এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
- সার সংক্ষেপ
- সংযুক্ত ও যৌগিক কোণের গুণফল, যোগফল ও বিয়োগফলের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
- \(\sin{(A+B)}+\sin{(A-B)}=2\sin{A}\cos{B}\)
- \(\sin{(A+B)}-\sin{(A-B)}=2\cos{A}\sin{B}\)
- \(\cos{(A-B)}+\cos{(A+B)}=2\cos{A}\cos{B}\)
- \(\cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}=2\sin{A}\sin{B}\)
- \(\tan{(A+B)}+\tan{(A-B)}=\frac{2\sin{2A}}{\cos{2A}+\cos{2B}}\)
- \(\tan{(A+B)}-\tan{(A-B)}=\frac{2\sin{2B}}{\cos{2A}+\cos{2B}}\)
- \(\cot{(A+B)}+\cot{(A-B)}=\frac{2\sin{2A}}{\cos{2B}-\cos{2A}}\)
- \(\cot{(A+B)}-\cot{(A-B)}=\frac{2\sin{2B}}{\cos{2A}-\cos{2B}}\)
- \(\sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)
- \(\sin{C}-\sin{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)
- \(\cos{D}+\cos{C}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)
- \(\cos{D}-\cos{C}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)
- অধ্যায় \(7C\)-এর উদাহরণসমুহ
- অধ্যায় \(7C\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(7C\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(7C\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(7C\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
সার সংক্ষেপ
সংযুক্ত ও যৌগিক কোণের গুণফল, যোগফল ও বিয়োগফলের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
\(\sin{(A+B)}+\sin{(A-B)}=2\sin{A}\cos{B}\) \(\sin{(A+B)}-\sin{(A-B)}=2\cos{A}\sin{B}\) \(\cos{(A-B)}+\cos{(A+B)}=2\cos{A}\cos{B}\) \(\cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}=2\sin{A}\sin{B}\) \(\tan{(A+B)}+\tan{(A-B)}=\frac{2\sin{2A}}{\cos{2A}+\cos{2B}}\) \(\tan{(A+B)}-\tan{(A-B)}=\frac{2\sin{2B}}{\cos{2A}+\cos{2B}}\) \(\cot{(A+B)}+\cot{(A-B)}=\frac{2\sin{2A}}{\cos{2B}-\cos{2A}}\) \(\cot{(A+B)}-\cot{(A-B)}=\frac{2\sin{2B}}{\cos{2A}-\cos{2B}}\) \(\sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\) \(\sin{C}-\sin{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\) \(\cos{D}+\cos{C}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\) \(\cos{D}-\cos{C}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)
সংযুক্ত ও যৌগিক কোণের গুণফল, যোগফল ও বিয়োগফলের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
Trigonometric ratio of product, addition and subtraction of combined and composite angles
এ অধ্যায়ের মূল আলোচ্য বিষয় সংযুক্ত ও যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের গুণফল হতে যোগফল অথবা বিয়োগফলে রূপান্তর এবং যোগফল ও বিয়োগফলকে গুণফলে প্রকাশ করা।
যেমনঃ \(\sin{(A+B)}+\sin{(A-B)}=2\sin{A}\cos{B},\) \(\cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}=2\sin{A}\sin{B},\) \(\tan{(A+B)}+\tan{(A-B)}=\frac{2\sin{2A}}{\cos{2A}+\cos{2B}},\) \(\sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}},\) \(\cos{D}-\cos{C}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}, ......\) ইত্যাদি।
যেমনঃ \(\sin{(A+B)}+\sin{(A-B)}=2\sin{A}\cos{B},\) \(\cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}=2\sin{A}\sin{B},\) \(\tan{(A+B)}+\tan{(A-B)}=\frac{2\sin{2A}}{\cos{2A}+\cos{2B}},\) \(\sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}},\) \(\cos{D}-\cos{C}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}, ......\) ইত্যাদি।
প্রয়োজনীয় ও স্বরণীয় সূত্রসমূহ
Necessary and memorable formulas
\(A\) ও \(B\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \((A+B)\lt90^{o}\) ও \(A\gt B\)
\(\sin{(A+B)}+\sin{(A-B)}=2\sin{A}\cos{B}\) \(A\) ও \(B\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \((A+B)\lt90^{o}\) ও \(A\gt B\)
\(\sin{(A+B)}-\sin{(A-B)}=2\cos{A}\sin{B}\) \(A\) ও \(B\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \((A+B)\lt90^{o}\) ও \(A\gt B\)
\(\cos{(A-B)}+\cos{(A+B)}=2\cos{A}\cos{B}\) \(A\) ও \(B\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \((A+B)\lt90^{o}\) ও \(A\gt B\)
\(\cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}=2\sin{A}\sin{B}\) \(A\) ও \(B\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \((A+B)\lt90^{o}\) ও \(A\gt B\)
\(\tan{(A+B)}+\tan{(A-B)}=\frac{2\sin{2A}}{\cos{2A}+\cos{2B}}\) \(A\) ও \(B\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \((A+B)\lt90^{o}\) ও \(A\gt B\)
\(\tan{(A+B)}-\tan{(A-B)}=\frac{2\sin{2B}}{\cos{2A}+\cos{2B}}\) \(A\) ও \(B\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \((A+B)\lt90^{o}\) ও \(A\gt B\)
\(\cot{(A+B)}+\cot{(A-B)}=\frac{2\sin{2A}}{\cos{2B}-\cos{2A}}\) \(A\) ও \(B\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \((A+B)\lt90^{o}\) ও \(A\gt B\)
\(\cot{(A+B)}-\cot{(A-B)}=\frac{2\sin{2B}}{\cos{2A}-\cos{2B}}\) \(C\) ও \(D\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \(\frac{(C+D)}{2}\lt90^{o}\) ও \(C\gt D\)
\(\sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\) \(C\) ও \(D\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \(\frac{(C+D)}{2}\lt90^{o}\) ও \(C\gt D\)
\(\sin{C}-\sin{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\) \(C\) ও \(D\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \(\frac{(C+D)}{2}\lt90^{o}\) ও \(C\gt D\)
\(\cos{D}+\cos{C}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\) \(C\) ও \(D\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \(\frac{(C+D)}{2}\lt90^{o}\) ও \(C\gt D\)
\(\cos{D}-\cos{C}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\) অধ্যায় \(7C\)-এর উদাহরণসমুহ
উদাহরণ \(1.\) প্রমাণ কর যে, \(\tan{20^{o}}\tan{40^{o}}\tan{80^{o}}=\sqrt{3}\)
উদাহরণ \(2.\) যদি \(a\cos{\alpha}+b\sin{\alpha}=a\cos{\beta}+b\sin{\beta}\) হয় তবে প্রমাণ কর যে, \(\cos^2{\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}-\sin^2{\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\)
উদাহরণ \(3.\) \(\sin{\alpha}+\sin{\beta}=a\) এবং \(\cos{\alpha}+\cos{\beta}=b\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(\cos{(\alpha+\beta)}=\frac{b^2-a^2}{b^2+a^2}\)
