সংযুক্ত কোণের কোণমিতিক অনুপাত
barcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
Historical Background
straight3
বার্থোলোমিয়াস পিটিসকাস (১৫৬১-১৬১৩)
পিটিসকাস লাতিন ভাষায় তাঁর প্রভাবশালী রচনার মাধ্যমে খ্যাতি অর্জন করেছিলেন, যাকে ট্রাইগনোমেট্রিয়া বলা হয়: সিভ ডি সলিউশন ট্রাইঙ্গুলোরাম ট্র্যাক্যাটাস ব্রাভিস এট পার্সপিকিউস (১৫৯৫, হাইডেলবার্গে প্রথম সংস্করণে ছাপা হয়েছিল), যা ইংরেজী এবং ফরাসি ভাষায় ত্রিকোণমিতি শব্দটি চালু করেছিলেন, অনুবাদ করেছিলেন।
\(-\theta, \ 90^{o}\pm\theta, \ 180^{o}\pm\theta, .........\) এরূপ কোণকে \(\theta\) কোণের সংযুক্ত কোণ বলা হয়। সংযুক্ত কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত নির্ণয়ের সময় স্থানাঙ্কের যথাযথ চিহ্ন অবশ্যই বিবেচনা করতে হবে এবং স্মরণ রাখতে হবে যে ব্যাসার্ধ ভেক্টর সব সময়ই ধনাত্মক। এরূপ কোণের সকল ত্রিকোণমিতিক অনুপাতকে \(\theta\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়। দুই বা ততোধিক কোণের সমষ্টি অথবা অন্তরফলকে যৌগিক কোণ বলে।
\(A+B, \ A-B, \ A+B-C, \ A-B-C \) প্রভৃতি যৌগিক কোণের উদাহরণ। এরূপ কোণের সকল ত্রিকোণমিতিক সরল অনুপাতকে \(A\) ও \(B\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়। এ সকল সূত্র প্রতিষ্ঠা ও এদের প্রয়োগ ত্রিকোণমিতিতে বিশেষ গুরুত্বপূর্ণ।
ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ও কোণের মধ্যকার সম্পর্কের বিষয়টি ত্রিকোণমিতিতে আলোচনা করা হয়। সংযুক্ত কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত; ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলোর পারস্পারিক সম্পর্ক, গুণিতক, উপগুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত, ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি, ত্রিভুজের বাহু ও কোণ সম্পর্কিত সূত্রাবলির ব্যাখ্যা প্রদান করে। সুমেরীয় জ্যোতির্বিদ্গণ বৃত্তকে \(\text{৩৬০}^{o}\) তে ভাগ করেন, তাদের উত্তরসূরী ব্যবিলনীয়রা দুইটি সদৃশ ত্রিভুজের বাহুর অনুপাতের ধর্মাবলী নির্ণয় করেছিলেন, তবে এর মাধ্যমে ত্রিভুজের বাহু ও কোণের সম্পর্ক নির্ণয় করা সম্ভব হয়নি। প্রাচীন গ্রীক বিজ্ঞানীগণ ত্রিকোণমিতিক বৈজ্ঞানিকরূপ প্রদান করেন।
জ্যোতির্বিদ ও ধর্মতত্ত্ববিদ বার্থোলোমিয়াস পিটিসকাস straight3 বার্থোলোমিয়াস পিটিসকাস (১৫৬১-১৬১৩) পিটিসকাস লাতিন ভাষায় তাঁর প্রভাবশালী রচনার মাধ্যমে খ্যাতি অর্জন করেছিলেন, যাকে ট্রাইগনোমেট্রিয়া বলা হয়: সিভ ডি সলিউশন ট্রাইঙ্গুলোরাম ট্র্যাক্যাটাস ব্রাভিস এট পার্সপিকিউস (১৫৯৫, হাইডেলবার্গে প্রথম সংস্করণে ছাপা হয়েছিল), যা ইংরেজী এবং ফরাসি ভাষায় ত্রিকোণমিতি শব্দটি চালু করেছিলেন, অনুবাদ করেছিলেন। (১৫৬১-১৬১৩) তাঁর বিখ্যাত গ্রন্থ "ট্রাইগনোমেট্রিয়াঃ সিভ ডি সলিউশন ট্রাইঙ্গুলোরাম ট্র্যাক্যাটাস ব্রাভিস এট পার্সপিকিউস" এ "Trigonometry" শব্দটি প্রথম ব্যবহার করেন। তিনি হেটিকাস এর ত্রিকোণমিতিক টেবিলের উন্নতি সাধন করেন।
ত্রিকোণমিতি ও ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ব্যবহার করে এক গ্রহ থেকে অন্য গ্রহের দূরত্ব, ভৌগোলিকভাবে অবস্থিত দুইটি বিন্দুর দূরত্ব ও কৃত্রিম উপগ্রহের ঘূর্ণন গতি নির্ণয় করা যায়। শব্দ ও আলোক তরঙ্গের মত পর্যায়বৃত্ত ফাংশনের মূলভিত্তি সাইন ও কোসাইন ফাংশন। এছাড়াও জ্যোতির্বিদ্যা, সঙ্গিত তত্ত্ব, আলোক বিজ্ঞান, আবহাওয়া বিজ্ঞান, অর্থনীতি, প্রকৌশল বিদ্যা, কম্পিউটার গ্রাফিক্স ইত্যাদিতে ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ব্যবহৃত হয়।
সার সংক্ষেপ
সংযুক্ত কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত \((-\theta)\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত \((90^{o}-\theta)\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত \((90^{o}+\theta)\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত \((180^{o}-\theta)\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত \((180^{o}+\theta)\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত \((270^{o}-\theta)\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত \((270^{o}+\theta)\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত \((360^{o}-\theta)\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত \((360^{o}+\theta)\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ত্রিভুজের সাইন সূত্র ত্রিভুজের কোসাইন সূত্র ব্যবহারিক ত্রিভুজের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য দেওয়া হলে ইপ্সিত কোণের মান ত্রিভুজের কোণের পরিমাপ দেওয়া থাকলে বাহুগুলির দৈর্ঘ্যের অনুপাত ত্রিভুজের যে কোনো দুইটি কোণের মান এবং এক বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া থাকলে ইপ্সিত বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় ত্রিভুজের যে কোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্য এবং একটি কোণের মান দেওয়া থাকলে ইপ্সিত কোণের মান নির্ণয়
সংযুক্ত কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
Trigonometric Ratios of associated Angles
\(-\theta, \ 90^{o}\pm\theta, \ 180^{o}\pm\theta, .........\) এরূপ কোণকে \(\theta\) কোণের সংযুক্ত কোণ বলা হয়। সংযুক্ত কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত নির্ণয়ের সময় স্থানাঙ্কের যথাযথ চিহ্ন অবশ্যই বিবেচনা করতে হবে এবং স্মরণ রাখতে হবে যে ব্যাসার্ধ ভেক্টর সব সময়ই ধনাত্মক।
আলোচনার এই অংশে প্রথমে ঋণাত্মক কোণ \(-\theta\) এর অনুপাত নির্ণয় করা হবে। এর ওপর ভিত্তি করে \(90^{o}-\theta, \ 90^{o}+\theta,\)\(180^{o}-\theta, \ 180^{o}+\theta,\)\(270^{o}-\theta, \ 270^{o}+\theta,\)\(360^{o}-\theta, \ 360^{o}+\theta\) এবং \(n\times90^{o}+\theta, \ n\times90^{o}-\theta \ (\text{যেখানে } \ n\in{\mathbb{Z}})\) এবং \(0\lt\theta\lt\frac{\pi}{2}\) কোণসমুহের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত সম্পর্কে আলোচনা করব।
প্রয়োজনীয় ও স্বরণীয় সূত্রসমূহ
Necessary and memorable formulas
\((-\theta)\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
Trigonometric Ratios of \((-\theta)\) Angle
\(\sin{(-\theta)}=-\sin{\theta}\) \(\cos{(-\theta)}=\cos{\theta}\) \(\tan{(-\theta)}=-\tan{\theta}\)
\(cosec \ {(-\theta)}=-cosec \ {\theta}\) \(\sec{(-\theta)}=\sec{\theta}\) \(\cot{(-\theta)}=-\cot{\theta}\)

