এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।
- ঐতিহাসিক পটভূমি
- সার সংক্ষেপ
- বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন
- \(\sin^{-1}{x}=cosec^{-1}{\frac{1}{x}}\)
- \(cosec^{-1}{x}=\sin^{-1}{\frac{1}{x}}\)
- \(\sin^{-1}{x}=\cos^{-1}{\sqrt{1-x^2}}\)
- \(\sin^{-1}{x}=\sec^{-1}{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\)
- \(\sin^{-1}{x}=\tan^{-1}{\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}\)
- \(\sin^{-1}{x}=\cot^{-1}{\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}}\)
- \(\cos^{-1}{x}=\sec^{-1}{\frac{1}{x}}\)
- \(\sec^{-1}{x}=\cos^{-1}{\frac{1}{x}}\)
- \(\cos^{-1}{x}=\sin^{-1}{\sqrt{1-x^2}}\)
- \(\cos^{-1}{x}=cosec^{-1}{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\)
- \(\cos^{-1}{x}=\tan^{-1}{\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}}\)
- \(\cos^{-1}{x}=\cot^{-1}{\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}\)
- \(\tan^{-1}{x}=\cot^{-1}{\frac{1}{x}}\)
- \(\cot^{-1}{x}=\tan^{-1}{\frac{1}{x}}\)
- \(\tan^{-1}{x}=\sin^{-1}{\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}\)
- \(\tan^{-1}{x}=cosec^{-1}{\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}}\)
- \(\tan^{-1}{x}=\cos^{-1}{\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}\)
- \(\tan^{-1}{x}=\sec^{-1}{\sqrt{1+x^2}}\)
- \(\sin^{-1}{x}+\cos^{-1}{x}=\frac{\pi}{2}\)
- \(\tan^{-1}{x}+\cot^{-1}{x}=\frac{\pi}{2}\)
- \(\sec^{-1}{x}+cosec^{-1}{x}=\frac{\pi}{2}\)
- \(\sin^{-1}{x}+\sin^{-1}{y}=\sin^{-1}{(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})}\)
- \(\sin^{-1}{x}-\sin^{-1}{y}=\sin^{-1}{(x\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-x^2})}\)
- \(\cos^{-1}{x}+\cos^{-1}{y}=\cos^{-1}{\{xy-\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}\}}\)
- \(\cos^{-1}{x}-\cos^{-1}{y}=\cos^{-1}{\{xy+\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}\}}\)
- \(\tan^{-1}{x}+\tan^{-1}{y}=\tan^{-1}{\frac{x+y}{1-xy}}\)
- \(\tan^{-1}{x}-\tan^{-1}{y}=\tan^{-1}{\frac{x-y}{1+xy}}\)
- \(\tan^{-1}{x}+\tan^{-1}{y}+\tan^{-1}{z}=\tan^{-1}{\frac{x+y+z-xyz}{1-yz-zx-xy}}\)
- \(\cot^{-1}{x}+\cot^{-1}{y}=\cot^{-1}{\frac{xy-1}{y+x}}\)
- \(\cot^{-1}{x}-\cot^{-1}{y}=\cot^{-1}{\frac{xy+1}{y-x}}\)
- \(\cot^{-1}{x}+\cot^{-1}{y}+\cot^{-1}{z}=\cot^{-1}{\frac{xyz-x-y-z}{yz+zx+xy-1}}\)
- \(2\sin^{-1}{x}=\sin^{-1}{(2x\sqrt{1-x^2}})\)
- \(2\cos^{-1}{x}=\cos^{-1}{(2x^2-1)}\)
- \(3\sin^{-1}{x}=\sin^{-1}{(3x-4x^3)}\)
- \(3\cos^{-1}{x}=\cos^{-1}{(4x^3-3x)}\)
- \(3\tan^{-1}{x}=\tan^{-1}{\frac{3x-x^3}{1-3x^2}}\)
- \(3\cot^{-1}{x}=\cot^{-1}{\frac{x^3-3x}{3x^2-1}}\)
- \(2\tan^{-1}{x}=\tan^{-1}{\frac{2x}{1-x^2}}=\sin^{-1}{\frac{2x}{1+x^2}}=\cos^{-1}{\frac{1-x^2}{1+x^2}}=\cot^{-1}{\frac{1-x^2}{2x}}\)
- \( f(x)=y=\sin^{-1}{x}\)-এর লেখচিত্র
- \( f(x)=y=\cos^{-1}{x}\)-এর লেখচিত্র
- \( f(x)=y=\tan^{-1}{x}\)-এর লেখচিত্র
- \( f(x)=y=cosec^{-1}{x}\)-এর লেখচিত্র
- \( f(x)=y=\sec^{-1}{x}\)-এর লেখচিত্র
- \( f(x)=y=\cot^{-1}{x}\)-এর লেখচিত্র
- অধ্যায় \(7H\)-এর উদাহরণসমুহ
- অধ্যায় \(7H\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(7H\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(7H\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
- অধ্যায় \(7H\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
ঐতিহাসিক পটভূমি
Historical Background
হিপার্কাস (১৯০ খ্রিষ্টপূর্ব-১২০ খ্রিষ্টপূর্ব)
গণিত, জ্যোতির্বিদ্যা ও ভূগোলে তাঁর ব্যপক অবদান রয়েছে। তিনি প্রথম ত্রিকোণমিতিক সারনি প্রণয়ন করে 'আর্ক' ও 'কর্ড' সিরিজের মান নির্ণয় করেন। এজন্য তাঁকে ত্রিকোণমিতির জনক বলা হয়।
ত্রিকোণমিতি গণিত শাস্ত্রের একটি গুরুত্বপূর্ণ শাখা। ইংরেজী শব্দ 'Trigonometry' শব্দটি দুইটি গ্রিক শব্দ 'Trigon' যার অর্থ তিন কোণ এবং 'Metron' যার অর্থ পরিমাপ, এর সমন্বয়ে গঠিত। পরিমাপের ক্ষেত্রে উদ্ভূত নিত্য-নতুন জটিল সমস্যা সহজে সমাধানের জন্যই ত্রিকোণমিতির আবির্ভাব। খ্রিষ্টপূর্ব ২০০০ বছরেরও পূর্বে প্রাচীন মিশরীয় ও গ্রিক গণিতবিদ্গণ ত্রিকোণমিতি বিষয়ে অধ্যয়ন করতেন। জ্যোতির্বিদ্যা সংক্রান্ত গবেষণায় এটি ব্যপক ব্যবহৃত হয়। ভারত বর্ষের গুপ্ত আমলে আর্যভট্টের 
প্রাচীন ভারতীয় গণিতের ইতিহাসে আর্যভট্টের (৪৭৬ – ৫৫০ খ্রিষ্টপূর্ব ) হাত ধরেই ক্লাসিকাল যুগ (কিংবা স্বর্ণযুগ) শুরু হয়। গণিত এবং জ্যোতির্বিদ্যা সংক্রান্ত আর্যভট্টের বিভিন্ন কাজ মূলত দুটি গ্রন্থে সংকলিত হয়েছে বলে জানা গেছে। এর মাঝে ‘আর্যভট্টীয়’ একটি, যেটি উদ্ধার করা গিয়েছে। এটি রচিত চার খণ্ডে, মোট ১১৮টি স্তোত্রে। অন্য যে কাজটি সম্পর্কে জানা যায় সেটি হল ‘আর্য-সিদ্ধান্ত’। আর্য-সিদ্ধান্তের কোন পাণ্ডুলিপি খুঁজে পাওয়া যায়নি, তবে বরাহমিহির, ব্রহ্মগুপ্ত এবং প্রথম ভাস্করের কাজে এটির উল্লেখ মেলে। আর্যভট্ট গ্রন্থ রচনা করেছেন পদবাচ্যের আকারে। বিশেষ অবদানের কারণে ত্রিকোনমিতির স্বরূপ উন্মোচিত হয়। পরবর্তিতে ১৭ শতকে স্যার আইজ্যাক নিউটন 
১৬৮৭ সালে স্যার আইজ্যাক নিউটনের বিশ্ব নন্দিত গ্রন্থ প্রকাশিত হয়, যেখানে তিনি সর্বজনীন মহাকর্ষ সূত্র সহ গতির তিনটি সূত্র প্রদান করেন। তিনি বলবিজ্ঞানের ভিত্তি স্থাপন করেন। আলোকবিজ্ঞান, শব্দবিজ্ঞান, তাপবিজ্ঞানসহ পদার্থবিজ্ঞানের সকল মৌলিক শাখায় তাঁর অবদান অনস্বীকার্য। বৈজ্ঞানিক পর্যবেক্ষন ও পরীক্ষণের তিনি উদ্ভাবিত তত্ত্বকে যাচাই ও পরীক্ষা নিরীক্ষার জন্য পরীক্ষণের ব্যবস্থা করতেন। ১৬৬৯ সালে নিউটন ক্যামব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয়ে গণিতের লুকাসিয়ান প্রফেসর হিসাবে যোগদান করেন। ও জেমস স্টার্লিং 
স্টার্লিং (11/05/1692-5/12/1770) ছিলেন আর্চিবাল্ড স্টার্লিং অফ গার্ডেনের তৃতীয় পুত্র। ১৮ বছর বয়সে তিনি বলিওল কলেজ, অক্সফোর্ডে গিয়েছিলেন, যেখানে প্রধানত আর্ল অফ মারের প্রভাবে তিনি ব্যালিওলের বিশপ ওয়ার্নারের প্রদর্শনীকারীদের (বা স্নেল প্রদর্শনী) মনোনীত হন। লন্ডনে তিনি দশ বছর অবস্থান করেন, বেশিরভাগ সময় টাওয়ার স্ট্রিটের একটি একাডেমির সাথে যুক্ত ছিলেন এবং তাঁর অবসরকে গণিত এবং খ্যাতিমান গণিতবিদদের সাথে যোগাযোগের জন্য উৎসর্গ করেছিলেন। এর মত বিজ্ঞানীদের হাত ধরে ত্রিকোণমিতি আধুনিক গণিতের গুরুত্বপূর্ণ শাখা হিসেবে প্রতিষ্ঠা লাভ করে।
হিপার্কাসের প্রণীত সারণি সংস্কার করে ক্লডিয়াস টলেমী ত্রিকোনমিতিতে অনেক গুরুত্বপূর্ণ তথ্য সংযোজন করেন।
বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন একটি নির্দিষ্ট ব্যবধিতে ব্যবহৃত হয়, যেখানে একটি কোণের মানগুলি রূপায়িত থাকে। নির্দিষ্ট ব্যবধিতে বিপরীত ত্রিকোণমিতিক রেলেশনেই বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন এবং এটি এক-এক ফাংশন।
৪র্থ-৫ম শতাব্দীতে শীদ্ধার্থ, আর্যভট্ট, ৭ম শতাব্দীতে ভাস্করা-I ও ব্রহ্মগুপ্ত বিপরীত ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ নিয়ে ব্যপক তত্ত্ব লিপিবদ্ধ করেন।
১৮১৩ সালে বৃটিশ গণিতবিদ জন হার্শেল
১৮১৩ সালে বৃটিশ গণিতবিদ জন হার্শেল সর্বপ্রথম বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের প্রতীকগুলি \(\sin^{-1}{x}, \ \cos^{-1}{x}, \ \tan^{-1}{x} ... ... \) সূচিত করেন। (John Herschel) বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনকে \(\sin^{-1}{x}, \ \cos^{-1}{x}, \ \tan^{-1}{x}\) ইত্যাদি প্রতীক দ্বারা সূচিত করেন।
প্রাচীন ভারতীয় গণিতের ইতিহাসে আর্যভট্টের (৪৭৬ – ৫৫০ খ্রিষ্টপূর্ব ) হাত ধরেই ক্লাসিকাল যুগ (কিংবা স্বর্ণযুগ) শুরু হয়। গণিত এবং জ্যোতির্বিদ্যা সংক্রান্ত আর্যভট্টের বিভিন্ন কাজ মূলত দুটি গ্রন্থে সংকলিত হয়েছে বলে জানা গেছে। এর মাঝে ‘আর্যভট্টীয়’ একটি, যেটি উদ্ধার করা গিয়েছে। এটি রচিত চার খণ্ডে, মোট ১১৮টি স্তোত্রে। অন্য যে কাজটি সম্পর্কে জানা যায় সেটি হল ‘আর্য-সিদ্ধান্ত’। আর্য-সিদ্ধান্তের কোন পাণ্ডুলিপি খুঁজে পাওয়া যায়নি, তবে বরাহমিহির, ব্রহ্মগুপ্ত এবং প্রথম ভাস্করের কাজে এটির উল্লেখ মেলে। আর্যভট্ট গ্রন্থ রচনা করেছেন পদবাচ্যের আকারে। বিশেষ অবদানের কারণে ত্রিকোনমিতির স্বরূপ উন্মোচিত হয়। পরবর্তিতে ১৭ শতকে স্যার আইজ্যাক নিউটন ১৬৮৭ সালে স্যার আইজ্যাক নিউটনের বিশ্ব নন্দিত গ্রন্থ প্রকাশিত হয়, যেখানে তিনি সর্বজনীন মহাকর্ষ সূত্র সহ গতির তিনটি সূত্র প্রদান করেন। তিনি বলবিজ্ঞানের ভিত্তি স্থাপন করেন। আলোকবিজ্ঞান, শব্দবিজ্ঞান, তাপবিজ্ঞানসহ পদার্থবিজ্ঞানের সকল মৌলিক শাখায় তাঁর অবদান অনস্বীকার্য। বৈজ্ঞানিক পর্যবেক্ষন ও পরীক্ষণের তিনি উদ্ভাবিত তত্ত্বকে যাচাই ও পরীক্ষা নিরীক্ষার জন্য পরীক্ষণের ব্যবস্থা করতেন। ১৬৬৯ সালে নিউটন ক্যামব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয়ে গণিতের লুকাসিয়ান প্রফেসর হিসাবে যোগদান করেন। ও জেমস স্টার্লিং স্টার্লিং (11/05/1692-5/12/1770) ছিলেন আর্চিবাল্ড স্টার্লিং অফ গার্ডেনের তৃতীয় পুত্র। ১৮ বছর বয়সে তিনি বলিওল কলেজ, অক্সফোর্ডে গিয়েছিলেন, যেখানে প্রধানত আর্ল অফ মারের প্রভাবে তিনি ব্যালিওলের বিশপ ওয়ার্নারের প্রদর্শনীকারীদের (বা স্নেল প্রদর্শনী) মনোনীত হন। লন্ডনে তিনি দশ বছর অবস্থান করেন, বেশিরভাগ সময় টাওয়ার স্ট্রিটের একটি একাডেমির সাথে যুক্ত ছিলেন এবং তাঁর অবসরকে গণিত এবং খ্যাতিমান গণিতবিদদের সাথে যোগাযোগের জন্য উৎসর্গ করেছিলেন। এর মত বিজ্ঞানীদের হাত ধরে ত্রিকোণমিতি আধুনিক গণিতের গুরুত্বপূর্ণ শাখা হিসেবে প্রতিষ্ঠা লাভ করে। হিপার্কাসের প্রণীত সারণি সংস্কার করে ক্লডিয়াস টলেমী ত্রিকোনমিতিতে অনেক গুরুত্বপূর্ণ তথ্য সংযোজন করেন।
বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন একটি নির্দিষ্ট ব্যবধিতে ব্যবহৃত হয়, যেখানে একটি কোণের মানগুলি রূপায়িত থাকে। নির্দিষ্ট ব্যবধিতে বিপরীত ত্রিকোণমিতিক রেলেশনেই বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন এবং এটি এক-এক ফাংশন।
৪র্থ-৫ম শতাব্দীতে শীদ্ধার্থ, আর্যভট্ট, ৭ম শতাব্দীতে ভাস্করা-I ও ব্রহ্মগুপ্ত বিপরীত ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ নিয়ে ব্যপক তত্ত্ব লিপিবদ্ধ করেন।
১৮১৩ সালে বৃটিশ গণিতবিদ জন হার্শেল
১৮১৩ সালে বৃটিশ গণিতবিদ জন হার্শেল সর্বপ্রথম বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের প্রতীকগুলি \(\sin^{-1}{x}, \ \cos^{-1}{x}, \ \tan^{-1}{x} ... ... \) সূচিত করেন। (John Herschel) বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনকে \(\sin^{-1}{x}, \ \cos^{-1}{x}, \ \tan^{-1}{x}\) ইত্যাদি প্রতীক দ্বারা সূচিত করেন। সার সংক্ষেপ
বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন
\(\sin^{-1}{x}=cosec^{-1}{\frac{1}{x}}\) \(cosec^{-1}{x}=\sin^{-1}{\frac{1}{x}}\) \(\sin^{-1}{x}=\cos^{-1}{\sqrt{1-x^2}}\) \(\sin^{-1}{x}=\sec^{-1}{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\) \(\sin^{-1}{x}=\tan^{-1}{\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}\) \(\sin^{-1}{x}=\cot^{-1}{\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}}\) \(\cos^{-1}{x}=\sec^{-1}{\frac{1}{x}}\) \(\sec^{-1}{x}=\cos^{-1}{\frac{1}{x}}\) \(\cos^{-1}{x}=\sin^{-1}{\sqrt{1-x^2}}\) \(\cos^{-1}{x}=cosec^{-1}{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\) \(\cos^{-1}{x}=\tan^{-1}{\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}}\) \(\cos^{-1}{x}=\cot^{-1}{\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}\) \(\tan^{-1}{x}=\cot^{-1}{\frac{1}{x}}\) \(\cot^{-1}{x}=\tan^{-1}{\frac{1}{x}}\) \(\tan^{-1}{x}=\sin^{-1}{\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}\) \(\tan^{-1}{x}=cosec^{-1}{\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}}\)\(\tan^{-1}{x}=\cos^{-1}{\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}\)\(\tan^{-1}{x}=\sec^{-1}{\sqrt{1+x^2}}\)\(\sin^{-1}{x}+\cos^{-1}{x}=\frac{\pi}{2}\)\(\tan^{-1}{x}+\cot^{-1}{x}=\frac{\pi}{2}\)\(\sec^{-1}{x}+cosec^{-1}{x}=\frac{\pi}{2}\)\(\sin^{-1}{x}+\sin^{-1}{y}=\sin^{-1}{(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})}\)\(\sin^{-1}{x}-\sin^{-1}{y}=\sin^{-1}{(x\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-x^2})}\)\(\cos^{-1}{x}+\cos^{-1}{y}=\sin^{-1}{\{xy-\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}\}}\)\(\cos^{-1}{x}-\cos^{-1}{y}=\sin^{-1}{\{xy+\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}\}}\)\(\tan^{-1}{x}+\tan^{-1}{y}=\tan^{-1}{\frac{x+y}{1-xy}}\)\(\tan^{-1}{x}-\tan^{-1}{y}=\tan^{-1}{\frac{x-y}{1+xy}}\)\(\tan^{-1}{x}+\tan^{-1}{y}+\tan^{-1}{z}=\tan^{-1}{\frac{x+y+z-xyz}{1-yz-zx-xy}}\)\(\cot^{-1}{x}+\cot^{-1}{y}=\cot^{-1}{\frac{xy-1}{y+x}}\)\(\cot^{-1}{x}-\cot^{-1}{y}=\cot^{-1}{\frac{xy+1}{y-x}}\)\(\cot^{-1}{x}+\cot^{-1}{y}+\cot^{-1}{z}=\cot^{-1}{\frac{xyz-x-y-z}{yz+zx+xy-1}}\)\(2\sin^{-1}{x}=\sin^{-1}{(2x\sqrt{1-x^2})}\)\(2\cos^{-1}{x}=\cos^{-1}{(2x^2-1)}\)\(3\sin^{-1}{x}=\sin^{-1}{(3x-4x^3)}\)\(3\cos^{-1}{x}=\cos^{-1}{(4x^3-3x)}\)\(3\tan^{-1}{x}=\tan^{-1}{\frac{3x-x^3}{1-3x^2}}\)\(3\cot^{-1}{x}=\cot^{-1}{\frac{x^3-3x}{3x^2-1}}\)\(2\tan^{-1}{x}=\tan^{-1}{\frac{2x}{1-x^2}}=\sin^{-1}{\frac{2x}{1+x^2}}=\cos^{-1}{\frac{1-x^2}{1+x^2}}=\cot^{-1}{\frac{1-x^2}{2x}}\)
বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন
Inverse trigonometric functions
নির্দিষ্ট ব্যবধিতে বিপরীত ত্রিকোণমিতিক রেলেশনেই বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন, অর্থাৎ ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের বিপরীত বিশেষ অন্বয়কে বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন বলা হয়। বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলি নিম্নরূপে লেখা হয়।
যেমনঃ \(\sin^{-1}{x}, \ \cos^{-1}{x}, \ \tan^{-1}{x}, \ cosec^{-1}{x}, \ \sec^{-1}{x}, \ \cot^{-1}{x}\) ইত্যাদি।
\(\sin^{-1}{x}\) কে "সাইন ইনভার্স \(x\)" পড়া হয়।
যেমনঃ \(\sin^{-1}{x}, \ \cos^{-1}{x}, \ \tan^{-1}{x}, \ cosec^{-1}{x}, \ \sec^{-1}{x}, \ \cot^{-1}{x}\) ইত্যাদি।
\(\sin^{-1}{x}\) কে "সাইন ইনভার্স \(x\)" পড়া হয়।
প্রয়োজনীয় ও স্বরণীয় সূত্রসমূহ
Necessary and memorable formulas
সাইন ইনভার্সকে অপর অনুপাতের ইনভার্সরূপে প্রকাশ
Express the inverse of the sine as the inverse of the other ratio
\(\sin^{-1}{x}=cosec^{-1}{\left(\frac{1}{x}\right)}\) \(cosec^{-1}{x}=\sin^{-1}{\left(\frac{1}{x}\right)}\) \(\sin^{-1}{x}=\cos^{-1}{\left(\sqrt{1-x^2}\right)}\)\(\sin^{-1}{x}=\sec^{-1}{\left(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)}\) \(\sin^{-1}{x}=\tan^{-1}{\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)}\) \(\sin^{-1}{x}=\cot^{-1}{\left(\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\right)}\)
কোসাইন ইনভার্সকে অপর অনুপাতের ইনভার্সরূপে প্রকাশ
Express the inverse of the cosine as the inverse of the other ratio
\(\cos^{-1}{x}=\sec^{-1}{\left(\frac{1}{x}\right)}\) \(\sec^{-1}{x}=\cos^{-1}{\left(\frac{1}{x}\right)}\) \(\cos^{-1}{x}=\sin^{-1}{\left(\sqrt{1-x^2}\right)}\)\(\cos^{-1}{x}=cosec^{-1}{\left(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)}\) \(\cos^{-1}{x}=\tan^{-1}{\left(\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\right)}\) \(\cos^{-1}{x}=\cot^{-1}{\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)}\)
ট্যানজেন্ট ইনভার্সকে অপর অনুপাতের ইনভার্সরূপে প্রকাশ
Express the inverse of the tangent as the inverse of the other ratio
\(\tan^{-1}{x}=\cot^{-1}{\left(\frac{1}{x}\right)}\) \(\cot^{-1}{x}=\tan^{-1}{\left(\frac{1}{x}\right)}\) \(\tan^{-1}{x}=\sin^{-1}{\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)}\)\(\tan^{-1}{x}=cosec^{-1}{\left(\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}\right)}\) \(\tan^{-1}{x}=\cos^{-1}{\left(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\right)}\) \(\tan^{-1}{x}=\sec^{-1}{\left(\sqrt{1+x^2}\right)}\)
\(\sin^{-1}{x}+\cos^{-1}{x}=\frac{\pi}{2}\) \(\tan^{-1}{x}+\cot^{-1}{x}=\frac{\pi}{2}\) \(\sec^{-1}{x}+cosec^{-1}{x}=\frac{\pi}{2}\)
\(\sin^{-1}{x}+\sin^{-1}{y}=\sin^{-1}{(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})}\) \(\sin^{-1}{x}-\sin^{-1}{y}=\sin^{-1}{(x\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-x^2})}\) \(\sin^{-1}{x}+\sin^{-1}{y}=\pi-\sin^{-1}{(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})}\) যখন, \(x^2+y^2>1\)
\(\cos^{-1}{x}+\cos^{-1}{y}=\cos^{-1}{\{xy-\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}\}}\)\(\cos^{-1}{x}-\cos^{-1}{y}=\cos^{-1}{\{xy+\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}\}}\)
\(\tan^{-1}{x}+\tan^{-1}{y}=\tan^{-1}{\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)}\) \(\tan^{-1}{x}-\tan^{-1}{y}=\tan^{-1}{\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)}\) \(\tan^{-1}{x}+\tan^{-1}{y}+\tan^{-1}{z}=\tan^{-1}{\left(\frac{x+y+z-xyz}{1-yz-zx-xy}\right)}\) \(\tan^{-1}{x}+\tan^{-1}{y}=\pi+\tan^{-1}{\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)}\) যখন, \(xy>1\) \(\tan^{-1}{x}+\tan^{-1}{y}+\tan^{-1}{z}=\pi+\tan^{-1}{\left(\frac{x+y+z-xyz}{1-yz-zx-xy}\right)}\) যখন, \(xy+yz+zx>1\)
\(\cot^{-1}{x}+\cot^{-1}{y}=\cot^{-1}{\left(\frac{xy-1}{y+x}\right)}\) \(\cot^{-1}{x}-\cot^{-1}{y}=\cot^{-1}{\left(\frac{xy+1}{y-x}\right)}\) \(\cot^{-1}{x}+\cot^{-1}{y}+\cot^{-1}{z}=\cot^{-1}{\left(\frac{xyz-x-y-z}{yz+zx+xy-1}\right)}\)
\(2\sin^{-1}{x}=\sin^{-1}{(2x\sqrt{1-x^2})}\) \(2\cos^{-1}{x}=\cos^{-1}{(2x^2-1)}\) \(2\sin^{-1}{x}=\pi-\sin^{-1}{(2x\sqrt{1-x^2})}\) যখন, \(x>\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(3\sin^{-1}{x}=\sin^{-1}{(3x-4x^3)}\) \(3\cos^{-1}{x}=\cos^{-1}{(4x^3-3x)}\) \(3\tan^{-1}{x}=\tan^{-1}{\left(\frac{3x-x^3}{1-3x^2}\right)}\) \(3\cot^{-1}{x}=\cot^{-1}{\left(\frac{x^3-3x}{3x^2-1}\right)}\) \(3\sin^{-1}{x}=\sin^{-1}{(3x-4x^3)}\)
\(2\tan^{-1}{x}=\tan^{-1}{\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)}=\sin^{-1}{\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)}=\cos^{-1}{\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)}=\cot^{-1}{\left(\frac{1-x^2}{2x}\right)}\)
\( f(x)=y=\sin^{-1}{x}\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন করা হলো।