উদাহরণ \(4.\) \(\sin{\alpha}+\sin{\beta}=a\) এবং \(\cos{\alpha}+\cos{\beta}=b\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(\cos^2{\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}-\sin^2{\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}=\frac{b^2-a^2}{b^2+a^2}\)
রাঃ ২০১০; কুঃ২০০৯; বঃ২০০৭; চঃ২০১৯,২০০৬; ঢাঃ২০১৭; বুটেক্সঃ২০১১-১২।
উদাহরণ \(2.\) যদি \(a\cos{\alpha}+b\sin{\alpha}=a\cos{\beta}+b\sin{\beta}\) হয় তবে প্রমাণ কর যে, \(\cos^2{\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}-\sin^2{\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\)
কুঃ২০০৮; সিঃ২০০৩।
উদাহরণ \(3.\) \(\sin{\alpha}+\sin{\beta}=a\) এবং \(\cos{\alpha}+\cos{\beta}=b\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(\cos{(\alpha+\beta)}=\frac{b^2-a^2}{b^2+a^2}\)
সিঃ২০১৬,২০১১,২০০১; কুঃ২০১৪; রাঃ২০০৮,২০০৩; কুয়েটঃ২০১১-২০১২,২০০৯-২০১০।
উদাহরণ \(4.\) \(\sin{\alpha}+\sin{\beta}=a\) এবং \(\cos{\alpha}+\cos{\beta}=b\) হলে, প্রমাণ কর যে, \(\cos^2{\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}-\sin^2{\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}=\frac{b^2-a^2}{b^2+a^2}\)
সিঃ২০০৩।
উদাহরণ \(5.\) \(\sin{x}+\sin{y}=a\) এবং \(\cos{x}+\cos{y}=b\) হলে, \(\cos{(x+y)}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{b^2-a^2}{b^2+a^2}\)
উদাহরণ \(6.\) যদি \(\sin{x}+\sin{y}=a\) এবং \(\cos{x}+\cos{y}=b\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\sin{\frac{1}{2}(x-y)}=\pm\frac{1}{2}\sqrt{4-a^2-b^2}\)
উদাহরণ \(7.\) যদি \(\alpha+\beta=\theta\) এবং \(\cos{\alpha}=k\cos{\beta}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\tan{\frac{1}{2}(\alpha-\beta)}=\frac{1-k}{1+k}\cot{\frac{\theta}{2}}\)
উদাহরণ \(8.\) প্রমাণ কর যে, \(\sin{10^{o}}\sin{50^{o}}\sin{70^{o}}=\frac{1}{8}\)
উত্তরঃ \(\frac{b^2-a^2}{b^2+a^2}\)
কুঃ২০১৭।
উদাহরণ \(6.\) যদি \(\sin{x}+\sin{y}=a\) এবং \(\cos{x}+\cos{y}=b\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\sin{\frac{1}{2}(x-y)}=\pm\frac{1}{2}\sqrt{4-a^2-b^2}\)
কুঃ২০১৯; বঃ২০১৭।
উদাহরণ \(7.\) যদি \(\alpha+\beta=\theta\) এবং \(\cos{\alpha}=k\cos{\beta}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\tan{\frac{1}{2}(\alpha-\beta)}=\frac{1-k}{1+k}\cot{\frac{\theta}{2}}\)
উদাহরণ \(8.\) প্রমাণ কর যে, \(\sin{10^{o}}\sin{50^{o}}\sin{70^{o}}=\frac{1}{8}\)
অধ্যায় \(7C\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
প্রমাণ করঃ
\(Q.1.(i)\) \(\cos{40^{o}}+\cos{80^{o}}+\cos{160^{o}}=0\)\(Q.1.(ii)\) \(\sin{50^{o}}-\sin{70^{o}}+\sin{10^{o}}=0\)
\(Q.1.(iii)\) \(\cos{(60^{o}-\theta)}+\cos{(60^{o}+\theta)}-\cos{\theta}=0\)
\(Q.1.(iv)\) \(\sin{\theta}+\sin{(120^{o}+\theta)}+\sin{(240^{o}+\theta)}=0\)
ঢাঃ২০১২ ।
\(Q.1.(v)\) \(\cos{20^{o}}+\cos{100^{o}}+\cos{140^{o}}=0\)
\(Q.1.(vi)\) \(\sin{5^{o}}+\sin{125^{o}}+\sin{245^{o}}=0\)
\(Q.1.(vii)\) \(\cos{70^{o}}-\cos{10^{o}}+\sin{40^{o}}=0\)
\(Q.1.(viii)\) \(\cos{\theta}+\cos{(120^{o}-\theta)}+\cos{(120^{o}+\theta)}=0\)
প্রমাণ করঃ
\(Q.1.(ix)\) \(\cos{(120^{o}+\theta)}+\cos{(240^{o}+\theta)}+\cos{\theta}=0\)\(Q.1.(x)\) \(\sin{A}+\sin{(A+120^{o})}+\sin{(A-120^{o})}=0\)
\(Q.1.(xi)\) \(\cos{A}+\cos{(120^{o}-A)}+\cos{(120^{o}+A)}=0\)
\(Q.1.(xii)\) \(\sin{(60^{o}-\theta)}-\sin{(60^{o}+\theta)}+\sin{\theta}=0\)
\(Q.1.(xiii)\) \(\sin{10^{o}}+\sin{50^{o}}+\sin{250^{o}}=0\)
\(Q.1.(xiv)\) \(\cos{(36^{o}-\theta)}\cos{(36^{o}+\theta)}+\cos{(54^{o}+\theta)}\cos{(54^{o}-\theta)}=\cos{2\theta}\)
\(Q.1.(xv)\) \(\frac{\cos{A}+\cos{B}}{\cos{A}-\cos{B}}=\cot{\frac{1}{2}(A+B)}\cot{\frac{1}{2}(B-A)}\)
\(Q.1.(xvi)\) \(\sin{(\alpha+\beta+\gamma)}+\sin{(\alpha-\beta-\gamma)}+\sin{(\alpha+\beta-\gamma)}+\)\(\sin{(\alpha-\beta+\gamma)}=4\sin{\alpha}\cos{\beta}\cos{\gamma}\)
প্রমাণ করঃ
\(Q.1.(v)\) \(\cos{20^{o}}+\cos{100^{o}}+\cos{140^{o}}=0\)সমাধানঃ
\(L.S=\cos{20^{o}}+\cos{100^{o}}+\cos{140^{o}}\)
\(=\cos{100^{o}}+(\cos{20^{o}}+\cos{140^{o}})\)
\(=\cos{100^{o}}+2\cos{\frac{140^{o}+20^{o}}{2}}\cos{\frac{140^{o}-20^{o}}{2}}\) ➜ \(\because \cos{D}+\cos{C}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)
\(=\cos{100^{o}}+2\cos{\frac{160^{o}}{2}}\cos{\frac{120^{o}}{2}}\)
\(=\cos{100^{o}}+2\cos{80^{o}}\cos{60^{o}}\)
\(=\cos{(90^{o}\times2-80^{o})}+2\times\frac{1}{2}\cos{80^{o}}\) ➜ \(\because \cos{60^{o}}=\frac{1}{2}\)
এবং \(100^{o}=90^{o}\times2-80^{o}\)
\(=-\cos{80^{o}}+\cos{80^{o}}\) ➜
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।
\(=0\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)
\(=\cos{100^{o}}+(\cos{20^{o}}+\cos{140^{o}})\)
\(=\cos{100^{o}}+2\cos{\frac{140^{o}+20^{o}}{2}}\cos{\frac{140^{o}-20^{o}}{2}}\) ➜ \(\because \cos{D}+\cos{C}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)
\(=\cos{100^{o}}+2\cos{\frac{160^{o}}{2}}\cos{\frac{120^{o}}{2}}\)
\(=\cos{100^{o}}+2\cos{80^{o}}\cos{60^{o}}\)
\(=\cos{(90^{o}\times2-80^{o})}+2\times\frac{1}{2}\cos{80^{o}}\) ➜ \(\because \cos{60^{o}}=\frac{1}{2}\)
এবং \(100^{o}=90^{o}\times2-80^{o}\)
\(=-\cos{80^{o}}+\cos{80^{o}}\) ➜
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।
\(=0\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)
প্রমাণ করঃ
\(Q.1.(ix)\) \(\cos{(120^{o}+\theta)}+\cos{(240^{o}+\theta)}+\cos{\theta}=0\)সমাধানঃ
\(L.S=\cos{(120^{o}+\theta)}+\cos{(240^{o}+\theta)}+\cos{\theta}\)
\(=2\cos{\frac{240^{o}+\theta+120^{o}+\theta}{2}}\cos{\frac{240^{o}+\theta-120^{o}-\theta}{2}}+\cos{\theta}\) ➜ \(\because \cos{D}+\cos{C}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)
\(=2\cos{\frac{360^{o}+2\theta}{2}}\cos{\frac{120^{o}}{2}}+\cos{\theta}\)
\(=2\cos{\frac{2(180^{o}+\theta)}{2}}\cos{60^{o}}+\cos{\theta}\)
\(=2\cos{(180^{o}+\theta)}\times\frac{1}{2}+\cos{\theta}\) ➜ \(\because \cos{60^{o}}=\frac{1}{2}\)
\(=\cos{(90^{o}\times2+\theta)}+\cos{\theta}\)
\(=-\cos{\theta}+\cos{\theta}\) ➜
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।
\(=0\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)
\(=2\cos{\frac{240^{o}+\theta+120^{o}+\theta}{2}}\cos{\frac{240^{o}+\theta-120^{o}-\theta}{2}}+\cos{\theta}\) ➜ \(\because \cos{D}+\cos{C}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)
