মনে করি, কোনো ঘূর্ণায়মান রশ্মি আদি অবস্থান \(OX\) হতে \(O\) বিন্দুর সাপেক্ষে ঘড়ির কাঁটার ঘূর্ণনের বিপরীত দিকে ঘুরে \(\angle{POX}=\theta, \ (\theta\lt90^{o})\) কোণ উৎপন্ন করে। অপর কোনো ঘূর্ণায়মান রশ্মি ঐ একই অবস্থান \(OX\) হতে ঘড়ির কাঁটার ঘূর্ণনের দিকে ঘুরে \(\theta\) কোণের সমপরিমানে \(\angle{QOX}\) কোণ উৎপন্ন করে।
\(\therefore \angle{QOX}=\theta\)
\(OP\) রেখার উপর যে কোনো বিন্দু \(P\) থেকে \(XOX^{\prime}\) এর উপর \(PN\) লম্ব অঙ্কন করি। \(PN\) কে এমনভাবে বর্ধিত করি যেন \(OQ\) কে \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(\triangle{OPN}\) ও \(\triangle{OQN}\) এ
\(\angle{PON}=\angle{QON}=\theta\)
\(\angle{ONP}=\angle{ONQ}=90^{o}\)
এবং \(ON\) উভয় ত্রিভুজের সাধারণ বাহু।
\(\therefore \triangle{OPN}\cong\triangle{OQN}\)
সুতরাং \(OP=OQ\)
\(PN=NQ\) যেখানে, \(NQ\) ঋণাত্মক।

এখন \(\sin{(-\theta)}=\frac{-NQ}{OQ}\)
\(=-\frac{NQ}{OP}\) ➜Note \(\because OQ=OP\)

\(=-\frac{PN}{OP}\) ➜Note \(\because NQ=PN\)

\(=-\sin{\theta}\)
\(\sin{(-\theta)}=-\sin{\theta}\)
\(\cos{(-\theta)}=\frac{ON}{OQ}\)
\(=\frac{ON}{OP}\) ➜Note \(\because OQ=OP\)

\(=\cos{\theta}\)
\(\cos{(-\theta)}=\cos{\theta}\)
\(\tan{(-\theta)}=\frac{-NQ}{ON}\)
\(=-\frac{NQ}{ON}\)
\(=-\frac{PN}{ON}\) ➜Note \(\because NQ=PN\)

\(=-\tan{\theta}\)
\(\tan{(-\theta)}=-\tan{\theta}\)
অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায়,
\(cosec \ {(-\theta)}=-cosec \ {\theta}\) \(\sec{(-\theta)}=\sec{\theta}\) \(\cot{(-\theta)}=-\cot{\theta}\)

মনে করি, কোনো ঘূর্ণায়মান রশ্মি আদি অবস্থান \(OX\) হতে \(O\) বিন্দুর সাপেক্ষে ঘড়ির কাঁটার ঘূর্ণনের বিপরীত দিকে ঘুরে \(\angle{POM}=\theta, \ (\theta\lt90^{o})\) এবং আরও ঘুরে \(\angle{XOY}=90^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। এর পর রশ্মিটি আবার ঘড়ির কাঁটার ঘূর্ণনের দিকে ঘুরে \(\angle{YOP^{\prime}}=\theta\) কোণ উৎপন্ন করে।
সুতরাং \(\angle{XOP^{\prime}}=\angle{XOY}-\angle{YOP^{\prime}}\)
\(\therefore \angle{XOP^{\prime}}=90^{o}-\theta\)
\(OP\) রেখার উপর \(P\) এবং \(OP^{\prime}\) এর উপর যে কোনো বিন্দু \(P^{\prime}\) নেয়া হলো যেন \(OP=OP^{\prime}\) হয়। \(P\) এবং \(P^{\prime}\) বিন্দু থেকে \(XOX^{\prime}\) রেখার উপর যথাক্রমে \(PM\) এবং \(P^{\prime}M^{\prime}\) লম্ব অঙ্কন করি।
এখন \(\triangle{OPM}\) ও \(\triangle{OP^{\prime}M^{\prime}}\) এ
\(\angle{OMP}=\angle{OM^{\prime}P^{\prime}}=90^{o}\)
\(\angle{POM}=\angle{YOP^{\prime}}=\text{একান্তর }\angle{OP^{\prime}M^{\prime}}=\theta\)
এবং \(OP=OP^{\prime}\)
\(\therefore \triangle{OPM}\cong\triangle{OP^{\prime}M^{\prime}}\)
\(\therefore OM=P^{\prime}M^{\prime}\)
এবং \(PM=OM^{\prime}\)
এখন \(\sin{(90^{o}-\theta)}=\sin{P^{\prime}OM^{\prime}}\)
\(=\frac{P^{\prime}M^{\prime}}{OP^{\prime}}\)
\(=\frac{OM}{OP}\) ➜Note \(\because P^{\prime}M^{\prime}=OM\)
এবং \(OP^{\prime}=OP\)

\(=\cos{POM}\)
\(=\cos{\theta}\) ➜Note \(\because \angle{POM}=\theta\)

\(\sin{(90^{o}-\theta)}=\cos{\theta}\)
\(\cos{(90^{o}-\theta)}=\cos{P^{\prime}OM^{\prime}}\)
\(=\frac{OM^{\prime}}{OP^{\prime}}\)
\(=\frac{PM}{OP}\) ➜Note \(\because OM^{\prime}=PM\)
এবং \(OP^{\prime}=OP\)

\(=\sin{POM}\)
\(=\sin{\theta}\) ➜Note \(\because \angle{POM}=\theta\)

\(\cos{(90^{o}-\theta)}=\sin{\theta}\)
\(\tan{(90^{o}-\theta)}=\tan{P^{\prime}OM^{\prime}}\)
\(=\frac{P^{\prime}M^{\prime}}{OM^{\prime}}\)
\(=\frac{OM}{PM}\) ➜Note \(\because P^{\prime}M^{\prime}=OM\)
এবং \(OM^{\prime}=PM\)

\(=\cot{POM}\)
\(=\cot{\theta}\) ➜Note \(\because \angle{POM}=\theta\)

\(\tan{(90^{o}-\theta)}=\cot{\theta}\)
অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায়,
\(cosec \ {(90^{o}-\theta)}=\sec{\theta}\) \(\sec{(90^{o}-\theta)}=cosec \ {\theta}\) \(\cot{(90^{o}-\theta)}=\tan{\theta}\)
দ্রষ্টব্যঃ \((90^{o}-\theta)\) এবং \(\theta\) পরস্পরের পূরক কোণ। দুইটি পূরক কোণের একটি কোণের সাইন অপরটির কোসাইন, একটি কোণের ট্যানজেণ্ট অপরটির কোট্যানজেণ্ট এবং একটি কোণের কোসেকেন্ট অপরটির সেকেন্ট এর সমান। এই সম্পর্কগুলি সূক্ষ্ণকোণের জন্য সত্য।

মনে করি, কোনো ঘূর্ণায়মান রশ্মি আদি অবস্থান \(OX\) হতে \(O\) বিন্দুর সাপেক্ষে ঘড়ির কাঁটার ঘূর্ণনের বিপরীত দিকে ঘুরে \(\angle{POM}=\theta, \ (\theta\lt90^{o})\) এবং আরও ঘুরে \(\angle{POP^{\prime}}=90^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। সুতরাং \(\angle{XOP^{\prime}}=\angle{POP^{\prime}}+\angle{POM}=90^{o}+\theta\)
\(\therefore \angle{XOP^{\prime}}=90^{o}+\theta\)
\(\Rightarrow \angle{XOY}+\angle{YOP^{\prime}}=90^{o}+\theta\) ➜Note \(\because \angle{XOP^{\prime}}=\angle{XOY}+\angle{YOP^{\prime}}\)

\(\Rightarrow 90^{o}+\angle{YOP^{\prime}}=90^{o}+\theta\) ➜Note \(\because \angle{XOY}=90^{o}\)

\(\Rightarrow \angle{YOP^{\prime}}=90^{o}+\theta-90^{o}\)
\(\therefore \angle{YOP^{\prime}}=\theta\)
আবার, \(\angle{OP^{\prime}M^{\prime}}=\text{একান্তর } \angle{YOP^{\prime}}=\theta\)
\(\therefore \angle{OP^{\prime}M^{\prime}}=\theta\)
\(OP\) রেখার উপর \(P\) এবং \(OP^{\prime}\) এর উপর যে কোনো বিন্দু \(P^{\prime}\) নেয়া হলো যেন \(OP=OP^{\prime}\) হয়। \(P\) এবং \(P^{\prime}\) বিন্দু থেকে \(XOX^{\prime}\) রেখার উপর যথাক্রমে \(PM\) এবং \(P^{\prime}M^{\prime}\) লম্ব অঙ্কন করি।
এখন \(\triangle{OPM}\) ও \(\triangle{OP^{\prime}M^{\prime}}\) এ
\(\angle{OMP}=\angle{OM^{\prime}P^{\prime}}=90^{o}\)
\(\angle{POM}=\angle{YOP^{\prime}}=\text{একান্তর }\angle{OP^{\prime}M^{\prime}}=\theta\)
এবং \(OP=OP^{\prime}\)
\(\therefore \triangle{OPM}\cong\triangle{OP^{\prime}M^{\prime}}\)
\(\therefore OM=P^{\prime}M^{\prime}\)
এবং \(PM=OM^{\prime}\) যেখানে, \(OM^{\prime}\) ঋণাত্মক।
এখন \(\sin{(90^{o}+\theta)}=\sin{MOP^{\prime}}=\sin{P^{\prime}OM^{\prime}}\) ➜Note \(\because \angle{MOP^{\prime}}=\text{সম্পূরক } \angle{P^{\prime}OM^{\prime}}\)

\(=\frac{P^{\prime}M^{\prime}}{OP^{\prime}}\)
\(=\frac{OM}{OP}\) ➜Note \(\because P^{\prime}M^{\prime}=OM\)
এবং \(OP^{\prime}=OP\)

\(=\cos{POM}\)
\(=\cos{\theta}\) ➜Note \(\because \angle{POM}=\theta\)

\(\sin{(90^{o}+\theta)}=\cos{\theta}\)
\(\cos{(90^{o}+\theta)}=\cos{MOP^{\prime}}=\cos{P^{\prime}OM^{\prime}}\) ➜Note \(\because \angle{MOP^{\prime}}=\text{সম্পূরক } \angle{P^{\prime}OM^{\prime}}\)

\(=\frac{-OM^{\prime}}{OP^{\prime}}\)
\(=\frac{-PM}{OP}\) ➜Note \(\because OM^{\prime}=PM\)
এবং \(OP^{\prime}=OP\)

\(=-\frac{PM}{OP}\)
\(=-\sin{POM}\)
\(=-\sin{\theta}\) ➜Note \(\because \angle{POM}=\theta\)

\(\cos{(90^{o}+\theta)}=-\sin{\theta}\)
\(\tan{(90^{o}+\theta)}=\tan{MOP^{\prime}}=\tan{P^{\prime}OM^{\prime}}\) ➜Note \(\because \angle{MOP^{\prime}}=\text{সম্পূরক } \angle{P^{\prime}OM^{\prime}}\)

\(=\frac{P^{\prime}M^{\prime}}{-OM^{\prime}}\)
\(=\frac{OM}{-PM}\) ➜Note \(\because P^{\prime}M^{\prime}=OM\)
এবং \(OM^{\prime}=PM\)

\(=-\frac{OM}{PM}\)
\(=-\cot{POM}\)
\(=-\cot{\theta}\) ➜Note \(\because \angle{POM}=\theta\)

\(\tan{(90^{o}+\theta)}=-\cot{\theta}\)
অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায়,
\(cosec \ {(90^{o}+\theta)}=\sec{\theta}\) \(\sec{(90^{o}+\theta)}=-cosec \ {\theta}\) \(\cot{(90^{o}+\theta)}=-\tan{\theta}\)

মনে করি, কোনো ঘূর্ণায়মান রশ্মি আদি অবস্থান \(OX\) হতে \(O\) বিন্দুর সাপেক্ষে ঘড়ির কাঁটার ঘূর্ণনের বিপরীত দিকে ঘুরে \(\angle{POM}=\theta, \ (\theta\lt90^{o})\) কোণ উৎপন্ন করে। অপর কোণ রশ্মি একই আদি অবস্থান \(OX\) হতে \(O\) বিন্দুর সাপেক্ষে ঘড়ির কাঁটার ঘূর্ণনের বিপরীত দিকে ঘুরে \(\angle{MOM^{\prime}}=180^{o})\) কোণ উৎপন্ন করে অতঃপর তা ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘুরে \(\angle{M^{\prime}OP^{\prime}}=\theta\) কোণ উৎপন্ন করে।
সুতরাং \(\angle{MOP^{\prime}}=\angle{MOM^{\prime}}-\angle{M^{\prime}OP^{\prime}}=180^{o}-\theta\)
তাহলে, \(\angle{MOP}=\angle{M^{\prime}OP^{\prime}}=\theta\)
\(OP\) রেখার উপর \(P\) এবং \(OP^{\prime}\) এর উপর যে কোনো বিন্দু \(P^{\prime}\) নেয়া হলো যেন \(OP=OP^{\prime}\) হয়। \(P\) এবং \(P^{\prime}\) বিন্দু থেকে \(XOX^{\prime}\) রেখার উপর যথাক্রমে \(PM\) এবং \(P^{\prime}M^{\prime}\) লম্ব অঙ্কন করি।
এখন \(\triangle{OPM}\) ও \(\triangle{OP^{\prime}M^{\prime}}\) এ
\(\angle{MOP}=\angle{M^{\prime}OP^{\prime}}=\theta\)
\(\angle{OMP}=\angle{OM^{\prime}P^{\prime}}=90^{o}\)
এবং \(OP=OP^{\prime}\)
\(\therefore \triangle{OPM}\cong\triangle{OP^{\prime}M^{\prime}}\)
\(\therefore PM=P^{\prime}M^{\prime}\)
এবং \(OM=OM^{\prime}\) যেখানে, \(OM^{\prime}\) ঋণাত্মক।
এখন \(\sin{(180^{o}-\theta)}=\sin{MOP^{\prime}}=\sin{P^{\prime}OM^{\prime}}\) ➜Note \(\because \angle{MOP^{\prime}}=\text{সম্পূরক } \angle{P^{\prime}OM^{\prime}}\)

\(=\frac{P^{\prime}M^{\prime}}{OP^{\prime}}\)
\(=\frac{PM}{OP}\) ➜Note \(\because P^{\prime}M^{\prime}=PM\)
এবং \(OP^{\prime}=OP\)

\(=\sin{POM}\)
\(=\sin{\theta}\) ➜Note \(\because \angle{POM}=\theta\)

\(\sin{(180^{o}-\theta)}=\sin{\theta}\)
\(\cos{(180^{o}-\theta)}=\cos{MOP^{\prime}}=\cos{P^{\prime}OM^{\prime}}\) ➜Note \(\because \angle{MOP^{\prime}}=\text{সম্পূরক } \angle{P^{\prime}OM^{\prime}}\)

\(=\frac{-OM^{\prime}}{OP^{\prime}}\)
\(=\frac{-OM}{OP}\) ➜Note \(\because OM^{\prime}=OM\)
এবং \(OP^{\prime}=OP\)

\(=-\frac{OM}{OP}\)
\(=-\cos{POM}\)
\(=-\cos{\theta}\) ➜Note \(\because \angle{POM}=\theta\)

\(\cos{(180^{o}-\theta)}=-\cos{\theta}\)
\(\tan{(180^{o}-\theta)}=\tan{MOP^{\prime}}=\tan{P^{\prime}OM^{\prime}}\) ➜Note \(\because \angle{MOP^{\prime}}=\text{সম্পূরক } \angle{P^{\prime}OM^{\prime}}\)

\(=\frac{P^{\prime}M^{\prime}}{-OM^{\prime}}\)
\(=\frac{PM}{-OM}\) ➜Note \(\because P^{\prime}M^{\prime}=PM\)
এবং \(OM^{\prime}=OM\)

\(=-\frac{PM}{OM}\)
\(=-\tan{POM}\)
\(=-\tan{\theta}\) ➜Note \(\because \angle{POM}=\theta\)

\(\tan{(180^{o}-\theta)}=-\tan{\theta}\)
অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায়,
\(cosec \ {(180^{o}-\theta)}=cosec \ {\theta}\) \(\sec{(180^{o}-\theta)}=-\sec {\theta}\) \(\cot{(180^{o}-\theta)}=-\cot{\theta}\)

মনে করি, কোনো ঘূর্ণায়মান রশ্মি আদি অবস্থান \(OX\) হতে \(O\) বিন্দুর সাপেক্ষে ঘড়ির কাঁটার ঘূর্ণনের বিপরীত দিকে ঘুরে \(\angle{POM}=\theta, \ (\theta\lt90^{o})\) কোণ উৎপন্ন করে এবং আরও ঘুরে \(\angle{POP^{\prime}}=180^{o})\) কোণ উৎপন্ন করে।
সুতরাং \(\angle{MOP^{\prime}}=\angle{MOM^{\prime}}+\angle{M^{\prime}OP^{\prime}}=180^{o}+\theta\)
তাহলে, \(\angle{MOP}=\angle{M^{\prime}OP^{\prime}}=\theta\)
\(OP\) রেখার উপর \(P\) এবং \(OP^{\prime}\) এর উপর যে কোনো বিন্দু \(P^{\prime}\) নেয়া হলো যেন \(OP=OP^{\prime}\) হয়। \(P\) এবং \(P^{\prime}\) বিন্দু থেকে \(XOX^{\prime}\) রেখার উপর যথাক্রমে \(PM\) এবং \(P^{\prime}M^{\prime}\) লম্ব অঙ্কন করি।
এখন \(\triangle{OPM}\) ও \(\triangle{OP^{\prime}M^{\prime}}\) এ
\(\angle{MOP}=\angle{M^{\prime}OP^{\prime}}=\theta\)
\(\angle{OMP}=\angle{OM^{\prime}P^{\prime}}=90^{o}\)
এবং \(OP=OP^{\prime}\)
\(\therefore \triangle{OPM}\cong\triangle{OP^{\prime}M^{\prime}}\)
\(\therefore PM=P^{\prime}M^{\prime}\) যেখানে, \(P^{\prime}M^{\prime}\) ঋণাত্মক।
এবং \(OM=OM^{\prime}\) যেখানে, \(OM^{\prime}\) ঋণাত্মক।
এখন \(\sin{(180^{o}+\theta)}=\sin{MOP^{\prime}}=\sin{P^{\prime}OM^{\prime}}\) ➜Note \(\because \angle{MOP^{\prime}}=\text{ঋণাত্মক সম্পূরক } \angle{P^{\prime}OM^{\prime}}\)

\(=\frac{-P^{\prime}M^{\prime}}{OP^{\prime}}\)
\(=\frac{-PM}{OP}\) ➜Note \(\because P^{\prime}M^{\prime}=PM\)
এবং \(OP^{\prime}=OP\)

\(=-\frac{PM}{OP}\)
\(=-\sin{POM}\)
\(=-\sin{\theta}\) ➜Note \(\because \angle{POM}=\theta\)

\(\sin{(180^{o}+\theta)}=-\sin{\theta}\)
\(\cos{(180^{o}+\theta)}=\cos{MOP^{\prime}}=\cos{P^{\prime}OM^{\prime}}\) ➜Note \(\because \angle{MOP^{\prime}}=\text{ঋণাত্মক সম্পূরক } \angle{P^{\prime}OM^{\prime}}\)

\(=\frac{-OM^{\prime}}{OP^{\prime}}\)
\(=\frac{-OM}{OP}\) ➜Note \(\because OM^{\prime}=OM\)
এবং \(OP^{\prime}=OP\)

\(=-\frac{OM}{OP}\)
\(=-\cos{POM}\)
\(=-\cos{\theta}\) ➜Note \(\because \angle{POM}=\theta\)

\(\cos{(180^{o}+\theta)}=-\cos{\theta}\)
\(\tan{(180^{o}+\theta)}=\tan{MOP^{\prime}}=\tan{P^{\prime}OM^{\prime}}\) ➜Note \(\because \angle{MOP^{\prime}}=\text{ঋণাত্মক সম্পূরক } \angle{P^{\prime}OM^{\prime}}\)

\(=\frac{-P^{\prime}M^{\prime}}{-OM^{\prime}}\)
\(=\frac{PM}{OM}\) ➜Note \(\because P^{\prime}M^{\prime}=PM\)
এবং \(OM^{\prime}=OM\)

\(=-\tan{POM}\)
\(=-\tan{\theta}\) ➜Note \(\because \angle{POM}=\theta\)

\(\tan{(180^{o}+\theta)}=-\tan{\theta}\)
অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায়,
\(cosec \ {(180^{o}+\theta)}=-cosec \ {\theta}\) \(\sec{(180^{o}+\theta)}=-\sec {\theta}\) \(\cot{(180^{o}+\theta)}=\cot{\theta}\)

পূর্বের অভিজ্ঞতা ব্যবহার করে \((270^{o}-\theta)\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত প্রমাণ করা হলো।
\(\sin{(270^{o}-\theta)}=\sin{\{180^{o}+(90^{o}-\theta)\}}\)
\(=-\sin{(90^{o}-\theta)}\) ➜Note \(\because \sin{(180^{o}+A)}=-\sin{A}\)

\(=-\cos{\theta}\) ➜Note \(\because \sin{(90^{o}-A)}=\cos{A}\)

\(\sin{(270^{o}-\theta)}=-\cos{\theta}\)
\(\cos{(270^{o}-\theta)}=\cos{\{180^{o}+(90^{o}-\theta)\}}\)
\(=-\cos{(90^{o}-\theta)}\) ➜Note \(\because \cos{(180^{o}+A)}=-\cos{A}\)

\(=-\sin{\theta}\) ➜Note \(\because \cos{(90^{o}-A)}=\sin{A}\)

\(\cos{(270^{o}-\theta)}=-\sin{\theta}\)
\(\tan{(270^{o}-\theta)}=\tan{\{180^{o}+(90^{o}-\theta)\}}\)
\(=\tan{(90^{o}-\theta)}\) ➜Note \(\because \tan{(180^{o}+A)}=\tan{A}\)

\(=\cot{\theta}\) ➜Note \(\because \tan{(90^{o}-A)}=\cot{A}\)

\(\tan{(270^{o}-\theta)}=\cot{\theta}\)
অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায়,
\(cosec \ {(270^{o}-\theta)}=-\sec{\theta}\) \(\sec{(270^{o}-\theta)}=-cosec \ {\theta}\) \(\cot{(270^{o}-\theta)}=\tan{\theta}\)

পূর্বের অভিজ্ঞতা ব্যবহার করে \((270^{o}+\theta)\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত প্রমাণ করা হলো।
\(\sin{(270^{o}+\theta)}=\sin{\{180^{o}+(90^{o}+\theta)\}}\)
\(=-\sin{(90^{o}+\theta)}\) ➜Note \(\because \sin{(180^{o}+A)}=-\sin{A}\)

\(=-\cos{\theta}\) ➜Note \(\because \sin{(90^{o}+A)}=\cos{A}\)

