ত্রিকোণমিতিক বা বৃত্তীয় ফাংশনের লেখচিত্র
barcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
সার সংক্ষেপ
ত্রিকোণমিতিক বা বৃত্তীয় ফাংশন ত্রিকোণমিতিক বা বৃত্তীয় ফাংশনের ডোমেন ও রেঞ্জ ত্রিকোণমিতিক বা বৃত্তীয় ফাংশনের পর্যায়কাল যুক্ত ফাংশনের পর্যায়কাল ত্রিকোণমিতিক বা বৃত্তীয় ফাংশনের মাণের পরিবর্তন ত্রিকোণমিতিক বা বৃত্তীয় ফাংশনের লেখচিত্র \(y=\sin{x}, \ -2\pi\leq{x}\leq{2\pi}\) ফাংশনের লেখচিত্র \(y=\cos{x}, \ -2\pi\leq{x}\leq{2\pi}\) ফাংশনের লেখচিত্র \(y=\tan{x}, \ -\frac{\pi}{2}\leq{x}\leq{\frac{\pi}{2}}\) ফাংশনের লেখচিত্র \(y=cosec \ {x}, \ -\pi\leq{x}\leq{\pi}\) ফাংশনের লেখচিত্র \(y=\sec{x}, \ -\pi\leq{x}\leq{\pi}\) ফাংশনের লেখচিত্র \(y=\cot{x}, \ -\pi\leq{x}\leq{\pi}\) ফাংশনের লেখচিত্র \(y=\tan{x}, \ -\frac{3\pi}{2}\leq{x}\leq{\frac{3\pi}{2}}\) ফাংশনের লেখচিত্র।
ত্রিকোণমিতিক বা বৃত্তীয় ফাংশন
Trigonometric or Circular function
কোণ পরিমাপের বৃত্তীয় একক হচ্ছে রেডিয়ান। ত্রিকোণমিতিক ফাংশনসমূহ যেমনঃ \(\sin{\theta}, \ \cos{\theta}, ....\) ইত্যাদির কোণ \(\theta\) কে সাধারণত রেডিয়ানে পরিমাপ করা হয়। এ জন্য এ ফাংশনগুলি বৃত্তীয় ফাংশন নামে পরিচিত।
ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির মধ্যে \(\tan{\theta}, \ cosec \ {\theta}, \ \sec{\theta}, \ \cot{\theta}\) ইত্যাদিকে \(\sin{\theta}, \ \cos{\theta}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়। আবার, যে কোনো বৃত্তের সমীকরণকে \(\sin{\theta}, \ \cos{\theta}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ করা যায় বিধায় ফাংশনগুলিকে বৃত্তীয় ফাংশন বলা হয়ে থাকে।
যেমনঃ \(x^2+y^2=5^2\) বৃত্তকে \(x=5\cos{\theta}, \ y=5\sin{\theta}\) দ্বারা,
\(x^2+y^2=7^2\) বৃত্তকে \(x=7\cos{\theta}, \ y=7\sin{\theta}\) দ্বারা,
\((x-2)^2+(y-1)^2=2^2\) বৃত্তকে \(x-2=2\cos{\theta}, \ y-1=2\sin{\theta}\) দ্বারা প্রকাশ করা যায়।
ত্রিকোণমিতিক বা বৃত্তীয় ফাংশনের ডোমেন ও রেঞ্জ
Domain and Range of Trigonometric or Circular function
straight3 বৃত্তীয় ফাংশনের ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয়ের জন্য প্রথমে ফাংশনগুলিকে সংজ্ঞায়িত করা প্রয়োজন। যে কোনো \(\theta\) কোণের জন্য ঘূর্ণায়মান সরলরেখার শেষ অবস্থানের ওপর \(P(x,y)\) একটি বিন্দু হলে,
\(\sin{\theta}=\frac{y}{r}, \ \cos{\theta}=\frac{x}{r}, \ \tan{\theta}=\frac{y}{x}, \ cosec \ {\theta}=\frac{r}{y}, \ \sec{\theta}=\frac{r}{x}, \ \cot{\theta}=\frac{x}{y}\) যেখানে, \(r=\sqrt{x^2+y^2}\)
এখন, \(\theta\) কোণের অবস্থান যে কোনো চতুর্ভাগে হতে পারে বিধায় \(x\) ও \(y\) এর মাণ ধনাত্মক ও ঋণাত্মক হতে পারে। এমনকি ঘূর্ণায়মান সরলরেখা অক্ষের সাথে মিলিয়ে গেলে \(x\) অথবা \(y\) এর মাণ শূন্যও হতে পারে।
\(\theta\) এর যে কোনো বাস্তব মাণের জন্য \(\sin{\theta}\) ও \(\cos{\theta}\) এর বাস্তব মাণ পাওয়া যায়।
কাজেই
\(\sin{\theta}\) ও \(\cos{\theta}\) উভয়ের ডোমেন \(=\mathbb{R}\)
যখন \(x\) ও \(y\) উভয়ে ধণাত্মক, তখন \(\frac{x}{r}\lt{1}\) এবং \(\frac{y}{r}\lt{1}.\)
আবার, যখন \(x\) ও \(y\) উভয়ে ঋণাত্মক অথবা পরস্পর বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট, তখন \(\frac{x}{r}\gt{-1}\) এবং \(\frac{y}{r}\gt{-1}.\)
\(x\ne{0}\) এবং \(y\ne{0}\) হলে,
অর্থাৎ কোণ উৎপাদনকারী ঘূর্ণায়মান সরলরেখার অবস্থান যে কোনো চতুর্ভাগে হোক না কেন,
\(-1\lt{\sin{\theta}}\lt{1}\)
এবং
\(-1\lt{\cos{\theta}}\lt{1}\)
\(x=0\) এবং \(y\) ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হলে, কোণ উৎপাদনকারী ঘূর্ণায়মান সরলরেখা আদিরেখার সাথে \(\frac{\pi}{2}\) বা \(\frac{3\pi}{2}\) কোণ উৎপন্ন করে।
সে ক্ষেত্রে \(\sin{\frac{\pi}{2}}=1, \ \sin{\frac{3\pi}{2}}=-1, \ \cos{\frac{\pi}{2}}=0, \ \cos{\frac{3\pi}{2}}=0\)
