ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি
Trigonometric Identities
barcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
অভেদ
Identity
সমান চিহ্নের উভয় পার্শে সমান ঘাতবিশিষ্ট দুইটি বহুপদী সম্বলিত সমীকরণকে অভেদ বলে। অভেদ চলকের সর্বোচ্চ ঘাতের সংখ্যার চেয়ে অধিক সংখ্যক মান তথা অসংখ্য মান দ্বারা সিদ্ধ হয়।
যেমনঃ
\((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\) \((x+1)^2=x^2+2x+1\) \( (a+b)(a-b)=a^2-b^2\) \((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)
ইত্যাদি।
ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি
Trigonometrical Identities
তিন বা ততোধিক কোণ পরস্পর সম্পর্কযুক্ত হলে ঐ কোণ সমূহের সরল গুণিতক বা উপ-গুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত সমূহের মধ্যে যে সম্পর্ক তার সাহায্যেই ত্রিকোনমিতিক অভেদাবলি প্রতিষ্ঠা করা হয়। তিনটি কোণের সমষ্টি \(180^{o}\) বা \(\pi\) হলে, সম্পূরক বা পরিপূরক কোণের ধর্ম ব্যবহার করতে হয়।
যেমনঃ \(A+B+C=\pi\) হলে,
\(\Rightarrow A+B=\pi-C\)
\(\therefore \sin{(A+B)}=\sin{C}\)
\(\sin{(A+B)}=\sin{C}\)
অনুরূপভাবে,
\(\cos{(A+B)}=-\cos{C}\) \(\tan{(A+B)}=-\tan{C}\) \(\cot{(A+B)}=-\cot{C}\) \(\cos{\frac{A+B}{2}}=\cos{\frac{C}{2}}\) \(\tan{\frac{A+B}{2}}=\tan{\frac{C}{2}}\) \(\cot{\frac{A+B}{2}}=\cot{\frac{C}{2}}\)
ইত্যাদি।
অধ্যায় \(7F\)-এর উদাহরণসমুহ
যদি \(A+B+C=\pi\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে,
উদাহরণ \(1.\) \(\tan{\frac{B}{2}}\tan{\frac{C}{2}}+\tan{\frac{C}{2}}\tan{\frac{A}{2}}+\tan{\frac{A}{2}}\tan{\frac{B}{2}}=1\)

উদাহরণ \(2.\) \(\sin{2A}-\sin{2B}+\sin{2C}=4\cos{A}\sin{B}\cos{C}\)

উদাহরণ \(3.\) \(\frac{\cos{A}}{\sin{B}\sin{C}}+\frac{\cos{B}}{\sin{C}\sin{A}}+\frac{\cos{C}}{\sin{A}\sin{B}}=2\)
চঃ২০১১।

উদাহরণ \(4.\) \(\tan{A}+\tan{B}+\tan{C}=\tan{A}\tan{B}\tan{C}\)

উদাহরণ \(5.\) \(\sin{A}+\sin{B}+\sin{C}=4\cos{\frac{A}{2}}\cos{\frac{B}{2}}\cos{\frac{C}{2}}\)

উদাহরণ \(6.\) \(\cos{A}+\cos{B}+\cos{C}=1+4\sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B}{2}}\sin{\frac{C}{2}}\)
ঢাঃ ২০১২; সিঃ ২০১৩; কুঃ, চঃ২০০৬; বঃ২০১২,২০১৬।

যদি \(A+B+C=\pi\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে,
উদাহরণ \(7.\) \(\cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C}+2\cos{A}\cos{B}\cos{C}=1\)
ঢাঃ ২০১৩,২০১১,২০০৭; যঃ২০০৭; রাঃ২০১৬,২০১৩; সিঃ ২০১৩; কুঃ২০১৫,২০০৪; চঃ২০১৩; দিঃ২০০৯।

যদি \(A+B+C=\frac{\pi}{2}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে,
উদাহরণ \(8.\) \(\cos^2{A}+\cos^2{B}-\cos^2{C}-2\cos{A}\cos{B}\sin{C}=0\)
ঢাঃ ২০০৯; যঃ২০১৫,২০১৩,২০১০; রাঃ২০০৬; সিঃ ২০১৫; কুঃ২০১১; চঃ২০০৯,২০০৫; দিঃ২০১৪।

যদি \(A+B+C=2\pi\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে,
উদাহরণ \(9.\) \(\cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C}-2\cos{A}\cos{B}\cos{C}=1\)