\(=2\cos{\frac{360^{o}+2\theta}{2}}\cos{\frac{120^{o}}{2}}+\cos{\theta}\)
\(=2\cos{\frac{2(180^{o}+\theta)}{2}}\cos{60^{o}}+\cos{\theta}\)
\(=2\cos{(180^{o}+\theta)}\times\frac{1}{2}+\cos{\theta}\) ➜ \(\because \cos{60^{o}}=\frac{1}{2}\)
\(=\cos{(90^{o}\times2+\theta)}+\cos{\theta}\)
\(=-\cos{\theta}+\cos{\theta}\) ➜
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।
\(=0\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)
প্রমাণ করঃ
\(Q.1.(xiii)\) \(\sin{10^{o}}+\sin{50^{o}}+\sin{250^{o}}=0\)সমাধানঃ
\(L.S=\sin{10^{o}}+\sin{50^{o}}+\sin{250^{o}}\)
\(=(\sin{250^{o}}+\sin{10^{o}})+\sin{50^{o}}\)
\(=2\sin{\frac{250^{o}+10^{o}}{2}}\cos{\frac{250^{o}-10^{o}}{2}}+\sin{50^{o}}\) ➜ \(\because \sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)
\(=2\sin{\frac{260^{o}}{2}}\cos{\frac{240^{o}}{2}}+\sin{50^{o}}\)
\(=2\sin{130^{o}}\cos{120^{o}}+\sin{50^{o}}\)
\(=2\sin{130^{o}}\times-\frac{1}{2}+\sin{50^{o}}\) ➜ \(\because \cos{120^{o}}=-\frac{1}{2}\)
\(=-\sin{130^{o}}+\sin{50^{o}}\)
\(=-\sin{(90^{o}\times2-50^{o})}+\sin{50^{o}}\)➜ \(\because 130^{o}=90^{o}\times2-50^{o}\)
\(=-\sin{50^{o}}+\sin{50^{o}}\) ➜
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।
\(=0\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)
\(=(\sin{250^{o}}+\sin{10^{o}})+\sin{50^{o}}\)
\(=2\sin{\frac{250^{o}+10^{o}}{2}}\cos{\frac{250^{o}-10^{o}}{2}}+\sin{50^{o}}\) ➜ \(\because \sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)
\(=2\sin{\frac{260^{o}}{2}}\cos{\frac{240^{o}}{2}}+\sin{50^{o}}\)
\(=2\sin{130^{o}}\cos{120^{o}}+\sin{50^{o}}\)
\(=2\sin{130^{o}}\times-\frac{1}{2}+\sin{50^{o}}\) ➜ \(\because \cos{120^{o}}=-\frac{1}{2}\)
\(=-\sin{130^{o}}+\sin{50^{o}}\)
\(=-\sin{(90^{o}\times2-50^{o})}+\sin{50^{o}}\)➜ \(\because 130^{o}=90^{o}\times2-50^{o}\)
\(=-\sin{50^{o}}+\sin{50^{o}}\) ➜
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।
\(=0\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)
প্রমাণ করঃ
\(Q.1.(xiv)\) \(\cos{(36^{o}-\theta)}\cos{(36^{o}+\theta)}+\cos{(54^{o}+\theta)}\cos{(54^{o}-\theta)}=\cos{2\theta}\)সমাধানঃ
\(L.S=\cos{(36^{o}-\theta)}\cos{(36^{o}+\theta)}+\cos{(54^{o}+\theta)}\cos{(54^{o}-\theta)}\)
\(=\cos{(36^{o}-\theta)}\cos{(36^{o}+\theta)}+\cos{\{90^{o}\times1-(36^{o}-\theta)\}}\cos{\{90^{o}\times1-(36^{o}+\theta)\}}\) ➜ \(\because 54^{o}+\theta=90^{o}\times1-(36^{o}-\theta)\)
এবং \(54^{o}-\theta=90^{o}\times1-(36^{o}+\theta)\)
\(=\cos{(36^{o}-\theta)}\cos{(36^{o}+\theta)}+\sin{(36^{o}-\theta)}\sin{(36^{o}+\theta)}\) ➜
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।
\(=\cos{(36^{o}+\theta)}\cos{(36^{o}-\theta)}+\sin{(36^{o}+\theta)}\sin{(36^{o}-\theta)}\)
\(=\cos{(36^{o}+\theta-36^{o}+\theta)}\) ➜ \(\because \cos{A}\cos{B}+\sin{A}\sin{B}=\cos{(A-B)}\)
\(=\cos{2\theta}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)
\(=\cos{(36^{o}-\theta)}\cos{(36^{o}+\theta)}+\cos{\{90^{o}\times1-(36^{o}-\theta)\}}\cos{\{90^{o}\times1-(36^{o}+\theta)\}}\) ➜ \(\because 54^{o}+\theta=90^{o}\times1-(36^{o}-\theta)\)
এবং \(54^{o}-\theta=90^{o}\times1-(36^{o}+\theta)\)
\(=\cos{(36^{o}-\theta)}\cos{(36^{o}+\theta)}+\sin{(36^{o}-\theta)}\sin{(36^{o}+\theta)}\) ➜
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।
\(=\cos{(36^{o}+\theta)}\cos{(36^{o}-\theta)}+\sin{(36^{o}+\theta)}\sin{(36^{o}-\theta)}\)
\(=\cos{(36^{o}+\theta-36^{o}+\theta)}\) ➜ \(\because \cos{A}\cos{B}+\sin{A}\sin{B}=\cos{(A-B)}\)
\(=\cos{2\theta}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)
অধ্যায় \(7C\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
প্রমাণ করঃ
\(Q.2.(i)\) \(\sin{\theta}\sin{(60^{o}-\theta)}\sin{(60^{o}+\theta)}=\frac{1}{4}\sin{3\theta}\)\(Q.2.(ii)\) \(\cos{10^{o}}\cos{30^{o}}\cos{50^{o}}\cos{70^{o}}=\frac{3}{16}\)
\(Q.2.(iii)\) \(\sin{20^{o}}\sin{40^{o}}\sin{60^{o}}\sin{80^{o}}=\frac{3}{16}\)
\(Q.2.(iv)\) \(\cos{20^{o}}\cos{40^{o}}\cos{60^{o}}\cos{80^{o}}=\frac{1}{16}\)
\(Q.2.(v)\) \(2\cos{\frac{\pi}{13}}\cos{\frac{9\pi}{13}}+\cos{\frac{3\pi}{13}}+\cos{\frac{5\pi}{13}}=0\)
\(Q.2.(vi)\) \(\tan{\frac{45^{o}+\theta}{2}}\tan{\frac{45^{o}-\theta}{2}}=\frac{\sqrt{2}\cos{\theta}-1}{\sqrt{2}\cos{\theta}+1}\)
ঢাঃ২০১৬,২০০৮; রাঃ২০১৬; বঃ২০০৯; যঃ২০১১; কুঃ২০০৮ ।
\(Q.2.(vii)\) \(\cot{\frac{60^{o}+\theta}{2}}\cot{\frac{60^{o}-\theta}{2}}=\frac{2\cos{\theta}+1}{2\cos{\theta}-1}\)
\(Q.2.(viii)\) \(\sec{\left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)}\sec{\left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)}=2\sec{2\theta}\)
\(Q.2.(ix)\) \(4\cos{A}\cos{(120^{o}+A)}\cos{(240^{o}+A)}=\cos{3A}\)
\(Q.2.(x)\) \(\sec{\left(45^{o}+\theta\right)}\sec{\left(45^{o}-\theta\right)}=2\sec{2\theta}\)
\(Q.2.(xi)\) \(\cos{10^{o}}\cos{50^{o}}\cos{70^{o}}=\frac{\sqrt{3}}{8}\)
প্রমাণ করঃ
\(Q.2.(xii)\) \(\sin{10^{o}}\sin{30^{o}}\sin{50^{o}}\sin{70^{o}}=\frac{1}{16}\)\(Q.2.(xiii)\) \(\tan{70^{o}}=\tan{20^{o}}+2\tan{50^{o}}\)
রাঃ,কুঃ,চঃ,বঃ ২০১৮; ঢাঃ২০১৫,২০১০; বঃ২০০৬; চঃ২০০৫; বুয়েটঃ২০০৩-২০০৪ ।
\(Q.2.(xiv)\) \(\tan{54^{o}}=\tan{36^{o}}+2\tan{18^{o}}\)
\(Q.2.(xv)\) \(16\cos{\frac{2\pi}{15}}\cos{\frac{4\pi}{15}}\cos{\frac{8\pi}{15}}\cos{\frac{14\pi}{15}}=1\)
যঃ২০১৪; বঃ২০১৫,২০১৩; সিঃ২০১৪,২০১১; দিঃ২০১২; বুয়েটঃ২০০০-২০০১ ।
\(Q.2.(xvi)\) \(\cos{\theta}\cos{(60^{o}-\theta)}\cos{(60^{o}+\theta)}=\frac{1}{4}\cos{3\theta}\)
\(Q.2.(xvii)\) \(\sin{\left(45^{o}+A\right)}\sin{\left(45^{o}-A\right)}=\frac{1}{2}\cos{2A}\)
\(Q.2.(xviii)\) \(4\cos{\theta}\cos{\left(\frac{2\pi}{3}+A\right)}\cos{\left(\frac{4\pi}{3}+A\right)}=\cos{3\theta}\)
\(Q.2.(xix)\) \(2\sin{\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)}\sin{\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)}=\sin^2{\theta}-\cos^2{\theta}\)
\(Q.2.(xx)\) \(\sin{\frac{\pi}{16}}\sin{\frac{3\pi}{16}}\sin{\frac{5\pi}{16}}\sin{\frac{7\pi}{16}}=\frac{\sqrt{2}}{16}\)
\(Q.2.(xxi)\) \((\cos{\alpha}+\cos{\beta})^2+(\sin{\alpha}-\sin{\beta})^2=4\cos^2{\frac{1}{2}(\alpha+\beta)}\)