আবার, \(y=0\) এবং \(x\) ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হলে, কোণ উৎপাদনকারী ঘূর্ণায়মান সরলরেখা আদিরেখার সাথে \(0, \ \pi\) বা \(2\pi\) কোণ উৎপন্ন করে।
সে ক্ষেত্রে \(\sin{0}=0, \ \sin{\pi}=0, \ \sin{2\pi}=0, \ \cos{0}=1, \ \cos{\pi}=-1, \ \cos{2\pi}=1\)
সুতরাং \(0\leq{\theta}\leq{2\pi}\) ব্যবধিতে যে কোনো কোণের জন্য
\(-1\leq{\sin{\theta}}\leq{1}\)
এবং
\(-1\leq{\cos{\theta}}\leq{1}\)
কাজেই
\(\sin{\theta}\) ও \(\cos{\theta}\) উভয়ের রেঞ্জ \(=[-1, 1]\)
\(\cos{\theta}=0\) অর্থাৎ \(\theta=\pm{(2n-1)\frac{\pi}{2}}, \ n\in{\mathbb{N}}\) এর জন্য
\(\tan{\theta}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}=\infty\)
সুতরাং \(\theta=\pm{(2n-1)\frac{\pi}{2}}, \ n\in{\mathbb{N}}\) এর জন্য
\(\tan{\theta}\) এর ডোমেন \(=\mathbb{R}-\{\pm{(2n-1)\frac{\pi}{2}}, \ n\in{\mathbb{N}}\}\)
আবার, \(x\ne{0}, \ x\) ও \(y\) একই চিহ্নবিশিষ্ট হলে, এবং \(x\) কে স্থির রেখে \(y\) কে ক্রমাগতভানে বৃদ্ধি করলে
অর্থাৎ \(y\rightarrow{\infty}\) হলে, \(\tan{\theta}=\frac{y}{x}\rightarrow{\infty}\) হয়।
আবার, \(y\) কে স্থির রেখে \(x\) কে ক্রমাগতভানে হ্রাস করলেও
\(\tan{\theta}=\frac{y}{x}\rightarrow{\infty}\) হয়।
অন্যথায় \(x\) ও \(y\) বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট হলে, এবং \(x\) কে স্থির রেখে \(y\) কে ক্রমাগতভানে বৃদ্ধি
অথবা, \(y\) কে স্থির রেখে \(x\) কে ক্রমাগতভানে হ্রাস করলেও
\(\tan{\theta}=\frac{y}{x}\rightarrow{-\infty}\) হয়।
অর্থাৎ
\(-\infty\lt{\tan{\theta}}\lt{\infty}\)
কাজেই
\(\tan{\theta}\) এর রেঞ্জ \(=\mathbb{R}\)
যেহেতু \(\tan{\theta}=0\Rightarrow \cot{\theta}=\infty\)
অর্থাৎ \(\tan{\theta}=0\) অথবা, \(\theta=\pm{(n-1)\pi}, \ n\in{\mathbb{N}}\) এর জন্য
\(\cot{\theta}=\infty\) হয়।
কাজেই
\(\cot{\theta}\) এর ডোমেন \(=\mathbb{R}-\{\pm{(n-1)\pi}, \ n\in{\mathbb{N}}\}\)
এখন, \(-\infty\lt{\tan{\theta}}\lt{-0}\)
\(\Rightarrow -\frac{1}{0}\lt{\frac{1}{\cot{\theta}}}\lt{-0}\)
\(\Rightarrow -\frac{0}{1}\gt{\frac{\cot{\theta}}{1}}\gt{-\frac{1}{0}}\)
\(\therefore 0\gt{\cot{\theta}}\gt{-\infty}\)
আবার, \(+0\lt{\tan{\theta}}\lt{+\infty}\)
\(\Rightarrow +0\lt{\frac{1}{\cot{\theta}}}\lt{+\frac{1}{0}}\)
\(\Rightarrow +\frac{1}{0}\gt{\frac{\cot{\theta}}{1}}\gt{+\frac{0}{1}}\)
\(\therefore +\infty\gt{\cot{\theta}}\gt{0}\)
সতুরাং \(-\infty\lt{\cot{\theta}}\lt{+\infty}\)
কাজেই
\(\cot{\theta}\) এর রেঞ্জ \(=\mathbb{R}\)
যেহেতু \(\cos{\theta}=0\Rightarrow \sec{\theta}=\infty\)
অর্থাৎ \(\cos{\theta}=0\) অথবা, \(\theta=\pm{(2n-1)\frac{\pi}{2}}, \ n\in{\mathbb{N}}\) এর জন্য
\(\sec{\theta}=\infty\) হয়।
কাজেই
\(\sec{\theta}\) এর ডোমেন \(=\mathbb{R}-\{\pm{(2n-1)\frac{\pi}{2}}, \ n\in{\mathbb{N}}\}\)
এখন, \(\sec{\theta}=\frac{r}{x}\)
ফলে, \(x\) ও \(y\) ধনাত্মক হলে, \(\frac{r}{x}\gt{1}\)
এবং \(x\) ও \(y\) উভয়ে ঋণাত্মক বা পরস্পর বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট হলে , \(\frac{r}{x}\lt{-1}\)
অর্থাৎ \(\sec{\theta}\) এর মাণ \((-1, 1)\) ব্যবধিতে বিদ্যমান নেই।
কাজেই
\(\sec{\theta}\) এর রেঞ্জ \(=\mathbb{R}-(-1,1)\)
যেহেতু \(\sin{\theta}=0\Rightarrow cosec \ {\theta}=\infty\)
অর্থাৎ \(\sin{\theta}=0\) অথবা, \(\theta=\pm{(n-1)\pi}, \ n\in{\mathbb{N}}\) এর জন্য
\(cosec \ {\theta}=\infty\) হয়।
কাজেই
\(cosec \ {\theta}\) এর ডোমেন \(=\mathbb{R}-\{\pm{(n-1)\pi}, \ n\in{\mathbb{N}}\}\)
এখন, \(cosec \ {\theta}=\frac{r}{y}\)
ফলে, \(x\) ও \(y\) ধনাত্মক হলে, \(\frac{r}{y}\gt{1}\)
এবং \(x\) ও \(y\) উভয়ে ঋণাত্মক বা পরস্পর বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট হলে , \(\frac{r}{y}\lt{-1}\)