\(\sin{(270^{o}+\theta)}=-\cos{\theta}\)
\(\cos{(270^{o}+\theta)}=\cos{\{180^{o}+(90^{o}+\theta)\}}\)
\(=-\cos{(90^{o}+\theta)}\) ➜Note \(\because \cos{(180^{o}+A)}=-\cos{A}\)

\(=-(-\sin{\theta})\) ➜Note \(\because \cos{(90^{o}+A)}=-\sin{A}\)

\(=\sin{\theta}\)
\(\cos{(270^{o}+\theta)}=\sin{\theta}\)
\(\tan{(270^{o}+\theta)}=\tan{\{180^{o}+(90^{o}+\theta)\}}\)
\(=\tan{(90^{o}+\theta)}\) ➜Note \(\because \tan{(180^{o}+A)}=\tan{A}\)

\(=-\cot{\theta}\) ➜Note \(\because \tan{(90^{o}+A)}=-\cot{A}\)

\(\tan{(270^{o}+\theta)}=-\cot{\theta}\)
অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায়,
\(cosec \ {(270^{o}+\theta)}=-\sec{\theta}\) \(\sec{(270^{o}+\theta)}=cosec \ {\theta}\) \(\cot{(270^{o}+\theta)}=-\tan{\theta}\)

পূর্বের অভিজ্ঞতা ব্যবহার করে \((360^{o}-\theta)\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত প্রমাণ করা হলো।
\(\sin{(360^{o}-\theta)}=\sin{\{270^{o}+(90^{o}-\theta)\}}\)
\(=-\cos{(90^{o}-\theta)}\) ➜Note \(\because \sin{(270^{o}+A)}=-\cos{A}\)

\(=-\sin{\theta}\) ➜Note \(\because \cos{(90^{o}-A)}=\sin{A}\)

\(\sin{(360^{o}-\theta)}=-\sin{\theta}\)
\(\cos{(360^{o}-\theta)}=\cos{\{270^{o}+(90^{o}-\theta)\}}\)
\(=\sin{(90^{o}-\theta)}\) ➜Note \(\because \cos{(270^{o}+A)}=\sin{A}\)

\(=\cos{\theta}\) ➜Note \(\because \sin{(90^{o}-A)}=\cos{A}\)

\(\cos{(360^{o}-\theta)}=\cos{\theta}\)
\(\tan{(360^{o}-\theta)}=\tan{\{270^{o}+(90^{o}-\theta)\}}\)
\(=-\cot{(90^{o}-\theta)}\) ➜Note \(\because \tan{(270^{o}+A)}=-\cot{A}\)

\(=-\tan{\theta}\) ➜Note \(\because \cot{(90^{o}-A)}=\tan{A}\)

\(\tan{(360^{o}-\theta)}=-\tan{\theta}\)
অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায়,
\(cosec \ {(360^{o}-\theta)}=-cosec \ {\theta}\) \(\sec{(360^{o}-\theta)}=\sec {\theta}\) \(\cot{(360^{o}-\theta)}=-\cot{\theta}\)

পূর্বের অভিজ্ঞতা ব্যবহার করে \((360^{o}-\theta)\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত প্রমাণ করা হলো।
\(\sin{(360^{o}+\theta)}=\sin{\{270^{o}+(90^{o}+\theta)\}}\)
\(=-\cos{(90^{o}+\theta)}\) ➜Note \(\because \sin{(270^{o}+A)}=-\cos{A}\)

\(=-(-\sin{\theta})\) ➜Note \(\because \cos{(90^{o}+A)}=-\sin{A}\)

\(=\sin{\theta}\)
\(\sin{(360^{o}+\theta)}=\sin{\theta}\)
\(\cos{(360^{o}+\theta)}=\cos{\{270^{o}+(90^{o}+\theta)\}}\)
\(=\sin{(90^{o}+\theta)}\) ➜Note \(\because \cos{(270^{o}+A)}=\sin{A}\)

\(=\cos{\theta}\) ➜Note \(\because \sin{(90^{o}+A)}=\cos{A}\)

\(\cos{(360^{o}+\theta)}=\cos{\theta}\)
\(\tan{(360^{o}+\theta)}=\tan{\{270^{o}+(90^{o}+\theta)\}}\)
\(=-\cot{(90^{o}+\theta)}\) ➜Note \(\because \tan{(270^{o}+A)}=-\cot{A}\)

\(=-(-\tan{\theta})\) ➜Note \(\because \cot{(90^{o}+A)}=-\tan{A}\)

\(=\tan{\theta}\)
\(\tan{(360^{o}+\theta)}=\tan{\theta}\)
অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায়,
\(cosec \ {(360^{o}+\theta)}=cosec \ {\theta}\) \(\sec{(360^{o}+\theta)}=\sec {\theta}\) \(\cot{(360^{o}+\theta)}=\cot{\theta}\)

\((a)\)
প্রদত্ত রাশি \(=\sec{(-1050^{o})}\)
\(=\sec{(1050^{o})}\) ➜Note \(\because \sec{(-A)}=\sec{A}\)

\(=\sec{(90^{o}\times{11}+60^{o})}\) ➜Note \(\because 1050^{o}=90^{o}\times{11}+60^{o}\)

\(=cosec \ {60^{o}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সেকেন্ট অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(11\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং সেকেন্ট পরিবর্তন হয়ে কোসেকেন্ট হয়েছে।

\(=\frac{2}{\sqrt{3}}\) ➜Note \(\because cosec \ {60^{o}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\)
ইহাই নির্ণেয় মান।
\((b)\)
প্রদত্ত রাশি \(=\cot{(765^{o})}\)
\(=\cot{(90^{o}\times{8}+45^{o})}\) ➜Note \(\because 765^{o}=90^{o}\times{8}+45^{o}\)

\(=\cot{45^{o}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(8\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=1\) ➜Note \(\because \cot{45^{o}}=1\)
\((c)\)
প্রদত্ত রাশি \(=cosec \ {(-1125^{o})}\)
\(=-cosec \ {(1125^{o})}\) ➜Note \(\because cosec \ {(-A)}=-cosec \ {A}\)

\(=-cosec \ {(90^{o}\times{12}+45^{o})}\) ➜Note \(\because 1125^{o}=90^{o}\times{12}+45^{o}\)

\(=-cosec \ {45^{o}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসেকেন্ট অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(12\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=-\sqrt{2}\) ➜Note \(\because cosec \ {45^{o}}=\sqrt{2}\)
ইহাই নির্ণেয় মান।
\((d)\)
প্রদত্ত রাশি \(=\tan{\left(\frac{5\pi}{2}-\frac{19\pi}{3}\right)}\)
\(=\tan{\left(\frac{15\pi-38\pi}{6}\right)}\)
\(=\tan{\left(\frac{-23\pi}{6}\right)}\)
\(=\tan{\left(-\frac{23\pi}{6}\right)}\)
\(=-\tan{\left(\frac{23\pi}{6}\right)}\) ➜Note \(\because \tan{(-A)}=-\tan{A}\)

\(=-\tan{\left(\frac{\pi}{2}\times{8}-\frac{\pi}{6}\right)}\) ➜Note \(\because \frac{23\pi}{6}=\frac{\pi}{2}\times{8}-\frac{\pi}{6}\)

\(=-\left(-\tan{\frac{\pi}{6}}\right)\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(8\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=\tan{\frac{\pi}{6}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{3}}\) ➜Note \(\because \tan{\frac{\pi}{6}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
ইহাই নির্ণেয় মান।
\((e)\)
প্রদত্ত রাশি \(=cosec \ {\left\{\frac{n\pi}{2}+(-1)^{n}\frac{\pi}{6}\right\}}; \ n\in{\mathbb Z}\)
যখন \(n\) একটি জোড় সংখ্যা এবং \(n=2m\) যেখানে, \(m\in{\mathbb Z}\)
\(=cosec \ {\left\{\frac{2m\pi}{2}+(-1)^{2m}\frac{\pi}{6}\right\}}\)
\(=cosec \ {\left\{\frac{\pi}{2}\times{2m}+\frac{\pi}{6}\right\}}\) ➜Note \(\because (-1)^{2m}=1\)

\(=\pm cosec \ {\left(\frac{\pi}{6}\right)}\) ➜Note \(\because m\) বিজোড় সংখ্যা হলে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থান করে,
সুতরাং কোসেকেন্ট অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(m\) জোড় সংখ্যা হলে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থান করে,
সুতরাং কোসেকেন্ট অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2m\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=\pm 2\) ➜Note \(\because cosec \ {\left(\frac{\pi}{6}\right)}=2\)

যখন \(n\) একটি বিজোড় সংখ্যা এবং \(n=2m+1\) যেখানে, \(m\in{\mathbb Z}\)
\(=cosec \ {\left\{\frac{(2m+1)\pi}{2}+(-1)^{(2m+1)}\frac{\pi}{6}\right\}}\)
\(=cosec \ {\left\{\frac{\pi}{2}\times{(2m+1)}-\frac{\pi}{6}\right\}}\) ➜Note \(\because (-1)^{(2m+1)}=-1\)

\(=\pm \sec{\left(\frac{\pi}{6}\right)}\) ➜Note \(\because m\) বিজোড় সংখ্যা হলে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থান করে,
সুতরাং কোসেকেন্ট অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(m\) জোড় সংখ্যা হলে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থান করে,
সুতরাং কোসেকেন্ট অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \((2m+1)\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং কোসেকেন্ট পরিবর্তন হয়ে সেকেন্ট হয়েছে।

\(=\pm \frac{2}{\sqrt{3}}\) ➜Note \(\because \sec{\left(\frac{\pi}{6}\right)}=\frac{2}{\sqrt{3}}\)

ইহাই নির্ণেয় মান।
\((f)\)
প্রদত্ত রাশি \(=\sin{\left(-\frac{11\pi}{4}\right)}\)
\(=-\sin{\left(\frac{11\pi}{4}\right)}\) ➜Note \(\because \sin{(-A)}=-\sin{A}\)

\(=\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times{6}-\frac{\pi}{4}\right)}\) ➜Note \(\because \frac{11\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\times{6}-\frac{\pi}{4}\)

\(=-\sin{\frac{\pi}{4}}\) ➜Note \(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(6\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=-\sin{\frac{\pi}{4}}\)
\(=-\frac{1}{\sqrt{2}}\) ➜Note \(\because \sin{\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
ইহাই নির্ণেয় মান।

দেওয়া আছে,
\(\alpha=\frac{11\pi}{4}\)
প্রদত্ত রাশি \(=\sin^2{\alpha}-\cos^2{\alpha}-2\tan{\alpha}-\sec^2{\alpha}\)
\(=\sin^2{\frac{11\pi}{4}}-\cos^2{\frac{11\pi}{4}}-2\tan{\frac{11\pi}{4}}-\sec^2{\frac{11\pi}{4}}\) ➜Note \(\because \alpha=\frac{11\pi}{4}\)

\(=\sin^2{\left(\frac{\pi}{2}\times{6}-\frac{\pi}{4}\right)}-\cos^2{\left(\frac{\pi}{2}\times{6}-\frac{\pi}{4}\right)}-2\tan{\left(\frac{\pi}{2}\times{6}-\frac{\pi}{4}\right)}-\sec^2{\left(\frac{\pi}{2}\times{6}-\frac{\pi}{4}\right)}\) ➜Note \(\because \frac{11\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\times{6}-\frac{\pi}{4}\)

\(=\sin^2{\left(\frac{\pi}{4}\right)}-\left\{-\cos{\left(\frac{\pi}{4}\right)}\right\}^2-2\left\{-\tan{\left(\frac{\pi}{4}\right)}\right\}-\left\{-\sec{\left(\frac{\pi}{4}\right)}\right\}^2\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক এবং কোসাইন, সেকেন্ট ও ট্যানজেন্ট অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(6\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=\sin^2{\left(\frac{\pi}{4}\right)}-\cos^2{\left(\frac{\pi}{4}\right)}+2\tan{\left(\frac{\pi}{4}\right)}-\sec^2{\left(\frac{\pi}{4}\right)}\)
\(=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2-\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+2\times1-\left(\sqrt{2}\right)^2\)
\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+2-2\)
\(=0\)

প্রদত্ত রাশি \(=\sin^2{\frac{\pi}{7}}+\sin^2{\frac{5\pi}{14}}+\sin^2{\frac{8\pi}{7}}+\sin^2{\frac{9\pi}{14}}\)
\(=\sin^2{\frac{\pi}{7}}+\sin^2{\left(\frac{\pi}{2}\times 1-\frac{\pi}{7}\right)}+\sin^2{\left(\frac{\pi}{2}\times 2+\frac{\pi}{7}\right)}+\sin^2{\left(\frac{\pi}{2}\times 1+\frac{\pi}{7}\right)}\) ➜Note \(\because \frac{5\pi}{14}=\frac{\pi}{2}\times 1-\frac{\pi}{7}\)
\(\frac{8\pi}{7}=\frac{\pi}{2}\times 2+\frac{\pi}{7}\)
এবং \(\frac{9\pi}{14}=\frac{\pi}{2}\times 1+\frac{\pi}{7}\)

\(=\sin^2{\frac{\pi}{7}}+\cos^2{\frac{\pi}{7}}+\left\{-\sin{\frac{\pi}{7}}\right\}^2+\cos^2{\frac{\pi}{7}}\) ➜Note \(\because\) দ্বিতীয় পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।
তৃতীয় পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ঋনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।
চতুর্থ পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।

\(=\left(\sin^2{\frac{\pi}{7}}+\cos^2{\frac{\pi}{7}}\right)+\left(\sin^2{\frac{\pi}{7}}+\cos^2{\frac{\pi}{7}}\right)\)
\(=1+1\) ➜Note \(\because \sin^2{A}+\cos^2{A}=1\)

\(=2\)

\((a)\)
প্রদত্ত রাশি \(=\sin{480^{o}}\cos{750^{o}}+\cos{(-660^{o})}\sin{(-870^{o})}\)
\(=\sin{480^{o}}\cos{750^{o}}-\cos{660^{o}}\sin{870^{o}}\) ➜Note \(\because \cos{(-\theta)}=\cos{\theta}\)
এবং \(\sin{(-\theta)}=-\sin{\theta}\)

\(=\sin{(90^{o}\times5+30^{o})}\cos{(90^{o}\times8+30^{o})}-\cos{(90^{o}\times7+30^{o})}\sin{(90^{o}\times9+60^{o})}\) ➜Note \(\because 480^{o}=90^{o}\times5+30^{o}\)
\(750^{o}=90^{o}\times8+30^{o}\)
\(660^{o}=90^{o}\times7+30^{o}\)
এবং \(870^{o}=90^{o}\times9+60^{o}\)

\(=\cos{30^{o}}\cos{30^{o}}-\sin{30^{o}}\cos{60^{o}}\) ➜Note \(\because\) প্রথম পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(5\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।
দ্বিতীয় পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(8\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।
তৃতীয় পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(7\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।
চতুর্থ পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(9\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।

\(=\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\) ➜Note \(\because \cos{30^{o}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\sin{30^{o}}=\frac{1}{2}\)
এবং \(\cos{60^{o}}=\frac{1}{2}\)

\(=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\)
\(=\frac{3-1}{4}\)
\(=\frac{2}{4}\)
\(=\frac{1}{2}\)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(A=\frac{\pi}{12}\)
প্রদত্ত রাশি \(=\cos^2{A}+\cos^2{3A}+\cos^2{5A}+\cos^2{7A}+\cos^2{9A}+\cos^2{11A}\)
\(=\cos^2{\frac{\pi}{12}}+\cos^2{\frac{3\pi}{12}}+\cos^2{\frac{5\pi}{12}}+\cos^2{\frac{7\pi}{12}}+\cos^2{\frac{9\pi}{12}}+\cos^2{\frac{11\pi}{12}}\) ➜Note \(\because A=\frac{\pi}{12}\)

\(=\cos^2{\frac{\pi}{12}}+\cos^2{\frac{\pi}{4}}+\cos^2{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{\pi}{12}\right)}+\cos^2{\left(\frac{\pi}{2}\times1+\frac{\pi}{12}\right)}+\cos^2{\left(\frac{\pi}{2}\times2-\frac{\pi}{4}\right)}+\cos^2{\left(\frac{\pi}{2}\times2-\frac{\pi}{12}\right)}\) ➜Note \(\because \frac{5\pi}{12}=\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{\pi}{12}\right)\)
\(\frac{7\pi}{12}=\left(\frac{\pi}{2}\times1+\frac{\pi}{12}\right)\)
\(\frac{9\pi}{12}=\left(\frac{\pi}{2}\times2-\frac{\pi}{4}\right)\)
\(\frac{11\pi}{12}=\left(\frac{\pi}{2}\times2-\frac{\pi}{12}\right)\)

\(=\cos^2{\frac{\pi}{12}}+\cos^2{\frac{\pi}{4}}+\sin^2{\frac{\pi}{12}}+\sin^2{\frac{\pi}{12}}+\cos^2{\frac{\pi}{4}}+\cos^2{\frac{\pi}{12}}\)
\(=2\cos^2{\frac{\pi}{12}}+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+2\sin^2{\frac{\pi}{12}}+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2\) ➜Note \(\because \cos{\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(=2\left(\sin^2{\frac{\pi}{12}}+\cos^2{\frac{\pi}{12}}\right)+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\)
\(=2\times 1+\frac{1+1}{2}\) ➜Note \(\because \sin^2{A}+\cos^2{A}=1\)

\(=2+\frac{2}{2}\)
\(=2+1\)
\(=3\)
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(\tan{\theta}=\frac{4}{3}\)
\(\therefore \cot{\theta}=\frac{3}{4}\)
এখানে, \(\text{বিপরীত}=4\) ➜Note \(\because \tan{\theta}=\frac{\text{বিপরীত}}{\text{সংলগ্ন}}\)

\(\text{সংলগ্ন}=3\)
\(\therefore \text{অতিভুজ }=\sqrt{(\text{বিপরীত})^2+(\text{সংলগ্ন})^2}\)
\(=\sqrt{4^2+3^2}\)
\(=\sqrt{16+9}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(\therefore \text{অতিভুজ }=5\)
এখন \(\cos{\theta}=-\frac{3}{5}\) ➜Note \(\because \cos{\theta}=\frac{\text{সংলগ্ন}}{\text{অতিভুজ}}\) যা ঋণাত্মক

আবার, \(\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}=\tan{\theta}\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=\tan{\theta}\times\cos{\theta}\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=\frac{4}{3}\times -\frac{3}{5}\) ➜Note \(\because \tan{\theta}=\frac{4}{3}\)
এবং \(\cos{\theta}=-\frac{3}{5}\)

\(\therefore \sin{\theta}=-\frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sin{\theta}}=-\frac{5}{4}\)
\(\therefore cosec \ {\theta}=-\frac{5}{4}\) ➜Note \(\because \frac{1}{\sin{A}}=cosec \ {A}\)

এখন \(B=\frac{\cot{\theta}+cosec \ {(-\theta})}{\cos{\theta}+\sin{(-\theta)}}\)
\(=\frac{\cot{\theta}-cosec \ {\theta}}{\cos{\theta}-\sin{\theta}}\) ➜Note \(\because cosec \ {(-A)}=-cosec \ {A}\)
এবং \(\sin{(-A)}=-\sin{A}\)

\(=\frac{\frac{3}{4}-\left(-\frac{5}{4}\right)}{-\frac{3}{5}-\left(-\frac{4}{5}\right)}\) ➜Note \(\because \cot{\theta}=\frac{3}{4}\)
\(cosec \ {\theta}=-\frac{5}{4}\)
\(\cos{\theta}=-\frac{3}{5}\)
এবং \(\sin{\theta}=-\frac{4}{5}\)

\(=\frac{\frac{3}{4}+\frac{5}{4}}{-\frac{3}{5}+\frac{4}{5}}\)
\(=\frac{\frac{3+5}{4}}{\frac{-3+4}{5}}\)
\(=\frac{\frac{8}{4}}{\frac{1}{5}}\)
\(=2\times{\frac{5}{1}}\)
\(=10\)

প্রদত্ত রাশি \(=\cos^2{\frac{\pi}{7}}+\cos^2{\frac{5\pi}{14}}+\cos^2{\frac{8\pi}{7}}+\cos^2{\frac{9\pi}{14}}\)
\(=\cos^2{\frac{\pi}{7}}+\cos^2{\left(\frac{\pi}{2}\times 1-\frac{\pi}{7}\right)}+\cos^2{\left(\frac{\pi}{2}\times 2+\frac{\pi}{7}\right)}+\cos^2{\left(\frac{\pi}{2}\times 1+\frac{\pi}{7}\right)}\) ➜Note \(\because \frac{5\pi}{14}=\frac{\pi}{2}\times 1-\frac{\pi}{7}\)
\(\frac{8\pi}{7}=\frac{\pi}{2}\times 2+\frac{\pi}{7}\)
এবং \(\frac{9\pi}{14}=\frac{\pi}{2}\times 1+\frac{\pi}{7}\)

\(=\cos^2{\frac{\pi}{7}}+\sin^2{\frac{\pi}{7}}+\left\{-\cos{\frac{\pi}{7}}\right\}^2+\left\{-\sin{\frac{\pi}{7}}\right\}^2\) ➜Note \(\because\) দ্বিতীয় পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।
তৃতীয় পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।
চতুর্থ পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।

\(=\cos^2{\frac{\pi}{7}}+\sin^2{\frac{\pi}{7}}+\cos^2{\frac{\pi}{7}}+\sin^2{\frac{\pi}{7}}\)
\(=\left(\sin^2{\frac{\pi}{7}}+\cos^2{\frac{\pi}{7}}\right)+\left(\sin^2{\frac{\pi}{7}}+\cos^2{\frac{\pi}{7}}\right)\)
\(=1+1\) ➜Note \(\because \sin^2{A}+\cos^2{A}=1\)

\(=2\)

প্রদত্ত রাশি \(=\cos{18^{o}}+\cos{162^{o}}+\cos{234^{o}}+\cos{1386^{o}}\)
\(=\cos{18^{o}}+\cos{(90^{o}\times2-18^{o})}+\cos{(90^{o}\times3-36^{o})}+\cos{(90^{o}\times15+36^{o})}\) ➜Note \(\because 162^{o}=90^{o}\times2-18^{o}\)
\(234^{o}=90^{o}\times3-36^{o}\)
এবং \(1386^{o}=90^{o}\times15+36^{o}\)

\(=\cos{18^{o}}-\cos{18^{o}}-\sin{36^{o}}+\sin{36^{o}}\) ➜Note \(\because\) দ্বিতীয় পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।
তৃতীয় পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(3\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।
চতুর্থ পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(15\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।

\(=0\)
ইহাই নির্ণেয় মান।

প্রদত্ত রাশি \(=\cos^2{\frac{\pi}{12}}+\cos^2{\frac{3\pi}{12}}+\cos^2{\frac{5\pi}{12}}+\cos^2{\frac{7\pi}{12}}+\cos^2{\frac{9\pi}{12}}+\cos^2{\frac{11\pi}{12}}\)
\(=\cos^2{\frac{\pi}{12}}+\cos^2{\frac{3\pi}{12}}+\cos^2{\frac{5\pi}{12}}+\cos^2{\left(\frac{\pi}{2}\times1+\frac{\pi}{12}\right)}+\cos^2{\left(\frac{\pi}{2}\times1+\frac{3\pi}{12}\right)}+\cos^2{\left(\frac{\pi}{2}\times1+\frac{5\pi}{12}\right)}\) ➜Note \(\because \frac{7\pi}{12}=\left(\frac{\pi}{2}\times1+\frac{\pi}{12}\)
\(\frac{9\pi}{12}=\left(\frac{\pi}{2}\times1+\frac{3\pi}{12}\)
এবং \(\frac{11\pi}{12}=\left(\frac{\pi}{2}\times1+\frac{5\pi}{12}\)

