সংযুক্ত ও যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
Trigonometric ratio of connected and composite angles
barcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
সার সংক্ষেপ
সংযুক্ত ও যৌগিক কোণের গুণফল, যোগফল ও বিয়োগফলের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত \(\sin{(A+B)}+\sin{(A-B)}=2\sin{A}\cos{B}\) \(\sin{(A+B)}-\sin{(A-B)}=2\cos{A}\sin{B}\) \(\cos{(A-B)}+\cos{(A+B)}=2\cos{A}\cos{B}\) \(\cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}=2\sin{A}\sin{B}\) \(\tan{(A+B)}+\tan{(A-B)}=\frac{2\sin{2A}}{\cos{2A}+\cos{2B}}\) \(\tan{(A+B)}-\tan{(A-B)}=\frac{2\sin{2B}}{\cos{2A}+\cos{2B}}\) \(\cot{(A+B)}+\cot{(A-B)}=\frac{2\sin{2A}}{\cos{2B}-\cos{2A}}\) \(\cot{(A+B)}-\cot{(A-B)}=\frac{2\sin{2B}}{\cos{2A}-\cos{2B}}\) \(\sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\) \(\sin{C}-\sin{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\) \(\cos{D}+\cos{C}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\) \(\cos{D}-\cos{C}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)
সংযুক্ত ও যৌগিক কোণের গুণফল, যোগফল ও বিয়োগফলের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
Trigonometric ratio of product, addition and subtraction of combined and composite angles
এ অধ্যায়ের মূল আলোচ্য বিষয় সংযুক্ত ও যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের গুণফল হতে যোগফল অথবা বিয়োগফলে রূপান্তর এবং যোগফল ও বিয়োগফলকে গুণফলে প্রকাশ করা।
যেমনঃ \(\sin{(A+B)}+\sin{(A-B)}=2\sin{A}\cos{B},\) \(\cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}=2\sin{A}\sin{B},\) \(\tan{(A+B)}+\tan{(A-B)}=\frac{2\sin{2A}}{\cos{2A}+\cos{2B}},\) \(\sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}},\) \(\cos{D}-\cos{C}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}, ......\) ইত্যাদি।
প্রয়োজনীয় ও স্বরণীয় সূত্রসমূহ
Necessary and memorable formulas
\(A\) ও \(B\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \((A+B)\lt90^{o}\) ও \(A\gt B\)
\(\sin{(A+B)}+\sin{(A-B)}=2\sin{A}\cos{B}\)

\(A\) ও \(B\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \((A+B)\lt90^{o}\) ও \(A\gt B\)
\(\sin{(A+B)}-\sin{(A-B)}=2\cos{A}\sin{B}\)

\(A\) ও \(B\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \((A+B)\lt90^{o}\) ও \(A\gt B\)
\(\cos{(A-B)}+\cos{(A+B)}=2\cos{A}\cos{B}\)

\(A\) ও \(B\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \((A+B)\lt90^{o}\) ও \(A\gt B\)
\(\cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}=2\sin{A}\sin{B}\)

\(A\) ও \(B\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \((A+B)\lt90^{o}\) ও \(A\gt B\)
\(\tan{(A+B)}+\tan{(A-B)}=\frac{2\sin{2A}}{\cos{2A}+\cos{2B}}\)

\(A\) ও \(B\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \((A+B)\lt90^{o}\) ও \(A\gt B\)
\(\tan{(A+B)}-\tan{(A-B)}=\frac{2\sin{2B}}{\cos{2A}+\cos{2B}}\)

\(A\) ও \(B\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \((A+B)\lt90^{o}\) ও \(A\gt B\)
\(\cot{(A+B)}+\cot{(A-B)}=\frac{2\sin{2A}}{\cos{2B}-\cos{2A}}\)

\(A\) ও \(B\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \((A+B)\lt90^{o}\) ও \(A\gt B\)
\(\cot{(A+B)}-\cot{(A-B)}=\frac{2\sin{2B}}{\cos{2A}-\cos{2B}}\)

