গুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
barcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
সার সংক্ষেপ
গুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত \(\sin{2A}=2\sin{A}\cos{A}\) \(1+\sin{2A}=(\sin{A}+\cos{A})^2\) \(1-\sin{2A}=(\sin{A}-\cos{A})^2\) \(\sin{2A}=\frac{2\tan{A}}{1+\tan^2{A}}\) \(\cos{2A}=\cos^2{A}-\sin^2{A}\) \(\cos{2A}=2\cos^2{A}-1\) \(\cos{2A}=1-2\sin^2{A}\) \(1+\cos{2A}=2\cos^2{A}\) \(1-\cos{2A}=2\sin^2{A}\) \(\cos{2A}=\frac{1-\tan^2{A}}{1+\tan^2{A}}\) \(\frac{1-\cos{2A}}{1+\cos{2A}}=\tan^2{A}\) \(\tan{2A}=\frac{2\tan{A}}{1-\tan^2{A}}\) \(\cot{2A}=\frac{\cot^2{A}-1}{2\cot{A}}\) \(\sin{3A}=3\sin{A}-4\sin^3{A}\) \(\cos{3A}=4\cos^3{A}-3\cos{A}\) \(\tan{3A}=\frac{3\tan{A}-\tan^3{A}}{1-3\tan^2{A}}\)\(\cot{3A}=\frac{\cot^3{A}-3\cot{A}}{3\cot^2{A}-1}\)\(\cot{A}-\tan{A}=2\cot{2A}\)
গুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
Trigonometric ratio of multiple angles
একটি কোণকে কোনো পূর্ণসংখ্যা দ্বারা গুণ করলে উক্ত কোণের গুণিতক কোণ পাওয়া যায়।
যেমনঃ \(A\) কোণের গুণিতক কোণগুলি \(2A, \ 3A, \ 4A .........nA\) ইত্যাদি।
প্রয়োজনীয় ও স্বরণীয় সূত্রসমূহ
Necessary and memorable formulas
\(\sin{2A}\) কে \(\sin{A}\) এবং \(\cos{A}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ
\(\sin{2A}=2\sin{A}\cos{A}\) \(1+\sin{2A}=(\sin{A}+\cos{A})^2\) \(1-\sin{2A}=(\sin{A}-\cos{A})^2\)

\(\sin{2A}\) কে \(\tan{A}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ
\(\sin{2A}=\frac{2\tan{A}}{1+\tan^2{A}}\)

\(\cos{2A}\) কে \(\sin{A}\) এবং \(\cos{A}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ
\(\cos{2A}=\cos^2{A}-\sin^2{A}\) \(\cos{2A}=2\cos^2{A}-1\) \(\cos{2A}=1-2\sin^2{A}\) \(1+\cos{2A}=2\cos^2{A}\) \(1-\cos{2A}=2\sin^2{A}\)

\(\cos{2A}\) কে \(\tan{A}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ
\(\cos{2A}=\frac{1-\tan^2{A}}{1+\tan^2{A}}\) \(\frac{1-\cos{2A}}{1+\cos{2A}}=\tan^2{A}\)

\(\tan{2A}\) কে \(\tan{A}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ
\(\tan{2A}=\frac{2\tan{A}}{1-\tan^2{A}}\)

\(\cot{2A}\) কে \(\cot{A}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ
\(\cot{2A}=\frac{\cot^2{A}-1}{2\cot{A}}\)

\(\sin{3A}\) কে \(\sin{A}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ
\(\sin{3A}=3\sin{A}-4\sin^3{A}\)

\(\cos{3A}\) কে \(\cos{A}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ
\(\cos{3A}=4\cos^3{A}-3\cos{A}\)

\(\tan{3A}\) কে \(\tan{A}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ
\(\tan{3A}=\frac{3\tan{A}-\tan^3{A}}{1-3\tan^2{A}}\)

\(\cot{3A}\) কে \(\cot{A}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ
\(\cot{3A}=\frac{\cot^3{A}-3\cot{A}}{3\cot^2{A}-1}\)

বিশেষ সূত্র
\(\cot{A}-\tan{A}=2\cot{2A}\)

অধ্যায় \(7D\)-এর উদাহরণসমুহ
উদাহরণ \(1.\) দেখাও যে, \(4\cos^3{x}\sin{3x}+4\sin^3{x}\cos{3x}=3\sin{4x}\)