\(=\cos^2{\frac{\pi}{12}}+\cos^2{\frac{3\pi}{12}}+\cos^2{\frac{5\pi}{12}}+\left\{-\sin{\frac{\pi}{12}}\right\}^2+\left\{-\sin{\frac{3\pi}{12}}\right\}^2+\left\{-\sin{\frac{5\pi}{12}}\right\}^2\) ➜Note \(\because\) চতুর্থ পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।
৫ম পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।
ষষ্ঠ পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।

\(=\cos^2{\frac{\pi}{12}}+\cos^2{\frac{3\pi}{12}}+\cos^2{\frac{5\pi}{12}}+\sin^2{\frac{\pi}{12}}+\sin^2{\frac{3\pi}{12}}+\sin^2{\frac{5\pi}{12}}\)
\(=\left(\sin^2{\frac{\pi}{12}}+\cos^2{\frac{\pi}{12}}\right)+\left(\sin^2{\frac{3\pi}{12}}+\cos^2{\frac{3\pi}{12}}\right)+\left(\sin^2{\frac{5\pi}{12}}+\cos^2{\frac{5\pi}{12}}\right)\)
\(=1+1+1\) ➜Note \(\because \sin^2{A}+\cos^2{A}=1\)

\(=3\)
ইহাই নির্ণেয় মান।

দেওয়া আছে,
\(\sin{\theta}=\frac{5}{13}\) এবং \(\frac{\pi}{2}\lt \theta\lt \pi\)
\(\therefore \theta\) দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত।
এখানে, \(\text{বিপরীত}=5\) ➜Note \(\because \sin{\theta}=\frac{\text{বিপরীত}}{\text{অতিভুজ}}\)

\(\text{অতিভুজ}=13\)
এখন, \((\text{বিপরীত})^2+(\text{সংলগ্ন})^2=(\text{অতিভুজ })^2\)
\(\Rightarrow (\text{সংলগ্ন})^2=(\text{অতিভুজ })^2-(\text{বিপরীত})^2\)
\(\therefore \text{সংলগ্ন}=\sqrt{(\text{অতিভুজ })^2-(\text{বিপরীত})^2}\)
\(=\sqrt{(13)^2-5^2}\)
\(=\sqrt{169-25}\)
\(=\sqrt{144}\)
\(=12\)
\(\therefore \text{সংলগ্ন }=12\)
এখন, \(\tan{\theta}=-\frac{5}{12}\) ➜Note \(\because \tan{\theta}=\frac{\text{বিপরীত}}{\text{সংলগ্ন}}\)
এবং দ্বিতীয় চতুর্ভাগে \(\tan{\theta}\) ঋণাত্মক

\(\Rightarrow \frac{1}{\tan{\theta}}=-\frac{12}{5}\)
\(\therefore \cot{\theta}=-\frac{12}{5}\)
আবার, \(\sec{\theta}=-\frac{13}{12}\) ➜Note \(\because \sec{\theta}=\frac{\text{অতিভুজ}}{\text{সংলগ্ন}}\)
এবং দ্বিতীয় চতুর্ভাগে \(\sec{\theta}\) ঋণাত্মক

আবার, \(cosec \ {\theta}=\frac{13}{5}\) ➜Note \(\because cosec \ {\theta}=\frac{\text{অতিভুজ}}{\text{বিপরীত}}\)
এবং দ্বিতীয় চতুর্ভাগে \(cosec \ {\theta}\) ধণাত্মক

\(L.S=\frac{\tan{\theta}+\sec{(-\theta)}}{\cot{\theta}+cosec \ {(-\theta)}}\)
\(=\frac{\tan{\theta}+\sec{\theta}}{\cot{\theta}-cosec \ {\theta}}\) ➜Note \(\because \sec{(-A)}=\sec{A}\)
এবং \(cosec \ {(-A)}=-cosec \ {A}\)

\(=\frac{-\frac{5}{12}-\frac{13}{12}}{-\frac{12}{5}-\frac{13}{5}}\) ➜Note \(\because \tan{\theta}=-\frac{5}{12}\)
\(\cot{\theta}=-\frac{12}{5}\)
\(\sec{\theta}=-\frac{13}{12}\)
এবং \(cosec \ {\theta}=\frac{13}{5}\)

\(=\frac{-\left(\frac{5}{12}+\frac{13}{12}\right)}{-\left(\frac{12}{5}+\frac{13}{5}\right)}\)
\(=\frac{\frac{5}{12}+\frac{13}{12}}{\frac{12}{5}+\frac{13}{5}}\)
\(=\frac{\frac{5+13}{12}}{\frac{12+13}{5}}\)
\(=\frac{\frac{18}{12}}{\frac{25}{5}}\)
\(=\frac{3}{2}\times\frac{1}{5}\)
\(=\frac{3}{10}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

প্রদত্ত রাশি \(=\cot{\theta}+\cot{(\pi+\theta)}+\cot{(2\pi+\theta)}+..........+\cot{(n\pi+\theta)}\)
\(=\cot{\theta}+\cot{\left(\frac{\pi}{2}\times2+\theta\right)}+\cot{\left(\frac{\pi}{2}\times4+\theta\right)}+..........+\cot{\left(\frac{\pi}{2}\times2n+\theta\right)}\)
\(n\in{\mathbb{Z}}\) হলে,
\(=\cot{\theta}+\cot{\theta}+\cot{\theta}+\cot{\theta}+ ......+\cot{\theta}\)
\(=\cot{\theta}+\cot{\theta}+\cot{\theta}+\cot{\theta}+ ......+(n+1)\text{তম পদ}\)
\(=(n+1)\cot{\theta}\)
ইহাই নির্ণেয় যোগফল।

\((a)\)
\(L.S=\sin{\{(2n+1)\pi+\alpha\}}\)
\(=\sin{\{2n\pi+\pi+\alpha\}}\)
\(=\sin{\{\frac{\pi}{2}\times4n+(\pi+\alpha)\}}\) ➜Note \(\because 2n\pi+\pi+\alpha=\frac{\pi}{2}\times4n+(\pi+\alpha)\)

\(=\sin{(\pi+\alpha)}\) ➜Note \(\because n\) পূর্ণ সংখ্যা হলে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(4n\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=\sin{(\frac{\pi}{2}\times2+\alpha)}\) ➜Note \(\because \pi+\alpha=\frac{\pi}{2}\times2+\alpha\)

\(=-\sin{\alpha}\) ➜Note \(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ঋনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(দেখানো হলো)
\((b)\)
\(L.S=\tan{\{(2n+1)\pi+\alpha\}}+\tan{\{(2n+1)\pi-\alpha\}}\)
\(=\tan{\{2n\pi+(\pi+\alpha)\}}+\tan{\{2n\pi+(\pi-\alpha)\}}\)
\(=\tan{\{\frac{\pi}{2}\times4n+(\pi+\alpha)\}}+\tan{\{\frac{\pi}{2}\times4n+(\pi-\alpha)\}}\) ➜Note \(\because 2n\pi+\pi+\alpha=\frac{\pi}{2}\times4n+(\pi+\alpha)\)
এবং \(2n\pi+\pi-\alpha=\frac{\pi}{2}\times4n+(\pi-\alpha)\)

\(=\tan{(\pi+\alpha)}+\tan{(\pi-\alpha)}\) ➜Note \(\because n\) পূর্ণ সংখ্যা হলে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(4n\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=\tan{(\frac{\pi}{2}\times2+\alpha)}+\tan{(\frac{\pi}{2}\times2-\alpha)}\) ➜Note \(\because \pi+\alpha=\frac{\pi}{2}\times2+\alpha\)
এবং \(\pi-\alpha=\frac{\pi}{2}\times2-\alpha\)

\(=\tan{\alpha}-\tan{\alpha}\) ➜Note \(\because\) প্রথম পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।
দ্বিতীয় পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাত ঋনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=0\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(দেখানো হলো)

দেওয়া আছে,
\(2(\sin{\theta}\cos{\theta}+\sqrt{3})=\sqrt{3}\cos{\theta}+4\sin{\theta},\) যখন \(0\lt \theta\lt 360^{o}\)
\(\Rightarrow 2\sin{\theta}\cos{\theta}+2\sqrt{3}-\sqrt{3}\cos{\theta}-4\sin{\theta}=0\)
\(\Rightarrow 2\sin{\theta}\cos{\theta}-4\sin{\theta}-\sqrt{3}\cos{\theta}+2\sqrt{3}=0\)
\(\Rightarrow 2\sin{\theta}(\cos{\theta}-2)-\sqrt{3}(\cos{\theta}-2)=0\)
\(\Rightarrow (\cos{\theta}-2)(2\sin{\theta}-\sqrt{3})=0\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}-2\ne{0}, \ 2\sin{\theta}-\sqrt{3}=0\)
\(\Rightarrow 2\sin{\theta}=\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=\sin{60^{o}}, \ \sin{\theta}=\sin{(90^{o}\times2-60^{o})}\) যা প্রদত্ত সীমার মধ্যে অবস্থিত।
\(\Rightarrow \sin{\theta}=\sin{60^{o}}, \ \sin{\theta}=\sin{(180^{o}-60^{o})}\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=\sin{60^{o}}, \ \sin{\theta}=\sin{120^{o}}\)
\(\Rightarrow \theta=60^{o}, \ \theta=120^{o}\)
\(\therefore \theta=60^{o}, \ 120^{o}\)
নির্ণেয় সমাধান \(\theta=60^{o}, \ 120^{o}\)

\((a)\)
প্রদত্ত রাশি \(=\sin{(405^{o})}\)
\(=\sin{(90^{o}\times{4}+45^{o})}\) ➜Note \(\because 405^{o}=90^{o}\times{4}+45^{o}\)

\(=\sin{45^{o}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(4\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\) ➜Note \(\because \sin{45^{o}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
ইহাই নির্ণেয় মান।
\((b)\)
প্রদত্ত রাশি \(=\sin{(-750^{o})}\)
\(=-\sin{(750^{o})}\) ➜Note \(\because \sin{(-A)}=-\sin{A}\)

\(=-\sin{(90^{o}\times{8}+30^{o})}\) ➜Note \(\because 750^{o}=90^{o}\times{8}+30^{o}\)

\(=-\sin{30^{o}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(8\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=-\sin{30^{o}}\)
\(=-\frac{1}{2}\) ➜Note \(\because \sin{30^{o}}=\frac{1}{2}\)
ইহাই নির্ণেয় মান।
\((c)\)
প্রদত্ত রাশি \(=\cos{570^{o}}\)
\(=\cos{(90^{o}\times{6}+30^{o})}\) ➜Note \(\because 570^{o}=90^{o}\times{6}+30^{o}\)

\(=-\cos{30^{o}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(6\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) ➜Note \(\because \cos{30^{o}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
ইহাই নির্ণেয় মান।
\((d)\)
প্রদত্ত রাশি \(=\cos{(-750^{o})}\)
\(=\cos{(570^{o})}\) ➜Note \(\because \cos{(-A)}=\cos{A}\)

\(=\cos{(90^{o}\times{6}+30^{o})}\) ➜Note \(\because 750^{o}=90^{o}\times{8}+30^{o}\)

\(=\cos{30^{o}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(8\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=\cos{30^{o}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{2}\) ➜Note \(\because \cos{30^{o}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
ইহাই নির্ণেয় মান।
\((e)\)
প্রদত্ত রাশি \(=\sec{510^{o}}\)
\(=\sec{(90^{o}\times{5}+60^{o})}\) ➜Note \(\because 510^{o}=90^{o}\times{5}+60^{o}\)

\(=-cosec \ {60^{o}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সেকেন্ট অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(5\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং সেকেন্ট পরিবর্তন হয়ে কোসেকেন্ট হয়েছে।

\(=-\frac{2}{\sqrt{3}}\) ➜Note \(\because cosec \ {60^{o}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\)
ইহাই নির্ণেয় মান।
\((f)\)
প্রদত্ত রাশি \(=\sec{(-2580^{o})}\)
\(=\sec{2580^{o}}\) ➜Note \(\because \sec{(-A)}=\sec{A}\)

\(=\sec{(90^{o}\times{28}+60^{o})}\) ➜Note \(\because 2580^{o}=90^{o}\times{28}+60^{o}\)

\(=\sec{60^{o}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সেকেন্ট অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(28\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=2\) ➜Note \(\because \sec{60^{o}}=2\)
ইহাই নির্ণেয় মান।
\((g)\)
প্রদত্ত রাশি \(=\cot{(-1500^{o})}\)
\(=-\cot{1500^{o}}\) ➜Note \(\because \cot{(-A)}=-\cot{A}\)

\(=-\cot{(90^{o}\times{16}+60^{o})}\) ➜Note \(\because 1500^{o}=90^{o}\times{16}+60^{o}\)

\(=-\cot{60^{o}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(16\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=-\frac{1}{\sqrt{3}}\) ➜Note \(\because \cot{60^{o}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
ইহাই নির্ণেয় মান।
\((h)\)
প্রদত্ত রাশি \(=\tan{(-1590^{o})}\)
\(=-\tan{1590^{o}}\) ➜Note \(\because \tan{(-A)}=-\tan{A}\)

\(=-\tan{(90^{o}\times{17}+60^{o})}\) ➜Note \(\because 1590^{o}=90^{o}\times{17}+60^{o}\)

\(=-(-\cot{60^{o}})\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(17\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং ট্যানজেন্ট পরিবর্তন হয়ে কোট্যানজেন্ট হয়েছে।

\(=\cot{60^{o}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{3}}\) ➜Note \(\because \cot{60^{o}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
ইহাই নির্ণেয় মান।
\((i)\)
প্রদত্ত রাশি \(=\cot{\left(\frac{11\pi}{6}\right)}\)
\(=\cot{\left(\frac{\pi}{2}\times{4}-\frac{\pi}{6}\right)}\) ➜Note \(\because \frac{11\pi}{6}=\frac{\pi}{2}\times{4}-\frac{\pi}{6}\)

\(=-\cot{\frac{\pi}{6}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(4\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=-\sqrt{3}\) ➜Note \(\because \cot{\frac{\pi}{6}}=\sqrt{3}\)
ইহাই নির্ণেয় মান।
\((j)\)
প্রদত্ত রাশি \(=\sin{\left(-\frac{29\pi}{4}\right)}\)
\(=-\sin{\left(\frac{29\pi}{4}\right)}\) ➜Note \(\because \sin{(-A)}=-\sin{A}\)

\(=\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times{14}+\frac{\pi}{4}\right)}\) ➜Note \(\because \frac{29\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\times{14}+\frac{\pi}{4}\)

\(=-\left(-\sin{\frac{\pi}{4}}\right)\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(14\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=\sin{\frac{\pi}{4}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\) ➜Note \(\because \sin{\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
ইহাই নির্ণেয় মান।
\((k)\)
প্রদত্ত রাশি \(=\tan{\left(\frac{11\pi}{6}\right)}\)
\(=\tan{\left(\frac{\pi}{2}\times{4}-\frac{\pi}{6}\right)}\) ➜Note \(\because \frac{11\pi}{6}=\frac{\pi}{2}\times{4}-\frac{\pi}{6}\)

\(=-\tan{\frac{\pi}{6}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(4\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=-\frac{1}{\sqrt{3}}\) ➜Note \(\because \tan{\frac{\pi}{6}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
ইহাই নির্ণেয় মান।
\((l)\)
প্রদত্ত রাশি \(=cosec \ {\left(\frac{16\pi}{3}\right)}\)
\(=cosec \ {\left(\frac{\pi}{2}\times{10}+\frac{\pi}{3}\right)}\) ➜Note \(\because \frac{16\pi}{3}=\frac{\pi}{2}\times{10}+\frac{\pi}{3}\)

\(=-cosec \ {\frac{\pi}{3}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসেকেন্ট অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(10\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=-\frac{2}{\sqrt{3}}\) ➜Note \(\because cosec \ {\frac{\pi}{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\)
ইহাই নির্ণেয় মান।
\((m)\)
প্রদত্ত রাশি \(=\cot{(765^{o})}\)
\(=\cot{(90^{o}\times{8}+45^{o})}\) ➜Note \(\because 765^{o}=90^{o}\times{8}+45^{o}\)

\(=\cot{45^{o}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(8\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=1\) ➜Note \(\because \cot{45^{o}}=1\)
ইহাই নির্ণেয় মান।
\((n)\)
প্রদত্ত রাশি \(=\sin{(210^{o})}+\cot{225^{o}}\)
\(=\sin{(90^{o}\times{2}+30^{o})}+\cot{(90^{o}\times{2}+45^{o})}\) ➜Note \(\because 210^{o}=90^{o}\times{2}+30^{o}\)
\(225^{o}=90^{o}\times{2}+45^{o}\)

\(=-\sin{30^{o}}+\cot{45^{o}}\) ➜Note উভয় পদে কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ঋণাত্মক এবং কোট্যানজেন্ট অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=-\frac{1}{2}+1\) ➜Note \(\because \sin{30^{o}}=\frac{1}{2}\) এবং \(\cot{45^{o}}=1\)
\(=\frac{-1+2}{2}\)
\(=\frac{1}{2}\)
ইহাই নির্ণেয় মান।
\((o)\)
প্রদত্ত রাশি \(=\sec{3630^{o}}\)
\(=\sec{(90^{o}\times{40}+30^{o})}\) ➜Note \(\because 3630^{o}=90^{o}\times{40}+30^{o}\)

\(=\sec{30^{o}}\) ➜Note \(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সেকেন্ট অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(40\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=\frac{2}{\sqrt{3}}\) ➜Note \(\because \sec{30^{o}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\)
ইহাই নির্ণেয় মান।
\((p)\)
প্রদত্ত রাশি \(=\cot{(-1575^{o})}\)
\(=-\cot{1575^{o}}\) ➜Note \(\because \cot{(-A)}=-\cot{A}\)

\(=-\cot{(90^{o}\times{17}+45^{o})}\) ➜Note \(\because 1575^{o}=90^{o}\times{17}+45^{o}\)

\(=-(-\tan{45^{o}})\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(17\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে ট্যানজেন্ট হয়েছে।

\(=\tan{45^{o}}\)
\(=1\) ➜Note \(\because \tan{45^{o}}=1\)
ইহাই নির্ণেয় মান।
\((q)\)
প্রদত্ত রাশি \(=\cos{\left(\frac{5\pi}{2}-\frac{19\pi}{3}\right)}\)
\(=\cos{\left(\frac{15\pi-38}{6}\right)}\)
\(=\cos{\left(\frac{-23}{6}\right)}\)
\(=\cos{\left(-\frac{23}{6}\right)}\)
\(=\cos{\left(\frac{23\pi}{6}\right)}\) ➜Note \(\because \cos{(-A)}=\cos{A}\)

\(=\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times{8}-\frac{\pi}{6}\right)}\) ➜Note \(\because \frac{23\pi}{6}=\frac{\pi}{2}\times{8}-\frac{\pi}{6}\)

\(=\cos{\frac{\pi}{6}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(8\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=\frac{\sqrt{3}}{2}\) ➜Note \(\because \cos{\frac{\pi}{6}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\((r)\)
প্রদত্ত রাশি \(=\sin{(675^{o})}\)
\(=\sin{(90^{o}\times{7}+45^{o})}\) ➜Note \(\because 675^{o}=90^{o}\times{7}+45^{o}\)

\(=-\cos{45^{o}}\) ➜Note \(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(7\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।

\(=-\frac{1}{\sqrt{2}}\) ➜Note \(\because \cos{45^{o}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
ইহাই নির্ণেয় মান।
\((s)\)
প্রদত্ত রাশি \(=\tan{(1305^{o})}\)
\(=\tan{(90^{o}\times{14}+45^{o})}\) ➜Note \(\because 1305^{o}=90^{o}\times{14}+45^{o}\)

\(=\tan{45^{o}}\) ➜Note \(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(14\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=1\) ➜Note \(\because \tan{45^{o}}=1\)
ইহাই নির্ণেয় মান।
\((t)\)
প্রদত্ত রাশি \(=cosec \ {(765^{o})}\)
\(=cosec \ {(90^{o}\times8+45^{o})}\) ➜Note \(\because 765^{o}=90^{o}\times8+45^{o}\)

\(=cosec \ {45^{o}}\) ➜Note \(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসেকেন্ট অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(8\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=\sqrt{2}\) ➜Note \(\because cosec \ {45^{o}}=\sqrt{2}\)
ইহাই নির্ণেয় মান।
\((u)\)
প্রদত্ত রাশি \(=\cot{(3750^{o})}\)
\(=\cot{(90^{o}\times{41}+60^{o})}\) ➜Note \(\because 3750^{o}=90^{o}\times{41}+60^{o}\)

\(=-\tan{60^{o}}\) ➜Note \(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(41\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে ট্যানজেন্ট হয়েছে।

\(=-\sqrt{3}\) ➜Note \(\because \tan{60^{o}}=\sqrt{3}\)
ইহাই নির্ণেয় মান।
\((v)\)
প্রদত্ত রাশি \(=\sin{(-1395^{o})}\)
\(=-\sin{(1395^{o})}\) ➜Note \(\because \sin{(-A)}=-\sin{A}\)

\(=-\sin{(90^{o}\times{15}+45^{o})}\) ➜Note \(\because 1395^{o}=90^{o}\times{15}+45^{o}\)

\(=-(-\cos{45^{o}})\) ➜Note \(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(15\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।

\(=\cos{45^{o}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\) ➜Note \(\because \cos{45^{o}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
ইহাই নির্ণেয় মান।
\((w)\)
প্রদত্ত রাশি \(=\cot{(-1530^{o})}\)
\(=-\cot{1530^{o}}\) ➜Note \(\because \cot{(-A)}=-\cot{A}\)

\(=-\cot{(90^{o}\times{17}+0^{o})}\) ➜Note \(\because 1530^{o}=90^{o}\times{17}+0^{o}\)

\(=-(-\tan{0^{o}})\) ➜Note \(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(17\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে ট্যানজেন্ট হয়েছে।

\(=\tan{0^{o}}\)
\(=0\) ➜Note \(\because \tan{0^{o}}=0\)
ইহাই নির্ণেয় মান।
\((x)\)
প্রদত্ত রাশি \(=\cot{\left(\frac{3\pi}{2}+\frac{\pi}{3}\right)}\)
\(=\cot{\left(\frac{9\pi+2\pi}{6}\right)}\)
\(=\cot{\left(\frac{11\pi}{6}\right)}\)
\(=\cot{\left(\frac{\pi}{2}\times{4}-\frac{\pi}{6}\right)}\) ➜Note \(\because \frac{11\pi}{6}=\frac{\pi}{2}\times{4}-\frac{\pi}{6}\)