\(C\) ও \(D\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \(\frac{(C+D)}{2}\lt90^{o}\) ও \(C\gt D\)
\(\sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(C\) ও \(D\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \(\frac{(C+D)}{2}\lt90^{o}\) ও \(C\gt D\)
\(\sin{C}-\sin{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)

\(C\) ও \(D\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \(\frac{(C+D)}{2}\lt90^{o}\) ও \(C\gt D\)
\(\cos{D}+\cos{C}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(C\) ও \(D\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \(\frac{(C+D)}{2}\lt90^{o}\) ও \(C\gt D\)
\(\cos{D}-\cos{C}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)

অধ্যায় \(7C\)-এর উদাহরণসমুহ
উদাহরণ \(1.\) প্রমাণ কর যে, \(\tan{20^{o}}\tan{40^{o}}\tan{80^{o}}=\sqrt{3}\)
রাঃ ২০১০; কুঃ২০০৯; বঃ২০০৭; চঃ২০১৯,২০০৬; ঢাঃ২০১৭; বুটেক্সঃ২০১১-১২।

উদাহরণ \(2.\) যদি \(a\cos{\alpha}+b\sin{\alpha}=a\cos{\beta}+b\sin{\beta}\) হয় তবে প্রমাণ কর যে, \(\cos^2{\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}-\sin^2{\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\)
কুঃ২০০৮; সিঃ২০০৩।

উদাহরণ \(3.\) \(\sin{\alpha}+\sin{\beta}=a\) এবং \(\cos{\alpha}+\cos{\beta}=b\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(\cos{(\alpha+\beta)}=\frac{b^2-a^2}{b^2+a^2}\)
সিঃ২০১৬,২০১১,২০০১; কুঃ২০১৪; রাঃ২০০৮,২০০৩; কুয়েটঃ২০১১-২০১২,২০০৯-২০১০।

উদাহরণ \(4.\) \(\sin{\alpha}+\sin{\beta}=a\) এবং \(\cos{\alpha}+\cos{\beta}=b\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(\cos^2{\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}-\sin^2{\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}=\frac{b^2-a^2}{b^2+a^2}\)
সিঃ২০০৩।

উদাহরণ \(5.\) \(\sin{x}+\sin{y}=a\) এবং \(\cos{x}+\cos{y}=b\) হলে, \(\cos{(x+y)}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{b^2-a^2}{b^2+a^2}\)
কুঃ২০১৭।

উদাহরণ \(6.\) যদি \(\sin{x}+\sin{y}=a\) এবং \(\cos{x}+\cos{y}=b\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\sin{\frac{1}{2}(x-y)}=\pm\frac{1}{2}\sqrt{4-a^2-b^2}\)
কুঃ২০১৯; বঃ২০১৭।

উদাহরণ \(7.\) যদি \(\alpha+\beta=\theta\) এবং \(\cos{\alpha}=k\cos{\beta}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\tan{\frac{1}{2}(\alpha-\beta)}=\frac{1-k}{1+k}\cot{\frac{\theta}{2}}\)

উদাহরণ \(8.\) প্রমাণ কর যে, \(\sin{10^{o}}\sin{50^{o}}\sin{70^{o}}=\frac{1}{8}\)

অধ্যায় \(7C\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
প্রমাণ করঃ
\(Q.1.(i)\) \(\cos{40^{o}}+\cos{80^{o}}+\cos{160^{o}}=0\)

\(Q.1.(ii)\) \(\sin{50^{o}}-\sin{70^{o}}+\sin{10^{o}}=0\)

\(Q.1.(iii)\) \(\cos{(60^{o}-\theta)}+\cos{(60^{o}+\theta)}-\cos{\theta}=0\)

\(Q.1.(iv)\) \(\sin{\theta}+\sin{(120^{o}+\theta)}+\sin{(240^{o}+\theta)}=0\)
ঢাঃ২০১২ ।

\(Q.1.(v)\) \(\cos{20^{o}}+\cos{100^{o}}+\cos{140^{o}}=0\)