\( f(x)=y=\cos^{-1}{x}\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন করা হলো।
\( f(x)=y=\tan^{-1}{x}\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন করা হলো।
\( f(x)=y= cosec^{-1}{x}\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন করা হলো।
\( f(x)=y=\sec^{-1}{x}\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন করা হলো।
\( f(x)=y=\cot^{-1}{x}\)-এর লেখচিত্র পার্শে অঙ্কন করা হলো।
অধ্যায় \(7H\)-এর উদাহরণসমুহ
উদাহরণ \(1.\) দেখাও যে, \(\tan^{-1}{\frac{7}{11}}+\tan^{-1}{\frac{1}{7}}+\tan^{-1}{\frac{1}{13}}=\frac{\pi}{4}\)
উদাহরণ \(2.\) দেখাও যে, \(\sin^{-1}{\frac{4}{5}}+\cos^{-1}{\frac{2}{\sqrt{5}}}=\tan^{-1}{\frac{11}{2}}\)
উদাহরণ \(3.\) দেখাও যে, \(\sec^2{(\tan^{-1}{2})}+cosec^2{(\cot^{-1}{3})}=15\)
উদাহরণ \(4.\) প্রমান কর যে, \(\cos{\tan^{-1}{\cot{\sin^{-1}{x}}}}=x\)
উদাহরণ \(5.\) প্রমান কর যে, \(\cos^{-1}{x}+\cos^{-1}{y}=\frac{\pi}{2}\) হলে \(x^2+y^2=1\) হবে।
উদাহরণ \(6.\) যদি \(\cos^{-1}{\frac{x}{a}}+\cos^{-1}{\frac{y}{b}}=\theta\) হয় তবে দেখাও যে, \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{2xy}{ab}\cos{\theta}+\frac{y^2}{b^2}=\sin^2{\theta}.\)
উদাহরণ \(2.\) দেখাও যে, \(\sin^{-1}{\frac{4}{5}}+\cos^{-1}{\frac{2}{\sqrt{5}}}=\tan^{-1}{\frac{11}{2}}\)
উদাহরণ \(3.\) দেখাও যে, \(\sec^2{(\tan^{-1}{2})}+cosec^2{(\cot^{-1}{3})}=15\)
বঃ ২০১২, ২০০৮; ঢাঃ২০০৭; যঃ২০০৭; মাঃ২০০৯,২০০৫ ।
উদাহরণ \(4.\) প্রমান কর যে, \(\cos{\tan^{-1}{\cot{\sin^{-1}{x}}}}=x\)
বঃ ২০১২, মাঃ২০১০; সিঃ২০০৬ ।
উদাহরণ \(5.\) প্রমান কর যে, \(\cos^{-1}{x}+\cos^{-1}{y}=\frac{\pi}{2}\) হলে \(x^2+y^2=1\) হবে।
উদাহরণ \(6.\) যদি \(\cos^{-1}{\frac{x}{a}}+\cos^{-1}{\frac{y}{b}}=\theta\) হয় তবে দেখাও যে, \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{2xy}{ab}\cos{\theta}+\frac{y^2}{b^2}=\sin^2{\theta}.\)
ঢাঃ ২০১৫,২০১১,২০০৬ রাঃ২০১৪,২০১্২০০৬; বঃ২০১৪,২০০৮; যঃ২০১৩,২০০৩; সিঃ২০১১; চঃ,কুঃ২০০৯ ।
উদাহরণ \(7.\) সমাধান করঃ \(\sin^{-1}{x}+\sin^{-1}{(1-x)}=\cos^{-1}{x}\)
উত্তরঃ \(x=0, \ \frac{1}{2}\)
উদাহরণ \(8.\) \(\tan{(\pi\cot{\theta})}=\cot{(\pi\tan{\theta})}\) হলে দেখাও যে, \(\tan{\theta}=\frac{1}{4}(2n+1\pm{\sqrt{4n^2+4n-15}})\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\) এবং \(n\lt{-2}\) অথবা \(n\gt{1}\)
উদাহরণ \(9.\) \(y=\sin^{-1}{x}\) এর লেখচিত্র অংকন কর যখন, \(-1\le{x}\le{1}.\)
উদাহরণ \(10.\) প্রমান কর যে, \(\sin^{-1}{\frac{4}{5}}+\cos^{-1}{\frac{2}{\sqrt{5}}}=\cot^{-1}{\frac{2}{11}}\)
উদাহরণ \(11.\) প্রমান কর যে, \(\tan^{-1}{\frac{1}{7}}+\tan^{-1}{\frac{1}{8}}+\tan^{-1}{\frac{1}{18}}=\cot^{-1}{3}\)
উত্তরঃ \(x=0, \ \frac{1}{2}\)
উদাহরণ \(8.\) \(\tan{(\pi\cot{\theta})}=\cot{(\pi\tan{\theta})}\) হলে দেখাও যে, \(\tan{\theta}=\frac{1}{4}(2n+1\pm{\sqrt{4n^2+4n-15}})\) যেখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\) এবং \(n\lt{-2}\) অথবা \(n\gt{1}\)
উদাহরণ \(9.\) \(y=\sin^{-1}{x}\) এর লেখচিত্র অংকন কর যখন, \(-1\le{x}\le{1}.\)
উদাহরণ \(10.\) প্রমান কর যে, \(\sin^{-1}{\frac{4}{5}}+\cos^{-1}{\frac{2}{\sqrt{5}}}=\cot^{-1}{\frac{2}{11}}\)
উদাহরণ \(11.\) প্রমান কর যে, \(\tan^{-1}{\frac{1}{7}}+\tan^{-1}{\frac{1}{8}}+\tan^{-1}{\frac{1}{18}}=\cot^{-1}{3}\)
উদাহরণ \(9.\) \(y=\sin^{-1}{x}\) এর লেখচিত্র অংকন কর যখন, \(-1\le{x}\le{1}.\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(y=\cos^{-1}{x}\) যখন, \(-1\le{x}\le{1}.\)
\(-1\le{x}\le{1}\) ব্যবধির মধ্যে \(x\) এর ভিন্ন ভিন্ন মানের জন্য \(y\) এর আনুসঙ্গিক মান নির্ণয় করে নিচে একটি টেবিল তৈরী করি।
ছক কাগজে কার্তেসীয় অক্ষদ্বয় \(XOX^{\prime}\) এবং \(YOY^{\prime}\) অঙ্কন করি।
স্কেলঃ ধরি, \(x\) অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম \(10\) বর্গ ঘর \(=1\) একক।
\(y\) অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম \(1\) বর্গ ঘর \(=15^{o}\) ।
ছক কাগজে স্কেল অনুযায়ী উপরের টেবিল হতে প্রাপ্ত বিন্দুগুলি স্থাপন করি। বিন্দুগুলি সাবলীলভাবে সংযুক্ত করে প্রদত্ত ফাংশনের লেখচিত্র অংকন করি।
\(y=\cos^{-1}{x}\) যখন, \(-1\le{x}\le{1}.\)
\(-1\le{x}\le{1}\) ব্যবধির মধ্যে \(x\) এর ভিন্ন ভিন্ন মানের জন্য \(y\) এর আনুসঙ্গিক মান নির্ণয় করে নিচে একটি টেবিল তৈরী করি।
| \(x\) | \(0\) | \(\pm0.26\) | \(\pm0.5\) | \(\pm0.71\) | \(\pm0.87\) | \(\pm0.97\) | \(\pm1\) |
| \(y=\sin^{-1}{x}\) | \(0^{o}\) | \(\pm15^{o}\) | \(\pm30^{o}\) | \(\pm45^{o}\) | \(\pm60^{o}\) | \(\pm75^{o}\) | \(\pm90^{o}\) |
| \((x, \ y)\) | \((0, 0^{o})\) | \((\pm0.26, \pm15^{o})\) | \((\pm0.5, \pm30^{o})\) | \((\pm0.71, \pm45^{o})\) | \((\pm0.87, \pm60^{o})\) | \((\pm0.97, \pm75^{o})\) | \((\pm1, \pm90^{o})\) |
স্কেলঃ ধরি, \(x\) অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম \(10\) বর্গ ঘর \(=1\) একক।
\(y\) অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম \(1\) বর্গ ঘর \(=15^{o}\) ।
ছক কাগজে স্কেল অনুযায়ী উপরের টেবিল হতে প্রাপ্ত বিন্দুগুলি স্থাপন করি। বিন্দুগুলি সাবলীলভাবে সংযুক্ত করে প্রদত্ত ফাংশনের লেখচিত্র অংকন করি।
অধ্যায় \(7H\) / \(Q.1\)-এর সংক্ষিপ্ত প্রশ্নসমূহ
প্রমাণ করঃ
\(Q.1.(i)\) \(2\tan^{-1}{x}=\sin^{-1}{\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)}\) ঢাঃ২০১৭।
\(Q.1.(ii)\) \(\tan^{-1}{x}=\frac{1}{2}cosec^{-1}{\frac{1+x^2}{2x}}\)
\(Q.1.(iii)\) \(\tan^{-1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{2}\cos^{-1}{\frac{1-x}{1+x}}\)
কুঃ২০১৮; বুটেক্সঃ ২০০৮-২০০৯।
\(Q.1.(iv)\) \(\cos^{-1}{x}=2\sin^{-1}{\sqrt{\frac{1-x}{2}}}=2\cos^{-1}{\sqrt{\frac{1+x}{2}}}\)
কুয়েটঃ২০০৪-২০০৫,২০০৩-২০০৪; রুয়েটঃ ২০০৪-২০০৫।
\(Q.1.(v)\) \(2\sin^{-1}{x}=\sin^{-1}{2x\sqrt{1-x^2}}\)
ঢাঃ,যঃ,সিঃ,দিঃ ২০১৮।
\(Q.1.(vi)\) \(\sin^{-1}{(3\sin^{-1}{x})}=3x-4x^3\)
রাঃ ২০০৩।
\(Q.1.(vii)\) \(\sin^{-1}{x}+\cos^{-1}{x}=\frac{\pi}{2}\)
রাঃ,কুঃ,চঃ,বঃ ২০১৮।
\(Q.1.(viii)\) \(\cos{\left(2\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\right)}=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\)
সিঃ২০১৭।
\(Q.1.(ix)\) \(\tan^{-1}{\frac{2}{11}}+\tan^{-1}{\frac{7}{24}}=\tan^{-1}{\frac{1}{2}}\)
\(Q.1.(x)\) \(4\left(\cot^{-1}{3}+cosec^{-1}{\sqrt{5}}\right)=\pi\)
ঢাঃ২০০৮; বঃ২০০৪,২০০২; চঃ২০০৪ ।
\(Q.1.(xi)\) \(4\left(\sin^{-1}{\frac{1}{\sqrt{5}}}+\cot^{-1}{3}\right)=\pi\)
মাঃ২০১৪,২০০৬; দিঃ২০১২; যঃ২০১১; ঢাঃ২০০৯; বঃ২০০৭; চঃ২০০৪ ।
\(Q.1.(xii)\) \(\sin^{-1}{\frac{3}{5}}+\cot^{-1}{\frac{17}{19}}=\tan^{-1}{\frac{127}{11}}\)
রুয়েটঃ২০০৩-২০০৪ ।
\(Q.1.(xiii)\) \(\sin^{-1}{\frac{1}{3}}+\cos^{-1}{\sqrt{\frac{2}{3}}}=\tan^{-1}{\sqrt{2}}\)
সিঃ২০০১ ।
\(Q.1.(xiv)\) \(\cot^{-1}{\frac{5}{3}}+\sin^{-1}{\frac{3}{5}}=\tan^{-1}{\frac{27}{11}}\)
রুয়েটঃ২০০৩-২০০৪; মাঃ ২০০১ ।
\(Q.1.(xv)\) \(\sin^{-1}{\frac{4}{5}}+\cos^{-1}{\frac{2}{\sqrt{5}}}=\tan^{-1}{\frac{11}{2}}\)
ডুয়েটঃ২০১৪-২০১৫; দিঃ ২০১৩,২০০৯; সিঃ২০১২,২০০৫; বঃ২০১০; কুঃ২০০৫,২০০০; চঃ২০০৫ ।
প্রমাণ করঃ
\(Q.1.(xvi)\) \(\sec^{-1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}+\tan^{-1}{\frac{1}{2}}=\cot^{-1}{\frac{3}{4}}\)বঃ ২০১৭ ।
\(Q.1.(xvii)\) \(\sec^{-1}{\frac{13}{5}}-cosec^{-1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\tan^{-1}{\frac{2}{29}}\)
বঃ ২০০৬; চঃ২০০২ ।
\(Q.1.(xviii)\) \(\sec^{-1}{\frac{5}{3}}+\cot^{-1}{\frac{12}{5}}+\sin^{-1}{\frac{16}{65}}=\frac{\pi}{2}\)
ঢাঃ২০১৭ ।
\(Q.1.(xix)\) \(\sin^{-1}{\frac{4}{5}}+\sin^{-1}{\frac{5}{13}}+\sin^{-1}{\frac{16}{65}}=\frac{\pi}{2}\)
রুয়েটঃ২০০৭-২০০৮ ।
\(Q.1.(xx)\) \(\tan^{-1}{\frac{5}{3}}=\frac{\pi}{2}-\cos^{-1}{\frac{5}{\sqrt{34}}}\)
সিঃ২০১৯ ।
\(Q.1.(xxi)\) \(\tan^{-1}{\frac{2}{3}}=\frac{\pi}{2}-\sec^{-1}{\frac{\sqrt{13}}{2}}\)
ঢাঃ২০১১,২০০২; সিঃ২০১০; বঃ২০০৯; যঃ২০০৮; চঃ২০০৪,২০০১ ।
\(Q.1.(xxii)\) \(\tan^{-1}{\frac{1}{3}}-\tan^{-1}{\frac{1}{5}}+\tan^{-1}{\frac{1}{7}}=\tan^{-1}{\frac{3}{11}}\)
\(Q.1.(xxiii)\) \(2\tan^{-1}{\frac{1}{5}}+\tan^{-1}{\frac{1}{4}}=\tan^{-1}{\frac{32}{43}}\)
\(Q.1.(xxiv)\) \(4\tan^{-1}{\frac{1}{5}}-\tan^{-1}{\frac{1}{239}}=\frac{\pi}{4}\)
\(Q.1.(xxv)\) \(\cos^{-1}{\frac{4}{5}}+\cot^{-1}{\frac{5}{3}}=\tan^{-1}{\frac{27}{11}}\)
ঢাঃ২০১২ ।
\(Q.1.(xxvi)\) \(\cot^{-1}{3}+cosec^{-1}{\sqrt{5}}=\frac{\pi}{4}\)
\(Q.1.(xxvii)\) \(\tan^{-1}{\frac{5}{6}}-tan^{-1}{\frac{1}{11}}=\tan^{-1}{\frac{49}{71}}\)
\(Q.1.(xxviii)\) \(\tan^{-1}{\frac{5}{7}}+cot^{-1}{\frac{8}{5}}=\cot^{-1}{\frac{31}{75}}\)
\(Q.1.(xxix)\) \(\sin^{-1}{\frac{3}{5}}+\tan^{-1}{\frac{3}{5}}=\tan^{-1}{\frac{27}{11}}\)
\(Q.1.(xxx)\) \(\sin^{-1}{\frac{3}{5}}+\sin^{-1}{\frac{8}{17}}=\sin^{-1}{\frac{77}{85}}\)
\(Q.1.(xxxi)\) \(\cot^{-1}{\frac{5}{3}}+\sin^{-1}{\frac{3}{5}}=\tan^{-1}{\frac{27}{11}}\)
\(Q.1.(xxxii)\) \(\tan^{-1}{\frac{5}{6}}-\tan^{-1}{\frac{49}{71}}=\tan^{-1}{\frac{1}{11}}\)