উদাহরণ \(2.\) \(\tan{\theta}=\sec{2\alpha}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(\sin{2\theta}=\frac{1-\tan^4{\alpha}}{1+\tan^4{\alpha}}\)

উদাহরণ \(3.\) \(\tan{x}=\frac{b}{a}\) হলে দেখাও যে, \(a\cos{2x}+b\sin{2x}=a\)

উদাহরণ \(4.\) \(\tan{\theta}=\frac{1}{2}\) হয় তবে প্রমাণ কর যে, \(10\sin{2\theta}-6\tan{2\theta}+5\cos{2\theta}=3\)

প্রমাণ করঃ
উদাহরণ \(5.\) \(\frac{\sqrt{3}}{\sin{20^{o}}}-\frac{1}{\cos{20^{o}}}=4\)

উদাহরণ \(6.\) \(\cos{4\theta}=8\cos^4{\theta}-8\cos^2{\theta}+1\)

প্রমাণ করঃ
উদাহরণ \(7.\) \(\sin{8\theta}=8\sin{\theta}\cos{\theta}\cos{2\theta}\cos{4\theta}\)

উদাহরণ \(8.\) \(\frac{1}{\sin{10^{o}}}-\frac{\sqrt{3}}{\cos{10^{o}}}=4\)
ঢাঃ২০১০,২০০৭; কুঃ২০০৬; চঃ২০১৪,২০১২,২০০৮,২০০৪; রাঃ২০১৫,২০০৭; দিঃ২০১৫,২০১১; সিঃ২০১২; বঃ২০০৮যঃ২০১৩,২০০৯।

উদাহরণ \(9.\) \(\sin^2{(60^{o}+A)}+\sin^2{A}+\sin^2{(60^{o}-A)}=\frac{3}{2}\)
কুঃ২০০৫; চঃ২০১১; রাঃ২০১২।

উদাহরণ \(10.\) \(\cos^3{A}\cos{3A}+\sin^3{A}\sin{3A}=\cos^3{2A}\)
যঃ২০০৩।

উদাহরণ \(11.\) \(16\cos{\frac{2\pi}{15}}\cos{\frac{4\pi}{15}}\cos{\frac{8\pi}{15}}\cos{\frac{14\pi}{15}}=1\)
ঢাঃ২০০৬; রাঃ২০০৪; যঃ২০১৪; বঃ২০১৫,২০১৩; দিঃ, সিঃ২০১৬,২০১৪; মাঃ২০১৪; কুঃ২০১৭; বুয়েটঃ২০০০-২০০১; কুয়েটঃ২০০৯-২০১০।

উদাহরণ \(12.\) \(\sin{20^{o}}\sin{40^{o}}\sin{60^{o}}\sin{80^{o}}=\frac{3}{16}\)
মাঃ২০০৪।

উদাহরণ \(13.\) \(\theta=20^{o}\) এবং \(\theta+\alpha+80^{o}=180^{o}\) হলে, দেখাও যে, \(\tan{\theta}\tan{2\theta}\tan{\alpha}=\sqrt{3}\)
রাঃ ২০১০; কুঃ২০০৯; বঃ২০০৭,২০০৩; চঃ২০১৯,২০০৬; ঢাঃ২০১৭; বুটেক্সঃ২০১১-১২।

উদাহরণ \(14.\) প্রমাণ কর যে, \((\cos{A}+i\sin{A})^2=\cos{2A}+i\sin{2A},\) যখন \(i=\sqrt{-1}\)

উদাহরণ \(15.\) প্রমাণ কর যে, \(\frac{1-\tan^2{(45^{o}-A)}}{1+\tan^2{(45^{o}-A)}}=\sin{2A}\)

উদাহরণ \(16.\) যদি \(\sin{x}+\sin{y}=a\) এবং \(\cos{x}+\cos{y}=b\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(cosec \ {\frac{(x-y)}{2}}=\pm\frac{2}{\sqrt{4-a^2-b^2}}\)

অধ্যায় \(7D\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
প্রমাণ করঃ
\(Q.1.(i)\) \(\sqrt{\frac{1-\cos{2\theta}}{1+\cos{2\theta}}}=\tan{\theta}\)