যঃ২০১২ ।
প্রমাণ করঃ
\(Q.2.(xiii)\) \(\tan{70^{o}}=\tan{20^{o}}+2\tan{50^{o}}\) রাঃ,কুঃ,চঃ,বঃ ২০১৮; ঢাঃ২০১৫,২০১০; বঃ২০০৬; চঃ২০০৫; বুয়েটঃ২০০৩-২০০৪ ।
সমাধানঃ
লেখা যায়,
\(\tan{70^{o}}=\tan{(50^{o}+20^{o})}\)
\(\Rightarrow \tan{70^{o}}=\frac{\tan{50^{o}}+\tan{20^{o}}}{1-\tan{50^{o}}\tan{20^{o}}}\) ➜ \(\because \tan{(A+B)}=\frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}\)
\(\Rightarrow \tan{70^{o}}-\tan{70^{o}}\tan{50^{o}}\tan{20^{o}}=\tan{50^{o}}+\tan{20^{o}}\) ➜ আড় গুণ করে।
\(\Rightarrow \tan{70^{o}}-\tan{(90^{o}\times1-20^{o})}\tan{50^{o}}\tan{20^{o}}=\tan{50^{o}}+\tan{20^{o}}\) ➜ \(\because 70^{o}=90^{o}\times1-20^{o}\)
\(\Rightarrow \tan{70^{o}}-\cot{20^{o}}\tan{50^{o}}\tan{20^{o}}=\tan{50^{o}}+\tan{20^{o}}\) ➜
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোট্যানজেন্ট হয়েছে।
\(\Rightarrow \tan{70^{o}}-\frac{1}{\tan{20^{o}}}\tan{50^{o}}\tan{20^{o}}=\tan{50^{o}}+\tan{20^{o}}\) ➜ \(\because \cot{A}=\frac{1}{\tan{A}}\)
\(\Rightarrow \tan{70^{o}}-\tan{50^{o}}=\tan{50^{o}}+\tan{20^{o}}\)
\(\Rightarrow \tan{70^{o}}=\tan{50^{o}}+\tan{50^{o}}+\tan{20^{o}}\)
\(\Rightarrow \tan{70^{o}}=2\tan{50^{o}}+\tan{20^{o}}\)
\(\therefore \tan{70^{o}}=\tan{20^{o}}+2\tan{50^{o}}\)
(প্রমাণিত)
\(\tan{70^{o}}=\tan{(50^{o}+20^{o})}\)
\(\Rightarrow \tan{70^{o}}=\frac{\tan{50^{o}}+\tan{20^{o}}}{1-\tan{50^{o}}\tan{20^{o}}}\) ➜ \(\because \tan{(A+B)}=\frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}\)
\(\Rightarrow \tan{70^{o}}-\tan{70^{o}}\tan{50^{o}}\tan{20^{o}}=\tan{50^{o}}+\tan{20^{o}}\) ➜ আড় গুণ করে।
\(\Rightarrow \tan{70^{o}}-\tan{(90^{o}\times1-20^{o})}\tan{50^{o}}\tan{20^{o}}=\tan{50^{o}}+\tan{20^{o}}\) ➜ \(\because 70^{o}=90^{o}\times1-20^{o}\)
\(\Rightarrow \tan{70^{o}}-\cot{20^{o}}\tan{50^{o}}\tan{20^{o}}=\tan{50^{o}}+\tan{20^{o}}\) ➜
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোট্যানজেন্ট হয়েছে।
\(\Rightarrow \tan{70^{o}}-\frac{1}{\tan{20^{o}}}\tan{50^{o}}\tan{20^{o}}=\tan{50^{o}}+\tan{20^{o}}\) ➜ \(\because \cot{A}=\frac{1}{\tan{A}}\)
\(\Rightarrow \tan{70^{o}}-\tan{50^{o}}=\tan{50^{o}}+\tan{20^{o}}\)
\(\Rightarrow \tan{70^{o}}=\tan{50^{o}}+\tan{50^{o}}+\tan{20^{o}}\)
\(\Rightarrow \tan{70^{o}}=2\tan{50^{o}}+\tan{20^{o}}\)
\(\therefore \tan{70^{o}}=\tan{20^{o}}+2\tan{50^{o}}\)
(প্রমাণিত)
প্রমাণ করঃ
\(Q.2.(xiv)\) \(\tan{54^{o}}=\tan{36^{o}}+2\tan{18^{o}}\) সমাধানঃ
লেখা যায়,
\(\tan{54^{o}}=\tan{(36^{o}+18^{o})}\)
\(\Rightarrow \tan{54^{o}}=\frac{\tan{36^{o}}+\tan{18^{o}}}{1-\tan{36^{o}}\tan{18^{o}}}\) ➜ \(\because \tan{(A+B)}=\frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}\)
\(\Rightarrow \tan{54^{o}}-\tan{54^{o}}\tan{36^{o}}\tan{18^{o}}=\tan{36^{o}}+\tan{18^{o}}\) ➜ আড় গুণ করে।
\(\Rightarrow \tan{54^{o}}-\tan{(90^{o}\times1-36^{o})}\tan{36^{o}}\tan{18^{o}}=\tan{36^{o}}+\tan{18^{o}}\) ➜ \(\because 54^{o}=90^{o}\times1-36^{o}\)
\(\Rightarrow \tan{54^{o}}-\cot{36^{o}}\tan{36^{o}}\tan{18^{o}}=\tan{36^{o}}+\tan{18^{o}}\) ➜
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোট্যানজেন্ট হয়েছে।
\(\Rightarrow \tan{54^{o}}-\frac{1}{\tan{36^{o}}}\tan{36^{o}}\tan{18^{o}}=\tan{36^{o}}+\tan{18^{o}}\) ➜ \(\because \cot{A}=\frac{1}{\tan{A}}\)
\(\Rightarrow \tan{54^{o}}-\tan{18^{o}}=\tan{36^{o}}+\tan{18^{o}}\)
\(\Rightarrow \tan{54^{o}}=\tan{36^{o}}+\tan{18^{o}}+\tan{18^{o}}\)
\(\therefore \tan{54^{o}}=\tan{36^{o}}+2\tan{18^{o}}\)
(প্রমাণিত)
\(\tan{54^{o}}=\tan{(36^{o}+18^{o})}\)
\(\Rightarrow \tan{54^{o}}=\frac{\tan{36^{o}}+\tan{18^{o}}}{1-\tan{36^{o}}\tan{18^{o}}}\) ➜ \(\because \tan{(A+B)}=\frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}\)
\(\Rightarrow \tan{54^{o}}-\tan{54^{o}}\tan{36^{o}}\tan{18^{o}}=\tan{36^{o}}+\tan{18^{o}}\) ➜ আড় গুণ করে।
\(\Rightarrow \tan{54^{o}}-\tan{(90^{o}\times1-36^{o})}\tan{36^{o}}\tan{18^{o}}=\tan{36^{o}}+\tan{18^{o}}\) ➜ \(\because 54^{o}=90^{o}\times1-36^{o}\)
\(\Rightarrow \tan{54^{o}}-\cot{36^{o}}\tan{36^{o}}\tan{18^{o}}=\tan{36^{o}}+\tan{18^{o}}\) ➜
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোট্যানজেন্ট হয়েছে।
\(\Rightarrow \tan{54^{o}}-\frac{1}{\tan{36^{o}}}\tan{36^{o}}\tan{18^{o}}=\tan{36^{o}}+\tan{18^{o}}\) ➜ \(\because \cot{A}=\frac{1}{\tan{A}}\)
\(\Rightarrow \tan{54^{o}}-\tan{18^{o}}=\tan{36^{o}}+\tan{18^{o}}\)
\(\Rightarrow \tan{54^{o}}=\tan{36^{o}}+\tan{18^{o}}+\tan{18^{o}}\)
\(\therefore \tan{54^{o}}=\tan{36^{o}}+2\tan{18^{o}}\)
(প্রমাণিত)
প্রমাণ করঃ
\(Q.2.(xx)\) \(\sin{\frac{\pi}{16}}\sin{\frac{3\pi}{16}}\sin{\frac{5\pi}{16}}\sin{\frac{7\pi}{16}}=\frac{\sqrt{2}}{16}\)সমাধানঃ
\(L.S=\sin{\frac{\pi}{16}}\sin{\frac{3\pi}{16}}\sin{\frac{5\pi}{16}}\sin{\frac{7\pi}{16}}\)
\(=\frac{1}{4}\left\{2\sin{\frac{7\pi}{16}}\sin{\frac{\pi}{16}}\right\}\left\{2\sin{\frac{5\pi}{16}}\sin{\frac{3\pi}{16}}\right\}\)
\(=\frac{1}{4}\left\{\cos{\left(\frac{7\pi}{16}-\frac{\pi}{16}\right)}-\cos{\left(\frac{7\pi}{16}+\frac{\pi}{16}\right)}\right\}\left\{\cos{\left(\frac{5\pi}{16}-\frac{3\pi}{16}\right)}-\cos{\left(\frac{5\pi}{16}+\frac{3\pi}{16}\right)}\right\}\) ➜ \(\because 2\sin{A}\sin{B}=\cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}\)
\(=\frac{1}{4}\left\{\cos{\left(\frac{7\pi-\pi}{16}\right)}-\cos{\left(\frac{7\pi+\pi}{16}\right)}\right\}\left\{\cos{\left(\frac{5\pi-3\pi}{16}\right)}-\cos{\left(\frac{5\pi+3\pi}{16}\right)}\right\}\)
\(=\frac{1}{4}\left\{\cos{\left(\frac{6\pi}{16}\right)}-\cos{\left(\frac{8\pi}{16}\right)}\right\}\left\{\cos{\left(\frac{2\pi}{16}\right)}-\cos{\left(\frac{8\pi}{16}\right)}\right\}\)
\(=\frac{1}{4}\left\{\cos{\left(\frac{3\pi}{8}\right)}-\cos{\left(\frac{\pi}{2}\right)}\right\}\left\{\cos{\left(\frac{\pi}{8}\right)}-\cos{\left(\frac{\pi}{2}\right)}\right\}\)
\(=\frac{1}{4}\left\{\cos{\left(\frac{3\pi}{8}\right)}-0\right\}\left\{\cos{\left(\frac{\pi}{8}\right)}-0\right\}\) ➜ \(\because \cos{\left(\frac{\pi}{2}\right)}=0\)