\(Q.1.(xxxiii)\) \(\tan^{-1}{\frac{1}{2}}+\tan^{-1}{\frac{1}{5}}+\tan^{-1}{\frac{1}{8}}=\frac{\pi}{4}\)
অধ্যায় \(7H\) / \(Q.2\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
মান নির্ণয় করঃ
\(Q.2.(i) (a)\) \(\cot{\left(\sin^{-1}{\frac{1}{\sqrt{5}}}\right)}\)উত্তরঃ \(2\)
চঃ২০১৯।
\(Q.2.(i) (b)\) \(cosec^{-1}{\sqrt{17}}+\sec^{-1}{\frac{\sqrt{26}}{5}}\)
উত্তরঃ \(\tan^{-1}{\left(\frac{9}{19}\right)}\)
রাঃ২০১৯।
\(Q.2.(i) (c)\) \(\tan^{-1}{\frac{1}{2}}+\tan^{-1}{\frac{1}{3}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{4}\)
যঃ২০১৯।
\(Q.2.(i) (d)\) \(\tan^{-1}{4}+\tan^{-1}{\frac{5}{3}}\)
উত্তরঃ \(\frac{3\pi}{4}\)
দিঃ২০১৯।
\(Q.2.(i) (e)\) \(cosec^{-1}{\sqrt{5}}+\sec^{-1}{\frac{\sqrt{10}}{3}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{4}\)
কুঃ২০১৭।
\(Q.2.(i) (f)\) \(\sin^{-1}{\frac{4}{5}}+\cos^{-1}{\frac{2}{\sqrt{5}}}-\cot^{-1}{\frac{2}{11}}\)
উত্তরঃ \(0\)
ঢা,দিঃ,যঃ,সিঃ২০১৮।
\(Q.2.(i) (g)\) \(\tan^{-1}{\sin{\cos^{-1}{\sqrt{\frac{2}{3}}}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{6}\)
দিঃ২০১৭।
\(Q.2.(i) (h)\) \(\sin{\left(\sin^{-1}{\frac{1}{3}}+\cos^{-1}{\frac{1}{3}}\right)}\)
উত্তরঃ \(1\)
\(Q.2.(i) (i)\) \(\cos{\left(\tan^{-1}{3}+\tan^{-1}{\frac{1}{3}}\right)}\)
উত্তরঃ \(0\)
\(Q.2.(i) (j)\) \(\tan{\left\{\frac{1}{2}{\left(\sec^{-1}{3}+cosec^{-1}{3}\right)}\right\}}\)
উত্তরঃ \(1\)
\(Q.2.(i) (k)\) \(\cot{\left(\sec^{-1}{2}+\sin^{-1}{\frac{1}{2}}\right)}\)
উত্তরঃ \(0\)
\(Q.2.(i) (l)\) \(\cos{\left(\sin^{-1}{\frac{1}{4}}+\cos^{-1}{\frac{1}{4}}\right)}\)
উত্তরঃ \(0\)
\(Q.2.(i) (m)\) \(\cot{\left(\tan^{-1}{\frac{1}{3}}+\cot^{-1}{\frac{1}{3}}\right)}\)
উত্তরঃ \(0\)
সমাধান করঃ
\(Q.2.(ii) (a)\) \(\sin^{-1}{2x}+\sin^{-1}{x}=\frac{\pi}{3}\)উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}\)
বুয়েটঃ২০১৮-২০১৯।
\(Q.2.(ii) (b)\) \(\tan^{-1}{\frac{x-1}{x-2}}+\tan^{-1}{\frac{x+1}{x+2}}=\frac{\pi}{4}\)
উত্তরঃ \(\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(Q.2.(ii) (c)\) \(\tan^{-1}{\frac{1-x}{1+x}}=\frac{1}{2}\tan^{-1}{x}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
বুয়েটঃ২০০৬-২০০৭।
\(Q.2.(ii) (d)\) \(\tan^{-1}{x}+2\cot^{-1}{x}=\frac{2}{3}\pi\)
উত্তরঃ \(\sqrt{3}\)
বুয়েটঃ২০১০-২০১১।
\(Q.2.(ii) (e)\) \(\tan{\cos^{-1}{x}}=\sin{\tan^{-1}{2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{5}}{3}\)
বুয়েটঃ২০১২-২০১৩।
\(Q.2.(ii) (f)\) \(\tan^{-1}{(x+2)}+\tan^{-1}{(x-2)}=\tan^{-1}{\frac{1}{2}}\)
উত্তরঃ \(1, \ -5\)
\(Q.2.(ii) (g)\) \(\tan^{-1}{(x+1)}+\tan^{-1}{x}+\tan^{-1}{(x-1)}=\tan^{-1}{3x}\)
সিঃ২০০৬ ।
উত্তরঃ \(0, \ \pm{\frac{1}{2}}\) সমাধান করঃ
\(Q.2.(ii) (h)\) \(\tan{\left(\cos^{-1}{x}\right)}=\sin{\left(\cot^{-1}{\frac{1}{2}}\right)}\)উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{5}}{3}\)
\(Q.2.(ii) (i)\) \(\sin^{-1}{x}-\cos^{-1}{x}=\frac{\pi}{6}\)
উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(Q.2.(ii) (j)\) \(\sec^{-1}{\frac{x}{2}}-\sec^{-1}{\frac{x}{3}}=\sec^{-1}{3}-\sec^{-1}{2}\)
উত্তরঃ \(6\)
\(Q.2.(ii) (k)\) \(\sin^{-1}{(5x^2-x-3)}=3\sin^{-1}{\frac{x}{2}}\)
উত্তরঃ \(1, \ \frac{-11+\sqrt{97}}{2}\)
\(Q.2.(ii) (l)\) \(\tan^{-1}{\frac{2x}{1-x^2}}=\sin^{-1}{\frac{2a}{1+a^2}}+\cos^{-1}{\frac{1-b^2}{1+b^2}}\)
উত্তরঃ \(\frac{a+b}{1-ab}\)
\(Q.2.(ii) (m)\) \(\cot^{-1}{(x-1)}+\cot^{-1}{(x-2)}+\cot^{-1}{(x-3)}=0\)
উত্তরঃ \(\frac{6\pm\sqrt{6}}{3}\)
\(Q.2.(ii) (n)\) \(2\tan^{-1}{(\cos{x})}=\tan^{-1}{(2cosec \ {x})}\)
উত্তরঃ \(n\pi+\frac{\pi}{4}\)
\(Q.2.(ii) (o)\) \(\cos^{-1}{x}-\sin^{-1}{x}=\cos^{-1}{(\sqrt{3}x)}\)
উত্তরঃ \(0\)
\(Q.2.(ii) (p)\) \(\tan^{-1}{\sin{\tan^{-1}{x}}}=\cos^{-1}{\sqrt{\frac{3}{5}}}\)
উত্তরঃ \(\pm{\sqrt{2}}\)
\(Q.2.(ii) (q)\) \(\tan^{-1}{\frac{x-1}{x+1}}+\tan^{-1}{\frac{2x-1}{2x+1}}=\tan^{-1}{\frac{23}{36}}\)
উত্তরঃ \(\frac{4}{3}\)
\(Q.2.(ii) (r)\) \(\sec^{-1}{\frac{x}{a}}-\sec^{-1}{\frac{x}{b}}=\sec^{-1}{b}-\sec^{-1}{a}\)
উত্তরঃ \(\pm{ab}\)
\(Q.2.(ii) (s)\) \(\tan^{-1}{(x+1)}+\tan^{-1}{(x-1)}=\tan^{-1}{\frac{8}{31}}\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{4}\)
\(Q.2.(ii) (t)\) \(\sin{\cot^{-1}{\cos{\tan^{-1}{x}}}}=\frac{2}{\sqrt{5}}\)
উত্তরঃ \(\pm\sqrt{3}\)
\(Q.2.(ii) (u)\) \(\sin^{-1}{\frac{5}{x}}+\sin^{-1}{\frac{12}{x}}=\frac{\pi}{2}\)
উত্তরঃ \(13\)
নিম্নোক্ত ত্রিকোণমিতিক অভেদগুলির প্রমাণ কর এবং মুখ্যসীমার প্রভাব আলোচনা করঃ
\(Q.2.(iii) (a)\) \(\tan^{-1}{2}+\tan^{-1}{3}=\frac{3\pi}{4}\)\(Q.2.(iii) (b)\) \(\tan^{-1}{2}+\tan^{-1}{5}+\tan^{-1}{8}=\frac{5\pi}{4}\)
\(Q.2.(iii) (c)\) \(\sin^{-1}{\frac{4}{5}}+\sin^{-1}{\frac{12}{13}}+\sin^{-1}{\frac{56}{65}}=\pi\)
\(Q.2.(iii) (d)\) \(2\sin^{-1}{\frac{12}{13}}+\sin^{-1}{\frac{120}{169}}=\pi\)
\(Q.2.(iii) (e)\) \(\tan^{-1}{6}+\tan^{-1}{\frac{7}{5}}=\frac{3\pi}{4}\)
\(Q.2.(iii) (f)\) \(\tan^{-1}{5}+\tan^{-1}{6}+\tan^{-1}{7}+\tan^{-1}{8}=2\pi-\tan^{-1}{\frac{8}{11}}\)
লেখচিত্র অংকন করঃ
\(Q.2.(iv) (a)\) \(g(x)=p\sin^{-1}{x}\) যখন, \(p=\frac{1}{2}, \ -1\le{x}\le{1}.\) বঃ২০১৭ ।
\(Q.2.(iv) (b)\) \(y=\cos^{-1}{x}\) যখন, \(-1\le{x}\le{1}.\)
\(Q.2.(iv) (c)\) \(y=\tan^{-1}{x}\) যখন, \(-1\le{x}\le{1}.\)
\(Q.2.(iv) (d)\) \(y=\sec^{-1}{x}\) যখন, \(1\le{x}\le{2}.\)
সমাধান করঃ
\(Q.2.(ii) (d)\) \(\tan^{-1}{x}+2\cot^{-1}{x}=\frac{2}{3}\pi\)উত্তরঃ \(\sqrt{3}\)
বুয়েটঃ২০১০-২০১১।
সমাধানঃ
প্রদত্ত সমীকরণ,
\(\tan^{-1}{x}+2\cot^{-1}{x}=\frac{2}{3}\pi\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}{x}+2\tan^{-1}{\frac{1}{x}}=\frac{2}{3}\pi\) ➜ \(\because \cot^{-1}{x}=\tan^{-1}{\frac{1}{x}}\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}{x}+\tan^{-1}{\left\{\frac{2\times\frac{1}{x}}{1-\left(\frac{1}{x}\right)^2}\right\}}=\frac{2\pi}{3}\) ➜ \(\because 2\tan^{-1}{x}=\tan^{-1}{\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)}\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}{x}+\tan^{-1}{\left(\frac{\frac{2}{x}}{1-\frac{1}{x^2}}\right)}=\frac{2\pi}{3}\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}{x}+\tan^{-1}{\left(\frac{2x}{x^2-1}\right)}=\frac{2\pi}{3}\) ➜ লব ও হরকে \(x^2\) দ্বারা গুন করে,
\(\Rightarrow \tan^{-1}{\left(\frac{x+\frac{2x}{x^2-1}}{1-x\times\frac{2x}{x^2-1}}\right)}=\frac{2\pi}{3}\) ➜ \(\because \tan^{-1}{x}+\tan^{-1}{y}=\tan^{-1}{\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)}\)
\(\Rightarrow \frac{x+\frac{2x}{x^2-1}}{1-\frac{2x^2}{x^2-1}}=\tan{\frac{2\pi}{3}}\)
\(\Rightarrow \frac{x(x^2-1)+2x}{x^2-1-2x^2}=\tan{\left(\frac{\pi}{2}\times2-\frac{\pi}{3}\right)}\) ➜ লব ও হরকে \((x^2-1)\) দ্বারা গুন করে,
\(\Rightarrow \frac{x^3-x+2x}{-1-x^2}=-\tan{\frac{\pi}{3}}\) ➜
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।
\(\Rightarrow -\frac{x^3+x}{1+x^2}=-\sqrt{3}\) ➜ \(\because \tan{\frac{\pi}{3}}=\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \frac{x(1+x^2)}{1+x^2}=\sqrt{3}\)
\(\therefore x=\sqrt{3}\)
ইহাই নির্ণেয় সমাধান।
\(\tan^{-1}{x}+2\cot^{-1}{x}=\frac{2}{3}\pi\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}{x}+2\tan^{-1}{\frac{1}{x}}=\frac{2}{3}\pi\) ➜ \(\because \cot^{-1}{x}=\tan^{-1}{\frac{1}{x}}\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}{x}+\tan^{-1}{\left\{\frac{2\times\frac{1}{x}}{1-\left(\frac{1}{x}\right)^2}\right\}}=\frac{2\pi}{3}\) ➜ \(\because 2\tan^{-1}{x}=\tan^{-1}{\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)}\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}{x}+\tan^{-1}{\left(\frac{\frac{2}{x}}{1-\frac{1}{x^2}}\right)}=\frac{2\pi}{3}\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}{x}+\tan^{-1}{\left(\frac{2x}{x^2-1}\right)}=\frac{2\pi}{3}\) ➜ লব ও হরকে \(x^2\) দ্বারা গুন করে,
\(\Rightarrow \tan^{-1}{\left(\frac{x+\frac{2x}{x^2-1}}{1-x\times\frac{2x}{x^2-1}}\right)}=\frac{2\pi}{3}\) ➜ \(\because \tan^{-1}{x}+\tan^{-1}{y}=\tan^{-1}{\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)}\)
\(\Rightarrow \frac{x+\frac{2x}{x^2-1}}{1-\frac{2x^2}{x^2-1}}=\tan{\frac{2\pi}{3}}\)
\(\Rightarrow \frac{x(x^2-1)+2x}{x^2-1-2x^2}=\tan{\left(\frac{\pi}{2}\times2-\frac{\pi}{3}\right)}\) ➜ লব ও হরকে \((x^2-1)\) দ্বারা গুন করে,
\(\Rightarrow \frac{x^3-x+2x}{-1-x^2}=-\tan{\frac{\pi}{3}}\) ➜
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং ট্যানজেন্ট অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।
\(\Rightarrow -\frac{x^3+x}{1+x^2}=-\sqrt{3}\) ➜ \(\because \tan{\frac{\pi}{3}}=\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \frac{x(1+x^2)}{1+x^2}=\sqrt{3}\)