\(=-\cot{\frac{\pi}{6}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(4\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=-\sqrt{3}\) ➜Note \(\because \cot{\frac{\pi}{6}}=\sqrt{3}\)
ইহাই নির্ণেয় মান।
\((y)\)
প্রদত্ত রাশি \(=\cos{\left(\frac{49\pi}{6}\right)}\)
\(=\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times{16}+\frac{\pi}{6}\right)}\) ➜Note \(\because \frac{49\pi}{6}=\frac{\pi}{2}\times{16}+\frac{\pi}{6}\)

\(=\cos{\frac{\pi}{6}}\) ➜Note \(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(16\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=\frac{\sqrt{3}}{2}\) ➜Note \(\because \cos{\frac{\pi}{6}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
ইহাই নির্ণেয় মান।

\((a)\)
প্রদত্ত রাশি \(=\sin{\left\{n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{4}\right\}}; \ n\in{\mathbb Z}\)
যখন \(n\) একটি জোড় সংখ্যা এবং \(n=2m\) যেখানে, \(m\in{\mathbb Z}\)
\(=\sin{\left\{2m\pi+(-1)^{2m}\frac{\pi}{4}\right\}}\)
\(=\sin{\left\{2m\pi+\frac{\pi}{4}\right\}}\) ➜Note \(\because (-1)^{2m}=1\)

\(=\sin{\frac{\pi}{4}}\) ➜Note \(\because m\in{\mathbb Z}\) হলে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থান করে,
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2m\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\) ➜Note \(\because \sin{\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

যখন \(n\) একটি বিজোড় সংখ্যা এবং \(n=2m+1\) যেখানে, \(m\in{\mathbb Z}\)
\(=\sin{\left\{(2m+1)\pi+(-1)^{2m+1}\frac{\pi}{4}\right\}}\)
\(=\sin{\left\{\frac{\pi}{2}\times2(2m+1)-\frac{\pi}{4}\right\}}\) ➜Note \(\because (-1)^{(2m+1)}=-1\)

\(=\sin{\frac{\pi}{4}}\) ➜Note \(\because m\in{\mathbb Z}\) হলে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থান করে,
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2(2m+1)\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\) ➜Note \(\because \sin{\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\therefore n\) যে কোনো পূর্ণ সংখ্যা হলে, প্রদত্ত রাশির মান \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\((b)\)
প্রদত্ত রাশি \(=\cos{\left\{(2n+1)\pi+\frac{\pi}{3}\right\}}; \ n\in{\mathbb Z}\)
যখন \(n\) একটি জোড় সংখ্যা এবং \(n=2m\) যেখানে, \(m\in{\mathbb Z}\)
\(=\cos{\left\{(4m+1)\pi+\frac{\pi}{3}\right\}}\)
\(=\cos{\left\{\frac{\pi}{2}\times2(4m+1)+\frac{\pi}{3}\right\}}\)
\(=-\cos{\frac{\pi}{3}}\) ➜Note \(\because m\in{\mathbb Z}\) হলে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থান করে,
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2(4m+1)\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=-\frac{1}{2}\) ➜Note \(\because \cos{\frac{\pi}{3}}=\frac{1}{2}\)

যখন \(n\) একটি বিজোড় সংখ্যা এবং \(n=2m+1\) যেখানে, \(m\in{\mathbb Z}\)
\(=\cos{\left\{(4m+2+1)\pi+\frac{\pi}{3}\right\}}\)
\(=\cos{\left\{(4m+3)\pi+\frac{\pi}{3}\right\}}\)
\(=\cos{\left\{\frac{\pi}{2}\times2(4m+3)+\frac{\pi}{3}\right\}}\)
\(=-\cos{\frac{\pi}{3}}\) ➜Note \(\because m\in{\mathbb Z}\) হলে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থান করে,
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2(4m+3)\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=-\frac{1}{2}\) ➜Note \(\because \cos{\frac{\pi}{3}}=\frac{1}{2}\)

\(\therefore n\) যে কোনো পূর্ণ সংখ্যা হলে, প্রদত্ত রাশির মান \(-\frac{1}{2}\)
\((c)\)
প্রদত্ত রাশি \(=\sin{\left\{n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}\right\}}; \ n\in{\mathbb Z}\)
যখন \(n\) একটি জোড় সংখ্যা এবং \(n=2m\) যেখানে, \(m\in{\mathbb Z}\)
\(=\sin{\left\{2m\pi+(-1)^{2m}\frac{\pi}{6}\right\}}\)
\(=\sin{\left\{2m\pi+\frac{\pi}{6}\right\}}\) ➜Note \(\because (-1)^{2m}=1\)

\(=\sin{\frac{\pi}{6}}\) ➜Note \(\because m\in{\mathbb Z}\) হলে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থান করে,
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2m\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=\frac{1}{2}\) ➜Note \(\because \sin{\frac{\pi}{6}}=\frac{1}{2}\)

যখন \(n\) একটি বিজোড় সংখ্যা এবং \(n=2m+1\) যেখানে, \(m\in{\mathbb Z}\)
\(=\sin{\left\{(2m+1)\pi+(-1)^{2m+1}\frac{\pi}{6}\right\}}\)
\(=\sin{\left\{\frac{\pi}{2}\times2(2m+1)-\frac{\pi}{6}\right\}}\) ➜Note \(\because (-1)^{(2m+1)}=-1\)

\(=\sin{\frac{\pi}{6}}\) ➜Note \(\because m\in{\mathbb Z}\) হলে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থান করে,
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2(2m+1)\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=\frac{1}{2}\) ➜Note \(\because \sin{\frac{\pi}{6}}=\frac{1}{2}\)

\(\therefore n\) যে কোনো পূর্ণ সংখ্যা হলে, প্রদত্ত রাশির মান \(\frac{1}{2}\)
\((d)\)
প্রদত্ত রাশি \(=\cos{\left\{2n\pi\pm\frac{\pi}{4}\right\}}; \ n\in{\mathbb Z}\)
যখন \(n\) একটি জোড় সংখ্যা এবং \(n=2m\) যেখানে, \(m\in{\mathbb Z}\)
\(=\cos{\left\{4m\pi\pm\frac{\pi}{4}\right\}}\)
\(=\cos{\left\{\frac{\pi}{2}\times8m\pm\frac{\pi}{4}\right\}}\)
\(=\cos{\frac{\pi}{4}}\) ➜Note \(\because m\in{\mathbb Z}\) হলে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম অথবা চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থান করে,
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2m\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\) ➜Note \(\because \cos{\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

যখন \(n\) একটি বিজোড় সংখ্যা এবং \(n=2m+1\) যেখানে, \(m\in{\mathbb Z}\)
\(=\cos{\left\{2(2m+1)\pi\pm\frac{\pi}{4}\right\}}\)
\(=\cos{\left\{(4m+2)\pi\pm\frac{\pi}{4}\right\}}\)
\(=\cos{\left\{\frac{\pi}{2}\times(8m+4)\pm\frac{\pi}{4}\right\}}\)
\(=\cos{\frac{\pi}{4}}\) ➜Note \(\because m\in{\mathbb Z}\) হলে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম অথবা চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থান করে,
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \((4m+2)\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\) ➜Note \(\because \cos{\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\therefore n\) যে কোনো পূর্ণ সংখ্যা হলে, প্রদত্ত রাশির মান \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(n\) শূন্য বা ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা হলে, মান নির্ণয় করঃ
\((e)\)
প্রদত্ত রাশি \(=\sin{\left\{n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{3}\right\}}; \ n\in{\mathbb Z}\)
যখন \(n\) একটি জোড় সংখ্যা এবং \(n=2m\) যেখানে, \(m\in{\mathbb Z}\)
\(=\sin{\left\{2m\pi+(-1)^{2m}\frac{\pi}{3}\right\}}\)
\(=\sin{\left\{2m\pi+\frac{\pi}{3}\right\}}\) ➜Note \(\because (-1)^{2m}=1\)

\(=\sin{\frac{\pi}{3}}\) ➜Note \(\because m\in{\mathbb Z}\) হলে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থান করে,
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2m\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=\frac{\sqrt{3}}{2}\) ➜Note \(\because \sin{\frac{\pi}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

যখন \(n\) একটি বিজোড় সংখ্যা এবং \(n=2m+1\) যেখানে, \(m\in{\mathbb Z}\)
\(=\sin{\left\{(2m+1)\pi+(-1)^{2m+1}\frac{\pi}{3}\right\}}\)
\(=\sin{\left\{\frac{\pi}{2}\times2(2m+1)-\frac{\pi}{3}\right\}}\) ➜Note \(\because (-1)^{(2m+1)}=-1\)

\(=\sin{\frac{\pi}{3}}\) ➜Note \(\because m\in{\mathbb Z}\) হলে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থান করে,
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2(2m+1)\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=\frac{\sqrt{3}}{2}\) ➜Note \(\because \sin{\frac{\pi}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\therefore n\) যে কোনো পূর্ণ সংখ্যা হলে, প্রদত্ত রাশির মান \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\((f)\)
প্রদত্ত রাশি \(=\sin{(-1230^{o})}-\cos{\left\{(2n+1)\pi+\frac{\pi}{3}\right\}}\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
\(=-\sin{(1230^{o})}-\cos{\left\{(2n+1)\pi+\frac{\pi}{3}\right\}}\) ➜Note \(\because \sin{(-A)}=-\sin{A}\)

যখন \(n\) একটি জোড় সংখ্যা এবং \(n=2m\) যেখানে, \(m\in{\mathbb Z}\)
\(=\cos{\left\{(4m+1)\pi+\frac{\pi}{3}\right\}}\)
\(=\cos{\left\{\frac{\pi}{2}\times2(4m+1)+\frac{\pi}{3}\right\}}\)
\(=-\cos{\frac{\pi}{3}}\) ➜Note \(\because m\in{\mathbb Z}\) হলে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থান করে,
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2(4m+1)\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

যখন \(n\) একটি বিজোড় সংখ্যা এবং \(n=2m+1\) যেখানে, \(m\in{\mathbb Z}\)
\(=\cos{\left\{(4m+3)\pi+\frac{\pi}{3}\right\}}\)
\(=\cos{\left\{\frac{\pi}{2}\times2(4m+3)+\frac{\pi}{3}\right\}}\)
\(=-\cos{\frac{\pi}{3}}\) ➜Note \(\because m\in{\mathbb Z}\) হলে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থান করে,
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2(4m+3)\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

অতএব, প্রদত্ত রাশি \(=-\sin{(1230^{o})}+\cos{\left(\frac{\pi}{3}\right)}\)
\(=-\sin{(90^{o}\times14-30^{o})}+\frac{1}{2}\) ➜Note \(\because \cos{\left(\frac{\pi}{3}\right)}=\frac{1}{2}\)
এবং \(1230^{o}=90^{o}\times14-30^{o}\)

\(=-\sin{30^{o}}+\frac{1}{2}\) ➜Note \(\because \) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থান করে,
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(14\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\)
\(=0\)
ইহাই নির্ণেয় মান।
\((g)\)
প্রদত্ত রাশি \(=\tan{\left\{\frac{n\pi}{2}+(-1)^{n}\frac{\pi}{4}\right\}}\)
যখন \(n\) একটি জোড় সংখ্যা এবং \(n=2m\) যেখানে, \(m\in{\mathbb Z}\)
\(=\tan{\left\{\frac{2m\pi}{2}+(-1)^{2m}\frac{\pi}{4}\right\}}\)
\(=\tan{\left\{\frac{\pi}{2}\times2m+\frac{\pi}{4}\right\}}\) ➜Note \(\because (-1)^{2m}=1\)

\(=\tan{\frac{\pi}{4}}\) ➜Note \(\because m\in{\mathbb Z}\) হলে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থান করে,
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2m\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=1\) ➜Note \(\because \tan{\frac{\pi}{4}}=1\)

যখন \(n\) একটি বিজোড় সংখ্যা এবং \(n=2m+1\) যেখানে, \(m\in{\mathbb Z}\)
\(=\tan{\left\{\frac{(2m+1)\pi}{2}+(-1)^{(2m+1)}\frac{\pi}{4}\right\}}\)
\(=\tan{\left\{\frac{\pi}{2}\times(2m+1)-\frac{\pi}{4}\right\}}\) ➜Note \(\because (-1)^{(2m+1)}=-1\)

\(=\cot{\frac{\pi}{4}}\) ➜Note \(\because m\in{\mathbb Z}\) হলে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম অথবা তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থান করে,
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \((2m+1)\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোট্যানজেন্ট হয়েছে।

\(=1\) ➜Note \(\because \cot{\frac{\pi}{4}}=1\)

\(\therefore n\) শূন্য বা ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা হলে, প্রদত্ত রাশির মান \(1\)

প্রদত্ত রাশি \(=\cos{558^{o}}+\sin{792^{o}}+\tan{168^{o}}+\tan{12^{o}}\)
\(=\cos{(90^{o}\times6+18^{o})}+\sin{(90^{o}\times9-18^{o})}+\tan{(90^{o}\times2-12^{o})}+\tan{12^{o}}\) ➜Note \(\because 558^{o}=90^{o}\times6+18^{o}\)
\(792^{o}=90^{o}\times9-18^{o}\)
এবং \(168^{o}=90^{o}\times2-12^{o}\)

\(=-\cos{18^{o}}+\cos{18^{o}}-\tan{12^{o}}+\tan{12^{o}}\) ➜Note \(\because\) প্রথম পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(6\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।
দ্বিতীয় পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(9\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।
তৃতীয় পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাত ঋনাত্মক
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=0\)
ইহাই নির্ণেয় মান।

প্রদত্ত রাশি \(=\tan{18^{o}}+\cos{102^{o}}+\tan{162^{o}}+\cos{438^{o}}\)
\(=\tan{18^{o}}+\cos{(90^{o}\times1+12^{o})}+\tan{(90^{o}\times2-18^{o})}+\cos{(90^{o}\times5-12^{o})}\) ➜Note \(\because 102^{o}=90^{o}\times1+12^{o}\)
\(162^{o}=90^{o}\times2-18^{o}\)
এবং \(438^{o}=90^{o}\times5-12^{o}\)

\(=\tan{18^{o}}-\sin{12^{o}}-\tan{18^{o}}+\sin{12^{o}}\) ➜Note \(\because\) দ্বিতীয় পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।
দ্বিতীয় পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাত ঋনাত্মক
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।
তৃতীয় পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(5\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।

\(=0\)
ইহাই নির্ণেয় মান।

প্রদত্ত রাশি \(=\sin{780^{o}}\cos{390^{o}}-\sin{330^{o}}\cos{(-300^{o})}\)
\(=\sin{780^{o}}\cos{390^{o}}-\sin{330^{o}}\cos{300^{o}}\) ➜Note \(\because \cos{(-A)}=\cos{A}\)

\(=\sin{(90^{o}\times9-30^{o})}\cos{(90^{o}\times4+30^{o})}-\sin{(90^{o}\times4-30^{o})}\cos{(90^{o}\times3+30^{o})}\) ➜Note \(\because 780^{o}=90^{o}\times9-30^{o}\)
\(390^{o}=90^{o}\times4+30^{o}\)
\(330^{o}=90^{o}\times4-30^{o}\)
এবং \(300^{o}=90^{o}\times3+30^{o}\)

\(=\cos{30^{o}}\cos{30^{o}}+\sin{30^{o}}\sin{30^{o}}\) ➜Note \(\because\) প্রথম পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(9\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।
দ্বিতীয় পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(4\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।
তৃতীয় পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ঋনাত্মক
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(4\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।
চতুর্থ পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(3\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।

\(=\cos^2{30^{o}}+\sin^2{30^{o}}\)
\(=\sin^2{30^{o}}+\cos^2{30^{o}}\)
\(=1\) ➜Note \(\because \sin^2{A}+\cos^2{A}=1\)

ইহাই নির্ণেয় মান।

প্রদত্ত রাশি \(=\frac{\cos{(540^{o}-A)}\sin{(1080^{o}-A)}\cot{(105^{o}+A)}}{\tan{(195^{o}+A)}\cos{(-A)}\tan{(630^{o}-A)}}\)
\(=\frac{\cos{(540^{o}-A)}\sin{(1080^{o}-A)}\cot{(105^{o}+A)}}{\tan{(195^{o}+A)}\cos{A}\tan{(630^{o}-A)}}\) ➜Note \(\because \cos{(-A)}=\cos{A}\)

\(=\frac{\cos{(90^{o}\times6-A)}\sin{(90^{o}\times12-A)}\cot{\{90^{o}\times1+(15^{o}+A)\}}}{\tan{\{90^{o}\times2+(15^{o}+A)\}}\cos{A}\tan{(90^{o}\times7-A)}}\) ➜Note \(\because 540^{o}-A=90^{o}\times6-A\)
\(1080^{o}-A=90^{o}\times12-A\)
\(105^{o}+A=90^{o}\times1+(15^{o}+A)\)
এবং \(630^{o}-A=90^{o}\times7-A\)

\(=\frac{\{-\cos{A}\}\{-\sin{A}\}\{-\tan{(15^{o}+A)}\}}{\tan{(15^{o}+A)}\cos{A}\cot{A}}\) ➜Note \(\because\) প্রথম পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(6\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।
দ্বিতীয় পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ঋনাত্মক
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(12\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।
তৃতীয় পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাত ঋনাত্মক
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই কোট্যানজেন্ট অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে ট্যানজেন্ট হয়েছে।
চতুর্থ পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।
৫ম পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(7\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই ট্যানজেন্ট অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোট্যানজেন্ট হয়েছে।

\(=\frac{-\cos{A}\sin{A}\tan{(15^{o}+A)}}{\tan{(15^{o}+A)}\cos{A}\cot{A}}\)
\(=\frac{-\sin{A}}{\cot{A}}\)
\(=-\sin{A}\frac{1}{\cot{A}}\)
\(=-\sin{A}\tan{A}\) ➜Note \(\because \frac{1}{\cot{A}}=\tan{A}\)

ইহাই নির্ণেয় মান।

প্রদত্ত রাশি \(=\frac{\sin^3{(\pi+\theta)}\tan{(2\pi-\theta)}\sec^2{(\pi-\theta)}}{\cos^2{\left(\frac{1}{2}\pi-\theta\right)} \ cosec^2{\theta}\sin{(\pi-\theta)}}\)
\(=\frac{\sin^3{\left(\frac{\pi}{2}\times2+\theta\right)}\tan{\left(\frac{\pi}{2}\times4-\theta\right)}\sec^2{\left(\frac{\pi}{2}\times2-\theta\right)}}{\cos^2{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\theta\right)} \ cosec^2{\theta}\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times2-\theta\right)}}\) ➜Note \(\because \pi+\theta=\frac{\pi}{2}\times2+\theta\)
\(2\pi-\theta=\frac{\pi}{2}\times4-\theta\)
\(\pi-\theta=\frac{\pi}{2}\times2-\theta\)
\(\frac{1}{2}\pi-\theta=\frac{\pi}{2}\times1-\theta\)
এবং \(\pi-\theta=\frac{\pi}{2}\times2-\theta\)

\(=\frac{\{-\sin{\theta}\}^3\{-\tan{\theta}\}\{-\sec{\theta}\}^2}{\sin^2{\theta} \ cosec^2{\theta}\sin{\theta}}\) ➜Note \(\because\) প্রথম পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ঋনাত্মক
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।
দ্বিতীয় পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাত ঋনাত্মক
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(4\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।
তৃতীয় পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সেকেন্ট অনুপাত ঋনাত্মক
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।
চতুর্থ পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।
৫ম পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=\frac{-\sin^3{\theta}\{-\tan{\theta}\}\sec^2{\theta}}{\sin^2{\theta} \ cosec^2{\theta}\sin{\theta}}\)
\(=\frac{\tan{\theta}\sec^2{\theta}}{\ cosec^2{\theta}}\)
\(=\tan{\theta}\sec^2{\theta}\frac{1}{\ cosec^2{\theta}}\)
\(=\tan{\theta}\frac{1}{\cos^2{\theta}}\sin^2{\theta}\) ➜Note \(\because \sec{A}=\frac{1}{\cos{A}}\)
এবং \(\frac{1}{cosec \ {A}}=\sin{A}\)

\(=\tan{\theta}\frac{\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta}}\)
\(=\tan{\theta}\tan^2{\theta}\) ➜Note \(\because \frac{\sin{A}}{\cos{A}}=\tan{A}\)

\(=\tan^3{\theta}\)
ইহাই নির্ণেয় মান।

প্রদত্ত রাশি \(=\tan{\frac{17\pi}{4}}\cos{\left(-\frac{11\pi}{4}\right)}+\sec{\left(-\frac{34\pi}{3}\right)} \ cosec \ {\left(\frac{25\pi}{6}\right)}\)
\(=\tan{\frac{17\pi}{4}}\cos{\frac{11\pi}{4}}+\sec{\frac{34\pi}{3}} \ cosec \ {\left(\frac{25\pi}{6}\right)}\) ➜Note \(\because \cos{(-A)}=\cos{A}\)
\(\sec{(-A)}=\sec{A}\)

\(=\tan{\left(\frac{\pi}{2}\times8+\frac{\pi}{4}\right)}\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times6-\frac{\pi}{4}\right)}+\sec{\left(\frac{\pi}{2}\times22+\frac{\pi}{3}\right)} \ cosec \ {\left(\frac{\pi}{2}\times8+\frac{\pi}{6}\right)}\) ➜Note \(\because \frac{17\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\times8+\frac{\pi}{4}\)
\(\frac{11\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\times6-\frac{\pi}{4}\)
\(\frac{34\pi}{3}=\left(\frac{\pi}{2}\times22+\frac{\pi}{3}\)
এবং \(\frac{25\pi}{6}=\frac{\pi}{2}\times8+\frac{\pi}{6}\)

\(=\tan{\frac{\pi}{4}}\left\{-\cos{\frac{\pi}{4}}\right\}+\left\{-\sec{\frac{\pi}{3}}\right\} \ cosec \ {\frac{\pi}{6}}\) ➜Note \(\because\) প্রথম পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(8\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।
দ্বিতীয় পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(6\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।
তৃতীয় পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সেকেন্ট অনুপাত ঋনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(22\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।
চতুর্থ পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসেকেন্ট অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(8\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=-\tan{\frac{\pi}{4}}\cos{\frac{\pi}{4}}-\sec{\frac{\pi}{3}} \ cosec \ {\frac{\pi}{6}}\)
\(=-1\times\frac{1}{\sqrt{2}}-2\times2\) ➜Note \(\because \tan{\frac{\pi}{4}}=1\)
\(\cos{\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\sec{\frac{\pi}{3}}=2\)
এবং \(cosec \ {\frac{\pi}{6}}=2\)

\(=-\frac{1}{\sqrt{2}}-4\)
\(=-\left(4+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)
ইহাই নির্ণেয় মান।

প্রদত্ত রাশি \(=\cos{198^{o}}+\sin{432^{o}}+\tan{168^{o}}+\tan{12^{o}}\)
\(=\cos{(90^{o}\times2+18^{o})}+\sin{(90^{o}\times5-18^{o})}+\tan{(90^{o}\times2-12^{o})}+\tan{12^{o}}\) ➜Note \(\because 198^{o}^{o}=90^{o}\times2+18^{o}\)
\(432^{o}=90^{o}\times5-18^{o}\)
এবং \(168^{o}=90^{o}\times2-12^{o}\)