অর্থাৎ \(cosec \ {\theta}\) এর মাণ \((-1, 1)\) ব্যবধিতে বিদ্যমান নেই।
কাজেই
\(cosec \ {\theta}\) এর রেঞ্জ \(=\mathbb{R}-(-1,1)\)
ত্রিকোণমিতিক বা বৃত্তীয় ফাংশনের পর্যায়কাল
Pariod of Trigonometric or Circular function
\(f(\theta)\) ফাংশনকে পর্যায়ী বলা হয় যদি \(f(M+\theta)=f(\theta)\) হয় এবং \(M\) এর সর্বনিম্ন যে মাণের জন্য সম্পর্কটি সত্য হয় তাকে ফাংশনটির পর্যায়কাল বলে।
\(\sin{\theta}, \ \cos{\theta}\) ফাংশনদ্বয় পর্যায়ী এবং এদের পর্যায়কাল \(2\pi\)
কেননা, \(\sin{\theta}=\sin{(2\pi+\theta)}=\sin{(4\pi+\theta)}=\sin{(6\pi+\theta)}=......\)
এবং \(\cos{\theta}=\cos{(2\pi+\theta)}=\cos{(4\pi+\theta)}=\cos{(6\pi+\theta)}=......\)
অনুরূপভাবে,
\(\sec{\theta}, \ cosec \ {\theta}\) ফাংশনদ্বয় পর্যায়ী এবং এদের পর্যায়কাল \(2\pi,\)
\(\tan{\theta}, \ \cot{\theta}\) ফাংশনদ্বয় পর্যায়ী এবং এদের পর্যায়কাল \(\pi\)
কেননা, \(\tan{\theta}=\tan{(\pi+\theta)}=\tan{(2\pi+\theta)}=\tan{(3\pi+\theta)}=......\)
এবং \(\cot{\theta}=\cot{(\pi+\theta)}=\cot{(2\pi+\theta)}=\cot{(3\pi+\theta)}=......\)
কোনো পর্যায়ী মূল ফাংশনের পর্যায়কে প্রদত্ত ফাংশনের \(\theta\) এর সহগ দ্বারা ভাগ করে প্রদত্ত ফাংশনের পর্যায় পাওয়া যায়।
যেমনঃ \(\sin{\theta}\) এর পর্যায়কাল \(2\pi\)
\(\therefore \sin{(5\theta+2)}\) এর পর্যায়কাল \(=\frac{2\pi}{5}\)
\(\sin^2{(7\theta+1)}\) এর পর্যায়কাল \(=\frac{2\pi}{7}\)
এবং
\(\sin^n{(P\theta+Q)}\) এর পর্যায়কাল \(=\frac{2\pi}{P}\)
\(\cos{\theta}\) এর পর্যায়কাল \(2\pi\)
\(\therefore \cos{(8\theta+2)}\) এর পর্যায়কাল \(=\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}\)
\(\cos^2{(9\theta+1)}\) এর পর্যায়কাল \(=\frac{2\pi}{9}\)
এবং
\(\cos^n{(P\theta+Q)}\) এর পর্যায়কাল \(=\frac{2\pi}{P}\)
\(\sec{\theta}\) এর পর্যায়কাল \(2\pi\)
\(\therefore \sec{(3\theta+2)}\) এর পর্যায়কাল \(=\frac{2\pi}{3}\)
\(\sec^2{(9\theta+1)}\) এর পর্যায়কাল \(=\frac{2\pi}{9}\)
এবং
\(\sec^n{(P\theta+Q)}\) এর পর্যায়কাল \(=\frac{2\pi}{P}\)
\(cosec \ {\theta}\) এর পর্যায়কাল \(2\pi\)
\(\therefore cosec \ {(3\theta+2)}\) এর পর্যায়কাল \(=\frac{2\pi}{3}\)
\(cosec^2{(9\theta+1)}\) এর পর্যায়কাল \(=\frac{2\pi}{9}\)
এবং
\(cosec^n{(P\theta+Q)}\) এর পর্যায়কাল \(=\frac{2\pi}{P}\)
\(\tan{\theta}\) এর পর্যায়কাল \(\pi\)
\(\therefore \tan{(3\theta+2)}\) এর পর্যায়কাল \(=\frac{\pi}{3}\)
\(\tan^2{(9\theta+1)}\) এর পর্যায়কাল \(=\frac{\pi}{9}\)
এবং
\(\tan^n{(P\theta+Q)}\) এর পর্যায়কাল \(=\frac{\pi}{P}\)
\(\cot{\theta}\) এর পর্যায়কাল \(\pi\)
\(\therefore \cot{(5\theta+2)}\) এর পর্যায়কাল \(=\frac{\pi}{5}\)
\(\cot^2{(6\theta+1)}\) এর পর্যায়কাল \(=\frac{\pi}{6}\)
এবং
\(\cot^n{(P\theta+Q)}\) এর পর্যায়কাল \(=\frac{\pi}{P}\)
যুক্ত ফাংশনের পর্যায়কাল
Period of added function
\(\sin{\theta}, \ \cos{\theta}\) ফাংশনদ্বয় পর্যায়ী এবং এদের পর্যায়কাল \(2\pi\)
এখন, \(f(\theta)=\sin{\theta}+\cos{\theta}\) ফাংশনটির পর্যায়কাল \(2\pi\) এবং \(2\pi\) এর ল.সা.গু \(2\pi\)
\(f(\theta)=\sin{(2\theta)}+\cos{\theta}\) ফাংশনটির পর্যায়কাল \(\frac{2\pi}{2}=\pi\) এবং \(2\pi\) এর ল.সা.গু \(2\pi\)
\(f(\theta)=\sin{(2\theta)}+\cos^2{(2\theta)}\) ফাংশনটির পর্যায়কাল \(\frac{2\pi}{2}=\pi\) এবং \(\frac{2\pi}{2}=\pi\) এর ল.সা.গু \(\pi\)
\(f(\theta)=\sin^2{(3\theta)}+\cos{(5\theta)}\) ফাংশনটির পর্যায়কাল \(\frac{2\pi}{3}\) এবং \(\frac{2\pi}{5}\) এর ল.সা.গু \(\frac{\text{লবগুলোর ল.সা.গু}}{\text{হরগুলোর গ.সা.গু}}=\frac{2\pi}{1}=2\pi\)
\(f(\theta)=\sin^3{(6\theta+2)}+\cos^4{(9\theta+3)}\) ফাংশনটির পর্যায়কাল \(\frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{3}\) এবং \(\frac{2\pi}{9}\) এর ল.সা.গু \(\frac{\text{লবগুলোর ল.সা.গু}}{\text{হরগুলোর গ.সা.গু}}=\frac{2\pi}{3}\)