\(Q.1.(vi)\) \(\sin{5^{o}}+\sin{125^{o}}+\sin{245^{o}}=0\)

\(Q.1.(vii)\) \(\cos{70^{o}}-\cos{10^{o}}+\sin{40^{o}}=0\)

\(Q.1.(viii)\) \(\cos{\theta}+\cos{(120^{o}-\theta)}+\cos{(120^{o}+\theta)}=0\)

প্রমাণ করঃ
\(Q.1.(ix)\) \(\cos{(120^{o}+\theta)}+\cos{(240^{o}+\theta)}+\cos{\theta}=0\)

\(Q.1.(x)\) \(\sin{A}+\sin{(A+120^{o})}+\sin{(A-120^{o})}=0\)

\(Q.1.(xi)\) \(\cos{A}+\cos{(120^{o}-A)}+\cos{(120^{o}+A)}=0\)

\(Q.1.(xii)\) \(\sin{(60^{o}-\theta)}-\sin{(60^{o}+\theta)}+\sin{\theta}=0\)

\(Q.1.(xiii)\) \(\sin{10^{o}}+\sin{50^{o}}+\sin{250^{o}}=0\)

\(Q.1.(xiv)\) \(\cos{(36^{o}-\theta)}\cos{(36^{o}+\theta)}+\cos{(54^{o}+\theta)}\cos{(54^{o}-\theta)}=\cos{2\theta}\)

\(Q.1.(xv)\) \(\frac{\cos{A}+\cos{B}}{\cos{A}-\cos{B}}=\cot{\frac{1}{2}(A+B)}\cot{\frac{1}{2}(B-A)}\)

\(Q.1.(xvi)\) \(\sin{(\alpha+\beta+\gamma)}+\sin{(\alpha-\beta-\gamma)}+\sin{(\alpha+\beta-\gamma)}+\)\(\sin{(\alpha-\beta+\gamma)}=4\sin{\alpha}\cos{\beta}\cos{\gamma}\)

অধ্যায় \(7C\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
প্রমাণ করঃ
\(Q.2.(i)\) \(\sin{\theta}\sin{(60^{o}-\theta)}\sin{(60^{o}+\theta)}=\frac{1}{4}\sin{3\theta}\)

\(Q.2.(ii)\) \(\cos{10^{o}}\cos{30^{o}}\cos{50^{o}}\cos{70^{o}}=\frac{3}{16}\)

\(Q.2.(iii)\) \(\sin{20^{o}}\sin{40^{o}}\sin{60^{o}}\sin{80^{o}}=\frac{3}{16}\)

\(Q.2.(iv)\) \(\cos{20^{o}}\cos{40^{o}}\cos{60^{o}}\cos{80^{o}}=\frac{1}{16}\)

\(Q.2.(v)\) \(2\cos{\frac{\pi}{13}}\cos{\frac{9\pi}{13}}+\cos{\frac{3\pi}{13}}+\cos{\frac{5\pi}{13}}=0\)

\(Q.2.(vi)\) \(\tan{\frac{45^{o}+\theta}{2}}\tan{\frac{45^{o}-\theta}{2}}=\frac{\sqrt{2}\cos{\theta}-1}{\sqrt{2}\cos{\theta}+1}\)
ঢাঃ২০১৬,২০০৮; রাঃ২০১৬; বঃ২০০৯; যঃ২০১১; কুঃ২০০৮ ।

\(Q.2.(vii)\) \(\cot{\frac{60^{o}+\theta}{2}}\cot{\frac{60^{o}-\theta}{2}}=\frac{2\cos{\theta}+1}{2\cos{\theta}-1}\)

\(Q.2.(viii)\) \(\sec{\left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)}\sec{\left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)}=2\sec{2\theta}\)

\(Q.2.(ix)\) \(4\cos{A}\cos{(120^{o}+A)}\cos{(240^{o}+A)}=\cos{3A}\)

\(Q.2.(x)\) \(\sec{\left(45^{o}+\theta\right)}\sec{\left(45^{o}-\theta\right)}=2\sec{2\theta}\)