\(Q.1.(ii)\) \(\frac{\sin{\theta}+\cos{\theta}}{\sqrt{1+\sin{2\theta}}}=1\)

\(Q.1.(iii)\) \(\frac{\cos{x}-\cos{2x}}{1-\cos{x}}=2\cos{x}+1\)

\(Q.1.(iv)\) \(\frac{1+\cos{2A}+\sin{2A}}{1-\cos{2A}+\sin{2A}}=\cot{A}\)

\(Q.1.(v)\) \(2\cos{2A}+1=(2\cos{A}+1)(2\cos{A}-1)\)

\(Q.1.(vi)\) \(\sec{2\theta}-\tan{2\theta}=\frac{\cos{\theta}-\sin{\theta}}{\cos{\theta}+\sin{\theta}}=\frac{\cos{\left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)}}{\cos{\left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)}}\)

\(Q.1.(vii)\) \(\tan{A}+\cot{A}=2cosec \ {2A}\)

\(Q.1.(viii)\) \(\frac{\cot{A}-\tan{A}}{\cot{A}+\tan{A}}=\cos{2A}\)

\(Q.1.(ix)\) \(\frac{1-\cos{2\theta}+\sin{2\theta}}{1+\cos{2\theta}+\sin{2\theta}}=\tan{\theta}\)

দেখাও যেঃ
\(Q.1.(x)\) \(\frac{\sin{\alpha}-\sqrt{1+\sin{2\alpha}}}{\cos{\alpha}-\sqrt{1+\sin{2\alpha}}}=\cot{\alpha}\) যেখানে \(\alpha\) ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ।

\(Q.1.(xi)\) \(\frac{\cos{(45^{o}+\theta)}}{\cos{(45^{o}-\theta)}}=\sec{2\theta}-\tan{2\theta}\)

\(Q.1.(xii)\) \(\tan{2A}=(\sec{2A}+1)\sqrt{\sec^2{A}-1}\)

\(Q.1.(xiii)\) \(\frac{1+\cos{2\theta}}{\sin{2\theta}}=\cot{\theta}\)

\(Q.1.(xiv)\) \(\tan{\theta}(1+\sec{2\theta})=\tan{2\theta}\)

\(Q.1.(xv)\) \(\frac{\sin{A}+\sin{2A}}{1+\cos{A}+\cos{2A}}=\tan{A}\)

\(Q.1.(xvi)\) \(\frac{3\sin{x}-\sin{3x}}{3\cos{x}+\cos{3x}}=\tan^3{x}\)

\(Q.1.(xvii)\) \(\frac{\cos{\theta}+\sin{\theta}}{\cos{\theta}-\sin{\theta}}-\frac{\cos{\theta}-\sin{\theta}}{\cos{\theta}+\sin{\theta}}=2\tan{2\theta}\)

\(Q.1.(xviii)\) \(\frac{\cos{A}-\sin{A}}{\cos{A}+\sin{A}}=\sec{2A}-\tan{2A}\)

অধ্যায় \(7D\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
প্রমাণ করঃ
\(Q.2.(i)\) \(\sec{x}=\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+2\cos{4x}}}}\)
ঢাঃ২০১৪; দিঃ২০০৯; যঃ২০০৫।

\(Q.2.(ii)\) \(\sec{\frac{3x}{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{4+\sqrt{8+8\cos{6x}}}}\)
ঢাঃ,দিঃ,সিঃ,যঃ ২০১৮; সিঃ২০০৩।

\(Q.2.(iii)\) \(\sec{\frac{5x}{2}}=\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+2\cos{10x}}}}\)
ঢাঃ২০১৯।

\(Q.2.(iv)\) \(\sec{\left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)}\sec{\left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)}=2\sec{2\theta}\)

\(Q.2.(v)\) \(cosec \ {20^{o}}+\sqrt{3}\sec{20^{o}}=4\tan{50^{o}}\)

\(Q.2.(vi)\) \(\sin{\theta}\sin{(60^{o}-\theta)}\sin{(60^{o}+\theta)}=\frac{1}{4}\sin{3\theta}\)

\(Q.2.(vii)\) \(4\cos{\theta}\cos{\left(\frac{2\pi}{3}+\theta\right)}\cos{\left(\frac{4\pi}{3}+\theta\right)}=\cos{3\theta}\)

