ত্রিভুজের ধর্ম বা বৈশিষ্ট্য
barcode
এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
সার সংক্ষেপ
ত্রিভুজের ধর্ম বা বৈশিষ্ট্য \(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}\) \(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\) \(\cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\) \(\cos{B}=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\) \(\cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\) \(a=b\cos{C}+c\cos{B}\) \(b=c\cos{A}+a\cos{C}\) \(c=a\cos{B}+b\cos{A}\) \(\sin{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}\) \(\sin{\frac{B}{2}}=\sqrt{\frac{(s-c)(s-a)}{ca}}\) \(\sin{\frac{C}{2}}=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{ab}}\) \(\cos{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}\) \(\cos{\frac{B}{2}}=\sqrt{\frac{s(s-b)}{ca}}\) \(\cos{\frac{C}{2}}=\sqrt{\frac{s(s-c)}{ab}}\) \(\tan{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}\) \(\tan{\frac{B}{2}}=\sqrt{\frac{(s-c)(s-a)}{s(s-b)}}\)\(\tan{\frac{C}{2}}=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}\)\(\cot{\frac{A}{2}}=\frac{s(s-a)}{\triangle}\)\(\cot{\frac{B}{2}}=\frac{s(s-b)}{\triangle}\)\(\cot{\frac{C}{2}}=\frac{s(s-c)}{\triangle}\)\(\triangle=\frac{1}{2}bc\sin{A}=\frac{1}{2}ca\sin{B}=\frac{1}{2}ab\sin{C}\)\(\triangle=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)\(\triangle=\frac{abc}{4R}\)\(\triangle=\frac{1}{4}(2b^2c^2+2c^2a^2+2a^2b^2-a^4-b^4-c^4)^{\frac{1}{2}}\)\(\triangle=rs\)\(\sin{A}=\frac{2\triangle}{bc}\)\(\sin{B}=\frac{2\triangle}{ca}\)\(\sin{C}=\frac{2\triangle}{ab}\)\(\tan{\frac{B-C}{2}}=\frac{b-c}{b+c}\cot{\frac{A}{2}}\)\(\tan{\frac{C-A}{2}}=\frac{c-a}{c+a}\cot{\frac{B}{2}}\)\(\tan{\frac{A-B}{2}}=\frac{a-b}{a+b}\cot{\frac{C}{2}}\)\(\cot{A}=\frac{R(b^2+c^2-a^2)}{abc}\)\(\cot{B}=\frac{R(c^2+a^2-b^2)}{abc}\)\(\cot{C}=\frac{R(a^2+b^2-c^2)}{abc}\)
ত্রিভুজের ধর্ম বা বৈশিষ্ট্য
The properties or features of the triangle
ত্রিভুজের তিনটি বাহু ও তিনটি কোণসহ মোট ছয়টি উপাদান রয়েছে। এ তিনটি বাহু, তিনটি কোণ ও ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের মধ্যে বিভিন্ন সম্পর্ক বিদ্যমান। এই সম্পর্ক গুলিকে ত্রিভুজের ধর্ম বা বৈশিষ্ট্য বলা হয়।
প্রয়োজনীয় ও স্বরণীয় সূত্রসমূহ
Necessary and memorable formulas
ত্রিভুজের সাইন সূত্র
The sine formula of the triangle
\(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}\) \(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)

ত্রিভুজের কোসাইন সূত্র
The cosine formula of the triangle
\(\cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\) \(\cos{B}=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\) \(\cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)

ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুকে তার ওপর অবস্থিত কোণ ও অপর বাহুদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ
Each side of the triangle is expressed by the angle on it and the other side
\(a=b\cos{C}+c\cos{B}\) \(b=c\cos{A}+a\cos{C}\) \(c=a\cos{B}+b\cos{A}\)

ত্রিভুজের অর্ধ কোণসমূহের সাইন অনুপাতের মাধ্যমে প্রকাশ
Express through the sine ratio of the half angles of the triangle
\(\sin{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}\) \(\sin{\frac{B}{2}}=\sqrt{\frac{(s-c)(s-a)}{ca}}\) \(\sin{\frac{C}{2}}=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{ab}}\)

ত্রিভুজের অর্ধ কোণসমূহের কোসাইন অনুপাতের মাধ্যমে প্রকাশ
Express through the cosine ratio of the half angles of the triangle
\(\cos{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}\) \(\cos{\frac{B}{2}}=\sqrt{\frac{s(s-b)}{ca}}\) \(\cos{\frac{C}{2}}=\sqrt{\frac{s(s-c)}{ab}}\)

ত্রিভুজের অর্ধ কোণসমূহের ট্যানজেন্ট ও কোট্যানজেন্ট অনুপাতের মাধ্যমে প্রকাশ
Express through the tangent and cotangent ratio of the half angles of the triangle
\(\tan{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}\) \(\tan{\frac{B}{2}}=\sqrt{\frac{(s-c)(s-a)}{s(s-b)}}\) \(\tan{\frac{C}{2}}=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}\)
\(\cot{\frac{A}{2}}=\frac{s(s-a)}{\triangle}\) \(\cot{\frac{B}{2}}=\frac{s(s-b)}{\triangle}\) \(\cot{\frac{C}{2}}=\frac{s(s-c)}{\triangle}\)

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
Area of ​​a triangle
\(\triangle=\frac{1}{2}bc\sin{A}=\frac{1}{2}ca\sin{B}=\frac{1}{2}ab\sin{C}\) \(\triangle=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) \(\triangle=\frac{abc}{4R}\)
\(\triangle=\frac{1}{4}(2b^2c^2+2c^2a^2+2a^2b^2-a^4-b^4-c^4)^{\frac{1}{2}}\)

অন্ত ব্যাসার্ধের সাহায্যে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
Area of ​​a triangle with the help of inner radius
\(\triangle=rs\)

ত্রিভুজের কোণের সাইনের সহিত ক্ষেত্রফলের সম্পর্ক
The relation of area with the sign of the angle of a triangle
\(\sin{A}=\frac{2\triangle}{bc}\) \(\sin{B}=\frac{2\triangle}{ca}\) \(\sin{C}=\frac{2\triangle}{ab}\)

ত্রিভুজের ট্যানজেন্ট সূত্র
The tangent formula of the triangle
\(\tan{\frac{B-C}{2}}=\frac{b-c}{b+c}\cot{\frac{A}{2}}\) \(\tan{\frac{C-A}{2}}=\frac{c-a}{c+a}\cot{\frac{B}{2}}\) \(\tan{\frac{A-B}{2}}=\frac{a-b}{a+b}\cot{\frac{C}{2}}\)

ত্রিভুজের কোট্যানজেন্ট সূত্র
The cotangent formula of the triangle
\(\cot{A}=\frac{R(b^2+c^2-a^2)}{abc}\) \(\cot{B}=\frac{R(c^2+a^2-b^2)}{abc}\) \(\cot{C}=\frac{R(a^2+b^2-c^2)}{abc}\)

অধ্যায় \(7G\)-এর উদাহরণসমুহ
উদাহরণ \(1.\) যদি কোনো ত্রিভুজে \(A=60^{o}\) হয় তবে দেখাও যে, \(b+c=2a\cos{\frac{B-C}{2}}\)
বঃ ২০১৪, ২০০৯; যঃ২০১৩; কুঃ২০১১; সিঃ২০১০,২০০১; ঢাঃ২০১০; রাঃ২০০৯।

উদাহরণ \(2.\) \(\triangle{ABC}\)-এ \(\cos{A}=\sin{B}-\cos{C}\) হলে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।
মাঃ ২০১৪, ২০০৯; যঃ২০১৭,২০১৪,২০১২,২০০৯; সিঃ২০১৯,২০১১,২০০৬; ঢাঃ২০১৩,২০০৭; কুঃ২০১৩; বঃ২০১২,২০১০; রাঃ, চঃ ২০১২,২০০৮।

উদাহরণ \(3.\) যদি \(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}=\frac{3}{a+b+c}\) হয় তবে দেখাও যে, \(ABC\) ত্রিভুজে \(C=60^{o}\)
কুঃ ২০১৪, ২০০৭; চঃ২০১৬,২০১৩,২০১১; সিঃ২০১২,২০০৮,২০০৪; ঢাঃ২০১২,২০০৫; বঃ২০১১; মাঃ২০১০; রাঃ২০১৬,২০০৬; যঃ ২০১৩।