\(\therefore x=\sqrt{3}\)
ইহাই নির্ণেয় সমাধান।
লেখচিত্র অংকন করঃ
\(Q.2.(iv) (a)\) \(g(x)=p\sin^{-1}{x}\) যখন, \(p=\frac{1}{2}, \ -1\le{x}\le{1}.\) বঃ২০১৭ ।
সমাধানঃ
ধরি,
\(y=g(x)=P\sin^{-1}{x}\)
\(\Rightarrow y=\frac{1}{2}\sin^{-1}{x}\)
\(-1\le{x}\le{1}\) ব্যবধির মধ্যে \(x\) এর ভিন্ন ভিন্ন মানের জন্য \(y\) এর আনুসঙ্গিক মান নির্ণয় করে নিচে একটি টেবিল তৈরী করি।
ছক কাগজে কার্তেসীয় অক্ষদ্বয় \(XOX^{\prime}\) এবং \(YOY^{\prime}\) অঙ্কন করি।
স্কেলঃ ধরি, \(x\) অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম \(10\) বর্গ ঘর \(=1\) একক।
\(y\) অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম \(6\) বর্গ ঘর \(=15^{o}\) ।
ছক কাগজে স্কেল অনুযায়ী উপরের টেবিল হতে প্রাপ্ত বিন্দুগুলি স্থাপন করি। বিন্দুগুলি সাবলীলভাবে সংযুক্ত করে প্রদত্ত ফাংশনের লেখচিত্র অংকন করি।
\(y=g(x)=P\sin^{-1}{x}\)
\(\Rightarrow y=\frac{1}{2}\sin^{-1}{x}\)
\(-1\le{x}\le{1}\) ব্যবধির মধ্যে \(x\) এর ভিন্ন ভিন্ন মানের জন্য \(y\) এর আনুসঙ্গিক মান নির্ণয় করে নিচে একটি টেবিল তৈরী করি।
| \(x\) | \(-1\) | \(-0.87\) | \(-0.5\) | \(0\) | \(0.5\) | \(0.87\) | \(1\) |
| \(y=\frac{1}{2}\sin^{-1}{x}\) | \(-45^{o}\) | \(-30^{o}\) | \(-15^{o}\) | \(0^{o}\) | \(15^{o}\) | \(30^{o}\) | \(45^{o}\) |
| \((x, \ y)\) | \((-1, -45^{o})\) | \((-0.87, -30^{o})\) | \((-0.5, -15^{o})\) | \((0, 0^{o})\) | \((0.5, 15^{o})\) | \((0.87, 30^{o})\) | \((1, 45^{o})\) |
স্কেলঃ ধরি, \(x\) অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম \(10\) বর্গ ঘর \(=1\) একক।
\(y\) অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম \(6\) বর্গ ঘর \(=15^{o}\) ।
ছক কাগজে স্কেল অনুযায়ী উপরের টেবিল হতে প্রাপ্ত বিন্দুগুলি স্থাপন করি। বিন্দুগুলি সাবলীলভাবে সংযুক্ত করে প্রদত্ত ফাংশনের লেখচিত্র অংকন করি।
লেখচিত্র অংকন করঃ
\(Q.2.(iv) (b)\) \(y=\cos^{-1}{x}\) যখন, \(-1\le{x}\le{1}.\)সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(y=\cos^{-1}{x}\) যখন, \(-1\le{x}\le{1}.\)
\(-1\le{x}\le{1}\) ব্যবধির মধ্যে \(x\) এর ভিন্ন ভিন্ন মানের জন্য \(y\) এর আনুসঙ্গিক মান নির্ণয় করে নিচে একটি টেবিল তৈরী করি।
ছক কাগজে কার্তেসীয় অক্ষদ্বয় \(XOX^{\prime}\) এবং \(YOY^{\prime}\) অঙ্কন করি।
স্কেলঃ ধরি, \(x\) অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম \(10\) বর্গ ঘর \(=1\) একক।
\(y\) অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম \(1\) বর্গ ঘর \(=15^{o}\) ।
ছক কাগজে স্কেল অনুযায়ী উপরের টেবিল হতে প্রাপ্ত বিন্দুগুলি স্থাপন করি। বিন্দুগুলি সাবলীলভাবে সংযুক্ত করে প্রদত্ত ফাংশনের লেখচিত্র অংকন করি।
\(y=\cos^{-1}{x}\) যখন, \(-1\le{x}\le{1}.\)
\(-1\le{x}\le{1}\) ব্যবধির মধ্যে \(x\) এর ভিন্ন ভিন্ন মানের জন্য \(y\) এর আনুসঙ্গিক মান নির্ণয় করে নিচে একটি টেবিল তৈরী করি।
| \(x\) | \(0\) | \(\pm0.26\) | \(\pm0.5\) | \(\pm0.71\) | \(\pm0.87\) | \(\pm0.97\) | \(\pm1\) |
| \(y=\cos^{-1}{x}\) | \(\pm90^{o}\) | \(\pm75^{o}\) | \(\pm60^{o}\) | \(\pm45^{o}\) | \(\pm30^{o}\) | \(\pm15^{o}\) | \(0^{o}\) |
| \((x, \ y)\) | \((0, \pm90^{o})\) | \((\pm0.26, \pm75^{o})\) | \((\pm0.5, \pm60^{o})\) | \((\pm0.71, \pm45^{o})\) | \((\pm0.87, \pm30^{o})\) | \((\pm0.97, \pm15^{o})\) | \((\pm1, 0^{o})\) |
স্কেলঃ ধরি, \(x\) অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম \(10\) বর্গ ঘর \(=1\) একক।
\(y\) অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম \(1\) বর্গ ঘর \(=15^{o}\) ।
ছক কাগজে স্কেল অনুযায়ী উপরের টেবিল হতে প্রাপ্ত বিন্দুগুলি স্থাপন করি। বিন্দুগুলি সাবলীলভাবে সংযুক্ত করে প্রদত্ত ফাংশনের লেখচিত্র অংকন করি।
লেখচিত্র অংকন করঃ
\(Q.2.(iv) (c)\) \(y=\tan^{-1}{x}\) যখন, \(-1\le{x}\le{1}.\)সমাধানঃ
ধরি,
\(y=\tan^{-1}{x}\)
\(-1\le{x}\le{1}\) ব্যবধির মধ্যে \(x\) এর ভিন্ন ভিন্ন মানের জন্য \(y\) এর আনুসঙ্গিক মান নির্ণয় করে নিচে একটি টেবিল তৈরী করি।
ছক কাগজে কার্তেসীয় অক্ষদ্বয় \(XOX^{\prime}\) এবং \(YOY^{\prime}\) অঙ্কন করি।
স্কেলঃ ধরি, \(x\) অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম \(10\) বর্গ ঘর \(=1\) একক।
\(y\) অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম \(1\) বর্গ ঘর \(=15^{o}\) ।
ছক কাগজে স্কেল অনুযায়ী উপরের টেবিল হতে প্রাপ্ত বিন্দুগুলি স্থাপন করি। বিন্দুগুলি সাবলীলভাবে সংযুক্ত করে প্রদত্ত ফাংশনের লেখচিত্র অংকন করি।
\(y=\tan^{-1}{x}\)
\(-1\le{x}\le{1}\) ব্যবধির মধ্যে \(x\) এর ভিন্ন ভিন্ন মানের জন্য \(y\) এর আনুসঙ্গিক মান নির্ণয় করে নিচে একটি টেবিল তৈরী করি।
| \(x\) | \(-1\) | \(-0.58\) | \(-0.27\) | \(0\) | \(0.27\) | \(0.58\) | \(1\) |
| \(y=\tan^{-1}{x}\) | \(-45^{o}\) | \(-30^{o}\) | \(-15^{o}\) | \(0^{o}\) | \(15^{o}\) | \(30^{o}\) | \(45^{o}\) |
| \((x, \ y)\) | \((-1, -45^{o})\) | \((-0.58, -30^{o})\) | \((-0.27, -15^{o})\) | \((0, 0^{o})\) | \((0.27, 15^{o})\) | \((0.58, 30^{o})\) | \((1, 45^{o})\) |
স্কেলঃ ধরি, \(x\) অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম \(10\) বর্গ ঘর \(=1\) একক।
\(y\) অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম \(1\) বর্গ ঘর \(=15^{o}\) ।
ছক কাগজে স্কেল অনুযায়ী উপরের টেবিল হতে প্রাপ্ত বিন্দুগুলি স্থাপন করি। বিন্দুগুলি সাবলীলভাবে সংযুক্ত করে প্রদত্ত ফাংশনের লেখচিত্র অংকন করি।
লেখচিত্র অংকন করঃ
\(Q.2.(iv) (d)\) \(y=\sec^{-1}{x}\) যখন, \(1\le{x}\le{2}.\)সমাধানঃ
ধরি,
\(y=\sec^{-1}{x}\)
\(1\le{x}\le{2}\) ব্যবধির মধ্যে \(x\) এর ভিন্ন ভিন্ন মানের জন্য \(y\) এর আনুসঙ্গিক মান নির্ণয় করে নিচে একটি টেবিল তৈরী করি।
ছক কাগজে কার্তেসীয় অক্ষদ্বয় \(XOX^{\prime}\) এবং \(YOY^{\prime}\) অঙ্কন করি।
স্কেলঃ ধরি, \(x\) অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম \(10\) বর্গ ঘর \(=1\) একক।
\(y\) অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম \(4\) বর্গ ঘর \(=15^{o}\) ।
ছক কাগজে স্কেল অনুযায়ী উপরের টেবিল হতে প্রাপ্ত বিন্দুগুলি স্থাপন করি। বিন্দুগুলি সাবলীলভাবে সংযুক্ত করে প্রদত্ত ফাংশনের লেখচিত্র অংকন করি।
\(y=\sec^{-1}{x}\)
\(1\le{x}\le{2}\) ব্যবধির মধ্যে \(x\) এর ভিন্ন ভিন্ন মানের জন্য \(y\) এর আনুসঙ্গিক মান নির্ণয় করে নিচে একটি টেবিল তৈরী করি।
| \(x\) | \(1\) | \(1.04\) | \(1.15\) | \(1.41\) | \(2\) |
| \(y=\sec^{-1}{x}\) | \(0^{o}\) | \(15^{o}\) | \(30^{o}\) | \(45^{o}\) | \(60^{o}\) |
| \((x, \ y)\) | \((1, 0^{o})\) | \((1.03, 15^{o})\) | \((1.15, 30^{o})\) | \((1.41, 45^{o})\) | \((2, 60^{o})\) |
স্কেলঃ ধরি, \(x\) অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম \(10\) বর্গ ঘর \(=1\) একক।
\(y\) অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম \(4\) বর্গ ঘর \(=15^{o}\) ।
ছক কাগজে স্কেল অনুযায়ী উপরের টেবিল হতে প্রাপ্ত বিন্দুগুলি স্থাপন করি। বিন্দুগুলি সাবলীলভাবে সংযুক্ত করে প্রদত্ত ফাংশনের লেখচিত্র অংকন করি।
অধ্যায় \(7H\) / \(Q.3\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
প্রমাণ করঃ
\(Q.3.(i)\) \(2\tan^{-1}{\frac{1}{3}}+\tan^{-1}{\frac{1}{7}}=\frac{\pi}{4}\) মাঃ২০১১, ২০০৭; রাঃ ২০০৩; যঃ২০০২।
\(Q.3.(ii)\) \(2\tan^{-1}{\frac{1}{5}}+\tan^{-1}{\frac{1}{7}}+2\tan^{-1}{\frac{1}{8}}=\frac{\pi}{4}\)
মাঃ২০০৪ ।
\(Q.3.(iii)\) \(2\sin^{-1}{\frac{1}{3}}+\cos^{-1}{\sqrt{\frac{2}{3}}}=\tan^{-1}{\frac{5}{\sqrt{2}}}\)
বঃ২০১৯ ।
\(Q.3.(iv)\) \(\cos^{-1}{\frac{1}{\sqrt{5}}}-\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{3}{5}}+\tan^{-1}{\frac{1}{3}}=\tan^{-1}{2}\)
দিঃ২০১৫,২০১৪; সিঃ২০১৫,২০১১,২০০৮; চঃ২০১৫; কুঃ২০১৪,২০০৯,২০০৬; ঢাঃ২০১৪,২০০৭; যঃ২০১৩,২০১০,২০০৬; রাঃ২০০৮,২০০৫; মাঃ২০০৮ ।
\(Q.3.(v)\) \(\sin{\cot^{-1}{\tan{\cos^{-1}{\frac{3}{4}}}}}=\frac{3}{4}\)
ঢাঃ২০১২ ।
\(Q.3.(vi)\) \(\cot{\cos^{-1}{\sin{\tan^{-1}{\frac{3}{4}}}}}=\frac{3}{4}\)
মাঃ২০১৪; জাতীয়ঃভর্তিঃ২০০৪ ।
\(Q.3.(vii)\) \(\sin{\cot^{-1}{\tan{\cos^{-1}{x}}}}=x\)
সিঃ২০১৪,২০০৭; যঃ২০১৪; মাঃ২০১৩,২০০৮; রাঃ২০১২,২০০৮; ঢাঃ২০১২; দিঃ২০১১; বঃ২০০৯ ।
\(Q.3.(viii)\) \(\cot{\cos^{-1}{\sin{\tan^{-1}{x}}}}=x\)
সিঃ২০০৯; বঃ২০১১; দিঃ২০১৬ ।
\(Q.3.(ix)\) \(\sin{\cos^{-1}{\tan{\sec^{-1}{x}}}}=\sqrt{2-x^2}\)
সিঃ২০০৯; বঃ২০১৪ ।
\(Q.3.(x)\) \(\sin{\cos^{-1}{\tan{\sec^{-1}{\frac{x}{y}}}}}=\frac{\sqrt{2y^2-x^2}}{y}\)
বঃ২০১৪; চঃ২০১২; ঢাঃ২০১০; যঃ,দিঃ২০০৯; কুয়েটঃ২০১০-২০১১ ।
\(Q.3.(xi)\) \(\cos{\tan^{-1}{\sin{\cot^{-1}{x}}}}=\sqrt{\frac{1+x^2}{2+x^2}}\)
কুঃ২০০২; বিআইটিঃ১৯৯৯-২০০০ ।
\(Q.3.(xii)\) \(\sec^2{(\tan^{-1}{4})}+\tan^2{(\sec^{-1}{3})}=25\)
কুঃ২০১৩,২০০৬; রাঃ২০১৩;মাঃ২০১১; চুয়েটঃ২০১১-২০১২,২০১০-২০১১ ।
\(Q.3.(xiii)\) \(\sin^2{\left(\cos^{-1}{\frac{1}{3}}\right)}-\cos^2{\left(\sin^{-1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\right)}=\frac{2}{9}\)
রাঃ,চঃ২০০৭; ঢাঃ,যঃ,সিঃ,দিঃ২০১৮; বুটেক্সঃ২০০৯-২০১০ ।
\(Q.3.(xiv)\) \(cosec^2{\left(\tan^{-1}{\frac{1}{2}}\right)}-3\sec^2{\left(\cot^{-1}{\sqrt{3}}\right)}=1\)
চঃ২০০৩,২০০১; কুয়েটঃ২০০৮-২০০৯ ।