\((90^{o}-\theta)\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
Trigonometric Ratios of \((90^{o}-\theta)\) Angle
\(\sin{(90^{o}-\theta)}=\cos{\theta}\) \(\cos{(90^{o}-\theta)}=\sin{\theta}\) \(\tan{(90^{o}-\theta)}=\cot{\theta}\)
\(cosec \ {(90^{o}-\theta)}=\sec{\theta}\) \(\sec{(90^{o}-\theta)}=cosec \ {\theta}\) \(\cot{(90^{o}-\theta)}=\tan{\theta}\)

\((90^{o}+\theta)\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
Trigonometric Ratios of \((90^{o}+\theta)\) Angle
\(\sin{(90^{o}+\theta)}=\cos{\theta}\) \(\cos{(90^{o}+\theta)}=-\sin{\theta}\) \(\tan{(90^{o}+\theta)}=-\cot{\theta}\)
\(cosec \ {(90^{o}+\theta)}=\sec{\theta}\) \(\sec{(90^{o}+\theta)}=-cosec \ {\theta}\) \(\cot{(90^{o}+\theta)}=-\tan{\theta}\)

\((180^{o}-\theta)\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
Trigonometric Ratios of \((180^{o}-\theta)\) Angle
\(\sin{(180^{o}-\theta)}=\sin{\theta}\) \(\cos{(180^{o}-\theta)}=-\cos{\theta}\) \(\tan{(180^{o}-\theta)}=-\tan{\theta}\)
\(cosec \ {(180^{o}-\theta)}=cosec \ {\theta}\) \(\sec{(180^{o}-\theta)}=-\sec {\theta}\) \(\cot{(180^{o}-\theta)}=-\cot{\theta}\)

\((180^{o}+\theta)\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
Trigonometric Ratios of \((180^{o}+\theta)\) Angle
\(\sin{(180^{o}+\theta)}=-\sin{\theta}\) \(\cos{(180^{o}+\theta)}=-\cos{\theta}\) \(\tan{(180^{o}+\theta)}=\tan{\theta}\)
\(cosec \ {(180^{o}+\theta)}=-cosec \ {\theta}\) \(\sec{(180^{o}+\theta)}=-\sec {\theta}\) \(\cot{(180^{o}+\theta)}=\cot{\theta}\)