\(=\frac{1}{4}\cos{\left(\frac{3\pi}{8}\right)}\cos{\left(\frac{\pi}{8}\right)}\)
\(=\frac{1}{4}\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{\pi}{8}\right)}\cos{\left(\frac{\pi}{8}\right)}\) ➜ \(\because \frac{3\pi}{8}=\frac{\pi}{2}\times1-\frac{\pi}{8}\)
\(=\frac{1}{4}\sin{\left(\frac{\pi}{8}\right)}\cos{\left(\frac{\pi}{8}\right)}\) ➜
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।
\(=\frac{1}{8}\times2\sin{\left(\frac{\pi}{8}\right)}\cos{\left(\frac{\pi}{8}\right)}\)
\(=\frac{1}{8}\sin{\left(\frac{2\pi}{8}\right)}\) ➜ \(\because 2\sin{A}\cos{A}=\sin{2A}\)
\(=\frac{1}{8}\sin{\left(\frac{\pi}{4}\right)}\)
\(=\frac{1}{8}\times\frac{1}{\sqrt{2}}\) ➜ \(\because \sin{\left(\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{1}{8\sqrt{2}}\)
\(=\frac{\sqrt{2}}{8\sqrt{2}\times\sqrt{2}}\) ➜ লব ও হরকে \(\sqrt{2}\) দ্বারা গুন করে।
\(=\frac{\sqrt{2}}{8\times2}\)
\(=\frac{\sqrt{2}}{16}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)
\(=\frac{1}{4}\left\{2\sin{\frac{7\pi}{16}}\sin{\frac{\pi}{16}}\right\}\left\{2\sin{\frac{5\pi}{16}}\sin{\frac{3\pi}{16}}\right\}\)
\(=\frac{1}{4}\left\{\cos{\left(\frac{7\pi}{16}-\frac{\pi}{16}\right)}-\cos{\left(\frac{7\pi}{16}+\frac{\pi}{16}\right)}\right\}\left\{\cos{\left(\frac{5\pi}{16}-\frac{3\pi}{16}\right)}-\cos{\left(\frac{5\pi}{16}+\frac{3\pi}{16}\right)}\right\}\) ➜ \(\because 2\sin{A}\sin{B}=\cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}\)
\(=\frac{1}{4}\left\{\cos{\left(\frac{7\pi-\pi}{16}\right)}-\cos{\left(\frac{7\pi+\pi}{16}\right)}\right\}\left\{\cos{\left(\frac{5\pi-3\pi}{16}\right)}-\cos{\left(\frac{5\pi+3\pi}{16}\right)}\right\}\)
\(=\frac{1}{4}\left\{\cos{\left(\frac{6\pi}{16}\right)}-\cos{\left(\frac{8\pi}{16}\right)}\right\}\left\{\cos{\left(\frac{2\pi}{16}\right)}-\cos{\left(\frac{8\pi}{16}\right)}\right\}\)
\(=\frac{1}{4}\left\{\cos{\left(\frac{3\pi}{8}\right)}-\cos{\left(\frac{\pi}{2}\right)}\right\}\left\{\cos{\left(\frac{\pi}{8}\right)}-\cos{\left(\frac{\pi}{2}\right)}\right\}\)
\(=\frac{1}{4}\left\{\cos{\left(\frac{3\pi}{8}\right)}-0\right\}\left\{\cos{\left(\frac{\pi}{8}\right)}-0\right\}\) ➜ \(\because \cos{\left(\frac{\pi}{2}\right)}=0\)
\(=\frac{1}{4}\cos{\left(\frac{3\pi}{8}\right)}\cos{\left(\frac{\pi}{8}\right)}\)
\(=\frac{1}{4}\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{\pi}{8}\right)}\cos{\left(\frac{\pi}{8}\right)}\) ➜ \(\because \frac{3\pi}{8}=\frac{\pi}{2}\times1-\frac{\pi}{8}\)
\(=\frac{1}{4}\sin{\left(\frac{\pi}{8}\right)}\cos{\left(\frac{\pi}{8}\right)}\) ➜
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
তাই কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।
\(=\frac{1}{8}\times2\sin{\left(\frac{\pi}{8}\right)}\cos{\left(\frac{\pi}{8}\right)}\)
\(=\frac{1}{8}\sin{\left(\frac{2\pi}{8}\right)}\) ➜ \(\because 2\sin{A}\cos{A}=\sin{2A}\)
\(=\frac{1}{8}\sin{\left(\frac{\pi}{4}\right)}\)
\(=\frac{1}{8}\times\frac{1}{\sqrt{2}}\) ➜ \(\because \sin{\left(\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{1}{8\sqrt{2}}\)
\(=\frac{\sqrt{2}}{8\sqrt{2}\times\sqrt{2}}\) ➜ লব ও হরকে \(\sqrt{2}\) দ্বারা গুন করে।
\(=\frac{\sqrt{2}}{8\times2}\)
\(=\frac{\sqrt{2}}{16}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)
অধ্যায় \(7C\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
প্রমাণ করঃ
\(Q.3.(i)\) \(\sin{18^{o}}+\cos{18^{o}}=\sqrt{2}\cos{27^{o}}\) বুটেক্সঃ ২০১৩-২০১৪ ।
\(Q.3.(ii)\) \(\sin{27^{o}}+\cos{27^{o}}=\sqrt{2}\cos{18^{o}}\)
কুয়েটঃ ২০০৬-২০০৭; রাঃ২০১১ ।
\(Q.3.(iii)\) \(\sin{105^{o}}+\cos{105^{o}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(Q.3.(iv)\) \(\sin{44^{o}}+\cos{44^{o}}=\sqrt{2}\cos{1^{o}}\)
ঢাঃ, দিঃ, সিঃ, যঃ২০১৮ ।
\(Q.3.(v)\) \(\cos{85^{o}}+\sin{85^{o}}=\sqrt{2}\cos{40^{o}}\)
চুয়েটঃ২০০৪-২০০৫ ।
\(Q.3.(vi)\) \(\frac{1}{2}cosec \ {10^{o}}-2\sin{70^{o}}=1\)
প্রমাণ করঃ
\(Q.3.(vii)\) \(cosec \ {20^{o}}+\sqrt{3}\sec{20^{o}}=4\tan{50^{o}}\)দিঃ২০১৯ ।
\(Q.3.(viii)\) \(\tan{(45^{o}+\theta)}+\tan{(45^{o}-\theta)}=2\sec{2\theta}\)
\(Q.3.(ix)\) \(\cot{(\alpha+15^{o})}-\tan{(\alpha-15^{o})}=\frac{4\cos{2\alpha}}{2\sin{2\alpha}+1}\)
\(Q.3.(x)\) \(\sin{65^{o}}+\cos{65^{o}}=\sqrt{2}\cos{20^{o}}\)
ঢাবিঃ২০১৪-২০১৫ ।
\(Q.3.(xi)\) \(\sin{55^{o}}+\cos{55^{o}}=\sqrt{2}\cos{10^{o}}\)
\(Q.3.(xii)\) \(\sin{25^{o}}+\cos{25^{o}}\) মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\sqrt{2}\cos{20^{o}}\)
দিঃ২০১৯ ।
প্রমাণ করঃ
\(Q.3.(iii)\) \(\sin{105^{o}}+\cos{105^{o}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)সমাধানঃ
\(L.S=\sin{105^{o}}+\cos{105^{o}}\)
\(=\sin{105^{o}}+\cos{(90^{o}\times1+15^{o})}\) ➜ \(\because 105^{o}=90^{o}\times1+15^{o}\)
\(=\sin{105^{o}}-\sin{15^{o}}\) ➜
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।
\(=2\cos{\frac{105^{o}+15^{o}}{2}}\sin{\frac{105^{o}-15^{o}}{2}}\) ➜ \(\because \sin{C}-\sin{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)
\(=2\cos{\frac{120^{o}}{2}}\sin{\frac{90^{o}}{2}}\)
\(=2\cos{60^{o}}\sin{45^{o}}\)
\(=2\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{\sqrt{2}}\) ➜ \(\because\cos{60^{o}}=\frac{1}{2}\)
এবং \(\sin{45^{o}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)
\(=\sin{105^{o}}+\cos{(90^{o}\times1+15^{o})}\) ➜ \(\because 105^{o}=90^{o}\times1+15^{o}\)
\(=\sin{105^{o}}-\sin{15^{o}}\) ➜
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।
\(=2\cos{\frac{105^{o}+15^{o}}{2}}\sin{\frac{105^{o}-15^{o}}{2}}\) ➜ \(\because \sin{C}-\sin{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)
\(=2\cos{\frac{120^{o}}{2}}\sin{\frac{90^{o}}{2}}\)
\(=2\cos{60^{o}}\sin{45^{o}}\)
\(=2\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{\sqrt{2}}\) ➜ \(\because\cos{60^{o}}=\frac{1}{2}\)
এবং \(\sin{45^{o}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)
প্রমাণ করঃ
\(Q.3.(vi)\) \(\frac{1}{2}cosec \ {10^{o}}-2\sin{70^{o}}=1\)সমাধানঃ
\(L.S=\frac{1}{2}cosec \ {10^{o}}-2\sin{70^{o}}\)