অধ্যায় \(7F\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
যদি \(A+B+C=\pi\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে,
\(Q.1.(i)\) \(\sin{2A}-\sin{2B}+\sin{2C}=4\cos{A}\sin{B}\cos{C}\)

\(Q.1.(ii)\) \(\sin{2A}+\sin{2B}+\sin{2C}=4\sin{A}\sin{B}\sin{C}\)
রাঃ২০০৮; রুয়েটঃ ২০০৯-২০১০।

\(Q.1.(iii)\) \(\cos{2A}+\cos{2B}+\cos{2C}+4\cos{A}\cos{B}\cos{C}=-1\)

\(Q.1.(iv)\) \(\sin{(B+C-A)}+\sin{(C+A-B)}+\sin{(A+B-C)}\)\(=4\sin{A}\sin{B}\sin{C}\)
চঃ২০০৪;বঃ ২০০৬।

\(Q.1.(v)\) \(\sin{A}+\sin{B}-\sin{C}=4\sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B}{2}}\cos{\frac{C}{2}}\)
যঃ ২০০৮।

\(Q.1.(vi)\) \(\cos{A}-\cos{B}+\cos{C}=4\cos{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B}{2}}\cos{\frac{C}{2}}-1\)

যদি \(A+B+C=\pi\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে,
\(Q.1.(vii)\) \(\cos{A}+\cos{B}-\cos{C}=4\cos{\frac{A}{2}}\cos{\frac{B}{2}}\sin{\frac{C}{2}}-1\)

\(Q.1.(viii)\) \(\sin{\frac{A}{2}}+\sin{\frac{B}{2}}+\sin{\frac{C}{2}}=1+4\sin{\frac{B+C}{4}}\sin{\frac{C+A}{4}}\sin{\frac{A+B}{4}}\)

\(Q.1.(ix)\) \(\cos{\frac{A}{2}}+\cos{\frac{B}{2}}+\cos{\frac{C}{2}}=4\cos{\frac{\pi-A}{4}}\cos{\frac{\pi-B}{4}}\cos{\frac{\pi-C}{4}}\)

\(Q.1.(x)\) \(\cos{2A}-\cos{2B}+\cos{2C}=1-4\sin{A}\cos{B}\sin{C}\)

\(Q.1.(xi)\) \(\cos{A}+\cos{B}-\cos{C}+1=4\cos{\frac{A}{2}}\cos{\frac{B}{2}}\sin{\frac{C}{2}}\)

\(Q.1.(xii)\) \(\sin{(B+2C)}+\sin{(C+2A)}+\sin{(A+2B)}\)\(=4\sin{\frac{B-C}{2}}\sin{\frac{C-A}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}}\)

\(Q.1.(xiii)\) \(\sin{A}\cos{B}\cos{C}+\sin{B}\cos{C}\cos{A}+\sin{C}\cos{A}\cos{B}\)\(=\sin{A}\sin{B}\sin{C}\)

অধ্যায় \(7F\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
যদি \(A+B+C=\pi\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে,
\(Q.2.(i)\) \(\cos^2{2A}+\cos^2{2B}+\cos^2{2C}=1+2\cos{2A}\cos{2B}\cos{2C}\)

\(Q.2.(ii)\) \(\sin^2{A}+\sin^2{B}+\sin^2{C}=2+2\cos{A}\cos{B}\cos{C}\)

\(Q.2.(iii)\) \(\sin^2{A}-\sin^2{B}+\sin^2{C}=2\sin{A}\cos{B}\sin{C}\)
চঃ ২০১৩; সিঃ২০০৭; রাঃ২০১১,২০০৫।

\(Q.2.(iv)\) \(\sin^2{\frac{A}{2}}+\sin^2{\frac{B}{2}}+\sin^2{\frac{C}{2}}=1-2\sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B}{2}}\sin{\frac{C}{2}}\)
যঃ ২০০৪; কুঃ২০১৬,২০০৯।

যদি \(A+B+C=\pi\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে,
\(Q.2.(v)\) \(\cos^2{A}+\cos^2{B}-\cos^2{C}=1-2\sin{A}\sin{B}\cos{C}\)
চঃ ২০১৫।

\(Q.2.(vi)\) \(\cos^2{\frac{A}{2}}+\cos^2{\frac{B}{2}}+\cos^2{\frac{C}{2}}=2+2\sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B}{2}}\sin{\frac{C}{2}}\)