\(Q.3.(xv)\) \(\sec^2{\left(\cot^{-1}{3}\right)}+cosec^2{\left(\tan^{-1}{2}\right)}=2\frac{13}{36}\)
বঃ২০০৯; ডুয়েটঃ২০১৫-২০১৬ ।
\(Q.3.(xvi)\) \(\cos{\left(2\tan^{-1}{\frac{1}{7}}\right)}=\sin{\left(4\tan^{-1}{\frac{1}{2}}\right)}\)
বঃ২০১৫; রাঃ২০১৩ ।
\(Q.3.(xvii)\) \(\sin^{-1}{(-\cos{x})}+\sin^{-1}{(\cos{3x})}=-2x\)
সিঃ২০৯; ঢাঃ২০০৩ ।
\(Q.3.(xviii)\) \(\cos^{-1}{\sqrt{\frac{2}{3}}}-\cos^{-1}{\left(\frac{\sqrt{6}+1}{2\sqrt{3}}\right)}=\frac{\pi}{6}\)
কুঃ২০০২ ।
\(Q.3.(xix)\) \(\sin^{-1}{(\sqrt{2}\sin{\theta})}+\sin^{-1}{\left(\sqrt{\cos{2\theta}}\right)}=\frac{\pi}{2}\)
রাঃ২০১৪,২০০৯; দিঃ২০১৪; বঃ২০১৩; চঃ২০১২,২০০৮; সিঃ২০১২; যঃ, কুঃ২০১১ ।
\(Q.3.(xx)\) \(\tan^{-1}{(\cot{3x})}+\tan^{-1}{(-\cot{5x})}=2x\)
যঃ২০১৭ ।
\(Q.3.(xxi)\) \(\cot^{-1}{(\tan{2x})}+\cot^{-1}{(-\tan{3x})}=x\)
বঃ২০১১ ।
\(Q.3.(xxii)\) \(\tan^{-1}{\left(\frac{1}{2}\tan{2A}\right)}+\tan^{-1}{(\cot{A})}+\tan^{-1}{(\cot^3{A})}=0\)
যঃ২০০৫ ।
\(Q.3.(xxiii)\) \(2\tan^{-1}{\left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\tan{\frac{\theta}{2}}\right)}=\cos^{-1}{\frac{b+a\cos{\theta}}{a+b\cos{\theta}}}\)
বঃ২০১৬; কুঃ২০১৫,২০১১,২০০৮; ঢাঃ২০১৪,২০০৫; সিঃ২০১৩; দিঃ,যঃ২০০৯ ।
\(Q.3.(xxiv)\) \(2\tan^{-1}{\left(\sqrt{\frac{a}{b}}\tan{\frac{\theta}{2}}\right)}=\sin^{-1}{\left\{\frac{2\sqrt{ab}\sin{\theta}}{(b+a)+(b-a)\cos{\theta}}\right\}}\)
\(Q.3.(xxv)\) \(\tan{\left\{\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{2x}{1+x^2}}+\frac{1}{2}\cos^{-1}{\frac{1-x^2}{1+x^2}}\right\}}=\frac{2x}{1-x^2}\)
কুঃ২০১৪ ।
\(Q.3.(xxvi)\) \(\tan{(2\tan^{-1}{x})}=2\tan{(\tan^{-1}{x}+\tan^{-1}{x^3})}\)
চঃ২০১৪,২০০৯; কুঃ২০০৭; রাঃ২০০৬; বঃ২০০৫ ।
\(Q.3.(xxvii)\) \(\tan^{-1}{(\sqrt{2}+1)\tan{\alpha}}-\tan^{-1}{(\sqrt{2}-1)\tan{\alpha}}=\tan^{-1}{(\sin{2\alpha})}\)
দিঃ২০১৩; চঃ২০১০ ।
প্রমাণ করঃ
\(Q.3.(xxviii)\) \(\tan^{-1}{(2+\sqrt{3})\tan{x}}+\tan^{-1}{(2-\sqrt{3})\tan{x}}=\tan^{-1}{(2\tan{2x})}\)সিঃ২০১৯ ।
\(Q.3.(xxix)\) \(2\tan^{-1}{(cosec \ {\tan^{-1}{x}}-\tan{\cot^{-1}{x}})}=\tan^{-1}{x}\)
কুঃ২০১৬; রাঃ২০১৫,২০১১,২০০২; যঃ২০১২; দিঃ২০১০,২০০৪,২০০২ ।
\(Q.3.(xxx)\) \(\sec^{-1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{4}{5}}-\sin^{-1}{\frac{1}{\sqrt{5}}}=\tan^{-1}{2}\)
কুঃ২০১৭ ।
\(Q.3.(xxxi)\) \(\tan^{-1}{\frac{1}{4}}+\tan^{-1}{\frac{2}{9}}=\frac{1}{2}\cos^{-1}{\frac{3}{5}}\)
মাঃ২০১৩ ।
\(Q.3.(xxxii)\) \(\sin^2{\left(\cos^{-1}{\frac{1}{x}}\right)}-\cos^2{\left(\sin^{-1}{\frac{1}{\sqrt{x}}}\right)}=\frac{2}{9}\)
যেখানে, \(\triangle{ABC}\) -এ \(\angle{C}=\theta, \ \angle{B}=\frac{\pi}{2}, \ AB=2, \ BC=\sqrt{5}, \ AC=x\)
রাঃ,কুঃ,চঃ,বঃ২০১৮ ।
\(Q.3.(xxxiii)\) \(2\tan^{-1}{\left\{\tan{\frac{A}{2}}\tan{\left(\frac{\pi}{4}-\frac{B}{2}\right)}\right\}}=\tan^{-1}{\left(\frac{\sin{A}\cos{B}}{\cos{A}+\sin{B}}\right)}\)
\(Q.3.(xxxiv)\) \(\tan^{-1}{\frac{b^2-c^2}{1+b^2c^2}}+\tan^{-1}{\frac{c^2-a^2}{1+c^2a^2}}+\tan^{-1}{\frac{a^2-b^2}{1+a^2b^2}}=0\)
\(Q.3.(xxxv)\) \(\cos{\tan^{-1}{\cot{\sin^{-1}{x}}}}=x\)
সিঃ২০০৬; যঃ২০১২; মাঃ২০১৪,২০১০; কুয়েটঃ২০১৩-২০১৪; বুয়েটঃ২০০৫-২০০৬ ।
\(Q.3.(xxxvi)\) \(\tan^{-1}{\frac{x\cos{\theta}}{1-x\sin{\theta}}}-\tan^{-1}{\frac{x-\sin{\theta}}{\cos{\theta}}}=\theta\)
\(Q.3.(xxxvii)\) \(\sin^{-1}{\sqrt{\frac{x-b}{a-b}}}=\cos^{-1}{\sqrt{\frac{a-x}{a-b}}}=\tan^{-1}{\sqrt{\frac{x-b}{a-x}}}\)
\(Q.3.(xxxviii)\) \(\sin^{-1}{\left(\sqrt{2}\sin{\theta}\right)}-\cos^{-1}{\left(\sqrt{\cos{2\theta}}\right)}=0\)
\(Q.3.(xxxix)\) \(4\sin^{-1}{\frac{1}{\sqrt{17}}}-\tan^{-1}{\frac{79}{401}}=\frac{\pi}{4}\)
\(Q.3.(xL)\) \(\cos{\left(2\tan^{-1}{\frac{1}{7}}\right)}=\sin{\left(4\tan^{-1}{\frac{1}{2}}\right)}\)
\(Q.3.(xLi)\) \(\frac{1}{2}\cos^{-1}{\frac{3}{5}}=\frac{\pi}{4}-\tan^{-1}{\frac{1}{3}}\)
\(Q.3.(xLii)\) \(\tan^{-1}{x}+\tan^{-1}{y}=\sin^{-1}{\left\{\frac{x+y}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}}\right\}}\)
\(Q.3.(xLiii)\) \(\tan^{-1}{x}+\tan^{-1}{y}=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\left\{\frac{2(x+y)(1-xy)}{(1+x^2)(1+y^2)}\right\}}\)
\(Q.3.(xLiv)\) \(\tan^{-1}{\frac{m}{n}}-\tan^{-1}{\frac{m-n}{m+n}}=\frac{\pi}{4}\)
\(Q.3.(xLv)\) \(\tan^{-1}{\frac{1}{m+n}}-\tan^{-1}{\frac{n}{m^2+mn+1}}=\tan^{-1}{\frac{1}{m}}\)
\(Q.3.(xLvi)\) \(\tan^{-1}{\frac{3}{4}}-2\tan^{-1}{\frac{1}{5}}=\cos^{-1}{\frac{63}{65}}\)
\(Q.3.(xLvii)\) \(\cos^{-1}{\left\{1+\cos{\left(2\tan^{-1}{\frac{x}{a}}\right)}\right\}^{\frac{1}{2}}}=\sin^{-1}{\sqrt{\frac{x^2-a^2}{x^2+a^2}}}\)
\(Q.3.(xLviii)\) \(\tan{\left(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\cos^{-1}{\frac{a}{b}}\right)}+\tan{\left(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\cos^{-1}{\frac{a}{b}}\right)}=\frac{2b}{a}\)
\(Q.3.(xLix)\) \(\sec^2{(\tan^{-1}{3})}+cosec^2{(\cot^{-1}{5})}=36\)
\(Q.3.(L)\) \(\sin{\cot^{-1}{\cos{\tan^{-1}{x}}}}=\sqrt{\frac{1+x^2}{2+x^2}}\)
\(Q.3.(Li)\) \(\tan{\cot^{-1}{\tan{\cos^{-1}{x}}}}=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(Q.3.(Lii)\) \(\sin{cosec^{-1}{\cot{\tan^{-1}{x}}}}=x\)
\(Q.3.(Liii)\) \(\tan^{-1}{x}=\frac{1}{2}cosec^{-1}{\left(\frac{1+x^2}{2x}\right)}=\frac{1}{2}\sec^{-1}{\left(\frac{1+x^2}{1-x^2}\right)}\)
\(Q.3.(Liv)\) \(\tan^{-1}{x}=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)}=\frac{1}{2}\cos^{-1}{\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)}\)
\(Q.3.(Lv)\) \(\tan^{-1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{2}\cos^{-1}{\left(\frac{1-x}{1+x}\right)}=\frac{1}{2}cosec^{-1}{\left(\frac{1+x}{2\sqrt{x}}\right)}=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{2\sqrt{x}}{1+x}\right)}\)
\(Q.3.(Lvi)\) \(\left\{\cos{(\sin^{-1}{x})}\right\}^2=\left\{\sin{(\cos^{-1}{x})}\right\}^2\)
\(Q.3.(Lvii)\) \(\sin{\left(\sin^{-1}{\frac{1}{3}}+\sec^{-1}{3}\right)}+\cos{\left(\tan^{-1}{\frac{1}{2}}+\tan^{-1}{2}\right)}=1\)
\(Q.3.(Lviii)\) \(\cos^{-1}{\left\{1+\cos{\left(2\tan^{-1}{\sqrt{\frac{x}{a}}}\right)}\right\}^{\frac{1}{2}}}=\sin^{-1}{\sqrt{\frac{x-a}{x+a}}}\)
\(Q.3.(Lix)\) \(\cos{\left(2\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\right)}=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\)
সিঃ২০১৭ ।
\(Q.3.(Lx)\) \(\sin^2{\left(\cos^{-1}{\frac{1}{3}}\right)}+\cos^2{\left(\sin^{-1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\right)}=\frac{14}{9}\)
সিঃ২০১৭ ।
অধ্যায় \(7H\) / \(Q.4\)-এর বর্ণনামূলক প্রশ্নসমূহ
\(Q.4.(i)\) \(\cot^{-1}{\cos{\left(cosec^{-1}{\sqrt{\frac{3}{2}}}\right)}}\) এর মুখ্যমান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{3}\)
\(Q.4.(ii)\) \(\sec{A}=\sqrt{5}, \ cosec{B}=\frac{5}{3}\) এবং \(\cot{C}=3\) হলে, \(A+C-\frac{1}{2}B\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\tan^{-1}{2}\)
\(Q.4.(iii)\) \(\sin{\theta}=\frac{4}{5}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(\sec^{-1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{2}\theta-\sin^{-1}{\frac{1}{\sqrt{5}}}=\tan^{-1}{2}\)
\(Q.4.(iv)\) যদি \(\sec{\theta}-cosec \ {\theta}=\frac{4}{3}\) হয় তবে দেখাও যে, \(\theta=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{3}{4}}\)
\(Q.4.(v)\) প্রমাণ কর যে, \(\sin^{-1}{\frac{3}{5}}+\frac{1}{2}\cos^{-1}{\frac{5}{13}}-\cot^{-1}{2}=\tan^{-1}{\frac{28}{29}}\)
\(Q.4.(vi)\) প্রমাণ কর যে, \(\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{12}{13}}+\sin^{-1}{\frac{3}{5}}=\cot^{-1}{2}+\cot^{-1}{\frac{29}{28}}\)
\(Q.4.(vii)\) \(f(x)=\sin^{-1}{x}\) এবং \(g(x)=\cos{x}\) হলে, \(f\left\{\sqrt{2} \ g\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right\}+f\left\{\sqrt{g(2\theta)}\right\}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{2}\)
\(Q.4.(viii)\) যদি \(\sin^{-1}{x}+\sin^{-1}{y}=\frac{\pi}{2}\) হয় তবে দেখাও যে,
\((a)\) \(x^2+y^2=1\)
\(Q.4.(ix)\) \(A+B+C=\pi, \ A=\tan^{-1}{2}\) এবং \(B=\tan^{-1}{3}\) হলে দেখাও যে, \(C=\frac{\pi}{4}\)
\(Q.4.(x)\) \(f(x)=\tan{x}, \ f^{-1}{x}+f^{-1}{y}=\pi\) হলে প্রমাণ কর যে, প্রাপ্ত সঞ্চারপথটি একটি সরলরেখা নির্দেশ করে যার ঢাল \(-1\)
\(Q.4.(xi)\) যদি \(\tan^{-1}{x}+\tan^{-1}{y}+\tan^{-1}{z}=\pi\) হয় তবে প্রমাণ কর যে, \(x+y+z=xyz\)
\(Q.4.(xii)\) যদি \(\tan^{-1}{x}+\tan^{-1}{y}+\tan^{-1}{z}=\frac{\pi}{2}\) হয় তবে প্রমাণ কর যে, \(xy+yz+zx=1\)
\(Q.4.(xiii)\) যদি \(cosec^{-1}{\frac{1+a^2}{2a}}-\sec^{-1}{\frac{1+b^2}{1-b^2}}=2\tan^{-1}{x}\) হয় তবে প্রমাণ কর যে, \(x=\frac{a-b}{1+ab}\)
\(Q.4.(xiv)\) \(\tan^{-1}{x}+\frac{1}{2}\sec^{-1}{\frac{1+y^2}{1-y^2}}+\frac{1}{2}cosec^{-1}{\frac{1+z^2}{2z}}=\pi\) হলে দেখাও যে, \(x+y+z=xyz\)