\(f(\theta)=\sin^n{(P\theta+Q)}+\cos^n{(M\theta+N)}\) ফাংশনটির পর্যায়কাল,
\(\frac{2\pi}{P}\) এবং \(\frac{2\pi}{M}\) এর ল.সা.গু \(\frac{\text{লবগুলোর ল.সা.গু}}{\text{হরগুলোর গ.সা.গু}}=\frac{2\pi}{P, \ M \ \text{এর গ.সা.গু}}\)
অনুরূপভাবে,
\(\sin{\theta}, \ \tan{\theta}\) ফাংশনদ্বয় পর্যায়ী এবং এদের পর্যায়কাল যথাক্রমে \(2\pi\) এবং \(\pi\)
\(f(\theta)=\sin^n{(P\theta+Q)}+\tan^n{(M\theta+N)}\) ফাংশনটির পর্যায়কাল,
\(\frac{2\pi}{P}\) এবং \(\frac{\pi}{M}\) এর ল.সা.গু \(\frac{\text{লবগুলোর ল.সা.গু}}{\text{হরগুলোর গ.সা.গু}}=\frac{2\pi}{P, \ M \ \text{এর গ.সা.গু}}\)
\(\cos{\theta}, \ \tan{\theta}\) ফাংশনদ্বয় পর্যায়ী এবং এদের পর্যায়কাল যথাক্রমে \(2\pi\) এবং \(\pi\)
\(f(\theta)=\cos^n{(P\theta+Q)}+\tan^n{(M\theta+N)}\) ফাংশনটির পর্যায়কাল,
\(\frac{2\pi}{P}\) এবং \(\frac{\pi}{M}\) এর ল.সা.গু \(\frac{\text{লবগুলোর ল.সা.গু}}{\text{হরগুলোর গ.সা.গু}}=\frac{2\pi}{P, \ M \ \text{এর গ.সা.গু}}\)
\(\cot{\theta}, \ \sec{\theta}\) ফাংশনদ্বয় পর্যায়ী এবং এদের পর্যায়কাল যথাক্রমে \(\pi\) এবং \(2\pi\)
\(f(\theta)=\cot^n{(P\theta+Q)}+\sec^n{(M\theta+N)}\) ফাংশনটির পর্যায়কাল,
\(\frac{\pi}{P}\) এবং \(\frac{2\pi}{M}\) এর ল.সা.গু \(\frac{\text{লবগুলোর ল.সা.গু}}{\text{হরগুলোর গ.সা.গু}}=\frac{2\pi}{P, \ M \ \text{এর গ.সা.গু}}\)
\(\cot{\theta}, \ \sec{\theta}, \ cosec \ {\theta}\) ফাংশনগুলি পর্যায়ী এবং এদের পর্যায়কাল যথাক্রমে \(\pi, \ 2\pi\) এবং \(2\pi\)
\(f(\theta)=\cot^n{(P\theta+Q)}+\sec^n{(M\theta+N)}+cosec^n{(R\theta+S)}\) ফাংশনটির পর্যায়কাল,
\(\frac{\pi}{P}, \ \frac{2\pi}{M}\) এবং \(\frac{2\pi}{R}\) এর ল.সা.গু \(\frac{\text{লবগুলোর ল.সা.গু}}{\text{হরগুলোর গ.সা.গু}}=\frac{2\pi}{P, \ M, \ R \ \text{এর গ.সা.গু}}\)
\(\cos{\theta}, \ \tan{\theta}, \ \sin{\theta}\) ফাংশনগুলি পর্যায়ী এবং এদের পর্যায়কাল যথাক্রমে \(2\pi, \ \pi\) এবং \(2\pi\)
\(f(\theta)=\cos^n{(P\theta+Q)}+\tan^n{(M\theta+N)}+\sin^n{(R\theta+S)}\) ফাংশনটির পর্যায়কাল,
\(\frac{2\pi}{P}, \ \frac{\pi}{M}\) এবং \(\frac{2\pi}{R}\) এর ল.সা.গু \(\frac{\text{লবগুলোর ল.সা.গু}}{\text{হরগুলোর গ.সা.গু}}=\frac{2\pi}{P, \ M, \ R \ \text{এর গ.সা.গু}}\)
\(------------------\)
\(------------------\)
ত্রিকোণমিতিক বা বৃত্তীয় ফাংশনের মাণের পরিবর্তন
Change of the values of Trigonometric or Circular function
straight3 কোণের মাণের পরিবর্তনের সঙ্গে সঙ্গে ত্রিকোণমিতিক অনুপাত \(\sin{\theta}, \ \cos{\theta}, \ \tan{\theta}\) প্রভৃতির মাণের পরিবর্তন হয়।
ধরি, \(O\) বিন্দুকে কেন্দ্র করে যে কোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত আঁকা হয়েছে এবং বৃত্তের \(XOX^{\prime}\) ও \(YOY^{\prime}\) ব্যাস দুইটি \(O\) বিন্দুতে পরস্পরকে সমকোণে ছেদ করেছে। আদি অবস্থান \(OX\) হতে একটি রেখাংশ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘুরে ক্রমশ \(0^{o}\) হতে শুরু করে \(360^{o}\) পরিমাণ কোণে ঘুরে আসলে তা পুনরায় আদি বা পূর্বাবস্থানে ফিরে আসে। রেখাংশের এই আবর্তনের বিভিন্ন অবস্থানে ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলির মানও ভিন্ন ভিন্ন হয়।
straight3 sine অনুপাতের পরিবর্তনঃ
চিত্রে হতে \(\sin{\theta}=\frac{y}{r}\)
চিত্রে, প্রথম চতুর্ভাগে \(\angle{MOP}=\theta=0^{o}\) হলে \(y=0\) হয়
এবং \(0^{o}\) কোণের সাইন অনুপাতের মাণ শূন্য হয়। অর্থাৎ \(\sin{0^{o}}=\frac{0}{r}=0\)
\(\theta=90^{o}\) হলে \(y=r\) হয়
সে ক্ষেত্রে \(\sin{90^{o}}=\frac{r}{r}=1\)
সুতরাং \(\theta\) এর মাণ যখন \(0^{o}\) থেকে ক্রমাগত বৃদ্ধি পেয়ে \(90^{o}\) হয় তখন \(\sin{\theta}\) এর মাণও ক্রমাগত বৃদ্ধি পেয়ে \(1\) হয়।