\((270^{o}-\theta)\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
Trigonometric Ratios of \((270^{o}-\theta)\) Angle
\(\sin{(270^{o}-\theta)}=-\cos{\theta}\) \(\cos{(270^{o}-\theta)}=-\sin{\theta}\) \(\tan{(270^{o}-\theta)}=\cot{\theta}\)
\(cosec \ {(270^{o}-\theta)}=-\sec{\theta}\) \(\sec{(270^{o}-\theta)}=-cosec \ {\theta}\) \(\cot{(270^{o}-\theta)}=\tan{\theta}\)

\((270^{o}+\theta)\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
Trigonometric Ratios of \((270^{o}+\theta)\) Angle
\(\sin{(270^{o}+\theta)}=-\cos{\theta}\) \(\cos{(270^{o}+\theta)}=\sin{\theta}\) \(\tan{(270^{o}+\theta)}=-\cot{\theta}\)
\(cosec \ {(270^{o}+\theta)}=-\sec{\theta}\) \(\sec{(270^{o}+\theta)}=cosec \ {\theta}\) \(\cot{(270^{o}+\theta)}=-\tan{\theta}\)

\((360^{o}-\theta)\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
Trigonometric Ratios of \((360^{o}-\theta)\) Angle
\(\sin{(360^{o}-\theta)}=-\sin{\theta}\) \(\cos{(360^{o}-\theta)}=\cos{\theta}\) \(\tan{(360^{o}-\theta)}=-\tan{\theta}\)
\(cosec \ {(360^{o}-\theta)}=-cosec \ {\theta}\) \(\sec{(360^{o}-\theta)}=\sec {\theta}\) \(\cot{(360^{o}-\theta)}=-\cot{\theta}\)

\((360^{o}+\theta)\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
Trigonometric Ratios of \((360^{o}+\theta)\) Angle
\(\sin{(360^{o}+\theta)}=\sin{\theta}\) \(\cos{(360^{o}+\theta)}=\cos{\theta}\) \(\tan{(360^{o}+\theta)}=\tan{\theta}\)
\(cosec \ {(360^{o}+\theta)}=cosec \ {\theta}\) \(\sec{(360^{o}+\theta)}=\sec {\theta}\) \(\cot{(360^{o}+\theta)}=\cot{\theta}\)

সংযুক্ত কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত নির্ণয়ের নিয়ম চিত্রের সাহায্যে প্রদর্শন
The rules for determining the trigonometric ratio of associated angles are illustrated
straight3
\((90^{o}\times{n}\pm\theta)\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত নির্ণয়ের নিয়মঃ
Rules for determining the trigonometric ratio of \((90^{o}\times{n}\pm\theta)\) angles:
\(\alpha\) কোণকে দুই ভাগে ভাগ করতে হবে যার একটি অংশ \(90^{o}\) এর \(n\) গুণিতক এবং অপরটি সূক্ষ্ণকোণ \((\theta)\) । অর্থাৎ \(\alpha\) কোণকে \((90^{o}\times{n}\pm\theta)\) আকারে প্রকাশ করতে হবে।
\((90^{o}\times{n}\pm\theta) \text{ যেখানে, } n\in{\mathbb{Z}}\)
\((90^{o}\times{n}\pm\theta) \text{ যেখানে, } n\in{\mathbb{Z}}\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত নির্ণয়ের ক্ষেত্রে নিম্নলিখিত পদক্ষেপগুলি অনুস্মরণ করতে হবে।
\((1)\) \(n\) জোড় সংখ্যা হলে,
অনুপাতের কোনো পরিবর্তন হবে না, অনুপাতের সামনের চিহ্ন চতুর্ভাগের অবস্থান দেখে বসাতে হবে।
\((2)\) \(n\) বিজোড় সংখ্যা হলে,
অনুপাতের পরিবর্তন হবে , অনুপাতের সামনের চিহ্ন চতুর্ভাগের অবস্থান দেখে বসাতে হবে।
অনুপাতের পরিবর্তনসমূহ নিম্নে দেখানো হলো।
\(\sin \rightleftharpoons \cos\)
\(cosec \rightleftharpoons \sec\)
\(\tan \rightleftharpoons \cot\)
অধ্যায় \(7A\)-এর উদাহরণসমুহ
উদাহরণ \(1.\) মান নির্ণয় কর।
\((a)\) \(\sec{(-1050^{o})}\)
\((b)\) \(\cot{(765^{o})}\)
\((c)\) \(cosec \ {(-1125^{o})}\)
\((d)\) \(\tan{\left(\frac{5\pi}{2}-\frac{19\pi}{3}\right)}\)
\((e)\) \(cosec \ {\left\{\frac{n\pi}{2}+(-1)^{n}\frac{\pi}{6}\right\}}; \ n\in{\mathbb Z}\)
\((f)\) \(\sin{\left(-\frac{11\pi}{4}\right)}\)
উত্তরঃ \((a) \ \frac{2}{\sqrt{3}};\) \((b) \ 1;\) \((c) \ -\sqrt{2};\) \((d) \ \frac{1}{\sqrt{3}};\) \((e) \ \pm2, \ \pm\frac{2}{\sqrt{3}};\) \((f) \ -\frac{1}{\sqrt{2}}.\)

