দেওয়া আছে,
\(A+B+C=\pi\)
\(\Rightarrow A+B=\pi-C\)
\(\Rightarrow \frac{A}{2}+\frac{B}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}\) ➜Note উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে,

\(\Rightarrow \tan{\left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right)}=\tan{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{C}{2}\right)}\) ➜Note উভয় পার্শে ট্যানজেন্ট অনুপাত নিয়ে,

\(\Rightarrow \tan{\left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right)}=\cot{\frac{C}{2}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোট্যানজেন্ট হয়েছে।

\(\Rightarrow \frac{\tan{\frac{A}{2}}+\tan{\frac{B}{2}}}{1-\tan{\frac{A}{2}}\tan{\frac{B}{2}}}=\frac{1}{\tan{\frac{C}{2}}}\) ➜Note \(\because \tan{(A+B)}=\frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}\)
এবং \(\cot{A}=\frac{1}{\tan{A}}\)

\(\Rightarrow \tan{\frac{C}{2}}\tan{\frac{A}{2}}+\tan{\frac{B}{2}}\tan{\frac{C}{2}}=1-\tan{\frac{A}{2}}\tan{\frac{B}{2}}\) ➜Note আড় গুণ করে,

\(\therefore \tan{\frac{B}{2}}\tan{\frac{C}{2}}+\tan{\frac{C}{2}}\tan{\frac{A}{2}}+\tan{\frac{A}{2}}\tan{\frac{B}{2}}=1\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B+C=\pi\)
\(\Rightarrow A+B=\pi-C, \ C=\pi-(A+B)\)
\(L.S=\sin{2A}-\sin{2B}+\sin{2C}\)
\(=2\cos{\frac{2A+2B}{2}}\sin{\frac{2A-2B}{2}}+\sin{2C}\) ➜Note \(\because \sin{C}-\sin{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)

\(=2\cos{\frac{2(A+B)}{2}}\sin{\frac{2(A-B)}{2}}+\sin{2C}\)
\(=2\cos{(A+B)}\sin{(A-B)}+\sin{2C}\)
\(=2\cos{(\pi-C)}\sin{(A-B)}+\sin{2C}\) ➜Note \(\because A+B=\pi-C\)

\(=2\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times2-C\right)}\sin{(A-B)}+\sin{2C}\)
\(=-2\cos{C}\sin{(A-B)}+2\sin{C}\cos{C}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।
এবং \(\sin{2A}=2\sin{A}\cos{A}\)

\(=2\cos{C}\{\sin{C}-\sin{(A-B)}\}\)
\(=2\cos{C}[\sin{\{\pi-(A+B)\}}-\sin{(A-B)}]\) ➜Note \(\because C=\pi-(A+B)\)

\(=2\cos{C}\left[\sin{\left\{\frac{\pi}{2}\times2-(A+B)\right\}}-\sin{(A-B)}\right]\)
\(=2\cos{C}\left[\sin{(A+B)}-\sin{(A-B)}\right]\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=2\cos{C}\times2\cos{A}\sin{B}\) ➜Note \(\because \sin{(A+B)}-\sin{(A-B)}=2\cos{A}\sin{B}\)

\(=4\cos{A}\sin{B}\cos{C}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B+C=\pi\)
\(\Rightarrow A+B=\pi-C, \ C=\pi-(A+B)\)
\(L.S=\frac{\cos{A}}{\sin{B}\sin{C}}+\frac{\cos{B}}{\sin{C}\sin{A}}+\frac{\cos{C}}{\sin{A}\sin{B}}\)
\(=\frac{\sin{A}\cos{A}+\sin{B}\cos{B}+\sin{C}\cos{C}}{\sin{A}\sin{B}\sin{C}}\)
\(=\frac{2\sin{A}\cos{A}+2\sin{B}\cos{B}+2\sin{C}\cos{C}}{2\sin{A}\sin{B}\sin{C}}\) ➜Note লব ও হরকে \(2\) দ্বারা গুণ করে,

\(=\frac{\sin{2A}+\sin{2B}+2\sin{C}\cos{C}}{2\sin{A}\sin{B}\sin{C}}\) ➜Note \(2\sin{P}\cos{P}=\sin{2P}\)

\(=\frac{2\sin{\frac{2A+2B}{2}}\cos{\frac{2A-2B}{2}}+2\sin{C}\cos{C}}{2\sin{A}\sin{B}\sin{C}}\) ➜Note \(\because \sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(=\frac{2\sin{\frac{2(A+B)}{2}}\cos{\frac{2(A-B)}{2}}+2\sin{C}\cos{C}}{2\sin{A}\sin{B}\sin{C}}\)
\(=\frac{2\sin{(A+B)}\cos{(A-B)}+2\sin{C}\cos{C}}{2\sin{A}\sin{B}\sin{C}}\)
\(=\frac{2\sin{(\pi-C)}\cos{(A-B)}+2\sin{C}\cos{C}}{2\sin{A}\sin{B}\sin{C}}\) ➜Note \(\because A+B=\pi-C\)

\(=\frac{2\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times2-C\right)}\cos{(A-B)}+2\sin{C}\cos{C}}{2\sin{A}\sin{B}\sin{C}}\)
\(=\frac{2\sin{C}\cos{(A-B)}+2\sin{C}\cos{C}}{2\sin{A}\sin{B}\sin{C}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=\frac{2\sin{C}\{\cos{(A-B)}+\cos{C}\}}{2\sin{A}\sin{B}\sin{C}}\)
\(=\frac{\cos{(A-B)}+\cos{C}}{\sin{A}\sin{B}}\)
\(=\frac{\cos{(A-B)}+\cos{\{\pi-(A+B)\}}}{\sin{A}\sin{B}}\) ➜Note \(\because C=\pi-(A+B)\)

\(=\frac{\cos{(A-B)}+\cos{\left\{\frac{\pi}{2}\times2-(A+B)\right\}}}{\sin{A}\sin{B}}\)
\(=\frac{\cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}}{\sin{A}\sin{B}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=\frac{2\sin{A}\sin{B}}{\sin{A}\sin{B}}\) ➜Note \(\because \cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}=2\sin{A}\sin{B}\)

\(=2\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B+C=\pi\)
\(\Rightarrow A+B=\pi-C\)
\(\Rightarrow \tan{(A+B)}=\tan{(\pi-C)}\) ➜Note উভয় পার্শে ট্যানজেন্ট অনুপাত নিয়ে,

\(\Rightarrow \tan{(A+B)}=\tan{\left(\frac{\pi}{2}\times2-C\right)}\)
\(\Rightarrow \tan{(A+B)}=-\tan{C}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(\Rightarrow \frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}=-\tan{C}\) ➜Note \(\because \tan{(A+B)}=\frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}\)

\(\Rightarrow \tan{A}+\tan{B}=-\tan{C}+\tan{A}\tan{B}\tan{C}\) ➜Note আড় গুণ করে,

\(\therefore \tan{A}+\tan{B}+\tan{C}=\tan{A}\tan{B}\tan{C}\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B+C=\pi\)
\(\Rightarrow A+B=\pi-C, \ C=\pi-(A+B)\)
\(L.S=\sin{A}+\sin{B}+\sin{C}\)
\(=2\sin{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}+\sin{C}\) ➜Note \(\because \sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(=2\sin{\frac{\pi-C}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}+\sin{C}\) ➜Note \(\because A+B=\pi-C\)

\(=2\sin{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}\right)}\cos{\frac{A-B}{2}}+\sin{C}\)
\(=2\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{C}{2}\right)}\cos{\frac{A-B}{2}}+\sin{C}\)
\(=2\cos{\frac{C}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}+2\sin{\frac{C}{2}}\cos{\frac{C}{2}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।
এবং \(\sin{A}=2\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}\)

\(=2\cos{\frac{C}{2}}\left(\cos{\frac{A-B}{2}}+\sin{\frac{C}{2}}\right)\)
\(=2\cos{\frac{C}{2}}\left\{\cos{\frac{A-B}{2}}+\sin{\frac{\pi-(A+B)}{2}}\right\}\) ➜Note \(\because C=\pi-(A+B)\)

\(=2\cos{\frac{C}{2}}\left\{\cos{\frac{A-B}{2}}+\sin{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{A+B}{2}\right)}\right\}\)
\(=2\cos{\frac{C}{2}}\left\{\cos{\frac{A-B}{2}}+\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{A+B}{2}\right)}\right\}\)
\(=2\cos{\frac{C}{2}}\left\{\cos{\left(\frac{A-B}{2}\right)}+\cos{\left(\frac{A+B}{2}\right)}\right\}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।

\(=2\cos{\frac{C}{2}}\left\{\cos{\left(\frac{A}{2}-\frac{B}{2}\right)}+\cos{\left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right)}\right\}\)
\(=2\cos{\frac{C}{2}}\times2\cos{\frac{A}{2}}\cos{\frac{B}{2}}\) ➜Note \(\because \cos{(A-B)}+\cos{(A+B)}=2\cos{A}\cos{B}\)

\(=4\cos{\frac{A}{2}}\cos{\frac{B}{2}}\cos{\frac{C}{2}}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B+C=\pi\)
\(\Rightarrow A+B=\pi-C, \ C=\pi-(A+B)\)
\(L.S=\cos{A}+\cos{B}+\cos{C}\)
\(=2\cos{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}+\cos{C}\) ➜Note \(\because \cos{C}+\cos{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(=2\cos{\frac{\pi-C}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}+\cos{C}\) ➜Note \(\because A+B=\pi-C\)

\(=2\cos{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}\right)}\cos{\frac{A-B}{2}}+\cos{C}\)
\(=2\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{C}{2}\right)}\cos{\frac{A-B}{2}}+\cos{C}\)
\(=2\sin{\frac{C}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}+1-2\sin^2{\frac{C}{2}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।
এবং \(\cos{A}=1-2\sin^2{\frac{A}{2}}\)

\(=2\sin{\frac{C}{2}}\left(\cos{\frac{A-B}{2}}-\sin{\frac{C}{2}}\right)+1\)
\(=2\sin{\frac{C}{2}}\left\{\cos{\frac{A-B}{2}}-\sin{\frac{\pi-(A+B)}{2}}\right\}+1\) ➜Note \(\because C=\pi-(A+B)\)

\(=2\sin{\frac{C}{2}}\left\{\cos{\frac{A-B}{2}}-\sin{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{A+B}{2}\right)}\right\}+1\)
\(=2\sin{\frac{C}{2}}\left\{\cos{\frac{A-B}{2}}-\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{A+B}{2}\right)}\right\}+1\)
\(=2\sin{\frac{C}{2}}\left\{\cos{\left(\frac{A-B}{2}\right)}-\cos{\left(\frac{A+B}{2}\right)}\right\}+1\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।

\(=2\sin{\frac{C}{2}}\left\{\cos{\left(\frac{A}{2}-\frac{B}{2}\right)}-\cos{\left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right)}\right\}+1\)
\(=2\sin{\frac{C}{2}}\times2\sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B}{2}}+1\) ➜Note \(\because \cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}=2\sin{A}\sin{B}\)

\(=1+4\sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B}{2}}\sin{\frac{C}{2}}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B+C=\pi\)
\(\Rightarrow A+B=\pi-C, \ C=\pi-(A+B)\)
এখন \(\cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C}\)
\(=\frac{1}{2}(2\cos^2{A}+2\cos^2{B})+\cos^2{C}\)
\(=\frac{1}{2}(1+\cos{2A}+1+\cos{2B})+\cos^2{C}\) ➜Note \(\because 2\cos^2{P}=1+\cos{2P}\)

\(=\frac{1}{2}(2+\cos{2A}+\cos{2B})+\cos^2{C}\)
\(=\frac{1}{2}(2+2\cos{\frac{2A+2B}{2}}\cos{\frac{2A-2B}{2}})+\cos^2{C}\) ➜Note \(\because \cos{C}+\cos{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(=\frac{1}{2}\left\{2+2\cos{\frac{2(A+B)}{2}}\cos{\frac{2(A-B)}{2}}\right\}+\cos^2{C}\)
\(=1+\cos{(A+B)}\cos{(A-B)}+\cos^2{C}\)
\(=1+\cos{(\pi-C)}\cos{(A-B)}+\cos^2{C}\) ➜Note \(\because A+B=\pi-C\)

\(=1+\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times2-C\right)}\cos{(A-B)}+\cos^2{C}\)
\(=1-\cos{C}\cos{(A-B)}+\cos^2{C}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=1-\cos{C}\cos{(A-B)}+\cos^2{C}\)
\(=1-\cos{C}[\cos{(A-B)}-\cos{C}]\)
\(=1-\cos{C}[\cos{(A-B)}-\cos{\{\pi-(A+B)\}}]\) ➜Note \(\because C=\pi-(A+B)\)

\(=1-\cos{C}[\cos{(A-B)}-\cos{\left\{\frac{\pi}{2}\times2-(A+B)\right\}}]\)
\(=1-\cos{C}[\cos{(A-B)}+\cos{(A+B)}]\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=1-\cos{C}\times2\cos{A}\cos{B}\) ➜Note \(\because \cos{(A-B)}+\cos{(A+B)}=2\cos{A}\cos{B}\)

\(=1-2\cos{A}\cos{B}\cos{C}\)
\(\therefore \cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C}=1-2\cos{A}\cos{B}\cos{C}\)
\(\therefore \cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C}+2\cos{A}\cos{B}\cos{C}=1\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B+C=\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow A+B=\frac{\pi}{2}-C, \ C=\frac{\pi}{2}-(A+B)\)
এখন \(\cos^2{A}+\cos^2{B}-\cos^2{C}\)
\(=\frac{1}{2}(2\cos^2{A}+2\cos^2{B})-\cos^2{C}\)
\(=\frac{1}{2}(1+\cos{2A}+1+\cos{2B})-\cos^2{C}\) ➜Note \(\because 2\cos^2{P}=1+\cos{2P}\)

\(=\frac{1}{2}(2+\cos{2A}+\cos{2B})-\cos^2{C}\)
\(=\frac{1}{2}(2+2\cos{\frac{2A+2B}{2}}\cos{\frac{2A-2B}{2}})-\cos^2{C}\) ➜Note \(\because \cos{C}+\cos{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(=\frac{1}{2}\left\{2+2\cos{\frac{2(A+B)}{2}}\cos{\frac{2(A-B)}{2}}\right\}-\cos^2{C}\)
\(=1+\cos{(A+B)}\cos{(A-B)}-\cos^2{C}\)
\(=1+\cos{\left(\frac{\pi}{2}-C\right)}\cos{(A-B)}-\cos^2{C}\) ➜Note \(\because A+B=\frac{\pi}{2}-C\)

\(=\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times1-C\right)}\cos{(A-B)}+1-\cos^2{C}\)
\(=\sin{C}\cos{(A-B)}+\sin^2{C}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।
এবং \(1-\cos^2{C}=\sin^2{C}\)

\(=\sin{C}[\cos{(A-B)}+\sin{C}]\)
\(=\sin{C}[\cos{(A-B)}+\sin{\left\{\frac{\pi}{2}-(A+B)\right\}}]\) ➜Note \(\because C=\frac{\pi}{2}-(A+B)\)

\(=\sin{C}[\cos{(A-B)}+\sin{\left\{\frac{\pi}{2}\times1-(A+B)\right\}}]\)
\(=\sin{C}[\cos{(A-B)}+\cos{(A+B)}]\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।

\(=\sin{C}\times2\cos{A}\cos{B}\) ➜Note \(\because \cos{(A-B)}+\cos{(A+B)}=2\cos{A}\cos{B}\)