\(Q.2.(viii)\) \(\cos{20^{o}}\cos{40^{o}}\cos{60^{o}}\cos{80^{o}}=\frac{1}{16}\)

\(Q.2.(ix)\) \(4(\sin^3{10^{o}}+\cos^3{20^{o}})=3(\sin{10^{o}}+\cos{20^{o}})\)

\(Q.2.(x)\) \(16\cos{\frac{\pi}{17}}\cos{\frac{2\pi}{17}}\cos{\frac{4\pi}{17}}\cos{\frac{8\pi}{17}}=1\)

\(Q.2.(xi)\) \(\sin{2x}\tan{2x}=\frac{4\tan^2{x}}{1-\tan^4{x}}\)

প্রমাণ করঃ
\(Q.2.(xii)\) \(1+\tan{2A}\tan{A}=\sec{2A}\)

\(Q.2.(xiii)\) \(\sin{(45^{o}+A)}\sin{(45^{o}-A)}=\frac{1}{2}\cos{2A}\)

\(Q.2.(xiv)\) \(\tan{(45^{o}+A)}+\tan{(45^{o}-A)}=2\sec{2A}\)

\(Q.2.(xv)\) \(\cos{A}\sin{(30^{o}+A)}\sin{(30^{o}-A)}=\frac{1}{4}\cos{3A}\)

\(Q.2.(xvi)\) \(\cos{\theta}\cos{(60^{o}-\theta)}\cos{(60^{o}+\theta)}=\frac{1}{4}\cos{3\theta}\)

\(Q.2.(xvii)\) \(\tan{A}\tan{(60^{o}+A)}\tan{(120^{o}+A)}=-\tan{3A}\)

\(Q.2.(xviii)\) \(4(\sin^3{25^{o}}+\cos^3{5^{o}})=3\sqrt{3}\sin{55^{o}}\)

\(Q.2.(xix)\) \(\frac{\cos^3{x}+\sin^3{x}}{\cos{x}+\sin{x}}=1-\frac{1}{2}\sin{2x}\)

\(Q.2.(xx)\) \(\frac{\tan^2{\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)}-1}{\tan^2{\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)}+1}=\sin{2\theta}\)

\(Q.2.(xxi)\) \(\tan{\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)}+\tan{\left(\alpha-\frac{\pi}{3}\right)}=\frac{4\sin{2\alpha}}{1-4\sin^2{\alpha}}\)

\(Q.2.(xxii)\) \(4(\cos^3{10^{o}}+\sin^3{20^{o}})=3(\cos{10^{o}}+\sin{20^{o}})\)

\(Q.2.(xxiii)\) \(\cos{nA}\cos{(n+2)A}-\cos^2{(n+1)A}+\sin^2{A}=0\)

অধ্যায় \(7D\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
প্রমাণ করঃ
\(Q.3.(i)\) \(\sin^2{\left(\frac{\pi}{8}+\frac{\theta}{2}\right)}-\sin^2{\left(\frac{\pi}{8}-\frac{\theta}{2}\right)}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin{\theta}\)
রাঃ ২০১০; সিঃ২০০৫ ।

\(Q.3.(ii)\) \(\cos^6{\theta}+\sin^6{\theta}=1-\frac{3}{2}\sin^2{2\theta}=\frac{1}{4}(1+3\cos^2{2\theta})\)

\(Q.3.(iii)\) \(\sin{5\theta}=16\sin^5{\theta}-20\sin^3{\theta}+5\sin{\theta}\)

\(Q.3.(iv)\) \(\cos{5\theta}=16\cos^5{\theta}-20\cos^3{\theta}+5\cos{\theta}\)
রাঃ ২০১১ ।

\(Q.3.(v)\) \(\cos^2{(A-120^{o})}+\cos^2{A}+\cos^2{(A+120^{o})}=\frac{3}{2}\)
ঢাঃ ২০০৩; দিঃ২০১৩; কুঃ২০০৭; যঃ২০১৫,২০০৮।

\(Q.3.(vi)\) \(\sin^3{x}+\sin^3{(120^{o}+x)}+\sin^3{(240^{o}+x)}=-\frac{3}{4}\sin{3x}\)
সিঃ ২০১০,২০০৪; রাঃ২০০৬; চঃ২০০৭; বঃ২০১৪; রুয়েটঃ২০১১-২০১২।