\(=\frac{1}{2\sin{10^{o}}}-2\sin{70^{o}}\) ➜ \(\because cosec \ {A}=\frac{1}{\sin{A}}\)
\(=\frac{1-4\sin{70^{o}}\sin{10^{o}}}{2\sin{10^{o}}}\)
\(=\frac{1-2(2\sin{70^{o}}\sin{10^{o}})}{2\sin{10^{o}}}\)
\(=\frac{1-2\{\cos{(70^{o}-10^{o})}-\cos{(70^{o}+10^{o})}\}}{2\sin{10^{o}}}\) ➜ \(\because 2\sin{A}\sin{B}=\cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}\)
\(=\frac{1-2\{\cos{60^{o}}-\cos{80^{o}}\}}{2\sin{10^{o}}}\)
\(=\frac{1-2\left\{\frac{1}{2}-\cos{80^{o}}\right\}}{2\sin{10^{o}}}\) ➜ \(\because \cos{60^{o}}=\frac{1}{2}\)
\(=\frac{1-1+2\cos{80^{o}}}{2\sin{10^{o}}}\)
\(=\frac{2\cos{80^{o}}}{2\sin{10^{o}}}\)
\(=\frac{\cos{(90^{o}\times1-10^{o})}}{\sin{10^{o}}}\) ➜ \(\because 80^{o}=90^{o}\times1-10^{o}\)
\(=\frac{\sin{10^{o}}}{\sin{10^{o}}}\) ➜
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।
\(=1\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)
\(=\frac{1}{2\sin{10^{o}}}-2\sin{70^{o}}\) ➜ \(\because cosec \ {A}=\frac{1}{\sin{A}}\)
\(=\frac{1-4\sin{70^{o}}\sin{10^{o}}}{2\sin{10^{o}}}\)
\(=\frac{1-2(2\sin{70^{o}}\sin{10^{o}})}{2\sin{10^{o}}}\)
\(=\frac{1-2\{\cos{(70^{o}-10^{o})}-\cos{(70^{o}+10^{o})}\}}{2\sin{10^{o}}}\) ➜ \(\because 2\sin{A}\sin{B}=\cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}\)
\(=\frac{1-2\{\cos{60^{o}}-\cos{80^{o}}\}}{2\sin{10^{o}}}\)
\(=\frac{1-2\left\{\frac{1}{2}-\cos{80^{o}}\right\}}{2\sin{10^{o}}}\) ➜ \(\because \cos{60^{o}}=\frac{1}{2}\)
\(=\frac{1-1+2\cos{80^{o}}}{2\sin{10^{o}}}\)
\(=\frac{2\cos{80^{o}}}{2\sin{10^{o}}}\)
\(=\frac{\cos{(90^{o}\times1-10^{o})}}{\sin{10^{o}}}\) ➜ \(\because 80^{o}=90^{o}\times1-10^{o}\)
\(=\frac{\sin{10^{o}}}{\sin{10^{o}}}\) ➜
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।
\(=1\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)
প্রমাণ করঃ
\(Q.3.(vii)\) \(cosec \ {20^{o}}+\sqrt{3}\sec{20^{o}}=4\tan{50^{o}}\)দিঃ২০১৯ ।
সমাধানঃ
\(L.S=cosec \ {20^{o}}+\sqrt{3}\sec{20^{o}}\)
\(=\frac{1}{\sin{20^{o}}}+\frac{\sqrt{3}}{\cos{20^{o}}}\) ➜ \(\because cosec \ {A}=\frac{1}{\sin{A}}\)
এবং \(\sec{A}=\frac{1}{\cos{A}}\)
\(=\frac{\cos{20^{o}}+\sqrt{3}\sin{20^{o}}}{\sin{20^{o}}\cos{20^{o}}}\)
\(=\frac{\frac{1}{2}\cos{20^{o}}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin{20^{o}}}{\frac{1}{2}\sin{20^{o}}\cos{20^{o}}}\) ➜ লব ও হরকে \(2\) দ্বারা ভাগ করে।
\(=\frac{\sin{30^{o}}\cos{20^{o}}+\cos{30^{o}}\sin{20^{o}}}{\frac{1}{4}(2\sin{20^{o}}\cos{20^{o}})}\) ➜ \(\because \sin{30^{o}}=\frac{1}{2}\)
এবং \(\cos{30^{o}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=\frac{\sin{(30^{o}+20^{o})}}{\frac{1}{4}\sin{(2\times20^{o})}}\) ➜ \(\because \sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}=\sin{(A+B)}\)
\(\because 2\sin{A}\cos{A}=\sin{2A}\)
\(=\frac{\sin{50^{o}}}{\frac{1}{4}\sin{40^{o}}}\)
\(=\frac{4\sin{50^{o}}}{\sin{(90^{o}\times1-50^{o})}}\) ➜ \(\because 40^{o}=90^{o}\times1-50^{o}\)
\(=\frac{4\sin{50^{o}}}{\cos{50^{o}}}\) ➜
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।
\(=4\frac{\sin{50^{o}}}{\cos{50^{o}}}\)
\(=4\tan{50^{o}}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)
\(=\frac{1}{\sin{20^{o}}}+\frac{\sqrt{3}}{\cos{20^{o}}}\) ➜ \(\because cosec \ {A}=\frac{1}{\sin{A}}\)
এবং \(\sec{A}=\frac{1}{\cos{A}}\)
\(=\frac{\cos{20^{o}}+\sqrt{3}\sin{20^{o}}}{\sin{20^{o}}\cos{20^{o}}}\)
\(=\frac{\frac{1}{2}\cos{20^{o}}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin{20^{o}}}{\frac{1}{2}\sin{20^{o}}\cos{20^{o}}}\) ➜ লব ও হরকে \(2\) দ্বারা ভাগ করে।
\(=\frac{\sin{30^{o}}\cos{20^{o}}+\cos{30^{o}}\sin{20^{o}}}{\frac{1}{4}(2\sin{20^{o}}\cos{20^{o}})}\) ➜ \(\because \sin{30^{o}}=\frac{1}{2}\)
এবং \(\cos{30^{o}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=\frac{\sin{(30^{o}+20^{o})}}{\frac{1}{4}\sin{(2\times20^{o})}}\) ➜ \(\because \sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}=\sin{(A+B)}\)
\(\because 2\sin{A}\cos{A}=\sin{2A}\)
\(=\frac{\sin{50^{o}}}{\frac{1}{4}\sin{40^{o}}}\)
\(=\frac{4\sin{50^{o}}}{\sin{(90^{o}\times1-50^{o})}}\) ➜ \(\because 40^{o}=90^{o}\times1-50^{o}\)
\(=\frac{4\sin{50^{o}}}{\cos{50^{o}}}\) ➜
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।
\(=4\frac{\sin{50^{o}}}{\cos{50^{o}}}\)
\(=4\tan{50^{o}}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)
অধ্যায় \(7C\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(Q.4.(i)\) যদি \(cosec \ {A}+\sec{A}=cosec \ {B}+\sec{B}\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\tan{A}\tan{B}=\cot{\left(\frac{A+B}{2}\right)}\)
\(Q.4.(ii)\) যদি \(\sin{x}=m\sin{y}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\tan{\frac{1}{2}(x-y)}=\frac{m-1}{m+1}\tan{\frac{1}{2}(x+y)}\)
\(Q.4.(iii)\) যদি \(\sin{2\alpha}=k\sin{2\theta}\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\tan{(\alpha-\theta)}=\frac{k-1}{k+1}\tan{(\alpha+\theta)}\)
\(Q.4.(iv)\) যদি \(x+y=\theta\) এবং \(\cos{x}=m\cos{y}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\tan{\frac{1}{2}(x-y)}=\frac{1-m}{1+m}\cot{\frac{\theta}{2}}\)
\(Q.4.(v)\) \(\frac{\tan{(\theta+\alpha)}}{\tan{(\theta+\beta)}}=\frac{a}{b}\) হলে দেখাও যে, \(\frac{a+b}{a-b}\sin^2{(\alpha-\beta)}=\sin^2{(\theta+\alpha)}-\sin^2{(\theta+\beta)}\)
\(Q.4.(vi)\) যদি \(\sin{A}+\cos{A}=\sin{B}+\cos{B}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(A+B=\frac{\pi}{2}\)
\(Q.4.(vii)\) \(\sin{\alpha}-\cos{\alpha}=\cos{\beta}-\sin{\beta}\) হলে দেখাও যে, \(2(\alpha+\beta)=\pi, \ (\alpha\ne{\beta})\)
\(Q.4.(viii)\) যদি \(\sin{\alpha}+\sin{\beta}=a\) এবং \(\cos{\alpha}+\cos{\beta}=b\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\sin{\frac{1}{2}(\alpha-\beta)}=\pm\frac{1}{2}\sqrt{4-a^2-b^2}\)
\(Q.4.(ix)\) দেখাও যে, \(\frac{\sin{\theta}+\sin{5\theta}+\sin{9\theta}+\sin{13\theta}}{\cos{\theta}+\cos{5\theta}+\cos{9\theta}+\cos{13\theta}}=\tan{7\theta}\)
\(Q.4.(x)\) দেখাও যে, \(\cos{A}+\cos{B}+\cos{C}+\cos{(A+B+C)}\)\(=4\cos{\frac{B+C}{2}}\cos{\frac{C+A}{2}}\cos{\frac{A+B}{2}}\)