\(=2\cos{A}\cos{B}\sin{C}\)
\(\therefore \cos^2{A}+\cos^2{B}-\cos^2{C}=2\cos{A}\cos{B}\sin{C}\)
\(\therefore \cos^2{A}+\cos^2{B}-\cos^2{C}-2\cos{A}\cos{B}\cos{C}=0\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B+C=2\pi\)
\(\Rightarrow A+B=2\pi-C, \ C=2\pi-(A+B)\)
এখন \(\cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C}\)
\(=\frac{1}{2}(2\cos^2{A}+2\cos^2{B})+\cos^2{C}\)
\(=\frac{1}{2}(1+\cos{2A}+1+\cos{2B})+\cos^2{C}\) ➜Note \(\because 2\cos^2{P}=1+\cos{2P}\)

\(=\frac{1}{2}(2+\cos{2A}+\cos{2B})+\cos^2{C}\) ➜Note \(\because 2\cos^2{P}=1+\cos{2P}\)

\(=\frac{1}{2}(2+2\cos{\frac{2A+2B}{2}}\cos{\frac{2A-2B}{2}})+\cos^2{C}\) ➜Note \(\because \cos{C}+\cos{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(=\frac{1}{2}\left\{2+2\cos{\frac{2(A+B)}{2}}\cos{\frac{2(A-B)}{2}}\right\}+\cos^2{C}\)
\(=1+\cos{(A+B)}\cos{(A-B)}+\cos^2{C}\)
\(=1+\cos{(2\pi-C)}\cos{(A-B)}+\cos^2{C}\) ➜Note \(\because A+B=2\pi-C\)

\(=1+\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times4-C\right)}\cos{(A-B)}+\cos^2{C}\)
\(=1+\cos{C}\cos{(A-B)}+\cos^2{C}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(4\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=1+\cos{C}\cos{(A-B)}+\cos^2{C}\)
\(=1+\cos{C}[\cos{(A-B)}+\cos{C}]\)
\(=1+\cos{C}[\cos{(A-B)}+\cos{\{2\pi-(A+B)\}}]\) ➜Note \(\because C=2\pi-(A+B)\)

\(=1+\cos{C}[\cos{(A-B)}+\cos{\left\{\frac{\pi}{2}\times4-(A+B)\right\}}]\)
\(=1+\cos{C}[\cos{(A-B)}+\cos{(A+B)}]\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(4\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=1+\cos{C}\times2\cos{A}\cos{B}\) ➜Note \(\because \cos{(A-B)}+\cos{(A+B)}=2\cos{A}\cos{B}\)

\(=1+2\cos{A}\cos{B}\cos{C}\)
\(\therefore \cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C}=1+2\cos{A}\cos{B}\cos{C}\)
\(\therefore \cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C}-2\cos{A}\cos{B}\cos{C}=1\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B+C=\pi\)
\(\Rightarrow A+B=\pi-C, \ C=\pi-(A+B)\)
\(L.S=\sin{2A}-\sin{2B}+\sin{2C}\)
\(=2\cos{\frac{2A+2B}{2}}\sin{\frac{2A-2B}{2}}+\sin{2C}\) ➜Note \(\because \sin{C}-\sin{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)

\(=2\cos{\frac{2(A+B)}{2}}\sin{\frac{2(A-B)}{2}}+\sin{2C}\)
\(=2\cos{(A+B)}\sin{(A-B)}+\sin{2C}\)
\(=2\cos{(\pi-C)}\sin{(A-B)}+\sin{2C}\) ➜Note \(\because A+B=\pi-C\)

\(=2\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times2-C\right)}\sin{(A-B)}+\sin{2C}\)
\(=-2\cos{C}\sin{(A-B)}+2\sin{C}\cos{C}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।
এবং \(\sin{2A}=2\sin{A}\cos{A}\)

\(=2\cos{C}\{\sin{C}-\sin{(A-B)}\}\)
\(=2\cos{C}[\sin{\{\pi-(A+B)\}}-\sin{(A-B)}]\) ➜Note \(\because C=\pi-(A+B)\)

\(=2\cos{C}\left[\sin{\left\{\frac{\pi}{2}\times2-(A+B)\right\}}-\sin{(A-B)}\right]\)
\(=2\cos{C}\left[\sin{(A+B)}-\sin{(A-B)}\right]\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=2\cos{C}\times2\cos{A}\sin{B}\) ➜Note \(\because \sin{(A+B)}-\sin{(A-B)}=2\cos{A}\sin{B}\)

\(=4\cos{A}\sin{B}\cos{C}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B+C=\pi\)
\(\Rightarrow A+B=\pi-C, \ C=\pi-(A+B)\)
\(L.S=\sin{2A}+\sin{2B}+\sin{2C}\)
\(=2\cos{\frac{2A+2B}{2}}\sin{\frac{2A-2B}{2}}+\sin{2C}\) ➜Note \(\because \sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(=2\sin{\frac{2(A+B)}{2}}\cos{\frac{2(A-B)}{2}}+\sin{2C}\)
\(=2\sin{(A+B)}\cos{(A-B)}+\sin{2C}\)
\(=2\sin{(\pi-C)}\cos{(A-B)}+\sin{2C}\) ➜Note \(\because A+B=\pi-C\)

\(=2\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times2-C\right)}\cos{(A-B)}+\sin{2C}\)
\(=2\sin{C}\cos{(A-B)}+2\sin{C}\cos{C}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।
এবং \(\sin{2A}=2\sin{A}\cos{A}\)

\(=2\sin{C}\{\cos{(A-B)}+\cos{C}\}\)
\(=2\sin{C}[\cos{(A-B)}+\cos{\{\pi-(A+B)\}}]\) ➜Note \(\because C=\pi-(A+B)\)

\(=2\sin{C}\left[\cos{(A-B)}+\cos{\left\{\frac{\pi}{2}\times2-(A+B)\right\}}\right]\)
\(=2\sin{C}\left[\cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}\right]\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=2\sin{C}\times2\sin{A}\sin{B}\) ➜Note \(\because \cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}=2\sin{A}\sin{B}\)

\(=4\sin{A}\sin{B}\sin{C}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B+C=\pi\)
\(\Rightarrow A+B=\pi-C, \ C=\pi-(A+B)\)
এখন, \(\cos{2A}+\cos{2B}+\cos{2C}\)
\(=2\cos{\frac{2A+2B}{2}}\cos{\frac{2A-2B}{2}}+\cos{2C}\) ➜Note \(\because \cos{C}+\cos{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(=2\cos{\frac{2(A+B)}{2}}\cos{\frac{2(A-B)}{2}}+\cos{2C}\)
\(=2\cos{(A+B)}\cos{(A-B)}+\cos{2C}\)
\(=2\cos{(\pi-C)}\cos{(A-B)}+\cos{2C}\) ➜Note \(\because A+B=\pi-C\)

\(=2\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times2-C\right)}\cos{(A-B)}+\cos{2C}\)
\(=-2\cos{C}\cos{(A-B)}+2\cos^2{C}-1\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।
এবং \(\cos{2A}=2\cos^2{A}-1\)

\(=-2\cos{C}[\cos{(A-B)}-\cos{C}]-1\)
\(=-2\cos{C}[\cos{(A-B)}-\cos{\{\pi-(A+B)\}}]-1\) ➜Note \(\because C=\pi-(A+B)\)

\(=-2\cos{C}\left[\cos{(A-B)}-\cos{\left\{\frac{\pi}{2}\times2-(A+B)\right\}}\right]-1\)
\(=-2\cos{C}\left[\cos{(A-B)}+\cos{(A+B)}\right]-1\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=-2\cos{C}\times2\cos{A}\cos{B}-1\) ➜Note \(\because \cos{(A-B)}+\cos{(A+B)}=2\cos{A}\cos{B}\)

\(=-4\cos{A}\cos{B}\cos{C}-1\)
\(\therefore \cos{2A}+\cos{2B}+\cos{2C}=-4\cos{A}\cos{B}\cos{C}-1\)
\(\therefore \cos{2A}+\cos{2B}+\cos{2C}+4\cos{A}\cos{B}\cos{C}=-1\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B+C=\pi\)
\(\Rightarrow A+B=\pi-C, \ C=\pi-(A+B)\)
\(L.S=\sin{(B+C-A)}+\sin{(C+A-B)}+\sin{(A+B-C)}\)
\(=\sin{(A+B+C-2A)}+\sin{(A+B+C-2B)}+\sin{(A+B+C-2C)}\)
\(=\sin{(\pi-2A)}+\sin{(\pi-2B)}+\sin{(\pi-2C)}\) ➜Note \(\because A+B+C=\pi\)

\(=\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times2-2A\right)}+\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times2-2B\right)}+\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times2-2C\right)}\)
\(=\sin{2A}+\sin{2B}+\sin{2C}\) ➜Note
\(\because\) প্রতিটি পদে কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=2\cos{\frac{2A+2B}{2}}\sin{\frac{2A-2B}{2}}+\sin{2C}\) ➜Note \(\because \sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(=2\sin{\frac{2(A+B)}{2}}\cos{\frac{2(A-B)}{2}}+\sin{2C}\)
\(=2\sin{(A+B)}\cos{(A-B)}+\sin{2C}\)
\(=2\sin{(\pi-C)}\cos{(A-B)}+\sin{2C}\) ➜Note \(\because A+B=\pi-C\)

\(=2\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times2-C\right)}\cos{(A-B)}+\sin{2C}\)
\(=2\sin{C}\cos{(A-B)}+2\sin{C}\cos{C}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।
এবং \(\sin{2A}=2\sin{A}\cos{A}\)

\(=2\sin{C}\{\cos{(A-B)}+\cos{C}\}\)
\(=2\sin{C}[\cos{(A-B)}+\cos{\{\pi-(A+B)\}}]\) ➜Note \(\because C=\pi-(A+B)\)

\(=2\sin{C}\left[\cos{(A-B)}+\cos{\left\{\frac{\pi}{2}\times2-(A+B)\right\}}\right]\)
\(=2\sin{C}\left[\cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}\right]\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=2\sin{C}\times2\sin{A}\sin{B}\) ➜Note \(\because \cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}=2\sin{A}\sin{B}\)

\(=4\sin{A}\sin{B}\sin{C}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B+C=\pi\)
\(\Rightarrow A+B=\pi-C, \ C=\pi-(A+B)\)
\(L.S=\sin{A}+\sin{B}-\sin{C}\)
\(=2\sin{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}-\sin{C}\) ➜Note \(\because \sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(=2\sin{\frac{\pi-C}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}-\sin{C}\) ➜Note \(\because A+B=\pi-C\)

\(=2\sin{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}\right)}\cos{\frac{A-B}{2}}-\sin{C}\)
\(=2\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{C}{2}\right)}\cos{\frac{A-B}{2}}-\sin{C}\)
\(=2\cos{\frac{C}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}-2\sin{\frac{C}{2}}\cos{\frac{C}{2}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।
এবং \(\sin{A}=2\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}\)

\(=2\cos{\frac{C}{2}}\left(\cos{\frac{A-B}{2}}-\sin{\frac{C}{2}}\right)\)
\(=2\cos{\frac{C}{2}}\left\{\cos{\frac{A-B}{2}}-\sin{\frac{\pi-(A+B)}{2}}\right\}\) ➜Note \(\because C=\pi-(A+B)\)

\(=2\cos{\frac{C}{2}}\left\{\cos{\frac{A-B}{2}}-\sin{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{A+B}{2}\right)}\right\}\)
\(=2\cos{\frac{C}{2}}\left\{\cos{\frac{A-B}{2}}-\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{A+B}{2}\right)}\right\}\)
\(=2\cos{\frac{C}{2}}\left\{\cos{\left(\frac{A-B}{2}\right)}-\cos{\left(\frac{A+B}{2}\right)}\right\}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।

\(=2\cos{\frac{C}{2}}\left\{\cos{\left(\frac{A}{2}-\frac{B}{2}\right)}-\cos{\left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right)}\right\}\)
\(=2\cos{\frac{C}{2}}\times2\sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B}{2}}\) ➜Note \(\because \cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}=2\sin{A}\sin{B}\)

\(=4\sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B}{2}}\cos{\frac{C}{2}}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B+C=\pi\)
\(\Rightarrow A+B=\pi-C, \ C=\pi-(A+B)\)
\(L.S=\cos{A}-\cos{B}+\cos{C}\)
\(=2\sin{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{B-A}{2}}+\cos{C}\) ➜Note \(\because \cos{D}-\cos{C}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)

\(=2\sin{\frac{\pi-C}{2}}\sin{\frac{B-A}{2}}+\cos{C}\) ➜Note \(\because A+B=\pi-C\)

\(=2\sin{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}\right)}\sin{\frac{B-A}{2}}+\cos{C}\)
\(=2\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{C}{2}\right)}\sin{\frac{B-A}{2}}+\cos{C}\)
\(=2\cos{\frac{C}{2}}\sin{\frac{B-A}{2}}+2\cos^2{\frac{C}{2}}-1\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।
এবং \(\cos{A}=2\cos^2{\frac{A}{2}}-1\)

\(=2\cos{\frac{C}{2}}\left(\sin{\frac{B-A}{2}}+\cos{\frac{C}{2}}\right)-1\)
\(=2\cos{\frac{C}{2}}\left\{\sin{\frac{B-A}{2}}+\cos{\frac{\pi-(A+B)}{2}}\right\}-1\) ➜Note \(\because C=\pi-(A+B)\)

\(=2\cos{\frac{C}{2}}\left\{\sin{\frac{B-A}{2}}+\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{A+B}{2}\right)}\right\}-1\)
\(=2\cos{\frac{C}{2}}\left\{\sin{\left(\frac{B-A}{2}\right)}+\sin{\left(\frac{A+B}{2}\right)}\right\}-1\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।

\(=2\cos{\frac{C}{2}}\left\{\sin{\left(\frac{B}{2}-\frac{A}{2}\right)}+\sin{\left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right)}\right\}-1\)
\(=2\cos{\frac{C}{2}}\left\{\sin{\left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right)}-\sin{\left(\frac{A}{2}-\frac{B}{2}\right)}\right\}-1\)
\(=2\cos{\frac{C}{2}}\times2\cos{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B}{2}}-1\) ➜Note \(\because \sin{(A-B)}-\sin{(A+B)}=2\cos{A}\sin{B}\)

\(=4\cos{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B}{2}}\cos{\frac{C}{2}}-1\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B+C=\pi\)
\(\Rightarrow A+B=\pi-C, \ C=\pi-(A+B)\)
\(L.S=\cos{A}+\cos{B}-\cos{C}\)
\(=2\cos{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}-\cos{C}\) ➜Note \(\because \cos{D}+\cos{C}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(=2\cos{\frac{\pi-C}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}-\cos{C}\) ➜Note \(\because A+B=\pi-C\)

\(=2\cos{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}\right)}\cos{\frac{A-B}{2}}-\cos{C}\)
\(=2\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{C}{2}\right)}\cos{\frac{A-B}{2}}-\cos{C}\)
\(=2\sin{\frac{C}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}-1+2\sin^2{\frac{C}{2}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।
এবং \(\cos{A}=1-2\sin^2{\frac{A}{2}}\)

\(=2\sin{\frac{C}{2}}\left(\cos{\frac{A-B}{2}}+\sin{\frac{C}{2}}\right)-1\)
\(=2\sin{\frac{C}{2}}\left\{\cos{\frac{A-B}{2}}+\sin{\frac{\pi-(A+B)}{2}}\right\}-1\) ➜Note \(\because C=\pi-(A+B)\)

\(=2\sin{\frac{C}{2}}\left\{\cos{\frac{A-B}{2}}+\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{A+B}{2}\right)}\right\}-1\)
\(=2\sin{\frac{C}{2}}\left\{\cos{\left(\frac{A-B}{2}\right)}+\cos{\left(\frac{A+B}{2}\right)}\right\}-1\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।