\(=-\cos{18^{o}}+\cos{18^{o}}-\tan{12^{o}}+\tan{12^{o}}\) ➜Note \(\because\) প্রথম পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।
দ্বিতীয় পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(5\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।
তৃতীয় পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাত ঋনাত্মক
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=0\)
ইহাই নির্ণেয় মান।

প্রদত্ত রাশি \(=\cos{420^{o}}\sin{(-300^{o})}-\sin{870^{o}}\cos{570^{o}}\)
\(=-\cos{420^{o}}\sin{(300^{o})}-\sin{870^{o}}\cos{570^{o}}\) ➜Note \(\because \sin{(-A)}=-\sin{A}\)

\(=-\cos{(90^{o}\times4+60^{o})}\sin{(90^{o}\times3+30^{o})}-\sin{(90^{o}\times9+60^{o})}\cos{(90^{o}\times6+30^{o})}\) ➜Note \(\because 420^{o}=90^{o}\times4+60^{o}\)
\(300^{o}=90^{o}\times3+30^{o}\)
\(870^{o}=90^{o}\times9+60^{o}\)
এবং \(570^{o}=90^{o}\times6+30^{o}\)

\(=-\cos{60^{o}}(-\cos{30^{o}})-\cos{60^{o}}(-\cos{30^{o}})\) ➜Note \(\because\) প্রথম পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(4\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।
দ্বিতীয় পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ঋনাত্মক
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(3\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।
তৃতীয় পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(9\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।
চতুর্থ পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(6\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=\cos{60^{o}}\cos{30^{o}}+\cos{60^{o}}\cos{30^{o}}\)
\(=2\cos{60^{o}}\cos{30^{o}}\)
\(=2\times\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{2}\) ➜Note \(\because \cos{60^{o}}=\frac{1}{2}\)
এবং \(\cos{30^{o}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

ইহাই নির্ণেয় মান।

প্রদত্ত রাশি \(=\sin{480^{o}}\cos{(750^{o})}+\cos{(-660^{o})}\sin{(-870^{o})}\)
\(=\sin{480^{o}}\cos{(750^{o})}-\cos{(660^{o})}\sin{(870^{o})}\) ➜Note \(\because \cos{(-A)}=\cos{A}\)
এবং \(\sin{(-A)}=-\sin{A}\)

\(=\sin{(90^{o}\times5+30^{o})}\cos{(90^{o}\times8+30^{o})}-\cos{(90^{o}\times7+30^{o})}\sin{(90^{o}\times9+60^{o})}\) ➜Note \(\because 480^{o}=90^{o}\times5+30^{o}\)
\(750^{o}=90^{o}\times8+30^{o}\)
\(660^{o}=90^{o}\times7+30^{o}\)
এবং \(870^{o}=90^{o}\times9+60^{o}\)

\(=\cos{30^{o}}\cos{30^{o}}-\sin{30^{o}}\cos{60^{o}}\) ➜Note \(\because\) প্রথম পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(5\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।
দ্বিতীয় পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(8\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।
তৃতীয় পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(7\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।
চতুর্থ পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(9\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।

\(=\cos{30^{o}}\cos{30^{o}}-\sin{30^{o}}\cos{60^{o}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\) ➜Note \(\because \cos{30^{o}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\sin{30^{o}}=\frac{1}{2}\)
এবং \(\cos{60^{o}}=\frac{1}{2}\)

\(=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\)
\(=\frac{3-1}{4}\)
\(=\frac{2}{4}\)
\(=\frac{1}{2}\)
ইহাই নির্ণেয় মান।

প্রদত্ত রাশি \(=\frac{\cos{(360^{o}-\theta)}\tan{(180^{o}-\theta)}\sec{(90^{o}-\theta)}}{cosec \ {(360^{o}+\theta)}\cot{(270^{o}+\theta)}\cos{(180^{o}+\theta)}}\)
\(=\frac{\cos{(90^{o}\times4-\theta)}\tan{(90^{o}\times2-\theta)}\sec{(90^{o}\times1-\theta)}}{cosec \ {(90^{o}\times4+\theta)}\cot{(90^{o}\times3+\theta)}\cos{(90^{o}\times2+\theta)}}\)
\(=\frac{\cos{\theta}(-\tan{\theta})(-cosec \ {\theta})}{cosec \ {\theta}(-\tan{\theta})(-\cos{\theta})}\)
\(=1\)
(ইহাই নির্ণেয় সরলকৃত মান।)

দেওয়া আছে,
\(\tan{\theta}=\frac{3}{4}\)
এখানে, \(\text{বিপরীত}=3\) ➜Note \(\because \tan{\theta}=\frac{\text{বিপরীত}}{\text{সংলগ্ন}}\)

\(\text{সংলগ্ন}=4\)
\(\therefore \text{অতিভুজ }=\sqrt{(\text{বিপরীত})^2+(\text{সংলগ্ন})^2}\)
\(=\sqrt{3^2+4^2}\)
\(=\sqrt{9+16}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(\therefore \text{অতিভুজ }=5\)
এখন, \(\cos{\theta}=\frac{4}{5}\) ➜Note \(\because \cos{\theta}=\frac{\text{সংলগ্ন}}{\text{অতিভুজ}}\) যা ধনাত্মক

আবার, \(\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}=\tan{\theta}\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=\tan{\theta}\times\cos{\theta}\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=\frac{3}{4}\times \frac{4}{5}\) ➜Note \(\because \tan{\theta}=\frac{3}{4}\)
এবং \(\cos{\theta}=\frac{4}{5}\)

\(\therefore \sin{\theta}=\frac{3}{5}\)

দেওয়া আছ,
\(\sec{x}=-2\) এবং \(\pi\lt x\lt\frac{3\pi}{2}\)
\(\therefore x\) কোণটি তৃতীয় চুতুর্ভাগে অবস্থিত।
এখন, \(\cos{x}=\frac{1}{\sec{x}}\)
\(=\frac{1}{-2}\)
\(\therefore \cos{x}=-\frac{1}{2}\)
এখানে, \(\text{সংলগ্ন}=1\) ➜Note \(\because \cos{\theta}=\frac{\text{সংলগ্ন}}{\text{অতিভুজ}}\)

\(\text{অতিভুজ}=2\)
\(\therefore (\text{বিপরীত})^2+(\text{সংলগ্ন})^2=(\text{অতিভুজ })^2\)
\(\Rightarrow (\text{বিপরীত})^2=(\text{অতিভুজ })^2-(\text{সংলগ্ন})^2\)
\(\Rightarrow \text{বিপরীত}=\sqrt{(\text{অতিভুজ })^2-(\text{সংলগ্ন})^2}\)
\(=\sqrt{2^2-1^2}\)
\(=\sqrt{4-1}\)
\(=\sqrt{3}\)
\(\therefore \text{বিপরীত}=\sqrt{3}\)
এখন, \(\tan{x}=\frac{\sqrt{3}}{1}\) ➜Note \(\because \tan{\theta}=\frac{\text{বিপরীত}}{\text{সংলগ্ন}}\)
এবং তৃতীয় চুতুর্ভাগে \(\tan{\theta}\) ধনাত্মক।

\(\therefore \tan{x}=\sqrt{3}\)
এখন , \(L.S=\cos{x}+\tan{x}\)
\(=-\frac{1}{2}+\sqrt{3}\) ➜Note \(\because \cos{x}=-\frac{1}{2}\)
এবং \(\tan{x}=\sqrt{3}\)

\(=\sqrt{3}-\frac{1}{2}\)
\(=\frac{2\sqrt{3}-1}{2}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছ,
\(\tan{\theta}=\frac{5}{12}, \ \pi\lt \theta\lt\frac{3\pi}{2}\)
\(\therefore \theta\) কোণটি তৃতীয় চুতুর্ভাগে অবস্থিত।
এখানে, \(\text{বিপরীত}=5\) ➜Note \(\because \tan{\theta}=\frac{\text{বিপরীত}}{\text{সংলগ্ন}}\)

\(\text{সংলগ্ন}=12\)
এখন, \(\text{অতিভুজ }=\sqrt{(\text{বিপরীত})^2+(\text{সংলগ্ন})^2}\)
\(=\sqrt{5^2+(12)^2}\)
\(=\sqrt{25+144}\)
\(=\sqrt{169}\)
\(=13\)
\(\therefore \text{অতিভুজ}=13\)
এখন, \(\sin{\theta}=-\frac{5}{13}\) ➜Note \(\because \sin{\theta}=\frac{\text{বিপরীত}}{\text{অতিভুজ}}\)
এবং তৃতীয় চুতুর্ভাগে \(\sin{\theta}\) ঋনাত্মক।

এবং \(\cos{\theta}=-\frac{12}{13}\) ➜Note \(\because \sin{\theta}=\frac{\text{সংলগ্ন}}{\text{অতিভুজ}}\)
এবং তৃতীয় চুতুর্ভাগে \(\cos{\theta}\) ঋনাত্মক।

প্রদত্ত রাশি \(=\sin{(-\theta)}+\cos{\theta}\)
\(=-\sin{\theta}+\cos{\theta}\) ➜Note \(\because \sin{(-A)}=-\sin{A}\)

\(=-\left(-\frac{5}{13}\right)-\frac{12}{13}\) ➜Note \(\because \sin{\theta}=-\frac{5}{13}\)
এবং \(\cos{\theta}=-\frac{12}{13}\)

\(=\frac{5}{13}-\frac{12}{13}\)
\(=\frac{5-12}{13}\)
\(=\frac{-7}{13}\)
\(=-\frac{7}{13}\)

দেওয়া আছ,
\(\cos{\theta}=\frac{1}{2}\) এবং \(180^{o}\lt \theta\lt 360^{o}\)
\(\therefore \theta\) কোণটি চতুর্থ চুতুর্ভাগে অবস্থিত।
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{60^{o}}\) ➜Note \(\because \cos{60^{o}}=\frac{1}{2}\)

\(\therefore \theta=60^{o}\) যা প্রদত্ত সীমার মধ্যে নয়।
আবার, \(\cos{\theta}=\cos{(360^{o}-60^{o})}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{300^{o}}\)
\(\therefore \theta=300^{o}\) যা প্রদত্ত সীমার মধ্যে।

দেওয়া আছে,
\(\tan{\theta}=\frac{3}{4}\) এবং \(180^{o}\lt \theta\lt 270^{o}\)
\(\therefore \theta\) কোণটি তৃতীয় চুতুর্ভাগে অবস্থিত।
এখানে, \(\text{বিপরীত}=3\) ➜Note \(\because \tan{\theta}=\frac{\text{বিপরীত}}{\text{সংলগ্ন}}\)

\(\text{সংলগ্ন}=4\)
এখন, \(\text{অতিভুজ }=\sqrt{(\text{বিপরীত})^2+(\text{সংলগ্ন})^2}\)
\(=\sqrt{3^2+4^2}\)
\(=\sqrt{9+16}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)
\(\therefore \text{অতিভুজ}=5\)
এখন, \(\sin{\theta}=-\frac{3}{5}\) ➜Note \(\because \sin{\theta}=\frac{\text{বিপরীত}}{\text{অতিভুজ}}\)
এবং তৃতীয় চুতুর্ভাগে \(\sin{\theta}\) ঋনাত্মক।

দেওয়া আছে,
\(\frac{\pi}{2}\lt \alpha\lt \pi\) এবং \(\sin{\alpha}=\frac{4}{5}\)
\(\therefore \alpha\) কোণটি দ্বিতীয় চুতুর্ভাগে অবস্থিত।
এখানে, \(\text{বিপরীত}=4\) ➜Note \(\because \sin{\alpha}=\frac{\text{বিপরীত}}{\text{অতিভুজ}}\)

\(\text{অতিভুজ}=5\)
এখন, \((\text{বিপরীত})^2+(\text{সংলগ্ন})^2=(\text{অতিভুজ })^2\)
\(\Rightarrow (\text{সংলগ্ন})^2=(\text{অতিভুজ })^2-(\text{বিপরীত})^2\)
\(\therefore \text{সংলগ্ন}=\sqrt{(\text{অতিভুজ })^2-(\text{বিপরীত})^2}\)
\(=\sqrt{5^2-3^2}\)
\(=\sqrt{25-9}\)
\(=\sqrt{16}\)
\(=4\)
\(\therefore \text{সংলগ্ন}=4\)
এখন, \(\tan{\alpha}=-\frac{4}{3}\) ➜Note \(\because \tan{\alpha}=\frac{\text{বিপরীত}}{\text{সংলগ্ন}}\)
এবং দ্বিতীয় চুতুর্ভাগে \(\tan{\alpha}\) ঋনাত্মক।

ধরি,
\(x=r\sin{\theta+45^{o}} .....(1)\)
এবং \(y=r\sin{\theta-45^{o}} ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) বর্গ করে যোগ করি,
\(x^2+y^2=\{r\sin{(\theta+45^{o})}\}^2+\{r\sin{(\theta-45^{o})}\}^2\)
\(=r^2\sin^2{(\theta+45^{o})}+r^2\sin^2{(\theta-45^{o})}\)
\(=r^2\sin^2{(90^{o}\times1+\theta-45^{o})}+r^2\sin^2{(\theta-45^{o})}\) ➜Note \(\because \theta+45^{o}=90^{o}\times1+\theta-45^{o}\)

\(=r^2\cos^2{(\theta-45^{o})}+r^2\sin^2{(\theta-45^{o})}\) ➜Note \(\because\) প্রথম পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।

\(=r^2\{\sin^2{(\theta-45^{o})}+\cos^2{(\theta-45^{o})}\}\)
\(=r^2\{1\}\) ➜Note \(\because \sin^2{A}+\cos^2{A}=1\)

\(=r^2\)
\(\therefore x^2+y^2=r^2\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(ABCD\) চতুর্ভুজের কোণগুলি যথাক্রমে \(A, \ B, \ C, \ D \)
\(\therefore A+B+C+D=2\pi\) ➜Note \(\because \) যে কোনো চতুর্ভুজের চারটি কোণের যোগফল \(2\pi\)

\(\therefore A+C=2\pi-(B+D)\)
এবং \(A+B+C=2\pi-D\)
\((a)\)
\(L.S=\cos{\frac{1}{2}(A+C)}+\cos{\frac{1}{2}(B+D)}\)
\(=\cos{\frac{1}{2}\{2\pi-(B+D)\}}+\cos{\frac{1}{2}(B+D)}\) ➜Note \(\because A+C=2\pi-(B+D)\)

\(=\cos{\left\{\pi-\frac{1}{2}(B+D)\right\}}+\cos{\frac{1}{2}(B+D)}\)
\(=\cos{\left\{\frac{\pi}{2}\times2-\frac{1}{2}(B+D)\right\}}+\cos{\frac{1}{2}(B+D)}\)
\(=-\cos{\frac{1}{2}(B+D)}+\cos{\frac{1}{2}(B+D)}\) ➜Note \(\because\) প্রথম পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=0\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(দেখানো হলো)
\((b)\)
\(L.S=\sin{(A+B+C)}+\sin{(A+B+C+2D)}\)
\(=\sin{(A+B+C)}+\sin{(A+B+C+D+D)}\)
\(=\sin{(2\pi-D)}+\sin{(2\pi+D)}\) ➜Note \(\because A+B+C=2\pi-D\)
এবং \(A+B+C+D=2\pi\)

\(=\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times4-D\right)}+\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times4+D\right)}\) ➜Note \(\because 2\pi=\frac{\pi}{2}\times4\)

\(=-\sin{D}+\sin{D}\) ➜Note \(\because\) প্রথম পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ঋনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(4\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।
দ্বিতীয় পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(4\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=0\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(দেখানো হলো)

দেওয়া আছে,
\(\sin{\theta}=\frac{5}{13}\) এবং \(\frac{\pi}{2}\lt \theta\lt \pi\)
\(\therefore \theta\) দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত।
এখানে, \(\text{বিপরীত}=5\) ➜Note \(\because \sin{\theta}=\frac{\text{বিপরীত}}{\text{অতিভুজ}}\)

\(\text{অতিভুজ}=13\)
এখন, \((\text{বিপরীত})^2+(\text{সংলগ্ন})^2=(\text{অতিভুজ })^2\)
\(\Rightarrow (\text{সংলগ্ন})^2=(\text{অতিভুজ })^2-(\text{বিপরীত})^2\)
\(\therefore \text{সংলগ্ন}=\sqrt{(\text{অতিভুজ })^2-(\text{বিপরীত})^2}\)
\(=\sqrt{(13)^2-5^2}\)
\(=\sqrt{169-25}\)
\(=\sqrt{144}\)
\(=12\)
\(\therefore \text{সংলগ্ন }=12\)
এখন, \(\tan{\theta}=-\frac{5}{12}\) ➜Note \(\because \tan{\theta}=\frac{\text{বিপরীত}}{\text{সংলগ্ন}}\)
এবং দ্বিতীয় চতুর্ভাগে \(\tan{\theta}\) ঋণাত্মক

\(\Rightarrow \frac{1}{\tan{\theta}}=-\frac{12}{5}\)
\(\therefore \cot{\theta}=-\frac{12}{5}\)
আবার, \(\sec{\theta}=-\frac{13}{12}\) ➜Note \(\because \sec{\theta}=\frac{\text{অতিভুজ}}{\text{সংলগ্ন}}\)
এবং দ্বিতীয় চতুর্ভাগে \(\sec{\theta}\) ঋণাত্মক

আবার, \(cosec \ {\theta}=\frac{13}{5}\) ➜Note \(\because cosec \ {\theta}=\frac{\text{অতিভুজ}}{\text{বিপরীত}}\)
এবং দ্বিতীয় চতুর্ভাগে \(cosec \ {\theta}\) ধণাত্মক

প্রদত্ত রাশি \(=\frac{\tan{\theta}+\sec{(-\theta)}}{\cot{\theta}+cosec \ {(-\theta)}}\)
\(=\frac{\tan{\theta}+\sec{\theta}}{\cot{\theta}-cosec \ {\theta}}\) ➜Note \(\because \sec{(-A)}=\sec{A}\)
এবং \(cosec \ {(-A)}=-cosec \ {A}\)

\(=\frac{-\frac{5}{12}-\frac{13}{12}}{-\frac{12}{5}-\frac{13}{5}}\) ➜Note \(\because \tan{\theta}=-\frac{5}{12}\)
\(\cot{\theta}=-\frac{12}{5}\)
\(\sec{\theta}=-\frac{13}{12}\)
এবং \(cosec \ {\theta}=\frac{13}{5}\)

\(=\frac{-\left(\frac{5}{12}+\frac{13}{12}\right)}{-\left(\frac{12}{5}+\frac{13}{5}\right)}\)
\(=\frac{\frac{5}{12}+\frac{13}{12}}{\frac{12}{5}+\frac{13}{5}}\)
\(=\frac{\frac{5+13}{12}}{\frac{12+13}{5}}\)
\(=\frac{\frac{18}{12}}{\frac{25}{5}}\)
\(=\frac{3}{2}\times\frac{1}{5}\)
\(=\frac{3}{10}\)
ইহাই নির্ণেয় মান।

দেওয়া আছে,
\(\tan{\theta}=\frac{5}{12}\) এবং \(\sin{\theta}\) ঋণাত্মক
\(\therefore \theta\) তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত।
এখানে, \(\text{বিপরীত}=5\) ➜Note \(\because \tan{\theta}=\frac{\text{বিপরীত}}{\text{সংলগ্ন}}\)

\(\text{সংলগ্ন}=12\)
এখন, \((\text{অতিভুজ })^2=(\text{বিপরীত})^2+(\text{সংলগ্ন})^2\)
\(\therefore \text{অতিভুজ }=\sqrt{(\text{বিপরীত})^2+(\text{সংলগ্ন})^2}\)
\(=\sqrt{5^2+(12)^2}\)
\(=\sqrt{25+144}\)
\(=\sqrt{169}\)
\(=13\)
\(\therefore \text{অতিভুজ }=13\)
এখন, \(\sin{\theta}=-\frac{5}{13}\) ➜Note \(\because \sin{\theta}=\frac{\text{বিপরীত}}{\text{অতিভুজ}}\)
এবং তৃতীয় চতুর্ভাগে \(\sin{\theta}\) ঋণাত্মক

আবার, \(\cos{\theta}=-\frac{12}{13}\) ➜Note \(\because \cos{\theta}=\frac{\text{সংলগ্ন}}{\text{অতিভুজ}}\)
এবং তৃতীয় চতুর্ভাগে \(\cos{\theta}\) ঋণাত্মক

\(\Rightarrow \frac{1}{\cos{\theta}}=-\frac{13}{12}\)
\(\therefore \sec{\theta}=-\frac{13}{12}\)
\(L.S=\frac{\sin{\theta}+\cos{(-\theta)}}{\sec{(-\theta)}+\tan{\theta}}\)
\(=\frac{\sin{\theta}+\cos{\theta}}{\sec{\theta}+\tan{\theta}}\) ➜Note \(\because \cos{(-A)}=\cos{A}\)
এবং \(\sec{(-A)}=\sec{A}\)

\(=\frac{-\frac{5}{13}-\frac{12}{13}}{-\frac{13}{12}+\frac{5}{12}}\) ➜Note \(\because \sin{\theta}=-\frac{5}{13}\)
\(\cos{\theta}=-\frac{12}{13}\)
\(\sec{\theta}=-\frac{13}{12}\)
এবং \(\tan{\theta}=\frac{5}{12}\)

\(=\frac{-\left(\frac{5}{13}+\frac{12}{13}\right)}{-\left(\frac{13}{12}-\frac{5}{12}\right)}\)
\(=\frac{\frac{5}{13}+\frac{12}{13}}{\frac{13}{12}-\frac{5}{12}}\)
\(=\frac{\frac{5+12}{13}}{\frac{13-5}{12}}\)
\(=\frac{\frac{17}{13}}{\frac{8}{12}}\)
\(=\frac{\frac{17}{13}}{\frac{2}{3}}\)
\(=\frac{17}{13}\times\frac{3}{2}\)
\(=\frac{51}{26}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছ,
\(\tan{\theta}=\frac{5}{12}\) এবং \(\cos{\theta}\) ধণাত্মক
\(\therefore \theta\) কোণটি প্রথম চুতুর্ভাগে অবস্থিত।
এখানে, \(\text{বিপরীত}=5\) ➜Note \(\because \tan{\theta}=\frac{\text{বিপরীত}}{\text{সংলগ্ন}}\)

\(\text{সংলগ্ন}=12\)
এখন, \(\text{অতিভুজ }=\sqrt{(\text{বিপরীত})^2+(\text{সংলগ্ন})^2}\)
\(=\sqrt{5^2+(12)^2}\)
\(=\sqrt{25+144}\)
\(=\sqrt{169}\)
\(=13\)
\(\therefore \text{অতিভুজ}=13\)
এখন, \(\sin{\theta}=\frac{5}{13}\) ➜Note \(\because \sin{\theta}=\frac{\text{বিপরীত}}{\text{অতিভুজ}}\)
এবং প্রথম চুতুর্ভাগে \(\sin{\theta}\) ধনাত্মক।