\(Q.2.(xi)\) \(\cos{10^{o}}\cos{50^{o}}\cos{70^{o}}=\frac{\sqrt{3}}{8}\)

প্রমাণ করঃ
\(Q.2.(xii)\) \(\sin{10^{o}}\sin{30^{o}}\sin{50^{o}}\sin{70^{o}}=\frac{1}{16}\)

\(Q.2.(xiii)\) \(\tan{70^{o}}=\tan{20^{o}}+2\tan{50^{o}}\)
রাঃ,কুঃ,চঃ,বঃ ২০১৮; ঢাঃ২০১৫,২০১০; বঃ২০০৬; চঃ২০০৫; বুয়েটঃ২০০৩-২০০৪ ।

\(Q.2.(xiv)\) \(\tan{54^{o}}=\tan{36^{o}}+2\tan{18^{o}}\)

\(Q.2.(xv)\) \(16\cos{\frac{2\pi}{15}}\cos{\frac{4\pi}{15}}\cos{\frac{8\pi}{15}}\cos{\frac{14\pi}{15}}=1\)
যঃ২০১৪; বঃ২০১৫,২০১৩; সিঃ২০১৪,২০১১; দিঃ২০১২; বুয়েটঃ২০০০-২০০১ ।

\(Q.2.(xvi)\) \(\cos{\theta}\cos{(60^{o}-\theta)}\cos{(60^{o}+\theta)}=\frac{1}{4}\cos{3\theta}\)

\(Q.2.(xvii)\) \(\sin{\left(45^{o}+A\right)}\sin{\left(45^{o}-A\right)}=\frac{1}{2}\cos{2A}\)

\(Q.2.(xviii)\) \(4\cos{\theta}\cos{\left(\frac{2\pi}{3}+A\right)}\cos{\left(\frac{4\pi}{3}+A\right)}=\cos{3\theta}\)

\(Q.2.(xix)\) \(2\sin{\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)}\sin{\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)}=\sin^2{\theta}-\cos^2{\theta}\)

\(Q.2.(xx)\) \(\sin{\frac{\pi}{16}}\sin{\frac{3\pi}{16}}\sin{\frac{5\pi}{16}}\sin{\frac{7\pi}{16}}=\frac{\sqrt{2}}{16}\)

\(Q.2.(xxi)\) \((\cos{\alpha}+\cos{\beta})^2+(\sin{\alpha}-\sin{\beta})^2=4\cos^2{\frac{1}{2}(\alpha+\beta)}\)
যঃ২০১২ ।

অধ্যায় \(7C\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
প্রমাণ করঃ
\(Q.3.(i)\) \(\sin{18^{o}}+\cos{18^{o}}=\sqrt{2}\cos{27^{o}}\)
বুটেক্সঃ ২০১৩-২০১৪ ।

\(Q.3.(ii)\) \(\sin{27^{o}}+\cos{27^{o}}=\sqrt{2}\cos{18^{o}}\)
কুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭; রাঃ২০১১ ।

\(Q.3.(iii)\) \(\sin{105^{o}}+\cos{105^{o}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(Q.3.(iv)\) \(\sin{44^{o}}+\cos{44^{o}}=\sqrt{2}\cos{1^{o}}\)
ঢাঃ, দিঃ, সিঃ, যঃ২০১৮ ।

\(Q.3.(v)\) \(\cos{85^{o}}+\sin{85^{o}}=\sqrt{2}\cos{40^{o}}\)
চুয়েটঃ২০০৪-২০০৫ ।

\(Q.3.(vi)\) \(\frac{1}{2}cosec \ {10^{o}}-2\sin{70^{o}}=1\)

প্রমাণ করঃ
\(Q.3.(vii)\) \(cosec \ {20^{o}}+\sqrt{3}\sec{20^{o}}=4\tan{50^{o}}\)
দিঃ২০১৯ ।