উদাহরণ \(2.\) যদি \(\alpha=\frac{11\pi}{4}\) হয়, তবে \(\sin^2{\alpha}-\cos^2{\alpha}-2\tan{\alpha}-\sec^2{\alpha}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(0\)

উদাহরণ \(3.\) মান নির্ণয় করঃ \(\sin^2{\frac{\pi}{7}}+\sin^2{\frac{5\pi}{14}}+\sin^2{\frac{8\pi}{7}}+\sin^2{\frac{9\pi}{14}}\)
উত্তরঃ \(2\)
কুঃ ২০১৬; রাঃ ২০১৩; যঃ২০১১; বঃ২০১০; মাঃ২০০৯,২০০১; সিঃ ২০০৯, ঢাঃ ২০০২; চঃ ২০০০ ।

উদাহরণ \(4.\) \(A=\frac{\pi}{12}\) \(B=\frac{\cot{\theta}+cosec \ {(-\theta})}{\cos{\theta}+\sin{(-\theta)}}\)
\((a)\) মান নির্ণয় করঃ \(\sin{480^{o}}\cos{750^{o}}+\cos{(-660^{o})}\sin{(-870^{o})}\)
\((b)\) \(\cos^2{A}+\cos^2{3A}+\cos^2{5A}+\cos^2{7A}+\cos^2{9A}+\cos^2{11A}\) এর মান কত?
\((c)\) \(\tan{\theta}=\frac{4}{3}\) এবং \(\cos{\theta}\) ঋণাত্মক হলে, \(B\) এর মান কত?
উত্তরঃ \((a) \ \frac{1}{2}\)
\((b) \ 3\)
\((c) \ 10\)

উদাহরণ \(5.\) মান নির্ণয় করঃ \(\cos^2{\frac{\pi}{7}}+\cos^2{\frac{5\pi}{14}}+\cos^2{\frac{8\pi}{7}}+\cos^2{\frac{9\pi}{14}}\)
উত্তরঃ \(2\)
কুঃ ২০১৬; মাঃ২০০৯; সিঃ ২০০৫ ।

উদাহরণ \(6.\) মান নির্ণয় করঃ \(\cos{18^{o}}+\cos{162^{o}}+\cos{234^{o}}+\cos{1386^{o}}\)
উত্তরঃ \(0\)

উদাহরণ \(7.\) মান নির্ণয় করঃ \(\cos^2{\frac{\pi}{12}}+\cos^2{\frac{3\pi}{12}}+\cos^2{\frac{5\pi}{12}}+\cos^2{\frac{7\pi}{12}}+\cos^2{\frac{9\pi}{12}}+\cos^2{\frac{11\pi}{12}}\)
উত্তরঃ \(3\)

উদাহরণ \(8.\) যদি \(\sin{\theta}=\frac{5}{13}\) এবং \(\frac{\pi}{2}\lt \theta\lt \pi\) হয় তবে প্রমাণ কর যে, \(\frac{\tan{\theta}+\sec{(-\theta)}}{\cot{\theta}+cosec \ {(-\theta)}}=\frac{3}{10}\)

উদাহরণ \(9.\) যোগফল নির্ণয় করঃ \(\cot{\theta}+\cot{(\pi+\theta)}+\cot{(2\pi+\theta)}+..........+\cot{(n\pi+\theta)}\)
উত্তরঃ \((n+1)\cot{\theta}\)

উদাহরণ \(10.\) \(n\) পূর্ণ সংখ্যা হলে দেখাও যে,
\((a)\) \(\sin{\{(2n+1)\pi+\alpha\}}=-\sin{\alpha}\)
\((b)\) \(\tan{\{(2n+1)\pi+\alpha\}}+\tan{\{(2n+1)\pi-\alpha\}}=0\)

উদাহরণ \(11.\) সমাধান করঃ
\(2(\sin{\theta}\cos{\theta}+\sqrt{3})=\sqrt{3}\cos{\theta}+4\sin{\theta},\) যখন \(0\lt \theta\lt 360^{o}\)
উত্তরঃ \(\theta=60^{o}; \ 120^{o}\)