\(=2\sin{\frac{C}{2}}\left\{\cos{\left(\frac{A}{2}-\frac{B}{2}\right)}+\cos{\left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right)}\right\}-1\)
\(=2\sin{\frac{C}{2}}\times2\cos{\frac{A}{2}}\cos{\frac{B}{2}}-1\) ➜Note \(\because \cos{(A-B)}+\cos{(A+B)}=2\cos{A}\cos{B}\)

\(=4\cos{\frac{A}{2}}\cos{\frac{B}{2}}\sin{\frac{C}{2}}-1\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B+C=\pi\)
\(\Rightarrow A+B=\pi-C, \ C=\pi-(A+B)\)
\(L.S=\sin{\frac{A}{2}}+\sin{\frac{B}{2}}+\sin{\frac{C}{2}}\)
\(=2\sin{\frac{\frac{A}{2}+\frac{B}{2}}{2}}\cos{\frac{\frac{A}{2}-\frac{B}{2}}{2}}+\sin{\frac{\pi-(A+B)}{2}}\) ➜Note \(\because \sin{D}+\sin{C}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)
এবং \(C=\pi-(A+B)\)

\(=2\sin{\frac{A+B}{4}}\cos{\frac{A-B}{4}}+\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{A+B}{2}\right)}\) ➜Note লব ও হরকে \(2\) দ্বারা গুণ করে,

\(=2\sin{\frac{A+B}{4}}\cos{\frac{A-B}{4}}+\cos{\frac{A+B}{2}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।

\(=2\sin{\frac{A+B}{4}}\cos{\frac{A-B}{4}}+1-2\sin^2{\frac{A+B}{4}}\) ➜Note \(\because \cos{A}=1-2\sin^2{\frac{A}{2}}\)

\(=1+2\sin{\frac{A+B}{4}}\left\{\cos{\frac{A-B}{4}}-\sin{\frac{A+B}{4}}\right\}\)
\(=1+2\sin{\frac{A+B}{4}}\left\{\cos{\frac{A-B}{4}}-\cos{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{A+B}{4}\right)}\right\}\)
\(=1+2\sin{\frac{A+B}{4}}\left\{\cos{\frac{A-B}{4}}-\cos{\left(\frac{A+B+C}{2}-\frac{A+B}{4}\right)}\right\}\) ➜Note \(\because A+B+C=\pi\)

\(=1+2\sin{\frac{A+B}{4}}\left\{\cos{\frac{A-B}{4}}-\cos{\frac{2A+2B+2C-A-B}{4}}\right\}\)
\(=1+2\sin{\frac{A+B}{4}}\left\{\cos{\frac{A-B}{4}}-\cos{\frac{A+B+2C}{4}}\right\}\)
\(=1+2\sin{\frac{A+B}{4}}\left\{\cos{\frac{(C+A)-(B+C)}{4}}-\cos{\frac{(C+A)+(B+C)}{4}}\right\}\)
\(=1+2\sin{\frac{A+B}{4}}\left\{\cos{\left(\frac{C+A}{4}-\frac{B+C}{4}\right)}-\cos{\left(\frac{C+A}{4}+\frac{B+C}{4}\right)}\right\}\)
\(=1+2\sin{\frac{A+B}{4}}\times2\sin{\frac{C+A}{4}}\sin{\frac{B+C}{4}}\) ➜Note \(\because \cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}=2\sin{A}\sin{B}\)

\(=1+4\sin{\frac{B+C}{4}}\sin{\frac{C+A}{4}}\sin{\frac{A+B}{4}}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B+C=\pi\)
\(\Rightarrow A+B=\pi-C, \ C=\pi-(A+B)\)
\(L.S=\cos{\frac{A}{2}}+\cos{\frac{B}{2}}+\cos{\frac{C}{2}}\)
\(=2\cos{\frac{\frac{A}{2}+\frac{B}{2}}{2}}\cos{\frac{\frac{A}{2}-\frac{B}{2}}{2}}+\cos{\frac{\pi-(A+B)}{2}}\) ➜Note \(\because \cos{D}+\cos{C}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)
এবং \(C=\pi-(A+B)\)

\(=2\cos{\frac{A+B}{4}}\cos{\frac{A-B}{4}}+\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{A+B}{2}\right)}\) ➜Note লব ও হরকে \(2\) দ্বারা গুণ করে,

\(=2\cos{\frac{A+B}{4}}\cos{\frac{A-B}{4}}+\sin{\frac{A+B}{2}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।

\(=2\cos{\frac{A+B}{4}}\cos{\frac{A-B}{4}}+2\sin{\frac{A+B}{4}}\cos{\frac{A+B}{4}}\) ➜Note \(\because \sin{A}=2\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}\)

\(=2\cos{\frac{A+B}{4}}\left\{\cos{\frac{A-B}{4}}+\sin{\frac{A+B}{4}}\right\}\)
\(=2\cos{\frac{A+B}{4}}\left\{\cos{\frac{A-B}{4}}+\cos{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{A+B}{4}\right)}\right\}\)
\(=2\cos{\frac{A+B}{4}}\left\{\cos{\frac{A-B}{4}}+\cos{\left(\frac{A+B+C}{2}-\frac{A+B}{4}\right)}\right\}\) ➜Note \(\because A+B+C=\pi\)

\(=2\cos{\frac{A+B}{4}}\left\{\cos{\frac{A-B}{4}}+\cos{\frac{2A+2B+2C-A-B}{4}}\right\}\)
\(=2\cos{\frac{A+B}{4}}\left\{\cos{\frac{A-B}{4}}+\cos{\frac{A+B+2C}{4}}\right\}\)
\(=2\cos{\frac{A+B}{4}}\left\{\cos{\frac{(C+A)-(B+C)}{4}}+\cos{\frac{(C+A)+(B+C)}{4}}\right\}\)
\(=2\cos{\frac{A+B}{4}}\left\{\cos{\left(\frac{C+A}{4}-\frac{B+C}{4}\right)}+\cos{\left(\frac{C+A}{4}+\frac{B+C}{4}\right)}\right\}\)
\(=2\cos{\frac{A+B}{4}}\times2\cos{\frac{C+A}{4}}\cos{\frac{B+C}{4}}\) ➜Note \(\because \cos{(A-B)}+\cos{(A+B)}=2\cos{A}\cos{B}\)

\(=4\cos{\frac{B+C}{4}}\cos{\frac{C+A}{4}}\cos{\frac{A+B}{4}}\)
\(=4\cos{\frac{A+B+C-A}{4}}\cos{\frac{A+B+C-B}{4}}\cos{\frac{A+B+C-C}{4}}\)
\(=4\cos{\frac{\pi-A}{4}}\cos{\frac{\pi-B}{4}}\cos{\frac{\pi-C}{4}}\) ➜Note \(\because A+B+C=\pi\)

\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B+C=\pi\)
\(\Rightarrow A+B=\pi-C, \ C=\pi-(A+B)\)
\(L.S=\cos{2A}-\cos{2B}+\cos{2C}\)
\(=2\sin{\frac{2A+2B}{2}}\sin{\frac{2B-2A}{2}}+\cos{2C}\) ➜Note \(\because \cos{D}-\cos{C}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)

\(=2\sin{\frac{2(A+B)}{2}}\sin{\frac{2(B-A)}{2}}+\cos{2C}\)
\(=2\sin{(A+B)}\sin{(B-A)}+\cos{2C}\)
\(=2\sin{(\pi-C)}\sin{(B-A)}+\cos{2C}\) ➜Note \(\because A+B=\pi-C\)

\(=2\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times2-C\right)}\sin{(A-B)}+\cos{2C}\)
\(=2\sin{C}\sin{(B-A)}+1-2\sin^2{C}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।
এবং \(\cos{2A}=1-2\sin^2{A}\)

\(=1+2\sin{C}[\sin{(B-A)}-\sin{C}]\)
\(=1+2\sin{C}[\sin{(B-A)}-\sin{\{\pi-(A+B)\}}]\) ➜Note \(\because C=\pi-(A+B)\)

\(=1+2\sin{C}\left[\sin{(B-A)}-\sin{\left\{\frac{\pi}{2}\times2-(A+B)\right\}}\right]\)
\(=1+2\sin{C}\left[\sin{(B-A)}-\sin{(A+B)}\right]\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।
\(=1-2\sin{C}\left[\sin{(B+A)}-\sin{(B-A)}\right]\)

\(=1-2\sin{C}\times2\cos{B}\sin{A}\) ➜Note \(\because \sin{(P+Q)}-\sin{(P-Q)}=2\cos{P}\sin{Q}\)

\(=1-4\sin{A}\cos{B}\sin{C}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B+C=\pi\)
\(\Rightarrow A+B=\pi-C, \ C=\pi-(A+B)\)
\(L.S=\cos{A}+\cos{B}-\cos{C}+1\)
\(=2\cos{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}+1-\cos{C}\) ➜Note \(\because \cos{D}+\cos{C}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(=2\cos{\frac{\pi-C}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}+1-\cos{C}\) ➜Note \(\because A+B=\pi-C\)

\(=2\cos{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}\right)}\cos{\frac{A-B}{2}}+1-\cos{C}\)
\(=2\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{C}{2}\right)}\cos{\frac{A-B}{2}}+1-\cos{C}\)
\(=2\sin{\frac{C}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}+2\sin^2{\frac{C}{2}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।
এবং \(1-\cos{A}=2\sin^2{\frac{A}{2}}\)

\(=2\sin{\frac{C}{2}}\left(\cos{\frac{A-B}{2}}+\sin{\frac{C}{2}}\right)\)
\(=2\sin{\frac{C}{2}}\left\{\cos{\frac{A-B}{2}}+\sin{\frac{\pi-(A+B)}{2}}\right\}\) ➜Note \(\because C=\pi-(A+B)\)

\(=2\sin{\frac{C}{2}}\left\{\cos{\frac{A-B}{2}}+\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{A+B}{2}\right)}\right\}\)
\(=2\sin{\frac{C}{2}}\left\{\cos{\left(\frac{A-B}{2}\right)}+\cos{\left(\frac{A+B}{2}\right)}\right\}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।

\(=2\sin{\frac{C}{2}}\left\{\cos{\left(\frac{A}{2}-\frac{B}{2}\right)}+\cos{\left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right)}\right\}\)
\(=2\sin{\frac{C}{2}}\times2\cos{\frac{A}{2}}\cos{\frac{B}{2}}\) ➜Note \(\because \cos{(A-B)}+\cos{(A+B)}=2\cos{A}\cos{B}\)

\(=4\cos{\frac{A}{2}}\cos{\frac{B}{2}}\sin{\frac{C}{2}}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B+C=\pi\)
\(\Rightarrow A+B=\pi-C, \ C=\pi-(A+B)\)
\(L.S=\sin{(B+2C)}+\sin{(C+2A)}+\sin{(A+2B)}\)
\(=\sin{\{(A+B+C)-(A-C)\}}+\sin{\{(A+B+C)-(B-A)\}}+\sin{\{(A+B+C)-(C-B)\}}\)
\(=\sin{\{\pi-(A-C)\}}+\sin{\{\pi-(B-A)\}}+\sin{\{\pi-(C-B)\}}\) ➜Note \(\because A+B+C=\pi\)

\(=\sin{\left\{\frac{\pi}{2}\times2-(C-A)\right\}}+\sin{\left\{\frac{\pi}{2}\times2-(B-A)\right\}}+\sin{\left\{\frac{\pi}{2}\times2-(C-B)\right\}}\)
\(=\sin{(A-C)}+\sin{(B-A)}+\sin{(C-B)}\) ➜Note
\(\because\) প্রতিটি পদে কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=2\sin{\frac{A-C+B-A}{2}}\cos{\frac{A-C-B+A}{2}}+\sin{\{-(B-C)\}}\) ➜Note \(\because \sin{D}+\sin{C}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(=2\sin{\frac{B-C}{2}}\cos{\frac{2A-C-B}{2}}-\sin{(B-C)}\) ➜Note \(\sin{(-\theta)}=-\sin{\theta}\)

\(=2\sin{\frac{B-C}{2}}\cos{\frac{2A-C-B}{2}}-2\sin{\frac{B-C}{2}}\cos{\frac{B-C}{2}}\) ➜Note \(\because \sin{A}=2\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}\)

\(=2\sin{\frac{B-C}{2}}\left\{\cos{\frac{2A-C-B}{2}}-\cos{\frac{B-C}{2}}\right\}\)
\(=2\sin{\frac{B-C}{2}}\left[\cos{\left\{\frac{A-B}{2}-\frac{C-A}{2}\right\}}-\cos{\left\{\frac{A-B}{2}+\frac{C-A}{2}\right\}}\right]\)
\(=2\sin{\frac{B-C}{2}}\times2\sin{\frac{A-B}{2}}\sin{\frac{C-A}{2}}\) ➜Note \(\because \cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}=2\sin{A}\sin{B}\)

\(=4\sin{\frac{B-C}{2}}\sin{\frac{C-A}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B+C=\pi\)
\(\Rightarrow A+B=\pi-C, \ C=\pi-(A+B)\)
\(L.S=\sin{A}\cos{B}\cos{C}+\sin{B}\cos{C}\cos{A}+\sin{C}\cos{A}\cos{B}\)
\(=\cos{C}(\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B})+\sin{C}\cos{A}\cos{B}\)
\(=\cos{C}\sin{(A+B)}+\sin{C}\cos{A}\cos{B}\) ➜Note \(\because \sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}=\sin{(A+B)}\)

\(=\cos{\{\pi-(A+B)\}}\sin{(\pi-C)}+\sin{C}\cos{A}\cos{B}\) ➜Note \(\because A+B=\pi-C, \ C=\pi-(A+B)\)

\(=\cos{\left\{\frac{\pi}{2}\times2-(A+B)\right\}}\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times2-C\right)}+\sin{C}\cos{A}\cos{B}\)
\(=-\cos{(A+B)}\sin{C}+\sin{C}\cos{A}\cos{B}\) ➜Note
\(\because\) প্রতিটি পদে কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক এবং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=\sin{C}\{\cos{A}\cos{B}-\cos{(A+B)}\}\)
\(=\sin{C}\{\cos{A}\cos{B}-\cos{A}\cos{B}+\sin{A}\sin{B}\}\) ➜Note \(\because \cos{(A+B)}=\cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}\)

\(=\sin{C}\sin{A}\sin{B}\)
\(=\sin{A}\sin{B}\sin{C}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B+C=\pi\)
\(\Rightarrow A+B=\pi-C, \ C=\pi-(A+B)\)
\(L.S=\cos^2{2A}+\cos^2{2B}+\cos^2{2C}\)
\(=\frac{1}{2}(2\cos^2{2A}+2\cos^2{2B})+\cos^2{2C}\)
\(=\frac{1}{2}(1+\cos{4A}+1+\cos{4B})+\cos^2{2C}\) ➜Note \(\because 2\cos^2{P}=1+\cos{2P}\)

\(=\frac{1}{2}(2+\cos{4A}+\cos{4B})+\cos^2{2C}\)
\(=\frac{1}{2}(2+2\cos{\frac{4A+4B}{2}}\cos{\frac{4A-4B}{2}})+\cos^2{2C}\) ➜Note \(\because \cos{C}+\cos{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(=\frac{1}{2}\left\{2+2\cos{\frac{4(A+B)}{2}}\cos{\frac{4(A-B)}{2}}\right\}+\cos^2{2C}\)
\(=1+\cos{2(A+B)}\cos{2(A-B)}+\cos^2{2C}\)
\(=1+\cos{2(\pi-C)}\cos{(2A-2B)}+\cos^2{2C}\) ➜Note \(\because A+B=\pi-C\)