\(Q.4.(xv)\) যদি \(\cos^{-1}{x}+\cos^{-1}{y}+\cos^{-1}{z}=\pi\) হয় তবে দেখাও যে, \(x^2+y^2+z^2+xyz=1\)
\(Q.4.(xvi)\) যদি \(\cot{\theta}-\tan{\theta}=\frac{6}{5}\) হয় তবে প্রমাণ কর যে, \(\theta=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{5}{\sqrt{34}}}\)
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{3}\)
রাঃ২০১৭।
\(Q.4.(ii)\) \(\sec{A}=\sqrt{5}, \ cosec{B}=\frac{5}{3}\) এবং \(\cot{C}=3\) হলে, \(A+C-\frac{1}{2}B\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\tan^{-1}{2}\)
রাঃ২০১৯।
\(Q.4.(iii)\) \(\sin{\theta}=\frac{4}{5}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(\sec^{-1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{2}\theta-\sin^{-1}{\frac{1}{\sqrt{5}}}=\tan^{-1}{2}\)
কুঃ২০১৭।
\(Q.4.(iv)\) যদি \(\sec{\theta}-cosec \ {\theta}=\frac{4}{3}\) হয় তবে দেখাও যে, \(\theta=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{3}{4}}\)
\(Q.4.(v)\) প্রমাণ কর যে, \(\sin^{-1}{\frac{3}{5}}+\frac{1}{2}\cos^{-1}{\frac{5}{13}}-\cot^{-1}{2}=\tan^{-1}{\frac{28}{29}}\)
রাঃ২০১৪; চঃ,সিঃ,বঃ ২০১৩; মাঃ২০১২,২০১০; কুঃ২০১২।
\(Q.4.(vi)\) প্রমাণ কর যে, \(\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{12}{13}}+\sin^{-1}{\frac{3}{5}}=\cot^{-1}{2}+\cot^{-1}{\frac{29}{28}}\)
দিঃ২০১৯।
\(Q.4.(vii)\) \(f(x)=\sin^{-1}{x}\) এবং \(g(x)=\cos{x}\) হলে, \(f\left\{\sqrt{2} \ g\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right\}+f\left\{\sqrt{g(2\theta)}\right\}\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(\frac{\pi}{2}\)
যঃ২০১৯।
\(Q.4.(viii)\) যদি \(\sin^{-1}{x}+\sin^{-1}{y}=\frac{\pi}{2}\) হয় তবে দেখাও যে,
\((a)\) \(x^2+y^2=1\)
ঢাঃ২০১৯,২০১৩; চঃ২০১৫,২০০৬; যঃ২০১৪,২০১০,২০০৭; রাঃ২০১২,২০০৭; বঃ২০১২; সিঃ২০০৮; কুঃ২০০৭; মাঃ২০১১,২০০৯; রুয়েটঃ২০০৮-২০০৯ ।
\((a)\) \(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=1\)কুঃ২০১০,২০০৪ ।
\(Q.4.(ix)\) \(A+B+C=\pi, \ A=\tan^{-1}{2}\) এবং \(B=\tan^{-1}{3}\) হলে দেখাও যে, \(C=\frac{\pi}{4}\)
চঃ২০১৬,২০১৩,২০০৭; ঢাঃ২০০৮; বঃ২০০৭ ।
\(Q.4.(x)\) \(f(x)=\tan{x}, \ f^{-1}{x}+f^{-1}{y}=\pi\) হলে প্রমাণ কর যে, প্রাপ্ত সঞ্চারপথটি একটি সরলরেখা নির্দেশ করে যার ঢাল \(-1\)
রাঃ২০১৭ ।
\(Q.4.(xi)\) যদি \(\tan^{-1}{x}+\tan^{-1}{y}+\tan^{-1}{z}=\pi\) হয় তবে প্রমাণ কর যে, \(x+y+z=xyz\)
বঃ২০০৬ ।
\(Q.4.(xii)\) যদি \(\tan^{-1}{x}+\tan^{-1}{y}+\tan^{-1}{z}=\frac{\pi}{2}\) হয় তবে প্রমাণ কর যে, \(xy+yz+zx=1\)
\(Q.4.(xiii)\) যদি \(cosec^{-1}{\frac{1+a^2}{2a}}-\sec^{-1}{\frac{1+b^2}{1-b^2}}=2\tan^{-1}{x}\) হয় তবে প্রমাণ কর যে, \(x=\frac{a-b}{1+ab}\)
ঢাঃ২০১৯; দিঃ২০১১; চুয়েটঃ২০১১-২০১২ ।
\(Q.4.(xiv)\) \(\tan^{-1}{x}+\frac{1}{2}\sec^{-1}{\frac{1+y^2}{1-y^2}}+\frac{1}{2}cosec^{-1}{\frac{1+z^2}{2z}}=\pi\) হলে দেখাও যে, \(x+y+z=xyz\)
রাঃ২০১৫; চঃ২০১১; যঃ২০০৪ ।
\(Q.4.(xv)\) যদি \(\cos^{-1}{x}+\cos^{-1}{y}+\cos^{-1}{z}=\pi\) হয় তবে দেখাও যে, \(x^2+y^2+z^2+xyz=1\)
কুঃ২০১২ ।
\(Q.4.(xvi)\) যদি \(\cot{\theta}-\tan{\theta}=\frac{6}{5}\) হয় তবে প্রমাণ কর যে, \(\theta=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{5}{\sqrt{34}}}\)
যঃ২০১৭ ।
\(Q.4.(xvii)\) \(\cot^{-1}{y}-\tan^{-1}{x}=\frac{\pi}{6}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(x+y+\sqrt{3}xy=\sqrt{3}\)
\(Q.4.(xviii)\) \(\sec^{-1}{\frac{1}{a}}+\sec^{-1}{\frac{1}{b}}=\alpha\) হলে প্রমাণ কর যে, \(\sin{\alpha}=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos{\alpha}}\)
\(Q.4.(xix)\) যদি \(\sin{(\pi\cos{\theta})}=\cos{(\pi\sin{\theta})}\) হয় তবে দেখাও যে, \(\theta=\pm\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{3}{4}}\)
\(Q.4.(xx)\) যদি \(\sin{(\pi\cos{\theta})}=\cos{(\pi\sin{\theta})}\) হয় তবে দেখাও যে, \(\theta=\pm\frac{\pi}{4}+\cos^{-1}{\frac{1}{2\sqrt{2}}}\)
\(Q.4.(xxi)\) \(\tan^{-1}{a}+\frac{1}{2}\sec^{-1}{\frac{1+b^2}{1-b^2}}+\frac{1}{2}cosec^{-1}{\frac{1+c^2}{2c}}=\pi\) হলে দেখাও যে, \(a+b+c=acb\)
\(Q.4.(xxii)\) যদি \(2\tan^{-1}{x}=\sin^{-1}{\frac{2a}{1+a^2}}-\cos^{-1}{\frac{1-b^2}{1+b^2}}\) হয় তবে প্রমাণ কর যে, \(x=\frac{a-b}{1+ab}\)
\(Q.4.(xxiii)\) যদি \(\sin^{-1}{x}+\sin^{-1}{y}+\sin^{-1}{z}=\pi\) হয় তবে দেখাও যে, \(x\sqrt{1-x^2}+y\sqrt{1-y^2}+z\sqrt{1-z^2}=2xyz\)
\(Q.4.(xxiv)\) \(\sin^{-1}{\left(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{4}-\frac{x^4}{8}+...\right)}\)
\(+\cos^{-1}{\left(x^2-\frac{x^4}{2}+\frac{x^6}{4}-\frac{x^8}{8}+...\right)}=\frac{\pi}{2}\) এবং \(|x|=\sqrt{2}\) হলে দেখাও যে, \(x=1\)
\(Q.4.(xxv)\) \(\sin{(\pi cosec \ {\theta})}=\cos{\left(\frac{\pi}{2} cosec \ {\theta}\right)}\) হলে দেখাও যে, \(\theta=\sin^{-1}{\left(\frac{3}{4n+1}\right)}\)
অথবা, \(\theta=\sin^{-1}{\left(\frac{1}{1-4n}\right)}\)
\(Q.4.(xxvi)\) \(\tan{(\theta-\alpha)}\tan{(\theta-\beta)}=\tan^2{\theta}\) হলে দেখাও যে, \(\theta=\frac{1}{2}\tan^{-1}{\left\{\frac{2\sin{\alpha}\sin{\beta}}{\sin{(\alpha+\beta)}}\right\}}\)
\(Q.4.(xxvii)\) দেখাও যে, \(\cot^{-1}{(2n-1)}-\cot^{-1}{(2n+1)}=\cot^{-1}{(2n^2)}\)
ইহার সাহায্যে দেখাও যে, \(\cot^{-1}{(2.1^2)}+\cot^{-1}{(2.2^2)}+\cot^{-1}{(2.3^2)}=\cot^{-1}{\left(\frac{4}{3}\right)}\)
\(Q.4.(xxviii)\) দেখাও যে, \(\tan^{-1}{(1+a)}-\tan^{-1}{a}=\cot^{-1}{(1+a+a^2)}\)
ইহার সাহায্যে দেখাও যে, \(\cot^{-1}{3}+\cot^{-1}{7}+\cot^{-1}{13}+\cot^{-1}{21}=\cot^{-1}{\left(\frac{3}{2}\right)}\)
\(Q.4.(xxix)\) দেখাও যে, \(\cot^{-1}{(1-a+a^2)}=\tan^{-1}{a}-\tan^{-1}{(a-1)}\)
\(Q.4.(xxx)\) যদি \(x=\sin{\left(\cos^{-1}{y}\right)}\) হয়, তবে দেখাও যে, \(x^2+y^2=1\)
\(Q.4.(xxxi)\) \(\sin^{-1}{\frac{x}{a}}+\sin^{-1}{\frac{y}{b}}=\theta\) হয় তবে দেখাও যে, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{2xy}{ab}\cos{\theta}+\frac{y^2}{b^2}=\sin^2{\theta}.\)
\(Q.4.(xxxii)\) \(\cos^{-1}{x}+\cos^{-1}{y}=\theta\) হলে প্রমাণ কর যে, \(x^2-2xy\cos{\theta}+y^2=\sin^2{\theta}\)
\(Q.4.(xxxiii)\) \(\sec^{-1}{x}=cosec^{-1}{y}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=1\)
চঃ২০১৭ ।
\(Q.4.(xviii)\) \(\sec^{-1}{\frac{1}{a}}+\sec^{-1}{\frac{1}{b}}=\alpha\) হলে প্রমাণ কর যে, \(\sin{\alpha}=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos{\alpha}}\)
চঃ২০১৯ ।
\(Q.4.(xix)\) যদি \(\sin{(\pi\cos{\theta})}=\cos{(\pi\sin{\theta})}\) হয় তবে দেখাও যে, \(\theta=\pm\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{3}{4}}\)
চঃ২০১৯; যঃ২০১৫,২০০৬; বঃ২০১৫; কুঃ২০১৩; দিঃ২০১২; ঢাঃ,রাঃ,বঃ,সিঃ২০১০ ।
\(Q.4.(xx)\) যদি \(\sin{(\pi\cos{\theta})}=\cos{(\pi\sin{\theta})}\) হয় তবে দেখাও যে, \(\theta=\pm\frac{\pi}{4}+\cos^{-1}{\frac{1}{2\sqrt{2}}}\)
যঃ২০১৬ ।
\(Q.4.(xxi)\) \(\tan^{-1}{a}+\frac{1}{2}\sec^{-1}{\frac{1+b^2}{1-b^2}}+\frac{1}{2}cosec^{-1}{\frac{1+c^2}{2c}}=\pi\) হলে দেখাও যে, \(a+b+c=acb\)
রাঃ২০১৫; চঃ২০১১; যঃ২০০৪ ।
\(Q.4.(xxii)\) যদি \(2\tan^{-1}{x}=\sin^{-1}{\frac{2a}{1+a^2}}-\cos^{-1}{\frac{1-b^2}{1+b^2}}\) হয় তবে প্রমাণ কর যে, \(x=\frac{a-b}{1+ab}\)
যঃ২০০৫; ঢাঃ২০১৯; দিঃ২০১১; চুয়েটঃ২০১১-২০১২ ।
\(Q.4.(xxiii)\) যদি \(\sin^{-1}{x}+\sin^{-1}{y}+\sin^{-1}{z}=\pi\) হয় তবে দেখাও যে, \(x\sqrt{1-x^2}+y\sqrt{1-y^2}+z\sqrt{1-z^2}=2xyz\)
\(Q.4.(xxiv)\) \(\sin^{-1}{\left(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{4}-\frac{x^4}{8}+...\right)}\)
\(+\cos^{-1}{\left(x^2-\frac{x^4}{2}+\frac{x^6}{4}-\frac{x^8}{8}+...\right)}=\frac{\pi}{2}\) এবং \(|x|=\sqrt{2}\) হলে দেখাও যে, \(x=1\)
\(Q.4.(xxv)\) \(\sin{(\pi cosec \ {\theta})}=\cos{\left(\frac{\pi}{2} cosec \ {\theta}\right)}\) হলে দেখাও যে, \(\theta=\sin^{-1}{\left(\frac{3}{4n+1}\right)}\)
অথবা, \(\theta=\sin^{-1}{\left(\frac{1}{1-4n}\right)}\)
\(Q.4.(xxvi)\) \(\tan{(\theta-\alpha)}\tan{(\theta-\beta)}=\tan^2{\theta}\) হলে দেখাও যে, \(\theta=\frac{1}{2}\tan^{-1}{\left\{\frac{2\sin{\alpha}\sin{\beta}}{\sin{(\alpha+\beta)}}\right\}}\)
\(Q.4.(xxvii)\) দেখাও যে, \(\cot^{-1}{(2n-1)}-\cot^{-1}{(2n+1)}=\cot^{-1}{(2n^2)}\)
ইহার সাহায্যে দেখাও যে, \(\cot^{-1}{(2.1^2)}+\cot^{-1}{(2.2^2)}+\cot^{-1}{(2.3^2)}=\cot^{-1}{\left(\frac{4}{3}\right)}\)
\(Q.4.(xxviii)\) দেখাও যে, \(\tan^{-1}{(1+a)}-\tan^{-1}{a}=\cot^{-1}{(1+a+a^2)}\)
ইহার সাহায্যে দেখাও যে, \(\cot^{-1}{3}+\cot^{-1}{7}+\cot^{-1}{13}+\cot^{-1}{21}=\cot^{-1}{\left(\frac{3}{2}\right)}\)
\(Q.4.(xxix)\) দেখাও যে, \(\cot^{-1}{(1-a+a^2)}=\tan^{-1}{a}-\tan^{-1}{(a-1)}\)
\(Q.4.(xxx)\) যদি \(x=\sin{\left(\cos^{-1}{y}\right)}\) হয়, তবে দেখাও যে, \(x^2+y^2=1\)
\(Q.4.(xxxi)\) \(\sin^{-1}{\frac{x}{a}}+\sin^{-1}{\frac{y}{b}}=\theta\) হয় তবে দেখাও যে, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{2xy}{ab}\cos{\theta}+\frac{y^2}{b^2}=\sin^2{\theta}.\)