উদাহরণ \(4.\)
straight3
\((a)\) দেখাও যে, \((b+c)\sin{\frac{A}{2}}=a\cos{\frac{B-C}{2}}\)
\((b)\) যদি \(a^4+b^4+c^4=2c^2(a^2+b^2)\) হয় তবে দেখাও যে, \(C=45^{o}\) অথবা \(135^{o}\)
ঢাঃ২০১৪,২০১১,২০০৬; রাঃ২০১৪,২০১০,২০০৪; চঃ ২০১৪,২০০৩; দিঃ২০১২;যঃ২০১১,২০০৬; মাঃ২০১১; কুঃ২০০৮,২০০৬; বঃ২০০৮।
\((c)\) \(a=\sqrt{3}+1, \ b=\sqrt{3}-1\) এবং \(C=60^{o}\) হলে \(c, \ A\) ও \(B\) নির্ণয় কর।
ঢাঃ২০১৫; যঃ২০০৯।

উদাহরণ \(5.\)
straight3
\(\triangle{ABC}\) এর পরি ব্যাসার্ধ \(R\)
\((a)\) \(A+B=105^{o}\) হলে \(\sin{C}\) নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, \(a^2+b^2+c^2=8R^2(1+\cos{A}\cos{B}\cos{C})\)
\((c)\) \(\triangle{PQR}\) এর ক্ষেত্রে \(\frac{1}{PQ+PS}=\frac{3}{PS+PQ+QS}-\frac{1}{PS+QS}\) হলে \(\angle{Q}\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ\((a)\) \(\frac{1}{4}(\sqrt{6}+\sqrt{2})\)
\((c)\) \(60^{o}\)

উদাহরণ \(6.\) যে কোনো \(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, \(\tan{\frac{B-C}{2}}=\frac{b-c}{b+c}\cot{\frac{A}{2}}\)

উদাহরণ \(7.\) \(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, \(\sin{\frac{A-B}{2}}=\frac{a-b}{c}\cos{\frac{C}{2}}\)

উদাহরণ \(8.\) \(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, \(\sin{\frac{C-A}{2}}=\frac{c-a}{b}\cos{\frac{B}{2}}\)

উদাহরণ \(9.\)
straight3
\((a)\) দেখাও যে, \(\sec{\left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)}\sec{\left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)}=2\sec{2\theta}\)
\((b)\) উদ্দীপকের ত্রিভুজে যদি \(\cot{A}+\cot{A}+\cot{A}=\sqrt{3}\) হয় তবে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমবাহু।
\((c)\) উদ্দীপকের ত্রিভুজের যে কোনো দুইটি কোণের কোসাইনের অনুপাত তাদের বিপরীত বাহুর সাথে ব্যস্তভেদে অন্বিত হলে, প্রমাণ কর যে, ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু অথবা সমকোণী।

উদাহরণ \(10.\) একজন চরকা নির্মাতা তার নির্মিত চরকায় সাদা, কালো ও লাল এই তিন প্রকারের সিলিকন প্লেট ব্যবহার করেন। সাদা, কালো ও লাল প্রকারের প্লেটের মূল্য যথাক্রমে বর্গ সেমি প্রতি \(40\) টাকা, \(30\) টাকা ও \(25\) টাকা।
straight3
\((a)\) দেখাও যে, \(\frac{\cos{x}-\cos{2x}}{1-\cos{x}}=2\cos{x}+1\)
\((b)\) \(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, \(b+c=2a\cos{\frac{B-C}{2}}\)
\((c)\) \(b=c=4\) হলে, চর্কার দাগাংকিত অংশ লাল, ছায়াঘেরা অংশ কালো এবং বাকি অংশ সাদা প্লেট দ্বারা তৈরি করতে মোট কত খরচ হবে?

উদাহরণ \(11.\) \(\triangle{ABC}\) এ \(c=3.8\) সে.মি. \(a=5.2\) সে.মি. এবং \(A=35^{o}\) হলে, \(B\) কোণের মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ\(120.2^{o}\)

উদাহরণ \(12.\) প্রাচীর দিয়ে ঘেরা একটি ত্রিভুজাকার জমির ক্ষেত্রফল \(1200\) বর্গ মিটার, ক্ষুদ্রাকৃতির দুই পাশের প্রাচীরের দৈর্ঘ্য যুথাক্রমে \(60\) মি. এবং \(80\) মি. হলে এদের মধ্যবর্তী কোণ কত? সম্পূর্ণ প্রাচীরের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ\(150^{o}, \ 275.47\) মি.

উদাহরণ \(13.\) \(p=\sin{2\alpha}, \ q=\sin{2\beta}, \ r=\cos{2\alpha}\)
\(s=\cos{2\beta}, \ t=\sin{2\gamma}\)
\((a)\) \(\triangle{ABC}\) এর তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য \(a, \ b, \ c\) যেখানে \(a^2+b^2-c^2=\sqrt{2}ab.\) \(C\) কোণের মান নির্ণয় কর।
\((b)\) যদি \(p+q=c, \ r+s=d\) হয় তবে দেখাও যে, \(\cos{(2\alpha+2\beta)}=\frac{d^2-c^2}{d^2+c^2}\)
\((c)\) যদি \(\alpha+\beta+\gamma=\pi\) হয় তবে দেখাও যে, \(p^2+q^2+t^2=2-2\cos{2\alpha}\cos{2\beta}\cos{2\gamma}\)
উত্তরঃ \( C=45^{o}\)
ঢঃ,দিঃ,সিঃ,যঃ ২০১৮।

অধ্যায় \(7G\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
যে কোনো \(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রে প্রমাণ করঃ
\(Q.1.(i)\) \(\frac{b-c}{b+c}=\frac{\sin{B}-\sin{C}}{\sin{B}+\sin{C}}=\tan{\frac{B-C}{2}}\tan{\frac{A}{2}}\)
রাঃ২০১০; কুঃ,সিঃ২০০৮।

\(Q.1.(ii)\) \(\frac{a-b}{a+b}=\tan{\frac{A-B}{2}}\tan{\frac{C}{2}}\)
অথবা, \((a+b)\tan{\frac{A-B}{2}}=(a-b)\cot{\frac{C}{2}}\)
যঃ২০০৯।

\(Q.1.(iii)\) \(\sin{\frac{B-C}{2}}=\frac{b-c}{a}\cos{\frac{A}{2}}\)
চঃ২০১৯,২০০৭; কুঃ২০১৩,২০০৭; দিঃ২০০৯; ঢাঃ২০০৬।

\(Q.1.(iv)\) \(\cos{\frac{B-C}{2}}=\frac{b+c}{a}\sin{\frac{A}{2}}\)
যঃ২০১৬,২০১৩,২০১০; সিঃ,চঃ২০১৩; ঢাঃ২০১২,২০০২; মাঃ২০১২।

\(Q.1.(v)\) \(a\sin{\left(\frac{A}{2}+B\right)}=(b+c)\sin{\frac{A}{2}}=a\cos{\frac{B-C}{2}}\)
সিঃ২০১১,২০০৯; ঢাঃ২০১০; চঃ২০১১।

\(Q.1.(vi)\) \(AC\sin{\left(\frac{B}{2}+C\right)}=(AB+BC)\sin{\frac{B}{2}}\)
ঢাঃ২০১৯।

\(Q.1.(vii)\) \(\frac{a-b}{c}cosec \ {\frac{A-B}{2}}=\sec{\frac{C}{2}}\)
চঃ২০১৯।

\(Q.1.(viii)\) দেখাও যে, \(\frac{b+c}{a}\sin{\frac{A}{2}}=\cos{\frac{B-C}{2}}\)
চঃ২০১৩; ঢাঃ২০১২,২০০২; যঃ২০১৩,২০১০; বঃ২০০৩; মাঃ২০১২।

যে কোনো \(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রে প্রমাণ করঃ
\(Q.1.(ix)\) দেখাও যে, \(\frac{c+a}{b}\sin{\frac{B}{2}}=\cos{\frac{C-A}{2}}\)