দ্বিতীয় চতুর্ভাগে \(\theta\) যতই বৃদ্ধি পায় \(y\) ততই ক্রমাগত হ্রাস পায় এবং \(\theta=180^{o}\) হলে, \(y=0\) হয় ।
সুতরাং \(\sin{180^{o}}=\frac{0}{r}=0\)
তৃতীয় চতুর্ভাগে \(y\) ঋণাত্মক এবং \(\theta\) এর মাণ বৃদ্ধির সাথে সাথে \(y=0\) এর পরিমাণ ক্রমাগত বৃদ্ধি পায় ফলে \(\frac{-y}{r}\) এর মাণ ক্রমাগত হ্রাস পায় এবং \(\theta=270^{o}\) হলে \(y=-r\) হয় ।
সুতরাং \(\sin{270^{o}}=\frac{-r}{r}=-1\)
চতুর্থ চতুর্ভাগে \(\theta\) বৃদ্ধির সাথে সাথে \(y\) ঋণাত্মক হতে থাকে এবং \(y\) এর মাণ ক্রমাগত হ্রাস পায়, ফলে \(\frac{-y}{r}\) এর মাণ বৃদ্ধি পায়। \(\theta=360^{o}\) হলে \(y=0\) হয় ।
সুতরাং \(\sin{360^{o}}=\frac{0}{r}=0\)
উপরোক্ত আলোচনা থেকে দেখা যায় যে, \(\theta\) এর মাণ \(0^{o}\) থেকে \(360^{o}\) পর্যন্ত পরিবর্তনের সঙ্গে সঙ্গে \(\sin{\theta}\) এর মাণ শূন্য থেকে বৃদ্ধি পেয়ে \(1\) হয়। আবার হ্রাস পেয়ে শূন্য হয় এবং আরও হ্রাস পেয়ে \(-1\) হয় এবং এর পর আবার বৃদ্ধি পেয়ে শূন্য হয়।
অর্থাৎ \(\sin{\theta}\) এর \(-1\) থেকে \(+1\) পর্যন্ত সকল বাস্তব সংখ্যা হতে পারে।
cosine অনুপাতের পরিবর্তনঃ
উপরোক্ত পদ্ধতিতে অগ্রসর হলে দেখা যায় \(\cos{0^{o}}=1\) এবং প্রথম চতুর্ভাগে \(\theta\) এর মাণ যখন \(0^{o}\) থেকে ক্রমাগত বৃদ্ধি পেয়ে \(90^{o}\) হয় তখন \(\cos{\theta}\) এর মাণ \(1\) থেকে হ্রাস পেয়ে শূন্য হয়। অতঃপর দ্বিতীয় ও তৃতীয় চতুর্ভাগে \(\cos{\theta}\) ঋণাত্মক এবং এর মাণ পর্যায়ক্রমে হ্রাস পেয়ে \(-1\) ও বৃদ্ধি পেয়ে শূন্য হয়ে যায় এবং চতুর্থ চতুর্ভাগে \(\cos{\theta}\) ধনাত্মক এবং বৃদ্ধি পেয়ে পূর্বাবস্থায় ফিরে আসে।
অর্থাৎ \(\cos{360^{o}}=1\) হয়।
tan অনুপাতের পরিবর্তনঃ
\(\theta=0^{o}\) হলে, \(\tan{\theta}\) এর মাণ শূন্য হয় এবং \(\theta\lt{90^{o}}\) অবস্থান হতে \(\theta\) এর মাণ \(0^{o}\) হতে যতই বৃদ্ধি পেয়ে \(90^{o}\) এর দিকে অগ্রসর হয় অথবা \(\theta\gt{90^{o}}\) অবস্থান হতে যতই হ্রাস পেয়ে \(90^{o}\) এর দিকে অগ্রসর হয় \(\tan{\theta}\) এর মাণ ততই সীমাহীনভাবে বৃদ্ধি পায়। \(\theta=90^{o}\) হলে \(\tan{\theta}\) অসংজ্ঞায়িত হয়। \(n\) এর সকল মানের জন্য \(\theta=(2n+1)\frac{\pi}{2}\) হলে \(\tan{\theta}\) অসংজ্ঞায়িত ।
দ্রষ্টব্যঃ ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলি পর্যায়বৃত্ত ফাংশন। \(\sin{\theta}, \ \cos{\theta}, \ cosec \ {\theta}\) এবং \(\sec{\theta}\) এর পর্যায় \(2\pi\) বা \(360^{o}\)। সুতরাং এদের মাণের পরিবর্তন \(360^{o}\) পর পর একইভাবে পরিবর্তিত হবে। আবার, \(\tan{\theta}\) ও \( \cot{\theta}\) এর পর্যায় \(\pi\) বা \(180^{o}\) । সুতরাং এদের পরিবর্তনও \(180^{o}\) পর পর একই রকম হবে।
ত্রিকোণমিতিক বা বৃত্তীয় ফাংশনের লেখচিত্র
Graph of Trigonometric or Circular function
বৃত্তীয় বা ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য বীজগণিতীয় ফাংশনের মত দুইটি পরস্পর লম্বভাবে ছেদকারী আনুভূমিক রেখা \(XOX^{\prime}\) কে \(x\) অক্ষ এবং উল্লম্ব \(YOY^{\prime}\) কে \(y\) অক্ষ বিবেচনা করা হয়। \(x\) অক্ষ বরাবর একটি নির্দিষ্ট স্কেলে কোণগুলিকে এবং একই স্কেলে অথবা পৃথক কোনো স্কেলে \(y\) অক্ষ বরাবর বৃত্তীয় বা ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মানগুলি উপস্থাপন করা হয়। এভাবে প্রতিটি কোণ এবং এদের সংশ্লিষ্ট ত্রিকোণমিতিক অনুপাত হতে ছক কাগজে এক একটি বিন্দু স্থাপন করা হয়। বিন্দুগুলি যোগ করে প্রদত্ত বৃত্তীয় বা ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের লেখচিত্র পাওয়া যায় ।
\(y=\sin{x}, \ -2\pi\leq{x}\leq{2\pi}\) ফাংশনের লেখচিত্র।
ঢাঃ ২০১১; দিঃ,চঃ,মাঃ ২০১৪ ।
straight3
\(y=\cos{x}, \ -2\pi\leq{x}\leq{2\pi}\) ফাংশনের লেখচিত্র ।
যঃ ২০১৪,২০১০,২০০৪; কুঃ২০০৮; সিঃ২০১৪; মাঃ২০০৯ ।
straight3
\(y=\tan{x}, \ -\frac{\pi}{2}\leq{x}\leq{\frac{\pi}{2}}\) ফাংশনের লেখচিত্র।
straight3