\(Q.4.(xxxii)\) \(\cos^{-1}{x}+\cos^{-1}{y}=\theta\) হলে প্রমাণ কর যে, \(x^2-2xy\cos{\theta}+y^2=\sin^2{\theta}\)
\(Q.4.(xxxiii)\) \(\sec^{-1}{x}=cosec^{-1}{y}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=1\)
\(Q.4.(viii)\) যদি \(\sin^{-1}{x}+\sin^{-1}{y}=\frac{\pi}{2}\) হয় তবে দেখাও যে,
\((a)\) \(x^2+y^2=1\)
\((a)\) \(x^2+y^2=1\)
ঢাঃ২০১৯,২০১৩; চঃ২০১৫,২০০৬; যঃ২০১৪,২০১০,২০০৭; রাঃ২০১২,২০০৭; বঃ২০১২; সিঃ২০০৮; কুঃ২০০৭; মাঃ২০১১,২০০৯; রুয়েটঃ২০০৮-২০০৯ ।
\((a)\) \(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=1\)কুঃ২০১০,২০০৪ ।
সমাধানঃ
\((a)\)
দেওয়া আছে,\(\sin^{-1}{x}+\sin^{-1}{y}=\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow \sin^{-1}{x}=\frac{\pi}{2}-\sin^{-1}{y}\)
\(\Rightarrow x=\sin{\left(\frac{\pi}{2}-\sin^{-1}{y}\right)}\)
\(\Rightarrow x=\cos{\left(\sin^{-1}{y}\right)}\) ➜
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(1\) একটি বিজোড় সংখ্যা,
সুতরাং সাইন অনুপাতের পরিবর্তন হয়ে কোসাইন হয়েছে।
\(\Rightarrow x=\cos{\left(\cos^{-1}{\sqrt{1-y^2}}\right)}\) ➜ প্রথম পদের ক্ষেত্রে,
\(\text{লম্ব}=y, \ \text{অতিভুজ}=1\)
\(\therefore \text{ভূমি}=\sqrt{(\text{অতিভুজ})^2-(\text{লম্ব})^2} \)
\(=\sqrt{1^2-y^2}\)
\(=\sqrt{1-y^2}\)
\(\therefore \sin^{-1}{y}=\cos^{-1}{\frac{\sqrt{1-y^2}}{1}}\)
\(=\cos^{-1}{\sqrt{1-y^2}}\)
\(\Rightarrow x=\sqrt{1-y^2}\)
\(\Rightarrow x^2=1-y^2\) ➜ উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\therefore x^2+y^2=1\)
(প্রমাণিত)
\((b)\)
দেওয়া আছে,\(\sin^{-1}{x}+\sin^{-1}{y}=\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow \sin^{-1}{x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}}=\frac{\pi}{2}\) ➜ \(\because \sin^{-1}{A}+\sin^{-1}{B}=\sin^{-1}{\left(A\sqrt{1-B^2}+B\sqrt{1-A^2}\right)}\)
\(\Rightarrow x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=\sin{\frac{\pi}{2}}\)
\(\therefore x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=1\) ➜ \(\because \sin{\frac{\pi}{2}}=1\)
(প্রমাণিত)
\(Q.4.(xv)\) যদি \(\cos^{-1}{x}+\cos^{-1}{y}+\cos^{-1}{z}=\pi\) হয় তবে দেখাও যে, \(x^2+y^2+z^2+2xyz=1\)
কুঃ২০১২ ।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(\cos^{-1}{x}+\cos^{-1}{y}+\cos^{-1}{z}=\pi\)
\(\Rightarrow \cos^{-1}{x}+\cos^{-1}{y}=\pi-\cos^{-1}{z}\)
\(\Rightarrow \cos^{-1}{\{xy-\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}\}}=\pi-\cos^{-1}{z}\) ➜ \(\because \cos^{-1}{x}+\cos^{-1}{y}=\cos^{-1}{\{xy-\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}\}}\)
\(\Rightarrow xy-\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}=\cos{\left(\pi-\cos^{-1}{z}\right)}\)
\(\Rightarrow xy-\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}=-\cos{\left(\cos^{-1}{z}\right)}\) ➜
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।
\(\Rightarrow xy-\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}=-z\)
\(\Rightarrow xy+z=\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}\)
\(\Rightarrow (xy+z)^2=(1-x^2)(1-y^2)\)
\(\Rightarrow x^2y^2+2xyz+z^2=1-x^2-y^2+x^2y^2\)
\(\Rightarrow x^2y^2+2xyz+z^2+x^2+y^2-x^2y^2=1\)
\(\therefore x^2+y^2+z^2+2xyz=1\)
(প্রমাণিত)
\(\cos^{-1}{x}+\cos^{-1}{y}+\cos^{-1}{z}=\pi\)
\(\Rightarrow \cos^{-1}{x}+\cos^{-1}{y}=\pi-\cos^{-1}{z}\)
\(\Rightarrow \cos^{-1}{\{xy-\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}\}}=\pi-\cos^{-1}{z}\) ➜ \(\because \cos^{-1}{x}+\cos^{-1}{y}=\cos^{-1}{\{xy-\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}\}}\)
\(\Rightarrow xy-\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}=\cos{\left(\pi-\cos^{-1}{z}\right)}\)
\(\Rightarrow xy-\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}=-\cos{\left(\cos^{-1}{z}\right)}\) ➜
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।
\(\Rightarrow xy-\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}=-z\)
\(\Rightarrow xy+z=\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}\)
\(\Rightarrow (xy+z)^2=(1-x^2)(1-y^2)\)
\(\Rightarrow x^2y^2+2xyz+z^2=1-x^2-y^2+x^2y^2\)
\(\Rightarrow x^2y^2+2xyz+z^2+x^2+y^2-x^2y^2=1\)
\(\therefore x^2+y^2+z^2+2xyz=1\)
(প্রমাণিত)
\(Q.4.(xxiii)\) যদি \(\sin^{-1}{x}+\sin^{-1}{y}+\sin^{-1}{z}=\pi\) হয় তবে দেখাও যে, \(x\sqrt{1-x^2}+y\sqrt{1-y^2}+z\sqrt{1-z^2}=2xyz\)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
\(\sin^{-1}{x}+\sin^{-1}{y}+\sin^{-1}{z}=\pi\)
ধরি,
\(\sin^{-1}{x}=A, \ \sin^{-1}{y}=B, \ \sin^{-1}{z}=C\)
\(\Rightarrow x=\sin{A}, \ y=\sin{B}, \ z=\sin{C}\)
এবং, \(A+B+C=\pi\)
\(L.S=x\sqrt{1-x^2}+y\sqrt{1-y^2}+z\sqrt{1-z^2}\)
\(=\sin{A}\sqrt{1-\sin^2{A}}+\sin{B}\sqrt{1-\sin^2{B}}+\sin{C}\sqrt{1-\sin^2{C}}\)
\(=\sin{A}\cos{A}+\sin{B}\cos{B}+\sin{C}\cos{C}\) ➜ \(\because \sqrt{1-\sin^2{x}}=\cos{x}\)
\(=\frac{1}{2}(2\sin{A}\cos{A}+2\sin{B}\cos{B}+2\sin{C}\cos{C})\)
\(=\frac{1}{2}(\sin{2A}+\sin{2B}+\sin{2C})\) ➜ \(\because 2\sin{x}\cos{x}=\sin{2x}\)
\(=\frac{1}{2}\left\{\sin{2A}+\sin{2B}+\sin{2C}\right\}\)
\(=\frac{1}{2}\left\{2\cos{\frac{2A+2B}{2}}\sin{\frac{2A-2B}{2}}+\sin{2C}\right\}\) ➜ \(\because \sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)
\(=\frac{1}{2}\left\{2\sin{\frac{2(A+B)}{2}}\cos{\frac{2(A-B)}{2}}+\sin{2C}\right\}\)
\(=\frac{1}{2}\left\{2\sin{(A+B)}\cos{(A-B)}+\sin{2C}\right\}\)
\(=\frac{1}{2}\left\{2\sin{(\pi-C)}\cos{(A-B)}+\sin{2C}\right\}\) ➜ \(\because A+B=\pi-C\)
\(=\frac{1}{2}\left\{2\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times2-C\right)}\cos{(A-B)}+\sin{2C}\right\}\)
\(=\frac{1}{2}\left\{2\sin{C}\cos{(A-B)}+2\sin{C}\cos{C}\right\}\) ➜
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।
এবং \(\sin{2A}=2\sin{A}\cos{A}\)
\(=\frac{1}{2}\times2\sin{C}\{\cos{(A-B)}+\cos{C}\}\)
\(=\sin{C}[\cos{(A-B)}+\cos{\{\pi-(A+B)\}}]\) ➜ \(\because C=\pi-(A+B)\)
\(=\sin{C}\left[\cos{(A-B)}+\cos{\left\{\frac{\pi}{2}\times2-(A+B)\right\}}\right]\)
\(=\sin{C}\left[\cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}\right]\) ➜
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।
\(=\sin{C}\times2\sin{A}\sin{B}\) ➜ \(\because \cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}=2\sin{A}\sin{B}\)
\(=2\sin{A}\sin{B}\sin{C}\)
\(=2xyz\) ➜ \(\because x=\sin{A}, \ y=\sin{B}, \ z=\sin{C}\)
(প্রমাণিত)
\(\sin^{-1}{x}+\sin^{-1}{y}+\sin^{-1}{z}=\pi\)
ধরি,
\(\sin^{-1}{x}=A, \ \sin^{-1}{y}=B, \ \sin^{-1}{z}=C\)
\(\Rightarrow x=\sin{A}, \ y=\sin{B}, \ z=\sin{C}\)
এবং, \(A+B+C=\pi\)
\(L.S=x\sqrt{1-x^2}+y\sqrt{1-y^2}+z\sqrt{1-z^2}\)
\(=\sin{A}\sqrt{1-\sin^2{A}}+\sin{B}\sqrt{1-\sin^2{B}}+\sin{C}\sqrt{1-\sin^2{C}}\)
\(=\sin{A}\cos{A}+\sin{B}\cos{B}+\sin{C}\cos{C}\) ➜ \(\because \sqrt{1-\sin^2{x}}=\cos{x}\)
\(=\frac{1}{2}(2\sin{A}\cos{A}+2\sin{B}\cos{B}+2\sin{C}\cos{C})\)
\(=\frac{1}{2}(\sin{2A}+\sin{2B}+\sin{2C})\) ➜ \(\because 2\sin{x}\cos{x}=\sin{2x}\)
\(=\frac{1}{2}\left\{\sin{2A}+\sin{2B}+\sin{2C}\right\}\)
\(=\frac{1}{2}\left\{2\cos{\frac{2A+2B}{2}}\sin{\frac{2A-2B}{2}}+\sin{2C}\right\}\) ➜ \(\because \sin{C}+\sin{D}=2\sin{\frac{C+D}{2}}\cos{\frac{C-D}{2}}\)
\(=\frac{1}{2}\left\{2\sin{\frac{2(A+B)}{2}}\cos{\frac{2(A-B)}{2}}+\sin{2C}\right\}\)
\(=\frac{1}{2}\left\{2\sin{(A+B)}\cos{(A-B)}+\sin{2C}\right\}\)
\(=\frac{1}{2}\left\{2\sin{(\pi-C)}\cos{(A-B)}+\sin{2C}\right\}\) ➜ \(\because A+B=\pi-C\)
\(=\frac{1}{2}\left\{2\sin{\left(\frac{\pi}{2}\times2-C\right)}\cos{(A-B)}+\sin{2C}\right\}\)
\(=\frac{1}{2}\left\{2\sin{C}\cos{(A-B)}+2\sin{C}\cos{C}\right\}\) ➜
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং সাইন অনুপাত ধনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।
এবং \(\sin{2A}=2\sin{A}\cos{A}\)
\(=\frac{1}{2}\times2\sin{C}\{\cos{(A-B)}+\cos{C}\}\)
\(=\sin{C}[\cos{(A-B)}+\cos{\{\pi-(A+B)\}}]\) ➜ \(\because C=\pi-(A+B)\)
\(=\sin{C}\left[\cos{(A-B)}+\cos{\left\{\frac{\pi}{2}\times2-(A+B)\right\}}\right]\)
\(=\sin{C}\left[\cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}\right]\) ➜
\(\because\) কোণ উৎপন্নকারী রেখাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত
সুতরাং কোসাইন অনুপাত ঋনাত্মক।
আবার, \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক \(2\) একটি জোড় সংখ্যা,
সুতরাং অনুপাতের পরিবর্তন হয়নি।
\(=\sin{C}\times2\sin{A}\sin{B}\) ➜ \(\because \cos{(A-B)}-\cos{(A+B)}=2\sin{A}\sin{B}\)
\(=2\sin{A}\sin{B}\sin{C}\)
\(=2xyz\) ➜ \(\because x=\sin{A}, \ y=\sin{B}, \ z=\sin{C}\)
(প্রমাণিত)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000005