\(=1+\cos{(2\pi-2C)}\cos{(2A-2B)}+\cos^2{2C}\)
\(=1+\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times4-2C\right)}\cos{(2A-2B)}+\cos^2{2C}\)
\(=1+\cos{2C}\cos{(2A-2B)}+\cos^2{2C}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(4\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=1+\cos{2C}[\cos{(2A-2B)}+\cos{2C}]\)
\(=1+\cos{2C}[\cos{(2A-2B)}+\cos{2\{\pi-(A+B)\}}]\) ➜Note \(\because C=\pi-(A+B)\)

\(=1+\cos{2C}[\cos{(2A-2B)}+\cos{\{2\pi-(2A+2B)\}}]\)
\(=1+\cos{2C}[\cos{(2A-2B)}+\cos{\left\{\frac{\pi}{2}\times4-(2A+2B)\right\}}]\)
\(=1+\cos{2C}[\cos{(2A-2B)}+\cos{(2A+2B)}]\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(4\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=1+\cos{2C}\times2\cos{2A}\cos{2B}\) ➜Note \(\because \cos{(A-B)}+\cos{(A+B)}=2\cos{A}\cos{B}\)

\(=1+2\cos{2A}\cos{2B}\cos{2C}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B+C=\pi\)
\(\Rightarrow A+B=\pi-C, \ C=\pi-(A+B)\)
\(L.S=\sin^2{A}+\sin^2{B}+\sin^2{C}\)
\(=\frac{1}{2}(2\sin^2{A}+2\sin^2{B})+\sin^2{C}\)
\(=\frac{1}{2}(1-\cos{2A}+1-\cos{2B})+\sin^2{C}\) ➜Note \(\because 2\sin^2{P}=1-\cos{2P}\)

\(=\frac{1}{2}\{2-(\cos{2A}+\cos{2B})\}+\sin^2{C}\)
\(=\frac{1}{2}(2-2\cos{\frac{2A+2B}{2}}\cos{\frac{2A-2B}{2}})+\sin^2{C}\) ➜Note \(\because \cos{C}+\cos{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(=\frac{1}{2}\left\{2-2\cos{\frac{2(A+B)}{2}}\cos{\frac{2(A-B)}{2}}\right\}+\sin^2{C}\)
\(=1-\cos{(A+B)}\cos{(A-B)}+\sin^2{C}\)
\(=1-\cos{(\pi-C)}\cos{(A-B)}+\sin^2{C}\) ➜Note \(\because A+B=\pi-C\)

\(=1-\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times2-C\right)}\cos{(A-B)}+\sin^2{C}\)
\(=1+\cos{C}\cos{(A-B)}+1-\cos^2{C}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।
এবং \(\sin^2{C}=1-\cos^2{C}\)

\(=2+\cos{C}\cos{(A-B)}-\cos^2{C}\)
\(=2+\cos{C}[\cos{(A-B)}-\cos{C}]\)
\(=2+\cos{C}[\cos{(A-B)}-\cos{\{\pi-(A+B)\}}]\) ➜Note \(\because C=\pi-(A+B)\)

\(=2+\cos{C}[\cos{(A-B)}-\cos{\left\{\frac{\pi}{2}\times2-(A+B)\right\}}]\)
\(=2+\cos{C}[\cos{(A-B)}+\cos{(A+B)}]\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=2+\cos{C}\times2\cos{A}\cos{B}\) ➜Note \(\because \cos{(A-B)}+\cos{(A+B)}=2\cos{A}\cos{B}\)

\(=2+2\cos{A}\cos{B}\cos{C}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B+C=\pi\)
\(\Rightarrow A+B=\pi-C, \ C=\pi-(A+B)\)
\(L.S=\sin^2{A}-\sin^2{B}+\sin^2{C}\)
\(=\frac{1}{2}(2\sin^2{A}-2\sin^2{B})+\sin^2{C}\)
\(=\frac{1}{2}(1-\cos{2A}-1+\cos{2B})+\sin^2{C}\) ➜Note \(\because 2\sin^2{P}=1-\cos{2P}\)

\(=\frac{1}{2}(\cos{2B}-\cos{2A})+\sin^2{C}\)
\(=\frac{1}{2}(2\sin{\frac{2A+2B}{2}}\sin{\frac{2A-2B}{2}})+\sin^2{C}\) ➜Note \(\because \cos{D}-\cos{C}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)

\(=\frac{1}{2}\left\{2\sin{\frac{2(A+B)}{2}}\sin{\frac{2(A-B)}{2}}\right\}+\sin^2{C}\)
\(=\sin{(A+B)}\sin{(A-B)}+\sin^2{C}\)
\(=\sin{(\pi-C)}\sin{(A-B)}+\sin^2{C}\) ➜Note \(\because A+B=\pi-C\)

\(=\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times2-C\right)}\sin{(A-B)}+\sin^2{C}\)
\(=\sin{C}\sin{(A-B)}+\sin^2{C}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=\sin{C}[\sin{(A-B)}+\sin{C}]\)
\(=\sin{C}[\sin{(A-B)}+\sin{\{\pi-(A+B)\}}]\) ➜Note \(\because C=\pi-(A+B)\)

\(=\sin{C}[\sin{(A-B)}+\sin{\left\{\frac{\pi}{2}\times2-(A+B)\right\}}]\)
\(=\sin{C}[\sin{(A-B)}+\sin{(A+B)}]\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=\sin{C}\times2\sin{A}\cos{B}\) ➜Note \(\because \sin{(A-B)}+\sin{(A+B)}=2\sin{A}\cos{B}\)

\(=2\sin{A}\cos{B}\sin{C}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B+C=\pi\)
\(\Rightarrow A+B=\pi-C, \ C=\pi-(A+B)\)
\(L.S=\sin^2{\frac{A}{2}}+\sin^2{\frac{B}{2}}+\sin^2{\frac{C}{2}}\)
\(=\frac{1}{2}(2\sin^2{\frac{A}{2}}+2\sin^2{\frac{B}{2}})+\sin^2{\frac{C}{2}}\)
\(=\frac{1}{2}(1-\cos{A}+1-\cos{B})+\sin^2{\frac{C}{2}}\) ➜Note \(\because 2\sin^2{P}=1-\cos{2P}\)

\(=\frac{1}{2}\{2-(\cos{A}+\cos{B})\}+\sin^2{\frac{C}{2}}\)
\(=\frac{1}{2}(2-2\cos{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}})+\sin^2{\frac{C}{2}}\) ➜Note \(\because \cos{C}+\cos{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(=\frac{1}{2}(2-2\cos{\frac{\pi-C}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}})+\sin^2{\frac{C}{2}}\) ➜Note \(\because A+B=\pi-C\)

\(=1-\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{C}{2}\right)}\cos{\frac{A-B}{2}}+\sin^2{\frac{C}{2}}\)
\(=1-\sin{\frac{C}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}+\sin^2{\frac{C}{2}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।

\(=1-\sin{\frac{C}{2}}\left\{\cos{\frac{A-B}{2}}-\sin{\frac{C}{2}}\right\}\)
\(=1-\sin{\frac{C}{2}}\left\{\cos{\frac{A-B}{2}}-\sin{\frac{\pi-(A+B)}{2}}\right\}\) ➜Note \(\because C=\pi-(A+B)\)

\(=1-\sin{\frac{C}{2}}\left\{\cos{\frac{A-B}{2}}-\sin{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{A+B}{2}\right)}\right\}\)
\(=1-\sin{\frac{C}{2}}\left\{\cos{\frac{A-B}{2}}-\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{A+B}{2}\right)}\right\}\)
\(=1-\sin{\frac{C}{2}}\left\{\cos{\frac{A-B}{2}}-\cos{\frac{A+B}{2}}\right\}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।

\(=1-\sin{\frac{C}{2}}\left\{\cos{\left(\frac{A}{2}-\frac{B}{2}\right)}-\cos{\left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right)}\right\}\)
\(=1-\sin{\frac{C}{2}}\times2\sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B}{2}}\) ➜Note \(\because \cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}=2\sin{A}\sin{B}\)

\(=1-2\sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B}{2}}\sin{\frac{C}{2}}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B+C=\pi\)
\(\Rightarrow A+B=\pi-C, \ C=\pi-(A+B)\)
\(L.S=\cos^2{A}+\cos^2{B}-\cos^2{C}\)
\(=\frac{1}{2}(2\cos^2{A}+2\cos^2{B})-\cos^2{C}\)
\(=\frac{1}{2}(1+\cos{2A}+1+\cos{2B})-\cos^2{C}\) ➜Note \(\because 2\cos^2{P}=1+\cos{2P}\)

\(=\frac{1}{2}(2+\cos{2A}+\cos{2B})-\cos^2{C}\)
\(=\frac{1}{2}(2+2\cos{\frac{2A+2B}{2}}\cos{\frac{2A-2B}{2}})-\cos^2{C}\) ➜Note \(\because \cos{C}+\cos{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(=\frac{1}{2}\left\{2+2\cos{\frac{2(A+B)}{2}}\cos{\frac{2(A-B)}{2}}\right\}-\cos^2{C}\)
\(=1+\cos{(A+B)}\cos{(A-B)}-\cos^2{C}\)
\(=1+\cos{(\pi-C)}\cos{(A-B)}-\cos^2{C}\) ➜Note \(\because A+B=\pi-C\)

\(=1+\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times2-C\right)}\cos{(A-B)}-\cos^2{C}\)
\(=1-\cos{C}\cos{(A-B)}-\cos^2{C}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=1-\cos{C}[\cos{(A-B)}+\cos{C}]\)
\(=1-\cos{C}[\cos{(A-B)}+\cos{\{\pi-(A+B)\}}]\) ➜Note \(\because C=\pi-(A+B)\)

\(=1-\cos{C}[\cos{(A-B)}+\cos{\left\{\frac{\pi}{2}\times2-(A+B)\right\}}]\)
\(=1-\cos{C}[\cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}]\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=1-\cos{C}\times2\sin{A}\sin{B}\) ➜Note \(\because \cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}=2\sin{A}\sin{B}\)

\(=1-2\sin{A}\sin{B}\cos{C}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B+C=\pi\)
\(\Rightarrow A+B=\pi-C, \ C=\pi-(A+B)\)
\(L.S=\cos^2{\frac{A}{2}}+\cos^2{\frac{B}{2}}+\cos^2{\frac{C}{2}}\)
\(=\frac{1}{2}(2\cos^2{\frac{A}{2}}+2\cos^2{\frac{B}{2}})+\cos^2{\frac{C}{2}}\)
\(=\frac{1}{2}(1+\cos{A}+1+\cos{B})+\cos^2{\frac{C}{2}}\) ➜Note \(\because 2\cos^2{P}=1+\cos{2P}\)

\(=\frac{1}{2}\{2+(\cos{A}+\cos{B})\}+\cos^2{\frac{C}{2}}\)
\(=\frac{1}{2}(2+2\cos{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}})+\cos^2{\frac{C}{2}}\) ➜Note \(\because \cos{C}+\cos{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(=\frac{1}{2}(2+2\cos{\frac{\pi-C}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}})+\cos^2{\frac{C}{2}}\) ➜Note \(\because A+B=\pi-C\)

\(=1+\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{C}{2}\right)}\cos{\frac{A-B}{2}}+\cos^2{\frac{C}{2}}\)
\(=1+\sin{\frac{C}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}+1-\sin^2{\frac{C}{2}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।
\(\because \cos^2{A}=1-\sin^2{A}\)

\(=2+\sin{\frac{C}{2}}\left\{\cos{\frac{A-B}{2}}-\sin{\frac{C}{2}}\right\}\)
\(=2+\sin{\frac{C}{2}}\left\{\cos{\frac{A-B}{2}}-\sin{\frac{\pi-(A+B)}{2}}\right\}\) ➜Note \(\because C=\pi-(A+B)\)

\(=2+\sin{\frac{C}{2}}\left\{\cos{\frac{A-B}{2}}-\sin{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{A+B}{2}\right)}\right\}\)
\(=2+\sin{\frac{C}{2}}\left\{\cos{\frac{A-B}{2}}-\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{A+B}{2}\right)}\right\}\)
\(=2+\sin{\frac{C}{2}}\left\{\cos{\frac{A-B}{2}}-\cos{\frac{A+B}{2}}\right\}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।

\(=2+\sin{\frac{C}{2}}\left\{\cos{\left(\frac{A}{2}-\frac{B}{2}\right)}-\cos{\left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right)}\right\}\)
\(=2+\sin{\frac{C}{2}}\times2\sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B}{2}}\) ➜Note \(\because \cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}=2\sin{A}\sin{B}\)

\(=2+2\sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B}{2}}\sin{\frac{C}{2}}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B+C=\pi\)
\(\Rightarrow A+B=\pi-C, \ C=\pi-(A+B)\)
এখন \(\cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C}\)
\(=\frac{1}{2}(2\cos^2{A}+2\cos^2{B})+\cos^2{C}\)
\(=\frac{1}{2}(1+\cos{2A}+1+\cos{2B})+\cos^2{C}\) ➜Note \(\because 2\cos^2{P}=1+\cos{2P}\)

\(=\frac{1}{2}(2+\cos{2A}+\cos{2B})+\cos^2{C}\)
\(=\frac{1}{2}(2+2\cos{\frac{2A+2B}{2}}\cos{\frac{2A-2B}{2}})+\cos^2{C}\) ➜Note \(\because \cos{C}+\cos{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(=\frac{1}{2}\left\{2+2\cos{\frac{2(A+B)}{2}}\cos{\frac{2(A-B)}{2}}\right\}+\cos^2{C}\)
\(=1+\cos{(A+B)}\cos{(A-B)}+\cos^2{C}\)
\(=1+\cos{(\pi-C)}\cos{(A-B)}+\cos^2{C}\) ➜Note \(\because A+B=\pi-C\)

\(=1+\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times2-C\right)}\cos{(A-B)}+\cos^2{C}\)
\(=1-\cos{C}\cos{(A-B)}+\cos^2{C}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=1-\cos{C}\cos{(A-B)}+\cos^2{C}\)
\(=1-\cos{C}[\cos{(A-B)}-\cos{C}]\)
\(=1-\cos{C}[\cos{(A-B)}-\cos{\{\pi-(A+B)\}}]\) ➜Note \(\because C=\pi-(A+B)\)

\(=1-\cos{C}[\cos{(A-B)}-\cos{\left\{\frac{\pi}{2}\times2-(A+B)\right\}}]\)
\(=1-\cos{C}[\cos{(A-B)}+\cos{(A+B)}]\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=1-\cos{C}\times2\cos{A}\cos{B}\) ➜Note \(\because \cos{(A-B)}+\cos{(A+B)}=2\cos{A}\cos{B}\)

\(=1-2\cos{A}\cos{B}\cos{C}\)
\(\therefore \cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C}=1-2\cos{A}\cos{B}\cos{C}\)
\(\Rightarrow \cos^2{A}+\cos^2{B}+2\cos{A}\cos{B}\cos{C}=1-\cos^2{C}\)
\(\therefore \cos^2{A}+\cos^2{B}+2\cos{A}\cos{B}\cos{C}=\sin^2{C}\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B+C=\pi\)
\(\Rightarrow A+B=\pi-C\)
\(\Rightarrow \cot{(A+B)}=\cot{(\pi-C)}\) ➜Note উভয় পার্শে কোট্যানজেন্ট অনুপাত নিয়ে,

\(\Rightarrow \cot{(A+B)}=\cot{\left(\frac{\pi}{2}\times2-C\right)}\)
\(\Rightarrow \cot{(A+B)}=-\cot{C}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(\Rightarrow \frac{\cot{A}\cot{B}-1}{\cot{B}+\cot{A}}=-\cot{C}\) ➜Note \(\because \cot{(A+B)}=\frac{\cot{A}\cot{B}-1}{\cot{B}+\cot{A}}\)