\(Q.3.(vii)\) \(\cos^3{x}+\cos^3{(60^{o}-x)}+\cos^3{(60^{o}+x)}=\frac{1}{4}(6\cos{x}-\cos{3x})\)

প্রমাণ করঃ
\(Q.3.(viii)\) \(\cos^3{x}+\cos^3{(120^{o}+x)}+\cos^3{(240^{o}+x)}=\frac{3}{4}\cos{3x}\)

\(Q.3.(ix)\) \(\sin^4{x}+\cos^4{x}=1-\frac{1}{2}\sin^2{2x}\)

\(Q.3.(x)\) \(\cos^4{\theta}-\sin^4{\theta}=\cos{2\theta}\)

\(Q.3.(xi)\) \(\cos^4{x}=\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos{2x}+\frac{1}{8}\cos{4x}\)

\(Q.3.(xii)\) \(\cos^3{A}\cos{3A}+\sin^3{A}\sin{3A}=\cos^3{2A}\)

\(Q.3.(xiii)\) \(4\cos^3{x}\sin{3x}+4\sin^3{x}\cos{3x}=3\sin{4x}\)

\(Q.3.(xiv)\) \(\cos^4{\frac{\pi}{8}}+\cos^4{\frac{3\pi}{8}}+\cos^4{\frac{5\pi}{8}}+\cos^4{\frac{7\pi}{8}}=\frac{3}{2}\)

\(Q.3.(xv)\) \(\sin^8{\theta}+\cos^8{\theta}=1-\sin^2{2\theta}+\frac{1}{8}\sin^4{2\theta}\)

\(Q.3.(xvi)\) \(\sin{32\theta}=2^5\sin{\theta}\cos{\theta}\cos{2\theta}\cos{2^2\theta}\cos{2^3\theta}\cos{2^4\theta}\)

অধ্যায় \(7D\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(Q.4.(i)\) যদি \(\cos{\theta}=\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে,
\((a) \ \cos{2\theta}=\frac{1}{2}\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\)
\((b) \ \cos{3\theta}=\frac{1}{2}\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)\)
\((c) \ \cos{4\theta}=\frac{1}{2}\left(x^4+\frac{1}{x^4}\right)\)
রুয়েটঃ২০১২-২০১৩।

\(Q.4.(ii)\) যদি \(\tan{\theta}=\frac{1}{3}\) এবং \(\tan{\phi}=\frac{1}{7}\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\sin{4\theta}=\cos{2\phi}\)

\(Q.4.(iii)\) যদি \(\tan^2{\theta}=1+2\tan^2{\phi}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\cos{2\phi}=1+2\cos{2\theta}\)

\(Q.4.(iv)\) যদি \(2\tan{\alpha}=3\tan{\beta}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\tan{(\alpha-\beta)}=\frac{\sin{2\beta}}{5-\cos{2\beta}}\)

\(Q.4.(v)\) যদি \(\tan{\alpha}=2\tan{\beta}\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\tan{(\alpha+\beta)}=\frac{3\sin{2\alpha}}{1+3\cos{2\alpha}}\)

\(Q.4.(vi)\) দেখাও যে, \(\tan{\theta}+2\tan{2\theta}+4\tan{4\theta}+8\cot{8\theta}=\cot{\theta}\)
সিঃ২০০৮ ।

\(Q.4.(vii)\) প্রমাণ কর যে, \((2\cos{\theta}-1)(2\cos{2\theta}-1)(2\cos{2^2\theta}-1)..\)\(...(2\cos{2^{n-1}\theta}-1)=\frac{2\cos{2^n\theta}+1}{2\cos{\theta}+1}\)

\(Q.4.(viii)\) প্রমাণ কর যে, \(\frac{\cos{(45^{o}+A)}}{\cos{(45^{o}-A)}}=\sec{2A}-\tan{2A}\)

\(Q.4.(ix)\) যদি \(\alpha\) ও \(\beta\) কোণদ্বয় ধনাত্মক ও সূক্ষ্ণ এবং \(\cos{2\alpha}=\frac{3\cos{2\beta}-1}{3-\cos{2\beta}}\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\tan{\alpha}=\sqrt{2}\tan{\beta}\)