\(Q.1.(x)\) দেখাও যে, \(\frac{a+b}{c}\sin{\frac{C}{2}}=\cos{\frac{A-B}{2}}\)

\(Q.1.(xi)\) দেখাও যে, \(a\sin{\left(\frac{A}{2}+C\right)}=(b+c)\sin{\frac{A}{2}}\)
ঢাঃ২০১৯।

\(Q.1.(xii)\) দেখাও যে, \(\frac{b-c}{a}\cos{\frac{A}{2}}=\sin{\frac{B-C}{2}}\)
চঃ২০১৯,২০০৭; কুঃ২০১৩,২০০৭; দিঃ২০০৯; ঢাঃ২০০৬।

\(Q.1.(xiii)\) \(\sin{\frac{A-B}{2}}=\frac{a-b}{c}\cos{\frac{C}{2}}\)
কুঃ২০০৪; ঢাঃ২০০১।

\(Q.1.(xiv)\) \(\sin{\frac{C-A}{2}}=\frac{c-a}{b}\cos{\frac{B}{2}}\)

\(Q.1.(xv)\) \(\frac{a-b}{a+b}=\frac{\sin{A}-\sin{B}}{\sin{A}+\sin{B}}\)

\(Q.1.(xvi)\) \(\frac{\sin{(B-C)}}{\sin{A}}=\frac{b\cos{C}-c\cos{B}}{b\cos{C}+c\cos{B}}\)

অধ্যায় \(7G\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
যে কোনো \(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রে প্রমাণ করঃ
\(Q.2.(i)\) \((b+c)\cos{A}+(c+a)\cos{B}+(a+b)\cos{C}=a+b+c\)
রাঃ২০১৪; সিঃ২০০৭,২০০৩; বঃ২০০৫।

\(Q.2.(ii)\) \(a(\cos{B}+\cos{C})=2(b+c)\sin^2{\frac{A}{2}}\)
সিঃ২০১৪,২০০৩; চঃ২০১৩, ২০০৯,‌২০০৬; বঃ২০১৩,২০০৪; ঢাঃ২০০৮; যঃ২০০০।

\(Q.2.(iii)\) \(a(\cos{C}-\cos{B})=2(b-c)\cos^2{\frac{A}{2}}\)
বঃ২০১৫; সিঃ২০১২, ২০১০; ঢাঃ২০১১; দিঃ২০১০; যঃ২০০৪; রাঃ২০০৯।

\(Q.2.(iv)\) \(a^2(\cos^2{B}-\cos^2{C})+b^2(\cos^2{C}-\cos^2{A})+c^2(\cos^2{A}-\cos^2{B})=0\)
যঃ২০১২,২০০৭,২০০৪; রাঃ২০০৭, ২০০২; চঃ২০০৪,২০০০।

\(Q.2.(v)\) \(a^2(\sin^2{B}-\sin^2{C})+b^2(\sin^2{C}-\sin^2{A})+c^2(\sin^2{A}-\sin^2{B})=0\)
যঃ, চঃ২০০৮।

\(Q.2.(vi)\) \(\sin{A}+\sin{B}+\sin{C}=\frac{s}{R}\)
বঃ২০০৫; মাঃ২০০০।

যে কোনো \(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রে প্রমাণ করঃ
\(Q.2.(vii)\) \(a\sin{(B-C)}+b\sin{(C-A)}+c\sin{(A-B)}=0\)
মাঃ২০০৩।

\(Q.2.(viii)\) \(\cos{C}-\cos{B}=\frac{2(b-c)}{a}\cos^2{\frac{A}{2}}\)
বঃ২০১৫; সিঃ২০১২, ২০১০; ঢাঃ২০১১; দিঃ২০১০; যঃ২০০৪; রাঃ২০০৯।

\(Q.2.(ix)\) \((b-c)\sin{A}+(c-a)\sin{B}+(a-b)\sin{C}=0\)

\(Q.2.(x)\) \(a(\sin{B}-\sin{C})+b(\sin{C}-\sin{A})+c(\sin{A}-\sin{B})=0\)

\(Q.2.(xi)\) \((a+b+c)\left(\tan{\frac{A}{2}}+\tan{\frac{B}{2}}\right)=2c\cot{\frac{C}{2}}\)

\(Q.2.(xii)\) \((b+c-a)\tan{\frac{A}{2}}=(c+a-b)\tan{\frac{B}{2}}=(a+b-c)\tan{\frac{C}{2}}\)

\(Q.2.(xiii)\) \(\cos{(B-C)}+\cos{A}=\frac{bc}{2R^2}\)

\(Q.2.(xiv)\) \(2\left(a\sin^2{\frac{C}{2}}+c\sin^2{\frac{A}{2}}\right)=c+a-b\)

অধ্যায় \(7G\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
যে কোনো \(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রে প্রমাণ করঃ
\(Q.3.(i)\) \(a\sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B-C}{2}}+b\sin{\frac{B}{2}}\sin{\frac{C-A}{2}}+c\sin{\frac{C}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}}=0\)
রাঃ ২০০৩।

\(Q.3.(ii)\) \(\frac{b^2-c^2}{a^2}\sin{2A}+\frac{c^2-a^2}{b^2}\sin{2B}+\frac{a^2-b^2}{c^2}\sin{2C}=0\)

\(Q.3.(iii)\) \(a^3\cos{(B-C)}+b^3\cos{(C-A)}+c^3\cos{(A-B)}=3abc\)
বঃ ২০০৩।

\(Q.3.(iv)\) \(b^2\sin{2C}+c^2\sin{2B}=4\triangle=2bc\sin{A}\)

\(Q.3.(v)\) \(c^2=(a-b)^2\cos^2{\frac{C}{2}}+(a+b)^2\sin^2{\frac{C}{2}}\)

\(Q.3.(vi)\) \(\frac{1}{a}\sin{A}+\frac{1}{b}\sin{B}+\frac{1}{c}\sin{C}=\frac{6\triangle}{abc}\)

\(Q.3.(vii)\) \(\frac{1}{a}\cos^2{\frac{A}{2}}+\frac{1}{b}\cos^2{\frac{B}{2}}+\frac{1}{c}\cos^2{\frac{C}{2}}=\frac{s^2}{abc}\)

\(Q.3.(viii)\) \((b-c)\cot{\frac{A}{2}}+(c-a)\cot{\frac{B}{2}}+(a-b)\cot{\frac{C}{2}}=0\)
মাঃ ২০০১।

\(Q.3.(ix)\) \(bc\cos^2{\frac{A}{2}}+ca\cos^2{\frac{B}{2}}+ab\cos^2{\frac{C}{2}}=s^2\)
রুয়েটঃ ২০০৩-২০০৪; বুয়েটঃ ২০০০-২০০১।

\(Q.3.(x)\) \(\frac{b-c}{a}\cos^2{\frac{A}{2}}+\frac{c-a}{b}\cos^2{\frac{B}{2}}+\frac{a-b}{c}\cos^2{\frac{C}{2}}=0\)

\(Q.3.(xi)\) \((b^2-c^2)\sin^2{A}+(c^2-a^2)\sin^2{B}+(a^2-b^2)\sin^2{C}=0\)

\(Q.3.(xii)\) \(a^3\sin{(B-C)}+b^3\sin{(C-A)}+c^3\sin{(A-B)}=0\)

যে কোনো \(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রে প্রমাণ করঃ
\(Q.3.(xiii)\) \(\frac{a\sin{(B-C)}}{b^2-c^2}=\frac{b\sin{(C-A)}}{c^2-a^2}=\frac{c\sin{(A-B)}}{a^2-b^2}\)

\(Q.3.(xiv)\) \(\frac{a^2\sin{(B-C)}}{\sin{A}}+\frac{b^2\sin{(C-A)}}{\sin{B}}+\frac{c^2\sin{(A-B)}}{\sin{C}}=0\)

\(Q.3.(xv)\) \(\frac{a^2\sin{(B-C)}}{\sin{B}+\sin{C}}+\frac{b^2\sin{(C-A)}}{\sin{C}+\sin{A}}+\frac{c^2\sin{(A-B)}}{\sin{A}+\sin{B}}=0\)