\(y=cosec \ {x}, \ -\pi\leq{x}\leq{\pi}\) ফাংশনের লেখচিত্র।
straight3

\(y=\sec{x}, \ -\pi\leq{x}\leq{\pi}\) ফাংশনের লেখচিত্র।
straight3

\(y=\cot{x}, \ -\pi\leq{x}\leq{\pi}\) ফাংশনের লেখচিত্র।
straight3

\(y=\tan{x}, \ -\frac{3\pi}{2}\leq{x}\leq{\frac{3\pi}{2}}\) ফাংশনের লেখচিত্র।
straight3

অধ্যায় \(6C\)-এর উদাহরণসমুহ
উদাহরণ \(1.\) \(x=-\pi\) হতে \(x=2\pi\) সীমার মধ্যে \(y=\cos^2{x}\) এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।
দিঃ, সিঃ ২০১৫; রাঃ ২০০৯ ।

উদাহরণ \(2.\) \(y=\tan{x}, \ -\frac{\pi}{2}\leq x\leq \pi\) ফাংশনের লেখচিত্র অঙ্কন করে বৈশিষ্ট লিখ।

উদাহরণ \(3.\) \(AP=7m, \ BP=3m, \ AC=14m, \ BC=18m,\) \(AP=AQ,\) চাপ \(PQ=10.5m\) এবং \(f(x)=\sin{x}\) একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন।
straight3
\((a)\) যদি \(\frac{\pi}{2}\lt \alpha \lt \pi\) এবং \(\sin{\alpha}=\frac{4}{5}\) হয় তবে \(\tan{\alpha}\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) প্রতি বর্গ মিটার \(12\) টাকা হিসেবে ছায়াঘেরা অঞ্চলে ঘাস লাগাতে কত টাকা খরচ হবে।
\((c)\) লেখচিত্রের সাহায্যে \(0\leq x\leq 2\pi\) ব্যবধিতে \(f(2x)-f(x)=0\) এর সমাধান কর।
উত্তরঃ \((a) \ -\frac{4}{3}\)
\((b) \ 394.80\) টাকা।
\((c) \ x=0, \ \frac{\pi}{3}, \ \pi, \ \frac{5\pi}{3}\) ও \(2\pi\)

উদাহরণ \(4.\) \((i) \ \sin{\theta}+cosec \ {\theta}=\frac{5}{2}\)
\((ii) \ y=\sin{2\theta}\)
\((a)\) \(\sec{\theta}=\frac{5}{2}\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(\cot^2{\theta}+cosec^2{\theta}=\frac{29}{21}.\)
\((b)\) \((i)\) এর আলোকে প্রমাণ কর যে, \(cosec^n{\theta}+\sin^n{\theta}=2^n+2^{-n}\)
\((c)\) \(-\pi\leq \theta\leq \pi\) ব্যবধিতে \((ii)\) এর লেখচিত্র অঙ্কন করে বৈশিষ্ট লিখ।

উদাহরণ \(5.\) \(\tan{\theta}=\frac{a}{b}\) হলে, \(\frac{a\sin{\theta}+b\cos{\theta}}{a\sin{\theta}-b\cos{\theta}}\) এর মান নির্ণয় কর।
\((a)\) যখন \(0^{o}\lt\theta\lt90^{o}\)
\((b)\) যখন \(180^{o}\lt\theta\lt270^{o}\)
\((c)\) যখন \(a=b\) এবং \(\theta=\frac{\pi}{3}\)

উদাহরণ \(6.\) \((i) \ 9\sin^2{\theta}+3\sin{\theta}=20\)
\((ii) \ \sec{\theta}=\frac{a^2+b^2}{2ab}\)
\((iii) \ \cos^2{\theta}=\frac{(a+b)^2}{4ab}\)
\((a)\) \((i)\) কি সম্ভব ?
\((b)\) যদি, \(a\ne{b}\) হয়, তবে \((ii)\) কি সম্ভব ? যদি হাঁ-সূচক হয়, তাহলে কি শর্তে ?
\((c)\) \((iii)\) কি সম্ভব ? যদি সম্ভব হয়, তবে কখন ?

উদাহরণ \(7.\) \( \cos{\theta}-\sin{\theta}=\sqrt{2}\sin{\theta}\)
\((a)\) \(\theta=\frac{5\pi}{6}\) এর জন্য \( \cos{\theta}-\sin{\theta}\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) দেখাও যে, \(\cos{\theta}+\sin{\theta}=\sqrt{2}\cos{\theta}\)
\((c)\) দেখাও যে, \(cosec \ {\theta}=2(\sin{\theta}+\cos{\theta})\)
উত্তরঃ \((a) \ -\frac{\sqrt{3}+1}{2}\)

উদাহরণ \(8.\) মৌলিক পর্যায় নির্ণয় (যদি থাকে) কর।
\((a)\) \(\sec{6\theta}\)
\((b)\) \(4\tan{4\theta}\)
\((c)\) \(\sin{\left(2\theta+\frac{\pi}{4}\right)}\)
\((d)\) \(\cos{\left(\frac{1}{2}\theta+\frac{\pi}{4}\right)}\)
\((e)\) \(\sin{(4x+1)}\)
\((f)\) \(7\sec{\frac{1}{8}\theta}\)
\((g)\) \(2\cos{\frac{1}{3}\theta}\)
\((h)\) \(\frac{1}{2}\cot{\frac{2}{3}\theta}\)
উত্তরঃ \((a) \ \frac{\pi}{3}; \ (b) \ \frac{\pi}{4}; \ (c) \ \pi;\)
\((d) \ 4\pi; \ (e) \ \frac{\pi}{2}; \ (f) \ 16\pi; \ (g) \ 6\pi; \ (h) \ \frac{3\pi}{2}\)

অধ্যায় \(6B\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
ডান পার্শে উল্লেখিত ব্যবধিতে নিম্নলিখিত ফাংশনগুলির লেখচিত্র অঙ্কন করে বৈশিষ্ট লিখ।
\(Q.1.(i)\) \(y=\sin{x}, \ -\pi\leq x\leq \pi\)
ঢাঃ ২০১৩,২০০৩; রাঃ ২০০৬,২০০৪; চঃ ২০০৮,২০০৬,২০০৪; যঃ ২০০৭; কুঃ২০০৩; সিঃ২০০৭,২০০৫; বঃ ২০১১,২০০৯; মাঃ২০১২,২০১০ ।

\(Q.1.(ii)\) \(y=\sin{(2x)}, \ 0^{o}\leq x\leq 360^{o}\)
ঢাঃ ২০৯,২০০৭,২০০৫; রাঃ ২০১৫,২০১২,২০১০; দিঃ ২০১৬,২০১২,২০১০; চঃ ২০১৫,২০১২,২০১০,২০০৩; যঃ ২০১৯,২০১৬, ২০১৩,২০১১,২০০৯,২০০৩; কুঃ২০১৪,২০১০,২০০৭,২০০৫; সিঃ২০১৫,২০১১,২০০৩; বঃ ২০১৫,২০১৪,২০০৭,২০০৪,২০০৩ ।