\(Q.2.(vii)\) \(\cos^2{A}+\cos^2{B}+2\cos{A}\cos{B}\cos{C}=\sin^2{C}\)
ঢাঃ ২০১৩,২০১১,২০০৭; যঃ২০০৭; রাঃ২০১৬,২০১৩; সিঃ ২০১৩; কুঃ২০১৫,২০০৪; চঃ২০১৩; দিঃ২০০৯।

অধ্যায় \(7F\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
যদি \(A+B+C=\pi\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে,
\(Q.3.(i)\) \(\cot{B}\cot{C}+\cot{C}\cot{A}+\cot{A}\cot{B}=1\)
কুয়েটঃ ২০১০-২০১১; রুয়েটঃ২০১২-২০১৩,২০০৫-২০০৬।

\(Q.3.(ii)\) \(\tan{\frac{B}{2}}\tan{\frac{C}{2}}+\tan{\frac{C}{2}}\tan{\frac{A}{2}}+\tan{\frac{A}{2}}\tan{\frac{B}{2}}=1\)

\(Q.3.(iii)\) \(\frac{\cos{A}}{\sin{B}\sin{C}}+\frac{\cos{B}}{\sin{C}\sin{A}}+\frac{\cos{C}}{\sin{A}\sin{B}}=2\)
চঃ২০১১।

\(Q.3.(iv)\) \(\frac{\cot{B}+\cot{C}}{\tan{B}+\tan{C}}+\frac{\cot{C}+\cot{A}}{\tan{C}+\tan{A}}+\frac{\cot{A}+\cot{B}}{\tan{A}+\tan{B}}=1\)

যদি \(A+B+C=\pi\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে,
\(Q.3.(v)\) \(\tan{2A}+\tan{2B}+\tan{2C}=\tan{2A}\tan{2B}\tan{2C}\)

\(Q.3.(vi)\) \(\tan{3A}+\tan{3B}+\tan{3C}=\tan{3A}\tan{3B}\tan{3C}\)

\(Q.3.(vii)\) \(\cot{\frac{A}{2}}+\cot{\frac{B}{2}}+\cot{\frac{C}{2}}=\cot{\frac{A}{2}}\cot{\frac{B}{2}}\cot{\frac{C}{2}}\)

অধ্যায় \(7F\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
যদি \(A+B+C=\frac{\pi}{2}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(Q.4.(i)-Q.4.(iv)\)
\(Q.4.(i)\) \(\sin^2{A}+\sin^2{B}+\sin^2{C}+2\sin{A}\sin{B}\sin{C}=1\)
কুঃ২০১৪; দিঃ২০১২; যঃ২০১৬; মাঃ২০১২।

\(Q.4.(ii)\) \(\sin{A}+\sin{B}+\sin{C}=1+4\sin{\frac{\pi-2A}{4}}\sin{\frac{\pi-2B}{4}}\sin{\frac{\pi-2C}{4}}\)
কুঃ২০১৪; দিঃ২০১২; যঃ২০১৬; মাঃ২০১২।

\(Q.4.(iii)\) \(\tan{B}\tan{C}+\tan{C}\tan{A}+\tan{A}\tan{B}=1\)

\(Q.4.(iv)\) \(\cot{A}+\cot{B}+\cot{C}=\cot{A}\cot{B}\cot{C}\)

\(Q.4.(v)\) যদি \(A+B=C\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C}=1+2\cos{A}\cos{B}\cos{C}\)
ঢাঃ২০১৯।

\(Q.4.(vi)\) যদি \(A+B+C=0\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\cos{A}+\cos{B}+\cos{C}=4\cos{\frac{A}{2}}\cos{\frac{B}{2}}\cos{\frac{C}{2}}-1\)
রাঃ২০১৯; কুঃ২০০৩।

\(Q.4.(vii)\) প্রমাণ কর যে, \(\cos^2{(\beta-\gamma)}+\cos^2{(\gamma-\alpha)}+\cos^2{(\alpha-\beta)}\)\(=1+2\cos{(\beta-\gamma)}\cos{(\gamma-\alpha)}\cos{(\alpha-\beta)}\)

\(Q.4.(viii)\) যদি \(x+y+z=xyz\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\frac{2x}{1-x^2}+\frac{2y}{1-y^2}+\frac{2z}{1-z^2}=\frac{2x}{1-x^2}.\frac{2y}{1-y^2}.\frac{2z}{1-z^2}\)

\(Q.4.(ix)\) যদি \(yz+zx+xy=1\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\frac{(x^2-1)(y^2-1)}{xy}+\frac{(y^2-1)(z^2-1)}{yz}+\frac{(z^2-1)(x^2-1)}{zx}=4\)