\(Q.4.(x)\) \(\tan{\theta}=\frac{\tan{x}+\tan{y}}{1+\tan{x}\tan{y}}\) হলে দেখাও যে, \(\sin{2\theta}=\frac{\sin{2x}+\sin{2y}}{1+\sin{2x}\sin{2y}}\)

\(Q.4.(xi)\) \(\tan{\beta}=\frac{1}{3}\) হলে , \(\sin{2\beta}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{3}{5}\)
যঃ২০১৭।

\(Q.4.(xii)\) \(\cot{x}=\frac{1}{9}\) হলে , \(\sec{2x}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\frac{41}{40}\)
রাঃ২০১৭।

\(Q.4.(xiii)\) \(\cot{\theta}=2\) হলে , \(10\sin{2\theta}-6\tan{2\theta}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(0\)
বুয়েটঃ২০১১।

\(Q.4.(xiv)\) \(\theta=\cos^{-1}\frac{1}{3}\) হলে , \(\cos{3\theta}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-\frac{23}{27}\)
বঃ,দিঃ ২০১৯।

\(Q.4.(xv)\) \(\tan{\alpha}=\frac{1}{7}\) এবং \(\tan{\beta}=\frac{1}{3}\) হলে দেখাও যে, \(\cos{2\alpha}=\sin{4\beta}\)

\(Q.4.(xvi)\) \(\tan{\theta}=\frac{a}{b}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(\sin{4\theta}=\frac{4ab(b^2-a^2)}{(b^2+a^2)^2}\)

\(Q.4.(xvii)\) \(\angle{E}+\angle{F}=65^{o}, \ \angle{F}-\angle{E}=25^{o}\) হলে দেখাও যে, \(\tan{\angle{E}}\tan{2\angle{E}}\tan{3\angle{E}}\tan{4\angle{E}}=3\)
যঃ ২০১৭।

\(Q.4.(xviii)\) \(A=20^{o}, \ B=2A, \ C=3A, \ D=4A\) হলে দেখাও যে, \(\tan{A}\tan{B}\tan{C}\tan{D}=3\)
রাঃ ২০১৯।

\(Q.4.(xix)\) \(\cos{\alpha}+\cos{\beta}+\cos{\gamma}=0\) হলে দেখাও যে, \(\cos{3\alpha}+\cos{3\beta}+\cos{3\gamma}=12\cos{\alpha}\cos{\beta}\cos{\gamma}\)

\(Q.4.(xx)\) \(cosec \ {2A}+cosec \ {2B}+cosec \ {2C}=0\) হয় তবে প্রমাণ কর যে, \(\tan{A}+\tan{B}+\tan{C}+\cot{A}+\cot{B}+\cot{C}=0\)

\(Q.4.(xxi)\) \(\tan{\theta}\tan{\phi}=\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\) হলে প্রমাণ কর যে, \((a-b\cos{2\theta})(a-b\cos{2\phi})=a^2-b^2\)
বুটেক্সঃ ২০০৮-২০০৯।

\(Q.4.(xxii)\) যদি \(\tan{\beta}=\frac{\sin{2\alpha}}{5+\cos{2\alpha}}\) হয়, তবে দেখাও যে, \(3\tan{(\alpha-\beta)}=2\tan{\alpha}\)

\(Q.4.(xxiii)\) \(\cos{A}+\cos{B}+\cos{C}=0\) হলে দেখাও যে, \(\cos{3A}+\cos{3B}+\cos{3C}=12\cos{A}\cos{B}\cos{C}\)

\(Q.4.(xxiv)\) যদি \(a\cos{\alpha}+b\sin{\alpha}=a\cos{\beta}+b\sin{\beta}\) হয় তবে প্রমাণ কর যে, \(\cos{(\alpha+\beta)}=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\)

\(Q.4.(xxv)\) যদি \(\sin{\theta}+\sin{\phi}=a\) এবং \(\cos{\theta}+\cos{\phi}=b\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\tan{\left(\frac{\theta-\phi}{2}\right)}=\pm\sqrt{\frac{4-a^2-b^2}{a^2+b^2}}\)