\(Q.1.(iii)\) \(y=\sin{(3x)}, \ -90^{o}\leq x\leq 180^{o}\)
রাঃ ২০১৪; যঃ ২০০৫; কুঃ২০১২,২০০৯; সিঃ২০১৩; ।

\(Q.1.(iv)\) \(y=\sin{(4x)}, \ 0^{o}\leq x\leq 180^{o}\)
ঢাঃ,দিঃ,সিঃ,যঃ ২০১৮ ।

\(Q.1.(v)\) \(y=\cos{x}, \ -\pi\lt x\lt \pi\)
ঢাঃ২০১৪,২০১২,২০০৮,২০০৬; দিঃ২০০৯; রাঃ২০১৬,২০১১,২০০৭,২০০৫; কুঃ২০১১,২০১০,২০০৮,২০০৬,২০০৪; সিঃ২০১৬,২০১২,২০০৯,২০০৮,২০০৪; যঃ ২০১২,২০০৮,২০০৬; বঃ২০১৬,২০০৩; মাঃ২০১৩,২০০১ ।

\(Q.1.(vi)\) \(y=\cos{(2x)}, \ -\pi\leq x\leq \pi\)
ঢাঃ২০১০;কুঃ২০১৫;চঃ২০১৬,২০১৩,২০০৯,২০০৭;সিঃ২০১৯,২০০৬; বঃ২০১২,২০০৬ ।

\(Q.1.(vii)\) \(y=\cos{(3x)}, \ 0^{o}\leq x\leq \pi\)
ঢাঃ২০০৩;চঃ২০১৫,২০০৪।

\(Q.1.(viii)\) \(y=\tan{x}, \ -2\pi\leq x\leq 2\pi\)
বঃ২০১৯;দিঃ২০১১;যঃ২০১০ ।

ডান পার্শে উল্লেখিত ব্যবধিতে নিম্নলিখিত ফাংশনগুলির লেখচিত্র অঙ্কন করে বৈশিষ্ট লিখ।
\(Q.1.(ix)\) \(y=\cot{x}, \ -\pi\leq x\leq 2\pi\)

\(Q.1.(x)\) \(y=cosec \ {x}, \ -\pi\leq x\leq 2\pi\)

\(Q.1.(xi)\) \(y=\sec{x}, \ -\pi\leq x\leq 2\pi\)

\(Q.1.(xii)\) \(y=\cos{(2x)}, \ 0\leq x\leq 2\pi\)
ঢাঃ ২০১৪, ২০১০; চঃ ২০১৩,২০০৯ ।

\(Q.1.(xiii)\) \(y=\sin{(3x)}, \ 0\leq x\leq \pi\)
রাঃ ২০১৪; কুঃ২০১২,২০০৯; দিঃ ২০১৩; ।

\(Q.1.(xiv)\) \(y=\sin{x}\cos{x}, \ -\pi\leq x\leq \pi\)

\(Q.1.(xv)\) \(y=\sin{x}, \ -2\pi\leq x\leq 2\pi\)

\(Q.1.(xvi)\) \(y=\sin{x}, \ 0\leq x\leq 2\pi\)

\(Q.1.(xvii)\) \(y=\sin{(2x)}, \ -\pi\leq x\leq \pi\)
সিঃ,বঃ ২০১৫ ।

\(Q.1.(xviii)\) \(y=\sin{(2x)}, \ 0\leq x\leq \pi\)
ঢাঃ ২০০৯; রাঃ ২০১৫,২০১২,২০১০; বঃ ২০১৪; কুঃ২০১৪,২০১০; চঃ ২০১২,২০১০;যঃ ২০১৩,২০১০; দিঃ ২০১২,২০১০ ।

অনুশীলনী \(6C\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
ডান পার্শে উল্লেখিত ব্যবধিতে নিম্নলিখিত ফাংশনগুলির লেখচিত্র অঙ্কন করে বৈশিষ্ট লিখ।
\(Q.2.(i)\) \(y=\sin^2{x}, \ -\pi\leq x\leq \pi\)
ঢাঃ২০১৬,২০০৪; রাঃ২০০৩;কুঃ২০০৩;সিঃ২০১০;যঃ২০১৫ ।

\(Q.2.(ii)\) \(y=\cos^2{x}, \ -\pi\leq x\leq \pi\)
ঢাঃ২০১৫; রাঃ২০০৬,২০০৩; দিঃ২০১৩; কুঃ২০১৬; চঃ২০১১,২০০৫; বঃ২০১৩,২০০৫; যঃ২০১৩,২০০৯ ।

\(Q.2.(iii)\) \(y=\sin^3{x}, \ 0\leq x\leq \pi\)
যঃ২০০০; চঃ২০০২ ।

ডান পার্শে উল্লেখিত ব্যবধিতে নিম্নলিখিত ফাংশনগুলির লেখচিত্র অঙ্কন করে বৈশিষ্ট লিখ।
\(Q.2.(iv)\) \(y=\sin^2{x}, \ \pi\leq x\leq 2\pi\)

\(Q.2.(v)\) \(y=\cos^2{x}, \ 0\leq x\leq \pi\)

\(Q.2.(vi)\) \(y=\sin^2{x}, \ -360^{o}\leq x\leq 360^{o}\)
ঢাঃ২০১৬,২০০৪; রাঃ, কুঃ২০১৩;সিঃ২০১০;যঃ২০১৫; মাঃ ২০০৪ ।

অনুশীলনী \(6C\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
ডান পার্শে উল্লেখিত ব্যবধিতে নিম্নলিখিত ফাংশনগুলির লেখচিত্র অঙ্কন করে সমাধান কর।
\(Q.3.(i)\) \(\sin{x}-\cos{x}=0, \ 0^{o}\leq x\leq \frac{\pi}{2}\)
উত্তরঃ \(x=\frac{\pi}{4}\)
ঢাঃ২০১৪,২০১২,২০০৯,২০০৭; রাঃ২০০৮,২০০৫;দিঃ২০১৫; বঃ২০১২,২০০৯,২০০৭; কুঃ২০০৯,২০০৫; সিঃ২০১০; যঃ২০১৪,২০১১,২০০৬; সিঃ২০০৭; চঃ২০১২,২০০৯,২০০৭,২০০৫,২০০৩; মাঃ২০১৪ ।