\(Q.4.(x)\) যদি \(A+B+C=n\pi\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\tan{A}+\tan{B}+\tan{C}=\tan{A}\tan{B}\tan{C}. \ \text{যখন,} \ n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.4.(xi)\) যদি \(A+B+C=(2n+1)\frac{\pi}{2}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\tan{B}\tan{C}+\tan{C}\tan{A}+\tan{A}\tan{B}=1. \ \text{যখন,} \ n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.4.(xii)\) \(p=\sin{2\alpha}, \ q=\sin{2\beta}, \ t=\sin{2\gamma}\) এবং \(\alpha+\beta+\gamma=\pi\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(p^2+q^2+t^2=2-2\cos{2\alpha}\cos{2\beta}\cos{2\gamma}\)
ঢাঃ,দিঃ,সিঃ,যঃ ২০১৮।

\(Q.4.(xiii)\) যদি \(\alpha+\beta+\gamma=0\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\cos{\alpha}+\cos{\beta}-\cos{\gamma}=4\sin{\frac{\alpha}{2}}\sin{\frac{\beta}{2}}\cos{\frac{\gamma}{2}}+1\)
রাঃ২০১৯; ।

\(Q.4.(xiv)\) \(A+B+C=\pi\) এবং \(\sin^2{A}+\sin^2{B}+\sin^2{C}=\sin{B}\sin{C}+\sin{C}\sin{A}+\sin{A}\sin{B}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(A=B=C\)

\(Q.4.(xv)\) যদি \(\tan{A}+\tan{B}+\tan{C}=\tan{A}\tan{B}\tan{C}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(A+B+C=n\pi. \ \text{যখন,} \ n\in{\mathbb{Z}}\)

\(Q.4.(xvi)\) যদি \(A+B+C=\pi\) এবং \(\cot{A}+\cot{B}+\cot{C}=\sqrt{3}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(A=B=C\)
বুটেক্সঃ২০০৪-২০০৫; বঃ২০০৭ ।

\(Q.4.(xvii)\) যদি \(A+B+C=(2n+1)\frac{\pi}{2}\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\sin{2A}+\sin{2B}+\sin{2C}=\pm4\cos{A}\cos{B}\cos{C}\)

\(Q.4.(xviii)\) \(\cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C}+2\cos{A}\cos{B}\cos{C}=1\) হলে দেখাও যে, \(A\pm{B}\pm{C}=(2n+1)\pi\) যেখানে, \(n\) যে কোনো অখন্ড সংখ্যা।

\(Q.4.(xix)\) যদি \(x+y+z=xyz\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\frac{3x-x^3}{1-3x^2}+\frac{3y-y^3}{1-3y^2}+\frac{3z-z^3}{1-3z^2}=\frac{3x-x^3}{1-3x^2}.\frac{3y-y^3}{1-3y^2}.\frac{3z-z^3}{1-3z^2}\)

\(Q.4.(xx)\) যে কোনো ত্রিভুজ \(ABC\)- এ \(\sin^2{A}+\sin^2{B}+\sin^2{C}=\sin{B}\sin{C}+\sin{C}\sin{A}+\sin{A}\sin{B}\) হলে, দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমবাহু।

\(Q.4.(xxi)\) \(A+B+C=\pi, \ B=\frac{\pi}{2}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(\sin^2{A}-\sin^2{B}+\sin^2{C}=0\)

\(Q.4.(xxii)\) যদি \(\alpha+\beta+\gamma=0\) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\sin{2\alpha}+\sin{2\beta}+\sin{2\gamma}=\)\(2(\sin{\alpha}+\sin{\beta}+\sin{\gamma})(1+\cos{\alpha}+\cos{\beta}+\cos{\gamma})\)

\(Q.4.(xxiii)\) যদি \(A+B+C=\frac{n\pi}{2}\) এবং \(n\) বিজোড় সংখ্যা হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(\tan{B}\tan{C}+\tan{C}\tan{A}+\tan{A}\tan{B}=1\)

Post List

Multiple Choise

Mathematics
Geometry 11 and 12 standard
    Coming Soon !
Algebra 11 and 12 standard
Trigonometry 11 and 12 standard
Statistics 11 and 12 standard
    Coming Soon !
Calculus 11 and 12 standard
    Coming Soon !
Geometry Honours course standard
    Coming Soon !
Vector 11 and 12 standard
    Coming Soon !
Vector Honours course standard
    Coming Soon !
Algebra 9 and 10 standard
    Coming Soon !