এবং \(\cos{\theta}=\frac{12}{13}\) ➜Note \(\because \cos{\theta}=\frac{\text{সংলগ্ন}}{\text{অতিভুজ}}\)
এবং প্রথম চুতুর্ভাগে \(\cos{\theta}\) ধনাত্মক।

\(\Rightarrow \frac{1}{\cos{\theta}}=\frac{13}{12}\)
\(\therefore \sec{\theta}=\frac{13}{12}\)
প্রদত্ত রাশি \(=\frac{\sin{\theta}+\cos{(-\theta)}}{\sec{(-\theta)}+\tan{\theta}}\)
\(=\frac{\sin{\theta}+\cos{\theta}}{\sec{\theta}+\tan{\theta}}\) ➜Note \(\because \cos{(-A)}=\cos{A}\)
এবং \(\sec{(-A)}=\sec{A}\)

\(=\frac{\frac{5}{13}+\frac{12}{13}}{\frac{13}{12}+\frac{5}{12}}\) ➜Note \(\because \sin{\theta}=\frac{5}{13}\)
\(\cos{\theta}=\frac{12}{13}\)
\(\sec{\theta}=\frac{13}{12}\)
এবং \(\tan{\theta}=\frac{5}{12}\)

\(=\frac{\frac{5+12}{13}}{\frac{13+5}{12}}\)
\(=\frac{\frac{17}{13}}{\frac{18}{12}}\)
\(=\frac{\frac{17}{13}}{\frac{3}{2}}\)
\(=\frac{17}{13}\times\frac{2}{3}\)
\(=\frac{34}{39}\)
ইহাই নির্ণেয় মান।

দেওয়া আছে,
\(n\) এর মান যে কোনো পূর্ণ সংখ্যা।
প্রদত্ত রাশি \(=\cos{\left\{2n\pi\pm\frac{\pi}{4}\right\}}\)
যখন \(n\) একটি জোড় সংখ্যা এবং \(n=2m\) যেখানে, \(m\in{\mathbb Z}\)
\(=\cos{\left\{4m\pi\pm\frac{\pi}{4}\right\}}\)
\(=\cos{\left\{\frac{\pi}{2}\times8m\pm\frac{\pi}{4}\right\}}\)
\(=\cos{\frac{\pi}{4}}\) ➜Note \(\because m\in{\mathbb Z}\) হলে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম অথবা চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থান করে,
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2m\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\) ➜Note \(\because \cos{\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

যখন \(n\) একটি বিজোড় সংখ্যা এবং \(n=2m+1\) যেখানে, \(m\in{\mathbb Z}\)
\(=\cos{\left\{2(2m+1)\pi\pm\frac{\pi}{4}\right\}}\)
\(=\cos{\left\{(4m+2)\pi\pm\frac{\pi}{4}\right\}}\)
\(=\cos{\left\{\frac{\pi}{2}\times(8m+4)\pm\frac{\pi}{4}\right\}}\)
\(=\cos{\frac{\pi}{4}}\) ➜Note \(\because m\in{\mathbb Z}\) হলে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম অথবা চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থান করে,
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \((4m+2)\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\) ➜Note \(\because \cos{\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\therefore n\) যে কোনো পূর্ণ সংখ্যা হলে, প্রদত্ত রাশির মান সব সময় \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
(দেখানো হলো)

দেওয়া আছে,
\(\tan{\theta}=\frac{b}{a}\)
প্রদত্ত রাশি \(=\frac{a\cos{\theta}+b\sin{\theta}}{a\cos{\theta}-b\sin{\theta}}\)
\(=\frac{a\frac{\cos{\theta}}{\cos{\theta}}+b\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}}{a\frac{\cos{\theta}}{\cos{\theta}}-b\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}}\) ➜Note লব ও হরের সহিত \(\cos{\theta}\) ভাগ করে।

\(=\frac{a+b\tan{\theta}}{a-b\tan{\theta}}\) ➜Note \(\because \frac{\sin{A}}{\cos{A}}=\tan{A}\)

\(=\frac{a+b\times\frac{b}{a}}{a-b\times\frac{b}{a}}\) ➜Note \(\because \tan{\theta}=\frac{b}{a}\)

\(=\frac{a+\frac{b^2}{a}}{a-\frac{b^2}{a}}\)
\(=\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}\) ➜Note লব ও হরের সহিত \(a\) গুণ করে।

ইহাই নির্ণেয় মান।

\(L.S=\cos{A}+\sin{\left(\frac{23\pi}{2}+A\right)}-\sin{\left(\frac{23\pi}{2}-A\right)}+\cos{(17\pi+A)}\)
\(=\cos{A}+\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times23+A\right)}-\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times23-A\right)}+\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times34+A\right)}\) ➜Note \(\because \frac{23\pi}{2}+A=\frac{\pi}{2}\times23+A\)
\(\frac{23\pi}{2}-A=\frac{\pi}{2}\times23-A\)
এবং \(17\pi+A=\frac{\pi}{2}\times34+A\)

\(=\cos{A}+(-\cos{A})-(-\cos{A})+(-\cos{A})\) ➜Note \(\because\) দ্বিতীয় পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ঋনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(23\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।
তৃতীয় পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ঋনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(23\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।
চতুর্থ পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(34\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=\cos{A}-\cos{A}+\cos{A}-\cos{A}\)
\(=0\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(দেখানো হলো)

দেওয়া আছে,
\(\sin{\theta}=\frac{12}{13}\) এবং \(90^{o}\lt \theta\lt 180^{o}\)
\(\therefore \theta\) দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত।
এখানে, \(\text{বিপরীত}=12\) ➜Note \(\because \sin{\theta}=\frac{\text{বিপরীত}}{\text{অতিভুজ}}\)

\(\text{অতিভুজ}=13\)
এখন, \((\text{বিপরীত})^2+(\text{সংলগ্ন})^2=(\text{অতিভুজ })^2\)
\(\Rightarrow (\text{সংলগ্ন})^2=(\text{অতিভুজ })^2-(\text{বিপরীত})^2\)
\(\therefore \text{সংলগ্ন}=\sqrt{(\text{অতিভুজ })^2-(\text{বিপরীত})^2}\)
\(=\sqrt{(13)^2-(12)^2}\)
\(=\sqrt{169-144}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)
\(\therefore \text{সংলগ্ন }=5\)
এখন, \(\tan{\theta}=-\frac{12}{5}\) ➜Note \(\because \tan{\theta}=\frac{\text{বিপরীত}}{\text{সংলগ্ন}}\)
এবং দ্বিতীয় চতুর্ভাগে \(\tan{\theta}\) ঋণাত্মক

\(\Rightarrow \frac{1}{\tan{\theta}}=-\frac{5}{12}\)
\(\therefore \cot{\theta}=-\frac{5}{12}\)
আবার, \(\sec{\theta}=-\frac{13}{5}\) ➜Note \(\because \sec{\theta}=\frac{\text{অতিভুজ}}{\text{সংলগ্ন}}\)
এবং দ্বিতীয় চতুর্ভাগে \(\sec{\theta}\) ঋণাত্মক

আবার, \(cosec \ {\theta}=\frac{13}{12}\) ➜Note \(\because cosec \ {\theta}=\frac{\text{অতিভুজ}}{\text{বিপরীত}}\)
এবং দ্বিতীয় চতুর্ভাগে \(cosec \ {\theta}\) ধণাত্মক

\(L.S=\frac{\tan{\theta}+\sec{(-\theta)}}{\cot{\theta}+cosec \ {(-\theta)}}\)
\(=\frac{\tan{\theta}+\sec{\theta}}{\cot{\theta}-cosec \ {\theta}}\) ➜Note \(\because \sec{(-A)}=\sec{A}\)
এবং \(cosec \ {(-A)}=-cosec \ {A}\)

\(=\frac{-\frac{12}{5}-\frac{13}{5}}{-\frac{5}{12}-\frac{13}{12}}\) ➜Note \(\because \tan{\theta}=-\frac{12}{5}\)
\(\cot{\theta}=-\frac{5}{12}\)
\(\sec{\theta}=-\frac{13}{5}\)
এবং \(cosec \ {\theta}=\frac{13}{12}\)

\(=\frac{-\left(\frac{12}{5}+\frac{13}{5}\right)}{-\left(\frac{5}{12}+\frac{13}{12}\right)}\)
\(=\frac{\frac{12}{5}+\frac{13}{5}}{\frac{5}{12}+\frac{13}{12}}\)
\(=\frac{\frac{12+13}{5}}{\frac{5+13}{12}}\)
\(=\frac{\frac{25}{5}}{\frac{18}{12}}\)
\(=\frac{5}{\frac{3}{2}}\)
\(=\frac{5\times2}{3}\)
\(=\frac{10}{3}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(দেখানো হলো)

দেওয়া আছে,
\(\cot{\theta}=\frac{3}{4}\) এবং \(\cos{\theta}\) ঋণাত্মক
\(\therefore \tan{\theta}=\frac{4}{3}\)
এখানে, \(\text{বিপরীত}=4\) ➜Note \(\because \tan{\theta}=\frac{\text{বিপরীত}}{\text{সংলগ্ন}}\)

\(\text{সংলগ্ন}=3\)
\(\therefore \text{অতিভুজ }=\sqrt{(\text{বিপরীত})^2+(\text{সংলগ্ন})^2}\)
\(=\sqrt{4^2+3^2}\)
\(=\sqrt{16+9}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(\therefore \text{অতিভুজ }=5\)
এখন \(\cos{\theta}=-\frac{3}{5}\) ➜Note \(\because \cos{\theta}=\frac{\text{সংলগ্ন}}{\text{অতিভুজ}}\) যা ঋণাত্মক

আবার, \(\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}=\tan{\theta}\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=\tan{\theta}\times\cos{\theta}\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=\frac{4}{3}\times -\frac{3}{5}\) ➜Note \(\because \tan{\theta}=\frac{4}{3}\)
এবং \(\cos{\theta}=-\frac{3}{5}\)

\(\therefore \sin{\theta}=-\frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sin{\theta}}=-\frac{5}{4}\)
\(\therefore cosec \ {\theta}=-\frac{5}{4}\) ➜Note \(\because \frac{1}{\sin{A}}=cosec \ {A}\)

\(L.S=\frac{\cot{(-\theta)}+cosec \ {\theta}}{\cos{\theta}+\sin{(-\theta)}}\)
\(=\frac{-\cot{\theta}+cosec \ {\theta}}{\cos{\theta}-\sin{\theta}}\) ➜Note \(\because cosec \ {(-A)}=-cosec \ {A}\)
এবং \(\sin{(-A)}=-\sin{A}\)

\(=\frac{-\frac{3}{4}+\left(-\frac{5}{4}\right)}{-\frac{3}{5}-\left(-\frac{4}{5}\right)}\) ➜Note \(\because \cot{\theta}=\frac{3}{4}\)
\(cosec \ {\theta}=-\frac{5}{4}\)
\(\cos{\theta}=-\frac{3}{5}\)
এবং \(\sin{\theta}=-\frac{4}{5}\)

\(=\frac{-\frac{3}{4}-\frac{5}{4}}{-\frac{3}{5}+\frac{4}{5}}\)
\(=\frac{-\left(\frac{3}{4}+\frac{5}{4}\right)}{-\left(\frac{3}{5}-\frac{4}{5}\right)}\)
\(=\frac{\frac{3}{4}+\frac{5}{4}}{\frac{3}{5}-\frac{4}{5}}\)
\(=\frac{\frac{3+5}{4}}{\frac{3-4}{5}}\)
\(=\frac{\frac{8}{4}}{\frac{-1}{5}}\)
\(=\frac{2}{\frac{-1}{5}}\)
\(=\frac{2\times5}{-1}\)
\(=-10\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(দেখানো হলো)

\((a)\)
দেওয়া আছে,
\(n\) একটি পূর্ণ সংখ্যা।
যখন \(n\) একটি জোড় সংখ্যা অর্থাৎ \(n=2m, \ m\in{\mathbb{Z}}\)
\(L.S=\sin{(2m\pi+\alpha)}\)
\(=\sin{(\frac{\pi}{2}\times{4m}+\alpha)}\)
\(=\sin{\alpha}\) ➜Note \(\because \) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(4m\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=(-1)^{2m}\sin{\alpha}\)
\(=(-1)^{n}\sin{\alpha}\)
\(=R.S\)
\(\therefore \sin{(2m\pi+\alpha)}=(-1)^{n}\sin{\alpha}\)
যখন \(n\) একটি বিজোড় সংখ্যা অর্থাৎ \(n=2m+1, \ m\in{\mathbb{Z}}\)
\(L.S=\sin{\{(2m+1)\pi+\alpha\}}\)
\(=\sin{(\frac{\pi}{2}\times{2(2m+1)}+\alpha)}\)
\(=-\sin{\alpha}\) ➜Note \(\because \) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ঋনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2(2m+1)\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=(-1)^{2m+1}\sin{\alpha}\)
\(=(-1)^{n}\sin{\alpha}\)
\(=R.S\)
\(\therefore \sin{(2m\pi+\alpha)}=(-1)^{n}\sin{\alpha}\)
সুতরাং \(n\) একটি পূর্ণ সংখ্যা হলে, \(\sin{(n\pi+\alpha)}=(-1)^n\sin{\alpha}\)
(দেখানো হলো)
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(n\) একটি পূর্ণ সংখ্যা।
যখন \(n\) একটি জোড় সংখ্যা অর্থাৎ \(n=2m, \ m\in{\mathbb{Z}}\)
\(L.S=\cos{(n\pi+\alpha)}\)
\(=\cos{(\frac{\pi}{2}\times{4m}+\alpha)}\)
\(=\cos{\alpha}\) ➜Note \(\because \) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(4m\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=(-1)^{2m}\cos{\alpha}\)
\(=(-1)^{n}\cos{\alpha}\)
\(=R.S\)
\(\therefore \cos{(2m\pi+\alpha)}=(-1)^{n}\cos{\alpha}\)
যখন \(n\) একটি বিজোড় সংখ্যা অর্থাৎ \(n=2m+1, \ m\in{\mathbb{Z}}\)
\(L.S=\cos{\{(2m+1)\pi+\alpha\}}\)
\(=\cos{(\frac{\pi}{2}\times{2(2m+1)}+\alpha)}\)
\(=-\cos{\alpha}\) ➜Note \(\because \) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2(2m+1)\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=(-1)^{2m+1}\cos{\alpha}\)
\(=(-1)^{n}\cos{\alpha}\)
\(=R.S\)
\(\therefore \cos{(2m\pi+\alpha)}=(-1)^{n}\cos{\alpha}\)
সুতরাং \(n\) একটি পূর্ণ সংখ্যা হলে, \(\cos{(n\pi+\alpha)}=(-1)^n\cos{\alpha}\)
(দেখানো হলো)

\((a)\)
\(L.S=\sin{\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)}\cot{\left(\frac{3\pi}{2}+\theta\right)}\cos{(\pi-\theta)}\)
\(=\sin{\left\{\frac{\pi}{2}\times2-\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right\}}\cot{\left\{\frac{\pi}{2}\times2+\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)\right\}}\cos{\left\{\frac{\pi}{2}\times1-\left(\frac{3\pi}{2}-\theta\right)\right\}}\)
\(=\sin{\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}\cot{\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)}\sin{\left(\frac{3\pi}{2}-\theta\right)}\)
\(=\sin{\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}\sin{\left(\frac{3\pi}{2}-\theta\right)}\cot{\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(দেখানো হলো)
\((b)\)
\(L.S=\sin{\left(\frac{5\pi}{2}+\theta\right)}\cos{(3\pi-\theta)}\cot{\left(\frac{7\pi}{2}+\theta\right)}\)
\(=\sin{\left\{\frac{\pi}{2}\times6-\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right\}}\cos{\left\{\frac{\pi}{2}\times3+\left(\frac{3\pi}{2}-\theta\right)\right\}}\cot{\left\{\frac{\pi}{2}\times2+\left(\frac{5\pi}{2}+\theta\right)\right\}}\)
\(=\sin{\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}\cot{\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)}\sin{\left(\frac{3\pi}{2}-\theta\right)}\)
\(=\sin{\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}\sin{\left(\frac{3\pi}{2}-\theta\right)}\cot{\left(\frac{5\pi}{2}+\theta\right)}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(দেখানো হলো)

প্রদত্ত রাশি \(=\sin^2{\frac{17\pi}{18}}+\sin^2{\frac{5\pi}{8}}+\cos^2{\frac{37\pi}{18}}+\cos^2{\frac{3\pi}{8}}\)
\(=\left\{\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times2-\frac{\pi}{18}\right)}\right\}^2+\left\{\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times1+\frac{\pi}{8}\right)}\right\}^2+\left\{\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times4+\frac{\pi}{18}\right)}\right\}^2+\left\{\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{\pi}{8}\right)}\right\}^2\) ➜Note \(\because \frac{17\pi}{18}=\frac{\pi}{2}\times2-\frac{\pi}{18}\)
\(\frac{5\pi}{8}=\frac{\pi}{2}\times1+\frac{\pi}{8}\)
\(\frac{37\pi}{18}=\frac{\pi}{2}\times4+\frac{\pi}{18}\)
এবং \(\frac{3\pi}{8}=\frac{\pi}{2}\times1-\frac{\pi}{8}\)

\(=\left\{\sin{\frac{\pi}{18}}\right\}^2+\left\{\cos{\frac{\pi}{8}}\right\}^2+\left\{\cos{\frac{\pi}{18}}\right\}^2+\left\{\cos{\frac{\pi}{8}}\right\}^2\) ➜Note \(\because\) প্রথম পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।
দ্বিতীয় পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।
তৃতীয় পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(4\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।
চতুর্থ পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।

\(=\sin^2{\frac{\pi}{18}}+\cos^2{\frac{\pi}{8}}+\cos^2{\frac{\pi}{18}}+\cos^2{\frac{\pi}{8}}\)
\(=\left(\sin^2{\frac{\pi}{18}}+\cos^2{\frac{\pi}{18}}\right)+\left(\cos^2{\frac{\pi}{8}}+\cos^2{\frac{\pi}{8}}\right)\)
\(=1+1\) ➜Note \(\because \sin^2{A}+\cos^2{A}=1\)

\(=2\)
ইহাই নির্ণেয় মান।

প্রদত্ত রাশি \(=\cos^2{\frac{\pi}{8}}+\cos^2{\frac{3\pi}{8}}+\cos^2{\frac{5\pi}{8}}+\cos^2{\frac{7\pi}{8}}\)
\(=\cos^2{\frac{\pi}{8}}+\cos^2{\frac{3\pi}{8}}+\left\{\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times1+\frac{\pi}{8}\right)}\right\}^2+\left\{\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times1+\frac{3\pi}{8}\right)}\right\}^2\) ➜Note \(\because \frac{5\pi}{8}=\frac{\pi}{2}\times1+\frac{\pi}{8}\)
এবং \(\frac{7\pi}{8}=\frac{\pi}{2}\times1+\frac{3\pi}{8}\)

\(=\cos^2{\frac{\pi}{8}}+\cos^2{\frac{3\pi}{8}}+\left\{-\sin{\frac{\pi}{8}}\right\}^2+\left\{-\sin{\frac{3\pi}{8}}\right\}^2\) ➜Note \(\because\) তৃতীয় পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।
চতুর্থ পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।

\(=\cos^2{\frac{\pi}{8}}+\cos^2{\frac{3\pi}{8}}+\sin^2{\frac{\pi}{8}}+\sin^2{\frac{3\pi}{8}}\)
\(=\left(\cos^2{\frac{\pi}{8}}+\sin^2{\frac{\pi}{8}}\right)+\left(\sin^2{\frac{3\pi}{8}}+\cos^2{\frac{3\pi}{8}}\right)\)
\(=1+1\) ➜Note \(\because \sin^2{A}+\cos^2{A}=1\)

\(=2\)
ইহাই নির্ণেয় মান।

প্রদত্ত রাশি \(=\sec^2{\frac{14\pi}{17}}-\sec^2{\frac{39\pi}{17}}+\cot^2{\frac{41\pi}{34}}-\cot^2{\frac{23\pi}{34}}\)
\(=\left\{\sec{\left(\frac{\pi}{2}\times2-\frac{3\pi}{17}\right)}\right\}^2-\left\{\sec{\left(\frac{\pi}{2}\times4+\frac{5\pi}{17}\right)}\right\}^2+\left\{\cot{\left(\frac{\pi}{2}\times3-\frac{5\pi}{17}\right)}\right\}^2-\left\{\cot{\left(\frac{\pi}{2}\times1+\frac{3\pi}{17}\right)}\right\}^2\) ➜Note \(\because \frac{14\pi}{17}=\frac{\pi}{2}\times2-\frac{3\pi}{17}\)
\(\frac{39\pi}{17}=\frac{\pi}{2}\times4+\frac{5\pi}{17}\)
\(\frac{41\pi}{34}=\frac{\pi}{2}\times3-\frac{5\pi}{17}\)
এবং \(\frac{23\pi}{34}=\frac{\pi}{2}\times1+\frac{3\pi}{17}\)

\(=\left\{-\sec{\frac{3\pi}{17}}\right\}^2-\left\{\sec{\frac{5\pi}{17}}\right\}^2+\left\{\tan{\frac{5\pi}{17}}\right\}^2-\left\{-\tan{\frac{3\pi}{17}}\right\}^2\) ➜Note \(\because\) প্রথম পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সেকেন্ট অনুপাত ঋনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।
দ্বিতীয় পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সেকেন্ট অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(4\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।
তৃতীয় পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(3\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই কোট্যানজেন্ট অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে ট্যানজেন্ট হয়েছে।
চতুর্থ পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাত ঋনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই কোট্যানজেন্ট অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে ট্যানজেন্ট হয়েছে।

\(=\sec^2{\frac{3\pi}{17}}-\sec^2{\frac{5\pi}{17}}+\tan^2{\frac{5\pi}{17}}-\tan^2{\frac{3\pi}{17}}\)
\(=\left(\sec^2{\frac{3\pi}{17}}-\tan^2{\frac{3\pi}{17}}\right)-\left(\sec^2{\frac{5\pi}{17}}-\tan^2{\frac{5\pi}{17}}\right)\)
\(=1-1\) ➜Note \(\because \sec^2{A}-\tan^2{A}=1\)

\(=0\)
ইহাই নির্ণেয় মান।

প্রদত্ত রাশি \(=\cot{\frac{\pi}{20}}\cot{\frac{3\pi}{20}}\cot{\frac{5\pi}{20}}\cot{\frac{7\pi}{20}}\cot{\frac{9\pi}{20}}\)
\(=\cot{\frac{\pi}{20}}\cot{\frac{3\pi}{20}}\cot{\frac{\pi}{4}}\cot{\frac{7\pi}{20}}\cot{\frac{9\pi}{20}}\)
\(=\cot{\frac{\pi}{20}}\cot{\frac{3\pi}{20}}\times1\times\cot{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{3\pi}{20}\right)}\cot{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{\pi}{20}\right)}\) ➜Note \(\because \cot{\frac{\pi}{4}}=1\)
\(\frac{7\pi}{20}=\frac{\pi}{2}\times1-\frac{3\pi}{20}\)
এবং \(\frac{9\pi}{20}=\frac{\pi}{2}\times1-\frac{\pi}{20}\)