\(Q.3.(ii)\) \(5\sin{x}+2\cos{x}=5, \ 0^{o}\leq x\leq 270^{o}\)
উত্তরঃ \(x=46.5^{o}, \ 90^{o}\)
সিঃ, যঃ ২০০৪; চঃ২০১০;রাঃ,বঃ২০১৪

\(Q.3.(iii)\) \(x-\tan{x}=0, \ 0^{o}\leq x\leq \frac{\pi}{2}\)
উত্তরঃ \(x=0\)
ঢঃ২০১১; রাঃ২০১৬,২০০৯,২০০৪; যঃ২০১২; বঃ২০১৩,২০১১,২০০৪; সিঃ২০১৪,২০১২,২০১০,২০০৫; কুঃ২০১৬,২০১৪,২০১০,২০০৭; চঃ২০১৪,২০১১,২০০৮; দিঃ২০১৪,২০১২,২০১০ ।

ডান পার্শে উল্লেখিত ব্যবধিতে নিম্নলিখিত ফাংশনগুলির লেখচিত্র অঙ্কন করে সমাধান কর।
\(Q.3.(iv)\) \(\cot{x}-\tan{x}=0, \ 0^{o}\leq x\leq \pi\)
উত্তরঃ \(x=\frac{\pi}{8}, \ \frac{5\pi}{8}\)
ঢঃ২০১৩,২০০৮,২০০৬; চঃ২০১৩; সিঃ২০১৫,২০১১,২০১৩; যঃ২০০৫; বঃ ২০০৮,২০০৬; কুঃ ২০০৮; রাঃ ২০১০; মাঃ ২০১২ ।

\(Q.3.(v)\) \(y=\sin{\theta}-\sqrt{3}\cos{\theta}, \ 0^{o}\leq x\leq \pi\)
উত্তরঃ \(\theta=\frac{\pi}{3}\)
মাঃ ২০১৩ ।

\(Q.3.(vi)\) \(2x=\tan{x}, \ -\frac{\pi}{2}\leq x\leq \frac{\pi}{2}\)
উত্তরঃ \(x=0, \ \pm \frac{11\pi}{30}\)
চঃ ২০০২ ।

অনুশীলনী \(6C\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
ডান পার্শে উল্লেখিত ব্যবধিতে নিম্নলিখিত ফাংশনগুলির লেখচিত্র অঙ্কন করে সমাধান কর।
\(Q.4.(i)\) \(2\sin^2{x}=\cos{(2x)}, \ -\frac{\pi}{2}\leq x\leq \frac{3\pi}{2}\)
উত্তরঃ \(x=\pm \frac{\pi}{6}, \ \frac{5\pi}{6}, \ \frac{7\pi}{6}\)
যঃ২০০৮,২০০৩; ।

\(Q.4.(ii)\) \(2\sin^2{\theta}-\sin{\theta}=0, \ 0^{o}\leq x\leq 2\pi\)
উত্তরঃ \(x=0, \ \frac{\pi}{6}, \ \frac{5\pi}{6}, \ \pi, \ 2\pi\)
মাঃ২০১০

\(Q.4.(iii)\) \(x=0\) হতে \(x=\pi\) সীমার মধ্যে \(y=\sin{x}\) এবং \(y=\cos{x}\) লেখচিত্র দুইটি অঙ্কন করে তাদের ছেদবিন্দু নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \( \)
সিঃ২০০৮; মাঃ ২০১১ ।

ডান পার্শে উল্লেখিত ব্যবধিতে নিম্নলিখিত ফাংশনগুলির লেখচিত্র অঙ্কন করে সমাধান কর।
\(Q.4.(iv)\) \(f(x)=\sin{x}\) হলে \(-\frac{\pi}{2}\leq x\leq \pi\) ব্যবধিতে \(f(2x)\) এর লেখচিত্র অঙ্কন করে এর বৈশিষ্ট লিখ।
দিঃ ২০১৭ ।

\(Q.4.(v)\) \(f(x)=\frac{1}{2}\sin{\frac{x}{2}}\) হলে \(f(2\pi-4\theta)\) এর লেখচিত্র অঙ্কন কর। যেখানে, \(-2\pi\leq x\leq 2\pi.\)
সিঃ ২০১৭ ।

\(Q.4.(vi)\) \(h(x)=\sin{(mx)}\) এবং \(m=4\) হলে \(h(x)\) এর লেখচিত্র অঙ্কন কর যখন, \(0^{o}\leq x\leq 180^{o}.\)
ঢাঃ, দিঃ,সিঃ, যঃ ২০১৮।

ত্রিকোণমিতিক বা বৃত্তীয় ফাংশন ত্রিকোণমিতিক বা বৃত্তীয় ফাংশনের ডোমেন ও রেঞ্জ ত্রিকোণমিতিক বা বৃত্তীয় ফাংশনের পর্যায়কাল যুক্ত ফাংশনের পর্যায়কাল ত্রিকোণমিতিক বা বৃত্তীয় ফাংশনের মাণের পরিবর্তন ত্রিকোণমিতিক বা বৃত্তীয় ফাংশনের লেখচিত্র \(y=\sin{x}, \ -2\pi\leq{x}\leq{2\pi}\) ফাংশনের লেখচিত্র \(y=\cos{x}, \ -2\pi\leq{x}\leq{2\pi}\) ফাংশনের লেখচিত্র \(y=\tan{x}, \ -\frac{\pi}{2}\leq{x}\leq{\frac{\pi}{2}}\) ফাংশনের লেখচিত্র \(y=cosec \ {x}, \ -\pi\leq{x}\leq{\pi}\) ফাংশনের লেখচিত্র \(y=\sec{x}, \ -\pi\leq{x}\leq{\pi}\) ফাংশনের লেখচিত্র \(y=\cot{x}, \ -\pi\leq{x}\leq{\pi}\) ফাংশনের লেখচিত্র \(y=\tan{x}, \ -\frac{3\pi}{2}\leq{x}\leq{\frac{3\pi}{2}}\) ফাংশনের লেখচিত্র অধ্যায় \(7A\)-এর উদাহরণসমুহ অধ্যায় \(7A\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ অনুশীলনী \(7A\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ অনুশীলনী \(7A\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ অনুশীলনী \(7A\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ

Please leave your question below

2 Question(s)
imonhaider
October 29, 2019, 12:15 am
\[\frac{d}{dx}(e^{x^2})=?\]
Reply
Tanmoy
October 28, 2019, 11:53 pm
\[\int{\frac{dx}{1+x^2}}=? \]
Reply

Post List

MATH. LIST
Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Trigonometry 11 and 12 standard
Statistics 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard
Vector 11 and 12 standard
Vector Honours course standard