\(Q.3.(viii)\) \(\tan{(45^{o}+\theta)}+\tan{(45^{o}-\theta)}=2\sec{2\theta}\)

\(Q.3.(ix)\) \(\cot{(\alpha+15^{o})}-\tan{(\alpha-15^{o})}=\frac{4\cos{2\alpha}}{2\sin{2\alpha}+1}\)

\(Q.3.(x)\) \(\sin{65^{o}}+\cos{65^{o}}=\sqrt{2}\cos{20^{o}}\)
ঢাবিঃ২০১৪-২০১৫ ।

\(Q.3.(xi)\) \(\sin{55^{o}}+\cos{55^{o}}=\sqrt{2}\cos{10^{o}}\)

\(Q.3.(xii)\) \(\sin{25^{o}}+\cos{25^{o}}\) মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\sqrt{2}\cos{20^{o}}\)
দিঃ২০১৯ ।

অধ্যায় \(7C\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(Q.4.(i)\) যদি \(cosec \ {A}+\sec{A}=cosec \ {B}+\sec{B}\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\tan{A}\tan{B}=\cot{\left(\frac{A+B}{2}\right)}\)

\(Q.4.(ii)\) যদি \(\sin{x}=m\sin{y}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\tan{\frac{1}{2}(x-y)}=\frac{m-1}{m+1}\tan{\frac{1}{2}(x+y)}\)

\(Q.4.(iii)\) যদি \(\sin{2\alpha}=k\sin{2\theta}\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\tan{(\alpha-\theta)}=\frac{k-1}{k+1}\tan{(\alpha+\theta)}\)
চঃ২০০৩ ।

\(Q.4.(iv)\) যদি \(x+y=\theta\) এবং \(\cos{x}=m\cos{y}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\tan{\frac{1}{2}(x-y)}=\frac{1-m}{1+m}\cot{\frac{\theta}{2}}\)

\(Q.4.(v)\) \(\frac{\tan{(\theta+\alpha)}}{\tan{(\theta+\beta)}}=\frac{a}{b}\) হলে দেখাও যে, \(\frac{a+b}{a-b}\sin^2{(\alpha-\beta)}=\sin^2{(\theta+\alpha)}-\sin^2{(\theta+\beta)}\)

\(Q.4.(vi)\) যদি \(\sin{A}+\cos{A}=\sin{B}+\cos{B}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(A+B=\frac{\pi}{2}\)
কুঃ২০১২; সিঃ২০০৯; দিঃ,চঃ২০১০ ।

\(Q.4.(vii)\) \(\sin{\alpha}-\cos{\alpha}=\cos{\beta}-\sin{\beta}\) হলে দেখাও যে, \(2(\alpha+\beta)=\pi, \ (\alpha\ne{\beta})\)
দিঃ,বঃ২০১৯ ।

\(Q.4.(viii)\) যদি \(\sin{\alpha}+\sin{\beta}=a\) এবং \(\cos{\alpha}+\cos{\beta}=b\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\sin{\frac{1}{2}(\alpha-\beta)}=\pm\frac{1}{2}\sqrt{4-a^2-b^2}\)
দিঃ,বঃ২০১৭ ।

\(Q.4.(ix)\) দেখাও যে, \(\frac{\sin{\theta}+\sin{5\theta}+\sin{9\theta}+\sin{13\theta}}{\cos{\theta}+\cos{5\theta}+\cos{9\theta}+\cos{13\theta}}=\tan{7\theta}\)

\(Q.4.(x)\) দেখাও যে, \(\cos{A}+\cos{B}+\cos{C}+\cos{(A+B+C)}\)\(=4\cos{\frac{B+C}{2}}\cos{\frac{C+A}{2}}\cos{\frac{A+B}{2}}\)

\(Q.4.(xi)\) প্রমাণ কর যে, \(\left(\frac{\cos{A}+\cos{B}}{\sin{A}-\sin{B}}\right)^n+\left(\frac{\sin{A}+\sin{B}}{\cos{A}-\cos{B}}\right)^n\)\(=\begin{cases}2\cot^n{\frac{A-B}{2}}; & \text{যখন } n \text{ জোড় সংখ্যা}\\0 \ ; &\text{যখন } n \text{ বিজোড় সংখ্যা}\end{cases}\)