\(\Rightarrow \cot{A}\cot{B}-1=-\cot{B}\cot{C}-\cot{C}\cot{A}\) ➜Note আড় গুণ করে,

\(\therefore \cot{A}\cot{B}+\cot{B}\cot{C}+\cot{C}\cot{A}=1\) ➜Note পক্ষান্তর করে,

(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B+C=\pi\)
\(\Rightarrow A+B=\pi-C\)
\(\Rightarrow \frac{A}{2}+\frac{B}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}\) ➜Note উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে,

\(\Rightarrow \tan{\left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right)}=\tan{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{C}{2}\right)}\) ➜Note উভয় পার্শে ট্যানজেন্ট অনুপাত নিয়ে,

\(\Rightarrow \tan{\left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right)}=\cot{\frac{C}{2}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোট্যানজেন্ট হয়েছে।

\(\Rightarrow \frac{\tan{\frac{A}{2}}+\tan{\frac{B}{2}}}{1-\tan{\frac{A}{2}}\tan{\frac{B}{2}}}=\frac{1}{\tan{\frac{C}{2}}}\) ➜Note \(\because \tan{(A+B)}=\frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}\)
এবং \(\cot{A}=\frac{1}{\tan{A}}\)

\(\Rightarrow \tan{\frac{C}{2}}\tan{\frac{A}{2}}+\tan{\frac{B}{2}}\tan{\frac{C}{2}}=1-\tan{\frac{A}{2}}\tan{\frac{B}{2}}\) ➜Note আড় গুণ করে,

\(\therefore \tan{\frac{B}{2}}\tan{\frac{C}{2}}+\tan{\frac{C}{2}}\tan{\frac{A}{2}}+\tan{\frac{A}{2}}\tan{\frac{B}{2}}=1\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B+C=\pi\)
\(\Rightarrow A+B=\pi-C, \ C=\pi-(A+B)\)
\(L.S=\frac{\cos{A}}{\sin{B}\sin{C}}+\frac{\cos{B}}{\sin{C}\sin{A}}+\frac{\cos{C}}{\sin{A}\sin{B}}\)
\(=\frac{\sin{A}\cos{A}+\sin{B}\cos{B}+\sin{C}\cos{C}}{\sin{A}\sin{B}\sin{C}}\)
\(=\frac{2\sin{A}\cos{A}+2\sin{B}\cos{B}+2\sin{C}\cos{C}}{2\sin{A}\sin{B}\sin{C}}\) ➜Note লব ও হরকে \(2\) দ্বারা গুণ করে,

\(=\frac{\sin{2A}+\sin{2B}+2\sin{C}\cos{C}}{2\sin{A}\sin{B}\sin{C}}\) ➜Note \(2\sin{P}\cos{P}=\sin{2P}\)

\(=\frac{2\sin{\frac{2A+2B}{2}}\cos{\frac{2A-2B}{2}}+2\sin{C}\cos{C}}{2\sin{A}\sin{B}\sin{C}}\) ➜Note \(\because \sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(=\frac{2\sin{\frac{2(A+B)}{2}}\cos{\frac{2(A-B)}{2}}+2\sin{C}\cos{C}}{2\sin{A}\sin{B}\sin{C}}\)
\(=\frac{2\sin{(A+B)}\cos{(A-B)}+2\sin{C}\cos{C}}{2\sin{A}\sin{B}\sin{C}}\)
\(=\frac{2\sin{(\pi-C)}\cos{(A-B)}+2\sin{C}\cos{C}}{2\sin{A}\sin{B}\sin{C}}\) ➜Note \(\because A+B=\pi-C\)

\(=\frac{2\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times2-C\right)}\cos{(A-B)}+2\sin{C}\cos{C}}{2\sin{A}\sin{B}\sin{C}}\)
\(=\frac{2\sin{C}\cos{(A-B)}+2\sin{C}\cos{C}}{2\sin{A}\sin{B}\sin{C}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=\frac{2\sin{C}\{\cos{(A-B)}+\cos{C}\}}{2\sin{A}\sin{B}\sin{C}}\)
\(=\frac{\cos{(A-B)}+\cos{C}}{\sin{A}\sin{B}}\)
\(=\frac{\cos{(A-B)}+\cos{\{\pi-(A+B)\}}}{\sin{A}\sin{B}}\) ➜Note \(\because C=\pi-(A+B)\)

\(=\frac{\cos{(A-B)}+\cos{\left\{\frac{\pi}{2}\times2-(A+B)\right\}}}{\sin{A}\sin{B}}\)
\(=\frac{\cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}}{\sin{A}\sin{B}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=\frac{2\sin{A}\sin{B}}{\sin{A}\sin{B}}\) ➜Note \(\because \cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}=2\sin{A}\sin{B}\)

\(=2\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B+C=\pi\)
\(\Rightarrow A+B=\pi-C\)
\(\Rightarrow \cot{(A+B)}=\cot{(\pi-C)}\) ➜Note উভয় পার্শে কোট্যানজেন্ট অনুপাত নিয়ে,

\(\Rightarrow \cot{(A+B)}=\cot{\left(\frac{\pi}{2}\times2-C\right)}\)
\(\Rightarrow \cot{(A+B)}=-\cot{C}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(\Rightarrow \frac{\cot{A}\cot{B}-1}{\cot{B}+\cot{A}}=-\cot{C}\) ➜Note \(\because \cot{(A+B)}=\frac{\cot{A}\cot{B}-1}{\cot{B}+\cot{A}}\)

\(\Rightarrow \cot{A}\cot{B}-1=-\cot{B}\cot{C}-\cot{C}\cot{A}\) ➜Note আড় গুণ করে,

\(\Rightarrow \cot{B}\cot{C}+\cot{C}\cot{A}+\cot{A}\cot{B}=1\) ➜Note পক্ষান্তর করে,

\(\Rightarrow \frac{1}{\tan{B}\tan{C}}+\frac{1}{\tan{C}\tan{A}}+\frac{1}{\tan{A}\tan{B}}=1\) ➜Note \(\cot{P}=\frac{1}{\tan{P}}\)

\(\Rightarrow \frac{\cot{B}+\cot{C}}{\tan{B}\tan{C}(\cot{B}+\cot{C})}+\frac{\cot{C}+\cot{A}}{\tan{C}\tan{A}(\cot{C}+\cot{A})}+\frac{\cot{A}+\cot{B}}{\tan{A}\tan{B}(\cot{A}+\cot{B})}=1\) ➜Note ১ম ভগ্নাংশের লব ও হরকে \((\cot{B}+\cot{C})\)
২য় ভগ্নাংশের লব ও হরকে \((\cot{C}+\cot{A})\)
এবং ৩য় ভগ্নাংশের লব ও হরকে \((\cot{A}+\cot{B})\) দ্বারা গুণ করে,

\(\Rightarrow \frac{\cot{B}+\cot{C}}{\tan{B}\tan{C}\left(\frac{1}{\tan{B}}+\frac{1}{\tan{C}}\right)}+\frac{\cot{C}+\cot{A}}{\tan{C}\tan{A}\left(\frac{1}{\tan{C}}+\frac{1}{\tan{A}}\right)}+\frac{\cot{A}+\cot{B}}{\tan{A}\tan{B}\left(\frac{1}{\tan{A}}+\frac{1}{\tan{B}}\right)}=1\) ➜Note \(\because \cot{P}=\frac{1}{\tan{P}}\)

\(\Rightarrow \frac{\cot{B}+\cot{C}}{\tan{C}+\tan{B}}+\frac{\cot{C}+\cot{A}}{\tan{A}+\tan{C}}+\frac{\cot{A}+\cot{B}}{\tan{B}+\tan{A}}=1\)
\(\therefore \frac{\cot{B}+\cot{C}}{\tan{B}+\tan{C}}+\frac{\cot{C}+\cot{A}}{\tan{C}+\tan{A}}+\frac{\cot{A}+\cot{B}}{\tan{A}+\tan{B}}=1\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B+C=\pi\)
\(\Rightarrow A+B=\pi-C\)
\(\Rightarrow 2A+2B=2\pi-2C\) ➜Note উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে,

\(\Rightarrow \tan{(2A+2B)}=\tan{(2\pi-2C)}\) ➜Note উভয় পার্শে ট্যানজেন্ট অনুপাত নিয়ে,

\(\Rightarrow \tan{(2A+2B)}=\tan{\left(\frac{\pi}{2}\times4-2C\right)}\)
\(\Rightarrow \tan{(2A+2B)}=-\tan{2C}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(4\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(\Rightarrow \frac{\tan{2A}+\tan{2B}}{1-\tan{2A}\tan{2B}}=-\tan{2C}\) ➜Note \(\because \tan{(A+B)}=\frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}\)

\(\Rightarrow \tan{2A}+\tan{2B}=-\tan{2C}+\tan{2A}\tan{2B}\tan{2C}\) ➜Note আড় গুণ করে,

\(\therefore \tan{2A}+\tan{2B}+\tan{2C}=\tan{2A}\tan{2B}\tan{2C}\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B+C=\pi\)
\(\Rightarrow A+B=\pi-C\)
\(\Rightarrow 3A+3B=3\pi-3C\) ➜Note উভয় পার্শে \(3\) গুণ করে,

\(\Rightarrow \tan{(3A+3B)}=\tan{(3\pi-3C)}\) ➜Note উভয় পার্শে ট্যানজেন্ট অনুপাত নিয়ে,

\(\Rightarrow \tan{(3A+3B)}=\tan{\left(\frac{\pi}{2}\times6-3C\right)}\)
\(\Rightarrow \tan{(3A+3B)}=-\tan{3C}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(6\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(\Rightarrow \frac{\tan{3A}+\tan{3B}}{1-\tan{3A}\tan{3B}}=-\tan{3C}\) ➜Note \(\because \tan{(A+B)}=\frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}\)

\(\Rightarrow \tan{3A}+\tan{3B}=-\tan{3C}+\tan{3A}\tan{3B}\tan{3C}\) ➜Note আড় গুণ করে,

\(\therefore \tan{3A}+\tan{3B}+\tan{3C}=\tan{3A}\tan{3B}\tan{3C}\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B+C=\pi\)
\(\Rightarrow A+B=\pi-C\)
\(\Rightarrow \frac{A}{2}+\frac{B}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}\) ➜Note উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে,

\(\Rightarrow \cot{\left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right)}=\cot{\left(\frac{\pi}{2}\times1-\frac{C}{2}\right)}\) ➜Note উভয় পার্শে কোট্যানজেন্ট অনুপাত নিয়ে,

\(\Rightarrow \cot{\left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right)}=\tan{\frac{C}{2}}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে ট্যানজেন্ট হয়েছে।

\(\Rightarrow \frac{\cot{\frac{A}{2}}\cot{\frac{B}{2}}-1}{\cot{\frac{B}{2}}+\cot{\frac{A}{2}}}=\frac{1}{\cot{\frac{C}{2}}}\) ➜Note \(\because \cot{(A+B)}=\frac{\cot{A}\cot{B}-1}{\tan{B}+\tan{A}}\)
এবং \(\tan{A}=\frac{1}{\cot{A}}\)

\(\Rightarrow \cot{\frac{B}{2}}+\cot{\frac{A}{2}}=\cot{\frac{A}{2}}\cot{\frac{B}{2}}\cot{\frac{C}{2}}-\cot{\frac{C}{2}}\) ➜Note আড় গুণ করে,

\(\therefore \cot{\frac{B}{2}}+\cot{\frac{A}{2}}+\cot{\frac{C}{2}}=\cot{\frac{A}{2}}\cot{\frac{B}{2}}\cot{\frac{C}{2}}\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B+C=\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow A+B=\frac{\pi}{2}-C, \ C=\frac{\pi}{2}-(A+B)\)
এখন \(\sin^2{A}+\sin^2{B}+\sin^2{C}\)
\(=\frac{1}{2}(2\sin^2{A}+2\sin^2{B})+\sin^2{C}\)
\(=\frac{1}{2}(1-\cos{2A}+1-\cos{2B})+\sin^2{C}\) ➜Note \(\because 2\sin^2{P}=1-\cos{2P}\)

\(=\frac{1}{2}\{2-(\cos{2A}+\cos{2B})\}+\sin^2{C}\)
\(=\frac{1}{2}\left\{2-2\cos{\frac{2A+2B}{2}}\cos{\frac{2A-2B}{2}}\right\}+\sin^2{C}\) ➜Note \(\because \cos{C}+\cos{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(=\frac{1}{2}\left\{2-2\cos{\frac{2(A+B)}{2}}\cos{\frac{2(A-B)}{2}}\right\}+\sin^2{C}\)
\(=1-\cos{(A+B)}\cos{(A-B)}+\sin^2{C}\)
\(=1-\cos{\left(\frac{\pi}{2}-C\right)}\cos{(A-B)}+\sin^2{C}\) ➜Note \(\because A+B=\frac{\pi}{2}-C\)

\(=1-\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times1-C\right)}\cos{(A-B)}+\sin^2{C}\)
\(=1-\sin{C}\cos{(A-B)}+\sin^2{C}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং কোসাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে সাইন হয়েছে।

\(=1-\sin{C}[\cos{(A-B)}-\sin{C}]\)
\(=1-\sin{C}[\cos{(A-B)}-\sin{\left\{\frac{\pi}{2}-(A+B)\right\}}]\) ➜Note \(\because C=\frac{\pi}{2}-(A+B)\)

\(=1-\sin{C}[\cos{(A-B)}-\sin{\left\{\frac{\pi}{2}\times1-(A+B)\right\}}]\)
\(=1-\sin{C}[\cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}]\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।

\(=1-\sin{C}\times2\sin{A}\sin{B}\) ➜Note \(\because \cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}=2\sin{A}\sin{B}\)

\(=1-2\sin{A}\sin{B}\sin{C}\)
\(\therefore \sin^2{A}+\sin^2{B}+\sin^2{C}=1-2\sin{A}\sin{B}\sin{C}\)
\(\therefore \sin^2{A}+\sin^2{B}+\sin^2{C}+2\sin{A}\sin{B}\sin{C}=1\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B+C=\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow A+B=\frac{\pi}{2}-C, \ C=\frac{\pi}{2}-(A+B)\)
\(L.S=\sin{A}+\sin{B}+\sin{C}\)
\(=2\sin{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}+\sin{\left\{\frac{\pi}{2}-(A+B)\right\}}\) ➜Note \(\because \sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)
এবং \(C=\frac{\pi}{2}-(A+B)\)

\(=2\sin{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}+\sin{\left\{\frac{\pi}{2}\times1-(A+B)\right\}}\)
\(=2\sin{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}+\cos{(A+B)}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।

\(=2\sin{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}+1-2\sin^2{\frac{A+B}{2}}\) ➜Note \(\because \cos{P}=1-2\sin^2{\frac{P}{2}}\)

\(=1+2\sin{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}-2\sin^2{\frac{A+B}{2}}\)
\(=1+2\sin{\frac{A+B}{2}}\left\{\cos{\frac{A-B}{2}}-\sin{\frac{A+B}{2}}\right\}\)
\(=1+2\sin{\frac{A+B}{2}}\left\{\cos{\frac{A-B}{2}}-\cos{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{A+B}{2}\right)}\right\}\)
\(=1+2\sin{\frac{A+B}{2}}\left\{\cos{\frac{A-B}{2}}-\cos{\left(A+B+C-\frac{A+B}{2}\right)}\right\}\) ➜Note \(\because A+B+C=\frac{\pi}{2}\)