\(Q.3.(xvi)\) \(\frac{b^2-c^2}{\cos{B}+\cos{C}}+\frac{c^2-a^2}{\cos{C}+\cos{A}}+\frac{a^2-b^2}{\cos{A}+\cos{B}}=0\)

\(Q.3.(xvii)\) \(\frac{a^2-b^2}{2}.\frac{\sin{A}\sin{B}}{\sin{(A-B)}}=\triangle\)

\(Q.3.(xviii)\) \(4\triangle(\cot{A}+\cot{B}+\cot{C})=a^2+b^2+c^2\)

\(Q.3.(xix)\) \((b^2-c^2)\cot{A}+(c^2-a^2)\cot{B}+(a^2-b^2)\cot{C}=0\)

\(Q.3.(xx)\) \((s-a)\tan{\frac{A}{2}}=(s-b)\tan{\frac{B}{2}}=(s-c)\tan{\frac{C}{2}}\)

\(Q.3.(xx)\) \(a\sin{B}\sin{C}+b\sin{C}\sin{A}+c\sin{A}\sin{B}=\frac{3\triangle}{R}\)

\(Q.3.(xxi)\) \(\frac{\cos{B}\cos{C}}{bc}+\frac{\cos{C}\cos{A}}{ca}+\frac{\cos{A}\cos{B}}{ab}=\frac{1}{4R^2}\)

\(Q.3.(xxii)\) \(\frac{2\cot{A}+\cot{B}+\cot{C}}{\cot{A}-\cot{B}+2\cot{C}}=\frac{b^2+c^2}{2b^2-c^2}\)

\(Q.3.(xxiii)\) \(a^2+b^2+c^2=2(bc\cos{A}+ca\cos{B}+ab\cos{C})\)

\(Q.3.(xxiv)\) \(\frac{(b+c)\cos{A}+(c+a)\cos{B}+(a+b)\cos{C}}{\sin{A}+\sin{B}+\sin{C}}=\frac{a}{\sin{A}}=2R\)

অধ্যায় \(7G\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(Q.4.(i)\) যদি \(\triangle{PQR}\) এর তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথক্রমে \(p, \ q, \ r\) এবং \(p^2+q^2-r^2=\sqrt{2}pq\) হয়, তবে \(R\) কোণের মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(45^{o}\)
কুঃ২০১৭।

\(Q.4.(ii)\) \(\triangle{ABC}\) এর পরিসীমা \(2s\) এবং \(4s(s-b)=3ca\) হলে, \(\angle{B}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(60^{o}\)
চঃ২০১৭।

\(Q.4.(iii)\) যদি \((a+b+c)(b+c-a)=3bc\) হয়, তবে \(\angle{A}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(60^{o}\)
ঢাঃ২০১৬,২০০৮; দিঃ২০১৪,২০১১; রাঃ২০০১৩,২০১১,২০০৭; সিঃ২০১০; যঃ২০০৮, ২০০৫।

\(Q.4.(iv)\) \(c^4-2(a^2+b^2)c^2+a^4+a^2b^2+b^4=0\) হলে দেখাও যে, \(C=60^{o}\) অথবা, \(120^{o}\)

\(Q.4.(v)\) \(\triangle{ABC}\)-এ \(C=60^{o}\) হলে দেখাও যে, \(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}=\frac{3}{a+b+c}\)

\(Q.4.(vi)\) \(\triangle{ABC}\)-এ \(\cos{A}+\cos{B}=\sin{C}\) হলে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।
রাঃ,কুঃ,চঃ,বঃ২০১৮।

\(Q.4.(vii)\) \(\frac{1}{\sec{A}}=\frac{1}{cosec \ {C}}-\frac{1}{\sec{B}}\) হলে \(\triangle{ABC}\)-এর কোন কোণটি সমকোণ তা নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\angle{A}\)
চঃ২০১৭।

\(Q.4.(viii)\) \(\triangle{XYZ}\)-এ \(\angle{Y}=15^{o}\) এবং \(\cos{X}=\sin{Y}-\cos{Z}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(\angle{X}+\angle{Y}=\angle{Z}\)
সিঃ২০১৭।

\(Q.4.(ix)\) যদি ত্রিভুজের বাহুগুলি \(\frac{y}{z}+\frac{z}{x}, \ \frac{z}{x}+\frac{x}{y}, \ \frac{x}{y}+\frac{y}{z}\) হয়, তবে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\sqrt{\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}}\) বর্গ একক।
ঢাঃ২০১৪; সিঃ২০০৭।

\(Q.4.(x)\) \(\triangle{ABC}\)-এ \(a=13cm, \ b=7cm\) এবং \(c=8cm\) \(\angle{A}\) এর সাহায্যে \(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(24.25\) বর্গ একক।
কুঃ২০১৯।

\(Q.4.(xi)\) কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলি \(13, \ 14, \ 15\) হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(84\) বর্গ একক।
ঢাঃ২০০৯; যঃ২০০৭; বঃ২০০২; বুয়েটঃ২০০৪-২০০৫।

\(Q.4.(xii)\) \(\triangle{ABC}\)-এর বাহুগুলির দৈর্ঘ্যের অনুপাত \(3:4:5\) এবং ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল \(24\) বর্গ সে.মি. হলে বাহুগুলির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(6cm, \ 8cm, \ 10cm\)
বি আই টিঃ২০০০-২০০১।

\(Q.4.(xiii)\)
straight3
চিত্রের সাহায্যে \(b\) এবং \(c\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(b=3.76, \ c=5.06\)
ঢাঃ২০১৭।

\(Q.4.(xiv)\) \(\triangle{ABC}\)-এ যদি \(A=75^{o}, \ B=45^{o}\) হয় তবে দেখাও যে, \(c:b=\sqrt{3}:\sqrt{2}\)
বঃ২০০৭।

\(Q.4.(xv)\) \(\triangle{ABC}\)-এ যদি \(A=45^{o}, \ B=75^{o}\) হয় তবে দেখাও যে, \(a+\sqrt{2}c=2b\)

\(Q.4.(xvi)\) \(ABC\) ত্রিভুজে \(a=\sqrt{3}b\) এবং \(A=2B\) ত্রিভুজটির কোণগুলি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(60^{o}, \ 30^{o}, \ 90^{o}\)
বঃ২০১৭।

\(Q.4.(xvii)\) \(ABC\) ত্রিভুজে \(a=2b\) এবং \(A=3B\) ত্রিভুজটির কোণগুলি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(90^{o}, \ 30^{o}, \ 60^{o}\)
কুঃ২০১৯,২০০৯; ঢাঃ২০১৬,২০০৮; রাঃ ২০১৩,২০১১,২০০৭ ;দিঃ২০১৩; যঃ২০০৮,২০০৫; বুয়েটঃ২০০৩-২০০৪।

\(Q.4.(xviii)\) দেখাও যে কোনো ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য \(3, \ 5, \ 7 \) হলে ত্রিভুজটি একটি স্থুলকোণী ত্রিভুজ; স্থুলকোণটির মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(120^{o}\)
দিঃ২০১২; কুঃ,চঃ ২০১০; মাঃ২০০৮,২০০৪।

\(Q.4.(xix)\) দেখাও যে কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলি \(x^2+x+1, \ 2x+1\) এবং \(x^2-1\) হলে ত্রিভুজটির সর্বোচ্চ কোণটির মান \(120^{o}\)
চুয়েটঃ২০০৩-২০০৪।

\(Q.4.(xx)\) কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলি \(m, \ n\) এবং \(\sqrt{m^2+mn+n^2}\) হলে ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটির মান এবং ক্ষুদ্রতম কোণদ্বয়ের সমষ্টি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(120^{o}, \ 60^{o}\)
চঃ২০১৯; কুঃ২০১২,২০০৯।

\(Q.4.(xxi)\) \(\triangle{ABC}\)-এ \(A=45^{o}, \ C=105^{o}\) এবং \(c=\sqrt{3}+1\) হলে ত্রিভুজটির অপর কোণটির মান এবং বাহুদ্বয় নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(30^{o}, \ 2, \ \sqrt{2}\)

\(Q.4.(xxii)\) \(\triangle{ABC}\)-এ \(B=30^{o}, \ C=45^{o}\) এবং \(a=\sqrt{3}+1\) সে.মি. হলে দেখাও যে, \(ABC\) এর ক্ষেত্রফল \(\frac{1}{2}(\sqrt{3}+1)\) বর্গ সে.মি.