\(Q.4.(xii)\) প্রমাণ কর যে, \(\frac{\sin{\alpha}+\sin{3\alpha}+\sin{5\alpha}}{\cos{\alpha}+\cos{3\alpha}+\cos{5\alpha}}=\tan{3\alpha}\)

\(Q.4.(xiii)\) প্রমাণ কর যে, \(\frac{\sin{7\theta}-\sin{3\theta}-\sin{5\theta}+\sin{\theta}}{\cos{7\theta}+\cos{3\theta}-\cos{5\theta}-\cos{\theta}}=\tan{2\theta}\)

\(Q.4.(xiv)\) \(\sin{\theta}=k\sin{(\alpha-\theta)}\) হলে দেখাও যে, \(\tan{(\theta-\frac{\alpha}{2})}=\frac{k-1}{k+1}\tan{\frac{\alpha}{2}}\)
কুঃ২০০৮; সিঃ২০০৩ ।

\(Q.4.(xv)\) যদি \(m\sin{(\theta-\alpha)}=n\sin{(\theta+\alpha)}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \((m-n)\tan{\theta}=(m+n)\tan{\alpha}\)

\(Q.4.(xvi)\) যদি \(a\cos{(x+\alpha)}=b\cos{(x-\alpha)}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \((a+b)\tan{x}=(a-b)\cot{\alpha}\)
ঢাঃ২০০৫ ।

\(Q.4.(xvii)\) \(a\cos{(\alpha+\beta)}=b\cos{(\alpha-\beta)}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(\tan{\alpha}=\frac{a-b}{a+b}\cot{\beta}\)

\(Q.4.(xviii)\) যদি \(\cos{(A+B)}\sin{(C+D)}=\cos{(A-B)}\sin{(C-D)}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\tan{D}=\tan{A}\tan{B}\tan{C}\)

\(Q.4.(xix)\) \(2P=\tan{\frac{x+y}{2}}+\tan{\frac{x-y}{2}}\) হলে দেখাও যে, \(P=\frac{\sin{x}}{\cos{x}+\cos{y}}\)
কুঃ২০১৯ ।

\(Q.4.(xx)\) যদি \(\sin{x}+\sin{y}=1\) এবং \(\cos{x}+\cos{y}=0\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(x+y=\pi\)
রুয়েটঃ২০১৮-২০১৯; বুয়েটঃ ২০০১-২০০২ ।

\(Q.4.(xxi)\) যদি \(\sin{\alpha}+\sin{\beta}=a\) এবং \(\cos{\alpha}+\cos{\beta}=b\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে,
\((a) \ \sin{(\alpha+\beta)}=\frac{2ab}{b^2+a^2}\)
\((b) \ \tan{(\alpha+\beta)}=\frac{2ab}{b^2-a^2}\)
কুঃ২০১৪; সিঃ২০১১, ২০০১; রাঃ ২০০৮,২০০৩ ।

\(Q.4.(xxii)\) \(p=\sin{2\alpha}, \ q=\sin{2\beta}, \ r=\cos{2\alpha}, \ s=\cos{2\beta}\) এবং \(p+q=c, \ r+s=d\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\cos{(2\alpha+2\beta)}=\frac{d^2-c^2}{d^2+c^2}\)
ঢাঃ,দিঃ,সিঃ,যঃ ২০১৮ ।

\(Q.4.(xxiii)\) \(f(x)=\sin{x}, \ g(x)=\cos{x}\) এবং \(f(x)+f(y)=p, \ g(x)+g(y)=q\) হলে প্রমাণ কর যে, \(f\left(\frac{x-y}{2}\right)=\pm\frac{1}{2}\sqrt{4-p^2-q^2}\)
দিঃ ২০১৭ ।