\(=1+2\sin{\frac{A+B}{2}}\left\{\cos{\frac{A-B}{2}}-\cos{\left(\frac{2A+2B+2C-A-B}{2}\right)}\right\}\)
\(=1+2\sin{\frac{A+B}{2}}\left\{\cos{\frac{A-B}{2}}-\cos{\left(\frac{A+B+2C}{2}\right)}\right\}\)
\(=1+2\sin{\frac{A+B}{2}}\left\{\cos{\left(\frac{C+A}{2}-\frac{B+C}{2}\right)}-\cos{\left(\frac{C+A}{2}+\frac{B+C}{2}\right)}\right\}\)
\(=1+2\sin{\frac{A+B}{2}}\times2\sin{\frac{C+A}{2}}\sin{\frac{B+C}{2}}\) ➜Note \(\because \cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}=2\sin{A}\sin{B}\)

\(=1+4\sin{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{C+A}{2}}\sin{\frac{B+C}{2}}\)
\(=1+4\sin{\frac{A+B+C-C}{2}}\sin{\frac{A+B+C-B}{2}}\sin{\frac{A+B+C-A}{2}}\)
\(=1+4\sin{\frac{\frac{\pi}{2}-C}{2}}\sin{\frac{\frac{\pi}{2}-B}{2}}\sin{\frac{\frac{\pi}{2}-A}{2}}\) ➜Note \(\because A+B+C=\frac{\pi}{2}\)

\(=1+4\sin{\frac{\pi-2C}{4}}\sin{\frac{\pi-2B}{4}}\sin{\frac{\pi-2A}{4}}\) ➜Note প্রতিটি ভগ্নাংশের লব ও হরকে \(2\) দ্বারা গুণ করে,

\(=1+4\sin{\frac{\pi-2B}{4}}\sin{\frac{\pi-2A}{4}}\sin{\frac{\pi-2C}{4}}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B+C=\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow A+B=\frac{\pi}{2}-C\)
\(\Rightarrow \tan{(A+B)}=\tan{\left(\frac{\pi}{2}-C\right)}\)➜Note উভয় পার্শে ট্যানজেন্ট অনুপাত নিয়ে,

\(\Rightarrow \tan{(A+B)}=\cot{C}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোট্যানজেন্ট হয়েছে।

\(\Rightarrow \frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}=\frac{1}{\tan{C}}\) ➜Note \(\because \tan{(A+B)}=\frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}\)
এবং \(\cot{C}=\frac{1}{\tan{C}}\)

\(\Rightarrow \tan{C}\tan{A}+\tan{B}\tan{C}=1-\tan{A}\tan{B}\) ➜Note আড় গুণ করে,

\(\therefore \tan{B}\tan{C}+\tan{C}\tan{A}+\tan{A}\tan{B}=1\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B+C=\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow A+B=\frac{\pi}{2}-C\)
\(\Rightarrow \cot{(A+B)}=\cot{\left(\frac{\pi}{2}-C\right)}\)➜Note উভয় পার্শে কোট্যানজেন্ট অনুপাত নিয়ে,

\(\Rightarrow \cot{(A+B)}=\tan{C}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে ট্যানজেন্ট হয়েছে।

\(\Rightarrow \frac{\cot{A}\cot{B}-1}{\cot{B}+\cot{A}}=\frac{1}{\cot{C}}\) ➜Note \(\because \cot{(A+B)}=\frac{\cot{A}\cot{B}-1}{\cot{B}+\cot{A}}\)
এবং \(\tan{C}=\frac{1}{\cot{C}}\)

\(\Rightarrow \cot{B}+\cot{A}=\cot{A}\cot{B}\cot{C}-\cot{C}\) ➜Note আড় গুণ করে,

\(\therefore \cot{A}+\cot{B}+\cot{C}=\cot{A}\cot{B}\cot{C}\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B=C\)
\(L.S=\cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C}\)
\(=\frac{1}{2}(2\cos^2{A}+2\cos^2{B})+\cos^2{C}\)
\(=\frac{1}{2}(1+\cos{2A}+1+\cos{2B})+\cos^2{C}\) ➜Note \(\because 2\cos^2{P}=1+\cos{2P}\)

\(=\frac{1}{2}(2+\cos{2A}+\cos{2B})+\cos^2{C}\)
\(=\frac{1}{2}(2+2\cos{\frac{2A+2B}{2}}\cos{\frac{2A-2B}{2}})+\cos^2{C}\) ➜Note \(\because \cos{C}+\cos{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(=\frac{1}{2}\left\{2+2\cos{\frac{2(A+B)}{2}}\cos{\frac{2(A-B)}{2}}\right\}+\cos^2{C}\)
\(=1+\cos{(A+B)}\cos{(A-B)}+\cos^2{C}\)
\(=1+\cos{C}\cos{(A-B)}+\cos^2{C}\) ➜Note \(\because A+B=C\)

\(=1+\cos{C}\{\cos{(A-B)}+\cos{C}\}\)
\(=1+\cos{C}\{\cos{(A-B)}+\cos{(A+B)}\}\) ➜Note \(\because C=A+B\)

\(=1+\cos{C}\times2\cos{A}\cos{B}\) ➜Note \(\because \cos{(A-B)}+\cos{(A+B)}=2\cos{A}\cos{B}\)

\(=1+2\cos{A}\cos{B}\cos{C}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B+C=0\)
\(\Rightarrow A+B=-C, \ C=-(A+B)\)
\(L.S=\cos{A}+\cos{B}+\cos{C}\)
\(=2\cos{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}+\cos{C}\) ➜Note \(\because \cos{D}+\cos{C}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(=2\cos{\frac{-C}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}+\cos{C}\) ➜Note \(\because A+B=-C\)

\(=2\cos{\frac{C}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}+2\cos^2{\frac{C}{2}}-1\) ➜Note এবং \(\cos{A}=2\cos^2{\frac{A}{2}}-1\)

\(=2\cos{\frac{C}{2}}\left(\cos{\frac{A-B}{2}}+\cos{\frac{C}{2}}\right)-1\)
\(=2\cos{\frac{C}{2}}\left\{\cos{\frac{A-B}{2}}+\cos{\frac{-(A+B)}{2}}\right\}-1\) ➜Note \(\because C=-(A+B)\)

\(=2\cos{\frac{C}{2}}\left\{\cos{\left(\frac{A-B}{2}\right)}+\cos{\left(\frac{A+B}{2}\right)}\right\}-1\) ➜Note \(\because \cos{(-\theta)}=\cos{\theta}\)

\(=2\cos{\frac{C}{2}}\left\{\cos{\left(\frac{A}{2}-\frac{B}{2}\right)}+\cos{\left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right)}\right\}-1\)
\(=2\cos{\frac{C}{2}}\times2\cos{\frac{A}{2}}\cos{\frac{B}{2}}-1\) ➜Note \(\because \cos{(A-B)}+\cos{(A+B)}=2\cos{A}\cos{B}\)

\(=4\cos{\frac{A}{2}}\cos{\frac{B}{2}}\cos{\frac{C}{2}}-1\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

\(L.S=\cos^2{(\beta-\gamma)}+\cos^2{(\gamma-\alpha)}+\cos^2{(\alpha-\beta)}\)
\(=\frac{1}{2}\{2\cos^2{(\beta-\gamma)}+2\cos^2{(\gamma-\alpha)}\}+\cos^2{(\alpha-\beta)}\)
\(=\frac{1}{2}\{1+\cos{2(\beta-\gamma)}+1+\cos{2(\gamma-\alpha)}\}+\cos^2{(\alpha-\beta)}\) ➜Note \(\because 2\cos^2{A}=1+\cos{2A}\)

\(=\frac{1}{2}\{2+\cos{(2\beta-2\gamma)}+\cos{(2\gamma-2\alpha)}\}+\cos^2{(\alpha-\beta)}\)
\(=\frac{1}{2}\{2+2\cos{\frac{2\beta-2\gamma+2\gamma-2\alpha}{2}}\cos{\frac{2\beta-2\gamma-2\gamma+2\alpha}{2}}\}+\cos^2{(\alpha-\beta)}\) ➜Note \(\because \cos{D}+\cos{C}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(=\frac{1}{2}\{2+2\cos{\frac{2\beta-2\alpha}{2}}\cos{\frac{2\beta+2\alpha-4\gamma}{2}}\}+\cos^2{(\alpha-\beta)}\)
\(=1+\cos{\frac{-2(\alpha-\beta)}{2}}\cos{\frac{2(\beta+\alpha-2\gamma)}{2}}+\cos^2{(\alpha-\beta)}\)
\(=1+\cos{\{-(\alpha-\beta)\}}\cos{(\beta+\alpha-2\gamma)}+\cos^2{(\alpha-\beta)}\)
\(=1+\cos{(\alpha-\beta)}\cos{(\beta+\alpha-2\gamma)}+\cos^2{(\alpha-\beta)}\) ➜Note \(\because \cos{(-\theta)}=\cos{\theta}\)

\(=1+\cos{(\alpha-\beta)}\{\cos{(\beta+\alpha-2\gamma)}+\cos{(\alpha-\beta)}\}\)
\(=1+\cos{(\alpha-\beta)}[\cos{(\beta+\alpha-2\gamma)}+\cos{\{-(\alpha-\beta)\}}]\) ➜Note \(\because \cos{\theta}=\cos{(-\theta)}\)

\(=1+\cos{(\alpha-\beta)}[\cos{\{(\beta-\gamma)-(\gamma-\alpha)\}}+\cos{\{(\beta-\gamma)+(\gamma-\alpha)\}}]\)
\(=1+\cos{(\alpha-\beta)}\times2\cos{(\beta-\gamma)}\cos{(\gamma-\alpha)}\) ➜Note \(\because \cos{(A-B)}+\cos{(A+B)}=2\cos{A}\cos{B}\)

\(=1+2\cos{(\beta-\gamma)}\cos{(\gamma-\alpha)}\cos{(\alpha-\beta)}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(x+y+z=xyz\)
\(\Rightarrow \tan{A}+\tan{B}+\tan{C}=\tan{A}\tan{B}\tan{C}\) যেখানে, \(x=\tan{A}, \ y=\tan{B}, \ z=\tan{C}\)
\(\Rightarrow \tan{A}+\tan{B}=\tan{A}\tan{B}\tan{C}-\tan{C}\)
\(\Rightarrow \tan{A}+\tan{B}=-\tan{C}(1-\tan{A}\tan{B})\)
\(\Rightarrow \frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}=-\tan{C}\)
\(\Rightarrow \tan{(A+B)}=\tan{(\pi-C)}\) ➜Note \(\because \frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}=\tan{(A+B)}\)

\(\Rightarrow A+B=\pi-C\)
\(\Rightarrow A+B+C=\pi\)
\(\Rightarrow 2A+2B+2C=2\pi\) ➜Note উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে,

\(\Rightarrow \tan{(2A+2B+2C)}=\tan{2\pi}\) ➜Note উভয় পার্শে ট্যানজেন্ট অনুপাত নিয়ে,

\(\Rightarrow \frac{\tan{2A}+\tan{2B}+\tan{2C}-\tan{2A}\tan{2B}\tan{2C}}{1-\tan{2A}\tan{2B}-\tan{2B}\tan{2C}-\tan{2C}\tan{2A}}=0\) ➜Note \(\because \tan{(P+Q+R)}=\frac{\tan{P}+\tan{Q}+\tan{R}-\tan{P}\tan{Q}\tan{R}}{1-\tan{P}\tan{Q}-\tan{Q}\tan{R}-\tan{R}\tan{P}}\)
এবং \(\tan{2\pi}=0\)

\(\Rightarrow \tan{2A}+\tan{2B}+\tan{2C}-\tan{2A}\tan{2B}\tan{2C}=0\) ➜Note আড় গুণ করে,

\(\Rightarrow \tan{2A}+\tan{2B}+\tan{2C}=\tan{2A}\tan{2B}\tan{2C}\)
\(\Rightarrow \frac{2\tan{A}}{1-\tan^2{A}}+\frac{2\tan{B}}{1-\tan^2{B}}+\frac{2\tan{C}}{1-\tan^2{C}}=\frac{2\tan{A}}{1-\tan^2{A}}.\frac{2\tan{B}}{1-\tan^2{B}}.\frac{2\tan{C}}{1-\tan^2{C}}\) ➜Note \(\because \tan{2P}=\frac{2\tan{P}}{1-\tan^2{P}}\)

\(\therefore \frac{2x}{1-x^2}+\frac{2y}{1-y^2}+\frac{2z}{1-z^2}=\frac{2x}{1-x^2}.\frac{2y}{1-y^2}.\frac{2z}{1-z^2}\) ➜Note \(\because x=\tan{A}, \ y=\tan{B}, \ z=\tan{C}\)

(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(yz+zx+xy=1\)
\(\Rightarrow \cot{B}\cot{C}+\cot{C}\cot{A}+\cot{A}\cot{B}=1\) যেখানে, \(x=\cot{A}, \ y=\cot{B}, \ z=\cot{C}\)
\(\Rightarrow \cot{B}\cot{C}-1=-\cot{C}\cot{A}-\cot{A}\cot{B}\)
\(\Rightarrow \cot{B}\cot{C}-1=-\cot{A}(\cot{C}+\cot{B})\)
\(\Rightarrow \frac{\cot{B}\cot{C}-1}{\cot{C}+\cot{B}}=-\cot{A}\)
\(\Rightarrow \cot{(B+C)}=\cot{(\pi-A)}\) ➜Note \(\because \frac{\cot{B}\cot{C}-1}{\cot{C}+\cot{B}}=\cot{(B+C)}\)

\(\Rightarrow B+C=\pi-A\)
\(\Rightarrow 2B+2C=2\pi-2A\) ➜Note উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে,

\(\Rightarrow \cot{(2B+2C)}=\cot{(2\pi-2A)}\) ➜Note উভয় পার্শে কোট্যানজেন্ট অনুপাত নিয়ে,

\(\Rightarrow \cot{(2B+2C)}=\cot{\left(\rac{\pi}{2}\times4-2A\right)}\)
\(\Rightarrow \cot{(2B+2C)}=-\cot{2A}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(4\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(\Rightarrow \frac{\cot{2B}\cot{2C}-1}{\cot{2C}+\cot{2B}}=-\cot{2A}\) ➜Note \(\because \frac{\cot{P}\cot{Q}-1}{\cot{Q}+\cot{P}}=\cot{(P+Q)}\)

\(\Rightarrow \cot{2B}\cot{2C}-1=-\cot{2C}\cot{2A}-\cot{2A}\cot{2B}\) ➜Note আড় গুণ করে,

\(\Rightarrow \cot{2B}\cot{2C}+\cot{2C}\cot{2A}+\cot{2A}\cot{2B}=1\)
\(\Rightarrow \frac{\cot^2{B}-1}{2\cot{B}}.\frac{\cot^2{C}-1}{2\cot{C}}+\frac{\cot^2{C}-1}{2\cot{C}}.\frac{\cot^2{A}-1}{2\cot{A}}+\frac{\cot^2{A}-1}{2\cot{A}}.\frac{\cot^2{B}-1}{2\cot{B}}=1\) ➜Note \(\because \cot{2P}=\frac{\cot^2{P}-1}{2\cot{P}}\)

\(\Rightarrow \frac{y^2-1}{2y}.\frac{z^2-1}{2z}+\frac{z^2-1}{2z}.\frac{x^2-1}{2x}+\frac{x^2-1}{2x}.\frac{y^2-1}{2y}=1\) ➜Note \(\because x=\cot{A}, \ y=\cot{B}, \ z=\cot{C}\)

\(\Rightarrow \frac{(y^2-1)(z^2-1)}{4yz}+\frac{(z^2-1)(x^2-1)}{4zx}+\frac{(x^2-1)(y^2-1)}{4xy}=1\)
\(\therefore \frac{(y^2-1)(z^2-1)}{yz}+\frac{(z^2-1)(x^2-1)}{zx}+\frac{(x^2-1)(y^2-1)}{xy}=4\) ➜Note উভয় পার্শে \(4\) গুণ করে,