অধ্যায় \(7A\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
\(Q.1.(i)\) মান নির্ণয় কর।
\((a)\) \(\sin{(405^{o})}\)
\((b)\) \(\sin{(-750^{o})}\)
\((c)\) \(\cos{(570^{o})}\)
\((d)\) \(\cos{(-570^{o})}\)
\((e)\) \(\sec{(510^{o})}\)
\((f)\) \(\sec{(-2580^{o})}\)
\((g)\) \(\cot{(-1500^{o})}\)
\((h)\) \(\tan{(-1590^{o})}\)
\((i)\) \(\cot{\left(\frac{11\pi}{6}\right)}\)
\((j)\) \(\sin{\left(-\frac{29\pi}{4}\right)}\)
\((k)\) \(\tan{\left(\frac{11\pi}{6}\right)}\)
\((l)\) \(cosec \ {\left(\frac{16\pi}{3}\right)}\)
\((m)\) \(\cot{(765^{o})}\) চুয়েটঃ ২০০৫-২০০৬ ।
\((n)\) \(\sin{(210^{o})}+\cot{225^{o}}\) বুটেক্সঃ ২০১০-২০১১ ।
\((o)\) \(\sec{(3630^{o})}\)
\((p)\) \(\cot{(-1575^{o})}\)
\((q)\) \(\cos{\left(\frac{5\pi}{2}-\frac{19\pi}{3}\right)}\)
\((r)\) \(\sin{(675^{o})}\)
\((s)\) \(\tan{(1305^{o})}\)
\((t)\) \(cosec \ {(765^{o})}\)
\((u)\) \(\cot{(3750^{o})}\)
\((v)\) \(\sin{(1395^{o})}\)
\((w)\) \(\cot{(-1530^{o})}\)
\((x)\) \(\cot{\left(\frac{3\pi}{2}+\frac{\pi}{3}\right)}\)
\((y)\) \(\cos{\left(\frac{49\pi}{6}\right)}\)
উত্তরঃ \((a) \ \frac{1}{\sqrt{2}};\) \((b) \ -\frac{1}{2};\) \((c) \ -\frac{\sqrt{3}}{2};\) \((d) \ \frac{\sqrt{3}}{2};\) \((e) \ -\frac{2}{\sqrt{3}};\) \((f) \ 2;\) \((g) \ -\frac{1}{\sqrt{3}};\) \((h) \ \frac{1}{\sqrt{3}};\) \((i) \ -\sqrt{3};\) \((j) \ \frac{1}{\sqrt{2}};\) \((k) \ -\frac{1}{\sqrt{3}};\) \((l) \ -\frac{2}{\sqrt{3}};\) \((m) \ 1;\) \((n) \ \frac{1}{2};\) \((o) \ \frac{2}{\sqrt{3}};\) \((p) \ 1;\) \((q) \ \frac{\sqrt{3}}{2};\) \((r) \ -\frac{1}{\sqrt{2}};\) \((s) \ 1;\) \((t) \ \sqrt{2};\) \((u) \ -\sqrt{3};\) \((v) \ \frac{1}{\sqrt{2}};\) \((w) \ 0;\) \((x) \ -\sqrt{3};\) \((y) \ \frac{\sqrt{3}}{2}.\)

\(Q.1.(ii)\) \(n\) যে কোনো পূর্ণ সংখ্যা হলে, মান নির্ণয় করঃ
\((a)\) \(\sin{\left\{n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{4}\right\}}\)
\((b)\) \(\cos{\left\{(2n+1)\pi+\frac{\pi}{3}\right\}}\)
\((c)\) \(\sin{\left\{n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}\right\}}\)
\((d)\) \(\cos{\left\{2n\pi\pm\frac{\pi}{4}\right\}}\)
\((e)\) \(\sin{\left\{n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{3}\right\}}\)
\((f)\) \(\sin{(-1230^{o})}-\cos{\left\{(2n+1)\pi+\frac{\pi}{3}\right\}}; \ n\in{\mathbb{Z}}\)
\(n\) শূন্য বা ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা হলে, মান নির্ণয় করঃ
\((g)\) \(\tan{\left\{\frac{n\pi}{2}+(-1)^{n}\frac{\pi}{4}\right\}}\)
উত্তরঃ \((a) \ \frac{1}{\sqrt{2}};\) \((b) \ -\frac{1}{2};\) \((c) \ \frac{1}{2};\) \((d) \ \frac{1}{\sqrt{2}};\) \((e) \ \frac{\sqrt{3}}{2};\) \((f) \ 0;\) \((g) \ 1.\)

মান নির্ণয় করঃ
\(Q.1.(iii)\) \(\cos{558^{o}}+\sin{792^{o}}+\tan{168^{o}}+\tan{12^{o}}\)
উত্তরঃ \(0\)

\(Q.1.(iv)\) \(\tan{18^{o}}+\cos{102^{o}}+\tan{162^{o}}+\cos{438^{o}}\)
উত্তরঃ \(0\)
সিঃ ২০০৬ ।

\(Q.1.(v)\) \(\sin{780^{o}}\cos{390^{o}}-\sin{330^{o}}\cos{(-300^{o})}\)
উত্তরঃ \(1\)
চঃ ২০০১ ।

\(Q.1.(vi)\) \(\frac{\cos{(540^{o}-A)}\sin{(1080^{o}-A)}\cot{(105^{o}+A)}}{\tan{(195^{o}+A)}\cos{(-A)}\tan{(630^{o}-A)}}\)
উত্তরঃ \(-\sin{A}\tan{A}\)

\(Q.1.(vii)\) \(\frac{\sin^3{(\pi+\theta)}\tan{(2\pi-\theta)}\sec^2{(\pi-\theta)}}{\cos^2{\left(\frac{1}{2}\pi-\theta\right)} \ cosec^2{\theta}\sin{(\pi-\theta)}}\)
উত্তরঃ \(\tan^3{\theta}\)