\(Q.4.(xi)\) প্রমাণ কর যে, \(\left(\frac{\cos{A}+\cos{B}}{\sin{A}-\sin{B}}\right)^n+\left(\frac{\sin{A}+\sin{B}}{\cos{A}-\cos{B}}\right)^n\)\(=\begin{cases}2\cot^n{\frac{A-B}{2}}; & \text{যখন } n \text{ জোড় সংখ্যা}\\0 \ ; &\text{যখন } n \text{ বিজোড় সংখ্যা}\end{cases}\)
\(Q.4.(xii)\) প্রমাণ কর যে, \(\frac{\sin{\alpha}+\sin{3\alpha}+\sin{5\alpha}}{\cos{\alpha}+\cos{3\alpha}+\cos{5\alpha}}=\tan{3\alpha}\)
\(Q.4.(xiii)\) প্রমাণ কর যে, \(\frac{\sin{7\theta}-\sin{3\theta}-\sin{5\theta}+\sin{\theta}}{\cos{7\theta}+\cos{3\theta}-\cos{5\theta}-\cos{\theta}}=\tan{2\theta}\)
\(Q.4.(xiv)\) \(\sin{\theta}=k\sin{(\alpha-\theta)}\) হলে দেখাও যে, \(\tan{(\theta-\frac{\alpha}{2})}=\frac{k-1}{k+1}\tan{\frac{\alpha}{2}}\)
\(Q.4.(xv)\) যদি \(m\sin{(\theta-\alpha)}=n\sin{(\theta+\alpha)}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \((m-n)\tan{\theta}=(m+n)\tan{\alpha}\)
\(Q.4.(xvi)\) যদি \(a\cos{(x+\alpha)}=b\cos{(x-\alpha)}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \((a+b)\tan{x}=(a-b)\cot{\alpha}\)
\(Q.4.(ii)\) যদি \(\sin{x}=m\sin{y}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\tan{\frac{1}{2}(x-y)}=\frac{m-1}{m+1}\tan{\frac{1}{2}(x+y)}\)
\(Q.4.(iii)\) যদি \(\sin{2\alpha}=k\sin{2\theta}\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\tan{(\alpha-\theta)}=\frac{k-1}{k+1}\tan{(\alpha+\theta)}\)
চঃ২০০৩ ।
\(Q.4.(iv)\) যদি \(x+y=\theta\) এবং \(\cos{x}=m\cos{y}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\tan{\frac{1}{2}(x-y)}=\frac{1-m}{1+m}\cot{\frac{\theta}{2}}\)
\(Q.4.(v)\) \(\frac{\tan{(\theta+\alpha)}}{\tan{(\theta+\beta)}}=\frac{a}{b}\) হলে দেখাও যে, \(\frac{a+b}{a-b}\sin^2{(\alpha-\beta)}=\sin^2{(\theta+\alpha)}-\sin^2{(\theta+\beta)}\)
\(Q.4.(vi)\) যদি \(\sin{A}+\cos{A}=\sin{B}+\cos{B}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(A+B=\frac{\pi}{2}\)
কুঃ২০১২; সিঃ২০০৯; দিঃ,চঃ২০১০ ।
\(Q.4.(vii)\) \(\sin{\alpha}-\cos{\alpha}=\cos{\beta}-\sin{\beta}\) হলে দেখাও যে, \(2(\alpha+\beta)=\pi, \ (\alpha\ne{\beta})\)
দিঃ,বঃ২০১৯ ।
\(Q.4.(viii)\) যদি \(\sin{\alpha}+\sin{\beta}=a\) এবং \(\cos{\alpha}+\cos{\beta}=b\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\sin{\frac{1}{2}(\alpha-\beta)}=\pm\frac{1}{2}\sqrt{4-a^2-b^2}\)
দিঃ,বঃ২০১৭ ।
\(Q.4.(ix)\) দেখাও যে, \(\frac{\sin{\theta}+\sin{5\theta}+\sin{9\theta}+\sin{13\theta}}{\cos{\theta}+\cos{5\theta}+\cos{9\theta}+\cos{13\theta}}=\tan{7\theta}\)
\(Q.4.(x)\) দেখাও যে, \(\cos{A}+\cos{B}+\cos{C}+\cos{(A+B+C)}\)\(=4\cos{\frac{B+C}{2}}\cos{\frac{C+A}{2}}\cos{\frac{A+B}{2}}\)
\(Q.4.(xi)\) প্রমাণ কর যে, \(\left(\frac{\cos{A}+\cos{B}}{\sin{A}-\sin{B}}\right)^n+\left(\frac{\sin{A}+\sin{B}}{\cos{A}-\cos{B}}\right)^n\)\(=\begin{cases}2\cot^n{\frac{A-B}{2}}; & \text{যখন } n \text{ জোড় সংখ্যা}\\0 \ ; &\text{যখন } n \text{ বিজোড় সংখ্যা}\end{cases}\)
\(Q.4.(xii)\) প্রমাণ কর যে, \(\frac{\sin{\alpha}+\sin{3\alpha}+\sin{5\alpha}}{\cos{\alpha}+\cos{3\alpha}+\cos{5\alpha}}=\tan{3\alpha}\)
\(Q.4.(xiii)\) প্রমাণ কর যে, \(\frac{\sin{7\theta}-\sin{3\theta}-\sin{5\theta}+\sin{\theta}}{\cos{7\theta}+\cos{3\theta}-\cos{5\theta}-\cos{\theta}}=\tan{2\theta}\)
\(Q.4.(xiv)\) \(\sin{\theta}=k\sin{(\alpha-\theta)}\) হলে দেখাও যে, \(\tan{(\theta-\frac{\alpha}{2})}=\frac{k-1}{k+1}\tan{\frac{\alpha}{2}}\)
কুঃ২০০৮; সিঃ২০০৩ ।
\(Q.4.(xv)\) যদি \(m\sin{(\theta-\alpha)}=n\sin{(\theta+\alpha)}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \((m-n)\tan{\theta}=(m+n)\tan{\alpha}\)
\(Q.4.(xvi)\) যদি \(a\cos{(x+\alpha)}=b\cos{(x-\alpha)}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \((a+b)\tan{x}=(a-b)\cot{\alpha}\)
ঢাঃ২০০৫ ।
\(Q.4.(xvii)\) \(a\cos{(\alpha+\beta)}=b\cos{(\alpha-\beta)}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(\tan{\alpha}=\frac{a-b}{a+b}\cot{\beta}\)
\(Q.4.(xviii)\) যদি \(\cos{(A+B)}\sin{(C+D)}=\cos{(A-B)}\sin{(C-D)}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\tan{D}=\tan{A}\tan{B}\tan{C}\)
\(Q.4.(xix)\) \(2P=\tan{\frac{x+y}{2}}+\tan{\frac{x-y}{2}}\) হলে দেখাও যে, \(P=\frac{\sin{x}}{\cos{x}+\cos{y}}\)
\(Q.4.(xx)\) যদি \(\sin{x}+\sin{y}=1\) এবং \(\cos{x}+\cos{y}=0\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(x+y=\pi\)
\(Q.4.(xxi)\) যদি \(\sin{\alpha}+\sin{\beta}=a\) এবং \(\cos{\alpha}+\cos{\beta}=b\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে,
\((a) \ \sin{(\alpha+\beta)}=\frac{2ab}{b^2+a^2}\)
\((b) \ \tan{(\alpha+\beta)}=\frac{2ab}{b^2-a^2}\)
\(Q.4.(xxii)\) \(p=\sin{2\alpha}, \ q=\sin{2\beta}, \ r=\cos{2\alpha}, \ s=\cos{2\beta}\) এবং \(p+q=c, \ r+s=d\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\cos{(2\alpha+2\beta)}=\frac{d^2-c^2}{d^2+c^2}\)
\(Q.4.(xxiii)\) \(f(x)=\sin{x}, \ g(x)=\cos{x}\) এবং \(f(x)+f(y)=p, \ g(x)+g(y)=q\) হলে প্রমাণ কর যে, \(f\left(\frac{x-y}{2}\right)=\pm\frac{1}{2}\sqrt{4-p^2-q^2}\)
\(Q.4.(xxiv)\) যদি \(\sin{\theta}+\sin{\phi}=a\) এবং \(\cos{\theta}+\cos{\phi}=b\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\tan{\left(\frac{\theta-\phi}{2}\right)}=\pm\sqrt{\frac{4-a^2-b^2}{a^2+b^2}}\)
\(Q.4.(xxv)\) \(\sin{A}=\frac{1}{\sqrt{2}}\) এবং \(\sin{B}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) হলে দেখাও যে, \(\tan{\frac{A+B}{2}}\cot{\frac{A-B}{2}}=5+2\sqrt{6}\)
\(Q.4.(xxvi)\) প্রমাণ কর যে, \(\frac{\cos{8\theta}+6\cos{6\theta}+13\cos{4\theta}+8\cos{2\theta}}{\cos{7\theta}+5\cos{5\theta}+8\cos{3\theta}}=2\cos{\theta}\)
\(Q.4.(xxvii)\) যদি \((\theta-\phi)\) সূক্ষ্ণ কোণ এবং \(\sin{\theta}+\sin{\phi}=\sqrt{3}(\cos{\phi}-\cos{\theta})\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\sin{3\theta}+\sin{3\phi}=0\)
\(Q.4.(xxviii)\) \(A\) এর যে মানের জন্য \(\cos{A}\sin{\left(A-\frac{\pi}{6}\right)}\) এর মান বৃহত্তম হয়, তা নির্ণয় কর, যেখানে \(A\) সূক্ষ্ণকোণ।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{3}\)
\(Q.4.(xxix)\) \(\frac{x}{\tan{(\theta+\alpha)}}=\frac{y}{\tan{(\theta+\beta)}}=\frac{z}{\tan{(\theta+\gamma)}}\) হলে দেখাও যে, \(\frac{x+y}{x-y}\sin^2{(\alpha-\beta)}+\frac{y+z}{y-z}\sin^2{(\beta-\gamma)}+\frac{z+x}{z-x}\sin^2{(\gamma-\alpha)}=0\)