(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B+C=n\pi\)
\(\Rightarrow A+B=n\pi-C\)
\(\Rightarrow \tan{(A+B)}=\tan{(n\pi-C)}\) ➜Note উভয় পার্শে ট্যানজেন্ট অনুপাত নিয়ে,

\(\Rightarrow \tan{(A+B)}=\tan{\left(\frac{\pi}{2}\times2n-C\right)}\)
\(\Rightarrow \tan{(A+B)}=-\tan{C}\) ➜Note \(\because n\in{\mathbb{Z}}\) এর জন্য কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় অথবা চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং উভয় চতুর্ভাগে ট্যানজেন্ট অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2n\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(\Rightarrow \frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}=-\tan{C}\) ➜Note \(\because \tan{(A+B)}=\frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}\)

\(\Rightarrow \tan{A}+\tan{B}=-\tan{C}+\tan{A}\tan{B}\tan{C}\) ➜Note আড় গুণ করে,

\(\therefore \tan{A}+\tan{B}+\tan{C}=\tan{A}\tan{B}\tan{C}\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B+C=(2n+1)\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow A+B=(2n+1)\frac{\pi}{2}-C\)
\(\Rightarrow \tan{(A+B)}=\tan{\left\{(2n+1)\frac{\pi}{2}-C\right\}}\) ➜Note উভয় পার্শে ট্যানজেন্ট অনুপাত নিয়ে,

\(\Rightarrow \tan{(A+B)}=\tan{\left\{\frac{\pi}{2}\times(2n+1)-C\right\}}\)
\(\Rightarrow \tan{(A+B)}=\cot{C}\) ➜Note \(\because n\in{\mathbb{Z}}\) এর জন্য কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম অথবা তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং উভয় চতুর্ভাগে ট্যানজেন্ট অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \((2n+1)\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোট্যানজেন্ট হয়েছে।

\(\Rightarrow \frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}=\frac{1}{\tan{C}}\) ➜Note \(\because \tan{(A+B)}=\frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}\)
এবং \(\cot{P}=\frac{1}{\tan{P}}\)

\(\Rightarrow \tan{C}\tan{A}+\tan{B}\tan{C}=1-\tan{A}\tan{B}\) ➜Note আড় গুণ করে,

\(\therefore \tan{B}\tan{C}+\tan{C}\tan{A}+\tan{A}\tan{B}=1\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(p=\sin{2\alpha}, \ q=\sin{2\beta}, \ t=\sin{2\gamma}\) এবং \(\alpha+\beta+\gamma=\pi\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta=\pi-\gamma, \ \gamma=\pi-(\alpha+\beta)\)
\(L.S=p^2+q^2+t^2\)
\(=\sin^2{2\alpha}+\sin^2{2\beta}+\sin^2{2\gamma}\) ➜Note \(\because p=\sin{2\alpha}, \ q=\sin{2\beta}, \ t=\sin{2\gamma}\)

\(=\frac{1}{2}(2\sin^2{2\alpha}+2\sin^2{2\beta})+\sin^2{2\gamma}\)
\(=\frac{1}{2}(1-\cos{4\alpha}+1-\cos{4\beta})+\sin^2{2\gamma}\) ➜Note \(\because 2\sin^2{P}=1-\cos{2P}\)

\(=\frac{1}{2}\{2-(\cos{4\alpha}+\cos{4\beta})\}+\sin^2{2\gamma}\)
\(=\frac{1}{2}(2-2\cos{\frac{4\alpha+4\beta}{2}}\cos{\frac{4\alpha-4\beta}{2}})+\sin^2{2\gamma}\) ➜Note \(\because \cos{C}+\cos{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(=\frac{1}{2}\left\{2-2\cos{\frac{4(\alpha+\beta)}{2}}\cos{\frac{4(\alpha-\beta)}{2}}\right\}+\sin^2{2\gamma}\)
\(=1-\cos{2(\alpha+\beta)}\cos{2(\alpha-\beta)}+\sin^2{2\gamma}\)
\(=1-\cos{2(\pi-\gamma)}\cos{(2\alpha-2\beta)}+\sin^2{2\gamma}\) ➜Note \(\because \alpha+\beta=\pi-\gamma\)

\(=1-\cos{(2\pi-2\gamma)}\cos{(2\alpha-2\beta)}+\sin^2{2\gamma}\)
\(=1-\cos{\left(\frac{\pi}{2}\times4-2\gamma\right)}\cos{(2\alpha-2\beta)}+\sin^2{2\gamma}\)
\(=1-\cos{2\gamma}\cos{(2\alpha-2\beta)}+1-\cos^2{2\gamma}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(4\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।
এবং \(\sin^2{A}=1-\cos^2{A}\)

\(=2-\cos{2\gamma}[\cos{(2\alpha-2\beta)}+\cos{2\gamma}]\)
\(=2-\cos{2\gamma}[\cos{(2\alpha-2\beta)}+\cos{2\{\pi-(\alpha+\beta)\}}]\) ➜Note \(\because \gamma=\pi-(\alpha+\beta)\)

\(=2-\cos{2\gamma}[\cos{(2\alpha-2\beta)}+\cos{\{2\pi-(2\alpha+2\beta)\}}]\)
\(=2-\cos{2\gamma}[\cos{(2\alpha-2\beta)}+\cos{\left\{\frac{\pi}{2}\times4-(2\alpha+2\beta)\right\}}]\)
\(=2-\cos{2\gamma}[\cos{(2\alpha-2\beta)}+\cos{(2\alpha+2\beta)}]\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(4\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=2-\cos{2\gamma}\times2\cos{2\alpha}\cos{2\beta}\) ➜Note \(\because \cos{(A-B)}+\cos{(A+B)}=2\cos{A}\cos{B}\)

\(=2-2\cos{2\alpha}\cos{2\beta}\cos{2\gamma}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(\alpha+\beta+\gamma=0\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta=-\gamma, \ \gamma=-(\alpha+\beta)\)
\(L.S=\cos{\alpha}+\cos{\beta}-\cos{\gamma}\)
\(=2\cos{\frac{\alpha+\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}-\cos{\gamma}\) ➜Note \(\because \cos{D}+\cos{C}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(=2\cos{\frac{-\gamma}{2}}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}-\cos{\gamma}\) ➜Note \(\because \alpha+\beta=-\gamma\)

\(=2\cos{\frac{\gamma}{2}}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}-2\cos^2{\frac{\gamma}{2}}+1\) ➜Note \(\because \cos{A}=2\cos^2{\frac{A}{2}}-1\)
এবং \(\cos{(-\theta)}=\cos{\theta}\)

\(=2\cos{\frac{\gamma}{2}}\left(\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}-\cos{\frac{\gamma}{2}}\right)+1\)
\(=2\cos{\frac{\gamma}{2}}\left\{\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}-\cos{\frac{-(\alpha+\beta)}{2}}\right\}+1\) ➜Note \(\because \gamma=-(\alpha+\beta)\)

\(=2\cos{\frac{\gamma}{2}}\left\{\cos{\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}-\cos{\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}\right\}+1\) ➜Note \(\because \cos{(-\theta)}=\cos{\theta}\)

\(=2\cos{\frac{\gamma}{2}}\left\{\cos{\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2}\right)}-\cos{\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}\right)}\right\}+1\)
\(=2\cos{\frac{\gamma}{2}}\times2\sin{\frac{\alpha}{2}}\sin{\frac{\beta}{2}}+1\) ➜Note \(\because \cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}=2\sin{A}\sin{B}\)

\(=4\sin{\frac{\alpha}{2}}\sin{\frac{\beta}{2}}\cos{\frac{\gamma}{2}}+1\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B+C=\pi\) এবং \(\sin^2{A}+\sin^2{B}+\sin^2{C}=\sin{B}\sin{C}+\sin{C}\sin{A}+\sin{A}\sin{B}\)
\(\Rightarrow \sin^2{A}+\sin^2{B}+\sin^2{C}-\sin{B}\sin{C}-\sin{C}\sin{A}-\sin{A}\sin{B}=0\)
\(\Rightarrow 2\sin^2{A}+2\sin^2{B}+2\sin^2{C}-2\sin{B}\sin{C}-2\sin{C}\sin{A}-2\sin{A}\sin{B}=0\) ➜Note উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে,

\(\Rightarrow \sin^2{A}-2\sin{A}\sin{B}+\sin^2{B}+\sin^2{B}-2\sin{B}\sin{C}+\sin^2{C}+\sin^2{C}-2\sin{C}\sin{A}+\sin^2{A}=0\)
\(\Rightarrow (\sin{A}-\sin{B})^2+(\sin{B}-\sin{C})^2+(\sin{C}-\sin{A})^2=0\) ➜Note \(\because a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)

\(\Rightarrow \sin{A}-\sin{B}=0, \ \sin{B}-\sin{C}=0, \ \sin{C}-\sin{A}=0\) ➜Note একাধিক রাশির বর্গের যোগফল শূন্য হলে, রাশিগুলি পৃথকভাবে শূন্য হয়।

\(\Rightarrow \sin{A}=\sin{B}=\sin{(\pi-B)}\)
\(\Rightarrow \sin{A}=\sin{B} \ \text{অথবা,} \sin{A}=\sin{(\pi-B)}\)
\(\Rightarrow A=B \ \text{অথবা,} A=\pi-B\)
\(\Rightarrow A=B \ \text{অথবা,} A+B=\pi\)
কিন্তু \(A+B+C=\pi\)
সুতরাং \(A+B\ne{\pi}\)
\(\therefore A=B\)
অনুরূপভাবে, দেখানো যায় \(B=C\) এবং \(C=A\)
\(\therefore A=B=C\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(\tan{A}+\tan{B}+\tan{C}=\tan{A}\tan{B}\tan{C}\)
\(\Rightarrow \tan{A}+\tan{B}=-\tan{C}+\tan{A}\tan{B}\tan{C}\)
\(\Rightarrow \tan{A}+\tan{B}=-\tan{C}(1-\tan{A}\tan{B})\)
\(\Rightarrow \frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}=-\tan{C}\)
\(\Rightarrow \tan{(A+B)}=\tan{(1.\pi-C)}\) ➜Note \(\because \frac{\tan{P}+\tan{Q}}{1-\tan{P}\tan{Q}}=\tan{(P+Q)}\)
এবং \(-\tan{C}=\tan{(1.\pi-C)}=\tan{(2.\pi-C)}=\tan{(3.\pi-C)}= .....=\tan{(n\pi-C)}\)

\(\Rightarrow \tan{(A+B)}=\tan{(2.\pi-C)}\)
\(\Rightarrow \tan{(A+B)}=\tan{(3.\pi-C)}\)
\(......................\)
\(......................\)
\(\Rightarrow \tan{(A+B)}=\tan{(n\pi-C)}\)
\(\Rightarrow A+B=n\pi-C\)
\(\therefore A+B+C=n\pi\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B+C=\pi\) এবং \(\cot{A}+\cot{B}+\cot{C}=\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow A+B=\pi-C\)
\(\Rightarrow \cot{(A+B)}=\cot{(\pi-C)}\) ➜Note উভয় পার্শে কোট্যানজেন্ট অনুপাত নিয়ে,

\(\Rightarrow \cot{(A+B)}=\cot{\left(\frac{\pi}{2}\times2-C\right)}\)
\(\Rightarrow \cot{(A+B)}=-\cot{C}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোট্যানজেন্ট অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(\Rightarrow \frac{\cot{A}\cot{B}-1}{\cot{B}+\cot{A}}=-\cot{C}\) ➜Note \(\because \cot{(A+B)}=\frac{\cot{A}\cot{B}-1}{\cot{B}+\cot{A}}\)

\(\Rightarrow \cot{A}\cot{B}-1=-\cot{B}\cot{C}-\cot{C}\cot{A}\) ➜Note আড় গুণ করে,

\(\therefore \cot{A}\cot{B}+\cot{B}\cot{C}+\cot{C}\cot{A}=1\) ➜Note পক্ষান্তর করে,

আবার, দেওয়া আছে,
\(\cot{A}+\cot{B}+\cot{C}=\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow (\cot{A}+\cot{B}+\cot{C})^2=3\) ➜Note উভয় পার্শে বর্গ করে,

\(\Rightarrow (\cot{A}+\cot{B}+\cot{C})^2=3\times1\)
\(\Rightarrow \cot^2{A}+\cot^2{B}+\cot^2{C}+2\cot{A}\cot{B}+2\cot{B}\cot{C}+2\cot{C}\cot{A}=3(\cot{A}\cot{B}+\cot{B}\cot{C}+\cot{C}\cot{A})\) ➜Note \(\because (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)
এবং \(\cot{A}\cot{B}+\cot{B}\cot{C}+\cot{C}\cot{A}=1\)

\(\Rightarrow \cot^2{A}+\cot^2{B}+\cot^2{C}+2\cot{A}\cot{B}+2\cot{B}\cot{C}+2\cot{C}\cot{A}-3\cot{A}\cot{B}+3\cot{B}\cot{C}+3\cot{C}\cot{A}=0\)
\(\Rightarrow \cot^2{A}+\cot^2{B}+\cot^2{C}-\cot{A}\cot{B}-\cot{B}\cot{C}-\cot{C}\cot{A}=0\)
\(\Rightarrow 2\cot^2{A}+2\cot^2{B}+2\cot^2{C}-2\cot{A}\cot{B}-2\cot{B}\cot{C}-2\cot{C}\cot{A}=0\) ➜Note উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে,

\(\Rightarrow \cot^2{A}-2\cot{A}\cot{B}+\cot^2{B}+\cot^2{B}-2\cot{B}\cot{C}+\cot^2{C}+\cot^2{C}-2\cot{C}\cot{A}+\cot^2{A}=0\)
\(\Rightarrow (\cot{A}-\cot{B})^2+(\cot{B}-\cot{C})^2+(\cot{C}-\cot{A})^2=0\) ➜Note \(\because a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)

\(\Rightarrow \cot{A}-\cot{B}=0, \ \cot{B}-\cot{C}=0, \ \cot{C}-\cot{A}=0\) ➜Note একাধিক রাশির বর্গের যোগফল শূন্য হলে, রাশিগুলি পৃথকভাবে শূন্য হয়।

\(\Rightarrow \cot{A}=\cot{B}, \ \cot{B}=\cot{C}, \ \cot{C}=\cot{A}\)
\(\Rightarrow A=B, \ B=C, \ C=A\)
\(\therefore A=B=C\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B+C=(2n+1)\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow A+B=(2n+1)\frac{\pi}{2}-C, \ C=(2n+1)\frac{\pi}{2}-(A+B)\)
\(L.S=\sin{2A}+\sin{2B}+\sin{2C}\)
\(=2\sin{\frac{2A+2B}{2}}\cos{\frac{2A-2B}{2}}+\sin{2C}\) ➜Note \(\because \sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(=2\sin{\frac{2(A+B)}{2}}\cos{\frac{2(A-B)}{2}}+\sin{2C}\)
\(=2\sin{(A+B)}\cos{(A-B)}+\sin{2C}\)
\(=2\sin{\left\{(2n+1)\frac{\pi}{2}-C\right\}}\cos{(A-B)}+\sin{2C}\) ➜Note \(\because A+B=(2n+1)\frac{\pi}{2}-C\)