\(Q.1.(viii)\) \(\tan{\frac{17\pi}{4}}\cos{\left(-\frac{11\pi}{4}\right)}+\sec{\left(-\frac{34\pi}{3}\right)} \ cosec \ {\left(\frac{25\pi}{6}\right)}\)
উত্তরঃ \(-\left(4+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)

\(Q.1.(ix)\) \(\cos{198^{o}}+\sin{432^{o}}+\tan{168^{o}}+\tan{12^{o}}\)
উত্তরঃ \(0\)

\(Q.1.(x)\) \(\cos{420^{o}}\sin{(-300^{o})}-\sin{870^{o}}\cos{570^{o}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(Q.1.(xi)\) \(\sin{480^{o}}\cos{(750^{o})}+\cos{(-660^{o})}\sin{(-870^{o})}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)

\(Q.1.(xii)\) সরল করঃ
\(\frac{\cos{(360^{o}-\theta)}\tan{(180^{o}-\theta)}\sec{(90^{o}-\theta)}}{cosec \ {(360^{o}+\theta)}\cot{(270^{o}+\theta)}\cos{(180^{o}+\theta)}}\)
উত্তরঃ \(1\)

অধ্যায় \(7A\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(Q.2.(i)\) \(\tan{x}=\frac{3}{4}, \ \cos{x}\) ধনাত্মক হলে, \(\sin{x}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{3}{5}\)
রাঃ ২০১৯ ।

\(Q.2.(ii)\) \(\sec{x}=-2\) এবং \(\pi\lt x\lt\frac{3\pi}{2}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(\cos{x}+\tan{x}=\frac{2\sqrt{3}-1}{2}.\)
চঃ ২০১৯ ।

\(Q.2.(iii)\) \(\tan{\theta}=\frac{5}{12}, \ \pi\lt \theta\lt\frac{3\pi}{2}\) হলে, \(\sin{(-\theta)}+\cos{\theta}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\frac{7}{13}\)
যঃ ২০১৯ ।

\(Q.2.(iv)\) \(\cos{\theta}=\frac{1}{2}\) এবং \(180^{o}\lt \theta\lt 360^{o}\) হলে, \(\theta=\) কত?
উত্তরঃ \(300^{o}\)

\(Q.2.(v)\) \(\tan{\theta}=\frac{3}{4}\) এবং \(180^{o}\lt \theta\lt 270^{o}\) হলে, \(\sin{\theta}\) এর মান কত?
উত্তরঃ \(-\frac{3}{5}\)

\(Q.2.(vi)\) যদি \(\frac{\pi}{2}\lt \alpha\lt \pi\) এবং \(\sin{\alpha}=\frac{4}{5}\) হয়, তবে \(\tan{\alpha}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\frac{4}{3}\)
কুঃ ২০১৬ ।

\(Q.2.(vii)\) যদি \(x=r\sin{(\theta+45^{o})}\) এবং \(y=r\sin{(\theta-45^{o})}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(x^2+y^2=r^2\)

\(Q.2.(viii)\) যদি \(ABCD\) চতুর্ভুজের কোণগুলি যথাক্রমে \(A, \ B, \ C, \ D \) হয়, তবে দেখাও যে,
\((a)\) \(\cos{\frac{1}{2}(A+C)}+\cos{\frac{1}{2}(B+D)}=0\)
\((b)\) \(\sin{(A+B+C)}+\sin{(A+B+C+2D)}=0\)

\(Q.2.(ix)\) যদি \(\sin{\theta}=\frac{5}{13}\) এবং \(\frac{\pi}{2}\lt \theta\lt \pi\) হয়, তবে \(\frac{\tan{\theta}+\sec{(-\theta)}}{\cot{\theta}+cosec \ {(-\theta)}}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{3}{10}\)
দিঃ ২০১৪; যঃ২০১২; চঃ ২০০৯ ।

\(Q.2.(x)\) \(\tan{\theta}=\frac{5}{12}\) এবং \(\sin{\theta}\) ঋণাত্মক হলে, প্রমাণ কর যে, \(\frac{\sin{\theta}+\cos{(-\theta)}}{\sec{(-\theta)}+\tan{\theta}}=\frac{51}{26}\)
ঢাঃ ২০০৫; বঃ ২০০৫, ২০০০ ।

\(Q.2.(xi)\) যদি \(\tan{\theta}=\frac{5}{12}\) এবং \(\cos{\theta}\) ঋণাত্মক হয়, তবে \(\frac{\sin{\theta}+\cos{(-\theta)}}{\sec{(-\theta)}+\tan{\theta}}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{34}{39}\)
বুয়েটঃ ২০১১-২০১২ ।

\(Q.2.(xii)\) যদি \(n\) এর মান যে কোনো পূর্ণ সংখ্যা হয়, তবে দেখাও যে, \(\cos{\left(2n\pi+\frac{\pi}{4}\right)}\) এর মান সব সময় \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(Q.2.(xiii)\) \(\tan{\theta}=\frac{b}{a}\) হলে, \(\frac{a\cos{\theta}+b\sin{\theta}}{a\cos{\theta}-b\sin{\theta}}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\)