\(Q.4.(xxiii)\) কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলি সমান্তরাল প্রগমন ভুক্ত হলে দেখাও যে, \(\cot{\frac{A}{2}}, \ \cot{\frac{B}{2}}\) ও \(\cot{\frac{C}{2}}\) সমান্তর প্রগমন ভুক্ত।

\(Q.4.(xxiv)\) \(\triangle{ABC}\) এ \(\triangle{A}=60^{o}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(b+c=2a\cos{\frac{B-C}{2}}\)

\(Q.4.(xxv)\) \(a, \ b, \ c\) ত্রিভুজের তিনটি বাহু এবং \(a=\sqrt{b^2+bc+c^2}\) হলে ত্রিভুজটির সূক্ষ্ণকোণদ্বয়ের সমষ্টি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(60^{o}\)
চঃ২০১৯।

\(Q.4.(xxvi)\) কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলির বর্গ অর্থাৎ \(a^2, \ b^2, \ c^2\) সমান্তরাল প্রগমন ভুক্ত হলে দেখাও যে, \(\cot{A}, \ \cot{B}\) ও \(\cot{C}\) সমান্তর প্রগমন ভুক্ত।

\(Q.4.(xxvii)\) \(\triangle{ABC}\)-এ \(a=2, \ b=\sqrt{3}+1\) এবং \(C=60^{o}\) হলে ত্রিভুজটির অপর বাহু এবং কোণদ্বয় নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(A=45^{o}, \ B=75^{o}, \ c=\sqrt{6}\)

\(Q.4.(xxviii)\) \(\triangle{ABC}\)-এ \(\frac{b+c}{11}=\frac{c+a}{12}=\frac{a+b}{13}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(\frac{\cos{A}}{7}=\frac{\cos{B}}{19}=\frac{\cos{C}}{25}\)

\(Q.4.(xxix)\) \(\triangle{ABC}\)-এ \(a=6, \ b=3\sqrt{3}\) এবং \(A=90^{o}\) হলে , \(B\) কোণের মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(60^{o}\)

\(Q.4.(xxx)\) \(\frac{\cos{x}+\cos{y}+\cos{z}}{\cos{(x+y+z)}}=\frac{\sin{x}+\sin{y}+\sin{z}}{\sin{(x+y+z)}}=p\) হলে প্রমাণ কর যে, \(\cos{(x+y)}+\cos{(y+z)}+\cos{(z+x)}=p\)

\(Q.4.(xxxi)\) \(\triangle{ABC}\)-এ প্রমাণ কর যে, \(P=\sin{A}+\sin{B}+\sin{C}\) সর্বোচ্চ হবে যদি \(A=B=C\) হয়।

\(Q.4.(xxxii)\) কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলি \(2x+3, \ x^2+3x+3\) এবং \(x^2+2x\) হলে ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটির মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(120^{o}\)

\(Q.4.(xxxiii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য \(3, \ 5, \ 6 \) হলে ত্রিভুজটির সুক্ষ্ণকোণটির মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(29.9^{o}\)

\(Q.4.(xxxiv)\) \(ABC\) ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য \(9.3, \ 6.2, \ 12.7 \) হলে ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটির মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(108.4^{o}\)

\(Q.4.(xxxv)\) \(ABC\) ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত \(2:3:4 \) হলে ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটির মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(104.48^{o}\)

\(Q.4.(xxxvi)\) \(ABC\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রে \(AB=x, \ BC=4-x, \ A=45^{o}, \ C=30^{o}\) হলে দেখাও যে, \(x=4(\sqrt{2}-1)\)

\(Q.4.(xxxvii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রে \(b=6.5, \ a=8.7, \ C=100^{o}\) হলে \(c\) এর মান কত?
উত্তরঃ \(11.7\)

\(Q.4.(xxxviii)\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর যেখানে, \(b=7.8, \ c=8.6, \ A=45^{o}\)
উত্তরঃ \(23.7\) বর্গ একক।

\(Q.4.(xxxix)\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর যেখানে, \(a=2.5, \ c=3.5, \ B=100^{o}\)
উত্তরঃ \(4.31\) বর্গ একক।

\(Q.4.(xL)\) কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য \(24, \ 22, \ 14\) একক হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল, পরিব্যাসার্ধ \(R\) এবং অন্তব্যাসার্ধ্য \(r\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(48\sqrt{10}\) বর্গ একক। \(R=\frac{77\sqrt{10}}{20}, \ r=\frac{8\sqrt{10}}{5}\)

\(Q.4.(xLi)\) একটি ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত \(1:2:3 \) হলে দেখাও যে, ত্রিভুজটির বাহুগুলোর \(1:\sqrt{3}:2 \)

\(Q.4.(xLii)\) একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য \(\sqrt{3}+1, \ \sqrt{3}-1\) এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ \(60^{o} \) হলে ত্রিভুজটির অন্য বাহু এবং কোণসমূহ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(105^{o}, \ 15^{o}, \ \sqrt{6}\)
ঢাঃ২০১৫।

\(Q.4.(xLiii)\) একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য \(3cm, \ 7cm\) এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ \(60^{o} \) হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
উত্তরঃ \(\frac{21\sqrt{3}}{4}\) বর্গ একক।

\(Q.4.(xLiv)\) যদি \(ABC\) ত্রিভুজে, \(a\cos^2{\frac{C}{2}}+c\cos^2{\frac{A}{2}}=\frac{3b}{2}\) হয় তবে দেখাও যে, \(a, \ b, \ c\) সমান্তর ধারা ভুক্ত।

\(Q.4.(xLv)\) \(ABC\) ত্রিভুজে, \(4s(s-b)=3ca\) হলে \(\angle{B}\) এর মাণ কত? যখন ত্রিভুজের পরিসীমা \(=2s\)
উত্তরঃ\(60^{o}\)
চঃ২০১৭।

অধ্যায় \(7G\) / \(Q.5\)-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমূহ
\(Q.5.(i)\)
straight3
\((a) \ \sec{\frac{5x}{2}}=\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+2\cos{10x}}}}\)
\((b)\) উদ্দীপকের সাহায্যে দেখাও যে,
\(AC\sin{\left(\frac{B}{2}+C\right)}=(AB+BC)\sin{\frac{B}{2}}\)
\((c)\) উদ্দীপকের সাহায্যে দেখাও যে,
\(\cos^2{\alpha}+\cos^2{\beta}+\cos^2{\gamma}=1+2\cos{\alpha}\cos{\beta}\cos{\gamma}\)
ঢাঃ২০১৯।

\(Q.5.(ii)\) \(p=\tan{A}\tan{B}\)
\(q=\tan{C}\tan{D}\)
\(r=4\sin{\frac{\alpha}{2}}\sin{\frac{\beta}{2}}\sin{\frac{\gamma}{2}}-1\)
\((a)\) \(\cos{75^{o}}\) এর মান নির্ণয় কর। (ক্যালকুলেটর ব্যাতীত)
\((b)\) \(A=20^{o}, \ B=2A, \ C=3A, \ D=4A\) হলে দেখাও যে, \(pq=3\)
\((c)\) \(\alpha+\beta+\gamma=0\) হলে প্রমাণ কর যে, \(\cos{\alpha}+\cos{\beta}-\cos{\gamma}=r+2\)
উত্তরঃ\((a)\) \(\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\)
রাঃ২০১৯।

\(Q.5.(iii)\) দৃশ্যকল্প-১: \(2P=\tan{\frac{x+y}{2}}+\tan{\frac{x-y}{2}}\)
দৃশ্যকল্প-২: \(\sin{x}=a-\sin{y}, \ \cos{x}=b-\cos{y}\)
\((a)\) দেখাও যে, \(p=\frac{\sin{x}}{\cos{x}+\cos{y}}\)
\((b)\) \(y=90^{o}\) হলে \(p\) এর লেখচিত্র অংকন কর।
\((c)\) দৃশ্যকল্প-২ থেকে প্রমাণ কর যে, \(\sin{\frac{1}{2}(x-y)}\pm{\frac{1}{2}\sqrt{4-a^2-b^2}}\)
উত্তরঃ\((a)\) \(\frac{1}{4}\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\)
কুঃ২০১৯।