\(=\cot{\frac{\pi}{20}}\cot{\frac{3\pi}{20}}\tan{\frac{3\pi}{20}}\tan{\frac{\pi}{20}}\) ➜Note \(\because\) তৃতীয় পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই কোট্যানজেন্ট অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে ট্যানজেন্ট হয়েছে।
চতুর্থ পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই কোট্যানজেন্ট অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে ট্যানজেন্ট হয়েছে।

\(=\cot{\frac{\pi}{20}}\cot{\frac{3\pi}{20}}\times\frac{1}{\cot{\frac{3\pi}{20}}}\times\frac{1}{\cot{\frac{\pi}{20}}}\) ➜Note \(\because \tan{A}=\frac{1}{\cot{A}}\)
\(=1\)
ইহাই নির্ণেয় মান।

দেওয়া আছে,
সমকোণী \(\triangle{ABC}\) এ \(\angle{B}=90^{o}\)
\(\therefore A+C=90^{o}\)
\(\Rightarrow C=90^{o}-A\)
\(L.S=\sin^2{A}-\sin^2{B}+\sin^2{C}\)
\(=\sin^2{A}-\sin^2{90^{o}}+\sin^2{(90^{o}-A)}\) ➜Note \(\because \angle{B}=90^{o}\)
এবং \(C=90^{o}-A\)

\(=\sin^2{A}-1^2+\{\sin{(90^{o}\times1-A)}\}^2\) ➜Note \(\because \sin{90^{o}}=1\)
এবং \(90^{o}-A=90^{o}\times1-A\)

\(=\sin^2{A}-1+\{\cos{A}\}^2\) ➜Note \(\because\) তৃতীয় পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।

\(=\sin^2{A}-1+\cos^2{A}\)
\(=\sin^2{A}+\cos^2{A}-1\)
\(=1-1\) ➜Note \(\because \sin^2{A}+\cos^2{A}=1\)
\(=0\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

প্রদত্ত রাশি \(=\tan{\frac{\pi}{12}}\tan{\frac{5\pi}{12}}\tan{\frac{7\pi}{12}}\tan{\frac{11\pi}{12}}\)
\(=\tan{\frac{\pi}{12}}\tan{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{\pi}{12}\right)}\tan{\left(\frac{\pi}{2}\times1+\frac{\pi}{12}\right)}\tan{\left(\frac{\pi}{2}\times2-\frac{\pi}{12}\right)}\) ➜Note \(\because \frac{5\pi}{12}=\frac{\pi}{2}\times1-\frac{\pi}{12}\)
\(\frac{7\pi}{12}=\frac{\pi}{2}\times1+\frac{3\pi}{12}\)
এবং \(\frac{11\pi}{12}=\frac{\pi}{2}\times2-\frac{\pi}{12}\)

\(=\tan{\frac{\pi}{12}}\cot{\frac{\pi}{12}}\left\{-\cot{\frac{\pi}{12}}\right\}\left\{-\tan{\frac{\pi}{12}}\right\}\) ➜Note \(\because\) দ্বিতীয় পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই ট্যানজেন্ট অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোট্যানজেন্ট হয়েছে।
তৃতীয় পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাত ঋনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই ট্যানজেন্ট অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোট্যানজেন্ট হয়েছে।
চতুর্থ পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাত ঋনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=\tan{\frac{\pi}{12}}\cot{\frac{\pi}{12}}\cot{\frac{\pi}{12}}\tan{\frac{\pi}{12}}\)
\(=\cot{\frac{\pi}{12}}\cot{\frac{\pi}{12}}\times\frac{1}{\cot{\frac{\pi}{12}}}\times\frac{1}{\cot{\frac{\pi}{12}}}\) ➜Note \(\because \tan{A}=\frac{1}{\cot{A}}\)
\(=1\)
ইহাই নির্ণেয় মান।

প্রদত্ত রাশি \(=\sin^2{\frac{\pi}{4}}+\sin^2{\frac{3\pi}{4}}+\sin^2{\frac{5\pi}{4}}+\sin^2{\frac{7\pi}{4}}\)
\(=\sin^2{\frac{\pi}{4}}+\sin^2{\left(\frac{\pi}{2}\times1+\frac{\pi}{4}\right)}+\sin^2{\frac{5\pi}{4}}+\sin^2{\left(\frac{\pi}{2}\times1+\frac{5\pi}{4}\right)}\) ➜Note \(\because \frac{3\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\times1+\frac{\pi}{4}\)
এবং \(\frac{7\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\times1+\frac{5\pi}{4}\)

\(=\sin^2{\frac{\pi}{4}}+\cos^2{\frac{\pi}{4}}+\sin^2{\frac{5\pi}{4}}+\cos^2{\frac{5\pi}{4}}\) ➜Note \(\because\) দ্বিতীয় পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।
চতুর্থ পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।

\(=1+1\) ➜Note \(\because \sin^2{A}+\cos^2{A}=1\)
\(=2\)
ইহাই নির্ণেয় মান।

প্রদত্ত রাশি \(=\cos^2{\frac{\pi}{24}}+\cos^2{\frac{19\pi}{24}}+\cos^2{\frac{31\pi}{24}}+\cos^2{\frac{37\pi}{24}}\)
\(=\cos^2{\frac{\pi}{24}}+\cos^2{\left(\frac{\pi}{2}\times1+\frac{7\pi}{24}\right)}+\cos^2{\left(\frac{\pi}{2}\times2+\frac{7\pi}{24}\right)}+\cos^2{\left(\frac{\pi}{2}\times3+\frac{\pi}{24}\right)}\) ➜Note \(\because \frac{19\pi}{24}=\frac{\pi}{2}\times1+\frac{7\pi}{24}\)
\(\frac{31\pi}{24}=\frac{\pi}{2}\times2+\frac{7\pi}{24}\)
এবং \(\frac{37\pi}{24}=\frac{\pi}{2}\times3+\frac{\pi}{24}\)

\(=\cos^2{\frac{\pi}{24}}+\left\{-\sin{\frac{7\pi}{24}}\right\}^2+\left\{-\cos{\frac{7\pi}{24}}\right\}^2+\sin^2{\frac{\pi}{24}}\) ➜Note \(\because\) দ্বিতীয় পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।
তৃতীয় পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।
চতুর্থ পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(3\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।

\(=\cos^2{\frac{\pi}{24}}+\sin^2{\frac{7\pi}{24}}+\cos^2{\frac{7\pi}{24}}+\sin^2{\frac{\pi}{24}}\)
\(=\sin^2{\frac{\pi}{24}}+\cos^2{\frac{\pi}{24}}+\sin^2{\frac{7\pi}{24}}+\cos^2{\frac{7\pi}{24}}\)
\(=1+1\) ➜Note \(\because \sin^2{A}+\cos^2{A}=1\)
\(=2\)
ইহাই নির্ণেয় মান।

প্রদত্ত রাশি \(=\sin^2{\frac{\pi}{12}}+\sin^2{\frac{3\pi}{12}}+\sin^2{\frac{5\pi}{12}}+\sin^2{\frac{7\pi}{12}}+\sin^2{\frac{9\pi}{12}}+\sin^2{\frac{11\pi}{12}}\)
\(=\sin^2{\frac{\pi}{12}}+\sin^2{\frac{3\pi}{12}}+\sin^2{\frac{5\pi}{12}}+\sin^2{\left(\frac{\pi}{2}\times1+\frac{\pi}{12}\right)}+\sin^2{\left(\frac{\pi}{2}\times1+\frac{3\pi}{12}\right)}+\sin^2{\left(\frac{\pi}{2}\times1+\frac{5\pi}{12}\right)}\) ➜Note \(\because \frac{7\pi}{12}=\left(\frac{\pi}{2}\times1+\frac{\pi}{12}\)
\(\frac{9\pi}{12}=\left(\frac{\pi}{2}\times1+\frac{3\pi}{12}\)
এবং \(\frac{11\pi}{12}=\left(\frac{\pi}{2}\times1+\frac{5\pi}{12}\)

\(=\sin^2{\frac{\pi}{12}}+\sin^2{\frac{3\pi}{12}}+\sin^2{\frac{5\pi}{12}}+\cos^2{\frac{\pi}{12}}+\cos^2{\frac{3\pi}{12}}+\cos^2{\frac{5\pi}{12}}\) ➜Note \(\because\) চতুর্থ পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।
৫ম পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।
ষষ্ঠ পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।

\(=\left(\sin^2{\frac{\pi}{12}}+\cos^2{\frac{\pi}{12}}\right)+\left(\sin^2{\frac{3\pi}{12}}+\cos^2{\frac{3\pi}{12}}\right)+\left(\sin^2{\frac{5\pi}{12}}+\cos^2{\frac{5\pi}{12}}\right)\)
\(=1+1+1\) ➜Note \(\because \sin^2{A}+\cos^2{A}=1\)

\(=3\)
ইহাই নির্ণেয় মান।

প্রদত্ত রাশি \(=\cos^2{25^{o}}+\cos^2{35^{o}}+\cos^2{45^{o}}+\cos^2{55^{o}}+\cos^2{65^{o}}\)
\(=\cos^2{25^{o}}+\cos^2{35^{o}}+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+\cos^2{(90^{o}\times1-35^{o})}+\cos^2{(90^{o}\times1-25^{o})}\) ➜Note \(\because \cos^2{45^{o}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(55^{o}=90^{o}\times1-35^{o}\)
এবং \(65^{o}=90^{o}\times1-25^{o}\)

\(=\cos^2{25^{o}}+\cos^2{35^{o}}+\frac{1}{2}+\sin^2{35^{o}}+\sin^2{25^{o}}\) ➜Note \(\because\) চতুর্থ ও ৫ম পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।

\(=\sin^2{25^{o}}+\cos^2{25^{o}}+\sin^2{35^{o}}+\cos^2{35^{o}}+\frac{1}{2}\)
\(=1+1+\frac{1}{2}\) ➜Note \(\because \sin^2{A}+\cos^2{A}=1\)

\(=2+\frac{1}{2}\)
\(=\frac{4+1}{2}\)
\(=\frac{5}{2}\)
ইহাই নির্ণেয় মান।

\(L.S=\tan{\frac{\pi}{12}}\tan{\frac{5\pi}{12}}\tan{\frac{7\pi}{12}}\tan{\frac{11\pi}{12}}\)
\(=\tan{\frac{\pi}{12}}\tan{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{\pi}{12}\right)}\tan{\left(\frac{\pi}{2}\times1+\frac{\pi}{12}\right)}\tan{\left(\frac{\pi}{2}\times2-\frac{\pi}{12}\right)}\) ➜Note \(\because \frac{5\pi}{12}=\frac{\pi}{2}\times1-\frac{\pi}{12}\)
\(\frac{7\pi}{12}=\frac{\pi}{2}\times1+\frac{3\pi}{12}\)
এবং \(\frac{11\pi}{12}=\frac{\pi}{2}\times2-\frac{\pi}{12}\)

\(=\tan{\frac{\pi}{12}}\cot{\frac{\pi}{12}}\left\{-\cot{\frac{\pi}{12}}\right\}\left\{-\tan{\frac{\pi}{12}}\right\}\) ➜Note \(\because\) দ্বিতীয় পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই ট্যানজেন্ট অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোট্যানজেন্ট হয়েছে।
তৃতীয় পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাত ঋনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই ট্যানজেন্ট অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোট্যানজেন্ট হয়েছে।
চতুর্থ পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাত ঋনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=\tan{\frac{\pi}{12}}\cot{\frac{\pi}{12}}\cot{\frac{\pi}{12}}\tan{\frac{\pi}{12}}\)
\(=\cot{\frac{\pi}{12}}\cot{\frac{\pi}{12}}\times\frac{1}{\cot{\frac{\pi}{12}}}\times\frac{1}{\cot{\frac{\pi}{12}}}\) ➜Note \(\because \tan{A}=\frac{1}{\cot{A}}\)
\(=1\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

প্রদত্ত রাশি \(=\sin^2{10^{o}}+\sin^2{20^{o}}+\sin^2{30^{o}}+..........+\sin^2{80^{o}}\)
\(=\sin^2{10^{o}}+\sin^2{20^{o}}+\sin^2{30^{o}}+\sin^2{40^{o}}\)\(+\sin^2{50^{o}}+\sin^2{60^{o}}+\sin^2{70^{o}}+\sin^2{80^{o}}\)
\(=\sin^2{10^{o}}+\sin^2{20^{o}}+\sin^2{30^{o}}+\sin^2{40^{o}}\)\(+\{\sin{(90^{o}\times1-40^{o})}\}^2+\{\sin{(90^{o}\times1-30^{o})}\}^2+\{\sin{(90^{o}\times1-20^{o})}\}^2+\{\sin{(90^{o}\times1-10^{o})}\}^2\) ➜Note \(\because 50^{o}=90^{o}\times1-40^{o}\)
\(60^{o}=90^{o}\times1-30^{o}\)
\(70^{o}=90^{o}\times1-20^{o}\)
এবং \(80^{o}=90^{o}\times1-10^{o}\)

\(=\sin^2{10^{o}}+\sin^2{20^{o}}+\sin^2{30^{o}}+\sin^2{40^{o}}\)\(+\{\cos{40^{o}}\}^2+\{\cos{30^{o}}\}^2+\{\cos{20^{o}}\}^2+\{\cos{10^{o}}\}^2\) ➜Note \(\because\) ৫ম পদ থেকে শুরু করে প্রতিটি পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।

\(=\sin^2{10^{o}}+\sin^2{20^{o}}+\sin^2{30^{o}}+\sin^2{40^{o}}\)\(+\cos^2{40^{o}}+\cos^2{30^{o}}+\cos^2{20^{o}}+\cos^2{10^{o}}\)
\(=(\sin^2{10^{o}}+\cos^2{10^{o}})+(\sin^2{20^{o}}+\cos^2{20^{o}})\)\(+(\sin^2{40^{o}}+\cos^2{40^{o}})+(\cos^2{30^{o}}+\sin^2{30^{o}})\)
\(=1+1+1+1\) ➜Note \(\because \sin^2{A}+\cos^2{A}=1\)
\(=4\)
ইহাই নির্ণেয় মান।

প্রদত্ত রাশি \(=\cos^2{15^{o}}+\cos^2{25^{o}}+\cos^2{35^{o}}+..........+\cos^2{75^{o}}\)
\(=\cos^2{15^{o}}+\cos^2{25^{o}}+\cos^2{35^{o}}+\cos^2{45^{o}}+\cos^2{55^{o}}+\cos^2{65^{o}}+\cos^2{75^{o}}\)
\(=\cos^2{15^{o}}+\cos^2{25^{o}}+\cos^2{35^{o}}+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+\{\cos{(90^{o}\times1-35^{o})}\}^2+\{\cos{(90^{o}\times1-25^{o})}\}^2+\{\cos{(90^{o}\times1-15^{o})}\}^2\) ➜Note \(\because \cos{45^{o}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(55^{o}=90^{o}\times1-35^{o}\)
\(65^{o}=90^{o}\times1-25^{o}\)
এবং \(75^{o}=90^{o}\times1-15^{o}\)

\(=\cos^2{15^{o}}+\cos^2{25^{o}}+\cos^2{35^{o}}+\frac{1}{2}+\{\sin{35^{o}}\}^2+\{\sin{25^{o}}\}^2+\{\sin{15^{o}}\}^2\) ➜Note \(\because\) প্রতিটি পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।

\(=\cos^2{15^{o}}+\cos^2{25^{o}}+\cos^2{35^{o}}+\frac{1}{2}+\sin^2{35^{o}}+\sin^2{25^{o}}+\sin^2{15^{o}}\)
\(=(\sin^2{15^{o}}+\cos^2{15^{o}})+(\sin^2{25^{o}}+\cos^2{25^{o}})+(\sin^2{35^{o}}+\cos^2{35^{o}})+\frac{1}{2}\)
\(=1+1+1+\frac{1}{2}\) ➜Note \(\because \sin^2{A}+\cos^2{A}=1\)
\(=3+\frac{1}{2}\)
\(=\frac{6+1}{2}\)
\(=\frac{7}{2}\)
ইহাই নির্ণেয় মান।

দেওয়া আছে,
\(\theta=\frac{\pi}{36}\)
প্রদত্ত রাশি \(=\sin^2{3\theta}+\sin^2{4\theta}+\sin^2{5\theta}+........+\sin^2{15\theta}\)
\(=\sin^2{\frac{3\pi}{36}}+\sin^2{\frac{4\pi}{36}}+\sin^2{\frac{5\pi}{36}}+........+\sin^2{\frac{15\pi}{36}}\) ➜Note \(\because \theta=\frac{\pi}{36}\)

\(=\sin^2{\frac{3\times180^{o}}{36}}+\sin^2{\frac{4\times180^{o}}{36}}+\sin^2{\frac{5\times180^{o}}{36}}+........+\sin^2{\frac{15\times180^{o}}{36}}\) ➜Note \(\because \pi=180^{o}\)

\(=\sin^2{3\times5^{o}}+\sin^2{4\times5^{o}}+\sin^2{5\times5^{o}}+........+\sin^2{15\times5^{o}}\)
\(=\sin^2{15^{o}}+\sin^2{20^{o}}+\sin^2{25^{o}}+........+\sin^2{75^{o}}\)
\(=\sin^2{15^{o}}+\sin^2{20^{o}}+\sin^2{25^{o}}+\sin^2{30^{o}}+\sin^2{35^{o}}+\sin^2{40^{o}}+\sin^2{45^{o}}+\sin^2{50^{o}}+\sin^2{55^{o}}+\sin^2{60^{o}}+\sin^2{65^{o}}+sin^2{70^{o}}+\sin^2{75^{o}}\)
\(=\sin^2{15^{o}}+\sin^2{20^{o}}+\sin^2{25^{o}}+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\sin^2{35^{o}}+\sin^2{40^{o}}+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2\)\(+\{\sin{(90^{o}\times1-40^{o})}\}^2+\{\sin{(90^{o}\times1-35^{o})}\}^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\{\sin{(90^{o}\times1-25^{o})}\}^2+\{\sin{(90^{o}\times1-20^{o})}\}^2+\{\sin{(90^{o}\times1-15^{o})}\}^2\) ➜Note \(\because \sin{30^{o}}=\frac{1}{2}\)
\(\sin{45^{o}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\sin{60^{o}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(50^{o}=90^{o}\times1-40^{o}\)
\(55^{o}=90^{o}\times1-35^{o}\)
\(65^{o}=90^{o}\times1-25^{o}\)
\(70^{o}=90^{o}\times1-20^{o}\)
এবং \(75^{o}=90^{o}\times1-15^{o}\)

\(=\sin^2{15^{o}}+\sin^2{20^{o}}+\sin^2{25^{o}}+\frac{1}{4}+\sin^2{35^{o}}+\sin^2{40^{o}}+\frac{1}{2}\)\(+\{\cos{40^{o}}\}^2+\{\cos{35^{o}}\}^2+\frac{3}{4}+\{\cos{25^{o}}\}^2+\{\cos{20^{o}}\}^2+\{\cos{15^{o}}\}^2\) ➜Note \(\because\) প্রতিটি পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।

\(=\sin^2{15^{o}}+\sin^2{20^{o}}+\sin^2{25^{o}}+\frac{1}{4}+\sin^2{35^{o}}+\sin^2{40^{o}}+\frac{1}{2}\)\(+\cos^2{40^{o}}+\cos^2{35^{o}}+\frac{3}{4}+\cos^2{25^{o}}+\cos^2{20^{o}}+\cos^2{15^{o}}\)
\(=(\sin^2{15^{o}}+\cos^2{15^{o}})+(\sin^2{20^{o}}+\cos^2{20^{o}})+(\sin^2{25^{o}}+\cos^2{25^{o}})\)\(+(\sin^2{35^{o}}+\cos^2{35^{o}})+(\sin^2{40^{o}}+\cos^2{40^{o}})+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\)
\(=1+1+1+1+1+\frac{1+2+3}{4}\) ➜Note \(\because \sin^2{A}+\cos^2{A}=1\)
\(=5+\frac{6}{4}\)
\(=\frac{20+6}{4}\)
\(=\frac{26}{4}\)
\(=\frac{13}{2}\)
ইহাই নির্ণেয় মান।

দেওয়া আছে,
\(\theta=\frac{\pi}{20}\)
\(\Rightarrow 20\theta=\pi\)
\(\therefore 10\theta=\frac{\pi}{2}\)
\(L.S=\cot{\theta}\cot{3\theta}\cot{5\theta}........\cot{19\theta}\)
\(=\cot{\theta}\cot{3\theta}\cot{5\theta}\cot{7\theta}\cot{9\theta}\cot{11\theta}\cot{13\theta}\cot{15\theta}\cot{17\theta}\cot{19\theta}\)
\(=\cot{\theta}\cot{3\theta}\cot{5\theta}\cot{7\theta}\cot{9\theta}\cot{(10\theta+\theta)}\cot{(10\theta+3\theta)}\cot{(10\theta+5\theta)}\cot{(10\theta+7\theta)}\cot{(10\theta+9\theta)}\) ➜Note \(\because 11\theta=10\theta+\theta\)
\(13\theta=10\theta+3\theta\)
\(15\theta=10\theta+5\theta\)
\(17\theta=10\theta+7\theta\)
এবং \(19\theta=10\theta+9\theta\)

\(=\cot{\theta}\cot{3\theta}\cot{5\theta}\cot{7\theta}\cot{9\theta}\cot{\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)}\cot{\left(\frac{\pi}{2}+3\theta\right)}\cot{\left(\frac{\pi}{2}+5\theta\right)}\cot{\left(\frac{\pi}{2}+7\theta\right)}\cot{\left(\frac{\pi}{2}+9\theta\right)}\) ➜Note \(\because 10\theta=\frac{\pi}{2}\)

\(=\cot{\theta}\cot{3\theta}\cot{5\theta}\cot{7\theta}\cot{9\theta}(-\tan{\theta})(-\tan{3\theta})(-\tan{5\theta})(-\tan{7\theta})(-\tan{9\theta})\) ➜Note \(\because\) প্রতিটি পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাত ঋনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই কোট্যানজেন্ট অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে ট্যানজেন্ট হয়েছে।

\(=-\cot{\theta}\cot{3\theta}\cot{5\theta}\cot{7\theta}\cot{9\theta}\tan{\theta}\tan{3\theta}\tan{5\theta}\tan{7\theta}\tan{9\theta}\)
\(=-\cot{\theta}\cot{3\theta}\cot{5\theta}\cot{7\theta}\cot{9\theta}\times\frac{1}{\cot{\theta}\cot{3\theta}\cot{5\theta}\cot{7\theta}\cot{9\theta}}\) ➜Note \(\because \tan{A}=\frac{1}{\cot{A}}\)

\(=-1\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(\theta=\frac{\pi}{28}\)
\(\Rightarrow 28\theta=\pi\)
\(\therefore 7\theta=\frac{\pi}{4}\)
\(\therefore 14\theta=\frac{\pi}{2}\)
\(L.S=\tan{\theta}\tan{3\theta}\tan{5\theta}........\cot{13\theta}\)
\(=\tan{\theta}\tan{3\theta}\tan{5\theta}\tan{7\theta}\tan{9\theta}\tan{11\theta}\cot{13\theta}\)
\(=\tan{\theta}\tan{3\theta}\tan{5\theta}\tan{\left(\frac{\pi}{4}\right)}\tan{(14\theta-5\theta)}\tan{(14\theta-3\theta)}\tan{(14\theta-\theta)}\) ➜Note \(\because 9\theta=14\theta-5\theta\)
\(11\theta=14\theta-3\theta\)
এবং \(13\theta=14\theta-5\theta\)