\(Q.2.(xiv)\) দেখাও যে, \(\cos{A}+\sin{\left(\frac{23\pi}{2}+A\right)}-\sin{\left(\frac{23\pi}{2}-A\right)}+\cos{(17\pi+A)}=0\)

\(Q.2.(xv)\) যদি \(\sin{\theta}=\frac{12}{13}\) এবং \(90^{o}\lt \theta\lt 180^{o}\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\frac{\tan{\theta}+\sec{(-\theta)}}{\cot{\theta}+cosec \ {(-\theta)}}=\frac{10}{3}\)

\(Q.2.(xvi)\) যদি \(\cot{\theta}=\frac{3}{4}\) এবং \(\cos{\theta}\) ঋণাত্মক হয়, তবে দেখাও যে, \(\frac{\cot{(-\theta)}+cosec \ {\theta}}{\cos{\theta}+\sin{(-\theta)}}=-10\)

\(Q.2.(xvii)\) \(n\) পূর্ণ সংখ্যা হলে দেখাও যে,
\((a)\) \(\sin{(n\pi+\alpha)}=(-1)^n\sin{\alpha}\)
\((b)\) \(\cos{(n\pi+\alpha)}=(-1)^n\cos{\alpha}\)

\(Q.2.(xviii)\) দেখাও যে,
\((a)\) \(\sin{\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)}\cot{\left(\frac{3\pi}{2}+\theta\right)}\cos{(\pi-\theta)}=\)\(\sin{\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}\sin{\left(\frac{3\pi}{2}-\theta\right)}\cot{\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)}\)
\((b)\) \(\sin{\left(\frac{5\pi}{2}+\theta\right)}\cos{(3\pi-\theta)}\cot{\left(\frac{7\pi}{2}+\theta\right)}=\)\(\sin{\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}\sin{\left(\frac{3\pi}{2}-\theta\right)}\cot{\left(\frac{5\pi}{2}+\theta\right)}\)

অধ্যায় \(7A\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
মান নির্ণয় কর।
\(Q.3.(i)\) \(\sin^2{\frac{17\pi}{18}}+\sin^2{\frac{5\pi}{8}}+\cos^2{\frac{37\pi}{18}}+\cos^2{\frac{3\pi}{8}}\)
উত্তরঃ \(2\)

\(Q.3.(ii)\) \(\cos^2{\frac{\pi}{8}}+\cos^2{\frac{3\pi}{8}}+\cos^2{\frac{5\pi}{8}}+\cos^2{\frac{7\pi}{8}}\)
উত্তরঃ \(2\)
ঢাঃ২০১৩, ২০০০; সিঃ,চঃ ২০০২; যঃ২০০০; মাঃ ২০০৫ ।

\(Q.3.(iii)\) \(\sec^2{\frac{14\pi}{17}}-\sec^2{\frac{39\pi}{17}}+\cot^2{\frac{41\pi}{34}}-\cot^2{\frac{23\pi}{34}}\)
উত্তরঃ \(0\)
সিঃ, যঃ ২০০৬ ।

\(Q.3.(iv)\) \(\cot{\frac{\pi}{20}}\cot{\frac{3\pi}{20}}\cot{\frac{5\pi}{20}}\cot{\frac{7\pi}{20}}\cot{\frac{9\pi}{20}}\)
উত্তরঃ \(1\)
ঢাঃ, বঃ ২০০৩ ।

\(Q.3.(v)\) সমকোণী \(\triangle{ABC}\) এ \(\angle{B}=90^{o}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(\sin^2{A}-\sin^2{B}+\sin^2{C}=0\)
রাঃ ২০১৯ ।

মান নির্ণয় কর।
\(Q.3.(vi)\) \(\tan{\frac{\pi}{12}}\tan{\frac{5\pi}{12}}\tan{\frac{7\pi}{12}}\tan{\frac{11\pi}{12}}\)
উত্তরঃ \(1\)

\(Q.3.(vii)\) \(\sin^2{\frac{\pi}{4}}+\sin^2{\frac{3\pi}{4}}+\sin^2{\frac{5\pi}{4}}+\sin^2{\frac{7\pi}{4}}\)
উত্তরঃ \(2\)

\(Q.3.(viii)\) \(\cos^2{\frac{\pi}{24}}+\cos^2{\frac{19\pi}{24}}+\cos^2{\frac{31\pi}{24}}+\cos^2{\frac{37\pi}{24}}\)
উত্তরঃ \(2\)

\(Q.3.(ix)\) \(\sin^2{\frac{\pi}{12}}+\sin^2{\frac{3\pi}{12}}+\sin^2{\frac{5\pi}{12}}+\sin^2{\frac{7\pi}{12}}+\sin^2{\frac{9\pi}{12}}+\sin^2{\frac{11\pi}{12}}\)
উত্তরঃ \(3\)

\(Q.3.(x)\) \(\cos^2{25^{o}}+\cos^2{35^{o}}+\cos^2{45^{o}}+\cos^2{55^{o}}+\cos^2{65^{o}}\)
উত্তরঃ \(\frac{5}{2}\)

প্রমান কর।
\(Q.3.(xi)\) \(\tan{\frac{\pi}{12}}\tan{\frac{5\pi}{12}}\tan{\frac{7\pi}{12}}\tan{\frac{11\pi}{12}}=1\)

