(AB=6.13\)
\(=37.41\)
\(\therefore\) ছায়াঘেরা অংশের পরিসীমা \(=37.41\) সে.মি.।
এখন, \(AOD\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}r^2\theta\)
\(=\frac{1}{2}\times8^2\times\frac{13\pi}{18}\) ➜ \(\because r=OA=OD=8\) সে.মি.।
এবং \(\theta=\angle{AOD}=\frac{13\pi}{18}\) রেডিয়ান।
\(=\frac{1}{2}\times64\times\frac{13\pi}{18}\)
\(=16\times\frac{13\pi}{9}\)
\(=\frac{208\pi}{9}\)
\(=\frac{208\times3.14}{9}\) যেখানে, \(\pi=3.14\)
\(=\frac{653.12}{9}\)
\(=72.57\)
\(\therefore AOD\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=72.57\) বর্গ সে.মি.।
\(\therefore AOB\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\times AB\times OB\) ➜ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ,
\(\triangle=\frac{1}{2}\times\text{ভূমি}\times\text{উচ্চতা}\)
\(=\frac{1}{2}\times 6.13\times 5.14\) ➜ \(\because AB=6.13\) সে.মি.।
এবং \(AB=5.14\)
\(=\frac{1}{2}\times 31.5082\)
\(=\frac{31.5082}{2}\)
\(=15.75\)
\(\therefore AOB\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=15.75\) বর্গ সে.মি.।
\(\therefore\) ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল \(=(AOD \ \text{বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল}+AOB \ \text{ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল} )\) বর্গ সে.মি.।
\(=72.57+15.75 \) ➜ \(\because AOD\) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \(=72.57\) বর্গ সে.মি.।
এবং \(AOB\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=15.75\) বর্গ সে.মি.।
\(=88.32\)
\(\therefore\) ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল \(=88.32\) বর্গ সে.মি.।
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000007