\(Q.4.(xxvi)\) যদি \(\sin{x}+\sin{y}=a\) এবং \(\cos{x}+\cos{y}=b\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\sin{\frac{(x-y)}{2}}=\pm\frac{1}{2}\sqrt{4-a^2-b^2}\)

\(Q.4.(xxvii)\) \(x=\sin{\frac{\pi}{18}}\) হলে দেখাও যে, \(8x^4+4x^3-6x^2-2x+\frac{1}{2}=0\)

\(Q.4.(xxviii)\) \(\tan{\theta}=\frac{y}{x}\) হলে দেখাও যে, \(x\cos{2\theta}+y\sin{2\theta}=x\)

\(Q.4.(xxix)\) প্রমাণ কর যে, \(\frac{\tan{2^n\theta}}{\tan{\theta}}=(1+\sec{2\theta})(1+\sec{2^2\theta})(1+\sec{2^3\theta})...(1+\sec{2^n\theta})\)

\(Q.4.(xxx)\) \(13\theta=\pi\) হলে দেখাও যে, \(\cos{\theta}\cos{2\theta}\cos{3\theta}\cos{4\theta}\cos{5\theta}\cos{6\theta}=\frac{1}{2^6}\)

\(Q.4.(xxxi)\) \(\theta=\frac{\pi}{2^n+1}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(2^n\cos{\theta}\cos{2\theta}\cos{2^2\theta}....\cos{2^{n-1}\theta}=1\)

\(Q.4.(xxxii)\) যদি \((A+B)\ne{0}\) এবং \(\sin{A}+\sin{B}=2\sin{(A+B)}\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\tan{\frac{A}{2}}\tan{\frac{B}{2}}=\frac{1}{3}\)

\(Q.4.(xxxiii)\) যদি \(\sin{x}+\sin{y}=a\) এবং \(\cos{x}+\cos{y}=b\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\cos{\frac{1}{2}(x-y)}=\pm\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}\)

\(Q.4.(xxxiv)\) \(a\sin{x}+b\sin{y}=c=a\cos{x}+b\cos{y}\) হলে দেখাও যে, \(\cos{\frac{1}{2}(x-y)}=\pm\sqrt{\frac{2c^2-(a-b)^2}{4ab}}\)

গুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত \(\sin{2A}=2\sin{A}\cos{A}\)\(1+\sin{2A}=(\sin{A}+\cos{A})^2\)\(1-\sin{2A}=(\sin{A}-\cos{A})^2\)\(\sin{2A}=\frac{2\tan{A}}{1+\tan^2{A}}\)\(\cos{2A}=\cos^2{A}-\sin^2{A}\)\(\cos{2A}=2\cos^2{A}-1\)\(\cos{2A}=1-2\sin^2{A}\)\(1+\cos{2A}=2\cos^2{A}\)\(1-\cos{2A}=2\sin^2{A}\)\(\cos{2A}=\frac{1-\tan^2{A}}{1+\tan^2{A}}\)\(\frac{1-\cos{2A}}{1+\cos{2A}}=\tan^2{A}\)\(\tan{2A}=\frac{2\tan{A}}{1-\tan^2{A}}\) \(\cot{2A}=\frac{\cot^2{A}-1}{2\cot{A}}\) \(\sin{3A}=3\sin{A}-4\sin^3{A}\)\(\cos{3A}=4\cos^3{A}-3\cos{A}\) \(\tan{3A}=\frac{3\tan{A}-\tan^3{A}}{1-3\tan^2{A}}\)\(\cot{3A}=\frac{\cot^3{A}-3\cot{A}}{3\cot^2{A}-1}\)\(\cot{A}-\tan{A}=2\cot{2A}\) অধ্যায় \(7D\)-এর উদাহরণসমুহ অধ্যায় \(7D\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ অধ্যায় \(7D\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ অধ্যায় \(7D\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ অধ্যায় \(7D\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ

Please leave your question below

2 Question(s)
imonhaider
October 28, 2019, 1:15 pm
\[\frac{d}{dx}(e^{x^2})=?\]
Reply
Tanmoy
October 28, 2019, 12:53 pm
\[\int{\frac{dx}{1+x^2}}=? \]
Reply

Post List

MATH. LIST
Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
Trigonometry 11 and 12 standard
Statistics 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard
Vector 11 and 12 standard
Vector Honours course standard