\(Q.4.(xxx)\) \(x\cos{\alpha}+y\sin{\alpha}=k=x\cos{\beta}+y\sin{\beta}\) হলে দেখাও যে, \(\frac{x}{\cos{\frac{1}{2}(\alpha+\beta)}}=\frac{y}{\sin{\frac{1}{2}(\alpha+\beta)}}=\frac{k}{\cos{\frac{1}{2}(\alpha-\beta)}}\)
\(Q.4.(xviii)\) যদি \(\cos{(A+B)}\sin{(C+D)}=\cos{(A-B)}\sin{(C-D)}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\tan{D}=\tan{A}\tan{B}\tan{C}\)
\(Q.4.(xix)\) \(2P=\tan{\frac{x+y}{2}}+\tan{\frac{x-y}{2}}\) হলে দেখাও যে, \(P=\frac{\sin{x}}{\cos{x}+\cos{y}}\)
কুঃ২০১৯ ।
\(Q.4.(xx)\) যদি \(\sin{x}+\sin{y}=1\) এবং \(\cos{x}+\cos{y}=0\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(x+y=\pi\)
রুয়েটঃ২০১৮-২০১৯; বুয়েটঃ ২০০১-২০০২ ।
\(Q.4.(xxi)\) যদি \(\sin{\alpha}+\sin{\beta}=a\) এবং \(\cos{\alpha}+\cos{\beta}=b\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে,
\((a) \ \sin{(\alpha+\beta)}=\frac{2ab}{b^2+a^2}\)
\((b) \ \tan{(\alpha+\beta)}=\frac{2ab}{b^2-a^2}\)
কুঃ২০১৪; সিঃ২০১১, ২০০১; রাঃ ২০০৮,২০০৩ ।
\(Q.4.(xxii)\) \(p=\sin{2\alpha}, \ q=\sin{2\beta}, \ r=\cos{2\alpha}, \ s=\cos{2\beta}\) এবং \(p+q=c, \ r+s=d\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\cos{(2\alpha+2\beta)}=\frac{d^2-c^2}{d^2+c^2}\)
ঢাঃ,দিঃ,সিঃ,যঃ ২০১৮ ।
\(Q.4.(xxiii)\) \(f(x)=\sin{x}, \ g(x)=\cos{x}\) এবং \(f(x)+f(y)=p, \ g(x)+g(y)=q\) হলে প্রমাণ কর যে, \(f\left(\frac{x-y}{2}\right)=\pm\frac{1}{2}\sqrt{4-p^2-q^2}\)
দিঃ ২০১৭ ।
\(Q.4.(xxiv)\) যদি \(\sin{\theta}+\sin{\phi}=a\) এবং \(\cos{\theta}+\cos{\phi}=b\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\tan{\left(\frac{\theta-\phi}{2}\right)}=\pm\sqrt{\frac{4-a^2-b^2}{a^2+b^2}}\)
\(Q.4.(xxv)\) \(\sin{A}=\frac{1}{\sqrt{2}}\) এবং \(\sin{B}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) হলে দেখাও যে, \(\tan{\frac{A+B}{2}}\cot{\frac{A-B}{2}}=5+2\sqrt{6}\)
\(Q.4.(xxvi)\) প্রমাণ কর যে, \(\frac{\cos{8\theta}+6\cos{6\theta}+13\cos{4\theta}+8\cos{2\theta}}{\cos{7\theta}+5\cos{5\theta}+8\cos{3\theta}}=2\cos{\theta}\)
\(Q.4.(xxvii)\) যদি \((\theta-\phi)\) সূক্ষ্ণ কোণ এবং \(\sin{\theta}+\sin{\phi}=\sqrt{3}(\cos{\phi}-\cos{\theta})\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\sin{3\theta}+\sin{3\phi}=0\)
\(Q.4.(xxviii)\) \(A\) এর যে মানের জন্য \(\cos{A}\sin{\left(A-\frac{\pi}{6}\right)}\) এর মান বৃহত্তম হয়, তা নির্ণয় কর, যেখানে \(A\) সূক্ষ্ণকোণ।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{3}\)
\(Q.4.(xxix)\) \(\frac{x}{\tan{(\theta+\alpha)}}=\frac{y}{\tan{(\theta+\beta)}}=\frac{z}{\tan{(\theta+\gamma)}}\) হলে দেখাও যে, \(\frac{x+y}{x-y}\sin^2{(\alpha-\beta)}+\frac{y+z}{y-z}\sin^2{(\beta-\gamma)}+\frac{z+x}{z-x}\sin^2{(\gamma-\alpha)}=0\)
\(Q.4.(xxx)\) \(x\cos{\alpha}+y\sin{\alpha}=k=x\cos{\beta}+y\sin{\beta}\) হলে দেখাও যে, \(\frac{x}{\cos{\frac{1}{2}(\alpha+\beta)}}=\frac{y}{\sin{\frac{1}{2}(\alpha+\beta)}}=\frac{k}{\cos{\frac{1}{2}(\alpha-\beta)}}\)
\(Q.4.(xxvii)\) যদি \((\theta-\phi)\) সূক্ষ্ণ কোণ এবং \(\sin{\theta}+\sin{\phi}=\sqrt{3}(\cos{\phi}-\cos{\theta})\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\sin{3\theta}+\sin{3\phi}=0\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\((\theta-\phi)\) সূক্ষ্ণ কোণ এবং \(\sin{\theta}+\sin{\phi}=\sqrt{3}(\cos{\phi}-\cos{\theta})\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{\theta}+\sin{\phi}}{\cos{\phi}-\cos{\theta}}=\sqrt{3}\) ➜ পক্ষান্তর করে।
\(\Rightarrow \frac{2\sin{\frac{\theta+\phi}{2}}\cos{\frac{\theta-\phi}{2}}}{2\sin{\frac{\theta+\phi}{2}}\sin{\frac{\theta-\phi}{2}}}=\sqrt{3}\) ➜ \(\because \sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)
এবং \(\cos{D}-\cos{C}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{\cos{\frac{\theta-\phi}{2}}}{\sin{\frac{\theta-\phi}{2}}}=\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \cot{\frac{\theta-\phi}{2}}=\cot{30^{o}}\) ➜ \(\because \frac{\cos{A}}{\sin{A}}=\cot{A}\)
এবং \(\cot{30^{o}}=\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \frac{\theta-\phi}{2}=30^{o}\)
\(\Rightarrow \theta-\phi=60^{o}\)
\(\therefore \theta=60^{o}+\phi\)
এখন, \(L.S=\sin{3\theta}+\sin{3\phi}\)
\(=\sin{3(60^{o}+\phi)}+\sin{3\phi}\) ➜ \(\because \theta=60^{o}+\phi\)
\(=\sin{(180^{o}+3\phi)}+\sin{3\phi}\)
\(=\sin{(90^{o}\times2+3\phi)}+\sin{3\phi}\) ➜ \(\because 180^{o}+3\phi=90^{o}\times2+3\phi\)
\(=-\sin{3\phi}+\sin{3\phi}\) ➜
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।
\(=0\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)
\((\theta-\phi)\) সূক্ষ্ণ কোণ এবং \(\sin{\theta}+\sin{\phi}=\sqrt{3}(\cos{\phi}-\cos{\theta})\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{\theta}+\sin{\phi}}{\cos{\phi}-\cos{\theta}}=\sqrt{3}\) ➜ পক্ষান্তর করে।
\(\Rightarrow \frac{2\sin{\frac{\theta+\phi}{2}}\cos{\frac{\theta-\phi}{2}}}{2\sin{\frac{\theta+\phi}{2}}\sin{\frac{\theta-\phi}{2}}}=\sqrt{3}\) ➜ \(\because \sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)
এবং \(\cos{D}-\cos{C}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{\cos{\frac{\theta-\phi}{2}}}{\sin{\frac{\theta-\phi}{2}}}=\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \cot{\frac{\theta-\phi}{2}}=\cot{30^{o}}\) ➜ \(\because \frac{\cos{A}}{\sin{A}}=\cot{A}\)
এবং \(\cot{30^{o}}=\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \frac{\theta-\phi}{2}=30^{o}\)
\(\Rightarrow \theta-\phi=60^{o}\)
\(\therefore \theta=60^{o}+\phi\)
এখন, \(L.S=\sin{3\theta}+\sin{3\phi}\)
\(=\sin{3(60^{o}+\phi)}+\sin{3\phi}\) ➜ \(\because \theta=60^{o}+\phi\)
\(=\sin{(180^{o}+3\phi)}+\sin{3\phi}\)
\(=\sin{(90^{o}\times2+3\phi)}+\sin{3\phi}\) ➜ \(\because 180^{o}+3\phi=90^{o}\times2+3\phi\)
\(=-\sin{3\phi}+\sin{3\phi}\) ➜
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(90^{o}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
তাই অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।
\(=0\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)