অধ্যায় \(7A\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
মান নির্ণয় কর।
\(Q.4.(i)\) \(\sin^2{10^{o}}+\sin^2{20^{o}}+\sin^2{30^{o}}+..........+\sin^2{80^{o}}\)
উত্তরঃ \(4\)

\(Q.4.(ii)\) \(\cos^2{15^{o}}+\cos^2{25^{o}}+\cos^2{35^{o}}+..........+\cos^2{75^{o}}\)
উত্তরঃ \(\frac{7}{2}\)

\(Q.4.(iii)\) যদি \(\theta=\frac{\pi}{36}\) হয়, তবে \(\sin^2{3\theta}+\sin^2{4\theta}+\sin^2{5\theta}+........+\sin^2{15\theta}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{13}{2}\)
বুয়েটঃ ২০১৩-২০১৪ ।

\(Q.4.(iv)\) \(\theta=\frac{\pi}{20}\) হলে দেখাও যে, \(\cot{\theta}\cot{3\theta}\cot{5\theta}........\cot{19\theta}=-1\)
বুয়েটঃ ২০১১-২০১২ ।

\(Q.4.(v)\) \(\theta=\frac{\pi}{28}\) হলে দেখাও যে, \(\tan{\theta}\tan{3\theta}\tan{5\theta}........\cot{13\theta}=1\)

যোগফল নির্ণয় কর।
\(Q.4.(vi)\) \(\cos{x}+\cos{(\pi+x)}+\cos{(2\pi+x)}+..........+\cos{(n\pi+x)}\)
উত্তরঃ \(\cos{x}\) বা \(0\) যখন \(n\) যথাক্রমে জোড় ও বিজোড় সংখ্যা।

\(Q.4.(vii)\) \(\sin{\theta}+\sin{(\pi+\theta)}+\sin{(2\pi+\theta)}+..........+\sin{(n\pi+\theta)}\)
উত্তরঃ \(\sin{\theta}\) বা \(0\) যখন \(n\) যথাক্রমে জোড় ও বিজোড় সংখ্যা।

\(Q.4.(viii)\) \(\tan{\theta}+\tan{(\pi+\theta)}+\tan{(2\pi+\theta)}+..........+\tan{(n\pi+\theta)}\)
উত্তরঃ \((n+1)\tan{\theta}\)

দেখাও যে,
\(Q.4.(ix)\) \(\sin^2{15^{o}}+\sin^2{20^{o}}+\sin^2{25^{o}}+..........+\sin^2{75^{o}}=\frac{13}{2}\)

\(Q.4.(x)\) \(\cos^2{3^{o}}+\cos^2{9^{o}}+\cos^2{15^{o}}+..........+\cos^2{177^{o}}=15\)

\(Q.4.(xi)\) \(\cos^2{10^{o}}+\cos^2{20^{o}}+\cos^2{30^{o}}+..........+\cos^2{80^{o}}=4\)

\(Q.4.(xii)\) \(\tan{\frac{\pi}{28}}\tan{\frac{3\pi}{28}}\tan{\frac{5\pi}{28}}.....\tan{\frac{13\pi}{28}}=1\)

\(Q.4.(xiii)\) \(\tan{15^{o}}+\tan{45^{o}}+\tan{75^{o}}+.....+\tan{165^{o}}=0\)

\(Q.4.(xiv)\) \(\cos{\left(\frac{\pi}{11}\right)}\cos{\left(\frac{2\pi}{11}\right)}\cos{\left(\frac{3\pi}{11}\right)}......\cos{\left(\frac{10\pi}{11}\right)}=-2^{n}\) হলে \(n\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(n=-10\)

\(Q.4.(xv)\) \(\theta\) কোণের মান \(180^{o}\) এবং \(270^{o}\) এর মধ্যবর্তী এবং \(cosec \ {\theta}=-\frac{7}{3}\) হলে, \(\cot{\theta}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{40}}{3}\)

সংযুক্ত কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত \((-\theta)\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত \((90^{o}-\theta)\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত \((90^{o}+\theta)\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত \((180^{o}-\theta)\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত \((180^{o}+\theta)\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত \((270^{o}-\theta)\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত \((270^{o}+\theta)\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত \((360^{o}-\theta)\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত \((360^{o}+\theta)\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত সংযুক্ত কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত নির্ণয়ের নিয়ম চিত্রের সাহায্যে প্রদর্শন \((90^{o}\times{n}\pm\theta)\) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত নির্ণয়ের নিয়ম অধ্যায় \(7A\)-এর উদাহরণসমুহ অধ্যায় \(7A\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ অধ্যায় \(7A\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ অধ্যায় \(7A\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ অধ্যায় \(7A\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ

Please leave your question below

2 Question(s)
imonhaider
October 28, 2019, 1:15 pm
\[\frac{d}{dx}(e^{x^2})=?\]
Reply
Tanmoy
October 28, 2019, 12:53 pm
\[\int{\frac{dx}{1+x^2}}=? \]
Reply

Post List

MATH. LIST
Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
Trigonometry 11 and 12 standard
Statistics 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard
Vector 11 and 12 standard
Vector Honours course standard