\(=2\sin{\left\{\frac{\pi}{2}\times(2n+1)-C\right\}}\cos{(A-B)}+\sin{2C}\)
\(=\pm2\cos{C}\cos{(A-B)}+2\sin{C}\cos{C}\) ➜Note \(\because n\in{\mathbb{Z}}\) এর জন্য কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম অথবা তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং প্রথম এবং তৃতীয় চতুর্ভাগে সাইন অনুপাত যথাক্রমে ধনাত্মক এবং ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \((2n+1)\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।
এবং \(\sin{2P}=2\sin{P}\cos{P}\)

\(=2\cos{C}\left[\pm\cos{(A-B)}+\sin{\left\{\frac{\pi}{2}\times(2n+1)-(A+B)\right\}}\right]\) ➜Note \(\because C=(2n+1)\frac{\pi}{2}-(A+B)\)

\(=2\cos{C}\{\pm\cos{(A-B)}\pm\cos{(A+B)}\}\) ➜Note \(\because n\in{\mathbb{Z}}\) এর জন্য কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম অথবা তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং প্রথম এবং তৃতীয় চতুর্ভাগে সাইন অনুপাত যথাক্রমে ধনাত্মক এবং ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \((2n+1)\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।
এবং \(\sin{2P}=2\sin{P}\cos{P}\)

\(=\pm2\cos{C}\{\cos{(A-B)}+\cos{(A+B)}\}\)
\(=\pm2\cos{C}\times2\cos{A}\cos{B}\) ➜Note \(\because \cos{(A-B)}+\cos{(A+B)}=2\cos{A}\cos{B}\)

\(=\pm4\cos{A}\cos{B}\cos{C}\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(\cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C}+2\cos{A}\cos{B}\cos{C}=1\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}(2\cos^2{A}+2\cos^2{B})+\cos^2{C}+\cos{C}\times2\cos{A}\cos{B}=1\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}(1+\cos{2A}+1+\cos{2B})+\cos^2{C}+\cos{C}\{\cos{(A-B)}+\cos{(A+B)}\}=1\) ➜Note \(\because 2\cos^2{P}=1+\cos{2P}\)
\(2\cos{P}\cos{Q}=\cos{(P-Q)}+\cos{(P+Q)}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{2}\{2+(\cos{2A}+\cos{2B})\}+\cos^2{C}+\cos{(A-B)}\cos{C}+\cos{(A+B)}\cos{C}=1\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}\{2+2\cos{\frac{2A+2B}{2}}\cos{\frac{2A-2B}{2}}\}+\cos^2{C}+\cos{(A-B)}\cos{C}+\cos{(A+B)}\cos{C}=1\) ➜Note \(\because \cos{C}+\cos{D}=2\cos{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)

\(\Rightarrow 1+\cos{\frac{2(A+B)}{2}}\cos{\frac{2(A-B)}{2}}+\cos^2{C}+\cos{(A-B)}\cos{C}+\cos{(A+B)}\cos{C}=1\)
\(\Rightarrow \cos{(A+B)}\cos{(A-B)}+\cos{(A+B)}\cos{C}+\cos{(A-B)}\cos{C}+\cos^2{C}=0\)
\(\Rightarrow \cos{(A+B)}\{\cos{(A-B)}+\cos{C}\}+\cos{C}\{\cos{(A-B)}+\cos{C}\}=0\)
\(\Rightarrow \{\cos{(A+B)}+\cos{C}\}\{\cos{(A-B)}+\cos{C}\}=0\)
\(\Rightarrow \cos{(A\pm{B})}+\cos{C}=0\)
\(\Rightarrow \cos{(A\pm{B})}=-\cos{C}\)
\(\Rightarrow \cos{(A\pm{B})}=\cos{\{(2n+1)\pi\pm{C}\}}\)
\(\Rightarrow A\pm{B}=(2n+1)\pi\pm{C}\)
\(\therefore A\pm{B}\pm{C}=(2n+1)\pi\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(x+y+z=xyz\)
\(\Rightarrow \tan{A}+\tan{B}+\tan{C}=\tan{A}\tan{B}\tan{C}\) যেখানে, \(x=\tan{A}, \ y=\tan{B}, \ z=\tan{C}\)
\(\Rightarrow \tan{A}+\tan{B}=\tan{A}\tan{B}\tan{C}-\tan{C}\)
\(\Rightarrow \tan{A}+\tan{B}=-\tan{C}(1-\tan{A}\tan{B})\)
\(\Rightarrow \frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}=-\tan{C}\)
\(\Rightarrow \tan{(A+B)}=\tan{(\pi-C)}\) ➜Note \(\because \frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}=\tan{(A+B)}\)

\(\Rightarrow A+B=\pi-C\)
\(\Rightarrow A+B+C=\pi\)
\(\Rightarrow 3A+3B+3C=3\pi\) ➜Note উভয় পার্শে \(3\) গুণ করে,

\(\Rightarrow \tan{(3A+3B+3C)}=\tan{3\pi}\) ➜Note উভয় পার্শে ট্যানজেন্ট অনুপাত নিয়ে,

\(\Rightarrow \frac{\tan{3A}+\tan{3B}+\tan{3C}-\tan{3A}\tan{3B}\tan{3C}}{1-\tan{3A}\tan{3B}-\tan{3B}\tan{3C}-\tan{3C}\tan{3A}}=0\) ➜Note \(\because \tan{(P+Q+R)}=\frac{\tan{P}+\tan{Q}+\tan{R}-\tan{P}\tan{Q}\tan{R}}{1-\tan{P}\tan{Q}-\tan{Q}\tan{R}-\tan{R}\tan{P}}\)
এবং \(\tan{3\pi}=0\)

\(\Rightarrow \tan{3A}+\tan{3B}+\tan{3C}-\tan{3A}\tan{3B}\tan{3C}=0\) ➜Note আড় গুণ করে,

\(\Rightarrow \tan{3A}+\tan{3B}+\tan{3C}=\tan{3A}\tan{3B}\tan{3C}\)
\(\Rightarrow \frac{3\tan{A}-\tan^3{A}}{1-3\tan^2{A}}+\frac{3\tan{B}-\tan^3{B}}{1-3\tan^2{B}}+\frac{3\tan{C}-\tan^3{C}}{1-3\tan^2{C}}=\frac{3\tan{A}-\tan^3{A}}{1-3\tan^2{A}}.\frac{3\tan{B}-\tan^3{B}}{1-3\tan^2{B}}.\frac{3\tan{C}-\tan^3{C}}{1-3\tan^2{C}}\) ➜Note \(\because \tan{3P}=\frac{3\tan{P}-\tan^3{P}}{1-3\tan^2{P}}\)

\(\therefore \frac{3x-x^3}{1-3x^2}+\frac{3y-y^3}{1-3y^2}+\frac{3z-z^3}{1-3z^2}=\frac{3x-x^3}{1-3x^2}.\frac{3y-y^3}{1-3y^2}.\frac{3z-z^3}{1-3z^2}\) ➜Note \(\because x=\tan{A}, \ y=\tan{B}, \ z=\tan{C}\)

(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
ত্রিভুজ \(ABC\)-এ \(\sin^2{A}+\sin^2{B}+\sin^2{C}=\sin{B}\sin{C}+\sin{C}\sin{A}+\sin{A}\sin{B}\)
\(\sin^2{A}+\sin^2{B}+\sin^2{C}-\sin{B}\sin{C}-\sin{C}\sin{A}-\sin{A}\sin{B}=0\)
\(\Rightarrow 2\sin^2{A}+2\sin^2{B}+2\sin^2{C}-2\sin{B}\sin{C}-2\sin{C}\sin{A}-2\sin{A}\sin{B}=0\) ➜Note উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে,

\(\Rightarrow \sin^2{A}-2\sin{A}\sin{B}+\sin^2{B}+\sin^2{B}-2\sin{B}\sin{C}+\sin^2{C}+\sin^2{C}-2\sin{C}\sin{A}+\sin^2{A}=0\)
\(\Rightarrow (\sin{A}-\sin{B})^2+(\sin{B}-\sin{C})^2+(\sin{C}-\sin{A})^2=0\) ➜Note \(\because a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)

\(\Rightarrow \sin{A}-\sin{B}=0, \ \sin{B}-\sin{C}=0, \ \sin{C}-\sin{A}=0\) ➜Note একাধিক রাশির বর্গের যোগফল শূন্য হলে, রাশিগুলি পৃথকভাবে শূন্য হয়।

\(\Rightarrow \sin{A}=\sin{B}=\sin{(\pi-B)}\)
\(\Rightarrow \sin{A}=\sin{B} \ \text{অথবা,} \sin{A}=\sin{(\pi-B)}\)
\(\Rightarrow A=B \ \text{অথবা,} A=\pi-B\)
\(\Rightarrow A=B \ \text{অথবা,} A+B=\pi\)
কিন্তু \(A+B+C=\pi\)
সুতরাং \(A+B\ne{\pi}\)
\(\therefore A=B\)
অনুরূপভাবে, দেখানো যায় \(B=C\) এবং \(C=A\)
\(\therefore A=B=C\) অর্থাৎ ত্রিভুজের কোণগুলি সমান।
ত্রিভুজের কোণগুলি সমান হলে, এর বাহুগুলিও পরস্পর সমান হয়।
অতএব, ত্রিভুজটি সমবাহু।
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B+C=\pi, \ B=\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow A+B=\pi-C, \ C=\pi-(A+B)\)
\(L.S=\sin^2{A}-\sin^2{B}+\sin^2{C}\)
\(=\frac{1}{2}(2\sin^2{A}-2\sin^2{B})+\sin^2{C}\)
\(=\frac{1}{2}(1-\cos{2A}-1+\cos{2B})+\sin^2{C}\) ➜Note \(\because 2\sin^2{P}=1-\cos{2P}\)

\(=\frac{1}{2}(\cos{2B}-\cos{2A})+\sin^2{C}\)
\(=\frac{1}{2}(2\sin{\frac{2A+2B}{2}}\sin{\frac{2A-2B}{2}})+\sin^2{C}\) ➜Note \(\because \cos{D}-\cos{C}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\sin{\frac{C-D}{2}}\)

\(=\frac{1}{2}\left\{2\sin{\frac{2(A+B)}{2}}\sin{\frac{2(A-B)}{2}}\right\}+\sin^2{C}\)
\(=\sin{(A+B)}\sin{(A-B)}+\sin^2{C}\)
\(=\sin{(\pi-C)}\sin{(A-B)}+\sin^2{C}\) ➜Note \(\because A+B=\pi-C\)

\(=\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times2-C\right)}\sin{(A-B)}+\sin^2{C}\)
\(=\sin{C}\sin{(A-B)}+\sin^2{C}\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=\sin{C}[\sin{(A-B)}+\sin{C}]\)
\(=\sin{C}[\sin{(A-B)}+\sin{\{\pi-(A+B)\}}]\) ➜Note \(\because C=\pi-(A+B)\)

\(=\sin{C}[\sin{(A-B)}+\sin{\left\{\frac{\pi}{2}\times2-(A+B)\right\}}]\)
\(=\sin{C}[\sin{(A-B)}+\sin{(A+B)}]\) ➜Note
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।

\(=\sin{C}\times2\sin{A}\cos{B}\) ➜Note \(\because \sin{(A-B)}+\sin{(A+B)}=2\sin{A}\cos{B}\)

\(=2\sin{A}\cos{B}\sin{C}\)
\(=2\sin{A}\cos{\frac{\pi}{2}}\sin{C}\) ➜Note \(\because B=\frac{\pi}{2}\)

\(=2\sin{A}\times0\times\sin{C}\) ➜Note \(\because \cos{\frac{\pi}{2}}=0\)

\(=0\)
\(=R.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

\(\alpha+\beta+\gamma=0\) হলে,
\(\sin{\alpha}+\sin{\beta}+\sin{\gamma}=-4\sin{\frac{\alpha}{2}}\sin{\frac{\beta}{2}}\sin{\frac{\gamma}{2}} ...(1)\)
এবং,
\(1+\cos{\alpha}+\cos{\beta}+\cos{\gamma}=4\cos{\frac{\alpha}{2}}\cos{\frac{\beta}{2}}\cos{\frac{\gamma}{2}} ...(2)\)
\(R.S=2(\sin{\alpha}+\sin{\beta}+\sin{\gamma})(1+\cos{\alpha}+\cos{\beta}+\cos{\gamma})\)
\(=2\times-4\sin{\frac{\alpha}{2}}\sin{\frac{\beta}{2}}\sin{\frac{\gamma}{2}}\times4\cos{\frac{\alpha}{2}}\cos{\frac{\beta}{2}}\cos{\frac{\gamma}{2}}\) ➜Note \((1)\) ও \((2)\) এর সাহায্যে

\(=-4\times2\sin{\frac{\alpha}{2}}\cos{\frac{\alpha}{2}}\times2\sin{\frac{\beta}{2}}\cos{\frac{\beta}{2}}\times2\sin{\frac{\gamma}{2}}\cos{\frac{\gamma}{2}}\)
\(=-4\sin{\alpha}\sin{\beta}\sin{\gamma}\)➜Note \(\because 2\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{A}{2}}=\sin{A}\)

\(=-2\sin{\gamma}\times2\sin{\alpha}\sin{\beta}\)
\(=-2\sin{\gamma}\{\cos{(\alpha-\beta)}-\cos{(\alpha+\beta)}\}\) ➜Note \(\because 2\sin{A}\sin{B}=\cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}\)

\(=-2\sin{\gamma}\cos{(\alpha-\beta)}+2\sin{\gamma}\cos{(\alpha+\beta)}\)
\(=-2\sin{\{-(\alpha+\beta)\}}\cos{(\alpha-\beta)}+2\sin{\gamma}\cos{\{-\gamma\}}\) ➜Note \(\because \alpha+\beta=-\gamma\)
এবং \(\gamma=-(\alpha+\beta)\)

\(=2\sin{(\alpha+\beta)}\cos{(\alpha-\beta)}+2\sin{\gamma}\cos{\gamma}\) ➜Note \(\because \sin{(-\theta)}=-\sin{\theta}\)
এবং \(\cos{(-\theta)}=\cos{\theta}\)

\(=\sin{(\alpha+\beta+\alpha-\beta)}+\sin{(\alpha+\beta-\alpha+\beta)}+\sin{2\gamma}\) ➜Note \(\because 2\sin{A}\cos{B}=\sin{(A+B)}+\sin{(A-B)}\)
এবং \(2\sin{A}\cos{A}=\sin{2A}\)

\(=\sin{2\alpha}+\sin{2\beta}+\sin{2\gamma}\)
\(=L.S\)
\(\therefore L.S=R.S\)
(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,
\(A+B+C=\frac{n\pi}{2}\)
\(\Rightarrow A+B=\frac{n\pi}{2}-C\)
\(\Rightarrow \tan{(A+B)}=\tan{\left\{\frac{n\pi}{2}-C\right\}}\) ➜Note উভয় পার্শে ট্যানজেন্ট অনুপাত নিয়ে,

\(\Rightarrow \tan{(A+B)}=\tan{\left\{\frac{\pi}{2}\times{n}-C\right\}}\)
\(\Rightarrow \tan{(A+B)}=\cot{C}\) ➜Note \(\because n\) বিজোড় সংখ্যা হলে, কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম অথবা তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত হবে
সুতরাং উভয় চতুর্ভাগে ট্যানজেন্ট অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(n\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোট্যানজেন্ট হয়েছে।

\(\Rightarrow \frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}=\frac{1}{\tan{C}}\) ➜Note \(\because \tan{(A+B)}=\frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}\)
এবং \(\cot{P}=\frac{1}{\tan{P}}\)

\(\Rightarrow \tan{C}\tan{A}+\tan{B}\tan{C}=1-\tan{A}\tan{B}\) ➜Note আড় গুণ করে,

\(\therefore \tan{B}\tan{C}+\tan{C}\tan{A}+\tan{A}\tan{B}=1\)
(প্রমাণিত)