\(Q.5.(iv)\) দৃশ্যকল্প-১:
straight3
দৃশ্যকল্প-২: \(\triangle{PQR}\)-এ \(p=2Q\) এবং \(P=3Q\)
\((a)\) পৃথিবীর ব্যাসার্ধ \(6371\) কি.মি.। ঢাকা ও দিল্লী পৃথিবীর পৃষ্টে দুইটি স্থান। ঢাকা ও দিল্লীর মধ্যবর্তী দূরত্ব \(1882\) কি.মি. হলে স্থান দুইটি পৃথিবীর কেন্দ্রে কত ডিগ্রী কোণ উৎপন্ন করবে?
\((b)\) \(\angle{A}\) এর সাহায্যে \(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((c)\) দৃশ্যকল্প-২ হতে \(R\) কোণের মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ\((a) \ 17^{\prime}43.44^{\prime\prime}\)
\((b) \ 24.25\)
\((c) \ 60^{o}\)
কুঃ২০১৯।

\(Q.5.(v)\)
straight3
\((a)\) প্রমাণ কর যে, \(\sin{78^{o}19^{\prime}}\cos{18^{o}19^{\prime}}-\sin{11^{o}41^{\prime}}\sin{18^{o}19^{\prime}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\((b)\) \(a=\sqrt{b^2+bc+c^2}\) হলে ত্রিভুজটির সূক্ষ্ণকোণদ্বয়ের সমষ্টি নির্ণয় কর।
\((c)\) ত্রিভুজটির ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, \(\frac{a-b}{c}cosec \ {\frac{A-B}{2}}=\sec{\frac{C}{2}}\)
উত্তরঃ\((b) \ 60^{o}\)
চঃ২০১৯।

\(Q.5.(vi)\) দৃশ্যকল্প-১: \(\triangle{ABC}\)-এ \(A=75^{o}, \ B-C=15^{o}\)
দৃশ্যকল্প-২:
straight3
\((a)\) \(\cos{30^{o}32^{\prime}}\cos{29^{o}28^{\prime}}-\sin{149^{o}28^{\prime}}\sin{29^{o}28^{\prime}}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১: অনুযায়ী দেখাও যে, \(\cos{\frac{C}{6}}=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\)
\((c)\) দৃশ্যকল্প-২: অনুযায়ী ত্রিভভুজটির সমাধান কর।
উত্তরঃ\((a) \ \frac{1}{2}\)
\((c) \ A=105^{o}, \ B=15^{o}, \ c=\sqrt{6}\)
যঃ২০১৯।

\(Q.5.(vii)\) \(X=\sin{\alpha}-\cos{\alpha}, \ Y=\cos{\beta}-\sin{\beta}\) যেখানে, \(\alpha\ne{\beta}, \ P=cosec \ {20^{o}}, \ Q=sec{20^{o}}\)
\((a)\) \(\theta=\cos^{-1}{\frac{1}{3}}\) হলে \(\cos{3\theta}\) এর মাণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(X=Y\) হলে দেখাও যে, \(2(\alpha+\beta)=\pi\)
\((c)\) প্রমাণ কর যে, \(P+\sqrt{3}Q=4\tan{50^{o}}\)
উত্তরঃ\((a) \ -\frac{23}{27}\)
দিঃ,বঃ ২০১৯।

\(Q.5.(viii)\) \(K=\cos{P}+\cos{R}, \ Y=\cos{\beta}-\sin{\beta}\) যেখানে, \(\alpha\ne{\beta}, \ P=cosec \ {20^{o}}, \ Q=sec{20^{o}}\)
\((a)\) প্রমাণ কর যে, \(\frac{\sqrt{3}}{\sin{20^{o}}}-\frac{1}{\cos{20^{o}}}=4\)
\((b)\) \(P+Q+R=\pi\) হলে দেখাও যে, \(K-1+\cos{Q}=4\sin{\frac{P}{2}}\sin{\frac{Q}{2}}\sin{\frac{R}{2}}\)
\((c)\) \(K=\sin{Q}\) হলে দেখাও যে, \(\triangle{PQR}\) সমকোণী ।
সিঃ ২০১৯।

\(Q.5.(ix)\) দৃশ্যকল্প-১: \(\triangle{ABC}\)-এ \(\cos{A}+\cos{B}=\sin{C}\)
দৃশ্যকল্প-২: \(\sqrt{2}\cos{A}-\cos{B}=\cos^3{B}\) এবং \(\sqrt{2}\sin{A}+\sin^3{B}=\sin{B}\)
\((a)\) প্রমাণ কর যে, \(\tan{70^{o}}=\tan{20^{o}}+2\tan{50^{o}}\)
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১: হতে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।
\((c)\) দৃশ্যকল্প-২: হতে প্রমাণ কর যে, \(cosec \ {(A-B)}=\pm{3}\)
রাঃ,কুঃ,চঃ,বঃ ২০১৮।

\(Q.5.(x)\) \(p=\sin{2\alpha}, \ q=\sin{2\beta}, \ r=\cos{2\alpha}\)
\(s=\cos{2\beta}, \ t=\sin{2\gamma}\)
\((a)\) প্রমাণ কর যে, \(\sec{\frac{3x}{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{4+\sqrt{8+8\cos{6x}}}}\)
\((b)\) যদি \(p+q=c, \ r+s=d\) হয় তবে দেখাও যে, \(\cos{(2\alpha+2\beta)}=\frac{d^2-c^2}{d^2+c^2}\)
\((c)\) যদি \(\alpha+\beta+\gamma=\pi\) হয় তবে দেখাও যে, \(p^2+q^2+t^2=2-2\cos{2\alpha}\cos{2\beta}\cos{2\gamma}\)
ঢঃ,দিঃ,সিঃ,যঃ ২০১৮।

\(Q.5.(xi)\) দৃশ্যকল্প-১:
straight3
দৃশ্যকল্প-২: \(p=\tan{\theta}\tan{2\theta}\tan{\alpha}\)
\((a)\) \(\sin{25^{o}}+\cos{25^{o}}\) এর মান কত?
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১: হতে \(b\) ও \(c\) এর মান নির্ণয় কর।
\((c)\) দৃশ্যকল্প-২: হতে দেখাও যে, \(p=\sqrt{3}\)
উত্তরঃ\((a) \ \sqrt{3}\cos{20^{o}}\)
\((b) \ b=3.76(\text{প্রায়}), \ c=5.06(\text{প্রায়})\)
ঢঃ২০১৭।

\(Q.5.(xii)\) দৃশ্যকল্প-১: \(\sin{x}+\sin{y}=a\) এবং \(\cos{x}+\cos{y}=b\) দুইটি ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ।
দৃশ্যকল্প-২: \(\triangle{ABC}\) এর \(A+B+C=\pi\)
\((a)\) যদি \(\triangle{PQR}\) এর তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(p, \ q, \ r\) এবং \(p^2+q^2-r^2=\sqrt{2}pq\) হয় তবে \(R\) কোণের মান নির্ণয় কর।
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১: এর আলোকে \(\cos{(x+y)}\) এর মান নির্ণয় কর।
\((c)\) দৃশ্যকল্প-২: হতে প্রমাণ যে, \(\sin^2{A}-\sin^2{B}+\sin^2{C}=2\sin{A}\cos{B}\sin{C}\)
উত্তরঃ\((a) \ 45^{o}\)
\((b) \ \frac{b^2-a^2}{b^2+a^2}\)
কুঃ২০১৭।

\(Q.5.(xiii)\) দৃশ্যকল্প-১: \(\triangle{XYZ}\) এ \(\cos{X}=\sin{Y}-\cos{Z}\)
দৃশ্যকল্প-২: \(\sqrt{1+n}\tan{\frac{\alpha}{2}}=\sqrt{1-n}\tan{\frac{\beta}{2}}\)
\((a)\) প্রমাণ কর যে, \(\tan{75^{o}}=2+\sqrt{3}\)
\((b)\) দৃশ্যকল্প-১: এর আলোকে দেখাও যে ত্রিভুজটি সমকোণী।
\((c)\) দৃশ্যকল্প-২: এর আলোকে দেখাও যে, \(\cos{\beta}=\frac{\cos{\alpha}-n}{1-n\cos{\alpha}}\)
যঃ২০১৭।