\(Q.4.(xxiv)\) যদি \(\sin{\theta}+\sin{\phi}=a\) এবং \(\cos{\theta}+\cos{\phi}=b\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\tan{\left(\frac{\theta-\phi}{2}\right)}=\pm\sqrt{\frac{4-a^2-b^2}{a^2+b^2}}\)

\(Q.4.(xxv)\) \(\sin{A}=\frac{1}{\sqrt{2}}\) এবং \(\sin{B}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) হলে দেখাও যে, \(\tan{\frac{A+B}{2}}\cot{\frac{A-B}{2}}=5+2\sqrt{6}\)

\(Q.4.(xxvi)\) প্রমাণ কর যে, \(\frac{\cos{8\theta}+6\cos{6\theta}+13\cos{4\theta}+8\cos{2\theta}}{\cos{7\theta}+5\cos{5\theta}+8\cos{3\theta}}=2\cos{\theta}\)

\(Q.4.(xxvii)\) যদি \((\theta-\phi)\) সূক্ষ্ণ কোণ এবং \(\sin{\theta}+\sin{\phi}=\sqrt{3}(\cos{\phi}-\cos{\theta})\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\sin{3\theta}+\sin{3\phi}=0\)

\(Q.4.(xxviii)\) \(A\) এর যে মানের জন্য \(\cos{A}\sin{\left(A-\frac{\pi}{6}\right)}\) এর মান বৃহত্তম হয়, তা নির্ণয় কর, যেখানে \(A\) সূক্ষ্ণকোণ।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{3}\)

\(Q.4.(xxix)\) \(\frac{x}{\tan{(\theta+\alpha)}}=\frac{y}{\tan{(\theta+\beta)}}=\frac{z}{\tan{(\theta+\gamma)}}\) হলে দেখাও যে, \(\frac{x+y}{x-y}\sin^2{(\alpha-\beta)}+\frac{y+z}{y-z}\sin^2{(\beta-\gamma)}+\frac{z+x}{z-x}\sin^2{(\gamma-\alpha)}=0\)

\(Q.4.(xxx)\) \(x\cos{\alpha}+y\sin{\alpha}=k=x\cos{\beta}+y\sin{\beta}\) হলে দেখাও যে, \(\frac{x}{\cos{\frac{1}{2}(\alpha+\beta)}}=\frac{y}{\sin{\frac{1}{2}(\alpha+\beta)}}=\frac{k}{\cos{\frac{1}{2}(\alpha-\beta)}}\)

সংযুক্ত ও যৌগিক কোণের গুণফল, যোগফল ও বিয়োগফলের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত \(\sin{(A+B)}+\sin{(A-B)}=2\sin{A}\cos{B}\) \(\sin{(A+B)}-\sin{(A-B)}=2\cos{A}\sin{B}\) \(\cos{(A-B)}+\cos{(A+B)}=2\cos{A}\cos{B}\) \(\cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}=2\sin{A}\sin{B}\) \(\tan{(A+B)}+\tan{(A-B)}=\frac{2\sin{2A}}{\cos{2A}+\cos{2B}}\) \(\tan{(A+B)}-\tan{(A-B)}=\frac{2\sin{2B}}{\cos{2A}+\cos{2B}}\)\(\cot{(A+B)}+\cot{(A-B)}=\frac{2\sin{2A}}{\cos{2B}-\cos{2A}}\) \(\cot{(A+B)}-\cot{(A-B)}=\frac{2\sin{2B}}{\cos{2A}-\cos{2B}}\) \(\sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)\(\sin{C}-\sin{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\) \(\cos{D}+\cos{C}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\) \(\cos{D}-\cos{C}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\) অধ্যায় \(7A\)-এর উদাহরণসমুহ অধ্যায় \(7C\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ অধ্যায় \(7C\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ অধ্যায় \(7C\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ অধ্যায় \(7C\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ

Post List

Multiple Choise

MATH. LIST
Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
Trigonometry 11 and 12 standard
Statistics 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard
Vector 11 and 12 standard
Vector Honours course standard
Physical chemistry 11 and 12 standard