\(=\tan{\theta}\tan{3\theta}\tan{5\theta}\times1\times\tan{\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}\tan{\left(\frac{\pi}{2}-3\theta\right)}\tan{\left(\frac{\pi}{2}-5\theta\right)}\) ➜Note \(\because \tan{\left(\frac{\pi}{4}\right)}=1\)
\(7\theta=\frac{\pi}{4}\)
এবং \(14\theta=\frac{\pi}{2}\)

\(=\tan{\theta}\tan{3\theta}\tan{5\theta}\cot{\theta}\cot{3\theta}\cot{5\theta}\) ➜Note \(\because\) প্রতিটি পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই ট্যানজেন্ট অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোট্যানজেন্ট হয়েছে।

\(=\tan{\theta}\tan{3\theta}\tan{5\theta}\times\frac{1}{\tan{\theta}\tan{3\theta}\tan{5\theta}}\) ➜Note \(\because \cot{\theta}=\frac{1}{\tan{\theta}}\)

\(=1\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

প্রদত্ত রাশি \(=\cos{x}+\cos{(\pi+x)}+\cos{(2\pi+x)}+..........+\cos{(n\pi+x)}\)
\(n\) জোড় সংখ্যা হলে পদ সংখ্যা হয় বিজোড়
\(=\cos{x}+\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times2+x\right)}+\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times4+x\right)}+..........+\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times2n+x\right)}\)
\(=\cos{x}-\cos{x}+\cos{x}-\cos{x}+..........+\cos{x}\) ➜Note \(\because\) দ্বিতীয় পদ থেকে শুরু করে কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম পদে তৃতীয় চতুর্ভাগে এবং পরবর্তী পদে প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থান করে।
সুতরাং কোসাইন অনুপাতটি প্রথম পদে ধনাত্মক এবং পরবর্তী পদে ঋণাত্মক হয়।
আবার, প্রতিটি পদে \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=\cos{x}\)
\(n\) বিজোড় সংখ্যা হলে পদ সংখ্যা হয় জোড়
\(=\cos{x}+\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times2+x\right)}+\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times4+x\right)}+..........+\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times2n+x\right)}\)
\(=\cos{x}-\cos{x}+\cos{x}-..........+\cos{x}\) ➜Note \(\because\) দ্বিতীয় পদ থেকে শুরু করে কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম পদে তৃতীয় চতুর্ভাগে এবং পরবর্তী পদে প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থান করে।
সুতরাং কোসাইন অনুপাতটি প্রথম পদে ধনাত্মক এবং পরবর্তী পদে ঋণাত্মক হয়।
আবার, প্রতিটি পদে \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=0\)
\(\cos{x}\) বা \(0\) যখন \(n\) যথাক্রমে জোড় ও বিজোড় সংখ্যা।

প্রদত্ত রাশি \(=\sin{\theta}+\sin{(\pi+\theta)}+\sin{(2\pi+\theta)}+..........+\sin{(n\pi+\theta)}\)
\(n\) জোড় সংখ্যা হলে পদ সংখ্যা হয় বিজোড়
\(=\sin{\theta}+\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times2+\theta\right)}+\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times4+\theta\right)}+..........+\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times2n+\theta\right)}\)
\(=\sin{\theta}-\sin{\theta}+\sin{\theta}-\sin{\theta}+..........+\sin{\theta}\) ➜Note \(\because\) দ্বিতীয় পদ থেকে শুরু করে কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম পদে তৃতীয় চতুর্ভাগে এবং পরবর্তী পদে প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থান করে।
সুতরাং সাইন অনুপাতটি প্রথম পদে ধনাত্মক এবং পরবর্তী পদে ঋণাত্মক হয়।
আবার, প্রতিটি পদে \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=\sin{x}\)
\(n\) বিজোড় সংখ্যা হলে পদ সংখ্যা হয় জোড়
\(=\sin{\theta}+\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times2+\theta\right)}+\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times4+\theta\right)}+..........+\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times2n+\theta\right)}\)
\(=\sin{\theta}-\sin{\theta}+\sin{\theta}-..........+\sin{\theta}\) ➜Note \(\because\) দ্বিতীয় পদ থেকে শুরু করে কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম পদে তৃতীয় চতুর্ভাগে এবং পরবর্তী পদে প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থান করে।
সুতরাং সাইন অনুপাতটি প্রথম পদে ধনাত্মক এবং পরবর্তী পদে ঋণাত্মক হয়।
আবার, প্রতিটি পদে \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হয়নি।

\(=0\)
\(\sin{x}\) বা \(0\) যখন \(n\) যথাক্রমে জোড় ও বিজোড় সংখ্যা।

প্রদত্ত রাশি \(=\tan{\theta}+\tan{(\pi+\theta)}+\tan{(2\pi+\theta)}+..........+\tan{(n\pi+\theta)}\)
\(=\tan{\theta}+\tan{\left(\frac{\pi}{2}\times2+\theta\right)}+\tan{\left(\frac{\pi}{2}\times4+\theta\right)}+..........+\tan{\left(\frac{\pi}{2}\times2n+\theta\right)}\)
\(n\in{\mathbb{Z}}\) হলে,
\(=\tan{\theta}+\tan{\theta}+\tan{\theta}+\tan{\theta}+ ......+\tan{\theta}\)
\(=\tan{\theta}+\tan{\theta}+\tan{\theta}+\tan{\theta}+ ......+(n+1)\text{তম পদ}\)
\(=(n+1)\tan{\theta}\)
ইহাই নির্ণেয় যোগফল।

\(L.S=\sin^2{15^{o}}+\sin^2{20^{o}}+\sin^2{25^{o}}+..........+\sin^2{75^{o}}\)
\(=\sin^2{15^{o}}+\sin^2{20^{o}}+\sin^2{25^{o}}+\sin^2{30^{o}}+\sin^2{35^{o}}+\sin^2{40^{o}}+\sin^2{45^{o}}+\sin^2{50^{o}}+\sin^2{55^{o}}+\sin^2{60^{o}}+\sin^2{65^{o}}+sin^2{70^{o}}+\sin^2{75^{o}}\)
\(=\sin^2{15^{o}}+\sin^2{20^{o}}+\sin^2{25^{o}}+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\sin^2{35^{o}}+\sin^2{40^{o}}+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2\)\(+\{\sin{(90^{o}\times1-40^{o})}\}^2+\{\sin{(90^{o}\times1-35^{o})}\}^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\{\sin{(90^{o}\times1-25^{o})}\}^2+\{\sin{(90^{o}\times1-20^{o})}\}^2+\{\sin{(90^{o}\times1-15^{o})}\}^2\) ➜Note \(\because \sin{30^{o}}=\frac{1}{2}\)
\(\sin{45^{o}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\sin{60^{o}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(50^{o}=90^{o}\times1-40^{o}\)
\(55^{o}=90^{o}\times1-35^{o}\)
\(65^{o}=90^{o}\times1-25^{o}\)
\(70^{o}=90^{o}\times1-20^{o}\)
এবং \(75^{o}=90^{o}\times1-15^{o}\)

\(=\sin^2{15^{o}}+\sin^2{20^{o}}+\sin^2{25^{o}}+\frac{1}{4}+\sin^2{35^{o}}+\sin^2{40^{o}}+\frac{1}{2}\)\(+\{\cos{40^{o}}\}^2+\{\cos{35^{o}}\}^2+\frac{3}{4}+\{\cos{25^{o}}\}^2+\{\cos{20^{o}}\}^2+\{\cos{15^{o}}\}^2\) ➜Note \(\because\) প্রতিটি পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।

\(=\sin^2{15^{o}}+\sin^2{20^{o}}+\sin^2{25^{o}}+\frac{1}{4}+\sin^2{35^{o}}+\sin^2{40^{o}}+\frac{1}{2}\)\(+\cos^2{40^{o}}+\cos^2{35^{o}}+\frac{3}{4}+\cos^2{25^{o}}+\cos^2{20^{o}}+\cos^2{15^{o}}\)
\(=(\sin^2{15^{o}}+\cos^2{15^{o}})+(\sin^2{20^{o}}+\cos^2{20^{o}})+(\sin^2{25^{o}}+\cos^2{25^{o}})\)\(+(\sin^2{35^{o}}+\cos^2{35^{o}})+(\sin^2{40^{o}}+\cos^2{40^{o}})+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\)
\(=1+1+1+1+1+\frac{1+2+3}{4}\) ➜Note \(\because \sin^2{A}+\cos^2{A}=1\)
\(=5+\frac{6}{4}\)
\(=\frac{20+6}{4}\)
\(=\frac{26}{4}\)
\(=\frac{13}{2}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(দেখানো হলো।)

\(L.S=\cos^2{3^{o}}+\cos^2{9^{o}}+\cos^2{15^{o}}+..........+\cos^2{177^{o}}\)
এখানে পদ সংখ্যা \(=\frac{177-3}{6}+1\)
\(=\frac{174}{6}+1\)
\(=29+1\)
অতএব ধারাটিতে মোট পদের সংখ্যা \(=30\)
\(15\) তম পদ \(=\cos^2{3^{o}+(15-1)6^{o}}\)
\(=\cos^2{3^{o}+14\times6^{o}}\)
\(=\cos^2{3^{o}+84^{o}}\)
\(=\cos^2{87^{o}}\)
\(=\cos^2{(90^{o}-3^{o})}\)
\(=\sin^2{3^{o}}\)
\(16\) তম পদ \(=\cos^2{3^{o}+(16-1)6^{o}}\)
\(=\cos^2{3^{o}+15\times6^{o}}\)
\(=\cos^2{3^{o}+90^{o}}\)
\(=\cos^2{93^{o}}\)
\(=\cos^2{(90^{o}+3^{o})}\)
\(=\sin^2{3^{o}}\)
শেষ পদ \(=\cos^2{177^{o}}\)
\(=\cos^2{(90^{o}\times2-3^{o})}\)
\(=\cos^2{3^{o}}\)
\(L.S=\cos^2{3^{o}}+\cos^2{9^{o}}+\cos^2{15^{o}}+....+\sin^2{3^{o}}+\sin^2{3^{o}}+......+\cos^2{3^{o}}\)
ইহা স্পষ্ট যে ধারাটিতে \((\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta})\) এরূপ পদের সংখ্যা হবে \(15\) টি।
যেমনঃ \((\sin^2{3^{o}}+\cos^2{3^{o}})+(\sin^2{9^{o}}+\cos^2{9^{o}})+(\sin^2{15^{o}}+\cos^2{15^{o}})+.....\)
\(\therefore L.S=15\times (\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta})\)
\(=15\times 1\)
\(=15\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(দেখানো হলো।)

\(L.S=\cos^2{10^{o}}+\cos^2{20^{o}}+\cos^2{30^{o}}+..........+\cos^2{80^{o}}\)
\(=\cos^2{10^{o}}+\cos^2{20^{o}}+\cos^2{30^{o}}+\cos^2{40^{o}}\)\(+\cos^2{50^{o}}+\cos^2{60^{o}}+\cos^2{70^{o}}+\cos^2{80^{o}}\)
\(=\cos^2{10^{o}}+\cos^2{20^{o}}+\cos^2{30^{o}}+\cos^2{40^{o}}\)\(+\{\cos{(90^{o}\times1-40^{o})}\}^2+\{\cos{(90^{o}\times1-30^{o})}\}^2+\{\cos{(90^{o}\times1-20^{o})}\}^2+\{\cos{(90^{o}\times1-10^{o})}\}^2\) ➜Note \(\because 50^{o}=90^{o}\times1-40^{o}\)
\(60^{o}=90^{o}\times1-30^{o}\)
\(70^{o}=90^{o}\times1-20^{o}\)
এবং \(80^{o}=90^{o}\times1-10^{o}\)

\(=\cos^2{10^{o}}+\cos^2{20^{o}}+\cos^2{30^{o}}+\cos^2{40^{o}}\)\(+\{\sin{40^{o}}\}^2+\{\sin{30^{o}}\}^2+\{\sin{20^{o}}\}^2+\{\sin{10^{o}}\}^2\) ➜Note \(\because\)৫ম পদ থেকে শুরু করে প্রতিটি পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।

\(=\cos^2{10^{o}}+\cos^2{20^{o}}+\cos^2{30^{o}}+\cos^2{40^{o}}\)\(+\sin^2{40^{o}}+\sin^2{30^{o}}+\sin^2{20^{o}}+\sin^2{10^{o}}\)
\(=(\sin^2{10^{o}}+\cos^2{10^{o}})+(\sin^2{20^{o}}+\cos^2{20^{o}})\)\(+(\sin^2{40^{o}}+\cos^2{40^{o}})+(\cos^2{30^{o}}+\sin^2{30^{o}})\)
\(=1+1+1+1\) ➜Note \(\because \sin^2{A}+\cos^2{A}=1\)
\(=4\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(দেখানো হলো।)

\(L.S=\tan{\frac{\pi}{28}}\tan{\frac{3\pi}{28}}\tan{\frac{5\pi}{28}}.....\tan{\frac{13\pi}{28}}\)
\(=\tan{\frac{\pi}{28}}\tan{\frac{3\pi}{28}}\tan{\frac{5\pi}{28}}\tan{\frac{7\pi}{28}}\tan{\frac{9\pi}{28}}\tan{\frac{11\pi}{28}}\tan{\frac{13\pi}{28}}\)
\(=\tan{\frac{\pi}{28}}\tan{\frac{3\pi}{28}}\tan{\frac{5\pi}{28}}\tan{\frac{\pi}{4}}\tan{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{5\pi}{28}\right)}\tan{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{3\pi}{28}\right)}\tan{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{\pi}{28}\right)}\) ➜Note \(\because \frac{7\pi}{28}=\frac{\pi}{4}\)
\(\frac{9\pi}{28}=\frac{\pi}{2}\times1-\frac{5\pi}{28}\)
\(\frac{11\pi}{28}=\frac{\pi}{2}\times1-\frac{3\pi}{28}\)
এবং \(\frac{13\pi}{28}=\frac{\pi}{2}\times1-\frac{\pi}{28}\)

\(=\tan{\frac{\pi}{28}}\tan{\frac{3\pi}{28}}\tan{\frac{5\pi}{28}}\times1\times\cot{\frac{5\pi}{28}}\cot{\frac{3\pi}{28}}\cot{\frac{\pi}{28}}\) ➜Note \(\because \tan{\frac{\pi}{4}}=1\)
৫ম পদ থেকে শুরু করে প্রতিটি পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই ট্যানজেন্ট অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোট্যানজেন্ট হয়েছে।

\(=\tan{\frac{\pi}{28}}\tan{\frac{3\pi}{28}}\tan{\frac{5\pi}{28}}\times\frac{1}{\tan{\frac{5\pi}{28}}\tan{\frac{3\pi}{28}}\tan{\frac{\pi}{28}}}\) ➜Note \(\because \cot{A}=\frac{1}{\tan{A}}\)

\(=1\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

\(L.S=\tan{15^{o}}+\tan{45^{o}}+\tan{75^{o}}+.....+\tan{165^{o}}\)
\(=\tan{15^{o}}+\tan{45^{o}}+\tan{75^{o}}+\tan{105^{o}}+\tan{135^{o}}+\tan{165^{o}}\)
\(=\tan{15^{o}}+\tan{45^{o}}+\tan{(90^{o}-15^{o})}+\tan{(90^{o}+15^{o})}+\tan{(90^{o}\times2-45^{o})}+\tan{(90^{o}\times2-15^{o})}\) ➜Note \(\because 75^{o}=90^{o}-15^{o}\)
\(105^{o}=90^{o}+15^{o}\)
\(135^{o}=90^{o}\times2-45^{o}\)
এবং \(165^{o}=90^{o}\times2-15^{o}\)

\(=\tan{15^{o}}+\tan{45^{o}}+\cot{15^{o}}-\cot{15^{o}}-\tan{45^{o}}-\tan{15^{o}}\) ➜Note \(\because\) তৃতীয় পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাত ধনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই ট্যানজেন্ট অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোট্যানজেন্ট হয়েছে।
চতুর্থ পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাত ঋনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই ট্যানজেন্ট অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোট্যানজেন্ট হয়েছে।
৫ম পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাত ঋনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।
ষষ্ঠ পদে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাত ঋনাত্মক
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=0\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(\cos{\left(\frac{\pi}{11}\right)}\cos{\left(\frac{2\pi}{11}\right)}\cos{\left(\frac{3\pi}{11}\right)}......\cos{\left(\frac{10\pi}{11}\right)}=-2^{n}\)
ধরি,
\(\frac{\pi}{11}=\theta\)
\(\Rightarrow 11\theta=\pi\)
\(\Rightarrow 6\theta+5\theta=\pi\)
\(\Rightarrow 6\theta=\pi-5\theta\)
\(\Rightarrow 7\theta=\pi-4\theta\)
\(\Rightarrow 8\theta=\pi-3\theta\)
\(\Rightarrow 9\theta=\pi-2\theta\)
\(\Rightarrow 10\theta=\pi-\theta\)
\(L.S=\cos{\theta}\cos{2\theta}\cos{3\theta}\cos{4\theta}\cos{5\theta}\cos{6\theta}\cos{7\theta}\cos{8\theta}\cos{9\theta}\cos{10\theta}\) ➜Note \(\because \frac{\pi}{11}=\theta\)

\(=\cos{\theta}\cos{2\theta}\cos{3\theta}\cos{4\theta}\cos{5\theta}\cos{(\pi-5\theta)}\cos{(\pi-4\theta)}\cos{(\pi-3\theta)}\cos{(\pi-2\theta)}\cos{(\pi-\theta)}\) ➜Note \(\because 6\theta=\pi-5\theta\)
\(7\theta=\pi-4\theta\)
\(8\theta=\pi-3\theta\)
\(9\theta=\pi-2\theta\)
এবং \(10\theta=\pi-\theta\)

\(=\cos{\theta}\cos{2\theta}\cos{3\theta}\cos{4\theta}\cos{5\theta}(-\cos{5\theta})(-\cos{4\theta})(-\cos{3\theta})(-\cos{2\theta})(-\cos{\theta})\)
\(=-\cos{\theta}\cos{2\theta}\cos{3\theta}\cos{4\theta}\cos{5\theta}\cos{5\theta}\cos{4\theta}\cos{3\theta}\cos{2\theta}\cos{\theta}\)
\(=-\cos^2{\theta}\cos^2{2\theta}\cos^2{3\theta}\cos^2{4\theta}\cos^2{5\theta}\)
\(=-(\cos{\theta}\cos{2\theta}\cos{3\theta}\cos{4\theta}\cos{5\theta})^2\)
\(=-\frac{1}{2^2\sin^2{\theta}}(2\sin{\theta}\cos{\theta})^2(\cos{2\theta}\cos{3\theta}\cos{4\theta}\cos{5\theta})^2\)
\(=-\frac{1}{2^2\sin^2{\theta}}(\sin{2\theta})^2(\cos{2\theta}\cos{3\theta}\cos{4\theta}\cos{5\theta})^2\)
\(=-\frac{1}{2^4\sin^2{\theta}}(2\sin{2\theta}\cos{2\theta})^2(\cos{3\theta}\cos{4\theta}\cos{5\theta})^2\)
\(=-\frac{1}{2^4\sin^2{\theta}}(\sin{4\theta})^2(\cos{3\theta}\cos{4\theta}\cos{5\theta})^2\)
\(=-\frac{1}{2^6\sin^2{\theta}}(2\sin{4\theta}\cos{4\theta})^2(\cos{3\theta}\cos{5\theta})^2\)
\(=-\frac{1}{2^6\sin^2{\theta}}(\sin{8\theta})^2(\cos{3\theta}\cos{5\theta})^2\)
\(=-\frac{1}{2^6\sin^2{\theta}}(\sin{8\theta}\cos{3\theta}\cos{5\theta})^2\)
\(=-\frac{1}{2^6\sin^2{\theta}}\{\sin{(\pi-3\theta)}\cos{3\theta}\cos{5\theta}\}^2\) ➜Note \(\because 8\theta=\pi-3\theta\)

\(=-\frac{1}{2^8\sin^2{\theta}}(2\sin{3\theta}\cos{3\theta}\cos{5\theta})^2\)
\(=-\frac{1}{2^8\sin^2{\theta}}(\sin{6\theta}\cos{5\theta})^2\)
\(=-\frac{1}{2^8\sin^2{\theta}}\{\sin{(\pi-5\theta)}\cos{5\theta}\}^2\) ➜Note \(\because 6\theta=\pi-5\theta\)

\(=-\frac{1}{2^{10}\sin^2{\theta}}(2\sin{5\theta}\cos{5\theta})^2\)
\(=-\frac{1}{2^{10}\sin^2{\theta}}(\sin{10\theta})^2\)
\(=-\frac{1}{2^{10}\sin^2{\theta}}\{\sin{(\pi-\theta)}\}^2\) ➜Note \(\because 10\theta=\pi-\theta\)

\(=-\frac{1}{2^{10}\sin^2{\theta}}(\sin{\theta})^2\)
\(=-\frac{1}{2^{10}\sin^2{\theta}}\sin^2{\theta}\)
\(=-\frac{1}{2^{10}}\)
\(=-2^{-10}\)
\(\therefore L.S=-2^{-10}\)
\(\therefore -2^{-10}=-2^n\)
\(\Rightarrow 2^{-10}=2^n\)
\(\Rightarrow -10=n\)
\(\therefore n=-10\)

দেওয়া আছ,
\(\theta\) কোণের মান \(180^{o}\) এবং \(270^{o}\) এর মধ্যবর্তী এবং \(cosec \ {\theta}=-\frac{7}{3}\)
\(\therefore \theta\) কোণটি তৃতীয় চুতুর্ভাগে অবস্থিত।
এখানে, \(\text{বিপরীত}=3\) ➜Note \(\because cosec \ {\theta}=\frac{\text{অতিভুজ }}{\text{বিপরীত}}\)

\(\text{অতিভুজ}=7\)
এখন, \((\text{বিপরীত})^2+(\text{সংলগ্ন})^2=(\text{অতিভুজ })^2\)
\(\Rightarrow (\text{সংলগ্ন})^2=(\text{অতিভুজ })^2-(\text{বিপরীত})^2\)
\(\therefore \text{সংলগ্ন}=\sqrt{(\text{অতিভুজ })^2-(\text{বিপরীত})^2}\)
\(=\sqrt{7^2-3^2}\)
\(=\sqrt{49-9}\)
\(=\sqrt{40}\)
\(\therefore \text{সংলগ্ন}=\sqrt{40}\)
এখন, \(\cot{\theta}=\frac{\sqrt{40}}{3}\) ➜Note \(\because \cot{\theta}=\frac{\text{সংলগ্ন}}{\text{বিপরীত}}\)
এবং তৃতীয় চুতুর্ভাগে \(\cot{\theta}\) ধনাত্মক।

\(\therefore \cot{\theta}=\frac{\sqrt{40}}{3}\)