\(Q.5.(xiv)\) \(\angle{E}+\angle{F}=65^{o}, \ \angle{F}-\angle{E}=25^{o}\) এ \(\cos{X}=\sin{Y}-\cos{Z}\)
\((a)\) \(\tan{\beta}=\frac{1}{3}\) হলে \(\sin{2\beta}\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) দেখাও যে , \(2\sin{\left(\pi+\frac{F}{4}\right)}=-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}\)
\((c)\) দেখাও যে , \(\tan{\angle{E}}\tan{2\angle{E}}\tan{3\angle{E}}\tan{4\angle{E}}=3\)
উত্তরঃ\((a) \ \frac{3}{5}\)
যঃ২০১৭।

\(Q.5.(xv)\) দৃশ্যকল্প: \(ABC\) ত্রিভুজের পরিসীমা \(2s\)
\((a)\) \(\frac{\cos{75^{o}}+\cos{15^{o}}}{\cos{75^{o}}-\cos{15^{o}}}\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\sec{B}=\sec{C}\sec{A}\) হলে দেখাও যে , \(\tan{A}=2\cot{C}\)
\((c)\) দৃশ্যকল্পের আলোকে \(4s(s-b)=3ca\) হলে \(\angle{B}\) এর মাণ কত?
উত্তরঃ\((a) \ -\sqrt{3}\)
\((c) \ 60^{o}\)
চঃ২০১৭।

\(Q.5.(xvi)\) \(\sin{A}+\sin{B}=p, \ \cos{A}+\cos{B}=q\) যেখানে \(A\) ও \(B\) পূরক কোণ।
\((a)\) \(A=75^{o}\) হলে \(p\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) প্রমাণ কর যে, \(\cos{(A+B)}=\frac{q^2-p^2}{q^2+p^2}\)
\((c)\) দেখাও যে, \((A-B)=2\cos^{-1}{\left(\frac{p+q}{2\sqrt{2}}\right)}\)
উত্তরঃ\((a) \ \frac{\sqrt{6}}{2}\)

\(Q.5.(xvii)\) \(\alpha, \ \beta, \ \gamma\) যে কোনো ত্রিভুজের তিনটি কোণ।
\((a)\) \(\cos{\theta}=\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)\) হলে \(\cos{3\theta}\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) যদি \(\cos{\alpha}=\cos{\beta}\cos{\gamma}\) হয় তবে দেখাও যে, \(\cot{\beta}\cot{\gamma}=\frac{1}{2}\)
\((c)\) প্রমাণ কর যে, \(\cos^2{(\beta-\gamma)}+\cos^2{(\gamma-\alpha)}+\cos^2{(\alpha-\beta)}\)\(=1+2\cos{(\beta-\gamma)}\cos{(\gamma-\alpha)}\cos{(\alpha-\beta)}\)
উত্তরঃ\((a) \ \frac{1}{2}\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)\)

\(Q.5.(xviii)\)
straight3
\((a)\) \(\sin{75^{o}}\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) দেখাও যে, \(2\cos{\frac{Q}{2}}=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\)
\((c)\) \(p^4+q^4+r^4=2r^2(p^2+q^2)\) হলে প্রমাণ কর যে, \(R=45^{o}\) অথবা \(R=135^{o}\)
উত্তরঃ\((a) \ \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}\)

\(Q.5.(xix)\) \(\tan{\frac{q}{2}}=\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}\tan{\frac{p}{2}}\)
\((a)\) \(\theta=15^{o}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(4\sqrt{2}\sin^3{\theta}-3\sqrt{2}\sin{\theta}+1=0\)
\((b)\) উদ্দীপক হতে প্রমাণ কর যে, \(\frac{\sec{q}-e}{1-e\sec{q}}=\sec{p}\)
\((c)\) \(\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}=\frac{3}{2}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(\tan{\frac{q-p}{2}}=\frac{\sin{p}}{5-\cos{p}}\)

\(Q.5.(xx)\) \(A+B+C=\pi\)
\((a)\) প্রমাণ কর যে, \(\cot{10^{o}}-\sqrt{3}=4\cos{10^{o}}\)
\((b)\) \(\cos{A}=\cos{B}\cos{C}\) হলে দেখাও যে, \(\tan{A}=\tan{B}+\tan{C}\)
\((c)\) দেখাও যে, \(\sin{(B+C-A)}+\sin{(C+A-B)}+\sin{(A+B-C)}=4\sin{A}\sin{B}\sin{C}\)

\(Q.5.(xxi)\)
straight3
চিত্রে \(PQR\) যে কোনো ত্রিভুজ।
\((a)\) \(\cos{P}\) কে \(p, \ q\) ও \(r\) এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।
\((b)\) প্রমাণ কর যে, \((p-q)^2\cos^2{\frac{R}{2}}+(p+q)^2\sin^2{\frac{R}{2}}=r^2\)
\((c)\) \(\frac{1}{p+r}+\frac{1}{q+r}=\frac{3}{p+q+r}\) হলে দেখাও যে, \(\angle{R}=60^{o}\)
উত্তরঃ\((a) \ \cos{P}=\frac{q^2+r^2-p^2}{2qr}\)

\(Q.5.(xxii)\)
straight3
চিত্রে \(PQR\)-এ \(2A+2B+2C=\pi\)
\((a)\) \(\tan{3A}\) কে \(\tan{A}\) এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।
\((b)\) মাণ নির্ণয় করঃ \(\sin^2{A}+\sin^2{B}+\sin^2{C}+2\sin{A}\sin{B}\sin{C}\)
\((c)\) প্রমাণ কর যে, \(\cos^2{A}+\cos^2{B}-\cos^2{C}-2\cos{A}\cos{B}\sin{C}=0\)
উত্তরঃ\((a) \ \frac{3\tan{A}-\tan^3{A}}{1-3\tan^2{A}}\)
\((b) \ 1\)

\(Q.5.(xxiii)\)
straight3
চিত্রে \(ABC\) যে কোনো ত্রিভুজ।
\((a)\) \(cosec \ {A}+\sec{A}=cosec \ {B}+\sec{B}\) \(\tan{A}\tan{B}=\cot{\frac{A+B}{2}}\)
\((b)\) মাণ নির্ণয় করঃ \(\cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C}+2\cos{A}\cos{B}\cos{C}\)
\((c)\) প্রমাণ কর যে, \(\cos{\frac{A}{2}}+\cos{\frac{B}{2}}+\cos{\frac{C}{2}}=4\cos{\frac{\pi-A}{2}}+\cos{\frac{\pi-B}{2}}+\cos{\frac{\pi-C}{2}}\)
উত্তরঃ \((b) \ 1\)

অধ্যায় \(7G\) / \(Q.6\)-এর ভর্তি পরীক্ষায় আশা প্রশ্নসমূহ
\(Q.6.(i)\) সমাধান করঃ \(\cot{x}+\cot{2x}+\cot{3x}=\cot{x}\cot{2x}\cot{3x}\)
উত্তরঃ \(x=(4n\pm1)\frac{\pi}{12}\)
বুয়েটঃ২০১৪-২০১৫।

\(Q.6.(ii)\) যদি \(\tan{\frac{\theta}{2}}=\sqrt{\frac{1-P}{1+P}}\tan{\frac{\alpha}{2}}\) হয় তবে দেখাও যে, \(\cos{\alpha}=\frac{\cos{\theta}-P}{1-P\cos{\theta}}\)
বুয়েটঃ২০১৪-২০১৫।

\(Q.6.(iii)\) যদি \(\theta=\frac{\pi}{36}\) হয় তবে \(\sin^2{3\theta}+\sin^2{3\theta}+\sin^2{3\theta}+...+\sin^2{15\theta}\)-এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(6.5\)
বুয়েটঃ২০১৩-২০১৪।

\(Q.6.(iv)\) যদি \(\theta=\frac{\pi}{20}\) হয় তবে \(\cot{\theta}.\cot{3\theta}.\cot{5\theta}... ... .\cot{19\theta}\)-এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(-1\)
বুয়েটঃ২০১১-২০১২।

\(Q.6.(v)\) যদি \(A+B+C=\pi\) হয় তবে প্রমাণ কর যে, \(\sin{2A}+\sin{2B}+\sin{2C}=4\sin{A}\sin{B}\sin{C}\)
বুয়েটঃ২০০৯-২০১০।

\(Q.6.(vi)\) \(ABC\) একটি স্থুলকোণী ত্রিভুজ। প্রমাণ কর যে, \(\cot{A}\cot{B}+\cot{B}\cot{C}+\cot{C}\cot{A}=1\)
বুয়েটঃ২০০৫-২০০৬।

\(Q.6.(vii)\) দেখাও যে, \(\frac{\cot^3{A}-3\cot{A}}{3\cot^2{A}-1}=\cot{3A}\)
বুয়েটঃ২০০৪-২০০৫।

\(Q.6.(viii)\) যদি \(\sin{x}+\sin{y}=1\) এবং \(\cos{x}+\cos{y}=0\) হয় তবে প্রমাণ কর যে, \(x+y=\pi\)
বুয়েটঃ২০০২-২০০৩।

\(Q.6.(ix)\) \(\alpha\) ও \(\beta\) দুইটি ধনাত্মক সূক্ষ্ণকোণ এবং \(\cos{2\alpha}=\frac{3\cos{2\beta}-1}{3-\cos{2\beta}}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(\tan{\alpha}=\sqrt{2}\tan{\beta}\)
বুয়েটঃ২০০১-২০০২।

\(Q.6.(x)\) প্রমাণ কর যে, \(16\cos{\frac{2\pi}{15}}\cos{\frac{4\pi}{15}}\cos{\frac{8\pi}{15}}\cos{\frac{14\pi}{15}}=1\)
বুয়েটঃ২০০০-২০০১।

\(Q.6.(xi)\) প্রমাণ কর যে, \(\tan{20^{o}}\tan{40^{o}}\tan{80^{o}}=\sqrt{3}\)
বুটেক্সঃ২০১১-২০১২; বুয়েটঃ২০০৪-২০০৫।

\(Q.6.(xii)\) প্রমাণ কর যে, \(2\sin{\frac{\pi}{16}}=2\sin{11^{o}15^{\prime}}=\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}\)
বুটেক্সঃ২০০৭-২০০৮; চুয়েটঃ২০০৫-২০০৬।

\(Q.6.(xiii)\) \(\cos{\theta}=\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)\) হলে, \(\cos{4\theta}=?\)
রুয়েটঃ২০০৫-২০০৬।

\(Q.6.(xiv)\) \(\tan{36^{o}}+\tan{9^{o}}+\tan{36^{o}}\tan{9^{o}}\) এর মান কত?
উত্তরঃ \(1\)
কুয়েটঃ২০০৪-২০০৫।

\(Q.6.(xv)\) \(ABC\) ত্রিভুজ থেকে প্রমাণ কর যে, \(a\sin{\left(\frac{A}{2}+B\right)}=(b+c)\sin{\frac{A}{2}}\)
বুয়েটঃ২০০৭-২০০৮।

\(Q.6.(xvi)\) \(\triangle{ABC}\)-এ \(\cos{A}=\sin{B}-\cos{C}\) হলে দেখাও যে ত্রিভুজটি সমকোণী।
বুয়েটঃ২০০৫-২০০৬,২০০৪-২০০৫।

\(Q.6.(xvii)\) যদি \(a=2, \ b=1+\sqrt{3}, \ C=60^{o}\) হয় তবে ত্রিভুজটি সমাধান কর।
উত্তরঃ \(c=\sqrt{6}, \ A=45^{o}, \ B=75^{o}\)
বুয়েটঃ২০০২-২০০৩।

\(Q.6.(xviii)\) যে কোনো ত্রিভুজ \(ABC\) এর জন্য দেখাও যে, \(\frac{1}{a}\cos^2{\frac{A}{2}}+\frac{1}{b}\cos^2{\frac{B}{2}}+\frac{1}{c}\cos^2{\frac{C}{2}}=\frac{s^2}{abc}\)
বুয়েটঃ২০০০-২০০১।

\(Q.6.(xix)\) দেখাও যে, কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলি \(x^2+x+1, \ 2x+1, \ x^2-1\) হলে, এর সর্বোচ্চ কোণটির মান \(120^{o}\)
চুয়েটঃ২০০৩-২০০৪।

\(Q.6.(xx)\) একটি ত্রিভুজের \((\sqrt{3}+1) cm\) দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট বাহু সংলগ্ন দুইটি কোণ \(30^{o}\) ও \(45^{o}\)। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}(\sqrt{3}+1)\) বর্গএকক।
চুয়েটঃ২০১১-২০১২।

ত্রিভুজের ধর্ম বা বৈশিষ্ট্য \(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}\) \(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)\(\cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)\(\cos{B}=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\)\(\cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)\(a=b\cos{C}+c\cos{B}\)\(b=c\cos{A}+a\cos{C}\)\(c=a\cos{B}+b\cos{A}\)\(\sin{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}\)\(\sin{\frac{B}{2}}=\sqrt{\frac{(s-c)(s-a)}{ca}}\)\(\sin{\frac{C}{2}}=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{ab}}\)\(\cos{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}\)\(\cos{\frac{B}{2}}=\sqrt{\frac{s(s-b)}{ca}}\)\(\cos{\frac{C}{2}}=\sqrt{\frac{s(s-c)}{ab}}\)\(\tan{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}\)\(\tan{\frac{B}{2}}=\sqrt{\frac{(s-c)(s-a)}{s(s-b)}}\)\(\tan{\frac{C}{2}}=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}\)\(\cot{\frac{A}{2}}=\frac{s(s-a)}{\triangle}\)\(\cot{\frac{B}{2}}=\frac{s(s-b)}{\triangle}\)\(\cot{\frac{C}{2}}=\frac{s(s-c)}{\triangle}\)\(\triangle=\frac{1}{2}bc\sin{A}=\frac{1}{2}ca\sin{B}=\frac{1}{2}ab\sin{C}\)\(\triangle=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)\(\triangle=\frac{abc}{4R}\)\(\triangle=\frac{1}{4}(2b^2c^2+2c^2a^2+2a^2b^2-a^4-b^4-c^4)^{\frac{1}{2}}\)\(\triangle=rs\)\(\sin{A}=\frac{2\triangle}{bc}\)\(\sin{B}=\frac{2\triangle}{ca}\)\(\sin{C}=\frac{2\triangle}{ab}\)\(\tan{\frac{B-C}{2}}=\frac{b-c}{b+c}\cot{\frac{A}{2}}\)\(\tan{\frac{C-A}{2}}=\frac{c-a}{c+a}\cot{\frac{B}{2}}\)\(\tan{\frac{A-B}{2}}=\frac{a-b}{a+b}\cot{\frac{C}{2}}\)\(\cot{A}=\frac{R(b^2+c^2-a^2)}{abc}\)\(\cot{B}=\frac{R(c^2+a^2-b^2)}{abc}\)\(\cot{C}=\frac{R(a^2+b^2-c^2)}{abc}\) অধ্যায় \(7G\)-এর উদাহরণসমুহ অধ্যায় \(7G\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ অধ্যায় \(7G\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ অধ্যায় \(7G\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ অধ্যায় \(7G\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ অধ্যায় \(7G\) / \(Q.5\)-এর সৃজনশীল প্রশ্নসমূহ অধ্যায় \(7G\) / \(Q.6\)-এর ভর্তি পরীক্ষায় আশা প্রশ্নসমূহ

Please leave your question below

2 Question(s)
imonhaider
October 28, 2019, 1:15 pm
\[\frac{d}{dx}(e^{x^2})=?\]
Reply
Tanmoy
October 28, 2019, 12:53 pm
\[\int{\frac{dx}{1+x^2}}=? \]
Reply

Post List

MATH. LIST
Geometry 11 and 12 standard
Algebra 11 and 12 standard
Trigonometry 11 and 12 standard
Statistics 11 and 12 standard
    No post available in this Category !
Calculus 11 and 12 standard
Geometry Honours course standard
Vector 11 and 12 standard
Vector Honours course standard